/
Текст
ББК 22.34я73
Саржевский Александр Михайлович
Оптика. Полюй курс. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 60S с.
ISBN 5-354-00777-1
Книга включает в себя практически все вопросы программы обучения. В ней
сохранен классический метод построения курса. При этом автор не стремится
к сильной математизации курса, и там, где это возможно и целесообразно,
старается обойтись белее простыми математическими приемами, не нарушая,
однако, логического построения той или иной физической теории и не превращая
экспериментальный курс оптики в теоретический. Наряду с программным
материалом большое внимание уделено прикладным проблемам оптики.
Рекомендуется студентам физических специальностей университетов и ин-
женерно-технических вузов. Может быть использована в качестве учебного
пособия по разделу «Оптика».
Научный редактор-.
кандидат физико-математических наук И. И.Жолнеревич
Основной материал данного учебного пособия составили лекции, которые на протя-
жении ряда лет читал на физическом факультете Белорусского государственного универси-
тета имени В. И. Ленина заведующий кафедрой общей физики, заслуженный деятель науки
БССР, профессор, доктор физико-математических наук Александр Михайлович Сараев-
ский. Однако завершить работу над изданием ему не удалось. 9iy работу продолжили его
ученики, доценты Е. С. Воропай и А. П. Клишенко. Особенно большую помощь в подго-
товке «Оптики» к печати оказал кандидат физико-математических наук И.И.Жолнереняч.
Рецензенты:
кафедра обшей физики Ленинградского государственного университета
им. А. А. Жданова (зав. кафедрой Н. И. Калитеевский);
доктор физико-математических наук, профессор А. М. Самсон;
доктор физико-математических наук, профессор К. Н. Соловьев
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летая Октября. 9.
Лицензия ИД №05175 от 25.06*2001 г. Подписано к печати 16.04.2004 г.
Формат 60x90/16. Thpax 1500 зхэ. Печ. л. 38. Зак. № 3-1357/546.
Отпечатано в типографии ООО «РОХОС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
ISBN 5-354-00777-1
© Едиториал УРСС, 2004
Издательство yrvv
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Е-таЯ: URSS®U RSS.ru
Каталог изданий
в Hemet httpV/URSS.ru
Тал/фвс 7 (005) 135-42-16
ТалУфздс 7 (095) 135-42-46
2516 ID 21391
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Раздел «Оптика» курса обшей физики весь-
ма объемен. Из имеющихся учебных пособий,
которыми пользуются студенты университета
(Г. С. Ландсберг «Оптика», Н. И. Калитеев-
ский. «Волновая оптика», С. Э. Фриш, А. В. Ти-
ыорева «Курс общей физики»), в какой-то ме-
ре удовлетворяет программе лишь последнее
издание учебного пособия Г. С. Ландсберга
(1978 г.), дополненное вопросами современной
оптики. Не умаляя значимости этих пособий,
хотелось бы отметить, что уровень изложения
основного к дополнительного материала силь-
но различается по степени трудности. Поэтому
естественным было желание создать учебное
пособие, которое включало бы все (или почти
все) вопросы программы. При этом мы ие стре-
мились н сильной математизации курса и там,
где это возможно и целесообразно, старались
обойтись более простыми математическими при-
емами, не нарушая, однако, логического постро-
ения той или иной физической теории и ке пре-
вращая экспериментальный курс оптики в тео-
ретический.
Отметим еще один момент. При написания
данного пособия хотелось изложить все вопро-
сы канлучшяы методически образом. С этой
целью были использованы лучшие методики
изложения отдельных вопросов в других посо-
биях к монографиях.
Первый том пособия состоит из аведепия
и трех разделов и посвящен в основном вопро-
сам волновой оптики.
Во введение включены три главы, В первой
главе рассматриваются некоторые вопросы ко-
лебательного в волнового движении, которые
необходимы в дальнейшем прп изучении опти-
ки. Эти вопросы известны в основном из пре-
дыдущих разделов курса общей физики, одна-
ко, на наш взгляд, предварительное ваномина-
ние их целесообразно.
Вторая глава посвящена электромагнит-
ной природе света. Поскольку электромагнит-
ная теория Максвелла достаточно подробно
изучается в конце предшествующего оптике
курса «Электричество», мы ограничились лишь
общим рассмотрением системы уравнений Макс-
велла и свойств электромагнитных волн.
В третьей главе введения-излагаются во-
просы, связанные с фотометрическими поняти-
ями и единицами световых измерений.
Раздел I (главы 4—7) посвящен интерфе-
ренции света. Вначале рассматриваются вопро-
сы, связанные с понятием когерентности. В по-
следнее время к учебных пособиях по оптике
когерентность излагается очень подробно, при-
чем это делается сразу в начале раздела об ин-
терференции. В данном пособии даются общие
представления о когерентности, которых впол-
не достаточно для изучения интерференции све-
та. Понятия временной и пространственной ко-
герентности, необходимые при изучении голо-
графии в лазеров, вынесены в соответствующие
разделы. Далее рассматриваются способы на-
блюдения интерференции света, основные ха-
рактеристики интерференционных схем, локали-
зация полос интерференции, интерференцион-
ные приборы и применение интерференции.
В разделе II (главы 8—12) излагаются ди-
фракция света, оптическая голографии и ха-
рактеристики спектральных приборов.
Вначале рассматривается дифракция Фре-
неля, в основном качественно, а затем дифрак-
4
цнп Фраунгофера. Этот ид дифракции вала*
гается боне водрббно, так как он имеет боль-
шое практическое значение. Изложение Начи-
нается с дифракция на одной щели ведется
двумя способаш: аналитическим я графиче-
ски. Авторы некоторых пособи! отзывают-
ся от графического способа, считая его уста-
ревшим я не имеющим практического значения.
Мы же прндержвиемся другого миеннп п счи-
таем целесообразным рассмотрение этого мето-
да, так как он часто используется при анализе
Различных видов дифракции. Завершается изу-
чение двфракцп Фраунгофера знакомством с
дифракционной решетшй, причем поашЛ тео-
рия дифракционно! решетки к деется, а изло-
мали ведется на освой авадвтачеоого выра-
жении дав двфравцп на одной щелк.
Специальная глаи посвящена двфракцп
ва пространственной решетке, дифракции рент-
геновских луче! и двфракцп света на ультра-
звуковых волнах.
В следующей главе речь идет об опти-
ческо! голографии. Здесь формулируется арни-
цин голографии, рассматриваются плоские и
объемные голограммы, основные схемы полу-
чеяип голограмм и восстановления изображе-
ний, даются главные применения голографии.
Отдельный параграф этой главы погашен вре-
менной и пространственной когерентности.
В последней главе раздела о днфракшш
приведены основные характериспп (диспер-
сия, разрешакицап способность н др.) прибо-
ров с призмой и дифракционной решеткой в
качестве двспщиирующего элемента. Здесь
излагаются принципы построения спектральных
приборов, даются краткие снедения о ширине
спектрально! ашши п физически процессах,
приводящих к ее уширению. В заключение гла-
вы рассматривается разложение излучения в
спектр п преобразование светового импульса
ашым прибором.
разделе III (главы 13—15) излагаются
основные законы и положения геометрической
опии, отмечала недостатки оптических си-
стем и методы их устранения, дана разреша-
вши способность оптических приборов (пи-
роскоп н телескон). В заключение приводятся
принцип работы и описание электронного мик-
роскопа.
ВВЕДЕНИЕ
Гяава 1
ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
Если в какой-либо точке упругой среды воз-
будить колебание ее частиц, то вследствие сип-
лей между частицами это колебание начнет
распространяться и среде от одной частицы я
другой с некоторой скоростью. Процесс распро-
странении колебаний в пространстве называет-
сп вомов. В зависимости от природы связей
могут возникнуть волны различного характера.
Силы, действующие между частицами твердо-
го, жидкого или газообразного вещества, при-
водит к возникновению упруги, илп акустиче-
ских, волн. При возмущении жидкости на ее
поверхности воявлпотся волны. Электромаг-
нитное возмущение, возникающее в наком-ли-
бо месте пространства, в сяду законов элект-
ромагнетизма и индукции, приводит к появле-
нию электромагнитной волны, распространяю-
щейся со скоростью света.
Несмотря на большое разнообразие волно-
вых процессов, теория волнового движения,
представляющая собой феноменологическую
теорию, применяется с незначительными изме-
нениями к широкой области звуковых п свето-
вых явлений, а также к волнам, распростра-
няющимся по поверхности жидкости. При этом
используется одна н та же система уравнений,
тап как у названных явлений много сходных
черт. При общем рассмотрении волновой тео-
рии и всех ее ирвложепкй, обсуждаемых да-
лее, нет необходимости подобно определять
физические свойства того вида возмущения,
каковым является свет. Не имеет значения да-
же то, описывается ли рассматриваемое воз-
мущение скалярной величиной, аналогичной,
например, давлению газа, или величиной вен-
терной, аналогичной напряженностям электри-
ческого и магнитного полей.
Теории волнового движения содержит не-
сколько общих воложений;
1) всегда существует пакая-то физическая
величина, погорал в данный момент времени
имеет в любой точке пространства определен-
ное и измеримое значение;
2) значение згой величины в какой-либо
точке может с течением времени испытывать
периодические изменения пли возмущения;
3) возмущение, существующее в некоторой
точке пространства п данный момент времени,
производит аналогичное возмущение в сосед-
ней точке в несколько более поэдвнй момент
времени. В результате такого процесса область
возмущений будет непрерывно перемещаться в
пространстве.
, Изучение волнового движения удобно на-
чинать с гармонического осциллятора. Такой
осциллятор является простейшим п наиболее
важным из многочисленных’ источников коле-
баний, которые могут создавать волны. Кроме
того, движение осциллятора во многом схоже
с движением точек среды, через которую про-
ходят излучаемые ни волны. Общую картину
распространения волн можно описать с по-
мощью сочетания уравнений простого гармони-
ческого движения с некоторыми общими урав-
нениями распространения возмущений. Поэто-
му целесообразно в начале курса кратко оста-
новиться на основных свойствах гармоническо-
го колебательного движения.
1.1 Гармонические колебания представляют собой перио-
Гармоккческм днческие изменения во времени физической величины,
колебания происходящие по закону синуса или косинуса.
Рассмотрим систему, состоящую из цилиндрической
пружины и подвешенного на ней груза массой т (рис.
1.1, а). Придадим грузу некоторое смещение х (рис. 1.1,
ф б, в), тогда на него будет действовать со стороны пру-
жины упругая сила f= -kx и сила тяжести Р. По второ-
гармонические колебания му закону Ньютона
т-Й- = “Лх + Е (1-0
6
Введение
Рве. 1.1. Колебания груза
около положения равно-
весия
Введем новую координату x'^x-Pfk, тогда уравне-
ние (1.1) перепишем в виде
<Рх’ к < и m
di' ~ т х ‘ О»2)
Уравнение (1.2) аналогично уравнению, описывающе-
му колебания так называемого математического маятни-
ка, которые происходят по гармоническому закону.
В уравнении (1.2) ускорение пропорционально смеще-
нию и направлено в противоположную сторону. Таким
образом, действие постоянной силы тяжести Р не изме-
няет характера колебаний груза, а лишь смещает его по-
ложение равновесия. Следовательно, / также изменяет-
ся по гармоническому закону: груз совершает гармониче-
ские колебания около положения /=0 или x=Plk.
Уравнение (1.2) можно переписать в другом виде, вве-
дя обозначение o?=klm, тогда
&x'ldP=-&x'. (1.3)
Для того чтобы установить движение груза, необхо-
димо определить смещение х' как функцию времени I.
Легко показать, что эта связь задается формулой
x'=asin(©/-|-6) (1.4)
формулы гармонического
колебания
или
x'=acos(©/4-6)
(1-5)
гармонические
осцилляторы
где а — амплитуда колебания; — фаза колебания;
ю —круговая (угловая) частота; б — начальная фаза
колебания.
Таким образом, формулы (1.4) и (1.5) описывают
гармоническое колебательное движение. Системы, опи-
сываемые этими формулами, называются гармонически-
ми осцилляторами.
Простой незатухающий гармонический осциллятор
является математической абстракцией. Хотя он не суще-
ствует в природе, в первом приближении описывает дви-
жение многих физических систем. Колеблющийся с ма*
лой амплитудой маятник, различные механические систе-
мы, в которых существенную роль играют масса и упру-
гость, электрические системы, имеющие основными эле-
ментами индуктивность и емкость, можно представить
прн соответствующей идеализации как гармонические
осцилляторы. Исключительно большую роль модель гар-
монического осциллятора сыграла в атомной н молеку-
лярной спектроскопии.
Волновая теория света
7
Величина начальной фазы б при !=0 определяется из
формулы (1.4) Xo=asin6. Если начало отсчета времени
выбрано так, что прн t=0x'=0, то 6=0 н уравнение (1.4)
принимает вид
/=0 sin al. (1.6)
Такой выбор начала отсчета времени t имеет смысл
тогда, когда рассматривается только одна колебательная
система. Если же берутся две системы, то у них, вообще
говоря, нет одинаковых начальных фаз. Колебания одной
системы могут быть записаны формулой (1.6), но для
описания колебаний другой системы должно быть ис-
пользовано более общее выражение (1.4). Раз мы в дан-
ном случае рассматриваем только одну систему, сохра-
ним, имея в виду дальнейшие применения, более общую
форму записи колебаний в виде соотношений (1.4) и
(1.5).
Основное свойство гармонического колебательного
движения — его периодичность. За время, равное пери-
оду колебаний, колеблющееся тело дважды проходит
каждую точку своего пути: один раз, двигаясь в одном
направлении, другой раз — в обратном. Период гармони-
ческого колебания
Т=2л/а. (1.7)
Величина ш=2л/Т представляет собой число колеба-
ний в 2л единиц времени (круговая, нлн циклическая,
частота). Наряду с круговой частотой ш вводят в рас-
смотрение и обычную частоту
1 ш
т “ 2л ’
дающую число полных колебаний в единицу времени.
Подставляя значение ш в уравнения (1.4) и (1.5), по-
лучаем еще два выражения для гармонического колеба-
тельного движения:
x'=asin(2nvl+6); (1.9)
x'=acos(2nvl+6). (1-Ю)
Воспользовавшись формулой (1.7) и соотношением
©2=й/т, получим
Т = 2л/т/й, (1.11)
т. е. период колебаний зависит только от динамических
характеристик системы: массы m и упругой постоян-
ной k.
(1-8)
8
Введение
Рис. 1.2. Векторное пред-
ставление гармоническо-
го колебательного дви-
жения
Во многих практических случаях для представления
гармонического колебательного движения удобно пользо-
ваться векторным методом. Суть этого метода сводится
к следующему. Проведем прямую ОХ (рис. 1.2) и из
точки О под углом 6, равным начальной фазе колебаний,
построим вектор а, численно равный амплитуде колеба-
ний а. Если начальная фаза положительна, угол б откла-
дывается против вращения часовой стрелки; если началь-
ная фаза отрицательна, угол откладывается по часоврй
стрелке. Из рис. 1.2 видно, что проекция вектора а на
прямую ОХ равна смещению Ха в момент начала отсчета
•времени (/=0): Xo=acos6. Если начать вращать вектор
амплитуды против часовой стрелки вокруг оси О, перпен-
дикулярной к плоскости чертежа, с угловой скоростью ф,
то в некоторый момент времени t он образует с прямой
ОХ угол, равный ш/Ц-б, при этом его проекцию мож№
вычислить, т. е. он даст смещение колеблющейся точки,
в момент времени t (см. (1.5)).
За время Т, равное периоду колебаний, вектор ампли-
туды повернется на угол 2л, а Проекция его конца совер-
шит одно полное колебание около положения равйове*
сия 0. Отсюда следует, что гармоническое колебательное
движение может быть представлено движением проекции
на некоторую ось конца вектора амплитуды, отложенно-
го из произвольной точки на осн под углом, равным на-
чальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью (в
вокруг этой точки.
Необходимо подчеркнуть, что векторное представле-
ние гармонического движения не связано с какими-либо
возможными векторными Свойствами описываемого воз-
мущения.
1.2
Энергия
гармонического
колебания
кинетическая энергия
потенциальная энергия
Пусть некоторая материальная точка массой m со-
вершает гармонические колебания под действием упру-
гой силы f=-kx, где х—смещение точки из положе-
ния равновесия. Совершая колебания, материальная
точка обладает скоростью, а следовательно, и кинетиче-
ской энергией
(1.12)
Кроме кинетической энергии колеблющаяся точка
должна обладать и потенциальной энергией, которая из-
меряется работой внешних сил. Поскольку работа упру-
гой силы численно равна £х2/2, для потенциальной энер-
гии имеем
р _ fa’
2 •
(1-13)
Волновая теория света
9
Смещение материальной точки, совершающей гармо-
нические колебания, вычислим по формуле (1.5), а ско-
рость точки выразим через производную по времени от
смещения х:
о = -^-=—a© sin (ш/4-6). (1,14)
Подставив в формулы (1.12) н (1.13) вместо о и х их
значения, получим
£и=Ц-/ла!(о’яп1((о/-|-6); (1.15)
£п=Ц-/ш’со5!(©/ + 6). (1.16)
Полная энергия колеблющейся точки равна сумме
энергий:
£ - Ев + Ея = ^-moVsin’ (at + в) + -у to* cos’ (erf + 6).
Учитывая, что /п©2=й, получаем окончательный ре-
зультат:
£=-£,• (1.17) •
•*
т. е. полная энергия £ пропорциональна квадрату ампли- полная анергия
туды колебания и постоянна за все время колебания, колеблющееся точки
В крайних точках вся энергия переходит в потенциаль-
ную, а при прохождении через положение равновесия —
в кинетическую. Во всех прочих положениях колеблющей-
ся точки имеется энергия обоих видов.
При сложении гармонических колебаний выделим два
случая: первый — колебания направлены вдоль одной
прямой, второй—колебания происходят во взаимно
перпендикулярных направлениях. Эти случаи наиболее
часто встречаются при рассмотрении многих вопросов
оптики.
Сложение колебаний, происходящих вдоль одной пря-
мой. Пусть материальная точка участвует в двух гармо-
нических колебаниях одинакового периода, направлен-
ных вдоль одной прямой. Тогда смещения *i и для
этих двух колебаний запишем в виде
X|=oicos(©/+6»); х2=аг cos (©/4-62). (1.18)
Решить задачу можно двумя способами: алгебраиче-
ским и векторным. В результате алгебраического сложе-
ния суммарное колебание x=ti+x2 будет также гармо-
ническим:
1.3
Сложении
гармонических
колебаний
10
Введение
х=Асоз(ш<4-6), (1.19)
где
Аг = а2 + а2 + 2аА cos(8„ - 6J; (1.20)
... Qtsinfit-f-ggsinfi, ** ~ at cos 6i +Oi cos б/ (1-21)
При повторном сложении колебаний можно показать,
что результирующая любого числа гармонических коле-
баний одинакового периода есть гармоническое колеба-
ние того же периода. В общем случае сумму гармониче-
ских колебаний одинаковой частоты, но с разными ам-
плитудами и фазами можно представить в виде
х= 2 л, = J} fljCos (mf 4- б,). (1.22)
Рис. 1.3. Сложение гар-
монических колебаний С
одинаковым периодом
Поскольку х — гармоническое колебание с угловой
частотой io, выражение (1.22) эквивалентно (1,20), в хо-
дором
Л2 = (2 fljcosfij2 + (2 aisin6|j2;
i=i 7=i
tg 6 = 2 at sin 6;/2 ai cos
Для векторного сложения колебаний произведем не-
которые построения (рис. 1.3). Отложим из точки 0 ли-
нии ОХ под углом б| вектор амплитуды а! и под углом
6г вектор амплитуды аг. Оба Вектора вращаются против
часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ш, по-
этому угол 62—61 между векторами все время остается
неизменным. Из математики известно, что проекция иа
любую ось равнодействующего вектора равна алгебраи-
ческой сумме проекций ид эту же ось всех составляющих
векторов. Поэтому результирующие колебания могут
быть изображены вектором амплитуды A=ai+a2, вра-
щающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью,
что н векторы ai и а2. Очевидно, что результирующее ко-
лебание является . гармоническим с круговой частотой <в
н начальной фазойбиудовлетворяет уравнению (1.19). Из
рис. 1.3 видно, что квадрат амплитуды такого колебания
выразится уравнением (1.20), а начальная фаза, опре-
деляемая нз отношения BCIOC=tg 6, соответствует вы-
ражению (1.21). Таким образом, алгебраический н век-
торный методы дают одинаковые результаты.
Из соотношения (1.20) следует, что амплитуда А ре-
зультирующих колебаний зависит от разности началь-
Волновая теории света
11
ных фаз б2-б1 складываемых колебаний и может при-
нимать значения в пределах ai+O2>A> |a2-fli|. Здесь
взято абсолютное значение разности аз-ai, так как ам-
плитуда Л по своему смыслу не может быть величиной
отрицательной.
Если разность фаз складываемых колебаний 62—61=
=2пл, где я=О, 1, 2, , то в формуле (1.20) соз(бг—
-60 = 1 и
Аг = а^+ 0^ + 20^,
или A^Oi-j-Oi, т. е. амплитуда результирующего колеба-
ния' А равна сумме амплитуд аз и складываемых коле-
баний (рис. 1.4, а).
Если 62—61=(2и-|-1)л, то cos(62—6i) =—1 и для
амплитуды А по формуле (1.20) получаем
А* = а[ +01—20^,
или А= |в2— ai|, т. е. в этом случае амплитуда результи-
рующего колебания А равна абсолютному значению раз-
ности амплитуд Я] и Ог складываемых колебаний
(рис. 1.4,6).
Определенный интерес представляет собой случай,
когда складываются два гармонических колебания оди-
накового направления с мало отличающимися часто-
тами. Обозначим частоту одного колебания через ш,
а частоту другого — через u-f-Au, причем будем считать,
что Дш<ш. Амплитуды обоих колебаний положим одина-
ковыми и равными а. Поскольку частоты колебаний
отличаются незначительно, всегда можно выбрать начало
отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих коле-
баний были равны нулю (рис. 1.5, а). При таких усло-
виях выражения для колебаний будут иметь вид
Xi=acos(J; x2=acos(u-|-Au)f.
Складывая эти два выражения, получаем
х = х1 + х1= ^flcos-Y-fjcos®/. (1.23)
Множитель, заключенный в скобках в формуле
(1.23), изменяется гораздо медленнее, чем cos uf. Ввиду
того, что за то время, за которое множитель
cosuf совершает несколько полных колебаний, множи-
тель в скобках практически не изменяется. Это позволя-
ет рассматривать колебание (1.23) как гармоническое
колебание частоты w. Амплитуда данного колебания
медленно изменяется по периодическому закону. Выра^
жением этого закона не может быть множитель, стоя-
z О
I
Рис. 1.4. Графики зави-
симости смещении от
времени для складывае-
мых и результирующих
колебаний при о1—д{=
= 2м (а) и —
= (2п+1)я (б)
t
Рис. 1.5. Биения:
а-*результирующее колеба-
ние; б —амплитуда
12
Введение
биения
Yl
Рис. 1.6. Гармонические
колебании точки в двух
взаимно перпендикуляр-
ных направлениях
щнй в скобках, так как ок изменяется в пределах от
-2а до +2а, в то время как амплитуда по определе-
нию — величина положительная. Аналитическое выра-
жение амплитуды, очевидно, должно Иметь вид
A = |2acos-^/|. (1.24)
Гармоническое колебание с периодическим пзменейн-
ем амплитуды от минимального значения до максималь-
ного называется биением. График функции (1.24) пред-
ставлен на рис. 1Д б. Частота изменения амплитуды ре-
зультирующего колебания равна полуразности частот
складываемых колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рас-
смотрим сложение двух гармонических колебании с оди-
наковыми периодами, происходящих во взаимно перпен-
дикулярных направлениях. Направления колебании сов-
падают с осями координат, начало координат располо-
жено в положении равновесия колеблющейся точки С
(рис. 1.6). Обозначим смешение точки С вдоль осей ОХ
и OY через хну. Для того чтобы найти положение ко-
леблющейся точки в какой-нибудь момент времени, надо
для этого момента найтп ее смещения х и у и построить
на них прямоугольник, конец диагонали которого опре-
делит положение колеблющейся точки в момент време-
ни t, а отрезок ОС — результирующее смещение s.
Зададим уравнения колебаний в виде
x=aicos((o/-j-6i); y=azcos(at-^6g), (1.25)
Для того чтобы установить форму траектории колеб-
лющейся точки, необходимо исключить из уравнений
(1.25) время. Перепишем уравнения (1.25) в виде
x/at=cos ui cos 6i—sin at sin 6i;|j (1.26)
y/a2=cos at cos 62—sin at sin &. (L27)
Умножая (1.26) на cos 6г, а (1-27) на cos и беря
их разность, получаем
-^-cos6j—^-cos6j = sinmf sin(62 — б^. (1.28)
Умножая (1.26) па sin 6г, а (1.27) на sin 61 и беря нх
разность, получаем
-y-sin^—sin 6t = cosuf sin (6,— 6j. (1.29)
Возведя в квадрат п сложив почленно уравнения
(1.28) и (1.29), найдем уравнение траектории точки:
Волновая теория света
13
4 + 4—S-cos(62-61) = sin8(62-61). (1.30)
Oj flj “1“»
Из аналитической геометрии известно, что уравнение
(1.30) есть уравнение эллипса, осн которого ориентиро-
ваны относительно координатных осей произвольным об-
разом. Ориентация эллипса и величина его полуосей за-
висят от амплитуд и разности фаз.
Исследуем форму траектории в некоторых частных
случаях:
1) разность фаз 62—61=0, т. е. 61=62=6. Тогда урав-
нение (1.30) примет вид
/ х и V Л
—•—— =0,
\ flL О* /
откуда получаем уравнение прямой х= (chla^g, проходя-
щей через начало Координат и образующей с осью ОХ
угол, тангенс которого равен ajot (рис. 1.7, а). По этой
прямой точка совершает гармоническое колебание
s = /х’ + у3 = /af+ej Cos (at + 6)
Рис. 1.7. Сложение двух
взаимно перпендикуляр-
ных колебаний с одина-
ковыми (а) иди противо-
положными (б) фазами
с периодом, равным периоду складываемых колебаний,
и амплитудой
Л = ра* + а$
2) разность фаз 62—61=я. Уравнение (1.30) имеет
вид
.откуда получаем уравнение прямой х=-(01/02) у. По
этой примой точка совершает гармоническое колебание
с той же амплитудой, что и в предыдущем случае
(рис. 1.7,6);
3) разность фаз 62-61=±я/2. Уравнение (1.30) пе-
реходит в уравнение эллипса
приведенное к координатным осям, причем полуоси эл-
липса равны соответствующим амплитудам колебаний.
Случаи 62—61=+л/2 и 62—6i=—л/2 отличаются на-
правлением движения по эллипсу. Если 62—6j=-|-n/2,
колеблющаяся точка движется по эллипсу по часовой
стрелке, а если 62—6i=—я/2 — против часовой стрелки
(рпс. 1.8). Очевидно, что при равенстве амплитуд эллипс
Рис. 1,8, Возникновение
эллиптического движения
при сложении двух вза-
имно перпендикулярных
гаомонпческих колебаний
14
Введение
Рис. 1.9, Сложение двух
круговых колебаний
фигуры Лиссажу
Лпссажу (Lissaibus)
Жюль Антуан (1822—
1880) — французский фи-
зик
М
Представление
колебательного
движения
комплексными
величинами
превращается в окружность. Отсюда следует, что равно-
мерное движение по окружности радиуса А с угловой
скоростью и может быть представлено как сумма двух
взаимно перпендикулярных колебаний cos ш(; у=
=±Asinat где знак <+> в выражении для у соот-
ветствует движению против часовой стрелки, а знак
> — по часовой стрелке.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний
не одинаковы, траектория результирующего колебания
имеет вид сложных кривых, называемых фигурами
Лиссажу.
Рассмотрим возможность разложат, прямолиней-
ного колебания точки на два круговых колебания. Допу-
стим, что точка одновременно участвует в двух смеще-
ниях из положения равновесия О (рис. 1.9).Одно сме-
щение представим вектором ОА1( второе— Ведтором ОА2,
Длину каждого из этих векторов обозначим через а.
Результирующее смещение выразится суммой обоих сме-
щений, и положение точки будет задаваться точкой В.
Предположим, что векторы OAj и ОА2 вращаютсявокру г
точки О в двух противоположных направления^ оди-
наковой угловой скоростью о, тогда результирующее сме-
щение будет откладываться по прямой ОВ. РадВряине
точки В от положения равновесия О в некоторцЙЬомент
времени определится величиной х, которая, кающую из
рис. 1.9, равна x=2acos(aH-6), т. е. результирующее
смещение — это гармоническое колебание с айвдйтудой,
равной удвоенному радиусу окружности, по которой вра-
щаются концы векторов OAi и ОАг. Период^Йолебаний
равен периоду обращения векторов смещений^1.'
Значит, смещение при прямолинейном гармоническом
колебании можно представить НИК геометргёшЖую сум-
му двух векторов, вращающихсяв противоположных на-
правлениях с угловой скоростью, равной круговой часто-
те колебания. Величина векторов равна пожйнне ампли-
туды колебания, а их расположение симметрично отно-
сительно прямой, вдоль которой происходит колебание.
Математическая трактовка колебательных процессов
значительно упрощается при использовании комплексных
чисел. Комплексное число —это такое-Число z=a+ib,
где а и Ь —обычные действительные Числа1, 1=У—1.
Действительная часть г обозначается как Re(z) н равна
а, мнимая —как Itn(z) н равна Ь. Таким образом, комп-
лексное число
z=Re(z)-HIm(z).
Волновая теория света
15
Из теории комплексных чисел известно, что комплекс-
ное число г=ш:<’’=аехр(1ф), где а и ф —действительные
числа, может быть представлено в виде
z=a ехрО'ф) =а(созф+1 sin ф).
Действительная часть этого комплексного числа
Re(z)=a cos ф. Поскольку последнее соотношение носнт
характер тождества, вместо тригонометрической функции
a cos ф можно рассматривать действительную часть комп-
лексного чнсла z=a exp («р). Проведя над комплексными
числами необходимые математические действия, а затем
отделив действительную часть от мнимой, получим
тот же результат! как если бы проводили аналогичные,
ио достаточно громоздкие преобразования над тригоно-
метрическими функциями.
Пример 1. Рассмотрим представление гар-
монического колебания типа x=a cos(al+6) с
помощью комплексных чисел. Его можно пред-
ставить как действительную часть комплексного
числа
4=аехр[/(<о1+6)].
Прп решении многих задач из области ко-
лебаний достаточно знать квадрат амплитуды
о*, так как энергия колебаний пропорщшпаль-
иа о1. Легко показать, что для нахождбшя о2
следует взять произведение zz*, где г* — комп-
лексное число, сопряженное с г*>.
Вычислив произведение 22*, получим
22* = a exp [1 (art + 6)1 a exp [— l(<at + 6)1 = a*,
т. e. произведение zz* дает непосредственно
квадрат амплитуды a1.
Величина а может быть комплексной ам-
плитудой. В этом случае она, конечно, не будет
непосредственно выражать действительную
амплитуду колебаний, так как последняя всегда
вещественна. Для выяснения физического
смысла комплексной амплитуды положим п»
-по exp (16о), где По и во — действительные ве-
личины. Тогда
г — Од ехр ()6в) exp [i (erf+6)1 =
=o0exp[i (<Щ+ 04-80)].
Отделяя действительную часть от мнимой,
.получаем
Де (г) = a, cos (ш/+ 6 + 6о),
откуда следует, что Re (г) представляет собой
*> Два комплексных числа называются
сопряженными, если они имеют одинаковые
действительные и противоположные мнимые
части. В нашем случае комплексное число,
сопряженное с г, г*^а ехр [~ 1(ш1+6)].
гармоническое колебание с амплитудой а» и
начальной фазой 6+бд. Таким образом, комп-
лексное значение амплитуды показывает изме-
нение начальной фазы иа 6g. Легко убедиться,
что произведение zz* даст квадрат действитель-
ной амплитуды а?.
Пример 2.' Рассмотрим задачу о сложении
двух гарионртеских колебаний
*l = alcos (aiit+61) в = П| cos (erf+6J
с одинаковой частотой <о. Колебания происхо-
дят вдоль одной прямой. Эта задача уже рас-
сматривалась нами алгебраическим и вектор-
ным методами.
Выражения для xi и х2 являются действи-
тельными частями следующих комплексных
чисел:
*1 = atехр [г (<irf+6J]; х2 =а2ехр [1 (crf+6g)).
Результирующее колебание
*=*1 + *1 = «1 е*Р [‘ (“*+<>1)1 +
+ o1exp[i (firf + S,)!. (1.31)
Квадрат амплитуды колебания получим,
умножив правую часть на величину, сопряжен-
ную с ней:
а* = (nt ехр [1 (erf+6J) +п, ехр [i (erf+бд)П X
X (ag ехр [-1 (erf+6g))+og ехр [- ((erf+6g))),
откуда
о’ = о? + о| + ogOg (ехр [I (6, - 8t)l+
+ ехр[-Г(ба-61)]).
По формуле Муавра
ехр [< (бд-бд)! + ехр Н №-®1)1=2 «»
и окончательно
а2 = о, + п| + 2адО2 cos (бд — бд),
что совпадает с формулой (1.20).
16
Введение
Муавр (Moivre) Абрахам
де (1687-1754)-анг-
лийский математик
1.S
Волны,
Уравнения плоской
и сферической волн
продольные волны
поперечные волны
фронт волны
волновая поверхность
сферическая волна
Таким образом, использование комплексных чисел в
значительной степени упрощает математические расчеты
н выводы.
Понятие волны объединяет в себе разнообразные про-
цессы, в которых происходит временное и пространствен-
ное изменение некой физической величины. Например,
если в каком-либо месте среды возбудить колебания ее
частиц, то благодаря взаимодействию между частицами
это колебание начнет распространяться в среде с некото-
рой скоростью. В зависимости от направления колебаний
частиц по отношению к направлению распространения
волны различают продольные и поперечные волны.
Распространяясь от источника возмущений, волновой
процесс охватывает все новые части пространства. Гео-
метрическое место точек, до которых доходит возмуще-
ние к моменту времени i, называется фронтом волны
(или волновым фронтом). Фронт волны представляет со-
бой ту поверхность, которая отделяет часть пространства,
уже вовлеченного в волновой процесс, от области, где ко-
лебания еще не возникли. Геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе, образует поверхность
одинаковой фазы, или волновую поверхность. Волновую
поверхность можно провести через любую точку прост-
ранства, охваченного волновым процессом. Следователь-
но, волновых поверхностей существует бесконечное мно-
жество, в то время как волновой фронт в каждый момент
времени только один. Волновые поверхности остаются
неподвижными (они проходят через положения равнове-
сия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе), а волно-
вой фронт все время перемещается. Волновые поверхно-
сти могут быть любой формы: в простейших случаях это
плоскость или сфера.
Если возмущение исходит от точечного источника и
распространяется во все стороны с одинаковой скоростью,
фронт волны имеет вид сферической поверхности с цент-
ром в источнике. Такая волна называется сферической.
Строго говоря, сферическая волна представляет собой
абстракцию. Однако при больших расстояниях от центра
даже для источников конечных размеров фронт волны с
достаточным приближением можно считать сферическим.
Во многих задачах практической оптики фронт можно
принимать за сферический, если расстояние до источника
превосходит его линейные размеры, по крайней мере, на
порядок и более.
Перемещение фронта волны в однородной среде про-
исходит вдоль направления, перпендикулярного к поверх-
Волновая теория света
17
ностн постоянной фазы, т. е. вдоль нормали к фронту.
Для сферической волны эти нормали совпадают с прове-
денными из центра источника радиусами-векторами,
вдоль которых передается возмущение из источника и
которые можно принять за лучи. Поэтому будем считать,
что распространение фронта сферической волны проис-
ходит вдоль лучей. Направления распространения фрон-
та волны и лучей всегда совпадают в изотропной среде.
В случае анизотропной среды эти два направления не со-
впадают.
Когда источник возмущения находится на достаточ-
но большом расстоянии от места наблюдения, фронт вол-
ны представляет собой часть сферической поверхности
очень большого радиуса; ее с достаточным приближени-
ем можно считать плоскостью. Волна, фронт которой
имеет вид плоскости, называется плоской волной.
Фронт плоской волны перемещается параллельно са-
мому себе, т. е. пути отдельных участков плоской волны
параллельны друг другу. Примером плоской волны слу-
жит параллельный лучок световых лучей. Следует пом-
нить, что и плоская волна является идеализацией. Для
того чтобы источник давал излучение в виде плоской вол-
ны, необходимо, чтобы он был расположен на бесконеч-
но большом расстоянии, а так как любой реальный ис-
точник излучает за единицу времени конечную энергию,
при бесконечно удаленном источнике иа ограниченный
участок волны придется бесконечно малая энергия. Мож-
но считать, что практически плоскую волну посылают
звезды, а Солнце с видимым угловым диаметром 0,5° дает
волну, заметно отличную от плоской. Хорошее коллима-
торное устройство может обеспечить пучки света, отступ-
ление которых от параллельности не превышает долей
минуты, если источником служит ярко освещенное отвер-
стие диаметром меньше 0,1 мм. Однако такое устройство
дает, конечно, очень мало света.
Уравнением волны называется выражение, которое
дает смещение колеблющейся точки как функцию ее ко-
ординат х, у, г в равновесном положении и времени t:
s=f(x, у, г, i). Эта функция должна быть периодической
как относительно времени t, так и относительно коорди-
нат х, у, г. Периодичность по / следует из того, что s опи-
сывает колебания точки с координатами х, у, г, а перио-
дичность по координатам — из того, что точки, отстоящие
Друг от друга на равном расстоянии X, колеблются одина-
ковым образом.
Уравнение плоской волны. Найдем вид функции s в
случае плоской волны. Для упрощения направим оси ко-
плоская волна
уравнение волны
18
Введение
Рис. 1.10. К выводу урав'
нения плоской волны
ординат так, чтобы ось X совпала с направлением рас-
пространения волны. Тогда волновые поверхности будут
перпендикулярны к осн X и, поскольку все точки волно-
вой поверхности находятся в одной фазе, возмущение s
будет зависеть только от х и t:s=f(x, t).
Если рассматриваемое возмущение представляет со-
бой волну, бегущую вдоль натянутой струны, то s есть
смещение элементов струны (в точке х в момент време-
ни t) от ее положения равновесия. Функция s может так-
же выражать возмущение волн иа поверхности жидкости,
когда гребни этих волн образуют систему параллельных
линий, перпендикулярных коси X. Подобным же образом
s может описывать возмущения в широком параллельном
пучке света, распространяющемся в направлении оси X.
График зависимости з от X в определенный момент
времени называется формой возмущения. Пусть возму-
щение в точке х=0 (рис. 1.10) имеет вид з(0, /) =а cos ©f.
Найдем вид s в точке А на некотором расстоянии х от
точки 0. Возмущение от точки О до точки А дойдет за
время т«х/о, где и —скорость распространения волны.
Тогда
уравнение
плоской волны
s(x, t)=acos©(f—т). (1.32)
Подставляя в (1.32) значение т=х/и, получаем
s=a cos ©(1—х/о). (1.33)
Выражение (1.33) представляет собой уравнение плос-
кой волны, распространяющейся вдоль направления X.
При выводе формулы (1.33) предполагалось, что ампли-
туда а во всех точках одна и та же. В случае плоской
волны это имеет место, если энергия волны не поглоща-
ется средой.
Уравнение волны, распространяющейся в обратна
направлении, запишется в виде рл
s=a cos ш(Н-хД’),
С учетом того, что ы=2п/7’1 перепишем ур<
(1.33) следующим образом:
2л I. х \
s = flcos-f-(f—-j.
(1-35)
Значение s зависит, очевидно, от вькор.' начала от-
счета времени t н координаты х. Поэтому ели есть не-
сколько волн с одними и теми же амплитудами и перио-
дами, значение $ в данной точке х ив г-нный момент
времени I может быть различно. С учете и этого обстоя-
Волновая теория света
19
тельства уравнение (1.35) необходимо переписать в бо
лее общем виде
[2л Zj х \ . «1
tv—Г/ + 6}
(1.36)
где б — начальная фаза. Если начальные фазы всех волн
совпадают или мы имеем дело с одной волной, то 6=0.
Функция (1.35) периодична по времени с Периодом Т
и по аргументу х. Если приращение K-vT, значение функ-
ции не изменяется, т. е. расстояние по х, равное л, отде-
ляет точки, находящиеся в одной н той же фазе. Вели-
чина K=vT называется длиной волны.
Уравнение (1.35) можно переписать в виде
s=acos(af—kx), (1.37)
длина волны
где &=2л/Х и называется волновым числом. Уравнение
волны, распространяющейся в сторону убывания х, будет
отличаться только знаком при kx.
Наконец, если вместо круговой частоты а ввести
обычную частоту v=l/T=a/2jt, то,
s=a cos (2iwt—kx). (1.38)
Волна, выраженная одним из уравнений (1.33) —
(1.38), называется монохроматической волной.
Определим скорость распространения монохромати-
ческой волны. Для этого зафиксируем какое-либо значе-
ние фазы, стоящей в уравнении (1.35), положив
-у-(/-—) = const. (1.39)
Уравнение (1.39) выражает связь между временем t
и координатой х, где осуществляется фиксированное зна-
мение фазы. Продифференцировав выражение (1.39), по-
.;v-’hm
= 0,
’К
отку
i = (1.40)
волновое число
монохроматическая
волна
Таки.,.ofipa^OM, скорость распространения моиохро- ф
матнческои вдлкы v есть скорость перемещения фазы, по-
этому ее н&вают фазовой скоростью. Из уравнения Ф03011™ скорость
(1.37) можно^получить другое выражение для фазовой
скорости. Положив at —ix=const и продифференциро-
вав, получим 4 •
20
Введение
dx а
7T~~k~-
(1.41)
Выражение (1.41) совпадаете (1.40). Действительно,
ш_____1_____рТ
k ~ Т “ Т
= v.
(1.42)
уравнение расходящейся
сферической волны
уравнение сходящейся 1
сферической волны
Уравнение сферической волны. По определению,
источник может давать сферическую волну, когда его
размеры значительно меньше расстояния, На котором эта
волна рассматривается. В таком случае источник счита-
ется точечным. Предположим, что фаза колебаний источ-
ника равна at. Тогда точки, лежащие на волновой
поверхности некоторого радиуса г, будут колебаться с
фазой щ(1 —г/о), поскольку время прохождения возму-
щения от источника до поверхности, лежащей на рассто-
янии г от центра, равно x=r]v. Амплитуда колебаний, да-
же если волна проходит через иепоглощающую среду, не
остается постоянной, а убывает с расстоянием от источ-
ника по закону 1/г. Следовательно, уравнение сфериче-
ской волны будет иметь вид
Sss£cose(f-~J-), (1.43)
где а=const — амплитуда иа расстоянии от источника,
равном единице.
Соответственно уравнение
s = cosco + (1-44)
Описывает сферическую волпу, сходящуюся к началу ко-
ординат и аналогичную по свойствам волне (1.43).
В силу сделанных выше допущений уравнения (1.43)
и (1.44) справедливы только при г, значительно превы-
шающих размеры источника. При стремлении г к нулю
выражение для амплитуды обращается в бесконечность.
Этот лишенный физического смысла результат объясня-
ется неприменимостью уравнений при малых г.
Следует подчеркнуть, что выражения (1.43) и (1.44)
описывают идеализированные волны. В действительности
же свет никогда не выходит из математической точки и
никогда не сходится в ней, а волновые поверхности не
бывают строго сферическими.
1.6
Волновое
уравнение
Уравнение любой волны есть решение некоторого
дифференциального уравнения, называемого волновым
уравнением. Чтобы установить вид этого уравнения, най-
дем уравнение плоской волны, распространяющейся в
Волновая теория света
21
направлении, образующем с осями X, Y, Z углы а, 0, у.
Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало
координат (рис. 141), имеют вид
5ц=а cos ш1. (1.45)
Спустя некоторое время т плоский фронт волны пе-
реместится параллельно самому себе на расстояние
l=w, т. е. колебания в этой плоскости будут отставать от
колебаний (1.45) на время
s-acoso)(t—l/v). (1.46)
Выразим смещение фронта волны I через радиус-век-
тор г точек рассматриваемой поверхности, для чего вве-
дем единичный вектор п нормали к волновой поверхно-
сти. Скалярное произведение о на радиус-вектор г лю-
бой из точек поверхности
пг*=гсоз<р=/. (1.47)
Подставив выражение (1.47) вместо I в уравнение
(1.46), получим
s = acos^rf — -y-nrj. (1.48)
Введем волновой вектор k-£n, равный по модулю
волновому числу k и имеющий направление нормали к
волновой поверхности. Так как й=ш/о, то,, введя к в урав-
нение (1.48), получим
s=acos(o)f—кг). (1.49)
Функция (1.49) дает отклонение от положения равно-
весия точки с радиусом-вектором г в момент времени L
Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координа-
там, выразим скалярное! произведение кг через проекции
векторов на координатные осн: fa=kxx-\-kvy-[-k2z. Тогда
уравнение плоской волны принимает вид
з (х, у, г, t) =а cos (of—kxx—kvy—ktz), (1.50)
где
fex = -y-cosa; fts = -y-cosP; ^ = -^-cosy.
Функция (1.50) дает отклонение точки с координатами
X, у, г в момент времени I. Когда п совпадает с осью X,
kx=k, kv=kI=O н уравнение (1.50) переходит в уравне-
ние (1.37).
Чтобы установить вид волнового уравнения, продиф-
Рис. 1.11. К выводу урав-
нения плоской волны,
распространяющейся в
произвольном направле-
нии
22
Введение
из пе-
(1.51)
(1.52)
(1.53)
(1.54)
ференцнруем функцию (1-50) дважды по каждой
ременных;
d*s
cos (erf—kr) = — co2s;
= — % a cos (erf—kr) = — k2xs\
= -^acos(erf-kr) = -kfo
= — k* a cos (erf—kr) = — k^s.
Сложив у равнения (1.52), получим
> + > + = + +
Сопоставив уравнения (1.51) и (1.53), найдем
fl’s a»s fl’s _ л» a»s
Ax’ + ду' + Аг» “ ш» dfl •
Наконец, учитывая, что m(k=v, получаем
fl’s fl’s fl’s _ 1 d*s
Лаплас (Laplace) Пьер ТШ* "г А«» "г "Аг^ ~ “S’” ~Ю'
СимОн (1749—1827) —
фраицузсхий астроном, Использовав выражение для оператора Лапласа
математик и физик „ „
а _ 31 t 31 1 3
а “ Ах’ + Ау’ + Аг* ’
_ уравнение (1.54) запишем в более компактном виде
JL *1. (1.55)
волновое уравнение п* о? '
Уравнение (1.55) есть общее Дифференциальное урав-
нение распространения волн в пространстве трех измере-
ний, т. е. волновое уравнение.
Нетрудно убедиться, что волновому уравнению удов-
летворяет не только функция (1.50), но и любая функция
вида
f (х, у, г; t) =f(v>t—kxx—kvy—kzz),
описывающая волну, не имеющая простой синусоидаль-
ной или косинусоидальной формы.
1.7
Монохроматические
и мвзимонохрома-
тические волны.
Волновые группы
Выше мы определили монохроматическую волну как
некоторую периодическую функцию, описываемую урав-
нениями (1.33) — (1.38). Следует добавить, что волна
является монохроматической, если пе только период, но
и амплитуда и начальная фаза есть величины, не завися-
Волновая теория света
23
щне от времени. Волна, которая описывается одним из
уравнений (1.33) — (1.38), при непостоянной амплитуде
будет немонохроматнческой (рис. 1.12). Если немонохро-
матнчёская волна представляет собой «обрывок» синусо-
иды (см. рис. 1.12, а), предполагается, что амплитуда
сначала равна нулю, а к моменту времени f| становится
равной а н остается постоянной до t2, после чего вновь
равняется нулю. Естественно, что всякая реальная вол-
на, как бы тщательно ни поддерживалось постоянство
амплитуды, в лучшем случае будет соответствовать рас-
сматриваемому примеру и только, Ибо нн одна реальная
волна не длится бесконечно долго, а начинается и кон-
чается в определенное время. Поэтому такая волна не
будет строго монохроматической, так как ее амплитуда
есть функция времени. Чем длиннее интервал fe — 6 по
срайнению с периодом Т, т. е. большее число воли данно-
го периода испускается за время работы источника, тем
более монохроматическим он может считаться. Вообще,
чем медленнее изменяется амплитуда с течением време-
ни, тем более монохроматична волна.
Практически мы никогда не имеем дёла со строго мо-
нохроматической волной, поскольку такая волна, как н
гармоническое колебание, определяющее ее, является аб-
стракцией. В оптике обычно рассматриваются волны, мо-
гущие лишь в известной степени считаться монохромати-
ческими. В связи с этим вводят понятие так называемой
квазимонохроматической волны, которая выражается
следующим образом:
s=a(f) cos [af-|-6(f)l. (J-56)
В соотношении (1.56) амплитуда a(f) и начальная
фаза 6(f) не постоянны, а относительно медленно (по
сравнению с основными колебаниями частоты о) изме-
няются со временем. При рассмотрении некоторых опти-
ческих явлений можно пренебречь изменением a(f)
н 6(f) и считать их постоянными. В других случаях необ-
ходимо допустить, что a(f) и 6(f) остаются постоянными
лишь в течение известного промежутка времени h—ft,
длительность которого определяется физическими про-
цессами, происходящими в источнике света.
Чаще всего в реальных условиях приходится встре-
чаться не с отдельной волной, а с группой волн более или
менее сложного вида; Ограничиваясь одномерной зада-
чей, выразим группу волн, как результирующую ряда
гармонических волн, частоты которых сгруппированы
около основной частоты. Если частоты членов группы от-
Рис. 1.12. Неноиохрона-
тические волны:
а — «обрывок» синусоиды
(цуг волны)*, б — затухаю-
щая «синусоида»: в — надо-,
жение двух синусоид с близ-
кими периодами (биения)
квазимонохроматическая
волна
24
Введение
цуг волны
волновой импульс
личаются от основной больше, чем на малую долю по-
следней, то их амплитуды значительно меньше амплитуд
тех воли, частоты которых близки к основной. Поэтому
почти вся энергия концентрируется на частотах, близких
к основной.
Колебания, описываемые на определенном участке
простой синусоидальной кривой (с постоянной или слег-
ка переменной амплитудой) и имеющие вне этого уча-
стка амплитуду, равную нулю, принято называть цугоя
волны (см. рис. 1.12, а). Если длина синусоидальной ча-
сти велика по сравнению с длиной волны, говорят, что
цуг волн длинный *>. Длинный цуг волн представляет
собой также группу волн. Если цуг волн очень длинный,
частотный интервал соответствующей ему группы ноли
узкий. Верно и обратное утверждение: группа волн, ча-
стоты которых заключены в узком интервале, есть длин-
ный цуг волн.
. Качественно этот результат можно получить на осно-
вании следующих соображений. В очень коротком цуге
волн нет преобладающей частоты, и при разложении та-
кого цуга на простые гармонические волны распределе-
ние по частотам будет широким. Известно, например, что
для нерегулярных звуков характерно именно такое рас-
пределение. Если цуг волн длинный, одна частота имеет
преобладающее значение, и чем он длиннее, тем меньше
он отличается от монохроматической волны. При таком
цуге волн интервал частот постепенно сужаете^ В пре-
деле этот частотный интервал стремится к нулю, если
длина цуга волн стремится к бесконечности, т. е. в пре-
деле должна получиться монохроматическая волна со
строго постоянной амплитудой.
Можно представить и другой крайний случай, когда
цуг волн настолько короткий и настолько неправильной
формы, что ни одну частоту в нем нельзя считать преоб-
ладающей. Колебания такого вида называют волновым
импульсом.
Следовательно, концепция простых гармонических
(монохроматических) волн имеет большое значение, так
как она Дает возможность выразить многие результаты
в удобной форме. Однако, например, для удовлетвори-
тельного объяснения детален некоторых экспериментов в
оптике приходится даже монохроматический свет пред-
ставлять в виде волновых групп.
•> Цуг световых волн длиной 1 мм содержит 2000 волн н явля-
ется очень длинным.
Волновая теория света
25
Общая задача о распространении группы волн про-
извольного впда в значительной степени упрощается тем,
что любую функцию можно представить суммой некото-
рых функций. Физически это означает, что произвольная
группа волн может быть выражена суммой волн или
волновых импульсов.
Допустим, что в какой-либо точке пространства мы
фиксируем одновременное действие бесконечного числа
волн. Простейшая гипотеза, которую можно принять в
отношении их совместного действия, заключается в сле-
дующем. Если 3], $2, возмущения, производимые
каждой из воли в какой-либо точке пространства в дан-
ный момент времени, то результирующее возмущение
s=S!+&+sj+ ... . (1.57)
Если результирующее движение описывается волно-
вым уравнением (1.54), необходимо, чтобы s было реше-
нием этого уравнения. Решения волнового уравнения ад-
дитивны, и, следовательно, $ есть решение волнового
уравнения. Здесь необходимо подчеркнуть, что этот ма-
тематический результат сам по себе не гарантирует того,
что формула (1.57) точно описывает эффект одновремен-
ного действия нескольких волн в данной точке.
Принцип суперпозиции есть физическая гипотеза, со-
гласно которой возмущение для световых волн в данной
точке и в данный момент времени, создающееся при про-
хождении ряда волн, равно алгебраической сумме возму-
щений, производимых каждой волной в отдельности, Со-
отношение (1.57) является математической формулиров-
кой этого принципа. Принцип суперпозиции используется
в том случае, когда свойства принимающей системы не
зависят от того, находится лн она уже под действием
принимаемого возмущения или нет, а эта независимость
всегда имеет место, если воздействие не слишком силь-
ное. Если принцип суперпозиции выполняется, можно за-
менить произвольную группу волн ее слагающими и рас-
сматривать действие каждой слагающей отдельно. Ра-
циональный выбор этих слагающих, т. е. выбор метода
разложения, может в значительной мере упростить зада-
чу. Таким рациональным разложением является разло-
жение на монохроматические волны, т. е. представление
произвольной функции в виде совокупности гармониче-
ских функций.
Отправной точкой послужит математическая теорема
Фурье: волпу иесниусоидальной формы всегда можно
выразить суммой гармонических волн. Такой анализ по-
зволяет решать задачи, связанные с волновыми группами
1.8
Принцип
суперпозиции.
Понятие
о разложении Фурм
принцип суперпозиции
разложение Фурье
Фурье (Fourier) Жан Ба-
тист Жозеф (1768—
1830)—французский ма-
тематик и физик
26
Введение
Рис. 1.13. Представление
функции рядом Фурье:
а —сумма трех членов ря-
да; о—сумма шест» членов
ряда: о —сумма девяти чле-
вов ряда; пунктир — исход-
ная функции f(x)—x
различной формы, которые сводятся к сумме простых
гармонических волн.
По методу Фурье любую периодическую несинусон-
дальиую функцию можно представить либо в виде сум-
мы гармонических функций, периоды которых находятся
в кратном отношении выбранному периоду, либо в виде
интеграла от гармонических функций, периоды которых
меняются непрерывно от 0 до со. Представление в виде
ряда справедливо только в конечном интервале значений
переменной, а представление в виде интеграла — во всей
области ее значений. В общем случае теорема Фурье не
ограничивается функциями, задаваемыми одним алгеб-
раическим выражением, а применима к любым функци-
ям, изображаемым графически. Ряды Фурье особенно
удобны для представления функций, которые не могут
быть описаны каким-либо простым алгебраическим вы-
ражением, но которые можно разбить на части, допуска-
ющие такое описание *>.
Пусть функция s=f(x) допускает разложение в ряд
Фурье в интервале от—10 до +/0-Еслих=л///о, ряд Фурье
функции f (х) имеет следующий вид:
f (х) = ao+<it cos х+ва cos 2х+... +&1 sin х-|-‘
+ Ъг sin 2х+,.., (1.58)
где коэффициенты ао, ап и называются коэффициен-
тами Фурье:
ф ап = -^- J f(x)cosnxdx, п = 1, 2, ...; (1.59)
коэффициенты Фурье в
bn= J /(x)sinnxdx, п= 1, 2, .......
—К
Введем постоянные До, Ль ... н 6Ь &, ..., опреде-
ляемые соотношениями
Л=ао; Д; sin 6t=Oi; At cos 6i=bf,....
Тогда (1.58) можно переписать в виде
f(x)=^+4isin(x+6i)-H2sin(2x+62)+-.- - (1-60)
Дирихле (Dirichlet) Пе-
тер Густав Лежек
(1805—1859) — немец-
кий математик
*> Совокупность требований, которым должна удовлетворять
функция, допускающая ее разложение в ряд Фурье, носит общее на-
звание условий Дирихле.
Волновая теория света
27
Каждый член уравнения (1.60) кроме первого пред-
ставляет собой чисто синусоидальную волну.
Поскольку функции вида sinnx и cosnx принимают
одно н то же значение при х=х&+2л и Х=Хо, сумма ряда
(1.58) должна сохранять свое значение при изменении х0
на 2я. Сумма ряда fa(x) всегда совпадает с исходной
функцией f (х) в пределах от —л до -|-л, ио не должна
с ней совпадать вне этой области, если только сама функ-
ция не является периодической функцией, для которой
/(х+2л)=/(х).
Функция, значения которой пропорциональны х на
участке от —л до -|-л, и сумма разного числа членов ряда
Фурье представлена на рис.1.13. Как видно нз рис. 1.13,
с увеличением числа членов ряда соответствие между
функцией и ее разложением улучшается.
Таким образом, метод Фурье позволяет разложить
волну неправильной формы в дискретный набор гармо-
нических слагаемых с длинами волн, равными частному
от деления длины волны на ряд натуральных чисел. Раз-
ложение данной функции в ряд Фурье называется гар-
моническим анализом. Если расширить интервал разло-
жения от —оо до +оо, последовательность гармониче-
ских составляющих будет иметь непрерывный спектр.
гармонический анализ
Пример 3. Рассмотрим разложение на мо-
нохроматические волны на примере волны
s=a cos(2nv0l-Ax), (1.61)
которая имеет амплитуду, изменяющуюся с те-
чением времени по закону a«A(l+cos2xvl).
где А —некоторая постоянная величина.
Подставив значение амплитуды в (1.61),
после тригонометрических преобразований по-
лучим
s = А (1 + cos 2nvfl cos (2лУ(/—kx) =
=А cos (2 nV,/—fex)-|- cos[2n(v04-v)/—fec)4-
д
+-2" cos [2л (v, — v) t — Ax].
Такны образом, появились три монохрома-
тические волны с амплитудами А, А/2, А/2 и
частотами Vo, vo+v, vo-v, которые и составля-
ют заданную немоиохроматическую волну.
При более сложном изменении амплитуды
во времени (периодическом пли непериодиче-
ском) физическая сущность явления останется
той же, по математический анализ более слож-
ный и потребует применения метода Фурье.
Изменение амплитуды со временем означает измене-
ние интенсивности н называется модуляцией. Модулиро-
вать можно не только амплитуду (амплитудная модуля-
ция), но и фазу (фазовая модуляция) волны. В рассмот-
ренном примере модуляция амплитуды осуществлялась
по простому синусоидальному закону. В реальных явле-
ниях модуляция происходит более сложным образом.
Так, в любом источнике света в испускании отдельных
атомов амплитуда и фаза изменяются нерегулярным об-
разом, испытывая тем самым хаотическую модуляцию.
модуляция
амплитудная модуляция
фазовая модуляция
28
Введевпе
Глава 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА
К середине XIX в. была создана волно-
вая теория света, объяснившая и предсказав-
шая широкий q>yr оптических явлений. Со-
гласно этой теории световые лучи представ-
ляют собой волны, имеющие длину 10"’—
10-’ см и распространяющиеся со скоростью
3 -10” см/с. Так как для волн, по-вадямому,
необходима среда, в которой они могли бы
распространяться, то встал естественный во-
прос о ее природе. В связи с этим была вы-
двинута гипотеза об особом сплошном веще-
стве—мировом эфире, заполняющем все про-
странство и пронизывающем все тела. Если бы
световые волны имели механический характер,
как все известные ранее волны, эфир должен
быть чрезвычайно жестким, ибо волны обла-
дают весьма высокой скоростью, по, чтобы не
создавать заметного сопротивления движению
небесных тел, среда должна обладать ни-
чтожно малой плотностью.. Вообще говоря,
свойства света настолько разнообразны, что
эфир приходилось наделять такими качества-
ми, которыми ие могла бы обладать ни одна
реальная среда.
В 60-х гг. XIX в. Максвелл, опираясь па
воззрения Фарадея, создал новую теорию
электромагнитных явлений. В отличие от преж-
них теорий, согласно которым распростране-
ние электрических и магнитных взаимодейст-
вий происходит мгновенно, а теории Максвел-
ла электрическое п магнитное поля распрост-
раняются с конечной скоростью в ваде элект-
ромагнитных волн. Скорость распространения
этих волн в вакууме равна электродинамиче-
ской постоянной с, представляющей собой от-
ношение абсолютной электромагнитной едини-
цы электрического заряда к абсолютной элект-
ростатической единице электрического заряда.
Это отношение, имеющее размерность скорости
и равное 3-1010 см/с, удивительным образом
совпало со значением скорости распростране-
ния света в вакууме. К этому времени была
также известна установленная Фарадеем связь
между светом П магнетизмом, проявляющаяся
во вращении плоскости поляризации света в
магнитном поле.
Сопоставляя известные из опыта свойства
света со свойствами электромагнитных воли,
полученными теоретически, Максвелл предполо-
жил, что свет также является электромагнит-
ной волной. Возникшая таким образом элект-
ромагнитная теория света не только вложила
повое физическое содержание в уже разрабо-
танные разделы волновой оптики, но п по-
зволила объяснить ряд явлений, которые не
поддавались объяснению в волновой оптике.
2.1 Система уравнений Максвелла Уравнения Максвелла описывают возникновение и распространение электромагнитных волн, представляю- щих собой совокупность быстропеременных электриче- ского и магнитного полей. Запись уравнений Максвелла
Максвелл (Maxwell) Джеймс Клерк (1831— 1879)— английский фи- зик производится обычно в интегральной форме, так как именно в таком виде выражаются результаты экспери- мента. Используя основные положения векторного ана- лиза, уравнения Максвелла можно записать более ком- пактно в дифференциальной форме в системе Гаусса: divD = 4np; (2.1) divB = 0; (2.2)
• уравнения Максвелла в дифференциальной векторной форме rotE-4-#; (2-3) rotH = — J + -L ® , (2.4) c * 1 с Л v 1
где Е —вектор напряженности электрического поля;
D — вектор электрической индукции; Н — вектор напря-
Электромагнитная природа света
29
жеииости магнитного поля; В — вектор магнитной индук-
ции; j — вектор объемной плотности электрического то-
ка; р — объемная плотность электрических зарядов.
Член —^- = jcm называют, по терминологии Макс-
велла, током смещения. Хотя сейчас отмечают явную не-
удачность данного названия, тем не менее этот член
играет очень важную роль в теории, так как его присут-
ствие означает возможность появления электромагнит-
ных воли, Согласно идеям Максвелла, переменное магнит-
ное поле всегда связано с порождаемым им электриче-
ским полем, а переменное электрическое поле — с порож-
даемым им магнитным полем, Таким образом, электриче-
ское и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом
и образуют единое электромагнитное поле,
Уравнение (2.1) представляет собой выражение тео-
ремы Гаусса, согласно которой поток электрической ин-
дукции через замкнутую Поверхность равен числу 4л, ум-
ноженному на полный электрический заряд, заключен-
ный внутри этой поверхности. Уравнение (2.2) выражает
тот факт, что в природе не существует магнитных заря-
дов (монополей). Поток вектора магнитной индукции че-
рез любую замкнутую поверхность равен нулю. В урав-
нении (2.3) заключен закон индукции Фарадея; цирку-
ляции электрического поля по произвольной замкнутой
кривой равна изменению потока магнитной индукции че-
рез произвольную поверхность, ограниченную этой кри-
вой. Наконец, уравнение (2.4) выражает зависимость
магнитного поля от плотности тока смещения (т. е. от
скорости изменения электрического поля) и плотности
тока проводимости (т. е. от скорости движения заряда).
Уравнения (2.1)—(2.4) ие исчерпывают содержания
теории Максвелла. Их необходимо дополнить соотноше-
ниями, учитывающими связь между векторами D и Е,
В и Н, j и Е. В общем случае эта связь довольно слож-
ная, но для тел, находящихся в покое друг относительно
друга (или в состоянии очень медленного движения) и
состоящих из изотропных веществ (т. е. веществ, физиче-
ские свойства которых в каждой точке не зависят от на-
правления), данные соотношения относительно просты:
D-eE; В=рН; j=oE, (2.5)
где е — диэлектрическая проницаемость; ц — магнитная
проницаемость; о —удельная проводимость. В идеаль-
ном диэлектрике ток проводимости отсутствует и j=0
при любом Е (совершенно строго это справедливо для
вакуума).
ток смещения
Гаусс (Gauss) Карл
Фридрих (1777—1855) —
немецкий физик, геоде-
зист, математик п астро-
ном
Фарадей (Faraday)
Майкл (1791-1867) -
английский физик
30
Введение
Полная теория должна быть в состоянии описывать
явления, происходящие на границе раздела двух сред.
С точки зрения математики это означает, что необходимо
иметь систему условий, которые связывали бы на грани-
це раздела двух сред два решения волнового уравнения,
каждое из которых справедливо в отдельности по одну
сторону от границы раздела. При отсутствии поверхност-
ных токов н свободных поверхностных зарядов иа грани-
це раздела уравнения Максвелла должны удовлетворять
следующим условиям:
Ett=Et,; (2.6)
т. е. должно соблюдаться равенство тангенциальных со-
ставляющих Е и Н.
Для однородного диэлектрика, не содержащего объ-
емных зарядов (р=0), очевидно, отсутствует ток прово-
димости (J—0), а наличие магнитного поля И связано
лишь с существованием переменного электрического
поля (тока смещения). В этом случае уравнения Макс-
велла будут иметь вид
divD = 0; divB = O;
(2.7)
rotE=—L^L;rotH = —Л.
c dt с dt
Очевидно, что условия связи D=eE И В=цН и гра-
ничные условия (2.6) будут по-прежнему справедливы.
При рассмотрении многих частных случаев удобнее
пользоваться уравнениями Максвелла ие в векторной,
а в скалярной форме. Расписав соответствующим обра-
зом по координатам rot и div в уравнениях (2.7), по-
лучим
дх + ду + дг
дЕг дЕу_______]_ двХ'
ду дг ~ с dt ’
3Ei dE£=___________1 дВ«.
дг дх с dt ’
_ i д9> •
дх ду ~ с dt ’
уравнения Максвелла
в проекциях
на оси координат
(2.8)
(2-9)
(2.10)
Электромагнитная природа света
31
_ _1_ врх.
ду дг с <й ’
дНх 1 dDn.
дг дх с dt ’
ДЯХ = 1 dD‘
дх ду с д1
(2.11)
Таким образом, мы установили, что при возбуждении
переменного электрического или магнитного поля в окру-
жающем пространстве возникает последовательность
взаимных превращений электрического и магнитного по-
лей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс
периодический во времени и в пространстве и, следова-
тельно, представляет собой волну.
Рассмотрим свойства таких электромагнитных волн.
Однако прежде чем это сделать, надо доказать, что дан-
ный процесс действительно является волновым. Для до-
казательства достаточно вывести волновое уравнение, ис-
следование решений которого позволит получить различ-
ные типы электромагнитных волн.
Волновое уравнение. Вывод о возможности существо-
вания электрических воли вытекает, как известно, из
уравнений Максвелла. Воспользовавшись соотношениями
D=eE и В=рН (е и р — постоянные), запишем систему
уравнений (2.7) в виде
2Л
Свойства
электромагнитных
ом
divE=0; (2.12)
divH-0; (2.13)
rotE-~7^ (2-И)
™"'=ТТ (2.15)
Рассмотрим вначале уравнение (2.14). Применим к
нему операцию rot:
rot(rotE) = -£rot(-^-). (2.16)
Операция rot означает дифференцирование по коор-
динатам. Меняя порядок дифференцирования по коор-
динатам и времени, можно записать
Произведя эту замену в уравнении (2.16) и подставив
в новое выражение значение для rot Н из (2.15), получим
rot(rotE) = ^-g-. (2.17)
32
Введение
Из векторной алгебры известно, что rot (rot А) =
=grad div А—ЛА, где Д — оператор Лапласа. На осно-
вании этого соотношения можно записать rot (rot Е) =
=grad div Е—ДЕ. При условии (2.12) grad div Е=0, тог-
да rot (rot Е) =—ДЕ и уравнение (2.17) примет вид
ДЕ = -?"5-- (2-18)
Произведя аналогичные преобразования с уравнени-
ем (2.15), получим
(2.19)
формула Максвелла
Уравнения (2.18) и (2.19) представляют собой обычные
уравнения волнового движения (см. уравнение (155)).
Всякая функция, удовлетворяющая таким уравнениям,
описывает некоторую волну, причем квадратный корень
из величины, обратной коэффициенту при второй произ-
водной по времени, дает фазовую скорость распростране-
ния этой волны.
Таким образом, уравнения (2.18) и (2.19) указывают
на то, что электромагнитное поле может существовать
в виде электромагнитной волны, фазойая скорость ко-
торой
v = с/УцИ, (2.20)
т. е. получили известную формулу Максвелла.
В вакууме е=|1=1 и, следовательно, о=с, т. е. элек-
тромагнитная волна в вакууме распространяется со ско-
ростью света.
Плоская электромагнитная волна. Рассмотрим элек-
тромагнитную волну, распространяющуюся в однородной
диэлектрической среде вдоль оси X. В этом случае Е и
Н, а значит, и их составляющие не будут зависеть от д
или уравнения (2.9) — (2.11) упростятся следующим
образом:
-^ = 0; (2.21)
^ = 0; (2.22)
^-=0;
dt
дЕг _ ц дНв,
дх с дГ'
дЕу _ у. дНг,
дх с dt ’
(2.23)
Электромагнитная природа света
33
дМг в ОЕу,
дх с » dt ’
Мв 8 ЗЕ,
дх = с dt '
(2.24)
Из уравнений (2.21), (2.24) и (2.22) , (2.23) следует,
что £« н Я, не зависят ни от х, ни от t. Следовательно,
ие только в пространстве, но и во времени E^const
и Я, “const, т. е. вдоль оси X может существовать лишь
статическое поле, которое накладывается на электромаг-
нитное поле волны. В дальнейшем будем считать стати-
ческое поле отсутствующим и полагать £1=Я1Г=0. Таким
образом, поле электромагнитной волны не имеет состав-
ляющих вдоль оси X, т. е. векторы Е и Н перпендикуляр-
ны к направлению распространения волны, значит, элек-
тромагнитные волны поперечны.
Объединим два последних уравнения в системах
(2,23) и (2.24) в две группы:
ЗЯ, е
дх “ с dt ’
_Х - дЕ» •
с dt дх ’
Му в
•ЭГ = Т1Г’
р Му дЕ,
с dt “ дх '
(2-25)
(2,26)
Рассматривая уравнения (2.25) и (2.26), можно заме-
тить, что компонента Ну зависит от £, и ие зависит от Еу.
Соответственно Я, зависит от Еу, но ие зависит от Et.
Такие соотношения возможны в том случае, когда век-
тор Е перпендикулирен к вектору И (векторы Е и Н
ортогональны).
Если направить ось У вдоль Е, тогда Е2=Яу=0 и нз
четырех уравнений (2.25) и (2.26) останетси два:
Му _ в Mt.
дх — с dt ’
|i дНг Му
с dt ~ dx '
Взаимное расположение ортогональных векторов Е и
Н показано на рис, 2.1. Задача, в которой направление
(2.27)
Рве. 2.1. Вэаинпое рас-
положение векторов Е п
И
34
Введение
плоско-
поляризованная волна
векторов Ё и Н остается неизменным в распространяю-
щейся волне, имеет большое значение и широко исполь-
зуется в электромагнитной теории света. Такая волна на-
зывается плоскополяризовсмюй. Плоская. поляризация
является частным случаем более общей поляризации
электромагнитных волн —эллиптической, при которой
в каждой фиксированной точке конец вектора Е (а соот-
ветственно и конец ортогонального ему вектора Н) дви-
жется по эллипсу.
Для описания плоской электромагнитной волны вос-
пользуемся уравнениями (2.27). Продифференцируем
первое уравнение по t, а второе — по х. Поскольку
д дНг д дИг
дх dt ~~ЗГ дх *
то получим
йх* 3 й?-’
Аналогично получим волновое уравнение н для Нг:
(2.29)
йх* & дР ' ’
Уравнения (2.28) и (2.29) представляют собой част-
ный случай уравнений (2.18) н (2.19). Решением урав-
нений (2.28) и (2.29) будут соответственно функции
Ev=£o cos (©t—fcr-j-fii); (2.30)
Я2=Я0сов(й)/-йх+б2), (2.31)
характеризующие плоскую монохроматическую волну.
Подставим функции (2.30) и (2.31) в уравнения (2.27):
AEesin((irf—Ах4-\) = -^-<i>/fesin(mf—fac + fi.)‘,
С
i£esin(6rf—fac + fij) =шЕй sin (<irf—foe-j-61).
Для того чтобы эти уравнения удовлетворялись, не-
обходимо, чтобы 61=62 н> кроме того, выполнялись соот-
ношения
й£й = -£-®Я0; =
с с
Перемножим эти два равенства и найдем, что
е£? = рЯо.
Таким образом, колебания электрического и магнвт-
ного векторов в электромагнитной волне происходят с
Электромагнитная природа света
35
одинаковой фазой (61=62), а амплитуды этих векторов
связаны соотношением
(2.32)
Для диэлектриков и, следовательно, Н=Е^г.
Для вакуума е= 1 и Я-Е.
В свободной элетромагннтнон волне векторы Е и Н
колеблются в одной фазе, т. е. одновременно и в одних
н тех же точках пространства достигают максимального
нлн минимального значения. Направим векторы Е и Н
по осям У и Z, а направление распространения волны —
по осн X (рнс. 2.2). Отметим, что векторы Е и Н и на-
правление распространения всегда составляют в свобод-
ной электромагнитной волне так называемую правовин-
товую систему. Свободно распространяющуюся волну
часто называют бегущей, в отлнчне от стоячей волны,
где фазы колебаний векторов Е н Н Не совпадают
(см. §2.5).
Рис. 22 Распросграяе-
ние плоскополярнэоваи-
ной электромагнитное,
волны
бегущая волна
стоячая волна
При распространении электромагнитной волны про-
исходит перенос (течение) энергии, подобно тому, как
это имеет место при распространении упругой волны.
Количество энергии, переносимой волной через неко-
торую поверхность в единицу времени, называется пото-
ком энергии Ф и измеряется в ваттах.
Для характеристики течения энергии в разных точ-
ках пространства вводится векторная величина, называе-
мая плотностью потока энергии. Эта величина численно
равна потоку энергии через единичную площадку, поме-
щенную в данной точке перпендикулярно к направлению,
в котором происходит перенос энергии. Направление век-
тора плотности потока энергии совпадает с направле-
нием переноса энергии.
Вектор Плотности потока энергии S был впервые
введен в рассмотрение Умовым, который доказал общую
теорему о потоке энергии в любой среде. Вектор Умова
равен
S=wv, (2.33)
где w — плотность энергии; v — вектор фазовой скорости
волны, совпадающий с направлением ее распространения
(н переноса энергии).
Плотность энергии электромагнитного поля w слага-
ется нз плотностей энергий электрического и магнитного
полей:
w = + w = + (2-34)
2.3
Энергия,
переносимая
электромагнитной
волной
поток энергии
плотность
потока энергии
вектор Умова
Умов Николай Алексе-
евич (1846—1915) —рус-
ский физик
36
Введение
Рис. 2.3. Взаимное распо-
ложение векторов Е, И
п S
В случае непроводящей среды в данной точке прост-
ранства векторы Е и Н изменяются в одинаковой фазе.
Поэтому соотношение (2.32) между амплитудными зна-
чениями £ и Н справедливо и для их мгновенных значе-
ний. Отсюда следует, что плотность энергии электриче-
ского и магнитного полей в каждый момент времени оди-
накова, т. е. we=wh. Поэтому можно написать, что
w=2bi£ = -5^-£*.
С учетом (2.32) выражение для плотности энергии
электромагнитной волны можно записать в виде
4л
Умножив плотность энергии электромагнитной волны
ш на ее фазовую скорость о=с/.у ер, получим плотность
потока энергии
£ = Юо = -£££. (2.35)
вектор
Улова—Побнтинга
Пойлтимг (Poynting)
Джоп Генри (1852—
1914) — английский фи-
зик
Рис. 2.4. Изменение во
времени Е (а), Н (б) п
S (в) в бегущей волне
Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют
с направлением распространения волны правовинтовую
систему. Поэтому направление вектора S совпадает с на-
правлением переноса энергии:
S = ^-IEH], (2.36)
т. е. векторы Е, Н и S образуют правовинтовую систему
(рис. 2.3).
Вектор S называют вектором Умова — Пойятинга.
В изотропной среде этот вектор совпадает с направле-
нием светового луча. Не следует, однако, забывать, что
понятие луча есть понятие геометрической оптики и не
имеет вполне соответствующего образа в области волно-
вых представлений, для которых введен вектор Умова —
Пойитинга.
В свободной электромагнитной волне вектор S изме-
няется от Smin=0 до Smei= Таким образом,
поток энергии колеблется с удвоенной частотой (по
сравнению с Е и Н) около среднего значения
принимая положительные значения (рис. 2.4). Отсюда
следует, что величина плотности потока энергии пропор-
циональна квадрату амплитуды электрического поля.
Это очень важное соотношение, на котором основывается
возможность регистрации электромагнитных волн раз-
Электромагнитная природа света
37
личными приемниками. Практически все приемники света
в той илн иной степени инерционны, поэтому они реги-
стрируют среднее значение квадрата амплитуды <Е?>.
Первые законы оптических явлений были установле-
ны на основе представлений о прямолинейных световых'
лучах. Если луч света падает на плоскую поверхность,
разделяющую две прозрачные среды (например, воздух
и стекло), то на границе раздела возникают два луча.
Один луч отражается обратно в ту Среду, из которой он
вышел, а другой проходит во вторую среду (рнс. 2.5).
Направление распространения второго луча не совпадает
С первоначальным направлением его распространения.
Это явление называется преломлением света. Результа-
ты изучения соотношений между углами, определяющи-
ми направление распространения падающего, отражен-
ного и.преломленного лучей, обобщены в виде законов,
Закон отражения. Падающий луч, отраженный луч и
нормаль к поверхности раздела двух сред лежат в одной
плоскости. Угол между отраженным лучом и нормалью
к поверхности (угол отражения f) равен углу между па-
дающим лучом и нормалью (угол падения i). Отражен-
ный и падающий лучи лежат по разные стороны от нор-
мали (см. рис. 2.5). Для того чтобы при аналитической
записи закона отражения выразить вышесказанное, не-
обходимо ввести правило знаков для углов. Принято счи-
тать углы положительными, если они отсчитываются по
часовой стрелке, а отрицательными — против часовой
стрелки. Углы между нормалью и лучами отсчитывают-
ся от нормали к лучу. В Случае, изображенном на рис.
2.5, угол падения будет отрицательным, а угол отраже-
ния положительным, тогда закон отражения запишется
в виде
2.4
Отражение
и преломление
электромагнитных
млн
преломление свеп
зако н отражения
зеркальное отражение
-i=i'. (2.37)
Отражение света наблюдается не только от границы
раздела двух прозрачных сред. В большей или меньшей
степени свет отражается от любого тела. Если тело по-
лированное, то оно отражает свет по закону отражения
от границы раздела двух прозрачных веществ: свет от-
ражается в направлении угла г, равного углу падения I.
Такое отражение называется зеркальным (см. рнс. 2.5).
При этом интенсивность отраженного луча зависит от
природы отражающей поверхности. Например, полиро-
ванное серебряное зеркало отражает до 96 % падающего
света, а черная полированная поверхность — менее 1 %.
Наряду с зеркальным существует диффузное отраже-
диффузное отражение
Рис. 2.5. Отражение и
преломление света
38
Введевие
Рис, 2.6. Преломление лу-
чей света яри прохожде-
ния через две прозрач-
ные среды
относительный
коэффициент
преломления
абсолютный
коэффициент
преломления
ние. При диффузном отражении свет отражается более
или менее равномерно во все стороны. Поверхность, ко-
торая равномерно рассеивает падающий свет, называет-
ся абсолютно матовой. Таких поверхностей не существу-
ет, однако некоторые вещества (снег, чертежная бумага
и др.) довольно близки к ним. Вообще говоря, не сущест-
вует и абсолютно зеркальных поверхностей. В большин-
стве случаев в направлении угла зеркального отражения
наблюдается максимум отраженного света.
Закон преломления. Падающий луч, преломленный
луч и нормаль к поверхности раздела двух сред лежат
в одной плоскости. Отношение синуса угла падения света
к синусу угла преломления для Данной пары оптически
изотропных веществ есть величина постоянная:
sin i/sin r=«2i. (2.38)
Величина tin называется относительным коэффициен-
том преломления второго вещества по отношению к пер-
вому.
Если луч света идет из второй среды в первую и пада-
ет на границу разделе под углом г, то в первой среде он
пойдет под углом i. Тогда
sin r/sin i=na, (2.39)
где па — относительный коэффициент преломления пер-
вого вещества по отношению ко второму. Сравнивая
(2.38) н (2.39), можно установить связь между Пи и пц:
П12=1/па, (2.40)
т. е. относительные коэффициенты преломления являют-
ся величинами взаимообратнымн.
Коэффициент преломления какого-либо вещества по
отношению к вакууму принято называть абсолютным ко-
эффициентом преломления данного вещества (или про-
сто коэффициентом преломления). Легко установить
связь между абсолютным и относительным коэффици-
ентами преломления. Для этого рассмотрим путь луча
света через две прозрачные соприкасающиеся пластин-
ки 1 и 2 (рис. 2.6). Пусть на первую пластинку из пусто-
ты падает луч света под углом I'. Пройдя обе пластинки,
луч преломится в пустоту под углом К Опыт показывает,
что i'=r', т. е. свет выходит в направлении, параллель-
ном первоначальному.
Применив последовательно закон преломления ко
всем границам раздела, получим
sin Г _ . sin» _ . sin г _ 1
sin i ~ 11 sin г~ ~ Пг1> ^Гпг' ~ "«7”’
Электромагнитная природа света
39
где П| и л2—соответственно абсолютные коэффициенты
преломления первого и второго веществ; л21 —относи-
тельный коэффициент преломления второго вещества по
отношению к первому.
Возьмем произведение первых двух равенств
sin i'/sin г=П1П21, а последнее перепишем следующим
образом: sin r'/sin г=п2. Сравнивая этн соотношения при
условии, что £'==/"', получаем
П21=П2/Л1, (2.41)
т. е. относительный коэффициент преломления двух ве-
ществ равен отношению их абсолютных коэффициентов
преломления.
Теперь закон преломления можно записать в виде
_slni (2.42)
sin г пг '
нлн в более распространенной форме
щ sin i=nz sin г. (2.43)
закон преломления
Отражение и преломление в волновой теории. Законы
отражения и преломления легко получить исходя нз вол-
новых представлений о свете. Для этого воспользуемся
так называемым принципом Гюйгенса, который гласит:
каждая точка среды, до которой доходит световое воз-
буждение, становится, в свою очередь, центром вторич-
ных волн; поверхность, огибающая этн вторичные вол-
ны, указывает положение фронта волны в следующий
момент времени.
В такой форме принцип Гюйгенса говорит лишь о на-
правлении распространения, волнового фронта, который
формально отождествляется с геометрической поверх-
ностью, огибающей вторичные волны (рис. 2.7). Семей-
ство прямых, нормальных к волновому фронту, можно
принять за лучи.
Пусть на границу раздела двух сред с коэффициента-
ми преломления ni и п2 падает под углом i параллель-
ный пучок света, которому соответствует плоский фронт
волны А'В' (рис. 2.8). Все точки границы раздела, до
которых доходит фронт волны, становятся по принципу
Гюйгенса источниками вторичных сферических волн.
Допустим, что в момент времени 1=0 точка А1 фрон-
та волны достигла поверхности раздела в точке Л. Пока
второй край волны (точка В) дойдет до границы раздела
в точке С, около точки А образуется распространяющий-
ся обратно в первую среду полусферический фронт ради-
уса AD=BC. Около промежуточных точек границы раз-
принцип Гюйгенса
Гюйгенс (Huygens) Хри-
стиан (1629—1695)— ни-
дерландский механик,
физик и математик
Рис. 2.7. Образование
. вторичных волн:
о—сферическая волка; б —
плоская волка
40
Введение
дела возникнут полусферические волны меньшего ради-
уса. Касательная к этим полусферам плоскость DC опре-
делит направление фронта отраженной волны. Пусть
лучи, соответствующие этому волновому фронту, составля-
ют с нормалью угол Г. Докажем, что i=i/. Для этого рас-
смотрим прямоугольные треугольники ЛВС и ADC. Эти
треугольники равны, поскольку онн имеют общую гипо-
тенузу АС н равные катеты AD=BC. Следовательно,
Рис. 2.8. Построение отраженной п преломленной волн по Гюйгенсу
Z.BAC=Z.DCA, которые соответственно равны углу па-
дения i н углу отражения i', т. е. выполняется закон от-
ражения: i=i.
Для доказательства закона преломления продолжим
наши рассуждения, начиная с момента, когда точка А'
фронта волны достигла границы раздела двух сред в
точке А. Пока точка В достигнет поверхности раздела
в точке С, пройдет некоторое время т. За это время вто-
ричная волна из точки А распространится на расстояние
АЕ во второй среде. Полусферические волны других то-
чек поверхности раздела пройдут за это же время разные
пути во второй среде. По принципу Гюйгенса действи-
тельное положение волнового фронта определится плос-
костью ЕС. Из прямоугольных треугольников ЛВС и
ЛЕС (ZBAC=i; 2АСЕ=г) следует
AC=-^- = S-. (2.44)
Sin 4 Sin Г ' '
Определим ВС и АЕ следующим образом. Пусть ско-
рость распространения света в первой среде будет Oi,
Электромагвитиая природа света
41
а во второй — иг, тогда BC=T0f и АЕ=чог. Подставив
значения ВС и АЕ в соотношение (2.44), получим.
tvt sin г=Г0г sin i, или
-^-=-£-. (2.45)
swr V| ' '
Таким образом, формула (2.45) устанавливает связь
между коэффициентами преломления и скоростями рас-
пространения света: коэффициенты преломления двух
веществ обратно пропорциональны скоростям распрост-
ранения в них света. В веществе, оптически более плот-
ном, свет распространяется медленнее^ чем в веществе,
оптически менее плотном.
Для вакуума коэффициент преломления равен еди-
нице. Скорость распространения света о в веществе свя-
зана со скоростью света с в вакууме соотношением
v=cln, 1 (2.46)
Тде л—коэффициент преломления Данного вещества.
Из сравнения формул (2.20) и (2.46) получаем
п = Peji. (2.47)
Для всех веществ, с Которыми приходится иметь дело
в оптике, ц практически равно единице (немагнитные ве-
щества) и коэффициент преломления п=У е, где е -по
предположению является величиной постоянной. Однако
нз опыта известно, что л зависит от частоты света (дис-
персия света), поэтому приходится допустить, что и е не
является постоянной, характеризующей среду, а также
зависит от частоты света.
Формула (2.47) хорошо выполняется для газов с от-
носительно простой химической структурой, в которых
не происходит существенной дисперсии света. Для мно-
гих твердых тел (например, стекло) и ряда жидкостей
(например, вода) наблюдается сильное отклонение экс-
периментальных данных от результатов, вычисленных
по формуле (2.47).
Полное внутреннее отражение. При переходе света из
среды оптически менее плотной в среду оптически более
плотную преломленный луч приближается к нормали.
Наоборот, прн переходе света из оптически более плот-
ной среды в оптически менее плотную среду луч удаляет-
ся от нормали. Можно добиться такого положения* ког-
да преломленного луча практически не будет —весь свет
будет отражаться. Это произойдет, очевидно, прн таком
Угле падения inp< л/2, прн котором угол преломления г
будет равен л/2, т. е. преломленный луч скользит вдоль
Q
6 «
Рис. 2.9. Возникновение
полного внутреннего от-
ражения
42
Введение
полное внутреннее
отражение
предельный угол
Эйхенвальд Александр
Александрович (1864—
1944) — русский физик
Мандельштам Леонид
Исаакович (1879—
1944) — советский физик
Рис. 2.10. Опыт Ман-
дельштама
поверхности раздела (рнс. 2.9). Это явление называется
полным внутренним отражением, а угол 1^ —предель-
ным углом. Значение предельного угла inp определяет-
ся требованием, чтобы г=я/2, sin г=1, тогда по закону
преломления (2.42) получаем
sin (пр=Л2/я1. (2.48)
Для того чтобы уравнение (2.48) давало действитель-
ные значения угла (пр, необходимо, чтобы выполнялось
условие Л2^ль Отсюда следует, что полное внутреннее
отражение возможно лишь прн переходе света из среды
оптически более плотной в среду оптически менее
плотную.
Интенсивность преломленного луча по мере прибли-
жения угла падения к Предельному уменьшается, и при
i—4р она равна нулю. Интенсивность отраженного луча
прн этих условиях растет н прн 1=1^ равна интенсивно-
сти падающего луча, т. е. вся энергия падающего на гра-
ницу раздела света полностью отражается обратно' в
первую среду.
С волновой точки зрения явление полного внутренне-
го отражения требует некоторого уточнения. Теоретиче-
ское исследование, проведенное Эйхенвальдом, показало,
что при полном внутреннем отражении электромагнитная
волна проникает во вторую среду, причем ее интенсив-
ность быстро падает с глубиной. Практически волна во
второй среде существует в очень тонком слое, толщина
которого порядка длины волны.
Экспериментальное подтверждение этих выводов было
дано Мандельштамом. Схема опыта Мандельшта-
ма приведена- на рнс. 2.10. В качестве среды 1 была
использована стеклянная призма, а средой 2 служил
раствор флуоресцирующего вещества. Прн падении луча
света на границу стеклянной призмы и раствора
(Ястеила>Ярастворк) под углом, меныпИм предельного,
в растворе вндна зеленая флуоресценция на всем пути
преломленного луча. При i>inp след преломленного луча
в растворе исчезает, но отчетливо наблюдается флуоре-
сценция слоя раствора, непосредственно прилегающего
к призме в месте отражения.
Явление полного внутреннего отражения широко ис-
пользуется в оптических приборах (бнноклн, перископы
и др.). Коэффициент преломления большинства сортов
стекол равен примерно 1,5, поэтому предельный угол для
границы стекло — воздух составляет inp=42°, а прн па-
дении лучей на границу раздела под несколько ббльшнм
углом (45°) будет происходить полное внутреннее отра-
Электромагнитная природа света
43
жение. На рнс. 2.11 представлено несколько призм пол-
ного внутреннего отражения.
На принципе полного внутреннего отражения построе-
ны так называемые светопровбды (рнс. 2.12), которые
представляют собой полые металлические трубки с поли-
рованной внутренней поверхностью, прозрачные диэлек-
трические стержни н нити (волокна). Пучок таких воло-
кон, уложенных определенным образом, есть световод.
Световоды могут быть изготовлены в виде гибких жгу-
тов, жестких цилиндров, параллелепипедов н т. п. Гиб-
Рис. 2.11. Призмы, в ко-
торых Используется явле-
ние полного внутреннего
отражения:
а—оборачивающая: б — ио-
воротао-оборачнваюцая; б —
поворотная
кне’жгуты могут применяться в различного рода опте-
ческнх системах для передачи изображения по криволи-
нейному пути. С появлением световодов связано развитие
волоконной оптики.
Полное внутреннее отражение электромагнитных
волн объясняет рефракцию *1 радиоволн в ионосфере. Из-
вестно, что на высоте от 100 до 300 км существует слой,
от которого отражаются радиоволны длиной более 10 м.
Волны покороче проходят через этот слой, что использу-
ется в радиоастрономии. С увеличением высоты умень-
шается коэффициент преломления. При некотором значе-
нии п наступает полное внутреннее отражение электро-
магнитных волк —луч вновь изгибается в сторону Зем-
волоконная оптика
*> Рефракция—искривление луча света в среде с непрерывно
изменяющимся коэффициентом преломления.
рефракция
44
Введение
2.S
Стоячие
электромагнитные
олны
узлы
пучности
вж
Рис. 2.13. Образование
стоячей волны
ли, вследствие чего дальность распространения радио-
волн вдоль Земли больше, чем в случае идеализирован-
ной однородной атмосферы.
Две взаимодействующие волны можно получить раз-
личными способами. Наиболее простой и часто встре-
чающийся способ — это отражение от плоской поверхно-
сти прн нормальном падении волны. Условия взаимо-
действия между падающей и отраженной волнами сход-
ны для воли любого типа, поэтому взаимодействие двух
волн в процессе отражения одной из них от плоской по-
верхности мы рассмотрим на простом примере.
Пусть уравнение падающей волны st=dsin(af—fex),
тогда уравнение волны, отраженной в точке х=0, s2=
=а sin (а^+йх+б) (рис. 2.13). Здесь, как обычно, ш=
=2n/T, а й=2л/Х. Перемена знака при X показывает
изменение направления распространения волны, а 6
означает изменение фазы при отражении. Результирую-
щая волна будет иметь вид
s= 2а cos (foe+ sin +-|-j. (2.49)
Член 2с cos (for+6/2) в уравнении (2.49) представляет
собой амплитуду, которая, как видно, различна для раз-
ных точек среды и изменяется по простому гармониче-
скому закону. Второй член этого уравнения sin (at+6/2)
выражает периодическое изменение во времени и не за-
висит от координаты. Это означает, что колебание всех
точек среды совершается с одинаковой фазой.
Волны, все точки которых имеют одинаковую фазу,
а амплитуды изменяются периодически от точки к т^чке,
называются стоячими волнами. В стоячей волне есть
точки, где амплитуда равна нулю, и точки, где она макси-
мальна. Если (foc-|-6/2) =лл/2 (п=1, 3, 5, ... — нечетные
числа), амплитуда равна нулю. Такие точки называются
узловыми (шт узлами) и расположены друг от друга на
расстоянии полуволны. Когда (йх+6/2)=лл/2 (п=0, 2,
4,...—четные числа), амплитуда имеет максимальное
значение, равное 2а. Эти точки называются пучностями.
Величина б, определяющая изменение фазы прн отра-
жении, играет .важную роль в случае электромагнитной
волны — характеризует особенности ее отражения. В бе-
гущей электромагнитной волне направления векторов Е
и Н дЛя каждого момента времени связаны определен-
ным образом с направлением ее распространения v, об-
разуя правовннтовую систему (рис. 2.14, а). Необходи-
мым условием отражения, т. е. изменения направления
Электромагнитная природа света
45
распространения на противоположное, является возник-
новение между обоими векторами разности фаз в ±л.
Поскольку в отраженной волне прн изменившемся на-
правлении v векторы Е, И и v вновь должны образовать
правовннтовую систему, один нэ векторов Е нли Н также
должен скачком переменить свое Направление по сравне-
нию со вторым вектором, т. е. получить добавочное из-
менение фазы на л или, как говорят, испытать .потерю
полуволны. Потеря полуволны тем илн иным вектором
зависит от условий на границе, где происходит отраже-
ние. Отметим, что если диэлектрическая проницаемость
второй среды больше, чем диэлектрическая проницае-
мость первой среды (e2>ei), то б=л для электрического
вектора и 6=0 для магнитного вектора, т. е. электриче-
ский вектор теряет полволны (рнс. 2.14, б). В случае,
когда e2<ei, то 6=л для магнитного вектора и 6=0 для
электрического вектора, т. е. магнитный вектор теряет
полволны (рнс. 2.14, в).
Такое различие 6 приводит к тому, что узлы одного из
векторов электромагнитной волны совпадают с пучностя-
ми другого. В частности, на рис. 2.15 изображена стоя-
Рис. 2.14. Расположение
векторов Е, Н я v в па-
дающей (о) и отражен-
ной (б, в) волнах:
• —«»<!,
Рис. 2.15. Стоячая электромагнитная волна
чая электромагнитная волна, где на границе отражения
имеется пучность электрического н узел магнитного век-
торов, т. е. выполняется условие ej>ei.
В стоячей электромагнитной волне нет непрерывного
потока энергии в каком-либо направлении, как это имеет
место в проходящих волнах. Из рнс. 2.15 видно, что мо-
менты прохождения через максимумы векторов Е и И
отличаются друг от друга на четверть периода. Энергия
стоячей волны локализована и переходит от области пуч-
ностей электрического вектора Е, где она имеет форму
электрической энергии, к области пучностей магнитного
вектора И, т. е. обращается в магнитную энергию. Этот
процесс периодический, н вместо течения энергии в стоя-
чей волне происходит ее колебание, сопровождающееся
переходом энергии нз одной формы в другую.
46
Введение
Рис. 2.16. Опыт Айвса:
1 — пекло; 2 — эмульсия; J—
ртуть
Винер (Wiener) Оно
Генрих (1862—1927) —
ненецкий физик
Наблюдение стоячих электромагнитных волн в опти-
ческом диапазоне (световых волн) довольно затрудни-
тельно, так как расстояние между узлами и пучностями
очень мало (порядка 10~5 см). Для осуществления таких
опытов можно воспользоваться результатом действия
света на фотографическую эмульсию — воздействие элек-
тромагнитной волны на бромистое серебро, представляю-
щее собой светочувствительный компонент фотографиче-
ской эмульсии. В связи с раздельным характером рас-
положения максимальных значений электрического и
магнитного векторов бромистое серебро будет разлагать-
ся слоями. Максимум разложения (почернение пластин-
ки) будет приходиться иа слои, соответствующие макси-
мальным значениям векторов.
Если на. зеркальную металлическую поверхность на-
нести слой фотоэмульсии и направить нормально к по-
верхности зеркала луч монохроматического света, в слое
фотоэмульсии возникает система стоячих волн. Посколь-
ку отражение происходит от металла, на его поверхно-
сти образуется узел электрического вектора, а первый
узел магнитного вектора расположится на расстоянии
в четверть волны от поверхности отражения. Опыт дол-
жен состоять в установлении распределения слоев выде-
лившегося серебра в толще эмульсии. Такие опыты бы-
ли выполнены Айвсом и Винером.
Опыт Айвса. В этом опыте использовались специаль-
но приготовленные фотографические пластники с тонким
слоем мелкозернистой эмульсии. Со стороны эмульсии
пластинка прижималась к поверхности ртути, а со сто-
роны стекла на нее направлялся параллельный пучок мо-
нохроматического света (рис. 2.16). В результате отра-
жения света от поверхности ртути в эмульсии образуют-
ся стоячие волны. Система узлов и кучностей в стоячей
волне создает последовательности слоев почернения
эмульсии, расположенных на расстояниях Х/2 друг от
друга. В опыте Айвса почернения наблюдались с по-
мощью микроскопа в поперечном срезе эмульсионного
слоя. В некоторых экспериментах удавалось регистриро-
вать до 250 последовательных слоев почернения.
Опыт Винера. Трудность непосредственного наблюде-
ния слоев почернения связана с очень малым расстояни-
ем между пучностями и узлами. В опыте Винера это за-
труднение было устранено путем установки фотопластин-
ки под небольшим углом к отражающей поверхности. Си-
стема стоячих волн получалась в воздухе прн отражении
от посеребренного зеркала. Схема опыта показана на
рис. 2.17. Стеклянная пластинка АА' со слоем фотоэмуль-
Электромагнитная природа света
47
сии толщиной около 2 10~$ см устанавливалась под
углом а к поверхности зеркала NN'. Почернение фото-
эмульсии происходило в местах пересечения светочувст-
вительного слоя с плоскостями пучностей по параллель-
ным прямым, след от которых отмечен на рнс. 2.17 в виде
черных пятен.
Рис. 2.17. Опыт Винера
Из рис. 2.17 можно определить расстояние Г между
почернениями на фотопластинке. Расстояние I между со-
седними пучностями равно 1/2, т. е. половине длины све-
товой волны. Отсюда при известном а
Г = —— = —-—.
sin а 2 sin а
Угол а в опытах Вннера брался порядка К, поэтому
расстояние Г между соседними почернениями фотоэмуль-
сии было около 1 мм, что намного превышало длину ис-
пользуемой световой волны. Прн таких условиях опыта
можно было заметить, что вблизи поверхности зеркала
располагается узел. Это указывает на изменение фазы
при отражении света от зеркала на л, а первое почерне-
ние фотоэмульсии отстоит от поверхности зеркала на
четверть длины волны.
Образование узла в стоячих волнах .у металлической
отражающей поверхности можно также продемонстри-
ровать, используя явление флуоресценции — свечение,
возникающее у определенных веществ прн их возбужде-
нии светом.
Опыт Друде и Нернста. Этот опыт является модифи-
кацией опыта Вннера. Для наблюдения стоячих волн
вместо фотографической пластинки здесь была нспользо-
Друде (Drude) Пауль
Карл Людвиг (1863—
1906) — немецкий физик
Нерист (Nemst) Вальтер
Фридрих (!864—1941) —
немецкий физико-химнк
48
Введение
флуоресг4енция
вана флуоресцирующая пленка. Часть стеклянной пла-
стинки покрывается слоем серебра, затем на всю пла-
стинку наносится очень тонкая пленка флуоресцирующе-
го вещества. Пластинка освещается параллельным куч-
ном света (т. е. плоской волной) определенной длины
волны, способной возбудить флуоресценцию. При этом
оказалось, что сильная флуоресценция возникала На той
части стеклянной пластинки, где не было серебра. На по-
серебренной части пластинки свечения не было. Это про-
исходит вследствие того, что прн отражении света от се-
ребра образуются стоячие волны с узлом у отражающей
поверхности. Позднее такого рода опыт был проведен
Айвсом и Фраем, которые использовали фотоэлектриче-
ский метод регистрации пучностей.
Описанные опыты не только имеют важное значение
как способ доказательства существования стоячих све-
товых волн, но и дают ответ на вопрос о роли и степени
участия векторов Е и И в процессах взаимодействия све-
та с веществом.
Во всех экспериментах для получения стоячих волн
использовалось отражение от металлического зеркала
и всюду отмечалось образование узла вблизи поверх-
ности зеркала. Отражение от металлической поверхности
эквивалентно отражению от диэлектрика с очень боль-
шим коэффициентом преломления. Поэтому иа границе
раздела происходит изменение фазы электрического век-
тора Е на л(ег>Е1), т. е. должен образоваться узел элек-
трического и пучность магнитного векторов. Первая пуч-
ность электрического вектора должна возникнуть при
расстоянии в четверть волны от границы раздела.
Если бы фотографическое (фотохимическое) действие
или возбуждение флуоресценции производилось с участи-
ем магнитного вектора, то, очевидно, первый слой выде-
лившегося серебра в фотоэмульсии должен лежать в об-
ласти первой пучности магнитного вектора, т. е. на
поверхности зеркала. В том случае, когда определяю-
щую роль в этих процессах играет электрический вектор,
на поверхности зеркала не должно происходить разло-
жения серебра и первый слой почернения должен обра-
зоваться на расстоянии четверти длины световой волны
от зеркала и далее через каждые полволны. Опыт под-
тверждает последнее, т. е. основную долю участия в про-
цессах взаимодействия света с веществом вносит элек-
трический вектор.
Результаты описанных опытов легко объясняются на
основе электронных представлений. В атомах и молеку-
лах, нз которых состоит вещество, достаточно много элек-
Электромагнитная природа света
49
тронов (свободных и связанных). Большинство процес-
сов, проявляющихся в веществе под действием света,
связано с воздействием на этн электроны. Прн флуорес-
ценции или фотохимических процессах происходит воз-
буждение атомов и молекул или их ионизация. В фото-
эффекте имеет место непосредственное вырывание элек-
тронов из освещаемого металла. Так как Электроны пред-
ставляют собой электрические наряды, то сила,
действующая иа них, определяется в первую очередь
электрическим полем, т. е. электрическим вектором элек-
тромагнитной волны. Эта сила описывается известной
формулой Лоренца
f = еЕ 4--у-(vHJ.
Обычно и<с и второй член мал, поэтому электриче-
ский вектор несет основную ответственность за движение
электрических зарядов под действием электромагнитно-
го поля. В этом смысле электрический вектор часто на-
зывают световым вектором. Однако отсюда не следует,
что магнитный вектор играет в оптике второстепенную
роль. Электрический и магнитный векторы описывают
переменное электромагнитное поле, оин тесно связаны
друг с другом и в поле волны не могут существовать раз-
дельно.
Очевидно, что однозначность результатов в описан-
ных опытах относительно роли электрического вектора
обусловлена тем, что все применявшиеся индикаторы
(фотографические и фотоэлектрические слои, флуорес-
цирующие пленки) являются системами, поглощение
(или рассеяние) света в которых связано с электриче-
скими диполями. Если бы, например, в опытах Друде и
Нернста использовались флуоресцирующие вещества,
поглощение света в которых осуществляется магнитными
диполями (например, пленки с редкоземельными эле-
ментами), то результаты этих опытов были бы противо-
положными — флуоресценция наблюдалась бы в местах
пучностей магнитного вектора стоячей волны. Поэтому
вопрос е световом векторе не может рассматриваться вне
связи с системой, подвергаемой действию света.
Установление связи между световым излучением и
другими типами электромагнитного излучения позволи-
ло включить оптику в общее учение об электричестве и
магнетизме. Таким образом, та область длин волн, кото-
рую в состоянии воспринимать глаз и которая носит на-
звание «света, получила свое место (правда, очень скром-
Лоренц (Lorentz) Хенд-
рик Антой (1863—1928)—
нидерландский физик и
математик
формула Лоренца
световой вектор
2.6
Спектр
электромагнитных
волн
50
Введение
ное) в общем спектре электромагнитного излучения
(рис. 2.18).
Весь спектр электромагнитных волн делится (весьма
относительно) на ряд областей. Они различаются ие
только Диапазоном длин воли, ио и техникой их генера-
ции и регистрации. Коротко охарактеризуем отдельные
области электромагнитного излучения.
ш -
№ -I
нк-
излучение
кн- Длинные Колин
средние волны—
Короткие Комы
Санти-и ниш-
нетроНые Коты
сн-
чдм-
ш
зим-
гооо-
тю -
им _ мтй иф
УФ
Л к V
.-S 5-
-Я я-
3 з-
- 2 2-
- 1
7
- 2 _
- У 3-
- Я 4-’
- У 5-'
1-
3-
1-'
2-
L-ЛиимТское ииучеиие 'С .
д -жеспявеЗетвеиоК-з 3-
скдшуйюе_
Пика лучи ~
- комические
лучи
-У 9-
-tin-'
-1212-.
S
•7
8
3
Я
-п
12
а
•я
.»
JS
17
П
а
а
-21
22
23
Е.У
я-
и-
IL-
IL-
Ч-
я-
»-
я-
а-
fi-
ll-
ip-
з-
I-
7-
1'
S-
4-
3-
S
I
•7
S
5
11
’В
’I
•4S.
6 2
7§
S
3
Ряс. 2.18. Спектр электромагнитных волн:
Герц (Hertz) Генрих Ру-
дольф (1857—1894) —
немецкий физик
Попов Александр Степа-
нович (18S9—1906) —
русский физик и элект-
ротехник, изобретатель
радио
слева—в логарифмической шкале единицы измерения длин воли; справа —в
логарифмической шкале длина волны X, си, волновое число к, см —частота
V. с—'. энергия квавтов E-ftv, эрг, энергия квантов V. эВ; цифры—показа,
тела числа 10°
Радиочастотная область. Электромагнитное излучение
этой области представляет собой радиоволны различной
длины.
В опытах Герца, подтвердивших существование элек-
тромагнитных волн, наблюдались волны длиной в не-
сколько десятков сантиметров. Работы Попова положили
начало применению в радиотехнике радиоволн длиной
в сотни метров и более. Дальнейшее развитие методов
генерации, приема и усиления электромагнитных волн
привело к тому, что в современной радиотехнике исполь-
зуется очень широкий диапазон радиоволн, начиная с де-
сятков километров и кончая миллиметровыми волнами.
Прн распространении радиоволн в пределах земной ат-
мосферы имеет место ряд особенностей для радиоволн
различной длины (отражение от ионосферы, дифракция
вокруг Земли и др.). В связи с особенностями распрост-
ранения, а также со спецификой методов генерации н
усиления радиоволн различной длины принято делить
Электромагнитная природа света
51
радиоволны на следующие группы: сверхдлннные —
Х>10000 м; длинные—10000—1000; средние — 1000—
100; короткие—100—10; ультракороткие — к< 10 м.
Ультракороткие (УКВ) радиоволны, которые называют
также сверхвысокими частотами (СВЧ), принято в свою
Очередь подразделять на метровые (10—1 м), дециметро-
вые (1 м —10 см), сантиметровые (10—1 см) н милли-
метровые (10—1 мм) радиоволны.
Каждая из этих групп применяется для решения сво-
их технических задач. Например; подводная и подземная
радиосвязь возможна лишь на сверхдлннных радиовол-
нах, а телевидение и радиолокация — исключительно
на УКВ.
Оптическая область. В эту область включают инфра-
красное, видимое и ультрафиолетовое излучения. Самая
длинноволновая часть оптической области — инфракрас-
ное (ИК) излучение —следует за УКВ-диапазоном
электромагнитного излучения. Четкую границу между
ИК-нзлученнем и УКВ установить трудно, так как, на-
пример, миллиметровые волны можно регистрировать и
исследовать как обычными оптическими методами, так и
способами, присущими УКВ-днапазону.
Инфракрасное излучение простирается в сторону бо-
лее коротких длин волн примерно с 1—2 мм до 0,7 мкм.
Инфракрасную область разделяют обычно на близкую
(0,7—2,5 мкм), среднюю (2,5—50 мкм) и далекую (50—
2000 мкм).
ИК-нэлучение генерируется любым нагретым телом.
Одним из самых распространенных источников ИК-излу-
чення являются мощные лампы накаливания (мощностью
250—1000 Вт) с вольфрамовой нитью. Стеклянные бал-
лоны этих ламп имеют специальную форму и частично
покрыты отражающим слоем, что позволяет концентриро-
вать излучение в узком телесном угле. Температура нити
ламп достигает 2200 К> а максимум излучения лежит в
области длины волны 1,2 мкм. Такне лампы используют-
ся, например, прн сушке и нагревании облучением.
Методы обнаружения и измерения ИК-излучения де-
лятся на две группы: тепловые и фотоэлектрические.
В тепловых методах поглощенное ИК-нзлученне вызыва-
ет повышение температуры термочувствительного эле-
мента приемника, которое регистрируется соответствую-
щим способом. Тепловые приемники реагируют на всю
поглощенную энергию, независимо от длины волны (несе-
лективные приемники). Сюда относятся радиометры, тер-
моэлементы, болометры. В фотоэлектрических приемни-
ках величина сигнала зависит от числа эффективно по-
52
Введение
инфракрасное излучение
глощенных квантов и их энергии, т. е. от интенсивности и
длины волны ИК-излучеиня (селективные приемники).
К таким относятся фотопластинки, фотоэлементы, фото-
умножители и фоторезисторы.
Инфракрасное излучение играет важную роль в раз-
личных областях науки и техники (связь, ИК-фотогра-
фНя, применение ИК-йзлучеиня в военной технике и пр.).
Большое значение имеет вопрос о прохождении ИК-нзлу-
чення через земную атмосферу. В процессе теплового ра-
диационного обмена между излучением Солнца, падаю-
щим на Землю, и обратным излучением Земли в мировое
пространство (излучение Земли расположено главным
образом в ИК-области с максимумом около 10 мкм) важ-
на прозрачность атмосферы. Проходя через земную атмо-
сферу, ИК-излученне ослабляется в результате рассея-
ния и поглощения, причем величина ослабления зависит
от чистоты атмосферы и наличия в ней примесей, В при-
земных слоях атмосферы в области до 14 мкм имеется
несколько «окон> прозрачности для ИЦ-излучения: 2,0—
2,5 мкм; 3,2—4,2; 4,5—5,2; 8,0—13,5 мкм. Для длин волн,
больших 14 мкм, вплоть до 1500 мкм, атмосфера не про-
зрачна. Благодаря сильному поглощению ИК-нзлучеиня
атмосферой лишь небольшая часть излучения Земли вы-
ходит за пределы атмосферы. Тем самым атмосфера яв-
ляется теплоизолирующей оболочкой Земли, препятст-
вующей ее охлаждению.
Непосредственно за ИК-областью следует небольшая
область видимого излучения, занимающая интервал меж-
ду 0,7 и 0,4 мкм (7000—4000 А). Это тот интервал элект-
ромагнитного излучения, который доступе^ человеческо-
му глазу. Однако внутри данного интервал^ чувствитель-
ность глаза неодинакова, она изменяется независимости
от воспринимаемой длины волны излучения. Наибольшей
чувствительностью глаз обладает в зеленой области, что
соответствует длине волны около 5500 А.
Источниками видимого излучения могут быть любые
раскаленные тела, вещества, светящиеся при их возбуж-
дении различными внешними источниками, квантовые ге-
нераторы оптического диапазона (Лазеры) н др. Самым
мощным естественным источником видимого излучения
является Солнце, примерно половина .энергии которого
приходится на видимую область. Регистрация видимого
излучения может осуществляться различными способами:
визуальным, фотографическим нлн фотоэлектрическим.
Замыкает оптическую область ультрафиолетовое
(УФ) излучение с длинами волн от 0,4 до 0,1 мкм (4000—
1000 А). Начиная примерно с 2000 А н ниже излучение
Электромагнитная природа света
53
сильно поглощается почти всеми веществами, включая
воздух. Этот диапазон излучения называют вакуумным ф
ультрафиолетом. Остальная часть УФ-излучення услов-
но разделяется на области: А -4000-3150 А; В -3150- вакуумный ультрафиолет
2800; С— 2800—2000 А.
Источниками УФ-нзлучеиня могут быть накаленные
твердые тела. При температуре около 3000 К они начи-
нают испускать заметную долю УФ-излучення в виде
сплошного спектра. Мощность УФ-излучення искусствен-
ных температурных источников невелика. Большей мощ-
ностью обладает УФ-излучение газов или паров метал-
лов, возбужденных электрическим разрядом.
Рис. 2.19. Рентгеновская трубка:
К —катод; А —антикатод
Из газоразрядных источников УФ-излучення наибо-
лее распространены ртутные лампы, Из естественных ис-
точников большое УФ-излучение дает Солнце. За пре-
делами атмосферы облученность в плоскости, перпенди-
кулярной к лучам, составляет 125 Вт/м2, что равно 9 %
солнечной постоянной полного излучения (1,39 кВт/м2).
До Земли солнечное ультрафиолетовое излучение дохо-
дит как в виде прямого излучения, так и в виде излучения,
рассеянного атмосферой, причем излучение короче
2950 А поглощается слоем озона на высоте нескольких
десятков километров.
Для регистрации и измерения УФ-излучеиия применя-
ют в основном фотографический метод и фотоэлектриче-
ские приемники излучения: фотоэлементы, счетчики фо-
тонов и фотоумножители.
Рентгеновская область. Эта область электромагнитно-
го излучения представляет собой очень коротковолновое
излучение с длинами волн от 800 до 0,1 А. Рентгеновское
излучение (рентгеновские лучи) возникает в специаль-
ных трубках (рис. 2.19) в результате бомбардировки ан-
тикатода быстрыми электронами, вылетающими из ка-
тода.
54
Введение
характеристическое
излучение
Рентгеновское излучение слабо поглощается многими
веществами. Способность вещества поглощать рентге-
новское излучение тем больше, чем больше его плотность,
причем одно и то же вещество по-разиому поглощает
рентгеновское излучение различной длины волны. Излу-
чение, сильно поглощаемое веществом, носит название
мягкого (более длинноволновое), а слабо поглощаемое —
жесткого (коротковолновое рентгеновское излучение).
Степень поглощения рентгеновского излучения зависит
от условий его получения. Кинетическая энергия элект-
ронов зависит от разности потенциалов между катодом н
анодом. Чем больше эта разность потенциалов, т. е. чем
больше скорость электронов, бомбардирующих антика-
тод, тем жестче рентгеновское излучение и тем больше
его проникающая способность.
Различают сплошной и линейчатый спектры рентге-
новского излучения. Сплошной спектр («белое» излуче-
ние) получается в обычных условиях в рентгеновской
трубке при торможении электронов в теле антикатода.
При этом изменение скорости электронов происходит
случайным путем и образующееся излучение представля-
ет собой совершенно неправильный импульс, соответст-
вующий совокупности разнообразных длин волн.
При бомбардировке антикатода электронами опре-
деленной скорости, величина которой зависит рт веще-
ства антикатода, последний становится источником
почти монохроматического излучения. Длина волны та-
кого излучения характерна для вещества данного анти-
катода. Это излучение обязано свЦим происхождением
процессам внутри атомов вещества антикатода. Получа-
ющееся монохроматическое излучение называется ха-
рактеристическим. Рентгеновский «белый» свет, испуска-
емый трубкой в обычных условиях, представляет собой
совокупность лучей различных длин волн. В соответствии
с этим характеристические лучи данного вещества мож-
но назвать лучами, имеющими определенную длину
волны.
Источниками рентгеновского излучения являются
многие небесные тела. Так, солнечная корона дает мощ-
ное рентгеновское излучение в интервале от 10 до 100 А.
Для обнаружения рентгеновского излучения исполь-
зуют те же физические явления, что и при исследовании
ультрафиолетовых лучей. В первую очередь применяют
фотоэлектрические, люминесцентные и фотографические
методы.
Область гамма-излучения. За рентгеновской областью
начинается область гамма-излучения, представляющего
Фотометрические понятия и единицы для световых измерений
55
собой электромагнитное излучение с длиной волны 0,1 А
и менее, т. е. со стороны еще более коротких длин воли
ограничения пока нет. Гамма-излучение (гамма-лучи)
испускается возбужденными атомными ядрами и наблю-
дается при радиоактивных превращениях и ядерных ре-
акциях. Свое название это излучение получило на заре
развития ядерной физики по аналогии с а- и 0-лучами,
Гамма-лучи не отклонялись электрическим и магнитным
полями и обладали большей проникающей способностью.
Позже было установлено, что у-излучение возникает за
счет переходов между различными энергетическими со-
стояниями одного и того же ядра без изменения его за-
ряда, атомного номера и массового числа. Гамма-излу-
чение ядер имеет линейчатый спектр.
Таким образом, современная физика имеет дело со
спектром электромагнитных воли, охватывающим чрез-
вычайно широкую область. Эти волны излучаются раз-
личными системами, регистрируются разными методами,
но они имеют единую электромагнитную природу, рас-
пространяются в пустоте с одинаковой скоростью и об-
наруживают волновые свойства. Однако следует отме-
тить, что с уменьшением длины волны излучение наряду
с волновыми свойствами все более ярко проявляет и кор-
пускулярные (квантовые) свойства.
Глава 3
ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
И ЕДИНИЦЫ ДЛЯ СВЕТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Световая волна переносят энергию. При
различных оптических исследованиях часто
возникает необходимость измерять световую
энергию, а также величины, связанные с этой
характеристикой. Раздел оптики, занимающий-
ся измерениями энергии, переносимой электро-
магнитными волнами оптического диапазона,
носит название фотометрии, Прежде чем пе-
рейти к рассмотрению законов оптических яв-
лений, необходимо составить себе представле-
ние о методах измерения света н тех величи-
нах, которые применяются для этих измере-
ний. Выбор таких величин обусловлен особен-
ностями приемных устройств, непосредственно
реагирующих на ту илн иную из инх, а также
возможностью осуществления эталонов для
воспроизведения этих величии.
Следует также иметь в виду, что свет лишь
в редких случаях представляет собой волны
примерно одной длины п воспринимается как
монохроматический. В большинстве случаев
происходит наложение воли разной длины,
приходящихся как иа видимую, так и на невиди-
мую область. В белом свете, испускаемом на-
каленными телами, присутствуют волны раз-
личной длины, поэтому для полной энергети-
ческой характеристики такого света необходи-
мо указать распределение энергии по длинам
волн. Кроме того, дли световых измерений час-
то используются селективные приемники, для
которых важно звать, как воспринимают эти
приемники свет разных длин волн. С этой точ-
ки зрения представляет интерес не простое вос-
приятие энергии, а световое: звачит, необходи-
мо установить переход от энергетической вели-
чины к величинам, характеризующим световое
восприятие.
56
Введение
3.1
Энергетические
мрактерипмш
излучения
фотометрия
Величины, характеризующие энергетическую сторону
излучения электромагнитных воли, измеряются общими
энергетическими единицами, которые используются для
измерений энергии, потока энергии и т. п. В прикладной
светотехнике существенна ие только объективная энерге-
тическая характеристика интенсивности излучения, ио и
мера его Воздействия иа глаз наблюдателя. Так, напри-
мер, тело, нагретое до 400 °C, является интенсивным ис-
точником инфракрасных лучей, но эти лучи невидимы и
интенсивность их зрительного восприятия будет равна
нулю.
Поэтому приходится вводить двойные единицы изме-
рения: энергетические (оцениваемые по объективным
энергетическим характеристикам) и светотехнические
(оцениваемые по воздействию на глаз).
Поток лучистой энергии (поток излучения). Для ре-
шения пространственных задач распространения излуче-
ния существенно вспомнить понятие о телесном угле. Ме-
рой телесного угла является отношение площади о0 уча-
стка, вырезаемого конусом по поверхности сферы, к квад-
рату ее радиуса г (рис. 3.1):
Рис. 3.1. К определению понятия потока излучения:
I — точечный всточик излучеиия
За единицу телесного угла принят стерадиан (ср).
Телесный угол в одни стерадиан вырезает на поверх-
ности сферы участок, площадь которого равна квадрату
, радиуса сферы. Наибольший телесный угол (полный)
равен . 4л ср (площадь всей поверхности сферы 4№),
а безграничная плоскость видна из любой точки про-
странства под углом 2л ср. Площадка о, нормаль к кото-
рой п составляет угол а с радиусом г, проведенным из
центра точечного источника L (см. рис. 3.1), видна из L
под телесным углом
,п с, ccosa
<Ы- rt ,8
(3-2)
Фотометрические понятия и единицы для световых измерений
57
Количество энергии е, протекающей через площадку
а за единицу времени,
е//=с/Фе, (3.3)
называется потоком лучистой энергии через поверх-
ность о.
Таким образом, выделенная часть потока излучения
приходится на телесный угол dQ. При этом предполага-
ется, что линейные размеры площадки о малы по
сравнению с г, так что dQ — небольшая величина и внут-
ри dQ поток излучения можно считать равномерным.
Полный поток, идущий от L по всем направлениям,
равен
ФеЧ<- <3'4)
2
Поток лучистой энергии является основным поняти-
ем, необходимым для оценки энергии, проникающей в
измерительные приборы. Измеряется поток излучения в
единицах мощности — ваттах (Вт).
Сила света. Энергетическая сила света (сила излуче-
ния) /е определяется как поток излучения источника,
приходящийся иа единицу телесного угла в данном на-
правлении:
/е=Ж/«/й. (3.5)
Если задать выбранное направление азимутальным <р
и полярным в углами в сферической системе координат,
то в общем случае сила света /е будет зависеть от
углов ф и 0.
Из рис. 3.2 следует, что dQ=sinqxfyd0, тогда
^Фё=/е(ф, 0) sin qxfydB.
Полный поток излучения согласно (3.4)
2s х
Фе= | <Юрс(ф, 0)sin<pd<p. (3,6)
о Ь
В том случае, когда /е ие зависит от ф и 0, т. е. поток,
испускаемый точечным источником, равномерный по всем
направлениям (весь телесный угол й=4л), то из общего
соотношения (3.6) следует
фе=Й4. (3.7)
Отсюда сила света
Q 4л '
поток лучистой энергии
энергетическая
сила света
Рлс. 3.2. К выражению
телесного угла в сфери-
ческих координатах
(3-8)
58
Введение
>п Если же поток излучеиия неравномерный, формула
I (3.8) определяет среднюю силу света источника (сред-
'* няя сФеРическая сила света).
V-.; Величина потока излучеиия Фе является постоянной
г----------------*' для данного источника и не может быть увеличена ни-
какими оптическими устройствами. С помощью оптиче-
Ряс. 3.3. К определению ских систем МОжио лишь перераспределить поток по не-
которым избранным направлениям. Такое перераспреде-
ление происходит, например, в прожекторах, когда с по-
мощью параболического зеркала удается увеличить си-
лу света в Одном направлении в тысячи раз за счет
сильного ее уменьшения во всех других направлениях.
Сила света измеряется в ваттах на стерадиан
(Вт/ср).
Яркость. Большинство источников излучения явля-
ются протяженными и характеризуются понятием по-
ф верхностной яркости (или просто яркости). Энергетиче-
ская яркость Bt представляет собой силу света, прихо-
энергеттеская яркость дящуюся иа единицу Площади проекции поверхности
источника на направление, перпендикулярное к направ-
лению распространения (или наблюдения) излучения.
Выделим на поверхности источника площадку о
(рис. 3.3) и рассмотрим поток излучения d®e, испускае-
мый этой площадкой в направлении, составляющем
угол ф с нормалью^!, в пределах малого телесного угла
dQ. Этот поток пропорционален телесному углу, зависит
от величины площадки а, угла ф и от того, насколько ярко
светится поверхность. Для того чтобы установить зависи-
мость потока от угла ф, предположим, что величина по-
тока 4Фв определяется видимыми размерами площад-
ки о, т. е. размерами ее проекции оп на плоскость, пер-
пендикулярную к направлению распространения потока.
Так как оп=осо5ф, то <1Фе=Ве(<р)о cos <pdQ нлн
Ве (ф) = . (3.9)
е'т/ ocostpdQ ст cos <р ' •
Величина Ве(ф) носит название яркости источника по
направлению, определяемому углом ф. Таким образом,
Де зависит от направления. Однако имеются источники,
для которых Ве(ф) не зависит от направления, т. е.
Be (ф)=const=В. (3.10)
ф Тогда из формулы (3.9) с учетом (3.10) следует
закон Ламберта ^/е=Всгс05ф=^/оС05ф, (3.11)
где d/0—сила света в нормальном направлении (ф=0)
Фотометрические понятия и единицы для световых измерений
50
Формула (3.11) представляет собой выражение зако-
на Ламберта, который гласит, что сила света в направ-
лении, составляющем угол ф с Нормалью к поверхности,
пропорциональна косинусу этого угла. Поверхности,
подчиняющиеся закону Ламберта, называются диффуз-
но светящимися (ламбертовыми). Из закона Ламберта
следует, что максимальная сила света, излучаемая диф-
фузно светящейся поверхностью, наблюдается в нор-
мальном направлении и равна нулю по касательной к
поверхности. Яркость для поверхностей, подчиняющихся
закону Ламберта, не зависит от направления.
Закон Ламберта строго справедлив только для излу-
чения абсолютно черного, тела. Излучение Солнца, ма-
тированных поверхностей, мутных сред (молочное стек-
ло, облака и т. п.) приближенно подчиняется закону
Ламберта.
Яркость измеряется в ваттах на стераднан-квадрат-
ныйметр (Вт/(ср-м2)),
Светимость. С понятием яркости тесно связано поня-
тие светимости Re, представляющей собой полный по-
ток излучения с единицы поверхности источника, посы-
лаемый наружу по всем направлениям (в телесном угле
2л). Таким образом, энергетическую светимость можно
выразить следующим соотношением:
Ламберт (Lambert)
Йогами Генрих (1728—
1777) — немецкий мате-
матик, астроном, физик и
философ
диффузно
светящиеся поверхности
светимость
Л=Фе/о. (3.12)
Поток излучения внутри телесного угла dQ-
=зш<р(/ф</0 по направлению ф с учетом формулы (3.9)
4Фе=Ве(ф)СОЗф51пфФр</0. Чтобы ПОлуЧНТЬ ПОТОК С ПЛО-
Щадки о наружу, надо это выражение проинтегрировать
по всем значениям ф и 0, определяющим направление
внутрь полусферы, т. е.
2ч т.12 с/2
Фе=а[й0[ Ве(ф)со5ф31Лф(/ф = 2ло [ Ве(ф)созф5тф</ф.
0 0 о
Из формулы (3.12) Фе-а^е, и, таким образом, между
светимостью н яркостью можно установить связь: .
#е=2л [ Ве(ф)с05фзтфЖр. (3.13)
о
(310)Я источннков’ —ющнхся закону Ламберта
'/2 г/2
Re = пВ„ J 25Шфсо8ф4ф = Велзт2ф I =Веп. (3.14)
о о
60
Введение
Светимость характеризует плотность излучения и из- меряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м2). Освещенность, Поток лучистой энергии может исхо- дить от тел не только в результате того, что они явля- ются самостоятельными источниками, но и в результате рассеяния или отражения излучения, испускаемого дру- гими источниками. Поэтому существенно знать, какое ко- личество излучения падает на ту или иную часть облу- чаемого тела. Для этого вводится величина, называемая
• освещенностью. Понятие освещенности (облученности) относится уже не к источникам излучения, а характери-
освещенность зует интенсивность лучистой энергии, падающей на об-
• лучаемую поверхность. Величина энергетической осве- щенности Е6 численно равна величине потока, приходя-
энергетическая освещенность щегося на единицу освещаемой поверхности: £е=^фе/<г. (3.15) Если произвольно ориентированная в пространстве площадка о освещается источником L (см. рис. 3.1), то согласно (3.2) о = dQ, cos а * где г —расстояние от источника до площадки; а — угол между направлением лучей и нормалью к площад- ке; dQ — телесный угол, под которым видна площадка о из источника L. Освещенность этой поверхности р_ d$e cosa /ecosa £e о ~ ~dQ r’ “ так как по формуле (3.5) d<Df/dQ есть сила света /е источника.
• В формуле (3.16) заключены два так называемых
закон освещенности закона освещенности: 1) освещенность площадки обратно пропорциональна
• квадрату расстояния от точечного источника (закон об- ратных квадратов);
закон обратных квадратов 2) освещенность площадки прямо пропорциональна косинусу угла между направлением лучистого потока и нормалью к площадке (закон косинуса).
• Для расчета освещенности в случае протяженных источников необходимо разбить их поверхности на эле-
закон косинуса ментарные участки (достаточно малые по сравнению с г) и, определив освещенность, создаваемую каждым из них по закону обратных квадратов, проинтегрировать затем по всей площади источника, приняв во внимание зависимость силы света от направления. Прн очень боль- ших расстояниях по сравнению с размерами источника
Фотометрические понятия и единицы для световых измерений
61
можно считать весь источник точечным и пользоваться
la коном обратных квадратов. Это упрощение дает хоро-
шие результаты, если линейные размеры источника не
превышают 1/10 расстояния от источника до освещаемой
поверхности. Например, если источником служит равно-
мерно освещенный диск диаметром 50 см, то в точке,
лежащей на нормали к центру диска, ошибка в расчете
прн г—50 см достигает примерно 25 %, при г=2 и —
1,5 %, а при г=5 м —всего лишь 0,25 %.
Освещенность, как и светимость, измеряется в ваттах
на квадратный метр (Вт/м2).
Все представленные фотометрические величины дают
объективную энергетическую характеристику излучения.
Количественно определить эти величины можно при по-
мощи такого приемника, который одинаково восприни-
мал бы лучистую энергию при различных длинах волн
падающего излучения. Такими неселективными приемни-
ками являются тепловые приемники (термоэлементы,
болометры), реагирующие на всю падающую на них
энергию и превращающие ее в тепловую, которую мож-
но измерить количественно.
Наряду с интегральными энергетическими характери-
стиками излучения имеют важное значение и спектраль-
ные характеристики, представляющие собой функции
распределения энергии (или другой величины) по дли-
нам волн или частотам.
В общем случае распределение энергии по длинам
волн в спектре излучения можно охарактеризовать функ-
цией распределения
<р(Х) =^Ф«/Д (3.17)
где йфе — поток энергии, приходящийся на интервал
длин волн от X до X-|-dX. Поток энергии, переносимый
волнами, заключенными в конечном интервале от Xi
до Х& можно представить следующим образом:
Ot=f(p(X)dX. (3.18)
ч
Полный поток, относящийся ко всем длинам волн, по-
лучим, распространив пределы интегрирования на всю
область длин волн от Xi=0 до Х2=оо.
Световые измерения имеют ту особенность, что в них
большую роль играют непосредственные ощущения, т. е.
они, строго говоря, не вполне объективны. Так как при
световых измерениях нас интересует только та часть об-
3.2
Единицы
для световых
измерений
62
Введение
Рис. 3.4, Устройство све-
тового эталона:
I — смотровое окно; 2—труб-
ка; 3 —тигель; 4 —платина;
5 — сосуд; 6 — засыпка из
окиси тория
щего потока лучистой энергии, которая непосредственно
воздействует на человеческий глаз (интервал 400—
700 нм), то обычные энергетические характеристики из-
лучения являются уже недостаточными.
Практическая светотехника выдвигает много вопро-
сов, относящихся к спектральному составу света, созда-
нию источников подходящего спектрального состава
(источников «естественного» света), сравнению источни-
ков с различным спектральным составом и т. п. Оче-
видно, нужны какие-то единые способы сравнения и из-
мерения величин, которые должны характеризовать
источники света и условия освещения.
Казалось бы, целесообразно обратиться к естествен-
ному солнечному свету, взяв его за образец для сравне-
ния. Однако понятие естественного дневного света весь-
ма расплывчато. Время года, время суток, географиче-
ская широта, высота над уровнем моря, погода, чистота
атмосферы и другие факторы в широких пределах изме-
няют количественный и качественный состав солнечного
света. Ясно, что необходимо выбрать какой-то искусст-
венный источник света и принять его в качестве между-
народного образца. Причем желательно иметь такой
источник, световое излучение которого определялось бы
возможно более общими физическими законами.
Сила света. Поскольку самым универсальным излуча-
телем является абсолютно черное тело, его излучение
и было принято в качестве эталонного. Температуру, при
которой должно находится излучающее тело, необходи-
мо фиксировать с очень большой точностью, так как из-
лучение резко возрастает с температурой. В качестве та-
кой температуры была принята температура отвердева-
ния платины: Тотв=2042,5 К. При этом основной све-
тотехнической единицей в системе СИ устанавливается
единица силы света — кандела (кд). Ее значение прини-
мается таким, чтобы яркость полного излучателя при
температуре затвердевания платины была равна 60 кд
на 1 см2. Под полным излучателем понимается устройст-
во, обладающее свойствами абсолютно черного тела.
Световой эталон имеет трубку из плавленой окиси
тория 2, она помещена в обогреваемый тигель 3, выпол-
ненный из того же материала и заполненный примерно
190 г химически чистой платины 4 (рис. 3.4). Простран-
ство между тиглем 3 и кварцевым сосудом 5 занято
окисью тория 6. Тигель 3 нагревается до температуры
2042,5 К, и расплавленная платина поддерживает посто-
янной температуру излучателя — трубки 2. Световой по-
ток, испускаемый внутренней полостью трубки, выходит
Фотометрические понятия и единицы для световых измерении
63
через верхнее отверстие и используется как эталон для
сравнения.
Световой поток. Световой поток определяется как
мощность светового излучения, оцениваемая по его дей-
ствию на нормальный глаз. Это определение подчерки-
вает субъективный физиологический характер светотех-
нических величин. За единицу светового потока в систе-
ме СИ принимается люмен (лм). Он равен световому
потоку, излучаемому изотропным источником с силой
света в одну канделу в пределах телесного угла в один
стерадиан: 1 лм=1 кд-1 ср.
Яркость. Яркостью в системе СИ называется отноше-
ние силы света в 1 кд к площади светящейся поверхности
в 1 м2.
В системе СГС в качестве единицы яркости был при-
нят стильб (сб): 1 сб=1 кд/I см2=10* кд/м2.
Светимость. В системе СИ за единицу светимости
(светности) принимается светимость источника, каж-
дый квадратный метр которого дает световой поток в
один люмен (лм/м2).
Освещенность. Единица освещенности в системе СИ
люкс (лк). Это освещенность поверхности, на каждый
квадратный метр которой падает световой поток в один
люмен: 1 лк=1 лм/1 м2.
В системе СГС единица освещенности фот —освещен-
ность поверхности, на квадратный сантиметр которой
падает поток в один люмен: 1 фот=104 лк.
Кроме перечисленных величин в светотехнике также
применяются освечивание — произведение силы света на
время освещения (кд«с):
С=И, (3.19)
и количество освещения (экспозиция) — произведение
освещенности на время освещения (лк• с):
H=Et. (3.20)
Две категории характеристик излучения, единицы
которых были рассмотрены, отличаются друг от друга
способами их регистрации. Если энергетические харак-
теристики могут быть измерены объективно с помощью
тех или иных приборов, то для измерения светотехниче-
ских величин основным прибором в конечном счете явля-
ется человеческий глаз. Очевидно, что необходимо вве-
сти некоторую величину, с помощью которой можно бы-
ло бы привести в соответствие эти две категории ха-
рактеристик.
световой поток
яркость
светимость
освещенность
3.3
Функция видности.
Связь между
светотехническими
и энергетическими
величинами
64
Введение
видность
абсолютная видность
Чувствительность человеческого глаза к свету (свето-
вое ощущение) зависит от воспринимаемой длины волны.
Вне интервала 400—700 нм электромагнитное излучение
вообще не вызывает зрительного ощущения. Глаз чело-
века неодинаково чувствует и видимые лучи различного
цвета. Для введения величины, характеризующей спо-
собность светового потока вызывать зрительное ощуще-
ние, необходимо определить чувствительность глаза к
световым волнам различной длины. Глаза разных людей
обладают различной чувствительностью, поэтому вводит-
ся понятие чувствительности среднего нормального чело-
веческого глаза («средний глаз»). Начиная с коротких
длин волн (порядка 400 нм), чувствительность глаза
растет, достигает максимума при длине волны около
554 нм и затем снова убывает. Эту зависимость харак-
теризуют специальной величиной — видностью.
При этом различают абсолютную, полную, монохро-
матическую и относительную видности. Абсолютная вид-
ность V представляет собой отношение светового пото-
ка Ф (т. е. оцениваемой нашим глазом мощности) к соот-
ветствующей истинной, полной мощности лучистой
энергии Фе:
Г-Ф/Фе. (3.21)
полная видность
монохроматическая
видность
относительная видность
Рис. 3.5. Кривая видно-
стк
Поскольку Фе обычно измеряется в ваттах, а Ф —
в люменах, то единицей видности является люмен на
ватт (лм/Вт). Отношение полного светового потока бе-
лого света к соответствующей мощности лучистой энер-
гии называется полной видностью, а отношение для све-
та определенной длины волны — монохроматической
видностью.
Таким образом, видность является функцией длины
волны (ее еще называют функцией видности) и пред-
ставляет собой специфическую величину, позволяющую
переходить от энергетических величин к световым.
При расчетах удобнее использовать относительную
видность (функцию относительной видности):
, (3.22)
Максимальная видность лежит в области длины вол-
ны 554 нм (зеленая область) и составляет 683 лм/Вт
(рис. 3.5).
Источник, который всю свою энергию отдавал бы
только в виде излучения с длиной волны 554 нм, обладал
бы наибольшей экономичностью. Однако такой источ-
ник вряд ли смог бы нас удовлетворить, так как все
окружающие нас предметы были бы окрашены в один
Фотометрические понятия и единицы для световых измерений
65
зеленый цвет и отличались бы лишь тем, что одни были
бы светлее, а другие — темнее. Наилучшим источником
был бы такой, который излучал бы энергию только в
видимой области. Причем распределение по длинам волн
должно соответствовать условному «среднему солнечно-
му свету».
Величина, обратная Гшах, называется механическим
эквивалентом света. Мсв = 1/Итах=1,466-IO*3 Вт/лм.
Механический эквивалент света —это та минималь-
ная мощность (в ваттах), которая способна создать по-
ток в 1 лм в наиболее чувствительной для нашего глаза
спектральной области.
Относительная видность для К—554 нм принимается
за единицу (см. рис. 3.5), для остальных длин волн в
видимой области она меньше единицы, Если нужно вы-
звать одинаковое зрительное ощущение света двух длин
волн, необходимо, чтобы величина энергетического пото-
ка излучения была больше для той длины волны, для
которой глаз менее чувствителен по сравнению с той
длиной световой волны, к которой глаз более чувствите-
лен. Поэтому можно сказать, что значения функции вид-
ности двух длин волн fa и fa обратно пропорциональны
величинам энергетических потоков, вызывающих одина-
ковые по интенсивности зрительные ощущения:
A. (3.23)
Это означает, что если, например, К^=0,5, то для
получения зрительного ощущения такой же интенсивно-
сти свет данной длины волны должен иметь энергетиче-
скую мощность, в 2 раза большую, чем свет, для кото-
рого К).=1.
Для характеристики интенсивности света с учетом его
способности вызывать зрительное ощущение необходимо
уточнить понятие светового потока. Для узкого спек-
трального интервала Д световой поток равен произведе-
нию потока энергии на значение функции относительной
видности: ЛФ=К^Фе, или с учетом формулы (3.17)
При этом полный световой поток
<я
Ф=[Х»ф(Х)Л. (3.24)
б
Размерность светового потока совпадает с размер-
ностью потока энергии. Поэтом}7 световой поток можно
определить как поток лучистой энергии, оцениваемый по
зрительному ощущению.
механический
эквивалент света
66
Введение
Основы фотометрии
фотометры
фотометрический клин
Оптические методы исследования или технического
контроля в большинстве случаев связаны с той или иной
формой фотометрии, т. е. с измерением интенсивности
света. Наиболее распространенные методы фотометрии
можно условно разделить на три группы: визуальные,
фотографические и электрические (фотоэлектрические,
термоэлектрические, болометрические и др.), требующие
применения какого-либо регистрирующего прибора.
Электрические методы фотометрии в настоящее вре-
мя получили широкое распространение и в значительной
степени потеснили визуальные и фотографические. Эти
методы обладают большими возможностями в повыше-
нии точности измерений, автоматизации получения дан-
ных, создания экспрессных методов анализа и контроля
и т. п. Тем не менее визуальные и фотографические ме-
тоды продолжают успешно применяться в лабораторной
практике.
Визуальные методы. Визуальные измерения произво-
дятся непосредственно глазом. При этом следует иметь
в виду, что глаз очень хорошо устанавливает равенство
освещенностей двух соседних полей, но плохо оценива-
ет, во сколько раз освещенность одного поля больше
освещенности другого. Поэтому приборы для сравнения
двух источников (фотометры) выравнивают наблюдае-
мые глазом освещенности.
Для установления одинаковых освещенностей приме-
няются разнообразные приемы, основанные на ослабле-
нии освещенности одного из источников. Наиболее про-
стым приемом является изменение расстояния от источ-
ника по закону
Л/Д = г?/Г|, (3.25)
где А, /г, ft, Г2 — соответственно силы света источников
и расстояния от источников до фотометра. Однако со-
отношение (3.25) строго применимо только к точечным
источникам, поэтому им не всегда можно пользоваться.
Для ослабления светового потока используют также
поглотители переменной толщины (фотометрический
клин), сетки с различной площадью ячеек (фотометри-
ческие сетки) и систему поляризационных призм, а так-
же диафрагмы, вращающиеся секторы и ряд других при-
способлений.
Равенство освещенностей устанавливается глазом до-
статочно точно, если оба поля одинакового цвета. В про-
тивном случае сравнение не только затруднено, но иног-
да и вообще не имеет смысла. При сравнении источни-
Фотометрические понятия и единицы для световых измереиий
67
ков разного цвета (гетерохромная фотометрия) в осно-
ву измерений кладутся психофизические наблюдения.
Например, если скорость смены световых потоков (мига-
ния) увеличивать, наступит такой момент, когда глаз
перестанет воспринимать различие в цветности сравни-
ваемых полей, но будет еще замечать разницу в их яр-
кости (метод «мигающего» фотометра).
В любом фотометре рассматривается поле, часть ко-
торого освещается одним источником, а часть—дру-
гим. При этом необходимо, чтобы свет от источников
освещал поля под одним я тем же углом (рис. 3.6).
гетерохромная
фотометрия
Рис. 3.6. Схема простейшего фотометра
Белая трехгранная призма АВС помещена внутри за-
черненной трубы. Грани АВ и АС освещаются двумя
источниками Lt и Ц. Изменяя расстояния и г2, мож-
но уравнять освещенности граней. Если размеры источ-
ников малы и они расположены достаточно далеко от
призмы, их можно считать точечными. Тогда применимо
соотношение (3.25). Если сила света одного из источни-
ков известна, легко определить силу света другого. Для
удобства измерений приборы располагают на оптической
скамье.
В более совершенных визуальных фотометрах вме-
сто призмы используют куб Люммера — Бродхуна (рис.
3.7). Этот куб состоит из двух прямоугольных стеклян-
ных призм; у одной из них грань, соответствующая ги-
потенузе, плоская только в центре, края же сошлифова-
ны. Призмы тщательно отполированы и плотно прижаты
друг к другу, так что в месте соприкосновения они ве-
дут себя как прозрачное однородное вещество (постав-
лены на «оптический контакт»). Пусть на куб падает
два световых потока 1 и 2. В месте контакта часть по-
тока 1 пройдет направо, а в остальных местах лучи
испытают полное внутреннее отражение и пойдут вверх.
Поток 2 в месте контакта также пройдет без изменения
вверх, а в тех местах, где грань сошлифована, лучи рас-
сеются в стороны. Таким образом, вверх выйдут лучи из
обоих потоков, что даст два освещенных поля.
Люммер (Lumтег) Отто
Ричард (1860—1925) —
немецкий физик-экспери-
ментатор
Бродхун (Brodhun) Ев-
ген Генрих (1860—
1920) — немецкий физик
Рис. 3.7. Куб Люмме-
ра—Бродхуна
68
Введение
а
А
Рнс. 3.8. Схема фотомет-
ра с кубом Люммера —
Бродхуна (а) н поле эре-
кия (б)
фотографическая
фотометрия
оптическая плотность
Схема фотометра с кубом Люммера — Бродхуна
изображена на рис. 3.8, а. При наблюдении центр куба
освещен лучами, идущими от источника Lt, а внешняя
часть куба —лучами от источника £j. Таким образом,
поле, освещенное одним источником, окружает поле, ос-
вещенное другим, и при неравенстве освещенностей меж-
ду ними видна резкая граница (см. рис. 3.8, б). Прн ра-
венстве освещенностей граница между полями исчезает.
Фотографические методы. Раздел фотометрии, исполь-
зующий для количественной оценки световой энергии
фотографические-материалы, часто называют фотогра-
фической фотометрией. Фотографические методы для из-
мерения спектрально однородных световых полей в ви-
димой части спектра применяются сравнительно редко.
Чаще они используются при измерении спектров погло-
щения и распределения интенсивностей света по спектру
испускания, особенно, если спектры лежат в ультрафио-
летовой или ближней инфракрасной области. Достоинст-
ва фотографических методов проявляются тогда, когда
интенсивность излучения, поглощения или рассеяния
очень мала или когда нужно одновременно получить
сведения о нескольких излучениях. Наибольшая точность
в фотографической фотометрии будет тогда, когда на
одном участке фотографического материала по соседст-
ву друг с другом получают два ряда почернений: одно
создается оцениваемым излучением, а другое — излуче-
нием, по спектральному составу близким к первому, но
мощность которого измерена независимым способом. При
этом для обоих излучений необходимо соблюдать иден-
тичные условия освещения и обработки используемого
фотоматериала.
Основным приемником света в фотографических ме-
тодах является фотографическая пластинка. Светочувст-
вительный слой неэкспонированной фотопластинки со-
держит зерна хлористого серебра. Действие света на фо-
топластинку и последующее ее проявление приводит к
выделению металлического серебра. В современных мел-
козернистых эмульсиях отдельные зерна серебра нельзя
видеть невооруженным глазом, поэтому части пластинки,
освещенные равномерно, после проявления кажутся рав-
номерно черными. Почернение фотопластинки можно оп-
ределить количественно, измерив отношение светового по-
тока, прошедшего через непочерневшую часть пластинки
(Фв), к световому потоку, прошедшему через ее экспо-
нированную часть (Ф). Величина D -1^Ф0/Ф называет-
ся почернением, или оптической плотностью.
При заданном спектральном составе падающего на
Фотометрические понятия и единицы для световых измерений
69
фотопластинку света (например, белый свет) почерне-
ние является функцией светового потока и времени осве-
щения, В общем случае зависимость между оптической
плотностью D и выраженным в логарифмическом мас-
штабе количеством освещения (экспозицией) Н пред-
ставлена в виде графика на рис, 3,9, На этом графике
различают три области: 1) область недодержек, в кото-
рой свет производит очень малое фотографическое дей-
ствие; 2) прямолинейный участок, или область нормаль-
ных почернений; 3) область передержек, в которой даль-
нейшее увеличение длительности экспозиции дает малое
изменение почернения или совсем не изменяет его.
В линейной области фотографическая пластинка об-
ладает некоторыми свойствами линейного приемника из-
лучения. Угол наклона этого участка кривой (обычно
обозначаемый у) соответствует чувствительности тепло-
вого приемника.
Нерегулярное распределение зерен в фотографической
эмульсии приводит к эффекту, аналогичному шуму в
других приемниках излучения. Под действием проявите-
ля происходит почернение некоторого числа зерен даже
в неэкспонированных областях пластинки. Число почер-
невших зерен на данной площади пластинки и при дан-
ной экспозиции зависит от статистических флуктуаций,
которые становятся очень большими при уменьшении
площади рассматриваемых областей пластинки. Этот
«шум» ограничивает возможность фотографического вос-
произведения высоких пространственных частот, т. е.
мелких деталей изображения, и предел чувствительно-
сти для фотографической пластинки как приемника из-
лучения. Основным преимуществом фотопластинки явля-
ется ее способность суммировать слабое излучение в те-
чение достаточно большого промежутка времени (вплоть
до нескольких дней).
Электрические методы. К электрическим методам фо-
тометрии можно отнести все разнообразные методы фо-
тометрии, в которых в качестве приемников света ис-
пользуются фотоэлементы, фотоумножители, фотосопро-
тивления, термоэлементы и болометры. Электрические
схемы таких устройств, помимо приемников света, со-
держат приборы, регистрирующие фото- или термотоки,
в виде гальванометров, осциллографов или автоматиче-
ских потенциометров (самописцев).
В схемы электрических фотометров часто включают
различного рода вспомогательные устройства: светоос-
лабляющие и электроизмерительные системы, свето-
фильтры, усилители, стабилизаторы тока и напряжения
Рнс. 3.9, Характеристиче-
ские кривые почернений
для двух разных фото-
пластинок
70
Введение
Рис. 3.10. Схема диффе-
ренциального фотоэлект-
рического фотометра
и др. Это приводит к тому, что электрические фотомет-
ры, в особенности автоматически регистрирующие, пред-
ставляют собой очень сложные приборы с кинематиче-
ским и электрорадиотехническим устройствами.
Во многих оптических исследованиях возникает не-
обходимость сравнения двух световых потоков с одина-
ковым распределением энергии по спектру. Такие изме-
рения можно выполнить, последовательно определяя ве-
личины каждого потока при помощи калиброванного
приемника. Если же известно отношение энергий пото-
ков, измерения можно проводить сравнительно простыми
методами.
Пусть каждый из пучков света (рис. 3.10) попадает
на один из двух приемников излучения (например, фо-
тоэлементы ФЭ). При освещении ФЭ через них идут то-
ки i'i и а через гальванометр пройдет ток, равный
i —iz. Если источник интенсивней /,2, то на пути све-
та от L\ вводят фотометрический клин К, с помощью
которого можно выравнять потоки, падающие на ФЭ, в
результате чего разность i|—станет равной нулю и
стрелка гальванометра Г не будет отклоняться. Если
для этого необходимо ослабить световой поток Ф( от
источника Li в k раз, то Ф11к-Ф2, где Ф2 — световой по-
ток от источника L2. Отсюда Ф\[Ф2=к.
Схемы подобного рода называются дифференциаль-
дифференциальные
схемы
ными.
В другом случае (рис. 3.11) фотометр может рабо-
тать с одним приемником излучения. Свет на фотоэле-
мент ФЭ падает попеременно от источников и L2 с по-
мощью вращающегося сектора D (или какого-либо дру-
гого эквивалентного устройства). При этом электриче-
ский сигнал, даваемый приемником, будет иметь постоян-
ную и переменную составляющие. Далее сигнал после
ФЭ усиливается узкополосным усилителем, причем по-
Рис, 3.11. Схема фото-
электрического фотомет-
ра с модуляцией светово-
го потока
стоянную составляющую усилитель не пропустит, а ам-
плитуда переменной составляющей будет пропорциональ-
на разности световых потоков. Ослабляя, как и в пер-
вом случае, один из световых потоков с помощью фото-
метрического клина, .можно определить их отношение k.
Описанное устройство с модулированными пучками
света эквивалентно дифференциальному фотометру с
двумя тождественными приемниками. Точность этого ме-
тода лимитируется тем, что разностный сигнал зависит
от флуктуаций постоянной компоненты излучения и шу-
ма в электронной схеме.
В светотехнике важной задачей является определение
средней сферической силы света, т. е. значение полного
Фотометрические понятия и единицы для световых намерений 1
71
потока, посылаемого источником, а не его распределе-
ние по различным направлениям. В случае анизотроп-
ного источника (например, электрическая лампочка) та-
кого рода измерения связаны с большими трудностя-
ми—для этого потребовались бы измерения силы све-
та в разных направлениях, а затем усреднение резуль-
татов. Эту трудность можно обойти, воспользовавшись
интегральным фотометром (шаровой фотометр Ульбрих-
та), представляющим собой сферу К (рис. 3.12), внут-
ренняя поверхность которой покрыта диффузно отра-
жающей краской. Белый матовый экран S защищает от-
верстие VZ на поверхности сферы (закрытое молочным
стеклом) от прямых лучей источника L. Если отраже-
ние внутри сферы следует закону Ламберта, освещен-
ность Е отверстия W' пропорциональна полному светово-
му потоку Ф источника: Ё=сФ, где с— коэффициент
пропорциональности, зависящий от размеров сферы и ус-
ловий отражения. Этот коэффициент определяется путем
сравнения с эталонным источником света. Измерения с
помощью интегрального фотометра можно проводить как
визуально, так и фотоэлектрически с использованием
фотоэлемента ФЭ и гальванометра Г.
Измерение фотометрических величин играет важную
роль в светотехнике при конструировании осветительных
устройств. Уровень освещенности, требуемый для выпол-
нения данного вида работ, можно найти только путем
психофизиологических наблюдений. Например, при осве-
щении дорог наиболее существенно создать равномер-
ную освещенность без лишнего слепящего действия
источников света. Здесь определенное преимущество
имеют ртутные лампы, которые обладают большой эф-
фективностью и поэтому их можно располагать высоко
над дорогой. Но даже при освещении дорог надо прини-
мать во внимание неприятный для некоторых людей
желтый оттенок света ртутных ламп. Эстетические сооб-
ражения еще более существенны при освещении рабочих
мест и жилых помещений. Слишком сильные контрасты
неприятны для глаз, однако совершенно равномерное
бестеневое освещение является настолько скучным и од-
нообразным, что его надо применять только в специаль-
ных случаях. Для непосредственных измерений освещен-
ности применяют специальные фотометры— люксметры,
действие которых основано на фотоэлектрическом прин-
ципе.
Рис. 3.12. Интегральный
фотометр
Раздел I
'лз-'с:
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Глава 4
КОГЕРЕНТНОСТЬ
Из повседневного опыта хорошо известно,
что освещенность, создаваемая двумя источни-
ками света в любой точке экрана, где произ-
водится наблюдение, равна сумме освещенно-
стей, получающихся от каждого источника в
отдельности. Этот эмпирический закон (закон
фотометрического сложения) применим также
и к излучению различных участков протяжен-
ного источника света.
Согласно принципу суперпозиции световой
вектор одной волны складывается с вектором
другой волны, не испытывая при этом ника-
кого искажения. В результате может получить-
ся волна, амплитуда которой равна, например,
сумме амплитуд складывающихся волн. Л так
как энергия волны пропорциональна квадрату
амплитуды, то энергия результирующей вол-
ны, вообще говоря, не будет равна сумме
энергий складывающихся волн, ибо квадрат
суммы нескольких величин не равен сумме их
квадратов. Таким образом, экспериментальные
факты вступают, на первый взгляд, в противо-
речие с волновыми представлениями о свете.
Кроме того, давно известны некоторые опти-
ческие явления, в результате протекания ко-
торых появляются чередующиеся полосы мак-
симальной н минимальной освещенности (ин-
терференционные полосы), т. е. происходят пе-
рераспределение потока световой энергии в
пространстве. Объяснение таких явлений не
укладывается в рамки геометрической (луче-
вой) оптики.
Естественно, что все перечисленные факты
должны получить объяснение с некоторых об-
щих теоретических представлений, т. е, теория
должка показать, какие условия необходимы
для получения интерференционных полос, объ-
яснить, почему прн обычных условиях освеще-
ния интерференционные полосы ие наблюда-
ются.
4.1
Когерентность
колебаний и волн
При сложении двух гармонических колебаний одного
периода (см, § 1.3)
Si=aisin(o)/+6i); $2=02 sin (4-1)
происходящих по одному направлению, мы получили
вновь гармоническое колебание
s=$i-{-S2=4 sin(®/-{-6) (4.2)
С амплитудой
Л* = а* 4-а* + 2^ cos (6j — б2). (4.3)
Из выражения (4.3) следует, что квадрат амплитуды
результирующего колебания не равен сумме квадратов
амплитуд складывающихся колебаний, т. е. энергия сум-
марного колебания не равна сумме энергий отдельных
колебаний. Результат сложения будет зависеть от раз-
ности фаз (61-62) исходных колебаний.
Известно, что чисто гармонических колебаний, т. е.
колебаний, длящихся бесконечно долго с неизменной
амплитудой, не существует. Любое реальное колебание
длится определенное время, затем может оборваться,
возникнуть вновь, но уже с иной фазой, опять оборвать-
Когерентность
73
ся и т. д. В таком случае результирующая интенсив-
ность, пропорциональная квадрату амплитуды (1~А2),
будет также изменяться со временем, причем эти изме-
нения будут происходить очень быстро. Ввиду отсутст-
вия приемника, реагирующего на быстрые изменения ин-
тенсивности, мы вынуждены регистрировать некоторое
среднее значение интенсивности, подобно тому, как глаз,
не успевая следить за колебаниями яркости электриче-
ской лампочки, питаемой переменным током, отмечает
некоторую постоянную яркость.
Вычислим среднее значение интенсивности результи-
рующего колебания за некоторый промежуток вре-
мени т:
т т
<Д2) — А | A2di = — [ (qJ + а2 + 2^^ cos 6) dx =
о т о
= + aj 4- 2ага2 Д-1 cos Мт,
т о
где 52. Если б остается неизменной в течение вре-;
менн наблюдения т (это время должно выбираться в со-
ответствии с инерционностью приемной аппаратуры), то
т
— j cos Мт = cos б,
т о
следовательно,
<Д2> = of + а* + 2^2 cos б,
т. е. </>^=/1+/г.
Если колебания случайно обрываются или происхо-
дит хаотическое изменение их фазы за время усредне-
ния, то
[ cos МтО,
1 о
тогда
(Д2) -о2 + а2,
т. е. </> «71+Л-
Таким образом, при сложении двух колебаний одно-
го периода необходимо различать два случая:
1) за время т, достаточное для наблюдения, разность
фаз двух колебаний остается постоянной (6=const). Та-
кие колебания называются когерентными. При сложении
когерентных колебаний интенсивность результирующего
когерентные колебания
74
Интерференция света
интерференция
колебаний
колебания отличается от суммы интенсивностей исход-
ных колебаний и зависит от разности фаз. Это явление
называется интерференцией колебаний;
2) за время т разность фаз изменяется беспорядоч-
ным образом. Такие колебания не будут когерентными,
и интенсивность результирующего колебания равна сум-
ме интенсивностей исходных колебаний. При сложении
некогерентных колебаний интерференция не будет иметь
места.
При сложении большого числа колебаний результи-
рующая амплитуда будет иметь вид
п п п
Л® ~ 2 ai + 2 2 £ a(a*cos6. (4.4)
i—I f=l
Для когерентных колебаний разности фаз будут иметь
в данной точке вполне определенное и постоянное значе-
ние и согласно (4.4) суммарная интенсивность может ока-
заться как больше, так и меньше суммы интенсивностей
п
отдельных колебаний £ а2. При одинаковых амплитудах
i=l
tii = a в тех точках, в которые все колебания приходят
в одинаковой фазе, интенсивность будет равна
(п \2
2«/) = (л°)г=лл
4=1 /
т. е. будет наблюдаться резкое возрастание интенсивно-
сти (в и2 раз). В других точках произойдет взаимное га-
шение интенсивности. Вследствие интерференции будет
происходить перераспределение интенсивности (энергии)
колебаний в пространстве.
Если колебания некогерентны, т. е. происходят неза-
висимо друг от друга, то их фазы принимают случайные
значения от 0 до 2л, a cos 6 имеет с равной вероятностью
как положительные, так и отрицательные значения (от
4-1 до -1). В таком случае среднее значение второй
суммы в выражении (4,4) будет равно нулю. Поэтому
для среднего значения интенсивности можно записать
п п
т. е, результирующая интенсивность равна сумме интен-
сивностей отдельных колебаний.
Таким образом, два любых гармонических колебания
всегда когерентны. Гармонические колебания порождают
Когерентность
75
монохроматические волны, способные интерферировать,
Условием интерференции волн одной и той же длины
является их когерентность, т. е. сохранение неизменной
разности фаз за время, достаточное для наблюдения.
Следует помнить, что термины «когерентный» и «не-
когерентный» описывают идеализированные состояния,
которые на практике никогда не осуществляются. Стро-
го когерентны только монохроматические волны одина-
ковом частоты, т. е. бесконечно длинные цуги волн, Не-
когерентность, т. е. совершенно произвольное изменение
фаз в статистическом смысле, также встречается редко,
но на практике любые два пучка света, происходящие
от разных источников, фактически независимы.
Рве. 4.1. К расчету разности фаз волн, идущих от двух когерентных
источников
Способность когерентных волн к интерференции озна-
чает, что в любой точке, которой достигнут эти волны,
имеют место когерентные колебания. Последние будут
интерферировать, если ориентация и поляризация волн
таковы, что направления колебаний совпадают между со-
бой. Результат интерференции определяется разностью
фаз интерферирующих волн в месте наблюдения. Эта
разность фаз зависит от начальной разности фаз волн,
а также от разности расстояний, прошедших волнами
от источников до точки наблюдения.
Пусть Li и L2 представляют собой два когерентных
источника, каждый из которых излучает монохромати-
ческую волну (рис. 4.1). Допустим, что волны плоские
и в точке наблюдения Л1 на экране ЕЕ' имеют одинако-
вые амплитуды. Тогда колебания в точке М, вызываемые
первой и второй волнами,выразятся в виде S]=acos(a)t—
~kdi) и s2=a cos [(и/—kd2) — б}, где di=LiAf;
б — начальная разность фаз.
76 Интерференция света
Результирующее колебание в точке М имеет вид 5 = % +$8 = 2аcos k + -у cos — у, (45) где 2аcos k + 4"] = 2°cos 31 d'~idl + 4 ‘“'4 представляет собой амплитуду результирующего коле- бания. Интенсивность колебания в точке наблюдения про- порциональна квадрату амплитуды Л* = 4а2 cos2 (л + ±j. (4.6) Для когерентных волн б,постоянна и, следовательно, интенсивность света в точке А1 зависит только от раз-
• ности расстояний dz-di = b, которую принято называть разностью хода. Благодаря разности хода, колебания,
разность хода вызванные этими волнами в точке их встречи, будут об- ладать разностью фаз даже в том случае, когда началь- ные фазы обеих волн одинаковы. Разность фаз, возник- шая вследствие разности хода, равна ф = 2л-^1- = М. (4.7) п Исследуем выражение (4.6) и найдем те значения разности хода, при которых наблюдается максимальная и минимальная интенсивности. Если начальные фазы одинаковы (6=0), при Д=тХ колебания будут совпадать по фазе и интенсивность достигнет максимального значе- ния /щах=4а2. При Д=(/и+1/2)Х колебания окажутся
• в противоположных фазах и результирующая интенсив- ность будет минимальной: /т1а=0. Число т, называемое
порядок, интерференции порядком интерференции, принимает значения 0, 1, 2 Геометрическое место точек пространства, которые характеризуются одинаковыми амплитудами (интенсив- ностями) и удовлетворяют условию <p=const, представ- ляет собой поверхность гиперболоида вращения с осью Ц Li (см. рис. 4.1). Фокусами последнего являются точ- ки Li и Li. Сечение одного из гиперболоидов вращения плоскостью чертежа на рис. 4.1 показано пунктиром. Средняя плоскость, изображенная линией 00', характе- ризует плоскость максимальной интенсивности. Описанное распределение интенсивности представля- ет собой интерференционную картину, получающуюся в
Когерентность
77
результате интерференции двух когерентных волн, на-
чальная разность фаз между которыми равна нулю.
В случае, если начальная разность фаз отлична от ну-
ля, получим смещенную относительно точек Li и L2 ин-
терференционную картину, причем величина смещения
будет зависеть от 6.
Для некогерентных волн каждому значению 6 будет
соответствовать своя интерференционная картина, кото-
рая с течением времени будет сменяться другой. Если
такая смена происходит достаточно быстро, мы не в со-
стоянии наблюдать эти мгновенные интерференционные
картины и воспринимаем некоторое среднее состояние,
соответствующее равномерному распределению интенсив-
ности.
Если два независимых источника света или два раз-
личных участка одного и того же светящегося тела по-
сылают световые волны в одну и ту же область прост-
ранства, интерференция не наблюдается. Отсутствие ин-
терференционной картины может означать только, что
источники посылают некогерентные волны. Это равно-
сильно тому, что излучение источников немонохроматиче-
ское, ибо две строго монохроматические волны всегда
когерентны.
Физическая причина немонохромэтичности (некоге-
ренткости) световых волн заключена в специфике проте-
кания атомных процессов. Излучение светящегося тела
слагается из волн, испускаемых атомами вещества, из
которого оно состоит. В двух самостоятельных источни-
ках мы всегда имеем дело с излучением атомов, не свя-
занных друг с другом. Процесс испускания отдельного
атома длится очень короткое время (тисп^Ю-8 с), пос-
ле чего он обрывается вследствие потери энергии как в
виде излучения, так и в результате взаимодействия с
окружающими атомами. За время тИСп атом успевает
испустить цуг волн определенной длины. Так, при ча-
стоте света порядка 1015 Гц такой цуг содержит 10~вХ
ХЮ15=107 длин волн, т. е. монохроматичность такого
цуга очень высокая. После прекращения излучения атом
может вновь начать испускать, однако фаза нового цуга
волн не связана с фазой предыдущего цуга. Поэтому
разность фаз между излучениями двух таких независи-
мых атомов будет изменяться всякий раз при начале
нового акта испускания.
Таким образом, ряд физических процессов, происхо-
дящих в источнике света, определяет тот минимальный
интервал времени, в течение которого фазу и амплитуду
4.2
Способы
наблюдения
интерференции
света
78
Интерференция света
время когерентности
длина когерентности
Рис. 4.2. К вопросу о ко-
герентности колебаний в
разных точках прост-
ранства
испускаемой волны можно считать постоянными, Этот
промежуток времени называют временем когерентности
(тког), которое оценивается примерно 10-9—10-10 с. Зная
время когерентности, можно оценить другую очень важ-
ную физическую величину — длину когерентности, пред-
ставляющую собой расстояние 1КОг=стког. на которое
распространяется волна за время, пока ее фаза и ампли-
туда остаются в среднем постоянными. Очевидно, что
прн принятой оценке тКог длина когерентности в оптике
составляет 3—30 см. В некоторых частных случаях
Дког может совпадать с длиной волнового цуга, равной
СТисп-
Из сказанного можно сделать вывод о невозможно-
сти получения интерференции с помощью обычных ис-
точников света. Естественным образом возникает вопрос:
можно ли вообще создать условия, при которых наблю-
дались бы интерференционные явления, и как, пользуясь
обычными некогерентными источниками света, получить
взаимно когерентные волны? Попытаемся ответить на
этот вопрос.
Рассмотрим колебания, создаваемые одним и тем же
источником в двух различных точках пространства Л и
Р2. Если при каких-то условиях опыта эти колебания
окажутся когерентными, можно найти способ свести их
снова в одну точку, в которой, очевидно, и должна наб-
людаться интерференция.
Для начала воспользуемся точечным источником све-
та, т. е. таким источником, линейные размеры которого
значительно меньше длины волны излучаемого им света.
Введение этого ограничения позволяет не учитывать до-
полнительную разность хотя бы для двух излучающих
атомов и считать, что для любой точки (/,-^=0. Мож-
но считать исследуемое излучение эквивалентным излу-
чению одного атома, но с фазой и амплитудой волны
постоянными лишь в течение времени когерентности.
Разместим точечный источник в точке О и обозначим
расстояния до точек Pj н Pj через dt и dj (рис. 4.2).
Здесь возможно несколько случаев:
1) две точки Pi и Pi располагаются на равном рас-
стоянии (d] = d2) от точечного источника. Эти точки бу-
дут находиться в пределах одного цуга, т. е. колебания
в них всегда когерентны;
2) различие в положении двух точек Р2 и Р3 таково,
что |d2-я’з]>стКОг- Такие точки в любой момент време-
ни будут принадлежать к разным цугам волн, т. е. коле-
бания в них некогерентны;
3) точки Р4 и Р] расположены таким образом, что
Когерентность
79
0<jt/4-rf||<стЬОг. Такие колебания называются частич-
но когерентными, они также дают возможность наблю-
дать стационарную интерференционную картину.
Следовательно, при точечном источнике света, когда
разность хода лежит в пределах длины когерентности,
можно наблюдать интерференцию. Это означает, что не-
обходимо создать тем или иным способом две системы
волн и затем свести их вместе в какой-либо точке прост-
ранства. Если для разности хода выполняется условие
Л = |(/(-4/|<сг*ог, интерференция должна наблюдаться.
частично
когерентные колебания
Рис. 4.3. Наблюдение интерференции в опыте Юнга
В оптике для получения двух систем волн использу-
ются различные устройства, основанные на законах от-
ражения и преломления. При этом можно вместо одного
действительного источника получить два действительных,
действительный и мнимый или два мнимых источника,
от которых и рассматривается в дальнейшем интерфе-
ренция. Такое различие в источниках несущественно, ибо
волна, идущая от реального источника, при помощи со-
ответствующего оптического устройства разделяется на
две световые волны, интерферирующие в некоторой об-
ласти. Использование мнимых изображений служит лишь
удобным способом определения области перекрытия лу-
чей, где можно наблюдать интерференцию. Существует
ряд различных схем, позволяющих наблюдать явление
интерференции. Рассмотрим некоторые из них.
Метод Юнга. Юнг первым (1802 г.) наблюдал явле-
ния интерференции света и первым дал им правильное
объяснение. Источником света в опыте Юнга (рис. 4.3)
служит освещенная щель S, от которой световая волна
падает на две узкие щели S( и S2, освещаемые различ-
ными участками одной и той же волны. Свет, проходя
через малые отверстия Si и S2> в результате дифракции
Юнг (Young) Томас
(1773—1829) — англий-
ский физик
80
Интерференция света
Френель (Fresnel) Огюс-
тен Жан (1788—1827) —
французский физик, ин-
женер и математик
отклоняется от первоначального направления, так что
обе части этой волны перекрываются и интерферируют.
Чтобы наблюдать интерференцию в опыте Юнга, шири-
на щелей должна быть очень малой. Только прн малых
размерах щели S за ней возникнет правильный волно-
вой фронт, представляющий собой часть сферы, что обес-
печит одинаковость фаз колебаний на щелях Si и S?.
Во время опыта при расстоянии между экранами А и В
в 2 м ширина щели S должна быть порядка 0,3 мм, а
расстояние между Sj и Sa— не более 1 мм.
Бизеркала Френеля. Френель предложил в качестве
двух когерентных источников воспользоваться двумя
изображениями одного и того же действительного источ-
ника света в двух плоских зеркалах (рис. 4.4). AjO и
А2О — два плоских зеркала, расположенных под малым
углом а.
Чтобы прямые лучи от L не попадали на экран наб-
людения ЕЕ', на их пути ставится непрозрачный экран К.
Волны, идущие от L и отражающиеся зеркалами AiO и
А2О> представляют собой две системы когерентных волн,
как бы исходящих от источников £j и Е2, являющихся
мнимым изображением в зеркалах А(О и AjO. Источ-
ник L в опыте Френеля берется в виде узкой щели, па-
раллельной ребру 0, образованному зеркалами. При
этом интерференционные максимумы имеют вид парал-
лельных полое.
Бипризма Френеля. Данный опыт — более простой ва-
риант предыдущего. Свет от источника L (рис. 4.5) про-
ходит двойную призму с углом при вершине, близким к
180°. Источником света служит ярко освещенная узкая
щель, установленная строго параллельно преломляюще-
му ребру бипризмы. Призма отклоняет лучи в противо-
положных направлениях, и, таким образом, возникают
Когерентность
81
два мнимых когерентных источника света L\ и 12, лу-
чи от которых, перекрываясь, дают интерференционные
полосы.
Рис. 4.5. Бипризма Френеля
Билинза Бийе. Этот интерференционный опыт осуще-
ствляется с помощью линзы, разрезанной по диаметру
(рис. 4.6). Обе ее половины слегка разводятся, и с их
помощью получаются два действительных изображения
Lj и L2 источника L. Прорезь между полулинзами за-
крывается экраном. Интерференционная картина об-
Рис. 4.6. Билинза Бийе
разуется в области перекрытия световых потоков, иду-
щих от L\ и Ь2.
Введем некоторые характеристики интерференцион-
ных схем, поскольку именно в опыте Бийе отчетливо вы-
ступают их наиболее существенные детали.
Угол 2<р между лучами, исходящими из источника ф
11 или Ц, называется апертурой перекрывающихся лу-
чей. Максимальное значение угла 2<р соответствует уело- апертура
ВИЮ L.A.IIM, и L,8,||L,B,. т. е. когда экран ЕЕ' распо-
82
Интерференция света
апертура интерференции
Ллойд (Lloyd) Хэмфри
(1800—1881) — ирланд-
ский физик
ложен в бесконечности. Величина апертуры 2<р опреде-
ляет угловые размеры поля интерференции, в котором
происходит перераспределение освещенности — возника-
ют интерференционные полосы.
Угол 2(и между лучами, идущими от L к центральной
точке экрана М, характеризует угол раскрытия лучей,
определяющий интерференционный эффект в точке М.
Практически то же значение этот угол имеет и для лю-
бой другой точки интерференционного поля. Угол 2и на-
зывается апертурой интерференции. В поле интерферен-
ции ему соответствует угол схождения лучей 2ш, величи-
на которого связана с углом 2а правилами построения
изображений.
Зеркало Ллойда. Свет от источника L, расходящийся
под небольшим углом, падает на отражающую поверх-
ность — плоское металлическое зеркало (рис. 4.7). Ин-
Е
Рис. 4.7. Зеркало Ллойда
терференция наблюдается на экране, установленном
перпендикулярно к плоскости зеркала. В этом случае
когерентными источниками будут L и его мнимое изоб-
ражение Li в зеркале. Так как при отражении от ме-
таллического зеркала происходит изменение фазы на л,
то L и Li не синфазны, а находятся в противоположных
фазах. Таким образом, в схеме Ллойда вся интерфе-
ренционная картина сдвинута на полполосы по сравне-
нию с чисто геометрическим расчетом.
В опыте Ллойда четкость интерференционной карти-
ны зависит от места наблюдения на экране ЕЕ1, Чем
дальше это место от плоскости зеркала, тем хуже ста-
новится интерференционная картина, а затем она вооб-
ще исчезает. Из рис. 4.7 следует, что 2и<2о/, т. е. с
удалением от зеркала увеличивается апертура интерфе-
ренции. Следовательно, качество интерференционной
картины непосредственно зависит от апертуры интерфе-
Когерентность
83
penции. Величина апертуры интерференции 2ш тесно
связана с допустимыми размерами источника. Теория и
опыт показывают, что с увеличением 2w уменьшаются
допустимые размеры ширины источника, при которых
еще имеет место отчетливая интерференционная картина.
Рассмотренные в § 4.2 схемы для наблюдения интер-
ференции имеют много общих черт. Поэтому для опре-
деления основных характеристик схем и их связи с ин-
терференционной картиной можно воспользоваться неко-
торой общей схемой (рис. 4.8).
4.3
Основные
характеристики
интерференционных
схем
Рис. 4.8. Общая интерференционная схема
Пусть два когерентных источника L; и являются
изображением некоторого источника L. Метод получе-
ния L} и Z.2 может быть любым из ранее рассмотренных,
т. е. оба источника могут быть как действительными, так
и мнимыми изображениями основного источника. Для
расчета интерференционной картины при любой схеме
достаточно знать взаимное расположение Ц и L2, а так-
же их положение относительно экрана ЕЕ'. Если экран
расположен перпендикулярно к линии, соединяющей Li и
то интерференционные полосы будут представлять со-
бой концентрические окружности (сечение гиперболоидов
вращения, см. § 4.1). При расположении экрана парал-
лельно линии LiL? полосы-имеют вид гипербол, которые
в случае точечного источника (при сферической волне)
мало отличаются от параллельных прямых при усло-
вии 0M»LtL2.
В качестве источника света L выберем ярко осве-
щенную щель, параллельную плоскости симметрии си-
нем ы (например, диаметру разреза билинзы Бийе, реб-
["> бизеркал Френеля и т. д.). При таком линейном ис-
1 -шике света интерференционная картина на экране
' будет в виде полос, параллельных щели. Такое рас-
положение позволяет при решении задачи ограничиться
рассмотрением плоскости чертежа (см. рис. 4.8).
84
Интерференция света
Пусть расстояние между когерентными источниками
Л и £2 равно 21, расстояние от Щ? до экрана 0M=D,
а расстояния от Ц и £2 до какой-либо точки экрана N
равны соответственно и d2. Если источники Li и £2сик-
фазны (ф=0), центральный максимум лежит на средней
линии в точке М (£iM—£^=0).
Определим разность хода \=d2—di до любой точки N
на экране, находящейся на расстоянии h от точки Af:
Разность квадратов
dl-dl = (di + dl}(dt^di) = 2h-2l
или
Л - 2А<2/
Разность хода А, измеряемая в длинах волн, всегда
значительно меньше и d2. Поэтому можно положить
di+d2=2d, где </=/А+Д/2=<4—Д/2, тогда
д=й4-- <48)
В большинстве опытов расстояние D до экрана гораз-
до больше, чем 2/(0» 2/), поэтому можно считать, что
d&D, тогда
А - Л -5-. (4.9)
Для дальнейших рассуждений предположим, что свет,
посылаемый источниками, монохроматичен с длиной вол-
ны X. Тогда согласно § 4.1 максимальное значение интен-
сивности Лтат—d2—d^=тХ, а минимальное — Дт1п=^2~
—di= (т-Н/2Н- На экране положение максимумов и ми-
нимумов будет определяться значением h. Подставив
в формулу (4.9) соответствующие значения Д, получим:
положение максимумов при
Л = /п^-Л;
положение минимумов при
Л — 2 ) 21
Расстояние между соседними максимумами или мини-
мумами, равное
«Л = ^-Х, (4.10)
Когерентность
85
называется шириной полосы. Из формулы (4.10) следует,
что полосы будут тем шире, чем меньше расстояние 21
между источниками при заданных значениях D и X. На-
пример, при D-100 см; л=5-10-5 см; 2 /=0,05 см = 0,5мм
ширина полосы дй=0,1 см. Такие интерференционные по-
лосы хорошо наблюдаются невооруженным глазом.
Ширину полосы интерференции можно выразить через
угол схождения лучей 2 ю, связанный с апертурой интер-
ференции. Так как обычно угол 2 w мал, то на основании
рис. 4.8 можно записать, что w^ljD или 2w=2//D. Тогда
из формулы (4.10)
ih=№. (4.11)
Формулы (4.10) и (4.11) характеризуют линейные зна-
чения ширины полосы интерференции, которые зависят
от расстояния D до экрана. При увеличении D ширина
полосы может расти до бесконечности. Поэтому имеет
смысл ввести угловую ширину полосы, которая характе-
ризует угловое расстояние между соседними максимума-
ми, наблюдаемое с места расположения источника. В со-
ответствии с этим определением
йр=б/1/0=Л/2/, (4.12)
т. е. ширина полосы тем больше (интерференционная
картина крупнее), чем меньше расстояние 2/ между ис-
точниками.
При переходе от максимума к минимуму освещенность
экрана будет изменяться постепенно. Закон изменения
освещенности (интенсивности) можно получить, восполь-
зовавшись формулами (4.6) и (4.9):
/ = 4о2 cos я 4- ” 4а8 cos8 -77г-. (4.13)
Л ки
С помощью тригонометрической формулы cos2ct/2=
= (l + cosa)/2 преобразуем выражение (4.13):
Z = 2a2(14-cos-^-). (4.14)
Формула (4.14) показывает изменение освещенности
на экране в зависимости от координаты h (рис. 4.9), т. е.
на экране наблюдается периодическое изменение осве-
щенности - чередование светлых и темных полос.
Однако необходимо подчеркнуть, что в любом интер-
ференционном опыте при использовании обычных источ-
ников света на экране, как правило, наблюдается такое
периодическое изменение освещенности, при котором
Поэтому для количественной оценки качества
ширина полосы
Рис. 4.9, Распределение
освещенности на экране
в зависимости or рассто-
яния до центра экрана
86 Интерференция света
интерференционной картины вводится так называемая функция видимости
• функция видимости (Ц5) * max Т • m In Для нахождения функции видимости нужно измерить /max и /min, а затем вычислить V по формуле (4.15). Очевидно, что при некогерентных источниках, когда не возникает интерференционной картины, /тах=/т[ц и, сле- довательно, функция видимости У=0. А при когерент- ных источниках света на экране наблюдается интерфе- ренционная картина, изменение интенсивности которой описывается синусоидой, т. е. /т>п=0 и V= 1. В промежу- точном случае мы также можем наблюдать интерферен- ционную картину, но качество ее хуже, чем при когерент-
• ном освещении: 0<У<1. Источники, создающие такую картину интерференции, принято называть частично ко-
частично когерентные источники герентными. Частичная когерентность характеризует ква- зимонохроматическую волну (см. § 1.7). В настоящее время хорошими источниками когерент- ного излучения служат квантовые генераторы света — лазеры. Определяющим в лазерах является вынужденное излучение, при котором все излучающие атомы жестко связаны по фазе, что и обусловливает их когерентность. С помощью лазера можно поставить эффектный де- монстрационный опыт по интерференции. Для этого вос- пользуемся гелий-неоновым лазером, генерирующим свет с длиной волны 0,63 мкм (или любым другим лазером, ра- ботающим в непрерывном режиме в видимой области спектра). На металлическом слое, нанесенном на про- зрачную подложку, делаются два близко расположенных (порядка 0,3 мм) параллельных штриха. Пропуская через них лазерное излучение, легко получить на экране стаци- онарную интерференционную картину. Лазер располага- ется на расстоянии 5- -6 м от поверхности экрана, повер- нутой относительно лазерного луча на 30°. При этих ус- ловиях ширина интерференционной полосы равна примерно 1 см и легко наблюдается с расстояния в 20 м.
и Влияние размеров источника пета иа качество интерференционной картины Так как при использовании одного точечного источни- ка с устройством, позволяющим разделить его излучение на два пучка, можно наблюдать интерференцию, значит, два независимых точечных (некогерентных) источника света в таких условиях дадут две интерференционные картины. Если с помощью оптической системы свести эти картины в некоторой области пространства, то в за- висимости от условий опыта они будут создавать разные
Когерентность
87
|к ..ыирующие освещенности. Можно будет наблюдать
h. u. стационарное распределение освещенности, эквива-
...... наличию какой-то интерференционной картины
так и равномерную освещенность (/mas=
/Г„1П), эквивалентную отсутствию интерференции.
Таким образом, при наложении двух интерференцион-
ных картин функция видимости результирующего распре-
лг.атия освещенности может принимать значения 0^
• i <1. Рассмотрим зависимость функции видимости
суммарной интерференционной картины от условий эк-
cii р имента.
11 усть два одинаковых некогерентных точечных источ-
ника Li и Ьг расположены на расстоянии 2Ь друг от дру-
ги (рис. 4.10). Разделим излучение, идущее от Li и L2,
Рис. 4,10. Наложение интерференционных картин от двух точечных
ни., j. i-рентнух источников света
с помощью параллельных зеркал Рх и Р2 на два потока,
т. с. каждый реальный источник заменится двумя их мни-
мыми изображениями, способ построения которых виден
из рисунка. Расстояние между таким образом получен-
ными когерентными источниками (Li, Lx, L2, L2) обозна-
чим через 21. На экране ЕЕ' получим две системы интер-
ференционных полос (от источников Li, Li и L2, Ь2, пред-
полагая, что все они идентичны), которые, складываясь,
дадут какое-то суммарное распределение освещенности.
Функцию видимости этого распределения необходимо ис-
следовать.
88
Интерференция света
Будем считать, что расстояние от плоскости, в которой
расположены источники Ц и Е2, до экрана ЕЕ' достаточ-
но большое, так что 7)»2/ и соответственно 0>2Ь. Из
построения ясно, что Z/£>=tgco, причем в силу условия
Р>2/ апертура интерференции очень мала (на рис. 4.10
масштаб для наглядности искажен).
Распределение освещенности на экране от двух ко-
герентных источников L2 и £зв зависимости от h соглас-
но (4.14) можно записать
/, = /0(Ц-СО8^-). (4.16)
Вторая пара когерентных источников Ц и М, сдви-
нутая относительно L2L2 на расстояние 2Ь, образует
интерференционную картину, смещенную относительно
картины (4.16) также на 26, т. е.
Л = /о 11 + Cos---j. (4.17)
Так как источники и L2 некогёрентны, при сложении
освещенностей и 12 никакой интерференции не полу-
чится, т. е.
/^/1 + /;^2/Jl+cos-^-cos Ч. (4.18)
[_ JL/Л мл
(4.19)
V
ад.
J 5? W
4 4
Использовав соотношение (4.10) для ширины полосы
6Л, перепишем (4.18) в виде •
т пт fi । 2лЬ; 2л(й — Ь)
Z = 2/0 [1 + cos -^4- COS-
Из (4.19) следует, что максимальная интенсив-
ность будет наблюдаться в тех точках экрана, где
2л (й—М , , 2л(Л—Ь)
cos——- =+1« а минимальная там, где cos—
= — 1 (при условии, что cos>0^. Следовательно,
для экстремальных значений освещенности имеем
/ = 2/,(1± cos-^-l (4.20)
Рис. 4.П. График функ-
ции видимости суммар-
ной интерференционной
картины, создаваемой
двумя некогерентными
источниками света
где знак «+> соответствует 7тах. а знак «—> —/тщ-
Отсюда для функции видимости результирующей интер-
ференционной картины находим
у Imax ^ш1п
2яЬ
COS
W- • <4-2’*
График этой функции представлен на рис. 4.11. Из
формулы (4.21) ясно, что видимость картины ннтерферен-
Когерентность
89
। и к с: висит от ширины полосы bh и расстояния между
। :ликами 26. Если 2b<^bli, функция видимости близка
> ;?!чте (рис. 4.12, а), а если 26=1/2бЛ, интерференци-
" л полосы вообще исчезают (рис. 4.12,6). При даль-
..... увеличении расстояния между Lj и 1г картина
f, I' i вновь улучшаться и при 26 = 66 функция видимости
р.|Ы ;. единице, а при 26=3/266 она вновь обратится
Il 1г..г..
Рассмотрим теперь более общий случай, когда проме-
л:. 11 ж 26 представляет собой один протяженный источник
спгla. Разобьем его на отдельные элементарные источни-
ки которые, естественно, не будут когерентными.
IР '-гчпдимо найти суммарное действие всех этих некоге-
! <них источников в некоторой точке экрана. Можно
i ь (формулы (4.16) и (4.17)), что произвольный то-
и ii<n источник, смещенный относительно оси на рас-
•; н tie д, создает в точке экрана на высоте h освещеи-
г . равную
/. dl+cos
oft /
Для определения суммарного действия всех элемен-
: /них источников надо проинтегрировать это выраже-
на is пределах от -6 до +6:
/ /L, f (14-cos =
—ft
'! i.lt 4. Sin2"s/M ...
J" + 2л4/» CS1»7 (4'^’
с
л
Рис. 4.12. Распределение
интенсивности:
C-V.J; б- F-Q
I ’ i этого результата следует, что на экране будет на-
|о,,кься интерференционная картина. Экстремальные
’''.пнчтя интенсивности равны
sin2n6/6/t \
2nb/bh }'
sin2n&/6/t \
2лй/6й Г
(л. юда легко найти функцию видимости
sin |
I
(4-23)
мула (4.23) представляет собой функцию вида
> где х=2л6/66. Известно, что эта функция равна
. • i:e при х=0, а при увеличении х функция монотон-
шшается, обращаясь в нуль при х~я. При даль-
1 увеличении х она вновь возрастет, но до мень-
90
Интерференция света
Рис. 4.13. Изменения
функции видимости ин-
терференционной карти-
ны от протяженного
источника света
шего экстремального значения и при х=2л снова обра-
щается в нуль и т. д. (рис. 4.13).
При ширине источника функция видимости
уменьшается от 1 до 0, причем при 26=дй/2 получаем
V=2/3. Суммарную интерференционную картину можно
считать достаточно хорошей для наблюдения, если
^2/3 (/max^o/min)- Из рис. 4.10 //£> = tgd), тогда для ши-
рины полосы получаем
6/i=A/2tg(o- (4.24)
Заменяя в неравенстве 26 ДА значение 6А из форму-
лы (4.24), получаем связь между допустимыми размера-
ми источника, излучающего свет длины волны X» и апер-
турой интерференции
26tgw^X/4. (4.25)
Из выражения (4.25) следует, что чем меньше апер-
тура интерференции ш, тем больше допустимые размеры
источника.
Конечно, принятое значение У^2/3 в какой-то степе-
ни произвольно, однако именно потому, что не требует-
ся строгого выполнения этого условия, им можно пользо-
ваться в различных случаях.
В заключение напомним, что все приведенные выше
рассуждения применимы для волн, имеющих одну и ту
же поляризацию с совпадающими направлениями коле-
баний.
4.5
Интерференция
в немонохромати-
ческом свете
До сих пор при рассмотрении всех интерференцион-
ных схем предполагалось, что первичный источник испу-
скает монохроматическое излучение. Допустим, что это
излучение является немонохроматическим (полихромати-
ческим). Тогда длина волны имеет различные значения и
согласно условию максимума h=m(DI2l)K любой точке
экрана h будет соответствовать максимум того или иного
порядка одной из длин волн. Следовательно, в любой ча-
сти экрана будет наблюдаться значительная освещен-
ность. Если бы в источнике все длины волн были одной и
той же интенсивности, а приемник обладал одинаковой
чувствительностью ко всем длинам волн (например, иде-
альная панхроматическая фотопластинка), то никакой
интерференционной картины обнаружить бы не удалось.
Чтобы обнаружить интерференцию, необходимо огра-
ничить разнообразие длин волн некоторым спектральным
интервалом, заключенным между X и Х+АХ. Определим
этот интервал. Если максимум m-го порядка для длины
волны Х+ДХ совпадает с максимумом (т-М)-го поряд-
Когерентность
91
>.1.1Я X, то интерференция наблюдаться не будет:
г. । /.+ДХ)— (/л+1) X
II. 'I!
Л л Х/т. (4.26)
В этих условиях весь промежуток между соседними
максимумами будет заполнен максимумами длин волн,
Г '.г'лящих в интервал.
Из условия (4.26) вытекает, что чем выше порядок
шш рференции т, тем уже должен быть спектральный
интервал, при котором еще возможно наблюдение интер-
ференционной картины. Наоборот, чем менее монохрома-
; 1!;;сн свет, тем более низкие порядки интерференции до-
< ;ны наблюдению.
Для получения монохроматического света использу-
he светофильтры или спектральные аппараты. При этом,
< н ствевно, не имеет значения, где стоит светофильтр:
и ред интерферометром или после него. В первом случае
\ леньшается спектральный интервал ДХ интерферирую-
। л и : о света, а во втором устраняются из интерференцион-
r: ic картины некоторые волны, так что на приемник па-
;с: упрощенная и различимая интерференционная кар-
'1 ина.
Интерференционную картину можно наблюдать и в
f i .:oM свете. Это происходит вследствие различного вос-
приятия нашим глазом разных цветов, в результате чего
некоторые области длин волн получают преимущество
|ч-jie-д другими, т. е. наш глаз играет роль монохроматора.
<).:пако способность глаза различать цвета ограничена и
«к ибенно затруднительна при различении оттенков во вре-
мя непрерывного перехода цветов.
Распространение света через любое вещество, прелом-
ление света на границе двух сред, его отражение от по-
пе репости и т. д,—это процессы, в которых в той или иной
<: -.-пени проявляется интерференция. Прохождение, на-
।мер, света через вещество состоит в воздействии элек-
1 г с- магнитной волны на электроны и ионы, которые
г. • '1ят в вещество. Под действием световой волны эти
ряженные частицы приходят в колебательное движе-
и.'.', в результате чего излучаются вторичные электро-
i питные волны того же периода, что и падающий свет.
I । как движение соседних зарядов происходит под дей-
. м!см одной и той же световой волны, эти вторичные
ны связаны между собой по фазе, т. е. являются коге-
| i и;ными. Вторичные волны будут интерферировать меж-
4.6
Оптическая
длина пути
92
Интерференция света
Рлс. 4.14. Таутохронизм
линзы
оптическая длина пути
таутохронные пути
ду собой, и эта интерференция позволяет объяснить мно-
гие оптические явления, такие как отражение, преломле-
ние, дисперсия, рассеяние света и т. д. С объяснением
этих явлений мы познакомимся позже, а сейчас рассмот-
рим один из частных случаев.
Если скорость света в вакууме есть с, а длина волны
Хо, то в среде с показателем преломления п эти величины
соответственно будут равны v~cln и Х=ло/л. Пусть одна
волна проходит в среде с показателем преломления nj
путь, равный d\, а другая во второй среде с показателем
преломления п2 — путь d2. В результате между ними воз-
никает разность фаз Лф:
Дф=2л (-£— -г-) = 2л ^’7"'“'. J
Произведение показателя преломления на длину пути
nd называется оптической длиной пути. Обозначив nd=
= (d), получим
Д» = 2л W-W.. (4.27)
Лд
Если (d]) = (d2), разность фаз Лф=0 и два оптических
пути будут эквивалентны друг другу, т. е. они не внесут
никакой разности фаз. Такие пути называются таутохрон-
шми. Они совпадают по времени, так как свет по этим
не равным по геометрической длине расстояниям распро-
страняется за одно и то же время.
Условию таутохронизма удовлетворяют, в частности,
все пути лучей, проходящих через линзу и дающих изо-
бражение £' источника L (рис. 4.14). Хотя геометриче-
ский путь LABL' короче пути LA'B'L^ часть, приходяща-
яся на путь внутри линзы, соответственно больше
(ЛВ>Л'В7). Так как скорость света в материале, из ко-
торого сделана линза, меньше, чем в воздухе, запаздыва-
ние на участке АВ компенсирует опережение на участ-
ках LA и BL' по сравнению с соответствующими участка-
ми пути LA' и В’U. Поэтому условие таутохронизма мож-
но записать в виде LA+nAB+BL'=LA'\-nA'B'-\-В’и,
где п— показатель преломления материала линзы.
Если бы отдельные лучи, проходящие через линзу, не
были таутохронными, некоторые из них, распространя-
ясь по разным путям, обладали бы определенной раз-
ностью фаз и взаимно ослабляли бы друг друга при
встрече в U. Получающийся интенсивный максимум в 1/,
который является изображением источника L, обуслов-
лен взаимным усилением лучей, пришедших в L' без раз-
ности фаз по таутохронным путям. Пути, ведущие к дру-
Когерентность
93
Г(м ;ичке пространства, не будут оптически равными, и во
in •, иных точках, кроме L', взаимная интерференция при-
in > .1: । к ослаблению света. Таким образом, получение изо-
бр |жения в линзе есть интерференционный эффект. Сле-
пепельно, линза не вносит разности хода между отдель-
К!.:мн лучами, образующими изображение. Это относится
к.нибой оптической системе, дающей изображение источ-
ника.
Глава 5
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЛОС ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
1!ри интерференции двух волн, возникаю-
щих । результате отражения или преломления
и I I. выходящего из точечного источника, no-
ш.. ;ся стационарная интерференционная кар-
которую можно наблюдать в любой об-
л.ити пространства, где перекрываются интер-
; ирующие пучки. Выше было отмечено, что
о ; гвует бесконечная последовательность
П‘-«’.! юностей постоянной разности фаз, кото-
рый н случае точечных источников являются
гнпгрболоидзми. Интерференционные полосы
н.чблюдаются в любом пересечении гиперболо-
>|;п вращения с плоскостью наблюдения. По-
чт м, наблюдаемая интерференционная карти-
III j зывается нелокализованной. Лучи света,
л;г, .и;;е от источников к некоторой точке ллос-
K.- j ч наблюдения, расходятся между собой на
нч' in. малые углы, и для образования интер-
ij i/анионной картины не требуется никакого
Ф ку. ирующего устройства.
1?ля интерференция света происходит от
и;' :::женных источников, необходимо какое-
лill'll-' фокусирующее устройство. Четкие полосы
будут наблюдаться только в том случае, если
разность фаз для всех пар лучей, приходящих
в данную точку из различных участков источ-
ника света, одинакова или хотя бы примерно
одинакова. В общем случае это условие удов-
летворяется, если точка наблюдения лежит на
некоторой определенной поверхности, т. е.
интерференционные полосы видны только тогда,
когда глаз наблюдателя (или оптический при-
бор) наведен на эту поверхность, Такие интер-
ференционные полосы называют локализо-
ванными.
Примером локализованной интерференци-
онной картины являются полосы равной тол-
щины и равного наклона. Полосы равной тол-
щины находятся вблизи поверхности той плен-
ки, с помощью которой осуществляется интер-
ференция, и при нормальном падении световых
лучей они лучше видны, если оптическое уст-
ройство сфокусировано на пленку. Полосы
равного наклона особенно хорошо видны при
работе с оптическим прибором, наведенным на
бесконечность.
Интерференцию в тонких пленках (пластинках) при
освещении их протяженными источниками света принято
мл :i.iвать цветами тонких пленок. Это явление часто мож-
jft щ.блюдать на мыльных пузырях, пленках нефти на по-
в< рхлости воды, когда они освещаются ярким солнечным
светом. Рассмотрение данного явления окажется полез-
ным для понимания более сложных процессов, происхо-
дящих в интерферометрах, интерференционных фильтрах
и других оптических устройствах.
Пусть на плоскопараллельную пластинку толщиной h
(рис. 5.1) падает монохроматический свет с длиной волны
К. Этот свет частично отразится от поверхности пластин-
ки, частично пройдет внутрь и вновь отразится на второй
поверхности. В результате получатся две когерентные
5Л
Цвета
тонких пленок
цвета тонких пленок
94
Интерференция света
Рис. 5.1. К расчету ин-
терференции при отраже-
нии от тонкой пластинки
волны с некоторой разностью хода. Часть волны пойдет
по пути LiADCO, а другая — по пути L^BCO. В зависи-
мости от разности фаз, приобретенных этими волнами,
в направлении СО они дадут тот или иной интерферен-
ционный эффект.
Рассчитаем разность хода. Лучи Lj А и L2C, исходя-
щие из какой-то точки источника, близки к параллель-
ным, так как размер АС для тонкой пленки очень мал
по сравнению с расстоянием до источника. Следователь-
но, b = (ADC)-(BC)=n‘2AD-n'BC, где (ADC) и
(ВС) — оптические длины путей; п и п'— показатели
преломления пластинки и окружающей среды соответ-
ственно.
Из рис. 5.1 следует, что AC=ft/cosr; ВС=АС sin i=
= 2АЕ sin i— 2 h tg r sin i, где ft=£D— толщина пла-
стинки; i — угол падения; г —угол преломления. Отсюда
разность хода
Д = ——----2n'fttgrsint. *
Воспользовавшись законом преломления n'sin i=
= п sin г, получим
Д = -^-(1 — sin2 г) -2nftcosr. (5.1)
При расчете разности хода нужно также иметь в виду,
что при отражении возможно изменение фазы на л (поте-
ря полуволны). В рассматриваемом случае на верхней
границе отражения меняет фазу электрический вектор, а
на нижней — магнитный (см. § 2.5). Если бы между пла-
стинками стекла находился слой воздуха, картина была
бы обратная, т. е. в любом случае один из векторов по-
лучает дополнительную разность фаз на л. Поэтому в об-
щем случае формулу (5.1) необходимо записать в виде
A=2nft cos г+А/2. (5.2)
В соответствии с (5.2) интерференционная картина
будет смещена на полполосы по сравнению с расчетом по
формуле (5.1). Добавление члена Х/2 в формулу (5.2)
принципиально ничего не изменяет в рассуждениях о
действии тонкой пластинки. Потери полуволны может и
не быть, если тонкая пластинка окружена сверху и снизу
разными веществами, подобранными соответствующим
образом (например, пленка воды на поверхности стекла).
Поэтому в дальнейшем мы будем почти всегда опускать
добавочный член Х/2 и пользоваться формулой (5.1). Од-
нако при определении положения максимумов и миниму-
мов надо всегда иметь в виду возможность появления до-
Локализация полос интерференции
95
। и тельной разности фаз, зависящей от условий от-
। П1ИЯ.
Интерференционная картина при отражении от тон-
» ' пластинки (без учета потери полуволны) появляется
cos г-т),12,
(5-3)
• л — целое число, причем четные значения соответст-
максимумам, а нечетные—минимумам.
При освещении пластинки белым светом отраженный
- f- । будет в зависимости от п, h и г иметь ту или иную
<! ,:ску. Поскольку угол между лучами ЦА и L?C очень
w 11 г. е. апертура интерференции незначительна, соглас-
11.25) при наблюдении интерференции в тонких плен-
» ' можно пользоваться протяженным источником света.
данном примере мы рассмотрели интерференцию
дн. лучей, хотя в действительности происходит много-
»: ное отражение от каждой из поверхностей. В обыч-
ш.' условиях (пленка жидкости, пластинка стекла) эти
гы! i.фнъте отражения дают очень мало света и их можно
иг , .И1ынать. Однако в некоторых специальных случаях
""-и.’ последующих отражений может быть весьма
i . ЧЫМ.
В л.и.м моментом в рассматриваемом вопросе явля-
ет и . !Л1овление допустимой толщины пластинки (плен-
пн. юн которой наблюдается интерференция в белом
tn. । И< соотношения А?.=Х/т (см. § 4.5) следует, что
ин1 нционная картина в белом свете может наблю-
д.гг. ниько в тонких пленках. Действительно, нормаль-
нее '||-.!()ьсческий глаз может различать цвета, разделен-
ии. ни । ирвалом АХ^ЮОА. Считая средней волной в бе-
,i -м вс । с 5000 А, получаем, что допустимый порядок ин-
в- ч1!ии /и=1/АА=50. Значение zn=50 определяет
> . 1 и'.!;ю разность хода Д=тХ, которая в свою оче-
I» .. : .;и иг от толщины пленки.
И . . : ношения (5.1) для максимума интерференции
cos г-т\, откуда толщина пленки равна
* ' ’ -• (5-4)
II" . д 1,5 и cosr«l (нормальное падение света),
।
и-5
А .— 8 -10“4 см = 8 мкм.
. . .1)
:>и исследовании излучения более высокой монохро-
ь тности (например, линий ртутного спектра с АХ=
96
Интерференция света
5.2
Полосы
равной толщины
полосы равной толщины
Рнс. 5.2. К вопросу о ло-
кализации полос интер-
ференции:
на экран проектируется изо-
бражение источника; интер-
ференционных полос не на-
блюдается
=0,14-0,01 А) толщина пленки может быть увеличена
примерно в 103—10* раз.
Переходя к рассмотрению интерференционных полос
разной локализации, будем считать, что пластинки тон-
кие, т. е. можно работать с протяженными источниками
света, не применяя дополнительной монохроматизации.
Если поверхности тонкой пластинки не параллельны
друг другу, то при их освещении протяженным источни-
ком света появляются полосы постоянной оптической тол-
щины, или полосы, равной толщины. Наблюдать полосы
равной толщины можно в том случае, если спроектиро-
вать на экран изображение поверхности пластинки.
Если с помощью линзы собирать отраженные от по-
верхностей лучи и проектировать их на экран, а линза и
экран расположены так, что на экране получается изо-
бражение светящейся поверхности (источника света), то
интерференционной картины не будет. Из рис. 5.2 видно,
что изображение отдельного участка источника L\L^
получается при помощи широких пучков лучей (на ри-
сунке показан ход лучей для двух крайних точек Ц и£2
источника). Каждый из таких пучков представляет собой
совокупность лучей, отраженных из различных участков
пленки, т. е. соответствует разным значениям г и h. Тол-
щина h от точки к точке имеет разнообразные значения.
Следовательно, различные участки широких пучков
будут удовлетворять разным значениям выражения
2 nh cos г. В результате интерференционный эффект, об-
условленный одним участком пучка, скомпенсируется
действием другого, изображение светящейся поверхности
не будет носить следов интерференции и останется рав-
номерно освещенным.
Расположим теперь линзу таким образом, чтобы на
экран проектировалось изображение самой пленки (рис.
5.3). Каждый участок пленки изображается на экране
при помощи широкого пучка, собираемого линзой, но от-
дельные элементы этого пучка образованы лучами, иду-
щими от разных участков источника и отраженными в од-
ном и том же месте пленки. Луч 1 из какого-либо участ-
ка источника L- в результате преломления и отражения
преобразуется в луч Г, проходящий через точку М. Так
как от источника лучи идут в различных направлениях,
среди них найдется такой луч 2, который тоже попадает
в точку М и образует луч 2', составляющий с лучом Г не-
кий угол. Оба луча пройдут через линзу и пересекутся в
точке М', которая является изображением точки М. Так
как оба луча исходят из одного и того же участка источ-
Локализация полос интерференции
97
ника, то они когерентны и будут интерферировать. В за-
висимости от значения разности хода между ними в точ-
ко М' будет максимум или минимум.
К ели источник света находится на большом расстоя-
нии от пластинки, лучи падают на ее поверхность почти
под одним и тем же углом. При этом разность хода со-
гласно формуле (5.1) зависит только от толщины пла-
стинки h. Если точке М соответствует максимум в точке
М', лежащей в фокальной плоскости линзы, то максимум
будет соответствовать всей совокупности точек Mi, лежа-
щих на поверхности пластинки в местах одной и той же
толщины. Таким образом, интерференционные полосы,
возникающие в фокальной плоскости линзы, соответству-
ют местам одинаковой толщины пластинки, т. е., иными
словами, чтобы наблюдать на экране появление резких
интерференционных полос, линзу следует сфокусировать
на поверхность пластинки. Такие полосы и получили на-
звание полос равной толщины. В случае монохроматиче-
ского света поверхность пластины будет покрыта темны-
ми и светлыми полосами, а в случае белого — цветными.
Так как эти полосы явно выражены только при рассмат-
ривании самой поверхности пластинки (пленки), приня-
то говорить, что интерференционные полосы равной тол-
щины локализованы на поверхности пластинки.
Если пластинка имеет форму клина, полосы равной
толщины представляют собой ряд интерференционных
полос, параллельных ребру клина. Такую форму пластин-
ки можно получить с помощью мыльной пленки, натяну-
той на вертикально расположенный каркас. Под действи-
ем силы тяжести пленка принимает вид клина, а полосы
равной толщины вырисовываются на поверхности пленки
в виде горизонтальных прямых, которые могут быть ча-
стично искажены дефектами пленки.
Примером полос равной толщины, возникающих в
воздушном слое между плосковыпуклой линзой и пло-
ской стеклянной пластинкой, являются кольца Ньютона.
Объяснить появление колец во времена Ньютона было
очень трудно. Гук, например, видел причину образова-
ния колец в наличии двух отраженных лучков разной
интенсивности, а Ньютон установил, что возникновение
колец зависит от кривизны линзы. Ньютону было, по-ви-
димому, ясно, что в основе этого явления лежат свойст-
ва периодичности луча, в связи с чем он и писал «о
приступах легкого отражения и легкого прохождения»,
испытываемых световыми частицами. В этом заключает-
ся попытка найти компромисс между волновыми и кор-
пускулярными представлениями, которых придерживал-
Рис. 5.3. К вопросу о ло-
кализации полос интер-
ференции:
на экран проектируется изо-
бражение пленки; наблюда-
ются интерференционные по-
лосы равной толщины
кольца Ньютона
Ньютон (Newton) Исаак
(1643-1727) - англий-
ский физик и математик
Гук (Нооке) Роберт
(1635—1703) — англий-
ский естествоиспытатель
98
Интерференция света
о
Рис. 5.4. Оптическая схе-
ма для получения колец
Ньютона
ся Ньютон. Лишь позднее (1802 г.) Юнг ввел понятие
интерференции и дал объяснение-этому явлению.
Кольца Ньютона возникают тогда, когда выпуклая
поверхность линзы малой кривизны соприкасается в не-
которой точке с плоской поверхностью пластинки, так
что толщина воздушной прослойки между ними посте-
пенно увеличивается от точки соприкосновения к краям
(рис. 5.4). Пусть на линзу нормально падает поток мо-
нохроматического света, тогда в результате отражения
световых волн от верхней и нижней границ воздушной
прослойки будет наблюдаться интерференция. При наб-
людении в отраженном свете в точке соприкосновения
будет темное пятно, а вокруг него чередующаяся систе-
ма концентрических светлых и темных колец убываю-
щей ширины. Темное пятно в центре возникает в резуль-
тате того, что геометрическая разность хода равна нулю
и происходит лишь потеря полуволны при отражении от
плоской стеклянной поверхности, В проходящем свете
возникает интерференционная картина, дополнительная
к картине в отраженном свете, т. е. светлые полосы в
одном случае сменяются темными в другом.
Из рис. 5.4 нетрудно получить выражение для радиу-
са соответствующего кольца. Толщина воздушного слоя
hm, отвечающая m-му кольцу, связана с радиусом этого
кольца гт и радиусом кривизны линзы R соотношением
hn=r2J2R. (5.5)
Положив в формуле (5.2) cosr=l (нормальное паде-
ние света) ил=1 (между линзой и пластинкой воздуш-
ный слой), получим условие образования m-го темного
кольца
откуда
Лт«пй/2. (5.6)
Подставляя в формулу (5.6) значение из (5.5),
имеем
r„ = Уш. (5.7)
Из формулы (5.7), в частности, следует, что при
т=0 и rm=0, т. е. в центре, получаем темное пятно. Да-
лее, чем больше порядок интерференции, тем меньше
различие между радиусами соседних колец, т. е. тем те-
Локализация полос интерференции
99
снсе располагаются кольца. Измерив л,. и зная т и R,
можно довольно точно определить длину волны X.
Если падающий свет является немонохроматическим,
то в отраженном свете разным длинам волн соответст-
вуют различные гт и на экране будет наблюдаться си-
стема цветных колец. В проходящем свете, естественно,
будут видны цвета, дополнительные к цветам в отра-
женном свете.
Из формулы (5.1) следует, что для плоскопараллель-
ной пластинки (й=const) разность хода зависит только
от угла падения лучей на пластинку. Если такую пла-
стинку осветить, например, сходящимся монохроматиче-
ским пучком света, каждому значению угла г будет со-
отпетствовать своя разность хода. Очевидно, что все лу-
чи, отвечающие одному и тому же значению г, т. е. име-
ющие одинаковый наклон, будут давать одну и ту же
разность хода. Это означает, что интерференционные по-
лосы будут образовываться при одинаковом наклоне лу-
чей, что и дало им название полосы разного наклона.
Схема возникновения полос равного наклона пред-
ставлена на рис. 5.5. Все лучи, падающие на пластинку
ио:; определенным углом i=const (например, луч L и все
параллельные ему), соберутся на экране в точке М. По-
скольку лучи 1 и 2, отразившиеся от верхней и нижней
шшерхностей пластинки, параллельны, точка М лежит
г. вокальной плоскости линзы, т. е. на достаточно боль-
шим расстоянии от пластинки (для идеальной плоскопа-
раллельной пластинки —в бесконечности). Поэтому по-
лосы равного наклона локализованы в бесконечности.
В опытах обычно применяется протяженный источник
света, тогда под углом i падает много лучей. Вообще го-
вир я, имеется целый конус таких лучей, что дает на эк-
ране не одну точку М, а семейство точек, для которых
I - const, т. е. получается интерференционная полоса рав-
о наклона. Лучи другого наклона (например, луч L')
дадут другую полосу равного наклона.
В отраженном свете полосы равного наклона удобно
наблюдать по схеме, изображенной на рис. 5.6. Лучи, вы-
и шящие из разных точек протяженного источника L, про-
vi дят через полупрозрачное зеркало ММ' и падают на
плоскопараллельную пластинку РР'. После отражения и
преломления в пластинке лучи вновь попадают на зер-
вню ШГ, которое отражает их в направлении экрана
f. '. Эти лучи собираются в фокальной плоскости линзы,
в ждая линия равного наклона есть результат интерфе-
рчщии лучей, идущих от источника практически парал-
5.3
Полосы
равного наклона
полосы равного наклона
Рис. 5.5. К вопросу о ло-
кализации полос интер-
ференции:
экран расположен в фокаль-
ной плоскости линзы; наблю-
даются полосы равного на-
клона
100
Иятерференция света
дельными пучками. Таким образом, апертура интерфе-
ренции в этом случае близка к нулю, следовательно,
размеры источника могут быть достаточно большими.
Лучи, идущие от разных точек источника, не будут
когерентны между собой, и поток лучей, исходящий из
каждой точки, после многократных отражений от пла-
стинки РР' будет давать на экране свои интерференци-
Рнс. 5.6. Способ наблюдения колец равного наклона
Рис. 5.7. Полосы равного
наклона в прошедшем
свете
онные кольца. Однако положение этих колец зависит не
от места точки на источнике, а только от наклона лу-
чей. Накладываясь друг на друга, интерференционные
картины усиливаются. Так, например, центром всех ко-
лец будет точка 0, в которой сходятся лучи, падающие
на пластинку нормально из любой точки источника (лу-
чи /, г з).
Если свет проходит через плоскопараллельную пла-
стинку, интерференционные полосы равного наклона,
создаваемые протяженным источником, также локализо-
ваны в бесконечности (рис. 5.7). Интерференционная кар-
тина в проходящем свете дополнительна к картине в от-
раженном свете, т. е. светлые полосы одной и темные
полосы другой находятся на одном и том же расстоя-
нии относительно нормали к пластинке. Однако если от-
ражательная способность поверхности пластинки мала
(в случае свободной, не покрытой никаким отражающим
слоем стеклянной поверхности отражение при нормаль-
Интерференционные приборы
101
И"'1 чадении света составляет примерно 0,04), то интен-
[I! <ти двух интерферирующих лучей, прошедших
Г> ь пластинку, сильно отличаются друг от друга. По-
t у различие в интенсивности максимумов и миниму-
И1, оказывается небольшим, а видимость полос —низ-
л а ва 6
НТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ПРИБОРЫ
)'-н7ерференционные приборы (интерферо-
представляют собой оптические устрой-
li в которых явление интерференции света
! .о.зуется для точных измерений показате-
1 рсломления прозрачных сред, длин волн
। । сальных линий, углов и т. д„ т. е. интер-
ф' 'етры служат для изучения основных ха-
р • - >истик излучения. Поэтому оптическая
r*-v, интерферометра должна удовлетворять
►. >рым дополнительным требованиям. В ча-
ст ; и, для повышения точности измерений
1>[ дится значительно увеличивать разность
Г ; т. е. работать при высоких порядках
интерференции. В таких случаях необходимы
высокая монохроматичность излучения и повы-
шенные требования к юстировке оптической си-
стемы.
Все известные интерференционные приборы
можно разделить в основном на два класса;
двухлучевые и многолучевые. Число схем интер-
ферометров достаточно велико, причем многие
из них отличаются друг от друга лишь не-
большими конструктивными особенностями, по-
этому можно ограничиться описанием лишь не-
скольких основных моделей каждого класса.
(’существляя интерференцию двух лучей, отраженных
0; и.редней и задней поверхностей пластинки, мы фак-
!итки уже имеем простейший двухлучевой интерферо-
k I р. Если пластинка достаточно толстая, интерферирую-
Ц| и- лучи 1 и 2 (рис. 6.1) разведены на значительное
р.о 'ояние и в любой из них можно ввести кювету с вс-
ею'чуемым веществом, что создаст дополнительную раз-
М<хода, которую можно измерить. Правда, с увели-
ч<ти'/м толщины пластинки возникают определенные
Тр -..гости, связанные, как известно, с необходимостью
Б.;<•••гать со светом высокой монохроматичности (см.
| '• !). Вместо одной толстой стеклянной пластинки
М' . ю использовать воздушную прослойку между двумя
И.. линками.
осмотрим несколько более усложненных моделей
Д.-. чучевых интерферометров,
Интерферометр Жамена в настоящее время представ-
Л и большей степени исторический интерес, хотя в
и- : лом он послужил основой ряда интерференционных
п- " >ров, сохранивших свое значение и сейчас.
ют интерферометр (рис. 6.2) состоит из двух оди-
|! нлх плоскопараллельных стеклянных пластин тол-
и: - I 'й h и показателем преломления п. Луч от источни-
k ста L падает на переднюю поверхность первой пла-
6.1
Двухлучевые
интерферометры
Жамен (Jamin) Жюль
Селестек (1818—1886) —
французский физик
Рис. 6,1. Простейший ин-
терферометр
102
Интерференция света
fizz"
Рис. 6.2. Схема интерфе-
рометра Жамена
стины и в результате частичного отражения и преломле-
ния дает начало двум лучам / и 2, идущим ко второй
пластине на некотором расстоянии друг от друга. После
отражения и преломления во второй пластине из нее
выйдут четыре луча 1, Г, 2 и 2', два из которых (/ и
2) будут интерферировать. Разность хода между ними
согласно уравнению (5.1) равна k=2nh cosr2—2nft cosh.
Если обе пластины строго параллельны друг другут
то и = i2, г2=Г1 и Л=0, т. е. между лучами 1 и 2 не возни-
кает никакой разности хода. Если пластины образуют
между собой угол 8, лучи 1 и 2 приобретают раз-
ность хода
A=2n/i(cos Гг—cos п). (6.1)
При малом угле е между пластинами углы г2 и rt мало
отличаются друг от друга, тогда, обозначив rixr;=r,
a fi—Гг=6г, получим
Л=2пЛ sin г 6г, (6.2)
Величину Sr можно связать с углом 8. Если углы па-
дения на пластины соответственно б и iz, то 6i=ii—iz=z.
Использовав закон преломления п sin r=sini, найдем
« * I cos i о •
or —----------6l
Л COST
Обычно угол падения лучей в интерферометре (=45°,
а показатель преломления стекла п=1,5, тогда прн этих
численных значениях бгл; l/26i= 1/2е. Подставив найден-
ное значение 6г в формулу (6.2), получим приближенное
выражение для разности хода между лучами 1 и 2:
b=nhs sin r~h& sin i. (6.3)
При освещении первой пластины интерферометра
параллельным пучком монохроматического света для
любой пары лучей возникнет одна и та же разность хо-
да, После отражения лучей от обеих пластин получится
равномерно освещенное поле, интенсивность которого за-
висит от значения разности хода. Интенсивность будет
максимальной при Д, равном целому числу длин волн, и
минимальной — при разности хода, равной нечетному
числу полуволн. При освещении белым светом поле бу-
дет казаться равномерно окрашенным. Если же на пла-
стину направить расходящийся пучок монохроматиче-
ского света, получим систему интерференционных полос,
соответствующих определенному значению г, т. е. поло-
сы равного наклона. Для лучей, которым отвечает
Интерференционные приборы
103
Д-Ле sin x=mX/2, где т — четные числа, получим мак-
симум. При нечетных значениях т будет наблюдаться
минимум.
Угловое расстояние между полосами зависит от изме-
нения угла i на величину Дь При этом разность хода
меняется на X, т. е.
Ле cos i М=)„ или Дх=Л/(Ле cos i). (6.4)
Из формулы (6.4) следует, что расстояние между по-
лосами возрастает с уменьшением угла между пла-
стинами.
Пластины в интерферометре Жамена делаются тол-
стыми (до 2 см), чтобы пучки лучей 1 и 2, идущих между
ними, развести на большее расстояние. Это позволяет
ввести в один из пучков слой какого-либо вещества с
иным показателем преломления, чем у окружающей
среды, и тем самым вызвать добавочную разность хода
между ними. Пусть толщина внесенного слоя I, его пока-
затель преломления п2, а показатель преломления воз-
духа П]. Тогда между лучами возникает добавочная раз-
ность хода Д'=/(л2—П1). Если Л'=тЛ, вся интерферен-
ционная картина сместится на т полос. Величина т,
очевидно, может быть и дробным числом. Опыт показы-
вает, что смещение т = 1/10 наблюдается вполне уверен-
но, следовательно, из соотношения l(n.2-n.x)=irik
можно определить весьма малые разности показателей
преломления \п=п2—пх. Например, при /=10 см; Л—
=5-10"5 см и т-1/10 имеем
Л mb 1 5-Ю-5 . ,
4"“—=10-—io~~5'10 ’
т. с. можно измерить разность показателей преломления
до шестого знака после запятой.
Измерение показателей преломления света относится
к области метрологии, которую называют рефрактоме-
трией. Интерферометрический метод дает высокую чув-
ствительность относительных измерений, однако для ее
реализации необходима высокая стабильность интерфе-
ренционной картины. В этом смысле интерферометр
Жамена обладает существенным недостатком, связан-
ным с использованием для достаточного разведения лу-
чей толстых пластин. Такие пластины должны изгото-
вляться из однородного стекла, не иметь напряжений
и т. д. Поскольку пластины медленно прогреваются до
температуры окружающей среды, это приводит к дли-
тельному и плохо контролируемому изменению интерфе-
ренционной картины. Использование мощных источников
рефрактометрия
104
Интерференция света
Рис. 6.3. Схема интерфе-
рометра Рождественско-
го
Рождественский Дмитрий
Сергеевич (1876—1940)—
советский физик
Майкельсон (Michelson)
Альберт Абрахам (1852—
1931)—американский фи-
зик
Рис. 6.4. Схема интерфе-
рометра Майкельсона
света нарушает тепловое равновесие, так как часть све-
тового потока поглощается пластинами интерферометра.
В связи с этим интерферометр Жамена не нашел широ-
кого применения.
Интерферометр Рождественского является модифика-
цией интерферометра Жамена. Он состоит из четырех
плоских зеркал Ль А, А, А (рис. 6.3), два из которых
(А и А) полностью отражающие, а остальные два (А
и Л4) полупрозрачные, служащие в качестве делителей
световых пучков. Коэффициенты отражения зеркал А
и А4 порядка 50 %, так как желательно, чтобы интен-
сивности пучков света 1 и 2 были примерно одинаковы.
Интерферометр выполнен в виде двух независимых
блоков, каждый из которых содержит два зеркала: одно
полупрозрачное и одно полностью отражающее. Сами
блоки могут быть разнесены на значительные расстоя-
ния (1 м), а пучки света 1 и 2 разводятся до нескольких
десятков сантиметров.
Интерферометр Рождественского предназначен в ос-
новном для точных измерений показателя преломления
газов и паров вблизи линий поглощения.
Интерферометр Майкельсона имеет богатую историю.
Он сыграл существенную роль при решении как фунда-
ментальных задач физики, так и различных технических
задач. Хотя в настоящее время этот интерферометр
фактически устарел, с его помощью Майкельсон провел
три важнейших эксперимента: опыт Майкельсона —Мор-
ли по выяснению вопроса об увлечении эфира, первое
систематическое изучение тонкой структуры спектраль-
ных линий и первое прямое сравнение длин волн спект-
ральных линий с эталонным метром.
В этом интерферометре пучок света от источника L
направляется на полупрозрачную пластину Pi, которая
разделяет его на два пучка примерно одинаковой интен-
сивности (рис. 6.4). Один из них, отражаясь от зеркала
Aj, вновь возвращается на пластину Pi и отражается ею
в направлении наблюдения 0. Второй пучок попадает
на зеркало А2) отражается от него и проходит обратно
через пластину Pi в направлении О. Так как оба луча
1 и 2 возникли из одного пучка света, вышедшего из ис-
точника L, то они когерентны и могут интерферировать.
Поскольку луч 2 проходит через Pt три раза, а луч /—
один раз, то на его пути для компенсации добавочной
разности хода ставится пластина Р2, имеющая такую же
толщину, что и Pi. При равенстве плеч интерферометра
оптическая длина пути лучей 1 и 2 одинакова и раз-
ность хода между ними равна нулю.
Интерференционные приборы
105
Обозначим изображение зеркала ЛЕ в полупрозрачной
пластине Л через А\. Оптические длины путей между
L и 0 вдоль лучей LPiAjPjO и LPjAiPiO равны. Следо-
вательно, можно считать, что интерференционная карти-
на возникает из-за воздушного слоя, ограниченного дей-
ствительным зеркалом Д и мнимым изображением Д
зеркала At. Если зеркала Д и А[ параллельны, интер-
ференционная картина в монохроматическом свете имеет
вид окружностей, локализованных в бесконечности (по-
лосы равного наклона). Если Д приближается к Ait по-
лосы стягиваются к центру, а угловые размеры картины
возрастают до тех пор, пока А2 не совпадает с Д, тогда
освещенность поля зрения становится равномерной.
В этом случае говорят, что зеркала Д и Д находятся на
оптическом контакте. Когда зеркала Д и Д образуют
клин с небольшим углом, полосы локализованы либо на
поверхности клина, либо вблизи нее (полосы равной тол-
щины).
Независимо от того, параллельны ли Ди Д или на-
клонены друг к другу, изменение оптической длины в лю-
бом плече интерферометра вызывает смещение интерфе-
ренционной картины, которое можно оценить визуально
до 1/20 полосы.
До сих пор мы имели дело только с двумя интерфери-
рующими пучками, когда встречались две световые вол-
ны с некоторой разностью хода. При этом переход от
максимума к минимуму происходит плавно, следуя за-
кону 7=2а2(1+созф). При ф=2лт, где m=0, 1, 2......
интенсивность принимает максимальные значения /тах=
=4а2, а при (2?нД 1)л/2 она принимает минимальные
значения При остальных значениях ф интенсив-
ность имеет промежуточные значения между 4а2 и 0.
Полосы при этом получаются размытые, и трудно точно
зафиксировать положение максимума, что невыгодно
для практических применений интерференции.
Для получения узких интерференционных полос, раз-
деленных четкими темными промежутками, необходимо
осуществить интерференцию многих световых пучков.
С этой целью рассмотрим интерференцию, возни-
кающую в плоскопараллельной пластине при про-
хождении плоской монохроматической волны. Ранее мы
пренебрегали вкладом в результирующую интенсивность
пучков, испытавших больше двух отражений. Такое до-
пущение оправдано при малой отражающей способности
Интерференция
многих
световых
пучков
106
Интерференция света
Рис. 6.5. Отражение и
преломление света в
плоскопараллельной пла-
стинке
Рис. 6.6. Интерференция
многих лучей
Рис. 6.7. Графическое
сложение векторов амп-
литуд
поверхностей. Совершенно очевидно, что интенсивность
многократно отраженного пучка света будет уменьшать-
ся при каждом отражении. Величина этого уменьшения
определяется значением коэффициента отражения на
поверхностях пластины и поглощением материала, из
которого она сделана. Например, если принять коэффи-
циент отражения от свободной стеклянной поверхности
пластины равным 0,05, т. е. только 5 % падающего све-
та отражается, а 95 % проходит, то интенсивность пуч-
ка I будет составлять 5 % интенсивности падающего
света (рис. 6.5), интенсивность пучка 2—4,5 %, а интен-
сивность пучка <3—всего лишь около 0,01 %. Иными сло-
вами, третий и следующие пучки практически отсутству-
ют. Именно на этом и базируется изложенное выше рас-
смотрение двухлучевых интерферометров. Многолучевая
интерферометрия использует диаметрально противопо-
ложный случай, когда коэффициенты отражения вели-
ки. Это достигается либо за счет нанесения на отражаю-
щие поверхности тонкой пленки вещества с большим
коэффициентом отражения, либо за счет больших углов
падения.
Для того чтобы показать, что при интерференции
многих пучков возникают резкие полосы, воспользуемся
графическим методом сложения амплитуд. Пусть каким-
либо способом образуется N когерентных пучков света
с одинаковой амплитудой а, причем каждый последую-
щий пучок отличается от предыдущего по фазе на
ф. Пучки собираются линзой (рис. 6.6) в ее фокальной
плоскости и интерферируют. В зависимости от разности
фаз возникает то или другое значение результирующей
амплитуды А, которая графически изображается векто-
ром А, являющимся замыкающей ломаной линии, обра-
зованной векторами амплитуд а (рис. 6.7).
Очевидно, что результирующий вектор А достигает
максимального значения во всех случаях, когда векторы
а располагаются вдоль одной прямой (рис. 6,8, а), что
имеет место при
ф- ±2лт, m=0f 1, 2.......................... (6.5)
При этом длина вектора А равна Мт, а интенсивность
в фокальной ПЛОСКОСТИ ЛИНЗЫ /тах3^2. Максимумы,
возникающие при выполнении условия (6.5), называются
главными максимумами.
Вектор А будет равен нулю всякий раз, когда лома-
ная, составленная из векторов а, замыкается (рис. 6.8,6),
т. е. когда последний из векторов а располагается в том
же направлении, что и первый. Так как последний из век-
Интерференционные приборы
107
торов а составляет с осью ОХ угол jV<p, то при Л'ф=
= ±2лт, где т=1, 2, 3, он будет направлен вдоль
оси ОХ, т. е. условием образования минимумов является
ф=±2тл/#. (6.6)
В минимумах интенсивность Jmjn=O.
В тех случаях, когда ги=У, 2.V, ЗЛГ, ..., минимумы
не образуются, так как тогда условие (6.6) переходит в
условие максимумов (6.5). Отсюда следует вывод, что
минимумы располагаются в (N — 1) раз чаще, чем мак-
симумы, определяемые условием (6.5). Очевидно, что
между двумя соседними минимумами должно возник-
нуть еще по одному максимуму, которые появляются
тогда, когда ломаная линия, образованная векторами а,
не замыкается, т, е. последний вектор а не примыкает к
первому (рис. 6.8, s). Можно показать, что эти максиму-
мы (их называют вторичными максимумами) значитель-
но слабее главных. Наиболее интенсивные из них не
превышают V23 значения главных максимумов *>.
Таким образом, окончательно получаем, что при
интерференции N пучков одинаковой амплитуды возни-
кает ряд одинаковых по интенсивности главных макси-
мумов IjMx-Wa2. Между соседними главными максиму-
мами располагаются (N—1) минимумов (/min~0) и
(Лг—2) вторичных максимумов. Распределение интен-
сивности в фокальной плоскости линзы как функции
разности фаз ф представлено на рис. 6.9. При возраста-
нии числа интерферирующих пучков N главные макси-
мумы становятся более резкими, а между ними распо-
лагается все большее и большее число слабых вторич-
ных максимумов. При большом W вторичные максимумы
практически сливаются и дают лишь слабый фон между
главными максимумами. В результате вся интерферен-
ционная картина принимает вид узких светлых полос,
разделенных темными промежутками.
Рассмотрение интерференции многих пучков можно
провести и алгебраическим способом с использованием
комплексных величин (см. § 1.4). Для этого введем вна-
чале понятия коэффициентов отражения и пропускания.
Процессы отражения и пропускания света на границе
двух сред принято характеризовать энергетическими ко-
эффициентами отражения R и пропускания Т, т. е. отно-
шением среднего потока энергии отраженной (для Д)
или прошедшей (для Т) волны к среднему потоку энер-
Рис. 6.8. Сложение векто-
ров амплитуд
вторичные максимумы
Рис. 6.9. Распределение
интенсивности при интер-
ференции многих лучей
Фриш С. Э., ТимореваА. В. Курс общей физики,—М.: Физмат-
гиз, 1962, т. 3, 796 с.
108
Интерференция света
коэффициент
пропускания
гии падающей волны. Используя соотношения между
амплитудами падающей (аР), отраженной (а() и про-
шедшей (а2) волн, эти коэффициенты можно записать
в виде
коэффициент
отражения
Я(6.7)
V а9 J \ Ой I '
Если поглощение в пластинке отсутствует, то
R+T=l. (6.8)
Часто пользуются понятиями коэффициентов отраже-
ния и пропускания, подразумевая только изменение
амплитуды отраженной или прошедшей волны. Если
ввести для них соответственно обозначения р и t, то оче-
видно, что %={? и Т= i2
При каждом прохождении через границу двух сред
амплитуда волны уменьшается в t раз, а при каждом
отражении от такой границы она уменьшается в р раз.
Следовательно, амплитуды вышедших из пластины волн
будут равны arf2, а^2р, ... к т. д.
Разность фаз между двумя соседними интерфериру-
ющими лучками согласно (4.7) и (5J) равна
<p = “2nftcosr. (6.9)
Л
Представим волну, падающую на пластинку, в виде
So=<zoexp i((pt—kx) —Of) exp 1ф.
Допустим, что оба отражающих слоя плоскопарал-
лельной пластины одинаковы, тогда волна, прошедшая
через пластинку, представляет собой результат сложе-
ния волн, возникших после многократного отражения, и
'имеет вид
s-t2ao exp /ф-|-/2ргоо exp 1(ф—<р) +
-ИрЧ exp i (ф—2ф) +... .
Пусть Р — комплексная амплитуда результирующей
волны, тогда
Р = Оо {Г2 4- f2p*exp (— i ф) 4- f2p4 exp (— 2£<p) 4-...
(6.10)
По определению р<1. Если число интерферирующих
пучков ЛГ достаточно велико, то р2У->0 и в пределе (6.10)
переходит в
р ________<М2______
1—р*ехр(—iq>) '
Интерференционные приборы
too
Сопряженная Р величина Р* равна
р* „_____________
1 — р2 exp (i ф)'
Произведение РР* дает непосредственно квадрат ам-
плитуды результирующей волны, прошедшей через пло-
скопараллельную пластину. С учетом соотношений (6.7)
получим
а2Г
рр* = а2 ~_______5_______
2 со-
отношение квадратов амплитуд прошедшей и пада-
ющей волн даст изменение интенсивности света, прошед-
шего через пластинку:
/ а2 Та
(1-/?)* + « sin2 ф/2 ’ 11)
Соотношение (6.11) называется формулой Эйри.
Интерферирующие пучки усилят друг друга, если
разность хода между ними равна целому числу длин
волн, т. е. 2nh cos r=mX, где m=0, 1, 2, .... и ослабят,
когда т=1/2, 3/2, 5/2, ... . Воспользовавшись соотно-
шением (6.9), определим порядок интерференции
2пЛ cos г ©
т~ к ~ 2л
формула Эйри
Эйри (Эри) (Eiry)
Джордж Биддел (1801—
1892) — английский аст-
роном и математик
ИЛИ
ф/2=тл. (6.12)
Отношение (6.11) будет иметь максимальное зна-
чение при sinq)/2 = sinmn=0 и минимальное —при
sin ф/2=1.
График функции (6.11) при различных коэффициен-
тах отражения представлен на рис. 6.10. Зависимость
/2//о от ф имеет вид системы максимумов, форма которых
существенным образом зависит от R. При К=0,04 (сво-
бодная поверхность пластины) вид кривой соответству-
ет распределению интенсивности по экрану, обусловлен-
ному интерференцией двух пучков света (см. формулу
(4.14) и рис. 4.9). Чем выше коэффициент отражения,
тем резче становятся максимумы, разделяемые широки-
ми минимумами.
Для характеристики формы контура интерференци-
онной полосы вводят понятие резкости F, определяемое
как отношение расстояния между двумя соседними мак-
симумами интерференции к полуширине полосы. Полу-
ширина полосы е равна расстоянию между точками, ле-
резкость
Рис. 6.10. График функ-
ции Эйри при различных
коэффициентах отраже-
ния:
е —полуширина полосы
110
Интерференция света
Рис. 6.11. Зависимость
резкости интерференци-
онной картины F от ко-
эффициента отражения/?
жащнми по обе стороны максимума в том месте, где
интенсивность равна половине максимальной величины,
т. е. /j//q=0,5 (см. рис. 6.10).
Для нахождения выражения для F перепишем фор-
мулу (6.11), предварительно исключив из нее ?=!—/?,
в виде
к____________1
Л . , . ,JL
1+ (1 _/?)« s,n 2
(6.13)
У полосы порядка т точки, где интенсивность равна
половине максимальной величины, находятся при <р/2=
= znn±e/2 (см. рис. 6.10), тогда из формулы (6.13) сле-
дует, что
20 е ,
1-/? 2
откуда ширина полосы равна
е=(1-/?)/уЛ (6.14)
Так как расстояние между соседними полосами соот-
ветствует изменению ф/2 на л, для резкости F получаем
соотношение
f = T = JTT-' <615)
Из выражения (6.15) видно, что при увеличении ко-
эффициента отражения (7?—►!). увеличивается и рез-
кость интерференционных полос (f-»-oo). На рис. 6.11
представлен график зависимости F от R. При Я=0,9
(такая величина часто используется для зеркал интер-
ферометров) резкость немногим меньше 30. Это означа-
ет, что расстояние между двумя соседними максимума-
ми примерно в 30 раз больше ширины каждого из них.
При анализе формулы (6.13) обращает на себя вни-
мание тот факт, что при выполнении условия ф/2=т,
где т —любое целое число, отношение Л/Л равно еди-
нице, т. е. в этом случае возможна только проходящая
волна, а отраженная вообще отсутствует. Этот, на пер-
вый взгляд, странный результат объясняется тем, что в
таких условиях амплитуда суммарной отраженной вол-
ны П| равна нулю. Проведя расчеты, аналогичные пре-
дыдущим, получим
Л 4/?sin*<p/2 /6164
Л ~ (l-/?)l + 4/?sin»<p/2 ’ v '
Из выражения (6.16) следует, что при sin ф/2=0 отно-
шение Л/Л=0, тогда как при этих условиях 1. Сле-
Интерференционные приборы
111
довательно, существуют такие направления, определяе-
мые соотношением cos r-m\l2nh, при которых распро-
страняется только прошедшая волна.
Интерференционная картина в отраженном свете бу-
дет дополнительной к картине в проходящем свете.
Узкие максимумы в проходящем свете разделены
широкими минимумами, в отраженном —широкие мак-
симумы будут разделяться узкими минимумами. Допол-
нительность картин в проходящем и отраженном свете
справедлива при выполнении условия (6.8), т. е. в отсут-
ствие поглощения в отражающих слоях. Это относится к
многослойным диэлектрическим покрытиям, поглощение
в которых пренебрежимо мало.
Многослойные диэлектрические покрытия начали
применяться примерно лет 20 тому назад. До этого в ка-
честве зеркал интерферометра использовались тонкие
слон какого-либо металла с высоким коэффициентом от-
ражения в видимой области (серебро, алюминий). Ме-
таллические покрытия хорошо поглощают электромаг-
нитные волны, следовательно, условие (6.8) непримени-
мо для такого случая. Здесь дополнительно еще надо
учесть долю света, поглощенного металлом, т. е. надо
заменить условие (6.8) более общим
/?+Г+Я = 1, (6.17)
где Д— суммарное поглощение света отражающими
слоями. Интенсивность света, прошедшего через зерка-
ла, сильно зависит от коэффициента поглощения покры-
тия. Например, при серебряном покрытии с R=0,9 коэф-
фициент пропускания Т~0,03, а коэффициент поглоще-
ния Л ~ 0,07. При таких данных интерферометр из двух
зеркал пропускает менее 10 % светового потока, кото-
рый прошел бы через эквивалентный интерферометр с
нс поглощающими слоями.
Многолучевые интерференционные приборы построе-
ны на принципах интерференции многих световых пуч-
ков и имеют небольшое число разновидностей.
Интерферометр Фабри — Перо, предложенный в
1897 г., сохранил свое значение и по сей день. Интерфе-
рометр представляет собой плоскопараллельную воздуш-
ную пластину, образованную двумя плоскими поверхно-
стями стеклянных или кварцевых пластин (рис. 6.12),
установленных так, чтобы поверхности, обращенные
друг к другу, были строго параллельны. Внутренние по-
верхности пластин покрыты отражающим слоем с высо-
ким коэффициентом отражения. Сами пластины делают-
Рис. 6.12. Схема интер-
ферометра Фабри—Пе-
ро
6.3
Многолучевые
интерферометры
Фабри (Fabry) Шарль
(1867—1945) — француз-
ский физик
Перо (Perot) Альфред
(1863—1925) — француз-
ский физик
112
Интерференция света
эталон Фабри — Перо
Рис. 6.13. Интерференци-
онная картина, возника-
ющая при освещении ин-
терферометра Фабри —
Перо монохроматическим
светом
ся слегка клиновидными для устранения вредного влия-
ния света, отраженного внешними непокрытыми поверх-
ностями. Установка на параллельность достигается по-
мещением между пластинами специального кольца, сде-
ланного из инвара'*) или кварца. На торцах кольцо име-
ет по три выступа, к которым пластины прижимаются
пружинами. Кольцо обработано с большой точностью,
так что положение плоскостей, заданное выступами,
близко к параллельному, а тонкая регулировка осуще-
ствляется изменением нажима пружин. Интерферометр с
фиксированным расстоянием между пластинами иногда
называют эталоном Фабри — Перо. Обычно интерферо-
метр Фабри — Перо комплектуется набором колец раз-
ной высоты, что позволяет работать при разных рассто-
яниях между пластинами.
Если на две такие пластины, расстояние между ко-
торыми равно h, падает свет с длиной волны а от протя-
женного источника, получается интерференционная кар-
тина в виде колец равного наклона, локализованных в
бесконечности (рис. 6.13). Максимум на экране возника-
ет при условии 2n/icosr=/nJt, где г —угол преломления
лучей в стеклянных пластинах интерферометра. Так как
пластины интерферометра расположены практически па-
раллельно друг другу, угол г близок к углу падения i
лучей на интерферометр. Кроме того, поскольку между
пластинами находится слой воздуха, можно считать
п=1. Тогда условие образования главных максимумов
принимает вид
2ftcosi=M. (6.18)
Порядок максимумов m определим из (6.18), поло-
жив cos I» 1:
m=2hlk (6.19)
В интерферометре Фабри—Перо мы имеем дело с
максимумами очень высокого порядка. При /1=0,5 см и
Х=5-10-5см получим т= (2• 0,5)/(5-10~&) =20000.
Соотношение (6.18) показывает, что максимальный
порядок интерференции наблюдается в центре интерфе-
ренционной картины. Пусть для определенной длины
волны максимальный порядок интерференции наблю-
дается точно в центре картины, т. р. при t=0
2/icosO=moX. (6.20)
♦> Инвар —специальный спльв (36 % никеля, 64 % железа), име-
ющий очень малый коэффициент теплового расширения (1,2 -10~*
град“1) при комнатной температуре и широко используемый в оп-
тике.
Интерференционные приборы
113
Тогда направление на л-е, отсчитываемое от центра
кольцо определится из условия
2/icosin=(m0—и)А. (6.21)
Угловые размеры л-го кольца in можно определить
вычитая (6.21) из (6.20):
2/i (1—cos in) =2/i • 2 sin2 !n/2=nk
Если ft>A, то in=max и sinin-in, откуда in-
= У tiklh.
Угловое расстояние между центральным и ближай-
шим к нему интерференционным максимумом (угловой
радиус первого интерференционного кольца) /1=УА/Л.
Как видно, его угловые размеры определяются расстоя-
нием между пластинами интерферометра. Угловое рас-
стояние между соседними интерференционными макси-
мумами 6,=in—in-t убывает при удалении от центра ин-
терференционной картины (возрастании л). Им можно
пользоваться для h^k
Отметим, что угловое расстояние между соседними
интерференционными максимумами может быть опреде-
лено из (6.18). Для этого продифференцируем его левую
часть по i, а правую —по т. Тогда 2/isini6i=A. Откуда
6i-A/2/isini. (6.22)
Из формулы (6.22) следует, что по мере увеличения
h (удаления от центра интерференционной картины)
расстояние между полосами уменьшается. Аналогичная
закономерность наблюдается с увеличением А.
При интерференции немонохроматического света (см.
§ 4.5) /п-й и (/л + 1)-й максимумы интерференционной
картины совпадают при ширине исследуемой структуры
АА=Х/т. Использовав соотношение (6.19), получим, что
А/. - №h. (6.23)
Соотношение (6.23) определяет допустимую ширину
исследуемой спектральной структуры для заданной вели-
чины h. Значение ДА из формулы (6.23) называют
областью свободной дисперсии (или постоянной) интер-
ферометра Фабри —Перо. Оценка ДА при выбранных
выше значениях (Л—0,5 см; Х=5-10-5 см) приводит
к ДА = 0,25 А. Лишь такой узкий участок спектра может
исследоваться с помощью интерферометра без наложе-
ния колец различных порядков. При увеличении к об-
ласть свободной дисперсии ДА становится еще меньше.
Поэтому интерферометр Фабри—Перо используется, как
правило, в сочетании со спектральным прибором, с по-
114
Интерференция света
Герке (Gehrcke) Эрнст
(1878—1960) — немецкий
физик
мощью которого предварительно выделяется узкий уча-
сток спектра или отдельные спектральные линии.
Своеобразной модификацией интерферометра Фаб-
ри—Перо является сферический интерферометр, состоя-
щий из двух вогнутых зеркал одинакового радиуса кри-
визны, расположенных так, что фокусы обоих зеркал
совмещены (конфокальная установка). Этот интерферо-
метр послужил прототипом современного резонатора для
газового лазера.
Интерферометр Люммера—Герке (его еще называют
пластинкой Люммера —Герке) представляет собой пла-
стинку из очень однородного стекла (или плавленого
кварца), сделанную плоскопараллельной с высокой точ-
ностью (рис. 6.14). Один конец пластинки срезан или
Рис. 6.14. Схема интерферометра Люммера — Герке
снабжен добавочной призмой полного внутреннего отра-
жения, чтобы обеспечить нормальное падение света на
пластинку и уменьшить тем самым потери на отраже-
ние. Направление падающих лучей подбирается таким
образом, чтобы на границе стекло — воздух угол был
близок к углу полного внутреннего отражения, но не-
сколько меньше его. При этих условиях свет почти пол-
ностью отражается от поверхности стекло — воздух и
лишь малая часть его выходит из пластинки через ее
верхнюю и нижнюю стороны по направлению, составля-
ющему очень малый угол с поверхностью пластинки.
Благодаря тому, что при каждом отражении свет почти
полностью остается внутри пластинки и лишь малые до-
ли его выходят из нее, интенсивности последовательных
лучей мало отличаются друг от друга. Число интерфери-
рующих пучков N зависит от размеров пластинки, пока-
зателя преломления и угла, под которым отражаются
лучи в пластинке. Это число может достигать 10—15
при длине пластинки от 10 до 30 см.
Разность хода между соседними пучками зависит от
толщины пластинки и ее показателя преломления и
Интерференционные приборы
115
обычно равна значительной величине, порядка 20 000 X
и больше. Благодаря этому с помощью пластинки Люм-
мера—Герке наблюдаются интерференционные полосы
очень высокого порядка (т~20 000), что ведет к силь-
ному перекрыванию полос разных длин волн. Поэтому,
при освещении пластинки Люммера — Герке не только
белым светом, но даже сравнительно узким участком
сплошного спектра возникает настолько сильное пере-
крытие полос разных длин волн, что в фокальной пло-
скости линзы фактически получается равномерная осве-
щенность. Для наблюдения полос необходим свет доста-
точной монохроматичности, тогда возникает ряд узких
световых полос, разделенных темными промежутками.
Если на пластинку Люммера — Герке падает свет от
широкого источника, то падающие, а следовательно, и
преломленные лучи отвечают различным значениям г.
В фокальной плоскости линзы получается система полос
разных порядков т, т4-1, /и+2,..., соответствующих раз-
ным наклонам лучей, т. е. образуются полосы равного
наклона.
В настоящее время пластинка Люммера —Герке
практически нигде не применяется, хотя в течение при-
мерно 20 лет после ее создания (1903 г.) она имела до-
вольно широкое распространение и использовалась для
исследования структуры спектральных линий.
Для различного рода экспериментов часто бывает
необходимо выделить узкий спектральный интервал. При
помощи обычных цветных стекол или окрашенных жела-
тиновых пленок (абсорбционные светофильтры) можно
выделить участок шириной около 500 А. Более узкий ин-
тервал (примерно до 50 А) удается получить при помо-
щи интерференционных светофильтров.
Принцип действия такого светофильтра легко понять,
если представить себе интерферометр Фабри —Перо
с очень малым расстоянием между пластинками. Из фор-,
мул (6.19) и (6.23) следует, что расстояние между пла-
стинками интерферометра Л=тХ/2=Х2/2ДХ. Допустим,
что область свободной дисперсии интерферометра ДХ=
=250 А, а Х=5000 А, тогда т=20, а Л=5-10-4 см, т. е.
толщина интерферометра Фабри —Перо оказывается
очень малой: около десятка длин волн X. Такой интерфе-
рометр будет эквивалентен фильтру, пропускающему
излучение в некотором интервале 6Х вблизи длины вол-
ны X. Однако следует помнить, что интерферометр такого
типа будет пропускать свет не только длины волны, близ-
кой к Хо (рис. 6.15), но и близкой к Хо±ДХ, Х0±2ДХ.
6.4
Интерференцион-
ные светофильтры
интерференц ионные
светофильтры
/Д
Рис. 6.15. Полосы пропу-
скания интерферометра
Фабри —Перо, использу-
емого в качестве интер-
ференционного свето-
фильтра
116
Интерференция света
Рис. 6.16. Интерференци-
онный светофильтр типа
Фабри—Перо:
1 — промежуточный стой из
диэлектрика; 2 —частично
отражающие пленки; 3 —
стекло
Рис. 6.17. Интерференци-
онный светофильтр с на-
рушенным полным внут-
ренним отражением:
1 — промежуточный слой из
диэлектрика с большим по-
казателем преломления; 2—
слои из диэлектрика с ма-
лым показателем преломле-
ния; 3 — стекло
Иными словами, возникает система максимумов, ширина
которых бл определяется коэффициентом отражения зер-
кал интерферометра. Поскольку в этом случае порядок
интерференции низкий, полосы пропускания будут широ-
ко разнесены по длинам волн и все побочные максиму-
мы можно убрать либо вспомогательными абсорбцион-
ными фильтрами, либо использованием селективных
свойств приемника, применяемого для регистрации излу-
чения.
Фильтр подобного типа изготовляют путем нанесения
на плоскую поверхность стеклянной пластинки двух от-
ражающих пленок, разделенных тонким слоем диэлек-
трика (рис. 6.16). Для серебряных покрытий высокого
отражения можно добиться только за счет увеличения
толщины слоя, что приводит к уменьшению макси-
мального пропускания. При использовании многослой-
ных диэлектрических покрытий можно довести коэффи-
циент отражения до 98 % при малых потерях на погло-
щение. Многослойные диэлектрические зеркала получа-
ют путем попеременного нанесения слоев диэлектриков
высокого и низкого показателей преломления. Область
пропускания фильтра такого типа значительно меньше,
а коэффициент пропускания больше, чем у светофиль-
тров с серебряными зеркалами. В качестве среднего
промежуточного слоя применяется слой диэлектрика с
низким показателем преломления. На практике слои по-
следовательно напыляются на стеклянную или кварце-
вую пластинку, служащую основой фильтра. Для защи-
ты от механических повреждений система заклеивается
второй пластинкой. Таким способом можно изготовить
фильтр с шириной полосы пропускания до 25 А и мак-
симальным пропусканием 75%.
Так как фильтры должны пропускать только опреде-
ленную длину волны, оптическую толщину промежуточ-
ного слоя следует тщательно контролировать. Например,
в результате ошибки в оптической толщине слоя на 1 %
при Хо=5000 А полоса пропускания светофильтра сме-
щается на 50 А, что превышает полуширину узкополос-
ных светофильтров.
В интерференционном светофильтре другого типа —
фильтре с нарушенным полным внутренним отражени-
ем “тонкие отражающие слои из вещества с малым по-
казателем преломления помещаются между веществом с
большим показателем преломления (рис. 6.17). При па-
дении света на границу под углом, большим предельно-
го, отражение не будет полным, и некоторое количество
света пройдет сквозь слой, который играет роль непогло-
Применение интерференции
117
тающего зеркала, Изменяя толщину слоя, можно полу-
чить любую степень отражения. Угол призмы, и показа-
тели преломления выбирают таким образом, чтобы свет,
падающий нормально основанию призмы, попадал на
слой с малым показателем преломления под углом,
большим предельного. Длины волн полос пропускания
фильтра зависят от оптической толщины промежуточно-
го слоя, угла преломления в нем и сдвига фаз при отра-
жении. Отражательная способность и, следовательно,
полуширина для данного порядка зависят от толщины
слоев с низким показателем преломления.
Глава 7
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Явление интерференции света нашло ши-
рокое применение в различных областях науки
и техники. Интерференционные методы позво-
ляют проводить очень точные измерения отно-
сительно простыми способами. Обычно прн по-
мощи интерферометров вначале измеряют сме-
щение в системе интерференционных полос, из
которого далее определяют разность фаз меж-
ду двумя интерферирующими пучками, а за-
тем рассчитывают изменение разности оптиче-
ских путей, связанное с изменением той или
иной характеристики среды.
Интерференционные методы используются
при геометрических, метрологических, рефрак-
тометрических, спектроскопических и некоторых
других измерениях. Кроме того, интерферен-
ция применяется и в различных научных ис-
следованиях, имеющих теоретическое значение.
Геометрические измерения включают в се-
бя исследование качества оптических деталей
(зеркала, линзы, призмы), сравнение механи-
ческих калибров, применяемых в машинострое-
нии, измерение малых механических смещений
и т. д. В интерференционной метрологии раз-
рабатываются методы точных измерений длин
волн, сравнения длины световой волны с нор-
мальным метром. Методами интерференцион-
ной рефрактометрии измеряют очень малые из-
менения показателя преломления, имеющие ме-
сто, например, в газах прн различных темпера-
турах, давлении, влажности и т. д., а также в
жидкостях и растворах. В спектроскопии ин-
терференция используется для исследования
структуры отдельных спектральных линий и
измерения разности между длинами волн, со-
ставляющей сотые и тысячные доли ангстрема.
Рассмотрим несколько примеров применения интерфе-
ренции света при различных геометрических измерениях.
Исследование качества оптических поверхностей. При
изготовлении оптических приборов предъявляются боль-
шие требования к качеству и точности оптических дета-
лей, в особенности их поверхностей. Плоские поверхно-
сти зеркал или сферические поверхности линз не долж-
ны отступать от соответствующих идеальных геометри-
Ч'~ ких поверхностей более чем на небольшие доли (‘Д
леныпе) длины световой волны (доли интерференцй-
<шчой полосы). Контроль оптических поверхностей тако-
го высокого качества осуществляют при помощи интер-
ференции.
Для этой цели используют специальный оптический
калибр (пробное стекло), представляющий собой плоско-
7.1
Интерференцион-
ные геометрические
измерения
118
Интерференция света
Рис. 7.1. Оптическая схе-
ма устройства для про-
верки качества оптиче-
ских поверхностей
параллельную пластинку, у которой одна поверхность
отличается от плоской не более чем на ОД длины вол-
ны Поверхность, которую необходимо проверить, при-
жимается к калибру так, чтобы между ними образова-
лась тонкая воздушная прослойка. При прохождении
света через эту воздушную прослойку образуются поло-
сы равной толщины, наблюдение которых осуществляет-
ся устройством, представленным на рис. 7.1.
Свет от источника L, отражаясь от полупрозрачного
зеркала М, через линзу параллельным пучком падает на
исследуемую пластинку А', наложенную на оптический
калибр А. Лучи, отраженные от поверхностей калибра и
исследуемой пластинки, проходят через полупрозрачное
зеркало М и образуют в фокальной плоскости линзы F
интерференционную картину в виде полос равной тол-
щины. Наиболее простой вид этих полос возникает тог-
да, когда воздушная прослойка между поверхностями
Л' и А имеет вид клина с малым углом, что достигается
легким нажатием на край пластинки А'. Если поверхно-
сти пластинок являются идеально плоскими, между ни-
ми образуется тонкий воздушный слой в виде клина и
полосы равной толщины имеют вид прямых, параллель-
ных ребру клина (рис. 7.2, о). Всякое отступление от
плоскости приводит к искажению интерференционной
картины (рис. 7.2, б, в).
Для получения резких интерференционных полос не-
обходимо пользоваться монохроматическим светом.
Обычно в качестве источника света L применяют ртут-
ную лампу, дающую спектр с небольшим числом спек-
тральных линий в видимой области, которые отстоят на.
достаточно большом расстоянии друг от друга. Для вы-
деления отдельных спектральных линий используют све-
тофильтры. Таким способом можно зафиксировать отсту-
пления от плоскости, составляющие примерно ‘/го длины
Грин (Greene) Джордж
(1793—1841) — англий-
ский математик и физик
Рнс. 7.2. Вид интерферен-
ционных полос равной
толщины:
в —плоские поверхности, со-
ставляющие небольшой угол
Друг с другое; б —неболь-
шой «бугор* или «впадина*
на краю плоскости; в—«бу-
гор* или «впадина», распо-
ложенные по диагонали пла-
стинки
волны.
Исследование сферических поверхностей линз и объ-
ективов может производиться с помощью интерферомет-
ра Тваймана — Грина (рис. 7.3), представляющего собой
модификацию интерферометра Майкельсона и отличаю-
щегося от него точечным источником. Последний вместе
с линзой О\ создает плоскую волну. Исследуемая линза
или объектив Оз вводится в одну из ветвей интерферо-
метра, в который установлено выпуклое зеркало М3. Па-
*> У оптических поверхностей наиболее высокого класса отступ-
ление от плоскости доведено примерно до 0,01 длины волны.
Применение интерференции
119
раллельный лучок лучей, пройдя через объектив О3 и
отразившись от выпуклого зеркала М3, вновь проходит
через Оз и снова становится параллельным (фокус объ-
ектива О3 совпадает с центром зеркала А43). Если у О3
полностью отсутствуют искажения (аберрации), пучки
света от обеих ветвей интерферометра, соединяясь, дают
равномерно освещенное поле. При наличии аберрации
видны темные кольца в тех местах, где объектив вносит
добавочную разность хода. Этот метод дает возможность
обнаруживать не только отступления сферической по-
верхности от требуемой формы, но и недостатки, вызван-
ные неоднородностями в стекле.
Проверка концевых мер. Современное машинострое-
ние не может обойтись без точных измерений длин.
Стандарты длины —это стальные плитки или цилиндры,
торцевые поверхности которых отполированы так, чтобы
они были строго плоскими и параллельными друг другу.
Расстояние между торцами такого калибра должно быть
известно с большой точностью (до десятых долей микро-
метра). Отсюда они и получили свое название — конце-
вые меры (или плитки Иогансона), в отличие от штрихо-
вых мер, у которых точно известно расстояние между
штрихами на их боковых поверхностях. Две или боль-
шее число концевых мер можно соединить вместе путем
притирки. Притираемые торцевые поверхности тщатель-
но очищают, на торцы наносят тонкий слой парафина, а
затем прижимают их друг к другу. Парафин выжимает-
ся, и поверхности становятся на хороший контакт.
При постоянном употреблении калибры изнашивают-
ся, поэтому необходимо иметь особо точные стандарты,
которые используются только для проверки рабочих ка-
либров. Поверхности концевых мер сначала проверяют
на плоскостность методом, применяемым для проверки
плоских поверхностей. Если торцы концевой меры пло-
ские, один торец рабочей меры Т и один торец стандар-
a G притирают к оптически плоской стальной плите.
На их верхние торцы накладывают оптический калибр
(рис. 7.4). Эта пластинка опирается только на одно реб-
каждого калибра, и между ее поверхностью и поверх-
остью стандарта G образуется воздушный клин с уг-
iOM а. В этом случае будут наблюдаться интерференци-
онные полосы, и по расстоянию между ними можно рас-
считать разность длин рабочей концевой меры и стан-
дарта. Этим методом можно определить разность высот
двух концевых мер до 0,002 см.
Измерение малых механических смещений. Явление
интерференции может быть использовано как чувстви-
Рис. 7.3. Исследование
поверхностей линз с по-
мощью интерферометра
Тваймана — Грина
концевые меры
штриховые меры
Рис. 7.4. К проверке кон-
цевых мер:
Т — рабочая мера; G — стан-
дарт
120
Интерференция света
Рис. 7.5. Образование ин-
терференционных полос в
клине
Рис. 7.6. Схема интерфе-
ренционного дилатометра
тельный метод, позволяющий судить об очень малом из-
менении толщины какого-либо твердого тела.
Пусть две плоскости АВ и СО образуют клин с очень
малым углом а (рис. 7.5). При падении на клин парал-
лельного пучка лучей наблюдаются интерференционные
полосы равной толщины в виде прямых, параллельных
ребру клина. Прн малом угле а геометрическая разность
хода между лучами 1 и 2, отраженными от поверхности
АВ и CD, можно, считать равной 2db где толщина
клина в месте отражения лучей. Если клин находится в
воздухе и показатель преломления материала клина
больше показателя преломления воздуха, луч 1, отража-
ющийся от поверхности АВ, меняет фазу на л и раз-
ность хода Ai между лучами 1 и 2 для светлой полосы
равна
Д1=2йл—Х/2=тХ,
тде% —длина волны используемого света.
Если поверхности отодвигаются друг от друга с со-
хранением угла а, толщина в данном месте клина
начнет увеличиваться и Af перестанет быть равной ml.
Очевидно, разность хода Ai будет равна ml в точке,
лежащей ближе к ребру клина. Когда толщина достигает
такого значения dz, при котором разность хода будет
равна (т+1)Х, в рассматриваемом месте снова появится
светлая полоса. При этом будет выполняться условие
A2=2d2n-X/2=(m-i-l)X.
Из двух последних равенств следует, что при смеще-
нии интерференционной картины на одну полосу толщи-
на клина в данном месте изменяется на величину
dz—di=ll2n. (7.1)
При смещении интерференционной картины на k по-
лос изменение толщины равно dk+i—di=kll2n. Если дли-
на волны К=5-10-5 см, по смещению интерференционных
полос можно вычислить изменения толщины пврядка
10-5 см.
Этот метод используется, например, для точного из-
мерения коэффициента теплового расширения твердых
тел. Для этого употребляется прибор, называемый ин-
терференционным дилатометром (рис. 7.6). Он состоит
из кольца К, изготовленного из плавленого кварца, име-
ющего очень малый коэффициент теплового расширения.
На кольце лежит стеклянная пластинка-эталон Р. Внут-
ри кольца помещается исследуемый образец R в виде
столбика с хорошо отполированными поверхностями.
Применение интерференции
121
Образец располагается так, чтобы между его верхней
поверхностью и нижней поверхностью стеклянной пла-
стинки Р образовался тонкий клинообразный слой воз-
духа. При освещении прибора сверху монохроматиче-
ским светом будет наблюдаться интерференционная кар-
тина в виде полос равной толщины.
При нагревании из-за различия в коэффициентах
расширения образца R и кольца Л толщина воздушного
слоя меняется и интерференционные полосы смещаются,
По смещению полос можно определить изменение раз-
меров образца и, следовательно, вычислить коэффици-
ент теплового расширения.
Интерференционный метод позволяет измерять малые
изменения длин, вызванные и другими причинами: ме-
ханическими растяжениями, изгибами и т. д.
Используя выражение (7.1) и рис. 7.5, можно полу-
чить формулу для расчета угла клина а: а= (с/г—di)//,
где I — расстояние между соседними светлыми полосами.
Подставляя сюда значение d2—dt из (7.1), получим
а=л/2п/. (7.2)
При Х=5-10-5 см, п = 1,5 и /=0,5 см найдем, что
0 __ ... 5'10_JL ~ 10~4 14"
21,5-0,5 1и₽ад
т. е. с помощью этого метода можно измерить очень ма-
лые углы.
При использовании интерференционных методов для
измерения механических смещений следует помнить, что
их применение целесообразно только в тех случаях, ког-
да желаемой точности нельзя достичь более прямыми
методами. Интерференционные методы не заменяют ме-
тодов, использующих, например, зеркальные отсчетные
устройства при измерении малых угловых смещений, так
как эти методы более удобны и в большинстве случаев
дают достаточную точность и чувствительность. Приме-
нение высокочувствительных методов на одном этапе
эксперимента не оправдано, если соответствующая точ-
ность не обеспечена и на других его этапах.
Рефрактометрия представляет собой комплекс мето-
дов физико-химического исследования веществ, основан-
ных на измерении их показателя преломления. Среди
всех методов, используемых в рефрактометрии, самым
чувствительным является интерференционный метод, по-
зволяющий измерять очень малые (до 10-8) различия
в показателе преломления газов или растворов.
Интерференцион-
ная рефрактометрия
рефрактометрия
122
Интерференция света
Показатель преломления вещества определяется
главным образом его природой, но вместе с тем он за-
висит и от внешних условий (например, температуры,
давления). Было разработано несколько интерференци-
Рэлеи (Rayleigh) Джон
Уильям Стретт (1842—
1919) — английский фи-
зик
онных методов для измерения показателя преломления
газов и малых различий в показателе преломления жид-
костей и твердых тел. Выше мы уже отмечали возмож-
ности использования интерферометра Жамена для реф-
рактометрических измерений. В настоящее время широ-
кое распространение для этих целей получил интерфе-
рометр Рэлея, представленный на рис. 7.7.
Ряс. 7.8. Вид поля зрения
интерферометра Рэлея
Рис. 7,7. Схема интерферометра Рэлея:
а —вид сверху, б —вид сбоку; в —компенсатор
Свет от ярко освещенной щели S, превращенный с
помощью линзы в параллельный пучок, проходит
диафрагму D с двумя параллельными щелями и трубки
Л и Та, в которые помещается исследуемое вещество
(газ или жидкость). Трубки имеют одинаковую длину и
занимают только верхнюю половину пространства меж-
ду объективом 01 и объективом зрительной трубки Oj.
В результате интерференции света, дифрагирующего на
щелях диафрагмы D, в фокальной плоскости объектива
02 вместо изображения щели S образуются две системы
интерференционных полос, схематически показанных на
рис. 7.8. Верхняя система полос образуется лучами, про-
ходящими через Ti и Т2, а нижняя— лучами, идущими
мимо трубок Ti и Т2. Интерференционные полосы на-
блюдаются с помощью короткофокусного цилиндриче-
Применение интерференции
123
ского объектива Оз. В зависимости от разности показа-
телей преломления Л| и п? веществ, помещенных в Г, и
/\. верхняя система полос будет смещена в ту или иную
стирону. Измеряя величину этого смещения, можно вы-
числить разность И[— Пг. Нижняя система интерференци-
онных полос остается неподвижной и служит индексом,
по которому производится отсчет перемещения верхней
системы.
При наблюдении в монохроматическом свете цент-
ральную полосу нельзя отличить от соседних и при из-
менении разности хода на целое число длин волн можно
не заметить сдвига полос. При освещении белым светом
центральные полосы обеих интерференционных картин
являются ахроматическими, а полосы, расположенные
справа и слева от них, окрашены, что облегчает обнару-
жение центральных полос.
В интерферометре Рэлея можно зафиксировать го-
ризонтальное смещение одной системы полос относитель-
но другой с точностью до V4Q интерференционной поло-
сы. Точность и удобство измерений возрастают при ис-
пользовании компенсационного метода. Для этого приме-
няют компенсатор Жамена (рис. 7.7, в). Он состоит из
двух стеклянных плоскопараллельных пластинок Р} и
Р2, которые устанавливаются на одной общей оси в ходе
двух лучей под некоторым углом друг к другу. При по-
вороте пластинок толщина проходимого слоя стекла для
каждого луча изменяется, но благодаря тому, что пла-
стинки расположены под углом друг к другу, изменение
длины оптического пути одного луча несколько больше,
чем другого. Таким образом, поворот пластинок на за-
метный угол вызывает небольшое смещение системы по-
лос. Угол поворота пластинок отсчитывается по угло-
мерному устройству. Разность хода, вносимая этим по-
воротом компенсатора, определяется расчетом или по
предварительной градуировке.
Многие спектральные линии обладают структурой,
т. е. состоят из нескольких очень тесно расположенных
ко мпонентов, каждый из которых характеризуется своей
собственной длиной волны. Расстояния между отдельны-
ми компонентами настолько малы, что они не могут
быть разрешены обычными спектрографами. Эта так на-
зываемая сверхтонкая структура спектральных линий
представляет большой интерес для спектроскопии,- так
как на основе точных данных о числе и интенсивности
компонентов можно получить важную информацию об
атомных ядрах.
7.3
Интерференцион-
ная спектроскопия
124
Интерференция света
Рис. 7.9. Система интер-
ференционных колец для
двух близких спектраль-
ных линий
область
свободной дисперсии
Для исследования сверхтонкой структуры применяют
интерферометры в сочетании со спектрографом. Выде-
ленное с помощью спектрографа излучение спектральной
линии направляют затем в интерферометр Фабри — Перо.
Пусть на интерферометр Фабри—Перо падает одно-
временно свет двух очень близких длин волн Xi и Хг.
Свет каждой из этих двух длин волн даст свою систему
светлых колец (рис. 7.9). Допустим, что мы можем за-
фиксировать длину волны Zi и плавно изменять длину
волны Х2. Вначале, когда будет наблюдаться одна
система колец. Если затем длина волны Х2 начнет мед-
ленно изменяться, кольца, принадлежащие к Х2, будут
отделяться от колец Л], радиусы их будут становиться
все меньше и меньше, пока опять две системы колец не
совпадут друг с другом. Таким образом, кольцо поряд-
ка m длины волны Х2 вначале отделяется от кольца дли-
ны волны Х| порядка т, а затем совпадает с кольцом
(/n+1 )-го порядка длины волны Хь Интервал длин волн,
соответствующий смещению системы колец на один по-
рядок, называется, как известно, областью свободной
дисперсии №. (см. формулу (6.23)). Если длина волны Х2
изменяется больше чем на ДХ, кольцо порядка пг длины
волны Х2 перейдет через кольцо (m-hl)-ro порядка дли-
ны волны Xi и будет двигаться к кольцу (т+2)-го поряд-
ка Xi. Произойдет перекрытие порядков.
Пусть угловое расстояние между кольцами длины
волны Х1 порядков m и m-Н (см. рис. 7.9) равно Дф.
Предположим далее, что кольца длины волны Х2 сме-
щены на малую величину, характеризуемую угловым
расстоянием Для колец, имеющих не слишком малый
угловой диаметр ф, смещение кольца на бф можно при-
ближенно считать пропорциональным изменению длины
волны 6Х. Тогда можно записать
бХ-ДХ(бф/Дф), (7.3)
где ДХ — область свободной дисперсии интерферометра
Фабри —Перо (постоянная интерферометра). Зная ДХ
и измерив угловые расстояния бф и Лф для данной систе-
мы колец, можно определить разность длин волн 6Х.
Если сдвиг колец двух разных длин волн очень мал,
они могут практически сливаться. Обозначим в этом слу-
чае через бф угловое расстояние между едва разреши-
мыми кольцами длин волн X и Х+бХ. Очевидно, бф будет
тем меньше, чем больше резкость колец, которая, как
известно, зависит от коэффициента отражения зеркаль-
ных поверхностей интерферометра (см. формулу (6.15)).
Представим величину бф в долях углового расстояния
125
Применение интерференции
Дф между соседними кольцами одной и той же длины
волны:
&р=ДфДОэф» (7.4)
где Л?эф~эффективное число интерферирующих свето-
вых пучков. Это число пучков Уэф является функцией
коэффициента отражения R и определяется следующей
формулой:
Л?эф=лу7/(1-R). (7.5)
Если, например, R=60 %, число пучков Л;Эф=6, а при
R=90 % Яэф=29.
Подставив значение б<р из формулы (7.4) в выраже-
ние (7.3), получим
бЬЩф. (7.6)
Из формулы (7.6) следует, что при R=60 % интер-
ферометр Фабри —Перо может разрешить два кольца с
разностью длин волн 6Х, примерно в 5 раз меньшей, чем
область свободной дисперсии ДА интерферометра, а при
R-90 % — приблизительно в 24 раза. Таким образом, с
повышением коэффициента отражения разрешающая
способность интерферометра Фабри —Перо возрастает.
До 1960 г. по международному соглашению за
эталон длины принято расстояние между двумя тонкими
штрихами, нанесенными на платиноиридиевый стержень
/ образного сечения, находящийся при температуре О °C.
Этот стержень называется международным эталоном
метра (стандартным метром) и хранится во Франции.
Копии эталона имеются во многих метрологических ла-
бораториях мира.
После того как стали возможны точные интерферен-
ционные измерения длин волн, возникла идея о сравне-
нии длины волны какой-либо спектральной линии с дли-
ной стандартного метра. Первая попытка провести такое
сравнение была предпринята Майкельсоном и Бенуа в
1892 г. Для этой цели они использовали несколько видо-
измененный интерферометр Майкельсона, Для сравнения
была выбрана красная линия кадмия, возбуждаемая в
определенных условиях (в воздухе при температуре
15 СС и давлении 760 мм рт. ст.). Измеренная длина вол-
ны линии кадмия составила 6438,4696-10-1 ° м или
6438,4696 А, что и является определением ангстрема.
Измерения проводили с точностью 0,5-10-6. С этим пер-
вичным эталоном длин волн оптическим методом сравни-
ваются длины волн всех других линий. Таким образом,
Интерференцион-
ная метрология
Бенуа (Benoit) Рене
(1844—1922) — француз-
ский физик
126
Интерференция света
Доплер (Doppler) Кри-
стиан (1803—1853) —
австрийский физик, мате-
матик и астроном
стандартный метр составляет 1553163,5 длин волн крас-
ной линии кадмия. В дальнейшем эти измерения были
повторены Бенуа, Фабри и Перо в 1905 г., которые при-
менили систему интерферометров Фабри — Перо и дове-
ли точность измерений до 0,2-10“®.
Для того чтобы источник испускал достаточно узкую
монохроматическую спектральную линию, необходимо по
возможности устранить все причины, приводящие к воз-
мущению излучения. Свечение должно вызываться в па-
рах низкого давления, чтобы избежать уширения спект-
ральной линии вследствие соударений атомов. Чтобы
ослабить возмущающее действие электрических полей,
обусловленных ионами пара при значительной их кон-
центрации, возбуждение должно проводиться при мини-
мальном разрядном токе. Наиболее трудно устранить
влияние эффекта Доплера, связанного с тепловым дви-
жением излучающих атомов, и эффектов, обусловленных
структурой излучения атома. Для ослабления эффекта
Доплера, который также приводит к расширению спек-
тральной линии, желательно взять излучающее вещест-
во, состоящее из атомов возможно большей массы, но
обладающее способностью создавать необходимую упру-
гость пара при достаточно низкой температуре. Слож-
ность излучаемых спектральных линий (сверхтонкая
структура) обусловлена влиянием момента ядра атома
(спина) на его электронную оболочку. Величина ядер-
ного момента связана с числом нуклонов (протонов и
нейтронов) в ядре, т. е. атомным весом. В природе ато-
мы вещества почти всегда представляют собой смесь
изотопов, что не дает возможности рационального тео-
ретического выбора излучающего вещества. На основе
экспериментальных данных Майкельсон выбрал указан-
ную выше линию кадмия, которая считалась наиболее
узкой и воспроизводимой. Однако позже было показано,
что и эта линия имеет сверхтонкую структуру.
Дальнейшие сравнения длины световой волны с дли-
ной метра показали, что основная ошибка связана с из-
мерениями длины при помощи измерительного микро-
скопа. Для того чтобы провести определение метра с
точностью 10~7 от измеряемой величины, необходимо
установить положение штрихов на нем с точностью до
2,5-10“4мм, или ±0,5А. Однако ширина штриха значи-
тельно превосходит эту величину. При большом увеличе-
нии штрихи имеют вид широких расплывчатых царапин,
определение центра царапины весьма субъективно и мо-
жет оказаться различным для разных наблюдателей.
В связи с тем, что интерферометрические измерения
Применение интерференции
127
можно осуществлять с очень большой точностью, выска-
зывались предположения о замене материального этало-
на метра определением длины метра в длинах волн ка-
кой-либо спектральной линии, излучаемой лампой стан-
дартной конструкции.
В 1960 г. 11-я Генеральная конференция по мерам и
весам приняла определение метра в длинах световой
волны. Было предложено использовать длину волны (в
вакууме) излучения, соответствующего переходу между
уровнями 2р10 и 5d5 атома криптона с массовым числом
86 (длина волны 6057,8021 А). В таком определении
метр есть длина, равная 1650763,73 указанных длин
волн. Новый эталон метра позволяет воспроизводить его
с точностью на два порядка выше платиноиридиевого
эталона. В длинах световой волны метр воспроизводится
с помощью излучения лампы, наполненной изотопом
»бКг.
Однако выбор длины световой волны в качестве пер-
вичного стандарта длины не исключает необходимости
вспомогательных механических стандартов. В качестве
таких стандартов, естественно, лучше иметь не штрихо-
вые, а концевые меры, поскольку последние более удоб-
ны как для непосредственного сравнения с длиной све-
товой волны, так и в производственной практике.
Раздел II
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Глава 8
ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ
При распространении электромагнитно ft
волны в однородной среде геометрическая фор-
ма фронта волны не испытывает изменения.
Если же волна распространяется в неоднород-
ной среде, в которой могут находиться непро-
зрачные препятствия или области с резким из-
менением показателя преломления, фронт вол-
ны искажается и происходит перераспределе-
ние интенсивности в пространстве. В таких ус-
ловиях возникает явление, получившее на-
звание дифракции. Вообще, под дифракцией
понимается любое отклонение света от прямо-
линейного распространения, если только оно
не может быть объяснено как отражение или
преломление.
Наиболее отчетливые дифракционные
эффекты возникают при распространении света
вблизи непрозрачных препятствий, хотя ди-
фракция происходит и на прозрачных объек-
тах. Дифракция наблюдается всегда, когда из-
менение амплитуды или фазы не одинаково на
всей поверхности волнового фронта. Поэтому
она возникает при любом —амплитудном или
фазовом — локальном нарушении волнового
фронта. Апертура светового пучка при экспе-
рименте ограничена диаметрами отверстий, и,
следовательно, в известной мере дифракция
происходит во всех оптических приборах. Ди-
фракционные эффекты часто маскируются не-
совершенством оптических изображений, обус-
ловленным аберрациями линз, а также дру-
гими аналогичными причинами. Только в тех
случаях, когда все другие эффекты уменьше-
ны, дифракция приобретает первенствующее
значение. Тогда именно она определяет воз-
можности оптических приборов и точности не-
которых измерений.
В оптике условно различают два вида
дифракции: дифракцию Френеля и дифракцию
Фраунгофера. Дифракция Френеля (дифрак-
ция сферических волн) является более общим
случаем по сравнению с дифракцией Фраунго-
фера (дифракция в параллельных лучах, т. е.
плоских волн). Хотя дифракция Фраунгофе-
ра—это частный случай, в оптике она имеет
большую практическую ценность для общей
теории оптических приборов и дифракционных
решеток.
Проблемы, возникающие при изучении ди-
фракционных явлений, относятся к наиболее
трудным в оптике, и их редко удается довести
до строгого решения. В большинстве случаев,
представляющих практический интерес, из-за
математических трудностей приходится пользо-
ваться приближенными методами, основанными
на принципе Гюйгенса.
8.<
Принцип
Гюйгенса—Френеля
Согласно принципу Гюйгенса (см. § 2.4) каждую точ-
ку волнового фронта можно считать центром вторичных
сферических волн, а волновой фронт в любой последую-
щий момент времени — огибающей этих волн. В та-
кой формулировке принцип Гюйгенса позволял решать
лишь задачи о направлении распространения светового
фронта и не затрагивал вопросов, относящихся к интен-
сивности волн, идущих по разным направлениям. Фре-
нель дополнил принцип Гюйгенса утверждением, что
вторичные волны интерферируют между собой. Благода-
ря этому огибающая вторичных волн, введенная Гюйген-
сом чисто формально, приобрела физическое содержание
как поверхность, где благодаря взаимной интерференции
вторичных волн результирующая волна имеет макси-
мальную интенсивность.
Дифракция Френеля
129
Дополненный таким образом принцип Гюйгенса, по-
лупивший название принципа Гюйгенса —Френеля, ста-
новится основным в волновой оптике и позволяет опре^
дел ять интенсивность результирующей волны в разных
направлениях, т. е. решать задачи о дифракции света.
Окружим источник L (рис. 8.1} некоторой вообража-
емой поверхностью S и рассмотрим возмущение в точке
В за пределами 5. Для этого устраним источник L, а
поверхность S будем считать светящейся, излучение от-
дельных элементов dS которой, приходя в точку В, опре-
деляет своей совокуйнцртью возмущение в данной точке.
Амплитуда колебаний (и, следовательно, интенсивность)
в точке В от элемента dS зависит от размеров элемен-
та, расстояния г и угла между г и нормалью п к поверх-
ности. Так как фазы элементарных вторичных волн от
всех элементов dS определяются волной, пришедшей из
L, то они являются когерентными и вторичные сфериче-
ские волны, идущие от dS, будут интерферировать меж-
ду собой. Их действие в каждой точке может быть оце-
нено как интерференционный эффект, и, значит, идея
Гюйгенса о роли огибающей перестает быть допущением,
а становится лишь следствием законов интерференции.
Согласно Френелю выбор вспомогательной поверхности
S вполне произвольный и поэтому для каждой конкрет-
ной задачи ее следует выбирать наиболее удобным спо-
собом. Если поверхность S представляет собой сферу с
центром в L все элементы dS будут иметь одинаковую
фазу. Если же поверхность S выбрана иным способом,
фазы dS не одинаковы, а сами элементы остаются ко-
герентными.
В тех случаях, когда между источником L и точкой
наблюдения В находятся непрозрачные экраны с отвер-
стиями, необходимо учесть действие этих экранов. Вспо-
могательная поверхность выбирается так, чтобы она всю-
ду совпадала с его плоскостью, а отверстие в нем за-
полняла таким способом, который удобен для решения
данной задачи. На поверхности экрана амплитуды коле-
баний от элементов dS считаются равными нулю, а на
поверхности, проходящей через отверстие экрана, они
выбираются так, как если бы экрана не было, т. е. пред-
полагается, что материал непрозрачного экрана не игра-
ет роли Ч
Вычисляя результаты интерференции вторичных волн,
посылаемых элементами dS, находим значение иктен-
Следует отметить, что материал экрана оказывает влияние на
характер светового поля в непосредственной близости к краю экра-
на, т. е. на расстоянии, сравнимом с длиной волны.
Рис. 8.1. К формулировке
принципа Гюйгенса —
Френеля
принцип
Гюйгенса — Френеля
130
Дифракция света
8.2
Метод зон Френеля
сивности в любой точке за экраном. Суммирование дей-
ствий всех элементов является задачей интегрального
исчисления, которая может быть очень сложной. Фре-
нель разработал два метода суммирования: первый —
геометрический, применяемый к задачам осевой симмет-
рии (метод зон Френеля); второй—общий аналитиче-
ский, использующий так называемые интегралы Френе-
ля, особенно полезный для решения задач о дифракции
на крае экрана, прямоугольной щели и т. д. Более под-
робно остановимся на первом методе.
Рассмотрим прохождение света через круглое отвер-
стие в непрозрачном экране (рис. 8.2). Пусть круглое
отверстие D'D" пропускает часть сферической волны,
исходящей из точечного источника света А. Определим
действие волны в точке В, лежащей на некотором рас-
стоянии за экраном. Для этого разобьем волновую по-
верхность S на кольцевые зоны (зоны Френеля), по-
строенные таким образом, чтобы расстояния от краев
зоны до точки В отличались на половину длины волны,
т. е. М4В—М0В=М2В~Л11б = .. .=Х/2. При таком разбие-
Рнс. 8.3. К расчету площади зон Френеля
нии волнового фронта колебания, приходящие в точку В
от соответствующих частей соседних зон, будут иметь
разность хода А/2, т. е. придут в точку В в противополож-
ных фазах.
Вычислим размеры полученных таким образом зон.
Для первой зоны (рис. 8.3) имеем р2=/?2—(/?—й)2=
= (г-Н/2)2— (r-\-h)2. Ввиду малости X по сравнению с R
и г находим, что
Рис. 8.2. Построение зон = кг 4
Френеля Я + г 2 ’
(8-1)
Дифракция Френеля
131
Площадь сферического сегмента радиуса р равна оо =
=2пМ или с учетом (8.1)
== I. (8.2)
Площадь сегмента, представляющего собой две пер-
вые зоны, равна 2Х [л/?г/(/?г)], т. е. площадь втором
зоны также равна и т. д. Таким образом, построение
по методу Френеля разбивает волновой фронт на равно-
великие зоны, каждая из которых имеет площадь, опре-
деляемую выражением (8.2). Следовательно, амплитуды
колебаний, доходящих от отдельных зон до точки В, за-
висят от расстояния г и угла <р между нормалью п к по-
верхности зоны и направлением г. Здесь следует учиты-
вать то, что с увеличением номера зоны k расстояние га
увеличивается и возрастает угол <р, поэтому амплитуды
колебаний доходящих до точки В от отдельных
зон, должны монотонно убывать: at>a2>.. .>ak>
• • •
Так как фазы колебаний, приходящих в точку В от
двух соседних зон, противоположны, амплитуда Ah сум-
марного колебания, вызванного действием k зон, равна
Ai = Ul—И’-|-0з——.. .ztflfc, (8.3)
где знак последнего числа положителен при нечетном
k и отрицателен при четном k. Очевидно, что при четном
числе зон их действия попарно ослабляют друг друга и
амплитуда суммарного колебания Лд в точке В незна-
чительна. При нечетном числе зон действие одной из них
остается неослабленным и Да больше, чем при четном k.
Более точное значение амплитуды 4* суммарного ко-
лебания можно получить следующим образом. Разобьем
в сумме (8.3) все нечетные члены на два слагаемых:
Тогда при нечетном k получим
Л. f+te—Л»+т)+(т-
. - ~ (-у^-— °*-, + Дг) + -тг-
При четном k будем иметь
д . - _£1_ __п । °з i / аз
Ак ' 2 +2
. ( ai-3
ч 2
(8-4)
2 / \ 2 41
ak-i \
~)+——“*•
(8.5)
132 Дифракция света
Поскольку амплитуды монотонно убывают с уве-
личением номера зоны k, приближенно можно положить
амплитуду колебании, вызванных какой-либо fc-й зоной,
равной полусумме амплитуд колебаний, вызванных
(k— 1)-й и (Л4~1)-й зонами: flt= (ак-1+ил+1)/2. На этом
основании все слагаемые в скобках в рядах (8.4) в (8.5)
будут равны пулю и, следовательно, прн нечетном k
Л = + <8-6)
а при четном k
A = -|-+-V— а, (8.7)
Если число зон достаточно велико, амплитуды коле-
баний, вызванных (ft—1)-й и fc-й зонами, будут мало
отличаться друг от друга и можно приближенно считать,
что flb-i/2—ад=—аА/2. Таким образом, равенства (8.6)
и (8.7) принимают вид
Л = (8.8)
где «+» — нечетное число зон, а «-» —четное.
Число зон, которое может уложиться на части волно-
вого фронта, нс закрытого экраном, зависит от отноше-
ния площади отверстия к площади отдельном зоны, а так-
же места его положения. Из рис. 8.3 легко найти радиус
первой, или центральной, зоны, который будет равен
ро= + г)]А. Радиус А-й зоны, равный-
₽» = <«-9)
является, очевидно, и радиусом рассматриваемого отвер-
стия в экране. Отсюда получаем, что отверстие радиуса
р=рь открывает часть волнового фронта, на котором
умещается число зон, определяемое из выражения (8.9):
к = <«•«»
Амплитуда суммарного колебания в точке В зависит
от числа открытых зон, которое определяется положени-
ем точки В, т. е. для разных точек В число k будет раз-
личным. В тех точках В, для которых k нечетное, ампли-
туда суммарного колебания Яь больше, а в тех точках В,
для которых k четное, она меньше. Квадрат амплитуды
определяет интенсивность. Таким образом, при продви-
Дифракция Френеля
133
жгиии по прямой ЛМ' (см. рис. 8.2) интенсивность света
будет изменяться. При данном же расположении источни-
ка света, экрана с отверстием и точки наблюдения В
интенсивность в точке В будет зависеть от размеров от-
верстия р и его отношения к длине волны.
Если размеры отверстия D'D" увеличивать до беско-
нечности, т. е. оставить открытой всю поверхность волно-
вого фронта S, то действие последней зоны аъ, станет бес-
конечно малым и из выражения (8.8) для амплитуды
суммарного колебания получим т. е. при пол-
ностью открытом фронте действие всей волны равнознач-
но половине действия центральной зоны.
При большом числе зон а&/2 мало и амплитуда Аь
практически не отличается от амплитуды Л», соответ-
ствующей полностью открытому фронту. Отсюда следу-
ет, что при большом числе открытых зон размеры отвер-
стия D'D" перестают оказывать влияние на интенсив-
ность в точке В. Если бы свет распространялся прямоли-
нейно, размеры отверстия вообще не должны были бы
сказываться на интенсивности в точке В. Отсюда можно
прийти к следствию, что выводы, получаемые из волно-
вых представлений и представлений о прямолинейном
распространении света, начинают совпадать, когда число
открытых зон,велико. Из выражения (8.10) можно оце-
пить это число зон. Например, в случае плоского фронта
(/?-□□) для точки В, расположенной на расстоянии
г- 50 см от отверстия радиусом р=0,5 см, при Л=
5-10“5 см число зон fe=100. При таком числе зон
.равнейшее увеличение отверстия не окажет влияния на
интенсивность света в точке В, т. е, получим такой ре-
зультат, как если бы свет распространялся прямолиней-
на. При увеличении расстояния до 50 м от точки В до от-
верстия того же радиуса на площади отверстия поместит-
ся лишь одна зона и волновой характер распростране-
ния света будет явно виден.
Разделение волнового фронта на нечетные и четные
ншы Френеля позволяет создать такой дифракционный
.кран, который мог бы выделить те или иные зоны. Сум-
марное действие только нечетных или только четных зон,
конечно, будет больше действия, создаваемого полностью
а [крытым волновым фронтом. Такой экран, называемый
'.чной пластинкой (рис. 8.4), можно изготовить, сфото-
:р.!фировав в уменьшенном масштабе на пластинку на-
- рченный на бумаге ряд концентрических окружностей,
у;; гнусы которых обратно пропорциональны корню квад-
рзл ному из ряда натуральных чисел, а образовавшиеся
Рис. 8.4. Зонная пластин-
ка
8.3
Зонная пластинка
зонная пластинка
134
Дифракция света
фазовая
зонная пластинка
8.4
Графическое
вычисление
результирующей
амплитуды
кольца зачернить через одно *>. Практически число таких
колец ограничено тем, что кольца располагаются очень
близко друг к другу, В лучшем случае можно получить
до 250 колец.
Если такую зонную пластинку поместить на пути сфе-
рической волны на расстоянии R от точечного источника
и г от точки наблюдения, то при открытых, например,
нечетных зонах волна, профильтрованная через пластин-
ку, даст в точке В суммарную амплитуду, значительно
большую, чем при полностью открытом волновом фронте.
Увеличение интенсивности в 4 раза можно получить,
если для света, проходящего через четные (или нечет-
ные) зоны, создать запаздывание по фазе на половину
периода, так что действие всех зон окажется в одной фа-
зе. Такие зонные пластинки называют зонными пластин-
ками с обращением, или фазовыми зонными пластинками.
По своему действию фазовая зонная пластинка сход-
на с действием линзы и может быть использована для
создания изображений подобно линзе, хотя положение
фокуса (хроматическая аберрация) существенно зави-
сит от длины волны. Точная теория образования этих
изображений сложна, что затрудняет использование зон-
ных пластинок в практических целях.
Результирующее действие световой волны в точке В
удобно рассматривать с помощью графического метода
сложения колебаний, обладающих некоторой разностью
фаз. Этот метод мы уже применяли при рассмотрении
интерференции многих световых пучков (см. § 6.2).
Воспользуемся понятием вектора амплитуды а, т. е.
вектора, длина которого равна амплитуде, а угол, обра-
зованный вектором с заданным направлением ОХ, соот-
ветствует начальной фазе рассматриваемого колебания.
При сложении нескольких колебаний суммарное колеба-
ние изобразится вектором А, равным векторной сум-
ме а,.
Разобьем поверхность волнового фронта на равные по
площади кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля,
но более узкие (подзоны). Колебание, приходящее в точ-
ку В от первой такой подзоны, изобразится вектором
а(. Допустим, что начальная фаза этого колебания рав-
на нулю, тогда вектор а( расположится вдоль оси ОХ *•
*• Этой последовательности подчиняется последовательность ко-
лец Ньютона. Поэтому вместо вычерчивания можно сфотографиро-
вать в монохроматическом свете интерференционную картину колец
Ньютона в подходящем масштабе.
Дифракция Френеля
135
(рис, 8.5). Действие соседней подзоны выразится векто-
ром а2, несколько повернутым относительно первого, так
как фаза второй подзоны отличается от фазы первой под-
зоны. По длине этот вектор практически такой же, как
и первый, поскольку амплитуда колебания, вызываемого
равновеликими подзонами, отличается только наклоном
фронта волны к линии, проведенной через точку В, а для
двух соседних подзон изменение наклона весьма незна-
чительно. Продолжая построение дальше, получаем ло-
маную линию в виде спирали. Результирующее колеба-
ние в точке В выразится вектором А, соединяющим точ-
ку О с концом вектора а*, соответствующего колебанию,
приходящему от последней из открытых зон.
Допустим, что фронт волны разбит так, что разности
фаз колебаний от соседних подзон постоянны и равны,
например, л/6. Сумма первых шести векторов а, пред-
ставлена на рис. 8.6, а. В данном случае последний из
этих векторов имеет фазу, противоположную фазе векто-
ра Э|, т. е. первые шесть рассматриваемых подзон-соот-
ветствуют одной первой (центральной) зоне Френеля.
Таким образом, вектор А| определяет амплитуду волны,
создаваемой центральной зоной Френеля. Аналогично
вектор А2 (рис. 8.6, б) изобразит амплитуду волны, созда-
ваемой двумя первыми зонами Френеля. Длина вектора
А2 в этом случае существенно меньше длины А], что со-
ответствует выводу § 8.2, согласно которому амплитуда в
точке В при одной открытой зоне больше, чем при двух.
Вообще, в зависимости от числа открытых зон мы полу-
чим то большие, то меньшие значения амплитуд колеба-
ний в точке В. Полностью открытому волновому фронту
будет отвечать бесконечно большое число зон, и ломаная
спиралевидная линия будет асимптотически приближать-
ся к центру С. Из сравнения рис. 8.6, а и 8.6, в видно, что
А0О=А|/2, а это совпадает с результатом алгебраическо-
го суммирования (см. § 8.2). Если разбить волновой
фронт на бесконечное число бесконечно узких подзон,
ломаная линия (рис. 8.6, в) превратится в спираль
(рис. 8.7). Таким образом, колебание в точке В, обуслов-
ленное всей волной, по фазе совпадает с колебанием, ко-
торое могла бы создать центральная зона Френеля, а по
амплитуде составляет половину амплитуды этого коле-
бания.
В дальнейшем при рассмотрении различных случаев
дифракции мы широко будем пользоваться графическим
методом сложения колебаний.
Рнс. 8.5. Г рафическое
сложение векторов амп-
литуд колебаний от от-
дельных зон
Рис. 8.6. Сложение векто-
ров амплитуд колебаний:
а —от первой зоны: б —от
двух первых зон; в — от пол-
ностью открытого волнового
фронта
Рис. 8.7. Векторная диа-
грамма действия всей
волны
136
Дифракция света
8.5
Применение
метода Френеля
к простейшим
дифракционным
явлениям
Рис. 8.8. Дифракция на
круглом отверстия:
а — схема дифракции; б —
распределение интенсивно-
сти по зкразу AW' при не-
четном k; J —то же при
четном k
Метод Френеля позволяет решать ряд дифракцион-
ных задач. Рассмотрим некоторые нз них. При этом бу-
дем предполагать (согласно Френелю), что часть свето-
вой волны, прикрытая непрозрачным экраном, не произ-
водит никакого действия, а неприкрытая часть действует
так, как если бы экрана не было совсем. Это предполо-
жение, как отмечалось выше, не тривиально и вблизи
края экрана не совсем верно (см. § 8.1). Однако для
большинства практических случаев метод Френеля до-
статочно правильно описывает явления и может быть
успешно использован.
Дифракция на круглом отверстии. Пусть волна 5, иду-
щая из точечного источника света А, падает на непро-
зрачный экран ММ' с круглым отверстием (рис. 8.8). Не-
обходимо рассмотреть, каково будет распределение
интенсивности света на экране NN', расположенном па-
раллельно экрану ММ' на некотором расстоянии от него.
В случае прямолинейного распространения света на экра-
не NN' был бы круг с резкими краями. В действительно-
сти же получается более сложная картина. Результат
действия волнового фронта, проходящего через круглое
отверстие, в точке В, лежащей на оси АО, мы уже опре-
делили. Интенсивность в точке В больше или меньше
интенсивности полностью открытого фронта в зависимо-
сти от того, уложится на площади отверстия нечетное
или четное число зон Френеля.
Вследствие симметрии дифракционной преграды отшк
сительно прямой АВ интенсивность света (т. е. освещен-
ность) в разных точках экрана будет зависеть только от
расстояния до центра дифракционной картины, помещаю-
щегося в точке В. В самой точке В интенсивность будет
достигать максимума или минимума в зависимости от
того, каким будет число открытых зон Френеля (четным
или нечетным). Пусть, например, число зон равно трем
(рис. 8.9). Тогда в центре дифракционной картины полу-
чится максимум интенсивности. Расположение зон Фре-
неля для точки В дано на рис. 8.9, а. В этом случае в
точку В приходит свет от всех точек .1—3-й зон. Сместим-
ся теперь по экрану NN' в точку В', тогда прямая АВ'
уже не будет осью симметрии экрана ММ'. Расположе-
ние зон Френеля для точки В', ограниченное краями от-
верстия, будет иметь вид, показанный на рис. 8.9,6. Края
отверстия закроют часть третьей зоны, но одновременно
частично откроется четвертая зона. В итоге интенсив-
ность уменьшится и при некотором положении точки В'
станет равной нулю. При дальнейшем смещении в точку
В" края отверстия частично закроют не только третью,
Дифракция Френеля
137
но л вторую зону Френеля, однако одновременно частич-
но откроется пятая зона и в точку В" будет приходить
свет от всех точек 1-й зоны и отдельных участков 2—5-й
зон (рис. 8.9, в). Действие открытых участков нечетных
зон превзойдет действие открытых участков четных зон,
и интенсивность достигнет максимума, правда, более сла-
бого, чем максимум, наблюдающийся в точке В.
Таким образом, дифракционная картина на круглом
отверстии представляет собой чередование светлых и
темных концентрических колец. В центре картины будет
либо светлое (k нечетное), либо темное (k. четное) пят-
но (рис. 8.10). На рис. 8.8 показана также зависимость
интенсивности / от расстояния р от центра дифракцион-
ной картины для нечетного 1г (рис. 8.8, б) н четного k
(рис. 8.8,в). Если экран .МЛ" перемещать параллельно
самому себе вдоль прямой АВ, изображенные на рис.
S.I0 картины будут сменять друг друга.
Если отверстие открывает не более одной зоны Фре-
неля, на экране получается размытое светлое пятно. Че-
pi дования светлых и темных колец в этом случае не воз-
никает. Если отверстие открывает большое число зон,
чередование светлых и темных колец наблюдается лишь
в очень узкой области на границе геометрической тени,
а вблизи точки В освещенность практически равно-
мерная.
Дифракция на круглом экране. Поместим между то-
чечным источником А и точкой наблюдения В непрозрач-
ный круглый экран (рис. 8.11) так, чтобы он закрывал k
первых зон Френеля. Тогда, в точку В придут колебания
ит всех остальных зон, начиная с (&+1)-й. Суммируя
действие всех зон (как это было сделано в § 8.2), придем
к выводу, что амплитуда колебаний в точке В будет рав-
ш! половине амплитуды колебаний, пришедших от
IА -Г 1) -й зон ы: А в - Ф.--н/2.
Выясним характер дифракционной картины на экране
VV, расположенном перпендикулярно к линии АВ. При
небольшом числе закрытых зон a/i+J мало отличается от
с.. Поэтому в точке В интенсивность света будет почти
г кая же, как и при отсутствии экрана между А и В\
Для точки В', смещенной относительно точки В в любом
радиальном направлении; экран будет перекрывать часть
| ','+1)-й зоны Френеля. Однако при этом одновременно
11! кроется часть М зоны, что приведет к ослаблению
I.чтенсивности, и при некотором положении точки В'она
> анет равной нулю. Если сместиться от центра дифракг
: ионной картины еще дальше, экран перекроет дополни-
v. льно часть (£+2)-й зоны и одновременно откроется
а
I 2 5
3
12 3 4
6
Рис. 8.9. Расположение
зон Френеля для точек
В (а), В' (б) и В" (в)
(см. рис. 8.8)
Рис. 8.1-0. Дифракцион-
ные картины па круглом
отверстии:
а — четное число зон; и —
нечетное число зон
138
Дифракция света
Рнс. 8.11, Дифракция на
круглом экране
Пуассон (Poisson) Симе-
он Дени (1781—1840)—
французский механик,
физик и математик
Делнль (Delisle) Жозеф
Никола (1688—1768) —
французский астроном
Араго (Arago) Доминик
Франсуа (1786-1853)-
французский астроном и
физик
Рис. 8,12, Дифракционная
картина на круглом экра-
не
часть (k— 1)-й зоны. В результате интенсивность возра-
стает и в точке В" достигнет максимума.
Таким образом, в случае непрозрачного круглого экра-
на дифракционная картина имеет вид чередующихся
концентрических светлых и темных колец, В центре кар-
тины при любом k (четном или нечетном) появится свет-
лое пятно (рис. 8.12).
Светлое пятно в центре тени от круглого экрана изве-
стно в литературе как «пятно Пуассона». Когда работа
Френеля по дифракции света была представлена во
Французскую академию наук на премию за 1818 г.,
Пуассон на основе теории Френеля получил найденный
выше результат н посчитал, что этим он опровергает всю
теорию Френеля ввиду абсурдности полученного из нее
предсказания. Центральное яркое пятно в тени экрана
наблюдал еще Делиль примерно за 100 лет (в 1715 г.) до
появления работы Френеля, но его наблюдения не при-
влекли внимания, так как они не были связаны с какой-
либо теорией. Опыт Делиля был успешно повторен Ара-
го, и тем самым возражение Пуассона было опроверг-
нуто.
Дифракция на прямолинейном крае полуплоскости.
Поместим на пути световой волны экран в виде непро-
зрачной бесконечной полуплоскости с прямолинейным
краем (рис. 8.13). За полуплоскостью на расстоянии
МаВ = Ь расположим параллельный ей экран NN' для
наблюдения. В этом случае нет смысла производить раз-
биение фронта волны на кольцевые зоны, так как экран
перекроет половину зон, а учет действия частично откры-
тых зон затруднителен.
Решение задачи упрощается, если поверхность волны
разбить на зоны следующим образом. Из точки В прове-
дем в плоскости чертежа линии BMit ... и ВМ\
ВМ%, ..., отличающиеся по длине на одинаковую вели-
чину б. При этом условии колебания, пришедшие в точку
В от соседних зон, будут отличаться по фазе на постоян-
ную величину. Проведем через центр А и точки Mi, М,
Мъ М2,... плоскости, параллельные ребру экрана D.
Таким образом, поверхность волны разобьется на зоны
(лунки), подобно тому как поверхность Земли делится
меридианами на пояса. В отличие от меридианной сетки
поверхность волны разбивается на зоны дугами, располо-
женными на неравном расстоянии друг от друга, поэтому
площади зон не будут равны между собой.
Для оценки площади зон допустим, что источник А на-
ходится далеко от экрана и на него падает практически
Дифракция Френеля
139
плоская волна. Тогда ширина первой зоны (рис. 8.14)
равна di « У (b б)2 — Ьг=* У 2Ьб Ч- & ~ V 266, так как
М.
Суммарная ширина первых k зон
.. +<4= У (Жб)2-Ь2= У2Ш4-№
При не очень больших k членом Л2б2 под корнем мож-
но пренебречь. Тогда di-f-dH-... У 2bkb=di У А.
Отсюда rfh=di(y k—У Л— 1). Расчет по этой формуле
дает отношение
А
Рис. 8.13. Дифракция иа
крае экрана
В таких же соотношениях находятся и площади зон.
Используя для решения задачи метод графического
построения, как и ранее, разобьем каждую зону на от-
дельные подзоны по принципу равного изменения фаз.
Площади подзон будут находиться в том же соотноше-
нии, что и площади зон (8.11). Следовательно, амплиту-
да колебаний, создаваемых в точке В отдельными подзо-.
нами, вначале убывает очень быстро, а затем медленнее.
Поэтому при графическом сложении колебаний от от-
дельных подзон ломаная линия идет вначале более поло-
го, чем в случае кольцевых подзон, площади которых при
аналогичном построении примерно равны. Поскольку зо-
ны с номерами k и k' расположены симметрично относи-
тельно точки В, при построении диаграммы векторы, изо-
бражающие соответствующие этим зонам колебания, бу-
дут располагаться симметрично относительно начала ко-
ординат О (рис. 8.15). Если ширину подзон устремить к
пулю, ломаная линия на рис. 8.15 превратится в плавную
кривую (рис. 8.16), которая называется спиралью Кор-
ню (клотоидой).
Уравнение спирали Корню может быть найдено тео-
ретически. В параметрической форме оно имеет вид
U V
»1 - | sindu; 5= [cos du. (8.12)
i) b
Выражения (8.12) известны под названием интегра-
лов Френеля. Они не берутся в элементарных функциях.
Чтобы проинтегрировать эти выражения в конечных пре-
делах, нужно произвести их разложение в специальные
ряды. Если пределы интегрирования являются ±оо, ве-
личина каждого интеграла равна ±0,5.
Чтобы выяснить смысл параметра и, сопоставим бес-
конечно узкую зону и возбуждаемое этой зоной в точке В
спираль Корню
Корню (Cornu) Мари
Альфред (1841—1902) —
французский физик
интегралы Френеля
8
Рис. 8.14. К расчету пло-
щади зон при дифракции
на крае экрана
140
Дифракция света
Рис. 8.15. Графическое
сложение векторов амп-
литуд при дифракции на
крае экрана
О
фокусы
спирали Корню
Рис. 8.16. Спираль Кор-
ню
колебание da. Вектор da совпадает с участком спирали,
отвечающим определенному значению параметра у. Это
значение v связано с расстоянием х' от точки В до про-
екции на экран данной бесконечно узкой зоны соотно-
шением
v = *'(8-13)
где а — расстояние от источника света Л до полуплоско-
сти; Ь — расстояние от полуплоскости до экрана MV'
(см. рис. 8.13); /. — длина волны. В случае плоской вол-
ны а=оо и тогда
и = х'^2/Х&. (8.14)
Значения параметра и отмечены на кривой рис. 8.16
поперечными черточками. Точки F+ и F-, к которым
асимптотически приближается кривая при стремлении и
к -|-оо и —оо, называются фокусами, или полюсами, спи-
рали. Координаты этих точек равны: т]=-|-0,5; £ = 4-0,5
для F+ и т|=—0,5; £ = —0,5 для F-. Правая часть спирали
(участок 0F_) соответствует зонам, расположенным сле-
ва от точки В.
С помощью спирали Корню можно найти амплитуду
светового колебания для точек, находящихся на любом
расстоянии от края геометрической тени (см. рис. 8.13).
Для точки В, лежащей на границе геометрической
тени, все зоны, обозначенные штрихами (штрихованные
зоны AfoAlh MiMi, ...), будут закрыты. Колебаниям от
зон нештрихованных (MqMi, МiA12, ...) соответствует
правая часть спирали. Следовательно, результирующее
колебание изобразится вектором 0F+ (см. рис. 8.16).
При смещении точки В в область геометрической тени
полуплоскость станет закрывать все большее число не-
штрихованных зон. Поэтому результирующая амплитуда
определится вектором, начало которого будет переме-
щаться по правой части спирали, проходя последователь-
но точки А}, А?, Дз, • • (отрезки AiF±, A2F+, A3F^, ...)
й приближаясь к полюсу F+. В результате амплитуда
в точке В будет монотонно стремиться к нулю.
Если точка В смещается от границы геометрической
тени вправо, в дополнение к нештрихованным зонам
будет открываться все большее число штрихованных зон.
Поэтому результирующая амплитуда будет определяться
вектором, соединяющим полюс F+ последовательно сточ-
ками Bi, В2, В3, ... (отрезки Е+Дь F+B2l Р+В3, .;.).
Амплитуда будет проходить через ряд максимумов и ми-
нимумов. При полностью открытой волновой поверхности
Дифракция Френеля
141
амплитуда равна длине отрезка F+F_, т. е. в 2 раза будет
превышать амплитуду на границе геометрической тени.
Соответственно интенсивность на границе геометрической
тени составит 1/4 интенсивности Ц, получающейся на
экране NN' при отсутствии преграды.
Распределение интенсивности света I по экрану в за-
висимости от расстояния X от края полуплоскости дано
на рис. 8.17. Из графика видно, что при переходе в об-
.псп, геометрической тени интенсивность изменяется не
<к,щком, а постепенно уменьшается до нуля. Справа от
границы геометрической тени расположен ряд чередую-
щихся максимумов и минимумов интенсивности. Макси-
мумы получаются при значениях параметра о (для точек,
совпадающих с началом результирующего вектора), рав-
ных —1,22; —2,34; —3,08; —3,69 и т. д. Положив в фор-
муле (8.14) Ь=1 м, Z=0,5 мкм и подставив приведенные
щщщния параметра v, можно получить координаты мак-
симумов: /[=0,61 мм; Х2=1,17 мм; Хз=1,54 мм; Х+=
1,^5 мм....Из этих данных видно, что максимумы рас-
in|.гаются довольно близко друг к другу. При меньших
[к лыояпиях b максимумы располагаются еще гуще. С по-
мщ.спирали Корню можно найти также относитель-
ную величину интенсивности в максимумах и минимумах.
Д.-.ч первого максимума получается значение 1,37 /0, а
i-д первого минимума— 0,78 7о.
Вид дифракционной картины на крае бесконечной по-
.!\ плоскости дан на рис. 8.18. Аналогичным образом мож-
но исследовать дифракцию на узкой бесконечной щели,
ущ-щ экране и т. д.
Рассмотренные выше дифракционные задачи показы-
вают, что применение метода Френеля позволяет пра-
ни.гщо определять амплитуду результирующей волны,
.о! размеры препятствий или отверстий не оказывают-
я сравнимыми с длиной волны. Однако в методе расче-
1.1 Фоенеля имеются принципиальные неясности.
[ф-первых, при расчетах интерференции элементар-
на волн, идущих от отдельных зон, приходится прини-
v во внимание то, что амплитуда колебаний элемента
•. 'чьлт от значения угла ф между нормалью к поверхно-
i г< : ллны в данном месте и направлением на точку В
. 8.19). Наибольшую амплитуду имеют колебания,
'чдящие в точку В от элемента поверхности, распо-
. -иного в точке'С', где угол ф=0. Амплитуды колеба-
ы!: вблизи точек А и А', где ф=л/2, равны нулю. Ампли-
г, :ы колебаний всех элементов поверхности, где <р>л/2,
к.'.-,..- приходится считать равными нулю.
0 г, Ч Ь *4
Внутри тени вне тени
Рис. 8.17. Распределение
интенсивности света при
дифракции на крае экра-
на
Рис. 8.18. ВиД дифракци-
онной картины на крае
полуплоскости
8.6
Замечания
относительно метода
Френеля
142
Дифракция света
Во-вторых, метод Френеля дает неправильное значе-
ние начальной фазы. Для большинства задач вопрос о
фазе не имеет значения, ибо нас интересует интенсив-
ность суммарной волны, которая пропорциональна квад-
рату амплитуды. Если же вычислить и результирующую
фазу, она будет отличаться от наблюдаемой на я/2. Дей-
ствительно, если экран с отверстием пропускает малую
часть центральной зоны Френеля, колебания в точке В
изобразятся первой стрелкой, направленной по ОХ
(см. рис. 8.6, в). Если же фронт волны открыт полностью,
Рис. 8.19. Зависимости амплитуды вторичных волн от угла ф
колебания в точке В изобразятся вектором А®, перпен-
дикулярным к ОХ, т. е. результирующая фаза отстает на
л/2. Таким образом, метод Френеля, правильно задавая
амплитуды вспомогательных источников, неудачно опре-
деляет их фазы.
В-третьих, из принципа Гюйгенса следует наличие
двух волн: одной, идущей вперед от источника света, и
другой, построенной так же, как огибающая элементар-
ных волн, но направленной в обратную сторону, по на-
правлению к источнику. В принципе Гюйгенса нет ника-
ких оговорок относительно обратной волны. Нет такой
оговорки и в принципе Гюйгенса — Френеля.
Отрицание обратной волны заложено в известной сте-
пени в допущении Френеля о зависимости амплитуды вто-
ричных волн от угла <р между нормалью к поверхности и
направлением на точку наблюдения. Согласно этому до-
пущению амплитуда равна нулю при углах ср, равных
или больших л/2. На рис. 8.19 уменьшение амплитуды
показано убыванием толщины кривой. Отсутствие обрат-
ной волны можно объяснить следующим образом. Из
каждой точки поверхности S возмущение распространя-
ется как вперед, так и назад. Но перед поверхностью S
возмущения еще нет, и действие сводится к образованию
такого возмущения, которое мы и наблюдаем. Позади же
S возмущение уже пришло, и действие от S сводится те-
Дифракция Френеля
143
ж рь к тому, чтобы это пришедшее возмущение скомпен-
сировать. В результате обоих действий — прямого и об-
ратного— возмущение проходит через S и распространя-
ется дальше по направлению к В.
В качестве аналогии, поясняющей это рассуждение,
может служить пример распространения импульса по
ряду соприкасающихся шаров. Шар, который ударил дру-
юй шар, деформируется и затем, стремясь возвратиться
н исходное состояние, сам становится источником
импульса, направленного как вперед, так и назад. Но
импульс, направленный назад, расходуется на то, чтобы
остановить налетевший сзади шар, а импульс, направ-
ленный вперед, сдвигает следующий шар в направлении
первоначального импульса. Значит, импульс передается
вперед от шара к шару.
Несмотря на эти недостатки, метод Френеля в вопро-
сах вычисления интенсивности, а следовательно, и осве-
щенности дает правильные результаты даже во многих
достаточно сложных дифракционных задачах. По сущест-
ву, благодаря работам Френеля была поставлена на твер-
дую почву и получила признание волновая оптика.
В дальнейшем (1882 г.) Кирхгоф дал строгое матема-
тическое обоснование принципа Гюйгенса — Френеля,
формально устраняющее все указанные недочеты метода
Френеля. Им было показано, что значение функции,
удовлетворяющей волновому уравнению, в данной точ-
ке пространства может быть найдено, если заданы зна-
чения этой функции и ее производной по нормали на не-
которой замкнутой поверхности. Вывод принципа Гюй-
генса — Френеля, данный Кирхгофом, основан на мате-
матической теореме Грина*) и приводит к следующему
результату: значение функции, удовлетворяющее волно-
вому уравнению, в определенной точке В выражается че-
рез интеграл по произвольной замкнутой поверхности 5,
окружающей эту точку:
Кирхгоф (Kirchhoff) Гус-
тав Роберт (1824—
1887) — немецкий физик
1 По теореме Грина две функции пространственных координат
ф| н однозначные и непрерывные (так же, как их первые и вто-
рые производные) внутри некоторой пространственной области, вклад-
'ст i-e границу, связаны между собой соотношением
I - WJ dv = Пфа фг ds,
J \ ОН on /
причем интеграл, стоящий слева, берется по объему области лро-
прм'ства, ограниченному поверхностью 5, а интеграл, стоящий спра-
।.» по самой этой поверхности; Д — оператор Лапласа; д!дп — про-
н по направлению внутренней нормали к 5. Эта' теорема
• 1!р;:»едлива при отсутствии особых точек внутри рассматриваемого
объема.
144
Дифракция света
Зоммерфельд (Sommer-
feld) Арнольд Иоганн
Вильгельм (1868—
1951)—немецкий физик
и математик
»h - 1 CL д е ikr е 1кг Ъ?
4л -! дп г г дп / ’
s
где £=2я/Х; г —расстояние от точки на поверхности S
до точки В; п — внутренняя нормаль к поверхности.
Однако и теория Кирхгофа не свободна от недостат-
ков. В. частности, в методе Кирхгофа не принимается во
внимание влияние материала экрана на световое поле
вблизи него. При более строгом решении дифракционной
задачи волновое уравнение необходимо решать при гра-
ничных условиях, которые задаются физическими свой-
ствами экранов или других препятствий. Строгое реше-
ние дифракционной задачи с точки зрения распростране-
ния электромагнитных волн вблизи препятствий удает-
ся лишь для сравнительно немногих простейших случаев.
Так, Зоммерфельд решил задачу о дифракции на крае
идеально проводящего экрана. Расхождение между ре-
зультатами теории и эксперимента следует, вероятно, от-
нести за счет невозможности точно осуществить на опы-
те условия теории, так как реальный экран не может
быть сделан идеально проводящим, бесконечно тонким и
обладать идеально острым краем. Сопоставление разных
случаев дифракции, разобранных более пли менее полно
по методу, аналогичному методу Зоммерфельда, показы-
вает, что приближенное рассмотрение на основе принци-
па Гюйгенса—Френеля дает достаточно хорошие ре-
зультаты.
Глава 9
ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА
До сих пор мы рассматривали дифракцию
сферических волн, изучая распределение осве-
щенности на экране, расположенном на конеч-
ном расстоянии от препятствия, причем наблю-
дение дифракции производилось без помощи
каких-либо оптических приборов. Иной способ
наблюдения дифракционных явлений предло-
жил Фраунгофер.
Если расстояние от дифракционного экра-
на до точки наблюдения очень велико по
сравнению с его размерами, в точке наблюде-
ния вторичные волны можно считать плоскими.
По методу Фраунгофера дифракционная карти-
на наблюдается в главной фокальной плоско-
сти линзы, собирающей плоские световые вол-
ны, частично загороженные непрозрачным экра-
ном. Таким образом, здесь рассматривается
дифракционная картина, образованная парал-
лельными лучами и получившая название
дифракции Фраунгофера.
Принципиально дифракция Фраунгофера не
отличается от дифракции Френеля, однако
подробное рассмотрение этого типа дифракции
является весьма существенным, ибо он находит
широкое применение при решении многих во-
просов, касающихся действия оптических при-
боров (дифракционных решеток, оптических
инструментов и т. д.), С математической точ-
ки зрения решение многих важных задач
дифракции в параллельных лучах не представ-
ляет собой большого труда и может быть до-
ведено до конца.
Условия, близкие к условиям Фраунгофера,
можно осуществить, поместив точечный источ-
ник света в фокусе линзы н собрав свет при
помощи второй линзы в некоторой точке экра-
Дифракция Фраунгофера
14b
I’j< ГН. Схема наблюдения дифракции плоских
JV'.iii
I, р ..ч.сложенного в ее фокальной плоскости.
1 । . :.<а является изображением источника.
- a.iii между линзами экраны с разлпчны-
ч.1 и .региями, будем менять характер диф-
: i-ой картины. В зависимости от формы
и размеров отверстий часть света пойдет по
тем или иным направлениям и будет собирать-
ся в различных точках экрана наблюдения.
В результате изображение на экране имеет вид
пятна, освещенность которого изменяется от
точки к точке.
Схема наблюдения дифракции Фраунгофе-
ра приведена на рнс. 9.1. Излучение от точеч-
ного источника L превращается линзой 01 в
плоскую волну, которая проходит через отвер-
стие в непрозрачном экране. Линза собирает в
различных участках своей главной фокальной
плоскости все лучи, прошедшие через отвер-
стие, в том числе л лучи, отклонившиеся от
первоначального направления в результате
дифракции. Исследуя распределение освещен-
ности в фокальной плоскости линзы Ог, можно
определить видность дифракционной картины.
Из всех возможных дифракционных явле-
ний мы ограничимся рассмотрением наиболее
важных случаев, когда отверстие имеет форму
прямоугольника и круга.
Пусть на бесконечно длинную щель шириной b па-
;.н1 плоская световая волна (рис. 9.2). За щелью номе-
UI-. IM тннза, а в ее фокальной плоскости— экран на-
ипя N.\r/. При прямолинейном распространении све-
та н фокальной плоскости линзы получилась бы бес-
млн чиа узкая светлая полоса. В действительности же
к.|.к.;.1я точка волнового фронта, достигающего щели,
ии.;яс1сн источником вторичных волн, распространяющих-
i.i ла все стороны. Лучи, идущие под некоторым углом <р
► [’.^начальному направлению, соберутся в фокальной
!1 л ' -ан ти ЛИНЗЫ В точке Вф.
Для расчета амплитуды колебаний в точке Вц разо-
6tc\i открытую часть волновой поверхности на зоны в
пи и1 узких полосок одинаковой ширины, параллельных
краям щели. Каждая из этих зон должна рассматривать-
(и как источник волн, приходящих в точку 5ф, причем
фа о-i волн от соседних зон отличаются на одинаковую
игл uni!ну, так как при нормальном падении света плос-
Ю". if. :ксли совпадает с поверхностью волны **’. Амплиту-
кн ментарных волн будут одинаковы, поскольку зоны
ii’.a-io i равные площади и одинаково наклонены к направ-
; а.лю наблюдения.
он два обстоятельства — равенство амплитуд и рав-
1 Практически достаточно, чтобы длина щели была намного
и.. , чем ее ширина. Так, при ширине в 0,01—0,02 мм длина в не-
। миллиметров может считаться бесконечной.
При падении лучей под некоторым углом к поверхности щели
! . иль ее поверхности не будут постоянными, однако их изме-
..н происходит по простому закону (см. § 9,6).
9.1
Дифракция
на одной щели
Рис. 9.2. Дифракция нэ
одной щели
146
Дифракция света
невеликое изменение фаз от зоны к эоне — упрощают ре-
шение рассматриваемой задачи как аналитическим, так
и графическим способом.
1. Рассмотрим вначале аналитический способ реше-
ния. Для этого открытую часть волновой поверхности
разобьем на элементарные зоны шириной dx, Амплитуда
dA колебания, возбуждаемого зоной dx в любой точке
экрана, может быть представлена в виде dA~cdx, где с —
коэффициент пропорциональности, не зависящий от
угла <р.
Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колеба-
ний, посылаемых в некоторую точку экрана всеми зона-
ми, через Ар. Ее можно найти, проинтегрировав dA по
всей щели:
ft ft
Ло = | dA ~ I cdx = cb.
о о
Отсюда коэффициент c=Ao/ft и, следовательно, dA=
= (A6/b}dx,
Таким образом, световое возмущение в соответствую-
щем участке щели выразится соотношением
ds = —dr cos и/. (9.1)
Чтобы найти действие всей щели в направлении, опре-
деляемом углом ф (угол дифракции) с направлением па-
дающей волны, необходимо учесть разность фаз, характе-
ризующую волны, доходящие от различных зон до точки
наблюдения В$. Для этого проведем плоскость AD (см.
рис. 9.2), перпендикулярную к направлению дифрагиро-
ванных лучен. Распределение фаз, которое будет иметь
место на этой плоскости, определит соотношение фаз эле-
ментарных волн, доходящих до Вф, поскольку линза не
вносит дополнительной разности фаз (см. § 4.6). Таким
образом, достаточно установить разность хода, возникаю-
щую на пути от плоскости АС до плоскости AD. Из рис.
9.2 видно, что разность хода между волнами, идущими от
элементарной зоны, примыкающей к точке А (левый край
зоны) и какой-либо точке F, лежащей на расстоянии х
от точки А, равна FE~x sin ф. Тогда световое возмуще-
ние в точках плоскости AD будет иметь вид
ds = A- dx cos (at — kx sin q>), (9.2)
где й=2лД — волновое число.
Результирующее возмущение, создаваемое в точке Вф
всем открытым участком волновой поверхности, выра-
Дифракция Фраунгофера
147
штся интегралом по всей ширине щели (т. е. по всем зна-
чениям х от нуля до &)*>:
ь
5 j cos (at — kx sin ф) dx =
о
X W . / , 2л
----5—:---- SHI ЮГ-------г—
2л sin Ф /L\ X
я
sin H—bsintp) j .
r At, — --------cos I wt —j- b sin фj. (9.3)
-y ti sin ф
ft sin ф — sinw/
Модуль выражения, стоящего перед косинусом в
(9.3), дает амплитуду Лф результирующей волны в точ-
ке В,.’
। sin (л/Х b sin ф) I
0 л/Х ism ср ['
(9.4)
Исследуем выражение (9.4). Для точки, лежащей
и середине щели (против центра линзы), угол дифрак-
ции ф=0. Подставляя значение ф=0 [(л/Х)Ф sin ф=0]
и формулу (9.4), получаем Др=Л, т. е. при ф=0 вол-
ки от всех элементарных зон приходят в точку Вф в оди-
наковой фазе. Поэтому амплитуда результирующей вол-
ны равна алгебраической сумме амплитуд складываемых
шин,
При значениях ср, удовлетворяющих условию
sintp= ±лл, где л=1, 2, ..., т. е. в случае, если
()5Шф=±нХ, (9.5)
амплитуда Лф обращается в нуль. Таким образом, усло-
вие (9.5) определяет положение минимумов интенсив-
ности. Заметим, что первый минимум будет наблюдаться
под углом, удовлетворяющим условию sin(p=+X/b.
Между минимумами расположены вторичные макси-
мумы интенсивности, значительно уступающие по вели-
чине центральному максимуму. Эти максимумы появля-
ются при значениях ф, удовлетворяющих условиям ***>
мпф1= ±l,43X/fr; sin фг=±2,46Х/6......... (9.6)
!Г) При этом была использована формула
о . — Р о 4- Р
vin а — sm р = 2 sm —— CoS —2—'
sin а
**) Напомним, что Jim-----= ].
^0 «
Условия (9.6) получаются при решении трансцендентного
'равнения tga=a (где а=(л/Х) b sin ф), к которому приводит уело-
ине максимума. Это уравнение решается графически.
148
Дифракция света
Интенсивность света пропорциональна квадрату ам-
плитуды. Следовательно,
. , sin^n/Afi sin у)
” '° [(n/XlfisincpF ’ Vй)
где /о—интенсивность света в середине дифракционной
картины (/О=Л5); — интенсивность в точке, положение
которой определяется данным значением угла ф.
График функции (9.7) изображен на рис. 9.3. Коли-
чество минимумов зависит от отношения ширины щели b
и длины волны Величина вторичных максимумов быст-
Рис. 9.3. Распределение интенсивности в зависимости от направления
при дифракции на одном щели
Фраенгофер (Fraunhofer)
Иозеф (1787-1826)— не-
мецкий физик
ро убывает. Если принять 7o=t а интенсивности вто-
ричных максимумов обозначить /ь /2, /3, ..., то
/о: /11 /г:.. .= 1: 0,045 : 0,016:... . Таким образом, хотя
основной световой поток сконцентрирован в пределах,
определяемых значениями sintp=±A/& (центральный
максимум), некоторая часть его будет распространяться
в направлении первых (около 5 % энергии) и вторых
(около 2 % энергии) максимумов и т. д.
Из полученных соотношений ясно, что положение мак-
симумов и минимумов зависит от длины волны Z. Поэто-
му описанный вид. дифракционной картины имеет место
только для монохроматического света. При белом свете
наблюдается совокупность картин для разных цветов,
сдвинутых одна относительно другой в соответствии с
различием в X. Центральный максимум (<р=0) будет об-
щим для всех длин волн, так что центр дифракционной
картины представится в виде белой полосы, слева и спра-
ва которой расположатся цветные полосы.
2. Рассмотрим задачу о дифракции Фраунгофера на
одной щели методом графического сложения амплитуд.
Разобьем, как и прежде, открытую часть волновой по-
Дифракция Фраунгофера
149
всрхности на одинаковые по ширине очень узкие зоны.
Элементарная волна от каждой такой зоны имеет одина-
ковую амплитуду а и отстает от предыдущей волны по
фазе на одну и ту же величину б, зависящую от угла <р,
определяющего направление на точку наблюдения В<р
При ф=0 разность фаз 5 также равна нулю (рис. 9.4,а).
Результирующая амплитуда Л9 равна алгебраической
ч-умме амплитуд элементарных волн. Если разность фаз
волн, идущих от краев щели, равна л (т. е. разность хода
Л = 6 5птф=л/2), векторы а располагаются вдоль полу-
окружности (рис. 9.4,6) длиной Д. Следовательно, для
результирующей амплитуды Л=2Яо/л. Когда sin (р=
и волны от зон вблизи краев щели отличаются на 2л,
тогда векторы а расположатся вдоль окружности длиной
Л (рис. 9.4, а), результирующая амплитуда равна нулю.
При этом имеет место первый минимум. Первый из вто-
ричных максимумов будет наблюдаться при A=&sintp=
-Зх/2. В этом случае волны от крайних зон отличаются
на Зл. Строя последовательно векторы а, обойдем 1,5 ра-
ла окружность диаметра А^гАо/Зл (рис. 9.4,г). Таким
образом, амплитуда Aj. первого из вторичных максиму-
мов составляет 2/Зя амплитуды Ло центрального макси-
мума, а интенсивность (2/Зл)2 /о«0.045/&. Аналогично
можно найти и относительную интенсивность остальных
максимумов. Получаются следующие соотношения:
! <) '• 2 / п \2 I п \2
\-^ j : :... =
-1:0,045:0,016:0,008:...,
что совпадает с результатом аналитического расчета.
Полученные соотношения позволяют исследовать из-
менение вида дифракционной картины с изменением ши-
рины щели. Согласно формуле (9.5) расстояние миниму-
мов от центра картины возрастает с уменьшением Ь, т. е.
с уменьшением ширины щели центральный максимум
расширяется. Нетрудно заметить, что прн (sin <₽~ 1;
Ф=;л/2) первый минимум сдвинут на бесконечно удален-
ный край экрана, т. е. центральный максимум расширя-
ется на весь экран наблюдения (рис. 9.5). Дальнейшее
уменьшение ширины щели не.имеет смысла, так как при
jtom будет наблюдаться монотонное уменьшение осве-
щенности, которая стремится стать равномерной по все-
му экрану.
При увеличении ширины щели первые минимумы все
н'снее сближаются к центру дифракционной картины,
Рис. 9.4. Г рафическое вы-
числение результирующей
амплитуды для разных
направлений при дифрак-
ции па одной щели:
а — <р = 0; б-ф-г;
• — Ф= 2s; г — ф = 3-
9.2
Влияние
ширины щели
и размеров
источника света
на дифракционную
картину
Рис. 9.5. Влияние шири-
ны щели на распределе-
ние интенсивности:
1 — узкая щель; 2 — широкая
щель
150
Дифракция света
Рис. 9.6. Наложение мак-
симумов интенсивности
при дифракции на щели
света от трех точечных
источников
Рис. 9.7. Дифракция на
щели от протяженного
источника света:
в—широкая щель (<р<а);
б — щель более узкая (ф-
а|; в —узкая щель (ф>в);
/ — центральные максимумы,
создаваемые протяженным
источником; 2 — центральные
максимумы, создаваемые то-
чечным источником
так что центральный максимум становится все резче и
резче (см. рис. 9.5). При этом относительная интенсив-
ность максимума (см. формулу (9.7)) остается неизмен-
ной, а абсолютная величина его возрастает, поскольку
увеличивается энергия, проходящая через широкую щель.
При очень широкой щели в центре получается резкое
изображение источника.
Рассмотрим теперь влияние размеров источника света
на дифракционную картину. Обозначим угловой размер
бесконечно удаленного источника, т. е. размер, наблюдае-
мый из точки в центре щели, через 2а (рис. 9.6). Весь
источник можно рассматривать состоящим кз совокупно-
сти практически точечных некогерентных источников.
Если считать их примерно одинаковой яркости, они да-
дут ряд одинаковых дифракционных картин, смещенных
друг относительно друга в пределах угла 2а, поэтому
условно заменим реальный источник тремя точечными
источниками, расположенными в его пределах. Обозна-
чим через 2(р~ширину центрального дифракцион-
ного максимума, получающегося от точечного источника
L. Два других источника L' и L", расположенные от L
на угловых расстояниях —а и +а, дадут свои дифракци-
онные максимумы (см. рис. 9.6). При этом ограничимся
рассмотрением положения только центральных макси-
мумов.
Приблизительная картина дифракции для различных
ширин щели дана на рис. 9.7. Если щель достаточно ши-
рокая, так что у=1/Ъ меньше а, изображение источника
геометрически почти подобно самому источнику и лишь-
слегка по краям окаймлено слабыми дифракционными
полосами, обусловленными вторичными максимумами
(см. рис. 9.7, а). По мере уменьшения ширины щели ши-
рина центрального дифракционного максимума увеличи-
вается, приближаясь к угловой ширине источника. При
этом изображение источника становится более расплыв-
чатым и центральный дифракционный максимум занима-
ет все большую часть геометрического изображения
(см. рис. 9.7, б). При очень узкой щели, когда ф больше
а, дифракционное уширение становится значительным и
по сравнению с геометрической шириной изображения,
так что наблюдаемая картина мало отличается от ди-
фракционной картины, даваемой точечным источником
(си. рис. 9.7,8). Когда ф гораздо больше а, пунктирная
кривая, представляющая собой дифракционную картину
точечного источника, практически сольется со сплошной
кривой, дающей картину от реального источника шири-
ной 2а. Таким образом, чем меньше ширина щели, тем в
Дифракция Фраунгофера
151
меньшей степени должны сказываться размеры источни-
ка гнета на распределение освещенности в дифракцион-
ной картине.
При дифракции на одной щели положение максиму-
мов и минимумов, очевидно, не должно зависеть от по-
ложения щели, поскольку местонахождение максимумов
определяется направлением, по которому идет большая
часть испытавшего дифракцию света. Поэтому при пере-
мещении щели параллельно самой себе дифракционная
картина не должна изменяться. Если же свет проходит
через две одинаковые параллельные щели, картина ока-
жется более сложной, поскольку здесь необходимо учи-
тывать взаимную интерференцию волн, идущих от пер-
вой и второй щелей.
Схема дифракции света на двух щелях изображена
на рис. 9.8. На две параллельные бесконечно длинные
щели шириной Ь, разделенные непрозрачным промежут-
ком а, так что a+b=d, падает нормально плоская све-
товая волна. Очевидно, что минимумы, наблюдаемые в
дифракционной картине от одной щели, не изменяют
своего положения и при дифракции на двух щелях, так
как те места, в направлении которых ни одна из щелей
не посылает света, не получат его и при двух щелях.
Однако в результате взаимной интерференции волн от
двух щелей в дифракционной картине возникнут допол-
нительные максимумы и минимумы. Действительно, раз-
ность хода AD между начальными точками обоих щелей
(точки Л и С на рис. 9.8) равна: AD—-AC sin <p=d sin ср,
где ф —угол дифракции; d=a+b.
Если разность хода d sin<p=mX, где m=0, 1, 2,
возникают, как известно, максимумы, т. е. действие
одной щели усиливает действие другой. Эти максимумы
называются главными. Когда d sinq>= (m-f-l/2)X, полу-
чаются добавочные минимумы, т. е. лучи, посылаемые
двумя щелями, взаимно гасят друг друга.
Таким образом, полная картина при дифракции на
двух щелях определяется из условий:
9.3
Дифракция
на двух щелях
прежние минимумы b simp- X 2Х, зх,
добавочные , . X зх 5Х
минимумы a sm^= — • 2’ 2 ’
главные
максимумы d апф= 0, X, 2Х, ЗХ,
главные максимумы
Рис. 9.8. Дифракция на
двух щелях
152
Дифракция света
Рис. 9.9. Расоре клеи не
гнтенспвноп1| ярп ДГ-
фракции Ila jbj'i шел их
л/л л" imp
Jti а аТ
9.4
ДмфрНфЮИНМ
реиатм
пскто«*-гд« pfuteiMt
Из этих условий следует, что при дифракции света
на двух щелях в распределении интенсивности появля-
ются существенные изменения между двумя главными
максимумами возникает один добавочный минимум Рас-
стояние между первичными инн нм умами (прн дифрак-
ции на одной щелн) зависит от ширины щели Ь, з рас-
стояние между добавочными минимумами— от соотно-
шения между b и d Если, например, (каление и
узкие щелн), между двумя первичными минимумами
может расположиться значительное количество новых
минимумов к максимумов
Так как прн дифракции на одной щели центральный
максимум гораздо интенсивнее вторичных максимумов,
при двух одинаковых щелях почти весь свет сосредото-
чен в области центрального максимума, т. е в пределах
5<П(р-=±к/й. Распределение интенсивности при дифрак-
ции монохроматической волны на двух шелих в преде-
лах центрального максимума (обозначенного пунктир-
ной кривой) дано на рнс. 9 9.
Дифракция на двух щелях, представляющая собой
переход к дифракционной решетке, имеет и самостоя-
тельное значение. В частности, известный шперференин-
онный опыт Юнга (сч §4 2) является дифракцией на
двух щелях. Этот случай был использован Рэлеем для
построения интерференционного рефрактометра, в кото-
ром два интерферирующих луча получаются н результа-
те дифракции на диух щелях. Большое значение имеет
применение дифракции на двух щелях к решению такой
важной астрономической проблемы, как определение
угловою диаметра отдаленных звезд н углового расстоя-
ния двойне* звезд. Принцип измерения диаметра звезд
был использован также дли измерения Су'бмцкроСьоппче-
скнх частиц, размер которых нс позволяет непосредст-
венно различать их в микроскоп.
Совокупность одинаковых дифракционных элементов,
расположенных на одинаковом расстоянии друг от дру-
га, образует дифракционную решетку. Мы будем рас-
сматривать дифракционную решетку, в которой дифрак-
ционными элементами являются параллельные щелн ши-
риной Ь, разделенные непрозрачными промежутками ши-
риной а. Величину a+b~d принято называть периодом,
или постоянной, решетки. Пусть на такую решетку, со-
стоящую из ,V щелей, нормально падает плоская моно-
хроматическая волна. Требуется найтн интенсивность
света, распространяющегося в направлен ни, составляю-
Днфраьиии Фраунгофера
153
щел угол (, с нормалью к плоскости, где лежат все .V
щелей (рнс 9,)0).
По аналогии с дифракцией на двух щелях заметим,
что дифракционная картина от каждой из № щелей (опи-
сываемая графиком на рис. 9.3) придется на одно н то
же песто экрана. Поэтому если бы элементарные волны,
приводящие в точку наблюдения от различных щелей,
были некогерентны мн, результирующая дифракционная
картина от .V щелей отличалась бы от картины, созда-
ваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности
возросли еу в ,V раз. Однако волны, идущие от щелей,
являются когерентны мл, поэтому необходимо учитывать
интерференцию между ними.
Как видно из рнс. 9.10, разность хода Д между- лу-
чами от двух соседних щелей равна
P|ic 9.10. Дафрашь» на
большой числе иселеД
<S=dsin<p.
(9-8)
Лучн, идущие от отдельных щелей в направлении
угла ф, обладают одинаковой интенсивностью, и раз-
ность хода между ними согласно (9.8) постоянна. В ре-
зультате интерференции получим распределение оспе'
щенностн, соответствующее случаю интерференции мно-
гих световых пучков (см. § 6.2).
При интерференции большого числа световых пучков
(см. § 6.2) возникает ряд главных максимумов одинако-
вой интенсивности прн разности хода где т=
=0. 1,2,... .Из соотношения (9.8) следует, что макси-
мумы появляются прН значениях угла ф, удовлетворяю-
щих условию
d5ГПф=±шХ, (9.9)
Если "цело щелей в решетке равно У между глав-
ными максимумами расположится Л'— I минимумов. Эти
минимумы лежат при
</я’Пф=±т>./Л?, (9.10)
где т =• 1,2, 3,..., Кроме т-if, 2Л\ 3V, ..., когда усло-
вие минимумов (9.10) переходит в условие максимумов
(99) Эти минимумы называют добавочными. в отличие ф
от минимумов, получающихся при дифракции на одной
щели, которые удовлетворяют условию «Поемные линии умы
Фупф=±и\ (9,)1)
гдет =1, 2, 3,... .
Таким образом, полная картина при дифракций на Л’
щелях определится из условий:
154
Дифракция света
прежние
минимумы b sin</>=
добавочные х 2А ^+].)Х
минимумы asin^- •••»———. 3
главные
максимумы d sin^-O, ’
Между добавочными минимумами располагаются
слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов,
приходящееся на промежуток между соседними главны-
ми максимумами, равно N—2. Интенсивность их, как
уже отмечалось, не превышает 1/23 интенсивности бли-
жайшего главного максимума.
Рис. 9.Н. Распределение интенсивности при дифракции на четырех
щелях*.
а—максимумы, вызванные интерференцией четырех лучков; С — распределе-
ние интенсивности в дифракционной картине на одной щели; в — распределе-
ние интенсивности в дифракционной картине от четырех щелей
Распределение освещенности Л, получающееся при
интерференции JV пучков, представлено на рис. 9.11, а.
При учете лишь интерференции пучков, исходящих от
отдельных щелей, главные максимумы должны были бы
обладать одинаковой интенсивностью. В действитель-
ности, в результате того, что лучи, дифрагирующие от
каждой из щелей под разными углами <р, дают на экране
колебания различных амплитуд, величина главных мак-
симумов не одинакова. Чтобы учесть это различие, надо
воспользоваться распределением интенсивности /2 при
Дифракция Фраунгофера
155
дифракции на одной щели (рис. 9.11,6). Тогда истинное
распределение освещенности / представится произведе-
нием /=/1/2 (рис. 9.11, в). Как видно из рисунка, интен-
сивными будут лишь те главные максимумы, которые
попадают в область центрального максимума (—
<Ф<Х/6) дифракционной картины от одной щели. Число
этих максимумов зависит от соотношения между постоян-
ной решетки d и шириной щели Ь. Действительно, пер-
вый минимум кривой /2 (в сторону положительных зна-
чений углов ср) лежит при ф=фь определяемом по (9.11)
равенством sin ф1 = Х,/6. На это же значение угла ф1 при-
дется главный максимум кривой А, если выполнено усло-
вие sin epi = mK/d, где т должно быть целым числом.
Из сравнения этих равенств имеем
m=dlb. (9.12)
Таким образом, если отношение постоянной решетки
к ширине щели есть целое число, главный максимум по-
рядка m=djb попадает на минимум кривой /2 и пропа-
дает. Как легко видеть, то же имеет место и для всех
главных максимумов порядков
m = ±m'dlb, (9.13)
где т'=1, 2, 3,... .В пределы центрального максимума
кривой А попадает (2d/b)—1 главных максимумов кри-
вой /1. Все остальные максимумы кривой 71 попадут на
вторичные максимумы кривой /2. На рис. 9.1! четыре
равностоящие щели и отношение dfb=3. Так как d-
= a-|-b, из равенства d=3b следует, что непрозрачные
промежутки между щелями в 2 раза шире самих щелей
(0=26).
Найдем угловую ширину главных максимумов. Для
появления добавочного минимума необходимо, чтобы
отличие от разности хода d sinдля соседних двух лучей
было равно X/N (см. формулу (9.10)). Соответственно
отличие в фазе двух соседних лучей должно равняться
2л/У, т. е. тем меньше, чем больше число щелей N. Так
как разность фаз равна (2n/X)dsin<p, изменение в на-
правлении (угловая ширина), приводящее к появле-
нию необходимой разности фаз 2л/Лг, определится из
условия б{(2л/А)4sin<р} =2n/V или (2лД)4со5фбф=2л/ЛГ,
откуда
—ir-г-—• (9-Г4)
Y N d cos ср
Таким образом, переход от максимумов к минимумам
происходит тем резче, чем больше N. Так как X/dcos<p
156
Дифракция света
Рис. 9,12. Изменение ха-
рактера дифракционной
картины в зависимости от
числа щелей
меньше единицы, при большом числе щелей угловая ши-
рина бф максимумов очень мала. Она приблизительно
в JV раз меньше углового расстояния между соседними
главными максимумами. На рис. 9.12, где показано, как
изменяется дифракционная картина с увеличением N,
видно, что рост числа щелей приводит к значительному
уменьшению ширины главных максимумов.
Мы не будем аналитически рассматривать дифракцию
на N щелях. Эта задача не представляет собой большой
сложности и сводится к суммированию действий отдель-
ных щелей с учетом возникающей разности фаз. Конеч-
ный результат, передающий распределение амплитуды в
зависимости от угла ф, имеет вид
А — A sintt sinjvP (9151
a sin р ’
где а = (л/Х) b sin ф; р == (л/?.) d sin ф; Л' — число щелей;
Д — амплитуда, задаваемая одной щелью в направлении
ф=0. Интенсивность, пропорциональная, как известно,
квадрату амплитуды, равна
I ~ 42 - / Isina У I sin;V₽ У (О 1ft
где (sin а/а)2 —распределение интенсивности в резуль-
тате дифракции плоской волны на одной щели;
(sin ATp/sin Р)2 — интерференция между пучками, исходя-
щими от всех щелей; /о — величина потока энергии, излу-
чаемого в направлении ф=0, т. е. потока энергии недиф-
рагировавшего света.
Рассмотрим вначале, как изменяется множитель
(sin JVp/sin Р)2 в зависимости от величины угла дифрак-
ции ф. Если разность хода между волнами от двух сосед-
них щелей (см. рис. 9.10) dsin<p=mX, где /п=0, 1, 2,...
(т —порядок дифракции), то р= (л/&)</51Пф=тл, т. е.
sinAfp=O и sin р = 0.
Известно, что Hm (sin Л'Р/sin Р) в (V, следовательно
slnP-^O
= (9.17)
Таким образом, при выполнении условия d sin ф=тЛ
интенсивность света в результате дифракции на системе
из N щелей возрастает не в N раз по сравнению с ин-
тенсивностью света, прошедшего через каждую щель, а
в № раз. Это есть прямой результат интерференции,
происходящей при дифракции на большом числе щелей.
Если бы N щелей были расположены хаотически, интер-
Дифракция Фраунгофера
157
ференционный эффект был бы равен нулю и суммарная
интенсивность была бы пропорциональна числу щелей.
Формулу (9.16) можно несколько преобразовать.
По определению а~(пЩЬ sin<p, a dsin«p=fnX, где т=
= 0,1, 2,... . Отсюда
лЬ тХ й
а - -----j- = лт~г
К а а
и, следовательно,
(s‘ng У _ d* sin* лт (6/d)
\ а / л2Ь1тг
Поскольку litn (sirWp/sin 0) = JV, интенсивность m-го
sin₽-*0
главного максимума равна
/ _ г / sina\2/ sin2VP \ _ т sin2 лт (b/d) ,Q 1fi,
да •
Из формулы (9.18) следует, что 1т~ l/т2, т. е. с уве-
личением порядка дифракции интенсивность соответ-
ствующего главного максимума уменьшается. Кроме то-
го, в формуле (9.18) учитывается и зависимость интен-
сивности от отношения ширины щели b к постоянной ди-
фракционной решетки d.
£__ф D Ф_____к
еЭШез о шнЭОз
ФК ФКФ Ф КФ КФ
Рис. 9.13. Расположение спектров различных порядков
Рассмотрение действия дифракционной решетки пока-
зывает, что при большом числе щелей свет, прошедший
через решетку, собирается в отдельных узких участках
экрана. Положение максимумов этих участков, опреде-
ляемое формулой dsinip=mX, зависит от длины вол-
ны Л. Если для освещения решетки использовать белый
свет, направления на максимумы с /n#=0 для различных
волн будут отвечать разным углам <р, т. е. наблюдается
разложение белого света в спектр. Число т, соответ-
ствующее данному спектру, называется порядком спект-
ра. Чем меньше длина волны X, тем меньшему значению
угла ср соответствует положение максимума. Таким обра-
зом, белый свет растягивается в спектр так, что внут-
ренним краем его являются фиолетовые, а наруж-
ным—красные лучи (рис. 9.13). Значение т—0 опре-
деляет максимум по направлению <р=0 для всех значе-
порядок спектра .
158
Дифракция света
ний длин волн, поэтому в данном направлении (направ-
ление первичного пучка) собираются лучи всех л, т. е.
нулевой спектр представляет собой белое изображение
источника.
Спектры первого, второго и других порядков распо-
лагаются симметрично относительно спектра нулевого
порядка. Расстояние между соответствующими линиями
спектров возрастает по мере увеличения порядка спект-
ров. В зависимости от спектральной однородности ана-
лизируемого света, т. е. от различия крайних длин волн,
спектры более высоких порядков накладываются друг
на друга. Это перекрытие начинается в видимой области
спектров второго и третьего порядков (см. рис. 9.13).
9.5
Фазовые
дифракционные
решетки
амплитудная
дифракционная решетка
Рис. 9.14. Фазовые ре-
шетки:
а — пропускающая; б — отра-
жательная
Рассмотренная в § 9.4 дифракционная решетка носит
название амплитудной, так как при прохождении света
через решетку, состоящую из чередующихся прозрачных
и непрозрачных полосок, возникает периодическое изме-
нение амплитуды падающей волны в направлении, пер-
пендикулярном к щелям решетки. Такие решетки были
впервые изготовлены в начале XIX в. Фраунгофером.
Они представляли собой большое число тонких проволо-
чек (до 136 на 1 см), натянутых параллельно друг дру-
гу. Просветы между ними играли роль щелей. Впослед-
ствии Фраунгофер изготовлял решетки путем нанесения
штрихов на стеклянную пластинку. Для амплитудных
решеток, как известно, распределение интенсивности
пропорционально 1/ги2, т. е. значительная часть энергии
сосредоточена в спектре нулевого порядка и быстро убы-
вает по мере перехода к более высоким порядкам. Для
практического применения амплитудная решетка не
очень выгодна, так как спектральные приборы, оснащен-
ные такими решетками, отличаются очень малой свето-
силой.
Важным практическим усовершенствованием дифрак-
ционных решеток явилось указанное Рэлеем и осущест-
вленное Вудом изменение распределения энергии по
спектрам, основанное на введении дополнительной раз-
ности хода в пределах каждого штриха решетки. С этой
целью решетку гравируют так, что каждый штрих име-
ет определенный профиль (профилированный штрих),
благодаря чему при отражении (или прохождении) све-
та возникает добавочная разность хода от одного края
штриха до другого (рис. 9.14). Подбирая профиль штри-
ха, можно сконцентрировать энергию в спектре того или
иного порядка, ослабляя остальные, в том числе и
спектр нулевого порядка. Такие решетки получили на-
Дифракция Фраунгофера
159
звание фазовых дифракционных решеток и отличаются
от амплитудных своей способностью изменять фазу
волны.
В теории дифракции удобно рассматривать или ам-
плитудные решетки, вызывающие только изменение
амплитуды, или фазовые решетки, вызывающие только
изменение фазы. Реальные дифракционные решетки, из-
готовленные путем нанесения штрихов на стекло или ме-
талл, дают одновременно изменение как амплитуды, так
и фазы волны. Это связано с тем, что изготовление ре*
шеток с заданным профилем штрихов при очень высокой
требовательности к точности их расположения — чрезвы-
чайно трудная задача.
Современная дифракционная решетка представляет
собой систему штрихов, в которой практически нет плос-
ких промежутков. На стеклянную или металлическую
поверхность наносится громадное количество штрихов
(до 2400 на 1 мм) определенного профиля, непосредствен-
но примыкающих друг к другу. В результате того, что по-
верхность падающей плоской волны достигает разных уча-
стков штриха в различные моменты времени, создается
запаздывание по фазе. Данное запаздывание, учитывае-
мое при расчете дифракционной картины, приводит к
тому, что функцию sina/a в формуле (9.15) нужно за-
менить другой, более сложной функцией, зависящей от
геометрии штриха. Соответственно изменяется и распре-
деление интенсивности между главными максимумами.
Второй множитель sin/Vp/sinp в формуле (9.15), опре-
деляющий взаимодействие дифрагировавших пучков,
останется практически без изменения.
В более общем виде формулу (9.15) можно записать
следующим образом:
<9'19>
где F(b, X, ф) — функция, учитывающая ширину штри-
ха Ь, длину волны X и угол дифракции ф и передающая
особенности штриха (его профиль, отражательную или
пропускную способность). Специальный выбор функ-
ции F дает возможность концентрировать энергию в
спектрах отдельных порядков.
Отражательные дифракционные решетки ступенчато-
го профиля (см. рис. 9.14,6) называют также концентри-
рующими или блестящими. Это связано с тем, что для
отражательной решетки максимальная интенсивность
дифрагировавшего света наблюдается в направлении лу-
ча, зеркально отраженного от одной из плоскостей штри-
фазовая
дифракционная решетка
отражательная
дифракционная решетка
160
Дифракция света
Рис. 9.15. К вопросу об
ьугле блеска» в отража-
тельной дифракционной
решетке
Роуленд (Rowland) Ген-
ри Август (1848—1901)—
американский физик
Андерсон (Anderson)
Карл Дейвид (р. 1905)—
американский физик
Вуд (Wood) Роберт
Уильямс (1868—1955)—
американский физик-экс-
периментатор
духи Роуленда
ха. Значит, при угле падения 9 света на дифракционную
решетку максимум дифрагировавшего света наблюдает-
ся под «углом блеска» ф=0 + 2е, где е—-угол наклона
рабочей грани штриха к поверхности решетки, показан-
ной на рис. 9.15 пунктирной линией (от этой поверхно-
сти отсчитывается и угол падения 9).
Отражательные дифракционные решетки относитель-
но высокого качества были впервые изготовлены в конце
XIX в. американским физиком Роулендом, наносившем
штрихи на металлическую поверхность при помощи вин-
товой делительной машины. В дальнейшем совершенст-
вовании этого метода принимали участие Андерсон, Вуд
и ряд других исследователей.
В настоящее время дифракционные решетки изготов-
ляются, как правило, путем нарезки алмазным резцом
мягкой металлической поверхности. Основанием для ре-
шетки обычно служат стеклянные заготовки, отполиро-
ванные с точностью до 1/1 ОХ. На заготовку наносится
испарением слой хрома, поверх него слой алюминия, по
которому и ведется нарезка. Необходимый профиль
штриха и наклон его отражающих поверхностей дости-
гается соответствующим углом заточки и установки ре-
жущего- алмаза. В процессе нарезки заготовка подается
винтом на определенное расстояние, равное постоянной
решетки.
Решетки в видимой области спектра имеют от 100 до
2400 штрихов на 1 мм. Наиболее распространены решет-
ки 300, 600 и 1200 штрихов на 1 мм. Размер заштрихо-
ванной площади обычно не превышает 150x100 мм2
(100 мм —длина штриха). Для специальных целей де-
лают решетки и больших размеров.
В идеальной дифракционной решетке все штрихи
должны быть идентичны по глубине и форме, расстояния
между ними должны быть одинаковы с точностью до
малых долей этого расстояния, В реальности выполнить
все данные условия невозможно, так как для изготовле-
ния такой решетки требуется точность, значительно пре-
восходящая точность используемых винторезных стан-
ков, поэтому решетки, нарезанные таким образом, имеют
определенные дефекты. Наиболее распространенный де-
фект—ложные линии, появляющиеся симметрично око-
ло каждой сильной спектральной линии и получившие
название духов Роуленда. В плоских решетках при боль-
ших яркостях основной линии можно наблюдать духи до
10—12-го порядка. Относительная яркость духов в ди-
фракционных решетках с непрофилированными штриха-
ми растет пропорционально квадрату порядка спектра.
Дифракция Фраунгофера
161
Такне решетки выгоднее употреблять в первом порядке.
В хороших решетках яркость духов составляет меньше
0,01 % яркости основной линии. Как правило, яркость
духов второго и более высоких порядков пренебрежимо
мала. Однако при изучении новых спектров слабые ли-
нии, расположенные вблизи сильных, всегда должны
проверяться с этой точки зрения, что легко сделать,
пользуясь симметрией духов.
В современных машинах подача заготовки контроли-
руется по смещению интерференционных полос переме-
щением зеркала, связанного с кареткой машины. В этом
случае дифракционная решетка почти свободна от пе-
риодических ошибок и духи Роуленда практически от-
сутствуют.
Помимо плоских отражательных решеток широкое
применение получили вогнутые дифракционные решетки,
в которых совмещаются свойства вогнутого сферическо-
го зеркала с диспергирующими свойствами нарезанной
на его поверхности дифракционной решетки. Вогнутая
решетка была впервые предложена и изготовлена Роу-
лендом. Такая решетка позволяет до предела упростить
схему спектрального прибора за счет исключения специ-
альной фокусирующей оптики. Теория вогнутых дифрак-
ционных решеток достаточно сложна, и мы не будем на
ней останавливаться. Некоторые вопросы применения та-
ких решеток будут рассмотрены ниже.
Плоские отражательные дифракционные, решетки
имеют 105 штрихов. Работают такие решетки обычно в
первом, втором или третьем порядке (в особых случаях
используются и более высокие порядки). Если в решетке
с профилированным штрихом под углом блеска наблю-
даются спектры 5—10-го порядков, такую решетку назы-
вают эшелеттом. Решетки, в которых наклон штрихов и
расстояние между ними таковы, что наибольшая интен-
сивность приходится на спектры очень высоких поряд-
ков, вплоть до 100-го, называются эшелле. Следует от-
метить, что строгого терминологического разделения
этих типов решеток в литературе нет.
До недавнего времени распространение дифракцион-
ных решеток ограничивалось сложностью делительных
машин, создание которых было доступно лишь немногим,
странам. Высокая стоимость и малая производительность
таких машин определяют и большую стоимость дифрак-
ционных решеток. Положение изменилось после того,
как были усовершенствованы методы получения копий
дифракционных решеток (реплик).
Впервые реплики были получены Вудом, который
вогнутая
дифракционная решетка
эшелетт
эшелле
реплика
162
Дифракция света
использовал желатин и коллодий. По качеству они за-
метно уступали оригинальным решеткам. Появление раз-
нообразных эпоксидных смол позволило существенно
улучшить технологию и качество реплик. Сейчас с од-
ной решетки можно получить до сотни пластмассовых
копий, почти не уступающих ей по качеству.
Интересно отметить, что качество реплик иногда ока-
зывается даже выше качества оригинальной решетки.
Это объясняется тем, что пластмасса плохо передает
мелкие дефекты штриха и последний на реплике полу-
чается «глаже», чем он был на оригинале, После изго-
товления реплики покрывают отражающим слоем.
В последние годы в связи с успехами лазерной техни-
ки и голографии (см. гл. 11) открылись возможности го-
лографического изготовления дифракционных решеток.
Такая решетка представляет собой зарегистрированную
на светочувствительном материале интерференционную
картину, образованную двумя когерентными пучками
света.
9.6
Наклонное падение
лучей
на дифракционную
решетку
Рис. 9.16. Наклонное па-
дение световой волны на
пропускающую (а) и от-
ражательную (б) ди-
фракционные решетки
До сих пор при рассмотрении пропускающих решеток
мы пользовались нормальным падением световой волны
на решетку. Однако на практике довольно часто прихо-
дится направлять поток света на решетку под некоторым
углом, особенно при работе с отражательными дифрак-
ционными решетками. Кроме того, наклонное падение
лучей на решетку имеет и некоторые свои преимущества.
Схемы дифракции при наклонном падении (под
углом 0) плоской световой волны на пропускающую и
отражательную дифракционные решетки показаны на
рис. 9.16. Рассмотрим условия образования дифракцион-
ных картин для этих двух случаев.
Полная разность хода для соответствующих лучей
пропускающей решетки равна Л=Л2—Ai=dsin(p—dsinO.
Главные максимумы возникнут при
d(sin<p—sin 0) =т\, (9.20)
где m=0, 1, 2,... . После преобразования получим
2d cos 6 sin ^"6 = ml.
If
Если период решетки d значительно больше длины
волны 1 («грубая» решетка), углы дифракции при этом
малы, т. е. угол ф мало отличается от угла падения 0.
В таком случае можно положить (ф+0)/2й?0 и sin(tp—
—0)/2а? (ф—0)/2. После этого упрощения получим вы-
ражение
d cos 0 (ф—0) =ml, (9.21)
Дифракция Фраунгофера
163
представляющее собой условие возникновения главных
максимумов при падении света под углом 0 к плоскости
решетки.
Сравним формулу (9.21) с выражением для случая
нормального падения света dsinq)=m^ которое при ма-
лых ф можно записать в виде dq>=mh. Это сравнение
показывает, что угол между направлением на нулевой
максимум и направлениями на вторичные максимумы
(ф—0) вычисляется так же, как если бы свет падал на
решетку нормально, но дифракционная решетка имела
бы уменьшенный период d cos 0.
При углах падения 0, близких к л/2, период дифрак-
ционной решетки заметно уменьшается (cos 0->-О). Это
означает, что, направляя свет на такую «грубую* решет-
ку под углом, близким к л/2, можно наблюдать отчетли-
вую дифракционную картину. Например, миллиметровая
линейка при очень косом падении на нее света позволяет'
наблюдать дифракцию видимых лучей. Это обстоятель-
ство нашло применение при исследовании рентгеновско-
го излучения. Так как длины волн рентгеновских лучой
в тысячи раз меньше длин волн видимого света, все
искусственные дифракционные решетки оказываются
для них очень «грубыми». Используя наклонное паде-
ние, удалось получить ясно выраженную дифракцию
рентгеновского излучения при сравнительно «гру'бой»
(d~0,02 мм) решетке.
Рассмотрим теперь отражательную решетку (см.
рис. 9.16,6). Для нее выражение полной разности хода
запишется в виде Д = Дг— \i=d sin sin 0. У словие
возникновения главных максимумов для отражательной
решетки будет
d (sin ф-j-sin 0) = ml, (9.22)
где m=0, 1, 2, ... . Преобразуя (9.22), получаем
2d sin cos Ф.~ (9.23)
Выше было отмечено, что для отражательной дифрак-
ционной решетки с профилированным штрихом макси-
мум интенсивности дифрагировавшего света наблюдает-
ся в направлении «угла блеска». Поэтому задачу о воз-
никновении главных максимумов целесообразно рассмат-
ривать именно при таком условии, т. е. когда угол ди-
фракции <р-0+2е, где е —угол наклона грани штриха
к поверхности решетки (см. рис. 9.15).
Будем считать, что углы 0 и <р достаточно малы. Этот
случай довольно часто реализуется на практике, когда
164
Дифракция света
дифракционная решетка устанавливается по так назы-
ваемой автоколлимационной схеме, т. е. когда дифраги-
ровавшая волна распространяется практически навстре-
чу падающей волне. Тогда несложные преобразования
приводят выражение (9.23) к виду
2dsine=mX. (9.24)
Рис. 9.17. Изменение распределения интенсивности прн дифракции от
отражательной решетки с профилированным штрихом (б) по сравне-
нию с дифракцией на амплитудной решетке (а)
Пользуясь формулой (9,24), можно определить тот
порядок дифракционного спектра, в котором должна на-
блюдаться максимальная интенсивность излучения ис-
следуемой длины волны
2d sin е :.&
<
л0
В 'лаком случае распределение интенсивности по глав-
ным максимумам как бы сдвинется относительно рас-
пределения, для которого функция (sina/ct)2 прн т—0
имела бы максимальное значение. Например, при значе-
нии е, удовлетворяющем условию (2d sin е)/л0=3, мак-
симальная интенсивность излучения длины волны Хо пе-
реместится в третий порядок (ш = 3), где интенсивность
света при дифракции на амплитудной решетке при от-
ношении djb=3 была бы равна нулю (рис. 9,17), Таким
образом, изменяя величину угла е, можно получить кон-
центрацию света в желаемом порядке дифракционной
решетки.
Глава 10 ф
ДИФРАКЦИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЕ
До сих пор мы рассматривали одномерную
задачу о дифракции плоской волны на пра-
вильной структуре нз множества щелей. Боль-
шой интерес и практическое значение имеет
дифракция на пространственной структуре, ко-
торая может представлять собой систему неод-
нородностей (включений), расположенных как
хаотически, так и периодически. В этом слу-
чае волна распространяется уже не в однород-
ной среде, а в среде, в которой имеются уча-
Дифракция на пространственной структуре
165
сткн, где скорость волны отличается от скоро-
сти в остальных частях среды, т. е. участки с
иным показателем преломления.
Если среда оптически однородна, т. е. по-
казатель преломления всюду одинаков, свето-
вая волна будет распространяться в ней без
изменения направления. В случае нарушения
однородности среды какими-либо включениями
или вследствие каких-то процессов, т. е, если
л среде появятся участки, сравнимые с длиной
волны, но с иным показателем преломления по
отношению к остальной среде, то на таких не-
однородностях должны возникнуть дифракци-
онные явления и часть света будет дифрагиро-
вать (отклоняться) от своего первоначального
направления. Явления такого рода часто на-
блюдаются в природе. Это прежде всего рас-
пространение света в тумане, имеющее очень
важное значение для морского флота н авиа-
ции. Явление дифракции в дождевых каплях
играет важную роль в возникновении радуги,
круги и кольца вокруг Солнца и Луны (так
называемые венцы) появляются в результате
дифракции солнечного и лунного света на мел-
ких водяных каплях, образующих облака и ту-
ман, и т. д.
Дифракция на пространственных неодно-
родностях (препятствиях) хорошо наблюдает-
ся в тех случаях, когда их число достаточно
велико, а размеры незначительны. В таком
случае среду называют мутной, а явление ди-
фракции — рассеянием света.
Для волн видимого света молекулы среды
не представляют собой неоднородностей, так
как размер молекул в тысячи раз меньше
длины световой волны. Роль неоднородностей
при этом играют случайные скопления значи-
тельного числа молекул, образующиеся при их
беспорядочном тепловом движении. Однако для
очень коротких волн, например рентгеновских,
уже само наличие молекул обусловливает не-
однородность среды, ведущую к дифракции
(рассеянию) волн.
Дифракция на пространственных неоднородностях
произвольной формы — сложное явление. Здесь ограни-
чимся более простым случаем, когда неоднородности
имеют правильный периодический характер, т. е. пред-
ставляют собой ту структуру, которую мы называем ре-
шеткой. Однако эта периодичность будет носить простран-
ственный характер, т. е. решетка периодична по трем
координатным осям (пространственная, или трехмерная,
дифракционная решетка). В качестве неоднородностей
(дифракционных элементов) воспользуемся рядом рас-
сеивающих центров, с помощью которых можно осущест-
10.1
Дифракция
на многомерной
решетке
вить одномерную, двумерную или трехмерную решетки.
Рассмотрим последовательно дифракцию на каждой из
этих решеток.
Линейная одномерная решетка. Допустим, что одно-
мерная решетка образована рядом одинаковых рассей*
лающих центров, расположенных вдоль прямой ММ' на
расстоянии d друг от друга (рис. 10.1). Пусть на такую
решетку под углом 0 падает параллельный пучок коге-
рентных лучей, лежащих в плоскости рисунка. Из всех
лучей, рассеиваемых центром в разных направлениях,
выберем те лучи, которые лежат также в плоскости ри-
сунка и составляют угол ф с нормалью.
Разность хода Д между соседними лучами равна
&2=d sin 8—d sin ф. Когда разность хода А равна
целому числу длин волн, возникают, как известно, глав-
ные максимумы (см. формулу (9.20)):
d (sin 8—sin ф)=/Л1/.,
(ЮЛ
166
Дифракция света
где /П1=0, 1, 2.....Для упрощения дальнейшего рас-
смотрения введем вместо углов Н и ф дополнительные
к ним углы аэ и и. Тогда равенство (10.1) примет вид
rf(cos do—cos а) «шД. (10.2)
Рис. 10.2. Схема наблю*
дения дифракции от ли*
нейной решетки
-J -2-/ 3 2 I 3
Рис. 10.3. Гиперболы,
возникающие при ди*
фракции на линейной ре-
шетке
Рнс. 10.1. Дифракция на линейной решетке
Постоянному значению угла а соответствует совокуп-
ность лучей, параллельных образующей конуса, осью ко-
торого служит продолжение прямой ММ'\ угол при вер-
шине равен а (рис. 10.2). Из всех лучей, рассеянных ли-
нейной решеткой, выделим те, которые параллельны
одной из образующих конуса и лежат, например, в плос-
кости чертежа. Эти лучи при выполнении равенства
(10.2) усилят друг друга, вследствие чего в фокальной
плоскости линзы появится светлое пятно Р. Лучи, парал-
лельные другим образующим, дадут свои светлые пятна,
и на экране возникнет полоса Р'РР". Различным значе-
ниям /Л] в формуле (10.2) при одной и той же длине вол-
ны соответствуют разные значения угла а и, следователь-
но, конусы разных угловых растворов. В фокальной плос-
кости линзы возникает система полос, изображенная на
рис. 10.2 пунктиром. Если линза расположена в плоско-
сти, параллельной прямой ЛШ', полоса Р'РР" является
гиперболой (см. рис. 10.2). Если угол ао=л/2, значению
а=л/2 отвечает светлая полоса нулевого порядка (Ш[ =
*=0), которая на экране будет иметь вид прямой. По обе
стороны от нее расположатся гиперболы (рис. 10.3) раз-
ных порядков (№( —±1, ±2, ...). При большом количе-
стве рассеивающих центров число интерферирующих
пучков велико и полосы получаются очень резкими.
167
Дифракция на пространственной структуре
Двумерная решетка, Рассмотрим теперь дифракцион-
ную решетку, в которой рассеивающие центры находятся \
в узлах квадратной решетки, представляющей собой две
системы линейных решеток, наложенных друг на друга.
Для простоты будем считать, что периоды решеток оди-
наковы и равны d (рис. 10.4). Пусть на такую решетку
падает параллельный пучок лучей, составляющих с ося-
ми OX n-OY углы ао и р0- Тогда волны, рассеянные от
центров, дадут в фокальной плоскости линзы максимумы
в тех направлениях, для которых углы аир удовлетво- <
ряют условиям
d(cos ао—cos а) = mfX; d(cospo—cosP) (10.3)
где mi, m2 —целые числа. В фокальной плоскости линзы
каждому из условий (10.3) соответствует своя система
гипербол (рис. 10.5). Однако оба условия (10.3) удовлет-
воряются одновременно только в местах пересечения ги-
пербол, т. е. в монохроматическом свете дифракционная
картина будет иметь вид светлых пятен. В качестве мо-
дели двумерной дифракционной решетки может служить
сетка с очень мелкими ячейками, которая при освещении
мощным монохроматическим световым потоком газового
лазера дает хорошую дифракционную картину. Если на
двумерную решетку падает немонохроматический свет,
при данных т} и т2 различным длинам волн X отвечают
согласно (10.3) различные значения углов а и 0, в ре-
зультате чего каждое пятно растянется в спектр. Разным
значениям и т2 соответствуют спектры разных по-
рядков.
В том случае, когда две системы линейных решеток
не взаимно перпендикулярны, а составляют какой-либо
угол между собой, положение максимумов будет зави-
сеть от данного угла. Это означает, что по расположению
максимумов можно судить о структуре поверхности, на
которой происходит дифракция световой волны. Если по-_
верхностная структура не является периодической, диф-_
ракционная картина будет более сложной. В частности,
если структура состоит из частиц, близких по размерам ,
и форме, она эквивалентна совокупности простых реше-
ток всех возможных ориентаций, а дифракционная кар-
тина представится в виде концентрических кругов. Такие
явления легко наблюдать, рассматривая яркий источник
света через запыленную стеклянную пластинку или по-
крытое морозным узором оконное стекло. Значит, имеет-
ся возможность экспериментально отличить правильное
расположение дифракционных элементов от хаотическо-
го их распределения на какой-то плоскости, где расстоя-
Рис. 10.4. Двумерная ди-
фракционная решетка
-2 -/ fhl +2
Рис. 10.5. Схематическое
изображение распределе-
ния интенсивности при
дифракции на двумерной
решетке
168
Дифракция света
Рис. 10.6. Трехмерная ди-
фракционная решетка
[кристалл NaCl)
ние между ними лишь в среднем остается постоянным.
Более того, детальное исследование симметрии и рас-
пределения интенсивности в дифракционной картине поз-
воляет определить характер правильного расположения
таких элементов на плоскости.
Трехмерная решетка. Рассмотрим пространственную
решетку, образованную системой рассеивающих цент-
ров, расположенных в простейшем случае в узлах куби-
ческой решетки кристалла каменной соли NaCl (рис.
10.6). Такую решетку можно разбить на три системы ли-
нейных решеток с периодом d, параллельных осям X, Y
и Z. Направление распространения света зададим тремя
углами луча с осями координат. Для падающего луча эти
углы обозначим а0, 0о, уо, а для дифрагированного —а,
0, у. Тогда условия возникновения максимумов запишут-
ся в виде
формулы Лауз
d(cos ие—cos a)- mil;
d(cos 0o—cos 0) =my,;
d(cOSYo—C0Sy)=ni3?.,
(10-4)
Латэ (Laue) Макс фон
(1879—1960) — немецкий
физик
где т3 — целые числа. Уравнения (10.4) носят
название формул Лауэ.
Известно, что углы, составляемые каким-либо направ-
лением с тремя осями прямоугольной координатной си-
стемы, связаны между собой определенным соотношени-
ем, а именно: сумма квадратов их косинусов равна еди-
нице. Поэтому к дифракционным условиям (10.4)
необходимо добавить еще и геометрические условия:
cos2 cto4-cos2 0о+cos2 уо= 1;
cos2 a-b cos2 04-cos2 у = 1.
/
(Ю.5)
Анализ (10.4) и (10.5) показывает, что эти условия
не могут быть одновременно удовлетворены для любой
длины волны к Причину ограничения можно проиллю-
' , стрировать следующим образом. Предположим для про-
<У стоты, что нормаль к падающей плоской волне направ-
ил.-- лена по оси Z, а экран расположен перпендикулярно к
оси Z. Тогда направления максимумов для линейных ре-
^/'-шеток, параллельных оси Z, расположатся на поверхности
конусов, которые дадут на экране систему кругов*)
(рис. 10.7), причем каждый круг будет соответствовать
определенной длине волны X и определенному числу m3.
Рис. 10.7. Схематическое
изображение дифракции
В трехмерной решетке
*> Если бы направление решеток не совпадало с осью или экран
был расположен под любым углом к этой оси, вместо кругов получи-
лись бы эллипсы, но все рассуждения остались бы в силе.
Дифракция на пространственной структуре
169
Каждая из двумерных решеток, параллельных плоскости
ХУ, даст для данной длины волны совокупность макси-
мумов, лежащих на пересечении двух систем гипербол
(см. рис. 10.5). Для того чтобы при определенном зна-
чении X были удовлетворены условия (10.4) и (10.5),
нужно, чтобы круги на рис. 10.7 прошли через точки пе-
ресечения гипербол, что при наличии одной какой-то дли-
ны волны маловероятно. Таким образом, при освещении
пространственной решетки монохроматическим излуче-
нием возникновение дифракционных максимумов нере-
ально. Напротив, при освещении решетки излучением со
сплошным спектром (белым светом) всегда найдется
подходящая длина волны, удовлетворяющая дифракци-
онным условиям. Нетрудно получить уравнение для вы-
числения этой длины волны. Перепишем систему (10.4) в
виде
X
cos ай — т1 — = cos а;
cos — mz — cos {1;
X
cos у0 — т3— = cosy.
(10.6)'
Возводя равенства (10.6) в квадрат, складывая их
почленно и принимая во внимание соотношения (10.5),
получаем
_ 2^ m I CQS до + яь cos ро + /и3 cos у0
(10.7)
Соотношение (10.7) показывает, какие значения
должна иметь длина .волны для того, чтобы в данной
пространственной структуре при заданном направлении
падающей волны (заданы ао, Ро. Уо) образовались отчет-
ливые дифракционные максимумы. Направления, в ко-
торых появляются максимумы, определяются значениями
углов а, р, у (находятся из условий (10.6)).
Таким образом, если одномерную правильную струк-
туру освещать белым светом, получим максимумы для
каждой длины волны (спектр). Если параллельный пу-
чок белого света падает на двумерную дифракционную
решетку, возникают максимумы для всех длин волн, рас-
полагающиеся в определенном порядке в плоскости, па-
раллельной плоскости решетки (цветные пятна). Если же
свет всех длин волн направить на трехмерную структуру,
получаются .максимумы только для некоторых длин волн,
удовлетворяющих условию (10.7), В этом случае трех-
мерная решетка действует как узкополосный фильтр.
по
Дифракция света
10.2.
Дифракция
рентгеновских
лучей
Для того чтобы линейная решетка могла давать ди*
фракционные максимумы, необходимо, чтобы k<2d (наи-
большее значение модуля разности косинусов в (10.2)
равно 2). В противном случае ни при каких значениях
углов «о и а условие (10.2) не будет удовлетворено. Ана-
логичные условия должны быть выполнены для двумер-
ной и трехмерной решеток. Если постоянная решетки d
намного больше длины волны (d;M), условия дифрак-
ции будут удовлетворены, но возникнут максимумы очень
высоких порядков пг, которые трудно наблюдать.
Отсюда следует, что наблюдение дифракции от про-
странственной решетки практически возможно, если ее
постоянная d будет порядка нескольких длин волн. Соз-
дание такой решетки для видимого света (d^lO"4 см)
путем соответствующего размещения каких-либо рассеи-
вающих центров невероятно трудно. Искусственно по-
добную пространственную структуру удается получить
при помощи ультразвуковых волн в жидкости или газе
(см. § 10.5). Вместе с тем в природе существуют естест-
венные пространственные решетки (кристаллы) с посто-
янной порядка 10 й см, однако дифракцию электромаг-
нитного излучения на этих решетках можно наблюдать
только для длин волн такого же порядка, т. е. для рент-
геновского излучения.
Вскоре после открытия (1895 г.) рентгеновского излу-
чения было сделано предположение, что оно представля-
ет собой электромагнитные волны значительно меньшей
длины по сравнению с видимыми. Эта гипотеза остава-
лась неподтвержденной до 1912 г., когда Лауэ высказал
идею, что можно наблюдать дифракцию рентгеновских
лучей, использовав в качестве дифракционной естествен-
ную пространственную решетку кристаллов. Атомы и мо-
лекулы в кристалле расположены в виде правильной
трехмерной решетки, причем периоды таких решеток, как
уже отмечалось, сравнимы с длиной волны рентгеновских
лучей. Если на этот кристалл направить пучок рентгенов-
ского излучения, каждый атом или атомная группа, из
которых состоит кристаллическая решетка, вызовет рас-
сеяние рентгеновских волн. Рассеянные волны являются
когерентными, ибо они возбуждаются одной и той же
падающей волной. Интерферируя между собой, эти вол-
ны дадут по известным направлениям максимумы. По
положению и относительной интенсивности дифракцион-
ных максимумов на фотопластинке можно составить
представление о расположении рассеивающих центров в
кристаллической решетке и о природе этих центров. Яв-
Дифракция на пространственной структуре
171
ление дифракции рентгеновских лучей, будучи непосред-
ственным доказательством волновой природы данного
излучения, стало в то же время основой эксперименталь-
ного изучения строения кристаллических решеток.
Расчет направления, в котором для данной длины
волны получается максимум при дифракции от кристал-
лической решетки, можно провести не только на основа-
нии формул Лауэ, но и другим более простым способом.
Этот способ был предложен независимо друг от друга
русским физиком-кристаллографом Вульфом и англий-
скими физиками Брэггами (отец и сын) и носит назва-
ние метода Вульфа — Брэггов.
Представим себе систему координат, проведенную
так, чтобы оси X, У, Z были направлены вдоль ребра ку-
ба (рис. 10.8), Любая плоскость, пересекающая кристалл
перпендикулярно к плоскости /У, оставит в ней след в
виде прямой (например, 1, Г, 2, 2'), Очевидно, что весь
кристалл можно разбить на ряд плоскостей 1, 1',,.. или
2, 2', ..., параллельных его естественным граням. Эти
плоскости будут одинаково густо усеяны атомами (назо-
вем их атомными плоскостями) и будут отстоять друг от
друга на одинаковом расстоянии d, равном ребру эле-
ментарной кубической решетки. Однако из того же ри-
сунка видно, что аналогичное разбиение можно осущест-
вить множеством других способов. Таковы, например,
плоскости 3, 3', ... и 4, 4', ..которые отличаются от
плоскостей 1, 1',... и 2, 2',... густотой заполнения ато-
мами, а также межплоскостным расстоянием.
Рассмотрим одну из таких систем плоскостей, напри-
мер плоскости, параллельные естественной грани кри-
сталла, т. е. I, Г,... или 2,2',... (рис. 10.9). Пусть на них
падает параллельный пучок монохроматических лучей
с длиной волны X. Считая атомы центрами новых коге-
Рлс. 10.8. Атомные пло-
скости
Вульф Георгий (Юрий)
Викторович (1863—
1925) — советский кри-
сталлограф
Брэгги (Bragg) Генри
(отец - 1862-1942) И
Лоуренс (сын —1890—
1971)—английские фи-
зики
рентных элементарных волн, получаем для каждой из
плоскостей отражение нулевого порядка под углом, рав-
ным углу падения. При этом отражение для одной плос-
кости будет происходить совершенно одинаково для лю-
бой длины волны, так как длины путей для всех лучей
равны между собой, следовательно, разности хода всегда
равны нулю. Если принять во внимание, что отражение
происходит не от одной плоскости, а от системы равноот-
стоящих плоскостей, то надо учитывать интерференцию
когерентных лучей, отраженных от различных плоско-
стей. При этом, как и в случае дифракционной решетки,
вторичные волны будут компенсировать друг друга во
всех направлениях, кроме тех, для которых разность хо- рнс >59 j; ЕЫВ0Ду фор-
да между соседними волнами является кратной Z. Из мулы Вульфа — Брэггов
172
Дифракция света
угол скольжения
юрмула
1улъфа — Брэггов
рис. 10.9 видно, что разность хода А двух воли, отразив-
шихся от соседних атомных плоскостей, равна Д=ЛО +
+OB=2dsin0, где О —угол, дополнительный к углу
падения и называемый углом скольжения падающих лу-
чей. Направления, в которых получаются дифракционные
максимумы, определяются условием
2d sin 0=mk, (10.8)
где т=1, 2, 3, ... . Выражение (10.8) носит название
формулы Вульфа — Брэггов.
В действительности отражение в кристалле происхо-
дит от многих плоскостей, т. е. интерферируют между со-
бой не два пучка, а большое число пучков, что приводит
(как и в случае интерференции многих световых пучков)
к более резким максимумам.
Условие же (10.8) остается без. изменения, если рас-
сматривать отражение от других систем атомных плоско-
стей (например, 3,3',...; 4,4',... и т. д.). Для них, одна-
ко, d будет другим.
Следует заметить, что расчет по формулам Лауэ и
Вульфа — Брэггов приводит к одним и тем же результа-
там. Однако метод Вульфа — Брэггов имеет и большое
самостоятельное значение, так как он лежит в основе
спектроскопии рентгеновских лучей, а также одного из
наиболее плодотворных методов изучения структуры кри-
сталлов — рентгеноструктурного анализа.
10.3
Эксперименталь-
ные методы
наблюдения
дифракции
рентгеновских лучей
Рнс. 10.10. Схема получе-
ния дифракции рентге-
новских лучей по методу
Лауэ
Выше отмечалось, что возможность наблюдения ди-
фракции рентгеновских лучей от кристаллов связана с
тем, что длина волны рентгеновского излучения и меж-
атомные расстояния в кристалле являются величинами
одного порядка (~1А=10~8 см). В методе, предложен-
ном Лауэ, узкий пучок рентгеновского излучения со
сплошным спектром, выделяемый круглым отверстием в
толстом свинцовом экране В, направляется на неподвиж-
ный монокристалл К (рис. 10.10). Возникающие при этом
дифракционные пучки фиксируются в виде небольших
пятен на фотопластинке Ф, расположенной перпендику-
лярно к пучку лучей. Взаимное расположение пятен на
фотопластинке отражает строение кристалла. По рас-
стоянию между пятнами и их интенсивности удается най-
ти размещение атомов в кристаллической решетке и рас-
стояние между ними. В качестве примера на рис. 10.11
приведена дифракционная картина (лауэграмма) в кри-
сталле кварца.
Метод Вульфа — Брэггов позволяет для каждой дан-
ной длины волны а найти угол падения 6, при котором в
Jглфрзг.'|.и:я pa nросi мксгвециой структуре
173
направлении зеркально отраженной волны образуется,
максимум. Пусть иа плоскую поверхность кристалла К
(рис. 10,12. uh представляющую coGoi- его естественную
грань, падает м<.шпхр<\\Щ|Нчсский рентгеновский луч под
углом 0. Поворачивая кристалл вокруг точки О, перпен-
дикулярной к ii. юскости рисунка, можно менять угол
скольжения G. Когда О примет значение, удовлетворяю-
щее форму.?? (10.8), возникнет максимум в направлении
зеркального отражения. При всех других значениях уг-
ла 0 отраженный луч практически отсутствует. Если на
поверхность кристалла падает пучок рентгеновских лучен,
содержащий разные длины волн, при угле падения Git
прн котором д.тч одной из длин волн м окажется выпол-
ненным условие 110.8), произойдет отражение луча от
гг?лтти кристалла ii на фотопленке в соответствующем м.с-
г’,-- появится почернение. Поворачивая кристалл, можно
п<н-.к!дова1 едино получить отражение лучей длин волн
Ai. /-г, Лз. - • - (рис. 10.12, б), т. е. получить спектр рентге-
новского излучения.
Этот метод лежит в основе конструкции рентгеновских
спектральных приборов. Схема рентгеновского спектро-
графа с вращающимся кристаллом изображена иа рис.
10.13. Пучок рентгеновских лучей падает на кристалл К,
расположенный на вращающемся столике. Спектр реги-
стрируется на фотопленке Ф. Иногда вместо фотопленки
дли регистрации рентгеновских лучей применяется иони-
зационная камера, которая поворачивается одновремен-
но с кристаллом иа двойной угол. Сила ионизационного
тока, возникающего в камере под действием рентгенов-
ских лучей, является мерой интенсивности этих лучей.
Если излучение обладает линейчатым спектром и состо-
ит из разных длин волн, излучение каждой длины волны
будет отражаться при своем угле 0. Кривая интенсивно-
сти рентгеновских лучей в зависимости от угла поворота
кристалла в этом случае имеет ряд максимумов, кото-
рые должны повториться в различных порядках отраже-
ния.
Метод Лауэ хорошо применим к монокристаллам до-
статочных размеров. Однако в природе лишь немногие
вещества встречаются в виде больших кристаллов, а вы-
ращивать кристаллы удается далеко не во всех случаях.
Поэтому важно разработать такой метод, который позво-
лил бы проводить структурные исследования и мелко-
кристаллических веществ. Такой метод был предложен
Дебаем и Шеррером (метод порошков). Монохроматиче-
ский рентгеновский луч направляется на образец в виде
Рис. 10.Г1. Дифракция
рентгеновских лучей в
кристалле кварца
лауэграмма
Рис. 10.12- Отражение
рентгеновских лучей от
кристалла:
о — -v.oiioxpDMdTiiHeiyioe излу-
чение: о “ белое излучение
Рис. 10.11 Схема рентге-
новского спектрографа
174
Дифракция света
Рис. 10.14. Схема получе-
ния дифракции рентге-
новских лучей по методу
кристаллических порош-
ков
спрессованного из кристаллического порошка столбика К
(рис. 10.14). Вследствие полной хаотичности в ориента-
ции микрокристаллов порошка в образце всегда най-
дутся кристаллики, расположенные по отношению к лу-
чу под углом, удовлетворяющим условию Вульфа — Брэг-
гов для данной длины волны. При этом отраженные лучи
идут по поверхности конуса под углом, равным 20 (рис.
10.15). Если окружить образец фотопленкой Ф, как по-
казано на рис. 10.14, эти конусы оставят на пленке сле-
ды в виде кривых линий, каждая из которых соответству-
ет определенной длине волны и определенному порядку
отражения.
10.4
Определение
длины волны
рентгеновских
лучей
Дебай (Debye) Петер
(1884—1966) — голланд-
ский физик
Шеррер (Scherrer) Пауль
(1890—1970) — швейцар-
ский физнк-эксперимента-
тор
Авогадро (Avogadro)
Амедео (1776—1856) —
итальянский физик и хи-
Рис. 10.15. К методу Де-
бая — Шеррера
Формула Вульфа — Брэггов (10.8) позволяет опреде-
лить длину волны рентгеновских лучей по углу отраже-
ния 0, если известна величина d — расстояние между
соседними атомными плоскостями в кристалле. Эта вели-
чина может быть вычислена независимым путем. Пусть
мы имеем кристалл, элементарная ячейка которого
в форме куба. Примером может служить кристалл пова-
ренной соли NaCl. Одна грамм-молекула NaCl имеет
массу ЛГ=58,4, и в ней заключается число молекул NaCl,
равное числу Авогадро NA. Поэтому число ионов Na+
и СИ в ней будет равно 2NA.
Рассмотрим элементарную ячейку кристалла поварен-
ной соли. Изучение структуры этого кристалла показало,
что в вершинах элементарного куба располагаются ионы
Na+ и С1_ (см. рис. 10.6). В восьми вершинах кубической
ячейки помещаются восемь ионов, но так как каждая из
вершин является общей для восьми соседних ячеек, то
на каждую ячейку приходится по одному иону. Если дли-
на ребра ячейки равна dt ее объем будет d3, а объем
одной грамм-молекулы, содержащей 2Л\ ионов, будет
2Л7ас!3. Тот же объем равен отношению массы М к плот-
ности кристалла р, тогда 2NAdi—MI^ или
(10-9>
По известным значениям Af, Уд и р для кристаллов
поваренной соли d=2,814 А. Измеряя углы, под которы-
ми кристалл поваренной соли дает дифракционные мак-
симумы для рентгеновских лучей, и пользуясь приведен-
ным значением d, можно найти длину волны X. Напри-
мер, для так называемого характеристического рентге-
новского Ха-излучения меди Х= (1,537302+0,000031) А.
Как видно, точность определения X настолько велика, что
1А= 10-8 см оказывается не совсем удобной единицей.
Дифракция на пространственной структуре
175
Поэтому в спектроскопии рентгеновских лучей часто
используете» другая единица, называемая /-единицей:
1Х=10-3 А=10“11 см. В этих единицах длина волны Аа-
излучения меди запишется числом л= (1537,302±0,031)/.
Из формулы (10.9) видно, что точность определения
d, а следовательно, и X существенным образом зависит
от достоверности числа Авогадро. Прямой метод опреде-
ления Уд основан на изучении броуновского вращатель-
ного движения. Однако точность этого метода не
удовлетворяет тем высоким требованиям, которые предъ-
являются в настоящее время к значениям основных уни-
версальных констант. Очевидно, число Авогадро можно
определить по длине волны рентгеновских лучей, если
последнюю измерить каким-либо способом, не связан-
ным с дифракцией на кристаллической решетке.
Длину рентгеновского излучения с большой точностью
можно найти при помощи отражательной дифракционной
решетки (см. § 9.6). Далее, если при помощи рентгенов-
ского спектрографа с кристаллом найти угол 0, при ко-
тором происходит отражение этой волны в первом поряд-
ке, то по формуле Вульфа — Брэггов (10.8) можно с до-
статочной точностью определить постоянную кристал-
ла d. Подобное определение постоянной d решетки каль-
цита (СаСОз), обычно применяемого в рентгеновской
спектроскопии, дало значение d = 3,0350 А. Отсюда по
плотности и молекулярному весу кальцита было найдено
число Авогадро Уд= (6,022169 + 0,000040) • 1023 моль-1,
которое отличается от ранее принятого значения (6,06X
Х 1023).
Условия, соответствующие правильной пространст-
венной решетке, могут быть осуществлены искусственно
с помощью ультразвуковых волн. Ультразвуковые волны
представляют собой акустические волны, частоты кото-
рых лежат выше частот, воспринимаемых ухом человека.
Принято считать, что нижняя частотная граница ультра-
звука лежит в области 2-Ю4 Гц, а верхняя —теоретиче-
ски должна лежать в области 1013 Гц, т. е. соответство-
вать частотам, при которых длины ультразвуковых волн
делаются сравнимыми с межмолекулярными расстояния-
ми. В газах эта граница определяется длиной свободного
пробега молекулы и лежит значительно ниже (около
109 Гц). Частоты выше 109 Гц часто называют гиперзву-
ком. Наиболее высокие частоты, которые удалось возбу-
дить и зарегистрировать акустическими методами, со-
ставляют в жидкости 3-109 Гц, а в твердых телах (моно-
кристаллах) — 8« 1О10 Гц.
Броун (Brown) Роберт
(1773—1858) — англий-
ский ботаник
10.5
Дифракция света
на ультразвуковых
волнах
гиперзвук,
176
Дифракция света
Бриллюэн (Brillouin) Ле-
он (1889—1969) —фран-
цузский физик
Рис, 10.16, Распределение
плотности в бегущей (а)
и стоячей (6) ультразву-
ковых волнах
Возможность наблюдения дифракции видимого света
на ультразвуковых волнах была предсказана в 20-х гг.
Мандельштамом и Бриллюэном. Если тепловое движе-
ние, в жидкости описывать (по закону теплоемкости Де-
бая) как набор упругих волн всевозможных частот, рас-
пространяющихся во всех направлениях, адиабатические
флуктуации плотности есть результат интерференции
упругих воли. Плоская световая волна, вступающая в
такую среду, дифрагирует (рассеивается) на упругой
волне, причем максимум интенсивности света, рассеян-
ного на упругой волне, удовлетворяет формуле Вульфа —
Брэггов.
Известно, что в пластинке кварца (или другого пьезо-
электрического материала) можно возбудить механиче-
ские колебания очень высокой частоты (до 10s Гц). Та-
кая колеблющаяся пластинка будет излучать упругие
ультразвуковые волны, которые со скоростью звука рас-
пространяются в окружающей среде. Поместив колеб-
лющуюся пластинку в жидкость (например, ксилол или
воду), получим ультразвуковые волны в этой жидкости.
Бегущая в жидкости ультразвуковая волна представляет
собой следующие друг за другом области сжатия н раз-
ряжения среды. В данном случае плотность среды., где
распространяется ультразвуковая волна, а значит, и
показатель преломления периодически изменяются в на-
правлении распространения волны. Для света жидкость,
в которой идет ультразвуковая волна, является фазо-
вой дифракционной решеткой, так как при прохожде-
нии света через столб такой жидкости происходит изме-
нение не амплитуды, а фазы световой волны. Если ульт-
развуковая волна отражается от стенки кюветы, в ре-
зультате наложения проходящей и отраженной волн в
жидкости возникнет стоячая волна. Ее можно рассмат-
ривать как периодическую структуру переменной плот-
ности и, следовательно, переменного показателя прелом-
ления света! Как в случае бегущей, так и в случае стоя-
чей ультразвуковой волны получающаяся фазовая ди-
фракционная решетка будет иметь период, равный длине
ультразвуковой волны (рис. 10.16). Например, при ско-
рости распространения ультразвуковой волны в ксило-
ле, равной примерно 1000 м/с, и частоте колебаний 108 Гц
длина ультразвуковой волны 1эв=10_3 см=10 мкм. Сле-
довательно, в ксилоле возникает фазовая дифракционная
решетка с периодом 10 мкм, что вполне достаточно для
наблюдения дифракции световых волн.
Схема дифракции света на ультразвуковых волнах
представлена на рис. 10.17. После линзы Ot пучок па-
Дифракция на пространственной структуре
177
раллельных лучей света пропускается через кювету с
жидкостью перпендикулярно к направлению распростра-
нения ультразвуковых волн, возбуждаемых в кювете с
помощью кварцевого генератора Q. Возникающая диф-
ракционная картина (рис. 10.18) наблюдается с помощью
линзы Ог на экране EEF.
4 z Pz
Рнс. 10.17. Схема дифракции на ультразвуковых волнах в жидкости»
Пусть Хэв — длина звуковой волны в жидкости; 1 —
длина световой волны; —угол отклонения дифрак-
ционного спектра m-го порядка. Тогда выполняется соот-
ношение
sin 0т=тХ/Хзв. (10.10)
Если обозначить через А расстояние от экрана до
звуковой волны, а через — расстояние между цент-
ральным максимумом и максимумом ги-го порядка, то
для случая, когда Я велико по сравнению с hm (на прак-
тике это выполняется часто), sin 9m можно заменить
отношением hm/A и тогда
йда==тЛХ/Хэ.. (10.11)
Из соотношения (10.11) следует, что уменьшение дли-
ны ультразвуковой волны, связанное, например, с повы-
шением частоты звука, увеличивает расстояние между
дифракционными максимумами (см. рис. 10.18), кото-
рое, как и расстояние А, может быть измерено с большой
точностью, а длина световой волны известна. Поэтому
рассматриваемые явления дифракции могут лечь в осно-
ву точного метода измерения длины волны и скорости
звука в жидкости.
Если возбудить в жидкости сразу три ультразвуковые
волны, распространяющиеся во взаимно перпендикуляр-
ных направлениях, то, отражаясь от стенок кюветы, они
создадут систему стоячих волн, узлы которых располо-
жатся в виде правильной пространственной решетки.
В стоячей ультразвуковой решетке показатель преломле-
Рнс. 10.18. Дифракция
света на ультразвуковых
волнах в ксилоле
178
Дифракция света
ния нс только имеет пространственную периодичность, но
и меняется периодически во времени с периодом ультра-
звуковой волны, т. е. примерно 107—108 раз в секунду.
Это приводит к тому, что интенсивность дифрагирован-
ного света испытывает периодическое изменение с той же
частотой, т. е. свет модулируется. Таким образом, если
на ультразвуковую дифракционную решетку падает мо-
нохроматический свет частоты v (~1014 Гц), то частота
дифрагированного света изменится и будет равна v±f,
где / — частота ультразвуковых колебаний. Так как / не
превышает 108 Гц, то частота изменяется незначительно
и составляет несколько десятимиллионных первоначаль-
ной частоты. Тем не менее это изменение наблюдается
экспериментально.
В случае стоячих волн важно, чтобы интенсивность
отраженной волны была близка к интенсивности прохо-
дящей волны. Поэтому лучше работать с теми вещества-
ми, которые ультразвуковые волны слабо поглощают.
Из жидкостей слабым поглощением в ультразвуковой об-
ласти обладают вода и ксилол. Следует иметь в виду, что
поглощение возрастает пропорционально квадрату часто-
ты ультразвуковой волны. В случае бегущей ультразву-
ковой волны также происходит изменение частоты, ко-
торое можно представить как результат отражения света
от движущихся поверхностей, которыми являются поверх-
ности фронта бегущей волны. При этом будет иметь ме-
сто явление Доплера. В волне, бегущей в одну сторону
с падающей световой волной, изменение частоты дифра-
гированного света будет соответствовать увеличению
частоты v+f, а в волне, бегущей навстречу,—уменьше-
нию частоты V—/. В стоячей волне, обусловленной интер-
ференцией двух распространяющихся навстречу друг
другу бегущих волн, изменение частоты выражается фор-
мулой v+f. Таким образом, для бегущей и стоячей волн
происходит одно и то же изменение частоты.
Глава 11
ОПТИЧЕСКАЯ ГОЛОГРАФИЯ
Практика применения света для передачи
информации имеет давнюю историю. Однако
информационные свойства света использовались
лишь частично. Это происходило потому, что
не было прибора, который давал бы возмож-
ность так зарегистрировать световые волны,
рассеянные предметом, чтобы затеи полностью
восстановить изображение предмета в простран-
стве. Любой приемник света (человеческий
глаз, фотоэмульсия илн фотоумножитель) спо-
собен зафиксировать либо среднюю интенсив-
ность света при экспонировании, либо сосчи-
тать число фотонов, упавших на него.
Ни один из приемников света не может не-
посредственно зарегистрировать распределение
в пространстве мгновенных значений амплнту-
Оптическая голография
179
дм и фазы электромагнитного поля световой
ПОЛНЫ.
Это удалось осуществить с помощью са-
мого света. В 1947 г. физик Габор пред-
ложил способ регистрации формы и ярко-
сти волнового фронта стационарной картины
ноля. Этот способ получил название гологра-
фии, что в переводе с греческого означает «пол-
ная записи, т. е, запись пространственной
структуры световой волны или волнового фрон-
та. распространяющегося от наблюдаемого
объекта. Такую запись можно произвести, если
ш-уществить встречу волны, идущей от объекта
(предметная волна), и некоторой волны с из-
вестным распределением фазы (опорная вол-
на). Если опорная волна когерентна с пред-
метной, в месте их встречи возникнет интер-
ференционная картина, контраст которой опре-
делится распределением интенсивности пред-
метной волны, а густота и форма полос —из-
5'снением фазы. Сфотографировав на фото-
пластинку такую интерференционную картину,
гллучим так называемую голограмму, на кото-
р;;й будет зафиксирована не только амплитуда,
но и фаза световой волны. Опорный пучок как
бы «останавливает» в пространстве световую
волну.
Этот способ регистрации света допускает
простое восстановление исходной волны. Для
этого достаточно направить на зарегистриро-
ванную структуру (голограмму) волну, слу-
жившую опорной прн записи. За голограммой
восстановится исходное волновое поле.
Таким образом, голограмма— это интер-
ференционная картина, образованная волной
от предмета н опорной волной. Сохранение вос-
производимой информации о фазе является
уникальной способностью голографического
процесса. Обычная фотография может сохра-
нять только пространственное распределение
интенсивности света в объекте. С помощью оп-
тики фотоаппарата оно воспроизводится в сфо-
кусированном изображении н записывается на
фотоэмульсии. Однако интенсивность представ-
ляет собой величину, усредненную по всем фа-
зам световой волны, и поэтому не содержит
информации о фазе волны, идущей от объекта.
В голографическом методе информация об
амплитуде и фазе несфокусированной волны от
объекта кодируется с помощью опорной вол-
ны еще до регистрации.
Голографический метод применим ко всем
волнам: электронным, рентгеновским, световым,
микроволнам, акустическим и сейсмическим
прн условии, что они достаточно когерентны
для создания интерференционных картин. Од-
нако наиболее активно развивается голография
в оптическом диапазоне в связи с имеющимися
в этой области источниками когерентного из-
лучения.
В голографии информация об удаленности точек пред-
мета регистрируется по величине запаздывания лучей от
его разных точек. При этом запись дальности в голограм-
ме ведется путем корреляционного сравнения двух лучей
света. Отличие голографического метода, основанного на
интерференции света, от других методов систем корреля-
ционного сравнения сигналов заключается в том, что в
голографии сигналы сначала сравниваются, а затем ре-
гистрируются. Это вызвано тем, что частоты электромаг-
нитных колебаний в световой волне очень велики (10н—
10В * 10 * * * * 15 Гц) и поэтому никакой детектор света не успевает
откликнуться на такие быстрые изменения поля. Только
сама волна пригодна в качестве эталона сравнения род-
ственного ей оптического сигнала.
Для осуществления такого сравнения оба пучка све-
та — идущий от предмета и создаваемый непосредствен-
но источником света — направляются на фотопластинку,
вблизи которой они пересекаются. В области их пересе-
чения возникает интерференционная картина. Последнюю
можно зарегистрировать лишь в том случае, если она не
смещается относительно фотопластинки при экспониро-
вании и имеет достаточно высокий контраст. Оба эти тре-
11.1
Принцип
голографии
Рис. 11.1. Разрез прост-
ранственной картины ин-
терференции света от
двух точечных источни-
ков монохроматического
излучения
180
Дифракция света
Рис. 11.2. Расположение
поверхностей наибольше-
го (1) и наименьшего (2)
почернения в пространст-
ве двух точечных взаим-
но когерентных источни-
ков
Рис. 11,3. Восстановление
мнимого изображения
второго источника L' при
освещении голограммы
источником L
бования выполняются, если источник света испускает ост-
ронаправленный монохроматический пучок.
Рассмотрим структуру наиболее простой интерферен-
ционной картины, создаваемой двумя точечными взаимно
когерентными источниками монохроматического света
(рис. 11.1). Такими свойствами обладают, например, ис-
точники, полученные с помощью зеркала Ллойда (см.
рис. 4.7). Для того чтобы изобразить интерференцион-
ную картину от двух точечных источников света в прост-
ранстве, проведем через точку 0 —середину отрезка
LL'— экваториальную плоскость, перпендикулярную к
этому отрезку. Световые волны, испущенные одновремен-
но источниками L и L', достигают любой точки экватори-
альной плоскости одновременно в силу взаимной коге-
рентности данных волн. Сдвиг (рассогласование) между
фазами электромагнитных колебаний в экваториальной
плоскости отсутствует.
Переместимся теперь из точки О в точку отрезка
LZ/, отстоящую на Х/4 от точки 0. Излучение из источни-
ка L будет в точке Oi с опережением на четверть периода
электромагнитных колебаний. Свет из источника L' в точ-
ку Oj придет с таким же запаздыванием. Между полями
в точке 01 возникнет взаимный сдвиг фаз, соответствую-
щий половине периода. Поэтому световые поля, возбуж-
даемые источниками L и L' в точке 0(, противоположно
направлены и взаимно гасят друг друга.
В точке Oj, отстоящей от точки 0 на расстоянии Х/2,
взаимное запаздывание равно полному периоду и в ре-
зультате интерференции волн в этой точке происходит
их усиление. Отсюда следует вывод: точки отрезка LLf,
где волны интерферируют с усилением, отстоят друг
от друга на расстоянии, равном половине длины волны.
Через данные точки можно провести поверхности, точки
которых обладают теми же свойствами. Это —гипербо-
лоиды вращения, геометрическое место точек, разность
расстояний от которых до двух точек L и L', где нахо-
дятся источники света, равна постоянной величине.
Окружим источники L и L' светочувствительным объе-
мом, обладающим гипотетическими свойствами: он про-
зрачен и имеет показатель преломления, равный едини-
це. После его экспонирования и проявления в нем воз-
никнут поверхности наибольшего почернения. Между
ними расположатся поверхности, где заметного почерне-
ния не будет и они останутся прозрачными (рис. 11.2).
Очевидно, что такие поверхности можно ввести лишь
условно, так как почернение плавно меняется от наиболь-
шего значения к наименьшему.
Оптическая голография
18!
Проявленный светочувствительный объем является
голограммой любого из источников света. Чтобы убедить-
ся в этом, осветим полученную объемную голограмму од-
ним источником света, например L Лучи света будут от-
ражаться от зеркально-подобных поверхностей почерне-
ния, образующих систему гиперболических зеркал.
В силу оптических свойств гиперболического зеркала лу-
чи, идущие от источника, расположенного в одном из
фокусов, отразятся от зеркала и восстановят мнимое
изображение источника £' (рис. 11.3), которое будет на-
ходиться во втором фокусе гиперболоида вращения. По-
этому, направив на голограмму свет от источника L,
наблюдатель увидит за голограммой его мнимое изобра-
жение — источник L'.
Наибольший интерес для голографии имеет сочетание
параллельного (коллимированного) и расходящегося пуч-
ков света, так как свет, рассеянный от освещенного пред-
мета, можно разложить на совокупность пучков расходя-
щихся лучен, идущих от разных точек предмета. Найдем
картину интерференции, возникающую при пересечении
параллельного пучка света и пучка света, расходящегося
из одной точки освещенного предмета (рис. 11.4). Лучи
света, отраженные от точки А, войдут в светочувствитель-
ный объем под разными углами к лучам параллельного
пучка. Поэтому форма поверхностей почернения и рас-
стояния между ними окажутся различными в разных точ-
ках. Минимальное расстояние между поверхностями наи-
большего (или наименьшего) почернения равно Х/2 (бо-
лее точно А/2п, где п — показатель преломления среды,
условно принятый нами равным единице). Для видимого
света это расстояние равно примерно 0,3 мкм.
Полученную таким образом объемную голограмму
установим на прежнее место, а точку А уберем. Если го-
лограмму Н осветить опорным пучком S, то благодаря
отражению из голограммы выйдет расходящийся пучок
света. Лучи, которые пройдут в глаз наблюдателя
(рис. 11.5, а), являются лишь отрезками копий лучей, су-
ществовавших на стадии получения голограммы. Глаз
дорисовывает эти отрезки до точки их пересечения, и на-
блюдатель видит светящуюся точку Л' —мнимое изоб-
ражение точки А *>.
Для получения действительного изображения точки А
достаточно изменить направление опорного пучка на об-
*) Изображение называется мнимым., если для его получения лу-
чи света продолжаются в направлении, обратном их распростране-
нию. Изображение называется действительным, если оно образуется
лучами света, прн их прямом продолжении.
Рис. 11.4. Схема получе-
ния голограммы прн ин-
терференции параллель-
ного пучка света S и пуч-
ка света, расходящегося
из точки Л
мнимое изображение
действительное
изображение
Рис. 11.5. Восстановление
мнимого (а) и деистви-
т ельного (б) нзобр а же-
нин точечного предмета
А прн освещении голо-
граммы прямым (а) и об-
ратным (б) опорными
пучками света
132
Дифракция света
Рис. 11.6. Восстановление
мнимого изображения
двух точечных предметов
А и В при освещении го-
лограммы прямым опор-
ным пучком 5
ратное (рис. 11.5, б). Параллельные лучи обратного
опорного пучка S' частично отразятся от поверхностей
почернения (которые теперь для лучей обратного опорно-
го пучка являются вогнутыми, а не выпуклыми, как в
случае прямого опорного лучка) и сфокусируются в точ-
ку А", представляющую собой действительное изобра-
жение точки А,
Рассмотрим два точечных предмета А и В, располо-
женных на различных расстояниях от светочувствитель-
ного объема. На стадии получения голограммы возник-
нут две системы интерференционных поверхностей: од-
на — от точки Л, другая — от точки В. Чем дальше от
светочувствительного объема расположена точка, тем с
меньшей расходимостью в него входят лучи и, следова-
эффект параллакса
тельно, тем меньше искривлены поверхности почернения.
Этот фактор отображает дальность до точечного пред-
мета и позволяет более полно передать объемность. На
стадии восстановления (рис. 11.6) наблюдатель увидит
оба точечных предмета. Меняя точку наблюдения, мож-
но ощутить глубину и объемность пространства. В край-
нем левом положении (о) точка В' располагается слева
от точки А', а в крайнем правом положении (б), наобо-
рот, точка В' находится справа от точки А'. Это и есть
эффект параллакса, создающий ощущение объемности.
Осветив голограмму И обратным пучком света, наблюда-
тель, расположившись на достаточном расстоянии от го-
лограммы, увидит действительные изображения точеч-
ных предметов А и В. Таким образом, объемная голо-
грамма настолько полно отображает объемность, что на
стадии восстановления наблюдатель испытывает своеоб-
разный эффект присутствия.
11.2
Плоская голограмма
Если объемную голограмму уменьшить по толщине
настолько, что расстояние между соседними интерферен-
ционными максимумами станет намного превышать ее
толщину, такую голограмму следует считать тонкой или
плоской. Задача об отображении третьего измерения в
плоской голограмме имеет большое прикладное значе-
ние, поскольку плоские голограммы пока более широко
применяются, чем объемные.
Принципиального различия между схемами получе-
ния объемной и плоской голограмм нет. Однако тонкий
слой фотоэмульсии захватывает лишь небольшую часть
всего объема, где пересекаются два пучка, и такая поте-
ря информации не проходит бесследно. В результате
плоская голограмма на стадии восстановления образует
всегда два изображения — мнимое и действительное.
Оптическая голография
183
Рассмотрим интерференцию света от двух параллель-
ных пучков So и Si( образующих между собой угол 0
(рис. 11.7). Интерференционная картина будет состоять
и! эквидистантных плоскостей наибольшей засветки, па-
раллельных биссектрисе угла 0. При замене пучка Si на
пучок S2 эти плоскости займут другое положение, однако
структура интерференционных полос, которые возникнут
па плоской голограмме, не изменится. Обе плоские голо-
1рзммы окажутся совершенно идентичными.
Рис, 11,7, Получение плоской голограммы с помощью двух парал-
.КЛЬНЫХ лучков So + S| или S0 + S2 лрк условии, что 0=-(У
При освещении любой из этих двух голограмм только
(цним прямым опорным пучком (рис. 11.8) наблюдатель
увидит одновременно оба восстановленных пучка 5( и
S, независимо от того, какой из них участвовал в полу-
чении голограммы. Нечувствительность плоской голо-
граммы к замене пучков является основным отличием
плоской голограммы от объемной. Это различие возника-
ет по той причине, что в тонком плоском слое, вырезан-
ном из объемной голограммы, навсегда потеряны сведе-
ния о том, принадлежат ли интерференционные полосы
почернения на голограмме выпуклым или вогнутым по-
верхностям почернения в дополняющей ее объемной го-
лограмме. Именно данный факт определяет тип изобра-
жения, получаемого на стадии восстановления,— мнимое
или действительное. Поскольку всегда можно считать,
что полосы почернения на плоской голограмме принад-
лежат одновременно как вогнутым, так и выпуклым по-
Рнс. 11.8. Восстановление
пучков St и 52 прн осве-
щении плоской голограм-
мы опорным пучком $0
(ф'=ф")
184
Дифракция света
верхностям почернения, на стадии восстановления следу-
ет ожидать появления одновременно двух изображений —
действительного и мнимого.
Рассмотрим, как образуются мнимое и действитель-
ное изображения при освещении плоской голограммы
опорным пучком. В отличие от объемной плоская голо-
грамма не содержит в себе зеркально-подобных поверх-
ностей; от них остались лишь системы узких полосок или
пятен почернения. Поэтому на смену процессу зеркально-
го отражения лучей света, подчиняющемуся правилам
геометрической оптики, приходит процесс дифракции
света.
Вообще говоря, дифракция происходит и при про-
хождении света через объемную голограмму. Однако з
этом случае дифракцией можно пренебречь, так как ве-
личины ее углов оказываются очень малыми и это почти
не искажает модели зеркального отражения лучей от по-
верхностей почернения в объемной голограмме. На плос-
кой голограмме, наоборот, углы дифракции очень велики
и захватывают практически все пространство, поэтому
здесь имеются свои закономерности, управляющие про-
цессом образования изображений на стадии восстанов-
ления.
В простейшем случае картина интерференции двух па-
раллельных взаимно когерентных пучков света 5о и 5.
(или So и S2), регистрируемая на плоской голограмме,
имеет вид полос почернения, отстоящих друг от друга
на одинаковом расстоянии т. е. ее структура ана-
логична структуре дифракционной решетки. При осве-
щении такой простейшей голограммы плоским фронтом
волны опорного лучка Sfl произойдет дифракция света,
т. е. за голограммой появится несколько волновых фрон-
тов, распространяющихся независимо друг от друга.
Прежде всего возникнет фронт волны, параллельный
фронту волны освещающего пучка. Два других фронта
волны, ориентированных под углами +<р и — ф к освеща-
ющему пучку, образуют основные восстановленные пуч-
ки. Кроме того, появляется система волновых фронтов,
распространяющихся под углами ±2ф, ±3ф и т. д. Ин-
тенсивность вторичных пучков света обычно резко пада-
ет по мере возрастания кратности угла наклона. Можно
создать такие условия экспонирования и проявления фо-
топластинки, при которых интенсивность пучков, идущих
под другими углами кроме ±ф, очень мала. Тогда на-
блюдатель увидит только два пучка, расположенных сим-
метрично относительно освещающего пучка. Они и обра-
зуют мнимое и действительное изображения пучка Si-
Оптическая голография
185
Таким образом, формируются мнимое и действитель-
ное изображения предметов. Каждая точка предмета об-
разует на голограмме свою систему полос почернения
раз ной ширины и переменного шага, которую лишь услов-
но можно рассматривать как сложную дифракционную
решетку. Изменяющийся шаг между полосами почерне-
ния приводит к локальным изменениям направлений рас-
пространения вторичных дифракционных пучков. Поэто-
му на стадии восстановления возникают два сферических
(или параболических) фронта волны (рис. 11.9). Один
из них обращен выпуклостью, а второй — вогнутостью в
сторону освещающего пучка. В первом случае образует-
ся мнимое, а во втором—действительное изображения
точки. Оба изображения возникают одновременно и с
одинаковой интенсивностью.
Плоские голограммы обладают некоторыми особенно-
стями. Изображения, восстанавливаемые с помощью
плоской голограммы, являются позитивными, т. е. пря-
мыми. Если с исходной голограммы контактной печатью
снять копию противоположной полярности, т. е. получить
«обращенную» голограмму, в которой темные места ста-
ли светлыми и наоборот, то изображение, восстановлен-
ное с помощью такой копии, останется позитивным. Оно
не будет отличаться от изображения, полученного с по-
мощью исходной голограммы. Такая нечувствительность
голограммы к изменению ее полярности обусловлена тем,
что изображение на голограмме закодировано в виде ва-
риации контраста полос и локального расстояния между
ними, а они при изменении полярности не меняются.
Па одной фотопластинке можно зарегистрировать не-
сколько изображений таким образом, что на стадии вос-
становления эти изображения появляются без взаимных
помех. Приемы наложения могут быть различными. Мож-
но производить несколько экспонирований при одном и
том же опорном пучке. При каждом экспонировании
освещается только один предмет. Чтобы избежать нало-
жения друг на друга восстановленных изображении,
предметы прн экспонировании необходимо располагать
каждый раз в различных местах. В другом варианте
предметы устанавливаются на одно и то же место, но
при этом меняют направление опорного пучка либо по-
ворачивают саму фотопластинку на некоторый угол в ее
плоскости. После нескольких экспонирований голограм-
ма приобретает структуру микроскопических узоров раз-
личной ориентации.
Полный интервал яркостей, передаваемых фотоплас-
тинкой, как правило, не превышает одного-двух поряд-
Рис. 11.9. Появление вто-
ричных волновых фрон-
тов при освещении голо-
граммы точечного источ-
ника, имеющего неравно-
мерно расположенные по-
лосы почернения
186
11.3
Временная
и пространственная
когерентность
Дифракция света __________________________________
ков. Между тем реальные объекты часто имеют гораздо
большие перепады яркостей. Голограмма, обладающая
фокусирующими свойствами, использует для построения
наиболее ярких участков изображения свет, падающий на
всю ее поверхность, и способна передать перепады яр-
кости до пяти-шести порядков.
Совмещая на одной фотопластинке несколько голо-
грамм, можно получить голограмму предмета в цвете.
Известно, что любое цветовое впечатление достигается
при помощи трех монохроматических цветов, соответст-
вующим образом подобранных по длине волны и интен-
сивности. В голографии используется монохроматический
свет, т. е. свет одной длины волны. Для получения цвет-
ной голограммы предмет освещается тремя пучками све-
та, длина волны которых подобрана так, чтобы наиболее
полно передать цветовое ощущение. От тех же трех ис-
точников формируются опорные пучки. На одной черно-
белой фотопластинке после ее проявления получается
голограмма, состоящая из трех независимых компонен-
тов: красного, желтого и синего. Чтобы восстановить
изображение трехцветного предмета, голограмму поме-
’Щают в то же самое место, которое она занимала при
экспонировании. Каждый из трех лучков при освещении
трехкомпонентной голограммы на стадии восстановления
образует три мнимых и три действительных изображе-
ния (всего девять мнимых и девять действительных). Три
из девяти точно совпадут в пространстве, образуя цвет-
ное изображение предмета. Остальные, например «крас-
ное» изображение от «синего» компонента, расположатся
в других местах, не мешая основному изображению. Пе-
рекрестные мешающие изображения, которые появляют-
ся на стадии восстановления, полностью исключаются,
если вместо плоской голограммы использовать объем-
ную.
Получение голограмм высокого качества предъявляет
к технике голографирования определенные требования.
Интерференционная картина, образующаяся в области
пересечения опорного и предметного пучков света, не
должна сдвигаться при экспонировании относительно фо-
топластинки, т. е. те области пространства, где электро-
магнитные волны складываются с усилением, не должны
сдвигаться при экспонировании в области пространства,
где эти волны ослабляют или гасят друг друга. Если
вспомнить, что длина волны видимого света равна при-
мерно 0,5 мкм, а минимальное расстояние между обла-
стями наибольшей засветки равно Х/2п, где п — показа-
Оптическая голография
187
тель преломления регистрирующей среды, то легко пред-
ставить те трудности, которые возникают при достижении
механической жесткости всех элементов голографической
установки. Использование импульсных лазеров в качест-
ве источников света существенно упрощает систему, так
как длительность импульса может быть сокращена до
наносекунд.
Стационарность интерференционной картины в про-
странстве определяется также степенью когерентности
света, т. е. его способностью образовывать неподвижную
интерференционную картину с высоким контрастом.
До сих пор, обсуждая свойства световых волн, мы
считали в большинстве случаев свет совершенно когерент-
ным. При этом предполагалось, что существует точечный
источник света, испускающий бесконечно длинный моно-
хроматический цуг сферических или плоских волн. В дей-
ствительности же мы всегда имеем дело с реальными ис-
точниками, излучение которых обладает ограниченной
степенью когерентности. Для характеристик этого излу-
чения вводят понятия временной и пространственной ко-
герентности.
Временная когерентность. Излучение любого источни-
ка характеризуется степенью монохроматичности, пред-
ставляющей собой отношение 1Ср/Д^. где АХ=?.тат—Хщт—
разность между наибольшей и наименьшей длинами волн,
имеющихся в спектре излучения; Xcp = l/2(Xmax+^min)—
средняя длина волны излучения. Монохроматичность све-
та, связанная с изменением частот электромагнитных ко-
лебаний и, следовательно, с длительностью цуга волн,
называют временной (или хроматической) когерентно-
стью. Временную когерентность можно изучить, рассмат-
ривая либо ширину спектра (в длинах волн или часто-
тах), либо длину цугов волн.
Пусть источник излучает свет, длина волны которого
изменяется так, что ширина спектра весьма мала по
сравнению с длиной волны. Каждая компонента спектра
создаст свою интерференционную картину. За время эк-
спонирования, при усреднении во времени и по разным
участкам источника, освещенности разных компонент
интерференционной картины усредняются, что приведет
к ослаблению контраста.
Для того чтобы оценить влияние степени монохрома-
тичности света на контраст интерференционной картины,
рассмотрим два точечных взаимно когерентных источни-
ка, Пусть источник излучает свет, длина волны которого
хаотически изменяется при экспонировании в пределах от
Xmiu до Ашах (рис. 11.10). Полное число N образующихся
временная
(хроматическая)
когерентность
188
Дифракция света
гиперболоидов наибольшей засветки равно целому числу
полуволн, умещающихся на отрезке L\L2. Изменение дли-
ны волны будет сопровождаться скачкообразным измене-
нием полного числа поверхностей наибольшей засветки
и деформацией картины расположения их в пространст-
ве. Появление или исчезновение поверхностей наиболь-
шей засветки при переходе от одной длины волны к дру-
гой происходит вблизи полупрямых L\M. и b.V, и поэто-
му именно здесь возникает наиболее сильная деформация
Рис. 11.10. Наложение интерференционных картин в пространстве от
двух точечных источников Lx и LJt испускающих одновременно свет
двух длин воли:
~~ min'
интерференционных поверхностей. По мере удаления от
этих полупрямых деформация ослабевает и совсем исче-
зает вблизи экваториальной плоскости, где свет любой
длины волны при интерференции усиливается.
Число зарегистрированных в светочувствительном
объеме F поверхностей почернения зависит.от его раз-
меров и расположения относительно точек и L2. Если
светочувствительный объем расположен вплотную к
и Li, поверхности наибольшей засветки захватываются
почти полностью. Картина интерференции в этом случае
регистрируется наиболее полно. Изменение длины волны
света вызывает размытие интерференционной картины.
При этом чем дальше от экваториальной плоскости рас-
положены поверхности почернения, тем сильнее размы-
тие. Степень ослабления контраста постепенно уменьша-
ется по мере приближения к экваториальной плоскости.
Ширина спектра излучения атомов определяется дли-
ной цугов волн. Поскольку цуг имеет конечную длину,
атом за время наблюдения излучает не одну какую-то
Оптическая голография
189
частоту, а спектр частот, ширина которого тем больше,
чем меньше длина цуга. Медленно затухающий цуг бли-
зок к синусоидальному и, следовательно, к монохромати-
ческому колебанию. В этом случае полосы, как известно,
хорошо различаются даже при большой разности хода
(при допущении, что размеры источника достаточно ма-
лы). Быстро затухающий цуг соответствует негармониче-
скому колебанию, т. е. немонохроматическому излуче-
нию, и различимость полос уменьшается при увеличении
разности хода.
Ранее (см. § 4.2) нами были введены понятия вре-
мени когерентности тКог, связанного с длительностью
цугов, и длины когерентности 1ког=стког, связанной
с длиной цугов. Между временем когерентности тКог
и шириной спектра излучения Av (шириной спектраль-
ной линии) существует простое соотношение
TKor=I/Av, (11.1)
через которое можно выразить и длину когерентности:
Jt2
L = ст =
где ХСр — средняя длина волны, соответствующая сред-
ней частоте излучения vol ДХ —ширина спектра излуче-
ния в шкале длин волн.
При точечном источнике света интерференционные
полосы видны только тогда, когда разность хода А не
превышает некоторого определенного* значения. Допу-
стим, что излучение источника лежит в небольшом спект-
ральном интервале ДХ. Для получения контрастных ин-
терференционных полос нужно, чтобы изменение порядка
интерференции т=А/Х, связанное с изменением длины
волны, было гораздо меньше единицы, т. е. должно вы-
полняться неравенство
Дт = Д-~<^ 1.
Л__
ср
Следовательно, при использовании источника, излуча-
ющего в узком спектральном интервале, необходимо, что-
бы разность хода между обеими интерферирующими вол-
нами удовлетворяла условию
A«X?P/AX. (11.3)
Сравнив выражения (11.2) и (11.3), запишем
А’^С^-ког~СТког1 (11'4)
(11.2)
190
Дифракция света
т. е. для получения значительной контрастности полос
необходимо, чтобы разность хода Д была мала по сравне-
нию с длиной когерентности. В голографии длина коге-
рентности накладывает ограничения на допустимую раз-
ность в длине опорного и предметного пучков. Это фак-
тически ограничивает глубину предмета.
Пространственная когерентность. Как показывает
опыт, одной монохроматичности света недостаточно для
Рис. 11,11. Наложение интерференционных картин в объемной голо-
грамме от двух лар точечных источников, испускающих свет одной
длины волны
пространственная
когерентность
получения контрастной картины интерференции двух пуч-
ков света. Вторым важным условием является острая на-
правленность лучей света, идущих от источника, или про-
странственная когерентность, определяемая протяжен-
ностью реальных источников света.
При рассмотрении влияния протяженности реальных
источников света на контраст интерференционной кар-
тины заменим каждый из точечных источников Ц и L2
двумя источниками, расположенными на близком расстоя-
нии друг от друга {рис. 11.11). Интерференционная кар-
тина, образованная светом от источников и Lz, показа-
на на голограмме //сплошными линиями, а от источников
Lt и L2 — пунктирными. Расстояние между поверхностя-
ми почернения равно где 0— угол, под которым
видна пара источников Ц и L2- Так как максимальный
сдвиг поверхностей почернения на краях голограммы
должен быть значительно меньше расстояния между ни-
ми, контраст интерференционной картины не ослабнет,
если протяженность источников вдоль оси X будет удо-
влетворять условию
Оптическая голография
191
= ДХ « а г/р. (П.4')
Когда размер голограммы А равен длине отрезка
LiL2, угол ₽ » а.
Таким образом, чем дальше от источника расположе-
на голограмма, т. е. чем меньше угол 0, тем больше допу-
стимый размер источника ДХ. Аналогичные рассужде-
ния приводят к следующим оценкам допустимых разме-
ров протяженного источника вдоль осей У и Z: ДУ<Х/0
и AZ<X/p. Отсюда следует, что для достижения высокой
контрастности интерференционной картины необходимо
либо иметь источники монохроматического света очень
малых размеров, либо удалять их на достаточно большое
расстояние. В обоих случаях источник должен умещаться
в объеме пространственной когерентности, определяемом
величинами ДХ, ДУ, AZ. При этом чем лучше выпол-
няются неравенства, тем выше степень пространственной
когерентности. Для точечного источника (ЛХ=ДУ=
=AZ=0) степень пространственной когерентности мак-
симальна и ее можно считать равной единице.
Пространственную когерентность можно также выра-
зить через угловую расходимость пучка света. Пусть
плоская волна падает на непрозрачный экран с двумя
точечными отверстиями L и L' (рис. 11.12). Найдем допу-
стимые изменения наклона плоской волны, исходя из
требования сохранения высокого контраста интерферен-
ционной картины, образующейся за экраном. Для этого
поворот фронта плоской волны должен приводить к не-
большим изменениям фаз в точках L и L': Дф=ДД<1.
Поскольку разность хода Д «£>Д0 (где Д0 — угол между
двумя плоскими фронтами в пучке; D — расстояние меж-
ду точечными отверстиями L и L'), допустимая угловая
расходимость пучка ограничена условием Д6<?70.
Если I — расстояние от источника света до экрана, угло-
вая расходимость ДО эквивалентна его поперечным раз-
мерам ДХ~/Л0</1/Р«Х/а, которые определены усло-
вием (11.4'), полученным выше.
Малые размеры источника света необходимы для то-
го, чтобы лучи имели острую направленность. Чтобы
представить, что скрывается за ограничениями размеров
источника света в голографии, оценим размеры источни-
ка, освещающего голограмму 3X3 см2, отстоящую от ис-
точника на расстоянии 30 см. В этом случае угол а~
=j/jo радиан, а объем пространственной когерентности
определяется размерами ДХ=ДУ=ЛХ<5 мкм, т. е. ис-
точник должен быть микроскопических размеров. Изго-
товить такой источник практически невозможно. Поэтому
Рис. 11.12, Влияние рас-
ходимости лучей Л0 в
пучке света на контраст-
ность интерференционной
картины
192
Дифракция света
используют обычный источник (например, ртутную лам-
пу с монохроматором), а свет диафрагмируют или уда-
ляют лампу на большое расстояние. Если ртутная лампа
имеет размер 1 см, при отсутствии диафрагмы в нашем
примере ее придется удалить более чем на 100 м. Для по-
лучения голограммы больших размеров или повышения
плотности информации на ней источник света нужно уста-
новить на расстоянии нескольких километров. Время эк-
спонирования при этом достигнет одного и более года.
По мере увеличения расстояния между источником и го-
лограммой пространственная когерентность непрерывно
растет, но сильно падает освещенность.
Коэффициент использования света обычных источни-
ков в голографии весьма низок и, как правило, не превы-
шает 10~8. Этот факт послужил в свое время основанием
для утверждения, что острая направленность лучей света
несовместима с их высокой интенсивностью. С появлени-
ем лазеров данное утверждение было отвергнуто и отно-
сится сейчас только к обычным нелазерным источникам
света.
Остановимся коротко на вопросе о разрешающей спо-
собности голограммы, который тесно связан с размерами
объема пространственной когерентности. Если две точки
предмета попадают в один и тот же элементарный объем
когерентности, они образуют почти одинаковые интерфе-
ренционные картины. Поэтому при восстановлении вме-
сто двух точек появляется одна и притом немного размы-
тая. Если же две точки предмета достаточно далеки друг
от друга, так что они принадлежат разным объемам коге-
рентности, то на стадии восстановления они будут видны
раздельно. Отсюда следует вывод, что в голографии раз-
решающая способность по предмету равна объему ко-
герентности. Поскольку размеры объема когерентности
находятся в обратном соотношении с размерами голо-
граммы, то чем больше размер голограммы, тем выше
разрешающая способность по предмету. Такая же зако-
номерность существует и в фотографии, где разрешаю-
щая способность по предмету зависит от апертуры объ-
ектива.
Вопрос о разрешающей способности по предмету пе-
реплетается с вопросом о разрешающей способности фо-
тоэмульсии, на которой регистрируется картина интер-
ференции. Так как среднее расстояние между соседними
полосками почернения равно Ж разрешающая способ-
ность должна быть несколько лучше этой величины, что-
бы четко была очерчена каждая интерференционная по-
лоска. Если, например, a = ‘/io> среднее расстояние между
Оптическая голография
193
волосками равно = мкм и для качественной
регистрации такой интерференционной картины требует-
ся фотоэмульсия с разрешением не хуже чем 200 ли-
иип/мм. Требования к разрешающей способности фото-
эмульсии в голографии, как правило, гораздо выше, чем в
обычной фотографии.
Для получения голограммы когерентный свет, идущий
to источника (лазера), необходимо разделить на два пуч-
ки: один освещает объект, а другой —опорный. В каче-
г!нс опорной, как правило, используются немодулирован-
ные волны со сферическими или плоскими фронтами.
Опорный пучок направляется таким образом, чтобы он
пересекся со светом, прошедшим через объект или отра-
женным от него. Если оба пучка абсолютно когерентны,
интерференционная картина образуется во всем объеме,
в котором перекрываются пучки. После экспозиции и co-
rn ветствующей обработки светочувствительной среды,
помещенной в область перекрытия пучков, получим го-
лограмму.
В случае, когда регистрирующей средой служит гало-
к.юсеребряный фотослой, изменение оптического пропу-
скания может быть вызвано увеличением поглощения,
обусловленным превращением галоидного серебра в ме-
таллическое серебро в результате экспонирования и про-
явления. Прн таких обстоятельствах возникают погло-
щающие (амплитудные) голограммы. Если ту же голо-
грамму отбелить, т. е. превратить серебро в прозрачное
соединение, показатель преломления которого отличает-
ся от показателя преломления желатина, то интерферен-
ционная картина регистрируется как вариации показате-
ля преломления эмульсии, В таком случае голограмма
называется фазовой. При получении амплитудных голо-
грамм экспозиция и процесс проявления выбираются так,
чтобы пространственное распределение коэффициента по-
ношения голографической пластинки соответствовало
распределению интенсивности падающего света. При по-
лучении фазовой голограммы добиваются того, чтобы
пространственная фазовая модуляция, налагающаяся на
волну при ее прохождении через голограмму, также от-
вечала распределению интенсивности падающего света.
Первоначально предложенная Габором схема полу-
чения голограммы предусматривала расположение ис-
точника света, объекта и голограммы на одной прямой
(рис. 11.13,а). Одна часть светового пучка, рассеиваемая
объектом, создает предметную волну, а другая —опор-
ную. Такая схема обладает тем существенным недостат-
11.4
Схемы получение
голограмм
и восстановления
изображений
амплитудная голограмма
фазовая голограмма
Габор (Gabor) Деннис
(1900—1979) — физик
Рнс. 11.13. Получение го-
лограммы (а) и восста-
новление волнового
фронта (б) по методу Га-
бора
194
Дифракция света
Рис. 11.14. Получение го-
лограммы (а) и восста-
новление волнового
фронта (б) по методу
Лейта и Упатннекса
ком, что при восстановлении волнового фронта лучи, об-
разующие действительное и мнимое изображения, а так-
же пучок нулевого порядка распространяются в одном
и том же направлении, что создает взаимные помехи
(рис. 11.13, б). Это является главной причиной низкого
качества восстановленных изображений. Кроме того,
данным методом можно было регистрировать только про-
зрачные объекты.
Метод Габора был значительно усовершенствован в
1961 г. Лейтом и Упатниексом. Они предложили двух-
лучевую схему голографирования (ее называют схемой
с наклонным опорным пучком). В этой схеме
(рис. 11.14, а) фотопластинка F, на которой записывается
интерференционная картина, выведена из области тени
объекта, где она располагалась по методу Габора, в бо-
ковую зону. При таком расположении было достигнуто
одновременно два эффекта: во-первых, объект перестал
затенять опорную волну, в результате чего появилась воз-
можность регистрировать любые объекты, а не только те,
у которых тень практически отсутствует; во-вторых, при
восстановлении действительное и мнимое изображения
перестали накладываться друг на друга и их взаимные
искажения исчезли. Собственно говоря, оба изображения
остались на прежних местах, однако лучи, образующие
эти изображения, пространственно разделились (рис.
11.14, б). При диффузном освещении объекта качество
восстановленных изображений значительно повысилось и
голограмма приобрела высокую степень надежности.
Каждая точка на фотопластинке подвергалась действию
света, рассеянного всеми точками объекта, и, наоборот,
свет, рассеянный каждой точкой, освещал всю поверх-
ность фотопластинки. Благодаря этому в каждом неболь-
шом участке голограммы в закодированном виде храни-
лось все изображение, т. е. любой участок голограммы
способен восстановить изображение всего объекта. Ес-
тественно, что малый участок голограммы восстановит со-
ответственно меньший участок волнового фронта и ка-
чество изображения ухудшится: пропадут мелкие де-
тали.
В настоящее время, как правило, применяют двухлу-
чевые схемы голографирования. Фотопластинку, на ко-
торой регистрируется голограмма, можно ориентировать
любым образом относительно опорного источника и
объекта, даже расположить ее между ними так, чтобы
свет от них падал на разные ее стороны. Если поместить
голограмму на то место, где она экспонировалась, мни-
мое изображение предмета возникает всегда там, где он
Оптическая голография
195
находится при голографировании, если, конечно, распо-
ложение источника и длина волны его излучения оста-
лись неизменными.
Рассмотрим некоторые схемы установок, применяе-
мых для голографирования. В качестве источника спета
используются обычно лазеры, хотя возможны схемы и с
обычными источниками излучения, обладающими линей-
чатым спектром, из которого фильтрами выделяется од-
на или несколько линий.
Лазеры излучают узкие параллельные пучки света
диаметром несколько миллиметров, а для голографиро-
вания необходимы широкие световые пучки, поэтому из-
лучение лазера расширяют до нужного диаметра с
помощью линз или их систем. Для этих целей удобно ис-
пользовать телескопическую систему, состоящую из мик-
рообъектива и длиннофокусной линзы большого диамет-
ра (рис. 11,15). Фокусы обеих линз совмещены. Увели-
чение диаметра пучка равно отношению фокусных
расстояний Смещая линзу вдоль оптической оси,
можно получить сходящийся или расходящийся пучок
света.
Для изменения направления световых пучков исполь-
зуют зеркала и призмы. Применяя последние, надо
иметь в виду возможность возникновения вторичных от-
ражений от граней, приводящих к появлению паразит-
ных пучков. Яркости этих пучков обычно невелики, но
они могут интерферировать с основными пучками и да-
вать весьма контрастные интерференционные полосы,
ухудшающие качество голограмм. Снижают качество го-
лограмм и пылинки, осевшие на оптические детали, фор-
мирующие опорный пучок. При этом возникают интер-
ференционные кольца, покрывающие всю поверхность
голограммы.
Для разделения светового пучка лазера на две ветви
используют два основных приема: деление амплитуды и
деление фронта световой волны.
При амплитудном делении применяют полупрозрач-
ные зеркала, клинья, дифракционные решетки и рассеи-
ватели (рис. 11.16). Диффузное излучение, выходящее
из рассеивателя, освещает объект, а часть, оставшаяся
нерассеянной, используется для формировании опорного
пучка.
Деление фронта световой волны может осуществлять-
ся с помощью зеркал, призм и линз (рис. 11.17). Схе-
мы с делением фронта световой волны могут применять-
ся лишь при полной пространственной когерентности
пучка, в то время как при амплитудном делении может
Рис. 11.15. Телескопиче-
ские системы для расши-
рения параллельного
пучка с положительной
(а) и отрицательной (б)
линзами
6
Рис. 11.16. Устройства
для амплитудного деле-
ния световых пучков:
а — полупрозрачное зеркало;
б — клин; а — светоделитель-
ный кубик; г —прозрачная
решетка; д — отражательная
решетка
196
Дифракция света
Рис. 11.17. Устройства
для деления фронта све-
товой волны:
в — призма с наружным от-
ражающим слоем; б — би-
лннза; а — зеркало Ллойда
Рис. 11,18. Схема полу-
чения голограмм трех-
мерных объектов с дву-
сторонним освещением
Рис. 11.19. Схема получе-
ния голограмм с волокон-
ными световодами
использоваться и пространственно некогерентное излу-
чение.
Приведем несколько схем для голографирования
трехмерных объектов. Каждая из этих схем имеет свои
особенности и элементы.
Схема на рис. 11.18 дает возможность с двух сто-
рон освещать объекты, которые устанавливаются на спе-
циальной площадке, что достигается с помощью полу-
прозрачных зеркал, являющихся делителями лазерного
пучка. Рассеянный свет от объекта и опорный пучок от
лазера, интерферируя в месте встречи, образуют голо-
грамму.
В схеме на рис. 11.19 для получения голограмм ис-
пользуются волоконные световоды. Свет от лазера при
помощи полупрозрачного зеркала разделяется на два
пучка, которые направляются в световоды. Сужающий-
ся гибкий световод с выходным диаметром в несколько
микрон играет роль микроскопического объектива с то-
чечной диафрагмой и дает на выходе практически иде-
альную сферическую волну.
Возможны голографические схемы, в которых голо-
граммы образуются и при пространственно некогерент-
ном освещении. В таких схемах свет от каждой точки
объекта, разделяясь на два пучка, образует две сфери-
ческие волны разной кривизны. Эти волны дают при ин-
терференции зонную решетку Френеля. Решетки, образу-
емые разными точками, некогерентны и на голограмме
налагаются, складываясь по освещенности. Качество го-
лограммы (ее контраст) при этом хуже, чем при прост-
ранственно когерентном освещении, причем тем хуже,
чем сложнее объект. Но для простых объектов, состоя-
щих из малого количества светящихся точек, качество
голограммы может быть достаточно высоким.
Один из способов получения голограмм при исполь-
зовании пространственно некогерентного света предста-
влен на рис. 11.20 и 11.21. В этих схемах происходит
амплитудное деление волны на две части, а затем по
возможности точное совмещение волновых фронтов на
голограмме. Схема на рис. 11.20 предназначена для го*
лографирования рассеивающих объектов, которые про-
ектируются на голограмму с помощью линзы О, чем и
достигается совмещение структуры обеих волн. По схе-
ме рис. 11.21 голографируются прозрачные объекты.
В этом случае для совмещения структуры опорного и
предметного пучков свет на голограмму проектируется
через рассеиватель Р.
Второй вопрос той же задачи — получение голограмм
Оптическая голография
197
с помощью источников света с малой временной коге-
рентностью. При использовании ртутной лампы низкого
давления с фильтром, выделяющим одну из линий, дли-
на когерентности составляет несколько миллиметров.
Источники света с более узкими спектральными линия-
ми мало интенсивны и поэтому непригодны. Ртутные
Рис. П.21. Схема получения голограмм прозрачных объектов при не-
достаточной пространственной когерентности источника света
Ряс. 11.20. Схема полу-
чения голограмм трех-
мерных рассеивающих
объектов при недостаточ-
ной пространственной ко-
герентности источника
света
Рис. 11.22. Схема получения трехцветной голограммы с помощью ге-
лий-неонового (He-Ne'i и аргонового (Аг) лазеров
лампы высокого и сверхвысокого давления излучают
очень яркие и широкие линии, длина когерентности ко-
торых не превышзгг цпяты. долей миллиметра. При по-
лучении голограмм с такими источниками света необ-
ходимо весьма тщательно уравнивать оптические пути
обеих ветвей схемы. Для разделения волнового фронта
на две части и их последующего совмещения при нела-
зерной голограмме можно использовать любой из двух-
лучевых интерферометров {Майкельсона, Жамена и др.),
О возможности получения голограмм, восстанавлива-
ющих не только объект, но и его цвет, мы уже упомина-
198
Дифракция света
<1.5
Объемная
голограмма
Лнппман (Lippmann)
Габриэль (1845—1921)—
французский физик
Денисюк Юрий Николае-
вич (р. 3927) — советский
физик
ли. На такой голограмме образуются три дифракцион-
ные решетки: «синяя» (л=4880А), «зеленая» (л=5145А)
н «красная» (А=6328А) (рис. 11.22).
При восстановлении волнового фронта трехцветным
пучком дифракция красного света на «красной» решет-
ке, зеленого —на «зеленой» и синего —на «синей» дает
Правильное трехцветное изображение объекта. Однако,
как уже отмечалось, красный свет дифрагирует также
на «зеленой» и «синей» решетках и дает, таким образом,
два изображения красного цвета, смещенных относи-
тельно правильного трехцветного изображения. Анало-
гично дифрагируют на других решетках синие и зеле-
ные лучи. Значит, наряду с правильным трехцветным
изображением образуются шесть смещенных одноцвет-
ных изображений, которые могут накладываться друг на
друга и на правильное изображение.
Как уже отмечалось, голограмма может быть не
только плоской, но и объемной (толстослойной). И чем
больше объем голограммы, тем лучше реализуются все
.ее свойства. Для того чтобы фотоэмульсию или любую
другую регистрирующую среду можно было рассматри-
вать как объемную голограмму, необходимо, чтобы рас-
стояние между интерференционными полосами было зна-
чительно меньше толщины этой среды. Объемная голо-
грамма в отличие от плоской (или тонкослойной) вос-
станавливает только одно изображение —действитель-
ное или мнимое, в зависимости от того, с какой стороны
освещает ее пучок когерентного света на стадии восста-
новления. Это, вероятно, основной критерий, с помощью
которого можно классифицировать голограммы на пло-
ские и объемные.
Проявление свойств фотопластинки как трехмерной
среды в случае, когда слой намного толще, чем расстоя-
ние между интерференционными полосами, было впер-
вые отмечено Липпманом в 1894 г. и использовано нм
для цветной фотографии. Применить трехмерные среды
для голографии впервые предложил Денисюк. Им же в
1962 г. были изготовлены первые объемные голограммы.
Теория объемной голограммы Денисюка и ее основных
характеристик была дана Ван-Хирденом в 1963 г.
При отражении монохроматического света от двух и
более поверхностей почернения, образующих объемную
голограмму, возникают процессы интерференции и диф-
ракции света. Одни лучи складываются с усилением,
другие — с ослаблением. Характер интерференции зави-
сит, как известно, от оптической разности хода. В про-
Оптическая голография
199
стейшем случае параллельных эквидистантных плоско-
стей почернения оптическая разность хода между луча-
ми, отраженными от соседних плоскостей почернения,
удовлетворяет условию sin©, где d —расстояние
между плоскостями почернения; 0 —угол скольжения,
Сложение волн с усилением происходит в том случае,
если разность хода Д равна целому числу длин волн.
Все лучи, для которых это условие (условие Вульфа—
Брэггов) нарушено, при отражении от плоскостей почер-
нения испытывают ослабление. Чем больше число поверх-
ностей почернения в объемной голограмме, тем острее
отбор только разрешенных длин волн. При этом опреде-
ленному направлению соответствует определенная волна
света. Если объемную голограмму осветить параллель-
ным пучком белого света, она отберет из его широкого
спектра только свет одной длины волны. Чем больше
число поверхностей почернения в объемной голограмме,
тем выше степень монохроматичности отраженного пуч-
ка света. Здесь можно провести аналогию с многолуче-
вой интерферометрией, когда разрешающая способность
интерферометра увеличивается с увеличением числа эф-
фективных отражений. Чтобы получить восстановленное
изображение от объемной голограммы, необходимо осве-
тить ее пучком света той же длины волны и под тем
же углом, что и на стадии ее образования. Если же
условие Вульфа — Брэггов нарушено, например, в ре-
зультате усадки эмульсионного слоя после его проявле-
ния, изображение не восстановится. Однако если объ-
емную голограмму осветить пучком белого света, она
сама выберет из его спектра лучи необходимой длины
волны и направления и изображение восстановится. По
этой причине на стадии восстановления объемной голо-
граммы можно обойтись без лазерного излучения, а вос-
пользоваться любым источником света со сплошным
спектром (солнце, лампа накаливания). Если голограм-
ма экспонировалась в свете нескольких цветов (напри-
мер, синего, зеленого и красного), каждая длина волны
образует свою систему поверхностей. При освещении го-
лограммы сплошным спектром из него выделятся соот-
ветствующие длины волн, что приведет к восстанов-
лен ию__ие только объекта, но и его цветного изобра-
жения.
Обычно используются две схемы получения объем-
ных голограмм, которые принято называть «схемами во
встречных пучках» (рис. 11.23). В этих схемах опор-
ный и предметный пучки света, идя навстречу друг дру-
гу, пересекаются в слое фотоэмульсии и, интерферируя,
Рис. 11.23. Схема получе-
ния объемных голограмм
во встречных пучках
200
Дифракция света
11.6
Основные
применения
голографии
дают систему стоячих волн, которая и фиксируется в ви-
де поверхностей почернения.
Объемную голограмму можно считать оптическим
эквивалентом объекта. До сих пор мы рассматривали
голограмму как некоторое приспособление, с помощью
которого можно воспроизводить волновые поля излуче-
ния, рассеянного объектом. Однако волновые поля мож-
но воспроизводить и другими способами, например с по-
мощью системы управляемых по фазе излучателей. Го-
лограмма же воспроизводит волновые поля совершенно
определенным образом: за счет отражения от матери-
альной структуры. Исходя из этого, голограмму можно
определить как оптический эквивалент объекта, т. е. как
структуру, которая воздействует на данное излучение
так же, как и объект. Первоначальной причиной сходст-
ва голограммы с объектом является то, что материаль-
ная голограмма отображает какие-то характеристики
материального объекта и только как следствие этого
воспроизводятся волновые поля.
Голограмма вогнутого зеркала сама должна быть до
какой-то степени зеркалом. Действительно, если на ме-
сто объекта при обычной записи голограммы поместить
вогнутое зеркало, полученная голограмма будет обла-
дать свойствами своего оригинала: она фокусирует излу-
чение точно так же, как и вогнутое зеркало.
Исследование связи трехмерной голограммы с объ-
ектом показывает, что объемная голограмма стремится
скопировать структуру изображаемого объекта. Это мож-
но показать, если объект и голограмму изобразить в
так называемом частотном пространстве, т. е. в виде
разложения на гармоники плотности. Однако наш глаз
привык опознавать образы в обычном пространстве и
поэтому голограмма (а не восстановленное ею изобра-
жение) кажется нам совершенно непохожей на объект.
Интерес к практической стороне голографии огромен.
Она вторглась почти во все традиционные области при-
кладной оптики, заставив пересмотреть сложившиеся
между ними границы. Голографический принцип позво-
лил по-новому осмыслить некоторые области ИК- и
СВЧ-техники, рентгеновской и электронной микроскопии,
акустики, т. е. те направления, в которых основную роль
играет интерференция волн. Голография применяется
для измерения деформаций различных тел, выявления
структуры газовых потоков в аэродинамике, устранения
искажений в оптических системах, изготовления дифрак-
ционных решеток, получения оптических изображений,
Оптическая голография
201
опознавания образов в вычислительной технике, хране-
ния информации, в радиолокации и т. д.
Рассмотрим некоторые основные направления разви-
тия прикладной голографии.
Изобразительная голография. Этот вид голографии
достиг высокого уровня развития и сформировался в
самостоятельное направление, под которым понимают
комплекс научных исследований и технику изготовления
голограмм, предназначенных для демонстрации на вы-
ставках, в музейных экспозициях, рекламном деле, учеб-
ном процессе. Целесообразность применения голографии
в подобных приложениях обусловлена тем, что мы не
имеем других средств, воспроизводящих оригинал с той
точностью, которую обеспечивает голография, и одно-
временно обладающих широкими художественными воз-
можностями.
В изобразительной голографии в зависимости от на-
значения голограммы и характера объекта могут ис-
пользоваться самые различные схемы записи и восстано-
вления голограмм, а также разнообразные регистрирую-
щие материалы. Например, для демонстрации больших
объемных изображений разработан ряд голографичес-
ких установок с углом обзора предмета, достигающим
360°. Опорный пучок создается выпуклым коническим
(или сферическим) зеркалом (рис. 11.24). После голо-
графирования предмет убирается, а на его месте наблю-
датель видит через пленку восстановленное изображе-
ние, которое можно рассматривать под любым углом.
Находят применение голограммы, восстанавливающие
изображения в лазерном свете (монохроматические изо-
бражения), голограммы сфокусированных изображений
и т. п. И все же с уверенностью можно сказать, что в
изобразительной голографии предпочтение следует отда-
вать голограммам, которые восстанавливают изображе-
ние в белом свете при использовании обычных нелазер-
ных источников. Наибольшее распространение в изобра-
зительной голографии получили отражательные объем-
ные голограммы, регистрируемые во встречных пучках
но методу Денисюка.
В изобразительной голографии находят применение
так называемые радужные голограммы. С помощью спе-
циальных приемов на голограмме регистрируется дейст-
вительное изображение, восстановленное с обычной
лвухлучевой лазерной голограммы. Синтезированная та-
ким образом голограмма позволяет восстановить изоб-
ражение в белом свете. Оно отличается высокой
яркостью, что вместе с присущей голограмме радуж-
Рис. 11.24. Схема голо-
графической установки с
полным обзором:
Н — круговая голограмма;
А1 — коническое зеркало
202
Дифракция света
композиционная
голограмма
нон окраской производит приятное зрительное впечат-
ление.
Объектами для изобразительной голографии обычно
являются произведения искусства, исторические и архео-
логические ценности, реликвии революционной, боевой и
трудовой славы советского народа. Интерес, проявляе-
мый к изобразительной голографии художниками,
скульпторами, архитекторами, позволяет надеяться, что
в ближайшее время будут созданы высокохудожествен-
ные голографические произведения, расширяющие арсе-
нал изобразительных средств искусства.
Голографическое кино и телевидение. Изображения,
наблюдаемые при восстановлении волнового фронта с
голограммы, поражают своей реальностью. Параллакс,
блики от отражающих поверхностей, перемещающиеся
ло всему предмету при изменении точки зрения, стерео-
скопичность изображений — все это заманчиво с точки
зрения создания голографического кино и телевидения.
Однако на пути реализации этих идей стоят большие
трудности.
Для голографического массового кинематографа не-
обходимо создать устройства, позволяющие демонстри-
ровать фильм в больших залах одновременно большому
числу зрителей. Трудно ожидать, что в голографическое
кино будут перенесены из изобразительной голографии
приемы наблюдения восстановленного изображения че-
рез голограмму как через «окно». Для этого потребова-
лось бы создать голографические фильмы или специаль-
ные экраны для воспроизведения голограмм больших
размеров. Даже при ограниченном числе зрителей экран
должен иметь размер 1 м2 и более, что в ближайшем
будущем представляется невыполнимой задачей. Такое
решение, по-видимому, может оказаться приемлемым
лишь для голографических киносистем индивидуального
пользования, например в тренажерах, используемых для
обучения летчиков, в системах слепой посадки самоле-
тов и т. п.
Не менее сложно решить задачу получения гологра-
фии натурных сцен в условиях, исключающих возмож-
ность подсветки когерентным излучением. В настоящее
время, по-видимому, существует только один путь реше-
ния этой задачи. Голограмма, воспроизводящая объем-
ное и цветное изображения, должна быть синтезирована
из последовательности обычных снимков сцены, зареги-
стрированных с различных ракурсов. Такая голограмма
называется составной, или композиционной. На первом
этапе ее создания формируются ракурсы сцены с по-
Оптическая голография
203
мощью растра, состоящего из периодически повторяю-
щихся линз (метод интегральной фотографии Липпма-
на). На втором этапе интегральная объемная фотогра-
фия переводится в голографическую запись, т. е. созда-
ется композиционная голограмма.
Перед техникой голографического телевидения также
стоит ряд проблем. Для передачи трехмерного изобра-
жения высокого качества нужна передающая способ-
ность и ширина полосы пропускания телевизионного ка-
нала, примерно в несколько тысяч раз большая, чем ис-
пользуемая сейчас в вещательном телевидении. Прогрес-
са в голографическом телевидении следует ожидать, с
одной стороны, в увеличении передающей способности
каналов связи, а с другой —в уменьшении количества
информации, необходимой для построения голограммы.
Широкополосные каналы связи могут быть, по-видимо-
му, созданы на лазерных пучках. Для уменьшения коли-
чества информации, необходимой для построения голо-
граммы, возможны различные приемы, как разработан-
ные специально для телевидения, так и чисто гологра-
фические. Для голо графического телевидения, так же
как и для кино, следует решить проблему записи голо-
грамм и их восстановления.
Исследование быстропротекающих процессов. Перед ,
обычной фотографией голография имеет два основных
преимущества:
1) при голографировании предмета не надо фокуси-
ровать лучи, следовательно, исключается опасность по-
лучить размытое изображение из-за плохой фокуси-
ровки;
2) голограмма регистрирует весь предмет одинаково
четко по всей глубине, чего нельзя добиться в обычной
фотографии никакими приемами.
Кроме того, преимуществом голографии является и
то обстоятельство, что нелинейность фоторегистрацни не
влияет на качество передачи тонов. Даже используя для
записи голограммы самую контрастную эмульсию, мож-
но восстановить изображение в нормальных тонах.
Особое преимущество голографии перед фотографией
проявляется при регистрации объемных изображений
быстропротекающих процессов и нестабильных во време-
ни объектов, особенно движущихся микроскопических
частиц. Если исследуемые объекты малы (в диаметре
несколько микрометров), для их наблюдения требуется
большое увеличение микроскопа, что приводит к умень-
шению глубины резкости изображаемого пространства.
Предположим, что в определенный момент времени не-
204
Дифракция света
дисдрометр
обходимо зарегистрировать движущиеся микрообъекты,
распределенные по объему, или же зафиксировать еди-
ничное быстропротекающее случайное событие, когда
известно, что оно произойдет в данное время внутри дан-
ного объема, но точное местоположение его внутри объ-
ема неизвестно. При таких быстропротекающих процес-
сах полезно зарегистрировать с помощью голограммы
весь интересующий объем в нужный момент времени, а
затем в стационарных условиях детально исследовать
трехмерное изображение по всему объему.
Такого рода установка (дисдрометр) была историче-
ски первым применением голографии и предназначалась
для исследования быстродвижущихся частиц, взвешен-
ных в атмосфере, например капель дождя или тумана,
снежинок, кристаллов льда и аэрозолей размером от 5
до 50 мкм. Обычная фотография не позволяет держать в
фокусе каждую движущуюся частицу в течение такого
времени, которое соответствует необходимой экспози-
ции. Фотографическим методом невозможно зарегистри-
ровать все частицы некоторого объема сразу и с одина-
ковой резкостью. Дисдрометр устраняет эти трудности.
Голограмма регистрируется с помощью рубинового им-
пульсного лазера за время 20 нс. Трехмерное распреде-
ление частиц затем просматривается прн восстановлении
с помощью лазера с непрерывной генерацией. Аналогич-
ные установки используются для регистрации следов
частиц в трековых камерах.
Голографическая интерферометрия. Изобретение го-
лографии позволило расширить область применения ин-
терферометрии настолько, что стало возможно исследо-
вание не только простых зеркальных поверхностей и
предметов правильной формы, но и диффузно отражаю-
щих предметов произвольной формы.
Общие принципы голографической интерферометрии
заключаются в следующем. Если поместить голограмму
на то место, где она экспонировалась, а предмет убрать,
то восстановится, как известно, световая волна, рассеян-
ная предметом во время экспозиции (рис. 11.25). Если
предмет не убирать, будут существовать две волны: од-
на, идущая от предмета, и другая, восстановленная голо-
граммой. Эти волны когерентны и могут интерфериро-
вать. Если за промежуток времени между получением
голограммы и наблюдением с предметом произошли ка-
кие-либо изменения, например деформация, это сразу
же отразится на наблюдаемой картине: изображение
предмета окажется прочерченным интерференционными
полосами равной разности хода.
Оптическая голография
205
Таким образом, удается наблюдать интерференцию
двух световых волн, существовавших в разное время,
что до открытия голографии было невозможно. В обыч-
ном неголографическом интерферометре объект исследо-
вания должен обязательно иметь совершенную оптиче-
скую поверхность, чтобы можно было создать пучок
сравнения. Голографическая интерферометрия позволяет
исследовать предметы неправильной формы и даже диф-
фузно отражающие. Отступления от правильной формы
поверхности предмета на интерференционной картине не
скажутся, так как обе интерферирующие волны будут в
одинаковой степени искажены, поскольку эталонную све-
товую волну создает сам исследуемый объект в исход-
Рис. 11.25. Схема интерференции восстановленного и предметного
волновых фронтов:
I— призма; 2 — голограмма, на которой «записано» изображение призмы; 3—
совпадающие предметный и восстановленный волновые фронты
ном состоянии. Картина интерференции будет опреде-
ляться только теми геометрическими или фазовыми из-
менениями, которые произошли с объектом. Такой ме-
тод голографической интерферометрии очень удобен, так
как позволяет с помощью одной голограммы предмета
в исходном (невозмущенном) состоянии получить его ин-
терферограммы во многих состояниях или исследовать
динамику происходящего с ним процесса в реальном
времени.
Наиболее прост для эксперимента метод двойной
экспозиции, при котором на одну фотопластинку после-
довательно экспонируются две голограммы предмета,
находящегося в двух разных состояниях. Преимущества
метода в том, что он не требует совершенной оптики и
точной юстировки. Если поверхность вибрирует, голо-
грамма как бы многократно экспонируется, запечатле-
вая множество изображений в определенном диапазоне
позиций. При этом волновые фронты, отраженные виб-
рирующей поверхностью, усредняются на голограмме по
времени. В восстановленном изображении возникает си-
206
Дифракция света
Рнс. 11.26. Изображение
звучащей гитары, заре-
гистрированное методом
голографической интер-
ферометрии:
« — частота 185 Гц; б —ча-
стота 285 Гц
стема интерференционных полос, задающая узлы и кон-
туры мест с постоянной амплитудой вибраций.
Применение голографической интерферометрии раз-
вивается в нескольких направлениях: исследование виб-
раций, деформаций, фазовых объектов (т. е. объектов,
меняющих лишь фазу прошедшей волны, оставляя без
изменения ее интенсивность) и интерферометрические
измерения.
Использование голографии для анализа вибраций по-
зволило приступить к исследованию ряда проблем, кото-
рые ранее не поддавались решению (например, изуче-
ние колебания мембран в микрофонах и громкоговори-
телях, поверхностных волн на различных материалах
и др.). На рис. JJ.26 показана картина колебаний
гитары, зарегистрированная методом голографической
интерферометрии. Из рисунка видно, что восстановлен-
ное изображение <вибрирующего» объекта перерезано
интерференционными полосами, наиболее яркая из кото-
рых располагается по узловой линии, а каждая из по-
следующих уменьшающихся по яркости полос объединя-
ет точки объекта, колеблющиеся с одинаковой амплиту-
дой. Голографический метод вибрационного анализа
используется для ультразвукового неразрушающего
контроля изделий: обнаружение трещин, щелей и других
несовершенств в твердых телах.
Применение голографического контроля необработан-
ных поверхностей опирается на интерферометрический
метод сопоставления нескольких состояний при помощи
экспозиций на голограмму. При этом можно исследо-
вать все изменения в твердых телах, отражающиеся на
форме и качестве их поверхности.
Исследование деформаций диффузно отражающих
предметов также находилось в числе первых применений
голографической интерферометрии. Этот метод позволя-
ет исследовать рост кристаллов из расплава, форму ме-
ниска на поверхности жидкости, деформацию цилиндри-
ческих валов и турбинных лопаток. Он был использован
для контроля автомобильных шин по деформации их по-
верхности при небольшом изменении давления. К иссле-
дованию деформации непосредственно примыкает при-
менение голографической интерферометрии для изучения
изменений показателя преломления прозрачных жидко-
стей и твердых тел от разного рода воздействий на них.
Много новых возможностей открывает голографиче-
ская интерферометрия для изучения импульсных и ста-
ционарных фазовых неоднородностей — газовых потоков,
пламен, взрывов, ударных волн, плазмы и др. Возникно-
Оптическая голография
207
венке интерференционных полос при голографической
интерферометрии динамических фазовых объектов свя-
зано с тем, что свет, прошедший более плотные участки,
например фронт ударной волны, отстает по фазе в срав-
нении со светом, прошедшим тот же путь в однородной
среде. Изображение летящей пули, полученное при на-
блюдении через дважды экспонированную голограмму,
приведено на рис. 11.27. В области ударной волны, соз-
даваемой пулей, плотность газа в камере изменяется, а
вместе с ней изменяется и длина оптического пути через
газ. Если обработанная голограмма освещается волной,
подобно опорной, то обе восстановленные волны интер-
ферируют и образуют полосы, характеризующие измене-
ние плотности газа за время между двумя экспози-
циями.
Распознавание образов. Одно из наиболее интересных
и многообещающих применений голографии — распозна-
вание образов и символов. Оно опирается на способность
голограммы выделять из группы предметов только те,
изображения которых на ней записаны. Чтобы понять,
чем обусловлена способность голограмм к распознава-
нию образов, рассмотрим наиболее общую схему голо-
графирования (рис. 11.28). Пусть А и В —когерентно
излучающие объекты (в частности, ими могут быть лю-
бые предметы, освещенные достаточно когерентным ла-
зерным излучением), излучение которых способно созда-
вать интерференционную картину в некоторой плоскости.
Тогда, установив здесь фотопластинку, получим голо-
грамму Д + Я. Облучая ее копией исходного волнового
фронта одного из двух предметов (например, В), полу-
чим волновой фронт другого предмета — голограмма
пропустит лишь ту часть пространственного спектра, ко-
торая близка к записанному на ней спектру. Другими
словами, она «откликается» только на изображение од-
ного из «своих» предметов при условии, что он установ-
лен в соответствующем месте. Следовательно, наложение
двух или нескольких голограмм не влияет на характер
воспроизведения, что открывает новые возможности соз-
дания систем и устройств записи и хранения информа-
ции.
Более общее направление распознавания образов
связано с так называемыми фантомными изображения-
ми. При записи каждый фрагмент предмета диффузно
рассеивает свет по всей голограмме, следовательно, она
регистрирует результат интерференции одного фрагмен-
та с остальными частями предмета. Амплитуда и фаза
всех волн от предмета определяются относительно соот-
Рис. 11.27. Голографиче-
ская интерферограмма
ударной волны от летя-
щей пули
фантомное изображение
Рис. 11.28. Общая схема
голографии;
а —запись; б — восстановле-
ние
208 Дифракция света
ветствующих характеристик волн фрагмента. Поэтому
при восстановлении, осветив голограмму волной от одно-
го фрагмента, получим изображение всего предмета в
целом —его фантомное изображение. Это свойство го-
лограммы может найти применение при распознавании
и определении местоположения фрагмента предмета,
например при поиске страницы по известной строчке и
в других аналогичных случаях. Можно также вести поиск
трехмерных объектов по известной детали или какому-
то признаку.
Голографическая память. Непрерывный прогресс в
вычислительной технике предъявляет все возрастающие
требования к запоминающим устройствам, которые осу-
ществляют функции записи, хранения и считывания ин-
формации. На современном этапе остро стоит задача
создания устройства памяти с емкостью IO9—1010 бит*)
и временем произвольной выборки 1 мкс. Такие пара-
метры далеко превосходят возможности известных ви-
дов запоминающих устройств, они могут быть реализо-
ваны только на. основе новых физических принципов.
В этом плане большие надежды связывают с голографи-
ей. Голографическая память обладает исключительно
высокой емкостью (теоретический предел 1012 бит/см3),
а также ассоциативными свойствами, благодаря кото-
рым она напоминает память человека.
Перспективность применения голограммы в запоми-
нающих устройствах обусловлена двумя ее свойствами.
Во-первых, запись каждой точки предмета оказывается
равномерно распределенной по всему регистрирующему
объему, Поэтому не страшны даже значительные повреж-
дения голограммы. Они лишь несколько ухудшают от-
ношение сигнала к шуму, но в то же время повышается
надежность воспроизведения записанной информации. Во-
вторых, каждая точка голограммы дает вклад в восста-
новленное изображение. Это означает, что голографиче-
ская память обладает ассоциативными свойствами, т. е.
нужная информация выбирается по ее определенному
признаку, а не по адресу ячейки, в которой она хранится.
Преимуществом голографической памяти является так-
же отсутствие линз при записи, благодаря чему удается
в полной мере использовать разрешающую способность
фотоматериала.
На голограммах может быть записана как двумер-
ная, так и трехмерная информация. Она может быть в
*) Биг —единица количества информации, получаемой при осу-
ществлении одного из двух равновероятных событий.
Оптическая голография
209
форме цвета или кода, графической или буквенно-циф-
ровой, может быть записана на поверхности голограммы
или в ее объеме, пространственно разделена или нало-
жена при записи, храниться или быть стираемой.
Одна из возможных схем голографической памяти
приведена на рис. 11.29. Страницы с информацией реги-
стрируются в форме малых голограмм (субголограмм),
пространственно разделенных и регулярно расположен-
ных в плоскости голографической памяти 3. В этой пло-
скости можно разместить 100X100 голограмм, каждая
из которых имеет диаметр 1,2 мм. Голограмма такого
диаметра содержит 104 бит информации. Общая емкость
памяти составит 108 бит, что эквивалентно записи содер-
жания большой книги (примерно 200 страниц).
Рис. 11.29. Схема голографической системы памяти с бегущим лучом
Считывание информации производится при помощи
бегущего луча и блока фотоприемников, расположенных
в плоскости изображения 4. Отклонение лазерного луча
1 происходит посредством акустического отклоняющего
устройства 2. Фотоприемники превращают оптическую
страницу информации в электрическую. Электрические
сигналы, возникающие при таком преобразовании, запо-
минаются в полупроводниковой буферной памяти. Ин-
формация считывается из буферной памяти с быстротой,
обычной для электронных устройств, и когда поиск ин-
формации окончен, в буферную память вводится новая
страница. В такой схеме любая страница в произволь-
ной последовательности может быть считана и введена
в вычислительную машину в течение микросекунд.
Голографическая память высокой емкости может
быть осуществлена также в объеме толстослойной реги-
стрирующей среды. Система памяти в этом случае пред-
ставляет собой суперпозицию объемных голограмм (по
одной на каждую страницу), полученных методом мно-
гократного экспонирования. При экспонировании длина
световой волны для всех голограмм остается постоянной,
однако значение угла между предметным и опорным
210
Дифракция света
пучками меняется при переходе к каждому последующе-
му экспонированию.
Схема записи информации на голограмму 4 дана на
рис. 11.30. Опорные пучки 2 изображены в виде плоских
волн. Направление опорного пучка при записи меняется
с переходом к каждому новому входному диапозитиву,
информация на котором записана кодом (совокупность
прозрачных точечных отверстий на непрозрачном фоне).
Рис. 11.30. Схема записи информации в трехмерной среде
Прн считывании пучки 3, сопряженные с опорными, вос-
станавливают действительные изображения на матрице
фотоприемников. Последняя устанавливается вместо
входной страницы 1.
Каждая записанная страница информации кодирует-
ся в виде объемной голограммы, пространственные ча-
стоты которой однозначно характеризуются соответству-
ющим ей опорным пучком и распределением света, про-
шедшего через входную страницу. Любая из наложен-
ных друг на друга объемных голограмм селективно от-
кликается на освещение по закону Вульфа — Брэггов.
Все возрастающие потоки научно-технической инфор-
мации остро ставят задачу создания архивных устройств
для хранения информации (страницы текста, таблицы,
фотографии, рисунки, графики и т. и.), которые имели бы
небольшие габариты, обеспечивали удобный и сравни-
тельно быстрый доступ к хранимым данным и представ-
ляли их в виде, удобном для потребителя.
В одной из моделей голографических запоминающих
Оптическая голография
211
устройств голограммы диаметром 1—2 мм, содержащие
буквенно-цифровую информацию, записываются на диске
диаметром 400 мм, на котором помещается 100 000 го-
лограмм. В устройстве радикальные и азимутальные пе-
ремещения дисковой матрицы осуществляются скорост-
ными шаговыми двигателями. Информация с выбранной
голограммы считывается лазерным пучком, изображение
может наблюдаться на экране или же регистрироваться
на фоточувствительном материале.
Насколько перспективны такие системы, можно су-
дить по тому, что десяток дисков способен охватить весь
патентный фонд авторских свидетельств в стране
(600 тыс.), а несколько сотен дисков вместят весь фонд
зарубежных патентов (10 млн.). Создание управляемой
от ЭВМ комплексной системы голографических запоми-
нающих устройств на дисковых матрицах позволило бы
реализовать оперативный доступ к документам и в слу-
чае необходимости получение их копий, что в настоя-
щее время требует больших затрат времени.
Передача изображения через искажающую среду (го-
лографическая интроскопия). Если среда между предме-
том и обычной изображающей системой содержит фазо-
вые неоднородности (например, линза с аберрациями,
стеклянная пластинка с неровной поверхностью, экран
из матового стекла или турбулентная атмосфера), ин-
формация о предмете может быть искажена до неузна-
ваемости. Голографическая техника открывает совершен-
но новые возможности получения изображений при нали-
чии таких искажений.
Предположим, что на голограмму записано изобра-
жение предмета совместно с «изображением» искажаю-
щей среды, например, между предметом и плоскостью
голограммы расположена волнистая стеклянная поверх-
ность, искажающая фазу (рис. 11.31, а). При записи го-
лограммы внеосевая опорная волна интерферирует с
искаженным предметным волновым фронтом. Если при
восстановлении голограмму осветить волной, сопряжен-
ной исходной опорной волне, то изображения первона-
чального предмета не будет. Однако если на пути волны
действительного изображения поместить прежнюю иска-
жающую среду, сохранив ее положение относительно го-
лограммы, то на том месте, где вначале находился пред-
мет, возникает его действительное изображение
(рис. 11.31, б).
Теоретическое обоснование этого свойства голограм-
мы (передавать неискаженное изображение через неод-
нородные среды) базируется на теореме взаимности, ко-
Рис. 11.31. Схема полу-
чения изображения через
искажающую среду (а) и
его восстановление (б);
] — предмет; /' — действи-
тельное изображение; 2 —
неискаженный волновой
фронт; 3 — искажающая
среда; (—искаженный вол-
новой фронт; 5 — голограм-
ма; 6 — опорный пучок; б'—
волна, сопряженная опорной
212
Дифракция света
торая вытекает из основного свойства функции Грина —
перестановочности источника возмущения и точки наблю-
дения. В общем виде это свойство формулируется сле-
дующим образом: пусть антенна А, находящаяся в точ-
ке Оь является излучателем, а антенна В, расположен-
ная в точке О2 — приемником. Теперь пусть излучает
антенна В, создавая такое же поле из точки 02, как и
в предыдущем случае. Тогда согласно свойству переста-
новочности у антенны А будет то же поле, что и у ан-
тенны В в первом случае, независимо от свойств среды
и формы антенн. Важно, что справедливость этой теоре-
мы не зависит от неоднородностей среды.
Голографическая интроскопия (внутривидение) позво-
ляет наблюдать объекты, которые расположены за стен-
ками произвольной формы, непроницаемыми для види-
мого света. В этом случае голограмма регистрируется
в инфракрасных или ультрафиолетовых лучах лазера, ко-
торые могут проходить через стенку. Перевод трехмер-
ного изображения в видимый диапазон осуществляется
при помощи масштабных переходов, т. е. уменьшений
или увеличений интерференционной картины (голограм-
мы) пропорционально длине волны.
Голография в технологии. Сочетание высокой мощ-
ности лазерного Излучения и способности голограмм
фокусировать свет в сложные пространственные фигуры
позволяет надеяться на широкое использование гологра-
фии в технологической обработке поверхностей. Особен-
но полезна голография тогда, когда наносимые на по-
верхность фигуры должны иметь на большей части поля
высокое разрешение — порядка 1 мкм. Так, лучшие лин-
зы способны создавать по полю не более 3000 разрешен-
ных элементов в строке, а голограммы дают 10000 раз-
решенных элементов.
Первым технологическим применением голографии
явилось бесконтактное нанесение микросхем. В настоя-
щее время точное отображение фотолитографических ма-
сок на полупроводниковые платы достигается контакт-
ной печатью. При использовании голографии действи-
тельное изображение в нужных местах воздействует на
слой фоторезиста, так что после смывания остается нуж-
ная фигура — защитный слой, предохраняющий пленку
от травления. Помимо отсутствия линз и высокого раз-
решения голографическое нанесение микросхем имеет
еще ряд преимуществ. Отсутствие контакта с обраба-
тываемой поверхностью устраняет возможность появле-
ния царапин и оседания пылинок, а также облегчает ав-
томатизацию печатания. Контактная печать не позволя-
Разложение излучения в спектр
213
бт получать сверхвысокие разрешения, так как требует
идеально плоских поверхностей. В отличие от контакт-
ного фотошаблона, способного дать около 100 отпечат-
ков, голограмма может служить сколь угодно долго.
Дальнейшее совершенствование голографической тех-
нологии будет развиваться, вероятно, по пути комбини-
рования фокусирующих свойств голограмм с их распоз-
навательными и интроскопическими свойствами.
Таким образом, краткая характеристика некоторых
применений и возможностей голографии показывает, на-
сколько заманчивы ее перспективы. Исследования в этом
направлении быстро развиваются, открывая новые гори-
зонты голографии.
Глава <2
РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТР
И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
Изучение строения атомов и молекул, ис-
следование процессов, происходящих в источ-
никах света и пламенах, определение темпера-
туры плазмы, изучение химического состава го-
рячих газов, исследование излучеиия звезд и
солнца и многие другие вопросы требуют зна-
ния спектров испускания или поглощения. Каж-
дый спектр характеризуется определенным рас-
пределением интенсивности испускания или по-
глощения по длинам волн или частотам.
Задача исследователя заключается в рас-
шифровке спектра. Необходимо в первую оче-
редь научиться устанавливать вещество по его
спектру. Эта задача не очень трудная, она от-
носится к проблеме спектрального анализа хи-
мических соединений, Значительно сложнее на-
учиться читать спектры. Спектр представляет
собой своеобразную фотографию внутренних
свойств атома, молекулы жидкости или кри-
сталла, но фотографию символическую, так
как внутренние свойства данной системы про-
являются в спектре не прямо, а косвенно.
В эксперименте чаще всего измеряют две ос-
новные величины: длину волн поглощаемого
или испускаемого света и соответствующую ин-
тенсивность. Эти величины являются функция-
ми свойств атомной системы. Зная зависимость
интенсивности от частоты, можно определить
свойства атомов, молекул жидких и твердых
тел. И наоборот, зная внутренние свойства дан-
ных систем, можно предсказать их спектры.
Подобного рода исследования проводятся в
широком спектральном диапазоне (от мягких
рентгеновских лучей до миллиметровых радио-
волн) при различных температурах и условиях
возбуждения спектра и требуют, естественно,
большого разнообразия аппаратуры.
Экспериментально разложение сложного
излучения в спектр осуществляется при помо-
щи спектрального прибора. В основе построе-
ния спектрального прибора лежит одно из сле-
дующих явлений оптики: дисперсия, дифрак-
ция и интерференция света. В отличие от
оптических приборов, предназначенных для ис-
следования свойств, размеров, формы и поло-
жения тел в макромире, спектральные прибо-
ры исследуют само излучение как сигнал, иду-
щий от вещества и несущий информацию о его
строении, т. е. они являются инструментами
для изучения микромира.
В первых спектральных приборах (Кирхгоф,
1859 г.) спектр наблюдался непосредственно
глазом. Позже появились приборы, где спектр
регистрировался иа фотографическую пластин-
ку, а затем и фотоэлектрическим методом.
В настоящее время в зависимости от целей и
задач используются все три вида приборов,
однако наибольшее распространение нашли
спектральные приборы с фотографической реги-
страцией спектра, Фотоэлектрические методы,
имея много положительных сторон, находят все
более широкое применение, особенно в связи
с задачами современного спектрального при-
боростроения, для которого характерны авто-
матизация измерений и оптимизация спект-
рального прибора.
214
Дифракция света
12.1
Принципиальная
схема
спектрального
прибора
Принципиальная схема спектрального прибора пред-
ставлена на рис. 12.1. Источник излучения L через осве-
тительную систему 0] (условно изображенную в виде
одной линзы) освещает узкую входную щель 5 прибора.
Щель обычно помещается в фокусе объектива О?, назы-
ваемого коллиматорным. Параллельный пучок света,
создаваемый этим объективом, падает на диспергирую-
щую систему D одного из трех типов, указанных выше.
С помощью объектива 03, который называют камерным,
строятся монохроматические изображения щели в фо-
кальной поверхности Р. Эти изображения называются
Рнс. 12.1. Принципиальная схема спектрального прибора
коллиматорный объектив
камерный объектив
спектр
спектрограф
спектроскоп
монохроматор
полихроматор
спектральными линиями. Совокупность таких изображе-
ний (дискретная или непрерывная в зависимости от ти-
па источника излучения L) составляет спектр. В фокаль-
ной поверхности Р могут быть расположены фотографи-
ческая пластинка для регистрации спектра (такой при-
бор называют спектрографом), окуляр в точке С для
визуального рассматривания спектра (спектроскоп), од-
на или несколько выходных щелей, выделяющих узкие
участки спектра (монохроматор или полихроматор). Фо-
кальная поверхность может быть плоской или цилиндри-
ческой. Для приборов с ахроматической фокусирующей
оптикой (см. § 14.2) фокальная плоскость или касатель-
ная к фокальной поверхности расположены под углом в
к оптической оси, близким к 90°. В остальных случаях
этот угол значительно отличается от 90°.
Широко распространены спектральные приборы авто-
коллимационного типа, в которых один и тот же объек-
тив является одновременно и коллиматорным и камер-
ным. Спектральные приборы с вогнутой дифракционной
решеткой не имеют фокусирующей оптики, поскольку
ее роль выполняет сама дифракционная решетка.
В зависимости от характера решаемой задачи выби-
рается тот или иной спектральный прибор. Их класси-
фикация не очень строгая, и иногда один к тот же при-
бор можно отнести к нескольким типам. Спектральные
приборы разделяют по следующим признакам:
Разложение излучения в спектр
215
1) по типу оптических схем: а) обычные приборы,
имеющие отдельно оформленные коллиматорный и ка-
мерный объективы; б) автоколлимационные приборы, в
которых оба объектива совмещены;
2) по принципу диспергирования: а) призменные
приборы; б) приборы с дифракционными решетками
(плоскими и вогнутыми); в) интерференционные при-
боры;
3) по дисперсии (см. § 12.3): а) малая дисперсия
(сотни ангстрем на миллиметр); б) средняя дисперсия
(десятки ангстрем на миллиметр); в) большая диспер-
сия (несколько ангстрем на миллиметр); г) высокая дис-
персия (десятые доли ангстрем на миллиметр). Это раз-
деление в значительной степени условно, так как один
и тот же призменный прибор, например, может обладать
в ультрафиолетовой области большой дисперсией, а в
ближней инфракрасной — малой;
4) по способу регистрации спектра: а) визуальные
(спектроскопы); б) фотографические (спектрографы);
в) фотоэлектрические (спектрометры);
5) по области спектра: а) для инфракрасной; б) для
видимой; в) для ультрафиолетовой; г) для вакуумной
ультрафиолетовой областей;
6) по назначению: а) монохроматоры — одинарные
и двойные, выделяющие узкую спектральную область
или спектральную линию; б) полихром аторы, выделяю-
щие одновременно несколько узких областей или не-
сколько спектральных линий; в) спектрографы и спектро-
скопы, позволяющие получать или наблюдать одновре-
менно широкие области спектра; г) спектрометры —
приборы, сканирующие*) спектры при помощи фотоэлект-
рического или теплового приемника и регистрирующего
устройства.
Эти признаки определяют спектральную область ра-
боты и эксплуатационные качества прибора, из которых
главными являются возможность разделения близкорас-
положенных линий и измерение интенсивности слабых
спектральных линий.
Каждая спектральная линия занимает некоторый
спектральный интервал. Точные границы данного интер-
вала указать трудно ввиду того, что интенсивность ли-
Сканированием называется непрерывное измерение энергии
в спектре при последовательной изменении длины волны регистриру-
емого излучения. Это осуществляется, например, путем поворота дис-
пергирующего элемента или перемещением приемника по фокальной
плоскости.
сканирование
112
Ширина
спектральной
линии
216
Дифракция света
Рис. 12.2. Контур спект-
ральной линии
ширина
спектральной линии
ним стремится к нулю довольно медленно. По этой при-
чине вводят понятие полуширины линии (выражаемой
в обратных сантиметрах или ангстремах). Под послед-
ней понимают такой спектральный интервал, в пределах
которого интенсивность испускания (или поглощения)
составляет половину максимальной интенсивности
(рис. 12.2). Часто Av (или AZ) называют просто шири-
ной линии.
Ширина спектральной линии зависит от ряда при-
чин, основными из которых являются: 1) естественное
уширение; 2) доплеровское уширение; 3) уширение, вы-
званное столкновениями атомов. Рассмотрим коротко эти
причины.
Естественное уширение линии. Согласно классической
теории электрон, совершающий колебания в атоме с ча-
стотой Vo, теряет энергию в результате излучения. Это
ведет к затуханию колебаний, вследствие чего излучае-
мая линия не будет строго монохроматической, а рас-
ширится. Такое уширение носит название естествен-
• ного.
На рис. 12.2 изображен контур спектральной линии —
распределение интенсивности по частотам. Ширина это-
го контура равна
. 4ле2 ,
где е, m, vo— заряд, масса и частота колебаний электро-
на соответственно; с —скорость света. Это соотношение
справедливо как для спектров испускания, так и для
спектров поглощения.
Если перейти от частот к длинам волн, получим, что
А1у=4ле2/3тс2 = 1,17 10-12 см, т. е. согласно классиче-
ской теории естественная ширина линии, выраженная з
длинах волн, не зависит от X и равна 1,7 10-4 А.
С точки зрения квантовой теории естественная шири-
на спектральной линии связана с шириной уровней энер-
гии атомной системы, между которыми происходит пере-
ход с испусканием или поглощением. Расширение энер-
гетических уровней приводит к уширению спектральной
линии. Ее ширина определяется шириной обоих уров-
ней — начального и конечного.
Доплеровское уширение линии. Большое влияние на
ширину спектральной линии оказывает эффект Доплера,
который обычно значительно превышает эффект, обу*
словленный естественным уширением. Эффект Доплера
имеет место и при излучении, и при поглощении и явля-
ется прямым следствием теплового движения излучаю-
Разложение излучения в спектр
217
щих частиц (атомов и молекул). Частицы, двигающиеся
со скоростью и навстречу наблюдателю, излучают свет,
частота которого в результате эффекта Доплера равна
Vfr+dv, где dv=vo vfc (v0—частота излучения неподвиж-
ного источника; с —скорость света). Подобным же об-
разом частицы, двигающиеся от наблюдателя со ско-
ростью v, излучают свет с частотой v0—dv. Вследствие
максвелловского распределения скоростей в газе излу-
чение в результате эффекта Доплера не будет строго
монохроматическим, а будет представлять собой уши-
ренную спектральную линию.
Ширина доплеровского контура линии равна
. 2v# 1/ 2)n2-R7’
= — (/ ------й---,
где R — универсальная газовая постоянная; Т —темпе-
ратура в абсолютной шкале; М — атомная (молекуляр-
ная) масса излучающей частицы.
Подставляя вместо R и с их численные значения и
переходя к шкале длин волн, получаем Д1г=7,16-10-7лХ
Х]'Т/Л1 см, если длина волны X выражена в сантиметрах.
Следует отметить, что доплеровский и естественный
контуры спектральных линий значительно различаются
по своей форме. На рис. 12.3 сопоставлены оба контура
при одинаковых ширинах A\’№&vp и одинаковых инте-
се
тральных интенсивностях [ /(v)riv. Явление Доплера и
о
естественное затухание — независимые друг от друга
причины уширения спектральных линий. Поэтому реаль-
ный контур линии возникает в результате одновременно-
го действия обоих этих факторов. Эффект Доплера имеет
большое значение в случае горячих источников излуче-
ния, таких как дуга или искра.
Уширение линии, вызванное столкновениями. Естест-
венное и доплеровское уширения спектральных линий не
связаны с взаимодействием между атомами. При срав-
нительно низком давлении газа любое возмущение мо-
жет быть представлено как столкновение, а между дву-
мя отдельными столкновениями излучающий или погло-
щающий атом можно рассматривать как невозмущенный.
Возникающее при этом уширение линий называют уши-
рением вследствие столкновений.
Теория уширения линий, обусловленного столкнове-
ниями между атомами, была разработана Лоренцом
11905 г.) на основе классической электронной теории.
Им была использована простая схема взаимодействия,
Рис. 12.3. Сравнение доп-
леровского (I) и естест-
венного (2) контуров
спектральной линии:
= Д-.р; интегральные
сс
интенсивности ( оде-
О
каковы
218
Дифракция света
12.3
Основные
оптические
характеристики
спектрального
прибора
дисперсия материала
в которой предполагалось, что внутриатомный электрон
на всей длине свободного пути атома не возмущен ни-
какими силами и совершает незатухающие гармониче-
ские колебания с частотой v<j. В момент столкновения с
другим атомом колебания электрона обрываются, т. е,
излучение атома рассматривается как отрезок синусои-
ды. Посредством Фурье-разложения можно показать, что
такой оборванной синусоиде отвечает спектральная ли-
ния конечной ширины.
Ширина спектральной линии в этом случае (лорен-
цовский контур) равна
4о’Л'ар
где о — эффективный диаметр атома; УА —число Аво-
гадро; Р — давление газа.
В шкале длин волн (с учетом численных значений
и R) получим (Ро2/уЛ!Т)?.2, т. е. при по-
стоянной температуре Т ширина линии прямо пропор-
циональна давлению газа.
Поскольку причины лоренцовского и доплеровского
уширений спектральных линий независимы, все типы
уширения должны проявляться одновременно.
При решении той или иной физической задачи с по-
мощью спектрального прибора в первую очередь надо
установить, какой тип прибора в данном случае может
дать необходимую информацию. Для этого надо знать
те основные оптические характеристики спектрального
Прибора, которыми он обладает, Таких характеристик
несколько: дисперсия, разрешающая способность и4све-
тосила. Рассмотрим эти характеристики применительно
к призме, дифракционной решетке и интерферометру
Фабри — Перо как основным диспергирующим системам
прибора.
Дисперсия спектрального прибора. Говоря о диспер-
сии, следует различать дисперсию материала, из которо-
го сделана диспергирующая система, и дисперсию само-
го прибора. Показатель преломления прозрачного мате-
риала зависит от длины волны проходящего светового
пучка. Эта зависимость будет различна для разных ма-
териалов и даже для одного и того же материала в раз-
ных участках спектра. Показатель преломления изменя-
ется быстрее вблизи полосы поглощения. Скорость изме-
нения его при изменении длины волны называется ди-
сперсией материала. Она численно равна dn/dk, где
dn — изменение показателя преломления при изменении
Разложение излучеиия в спектр
219
длины волны на величину А. Дисперсия прибора харак-
теризует скорость изменения угла отклонения светового
пучка в приборе при изменении длины волны. Такая
дисперсия называется угловой дисперсией прибора и оп-
ределяется отношением D9=dyjdk, где dip —угол меж-
ду лучами с длинами волн Х и X+dX.
Так как положение спектральной линии чаще всего
наблюдается на плоском экране или фотопластинке,
удобнее пользоваться линейной дисперсией: Di=dlld\,
где dl — расстояние между спектральными линиями с
длинами волн X и X+dX в фокальной плоскости прибо-
ра. Угловая и линейная дисперсии прибора связаны со-
отношением
JL- J' .. А*. (121)
dX sine dX ’ u '
где /г-фокусное расстояние камерного объектива;
в —угол наклона спектра к оптической оси камеры
(см. рис. 12.1).
Таким образом, линейная дисперсия определяется
числом миллиметров, приходящихся на единичный ин-
тервал длин волн (обычно 1 А). На практике для харак-
теристики спектрального прибора используют обратную
величину dXjdl, называемую обратной линейной диспер-
сией. Это —величина интервала длин волн, измеряемого
в ангстремах на 1 мм длины спектра.
Дисперсия призмы. Пусть на грань равнобедренной
призмы (рис. 12.4) падает монохроматический луч све-
та длины волны X. Показатель преломления вещества,
из которого сделана призма, равен п. Угол ф, образо-
ванный направлениями падающего и преломленного лу-
чей, называется углом отклонения. Из рис. 12.4 следует,
что <р-(г + Н-н+г), или, принимая во внимание, что
»'+г=»ф, где ф — угол преломления призмы, имеем
ф=1+г'—ф. (12.2)
Угол отклонения ф луча призмой при увеличении
преломляющего угла ф призмы и ее показателя прелом-
ления п (он неявно входит в выражение угла г7) увели-
чивается до некоторого предела, потом наступает полное
внутреннее отражение на второй грани призмы и луч из
призмы не выходит. Для данной призмы (ф и п постоян-
ны) угол отклонения ф как функция угла падения I лу-
ча на призму может принимать минимальное значение.
Такая установка призмы имеет практическое значение,
так как уменьшается до минимума астигматизм и по-
лучается наиболее четкое изображение спектра.
дисперсия прибора
угловая
дисперсия прибора
линейная дисперсия
обратная
линейная дисперсия
угол отклонения
Рис. 12.4. Преломление
луча света в призме при
ее установке в минимуме
отклонения
220
Дифракция света
Условие минимума отклонения, как нетрудно пока*
зать, соблюдается, когда ход лучей через призму сим-
метричен, т. е. »=/, а следовательно, и r-i\ Если на
призму падает параллельный пучок света некоторого
спектрального интервала, среди лучей всех длин волн
этого интервала всегда найдется луч с длиной волны,
для которой будет выполняться условие наименьшего
отклонения.
Для угла наименьшего отклонения выражение (12.2)
перепишется в виде (pmin=2i-i|> или г=(ф+фтш)/2.
Имея в виду, что г=ф/2, получим для показателя
преломления
sin(t + <Pmin)/2
sin ф/2
(12.3)
Поскольку мы не будем рассматривать установку
призмы вне угла наименьшего отклонения, индекс при <р
в дальнейшем для краткости опустим.
Значение угловой дисперсии dq/dk призмы найдем
путем дифференцирования формулы (12.3):
dn . ф dw 1 м ф 4. ш
dk 2 dk 2 2 •
Отсюда
Л _ _ 2sM/2 dn ..
dk соз(ф + ф)/2 dk l z '
и, воспользовавшись законом преломления (12.3), окон-
чательно получим
D, = •$• = — 2sM/2 ,^ (12.5)
Ф Л К1-п1я'п’Ф/2 Л
Из формулы (12.5) видно, что угловая дисперсия за-
висит от показателя преломления, дисперсии материа-
ла, из которого изготовлена призма, и ее преломляюще-
го угла.
Дисперсию материала призмы dnjdk можно найти
графически, когда известны показатели преломления для
ряда длин волн, или аналитически, если известен вид
функции n=f(k). Существует ряд эмпирических формул,
выражающих зависимость показателя преломления от
длины волны. Так, для стекла удобна формула Гарт-
мана
п — По + х—Л, ’ 2«6)
где По, с и Хо—постоянные, определяемые из экспери-
мента.
Разложение излучения в спектр
221
В случае, когда в спектральном приборе использует-
ся несколько одинаковых призм, угловая дисперсия
равна
Оф=*1= 2ЬН/2_^
Л —/1s sin2 if/2 &
где k — число призм. Из формулы (12.7) следует, что
с увеличением числа призм растет и дисперсия спект-
рального прибора. Однако большое увеличение числа
призм ведет к уменьшению светосилы прибора, так как
происходят значительные потери света при отражении
и поглощении в системе призм.
Дисперсия дифракционной решетки. Значение угло-
вой дисперсии дифракционной решетки можно получить
из условия, которое определяет положение главных мак-
симумов: dsintp=±ffiX (см. § 9.4). Дифференцируя это
выражение по Л, получаем
D т , (12.8)
ф dh d cos ф ' '
2000 2100 2200 2300 2500 2700 3000 3500 4000 А
а I । I । I I 11 111111 hlihlihMililililililil
2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 А
s liJilililihlihlihlilililihlililililil
Рнс. 12.5. Сравнение шкал спектрографа с призмой (а) и дифракци-
онной решеткой (б) для нормального спектра:
оба спектра выбраны одинаковой длины
Отсюда следует, что увеличение дисперсии дифрак-
ционной решетки связано как с увеличением порядка
спектра, так и с уменьшением постоянной решетки d.
Однако из свойств дифракционной решетки известно, что
с ростом т интенсивность спектров быстро убывает. По-
этому, чтобы иметь прибор с хорошей дисперсией при
работе со спектрами низшего порядка, стремятся изгото-
вить решетку с малым значением постоянной d и в то
же время с достаточно большим количеством штрихов.
В низком порядке спектра дифракционной решетки
работать удобно еще и потому, что здесь можно считать
дисперсию практически постоянной величиной, так как
для малых углов ф (dqldty^=m/d=const. Спектры с
постоянной дисперсией, лежащие вблизи нормали к ре-
шетке, называют нормальными спектрами. В этом отно-
шении спектр, полученный с призменным прибором, где
дисперсия ие постоянна, менее удобен, чем дифракци-
онный спектр (рис. 12.5).
нормальные спектры
222
Дифракция света
Дисперсия интерферометра. При рассмотрении много-
лучевых интерферометров, в частности интерферометра
Фабри—Перо (см, § 6.3 и 7,3), было получено выраже-
ние для области свободной дисперсии АХ интерферомет-
ра: ДХ=Х2/2Л, где h — расстояние между пластинами ин-
терферометра.
Величина ДХ характеризует интервал длин волн, со-
ответствующий смещению системы интерференционных
колец на один порядок. Это означает, что интерферо-
метр действует как спектральный прибор, разлагая из-
лучение различных длин волн в спектр. Такое разложе-
ние можно характеризовать как угловой, так и линейной
дисперсией.
Продифференцировав выражение для максимума/п-го
порядка интерференции 2й cos<p = mX, получим
Dф= = = -г-—. (12.9)
* dX 2hsin<p Xtgtp ' '
Здесь вместо m подставлено его значение т=
= (2Л cosqp)/X. Использование в формуле (12.9) модуля
связано с тем, что дисперсия интерферометра возрастает
по мере приближения к центру интерференционной кар-
тины и оказывается наибольшей для центрального коль-
ца, где угол отклонения ф минимален. Измерения обыч-
но производят в области второго или третьего кольца,
где дисперсия достаточно велика, но не столь сильно из-
меняется, как в центре интерференционной картины.
При малых углах ф можно положить тогда
(12.10)
Рис. 12.6, Распределение
интенсивности при нало-
жении двух близких
спектральных линий
dX ~ Хф’
Из приведенных формул видно, что дисперсия интер-
ферометра не зависит от его толщины h и вблизи нор-
мали (<р—►€) стремится к бесконечности.
Разрешающая способность спектрального прибора.
Чем выше дисперсия прибора, тем больше расстояние
между спектральными линиями, что дает возможность
детальнее изучить спектр. Однако знания одной диспер-
сии прибора еще недостаточно для того, чтобы опреде-
лить, будут ли две соседние линии наблюдаться раздель-
но. Действительно, дисперсия определяет угловое или
линейное расстояние между максимумами двух длин
волн Xi и Xj, но в любом спектральном приборе переход
от максимума данной длины волны к минимуму проис-
ходит более или менее постепенно, в зависимости от
устройства прибора.
Наблюдаемое распределение освещенности (рис. 12.6)
есть сумма освещенностей от Xi и Хг (сплошная кри-
Разложение излучения в спектр
223
вая). Таким образом, даже при большой дисперсии
(большое расстояние АВ) нельзя обнаружить наличие
двух длин волн X) и Х2, если уменьшение освещенности
происходит так полого, как это показано на рис. 12.6.
Для того чтобы прибор позволял установить наличие
двух длин волн (разрешить две длины волны), необхо-
димо, чтобы при заданном расстоянии между максиму-
мами их очертания были достаточно резкими (рис. 12.7).
В этом случае наличие двух максимумов выступает до-
статочно отчетливо, несмотря на то, что перекрытие кон-
туров спектральных линий значительно.
По предложению Рэлея принято считать две спект-
ральные линии разрешенными, когда максимум распре-
деления интенсивности одной линии приходится на пер-
вый минимум другой (см. рис. 12.7). При этом если две
смежные линии имеют одинаковую интенсивность и фор-
му, провал интенсивности между ними должен быть не
менее 20 % максимальной интенсивности. Такой разни-
цы в интенсивности достаточно, чтобы видеть раздельно
обе линии. Это условие носит название критерия Рэлея.
Он применим не только к разрешению двух спектраль-
ных линий, но и к разрешению дифракционных макси-
мумов, что используется при определении разрешающей
способности оптических инструментов.
Разумеется, что возможность различия двух макси-
мумов зависит в известной степени от точности того ме-
тода (визуального, фотографического или фотоэлектри-
ческого), которым исследуется распределение интенсив-
ности по спектру. С этой точки зрения любой критерий
разрешения следует считать условным. Фактически воз-
можность разрешения двух близких спектральных ли-
ний лимитируется наличием шумов в источнике и прием-
нике света, ограничивающих точность измерения полез-
ного сигнала. При хорошем отношении сигнала к шу-
му можно измерять провал в суммарном контуре, зна-
чительно меньший, чем определяется критерием Рэлея,
В связи с этим Раутиан предложил считать две спект-
ральные линии находящимися на пределе разрешения,
если провал суммарной интенсивности между ними ра-
вен ошибке измерения величины интенсивности.
Разрешающей способностью (или разрешающей си-
лон) называют отношение А = Х/бХ, где 6Х —разность
длин волн J.2—М между двумя соседними максимумами,
для которых выполняется критерий Рэлея; X —средняя
длина волны, соответствующая центру провала в сум-
марном контуре. Величина 6Л обусловлена волновой
природой света и физическими свойствами диспергирую-
Рис. 12.7. К вопросу о
разрешающей способно-
сти по Рэлею
критерий Рэлея
Раутиан Сергей Глебо-
вич (р. 1928) — советский
физик
разрешающая
способность
224
Дифракция света
щей системы и характеризует теоретический предел раз-
решения.
Реальная разрешающая способность определяется
шириной так называемого инструментального контура
прибора*3. Этот контур зависит от многих факторов:
дифракции на действующем отверстии (обычно отвер-
стии диспергирующей системы), ширины входной щели,
погрешностей оптики, разрешающей способности фото-
материалов. Кроме того, разрешающая способность су-
щественно изменяется при изменении относительных ин-
тенсивностей разделяемых линий.
Угловое расстояние между центральным дифракци-
онным максимумом и первым минимумом (при дифрак-
ции на одной щели) равно sintp=l/\ которое при ма-
лых ф можно записать ф=Ь/£>. По условию Рэлея на
этом же расстоянии должны находиться две близко рас-
положенные спектральные линии, отличающиеся на 6Х
по длине волны. Угловое расстояние между данными ли-
ниями бф=А/6, которое через угловую дисперсию дис-
пергирующей системы можно выразить в длинах волн
следующим образом: бф= (cf<p/dl)M. Отсюда для теоре-
тической разрешающей способности получаем:
Л = -8Г = 61' О2'11’
Рнс. 12.8. К выводу раз-
решающей способности
призмы
т, е. разрешающая способность спектрального прибора
определяется действующим отверстием в диспергирую-
щей системе и ее угловой дисперсией.
Разрешающая способность призмы. Для того, чтобы
получить выражение для разрешающей способности
призмы, воспользуемся формулой (12.11), в которой ве-
личину действующего отверстия b=BD выразим через
параметры призмы (рис. 12.8).
Если призма установлена при угле наименьшего от-
клонения (т. е. при симметричном ходе луча через приз-
му), угол падения луча на выходную грань 1*'=ф/2, а
угол преломления г'=(ф+ф)/2. Величину Ъ определим
через грань СВ:
h - ГЯгп« - а C0S W + фУ2
LDCOS 2 - 2 s.ni^2
имея в виду, что половина основания призмы а/2=
=СВ sinib/2.
__________
*> Инструментальным контуром (или аппаратной функцией) при-
бора называется функция f(l), определяемая свойствами спектраль-
ного прибора.
Разложение излучения в спектр.
225
Использовав выражение для Ь и формулу (12.4), для
угловой дисперсии получим, что разрешающая способ-
ность призмы равна
Л = (12.12)
Если диспергирующая система состоит из k призм, ее
разрешающая способность увеличивается в k раз: Л=
-ak(dnjdk).
Таким образом, теоретическая разрешающая способ-
ность призменной системы, определенная по критерию
Рэлея, возрастает в коротковолновой части спектра в
связи с ростом дисперсии показателя преломления. Кро-
ме того, она пропорциональна числу призм в дисперги-
рующей системе и величине основания призмы а.
Разрешающая способность дифракционной решетки.
В этом случае действующее отверстие b определяется
через базу дифракционной решетки (длину нарезанной
части), равную l=Nd, где ДО — общее число штрихов ре-
шетки; d — ее постоянная. Из рис. 12.9 видно, что дей-
ствующее отверстие b—Nd cos ф. Воспользовавшись вы-
ражением (12.8) для угловой дисперсии дифракционной
решетки, из формулы (12.11) получим
= (12.13)
т. е. теоретическая разрешающая способность спектраль-
ного прибора с дифракционной решеткой постоянна в
пределах спектра одного порядка.
Из формулы (12.13) следует, что увеличение разре-
шающей способности зависит от необходимости работать
в высоких порядках дифракции. При этом возникают
определенные трудности, связанные с перекрытием по-
рядков, так как под выбранным углом ф распростра-
няется излучение не только определенной длины волны X,
ко и других длин ВОЛН м, /-2, • • -, значения которых мож-
но определить из соотношения ds^=mA,=miXi,
тгк2}... .Так, например, в одном и том же направлении
будет распространяться излучение с длиной волны
6000 А (первый порядок), 3000 А (второй порядок),
2000 А (третий порядок) и т. д., что требует применения
дополнительных средств монохроматизации.
В отличие от дисперсии разрешающая способность
дифракционной решетки определяется общим числом
штрихов. Иными словами, чем чаще расположены штри-
хи дифракционной решетки, тем больше угол, на кото-
рый разводятся два близких по длине максимума излу-
чения, а чем большее общее число штрихов, тем они
резче. Если задано число штрихов на единицу длины
Рис. 12.9. К выводу раз-
решающей способности
дифракционной решетки
Дифракция света
(т. е. задана постоянная d), разрешающая способность
будет увеличиваться с увеличением длины рабочей об-
ласти. В некоторых решетках база I достигает 20 см.
Разрешающая способность современных дифракцион-
ных решеток достигает 100000—200000, что значитель-
но превосходит разрешающую способность призменных
спектральных приборов (для однопризменного прибо-
ра Л=5000 в длинноволновой части спектра и А=60000
в коротковолновой).
Разрешающая способность интерферометра. Выраже-
ние (12.13) можно использовать для оценки разрешаю-
щей способности интерферометра. В отличие от дифрак-
ционной решетки в интерферометре обычно имеют дело
с очень высокими порядками интерференции и относи-
тельно небольшим числом интерферирующих пучков.
Так, в интерферометре Майкельсона число интерфери-
рующих пучков ДО=2, а порядок интерференции опреде-
ляется числом длин волн, укладывающихся на разности
хода между интерферирующими лучами, и может быть
очень большим (ю~10®).
Чтобы получить выражение для разрешающей спо-
собности интерферометра Фабри —Перо, необходимо
оценить число интерферирующих пучков, которое, как
известно (см. § 7.3), зависит от коэффициента отражения
R зеркал. Порядок интерференции при нормальном па-
дении лучей иа интерферометр равен /п=2ЛД (см. фор-
мулу (6.3)). Полагая толщину h интерферометра по-
стоянной, получаем m6X-f-A6m=0 или Х/6Л=
Будем считать, что разрешение двух близких интерфе-
ренционных колец наступает при бт=г/л, где е —ши-
рина интерференционной полосы (см. формулу (6.14)).
Тогда разрешающая способность
4=-S" = raT = mf- (1214>
Здесь F=ny/?/(l—/?)—резкость интерференционной
полосы (см. формулу (6.15) и рис. 6.10).
Сравнивая формулы (12.13) и (12.14), видим, что ко-
личество интерферирующих пучков ДО численно равно
резкости F, т. е. эффективное число интерферирующих
световых пучков полностью определяется коэффициентом
отражения зеркал. Ранее (см. формулу (6.2)) для
Я=0,9 была сделана оценка F, которая оказалась рав-
ной примерно 30, т. е. число интерферирующих пучков в
этом случае должно быть около 30.
Увеличения разрешающей способности интерферомет-
ра Фабри—Перо можно добиться или путем увеличения
Разложение излучения в спектр
227
расстояния h между пластинами, или путем увеличения
коэффициента отражения /?. Однако увеличение Л ведет
к уменьшению области свободной дисперсии AX=V/2/i,
что имеет смысл лишь при исследовании узких спек-
тральных линий.
Наиболее целесообразным здесь является увеличение
R. В настоящее время многослойные диэлектрические
покрытия позволяют получить /?>0,99, однако неизбеж-
ные погрешности в изготовлении зеркал ограничивают
эти возможности. Нелараллельность отражающих по-
верхностей, а также их дефекты изменяют распределе-
ние интенсивности, создаваемое идеальным интерферо-
метром. Форма максимума в реальном интерферометре
будет определяться суммой максимумов, создаваемых
отдельными участками (можно считать параллельными)
его поверхности. Так как общее количество света, прихо-
дящегося на одно кольцо, одинаково как для идеально-
го, так и для реального интерферометра, то в последнем
случае ширина контура будет больше, а высота макси-
мума меньше, что приводит к снижению реальной раз-
решающей способности.
Общего критерия для выбора наиболее выгодного R
для данной поверхности привести нельзя, так как он за-
висит от конкретной задачи, но приблизительно можно
считать, что уширение из-за дефектов поверхностей
должно быть меньше ширины контура идеального интер-
ферометра с теми же покрытиями. Так, например, при
погрешности обработки пластинок около Х/50 обычно не
имеет смысла наносить покрытия с /?>0,9.
Светосила спектрального прибора. При любом спек-
тральном исследовании происходят значительные потери
света в результате поглощения, отражения или рассея-
ния в самом приборе. Кроме того, различные приемники
излучения регистрируют его разные фотометрические ха-
рактеристики. Так, фотопластинка регистрирует осве-
щенность в фокальной плоскости камерного объектива
спектрографа; в визуальном приборе освещенность созда-
ется на сетчатке глаза наблюдателя; фотоэлектрический
прибор регистрирует лучистый поток, достигающий при-
емника. Поэтому светосила спектрального прибора опре-
деляется величиной лучистого потока, прошедшего через
прибор и достигшего приемника.
Светосила спектрального прибора различается в за-
висимости от вида приемника излучения (фотопластин-
ка, глаз, фотоэлектрический приемник). С этой точки
зрения обычно рассматривают светосилу спектрографа,
спектроскопа или монохроматора. Кроме того, светосила
228
Дифракция света
прибора зависит от вида излучения, которое исследует-
ся прибором (линейчатый или сплошной спектр). В ка-
честве примера рассмотрим светосилу спектрографа (см.
рис. 12.1).
Пусть входная щель спектрографа шириной Si и вы-
сотой освещена излучением какого-либо источника и
обладает яркостью Въ Допустим, что лучистый поток,
проходящий через щель, заполняет без потерь действую-
щее отверстие спектральной системы диаметра Ь, а ко-
эффициент пропускания (или коэффициент прозрачно-
сти, который зависит от X) прибора есть Л- Будем рас-
сматривать освещенность на пластинке для некоторого
спектрального интервала ДХ. Тогда для лучистого пото-
ка, достигающего пластинки, имеем
(12.15)
Освещенность на пластинке равна
г ... _ л вхЛ62 Ml
х" /л ~ 4
(12.16)
где /2 и — высота и ширина изображения щели в фо-
кальной плоскости камерного объектива, когда е=90°.
В соответствии с увеличением фокусирующей системы
спектрографа высота изображения щели будет равна
/г-ММО- Формулу для ширины изображения щели
необходимо дополнить членом, характеризующим ушире-
ние изображения за счет спектрального интервала ДХ.
В этом случае S2=Si(Mi)"HX(<WX), где dlfdk — линей-
ная дисперсия. Тогда вместо (12.16) получаем
я ВЛ\Ь* »
= Т —Si + (dtjdk} . (12.17)
Из выражения (12.17) следует, что освещенность на
фотопластинке зависит от ширины щели даже для от-
дельных спектральных линий. Рассмотрим некоторые
предельные случаи:
а) щель спектрографа значительно уже уширения
изображения за счет спектрального интервала ДХ.
В этом случае величиной Sj в знаменателе формулы
(12.17) можно пренебречь и освещенность Е>, растет про-
порционально ширине щели;
б) если расширить щель до такого положения, когда
ширина Sj щели намного больше уширения, то в выра-
жении (12.17) можно пренебречь вторым членом в зна-
Разложение излучения в спектр
229
менателе и для освещенности Ек получить постоянное
значение, не зависящее от ширины щели.
Эти два случая представлены на рис. 12.10 кривой 2.
Чем меньше ДА, тем быстрее при увеличении ширины
щели достигается постоянная величина освещенности;
в) если спектральный интервал ДА настолько велик
(сплошной спектр), что величина Si в знаменателе фор-
мулы (12.17) никогда не превзойдет второй член, то
освещенность Е\ будет непрерывно возрастать с увеличе-
нием ширины щели (кривая 3 на рис. 12.10).
Таким образом, для правильного воспроизведения ин-
тенсивности спектральной линии на фотопластинке не-
обходимо выбирать такую ширину щели, чтобы выйти
на горизонтальный участок кривой (см. рис. 12,10). Боль-
шое увеличение ширины щели не приводит к повышению
освещенности для спектральных линий, но в то же время
сильно возрастает интенсивность сплошного фона.
Познакомившись с оптическими характеристиками
спектральных приборов, можно более конкретно рас-
смотреть, какую роль играет спектральный прибор при
разложении излучения на монохроматические составля-
ющие. При этом сравним экспериментальный (физиче-
ский) способ разложения излучения на сумму монохро-
матических волн с известной математической операцией
получения спектра произвольной функции по методу
Фурье.
Для начала вернемся вновь к понятиям «монохрома-
тический» и «белый» свет. Электромагнитное излучение,
характеризующееся определенной частотой или длиной
волны, принято называть монохроматическим. Теорети-
чески его можно представить в виде некоторой периоди-
ческой функции, т. е. функции, удовлетворяющей усло-
вию /(t+пТ) =f(t) при любых целых значениях п, где
7 — период функции f(t). Отсюда следует, что периоди-
ческая функция f(t) должна изображаться безграничной
кривой, т. е. процесс излучения должен иметь бесконеч-
ную длительность. Между тем из опытов по интерферен-
ции света при большой разности хода известно, что при
элементарном акте излучения испускается не бесконеч-
ная, а ограниченная последовательность волн.
По квантовой теории для возникновения строгого мо-
нохроматического излучения необходимо, чтобы уровни
энергии, между которыми осуществляется переход с
излучением, были идеально узкими. Однако даже в слу-
чае уединенного, не подвергающегося внешним воздейст-
виям атома энергетические уровни имеют ширину, от-
Рис. 12.10. Изменение ос-
вещенности на фотопла-
стинке в спектрографе
при изменении ширины
входной щели;
I— для бесконечно тонкой
спектральной линии; 2 —для
спектральной линии конеч-
ной ширины; 3 — для сплош-
ного спектра
12.4
Разложение
излучения
спектр
монохроматическое
излучение
230
Дифракция света
Рис. 12.11. Преобразова-
ние светового импульса в
совокупность монохрома-
тических волн при его
Прохождении через ди-
фракционную решетку
личную от нуля, и излучение атома за конечный проме-
жуток времени будет размыто в пределах некоторого ДХ.
Отсюда следует, что излучение не может быть моно-
хроматическим по самой своей природе. Однако на опы-
те, представляя узкие спектральные линии синусоидаль-
ными волнами одной частоты, а белый свет —набором
таких волн, удается дать общее объяснение многим
экспериментам, для чего монохроматический свет при-
ходится представлять и группой волн. Например, в ин-
терферометре Майкельсона представления о чисто сину-
соидальной волне достаточно, чтобы объяснить образо-
вание интерференционных колец и соотношение их диа-
метров. Однако для объяснения изменения видимости
интерференционных полос с изменением разности хода
этого уже недостаточно.
Возможность представления монохроматического све-
та в виде синусоидальной волны и группы волн постави-
ла в свое время вопрос о том, как представлять белый
свет: или набором цугов чисто синусоидальных волн,
или состоящим из групп волн. В дальнейшем было по-
казано, что оба способа представления белого света эк-
вивалентны. При помощи теоремы Фурье импульс мож-
но разложить на ряд простых гармонических волн. По-
этому белый свет можно представить как в виде им-
пульсов, так и в виде набора синусоидальных волн.
Однако, пользуясь представлением белого света в ви-
де набора гармонических волн, следует помнить, что
экспериментальные установки не могут создавать беско-
нечно длинный цуг волн одной частоты. На практике мы
всегда разлагаем свет на группы волн, а не на бесконеч-
но длинные цуги волн. Даже в лазерных источниках све-
та создаются хотя и длинные, но конечные цуги волн.
Выше было дано определение степени монохроматич-
ности света (см. § 11.3) как отношение средней длины
волны излучения в интервале ДХ к величине этого интер-
вала, т. е. Х/ДХ. Степень монохроматичности зависит от
свойств спектрального прибора и в первую очередь от
его разрешающей способности. Поэтому анализ излуче-
ния с помощью спектрального прибора может быть в
большей или меньшей степени совершенным. Это зави-
сит от того, какой прибор был использован для преоб-
разования импульса. Механизм такого преобразования
хорошо иллюстрируется на примере дифракционной ре-
шетки.
Пусть произвольный световой импульс падает нор-
мально на дифракционную решетку (рис. 12,11). Каждая
щель решетки одновременно становится источником
Разложение излучения в спектр
231
возмущения. Рассмотрим, какое действие эти возмуще-
ния оказывают в точке В, расположенной по направле-
нию, задаваемому углом ф. Отдельные возмущения, иду-
щие из щелей, будут приходить в точку В не одновре-
менно, а периодически через промежутки времени Т=
= (d sin ф)/с (где d— период решетки; с — скорость све-
та), причем для каждого угла ф будет свой период
воздействия Т, Чем больше щелей имеет решетка, тем
более длительным будет периодическое воздействие
в точке В. В случае идеальной дифракционной решетки,
обладающей бесконечным числом щелей, т. е. бесконеч-
ной разрешающей способностью (см. формулу (12.13)),
теоретическое воздействие будет продолжаться неограни-
ченно долго. Такое периодическое воздействие по теореме
Фурье может быть представлено как совокупность гар-
монических колебаний с периодами 7, Т/2, Т/3, ...
и амплитудами, зависящими от формы и длительности
импульса и постоянной дифракционной решетки. Это
разложение означает, что в точку В как бы приходят
монохроматические волны, длины которых равны соот-
ветственно Ai = c7=d sin <р; сТ/2= 1 /2d sin ф;....
Таким образом, по направлению ф будет наблюдаться
совокупность монохроматических световых волн, длины
которых удовлетворяют условию ^5тф=/П% (где ш~
целое число), т. е. условию, определяющему положение
главных максимумов дифракционного спектра. По на-
правлению ф=0 воздействия от всех щелей приходят од-
новременно, никакой периодичности не наблюдается, и
нулевой максимум остается «белым». Эти рассуждения
находятся в соответствии с теорией дифракционных ре-
шеток и показывают механизм воздействия дифракцион-
ной решетки на световой импульс. Причем здесь на пер-
вый план выдвигается физическая картина преобразова-
ния импульса в периодический процесс вместо математи-
ческой операции разложения функции, описывающей им-
пульс, на гармонические составляющие.
Следует отметить, что в данном случае при рассмот-
рении получившегося периодического воздействия нам
все же пришлось прибегнуть к математическому разло-
жению периодической функции на синусоиды. Можно
для этой цели использовать и синусоидальную дифрак-
ционную решегку. До сих пор мы имели дело с решет-
кой, состоящей из периодически чередующихся прозрач-
ных и непрозрачных полосок. Другими словами, коэффи-
циент прозрачности решетки т>, меняется вдоль решетки
периодически скачками от 0 до 1 (рис. 12.12,а). Допу-
стим, что коэффициент прозрачности решетки изменяется
Рис, 12.12. Зависимость
коэффициента прозрачно-
сти решетки от коорди-
наты X:
а — щелевая решетка; б —
синусоидальная решетка
232
Дифракция света
вдоль координаты х по синусоидальному закону
Tjl =sin (2n/d)x (где d — постоянная решетки), т. е.Тх
принимает значения от 4-1 до —1 (рнс. 12.12,6). Смысл
отрицательных значений тх (отрицательных амплитуд
проходящего света) состоит в том, что фазы волны с по-
ложительными и отрицательными амплитудами противо-
положны. Следовательно, такая решетка имеет ампли-
тудно-фазовый характер: амплитуда на половине про-
странственного периода изменяется от 1 до 0, а на вто-
рой половине она возрастает от 0 до 1, но фаза изме-
няется на обратную.
Обратимся вновь к рис. 12.11. При синусоидальной
решетке до точки В с течением времени доходят возбуж-
дения от точек, прозрачность которых меняется по за-
кону sin(2n/d)x, причем х нарастает пропорционально
времени так, что за время Т значение х изменяется на d,
т. е. x=(d/T)t. Таким образом, световое возмущение
в точке В меняется по закону
2л 2л d . . 2л .
sin X = Sill —г -Тр- t = Sin -у-1,
a di i
где T=(d sin ф) /с.
Если решетка бесконечно протяженная (т. е. имеет
бесконечно большую разрешающую способность), такое
синусоидальное возбуждение не ограничено во времени
и представляет собой строго монохроматический свет
периода Т или длины волны ’K=cT=d sin <р.
Значит, условие образования максимума в случае си-
нусоидальной решетки имеет вид
4з1пф=Х (12.18)
вместо условия d sin ф=тХ, характеризующего обычную
дифракционную решетку. Итак, дифракция на синусо-
идальной решетке приводит к образованию максимумов
только первого порядка (т=±1) в отличие от обычных
решеток, где образуются максимумы различных поряд-
ков. Импульс произвольной формы, падая на синусо-
идальную решетку периода d и бесконечной разрешаю-
щей способности, преобразуется в совокупность монохро-
матических волн, каждая из которых распространяется
по своему направлению ср, определяемому условием
(12.18). Соотношение интенсивностей (амплитуд) этих
отдельных монохроматических волн зависит от вида им-
пульса. Если решетка ограничена, длительность отдель-
ных цугов, идущих по направлению ф, сокращается и
выделенные из импульса волны перестают быть строго
монохроматическими. В этом случае они определяются
Разложение излучения в спектр
233
как видом импульса, так и числом штрихов решетки, от
которого зависит ее разрешающая способность.
Следует подчеркнуть, что для спектрального прибора
бесконечно большой разрешающей способности вид
спектра однозначно определяется формой импульса. Об-
ратное заключение несправедливо: зная спектр, нельзя
установить форму импульса. Действительно, данные о
распределении энергии импульса по частотам позволяют
воспроизвести только квадраты коэффициентов отдель-
ных элементов ряда (или интеграла), определяющие ин-
тенсивности соответствующих линий в спектре. Однако
на форму импульса влияют значения не только этих ко-
эффициентов, но и фазы отдельных компонентов. Поэто-
му импульсы разнообразной формы могут соответство-
вать одним и тем же значениям коэффициентов Фурье и,
следовательно, давать одно и то же спектральное разло-
жение. Таким образом, задача о разложении данного
импульса в спектр при помощи конкретного прибора ре-
шается однозначно. Воспроизведение же исходного им-
пульса по виду спектра, даже полученного с помощью
прибора бесконечной разрешающей способности, являет-
ся задачей неопределенной. С этой точки зрения нельзя,
например, утверждать, что белый свет возникает из семи
цветов, хотя разложение солнечного света в спектр (ра-
дуга) — явление, часто наблюдаемое в природе.
В заключение отметим, что задача разложения в
спектр произвольной непериодической функции f(t) ре-
шается математически представлением ее в виде инте-
грала Фурье (см. § 1.8). Физически же операция полу-
чения непрерывной суммы бесконечно большого числа
синусоидальных компонентов сводится к регистрации
прибором сплошного спектра.
Раздел III
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Глава 13
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПОЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Законы волновой оптики позволяют решать
задачи распространения света не только в од-
нородной среде, но и в совокупности различ-
ных сред, ограниченных теми или иными по-
верхностями, т, е. в любой оптической системе.
Однако во многих вопросах, имеющих важное
Практическое значение, в частности в вопросах
формирования светового лучка (светотехника),
Образования оптического изображения (олто-
техннка) в некоторых других, решение может
быть получено более простым путем — с по-
мощью представлений геометрической (или лу-
чевой) оптики.
В основе геометрической оптики лежат сле-
дующие законы:
а) прямолинейного распространения света
В однородной среде;
б) независимого распространения различ-
ных световых пучков;
в) отражения света;
г) преломления света на границе двух
Прозрачных сред.
Согласно закону прямолинейного распро-
странения свет между двумя точками в одно-
родной среде распространяется по прямой, сое-
диняющей эти точки, Данный закон неприме-
ним, когда на пути лучей света находится
преграда, например кран непрозрачного экра-
на или диафрагма с очень малым отверстием.
При этом происходит дифракция света. Боль-
шинство оптических систем имеет большие попе-
речные размеры по сравнению с длиной волны,
поэтому дифракцию можно не учитывать н счи-
тать, что свет распространяется прямолинейно.
Однако в теории оптических приборов всегда
следует помнить об этом явлении, так как зна-
чительное диафрагмирование оптических систем
может вызвать дифракцию, которая искажает
изображение.
В геометрической оптике предполагается,
что отдельные пучки лучей при встрече или
пересечении не влияют друг на друга (закон
независимости распространения пучков). Од-
нако при определенных условиях возникает яв-
ление интерференции, перераспределяющее ин-
тенсивность в точках изображения, даваемого
оптической системой, и его приходится учи-
тывать.
Законы отражения и преломления (см.
§ 2.4) имеют также важное значение. Во-пер-
вых, они показывают, что лучи при прохожде-
нии через оптическую систему всегда лежат в
плоскости, образованной падающим лучом и
нормалью. Во-вторых, они устанавливают чис-
ленные соотношения координат лучей прн пе-
реходе от одной поверхности к другой, позво-
ляя тем самым рассчитать ход луча через лю-
бую сложную оптическую систему.
Основываясь на данных законах, можно
построить математическую теорию геометриче-
ских свойств распространения света. Такая
теория позволяет объяснить образование изо-
бражений в оптических приборах и разрабо-
тать конструкции этих приборов, Теория абер-
раций, методика расчета оптических систем
также базируются на положениях геометриче-
ской оптики. Законы геометрической оптики
используются прн измерении оптических
свойств приборов и изучении их погрешностей.
Таким образом, геометрическая оптика явля-
ется теоретическим фундаментом оптических
приборов.
0.1
Основные
определения
Световой луч
Геометрическая оптика оперирует понятием светово-
го луча. Представление о световом луче может быть по-
лучено при рассмотрении реального светового пучка, из
которого с помощью диафрагмы выделяется узкий па-
раллельный пучок. Чем меньше диаметр отверстия в диа-
фрагме, тем уже будет выделяемый пучок, и в пределе,
переходя к отверстиям сколь угодно малым, можно по-
лучить световой луч в виде геометрической линии, если
бы не влияние дифракции. Известно, что расширение ре-
Основные законы и положения геометрической оптики
235
алыюго светового пучка, пропущенного через диафрагму
размером Ь, определяется углом дифракции ср=Х/Ь (см.
§9.1). Только в предельном случае, когда расши-
рения светового пучка наблюдаться не будет и можно
говорить о световом луче как о геометрической линии,
направление которой совпадает с направлением распро-
странения световой энергии. Таким образом, световой
луч есть абстрактное математическое понятие, а не фи-
зический образ, а геометрическая оптика есть лишь пре-
дельный случай волновой оптики, соответствующий исче-
зающе малой длине световой волны.
В геометрической оптике под светящейся точкой по-
нимается источник излучения, не имеющий размеров.
Если лучи выходят из одной точки, являющейся верши-
ной расходящегося пучка лучей, такой пучок называется
гомоцентрическим, т. е. имеющим общий центр (рис.
13.1). Если после отражения и преломления этот пучок
превращается в пучок лучей, сходящихся в точку, такой
пучок также является гомоцентрическим, а его центр
представляет собой изображение светящейся точки. Лю-
бой протяженный предмет состоит из совокупности от-
дельных светящихся точек, поэтому идеальное изображе-
ние также будет состоять из совокупности точек, где схо-
дятся гомоцентрические пучки лучей.
Все пространство, в котором происходит распростра-
нение лучков лучей, принято делить на две части. Часть
пространства, s котором находятся предметы или объек-
ты и пучки лучей, падающие на оптическую систему (не
испытавшие преломления и отражения), называется про-
странством предметов; часть пространства, в котором
находятся пучки лучей, вышедшие из оптической систе-
мы (преломленные и отраженные) и, следовательно, изо-
бражения, называется пространством изображений.
Если пучок лучей после прохождения оптической си-
стемы сохраняет гомоцентричность, каждая точка источ-
ника света (предмета) дает только одну точку изобра-
жения. Такие изображения называются точечными, или
стигматическими.
В геометрической оптике действует принцип обрати-
мости (или взаимности} световых лучей, согласно кото-
рому свет в прямом и обратном направлениях распрост-
раняется по одной и той же траектории, поэтому изобра-
жение можно рассматривать как источник, а источ-
ник—как изображение. При стигматическом изображе-
нии центры пучков называются сопряженными точками
той оптической системы, в которой происходит преобра-
зование расходящегося гомоцентрического пучка в схо-
Рис. 13.1. Гомоцентриче-
ские пучки лучей:
а — сходящийся; б — расхо-
дящийся
светящаяся точка
гомоцентрический
пучок лучей
пространство предметов
пространство
изображений
точечные
(стигматические)
изображения
принцип обратимости
(взаимности)
сопряженные точки
236
Основы геометрической оптики
сопряженные лучи света
сопряженные пучки света
волновая поверхность
фокальные линии
дящийся. Соответственно рассматриваемые лучи и пучки
света также называются сопряженными.
Поверхность, нормальная к лучам, является волно-
вой поверхностью. В этом смысле такая поверхность
представляет собой чисто геометрическое понятие и не
имеет того содержания, как в волновой оптике.
Волновая поверхность гомоцентрического пучка в од-
нородной н изотропной средах является, очевидно, сфе-
рической поверхностью. Все реальные оптические систе-
мы в той или иной мере деформируют сферическую вол-
новую поверхность и после прохождения пучка лучей че-
рез систему волновая поверхность отступает от сферы,
вследствие чего нарушается гомоцентричность пучка лу-
чей и стигматичность изображения. Лучи после выхода
из системы не пересекаются в одной точке.
астигматический
пучок лучей
астигматическая
разность
Рис, 13,2, Астигматический пучок лучей
Пусть на преломляющую поверхность АВВ'А' пада-
ет гомоцентрический пучок лучей (рис, 13.2). Кривизна
поверхности в направлениях GH и DE неодинакова: в
направлении GH кривизна больше. Вследствие этого лу-
чи, падающие в точки G и Н, после преломления пере-
секутся в точке а, расположенной ближе к поверхности.
Лучи, падающие в точки D и Е, после преломления со-
берутся в точке Ь. В результате получим два изображе-
ния а'а" и Ь'Ь" в виде прямых отрезков, называемых фо-
кальными линиями и расположенных во взаимно перпен-
дикулярных направлениях. Пучок лучей такого строения
называется астигматическим. Отрезок ab, т. е. расстоя-
ние между элементами фокальных линий, называется
астигматической разностью. Когда астигматическая раз-
ность равна нулю, пучок лучей становится гомоцентри-
ческим. В широком смысле слова астигматическим назы-
вается пучок, лучи которого после выхода из оптической
системы не пересекаются в одной точке.
13.1 В оптически однородной среде, т. е, в среде, все точки
Принцип Ферма которой характеризуются одним и тем же значением по-
казателя преломления, свет затрачивает на прохожде-
Основные законы и положения геометрической оптики
237
ние от одной точки к другой по своему действительному
пути меньше времени, чем потребовалось бы ему для
прохождения между теми же точками любым другим пу-
тем, Это утверждение носит название принципа Ферма
(1660 г,). Он справедлив для лучей, отражающихся и
преломляющихся на плоских поверхностях. Исследова-
ния показали, что принцип Ферма в той форме, в какой
он был высказан самим автором, не всегда выполняется
для лучей, преломляющихся или отражающихся от изо-
гнутых поверхностей. В современной формулировке прин-
цип Ферма гласит: свет распространяется по пути, опти-
ческая длина которого экстремальна, т. е. она является
либо минимальной из всех возможных, либо максималь-
ной, либо стационарной.
Известно, что оптическая длина пути I (см. § 4.6)
равна произведению показателя преломления среды п на
геометрическую длину $ светового луча в данной среде:
l=ns. Это произведение еще называют приведенной дли-
ной луча.
Если среда неоднородна, геометрическую длину луча
надо разбить на такие малые отрезки ds, чтобы на про-
тяжении каждого из них показатель преломления можно
было бы считать постоянным, Тогда элементом оптиче-
ской длины пути будет величина dl = nds, а вся оптиче-
ская длина пути между точками А и В будет равна
в
l=\nds. (13.1)
А
Условие экстремальности оптической длины пути сво-
дится к требованию, чтобы первая вариация от интегра-
ла равнялась нулю:
в
&\nds = Q. (13.2)
л
Рассмотрим несколько частных случаев, которые
убеждают в справедливости принципа Ферма.
Для однородной среды этот принцип приводит к за-
кону прямолинейного распространения света согласно
геометрической аксиоме о том, что прямая есть кратчай-
шее расстояние между двумя точками. При переходе
света через границу различных сред принцип Ферма да-
ет законы отражения и преломления.
Покажем, что при преломлении света на плоской гра-
нице двух однородных сред оптический путь минималь-
ный.
принцип Ферма
Ферма (Fermat) Пьер
(1601—1665) —француз-
ский математик и физик
приведенная длина луча
238
Основы геометрической оптмки
Рис. 13.3. К выводу зако-
на преломления из прин-
ципа Ферма
Рис. 13.4. К принципу
Ферма:
оптическая длина пути экст-
ремальна
Пусть луч АОВ (рис. 13.3) преломляется в точке О,
положение которой на прямой CD=p определяется от-
резком СО=х. Для пары точек А и В длина прямой р
постоянна.
Оптическая длина пути луча АОВ равна / = М0-Ь
-\-п.2,ОВ, где П1 и п2 — показатели преломления первой
и второй среды соответственно. Определив АО и ОВ, по-
лучим
/ /Л2 + ? 4- пг //if+’(p—х)2, (13.3)
где hi и Л2 — длины перпендикуляров АС и BD. Условие
экстремальности оптического пути I заключается в том,
что dl[dx=Q. Дифференцируя выражение (13.3), нахо-
дим, что
" -Д1_=
dx /й2 + х* V'^-Hp-x)’
Из рнс. 13.3
х . . р — х
—... = sin г, ——— = sin г.
У л24-х» У й2-Нр-х)|
(13-4)
Тогда из выражения (13.4) имеем щ sin i=n2sin г,
т. е. путь, удовлетворяющий условию экстремальности,
удовлетворяет и закону преломления. По знаку второй
производной легко показать, что этот путь минимальный.
Аналогичным образом можно рассмотреть и задачу
об отражении света.
Случаю стационарности длины оптических путей соот-
ветствует отражение от вогнутой зеркальной поверх-
ности, имеющей форму эллипсоида вращения. Если свет
исходит из точки Pt, лежащей в одном из фокусов эллип-
соида (рис. 13.4), при отражении в любой точке О зер-
кала он попадает во второй фокус Р2. Из известного свой-
ства эллипсоида, что сумма PiOA-OP2 есть постоянная
для всех положений точки О на поверхности эллипсоида,
следует, что длина пути PiOP2 равна длине любого дру-
гого пути Р1О1Р2.
Проведем две вогнутые поверхности (аа' и bb') раз-
ной кривизны, касательные в точке О к эллипсоиду.
Если кривизна поверхности bb' меньше, чем кривизна по-
верхности эллипсоида, сумма оптических путей от Pj к О
и от О к Р2 меньше пути, проходящего через точку О',
расположенную на bb' вблизи точки О. Если кривизна
поверхности аа' больше, чем кривизна поверхности эл-
липсоида, путь от Pi к Р2 через О оказывается макси-
мальным. В любом случае условие экстремальности
(13.2) удовлетворяется.
Основные законы и положения геометрической оптики
239
Пусть две однородные прозрачные среды с показате-
лями преломления nt и п2 разделены сферической поверх-
ностью с радиусом кривизны R. Проведем оптическую
ось, представляющую собой прямую, соединяющую точ-
ку А с центром С сферической поверхности (рис. 13.5).
Направление луча, исходящего из точечного объекта Ль
задается углом -их. Найдем формулу, которая определит
положение точки Аг, являющейся изображением точки А.
При этом будем рассматривать только лучи, составляю-
щие с оптической осью столь малые углы, что практи-
чески можно считать AiMzsAiO и AzM~ А2О. Такие лучи
называются параксиальными, или нулевыми.
13.3
Преломление лучей
сферическом
поверхностью
Рис. 13.5. Преломление параксиальных лучей на сферической поверх-
ности
параксиальные лучи
Воспользуемся следующим правилом знаков: длины
отрезков будем отсчитывать от вершины О преломляю-
щей поверхности и называть их положительными, если
они направлены в сторону распространения света. А уг-
лы будут положительными, если они откладываются по
часовой стрелке.
Пусть луч АХМ падает на сферическую поверхность
под углом l Сопряженный ему луч МА2 (угол преломле-
ния г) пересечет оптическую ось в некоторой точке А-
Обозначим АХО=—АО=+ог; OC=R (радиус
сферы).
Из треугольников МАС и СМА2 по теореме синусов
имеем
АС _ — gt 4- R _ sin Г МА, _ аг______sin ф
Ах/И — —Qi sing? ’ САг “ й2 — R ~~ sin г
или
— Q] -f- R аг _ sin i _
—at а2 —R sin г — ‘
240
Основы геометрической оптики
«нулевой»
инвариант Аббе
уравнение
нулевого луча
Проведя соответствующие преобразования, получим
Л1(~^ = = ^-5)
Выражение (13.5) показывает, что произведение
n(l/a—1//?) при преломлении сохраняет свою величину
Q. Его называют «нулевым» инвариантом Аббе. Форму-
лу (13.5) часто используют в ином виде:
TIj _ ^2 '—
о2 at ~ R
Аббе (Abbe) Эрнст Карл
(1840—1905) — немец-
кий физик-оптик
Выражение (13.6) называется уравнением нулевого
луча.
Рис. 13.6. Фокусы сферической поверхности
При заданном положении объекта А| (задано рассто-
яние flj из формулы (13.6) можно найти длину а2 неза-
висимо от значения угла и, т. е. при малых углах и все
лучи, исходящие из точечного объекта Ait после прелом-
ления пересекаются в одной точке А2. Для параксиаль-
ных лучей гомоцентрический пучок после преломления на
сферической поверхности остается гомоцентрическим и
точка А2 является стигматическим изображением точеч-
ного объекта
Ограничившись рассмотрением параксиальных лучей,
найдем место, где соберется после преломления на сфери-
ческой поверхности пучок параллельных лучей. Для это-
го положим 0] = 00, тогда по формуле (13.6) получим
0, = ^=/,, (13.7)
а при а2=оа
в, =-----(13-8)
1 Я2-Лх
Величины fi и f2 являются постоянными отрезками,
характеризующими данную преломляющую поверхность,
Основные законы н положения геометрической оптики
241
и называются передним (fi) и задним (f2) фокусным рас-
стоянием. Точки, где пересекаются после преломления
лучи, падавшие на сферическую поверхность параллель-
ным лучком, называются передним (Ff) и задним (Г2)
фокусом (рис. 13.6).
Параллельные лучи, идущие справа налево вдоль пря-
мой NN' (см. рис. 13.6), сойдутся в фокусе fi, располо-
женном на прямой NN' и лежащем на расстоянии fi от
преломляющей поверхности. Геометрическое место точек
переднее
фокусное расстояние
заднее
фокусное расстояние
Рис. 13.7. Определение положений объекта А( и изображения Аг с
помощью отрезков Xj и Хг
передний фокус
задний фокус
передняя
фокальная поверхность
Fi,... образует сферическую поверхность радиуса
Я+fi, концентрическую с преломляющей сферой. Эта
поверхность носит название передней фокальной поверх-
ности. Аналогично можно построить заднюю фокальную
поверхность радиуса ft—R. Малые участки этих поверх-
ностей (для параксиальной области) могут быть приняты
за плоскости (фокальные).
Сравнивая выражения (13.7) и (13.8), можно найти
соотношения между фокусными расстояниями:
№=-^1. (13.9)
Из формулы (13.9) видно, что fj и f2 пропорциональ-
ны показателям преломления сред, в которых лежат фо-
кусы. Знак минус в правой части (13.9) указывает на то,
что фокусные расстояния имеют разные знаки, т. е. они
лежат по разные стороны от преломляющей поверхности.
Формулу (13.6) можно преобразовать к другому виду.
Разделив обе части формулы на (nz—n^/R-.
1 n2R 1 rijR _ j
flg ^2 ^1 ^2
и использовав (13.7) и (13.8), получим
/1/014-/2/02=1- (13.10)
Формуле (13.10) можно придать еще один вид.
Воспользуемся рис. 13.7 и будем отсчитывать отрезки,
задняя
фокальная поверхность
242
Основы геометрической оптики
определяющие положение точек Д и Д, не от вершины О преломляющей поверхности, а соответственно от перед- него и заднего фокусов Fi и F2. Обозначим эти отрезки через Xi и х2, тогда получим —хк fl2=/2+x2. Подставляя значения а4 и а2 в (13.10), находим -J1 L—Ь— = 1. fi + *i fi+*> После простых преобразований получим соотношение
• Wt-Мь (13.11)
формула Ньютона которое называют формулой Ньютона. Формулы (13.6), (13.10) и (13.11) эквивалентны друг другу и каждая из них позволяет по положению точен-
ного объекта найти, положение его изображения. Результаты, полученные для сферической поверхно- сти, могут быть применены и для сферического зеркала, для чего достаточно, например, в формуле (13.6) поло-
жить л2=—пь В таком случае имеем
формула сферического зеркала (,ЗЛ2) т. е. известную формулу сферического зеркала. Фокусное расстояние такого зеркала определится по формуле (13.7), из которой следует, что F=/?/2. Тогда формула (13.12) принимает вид _L + _L= I (13.13) <Г| аг г ’ Случаи вогнутого и выпуклого зеркала отличаются лишь знаком /?. Легко установить, что фокус вогнутого зеркала действительный, а фокус выпуклого —мнимый. Для плоского зеркала /? = оо и, следовательно, — Oj = = 02, т. е. изображение точки в плоском зеркале мнимое и симметрично расположенное.
Ш Увеличение. Уравнение Лагранжа — Гельмгольца Выше было установлено, что точечное изображение имеет место в том случае, когда оно получается с по- мощью параксиальных лучей. Покажем теперь, каким образом изображаются предметы в виде отрезка прямой, перпендикулярного к оптической оси. Для этого обратим- ся к рис. 13.8, где Л — точечный объект, а Д — его изо- бражение. Повернем оптическую ось ДС вокруг центра кривизны С на малый угол ф, тогда точка Д займет по- ложение Вь а ее изображение — положение В2. Все точ- ки дуги ДВ! отобразятся точками, находящимися на дуге Лаба- Вели дуги ДВ1 и Л2В2 малы, их можно заме-
Основные законы л положения геометрической оптики
243
нить отрезками касательных Л1В1 и А2В2, перпендикуляр-
ных к оптической оси.
Каждая точка изображения является местом пересе-
чения всех лучей, исходящих из сопряженной точки объ-
екта. Для нахождения этого места достаточно найти пе-
ресечение двух любых лучей. Чтобы найти, например,
Лагранж (Lagrange)
Жозеф Лун (1736—
1813) —французский ма-
тематик и механик
Рис. 13.8. Изображение малых отрезков при преломлении на сфери-
ческой поверхности
Гельмгольц (Helmholtz)
Герман Людвиг Ферди-
нанд (1821—1894) — не-
мецкий физик, матема-
тик, физиолог и психолог
Бессель (Bessel) Фрид-
рих Вильгельм (1784—
1846) — немецкий астро-
ном
Рис. 13.9. К выводу уравнения Лагранжа —Гельмгольца
изображение точки Bi (объект в виде отрезка ДВ], пер-
пендикулярного к оптической оси), воспользуемся сле-
дующими двумя лучами, направления которых после пре-
ломления на сферической поверхности известны (рис.
13.9):
1) лучом BtMt параллельным оптической оси; после
преломления он пройдет через фокус F&
2) лучом BiFiN, проходящим через фокус Л; после
преломления он пойдет параллельно оптической оси.
Точка пересечения В2 этих двух лучей представляет
собой изображение точки Bi, а отрезок А2В2 является
изображением отрезка Л1ВЬ
244 Основы геометрической оптики
• Обозначим длину объекта а длину изобра-
линейное (поперечное) увеличение • жения Л2В2=1/2- Отношение линейных размеров изобра- жения к линейным размерам объекта называется линей- ным, или поперечным, увеличением l/=f=S- (134) Условимся отрезки, перпендикулярные к оптической оси, считать положительными, если они расположены над осью, и отрицательными, если они лежат ниже оси. Тогда увеличение положительно, когда изображение прямое, и отрицательно, если изображение перевернутое. Из треугольников Л1В1О и Л2В2О (см. рис. 13.9) имеем tgr=y2/a2, где fli=4i0; а2=А2О. При малых размерах и у2 gi ~ sin i _ пг tgr ~ sin г “ /ij ’ тогда = Или = (13.15) 01 Of yt пг 01 v ' Для преломляющей системы П\ и п2 всегда положи- тельны, так что знак У определится знаком отношения Gj/fli. Для расположения, соответствующего действитель- ному изображению щ и а2, знаки будут разные, т. е. У отрицательно, и изображение перевернутое. Для мнимых изображений — наоборот. Для зеркал И]/л2=-1, тогда V--a2/ai. В случае действительного изображения aj и а2 имеют одинаковые знаки (V<0) и изображение перевернутое. При мнимом изображении знаки и а2 различны (V>0) и изобра- жение прямое. Для плоского зеркала aj=—а2 (У=1) и изображение прямое в натуральную величину. Выражение для линейного увеличения можно пре- образовать к другому виду. Проведем из точки V (см. рис. 13.9) перпендикуляр NOi на оптическую ось. Длина NOt равна длине изображения, т. е. — у2. Тогда из тре- угольников AiBiFi и NOiFi имеем (13.16) где fi^FiOc, xt=AiFi. На основании формулы Ньютона (13.11) выражение (13.16) можно привести еще к одному виду: V=x2/f2. (13.17) Кроме линейного увеличения V система может харак-
угловое увеличение теризоваться угловым увеличением 1Г, которое опреде-
Основные законы и положения геометрической оптики
245
ляется как отношение тангенсов углов и2 и Ui (см.
рнс. 13.9):
ua/tg Hi—ai/a2. (13.18)
На основании формул (13.15) и (13.18) можно уста-
новить связь между линейным и угловым увеличением:
VW=nJn2. (13.19)
Для обычно встречающегося случая, когда предмет
и изображение расположены в одной среде (Л1=П2),
имеем VIF=1, т. е. линейное увеличение обратно пропор-
ционально угловому.
Рассмотрим еще так называемое продольное увели- ф
чение. Пусть объект смещается вдоль оптической оси па
малый отрезок dxi, тогда изображение сместится на не- продольное увеличение
который отрезок dx2. Продольным увеличением и назы-
вается отношение
u=dx2ldxi. (13.20)
Продифференцируем формулу Ньютона (13.11), тогда
= 0. Отсюда продольное увеличение (13.20)
равно
u=dx2ldxi-—xilxt. (13.21)
Найдем связь между линейным, угловым и продоль-
ным увеличением. Для этого воспользуемся соотноше-
ниями (13.16) и (13.17), по которым V2=fiX2/f2Xj. Исполь-
зуя формулу (13.9), имеем
Р =(13.22)
Х1 л2
На основании выражений (13.21) и (13.22) запишем
u-^n^V2. Наконец, использовав соотношение (13.19),
получим связь между V, U" и н:
u=VJW. (13.23)
Поперечное увеличение имеет значение для характе-
ристики систем, проецирующих изображение на экран
или фотопластинку (проекционные или фотографические
объективы). Угловое увеличение важно при наблюдении
удаленных объектов, когда стремятся увеличить угловые
размеры рассматриваемых объектов (телескопические
системы). Продольное увеличение характеризует рез-
кость изображения пространственного объекта на эк-
ране.
При соблюдении условий параксиальности А[Мрх
^/4)0=01 и А2МяА2О = а2 из треугольников ЛМО
и ДЛЮ (см. рис. 13.9) имеем tg«i=MO/fli; tg u2=MOIa2t
246
Основы геометрической оптики
апертура
уравнение Лагранжа —
Гельмгольца
13.5
Центрированная
оптическая система
и ее кардинальные
элементы
т. е. tgui/tg и2=a2/ai. Углы щ и и2 определяют макси-
мальное раскрытие (апертуру) пучков, падающих иа
преломляющую поверхность (углы щ) и сопряженных
им в пространстве изображений (углы и2). В рассмат-
риваемом случае данные углы малы, поэтому можно счи-
тать, что tgui^ui и tgu2&u2. Тогда на основании
(13.15) получим
Л1И1 «10» _ уа <
71^2
ИЛИ
(13.24)
Равенство (13.24) носит название уравнения Лагран-
жа — Гельмгольца для параксиальной области. Из него
следует, что преобразование данного светового пучка
при помощи оптической системы в другой пучок любого
наперед заданного строения невозможно. Строение пре-
образованного пучка может быть только таким, какое
допускает условие Лагранжа — Гельмгольца. Это огра-
ничение имеет особое значение в вопросах фотометрии и
концентрации световой энергии при помощи оптических
систем.
Рассмотрим систему сферических поверхностей произ-
вольных радиусов, разделяющих вещества с различными
показателями преломления. Такую систему будем назы-
вать центрированной, если центры кривизны всех по-
верхностей лежат на одной прямой (рис. 13.10), которая
центрированная
оптическая система
Рис. 13.10. Центрированная оптическая система
главная оптическая ось
называется главной оптической осью системы. Простей-
шим примером центрированной оптической системы яв-
ляется обычная линза, состоящая из сферических поверх-
ностей, ограничивающих какой-либо прозрачный хорошо
преломляющий материал (обычно стекло) от окружаю-
щего воздуха.
Ограничимся по-прежнему рассмотрением паракси-
альных лучей. Прохождение пучка света в системе мож-
но проследить, рассматривая последовательно его пре-
Основные законы и положения геометрической оптики
247
ломление на отдельных сферических поверхностях. При
этом изображение, даваемое каждой предыдущей поверх-
ностью, будет служить объектом для последующей по-
верхности. Так как при преломлении на каждой сфери-
ческой поверхности (при выполнении условия паракси-
альное™) гомоцентричность пучка не нарушается, то и
после прохождения через всю систему пучок останется
гомоцентрическим. Таким образом, в случае точечного
объекта система дает в параксиальных лучах точечное
изображение.
Для центрированной оптической системы сохраняет
силу условие Лагранжа — Гельмгольца, которое в этом
случае можно записать следующим образом: yitiiUt-
=У2П2и2=.- .^yk^kUk или, опуская все промежуточные
члены, в виде
yiniUt=укпы1к, (13.25)
где г/i —размеры объекта, лежащего перед системой;
Уа —размеры изображения, возникающего после про-
хождения света через всю систему.
Все соотношения, характеризующие оптическую си-
стему, можно получить, рассматривая последовательное
преломление лучей на отдельных поверхностях. Однако
некоторые общие свойства центрированной оптической
системы могут быть установлены и без детального ана-
лиза хода лучей через все поверхности.
Выше отмечалось, что гомоцентрический пучок, про-
шедший через оптическую систему, сохраняет гомоцент-
ричность в пределах параксиальной области. Только в
этой области любая точка пространства предметов изоб-
ражается оптической системой стигматически. Оптиче-
ских систем, которые давали бы стигматические изобра-
жения независимо от углов наклона пучков относительно
оптической оси и размеров предметов (за исключением
плоских зеркал), в природе не существует. Путем расче-
та хода лучей по точным тригонометрическим формулам
можно установить, в какой мере прошедшие через опти-
ческую систему пучки лучей отступают от гомоцентрич-
ности. Однако такие расчеты не дают возможности соз-
дать простую теорию, на основании которой можно было
бы установить, какой должна быть система, свободная от
искажений в довольно широкой области. Поэтому вво-
дится понятие об идеальной оптической системе, свобод-
ной от недостатков реальных систем. Идеальной оптиче-
ской системой называют систему, отображающую любую
точку пространства предметов в пространстве изображе-
ний стигматически, т. е. пучки лучей, идущие от любой
точки предмета, после прохождения системы собираются
идеальная
оптическая система
248
Основы геометрической оптики
сопряженные точки
в одной точке. Такие точки называют, как известно, со-
пряженными.
В идеальной оптической системе каждой прямой или
плоскости пространства предметов должна соответство-
вать сопряженная прямая или плоскость пространства
изображений. Таким образом, теория идеальной оптиче-
ской системы есть чисто геометрическая теория, устанав-
ливающая соотношение между точками, линиями или
плоскостями.
Рис. 13.11. Главные плоскости (Н^, H3Ri), главные точки (Нь Нг),
фокусы (Fj, и фокусные расстояния (/ь fi) оптической системы
Из всего изложенного следует, что идеальная оптиче-
ская система может быть осуществлена с достаточным
приближением в виде центрированной оптической систе-
мы, если ограничиться параксиальной областью. Из тео-
рии идеальной оптической системы следует ряд карди-
нальных точек и плоскостей, задание которых полностью
описывает все свойства оптической системы и позволяет
пользоваться ею, не рассматривая реального хода лучей
в системе.
Пусть OiO2 является идеальной оптической системой,
главная оптическая ось которой А\А2 (рис. 13.11). Если в
пространстве предметов провести луч В|Е], параллель-
ный оптической оси, то, не учитывая действительного хо-
да луча в системе, можно утверждать, что в пространст-
ве изображений данному лучу будет соответствовать со-
пряженный ему единственный луч. Этот луч может пойти
только двумя путями: или он будет пересекать оптиче-
скую ось в какой-либо точке, или он пойдет параллельно
оптической оси.
Рассмотрим первый случай. Лучу В[Е[ в простран-
стве изображений соответствует луч Р2Л, выходящий из
системы в точке Р2. Второй луч AjOb идущий вдоль опти-
ческой оси, пройдет систему без преломления. Сопряжен-
ный ему луч О2А2 также пойдет вдоль оптической оси.
Точка F2 пересечения двух лучей D2F2 и (Мз есть изобра-
Основные законы и положения геометрической оптики
249
жение точки, в которой пересекаются лучи BtEi и /VOi,
сопряженные с D2F2 и О2Аг. Но, поскольку лучи
и AOi параллельны друг другу, точка, сопряженная F2,
лежит в бесконечности. Таким образом, точка F2 есть
фокус (второй, или задний) нашей оптической системы.
Повторяя эти рассуждения для лучей, идущих в обрат-
ном направлении, т. е. В2Е2 (продолжение AEi) и А2О2,
найдем точку Fi. Она является первым, или передним,
фокусом системы (точка Di представляет собой точку
выхода луча DiFi, сопряженного с В2Е2). Плоскости, пер-
пендикулярные к оптической оси и проходящие через
фокусы Ft и F2, называются соответственно передней
и задней фокальными плоскостями.
Если продолжить направление лучей BiEi и В2Е2 до
пересечения с продолжением лучей FiDi и F2D2, получим
точки Rt и R?. Через эти точки проведем плоскости пер-
пендикулярно к оптической оси и обозначим точки их
пересечения с осью Hi и Н2. Из построения ясно, что
точки Ri и /?2 будут сопряженными. Действительно, Rt
есть точка пересечения лучей BtEJRi и FJ)]Rx, сопряжен-
ных с лучами R2D2F2 и J?2£2S2, пересечением которых есть
точка /?2. Плоскости RtHt и R2H2 также являются сопря-
женными, а следовательно, будут сопряженными и точки
Нх и Н2. Из рис. 13.11 видно, что ординаты точек Rt и Rz
равны между собой и имеют одинаковые знаки, поэтому
линейное увеличение в сопряженных плоскостях RtHi
и R2Hz равно V=R2H2/RiHi= + \.
Таким образом, оптическая система имеет две сопря-
женные плоскости, перпендикулярные к оптической оси,
в которых линейное увеличение равно +1, т. е. всякий
отрезок в одной плоскости изображается равным и оди-
наково расположенным отрезком в другой плоскости.
Такие плоскости называют главными. Точки Я] и Н2 пе-
ресечения главных плоскостей с оптической осью назы-
ваются главными точками системы. Расстояния от глав-
ных точек до фокусов называются фокусными расстоя-
ниями системы: K=FiHi и f2= F2H2 (см. рис. 13.11).
Для одной преломляющей поверхности фокусные рас-
стояния отсчитывают от ее вершины, т. е. обе главные
плоскости совпадают друг с другом н с плоскостью, ка-
сательной к преломляющей поверхности в ее вершине.
Свойство кардинальных точек идеальной оптической
системы используется для графического построения изоб-
ражений. Например, при построении изображений отрез-
ков (предметов), перпендикулярных к оптической оси,
поступают следующим образом (рис. 13.12), Из крайней
точки предмета Bi, расположенной вне оптической оси,
передняя
фокальная плоскость
задняя
фокальная плоскость
главная плоскость
фокусное расстояние
250
Основы геометрической оптики
проводят два луча: луч B}Rb параллельный оптической
оси, и луч BiG[, проходящий через фокус Ft системы.
После преломления в оптической системе первый луч
R2B2 в пространстве изображений должен пройти через
задний фокус F2l а второй луч G2B2 — параллельно опти-
ческой оси. Точка пересечения В2 этих лучей дает изоб-
ражение крайней точки В| предмета. Проведя через по-
лученную точку линию, перпендикулярную к оптической
оси, найдем точку Л2 пересечения данной линии с осью,
которая является изображением точки Ль Следовательно,
отрезок А2В2 —• изображение отрезка Л]В1(
Рис. 13.12. К определению положения узловых точек оптической си-
стемы
узловые точки
узловые плоскости
Как известно, кроме линейного увеличения оптиче-
ская система характеризуется угловым увеличением. По-
добно тому, как сопряженные точки и плоскости с У=1
имеют особое значение (главные точки и плоскости), так
и сопряженные точки и плоскости с №=1 являются осо-
бенными.
Определим положение сопряженных точек и плоско-
стей, для которых №=1. Обозначим AtH^ai и Л2Я2=П2
(см. рис. 13.12), тогда aL=.ti+M ог^г-Нг. Воспользо-
вавшись этими соотношениями и формулой Ньютона
(13.11), можно записать
(13.26>
Тогда из выражения (13.26) и требования, чтобы
угловое увеличение №=Gi/o2=1, получим №=Oj/fl2=
=/j/x2=Xi/f2=l. Чтобы №=1, необходимо, чтобы Xt=fz;
x2=fi. Сопряженные точки, для которых выполняется это
условие, называются узловыми. Плоскости, проведенные
через узловые точки перпендикулярно к оптической оси,
называются узловыми. На рис. 13.12 узловые точки
Основные законы и положения геометрической оптики
251
обозначены Ki и Кг и лежат на расстоянии f2 и ft от фо-
кусов системы (FtKi=f2; f2^2^fi). Так как то
tgwi=tg«2 (т. е. Ui = uz) и, следовательно, сопряженные
лучи, проходящие через узловые точки Ki и Кг, парал-
лельны друг другу.
Таким образом, шесть плоскостей (две фокальные,
две главные и две узловые) и шесть им соответствующих
точек главной оси (два фокуса, две главные и две узло-
вые) составляют кардинальные элементы идеальной
центрированной оптической системы. Общее расположе-
ние кардинальных точек Fi, Hi, К\ и F2, Н2, Кг, а также
главных плоскостей показано на рис.’ 13.13. Зная свойст-
Рис. 13.13. Кардинальные точки и плоскости идеальной центрирован-
ной оптической системы:
Л, Л - главные фокусы; Н1г Н, — главные точки (главные плоскости); К,.
Ki — узловые точки
ва кардинальных точек, можно построить без особого
труда изображение в любой системе, пользуясь двумя
лучами, исходящими из одной точки.
В том случае, когда по обе стороны оптической систе-
мы располагается одна и та же среда, фокусные расстоя-
ния системы равны друг другу (ft=f2) и узловые точки
совпадают с главными (FiK=F]//-f). Система характе-
ризуется положением всего лишь четырех точек и плос-
костей.
При рассмотрении идеальной оптической системы мы
не принимали во внимание ее поперечные размеры, так
как они не играли существенной роли. На практике от-
дельные части реальной оптической системы, например
линзы, зеркала, призмы, имеют определенные размеры,
которые ограничивают ширину пучков, проходящих через
оптический прибор. Кроме того, в оптических системах
ставятся специальные преграды в виде светонепроницае-
мых деталей с отверстиями, центрированными относи-
13.6
Ограничение
световых пучков
в оптических
системах
252
Основы геометрической оптики
диафрагма
тельно оптической оси. Все части прибора (специальные
преграды, оправы линз и др.), ограничивающие разме-
ры световых пучков, проходящих через оптическую си-
стему, называются диафрагмами.
Размерами диафрагм и их расположением определя-
ются следующие две важнейшие характеристики оптиче-
ской системы:
1) количество световой энергии, проходящей через
оптическую систему;
А
।
Лид-L
поле зрения
।
1
Рис. 13.14. Апертурная диафрагма зрачок входа Q J Qj и 3Ра"
чок выхода Q2 оптической системы
2) часть пространства, которая может быть изобра-
жена данной оптической системой, или величина поля
зрения.
Наличие диафрагм, уменьшающих ширину пучков
лучей, улучшает качество изображения и задерживает
боковые лучи, создающие блики и снижающие контраст-
ность изображения.
Предположим, что оптическая система дает вполне
совершенное изображение, т. е. гомоцентричность прохо-
дящих через систему световых пучков не нарушается.
Рассмотрим систему, состоящую из двух линз одина-
кового диаметра, расположенных на расстоянии d друг
от друга (рис. 13.14). В точке А находится предмет, а
в точке А —его изображение. Между линзами устано-
вим диафрагму QiQ2 диаметром D, центр которой нахо-
дится на оптической оси. Допустим, что диаметр диа-
фрагмы меньше диаметра оправ линз. Пучок лучей, вы-
шедший из точки Д, ограничивается свободным отвер-
Основные законы к положения геометрической оптики
253
стием линзы Ц. Пройдя линзу £ь он не весь выйдет из
системы, а будет еще ограничиваться диафрагмами.
Из точки Ai видны три диафрагмы: первой диафраг-
мой является оправа линзы Л, второй — изображение
Q1Q2 диафрагмы QiQz> даваемое первой линзой, и треть-
ей — изображение линзы £2> даваемое также первой лин-
зой (это изображение довольно большое и на рис. 13.14
не показано). Все диафрагмы имеют разные диаметры и
расположены на разном расстоянии от точки Ait
Со стороны пространства предметов пучки световых
лучей ограничивает та диафрагма, которая видна из точ-
ки А] под наименьшим углом. Такой диафрагмой служит
мнимая диафрагма Q1Q2’ действительным изображением
которой является вещественная диафрагма Q1Q2. Дейст-
вительно, по отношению к линзе Ц диафрагма Q1Q2 рас-
положена в пространстве изображений, где не могут рас-
полагаться действительные предметы, поэтому необходи-
мо считать, что диафрагма QtQ2 — это действительное
изображение мнимого предмета Q1Q2- Диафрагма, огра-
ничивающая пучки лучей в пространстве предметов, на-
зывается входным зрачком (вх. зр.), или входным отвер-
стием, системы.
Из точки А также будут видны три диафрагмы, но
наименьший угловой размер имеет диафрагма Q lQ2 —
мнимое изображение вещественной диафрагмы QiQ2- Эта
диафрагма, ограничивающая пучки лучей со стороны про-
странства изображений, называется выходным зрачком
(вых. зр.), или выходным отверстием, системы.
Вещественная диафрагма Q1Q2, изображение которой
в пространстве предметов (мнимый предмет Q]Q2)
является входным зрачком, а в пространстве изображе-
ний Q1Q2 — выходным зрачком, называется действую-
щей, или апертурной, диафрагмой.
Очевидно, что действующая диафрагма, входной и
выходной зрачки взаимно сопряжены: входной зрачок и
действующая диафрагма —через линзу £2; выходной
зрачок и действующая диафрагма —через линзу
Входной и выходной зрачки сопряжены друг с другом
относительно всей системы. Поэтому количество свето-
вой энергии, проходящей через систему, не изменится,
если апертурную диафрагму установить в одном из зрач-
ков, соответствующим образом изменив ее диаметр.
Угол с вершиной в центре предмета (точка Aj, рав-
ный 2«1 и опирающийся на входной зрачок, называется
апертурным углом входа. Угол с вершиной в центре изоб-
входной зрачок
(входное
отверстие) системы
выходной зрачок
(выходное
отверстие) системы
действующая
(апертурная)
диафрагма
апертурный угол входа
254
Основы геометрической оптики
ф ражеяия (Л2), равный 2п2 и опирающийся на выходной
зрачок, называется апертурным углом выхода.
апертурный угол выхода Входной и выходной зрачки ограничивают не только
пучки лучей, выходящие из точки, расположенной на
оптической оси, но и пучки лучей, выходящие из любой
точки предмета вне оси (рис. 13.15). Лучи, выходящие из
точки сначала идут по направлению к входному зрач-
ку Q1Q2. затем преломляются в линзе Ц и, проходя ди-
афрагму QiQ2 и вторую линзу Д2> собираются в точке Вг
Рис. 13.15. Ход наклонного пучка лучей через оптическую систему
изображения, как бы выходя из выходного зрачка QiQ2.
Такой ход лучей вытекает из того, что точки и Q]
являются сопряженными точками относительно первой
линзы, a Qi и Qi — относительно второй (то же относит-
ся и к точкам Q2, Q2 и Qz, Q2). Поэтому луч, проходящий
в пространстве предметов через точку Р' (центр входного
зрачка), после преломления в линзе Lx должен пройти
через точку Q (центр апертурной диафрагмы), а после
преломления в линзе 12 идти так, как будто он выходит
из точки Р" (центра выходного зрачка).
Лучи, проходящие через центр апертурной диафраг-
мы, а следовательно, и через центры входного и выходно-
го зрачков, называются главными. Луч В{Р' является
главным лучом в пространстве предметов, а луч Р"В2—
главным лучом в пространстве изображений. Лучи
и B1Q2 называются соответственно верхним и нижним
лучами.
Любая оптическая система отображает определенную
часть пространства, расположенного вокруг оптической
оси. Найдем, от чего зависит эта часть пространства, на-
зываемая полем зрения оптической системы. Пусть в про-
Основные законы и положения геометрической оптики
255
странстве предметов расположены две диафрагмы
и Л1зМ4 (рис. 13.16). Диафрагма 2И1ЛГ2 ограничивает ту
часть пространства (часть предмета, находящегося в пло-
скости £), которая может изображаться данной оптиче-
ской системой. В плоскости Е эта часть пространства
находится между главными лучами В1Л и С[Р\. Главный
луч на своем пути встретит непрозрачную часть
диафрагмы М|Л12 и не попадает в оптическую систему.
Таким образом, через оптическую систему пройдут толь-
ко те лучи, которые находятся внутри конуса с вершиной
в точке Pi, опирающегося на диаметр BiCi. Диафрагма
Рнс. 13.16. Поле зрения оптической системы:
Ли Л — центры зрачков входа н выхода
WM* не оказывает никакого влияния на ограничение
пучков, так как ее диаметр больше диаметра диафрагмы
MiM2. Следовательно, если будем рассматривать диа-
фрагмы или их изображения, относящиеся к пространст-
ву предметов, из центра зрачка входа, найдем такую диа-
фрагму, которая видна под наименьшим углом и ограни-
чивает пучки лучей, идущих от точек предметов,
расположенных вне оси. Эта диафрагма (или изображе-
ние какой-либо вещественной диафрагмы) называется
входным люком, или входным окном. Изображение вход-
ного люка всей системой, видимое из центра выходного
зрачка под наименьшим углом, называется выходным
люком, или выходным окном.
Та вещественная диафрагма, изображение которой в
пространстве предметов является входным, а в простран-
стве изображений —выходным люком, называется диа-
фрагмой поля зрения. На рис. 13.16 входным люком и
диафрагмой поля зрения служит диафрагма ЛГ1М2, а вы-
ходным люком —ее изображение AlxAfj. Входной люк,
диафрагма поля зрения и выходной люк взаимно со-
пряжены.
Если диаметр входного зрачка имеет конечные раз-
меры, ограничение пучков лучей происходит значительно
входной люк
(входное окно)
выходной люк
(выходное окно)
диафрагма
поля зрения
256
Основы геометрической оптики
сложнее (рис. 13.17). Входной люк не оказывает
влияния на пучки лучей, идущих от центральной части
предмета в радиусе XjBi. Пучки лучей, выходящих из
точек предмета от В] до Dj, не могут полностью пере-
крыть входной зрачок, так как часть их срезается вход-
ным люком. Пучок лучей, выходящих из точки Ci, запол-
нит примерно половину входного зрачка, а из точки D[
через входной зрачок проходит только очень тонкий пу-
чок. Таким образом, изображения точек предмета, нахо-
дящихся на различных расстояниях от оптической оси
системы, будут иметь различную освещенность; в цент-
ральной части (в радиусе ЛВ2) она будет максимальной,
а в точке О2 практически равна нулю.
Рис. 13.17. Виньетирование наклонных пучков в оптической системе
виньетирование
Явление частичного диафрагмирования пучков лучей
света, идущих от точек предмета, расположенных вне
оптической оси, носит название виньетирования. Из рис.
13.17 видно, что виньетирование отсутствует в том слу-
чае, когда входной люк совпадает с плоскостью предме-
та. В этом случае все точки предмета будут изображать-
ся полными (не затененными) пучками лучей. Однако
входной люк не всегда удается расположить в плоско-
сти предмета, поэтому в большинстве реальных систем
виньетирование имеет место.
Глава 14
АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В гл. 13 было показано, что идеальная
оптическая система может быть осуществлена
в общем случае только в параксиальной обла-
сти, т. е. в области, имеющей небольшие апер-
турные углы и небольшое поле зрения. Прак-
тическое применение такого рода систем весь-
ма ограничено.
Оптическая система, пригодная для практи-
ческого использования, должна давать изобра-
жения большого участка пространства, т. е.
Аберраций оптических систем
257
иметь большое поле зрения. Главная задача
оптической системы состоит в образовании пра-
вильного изображения объекта, который в
простейшем случае представляет собой плос-
кую картину, расположенную перпендикулярно
к оптической оси системы. Правильное изобра-
жение требует соблюдения определенных усло-
вий. Во-первых, каждая точка плоскости долж-
на изображаться стигматически; во-вторых, все
точки изображения должны лежать в плоско-
сти, перпендикулярной к оси системы, и, в-треть-
нх, масштаб изображения (увеличение) дол-
жен быть постоянен на всем изображении.
В реальных системах эти условия по тем или
иным причинам не соблюдаются, что, естест-
венно, ухудшает качество изображения. Ошиб-
ка или погрешность изображения в оптиче-
ской системе, вызываемая отклонением луча от
того направления, по которому он должен был
идти в идеальной оптической системе, называ-
ется аберрацией.
Аберрации оптических систем разделяются
на монохроматические и хроматические. Моно-
хроматические аберрации характеризуют от-
ступление реальных систем от идеальных для
лучей строго определенной длины волны. Для
белого света в результате явления дисперсии
изображение представляет собой сумму боль-
шого числа монохроматических изображений,
ие совпадающих между собой как по положе-
нию, так и по величине; изображение стано-
вится окрашенным. Это явление носит название
хроматизма, или хроматических аберраций.
Процесс устранения аберраций называется
корригированием оптической системы. Пол-
ностью устранить аберрации в оптической си-
стеме невозможно. Удается только уменьшить
их до такой степени, что глаз или другой при-
емник световой энергии вследствие ограничен-
ности разрешающей способности практически не
воспринимает аберраций.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением парак-
сиальных лучен, т. е. лучей, составляющих малые углы
с оптической осью системы. В этих случаях объект в ви-
де точки дает точечное изображение. Однако условие
параксиальное™ вынуждает ограничиваться световыми
пучками, заключенными в пределах узких телесных уг-
<4.1
Монохроматиче-
ские аберрации
Рис. 14.1. Сферическая аберрация
лов, что приводит к очень сильному снижению освещен-
ности изображения. Поэтому с практической точки зре-
ния интересен переход к относительно широким телес-
ным углам, т. е. отказ от условия параксиальное™ лу-
чей. Но в результате такого отказа нарушается гомо-
центричность преломленного пучка и изображение объ-
екта конечных размеров приобретает ряд недостатков.
Рассмотрим некоторые из них.
Сферическая аберрация. Пусть на оси оптической си-
стемы расположена точка Аь посылающая широкий пу-
чок лучей в оптическую систему. После преломления лу-
258
Основы геометрической оптики
каустическая
поверхность (каустика)
сферическая аберрация
меридиональные лучи
меридиональная
плоскость
сагиттальные лучи
сагиттальная плоскость
чи пересекут оптическую ось в других местах по сравне-
нию с параксиальным пучком (рис. 14.1). В плоскости
параксиального изображения образуется пятно или кру-
жок рассеяния радиуса А2ВЪ симметричный относитель-
но оптической оси. Это явление хорошо наблюдается,
если впереди простой линзы установить светящуюся точ-
ку. Тогда, поместив в пространстве изображения экран
и перемещая его вдоль оси, можно убедиться, что нет
такого места, где изображение было бы в виде точки.
Вблизи точки А2 можно видеть ярко освещенную поверх-
ность, которая является зоной сильной концентрации
световой энергии. Эта поверхность называется каустиче-
ской поверхностью, или каустикой.
Рис. 14,2. Продольная сферическая аберрация оптической системы
В разрезе каустика имеет вид кривой Q1/I2Q2, которая
представляет собой геометрическое место точек пересе-
чения меридиональных лучей *1 Отрезок А2А2, располо-
женный вдоль оптической оси, является осью симметрии
каустики. Концентрация световой энергии в каустике по-
лучается вследствие того, что каждая зона оптической си-
стемы (линзы) даст свое изображение на оптической оси.
Нарушение гомоцентричности пучков лучей, прошед-
ших через оптическую систему при сохранении симмет-
рии их относительно оптической оси, называется сфери-
ческой аберрацией.
Рассмотрим оптическую систему OiO2 (рис. 14.2).
Параксиальные лучи после преломления в системе О]О2
дают изображение точки А в точке А, а луч АЛ\ пере-
секает оптическую ось в точке А'. Разность координат
точек Л' и А2, обозначаемая через 6s, называется про-
*) Меридиональные лучи —лучи, лежащие в плоскости, которая
содержит оптическую ось и называется меридиональной (плоскость
чертежа). Плоскость, перпендикулярная к меридиональной и содер-
жащая также оптическую ось, называется сагиттальной. Лучи, рас-
положенные в этой плоскости, носят название сагиттальных.
Аберрации оптических систем
259
дольной сферической аберрацией. Этот вид аберрации
характеризует степень искажения преломления пучка
лучей и отступление его от гомоцентричности. Продоль-
ная сферическая аберрация считается положительной,
если точка Л' лежит правее точки А, и отрицательной,
когда она находится левее точки Аг (на рис. 14.2 6$<0).
Радиус кружка рассеяния в плоскости параксиаль-
ного изображения /'Мг называется поперечной сфериче-
ской аберрацией и обозначается через 6/, причем 6/-
= 6itg«2.
Сферическая аберрация, в отличие от других моно-
хроматических аберраций, не зависит от положения точ-
ки в плоскости предмета, т. е. она имеет место для лю-
бой точки предмета. Если в системе отсутствуют другие
аберрации, для точек предметной плоскости будет на-
блюдаться картина, подобная показанной на рис. 14.2.
Осью симметрии кружков рассеяния в этом случае бу-
дет ось симметрии пучка лучей.
Положительная (собирающая) линза имеет отрица-
тельную продольную сферическую аберрацию, а отрица-
тельная линза (рассеивающая)—положительную абер-
рацию. Это обстоятельство дает возможность составить
комбинацию из двух или нескольких Яинз (положитель-
ных и отрицательных), обладающую малой величиной
сферической аберрации. Пример исправления сфериче-
ской аберрации представлен на рис. 14.3. Справа на ри-
сунке дан график, иллюстрирующий продольную сфери-
ческую аберрацию для лучей, проходящих систему на
разных расстояниях h от оптической оси. Для краевых
лучей аберрация скомпенсирована полностью, а для
средних —имеется небольшая остаточная аберрация.
Строго говоря, сферическая аберрация может быть ис-
правлена только для какой-нибудь пары лучей, а для
остальных лучей широкого пучка остаточная аберрация
не устраняется.
Аберрация кома. Изображение точек предмета, распо-
ложенных как на оптической оси, так и вне ее пучками
лучей, опирающихся на входной зрачок конечных разме-
ров, получается в виде кружков рассеяния, центры ко-
торых совпадают с осью симметрии пучков. Однако
вследствие неодинаковой коррекции сферической аберра-
ции для всех зон входного зрачка системы при изобра-
жении точек предмета, расположенных вне оптической
осн, широкими наклонными пучками лучей происходит
нарушение симметричного строения преломленного пуч-
ка. Вместо радиально-симметричной каустики возникает
Рис. 14.3. Оптическая си-
стема, исправленная на
сферическую аберрацию
продольная сферическая
аберрация
поперечная
сферическая
аберрация
260
Основы геометрической оптики
аберрация комы
условие синусов Аббе
каустика несимметричной формы. В плоскости изобра-
жения появляется фигура рассеяния, симметричная толь-
ко относительно меридиональной плоскости (рис. 14.4).
Этот недостаток носит название аберрации комы.
Чтобы в системе отсутствовала кома, необходимо вы-
полнить так называемое условие синусов Аббе:
mi)
Л231ПИ2 У! ’ V’*1/
где «1 и п2— показатели преломления среды в простран-
стве предмета и изображения; i/2/«/i = V —увеличение,
Рис. 14.4. Аберрация кома
которое должно согласно (14.1) оставаться постоянным
для любой пары сопряженных лучей, исходящих из точ-
ки, лежащей на оси, и ограниченных углами Ui и и2 с
осью системы.
Условие синусов Аббе есть следствие физического
требования, согласно которому для получения резкого
изображения объекта волны, идущие от объекта к изо-
бражению, должны проходить через разные зоны систе-
мы без разности фаз. Выберем в качестве объекта не-
большое отверстие диафрагмы D радиуса yi=AiSi=SiBt
(рис. 14.5), освещаемое слева двумя параллельными
пучками 1 и 2. Если пучки 1 и 2 отображают ДВ1 с оди-
наковым увеличением, изображение А2В2 будет резким.
Следовательно, Л2 и В2 представляют собой точки, куда
световые волны доходят через разные зоны системы
в одной фазе. Точки Ai, Bi, как и точки Ла, В2, лежат
соответственно на поверхности волны, распространяю-
щейся по направлению 1, т. е. находятся в одинаковой
Аберрация оптических систем
261
фазе. Путь волны 2 от Bi к В2 имеют по сравнению с пу-
тем от Л к Л2 оптическую разность хода, равную BiC(—
—C2A=2//f sinttf/ii—2*/2sin и2п2, где у2=$2А2=$2В2. Для
того чтобы точки А и В2 в пучке 2 находились в одина-
ковой фазе, необходимо, чтобы В^—СаЯг—0, т. е.
i/i sin Ы1П1=у2 sin ^2^2, что совпадает с (14.1).
Отсюда следует, что при соблюдении условия сину-
сов точки, лежащие вблизи оси, изображаются широки-
ми пучками резко —у системы устранена аберрация ко-
ма. При этом необходимо отметить, что угол Ui может
принимать большие значения, т. е. апертура пучка не
ограничена, но величина yt предполагается очень малой.
Рис. 14.5. К выводу условия синусов
В случае параксиальных лучей углы uj и и2 малы и
sinHj««j и sinu2~«2, тогда условие синусов (14.1) пере-
ходит в условие Лагранжа — Гельмгольца (13.24).
Две точки, для которых устранена сферическая абер-
рация и соблюдено условие синусов, называются апла-
натическими. Соблюдение апланатизма имеет особое
значение для систем, где объект располагается всегда
вблизи определенной точки. Такой системой является
объектив микроскопа. Действительно, в микроскопе рас-
сматриваемый объект малого размера всегда помещает-
ся вблизи фокальной плоскости объектива и посылает в
объектив очень широкие пучки. Условие синусов и было
сформулировано Аббе при исследовании путей улучшения
объективов микроскопов.
Астигматизм. Если пучок лучей, исходящий из точки,
падает на систему, составляя некоторый угол с осью, он
может потерять гомоцентричность. При этом лучи одно-
го и того же пучка, идущие по отношению друг к другу
в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, после
преломления в оптической системе образуют не одну, а
две точки схода.
апланатические точки
262
Основы геометрической оптякк
Пусть в точку С системы (рис. 14.6) направляется из
точки В главный луч под углом к оптической оси. Рас-
смотрим условия преломления лучей, как бы выделяе-
мых крестообразной диафрагмой, Одни лучи (лучи в
меридиональной плоскости) падают на элементарную
площадку по меридиану тт, а другие, в сагиттальной
плоскости,—по параллели ss. Так как кривизна по тт
и ss различна, то и преломление лучей будет различно.
Сагиттальные лучи образуют точку схода Bs. В этом ме-
сте точка В будет изображена в виде вертикальной ли-
нии (фокальной линии). Меридиональные лучи пересе-
каются в точке Вт. Здесь изображение точки В также
имеет вид линии, но расположенной горизонтально. Та-
кое явление носит название астигматизма.
астигматизм
Рис. 14.6. Аберрация астигматизм
астигматическая
разность
Расстояние между точками схода меридиональных
Вт и сагиттальных Bs лучей называется астигматиче-
ской разностью, которая и является мерой астигматизма.
Сечение пучка лучей между точками Вт и Bs пло-
скостью, перпендикулярной к главному лучу, образует
фигуры рассеяния в виде эллипсов разного эксцентриси-
тета. Очевидно, что в точке, лежащей посередине между
Вт и Bs, фигура рассеяния представляет собой круг, ко-
торый можно условно считать изображением точки В.
Наличие астигматизма хорошо иллюстрируется при
получении изображения от объекта в виде концентриче-
ских окружностей, лежащих в плоскости, перпендику-
лярной к оптической оси системы, и радиальных линий
Аберрации оптических систем
263
{рис, 14.7,а). Центры окружностей совпадают с оптиче-
ской осью системы, а изображение наблюдается на экра-
не, перпендикулярном к оптической оси. Если экран рас-
положить в плоскости фокусов меридиональных сечений
(фокальных линий Вт), окружности будут изображаться
резко, так как фокальные линии, налагаясь друг на дру-
га, не исказят их вида. Изображение же радиусов ока-
жется размытым и тем сильнее, чем дальше лежат точ-
ки радиусов от центра (рис. 14.7, б). Если экран распо-
ложить в плоскости фокусов сагиттальных сечений (фо-
кальные линии В3), радиусы будут изображаться резко,
а изображение окружностей окажется размытым, при-
чем тем сильнее, чем дальше располагается окружность
от центра (рис. 14.7, а).
Рис. 14.8. Астигматизм цилиндрической линзы
Рис. 14.7. Искажение изо-
бражения в результате
астигматизма:
а — неискаженное изображе-
ние; б — в фокусе мериди-
ональных сечении; в—в фо-
кусе сагиттальных сечений
Для практики имеет важное значение случай астиг-
матизма, когда симметрия системы по отношению к пуч-
ку нарушена в силу устройства самой системы. Поме-
стим на пути сходящегося пучка цилиндрическую линзу,
т. е. линзу, одно из сечений которой (например, верти-
кальное) прямолинейное, а второе — круговое. У цилин-
дрической линзы две плоскости симметрии — вертикаль-
ная и горизонтальная, но она не обладает осью симмет-
рии, как падающий световой пучок. При прохождении
через такую систему осевая симметрия преломленного
пучка нарушится и получится астигматическое изобра-
жение (рис. 14.8). Пересечение астигматического пучка
плоскостями, перпендикулярными к оптической оси, дает
ряд эллиптических сечений. В точках Bs и Вт эти эллип-
сы переходят в прямые (фокальные линии), параллель-
ные плоскостям симметрии системы. Одно из сечений
пучка является круговым и называется кружком наи-
меньшего рассеяния.
264
Основы геометрической оптики
Астигматизмом такого рода иногда обладает и чело*
веческий глаз. Глаз не может одинаково резко видеть
систему взаимно перпендикулярных полос. Для испра-
вления этого недостатка необходимо использовать очки
с цилиндрическими линзами, которые компенсируют при-
родный астигматизм глаза.
Кривизна поля изображения. Выше отмечалось, что
радиусы и окружности оказываются размытыми тем
сильнее, чем дальше от центра лежат точки радиусов и
располагаются сами окружности. Этот факт показывает,
что изображение представляет собой не плоскость, пер-
пендикулярную к оптической оси, а изогнутую поверх-
ность.
в
Рнс. 14.9. Изображение прямой линии астигматическими лучками
Действительно, при отображении протяженных пред-
метов их нужно рассматривать как совокупность точек,
каждая из которых отображается астигматическими пуч-
ками лучей. Если предметом является отрезок прямой AS
(рис. 14,9), расположенной в меридиональной плоскости,
то каждой точке а, Ъ, с и В этого отрезка в простран-
стве изображений соответствуют меридиональные (ат,
Ьт, Ст, Вт) и сагиттальные (а„ bs, ct, Bs) изображения,
лежащие на главных лучах. Соединяя данные точки,
получаем кривые М и 5, т. е. меридиональное и сагит-
тальное изображения прямой. При вращении кривых М
И S вокруг оптической оси они дадут две поверхности
вращения, касательные к плоскости в точке А', которые
в частном случае будут сферами.
Таким образом, при отображении плоского предмета
получаются два его изображения в виде поверхностей
вращения: одна поверхность является меридиональным
изображением, а вторая — сагиттальным. Под кривизной
Аберрации оптических систем
265
поверхности изображения понимается некоторая средняя
поверхность К (см. рис. 14.9), расположенная между М
и 5.
Наличие астигматизма и кривизны поля изображения
при условии, что изображение должно быть плоским,
вызывает нерезкость по краям поля зрения (см.
рис. 14.7). Хотя астигматизм и кривизна поля изобра-
жения имеют общую физическую природу, они по своей
величине независимы друг от друга.
Астигматизм системы исправляется путем специаль-
ного подбора конструктивных элементов системы (ра-
диусов поверхностей, показателей преломления и др.).
Одновременно с устранением астигматизма обычно стре-
мятся устранить и кривизну поля изображения, что осо-
бенно важно для фотографии. Системы, у которых
устранен астигматизм и поле изображения является пло-
ским, называются анастигматами.
Дисторсия. Если линейное увеличение в пределах
поля изображения неодинаково, нарушается геометриче-
ское подобие объекта и его изображения. Такой вид
аберрации носит название дисторсии. Если объектом яв-
ляется квадрат (рис. 14.10, о), его изображение может
быть или в виде «бочки» (рис. 14.10, б), или в виде «по-
душки» (рис. 14.10, в). Если увеличение убывает по ме-
ре удаления от оптической оси, изображение принимает
бочкообразную форму, а если увеличение растет при
удалении от оси — подушкообразную.
В отличие от других аберраций дисторсия не нару-
шает резкости изображения. В большинстве приборов,
предназначенных для визуальных наблюдений, дистор-
сия не имеет существенного значения, но в тех случаях,
когда изображение используется для точных измерений
(геодезические измерения, картография, аэрофотосъем-
ка и др.), необходимо системы исправить на дисторсию.
а
О
Рис. 14.10. Искажение
изображения в результа-
те дисторсии:
а — неискаженное изображе-
ние; б — бочкообразная ди-
сторсия; в — подушкообраз-
ная дисторсия
анастюиоты
дисторсия
Оптическая система, преломляющая лучи света и од-
новременно разлагающая белый свет в спектр, смещает
изображение в различных лучах спектра относительно
друг друга. Это явление называется хроматической абер-
рацией (хроматизмом) и проявляется в окрашивании
изображения.
Аберрации, рассмотренные для монохроматического
света, характерны для всех лучей спектра. Однако пол-
ный анализ всех аберраций для лучей с определенными
длинами волн весьма сложен, поэтому ограничиваются
рассмотрением отдельных хроматических аберраций.
Хроматические аберрации могут быть разделены на
14.2
Хроматические
аберрации
хроматическая
аберрация (хроматизм)
266
Основы геометрической оптики
хроматические
аберрации
первой группы
группы в зависимости от той области, к которой отно-
сятся пучки лучей, дающие изображения.
К первой группе относятся основные хроматические
аберрации, возникающие уже в параксиальной области.
Как известно, в области параксиальных лучей изобра-
жение определяется только двумя координатами: рас-
стоянием от оптической системы до изображения и вели-
чиной изображения. В соответствии с этим к хромати-
ческим аберрациям первой группы относятся хроматиче-
ская аберрация положения изображения (хроматизм
положения) и хроматическая аберрация увеличения. Эти
аберрации называют также хроматизмом первого поряд-
ка. Устранить хроматические аберрации для пучков лу-
Рис. 14.11. Хроматическая аберрация положения изображения
хроматические
аберрации
второй группы.
чей всех цветов невозможно. Обычно эти погрешности
устраняются только для каких-либо длин волн, выбор ко-
торых определяется назначением системы. Поэтому всег-
да имеет место остаточный хроматизм вдоль оси, называ-
емой вторичным спектром.
Хроматические аберрации второй группы относятся
исключительно к конечным апертурным углам. Возника-
ют так называемые хроматические разности сферической
аберрации (сферохроматическая аберрация), комы, асти-
гматизма, дисторсии и т. д. Эти хроматические аберра-
ции называют хроматизмом высших порядков.
Мы не будем подробно рассматривать все виды хро-
матической аберрации, а лишь коротко остановимся на
аберрациях, проявляющихся в параксиальной области.
Ход параксиального пучка лучей ANM показан на
рис. 14.11. Вследствие дисперсии этот пучок лучей после
преломления в оптической системе разложится на
цветные пучки. Преломленный пучок, например, для
красного цвета С (Хс=656,3 нм) дает изображение точ-
ки 4 в точке Ас, а для синего f(AF = 486,l нм) — в точ-
ке Af- Пучки лучей других цветов дают соответствующие
изображения в других точках вблизи фокусов 4с и 4f.
Аберрации оптических систем
267
Для получения резкого изображения необходимо сов-
местить изображения хотя бы двух цветов, например F
и С. При этом произойдет более или менее полное сме-
щение лучей всех цветов и изображение будет почти не-
окрашенным.
Разность координат точек Af и Ас называется про-
дольной хроматической аберрацией положения (или про-
сто хроматизмом положения). Началом отсчета хрома-
тизма положения служит точка Ас- Аберрация считает-
ся отрицательной, если точка Ас лежит правее точки А/,
и положительной — при обратном расположении этих
точек.
Процесс исправления продольной хроматической Q
аберрации носит название ахроматизации. Комбинируя
положительные и отрицательные линзы, сделанные из ароматизация
Рис. 14.12. Ахроматическая линза
стекол различных сортов, обладающих разной относи-
тельной дисперсией, удается в значительной степени
уменьшить хроматизм положения. В настоящее время
имеются десятки сортов стекол с разными показателями
преломления и дисперсией, что дает широкий простор
для расчета ахроматических систем.
Устройство простой ахроматической линзы показано
на рис. 14,12, К двояковыпуклой линзе из крона (сорт
стеклах небольшой относительной дисперсией) приклеи-
вается соответствующая рассеивающая линза из флин-
та (сорт стекла с большей относительной дисперсией),
которая удлиняет фокусное расстояние первой лин-
зы, При этом в большей степени увеличивается фокусное
расстояние для тех лучей, которые преломляются более
сильно (короткие длины волн), так что фокус AF ото-
двигается дальше, чем фокус Ас. Выбирая соответствую-
щим образом параметры линз, удается совместить фоку-
сы двух (или даже трех) длин волн. Поскольку добить-
ся совпадения фокусов для всех длин волн невозможно,
268
Основы геометрической оптики
апохроматическая
оптическая.система
оптическая коррекция
то, как уже отмечалось, всегда имеет место остаточная
продольная хроматическая аберрация (вторичный
спектр). Если хроматизм положения исправлен для трех
длин волн, остаточную аберрацию называют третичным
спектром и т. д.
Оптическая система, у которой исправлена продоль-
ная хроматическая аберрация для трех лучей, называет-
ся апохроматической. Объективы-апохроматы предназна-
чены для фотографирования цветных картин и применя-
ются в кинематографии, телевидении, полиграфии.
Если в системе устранена хроматическая аберрация
положения изображения, это еще не значит, что окраска
в изображении отсутствует. Аберрация, относящаяся к
отрезку в пространстве изображений, будет различна
для разных длин воли, так как линейное увеличение си-
стемы (см. формулу (13.15)) является функцией показа-
теля преломления. Вследствие наложения изображений
разной величины на краях изображения образуется
цветная кайма.
Изменение величины изображения для разных длин
волн носит название хроматической аберрации увеличе-
ния, или хроматической0разности увеличений. Хромати-
ческая аберрация увеличения определяется как разность
линейных увеличений для выбранных длин волн.
Исправление аберраций в оптической системе для
видимой части спектра С, D, F (Хс = 656,3 нм; ad=
=589,3 нм; Хк=486,1 нм) называется оптической коррек-
цией. Для этой части спектра производят исправление
хроматизма в визуальных приборах, а также фотографи-
ческих объективах, предназначенных для съемок на пан-
хроматических и цветных светочувствительных материа-
лах. Фотографические объективы для обычной штрихо-
вой, тоновой и полутоновой съемки исправляются для
лучей спектра D и G' (Ас, = 434,1 нм), так как диапози-
тивные эмульсии мало чувствительны к красным лучам
спектра.
Таким образом, устранение многочисленных аберра-
ций может идти лишь путем создания специально рас-
считанных сложных оптических систем. Одновременное
исправление всех недостатков может оказаться крайне
сложной и даже вообще неразрешимой задачей. Поэто-
му на практике оптические системы рассчитывают для
определенных целей, устраняя только те аберрации, ко-
торые особенно вредны для поставленной задачи, и пре-
небрегая другими недостатками. Так, для объективов,
предназначенных для астрономических наблюдений, где
Разрешающая способность оптических приборов
269
источником служат точки, расположенные вблизи осн,
важно соблюдение условия синусов и устранение сфери-
ческой и хроматической аберраций для точек в центре
поля. В микро- и фотообъективах, используемых для фо-
тографирования широкого поля зрения, кроме соблюде-
ния условия синусов, должны быть устранены аберра-
ции, искажающие поле (дисторсия, кривизна поля
и т. д.), а также хроматическая аберрация. Объективы,
предназначенные для наблюдения объектов малой ярко-
сти, должны иметь возможно большее относительное
отверстие, что вынуждает мириться с некоторыми абер-
рациями, неизбежными при работе с очень широкими
пучками. Исправление хроматизма приборов, используе-
мых в визуальных наблюдениях и фотографии, произво-
дится для разных участков спектра, исходя из того, что
максимум чувствительности глаза лежит в желто-зеле-
ной части спектра, а чувствительность фотоматериалов
обычно сдвинута в более коротковолновую область. Объ-
ектив коллиматора спектрального прибора должен быть
очень хорошо исправлен на хроматическую аберрацию,
тогда как объектив камеры может быть совсем не ахро-
матизирован, ио в нем необходимо тщательным образом
исправить астигматизм наклонных пучков и кому.
Глава 15
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
Пучок лучей, выходящий из точки объекта,
после прохождения через идеальную опти-
ческую систему вновь собирается в точку
изображения. В этом случае изображение со-
вершенно с точки зрения геометрической опти-
ки. Однако в действительности изображение не
точно соответствует объекту, так как изображе-
ние точки не является точкой, а представляет
собой некоторую дифракционную картину.
В идеальной оптической системе все отдельные
элементы волны, идущей через систему, при-
ходят в точку изображения в фазе. Однако
для получения совершенного изображения не-
обходимо также, чтобы в любой другой точке
плоскости изображений интерференция волн,
приведших от данной точки объекта, обеспе-
чивала освещенность, равную нулю. Из тео-
рии дифракции Фраунгофера следует, что это
не может быть достигнуто ни в какой оптиче-
ской системе, обладающей конечной апертурой.
Ни одна оптическая система не пропускает
полностью волны, излучаемые объектом, и по-
этому всегда имеет место дифракция, что ве-
дет к нарушению стигм этичности изображений.
Таким образом, в силу дифракционных явле-
ний идеальной стигм этичности вообще не мо-
жет быть, поскольку они ограничивают воз-
можность разрешения тонких деталей изобра-
жения и устанавливают предел имеющих прак-
тический смысл увеличений. Вопрос о пределе
разрешения деталей изображения (разрешаю-
щая способность оптического прибора) являет-
ся вопросом, для решения которого необходи-
мо рассматривать дифракционные процессы в
оптической системе.
На практике обычно оправы линз и объек-
тивов, а также диафрагмы имеют круглую фор-
му, поэтому для оценки разрешающей способ-
ности оптических приборов в первую очередь
необходимо рассмотреть дифракцию плоских
волн на круглом отверстии.
270
15Л
Дифракция
на круглом
отверстии
Основы геометрической оптики
Согласно геометрической оптике параллельный пучок
лучей, прошедший через круглое отверстие радиуса R в
непрозрачном экране Л1 (рис. 15.1), а затеи через лин-
зу Ог, должен был бы собраться в одну точку в главной
фокальной плоскости линзы. Однако из-за волновой
природы света в главной фокальной плоскости Fz полу-
чается сложная дифракционная картина. Вид этой кар-
тины можно определить, как это делалось ранее
(см. § 8.4), суммированием действий отдельных зон. При
этом дифракционная картина качественно не отличается
Рис. 15.1. Схема наблюдения дифракции в параллельных лучах от
круглого отверстия
а
Рис. 15.2. Дифракция на
круглом отверстии:
а —вид дифракционной кар-
тины*, б—кривая распреде-
ления интенсивности
от дифракции Френеля на круглом отверстии. В фокаль-
ной плоскости линзы Оч, наблюдается яркое пятно в ви-
де круга*) (центральный максимум), окруженное чере-
дующимися темными и светлыми дифракционными коль-
цами (рис. 15.2,о). Соответствующие вычисления •*> по-
казывают, что угловой радиус первого темного кольца
(первый минимум освещенности) определяется соотно-
шением
sin(p=0,61X//?, (15.1)
где R — радиус отверстия. Формула (15.1) играет пер-
востепенную роль в дифракционной теории оптических
приборов. Распределение интенсивности при дифракции
плоской волны на круглом отверстии вдоль линии ЯА'
представлено на рис. 15.2, б. Если интенсивность в цен-
тральном максимуме принять равной единице, интенсив-
*> Такое пятно называют кружком (или диском) Эйри, который
впервые исследовал эту задачу в обшем виде.
**> Аналитический расчет дифракционной картины сводится к
определению корней функции Бесселя.
Разрешающая способность оптических приборов
271
ность в первом максимуме будет равна 0,0175, во вто-
ром—0,0041 и т. д. Отсюда видно, что практически весь
свет сосредоточен в центральном максимуме и при оцен-
ке роли дифракции в оптических приборах вторичные
максимумы обычно не учитывают.
При малом угле ф согласно (15.1) угловой радиус
первого темного кольца приближенно равен
ф=0,6ВД=1,221/П, (15.2)
где D — диаметр отверстия. Область внутри этого коль-
ца занята центральным светлым пятном. Таким образом,
размеры центрального светлого пятна тем больше, чем
больше отношение Х/D, т. е. чем больше длина волны X
и меньше диаметр отверстия D. Линейные размеры диа-
метра первого темного кольца приблизительно равны
(15.3)
где fa— фокусное расстояние линзы О2. Эта же величина
может быть принята за «диаметр» центрального светло-
го пятна. Формулы (15.1) и (15.2) являются основными
соотношениями, которые используются при рассмотрении
разрешающей способности оптических приборов. Остано-
вимся на расчете разрешающей способности только двух
приборов, применяемых для наблюдения удаленных (те-
лескоп) и близко расположенных (микроскоп) объектов.
Оптические системы для визуального наблюдения
сильно удаленных предметов называются телескопиче-
скими. К таким приборам относятся астрономические те-
лескопы, геодезические приборы, бинокли, оптические
дальномерные приборы; прицелы, стереоскопические тру-
бы и т. п.
Отличительным свойством таких систем является то,
что лучи в систему поступают в виде параллельных пуч-
ков и выходят из нее также в виде параллельных пуч-
ков. При рассмотрении глазом удаленных предметов на-
блюдатель видит перспективное изображение простран-
ства предметов под большими углами зрения, чем нево-
оруженным глазом. Вследствие этого происходит
искажение перспективы: все предметы представляются
приближенными к наблюдателю, а пространство предме-
тов — сжатым по направлению наблюдателя.
Простейшая телескопическая система (зрительная
труба) состоит из двух линз 01 (объектив) иО2 (окуляр),
расположенных таким образом, что второй фокус объек-
тива fj061 совпадает с первым фокусом окуляра
<5.2
Разрешающая
способность
телескопа
телескопические
оптические системы
272
Основы геометрической оптики
(рис. 15.3). Параллельный пучок света, падающий на эту
систему, по выходе из нее остается параллельным, но ши-
рина его в общем случае изменяется.
Если параллельный пучок входит в систему под не-
которым углом Н] к оси, то он выйдет из системы тоже
параллельным, но будет составлять другой угол «2 с
оптической осью (см. рис. 15.3). Объектив является
входным зрачком. Он образует изображение у2 в перед-
ней фокальной плоскости окуляра. Выходной зрачок Ь2
системы расположен за окуляром. Глаз наблюдателя,
помещенный в выходном зрачке, сможет рассмотреть все
изображение, так как через выходной зрачок проходят
все пучки лучей.
Рнс. 15.3. Схематическое изображение хода лучей в зрительной трубе
Кеплер (Kepler) Иоганн
(1571—1630) — немец-
кий астроном и матема-
тик
Зрительная труба, построенная по схеме рнс. 15.3,
дает обратное изображение наблюдаемого объекта (так
называемая система Кеплера). Если она предназначена
для наблюдения астрономических объектов, такое обра-
щение объекта не играет роли. В зрительные трубы,
используемые для земных наблюдений, вводят добавоч-
ную оптическую систему, оборачивающую изображение
так, что оно становится прямым.
При рассматривании в астрономический телескоп
Звезд На объектив телескопа от них падает практически
Параллельный пучок света. Объектив телескопа дает в
своей фокальной плоскости лишь дифракционную карти-
ну, совпадающую с дифракционной картиной от кругло-
го отверстия оправы объектива. Эта картина затем рас-
сматривается в окуляр. Поскольку при дифракции на
Круглом отверстии большая часть света попадает в цен-
тральное светлое пятно, то видимое в телескоп «изобра-
жение» звезды будет не чем иным, как центральным
пятном дифракционной картины.
Центральное пятно окружено первым дифракцион-
ным минимумом, соответствующим углу дифракции ср,
Разрешающая способность оптических приборов
273
который удовлетворяет условию sin(p=l,22X/D, где D—
диаметр входного отверстия (им в данном случае явля-
ется объектив). Радиус первого темного кольца г в фо-
кальной плоскости объектива есть
г = )(«>) tg<p sin <р = 1,22 A fM.
При fj’®*/Da 30 в видимой области (A.a5-10~s см)
r=0,2 мм. Это вполне заметное дифракционное размы-
тие, которое хорошо наблюдается как на фотопластинке,
так и визуально (через окуляр).
Рис. 15.4. К выводу разрешающей способности телескопа
Для оценки разрешающей способности телескопа
рассмотрим условие разрешения двух близких звезд Sj
и S2. Так как источники Si и S2 некогерентны, наблю-
даемая картина представляет собой наложение светлых
и темных колец обоих дифракционных кружков. Если
центры кружков близки, а их радиусы значительны, си-
стема перекрывающихся колец может не дать впечатле-
ния двух раздельных изображений, т. е. объектив не в
состоянии разрешить две светящиеся точки.
Пусть угловое расстояние между звездами Si и S2
равно ф. В фокальной плоскости объектива будет нало-
жение дифракционных изображений от двух некогерент-
ных источников (рис. 15.4). Для характеристики образо-
вавшейся суммарной картины применяют критерий Рэ-
лея (см. § 12.3), т. е. считают изображения источников
света разрешенными, если дифракционный максимум для
одного из них совпадает с первым дифракционным ми-
нимумом для другого, а провал интенсивности в точке
пересечения составляет примерно 20 % максимальной.
Угловые расстояния в пределах дифракционных кар-
тин определяются углами между прямыми, проведенны-
ми из центра объектива О (см. рис. 15.4) к соответст-
вующим точкам дифракционных картин. Отсюда получа-
274
Основы геометрическом оптики
ем, что критерий Рэлея для разрешения двух звезд удо-
влетворяется, если угловое расстояние ф между ними
равно угловому радиусу ф первого темного кольца. При
малых углах <р и ф можно на основании (15.2) записать
1|;=Ф=0,61Ж
За разрешающую способность телескопа принимает-
ся величина
* 1 Я D их л\
ip 0,61Х ,1,22V
т. е. чем больше диаметр D объектива телескопа, тем
более близко расположенные друг к другу звезды он по-
зволяет разрешить. Это обстоятельство вынуждает стро-
ить телескопы с диаметром объектива в несколько мет-
ров.
При фотографировании звезд линейное расстояние
У2 между центрами их дифракционных картин согласно
(15.3) равно
Й = Ф['«»> = 1,224^1
и должно превосходить размеры зерен фотоэмульсии.
Условия разрешения телескопа сохраняют свою силу
и для зрительных труб при наблюдении далеких земных
объектов, а также для фотоаппаратов при фотографиро-
вании удаленных предметов.
15.3
Разрешающая
способность
микроскопа
Для получения больших увеличений применяется оп-
тическая система, называемая микроскопом и предста-
вляющая собой комбинацию короткофокусного объекти-
Рис. 15.5. Схематическое изображение хода лучей в микроскопе
ва О[ и окуляра О2 (рис. 15.5), разделенных значитель-
ным расстоянием.
Рассматриваемый объект AtBt помещается вблизи
главного фокуса Fi°61 объектива который дает его
увеличенное изображение Л2#2- Это изображение наблю-
Разрешающая способность оптических приборов
275
дается через окуляр Ог (используемый как лупа) так,
чтобы увеличенное мнимое изображение Д53 получалось
на расстоянии наилучшего зрения.
Дифракция, возникающая в микроскопе вследствие
ограничения пучка лучей, приводит к ограничению его
разрешающей способности. Способность микроскопа к
разрешению деталей объекта характеризуют обычно не
угловой величиной, а линейными размерами мельчайшей
разрешимой детали или минимальным расстоянием меж-
ду двумя точками, различимыми с помощью микроскопа.
Рис. 15.6. К выводу разрешающей способности микроскопа
Решение задачи о разрешающей способности микро-
скопа представляет собой значительные трудности. Во-
первых, в данном случае волну, падающую на объектив
микроскопа, нельзя считать плоской, так как предмет,
находящийся очень близко от объектива, посылает в не-
го пучки света под большими апертурными углами. Во-
вторых, в микроскоп можно рассматривать как самосве-
тящнеся объекты, так и объекты, освещаемые посторон-
ними источниками света. Самосветящиеся объекты яв-
ляются некогерентными источниками света, а степень
когерентности объектов, освещаемых посторонними
источниками света, зависит от способа освещения. Сле-
довательно, разрешающую способность надо ввести по
крайней мере для двух предельных случаев: некогерент-
ного и когерентного освещения.
В случае, когда две точки испускают некогерентные
волны (самосветящиеся точки), задача вполне аналогич-
на задаче о разрешающей способности телескопа. Одна-
ко применение формул, полученных для дифракции в
параллельных лучах, встречает определенные затрудне-
ния. Но если принять во внимание, что плоскость изоб-
ражения ЕЕ' (рис. 15.6) объектива лежит на расстоянии
(около 160 мм), гораздо большем, чем диаметр входно-
276
Основы геометрической оптики
числовая апертура
го зрачка Q1Q2 объектива, то лучи в пространстве изо-
бражения можно считать практически параллельными.
Тогда для дифракции на выходном зрачке объектива
можно применять формулы дифракции в параллельных
лучах.
Пусть две точки А и BL объекта (см. рис. 15.6), рас-
положенные на расстоянии yt, являются самосветящи-
мися, т. е. некогерентными. Тогда каждая из этих точек
в результате дифракции на круглом выходном зрачке
Q1Q2 даст в плоскости изображения свою дифракцион-
ную картину. Минимально разрешимое расстояние меж-
ду этими точками в микроскопе может быть найдено из
условия, что центры двух независимых дифракционных
картин, получаемых в плоскости ЕЕ', окажутся на рас-
•стоянии, удовлетворяющем условию Рэлея, т. е. у2=А2В2
равно радиусу первого темного дифракционного кольца,
окружающего изображение Я2 или Угловой радиус у
первого темного кольца определится из условия (pQiQz=
= 1,22Х, где Q1Q2 — диаметр выходного зрачка. Линей-
ный радиус первого темного кольца равен у2=^РА2=
= 1,22A(/M2/QiQ2), где РАг — расстояние от выходного
зрачка до плоскости ЕЕ'.
Поскольку угол и2 мал (см. рис. 15.6), отношение
QiQa/PA=2tg u2~2 sin и2. Тогда
Й , или уг sin «2 = 0,61 X. (15.5)
Напомним, . что объективы микроскопов рассчиты-
ваются так, чтобы по отношению к их сопряженным точ-
кам выполнялось условие синусов Аббе (14.1):
yifii sin Ui=У’1П1 sin и2, где ni — показатель преломления
среды в пространстве предметов (нередко пространство
между предметом и объективом заполняется каким-либо
веществом (иммерсионная среда), тогда гц будет боль-
ше 1); «г — показатель преломления среды в простран-
стве предметов, равный обычно единице, так как изобра-
жение всегда расположено в воздухе. Используя условие
синусов и соотношение (15.5), получаем
у = = Q>61^ . (15.6)
n1sinu1 /ц sin '
Отсюда ясно, что разрешающая способность микро-
скопа тем больше, чем больше значение величины
A=nisinttb которая называется числовой апертурой
объектива микроскопа. Если объект находится в возду-
хе, «1=1 и тогда из формулы (15.6) следует, что микро-
скоп позволяет разрешить объекты, находящиеся друг
' Разрешающая способность оптических приборов
277
от друга на расстоянии t/i=0,61 (k/sin«i). Для микроско-
пических объектов угол щ близок к я/2 и, значит,
sinui« 1, откуда получаем, что микроскоп может разре-
шить объекты, отстоящие на расстоянии Z/2. Если X—5Х
Х10-5 см, разрешающая способность микроскопа при-
близительно 3-10“5 см, что составляет 0,3 мкм (или
3000 А).
Если объекты, рассматриваемые в микроскоп, не явля-
ются самосветящимися, их необходимо освещать посто-
ронним источником света. В этом случае отдельные точ-
ки объекта рассеивают падающие на них волны, исходя-
щие из одной и той же точки источника, и, следователь-
Рис. 15.7. К дифракционной теории микроскопа
но, свет, идущий от разных точек объекта, может ока-
заться в какой-то степени когерентным. Полностью ко-
герентным он будет тогда, когда объект освещается па-
раллельным пучком когерентных лучей, т. е. пучком, по-
лученным с помощью линзы, в фокальной плоскости кото-
рой расположен точечный источник света.
Теория разрешающей способности микроскопа для
предельного случая полностью когерентного света была
развита Аббе. Чтобы легче учесть интерференцию лучей
от отдельных точек освещенного когерентным светом
объекта, в теории Аббе в качестве объекта была ис-
пользована дифракционная решетка.
Пусть дифракционная решетка с постоянной d
освещается параллельным пучком когерентных монохро-
матических лучей (рис. 15.7). Изображение решетки, да-
ваемое объективом микроскопа О, наблюдается в пло-
скости А2В2. В главной фокальной плоскости F объек-
тива О получаются максимумы различных порядков
решетки. Картину в фокальной плоскости объектива Аббе
назвал первичным изображением объекта, а картину
в плоскости А2В2 — вторичным.
278
Основы геометрической оптики
Максимум m-го порядка образуется лучами, дифра-
гирующими под углом фь определяемом, как известно,
соотношением d sin<pi=mA (см. § 9.4). Если решетка
находится в среде с показателем преломления Hi, под X
надо понимать длину волны в этой среде. Если же под X
подразумевать, как это обычно делается, длину волны
в пустоте, условие образования дифракционных макси-
мумов следует записать в виде
dsin(pi=mXoM- (15.7)
Если открыт только один центральный максимум Со
(ш=0), в плоскости ДВ2 он создает равномерную осве-
щенность. Если же открыты центральный максимум Со
и хотя бы еще один максимум, например Ci (m = l),
в главной фокальной плоскости F будут находиться два
когерентных источника света Со и Ci, расположенные на
расстоянии 21 друг от друга. Лучи от этих источников,
интерферируя между собой в плоскости Л2В2, образуют
ряд параллельных интерференционных полос. Расстоя-
ние между соседними светлыми полосами равно (см.
§ 4.3) 6ft=(k/2/)Z), где D — расстояние от плоскости F
до плоскости А2В2. Из рис. 15.7 имеем 21/Dx sin фг, от-
куда для 6ft получаем
6ft=l/sin<p2- (15.8)
Прозрачные штрихи решетки отстоят друг от друга
на расстоянии d. Если обозначить через у* размеры их
изображения, получаемого в плоскости А2В2, по условию
синусов nid sin (^=^2 sin де. Отсюда, полагая, что пока-
затель преломления среды, где возникает изображение,
«2=1, имеем
sin <рг
Так как мы ограничились только двумя максимумами
(ш=0; 1), то значение sin ф& определится равенством
(15.7) при т = 1. Тогда t/2=Wsin фг. Сравнивая это вы-
ражение с (15.8), замечаем, что интерференционные по-
лосы, возникающие в плоскости АА, располагаются на
расстоянии 6ft, равном тому расстоянию у>.. на котором
должны лежать изображения прозрачных полос решет-
ки. В плоскости Л2 А появляется своего рода изображе-
ние дифракционной решетки, отличающееся от геометри-
чески правильного изображения тем, что переход от мак-
симумов к минимумам, соответствующим ее непрозрач-
ным промежуткам, происходит не резко, а постепенно.
Можно строго показать, что если пропустить большое
Разрешающая способность оптических приборов
279
число максимумов, то в результате интерференции исхо-
дящих от них лучей переход от максимумов к миниму-
мам в плоскости А2В2 станет более резким, т. е. изобра-
жение объекта будет в большей мере походить на сам
объект.
Таким образом, можно считать, что штрихи дифрак-
ционной решетки разрешены в интерференционной кар-
тине, возникающей в плоскости АгВ?, если пропущены
центральный и первый максимумы, т. е. если угол <pi
удовлетворяет условию sinqh>i/nid. Значит, микроскоп
может разрешить штрихи решетки, если они отстоят на
расстоянии
sintfj. (15.9)
Отверстие объектива определяется углом раскрытия
2«i между крайними лучами, идущими от объекта (рас-
положенного у фокуса) к краям объектива. Этот угол
должен обеспечить возможность взаимодействия хотя бы
двух пучков света. Следовательно, апертура микроскопа
должна превышать угол дифракции <рь соответствую-
щий максимуму первого порядка, т. е.
sin (15.10)
С учетом (15.10) неравенство (15.9) примет вид
sin »i. (15.11)
Выше было установлено, что две самосветящиеся
точки разрешаются микроскопом, если расстояние меж-
ду ними (см. формулу (15.6)) не меньше 0,61 X
X (Voisin Kj). Таким образом, разрешающая способность
микроскопа при освещении объекта когерентным светом
примерно такая же, как и в случае, когда отдельные
точки объекта испускают некогерентные лучи.
Из теории Аббе следует, что только полная совокуп-
ность дифракционных максимумов определяет изображе-
ние, подобное объекту. Причем для этого достаточно
максимумов, расположенных по одну сторону от центра,
например соответствующих положительным т, так как
остальные максимумы лишь усиливают яркость, а кар-
тину не меняют. Однако изображение может оказаться
геометрически неподобным объекту, если искусственно
закрыть -часть максимумов. Например, если пропустить
центральный максимум и максимумы только четных по-
рядков (т=0,±2,±4,...), то в изображении светлые по-
лосы расположатся на расстоянии ’/г^г, т. е. в изо-
бражении будет наблюдаться вдвое больше штрихов,
280 Основы геометрической оптики
чем их имеется в рассматриваемой дифракционной ре- шетке. Дальнейшее развитие теории микроскопа было дано Мандельштамом и Рождественским. Мандельштам под- робно рассмотрел случай самосветящихся объектов и теоретически, а также экспериментально показал, что ряд выводов из теории Аббе сохраняется для таких объ- ектов. Его результат имеет важное значение потому, что при освещенном объекте не всегда будет полная коге- рентность. Точки освещенного объекта посылают вполне когерентный свет только в том случае, когда угловые размеры источника настолько малы, что угол, под кото- рым он виден из места расположения предмета, невелик по сравнению с Xld, где X —длина волны; (/ — расстоя- ние между освещаемыми точками объекта. В реальных условиях освещение объекта в микроскопе производится широкими пучками лучей и полная когерентность про- является лишь в исключительных случаях.
15.4 Иммерсионные системы. Ультрамикроскопия Из формул (15.6) и (15.11) видно, что увеличение разрешающей способности микроскопа может идти ли- бо путем уменьшения длины световой волны X, либо пу- тем увеличения числовой апертуры A=«isin«1. Рассмот- рим вначале второй путь. Для увеличения числовой апертуры микроскопа нуж- но увеличить показатель преломления Л1 среды, в кото- рой находится объект. Обычно в микроскопе объект (или какой-либо микроскопический.препарат) помещает- ся на предметное стекло и сверху закрывается покров- ным стеклом. Если система сухая, между покровным стеклом и объективом (рис. 15.8, а) находится воздух, для которого П1=1 и, следовательно, /1^1. В этом слу- чае за счет полного внутреннего отражения на границе между покровным стеклом и воздухом уменьшается апе- ртурный угол щ. Если пространство между покровным стеклом и фронтальной линзой объектива заполнить жидкостью с показателем преломления, близким к пока- зателю преломления стекла («1-1,5), то лучи при выхо- де из покровного стекла не претерпевают полного внут- реннего отражения, а проходят в объектив (рис. 15.8,6)
• и его апертура, таким образом, увеличивается. Оптиче- ская среда, которая используется для заполнения прост-
иммерсия ранства между наблюдаемым объектом и объективом, называется иммерсией, а соответствующие системы —
• иммерсионными. В качестве иммерсии применяют воду, глицерин, вазелин, кедровое масло, монобромн а фталин
иммерсионные системы и т. п.
Разрешающая способность оптических приборов
281
Применением иммерсии можно повысить числовую
апертуру объектива до 1,6 (монобромнафталиновые им-
мерсионные системы) и тем самым увеличить разрешаю-
щую способность микроскопа примерно в 1,5 раза по
сравнению с сухой системой. Кроме возможности увели*
чения апертуры у иммерсионных систем еще одно преи-
мущество перед сухими системами. Качество изображе-
ния у сухой системы с относительно высокой апертурой
(4>0,6) очень чувствительно к толщине покровного
стекла. Для иммерсионной системы, у которой покровное
стекло, иммерсионная жидкость и фронтальная линза
объектива имеют один показатель преломления, толщи-
на покровного стекла не важна, так как ее можно ском-
пенсировать изменением толщины иммерсионного слоя.
Формула разрешающей способности микроскопа оп-
ределяет минимальный размер частиц, которые можно
увидеть в микроскоп. С приближением к пределу раз-
решающей способности микроскопа геометрическое
сходство между объектом и его изображением начинает
теряться и правильные изображения частиц очень малых
размеров (ультра- или субмикроскопических частиц) не
могут быть получены. Если же отказаться от геометри-
ческого подобия между наблюдаемым объектом и его
изображением, то с помощью микроскопа можно уста-
новить наличие частиц размерами меньше длины волны
А, которые лежат за пределами разрешающей способно-
сти микроскопа.
Способ наблюдения ультрамикроскопических частиц
основан на рассеянии ими света (рис. 15.9). Пучок све-
та концентрируется с помощью линзы О( на кювете, в
которой находятся во взвешенном состоянии ультра ми-
кроскопические частицы. Свет, рассеянный такими час-
тицами, попадает в объектив микроскопа О2 и дает в
его фокальной плоскости дифракционные картины (ди-
фракционные кружки). По наличию последних можно
судить о присутствии частиц и их движении. Поскольку
в этом методе из поля зрения устранены прямые лучи,
а наблюдаются лишь дифрагированные (рассеянные
объектом), то частицы видны на черном фоне лишь как
блестящие точки и пятка. Естественно, что никаких све-
дений о действительной форме или размерах частиц по-
лучить нельзя. Такой метод наблюдения очень малых
частиц называю? ультрамикроскопическим, а оптическую
систему—ультрамикроскопом.
Яркость дифракционного пятна, а следовательно, и
возможность обнаружения ультрамикроскопических час-
тиц, зависят от различных ^акто^ов. Для сферической
Рис. 15.8. Роль иммерсии
в микроскопе:
а—сухая система; б —им-
мерсионная система: 1 —
предметное стекло; 2 — пре-
парат; 3 — покровное стекло;
4 — иммерсия; 5 — объектив
ультрамикроскопический
метод
Рис. 15.9. Схема наблю-
дения ультрамнкроско-
пнческих частиц
282
Основы геометрическом оптики
15.5
Электронный
микроскоп
Планк Макс Карл Эрнст
Людвиг (1858—1947) —
немецким физик-теоретик
Бройль (de Broglie) Луи
де (р. 1892)—француз-
ский фнэлк-теоретик
частицы, например, на яркость не влияет ориентировка
частицы, а для частиц неправильной формы она меняет-
ся при изменении положения частицы. Если известны
показатели преломления, по яркости дифракционного
пятна можно судить о размере сферической частицы.
С помощью иммерсионного ультрамикроскопа удается
обнаружить частицы размером до сотых и даже тысяч-
ных долей микрометра.
Уже отмечалось, что разрешающую способность мик-
роскопа можно увеличить путем уменьшения длины вол-
ны. Переход к ультрафиолетовым лучам позволяет по-
высить разрешающую способность примерно в 2 раза,
что осуществляется в современных ультрафиолетовых
микроскопах. Однако применение ультрафиолетовых лу-
чей ограничивается длинами волн не ниже 2000—
2500 А, так как большинство объектов, подлежащих на-
блюдению, сильно поглощают УФ-лучи.
Использование ультрафиолетовых лучей имеет одно
важное преимущество. Многие объекты, особенно биоло-
гического происхождения, прозрачны для видимого све-
та, что затрудняет их наблюдение в видимой области.
Однако различные участки этих объектов поглощают
ультрафиолетовый свет по-разному, так что соответству-
ющие микрофотографии оказываются достаточно контра-
стными.
Для дальнейшего увеличения разрешающей способно-
сти микроскопа естествен был бы переход к рентгенов-
ской области. К сожалению, изготовление соответствую-
щей оптики для получения изображения в рентгеновских
лучах встречает очень большие трудности.
Успешное развитие теоретической физики подсказало
еще один путь решения данной задачи. Было установле-
но, что распространение потока любых материальных
частиц управляется волновыми законами, как для све-
тового потока. Это означает, что строгое решение задачи
о движении частиц под действием сил может быть по-
лучено путем рассмотрения соответствующих волн. Не
останавливаясь на природе этих волн, отметим, что их
длина зависит от массы т и скорости v движущихся
частиц согласно соотношению
X=/i/mu, (15.12)
где Л=6,626 10-*34Дж-с —постоянная Планка. Волны,
подчиняющиеся соотношению (15.12), носят название
волн де Бройля, который впервые в 1924 г. выдвинул
Разрешающая способность оптических приборов
283
гипотезу о волновых свойствах материальных частиц ♦).
Из формулы (15.12) следует, что чем больше масса час-
тиц и ее скорость, тем меньше длина волны. Даже для
электронов, обладающих очень малой массой (т=0,9х
Х10-27 г) и движущихся с относительно небольшой ско-
ростью, длина волны достаточно .мала.
Для численных расчетов длины волны, связанной с
движением электрона, формулу (15.12) можно перепи-
сать в более удобном виде:
где V —ускоряющая разность потенциалов в вольтах.
Из этой формулы, в частности, следует, что электрон,
ускоренный разностью потенциалов в 1 В, характеризу-
ется длиной волны 12,24 А, что соответствует длин-
новолновым рентгеновским лучам. Для катодных лучей,
ускоряемых разностью потенциалов в 150 В, длина вол-
ны равна уже 1 А. Для более быстрых электронов, а
также для частиц большей массы (атомы, молекулы)
длина волны будет еще короче. Таким образом, распро-
странение наиболее легких частиц, которыми являются
электроны, соответствует законам распространения очень
коротких волн.
Решение задачи о распространении электронного пуч-
ка, основанное на волновой теории, не отличается от ре-
шения, полученного из представлений геометрической оп-
тики. Установив зависимость показателя преломления
волн от свойств среды, т. е. от силовых полей, в которых
движется электрон, можно рассчитать его движение на
основе геометрической оптики. Согласно современным
представлениям показатель преломления связан с пара-
метрами для силового поля, в которых движется части-
ца, следующим образом:
тсг
где № — потенциал, характеризующий силовое поле;
Е — энергия движущейся частицы; /и —ее масса; с —
скорость света.
Расчет электронных путей в электромагнитных полях
позволяет вывести условия, при которых электроны, вы-
шедшие из какой-либо точки источника, соберутся вновь
в другой точке, являющейся стигматическим изображе-
Более подробно о волнах де Бройля см., например, Э. В.
Шпольский. Атомная физика.—М.; Наука, 1974, т. 1, с. 576.
284
Основы геометрической оптики
Рис. 15.10. Схемы элект-
ронного (а) и оптическо-
го (б) микроскопов:
1 - окуляр; 2 - объектив; 3-
конденсор; 4 — источ ник
электронов; 4‘ — источник
света
нием источника. Электрические или магнитные поля, в
которых должен двигаться электрон, чтобы получилось
стигматическое изображение, представляют собой «элек-
тронные» линзы (электростатические или магнитные),
играющие в электронной оптике такую же роль, как и
обычные линзы в геометрической оптике.
Схема электронного микроскопа представлена на
рис. 15.10, где для сравнения приведена также схема оп-
тического микроскопа. Электронный микроскоп состоит
из элементов, эквивалентных элементам обычного мик-
роскопа. Объект, рассматриваемый в электронный мик-
роскоп, может быть как «самосветящийся», т. е. сам слу-
жить источником электронов (накаленный катод или
освещаемый фотокатод), так и «освещенный», представ-
ляющий собой препарат, облучаемый потоком электро-
нов. Источником последних обычно является накаленный
катод. Изображение объекта можно воспринимать фо-
тографическим способом, если электроны попадают на
фотопластинку, или наблюдать визуально на флуоресци-
рующем экране, светящемся под воздействием электро-
нов.
При использовании ускоряющего потенциала в десят-
ки и даже сотни тысяч вольт длина электронной волны
может быть сделана достаточно малой, следовательно,
разрешающая способность электронного микроскопа бу-
дет значительно превосходить разрешение оптического
микроскопа. Однако разрешение электронного микроско-
па определяется не только дифракционными явлениями,
но и различными (практически не коррегируемыми)
аберрациями электронных линз, которые исправляются
главным образом за счет диафрагмирования и примене-
ния электронных пучков малых апертур (10-2—10*э рад).
Поэтому разрешающая способность лучших современных
электронных микроскопов достигает 4,5—5 А, что в не-
сколько сот раз превосходит разрешение оптических мик-
роскопов (2000—3000 А). Тем не менее возможность ви-
зуального наблюдения частиц, во много раз меньших,
чем в обычном микроскопе, возможность управления
движением электронов с помощью электрических и маг-
нитных полей и создания интенсивных электронных пуч-
ков даже при малых апертурах (в тысячи раз меньших,
чем апертуры оптических микроскопов) обусловили ши-
рокое применение электронных микроскопов, несмотря
на сложность их эксплуатации.
Раздел IV
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ИЗОТРОПНЫХ
И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Глава 16
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ С ВЕЩЕСТВОМ
При рассмотрении различных вопросов оп-
тики мы до снх пор не обращали внимания на
взаимодействие световой волны со средой, в
которой она распространяется. Формулируя,
например, законы отражения и преломления
света, мы основывались только на опытных
данных. Однако эти законы, давая правильный
ответ на вопрос о направлении отраженной и
преломленной волн, ничего не говорят об ин-
тенсивности и фазе отраженного и преломлен-
ного света, Для ответа на данные вопросы не-
обходимо знать, каким образом влияет на све-
товую волну вещество тех сред, через которые
проходит волна. Это можно сделать, исходя из
электромагнитной природы света и представле-
ний о веществе как о системе электрических за-
рядов.
С точки зрения электронной теории взаимо-
действие света }i вещества сводится к воздей-
ствию электромагнитного поля световой волны
на атомы и молекулы вещества. Частота пере-
менного светового поля велика (около 1015 Гц)
и поэтому только очень малые по массе элек-
трические заряды могут следовать за измене-
нием поля световой волны, В роли таких заря-
дов в веществе выступают электроны. Они и
являются непосредственными объектами, кото-
рые смещаются под действием быстроперемеи-
ного электрического поля световой волны. Бо-
лее тяжелые заряды (протоны, ионы) успева-
ют реагировать на более медленные изменения
электрического поля (инфракрасные лучи с ча-
стотой порядка Ю12—HF Гц). Действие свето-
вой волны на электроны (или ионы) вещества
и обратное воздействие вещества на электро-
магнитную волну сводятся к возбуждению ко-
лебаний электронов (ионов) в такт с колеба-
ниями электрического вектора световой волны и
возникновению вследствие этого вторичных
электромагнитных воли.
Поскольку среднее расстояние между ато-
мами в веществе довольно мало, то электроны
очень большого числа соседних атомов возбуж-
даются одним цугом воли, хотя падающий свет
может быть далеко не монохроматическим. По-
этому вторичные волны оказываются когерент-
ными как между собой, так и с падающей вол-
ной и могут взаимно интерферировать, Этой ин-
терференцией н обусловливаются все процессы
отражения, преломления, рассеяния и т. д. Мо-
лекулярная теория прохождения света через
вещество сводится к разбору этого взаимодей-
ствия.
Электрические и оптические свойства вещества опре-
деляются поведением электронов молекул в статическом
электрическом поле, создаваемом между заряженными
пластинками конденсатора, и в переменном поле свето-
вой волны.
Основной макроскопической характеристикой свойств
непроводящего вещества (диэлектрика) в статическом
электрическом поле является диэлектрическая проницае-
мость. Известно, что если между пластинками конденса-
тора поместить диэлектрик, то емкость С конденсатора
увеличится: С=еС0, где Со~ емкость конденсатора при
отсутствии диэлектрика между пластинками; е — ди-
электрическая проницаемость, характеризующая элект-
рические свойства вещества и зависящая от его приро-
ды и свойств. Эта величина положительная и больше
единицы.
16.1
Электрические
и оптические
свойства
среды
диэлектрическая
проницаемость
286
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
злектрическая
поляризация среды
злектрический
диполь
дипольный момент
поляризованное™
поляризуемость
В отсутствие внешнего электрического поля центры
масс всех отрицательных и всех положительных зарядов
в любом малом элементе объема совпадают. Под дейст-
вием электрического поля центры масс расходятся на
некоторое расстояние, тем больше, чем больше напря-
женность поля. Это явление называется электрической
поляризацией среды, а система, состоящая из положи-
тельного и отрицательного зарядов е, находящихся на
расстоянии г друг от друга, называется электрическим
диполем. Электрический диполь характеризуется на-
правленной величиной дипольного момента р=ег.
Состояние поляризации может быть определено по-
явлением некоторого дипольного момента в каждом эле-
менте объема среды. Момент единицы объема характе-
ризуется вектором Р, называемым поляризованмостью.
На поверхности диэлектрика, расположенной вблизи
положительно заряженной обкладки конденсатора, ин-
дуцируются отрицательные заряды, и наоборот. Следо-
вательно, напряженность поля Е внутри диэлектрика
должна слагаться из напряженности поля Ео зарядов на
обкладках конденсатора и напряженности поля индуци-
рованных диполей, имеющей противоположное направ-
ление и равной согласно теории электричества —4лР.
Тогда Е=Е0—4лР, где Ео—напряженность поля, кото-
рое создали бы заряды на обкладках конденсатора в от-
сутствие диэлектрика. Благодаря диэлектрику создается
поле с меньшей напряженностью Е. При постоянном по-
тенциале увеличению емкости конденсатора в е раз при
наличии диэлектрика отвечает увеличение зарядов па об-
кладках в е раз. Эти заряды в отсутствие диэлектрика
должны создавать поле с напряженностью в е раз боль-
шей, чем в присутствии диэлектрика. Следовательно,
Ео= еЕ = Е 4- 4яР = D, (16.1)
где D— электрическая индукция.
Процесс поляризации (индукция дипольного момен-
та) осуществляется и в каждой отдельной молекуле. Под
действием внешнего поля в молекуле возникает диполь-
ный момент р, который пропорционален напряженности
поля Е:р = аЕ, где а — поляризуемость, характеризую-
щая свойства молекулы и непосредственно связанная с
размером ее электронного облака. Поляризуемость опре-
деляет смещение электронной оболочки молекулы под
действием электрического поля, т. е. объем, который
может занять эта оболочка, поэтому поляризуемость
имеет размерность объема (см3).
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
287
Если в единице объема (в 1 см3) содержится N моле-
кул, то Р—JVp=VaE и с учетом (16.1)
Р = -^Е = М*Е = Лф. (16.2)
Используя (16.1) и (16.2), можно записать еЕ=Е+
+4яР=Е+4лМаЕ или
е-1-НлАЧ (16.3)
т. е. диэлектрическая проницаемость тем больше, чем
больше плотность вещества ДО и чем больше поляризуе-
мость а молекулы.
Выражение (16.3) имеет, однако, ограниченную об-
ласть применения. Дело в том, что нельзя считать поле,
действующее на отдельную молекулу диэлектрика, рав-
ным среднему полю Е. Диэлектрик можно считать не-
прерывной средой только при макроскопическом рас-
смотрении. Каждая молекула в диэлектрике находится
прежде всего под действием поля, создаваемого окружа-
ющими ее молекулами. Это поле зависит от внешнего
наложенного поля, под действием которого молекулы
поляризуются и в свою очередь воздействуют на окружа-
ющие молекулы. Электрическое поле, действующее на
отдельную молекулу, складывается из среднего макро-
скопического поля Е зарядов на обкладках конденсато-
ра и зарядов иа границах диэлектрика, а также поля,
обусловленного действием ближайших окружающих мо-
лекул.
Для того чтобы получить более общее выражение
для диэлектрической проницаемости, необходимо опре-
делить величину поля, действующего на молекулу. Эта
задача является очень сложной, так как действующее
поле существенно зависит от строения диэлектрика,
В простейшем случае изотропной среды (точнее, для изо-
тропного кубического кристалла) действующее поле Е'
связано со средним полем Е и поляризованностью Р сле-
дующим образом:
Е' = Е+-£р. (16.4)
Именно это поле индуцирует дипольный момент в
каждой отдельной молекуле. Следовательно, вместо ди-
польного момента р = аЕ можно записать
р«оЕ’ = а(Е + -уР| (16.5)
288
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
формула
Клаузиуса—
Моссотти
Воспользовавшись соотношением (16.2), получим
8 Ip fr; 1 Я 1 гА
4лА Е“ СЧЕ + —ГЕ}
Отсюда
е —1 4л 1,
7+2 =
(16-6)
Клаузиус (Clausius) Ру-
дольф Юлиус Эмануэль
(1822—1888) — немецкий
физик-теоретик
Моссотти (Mossofti) От-
тавиано Фабрицио
(1791—1863) — итальян-
ский физик
Формула (16.6), связывающая диэлектрическую про-
ницаемость е с величинами ДО и а, носит название фор-
мулы Клаузиуса —Моссотти. Если 8 близка к единице
(например, разреженный газ), то можно заменить в+2
в знаменателе левой части (16.6) на 3 и мы получим
выражение (16.3).
Строго говоря, формула Клаузиуса—Моссотти спра-
ведлива только для газов. Если умножить обе части
уравнения (16.6) на молекулярную массу М и разделить
на плотность вещества б, то в силу того, что —
= Л'л=6,02 1023 моль-1 (число Авогадро), получим
е~1 М 4л
в + 2 6 --^-Мла-Р. (16.7)
Авогадро (Avogadro)
Амедео (1776—1856) —
итальянский физик и хи-
мик
молекулярная
(индукционная)
поляризация
неполярная молекула
Р
Рис. 16.1. Схема поляри-
зации неполярных моле-
кул
Величина Р есть молекулярная поляризация, которая
не зависит от плотности вещества и числа молекул в еди-
нице объема (число ДОд), а зависит только от поляризу-
емости а молекул вещества.
Изложенная теория электрической поляризации от-
носится к молекулам, обладающим центром симметрии.
В таких молекулах в центре симметрии находятся цент-
ры масс всех положительных и всех отрицательных за-
рядов. Следовательно, в отсутствие электрического поля
эти молекулы не имеют дипольного момента (неполяр-
ные молекулы). Поляризация таких молекул осуществ-
ляется в результате смещения электронов электрическим
полем, т. е. происходит индукция дипольного момента.
Неполярные молекулы в отсутствие электрического
поля в грубом приближении можно представить в виде
двух равномерно заряженных сфер, центры которых со-
впадают. Так как поле равномерно заряженной сферы
во внешнем пространстве равно полю точечного заряда
той же величины, помещенному в центре сферы, то оче-
видно, что электрический момент такой молекулы равен
нулю, В электрическом поле оба заряда смещаются в
противоположные стороны и поэтому молекула будет
вызывать электрическое поле, совпадающее вне молеку-
лы с полем диполя, у которого каждый из точечных за-
рядов равен заряду соответствующей сферы, а расстоя-
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
289
ние между, ними равно смещению центров сфер (рис.
16.1).
Однако существуют молекулы, у которых центры масс
положительных и отрицательных зарядов не совпадают,
а находятся на некотором расстоянии друг от друга да-
же в отсутствие внешнего электрического поля. Такие
молекулы называются полярными, или дипольными.
Электрическая поляризация вещества, состоящего из
полярных молекул, отличается от электрической поляри-
зации вещества, состоящего из неполярных молекул. Мо-
лекулы, имеющие постоянные дипольные моменты, по-
ляризуются полем не только вследствие индукции, т. е.
появления наведенного дипольного момента, определяе-
мого поляризуемостью, ио и вследствие ориентации мо-
лекул полем. При отсутствии поля молекулы в резуль-
тате теплового движения расположены хаотично (рис.
16.2, о) и поэтому векторная сумма всех моментов дипо-
лей в среднем близка к нулю. При наложении внешнего
электрического поля на каждый диполь действуют силы,
стремящиеся ориентировать его параллельно электриче-
скому полю (рис. 16.2, б). В этом случае сумма всех ди-
польных моментов молекул уже не равна нулю и ди-
электрик приобретает электрический момент. Такой тип
поляризации называют ориентационной, или дипольной,
поляризацией.
Таким образом, общая поляризация полярных ве-
ществ складывается из индукционной Р, и ориентацион-
ной Ро поляризаций: Р=Р,+ Р0.
Для полярных молекул формула (16.7) имеет вид
р=Мт<16-8>
где р —постоянный дипольный момент молекулы; Т —
абсолютная температура; k=1,38 • 10-23 Дж/К — посто-
янная Больцмана. Величина р2/ЗАТ играет роль поляри-
зуемости в случае полярных молекул. В таком виде фор-
мула (16.8) называется формулой Дебая.
Оптические свойства вещества характеризуются по-
казателем преломления. Согласно электромагнитной тео-
рии Максвелла показатель преломления связан с ди-
электрической в и магнитной |i проницаемостью следую-
щим соотношением:
/1= /ер. (16.9)
Под действием электрического и магнитного поля
происходит электрическая и магнитная поляризация ве-
щества, т. е. смещение электронов и ориентация элект-
Рис. 16.2. Схема поля-
ризации полярных моле-
кул:
с —без поля; б —прн нало-
жении поля
полярная (дипольная)
молекула
ориентационная
(дипольная)
поляризация
индукционная
поляризация
формула Дебая
Болъцмаи (BoHzmann)
Людвиг (1844—1906)—
австрийский физик-тео-
ретик
Дебай (Debye) Петер
(1884—1966) — голланд-
ский физик
показатель
преломления
290
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
рических и магнитных диполей. При этом следует заме-
Максвелл (Maxwell) Джеймс Клерк {1831— 1879) — английский фи- зик тить, что для большинства веществ, в том числе и для всех диэлектриков, магнитная проницаемость ц практи- чески равна единице. Поэтому соотношение (16.9) мож- но записать в виде
«==/! (16.10)
Лоренц (Lorenz) Людвиг Валент (1829—1891) — датский физик-теоретик • Подставляя в формулу Клаузиуса — Моссотти (16.6) вместо е его значение я2, получаем эквивалентную ей формулу Лоренц — Лоренца, описывающую оптическое поведение неполярных молекул: «2 1 4lt = 3 ('6•")
формула Лоренц — Лоренца Умножив обе части соотношения (16.11) на Af/б, по- лучим выражение
Лоренц (Лорентц) (Lo- rentz) Хендрик Антон (1853—1928) — нидер- ландский физик н мате- матик Л-+2 "~43Л **«-* <1612) которое называется молекулярной рефракцией. Поведение полярных молекул в поле световой волны не отличается от поведения неполярных молекул. По- скольку напряженность электрического поля световой волны меняется очень быстро (в видимой области с ча- стотой порядка (4ч-8) -1014 Гц), а частоты вращатель-
• молекулярная рефракция ных движений молекул (вызванных тепловым движением) имеют порядок 1011—1012 Гц, то за время светового ко- лебания молекула не успевает повернуться, т. е. диполь не успевает сориентироваться в поле световой волны.
• злектронная поляризуемость Поэтому выражение молекулярной рефракции полярных молекул остается таким же (см. формулу (16.12)), что и для неполярных веществ.
• атомная (ядерная) поляризуемость В молекулах под действием электрического поля сме- щаются не только электроны, но и ядра. Смещение по- ложительно заряженных ядер происходит в направлении, противоположном смещению электронов, и благодаря
• злектронная поляризация большой массе ядер —на значительно меньшее рассто- яние. При этом индуцируется дипольный момент того же знака, что и при смещении электронов. Следовательно, поляризуемость а молекулы должна слагаться из элект-
• атомная поляризация ровной (ае) и ядерной или атомной (ав) поляризуемо- сти: а=ае+аа. Соответственно индукционная поляриза- ция Р(=Ре+Ра, где Ре —электронная поляризация;
• общая молекулярная поляризация Ра — атомная поляризация. Общая молекулярная поля- ризация Р = ₽, + ₽« + ₽.• (1613)
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
291
В быстропеременном поле световой волны тяжелые
ядра не успевают сместиться за время колебаний свето-
вой волны. Поэтому, так же как и ориентационная, атом-
ная поляризация не входит в молекулярную рефрак-
цию для видимого света, т. е. и молекулярная
рефракция полностью определяется электронной поля-
ризацией.
Молекулярная рефракция представляет собой весьма
важную молекулярную постоянную, так как характери-
зует поляризуемость всех электронов молекулы. Она об-
ладает свойством аддитивности, т. е. молекулярные реф-
ракции (средние поляризуемости) могут быть во многих
случаях представлены как суммы рефракций (средних
поляризуемостей) отдельных частей молекулы, в качест-
ве которых можно рассматривать связи, атомы или ионы.
Свойство аддитивности рефракции широко применяется в
исследовании химической природы молекул и для ана-
литических целей.
Модель электрического диполя широко используется
в различных оптических задачах. С помощью этой мо-
дели можно удовлетворительно описать прохождение
света через вещество, поглощение, испускание, рассеяние
света и ряд других явлений.
Электрический диполь представляет собой систему,
состоящую из двух одинаковых по величине и противо-
положных по знаку зарядов, находящихся на некотором
расстоянии друг от друга. Основной характеристикой ди-
поля является дипольный момент р=ег.
Если заряды диполя (или один заряд) совершают
простые гармонические колебания вдоль его оси, такую
систему называют линейным гармоническим осциллято-
ром (см. гл. 1). Переменный дипольный момент осцил-
лятора равен р=ро cos of, где w —частота колебания за-
ряда. Здесь следует иметь в виду, что изменение р=ег
может происходить как путем изменения е=е0 cos wf при
г—const, так и путем изменения r=r0cos tot при е~const.
Первый случай обычно реализуется в радиотехнике (на-
пример, излучение антенны), а второй лежит в основе
ряда физических теорий.
В оптике обычно рассматривается случай, когда
г-<о cos (irf в приближении г«/., что оказывается доста-
точным для получения основных закономерностей. Кро-
ме того, исследования обычно проводятся для довольно
больших расстояний I по сравнению с г (вектор I прово-
дится (рис. 16.3) из центра осциллятора в точку наблю-
дения 0). Эта область изменений I носит название вол-
16.1
Излучение
мектрического
диполя
линейный
гармонический
осциллятор
Рис. 16.3. Электромаг-
нитное поле в сфериче-
ской волне, излучаемой
диполем
292
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис. 16.4. Диаграмма из-
лучения элементарного
осциллятора
волновая зона
знергия
излучения
диполя
новой зоны. В электродинамике доказывается, что в пер-
вом приближении поле нейтральной системы движущихся
зарядов в волновой зоне совпадает с полем осциллятора,
электрический момент которого равен суммарному мо-
менту системы.
Так как электромагнитное возмущение распростра-
няется во все стороны от диполя с одинаковой скоростью
с (предполагается, что диполь находится в вакууме), то
время прохождения волны до всех точек, удаленных от
диполя на одно и то же расстояние /, одинаково. Поэто-
му во всех точках сферы, центр которой совпадает с ди-
полем, фаза колебаний одинакова, т. е. волна, излучае-
мая диполем, является сферической.
Поскольку на быстропеременное световое поле реаги-
руют только электроны атомов и молекул, то их колеба-
тельные движения под действием поля можно модели-
ровать гармоническими осцилляторами. В простейшем
случае изотропной в электрическом (а следовательно, и в
оптическом) отношении молекулы (т. е. под действием
данного электрического поля электрон смещается на од-
но и то же значение по любому направлению молекулы)
направление колебаний электрона в молекуле совпадает
с направлением колебаний электрического вектора па-
дающей световой волны. Направление электрического
вектора Е вторичной волны определяется направлением
колебаний электрона, вызывающего эту волну, т. е. Е
лежит в одной плоскости с р. Так как электромагнитные
волны поперечны, то вектор Е должен быть перпендику-
лярен к направлению распространения волны. Эти два
условия, определяющие расположение вектора Е, поз-
воляют составить представление об излучении колеблю-
щегося электрона (см. рис. 16.3).
Среднее значение энергии (интенсивность) излучения
гармонического осциллятора пропорционально четвертой
степени частоты колебаний ш4 и зависит от направления
излучения (пропорционально sin2©):
<S>=-8»-sin ®' (1614)
Зависимость интенсивности излучения диполя от на-
правления (диаграмма излучения) представлена на рис.
16.4. Из рисунка видно, что интенсивность максимальна
для направлений, перпендикулярных к линии колебаний
электрона (ось элементарного излучателя), и обращает-
ся в нуль для направления вдоль оси (продольная элект-
ромагнитная волна невозможна). Так как электромаг-
нитное поле в волне перпендикулярно к направлению ее
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
293
распространения, то электрический вектор в различных
точках перпендикулярен к радиусам-векторам. Его на-
правление отмечено па рис. 16.4 короткими поперечными
черточками. Следовательно, диаграмма показывает, что
лзлучеггие элементарного осциллятора по всем направле-
ниям линейно поляризовано. Пространственную картину
излучения можно получить вращением фигуры, изобра-
женной па рис. 16.4, вокруг осл диполя.
В гл. 2 уже рассматривались основные законы опти-
ки - законы отражения и преломления света. Пользуясь
принципом Гюйгенса, мы дали формулировку законов п
определили направление распространения отраженной и
преломленной волн. Однако такие важные вопросы, как
интенсивность и поляризация отраженной и преломлен-
ной волн, фазовые соотношения на границе раздела двух
сред и некоторые другие, остались без рассмотрения.
Собственно говоря, ответ на эти вопросы нельзя дать,
поскольку принцип Гюйгенса позволяет определить толь-
ко направление распространения фронта волны, ничего
не говоря о других характеристиках волн.
Более общий подход к изучению законов отражения и
преломления электромагнитной волны может быть осу-
ществлен на основе уравнений Максвелла (см. § 2.1).
Однако уравнения Максвелла были выведены для обла-
стей пространства, в которых физические свойства среды
(характеризующиеся величинами е и р) непрерывны.
В оптике же часто встречаются случаи, когда эти свой-
ства резко меняются на одной или нескольких поверх-
ностях, поэтому необходимо вводить граничные условия.
Выше мы отмечали (см. § 2.1), что при отсутствии по-
верхностных токов и свободных поверхностных зарядов
на границе раздела уравнения Максвелла должны удов-
летворять граничным условиям, т. е. равенству тан-
генциальных составляющих векторов Е и Н. Отно-
шение нормальных составляющих обратно пропорцио-
нально соответствующим значениям е или р, т. е,
pi//In=p2^2n. Так как в оптике обычно
Pi—Р2=L то нормальные составляющие вектора Н рав-
ны Нщ — Нуп-
Ограничимся, как и прежде, рассмотрением плоских
волн. Пусть плоская волна распространяется в произ-
вольном направлении г' со скоростью о (рис. 16.5). Обо-
значим через х, у, z текущие координаты точки на плос-
кости, нормаль N к которой совпадает по направлению
с г\ а радиус-вектор этой точки —через г. Тогда урав-
нение волны запишем в виде
16.3
Отражение и
преломление
электромагнитных
волн на границе
Двух
диэлектрических
сред
Рис. 16.5. К выводу
уравнения плоской вол-
ны, распространяющейся
в произвольном направ-
лении г'
294
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
уравнение волны
уравнение волны
в комплексном
виде
плоская
отраженная волна
плоская
преломленная волна
Ei = Е1() exp 1/(о
£2 = £20ехр /о) /
Рнс. 16.6. К выводу за-
конов отражения и пре-
ломления электромагнит-
ных волн
Е = Еюсо& (о1/
или в комплексном виде (см. §1.4)
£ = Е00ехр ((ок
rN
v
(16.15)
(16.16)
Если ввести направляющие косинусы cos a, cos р и
cos у нормали N, то (16.16) будет иметь вид
(х cos а 4- у cos fl 4- г cos у \1
/----------------------------- . (16.17)
Рассмотрим распространение плоской электромагнит-
ной волны, падающей на плоскую границу, разделяющую
две однородные непроводящие изотропные среды (ди-
электрики). При этом будем предполагать, что обе сре-
ды бесконечны, иначе необходимо учитывать волны, от-
раженные от внешних границ сред. С такими волнами
приходится считаться при отражении света от ограни-
ченных поверхностей, например пластинок.
Законы отражения и преломления. Если на границу
раздела двух1 сред с разными оптическими свойствами
падает плоская волна, то она делится на две волны: от-
раженную и проходящую во вторую среду (преломлен-
ную). Таким образом, электромагнитное поле в первой
среде образуется из поля падающей и отраженной волн,
а во второй — из поля преломленной волны.
Будем считать плоскость ху границей раздела двух
сред (г=0), а нормаль N в падающей волне — лежащей
в плоскости zx (рис. 16.6, cos р=0). Предположим, что
отраженная и преломленная волны являются плоскими.
Тогда выражения для падающей (£), отраженной (£t) и
преломленной (Е2) волн имеют вид
£ —Еюехр
х cos а 4- z cos у \1
h ЛГ
«1
х cos <Xj 4- у cos р2 4- г cos у2
(16.18)
где V) и тг2 — скорости распространения света в первой и
во второй средах.
Граничные условия требуют, чтобы на границе двух
сред тангенциальные составляющие напряженности элек-
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
295
трического поля были непрерывны, т. е. при z=0 должно
выполняться соотношение
= (16.19)
справедливое в любой момент времени t и при любых
значениях координат х и у. Подставляя в равенство
(16.19) значения Ех, Е[х и Е2х из (16.18) при z=0, полу-
чаем
£оотехр fat
к cos а\ , г? „ Л
----+£ютехр «вit—
Li / J L \
х созсц+р cos PiV
' vi /.
= £готехр fait—
xcosa2+ i/cosf}2 у
Ч I.
(16.20)
Тождество (16.20) справедливо при выполнении сле-
дующих условий:
a) cos p/U] = cos 02/и2=О- Этот результат свидетельст-
вует о том, что если предположить, что нормаль N к па-
дающей волне Е лежит в плоскости zx, то и нормали к
отраженной и преломленной волнам (Ni и N?) также ле-
жат в этой плоскости;
б) cosa/o^cosai/o^cosaa/oj. Этот результат при-
водит к двум существенным выводам: 1) cosa=cosa] н,
следовательно, a=ai, т. е. получаем закон отражения
электромагнитных волн; 2) cos a/cos a2=fi/y2) учитывая,
что а+у=л/2 и аг+уг^л/З, следовательно, siny/siny2=
= Oi/v2=n2Mi. так как Ui = cMi, v2=c/n2, т. е. получаем
закон преломления электромагнитных волн.
Формулы Френеля. Для полного описания явлений,
связанных с прохождением света через плоскую границу
двух прозрачных сред, помимо законов отражения и пре-
ломления необходимо указать интенсивность отражен-
ного и преломленного света, состояние его поляризации,
фазовое соотношение. Эти сведения можно получить с
помощью формул Френеля, выведенных в начале XIXв.
Будем считать свет, падающий на границу раздела,
неполяризоваиным (естественным), т. е. ориентация элек-
трического и соответственно магнитного векторов с те-
чением времени меняется. Однако для любого момента
времени каждый из этих векторов можно разложить на
две составляющие, одна из которых параллельна плос-
кости падения, а вторая перпендикулярна к ней, т. е.
естественный свет можно рассматривать как сумму двух
монохроматических плоских волн, распространяющихся
в одном направлении с одинаковой фазовой скоростью,
но поляризованных в двух взаимно перпендикулярных
направлениях. Таким способом можно моделировать хао-
тическую суперпозицию различных эллиптически поля-
эакон отражения
электромагнитных
волн
закон преломления
электромагнитных
волк
Френель (Fresnel) Огю-
стен Жан (1788—1827)—
французский физик, ин-
женер и математик
296
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис. 16.7. Направления
векторов Е и Н на грани-
це раздела:
а — вектор Е лежит в пло-
скости пиления б—
вектор Е перпендикулярен
Ж плоскости падения (л}<л,)
ризованных электромагнитных волн, обусловленных об-
рывами монохроматических колебаний (см. § 1.3).
Решение исходной задачи можно свести к рассмот-
рению двух частных случаев: а) электрический вектор Е
лежит в плоскости падения электромагнитной волны;
б) электрический вектор Е перпендикулярен к плоскости
падения волны. Этот подход обоснован с той точки зре-
ния, что для каждого момента времени нетрудно вы-
числить величину суммарной напряженности электри-
ческого поля Е, если известны две ее проекции на гра-
ницу раздела (£| и£х),таккак
|Е| = /Ёу+Ё’.
Вектор Е лежит в плоскости падения электромагнит-
ной волны. Направления векторов Е1,1 ЕУ и для какого-
то момента времени показаны на рис. 16.7, а. Направле-
ние векторов Н, Н) и Н2 уже определено выбором на-
правления для Ef El1 и E2. Они направлены перпендику-
лярно к плоскости чертежа. Направления векторов El и
Н, конечно, условны, но поскольку мы будем придержи-
ваться их на протяжении дальнейшего рассмотрения, то
полученные соотношения будут общие.
Для проекции амплитуд и Н на границу раздела
Е'оо cos— Flo cos (fj = £§0 cos cpj
Я00 “I" Шь = T/jq-
Исходя из того, что ff)0=nl£lO.#2O=nA
и sin qn/sin получаем
Cil pi _ ГН cos .
£oq-£10- t20
^+£|«=£^-
Тогда
Eoo — Eiо _ sin ф2 cos ф2 sin 2q>2
+ ~ sin cos~ S1’n3’
Преобразуя это выражение, получаем
pll p[| sin 2ф! — sin 2<р, _р|| 2 sin (фд — фо) cos (фг-f-фа) .
£)0--ьоо sin24-Sin2ср2 -£о° 2sin(q>x + (pjcos(фд-<p2) ’
(16.21)
eft „ cl tg(<Pi —Ф») - Л6 22)
Складывая уравнения (16.21), имеем
9 г И _ г И f COS(fr г sinfi = 1 £« Sin2f*+Sin 2fi
2Eoo £2<Ц со$фд Sin<f2 J 2 C2° sin<p2cos<p!
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
297
Откуда
Eh = Eh 2sin<hcos<pt .,
20 ° 51п(ф1-|-ф1)С05(ф1-фг) ‘ ( • )
Вектор E перпендикулярен к плоскости падения элек-
тромагнитной волны. В этом случае направления векто-
ров Е,1 Ej*- иЕз перпендикулярны к плоскости чертежа и
направлены от читателя (рис. 16.7,6). Направления век-
торов Н, Hj и Н2 лежат в плоскости чертежа. Для про-
екций амплитуд векторов Е1 и Н на поверхность раздела
сред получим соотношения
Ebo4* £fo =Efo;
Ню cos — Н10 cos (р£ = Н20 cos ф2.
Условие для проекций амплитуд вектора Н можно
переписать подобно предыдущему случаю в виде
р 1 р± cosфз pi cosфлsinф1
00 10 20 С05фх Пг ~ 20 СО8ф151Пф, ’
Отсюда легко получить искомые соотношения для Е1:
£io-“£o°^rw (16-24)
^-^Пт^ + ф,)"' <16-25>
Аналогичные формулы нетрудно получить и для маг-
нитных векторов. Соотношения (16.22)—(16.25) носят
название формул Френеля. Они были впервые выведены
Френелем при рассмотрении прохождения упругой волны
через границу двух сред. Вывод Френеля принципиаль-
но несостоятелен, так как из условий, которые должны
соблюдаться на границе раздела двух упругих сред, сле-
дует, что если даже падающая волна строго поперечна,
то отраженная и преломленная волны должны обладать
продольными компонентами. Отсутствие продольных све-
товых колебаний вынудило Френеля ввести добавочную
гипотезу относительно свойств эфира, исключающую про-
дольные волны. Электромагнитная теория света без ка-
ких-либо искусственных гипотез непосредственно при-
водит к формулам Френеля, хорошо оправдывающимся
на опыте.
Нормальное падение электромагнитной волны на гра-
ницу раздела. Пусть электромагнитная волна падает
нормально на плоскую поверхность, разделяющую две
среды (рис. 16.8) с разными диэлектрическими проница-
емостями ei и е2. Зная направления падающей (Е, Н),
отраженной (Еь и прошедшей (Е2> #2) волн (векто-
формулы Френеля
Рис. 16.8. Нормальное
падение электромагнит-
ной волны
298
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
потеря полуволны
ры S, S] и S2 соответственно), а также учитывая взаим-
ную ориентацию векторов Е и Н (условие правого вин-
та), можно записать граничные условия: Е+Е]=Ея
Н~Н]=Н2. Знак минус в выражении для проекции век-
тора Н связан с тем, что векторы Sh Ei и Hi отраженной
волны должны составлять правовинтовую тройку векто-
ров (рис. 16.8). С таким же успехом можно было бы
положить вектор Е| антипараллельным вектору Е, а век-
тор Hi — параллельным вектору Н. Конечные результаты
расчетов от этого не изменятся.
Поскольку при г=0 должно соблюдаться соотноше-
ние (16.19), т. е. граничные условия должны выполнять-
ся для любого момента времени t, то для амплитуд на-
пряженности электрического и магнитного полей они за-
пишутся в виде Bqo+£io=£2o; //от—Ню=//го-
После преобразований с учетом того, что Яоо = rtjEoo,
Нм =^//10. Нм = л2Е20, где п1 = Уг1, п2 = )/\( получим
Eqo + EiQ ~ Е2й', Ew Е10 = (И2М1) ^2о-
При нормальном падении света нет различия между
параллельным и перпендикулярным направлениями к
плоскости падения электромагнитной волны, поскольку
положение плоскости падения становится неопределен-
ным. Поэтому в данном случае выражения для амплитуд
отраженной и прошедшей волн имеют вид
(16-26)
£я = £»^. (16.27)
Если И1>п2 (следовательно, ei>e2), то знаки ампли-
туд отраженной Ею и падающей Е» волн совпадают.
Следовательно, реализуется тот случай, который пред-
ставлен на рис. 16.8, т. е. на границе раздела двух ди-
электриков векторы Е и Е] колеблются в одной фазе
(синфазно), а фазы векторов Н и Hi отличаются на л.
Если П!<п2 (следовательно, е!<е2), то знаки Ею и Ем
различны, т. е. происходит изменение на л фазы вектора
Е] по отношению к вектору Е. Векторы Hi и Н в данном
случае колеблются в одной фазе. Этот результат фор-
мулируется в оптике как потеря полуволны Х/2 при от-
ражении света от второй среды (см. § 2.5). Если Е2>£ь
то теряет полволны электрический вектор, а если
то теряет пол волны магнитный вектор.
Амплитуда прошедшей волны Е20 всегда совпадает
по знаку с амплитудой падающей волны ЕОо, т. е. на по-
верхности раздела двух сред фазы обоих векторов (Е2 и
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
299
Е) совпадают (прошедшая волна всегда сохраняет фазу
падающей). Аналогичным образом ведут себя и векторы
Н2 и Н.
Выше (см. § 6.2) для описания процессов отражения и
поглощения на границе двух сред были введены энерге-
тические коэффициенты отражения R и пропускания Т,
которые были определены соответственно как от-
ношение среднего потока энергии отраженной волны
<(с/4я)£]Я1> (или среднего потока энергии прошед-
шей волны <(c/4n)£2//2>) к среднему потоку энергии
падающей волны:
((с/4л) > cos ф2
((с/4л) ЕН ) cos <р
(16.28)
коэффициент
отражения
Выразив R и Т через амплитуды £оо, £ю и Ew, ис-
пользовав соотношения (16.26) и (16.27), получим
коэффициент
пропускания
пг / Ei0 У _ 4пгп,
Л1 \ £(10 / (л1+ пз)2
(16.29)
(16.30)
При отсутствии поглощения, что приближенно спра-
ведливо для многих диэлектриков, /?+Г=1. Это равен-
ство следует из закона сохранения энергии.
Пример. Оценим численные значения R и Т
для частного, но практически очень важного
случая. Рассмотрим прохождение света из воз-
духа («!=!) в стекло (п2«= 1,5). Тогда
„ I л,-1 У
*4%;
41Т»
Г=(Т+^“ВД-
Таким образом, обычное стекло отражает
очень малую часть падающего на него под
прямым углом света. Однако 4 % лучистой
энергии, отражаемой при каждом прохождении
границы воздух — стекло, играют существен-
ную роль в сложных оптических системах. Све-
товые потери могут быть снижены путем склеи-
вания отдельных частей системы прозрачный
веществом, показатель преломления которого
близок к показателю преломления стекол, или
путем спросветления оптики».
Анализ формул Френеля приводит к некоторым след-
ствиям, имеющим важное практическое значение.
Закон Брюстера. Из формул Френеля следует, что
параллельная и перпендикулярная составляющие (£? и
Е\) отраженной волны по-разному изменяются с увели-
чением угла отражения qx. Из формулы (16.22) видно,
что если ф) + ф2-^л/2, то tg (ф1+ф2)-^°°, а значит,£1|[0-И).
Отсюда коэффициент отражения Z?1 ->0. Вместе с тем/?1
не обращается в нуль при ф1+фг=л/2, так как знамена-
тель в формуле (16.24) з1п(ф1-|-ф2)->-1.
16.4
Следствия,
вытекающие
из формул Френеля
Брюстер (Brewster) Дей-
вид (1781—1868)—шот-
ландский физик
300
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
закон Брюстера
угол Брюстера
Рис. 16.9. Падение элек-
тромагнитной волны на
границе раздела под
углом Брюстера:
а—П1>п^ б-Л1<Л|
Таким образом, при некотором значении угла паде-
ния от границы раздела отразится только электромаг-
нитная волна со строго определенной поляризацией, ког-
да вектор Е колеблется перпендикулярно к плоскости
падения ♦>. Волна, в которой колебания вектора Е парал-
лельны плоскости падения, при ф|+ф2=л/2 вообще не
отразится.
Если (р1+ф2=л/2, то 5тф2=со5фр Это означает, что
нормали к отраженной и преломленной волнам взаимно
перпендикулярны (рис. 16.9). В этом случае
*”г = sin фх = sin<pA t
sin Фз COStfi
Зависимость угла отражения (или угла падения), при
котором наблюдается линейно поляризованная отражен-
ная волна, от показателей преломления двух диэлектри-
ческих сред носит название закона Брюстера, а соответ-
ствующий угол фо называют углом Брюстера:
1бФ0 = п2/н1. (16.31)
Например, для видимой области спектра при перехо-
де световой волны из воздуха в стекло 1ифо=1,5:1, что
соответствует фо~57°.
Физический смысл закона Брюстера можно раскрыть
с помощью представлений о вторичных электромагнит-
ных волнах, возникающих в веществе под действием па-
дающей световой волны.
Падающая световая волна возбуждает в среде коле-
бания электронов, которые становятся источниками вто-
ричных волн. В случае изотропных молекул их направ-
ление колебаний совпадает с направлением электриче-
ского вектора световой волны. Это колебание можно
представить как сумму двух колебаний, одно из которых
а лежит в плоскости АОС, а другое р — к ней перпенди-
кулярно (рис. 16.10). Другими словами, колебания элек-
тронов в молекуле изображаются как суперпозиция ко-
лебаний двух элементарных излучателей, оси которых
направлены соответственно по а и р. Излучение каждого
из них может быть представлено диаграммой, изобра-
женной на рис. 16.4, ориентированной в соответствии с
направлениями аир.
Пусть свет падает под углом Брюстера, т. е. ОВЮС.
Следовательно, ОВ||а и согласно диаграмме рис. 16.4
*) Исторически сложилось так, что плоскость, в которой располо-
жен электрический вектор, называют плоскостью колебаний, а плос-
кость, в которой расположен магнитный вектор,— плоскостью поля-
ризации. В дальнейшем, где не будет специальных оговорок, мы бу-
дем иметь в виду под плоскостью поляризации плоскость колебаний
электрического вектора.
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
301
элементарный излучатель типа а вдоль ОБ не излучает.
Таким образом, вдоль ОБ идет свет, посылаемый излу-
чателем типа р, направление колебаний которого пер-
пендикулярно к плоскости чертежа. Это означает, что
отраженный свет имеет строго определенную поляриза-
цию, когда электрический вектор перпендикулярен к пло-
скости падения.
Если угол падения отличен от угла Брюстера, то вдоль
ОБ будет распространяться волна, колебания которой
наряду с компонентой р содержат и компоненту а, и в
тем большей степени, чем больше угол между направле-
нием а и направлением нормали к отраженной волне.
В этом случае отраженный свет будет частично поляри-
зован.
При опытной проверке формул Френеля, как и вообще
в большинстве оптических экспериментов, измеряется не
амплитуда световой волны, а интенсивность света, про-
порциональная квадрату амплитуды.
Так как нас интересует относительное значение ин-
тенсивности, то коэффициент пропорциональности мож-
но положить равным единице. Тогда:
Рис. 16.10. К выяснению
физического смысла за-
кона Брюстера
плоскость колебаний
интенсивность падающего света J — (£оо)г + (£оо)г;
интенсивность отраженного света Д = (£io)2+ (Eio)2',
интенсивность преломленного света /2= (Йо)4+
плоскость
поляризации
Если падающий свет естественный, то < (£j0)2) =
=•• < (£оо)а>» т. е. средние значения обеих компонент
равны. Так как
/ = + ((£оо)!>,
интенсивность
падающего света
то
И.)!) = ((Йо)’) =//2.
Отсюда на основании соотношений (16.22) и (16.24)
легко получить формулу для расчета интенсивности от-
раженного света как функции угла падения (р:
интенсивность
отраженного света
т 1 1 tg1 (Ф-Ф?)
2
___________) । sin2(cp —ф2)
3gs(q>-f-<ps) ' 51п2(ф+ф?).’
(16.32) ф
На рис. 16.11 представлены зависимости коэффици-
ентов отражения Б1 и Е|[ (кривые 1 и 3) от угла паде-
ния ф, а также отношения JJI (кривая 2), рассчитанного
по формуле (16.32). Кривая 2 Проходит между кривыми
Z?1 и совпадая с ними в точках ф=0 и ф=90°. При
угле падения, равном углу Брюстера, коэффициент от-
интенсивность
преломленного
света
302
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
ражения /?й=0. При углах падения, отличных от угла
Брюстера, отраженный свет будет частично поляризо-
ванным, т. е. колебания вектора Е в некотором направ-
лении будут преобладать над колебаниями в других на-
правлениях (при линейной поляризации колебания про-
исходят только в одном направлении). Для характери-
стики меры, или степени, поляризации принимают
отношение
у1 _ г1
р = ——4- юо.
степень поляризации
Рис. 16.11. Зависимость
коэффициентов отраже-
ния R от угла падения
Ф-'
i-т,/1: з-Ri
Рис. 16.12. Схема опыта
для наблюдения поляри-
зации света, отраженно-
го под углом Брюстера:
a-NK\\Nc 6-NiXlf,
Отсюда видно, что степень поляризации равна нулю,
если свет естественный (й=71)» и достигает ±100%,
когда одна из компонент равна нулю. Для света, отра-
женного под углом Брюстера, Д=0 и Р = 4-100 %, т. е.
свет полностью поляризован.
Наблюдение и измерение степени поляризации отра-
женного света удобно производить на приборе, схема
которого изображена на рис. 16.12. В качестве отража-
ющих зеркал лучше всего использовать черные стекла,
так как преломленная волна в них полностью поглоща-
ется и нет отражения от второй поверхности стекла. Мож-
но применять также какой-либо полированный диэлект-
рик, например мрамор. Использование металлических
покрытий искажает результат, так как отражение света
от металла происходит иначе (см. § 16.6).
При падении естественного света на первое зеркало
под углом Брюстера отраженный свет оказывается пол-
ностью поляризованным. Этот поляризованный свет или
полностью отразится от второго зеркала (рис. 16.12, о),
или совсем не отразится от него (рис. 16.12,6), так как
в последнем случае второе зеркало отражает свет толь-
ко той поляризации, которой не было в свете, отражен-
ном от первого зеркала. Изменяя угол падения света на
первое зеркало, можно убедиться, что доля поляризован-
ного света зависит от угла падения ф.
Для преломленной волны при ф=фо знаменатель в
формулах (16.23) и (16.25) ни при каком значении ф1 не
обращается в бесконечность, т. е. полная поляризация
преломленного света невозможна.
Отношение амплитуд преломленного света
₽11 <
С20 _ 1 х ।
cosfo- <рг) ’
т. е. ~ (Его)2 всегда больше ~ (Его)2 и степень
поляризации отрицательна.
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
303
Для системы воздух — стекло прн ф=фо степень по-
ляризации Р=—8 %, т. е. преломленный свет частично
поляризован, причем колебания электрического вектора
расположены в плоскости падения. Если преломленный
свет подвергнуть многократному преломлению, то его
степень поляризации возрастет. Расчет показывает, что
при ф=фо стопа из десяти стеклянных пластинок дает
степень поляризации преломленного света, близкую к
100%.
Фазовые соотношения в отраженной и преломленной
волнах. Из формул Френеля можно установить соотно-
шения в фазах между падающей, отраженной и прелом-
ленной волнами. Исходное положение векторов Е, Ei и
Е2 примем таким, как на рис. 16.7, а.
При анализе фазовых соотношений между векторами
падающей Е и отраженной Ei волн целесообразно рас-
сматривать случаи, когда <р+ф2<дг/2, т. е. <р<фо: ф+ф?>
>л/2, т. е. ф>фо. Тогда из формул (16.22) и (16.24) для
различных значений показателей преломления /ц и п2
(п2>П[ и л2<П[) будут иметь место разные фазовые со-
отношения между Е и Ej (табл. 16.1).
Таблица 16.1. Фазовые соотношения между компонентами
отраженной и преломленной волн
ф + Ф1 < -£- (ф < ф») . я ф+ф1> -у- (ф > ф|)
<Р>ф2» П2> Я1 (Ei> £1)
Ен и Ei совпадают по фазе
Е1 н Е[ противоположны по фазе
Eu и Ei противоположны no
фазе
Е ‘ и Etx противоположны по
фазе
Е;| и Et совпадают по фазе Еп и Ei противоположны по фазе
Е1 и Ер совпадают по фазе Е* и £( совладают по фазе
Таким образом, при углах падения, меньших угла
Брюстера, фаза обеих компонент электрического вектора
отраженной волны противоположна фазе падающей вол-
ны при е2>ei и совпадает с фазой падающей волны при
e2<6i. В частности, это же имеет место и при нормаль-
ном падении.
304
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Аналогичное рассмотрение можно провести и для
| магнитного вектора.
*' [7 “ Если угол падения больше угла Брюстера (ф>фо), то
компоненты Е? и Ej1 ведут себя по-разному: фаза Е^
/ по-прежнему (как и при ф<<р&) противоположна фазе
t --------------*• падающей волны Е1, а фаза Е]1 совпадает с фазой Е11-
’’о Следовательно, при угле Брюстера скачком изменяется
Рис. 16.13. Отступления разность фаз —б( между Ej1 и Е/ (при углах ф«р>
от формул Френеля вбли- они были СОфазНЫ).
8И угла Брюстера Таким образом, при Ф=Фо должно происходить скач-
кообразное изменение фазы Ej11 на л (рис. 16.13) и, кро-
ме того, при падении под углом Брюстера колебания
вектора Ef в отраженной волне должны быть перпенди-
кулярны к плоскости падения, так как Е1' =0, т. е. свет
должен быть линейно поляризованным.
Многочисленные опытные данные показали, что в дей-
ствительности изменение фазы вблизи угла <ро происхо-
дит не столь резко (см. пунктирную кривую на
рис. 16.13), а свет, отраженный под углом, близким к
углу Брюстера, является не линейно, а эллиптически
поляризованным. В связи с этим было высказано пред-
лоляое
внутреннее
отражение
положение, что на поверхности, где ei переходит в е2,
существует промежуточный слой, поэтому переход ei
в происходит не скачком, а быстро и непрерывно. Из-
мерение эллиптически отраженного света позволяет оце-
нить толщину промежуточного слоя, который составляет
сотые доли длины волны. Соответствующая обработка
поверхности уменьшает эффект, но не устраняет его пол-
ностью.
Анализ фазовых соотношений между векторами па-
дающей и преломленной волн показывает (см. форму-
лы (16.23) и (16.25)), что как Е2 и Е11, так и Ег и Е1
всегда совпадают по фазе, т. е. преломленная волна во
всех случаях сохраняет без изменения фазу падающей
волны.
Полное внутреннее отражение. В § 2.4 мы кратко
описали полное внутреннее отражение. Здесь рассмот-
рим это явление более подробно.
Известно, что полное внутреннее отражение состоит
в том, что при отражении электромагнитной волны от
оптически менее плотной среды (n2/nj<l) при углах па-
дения, больших некоторого предельного угла (ф>фПр),
энергия полностью возвращается в первую среду, т. е.
преломленная волна не наблюдается. Поскольку при
этих условиях угол преломления ф2 не имеет смысла, мы
не можем воспользоваться для объяснения данного яв-
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
305
ления формулами Френеля, так как в них непосредствен-
но входит угол <f2- Однако формулы Френеля можно
преобразовать. Запишем соотношения (16.22) и (16.24)
в виде
П ||
но _ tg (ф — фг) _ 51п2ф—sin 2<р, __
£оо ” + ~ $т2ф4-яп2ф, “
_ sin ф COS ф — 51ПфгС05фг .
—' sin ф cos ф 4- sin ф2 cos ф, ’
Г1 . . .
Но _ 51П(ф —ф2) Sin ф COS ф2 — Sin Фа COS Ф
Ejo "" sin (ф 4- фг) — $тфсозф2-|-51п фгсозф "
Значения sin ф2 и cos фг можно выразить следующим
образом:
sin ф2 = sin ф/п12;
собф2 = ± /1 — (sin* ф/пу.
Для рассматриваемого случая Л(2=п2/п1<1, т. е.
cos фг имеет мнимое значение
cos ф2 = ± i / (ып*ф/пу — 1. (16.33)
В результате использования мнимых величин полу-
чаем, как известно, комплексное значение амплитуды,
физический смысл которого заключается в том, что на-
чальная фаза колебания изменяется на некоторую ве-
личину б0 (см. § 1.4). Появление мнимых выражений в
амплитудах отраженной и преломленной волн означает,
что эти волны отличаются от падающей волны не толь-
ко по амплитуде, но и по фазе.
Соответствующий анализ показывает, что знак плюс
в (16.33) отвечает бесконечному возрастанию амплиту-
ды во второй среде, что лишено физического смысла.
Поэтому при дальнейшем рассмотрении будем пользо-
ваться выражением (16.33) со знаком минус, что соот-
ветствует волне, амплитуда которой быстро убывает по
мере проникновения во вторую среду.
Исходя из этих соображений, формулы Френеля пе-
репишем в виде
-г- = -к--------— — zr, (16.34)
£Оо п12со$ф —1 у sin2 ср — п212
Е f a cos ф 4- i Vsin2 ф — n * 2
^00 COS ф — t У sin* ф — П12
(16.35)
306
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рассмотрим отдельно отраженную и преломленную
волны.
отраженная волна
Отраженная волна. Из выражений (16.34) и (16.35)
легко показать, что при <р>фпр
pH е-
£10 _ с10 __ |
pH ~ Е[ ~1,
с00 с00
призма Френеля
преломленная волна
90'
Рис. 16.14. Призма Фре-
неля:
л=),5; (0=54,37°
Это означает, что при полном внутреннем отражении
весь поток энергии вновь возвращается в первую среду.
Данное явление легко наблюдается и демонстрируется
различными способами (см. § 2.4).
При полном внутреннем отражении происходит из-
менение поляризации излучения: линейно поляризован-
ная волна становится эллиптически поляризованной. Это
происходит потому, что при полном внутреннем отраже-
нии изменяются фазовые соотношения между падающей
и отраженной волнами.
Если обозначить изменения фазы £? и Е{ по отно-
шению к и через б11 и б1, а их разность бл — б'
через б, то
6 смф/яп’ф-л?,
-------------------- (|6-36)
Выражение (16.36) обращается в нуль при ф=флр
(так как sin фир—л12), т. е. когда параллельный пучок
испытывает полное внутреннее отражение при предель-
ном угле. В этом случае сдвиг фаз равен нулю и свет
после отражения остается линейно поляризованным.
Используя одно или несколько отражений, можно по-
лучить между взаимно перпендикулярными компонента-
ми вектора Е любую разность фаз от 0 до л/2. Например,
свет, поляризованный по кругу, можно получить при по-
мощи двух отражений в стекле (рис. 16.14). Очевидно,
что для равенства амплитуд в двух линейно поляризо-
ванных волнах падающая волна должна быть линейно
поляризована в плоскости, составляющей с плоскостью
падения угол л/4. Такое устройство носит название приз-
мы Френеля.
Преломленная волна. Как показывает закон прелом-
ления, в данном случае нельзя говорить о преломленной
волне в обычном смысле слова. Однако электромагнит-
ное поле существует и во второй среде. При рассмотре-
нии выражения (16.33) мы уже отмечали, что знак ми-
нус в этой формуле соответствует случаю, когда ампли-
туда преломленной волны быстро убывает по мере углуб-
ления ее во вторую среду. На первый взгляд здесь име-
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
307
ется противоречие: опыт показывает, что при полном
внутреннем отражении вся энергия отражается и вместе
с тем какая-то часть потока энергии распространяется во
второй среде вдоль границы раздела. Такая; ситуация
возможна лишь тогда, когда часть потока энергии, по-
павшая во вторую среду, вновь выходит из нее
(рис. 16.15).
Теоретические исследования, проведенные Эйхенваль-
дом, показали, что движение энергии на границе двух
сред происходит таким образом, что в среднем поток
энергии, проникающий из первой среды во вторую, ра-
вен обратному потоку, причем места входа и выхода
прямого и обратного потоков несколько смещены друг
относительно друга (на расстояние порядка Х/2). В ре-
зультате имеется движение энергии вдоль границы с
выходом обратно в первую среду. Во второй среде элект-
ромагнитное поле захватывает лишь тонкий слой, сравни-
мый с длиной волны и зависящий от угла падения и
показателя преломления. Одним из экспериментальных
подтверждений этого явления может служить описанный
опыт Мандельштама (см. § 2.4, рис. 2.10).
Особенности отражения света от металлической по-
верхности обусловлены наличием в металлах большого
числа электронов, которые слабо связаны с атомами ме-
талла и их можно рассматривать как свободные. Вто-
ричные волны, образованные вынужденными колебания-
ми этих электронов, ведут к возникновению сильной от-
раженной волны. Та часть световой энергии, которая
проникает внутрь металла, поглощается.
Проникновение электромагнитной волны внутрь ме-
талла приводит к возникновению тока проводимости
j = о Е и соответствующих потерь на джоулеву теплоту.
Поэтому при рассмотрении данного вопроса на основе
теории Максвелла задача сводится к учету проводимо-
сти металла, которой при исследовании диэлектриков
мы пренебрегали. Следует отметить, что полная элект-
ронная теория металлов, описывающая все их оптиче-
ские свойства, должна быть квантовой.
Соотношение между величинами потоков отраженной
и поглощенной энергии должно зависеть от электропро-
водности металла. Опыт показывает, что чем больше
электропроводность металла, тем выше его отражающая
способность (например, благородные и щелочные метал-
лы являются хорошими отражателями). Металлы с худ-
шей электропроводностью (например, железо) имеют бо-
лее низкий коэффициент отражения.
Рис. 16.15. К вопросу о
полном внутреннем отра-
жении
Эйхенвальд Александр
Александрович (1864—
1944) — русский физик
Мандельштам Леонид
Исаакович (1879—
1944)—советский физик
U.5
Отражение
электромагнитной
волны
от поверхности
металла
ток проводимости
Джоуль (Joule) Джеймс
Прескотт (1818—1889)—
английский физик
электропроводность
металла
308
Распространение света в изотропных и анизотропных средгх
закон Бугера—
Ламберта—Бера
коэффициент
экстинкции
S(Bouguer) Пьер
—1758) — француз-
ский ученый
Ламберт (Lambert) Ио-
ганн Генрих (1728—
1777) — немецкий ученый
При формулировке основных положений теории не-
обходимо в первую очередь учесть поглощение электро-
магнитной волны, чего мы не делали при рассмотрении
диэлектриков, предполагая, что сумма потоков энергии
для отраженной и преломленной волн всегда равна по-
току падающей энергии. Однако любая среда в большей
или меньшей степени поглощает электромагнитное излу-
чение, что ведет к затуханию электромагнитной волны,
амплитуда которой будет постепенно уменьшаться. Для
волны, распространяющейся вдоль оси г, в слое малой
толщины dz поглощается определенная часть падающе-
го света, пропорциональная толщине слоя dl~—kldz.
В соответствии с этим интенсивность света убывает по
мере проникновения в поглощающую среду по закону
/ = (16.37)
где k — коэффициент, характеризующий ослабление све-
та (коэффициент экстинкции), показывающий, что на
глубине z=}/k интенсивность уменьшается в е раз. Вы-
ражение (16,37) носит название закона Бугера— Лам-
берта— Бера. Коэффициент экстинкции k в (16.37) счи-
тается не зависящим от интенсивности падающего све-
та. Справедливость такого линейного приближения до-
казана множеством различных экспериментальных
фактов. Лишь при использовании очень мощных источ-
ников света (лазеров) необходимо учитывать зависи-
мость k от I.
Теоретические формулы примут более простой вид,
если вместо k ввести величину х=й(Л/4п), характеризую-
щую поглощение излучения с длиной волны А в каком-
либо веществе (в данном случае в металле). Длина вол-
ны А в исследуемом веществе связана с длиной волны Ао
в вакууме известным соотношением А=Ао/л, где п — по-
казатель преломления вещества. Тогда закон Бугера —
Ламберта — Бера можно записать в виде
/ = /оехр[— (4л/А0)лх2]. (16.38)
Планк (Planck) Макс
Карл Эрнст Людэиг
(1858—1947)— немецкий
физик-теоретик
Если лх=1, то в слое толщиной в одну длину волны
(z=Aq) интенсивность света уменьшается в е4л раз, т. е.
приблизительно в 105 раз. Планк предложил считать по-
глощение «металлическим», если пх>1. Действительно,
для большинства металлов лх изменяется в пределах от
1,5 до 5.
Так как 1~<Е2>, то выражение для напряженности
электрического поля Е волны, распространяющейся в ка-
кой-либо среде, будет иметь вид
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом 309
£ = £оехр[— 4^-лхг]exp /2л --г~) . (16.39)
Очевидно, что в формуле (16.39) величина
£оехр [— (2лДо)лхг] играет роль амплитуды затухающей
волны. Если вместо обычного показателя преломления
ввести комплексный показатель преломления
л' = п(1—ix), (16.40)
то уравнение (16.39) примет вид
Е = £оехр^’2л(-(16.41)
или
£ = £0 соз2л (-£-?- г). (16.42)
Выражения (16.41) и (16.42) представляют собой
уравнения плоской волны (амплитуда £0=const), поэто-
му мы можем пользоваться всеми полученными ранее
формулами, заменяя в них показатель преломления п
комплексной величиной п'=п—inx, где действительная
часть п по-прежнему характеризует преломление элект-
ромагнитной волны, а мнимая часть inx описывает по-
глощение волны. Величины п и х являются параметрами,
характеризующими оптические свойства металла.
Если п является комплексным, то комплексным будет
(при всех углах падения ф, кроме ф=0) и угол прелом-
ления ср?, так как всегда должно выполняться равенство
sin<p/sinq)2=n,=n(l—ix), т. е. ф2 уже не будет иметь
простого смысла угла преломления.
Комплексное значение ф2 приводит к тому, что комп-
лексными окажутся амплитуды отраженной и прелом-
ленной волн в формулах Френеля, т. е. возникнет раз-
ность фаз между компонентами этих волн и падающей
волны. Это означает, как известно, наличие эллиптиче-
ской поляризации излучения. Следовательно, если на
металл падает линейно поляризованная волна, то от-
раженная и преломленная волны будут эллиптически по-
ляризованы.
Исследовать преломленную волну трудно, так как она
полностью поглощается в очень тонком слое металла, по-
этому экспериментально обычно изучают отраженную
волну. Этот метод, предложенный Друде в начале XX в.,
является основным методом определения оптических ха-
рактеристик металла.
Идея метода Друде заключается в следующем. При
отражении плоской волны от поверхности металла по-
комплексный
показатель
преломления
оптические
характеристики
металла
Друде (Drude) Пауль
Карл Людвиг (1863—
1906) — немецкий физик
метод Друде
310
Распространение света в изотропных н анизотропных средах
• ручается эллиптически поляризованная волна, поэтому должен возникать сдвиг фаз 6 между £* и Е[. Измерив при некотором угле падения ф коэффициент отражения R, определяют значения п и х. Коэффициент отражения R и разность фаз 6 нетруд- но вычислить для случая почти нормального падения плоской волны на поверхность металла*). Для этого в выражении (16.26) надо заменить на п' т. е. ъ (16.43) я(1 —«х) + 1 («4-1) — »ХЛ х Чтобы получить выражение для коэффициента отра- жения R, надо умножить (16.43) на сопряженную вели- чину, тогда / / Е V (я — I)3 4-(пх)а ₽= £11 . (16.44) \£tof \£0t) (n +1)2 + (ЯХ)» v Для определения б=6й—61 воспользуемся формула- ми Френеля (16.22) и (16.24): _£1о_ = tg(<pi —Фд)_ = вфдо!). (16.45) = = (-6i) (t6.46) £00 sm(<Pi + <P2) F h k ' где pj и p2 —коэффициенты, характеризующие измене- ние амплитуд f11 и Е1 при отражении. В общем случае б^б1, т. е. имеется разность фаз между двумя ортого- нальными компонентами вектора Е, приводящая к эллип- тической поляризации отраженной от металла волны. Отсюда н определяется б=б11 —б1. Связь между оптическими (п, х) и электрическими (е, о) характеристиками металла можно получить, решая
электрические характеристики металла уравнения Максвелла для изотропной однородной сре- ды, обладающей проводимостью о (j=oE). Не останав- ливаясь на ходе решения приведем конечный резуль- тат: л»(1-х2) = е; (16.47) п’х = o/v, (16.48) •> Имеется в виду, что угол ф близок к нулю, ибо при ф, строго равном нулю, никакой эллиптической поляризации в отраженной вол- не не будет. **> См., например: Борн М, Вольф Э. Основы оптики,— М.: Нау- ка, 1970.—856 с.
Взаимодействие электромагнитной волны с веществом
311
где V —частота света; в —диэлектрическая проницае-
мость; о—электропроводность. Разделив уравнения
(16.47) и (16.48) друг на друга, получим
1 — X2 EV
X о
(16.49)
Из формулы (16.49) следует, что прн о->-оо величи-
на х-* 1. Вместе с тем из уравнения (16.48) видно, что
при о оо и п -+ оо. Эти результаты позволяют ввести
понятие «идеального» проводника, для которого о->оо,
п-ноо и х = 1. Такой проводник полностью отражает весь "
падающий на него свет (7? = 1). «идеальный»
В заключение коротко остановимся на сравнении тео- проводник
ретических и экспериментальных данных. Оптические
постоянные металла измеряются обычно в отраженном
свете видимой области спектра. Значения постоянных,
найденные для длины волны 5893 А (желтая £)-линия
натрия), приведены в табл. 16.2.
Т а б л и и а 16.2. Оптические постоянные
некоторых металлов для X = 5893 А
Металл д Лх ₽ Металл Л Лк R
Натрий 0,04 2,42 0,97 Сурьма 3,04 4,94 0,70
Серебро 0,20 3,44 0,94 Кобальт 2,12 4,04 0,68
Магнии 0,37 4,42 0,93 Никель 1,58 3,42 0,66
Калий 0,08 1,81 0,92 Марганец 2,41 3,88 0,64
Кадмий 1,13 5,01 0,84 Свинец 2,01 3,48 0,62
Алюминий 1,44 5,23 0,83 Платина 2,63 3,54 0,59
Олово 1,48 5,25 0,83 Ренин 3,00 3,44 0,57
Золото 0,47 2,83 0,82 Вольфрам 3,46 3,25 0,54
Ртуть 1,60 4,80 0,77 Висмут 1,78 2,80 0,54
Цинк 1,93 4,66 0,75 Железо 1,51 1,63 0,33
Медь 0,62 2,57 0,73
Значения, указанные в табл. 16.2, не согласуются с
формулами (16.47) и (16.48). Например, для меди
о=5,14-1017 с-1, так что для света с А=5893 А
(v=5-1014 с-1) значение cf/v~103, тогда как согласно
табл. 16.2 л2х=1,57. Это несоответствие связано с тем,
что е и о, а отсюда л и к не являются постоянными, а
зависят от частоты. Особенно хорошо эта зависимость
312
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
проявляется в области больших частот (УФ и видимая
области спектра). По-видимому, согласие между теорией
и экспериментом следует ожидать для более низких ча-
стот (ИК область), где o(v) можно заменить статиче-
ским значением электропроводности, которая обычно
измеряется на опыте. Действительно, проверка теории в
спектральной области от 10 до 25 мкм дала удовлетво-
рительные результаты. Следует отметить, что получить п
и лх из измерений о и 8 невозможно, потому что в обла-
сти высоких частот нет достаточно точных методов опре-
деления этих электрических констант.
Глава 17
ОСНОВЫ КРИСТАЛЛООПТИКИ
Распространение света в анизотропных
средах имеет ряд особенностей. Известно, что
анизотропная среда характеризуется различны-
ми свойствами по разным направлениям. Воз-
можна анизотропия любых свойств — механи-
ческих, электрических, упругих, оптических и
т. п. Анизотропия свойств всегда тесно связана
с анизотропией строения вещества и часто
встречается в разнообразных объектах как при-
родного, так и искусственного происхождения.
Мы рассмотрим оптическую анизотропию, т. е,
различие оптических свойств по разным напра-
влениям, которое наиболее ярко проявляется
в кристаллических средах. Распространение
света в кристаллах изучает кристаллооптика.
Теория и экспериментальные методы кристал-
лооптики применимы и к анизотропным веще-
ствам, не обладающим кристаллической струк-
турой.
Своеобразие оптического поведения кри-
сталлов определяется их анизотропией. Суще-
ствует два рода кристаллов— твердые и жид-
кие. Различие между ними сводится к тому, что
в твердых кристаллах частицы (атомы, ионы,
молекулы) во всех трех измерениях расположе-
ны упорядоченно. Твердый кристалл обладает
кристаллической решеткой. У жидких кристал-
лов такой решетки нет. В жидкокристалличе-
ском состоянии обнаруживаются структурные
свойства, промежуточные между свойствами
твердых кристаллов и жидкостей. В таком со-
стоянии могут находиться некоторые вещества
в определенном, характерном для каждого из
них температурном интервале. При более низ-
ких температурах вещество представляет собой
твердый кристалл, а при более высоких оно
переходит в обычную аморфную жидкость.
С оптической точки зрения анизотропия
среды характеризуется различной способностью
среды реагировать на действие падающего све-
та в зависимости от его направления распрост-
ранения. Эта реакция состоит в смещении элек-
трических зарядов под действием поля свето-
вой волны. Для оптически анизотропных сред
величина смешения в поле данной напряженно-
сти зависит от направления, т. е. диэлектриче-
ская проницаемость, а следовательно, и пока-
затель преломления среды будут различны для
разных направлений электрического вектора
световой волны. Другими словами, показатель
преломления и скорость света зависят от напра-
вления распространения световой волны и пло-
скости поляризации ее. Поэтому для анизотроп-
ной среды волновая поверхность, т. е. поверх-
ность, до которой за некоторое время доходит
световое возбуждение из некоторой точки, от-
лична от сферической, характерной для изо-
тропной среды, где скорость распространения
по всем направлениям одинакова.
При изучении распространения света в ани-
зотропной среде обычно исходят из уравнений
Максвелла. Электромагнитная теория света да-
ет детальное описание всех явлений, наблюдае-
мых на опыте и связанных с естественной оп-
тической анизотропией. Кроме того, эта теория
может связать электрическую, а следователь-
но, и оптическую анизотропию с молекулярным
строением вещества, т. е. с расположением ато-
мов и молекул в кристаллической решетке.
Изложение строгой теории связано с ис-
пользованием сложных математических выра-
жений, поэтому мы ограничимся формулиров-
кой основных положений и качественным рас-
смотрением основных фундаментальных
свойств световых волн, распространяющихся в
кристалле.
Основы кристаллооптики
313
Прежде чем рассматривать основные положения и
выводы теории, целесообразно остановиться на некото-
рых экспериментах, показывающих особенности прохож-
дения света через кристаллы.
Двойное лучепреломление. Явление двойного луче-
преломления впервые наблюдал Бартолин (1670) при
прохождении света через кристалл исландского шпата.
Кристалл исландского шпата представляет собой разно-
видность кальцита, который кристаллизуется в виде
ромбоэдра. Он обладает ярко выраженным двойным лу-
чепреломлением и до настоящего времени является наи-
лучшим материалом для изучения и демонстрации этих
явлений, а также прн изготовлении поляризационных
устройств для получения и исследования поляризованно-
го света.
Многие другие прозрачные кристаллы также обнару-
живают в той или иной мере явление двойного лучепре-
ломления. Кристаллы, обладающие кубической решет-
кой (например, кристаллы каменной соли), не дают двой-
ного лучепреломления и являются оптически изотроп-
ными.
Если на достаточно толстый кристалл исландского
шпата направить узкий пучок света, то после преломле-
ния он даст два пространственно разделенных световых
пучка (рис. 17.1). Даже в том случае, когда первичный
пучок света падает нормально к естественной грани кри-
сталла, т, е. угол падения равен нулю, преломленный
пучок разделяется на два, причем один из них представ-
ляет собой продолжение падающего, а второй отклоня-
ется, так что угол преломления отличен от нуля. При
вращении кристалла вокруг направления падающего
света один из преломленных лучей останется неподвиж-
ным, а второй будет обходить вокруг первого.
Это обстоятельство и ряд других отступлений от
обычных законов преломления дали повод назвать пер-
вый пучок обыкновенным (о), а второй — необыкновен-
ным (е) лучом. Для этих лучей показатели преломления
различны. Для обыкновенного луча показатель прелом-
ления п0 остается постоянным при любом угле падения
световой волны на кристалл, а показатель преломления
необыкновенного луча пе зависит от его направления.
В кристалле исландского шпата имеется направле-
ние, вдоль которого отсутствует двойное лучепреломле-
ние, т. е. Ле=л0. Это направление называется оптической
осью кристалла. Она совпадает с линией, соединяющей
два тупых угла кристалла (рис. 17.2). Если кристалл
сошлифовать по плоскостям, перпендикулярным к опти-
17.1
Описание
основных
экспериментов
двойное
лучепреломление
Бартолин (Бартолинус)
(Bartolinus) Эразм
(1625—1698) — датский
физик и математик
обыкновенный луч
необыкновенный луч
оптическая
ось кристалла
Рис. 17.1. Двойное луче-
преломление в кристалле
исландского шпата
314
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис. 17.2. Кристалли-
ческая ячейка исландско-
го шпата
Рнс. 17.3. Отсутствие
двойного лучепрелом-
ления при прохождении
света вдоль оптической
оси кристалла
главное сечение
(главная плоскость)
кристалла
Николь (Nicol) Уильям
(1768—1851) — шотланд-
ский ученый
одноосный кристалл
двуосный кристалл
дихроизм
ческой оси, то пучок света, направленный перпендику-
лярно к этим плоскостям, пройдет сквозь кристалл, не
раздваиваясь (рис. 17.3). Если сошлифованные плоскости
достаточно велики, то легко убедиться в том, что на-
правление, перпендикулярное к ним в любом месте, об-
ладает свойствами оптической оси. Это означает, что
любая прямая, параллельная данному направлению, яв-
ляется оптической осью кристалла. Таким образом, опти-
ческая ось представляет собой определенное направле-
ние в кристалле, а не какую-то избранную линию. Любая
плоскость, проведенная через оптическую ось, называет-
ся главным сечением, или главной плоскостью, кри-
сталла.
Оба луча, возникающие в кристалле при двойном лу-
чепреломлении, полностью поляризованы в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях. Это легко демонстриру-
ется при помощи поляризационных устройств (например,
призма Николя или поляроид). Пусть свет после выхода
из кристалла падает на какое-либо поляризационное
устройство (в этом случае его называют анализатором).
Поворачивая анализатор на некоторый угол, гасим пер-
вый луч и пропускаем полностью второй, а поворачивая
анализатор на угол л/2, полностью пропускаем первый
луч и гасим второй. Анализ таких экспериментов пока-
зывает, что колебания электрического вектора Е в обык-
новенном луче перпендикулярны к главной плоскости, а
в необыкновенном луче вектор Е колеблется в главной
плоскости (см. рис. 17.1). В остальном свойства обоих
лучей при выходе из кристалла ничем не отличаются
друг от друга.
Следует отметить, что описываемые явления типич-
ны для большой группы кристаллов, обладающих одной
оптической осью и называемых одноосными. Сложнее де-
ло обстоит в двуосных кристаллах, где ни один из лучей
не может быть отнесен к обыкновенному. Кроме того,
существуют и такие кристаллы, в которых один из лучей
поглощается сильнее другого. Это явление носит назва-
ние дихроизма.
Правила Мал юса. До сих пор мы считали, что на
кристалл исландского шпата падает естественный свет.
Возникающие при этом обыкновенный и необыкновенный
лучи обладают одинаковой интенсивностью. Допустим,
что на кристалл падает линейно поляризованный свет.
При этом из кристалла также выйдут два линейно по-
ляризованных луча, но разной интенсивности.
Обозначим через ВВ' направление колебаний векто-
ра Е в обыкновенном луче (рис. 17.4). Тогда 00' — на-
Основы кристаллооптики 315
правление колебаний вектора Е в необыкновенном луче.
Пусть на кристалл падает плоская волна, в которой на-
правление АА' колебаний вектора Е составляет угол а
с ВВ'. Обозначая через Ео, (£0)о и (Е$)е амплитуды ко-
лебаний вектора Е в падающей, обыкновенной и необык-
новенной волнах, получаем (Ео) о=£о cos а; (Ео)е=
=Е0 sin а. Учитывая, что интенсивность света I опреде-
ляется квадратом амплитуды, имеем 7o = /cos2a; /е=
=/ sin2a. Отсюда
Рис. 17.4. К выводу пра-
вил Малюса
где / — интенсивность падающего света. Соотношения
(17.1) называются правилами Малюса. Они впервые по-
лучены Малюсом (1810) и экспериментально подтверж-
дены Араго (1811).
Эти соотношения легко проиллюстрировать на опы-
те. Пусть на кристалл К исландского шпата (рис. 17.5, а)
падает узкий пучок линейно поляризованного света, про-
шедшего через поляризатор П. Два луча, вышедшие из
кристалла, дадут на экране два светлых кружка О и Е.
При повороте кристалла вокруг оси, совпадающей с на-
правлением обыкновенного луча, кружок О останется
неподвижным, а центр кружка Е будет Перемещать-
ся вокруг него по окружности, обозначенной на
рис. 17.5, б пунктиром. При этом яркость обоих пучков
не будет постоянной. Если установить кристалл таким
образом, чтобы направление колебаний вектора Е в па-
дающем и обыкновенном лучах совпадали (а=0, см.
рис. 17.4), то интенсивность обыкновенного луча будет
максимальна, а необыкновенный луч полностью погас-
нет. При повороте кристалла на некоторый угол появит-
ся необыкновенный луч и достигнет наибольшей яркости
при а=л/2, а обыкновенный луч исчезнет. При а=л ин-
тенсивность обыкновенного луча снова станет макси-
мальной, а необыкновенный луч исчезнет и т. д. Однако
суммарная яркость обоих лучей останется неизменной
(см. область перекрытия кружков на рис. 17.5,6).
правила Малюса
Малюс (Malus) Этьенв
Лун (1775—1812) -
французский физик
Араго (Arago) Доминик
Франсуа (1786—1853)—
французский астроном к
физик
На протяжении всего предыдущего изложения мы не-
однократно пользовались понятиями линейной и эллип-
тической поляризации, естественного и частично поля-
ризованного света, не вдаваясь в детали этих понятий.
Теперь более подробно рассмотрим поляризованный свет
и познакомимся с оптическими устройствами для его
получения.
17,2
Поляризация света
Поляризаторы
316
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис. 17.5. Сравнение ин-
тенсивностей обыкно-
венного н необыкновен-
ного лучен, возникаю-
щих из линейно поля-
ризованного луча:
а —схема опыта; б—срав-
нение интенсивностей
естественный
(неполяризованный )
свет
линейно
поляризованный
свет
азимут
Естественный и поляризованный свет. Если прн рас-
пространении световой волны направление колебании
электрического вектора хаотически изменяется, т. е. лю-
бое его направление в плоскости, перпендикулярной к
распространению волны, равновероятно, то такой свет
называется неполяризованным, или естественным. Если
же колебания вектора фиксированы строго в одном на-
правлении, то свет называется линейно поляризованным.
В плоскости, перпендикулярной к направлению рас-
пространения света, электрический вектор в произволь-
ной точке 0 в фиксированный момент времени образует
некоторый угол у, называемый азимутом, с осью х про-
извольной системы координат (рис. 17.6). С течением
времени вектор Е естественного света хаотически изме-
няет свое направление и величину, так что его азимут
равновероятно принимает любое значение от 0 до 2л, а
среднее значение модуля Е не зависит от направления
колебаний.
Азимут электрического вектора в линейно поляризо-
ванной волне не изменяется со временем, а конец векто-
ра Е совершает гармонические колебания.
Частично поляризованный свет характеризуется тем,
что в нем имеется преимущественное направление коле-
баний электрического вектора, поэтому частично поля-
ризованный свет можно рассматривать как смесь линей-
но поляризованного и естественного света.
Рассмотрим, какая будет поляризация света, если в
одном направлении распространяются две монохрома-
тические линейно поляризованные волны. В плоскости,
перпендикулярной к направлению распространения све-
та, концы векторов напряженности будут совершать гар-
монические колебания с одинаковой частотой, но в раз-
ных направлениях и с разными амплитудами, при этом
разность фаз колебаний остается постоянной (не изме-
няется со временем).
Если азимуты обеих волн одинаковы, то очевидно, что
независимо от соотношения их фаз результирующая вол-
на также будет линейно поляризована с тем же ази-
частично
поляризованный
свет
мутом.
Если же направления поляризации двух волн взаим-
но перпендикулярны, то результат сложения существен-
но зависит от разности фаз и соотношения амплитуд.
Как показано в § 1.3, в общем случае конец результи-
рующего вектора напряженности описывает эллипс
(рис. 17.7), прн этом в зависимости от разности фаз Е
может вращаться как в правую, так и в левую сторону,
если смотреть навстречу направлению распространения
Основы кристаллооптики
317
света. Поскольку разность фаз постоянна, то в один и
тот же момент времени в двух плоскостях, отстоящих
друг от друга, ориентация эллипса (угол ф) и эллиптич-
ность (отношение полуосей Ь[а) будут одинаковы, но
векторы Е повернуты друг относительно друга на неко-
торый угол. Таким образом, концы векторов лежат
на поверхности эллиптического цилиндра по винтовой
линии с осью вдоль направления распространения света.
Такая поляризация световой волны называется левой
или правой эллиптической поляризацией в зависимости
от направления вращения результирующего вектора.
В частных случаях, если разность фаз кратна л, то
эллипс вырождается в прямую. Если амплитуды колеба-
ний электрических векторов одинаковы и разность фаз
равна ±л/2, то эллипс вырождает в окружность. В этом
случае говорят о круговой, или циркулярной, поляри-
зации.
Линейная, круговая и эллиптическая поляризации —
разновидности полной поляризации света.
Понятие полной поляризации строго применимо толь-
ко к монохроматическому свету. В случае немонохро-
матического света будут наблюдаться отступления, свя-
занные с тем, что все экспериментальные методы полу-
чения поляризованного света зависят от длины волны.
Чем шире спектр светового пучка, тем больше отклоне-
ния от строго линейной поляризации. Циркулярно поля-
ризованный луч с конечной шириной спектра всегда бу-
дет иметь примесь эллиптически поляризованного. В свою
очередь проекционная картина эллиптического света бу-
дет представлять собой эллипс, меняющийся со време-
нем. Эти отступления от полной поляризации будут всег-
да тем больше, чем шире спектр светового пучка.
Полностью поляризованный свет (линейно, циркуляр-
но или эллиптически) удобно изображать с помощью
сферы, предложенной в конце XIX в. Пуанкаре. Кроме
сферы Пуанкаре существует еще несколько методов опи-
сания поляризованного света (параметры Стокса, вектор
Джонсона, квантовомеханическое представление), одна-
ко мы остановимся на методе Пуанкаре, поскольку он
прост, нагляден и позволяет кратчайшим путем решать
проблемы, возникающие при использовании различных
оптических поляризационных устройств *>.
Сфера Пуанкаре изображена на рис. 17.8. Каждая
точка сферы однозначно сопоставляется с определенной
О х
Рис. 17.6. Изображение
линейно поляризован-
ного света
эллиптическая
поляризация
круговая
(циркулярная)
поляризация
Пуанкаре (Poincare)
Жюль Анрн (1854—
1912) — французский ма-
тематик, физик и фило-
соф
Стокс (Stokes) Джордж
Габриель (1819—1903)—
английский физик н ма-
тематик
Рис. 17.7. Изображение
частично поляризованно-
го света
*> См., например: Шерклифф У. Поляризованный свет.—М.: Мир,
1965.-246 с.
318
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
I поляризацией света. Верхний полюс соответствует све-
ту, поляризованному по левому кругу, нижний—по пра-
/Vq ВОМУ- Точки на экваторе представляют собой линейную
/ / \Х поляризацию с плавно меняющимся от точки к точке ази-
l<rL. о МУ101*- Все остальные точки сферы связаны с разной эл-
рХ—Л—липтической поляризацией. При этом по долготе меняется
ориентация эллипса, а по широте — эллиптичность, Если
передвигаться по выбранному меридиану от верхнего
с? A\xf полюса к нижнему, то в верхнем полушарии мы пройдем
последовательно через все левые эллипсы и на экваторе
1 попадем в точку, азимут линейной поляризации которой
равен азимуту большой полуоси всех пройденных эллип-
Рис. 17.8. Сфера Пуан- сов. Следуя дальше по этому же меридиану в нижнее
“Р® полушарие, мы постепенно пройдем через все возможные
правые эллипсы с тем же азимутом большой полуоси и
постепенно уменьшающейся эллиптичностью вплоть до
правоциркулярного света на нижнем полюсе, Аналогич-
но, двигаясь по любой из параллелей, мы пройдем через
все возможные ориентации эллипса с одним и тем же
эксцентриситетом и, замкнув круг, вернемся к исходной
ориентации.
На сфере Пуанкаре можно ввести координаты, подоб-
ные географическим: долготу ф (—180°<(р< 180°) и ши-
роту w (—90°^й>^90°). Положительная долгота отсчи-
тывается от начальной точки Н (см. рис, 17.8) по часо-
вой стрелке, если смотреть сверху, положительная ши-
рота — от экватора вниз. Некоторая произвольная точка
А на сфере соответствует, таким образом, полностью эл-
липтически поляризованному лучу, у которого эллипс
имеет азимут а=<р/2 и эллиптичность tg |<i>/2f, причем
направление вращения левое при ®<0 и правое при
ш>0. Точка И выбрана начальной потому, что ей отве-
чает горизонтальная линейная поляризация. Диамет-
рально противоположная ей точка V определяет верти-
кальную линейную поляризацию.
ф Поляризаторы. Оптическое устройство, которое пре-
образует проходящий через него естественный свет в по-
ломризатор ляризованный, называется поляризатором. Превратить
естественный свет в поляризованный можно, используя
двойное лучепреломление в кристаллах. Поскольку два
луча, выходящие из кристалла, ортогонально линейно
поляризованы, то для получения луча нужной поляри-
зации достаточно перекрыть один из них. Однако этот
прием наталкивается на большие трудности, так как ли-
нейное расхождение лучей в кристалле мало. Поэтому
необходимо использовать очень узкие световые потоки,
что снижает их яркость.
Основы кристаллооптики
319
Гораздо удобнее применять не одиночные кристал-
лы, а их комбинации, носящие название поляризацион-
ных призм. На практике используются призмы двух ти-
пов: призмы, дающие один луч, поляризованный в ка-
кой-либо плоскости (однолучевые поляризационные
призмы), и призмы, пропускающие два луча, поляризо-
ванные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
(двухлучевые поляризационные призмы).
Однолучевые поляризационные призмы. Этот тип
призм построен по принципу полного внутреннего отра-
жения одного из лучей от какой-либо границы раздела,
тогда как второй луч свободно проходит через границу.
Классическим примером такого рода призм является
призма Николя (рис. 17.9). Призма изготовляется из
специально вырезанного кристалла исландского шпата,
разрезанного по линии ДА' и затем склеенного канад-
ским бальзамом — веществом, прозрачным для видимо-
го света с показателем преломления п-1,55. Показатель
преломления канадского бальзама имеет промежуточное
значение между показателями преломления обыкновен-
ного (л0= 1,658) и необыкновенного (пе=1,486) лучей.
При выбранной геометрии призмы Николя и подходящем
угле падения обыкновенный луч испытывает в слое баль-
зама полное внутреннее отражение, а необыкновенный
луч проходит через призму. Вышедший свет будет, та-
ким образом, линейно поляризован. Обыкновенный луч
после отражения поглощается зачерненной боковой по-
верхностью призмы.
Поляризационные призмы следует устанавливать на
пути параллельных или, в крайнем случае, слабо расхо-
дящихся лучей, Это требование необходимо для получе-
ния полностью поляризованного света. В частности, наи-
большее отклонение падающих лучей от параллельных
(угловая апертура), при котором свет, выходящий из
призмы Николя, еще полностью поляризован, равно 29°.
Поляризационных призм различной конструкции су-
ществует довольно много. Перечислим только некоторые
из них.
Призма Аренса (рис. 17.10) содержит три призмы из
исландского шпата, склеенные канадским бальзамом.
Угловая апертура призмы Аренса равна 35°. У всех по-
ляризационных призм, склеенных канадским бальзамом,
имеется общий недостаток —они непригодны для рабо-
ты в ультрафиолетовой области, так как канадский баль-
зам сильно поглощает ультрафиолетовые лучи. Для ра-
боты в этой области применяются призмы с воздушной
прослойкой или призмы, склеенные прозрачными для
поляризационная
призма
однолучевая
поляризационная
призма
призма Николя
призма Аренса
Рнс. 17.10. Призма Арен-
са
320
Распространение света в изотропных н анизотропных средах
призма
Г лапа — Фуко
Глав (Gian) П. (1848 -
1898) — физик
Фуко (Foucault) Жан
Бернар Леон (1819—
1868) —французский фи-
зик
двухлучевая
поляризационная
призма
призма Волластона
Волластон (Wollaston)
Уильям Хайд (1766—
1828) — английский уче-
ный
призма Аббе
Аббе (Abbe) Эрнст Карл
(1840—1905) — немецкий
физик-оптик
дихроичный
поляризатор
ультрафиолетовых лучей веществами — глицерином или
некоторыми маслами. Примером такого рода призм мо-
жет служить призма Глана — Фуко (рис. 17.11). В ней
две призмы из исландского шпата отделены друг от дру-
га воздушным зазором. Оптические оси перпендикуляр-
ны к падающему лучу и плоскости чертежа. Апертура та-
кой призмы составляет 7,9°.
Двухлучевые поляризационные призмы. Второй вид
поляризационных призм представляет собой такую ком-
бинацию призм, которая пропускает оба луча, но раз-
водит их на значительный угол. Из них наиболее извест-
на призма Волластона (рис. 17.12). Она содержит две
призмы из исландского шпата, склеенные канадским
бальзамом. Оба выходящих луча отклоняются симмет-
рично по отношению к падающему лучу и поляризованы
во взаимно перпендикулярных плоскостях, Угол между
лучами составляет 3,4°.
Значительно больший угол расхождения между лу-
чами дает призма Аббе (рис. 17.13), Она содержит цент-
ральную равностороннюю призму а из исландского шпа-
та с оптической осью, параллельной преломляющему
ребру, и две стеклянные призмы Ь. Необыкновенный луч
проходит через призму без отклонения, обыкновенный
луч отклоняется на угол 11,7°. Увеличивая преломляю-
щий угол до 90°, можно получить угол расхождения 23°.
Дихроичные поляризаторы. В основе этого типа по-
ляризаторов лежит явление дихроизма, состоящее в том,
что коэффициент поглощения света веществом зависит
не только от длины волны, но и от поляризации света.
Различное поглощение света в зависимости от ориентации
вектора Е влечет за собой и зависимость поглощения от
направления распространения света в среде. С этой
точки зрения вместо термина «дихроизм» (двухцвет-
ность) был бы более подходящим термин «плеохроизм»
(многоцветность), однако в литературе укоренился тер-
мин «дихроизм».
Причина дихроизма состоит в анизотропном строении
поглощающего тела. Этим свойством в большей или
меньшей степени обладают те поглощающие свет сре-
ды, которым свойственно и двойное лучепреломление.
Впервые дихроизм был открыт в начале XIX в. на
монокристаллах полудрагоценного минерала турмали-
на. Турмалин обладает двойным лучепреломлением и,
кроме того, сильно поглощает обыкновенный луч. Плас-
тинка из турмалина толщиной 1 мм практически пол-
ностью поглощает обыкновенный луч, пропуская линейно
поляризованный необыкновенный луч.
Основы кристаллооптики
321
Широкое распространение приобрели так называемые
пленочные поляризаторы (поляроиды), созданные в
20-х гг. нашего столетия. Если полимерную пленку, со-
стоящую из длинных линейных макромолекул, в нагре-
том и размягченном состоянии подвергнуть механиче-
скому растяжению в определенном направлении, то мо-
лекулы полимера ориентируются длинными осями вдоль
направления растяжения и пленка становится анизо-
тропной. Если при этом в полимере растворено вещест-
во, молекулы которого анизотропны по форме (лучше
всего, если они тоже линейны) и обладают высоким ди-
хроизмом, то упорядоченная среда макромолекул поли-
мера, образующаяся при растяжении, ориентирует эти
примесные молекулы. Пленка становится поляризатором
света. Таким способом получают поляроиды высокого
качества (степень поляризации прошедшего света —
99,99 %) и достаточно большого размера с угловой апер-
турой, равной 180°.
Чаще всего для изготовления поляроидов применяют
полимер, называемый поливиниловым спиртом (ПВС).
Для сохранности и удобства в работе полимерные поля-
роидные пленки помещаются между двумя защитными
пластинками из стекла или изотропной пластмассы.
Существует несколько типов поляроидов, которые
принято обозначать символами Н, К, L, J. Поляроиды
//-типа изготавливают из растянутой пленки поливини-
лового спирта, которая прокрашивается в насыщенном
водном растворе иода. В пленке образуются длинные
цепочки полимерных дихроичных молекул комплексного
соединения ПВС —иод. Такие поляроиды обладают хо-
рошим пропусканием и высоким поляризующим действи-
ем в области 5000—7000 А.
Способ приготовления поляроидов /(-типа состоит не
в присоединении, а, наоборот, в отщеплении некоторых
атомов от молекул поливинилового спирта. В результате
часть поливинилового спирта превращается в поливини-
лен, обладающий поглощением не только в видимой, но
и в ультрафиолетовой области.
Для создания поляроидов широко применяются раз-
личные органические молекулы, ориентирующиеся в
растянутых пленках ПВС, целлофана и других полимер-
ных материалов. Эти поляроиды относятся к L-типу.
Вместо молекул для ориентации в поляроидных плен-
ках могут быть использованы и анизотропные микрокри-
сталлы. Наиболее применимым для этой цели веществом
является герапатит (периодидсульфат хинина). Его кри-
сталлы имеют игольчатую форму, и ось наибольшего
Рнс. 17.11. Призма Гла-
ва — Фуко
поляроид
(пленочный
поляризатор)
Рве. 17.12. Призма Вол-
ластона
Рис. 17.13. Призма Аббе
322
Распространение света в изотропных и с'низьтропнь’': средах
поглощения совпадает с осью «иглы». При ориентации
их в растягиваемой пленке, например ацетата целлюло-
зы, происходит ориентация «игл» вдоль оси растяжения
пленки. Такие поляроиды обозначаются символом J.
17.3
Распространение
мектромагнитной
волны
в анизотропной
среде
тензор
диэлектрической
проницаемости
главное
направление
кристалла
При рассмотрении прохождения света через изотроп-
ную среду мы считали, что вектор электрической индук-
ции D связан с вектором Е соотношением D=eE, где
е —скалярная величина и, следовательно, D и Е имеют
одинаковые направления. В общем случае оптически
анизотропной среды направления векторов D и Е не со-
впадают друг с другом. Связь между ними задается че-
рез тензор диэлектрической проницаемости. Соотноше-
ние между D и Е можно записать в виде
Рх Ехх&х 4* Еху^у 4” Ехг^г'
^у ~ ^ух^х 4* Еуу&у 4"
4* У Т ®2г^г’
(17.2)
Эти три соотношения можно представить в виде
одного: D = eE, где е—тензор:
(®хх Еху ®хг \
®ух Еуу Еуг г (17-3)
£хх егу Еи '
Для прозрачных кристаллов ЕхУ=еух, еХ1=егх,
evz=EzV, т. е. тензор диэлектрической проницаемости сим-
метричен.
Из уравнений (17.2) следует, что соотношение между
D и Е остается линейным, значит, остается справедли-
вым и принцип суперпозиции. Как и в случае изотроп-
ной среды, предположим, что магнитная проницаемость
вещества при оптических частотах равна единице.
Общие закономерности, касающиеся диэлектриче-
ской проницаемости анизотропной среды, сводятся к
возможности представить всю совокупность значений
тензора при помощи трехосного эллипсоида. Трем зна-
чениям диэлектрической проницаемости (соответствую-
щим осям эллипсоида) соответствуют в кристалле три
взаимно перпендикулярных направления, характеризую-
щихся тем, что для них направления векторов D и Е со-
впадают. Эти направления называются главными на-
правлениями кристалла. Если выбрать за оси координат
х, у, z главные направления, то тензор диэлектрической
проницаемости будет иметь диагональный вид:
Основы кристаллооптики
323
( ех 0 0 \
е = I 0 гу О I
\0 0 Ел/
и будут выполняться соотношения
Dx~%xEx'i Dy—tyEyt Di=e,1EI. (17.4)
Величины ex, и ez называются главными диэлект-
рическими проницаемостями, Обычно оси координат вы-
бирают так, чтобы Ex<ey^£z. Если по некоторому на-
правлению действует электрическое поле Е, то соответ-
ствующее значение индукции D можно получить следу-
ющим образом (рис. 17.14). Разложим поле Е на ком-
поненты £х, Еу, Et вдоль главных осей. Каждая из этих
компонент обусловит вдоль осей в соответствии с равен-
ствами (17.4) слагающие индукции Dx, Dy, Dz. Результи-
рующий вектор D получится простым построением. Из
рис. 17.14 видно, что D и Е не совпадают по направ-
лению.
В выбранных таким образом координатах х, у, г вы-
полняется соотношение
щх2+М2+егг2=const. (17.5)
Это и есть уравнение эллипсоида, который называет-
ся эллипсоидом диэлектрической проницаемости, или
эллипсоидом Френеля.
Любой эллипсоид имеет два круговых сечения
(рис. 17,15). Направления, перпендикулярные к таким
круговым сечениям, являются оптическими осями кри-
сталла, которых в общем случае будет две (оси О’О' и
О"О"), т. е. кристалл должен быть двуосным. Если две
главные диэлектрические проницаемости одинаковы, на-
пример то эллипсоид Френеля вырождается в эл-
липсоид вращения, характеризующий одноосный кри-
сталл, единственная оптическая ось которого совпадает
с осью х.
Несовпадение в общем случае векторов D и Е при-
водит к различию в направлениях распространения фа-
зы и энергии волны. В плоскости волнового фронта, т. е.
в плоскости, перпендикулярной к нормали N, располо-
жены вектор электрической индукции D и вектор напря-
женности магнитного поля Н. Вектор же Е, не совпада-
ющий с D, образует с N угол. Лишь когда N совпадает с
одной из осей эллипсоида диэлектрической проницаемо-
сти, Е и D совпадают между собой по направлению и
располагаются перпендикулярно к N. Оба вектора Е и D
всегда перпендикулярны к вектору Н (рис. 17.16).
Рнс. 17.14. Несовпаде-
ние векторов Е и D в
анизотропной среде
главная
диэлектрическая
проницаемость
уравнение
эллипсоида
эллипсоид
диэлектрической
проницаемости
(эллипсоид Френеля)
Рис. 17.15. Эллипсоид
Френеля
324
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис. 17.16. Взаимное рас-
положение векторов Е,
D, Н, S и N
Таким образом, плоскость фронта волны, распростра-
няющейся вдоль N, есть плоскость DH и световой век-
тор направлен по D, а не по Е, как это было для изо-
тропной среды, где между этими направлениями нет раз-
личия. Однако и плоскость ЕН, повернутая на угол ф
относительно плоскости фронта волны DH, имеет важ-
ное значение, ибо нормаль к ней определяет направле-
ние потока лучистой энергии (вектор Умова—Пойнтинга
S (2.36)), т. е. направление светового луча. Для изо-
тропной среды луч и нормаль к фронту волны совпа-
дают, так как Е и D имеют одинаковые направления.
В этом смысле волна в кристалле не является строго
поперечной, так как есть отличная от нуля проекция век-
тора Е на направление N и соответственно проекция век-
тора D на направление S. Векторы D и Е совпадают
лишь тогда, когда вектор N совпадает с одним из глав-
ных направлений кристалла.
Итак, направление распространения фазы волны
(вдоль нормали N) и направление распространения
энергии волны (вдоль луча S) не совпадают между со-
бой. Скорость фазы v, измеренная вдоль нормали (фа-
зовая скорость), будет отличаться от скорости распрост-
ранения световой энергии ц, измеренной вдоль луча (лу-
чевая скорость).
Рассмотрим распространение плоских монохромати-
ческих электромагнитных волн в прозрачных и однород-
ных кристаллах. Запишем их в комплексном виде (ср.
с (1.48)):
Е = Ео^-Ч
Н-Н/
D = D,/ w-k'\
(17.6)
Фундаментальные уравнения Максвелла справедли-
вы без изменений и для кристаллов:
rotH=4^; rotE=-4-^. (17.7)
Учитывая, что для плоских волн (17.6) dD/df=rwD,
rot Н=—i [кН],.,из (17.7) получаем
D = --£-[kHJ; H = -jj-[kE). (17.8)
Введем единичный вектор нормали N по формуле
k=N(ft)/t>), тогда из (17.8) получим
D = _JL[Nh]; (17.9)
Основы кристаллооптики
325
H = -~[NEh (17.10)
где v — фазовая скорость волны, с которой распростра-
няется волновой фронт, вдоль нормали N. Из соотноше-
ний (17.9) и (17.10) видно, что векторы D, Е перпенди-
кулярны к Н, а векторы D, Н перпендикулярны к N.
Если присоединить к этим формулам еще выражение
для плотности потока энергии (вектора Умова —Пойн-
тинга)
S=^[EH|. (17.11)
то получится такое расположение векторов, как на
рис. 17.16.
Подставим (17.10) в (17.9) и раскроем двойное век-
торное произведение
D = A[E-N(EN)] (17.12)
или в проекциях на оси координат:
(17.13)
Подставим в (17.13) значения EXt Ev и Ег из (17.4), в
результате получим
n AUEN) .
A^(EN)
U'J ^Iv4y) - 1 ’
n ^(EN)
Умножая Dx, Dy, D2 соответственно на Nx, Nyt Nt и
складывая, будем иметь
/ У?
__________________________________
\ (С3/^)-^ (C%)-V3
+ )^(EN) = 0,
так как DN=0, a EN отлично от нуля. Поэтому
У2 yj У2
---- ----1----1---1-----1 = 0.
1,1 °2—
Л if с •
Умов Николай Алексеевич
(1846—1915) — русский
физик
Пойнтинг (Poynting)
Джон Генри (1852—
1914) — английский фи-
зик
уравнение Френеля
для фазовой
скорости
Л'2
у
(17.14)
326
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
главная скорость
распространения
света в кристалле
Здесь введены обозначения ax~clfcx, av=c/fcv, az=
—c^ez, которые называются главными скоростями рас-
пространения света в кристалле. Уравнение (17.14) на-
зывается уравнением Френеля для фазовой скорости све-
та в кристалле.
Выражение (17.14) после приведения к общему зна-
менателю имеет вид
“ у8) —а2) + JVJ («J - о2) (а* - о2) +
+ №2 (aj- us) (ej- ог) = 0. (17.15)
Уравнение (17.15) является уравнением второй сте-
пени относительно и2. Если задать направление N, то из
уравнения (17.15) можно найти нормальную скорость и.
Например, положим Л7Ж=1, JVy=JVx=O, т. е. волна рас-
пространяется вдоль оси х, тогда из (17.14) имеем
Oj=±av; v?=±az. Знак минус означает распространение
волн в отрицательном направлении оси х. Следователь-
но, в положительном направлении оси х распространя-
ются две волны с различными скоростями. Таким обра-
зом, в общем случае каждому направлению распростра-
нения волны в кристалле, задаваемому вектором N, со-
ответствуют два значения фазовой скорости, величины
которых меняются в зависимости от направления. В со-
ответствии с выбором соотношения между главными ди-
электрическими проницаемостями можно показать, что
для любого направления
Докажем, что если скорости Vi и различны, то век-
торы D обеих волн, которые могут распространяться в
направлении N, взаимно перпендикулярны. Отметив ве-
личины, относящиеся к одной из волн, индексом 1, а к
другой — индексом 2, из (17.12) получим
с2 (NEJN; •<
o2D2-c2E2 = ~c2(NE2)N. |
Умножим первое уравнение скалярно на Da, второе —
на D( и вычтем одно уравнение из другого. Так как
D[N=D2N=0, то в результате получим
(v2-U2)DlD2 = c2(EA-E2D1).
Но EiD2=E2Di, так как каждое из этих скалярных
произведений равно Зна-
чит, при следует D1D2=0, т. е. волны D линейно
поляризованы в перпендикулярных плоскостях.
Наряду с главными скоростями для характеристики
оптических свойств кристаллов пользуются также глав-
Основы кристаллооптики
327
ными показателями преломления, которые определяют-
ся выражениями
«х = с/ах = /ел; Пу = с/аи = /еу; п2 = с/а2 = /£.
Для волны произвольного направления показатель
преломления кристалла определяется выражением
п=ф). Таким образом, каждому направлению нормали
N соответствуют два значения показателя преломления
в соответствии с двумя возможными поляризациями
среды.
Итак, вдоль произвольного направления N в кристал-
ле распространяются две линейно поляризованные вол-
ны во взаимно перпендикулярных плоскостях с различ-
ными скоростями. Но световая энергия переносится
вдоль направления, задаваемого вектором Умова —
Пойнтинга. Следовательно, направления распростране-
ния энергии (направления лучей) для этих волн различ-
ны, что приводит к пространственному разделению све-
тового луча, т. е. к двойному лучепреломлению.
Чтобы представить, как распространяются плоские
световые волны в кристалле и как меняется фазовая
скорость волны в зависимости от изменения направления
нормали к волне, рассмотрим распространение волны
из некоторой точки 0 внутри кристалла (рис. 17.17). Бу-
дем откладывать фазовую скорость света в виде радиу-
са-вектора по всем возможным направлениям нормали
к волне. Тогда через концы нормальных скоростей мож-
нц провести поверхность, которую называют поверх-
ностью нормалей. Поверхность нормалей имеет двупо-
лостным характер. Пересечение радиуса-вектора с по-
верхностью нормалей дает два значения скорости Di и иг,
что соответствует распространению в заданном направ-
лении двух плоских световых волн. Скорости по осям
х, у, г соответственно равны ау и аг, ах и аа ау и ах.
Сечения поверхности нормалей плоскостями ху, xz и
yz показаны на рис. 17.18. В каждом сечении поверхно-
сти нормалей получается круг и эллипс. В двух направ-
лениях О'О' и О”О" (рис. 17.18, б) фазовые скорости
обеих волн в кристалле совпадают. Эти направления на-
зываются оптическими, осями второго рода, или бинор-
малями.
Кроме поверхности нормалей можно построить также
поверхность, которая будет представлять собой геомет-
рическое место концов векторов Умова — Пойнтинга.
Такую поверхность называют лучевой, или волновой, по-
17.4
Поверхносп
нормалей
и лучевая
поверхность
поверхность
нормалей
оптическая ось
второго рода
(бинормаль)
т 1
Рис. 17.17. Поверхносп
нормалей двуосиого кри-
сталла
328
Распространение света в изотропных н анизотропных средах
лучевая (волновая)
поверхность
верхностью, так как она характеризует поверхность све-
товой волны. Принцип построения остается тот же. Так
как угол между N и S мал, то различие между формами
поверхности нормалей и лучевой поверхностью незна-
чительно. Для двуосного кристалла опять получается
сложная двуполостная поверхность с четырьмя точками
встречи обеих полостей (аналогичных О’ и О" на
оптическая ось
первого рода
(бирадиаль)
Рис. 17.19. Волновые по-
верхности двуосного кри-
сталла
Рис. 17.18. Сечение поверхности нормалей двуосного кристалла
рис. 17.18). Направления, соединяющие попарно эти точ-
ки (подобно 0'0' и О"О"), являются направлениями со-
впадения лучевых скоростей и называются оптическими
осями первого рода, или бирадиалями.
Сечения волновой поверхности тремя плоскостями,
перпендикулярными к главным осям диэлектрической
проницаемости, принятым за оси координат, представля-
ют собой сочетания эллипса и круга. В перспективе изоб-
ражение трех главных сечений волновой поверхности в
двуосном кристалле представлено на рис. 17.19.
17.5
Оптические
свойства
одноосных
кристаллов
В общем случае кристалл является двуосным, т. е. в
нем имеются два направления, представляющие собой
две оптические оси, ориентированные относительно глав-
ных осей кристалла под определенным для данного ве-
щества углом а (см. рис. 17.18). Если угол а=0, то обе
оптические оси совпадают и кристалл становится одно-
осным. Поляризационные явления в двуосных кристал-
лах значительно сложнее, чем в одноосных. Мы ограни-
чимся лишь рассмотрением оптических свойств одноос-
ных кристаллов.
Слияние оптических осей кристалла может произой-
ти либо по направлению г (рис. 17.20, а), когда совпа-
дают главные скорости ах и пу, либо по направлению х
(рис. 17.20,6), когда совпадают главные скорости av и
az. В одноосном кристалле один из лучей испытывает та-
Основы кристаллооптики
329
кое же преломление, как и луч света на границе раздела
двух изотропных сред.
Для обыкновенного луча показатель преломления л0
не зависит от направления распространения света в кри-
сталле. Для необыкновенного луча показатель прелом-
ления пе зависит от направления распространения света
в кристалле. Для лучевых поверхностей получаем соот-
ветственно сферу и эллипсоид. Точки соприкосновения
этих поверхностей лежат на оптической оси. В двуосных
кристаллах оба луча необыкновенные.
Кристалл называется положительным, если п0<пе
и отрицательным, если п0>пе (v0<ve) (см.
рис. 17.20). Представителем положительного одноосно-
го кристалла является, например, кварц (п0=1,543;
= 1,552), а отрицательного — исландский шпат
(^=1,658; ле=1,486).
Различие между поведением обыкновенного и необык-
новенного лучей внутри кристалла соответствует разли-
чию направления электрического вектора в этих лучах
по отношению к оптической оси. Для обыкновенного лу-
ча вектор Е всегда расположен перпендикулярно к опти-
ческой оси, так как он направлен перпендикулярно к
главной плоскости, в которой лежит оптическая ось. По-
этому при любом направлении обыкновенного луча его
электрический вектор ориентирован одинаково по отно-
шению к оптической оси, а его скорость не зависит от
направления. Электрический вектор необыкновенного
луча лежит в главной плоскости, т. е. в той же плоско-
сти, что и оптическая ось. Поэтому его направление мо-
жет составлять в зависимости от направления луча не-
который угол с осью (в пределах от 0 до 90°). Отсюда и
скорость будет зависеть от направления.
Рассмотрим некоторые случаи преломления света в
одноосных кристаллах. При анализе будем пользоваться
принципом Гюйгенса (см. § 2.4) — простым и в то же
время достаточно эффективным способом изучения рас-
пространения света в анизотропных средах; Поверхно-
сти, фигурирующие в построении Гюйгенса, есть лучевые
поверхности, а не поверхности нормалей. Действительно,
по правилу Гюйгенса для получения фронта плоской вол-
ны проводят плоскость, касательную к поверхности Гюй-
генса. А фронт волны касателен именно к лучевой по-
верхности и пересекает поверхность нормалей. Таким
образом, используя представление о сферической и эл-
липтической волновых поверхностях, можно найти на-
правления обыкновенного и необыкновенного лучей в од-
ноосных кристаллах. Разберем частные случаи.
Рис. 17.20. Поверхности
нормалей положительно-
го (а) и отрицательного
(б) одноосных кристал-
лов:
e“"0<V б“
%>%' vo<ve
положительный
кристалл
отрицательный
кристалл
принцип Гюйгенса
Гюйгенс (Huygens) Хри-
стиан (1629—1695) — ни-
дерландский механик, фи-
зик и математик
330
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
а
О
С'-
о
Ya
Направления
Рнс. 17.21,
распространения обык-
новенного и необыкно-
венного лучей:
а— оптическая ось 0'0" ле-
жит в плоскости падения
под углом к преломляющей
грани: б —оптическая ось
0'0" составляет угол с пре-
ломляющей гранью кристал-
ла (свет падает нормально
на грань кристалла); а —оп-
тическая ось 0'0" парал-
лельна преломляющей грани
кристалла (свет падает нор-
мально на грань кристалла)
Оптическая ось 0'0" лежит в плоскости падения под
некоторым углом к преломляющей поверхности кристал-
ла (рис. 17.21, а). Пусть на преломляющую поверхность
кристалла падает плоский фронт полны АВ. Угол паде-
ния равен i. За время, в течение которого свет от точки
В достигнет D на границе двух сред, в кристалле около
А возникнут две волновые поверхности — сферическая
и эллиптическая, соприкасающиеся друг с другом в
направлении оптической оси А'~: Нл рнс. 17.21, а эллип-
тическая поверхность лежит ? л-три сферической, что
соответствует случаю положительного кристалла. Око-
ло всех точек между А и D возникнут такие же вол-
новые поверхности. По принципу Гюйгенса необходимо
провести две плоскости, кас.?л-лытые к сфере (DF)
и эллипсоиду (DE), Первая плоскость дает фронт
преломленной обыкновенной ь=.*лиы, вторая — необык-
новенной. Обыкновенные презлгленные лучи 40, Со,
О о получим, проведя линии • ;очкам касания сфери-
ческих поверхностей с плоское:,->ю DF. Колебания элект-
рического вектора в этих луча к происходят перпендику-
лярно к плоскости главного сечения кристалла, которая
-о’ совпадает с плоскостью чертеж;, (на рис. 17.21, а они от-
мечены точками), Необыкновенные преломленные лучи
Ае, Се, De получим, проведя линии к точкам касания эл-
липтических поверхностей с плоскостью DE. В рассмат-
риваемом случае они лежат в плоскости падения, но они
не нормальны к волновому фронту. Колебания электри-
ческого вектора в необыкновенных лучах происходят в
плоскости главного сечения кристалла (на рис. 17,21, а
они отмечены стрелками). Таким образом, из рис, 17.21,с
видно образование двух систем лучей — обыкновенных и
необыкновенных, идущих в кристалле в разных направ-
лениях.
Оптическая ось 0'0" составляет некоторый угол с
преломляющей гранью кристалла (рис. 17.21, б). В этом
случае одновременно около всех точек А, С и D возник-
нут сферические волновые поверхности одинакового ра-
диуса, в результате чего волновой фронт обыкновенной
волны в кристалле пойдет параллельно падающему и
обыкновенные лучи. Ао, Со и Do пересекут грань кри-
сталла не преломляясь. Волновой фронт необыкновен-
ной волны также параллелен падающему фронту, но точ-
ки его касания с эллиптическими волновыми поверхно-
стями сдвинуты относительно точек А, С, D. Это приво-
дит к отклонению необыкновенных лучей Ае, Се и De от
их первоначального направления. Таким образом, гео-
метрическое построение Гюйгенса объясняет отклонение
Интерференция поляризованных лучей
331
необыкновенных лучей при нормальном падении света
на грань кристалла.
Оптическая ось О'О" параллельна преломляющей
грани кристалла (рис. 17.21, в). Обыкновенный и не-
обыкновенный лучи распространяются в кристалле, не
преломляясь, в одном и том же направлении. Однако
волновые фронты обыкновенной и необыкновенной волн
не совпадают. Если кристалл положительный, то фронт
необыкновенной Волны отстанет от фронта обыкновен-
ной волны. Если кристалл отрицательный, то картина
будет обратная. В результате в обоих случаях между
обыкновенной и необыкновенной волнами возникает
определенная разность хода.
Глава 18
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЛУЧЕЙ
В явлениях интерференции света кроме ко-
герентности очень важно еще и состояние по-
ляризации интерферирующих лучей. При рас-
смотрении интерференции (гл. 4—7) мы специ-
ально ие оговаривали состояние поляризации и
по существу предполагали, что интерферирую-
щие лучи линейно поляризованы в одной пло-
скости. Действительно, в общем случае это ус-
ловие в когерентных лучах выполняется.
В каждом элементарном акте излучается поля-
ризованный свет. Поскольку интерферируют лу-
чи от источника, испущенные в одних и тех же
элементарных актах, то они в каждый данный
момент являются ие только когерентными, но и
одинаково поляризованными. Тот факт, что в
следующий момент они будут поляризованы в
другой плоскости, не имеет значения. Естест-
венно, что интерференционная картина должна
сохраняться и в том случае, когда оба коге-
рентных естественных луча поляризованы в од-
ной плоскости с помощью, например, поляри-
заторов или любым другим способом.
Если же два когерентных луча линейно
поляризовать во взаимно перпендикулярных
плоскостях, то они при встрече не создадут
интерференционной картины. Именно этот слу-
чай наблюдается при двойном лучепреломлении
в кристаллах, Лучи, образованные расщеплени-
ем падающего луча в кристаллах, являются,
конечно, когерентными, однако эти лучи как в
одноосных, так и в двуосных кристаллах поля-
ризованы во взаимно перпендикулярных пло-
скостях, Это не единственный способ получения
когерентных и взаимно перпендикулярно поля-
ризованных колебаний. Достаточно поставить
на пути любой пары когерентных лучей два по-
ляризатора, ориентированных относительно друг
друга под углом 90°, чтобы получить тот же
результат — отсутствие интерференционной
картины и аддитивное сложение освещенно-
стей, Если повернуть один из поляризаторов
на 90°, интерференционная картина восстано-
вится.
Впервые эти закономерности были устано-
влены в начале XIX в. Араго и Френелем.
Принципиальное значение этих опытов состоя-
ло тогда в том, что они однозначно доказывали
строгую поперечность световых волн и отсутст-
вие продольной компоненты. Этот вывод, есте-
ственный с точки зрения электромагнитной тео-
рии, был сделан в свое время Юнгом и Френе-
лем еще для упругой теории света и приводил
к очень серьезным трудностям, Гипотеза о су-
ществовании среды, дающей строго попереч-
ные колебания и не допускающей продольных,
несовместима с представлением об обычной уп-
ругой среде, что заставило для понимания за-
конов отражения и преломления света делать
предположения, противоречащие механике
обычных сред. В частности, Френель высказал
гипотезу о том, что при переходе из одной сре-
ды в другую свойства эфира в этих средах из-
меняются таким образом, что его упругость ос-
тается неизменной и, следовательно, плотность
меняется прямо пропорционально квадрату по-
казателя преломления среды. Наличие данной
гипотезы позволило Френелю решить задачу о
соотношении между амплитудами падающей,
отраженной и преломленной волн (формулы
Френеля).
332
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
18.1
Эллиптическая
и круговая
поляризации
света
Рис. 18.1. Получение эл-
липтически поляризован-
ного света:
а—схема получения; б —
разложение светового векто-
ра по главным направлениям
пластинки
Отсутствие интерференционной картины в опытах,
подобных опытам Араго и Френеля, не означает, что два
взаимно перпендикулярных световых колебания в ре-
зультате взаимодействия не могут приводить к измене-
ниям свойств светового луча, которые доступны наблю-
дению. Выше (см. § 2.2 и 17.2) мы уже отмечали, что в
результате сложения двух волн, поляризованных в двух
ортогональных направлениях, обладающих разными ам-
плитудами и разностью фаз, получается эллиптическая
поляризация. Рассмотрим это явление более подробно.
Пусть свет определенной длины волны, прошедший
через поляризатор П и ставший линейно поляризован-
ным, падает на кристаллическую пластинку К толщиной
d, вырезанную из одноосного кристалла параллельно оп-
тической оси (рис, 18.1). Сквозь пластинку будут рас-
пространяться по одному направлению, но с разной ско-
ростью два луча, поляризованных в двух взаимно пер-
пендикулярных направлениях, которые принято назы-
вать главными направлениями кристаллической плас-
тинки. В одном из этих лучей электрические колебания
направлены вдоль оптической оси, т. е. по АА' (необык-
новенный луч с показателем преломления пе), в дру-
гом — перпендикулярно к оси, т. е. по ВВ' (обыкновен-
ный луч с показателем преломления п0).
Допустим, что направление колебаний в падающем
линейно поляризованном свете составляет угол а с од-
ним из главных направлений пластинки, например с на-
правлением А А', параллельным оптической оси О'О".
Если амплитуда в падающей волне 0М=А, то амплиту-
ды колебаний необыкновенного и обыкновенного лучей
будут соответственно равны: a=Acosa; b—A sin а.
Пройдя через пластинку толщиной d, два луча приобре-
тут разность хода, равную (n0—ne}d. Следовательно,
обыкновенный луч отстанет по фазе на
(18.1)
Сложение двух взаимно перпендикулярных колеба-
ний с разными амплитудами и разностью фаз приведет,
как известно, к образованию эллиптического колебания,
т. е. колебания, при котором конец результирующего
вектора описывает эллипс с той же угловой частотой <ю,
с которой совершаются исходные колебания.
Уравнение эллипса в этом случае имеет вид
(см. (1.30))
-jr + l?—-^-cos<p = sin4<p. (18.2)
Интерференция поляризованных лучей
333
Таким образом, при прохождении линейно поляризо-
ванного света через кристаллическую пластинку получа-
ем световую волну, у которой концы векторов Е и Н опи-
сывают эллипсы.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Толщина пластинки К такова, что разность хода двух
лучей составляет четверть волны (пластинка в 1/4):
(по—ne)d = X/4. (18.3)
В этом случае разность фаз ф=л/2 и уравнение
(18.2) примет вид х2/а2+у2/62=1, т. е. получаем эллипс,
ориентированный относительно главных осей — оси эл-
липса совпадают с главными направлениями пластинки.
Соотношение осей а и Ь~ зависит от величины угла а.
В частности, при а=45° а—b и эллипс превращается в
круг: х2+у2=а2. В этом случае свет будет поляризован
по кругу (круговая, или циркулярная, поляризация). Та-
ким образом, для получения света, поляризованного по
кругу, необходимо сложить две когерентные волны с
равными амплитудами, обладающие разностью фаз л/2
и поляризованные в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях.
Круговую поляризацию можно получить, пропустив
линейно поляризованный свет через пластинку в чет-
верть волны так, чтобы плоскость поляризации падаю-
щего луча составляла угол 45° с главными направления-
ми в пластинке. В зависимости от ориентации пластинку
в четверть волны разность фаз может быть + л/2 или
—л/2, т. е. результирующий вектор будет вращаться
против часовой стрелки (влево) или по часовой стрелке
(вправо). Поэтому различают левую и правую эллип-
тическую (круговую) поляризацию.
Толщина пластинки К такова, что разность хода со-
ставляет полволны {пластинка в 1/2):
(n„-«Jd = i./2 (18.4)
четвертьволновая
пластинка
полуволновая
пластинка
или
(no~njd=(m+l/2)l.
В этом случае разность фаз ф=л и эллипс вырожда-
ется в прямую: x[a+y[b=Q, т. е. свет остается линейно
поляризованным, но направление колебаний изменяется
на л/2 (рис. 18.2).
Следует отметить, что показатели преломления обоих
лучей зависят от длины волны (см. явление дисперсии),
причем их разность также меняется с длиной волны.
Рис. 18.2. Действие пла-
стинки в полволны
334
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
хроматическая
пластинка
фазовая пластинка
ахроматическая
пластинка
Поэтому разность фаз для различных длин волн будет
различной и в связи с этим оптическая толщина пласти-
нок будет меняться от одной длины волны к другой,
т. е. пластинки в 1/4 и 1/2 являются хроматическими
(избирательными к цвету). Так, пластинка в четверть
волны только монохроматический свет определенной
длины волны будет превращать в поляризованный по
кругу, а свет остальных длин волн —в эллиптически по-
ляризованный, причем с различной эллиптичностью.
Пластинки в четверть и полволны называются фазо-
выми. Фазовые хроматические пластинки изготавливают
обычно из кварца или исландского шпата. Оценим, на-
пример, толщину пластинки в 1/4 волны, вырезанную из
исландского шпата. Для 1=5900 А (желтый цвет) ис-
ландский шпат имеет разность п0—пе=0,172. Отсюда по
формуле (18.3) получаем толщину пластинки d=
=8,6-l(h5 см. Для 1=4600 А (синий свет) п0—пе=0,184
и d=7,8-10-5 см. Как видно, толщина четвертьволновой
пластинки очень мала, так что ее изготовление пред-
ставляет собой большие трудности. Поэтому обычно
пластинку делают толще настолько, чтобы она создава-
ла разность хода (т+1/4) 1, где /и —целое число.
Кроме кварца и исландского шпата для изготовле-
ния фазовых пластинок часто употребляют слюду, из ко-
торой расщеплением можно легко получать однородные
тонкие пластинки. Хотя слюда относится к двуосным
кристаллам, с помощью пластинки можно внести между
двумя лучами разность хода, равную 1/4 или 1/2. Хоро-
шие пластинки можно изготовить из нагретых и растя-
нутых в определенном направлении пленок поливини-
лового спирта, обладающих двойным лучепреломлением.
Создание ахроматических фазовых пластинок—за-
дача достаточно трудная. Однако в отдельных конкрет-
ных случаях ее удается решить. Например, хроматизм
одной пластинки можно компенсировать с помощью дру-
гой пластинки, сделанной из иного материала. Неплохо
это удается с помощью пленочных фазовых пластинок.
Дело в том, что при растяжении различных органиче-
ских полимерных пленок в них возникает двойное луче-
преломление разного знака (одни аналогичны положи-
тельным одноосным кристаллам, другие —отрицатель-
ным). Хорошие результаты дает, например, комбинация
растянутых пленок ацетата и нитрата целлюлозы. Плен-
ки при этом взаимно ориентируются так, чтобы направ-
ления наибольших показателей преломления были скре-
щены. Тогда нормальный хроматизм ацетата целлюло-
зы компенсируется аномальным хроматизмом нитрата
Интерференция поляризованных лучей
335
целлюлозы. Практически полного ахроматизма в обла-
сти от 4000 до 7800 А удается добиться комбинацией
трех слюдяных пластинок с различной ориентацией, по-
добранной так, чтобы максимально скомпенсировать
хроматизм.
При обычном анализе поляризованного света с по-
мощью одной поляризационной призмы — анализато-
ра — невозможно отличить свет, поляризованный по
кругу, от естественного света, а эллиптически поляризо-
ванный — от частично линейно поляризованного.
Если эллиптически поляризованный свет падает на
анализатор, то сквозь него пройдет только часть света,
соответствующая компоненте колебаний, которые он про-
пускает. Поэтому при вращении анализатора будет на-
блюдаться частичное затемнение и просветление поля,
т. е. такая же картина, как и при анализе частично поля-
ризованного света. Если же свет поляризован по кругу,
то вращение анализатора совсем не будет влиять на
интенсивность проходящего света, т. е. будет наблюдать-
ся такая же картина, как и при анализе естественного
света.
Для полного анализа эллиптически или циркулярно
поляризованного света необходимо превратить его в ли-
нейно поляризованный свет, который легко анализиру-
ется при помощи поляризационной призмы, т. е. для это-
го достаточно использовать кроме анализатора пластин-
ку в четверть волны.
Пластинка Х/4 превращает циркулярно поляризован-
ный свет в линейный так же, как и линейный — в цирку-
лярно поляризованный (две пластинки Х/4 тождествен-
ны одной пластинке Л/2). Легко определяемое на опыте
различие между циркулярным и естественным светом со-
стоит в том, что первый можно преобразовать в линей-
ный с помощью пластинки Х/4, а второй нельзя преобра-
зовать. Частично поляризованный свет от эллиптически
поляризованного отличается на опыте тем, что в первом
случае при введении перед анализатором пластинки Х/4
не будет никаких изменений в углах ориентации анали-
затора, при которых получаются максимумы и минимумы
интенсивности. Во втором же случае максимуму и мини-
муму интенсивности будут соответствовать различные
положения анализатора в присутствии и отсутствие чет-
вертьволновой пластинки, В этой связи следует напом-
нить, что любая эллиптическая поляризация может быть
получена из двух линейных когерентных компонент дву-
мя способами: за счет изменения разности фаз при рав-
18.2
Анализ света
эллиптической
и круговой
поляризаций
336
Распространение света в изотропных п анизотропных средах
опытный анализ
поляризации света
компенсатор
них амплитудах компонент или за счет изменения раз-
ницы амплитуд при постоянном сдвиге фаз л/2 (а это
можно обнаружить с помощью той же фазовой пластин-
ки в четверть волны).
На таких общих соображениях построен метод, ис-
пользуемый на практике для общего анализа поляри-
зованного света. На пути исследуемого светового пучка
помещается медленно вращающийся анализатор. Ана-
лиз изменения освещенности при вращении позволяет
сделать однозначные выводы:
1) если интенсивность не изменяется ни с пластинкой
1/4, ни без нее, то свет естественный;
2) если без четвертьволновой пластинки интенсив-
ность не изменяется, а при наличии пластинки появля-
ются максимумы и минимумы, то свет поляризован по
кругу. При этом если в минимуме интенсивность равна
нулю, то свет полностью поляризован по кругу, а если
не равна нулю, то свет частично поляризован по кругу,
т. е. его следует (подобно частично линейно поляризо-
ванному) считать наложением двух пучков — естествен-
ного и поляризованного по кругу;
3) если без пластинки 1/4 интенсивность меняется от
нуля до некоторого максимума, то свет линейно поля-
ризован;
4) если в минимуме интенсивность не равна нулю, то
могут быть два случая:
а) помещение перед анализатором пластинки Х/4,
ориентированной так, чтобы ее главные направления
совпали с азимутами максимума и минимума интенсив-
ности, приводит к тому, что при некотором положении
анализатора, не совпадающем с азимутом прежнего ми-
нимума, интенсивность становится равной нулю. В этом
случае свет полностью эллиптически поляризован;
б) если же при введении пластинки 1/4 интенсивность
не равна нулю ни при каком азимуте анализатора, то тут
снова возможны два случая: б") введение пластинки 1/4
не вносит никаких изменений в азимуты анализатора,
соответствующие максимуму и минимуму. Это значит,
что свет частично линейно поляризован; б7') введение
пластинки 1/4 приводит к изменениям положений анали-
затора, при которых получаются максимум и минимум.
В этом случае свет частично эллиптически поляризован.
Перечисленные результаты исчерпывают все возмож-
ные случаи поляризации светового пучка и в совокупно-
сти дают метод полного качественного анализа состоя-
ния поляризации.
Для количественного анализа эллиптически поляри-
Интерференция поляризованных лучей
337
зованного света надо знать форму и расположение эл-
липса по отношению к любым направлениям, т. е. раз-
ность фаз двух взаимно перпендикулярных компонент
любого направления. Для этой цели используют устрой-
ства, способные скомпенсировать до нуля (или допол-
нить до л) любую разность фаз. Такие устройства на-
зываются компенсаторами. Дело в том, что превращение
эллиптически поляризованного света в полностью линей-
но поляризованный при помощи пластинки Х/4 возмож-
но тогда, когда эллиптическая поляризация возникает в
результате сложения двух взаимно перпендикулярных
колебаний разной амплитуды с разностью фаз <р—тт/2.
Если же эллиптическая поляризация возникает в резуль-
тате сложения двух взаимно перпендикулярных колеба-
ний с разностью фаз ф#=л/2, то для превращения такого
света в линейно поляризованный надо ввести добавоч-
ную разность фаз ф', которая в сумме с ф дала бы раз-
ность фаз, равную л.
Наиболее простой тип компенсатора, носящий назва-
ние компенсатора Бабине (рис. 18.3, а), состоит из двух
кварцевых клиньев, вырезанных так, что оптические оси
в них взаимно перпендикулярны. Тогда луч, обыкновен-
ный в верхнем клине, становится необыкновенным в
нижнем и наоборот. Благодаря этому, в том месте, где
свет проходит одинаковые толщины обоих клиньев, меж-
ду лучами не возникает никакой разности фаз. В любом
другом месте, где свет пройдет толщину di одного клина
большую, чем толщина другого, между лучами возник-
нет определенная разность фаз. Таким образом, в зави-
симости от места, в котором свет проходит через клинья,
можно получить любую разность фаз.
Недостаток компенсатора Бабине состоит в том, что
необходимо использовать очень узкие пучки света, так
как для широкого пучка в разных его местах возникнут
различные разности фаз.
Этим недостатком не обладает компенсатор Солейля
(рис. 18.3,6). Он состоит из двух кварцевых клиньев с
параллельными оптическими осями и из одной кварцевой
плоскопараллельной пластинки с осью, перпендикуляр-
ной к осям клиньев. Верхний клин может перемещаться
параллельно самому себе. При таком перемещении кли-
на суммарная толщина клиньев на всем протяжении их
соприкосновения меняется и может быть равной или от-
личной от толщины нижней пластинки. В первом случае
компенсатор не внесет никакой разности фаз между обо-
ими лучами, во втором — внесет разность фаз, которой
можно придать любое требуемое значение.
Рис. 18.3. Компенсаторы
Бабине (а) и Солейля (б)
компенсатор Бабине
Бабине (Babinet) Жак
(1794—1872) —француз-
ский физик и астроном
компенсатор Солейля
Солейль (Soleil) Н.
(1798-1878) - физик
338
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
18.3
Поляризационная
микроструктура
естественного
света
законы Френеля
Л
5 п* к и °*
Рис. 18,4. Схема опыта
для исследования роли
поляризации в интерфе-
ренции
Вновь рассмотрим опыт, в котором мы с помощью од-
ноосной кристаллической пластинки получали циркуляр-
но или эллиптически поляризованный свет (рис. 18.4).
Поляризатор П1 ориентирован под углом 45° к оптиче-
ской оси 00' пластинки К. Следовательно, обыкновен-
ная и необыкновенная волны в пластинке будут иметь
равные амплитуды. Разность фаз между ними зависит
от материала и толщины пластинки. В зависимости от
величины этой разности на выходе из пластинки полу-
чится эллиптически или циркулярно поляризованная
волна.
Введем после кристаллической пластинки анализатор
П2, который сведет поляризацию обыкновенного и не-
обыкновенного лучей в одну плоскость, т. е. получим
сложение когерентных и одинаково поляризованных лу-
чей, что приведет к возникновению на экране £ интер-
ференционной картины. На характере этой картины мы
остановимся позже, а сейчас рассмотрим роль поляриза-
тора Пь
Опыт, поставленный впервые Френелем, показывает,
что если убрать поляризатор П|, то на экране £ интер-
ференционной картины не получится, Этот факт на пер-
вый взгляд кажется странным: лучи когерентны (ибо
происходят из одного источника), поляризованы в одной
плоскости, однако интерференционной картины не дают.
Дело в том, что любые взаимно перпендикулярно поля-
ризованные компоненты, совокупностью которых мы
представляем естественный свет, между собой некоге-
рентны.
Экспериментальные результаты, полученные Френе-
лем, сформулированы им в виде законов:
1) два луча, поляризованные в одной плоскости, да-
ют интерференционную картину так же, как и естествен-
ный свет;
2) два луча, взаимно перпендикулярно поляризован-
ные, не дают интерференционной картины;
3) два луча, поляризованные взаимно перпендикуляр-
но и полученные из естественного света, после приведе-
ния к одной и той же плоскости поляризации не дают
интерференционной картины;
4) два луча, поляризованные взаимно перпендикуляр-
но, но полученные из линейно поляризованного света,
дают интерференционную картину после приведения к
одной и той же плоскости поляризации.
Наиболее интересен третий закон, который как бы
дает способ вскрыть с помощью интерференции внутрен-
нюю поляризационную микроструктуру световых пучков.
Интерференция поляризованных лучей
339
Рассмотрим следующий опыт. Разобьем пучок есте-
ственного света на два когерентных пучка с помощью
одной из интерференционных схем (см. § 4,2). Встреча-
ясь, два пучка дадут обычную интерференционную кар-
тину, например с максимумом в центре поля. Поместим
на пути одного из интерферирующих пучков естественно-
го света кристаллическую пластинку К( в полволны
(рис. 18.5, а). Для компенсации возникшей разности хо-
да во второй пучок введем стеклянную пластинку Кг.
В таких условиях два интерферирующих пучка, оста-
ваясь когерентными, при встрече не дают интерферен-
ционной картины: поле оказывается равномерно осве-
щенным.
Чтобы понять происходящее, представим опять есте-
ственный свет в первичном пучке как совокупность ли-
нейно поляризованных волн всевозможных направлений
поляризации. В той части света, которая проходит че-
рез пластинку Х/2, произойдет поворот направления по-
ляризации и мгновенные направления вектора Е, кото-
рые в отсутствие пластинки совпали (рис. 18.5,6), бла-
годаря действию пластинки Х/2 на один из пучков ока-
жутся не совпадающими (рис. 18.5, в), т. е. интерферен-
ция не возникнет.
Разложим каждое из мгновенных направлений Е на
две компоненты по А А' и ВВГ (см. рис. 18.5, в). Компо-
ненты каждой пары, как когерентные и имеющие одно
направление, интерферируют между собой. При нали-
чии пластинки л/2 компоненты по ААГ сохранили преж-
нюю разность фаз, а компоненты по ВВГ оказались сдви-
нутыми дополнительно на л (проекции вдоль ВВ' на-
правлены в разные стороны). Поэтому первые дают ин-
терференционную картину с максимумом в центре поля,
вторые — с минимумом в центре поля, т. е. сдвинутую на
1/2 полосы. Поскольку интенсивности той и другой ком-
понент в среднем одинаковы (в естественном свете нет
преимущественного направления колебаний), то эти две
интерференционные картины дают видимое отсутствие
интерференции.
Однако эту «скрытую» интерференцию можно уви-
деть, если смотреть иа экран через поляризационную
призму — анализатор П, ориентированный параллельно
АА' или ВВ'. В первом случае он погасит все компонен-
ты, направленные по ВВ', и позволит увидеть интерфе-
ренционную картину с максимумом в центре поля. Во
втором случае анализатор задержит все колебания, на-
правленные по АА', и мы увидим вторую дополнитель-
ную интерференционную картину с минимумом в центре
Л
Рис. 18.5. Схема опыта
по выяснению внутрен-
ней микроструктуры ес-
тественного света:
а —общая схема; б —мгно-
венные направления вектора
Е лучей, исходящих от Si
$, до прохождения пласти-
нок К> и Ю ; в — то же по-
сле прохождения светом
Ki и К»
340
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
поля. Очевидно, что при анализаторе, расположенном
под углом 45° к А А' и ВВ', интерференционная картина
наблюдаться не будет.
Этот эксперимент позволяет обнаружить поляриза-
цию в естественном свете, иными словами, дает способ
заметить изменения его внутренней микроструктуры.
18.4
Хроматическая
поляризация
Рис. 18.6. К определению
амплитуд колебании,
прошедших через кри-
сталлическую пластинку
и скрещенные поляриза-
торы
Возвратимся вновь к рис. 18.4 и рассмотрим харак-
тер интерференционной картины, возникающей на эк-
ране после прохождения светом анализатора Пг.
Допустим, что через систему проходит параллельный
пучок света; Здесь рассмотрим два случая: когда глав-
ные сечения поляризаторов П[ и П2 взаимно перпенди-
кулярны (поляризаторы «скрещены») и когда их глав-
ные сечения параллельны.
Первый случай: Р|1Р2. Изобразим положение глав-
ных сечений поляризаторов линиями Pi и Р2 (рис. 18,6).
Тогда в луче, прошедшем через поляризатор Пь элект-
рический вектор совершает колебания в направлении
Амплитуду этого колебания определим вектором Аь
Луч, вошедший в пластинку К, разобьется на два —
обыкновенный и необыкновенный, которые будут рас-
пространяться в одном и том же направлении, но с раз-
ными скоростями. Электрический вектор в необыкновен-
ной волне совершает колебания в направлении оптиче-
ской оси 00', а в обыкновенной — в направлении, пер-
пендикулярном к 00'. Обозначим вектор амплитуды
первого из них через А!е, второго — через Ак>. Значения
обоих векторов Ate и А1о получим, спроектировав век-
тор А] соответственно на направление 00' и направле-
ние, перпендикулярное к 00'. Если главное сечение
пластинки составляет угол а с главным сечением поля-
ризатора Пь то
A^AjCOsa; A10 = A1sina. (18.5)
В обоих лучах между колебаниями с амплитудами
А]е и Лю возникнет разность фаз (18.1). Анализатор П2
пропустит лишь колебания, представляющие собой про-
екцию Aie и Аю на направление Р2. Векторы амплитуд
этих колебаний изобразятся на рис. 18.6 стрелками А& и
А2и. Из рис. 18.6 и соотношений (18.5) имеем
А2е — А1в s’n a = Л sin a cos a;
Аге = А^ cosa = Аг sin a cos a,
t. e. амплитуды A^ и A2o численно равны друг другу. Ко-
лебания в обеих волнах возникают из одной линейно по-
ляризованной волны, поэтому они когерентны и могут
Интерференция поляризованных лучей
341
интерферировать. Как видно из рис. 18.6, векторы А2е и
А2о направлены в противоположные стороны, следова-
тельно, между соответствующими им колебаниями кро-
ме разности фаз ср, определяемой формулой (18.1), име-
ется еще добавочная разность фаз л. Таким образом,
суммарная разность фаз ф[ равна
= К-«,) + *• (18.6)
При ф1=2тл, где т — целое число, оба колебания
максимально усилят друг друга и поле при рассмотре-
нии сквозь скрещенные поляризаторы окажется просвет-
ленным. При ф1=(2/п +1)л/2 колебания полностью по-
гасят друг друга и поле останется темным. При освеще-
нии системы белым светом условия максимального уси-
ления или ослабления колебаний будут осуществляться
не одновременно для лучей разных длин волн и поэтому
при заданной толщине плоскопараллельной пластинки,
расположенной между скрещенными поляризаторами,
поле будет равномерно окрашенным. Тон окраски зави-
сит от толщины пластинки и разности показателей пре-
ломления п0—Ле.
Второй случай: Pi ЦР?. Из рис. 18.7 следует, что
Де = Де COS а = Д COS2 Щ
А^ = Ao 5’П а = A sin2 а-
Оба вектора A2(t и А2о направлены в одну сторону, и
разность фаз между соответствующими им колебаниями
равна ф2=ф= (2ndlk) (л0—ле), т. е. ф2 отличается от
Ф1 на л.
Амплитуды А2е и А2о не равны друг другу при любом
значении угла а, кроме ±л/4. Следовательно, ни при ка-
кой толщине пластинки, расположенной между парал-
лельными поляризаторами, колебания не могут погасить
друг друга, т. е. поле окажется более или менее просвет-
ленным и окрашенным.
Так как разность фаз ф2 отличается от ф( на л, то
при параллельных поляризаторах ослабляются лучи тех
длин волн, которые при той же пластинке усиливались в
случае скрещенных поляризаторов и наоборот. В резуль-
тате во время освещения системы белым светом окрас-
ка при параллельных и скрещенных поляризаторах по-
лучается разная. Эти две окраски называются дополни-
тельными.
Если плоскопараллельную пластинку вращать между
поляризаторами вокруг оси оптической системы (неза-
висимо от того, скрещены поляризаторы или нет), то
'О'
Рнс, 18.7. К определению
амплитуд колебаний,
прошедших через кри-
сталлическую пластинку
и параллельные поляри-
заторы
342
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
хроматическая
поляризация
полярископ
полярископ Савара
Савар (Savart) Феликс
(1791—1841) — француз-
ский физик
Омическая
Рис. 18.8. Полярископ
Савара
при совпадении любого из главных направлений плас-
тинки с главным направлением любого из поляризаторов
интерференционная картина исчезнет, т. е. из системы
выходит только одна волна и интерференция не имеет
места. Таким образом можно просто определять главные
направления кристаллической пластинки. Если же кри-
сталлическая пластинка имеет неравномерную толщину,
то вместо однородно окрашенного поля будет наблюдать-
ся интерференционная картина, представляющая собой
некоторое распределение светлых и темных полос и пя-
тен в монохроматическом свете, а также разноцветных
полос и пятен в белом свете. Эти полосы будут полосами
равной толщины.
Явления, имеющие место при внесении кристалличе-
ской пластинки между двумя поляризаторами, носят на-
звание хроматической поляризации. Просветление поля
или появление интерференционной картины при внесении
анизотропного вещества между скрещенными поляриза-
торами представляет собой очень чувствительный метод
обнаружения и исследования двойного лучепрелом-
ления.
Как уже отмечалось, если в системе, изображенной
на рис. 18.4, убрать поляризатор П( и направить на плас-
тинку естественный свет, то интерференционной картины
не будет. Если же на пластинку направить частично по-
ляризованный свет, то через анализатор П2 будет наблю-
даться интерференционная картина, хотя и не такая конт-
растная, как при падении линейно поляризованного
света. Таким образом, сочетание кристаллической плас-
тинки и анализатора представляет собой устройство, поз-
воляющее при появлении интерференционной картины
обнаруживать частичную поляризацию в падающем све-
те. Такие устройства называются полярископами. Чувст-
вительность полярископа зависит в первую очередь от
конструкции и ориентации кристаллической пластинки
(вместо одной пластинки можно применять систему пла-
стинок). Наиболее известен полярископ Савара, в кото-
ром используются две кварцевые пластинки равной тол-
щины, вырезанные под углом 45° к оптической оси и
сложенные так, чтобы их оси были в скрещенном поло-
жении (рис. 18.8). При достаточной яркости исследуе-
мого света с помощью полярископа Савара можно об-
наружить степень поляризации порядка 1—2 %. Оче-
видно, что полярископом можно только обнаружить
поляризацию, а для ее количественного измерения необ-
ходимо специально проградуированное компенсирующее
устройство (например, стопа стеклянных пластинок, по-
Интерференция поляризованных лучей
343
воротом которой подбирается такая же степень поляри-
зации, но противоположного знака).
Перейдем к рассмотрению более сложного случая
хроматической поляризации, который наблюдается не в
параллельных, а в сходящихся лучах. Пусть на плас-
тинку К, помещенную между поляризаторами П1 и Пг,
с помощью линзы Л1 направляется сходящийся пучок
лучей (рис. 18,9). Луч, составляющий угол г с нормалью
Рис. 18.10. К определе-
нию разности фаз ф3
к поверхности пластинки (рис. 18.10), пройдет толщину
пластинки d'=d/cos г. Обыкновенный и необыкновенный
лучи, распространяющиеся в пластинке в данном на-
правлении, приобретут разность фаз
2л d . ,
Фз “ “7------(Л„ —Л,).
В простейшем случае, когда оптическая ось пластин-
ки, вырезанной из одноосного кристалла, совпадает с
осью конуса лучей, геометрическим местом одинаковой
разности фаз будут концентрические окружности с цент-
рами на оптической оси. Интерференционная картина
получается в виде темных и светлых (или цветных) кон-
центрических колец (рис. 18.11). Характерной чертой
картины является темный или светлый крест, пересека-
ющий эти кольца по двум взаимно перпендикулярным
направлениям, определяемым главной плоскостью поля-
ризатора П] и плоскостью, к ней перпендикулярной.
В этих направлениях получается темный крест при скре-
щенных поляризаторах и светлый при параллельных.
Интерференционная картина такого рода называется
интерференционной, или коноскопической, фигурой. Гео-
метрическое место точек на поверхности кристалла, для
которых фз—const, принято называть изохроматической
кривой (кривая постоянного цвета). В пространстве это
будет изохроматическая поверхность, близкая для одно-
осного кристалла к гиперболоиду вращения, ось которого
совпадает с оптической осью кристалла. Сечения этой
Рис. 18.11. Интерферен-
ционная фигура пла-
стинки из одноосного
кристалла, вырезанной
перпендикулярно к опти-
ческой оси
интерференционная
(коноскопическая)
фигура
изохроматическая
кривая
изохроматическая
поверхность
344
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис. 18.12. Схематиче-
ское изображение интер-
ференционной картины
рис. 18.2.
При Р| 1 Р} темные кольца
(минимумы) соответствуют
разности хода —Л-/лЛ, а
светлые (максимумы) — А-
-(т+1/2)>. (темный крест)
изохроматы
Рис 18.14. Интер фер ен-
ционная фигура пла-
стинки из двуосного кри-
сталла, вырезанной пер-
пендикулярно к биссек-
трисе острого угла меж-
ду оптическими осями
поверхности плоскостью пластинки представляют собой
изохроматы.
Главные сечения кристалла — это плоскость, прохо-
дящая через ось и луч, и плоскость, перпендикулярная
к первой. В рассматриваемом случае (см. рис. 18.12)
для любого азимута это будут сечения, проходящие вдоль
радиуса и перпендикулярно к нему (на рис. 18.12 они
обозначены I и II). Из рис. 18.12 видно, что для азиму-
тов Р] и Pj одно из главных сечений кристалла совпада-
ет с плоскостью колебания Pi, так что для этих азиму-
тов двойное лучепреломление не имеет места и свет вы-
ходит линейно поляризованным с первоначальным
направлением колебаний вдоль Рь В случае скрещенных
поляризаторов он будет задержан (темный крест), а в
Рис. 18.13. Интерференционные фигуры пластинок
одноосного кристалла, вырезанных под различны-
ми углами к оптической оси
случае параллельных — пропущен (светлый крест). Для
любого другого азимута имеет место двойное лучепре-
ломление и результат определяется возникшей в кри-
сталле разностью хода,
Если ось конуса лучей не совпадает с оптической
осью пластинки, то геометрические места одинаковой
разности фаз будут не окружностями, а более сложны-
ми кривыми. Интерференционные фигуры для одноосных
пластинок, вырезанных под различными углами к опти-
ческой оси, изображены на рис. 18.13. Столь характер-
ные различия фигур используются в кристаллографии,
минералогии и т. п. для быстрого качественного опреде-
ления ориентации кристаллов.
Еще более сложный вид имеют интерференционные
фигуры для пластинок из двуосных кристаллов. В каче-
стве примера на рис. 18.14 приведена картина для пла-
стинки, вырезанной перпендикулярно к биссектрисе ост-
рого угла между оптическими осями. На ней отчетливо
видны выходы оптических осей.
Искусственная анизотропия
345
Так как изохроматы образуют замкнутые кривые,
охватывающие оптическую ось (или оси), то наблюдение
интерференционных картин позволяет установить число
осей кристалла и определить их положение. Интерферен-
ционные картины можно наблюдать в микроскоп, снаб-
женный двумя призмами Николя (поляризационный мик-
роскоп). С помощью такого микроскопа можно измерять
угол между оптическими осями двухосного кристалла
(необходимо учитывать, что при выходе из кристалла
свет преломляется). Указанный способ пригоден для
определения положения оптических осей и измерения их
наклона даже для очень небольших кристалликов, попа-
дающихся в тонких слоях минералов.
Глава 19
ИСКУССТВЕННАЯ АНИЗОТРОПИЯ
Выше (см. § 17.1) речь шла о естественном
двойном лучепреломлении, которое определяет-
ся природными свойствами используемых ве-
ществ. Однако двойное лучепреломление можно
вызвать и искусственно, Действительно, причи-
ной двойного преломления в кристаллах явля-
ется анизотропия, поэтому следует ожидать,
что и некристаллические вещества (жидкие к
аморфные), в которых анизотропные свойства
созданы искусственно, также должны в той или
иной степени обладать двойным преломлением.
Большинство оптически изотропных тел об-
ладает так называемой статистической изотро-
пией, т. е. изотропия таких тел есть результат
усреднения, обусловленного хаотическим рас-
положением составляющих их молекул. Отдель-
ные молекулы или группы молекул могут быть
анизотропны, но эта микроскопическая анизо-
тропия в среднем сглаживается случайным
взаимным расположением отдельных групп, а
макроскопическая среда остается изотропной.
Однако если на такое тело произвести внешнее
воздействие с ярко выраженным преимущест-
венным направлением, то может произойти пе-
реориентация анизотропных элементов, которая
приведет к макроскопическому проявлению ани-
зотропии. Возможно также, что очень сильное
внешнее воздействие приведет к деформации
изотропных элементов, в результате чего будет
создана микроскопическая анизотропия, кото-
рая первоначально отсутствовала.
Достаточные внешние воздействия могут
проявляться прн механических деформациях,
вызываемых, например, сжатием илн растяже-
нием, осуществляться электрическими и магнит-
ными полями, налагаемыми извне. В некоторых
случаях достаточно слабых воздействий, на-
пример при течении жидкостей или пластиче-
ских тел, чтобы создалась искусственная ани-
зотропия.
Рассмотрим некоторые случаи искусствен-
ной анизотропии, приводящей к двойному лу-
чепреломлению.
Если какое-либо прозрачное тело подвергнуть одно-
стороннему сжатию (или растяжению), то в результате
такого воздействия образуется своеобразный «квазикри-
сталл», оптическая ось которого проходит в направлении
действия деформирующей силы. Оптические свойства де-
формированного таким образом тела соответствуют свой-
ствам одноосного кристалла. При пропускании света в
направлении, перпендикулярном к образовавшейся опти-
ческой оси, возникает двойное лучепреломление. Это яв-
19.1
Анизотропия,
возникающая
при механических
деформациях
346
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис. 19.1. Схема наблю-
дения двойного лучепре-
ломления, возникающего
при механической де-
формации
Зеебек (Seebeck) Томас
Иогаин (1770-1831) -
немецкий физик
метод
фотоупругости
ление впервые наблюдали Зеебекi (1813) и Брюстер
(1815).
Схема опыта для наблюдения и изучения искусствен-
ной анизотропии одинакова со схемой для исследования
двойного лучепреломления в кристаллах (рис. 19.1).
Главные плоскости поляризаторов П; и П2 должны со-
ставлять угол 45° с оптической осью анизотропного тела.
Обыкновенный и необыкновенный лучи распространяют-
ся в направлении, перпендикулярном к ОО', не расхо-
дясь, но с различными скоростями. Для количественного
измерения разности показателей преломления п0~пе в
схему введена пластинка в четверть длины волны.
Опыт показывает, что разность показателей прелом-
ления п0—ле, являющаяся мерой возникшей анизотро-
пии, пропорциональна давлению F, которому подверга-
ется деформируемое тело: n0—ne=kF, где k — констан-
та, определяемая свойствами вещества. Разность фаз,
которую приобретут лучи при прохождении слоя d в ве-
ществе, равна ф= (2nd/A) («о—пе) =gFd, где g=2nk[).—
новая константа. В зависимости от рода вещества кон-
станта g может быть положительна или отрицательна.
Кроме того, п0 и пе зависят от длины волны (дисперсия
двойного лучепреломления), поэтому при наблюдении в
белом свете просветленное поле оказывается окрашен-
ным, аналогично тому, как оно окрашено при наблюде-
нии хроматической поляризации, даваемой естественны-
ми кристаллами.
Двойное лучепреломление сохраняется после прекра-
щения действия деформирующей силы, если в теле оста-
ются напряжения. Например, блоки закаленного стекла
обнаруживают хорошо выраженную хроматическую по-
ляризацию. Искусственная анизотропия является чувст-
вительным методом наблюдения напряжений, возникаю-
щих в прозрачных телах. К сожалению, большинство
технически важных материалов (металлы) непрозрачно,
поэтому данный метод непосредственно к ним не при-
меним. Однако оптическим методом можно проводить
исследования напряжений на моделях из прозрачного
изотропного материала (обычно из оргстекла). Выпол-
ненная из такого материала модель детали, подлежащей
исследованию, ставится под нагрузку, имитирующую ту,
которая имеет место в действительности, и по картине
между скрещенными поляризаторами изучают возника-
ющие напряжения, их распределение, зависимость от со-
отношения частей модели и т. д. Этот метод исследова-
ния называется методом фотоупругости.
Хотя эмпирические закономерности, связывающие из-
Искусственная анизотропия
347
меренную величину п0—пе и величину напряжения F,
позволяют в принципе по интерференционной картине де-
лать заключение о численном распределении нагрузки
по модели, однако практическое осуществление таких
численных расчетов крайне затруднительно.
Оптическая анизотропия может возникнуть и в потоке
жидкости при наличии градиента скорости движения
жидкости. Она называется натяжением и аналогич-
на анизотропии, возникающей в твердых телах при
деформации. Если в жидкости присутствуют какие-либо
анизотропные частицы, то оптическая анизотропия вы-
зывается ориентацией этих частиц в потоке. Двойное лу-
чепреломление в потоке жидкости носит название эффек-
та Максвелла.
натяжение
эффект Максвелла
Другим примером искусственной анизотропии явля-
ется анизотропия, возникающая в веществе под влияни-
ем внешнего электрического поля. Этот вид анизотропии
был открыт в 1875 г. Керром и носит название эффекта
Керра. Вначале двойное лучепреломление в электриче-
ском поле было обнаружено в твердых диэлектриках
при помещении их между пластинками заряженного
конденсатора. Однако было сомнение в том, что элект-
рическое поле в данном случае играет косвенную роль и
двойное лучепреломление появляется в результате ме-
ханической деформации, вызванной полем (явление
электрострикции *)). Непосредственное влияние электри-
ческого поля было установлено после того, как явление
двойного лучепреломления было обнаружено в жидко-
стях, в которых статическое сжатие не вызывает оптиче-
ской анизотропии. Впоследствии (1930) двойное луче-
преломление под действием электрического поля было
найдено в парах и газах. Хотя эти измерения гораздо
сложнее, чем измерения в жидкостях, поскольку эффект
мал, однако теория эффекта Керра применима к ним с
меньшими допущениями.
Эффект Керра в жидкостях можно наблюдать, поме-
стив кювету, в которую введены пластинки плоского кон-
денсатора (ячейка Керра), между скрещенными поля-
ризаторами П1 и П2 (рис. 19.2). Если П1 и П2 скрещены
и электрическое поле не наложено, то свет через си-
стему не проходит. Под действием электрического поля
жидкость становится по оптическим свойствам подобной
одноосному кристаллу с оптической осью, направленной
19.2
Двойное
лучепреломление
в электрическом
поле
эффект Керра
Керр (Кегг) Джон
(1824-1907) - англий-
ский физик
ячейка Керра
Рнс. 19.2. Схема наблю-
дения двойного лучепре-
ломления в электриче-
ском поле
См., например: Калашников С. Г. Электричество.— М.: Наука,
1977, с. 88.
348
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
постоянная Керра ,
Ланжевен (Langevin)
Поль (1872-1946) -
французский физик
Борн (Born) Макс
(1882-1970) - немец-
кий физик-теоретик
вдоль электрического поля, так что свет, выходящий из
кюветы, оказывается эллиптически поляризованным и
может быть исследован при помощи четвертьволновой
пластинки. Главные плоскости поляризаторов составля-
ют с направлением поля угол, отличный от нуля (лучше
всего, если он будет равен 45°).
Для монохроматического света данной длины волны
X разность показателей преломления пе~п0 пропорцио-
нальна квадрату напряженности поля Е: ne—n0=kE2,
где ft —константа, характеризующая жидкость. При
прохождении светом толщины жидкости d между обык-
новенным и необыкновенным лучами возникает разность
хода Д=(лй—n0)d=kdE2. Разность фаз при этом равна
Ф=(2лД)Д=2л(ЛДМ£2 или ф=2л/М£2, где В=1ф\,—
величина, характерная для данной жидкости (постоян-
ная Керра). Постоянная Керра зависит от температуры
и длины волны света X. Благодаря квадратичной зави-
симости ф от Е разность фаз между обыкновенным и не-
обыкновенным лучами не зависит от направления элект-
рического поля.
Для большинства жидкостей В>0 (пе>п0), т. е. их
анизотропия соответствует анизотропии положительного
кристалла, Есть, однако, жидкости, для которых В<0
(пе<п0). Численные значения постоянной Керра для
разных веществ весьма различны. Максимальным значе-
нием среди всех известных веществ обладает нитробен-
зол, для которого В=2,2« 10-1° см/В2. При £(=10 см и
£=10ф В/см для нитробензола ф=0,44л~л/2, т. е. такая
ячейка Керра действует как пластинка в четверть волны.
Теорию эффекта Керра разработали Ланжевен
(1910) и Борн (1918). В основе теории лежит представ-
ление об оптической анизотропии молекул жидкости или
газа, т. е. о различной поляризуемости молекул по раз-
ным направлениям.
В отсутствие поля молекулы среды расположены хао-
тически, так что на пути распространения световой вол-
ны по любому направлению и с любой ориентацией элек-
трического вектора будут встречаться в среднем одина-
ковые условия, т. е. в макроскопическом смысле среда
является изотропной. Наложение внешнего электриче-
ского поля вызовет преимущественную ориентацию мо-
лекул, что приведет к появлению в среде выделенного
направления, характеризующегося большей поляризуе-
мостью молекул, чем другие направления, В результате
среда превращается в анизотропную. Поэтому скорость
распространения световой волны будет зависеть от рас-
положения электрического вектора волны внутри среды
Искусственная анизотропия
349
по отношению к направлению наибольшей поляризуемо-
сти, т. е. будет зависеть от поляризации волны и направ-
ления ее распространения.
Поскольку внешнее электрическое поле является
осью симметрии, то диэлектрическая проницаемость
вдоль поля будет отличаться от диэлектрической про-
ницаемости в перпендикулярном направлении. Но так
как все направления, перпендикулярные к направлению
поля, равноправны, то, выбрав оси координат вдоль поля
(z) и в двух взаимно перпендикулярных направлениях,
например вдоль луча {у) и перпендикулярно к нему (х),
получим три главных направления со значениями ди-
электрической проницаемости и ex=Ev. Таким обра-
зом, эллипсоид Френеля в этом случае есть эллипсоид
вращения и среда подобна одноосному кристаллу, при-
чем направление электрического поля представляет со-
бой оптическую ось.
Ориентация молекул под действием внешнего элект-
рического поля может происходить двояким образом.
В случае неполярных молекул, т. е. молекул, не облада-
ющих постоянным дипольным моментом, под действием
поля происходит поляризация молекул (индукция или
наведение дипольного момента).
Наведенный дипольный момент пропорционален на-
пряженности электрического поля: р=аЕ, где а — тензор
поляризуемости молекулы (см. § 16.1). Ориентирующее
действие внешнего поля проявляется в том, что вдоль по-
ля устанавливается направление наибольшей поляризуе-
мости молекул. Таким образом, среда превращается в
анизотропную.
Если на такую среду падает поток света, то наиболь-
ший показатель преломления будут иметь волны, элект-
рический вектор которых совпадает с направлением мак-
симальной поляризуемости молекул, т. е. вдоль внешнего
поля. Так как направление электрического поля играет
по отношению к среде роль оптической оси, следователь-
но, волна с наибольшим показателем преломления яв-
ляется необыкновенной волной (колебание происходит
вдоль оптической оси), т. е. пе>п0 и постоянная Керра
В>0.
В случае полярных молекул, обладающих постоянным
дипольным моментом, поляризация происходит не толь-
ко вследствие индукции, но и вследствие ориентации мо-
лекул электрическим полем. Однако следует учитывать
тот факт, что направление постоянного дипольного мо-
мента в молекуле может не совпадать с направлением
тензор
поляризуемости
350
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Абрагам (Abraham) Макс
(1875-1922) - немец-
кий физик-теоретик
Лемуан (Lemoine) Эмиль
(1840—1912) — француз-
ский математик
наибольшей поляризуемости. В таком случае молекула
ориентируется так, что по направлению внешнего поля
устанавливается ее постоянный момент, а направление
наибольшей поляризуемости (т. е. наибольшей диэлект-
рической проницаемости) может составить угол с на-
правлением электрического поля, играющего роль опти-
ческой оси. Оттого, как будут расположены эти два
направления, вещество может характеризоваться поло-
жительным или отрицательным значением постоянной
Керра. В частности, если направление максимальной
поляризуемости совпадает с направлением постоянного
момента, то В>0. Если они взаимно перпендикулярны,
постоянная Керра В<0. При некотором промежуточном
положении В может быть равна нулю.
Ориентирующему действию внешнего электрического
поля противодействует тепловое движение молекул, что
приводит к уменьшению В при повышении температуры.
Вообще говоря, ориентационная теория эффекта Керра
справедлива только для газов, когда не надо учитывать
взаимодействия между молекулами, характерные для
жидкостей.
Таким образом, зависимость эффекта Керра от квад-
рата напряженности поля обусловлена тем, что искусст-
венная анизотропия в электрическом поле зависит, во-
первых, от способности молекул поляризоваться под дей-
ствием электрического поля и, во-вторых, от степени
ориентации поляризованных молекул в этом же поле.
При исследований эффекта Керра важен вопрос о
длительности тех процессов, которые приводят к возник-
новению или исчезновению двойного лучепреломления,
Схема опыта Абрагама и Лемуана (1899), позволяюще-
го измерить время, в течение которого молекулы успе-
вают ориентироваться во внешнем электрическом поле,
приведена на рис. 19.3.
Источником света служит искра L. Она вместе с
ячейкой Керра К питается от одного источника тока. Свет
искры, отразившись от системы зеркал МiM2M3Af4, про-
ходит через поляризаторы nt и П2, между которыми по-
мещена ячейка Керра. Когда разность потенциалов на
электродах достигает пробивного значения, между ними
проскакивает искра и конденсатор ячейки Керра разря-
жается. Отодвигая зеркала MjAf2, можно увеличить дли-
ну пути света от искры до ячейки Керра и таким обра-
зом получить очень малую, но заметную разность между
моментом времени, в который конденсатор разряжается,
и моментом времени, в который до него доходит свет.
Если за данный промежуток времени молекулы успеют
Искусственная анизотропия
351
дезориентироваться, то жидкость перестанет быть анизо-
тропной и двойное лучепреломление исчезнет. Опыт по-
казал, что для этого необходимо, чтобы свет прошел
путь, равный 4,0 м. Время, характеризующее инерцион-
ность процесса, оказалось равным 10-8 с. Дальнейшие
более детальные измерения показали, что это время со-
ставляет около 10“10 с.
Рис. 19.3. Схема измерения инерционности эффекта Керра
Таким образом, время, в течение которого устанав-
ливается или пропадает двойное лучепреломление в
электрическом поле, позволяет использовать ячейку Кер-
ра в качестве практически безынерционного оптического
затвора. Это свойство эффекта Керра нашло применение
как на практике, так и в лабораторных исследованиях.
В частности, ячейка Керра использовалась в опытах по
измерению скорости света, а в последнее время она с
успехом была применена для получения мощных импуль-
сов света в твердотельных лазерах.
Искусственная анизотропия среды может быть созда-
на и наложением внешнего магнитного поля. При этом
также возникает двойное лучепреломление света (эф-
фект Коттона — Мутона, 1907).
Эффект Коттона —Мутона во многом аналогичен эф-
фекту Керра. По своим магнитным свойствам молекулы
делятся на парамагнитные молекулы (ц>1), обладаю-
щие постоянным магнитным моментом, и диамагнитные
молекулы (ц< 1), которые не имеют/ постоянного маг-
нитного момента, но могут приобретать его в магнитном
поле. Анизотропия среды под действием магнитного поля
возникает либо благодаря ориентации парамагнитных
молекул (по аналогии с полярными молекулами), либо
благодаря анизотропии магнитной восприимчивости
1М
Двойное
лучепреломление
в магнитном
поле
эффект
Коттона — Мутона
Коттон (Cotton) Эме
(1869—1951) — француз-
ский физик-эксперимента-
тор
352
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
парамагнитная
молекула
диамагнитная
молекула
постоянная
Коттона—Мутона
(аналог статической поляризуемости неполярных моле-
кул).
В отсутствие внешнего магнитного поля хаотическое
расположение молекул создает макроскопическую изо-
тропность среды. Наложение достаточно сильного маг-
нитного поля, воздействующего на магнитные моменты
молекул, ориентирует их определенным образом относи-
тельно этого поля, превращая среду в анизотропную.
При прохождении света через такую среду возникает
двойное лучепреломление, причем магнитное поле на-
правлено перпендикулярно к направлению распростра-
нения света. Схема опыта по наблюдению двойного луче-
преломления в магнитном поле аналогична схеме опыта
по наблюдению эффекта Керра (см. рис. 19.2).
Разность хода между двумя лучами равна Д= (пе—
—n0)d=DdH2, где d —толщина жидкости; Н— напря-
женность магнитного поля; D — константа, характеризу-
ющая свойства среды. Разность фаз при этом выразится
следующим образом: (2л/А)Д=2л(ОД)^Я2 или
q=2nCdH2, где С=D/l~ постоянная Коттона—• Муто-
на, зависящая от природы вещества, длины волны света
и температуры. Константа С очень мала, поэтому на-
блюдение эффекта Коттона — Мутона связано с очень
большими экспериментальными трудностями. Этот эф-
фект отчетливо наблюдается в жидкостях, стеклах и
коллоидах и не наблюдается в газах.
Теория эффекта Коттона— Мутона аналогична тео-
рии эффекта Керра. Вещество в магнитном поле стано-
вится анизотропным вследствие ориентации анизотропно
поляризующихся молекул (ориентационная теория Лан-
жевена — Борна), а также вследствие непосредственного
влияния поля на оптическую поляризуемость молекул.
Глава 20
ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Средн разнообразных явлений, возникаю-
щих при взаимодействии света и вещества,
важное место занимает вращение плоскости по-
ляризации. Это явление наблюдается у многих
веществ, получивших название естественно оп-
тически активных. К их числу принадлежат
кристаллы (кварц и др.), чистые жидкости
(скипидар и др.), растворы (водный раствор
сахара и др.). Особенно много оптически ак-
тивных веществ среди органических соедине-
ний. Вещества, вращающие плоскость поляри-
зации в растворах, всегда сохраняют эту спо-
собность и в кристаллическом состоянии. Одна-
ко наблюдаются случаи, когда оптическая ак-
тивность проявляется только в кристалле, а
молекулы того же соединения, например, в
растворе ею не обладают. Здесь естественная
оптическая активность является специфическим
коллективным свойством кристалла.
Вращение плоскости поляризации наблю-
дается и в неактивных веществах, если их по-
местить в магнитное поле. Этот эффект, откры-
Вращение плоскости поляризации
353
тый Фарадеем в 1845 г., имел в истории физики
громадное значение, так как был первым эффек-
том, в котором обнаружилась связь между оп-
тическими и электромагнитными процессами.
Вращение плоскости поляризации имеет
важное практическое применение, например
при измерении концентрации сахара в раство-
ре. Оптическая активность служит ценным ме-
тодом исследования химического строения ве-
щества, структуры к свойств синтетических по-
лимеров и биополимеров — белков, нуклеино-
вых кислот и т. д. Исследование веществ, ак-
тивных в магнитном поле, позволяет извлекать
информацию о строении вещества, отличную от
той, которая получается с помощью естествен-
ной оптической активности.
Количество веществ, обладающих естественной опти-
ческой активностью, довольно велико. Ограничимся рас-
смотрением опытов лишь с кристаллическими и аморф-
ными веществами.
Оптическая активность в кристаллах. Явление враще-
ния плоскости поляризации было открыто на кристалле
кварца (Араго, 1811), который и по настоящее время
остается классическим объектом для демонстрации этого
явления и используется во многих приборах, предназна-
ченных для измерения вращательной способности.
Пусть параллельный пучок монохроматического света
(рис. 20.1), поляризованный при помощи поляризатора
Пь падает на пластинку, вырезанную из кристалли-
ческого кварца перпендикулярно к оптической оси ОО',
Известно, что свет, распространяющийся вдоль оптиче-
ской оси в одноосных кристаллах, не претерпевает двой-
ного лучепреломления, следовательно, второй поляриза-
тор П2, скрещенный с Пь не должен пропускать света.
Однако в данном опыте свет при скрещенных поляриза-
торах все же проходит. Поворачивая П2 на некоторый
угол, можно вновь добиться полного затемнения поля.
Это свидетельствует о том, что свет, прошедший через
кристалл кварца, остался линейно поляризованным, но
плоскость поляризации повернулась на некоторый угол,
измеряемый поворотом Па. Изменяя длину волны света,
можно обнаружить, что угол поворота плоскости поляри-
зации различен для разных длин волн, т. е. имеет место
дисперсия оптического вращения.
Вращательная способность характеризуется величи-
ной угла, на который поворачивается плоскость поляри-
зации: ф—ad, где ф —угол поворота; d —толщина пла-
стинки; а —постоянная вращения, зависящая от длины
волны, природы вещества и температуры. Например,
для желтых лучей (Х=5890 А) ф=21,7°, а для фиолето-
вых (^=4047 А) ф=48,9°. Опыт показывает, что направ-
ление вращения (знак вращения) меняется с изменением
направления распространения света. Поэтому, если по-
ляризованный свет, прошедший через кристалл, отража-
ется от зеркала и вторично проходит через тот же кри-
20.1
Основные
эксперименты
естественная
оптическая
активность
дисперсия
оптического
вращения
постоянная
вращения
кристаллов
Рис. 20.1. Схема наблю-
дения вращения плоско-
сти поляризации в кри-
сталле
354
Распространение света в изотропных п анизотропных средах
сталл, то направление плоскости поляризации восста- навливается. Направление вращения принято определять для на- блюдателя, смотрящего навстречу световому лучу: пра- вое вращение —по часовой стрелке, левое —против ча- совой стрелки. Эксперименты с кристаллами кварца по- казали, что существуют две разновидности кварца — правовращающий и левовращающий, причем величина
I вращения в обоих случаях одинакова. Вращение плоскости поляризации имеет место и тог- да, когда свет направлен не вдоль оси кристалла, а под углом к ней. Но изучение его в этих условиях значитель- но труднее, так как явление частично маскируется обыч- ным двойным лучепреломлением. Еще труднее наблю- дать данное явление в двуосных кристаллах, потому что вращение может быть различным вдоль каждой из осей. Оптическая активность в аморфных веществах. Схема наблюдения вращения плоскости поляризации в аморф- ных веществах (сахар, камфара, патока, никотин и др.) остается такой же, как и в кристаллах (см. рис. 20.1), но только вместо кристалла между поляризаторами поме- щается кювета с оптически активным веществом. В на- стоящее время известно очень много оптически активных веществ, обладающих весьма различной вращательной способностью, от едва заметной до очень большой (на- пример, никотин в слое толщиной 10 см поворачивает плоскость поляризации желтых лучей на 164°). Для растворов экспериментально было установлено (Био, 1815), что угол поворота плоскости поляризации
Ф прямо пропорционален толщине d раствора и концент-
Био (Biot) Жан Батист (1774—1862) — француз- ский физик рации с активного вещества: Ф=[аПс. (20.1) Коэффициент пропорциональности [а] по аналогии с коэффициентом а для кристаллов характеризует приро- ду вещества и носит название постоянной вращения. Она
• сильно зависит от длины волны ([а]~ l/Х2) и слабо от температуры. Постоянная вращения [а] практически не
постоянная вращения растворов зависит от агрегатного состояния исследуемого вещества. Определив значение [tx] для данного растворителя, длины волны и температуры, можно использовать соот- ношение (20.1) для определения концентрации раство- ренного активного вещества. Этот метод широко приме-
• няется для количественного определения концентраций таких веществ, как камфара, кокаин, никотин, сахар.
поляриметр (сахариметр) Приборы для таких измерений называются поляримет- рами, или сахариметрами. Точность измерения угла по-
Вращение плоскости поляризации
355
ворота плоскости поляризации достаточно высока (по-
грешность измерений около 0,ОГ). Для достижения та-
кой точности используют специальные устройства,
называемые полутеневыми анализаторами*).
Выше отмечалось, что в некоторых случаях враща-
тельная способность связана только с кристаллической
структурой. Например, плавленый (аморфный) кварц не
вращает плоскость поляризации, тогда как кристалли-
ческий кварц принадлежит к числу наиболее активных
веществ. Однако вещества, активные в аморфном со-
стоянии (расплавленные или растворенные), активны и
в виде кристаллов, хотя постоянная вращения кристал-
лических форм может сильно отличаться от постоянной
вращения аморфных форм. Таким образом, оптическая
активность веществ определяется строением молекул и
их расположением в кристаллической решетке.
полутенееой
анализатор
Теория вращения Френеля, Интерпретация вращения
плоскости поляризации была дана впервые Френелем,
который показал, что это явление сводится к особому ти-
пу двойного лучепреломления. В основе рассуждений
Френеля лежит гипотеза, согласно которой скорость рас-
пространения света в оптически активных веществах
различна для волн, поляризованных по правому или ле-
вому кругу, т. е. Упр#=Улсв. В силу этого все оптически
активные вещества можно разделить на «правые»
(Упр>Улев) и «левые» (УпрО.ив).
Линейно поляризованный свет можно представить
как совокупность двух волн, поляризованных по правому
и левому кругам, с одинаковыми периодами и амплиту-
дами. Пусть в месте входа в слой оптически активного
вещества совокупность волн, поляризованных по право-
му я левому кругам, эквивалентна линейно поляризован-
ному свету с колебаниями -по направлению АА
(рис. 20.2, а), т. е. вращающиеся электрические векторы
правой и левой волн симметричны по отношению к плос-
кости ДЛ. Рассмотрим, какова будет взаимная ориента-
ция этих векторов в любой точке среды. Предположим,
что ппр>1'лев. тогда до какой-либо точки среды в опре-
деленный момент времени волна, поляризованная по ле-
вому кругу, дойдет с некоторым отставанием по фазе по
отношению к волне, поляризованной по правому кругу.
В рассматриваемой точке электрический вектор волны,
поляризованной по правому кругу, будет повернут впра-
20.2
Теория вращения
плоскости
поляризации
Рис. 20.2. Графическое
определение угла пово-
рота плоскости поляри-
зации
*> См., например: Ландсберг Г. С. Оптика.—М,: Наука, 1976,—
928 с.
356
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
во на больший угол по сравнению с электрическим век-
тором волны, поляризованной по левому кругу.
Для того чтобы результирующее колебание осталось
линейно поляризованным, плоскость симметрии неизбеж-
но должна повернуться. Для определения направления
колебаний в результирующей линейно поляризованной
волне надо сложить две поляризованные по кругу волны
после прохождения ими равного пути в оптически актив-
ной среде, т. е. надо найти плоскость симметрии. Как
видно из рис. 20.2,6, результирующее колебание будет
направлено по А'А\ т. е. плоскость поляризации света
повернется вправо на угол <р, так что фпр—ф=флев+ф
ИЛИ ф= (фпр—флев)/2.
Для получения аналитического выражения для угла
поворота плоскости поляризации в оптически активной
среде запишем углы поворота электрического вектора
как функции времени I и пути z, проходимого светом в
среде для волн, поляризованных по правому и левому
кругам:
Фпр = Ю ; Флев = И И------------ >
\ ипр/ \ илев /
где Ппр=с/Лпр; иЛев=с/Лдев —соответственно фазовые
скорости распространения правой и левой волн; Лцр и
плев — соответствующие показатели преломления. Из
этих выражений следует, что угол поворота плоскости
поляризации ф на глубине z=d равен
_ фггр ~ флев „ /п _ п \
т 2 2с '”лев
Так как ш/с=2л/Гс=2лДо, то
ф = -Г-(Пл.,-л„р). (20.2)
где Хо ~ длина волны в вакууме. Формула (20.2) пока-
зывает, что для веществ, для которых Ядев>Плр, плос-
кость поляризации поворачивается вправо (фщ>флев), а
ДЛЯ веществ, ДЛЯ которых Ялев Опр,— влево (фпр<флев)-
Эти результаты находятся в соответствии с представле-
ниями Френеля.
Оценим величину Дп=плев—ппр, которую можно за-
фиксировать в опытах по вращению плоскости поляри-
зации. Если точность измерения ф~0,0Г (1,7-10-4 рад),
то при d=10 см и Х=5-1О~5 см можно измерить
Дп~ 10-9, т. е. можно обнаружить очень малую разность
в показателях преломления.
Для экспериментальной проверки своих предположе-
ний Френель построил специальную составную призму из
Вращение плоскости поляризации
357
право- и левовращающего кварца (рис. 20.3). Три ее
призмы вырезаны так, что оптические оси параллельны
их основаниям (на рис. 20.3 оптические оси указаны дву-
сторонними стрелками). При нормальном падении на
такую призму линейно поляризованного луча этот луч
войдет в первую призму без преломления. На границе
между первой и второй призмами он раздвоится, так как
показатели преломления для правой и левой волн раз-
личны. Еще более лучи разойдутся при преломлении на
границе между второй и третьей призмами. В результа-
те из призмы выйдут два луча, поляризованные по пра-
вому и левому кругам.
Молекулярная теория вращения. Теория Френеля
объясняет вращение плоскости поляризации света, одна-
ко она не в состоянии ответить на вопрос, почему ско-
рость распространения волны в правовращающем веще-
стве отлична от ее скорости в левовращающем. Если
рассматривать этот вопрос с позиций молекулярной тео-
рии, то нужно предположить, что вращение плоскости
поляризации связано с асимметричным строением опти-
чески активного вещества. Эта асимметрия заключается
в том, что две разновидности активного вещества постро-
ены так, что одна является зеркальным отображением
второй. Для оптически активных кристаллов это обна-
руживается при непосредственном изучении их формы.
Например, монокристаллы право- и левовращающего
кварца имеют зеркально-симметричные формы (рис.
20.4), которые носят название энантиоморфных. Для
аморфных однородных веществ исследуемое явление
нужно связать со строением сложных молекул активной
среды.
Борн (1915) показал, что вращение плоскости поля-
ризации света можно объяснить, если учесть характер
изменения электромагнитного поля в веществе в преде-
лах одной молекулы, При построении теории было
принято во внимание то, что все оптически активные
вещества существуют в двух модификациях, характери-
зующихся правым и левым вращением плоскости поля-
ризации, причем рассматривались сложные асимметрич-
ные молекулы с пространственной структурой, не имею-
щие ни центра, ни плоскости симметрии (наличие осн
симметрии не препятствует оптической активности).
Физический смысл теории Борна можно проиллюст-
рировать простой электронной моделью. Эта модель со-
стоит из двух связанных и находящихся на расстоянии
d друг от друга электронов — гармонических осциллято-
ров 1 и 2 (рис. 20.5), способных двигаться в двух вза-
Рис. 20.3. Составная
призма из право- и лево-
вращающего кварца
Рис, 20.4. Энантиоморф-
ные формы левовращаю-
щего (а) и правовра-
щающего (6} кварца
энантиоморфная
форма
теория Борна
358
Распространение света в изотропных п анизотропных средах
tf-
/ '
У
Рис, 20,5. Двухосцнлля-
торная модель
имно перпендикулярных направлениях (двухосниллятор-
ная модель). Колебания двух осцилляторов можно рас-
сматривать как колебания связанных маятников. В та-
кой модели проявляются два нормальных колебания —
симметричное $ (рис. 20.5,а), в котором оба электрона
движутся в положительных направлениях координатных
осей х и у, и антисимметричное as (рис. 20.5,6), в кото-
ром один электрон движется в положительном, а вто-
рой—в отрицательном направлениях. Если воздейство-
вать на электроны правой или левой волной, распрост-
раняющейся вдоль оси г, то они будут по-разному
реагировать на эти волны. Допустим, что d=X/4, тогда
концы электрических векторов в некоторый момент вре-
мени в распространяющейся волне, поляризованной по
кругу, лежат на спирали (см. § 17.2). В случае правой
волны — это правовинтовая спираль, в случае левой вол-
ны — левовинтовая. Электромагнитная волна действует
на электроны, смещая их в направлении своих колеба-
ний. Правая волна сместит оба электрона в положитель-
ных направлениях, совпадающих с направлением прило-
жения к ним сил. Левая волна сместит в направлении
своих колебаний лишь первый электрон, а направление
движения второго электрона противоположно прило-
женной к нему силе. Таким образом, работа, производи-
мая над электронами силой поля световой волны, раз-
лична для правой и левой волн. Правая и левая волны
должны распространяться через совокупность таких
асимметричных моделей с различной скоростью.
Соответствующий расчет показывает, что |
где jV — число активных молекул в единице объема;
п — показатель преломления среды; длина волны в
ф вакууме, Величина g, называемая гирацией, является
молекулярной константой (тензором), свойства симмет-
гирация рии которой таковы, что она обращается в нуль при на-
личии у молекул плоскости или центра симметрии. По-
рядок величины (d/A0)a~10-29 см3, где а —поляри-
зуемость; d — величина порядка размеров молекулы
(приблизительно 10-8 см). Однако даже такое малое
значение g и тем самым разности показателей прелом-
ления Дп=п.-1ев—Ппр обеспечивает заметное вращение
плоскости поляризации.
Из-за непосредственной зависимости оптической ак-
тивности от относительного расположения атомов в мо-
лекуле она оказывается чрезвычайно чувствительной к
Вращение плоскости поляр изации
359
любым изменениям структуры и внешним воздействиям. н н
Причину этого нетрудно понять, если исходить из того, о о
что оптическая активность определяется именно разли-
чием фаз световой волны в разных точках молекулы. (j \?О О\/
Таким образом, теория оптической активности, осно* j О О 3
ванная на представлениях классической электронной Вг ®г
теории, раскрыла физическую сущность этого явления
и позволила сформулировать необходимые для него усло-
вия. Однако в рамках данной теории нет возможности
установить непосредственную связь между химическим
строением молекулы и величиной ее оптической враща-
тельной способности. Большой шаг вперед в этом отно-
шении сделала квантовомеханическая теория, которая
позволяет в отдельных случаях производить такие рас-
четы.
В заключение коротко остановимся на роли асиммет-
рии в природе. Асимметрия — это отсутствие зеркальной
симметрии у молекул и кристаллов. Оптическая актив-
ность связана с наличием двух форм —правой и левой.
Понятия правого и левого — принципиальные и глубо-
кие свойства пространства. Об этом свидетельствуют, в
частности, и современные данные физики элементарных
частиц.
Большая часть асимметричных молекул органических
веществ содержит асимметричный элемент —атом угле-
рода, связанный четырьмя валентными связями с раз-
личными радикалами. Две такие формы — оптические
антиподы — показаны на рис. 20.6. Зеркальные изомеры
вещества имеют, как правило, одинаковые химические
свойства, плотность, температуру плавления и т. д. Ос-
новное их специфическое свойство — оптическая актив-
ность, когда правые и левые формы вращают плоскость
поляризации в разных направлениях. Это единственный
надежный и точный метод исследования разных форм
Рнс. 20.6. Зеркальные
изомеры асимметричной
молекулы с центральным
атомом углерода
асимметрия
асимметричных веществ.
Следует отметить, что если составить среду (напри-
мер, жидкую) на 50 % из правовращающей формы и на
50 % из левовращающей, то полученная смесь не будет
вращать плоскость поляризации. Такие смеси называ-
ются рацематами. В неживой природе асимметричные ф
вещества встречаются только в виде рацематов. Такое
состояние наиболее вероятно, оно обладает максималь- рацематы
ной энтропией. В обычных условиях химического синтеза
также всегда получается рацемическая смесь, не враща-
ющая плоскость поляризации света.
Иная картина наблюдается в живой природе. Важ-
нейшие биологические вещества — аминокислоты, белки,
360
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Пастер (Pasteur) Луи
(1822—1895) — француз-
ский ученый
нуклеиновые кислоты, углеводы—присутствуют во всех
живых организмах в виде чистых асимметричных форм
(чистых антиподов). Это свойство живого открыто дав-
но и, несомненно, имеет большое общебиологическое зна-
чение, однако суть такого значения до сих пор не вполне
понятна. С общей точки зрения важно отметить, что в
этом проявляется отклонение энтропии данной системы
от максимально возможного значения, Это отличитель-
ное свойство живых организмов выражает общий закон
упорядоченности живой материи,
Асимметрия присуща не только биологическим моле-
кулам, но и организмам в целом на морфологическом
уровне (винтовые структуры колоний бактерий, правые
и левые спирали раковин, винтовое строение вьющихся
растений и т. д.).
Оптическая активность и ее дисперсия (зависимость
от длины волны) служат ценным методом исследования
структуры и свойств различных молекул и особенно в
стереохимии— учении о пространственном строении мо-
лекул. Именно с помощью оптической активности Пастер
заложил (1848) основы этого учения.
20.3
Вращение
плоскости
поляризации
в магнитном поле
Вещества, не обладающие естественной оптической
активностью, обнаруживают ее под действием внешнего
магнитного поля *>. Это явление впервые наблюдал Фа-
радей.
Схема опыта Фарадея показана на рис. 20.7. Между
полюсами электромагнита помещается исследуемое ве-
Рис. 20.7, Схема наблюдения вращения плоскости
магнитном поле
поляризации в
Фарадей (Faraday)
Майкл (1791-1867) —
английский физик
щество К. Линейно поляризованный свет пропускается
через вещество так, чтобы его направление совпало с
направлением магнитного поля, т. е. свет проходит через
узкие каналы в сердечнике электромагнита. В отсутствие
В случае оптически активных веществ их естественная способ-
ность к вращению складывается со способностью, приобретенной в
магнитном поле.
Вращение плоскости поляризации
361
магнитного поля при скрещенных поляризаторах П1 и П2
свет через систему не проходит. При включении магнит-
ного поля на экране наблюдается светлое пятно —свет
проходит через скрещенные поляризаторы. Вращая ана-
лизатор П2, можно убедиться, что в данном случае имеет
место поворот плоскости поляризации на некоторый
угол ф, а не какое-либо другое явление, так как при по-
вороте анализатора П2 на угол <р свет через систему не
проходит.
Угол поворота ф плоскости поляризации в этом случае
пропорционален длине пути d света в веществе и напря-
женности магнитного поля Н;
y=pdH, (20.3)
где р — постоянная, характерная для вещества и нося-
щая название постоянной Верде. Значения р невелики, и
требуются достаточно сильные магнитные поля, чтобы
эффект был значителен. Например, для сероуглерода
р=0,042', а для тяжелого флинта р=0,06'4-0,09', если d
выражено в сантиметрах, а Н — в эрстедах. Еще мень-
шее вращение обнаруживают газы.
Очень большое вращение наблюдается в тонких плен-
ках ферромагнитных металлов (железо, никель, кобальт
и др.). Пленка железа толщиной 0,1 мкм в поле напря-
женностью 104 Э поворачивает плоскость поляризации
на 2°. Однако угол поворота в ферромагнитных вещест-
вах пропорционален намагниченности ферромагнитного
вещества, а не напряженности магнитного поля, поэтому
формула (20.3) для этого случая не справедлива.
Различные вещества вращают плоскость поляризации
в разных направлениях. Для большинства веществ вра-
щение происходит вправо, т. е. в ту же сторону, в какую
навиты витки электромагнита. Такие вещества называ-
ются положительными. Вещества, вращающие плоскость
поляризации влево, называются отрицательными. Отри-
цательные вещества всегда содержат в своем составе па-
рамагнитные атомы, хотя парамагнитные вещества не
всегда отрицательны.
Направление вращения для каждого вещества опре-
деляется лишь направлением магнитного поля и не за-
висит от направления распространения света. Этим вра-
щение в магнитном поле отличается от естественного,
для которого направление вращения зависит от того, на-
блюдается ли оно вдоль пучка или навстречу пучку све-
та. Эта независимость магнитного вращения плоскости
поляризации от направления распространения света в
постоянная Верде
Верде (Verdet) М. Е.
(1824—1866) — француз-
ский математик
положительное
вещество
отрицательное
вещество
362
Распространение света в изотропных и анизотропных средах
Рис, 20.S. Усиление эф-
фекта магнитного вра-
щения плоскости поляри-
зации путем многократ-
ных отражений
магнитном поле позволяет увеличивать угол поворота
плоскости поляризации за счет многократного прохож-
дения луча в среде (рис. 20.8).
Важная особенность эффекта Фарадея состоит в его
малой инерционности (время установления меньше
10-9 с), что широко используется при решении различных
задач, особенно связанных с лазерной техникой. Малая
инерционность эффекта позволяет применять его для мо-
дуляции света, создания оптических затворов и т. д.
Магнитное вращение плоскости поляризации, так же
как и естественное, зависит от длины волны распростра-
няющегося света и несколько изменяется с изменением
температуры. Зависимость постоянной Верде от длины
волны можно приближенно определить из р=Л/Х2+р/Л4.
Эффект Фарадея стоит в непосредственной связи с
эффектом Зеемана. Поэтому мы откладываем его теоре-
тическое истолкование.
Раздел V
ДИСПЕРСИЯ, ПОГЛОЩЕНИЕ
И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Глава 21
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
Зависимость показателя преломления веще-
ства от длины волны или частоты света назы-
вается дисперсией света. Согласно теории Мак-
свелла показатель преломления п среды связан
с феноменологически введенными константами
е н ц соотношением п= которые в пер-
воначальной теории Максвелла полагались не
зависящими от частоты. Естественно, что при
этих предположениях объяснить явление дис-
персии невозможно.
Трудности объяснения дисперсии света с
точки зрения электромагнитной теории устра-
няются с помощью электронной теории. Выше
(см. гл. 16) мы установили связь между пока-
зателем преломления и поляризуемостью атома
и молекулы. Наличие дисперсии не нарушает
этой связи, ио из факта зависимости показате-
ля преломления от длины волны следует, что
поляризуемость является функцией частоты све-
та, следовательно, теорию поляризуемости не-
обходимо строить с учетом дисперсионной за-
висимости. Вообще говоря, наиболее полной
теорией является квантовая теория, однако ее
рассмотрение выходит за рамки данного учеб-
ного пособия. Здесь более подробно познако-
мимся только с основами электронной теории
дисперсии.
Дисперсия света свойственна всем средам,
Только в вакууме скорость света не зависит от
длины волны. Это обстоятельство достоверно
установлено путем наблюдения над астрономи-
ческими явлениями. Так, исследование затме-
ния далеких двойных звезд не обнаруживает
никаких аномалий в спектральном составе све-
та, доходящего до нас в начале и конце затме-
ния. Дело в том, что затмение звезды или вы-
ход ее яз тени своего спутника означает обрыв
или начало распространения светового импуль-
са, который является немонохроматическим и
может рассматриваться как результат наложе-
ния монохроматических воли. Если бы скорость
этих волн в межзвездном пространстве была
различна, то импульс должен был бы дойти до
нас значительно деформированным. Представим
для простоты импульс двумя квазимоиохрома-
тическими группами — «синей» и «красной» и
примем, что скорость распространения «крас-
ной» группы больше, чем «синей». Тогда мы
должны были бы наблюдать при начале затме-
ния изменение цвета звезды от обычного к си-
нему, а по окончании его — от красного к обыч-
ному. При огромных расстояниях, отделяющих
от нас двойные звезды, даже ничтожная раз-
ница в скоростях должна была бы дать замет-
ный эффект. В действительности же такого эф-
фекта нет. Это позволяет утверждать, что дис-
персия света в межзвездном пространстве от-
сутствует *1.
Первые экспериментальные исследования дисперсии
света принадлежат Ньютону (1672). Им был применен
так называемый метод скрещенных призм (метод скре-
щенных дисперсий). Белый свет, проходя через верти-
кальную щель L и две призмы 4j и A2t преломляющие
ребра которых взаимно перпендикулярны, собирается
с помощью линз Oi и О2 на экране наблюдения
(рис. 21.1). При наличии только одной призмы А} с вер-
тикальным преломляющим ребром на экране получил-
ся бы горизонтальный сплошной спектр, изображенный
Межзвездное пространство можно рассматривать как вакуум
в наиболее полном приближении. По астрофизическим данным сред-
няя плотность вещества в межзвездном пространстве порядка
1 атом/см3, тогда как в лучших вакуумных приборах — около 10®
атом/смэ.
21.1
Методы
наблюдения
дисперсии
света
Ньютон (Newton) Исаак
(1643—1727) — англий-
ский физик н математик
метод
скрещенных дисперсий
364
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Рис. 21.]. Схема метода
скрещенных призм
нормальная дисперсия
аномальная дисперсия
--------------
Кр Ф | Кр ф
ЕД31 П~ТЖ
Нормальная Аномальная
дисперсия дисперсия ’
Рис. 21.2. Вид спектра,
получаемого по методу
скрещенных призм
показателя преломления
от длины волны для
цианина
пунктирной полосой ab. После введения призмы А2 каж-
дый луч будет отклонен вниз и тем сильнее, чем больше
для него показатель преломления этой призмы. Весь
спектр ab сместится вниз и займет положение а'У. Сме-
щение будет наименьшим для красного а' и наибольшим
для фиолетового Ъ' концов спектра. Для промежуточных
точек спектра смещение будет тем больше, чем больше
показатель преломления для длины волны, соответству-
ющей данной точке спектра. Таким образом, полоса а'Ьг
будет изогнута и наглядно представит ход дисперсии в
призме А2.
Для прозрачных веществ показатель преломления п
монотонно возрастает с уменьшением длины волны Л
(нормальная дисперсия). Дальнейшие исследования по-
казали, что возможен и обратный ход дисперсии, когда
показатель преломления уменьшается с уменьшением
длины волны (аномальная дисперсия). Было установле-
но, что аномальная дисперсия тесным образом связана
с поглощением света: все вещества, для которых наблю-
дается аномальная дисперсия, сильно поглощают его в
этой области (рис. 21.2). Показатель преломления вбли-
зи полосы поглощения меняется настолько быстро, что
значение его со стороны более длинных волн (точка а)
больше, чем со стороны коротких (точка &). Аномальный
ход показателя преломления, т. е. его уменьшение с
уменьшением длины волны, имеет место внутри полосы
от точки а к точке Ь, где наблюдения очень затруднены
вследствие поглощения света.
Кривая дисперсии раствора цианина показана на
рис. 21.3. Область ab приходится на полосу поглощения,
где показатель преломления уменьшается, т. е. имеет
аномальный ход. За пределами полосы поглощения ход
зависимости показателя преломления от длины волны
соответствует обычному нормальному ходу дисперсии,
т. е. с уменьшением А показатель преломления медленно
увеличивается. У прозрачных веществ (например, стек-
ло, кварц и др.) в видимой области нет полос поглоще-
ния, поэтому показатель преломления у них имеет нор-
мальный ход. Однако по мере продвижения в ультрафио-
летовую или инфракрасную область спектра, где есть
полосы поглощения, показатель преломления начинает
довольно быстро изменяться. Таким образом, полная дис-
персионная картина для любого вещества состоит из об-
ластей аномальной дисперсии, соответствующих облас-
тям внутри полос или линий поглощения, и областей
нормальной дисперсии, расположенных между полосами
поглощения.
Дисперсия света
365
Эффектный опыт, качественно иллюстрирующий ход
показателя преломления вблизи линий поглощения па-
ров натрия, был поставлен Кундтом. Пары натрия имеют
две линии поглощения Di (Х=5896 А) и Z)2 (Х=5890 А),
расположенные на расстоянии 6 А друг от друга. В опы-
те Кундта свет пропускался через кювету, наполненную
парами натрия, и стеклянную призму с вертикальным
преломляющим ребром. Кювета снизу подогревалась го-
релкой, а сверху охлаждалась, в результате чего в ней
создавалась неравномерная по высоте плотность паров.
Такой столб паров действовал на проходящий поток
света как своеобразная призма с горизонтальным пре-
ломляющим ребром. Совместное действие «призмы» из
паров натрия и стеклянной призмы дает на экране зави-
симость показателя преломления от длины волны, кото-
рая вблизи линий поглощения претерпит разрыв
(рис. 21.4). При большой плотности паров обе линии по-
глощения сольются в одну и детали явления не будут
различаться (рис. 21.4,а). При уменьшении плотности
паров на экране появятся две области аномальной дис-
персии, соответствующие двум линиям поглощения
(рис. 21.4, б).
Поскольку в газах (парах металлов), характеризую-
щихся резкими линиями поглощения, дисперсионная
картина наблюдается наиболее отчетливо, то и проверку
теоретических представлений лучше всего проводить для
газов, для которых, впрочем, и построение теории значи-
тельно проще. Для количественных измерений дисперсии
в газах (особенно при малой плотности) применяют ин-
терферометрические методы, позволяющие измерять не-
большие изменения показателя преломления.
Наиболее хорошие результаты получаются при скре-
щивании интерферометра Рождественского и спектрогра-
фа. Интерферометр Рождественского, являющийся моди-
фикацией интерферометра Жамена (см. § 6.1), имеет пе-
ред ним то преимущество, что э нем можно развести
интерферирующие пучки на большее расстояние. А это
позволяет проводить опыты с парами металлов. Схема
установки представлена на рис. 21.5. Свет от источника
сплошного спектра L через объектив Oj параллельным
пучком поступает в интерферометр. В один из интерфе-
рирующих пучков вводится кювета, из которой откачан
воздух и которая закреплена внутри трубчатой электри-
ческой печи. Изменяя нагрев печи, можно менять плот-
ность паров металла, помещенного внутри кюветы (пу-
чок 7). В интерферирующий пучок 2 вводят хорошо от-
качанную компенсационную трубку, длина которой
Куидт (Kundt) Август
Адольф Эдуард Эберхард
(1839—1894) — немец-
(1839-1894)
кий физик
опыт Кундта
интерферометр
Рождественского
Дмнт-
(1876—
Рожденственский
рий Сергеевич
1940) — советский физик
спектрограф
интерферометр
Жамена
Жамен (Jamin) Жюль
Селестек (1818—1886)—
французский физик
Рис. 21.4. Аномальная
дисперсия в парах нат-
рия:
а — при значительной плот,
мости паров обе линии погло-
щения натрия сливаются в
полоску; б —при небольшое
плотности паров обе линии
поглощения натрия разделе-
ны
366
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Рис, 21.5. Схема измере-
ния дисперсии в парах
металла по методу Рож-
дественского
Рис. 21.6. Разложение
полос интерференции
при скрещенных прибо-
рах
Рис, 21.7. Интерферен-
ционные полосы в высо-
ких порядках:
д—пластинка введена в пу-
чок /; б — пластинка введе-
на в пучок 2
соответствует длине кюветы, а окошки в ней идентичны
окошкам кюветы с парами металла. Получающаяся ин-
терференционная картина проецируется объективом Ог
на вертикальную щель спектрографа С.
Если перекрыть один из лучей в интерферометре, то
в поле зрения спектрографа в белом свете наблюдается
горизонтальная полоса вертикальных цветных полос. При
попадании на щель спектрографа обоих лучей система
цветных полос будет пересечена почти горизонтальными
темными линиями, которые соответствуют интерференци-
онным минимумам.
Перед измерением прибор регулируется так, чтобы
нулевая интерференционная полоса была прямолиней-
ной, горизонтальной и пересекала цветную полосу при-
мерно посередине. Выше и ниже ее располагаются ин-
терференционные полосы ± 1-го, +2-го и т. д. порядков.
Так как расстояние между полосами тем больше, чем
больше длина волны (см. § 6.1), то система интерферен-
ционных полос будет сужаться от красного конца спект-
ра к фиолетовому (рис. 21.6).
Направим ось х вдоль нулевой полосы от красного
конца спектра к фиолетовому, а ось у — параллельно
щели спектрографа. Тогда ордината m-й полосы будет
ут=атк(х), где а —постоянная прибора. Это —уравне-
ние кривой, определяющей форму рассматриваемой по-
лосы. Причем угол наклона полосы dy/dx пропорциона-
лен номеру полосы.
Если на пути одного из пучков поместить пластинку
с показателем преломления п = f (X) и толщиной d, то
будет введена дополнительная разность хода Д=
= ±d(n— 1). Знак перед скобкой зависит от того, в ка-
кой пучок (1-й или 2-й) будет помещена пластинка. Вве-
дение такой пластинки переместит нулевую полосу вверх
или вниз в зависимости от знака Д, а вместе с ней смес-
тится вся интерференционная картина. При больших Д
нулевая полоса не попадает на щель и будут наблюдать-
ся интерференционные полосы высоких порядков
(рис. 21.7). Если вносимая дополнительная разность хо-
да невелика, то нулевая полоса останется в пределах
щели. Ее ордината уо=±а(п~I)d. В спектрографе эта
полоса вычертит в некотором масштабе кривую дис-
персии пластинки.
Если дополнительную разность хода создать путем
введения кюветы с парами металла, то можно опреде-
лить ход показателя преломления даже вблизи линий
поглощения. Интерференционная картина для паров
натрия приведена на рнс. 21.8. Загибы интерференцией-
Дисперсия света
367
пых полос отчетливо указывают на резкие изменения
показателя преломления вблизи линии поглощения. По-
скольку ординаты участков интерференционных полос,
смещенных нз нулевого положения, пропорциональны
значениям показателя преломления, то искривление ин-
терференционных полос может быть в принципе исполь-
Рнс, 21.8. Изгиб интер-
ференционных полос
вблизи линии поглоще-
ния
зовано для количественного изучения хода дисперсии
вблизи линий поглощения. Однако точность таких изме-
рений низка, так как сложно измерить ординату круто
изменяющейся функции и определить в длинах волн абс-
циссы тех точек интерференционных полос, для которых
найдены ординаты.
Рождественский усовершенствовал метод скрещенных
приборов, и этот метод получил название метода «крю-
ков».
Введем в один пучок интерферометра кювету с пара-
ми металла, а в другой — стеклянную пластинку с из-
вестной дисперсией (см, рис. 21.5). Введение такой плас-
тинки, как уже указывалось, приводит к появлению до-
полнительной разности хода, т. е. к появлению в поле
зрения спектрографа наклонных интерференционных по-
лос высокого порядка.
Обозначим соответственно через d и d' толщину вве-
денной стеклянной пластинки и длину кюветы с парами,
а через п и л'—показатели преломления стекла и па-
ров. Тогда уравнение, описывающее форму /n-й интер-
ференционной полосы, имеет вид
метод «крюков»
//,„(x) = a(m?i(x)-(n-l)d+(n'-l)d'). (21.1)
Порядок интерференционной полосы можно вычис-
лить из (21.1). Например, для полосы, проходящей через
начало координат (#т=0),
. (21.2)
Л л
Так как для паров я'«1, то при вычислении m по-
следним слагаемым можно пренебречь. При этом мы
предположим, что пластинка и кювета введены в лучи
интерферометра так, чтобы ш>0.
Дифференцируя (21.1) по к при постоянном нахо-
дим наклон m-й интерференционной полосы;
dym /аХ , du . ,, dn' i
~- = a -г-m — d-x--rd -s- .
dx \ dx dk dk
(21-3)
Ввиду малой дисперсии стекла слагаемым d(dn/dX)
можно пренебречь. В области нормальной дисперсии
[(dn/dl)<0] из (21.3) видно, что стеклянная пластинка
368
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Рис. 21.9. Аномальная
дисперсия в. парах нат-
рия (<крюки> Рождест-
венского)
21.2
Фазовая и
групповая
скорости света
фазовая скорость
Фурье (Fourier) Жан Ба-
тист Жозеф (1768—
1830) — французский ма-
тематик и физик
вызывает наклон полос в противоположную сторону [сла-
гаемое a{dl}dx)m], чем исследуемые пары [слагаемое
a(dkldx)d'(dn,'/d},}]. Следовательно, для определенной
точки интерференционной полосы наклон будет равен
нулю, т. е. появится «крюк», по выражению Рождествен-
ского. Вблизи линии поглощения таких «крюков» будет
два (рис. 21.9). Таким образом, положив dymjdx=i} в
(21.3), можно вычислить значения дисперсии пара
dn'ldl для тех значений Z, которые соответствуют вер-
шинам «крюков», по формуле
4-^ = _т+^в_^а, (21.4)
В формуле (21.4) учтено выражение (21.2) без ма-
лых слагаемых. При изменении толщины стеклянной
пластинки условие возникновения «крюка» осуществля-
ется для другой длины волны.
На протяжении всего предыдущего изложения мы
пользовались в основном понятием монохроматической
волны. Скорость распространения такой волны опреде-
ляется скоростью распространения ее фазы, т. е. фазо-
вой скоростью о, которая выражается формулой (см.
§1-5)
_ 4х _ ш _ Л
dt ~Т~ Т '
гдео)=2л/7’; Л=2лД.
Если бы мы имели дело только с монохроматическим
излучением, то понятия фазовой скорости было бы до-
статочно для описания всех явлений, связанных с рас-
пространением электромагнитных волн. Однако моно-
хроматическая волна, представляющая собой безгра-
ничную и бесконечно длящуюся синусоиду, неосуществи-
ма. На самом деле излучение распространяется в виде
импульсов, ограниченных во времени и в пространстве
(см. § 1.7). Скорость распространения такого импульса
можно отождествить со скоростью распространения ка-
кой-либо его точки, например точки максимальной на-
пряженности поля. Однако при этом надо предполагать,
что импульс, распространяясь, сохраняет свою форму
или во всяком случае деформируется достаточно мед-
ленно. Для того чтобы судить об этом, можно предста-
вить импульс как наложение бесконечно большого числа
близких по частоте монохроматических волн (представ-
ление импульса в виде интеграла Фурье). Если все эти
монохроматические волны разной длины распространя-
(21-5)
Дисперсия света
369
ются с одной и той же фазовой скоростью (среда не об-
ладает дисперсией), то с такой же скоростью перемеща-
ется к импульс как целое, не изменяя своей формы.
Однако среда (за исключением вакуума) обычно ха-
рактеризуется дисперсией, т. е. монохроматические вол-
ны распространяются в ней с различными фазовыми ско-
ростями, зависящими от их длины, и импульс начинает
деформироваться. В таком случае вопрос о скорости им-
пульса становится более сложным. Если дисперсия не
очень велика, то деформация импульса происходит мед-
ленно, что позволяет следить за положением максималь-
ной амплитуды. Но в таком случае скорость перемеще-
ния импульса будет отличаться от фазовой скорости лю-
бой из составляющих его монохроматических волн и
должна быть вычислена непосредственно.
Для облегчения вычислений представим импульс в
виде совокупности двух близких по частоте синусоид оди-
наковой амплитуды. При таком упрощении основные
черты явления,' сохраняются. Суперпозиция двух таких
близких синусоид приводит к возникновению биения
(см. § 1.3, рис. 1.5). Уравнения двух волн запишем в виде
= csin [(© + Дш)/ — {k+ ДА) х];
yz — a sin J(o) — Aw) t — (A — AA) x],
где и AA<A.
В результате сложения таких волн получим импульс
у [см. (1.23)] в виде
у= 2 a cos (До/—ДАх) sin (со/—Ах) ~
=Л(0 sin (со/—Ах),
где Л (0 — медленно меняющаяся во времени и в прост-
ранстве амплитуда.
Выделим на таком импульсе некоторую точку с опре-
деленным значением амплитуды, например точку, где А
максимальна. Скорость перемещения данной точки и бу-
дет определять скорость распространения импульса (или
группы волн). Эта скорость, называемая групповой, ха-
рактеризует скорость распространения всей группы
волн. Поскольку на опыте удобно регистрировать мак-
симальную амплитуду, поэтому обычно под групповой
скоростью понимают скорость перемещения максимума
энергии движущимся импульсом.
Для нахождения групповой скорости и запишем усло-
вие постоянства амплитуды: Дю/—ДАх=const. Диффе-
ренцируя, находим Awd/—ДАс/х=0 или
.. _ Ах _ /л,
di ~ ДА dk " ' групповая скорость
370
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Таким образом, монохроматическая волна характери-
зуется фазовой скоростью о=о)/6, означающей скорость
перемещения фазы, а импульс характеризуется группо-
вой скоростью u=d<&/d.k, означающей скорость переме-
щения амплитуды (энергии).
Установим связь между групповой и фазовой скоро-
стями:
dk dk dk‘
Так как £=2л/Х, следовательно, dk = (—2n/X2)dX,
тогда
.do 2л V dv dv
R~dk~ K~~2n~dl
формула Рэлея
Рэлей (Rayleigh) Джон
Уильям Стретт (1842—
1919) — английский фи-
зик
и окончательно
(21.7)
Это выражение носит название формулы Рэлея.
Проведем анализ формулы Рэлея. В выражении
(21.7) dvjdh характеризует дисперсию, следовательно, от
ее значения зависит соотношение между фазовой и
групповой скоростями. Рассмотрим основные случаи:
1) если dvfdX-Q (дисперсия отсутствует), то фазовая
и групповая скорости равны (и=и). Это справедливо
только для вакуума, однако для некоторых сред (напри-
мер, вода, воздух) в видимом диапазоне волн дисперсия
пренебрежимо мала и ее можно не учитывать;
2) если duldX>Q, то ц<у, что соответствует нормаль-
ной дисперсии (т. е. dn/dX<0, так как dvfdk= (—с In2} X
X(dn/dA)>0);
3) если do/dl<0, то и>и, что соответствует dn/dX>0,
т. е. показатель преломления возрастает с увеличением
длины волны. Такая зависимость п от X имеет место в
тех областях спектра, где есть интенсивные полосы по-
глощения (аномальная дисперсия).
Сложный характер скорости распространения света
позволил объяснить многие экспериментальные резуль-
таты. С разработкой методов измерения скорости света
и в каком-либо веществе (газообразном или жидком)
появилась возможность определить показатель прелом-
ления п через отношение скорости света в вакууме с и
веществе v (n=c/v) и сравнить это значение со значени-
ем л для данного вещества, полученного при измерени-
ях, основанных на исследовании закона преломления, ко-
торые можно провести с большой точностью. Обычно
Дисперсия света
371
значения n=sin i/sin г хорошо согласуются со значения-
ми, найденными при измерении скорости света, но в не-
которых случаях возникают существенные расхождения.
Например, по измерениям Майкельсона для показателя
преломления сероуглерода 1,64 было получено c/v=
= 1,76, что далеко выходит за пределы погрешности из-
мерений. В то же время для воды cjv = 1,33 соответствует
значению показателя преломления.
Введение понятия групповой скорости объясняет эти
экспериментальные данные. В опытах Майкельсона с во-
дой и сероуглеродом измерялось отношение групповых,
а не фазовых скоростей, но для воды dvjdX настолько
мало, что практически и=и, поэтому c/u=clv~n. Для
сероуглерода дисперсия dvjdl значительна, так что u<v
и clu>clv, что и было обнаружено Майкельсоном: с/и=
= 1,76; с/у=1,64. Точное измерение дисперсии сероугле-
рода показало, что измеренное Майкельсоном отноше-
ние действительно соответствует отношению групповых
скоростей, даваемых формулой Рэлея.
В эксперименте всегда измеряется групповая скорость
света, поскольку, как уже указывалось, практически все
приемники света реагируют на усредненное значение
квадрата напряженности электрического поля <£г>.
Кроме того, в любом опыте по определению скорости
электромагнитных волн тем или иным способом форми-
руется импульс света, который затем регистрируется.
В отличие от групповой скорости света фазовую скорость
нельзя измерить непосредственно. Эту величину опреде-
ляют из соотношения о-с/п.
Задача взаимодействия электромагнитного поля с
веществом может решаться как методами классической,
так и методами квантовой физики. Мы не будем рас-
сматривать квантовую теорию дисперсии, а познакомим-
ся более детально с основами электронной теории дис-
персии.
Как уже указывалось, сущность взаимодействия све-
та с веществом сводится к интерференции падающей
электромагнитной волны со вторичными волнами, возни-
кающими вследствие колебаний электронов (или ионов)
вещества, приведенных в колебательное движение полем
падающей волны. Поскольку главную роль в оптических
явлениях играет электрон, то в дальнейшем будем го-
ворить об электроне, хотя все наши рассуждения оста-
ются справедливыми и для других заряженных частиц,
входящих в состав атома. В частности, при исследова-
нии показателя преломления в длинноволновом (инфра-
Майкельсон (Michelson)
Альберт Абрахам (1852—
1931)—американский фи-
зик
21.3
Уравнение
дисперсии
372
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
красном) диапазоне необходимо учитывать сравнительно
медленные колебания ионов.
Для того чтобы Получить соотношение, связывающее
показатель преломления с длиной волны, необходимо
вначале найти, как зависит от частоты диэлектрическая
проницаемость е, а затем на основании формулы н=}'е
перейти к показателю преломления.
Рассмотрим поляризацию среды под действием внеш-
него электромагнитного поля (см. § 16.1). Согласно
электронной теории электроны в атомах и молекулах ди-
электрика находятся в положении равновесия. Под дей-
ствием внешнего поля они смещаются из положения рав-
новесия на некоторое расстояние г, превращая атом в
электрический диполь с моментом р=ег. Если в единице
объема среды имеется N атомов одного сорта и в каж-
дом атоме смещается только один электрон, тогда элект-
рический момент единицы объема (поляризованность
среды) равен P=JVp=.Ver. Если в среде имеются разные
заряженные частицы, то поляризованность
i
где индекс i относится к i-му сорту зарядов. Зная поля-
ризацию среды, на основании формулы (16.1) получаем
tE=E+4xNer, (21.8)
откуда нетрудно вычислить диэлектрическую проницае-
мость е. Величина г в (21.8) — это смещение так назы-
ваемых оптических или валентных электронов под дей-
ствием поля световой волны.
Рассмотрим силы, действующие на электрон в атоме.
Вынуждающая сила. Вынужденные колебания элект-
рона возникают под действием световой волны, распро-
страняющейся в среде. Поскольку магнитная составля-
ющая поля оказывает очень малое воздействие, так как
магнитное поле влияет только на движущийся заряд, то
действие световой волны определяется напряженностью
электрического поля этой волны, т. е. на электрон дей-
ствует сила Fe=eE. В первом приближении можно по-
ложить £=Eoexp(i<o/) (или Е=£0 sin со/), где и —ча-
стота падающего излучения. Однако это справедливо
только в том случае, когда можно не учитывать дейст-
вия окружающих атомов и молекул, которые также по-
ляризуются проходящей световой волной. Такое допу-
щение справедливо при малой плотности изучаемого ве-
щества, например для разреженных газов, где расстояние
между частицами среды достаточно велико. Для газов
Дисперсия света
373
при значительном давлении, жидкостей или твердых тел
необходимо учитывать это влияние, что ведет к услож-
нению выражения силы, действующей на электрон (см,
§16.1).
Удерживающая сила. Представляя атом гармониче-
ским осциллятором определенной частоты, можно счи-
тать, что электрон в атоме удерживается в положении
равновесия квазиупругой силой £/- — fr, которая про-
порциональна смещению электрона г, возникающему под
действием поля световой волны. Масса электрона т и
коэффициент квазиупругой связи f определяют частоту
собственных колебаний гармонического осциллятора
оо=///т.
Исходные положения электронной теории справедли-
вы не только для описания колебаний оптических элект-
ронов, но и для учета вынужденных колебаний ионов с
частотами, соответствующими инфракрасной области
спектра.
Тормозящая сила, Допущение о гармоническом коле-
бании электрона в атоме имеет приближенный характер.
В действительности колеблющийся электрон постепенно
теряет свою энергию и, следовательно, амплитуда коле-
бания с течением времени уменьшается, т. е. происходит
процесс затухания.
Потеря энергии электроном связана не только с излу-
чением, но и с взаимодействием атомов между собой.
Феноменологически потерю энергии оптическим электро-
ном можно учесть введением силы сопротивления, про-
порциональной скорости, как это делается в механике:
-gr, где g — коэффициент, зависящий от природы
атома.
Таким образом, уравнение движения осциллирующего
электрона запишется в виде
mr—eE—fr—gr. (21.9)
Разделив уравнение (21.9) на т и перегруппировав
члены, получим
f+Yr+wJ/Me/mJf,
где (п1=Цт — частота собственных колебаний электро-
на; y=gfm — коэффициент затухания.
Допустим, что напряженность электрического поля
изменяется по закону £=£Dexp(i©0, тогда решение это-
го уравнения г=г0 exp(i©/).
Замечая, что г=1ыг, г= — ©2г, имеем
го(—w2+iyw4-oj) = (elm) Eq
коэффициент
затухания
374
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
ИЛИ
r
Вспомнив, что P-Ner и е—1 =4л(Р/£), нетрудно по-
лучить окончательный результат, устанавливающий за-
висимость показателя преломления от частоты, т, е. на-
личие дисперсии:
n, = E=l+ WH_
(<05 - со2) + iyd)
Анализ соотношения (21.11) позволит объяснить все
экспериментальные результаты по дисперсии света.
(21.10)
(21.11)
21.4
Дисперсия
вдали от линии
поглощения
Рис. 21.10. Дисперсия
без учета поглощения
В выражении (21.11) диэлектрическая проницае-
мость е (а следовательно, и показатель преломления п)
является величиной комплексной. Рассмотрим случай,
когда (cOq—а>2), тогда (21.11) примет вид
Я>=»=1 + —(21.12)
Из формулы (21.12) видно, что в области от и=0 до
(i)=(Bo показатель преломления п>1 и возрастает с воз-
растанием со. В области от <о=соо до и=оо показатель
преломления н<1 и возрастает от — оо до 1 (рис. 21.10).
В обоих случаях имеем нормальную дисперсию. При
й=ио показатель преломления п = ±<х>. Обращение по-
казателя преломления в бесконечность не имеет физиче-
ского смысла и возникло в результате упрощенного пред-
положения об отсутствии затухания.
В видимой области все прозрачные вещества не име-
ют полос поглощения. При переходе в ультрафиолето-
вую область спектра большинство таких веществ обла-
дает интенсивным поглощением. Для всей видимой об-
ласти справедливо неравенство соСсоо» т. е. дисперсия
рассматривается вдали от линий поглощения. Это озна-
чает, что частота собственных колебаний осциллирую-
щего электрона соответствует ультрафиолетовой области
спектра. Раз о)Кр<«<(йф, то Пф>п11Т, т. е. для прозрач-
ных веществ в соответствии с опытом наблюдается нор-
мальная дисперсия.
Предположив, что разложим выражение
(21.12) в ряд по степеням w/coq и ограничимся двумя
членами:
п*=1 +
4лАМ
(21.13)
Дисперсии света 375
Подставляя сюда ы=2лс/Х, получаем формулу, кото-
рую легко сравнить с экспериментальными данными:
п2= 1+Л(1+ВД2), (21.14)
где
Л В = (21.15)
а отношение В/A не зависит от частоты собственных ко-
лебаний электрона йо. Константы А и В в выражении
(21.14) можно оценить как из наблюдений на опыте за-
висимости п(1), так ипо формулам (21.15).
Соотношение (21.14) совпадает с известной форму-
лой Коши
п=А+В/№+С№+..., (21.16) •
которая получена из представлений теории упругости и
хорошо описывает зависимость показателя преломления
от длины волны для прозрачных веществ.
При использовании соотношения (21.14) следует
учитывать, что оно применимо лишь при выполнении
предположения об отсутствии взаимодействия между из-
лучающими электронами, что справедливо для разре-
женных газов и веществ, в которых концентрация излу-
чающих центров достаточно мала. При большой плотно-
сти вещества это предположение неверно. Тогда кроме
внешнего поля Е необходимо учитывать еще и электри-
ческое поле, создаваемое в той точке, где находится
электрон, всеми остальными электрическими зарядами
(так называемое поле Лоренца). Учет этого поля, как
известно (см. § 16.1), приводит к формуле Клаузиуса —
Моссотти (16.6), Если в формуле Клаузиуса — Моссотти
заменить е=п2, то получим формулу Лоренц — Лоренца
(16.11), которую в нашем случае можно переписать в
виде
формула Коши
Коши (Cauchy) Огюстен
Луи (1789-1857) -
французский математик
поле Лоренца
п2 —1 __ 4л д. еа
л!+ 2 3 /л (и2— <оа)
(21.17)
В формуле (21.17) при определенной длине волны для
данного вещества величины е, т, шо и являются кон-
стантами, поэтому
na-l 1 .
п2 + 2 N —const
или
пг -1
п2 + 2
— = const =
р
(21.18)
376
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
удельная рефракция
где р —плотность исследуемого вещества, пропорцио-
нальная концентрации атомов Л’.
Выражение (21.18) называется удельной рефракци-
ей. Согласно формуле Лоренц —Лоренца удельная ре-
фракция г не зависит от плотности вещества. Действи-
тельно, для многих веществ удельная рефракция остает-
ся практически постоянной даже при переходе вещества
из парообразного состояния в жидкое, т. е. при измене-
нии плотности в широком интервале. Например, при пе-
реходе воды из парообразного состояния в жидкое (из-
менение плотности в 1200 раз) рефракция остается по-
стоянной с точностью до 2—3 %. При уменьшении
давления исследуемого газа его показатель преломле-
ния п стремится к единице (т. е. п?+2«3) и выражение
(21.17) переходите (21.12).
Если в спектре исследуемого вещества имеется не-
сколько коротковолновых полос поглощения, то правую
часть выражения (21.12) необходимо заменить суммой,
тогда
+ (21.19)
где — число атомов, в которых электрон имеет часто-
ту собственных колебаний «о,. Число таких собственных
частот в классической теории дисперсии соответствует
числу полос поглощения в коротковолновой области
спектра.
Если считать, что общее число атомов в единице объ-
ема остается по-прежнему равным У, т. е. то
необходимо предположить существование нескольких
групп атомов, характеризующихся различными квази-
упругими силами. В этом случае кривая дисперсии рас-
падается на ряд ветвей, причем значения п, соответству-
ющие каждому (о=иоь равны ±оо при отсутствии за-
тухания.
В заключение проанализируем некоторые следствия,
связанные с учетом колебаний ионов под действием све-
товой волны. Для простоты рассмотрим движение двух
разноименно заряженных ионов, объединенных, напри-
мер, в простейшую молекулу типа Na+Cl“. Валентность
каждого иона в этом случае равна единице, а его заряд
равен заряду электрона. Предположим, что поляризация
₽ вещества аддитивно складывается из поляризации Ре,
вызванной смещением электронов, и поляризации Ра,
связанной со смещением ионов в поле световой волны:
Р=Ре+Рв. Обозначим массы ионов разных знаков, со-
Дисперсиясвета
377
ставляющих рассматриваемую молекулу, через ЛР и М~.
Поскольку две частицы участвуют во взаимном смеще-
нии, необходимо ввести приведенную массу:
1 r_- 1 I I
М лг ~ м~ ’
Очевидно, что частота собственных колебаний элек-
трона ш2 = f/m значительно больше частоты собственных
колебаний ионов о2 =f/M, так какЛ!>т.
Не останавливаясь на промежуточных вычислениях,
последовательность которых не отличается от случая,
когда учитывалась только электронная поляризация, по-
лучаем следующее выражение для показателя прелом-
ления с учетом как электронных, так в ионных коле-
баний:
, , . 4л№2 , 4лДОег
П2 = 1 -|-------------}-----=------.
т(с)2 —(о2) М((0д—а2)
(21.20)
Для удобства сравнения с экспериментом преобразу-
ем формулу (21.20), использовав соотношения we-2nc/V,
юа=2пс/Хв; ю=2лс/Х.
Тогда
1112 1212
"!=1 + с--тНг + с> vdr- (2L2I)
л л £ Л Лд
Константы й и с2 найти нетрудно, однако мы лишь
укажем, что их отношение cJc^mlM. Это равенство
можно сравнивать с экспериментом. Избавляясь в
(21.21) от множителя X2 в числителе, получаем
П‘=1 + ^2, + сЛ! + ^Дг + -5Дг' (2>-22>
Проанализируем выражение (21.22). Поскольку
ые>(оа, то Хе<Ха. Это означает, что если электронные
полосы поглощения располагаются в ультрафиолетовой
области спектра, то полосы поглощения ионов должны
лежать в инфракрасной области.
Существование данных полос окажет влияние на ход
показателя преломления в видимой области спектра, где
исследуемое вещество может быть совершенно прозрач-
но, так как зависимость п от X определяется двумя резо-
нансными членами, из которых czV/(X8—X2) играет не
меньшую роль, чем CiX4e/(X2—X2) (напомним, что Xfl > Хг).
В классической электромагнитной теории показатель
преломления п=Уе должен быть постоянным, что, как
известно, не соответствует экспериментальным данным.
378
21.5
Дисперсия
вблизи линии
поглощения
(аномальная
дисперсия)
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Анализ формулы (21.22) показывает, что зависи-
мостью п от А можно пренебречь в случае, когда А-* оо,
что соответствует далекой инфракрасной области. При
таком условии оба резонансных члена стремятся к нулю
и формула (21.22) принимает вид
+ (21-23)
Таким образом, только в этом предельном случае
соотношение Максвелла выполняется точно. Тот факт,
что оно не выполняется в видимой области спектра, мо-
жет быть объяснен существованием инфракрасных соб-
ственных колебаний (вследствие того, что А2<£А2, реша-
ющим в выражении (21.23) является, конечно, член сг№).
Следовательно, соотношение Максвелла необходимо за-
писать в виде
(21.24)
При сравнении значений показателя преломления п,
измеренных в видимой области спектра, со статическим
значением Уе, определяемым обычными электрическими
методами, может оказаться, что эти две величины будут
сильно различаться, если у исследуемого вещества име-
ются интенсивные инфракрасные полосы.
Возвратимся к выражению (21.11), дающему зависи-
мость показателя преломления от частоты при затуха-
нии колебаний осциллирующего электрона. В данном
случае рассмотрим дисперсию в непосредственной бли-
зости от линии поглощения вещества, т. е. будем считать,
что частота вынужденных колебаний и мало отличается
от частоты собственных колебаний атома wq.
Диэлектрическая проницаемость и в этом случае яв-
ляется величиной комплексной, Следовательно, комплекс-
ным должен быть и показатель преломления п'=п—inx =
= n(l—ix), у которого, как известно (см. § 16.6), дейст-
вительная часть п характеризует преломление электро-
магнитной волны, а мнимая часть inn описывает погло-
щение волны.
Комплексный показатель преломления связан, с ди-
электрической проницаемостью равенством п'=Уе'.
Производя в выражении (21.11) соответствующие за-
мены и отделяя вещественную и мнимую части, полу-
чаем
2пъп=-^---------=—; (21.25)
Дисперсия света
379
2 •
я2() - х2) = Ц , (21.26)
т (Шд — ш2)2 -j- у2ш3
Уравнения (21.25) и (21.26) связывают показатель
преломления п и коэффициент поглощения лх с часто-
той. Явная зависимость п и их от свойств изучаемого
вещества приводит к очень громоздким выражениям.
Графики функций 2п2к и п2(1—х2) от частоты, ко-
торые в основных чертах показывают изменение коэф-
фициента поглощения и ход показателя преломления
вблизи 0=<йО) представлены на рис. 21.11. Из рисунка
видно, что кривая с разрывом в точке ®-{й0 (см.
рис. 21.10), полученная в предположении, что затухание
отсутствует (у=0), трансформировалась при учете по-
глощения в непрерывную кривую ABCD. Такая кривая
носит название кривой дисперсии. На участке ВС дан-
ное кривой показатель преломления убывает с возраста-
нием частоты. Этот участок и характеризует аномальную
дисперсию. При переходе через центр линии поглощения
(w too) показатель преломления становится меньше еди-
ницы. Значит, в данных условиях фазовая скорость вол-
ны больше скорости света в вакууме и>с, что не проти-
воречит теории относительности, накладывающей стро-
гий запрет только на скорость переноса энергии.
Таким образом, экспериментальные результаты, опи-
санные в § 21.1, подтверждаются теорией. В частности,
участок ВС кривой ABCD, где показатель преломления
убывает с увеличением частоты [(dn/da) <0], совпадает
с максимумом коэффициента поглощения, чем устанав-
ливается в рамках электронной теории дисперсии связь
между коэффициентом поглощения и показателем пре-
ломления вблизи линии поглощения.
Рис. 21.11. Зависшость
2п2х и л2(1—х2) от ча-
стоты
коэффициент
поглощения
кривая дисперсии
аномальная
дисперсия
При прохождении электромагнитной волны через ве-
щество часть энергии волны затрачивается на возбуж-
дение колебаний электронов в атомах и молекулах.
В идеальной однородной среде периодически колеблю-
щиеся диполи излучают вторичные электромагнитные
волны той же частоты, которые, интерферируя с пер-
вичной волной, изменяют ее фазовую скорость распрост-
ранения, но при этом полностью отдают поглощенную
долю энергии.
В реальном веществе не вся энергия колеблющихся
электронов испускается обратно в виде электромагнит-
ных волн, а часть ее переходит в другие формы энергии
и главным образом в тепловую. Возбужденные атомы и
молекулы взаимодействуют и сталкиваются друг с дру-
21.6
Поглощение света
380
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
фотохимическая
реакция
абсорбция
спектр поглощения
Рис. 21.12. К выводу за-
кона Бугера — Ламбер-
та —Бера
гом. При этих столкновениях энергия колебаний электро-
нов внутри атомов может переходить в энергию внешних
хаотических движений атомов в целом. В металлах
электромагнитная волна приводит в колебательное дви-
жение свободные электроны, которые затем при столк-
новениях отдают накопленный избыток энергии ионам
кристаллической решетки и тем самым нагревают ее.
В некоторых случаях энергия, поглощенная молекулой,
может сконцентрироваться на определенной химической
связи и полностью затратиться на ее разрыв. Это так
называемые фотохимические реакции, т. е. реакций, про-
исходящие за счет энергии световой волны.
При наличии значительной оптической неоднородно-
сти среды определенная часть электромагнитных воли,
излучаемых обратно возбужденными атомами и моле-
кулами, является некогерентной по отношению к первич-
ным волнам и рассеивается во все стороны. В результате
такого рассеяния энергия первичного пучка света посте-
пенно уменьшается, так же как и при необратимом пе-
реходе энергии возбужденных атомов в другие формы
энергии.
Количественно поглощение света (абсорбция) харак-
теризуется коэффициентом поглощения, который зави-
сит как от природы вещества (его химического состава,
агрегатного состояния, концентрации, температуры), так
и от длины волны света, взаимодействующего с вещест-
вом. Функцию, определяющую зависимость коэффициен-
та поглощения от длины волны, называют спектром
(иногда дисперсией) поглощения.
Рассмотрим широкий пучок параллельных лучей, рас-
пространяющийся в поглощающей среде (рнс. 21.12).
Обозначим начальную интенсивность лучистого потока
в плоскости 2=0 через 10. Пройдя в среде путь ?, лучи-
стый поток в результате поглощения и рассеяния света
ослабляется и его интенсивность /(z) становится меньше
/о. Выделим в среде участок толщиной dz. Интенсивность
потока, ..прошедшего путь z+dz, равная I+di. будет
еще меньше, чем 1, т. е. d/<0. Величина —dl представ-
ляет собой лучистый поток, поглощенный п рассеянный
на участке dz. Эта величина пропорциональна толщине
участка dz и интенсивности падающего на этот участок
света /(z),t. е.
-dl=kldz, (21.27)
где k — коэффициент ослабления света (коэффициент эк-
стинкции). Он складывается в основном из коэффициен-
та истинного поглощения, характеризующего долю по-
Дисперсия света
381
глощенной лучистой энергии, и коэффициента, характе-
ризующего потери энергии первичного пучка за счет дру-
гих процессов, особенно за счет рассеяния.
Интегрируя (21.27), получаем
/ = /оехр(-&), (21.28)
где /р — интенсивность света при z=0.
Выражение (21.28) для интенсивности света, прошед-
шего среду определенной толщиной z, носит название за-
кона Бугера — Ламберта — Бера (рис. 21.13). Коэффи-
циент k имеет размерность обратной длины (см-1) и мо-
жет быть определен для данной длины волны из урав-
нения
Рис. 21.13. Изменение
интенсивности падаю-
щего света по мере про-
никновения в глубь сре-
ды
jfe=±|nZ°_. (21.29)
При ze=\fk из уравнения (21.28) следует, что /=/о/е,
т. е. величина ze характеризует собой расстояние, на ко-
тором лучистый поток убывает в е раз. На рис. 21,13
показано, что ге одновременно характеризует расстоя-
ние, на котором свет поглощался бы полностью, если бы
абсолютное поглощение не убывало по мере уменьшения
интенсивности проходящего потока.
С экспериментальной точки зрения учет всех потерь,
не связанных с истинным поглощением, ие всегда возмо-
жен и, как показывает опыт, во многих случаях не очень
необходим. В результате вместо истинных количествен-
ных характеристик поглощения света часто измеряют
общее ослабление (или поглощение) световых пучков,
прошедших через исследуемую среду. Поэтому пользу-
ются двойной терминологией, характеризующей, с одной
стороны, истинное поглощение света веществом, а с дру-
гой—общее ослабление световых пучков поглощающим
веществом, включая и другие потери. Таким образом, го-
ворят не только о коэффициенте ослабления, но и о ко-
эффициенте поглощения, количественно определяя его
выражением (21.29), не меняя буквенных обозначений.
Из определения коэффициента поглощения (21.29)
следует, что он пропорционален величине
которую принято называть оптической плотностью по-
глощения. Она имеет тот же физический смысл, что и
коэффициент поглощения, но только относится ко всей
толщине слоя: D=kz. Аналогично определяется оптиче-
ская плотность ослабления. Часто пользуются понятием
прозрачности Т поглощающего слоя, определяя ее из от-
ношения T = 1.:1q. Оптическая плотность поглощения
(ослабления) D и прозрачность (коэффициент пропуска-
закон Бугера —
Ламберта — Бера
оптическая
плотность
коэффициент
пропускания
(прозрачность)
382
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
правило Бера
причины
отклонения
поглощения от закона
Бугера —
Ламберта —
Бера
ння) Т связаны между собой соотношением D=ln(l/T) =
«-In Т.
Исследования поглощения растворов были проведе-
ны Бером, который установил, что коэффициент погло-
щения k есть произведение из показателя поглощения к
и концентрации с раствора: k=KC. Тогда закон Бугера —
Ламберта — Бера перепишем в виде
7 = 10 ехр (— ксг\ (21.30)
а показатель поглощения (ослабления) определим из со-
отношения
к=-г-1пт- (2h3l>
Произведение cz характеризует количество молекул
растворенного вещества, приходящееся на единицу пло-
щади прошедшего пучка. Измеряя поглощение света сло-
ем такого раствора толщиной г и зная к, можно найти
концентрацию раствора с.
Согласно Беру показатель поглощения не зависит от
концентрации раствора. Это правило Бера довольно
удовлетворительно соблюдается во многих случаях при
малых концентрациях растворов. При больших же кон-
центрациях имеют место существенные отступления от
данного правила.
Закон Бугера — Ламберта — Бера в принципе приме-
ним для всего диапазона электромагнитных излучений —
видимого света, инфракрасных и ультрафиолетовых лу-
чей, радиоволн, рентгеновских и у-лучей. Однако при его
практическом применении он имеет по ряду причин лишь
приближенный характер.
Во-первых, коэффициент поглощения зависит от дли-
ны волны и поэтому закон Бугера — Ламберта — Бера
справедлив лишь для строго монохроматического излу-
чения. Дисперсия величины k. становится особенно силь-
ной вблизи резонанса частоты падающего света с часто-
тами собственных колебаний электронов в атомах. При
этом резко возрастают амплитуды вынужденных коле-
баний электронов и увеличивается вероятность перехода
их энергии в энергию хаотического теплового движения.
Таким образом, излучение различных длин волн на од-
ном и том же участке пути поглощается в различной
степени, а лучи с частотами, близкими к резонансной,
практически полностью поглощаются в слое очень малой
толщины.
Во-вторых, пропорциональность (21.27) между —din
1 для рассеянных лучей справедлива лишь при однократ-
Дисперсия света
383
ном рассеянии и для узких пучков. Как и в случае ши*
рокого пучка, часть рассеянных лучей из боковой части
пучка может дополнительно попасть в приемник. Как
туда попадают некоторые многократно рассеянные лучи,
показано на рис. 21.14. Эти обстоятельства особенно
важно учитывать количественно для рентгеновских и
у-лучей, которые очень слабо поглощаются веществом
и для которых доля рассеяния в общем ослаблении па-
дающего пучка значительна.
В-третьих, физический смысл закона Бугера —Лам-
берта—Бера состоит в том, что коэффициент поглоще-
ния не зависит от интенсивности падающего света. Со-
гласно Вавилову изменение интенсивности света в ши-
роких пределах (примерно в 1020 раз) не нарушает за-
кона Бугера — Ламберта — Бера. Однако следует иметь
в виду, что при поглощении света молекула переходит в
новое возбужденное состояние, приобретая запас погло-
щенной энергии. Находясь в таком состоянии, молекула
имеет другую поглощательную способность. То обстоя-
тельство, что в опытах Вавилова закон Бугера —Лам-
берта — Бера соблюдался при больших интенсивностях,
показывает, что число таких возбужденных молекул в
каждый момент остается незначительным. Существенные
отступления от закона Бугера — Ламберта — Бера на-
блюдаются при очень больших (лазерных) интенсивно-
стях света.
При рассмотрении отражения электромагнитной вол-
ны от поверхности металла (см. § 16.5) в выражении для
электрического поля волны, распространяющейся в ка-
кой-либо среде (см. формулу (16.39)), величина
Е = £оехр (— -V- nxz) (21.32)
является амплитудой затухающей волны. Ясно, что вы-
ражение (21.32) эквивалентно закону Бугера —Ламбер-
та — Бера, где коэффициент поглощения
fe=(4n/lo)nx, (21.33)
так как интенсивность пропорциональна квадрату амп-
литуды.
Введенный нами формально при рассмотрении тео-
рии дисперсии света коэффициент у (см. § 21.3), харак-
теризующий затухание колебаний электронов в атоме,
объясняет явление поглощения света. При у=0 коэффи-
циент пх, а следовательно, и коэффициент k обращаются
в нуль, т. е, среда, для которой у=0, не поглощает света.
dz
Рис. 21.14. Влияние рас-
сеянных лучей на изме-
ряемое поглощение света
Вавилов Сергей Ивано-
вич (1891—1951) — со-
ветский физик
384 , ... Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Глава 12
РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Открытием магнитного вращения плоскости
поляризации Фарадей установил связь между
магнитными и оптическими явлениями. В даль-
нейшем Фарадеи предпринимал неоднократные
попытки обнаружить воздействие магнитного
поля п на излучение атомов. Однако успеха он
не добился, как стало потом известно, по чисто
техническим причинам (малая разрешающая
способность спектрального прибора и слабые
магнитные поля).
В 1896 г. Зееману удалось обнаружить сла-
бое изменение частоты спектральных линий под
действием внешнего магнитного поля. Экспери-
ментальная установка Зеемана в принципе соот-
ветствовала последней установке Фарадея, но
применение более сильного магнитного поля и
спектрального прибора с высоким разрешени-
ем позволило обнаружить эффект. Расщепле-
ние спектральных линий в сильных магнитных
полях получило название эффекта Зеемана.
Кроме наблюдения за изменением частоты
спектральных линий Зееман измерил поляриза-
цию этих линий, что сыграло очень важную
роль при разработке теории эффекта, которую
выполнил Лоренц. На основе классической
электронной теории это расщепление было объ-
яснено Лоренцом как результат расщепления
частоты колебаний в атоме упругосвязанного
электрона. Впоследствии согласно теории Бо-
ра этот эффект был истолкован как результат
расщепления уровней энергии.
Эффект Зеемана лежит в основе объясне-
ния двух главных магнитооптических явле-
ний — магнитного вращения плоскости поляри-
зации (эффект Фарадея) и магнитного двой-
ного лучепреломления (эффект Коттона—Му-
тона), Изучение эффекта Зеемана на спект-
ральных линиях атомов в видимой и ультра-
фиолетовой областях сыграло большую роль в
развитии учения о строении атома, особенно в
период, последовавший за созданием теории
Бора. В настоящее время исследование эффек-
та Зеемана на спектральных линиях атомов
представляет собой один из важных методов
определения характеристик уровней энергии
атомов и значительно облегчает интерпретацию
сложных атомных спектров. Изучение зеема-
новского расщепления спектральных линий по-
зволяет также получать ценные сведения о
магнитных полях в источниках света, например
при исследовании Солнца.
22.1
Сущность
аффекта Зеемана
В зависимости от сложности исследуемых спектраль-
ных линий эффект Зеемана разделяется на два вида —
простой (нормальный) и сложный (аномальный). Эк-
спериментальная установка для наблюдения расщепле-
ния спектральных линий в магнитных полях (рис. 22.1)
Зееман (Zeeman) Питер
(1865—1943) — нидер-
ландский физик
простой
(нормальный)
эффект Зеемана
сложный
(аномальный)
эффект Зеемана
Рис. 22.1. Схема наблюдения эффекта Зеемана
Расщепление спектральных линий в магнитном поле
385
состоит из электромагнита, создающего достаточно силь-
ное магнитное поле (для нормального эффекта порядка
(104-15) * 103 Э), между полюсами которого располага-
ется источник линейчатого спектра (например, дуга или
газоразрядная лампа). Сердечник электромагнита имеет
отверстие для наблюдения излучеиия как поперек маг-
нитного поля (поперечный эффект), так и вдоль него
(продольный эффект). Свет от источника посылается в
спектральный прибор высокой разрешающей способно-
сти. Для анализа характера поляризации излучаемого
света используются анализаторы П| и Пг и четвертьвол-
новая пластинка. Поляризатором света является само
магнитное поле. Для наблюдения расщепления сложных
спектральных линий (аномальный эффект) необходимы
более сильные магнитные поля и приборы очень высокой
разрешающей способности.
Для бесструктурных спектральных линий, имеющих
простой контур типа изображенного иа рис. 22.2, а (в
опытах Зеемана использовалась зелено-голубая линия
кадмия), наблюдается нормальный эффект Зеемана,
сущность которого сводится к следующему.
Спектральная линия, имеющая в отсутствие магнит-
ного поля частоту v (рис. 22,2,6), в магнитном поле при
поперечном наблюдении представляется в виде трех ли-
ний (триплет) с частотами v—Av, v и v-l-Av (рис. 22.2, и).
Первая и третья линии поляризованы так, что колеба-
ния в них перпендикулярны к направлению магнитного
поля (о-компопенты), а поляризация средней линии со-
ответствует колебаниям вдоль магнитного поля (л-ком-
понента). При продольном наблюдении эффекта получа-
ются две компоненты (дублет) с частотами v—Av п
v+Av, причем первая линия поляризована по левому
кругу, а вторая —по правому (рис. 22.2,г), Величина
смещения Av пропорциональна напряженности магнит-
ного поля. Интенсивность л- и о-компопент разная, Наи-
более интенсивной является л-компоиентэ, интенсивность
которой в 2 раза превосходит интенсивность каждой из
а-компонеит, равных между собой.
В продольном эффекте компоненты, поляризованные
по кругу, по интенсивности совпадают с л-компонентой
поперечного эффекта. Снятие магнитного поля снимает
и расщепление, атом излучает по любому направлению
одну и ту же интенсивность, причем спектральная линия
неполяризована.
Нормальный эффект Зеемана наблюдается крайне
редко, так как он характерен только для простых спект-
ральных линий (см. § 12,2), которые принято называть
поперечный
зффект Зеемана
продольный
зффект Зеемана
Рис. 22.2. Схематическое
изображение нормаль-
ного эффекта Зеемана:
а —контур спектральной ли-
лии; 6— без магнитного по-
ля (линия не поляризована);
в—поперечный эффект; г—
продольный эффект
в
У-ДУ v V+4X
386
Дисперсия, поглощение » рассеяние света
Рис. 22.3. Схематиче-
ское изображение ано-
мального эффекта Зее-
мана:
в —линия D,; б —линия О}
синглетная
спектральная линия
мультиплетная
спектральная линия
22.2
Элементарная
теория
эффекта Зеемана
сила Лоренца
синглетными. Такого рода линии представляют собой од-
ну определенную, практически монохроматическую вол-
ну, Громадное большинство спектральных линий обла-
дает сложной структурой. Многие из них представляют
собой мультиплеты, т. е. состоят из двух и более тесно
расположенных спектральных линий.
Простым мультиплетом (дублетом) является, напри-
мер, желтая линия натрия, представляющая собой пару
линий Dt и £)2, длина волны которых отличается на 6 А
(XD1—5896 A; Xd2“5890 А), причем интенсивность ли-
нии D2 в 2 раза больше интенсивности линии Dt.
Часто встречаются и более сложные мультиплеты, со-
стоящие из большого числа компонент. При воздействии
магнитного поля на такие мультиплеты получается более
сложная картина расщепления, чем для синглетных ли-
ний, Например, желтый дублет натрия расщепляется
таким образом, что линия D\ дает четыре компоненты
(рис, 22.3, а), а линия D2~-шесть компонент (рис.
22.3,6). Часть из них является л-компонентами, а
часть — о-компонентами, причем расстояние между ком-
понентами для одних больше, а для других меньше, чем
нормальное расщепление в том же магнитном поле. Ин-
тенсивность отдельных' л- и о-компонент такова, что
смесь всех линий дает неполяризованный свет.
Сложность аномального эффекта Зеемана тесным об-
разом связана со сложным характером спектральных ли-
ний в отсутствие внешнего магнитного поля, так как
электрон кроме электрического заряда обладает еще и
магнитным моментом. Взаимодействие этого магнитного
момента с магнитным полем самого атома приводит к
сложной структуре спектральных линий, а взаимодей-
ствие его с внешним магнитным полем ведет к сложному
(аномальному) расщеплению. Учет этих взаимодействий
возможен только в рамках квантовой теории.
Теорию нормального эффекта Зеемана разработал
Лоренц. Из классической электронной теории дисперсии
следует, что оптические процессы в атоме обусловлены
движением электронов. Монохроматическое излучение
рассматривается при этом как результат движения элект-
рона по простому гармоническому закону, т. е. под дей-
ствием квазиупругой силы. При включении магнитного
поля на осциллирующий электрон начинает действовать
сила Лоренца
F=e(ti/c)tf$in (v, Н), (22.1)
Расщепление спектральных линий в магнитном поле
387
которая изменяет частоту излучения электрона. Здесь
е~ величина заряда; у —его скорость; Я —напряжен-
ность магнитного поля. Сила Лоренца направлена вдоль
линии, перпендикулярной к плоскости (v, Н), в ту или
иную сторону в зависимости от знака заряда е и соот-
ношения направлений v и Н.
Для упрощения и большей наглядности рассмотрения
влияния магнитного поля на движущийся электрон раз-
ложим колебательное движение электрона в отсутствие
поля на компоненты, на которые, как известно (см. § 1.3),
может быть разложено гармоническое колебание. Одной
из этих компонент будет гармоническое колебание вдоль
направления поля, а двумя другими — круговые равно-
мерные движения (правое и левое) в плоскости, перпен-
дикулярной к этому направлению. Действие магнитного
поля на первую компоненту равно нулю, так как в фор-
муле (22.1) sin (v, Н)=0. Действие же магнитного поля
на круговые компоненты сведется к силе Лоренца
±е(и/с)7/, направленной вдоль радиуса круговой траек-
тории к центру или в обратную сторону в зависимости от
знака заряда и соотношения направлений магнитного
поля и скорости движения.
Для отрицательного заряда такое разложение пред-
ставлено на рис. 22.4. Колебательное движение электрона
вдоль поля остается неизменным и происходит с перво-
начальной частотой v. Круговые же движения под дей-
ствием магнитного поля в этом случае будут происходить
с меньшей (v—Av) или большей (v+Av) частотой в за-
висимости от того, уменьшает (см. рис. 22.4, а) поле цент-
ростремительную силу, действующую на электрон, или
увеличивает ее (см. рис. 22.4,6). В соответствии с этим
и излучение электрона, выполняющего такое движение,
будет более сложным. Его можно представить как сово-
купность трех монохроматических излучений разной ча-
стоты (v—Av, v, v+Av). С помощью спектральной аппа-
ратуры эти излучения можно разделить на отдельные
спектральные линии.
При наблюдении излучения вдоль магнитного поля
спектральный прибор зафиксирует две спектральные ли-
нии с частотами v—Av и v+Av, поляризованные по кру-
гу. Для отрицательного заряда электрона линия с часто-
той V—Av (красная компонента) будет поляризована по
левому кругу (см. рис. 22.4, а), а линия с частотой v + Av
(фиолетовая компонента) — по правому кругу (см. рис.
22.4, б).
Для положительного заряда направление круговой
поляризации будет обратным. Линия основной частоты v
Рис. 22.4. К теории нор-
мального эффекта Зеема-
на:
магнитное поле направлено
за чертеж
388
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
в продольном эффекте не наблюдается, так как излуче-
ние диполя в направлении колебаний равно кулю (см.
§16.3).
При наблюдении перпендикулярно к направлению
магнитного поля, например вдоль оси х, спектральный
прибор зарегистрирует основную несмещенную линию
частоты v, так как при колебании элементарного излуча-
теля вдоль оси z максимальное излучение будет в плос-
кости, перпендикулярной к этой оси. В спектре будут
также присутствовать две смещенные компоненты v—Av
и v+Av, причем их поляризация будет линейной. Это
произойдет по той причине, что диполь, совершающий
колебания вдоль оси х, не даст излучения в направлении
этой осп, но оба колебания в плоскости ху дадут ком-
поненты, поляризованные по кругу. Поэтому наблюда-
тель, который смотрит навстречу оси х, увидит проекции
круговых колебаний на ось у, а наблюдатель, который
смотрит по осн у, увидит проекции круговых колебаний
на ось х. Таким образом, спектр поперечного эффекта
Зеемана состоит из трех линейно поляризованных спект-
ральных линий. Линия с частотой v имеет колебания
электрического вектора по направлению поля, а линии с
частотами v—Av и v + Av — перпендикулярно к полю.
Рассчитаем, как изменится частота колебаний элект-
рона под действием внешнего магнитного поля. Электрон
на орбите в отсутствие магнитного поля удерживается
квазиупругой силой /г, которая равна центростремитель-
ной силе:
fr= тгш?.
(22.2)
Здесь ©J = fjm — угловая частота обращения электрона
в отсутствие магнитного поля.
При включении магнитного поля на электрон начи-
нает действовать добавочная сила Лоренца, равная
±erw///c, так как и=ги п sin (v, Н) -1, поскольку поле
перпендикулярно к плоскости орбиты (w — угловая ско-
рость электрона при наличии поля Н). Сила Лоренца
действует вдоль радиуса круговой орбиты, т. е. изменяет
центростремительную силу, а следовательно, и частоту
обращения электрона. Уравнения левого и правого вра-
щательного движения электрона запишутся соответст-
венно в виде
fr—ега1тН/с
А+егь)ПР
(22.3)
Расщепление спектральных линий в магнитном поле
389
Сократив на г и переставив члены, получим два квад-
ратных уравнения
/и®;ет4-шлевЯ/с-/ = 0;
тил2г-cwnr///с --/ = О,
решив которые, найдем
_ _ 1 eff I / f , 1 №
®лев“ 2 тс ~ У т ' 4 т~с2
(22.4)
__1_ еЯ т/ / . 1 е*№
Wn₽ — 2 тс ~ У т ' 4 т2с2
(22.5)
Второй член в уравнениях (22.5) преобразуем следую-
щим образом, вспомнив, что — Цт:
1/-L д 1
У т ’ 4
е2Н2
—r-=^Q)D
m-c- u
L g~tf3
4 /Игй)дС3 4
Для электрона при магнитных полях порядка полу-
миллиона эрстед*1 и длин волн видимой и ультра-
фиолетовой областей спектра (о)о~ 1015 с-1) член
(1/4) (е2Я2ри2со2сг)~ что значительно меньше еди-
ницы, и им можно пренебречь. Поскольку частота есть
величина положительная, то
1 сН,
илев м0 2 тс ’
. I сЯ
ШПр — т 2 тс •
Таким образом, величина расщепления
а . 1 еЯ
Да = ш—со-----------,
и — 2 тс
(22.6)
(22.7)
т. е. пропорциональна напряженности магнитного поля.
При переходе от со к v имеем
Ду=^= + ' 2"
2 л “ 4 л тс
(22.8)
формула Лоренца
Формула (22.8) носит название формулы Лоренца.
Выше было сказано, что сила Лоренца (22.1) на-
правлена по радиусу круговой траектории. Здесь следует
отметить, что влияние магнитного поля сказывается не
в том, что радиус орбиты электрона увеличивается или
уменьшается, а в том, что изменяется угловая скорость
¥> Наибольшие магнитные поля (около 5 • 105Э), в которых про-
водились измерения расщепления спектральных линий, были получе-
ны в опытах Капицы (1924).
Капица Петр Леонидович
(1894—1984) — совет-
ский физик
390
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
22.3
Обратный
эффект Зеемана
обращения электрона при неизменном радиусе орбиты.
Это можно пояснить следующим образом ♦).
Магнитное поле при включении не сразу достигает
своей конечной величины, а устанавливается в течение
определенного промежутка времени. Этот промежуток
времени настолько велик по сравнению с периодом об-
ращения электрона, что весь процесс можно рассматри-
вать как очень медленный, подобно квазистатическим
процессам в термодинамике. Поэтому в каждый момент
времени должно соблюдаться равенство между суммой
квазиупругой силы и силы Лоренца, с одной стороны, и
центростремительной силой —с другой. Однако центро-
стремительная сила будет меняться, потому что возра-
стание магнитного поля по закону электромагнитной ин-
дукции влечет за собой появление вихревого электриче-
ского поля с осью симметрии, совпадающей с направле-
нием магнитного поля. Именно это электрическое поле
в силу своего вихревого характера ускоряет электрон,
изменяя кинетическую энергию его орбитального движе-
ния. Сила Лоренца не может изменить частоту обраще-
ния, так как она направлена перпендикулярно к скоро-
сти и, следовательно, никакой работы совершить не
может.
Нормальный эффект Зеемана объясняется также
квантовой теорией, причем полученные с ее помощью ре-
зультаты совпадают с результатами электронной теории
Лоренца. Однако сложные случаи расщепления спект-
ральных линий, которые не укладывались в простую
электронную теорию и были отнесены к аномальным, в
действительности представляют собой более общее яв-
ление, а нормальный эффект Зеемана является лишь его
частным случаем.
В заключение отметим, что формула Лоренца (22.8)
дает возможность на основании измерений Av и Я вы-
числить отношение е/m, т. е. определить удельный заряд
электрона. Сравнение спектроскопических данных с ре-
зультатами других методов дает хорошее согласие.
В магнитном поле происходит расщепление спект-
ральных линий не только при излучении света, но и при
его поглощении. Если вещество, например лары метал-
ла, поглощающие в узком спектральном интервале, по-
местить между полюсами электромагнита, то при вклю-
чении магнитного поля вид спектра поглощения изме-
** О белее строгом доказательстве этого утверждения см., напри-
мер: Hi польский Э. В. Атомная физика,—М.: Наука, 1984, т. 1,
с. 246—247.
Расщепление спектральных линий в магнитном поле
391
нится. При наложении магнитного поля в направлении,
параллельном вектору напряженности, наблюдаются две
линии поглощения, сдвинутые в сторону больших и мень-
ших частот симметрично по обе стороны относительно
положения первоначальной спектральной линии на ве-
личину Av. Величина сдвига определяется соотношением
Лоренца (22.8), как и в случае нормального эффекта
Зеемана, причем Av растет пропорционально напряжен-
ности магнитного поля Н. В направлении, перпендику-
лярном к Н, кроме первоначальной линии vq наблюдают-
ся еще две линии меньшей и большей частот, располо-
женные на расстоянии Av, определяемом тем же соотно-
шением (22.8), Интенсивность поглощения зависит от
характера поляризации падающего света.
Описанное явление — расщепление спектральных ли-
ний в магнитном поле при поглощении —называют об-
ратным эффектом Зеемана. Экспериментальная установ- ф
ка для наблюдения обратного эффекта аналогична уста-
новке для изучения прямого эффекта Зеемана (см. ^ек^Зеемаяа
рис. 22.1). Однако при этом источник света должен быть ™
вынесен из пространства между полюсами магнита, а
на его место помещено поглощающее вещество.
Теоретический смысл обратного эффекта Зеемана за-
ключается в следующем. Известно, что линии поглоще-
ния вещества обусловлены наличием собственных частот
колебаний атомов и молекул, составляющих данное ве-
щество. Под действием магнитного поля собственные ча-
стоты вещества меняются, следовательно, меняется и
положение линий поглощения, т. е. происходит расщеп-
ление, Вместо одной собственной частоты появляется ряд
частот, в простейшем случае —две, смещенные относи-
тельно основной частоты на величину Av. Согласно фор-
муле (21.7) это приводит к изменению показателя пре-
ломления. Таким образом устанавливается связь между
обратным эффектом Зеемана и явлением вращения плос-
кости поляризации в магнитном поле (эффект Фарадея,
см. § 20.3). Действительно, при распространении света
вдоль направления магнитного поля вследствие рас-
щепления оптической собственной частоты электрона
на две
vQ= v0 — Av и v* = v04-Av
показатели преломления для волн, поляризованных по
правому и левому кругам, будут различны. Выражения
для них можно получить, воспользовавшись формулой
(21.11).
392
Дисперсия, поглощение п рассеяние света
Рис. 22.5. Кривые дис-
персии в отсутствие маг-
нитного поля (5) и при
магнитном поле для лу-
чей, поляризованных по
левому (1) и правому
(2) кругам
Если для простоты допустить, что наблюдение ведет-
ся вдали от линии поглощения, то в формуле (21.11)
можно пренебречь коэффициентом у и перейти к форму-
ле (21.12), Тогда
(22.9)
где /1лев и Дцр — показатели преломления для волн часто-
ты v, поляризованных соответственно по левому и пра-
вому кругам; А — величина, объединяющая все констан-
ты в формуле (21.12).
Кривые дисперсии в отсутствие магнитного поля н
при наличии его показаны на рис. 22.5. Из рисунка вид-
но, что для какой-либо частоты и в магнитном поле по-
является двойное (вращательное) преломление. Этот
эффект особенно велик вблизи собственных частот по-
глощения.
Глава 23
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Во всем предыдущем изложении предпола-
галось, что свет распространяется в совершен-
но однородной среде. Реальная же среда ни-
когда не бывает однородной. В ней могут быть
градиенты плотности, температуры н т. д.,
вследствие чего показатель преломления сре-
ды становится функцией координат. Наряду с
такими макроскопическими неоднородностями,
которые в пространстве меняются очень мед-
ленно. в среде могут быть вкраплены микро-
скопические неоднородности. К ним относятся
взвешенные в среде мелкие частицы с отлич-
ным от нее показателем преломления и коэф-
фициентом поглощения, например взвешенные
коллоидные частицы в растворах, частицы пыли
п тумана в воздухе, твердые частицы в жидко-
стях. Эти частицы имеют различные размеры и
разный показатель преломления. Все это ока-
зывает значительное влияние на распростране-
ние света в среде.
Неоднородную среду, в которой находятся
во взвешенном состоянии макроскопические
частицы, называют мутной. При распростране-
нии света в мутной среде взвешенные частицы
вызывают отклонение света от его первона-
чального направления. Это отклонение имеет
место в той или иной степени по всем направ-
лениям, т. е. происходит рассеяние света.
Вследствие рассеяния света мутной средой пря-
мой световой пучок ослабляется по мере про-
никновения его в среду.
Систематические исследования рассеяния
света в мутных средах были выполнены ан-
глийским физиком Тиндалем, вследствие чего
само рассеяние часто называют эффектом Тин-
даля.
Проблема распространения света в мутных
средах (оптика мутных сред) имеет широкое
практическое приложение. Прежде всего это
относится к оптике атмосферы. Такие пробле-
мы, как оптика облаков, туманов, дождей, воз-
душного аэрозоля, и ряд практических вопро-
сов, тесно связанных с ними (видимость, тео-
рия фотографирования удаленных объектов м
др.), являются очень важными метеорологиче-
скими проблемами. Сюда же относится и рас-
шифровка оптических признаков изменения по-
годы. т. е. установление количественных свя-
зей между оптическими и термодинамическими
характеристиками.
Распространение света в больших водных
объемах, оптические методы изучения морской
воды и другие вопросы составляют предмет
гидрооптикн. Проблема скрытого фотографиче-
Рассеяние света
393
ского изображения, оптические методы иссле-
дования коллоидных систем и аэрозолей, проб-
лемы межзвездного вещества и зодиакального
света в астрофизике нс могут решаться без
учета рассеяния света *< Учитывать рассеяние
света необходимо и при разработке фотогра-
фических, светохкмических, текстильных и бу-
мажных материалов.
Рассеяние света наблюдается не только в
мутной среде, но и в чистом веществе, в кото-
ром нет никаких посторонних взвешенных ча-
стиц, т. е, на первый взгляд совершенно одно-
родное вещество рассеивает свет, причем тем
больше, чем выше температура среды. Объяс-
нить это явление можно следующим образом.
В совершенно очищенном от посторонних при-
месей веществе возникают оптические микро-
скопические неоднородности, вызывающие рас-
сеяние света. Эти неоднородности представля-
ют собой флуктуации плотности, которые вы-
зываются хаотическим тепловым движением
атомов п молекул вещества. Такой вид рассея-
ния света называют молекулярным рассеянием.
Флуктуации имеют тем большую величину, чем
интенсивнее движение, т. с. чем выше температу-
ра среды. Отсюда следует, что с возрастанием
температуры интенсивность рассеяния света
должна увеличиваться, что к наблюдается на
опыте.
Изучение молекулярного рассеяния важно
для практики. Молекулярное рассеяние в газах
и парах играет существенную роль при изуче-
нии строения вещества. Методы молекулярного
рассеяния при изучении растворов полимеров,
белков, электролитов дают сведения о моляр-
ной массе макромолекул, их размерах и форме.
Молекулярное рассеяние является одним из
эффективных способов изучения кинетики раз-
личных флуктуаций и межмолекулярного взаи-
модействия.
При распространении света в веществе возникают,
как известно, вторичные волны, вызываемые вынужден-
ными колебаниями электронов. Эти волны рассеивают в
стороны часть энергии, переносимой электромагнитной
волной. Поскольку вторичные волны когерентны между
собой,, то при расчете интенсивности света, рассеянного
в стороны, надо принимать во внимание их взаимную ин-
терференцию. Эта интерференция вносит существенные
изменения в рассеяние света: волны, идущие в стороны,
могут в значительной степени или даже полностью ском-
пенсировать друг друга, в результате чего перераспреде-
ление энергии по разным направлениям, т. е. рассеяние
света, может оказаться очень слабым или совсем отсут-
ствовать.
В случае однородной среды рядом расположенные
малые объемы среды становятся при воздействии элект-
ромагнитной волны источниками вторичных волн одина-
ковой интенсивности. Это означает, что они приобретают
под действием переменного поля электромагнитной вол-
ны равные между собой электрические моменты, изме-
нением которых во времени и вызывается вторичное из-
лучение. Но величина суммарного электрического мо-
мента определяет собой диэлектрическую проницаемость
и показатель преломления среды. Таким, образом, если
показатель преломления для разных участков среды
имеет одинаковое значение, такая среда является опти-
чески однородной. Отсюда следует, что при постоянном
23.1
Распространение
света
в оптически
неоднородной среде
вторичные волны
рассеяние света
См., например: Иванов ,4. П. Оптика рассеивающих сред.—
Минск: Наука и техника. 1969 —592 с.
оптически
однородная среда
394
оптически
неоднородная среда
я' а' вг
ns Щ аг Oj
Рис. 23.1. Искривление
световых лучей в неодно-
родной среде
Рнс. 23.2. Искривление
лучей в земной атмос-
фере
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
показателе преломления во всем объеме среды рассеяние
света наблюдаться не будет.
Для нарушения оптической однородности среды не-
обходимо нарушить постоянство показателя преломле-
ния. В такой оптически неоднородной среде разные части
волнового фронта распространяются с разными скоро-
стями, в результате чего поверхность волнового фронта
непрерывно деформируется.
Рассмотрим среду, показатель преломления которой
непрерывно меняется от некоторого значения п до п',
причем для определенности будем считать, что л'<л.
Пусть в некоторый момент времени волновой фронт
представляет собой плоскость аа', перпендикулярную к
плоскости рисунка (рис. 23.1).
При дальнейшем распространении волны фронт аа'
будет быстрее перемещаться там, где показатель прелом-
ления меньше, и медленнее там, где он больше. Поэтому
положение фронта аа' в последующие моменты времени
изобразится поверхностями ata^a^a* и т. д. Лучи, пересе-
кающие нормально каждое из положений волнового
фронта, загнутся книзу.
Примером неоднородного вещества может служить
земная атмосфера, рассматриваемая при достаточно
большой толщине. Изменение плотности атмосферы с вы-
сотой ведет к изменению и показателя преломления:
л —1—ср, (23.1)
где с —константа; р —плотность воздуха, которая из-
меняется в первом приближении в соответствии с баро-
метрической формулой
р=роехр(—(23.2)
где ро — плотность воздуха у поверхности Земли; g~
ускорение силы тяжести; /? — газовая постоянная; Т —
абсолютная температура; М — молекулярная масса воз-
духа. Из формул (23.1) и (23.2) следует
п-| = с'ехр(—(23.3)
где с'=ср0 — новая константа.
Из выражения (23.3) видно, что показатель прелом-
ления л плавно изменяется с высотой. На больших вы-
сотах показатель преломления имеет меньшее значение,
чем у поверхности Земли. В результате этого луч, иду-
щий к Земле от какой-либо звезды, преломляясь в атмо-
сфере, изгибается (рис. 23.2). Видимое положение звезды
Рассеяние света
395
Sz будет смещено относительно ее истинного положения
S. Это явление носит название атмосферной рефракции,
а угловое смещение Дф—угла рефракции. Угол рефрак-
ции Дф=0 для звезд, расположенных в зените, и макси-
мален (Лф-35') для звезд, находящихся у горизонта.
Благодаря атмосферной рефракции Солнце и Луна,
когда находятся вблизи горизонта (при восходе или за-
ходе), кажутся сплюснутыми в вертикальном направле-
нии. Вследствие рефракции всякое светило появляется
над горизонтом еще до истинного выхода и остается ви-
димым некоторое время после истинного захода.
Быстрые турбулентные перемещения масс воздуха
различной плотности в атмосфере порождают непрерыв-
ные колебания величины атмосферной рефракции, вслед-
ствие чего изображения звезд в телескопах дрожат и
изменяют яркость. Такого рода явления называются мер-
цаниями. Неоднородные изменения температуры атмо-
сферы по высоте, имеющие место над поверхностью разо-
гретой земли или над морем, вызывают мираж.
Явления атмосферной рефракции затрудняют прове-
дение научных исследований и применение ряда опти-
ческих методов решения технических задач.
В оптически однородной среде фронт плоской волны
перемещается параллельно самому себе. Однако если
среда неоднородна и в ней имеются включения с дру-
гими оптическими свойствами, то кроме волны, распро-
страняющейся в первоначальном направлении, появля-
ются волны, рассеянные в стороны. Эти волны уносят с
собой определенную долю энергии и тем самым посте-
пенно уменьшают энергию первоначального светового
потока.
Выше (см. § 23.1) отмечалось, что нарушение опти-
ческой однородности среды связано с нарушением посто-
янства показателя преломления. Показатель преломле-
ния п связан с поляризуемостью молекул соотношением
п2=1т4лА'а, где N — число молекул в единице объе-
ма *). Отсюда следует, что для постоянства показателя
преломления необходимо, чтобы для равных объемов (не
очень малых по линейным размерам по сравнению с
длиной волны) произведение Na, в разных местах среды
было одинаково. Это означает, что если оптически одно-
родная среда состоит из совершенно одинаковых моле-
кул (коэффициент а постоянен), то постоянным должно
атмосферная
рефракция
угол рефракции
мерцания
мираж
Ш
Рассеяние света
мутной среде
Поскольку наши рассуждения носят качественный характер,
нет смысла делать различие между внешним и действующим полями.
396
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Рис. 23.3. Рассеяние на
больших неоднородно-
стях
быть и Л’, т. е. плотность по всему объему среды посто-
янна. Если же среда состоит из разных молекул пли
групп молекул, то постоянство показателя преломления
можно обеспечить соответствующим подбором величии
.V и а.
Примером такой среды может служить смесь при
определенных соотношениях бензола и сероуглерода с
погруженными в нее мелкими крупинками стекла. Гра-
ница раздела в такой среде перестает быть заметной —
среда становится однородной. Свет через нее проходит
не ослабляясь. Но поскольку стекло и жидкость обла-
дают различной дисперсией, такая смесь оказывается
оптически однородной средой только для света относи-
тельно узкого интервала длин воли. Именно эта спект-
ральная область пройдет через среду без ослабления,
а другие испытают значительное рассеяние. Этот прин-
цип положен в основу изготовления дисперсионных све-
тофильтров, которые пропускают свет узкого спектраль-
ного состава (ДА — 304-50 А).
Рассмотрим случай резкой неоднородности — частицу
диэлектрика с показателем преломления п в воздухе.
Такие частицы, например сажа, соли, в избытке имеют-
ся в воздушном бассейне городов, создавая промышлен-
ные дымы. Мельчайшие капельки воды, образующиеся
дифракционное
рассеяние света
рэлеевское
рассеяние света
при переохлаждении насыщенного парами воздуха, соз-
дают туманы. Интенсивность света, рассеянного такими
аэрозольными системами, как правило, представляет со-
бой сумму интенсивностей рассеяния составляющими их
одиночными частицами. Лишь при большой протяжен-
ности аэрозоля необходимо учитывать многократное рас-
сеяние, т. е. возможность того, что свет, рассеянный од-
ной частицей, до выхода за пределы системы будет вновь
рассеян другими частицами.
Характер рассеяния света одиночной частицей зави-
сит от отношения между ее радиусом г (радиус неодно-
родности) и длиной волны /.. Для больших частиц при
падающий на разные участки поверхности частицы
свет отражается от них под различными углами (рис.
23,3). Практически можно считать, что весь свет, падаю-
щий иа переднюю поверхность крупной частицы, рассе-
ивается в стороны. Для частиц, размеры которых сравни-
мы с длиной волны (г~/.), основным является рассеяние,
возникающее в результате дифракции света на этих не-
однородностях (дифракционное рассеяние). Рассеяние
на очень малых частицах (г</.) принято называть рэ-
леевским, так как теорию этого вида рассеяния впервые
разработал Рэлей.
Рассеяние света
397
Рэлеевское рассеяние света. Оно является достаточно
распространенным и имеет большое практическое значе-
ние Ч
В теории Рэлея рассеяние света рассматривается на
малых сферических частицах. При этом считается, что
такая сферическая частица является источником диполь-
ного излучения. Соответствующие расчеты приводят к
выражению для интенсивности рассеянного света:
9л=у2 п'2 — 1 |2|-Pcos2fl /94П
/(Ч4с! п'2 + 2 2 1 I
где /о — интенсивность падающего света; X —длина вол-
ны; п' — относительный (комплексный) показатель пре-
ломления, который предполагается малым; у —объем
рассеивающей частицы; 0 —угол рассеяния, отсчитывае-
мый от направления распространения падающего света;
а —расстояние от центра диполя до точки наблюдения.
Выражение (23.4) носит название формулы Рэлея.
Анализ этой формулы приводит к следующим характер-
ным особенностям рэлеевского рассеяния.
Зависимость интенсивности рассеянного света от дли-
ны волны. Из формулы Рэлея следует, что интенсивность
рассеянного средой света обратно пропорциональна дли-
не волны в четвертой степени (прямо пропорциональна
частоте в четвертой степени). Этот результат носит на-
звание закона Рэлея, установленного в 1871 г., и свиде-
тельствует о том, что более короткие волны рассеиваются
сильнее, чем более длинные. В этом можно убедиться из
следующего опыта (рис. 23.4).
Если пучок интенсивного белого света направить на
прямоугольную кювету, наполненную мутной жидкостью
(например, вода и несколько капель молока), то след
светового пучка в такой кювете хорошо виден. При на-
блюдении в направлении А (перпендикулярно к первич-
ному пучку) рассеянный свет имеет бледно-голубой от-
тенок, т. е. он относительно более богат короткими вол-
нами, чем свет источника L. Благодаря интенсивному
рассеянию коротковолновой части, прошедший нерассе-
янный пучок света (в направлении В) относительно обо-
гащен длинноволновым излучением и свет имеет красно-
ватый оттенок.
Подобные эффекты наблюдаются прн рассеянии све-
та в атмосфере. То обстоятельство, что интенсивность
Й1 Подробнее о рэлеевском рассеянии см., например: Шиф-
рин К. С. Рассеяние света в мутной среде.—М.; Л.: Гостехиздат,
1951,—288 с.; Иванов А. П. Оптика рассеивающих сред,—Минск;
Наука и техника, 1969.—592 с.
формула Рэлея
закон Рэлея
Рис. 23.4. Схема наблю-
дения рассеяния света в
средах
398
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Рис. 23.5. Индикатриса
рассеяния света малыми
частицами (г<А)
индикатриса
рассеяния
рассеянного света пропорциональна частоте световых ко-
лебаний четвертой степени, приводит к тому, что сине-
фиолетовая часть спектра (а также ультрафиолетовая)
рассеивается значительно больше, чем красная. Прямой
солнечный свет при прохождении через атмосферу, вслед-
ствие интенсивного рассеяния сине-фиолетовых лучей,
обедняется ими и приобретает красный оттенок. Это на-
блюдается при восходе и заходе Солнца, когда световые
лучи проходят большую толщу атмосферы.
При увеличении количества взвешенных водяных ка-
пелек, которые более равномерно рассеивают различные
участки спектра, цвет неба становится более бледным
(белесым) — голубой цвет слабо насыщен. Если же во-
дяные капельки крупные, как в облаках и тумаках, то
они рассеивают все участки спектра равномерно, поэтому
облака и туманы имеют белый цвет.
Индикатриса рассеяния. Из формулы (23.4) видно,
что интенсивность света зависит от угла рассеяния Ф.
Измерение интенсивности рассеянного света по разным
направлениям показывает, что изменение интенсивности
симметрично относительно направления первичного пуч-
ка и линии, перпендикулярной к нему (рис. 23.5). Кри-
вая, показывающая распределение интенсивности рас-
сеянного света от угла рассеяния, носит название инди-
катрисы рассеяния. Индикатриса, изображенная на
рис. 23.5, характерна для естественного падающего све-
та. Пространственная индикатриса получается вращени-
ем кривой на рис. 23.5 около оси ВВ'.
Поляризация рассеянного света. Пусть естественный
свет падает на рассеивающую частицу в направлении Оу
(рис. 23.6). Естественный свет можно представить как
Рнс. 23.6. К вопросу о
поляризации рассеянного
света
сумму двух волн: поляризованных в двух взаимно пер-
пендикулярных направлениях, лежащих в плоскости
zOx. Если проводить наблюдения рассеянного света в
направлении Ох, то в силу поперечности световых волн
в этом направлении пойдут волны, обусловленные лишь
той составляющей электрического вектора, которая пер-
пендикулярна к Ох. Таким образом, в свете, рассеянном
под прямым углом к падающему, должны наблюдаться
только те колебания электрического вектора, которые
направлены вдоль Ог, т, е. свет должен быть полностью
поляризован.
Этот вывод теории Рэлея подтверждается на опыте.
Степень поляризации рассеянного света можно опреде-
лить по известному соотношению Р= (7Z—/и)/(/-+^),
где lz и Iv — интенсивности света, электрические колеба-
ния которого совершаются вдоль осей Oz и Оу соответ-
Рассеяние света
399
ственно. Когда 7у=0, то Р=1 (или 100%). Однако из
опыта следует, что Iv не всегда равна нулю, т. е. свет
является частично деполяризованным, За меру деполя- ф
ризации принимают обычно величину
деполяризация
p=‘-p=-^- <23-5’
Причины деполяризации рассеянного света различны.
Степень поляризации рассеянного света при всех
углах О положительна, и ее максимальное значение рав-
но единице при 0=90° (рис. 23.7).
Таковы основные выводы теории Рэлея. Теория рас-
сеяния света крупными частицами гораздо сложнее. Яв-
ления рассеяния диэлектрическими, совершенно прозрач-
ными частицами и частицами, обладающими свойствами
металлов, сильно различаются. Наиболее сложным слу-
чаем является рассеяние диэлектрическими поглощаю-
щими частицами.
Теория рассеяния света проводящими частицами,
когда их размеры сравнимы с длиной световой волны
или больше ее, была развита в работах физиков Ми, Шу-
лейкина, Шифрина и др. Ограничимся лишь качествен-
ными выводами из этой теория.
При рэлеевском рассеянии, когда размеры неодно-
родностей намного меньше длины световой волны, ин-
тенсивность рассеянного света обратно пропорциональ-
на длине волны в четвертой степени (/~1-4). При дру-
гих размерах неоднородностей закон Рэлея' несправед-
лив, а в общем случае имеет место зависимость
где р<4 и уменьшается с увеличением размеров неодно-
родностей.
Рассеяние на непрозрачных частицах, немногим боль-
ших длины световой волны, можно рассматривать как
чисто дифракционное явление. При увеличении размеров
частиц к дифракционным эффектам добавляются «гео-
метрические» эффекты, т. е. явления отражения на по-
верхности частиц и явления преломления.
Если размеры частиц намного больше длины свето-
вой волны и частицы прозрачны, то рассеяние в основ-
ном определяется «геометрическими» эффектами прелом-
ления света на поверхности частиц и при выходе его
наружу. Во всех случаях рассеяния на крупных части-
цах индикатриса рассеяния вытянута в направлении рас-
пространения падающего света. Индикатриса рассеяния
света коллоидными частицами золота, размеры которых
г~ЗООА(160 мкм), приведена на рис. 23.8. На рисунке
Ми (Mie) Густав Адольф
(1868—1957) — немец-
кий физик
Шулейкин Михаил Ва-
сильевич (1884—1939)—
советский ученый
Рис. 23.7. Зависимость
степени поляризации све-
та от угла рассеяния
Рис. 23.8. Индикатриса
рассеяния света крупны-
ми частицами
400
Дисперсия, поглощение н рассеяние света
23.3
Молекулярное
рассеяние света
мутная среда
молекулярное
рассеяние
критическая
опалесценция
Смолуховский (фон Смо-
лан-Смолуховский) (Smo-
luchowski) Мариан
(1872—1917) — польский
физик-теоретик
Рнс. 23.9. Схема флук-
туаций плотности
видна резкая направленность1 рассеянного излучения в
сторону распространения падающего света.
Если частицы достигают таких размеров, что г/Х>10,
то интенсивность рассеянного света не зависит от длины
волны. Поэтому свет, рассеиваемый такой средой, если
только ее частицы не обладают полосами поглощения,
уже не изменяет своего спектрального состава, как в
случае рэлеевского рассеяния. Это н наблюдается при
рассеянии света в туманах, которые имеют белый цвет.
В предыдущем параграфе мы рассматривали оптиче-
ски однородную среду, плотность которой по всему объе-
му постоянна. Однако вследствие теплового движения
молекулы распределены в пространстве не строго равно-
мерно. В каждый момент времени имеются отклонения
от равномерного распределения, т. е. число молекул в
единице объема испытывает колебания (флуктуации).
Схема флуктуаций плотности изображена на рис. 23.9.
В рассматриваемой среде выделены три объема. В объ-
еме I плотность молекул блюка к средней, в объеме 2
имеет место флуктуация с увеличением плотности отно-
сительно ее средней величины, а в объеме 3 показана
флуктуация плотности, обусловленная уменьшением
плотности среды. Таким образом, благодаря флуктуаци-
ям плотности среда становится мутной и в ней может
происходить рассеяние света. Поскольку «мутность»
среды не обусловлена никакими посторонними Частина-
ми, то рассеяние света в такой среде получило название
молекулярного рассеяния. Так как линейные размеры
объема, в котором происходит флуктуация числа частиц,
значительно меньше длин волн видимого света, то моле-
кулярное рассеяние называют также рэлеевским рассе-
янием,
Ярким примером молекулярного рассеяния является
критическая опалесценция — явление интенсивного рас-
сеяния света при критической температуре чистого ве-
щества, при которой сжимаемость среды очень велика
(теоретически (dvldp) ->оо). В этих условиях легко мо-
гут образоваться в небольших объемах заметные отступ-
ления от средней плотности, так как большая сжимае-
мость означает, что работа, необходимая для образова-
ния случайного скопления или разрежения молекул,
невелика, а энергии молекулярного теплового движения
достаточно для образования заметных флуктуаций в ма-
лых объемах. На эту причину нарушения однородности
среды, приводящую к интенсивному рассеянию, впервые
обратил внимание Смолуховскнй (1908).
Рассеяние света
401
Другим примером интенсивного молекулярного рас-
сеяния является рассеяние, возникающее при смешении
некоторых жидкостей, В обычных условиях в растворах
распределение одного вещества в другом происходит рав-
номерно, так что они представляют собой среду, в опти-
ческом отношении не менее однородную, чем чистые
жидкости, Это означает, что распределение концентра-
ции растворенного вещества во всем объеме одинаково и
флуктуации концентрации очень малы. Однако сущест-
вует много комбинаций веществ, которые при комнатной
температуре растворяются друг в друге очень плохо, но
прн повышении температуры их растворимость резко воз-
растает п при некоторой критической температуре они
способны смешиваться в любых соотношениях. Критиче-
ская температура смешения характеризует такое состо-
яние смеси, когда легко осуществимы местные отступле-
ния от равномерного распределения, т. е. нарушения
оптической однородности, приводящие к интенсивному
рассеянию света.
Количественную теорию молекулярного рассеяния
света, основанную на идее флуктуации плотности, дал
Эйнштейн (1905—1906). Основные положения этой тео-
рии сводятся к следующему.
Интенсивность рассеяния зависит от степени наруше-
ния оптической однородности. Чем сильнее нарушения,
т. с. чем сильнее изменения показателя преломления п
прн изменении плотности р (чем больше dnjdp), тем ин-
тенсивнее рассеяние. В свою очередь, изменения плотно-
сти (флуктуации плотности) тем значительнее, чем боль-
ше вызывающая их энергия теплового движения kT (k —
постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура) и
сильнее сжимаемость вещества [р=—(1/ц) (dv/dp)]. Рас-
четы показывают, что интенсивность света /, рассеивае-
мого единицей объема среды благодаря флуктуациям
плотности, пропорциональна величине
Эйнштейн (Einstein) Аль-
берт (1879—1955) —фи-
зик-теоретик
Это соотношение справедливо как для жидкостей,
так и для газов.
Основные выводы, вытекающие из теории Эйнштей-
на, совпадают с результатами теории Рэлея, так как
флуктуационные неоднородности считаются малыми по
сравнению с длиной волны. В первую очередь следует
отметить, что в молекулярном рассеянии интенсивность
рассеянного света обратно пропорциональна длине вол-
ны в четвертой степени Этим и объясняется
402
х
Рис. 23.10. Деполяриза-
ция при рассеянии ани-
зотропными молекулами
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
более насыщенный голубой цвет неба в горах, где воздух
свободен от пыли (по сравнению с городами). Далее,
рассеянный свет поляризован, причем при наблюдении
перпендикулярно к направлению распространения пер-
вичного пучка степень поляризации должна быть равна
максимальному значению — 100 %, что хорошо подтвер-
ждается для газов. Однако поляризация рассеянного
света не всегда бывает максимальной. Для некоторых
газов, например, степень деполяризации невелика и со-
ставляет несколько процентов, а для жидкостей она мо-
жет достигать десятков процентов.
Деполяризация рассеянного света связана с оптиче-
ской анизотропией рассеивающих молекул. Так, напри-
мер, если линейная молекула АА' поляризуется вдоль
своей оси (рис. 23.10,а), то поле, направленное вдоль
ОЕ, вызовет все же колебания вдоль ОА' с амплитудой,
пропорциональной составляющей поля ОВ, величина ко-
торой зависит от величины угла а. Если среда состоит
из таких линейных молекул, то вторичная волна будет
иметь составляющие электрического вектора как вдоль
Ог, так и вдоль Оу (рис. 23.10,6), относительные вели-
чины которых зависят от степени анизотропии молекул.
Таким образом, свет, рассеянный в направлении, пер-
пендикулярном к первичному пучку, будет частично по-
ляризован.
Интенсивность молекулярного рассеяния света
сравнительно невелика, хотя явление хорошо наблюда-
ется, например, при рассеянии света в атмосфере и мор-
ской воде. В лабораторных условиях при малых объемах
вещества его наблюдать достаточно сложно, так как
этому мешает главным образом свет, рассеянный на взве-
шенных частицах, отраженный от стенок кювет, и т. д.
Для наблюдения молекулярного рассеяния необходимо
устранить весь мешающий свет. Для этой цели исполь-
зуют специальное устройство, применяющееся для ра-
боты с жидкостями (рис. 23.11), В цилиндрический стек-
лянный сосуд С] из другого сосуда С2 путем дистилля-
ции перегоняется жидкость, в которой наблюдается
рассеяние света. Такой способ заполнения сосуда С]
приводит к очистке жидкости от взвешенных примесей,
остающихся в сосуде С2. Мощный источник света L
(ртутная лампа) освещает сосуд С] через боковую по-
верхность. Для концентрации света от источника в со-
суде Ci служит эллиптический отражатель ЭО. Рассеян-
ный свет проходит через окошко О и собирается линзой
Л на щель спектрографа Сп или другого регистрирую-
щего устройства. Для защиты жидкости от перегрева
Рассеяние света
403
между сосудом Ci и источником L помещается тепловой
фильтр Ф, поглощающий инфракрасное излучение. Он
представляет собой кювету, по которой циркулирует во-
да. Чтобы устранить отраженный свет от задней стенки
D, ее зачерняют и придают ей изогнутую форму. Суще-
ствуют и другие устройства для наблюдения молекуляр-
ного рассеяния.
Рис. 23.11. Схема наблюдения молекулярного рассеяния света
В заключение отметим, что при молекулярном рас-
сеянии в критическом состоянии вещества средний раз-
мер элемента объема До флуктуации может сильно
увеличиться, так что линейный размер До может стать
равным длине световой волны и даже превзойти ее. Это
делает рассеивающую среду аналогичной среде со взве-
шенными посторонними микроскопическими частицами,
которая более равномерно рассеивает свет всех длин
волн, если в веществе нет заметных областей поглоще-
ния света.
До сих пор мы не делали никаких оговорок относи-
тельно спектрального состава рассеянного света, пред-
полагая, что он такой же, как и спектральный состав
падающего на вещество света. Однако это далеко не так.
В теории молекулярного рассеяния Эйнштейн рас-
сматривал флуктуации плотности в жидкостях или кри-
сталлах в виде наложения периодических колебаний
плотности. Пользуясь таким математическим приемом,
позволившим построить количественную теорию рассея-
ния в жидкостях и твердых телах, Эйнштейн не припи-
сывал этим периодическим колебаниям какого-либо ре-
ального значения и никак не связывал их с другими
свойствами жидкостей и кристаллов. В дальнейшем, бла-
годаря идеям Мандельштама, оказалось возможным
связать теорию рассеяния с теорией теплоемкости твер-
23.4
Тонкая структура
рэлеевской линии
рассеяния
404
.. Дисперсия, поглощение и рассеяние света
дого тела и открыть новые пути оптического исследова-
ния термических и акустических свойств кристаллов и
жидкостей.
• Теория теплоемкости Дебая предполагает, что кри-
сталл можно рассматривать как непрерывную среду, со-
т£°мое»кости вершающую упругие колебания Упругие волны, рас-
Дебая пространяющисся в кристалле, имеют сплошной спектр,
т. е. обладают непрерывным набором частот. Очевид-
но, что распространение звука в твердом теле —это и
есть распространение таких упругих колебаний (лро-
дольных и поперечных). При нагревании кристалла в
волны Дебая нем возбуждаются упругие акустические волны (волны
Дебая), которые и определяют теплоемкость кристалла.
Мандельштам предположил, что флуктуации плотно-
. сти в кристаллах и жидкостях, о которых идет речь в
теории рассеяния Эйнштейна, в действительности явля-
ются реальными акустическими волнами Дебая. Иными
словами, флуктуации плотности в кристалле имеют пе-
риодичность, определяемую частотами этих волн. Мы
можем рассматривать данные волны как стоячие или как
бегущие. В первом случае кристалл можно представить
как пространственную дифракционную решетку, состоя-
щую из системы сгущенки и разрежений плотности (си-
стема стоячих волн), и рассеяние света на такой решет-
ке должно быть подобным рассеянию рентгеновских лу-
чен обычной кристаллическом решеткой. Различие
заключается в том, что рассеяние света происходит на
периодических сгущениях и разрежениях плотности, о
рассеяние рентгеновских лучей — на периодически рас-
положенных атомах, нонах или молекулах. Дебаевский
спектр упругих воли включает частоты 10'°—1011 Гц, т. е.
относится к гиперзвуковой области.
В Рассеяние рентгеновских лучей, как известно, имеет
Вульф Георглй (Юрий) место в направлениях 0, удовлетворяющих условию
Викторович (1863— Вульфа — Брэггов (см. § 10.2) 2d sin 0=niZ, где d — рас-
1925) — советский крис- стояние между атомными плоскостями; 0 —угол сколь-
таллограф жения падающих лучей; ш=1, 2, 3......В случае деба-
евских волн роль постоянной d решетки играет длина
гнперзвуковой волны А. Кроме того, в отличие от уас-
сеяния рентгеновских лучей на дискретных центрах, аку-
Брэгги (Bragg) Генри
(отец— 1862—J9-12) и
Лоуренс (сын — 1890—
1971) — английские фи-
зики
стическая решетка имеет синусоидальное распределение
плотности, т. е. в этом случае взаимное усиление лучей
в результате интерференции возможно только при т~\
См., например: Кикоин А. К, Кикоин И. К. Молекулярная фи-
зика,—М.: Наука, 1976 —480 с.
Рассеяние света
405
(см, § 12.4). Таким образом, рассеяние на акустической
решетке удовлетворяет условию
2Asin (072) = к (23.6)
где 0'=20 — угол между направлением падающего и
рассеянного света (рис. 23.12).
Флуктуации плотности Др, периодически расположен-
ные в пространстве, периодичны и во времени. Они ко-
леблются с частотой гиперзвуковой волны Q. Отсюда
Др = Asin (2л/Л) xcos2nQ/. (23.7)
Напряженность электрического поля рассеянной све-
товой волны должна быть пропорциональна Др:
Е = Ео cos 2 ,tv/ = Е'Др cos 2nvt =
= EJ cos 2 л о/ cos 2nv/, (23.8)
где v —частота падающей световой волны. Амплитуда
рассеянной световой волны (23.8)
Ео — EJ cos 2лШ
периодически зависит от времени, т. е. мы имеем дело с
колебанием, модулированным по амплитуде.
Представим рассеянную волну (23.8) в виде
Е = Е" cos 2лЙ/ cos 2rcvf = (Е'/2) cos 2л X
X (V + И) / 4- (SJ/2) cos 2л (v - й) t.
Таким образом, вместо одной частоты v падающего
света в рассеянном свете должны присутствовать две ча-
стоты: v+Q и V—Q. При этом для того, чтобы осуществ-
лялось рассеяние, частота должна удовлетворять усло-
вию (23.6).
Обозначив скорость гиперзвуковых волн через п, а
скорость света через с, получим Л=о/Й, и, следо-
вательно,
Q = 2v^sin~. (23.9)
Итак, в спектре рассеянного света наблюдаются две
линии с частотами
у' = V(1 ± -^-sin~j (23.10)
или
Av = ± 2v ^-sin Д-. (23.11)
Величина расщепления Av очень мала, так как о<с,
и зависит от угла 0' (при 0'=О расщепление Av=0).
Рис. 23.12. Дифракция
на стоячих волнах
формула
Мандельштама —
Бриллюэна
406
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
Доплер (Doppler) Кри-
стиан (1803—1853) — ав-
стрийский физик, матема-
тик и астроном
рассеяние
Мандельштама —
Бриллюэна
Бриллюэн (Brillouin) Ле-
он (1889-1969) - фран-
цузский физик
Гросс Евгений Федоро-
вич (1897-1972) - со-
ветский физик-экспери-
ментатор
фонон
a v
К такому же результату можно прийти, рассматривая
рассеяние света как отражение от бегущих звуковых
волн. В этом случае физической причиной расщепления
является эффект Доплера. Для каждого направления в
кристалле имеются две волны, бегущие во взаимно про-
тивоположных направлениях. По отношению к световой
волне каждая звуковая волна может рассматриваться
как зеркало, движущееся со скоростью и в направлении,
определяемом углом О'. При отражении света от движу-
щегося зеркала частота световой волны изменяется
вследствие эффекта Доплера. Расчет, проведенный Брил-
люэном, приводит к формуле (23.10), которая носит на-
звание формулы Мандельштама — Бриллюэна, а само
явление рассеяния на гиперзвуковых волнах называется
рассеянием Мандельштама —Бриллюэна.
Экспериментальная проверка теоретических выводов
Мандельштама и Бриллюэна была выполнена Гроссом.
Схема расщепления рэлеевской линии рассеяния в раз-
личных агрегатных состояниях вещества представлена
на рис. 23.13, из которого видно, что в изотропном кри-
сталле происходит расщепление не на две, а на шесть
компонент. Этот результат объясняется тем, что наряду
с продольной волной в кристалле распространяются еще
две поперечные звуковые волны. Скорость трех волн раз-
лична. Их значения, вычисленные из наблюдаемого рас-
щепления, хорошо совпадают со значениями, установ-
ленными другими методами.
. В аморфном твердом веществе (стекло) скорости двух
поперечных волн совпадают и поэтому вместо шести ком-
понент появляются четыре. Наконец, в жидкости наблю-
даются только две компоненты, так как флуктуации
плотности в ней можно рассматривать как результат
распространения гиперзвуковых волн. Однако в отличие
от твердого вещества в жидком отсутствуют поперечные
звуковые волны.
В спектре рассеяния аморфного вещества и жидко-
сти кроме компонент расщепления имеется еще и несме-
щенная компонента. Появление этой компоненты объяс-
нить трудно, так как необходимо рассматривать флукту-
ации плотности в связи не только с флуктуациями дав-
ления, но и с флуктуациями энтропии *>.
В квантовой теории энергию звуковых колебаний
рассматривают как некоторые квазичастицы —фононы.
Энергия фонона e=/iv, где h — постоянная Планка; v —
Рис. 23.13. Схема тонкой
структуры линии рассея-
ния:
в—падающий свет; б —кри-
сталл; в —аморфное твердое
вещество; г — жидкость
Более подробно об этом см., например: Волъкенштейн М. В.
Молекулярная оптика —М.; Л.: Гостехиздат, 1951,—744 с.
Рассеяние света
407
частота колебаний. Пользуясь представлением о фоно-
нах, можно сказать, что тепловые движения в твердом
веществе обусловлены именно ими. Изменение темпера-
туры тела означает изменение числа фононов в нем.
В кристалле наряду с акустическими колебаниями
возможны и колебания другого рода — оптические. В от-
дельных молекулах происходят колебания, сводящиеся
к периодическому изменению межатомных расстояний.
При этом центр тяжести молекулы остается на месте.
Оптические колебания имеют гораздо большие частоты,
чем акустические,—порядка 1013—1014 Гц.
При спектральных исследованиях рассеяния света в
кварце и исландском шпате (1928) Мандельштам и
Ландсберг обнаружили, что каждая спектральная линия
падающего света сопровождается появлением системы
линий измененной частоты, называемых сателлитами
(спутниками). Практически одновременно то же явле-
ние было открыто Раманом и Кришнаном при исследо-
вании рассеяния света в жидкостях. Изменение длины
волны оказалось значительно больше, чем при рассея-
нии Мандельштама — Бриллюэна Это явление назы-
вается комбинационным рассеянием света (в зарубеж-
ной литературе часто называется эффектом Рамана).
Комбинационное рассеяние света в настоящее время
имеет настолько важное значение для физики и химии,
что это открытие считается крупнейшим открытием
XX в. в области оптики.
Наиболее полное объяснение комбинационного рас-
сеяния может быть дано только с точки зрения кванто-
вой теории. Однако это явление можно рассмотреть и
на основе классических представлений. Рассеяние света
определяется изменением дипольного момента р моле-
кулы под влиянием электрического поля световой волны
Е (см. § 16.1 и 23.2):
р = (хЕ, (23.12)
где E=E0cos2nv/; а — поляризуемость молекулы, кото-
рая зависит от расстояния между ядрами атомов в дан-
ный момент, т. е. является функцией колебательной ко-
ординаты а=а(/?г). В простейшем варианте теории
*> Опыты Мандельштама и Ландсберга преследовали цель изу-
чить тонкую структуру рэлеевских линий, но вследствие малой раз-
решающей способности применяемых приборов им это удалось сде-
лать только качественно. При этом было открыто комбинационное
рассеяние света. А исследованием тонкой структуры рэлеевского рас-
сеяния занялся Гросс.
23.5
Комбинационное
рассеяние
Ландсберг Григорий Са-
муилович (1890—1957)—
советский физик
Раман (Raman) Чандра-
секхара Венката (1888—
1970) — индийский фи-
зик
Кришкаи (Krishnan) Рап-
пал Сапгамесмарп (р.
1911) — индийский фя-
зяк
комбинационное
рассеяние света
(эффект Рамана)
408
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
комбинационная
линия
зависимость а(^) аппроксимируется степенным рядом,
причем разложение по степеням ведется в окрестно-
сти равновесного значения координаты ^=0:
а (?г) — °о + т • • • > (23.13)
где qt меняется по гармоническому закону
^ = ^cos2«v/, (23.14)
где ^io и vi — соответственно амплитуда и частота t-ro
колебания в молекуле,
Подставляя выражение (23.14) в формулу (23.13), а
(23.13) в формулу (23.12), получаем
р = ОоЕ0 cos 2nvt + -j- cos 2л (v — v() t +
+4(^)^cos2^-v'^' (23.15)
Из формулы (23.15) видно, что в соответствии с из-
менением дипольного момента молекулы в спектре рас-
сеянного света наряду с несмещенной частотой v будут
наблюдаться частоты v—v, и v+vv Таким образом, по-
явление в спектре рассеянного света дополнительных ча-
стот (спутников) является результатом модуляции ди-
польного момента молекулы колебаниями ядер. Если
учесть высшие члены в разложении (23.13), то в спект-
ре должны наблюдаться обертоны и составные тоны (ли-
нии с частотами v±2vlf v± (vj+vs) и т. д., где и уд —
частоты различных внутренних колебаний молекулы).
Частоты Vi характеризуют собственные внутренние
колебания молекул, поэтому новые линии в спектре рас-
сеянного света являются комбинационными линиями, в
них выражается комбинирование частоты падающей
световой волны с частотами внутренних колебаний мо-
лекул. Отсюда этот вид рассеяния и получил название
комбинационного.
В отличие от классического, или рэлеевского, рассе-
яния комбинационное рассеяние света является некоге-
рентным, Когерентность рэлеевского, рассеяния означа-
ет закономерное соотношение между фазами световых
волн, рассеянных отдельными участками рассеивающего
объема. Именно вследствие когерентности в отсутствие
флуктуаций плотности или анизотропии рассеянный свет
уничтожился бы в результате интерференции. Флуктуа-
ции ие нарушают распределения фаз, но вводят случай-
ное распределение амплитуд рассеянных волн. В случае
комбинационного рассеяния фазы распределены совер-
Рассеяние света
409
шенно случайно, так как каждая молекула колеблется
независимо от другой.
Экспериментально были установлены следующие ос-
новные закономерности комбинационного рассеяния
света:
1) спектр комбинационного рассеяния представляет
собой систему спутников, расположенных симметрично
относительно несмещенной (рэлеевской) линии, частота
которой совпадает с частотой возбуждающего света v.
Каждому красному, или стоксову, спутнику с частотой
г—г,- соответствует фиолетовый, или антистоксов, спут-
ник с частотой v+v,- (рис. 23.14);
2) разность между частотой линии комбинационного
рассеяния и частотой возбуждающего света не зависит
от последней и по абсолютной величине равна одной из
собственных частот колебаний молекулы хц;
3) интенсивность линий комбинационного рассеяния
света в большинстве случаев весьма мала. При обычных
температурах интенсивность фиолетовых спутников зна-
чительно меньше интенсивности красных спутников.
С повышением температуры интенсивность фиолетовых
спутников быстро возрастает. Необычайно низки интен-
сивности обертонов и составных тонов, поэтому при
обычных условиях регистрации они не наблюдаются.
Явление комбинационного рассеяния света можно
рассматривать, пользуясь упрощенными представления-
ми о световых квантах. Энергия светового кванта, как
известно, равна z-hv. В соответствии с этим атом (мо-
лекула) содержит в себе запас энергии Лг, который мо-
жет быть испущен этим атомом (молекулой) в виде
света той же частоты. Рассеяние света молекулами сле-
дует упрощенно рассматривать как столкновение свето-
вых квантов с молекулами, в результате чего кванты
могут изменять направление своего движения, т. е. рас-
сеиваться в стороны. Если падающий свет имеет частоту
то. то кванты энергии hvB при столкновениях могут всту-
пать во взаимодействие с молекулами, обладающими ча-
стотой vj, т. е. способными принимать плн отдавать энер-
гию порциями /1V,. Если свет вступает во взаимодействие
с молекулой, не находящейся в состоянии колебания, то
в результате такого взаимодействия свет отдает моле-
куле соответствующую часть энергии, превращаясь в
свет меньшей частоты (красный спутник) согласно со-
отношению hv'=hvfi—hvi или v'=vo—V,. Если же свет
вступает во взаимодействие с молекулой, уже находя-
щейся в колебательном состоянии, т. е. обладающей за-
пасом энергии hr,, то молекула может потерять эту энер-
закономерности
комбинационного
рассеяния света
красный (стоксов)
спутник
фиолетовый
(антистоксов)
спутник
квантовая теория
комбинационного
рассеяная света
Рнс. 23.14. Схема спек-
тра комбинационного
рассеяния
410
Дисперсия, поглощение и рассеяние света
л гию, а падающий фотон превращается в фотон большей
5-о--о частоты (фиолетовый спутник): hv"=/iv0+hvi или
С й V,,=Vo + Vi.
о Поскольку число молекул, имеющих избыток коле-
бательной энергии (находящихся в возбужденном состо-
«_янии), значительно меньше числа невозбужденных мо-
О* лекул, то интенсивность фиолетовых спутников будет
Рис. 23.15. Различные
колебания атомов в мо-
лекуле:
а — исходное положение ато-
мов; б —колебание, меняю-
щее поляризуемость; е — ко-
лебание. меняющее электри-
ческий момент
меньше, интенсивности красных спутников, что и соот-
ветствует опыту. С повышением температуры число воз-
бужденных молекул быстро растет и в соответствии с
этим должна быстро возрастать интенсивность фиолето-
вых спутников. Линии комбинационного рассеяния све-
та, как правило, сильно деполяризованы.
Таким образом, упрощенные представления кванто-
вой теории объясняют основные черты комбинационного
рассеяния света. Однако остается неосвещенным ряд его
важных особенностей. Прежде всего обращает на себя
внимание существующее различие между спектром ком-
бинационного рассеяния и инфракрасным спектром по-
глощения. Это различие заключается в том, что некото-
рые интенсивные инфракрасные линии поглощения не
наблюдаются в спектрах комбинационного рассеяния и
наоборот.
Действительно, интенсивность линии частоты v в
спектре комбинационного рассеяния определяется тем,
насколько значительно меняется поляризуемость моле-
кулы при колебании, соответствующем этой частоте. Ин-
тенсивность же инфракрасной линии поглощения той же
частоты зависит от того, насколько хорошо реагирует
молекула на электромагнитное поле проходящей свето-
вой волны. Эта реакция определяется изменениями
электрического дипольного момента молекулы при со-
ответствующем колебании. Изменение поляризуемости и
изменение дипольного момента могут быть по-разному
выражены при различных колебаниях. Поэтому одни из
этих колебаний будут лучше проявляться в инфракрас-
ных спектрах, другие — в комбинационных.
Пример. Рассмотрим колебания, совершае-
мые атомами в линейной молекуле углекислого
газа COj (рис. 23.15, а). В случае, изображен-
ном на рис. 23.15, б, расположение атомов ме-
няется так, что изменяется внутреннее поле мо-
лекулы и, следовательно, ее поляризуемость.
Электрический момент при этом неизменен (ра-
вен нулю), так как два одноименно заряжен-
ных атома кислорода остаются во время коле-
бания симметрично расположенными по обе
стороны атома углерода. В случае, показанном
на рис. 23.15, в, поляризуемость не изменяется,
так как приближение одного из атомов кисло-
рода к атому углерода сопровождается удале-
нием другого и наоборот. При таких колебани-
ях величина и направление электрического ди-
польного момента молекулы периодически ме-
няются во время колебания. Таким образом,
колебание, изображенное на рис. 23.15, б, при-
ведет к образованию линии комбинационного
рассеяния, а колебание типа представленного
на рис. 23.15, в даст линию инфракрасного по-
глощения.
В комбинационном спектре проявляется не
Рассеяние света 411
только колебательное, ио и вращательное дви-
жение молекул. Например, для двухатомных
молекул во вращательном комбинационном
спектре наряду с частотой v несмещенной ли-
нии будут наблюдаться комбинационные линии
рассеяния с частотами v—2v' и v+2v', где
v' — частота вращения молекулы. Комбинаци-
онные частоты отличаются от v на удвоенную
частоту вращения, так как за время одного
полного оборота молекулы ее эллипсоид поля-
ризуемости выполняет два полных оборота.
Таким образом, метод комбинационного
рассеяния света дает возможность, работая в
видимой области, исследовать колебания и вра-
щение молекул, частоты которых расположены
в инфракрасной части спектра. Частота, интен-
сивность, поляризация линий комбинационного
рассеяния непосредственно характеризуют стро-
ение и свойства исследуемых веществ. Поэто-
му комбинационное рассеяние нашло широкое
применение в качественном н количественном
анализе химических соединений.
Раздел VI
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Глава 24
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Известно, что все тела, имеющие темпера-
туру выше нуля, испускают электромагнитные
волны, т. е. они теряют энергию. Таким обра-
зом, их внутренняя энергия, а следовательно,
н температура должны уменьшаться. Если тем-
пература тел не изменяется, значит, существу-
ет постоянный приток тепловой энергии извне.
Электромагнитное излучение, испускаемое
телом и возникающее за счет его внутренней
энергии, называется тепловым, или температур-
ным.
В отличие от других видов излучений теп-
ловое излучеиче может быть равновесным.
К этому заключению можно прийти путем сле-
дующих рассуждений.
Допустим, что в полость, окруженную обо-
лочкой с идеально отражающими стенкамн,
помещено тело. Излучение, испускаемое телом,
ве рассеивается по всему пространству, а, отра-
жаясь от стенок, сохраняется в полости, падая
вновь на тело и частично поглощаясь в нем.
В таких условиях никакой потерн энергии в си-
стеме тело — излучение не происходит. Однако
это еще не означает, что тело и излучение на-
ходятся в равновесии между собой. Энергия
такой системы содержится частично в виде
энергии излучения, т. е. электромагнитных
волн, а частично —в виде внутренней энергии
тела. Состояние системы будет равновесным,
если с течением времени распределение энергии
между телом и излучением не меняется. Поме-
стим внутрь полости нагретое тело (твердое,
жидкое или газообразное). Если в единицу вре-
мени тело испускает больше, чем поглощает
(или наоборот), то температура его понижает-
ся (или повышается). При этом испускание
ослабляется (или усиливается) до тех пор, по-
ка не установится равновесие. Такое равновес-
ное состояние устойчиво. Любое его наруше-
ние приведет в действие описанный механизм,
который и восстановит равновесие.
Нетепловое излучение, возбужденное ка-
ким-то другим способом, не будет равновес-
ным. Рассмотрим, например, излучение, возни-
кающее в процессе химической реакции,—так
называемую хемилюминесценцию. Поглощение
большей или меньшей доли испущенной свето-
вой энергии не. вернет систему в ее первона-
чальное состояние. Более того, повышение тем-
пературы приведет лишь к более интенсивно-
му протеканию химической реакции. Процесс
непрерывного изменения излучающей системы
будет продолжаться до тех пор. пока может
протекать химическая реакция, что нее более и
более удаляет систему от ее первоначального
состояния. Равновесие установится тогда, ког-
да закончится химическая реакция, а с ней и
хемилюминесценция. Характер установившего-
ся излучения определяется температурой систе-
мы, т. е. равновесное состояние соответствует
тепловому излучению. Аналогичная ситуация
характерна и для других видов излучении.
Таким образом, равновесное излучение
всегда имеет характер теплового излучения.
Это излучение подчиняется некоторым общим
закономерностям, вытекающим из принципов
термодинамики, в силу которых установивше-
еся тепловое равновесие изолированной систе-
мы не может нарушиться вследствие излучения
какими-либо частями этой системы или вслед-
ствие каких-нибудь других тепловых обменов.
24.1 Основной величиной, характеризующей тепловое со-
Закон Кирхгофа стояние тела, является его температура. Представим се-
бе несколько тел, нагретых до различной температуры
и помещенных в полость, окруженную непроницаемой
для тепла оболочкой с идеально отражающими стенка-
ми. Если даже внутри этой полости будет абсолютный
вакуум, т. е. исключена возможность теплового обмена
в силу теплопроводности и конвекции, тела будут обме-
ниваться между собой энергией посредством излучения.
Основные законы теплового излучения
413
При этом .хотя излучение каждого тела зависит только
от его собственной температуры, а не от температуры
окружающих тел, более теплые тела будут охлаждаться,
так как они испускают большее количество энергии, чем
получают от окружающих тел, а менее нагретые тела
нагреваются, потому что они получают больше энергии,
чем отдают,- Кроме того, пространство внутри полости
всегда заполнено лучистой энергией. Опыт показывает,
что в конечном счете устанавливается стационарное со-
стояние (тепловое равновесие), при котором все тела
приобретают одинаковую температуру. В таком состо-
янии тела поглощают в единицу времени столько энер-
гии, сколько отдают ее, а плотность излучения в прост-
ранстве между ними достигает некоторой определенной
величины, соответствующей данной температуре, Отсю-
да ясно, что если два тела обладают различной способ-
ностью к поглощению, то и их способность к испуска-
нию не может быть одинаковой. Действительно, раз уста-
новилось тепловое равновесие, то для каждого тела
имеет место равенство между количеством испускаемой
и поглощаемой им в единицу времени энергии. На осно-
ве этих рассуждений Прево (1809) сформулировал сле-
дующее правило: если два тела поглощают разное коли-
чество энергии, то и испускание их различно,
Правило Прево устанавливает связь между способ-
ностью тела к поглощению и излучению тепловой энер-
гии, однако это правило имеет сугубо качественный ха-
рактер. В 1859 г. Кирхгоф сформулировал более строгое
количественное соотношение, которое играет фундамен-
тальную роль во всех вопросах, связанных с тепловым
излучением.
Прежде чем сформулировать это соотношение, име-
нуемое законом Кирхгофа, введем понятия испускатель-
ной и поглощательной способностей. Испускательная
способность Е тела равна потоку энергии, которая испу-
скается единицей поверхности тела по всем направлени-
ям: E=dtydS. В таком определении испускательная
способность соответствует энергетической светимости
или яркости (см. § 3.1).
Если на единицу поверхности тела падает световой
поток z/Ф, то часть его йф' поглощается телом. Тогда от-
ношение поглощенного потока (/Ф' к падающему потоку
^Ф назовем поглощательной способностью Л тела:
A^d®'[d®.
В тепловом излучении присутствуют электромагнит-
ные волны широкого спектрального состава, поэтому
испускательная и поглощательная способности должны
тепловое
равновесие
Прево (Prevost) Пьер
(1751-1839) - швей-
царский физик, философ
и литератор
правило Прево
Кирхгоф (Kirchhoff) Гус-
тав Роберт (1824—
1887) — немецкий физик
испускательная
способность
поглощательная
способность
414
Тепловое излучение
спектральная
шпускательная
способность
быть отнесены к определенному спектральному интер-
валу dv, заключенному между v и v+dv. Величина све-
тового потока dOv данного спектрального интервала свя-
зана с шириной этого интервала dv соотношением
d®v = Eydv, (24.1)
где Ev~ коэффициент, характеризующий испускатель-
ную способность тела для частоты v.
Испускательную способность можно представить в
виде функции длины волны X. В этом случае спектраль-
ному интервалу dv соответствует интервал dX. Опреде-
ляющие один и тот же спектральный интервал, dv и dX
связаны простым соотношением, вытекающим из форму-
лы fc=clv. Дифференцируя его, получаем
д=—(24.2)
Знак минус в выражении (24.2) не имеет существен-
ного значения, а лишь указывает на то, что с возраста-
нием одной из величин (v или X) другая убывает. Поэто-
му знак минус в дальнейшем опустим.
Величину светового потока спектрального интервала
dX по аналогии с (24.1) представим в виде
d<Dx=E\dX. (24.3)
Если - интервалы dv и dX связаны соотношением
(24.2), т. е. относятся к одному спектральному интерва-
лу, то величины dC\ и dd»A должны совпадать, т. е.
Eyd-v^E^dK. Отсюда
Е, = Ек-^- = Е1-^г. (24.4)
С помощью связи (24.4) можно перейти от Ех к Ev и
наоборот. Вид кривой, выражающей зависимость испу-
скателыюй способности от X или v, будет прн этом транс-
формироваться.
Опыт показывает, что испускательная способность
зависит не только от частоты, но и от температуры EVr т
излучающего тела. Для этого случая выражение (24.1)
запишем следующим образом:
dQ^E^dv. (24.5)
Зная испускание тела в каждом спектральном интер-
вале, можно вычислить суммарное излучение, проинте-
грировав выражение (24.5) по всем частотам:
00
Ет~ fdO, = f Еу Tdv.
о
Основные законы теплового излучения
415
Примерный вид спектрального распределения тепло-
вого излучения Е^ т при некоторой температуре Т изоб-
ражен на рис. 24.1 (кривая /). Заштрихованная полос-
ка представляет собой энергию dEr, излучаемую в ин-
тервале длин волн dX. Полная испускательная способ-
ность Е? определяется площадью под кривой 1. С ростом
температуры увеличивается энергия, излучаемая телом,
поэтому при Г>Т спектральное распределение тепло-
вого излучения поднимается (кривая 2), При этом воз-
растает и площадь под кривой Е^т, т. е. полная (инте-
гральная) испускательная способность тела увеличива-
ется.
Поглощательная способность тела также является
функцией частоты (или длины волны) и температуры.
Для тел, полностью поглощающих падающее на них из-
лучение всех частот, поглощательная способность равна
единице 04Vf г=1). Такие тела называют абсолютно чер-
ными (или абсолютно поглощающими).
Связь между испускательной Ev, т и поглощательной
способностями тела была дана Кирхгофом. Закон
Кирхгофа гласит: отношение испускательной и поглоща-
тельной способностей не зависит от природы тела. Это
означает, что отношение EVi Т1АУ, т является одинаковым
для всех тел, т. е. одной и той же (универсальной) функ-
цией частоты (длины волны) и температуры, хотя E4iT
и 4V, т, взятые отдельно, могут сильно измениться при
переходе от одного тела к другому.
Среди всех тел максимальное значение EVir должно
иметь такое тело, у которого поглощательная способ-
ность равна единице, т. е. у абсолютно черного тела.
Обозначим испускательную способность абсолютно чер-
ного тела через ev, т- Тогда закон Кирхгофа для абсо-
лютно черного тела запишется в виде
Еу, т/Ау, т ~ eV1 г- (24.6)
Таким образом, универсальная функция Кирхгофа
Sv. т есть не что иное, как испускательная способность
абсолютно черного тела.
Доказательство закона Кирхгофа основано на вто-
ром законе термодинамики, по которому тепловое рав-
новесие, установившееся в замкнутой системе, не может
быть нарушено обменом тепла между частями системы.
Представим себе замкнутую систему, ограниченную
оболочкой, стенки которой являются абсолютно черным
телом. Температура стенок всюду одинакова и равна
Т. Выделим элемент поверхности стенок dS. Он будет
испускать в единицу времени количество энергии в», rdS.
Рис. 24.1. Спектральная
зависимость испускате-
льной способности
абсолютно
черное тело
мкон Кирхгофа
416
Тниювле излучение
Такое же количество энергии он должен и поглощать,
так как излучение и стенки находятся в равновесии. При-
чем поглощенное элементом поверхности количество из-
лучения—это энергия, испущенная всей остальной по-
верхностью полости.
Заменим элемент поверхности dS площадкой с погло-
щательной способностью ЯУ1Г и испускательной способ-
ностью EVtT. За единицу времени на нее по-прежнему
будет падать излучение £vjdS. Из него площадка погло-
тит часть энергии, равную A^iTeViTdS. За это же время
площадка излучит количество энергии E^TdS. Так
как тепловое равновесие не должно нарушаться, то
= EvTdS ИЛИ Ev.T~ ^v.rMv.T-
24.2
Абсолютно
черное тело
Рис. 24.2. Модель абсо-
лютно черного тела
В природе не существует тел, совпадающих по своим
свойствам с абсолютно черным телом. Тела, покрытые
слоем сажи или платиновой черни, имеют поглощатель-
ную способность Дх, близкую к единице лишь в ограни-
ченном интервале длин волн. В далекой инфракрасной
области их поглощательная способность заметно мень-
ше единицы. Однако можно создать устройство, которое
по своим свойствам очень близко к абсолютно черному
телу. Такое устройство представляет собой почти замк-
нутую полость с диффузно отражающими стенками,
имеющую небольшое отверстие (рис. 24.2). Любой луч,
попавший внутрь полости через отверстие, выйдет из
него обратно лишь испытав многочисленные отражения.
Пусть при одном падении луча на внутреннюю поверх-
ность отражается A-я доля светового потока. При п па-
дениях отразится доля, выражаемая величиной 6". Так
как k всегда меньше единицы, то прн достаточно боль-
шом /1 величина k11 станет очень малой. Таким образом,
лишь ничтожная часть лучей, упавших на отверстие,
выйдет обратно и поглощательная способность отверстия
будет для всех длин волн близка к единице*’. Размеры
отверстия, при котором полость можно считать с опре-
деленной точностью абсолютно черным телом, зависят
от величины k. Так, при 6=0,4 полость можно считать
абсолютно черным телом с точностью до 0,1 %, если
диаметр d отверстия равен 1/10 диаметра D полости.
При 6 = 1 та же точность обеспечивается при rf~D/16.
По закону Кирхгофа испускательная способность по-
верхности, для которой Ял~1, близка к испускательной
способности абсолютно черного тела. Излучение стенок
::| По этой же причине внутренность комнаты в яркий солнечный
день при рассматривании издали через открытое окно кажется тем-
ной,
Основные законы теплового излучения
417
полости распространяется внутри нее, частично отра-
жаясь от стенок, частично поглощаясь последними. В ре-
зультате внутри полости установится равновесие между
испусканием и поглощением и она будет заполнена
электромагнитными волнами разной длины, поляризации
и интенсивности, хаотически движущимися во все сто-
роны. Выходя из отверстия, это излучение будет опре-
делять испускательную способность абсолютно черного
тела, находящегося при температуре Г, равной темпера-
туре стенок.
Осуществив практически описанную модель абсолют-
но черного тела, можно исследовать излучение, выходя-
щее из отверстия в полости. Направляя это излучение
на чувствительный приемник (термопара, болометр и
др.), можно измерить интегральное излучение Ет. Если
предварительно разложить излучение с помощью под-
ходящего спектрального прибора в спектр, то можно де-
тально изучить спектральный состав теплового излуче-
ния и найти на опыте функцию &,iT. Результаты таких
измерений приведены1 на рис. 24.3. Разные кривые от-
носятся к различным температурам абсолютно черного
тела. Площадь, охватываемая кривой, дает испускатель-
ную способность абсолютно черного тела при соответст-
вующей температуре.
Закон Кирхгофа имеет общий характер и не зависит
от механизма поглощения. Любая сильно поглощающая
система будет и сильно излучать, независимо от того,
обусловлено ли сильное поглощение свойствами поверх-
ности или устройством системы как целого. Например,
система из стальных полированных иголок (рис. 24.4)
сильно поглощает свет, так как лучи, прежде чем выйти
наружу, претерпевают многократное отражение от раз-
ных иголок. Хотя поглощение поверхностью полирован-
ной, иголки невелико, общее поглощение системы будет
значительно, так как произойдет для каждого луча мно-
гократно. При нагревании такая система в соответствии
с законом Кирхгофа и сильно излучает, поскольку каж-
дый участок поверхности иголки не только сам излучает,
но и отражает наружу многочисленные лучи, испускае-
мые другими участками.
Этой же причиной объясняются высокие поглощаю-
щие свойства некоторых материалов, например сажи,
бархата и др. Благодаря их пористости, особенно сажи,
свет, попавший на них, испытывает несколько отраже-
ний, прежде чем выйдет из толщи материала. Этим же
объясняется насыщенный цвет бархата или вообще тка-
ней с длинным ворсом.
Рис. 24.3. Кривые рас-
пределения энергии по
спектру абсолютно чер-
ного тела для разных
температур:
/—Г-750 К; 2—Г-1500 К;
3-7= 3500 К; 4-7-4000 К;
5-7-6000 К
Рис. 24.4. Система из
стальных полированных
иголок
418 Тепловое излучение
• Тела, для которых поглощательная способность мень- ше единицы, называются нечерными. К ним относятся
нечерное тело практически все тела, начиная от сажи, имеющей боль- шую поглощательную способность, и кончая полирован- ными металлами, у которых поглощательная способность очень мала. Для нечерных тел Е^т<ек,т, так как Лх,т<1. Это означает, что для любой длины волны ис- пускательная способность нечерного тела не может пре- восходить испускательную способность черного тела при той же температуре. Вид функции Д, т в случае нечерно- го тела может отличаться от функции Ех,т вследствие того, что поглощательная способность Лх, т1 зависит от длины волны X, т. е. обладает избирательностью (селек- тивностью). В соответствии с этим и излучение нечер- ного тела может иметь селективный характер. Исследование излучения нечерных тел имеет важное практическое значение, например при расчетах и конст- руировании источников света.
24.3 Закон излучения Стефана — Больцмана и закон смещения Вина Закон Кирхгофа поставил перед теорией теплового излучения важную задачу —найти аналитическое выра- жение функции ev,T, представляющей собой испуска- тельную способность абсолютно черного тела. Долгое время многочисленные попытки получить тео- ретически вид функции е?,т не давали общего решения задачи. Теоретическое решение было найдено только пу- тем принципиального изменения основных положений физики, которые привели к созданию квантовой теории. Первым этапом в исследовании теплового излучения явилось установление закона, характеризующего зави- симость суммарного излучения (излучения всех длин
Стефан (Stefan) Иозеф (1835—1893) — австрий- ский физик волн) от температуры. Стефан (1879), анализируя экспе- риментальные данные, пришел к заключению, что испу- скательная способность любого тела пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени. Однако последующие более точные измерения показали ошибоч- ность его вывода. Больцман (1884), исходя из термоди- намических соображений, теоретически показал, что сум- марное излучение абсолютно черного тела должно быть
пропорционально температуре в четвертой степени:
закон излучения Стефана — Больцмана ет = [ Ev, г dv = оТ4, (24.7) 0 где а — постоянная величина. Таким образом, вывод Стефана оказался справедли- вым лишь для абсолютно черных тел. Соотношение
Основные законы теплового излучения
419
(24.7) между испускательной способностью и абсолют-
ной температурой носит название закона излучения Сте-
фана—Больцмана. Экспериментальное значение кон-
станты и, называемой постоянной Стефана — Больцма-
на, равно а— 5,67 10~а Вт/(м2- К4).
Закон Стефана — Больцмана дает представление
лишь об интенсивности суммарного излучения абсолют-
но черного тела и совершенно не касается спектрального
распределения энергии. Первый существенный результат
в этом направлении после работ Михельсона и Голицы-
на был получен Вином (1893), который воспользовался
кроме термодинамики еще и электромагнитной теорией
света. В результате он установил, что испускательная
способность абсолютно черного тела имеет вид
ev.7 = cvWn (24-8)
где с — скорость света в вакууме; — функция, рас-
крыть вид которой на основе только термодинамических
соображений оказалось невозможным,
Однако, несмотря на этот недостаток, формула Вина
(24.8) сыграла важную роль: она свела отыскание фун-
кции двух переменных v и 7* к функции одной перемен-
ной v/Т. Кроме того, несмотря на присутствие неопреде-
ленной функции формула Вина приводит к не-
которым совершенно определенным количественным со-
отношениям.
Перейдем в формуле (24.8), используя соотношение
(24.4), от частот v к длинам волн X. Тогда
(24-9)
постоянная
Стефана —
Больцмана
Михельсон Владимир
Александрович (I860—
1927)—советский физик
и геофизик
формула Вина
Голицын Борис Борисо-
вич (1862—1916)—рус-
ский физик и геофизик
Вин (Wien) Вильгельм
(1864—1928)— немецкий
физик
Соотношение (24.9) позволяет установить связь меж-
ду длиной волны Атах, на которую приходится максимум
функции и, т, и температурой. Для этого необходимо
продифференцировать (24.9) по X и приравнять произ-
водную dex, г/аХ кулю, Тогда положение максимума
удовлетворяет условию
Пт„ = 6, (24.10) •
закон смещения
где b — постоянная Вина, не зависящая от температуры. Вина
Экспериментальное значение 6=0,29 см- К.
Выражение (24.10) называется законом смещения
Вина. Из него следует, что положение максимума функ- *
ции а»,, т смещается в область более коротких длин волн
'по мере возрастания температуры (см. рис. 24,3). постоянная Вина
420
Тепловое излучение
24.4
Формула
Рэлея — Джинса
Джинс (Jeans) Джеймс
Хопвуд (1877—1946) —
английский физик и аст-
рофизик
формула
Рэлея — Джинса
Следующим шагом в попытке определить функцию
е,,т в рамках классических преобразований явилась ра-
бота Рэлея (1900), более подробно развитая в 1905 г.
Джинсом. В своих исследованиях они воспользовались
теоремой классической статистики о равномерном рас-
пределении энергии по степеням свободы Ч
Представим себе замкнутую полость объемом V с иде-
ально отражающими стенками, нагретыми до темпера-
туры Г, в которой создан вакуум. Внутри полости су-
ществует электромагнитное поле. В результате отраже-
ний от стенок в полости образуется система бесконечно
большого числа стоячих волн различной частоты и раз-
ного направления. Каждая такая стоячая волна пред-
ставляет собой элементарное состояние электромагнит-
ного поля. Теорема о равномерном распределении энер-
гии утверждает, что и в этом случае при равновесии
между стенками полости и электромагнитным излучени-
ем на каждую стоячую волну должна приходиться сред-
няя энергия, равная kT, где fe —постоянная Больцмана.
При этом, подобно тому как средняя энергия гармони-
ческого осциллятора складывается из средней кинетиче-
ской энергии, равной АТ/2, и средней потенциальной
энергии, также равной Н/2, в случае электромагнитных
стоячих волн полная средняя энергия kT складывается
из средних энергий электрического и магнитного полей,
равных в отдельности kTI2 каждая.
Таким образом, расчет энергии поля для определен-
ного интервала частот v, v+dv сводится к нахождению
числа элементарных стоячих волн, т. е. числа свободных
собственных колебаний (в том же интервале частот),
которые устанавливаются внутри рассматриваемого
объема V, как бы заполненного сплошной средой. В ре-
зультате для испускательной способности абсолютно чер-
ного тела получаем следующее выражение:
2nv" kT,
(24.11)
®». Г---^2
или в шкале длин волн;
Чг = -^-*Т. (24.12)
Соотношение (24.11) или (24.12) носит название
формулы Рэлея — Джинса *4
*> См., например: Кикоин А. К, Кикоин И. К. Молекулярная фи-
зика,— М.: Наука, 1976,-480 с.
**> Подробный вывод формулы Рэлея —Джинса см., например:
Шпольский Э. В. Атомная физика.—М.: Наука, 1984, т, 1, с, 273—
278.
Основные законы теплового излучения
421
Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согла-
суется с экспериментальными данными лишь при боль-
ших длинах волн и резко расходится с опытом для ма-
лых длин волн. Интегрируя, например, выражение
(24.12) пол, получаем
Еу = 1 Ц, т = 2nckT ( = <Ю>
О 0
т. е. испускательная способность абсолютно черного тела
должна быть бесконечно большой. Это означает, что
равновесие между материальными телами и излучением
могло бы наступить при бесконечной плотности излуче-
ния. Однако этот результат не соответствует опыту, ко-
торый показывает, что равновесие между излучением и
материальными телами возможно при любой температу-
ре и что при этом равновесии, как раз наоборот, плот-
ность энергии излучения очень мала по сравненню с
плотностью энергии, заключающейся в материальных
телах.
Для сравнения формулы Рэлея — Джинса с резуль-
татами эксперимента обратимся к рнс. 24.3, на котором
приведены экспериментальные кривые распределения
энергии в спектре абсолютно черного тела при различ-
ных температурах. Из рисунка видно, что все кривые
имеют максимум и круто спадают в сторону коротких
длин волн. Напротив, формула Рэлея — Джииса дает
монотонное и быстрое возрастание энергии при умень-
шении длины волны (рис. 24.5). Однако в длинноволно-
вой области она согласуется с экспериментом.
Таким образом, формула Рэлея— Джинса, опираю-
щаяся на классическую физику, находится в противо-
речии с опытом: в спектре теплового излучения большая
часть энергии приходится на коротковолновую часть
спектра. Такое положение было названо одним из осно-
воположников квантовой теории Эренфестом ультрафио-
летовой катастрофой.
Формула Рэлея — Джинса была выведена на основе
общих законов классической физики и не требовала ни-
каких специальных предположений. С результатами эк-
сперимента как раз в той области спектра, где формула
Рэлея —Джинса неприменима, хорошо согласовалась
уточненная в 1896 г. формула Вина. В шкале длин волн
формула Вина имеет вид
Ех, т = exp j, (24.13)
Рнс. 24.5. Сравнение эк-
спериментальной кривой
распределения энергии в
спектре абсолютно чер-
ного тела (/) с кривой,
рассчитанной по формуле
Рэлея —Джинса (2)
ультрафиолетовая
катастрофа
Эренфест (Ehrenfest) Па-
уль (1880—1933) — фи-
зик-теоретик
422
Тепловое излучение
24,5
Формула Планка
постоянная
Планка
где С| и С2— постоянные, Для вывода этой формулы
Вин вынужден был сделать предположение о механизме
излучения, в соответствии с которым распределение из-
лучения по частотам должно быть аналогично максвел-
ловскому распределению молекул газа по скоростям.
Формула Вина (24.13) оказалась применимой только для
коротковолновой ветви кривой распределения энергии в
спектре абсолютно черного тела.
Таким образом, к концу XIX в. существовали две
формулы, каждая из которых соответствовала экспери-
ментальным данным в ограниченном участке спектра, но
ни одна из них не описывала всю экспериментальную
кривую. Стало ясно, что классическая физика не справ-
лялась с теорией теплового излучения и необходим был
коренной пересмотр ее основных положений.
Пересмотр принципиальных положений классической
физики был произведен Планком (1900). Им была вы-
сказана гипотеза, коренным образом противоречащая
всей системе представлений классической статистической
физики и электродинамики, гипотеза о том, что электро-
магнитное излучение может испускаться в виде отдель-
ных порций энергии (квантов), величина которых про-
порциональна частоте v:
8 =/rv — hc/X, (24.14)
где Л=6,622 < 10-34 Дж • с — универсальная постоянная,
получившая впоследствии название постоянной План-
ка *>.
Гипотеза Планка находится в резком противоречии
с законами классической физики, потому что согласно
этим законам все величины (энергия, импульс, действие)
могут иметь произвольные, сколь угодно малые значе-
ния и могут меняться непрерывно. Так, по классическим
законам осциллятор частоты v может заключать в себе
любое количество энергии, поскольку энергия осцилля-
тора пропорциональна квадрату амплитуды. Отсюда сле-
дует, что излучающий осциллятор может испускать за
единицу времени любое количество энергии. Моделируя
теоретически абсолютно черное тело в виде бесконечной
совокупности гармонических осцилляторов, каждый из
которых дает отдельную монохроматическую линию, а
все вместе —сплошное черное излучение, и пользуясь
законами, управляющими поведением этих осциллято-
♦> Часто пользуются обозначением Л: й=Л/2л.
Основные законы теплового излучения
423
ров, можно найти закон черного излучения такой си-
стемы.
Однако этот путь не дал желаемых результатов.
Лишь предположение Планка, что гармонический осцил-
лятор частоты v может обладать только таким количе-
ством энергии, в котором содержится целое число эле-
ментарных порций величиной hv каждая, привело к пра-
вильному выводу. На основании новых квантовых
представлений и статистических методов Планк получил
следующее выражение для испускательной способности,
полностью совпадающее с опытом:
_ 2nftv® 1
6v*r“ са ехр (hv/feT) — 1 1
или в шкале длин волн:
_ 2лйс3 I
Ък-Т~ X» ехр (/tc/MT) — 1 1
Выражение (24.15) или (24.16) носит название фор-
мулы Планка.
В теоретических расчетах вместо испускательной
способности 6v,t пользуются объемной спектральной
плотностью Uv.t энергии излучения, которая связана с
sv, т соотношением
Чт=(с/4)1ь,т, (24.17)
(24.15)
(24.16)
где с — скорость света.
Приведем вывод формулы Планка, который был дан
впоследствии Эйнштейном (1916). Правда, для этого
введем некоторые представления из квантовой теории *>.
Основываясь на идеях Планка, Бор развил квантовую
теорию излучения атома. Согласно этой теории атом ха-
рактеризуется определенными стационарными состояни-
ями, находясь в которых он не излучает энергии. Излу-
чение или поглощение энергии должно соответствовать
переходу атома из одного стационарного состояния в
другое. При таких переходах испускается или поглоща-
ется монохроматическое излучение, частота v которого
определяется соотношением
/iv=£2“£t. (24.18)
где £2 и £i —энергия системы в стационарных состоя-
ниях 2 и /. Соотношение (24.18) называется условием
частот Бора. Схема в виде двух уровней энергии 2 и /,
вертикальное расстояние между которыми дает частоту
испускаемого излучения, представлена на рис. 24.6.
*> Эти сведения можно найти в кн.; Шпольский Э. В. Атомная
физика.—М.: Наука, 1984, т. 1, с. 308—311.
Рис. 24.6. Схема уровней
энергии
формула Планка
условие
частот Бора
424 Тепловое излучение
Эйнштейн дополнил квантовую теорию Бора количе- ственным описанием процессов поглощения и испуска- ния света. Рассмотрим газ, состоящий из одинаковых атомов. Согласно теории Бора каждый из атомов может нахо- диться в определенном стационарном состоянии 1, 2, 3, ... и характеризоваться своим значением энергии Е}, Ei, Е3, . Среднее значение атомов, находящихся в
• состоянии i и обладающих энергией Eit называется за- селенностью уровня 1. Заселенность уровня зависит от
заселенность уровня внешних условий. Если, например, газ находится в со- стоянии термодинамического равновесия при температу- ре Т, то заселенность определяется распределением Больцмана: N^Nowpt-Ei/kT), (24.19) где Л^ —число атомов в 1 см3 на самом нижнем уровне энергии, В более общем случае в формулу (24,19) необ- ходимо ввести статистический вес gi, характеризующий степень вырождения уровней (т. е. существование не- скольких различных состояний, в которых атом имеет одну и ту же энергию). Для невырожденных уровней £(=1- Рассматривая испускание и поглощение энергии ато- мами, Эйнштейн выделил три процесса: спонтанное ис- пускание, поглощение и вынужденное испускание. Все рассмотрение строится статистически, т. е. с использо- ванием понятия вероятности. Если атом находится в возбужденном состоянии 2 и не испытывает внешних воздействий, то он может само- произвольно (спонтанно) перейти в состояние /, облада- ющее меньшей энергией, отдавая при этом избыток энер- гии Ег—Ех в виде излучения (см. рис. 24.6). Такой про-
• цесс называется спонтанным испусканием света. Харак- .теристикой этого процесса является вероятность
спонтанное испускание света • спонтанного перехода 2~+ 1 ъ единицу времени. Величи- на А2] называется также коэффициентом Эйнштейна для спонтанного перехода. Невозбужденные атомы, находящиеся на нижнем уровне с энергией Еи будут под влиянием внешнего электромагнитного поля переходить в возбужденное со-
коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода стояние Е2, поглощая энергию Е2—Ei=hv. Очевидно, что вероятность перехода с поглощением в интервале частот v, v+dv будет пропорциональна спектральной плотности излучения ич и некоторому коэффициенту В[2, характе- ризующему вероятность возбуждения данной атомной системы. Таким образом, вероятность поглощения в
Основные законы теплового излучения
425
единицу времени равна В12Щ. Коэффициент В|2 называ-
ется коэффициентом Эйнштейна для поглощения.
Кроме спонтанного испускания и поглощения Эйнш-
тейн ввел представление о вынужденном (индуцирован-
ном или стимулированном) испускании. Под действием
внешнего электромагнитного поля атомы, находящиеся
в возбужденном состоянии (например, на уровне Е2),
могут согласно Эйнштейну либо поглощать энергию, пе-
реходя на более высокий уровень, либо, наоборот, отда-
вать энергию hv-E2—E}, возвращаясь на более низкий
уровень энергии. Такие переходы являются вынужден-
ными и обусловливают вынужденное испускание. Веро-
ятность этих переходов в единицу времени есть B2\UV.
Величина fi2i называется коэффициентом Эйнштейна для
вынужденного испускания. Если внешнее поле отсутст-
вует (щ.^0), то вынужденные переходы не происходят.
Таким образом, внешнее электромагнитное поле вызы-
вает переходы, сопровождающиеся как поглощением, так
и испусканием энергии. Следует отметить, что сущест-
вование вынужденного испускания не противоречит и
классической теории. Согласно законам электродинами-
ки электромагнитная волна, падающая на колеблющий-
ся диполь, в зависимости от соотношения фаз их коле-
баний может усиливать или тормозить колебания дипо-
ля. Иными словами, излучение, падающее на атом,
может заставлять последний не только поглощать, но и
испускать соответствующие кванты энергии.
Перейдем к выводу формулы Планка. Пусть в замк-
нутом объеме находится атомарный газ при определен-
ной температуре. Пусть в этом объеме присутствует и
электромагнитное поле со спектральной плотностью
энергии «v.T. Считаем, что система находится в термо-
динамическом равновесии. Наличие термодинамическо-
го равновесия не означает, что энергия каждого атома
газа остается неизменной. Между атомами и полем про-
исходит постоянный обмен энергией. Атомы поглощают
и испускают кванты, переходя из одних состояний в дру-
гие. Однако эти процессы не нарушают термодинамиче-
ского равновесия системы в целом.
Количество атомов, переходящих спонтанно за еди-
ницу времени с верхнего возбужденного уровня на ниж-
ний, пропорционально их числу М2 и равно A2lN2. Коли-
чество атомов, переходящих с верхнего уровня на ниж-
ний под воздействием излучения, пропорционально чис-
лу возбужденных атомов Nz и спектральной плотности
энергии падающего (теплового) излучения щ,, т- Число
вынужденных переходов возбужденных атомов на ниж-
коэффициент
Эйнштейна
для поглощения
вынужденное
испускание
коэффициент
Эйнштейна
для вынужденного
испускания
426
Тепловое излучение
нне уровни за единицу времени равно Пол-
ное число спонтанных и вынужденных переходов, т. е.
полное число испускаемых за единицу времени квантов
энергии, равно г-
Атомы, находящиеся на нижнем уровне Е\, могут пе-
реходить на верхний уровень Е2 только за счет энергии
падающего излучения. Поэтому число таких переходов и
число квантов, поглощаемых в единицу времени атома-
ми, равно BuNiUv'T.
При установившемся равновесии между излучением
и газом количество поглощаемых и испускаемых за еди-
ницу времени квантов равно друг другу, т. е.
t=£i2A\Mv, т- (24,20)
В равенстве (24.20) Ni и N2 определяются распреде-
лением Больцмана (24.19):
^УоехрС-Яда;
A^oexpf-Еда
или
Ni лп hv\
х-=ир -VхНхр hr}
(24.21)
^п/^21
Решая уравнение (24.20) относительно Uv, т и учиты-
вая (24.21), получаем
л _ „ ______А1/^М.______ ________^81/^21______ /ПЛ ОО\
7 ЫВа) (NJNJ - 1 “ (В12/Вп) ехр (hv/kT) ~ 14
Коэффициенты Эйнштейна А21, B2i, Bt2 могут быть
точно рассчитаны лишь при полном знании законов вза-
имодействия электромагнитного поля с атомами. Однако
входящие в выражение (24.22) отношения этих коэф-
фициентов могут быть определены из простых общих со-
ображений:
1) в предельном случае высоких температур Т-хю,
exp(Av/feT)-► 1 и выражение (24.22) принимает вид
__
ЧТ й,/Вп)-1 ’
Считая электромагнитное поле внутри полости теп-
ловым и используя (24,17), можно перейти к испуска-
тельной способности:
е,.г = т unfy" 1 (24.23)
Однако при бесконечно высокой температуре атомы
должны обладать бесконечно большой энергией и их ис-
пускательная способность т -► оо. Это возможно, ког-
Основные законы теплового излучения
427
да знаменатель выражения (24.23) равен нулю, т. е.
В12=Вгь Подставляя этот результат в (24.22), получаем
(24.24)
2) в области малых частот (очень длинных волн)
энергия отдельного кванта e,=hv=hc/“k мала по сравне-
нию с энергией теплового движения В этом слу-
чае в единицу времени испускается и поглощается такое
большое число квантов, что испускание можно практи-
чески считать непрерывным. Следовательно, для малых
частот уравнение (24.24) должно переходить в формулу
Рэлея — Джинса (24.11).
При hv<&kT показатель степени (hv/6T)<l. Разла-
гая экспоненциальную функцию в ряд, можно ограни-
читься двумя первыми членами: expfhv/AT’) ^1 + (ftv/AT).
Подставляя это разложение в формулу (24.24) и сопо-
ставляя с (24.11), имеем
Р £ ^21 __ 2ЛУ* • т
у'т~ 4 Вп hv ~ с*
Отсюда
8лЛч*
5п
(24.25)
и окончательно
_ 2лЛу3 1
Cv’r~ exp (Jtv Д Т) — 1 ’
что совпадает с формулой Планка (24.15).
Как было уже показано, в предельном случае очень
малых частот формула Планка переходит в формулу
Рэлея — Джинса. В предельном случае очень больших
частот hv^kT (коротких длин волн) в знаменателе
можно пренебречь единицей и получим формулу Вина
(24.13), которая хорошо описывает экспериментальные
результаты в области коротких длин волн. В шкале ча-
стот формула (24.13) имеет вид
2лЛ№ ( ftv \ in j nc\
£v. г — exp "Hfi' (24.26)
С физической точки зрения переход от формулы
Планка к формуле Вина означает, что в условиях рав-
новесия в качестве переходов с испусканием учитыва-
ются только спонтанные переходы, характеризуемые ко-
эффициентами 4mn. Действительно, полагая в формуле
(24,22) B2i=0 и принимая во внимание (24.25), прихо-
дим к формуле (24.26). Таким образом, в коротковолно-
428
Тепловое излучение
вой области переходы с вынужденным испусканием игра-
ют малую роль, а все испускание происходит главным
образом за счет спонтанных переходов. В длинноволно-
вой же области, наоборот, основную роль играют вынуж-
денные переходы, а роль спонтанных переходов ничтож-
но мала.
Формула Планка дает хорошее согласие с результа-
тами экспериментальных исследований зависимости ис-
пускательной способности абсолютно черного тела от v
и Г и является, таким образом, полным решением ос-
новной задачи, поставленной Кирхгофом.
Формула Планка заключает в себе два закона излу-
чения абсолютно черного тела —законы Стефана —
Больцмана и Вина. При этом из формулы Планка полу-
чаются как внешняя форма этих законов, так и входя-
щие в них постоянные п и &, которые выражаются
через универсальные постоянные ht k и с. Пользуясь
экспериментально определенными значениями о и Ь,
можно вычислить значения h и k. Именно таким путем
было получено первое численное значение постоянной
Планка. Впоследствии был предложен ряд способов
определения h, основанных на различных физических
явлениях. Все они приводят к одним и тем же значе-
ниям.
Глава 25
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Законы теплового излучения довольно ши-
роко используются на практике. Остановимся
только иа двух очень важных практических
вопросах, где эти законы играют первостепен-
ную роль. К ним относятся оптические методы
измерения высоких температур (оптическая пи-
рометрия), а также разработка и создание ис-
точников света.
Оптическая пирометрия объединяет в себе
комплекс методов, с помощью которых можно
измерять температуру тела в достаточно ши-
роком интервале. Диапазон температур, изме-
ряемых в оптической пирометрии, теоретически
неограничен. Нижняя граница определяется
большей частью чувствительностью приемников
излучения. Большинство методов оптической
пирометрии основано на измерении интенсивно-
сти излучения или поглощения исследуемого
тела в ультрафиолетовой, видимой или инфра-
красной областях спектра. Интенсивность излу-
чения или поглощения связывается обычно с
температурой при помощи законов теплового
излучения или законов термодинамического
равновесия. Существуют также методы, в ко-
торых температура определяется по результа-
там измерения концентрации нейтральных или
заряженных частиц в газе или плазме.
Все методы, применяемые в оптической пи-
рометрии, являются косвенными, поэтому на-
дежность результатов, получаемых с их по-
мощью, зависит прежде всего от степени при-
менимости к исследуемому объекту закона, свя-
зывающего температуру с измеряемой величи-
ной. Методы оптической пирометрии не требу-
ют непосредственного контакта измерительной
аппаратуры с исследуемым телом. Благодаря
этому они позволяют, во-первых, без ущерба
для приборов измерять очень высокие темпе-
ратуры, во-вторых, проводить измерения тем-
ператур удаленных тел и, в-третьих, их приме-
нение не вызывает искажения состояний иссле-
дуемого объекта, к чему часто приводит тер-
мометрическое тело, применяемое в иных ме-
тодах.
Применение законов теплового излучения
429
Другим важным направлением практиче-
ского использования теплового излучения явля-
ется разработка и создание эффективных источ-
ников света.
Отличительной особенностью теплового из-
лучения является то, что оно присуще теплово-
му состоянию любого тела, имеющего темпера-
туру выше абсолютного нуля, независимо от
его агрегатного состояния. Предельным случа-
ем равновесного теплового излучения является
излучение абсолютно черного тела.
В основе действия источников теплового
излучения лежит нагревание тел тем или иным
способом. К источникам теплового излучения
относятся все пламенные источники света (кос-
тер, лучина, свеча, масляная и керосиновая
лампы, калильная сетка и т, д.) и электриче-
ские лампы накаливания. Источником излуче-
ния в ннх являются раскаленные твердые тела.
В пламенных источниках это мельчайшие час-
тицы твердого углерода, которые образуются
н раскаляются за счет химических реакций,
протекающих в пламени, или калильные сетки.
В современных лампах накаливания это воль-
фрамовая проволочка, накаливаемая до высо-
кой температуры проходящим через нее элек-
трическим током.
Основной областью применения источников
света является искусственное освещение. На-
ряду с этим все большее применение получают
источники света в установках, аппаратах и
устройствах, использующих различные свойства
видимого, ультрафиолетового и инфракрасного
излучений.
Подавляющее большинство современных
источников света основано на превращении
электрической энергии в оптическое излучение.
По принципу действия их можно разделить на
две группы: электрические лампы накаливания
и лампы газового разряда (газоразрядные лам-
пы). Это наиболее распространенные электриче-
ские источники света.
Если тело нагрето до достаточно высокой температу-
ры (выше 2000 °C), то измерения температуры при по-
мощи термоэлементов или болометров недостаточно на-
дежны. В этой области температур и выше единствен-
ными методами, дающими достоверные результаты, яв-
ляются методы, основанные на законах теплового излу-
чения.
Для измерения температуры твердых и жидких тел,
излучающих сплошной спектр, в оптической пирометрии
применяют метод суммарной радиации, яркостный и
цветовой методы. Определение температуры этими ме-
тодами обычно проводится с помощью оптических при-
боров, называемых пирометрами. Рассмотрим коротко
эти методы.
Метод суммарной радиации. Этот метод основан на
измерении суммарной радиации Ет с помощью так назы-
ваемого радиационного пирометра. Схема такого пиро-
метра рефлекторного типа представлена на рис. 25.1.
С помощью объектива 4, зеркал 1 и окуляра 5 пирометр
визуально наводится на излучающий объект. При этом
изображение объекта должно полностью перекрыть весь
приемник 5, сигнал с которого регистрируется прибором
2. В качестве приемника в радиационных пирометрах
чаще всего употребляются термопары или болометры.
Иногда используют биметаллическую спираль, изгиба-
ющуюся при нагревании.
Испускательная способность Ет, или светимость, про-
порциональна яркости. Показания пирометра зависят от
яркости изображения. Идеальные оптические системы
25.1
Оптическая
пирометрия
пирометр
радиационный
пирометр
Рнс. 25.1. Схема радиа-
ционного пирометра реф-
лекторного типа
430 Тепловое излучение
дают изображение с яркостью, равной яркости источни- ка. Для реальных систем яркость обычно меньше за счет потерь на отражение, которые, впрочем, нетрудно учесть. Таким образом, показания пирометра будут зависеть от яркости, а следовательно, и от температуры наблюдае- мого объекта. Проградуировав предварительно пирометр по абсолютно черному телу с известной температурой, можно использовать его для измерения неизвестной тем- пературы. Для нечерного излучения показания радиационного пирометра дают не истинную температуру Т, а то значе- ние температуры Трэд, при котором суммарная радиация абсолютно черного тела етрад равна радиации исследуемо- го тела Ет при его истинной температуре Т: 8Грм = £г. (25.1)
• Температура Трад называется радиационной. Найдем
радиационная температура связь между радиационной температурой Град нечеркого тела и его истинной температурой Т. Обозначим через аг отношение суммарной испускательной способности измеряемого тела Ет к испускательной способности аб- солютно. черного тела при той же температуре. Тогда можно записать, что £т=атет. Подставив это значение в равенство (25.1),получим By — Яг€т- рад Выразив ет через температуру согласно закону Сте- фана-Больцмана (24.7), придем к соотношению откуда 7'=-г4^-Т,ч. (25.2) /аг Значения ат хорошо изучены для многих технически важных материалов (табл. 25.1). Для металлов значе- ния аг невелики (от 0,1 до 0,3), а для оксидов металлов и угля они значительны (от 0,5 до 0,9). Так как ат для нечерных тел меньше единицы, то истинная температура всегда больше радиационной. Например, при истинной температуре вольфрама 3000 К радиационный пирометр показывает температуру Ли = раг • Г = ро,32 • 3000 = 2250 К, т. е. ниже истинной.
Применение законов теплового излучения
431
Таблица 25.1. Значения для некоторых материалов
Материал т, к а_ т Материал Т. К ®т
Вольфрам 1300 0,15 Молибден 2300 0,23
3300 0,34 Никель 1500 0,06
Железо 1500 0,11 Оксид никеля 1500 0,85
Оксид железа 1500 0,89 Платина 1500 0,15
Медь расплавленная 1400 0,15 Серебро 1300 0,04
Оксид меди 1400 0,54 Тантал 2300 0,25
Молибден 1300 0,12 Уголь 1300 0,52
Радиационные пирометры просты в производстве - и
эксплуатации. С их помощью легко осуществить автома-
тическую запись и контроль температуры.
Яркостный метод. Наибольшее распространение по-
лучил метод определения температуры на основе
сравнения излучения светящегося тела с излучением аб-
солютно черного тела в одном и том же спектральном
интервале ДХ. Обычно для этого используется участок,
лежащий в окрестности X—6600 А. Схема яркостного пи-
рометра, обычно называемого пирометром с исчезающей
нитью, представлена на рис. 25.2. Объектив 4 дает дейст-
вительное изображение объекта в месте расположения
нити пирометрической лампы 3. Нить лампы имеет фор-
му полуокружности и лежит в плоскости, перпендику-
лярной к оси прибора. Фильтр 2 монохроматизирует из-
лучение объекта и лампы. Яркость лампы изменяют пу-
тем регулировки тока реостата 6 до «исчезновения» ее
нити на фоне изображения объекта. При этой силе тока
для Х=6600 А яркости излучения нити и источника со-
впадают, а следовательно, совпадают и их испускатель-
ные способности. В момент исчезновения нити произво-
дится отсчет по шкале измерительного прибора 5.
Если предварительно шкалу прибора проградуиро-
вать по излучению абсолютно черного тела, т. е. устано-
вить зависимость силы тока от температуры абсолютно
черного тела, при которой нить исчезает, то по показа-
ниям измерительного прибора можно судить, какой тем-
пературе абсолютно черного тела соответствует излуче-
ние исследуемого объекта. Если бы источник был также
абсолютно черным телом, то найденная температура бы-
ла бы его истинной температурой. В противном случае
измеренная температура характеризует температуру аб-
пирометр
с исчезающей
нитью
Рис. 25.2. Схема визу-
ального яркостного пи-
рометра с исчезающей
нитью
432
Тепловое излучение
яркостная
температура
солютно черного тела, имеющего при л~6600 А ту же
яркость, что и исследуемое тело при условиях наблю-
дения. Поэтому такая температура носит название ярко-
стной.
Очевидно, что яркостная температура Тярк тела для
разных участков спектра различна. Для определения
истинной температуры по яркостной необходимо знать
отношение а*,,т энергетической яркости исследуемого
тела для Z=6600 А к энергетической яркости абсолютно
черного тела при той же температуре. Связь между
истинной и яркостной температурами выражается сле-
дующей формулой:
(25-3)
которую можно получить, воспользовавшись формулой
Планка.
Значения аг, т установлены для многих материалов
(табл. 25.2). Так как яркость нечерного тела может за-
висеть от направления наблюдения, то все значения а>..г
приведены для направления, нормального к излучающей
поверхности. Таким же образом производится и наводка
пирометра.
Таблица 25.2. Значения а^для некоторых материалов
Материал т, к “х.т Материал Г, к \т
Железо Т плав- ления 0,36 Оксид ни- келя J500 0,85
Оксид железа 1500 0,92 Платина Твердая 0,31
Медь расплавлен- ная 1500 0,15 Серебро Жидкая Т плав- 0,35
Оксид меди 1300 0,80 ления 0,05
1500 0,60 Тантал 1300 0,44
Молибден 1300 0,40 3200 0,38
2300 0,36 Уголь 1500 0,89
Никель Т плав- ления 0,37 2500 0,84
Истинная температура Т нечерных тел всегда больше
яркостной температуры Тдрк. Например, для вольфрама
при Т=3000 К и Х=6600 А ах, т=0,46, Вычисления по
формуле (25.3) дают в этом случае Гярк=2700 К, что ни-
Применение законов теплового излучения
433
же истинной температуры. (Напомним, что радиацион-
ная температура в этом случае равна 2250 К.)
Верхний предел температур, измеряемый яркостным
пирометром, ограничен предельно допустимой темпера-
турой нити пирометрической лампы. Он может быть по-
вышен с помощью нейтральных фильтров с известным
пропусканием или с помощью оптического клина пере-
менной плотности, которые устанавливаются перед пи-
рометром.
Вместо светофильтра 2 (см. рис. 25.2) можно исполь-
зовать монохроматор. Такие пирометры называют слект-
ропирометрами и применяют обычно для поверки опти-
ческих яркостных пирометров.
Цветовой метод. Если известно распределение энер-
гии в спектре абсолютно черного тела, то по положению
максимума кривой на основании закона смещения Вина
(24.10) можно определить температуру. В тех случаях,
когда излучающее тело не является абсолютно черным,
применение формулы Планка не имеет смысла, так как
для таких тел распределение энергии по частотам от-
личается от планковского. Исключение составляют так
называемые серые тела, у которых коэффициент погло-
щения остается приблизительно постоянным в широком
интервале частот. Такими серыми телами являются
уголь, некоторые металлы, оксиды. Если тело не явля-
ется серым, но его спектр излучения не слишком отли-
чается от спектра абсолютно черного тела при некоторой
спектропирометр
серое тело
цветовая
температура
цветовой
пирометр
Рис. 25.3. Распределе-
ние энергии по спектрам
абсолютно черного тела
при температуре 6000 К
(/), 6500 К (2) и спект-
ру излучения центра сол-
нечного диска (3)
температуре, то по максимуму излучения определяют его
температуру, которую называют цветовой. Таким обра-
зом, цветовая температура есть температура абсолютно
черного тела, максимум излучения которого совпадает с
максимумом излучения исследуемого тела. Так, сопо-
ставление графиков распределения энергии в спектре
абсолютно черного тела при температуре 6000 и 6500 К
и распределения энергии в солнечном спектре (рис. 25.3) /
показывает, что Солнцу можно приписать температуру, _L
равную примерно 6500 К.
Для измерения температуры по цветовому методу ис-
пользуют цветовые пирометры (рис. 25.4). Перед объек-
тивом 2 помещается вращающийся диск — модулятор с
укрепленными на нем светофильтрами 3 и 4. Таким об-
разом, на приемник 5 попеременно фокусируется Излу-
чение двух длин волн и Х2. Регистрирующая система
1 включает в себя обычно синхронный детектор, управ-
ляемый модулятором, и прибор для измерения отноше-
ния сил токов (логометр) или самописец. Градуировка
пирометра производится по абсолютно черному телу.
Рис. 25.4. Схема фото-
электрического цветового
пирометра
434
Тепловое излучение
Источники света
Для нахождения истинной температуры по цветовой
температуре нечерного тела надо знать его монохрома-
тическую испускательную способность fa для разных
длин волн, т. е. отношение испускательной способности
исследуемого тела £х,т и абсолютно черного тела
для данной длины волны X и температуры 7. Обычно
для этого пользуются двумя длинами волн X] =6600 А и
Аз—4700 А. Тогда
fa-E^t,
<§2=£хг, т/ЕХ1, Т-
Цветовая температура Тцв есть приближенно темпе-
ратура абсолютно черного тела, для которого отношение
испускательных способностей для двух длин волн равно
такому же отношению для исследуемого тела, истинная
температура которого равна Т, т. е.
г/£х1(г = ех1,гцв/ех1.тцв.
Воспользовавшись формулой Вина (24.13), можно
получить следующее выражение:
1 1
Тцв Т (hc/Wi/^-W ’
позволяющее вычислить истинную температуру тела.
Для тел, характер излучения которых сильно отлича-
ется от излучения абсолютно черного тела (например,
тела с ярко выраженными областями селективного из-
лучения), понятие цветовой температуры теряет смысл,
так как цвет таких тел можно грубо воспроизвести при
помощи абсолютно черного тела.
Оптическая пирометрия не ограничивается рассмот-
ренными методами. Разработаны специальные спектро-
скопические методы измерения температур на основе
исследования спектральных линий в излучении и погло-
щении. Эти методы используются для измерения темпе-
ратуры нагретых газов и плазмы. Ввиду их сложности
и необходимости специальных знаний-из области атом-
ной спектроскопии, эти методы рассматривать не будем.
Знакомство с основными законами теплового излуче-
ния может на первый взгляд привести к выводу, что аб-
солютно черное тело или близкие к нему по свойствам
тела должны быть наилучшими источниками света. Дей-
ствительно, при данной температуре абсолютно черное
тело и в видимой области спектра отдает с излучением
больше энергии, чем любое другое. Далее, выгодно, ка-
залось бы, стремиться к достижению наибольших воз-
Применение законов теплового излучения
435
можных температур, так как общая интенсивность из-
лучения согласно закону Стефана — Больцмана пропор-
циональна абсолютной температуре в четвертой степени.
Однако следует иметь в виду, что абсолютно черное
тело и близкие к нему по свойствам тела отдают энер-
гию с излучением всех возможных частот, причем на до-
лю видимого излучения приходится относительно неболь-
шая часть энергии. Она оказывается наибольшей, когда
максимум планковской кривой в шкале длин волн падает
на излучение с длиной волны около 5500 А (желто-зеле-
ная часть спектра). Согласно закону смещения Вина та-
кому положению максимума отвечает температура
5200 К. В этой же области спектра лежит максимум чув-
ствительности человеческого глаза, что не случайно, так
как именно такой характер имеет солнечный спектр пос-
ле прохождения через атмосферу, в которой он частично
поглощается и рассеивается. В соответствии с тем, что
цветовая температура солнечного излучения у поверхно-
сти Земли равна 5200 К, в светотехнике принято назы-
вать излучение абсолютно черного тела при этой тем-
пературе белым светом. При дальнейшем повышении
температуры абсолютно черного тела излучение, прихо-
дящееся на полезную для освещения часть спектра, есте-
ственно, увеличивается, но доля его в общей излучаемой
энергии уменьшается, так что с точки зрения светотехни-
ки чрезмерное повышение температуры является невы-
годным.
Излучение нечерных тел, например раскаленных ме-
таллов, всегда меньше, чем излучение абсолютно черного
тела. Однако соотношение между энергией, полезной для
освещения, и невидимой частью спектра (световая отда-
ча, выражаемая в люменах на ватт —лм/Вт) для раска-
ленного металла при данной температуре может быть
выше, чем для абсолютно черного тела при той же тем-
пературе. Распределение энергии по спектру для вольф-
рама и абсолютно черного тела при одной и той же тем-
пературе 2450 К, а также отношение испускательных
способностей вольфрама и абсолютно черного тела по-
казаны на рис. 25.5. Из кривой 3 следует, что в видимой
области испускание вольфрама составляет около 40 %
испускания абсолютно черного тела при той же темпе-
ратуре, а в инфракрасной области — около 20 %. По этой
причине раскаленный вольфрам — более предпочтитель-
ный источник света.
При температуре 2450 К максимум излучения вольф-
рама лежит около 1,1 мкм (см. рис. 25.5), т. е. очень да-
леко от максимума чувствительности глаза. Дальнейшее
Рис. 25.5. Испускатель-
ная способность воль-
фрама (/) и абсолютно
черного тела (2) при
Т —2450 К, а также от-
ношение W)
436
Тепловое 1’Мучсняе
электрическая
лампа
накаливания
ртутная лампа
люминесцентная
лампа
повышение температуры могло бы зщнггнльзе гг^зысить
световую отдачу раек.:лепною вольфрама (тем зература
плавления вольфрама 3683 К), однако sig нрнйодкт к
быстрому испарению нити в вакууме и се разрешению.
Для уменьшения испарения нити баллоны ламп напол-
няют нейтральными газами (азот, аргон). Это позволяет
поднять температуру нитп примерно до 3000 К, что уве-
личивает светоотдачу. Излучение такой лампы приятнее
для глаза, так как ее спектр ближ? к спектру белого
света.
Современная электрическая лампа иакя.кшэния яв-
ляется наиболее массовым и хорошо к.доенпым в произ-
водстве и эксплуатации источником света. Однако осве-
тительные лампы накаливания, имеющие снеговую от-
дачу 10—20 лм/Вт. обладают крайне низким коэффици-
ентом полезного действия преобразования э.;гктрпч<:ской
энергии в световую, который не -ipci-ocxoji-:! 3—4 % под-
водимой мощности. Практические гтоможшн ги дальней-
шего повышения коэффициента полезного дсйсиия дамп
накаливания с вольфрамовой нитью весьма ограничены.
Значительно большие возможности пинынкнга коэф-
фициента полезного действия дают газоразрядные источ-
ники света. Например, ртутные лампы вьмжогп заиле-
ния имеют в 3—4 раза более высокую экони.у’гшост.ь. чем
лампы накаливания, и более длительный срок службы.
Коэффициент полезного действия натриевого разряда
низкого давления достигает при определенных у<лишп1х
высоких значений, составляющих 60—70 % подводимой
электрической мощности. Однако, несмотря ин значи-
тельно более высокий коэффициент полезного леигчвтги,
эти лампы обладают существенным недостатком, (вязан-
ным с линейчатым характером спектра излучения, силь-
но искажающим цветопередачу.
Новый этап в развитии газоразрядных источников
света связан с созданием люминесцентных ламп. Приме-
нение люминофоров, преобразующих ультрафиолетовое
излучение ртутного разряда низкого давления в видимое
излучение, позволило впервые создать газоразрядные ис-
точники света, дающие излучение с непрерывным спект-
ром практически любого состава и обладающие свето-
вой отдачей и сроком службы, в несколько раз превы-
шающими эти характеристики ламп накаливания. Лю-
минофор подбирают таким образом, чтобы его свечение
восполняло недостаток спектрального состава газового
свечения. В результате получается источник, состав из-
лучения которого приближается к солнечному {лампы
дневного света). Они имеют световую отдачу до 40—
Применение законов теплового излучения
437
50 лм/Вт. Возможность использования этого принципа
для увеличения световой отдачи газоразрядных ламп
была предсказана Вавиловым еще в 20-х гг. В настоящее
время люминесцентные лампы являются вторым после
ламп накаливания массовым источником света, применя-
емым для освещения.
Для освещения широко используются и ртутно-квар-
цевые лампы высокого давления с исправленной цвет-
ностью (лампы типа ДРЛ), обладающие высокой свето-
отдачей (до 50 лм/Вт) и сроком службы до 10—15 тыс. ч.
Для освещения загородных автострад и декоративного
освещения находят применение натриевые лампы. Име-
ются мощные ксеноновые лампы, дающие непрерывный
спектр излучения, приближающийся к солнечному.
В начале 60-х гг. были созданы баллоны газоразряд-
ных ламп из поликристаллического оксида алюминия,
которые могут работать при значительно более высоких
температурах, чем кварцевое стекло, и хорошо противо-
стоять воздействию разряда в парах щелочных метал-
лов. Созданные в таких баллонах натриевые лампы име-
ют световую отдачу 130—150 лм/Вт, хороший спектраль-
ный состав излучения к малые габариты при большой
мощности.
Помимо освещения источники оптического излучения
находят широкое применение в народном хозяйстве. Га-
зовый разряд может давать излучение с линейчатым
спектром, характерным для каждого газа иля пара,
в котором происходит разряд. Подбирая соответст-
вующие наполнения и условия разряда, удается созда-
вать высокоэффективные источники излучения в любой
части не только видимого, но и ультрафиолетового и
инфракрасного спектров.
Газоразрядные лампы высокого и сверхвысокого дав-
ления обладают большими плотностями излучения в раз-
личных областях спектра, которые в десятки и сотни раз
превосходят плотности излучения ламп накаливания.
Они широко применяются в различных оптических при-
борах и установках.
Все более широкое и разнообразное применение на-
ходят импульсные лампы, дающие вспышки оптического
излучения исключительно высокой плотности и малой
длительности. Они находят применение в различных при-
борах и установках для изучения быстропротекающих
процессов, оптической дальнометрии, накачки оптических
квантовых генераторов п для других целей.
ртутно-кварцееая
лампа
натриевая
лампа
Раздел VII
ДЕЙСТВИЕ СВЕТА
Глава 26
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
Воздействие света на вещество сводится к
передаче этому веществу энергии, приносимой
световой волной, в результате чего могут воз-
никнуть различные эффекты. Одним из них яв-
ляется фотоэлектрический эффект.
В 1887 г. Герц в опытах по генерации вы-
сокочастотных электрических колебаний обна-
ружил, что прохождение искрового разряда
между полюсами разрядника облегчается, если
его отрицательный полюс осветить ультрафио-
летовым светом. В дальнейшем в результате
систематических исследований Столетова
(1888) было установлено, что в опыте Герца
под действием света из электродов освобож-
даются отрицательные заряды, которые, попа-
дая в электрическое поле между электродами,
ускоряются, ионизируют окружающий газ и
вызывают разряд. Позже опытами Ленарда и
Томсона (1899) было показано, что отрица-
тельные заряды, освобождаемые светом из ме-
талла, являются электронами. Это явление и
получило название фотоэлектрического эффекта
(фотоэффекта),
В настоящее время различают три вида фо-
тоэлектрического эффекта: внешний, внутрен-
ний и фотогальванический (фотоэффект в за-
пирающем слое, или вентильный фотоэффект).
Внешний фотоэффект заключается в испуска-
нии поверхностью металлов электронов во вне-
шнее пространство (вакуум или газ) под дей-
ствием падающего на эту поверхность потока
световой энергии. Внутренним фотоэффектом
называется изменение электрической проводи-
мости некоторых кристаллических тел (полу-
проводников) вследствие появления под дей-
ствием потока световой энергии внутри этих
тел добавочных электронов проводимости. Фо-
тогальванический эффект— это возникновение
тока на границе между полупроводником и ме-
таллом, когда электроны покидают пределы те-
ла, проходя через поверхность раздела в дру-
гое твердое тело (полупроводник) пли
жидкость (электролит) под действием световой
энергии без участия посторонней электродви-
жущей силы.
Этим видам фотоэффекта соответствуют
три основные группы фотоэлементов — прибо-
ров, превращающих световую энергию в энер-
гию электрического тока: фотоэлементы с вне-
шним фотоэффектом (вакуумные и газонапол-
ненные); фотоэлементы с внутренним фотоэф-
фектом (фотосопротивления или фоторезисто-
ры); фотоэлементы с запирающим слоем
(вентильные или полупроводниковые).
26.1
Внешний
фотоэффект
Герц (Hertz) Генрих Ру-
дольф (1857—1894) —не-
мецкий физик
Столетов Александр Гри-
горьевич (1839—1896)—
русский физик
внешний фотоэффект
(фотоэлектронная
эмиссия)
Исторически сначала был открыт внешний фотоэф-
фект (фотоэлектронная эмиссия). Этот эффект, как
уже отмечалось, был обнаружен Герцем и подробно ис-
следован Столетовым, который первым провел изучение
фотоэффекта при низких напряжениях и предложил
удобную измерительную схему (рис. 26.1), принцип ко-
торой сохранился и до настоящего времени.
Внутрь баллона, в котором создан вакуум, помеща-
ются два электрода: фотокатод К, изготовляемый из ис-
следуемого материала, и анод А. Свет направляется на
фотокатод через кварцевое окошко 0. Электроны, испу-
щенные вследствие фотоэффекта (так называемые фото-
электроны), перемещаются под действием электрическо-
го поля к аноду. Появление в цепи фототока регистриру-
ется гальванометром Г. Напряжение между фотокатодом
и анодом изменяется потенциометром П, а измеряется
вольтметром В.
Фотоэлектрический эффект
439
Сила возникающего в цепи фототока / зависит при
неизменном составе и мощности падающего светового
потока Ф от напряжения U между электродами (рис.
26.2,а). Эта зависимость носит название вольт-ампер-
ной характеристики. Из рисунка видно, что при некото-
ром напряжении 1/>0 сила фототока достигает насыще-
ния, т. е. все электроны, испущенные фотокатодом,
попадают на анод. Следовательно, сила фототока насы-
щения 1а определяется количеством электронов, испуска-
емых фотокатодом в единицу времени под действием
света, и является мерой фотоэлектрического действия
данного светового потока. Если изменять значения све-
тового потока Ф, то получится семейство кривых для
данного фотокатода (рис. 26.2, б).
Столетов установил закон, носящий его имя: сила
фототока насыщения прямо пропорциональна световому
потоку (рис. 26.3):
/н=уФ. (26.1)
При этом спектральный состав падающего светового
потока должен оставаться неизменным. Закон Столето-
ва является основным законом фотоэффекта. Для немо-
нохроматического излучения коэффициент у —инте-
гральная чувствительность фотокатода. Для монохро-
матического света коэффициент у — спектральная чувст-
вительность фотокатода. Чувствительность современных
фотокатодов достигает 50—150 мА/лм (например, сурь-
мяно-цезиевые фотокатоды).
Закон Столетова строго выполняется лишь в том слу-
чае, когда измеряемый фототок насыщения образован
лишь электронами, освобожденными под действием све-
та, что имеет место тогда, когда фотокатод находится в
вакууме. В приборах, наполненных газом и обычно бо-
лее чувствительных, так как в них к фототоку прибав-
ляется ток ионизации, наблюдаются некоторые отступ-
ления от простой пропорциональности между силой фо-
тотока насыщения и интенсивностью света.
Из рис. 26.2 видно, что при отсутствии напряжения
между электродами сила фототока не равна нулю. Сле-
довательно, электроны, вырванные светом из фотокато-
да, имеют некоторую начальную скорость и, а значит, и
кинетическую энергию EK=mv2/2 и могут достигать ано-
да без содействия внешнего поля, образуя начальный
фототок. Чтобы ослабить или совсем прекратить этот
ток, необходимо наложить на электроды тормозящее
поле с разностью потенциалов l/<0. С возрастанием тор-
мозящего поля сила фототока постепенно ослабевает.
фототок насыщения
закон Столетова
интегральная
чувствительность
фотокатода
спектральная
чувствительность
фатокатода
Рис. 26.1. Схема для ис-
следования фотоэффекта
440
Действие света
Рнс. 26.2. Вольт-ампер-
ные характеристики фо-
тоэффекта:
а —при постоянном световом
потоке; 6 —при разных све-
товых потоках
работа выхода
Рис. 26.3. Пропорцио-
нальность тока насыще-
ния световому потоку
Если подобрать такую разность потенциалов при
которой фототок становится равным нулю, то можно
считать, что все фотоэлектроны, даже самые быстрые,
задерживаются тормозящим полем. Следовательно,
y^ina^ (26.2)
где Отах — максимальная скорость фотоэлектронов. Эта
скорость представляет собой наибольший интерес с фи-
зической точки зрения, так как она характеризует энер-
гию, сообщаемую электрону при освобождении его све-
том из металла. Известно, что электрон при прохожде-
нии через поверхность металла должен преодолеть неко-
торое сопротивление своему выходу, затратив на это
определенную работу Р, называемую работой выхода.
Таким образом, энергия £, которую нужно сообщить
электрону для того, чтобы ои с максимальной скоростью
Отах вышел из металлической пластинки, характеризуе-
мой работой выхода Р, определяется соотношением
£=-Tmt-™-p = eL,3-< (26.3)
где [7о=Р/е —потенциал выхода; е —заряд электрона.
Используя соотношение (26.3), можно эксперимен-
тально определить величину энергии £, получаемой
электроном при явлении фотоэффекта. Оказалось, что
энергия Е определяется только частотой падающего мо-
нохроматического света и не зависит пи от интенсивно-
сти падающего света, ни от природы освещаемого ве-
щества, ни от его температуры. Из рис. 26.4, где пред-
ставлена зависимость максимальной кинетической энер-
гии фотоэлектронов от частоты падающего света, видно,
что эта зависимость линейная.
Следует отметить важное свойство фотоэффекта —
его безынерционность, характеризующуюся почти мгно-
венным появлением фотоэлектронов при облучении све-
том (около 10~9—10_]t с).
Экспериментальные законы, которым подчиняется
фотоэффект, находятся в противоречии с основными
представлениями волновой теории света. Электромагнит-
ная световая волна, падая на поверхность вещества, со-
держащего электроны, должна вызывать их вынужден-
ные колебания с амплитудой, пропорциональной ампли-
туде самих световых волн. Если силы, удерживающие
электроны внутри вещества, не велики, то электроны
могут вылетать наружу со скоростью, которая должна
зависеть от амплитуды падающей световой волны. Так
Фотоэлектрический эффект
441
как амплитуда световых волн определяет интенсивность
светового потока, то скорость фотоэлектронов должна
возрастать с увеличением интенсивности падающего све-
та. В действительности такой зависимости не наблюда-
ется: с увеличением интенсивности падающего света воз-
растает число фотоэлектронов, а их скорость зависит
только от частоты света, причем энергия фотоэлектронов
линейно увеличивается с ростом частоты. Объяснить та-
кую зависимость с волновой точки зрения, не делая ка-
ких-либо искусственных допущений, невозможно.
В 1905 г. Эйнштейн показал, что все основные зако-
номерности фотоэффекта можно объяснить, если пред-
положить, что свет поглощается такими же квантами
e=ftv, какими он, по предположению Планка, испуска-
ется. Такие световые кванты впоследствии получили на-
звание фотонов.
Качественная картина механизма фотоэффекта с этой
точки зрения следующая. При падении потока фотонов
на поверхность металла происходит соударение фотона
с электроном, в результате чего фотон отдает всю свою
энергию hv электрону. Если эта энергия достаточна для
того, чтобы освободить электрон от удерживающих его
связей, то он выйдет за пределы поверхности металла.
В большинстве случаев каждый освобожденный элект-
рон получает свою энергию от одного фотона (обратное,
вообще говоря, не имеет места, т. е. не каждый погло-
щенный фотон освобождает электрон). Поэтому число
освобожденных фотоэлектронов должно быть пропорци-
онально числу поглощенных фотонов, т. е. пропорцио-
нально интенсивности света (закон Столетова). Энергия
же фотоэлектрона определяется только энергией погло-
щенного фотона, которая равна hx. Отсюда следует, что
энергия фотоэлектрона линейно зависит от частоты и не
зависит от интенсивности, т. е. от числа фотонов.
Энергетический баланс при поглощении фотона может
быть в самом общем случае выражен следующим про-
стым соотношением:
Н = + (26.4)
где Pi — энергия отрыва электрона от атома (энергия
ионизации); Р — работа выхода электрона за пределы по-
верхности вещества; пш^/2 — кинетическая энергия ос-
вобожденного фотоэлектрона. Уравнение (26.4) выражает
закон Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.
Для металлов, которые характеризуются большим
количеством свободных электронов, энергию Р| можно
Рис. 26.4. Зависимость
кинетической энергии фо-
тоэлектронов от частоты
падающего света
фотон
уравнение
Эйнштейна
закон
Эйнштейна
для внешнего
фотоэффекта
442
Действие света
уравнение
Эйнштейна
для металлов
красная
граница
фотоэффекта
Милликен (Millikan) Ро-
берт Эндрус (1868 -
1953) — американский
физик
Луклрский Петр Ивано-
вич (1894—1954)— совет-
ский физик
опыт Лукнрского
и Прилежаева
считать равной нулю. Однако для выхода за пределы
поверхности металла электрон должен преодолеть поле,
благодаря наличию которого электроны оказываются
как бы запертыми внутри металла. Работа, которую
нужно затратить на преодоление этого поля, и есть ра-
бота выхода Р. Таким образом, для металлов уравнение
Эйнштейна (26.4) имеет вид
+ (26-5)
Легко видеть, что выражение (26.5) совпадает с эм-
пирической формулой (26.3).
Очевидно, что если hv<P, то электрон не сможет
выйти за пределы поверхности металла. Это означает,
что существует некоторая минимальная частота hv0=P,
которая еще способна вызвать фотоэффект (красная
граница фотоэффекта).
Справедливость уравнения Эйнштейна неоднократно
подвергалась экспериментальной проверке. Особенно
следует отметить тщательные измерения, выполненные
Милликеном (1916), а также Лукирским и Прилежаевым
(1928).
В опытах Лукнрского и Прилежаева вместо плоского
конденсатора, которым пользовались все эксперимента-
торы, начиная со Столетова, был применен сферический
конденсатор (рис. 26.5). Стеклянный шар А, посеребрен-
ный изнутри, служит внешним электродом сферического
конденсатора. Внутренним электродом является неболь-
шого размера шарик К, изготовленный из исследуемого
металла. Этот шарик освещается через кварцевое окош-
ко 0. Внутри сферического конденсатора создается до-
статочно высокий вакуум. Шарик К соединен с квад-
рантным электрометром Э. С помощью потенциометра П
между шариком К и сферой А создается разность по-
тенциалов разных величины и знака, измеряемая вольт-
метром В. Благодаря тому, что электрод А со всех сторон
окружает шарик К, фотоэлектроны движутся практиче-
ски вдоль линий поля по радиусам.
Если сфера А является анодом, то приложенное поле
дополнительно ускоряет фотоэлектроны и они все доле-
тают до анода и заряжают электрометр Э. Электрометр
будет заряжаться и при отсутствии ускоряющего поля.
При перемене знака электрическое поле тормозит фото-
г электроны, так что часть из них со скоростями, меньши-
Рис. 26.5. Схема опыта г » > ’
Лукирского и Прилежае- ми °шах, возвращается обратно. По мере возрастания
ва тормозящего поля фототок уменьшается и при некото-
Фотоэлектрический эффект
443
ром значении разности потенциалов U3, соответствующем
условию (26.2), зарядка электрометра прекращается.
В случае сферического конденсатора спад фототока
с возрастанием тормозящего поля получается очень рез-
ким, что позволяет с большой точностью определять Ua
для данной частоты v.
Из соотношений (26.2) и (26.5) следует, что Us явля-
ется линейной функцией частоты v падающего света:
(26.6)
График зависимости Ua otv, полученной Лукирским
для одного из металлов, приведен на рис. 26.6. Экспери-
ментальные точки хорошо укладываются на прямую.
Из пересечения прямой Ua=f(v) с осью абсцисс
(£4=0) можно определить минимальное значение ча-
стоты падающего света vo=c/Xoi ниже которой (при
v<vo или k>ko) фотоэффекта не наблюдается. Частота
Vo или соответствующая ей длина волны /-о характеризу-
ет красную границу фотоэффекта (табл. 26.1).
Ряс, 26.6. Зависимость
величины тормозящего
поля от частоты падаю-
щего света
Таблица 26.1. Значения ).о для
некоторых чистых металлов и
сложных фотокатодов
Фотокатод 0 А
Цезий 6600
Калий 5500
Натрий 5500
Цинк 3700
Медь 2700
Серебро 2600
Платина 2000
Кислородно-серебряно- цезиевый 14000
Сурьмяно-цеэиевый 6700
Таблица 26.2. Работа
выхода некоторых металжи
Металл Р, аВ
Цезий 1,61
Калий 2,22
Натрий 2,35
Литий 2.38
Вольфрам 4,54
Германий 4,76
Палладий 4,80
Платина 5,32
При граничной частоте из соотношения (26.6) можно
определить работу выхода электрона из металла:
P=hvQ. Значения работы выхода для ряда чистых ме-
таллов приведены в табл. 26.2. Следует отметить, что на
величину работы выхода существенное влияние оказы-
вает состояние поверхности металла, и особенно нали-
чие пленки адсорбированного газа.
A] S1
2300 2500 2700 Д,А
Рис. 26.7. Спектральные
характеристики фотока-
тодов из чистых метал-
лов
444
Действие света
Рнс. 26.8. Селективный
фотоэффект
термоэлектронная
эмиссия
спектральная
характеристика
фотокатода
селективный
(избирательный)
фотоэффект
Необходимость затраты энергии для освобождения
электрона из металла проявляется не только в случае
фотоэффекта, но и в случае испускания электронов на-
каленными телами (термоэлектронная эмиссия). Рабо-
та выхода может быть определена экспериментально не-
зависимо от фотоэффекта путем исследования термо-
электронной эмиссии.
Тангенс угла наклона прямой U3-f[v) согласно
(26.6) равен tg a=At/3/Av=/t/e. Зная заряд электрона е,
можно вычислить постоянную Планка h.
Важное значение имеет спектральная характеристика
фотокатода, т. е. зависимость спектральной чувствитель-
ности у от длины световой волны X. Экспериментальные
спектральные характеристики для некоторых чистых ме-
таллов приведены на рис. 26.7. Из рисунка видно, что,
начиная с красной границы, с уменьшением X происхо-
дит возрастание чувствительности фотокатода. У метал-
лов щелочной группы и их сплавов, а также у сложных
фотокатодов (например, сурьмяно-цезневого и кисло-
родно-цезиевого), для которых красная граница лежит
далеко в видимой и даже в инфракрасной областях и
которые, следовательно, чувствительны к широкому ин-
тервалу длин волн, спектральная характеристика имеет
другой вид. На ней обнаруживается резкий максимум в
определенной области спектра (рис. 26.8). Такой фото-
эффект называется селективным, или избирательным.
Полное объяснение этого явления дается современной
квантовой теорией.
26.2
Квантовые
свойства света
Объяснение распределения энергии в спектре равно-
весного теплового излучения и явления внешнего фото-
эффекта было дано на основе допущения, что свет ис-
пускается и поглощается отдельными квантами. Эйн-
штейн пошел дальше, выдвину^ гипотезу, что свет и рас-
пространяется в виде отдельных квантов — фотонов.
Энергия фотона равна e = /iv, т. е. фотоны в зависи-
мости от частоты света имеют различную энергию. Наи-
меньшей энергией обладают фотоны, соответствующие
далеким инфракрасным лучам, а наибольшей — фотоны,
соответствующие рентгеновским и у-лучам. Исходя из
этого соотношения, легко подсчитать, что, например,
инфракрасным лучам с длиной волны Х=10 мкм соот-
ветствует энергия фотонов г~2- 10-м Дж, видимым лу-
чам с 1=5000 А —е~4-10-19 Дж, а рентгеновским лу-
чам с 1=0,1 А —е~2«10-и Дж. Чем больше энергия
фотонов, тем легче осуществить непосредственную эк-
спериментальную проверку квантовой природы света.
Фотоэлектрический эффект
445
Этому достаточно хорошо (условно) удовлетворяют
рентгеновские фотоны. Кроме того, с рентгеновскими
лучами легче осуществить условия, необходимые для
возбуждения небольшого числа актов испускания в еди-
ницу времени. Известно, что для получения рентгенов-
ских лучей необходимо бомбардировать электронами
антикатод. Любая остановка или торможение электро-
на сопровождается испусканием рентгеновского фотона.
Регулируя число электронов, бомбардирующих анод,
можно менять число рентгеновских фотонов. Если на-
править рентгеновские фотоны на металлическую плас-
тинку, они вызовут фотоэффект.
Одним из опытов, подтверждающих гипотезу Эйн-
штейна, был опыт Боте (рис. 26.9). Основными элемен-
тами в опыте являлись чувствительные газоразрядные
счетчики Ci и С2, представляющие собой небольшой ци-
линдр, внутри которого на изоляторе укреплен электрод
в виде тонкой нити (анод). Вторым электродом (като-
дом) служит корпус счетчика. Между электродами соз-
дается большая разность потенциалов. Получающееся
электрическое поле резко неоднородно и вблизи нити
может достигать больших значений. Если в такое поле
попадает несколько электронов или ионов, то они при-
обретают под действием поля большую скорость и могут
ионизировать при столкновениях окружающие молекулы
газа. Таким образом, число ионов быстро возрастает и
через счетчик протекает кратковременный импульс тока.
Поэтому счетчик способен отмечать (считать) появле-
ние отдельных электронов или ионов и является весьма
чувствительным прибором.
В опыте Боте между двумя такими счетчиками С] и
С2 помещалась тонкая металлическая пластинка А, ко-
торая освещалась слабым потоком рентгеновских лучей.
Под их действием пластинка сама становилась источни-
ком рентгеновского излучения (так называемая рентге-
новская флуоресценция). Вследствие малой интенсивно-
сти первичного пучка количество рентгеновских фотонов,
испускаемых пластинкой, было невелико. При их попа-
дании в счетчик он срабатывал и приводил в действие
особый механизм М, производящий отметку на движу-
щейся ленте Л. Если бы излучаемая энергия распрост-
ранялась равномерно во все стороны, как это следует
из волновых представлений, то оба счетчика должны
были бы срабатывать одновременно и отметки на ленте
находились бы одна против другой. В действительности
же наблюдается совершенно беспорядочное расположе-
ние отметок, что можно объяснить лишь тем, что в от-
Рис. 26.9. Схема опыта
Боте
Боте (Bothe) Вальтер
(1891—1957)— немецкий
физик
опыт Боте
рентгеновская
флуоресценция
446
Действие света
классические
и квантовые
флуктуации
света
дельных актах испускания возникают световые частицы,
летящие то в одном, то в другом направлении.
С фотонами видимого света такие опыты затруднены,
так как энергия этих фотонов мала. Однако в данном
случае при очень слабых световых потоках можно осу-
ществить опыты по наблюдению статистических откло-
нений от средних значений у основных оптических ха-
рактеристик (освещенность, сила света и др.), происхо-
дящих со временем. Такие отклонения (флуктуации)
могут иметь как волновую (классическую), так и кор-
пускулярную (квантовую) природу. Причем свойства
классических и квантовых флуктуаций существенно раз-
личаются между собой.
Наличие классических флуктуаций связано с диск-
ретным строением излучающего тела, состоящего из ог-
ромного числа светящихся частиц, непрерывно взаимо-
действующих между собой. Это взаимодействие, связан-
ное с их тепловым движением, может либо стимулиро-
вать, либо гасить свечение отдельных центров, что будет
приводить к развитию статистических флуктуаций в сла-
бом световом потоке. Такие флуктуации сильно зависят
от температуры, быстро возрастая с ее ростом.
Квантовые флуктуации объясняются независимостью
спонтанных актов излучения отдельных молекул. Кван-
товые флуктуации не зависят от температуры и проявля-
ются при любом ослаблении энергии исследуемого све-
тового потока, регистрируемого приемником. В общем
случае классические и квантовые флуктуации наклады-
ваются друг на друга и наблюдатель видит их суммар-
ный эффект.
Вавилов показал, что для видимого света, если темпе-
ратура источника не превышает 3000 К (обычно исполь-
зуемые источники света), классические флуктуации ис-
чезающе малы по сравнению с квантовыми и ими можно
пренебречь. При этом квантовые флуктуации могут быть
обнаружены лишь при сильном ослаблении исследуемого
потока, когда в приемник за единицу времени попадает
небольшое число фотонов.
Экспериментальные исследования квантовых флук-
туаций слабых световых потоков были проведены в
30-х гг. Вавиловым с сотрудниками. В качестве прием-
ника излучения в опытах Вавилова был использован че-
ловеческий глаз, адаптированный к темноте. Чувстви-
тельность полностью адаптированного глаза очень вели-
ка. Он обладает способностью получать световое
впечатление при попадании на него за 0,1 с лишь не-
скольких десятков световых квантов. Важным свойст-
Фотоэлектрический эффект
447
bom глаза является наличие у него порога зрительного
ощущения. Если число квантов, попавших на сетчатку,
меньше числа, соответствующего этому порогу, то глаз
не увидит вспышки.
На основании этого свойства глаза Вавилов предло-
жил метод исследований квантовых флуктуаций света.
При создании предельно малого светового потока, лежа-
щего около порога зрительного ощущения глаза, следует
ожидать флуктуаций его интенсивностей, обусловленных
квантовой природой света. Эти флуктуации происходят
в соответствии с законами статистики и регистрируются
глазом. Если число квантов, попавших на глаз, превы-
опыт Вавилова
Рис. 26.10. Схема опыта Вавилова по наблюдению квантовых флук-
туаций светового потока
шает порог зрительного ощущения, то наблюдатель уви-
дит световую вспышку. В следующий момент в резуль-
тате флуктуаций число квантов будет меньше этого по-
рога и глаз не заметит светового сигнала. Зная число
посланных сигналов и число зарегистрированных вспы-
шек, можно установить число световых импульсов, ко-
торые содержали количество квантов, недостаточное
для создания светового восприятия глаза.
Схема установки Вавилова изображена на рис. 26.10.
Положение головы наблюдателя фиксировалось с по-
мощью подбородника и красной сигнальной лампочки
Li, интенсивность свечения которой регулировалась рео-
статом. Лучи от Ц направлялись под выбранным углом
(около 8°) к оси установки в определенное место сетчат-
ки глаза наблюдателя путем отражения от зеркала
В то же место сетчатки направлялся свет от лампочки
i2, питаемой аккумулятором. Свет отражался от зеркала
Afo, проходил через диафрагму О, закрытую молочной
стеклянной пластинкой Р2, а также через зеленый свето-
фильтр Сф, стопу стеклянных пластинок Pi (которые
можно одну за другой вводить на пути светового потока,
ослабляя его каждый раз на 7%) и нейтральный опти-
448
Действие света
ческий клин К, позволяющий также ослаблять световой
поток на необходимую величину. Между глазом и лам-
почкой Li расположен диск Д, вращающийся с частотой
I об/с. Диск имел отверстие, размеры которого были рас-
считаны так, чтобы свет проходил через него к глазу на-
блюдателя в течение 0,1 с. В продолжение 0,9 с источ-
ник света был закрыт от наблюдателя сплошной частью
диска. Таким образом обеспечивалась кратковремен-
ность световых вспышек.
При необходимости осуществлять абсолютные изме-
рения энергии, соответствующие порогу зрительного вос-
приятия глаза, зеркало М2 и пластинка Р2 убирались,
а диафрагма О освещалась эталонным источником света
Lj (абсолютно черным телом).
Световые флуктуации регистрировались с помощью
хронографа, на ленте которого автоматически отмеча-
лось число оборотов диска Д, что соответствовало числу
посылаемых к наблюдателю вспышек. В тот момент, ког-
да наблюдатель видел вспышку, он замыкал ключом
электрическую цепь и на ленте хронографа вторым пе-
ром делалась отметка. Сопоставление числа световых
сигналов, посланных к наблюдателю, с числом сигна-
лов, зарегистрированных его глазом, позволяло судить о
характере происходящих флуктуаций числа световых
квантов.
Обработка огромного экспериментального материа-
ла, осуществленная методами теории вероятностей, по-
казала, что световые флуктуации имеют статистический
характер и, следовательно, вызваны случайными флукту-
ациями числа фотонов около некоторого порогового зна-
чения, определяемого порогом зрительного ощущения
глаза наблюдателя. Для зеленых лучей с длинами волн
от 5000 до 5500 А число световых квантов, соответствую-
щее пороговому значению зрительного восприятия, ко-
леблется у различных людей от 8 до 47 (в среднем 20),
а число падающих при этом на глаз световых квантов
изменяется от 108 до 335. Эти цифры показывают, что
значительная часть падающих фотонов поглощается хру-
сталиком глаза и не доходит до его сетчатки.
После установления существования квантовых флук-
туаций света Вавилов сделал попытку обнаружить кван-
товые свойства в тех световых явлениях, которые счита-
лись типично волновыми. Прежде всего это относится к
интерференции когерентных световых пучков при пре-
дельно малой их интенсивности.
Обычно явление интерференции изучается при взаи-
модействии достаточно интенсивных когерентных свето-
Фотоэлектрический эффект
449
вых потоков. В этих случаях наблюдается стабильная
интерференционная картина. Чередование максимумов
в ней определяется соотношением фаз интерферирующих
световых лучков. Другая картина наблюдается при про-
явлении квантовых свойств у интерферирующих свето-
вых потоков. В места темных полос интерференционной
картины световые кванты не должны попадать. Светлые
же полосы при предельно малых интенсивностях интер-
ферирующих световых потоков в разные моменты вре-
мени обладают различной интенсивностью. Появление
флуктуаций интенсивностей светлых полос вызывается
флуктуациями числа квантов в интерферирующих свето-
вых пучках. Действительно, в опытах Вавилова было
установлено, что темные полосы интерференционной кар-
тины не испытывали никаких изменений, в то время как
в светлых полосах отчетливо проявлялись беспорядоч-
ные флуктуации интенсивности. Этим было доказано,
что даже в типично волновых световых процессах можно
обнаружить их квантовые свойства.
Таким образом, совокупность экспериментальных
данных о фотоэффекте приводит к гипотезе о существо-
вании особых световых частиц—фотонов. Энергия фо-
тонов,зависит от частоты и равна e-hv. Согласно теории
относительности энергия частицы связана с ее массой
соотношением г-тс2. На этом основании масса т фо-
тона определяется выражением
m—hvlc2. (26.7)
По другому выражению из теории относительности
масса т частицы зависит от ее скорости v следующим
образом:
тд
т — . %- ,
И-Р
где p=v/c —отношение скорости частицы о к скорости
света с; т0 — масса покоя частицы. Поскольку фотон
является частицей, движущейся со скоростью с, то под-
становка в формулу (26.8) значения и=с обращает зна-
менатель формулы в нуль. Так как масса т фотона ко-
нечна, то это возможно только в том случае, когда его
масса покоя /по=0. Таким образом, фотон —особая ча-
стица, существенно отличающаяся от таких частиц, как
электрон, прогон, нейтрон, и других, которые имеют мас-
су покоя, отличную от нуля. Фотон может существовать,
двигаясь только со скоростью с.
Так как фотон движется со скоростью света, он об-
ладает количеством движения (импульсом):
(26.8)
450
Действие света
p~mc=hv/c. (26.9)
Из наличия у фотона импульса вытекает, что свет,
падающий на какое-либо тело, должен оказывать на это
тело давление.
26.3
Внутренний
фотоэффект и
фотогальванический
эффект
внутренний
фотоэффект
(фотопроводимость)
темновой ток
рекомбинация
Свет
Рис. 26.11. Схема на-
блюдения внутреннего
фотоэффекта:
1 — полупроводник; 2 — ме-
таллические электроды
Как уже отмечалось, кроме внешнего фотоэффекта,
называемого также фотоэлектронной эмиссией, сущест-
вуют внутренний фотоэффект и фотогальванический эф-
фект. Коротко рассмотрим эти два фотоэлектрических
явления.
Внутренний фотоэффект. При облучении светом не-
которых полупроводников или диэлектриков оптические
электроны отдельных атомов кристаллической решетки
вещества, приобретая достаточную дополнительную
энергию, отрываются от атомов и превращаются в элект-
роны проводимости. Так как проводимость полупровод-
ников и диэлектриков обычно мала, то появление в них
электронов проводимости ведет к заметному повышению
их электропроводности, а следовательно, и к уменьше-
нию их сопротивления. Это явление и называется внут-
ренним фотоэффектом, или фотопроводимостью.
Схема для наблюдения внутреннего фотоэффекта
приведена на рис. 26.11. При освещении исследуемого
полупроводника, соединенного через металлические
электроды с гальванометром Г и источником напряжения
через сопротивление R, в цепи возникает электрический
ток. Как только освещение прекращается, ток уменьша-
ется до ничтожно малой величины. Этот ток называют
темновым. В металлах внутренний фотоэффект не обна-
руживается, так как концентрация свободных электронов
в них очень велика и добавление небольшого числа элект-
ронов за счет внутреннего фотоэффекта не меняет суще-
ственным образом этой концентрации.
Вольт-амперная характеристика внутреннего фотоэф-
фекта при постоянном световом потоке в отличие от
внешнего фотоэффекта не обладает током насыщения
(рис. 26.12). Величина фототока пропорциональна при-
ложенному напряжению.
Во время слабого освещения фототок при внутрен-
нем фотоэффекте почти пропорционален световому пото-
ку. При больших освещенностях эта зависимость стано-
вится нелинейной. Нелинейность световой характеристи-
ки объясняется тем, что внутренний фотоэффект сопро-
вождается рядом побочных явлений, среди которых
основную роль играет рекомбинация, т. е. возвращение
электронов в нормальное состояние. Световые характе-
Фотоэлектрический эффект
451
ристики внутреннего фотоэффекта при различных на-
пряжениях приведены на рис. 26.13. В большинстве слу-
чаев зависимость силы фототока I от величины лучисто-
го потока Ф может быть выражена приближенной фор-
мулой
/ = У0Ф% (26.10)
где величина а всегда меньше единицы и положительна.
Интегральная чувствительность у0 внутреннего фотоэф-
фекта обычно убывает с увеличением светового потока.
Фотоэлектрические процессы при внутреннем фотоэф-
фекте обладают инерционностью. Это означает, что фо-
тоток не сразу достигает своего значения, соответствую-
щего данному световому потоку, а лишь через некото-
рый промежуток времени. При внезапном прекращении
освещения фототок падает до нуля постепенно (рис.
26.14). Процесс инерционности объясняется тем, что
электроны, освобождаемые светом, находятся в свобод-
ном состоянии в течение конечного отрезка времени т,
называемого временем жизни фотоэлектронов. Для раз-
ных полупроводников это время имеет величину от 10‘3
до 10-7 с. В среднем по истечении времени т каждый фо-
тоэлектрон рекомбинирует и возвращается в связанное
состояние.
После начала облучения число образующихся фото-
электронов превосходит число рекомбинирующих и про-
исходит нарастание фототока. По истечении времени т
устанавливается динамическое равновесие между чис-
лом возникающих и числом рекомбинирующих фото-
электронов. В этом случае сила фототока достигает мак-
симального значения при данном световом потоке. После
выключения света все фотоэлектроны рекомбинируют в
среднем за время т и за это же время происходит посте-
пенное уменьшение фототока.
Фотогальванический эффект. Этот вид фотоэффекта
состоит в появлении на границе металла и полупровод-
ника или на границе двух полупроводников электродви-
жущей силы. Он был открыт в 1888 г. Ульяниным, одна-
ко его практическое применение началось только в кон-
це 20-х гг. Схема опыта наблюдения и изучения фото-
гальванического эффекта показана на рис. 26.15.
Пластинка 1 из чистой меди покрывается тонкой плен-
кой.? оксида меди (I) (CihO), например, путем нагрева-
ния ее в атмосфере кислорода. Сверху наносят тонкий
слой 4 какого-либо металла, прозрачный для света (на-
пример, золото).
Рис. 26.12, Вольт-ам-
перная характеристика
внутреннего фотоэффек-
та:
темновой ток; / — ток
прн освещении
время жизни
фотоэлектрона
Рис. 26.13. Зависимость
фототока от величины
светового потока прн
различных напряжениях
а
t
Рис. 26.14. Изменение
светового потока (а) и
фототока (б) со време-
нем
452
Действие света
С9ет
Рис. 26.15. Схема наблю-
дения фотогальваниче-
ского эффекта:
/ — медь; 2 — запирающий
слой; 3 — оксид меди (I);
4 — пленка металла
вентильный
(запирающий)
слой
вентильный
фотоэффект
(фотоэффект
в запирающем
слое)
При облучении слоя оксида меди (I) в ней, благода-
ря внутреннему фотоэффекту, возникают свободные
электроны. На границе между оксидом меди (I) и мед-
ной пластинкой образуется очень тонкий (10~5—10“6 см)
слой 2, пропускающий электроны только от Си2О к Си
и препятствующий их обратному движению. В результа-
те медь заряжается отрицательно, а оксид меди (I) —
положительно. Между этими слоями появляется раз-
ность потенциалов, поддерживаемая действием излуче-
ния. Таким образом, во внешней цепи возникает посто-
янный ток от Си к Си2О (направление движения элект-
ронов обратное). Наличие такого вентильного, или
запирающего, слоя обусловливает выпрямляющее дей-
ствие устройства и наблюдается во многих полупровод-
никах. Отсюда фотогальванический эффект часто назы-
вают вентильным, или фотоэффектом в запирающем
слое.
Таким образом, отличительной особенностью фото-
гальванического эффекта по сравнению с другими ви-
дами фотоэффекта является прямое преобразование све-
товой энергии в электрическую, что позволяет использо-
вать фотогальванические приемники света не только для
регистрации световых сигналов, ио и в электрических
цепях как источники электрической энергии.
26.4
Практические
Применения
фотоэффекта
фотоэлемент
вакуумный
фотоэлемент
Все рассмотренные виды фотоэффекта широко при-
меняются в науке и технике. Перечислим некоторые из
этих применений:
1) фотоэлектронная автоматика и телемеханика, в ко-
торой различные сочетания фотоэлектрических прибо-
ров и усилителей, реагируя на световые сигналы, оказы-
вают действие на системы управления и регулирования
различных энергетических, транспортных и промышлен-
ных установок;
2) фотоэлектронный контроль, применяемый для сче-
та и проверки качества обработки изделий, измерения
силы света и освещенности (люксметры), а также тем-
пературы (пирометры);
3) звуковое кино, телевидение, оптическая телегра-
фия, видение в темноте при помощи инфракрасных лу-
чей и т. д.
Приборы, в которых фотоэффект используется для
превращения световой энергии в электрическую, назы-
ваются фотоэлементами. Фотоэлементы бывают разных
типов.
Вакуумные фотоэлементы основаны на использова-
нии внешнего фотоэффекта. Изготовляются эти фотоэле-
Фотоэлектрический эффект
453
менты в виде стеклянного баллона (рис. 26.16), из ко-
торого откачан воздух. Внутренняя поверхность балло-
на примерно наполовину покрыта светочувствительным
веществом, образующим фотокатод К, который испуска-
ет фотоэлектроны под действием падающего на него из-
лучения. Анодом служит металлическая петля А или
сетка, помещенная в центре баллона. При достаточной
разности потенциалов между катодом и анодом все фо-
тоэлектроны, вылетающие из катода, будут собираться
на аноде. В этом случае сила тока в приборе строго про-
порциональна интенсивности падающего на фотокатод
излучения, причем сила тока меняется при изменении
светового потока практически мгновенно.
Светочувствительное вещество фотокатода выбирает-
ся в зависимости от предъявляемых к фотоэлементу тре-
бований, в особенности от области спектра, в которой он
должен работать. Для работы в видимой области спект-
ра применяются сурьм яно-цезиевые фотокатоды, обла-
дающие к тому же большой чувствительностью (50—
150 мкА/лм). Максимум чувствительности у этих фото-
элементов лежит в области 450 нм. Для измерений в
инфракрасной области применяют кислородно-цезиевые
фотоэлементы, имеющие максимум чувствительности
при длине волны 800 нм.
Газонаполненные фотоэлементы — это фотоэлементы,
в которых баллон наполнен газом. При этом сила тока
возрастает, потому что вырванные из катода электроны,
летящие с большой скоростью к аноду, встречают на
своем пути атомы газа, ионизируют их, а образовавшие-
ся электроны н ионы, двигаясь к электродам фотоэле-
мента, увеличивают начальный ток. Для наполнения фо-
тоэлементов используют инертные газы, не вступающие
в реакцию с веществом фотокатода. Давление газа дол-
жно быть достаточно малым, чтобы электроны на длине
свободного пробега могли приобрести энергию, необхо-
димую для ионизации.
В газонаполненных фотоэлементах пропорциональ-
ность между силой фототока и световым потоком не со-
блюдается. Кроме того, такие фотоэлементы обладают
заметной инерционностью. Дело в том, что ток газона-
полненного фотоэлемента лишь частично определяется
электронами, большую роль в нем играют положитель-
ные ионы, которые имеют большую массу и движутся
медленно. Инерционность газонаполненных фотоэлемен-
тов зависит от рода газа, наполняющего фотоэлемент,
давления газа и напряжения, поданного на фотоэлемент.
Фотоэлектронные умножители используют метод уси-
Рис. 26.16. Вакуумный
фотоэлемент
газонаполненный
фотоэлемент
фотоэлектронный
умножитель
454
Действие света
Рис, 26.17. Схема одно-
кратного вторичного уси-
ления
вторичная
электронная
эмиссия
коэффициент
вторичной эмиссии
Рис. 26,18. Схема фото-
электронного умножи-
теля
ления фототока, основанный на вторичной электронной
эмиссии. Это явление заключается в том, что быстроле-
тящие электроны при падении на металлическую поверх-
ность выбивают из нее новые (вторичные) электроны *>.
Отношение числа выбитых электронов п2 к числу пада-
ющих электронов nt называется коэффициентом вторич-
ной эмиссии о=п21п,\. Для чистых металлов этот коэф-
фициент невысок (не превышает 2), но для сложных по-
верхностей (сложных фотокатодов) он может достигать
10 и более. При этом для каждого рода поверхности су-
ществует оптимальное значение энергии первичных элек-
тронов.
Вторичная электронная эмиссия широко использует-
ся для усиления слабых токов, в частности фототоков.
Такие устройства называются фотоэлектронными умно-
жителями. Схематическое изображение однокаскадного
фотоэлектронного умножителя приведено на рис. 26.17.
Фотоэлектроны, вырываемые светом из фотокатода К,
ускоряются электрическим полем, и значительная их
часть, пролетая сквозь анод А, представляющий собой
сетку, попадает на вторичный эмиттер. Выбитые из него
электроны меньших скоростей, чем первичные, собира-
ются анодом. Такие фотоумножители позволяют полу-
чать 10—20-кратное усиление фототока.
Особенно большое усиление фототока дают многокас-
кадные фотоумножители (рис. 26.18). Фотоэлектроны с
катода ускоряются в электрическом поле и, попадая на
эмиттер Э|, выбивают из него в о раз большее число
электронов. Эти электроны, ускоряясь, в свою очередь
попадают на Эз, выбивая из него еще большее число
электронов, и т, д. Последним электродом является анод-
коллектор А. Для того чтобы электроны следовали по
необходимым направлениям, электродам придают спе-
циальную форму и сообщают им нужные потенциалы,
Если обозначить число эмиттеров через п, то ток в цепи
коллектора Ik=i’o<j", где i0 —первичный ток катода. При
ц=4 и п=10 коэффициент усиления фотоэлектронного
умножителя Л1=1кДо равен примерно 106.
Сила тока на выходе фотоэлектронного умножителя
может быть усилена обычными радиотехническими ме-
тодами. Для регистрации фототока используют различ-
ные способы. Часто применяют электронные потенцио-
метры, позволяющие вести непрерывную запись сигна-
ла. В последнее время получили распространение циф-
♦) См., например; Калашников С. Г. Электричество.—М.: Наука,
1977.-592 с.
Фотоэлектрический эффект
.455
ровые вольтметры и другие более сложные устройства с
непосредственным выводом на ЭВМ.
Фотосопротивления (фоторезисторы.) основаны на
внутреннем фотоэффекте. Еще в 70-х гг. XIX в. было
замечено, что пластинка селена, освещенная светом, ме-
няет свое сопротивление. В настоящее время для изго-
товления фотосопротивлений селен практически не ис-
пользуется; они изготовляются главным образом из сер-
нистого свинца, сернистого висмута, сернистого кадмия
или сернистого таллия. Обычно фотосопротивление пред-
ставляет собой стеклянную пластинку с нанесенным тон-
ким слоем полупроводника, на поверхности которого
укреплены токопроводящие электроды.
Превращение фотоэлектронов в электроны проводи-
мости требует меньшей работы, чем вырывание их за
пределы того слоя кристаллической решетки, из которого
они были освобождены. Поэтому фотосопротивления
имеют более длинноволновую границу фотоэффекта, рас-
положенную в инфракрасной области. Кривые спектраль-
ной чувствительности некоторых фотосопротивлений
приведены на рис. 26.19.
Широкое применение в фотоэлектрической автомати-
ке нашли сернисто-кадмиевые фотосопротивления. Они
обладают высокой чувствительностью в видимой области
спектра (максимум около 0,6 мкм) и могут применяться
без последующего усиления, давая сигнал, достаточный
для срабатывания соответствующих фотореле. Недостат-
ком фотосопротивлений является значительная зависи-
мость их чувствительности от температуры.
Простота конструкции, высокая надежность, малые
размеры и вес, высокая чувствительность, широкий спек-
тральный диапазон обеспечили применение фотосопро-
тивлений в автоматике, фотометрии, оптической спектро-
скопии, а также для регистрации слабых потоков излу-
чения в инфракрасной области.
Фотодиоды также основаны на внутреннем фотоэф-
фекте. Германиевые фотодиоды близки по принципу дей-
ствия к фотосопротивлениям. Простейший германиевый
фотодиод с точечным контактом показан на рис. 26.20.
К тонкой пластинке из германия, имеющей с внутренней
(по отношению к падающему излучению) стороны углуб-
ление, подведены два контакта. Один из них припаян с
боковой стороны пластинки, а другой соединен при по-
мощи пружинного контакта с вольфрамовой спиралью-
коллектором. Свет концентрируется на германиевую
пластинку в месте, лежащем против точечного контакта.
Если германиевая пластинка имеет электронный харак-
Рнс. 26.19. Спектраль-
ные характеристики не-
которых фотосопротив-
лений:
/-PbS пр> Г-100 К; J-
PbS при Т—300 К; 3 - InSb
npi Г-77 К
фогосолротквленве
(фоторезистор)
фотодиод
Рнс. 26.20. Схема точеч-
ного германиевого фото-
диода
456
Действие света
Рис. 26.21. Схема пло-
скостного германиевого
фотодиода
фототриод
вентильный
фотоэлемент
(фотоэлемент г.
с запирающим
слоем)
тер проводимости (п-тип германия), .а металлический
точечный контакт — отрицательный потенциал относи-
тельно германия,, то в последнем в зоне у точечного кон-
такта отмечается несколько повышенная концентрация
дырок, но прохождение тока через контакт затруднено.
При освещении того места германиевой пластинки, ко-
торое лежит против точечного контакта, в германии
освобождаются пары электрон — дырка и дырки, прохо-
дя из германия в контактную проволочку, обусловлива-
ют возрастание тока.
Другой тип германиевых фотодиодов показан на рис.
26.21. Он состоит, как и обычный полупроводниковый
диод, нз полупроводников (например, того же германия)
двух типов проводимости. Образующийся на грани-
це р—n-переход при подаче положительного потен-
циала со стороны германия, л-типа препятствует свобод-
ному прохождению тока. Прн освещении узкой области
р—л-перехода в германии л-типа образуются пары и
дырки диффундируют через р—л-переход, вызывая воз-
растание тока.
Следует отметить, что на р—л-переходе возникает и
фотоэлектродвижущая сила, так что подобные приемни-
ки света могут работать как вентильные фотоэлементы,
не требующие источника питания.
Существуют н германиевые фототриоды, в которых
вызванный освещением ток усиливается, как в обычном
полупроводниковом триоде.
Вентильные фотоэлементы (фотоэлементы с запира-
ющим слоем) основаны на фотогальваническом эффек-
те (см. рис. 26.15). Существуют вентильные фотоэлемен-
ты, например, из. селена, нанесенного на железную
пластинку, а также сернисто-таллиевые и сернисто-сереб-
ряные. Вентильные фотоэлементы обладают рядом досто-
инств. Как и вакуумные фотоэлементы, они дают фото-
ток, строго пропорциональный интенсивности падающего
света. Они обладают большой чувствительностью, в осо-
бенности к видимым и инфракрасным лучам. Вентильные
фотоэлементы являются единственными в своем роде
приборами, преобразующими световую энергию в элект-
рическую. Правда, и вакуумный фотоэлемент дает ток
за счет энергии света, но основную работу совершает
внешний источник тока —батарея (см. рис. 26.1). В от-
сутствие света цепь этой батареи разомкнута: свет здесь
играет в основном роль реле, включающего батарею.
Лак источники питания фотоэлектрических систем в
последнее время приобрели особое значение кремниевые
вентильные фотоэлементы. Устройство такого фотоэле-
Фотоэлектрический эффект
457
мента, предназначенного для прямого преобразования
солнечной энергии в электрическую, схематически пока-
зано на рис. 26.22. Пластинка 2 из кремния n-типа обра-
батывается парами треххлористого бора (в другом ва-
рианте кремний p-типа обрабатывается соединениями
фосфора) так, что на ее поверхности образуется тонкий
слой 1 кремния p-типа. На тыльную поверхность плас-
тинки наносят электроды (электроды 3 — непосредст-
венно на поверхностную пленку, а электрод 4 — на крем-
№nt
Рис. 26.22. Схема крем-
ниевого фотоэлемента:
/ - слой кремния р-типа;
2 — пластинка кремния л-
типа; 3, 4 — электроды
Рис. 26.23. Схема электронно-оптического преобразователя
ний п-типа). При освещении лицевой поверхности плас-
тинки свет поглощается в поверхностном слое и в
результате поглощения фотонов образуются пары элект-
рон — дырка. Электроны и дырки диффундируют к р—
л-переходу и на нем разделяются: электроны свободно
проходят через р—п-переход в кремний л-типа, заряжая
пластинку отрицательно, а дырки остаются в кремнии
p-типа, который таким образом приобретает положи-
тельный заряд. Разность потенциалов между электрода-
ми 3 и 4 одного элемента достигает 0,5 В при освещении
прямым солнечным светом, падающим нормально к по-
верхности фотоэлемента. Из отдельных элементов соз-
даются батареи.
Коэффициент полезного действия таких солнечных
батарей достигает 10 %, что составляет около 100 Вт, с
1 м2 поверхности при нормально падающем солнечном
свете. На искусственных спутниках и космических ко-
раблях солнечные батареи из кремниевых фотоэлемен-
тов используются как один из источников энергии для
питания аппаратуры.
Электронно-оптический преобразователь представля-
ет собой фотоэлектронный вакуумный прибор (рис.
26.23), предназначенный для преобразования изображе-
ния из одной спектральной области в другую, а также
для усиления яркости изображения. Свет от объекта 1 с
помощью оптической системы 2 формирует на полупро-
электронно-
оптический
преобразователь
458
Действие света
26.5
Шумы
фотоэлектронных
приемников
излучения
шумы
фотоэлектронных
устройств
зрачном фотокатоде 3 световое изображение 4. На фо-
токатоде происходит преобразование оптического изоб-
ражения в электронное. Электронные лучки от разных
частей фотокатода фокусируются с помощью электродов
5 и 5' и образуют электронное изображение 6 на флуо-
ресцирующем экране 7, где оно снова преобразуется в
световое. Флуоресцирующий экран с внутренней стороны
покрывается алюминиевой пленкой для защиты фото-
катода от излучения люминофора. Зеркальное алюми-
ниевое покрытие отражает излучение люминофора и тем
самым повышает яркость изображения.
Электронно-оптические преобразователи применяют
для наблюдений слабо освещенных или слабо излучаю-
щих объектов в видимых, инфракрасных, ультрафиоле-
товых и рентгеновских лучах.
Известно, что точность всех электрических измерений
ограничивается уровнем флуктуаций тока и напряжения
в измерительном устройстве, определяемом как внутрен-
ними электрическими шумами самого устройства, так и
флуктуациями измеряемой величины. В фотоэлектриче-
ских устройствах электрические шумы также ограничи-
вают их точность и предел чувствительности. Хотя раз-
работаны методы, позволяющие с помощью фотоэлект-
ронных приборов измерять довольно слабые световые
потоки (например, одноэлектронный метод), однако не
следует думать, что любой сколь угодно малый световой
сигнал может быть фотоэлектрически зарегистрирован и
измерен. Электрические шумы, природа которых может
быть весьма различна, ограничивают возможность изме-
рения сверхслабых световых сигналов. Из всех возмож-
ных причин, влияющих на предел чувствительности фо-
тоэлектрических измерений, коротко остановимся на
двух, связанных с тепловым движением электронов и
конечностью заряда электрона.
Тепловое движение электронов в проводниках, замы-
кающих анодную цепь, является одной из причин флук-
туаций измеряемого тока (тепловой шум). Металличе-
ский проводник характеризуется большой плотностью
электронов проводимости и малой длиной их свободного
пробега, в них происходит частый обмен энергией меж-
ду частицами. Поэтому тепловые скорости электронов
могут во много раз превосходить их направленную ско-
рость, обусловленную внешним полем. Собственное теп-
ловое движение электронов можно считать не зависящим
от приложенного поля.
Поскольку тепловое движение электронов проводи-
Фотоэлектрический эффект
459
мости хаотично, то тепловой шум оказывается равно-
мерно распределенным по всем частотам вплоть до очень
высоких. Средний квадрат напряжения теплового шума
связан с энергией теплового движения kT и определяет-
ся формулой Найквиста
= (26.11)
где R — омическое нагрузочное сопротивление анодной
цепи; —- интервал частот, в пределах которого регист-
рируется сила фототока {полоса пропускания измери-
тельного устройства).
Кроме шумов, обусловленных тепловым движением
электронов в проводниках, существует шум, создаваемый
тепловым движением электронов в фотокатоде. При та-
ком движении электроны будут самопроизвольно выры-
ваться из катода, создавая дополнительный фототок, ко-
торый называют темновым током, т. е. не связанным с
освещением фотокатода. Темновой ток можно измерить
при отсутствии светового сигнала и скомпенсировать его
обычными методами. Но флуктуации темнового тока
создают дополнительные шумы и этим тоже ограничива-
ют чувствительность измерений. Это явление носит на-
звание дробового эффекта для термоэлектронной эмис-
сии. Вторая причина дробового эффекта связана с тем,
что электрический ток образован перемещением конеч-
ных элементарных зарядов. Если сила измеряемого фо-
тотока i, то число электронов, вылетающих из фотокато-
да каждую секунду, равно п=4/е. Это число подвержено
флуктуациям, так что сила тока лишь в среднем оста-
ется постоянной.
Таким образом, при фотоэффекте анод как бы обстре-
ливается потоком отдельных <дробинок>, число которых
вследствие статистического характера рассматриваемых
явлений будет флуктуировать (дробовой шум). Соглас-
но формуле Шотки средний квадрат напряжения дробо-
вого шума в анодной цепи фотоприемника равен
<£7Jp) = 2«W. (26.12)
Дробовой шум в первом приближении можно считать
равномерно распределенным по частотам.
Регистрируемый поток излучения тоже флуктуирует
как в силу квантовой природы излучения, так и в силу
других факторов — изменения температуры источника
излучения, прозрачности среды между источником и
приемником излучения и т. д.
Можно показать, что в фотоприемниках с внешним
фотоэффектом тепловой и дробовой шумы являются ос-
Найквист (Nyquist) X.
(р. 1889) — американский
физик
формула Найквиста
дробовой эффект
Шотки (Schottky) Валь-
тер (1886—1976)—немец-
кий физик
формула Шотки
460
Действие света
новныии. Исходя из этого, можно записать простое вы-
ражение, определяющее чувствительность измерений:
(^сигм )____
<^епл> + <^)
(26.13)
где <£/£,„) — средний квадрат напряжения регистрируе-
мого сигнала.
При проектировании приборов приходится учиты-
вать шум не только приемников излучения, но и сопро-
тивлений и ламп усилителя, особенно первого каскада,
так как его шум в дальнейшей цели претерпевает наи-
большее усиление. Однако, как правило, шум усилителя
можно сделать меньшим по сравнению с шумом прием-
ника излучения и поэтому шумы последнего особенно
важны.
Глава 27
РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Из предыдущего изложения следует, что
квантовые свойства должны наиболее отчетли-
во проявляться в опытах с коротковолновым
излучением. К такого рода опытам относятся
эксперименты с рентгеновским излучением, в
частности исследование рассеяния рентгенов-
ских лучей. Некоторые свойства рассеянного
рентгеновского излучения (интенсивность, по-
ляризация) довольно легко объясняются с вол-
новой точки зрения, тогда как другие свойства
(изменение частоты при рассеянии) могут
быть объяснены только при условии, если счи-
тать, что рентгеновские лучи имеют квантовую
природу. Недостаток волновой теории рассея-
ния рентгеновских лучей обнаруживается прн
изучении интенсивности рассеяния и измерения
частоты рентгеновских лучей.
Согласно волновой теории электрический
вектор падающей электромагнитной волны, дей-
ствуя на электрон, заставляет его совершать
гармонические колебания, вследствие чего элек-
трон становится центром сферической волны,
которая представляет собой рассеянную вол-
ну. Естественно ожидать, что в этом случае
частота рассеянного излучения должна совпа-
дать с частотой падающего излучения. Однако
уже первые эксперименты по наблюдению рас-
сеяния рентгеновских и особенно у-лучей пока-
зали, что в составе рассеянного излучения по-
являются более длинные волны, обладающие
меиыпей проникающей способностью. Так как
до создания спектроскопии рентгеновских лу-
чей для определения длины волны приходилось
пользоваться грубыми методами, основанными
на различии в поглощении лучей разных длин
волн, то в деталях явления разобраться было
трудно и все приписывалось влиянию побоч-
ных факторов. Только в 1922 г. Комптон, вос-
пользовавшись рентгеновским спектрографом,
тщательно изучил это явление и показал, что
оно непосредственно связано с механизмом
рассеяния.
27.1 Эффект Комптона состоит в изменении длины волны
Сущность рентгеновских лучей, происходящем при их рассеянии в
эффекта Комптона веществе. Схема опыта Комптона приведена на рис. 27.1.
и его особенности Выделяемый диафрагмами 1 и Г узкий пучок рентгенов-
ского излучения направляется на рассеивающее вещест-
во 2. Спектральный состав рассеянного излучения ис-
следуется с помощью рентгеновского спектрографа, со-
Рассеяние рентгеновских луней
461
стоящего из кристалла 3 и ионизационной камеры 4 (или
фотографической пластинки).
Результаты исследования рассеяния монохроматиче-
ских рентгеновских лучей (Ла-линия молибдена ♦), Х=
—0,7126 А) приведены на рис. 27.2, Кривая на рис. 27.2, а
характеризует распределение интенсивности в первичной
линии, остальные кривые — спектральный состав излу-
чения при различных углах рассеяния 0. По оси ординат
отложена интенсивность излучения, а по оси абсцисс —
величина, пропорциональная длине волны.
Рис. 27.1. Схема опыта
Комптона
Комптон (Compton) Ар-
тур Холли (1892—
1962) — американский
физик
эффект Комптона
(комптон-эффект)
Рис. 27.2. Рассеяние рентгеновского излучения на графите:
Р — несмещенная линия; Л1 —смещенная линия; а—0 =
-0°; 6 — 6—45°; в -6-90°; г-6=135°
В рассеянном рентгеновском излучении присутствуют
как первичная длина волны X падающего на вещество
излучения, так и длина волны X', смещенная в длинно-
волновую сторону. Как показывает эксперимент, вели-
чина смещения ДХ—X'—X не зависит от длины волны
рассеиваемых рентгеновских лучей и природы рассеива-
ющего вещества, но зависит от угла рассеяния и возра-
стает по мере увеличения этого угла. Зависимость от
угла 0 может быть представлена формулой
ДХ= Хо(1—cos0) = 2Xosin2(0/2), (27.1)
где 0 —угол рассеяния, образованный направлением
первичного пучка и направлением рассеянного излуче-
ния; Хо^О,02426 А—постоянная, определенная из опыта
*> См., например: Шпольский Э. В. Атомная физика.—М.: Наука,
1984, т. 1. с. 382-389.
462
Действие света
27.2
Элементарная
теория
аффекта Комптона
и показывающая величину изменения длины волны при
рассеянии под прямым углом. Соотношение интенсивно-
стей несмещенной Р и смещенной М линий также зави-
сит от угла рассеяния. Интенсивность несмещенной ли-
нии уменьшается с увеличением в, при этом интенсив-
ность смещенной линии возрастает.
Следует отметить, что указанные особенности эффек-
та Комптона относятся к рассеянию не очень жестких
лучей на веществе с малым атомным номером (напри-
мер, литий, бор, углерод, алюминий), имеющем электро-
ны, относительно слабо связанные с ядром атома. По
мере увеличения атомного номера все большая часть из-
лучения рассеивается без изменения длины волны.
Описанные особенности эффекта Комптона легко
объяснить, если считать, что рентгеновское излучение
имеет чисто квантовую природу, т. е. представляет собой
поток фотонов. Тот факт, что все легкие атомы ведут
себя одинаково, позволяет предполагать, что процесс
рассеяния сводится к столкновению фотонов с электро-
нами. Действительно, в таких атомах связь электронов с
ядром слаба и под действием рентгеновских лучей элект-
роны легко отделяются от атома. Поэтому эффект Комп-
тона можно в первом приближении рассматривать как
рассеяние рентгеновских лучей свободными электронами.
Прежде чем рассматривать взаимодействие фотона с
электроном, напомним (см. § 26.2), что фотон обладает
не только энергией hv, но и импульсом p=hvlc, т. е. ве-
дет себя, грубо говоря, как движущийся шарик. В таком
случае рассеяние фотонов электронами связано с обме-
ном, энергией и количеством движения при столкнове-
ниях,
Допустим, что до столкновения электрон покоился,
т. е. его импульс до встречи с фотоном был равен нулю.
Пусть начальный импульс фотона равен n/iv/c, тогда пос-
ле столкновения электрон приобретает импульс mv (см.
формулу (26.8)), а импульс фотона станет равным
n'hv'/c, где пип'-— единичные векторы, определяющие
направление движения падающего и рассеянного фото-
нов. При этом получаем два уравнения:
из закона сохранения энергии
hv + тосг = hv' + /псг, (27.2)
где тас2 — энергия покоя электрона;
из закона сохранения количества движения
5»L = !!*' + mv. (27.3)
С С
Рассеяние рентгеновских лучей
463
В уравнении (27.3) член n'hv'/c перенесем в левую
часть и возведем обе части в квадрат. В результате по-
лучим (рис. 27.3)
tn V = —z- 4- —-3-----2/i8 —r- cos 0
& 1 c* c2
или
m2u2c8 = ЛМ 4- JiV2—2/i8vv' cos 0. (27.4)
Уравнение (27.2) перепишем в виде mc2=h(y—v') 4-
+m0c2 и возведем в квадрат:
тгс* = h2v2 4- /№ — 2/i2vv' 4- mfr* 4- Zhmfr* (v — v').
(27.5)
Вычитая (27.4) из (27.5), получаем
№c8 (с8—о8) — mfr* — 2h2vv' (1 — cos 0) 4- (v—v').
(27.6)
Заметим, что
mfr* = m№ (с* — о8).
Произведя в (27.6) соответствующие преобразова-
ния, найдем /ivv'(l—cos0)=mo^(v—v'). Отсюда можно
.вычислить частоту v':
, _ __________у_________ _ V
"* ~ 1 4- (^v/fflot2) (1 —cos 6) — 1 + 2 №1т^г) (6/2) *
(27.7)
Это и есть формула для измененной частоты.
На практике чаще всего пользуются формулой, даю-
щей изменение не частоты, а длины волны. Эту формулу
легко получить из (27.7), используя соотношения v—с/Х
и ¥=0^, а также v—v'—Av и X'—Х=ДХ.
Тогда из (27.7)
ДХ = — (1 - cos 0) = — sin8 4- (27.8)
Формула (27.8) совпадает с эмпирической формулой
(27.1), если положить Хо = /1Мсс, Эта величина является
комбинацией трех универсальных постоянных и имеет
размерность длины. Она носит название комптоновской
длины волны и обозначается
Л=Л_ =--------------------------= 0.0242 А.
тос 0,911 •1О—зо-2,998-1О8
Окончательная формула, дающая изменение длины
волны при рассеянии, имеет вид
ДХ = 2Л sin8 (0/2) = 0,048 • sin2 (0/2). (27.9)
Рис. 27.3. К теории эф-
фекта Комптона
комптоновская
длина волны
464
Действие света
Из формулы (27.9) видно, что при 0=0 величина
смещения Дл = 0, при 0=90° величина смещения А/.=Л
и, наконец, при 0=180° величина смещения ДХ=2Л. Вы-
численные положения смещенных линий отмечены на
рис. 27.2 вертикальными прямыми. Как видно из рисун-
ка, максимумы экспериментально измеренных линий хо-
рошо совпадают с рассчитанными по формуле (27.9).
При рассмотрении механизма рассеяния предполага-
лось, что фотон сталкивается со свободным электроном.
Для легких атомов и периферических, слабо связанных
электронов такое допущение вполне оправдано, так как
энергия связи электрона ничтожно мала по сравнению
с энергией фотона рентгеновских лучей. Но внутренние
электроны, особенно в тяжелых атомах, связаны на-
столько прочно, что их уже нельзя рассматривать как
свободные. Поэтому при столкновении фотон обменива-
ется энергией и количеством движения с атомом в це-
лом. Учет этого обстоятельства объясняет ряд особенно-
стей эффекта Комптона и в первую очередь наличие
несмещенной линии, а также соотношение интенсивно-
стей смещенной и несмещенной линий.
Глава 28
ДАВЛЕНИЕ СВЕТА
Свет, взаимодействуя с веществом в про-
цессах поглощения и отражения, оказывает на
него механическое (пондеромоторное) действие.
Одним из таких действий является световое
давление.
Гипотеза о световом давлении впервые бы-
ла высказана в 1619 г. Кеплером при объясне-
нии отклонения хвостов комет, пролетающих
вблизи Солнца.
Теоретически вопрос о давлении света был
исследован Максвеллом (1873). Рассматривая
процесс распространения электромагнитных
волн в веществе, Максвелл показал, что вол-
ны должны оказывать на вещество давление,
определяемое величиной электромагнитной
энергии, которая приходится на единицу объе-
ма. Сила давления зависит от интенсивности
светового потока и составляет очень малую
величину. Вычисления показывают, что в яркий
солнечный день световое давление на 1 м2 чер-
ной поверхности при нормальном падении лу-
чей равно примерно 4.310-6 дин/см2=4,310-6
Па, Блестящим экспериментальным подтверж-
дением этих результатов явились опыты Лебе-
дева (1899).
Световое давление не единственный механи-
ческий эффект действия света. Если облучить
тело эллиптически поляризованным светом, то
у тела возникнет вращающий механический мо-
мент. Например, если кристалл преобразует
циркулярно поляризованный свет в линейно
поляризованный, то на этот кристалл должен
действовать вращающий момент. Это явление
впервые (1898) было теоретически предсказано
Садовским и получило название эффекта Са-
довского. Экспериментально этот эффект был
подтвержден в 1935—1936 гг. Бетом, Величина
эффекта очень мала. Так, для поляризованного
по кругу видимого света (v=4-10isc_|), по ин-
тенсивности равного интенсивности прямых
солнечных лучей, вращающий момент М=
=3‘10_]0 дин-см=3-10-17 Н'М. Для сантиметро-
вых волн (\=1010с^1) М=10_3 динсм=10-!г
Н-м при интенсивности, равной 1 Вт/см2. Боль-
шую роль эффект Садовского играет в процес-
сах поглощения и испускания света атомами и
молекулами, где его существование в значитель-
ной степени определяет правила отбора.
Изучение механических действий света, в
частности светового давления, приобрело иск-
Давление света
465
лючнтельный интерес в последнее время, особен-
но в связи с проблемами освоения космоса,
так как давление света оказывает существен-
ное влияние на траекторию движения искусст-
венных спутников Земли и космических кораб-
лей. Велика роль светового давления и других
видов механических действий света в физике
частиц высоких энергий и кольцевых электрон-
ных ускорителей, где потоки электронов испы-
тывают со стороны излучения мощное свето-
вое давление, влияющее на режим работы уско-
рителей.
Особенно велико световое давление в ме-
сте фокусировки излучения мощных лазеров.
С помощью высококачественной оптики лазер-
ное излучение можно сфокусировать в пятно
радиусом того же порядка, что и длина волны
генерации. Расчеты показывают, что если в фо-
кусе лазерного излучения мощностью 1 Вт по-
местить малую частицу массой порядка 10-1? г,
полностью отражающую излучение, то под дей-
ствием светового давления она получит ускоре-
ние, в 106 раз большее ускорения свободного
падения. Осуществление экспериментов подоб-
ного рода наталкивается на большие трудно-
сти однако это дает принципиальную воз-
можность использовать давление лазерного из-
лучения для решения ряда актуальных задач
атомной физики, например для ускорения ма-
лых частиц до больших скоростей, разделения
газов разной массы, в том числе изотопов, н
др-
Исходя из электромагнитной теории света, механизм
возникновения светового давления качественно можно
пояснить следующим образом (рис. 28.1). Пусть на плос-
кую поверхность Р тела падает электромагнитная све-
товая волна. Векторы Е и Н лежат в плоскости Р. Рас-
смотрим, как они будут воздействовать на электрические
заряды тела. Электрическая компонента Е электромаг-
нитного поля действует на заряд q с силой Fe=^E. Под
воздействием этой силы положительный заряд начнет
смещаться вдоль поверхности по направлению Е, а от-
рицательный—против направления Е. Такое смещение
зарядов представляет собой поверхностный ток j, парал-
лельный Е. В телах со свободными зарядами (провод-
ники) это будет ток проводимости, а в диэлектриках —
поляризационный ток смещения. Магнитная компонента
Н электромагнитного поля воздействует на движущийся
заряд с силой Лоренца F=(^/c)[vH], направленной в
сторону распространения света. Равнодействующая всех
этих сил и воспринимается как давление, оказываемое
светом на тело.
К этому выводу можно прийти, если учесть, что све-
товой поток обладает не только энергией, но и количе-
ством движения. Если в вакууме в определенном направ-
лении распространяется световой поток и энергия, при-
ходящаяся на единицу объема, равна wt то количество
движения, соответствующее единице объема, равно
k—wjc, где с —скорость света в вакууме. Вектор коли-
чества движения к направлен в сторону распространения
света. Если в результате взаимодействия света с телом
(например, в результате поглощения или отражения)
происходит изменение вектора количества движения к,
*) См., например; Калитеевский Н. И. Волновая оптика.—М.:
Высш, шк., 1978, с. 93.
28.1
Теория
светового
давления
Рнс. 28.1. Возникновение
светового давления
466
Действие света
Рис. 28.2. К расчету све-
тового давления
то на тело действует импульс силы Fdt, связанный с из-
менением' количества движения dk соотношением dk~
-Fdt, где dt — время, в течение которого происходит из-
менение вектора количества движения на величину dk.
Таким образом, на поглощающее или отражающее свет
тело должна действовать определенная сила F. Величи-
на нормальной составляющей этой силы, отнесенной к
единице площади тела, дает величину действующего на
него светового давления.
Для расчета величины давления р предположим, что
на площадку dS нормально падает световой лоток с
объемной плотностью w. Пусть при этом площадка dS
полностью поглощает падающее на нее излучение. Тогда
в результате поглощения света его количество движе-
ния станет равным нулю. Следовательно, за время dt
произойдет изменение количества движения dk, числен-
но равное количеству движения излучения в объеме ци-
линдра с площадью сечения dS и длиной l=cdt (рис.
28.2). Объем этого цилиндра равен cdtdS, а приходяще-
еся на этот объем количество движения равно dk=
- (wIс) cdtdS=wdtdS. Отсюда для давления р, действу-
ющего на площадку dS, имеем p=dk)dtdS = w. Таким
образом, давление света на полностью поглощающую
площадку численно равно объемной плотности энергии
светового потока.
Если площадка является полностью отражающей, то
при нормальном падении лучей свет изменит направле-
ние своего распространения на обратное. В этом случае
плотности энергии в падающем и отраженном световых
потоках будут равны друг другу. Поэтому изменение
количества движения будет равно 2dfe, а величина све-
тового давления p=2w, т. е. вдвое больше, чем при по-
глощении. Наконец, если поверхность не является пол-
ностью отражающей, а имеет коэффициент отражения
р< 1, то часть энергии (1—р)ш поглотится, а часть, рав-
ная рщ, отразится. В результате световое давление
р = (1 — 2рш= (I+ p)iy. (28.1)
Если учесть, что энергия светового потока Е связана
с плотностью энергии w соотношением E-wc, где с —
скорость света, то формулу (28.1) запишем в виде
р = (ВД(1 + р). (28.2)
С точки зрения квантовой теории световое давление
следует рассматривать как результат передачи импуль-
са фотонов поглощающему или отражающему телу.
Пусть поток монохроматического света частоты v, лада-
Давление света
467
ющий нормально на единичную площадку и перенося-
щий за 1 с энергию, равную £, содержит N фотонов, где
N определяется из условия Nhv=E, т. е. N=E(hv. Так
как каждый фотон обладает импульсом hv/c (см. § 26.2),
то он сообщает поглощающей площадке импульс /w/c,
а отражающей — импульс 2/tv/c
Таким образом, импульс сообщаемый за 1 с единич-
ной полностью поглощающей площадке, равен N{hv/c) =
=Е[с. Поскольку этот импульс и есть давление на еди-
ничную площадку, следовательно, световое давление на
полностью поглощающую поверхность равно р=Е/с, а
на полностью отражающую — р=2Е1с.
В общем случае, когда площадка имеет некоторый
коэффициент отражения р, из полного числа фотонов N,
падающих за 1 с на эту площадку, поглощается (1—p)N
фотонов, а отражается p;V фотонов. В результате им-
пульс, сообщаемый ими единице поверхности, равен
Р = (1 - Р) » 4 + -7- = + ₽) = Т<1+₽>•
что совпадает с формулой (28.2).
Для дальнейшего развития электромагнитной теории
важно было получить экспериментальное доказательст-
во наличия светового давления. Такой опыт был впервые
осуществлен Лебедевым. Идея опыта заключалась в сле-
дующем. Легкий подвес на тонкой кварцевой нити, по
краям которого прикреплялись тонкие и легкие крылыш-
ки (рис. 28.3), помещался в стеклянный сосуд, в кото-
ром был тщательно откачан воздух; образовались, таким
образом, чувствительные крутильные весы. Одно из
крылышек делалось с обеих сторон зеркальным, а дру-
гое с обеих сторон было, покрыто платиновой чернью.
Свет при помощи системы линз и зеркал направлялся
на одно из крылышек, оказывал на него давление и
вследствие полученного механического момента весь
подвес поворачивался на некоторый угол. Угол поворота
крутильных весов измерялся по отклонению зайчика, от-
брасываемого маленьким укрепленным на подвесе зер-
кальцем. Энергия светового потока регистрировалась
при помощи термоэлемента. Зная угол поворота и све-
товую энергию, можно было проверить формулу (28.2).
Однако точное измерение светового потока осложня-
лось рядом побочных явлений. Наиболее существенным
28.2
Экспериментальные
исследования
светового
давления
Лебедев Петр Николае-
вич (1866—1912) — рус-
ский физик
*> Импульс фотона при отражении изменяется от 4-hv/c до Рис. 28.3. Схема измере-
—hvlc, т. е. на 2Av/c. мня светового давления
468
Действие света
радиометрический
эффект
Крукс (Crookes) Уильям
(1832—1919) — англий-
ский физик И химик
из них являлся так называемый радиометрический эф-
фект, открытый в 1873 г. Круксом и ошибочно принятый
им за световое давление. Только расчет, проведенный
Максвеллом, показал, что величина светового давления
должна быть на несколько порядков меньше, чем радио-
метрический эффект, который возникает в разреженном
газе вследствие различия в температуре освещенной и
неосвещенной поверхностей крылышек. Частичное по-
глощение падающего света приводит к нагреванию по-
верхности крылышек. Молекулы газа, оставшиеся в бал-
лоне, отражаются от более теплой стороны с большей
Рис. 28.4. Подвесы для измерения светового давления
скоростью и вследствие отдачи крылышки стремятся
повернуться в том.же направлении,.что и под действием
светового давления. Этот эффект пропорционален тол-
щине крылышка и для толстых крылышек значительно
превосходит величину светового давления. Увеличением
разрежения газа в баллоне, а также использованием
очень тонких крылышек, что уменьшает разность темпе-
ратур, можно свести радиометрический эффект к мини-
муму.
В опытах Лебедева использовались подвесы различ-
ной формы (рис. 28.4), а крылышки изготавливались из
разных материалов (платина, алюминий, никель, слюда)
толщиной от 0,1 до 0,01 мм. Измерения Лебедева дали
Давление света
469
величину светового давления, согласующуюся с теорети-
ческими расчетами Максвелла с точностью до 20 %.
В дальнейшем другими авторами, которые использовали
более совершенные методы получения вакуума, точность
была значительно повышена.
Лебедев также показал, что свет оказывает давление
на газ. Упрощенная схема этого опыта изображена на
рнс. 28.5. В куске металла сделаны два сообщающихся
канала L}L2 и К\К2. С обеих сторон каналы закрыты
прозрачными пластинками Р. Луч света, проходящий
вдоль канала LxL2t оказывает давление на молекулы
газа, заставляя их перемещаться от L\ к Ь2. В резуль-
тате в канале возникает разность давлений. Эта разность
давлений выравнивается через канал К]К2, где газ дви-
гается от Х2 к К\. В этом канале помещен легкий пор-
шень П, прикрепленный к коромыслу с противовесом D.
Коромысло в средней точке О подвешено на тонкой ни-
ти, перпендикулярной к плоскости чертежа. Движущий-
ся газ давит на поршень П и закручивает нить. По ве-
личине угла закручивания нити можно вычислить дав-
ление света на молекулы газа. Результаты, полученные
Лебедевым, как и в случае твердых тел, хорошо согла-
суются с электромагнитной теорией (например, для угле-
кислого газа 10~6 дин/см2= 10-7 Па).
В заключение коротко остановимся на эксперимен-
тах, подтверждающих существование механического
ориентирующего действия световой волны (эффект Са-
довского). Если кристаллическая пластинка, вырезанная
параллельно оптической оси, преобразует циркулярно
поляризованный свет в линейно поляризованный, то она
получает механический вращающий момент, направлен-
ный в сторону вращения электрического вектора свето-
вой волны. Если же пластинка преобразует линейно по-
ляризованный свет в свет круговой поляризации, то она
испытывает вращающий момент в противоположном на-
правлении.
Схема опыта, позволяющего количественно оценить
эффект Садовского, показана на рис. 28.6. Полуволновая
пластинка подвешена на тонкой кварцевой нити, прохо-
дящей через небольшое отверстие в четвертьволновой
пластинке, которая закреплена независимо. Верхняя по-
верхность пластинки Х/4 сделана отражающей. Пучок
света, поляризованного по кругу, проходит через 1/2, от-
ражается от верхней поверхности пластинки 1/4 (кото-
рую он, таким образом, проходит дважды) и снова про-
ходит через t.j2. В результате такого прохождения света
через полуволновую пластинку направление его поляри-
Рис. 28.5. Схема прибо-
ра для измерения давле-
ния света на газ
эффект Садовского
Садовский Александр
Иванович (1859—1923)—
русский физик
Рнс, 28.6. Схема опыта
для измерения вращаю-
щего момента света
470
Действие света
зации меняется на обратное н возникает вращающий
момент (одинакового направления в обоих случаях), ко-
торый действует на подвес. На рис. 28,6 направления
распространения и поляризации падающего света пока-
заны слева, а отраженного— справа, хотя, разумеется,
оба пучка проходят через всю пластинку. Падающий пу-
чок периодически прерывается таким образом, чтобы
последовательность импульсов попадала в резонанс с
возможными собственными колебаниями подвеса. Воз-
никающие при этом колебания системы регистрируются
по отклонению светового пучка, отраженного от зеркаль-
ца т.
Возникающий при этом вращающий момент очень
мал и составляет 10"10 дин • см = 10~t7 Н • м. При малей-
шей асимметрии в проходящем через пластинку Х/2 све-
товом пучке эффект маскируется радиометрическим вра-
щающим моментом и даже просто давлением света.
Однако изменение некоторых параметров позволяет
устранить эти побочные эффекты.
Таким образом, совокупность экспериментальных
данных показывает, что световые волны обладают энер-
гией, количеством движения, моментом количества дви-
жения и им может быть приписана определенная масса,
равная переносимой ими энергии, деленной на квадрат
скорости света. Все это указывает на то, что световые
волны являются одной из форм материи.
Глава 29 Ж
ФОТОХИМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ СВЕТА Ш
Под воздействием света в веществе могут
происходить разнообразные химические превра-
щения, которые принято называть фотохимиче-
скими реакциями. Многие из них играют важ-
ную роль в природе н технике. В первую оче-
редь следует отметить процесс фотосинтеза,
протекающий в зеленых растениях и представ-
ляющий собой сложный окислительно-восстано-
вительный процесс, сочетающий в себе фотохи-
мические и ферментативные реакции. При фо-
тосинтезе в растениях под действием света об-
разуются органические вещества (углеводы,
белки, жиры) из углекислого газа, воды, мине-
ральных солей азота, фосфора и других эле-
ментов. Фотосинтез является основным процес-
сом образования органических веществ на Зем-
ле, определяющим круговорот углерода, кисло-
рода и других элементов, а также основным
механизмом трансформации солнечной энергии
на нашей планете. В процессе фотосинтеза рас-
тения суши и океана усваивают в год 41010 т
углерода, разлагают 1,2-1011 т воды и выделя-
ют 1 1011 т кислорода. Они запасают в виде
химической энергии продуктов фотосинтеза
1,7 -1021 Дж солнечной энергии, что в 10 с лиш-
ним раз превышает годовое потребление энер-
гии. В пищу и на корм животным человечество
расходует 2 млрд, т сухой массы продукции
сельскохозяйственных растений, что составляет
лишь 1/50 часть всей продукции фотосинтеза.
Эти цифры свидетельствуют о величайшей зна-
чимости процесса фотосинтеза для жизни на
Земле. Однако секрет процесса фотосинтеза
еще полностью не раскрыт и представляет со-
бой одну из самых важных проблем современ-
ного естествознания.
Большое значение имеет фотохимическая
реакция образования озона из молекулярного
Фотохимическое действие света
471
кислорода под действием ультрафиолетового
излучения Солнца. Эту реакцию можно пред-
ставить следующей схемой:
О2 -J- hv -* О2 -f-O2->Oj 4* О,
где О2 — возбужденная молекула кислорода.
Образовавшийся озон Оз поглощает ульт-
рафиолетовое излучение Солнца в области
250—260 нм, которое губительно действует на
живые организмы.
Под действием света происходит разло-
жение некоторых молекул на отдельные эле-
менты. Например, аммиак NH3 разлагается на
азот и водород, а бромистое серебро AgBr —
на серебро и бром. Фотохимическая реакция
разложения бромистого серебра и других га-
логенидов серебра лежит в основе фотографи-
ческого процесса и всех его научных и техни-
ческих применений.
Известны фотохимические реакции, при
которых происходит образование сложных мо-
лекул из более простых. Так, при освещении
смеси водорода и хлора происходит бурная
реакция образования хлористого водорода, ко-
торая может сопровождаться взрывом. В на-
стоящее время многие из фотохимических ре-
акций используются в химическом производст-
ве, т. е. приобрели непосредственное промыш-
ленное значение.
Изучением химических превращений, протекающих
под действием светового излучения, занимается область
науки, называемая фотохимией.
Начало количественному изучению фотохимических
процессов было положено Гротгусом (1818) и Дрейпером
(1843), которые установили, что химическое действие
оказывает не весь свет, падающий на вещество, а только
его поглощенная часть.' Тем самым, по существу, был
сформулирован первый закон фотохимии — закон Грот-
гуса— Дрейпера. Позже Бунзен и Роско (1855) устано-
вили связь между получающимся фотопродуктом и ко-
личеством световой энергии. Они на ряде фотохимиче-
ских реакций показали, что количество прореагировав-
шего под действием света вещества q пропорционально
интенсивности падающего света I и времени освещения
т. е. q=klt, где k — коэффициент пропорциональности,
зависящий от природы происходящей фотохимической
реакции.
Следует различать первичные и вторичные фотохими-
ческие реакции. Первичные фотохимические реакции
всегда являются эндотермическими, т. е. происходящими
при поглощении энергии. Во всех вторичных реакциях
происходят превращения, обусловленные химическими
преобразованиями, т. е. изменением конфигурации мо-
лекул и, следовательно, изменением внутренней энергии
системы. Для первичных фотохимических реакций Эйн-
штейн (1912) сформулировал закон квантовой эквива-
лентности — основной закон фотохимии. Согласно этому
закону каждый поглощенный квант света вызывает одну
элементарную реакцию, т. е. способен возбудить только
одну молекулу. Элементарная реакция может быть либо
химической, приводящей к превращению вещества, либо
чисто физической, состоящей в возбуждении молекулы и
обратном испускании поглощенной энергии или в пре-
29.1
Основные
фотохимические
законы
Гротгус (Гроттус) (Grot-
thuss) Кристиан Иоганн
Дитрих (1785—1822)—
прибалтийский физик и
химик
закон,
Гротгуса —
Дрейпера
Бунзен (Bunsen) Роберт
Вильгельм (1811—
1899)—немецкий химик
Роско (Roscoe) Генри
Энфилд (1833—1915) —
английский химик
•
первичная
фотохимическая
реакиия
вторичная
фотохимическая
реакция
закон
квантовой
эквивалентности
472
Действие света
сенсибилизатор
сенсибилизированная
фотохимическая
реакция
квантовый выход
вращении этой энергии в тепловую. В настоящее время
имеются многочисленные экспериментальные подтверж-
дения закона Эйнштейна.
Исходя из квантовых представлений, легко понять,
что свет может вызвать такие химические превращения
вещества, которые в обычных условиях требовали бы
весьма высокой температуры. Действительно, комнатной
температуре 290 К отвечает энергия поступательного
движения молекул, равная ЗИ,/‘2~0,4 эВ=6,4-10-20 Дж,
в то время как энергия фотона «зеленой» области спект-
ра (v=6- 10н Гц) равна e=hv~2,5 эВ=4 • 10-19 Дж. Та-
ким образом, поглощение фотона видимого излучения
эквивалентно нагреванию до многих тысяч градусов. По-
нятно также, что чем короче длина волны излучения,
тем оно должно быть химически более активным. Если
для первичного превращения одной молекулы (напри-
мер, диссоциации) нужна энергия D, то, чтобы это пре-
вращение произошло, необходимо, чтобы энергия одного
фотона была не меньше D, т.е. hv^D. Следовательно,
наименьшая частота химически активного излучения v'o
должна быть равна va=Dlh. Излучение меньших частот
не будет химически активным.
Возможно, однако, осуществить фотохимическую ре-
акцию и в том случае, когда частота падающего света
v<vq. Для этого к исследуемому веществу добавляют
другое вещество (называемое сенсибилизатором), кото-
рое непосредственно в реакцию не вступает и полоса по-
глощения которого включает частоту' v. Фотон hv по-
глощается молекулой сенсибилизатора, которая при этом
переходит в возбужденное состояние и затем в резуль-
тате столкновения с молекулой исходного вещества пе-
редает ей полученный запас энергии. Такие фотохимиче-
ские реакции называются сенсибилизированными. Они
могут протекать в газообразной, жидкой и твердой фа-
зах. Сенсибилизированные фотореакции довольно широ-
ко распространены.
Закон Эйнштейна и соотношение справедливы
лишь для сравнительно малой интенсивности света. Если
интенсивность света велика (мощное лазерное излуче-
ние), то одновременно может поглотиться два, три и бо-
лее фотонов и энергия D, необходимая для первичного
фотопревращения, будет складываться из энергии мно-
гих фотонов. Возможно и последовательное поглощение
нескольких фотонов одной и той же молекулой.
Важной характеристикой фотохимических реакций
является их квантовый выход ср, равный отношению чис-
ла прореагировавших молекул к числу поглощенных
Фотохимическое действие света
473
квантов. Число прореагировавших или образовавшихся
молекул в единицу времени измеряется обычными анали-
тическими методами, а число фотонов, поглощенных си-
стемой в единицу времени — актинометром (прибором,
способным «считать» фотоны). Если один поглощенный
фотон вызывает фотопревращенис одной молекулы, то
квантовый выход такого процесса ф— 1. В разных фото-
химических реакциях величина ф имеет различные зна-
чения и ее измерение представляет собой один из путей
получения информации о механизме фотохимической
реакции. Полное истолкование внутренних процессов,
управляющих фотохимическими реакциями, возможно
лишь на основе квантовой теории света и квантовомеха-
нической теории атомов и молекул.
В заключение отметим, что для количественных из-
мерений в фотохимии используется единица, называемая
эйнштейном (Э): 1 Э —это число квантов света опреде-
ленной частоты, которое вызывает в системе, способной
к фотохимическим реакциям, фотохимическое превра-
щение и равняется 6,02• 1023 моль-’. Связь между энер-
гией в 1 Э и частотой света v задается формулой 1 Э=
=6,02 • 1023ftv.
Одним из важных практических применений фотохи-
мических процессов является современная фотография.
Фотография — это способ получения изображений пред-
метов или регистрации излучений на светочувствитель-
ных слоях.
Открытие фотографии относят к 1839 г., когда было
опубликовано изобретение Дагера —первый практиче-
ский способ получения фотографического изображения
с помощью иодида серебра (дагеротипия). Позитивное
изображение получалось на полированных серебряных
пластинках, обработанных парами иода и брома (даге-
ротипы). Дагеротипия из-за больших недостатков (очень
малая чувствительность и невозможность копирования)
в середине 50-х гг. XIX в. была вытеснена коллоидным
процессом. Массовое развитие производства фотопла-
стинок стало возможным в 70-х гг., когда были изобре-
тены бромсеребряные желатиновые фотоэмульсии, а фо-
то- и кинопленок — в 80-х гг., после изобретения гибкой
основы. Область спектральной чувствительности перво-
начальных бромсеребряных пластинок, так же как и да-
геротипных и коллоидных пластинок, была ограничен-
ной. Открытие Фогелем (1873) оптической сенсибилиза-
ции позволило расширить спектральную чувствитель-
ность фотографических материалов. Прогресс в области
29.2
Основы фотографии
фотография
Дагер (Daguerre) Луи
Жак Манде (1787 —
1851)—французский ху-
дожник и изобретатель
474
Действие света
латентное
фотографическое
изображение
проявление
изображения
светочувствительных фотоматериалов, помимо расши-
рения диапазона спектральной чувствительности, заклю-
чается также в повышении интегральной светочувстви-
тельности, в улучшении структурных свойств получаемо-
го изображения и расширении ассортимента и областей
применения фотоматериалов. Современные фотографи-
ческие материалы превышают чувствительность первых
пластинок Дагера примерно в 5 • 105 раз.
Фотографический процесс состоит из двух основных
этапов. Вначале при помощи фотоаппарата производится
фотографирование (съемка) того или иного предмета.
При этом оптическое изображение предмета проектиру-
ется на светочувствительный слой и создает в нем скры-
тое (латентное) фотографическое изображение. Получе-
ние скрытого изображения — первичный фотохимический
процесс. Вторым этапом является химическая обработка
фотопластинки (проявление), при которой в результате
вторичных физико-химических процессов скрытое изоб-
ражение преобразуется в видимое.
При фотохимическом процессе, протекающем в фото-
пластинке под действием света, происходит разложение
бромистого серебра и выделение свободного серебра.
При правильной экспозиции (выдержке на свету) коли-
чество выделившегося серебра в данном элементе поверх-
ности фотопластинки пропорционально ее освещенности.
Однако концентрация свободного серебра столь незначи-
тельна (порядка 10~7 г/см3), что не позволяет заметить
его в обычных условиях, т. е. не дает возможности на-
блюдать скрытое изображение.
Физический процесс, происходящий в светочувстви-
тельном слое фотопластинки, можно представить сле-
дующим образом. Под действием света некоторые элект-
роны микрокристаллов бромистого серебра AgBr воз-
буждаются н переходят на более высокий уровень про-
водимости. Двигаясь в пределах микрокристалла, они
вступают в контакт с зародышем серебра центра свето-
чувствительности. В результате центр заряжается отри-
цательно и притягивает некоторые ионы серебра, кото-
рые нейтрализуются электронами и превращаются в
атомы серебра. Эти атомы присоединяются к уже име-
ющемуся центру, который вырастает до размера центра
проявления, включающего до 20 атомов серебра.
Проявление изображения состоит в том, что фото-
пластинка подвергается действию определенных реакти-
вов, под влиянием которых происходит дальнейшее вы-
деление свободного серебра из микрокристаллов AgBr.
Следует подчеркнуть, что речь идет именно о дальней-
Фотохимическое действие света
475
шеи выделении серебра, так как оно происходит только
там, где уже имеются свободные атомы серебра. Таким
образом, выделившиеся в процессе фотохимической ре-
акции атомы серебра начинают превращения, в резуль-
тате которых выделяются заметные количества сереб-
ра — десятки миллионов атомов на исходный свободный
атом Ag. В результате пластинка чернеет тем быстрее,
чем больше в данном месте было свободных атомов се-
ребра, т. е, чем интенсивнее был поток света, вызвав-
шего фотореакцию. После того как нужное почернение
достигнуто, необходимо предохранить пластинку от по-
следующих возможных изменений на свету. Для этого
ее промывают в растворе тиосульфата натрия (устарев-
шее название —гипосульфит), в котором растворяются
все не успевшие разложиться соли серебра. Этим исклю-
чаются дальнейшие изменения в фотопластинке и изоб-
ражение оказывается «закрепленным». При таком про-
цессе получается негативное изображение, с которого
можно приготовить любое количество позитивных отпе-
чатков на других фотоматериалах.
Таким образом, вторичные химические процессы, про-
исходящие в фотопластинке, позволяют получать негатив
после времени экспонирования, составляющего малые
доли секунды. Зависимость плотности почернения фото-
пластинки от количества падающего на нее света (акку-
мулирующая способность фотоматериалов) делает в
принципе фотографическую систему весьма светочувст-
вительной, т. е., регулируя время экспозиции, можно за-
регистрировать очень малые яркости. По ширине спект-
ральной области фотографические материалы не сравни-
мы ни с какими другими приемниками излучения:
фотографически можно зарегистрировать очень широкий
диапазон электромагнитных излучений— от коротковол-
новых гамма-лучей до длинноволновых инфракрасных
лучей.
Фотографическое изображение может быть черно-бе-
лым или многоцветным. Цветность — свойство вызывать
определенное зрительное ощущение в соответствии со
спектральным составом отражаемого телом света. Фи-
зические основы цветности заключаются в избиратель-
ном поглощении веществом лучей из падающего на него
белого света и аддитивном восприятии глазом прошед-
ших через вещество или отраженных им лучей. В сетча-
той оболочке глаза* имеются три вида колбообразных
клеток, по-разному реагирующих на световые воздейст-
вия. Клетки, реагирующие на лучи с длиной волны 380—
470 нм, вызывают в зрительных центрах ощущение фио-
закрепление
изображения
цветное
фотографическое
изображение
476
Действие света
субтрактивный
метод
3 с 5 ч
Процесс пенки //
а
В
t
г
AgBr AgBr AgBr Ag Br AgBr
AgBr AgBr AgBr AgBr 1 AgBr
AgBr AgBr AgBr AgBr[AgBr
Пербое
черно-белое проявление jff
Agir Ag Вг Ag Ag |AgBr
AgRr Ag Ag Br Ag AgBr
Ag AgBr AgBr a? AgBr
Родное освещение
кта точного Ад Ьг и Второе
цВетное проявление jy
Ag* АаЖ Ag AC Ag*
Agfl Ag Agb Ag Agn
Ag Agr Agr Ag Agr
Рис. 29,1. Схема полу-
чения цветного фотогра-
фического изображения
на пленке с обращением:
I — объект; II — образова-
ние скрытого изображения;
III — негативные цветоотде-
ленные серебряные изобра-
жения; IV — образование
частичных одноцветных изо-
бражений при цветном про-
явлении; V — частичные изо-
бражения в слоях пленки по-
сле удаления серебра; VI—
цветное изображение объек-
та фотографирования; обо-
значение цветов: К — крас-
ный; 3 — зеленый; С — си-
ний; Ж — желтый; П — пур-
пурный; Г ~ голубой; Б —
белый; Ч — черный
летового и синего цветов. Ощущение зеленого цвета дают
клетки, реагирующие на свет с длиной волны 500—
560 нм, а клетки, чувствительные к лучам с длиной вол-
ны 590—760 нм, вызывают ощущение красного цвета.
Эти три цвета принято называть основными или первич-
ными. Опыт показывает, что цветовое зрительное ощу-
щение можно воспроизвести смесью монохроматических
световых потоков красного, зеленого и синего цветов.
Например, смешивая синие и желтые монохроматические
лучи определенных длин волн, можно получить зеленый
цвет, визуально неотличимый от цвета зеленого участка
спектра, несмотря на то, что в смешанном световом по-
токе нет зеленых лучей.
Для получения необходимого цвета применяют так
называемый субтрактивный (вычитательный) метод, ко-
торый состоит в том, что цвета образуются в результате
поглощения части лучей из состава белого света.
Цвета подавляющего большинства окружающих тел
воспринимаются при участии всех трех цветовых зон
спектра, но обычно при значительном преобладании ка-
кой-либо одной зоны. Таким образом, цвет окружающих
предметов зависит от поглощения лучей отдельных уча-
стков спектра, а избирательное поглощение лучей в свою
очередь зависит от химической природы веществ. Цвет
вещества является дополнительным к цвету поглощен-
ных им лучей.
Цветное фотографирование основывается на трехком-
понентной теории цветного зрения и сводится к получе-
нию фотографическим путем изображения^ из трех ве-
ществ, избирательно поглощающих свет. Например, если
нужно фотографически воспроизвести цвет зеленой ли-
ствы, определяемый поглощением красных лучей хлоро-
филлом и синих лучей каротином и ксантофиллом, то
следует ввести в фотографический слой вещества, так же
поглощающие красные и синие лучи, как их поглощают
указанные пигменты.
Широкое распространение получил субтрактивный
способ цветного фотографирования на трехслойных фо-
томатериалах. Фотопленки имеют три галоидосеребря-
ных слоя, каждый из которых чувствителен к одной тре-
ти спектра {рис. 29.1,11). Непосредственно на основу
наносится слой, сенсибилизированный к лучам красной
части спектра (г); над ним расположен слой, чувстви-
тельный к зеленой части (в). На этом слое находится
специальный желтый слой (б), играющий роль свето-
фильтра, который предохраняет два предыдущих сенси-
билизированных слоя от действия синих лучей, прошед-
Фгеохимическое денегsee суета
477
шцх черь ;л pxiuni слой (<i). который ие сеисибллизнро-
ван п чуеиюпелен только к синей части спектра.
ЦвеТ’.ьи-лриизвсдсние на трехс.'клшых пленках мож-
но легко f pj. лс.!И|ь иа примере так называемых илек.-:;
с «обращена м.«>, т, е. дающих после обработки щвити:-.
ное изобр синие (см. рис. 29.1). В трех слоях пльщщ
при фотогриСяровапии и обычном черно-белом прояв-
лении обра.л'ч.тея три серебряных цвете деленных изоб-
ражения. По правилу субтрактивного цветовоспроизве-
дения в каждом слое па месте невосстановленного гало-
’.спида серебра должно быть получено изображение из
вещества, поглощающего ге лучи, которые вызвали в
этом слое образование цветоделеииого негативного изоб-
ражения. Таким образом, в верхнем слое, чувствитель-
ном к синим лучам, должно быть образовано частичное
изображение из красителя, поглощающего синие лучи
(желтого), в среднем слое, чувствительном к зеленым
лучам,—частичное изображение из красителя, поглоща-
ющего зеленые лучи (пурпурного), в нижнем слое, чув-
ствительном к красным лучам,—частичное изображе-
ние из красителя, поглощающего красные лучи (голу-
бого).
Образование в слоях трехслойной пленки красителей,
поглощаю ш.х те лучи, к которым были чувствительны
эти слои, проводится путем цветного проявления. Полу-
чение цветых изображений широко применяется в цвет-
ной фотографии и особенно в цветной кинематографии.
Раздел VIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА
В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ
Глш 30
СКОРОСТЬ СВЕТА И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ
Скпр-ji ’.ч гнета принадлежит к числу важ-
нейших Физических констант, которые приня-
то называв фундаментальными. Пожалуй, ни
одна коне: лита не имеет такого основополага-
ющего значения в теоретической н эксперимен-
тальной фе тике, как скорость света. Велика и
чисто практическая значимость скорости света.
Точное ее значение требуется в радио- и све-
толокации, при измерении расстояний от Зем-
ли до других планет, управлении спутниками
и космическими кораблями. Отметим, что за-
дача определения скорости света относится к
числу наиболее важных проблем оптики и фи-
зики вообще. Поэтому, прежде чем перейти к
описанию интересующих нас в первую очередь
вопросов оптики движущихся сред, коротко
остановимся на методах измерения скорости
света.
ЗОЛ
Астрономические
методы измерения
скорости света
Рёмер (Roemer) Оле
(1644—1710) — датский
астроном
Первые измерения скорости света были основаны на
астрономических наблюдениях. Достоверное значение
скорости света, близкое к современной величине, было
впервые получено Рёмером (1676) при наблюдении за-
тмений спутников планеты Юпитер.
Метод Рёмера. При астрономическом наблюдении ка-
кого-либо явления, происходящего на небесном светиле,
мы тем позже получим световой сигнал об этом явле-
нии, чем дальше находится Земля от светила. Очевидно,
что в таком случае явление будет наблюдаться с неко-
торым запаздыванием, равным времени, которое необ-
ходимо свету для прохождения пути от светила до Зем-
ли, деленному на скорость света.
Если наблюдать какой-либо периодический процесс,
происходящий в удаленной от Земли системе, то при
неизменном расстоянии между Землей и системой ука-
занное время запаздывания не будет влиять на наблю-
даемый период процесса. Время, соответствующее на-
чалу и концу периода, определяется с одинаковым запаз-
дыванием, поэтому и разность этих времен, равная
величине периода, останется неизменной. Другое дело,
если за время периода Земля удалится от системы или
приблизится к ней. В первом случае конец периода бу-
дет зарегистрирован с большим запаздыванием, чем на-
чало, что приведет к кажущемуся увеличению периода.
Во втором случае, наоборот, конец периода будет зафик-
сирован с меньшим запаздыванием, чем начало, что при-
ведет к кажущемуся уменьшению периода. Кажущееся
В настоящее время рекомендуется термин «скорость света» за-
менять термином «скорость распространения электромагнитных волн».
Скорость света л ее измерение
479
изменение периода в обоих случаях равно разности рас-
стояний между Землей и системой в начале и конце пе-
риода, деленной на скорость света.
Изложенные соображения лежат в основе принципа
определения скорости света по методу Рёмера, который
в качестве периодического процесса использовал затме-
ния одного из спутников Юпитера. Рёмер проводил на-
блюдения за спутником Ио, имеющем период обраще-
ния 42 ч 27 мин 33 с. При движении Земли по участку
орбиты Е}Е2Ез (рис. 30.1) она удаляется от Юпитера и
должно наблюдаться указанное выше увеличение пери-
ода. Наоборот, при движении Земли по участку орбиты
E^EiE] наблюдаемый период будет меньше истинного.
Поскольку изменение отдельного периода слишком мало
(порядка 15 с), то наблюдать его очень трудно. Эффект
обнаруживается лишь при большом числе наблюдений,
проводимых в течение длительного промежутка времени.
Если, например, наблюдать затмения в течение полуго-
да, начиная с момента противостояния Земли (точка Е\
на орбите) до момента «соединения» (точка Е$ на орби-
те), то промежуток времени между первым и последним
затмениями будет на 1320 с больше вычисленного теоре-
тически. Теоретический расчет периода затмений прово-
дился в точках орбиты, близких к противостоянию, где
расстояние между Землей и Юпитером практически не
меняется со временем.
Полученное расхождение можно объяснить только
тем, что в течение полугода Земля перешла из точки Е\
в точку Ез и свету приходится в конце полугодия прохо-
дить путь, больший, чем в начале, на величину отрезка
ЕгЕз, равного диаметру земной орбиты. Таким образом,
незаметные для отдельного периода запаздывания на-
капливаются и образуют результирующее запаздывание.
Величина запаздывания, определенная Рёмером, состав-
ляла 22 мин. Принимая диаметр орбиты Земли равным
3-108 км, можно получить для скорости света величину
226 000 км/с.
Величина скорости света, определенная на основании
измерений Рёмера, оказалась меньше современного зна-
чения. Позже были выполнены более точные наблюде-
ния затмений, которые дали время запаздывания, равное
16,5 мин, что соответствует скорости света 301000 км/с.
Метод аберрации света. Для земного наблюдателя
направление луча зрения на звезду будет неодинаковым,
если это направление определять в разные времена го-
да, т. е. в зависимости от положения Земли на ее орби-
те. Если направление на какую-либо звезду определять
Рис. 30.1. Определение
скорости света методом
Рёмера
Рис, 30.2. Параллакти-
ческий угол звезды
480
Распространение света в движущихся средах
годичный параллакс
Брадлей (Брэдли) (Bra-
dley) Джеймс (1693 —
1762) — английский аст-
роном
аберрация света
эклиптика
Рис. 30.3. К объяснению
аберрации света
с полугодовыми промежутками, иначе говоря, при поло-
жениях Земли на противоположных концах диаметра
земной орбиты, то угол между полученными двумя на-
правлениями будет называться годичным параллаксом
(рис. 30.2). Чем дальше находится звезда от наблюда-
теля, тем меньше ее параллактический угол. Измеряя
параллактические углы различных звезд, можно опре-
делить расстояние этих звезд до нашей планеты.
В 1725—1728 гг. Брадлей произвел измерения годич-
ного параллакса неподвижных звезд. Наблюдая за од-
ной из звезд в созвездии Дракона, Брадлей обнаружил,
что ее положение менялось в течение года. За это время
она описала небольшую окружность, угловые размеры
которой были равны 40,9". В общем случае в результате
движения Земли по орбите звезда описывает эллипс,
большая ось которого имеет те же угловые размеры.
Для звезд, лежащих в плоскости эклиптики *>, эллипс
вырождается в прямую, а для звезд у полюса — в окруж-
ность.
Величина смещения, измеренная Брадлеем, оказа-
лась значительно больше ожидаемого параллактическо-
го смещения. Брадлей объяснил это явление, названное
им аберрацией света, конечностью скорости света. За то
короткое время, в течение которого свет, упавший на
объектив телескопа, распространяется от объектива до
окуляра, окуляр в результате движения Земли по орбите
успеет сдвинуться на какой-то очень малый отрезок
(рис. 30.3), Вследствие этого изображение звезды смес-
тится на отрезок а. Направляя вновь телескоп на звезду,
его придется несколько наклонить в направлении дви-
жения Земли, чтобы изображение звезды опять попало
на перекрестие нитей окуляра.
Пусть угол наклона телескопа будет равен а. Обо-
значим через т время, необходимое свету для прохожде-
ния отрезка Ь, равного расстоянию от объектива теле-
скопа до окуляра, тогда из рис. 30.3 следует, что а=пт,
Ь=сх и tga=fl/6=’JT/cT=n/c. Из измерений Брадлея бы-
ло известно, что при двух положениях Земли, лежащих
на одном диаметре орбиты, звезда кажется смещенной
от истинного положения на один и тот же угол а. Угол
между этими направлениями наблюдения 2а~40,9", от-
куда, зная скорость и Земли на орбите, можно найти с.
Брадлей нашел, что скорость света с=306 000 км/с. Сле-
дует отметить, что явление аберрации света связано с
*> Эклиптикой называется большой круг небесной сферы, по ко-
торому происходит видимое годичное движение Солнца.
Скорость света и ее измерение
481
изменением направления скорости Земли в течение го-
да. Объяснение этого явления базируется на корпуску-
лярных представлениях о свете. Рассмотрение аберра-
ции света с волновой точки зрения более сложно и свя-
зано с вопросом о влиянии движения Земли на распро-
странение света Ч
Измерения Рёмера и Брадлея показали, что скорость
света конечна, хотя и имеет огромное значение. Однако
для дальнейшего развития теории света важно знать не
только скорость света в мировом пространстве, но и уста-
новить, от каких причин эта скорость зависит и как она
изменяется при переходе света из одной среды в дру-
гую. Для этого необходимо было разработать методы
измерения скорости света земных источников. Первые
попытки постановки таких экспериментов стали предпри-
ниматься в начале XIX в.
Метод прерываний (метод Физо), Первый экспери-
ментальный метод определения скорости света земных
источников был разработан в 1849 г. Физо. Схема опыта
Физо изображена на рис. 30.4, а. Свет, распространяю-
щийся от источника S, частично отражается от полупро-
зрачной пластинки Р и направляется к зеркалу М. На
пути луча располагается прерыватель света — быстро
вращающееся зубчатое колесо К, ось которого 00' па-
раллельна лучу. Лучи света проходят через промежутки
между зубьями, отражаются зеркалом М и направля-
ются обратно через зубчатое колесо и пластинку Р к на-
блюдателю.
При медленном вращении колеса К свет, пройдя че-
рез промежуток между зубьями, например d на рис.
30.4, б, успевает возвратиться через этот же промежуток
и попадает в глаз наблюдателя. В те моменты, когда
путь лучей пересекается зубцом, свет не попадает к на-
блюдателю. Таким образом, при малой угловой скорости
© наблюдатель воспринимает мелькающий свет. Если
увеличить скорость вращения колеса, то при некотором
значении и=Ш1 свет, прошедший через промежуток d
между зубьями, дойдя до зеркала Af и вернувшись об-
ратно, не попадет в тот самый промежуток, а будет пе-
рекрыт зубцом /, занявшим к этому моменту положение
промежутка d. Следовательно, при скорости wj в глаз
наблюдателя свет совсем не будет попадать ни от про-
межутка dt ни от всех последующих (первое затемне-
30.1
Измерения
скорости света
земных источников
Физо (Fizeau) Арман Нг-
полит Лун (1819—
1896)— французский фи-
зик
Рис. 30.4. Схема уста-
новки Физо для измере-
ния скорости света
’> См„ например: Ландсберг Г. С. Оптика—М.: Наука, 1976,
с. 420—422.
482
.Распространение света в движущихся средах
Перротен (Perrctin) Йо-
зеф (1845-1904)
французский физик
ние). Если возьмем число зубцов и, то время поворота
колеса на ползубца равно t\ = (1/2п)(2л/й]). Время про-
хождения светом расстояния от колеса до зеркала М и
обратно равно t=2ljc, где с —скорость света; / — рас-
стояние от колеса до зеркала М (база), Приравнивая
эти два времени, получаем условие, при котором насту-
пит первое затемнение: 2//с= (1/2л) (2л/ы[), откуда мож-
но определить скорость света:
2/-2П-Ю.
С = —s—L = 4m,
2л
где v — число оборотов в секунду.
В установке Физо база I была равна 8,63 км, число
зубцов в колесе п=720 и первое затемнение наступило
при v=12,6 об/с. Если увеличить скорость колеса вдвое,
то будет наблюдаться просветленное поле зрения, при
утроенной скорости опять наступит затемнение, т. е. воз-
вращающийся свет будет задержан следующим зубцом
и т. д. Вычисленное Физо значение скорости света
£=313 300 км/с.
Основная трудность таких измерений заключается в
точном установлении момента затемнения. Точность по-
вышается как при увеличении базы, так и при скоростях
прерываний, позволяющих наблюдать затемнения выс-
ших порядков. Так, Перротен в 1902 г. провел измерения
скорости света при /=46 км и получил с=299 870±
±50 км/с. Работа проводилась в условиях чрезвычайно
чистого морского воздуха с использованием высокока-
чественной оптики.
Вместо вращающегося колеса можно применять дру-
гие, более совершенные методы прерывания света, на-
пример ячейку Керра, в которой применение быстропе-
ременного поля дает возможность производить 107
прерываний в секунду. Использование ячейки Керра
позволяет значительно сократить базу. Например, в
установке Андерсона (1941) с ячейкой Керра и фото-
электрической регистрацией база составляла всего лишь
3 м. Его измерения дали £ = 299776 ±14 км/с.
Метод вращающегося зеркала (метод Фуко). Метод
определения скорости света, разработанный в 1862 г.
Фуко, можно отнести к первым лабораторным методам.
С помощью этого метода Фуко осуществил измерения
скорости света в средах, для которых показатель пре-
ломления п>1.
Схема установки Фуко приведена на рис. 30.5. Свет
от источника 5 проходит через полупрозрачную пластин-
ку Р, линзу L и падает на плоское зеркало Мь которое
Скорость света и ее измерение
483
может вращаться вокруг оси О, перпендикулярной к
плоскости чертежа. После отражения от зеркала Mi луч
света направляется на неподвижное вогнутое зеркало
М2, расположенное так, чтобы этот луч всегда падал
перпендикулярно к его поверхности и отражался по тому
же пути на зеркало Mi. Если зеркало М1 неподвижно, то
отраженный от него луч возвратится по своему перво-
начальному пути к пластинке Р, частично отражаясь от
которой он даст изображение источника S в точке Si.
Рис. 30.5, Схема установки Фуко для измерения скорости света
При вращении зеркала за время, пока свет про-
ходит путь 2/ (I — расстояние от Mj до М2) между обои-
ми зеркалами и возвращается обратно, вращающееся с
угловой скоростью © зеркало Mi повернется на угол
a—©t=o(2//c)-2«v(2//c) (v —число оборотов в секун-
ду) и займет положение, показанное на рис. 30.5 пунк-
тиром. Отраженный от этого зеркала луч света будет по-
вернут на угол 2а по отношению к первоначальному и
даст изображение источника S в точке S2- Измерив рас-
484
Распространение света в движущихся средах
стояние S1S2 и зная геометрию установки, можно опре-
делить угол а и вычислить скорость света:
c=2't = -vL' (зол)
Таким образом, суть метода Фуко заключается в точ-
ном измерении времени прохождения светом расстояния
21. Это время оценивается по углу поворота зеркала Afh
скорость вращения которого хорошо известна. Угол по-
ворота определяется из измерений смещения SiS2.
В опытах Фуко скорость вращения зеркала достигала
800 об/с, база / изменялась от 4 до 20 м. Для скорости
света в воздухе было получено значение с = 298000±
±500 км/с.
Фуко с помощью своей установки впервые измерил
скорость света в воде. Поместив между зеркалами Aft и
М2 трубу, наполненную водой, Фуко обнаружил, что угол
сдвига а возрос в 3/4 раза, а следовательно, рассчитан-
ная по формуле (30.1) скорость у распространения света
в воде оказалась равной (3/4) с, т. е. меньше, чем в ва-
кууме. Вычисленный по формулам волновой теории по-
казатель преломления света в воде получился равным
п~ v ~ (3/4)с 3 ~
что находится в полном согласии с непосредственными
измерениями по закону синусов. Таким образом, этот эк-
сперимент окончательно подтвердил справедливость вол-
новой теории и закончил полуторавековой спор в ее
пользу.
Метод Майкельсона (1926). Установка Майкельсона,
схема которой приведена на рис. 30.6, была выполнена
Рис. 30.6. Схема уста-
новки Майкельсона для
измерения скорости света
г между двумя горными вершинами, так что расстояние,
проходимое лучом от S до S' после отражений от пер-
вой грани восьмигранной зеркальной призмы, зеркал
М2—М7 и пятой грани, составляло около 35,4 км. Ско-
рость вращения призмы (приблизительно 528 об/с) вы-
биралась такой, чтобы за время распространения света
от первой грани до пятой призма успевала повернуться
на 1/8 оборота. Возможное смещение зайчика при неточ-
но подобранной скорости играло роль поправки. Ско-
рость света, определенная с помощью описанной уста-
новки, с=299 796±4 км/с.
Из других методов отметим выполненное в 1972 г. из-
мерение скорости света путем независимого определения
длины волны и частоты света. Источником света служил
гелий-неоновый лазер, генерирующий излучение 3,39 мкм.
Оптические опиты с движущимися телами
485
При этом длина волны измерялась с помощью интерфе-
рометрического сравнения с эталоном длины оранжевого
излучения криптона, а частота — с помощью радиотех-
нических методов. Скорость света c=Xv, определенная
этим методом, составила 299 792,4562±0,001 км/с. Авто-
ры метода считают, что достигнутая точность 6с/с = 3-10~э
может быть повышена за счет улучшения воспроизводи-
мости измерений эталонов длины и времени.
В заключение отметим, что при определении скоро-
сти света измеряется групповая скорость и, которая
лишь для вакуума совпадает с фазовой.
Глава 31
ОПТИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ С ДВИЖУЩИМИСЯ ТЕЛАМИ
Впервые вопрос о влиянии движения
источников света н приемников, регистриру-
ющих световые сигналы, на оптические явле-
ния возник в связи с открытием аберрации
света Брадлеем (см. § 30.1). Вторым вопро-
сом оптики движущихся сред был вопрос о
возможном влиянии движения тела на пре-
ломление в кем света, испускаемого неподвиж-
ными небесными источниками, С точки зрения
корпускулярной теории такая зависимость
вполне возможна. Действительно, в случае
движения преломляющего тела световая ча-
стица встречает его со скоростью, зави-
сящей от скорости этого движения. Показатель
же преломления тела должен определяться
только скоростью световых частиц, относи-
тельно преломляющего тела. Поэтому, напри-
мер, казалось вполне возможным ожидать, что
фокусное расстояние линзы, измеренное с по-
мощью света от земного источника, неподвиж-
ного относительно линзы, отличается от фо-
кусного расстояния, если для измерения
использовать свет звезды. В 1810 г. Араго по-
ставил такой опыт, но получил отрицательный
результат.
Обсуждение результатов опыта Араго и
вообще вопроса о влиянии движения источ-
ников и приемников света на оптические явле-
ния происходило уже в рамках волновой тео-
рии, света. Следует подчеркнуть, что для вол-
новой теории этот вопрос оказался значитель-
но сложнее, чем для корпускулярной. Волно-
вая теория опиралась на представления об
эфире, поэтому необходимы были предполо-
жения о том, как взаимодействуют весомые
тела и эфир (полагали, что эфир проникает в
тела), отличается ли эфир внутри тел от эфи-
ра, находящегося вне их, как ведет себя эфир
внутри тел при их движении ц т. д.
При рассмотрении проблемы, как протека-
ет оптическое явление в случае движения си-
стемы, в которой оно происходит, существен-
ное значение имеет ответ на вопрос: можно ли
установить движение источника света и вос-
принимающих свет приборов относительно
среды, в которой свет распространяется, иля
можно лишь установить движение источника
и приемника света относительно друг друга.
Это очень важная задача оптики и вообще
электродинамики движущихся сред, имеющая
огромное принципиальное значение, так как
подавляющее большинство опытов протекает
в земных условиях, т. с. в системе, движущей-
ся относительно других небесных тел. Необхо-
димо знать, отражается ли этот факт, а если
отражается, то каким образом, на протекания
наблюдаемых явлений.
Волновая теория света привела к возникновению в
физике понятия о мировом эфире как о всепроникающей
среде, в которой могут распространяться упругие возму-
щения и волны, Эта среда должна обладать ничтожно
малой плотностью, чтобы не создавать заметного со-
противления движению небесных тел. Установленная
31.1
Проблема эфира
и принцип
относительности
в механике
486
Распространение света в движущихся средах
инерциальная
система отсчета
принцип
относительности
Галилея
Галилей (Galilei) Гали-
лео (1564—1642) — ита-
льянский ученый
преобразования
Галилея
г при изучении поляризационных явлений поперечность
световых волн заставила считать эфир несжимаемым и
способным испытывать лишь упругие деформации сдви-
га. Поскольку свет не только распространяется в ваку-
уме, но и проходит через различные прозрачные тела
(стекло, вода, воздух и др.), следовательно, эфир не
только должен заполнять межпланетное пространство,
но и должен быть заключен внутри тел. Скорость света
в среде меньше, чем в пространстве между телами, по-
этому свойства эфира в телах должны изменяться.
При рассмотрении оптики движущихся сред прежде
всего необходимо выяснить, как отразится прямолиней-
ное и равномерное движение среды, в которой происхо-
дят те или иные физические процессы, на описание их с
помощью уравнений Ньютона и Максвелла. Иными сло-
вами, нужно выяснить, равноправны ли две инерциаль-
ные системы при описании оптических явлений в рамках
классической физики. Напомним, что основной закон
классической механики, а также его следствия имеют
одинаковый вид во всех инерциальных системах отсче-
та, т. е. системах, движущихся равномерно и прямоли-
нейно друг относительно друга. Это положение носит на-
звание принципа относительности Галилея.
Обозначим координаты движущейся точки в системе
XYZ (рис. 31.1) в некоторый момент времени t через х,
yt zt а координаты этой же точки в системе X'Y'Z' в тот
же момент времени t'=t —через x'y'z'. Тогда будут
справедливы следующие соотношения:
х’ = х—vt\ у' = у\ z’~z\ Г = Г
x~x' + vt\ у-у'\ г = г'\ t = Г,
которые носят название преобразований Галилея. Здесь
У —скорость движения штрихованной системы коорди-
нат относительно нештрихованной. Принято говорить,
что уравнения классической механики инвариантны от-
носительно преобразований Галилея.
Из принципа относительности Галилея следует, что
в рамках классической механики понятие скорости не
может иметь абсолютного смысла. Однако, если сущест-
вует мировой эфир как всепроникающая материальная
среда, то система отсчета, связанная с эфиром, будет
иметь преимущественное значение по сравнению со все-
ми инерциальными системами и скорость материальной
точки в этой системе будет абсолютной скоростью точки
в пространстве. Если это действительно так, то можно
найти способы измерения абсолютной скорости или, как
было принято говорить, обнаружения «эфирного ветра».
(31.1)
Рис. 31Л. Две инерци-
альные системы коорди-
нат
Оптические опыты с движущимися телами
487
Поиски «эфирного ветра» и изучение всех связанных
с этим вопросом проблем привели к созданию теории
относительности.
При рассмотрении вопроса о взаимодействии мирово-
го эфира с движущимися телами можно допустить, что:
1) эфир полностью увлекается движущимися телами, на-
пример Землей, подобно тому как тело при своем дви-
жении увлекает прилежащие к его поверхности слои га-
за; 2) эфир частично увлекается движущимися телами,
приобретая скорость ап, где п —скорость тела относи-
тельно абсолютной системы отсчета; а — коэффициент
увлечения, меньший единицы; 3) эфир совершенно не
увлекается движущимися телами. Наиболее четкое вы-
ражение различных точек зрения нашло место в двух
диаметрально противоположных теориях, созданных в
конце XIX в.: теории полностью увлекаемого эфира
(электродинамика Герца) и теории неподвижного эфира
(электродинамика Лоренца). Вопрос о том, какая из
двух теорий справедлива, должен был решить опыт. Из
всех экспериментов, связанных с этой проблемой, оста-
новимся на двух оптических опытах, выполненных Физо
и Майкельсоном.
Опыт Физо (1851). В противовес двум взаимоисклю-
чающим гипотезам Френель выдвинул гипотезу о частич-
ном увлечении эфира движущимися телами. Согласно
ей эфир внутри материальных тел отличается от эфира
вне этих тел только своей плотностью, а остальные свой-
ства эфира всюду одинаковы. Тело при движении увле-
кает только ту часть эфира, находящегося внутри него,
которая составляет избыток плотности в нем по сравне-
нию с плотностью в пространстве, свободном от матери-
альных тел. При этих предположениях для скорости све-
та и в движущейся со скоростью v среде Френель полу-
чил следующую формулу.
«=4-+»(1—4-), (31.2)
где с — скорость света в свободном эфире; с/п — скорость
света в неподвижной среде; « — показатель преломле-
ния среды.
Формула (31.2) была истолкована в том смысле, что
имеет место частичное увлечение эфира и тем больше,
чем больше п. Множитель а=1—1/л2 получил название
коэффициента увлечения Френеля. По расчетам Френе-
ля для воды а=0,438.
31.2
Опыты Физо
и Майкельсона
электродинамика
Герца
электродинамика
Лоренца
коэффициент
увлечения
Френеля
488
Распространение света в движущихся средах
С целью выяснения вопроса о том, увлекается ли эфир
движущимися телами, Физо осуществил следующий
опыт. Свет от источника S (рис, 31.2) разделяется полу-
прозрачной пластинкой Р на два луча 1 и 2. В результате
отражений от зеркал Л!2 и М3 лучи, пройдя в общей
сложности одинаковый путь 2/, вновь попадали на плас-
тинку Р. Луч 1 частично проходил через Р, а луч 2 час-
тично отражался, в результате чего возникало два ко-
герентных луча 1' и 2', которые давали в фокальной
Рис. 31.2. Схема опыта Физо по определению увлечения -эфира дви-
жущейся волной
плоскости зрительной трубы интерференционную карти-
ну в виде полос. На пути лучей 1 и 2 были установлены
две трубы, по которым могла пропускаться вода со ско-
ростью v в направлениях, показанных стрелками. Луч /
распространяется в обеих трубах по течению воды, луч
2 — против течения. При неподвижной воде лучи 1 и 2
проходят путь 21 за одно и то же время.
Обозначим скорость света относительно эфира в во-
де через и. Допустим, что вода при движении частично
увлекает эфир, сообщая ему относительно установки ско-
рость av, Тогда скорость света относительно установки
для луча 1 равна u+аУ, а для луча 2 равна и~ас. Луч
1 пройдет путь луча 2 за время /1 = 21/(«+аи), а луч
2 — за время /2=2//(и—ап). Ожидаемое смещение А
интерференционной картины определится отношением
разности времен к периоду световых колебаний Г Вы-
числяя
., __ . , _ 2/ 2/ _ ilavn?
2 1 и — и-раи с2—аг^пг *
нетрудно определить величину смещения А:
Оптические опыты с движущимися телами
489
М _ сМ _ сМ _ 41алп-с ~ Пахт*
Т сТ ~~ К — 1(с* — a2t/2n}) Хс
если пренебречь величиной а2(п2п2/с2) по сравнению с
единицей.
Физо обнаружил, что интерференционные полосы
действительно смещаются. Значение, определенное из
величины смещения, оказалось равным а=0,46. Более
точные измерения Майкельсона и Морли, которые вос-
произвели опыт Физо в 1886 г., дали а—0,434 ±0,020, что
хорошо совпадает с расчетами Френеля. Повторение
опыта Физо с движущимся воздухом не дало никакого
смещения, что и следовало ожидать из-за малого отли-
чия показателя преломления воздуха от единицы. Ре-
зультаты опыта Физо показали несостоятельность теории
Герца, которая исходила из представлений о полном ув-
лечении эфира движущимися телами.
Опыты Майкельсона м Морли. Противоположной точ-
ки зрения на проблему электродинамики и оптики дви-
жущихся сред придерживался Лоренц, который в своей
теории исходил из предположения, что эфир совершенно
неподвижен и не принимает никакого участия в движе-
нии материальных тел. Такое допущение предполагает
отказ от механического принципа относительности в
электродинамике и оптике и позволяет ввести абсолют-
ную систему отсчета, связанную с неподвижным эфиром.
Согласно Лоренцу движение тел сквозь эфир должно со-
провождаться «эфирным ветром», влияние которого мож-
но обнаружить на опыте. Особенно интересными пред-
ставлялись опыты в среде с показателем преломления
п=1 (вакуум или воздух), так как для этого случая ко-
эффициент увлечения а=0.
Первый такой опыт был выполнен Майкельсоном
(1881) и затем повторен с большей точностью Майкель-
соном и Морли (1887). В данных опытах была сделана
попытка обнаружить абсолютное движение Земли в эфи-
ре путем измерения скорости распространения света в
направлении, совпадающем с направлением движения
Земли, и в направлении, перпендикулярном к нему. Для
этой цели Майкельсон использовал свой интерферометр
(см. § 6.1), который устанавливался таким образом, что-
бы одно из его плеч, например РАj (рис. 31.3, а), совпа-
дало с направлением скорости v орбитального движения
Земли, а второе плечо РА2 было перпендикулярно к
этому направлению. Время, необходимое лучу света, что-
бы пройти путь до зеркала 41 и обратно, будет отлично
от времени, которое потребуется лучу на прохождение
Морли (Морлей) (Mor-
ley) Френк (1860—
1937) — английский ма-
тематик
Рис. 31.3. Опыт Май-
келъсона — Морли по
определению абсолютно-
го движения
490
Распространение света в движущихся средах
пути РА2+А2Р. Если повернуть прибор на 90°, то плечи
поменяются местами и разность хода изменит знак, что
должно привести к смещению интерференционной кар-
тины.
Для вычисления ожидаемого смещения найдем ин-
тервалы времени и t2 прохождения лучом путей
РА2+А2Р и PAj+AjP. Время t определить достаточно
просто (с точностью относительно о/с = р до величины
второго порядка):
(31.3)
При оценке времени t2, необходимого свету для про-
хождения пути РА]+Я|Р, следует учесть, что зя это
время зеркало Aj переместится параллельно самому се-
бе на отрезок vt2. Из рис. 31.3,6 следует, что путь PAi
равен
-^e=/l,+ l(W2)«-]=,
а время t2 (также с точностью относительно р до вели-
чин второго порядка) равно
'=77^7^4/' +Я' (31-Ч
Из формул (31.3) и (31.4) следует, что учет движе-
ния Земли приводит к некоторой поправке, равной
p2=v2/c2, ъ е речь идет об установлении эффектов вто-
рого порядка малости. Скорость движения Земли по ор-
бите равна 30 км/с, а скорость света — 300 000 км/с, сле-
довательно, р=п/г»10“4 и р^Ю-8.
Разность промежутков времени At=t}—12, отнесенная
к периоду колебаний Т, определит ожидаемую величину
смещения интерференционной картины, обусловленную
движением Земли по своей орбите. Из формул (31.3) и
(31.4) величина М равна
Д/=A (1 + p»)— A [i+£)-4f. (31.5)
Смещение интерференционных полос измеряется в
эксперименте при повороте интерферометра на 90' по
отношению к первоначальному (см. рис. 31.3, с). Пово-
рот прибора приведет к изменению знака разности вре-
мен и в результате М = (2//с)02. Если бы At изменилось
на один период светового колебания, интерференционная
картина сместилась бы на одну полосу. В рассматрива-
емом случае картина должна сместиться на такую часть
Оптические опытысдвнжущммися телами
491
полосы, которая соответствует части, составляемой ве-
личиной (2//с)р2 периода Т, т. е.
A = = (31.6)
Чтобы обеспечить высокую чувствительность измере-
ний, т. е. иметь возможность обнаружить наименьший
сдвиг полос, интерферометр в опыте Майкельсона —
Морли был смонтирован на массивной гранитной плите,
которая плавала в ртути. Это значительно уменьшило
вибрации и позволило довольно легко поворачивать весь
интерферометр на 90\ За счет многократных отражений
(рис. 31.4) длина пути света I была увеличена до 11 м.
Длина волны применявшегося света была равна 5900 А.
Подставив в формулу (31.6) численные значения, полу-
чим, что смещение А должно составлять примерно 0,4
Рис. 31.4. Увеличение
пути света в интерферо-
метре Майкельсона
полосы, в то время как установка давала возможность
обнаружить смещение интерференционной картины по-
рядка 0,01 полосы.
На опыте заметного смещения интерференционных
полос обнаружено не было. Смещения носили случайный
характер и не превышали 0,02 полосы, что лежало в
пределах ошибок наблюдений. Таким образом, опыты
Майкельсона не подтвердили теорию неподвижного эфи-
ра. Они могли бы быть истолкованы, как доказательство
полного увлечения эфира телами, но тогда они вступили
бы в противоречие с результатами опыта Физо. Было
предпринято несколько попыток объяснить отрицатель-
ный результат опытов Майкельсона, не отказываясь при
этом от представлений о мировом эфире. Одной из них
была баллистическая гипотеза Ритца, согласно которой
к скорости светового луча, испускаемого движущимся
источником, добавляется скорость самого источника, по-
добно тому, как к скорости снаряда, выпущенного из
пушки движущегося корабля, добавляется скорость са-
мого корабля. Однако баллистическая теория была от-
вергнута, так как она встретилась с неразрешимыми
трудностями при объяснении опытов типа Физо, эффек-
та Доплера и результатов наблюдений за двойными звез-
дами.
Лоренц и Фицджеральд выдвинули независимо друг
от друга гипотезу, что линейные размеры всех тел, дви-
жущихся относительно эфира, сокращаются в направ-
лении движения в отношении 1: У1—02 (контракцион-
ная гипотеза). Это предположение объясняет отрицатель-
ный результат опыта Майкельсона. Однако физическая
природа исходных предположений гипотезы Лоренца —
баллистическая
гипотеза Ритца
Ритц (Ritz) Вальтер
(1878—1909) — швейцар-
ский физик-теоретик и
математик
Фицджеральд (Fitzge-
rald) Георг (1851—
1901)—ирландский фи-
зик
контракционная
гипотеза
492
Распространение света в движущихся средах
Осциллограф
Рис. 31.5. Схема опыта
Таунса
Таунс (Townes) Чарлз
Хард (р. 1915) —амери-
канский физик
Мёссбауэр (Mdssbauer)
Рудольф Людвиг (р.
1929) — немецкий фи-
зик
Фицджеральда оставалась неясной. Отвергая принцип
относительности и утверждая, что абсолютное движение
по отношению к эфиру не только имеет смысл, но и ска-
зывается на размерах тел, она вместе с тем приводит к
выводу, что наблюдать это движение невозможно.
Опыты Майкельсона неоднократно повторялись раз-
ными исследователями на разном техническом уровне.
Из опытов, выполненных в последнее время, очень высо-
кая точность была достигнута в опыте Таунса с группой
сотрудников (1964). Установка, включающая два He-Ne
лазера, расположенных перпендикулярно друг к другу,
имела возможность плавно поворачиваться на 90’
(рис. 31.5). В опыте исследовалась возможность измене-
ния частоты сигнала при повороте лазеров на 90°. Ожи-
даемый эффект второго порядка относительно р2 состав-
лял 3- 10s Гц. В результате оказалось, что смещение ча-
стот составляет 3> 103 Гц, т. е. только 1/1000 смещения,
соответствующего скорости «эфирного ветра» при орби-
тальном движении Земли в-неподвижном эфире. При
скорости движения Земли по орбите, равной 30 км/с, эта
величина составляет лишь 30 м/с. Еще большая точность
была достигнута Чемпни, Изааком и Каном в опыте, по-
ставленном на основе эффекта Мёссбауэра *>. В этом
опыте был сделан вывод об отсутствии «эфирного ветра»
со скоростью, превышающей 5 м/с.
Таким образом, на основе всех экспериментов, про-
водившихся с целью проверки опыта Майкельсона, мож-
но считать, что отрицательный результат этого опыта
доказан с большой точностью. Тем самым можно утверж-
дать, что в земной системе скорость света не зависит от
направления его распространения. Так как опыты про-
водились в разное время года, то тем самым реализовы-
вались разные инерциальные системы. Опыт Майкель-
сона, таким образом, свидетельствовал о равноправно-
сти инерциальных систем.
31.3
Основы
специальной теории
относительности
и преобразования
Лоренца
Основные положения теории относительности были
впервые изложены Эйнштейном в 1905 г., который на ба-
зе имевшегося к началу XX в. экспериментального и тео-
ретического материала тщательно проанализировал уста-
новившиеся в физике понятия пространства и времени.
В основе теории Эйнштейна лежат два постулата:
1) первый постулат является обобщением механиче-
ского принципа относительности Галилея: в любых инер-
циальных системах отсчета все физические явления (ме-
*) Об эффекте Мёссбауэра см., например: Шпольский Э. В. Атом-
ная физика;—М.: Наука, 1984, т. 1, с. 397—407.
Оптические опыты с движущимися телами
493
ханические, оптические, тепловые и др.) протекают оди-
наково при одних и тех же условиях. Никакие физиче-
ские эксперименты не позволяют установить, находится
ли эта система в покое или движется равномерно и пря-
молинейно, Следовательно, абсолютное движение необ-
наружимо и абсолютное пространство Ньютона не имеет
смысла, как и его материальный субстрат —эфир;
2) второй постулат представляет собой отрицание
баллистической гипотезы и формулируется следующим
образом: скорость распространения света в вакууме не
зависит от движения источника света и одинакова по
всем направлениям. Так как всегда можно выбрать си-
стему отсчета, движущуюся в данный момент времени с
такой же скоростью, как и источник света, то второй по-
стулат равносилен утверждению, что скорость света в
вакууме одинакова во всех инерциальных системах от-
счета. Таким образом, скорость распространения света
в вакууме занимает особое положение в природе. В от-
личие от других скоростей, меняющихся при переходе от
одной системы отсчета к другой, скорость света в ваку-
уме являете^ инвариантной величиной.
Эти два постулата Эйнштейна — принцип относитель-
ности и принцип постоянства скорости света — легли в
основу специальной (частной) теории относительности
(физической теории пространства и времени), описыва-
ющей только инерциальные системы. Объединение прин-
ципа относительности с конечностью скорости распрост-
ранения света принято называть принципом относитель-
ности Эйнштейна. В 1915 г. Эйнштейном были созданы
основы так называемой общей теории относительности,
которая является обобщением теории для неинерциаль-
ных систем отсчета и представляет собой современную
теорию тяготения.
Из принципа относительности Эйнштейна следует,
что скорость распространения сигнала одинакова во всех
инерциальных системах отсчета, т. е. является универ-
сальной постоянной, равной скорости света в вакууме.
Принятие его диктует необходимость отказа от класси-
ческих представлений, к примеру от закона сложения
скоростей, согласно которому скорость сложного движе-
ния равна векторной сумме скоростей, его составляющих.
В классической механике пространственные соотно-
шения между различными событиями *1 зависят от того,
в какой системе отсчета они описываются, т. е. прост-
*) Событие, происходящее с некоторой материальной частицей,
определяется тремя координатами этой частицы и временем, когда
происходит событие.
постулаты
теории
относительности
специальная
(частная)
теория
относительности
принцип
относительности
Эйнштейна
494
Распространение света в движущихся средах
ранство в классической механике относительно. Напро-
тив, время в классической механике является абсолют-
ным, т. е. свойства времени считаются не зависящими от
системы отсчета — время одно и то же для всех систем
отсчета. Это значит, что если два каких-либо события
происходят одновременно для одного наблюдателя, то
они являются одновременными для любого другого.
Принцип относительности Эйнштейна приводит к вы-
воду, что время не абсолютно. Время течет по-разному в
разных системах отсчета. Следовательно, утверждение,
что между двумя данными событиями прошел опреде-
ленный промежуток времени, имеет смысл только тогда,
когда указано, к какой системе отсчета это утверждение
относится. В частности, события — одновременные в не-
которой системе отсчета, будут не одновременными в
другой системе. Постоянство скорости света во всех
инерциальных системах связано с тем, что при переходе
от одной системы к другой меняются не только расстоя-
ния между движущимися точками, но и течение времени.
Следовательно, ньютоновская концепция абсолютного
времени оказывается столь же несостоятельной, как и
концепция абсолютного пространства.
Как уже отмечалось, для описания события в некото-
рой системе отсчета нужно указать, в каком месте и в
какое время оно происходит. Это можно осуществить,
если в каждой точке пространства поместить метку, ука-
зывающую координаты, а также часы, по которым мож-
но было бы отметить момент времени прохождения
события в данном месте. Координатные метки можно на-
нести путем перекладывания единичного масштаба, В ка-
честве часов можно использовать любой периодический
процесс (качание маятника, колебание атома, молекулы
и др.). Чтобы сравнить моменты времени, в которые про-
исходят два события в разных точках пространства, не-
обходимо убедиться в том, что часы, находящиеся в этих
точках, идут синхронно.
Синхронизацию можно было бы осуществить, распо-
ложив часы сначала рядом, а после сверки их показаний
перенести часы в соответствующие точки пространства.
Однако такой способ непригоден, так как неизвестно,
как повлияет на ход часов их перемещение из одной точ-
ки в другую. Поэтому нужно сначала расположить часы
по точкам пространства и лишь затем произвести сверку
их показаний. Это можно сделать, посылая от одних ча-
сов к другим световой сигнал *>. Пусть из точки А в мо-
Проверка часов по радиосигналам представляет собой, по су-
ществу, такую же синхронизацию.
Оптические опыты с движущимися телами
495
мент времени Л (отсчитанный по часам Л) посылается
световой сигнал в точку В. Этот сигнал отражается от
зеркала, помещенного в точке В, и возвращается в точку
А в момент времени Показание часов в точке В можно
считать синхронным с показаниями часов в точке А, если
в момент прихода сигнала часы в точке В показывали
время f=(G+4)/2. Такую сверку необходимо провести
для всех часов, расположенных в разных точках систе-
мы К. События в точках А и В будут считаться одно-
временными в системе К, если соответствующие им от-
счеты времени по часам точек А я В совпадут, Аналогич-
но производится синхронизация показаний всех часов в
системе К' и любой другой инерциальной системе от-
счета.
Синхронизация хода часов осуществляется, конечно,
и в классической механике, опирающейся на преобразо-
вания Галилея, которые допускают, что время в различ-
ных системах отсчета совпадает, т. е. t—t'. Это означает,
что синхронизация часов, расположенных в разных точ-
ках системы, в классической механике осуществляется с
помощью сигнала, распространяющегося с бесконечной
скоростью. Именно это обстоятельство и является при-
чиной того, что понятие одновременности в классической
механике имеет абсолютный смысл, т. е. события, одно-
временные в какой-либо системе отсчета, оказываются
одновременными и во всех остальных системах,
Известно, что преобразования Галилея (31.1) для до-
статочно больших скоростей приводят к выводам, про-
тиворечащим экспериментальным фактам. Для таких
случаев они не правильно отражают ту связь, которая
существует для координат и времени инерциальных си-
стем, движущихся друг относительно друга. Поэтому
необходимо найти другие преобразования, которые свя-
зывали бы координаты и время в одной инерциальной
системе с координатами и временем в другой инерциаль-
ной системе. Эти преобразования, называемые преобра-
зованиями Лоренца, могут быть найдены на основе двух
исходных постулатов теории относительности.
Напомним, что из преобразований Галилея следует
известный закон сложения скоростей классической меха-
ники:
их = их 4- щ Uy - и'у, uz = (31.7)
который, как уже отмечалось, находится в противоречии
с принципом постоянства скорости света.
Действительно, если в системе К' световой сигнал
распространяется со скоростью их—с, то согласно (31.7)
закон сложения
скоростей в классической
механике
496
Распространение света в движущихся средах
в системе Д’ скорость сигнала окажется равной
т. е. будет больше с. Поскольку скорости не складывают-
ся по классической формуле (31.7), то можно ожидать,
что время одной системы отсчета не выражается только
через время другой системы, а зависит также и от ее
координат.
В общем случае преобразования Лоренца имеют вид
*' = Fi(x, у, 2, /); у' = F2(x, у, г, I); г' = F3(x, у, г, /);
tr = Fi(x,ytz, t), (31.8)
где Fi — некоторые функции, вид которых надо найти.
Общий вид этих функций определяется свойствами
пространства и времени. Главными свойствами прост-
ранства являются однородность —свойство сохранять
неизменными характеристики пространства при перехо-
де от одной точки к другой и изотропность — одинако-
вость свойств пространства по различным направлени-
ям. Время также обладает свойствами однородности.
Однородность времени есть одинаковость развития и из-
менения данной физической ситуации независимо от то-
го, в какой момент времени эта ситуация сложилась. Из
однородности пространства и времени следует, что пре-
образования должны быть линейными. Не останавлива-
ясь на сравнительно несложном их выводе, приведем
окончательный результат *).
Для систем К и К', выбранных как показано на
рис. 31,1, формулы преобразований Лоренца имеют
вид * **J:
преобразования
Лоренца
преобразования Лоренца
от неподвижной системы
к движущейся
, x—vt
X = . ;
и-Г
У’=У>
г’ = г;
преобразования Лоренца
от движущейся системы
к неподвижной
+ .
»=»'; (31.9)
г —г';.
f - . f = F + №) х
/ГЙГ2 ’ /14^ ’
где Р=у/с; и — скорость системы К' относительно К; с —
скорость света.
*) Вывод преобразований Лоренца можно найти в любом совре-
менном учебном пособии по механике.
**J В общем случае произвольно направленных осей преобразо-
вания Лоренца имеют сложный вид. Для наших целей достаточно
расположения осей и относительной скорости систем, принятого на
рис, 31.1.
Оптические опыты с движущимися телами
497
Преобразования (31.9) были названы именем Лорен-
ца по предложению Эйнштейна, так как впервые эти
формулы были получены Лоренцом из следующих сооб-
ражений. Законы электродинамики (как и механики)
должны иметь один и тот же вид, т. е. быть инвариант-
ными при переходе от одной инерциальной системы к
другой. Однако прн применении преобразований Гали-
лея они меняют свой вид. Новые преобразования, най-
денные Лоренцом, оставляли уравнения электродинами-
ки инвариантными, но содержали преобразования не
только координат, но и времени. Однако лишь Эйнштейн,
в отличие от Лоренца, вложил физическое содержание в
переменные t и Г, показав, что речь идет об истинных
временах инерциальных систем К и К': i— реальное вре-
мя системы К, a ir — реальное время системы К'. При
этих условиях уравнения электродинамики, отнесенные к
любой инерциальной системе, имеют совершенно одина-
ковый вид, т. е. остаются инвариантными, что и должно
следовать из принципа относительности.
Формулы Лоренца являются более общими преобра-
зованиями. Они справедливы для любых скоростей. При
малых скоростях (по сравнению со скоростью света),
т. е. когда и<Сс (у/с<1), членами, содержащими и2/с2 и
z>lc2 в формулах (31.9), можно пренебречь и преобразо-
вания Лоренца переходят в преобразования Галилея. Та-
ким образом, формулы Галилея являются лишь первым
приближением, пригодным для области скоростей, малых
по сравнению со скоростью света.
Преобразования Галилея можно получить из формул
Лоренца, если положить с=оо. Но, как уже отмечалось,
в основе формул Галилея лежит допущение, что синхро-
низация часов производится с помощью сигналов, имею-
щих бесконечно большую скорость. Из этого обстоятель-
ства вытекает, что в формулах (31.9) величина с играет
роль скорости тех сигналов, с помощью которых осуще-
ствляется синхронизация хода часов в разных системах
отсчета. В преобразованиях Лоренца этой, скоростью яв-
ляется скорость света.
Преобразования Лоренца сохраняют смысл лишь при
условии, что р.<1, т. е. и<с. Другими словами, скорости
систем друг относительно друга не должны превосходить
скорость света в вакууме, которая является предельной.
Очевидно, что это ограничение распространяется на все
возможные случаи переноса энергии.
Выше (см. § 31.1) введено понятие события, которое
характеризуется местом, где оно произошло (координа-
ты х, yt z), и временем f, когда оно произошло. Таким
498
Распространение света в движущихся средах
образом, событию можно сопоставить четыре числа: х, у, z, t. Введем воображаемое четырехмерное пространст- во, по осям которого откладываются три пространствен-
• ные координаты и время. В этом пространстве событие изобразится точкой, которую принято называть мировой
мировая точка точкой. Всякой материальной частице в четырехмерном пространстве соответствует некоторая линия, называе- мая мировой линией. Точки этой линии определяют ко-
• ординаты частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся частице соответствует пря-
мировая линия мая мировая линия. Если одно событие имеет координаты хь ylt zit а
другое — координаты х2, У2. 22, то величина
интервал -У с2(^-/1)8-(х2-х1)2-(уг-у1)2Нг2~г1)’ (31.10) характеризует некоторое расстояние между двумя собы- тиями и называется интервалом. Введя расстояние /и = V (х2 - Xi)2 + (й - уг)2 + (z2 - Zi)2 между двумя точками в обычном трехмерном простран- стве и обозначив ti2=tz—tjt получим «и=Гл?2-/?2- (31.11) Легко можно убедиться в том, что величина интерва- ла между двумя данными событиями оказывается во всех инерциальных системах одна и та же, т. е. интервал (31.10) является инвариантным по отношению к перехо- ду от одной инерциальной системы отсчета к другой.
31.4 Оптический эффект Доплера Рассматривая свет как распространяющиеся волны возмущений в эфире, Доплер отметил, что частота све- товых колебаний, воспринимаемых приемником, должна зависеть как от скорости источника света, так и от ско- рости приемника, взятых по отношению к эфиру, и что она будет отличаться от частоты световых колебаний,
• которые испускает источник. Предсказанный (1842) чи- сто теоретически эффект, названный впоследствии эф-
эффект Доплера фектом Доплера, относится к любым волнам независи- мо от их природы, в частности к акустическим волнам. Однако между акустическим и оптическим эффекта- ми Доплера имеется принципиальное различие. В случае акустических волн существенным является движение ис- точника и приемника по отношению к среде, в которой происходит распространение колебаний. Поскольку осо- бой среды, которая служила бы носителем электромаг- нитных волн, не существует, то оптический эффект Доп-
Оптические опыты с движущимися телами
499
лера должен определяться только относительной ско-
ростью источника и приемника и являться следствием
преобразований Лоренца.
Поместим приемник в начале координат системы К,
а источник света —в начале координат системы К'
(рис. 31.6). Оси х и х' направим вдоль вектора скорости
v, с которой система К1 (источник) движется относитель-
но системы К (приемник). Уравнение плоской световой
волны, испускаемой источником по направлению к при-
емнику, в системе К' будет иметь вид
£(х', Г) = 4'cos [ш'(Г + х'/с) + а'], (31.12)
где и' —частота, регистрируемая в системе отсчета, свя-
занной с источником, г. е. частота света, испускаемого
источником; а' —начальная фаза. В (31.12) взят знак
плюс, так как волна распространяется в сторону убы-
вания хг.
Согласно принципу относительности в системе К вол-
на описывается уравнением
Е (х, t) = A cos [a(f 4- х/'с) 4- a], (31.13)
где ы — частота, регистрируемая в системе К, т. е. ча-
стота света, воспринимаемая приемником.
Уравнение волны в системе К можно также получить
из уравнения (31.12), перейдя от х\ f к х, t с помощью
преобразований Лоренца:
гГ r [ t—iv/c2) х , x—vt \ . Л
Е (х, 0 = A cos ©' —, — 4- г--------14-«
L /1 -₽г сУ1-Р/ J
у
к
а’
Пришиик Источник
Рис. 31.6. К расчету эф-
фекта Доплера
ИЛИ
£(х, 1) = 4'cos[®’ 7-)+»'] (31-14)
Уравнения (31.13) и (31.14) описывают в системе К
одну и ту же волну, поэтому должно выполняться соот-
ношение
а - ©' ' = <*>' У О -f/c)/(l + f/c) •
г I — Р4
Переходя от круговой частоты ы к обычной v и обо-
значая частоту у' в системе источника через vo, получаем
voy(l-u/c)/(14-n/c). (31.15)
Из сопоставления уравнений (31.13) и (31.14) сле-
дует также, что a=a', т. е., положив, например, в урав-
нении (31.12) а'=0, нужно и в (31.13) считать, что а=0.
Это объясняется тем, что преобразования Лоренца пре-
дусматривают такой выбор начала отсчета в системах К
500 Распространение света в движущиеся средах
и К', что при х'=0 и t'=0 значения х и t также обраща- ются в нуль.
• Если с системой К' связать приемник, а с системой К —источник, то получим такую же формулу, как и
продольный эффект Доплера (31.15), которая характеризует продольный эффект Доп- лера. При о<с формулу (31.15) можно приближенно записать следующим образом; 1—о/2с л v \Л f \ V~V° j + ^2с “ 2с Д1 2с Д откуда, ограничиваясь членами первого порядка отно- сительно у/с, получим v=v0(l—v/с). Теперь можно най- ти относительное изменение частоты: у —у0 ___ Ду _ v *0 “ С ’ т. е. продольный эффект Доплера является эффектом первого порядка относительно vic. В случае, когда линия, соединяющая источник и при- емник, составляет угол ф с направлением вектора ско- рости перемещения, то аналогичное рассмотрение дает следующее соотношение: v-v0-(31.16) ° 1 4- (V/C) СО5ф 4 которое при ф=0 переходит в формулу (31.15), а при <р=я/2 имеет вид v = v0/l-₽!. (31.17) Таким образом, согласно теории относительности эф- фект Доплера должен иметь место и в том случае, когда
• направление распространения света перпендикулярно к направлению движения, т. е. для световых волн сущест-
поперечный эффект Доплера вует и поперечный эффект Доплера (например, источник движется по окружности, в центре которой находится приемник). Приближенно формулу (31.17) можно записать в виде Л v2 \ 2с2 )’ тогда относительное изменение частоты Ду _ ч2 УО “ 2с» * т. е. поперечный эффект Доплера является эффектом вто- рого порядка относительно vic.
Оптические опыты с движущимися телами
501
Экспериментальное подтверждение оптического эф-
фекта Доплера. Впервые экспериментально существова-
ние эффекта Доплера в оптике было подтверждено аст-
рономическими наблюдениями. После открытия спект-
рального анализа и установления тождественности
химических элементов на Земле и небесных телах была
высказана идея, что в результате эффекта Доплера дол-
жно происходить смещение спектральных линий в излу-
чении звезд. Первые надежные данные по доплеровско-
му смещению линий водорода в спектре Сириуса были
получены путем сравнения их положения с соответству-
ющими линиями в газоразрядной трубке (трубка Гейс-
слера). Следует подчеркнуть, что измерением доплеров-
ского смещения линий в спектрах звезд, строго говоря,
нельзя проверить эффект Доплера, так как нет возмож-
Гейсслер (Geissler) Ген-
рих Иоганн Вильгельм
(1815—1879) — немец-
кий физик и изобретатель
Рис'. 31.7. Перемещение изображения при движении зеркал:
Л,. А:—движущиеся зеркала; Sa—источник; Si, Sj,...— движущие-
ся изображения So
ности определить скорость звезды. Однако на основе
этих данных можно определить составляющую скорости
звезды вдоль линии, соединяющей звезду и Землю, т. е.
лучевую скорость звезды. Благодаря эффекту Доплера
были открыты спектрально-двойные звезды. Спектраль-
ные линии таких звезд периодически становятся двойны-
ми, что можно объяснить допущением, что источником
света являются два тела, вращающиеся вокруг общего
центра масс.
Хотя астрофизическими наблюдениями удалось под-
твердить применимость эффекта Доплера к свету, иду-
щему от небесных тел, необходимо было проверить его в
лабораторных условиях. Первые лабораторные опыты по
проверке оптического эффекта Доплера принадлежат Бе-
лопольскому (1900).
Идея опыта Белопольского заключается в следующем.
При отражении света от движущегося зеркала изобра-
жение источника также движется и скорость источника
будет определяться скоростью движения зеркала. Ис-
пользуя многократное отражение от движущихся зеркал,
можно таким образом увеличить скорость движения ис-
точника. Пусть источник света So находится на рассто-
Белопольский Аристарх
Аполлонович {1854—
1934) — советский аст-
роном
опыт
Белопольского
502
Распространение света в движущихся средах
с янии х от каждого из параллельных плоских зеркал ЛИ..
—(рис. 31.7). Тогда расстояние от источника до его первого
'l——изображения будет равно S0Si = 2x. Если луч отразится
от первого зеркала и попадет на второе, изображение
—и )------Г В— получится на расстоянии S0S2=4x, после третьего отра-
жения — SoS3=6r и т. д. Каждое последующее отражс-
Т Т ние увеличивает расстояние на 2х, и n-е изображение
будет находиться от источника на расстоянии 2пх. Если
Рнс. 31.8. Схема уста- зеркала начнут двигаться в направлении, нормальном к
=юдетП°ЛЬС7ф±екп их поверхностям, со скоростью u^dxjdt, то n-е изобра-
Доплера жение будет иметь скорость 2nv=2n(dx/dt). Таким об-
разом, движение зеркал может заменить движение ис-
точника света и, рассматривая изображения как источ-
ник, получаем по отношению к спектрографу п-кратно
увеличенную скорость.
Установка Белопольского состояла из двух колес, к
каждому из которых в виде лопастей прикреплялись во-
семь плоских зеркал (рис. 31.8). Противостоящие зерка-
ла обоих колес устанавливались строго параллельно
посредством соответствующих регулировочных винтов.
Колеса вращались с помощью электромоторов, обеспе-
чивающих постоянную скорость. Свет после нескольких
отражений (в опыте их было шесть) направлялся в
спектрограф С. Скорость v в опытах Белопольского бы-
ла равна примерно 500 м/с, что давало заметное смеще-
ние. Фотографирование вначале производилось при не-
подвижных зеркалах, а затем при движущихся как в
одну, так и в другую сторону. В результате было полу-
чено согласие эксперимента и теории с точностью до
5 %. В дальнейшем эти опыты с успехом были повторе-
ны Голицыным, который достиг точности 2,5 %.
Эффект Доплера существенно сказывается на струк-
туре спектральных линий источников света. Вообще сле-
доплеровское
уширение
спектральных
линий
опыт Айвса
дует отметить, что во- всех газоразрядных источниках
света атомы и ионы газа летят с большими скоростями
во всех направлениях, В зависимости от скорости они
будут давать разное доплеровское- смещение частоты
«лучения, в результате чего спектральные линии ока-
зываются расширенными. Это явление называют допле-
ровским уширением спектральных линий.
Экспериментальное подтверждение поперечного эф-
фекта Доплера было получено Айвсом, и Стилуэллом в
1938 г. в опытах с каналовыми лучами. Трудность подоб-
ных опытов состоит в том, что ожидаемое смещение ма-
ло по сравнению с продольным эффектом, поэтому даже
небольшое отклонение от строгой перпендикулярности
между направлением наблюдения и скоростью будет мае-
Оптические опыты с движущимися телами
503
кировать эффект. Регистрируя свет, посылаемый непо-
средственно каналовыми частицами, и свет, отраженный
от зеркала, Айвс смог выделить изменение частоты, свя-
занное с поперечным эффектом Доплера ♦).
В заключение настоящего раздела коротко остано-
вимся на некоторых опытах по исследованию распрост-
ранения света во вращающихся средах. Такие среды от-
носятся к неинерциальным системам, и эта неинерци-
альность может быть обнаружена из оптических опытов.
При этом если осуществляется условие где о — ско-
рость точек на окружности вращающейся среды, то рас-
смотрение можно вести в рамках классической (нереля-
тивистской) физики, поскольку в этом случае мы имеем
дело с эффектами первого порядка относительно vfc и
расчеты как по теории относительности, так и по клас-
сической теории дают один и тот же результат.
Идея опыта первого порядка была впервые высказа-
на Майкельсоном в 1904 г. Этот опыт также предназна-
чался для выяснения вопроса об увлечении эфира дви-
жущимися телами. Дело в том, что после того как в опы-
те Майкельсона — Морли выявилось отсутствие «эфир-
ного ветра», некоторые физики были склонны вновь вер-
нуться к идее об увлечении эфира движущимися телами,
хотя опыт Физо и явление аберрации света явно проти-
воречили этому. В предложенном Майкельсоном опыте
два когерентных луча должны пробегать на Земле замк-
нутый путь в противоположных направлениях. Если эфир
увлекается вращающейся Землей, то не следует ожидать
какой-либо разницы времен прохождения света в обоих
направлениях. Если же эфир неподвижен, то возникает
разность времен прохождения, ведущая к смещению ин-
терференционных полос.
Теорию такого опыта рассмотрел Лауэ (1911) как с
точки зрения теории относительности, так и с точки зре-
ния электродинамики Лоренца. Он получил, как и сле-
довало ожидать, одинаковый результат. Осуществил
идею Майкельсона на опыте в несколько измененном
виде Саньяк в 1913 г.
Опыт Саньяка. На горизонтальном диске диаметром
50 см по углам квадрата располагаются зеркала Mi, Ms,
М3 и полупрозрачная пластинка Р (рис. 31.9). Пластин-
ка Р раздваивает пучок и направляет лучи по направ-
лению вращения прибора и против направления враще-
31.5
Оптические опыты
в не инерциальных
системах
Лауз (Laue) М.акс фон
(1879—1960) — немец-
кий физик
Саньяк (Sagnac) Жорж
Марк Мари (1869—
1928) — французский фи-
зик-экспериментатор
Рис. 31.9. Схема опыта
Саньяка
*> См.: например: Ландсберг Г. С. Оптика,—М.: Наука, 1976,
с. 465.
504
Распространение света в движущихся средах
/У;
*
Н
oj
Ми
Рис. 31.10, Схема опыта
Майкельсона — Гейля
ния. На диске укрепляются также источник света L и
интерферометр с фотографическим устройством Фп. Если
круг привести во вращение с некоторой угловой ско-
ростью, то луч, для которого направление обхода со-
впадает с направлением вращения, должен пройти бо-
лее длинный путь, чем луч, для которого эти направле-
ния противоположны. В результате между двумя
интерферирующими лучами появится разность хода, про-
порциональная угловой скорости. Возникшее при этом
смещение интерференционных полос можно измерить на
опыте и рассчитать по формуле Лауэ:
Д = ^-, (31.18)
где со—угловая скорость вращения диска; X —длина
волны; 5 —площадь, охватываемая контуром, по кото-
рому проходит луч света (в данном случае площадь квад-
рата). В опыте Саньяка «=120 об/мин; 5 = 860 см2;
А=4360 А, что давало А=0,079. Экспериментально же
был получен результат А=0,077.
Таким образом, из опыта Саньяка следовало, что
эфир не увлекается вращением тел. Однако он не раз-
решал вопроса о том, увлекается ли эфир Землею в це-
лом или нет. Необходим был опыт, где в качестве вра-
щающегося тела можно было бы использовать Землю.
Такой опыт был осуществлен Майкельсоном и Гейлем.
Опыт Майкельсона — Гейля (1925). Схема опыта по-
казана на рис. 31Л0. Форма контура была
выполнена из труб диаметром 30 см в виде прямоуголь-
ника, ориентированного вдоль параллелей и меридианов.
Когда в трубах находился воздух при атмосферном дав-
лении, интерференционные полосы были очень неустой-
чивыми, что затрудняло измерения. Чтобы обеспечить
постоянство интерференционной картины, из труб был
выкачан воздух. Для измерения смещения полос необ-
ходимо было бы сравнивать положение наблюдаемых
полос с тем положением, которые они имели бы в отсут-
ствие вращения Земли. Но из формулы (31.18) следует,
что смещения не будет в том случае, когда охватываемая
контуром площадь практически равна нулю. Для осу-
ществления такого малого контура в общую систему труб
была введена пятая труба, которая располагалась па-
раллельно вблизи трубы, образующей меньшую сторону
прямоугольника (малый контур jW. При изме-
рениях нужно было сравнивать положение полос в обоих
случаях, т. е. при прохождении света по малому и боль-
шому контурам. Смещение полос, вызываемое вращени-
Оптические опыты с движущимися телами
505
ем Земли, измерялось в различные дни при прямом и
обратном ходе луча света. Согласно формуле (31.18)
следовало ожидать смещения Д=0,236± 0,002 полосы,
если предположить, что эфир неподвижен. Среднее зна-
чение из 269 наблюдений составило Л=0,230±0,005. Та-
ким образом, опыт Майкельсона — Гейл я показал, что
вращающаяся Земля не увлекает эфир.
Результаты опытов Саньяка и Майкельсона —Гейля
оказались достаточно убедительными, и идея о возмож-
ности построения теории, основанной на допущении увле-
каемого эфира, была окончательно оставлена.
Следует отметить, что в опытах, подобных опыту
Саньяка, имеется возможность измерить угловую ско-
рость вращения системы. В частности, таким образом в
опыте Майкельсона — Гейля была измерена угловая ско-
рость вращения Земли.
В настоящее время для подобных измерений исполь-
зуют газовые лазеры. Один из возможных вариантов
опыта Саньяка, где в одно из плеч интерферометра вмон-
тирован газовый лазер, представлен на рис. 31.11. Вся
система образует так называемый кольцевой лазер. На
опыте измеряют скорость изменения интерференционной
картины (в другой терминологии —частоту биений) в
зависимости от угловой скорости вращения системы. По-
добные устройства используют для создания лазерных
гироскопов, позволяющих с большой точностью измерять
проекцию угловой скорости вращения Земли и тем са-
мым определять географическую широту в данной точке.
Опыты, рассмотренные в данной главе, послужившие
предпосылкой создания теории относительности, с точки
зрения ее находят свое логическое истолкование. Не оста-
навливаясь подробно на таком анализе, укажем, что ко-
эффициент а, определяющий смещение полос в опыте
Физо, получается из преобразований Лоренца на осно-
вании закона сложения скоростей.
Рис. 31.11. Схема опыта
Саньяка с использовани-
ем лазера:
/ — лазер; 2 — фотоэлектри-
ческий умножитель
Раздел IX
ОСНОВЫ СПЕКТРОСКОПИИ
И ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ
Глава 32
ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
Согласно классической механике энергия
какой-либо системы, в том числе атома и мо-
лекулы, может иметь любые значения. Для
изолированной системы значение энергии опре-
деляется начальными условиями, которые, по
классической теории, произвольны. Согласно
современной квантовой теории возможные зна-
чения энергии системы атомов полностью
определяются ее внутренними свойствами, т, е.
числом и свойствами атомов, ядер и электро-
нов, а также характером их взаимодействия.
При этом начальные условия не влияют иа
возможные значения энергии данной атомной
системы. Они показывают лишь количество
атомов или молекул в начальный момент вре-
мени в том или ином состоянии с определен-
ным значением энергии. Значения энергии, ко-
торые могут быть реализованы в данной си-
стеме, принято называть уровнями энергии
(энергетическими уровнями). Совокупность
всех возможных значений энергии, или уров-
ней энергии, косит название энергетического
спектра.
Энергетические спектры делятся на две
основные группы —сплошные и дискретные.
Сложные конденсированные системы, некото-
рые сложные многоатомные молекулы облада-
ют сплошным спектром уровней энергии. Изо-
лированные атомы и сравнительно простые мо-
лекулы обладают, как правило, дискретным
спектром уровней энергии, что и определяет
их специфические квантовые свойства. Следу-
ет отметить, что строго дискретные и строго
сплошные энергетические спектры являются
крайними случаями. В промежутке между ни-
ми существуют разнообразные энергетические
спектры.
В настоящей главе рассмотрим спектры
атомов. Вид спектра определяется строением
их электронной оболочки и внешними факто-
рами—температурой, давлением, магнитными
и электрическими полями и т. д. Раздел спект-
роскопии, который изучает оптические спектры
атомов, называется атомной спектроскопией,
а раздел спектроскопии, который изучает
спектры молекул, называется молекулярной
спектроскопией.
Современное учение о спектрах электромагнитного
излучения базируется на квантовой теории, поэтому вна-
чале остановимся на основных квантовых законах и по-
311
Основные
квантовые
представления нятиях. Под основными квантовыми законами, которым под- чиняются любые атомные системы *), принято понимать
• два постулата Бора, сформулированные им в 1913 г. Согласно первому постулату атомная система явля-
постулаты Бора ется устойчивой лишь в определенных’ (стационарных) состояниях, соответствующих некоторой дискретной или непрерывной последовательности значений энергии Е
• системы. Любое изменение этой энергии связано со скач- кообразным переходом системы из одного стационарного
стационарное состояние состояния в другое.
*> Под атомной системой подразумевают любые микроскопиче-
ские системы — атомные ядра, атомы, молекулы, а также конденси-
рованные макроскопические системы, состоящие из взаимодействую-
щих атомов и молекул.
Излучение атомов и спектральные закономерности
507
Характерное отличие квантовой теории от классиче-
ской состоит в том, что возможна дискретная последова-
тельность значений энергий стационарных состояний при
энергиях, меньших значения энергии ионизации: Eit Ez,
Е$,... (£1<£г<^з<..
В соответствии с законом сохранения энергии пере-
ходы атомной системы из одного стационарного состоя-
ния в другое связаны с получением системой энергии или
ее отдачей. Ими могут быть либо переходы с излучени-
ем или поглощением (оптические переходы), когда атом-
ная система поглощает или испускает электромагнитное
излучение, либо переходы без излучения (безызлучатель-
ные, или неоптические, переходы), когда происходит не-
посредственный обмен энергией между рассматриваемой
атомной системой и окружающими системами, с которы-
ми она взаимодействует.
По второму постулату электромагнитное излучение,
связанное с переходом атомной системы из стационарно-
го состояния с энергией Еп в стационарное состояние с
энергией Emt является монохроматическим и его частота
v определяется соотношением
Em—£n = hv. (32.1)
Соотношение (32.1) известно как условие частот Бо-
ра. Согласно (32.1) электромагнитное излучение погло-
щается (если Ет>Еп) или испускается (если Еп<Еп}
определенными порциями hv, которые называют кванта-
ми, или фотонами.
В спектроскопии уровни энергии и переходы между
ними принято представлять графически. Простейшая диа-
грамма уровней энергии, образующих дискретную после-
довательность, изображена на рис. 32.1. Горизонтальные
линии проведены на расстояниях, пропорциональных
разностям значений энергий Е\—Е$ соответствующих
стационарных состояний. Слева дана шкала энергий. Как
и в случае потенциальной энергии поднятого тела, нача-
ло отсчета энергии является произвольным. Переходы
между стационарными состояниями (между уровнями
энергии) показаны вертикальными линиями, соединяю-
щими соответствующие горизонтальные линии — комби-
нирующие уровни. Для переходов с излучением*) раз-
ность энергий комбинирующих уровней согласно (32.1)
пропорциональна частоте перехода, т. е. частоте испуска-
емого или поглощаемого кванта (они обозначены v«, V13,
*> В дальнейшем будем говорить просто о переходах, подразуме-
вая переходы с излучением. Переходы без излучения будем специаль-
но оговаривать.
ft
•5
4
т
4“^—L
Рис. 32.1. Диаграмма
уровней энергии
•f
оптический
переход
неоптический
переход
комбинирующие
уровни
а
6,7V
Рис. 32.2. Разностные
линии:
а — атом натрия; б— атои
ртути
£
5.Й
6“
2
D
508
интенсивность
основной
уровень
резонансное
испускание
Вуд (Wood) Роберт
Уильямс (1868—1955)—
американский физик-эк-
спериментатор
резонансная
линия
Рис. 32.3. Схема анти-
стоксового испускания
Основы спектроскопии и люминесценции
v23 и т. д.), поэтому шкала энергий Е пропорциональна
шкале частот v и шкале волновых чисел v=v/c = l/L
В спектроскопии волновые числа измеряются в санти-
метрах в минус первой степени (см"1), а энергия —в
электрон-вольтах (1 эВ-8000 см4).
Спектр поглощения или испускания данной атомной
системы задается совокупностью значений частот спект-
ральных линий или полос, а также распределением ин-
тенсивностей.
Самым простым является случай, когда заселен толь-
ко наиболее глубокий уровень — основной, или нормаль-
ный, соответствующий минимальному значению энергии
атомной системы. Посредством возбуждения система мо-
жет быть переведена на более высокий уровень. Широко
распространено оптическое возбуждение, т. е. возбужде-
ние путем поглощения фотонов.
Важным случаем оптического возбуждения является
возбуждение одного определенного уровня энергии Ет
атома газа из основного состояния Е} путем поглощения
фотона hv=Em—E}. Возбужденный атом может отдать
свою энергию возбуждения двумя способами: путем ис-
пускания фотона, т. е. при переходе с испусканием, и
путем потери энергии при столкновении с другой части-
цей, т. е. при безызлучательном переходе. Если атом
возвращается в основное состояние, испуская фотон /iv
той же частоты v, что и поглощенный фотон, то такое
испускание называется резонансным.
Существование резонансного испускания впервые по-
казал Вуд в 1904—1905 гг. для й-линий паров натрия.
Освещая пары натрия светом, частота которого совпа-
дает с частотой желтой линии натрия, Вуд обнаружил,
что сами пары начинают испускать свет, состоящий из
той же желтой линии. В дальнейшем это явление под-
верглось детальному исследованию, особенно в парах
ртути. Схемы уровней энергии и переходы между ними
для паров натрия и ртути показаны на рис. 32.2. Линии,
которые проявляются при резонансном испускании, на-
зывают резонансными. Когда происходит оптическое
возбуждение уровня, с которого возможны переходы не
только обратно на основной уровень, но и на другие бо-
лее низкие возбужденные уровни, то наряду с резонанс-
ным наблюдается испускание с частотами, меньшими ча-
стоты резонансной линии — нерезонансное испускание.
При возбуждении атомных систем с основного уровня ча-
стоты гисп линий испускания обычно меньше или равны
частотам линий поглощения. На это впервые обра-
Излучение атомов и спектральные закономерности
509
тил внимание Стокс, который и сформулировал этот факт
как правило: Vncn^vnorn; ^исп^^погл- Испускание, удов-
летворяющее этому условию, называют стоксовым, а ли-
нии испускания с частотой логл — СТОКСОВЫМИ.
Правило Стокса справедливо лишь при возбуждении с
основного уровня. При возбуждении с более высоких
уровней может наблюдаться антистоксово испускание,
для которого Уисл>Упогл; Хисп<Хпогл- Соответствующие
линии называют антистоксовыми. Линии с частотами v42
и будут стоксовыми, так как v42—v24, a v43<v42
(рис. 32.3). Линия частоты v4i является антистоксовой,
поскольку V41>V24-
При изучении атомных систем различного рода мы
имеем дело с различными типами уровней. Типы уровней
энергии отличаются как характером движения в изучае-
мых системах, так и порядком величины разностей энер-
гии соседних уровней данного типа, составляющих от
10° до 10-’1 эВ. Это соответствует в шкале частот изме-
нениям частоты от 10го—1021 до 103—10* Гц, а в шкале
длин волн — изменениям длины волны от 10-10 до 107 см.
Для атомов и молекул имеются следующие основные
типы уровней и соответствующих переходов.
Электронные уровни энергии —это уровни, связан-
ные с движением электронов относительно ядер. Нужно
различать уровни энергии электронов внутренних оболо-
чек с энергиями связи от десятков до десятков тысяч
электрон-вольт, переходы между которыми дают рент-
геновские спектры и изучаются методами рентгеновской
спектроскопии, и уровни энергии внешних электронов в
атомах и молекулах с энергиями связи порядка немно-
гих электрон-вольт. Переходы между уровнями энергии
внешних (валентных) электронов дают оптические спект-
ры в видимой и ультрафиолетовой областях, которые и
являются основным источником сведений об этих
уровнях.
Колебательные уровни энергии — это уровни, связан-
ные с колебательным движением ядер в молекулах око-
ло некоторых равновесных положений (с колебаниями
молекул, которые можно приближенно считать гармони-
ческими). Частоты этих колебаний отвечают энергиям
примерно от 0,025 до 0,5 эВ. Соответствующие переходы
между колебательными уровнями молекул непосредст-
венно изучаются методами инфракрасной спектроскопии
и методами комбинационного рассеяния света. Элект-
ронные переходы в молекулах сопровождаются измене-
ниями колебательной энергии, что приводит к возникно-
вению электронно-колебательных спектров.
правило Стокса
стоксова
линия испускания
антистоксова
линия испускания
32.2
Основные типы
уровнем энергии
электронный
уровень энергии
колебательный
уровень энергии
510
Основы спектроскопии и люминесценции
вращательный
уровень энергии
уровень
тонкой структуры
спин
уровень
сверхтонкой
структуры
ядерный спин
уровень
магнитной
структуры
Вращательные уровни энергии — это уровни, связан-
ные с вращательным движением молекулы как целого.
Вращение молекул приближенно рассматривают как
свободное вращение твердого тела с тремя моментами
инерции вокруг трех взаимно перпендикулярных осей.
При этом возможны три случая: 1) сферический волчок
(все три момента инерции одинаковы); 2) симметричный
волчок (два момента инерции одинаковы, третий отли-
чен от них); 3) асимметричный волчок (все три момента
инерции различны). Разности энергий соседних враща-
тельных уровней составляют от сотых долей электрон-
вольта для самых легких молекул до стотысячных до-
лей электрон-вольта для наиболее тяжелых молекул.
Вращательные переходы непосредственно изучаются ме-
тодами инфракрасной спектроскопии и комбинационного
рассеяния света, а также методами радиоспектроскопии.
Колебательно-вращательные спектры получаются в ре-
зультате того, что изменение колебательной энергии со-
провождается одновременными изменениями вращатель-
ной энергии. Такие изменения происходят и при элект-
ронно-колебательных переходах, что и обусловливает
вращательную структуру электронно-колебательных
спектров.
Уровни тонкой структуры — это близко расположен-
ные уровни атомов, связанные с наличием у электрона
собственного момента (спина). Разности энергий этих
уровней составляют от стотысячных долей электрон-
вольта для атома водорода до десятых долей электрон-
вольта для самых тяжелых атомов и молекул, содержа-
щих такие атомы.
Уровни сверхтонкой структуры — это очень тесно
расположенные уровни энергии атомов и молекул, свя-
занные с наличием у атомных ядер собственных момен-
тов (ядерных спинов). Разности энергий этих уровней,
появление которых обусловлено взаимодействием маг-
нитных и электрических моментов ядер с электронными
оболочками атомов и молекул, очень малы и составляют
от десятимиллионных до стотысячных долей электрон-
вольта. Соответствующие переходы непосредственно изу-
чаются радиоспектроскопическими методами ядерного
резонанса (магнитного и квадрупольного).
Уровни магнитной структуры — это уровни энергии,
получающиеся при расщеплении уровней энергии сво-
бодных атомов и молекул во внешнем магнитном поле.
Величина расщепления электронных уровней энергии в
сильных полях составляет десятитысячные доли элект-
рон-вольта, вращательных уровней и уровней сверхтон-
Излучение атомов и спектральные закономерности
511
кой структуры — десятимиллионные доли электрон-воль-
та. Наблюдение переходов между соседними уровнями
магнитной структуры обычно производится радиоспект-
роскопическими методами магнитного резонанса. Рас-
щепление спектральных линий в магнитном поле носит
название эффекта Зеемана.
Уровни электрической структуры—это уровни энер-
гии, получающиеся при расщеплении уровней энергии
свободных атомов и молекул во внешнем электрическом
поле. Происходит расщепление как электронных уровней
атомов и молекул, так и вращательных уровней молекул,
обладающих дипольным электрическим моментом. Ве-
личина расщепления электронных уровней энергии в
сильных полях (порядка десятков и сотен тысяч вольт
на сантиметр) достигает десятитысячных и тысячных до-
лей электрон-вольта. Для вращательных уровней энергии
в применяемых электрических полях порядка тысяч вольт
на сантиметр величина расщепления составляет милли-
онные доли электрон-вольта. В видимой и ультрафиоле-
товой областях спектра наблюдается расщепление спект-
ральных линий атомов в электрическом поле, соответст-
вующее расщеплению электронных уровней энергии, ко-
торое. носит название эффекта Штарка. Расщепление вра-
щательных уровней дипольных молекул в электрическом
поле может изучаться непосредственно радиоспектроско-
пическим методом электрического резонанса.
Таковы основные типы уровней энергии. Благодаря
разнообразию этих типов получается весьма сложная
структура уровней, особенно для молекул. При этом не
всегда можно разделить различные виды движения и
отнести уровни к определенному типу. Возможны и от-
личные от перечисленных типы расщепления в резуль-
тате взаимодействия различных видов движения.
Изучение спектров атомов обычно начинают с рас-
смотрения спектра атома водорода, состоящего из ядра
с зарядом +е (протон) и одного электрона с зарядом
— е. Атом водорода является простейшей одноэлектрон-
ной системой. Рассмотрение его спектра весьма важно
с точки зрения понимания закономерностей спектров
атомов и молекул.
Спектр атома водорода представляет собой совокуп-
ность отдельных спектральных линий, группирующихся в
серии. Связь между частотами отдельных линий для се-
рии, расположенной в видимой и близкой ультрафиоле-
товой области, впервые установил Бальмер (1885). Ча-
стоты линий этой серии выражаются формулой
уровень
электрической
структуры
эффект Штарка
Штарк (Stark) Йохан-
нес (1874—1957)—немец-
кий физик
32.3
Уровни энергии
и спектр
атома водорода
Бальмер (Balmer) Ио-
ганн Якоб (1825 —
1898)—швейцарский фи-
зик и математик
512
Основы спектроскопии и люминесценции
формула Бальмера
f 1 1 \
( 22 тг)’
постоянная Ридберга
где V —волновое число; Я=109737,3177± 0,0083 см~1 —
постоянная Ридберга; т=3,4,,.. .
В дальнейшем были открыты другие серии линий, ко-
торые можно описать обобщенной формулой Бальмера
обобщенная формула
Бальмера
/ 1 1 \
т*}'
(32.2)
Ридберг {Rydberg)
Юханнес Роберт (1854—
1919) — шведский физик
серия Лаймана
‘где л=1, 2,...; т —целые числа, причем п>т.
Отдельные серии, получившие определенные назва-
ния, при этом соответствуют переходам между опреде-
ленным нижним н последовательными верхними уровня-
ми: л=1, 2 —серия Лаймана; л = 2, т>3 —серия
Бальмера; п=3, /и>4 —серия Пашена; n=4, т^5 -
серия Брэкета; n=5, —серия Пфунда; л=6,
т^7 — серия Хамфри (рис. 32.4).
Лайман (Lyman) Теодор
(1874—1954) — амери-
канский физик-экспери-
ментатор
серия Бальмера
серия Пашена
фрид-
Пашен (Paschen)
рих (1865—1947) — не-
мецкий физик
серия Брэкета
серия Пфунда
Пфунд (Pfund) Август
Герман (1879—1949)—
американский физик
Рнс. 32.4. Уровни энергии атома водорода
серия Хамфри
Излучение атомов и спектральные закономерности
513
Сопоставляя условие частот Бора для волновых чи-
сел (32.1) v= (Ет—En)[hc с формулой (32.2), найдем вы-
ражения для энергии стационарных состояний:
(32.3)
Теория атома водорода была развита Бором. Рас- *
смотрим, следуя Бору, водородоподобную систему, со-
стоящую из ядра с зарядом Ze (для водорода Z=l) и водородоподобная
движущегося вокруг него по круговой орбите электрона.
Заметим, что с точки зрения классической теории такая
система является неустойчивой, так как движение элект-
рона по круговой орбите должно сопровождаться испу-
сканием света. При этом энергия атомной системы
уменьшается. Вместе с тем уменьшается и радиус орби-
ты, а также сокращается период обращения. Частота
обращения и частота испускания непрерывно растут.
Электрон, постоянно приближаясь к ядру, должен упасть
на него, после чего атом прекратит свое существование.
Итак, по законам классической электродинамики атом
должен быть неустойчив и в течение своего существова-
ния должен испускать непрерывный спектр, что противо-
речит опыту.
Бор предположил, что из всех возможных орбит элек-
трона осуществляются только те, для которых момент
импульса равен целому кратному постоянной Планка:
mtur = п (/i;2n), (32.4)
где те, v — соответственно масса и скорость электрона;
г —радиус орбиты; п=1, 2,... —главное квантовое
число.
При движении электрона по окружности вокруг поло-
жительно заряженного ядра центростремительная сила
mev2lr уравновешивается силой кулоновского взаимодей-
ствия Це21г2):
_ и* _ Ze2 гч
тпе . (32.5)
Исключая v из (32.4) и (32.5), получаем выражение
для радиуса л-й боровской орбиты:
ra~n* a п = 1«2............................. (32.6)
Расчет радиуса 1-й орбиты для атома водорода
(п=1 для Z=l) дает и =0,529 А. Эта величина порядка
газокинетических размеров атома. Она существенно
больше размеров ядра (10_]2—10-13 см). Заметим, что в
силу этого ядро можно считать точечным зарядом Zet
514
Основы спектроскопии и люминесценции
создающим вокруг себя электрическое поле, потенциал
которого ф на расстоянии г от ядра равен Ze/r. Элект-
рон, находящийся в этой точке, имеет потенциальную
энергию Еа(г) = ~йф=-2а2/г.
Определим полную энергию электрона Е, состоящую
из кинетической и
т. е.
потенциальной энергий: Е=ЕК+Ёп,
Р _ mev2 Ze2
Г'
Из соотношения
Значит,
Е = Ze*
(32.5) следует, что теУ2/2^й?2/2г.
(32.7)
формула Бора
(32.9)
Ze2
2г т ~ 2r '
Подставив в (32.7) возможные значения гп (из 32.6),
получим возможные значения энергии Еп в стационар-
ных состояниях:
Еп — /р ni • (32.о)
Согласно правилу частот Бора переход с л-й орбиты
на m-ю происходит при поглощении фотона частоты
(волнового числа в сантиметрах в минус первой степе-
ни): v=(Em—En)lhc. Подставляя в это выражение зна-
чение энергии из (32.8), находим
2ла2*тег* (j____1_
h2c \ п2 тг
Сопоставляя выражение (32.9) при Z = 1 с обобщен-
ной формулой Бальмера (32.2), получаем выражение для
постоянной Ридберга:
Я = (32.10)
Если подставить в (32.10) значения входящих в него
констант, получим 7?, хорошо согласующуюся с экспери-
ментальным значением.
Таким образом, выводы теории Бора прекрасно со-
гласуются с экспериментальными данными. Эта теория
была крупным шагом в развитии теории атома. Она от-
четливо показала неприменимость классической физики
к внутриатомным явлениям и главенствующее значение
квантовых законов в микромире.
В заключение отметим, что с точки зрения квантовых
представлений состояние электрона в атоме более де-
тально может быть описано с привлечением четырех
квантовых чисел:
Поглощение и излучение света молекулами
515
1) главное квантовое число п, принимающее целые
значения л— 1, 2,... и определяющее энергию стацио-
нарного состояния по формуле Бора (32.8);
2) орбитальное квантовое число /, определяющее мо-
мент количества движения электрона (по орбите) и при-
нимающее при заданном л целые значения: /=0, 1, 2,...
..., п— 1, т. е. п значений. Состояния с последовательны-
ми значениями / обозначают буквами и соответст-
венно называют s-состояниями (/=0), р-состояниями
(1=1), d-состояниями (1—2) и т. д.;
3) магнитное квантовое число т, определяющее про-
екцию орбитального момента количества движения на
выделенное направление и принимающее при заданном
/ целые значения m=l, /—1,..т. е. 2/+1 значений;
4) спиновое квантовое число s, определяющее значе-
ние проекции спинового момента количества движения
на выделенное направление и принимающее два полуце-
лых значения +1/2 и —1/2.
Итак, одному уровню энергии водородного атома в
стационарных состояниях соответствует несколько со-
стояний электрона. Такое явление называется вырожде-
нием уровней. Кратность вырождения равна числу со-
стояний. Для атома водорода она равна
п-1
2 2(2/+ 1)—2п2.
1-0
Энергия уровней более сложных атомов зависит и от
других квантовых чисел, т. е. кратность вырождения
уменьшается.
главное
квантовое
число
орбитальное
квантовое
число
магнитное
квантовое
число
спиновое
квантовое
число
вырождение
уровней
Глава 33
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА МОЛЕКУЛАМИ
Отличие молекулярных спектров от атом-
ных и их характерные особенности определя-
ются тем, что во всех молекулах, как двух-
атомных, так и многоатомных, движение явля-
ется более сложным, чем в атомах. Наряду с
движением электронов существенную роль
играют периодические изменения относительно-
го расположения ядер—колебательное дви-
жение молекулы, а также периодические изме-
нения ориентации молекулы как целого в про-
странстве—вращательное движение молекулы.
Наличие трех видов движения приводит к
тому, что спектры молекул значительно слож-
нее спектров атомов н обычно имеют харак-
терный вид. В видимой и ультрафиолетовой
областях для двухатомных и небольших мно-
гоатомных молекул вместо линейчатых спект-
ров получаются полосатые спектры, состоящие
из отдельных более или менее широких полос,
которые прн достаточной дисперсии спектраль-
ного прибора могут быть разрешены на отдель-
ные близко расположенные линии—это элек-
тронные спектры молекул. В близкой инфракра-
сной области молекулы обладают характерны-
ми колебательными спектрами, также состоя-
щими из отдельных полос, которые могут быть
разрешены на отдельные линии спектральными
приборами с очень большой дисперсией. В дале-
кой инфракрасной и микроволновой областях
у молекул располагаются вращательные спект-
ры, состоящие из отдельных линий.
516
Основы спектроскопии и люминесценции
33.1
Разделение
энергии молекул
на части
и основные
типы спектров
-------------5-------------
™ —3
Рис. 33.1. Схема уров-
ней двухатомной моле-
кулы:
а, b —электронные уровни;
о', и"—квантовые числа ко-
лебательных уровней; /', /"—
квантовые числа вращатель-
ных уровней
В соответствии с разделением движения в молекуле
на три вида энергию молекулы можно представить как
сумму энергий электронного Бэл, колебательного ЕКол и
вращательного £вр движений:
£ = £эл + £иол4-£Вр- (33-1)
Следует сразу подчеркнуть, что такое разделение
энергии молекулы является приблизительным. При бо-
лее точном рассмотрении надо учитывать взаимодейст-
вие различных видов движения, т. е. к энергии (33.1)
необходимо добавить энергию взаимодействия различ-
ных видов движения:
Е = ^эл+ ^ИОлН" ^ВР Т ^ЭЛ.-КОЛ 4- ^ЭЛ.-вр+ ^кол.вр> (33-2)
где №эл.-кол — энергия взаимодействия электронного
движения с колебательным; 1ГЭЛ. вр — электронного с
вращательным; FK0^.Hp — колебательного с вращатель-
ным. Вопрос о взаимодействиях различных видов дви-
жения требует правильного выбора исходных прибли-
жений, однако при определенных условиях №м.-кол мож-
но включить в £КОл, а №эл..вр и 1ГКоЛ..вр — в Евр и тогда
разделение энергии на части согласно формуле (33.1)
остается справедливым и при учете взаимодействий.
Энергия молекулы, так же как и энергия атома, кван-
туется, т. е. принимает дискретные значения. При этом
с хорошей степенью приближения можно квантовать
сначала электронную энергию, затем при заданной элек-
тронной энергии — колебательную энергию и, наконец,
вращательную энергию при заданных электронной и ко-
лебательной энергиях. Схема уровней (без соблюдения
действительного масштаба), соответствующих различ-
ным значениям полной энергии, изображена на рис. 33.1.
При переходе молекулы из одного состояния в другое
могут изменяться все три части полной энергии. При пе-
реходе с излучением согласно условию частот Бора
(32.1) имеем
hv = £' -Е' = (£м-Йл) -I- (£ол-£ол)+
4* (£вр £вр) •
В выражении (33.3) величины, относящиеся
нему электронно-колебательно-вращательному
обозначены одним штрихом, а величины, относящиеся к
нижнему уровню,—двумя штрихами.
Согласно (33.3) изменение полной энергии &Е=
=Е'—Е" состоит из изменения энергии электронного
ДЕЭЛ=£ЭЛ—£эл, колебательного ЛЕкол=£кОл—Екоя и
(33.3)
к верх-
уровню
Поглощение и излучение света молекулами
517
вращательного ДЕвр=ВвР—Евр движений. Причем для
изменений энергии имеет место соотношение ДЕЭл>
»ЛЕКол>ЛЕвр. Если при переходе изменяется лишь
энергия вращательного движения, т. е. ЛЕал=0 и ДЕКол=
-- 0, то возникают чисто вращательные спектры, лежащие
в далекой инфракрасной области. Частоты переходов при
этом определяются из условия hv=E'—Е"—Еър—Еър.
Если же происходит изменение колебательного и враща-
тельного движений (Еэл при этом не изменяется), то воз-
никают колебательно-вращательные спектры, лежащие
в близкой инфракрасной области. Частоты переходов при
этом определяются из соотношения hv—E'—Е"—(Емп~
— Ехол) 4- (-Евр—Евр)-Наконец, при изменении всех видов
движения возникают электронно-колебательно-враща-
тельные спектры, которые чаще называют просто элек-
тронными. Они расположены чаще всего в видимой и
ультрафиолетовой областях.
В наиболее чистом виде вращательные спектры мож-
но наблюдать при изучении спектров разреженных газов
простых (например, двухатомных) молекул. Согласно
классическим представлениям кинетическая энергия вра-
щательного движения двухатомной молекулы, модели-
руемой жестким ротатором, может иметь любые значе-
ния. Она равна
£к=/ш2/2, (33.4)
вращательный
спектр
колебательно-
вращательный
(колебательный)
спектр
электронно-
колебательно-
вращательный
(электронный)
спектр
312
Вращательное
движение
и вращательные
спектры молекул
где / — момент инерции ротатора относительно оси вра-
щения; и —угловая скорость (круговая частота). Со-
гласно же квантовой механике энергия вращательного
движения ЕВр квантована и равна д
Евр=В/(/4-1), (33.5) вращательная
постоянная
где В = (й2/8л2/) = (/i/8n2/c) см-5 — вращательная по-
стоянная; /=0,1,2,... — вращательное квантовое число.
Формула (33.5) определяет совокупность вращатель- ф
ных уровней энергии (рис. 33.2). Расстояние между со-
седними последовательными уровнями энергии возраста- вращательное
• квантовое чис
ет пропорционально квантовому числу
£j+i-£,=B(/ + 1) (j + 2) - Bj(j + 1) = 2й(/+1). (33.6)
Абсолютная величина расстояний между уровнями
определяется величиной которая уменьшается с
518
Основы спектроскопии и люминесценции
j увеличением размеров и массы молекулы. Так, для во-
-------i-f дорода Н2 В~60 см-1, а для иода J2 В~0,037 см-’.
Согласно квантовой механике между вращательными
2BS уровнями возможны переходы, удовлетворяющие следу-
------—ющим правилам отбора: Д/=± I, т. е. комбинируют толь-
ко соседние вращательные уровни. Согласно формуле
1*2.___j (33.6) частоты возможных переходов равны:
ев
28
6
Рис. 33.2. Вращатель-
ные уровни энергии же-
сткого ротатора и пере-
ходы между ними
Рис. 33.3. Выбор осей ко-
ординат для симметрич-
ного волчка
2
i
8
= 1 —>2, 2 —> 3, 3-^4, 4->5;
ДЕ/./+1 = 2В, 4В, 6В, 85, 105.
Это дает спектр из ряда равностоящих (в шкале ча-
стот) линий, схематически изображенный в нижней ча-
сти рис. 33.2. Расстояние между соседними спектральны-
ми линиями равно AvBP=25,
Реальные молекулы не являются жесткими ротатора-
ми. Во-первых, на ядра при вращении действуют центро-
бежные силы, которые изменяют межъядерное расстоя-
ние, а следовательно, и момент инерции. Учет этого фак-
тора, т. е. переход к модели нежесткого ротатора, приво-
дит к следующему более строгому выражению для £вр:
(33.7)
(33.8)
Перепишем (33.8) в виде £вр=[5—Dj(/+!)]/(/+1) =
=Bj/(/ + l), где величина 5,=5—/)/(/+!) не строго по-
стоянна и уменьшается с увеличением /. Энергия враще-
ния согласно формуле (33.8) растет с увеличением j мед-
леннее, чем по формуле (33.5). Частоты переходов при
больших / уменьшаются и поэтому линии вращательного
спектра уже не будут равностоящими, а будут постепен-
но сходиться. Постоянная D всегда очень мала и не пре-
вышает 10-4 В, поэтому ее учет необходим лишь при
больших значениях вращательного квантового числа.
Основные закономерности вращательного движения
двухатомных молекул проявляются и во вращательных
спектрах многоатомных молекул, однако общая картина
спектра при этом более сложная.
Пример. Приведем общее выражение для
энергии вращательного движения в случае
симметричного волчка (рис. 33.3):
h2
h2 ,J 1 1 \
8л2 k Ia /
где 7ь —момент инерции относительно осей
bbr и ссг (/б=/с); /а —момент инерции относи-
тельно оси аа', отличный от 1ь~К', fe=0,1,2,...—
первое вращательное квантовое число; /=й,
£+1, k+2,...— второе вращательное квантовое
число.
Таким образом, даже для молекул доста-
точно высокой симметрии система вращатель-
ных уровней, а следовательно, и соответству-
ющий спектр существенно усложняются.
Поглощение и излучение света молекулами
519
Колебательные спектры молекул можно изучать в
любых агрегатных состояниях вещества — газообразном,
жидком и твердом. При рассмотрении колебательного
движения молекул в спектроскопии широко использует-
ся понятие о кривых потенциальной энергии. В связи с
этим следует подчеркнуть, что для колебательного дви-
жения ядер роль потенциальной энергии играет полная
(т. е. потенциальная и кинетическая) энергия электро-
нов. Поскольку химическая связь определяется движе-
нием электронов, естественно, что возвращающая сила
возникает за счет изменения полной энергии электронов,
обусловленной изменением взаимного положения ядер,
для которых в свою очередь указанная энергия имеет
смысл потенциальной энергии Ец(г). Как и в предыду-
щем случае, рассмотрение колебательных спектров нач-
нем с двухатомных молекул.
Зависимость энергии двухатомной молекулы от рас-
стояния между ядрами схематически показана на
рис. 33.4, Если в результате сближения атомов в
системе преобладают силы отталкивания (рис. 33.4,а),
то химической связи не образуется, т. е. такая система
взаимодействующих атомов является неустойчивой. На-
оборот, в том случае, когда результирующая кривая об-
ладает минимумом (рис. 33.4, б) , можно говорить об об-
разовании между атомами химической или квазихимиче-
ской связи, а следовательно, об устойчивости данной
системы. Кривые, характеризующие зависимость полной
энергии молекулы от расстояния между ядрами, назы-
ваются потенциальными кривыми. Положение минимума
ге на кривой рис, 33.4, б определяет равновесное рассто-
яние между атомами —длину связи. Расстояние от ми-
нимума кривой до оси абсцисс, к которой кривая асимп-
тотически приближается в своей правой части, соответ-
ствует работе, необходимой для разрыва связи между
атомами (переноса их на бесконечность). Так как для
этого необходимо затратить работу, то потенциальная
энергия молекулы отрицательна. Работа D представляет
собой энергию диссоциации.
Для рассмотрения потенциальной энергии колебаний
двухатомной молекулы разложим функцию £й(г) в ряд
в окрестностях равновесного расстояния ге по параметру
q = r—re. При этом получим
+ 4-(-^гЦ ('-Л)г + .... (33.9)
зз.з
Колебательное
движение
и колебательные
спектры молекул
кривая
потенциальной
энергии
энергия диссоциации
Рис. 33.4. Кривые потен-
циальной энергии не-
устойчивом (а) и устой-
чивой (б) двухатомной
молекулы
520
Основы спектроскопии н люминесценции
а
I lli.ML
v’ >; v2 Vj, у
Рис. 33.5. Потенциаль-
ные кривые, уровни энер-
гии и схематические
спектры гармонического
(а) и ангармонического
(б) осцилляторов
Так как г = ге соответствует минимум Еп(г), то пер-
вая производная (dEn/dr)r=rt в этой точке равна нулю.
Следовательно,
ВД-ВД= ('•—'•,)’+-• (33.10)
Если амплитуды колебаний малы, то в правой части
уравнения (33.10) можно ограничиться квадратичным
членом. Отсчитывая энергию от значения Ел(ге) и обо-
значая
k=№r] . (33.11)
\ )г**ге
получаем
Ea(r-r^ = k(r-re)42. (33.12)
Из (33.12) следует, что при малых смещениях ядер
из положения равновесия реальная кривая Еп(г) с хо-
рошей точностью может быть заменена параболой. Ины-
ми словами, малые колебания двухатомных молекул мо-
гут рассматриваться как колебания гармонического ос-
циллятора (рис. 33.5,а).
С классической точки зрения колебательное движе-
ние можно описать с помощью модели (рис. 33.6), со-
стоящей из двух масс т\ и т2, связанных упругой силой,
которая согласно (33.12) равна
f=_ iE^r-r,)
где k — постоянная, определяемая формулой (33.11).
Обозначив расстояния от центра масс до атомов mt и
т2 соответственно через л и г2, можно записать следую-
щие уравнения их движения:
w/i = — k(r — re); = - k (г - ге),
откуда получим
” ^(г-гг)
Г~ dP
= — (г — г,).
т1 т2 !
Рис. 316. Модель, ис-
пользуемая при рассмот-
рении колебаний двух-
атомной молекулы
Обозначая r—re*=q, имеем
mq = — kq, (33-13)
где т — приведенная масса молекулы. Выражение
(33.13) представляет собой уравнение движения гармо-
нического осциллятора с массой т и частотой
= (33.14)
Поглощение и излучение света молекулами
521
которую называют собственной частотой колебаний гар-
монического осциллятора.
По классической теории колебательная энергия мо-
лекулы может принимать любые значения. Квантовая
теория приводит к другому выводу: энергия гармониче-
ского осциллятора квантована и определяется следую-
щей формулой:
^ол = Ч(^+1/2), (33.15)
где о=0, 1, 2,... —колебательное квантовое число. Вы-
ражению (33.15) отвечает система равноотстоящих уров-
ней энергии (см. рис. 33.5, а), расстояние между которы-
ми равно Av<j. Квантовая теория показывает, что погло-
щение и испускание света гармоническим осциллятором
может происходить только при переходе между двумя
соседними уровнями, т. е. при соблюдении следующих
правил отбора: Ау=±1. Таким образом, в спектре гар-
монического осциллятора должна быть только одна ли-
ния с частотой vo, являющейся собственной частотой
осциллятора (см. формулу (33.14) и рис. 33.5, а). В этом
смысле результаты квантовой и классической теории со-
впадают.
Если амплитуды колебаний достаточно большие, то
двухатомную молекулу уже нельзя моделировать гармо-
ническим осциллятором. Колебания реальных молекул в
большей или меньшей степени ангармоничны. Поэтому
в данных условиях надо рассматривать общий вид по-
тенциальной кривой Еп(г) для широкой области значе-
ний г (см. рис. 33.4,6). Хорошим приближением, описы-
вающим такую потенциальную кривую, является форму-
ла Морзе
£,(г-г,) = D{1 -exp (—а(г—r,)|}\ (33.16)
где а — постоянная, характеризующая форму кривой;
D —энергия диссоциации. Легко видеть, что при г->оо
энергия £п(г—re)-+D. При небольших значениях г—ге,
разложив ехр [—а(г— ге)} в ряд по параметру г—ге и
ограничившись первыми двумя членами, перепишем
(33.16) в виде
Ea(r-re)=D[1—l+a(r-= Da2(r-re)2. (33.17)
Таким образом, при малых колебаниях формула Мор-
зе переходит в уравнение параболы. Сравнивая формулы
(33.12) и (33.17), находим, что k=2Da2, т. е. коэффици-
ент квазиупругой силы пропорционален энергии диссо-
циации молекулы.
потенциал Морзе
522
Основы спектроскопии и люминесценции
Потенциальной кривой (33.16) соответствуют кванто-
вые значения полной колебательной энергии ангармони-
ческого осциллятора:
2
4о« = Н(» +
40
(33.18)
Рис. 33.7. Форма и сим-
метрия нормальных ко-
лебаний молекул Н2О (а)
и СО2 (б):
1 — полносиииетричные коле-
бания; 2. 3 — иеполносииме-
тричные колебания
Из выражения (33.18) следует, что уровни энергии
уже не располагаются на одинаковых расстояниях друг
от друга, как у гармонического осциллятора, а образуют
систему неравноотстоящих уровней, которые постепенно
сближаются по мере роста v и, наконец, сливаются при
£«ол -* D. Существенно, что для ангармонического осцил-
лятора изменяются и правила отбора: До~1, 2,..., т. е.
в этом случае возможны переходы между любыми уров-
нями (см. рис. 33.5, б).
Общий вид спектра ангармонического осциллятора,
представляющего собой систему сближающихся полос,
Переходящую в непрерывную последовательность, пока-
зан в нижней части рнс. 33.5, б. Первая полоса (переход
ti=0^-o=l) носит название основной и имеет частоту
V*, вторая полоса (первый обертон) характеризуется ча-
стотой vi~2v*, третья (второй обертон) — частотой
v2 «3v* и т. д. Все эти полосы сходятся к пределу
vD~D/h, за которым располагается сплошной спектр.
Колебание двухатомной молекулы можно рассматри-
вать как колебание единичного гармонического или ан-
гармонического осциллятора. Трехатомная молекула об-
ладает уже не одним, а несколькими различными коле-
бательными движениями. Колебательный спектр много-
атомной молекулы всегда содержит набор линий
(полос), частоты, интенсивности и поляризация которых
непосредственно отражают строение и свойства моле-
кулы.
Возникает вопрос, сколько колебательных степеней
свободы имеет молекула, состоящая из атомов. Из са-
мых общих соображений известно, что любая свободная
частица обладает тремя степенями свободы при пере-
мещении в пространстве трех измерений. Таким образом,
система из N свободных частиц имеет 3N степеней сво-
боды. Однако в молекуле все атомы связаны r единую
систему, которая имеет три поступательные и три вра-
щательные степени свободы. Отсюда следует, что число
независимых колебательных степеней свободы для не-
линейной молекулы составляет 3N—6, а для линейной
молекулы равно 3N—5.
Поглощение и излучение света молекулами
523
При малых амплитудах колебания многоатомной мо-
лекулы, как и двухатомной, гармонические. Поскольку
колебания отдельных атомов в молекуле связаны друг
с другом, то многоатомную молекулу можно представить
как совокупность набора осцилляторов, движения кото-
рых связаны между собой. Энергия, попадающая на один
из осцилляторов, например на отдельную связь в моле-
куле, перераспределяется через некоторое время по дру-
гим связям, и все атомы и связи вовлекаются в колеба-
ние. Из механики известно, что движение связанной си-
стемы как целого может быть представлено наложением
ее нормальных колебаний, т. е. таких колебаний, в ко-
торых все элементы системы движутся с одинаковой ча-
стотой и фазой в тех или иных направлениях. Именно
нормальные колебания проявляются в спектрах и число
их равно числу степеней свободы, В общем случае
JV-атомной нелинейной молекулы число степеней свободы
и число нормальных колебаний равны 3iV—6. Это озна-
чает, что, например, в спектре трехатомной молекулы во-
ды Н2О должны быть представлены три частоты и три
нормальных колебания. Может оказаться, что некоторые
из 37V—6 колебаний имеют одинаковые частоты и поэто-
му разным нормальным колебаниям соответствует одна
и та же спектральная линия (полоса).
В молекулярной спектроскопии нормальные колеба-
ния многоатомных молекул классифицируются по фор-
ме и симметрии. Если при данном нормальном колеба-
нии происходит главным образом изменение длин свя-
зей, а углы между связями меняются мало, то такое
колебание называют валентным (обозначение v). Наобо-
рот, если при колебании изменяются в основном углы
между связями, а длины связей практически не меняют-
ся, то такое колебание называется деформационным
(обозначение 6).
нормальное
колебание
валентное
колебание
деформационное
колебание
Пример. Рассмотрим форму нормальных
колебаний молекулы воды Н2О и углекислого
газа СОа (рис. 33.7). Легко видеть, что в со-
ответствии с приведенным определением коле-
бания V] я Vj молекулы Н2О следует отнести
к типу валентных, а колебание S — к типу де-
формационных. Аналогичное положение имеет
место и в случае молекулы СОг.
Кроме анализа формы обычно принимают
во внимание и свойства симметрии колебаний
многоатомных молекул. Если прн данном нор-
мальном колебании, сопровождающемся изме-
нением длин связей н валентных углов, не про-
исходит изменения симметрии равновесной кон-
фигурации молекулы, то такое колебание явля-
ется полносимметричным. Наоборот, если ко-
лебание сопровождается изменением симмет-
рии равновесной конфигурации молекулы, то
его относят к неполносимметричным. Нормаль-
ные колебания молекул НгО и СОг показаны
на рис. 33.7. Учет свойств симметрии колеба-
ний облегчает решение задач о колебаниях, а
во многих случаях позволяет сделать важные
выводы о характере колебательного движения
и его спектроскопических проявлениях вообще
без проведения трудоемких расчетов.
524
Основы спектроскопии if лтинеслрации
33.4
Электронные
состояния
и электронные
спектры молекул
мультиплетность
синглетное
состояние
триплетное
состояние
Как было показано ранее, некоторые особенности вра-
щательного и колебательного движений молекул удается
объяснить на основе классической теории взаимодейст-
вия света с веществом. Б противоположность этому элек-
тронное движение и электронные спектры могут быть
рассмотрены достаточно ciporo только в рамках кванто-
вомеханических представлений. Как и прежде, рассмот-
рение начнем с двухатомных молекул.
Двухатомная молекула представляет собой систему,
состоящую из двух ядер и определенного числа элект-
ронов, взаимодействующих с ядрами и между собой, что
и определяет свойства электронных состояний молекулы.
Как отмечалось выше (см. § 33.1), отдельные элект-
роны в атоме характеризуются главным (л), орбиталь-
ным (/), магнитным (м) и спиновым ($) квантовыми
числами, а состояние электронной оболочки атома в це-
лом — суммарными орбитальным и спиновым квантовы-
ми числами. Электронная оболочка двухатомной моле-
кулы имеет, в отличие от атома, не сферическую, а акси-
альную симметрию, поэтому физический смысл имеет не
просто значение суммарного орбитального момента мо-
лекулы, а его проекция на ось молекулы, которая зада-
ется величиной орбитального квантового числа А. Элект-
ронные состояния молекулы, которым отвечают значения
А=0, 1, 2,,.,, обозначаются соответственно греческими
буквами 2, П, А...
Кроме орбитального квантового числа А каждое
электронное состояние характеризуется спиновым кван-
товым числом 5, которое определяет мультиплетность
этого состояния (£-25+1), т. е. число энергетических
подуровней, на которое оно может расщепляться во
внешнем поле при отсутствии орбитального вырожде-
ния. Мультиплетность уровня записывается в виде индек-
са у обозначения состояния, например: аП означает уро-
вень с А=1, 5=1. Состояния, для которых 5=0, назы-
ваются синглетными (одиночными) состояниями, для
которых 5 = 1,— триплетными (тройными).
Электронные состояния двухатомных молекул могут
различаться также по свойствам симметрии.. В основе
этого лежит представление о двух противоположных ти-
пах симметрии квантовых систем, различие которых
можно охарактеризовать в общем виде знаками плюс
и минус, что, в свою очередь, определяется различным
поведением волновых функций, описывающих данное со-
стояние при операциях симметрии. Если волновая функ-
ция 'Р сохраняет знак при отражении в плоскости, про-
ходящей через ось молекулы, то тип симметрии плюс,
Поглощение и излучение света молекулами
525
если меняет его, то тип симметрии минус. Этот индекс
пишется около символа состояния вверху справа. Если
двухатомная молекула состоит из двух одинаковых ато-
мов, то она обладает центром симметрии. По отношению
к операции отражения в центре симметрии электронные
состояния таких молекул подразделяются на четные g
и нечетные и. Этот индекс пишется около символа со-
стояния внизу справа.
Так, основным состоянием молекулы водорода явля-
ется состояние *2^ , T; е. синглетное., положительное и
четное (Л=0), тогда как первое возбужденное электрон-
ное состояние этой молекулы является уже триплетным и
нечетным:
Квантовая теория приводит к следующим правилам
отбора для переходов в двухатомных молекулах: ДЛ=0,
±1; Д$=0; —u-+g. Квантовый переход
будет запрещенным, если это диктуется хотя бы одним
из правил отбора.
Например, переходы между упоминавшимися состояни-
ями молекулы H2(12g и запрещены только по спи-
ну, а переходы между основным и вторым возбужденным
электронными состояниями этой молекулы — и по спи-
ну, й по четности.
При любых электронных переходах происходит из-
менение свойств электронной оболочки, что должно най-
ти отражение в такой важной энергетической характе-
ристике молекулы, как кривая потенциальной энергии.
Иными словами, в разных электронных состояниях вид
кривых Еп(г) молекулы должен быть в общем случае
различным. При этом возникают разные возможности:
в возбужденном состоянии может иметь место увеличе-
ние или (чаще) уменьшение энергии диссоциации, умень-
шение или (чаще) увеличение равновесного расстояния,
наконец, возбужденное состояние вообще может оказать-
ся неустойчивым. Каждому электронному состоянию от-
вечает своя потенциальная кривая Еа{г) и, следователь-
но, своя собственная колебательная частота \’КОл, кото-
рая меняется при переходе из невозбужденного
электронного состояния в возбужденное благодаря из-
менению коэффициента упругой связи А. Поскольку ме-
няется расстояние между ядрами ге, меняется и момент
инерции / молекулы, что влечет за собой изменение и
вращательных уровней. Каждой потенциальной кривой,
каждому электронному уровню отвечает своя совокуп-
ность колебательных и вращательных уровней (см.
рис. 33.1), Полная энергия молекулы в данном состоянии
четное
электронное
состояние
нечетное
электронное
состояние
526
Основы спектроскопии и люминесценции
представляет собой сумму электронной, колебательной и
вращательной энергий Е=Еэл+Екол+£Вр. Соответствен-
но частоту перехода с поглощением или испусканием
можно рассматривать, как состоящую из трех частей:
^='УэЛ-Ьт,кол_!_^вр. Отвлекаясь на время от вращения и
считая молекулу ангармоническим осциллятором, нахо-
дим согласно (33.18)
е' — е' , ( 1 \
V = VM + л = vm+ +±) -
l '2 / \2 / \
-^(’'+тНЦр'+тр-
Рис. 33.8. Схема элек-
тронно-колебательных пе-
реходов:
а — серия и"; 6 —серы о'
принцип
Франка— Кондона
Франк (Franck) Джеймс
(1882—1964) — немецкий
физик
Кондон (Condon) Эдвард
(1902—1974)— амери-
канский физик
Это уравнение выделяет всевозможные частоты пере-
ходов между различными колебательными уровнями двух
электронных состояний. Схема таких переходов дана на
рис. 33.8. Никаких принципиальных ограничений для пе-
реходов не существует.
Если потенциальные кривые, между которыми про-
исходят электронно-колебательные переходы, заданы,
возникает вопрос, какие из этих переходов наиболее ве-
роятны. Ответ на этот вопрос дает принцип Франка —
Кондона, согласно которому при электронном переходе
скорость движения ядер молекулы и их положение не
меняются. Принцип Франка — Кондона является при-
ближенным, так как скорость движения электронов мо-
лекулы хотя и намного больше скорости движения ядер,
но все же есть конечная величина.
Рассмотрим случай, приведенный на рис. 33.9. Пусть
молекула находится в основном невозбужденном элек-
тронном состоянии на колебательном уровне и"=1. Это
значит, что молекула колеблется с частотой уМл и обла-
дает колебательной энергией (3/2)/iv кол-
При колебании молекула больше всего времени про-
водит в точках наибольшего отклонения, т. е. в точках
пересечения потенциальной кривой с уровнем, так как в
этих точках скорость движения наименьшая, в них коле-
бательное движение меняет свое направление на обрат-
ное. Таким образом, вероятнее всего найти молекулу в
этих точках.
Согласно принципу Франка—Кондона электронно-
колебательные переходы на рассматриваемой схеме дол-
жны изображаться вертикальными прямыми. Значит,
наиболее вероятными будут переходы, представленные
Поглощение и излучение света молекулами
527
на рис. 33,9 сплошными линиями. Интенсивность этих
переходов в спектре наибольшая. Напротив, переходы,
обозначенные на рис, 33.9 пунктирными прямыми, мало-
вероятны и соответствующие линии в спектре малоин-
тенсивны или вообще отсутствуют. Если нижнее состо-
яние молекулы о"=0, то вертикальную прямую следует
проводить из точки минимума потенциальной кривой, так
как при у"—0 молекула проводит больше всего времени
в точке г=ге.
Теоретическое рассмотрение электронных спектров
многоатомных молекул представляет собой значитель-
ные трудности вследствие наличия у таких молекул боль-
шого числа (в общем случае 3N—6) колебательных сте-
пеней свободы. Поскольку электронная энергия много-
атомной молекулы зависит, вообще говоря, от всех
нормальных колебаний, то ее полная энергия уже не вы-
ражается плоской потенциальной кривой, а представляет
собой сложную потенциальную поверхность в многомер-
ном пространстве ЗА'—6 измерений. По такой причине
сколько-нибудь последовательной и строгой теории элек-
тронных спектров многоатомных молекул, пригодной для
соединений различных классов, пока не существует.
В многоатомных молекулах, как и в двухатомных,
важное значение имеет принцип Франка —Кондона.
К сожалению, в применении к многоатомным молекулам
этот принцип нельзя проиллюстрировать так наглядно,
как к двухатомным. Использование принципа Франка —
Кондона приводит к ряду важных результатов. Так, на-
пример, можно показать, что если равновесная конфи-
гурация многоатомной молекулы одинакова как в ос-
новном, так и в возбужденном электронных состояниях,
то при данном переходе могут возбуждаться только сим-
метричные колебания.
Важным фактором, определяющим характер элект-
ронных спектров, является взаимодействие различных
нормальных колебаний друг с другом. Это взаимодей-
ствие проявляется в том, что после возбуждения какой-
либо колебательной степени свободы энергия данного
колебания за более или менее короткое время перерас-
пределяется между другими нормальными колебаниями.
При этом время жизни соответствующих состояний со-
кращается. Последнее, в свою очередь, приводит к рас-
ширению электронно-колебательных уровней и спектров,
что особенно характерно для многоатомных молекул низ-
кой симметрии. В зависимости от степени связи между
нормальными колебаниями, а также между электронным
и колебательным движением молекулы подразделяют
Рис. 33.9. Электронно-
колебательные переходы
с учетом принципа Фран-
ка — Кондона
а
КМ
i
21 23 Л vtt'fa1
Kfv)
h
26 JO r№!tni
Рис. 33.10. Длинновол-
новые электронно-коле-
бательные полосы погло-
щения антрацена (а) и
3-аминофта.тимнда (б) в
газовой фазе
528
Основы спектроскопии и люминесценции
квазиликейчатый
спектр
простых
молекул
диффузный
спектр
полусложных
молекул
сплошной
(бесструктурный)
спектр
сложных
молекул
на простые, полусложные и сложные. При комнатной
температуре спектр простых молекул представляет собой
набор более широких, чем у атомов, линий (квазилиней-
чатый спектр). Полусложные молекулы обладают диф-
фузными спектрами со следами колебательной структу-
ры. Спектры сложных молекул характеризуются сплош-
ными (бесструктурными) электронно-колебательными
полосами.
В качестве примера на рис. 33.10 приведены спектры
поглощения (A(v) — коэффициент поглощения) антра-
цена и 3-аминофталимида в газовой фазе, относящиеся
соответственно к полусложным и сложным молекулам.
В настоящее время при низких температурах специаль-
ными методами получены квазилинейчатые спектры по-
глощения и испускания для многих полусложных и да-
же некоторых сложных молекул.
Глава 34
ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ СЛОЖНЫХ МОЛЕКУЛ
Переход молекулы в электронное возбуж-
денное состояние может происходить различ-
ными путями. Возбуждение наступает в ре-
зультате столкновения молекулы с быстроко-
леблющимися частицами, получившими энер-
гию в результате общего нагревания тела, прн
поглощении кванта видимого или ультрафиоле-
тового света, при соударении с электронами и
иными быстродвижущимися заряженными ча-
стицами, а также в ряде других случаев. Воз-
бужденные частицы обычно быстро (за время,
измеряемое миллиардными долями секунды)
теряют свою избыточную энергию и переходят
в основное невозбужденное состояние. Такой
переход может совершиться безызлучатель-
ным путем, когда энергия передается окружа-
ющим частицам в виде тепла, или с испуска-
нием света. Явление испускания света вещест-
вом при его возбуждении различными внешни-
ми воздействиями называется люминесцен-
цией.
Это весьма общее определение не позволя-
ет отличать люминесценцию от теплового из-
лучения, отраженного и рассеянного света, из-
лучения Черенкова — Вавилова. Более кон-
кретное определение люминесценции дал Ва-
вилов: люминесценция есть избыток над теп-
ловым излучением тела в том случае, если это
избыточное излучение обладает длительностью
примерно 10"10 с и больше.
Критерий длительности, фигурирующий в
определении Вавилова, позволяет отделить
люминесценцию от процессов, связанных с от-
ражением, рассеянием света или излучением
Черенкова —Вавилова. Эти процессы очень
кратковременны н прекращаются непосредст-
венно с прекращением возбуждения. Люми-
несценция, задерживаемая пребыванием ве-
щества в возбужденном состоянии, имеет дли-
тельность, существенно превышающую период
световых колебаний. Следует отметить, что
время задержки 10~10 с нуждается в уточне-
нии. Это связано с обнаруженной люминесцен-
цией из верхних возбужденных электронных
состояний, так называемой «синей» илн «ко-
ротковолновой» люминесценцией. Ее длитель-
ность может быть очень малой: 10~"—JO~J-c.
Ее интенсивность на несколько порядков мень-
ше интенсивности люминесценции из самого
низкого возбужденного состояния.
Существуют еще два дополнительных
признака люминесценции: некогерентность
(обусловленная тем, что испускают не связан-
ные между собой частицы) и спектральная се-
лективность, хотя она присуща и другим ви-
дам свечения.
С простейшим видом люминесценции — ре-
зонансным испусканием атомов —мы уже по-
знакомились (см. § 32.1). В настоящей главе
более подробно остановимся на люминесценции
сложных молекул, т. е. таких молекул, которые
обладают сплошными (бесструктурными нлн
диффузными) спектрами поглощения и испу-
скания.
Люминесценция сложных молекул
529
Виды люминесценции многочисленны и разнообраз-
ны, поэтому их классификация по определенным призна-
кам весьма существенна. Свойства люминесценции зави-
сят прежде всего от свойств люминесцентного центра, а
также от способов возбуждения.
По типу возбуждения различают следующие виды лю-
минесценции.
Фотолюминесценция — свечение, возникающее под
действием световых лучей оптического диапазона. Наи-
более распространено возбуждение светом видимого и
ультрафиолетового диапазонов.
Катодолюминесценция- свечение, возбуждаемое бы-
стродвижущим ися электронами, ускоренными полями
102-105 В.
Электролюминесценция — свечение, возникающее при
приложении к веществу электрического поля. Оно воз-
буждается появляющимися в веществе носителями тока.
Радиолюминесценция — свечение под действием быст-
рых частиц — продуктов радиоактивного распада (а-,
Р-, у-лучи) и космической радиации.
Триболюминесценция — свечение, возникающее при
механических воздействиях, приводящих к растрескива-
нию кристаллов.
Хемилюминесценция — свечение, возникающее при
протекании в веществах химических реакций. Одним из
видов хемилюминесценции является биолюминесценция,
которая присуща различным живым организмам.
Существуют и другие виды люминесценции, наблю-
дающиеся, как и перечисленные, для веществ в различ-
ных состояниях —газообразном, жидком и твердом. Эф-
фективность же свечения веществ в разном состоянии су-
щественно различается.
В дальнейшем будем рассматривать только фотолю-
минесценцию. Для нее в наибольшей мере используется
дополнительная классификация по длительности свече-
ния. В этом плане различают флуоресценцию и фосфо-
ресценцию. Флуоресценцией называют люминесценцию,
длительность которой составляет 10-в—10~9 с и менее.
К флуоресценции следует отнести «синюю» и «горячую»
(испускается из высоких и непрорелаксировавших коле-
бательных состояний) люминесценцию. Их длительность
может составлять 10-12 с. Под фосфоресценцией пони-
мают свечение, имеющее длительность от 10-7 с до деся-
тых долей секунды и даже нескольких часов. Как пра-
вило, флуоресценция и фосфоресценция различаются по
механизму высвечивания.
Исходя из различного механизма высвечивания, Ва-
34.1
Виды
люминесценции
фото-
люминесценция
катодо-
люминесценция
электро-
люминесценция
радио-
люминесценция
трибо-
люминесценция
хеми-
люминесценция
био-
люминесценция
флуоресценция
фосфоресценция
530
Основы спектроскопии и люминесценции
Рис. 34.1. Схемы кинети-
ки резонансной флуорес-
ценции (а), спонтанной
люминесценции (б) и за-
медленной флуоресцен-
ции и фосфоресценции
(«)
резонансная
флуоресценция
спонтанная
люминесценция
•
вынужденная
люминесценция
замедленная
флуоресценция
рекомбинационная
люминесценция
вилов все явления люминесценции разделил на три клас-
са: спонтанная, вынужденная и рекомбинационная лю-
минесценция. В дальнейшем была выделена также резо-
нансная флуоресценция.
Схема резонансной флуоресценции показана на
рис. 34.1,о. В результате поглощения кванта света ча-
стоты Vj2 молекула попадает на возбужденный уровень
2, откуда спустя некоторое время самопроизвольно пере-
ходит на уровень 1, испуская фотон с частотой V2i=Vi2-
Резонансная флуоресценция наблюдается в атомных па-
рах, у некоторых простых молекул и иногда в более
сложных системах.
Спонтанная люминесценция (рис. 34.1,6) отличается
от резонансной флуоресценции тем, что после поглоще-
ния фотона молекула очень быстро (за время около
10-12 с) безызлучательно переходит на уровень 3, с ко-
торого происходит излучение. Этот вид люминесценции
характерен для сложных молекул в парах и растворах.
Вынужденная люминесценция (рис. 34.1, в) характери-
зуется тем, что после поглощения кванта света молекула
обычно безызлучательно попадает в состояние 4, которое
имеет большее время жизни, чем время жизни возбуж-
денного состояния <3. В результате внешнего воздействия
она может попасть в состояние 3 и затем перейти в ос-
новное состояние / с испусканием фотона частоты v3i.
В частности, если безызлучательный переход с уровня 4
на уровень 3 произошел за счет теплового движения мо-
лекул, то такая флуоресценция называется замедленной.
Молекула может перейти в основное состояние и с
уровня 4, испуская квант света с частотой v^, Такая лю-
минесценция называется фосфоресценцией. Вынужден-
ная флуоресценция и фосфоресценция характерны для
многих органических молекул в растворах и органиче-
ских кристаллах.
Рекомбинационная люминесценция возникает как
следствие воссоединения двух частей центра свечения,
отделенных друг от друга при возбуждении. Такова ре-
комбинация электрона и иона, образовавшихся в резуль-
тате ионизации, или двух частей диссоциированной мо-
лекулы, разъединенных при возбуждении. Энергия, за-
траченная на ионизацию или диссоциацию, выделяется
при воссоединении разделенных частиц и приводит в со-
стояние возбуждения частицу люминофора (ион или мо-
лекулу), которая далее испускает квант по одному из
рассмотренных выше механизмов.
В заключение отметим, что приведенная классифика-
ция люминесценции Вавилова имеет большое принципи-
Люминесценция сложных молекул
531
альное значение —она устанавливает возможные типы
элементарных процессов люминесценции. Однако совре-
менные данные по кинетике процессов люминесценции
показывают, что наблюдаемые на опыте свечения неред-
ко являются сложной комбинацией рассмотренных выше
элементарных процессов.
Люминесцентные центры (в частности, молекулы)
имеют достаточно сложное строение. Точное распределе-
ние зарядов в центре излучения и его изменения при воз-
буждении еще не известны. Однако опыт показывает,
что поведение различных излучателей в первом прибли-
жении может быть довольно удовлетворительно описано
на основе упрощенных моделей: электрического и маг-
нитного диполей, а также электрического квадруполя.
В сложных случаях молекула заменяется совокупностью
нескольких элементарных моделей, одна из которых опи-
сывает поглощение, другая — испускание. Например,
поглощающая система может уподобляться электриче-
скому диполю, а излучающая — квадруполю.
Три основные модели молекулы отличаются друг от
друга поглощательной способностью, вероятностью пе-
рехода с испусканием, а следовательно, длительностью
возбужденного состояния, поляризацией испускания и
характером поля излучения.
Электрический диполь представляет собой совокуп-
ность двух противоположных зарядов, находящихся на
некотором расстоянии друг от друга (см. § 16.3). В клас-
сической теории колебание зарядов диполя, связанного с
изменением дипольного момента, сопровождается испу-
сканием. В квантовой теории вероятность испускания ди-
полем кванта света hv при его переходе из состояния л
в состояние m определяется выражением
64n4v3
< _ ,р i2
Лпт ~ ЗАс3 1
где (Опт | =elr7im| — квантовый дипольный момент из-
лучающей частицы. Величина г™ играет роль амплиту-
ды колебаний классического диполя. Вероятность испу-
скания электрического диполя связана с длительностью
возбужденного состояния тпт простым соотношением
Лпт=1/тпт- Таким образом, при т~10-9 с вероятность
испускания около 10э с-1. Поле излучения электрическо-
го диполя показано на рис, 34.2, а.
С помощью модели электрического диполя удовлет-
ворительно описывается поведение большинства люми-
несцирующих веществ.
34.2
Простейшие
модели
излучателей
электрический
диполь
Рис. 34.2. Поле
ния электрического ди-
поля (а}, электрического
квадруполя (б) и маг-
нитного диполя (в)
4
излучв’
532 Основы спектроскопии и люминесценции
• Электрический квадруполь представляет собой два
электрический квадруполь диполя, оси которых имеют противоположное направле- ние (рис. 34.2,6). Модель квадруполя соответствует об- разованиям более симметричным, чем молекулы, рас- сматриваемые как электрические диполи. Вероятность перехода между двумя квадрупольными состояниями примерно в 106 раз меньше, чем в случае дипольных пе- реходов. Вследствие этого вероятность поглощения и ис- пускания квадруполя в 106 раз меньше, чем у диполя. Наоборот, длительность возбужденного состояния будет во столько же раз больше и достигнет 10~2—10-3 с. Модель квадруполя используется при рассмотрении так называемых запрещенных переходов, например при спонтанных переходах молекул из метастабильного со- стояния в нормальное.
• Магнитный диполь представляет собой элементарный двухполюсный магнит, при изменении момента которого
магнитный диполь возникает испускание. Вследствие того, что величины магнитных моментов молекул очень малы, вероятности переходов молекул из одного состояния в другое при из- менении их магнитных моментов оказываются крайне малыми. Поглощательная и испускательная способности молекул — магнитных диполей по порядку величины близки к поглощательной и испускательной способностям квадруполя. Распределение излучения магнитного дипо- ля показано на рис. 34.2, в. Модель магнитного диполя применяется для описания некоторых случаев метаста- бильных состояний молекул. Различие полей излучения диполей и квадруполей используется в люминесценции для экспериментального установления характера элементарного излучателя.
34.3 Основные закономерности в спектрах сложных молекул Для установления природы свечения и кинетики со- провождающих его процессов необходимо провести ис- следование всех свойств флуоресцирующего вещества и самого свечения. К этим свойствам относятся следующие: спектр поглощения, спектр испускания, выход флуорес- ценции, поляризация флуоресценции, длительность воз- бужденного состояния. Краткое рассмотрение этих свойств начнем с основных закономерностей, которые проявляются в спектрах поглощения и флуоресценции сложных молекул. Спектром поглощения называют совокупность коэф- фициентов поглощения, характеризующих поглощатель- ную способность вещества по отношению к лучам опти- ческого диапазона частот. Количественной величиной, определяющей поглощение веществом света частотой v,
Л юм и несценци я сложных молекул
533
является коэффициент поглощения k(v), который можно
найти из закона Бугера —Ламберта— Бера (см. § 21.6)
ло формуле
*(v) = —In-^T .
' ' z / (v)
где /j (v) — начальная интенсивность светового потока;
7(v) — интенсивность светового потока после прохожде-
ния поглощающего слоя толщиной г.
Спектр поглощения определяется составом и струк-
турой поглощающего центра и зависит от влияния окру-
жающей среды (растворителя). Он является индивиду-
альной характеристикой сложной молекулы и состоит
обычно из нескольких широких полос, частично пере-
крывающихся друг с другом. В качестве примера на
рис. 34.3 приведен спектр поглощения молекулы акри-
динового оранжевого, относящегося к классу красите-
лей. Разные полосы поглощения относятся к различным
электронным переходам внутри молекулы.
Наибольший интерес при изучении поглощения слож-
ных молекул вызывает самая длинноволновая полоса по-
глощения, которая по форме примерно идентична для
многих веществ. Она образуется при переходах между
различными колебательными подуровнями основного и
наиболее низкого возбужденного электронных состоя-
ний. При переходе вещества из одного состояния в дру-
гое или от одного растворителя к другому положение
длинноволновой полосы может несколько изменяться,
что связано с изменением влияния молекул окружения
на электронную оболочку.
Спектром испускания (флуоресценции) называется
распределение интенсивности испускаемой веществом
энергии по частотам (или длинам волн). Вид спектра
флуоресценции определяется составом и строением флуо-
ресцентного центра, а также влиянием растворителя. Как
и длинноволновая полоса поглощения, спектр флуорес-
ценции сложных молекул не имеет колебательной струк-
туры и представляет собой одну довольно широкую бес-
структурную полосу (рис. 34.4). Такое строение полос
поглощения и флуоресценции свидетельствует о том, что
колебательные уровни нижнего и верхнего электронных
состояний не дискретны, а образуют непрерывную по-
следовательность.
Важным свойством полосы флуоресценции является
независимость ее формы и положения от длины волны
возбуждающего излучения. До недавнего времени это
свойство служило основным критерием чистоты вещест-
ж ж ж
Рис, 34.3. Спектр погло-
щения акридинового
оранжевого
Рис. 34,4. Спектр флуо-
ресценции 3-диметилами-
но-6- ами нофталим нда
534
Основы спектроскопии и .люминесценции
Рис. 34.5. Схема уров-
ней, поясняющая незави-
симость спектра флуорес-
ценции от длины волны
возбуждения.
Колебательные уровни не
изображены
Ломмель (Loinте!) Эу-
ген Корнелиус Иозеф
(1837- 1899) - немец-
кий физик-оптик
ва. Этот критерий не утратил в полной мере своей акту-
альности, хотя обнаружен ряд отступлений, которые тре-
буют специального рассмотрения. Одно из таких отступ-
лений связано с изменением спектра люминесценции при
переходе к низкочастотному (v<v0) возбуждению (анти-
стоксово возбуждение), а также при селективном, ла-
зерном возбуждении при очень низких (около 10 К) тем-
пературах. Тем не менее указанное свойство полосы
флуоресценции сложных молекул принципиально отли-
чает их от люминесценции простых молекул и атомов,
которые при возбуждении различными частотами попа-
дают на разные возбужденные уровни и затем флуорес-
цируют, переходя на более низкие уровни. В результате
их спектры зависят от частоты возбуждения. Полоса
флуоресценции сложных молекул образуется при пере-
ходах с различных колебательных уровней одного и то-
го же возбужденного состояния на различные колеба-
тельные уровни основного состояния (переход 2 1 на
рис. 34.5). Возбуждение на более высокие электронные
состояния (5 и 4) сопровождается быстрыми безызлуча-
тельными переходами в нижнее возбужденное состоя-
ние 2.
При совместном рассмотрении длинноволновой поло-
сы поглощения и спектра флуоресценции сложных мо-
лекул проявляются некоторые спектральные закономер-
ности, Основными из них являются: правило Стокса —
Ломмеля, правило' зеркальной симметрии Левшина и
универсальное соотношение Степанова. Рассмотрим эти
закономерности.
Правило Стокса — Ломмеля. При исследовании флуо-
ресценции различных веществ Стокс (1852) обратил вни-
мание на закономерность, определяющую положение
спектра испускания по отношению к частоте возбуждаю-
щего света. Эта закономерность, получившая название
правила Стокса, формулируется следующим образом: свет
флуоресценции имеет всегда большую длину волны, чем
свет, применявшийся для возбуждения (стоксова флуо-
ресценция) (см. § 32.1). Дальнейшее накопление экспе-
риментальных фактов показало, что флуоресценцию
можно возбудить и светом с длиной волны, большей дли-
ны волны флуоресценции (антистоксова флуоресценция).
Это побудило Ломмеля дать правилу Стокса более об-
щую формулировку: спектр флуоресценции в целом и его
максимум ГфЛ всегда сдвинут по сравнению со спектром
поглощения и его максимумом vDorj в сторону более
длинных волн. В такой формулировке эта закономер-
ность получила название правила Стокса — Ломмеля.
Люминесценция сложных молекул
535
Правило зеркальной симметрии Левшина. Для неко-
торых классов органических молекул спектры поглоще-
ния и флуоресценции обладают зеркальной симметрией
как по положению, так и по форме. Эту закономерность
обнаружил и сформулировал Левшин: спектры поглоще-
ния и флуоресценции, изображенные в шкале частот,
располагаются зеркально симметрично относительно ли-
нии, проходящей через точку пересечения кривых обоих
спектров (рис. 34.6). По оси ординат для спектров по-
глощения откладывают коэффициент поглощения fe(v),
а для спектров флуоресценции квантовые интенсивности
/KB(v), т, е. распределение числа испускаемых квантов по
частотам.
Правило Левшина дает возможность по кривой одно-
го из спектров построить кривую другого спектра. Исхо-
дя из симметрии, можно записать соотношение va+v/=
=2vOl устанавливающее линейную зависимость между
частотой флуоресценции V/ и частотой va, соответствую-
щей симметричной точке спектра поглощения, которые в
сумме дают удвоенную частоту v0 линии симметрии.
Правило зеркальной симметрии требует выполнения
двух закономерностей: зеркальной симметрии частот по-
глощения и флуоресценции, а также зеркальной сим-
метрии интенсивностей поглощения и флуоресценции в
соответственных частях спектра. Зеркальная симметрия
частот вытекает из положения спектров. Появление тех
или иных частот в спектрах поглощения или флуорес-
ценции определяется структурой системы энергетических
уровней молекулы в нормальном и возбужденном состо-
яниях. Симметрия соответствующих частот предъявляет
к структуре этих уровней особые требования.
Зеркальная симметрия интенсивностей поглощения
и флуоресценции вытекает из зеркальной симметрии
спектров. Интенсивности поглощения или флуоресцен-
ции с определенными частотами, соответствующими пе-
реходам между энергетическими уровнями нормального
и возбужденного состояний, зависят от распределения
молекул по этим уровням (от степени заселенности уров-
ней обеих систем) и величины вероятностей переходов
между уровнями этих систем. Поэтому симметрия интен-
сивностей требует вполне однозначных соотношений
между распределением молекул по колебательным уров-
ням нормального и возбужденного состояний и опреде-
ленных соотношений вероятностей прямых и обратных
электронных переходов.
На основании всего сказанного можно сформулиро-
Рис. 34.6. Зеркальная
симметрия спектров по-
глощения и флуоресцен-
ции
Левшин Вадим Леони-
дович (1896—1969)— со-
ветский физик
536
Основы спектроскопии и люминесценции
Рис. 34.7. Распределе-
ние сложных молекул по
запасам колебательной
энергии в верхнем и ниж-
нем электронных состоя-
ниях в растворе
Степанов Борис Ивано-
вич (р. 1913) — советский
фнзнк
вать основные условия возникновения зеркальной сим-
метрии спектров поглощения и флуоресценции:
1) обе системы энергетических уровней (основного и
возбужденного состояний) должны обладать одинаковым
строением, причем частота линии симметрии соответст-
вует частоте чисто электронного перехода v3JT (рис. 34.7);
2) распределение молекул по колебательным уровням
основного и возбужденного электронных состояний долж-
но быть одинаковым.
Функции распределения молекул по колеба-
тельным уровням верхнего р*(£кол ) и нижнего р(ЕКОл)
электронных состояний представлены на рис. 34.7 (кри-
вые справа). Равенство р*(^кол )=р(£кол) будет спра-
ведливо, если вероятность обмена энергией флуоресци-
рующих молекул со средой значительно превышает ве-
роятность переходов молекулы в невозбужденное состоя-
ние. Для сложных молекул такое предположение спра-
ведливо, та^ как длительность возбужденного состояния
у них составляет 10 '9 с, что намного больше времени
установления теплового равновесия;
3) вероятности переходов с поглощением и флуорес-
ценцией, начинающихся и оканчивающихся на соответ-
ственных уровнях, должны быть пропорциональны. Со-
ответственными уровнями нижнего и верхнего состояний
являются уровни, имеющие одинаковые значения коле-
бательных квантовых чисел.
Условие 1) обеспечивает симметрию частот, условия
2) и 3) — симметрию интенсивностей для соответствую-
щих частот.
Универсальное соотношение Степанова. На основании
изложенного и с учетом многочисленных эксперименталь-
ных фактов, в частности независимости контура полосы
флуоресценции от частоты возбуждающего света, можно
утверждать, что у сложных молекул между актами по-
глощения и испускания света происходит очень быстрое
перераспределение энергии по колебательным степеням
свободы. Поэтому перед актом испускания устанавлива-
ется температурное равновесие по колебательным уров-
ням возбужденной молекулы. Однако полное равновесие
в системе отсутствует, так как в возбужденном элект-
ронном состоянии имеется значительный избыток мо-
лекул.
Основываясь на этих соображениях, Степанов полу-
чил соотношение, связывающее мощность флуоресценции
определенной частоты с коэффициентом погло-
щения k (v) той же частоты:
Люминесценция сложных молекул
537
^фл(у) = С( ПВДехрНпад, (34.1)
где С(Т) —нормирующий множитель; Г —абсолютная
температура; —постоянная Больцмана. Формула
(34.1) называется универсальным соотношением Степа-
нова и позволяет расчетным путем получить спектр ис-
пускания, если известен спектр поглощения, и наоборот.
Соотношение (34.1) справедливо для всех молекул, для
которых выполняется следующее условие: возбужденная
молекула по всем степеням свободы (кроме электронно-
го движения) находится в равновесии с окружающей
средой.
Универсальное соотношение применимо не только
для электронно-колебательных спектров сложных моле-
кул, но и для любых других систем, состоящих из двух
подсистем — быстрой и медленной. Необходимо только,
чтобы время перераспределения энергии внутри медлен-
ной подсистемы значительно превосходило длительность
возбужденного состояния быстрой подсистемы.
При исследовании флуоресценции сложных молекул
особое значение имеет измерение выхода флуоресценции
(энергетического и квантового). Флуоресцирующие ве-
щества преобразуют поглощаемую ими при возбуждении
энергию в световую энергию флуоресценции. Выход флуо-
ресценции определяет полноту этого преобразования для
оптического возбуждения.
Энергетический выход — это отношение испущенной
веществом энергии флуоресценции Е^Л к поглощенной
энергии возбуждения £ПОгл: Вэ=ЕфЯ1ЕаотП.
Понятие энергетического выхода ввел в учение о
флуоресценции Вавилов. Величина энергетического вы-
хода той или иной конкретной системы имеет решающее
значение в технических проблемах, связанных с прак-
тическим применением флуоресценции.
Для точного определения энергетического выхода не-
обходимо измерить общее количество энергии, поглоща-
емой системой за все время действия источника возбуж-
дения, затем измерить полную энергию флуоресценции
за время от начала действия возбуждения до его полного
исчезновения и разделить вторую величину на первую.
Для стационарного режима, т. е. при постоянном воз-
буждении, достаточно разделить мощность флуоресцен-
ции №фл на мощность поглощения №погл;
Вэ — £фл/£погл = Wфл/ НОГЛ'
(34.2)
универсальное
соотношение
Степанова
34.4
Выход
флуоресценции
энергетический
выход
538
Основы спектроскопии и люминесценции
ф Квантовый выход — это отношение числа испущенных
квантов Л^ф.т к числу поглощенных квантов Млогл (при
квантовый выход стационарном режиме):
Вцъ — N фл/МюГЛ-
(34.3)
Если спектр флуоресценции не зависит от частоты
возбуждающего света, то величина квантового выхода
однозначно связана с величиной энергетического вы-
хода:
R _ Гфл _ = д /од д\
5 ^пом ЯПОГ>ПОГЛ ^погл ’
Рис. 34.8. Зависимость
энергетического выхода
флуоресценции раствора
флуоресцеина от длины
волны возбуждающего
света
где ^фЛ и ^погл — соответственно средние частоты спект-
ров флуоресценции и поглощения. При Тлоэб>ТфЛ (сток-
сова флуоресценция) квантовый выход всегда больше
энергетического. Случай антистоксовой флуоресценции
требует особого рассмотрения.
Выход флуоресценции многих веществ зависит от
длины волны возбуждающего света. Кривая, выражаю-
щая зависимость энергетического выхода флуоресценции
одного из классических флуоресцирующих веществ —
флуоресцеина — от длины волны возбуждающего света,
показана на рис. 34.8. По мере увеличения длины волны
возбуждающего света от 254 до 410 нм выход флуорес-
ценции пропорционально растет, затем от 410 до 510 нм
он остается практически постоянным и, наконец, в обла-
сти длинных волн, где происходит наложение спектров
поглощения и флуоресценции, выход падает. Такое из-
менение выхода при изменении длины волны возбужда-
ющего света наблюдается у большинства веществ.
Пропорциональное увеличение энергетического выхо-
да при увеличении ХВоэб эквивалентно постоянству кван-
тового выхода флуоресценции в этом интервале длин
волн. Действительно, в области пропорционального из-
менения Вэ с длиной волны возбуждающего света имеем
В9 = й^погл» (34.5)
где Хиогл—длина волны поглощаемого света; о —коэф-
фициент пропорциональности. Согласно (34.4) Вэ=
=ВКв(АпоглДфл), где Хфл — средняя длина волны флуо-
ресценции, которая остается постоянной при изменении
Хпогл- Тогда из (34.5) следует BKB=a^n=const. Полу-
ченный результат показывает, что на протяжении всего
спектрального интервала, на котором энергетический вы-
ход пропорционален длине волны возбуждающего света,
в флуоресценцию переходит одна и та же доля Вкв по-
Люминесценция сложных молекул
539
глощенных возбуждающих квантов независимо от длины
волны света, применяемого для возбуждения.
Таким образом, независимость квантового выхода
флуоресценции растворов от. частоты возбуждающего
света во всей стоксовой области возбуждения носит уни-
версальный характер. Эта закономерность имеет боль-
шое значение для выяснения свойств сложных молекул
и носит название закона Вавилова.
Под действием разнообразных факторов часть энер-
гии возбуждения рассеивается, не переходя в свет флуо-
ресценции (люминесценции). Процессы, приводящие к
превращению части поглощенной световой энергии в теп-
ло или другие формы энергии, что ведет к уменьшению
выхода флуоресценции, называются тушением флуорес-
ценции. Рассмотрим некоторые наиболее характерные
виды тушения.
Температурное тушение — это в основном внутримо-
лекулярный процесс. При повышении температуры уве-
личивается колебательная энергия молекулы, что ведет
к ослаблению внутримолекулярных связей и облегчению
возможностей! деформаций молекул. Это может приво-
дить к уменьшению расстояния между возбужденным и
невозбужденным электронными уровнями, увеличению
вероятности диссоциации молекул. В целом при повыше-
нии температуры увеличивается вероятность безызлуча-
тельной дезактивации. Повышение температуры флуо-
ресцирующих веществ обычно уменьшает выход свече-
ния. Зависимость относительного квантового выхода
родамина Б в глицерине от температуры (за единицу
принят выход при комнатной температуре /=20°С) при-
ведена на рис. 34.9, а.
Тушение посторонними примесями происходит при
добавлении в флуоресцирующий раствор незначительно-
го количества (около 1 %) некоторых нефлуоресцирую-
щих веществ (анилин, пирогалол, иодистый калий и др.).
При этом выход флуоресценции сильно уменьшается.
Типичная зависимость выхода от концентрации, напри-
мер, йодистого калия приведена на рис. 34.9,6. Про-
цесс тушения обратим, т. е. разбавление потушенного
раствора растворителем приводит к увеличению выхода.
Тушение примесями объясняется рядом причин, и в ча-
стности переносом энергии возбуждения от флуоресци-
рующей молекулы к молекуле примеси, которое начи-
нается лишь с некоторого расстояния (сферы действия).
Вслед за этим энергия возбуждения превращается в теп-
ловую, так как молекула тушителя не флуоресцирует.
34.5
Тушение
флуоресценции
температурное
тушение
флуоресценции
тушение
флуоресценции
посторонними
примесями
540
Основы спектроскопии и люминесценции
а
Концентрационное тушение связано с уменьшением
выхода при увеличении концентрации С флуоресцирую-
щего вещества в растворе. Типичный вид этой зависимо-
сти представлен на рис. 34.9, в на примере флуоресценции
раствора флуоресцеина в метиловом спирте. Анализ за-
висимости показывает, что на значительном интервале
концентраций падение выхода происходит экспоненци-
ально. Вавилов предложил для описания этой зависимо-
сти эмпирическую формулу
&
о
В = Воехр[—a(C-Ce)J,
(34.6)
где В, Во —выход соответственно при наличии и отсут-
ствии тушения; а —константа; Со — критическая кон-
центрация, т. е. концентрация, при которой начинается
тушение. Значения а и Со различны для разных веществ
2осю',fr/th’n растворителей.
Для объяснения концентрационного тушения исполь-
Рис. 34.9. Виды туше-
ния флуоресценции:
а — температурное тушение
красителя родамина Б в гли-
церине; б —тушение раст-
вора флуоресцеина иодистым
калием; е —концентрацион-
ное тушение
зуются' две теории — ассоциации и резонансной мигра-
ции энергии возбуждения. Согласно теории ассоциации
увеличение концентрации флуоресцирующего вещества в
растворе приводит к уменьшению расстояния между мо-
лекулами, а следовательно, к увеличению взаимодейст-
вия между ними, в результате чего появляются ассоции-
рованные группы молекул (ассоциаты). Для них харак-
терно измененное вследствие взаимодействия положение
уровней, а также существенно меньший выход флуорес-
ценции из-за увеличения вероятности безызлучательной
дезактивации.
Теория миграции основывается на индуктивном пе-
реносе энергии возбуждения, который существен для мо-
лекул с перекрывающимися спектрами флуоресценции и
поглощения. Часть переходов, увеличивающаяся с умень-
концентрационное
тушение
световое тушение
шением расстояния между молекулами, сопровождается
тушением. Обычно для объяснения концентрационного
тушения привлекаются обе теории.
Световое тушение проявляется при воздействии на
флуоресцирующее вещество интенсивным (как правило,
от лазерного источника) невозбуждающим световым по-
током. Интенсивное невозбуждающее излучение, взаимо-
действуя с возбужденными молекулами, вызывает их вы-
нужденный переход. Тем самым уменьшается число
возбужденных молекул, проявляющееся на опыте в
уменьшении интенсивности люминесценции. Степень ту-
шения пропорциональна интенсивности тушащего свето-
вого потока. Световое тушение в отличие от других видов
тушения является селективным по отношению к ориен-
Люминесценция сложных молекул
541
тации молекул, а также спектрально-селективным. Све-
товое тушение, впервые обнаруженное Галаниным, в на-
стоящее время интенсивно изучается. Интерес к нему
обусловлен рядом практических приложений.
Как уже отмечалось, люминесценция различных ве-
ществ характеризуется разной длительностью послесве-
чения. При возбуждении люминесценции очень коротким
световым импульсом интенсивность ее сначала возраста-
ет (происходит разгорание люминесценции), а затем убы-
вает (чаще всего по экспоненциальному закону). Так как
поглощение происходит практически мгновенно, то раз-
горание люминесценции свидетельствует о переходе мо-
лекул после поглощения в некоторое флуоресцентное
состояние. Эти процессы могут быть достаточно много-
образными, однако в большинстве своем они характери-
зуются небольшой длительностью.
При непрерывном возбуждении или возбуждении до-
статочно длинным импульсом в момент мгновенного пре-
кращения возбуждения интенсивность люминесценции
начинает уменьшаться. Для характеристики продолжи-
тельности затухания используется понятие времени жиз-
ни возбужденного состояния. Для его количественного
определения рассмотрим основной 1 и возбужденный
(флуоресцентный) 2 уровни энергии какой-либо систе-
мы (рис. 34.10). Пусть в момент прекращения возбуж-
дения (/=0) в верхнем состоянии находится пи частиц.
Если предположить, что безызлучательные переходы от-
сутствуют, а вероятность переходов 2-^1 с испусканием
равна Л21, то число переходов за время от t до t+dt рав-
но Л21М^- Следовательно, уменьшение числа возбуж-
денных частиц за время dt равно Инте-
грируя это уравнение с учетом начальных условий, полу-
чаем
МО = пгоехр(-Л11О.
(34.7)
Из (34.7) видно, что число частиц на возбужденном
уровне становится равным нулю только спустя продол-
жительное время (рис. 34.11). Это связано с тем, что они
находятся на возбужденном уровне разное время. Для
характеристики кривой и2(/) удобно ввести отрезок вре-
мени Те, в течение которого число частиц уменьшается в
е раз. Определить его нетрудно из (34.7): п2(те) =
=Л2оехр(-Л21Те)=л2о/е. Решая это уравнение, получаем
т,= 1/Ля. (34.8)
Галанин Михаил Дми-
триевич (р. 19151— со-
ветский физик
34.6
Время жизни
возбужденного
состояния
и законы затухания
флуоресценции
Рис. 34.10. Переходы с
испусканием и без испу-
скания
Рис. 34.11. Изменение
числа возбужденных ча-
стиц от времени после-
свечения
542
Основы спектроскопии и люминесценции
С учетом (34.8) закон изменения населенности (34.7) перепишем в виде л,(0 = лмехр(-4/те). (34.9)
• Время те носит название естественного времени жиз- ни возбужденного состояния, или просто длительности
естественное время жизни возбужденного состояния возбужденного состояния. Слово «естественный» означа- ет, что уменьшение числа возбужденных частиц связано с естественной причиной — неизбежным существованием спонтанных переходов с испусканием света. Наличие наряду со спонтанными безызлучательных переходов, вероятность которых равна d2i, приводит к более быстрому уменьшению числа частиц на возбуж- денном уровне. Закон затухания при этом будет иметь
вид
закон затухания fti(0 = ПяехрН (Лм + ЛиИЬ (34.10) а время жизни возбужденного состояния равно t = 1/(4, + 41)- (34.11) Соотношение (34.11) показывает, что наличие безы- злучательных переходов, а также их увеличение вызы- вают уменьшение времени жизни возбужденного состо- яния. Отметим, что определенное таким образом время жизни возбужденного состояния совпадает со средним временем жизни. Это, однако, выполняется лишь при экспоненциальном затухании. На опыте обычно определение длительности основы- вается на измерении интенсивности флуоресценции /фЛ. В момент времени t интенсивность флуоресценции с ча- стотой равна (34.12) Выражение (34.12) с учетом (34.9) можно перепи- сать в виде = А1«адЬ21ехр (—//т) = /оехр (~//т), (34.13) где /0=^21^20^21 — мощность флуоресценции в началь- ный момент времени. Аналогичным образом можно полу- чить закон затухания и при наличии неоптических пере- ходов.
34.7 Поляризация флуоресценции • степень поляризации флуоресценции Состояние поляризации частично поляризованного света принято характеризовать значением степени поля- ризации, определяемой выражением Р = (34.14) где /], /2 — интенсивности линейно поляризованного све- тового потока, выделенного из анализируемого так, что
Люминесценция сложных молекул
543
направления колебаний вектора Е совпадают с направ-
лением максимальных и минимальных колебаний соот-
ветственно. Определенная таким образом степень поля-
ризации является величиной положительной (Л>Л).
При определении же степени поляризации флуоресцен-
ции обычно под 7| (12) понимают интенсивность флуорес-
ценции с направлением колебаний, совпадающим с на-
правлением максимальных (минимальных) колебаний
возбуждающего света. В данном случае Ц может быть
меньше /2 и соответственно Р<0.
Изолированный единичный осциллятор (электриче-
ский диполь), как известно, дает полностью поляризо-
ванное излучение (см. § 34.2). В реальных условиях мы
имеем дело с огромным количеством осцилляторов. Сте-
пень поляризации совокупности осцилляторов зависит от
их взаимного расположения; их расположения по отно-
шению к направлению колебаний электрического векто-
ра возбуждающего света; движения и перемещения
осцилляторов.
Вначале рассмотрим, как влияет на степень поляри-
зации расположение осцилляторов. Пусть вдоль оси х
(рис. 34.12, а) распространяется поток линейно поляри-
зованного возбуждающего света, у которого колебания
электрического вектора направлены вдоль оси г. Оси всех
осцилляторов К направлены вдоль оси z. Под действи-
ем возбуждающего света они испускают излучение,
электрический вектор которого колеблется в плоскостях,
проходящих через ось Oz. При наблюдении вдоль оси у
свет, приходящий к наблюдателю, имеет лишь одну со-
ставляющую /1. Интенсивность же /2=0, и в соответст-
вии с (34.14) степень поляризации Р=1.
Рассмотрим теперь совокупность одинаковых осцил-
ляторов, хаотически ориентированных в пространстве.
Если центры всех осцилляторов перенести в начало ко-
ординат, то их концы равномерно покроют поверхность
некоторой сферы с центром в точке Выберем из си-
стемы (рис. 34.12,6) произвольный осциллятор ОЛ, за-
данный сферическими углами 0 и ф. Под действием ли-
нейно поляризованного света с электрическим вектором
E||z в осцилляторе возникнут колебания с амплитудой,
пропорциональной cos 0. Проектируя электрический век-
тор испускаемого света на оси г и х, получаем Ez =
-Е cos2 0; ЕХ=Е cos 0 sin 0 cos ф.
Учитывая, что интенсивность излучения пропорцио-
нальна числу осцилляторов, заключенных в элементар-
*' Пространственная диффузия частиц не влияет на степень по-
ляризации люминесценции.
Л
Рис. 34.12. К расчету по-
ляризации флуоресцен-
ции:
а — осцилляторы параллель-
ны; б — осцилляторы равно-
мерно распределены по всей
направлениям
544
Основы спектроскопии и люминесценции
ном телесном угле dQ=sin 6d0d<p, и производя интегри-
рование по всему объему, определим интенсивность лю-
минесценции, распространяющейся вдоль оси ц и
поляризованной вдоль осей г и х:
2Я Я
1г-с |£|г | dtp f cos* 0 sin 0 d0 = c |£|2 2я (1/5);
о 0
2Я л
Ix-c|£]3 j cos2(pd(p [cos20sin30d0 = с|£|8(2л/15),
о b
где с — коэффициент пропорциональности. Степень по-
ляризации
П _ Л —Л _ 4~ 4 _ 1/5 —• 1/15 _ л г
4 + 4 4 + 4 1/5 + 1/15 “и’°-
Таким образом, для системы хаотически ориентиро-
ванных осцилляторов испускание частично поляризова-
но (Р=0,5). При возбуждении естественным светом сте-
пень поляризации будет ниже. Расчет показывает, что
связь между степенью поляризации при возбуждении ли-
нейно поляризованным (Рр) и естественным (Рп) светом
имеет вид Pfl=Pp/(2—Рр). Нетрудно видеть, что макси-
мальное значение степени поляризации при возбуждении
естественным светом Р=1/3. Опыт показывает, что Р в
ряде случаев может принимать и отрицательные значе-
ния. Их появление связывается с поглощением света и
его испусканием различными осцилляторами в молеку-
лах, расположенными друг к другу под определенным
углом а. Расчеты, выполненные независимо Левшиным
и Перреном, приводят к формуле
формула
Левшина — Перрена
Согласно (34.15) степень поляризации при изменении
а может принимать значения от 1/2 до -1/3. Следует,
однако, указать, что для большинства молекулярных си-
стем реальный физический смысл имеют чаще всего лишь
предельные значения, близкие к 1/2 и -1/3. Интерпре-
тация промежуточных значений Р требует дополнитель-
ных данных о структуре излучающих молекул.
Приведенное рассмотрение относилось к системе же-
сткозакрепленных молекул, сохраняющих свою ориента-
цию в процессе высвечивания. Данные рассуждения
справедливы также для достаточно вязких растворов.
В маловязких растворах после возбуждения молекулы
могут изменить свою ориентации что приведет к умень-
Люминесценция сложных молекул
545
(34.16)
шению Р (деполяризации), причем деполяризация будет
тем сильнее, чем больше температура Т и время жизни
возбужденного состояния т. Увеличение вязкости т] и
объема V люминесцирующего центра препятствует де-
поляризации. Формула, связывающая эти параметры,
была получена также Левшиным и Перреном и име-
ет вид
1 _ 1 , / 1 I \ kT *
Р ~ Р9 ^\Р9 3 J Ут| ’
где Р — измеряемое значение степени поляризации; —
степень поляризации для жесткозакрепленных молекул,
которая получила название предельной поляризации.
Значение Ро можно определить, например, понижая
температуру. В этом случае при Т-+0 P~+Pq. Отме-
тим, что формула (34.16) на практике используется
при измерениях т, определении эффективных объемов
флуоресцирующих молекул и т. п.
предельная
поляризация
Согласно законам классической электродинамики из-
лучение электромагнитных волн возникает при неравно-
мерном движении электронов или вообще заряженных
частиц.
Равномерно движущийся в среде электрический за-
ряд может излучать электромагнитную волну при усло-
вии, что скорость движения заряда больше фазовой ско-
рости света в данной среде. Следует подчеркнуть, что
речь идет о фазовой скорости света, поэтому здесь нет
никакого противоречия с теорией относительности, кото-
рая оперирует скоростью света в вакууме, являющейся
предельной скоростью движения в природе.
Электромагнитное излучение, которое возникает при
движении электрона в среде со сверхсветовой скоростью,
было открыто в 1934 г. Черенковым, который проводил
эксперименты по инициативе Вавилова. Вначале перед
Черенковым была поставлена задача — исследовать све-
чение растворов под действием у-излучения. Черенков
показал, что под действием у-лучей наряду с люминес-
ценцией раствора наблюдается слабое свечение самих
растворителей. Оказалось, что такое свечение обнаружи-
вают все чистые жидкости (вода, бензол и др.). Видимое
свечение жидкостей под действием радиоактивных излу-
чений было замечено еще Склодовской-Кюри. Однако
Склодовская-Кюри приписала это свечение обычной лю-
минесценции.
Для установления природы обнаруженного свечения
Вавилов и Черенков поставили опыты по тушению этого
34.8
Излучение
Черенкова —
Вавилова
Черенков Павел Алексе-
евич (р. 1904)— совет-
ский физик
Склодовская- Кюри
(Sklodowska-Curie) Ма-
рия (1867-1934) - фи-
зик и химик
546
Основы спектроскопии и люминесценции
Тамм Игорь Евгеньевич
(1895—1971)— советский
физик-теоретик
Л В
Рис, 34.13. К расчету
углового распределения
излучения Черенкова —
Вавилова
свечения. Известно, что обычная люминесценция тушится
при добавлении в раствор некоторых посторонних при-
месей (си. § 34.5). Свечение чистых жидкостей под дей-
ствием у-лучей такого тушения не испытывало, т. е. в
отличие от люминесценции, которая обладает конечной
длительностью (10-*—10-9 с), свечение Черенкова —
Вавилова является практически мгновенным. Излучение
Черенкова — Вавилова поляризовано, причем его элект-
рический вектор лежит в плоскости, проходящей через
направление распространения у-лучей. Опыты показали,
что излучение не испытывает деполяризации (например,
с повышением температуры), свойственной люмине-
сценции.
Основываясь на результатах этих экспериментов, Ва-
вилов пришел к выводу, что обнаруженное свечение не
является люминесценцией, а связано с движением через
вещество электронов, которые выбиваются у-квантами
из атомов. Излучение с подобными свойствами вызыва-
лось также потоком быстрых электронов в виде р-лучей
радиоактивных веществ. При этом было установлено,
что излучение Черенкова — Вавилова обладает опреде-
ленной направленностью: оно испускается только вперед
под определенным углом к направлению распространения
у-лучей, в то время как люминесценция излучается рав-
номерно по всем направлениям. Это свойство и легло в
основу правильного объяснения излучения Черенкова —
Вавилова, вызываемого электронами, движущимися со
скоростью, большей фазовой скорости света в веществе.
Теория этого явления была разработана в 1937 г. Там-
мом и Франком.
Своеобразную особенность излучения Черенкова —
Вавилова —его угловое распределение —можно полу-
чить из следующих общих соображений. Допустим, что в
прозрачной однородной среде с показателем преломле-
ния п движется электрон с постоянной скоростью и. Сво-
им полем движущийся электрон возбуждает атомы и мо-
лекулы среды, которые становятся центрами излучения
электромагнитных волн. При равномерном движении
электрона эти волны когерентны и могут интерфериро-
вать между собой. Если скорость электрона v больше
фазовой скорости света в среде с=с01п (с0 — скорость
света в вакууме), то волны, исходящие от электрона в
различные моменты времени, при определенных услови-
ях могут приходить в точку наблюдения одновременно.
Действительно, пусть электрон последовательно про-
ходит вдоль линии OL через точки А и В в моменты вре-
мени fi и /2 соответственно (рис. 34.13). Расстояние АВ
Люминесценция сложных молекул
547
электрон пройдет за время t2—ti=AB/v. В точку наблю-
дения Р волны от А и В придут в моменты времени
Ц+АР/с и t2+BPIc. Разность этих времен равна
А/ Л । ВР \ (< < Ар \ u i \ АР-ВР
ра + —- - =(V-G)--------=
\ * J V * / *
АВ АР-ВР
~ v л
Если точка Р находится на достаточно большом рас-
стоянии, то АР— ВР^АВ cos 0. Тогда
Ы = АВ(------—к
Так как по предположению v>c, то существует угол
0, удовлетворяющий условию
cos 0 = c>v = ca/nv. (34.17)
При выполнении условия (34.17) все волны придут в
точку Р одновременно, какова бы ни была длина отрез-
ка АВ. В этом случае при интерференции произойдет
взаимное их усиление.
Таким образом, направление максимальной интенсив-
ности излучения Черенкова — Вавилова определяется
углом 0 между образующей конуса и его осью OL, удов-
летворяющим условию (34.17). Если v<c, т. е. скорость
электрона меньше фазовой скорости света, то соответст-
вующее направление 0 невозможно. В этом случае тра-
екторию электрона можно разбить на такие отрезки,
чтобы от крайних точек каждого из них волны приходи-
ли в точку Р с разностью хода, равной X. Волны, при-
ходящие от всех точек каждого из таких отрезков, пол-
ностью погасят друг друга вследствие интерференции.
Значит, то же произойдет и с волнами, приходящими от
всех точек среды, лежащих на пути движения электрона.
Таким образом, в направлениях, определяемых условием
(34.17), электрон (точнее, среда, в которой он движется)
излучает электромагнитные волны, а в остальных на-
правлениях излучения не будет.
Для наблюдения излучения Черенкова—Вавилова
может быть использована установка, изображенная на
рис. 34.14. Жидкость в сосуде С облучается потоком
у-квантов большой энергии (порядка 1 МэВ и выше).
Выбитые из жидкости электроны принимают на -себя
большую часть энергии у-квантов и движутся в направ-
лении OL со скоростью, превышающей фазовую скорость
света в жидкости. Возбуждаемое электронами свечение
Черенкова — Вавилова распространяется в направлени-
Рис. 34.14, Схема уста-
новки для наблюдения
излучения Черенкова —
Вавилова
548
Основы спектроскопии и люминесценции
черепковский
счетчик
Зоммерфельд (Sommer-
feld) Арнольд (1868—
1951) — немецкий физнк
и математик
ях, определяемых углом 0. Это излучение отражается от
зеркала S и направляется объективом на фотопластин-
ку или фотоэлектрический приемник.
Излучение Черенкова—Вавилова нашло широкое
применение в ядерной физике и физике элементарных ча-
стиц, На нем основано действие так называемых череп-
ковских счетчиков, т. е. детекторов релятивистских заря-
женных частиц, излучение которых регистрируется с по-
мощью фотоумножителей. Несмотря на исключительную
слабость свечения, приемники света достаточно чувстви-
тельны, чтобы зарегистрировать излучение, порожден-
ное единственной заряженной частицей. Созданы прибо-
ры, которые позволяют по излучению Черенкова —
Вавилова определять заряд, скорость и направление
движения частицы, ее энергию. Важно применение из-
лучения Черенкова — Вавилова для контроля работы
ядерных реакторов.
В заключение отметим, что еще в 1904 г., т. е. за год
до появления теории относительности, Зоммерфельд
опубликовал работу, в которой было рассчитано излу-
чение заряда, движущегося в вакууме со скоростью, боль-
шей скорости света в вакууме. Однако через год была
опубликована теория относительности, согласно которой
такое движение невозможно, и работа Зоммерфельда
была забыта. Физическая возможность появления све-
чения Черенкова — Вавилова не противоречит теории от-
носительности.
Раздел X
ОПТИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ
Глава 35
ОПТИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
Оптические квантовые генераторы (лазе-
ры) являются предметом исследования нового
направления фундаментальной н прикладной
физики — квантовой электроники. Обычно под
квантовой электроникой как областью физики
понимается наука, изучающая теорию и мето-
ды генерации электромагнитных волн путем
вынужденного (индуцированного) испускания
квантовых систем (молекул, атомов, ионов), а
также устройства для генерации электромаг-
нитного излучения в оптическом диапазоне.
Такие устройства называют лазерами, или оп-
тическими квантовыми генераторами. Слово
лазер (laser) образовано начальными буквами
английского выражения light amplification by
stimulated emission of radiation — усиление
света с помощью индуцированного излучения.
Более широкий смысл имеет термин «кванто-
вая радиофизика», которая изучает устройства
для генерации электромагнитного излучеиия в
микроволновой области — мазеры. Слово ма-
зер (maser) образовано начальными буквами
английского выражения microwave amplificati-
on by stimulated emission of radiation—усиле-
ние микроволнового излучения с помощью ин-
дуцированного излучеиия.
В становлении квантовой электроники
(квантовой радиофизики) как самостоятель-
ной области физики и техники определяющую
роль сыграли работы двух групп ученых- со-
ветской под руководством Басова и Прохоро-
ва и американской под руководством Таунса.
Международным признанием этого факта
явилось присуждение в 1964 г. Басову, Про-
хорову и Таунсу Нобелевской премии за ос-
новополагающие работы в области квантовой
радиофизики, которые привели к созданию ге-
нераторов и усилителей в радио- н оптическом
диапазонах длин воли (мазеров ц лазеров).
Интересно отметить, что еще в 40-х гг,
нашего столетия некоторые ученые понимали,
что атомы, приведенные в возбужденное со-
стояние, при определенных условиях будут
усиливать электромагнитное излучение. Так, в
1939 г. Фабрикант указал на возможность эк-
спериментального обнаружения отрицательно-
го поглощения. Однако в то время никто ие
высказывал каких-либо идей о возможности
создания квантовых генераторов. Такие идеи
были осмыслены теоретически и реализованы
практически лишь в 1954—1955 гг.
После создания квантового генератора, в
микроволновой области на пучке молекул ам-
миака квантовая электроника начала осваи-
вать оптический диапазон длин волн. В 1960 г.
был создан первый оптический квантовый ге-
нератор на кристалле рубина, положивший на-
чало классу генераторов и усилителей на ион-
ных кристаллах и стеклах. Несколько позднее
был создан первый газовый оптический генера-
тор на смеси гелия и неона, а затем генерато-
ры иа полупроводниках, красителях и т. д.
В этой главе рассмотрим принцип дейст-
вия и устройство некоторых квантовых генера-
торов,’работающих в оптическом диапазоне
длин волн (в ультрафиолетовой, видимой и
ближней инфракрасной областях). На совре-
менном этапе лазеры достигли весьма высоко-
го уровня развития. Существует большое число
разнообразных типов и конструкций лазеров,
среди которых можно выделить: твердотель-
ные, тазовые (атомные, ионные, молекуляр-
ные), жидкостные (лазеры на красителях), хи-
мические, полупроводниковые.
В основе работы оптического квантового генератора
лежат следующие процессы взаимодействия электромаг-
нитной волны с веществом: спонтанное и вынужденное
испускание и поглощение.
В разработку вопросов, связанных с поглощением и
испусканием света веществом, большой вклад внес Эйн-
штейн (1916). Введя статистические понятия в кванто-
вую теорию излучения и применив принцип детального
35.1
Спонтанное
и вынужденное
испускание
550
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
принцип
детального
равновесия
Jiv
Рнс. 35,]. Схематическое
представление трех про-
цессов;
а — спонтанное испускание;
б — поглощение; в — вынуж-
денное испускание
равновесия он смог не только по-новому обосновать
закон теплового испускания Планка (см. § 24.5), но и
более глубоко проникнуть в суть взаимодействия между
веществом и электромагнитным полем. При этом было
установлено, что наряду с двумя ранее известными про-
цессами, сопровождающими взаимодействие между ве-
ществом и полем,— поглощением и спонтанным испуска-
нием — существует третий процесс — вынужденное ис-
пускание.
Спонтанное испускание. Эйнштейн сформулировал за-
кон спонтанного испускания как вероятностный закон: в
отсутствие внешнего поля излучения существует опре-
деленная вероятность самопроизвольного перехода ча-
стицы с более высокого энергетического уровня 2 с энер-
гией на более низкий уровень 1 с энергией Ei
(рис. 35.1, а). Число переходов в единицу времени на-
зывается вероятностью перехода А2ь
Для расчета числа спонтанных переходов можно вос-
пользоваться рассуждениями, положенными в основу
рассмотрения вопроса о времени жизни возбужденного
состояния флуоресценции (см. § 34.6), Однако спонтан-
ное испускание нельзя в полной мере отождествлять с
флуоресценцией. Вавилов неоднократно подчеркивал, что
флуоресценция есть превышение полного испускания над
тепловым равновесным испусканием, т. е. его неравновес-
ная часть. При термодинамическом равновесии поглоще-
ние тепловой радиации внутри системы компенсируется
ее спонтанным испусканием. При отклонении от равно-
весия происходит изменение как мощности спонтанного
испускания, так и мощности поглощения равновесной
радиации. В этом случае только часть спонтанного испу-
скания можно относить к тепловому испусканию, другая
его часть относится к неравновесному испусканию —
флуоресценции.
В ультрафиолетовой и видимой областях спектра ин-
тенсивность теплового испускания, как правило, очень
мала и, следовательно, флуоресценция практически эк-
вивалентна спонтанному испусканию. Ввиду этого для
описания спонтанного испускания в большинстве слу-
чаев можно пользоваться соотношениями, выведенными
для флуоресценции. Так, для мощности спонтанного ис-
пускания Fen по аналогии с формулой (34.12) можно
записать
*> Принцип детального равновесия утверждает, что при стати-
стическом равновесии системы число любых прямых переходов из од-
ного состояния системы в другое равно числу обратных переходов.
Оптические квантовые генераторы
551
Г£п = A21^v, (35.1)
где nj —число частиц на уровне 2. Коэффициент Азь
характеризующий вероятность спонтанного испускания,
называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанного
испускания. Он связан со временем жизни возбужденно-
го состояния в отсутствие безызлучательных переходов
простым соотношением Л21 = 1/т. С учетом этого мощ-
ность спонтанного испускания можно представить в виде
^cn=^exp(-f/T), (35.2)
где №0=А21П2о^ характеризует мощность спонтанного
испускания в начальный момент времени.
При спонтанном переходе различные частицы излу-
чают неодновременно и независимо друг от друга. По-
этому фазы испускаемых ими фотонов не связаны меж-
ду собой, т. е. спонтанное испускание некогерентно. Кро-
ме того, направление распространения испускаемого фо-
тона и его поляризация тоже носят случайный характер,
а частота v изменяется в некоторых пределах.
Вынужденное испускание. Гипотеза Эйнштейна отно-
сительно вынужденного испускания состоит в том, что
под действием электромагнитного поля частоты v моле-
кула может, во-первых, перейти с более низкого энерге-
тического уровня Ё\ на более высокий £2 с поглощением
кванта энергии hv=E2—Ех (рис. 35.1,6) и, во-вторых,
перейти с более высокого уровня Е2 на более низкий Е\
с испусканием кванта энергии hv—E2~Ei (рис. 35.1, в).
Первый процесс принято называть поглощением, вто-
рой — вынужденным (индуцированным или стимулиро-
ванным) испусканием. Скорость каждого из этих про-
цессов пропорциональна соответствующим вероятностям
и B2iu, где и В21 — коэффициенты Эйнштейна
для поглощения и вынужденного испускания; и — спект-
ральная плотность излучения. Согласно принципу де-
тального равновесия при термодинамическом равновесии
число квантов света dnh поглощенных за время dt при
переходах 1-+2, должно равняться числу квантов dn2,
испущенных в процессе обратных переходов 2 -> 1. Чис-
ло поглощенных квантов согласно Эйнштейну пропорци-
онально спектральной плотности радиации и и числу ча-
стиц на нижнем уровне:
dzii = (35.3)
Произведение В12иЛ1 есть число переходов с погло-
щением света в единицу времени.
коэффициент
Эйнштейна
для спонтанного
испускания
коэффициент
Эйяшггйна
для поглощения
коэффициент
Эйнштейна
для вынужденного
испускания
552 Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Аналогично число переходов с испусканием света определяется выражением dn2 = (Ли + Впи) n*dt, (35.4) где п2 — число возбужденных частиц в состоянии 2. Выражения для коэффициентов В12 и B2i и их связь с Л21 выводятся в квантовой электродинамике на основе термодинамических соображений. Приведем здесь вы- вод связи между коэффициентами Эйнштейна, для чего рассмотрим замкнутую полость, стенки которой испу- скают и поглощают электромагнитное излучение. При статистическом равновесии излучение внутри полости характеризуется спектральной плотностью uv,t( опреде- ляемой формулой Планка fijlhv8 1 /ок е\ Uv'r~_ d exp(ftv/*T)-l ‘ Так как при термодинамическом равновесии dn2=dni, то, пользуясь соотношениями (35.3) и (35.4), находим для состояния равновесия ~ (Лц -|- BjjUyj) Л{, (35.6) откуда П1 _ ВцЦУ.Т /ОЕ 7\ Я1 ’Дг+ЗиЧ/ 1 ° При термодинамическом равновесии распределение частиц на уровне энергии подчиняется закону Больцма- на, поэтому где gi и g2 — статистические веса уровней, которые по- казывают, сколько независимых состояний атомной си- стемы имеют одну и ту же энергию *>. Сравнивая (35.7) и (35.8) и принимая во внимание, что £2—^1=Av, получаем Blt ехр №lkT) - Ви ' t35,9) Поскольку при оо спектральная плотность излу- чения и должна неограниченно возрастать, то, полагая знаменатель выражения (35.9) равным нулю, имеем Ви=Вп. (35.10) *> Для простоты записи формул обычно предполагается, что ста- тистические веса уровней gi=gi«l. Их учет ничего качественно но- вого не дает. /
Оптические квантовые генераторы
553
Сопоставив далее (35.9) с формулой Планка (35.5),
найдем
f3511)
Соотношения (35.10) и (35.11) применимы ко всем
системам и к любым комбинациям уровней энергии. Они
справедливы и при отсутствии равновесия, так как со-
держат лишь постоянные, характеризующие свойства
самих систем, и никак не связаны с температурой окру-
жающей среды.
По своим свойствам вынужденное испускание суще-
ственно отличается от спонтанного. Наиболее характер-
ная черта вынужденного испускания заключается в том,
что возникающий поток распространяется в том же на-
правлении, что и первоначальный возбуждающий поток.
Вместе с тем частоты и поляризация вынужденного и
первичного потоков строго одинаковы. Вынужденный по-
ток когерентен исходному возбуждающему потоку. Явле-
ния поглощения и вынужденного испускания всегда со-
существуют, составляя две неразрывные стороны одного
и того же процесса взаимодействия света и вещества.
Часть светового потока, распространяющегося в каком-
то направлении, при взаимодействии с веществом погло-
щается, одновременно с этим некоторая доля поглощен-
ной энергии компенсируется энергией вынужденного ис-
пускания.
В экспериментальных условиях нельзя измерить от-
дельно мощность поглощения или мощность вынужден-
ного испускания. На опыте определяется только их раз-
ность
^огл= (^i8ni Випг) uh4- (35.12)
Обычно Bi2^i>52]/i2, поэтому значение И7П0ГЛ поло-
жительно-световой поток, проходя через среду, в ре-
зультате поглощения ослабляется. Однако если система
находится в состоянии, при котором число частиц п2 на
уровне 2 может стать больше, чем число частиц п\ на
уровне 7, то будет выполняться соотношение В\2П}<В2]П2,
т. е. мощность поглощения становится отрицательной.
Под действием света такая среда не будет поглощать, а
будет выделять световую энергию и усиливать падаю-
щую на нее радиацию. На первых порах это явление на-
зывали отрицательным поглощением. В настоящее время
чаще используется термин усиление. Мощность усиления
^ус = ~ ^ПОГЛ.
35.2
Усиление
и генерация света
отрицательное
поглощение
(усиление)
554
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Одной из важных оптических характеристик вещест- ва является коэффициент поглощения йпогл, который ра- вен мощности поглощения, умноженной на 1/сп. Таким образом, экспериментально определяемый коэффициент поглощения равен
• =4-(в1Л-w:=
коэффициент поглощения (35.13) V Коэффициент усиления &ус, характеризующий при- рост интенсивности светового потока при прохождении им слоя единичной длины, равен
• (Вп^-ВМ = 1г
коэффициент усиления = -^((1,-/1,). (35.14) Согласно (35.14) при оптических переходах между
• двумя уровнями энергии усиление существует (^>0) в том случае, если населенность верхнего уровня п2 пре-
инверсия населенностей вышает населенность нижнего уровня nt, т. е. осуществ- ляется так называемое инверсное распределение частиц по уровням энергии (н2>п1). Среду с инверсной засе- ленностью энергетических уровней1 принято называть
активной.
активная среда Для количественной оценки процессов усиления и ге- нерации необходимо получить выражения для числа ча- стиц на уровнях энергии. Для этой цели воспользуемся вероятностным методом расчета, основы которого были заложены Эйнштейном, и рассмотрим последовательно системы, состоящие из двух и трех уровней энергии. Двухуровневая система **) (рис. 35.2). Пусть к момент ту времени t на уровне 1 находится nJ/) частиц, а на уровне 2 — n2(t) частиц. Тогда число частиц, осуществ- ляющих переход 1-+2 за время dt, равно Bl2uni(t)dt. Число обратных переходов 2-+1 за то же время равно *> Вероятностные методы расчета взаимодействия интенсивного излучения с веществом и оптических квантовых генераторов подроб- но разработаны белорусскими физиками. См., например: Степа- нов Б. И., Грибковский В. П. Введение в теорию люминесценции,— Минск: Изд-во АН БССР, 1963 —353 с.; Методы расчета оптических квантовых генераторов/Под рад. Б. И. Степанова —Минск: Наука и техника, 1966, т. 1.—484 с.; 1968, т. 2—656 с. **) Этот н последующие вопросы параграфа превосходно изло- жены в работе: Методы расчета оптических квантовых генераторов / Под ред. Б. И. Степанова,—Минск: Наука и техника, 1966, т. 1, С. 9-123.
Оптические квантовые генераторы
555
(A2i+B2xu)n2(t)dt. Кроме этих оптических переходов су-
ществуют и неоптические переходы 1-»-2 и 2-+1, вызы-
ваемые взаимодействием с окружающей средой, вероят-
ности которых обозначены на рис. 35.2 через d]2 и Аь
Можно показать, что при наличии в среде термодинами-
ческого равновесия
d12 /А-М
-5T=rap(-VL-)-
Для электронных уровней Ё2—E^kT и поэтому
Число неоптических переходов 1~+2 и за
время dt равно d^idt и d2]n2dt соответственно.
Таким образом, полное изменение числа частиц на
уровне 2 за время dt равно
dn2—[Bi2u(ni~n2)—Д 2in2+di2^i— (35.15)
Это дифференциальное уравнение относительно не-
известных n\{t) и n2(t) надо решить с учетом условия
П!-1~П2 = П, (35.16)
где л —общее число частиц в единице объема. Условие
(35.16) означает, что частица может находиться только
на уровне 1 или 2, а все другие ее уровни в рассматри-
ваемом процессе вообще не участвуют.
Решение уравнений (35.15) и (35.16) приводить здесь
не будем, а приведем только зависимости и n2(t)
для частного случая, когда прн /=0 на систему начало
действовать внешнее излучение с плотностью и, а все
частицы находились на нижнем уровне (рис. 35.3). Из
рисунка видно, что по мере роста t происходит рост л2
и уменьшение Л]. Спустя некоторое время />т, где т=
= 1/И21+2В12«+£?12-1-^21), наступает стационарный ре-
жим, когда число актов, приводящих к возбуждению ча-
стиц, полностью компенсируется числом актов, ведущих
к их дезактивации. В этом случае dn2 в выражении
(35.15) равно нулю. Это позволяет сразу же найти на-
селенность уровней при стационарном режиме:
лст_ Al “Ь 4" ^21 п. /<2Е
я‘ - (3517)
2 Ai+z^ + Ai+At л> С35-18)
Используя (35,13), (35.17) и (35.18), коэффициент
поглощения k "2ГЛ представим в виде
(.пом *12
412 =т+ад ’ С3519)
I,
Рис. 35.2. Вероятности
переходов в двухуровне-
вой системе
Г.
Рис. 35.3. Зависимость
населенностей уровней от
времени
556
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Рис. 35.4. Зависимость
населенностей уровней и
коэффициента поглоще-
ния от плотности воз-
буждающей стационар-
ной радиации
параметр
нелинейности
где k 12 — коэффициент поглощения при отсутствии воз-
буждения, т. е. при ni=n; сиг — некоторый параметр, оп-
ределяемый всеми вероятностями перехода, названный
параметром нелинейности. Этот параметр входит во все
формулы спектроскопии больших интенсивностей и имеет
очень важное значение в теории квантовых генераторов.
Он характеризует нелинейность взаимодействия частиц
с внешним излучением, обусловленную насыщением
распределения частиц по уровням.
Формулы (35.17) и (35.18) позволяют оценить зави-
симость населенностей уровней от параметров рассмат-
риваемой системы и интенсивности внешнего оптическо-
го возбуждения. Населенность возбужденного уровня
только при малых айв начальные моменты времени t
растет линейно. При больших интенсивностях потоков
эта зависимость становится нелинейной, проявляется тен-
денция к насыщению, рост га2 замедляется, а затем в
стационарном режиме совсем прекращается. Коэффици-
ент поглощения (35.19) при этом систематически умень-
шается и в пределе при ц->оо стремится к нулю
(рис. 35.4). Стационарный режим устанавливается, как
правило, очень быстро, для электронных переходов —
приблизительно за 10“® с и меньше.
Следует отметить, что еще в 20-х гг. Вавилов искал
экспериментальную зависимость коэффициента поглоще-
ния от интенсивности падающего светового потока. Одна-
ко в то время такую зависимость обнаружить не удалось,
хотя интенсивность потока изменялась в опытах в 1017
раз. Для обнаружения эффекта насыщения в двухуров-
невых системах нужны еще более мощные (лазерные)
потоки. Из формул (35.17)—(35.19) следует, что нели-
нейность проявляется, если (при малых di2 и d2i)
«>A21/2B2i=4n/iv3/c3. В этом случае вероятность вы-
нужденного испускания превосходит вероятность спон-
танного испускания.
Особенностью процесса оптического возбуждения
двухуровневой системы является невозможность пере-
вести в возбужденное состояние более половины частиц
и, следовательно, невозможность создать инверсную за-
селенность уровней. Действительно, при а-+-оо из
(35.17) и (35.18) видно, что ni=n2=n/2. Этот результат
непосредственно связан с наличием вынужденного испу-
скания.
Следует подчеркнуть, что формулы (35.17) и (35.18)
справедливы только при Т=0, так как они были полу-
чены без учета теплового распределения частиц по уров-
ням энергии и наличия теплового излучения, определяе-
Оптические квантовые генераторы
557
мого формулой Планка. Этот учет нетрудно произвести,
если считать, что до момента времени t=0 имеется тер-
модинамическое равновесие вещества и излучения: ве-
щество облучается равновесным излучением с плотностью
а распределение частиц по уровням определяется
формулой типа (35.8). Затем в момент времени /=0
включается внешнее возбуждение плотностью и. После
установления стационарного режима число частиц на
уровнях определяется формулами
1 1 + 2Bu(u + Иу Т) + du du *
2 2 -f- + 2Ви(и + + + .
(35.20)
(35.21)
При 7=0 формулы (35.20) и (35.21) переходят в
(35.17) и (35.18). Зная населенности уровней (их зави-
симости от времени, интенсивности возбуждения, неопти-
ческих процессов, параметров самой частицы), можно
рассчитать все обычно наблюдаемые на опыте оптиче-
ские характеристики вещества.
Рассмотренный метод расчета применим не только к
двухуровневым, но и к более сложным системам. При
этом никаких новых допущений не делается и хотя фор-
мулы более громоздкие, они в то же время и более со-
держательные.
Трехуровневая система (рис. 35.5). Многие свойства
взаимодействия излучения с веществом нельзя описать в
рамках двухуровневой модели. Часто после акта возбуж-
дения система переходит неоптическим путем в какое-то
третье состояние. Именно такая ситуация реализуется,
например, в рубине.
При рассмотрении трехуровневой системы для крат-
кости записи формул введем следующие обозначения
0>/):
Л) = °v.r) + dtj’>
Л (u 4" Uv.t) 4"
где Pi, и Pji — суммарные вероятности оптических и не-
оптических переходов с верхнего уровня i на нижний
уровень / и обратно.
Не будем выписывать уравнения баланса для трех-
уровневой системы —они аналогичны уравнениям (35.15)
и (35.16). Их решение для стационарного режима имеет
следующий вид:
Рнс. 35.5. Переходы
между уровнями в трех-
уровневой системе при
возбуждении в канале
558
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Рис. 35.6. Зависимость
населенностей уровней I
и 2 трехуровневой систе-
мы от интенсивности на-
качки в канале 1 -* 3:
t, 4 — без резонатора; 2, 3—
с резонатором
rtj = (л/А) [Р21 (P3l + Рз») + Р3iP23];
п2 = (п/Д) [Р12 (Р31 + Р32) + Р3«Р 13];
— (Л/А) 1^23 (^12 4“ Рхз) 4" РцР 1зЬ
(35.22)
где А— сумма всех членов уравнений (35.22), стоящих
в квадратных скобках.
Допустим, что система электронных уровней возбуж-
дается интенсивным световым потоком ынак (радиация
накачки) в канале 1->3. В этом случае hvij&kT и, сле-
довательно, влияние теплового излучения можно не учи-
тывать. Кроме того, будем считать, что Ру&Ры и
Рц>Ль Первое из этих допущений определяет метаста-
бильность (долгоживучесть) уровня 2. С учетом данных
предположений формулы (35.22) становятся проще:
П1 = П D D------
1 ^214-ЧЯ“как
и -- и '
* •^214“ Л^нак
пз = ^(Рц/Рц) П2>
(35.23)
где т]=Р32/(^з14-Рз2); Впнак=В13п.
Примерный ход зависимостей Л| и п2 от Вцвак, т. е.
от интенсивности внешнего возбуждающего излучения,
представлен на рис. 35.6. Число частиц на уровне 3 со-
гласно (35.23) ничтожно мало, т. е. уровень 3 является
своеобразным «перевалочным» пунктом, на котором ча-
стицы долгое время не задерживаются. Из рисунка вид-
но, что по мере роста пНак значение п2 быстро растет, а
значение уменьшается. В отличие от двухуровневой
системы в данном случае число частиц на исходном
уровне 1 может снизиться до нуля, а все п частицы могут
сосредоточиться на мета стабильном уровне 2. После точ-
ки пересечения кривых л2(пНак) и лДицак) возникает ин-
версная заселенность уровней (л2>Л|). Кривые пересе-
кутся при
Т]днНак = Рц-
Если nflaK<iw , то коэффициент поглощения в кана-
ле /->-2, определяемый формулой (35.13), положителен.
В. ин
точке инверсии он равен нулю, а затем прн пнак> миак
он становится отрицательным, т. е. выполняется основ-
ное условие, необходимое для возникновения усиления.
После точки инверсии коэффициент усиления равен
= (35.24)
Оптические квантовые генераторы
559
где В^Нхцп/с — коэффициент поглощения при
днак=0. В пределе при л2=л, ni=0 максимально воз-
можный коэффициент усиления равен х.
Формула (35.24) описывает зависимость коэффици-
ента усиления излучения частотой V21 от интенсивности
радиации накачки в канале <?->-/. Она справедлива толь-
ко при малых значениях плотности радиации ии часто-
той v2i. Если же н21 начнет расти, то Agf будет умень-
шаться. В этом случае
^21 («21) —
4°
____Я21
1 4* «21^21 ’
(35.25)
где k 2i — начальный коэффициент усиления, т. е. зна-
чение при и2г+0. Его величина определяется фор-
мулой (35.24).
Перейдем к рассмотрению процесса генерации. Обра-
зование инверсной заселенности еще не гарантирует вы-
сокой интенсивности светового потока, выходящего из
активного вещества. Степень усиления зависит от коэф-
фициента усиления Аус и длины активного слоя I. В про-
стом виде эту зависимость можно представить следую-
щим образом: и<=«оехр (Аус/), где «о — интенсивность
света, падающего на поглощающий слой вещества;
Ui — интенсивность света, выходящего из него; Аус=
=—Апогл. Если бы удалось сильно увеличить длину ак-
тивного стержня, то излучение, выходящее из его торцов,
было бы весьма интенсивным, причем оно существовало
бы даже, если бы и не было внешнего потока. Первич-
ным источником была бы люминесценция, многократно
усиленная при прохождении большой длины усиливаю-
щего слоя (это явление называют сверхлюминесцек-
цией).
Для того, чтобы активное вещество превратить в ге-
нератор световых колебаний, необходимо, чтобы часть
испускаемого света все время находилась в зоне актив-
ного вещества и вызывала вынужденное испускание все
новых и новых частиц, т, е. надо осуществить обратную
связь. Для этого активное вещество помещают между
двумя параллельными зеркалами. Допустим, например,
что активное вещество представляет собой цилиндриче-
ский стержень, а плоскости зеркал Si и S2 перпендику-
лярны к оси этого стержня (рис. 35.7). Тогда луч света,
многократно отражаясь от зеркал Si и 8г, много раз про-
ходит через активный стержень, усиливаясь при этом в
результате вынужденных переходов частиц. Получается
открытый оптический резонатор, представляющий собой
сверх*
люминесценция
оптический
резонатор
Рис. 35.7. Оптические
резонаторы:
а —зеркала S, и St нанесе-
ны на торцы стержня; б —
зеркала $| в St выносные
560
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Фабри (Fabry) Шарль
(1867—1945) — француз-
ский физик
Перо (Perot) Альфред
(1863-1925) - француз-
ский физик
в сущности интерферометр Фабри —Перо (см. § 6.3),
только заполненный активной средой. В результате мно-
гократных отражений луча света внутри резонатора на-
капливаются значительные плотности световых потоков.
Часть из них, равная !-/?, где R — коэффициент отра-
жения частично прозрачного зеркала, выходит наружу и
образует лазерный луч. Такая ситуация возникает даже
в том случае, если нет никакой внешней радиации, т. е.
данная система становится уже не усилителем, а гене-
ратором.
Генератор является самостоятельным источником
электромагнитного излучения. Излучение генератора
полностью определяется его внутренними свойствами:
способом и мощностью накачки, особенностями отраже-
ния и пропускания зеркал, наличием внутри резонатора
потерь энергии.
Зеркала St и Sj (см. рис. 35.7) могут иметь разные
коэффициенты отражения. При малых feyc используются
зеркала с высоким коэффициентом отражения. При
больших kyc выбираются зеркала с меньшей отража-
тельной способностью. В каждом частном случае есть
свои оптимальные значения R. Если оба зеркала имеют
Д<1, излучение выходит в обе стороны.
Некоторая часть энергии, выделившаяся внутри ре-
зонатора, расходуется бесполезно. К ней относится энер-
гия, поглощенная примесями, имеющимися в активном
веществе, а также энергия, рассеянная внутри стержня,
на его торцах и зеркалах резонатора.
При подсчете баланса генерируемого излучения энер-
гию лазерного луча можно также считать потерями, но
в данном случае полезными. Относительную величину
вредных и полезных потерь удобно ввести через понятие
коэффициента потерь Апот, который характеризует поте-
ри в расчете на единицу длины активного стержня. Рас-
четы, основанные на теории переноса и геометрической
оптике, показали, что
U = TlnV 1/ВД. +Р. (35.26)
где I —длина активного стержня; R], /^ — коэффициен-
ты отражения зеркал резонатора; р — коэффициент
вредных потерь. Первое слагаемое в (35.26) характери-
зует полезные, а второе — вредные потери.
Если в какой-то момент времени величина kyc превы-
шает kmr, то генерация существует и ее мощность нара-
стает. Если же Лус=йпот, то устанавливается стационар-
ный режим. В этом случае потери энергии (в том числе
Оптические квантовые генераторы
561
и полезные) полностью компенсируются излучением, ге-
нерируемым внутри активного стержня. Зная йус (35.25),
можно найти выражение для плотности генерируемого
излучения:
ьо ь
«21-ЛПОТ
«21— - . (35.27)
Умножая (35.27) на скорость света с и объем актив-
ного стержня Is (s—поперечное сечение стержня), по-
лучаем выражение для мощности, генерируемой стерж-
нем:
ц»
(35.28)
Формула (35.28) характеризует полную энергию, ге-
нерируемую внутри стержня. Однако на образование
лазерного луча уходит только часть этой энергии. Ее
легко найти, если (35.28) умножить на отношение коэф-
фициента полезных потерь ко всем потерям:
сПОЛ
(35.29)
а «00т
Выражение (35.29) служит основой расчета выход-
ного излучения многих реальных лазерных систем. Для
определения надо первоначально определить пара-
метры’активного вещества и а, знать коэффициенты
отражения зеркал и коэффициент вредных потерь р. Ве-
личина р обычно очень мала, так как степень однород-
ности активных стержней и качество изготовления дру-
гих элементов резонатора очень высоки.
Населенности уровней 1 и 2 генерирующей трехуров-
невой системы не зависят от интенсивности накачки (см.
рис. 35.6,2,3), а определяются пороговым значением
интенсивности накачки Действительно, в условиях
генерации
Из этих формул видно, что Л1 и л2 определяются
только отношением коэффициента потерь к предельному
коэффициенту усиления х и не зависят ни от интенсив-
ности накачки, ни от интенсивности генерации.
Принципиальная схема оптического квантового гене-
ратора с оптической накачкой показана на рис. 35.8. На-
качка активного элемента осуществляется с помощью
специальных импульсных газоразрядных ксеноновых
ламп-вспышек. Длительность вспышки 10-3 с и меньше.
йипическм
иахмм
Рве. 35.8. Принципиаль-
ная схема оптического
квантового генератора
Лазерный пучок сВеПШ
562
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
35.3
Основные
свойства
лазерного
излучения
направленность
лазерного
излучения
монохроматичность
лазерного
излучения
Лампа накачки имеет либо форму спирали, внутрь ко-
торой помещается активный элемент, либо прямолиней-
ную форму. В последнем случае используют специаль-
ный отражатель в виде эллиптического цилиндра с внут-
ренними отражающими поверхностями. Лампа накачки
располагается вдоль одной из фокальных линий цилинд-
ра, отраженный свет концентрируется на активном стер-
жне, помещаемом вдоль другой фокальной линии. Пита-
ние ламп накачки осуществляется от батареи высоко-
вольтных конденсаторов.
Оптический квантовый генератор является совершен-
но новым источником электромагнитных волн. Его из-
лучение обладает уникальными свойствами, резко отли-
чающимися от свойств известных источников: ламп на-
каливания, люминесцентных ламп, электрической дуги,
искры и т. д. Остановимся коротко на этих свойствах.
Направленность лазерного излучения является одним
из главных его свойств. Угол расходимости лазерного лу-
ча составляет несколько угловых минут, а иногда даже
и угловых секунд. Диаметр пятна, образованного лучом
лазера на Луне, составляет несколько километров, в то
время как луч прожектора создает пятно диаметром 30—
40 тыс. км, что превышает диаметр самой Луны.
Чтобы понять это явление, обратимся к рис. 35.7. До-
пустим, что зеркала Si и S2 идеальные. Тогда лучи, па-
раллельные оси резонатора, проходят через активное ве-
щество туда и обратно неограниченное число раз. Лучи,
идущие наклонно, в конце концов попадут на боковую
стенку активного стержня, где они рассеются и выйдут
наружу. Поэтому ясно, что максимально усиливаются
лучи, распространяющиеся параллельно оси резонатора.
Конечно, строго параллельные лучи получить нельзя, так
как этому препятствует дифракция света. Угол расхож-
дения лучей принципиально не может быть меньше ди-
фракционного предела dtp—Х/D, где D — ширина пучка.
Монохроматичность лазерного излучения исключи-
тельно высока. Поглощение и испускание атомной си-
стемы характеризуются некоторым интервалом частот,
который называется шириной спектральной линии (или
полосы). У лазерного излучения этот интервал чрезвы-
чайно узок, что и определяет его высокую монохроматич-
ность.
Основную роль в сужении линии излучения лазера
играет оптический резонатор. Особенность оптических
резонаторов заключается в том, что их размеры значи-
тельно больше длины волны, в результате чего возможно
Оптические квантовые генераторы
563
одновременное возбуждение большого числа собствен-
ных колебаний. Такие колебания называют модами ре-
зонатора. Мода определяет конфигурацию стоячей волны
электромагнитного поля в резонаторе.
В первом приближении моды резонатора типа Фаб-
ри—Перо можно представить себе как суперпозицию
двух плоских электромагнитных волн, распространяю-
щихся в противоположных направлениях вдоль оси ре-
зонатора. При таком допущении нетрудно получить ре-
зонансные частоты, если наложить условие, что длина
резонатора L должна быть равной целому числу полу-
волн, т. е. £=т(Х/2), где т=\, 2....Такое условие
необходимо для того, чтобы на обоих зеркалах электри-
ческое поле электромагнитной стоячей волны было рав-
ным нулю. Поэтому резонансные частоты равны vm=
=m(c/2L), Разность частот, соответствующих двум по-
следовательным модам, равна Av=c/2L. Эти две моды
отличаются одна от другой распределением поля вдоль
оси резонатора (т. е. в продольном направлении). Поэто-
му такие моды называют продольными. Кроме продоль-
ных мод в резонаторе осуществляются и поперечные мо-
ды, которые дают распределение поля в плоскости, пер-
пендикулярной к оси резонатора.
Ширина спектра излучения лазера определяется
главным образом числом генерирующих мод. В оптиче-
ских резонаторах может одновременно возбуждаться
большое число мод (так называемый многомодовый ре-
жим генерации). Вследствие этого лазер обычно излу-
чает набор различных частот, которые лежат внутри ли-
нии люминесценции активного вещества. Например, для
твердотельных лазеров, работающих в многомодовом
режиме, ширина линии излучения Лтген может быть по-
рядка 1 ГГц. Следует отметить, что многомодовый ре-
жим работы генератора ухудшает когерентность и на-
правленность излучения.
Иногда требуется, чтобы лазер генерировал только
одну моду определенной частоты. В таких случаях при-
нимаются специальные меры подавления нежелательных
мод высших порядков (так называемая селекция мод).
При подавлении колебаний высоких порядков внешняя
энергия преобразуется в основную моду и, хотя общая
энергия излучения не увеличивается, мощность, сосредо-
точенная в этой моде, заметно возрастает. Теоретическая
оценка монохроматичности в случае, когда лазер рабо-
тает в одномодовом режиме, показывает, что ширина
линии излучения с выходной мощностью 1 мВт должна
быть Дуген~5’ Ю'3 Гц. На практике же такие эффекты,
мода резонатора
продольная мода
поперечная мода
селекция мод
564
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
как, например, вибрация, термическое расширение, при- водят к тому, что Avreff имеет более высокие значения. Так, для газового лазера, генерация в котором соответ- ствует центру линии поглощения газа, можно получить
• AvreH=504-500 Гц. В настоящее время существуют ла- зеры с шириной линии порядка нескольких герц.
когерентность лазерного излучения Когерентность излучения квантового генератора вы- сока. Напомним, что под термином «когерентность» по- нимается корреляция каких-либо характеристик элект- ромагнитного поля излучения (например, фаз), испущен- ного либо двумя пространственно разнесенными источ- никами, либо одним и тем же источником, но в разные моменты времени (см. гл. 4). Для любой электромагнитной волны можно опреде- лить понятия пространственной и временной когерент- ности.
• Рассмотрим две точки Р\ и Pz, выбранные с таким условием, что в момент времени tp через них проходит
пространственная когерентность волновой фронт некоторой электромагнитной волны. Со- гласно условию в момент времени разность фаз элект- рических полей в данных точках равна нулю. Если эта разность фаз остается равной нулю в любой момент вре- мени t, то говорят, что между двумя точками имеется полная когерентность. Если это условие выполняется для любых пар точек волнового фронта, то данная волна характеризуется полной пространственной когерент-
• временная когерентность ностью. Теперь рассмотрим электрическое поле волны в дан- ной точке Р в моменты времени t и /+т. Если для дан- ного интервала времени т разность фаз колебаний поля остается одной и той же в любой момент времени t, то говорят, что существует временная когерентность на ин- тервале времени т. Если такое условие выполняется для любого значения т, то волна характеризуется полной временной когерентностью. Лазер, генерирующий на одной поперечной моде, дает излучение с полной пространственной когерентностью. Временная когерентность зависит от ширины полосы AvreH. Например, газовый лазер, работающий в непре- рывном режиме (AvreH=504-500 Гц), имеет длину коге- рентности £.кот=60-г600 км (см. § 4.2). Обычные источ- ники света (например, натриевая лампа) имеют време-
• на когерентности Тког^Ю-10^ ври которых LKor~3 см. Мощность лазерного излучения зависит не только от
мощность лазерного излучения интенсивности накачки, но и от длительности импульса генерации. Рассмотрим на примере квантового генера- тора на рубине, как можно увеличить мощность его из-
Оптические квантовые генераторы
565
лучения за счет сокращения длительности импульса ге-
нерации.
Лазер на кристалле рубина работает обычно в им-
пульсном режиме. Различают два режима работы руби-
нового лазера: режим свободной генерации и режим с
модуляцией добротности. Работа рубинового лазера в
режиме свободной генерации продолжается до тех пор,
пока интенсивность излучения импульсной лампы не ста-
нет слишком малой и уровень инверсной населенности
не упадет ниже порогового. Обычно стандартные руби-
новые кристаллы длиной в несколько сантиметров при
диаметре 1 см позволяют получить в этом режиме пол-
ную энергию в импульсе излучения порядка нескольких
джоулей. Длительность самого импульса генерации при
этом измеряется миллисекундами и, следовательно, сред-
няя мощность излучения генератора порядка нескольких
киловатт.
Сокращение длительности импульсов генерации до
10~7—10~9 с и меньше позволяет повысить выходную пи-
ковую мощность генератора до 10—1000 МВт и больше.
Такие короткие мощные импульсы (гигантские импуль-
сы) получаются в лазере, если он работает в режиме с
управляемой добротностью резонатора (модуляция доб-
ротности).
Принцип работы лазера в режиме модуляции доброт-
ности состоит в следующем. Допустим, что внутрь опти-
ческого резонатора помещен затвор. Если затвор закрыт,
то генерация не возникает и, следовательно, инверсия
населенности может достигнуть очень высокого значе-
ния. При достаточной мощности накачки на метастабиль-
ном уровне можно накопить почти все частицы активного
вещества. Однако условие генерации выполняться не бу-
дет, так как потери резонатора слишком велики. Если
быстро открыть затвор, то усиление в лазере будет су-
щественно превышать потери и накопленная энергия вы-
делится в виде короткого интенсивного импульса света.
Поскольку в данном случае добротность резонатора из-
меняется от низких до высоких значений, то такой режим
называется режимом модуляции добротности резонато-
ра. При быстром открывании затвора (за время, которое
короче времени развития лазерного импульса) выходное
излучение состоит из одного гигантского импульса. При
медленном же открывании затвора может генерировать-
ся много импульсов.
Для управления добротностью оптического резонато-
ра применяют различные устройства, которые можно
разделить на два класса: активные и пассивные. К пер-
модуляция
добротности
566
Оптические квантовые генераторы н вопросы нелинейной оптики
Рис 35.9. Использова-
ние призмы полного
внутреннего отражения
для управления доброт-
ностью:
1 — вращающаяся призма;
2 — активное вещество; 3 —
выходное зеркало
Рис, 35.10. Использова-
ние пассивного затвора
для модуляции доброт-
ности:
1 — активное вещество; • 2 —
пассивные затвор; 3 — зерка-
ла резонатора
вым относятся различные типы оптико-механических
электро- и магнитооптических модуляторов. Схема
управления добротностью, резонатора путем вращения
призмы полного внутреннего отражения приведена на
рис, 35.9. Резонатор имеет высокую добротность лишь в
течение короткого промежутка времени, когда грань
призмы параллельна неподвижному зеркалу, как пока-
зано на рисунке. При используемых на практике скоро-
стях вращения 20 000—30 000 об/мин время переключе-
ния добротности составляет 10“7 с. Еще меньшее время
переключения добротности (около 10-9 с) достигается
при использовании электрооптического затвора, состоя-
щего из ячейки Керра (см. § 19.2) и поляризатора.
В отличие от активных модуляторов добротности, у
которых момент выключения потерь определяется внеш-
ними факторами, включение добротности пассивными
модуляторами полностью определяется плотностью из-
лучения внутри резонатора и их оптическими свойства-
ми. В качестве пассивных модуляторов (или пассивных
затворов) могут использоваться просветляющиеся филь-
тры, пленки, разрушающиеся под действием излучения,
полупроводниковые зеркала с коэффициентом отраже-
ния, зависящим от интенсивности света, органические
красители и т. д. Особое место среди пассивных затво-
ров занимают затворы на основе просветляющихся
фильтров. Исключительная простота таких затворов в
сочетании с высокими параметрами получаемых с их по-
мощью моноимпульсов излучения обеспечила им весьма
широкое распространение. В основе работы этих затво-
ров лежит способность просветляющихся фильтров обра-
тимо изменять коэффициент поглощения под действием
интенсивных световых потоков. Введение в резонатор
пассивного затвора (рис. 35.10) приводит к увеличению
порогового уровня накачки, в результате чего к моменту
начала генерации на метастабильном уровне накаплива-
ется значительное число активных частиц. При возник-
новении генерации лазерное излучение, проходящее че-
рез затвор, резко уменьшает его потери и запасенная
энергия излучается в виде мощного импульса. Длитель-
ность этого импульса почти’ такая же, как и в режиме
мгновенного включения добротности. Применение этих
затворов значительно упрощает конструкцию генератора
и позволяет получить параметры выходного импульса,
близкие к предельным.
Если лазерное излучение проходит через среду с ин-
версной населенностью, то оно усиливается вследствие
вынужденных переходов ([ испусканием молекул, атомов
- Оптические квантовые генераторы
567
или ионов среды. Такие устройства, которые усиливают
электромагнитное излучение оптического диапазона, на-
зываются оптическими квантовыми усилителями. В них
среда с инверсной населенностью создается так же, как
и в оптических квантовых генераторах. Использование
нескольких последовательно расположенных квантовых
усилителей позволяет увеличить мощность лазерного из-
лучения до 1012 Вт при энергии излучения порядка
10 Дж.
оптический
квантовый
усилитель
В настоящее время существует много различных ма-
териалов, которые используются в качестве активных
сред в лазерной технике: диэлектрические кристаллы,
активированные стекла, газы, растворы и пары красите-
лей, полупроводники и др. В зависимости от вида актив-
ной среды различают следующие основные типы лазе-
ров: твердотельные, газовые, жидкостные и полупровод-
никовые. Коротко охарактеризуем их.
Твердотельные лазеры. Активными центрами в лазе-
рах этого типа являются ионы, введенные в кристалли-
ческую среду. Обычно эти ионы принадлежат одной из
групп переходных элементов периодической системы
Менделеева (например, ионы хрома или редкоземельных
элементов).
Рубиновые лазеры впервые были созданы в 1960 г.
Мейманом. Рубин, сотни лет известный как драгоценный
камень, представляет собой кристалл оксида алюминия
А12О3 (корунд), в котором некоторые ионы А13+- замене-
ны ионами Сг3+. Последние и являются активными цент-
рами. В лазерах обычно используется светло-красный
рубин с содержанием хрома около 0,05 % (приблизитель-
но 1,6♦ 1019 ионов на 1 см3).
Диаграмма энергетических уровней ионов хрома в ру-
бине представлена на рис. 35.11. Рубин имеет две ос-
новные полосы поглощения: зеленую (Х=5500 А) и фио-
летовую (А = 4200 А). Благодаря этим полосам в рубине
происходит интенсивное поглощение света накачки (пе-
реходы Е1~+Ез и £]->Е4). При этом часть ионов Ст3*
переходит из основного состояния Ei в возбужденные со-
стояния Е3 и Е4. Некоторые из возбужденных ионов
вновь возвращаются в основное состояние, но большая
часть их безызлучательно переходит в метастабильное
состояние Е2.
Уровень Е2 расщеплен на два уровня Е2 и Е2 с
разностью энергий между ними, равной 29 см-1. Время
жизни уровней Е2 и Е2 при Т=300 К равно приблизи-
тельно 3-10"3 с.
35.4
Типы
квантовых
генераторов
Менделеев Дмитрий Ива-
нович (1334—1907)—рус-
ский химик
рубиновый лазер
Меймая (Maiman) Тео-
дор Гарольд (р. 1927)—
американский физик
Рнс. 35,11. Диаграмма
энергетических уровней
нона Сг3+ в рубине
568
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Генерация обычно происходит на переходе Е2-^ЕХ
(Pi-линия, 1|=6943 А), но может быть получена и на
переходе Ez-^Ei (Я2-линия, 12=6928 А). Время ре-
лаксации частиц между уровнями Е2и й очень мало
(менее I0-7 с), поэтому при возникновении генерации
на линии Ri между ними быстро устанавливается тер-
модинамическое равновесие, при котором населенности
распределяются по закону Больцмана.
Таким образом, генерация на линии /?1 предотвраща-
ет достижение порога самовозбуждения на линии Rz- Ге-
нерация на линии Rz в рубине может быть получена в
том случае, когда добротность оптического резонатора
для нее значительно больше, чем для линии Ri.
Рис. 35.12. Системы на-
качки лазера:
а — цилиндрический отража-
тель, применявшийся в пер-
вых образцах лазера; б —
одноламповый эллиптический
осветитель
Инверсная заселенность создается между уровнями
Ei и Ez методом оптической накачки. Важно, чтобы ос-
новная масса энергии, излучаемой источником накачки,
попадала в полосы поглощения активного вещества и
эффективно использовалась для создания инверсной за-
селенности в системе рабочих уровней. Как уже упоми-
налось, для накачки активного вещества применяют им-
пульсные газоразрядные ксеноновые лампы, коэффици-
ент полезного действия которой около 50 % -
Однако мало иметь хорошую лампу накачки. Необхо-
димо, чтобы как можно большая часть энергии, которая
излучается лампой, попала в активное вещество. Для
этого используют различные отражающие и фокусирую-
щие устройства, называемые системой накачки. Две си-
стемы накачки показаны на рис. 35.12, Одна из них (см.
рис. 35.12, а), представляющая собой цилиндрический
отражатель 2 с газоразрядной лампой спиральной фор-
мы 3, применялась в первых образцах лазеров. Рубино-
вый стержень 1 помещался внутрь лампы 3. Излучение
лампы, не поглотившееся кристаллом рубина сразу же
по выходе из лампы, отражалось от стенок отражателя
2, снова попадало на рубин 1 и опять поглощалось в
нем. Так увеличивалась эффективность работы лампы
накачки. Такая система не очень эффективна. Более эф-
фективная система накачки показана на рис. 35.12, б.
Она представляет собой одноламповый эллиптический
осветитель, позволяющий использовать для накачки ак-
тивного вещества до 75 % энергии лампы.
Значительная часть лучистой энергии (более 50%),
поглощенной рубиновым стержнем, тратится на его на-
гревание. При температурах, превышающих примерно
1000 К, рубцовый лазер перестает генерировать. Поэто-
Оптические квантовые генераторы
569
му в некоторых конструкциях лазеров предусмотрено
охлаждение кристалла рубина.
Рубин представляет собой одноосный кристалл. По-
казатели преломления обыкновенного и необыкновенно-
го лучей светло-красного рубина, применяемого в лазе-
рах, равны соответственно п0=1,7653 и пе-1,7513 (для
Х=6560 А). Рубиновый лазер может давать поляризо-
ванный свет без каких-либо специальных поляризацион-
ных устройств. Для этого оптическая ось рубина не
должна совпадать с его геометрической осью. Известно,
что в обыкновенной волне направления волновой нор-
мали и луча совпадают. Чтобы зеркала резонатора дей-
ствовали эффективно, необходимо, чтобы волновые нор-
мали были перпендикулярны к ним. В таком случае в
рубине параллельно геометрической оси стержня будет
распространяться только обыкновенный луч, а необык-
новенный пойдет под углом к ней, попадая на боковую
поверхность стержня. Поэтому резонатор будет эффек-
тивнее усиливать обыкновенные лучи, в которых элект-
рический вектор перпендикулярен к оптической и гео-
метрической осям кристалла.
Временная зависимость выходного излучения рубино-
вого лазера, работающего в режиме свободной генера-
ции, обычно представляет собой хаотические пульсации
(пички), которые не воспроизводятся от одного импуль-
са лазера к другому. Генерация начинается не сразу
после включения лампы-вспышки, а с некоторой задерж-
кой. Это связано с тем, что для возникновения генера-
ции необходимо выполнить условие самовозбуждения,
т. е. создать достаточную инверсную населенность (по-
роговую населенность) в системе рабочих уровней. Энер-
гия лампы-вспышки от момента ее включения до момен-
та начала генерации расходуется именно на создание
такой пороговой населенности. Типичные осциллограммы
излучения рубинового лазера, работающего,, в режиме
свободной генерации, приведены на рис. 35.13.
Неодимовые лазеры — это лазеры, в которых актив-
ным элементом является либо кристалл Y3AI5O12 (обычно
называемый YAG), где часть ионов иттрия Y3+ замеще-
на ионами неодима Nd3+, либо оптическое стекло, акти-
вированное ионами неодима. Упрощенная схема энерге-
тических уровней неодима в кристаллах иттрий-алюми-
ниевого граната приведена на рис. 35.14. В отличие от
рубинового лазера, работающего по трехуровневой схе-
ме, неодимовый лазер работает по четырехуровневой
схеме. До возбуждения подавляющее число частиц на-
ходится на исходном уровне Еь Накачка.осуществляет-
Рис. 35.13. Излучение
рубинового лазера в ре-
жиме свободной генера-
ции:
а — осциллограмма интенсив-
ности излучения лампы-
вспышки; 6 — осциллограмма
интенсивности излучения ла-
зера; в — часть осциллограм-
мы (6) излучения лазера в
более крупном масштабе
неодимовый лазер
Рис. 35.14. Упрощенная
схема энергетических
уровней Nd : YAG
570
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
импульсный лазер
ся за счет сравнительно узких полос поглощения Е{ -> Е2.
Возбужденные частицы безызлучательным путем пере-
ходят на метастабильный уровень £3, где и происходит
их накопление. Переходу соответствует частота
v~6-1013 Гц, так что при комнатной температуре
hv^kT. Следовательно, при тепловом равновесии число
частиц на уровне £4 ничтожно мало. Поэтому инверсная
заселенность уровней в канале Et-^Ei создается при
переходе на уровень £з даже небольшого числа частиц.
Лазерному переходу соответствует длина волны
излучения Х= 1,06 мкм (ближняя инфракрасная область
спектра). Кристаллы Nd3+:YAG дают возможность по-
лучить генерацию в непрерывном режиме.
В импульсных лазерах широко применяют стекло,
активированное ионами Nd3+. Преимущество стекол за-
ключается в простоте изготовления образцов больших
размеров и любой формы, что позволяет получить очень
большие энергии выходного импульса. Кроме того, они
обладают высокой оптической однородностью, в резуль-
тате чего коэффициент полезного действия стеклянных
генераторов выше, чем у генераторов на кристаллах.
В то же время сравнительно низкая теплопроводность
стекла ограничивает возможности его применения в ла-
зерах непрерывного действия.
Кроме неодима генерация получена и на стеклах с
примесью других ионов редкоземельных элементов, дис-
прозия, самария, гольмия, гадолиния и т. д. В большин-
стве своем они генерируют в инфракрасной области.
Газовые лазеры. Ширина энергетических уровней в
газах довольно мала (порядка нескольких гигагерц
и меньше), поскольку в них по сравнению с твердым те-
лом более слабо действуют механизмы, вызывающие
уширение линий. Поэтому оптическая накачка с по-
мощью ламп, применяемых для твердотельных лазеров,
неэффективна для газовых лазеров, так как в активной
газовой среде нет широких полос поглощения.
Возбуждение атомов в газовых лазерах обычно осу-
ществляется с помощью электрического заряда. При
этом в газе образуются ионы и свободные электроны, а
поскольку они ускоряются электрическим полем, то при-
обретают дополнительную кинетическую энергию и в
результате столкновения могут перевести нейтральный
атом в возбужденное состояние.
Газовые лазеры можно разделить следующим обра-
зом: лазеры на нейтральных атомах, ионные и молеку-
лярные лазеры. Большинство этих лазеров имеют конст-
рукцию,^схематически показанную на рис. 35.15. Эта схе-
Оптические квантовые генераторы
571
ма относится к конструкции лазера непрерывного дей-
ствия. Оба выходных окна 2 газоразрядной трубки 3 рас-
положены под углом а (углом Брюстера), при котором
луч лазера линейно поляризован в плоскости рисунка.
В резонаторе обычно используют сферические зеркала 1,
так как они образуют более устойчивые резонаторы.
лазер
на нейтральных
атомах
Рис. 35.15. Принципиальная схема гелий-неонового лазера:
Л—анод; К —катод
гелий-неоновый
лазер
Лазеры на нейтральных атомах, типичным представи-
телем которых является гелий-неоновый (He-Ne) лазер,
могут генерировать на любой из следующих длин волн:
lt=632,8 нм; л,2=1150 нм; 13=3390 нм. Гелий-неоновый
лазер был первым газовым лазером, созданным в 1960 г.
Джаваном совместно с Беннетом и Эрриотом. В настоя-
щее время наиболее распространенным является гелий-
неоновый лазер, генерирующий красный свет с длиной
волны 11=632,8 нм.
Упрощенная схема энергетических уровней гелия и
неона приведена на рис. 35.16. Генерация происходит
между уровнями неона, а гелий добавляется для увели-
чения эффективности накачки. Возбуждение атомов нео-
на происходит в результате их столкновений с электро-
нами газоразрядной плазмы, что отмечено на рис. 35.16
пунктирными вертикальными стрелками. При определен-
ном режиме разряда этот процесс может привести к ин-
версной заселенности уровней Ег и Е?, что даст генера-
цию с 12=1150 нм. Однако заселенность уровней Ез и
£ь а также уровней Ез и £4 остается неинверсной.
Добавление в газоразрядную трубку гелия изменяет
ситуацию. Атомы гелия обладают двумя метастабиль-
ными состояниями £ г и Ез. Спонтанный переход с из-
лучением с этих уровней на основной уровень £0 мало-
вероятен, поэтому время жизни атома на уровнях £г
и Ез очень велико. В результате электронного возбуж-
дения на этих метастабильных уровнях накапливается
Джаван (Javan) Али (р.
1926) — американский
физик
Беннет (Bennet) Уиллард
Харрисон (р. 1903) —
американский физик
Рис. 35.16. Энергетиче-
ские уровни атомов ге-
лия и неона
572 Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
много атомов гелия. Энергии уровней гелия £2 и £3 близки к энергиям уровней £2 и £3 неона. Благодаря этому при столкновениях возбужденных атомов гелия с невозбужденными атомами неона происходит резонанс- ная передача энергии от атомов гелия к атомам неона (что показано на рис. 35.16 пунктирными горизонталь- ными стрелками). Потерявшие энергию атомы гелия безызлучательно переходят в невозбужденное состояние. Этот процесс приводит к сильному возрастанию кон- центрации атомов неона на уровнях £ь Е3 и возникает инверсная заселенность уровней £3 и Еь а разность за- селенностей уровней £2 и £1 увеличивается в несколько раз. Мощности гелий-неоновых лазеров невелики: 0,1 Вт —для излучения с л2=И50 нм и 1 Вт —для из- лучения с Л|=632,8 нм. Разнообразие газовых лазеров на нейтральных ато- мах не ограничивается лишь инертными газами. Созданы лазеры, в которых используются пары иода, хлора,
ртути.
ионный лазер Ионные лазеры впервые создал в 1964 г. Бриджес. В этих лазерах в качестве рабочих переходов использу- ются энергетические уровни ионов. Как рабочее вещест- во лазера ионы имеют два существенных отличия от ато- мов; во-первых, расстояние между рабочими энергетиче- скими уровнями у ионов больше, чем у атомов, поэтому излучение ионных лазеров попадает в видимую часть спектра; во-вторых, вероятности переходов между рабо- чими уровнями у ионов больше по сравнению с вероят- ностями переходов у атомов.
Одним из наиболее распространенных ионных лазе-
аргоновый лазер ров является аргоновый лазер. Условия его возбуждения характерны для ионных лазеров, в которых верхний ла- зерный уровень заселяется благодаря двум последова- тельным столкновениям атомов аргона с электронами в электрическом разряде. При первом столкновении об- разуются ионы из нейтральных атомов, а при втором происходит возбуждение этих ионов, т. е. накачка пред- ставляет собой двухступенчатый процесс. Для того что-
• бы ионный лазер действовал эффективно, плазма газо- вого разряда должна быть высокоионизированной. Та-
криптоновый лазер кая плазма создается при использовании сильноточного дугового разряда. Газоразрядная трубка имеет малый диаметр (1—10 мм), что позволяет получать большие плотности тока в разряде (порядка сотен ампер на 1 см2). Современный аргоновый лазер генерирует в непре-
Оптические квантовые генераторы
573
рывном режиме на девяти линиях в интервале длин волн
от 454,5 до 514,5 нм.
Среди разнообразных ионных лазеров следует отме-
тить криптоновый лазер, в котором генерация происхо-
дит тоже на нескольких линиях, причем самой интенсив-
ной из них является красная линия с 1=547,1 нм.
К ионным лазерам относятся и лазеры на парах ме-
таллов. В таких лазерах активной средой служат пары
меди, олова, свинца, цинка, кадмия и селена, причем
самыми распространенными являются лазеры, в которых
применяют пары кадмия и селена. Пары кадмия дают
интенсивную непрерывную генерацию с длинами волн
11=441 нм и 12=325 нм. Пары селена дают генерацию
по крайней мере на 19 длинах волн, перекрывающую
большую часть видимого спектра.
Молекулярные лазеры работают на переходах меж-
ду колебательно-вращательными уровнями молекулы.
Примером такого лазера может служить лазер на смеси
углекислого газа, азота и гелия. Генерация происходит
между колебательными уровнями молекулы СО2, тогда
как присутствие молекул N2 и атомов Не значительно
повышает коэффициент полезного действия лазера.
Схема нижних колебательных уровней молекулы СО2
представлена на рис. 35.17. Инверсия заселенностей мо-
жет создаваться между уровнями Е4, Е3 и Е4, Е2. Спра-
ва показан энергетический уровень молекулы азота,
близкий к уровню Е4 молекулы углекислого газа (раз-
ность между ними составляет 18 см-1). Генерация может
возникать на переходах Е4-+Е2 (1=10,6 мкм) и Е4-+Е2
(1=9,6 мкм). В действительности, если учесть враща-
тельные уровни, то ясно, что генерация состоит из двух
серий линий с центрами при 11 = 10,6 мкм и 12=9,6 мкм.
Заселение уровня Е4 осуществляется в результате
следующих двух процессов: столкновений молекул СО2
с электронами и резонансной передачи энергии от мо-
лекул азота к молекулам углекислого газа. Добавление
гелия в рабочую смесь лазера СО2 приводит к увеличе-
нию разности заселенностей рабочих уровней, так как
гелий эффективно обедняет нижние уровни Е2 и Fg. До-
бавление гелия приводит также к снижению температу-
ры смеси, что уменьшает скорость безызлучательной ре-
лаксации уровня Е4 и увеличивает выходную мощность
лазера. Следует отметить, что СО2-лазер является самым
мощным *). Его выходная мощность может достигать
1 МВт в непрерывном режиме.
лазер на парах
металлов
молекулярный
лазер
Пател (Patel) Кумар
(р. 1938)—американ-
ский физик
Рнс. 35.17. Диаграмма
наиболее низколежащих
колебательных уровней
основного электронного
состояния молекул угле-
кислого газа и азота.
Вращательные уровни не до-
казаны
*> COj-лазер создан в 1964 г. Пателом.
574
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Рис. 35.18. Принципи-
альная схема газодина-
мического лазера
газодинамический
лазер
Рис. 35.19. Диаграмма
электронно - колебатель-
ных уровней сложных
молекул:
’эл —частота электронного
перехода: »нак — частота
накачки; ’»геи— частота гене-
рации
Кроме СО2-лазера имеются и другие молекулярные
лазеры. Наиболее известны лазеры на оксиде углерода
(II) (Х=5 мкм), парах воды {7.1=27,9 мкм и Х2=
= 118,6 мкм) и молекулах синильной кислоты' HCN
(Х=773 мкм).
Таким образом, лазеры могут давать генерацию
вплоть до миллиметровых воля, представляющих собой
верхний предел диапазона электромагнитных волн, пе-
рекрываемого с помощью электронных генераторов.
Среди молекулярных лазеров значительное место
занимают газодинамические лазеры. Для генерации из-
лучения в газодинамическом лазере предварительно на-
гретый газ очень быстро охлаждают путем приведения
его в движение вплоть до сверхзвуковых скоростей.
Принципиальная схема газодинамического лазера при-
ведена на рис. 35.18. Вначале рабочий газ в нагревателе
1 нагревают до высокой температуры, затем он поступа-
ет в сопло 2, где ускоряется и охлаждается. При этом
из-за различных скоростей дезактивации молекул с раз-
ным запасом энергии в газе может образоваться инвер-
сия заселенностей уровней энергии, когда концентрация
более возбужденных молекул превышает концентрацию
менее возбужденных. Далее этот газ попадает в резона-
тор 3t состоящий из двух зеркал, параллельных потоку.
В резонаторе часть энергии, связанная с инверсией за-
селенностей уровней, превращается в направленное ко-
герентное излучение, которое выходит через) полупроз-
рачное зеркало 4, образуя лазерный луч 5.
В настоящее время самые мощные газодинамические
лазеры работают в инфракрасной области спектра на
оптических переходах между колебательными уровнями
молекул углекислого газа. Получена генерация в газо-
динамических лазерах с применением оксида углерода
(II), оксида азота и сероуглерода.
Жидкостные лазеры. Активной средой в жидкостных
лазерах является спиртовой или водный раствор какого-
либо органического красителя. Поэтому такие лазеры
называют еще лазерами на красителях.
Используемые в лазерах молекулы органических кра-
сителей (полиметиновых, ксантеновых, кумариновых и
др.) относятся к классу сложных молекул, т. е. их спект-
ры поглощения и люминесценции представляют собой
широкие полосы (см. § 34.3). Известно, что большая
ширина полос сложных молекул связана с колебатель-
ной структурой электронных уровней. Колебательные
уровни расположены очень густо, образуя сплошные зо-
ны (рис./35.19). Они объединяются в две системы: одна
Оптические квантовые генераторы
575
состоит из синглетных (So, Slt S2), другая — из триплет-
ных (Л, Л) уровней. На рисунке стрелками показаны
возможные оптические и неоптические переходы между
ними.
Инверсия заселенностей в таких системах может соз-
даваться между нижними колебательными уровнями
верхнего возбужденного состояния Si и верхними коле-
бательными уровнями основного состояния So. Действи-
тельно, согласно распределению Больцмана (35.8) высо-
кие колебательные уровни нижнего электронного состоя-
ния заселены крайне слабо. Поэтому даже если П1<л0
(Л], л0 — число частиц на уровнях Si и So соответствен-
но), число частиц на низких наиболее заселенных коле-
бательных уровнях состояния Si может быть больше
числа частиц на высоких колебательных уровнях состоя-
ния So. В этом случае коэффициент усиления достаточно
высок даже при малых концентрациях красителя.
Теоретические расчеты и экспериментальные дан-
ные показывают, что основным фактором, мешающим
возникновению генерации сложных молекул, является
накопление частиц на метастабильном (триплетном)
уровне. Если в рубине наличие метастабильного уровня
обеспечивает возможность генерации, то у красителей
этот уровень играет отрицательную роль. Неолтические
переходы S| —T'i мешают накоплению частиц на основ-
ном лазерном уровне Si и тем самым уменьшают значе-
ние коэффициента усиления. Кроме того, существенна
роль триплет-триплетного поглощения Т)-*Т2. Ввиду
этого под действием внешнего излучения в растворе не
только появляется способность к усилению, но и возни-
кают дополнительные потери. Если коэффициент погло-
щения в канале превышает коэффициент усиле-
ния в канале Si->S0, то генерация излучения неосуще-
ствима.
Избавиться от вредного воздействия синглет-триплет-
ного перехода можно двумя путями: во-первых, так как
вероятности перехода Sj-»-Fi в разных молекулах раз-
личны, то при выборе генерирующих сред следует ис-
пользовать те молекулы, у которых она особенно мала
(родамин 6Ж- один из наиболее интенсивно генериру-
ющих красителей — обладает особенно низкой вероят-
ностью перехода в триплетное состояние); во-вторых,
♦) Теоретические основы работы лазера на красителях разрабо-
таны в 1960—1964 гг. сотрудниками Института физики АН БССР.
См., например: Методы расчета оптических квантовых генераторов /
Под ред. Б. И. Степанова,—Минск: Наука н техника, 1966, т. L—
484 с.
лазер
на красителях
метастабильный
уровень
576
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Рнс. 35.20. Принципи-
альная схема лазера на
красителях
Рубинов Анатолий Нико-
лаевич (р. 1939)—совет-
ский физик
Мостовннков Василий
Андреевич (р. 1936) — со-
ветский физик
Борисевич Николай Алек-
сандрович (р. 1923) — со-
ветский физик
можно возбуждать раствор красителя очень короткими
лазерными импульсами. Допустим, что длительность
импульса порядка 10“в с, а вероятность перехода 3| —
меньше 10~6—10"7 с. В этом случае импульс накачки на-
столько кратковремен, что переходы не успева-
ют произойти, частицы в системе уровней не накап-
ливаются, в веществе образуется только кратковремен-
ное усиление в канале Si-> $0.
Накачка лазеров на красителях может осуществлять-
ся как при помощи излучения лазеров других типов (ла-
зерная накачка), так и при помощи излучения импульс-
ных ламп (ламповая накачка). Принципиальная схема
первого*) жидкостного лазера, которая широко приме-
няется и в настоящее время, приведена на рис. 35.20. Из-
лучение рубинового лазера 1 падает на кювету 2 с рас-
твором красителя, помещенную между двумя зеркалами
3, образующими резонатор. Излучение, генерируемое
красителем, распространяется перпендикулярно к на-
правлению распространения возбуждающего потока.
Важной особенностью генерации сложных молекул
является возможность перестройки частоты излучения в
широких пределах. Область перестройки достаточно ве-
лика и совпадает с шириной полосы люминесценции, до-
стигая иногда тысячи обратных сантиметров, что соот-
ветствует переходу от синей до красной области спектра.
Спектральная ширина излучения жидкостных лазе-
ров составляет 4—30 нм. Ее можно сделать значительно
уже, если внутрь резонатора поместить какой-либо дис-
персионный элемент, т. е. создать селективный резона-
тор. Такого рода резонаторы могут быть различных ти-
пов. Можно, например, поместить внутрь резонатора
(между активным слоем и одним из зеркал) обычную
призму или интерферометр. Часто заменяют одно из зер-
кал отражательной дифракционной решеткой. При нали-
чии в резонаторе селективных элементов вдоль оси лазе-
ра может распространяться излучение лишь некоторых
длин волн. Излучение других волн, отражаясь от решет-
ки или проходя через призму, отклоняется от оси и вы-
ходит за пределы резонатора.
Введение внутрь резонатора селективных элементов
не только позволило сузить спектр генерируемого излу-
чения, но и дало простой способ перестройки частоты ге-
нерации. Она осуществляется настройкой селектирующе-
го элемента на другую частоту при повороте призмы, ин-
*> Впервые генерация на красителях получена в 1966 г. незави-
симо Сорокиным и Лэикардом (США), Шефером и Шмидтом (ФРГ),
Степановым, Рубиновым и Мостовниковым (СССР).
Оптические квантовые генераторы
577
терферометра или дифракционной решетки. Типичная
полоса люминесценции раствора красителя изображена
на рис. 35.21. Она перекрывает синюю, зеленую, желтую
и красную области спектра. Полуокружностями 1 услов-
но показан контур полос генерации без селективного эле-
мента в резонаторе. Узкими пичками 2 изображены ли-
нии генерации при наличии селективного элемента. Из-
менение частоты (смещение пичков) осуществляется
вдоль всей полосы люминесценции 3. Пички могут быть
очень узкими. При использовании обычной дифракцион-
ной решетки ширина пичков достигает 0,1—1,0 нм. Если
же применить комбинацию решетки и интерферометра,
то ширину пичков можно довести до 0,001 нм;
Красители дают генерацию не только в растворах, но
и в парах*). Лазеры на парах сложных молекул генери-
руют излучение в области 350—570 нм с коэффициентом
полезного действия, близким к коэффициенту полезного
действия лазеров на растворах. Преимущество этого ти-
па лазеров — малая расходимость излучения, которая
не превышает 3—4 угловых минут.
Полупроводниковые лазеры. Прежде чем говорить
о принципе работы полупроводникового лазера, напом-
ним некоторые сведения о полупроводниках.
4
Рис. 35.21. Перестройка
частоты генерации лазе-
ра на красителях без се-
лективного элемента (/)
и с селективным элемен-
том (2) в пределах по-
лосы люминесценции (31
Толкачев Виталий Анто-
нович (р. 1934)—совет-
ский физик
Калоша Иван Иванович
(р. 1946) — советский
физик
Энергетический спектр идеального полу-
проводникового кристалла (кристалл без де-
фектов н примесей) состоит из широких полос
разрешенных состояний электронов —зоны
проводимости и валентной зоны, разделенных
зоной запрещенных состояний (запрещенная
зона). В валентной зоне и зоне проводимости
энергетические состояния электронов образу-
ют практически непрерывный спектр.
В идеальном полупроводнике при Т=0К
все электроны находятся в валентной зоне. Зо-
на проводимости полностью свободна от
электронов. В этом случае полупроводник не
может проводить электрический ток и являет-
ся изолятором. Прн ненулевой температуре
часть электронов за счёт теплового движения
переходит из валентной зоны в зону проводи-
мости. В результате такого перехода в валент-
ной эоне появляются свободные места —дыр-
ки. Дырка эквивалентна частице с положи-
тельным зарядом.
В полупроводнике, у которого часть ато-
мов исходного вещества замещена атомами
других элементов (так называемый примесный
полупроводник), кроме валентной зоны и зоны
проводимости появляются дополнительные
энергетические уровни, лежащие в пределах
запрещенной зоны. Примеси и соответству-
ющие им энергетические уровни делятся на
донорные и акцепторные. Доноры —это при-
меси, энергетические уровни которых располо-
жены близко к зоне проводимости (донорные
уровни). Доноры легко отдают электроны в эо-
ну проводимости. Акцепторы — это примеси,
энергетические уровни которых расположены
ближе к валентной зоне. Акцепторы легко за-
хватывают электроны из валентной зоны,
оставляя там дырки. Энергетический спектр
примесного полупроводника показан на
рис. 35.22. В зависимости от вида носителя за-
ряда (электрон или дырка) полупроводники
бывают двух типов: л-типа (носители заря-
да — электроны) и p-типа (носители заряда —
Дырки).
Для того чтобы система могла излучать,
ее необходимо привести в неравновесное со-
стояние. А чтобы привести полупроводник в
такое состояние, используют следующие спо-
собы: 1) облучение полупроводника внешним
излучением достаточно высокой частоты (оп-
*> Впервые генерация паров сложных молекул получена в Ин-
ституте физики АН БССР в 1973 г. Борисевичем, Толкачевым и Ка-
лошей.
578
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
тический метод возбуждения); 2) облучение
полупроводника электронным пучком; 3)
использование внешнего электрического поля.
Переход к равновесному состоянию происхо-
дит благодаря рекомбинации *>. Энергия, осво-
бождающаяся при рекомбинации, реализуется
в виде одного нз трех основных процессов:
рождения фотона (излучательная, или фотон-
ная, рекомбинация), нагревания решетки, т, е.
ник при температуре 7=0 К. Заштрихованная
область на рис. 35.23, а соответствует пол-
ностью заполненным энергетическим состояни-
ям. Предположим, что электроны каким-либо
образом попадают из валентной зоны в зону
проводимости. В этой зоне в течение очень не-
большого интервала времени (около 10"13 с)
электроны релаксируют на се самый нижний
уровень. Вблизи максимума валентной зоны
Оже (Auger) Пьер Вик-
тор (р, 1899) — француз-
ский физик
Рис. 35.22. Энергетиче-
ский спектр и излуча-
тельные переходы в по-
лупроводнике:
ширина запрещенной зо-
ны; I—зова проводимости;
И—донорный уровень; 111—
акцепторный уровень; IV —
валентная эона
V
J
i
у
Ркс. 35.23. Принцип дей-
ствия полупроводнико-
вого лазера
образования фононов (фононная, или безызлу-
чательная, рекомбинация) и увеличения кине-
тической энергии свободных носителей (ре-
комбинация Оже —тоже безызлучательная ре-
комбинация).
Нас, естественно, будет интересовать толь-
ко излучательная рекомбинация, которая в по-
лупроводнике может происходить в результа-
те межзониых переходов (стрелка 1 на рис.
35.22) и переходов из зоны на примесный уро-
вень (стрелка 2) или через оба примесных
уровня (стрелка 3).
При определении условия образования ин-
версии заселенностей в полупроводнике для
простоты рассмотрим идеальный полупровод-
электроны также переходят иа самый инжнш
нз незанятых уровней, заполняя таким обра
зом максимум валентной зоны дырками. Эп
означает, что между валентной зоной и зоно!
проводимости возникает инверсия заселенно
стей (рис. 35.23, б). Поскольку электроны стре
мятся перейти из зоны С в зону V (т. е. ре
комбинировать с дыркой), то, поместив тако
полупроводник в соответствующий резонатор
можно получить генерацию. Значит, иаиболе
подходящей активной средой для полупровод
ни нового лазера будут вещества, у которы
вероятность перехода электронов из зоны про
водимости в валентную зону с испусканием фо
тона достаточно велика.
* /’екоябинацня—процесс превращения свободного электрона в связанный.
Оптические квантовые генераторы
579
Первый полупроводниковый лазер был выполнен на
арсениде галлия (GaAs) Холом в 1962 г. Этот лазер об-
ладал очень большой вероятностью излучательной ре-
комбинации. Лазер на арсениде галлия (л=0,84 мкм)
относится к так называемым инжекционным лазерам на
р-п-переходе. Обычно плавные р-п-переходы создают
путем диффузии акцепторных примесей (цинк, кадмий и
др.) в материал, легированный донорными примесями
(теллур, селен и др.).
Отличительной чертой всех полупроводниковых ла-
зерных материалов, в том числе и арсенида галлия, яв-
ляется очень высокий по сравнению с другими лазерны-
ми материалами (кристаллы, стекла, жидкости, газы)
коэффициент усиления электромагнитного излучения.
Благодаря этому удается выполнить условие генерации
для миниатюрных полупроводниковых образцов. Типич-
ный лазер на арсениде галлия показан на рис. 35.24, а.
Для получения генерации две противоположные поверх-
ности полупроводника полируют и делают плоскопарал-
лельными, а две другие оставляют грубо обработанны-
ми, чтобы предотвратить генерацию в нежелательных
направлениях. Обычно обе отражающие поверхности не
имеют отражающих покрытий, так как показатель пре-
ломления полупроводника достаточно большой и от по-
лированных торцов отражается примерно 35 % падаю-
щего излучения. Активная область представляет собой
слой толщиной около 1 мкм, т. е. немного больше запи-
рающего слоя (примерно 0,2 мкм). В свою очередь по-
перечные размеры лазерного пучка гораздо больше
(около 40 мкм) толщины активной области
(рис. 35.24, б). Следовательно, лазерный пучок занимает
довольно большое пространство в р- и n-областях. Од-
нако поскольку поперечные размеры пучка все же отно-
сительно невелики, выходное излучение имеет большую
расходимость (несколькоградусов).
Кроме лазера на арсениде галлия, применяются и
другие типы полупроводниковых лазеров. Крупные успе-
хи в разработке полупроводниковых лазеров связаны с
появлением инжекционных лазеров на гетеропереходах.
Так называют сложные р-п-структуры, состоящие из
полупроводниковых материалов с различной шириной
запрещенной зоны.
На этом закончим рассмотрение различных типов ла-
зеров. Мы обсудили лишь некоторые из наиболее широ-
ко используемых лазеров. В действительности же их
число значительно больше. Для того чтобы проиллюст-
рировать это, на рис. 35.25 показаны диапазоны длин
Рис. 35.24. Схема уст-
ройства полупроводни-
кового лазера (а) и рас-
пределение интенсивно-
сти излучения лазера в
поперечном сечении (б)
ИИИУ/Д у
игу/
W 773
8,6 2,6
0,1 1 10 К2 181 10*
А ним
Рис. 35.25. Диаграммы
длин волн генерации, пе-
рекрываемые действую-
щими лазерами:
I — возможная область гене-
рации на вращательных пе-
реходах; II —возможная об-
ласть генерация на колеба-
тельно-вращательных перехо-
дах; III—возможная область
генерация на электронных
переходах; IV —полупровод-
никовые лазеры; V—химиче-
ские лазеры; VI — лазеры на
красителях; VII — газовые
лазеры; VIII - твердотель-
ные лазеры
580
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
инжекционный
лазер
волн, в которых получена генерация на лазерах различ-
ного типа. На этом рисунке указаны также области, где
имеется потенциальная возможность получения генера-
ции. Следует заметить, что в общем случае указанные
области не могут быть перекрыты непрерывным обра-
зом, исключая лазеры на красителях. Отметим также,
что на основе лазеров, генерирующих на некоторой час-
тоте, можно создать источники когерентного излучения и
на других частотах, используя нелинейные оптические
эффекты.
Глава 36
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ
До создания лазеров в оптике и спектро-
скопии практически безраздельно господство-
вал принцип линейности. Согласно этому прин-
ципу реакция вещества на действие света ли-
нейно зависит от напряженности действующе-
го светового поля. Отсюда однозначно следу-
ет, что оптнко-спектроскопнческяе параметры
(показатель преломления, коэффициент погло-
щения, эффективность люминесценции и рас-
сеяния и др.) не зависят от интенсивности све-
товых потоков и определяются только свойст-
вами вещества.
До создания лазеров этот принцип не под-
вергался сомнению и считался надежно под-
твержденным всей совокупностью эксперимен-
тальных н теоретических данных о распрост-
ранении света в веществе. Известно лишь не-
сколько работ, в которых высказывалась мысль
о том, что принцип линейности в оптике сле-
дует рассматривать, как первое приближение
в описании оптических явлений, и предпринима-
лись попытки обнаружить оптические эффек-
ты, выходящие за рамки этого приближения.
Уже упоминалось об опытах Вавилова (1920)
по проверке линейности закона поглощения
света веществом, аналитическим выражением
которого является известный закон Бугера —
Ламберта — Бера (см. § 21.6). И хотя в этих
опытах был использован очень широкий диапа-
зон интенсивностей световых потоков, никаких
отклонений от закона Бугера— Ламберта —
Бера не было обнаружено. Причина неудачи
заключалась в низкой спектральной плотности
света, даваемого нелазерными источниками.
В 1923 г. Вавилову совместно с Левшиным
впервые все же удалось наблюдать слабое на-
рушение линейности поглощения света в ура-
ниловых соединениях,
Использование в оптическом эксперименте
лазерных источников света привело к откры-
тию ряда явлений, не совместимых с принци-
пом линейности. Практически одновременно с
созданием первых лазеров были обнаружены
такие нелинейные оптические явления, как ге-
нерация гармоник, сложение и вычитание ча-
стот световых потоков, вынужденное комби-
национное рассеяние света, двухфотонное по-
глощение. Было ясно также, что сам лазер —
это оптическая система, в которой важную
роль играет эффект насыщения усиления света
активной средой. Все это стимулировало бур-
ное развитие теоретических и эксперименталь-
ных исследований нелинейного взаимодействия
света с веществом, разработку методов прак-
тического использования нелинейных оптиче-
ских явлений в науке и технике и привело, в
частности, к возникновению нелинейной оп-
тики.
Таким образом, под нелинейной оптикой в
настоящее время понимают оптику достаточно
интенсивных пучков света, в которых становят-
ся заметными нелинейные оптические свойства
вещества. Отметим, что в оптически нелиней-
ных средах нарушается принцип суперпозиции,
являющийся основой линейной оптики.
36.1 В основе теоретического рассмотрения нелинейных
Нелинейная явлений, возникающих при распространении света в сре-
поляризация ) де, лежит зависимость поляризованное™ среды Р от
среды у напряженности электрического поля Е световой волны.
Некоторые вопросы нелинейной оптики
581
Будучи откликом на внешнее поле, поляризованность Р,
естественно, должна быть функцией Е. И хотя в пределе
слабых полей Р линейно зависит от Е, в общем случае
она является нелинейной функцией Е. Здесь предпола-
гаетсщ что поляризация имеет электродипольное проис-
хождение. В более общем случае вместо Р следует
ввести обобщенную поляризованность, которая включа-
ет в себя не только Р, но и все другие мультипольные
вклады.
Прежде чем перейти к рассмотрению нелинейных оп-
тических явлений, напомним некоторые положения ли-
нейной оптики (см. гл. 16). Предположим, что среда
изотропна. При использовании нелазерных источников
света поляризация вещества связана с напряженностью
электрического поля простым соотношением
Р = Лг0Е (36.1)
или
Р = аЕ, (36.2)
где а — диэлектрическая восприимчивость.
Кроме того, диэлектрическая проницаемость
е = 1 + 4ла. (36.3)
Из формул (36.2) и (36.3) следует, что в слабых по-
лях связь между поляризованностью среды и напря-
женностью электрического поля линейна, т. е. реакция
среды на внешнее поле является линейной. Линейная
связь между Р и Е обусловливает все особенности ли-
нейной оптики, проявляющиеся в дисперсии, поглоще-
нии, рассеянии и других, связанных с ними явлениях.
Нелинейные оптические явления наблюдаются тем
отчетливее, чем больше напряженность электрического
поля волны, которая в сфокусированном пучке лазера
может достигать 10& —108 В/см и стать сравнимой с
внутренними полями в среде (10® —109 В/см). Физиче-
ские причины возникновения нелинейных оптических эф-
фектов заключаются в следующем.
Известно, что электрическое поле действует на заряд
с силой F=eE. Под действием поля заряды (электроны
и ионы) в веществе смещаются от положения равнове-
сия на некоторое расстояние г(Е), тем большее, чем
больше напряженность поля. Поляризованность равна
Слабые поля — поля, по порядку величины значительно мень-
шие внутриатомных, а сильные поля —поля, близкие к внутриатом-
ным.
линейная
поляризация
среды
582
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
нелинейная
поляризация
среды
произведению плотности зарядов р на их величину и сме-
щение, т. е. Р = ерг(Е).
В отсутствие внешнего поля движение какого-либо
заряда определяется электростатическими кулоновскими
силами, действующими на него со стороны всех осталь-
ных зарядов среды. При смещении заряженных частиц
от положения равновесия сбалансированность этих сил
нарушается, в результате чего возникает сила, стремя-
щаяся возвратить заряды на прежнее место. В том слу-
чае, когда смещение невелико, возвращающая сила про-
порциональна его величине, а потенциальная энергия
заряда пропорциональна квадрату его смещения. Анало-
гичная ситуация имеет место, например, в случае коле-
баний некоторого груза на пружине (см. гл. 1). Таким
образом, для наглядности заряды среды можно уподо-
бить системе осцилляторов. При малом смещении осцил-
ляторов говорят о гармоническом законе колебаний и
параболическом законе для потенциальной энергии сме-
щения.
С увеличением напряженности поля размах колеба-
ний становится больше, однако совершенно ясно, что это
увеличение не может продолжаться беспредельно. Дейст-
вительно, при очень больших смещениях, например
электрона, последний может вырваться за пределы ато-
ма. Таким образом, максимально допустимы смещения
порядка размеров атома а. При г~а гармонический за-
кон колебаний нарушается и в возвращающей силе по-
являются составляющие, пропорциональные квадрату
смещения и его более высоким степеням. В этом случае
говорят об энгармонизме колебаний и о непараболично-
сти закона для потенциальной энергии смещения.
В результате совместного действия на заряды поля
волны и внутренних кулоновских сил смещение заряда,
а вместе с ним и поляризованность становятся сложны-
ми функциями напряженности электрического поля.
Если поле Е не очень сильное, то вектор Р можно
разложить по степеням составляющих вектора Е. В об-
щем случае для анизотропной среды это разложение
имеет вид
Pi ~ uikEk + aikeEkEe 4- aiheinEhEeEm+..., (36.4)
где в соответствии с общепринятой тензорной символи-
кой по дважды повторяющимся индексам ведется сум-
мирование. Индексы i, k, е, т,... принимают последова-
тельно значения х, у, г. В выражении (36.4) aiA есть тен-
зор обычной или линейной поляризуемости, а тензоры
высших порядков аци>, aikem,- соответственно называют-
Некоторые вопросы нелинейной оптики
583
ся квадратичной, кубической и т. д. поляризуемостями.
Они определяют нелинейную поляризованность среды.
Для качественного рассмотрения возможных нели-
нейных эффектов, возникающих при распространении
мощного излучения в средах, и упрощения математиче-
ских расчетов выражение (36.4) достаточно записать в
скалярном виде
(36.5)
считая а, а', а",-- скалярными величинами, зависящими
от частоты излучения.
Рассмотрим те оптические эффекты, которые могут
возникнуть, если в разложении (36.5) ограничиться пер-
выми двумя членами, т. е. когда поляризованность мо-
жет быть записана формулой
Р = а£ + а'£2. (36.6)
Пусть волна, распространяющаяся вдоль оси г в сре-
де, задана выражением
£ = £osin (о/—/гг), (36.7)
где Л=ш/у=2яД; X—длина световой волны; о— фазо-
вая скорость волны в среде. Подставляя (36.7) в форму-
лу (36.6), получаем
Р ~ а£0 sin (©f—kz) 4-— 11 — cos (2(trf — k'z)]. (36.8)
Таким образом, в формуле (36.8) содержатся три чле-
на. Первый член представляет собой волну поляризован-
ности, колеблющуюся на частоте падающей волны. Вто-
рой член не зависит от времени. С ним связано так на-
зываемое оптическое детектирование, т. е. возникнове-
ние в нелинейной среде постоянной поляризованности
прн прохождении через нее мощной световой волны. Это
явление аналогично выпрямлению синусоидального
электрического тока, Схема опыта, в котором обнаружи-
вается оптическое детектирование, показана на рис. 36.1.
Лазерное излучение 1 большой интенсивности падает на
кристалл кварца 3, помещенный между обкладками кон- f
денсатора 2. Световой поток подается отдельными им-
пульсами длительностью т. Вследствие детектирования
световой импульс лазера возбуждает импульс электриче-
ского тока в цепи конденсатора с той же длительностью
т, который и наблюдается на экране осциллографа 4.
Третий член формулы (36.8) гармонически изменяет-
ся со временем и характеризует волну поляризованности
36.2
Оптическое
детектирование
и генерация
гармоник
оптическое
детектирование
Рис. 36.1. Схема опыта
по наблюдению оптиче-
ского детектирования
584
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
волновой
(фазовый)
синхронизм
условие
волнового
синхронизма
с удвоенной частотой 2со (вторая гармоника) и новым
волновым числом k', которое, вообще говоря, не равно
2fe, как это было бы в том случае, если бы фазовая ско-
рость v волны с частотой а была бы равна фазовой ско-
рости и' волны с частотой 2ш. Ввиду различия фазовых
скоростей v и Vя волновые числа kr=£2k. Вслед-
ствие этого при прохождении волнами с частотами со и
2а некоторого расстояния г между ними возникает раз-
ность фаз
Дф = г(А'-2А), (36.9)
которая будет изменяться по мере распространения
волн. Это нарушает так называемый волновой (или фа-
зовый) синхронизм, т. е. условия, при которых разность
фаз между исходной световой волной и возбужденной
(генерируемой) волной другой частоты сохранялась бы
постоянной на всем пути их распространения. Чтобы
Дф=0, необходимо, чтобы
kf = 2k, vr = v, n = n. (36.10)
При удовлетворении условий (36.10) обе волны •—
волны поляризованности с частотами w и 2<d — облада-
ют одной и той же фазой в любой точке пространства,
поэтому (36,10) называют условием волнового синхро-
низма. Равенства (36.10) соответствуют, очевидно, мак-
симальной интенсивности второй гармоники, генерируе-
мой в данной нелинейной среде при заданной мощности
исходного излучения.
Расчеты показывают, что мощность W' второй гар-
моники приближенно описывается следующей формулой:
Гя (36-П)
где
р= M(nf-n) 2= 4л 2; (3бл2)
м с л
IT —мощность излучения исходной волны; Г —длина
волны второй гармоники; п' — показатель преломления
среды для волны с удвоенной частотой; п — показатель
преломления среды для волны с частотой а.
Из формулы (36.11) видно, что в точке z=0, т. е. на
границе среды, волны с частотой 2а нет. В среде падаю-
щая волна создает нелинейную поляризацию, и за счет
этого на частоте 2а возникает волна. Мощность волны
с увеличением z растет, но только до тех пор, пока при
некотором значении z=zq аргумент синуса 0 не будет
равным я/2. При z>Zq волна на частоте 2а начинает
Некоторые вопросы нелинейной оптики
585
ослабляться до точки z=2z0, где ее мощность вновь па-
дает до нуля, а энергия, запасенная в волне, передается
падающей волне. При а>2г0 мощность волны на частоте
2ш опять растет, затем вновь падает и при z=4za снова
обращается в нуль. Точки, в которых мощность W"=0,
можно найти, приравняв ₽ кратному числу
л: (4n/V) где т — целое число. Отсюда
расстояние между точками т и т+1, в которых №'=0,
равно
22ь=Х74(л,-л). (36.13)
Величину 2zo называют когерентной длиной.
Если пропустить мощную волну частотой и через
кристаллическую кварцевую пластинку, изменяя длину
оптического пути, проходимого лучом в пластинке, то по-
ток энергии второй гармоники, выходящий из пластинки,
тоже изменится, причем можно подобрать такие условия,
чтобы поток менялся от максимального значения до ну-
левого. Экспериментальная зависимость мощности вто-
рой гармоники на выходе кварцевой пластинки от угла 0
между направлением падающей волны и нормалью к
поверхности пластинки показана на рис. 36.2.
Изменение угла 0 эквивалентно изменению длины пу-
ти, проходимого волной в пластинке. Действительно, если
d —толщина пластинки, то путь /, проходимый в плас-
тинке лучом, равен /=dcos0 и меняется при изменении
угла 0. Из рисунка видно, что мощность второй гармо-
ники на выходе кварцевой пластинки проходит периоди-
чески ряд максимумов и минимумов.
При выполнении условия волнового синхронизма
(36.10), т. е. когда п(со) =п'(2(в), когерентная длина 2г0
обращается в бесконечность. В этом случае переход
энергии от исходной волны к ее второй гармонике осо-
бенно интенсивен. Обе волны распространяются с одина-
ковыми фазовыми скоростями и поэтому фазовое соот-
ношение между ними сохраняется постоянным все время
при их распространении. С этим, как и при всяком ре-
зонансе, связана эффективность обмена энергией между
взаимодействующими волнами. Из (36.11) при р->~0 по-
лучим
Эта формула определяет нарастание потока энергии
второй гармоники при выполнении условия волнового
синхронизма.
когерентная длина
w'
Рис. 36.2. Зависимость
мощности (в относи-
тельных единицах) вто-
рой гармоники от угла
падения луча на кристал-
лическую пластинку
586
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Рис. 36.3. Схема опыта
по генерации второй гар-
моники лазерного излу-
чения:
/—лазер; / — кристалличе-
ская пластинка; 3 — свето-
фальтр; 4 — приемник излу-
чения
Франкеи (Franken) Пи-
тер (р. 1928) — амери-
канский физик
Терхьюн (Terchwun) Ро-
берт (р. 1926) — амери-
канский физик
направление
синхронизма
угол синхронизма
Генерацию второй гармоники впервые наблюдал
Франкен в 1961 г. Схема эксперимента приведена на
рис. 36.3. Сфокусированное излучение рубинового лазе-
ра 1 направляется на тонкую кристаллическую пластин-
ку 2. Из пластинки, помимо исходного красного излуче-
ния лазера (1=0,6943 мкм), выходит также ультрафио-
летовое излучение (1=0,3472 мкм). Это излучение от-
деляется от исходного светофильтрами 3 или спектраль-
ными приборами и регистрируется подходящим приемни-
ком излучения (фотопленка или фотоумножитель). Этот
опыт особенно хорошо наблюдать, если вместо рубиново-
го лазера использовать инфракрасный, например неоди-
мовый, лазер (1=1,06 мкм). Тогда из пластинки 2 вы-
ходит пучок зеленого света (1=0,53 мкм).
В первых опытах по генерации второй гармоники в
энергию второй гармоники превращалось около 10"в
энергии первичного излучения. Такая малая доля пере-
хода энергии ко второй гармонике объясняется неболь-
шой когерентной длиной 2z0 в кварце (2z0~ 10 3 см).
Для более интенсивного обмена энергией необходи-
мо удовлетворить условию волнового синхронизма
л(ш) =п'(2®). Это равенство невозможно удовлетворить
для изотропной среды в прозрачной области, так как по-
казатель преломления n(w) монотонно возрастает с рос-
том частоты. Условию п(а) =п'(2<о) можно удовлетво-
рить, если частота со взята в прозрачной области (об-
ласть нормальной дисперсии), а 2о —в области сильно-
го поглощения (область аномальной дисперсии) или на-
оборот. Но это невыгодно, так как одна из волн будет
сильно поглощаться.
Выход из положения был найден в 1962 г. Джорд-
мейном и Терхьюном. Они показали, что волновой синх-
ронизм можно осуществить между обыкновенной и не-
обыкновенной волнами в некоторых кристаллах, Сече-
ния поверхностей показателей преломления обыкновен-
ной п0 и необыкновенной пе волн в одноосном кристалле
представлены на рис. 36.4. Сплошные кривые относятся
к частоте и, пунктирные — к удвоенной частоте 2ю.
На рис. 36.4, а кривые п0 («) и пе(2й) пересекаются меж-
ду собой. Точкам их пересечения соответствуют направ-
ления, для которых между обыкновенной волной с часто-
той и и ее гармоникой с частотой 2(о выполняется усло-
вие волнового синхронизма. Эти направления называют-
ся направлениями синхронизма, а угол Ф между ними и
оптической осью 00' кристалла — углом синхронизма.
Хотя обыкновенная и необыкновенная волны поляризо-
Уаны в различных плоскостях, они могут нелинейно
Некоторые вопросы нелинейной оптики
587
взаимодействовать между собой, поскольку в кристаллах
квадратичная восприимчивость является тензором. По-
этому при наличии волнового синхронизма должна про-
исходить перекачка энергии от исходной волны к ее вто-
рой гармонике.
Подходящим кристаллом для этих целей оказался
одноосный кристалл дигидрофосфата калия (КН2РО4),
который сокращенно называют KDP. Как показывает
расчет, для этого кристалла при Х = 1,15 мкм угол син-
хронизма <> = 41,35°. При выполнении условия синхрониз-
ма когерентная длина 2г0) на которой происходит усиле-
ние второй гармоники в кристалле KDP, стремится к
бесконечности. При этом свыше 20 % энергии падающей
волны переходит во вторую гармонику.
Следует отметить, что в рассматриваемом случае
По(2 й)>по(а), Пе (2 <о)>Пе((о), т. е. имеет место нор-
мальная дисперсия. Генерация гармоники осуществля-
ется в узком угловом интервале, так как при отступле-
нии от направления О нарушается волновой синхронизм,
что приводит к ухудшению условий генерации.
Следует заметить, что не всякий одноосный кристалл
пригоден для генерации гармоники. Условие волнового
синхронизма для кварца не выполняется ни для какого
направления (рис. 36.4,6).
Аналогичным образом происходит и генерация
. третьей гармоники с частотой Зш. Мощность третьей гар-
моники пропорциональна кубу мощности излучения па-
дающей волны. Трудность получения генерации третьей
гармоники связана с малым значением поляризуемости
на тройной частоте. Это обстоятельство вынуждает при-
менять потоки большой интенсивности, что часто приво-
дит к разрушению материала. Однако, несмотря на эти
трудности, генерация третьей гармоники наблюдается
при выполнении условия синхронизма в исландском шпа-
те (СаСО3), обладающем значительным двойным луче-
преломлением, а также в некоторых оптически изотроп-
ных кристаллах (LiF, NaCl) и жидкостях.
Генерация второй гармоники представляет собой
частный случай более общего процесса генерации волн с
произвольными частотами за счет сложения волн с часто-
тами ©I и ©2.
Известно, что в изотропных средах анизотропия мо-
жет быть наведена с помощью внешнего воздействия, та-
кого, например, как деформация или электрическое поле.
Однако чтобы такую анизотропию можно было наблю-
дать, внешнее воздействие должно быть достаточным для
Рис. 36.4. Зависимости
показателей преломле-
ния обыкновенной и не-
обыкновенной волн в од-
ноосном кристалле от на-
правления волновой нор-
мали для KDP (а) я
кварца (б)
36.3
Генерация света
на произвольной
частоте
и преобразование
частот
588
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
параметрическое
преобразование
частоты
параметрическое
преобразование
частоты вверх
генератор света
значительного искажения межатомных полей. Другими
словами, эффекты наведенной анизотропии очень слабые
и их можно наблюдать только с помощью интерферомет-
рических методов измерения малых изменений показа-
телей преломления. Очевидно, что такие эффекты мож-
но использовать для модуляции светового пучка.
Если показатель преломления кристалла модулиро-
вать переменным полем с частотой то световая волна
с частотой иг, проходя через кристалл, будет модулиро-
ваться по фазе, что приведет к появлению боковых ком-
понент на комбинационных частотах — суммарной и раз-
ностной. Таким образом, с помощью модуляции пара-
метров кристалла можно получить излучение на различ-
ных частотах. Такие взаимодействия называют парамет-
рическими преобразованиями частоты.
Переменное поле частотой wi модулирует показатель
преломления и для самого себя, что приводит к генера-
ции второй гармоники 2©ь То же самое происходит и с
волной частотой 02. Однако нелинейные добавки к пока-
зателю преломления настолько малы, что их можно об-
наружить только тогда, когда электрическое поле срав-
нимо с величиной межатомных полей. Поэтому вторую
гармонику на частоте 2<од можно наблюдать только в том
случае, если напряженность поля на частоте 02 весьма
высока. Вместе с тем волны с суммарной 01+02 и раз-
ностной <01-02 частотами будут генерироваться даже
тогда, когда излучение на частоте 02 имеет низкую ин-
тенсивность, если только интенсивность излучения с ча-
стотой 01 достаточно высока.
Таким образом, нелинейность поляризации среды
можно использовать для обнаружения слабого сигнала с
длиной волны, для которой не существует чувствительных
детекторов, путем преобразования его частоты в види-
мую область, где его можно зарегистрировать, например,
с помощью фотоумножителя. Такой процесс называют
параметрическим преобразованием частоты вверх.
Баланс энергии в некоторых нелинейных взаимодейст-
виях такой, что энергия передается от интенсивной вол-
ны (волна накачки) волнам двух более низких частот.
Если такая накачка настолько интенсивна, что она спо-
собна скомпенсировать потери, то нет необходимости по-
давать эти два низкочастотных сигнала извне, поскольку
они могут возникнуть внутри среды, нарастая от уровня
шумов. Таким образом можно получить перестраивае-
мый источник, называемый параметрическим генерато-
ром света.
Пусть в нелинейном кристалле с квадратичной нели-
Некоторые вопросы нелинейной оптики
589
нейностью распространяется плоская волна большой
мощностью
£i=£oisin((i)i/—kiz). (36.14)
Одновременно с этой волной в том же направлении
распространяется другая плоская волна
£2=£й8ш(ю2*—Ajz). (36.15)
Суммарное поле, падающее на кристалл, равно
£=£14-£2. (36.16)
Подставляя выражение (36.16) в (36.6), получаем
Р = -у- (£« + £ад) + a£oi sin - Atz) +
+ a£02sin(co2/ — Ajz) —£о1С08(2(о^ — kiz) —
— EJ2cos (2<о2/ — + а'ЕщЕи cos [(©!—
it
— a'£M£0l cos [((Oj + a^t — k”z]. (36.17)
Как видно из выражения (36.17) наряду с волнами
исходных частот «1 и опять возникает статическая по-
ляризованность (детектирование обеих частот). Кроме
того, возможно появление вторых гармоник на частотах
2о)1 и 2(о2( а также волн с суммарными toi+coa и разност-
ными й)-ю2 частотами.
Генерация излучения на суммарных или разностных
частотах будет осуществляться, естественно, при выпол-
нении условия волнового синхронизма. Например, для
волны с суммарной частотой а"=иj +05 и волновым чис-
лом k" условием волнового синхронизма будет соот-
ношение Отсюда k"=
=fe((l + (02/wi). Если ©2<Ш1, то произойдет преобразова-
ние низкочастотного излучения coj в высокочастотное
а"=(01 -Ног. Если (Oi-иг, будет генерироваться вторая
гармоника 2ш[.
Явление генерации кратных, суммарных и разностных
гармоник имеет практическое применение. В лазерной
технике удвоение частоты излучения или смешение излу-
чений двух лазеров в нелинейной среде позволяет полу-
чать мощный поток когерентного света в области спект-
ра, отличной от исходной. Например, удвоение частоты
излучения лазеров на красителях, генерирующих в види-
мой области спектра, позволяет плавно перестраивать
частоты в ультрафиолетовой области. Особый интерес
представляет собой преобразование инфракрасного излу-
чения в видимое. Так, смешение излучений с Xi=4 мкм и
590
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
=0,694 мкм (излучение рубинового лазера) дает жел-
тый свет с Х=0,591 мкм. В настоящее время разработа-
ны нелинейно-оптические устройства, позволяющие пре-
образовывать инфракрасное изображение в видимое.
36.4 Рассмотрим те нелинейно-оптические явления, в воз-
Самофокусировка никновении которых заметную роль играет кубический
света член в разложении поляризованности (36,5), Предполо-
жим, что условие волнового синхронизма для генерации
гармоник не выполняется, поэтому его можно не учиты-
вать, т. е. в (36.5) член с а! можно опустить. Тогда поля-
ризованность может быть записана следующим образом:
р = Р1 + Р3 = а£4-а’£3. (36.18)
Задавая, как и прежде, падающую волну выражени-
ем E^Evsinfat-kz), поляризованное™ Р3, обусловлен-
ную кубическим членом, можно представить в виде
Р3 — а"£о sin8 № ~ kz) ~ а"£о sin (ю/ — fe?) —
—--а*£? sin 3 (ш/— fe). (36.19)
В выражении (36.19) нас интересует только волна с
частотой ш, так как гармоники мы не рассматриваем.
Для электрической индукции О=е£=£4-4лР с уче-
том (36.18) и (36,19) имеем
0=£+4ла£ 4- Зла"£ о£= (1 +4ла+3ла"£?) Е=
=£(Ео+е2£о),
где ео—14-4ла=По1 Ц ~ Зла" = nf; по — показатель
преломления среды при слабых полях (линейный пока-
затель преломления). Отсюда
\ «о ’
или
n = noKlT (n27no)8£f.
Так как обычно ьг£о <ео, то, разлагая выражение
под корнем в ряд и ограничиваясь двумя членами, по-
лучаем
п = По 4- n2Elt (36.20)
где ла Е20 — нелинейная поправка к показателю пре-
ломления в сильных световых полях; п г — коэффициент
при нелинейном слагаемом показателя преломления, яв-
Некоторые вопросы нелинейной оптики
591
дающийся характеристикой нелинейно-оптических
свойств среды.
Существует несколько причин такого изменения по-
казателя преломления. В нелинейной среде из-за элект-
рострикции световая волна приводит к изменению посто-
янного давления. В результате действия электрострик-
ционного давления изменяется плотность, а следователь-
но, и показатель преломления среды. В жидкостях с
анизотропными молекулами электрическое поле мощной
световой волны оказывает ориентирующее действие на
молекулы. При этом среда становится двоякопреломля-
ющей и в показателях преломления для обыкновенной и
необыкновенной волн появляются добавки, пропорцио-
нальные в первом приближении квадрату амплитуды по-
ля. Данное явление подобно эффекту Керра (см, § 19.2).
Показатель преломления всегда изменяется в результате
нагревания среды, вызванного поглощением излучения.
Таким образом, если через однородную среду прохо-
дит интенсивный пучок света, то среда становится опти-
чески неоднородной. Луч света в такой среде будет от-
клоняться в сторону большего показателя преломления.
Поскольку коэффициент гц может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, то при
л2>0 поток света самофокусируется, а при л2<0 де-
фокусируется.
у Рассмотрим явление самофокусировки. Пусть в одно-
родную среду с показателем преломления «о падает па-
раллельный пучок лучей кругового поперечного сечения
диаметром d (рис, 36.5, а).
Допустим, что амплитуда напряженности электриче-
ского поля в пучке постоянна по всему сечению. Показа-
тель преломления в пространстве, занятом пучком, равен
п=л0+п2Ео- В результате дифракции пучок расширяется.
Практически все направления лучей внутри пучка сосре-
доточатся в пределах конуса с углом при вершине
20диф, где 0диф=1,22(Хо№о) —дифракционный угол
(см. § 15.1); —длина волны в вакууме. Предельный
угол 0О скольжения определяется соотношением
cos0о=-Ат? •
п0 + л2^0
Поскольку угол 0О мал, то, разлагая cos 0 в ряд,
ограничиваясь двумя членами и учитывая соотношение
по^п2£о» получаем
Рис. 36.5. Самофокуси-
ровка интенсивного пуч-
ка света в нелинейной
среде
самофокусировка
светового пучка
592
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
самоканализация
светового пучка
длина
самофокусировки
36.5
Многофотонное
поглощение
и ионизация
многофотонный
процесс
Если 0Диф>0о, часть дифрагированных лучей выхо-
дит из цилиндрического пучка света, т. е. пучок расши-
ряется. При 0диф<0о все дифрагированные лучи испыты-
вают полное отражение от боковой поверхности цилинд-
рического лучка. Так как в реальных условиях ограни-
ченный по фронту световой пучок всегда имеет большую
интенсивность на оси, то показатель преломления соглас-
но (36.20) также будет иметь большую величину на оси
пучка и убывать к его периферии. Вследствие этого лучи
в пучке будут искривляться, пучок начнет сжиматься и
может превратиться в узкий световой канал, т. е. прои-
зойдет самофокусировка пучка (рис. 36.5, б). Далее све-
товой пучок распространяется внутри этого канала, обес-
печивая сам себе своеобразный оптический волновод. Та-
кой режим распространения светового пучка называется
самоканализацией. В этом случае 0диф«во» т. е. дифрак-
ционные явления полностью подавляются.
Длина самофокусировки /Сф (см. рис. 36,5, б) харак-
теризует толщину слоя вещества, необходимую для пе-
ресечения крайних лучей с осью пучка (точка 7И) внутри
нелинейной среды. Величина /Сф определяется соотноше-
нием
/Сф = “2-/ л0/2/^Й >
которое носит название длины самофокусировки. Явле-
ние самофокусировки хорошо наблюдается, например, в
сероуглероде CS2(no=l,62; n2=2'10-:i ед. СГСЭ). При
мощности излучения №=0,77-106 Вт и d = 0,5 мм длина
самофокусировки равна 10 см. Самофокусировка приво-
дит к сильному увеличению плотности мощности свето-
вого пучка и обусловливает дальнейшее увеличение не-
линейных световых явлений в веществе.
До сих пор мы рассматривали процессы поглощения
и испускания света, происходящие под действием обыч-
ных источников излучения, т. е. процессы, в элементар-
ном акте которых поглощается или испускается один фо-
тон. Однако эти процессы не являются единственно воз-
можными. Известны и многофотонные процессы, когда в
одном элементарном акте одновременно поглощаются
или испускаются два и более квантов света, Теоретиче-
ские предпосылки физики многофотонных процессов бы-
ли заложены еще в 30-х гг. XX в,, в период создания
квантовой электродинамики.
Основной трудностью изучения многофотоиных про-
цессов является чрезвычайно малая их вероятность по
сравнению с однофотонными. Например, если однофотон-
Некоторые вопросы нелинейной оптики
593
ное поглощение, т. е. переход частицы из основного со-
стояния в возбужденное, происходит в среднем через
каждые 10-7 — 10-8 с, то двухфотонное поглощение (пе-
реход с одновременным поглощением двух фотонов) мо-
жет происходить не чаще, чем раз в 1(Н с и меньше при
одинаковых мощностях поглощаемого излучения. Оче-
видно, что с увеличением числа фотонов, одновременно
участвующих в одном акте поглощения, вероятность соот-
ветствующего процесса уменьшается. Поэтому для на-
блюдения многофотонных процессов необходимы боль-
шие плотности излучения, значительно превышающие те,
которые используются для наблюдения однофотонных
процессов. По этой причине изучение многофотонных
процессов стало возможным только после изобретения
лазеров. К настоящему времени наиболее хорошо изуче-
но многофотонное, в частности двухфотонное, поглоще-
ние.
Известно, что квантовая теория поглощения света
исходит из того, что явление возникает тогда, когда энер-
гия квантов света, падающего на вещество, имеет вели-
чину, равную разности уровней энергии данного вещест-
ва: hv^En-E], где Е\ и Еп~ энергии нижнего невоз-
бужденного и верхнего возбужденного уровней соответ-
ственно. Здесь в каждом акте взаимодействия света и
вещества поглощается один фотон и поэтому процесс яв-
ляется однофотонным. При облучении вещества очень
мощными световыми потоками от лазеров, дающих боль-
шую плотность излучения, может иметь место поглоще-
ние нескольких фотонов в одном элементарном акте та-
ким образом, чтобы выполнить условие Nfiv=En—E[.
В этом случае происходит многофотонное поглощение
(рис. 36.6, а). Величина энергии каждого фотона здесь
в N раз меньше энергии фотона, который поглощается
в одиофотонном акте. Многофотонные процессы погло-
щения могут происходить не только при наличии фото-
нов одного сорта, но и в том случае, если имеются фото-
ны различных энергий (рис. 36.6, 6). Например, может
происходить двухфотонное поглощение, удовлетворяю-
щее уравнению /lVi + /lV2 = En-£l-
Впервые двухфотонное поглощение в оптическом диа-
пазоне наблюдалось в 1961 г. в кристаллах CaF2, акти-
вированных двухвалентным европием Еи2+. В качестве
источника излучения в этих экспериментах был исполь-
зован рубиновый лазер (Х.=6943 А). О наличии двухфо-
тонного поглощения свидетельствовала квадратичная за-
висимость интенсивности флуоресценции (Х=4250 А) от
интенсивности излучения лазера.
а •д Itv
/Ы
hv -г/
$
by* —
i L
1,
Рис. 36.6. Схемы трех-
фотонного поглощения
фотонов с одинаковой
(а) н разной (б) энерги-
ей
594
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Если En=Ei, где Ej —энергия ионизации, то когда энергия суммы фотонов Nhv достигнет величины, превы-
е шающей Et, произойдет ионизация атома, т. е. оптиче- ский электрон оторвется от атома. Это явление носит на-
жяого^отонная ионизация звание многофотонной ионизации. Так, например, наблю- далась ионизация атома гелия (потенциал ионизации 24,58 эВ) в результате поглощения 21 фотона излучения неодимового лазера (Л== 1,06 мкм). В такого рода опытах применяется сфокусированное излучение мощных им- пульсных лазеров. При этом напряженность электриче- ского поля составляет 10б—108 В/см. Если ионизация происходит в газе или конденсированном диэлектрике, то при очень большой плотности энергии может возник- нуть искровой пробой среды электрическим полем излу- чения лазера.
36.6 Вынужденное комбинационное рассеяние света Еще в 30-х гг. XX в. было установлено, что комбина- ционное рассеяние света может происходить как спон- танно, так и вынужденно. Оценки показали, однако, что вероятность вынужденного рассеяния очень мала и его можно не учитывать. Интерес к этому явлению возник лишь после создания лазеров. Напомним, что комбинационное рассеяние света пред- ставляет собой спонтанное испускание фотона hv при ис- чезновении фотона М’о возбуждающего света (см. § 23.5). При рассеянии происходит изменение частоты vo на ве- личину частоты собственных внутренних колебаний мо- лекул (v=vo±vt). В спектре комбинационного рассея- ния появляются стоксова (v»=vo-vi —красный спут- ник) и антистоксова (vas=vo+vi —фиолетовый спутник) компоненты. Иногда этот вид рассеяния называют рас- сеянием на внутримолекулярных колебаниях. При использовании небольших интенсивностей, ха- рактерных для источников некогерентного излучения, ин- тенсивность спонтанного комбинационного рассеяния не- велика. Даже для очень интенсивных линий поток рас- сеянного света составляет 10“6 — 1(Н часть возбуждаю- щего света. Если возбуждение осуществляется при интенсивно- стях порядка 108 — 109 Вт/см2, что вполне достижимо с помощью современных мощных импульсных лазеров, то интенсивность рассеянного света увеличивается на много порядков. Кроме того, помимо линий первого порядка с частотами vo±vi появляются и линии более высоких по- рядков с частотами v0±2vi, vo±3v,. Наконец, индикат- .....--/риса рассеянного света изменяется, становится более вы- тянутой в направлении распространения возбуждающего
Некоторые вопросы нелинейной оптики
595
света. Такой вид комбинационного рассеяния получил
название вынужденного комбинационного рассеяния.
Схема опыта по наблюдению вынужденного комбина-
ционного рассеяния показана на рис. 36.7. Поток лазер-
ного излучения фокусируется линзой Li в середину кю-
веты К с исследуемым веществом. За кюветой находится
светофильтр F, который задерживает возбуждающее из-
лучение и пропускает рассеянное излучение с измененной
частотой. Это рассеянное излучение направляется линзой
Lz на щель спектрального аппарата С.
вынужденное
комбинационное
рассеяние
Рис. 36,7. Схема опыта для наблюдения вынужденного комбинаци-
онного рассеяния
Вынужденное комбинационное рассеяние является
процессом нелинейным и когерентным. Этим определя-
ются его основные свойства.
Следует подчеркнуть, что при большой мощности ла-
зерного излучения возбуждается не только вынужденное
комбинационное рассеяние, но и другие нелинейные про-
цессы, например самофокусировка, которые существенно
искажают и усложняют изучение процесса вынужденно-
го комбинационного рассеяния.
Нелинейность вынужденного рассеяния характеризу-
ется тем, что интенсивность излучения первой стоксовой
компоненты при прохождении через слой активной
среды М (рис. 36.8, а) возрастает на величину А/Вын,
пропорциональную не только интенсивности возбуждаю-
щего излучения I, но и пропорциональную самой вели-
чине /ц, т. е.
АЛ8=А/ВЫн+А/сп=^1/Л«А/+^^А/. (36.21)
Благодаря этому по мере прохождения через актив-
ную среду интенсивность первой стоксовой компоненты
усиливается лавинообразно. Этот процесс схематически
показан на рисунке утолщением соответствующей стрел-
ки. В спонтанном комбинационном рассеянии, которое
описывается вторым членом в (36.21), прирост интенсив-
а
| |||У№11Ш11Ш|11111Н11Ш1111||||-
1 1
Рис. 36.8. Сопоставле-
ние процессов усиления
(а) и поглощения (б)
света
596
Оптические квантовые генераторы и вопросы нелинейной оптики
Рис. 36.9. Зависимость
энергии первой (2), вто-
рой (3), третьей (4) и
четвертой (5) стоксовых
компонент вынужденно-
го комбинационного рас-
сеяния от энергии воз-
буждающего излучения
кривая / — энергия
возбуждающего излуче-
ния на выходе из кюветы
ности Д/сп все время постоянен. В этом смысле вынуж-
денное комбинационное рассеяние является обратным по
отношению к поглощению света. Известно, что при погло-
щении света интенсивность его уменьшается в слое тол-
щиной Д/ на величину, пропорциональную интенсивности
падающего на слой света (рис. 36.8, б): Д7=-АШ. По
такому закону интенсивность света, прошедшего через
слой поглощающей среды толщиной I, уменьшается по
экспоненте: Интенсивность же вынужден-
ного комбинационного рассеяния, наоборот, возрастает
по экспоненте (при условии, что вторым членом Д/Сп
можно пренебречь и считать интенсивность падающей ра-
диации / постоянной): I}s=Aexp(kiH).
Быстрый рост интенсивности первой стоксовой компо-
ненты обусловлен тем, что в эту компоненту переходит
значительная часть (примерно до 70%) интенсивности
возбуждающего излучения. Поэтому первая стоксова
компонента сама начинает играть роль падающего излу-
чения и возбуждает вторую стоксову компоненту /*. По
мере распространения излучения в активной среде интен-
сивность второй компоненты также быстро возрастает и
она в свою очередь возбуждает третью стоксову компо-
ненту и т. д. (см. рис..36.8, а). Таким образом, происхо-
дит постоянная сперекачка» энергии падающего излуче-
ния в более высокие стоксовы компоненты. Р1нтенсив-
ность исходного излучения 1 при этом соответственно
падает.
Экспериментальная зависимость энергии различных
стоксовых компонент от энергии возбуждающего излуче-
ния показана на рис. 36.9. Как видно из рисунка, энергия
возбуждающего излучения W, прошедшего через актив-
ную среду (кривая /), быстро достигает насыщения. При
этом весь прирост энергии падающего излучения пере-
качивается в энергию первой стоксовой компоненты.
При достижении IT некоторого порогового значения
происходит очень быстрое, почти скачкообразное нара-
стание энергии первой стоксовой компоненты 1Г1Я (кри-
вая 2). При некотором пороговом значении возбуж-
дается и начинает быстро расти энергия второй стоксо-
вой компоненты вследствие чего рост прекраща-
ется и наступает насыщение. Такая же зависимость
наблюдается и в случае второй стоксовой компоненты.
Для третьей и четвертой стоксовых компонент ход зависи-
мостей U73s и от W оказывается более плавным, а зна-
чение энергии этих компонент в области насыщения со-
ставляет лишь малую долю энергии второй стоксовой
компоненты. Это обусловлено тем, что часть энергии из-
Некоторые вопросы нелинейной оптики
597
лучения второй стоксовой компоненты распространяется
не по оси системы, а под некоторым углом к ней.
Таким образом, спектр вынужденного комбинацион-
ного рассеяния в стоксовой области состоит из несколь-
ких линий с частотами vis=vo--vt, V2s=vo-2v, и т. д.
В спектре, как правило, проявляется лишь одна колеба-
тельная частота рассеивающей среды. Интенсивности ли-
ний в спектрах вынужденного комбинационного рассея-
ния очень велики и сравнимы с интенсивностью возбуж-
дающей линии. Кроме того, как уже отмечалось, в спект-
ре проявляются с довольно большой интенсивностью ли-
нии в антистоксовой области с частотами vlos=v0+v,-,
V2as=Vo+2Vi ИТ. Д.
Таким образом, вынужденное комбинационное рас-
сеяние позволяет преобразовывать мощное лазерное из-
лучение из одной спектральной области в другую. На
этом основаны интересные и многообещающие практи-
ческие применения данного явления.
Для преобразования выбирается обычно среда, в ко-
торой скачок частоты при комбинационном рассеянии
имеет большую величину. Наибольшее значение колеба-
тельной частоты (и соответственно скачка частот при
комбинационном рассеянии) имеет водород (ш=
=4155 см-1). Поэтому активной средой часто служит га-
зообразный водород при давлении (50—100) • 105 Па и
жидкий водород. Применяется также дейтерий (ш=
=2993 см-1), жидкий азот (юь=2326 см"1) и другие
среды.
Если источником возбуждающего излучения служит
неодимовый лазер (Х= 1,06 мкм), то первая стоксова
компонента в водороде имеет длину волны 1,9 мкм, а
вторая — длину 8,6 мкм. Если энергия в импульсе дли-
тельностью 50 нм для лазера составляет около 100 Дж,
то для первой стоксовой компоненты она равна около
5 Дж, а для второй —около I Дж. Таким образом, при
сравнительно несложном оборудовании можно получить
импульсное излучение в инфракрасной области спектра
с мощностью порядка 20 МВт. Комбинируя рассеиваю-
щие среды на основе вынужденного комбинационного
рассеяния, можно получать перестраиваемые лазеры в
широком диапазоне длин волн.
Использование мощных перестраиваемых лазеров
привело к появлению метода исследования взаимодейст-
вия излучения с веществом, который сочетает такие
достоинства вынужденного комбинационного рассеяния,
как высокая интенсивность, анизотропия индикатрисы
рассеяния с широкими возможностями спектроскопии
598
когерентная
активная
спектроскопия
некогерентная
активная
спектроскопия
спонтанного комбинационного рассеяния.
На исследуемое вещество направляются два лазерных
луча, разности частот которых совпадают с одной из
частот собственных колебаний молекулы или кристалла,
что приводит к изменению заселенности колебательных
уровней. Для анализа используется дополнительный, так
называемый пробный, луч. Фактически исследуется сток-
сово и антистоксово рассеяние пробного луча. Описанную
схему принято называть схемой активной спектроскопии
рассеяния света. Пробный луч в этой схеме может ис-
пользоваться как для регистраций фазовых соотношений
между элементарными возбуждениями в разных точках
среды (между фазами колебаний разных молекул) —
когерентная активная спектроскопия; так и для регист-
рации разности населенностей уровней — некогерентная
активная спектроскопия. Естественно, что в обоих слу-
чаях рассеянный сигнал, получаемый в схеме активной
спектроскопии, существенно превышает уровень сигнала,
получаемого в спонтанном комбинационном рассеянии.
Важной особенностью когерентного варианта актив-
ной спектроскопии является то обстоятельство, что в
отличие от спонтанного комбинационного рассеяния
индикатриса рассеяния существенно анизотропна и рас-
сеянное на молекулярных колебаниях излучение пред-
ставляет собой хорошо коллимированный практически
полностью пространственно когерентный пучок. Его вы-
сокая интенсивность и направленность открывает ряд
новых возможностей перед спектроскопией рассеяния
света.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Борн М., Вольф Е. Основы оптики,—М:
Наука, 1970.-856 с.
Горелик Г. С. Колебания и волны —М,—
Л.: Наука, 1950 —551 с,
Дитчберн Р. Физическая оптика,—М.: На-
ука, 1965,—631 с.
Иванов А. П. Оптика рассеивающих
сред —Минск: Наука и техника, 1969.—592 с.
Калашников С. Г. Электричество.—М.:
Наука, 1977 — 592 с.
Калитеевский Я. И. Волновая оптика,—
М.: Наука, 1971,—376 с.
Кикоин А. К; Кикоин Я. К. Молекулярная
физика,—М,: Наука, 1976 — 480 с,
Китайгородский А. И. Введение в опти-
ку.— М.: Наука, 1973,—688 с.
Кольер Р„ Беркхарт К-, Лин Л. Оптиче-
ская голография,—М.: Мир, 1973,—686 с.
Королев Ф. А. Теоретическая оптика,—
М,: Высш, школа, 1966,—555 с.
Кузнецов И. И. Международная система
единиц (СИ),—Минск: Выш. школа, 1965.—
96 с.
Ландау Л, Д., Лифшиц Е. М. Теория по-
ля,— М.: Наука, 1973,—504 с.
Ландсберг Г, С. Оптика.—М.: Наукаг
1976.-928 с.
Матвеев А Я. Оптика,—М,: Высш, шко-
ла, 1985,—352 с.
Методы расчета оптических квантовых ге-
нераторов / Под ред, Б. И. Степанова,—
Минск: Наука и техника, 1966, т. 1,—484 с.;
1968, т. 2,— 656 с.
Петровский И. И. Механика,—Минск:
Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1973,—352 с.
Сена Л. А. Единицы физических величин и
их размерности.—М.: Наука, 1969,—304 с.
Сорока Л. М. Основы голографии и коге-
рентной оптики,—М.: Наука, 1971,—616 с.
Степанов Б. И., Грибковский В. П. Введе-
ние в теорию люминесценции,—Минск: Изд-во
АН БССР, 1963,-353 с.
Стоцкий Л. Р. Физические величины и их
единицы: Справочник,—М.: Просвещение,
1984,-240 с,
Тамм И. Е. Основы теории электричест-
ва.—М,: Наука, 1966,-624 с.
Фриш С, Э., Тимо рева А, В. Курс общей
физики,—М.: Физмаггиз, 1962, т. 3—796 с.
Хайкин С. Э, Физические основы механи-
ки,—М.: Наука, 1971.—752 с.
Шпольский Э. В. Атомная физика,—М.:
Наука, 1984, т. 1.—552 с.; т. 2,—438 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная с- У = < 2,998-108 м/с Г6,67-10"11м3/(кг.с2) 6,67 10"8 см3/(г-с2)
Универсальная газовая постоянная |8,314 Дж/(К-моль) 8,314-107 эрг/ (К-моль) г1,380-10“23Дж/К
Постоянная Больцмана к = к380-10",6эрг/К Г].602-Ю-19 Кп
Элементарный заряд И 4.803-10"10 СГСЭ 0,911-10" 38кг
Масса электрона Удельный заряд электрона т<г] е =4 те 0,511 МэВ 1,76-Ю11 Кл/кг 5.27-1O17 СГСЭ /г
Масса протона тр~ 1,672-10" 27 кг 938,1 МэВ 0,959-108 Кл/кг
Удельный заряд протона е - z: тр 2,87-1014 СГСЭ/г
Постоянная Стефана-Больцмана 6= 5,67-10-8 Вт/(м 2 К41
Постоянная Вина 6 = 0,29 см. К
Постоянная Планка А = 6,622-10"34 Дж-с t = Л/2тт= 1,054-10“ 34 Дж-с
Электрическая постоянная £0 = 0,885-10~ПФ/м 1/4^0= 9-109м/Ф
Магнитная постоянная ^0 = ро/4тт 1,257-10"6 Г/м = 10"7 Г/м
Приложение
601
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В СИ И ГАУССОВОЙ СИСТЕМЕ
Наименование СИ Г ayccoaa система
Связь между Е и Электрический диполь р в поле Е Связь между р и Е Определение вектора D Связь между £ и ЗС Связь между D и Е Плотность энергии электрического поля Определение вектора Н Связь между J и И Связь между у и х Связь между В и Н Сила Лоренца Плотность энергии магнитного поля Уравнения Максвелла в дифференциальной форме Скорость электромагнитной волны в среде Связь между Е и Н в электромагнитной волне Вектор Умова-Пойнтинга Е* -7ч»; N = [pE Р= %Е d= £ое*р £=1*Х w= ED/2 Н =B/pQ-J J = ЯI « 1*Х в = РодН F « фВ] w = ВН/2 VD = Р . VxE - -В VB = 0 VxH = i + D * = vv S = [EH] г Ilfll ] ; W= - pE P= XE 0= Е + 4яр £ = t + 4ttX D= £E w = ED/Sjt H = В - 4»rJ xh p == 1 +4ях 8 = pH F = ± [vB] w = 8H/8ff VO = 4л. . . VxE = --B c VB = 0 VxH = ь J-D c c v = с/>А fvT ’WvlT
602
Приложение
ЕДИНИЦЫ ВЕЛИЧИН В СИ И СГС
Величина Единица ед. СИ/ед. СГС
СИ СГС
Длина м см 102
Время с с 1
Скорость м/с см/с ю2
Ускорение м/с2 см/с* ю2
Частота колебаний Гц Гц г
Угловая скорость (частота) рад/с рад/с 1
Угловое ускорение рад/с*' рм/с2 1
Масса кг г ID3
Плотность кг/м3 г/см*’ 10"3
Сила Н дин Ю5
Давление Па дин/см2 10
Импульс кг м/с г ♦ см/с 105
Энергия, работа Дж эрг 107
Мощность Вт эрг/с 107
Плотность потока энергии В т/м? эрг/ (с • см ) Ю3
Температура К к 1
Количество электричества Кл ед. СГСЭ 3-109
Потенциал В ед.СГСЭ 1/300
Напряженность электрического поля В/м ед. СГСЭ 1/(3 104)
Электрическое смещение Кл ыг ед. СГСЭ Ш-105
Электрический момент диполя Кл • м ед. СГСЭ 3-10"
Электрическая емкость Ф см 9-1011
Поляризованность Кл/м^ ед. СГСЭ 3 • 105
Плотность тока А/м2 ед. СГСЭ 3 -105
Магнитная индукция т- Гс 104
Напряженность магнитного поля А/м Э 10"J
Намагниченность А/м ед. СГСМ JO"3
Сила света кд кд 1
Световой поток Освещенность Светимость Яркость лм лк о лм/м 2 кд/м* лм 1
Приложение
603
ОБОЗНАЧЕНИЯ И НАЗВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ЕДИНИЦ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
0 А - ангстрем дин - дина лм -люмен
А - ампер Дж - джоуль м - метр
б - барн дп - диоптрий рад - радиан
В - ВОЛЬТ К - кельвин с - секунда
Вт - ватт кал - калорий ср - стерадиан
Г -генри кд -кандела Т -тесла
г - грамм Кл -кулон 3 - эрстед
Гц -герц лк - люкс эВ - электронвольт
ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИСТАВКИ К НАЗВАНИЯМ ЕДИНИЦ
Г - гига ПО9) М - мега ПО®) к - кило (10^) д - деци ПО-1) с -санти ПОI д м - милли (10~Н мк- микро ПО-®) н - нано {10“9) п - пико ПО-^2)
НЕКОТОРЫЕ ВНЕСИСТЕМНЫЕ ЕДИНИЦЫ
1 кал = 4,18 Дж 1 б = 10’24см2 1 А =10"8см = Т0-10м 1 эВ= 1,6-10“19Дж 1 атм- 1,013- Ю5 Па 1°С = 1 К
ЯРКОСТЬ НЕКОТОРЫХ ИСТОЧНИКОВ СВЕТА
Источник Яркость, кд/см^
Ночное небо Луна Солнце в полдень Люминесцентная лампа Пламя свечи Вольфрамовая лампа накаливания (матовая) Электрическая угольная дуга Ртутная лампа вмсокого давления Ксеноновая лампа высокого давления 10~7 0,25 до 150 000 0,2-0,4 до 1 5-40 до 18000 25 000-150 Guv 50000-1 000 000
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к первому изданию . 3
Введение ............................... 5
Глава 1. Введение в волновую теорию
света................................... 5
1Л. Гармонические колебания ... 5
1.2. Энергия гармонического колебания 8
1.3. Сложение гармонических колебаний 9
1.4, Представление колебательного дви-
жения комплексными величинами . . 14
1.5. Волны. Уравнения плоской и сфери-
ческой волн.............................16
1.6. Волновое уравнение .... 20
1.7. Монохроматические и квазимонохро-
матическне волны. Волновые группы 22
1.8. Принцип суперпозиции. Понятие о
разложении Фурье ...... 25
Глава 2. Электромагнитная природа
света...................................28
2.1. Система уравнений Максвелла . . 28
2.2. Свойства электромагнитных волн 31
2.3. Энергия, переносимая электромаг-
нитной волной...........................35
2.4. Отражение и преломление электро-
магнитных волн..........................37
2.5. Стоячие электромагнитные волны 44
2.6. Спектр электромагнитных волн . . 49
Глава 3. Фотометрические понятия и
единицы для световых измерений . . 55
3.L Энергетические характеристики излу-
чения ..................................56
3.2. Единицы для световых измерений 61
3.3. Функция видности. Связь между све-
тотехническим]] « энергетическими вели-
чинами .................................63
3.4. Основы фотометрии .... 66
Раздел!. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА 72
Глава 4. Когерентность .... 72
4.1. Когерентность колебаний и воли . . 72
4.2. Способы наблюдения интерферен-
ции света...............................77
4.3. Основные характеристики интерфе-
ренционных схем............83
4.4. ^Влияние размеров источника света
вд/качество интерференционной картины 86
4.5, Интерференция в немонохроматиче-
ском свете..............................90
4.6. Оптическая длина пути . , . . 91
Г л а в а 5. Локализация полос интер-
ференции .............................93
5.1. Цвета тонких пленок .... 93
5.2. Полосы равной толщины ... 96
5.3. Полосы равного наклона ... 99
Глава 6. Интерференционные приборы 101
6.1. Двухлучевые интерферометры . . 101
6.2. Интерференция многих световых
пучков................................105
6.3. Многолучевые интерферометры . . 111
6.4, Интерференционные светофильтры 115
Г л а в а 7. Применение интерференции 117
7.1. Интерференционные геометрические
измерения.............................117
7.2. Интерференционная рефрактомет-
рия ..................................121
7.3. Интерференционная спектроскопия 123
7.4. Интерференционная метрология . . 125
Раздел П. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА . 128
Г л а в а 8. Дифракция Френеля . . 128
8.1, Принцип Гюйгенса—Френеля . . 128
8.2. Метод эон Френеля...........130
8.3. Зонная пластинка............133
8.4. Графическое вычисление результи-
рующей амплитуды.................134
8.5. Применение метода Френеля к про-
стейшим дифракционным явлениям , 136
8.6. Замечания относительно метода Фре-
неля .................................141
Г л а в а 9. Дифракция Фраунгофера 144
9.1. Дифракция на одной щели . . 145
9.2. Влияние ширины щели н размеров
источника света на дифракционную кар-
тину .................................149
9.3. Дифракция на двух щелях . . 151
9.4. Дифракционная решетка ... 152
9.5. Фазовые дифракционные решетки . 158
9.6. Наклонное падение лучей на дифрак-
ционную решетку.......................162
Глава 10. Дифракция на пространст-
венной структуре......................164
10.1. Дифракция на многомерной ре-
шетке ................................165
Оглавление
605
10.2, Дифракция рентгеновских лучей 170
10.3. Экспериментальные методы наблю-
дения дифракции рентгеновских лучей 172
10.4. Определение длины волны рентге-
новских лучей..........................174
10.5. Дифракция света на ультразвуко-
вых волнах.............................175
Глава 11. Оптическая голография . . 178
11,1. Принцип голографии .... 179
11.2. Плоская голограмма . . . . 182
11.3. Временная и пространственная ко-
герентность ...........................186
11.4. Схемы получения голограмм и вос-
становления изображений .... 193
11.5. Объемная голограмма ... 198
11.6. Основные применения голографии 200
Глава 12. Разложение излучения в
спектр и основные характеристики спект-
ральных приборов.......................213
12.1. Принципиальная схема спектраль-
ного прибора.........................214
12.2. Ширина спектральной линии . . 215
12.3. Основные оптические характери-
стики спектрального прибора . . 218
12.4. Разложение излучения в спектр 229
Раздел 111. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИ-
ЧЕСКОЙ ОПТИКИ........................234
Глава 13. Основные законы и положе-
ния геометрической оптики .... 234
13.1. Основные определения .... 234
13.2. Принцип Ферма..................236
13.3. Преломление лучей сферической по-
верхностью ..........................239
13.4. Увеличение. Уравнение Лагранжа—
Гельмгольца..........................242
13.5. Центрированная оптическая система
и ее кардинальные элементы ... 246
13.6. Ограничение световых пучков в оп-
тических системах....................251
Глава 14. Аберрации оптических си-
стем ................................256
14.1. Монохроматические аберрации . 257
14.2. Хроматические аберрации . . 265
Глава 15. Разрешающая способность
оптических приборов ..... 269
15.1. Дифракция на круглом отверстии 270
15.2. Разрешающая способность теле-
скопа ............................271
15.3. Разрешающая способность микро-
скопа ...............................274
15.4. Иммерсионные системы. Ультра-
микроскопия .........................280
15,5. Электронный микроскоп ... 282
Раздел IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ
СВЕТА В ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗО-
ТРОПНЫХ СРЕДАХ.......................285
Глава 16. Взаимодействие электромаг-
нитной волны с веществом .... 285
16.1. Электрические и оптические свойст-
ва среды.............................285
16.2. Излучение электрического диполя 291
16.3. Отражение и преломление электро-
магнитных волн на границе двух диэлек-
трических сред.......................293
16.4. Следствия, вытекающие из формул
Френеля..............................299
16.5. Отражение электромагнитной вол-
ны от поверхности металла .... 307
Г л а в а 17. Основы кристаллооптики . 312
17.1. Описание основных экспериментов 313
17.2. Поляризация света. Поляризаторы 315
17.3. Распространение электромагнитной
волны в анизотропной среде . . . 322
17.4. Поверхность нормалей и лучевая
поверхность..........................327
17.5. Оптические свойства одноосных
кристаллов...........................328
Глава 18. Интерференция поляризо-
ванных лучей.........................331
18.1. Эллиптическая и круговая поляри-
зации света..........................332
18.2. Анализ света эллиптической и кру-
говой поляризаций ...................335
18.3. Поляризационная микроструктура
естественного света..................338
18.4. Хроматическая поляризация . . 340
Глава 19. Искусственная анизотропия 345
19.1. Анизотропия, возникающая при ме-
ханических деформациях .... 345
19.2. Двойное лучепреломление в элек-
трическом поле.......................347
19.3. Двойное лучепреломление в маг-
нитном поле..........................351
Глава 20. Вращение плоскости поля-
ризации .............................352
20.1. Основные эксперименты ... 353
20.2. Теория вращения плоскости поля-
ризации .............................355
20.3. Вращение плоскости поляризации в
магнитном поле . . .... 360
Р а з д е л V. ДИСПЕРСИЯ, ПОГЛО-
ЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА . . 363
Глава 21. Дисперсия света ... 363
21.1. Методы наблюдения дисперсии
света...............................'363
606
Оглавление
21.2. Фазовая и групповая скорости
света..................................368
21.3. Уравнение дисперсии . . . . 371
21.4. Дисперсия вдали от линии погло-
щения .................................374
21.5. Дисперсия вблизи линии поглоще-
ния (аномальная дисперсия) ... 378
21.6. Поглощение света............379
Глава 22. Расщепление спектральных
линий в магнитном поле . . . . 384
22.1. Сущность эффекта Зеемана . . 384
22.2. Элементарная теория эффекта Зее-
мана ..................................386
22.3. Обратный эффект Зеемана . . 390
Глава 23. Рассеяние света .... 392
23.1. Распространение света в оптически
неоднородной среде ................... 393
23.2. Рассеяние света в мутной среде . 395
23.3. Молекулярное рассеяние света . 400
23.4. Тонкая структура рэлеевской линии
рассеяния .............................403
23.5. Комбинационное рассеяние . . 407
Р аз д е л VI. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕ-
НИЕ ...................................412
Глава 24. Основные законы теплового
излучеиия .............................412
24.1. Закон Кирхгофа...................412
24.2. Абсолютно черное тело . . . 416
24.3. Закон излучения Стефана—Больц-
мана и закон смещения Вина . . . 418
24.4. Формула Рэлея — Джинса . . 420
24.5. Формула Планка..................422
Глава 25. Применение законов тепло-
вого излучения.........................428
25.1. Оптическая пирометрия . . . 429
25.2. Источники света ..... 434
Раздел VH. ДЕЙСТВИЕ СВЕТА . 438
Глава 26. Фотоэлектрический эффект 438
26.1. Внешний фотоэффект .... 438
26.2, Квантовые свойства света . . 444
26.3. Внутренний фотоэффект н фото-
гальванический эффект..................450
26.4. Практические применения фотоэф-
фекта .................................452
26.5. Шумы фотоэлектронных приемни-
ков излучения..........................458
Глава 27. Рассеяние рентгеновских лу-
чей ...................................460
27.1. Сущность эффекта Комптона л его
особенности ........ 460
27.2. Элементарная теория эффекта
Комптона ..............................462
Глава 28. Давление света .... 464
28.1. Теория светового давления . . 455
28.2. Экспериментальные исследования
светового давления .................. 457
Глава 29. Фотохимическое действие
света.................................470
29.1. Основные фотохимические законы 471
29.2, Основы фотографии • • • • 473
Раздел VIII. РАСПРОСТРАНЕНИЕ
СВЕТА В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ . 47g
Глава 30. Скорость света и ее изме-
рение ...............................478
30.1. Астрономические методы измерения
скорости света.......................478
30.2. Измерения скорости света земных
источников...........................481
Глава 31. Оптические опыты с движу-
щимися телами........................485
31.1. Проблема эфира и принцип относи-
тельности в механике.................485
31.2. Опыты Физо и Майкельсона . .
31.3. Основы специальной теории относи-
тельности и преобразования Лоренца . 492
31.4. Оптический эффект Доплера . 498
31.5. Оптические опыты в неинерциаль-
ных системах.........................503
Раздел IX. ОСНОВЫ СП ЕКТРОСКО-
ПИИ И ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ ... 506
Глава 32. Излучение атомов и спект-
ральные закономерности .... 506
32.1. Основные квантовые представления 506
32.2. Основные типы уровней энергии 509
32.3, Уровни энергии и спектр атома во-
дорода ...............................5П
Глава 33. Поглощение и излучение
света молекулами.....................515
33.1. Разделение энергии молекул на ча-
сти н основные типы спектров . . 516
33.2, Вращательное движение и враща-
тельные спектры молекул . . . .517
33.3. Колебательное движение и колеба-
тельные спектры молекул . . . .519
33.4. Электронные состояния и электрон-
ные спектры молекул..................524
Глава 34. Люминесценция сложных
молекул..............................528
34.1. Виды люминесценций • ... 529
34.2. Простейшие модели излучателей 531
34.3. Основные закономерности в спект-
рах сложных молекул..................532
34.4. Выход флуоресценции .... 537
34.5. Тушение флуоресценции ... 539
Оглавление
607
34.6. Время жизни возбужденного со-
стояния и законы затухания флуоре-
сценции ......... 54]
34.7. Поляризация флуоресценции . 542
34.8. Излучение Черенкова — Вавилова
Раздел X. ОПТИЧЕСКИЕ КВАНТО-
ВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ
ВОПРОСЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 549
Глава 35. Оптические квантовые гене-
раторы ................................549
35.1. Спонтанное и вынужденное испу-
скание ................................549
35.2. Усиление и генерация света . . 553
35.3. Основные свойства лазерного излу-
чения ....................... * • • 562
35.4. Типы квантовых генераторов . 567
Глава 36. Некоторые вопросы нели-
нейной оптики.....................- . 580
36.1. Нелинейная поляризация среды . 580
36.2. Оптическое детектирование и гене-
рация гармоник........................583
36.3. Генерация света на произвольной
частоте и преобразование частот . . 587
36.4. Самофокусировка света ... 590
36.5. Многофотонное поглощение и иони-
зация ................................592
36,6. Вынужденное комби нациоийое рас-
сеяние света..........................594
Рекомендуемая литература . ... 599
Приложение............................600