АКАДЕМИЯ НАУК СССР
i——— — i ———
институт ФилосоФии
ЛОГИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
СБОРНИК СТАТЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
dl о с k £ а
19 5 9

Данный выпуск «Логических исследований» состоит из двух частей.
В первой части содержатся статьи по общим вопросам математической
(символической) логики, ее истории и отдельным приложениям; во
второй части помещены статьи, касающиеся разработки и практических
применений математической логики в связи с задачами математики
и техники.
Редколлегия:
Э. КОЛЬМАН, Г. Н. ПОВАРОВ, П. В. ТАВАНЕЦ
и С. А. ЯНОВСКАЯ

ф
I
Э. К о ль май
ЗНАЧЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Ошибаться свойственно всякому человеку,
но настаивать на ошибке свойственно
только глупцу.
В. И. Ленин (Соч., т. 19, стр. 500).
Самая значительная часть многовековой истории логики
протекала в условиях сравнительно низкого уровня техники,
естествознания и математики постоянных величин. Эти
области человеческой деятельности, нуждающиеся, вообще
говоря, в высоко развитых приемах мышления, не слишком
допекали логику своими требованиями. Их потребности
долго удовлетворяла созданная древними греками логика
высказываний и логика предикатов, сложившаяся главным
образом вследствие потребностей юридических и
политических споров. Благодаря этому логика как теория законов
мышления разрабатывалась преимущественно лишь с
философской, гносеологической стороны, оставаясь, как это
отмечал Энгельс, «начиная с Аристотеля и до наших дней,
ареной ожесточенных споров».
Методы логики как техники научного мышления
развивались удручающе медленно. Традиционная логика снискала
сомнительную славу крайней бессодержательности, скуки,
неспособности служить практическим потребностям живых
конкретных наук. Еще Аристон Хиосский (около 270 г.
до н. э.), ученик Зенона-стоика, говорил, что
углубляющегося в диалектику1 можно сравнить с человеком,
любящим кушать раков: из-за кусочка мяса он тратит уйму
времени над кучей шелухи. Шотландский философ Уильям
1 Стоики, первые употребившие название «логика», понимали
под ним науку о «логосе» в обоих тогдашних значениях этого слова,
т. е. о разуме (мысли) и о слове. «Логика» делилась ими на
«диалектику»— логику в том смыеле, который это слово приобрело лишь
в XVI в. н. э. и который оно сохраняет и поныне, — и на
грамматику.
3

Гамильтон добавил к этой оценке, что «человек,
занимающийся у нас изучением логики, тратит свое время, не
попробовав ни кусочка мяса» [I]. Этот безжалостный приговор
совпал с известным высказыванием Гегеля в «Науке логики»
о пустоте форм формальной логики, невыносимой пустоте,
делающей их достойными презрения и насмешки. Гегель
заявлял,, что внешние формы мышления, оторванные от
содержания и противопоставляемые ему, не способны охватить
истину, но зато могут стать орудиями ошибки и софистики.
Это высказывание, как известно, сочувственно отметил
Ленин в «Философских тетрадях».
Не подлежит сомнению, что крайняя формализация
логики в Средние века, идеалистический характер
схоластической логики, отрыв от практики, приведший к ее застою,
а затем и упадку2, вызвал'то сатирическое отношение к ней,
которое отражено в классических произведениях мировой
художественной литературы — «Гаргантюа и Пантагрюэль»
Рабле, «Мещанин во дворянстве» Мольера, «Дон Кихот»
Сервантеса, «Путешествие Гулливера» Свифта, «Свадьба
Фигаро» Бомарше и ряд других, созданных в XVI—XVIII вв.
Греки создали в «Началах» Эвклида блестящий, надолго
непревзойденный образец логической аксиоматизированной
системы. У них имелись также зачатки индуктивной логики,
впервые в истории встречающиеся в медицинских
сочинениях Гипократа, а затем, в более развитом виде,—у
эпикурейцев. Несмотря на это, развитие логики в целом
происходило все же без существенных контактов с развитием
естественных наук и математики вплоть до второй
половины XV в.
Великие естествоиспытатели эпохи Возрождения
относились к традиционной логике скептически. Леонардо да Винчи
называл ее учение о силлогизме «чудачеством», Галилей
в «Диалоге о двух системах мира» высмеивал Догматическое
преклонение перед авторитетом логики Аристотеля.
Математики и естественники эпохи Возрождения были вынуждены
сами вырабатывать правила логических приемов для своих
научных исследований, не находя их ни в «логическом
квадрате», ни в мнемотехнических стихах для фигур
ассерторических силлогизмов.
2 Этим мы вовсе не желаем сказать, будто схоластическая логика
не дала ничего положительного. Мы не намерены отрицать заслуг
таких ученых, как Раймонд Луллий, Дуне Скотт или Вильям Оккам,
работы которых оказали положительное влияние на новейшее
развитие логики. Равным образом мы не собираемся принижать значение
логических исследований Аль Фарабия, Абу Али ибн Сины (Авиценны)
и Аверроэса.
4

Комментатор Эвклида математик Клавдий (1Г01—1576)
сформулировал предложение двузначного исчисления
высказываний
\-1(1р=>р)=>р\, (1)
получившее название «dictum mirabilis» («удивительное
предписание»), вытекающее из правила, которое (понятно,
не формулируя его) применял еще Эвклид (книга IX,
теорема 12 «Начал»). Это предложение Клавдия принадлежит
вместе с предложением
\-[(PZ)-\p)Z)lp]s (2)
к тем немногим предложениям двузначного исчисления
высказываний, которые в трехзначном исчислении
высказываний не имеют места.
Р. Декарт указал в «Рассуждении о методе», что
выделить из традиционной логики истинные и полезные правила,
поскольку они в ней перемешаны с вредными или
излишними правилами, столь же трудно, как получить статую
Дианы или Минервы из мраморной глыбы, вдобавок даже
неотесанной. Сам же он, создав аналитическую геометрию,
стал широко пользоваться понятием изоморфизма, хотя и
не сформулировал его явно. Это логическое понятие
получило исключительно большое значение в современной
науке.
Знаменитый математик, физик и философ Б. Паскаль
разработал методы доказательства дедуктивных наук.
Особенно важно было его учение об аксиоматических
определениях.
Паскаль сформулировал восемь правил, из которых
первое и восьмое представляют здесь особый интерес: 1) не
пытаться давать определение ни одной вещи, настолько
известной но ней самой, что не имеется никаких более ясных
терминов, чтобы объяснить ее; 8) всегда подставлять
определение на место определяемого для того, чтобы не
ошибиться в терминах, которые были ограничены (restreints)
определением. Как заметил выдающийся современный ма-
3 Предложения (1) и (2) читаются: (1) «утверждаем, что если из
того, что предложение р ложно, следует, что р истинно, то отсюда
следует, что р истинно»; (2) «утверждаем, что если из того, что
предложение р истинно, следует, что р ложно, то отсюда следует, что р ложно».
Предложение (1) вытекает из правила рассуждения: П/Ор) ЬР\
предложение (2) из правила (р ZJ 0) h ~] р, где 0 означает ложность. В
трехзначном исчислении высказываний оба предложения заменяются более
«слабыми». Вместо (1) мы имеем \- [П/О/^ГЭ/?*], а вместо (2) будет
теперь Ь[(/0 ~]p)ZD^P+)]- Здесь р* означает «р по меньшей мере
возможно», а р+ читается как «р необходимо».
5

тематик Адамар [2], между этими двумя правилами,
которые у Паскаля отделяет всего лишь несколько строчек,
существует противоречие; странным образом «пораженный
психической слепотой» Паскаль не осознал его. Ведь нельзя,
в самом деле, подставлять определение на место
определяемого там, где самого определения быть не может! Вместе
с тем очевидно, что как бы важно ни было правило (8),
нельзя обойтись и без правила (1), ибо цель определений
понятий не может быть ни бесконечной, ни замкнутой,
а должна начинаться какими-то далее неопределимыми
первичными понятиями. Все эти логические проблемы,
первостепенные для систематического построения любой научной
дисциплины, были подняты Паскалем.
В подготовке нового развития логики особенно велики
заслуги Лейбница. Использовав комбинаторику, он
установил полный список модусов ассерторических силлогизмов и
дал строгое определение тождества предикатов: «eadem sunt
quorum unum potest substituti alteri salva veritate»
[«тождественны те (и только те), из которых один может
заменить другой, сохраняя истинность»! [3]. Выходя за рамки
традиционной логики, Лейбниц требовал, чтобы логика
сделала процесс умозаключения независимым от
размышления о содержательном значении предложений, входящих
в этот процесс, подобно тому, как процесс математического
вычисления не зависит от размышления о содержательном
значении знаков, которые применяются в нем. В этом именно
смысле Лейбниц хотел превратить правила логического
вывода в вычислительные правила. И хотя его рукописи,
содержащие наброски исчисления предикатов, оставались
неизвестными [эти рукописи были опубликованы лишь
Кутюра в 1901 г., и само исчисление под названием
«логической алгебры» было самостоятельно создано Булем (1847)],
эти идеи Лейбница оказали значительное влияние на его
учеников и последователей, с которыми он поддерживал
обширную переписку.
Лейбниц подчеркивал, что долженствующее быть
созданным исчисление ведения доказательства («calculus ratiocina-
tur») будет всеобщим качественным исчислением («scientia
gencralis de qualitate»). В письме к математику Чирнхау-
зену он писал (1678): «Это исчисление есть не что иное,
как действие при помощи знаков, имеющее место вовсе
не в количествах, а во всевозможных других
умозаключениях» [4]. Лейбниц мечтал о создании искусственного
универсального языка со своим понятийным письмом — «charac-
teristica universalis», позволяющим автоматически решить
любую задачу любой науки. Как это теперь строго доказано,
6

подобную единую всеобщую формальную систему построить
невозможно. Однако огромное значение, которое приобрело
ныне развитие символических систем в отдельных науках,
свидетельствует о гениальности идей Лейбница. К подобной
системе знаков он предъявлял следующие требования: 1)
взаимно однозначные отношения между предметами мышления
и символами; 2) если предмет мышления можно разложить
на составные части, то и его «образ» должен быть
разложимым; 3) если два предмета мышления находятся друг
к Другу в отношении основания и следствия, то и их
«образы» должны находиться в таком же отношении.
Следовательно, Лейбниц вовсе не мыслил себе символы
«бессодержательными». Он требовал лишь отвлечься во время
действия над ними от их содержательного значения для того,
чтобы незаметно не вносить в рассуждения необоснованные
положения. Он желал, чтобы логика стала «ars calcu-
landi» — «искусством исчисления», чтобы она превратилась
в «jeu do characteres» — в «игру со знаками» по особым
установленным правилам. Он требовал от новой логики,
чтобы она стала «нитью Ариадны в мышлении» — методом
точного мышления.
Лейбниц считал, что «новый логический метод» будет
действенен, поскольку он вскроет всякий паралогизм просто
как ошибку в вычислении. «Между двумя философами
противоречивые направления не смогут больше стать предметом
спора, так же как не может быть словопрений между двумя
вычислителями . . . Ведь для решения спора достаточно
будет взять в руки писчий тростник, сесть за абак и
сказать— давайте, будем вычислять!» [4]. И хотя, как мы
теперь знаем, это были несбыточные мечты, они были полны
оптимизма, уверенности в прогрессе науки. Лейбниц как
будто прорицал те головокружительные успехи, которые
идея формализованных систем завоевала в современной
логике и ее практических приложениях.
Большой заслугой Лейбница является его интерпретация
аристотелевского учения о силлогизмах через арифметику
натуральных чисел, а также идея создания логики
вероятного знания наряду с логикой знания достоверного.
Таким образом, влияние математического мышления
на развитие логики не сказалось у Лейбница — и не только
у него — в простом перенесении в нее количественных
отношений. Тем не менее это влияние было громадным. Оно
не ограничивалось одними только общими идеями, а
наложило глубокий отпечаток и на частности. Так.
Лейбниц рассматривал логическое определение по типу
выражения математических величин при помощи алгебраи-
7

ческих формул. Считая, что основоположения логики, так
же как и математики, являются необходимыми и всеобщими
и что они не могут противоречить друг другу, он
намеревался создать «каталог первичных понятий, из которых
остальные составлялись бы». При этом Лейбниц
рассматривал понятия, как правило, с точки зрения их
содержания. Разложение сложных понятий представлялось ему
по аналогии с разложением целого числа на его первичные
множители, т. е. осуществимым лишь единственным
способом. Впервые в истории науки Лейбниц сформулировал
проблему совместимости системы предложений. Это был
вопрос о том, не мотут ли данные посылки, с первого
взгляда кажущиеся непротиворечивыми, все же содержать
скрытые противоречия, которые, возможно, проявятся в
дальнейшем — в процессе выведения из этих посылок
заключений. В особенности важен был вопрос о том, как решить
подобные сомнения. Эти вопросы сыграли, как известно,
определяющую роль при решении двухтысячелетней проблемы
параллельных линий.
* * *
Мы не собираемся даже вкратце излагать всю
предысторию и историю символической логики. То немногое, что
сказано выше, кажется нам уже достаточно убедительным
и свидетельствует, что все действенное, плодотворное,
дающее возможность практического применения логики и
как орудия матвхматического и физического исследования
и как метода расчета и конструирования во многих
технических науках, появилось в результате работы не
специалистов-философов. Все жизненное в логике достигнуто
благодаря отходу логики от ее традиционной застывшей
формы.
Приведенные факты — это не сумма примеров, а
проявление определенной закономерности, определенной
исторической линии развития. Если бы мы продолжали ее
изучение, то заметили бы, что Ньютон создал в «Математических
началах натуральной философии» — второй после Эвклида —
блестящий образец аксиоматической системы науки (на сей
раз — механики) и разработал в то же время индуктивные
правила экспериментального исследования. Мы увидели бы,
что предтеча неэвклидовой геометрии Саккери усердно
занимался разработкой учений о логических доказательствах
и т. д. И нам бросилось бы в глаза, что особенно начиная
с XIX в. необыкновенно усилилось взаимодействие
математики и логики.
8

В 1822 г. Ионселс впервые высказал в проективной
геометрии плоскости «принцип двойственности», согласно
которому все понятия проективной геометрии разбиваются
на два класса взаимно соответствующих «двойственных
понятий», как, например: точка — прямая, точке лежать
на прямой — прямой проходить через точку, и др. Если
в какой-либо истинной теореме этой геометрии заменить
все понятия на двойственные им, то опять получится
истинная теорема, например из высказывания «любые две точки
лежат на одной прямой» получим «любые две прямые
проходят через одну точку».
Вскоре оказалось, что принцип двойственности не
ограничивается лишь проективной геометрией, а имеет место
и в других аксиоматизированных системах, прежде всего
в «булевой алгебре», а затем в теории множеств и в
топологии. Выяснилось, что одна и та же геометрическая
теорема может иметь две наглядные интерпретации одинаково
истинные, но совершенно отличные друг от друга. Тем
самым как перед математикой, так и перед логикой была
поставлена проблема определения, которое стали теперь
рассматривать как аббревиатуру для конструктивного
мыслительного процесса.
В 1826 г. Лобачевский впервые выступил с
неэвклидовой геометрией, которая еще убедительнее показала, что
различные чувственно-наглядные образования могут
выступать как интерпретации одной и той же
логико-геометрической формы. Прежнее, шедшее еще от Аристотеля понимание
аксиоматизированной системы как абсолютной, опирающейся
на «очевидные» исходные положения и обеспечивающей
незыблемость всех вытекающих из них выводов, должно было
уступить место такому ее пониманию, согласно которому
исходные положения представляют лишь гипотезы, которые
должны проверяться их сличением с материальной
действительностью. Создание неэвклидовых геометрий привело
вместе с тем к методу доказательства непротиворечивости
аксиоматизированной системы путем ее интерпретации в
другой аксиоматизированной системе. Этот метод — метод ариф-
метизации, впрочем впервые, как мы уже отметили,
примененный Лейбницем к учению о силлогизмах, оказался
в дальнейшем фундаментальным в логическом обосновании
математики.
Длительная борьба вокруг открытия дифференциального
и интегрального исчисления, борьба за истолкование его
основных понятий послужила толчком для изучения
проблемы выражения мысли при помощи символов, а также для
исследования формальных свойств математических действий.
&

Одновременно с теорией арифметики и алгебры создавались
и зачатки символического метода в логике. Буль писал [5]:
«Тот, кто знаком с современным состоянием символической
алгебры, знает, что справедливость процесса анализа не
зависит от интерпретации встречающихся символов, а только
лишь от законов их сочетания. Всякого рода
интерпретация, не нарушающая справедливости предположенных
отношений, одинаково допустима, а поэтому один и тот же прием
может дать при одной интерпретации решение проблемы
теории чисел, при другой интерпретации — решение проблемы
геометрии, при третьей — решение проблемы динамики или
оптики, и т. д.». Сам Буль показал, что его «логическая
алгебра» и теория вероятностей изоморфны.
Большое значение для развития новой логики имело
появление механических или квазимеханических моделей
в физике. Оно сделало необходимым выяснение
применимости таких понятий (как, например, понятие равенства),
которые подразумевали ненаблюдаемые величины. Ведь
Галилей и Ньютон, считавшие, что масса — это просто
количество материи, не задумывались над смыслом положения
«две массы, порознь равные третьей, равны между собой».
Но Э. Мах (1868) требовал, чтобы равенство масс, а
Дж. Максвелл (1871) — чтобы равенство температур не
постулировалось априорно, а определялось измерением. Г. Гельм-
гольц (1887) довел эту идею до логического конца, показав,
что понятие «равенства» является частным случаем
определения через абстракцию и что оно обусловлено симметрией
и транзитивностью отношений между рассматриваемыми
вещами. Эта же идея вновь появилась при обосновании
понятия количественного числа у Г. Кантора. Свое за
першение она нашла у создателя первой формализованной системы
логики Г. Фреге.
Трудности, возникшие в математике в связи с понятием
бесконечности, особенно проявившие себя в парадоксах
расходящихся рядов и в ложных доказательствах теории
экстремумов, вызвали к жизни занятия логической стороной
этой важнейшей проблемы. Вновь начатые Б. Больцано,
О. Коши, Дюбуа-Реймоном и Г. Кантором эти исследования
логических и математических парадоксов, ведшиеся еще
в древности, а затем Галилеем, были затем продолжены
на новом уровне.
Наконец, большое влияние на развитие логики оказало
критическое исследование основ геометрии, которое под
влиянием логики же особенно усилилось с 60—70-х годов XIX в.
Геометры ставили задачу придать постулатам своей науки
чисто логическую форму, т. е. форму отношений настолько
10

общих, что они имеют место между крайне абстрактными
понятиями, и очистить их от не явно содержащихся в них
чувственно-наглядных элементов. В связи со всеми этими
проблемами обоснования математики и начал широко
разрабатываться символический метод в логике сначала
Дж. Пеано и Ф. Шредером, затем— Б. Расселом, Д.
Гильбертом и др.
Итак, новая логика, получившая не вполне точное
название «математической логики»4, характерная своим
символическим методом, была вызвана к жизни необходимостью
критического пересмотра основ геометрии и арифметики,
а потом механики и физики, что, как известно, привело
к блестящим достижениям во всех этих науках.
Что же касается самой логики, то применение
символического метода дало замечательные результаты. Правда,
преувеличенные надежды, связывавшиеся первоначально
с ним, надежды на полную формализацию и опирающуюся
на нее автоматизацию мыслительных процессов, равно как
и на устранение из математики противоречий, не
оправдались. Более того, именно при помощи новой логики было
неопровержимо доказано и то, что полная формализация
невозможна, что не все задачи, решаемые математиком или
логиком, могут быть решены машиной. Стало ясно, что
невозможно раз и навсегда устранить противоречия в
обоснованиях математики, что они могут быть лишь смещены —
исчезнув в одном месте, они непременно появляются в
другом. Беспочвенными оказались также расчеты на
возможность сведения математики к логике или логики — к
математике.
И все-таки достигнутое при помощи новой логики
превзошло самые смелые ожидания. Логика, до недавнего
времени казавшаяся лишь отголоском отошедшего в прошлое
буквоедства, превратилась в метод передовой техники. С ее
помощью начали рассчитывать релейно-контактные схемы,
а затем и использовать их для моделирования мыслительных
процессов. Автоматизация и телемеханизация производства,
конструирование быстродействующих электронных
вычислительных машин и оперирование на них, применение их для
автоматизации различных видов умственного труда
(переводческого, статистики и учета, научной информации и др.) —
все это стало возможным лишь благодаря символической
логике. Успехи бурно развивающейся кибернетики
открывают перед символической логикой еще большие возможности:
4 Это название может быть, пожалуй, оправдано, поскольку имеется
в виду лишь первый этап развития символической логики Дж. Булем,
А. де Морганом, В. Джевонсом, Д. Пеано и др.
11

применение к атомной физике, к изучению наследственности,
к исследованию высшей нервной деятельности — трудно
предугадать ее захватывающие перспективы.
Эти достижения современной логики, к которым она не
могла придти без помощи символического метода,
убедительно говорят в его пользу. Но, как это ни странно,
убедительно далеко не для всех.
Вряд ли найдутся люди, отвергающие применение языка
или арифметики как лженаучное, идеалистическое на том
основании, что, скажем, слово «человек» ни своим
звучанием, ни своим начертанием не похоже на действительного
человека, а, к примеру, числительное 5 не похоже на то
количественное отношение, которое оно выражает. Между
тем философов, вдобавок считающих себя марксистами, и
упорно отвергающих символическую логику, поскольку
она — о ужас!—применяет символы, вроде &, V» ^» ~1> не
похожие на те логические связки, которые они означают,
можно нередко встретить — чаще всего потому, что они о
новой логике имеют лишь весьма смутное представление»
Зная, что многие современные идеалистические течения,
в особенности те, которые модны среди естественников,
усердно используют новую логику в борьбе против
материализма и диалектики, эти товарищи настаивают на том, что
символический метод превратил логику в нечто
иррациональное, мистическое. Они утверждают, что он родственен
идеалистическому направлению — символизму. Поверив
гносеологическим высказываниям буржуазных теоретиков,
стоящих на идеалистических позициях, они отвергают самый
этот метод без выяснения его положительной сущности.
Понятно, что это не позволяет ни ясно понять критикуемые
идеалистические направления, ни разобраться в том влиянии,
которое эти направления оказали на многих выдающихся
естествоиспытателей в капиталистических странах.
* * *
Современная логика как метод научного исследования
исторически развилась на базе традиционной формальной
логики путем внедрения в нее символического метода. Как
известно, формальная логика при всей ее ограниченности
является необходимым моментом всякого познания, в том
числе и познания научного, представляя, как писал Энгельс,
«прежде всего метод для отыскивания новых результатов,
для перехода от известного к неизвестному». То
обстоятельство, что символический метод вырос на почве формальной
логики, разумеется, не должно мешать тому, чтобы признать
12

его научным. Другое дело, конечно, если символический
метод, а вместе с ним и всю новую символическую логику
рассматривать как единственный и универсальный метод,
допуская в усиленном виде ту же ошибку, которую делают те,
кто вообще считает формально-логический метод
единственным и универсальным методом познания.
Но не следует ли отвергнуть символическую логику
именно из-за того, что она пользуется символическим
методом? Припомним, чему учит диалектический материализм
о символах и философском символизме. Как известно,
Ленин критиковал в «Материализме и эмпириокритицизме»
гельмгольцевскую «теорию символов», которой равносильна
и плехановская «теория иероглифов», как отступление от
материализма к идеализму. Но речь шла не о недопустимости
применения символов вообще, а об ошибочности считать
ощущения и представления символами, т. е. об ошибке
гносеологической. В конспекте к «Науке логики» Гегеля
Ленин сформулировал вновь суть различий в подходе
к символам и к философскому символизму: «Отметим лишь. . .
замечания о символах, что против них вообще ничего иметь
нельзя. Но «против всякой символики» надо сказать, что
она иногда является «удобным средством обойтись без того,
чтобы охватить, указать, оправдать определения понятий»
(Begriffsbestimmungen). А именно в этом дело философии»
(Философские тетради, 1947, стр. 93). Ленин отвергал не
вообще применение символов, а такие попытки их
применения, когда философские понятия, высказывающие сущность
данного явления, подменяются знаками, ничего не
определяющими, а только затемняющими сущность данного явления.
В самом деле, произнося «вода» или «aqua», написав эти
слова или же Н20,—мы употребляем символы, т. е. знаки,
которые не имеют сходства с действительной водой и ее
восприятием, представлением и понятием о ней. То же самое
имеет место, когда мы говорим «пять» или записываем 5,
или записываем норму прибыли как
т
Р c + v '
или когда светофор зеленым светом показывает, что путь
открыт. Совершенно -другое место занимают символы у тех
философов-идеалистов, которые превращают философию
в игру символов. Например, Шеллинг, «объяснял» символами
все явления: в боге дана непосредственная степень
абсолютного— неограниченное бытие — 1; в природе — первая степень
абсолютного — материя — А] затем идет вторая степень —
свет — А2; наконец, третья степень — организм — А3, причем
13

«степени» — это количественные различия субъективности и
объективности.
В основе ошибочного отношения к символам (как в слу-
чае, когда наши представления считают лишь условными
знаками, позади которых нет объективной реальности, так
и в случае, когда существенные философские определения
понятий подменяют игрой символами) лежит порочная посылка
о разрыве между мыслью и действительностью. Если же
символы используются не в гносеологическом смысле, а как
подсобные средства познания, введение которых в ту или
другую научную дисциплину и действия над которыми
подчинены содержательному контролю данной области"знания,
то против их применения — в том числе и в логике —
возражений быть не должно. Следует лишь иметь в виду, что
успех применения символов зависит от того, насколька
понятия данной области могут быть — при существующем
уровне знаний — формализованы.
Этот вопрос напоминает вопрос о применимости
математики к другим наукам. Истолковывая материалистически
известное изречение Гегеля, на которое обратил внимание
Ленин, можно сказать, что чем богаче отношениями, а тем
самым и определенностью становятся мысли, «тем, с одной
стороны, более запутанными, а с другой, более
произвольным и лишенным смысла становится их изображение в таких
формах, как числа» (Философские тетради, 1947, стр. 91).
Но не значит ли это, что в самом деле, как заметил в своа
время Энгельс, применение математики, будучи абсолютным
в механике твердых тел, при переходе к высшим формам
движения падает и доходит до нуля в биологии? Нет, ибо
применимость математики не только уменьшается с
усложнением формы движения. Она и увеличивается с
разработанностью самой математики, возрастающей с каждой
последующей исторической ступенью, что дает возможность
проникновения математического метода во все более широкий круг
наук. Это подтверждается современным состоянием
математики, нашедшей плодотворные выходы в биологию и
психологию. Известно высказывание Маркса в письме
к Энгельсу от 31 мая 1873 г. (К.Маркс и Ф. Энгельс,
Соч., т. XXIV, стр. 414) о применимости математического
анализа для исследования закона периодических кризисов
капиталистической экономики.
При всем этом нужно принять во внимание, что область
применимости символов значительно шире области
применимости математики. Разумеется, математика, по
современному пониманию, это не только наука о количественных
отношениях и пространственных формах (а тем более яе
14

только наука о числах), но и о более общих структурных
отношениях действительного мира, отношениях, подобных
отношениям количественным и пространственным. Тем не
менее даже в самом обобщенном понимании математические
отношения не охватывают бесконечного богатства отношений,
существующих в действительности.
Логика, пользующаяся символическим методом, понятно,
еще более абстрактна, чем формальная логика в ее
традиционном изложении. Но и это обстоятельство — подъем
на более высокую ступень абстракции — свидетельствует не
против символического метода, а в его пользу. В самом
деле, лишь символический метод позволил логике углубиться
в анализ таких тонких понятий, как те, которые связаны
с проблемой обоснования математики, с теорией множеств,
где достигнуты значительные успехи в решении проблемы
континуума, с теорией вероятностей. Лишь он дал
возможность современной логике стать инструментом кибернетики —
этого высшего раздела автоматики, служащего созданию
машин, «продолжающих» человеческий мозг. Традиционная
логика, несомненно менее абстрактная, оказалась
бессильной перед этими задачами.
Подлинная цель символического метода в логике состоит
в том, чтобы придать самой логике максимально строгое —
аксиоматическое изложение. Правда, достичь этого путем
единой неизменной системы аксиом для всей логики
невозможно, однако мы приближаемся к этой цели через
развертывающуюся последовательность все более широких
аксиоматизированных систем. Перестроенная таким образом
логика служит затем выяснению логической структуры
других наук, в первую очередь математики, а также
непосредственно методам исследования и оперирования в
естественных и технических науках.
Создав свои новые более мощные логические средства,
современная логика, пользующаяся символическим методом,
качественно отлична от традиционной логики. По нашему
мнению, она вобрала в себя значительные элементы
диалектики. Служа обоснованию современной математики, которая
давно вступила в диалектическую область, она не могла не
приобрести некоторые диалектические черты. Считая ее
все же — поскольку диалектический элемент не входит
в нее в явном виде5 — дальнейшим развитием логики
формальной, мы не должны забывать, что она решительно
отличается, в сторону несравненно большей гибкости
понятий, от традиционной логики.
5 Примером диалектики, входящей в неявном виде в
символическую логику, может служить известная теорема К. Гёделя.
15

У нас принято называть новую логику логикой
«математической», что обосновывается, с одной стороны, тем, что
применяемые в ней символы и способ действия над ними
напоминают математические вычисления. С другой стороны —
и тем, что эта логика лежит в основе теории
математического доказательства. Но неправильно делать отсюда вывод,
будто «математическая логика» служит только математике
и будто она представляет лишь переложение на язык
математических формул традиционной логики.
Неправильно также считать ее чисто математической
наукой. Это наука пограничная, расположенная на рубеже
математики и философии, одинаково принадлежащая и той
и другой, ибо, как и всякая логика, она не является
независимой от гносеологии. Другое название новой логики —
«символическая логика», широко распространенное за
рубежом, название, указывающее на характерный для новой
логики метод, у нас менее принято.
Нигилистическое отношение к современной логике нельзя
считать чем-то безобидным. Подобно тому, как получившее
у нас в свое время известное распространение зазнайски-
пренебрежительное отношение к иностранной технике,
к теории относительности, к квантовой химии, к генетике-
или к кибернетике, пренебрежительное отношение к
современной логике приносило и приносит серьезный ущерб
развитию нашей науки. Как справедливо указано в письме
группы советских научных и технических работников,
опубликованном в печати («Советская Россия» № 76, 1956),
у нас, к сожалению, нет ни научного центра, ни журнала
по логике. И это при наличии успехов мирового значения,
которых добились в этой области такие ученые, как
Колмогоров, Жегалкин, Марков, Новиков, Шестаков, Шанин,
Яновская и многие другие.
Надо сказать, что у нас разрабатывают преимущественно
логико-техническую сторону этой науки, а ее философские
проблемы остаются в тени. Философов, знакомых с
символической логикой, можно сосчитать по пальцам. Некоторые
выпущенные у нас учебники логики поражают своей
убогостью. Более того, даже преподавание элементарной
логики, которое с 1946 г. велось в средней школе, теперь
упразднено Министерством просвещения по мотивам . .'.
разгрузки учащихся. Впрочем, поскольку преподавание логики
в школе слишком часто сводилось к зазубриванию, вместо
того чтобы учить правильно мыслить, не приходится
особенно жалеть о нем. Но вред от того, что у нас
ничего не делается, чтобы дать будущим работникам
науки и техники знания современной логики, система-
16

тические знания методов научного мышления, чрезвычайно
большой.
В заключение следует сказать, что современная
символическая логика счастливо преодолела отрыв логики от
конкретных, в особенности математических и естественных
наук, отрыв, освященный многовековой традицией трактовки
логики как чисто гуманитарной науки, отрыв,
содействовавший ее окостенению и ее истолкованию в
идеалистическом духе. Приложение логики к математике, к
естествознанию, к технике вынуждает логику совершенствовать свои
методы, вновь и вновь подвергать свою структуру
критическому пересмотру, обогащаться новыми направлениями и
ответвлениями. Возникшие в новое время логика отношений,
многозначные логики, конструктивные логические
исчисления, неассоциативные и другие неаристотелевские логики,
семиотические и иные металогические исследования, давшие
важные плодотворные результаты, свидетельствуют о том,
что от применения символического метода в логике выиграла
как логика, так и конкретные науки.
И если мы наблюдаем, что достижения современной
логики кружат голову некоторым буржуазным ученым,
воображающим, будто область логики — единственная
реальность, то в этом повинна не логика, а те особые общественно-
идеологические условия, в которых в капиталистических
странах протекает развитие науки. Отход части философов
прошлого и настоящего века, сторонников логического
позитивизма и его многочисленных разновидностей в «третье
царство» — в сферу абсолютных логических истин, в мир,
стоящий якобы как над материальным бытием, так и над
переживаниями психики, вызван, в конечном счете,
глубокими классовыми причинами.
Действительность империализма заставляет идеологов
господствующих классов метаться в поисках прибежища
более надежного, чем обветшалый «классический» идеализм.
Одни находят его, возвращаясь к платоновскому миру идей,
другие окунаются в туман мистики. Но как бы не искажали
эти философские идеалистические «выводы» современную
логику и те науки, к которым она прилагается, из этого
отнюдь не следует, будто диалектический материализм
должен отбросить ее. Его задача вскрывать — не с наскока,
а терпеливо, со знанием дела — эти искажения, непримиримо
бороться против них, усваивая вместе с тем все
положительное, что дают для познания и переделки мира
логические средства символического метода.
Современная символическая логика сохраняет полностью
важнейшую характеристику формальной логики — она не
17

рассматривает содержания мыслей, а только их форму. Как
и традиционная логика, символическая логика расчленяет
мышление, анатомизирует его, сводит его к комбинациям
простейших элементов. Оставаясь все-таки формальной, она
не в состоянии охватить действительность во всей ее
полноте. Это связано с двойственным характером развития
самой науки. Еще Лобачевский в труде «О началах
геометрии» писал, что трудность познания увеличивается как по
мере приближения к «начальным» истинам, так и в другом
направлении — в направлении развития познания к более
сложным положениям.
В современной логике, с ее символическим методом,
техника и теория мышления достигли небывало высокой
тонкости и точности. Мышление поднялось на вершины
абстракции, обеспечив невиданные технические достижения,
которые, в свою очередь, неизменно стимулируют его
дальнейший подъем. Сегодня можно с полным основанием
считать, что с рождением математики переменных отношений,
глубоко математизированной физики (математика служит
в ней не только для обобщения результатов эксперимента,
но, прежде всего, для моделирования физических процессов
и для поисков новых теорий) и, наконец, символической
логики наступила новая эпоха развития научной мысли.
Однако следует учитывать, что использование
современной логики, как важной составляющей части научной
культуры нашего времени, характеризуется присущей этой
культуре раздвоенностью. Полвека назад, когда империализм
находился еще на стадии относительно «мирной» экспансии,
кризис естествознания вызывался противоречием между
бурным ростом науки, ломающей отжившие понятия, и
консервативной общественной идеологией. Теперь же, после
того как две мировые войны и ряд победоносных
социалистических революций положили конец монопольному
положению капиталистической системы, в естествознании и
математике, а также и в логике борются два направления —
передовое и реакционное. Последнее не только взращивает
паразитирующую на достижениях науки и техники
идеалистическую философию, но и пытается, извращая ее суть,
поставить науку всецело на службу агрессивным
эксплуататорским интересам господствующих классов.
Однако все более значительное число ученых всего мира
начинает понимать, что использование современной науки
и техники таит две полярных возможности: служить либо
счастью, либо невиданным бедствиям людей. Какая из них
будет реализована — зависит лишь от степени сознательности
самих людей.
18

ЛИТЕРАТУРА
1. W. Hamilton. Review of Edinburgh, 1893.
2. J. H ad am ar d. La geometrie non-euclidienne et les definitions
axiomatiques. La Pensee, N 58, 1954.
3. L. Gouturat. Opuscules et fragments inedits de Leibniz. Paris,
4. G. W. Leibniz. Hauptschriften zur Grundlegung der Philosophie.
1904.
5. G. Boole. The mathematical analysis of Logic, 1847.
==g^==

ф
Н. И. Стяжки н
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ
СЕМАНТИЧЕСКИХ АНТИНОМИЙ
В ПОЗДНЕЙ СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЛОГИКЕ
Как известно, «Органон» Аристотеля оказал большое
влияние на эволюцию логической мысли. Аристотелева
логика до сих пор продолжает сохранять свое научное
значение. Ряд крупных ученых (и среди них такие, например,
как Г. Вейль) считают, что аристотелева теория
доказательства имеет определенные черты сходства с построением
геометрии у Эвклида [1, стр. 35]. Обычная характеристика
логики Аристотеля как логики одноместных предикатов
(свойств) является, конечно, правильной.
Обсуждая вопрос об отношении аристотелева формализма
к другим разделам логики, необходимо иметь в виду
принципиально возможное сведение всех отношений к свойствам,
что отмечал Лейбниц, выступая в данном случае строгим
последователем Стагирита. Многочисленные современные
исследователи единодушно признают, что аристотелева
логика включала в себя теорию формальной импликации и
начатки исчисления модальностей. Не случайно поэтому
элементы математической логики появились в
схоластических трактатах именно в XIII в., поскольку они стали
базироваться непосредственно на «Органоне» Аристотеля,
а не на исследованиях Порфирия и Боэция, что имело
место раньше. Примечательно и то, что идеи
математической логики в подавляющем большинстве случаев вызревали
в работах авторов, занимавших как умеренные, так и
крайние, близкие к материализму номиналистические позиции.
Исследования ученых этого направления получили высокую
оценку классиков марксизма-ленинизма. Известно, в
частности, как высоко ценил Маркс научные заслуги Дунса
Скотта. Так, в статье «Дебаты о свободе печати» Маркс
20

замечает: «Двадцать огромных фолиантов Дунса Скотта
[существенную часть которых занимает логический анализ.—
Н. С] поражают . . . , как готическое здание», от них веет
«реальным чувством величия» (К. Маркс и Ф. Энгельс.
Соч., т. I, изд. 1-е, стр. 140).
Настоящая статья имеет целью ознакомить советских
читателей с некоторыми моментами математической логики
в трудах таких крупных схоластических мыслителей, как
Дуне Скотт, Вильям Оккам, Иоанн Буридан и некоторых
других, и она носит, в сущности, обзорный характер. По
затрагиваемой в статье проблематике имеется обширная
литература за рубежом [4, 5, 6, 7]. Более подробно я
останавливаюсь на теории семантических парадоксов
Альберта Саксонского и формализую некоторые из них,
поскольку в доступной мне литературе1 нет строгого анализа
логической сущности этих парадоксов. Мною использованы,
в основном, обширные выписки на латинском языке из
работ средневековых мыслителей, приводимые в [2]. Интерес
представляет также работа М. Владиславлева [3].
Следует отметить, что средневековые ученые-номиналисты,
занимавшиеся логической проблематикой, постоянно
подчеркивали, что они являются учениками Аристотеля, и
тщательно отмечали все те маета из его работ, которые
стимулировали их к исследованиям в новых направлениях. Идеи
математической логики появляются в схоластических
трактатах в силу двух основных обстоятельств: во-первых, под
влиянием непосредственного знакомства с оригинальными
логическими исследованиями Аристотеля, и, во-вторых,
вследствие усиления сенсуалистических тенденций и
тяготения к вопросам математики и естествознания, характерных
для поздней фазы ортодоксальной схоластики.
Идеи исчисления высказываний, в частности теория
материальной и формальной импликации, оформляются
постепенно в специальный трактат под названием «de consequentiis»
(«о следовании»), который в руководствах XVI в.
рассматривается как «современный трактат» («tractatus modernorum»),
в то время как компендиум Петра Испанца «Summulae logi-
cales» именуется в них «logica antiqua» («древняя логика»).
1 Некоторые логики ошибочно полагали, что схоластическая
логика дала сильный крен в сторону от аристотелизма. Так считал,
в частности, французский логик Ш. Серрюс, который упрекал
логиков-номиналистов еще и в том, что последние, по его выражению,
осуществили неправомерную подстановку слов вместо идей. Этот
аргумент совсем не ясен: ведь еще никому пока не удавалось оперировать
с понятиями вне их словесной, материальной оболочки. См. [7,
стр. 58—59J.
21

Истоки отдела «de consequentiis» сами средневековые ученые
искали в 3-й книге «Топики», где Аристотель обращает
внимание на существование таких условных заключений, в
которых от утверждения об одном предмете умозаключают
к утверждению обо всех других предметах одного, и того же
рода {3, стр. 39]. Если у Аристотеля схоласты могли
подхватить идею формальной импликации, то с начатками
теории материальной импликации они знакомились по трудам
арабских логиков Абу Али ибн Сины (Авиценны), Аль
Фарабия, Аль Гацали, Аверроэса [2, III, стр. 138].
Рассмотрим теперь вкратце содержание отдела «de
consequentiis». Основным для него было понятие следования
одного суждения из другого. Содержание этого понятия
было достаточно широким: во-первых, в него вкладывался
тот смысл, который в современной логике связывается
с выражением «А имплицирует В» (А выводится из В по
определенным правилам; символически А\—В\ здесь
импликация понимается в смысле некоторого отношения между
А и В). Во-вторых, в него иногда вкладывался и тот смысл,
который соответствует истолкованию импликации как
операции (функции). На современном «языке» такому
представлению соответствует, например, символическая запись
A Z) В, которая может читаться так: «Если А, то В».
Следует отметить, что истолкование импликации как операции
было намечено в логической школе стоиков. Такое
понимание, однако, было сравнительно редким явлением в
средневековой логике и, как мы это сейчас увидим, оно
отсутствовало, в частности, у Дунса Скотта, который трактовал
импликацию в смысле выводимости.
Дуне Скотт (1270—1308) следующим образом
классифицирует виды следования: «Следование подразделяется на
правильное и неправильное. Правильное следование бывает
энтимематическим и сило логическим; энтимематическое
подразделяется на формальное и материальное. Последнее
бывает простым и фактическим» [2, III, стр. 139]. Понятие
правильного следования (bona consequential по Скотту,
относится к гипотетической связи, антецедент (основание) и
консеквент (следствие), которой соединены либо условным,
либо причинным отношением, причем невозможно, чтобы
антецедент был истинным, а консеквент (одновременно)
ложным2.
2 «Gonsequentia est propositio hypothetica composita ex antecedente
et consequente mediante coniunctione conditional! vel rationali, quae
denotat, quod impossibile est ipsis, Sc. antecedente et consequente,
simul formatis, quod antecedens sit verum et consequens falsum».
22

По Скотту, всякое правильное следование, не являющееся
силлогизмом в смысле Аристотеля, должно считаться энти-
мемой. Он так определяет «формальное следование»:
«Формальное следование имеет место там, где оба термина
изменчивы (uterque terminus est convertibilis), . . . где антецедент
невозможен, . . . где консеквент необходим» [2, III, стр. 140].
Хотя из приведенной цитаты как будто явствует, что
Скотт понятие материальной импликации в современном
смысле включает в понятие формального следования в том же
современном значении этого последнего термина, другие
места из работ Скотта показывают, что термины «consequen-
tia materialis» и «consequentia formalis» понимались им
в смысле, отличном от современного. Именно, первый
термин связывался с такими заключениями, которые не могут
быть получены чисто формально, а требуют для своего
осуществления, в качестве логически убедительных,
дополнительных сведений содержательного характера.
Простейшим случаем таких заключений является обычная энтимема.
Термин же «consequentia formalis» связывался им с
заключениями чисто формального характера. Однако «consequentia
materialis» сводимо к «consequentia formalis» путем
восстановления пропущенных посылок, после осуществления которого
содержание данного заключения перестает играть какую 6bi
то ни было роль в оценке правильности логического вывода.
Но материальное следование сводимо к формальному двумя
разными способами. Если данное материальное следование,
по Скотту, может быть редуцировано к формальному
посредством присоединения к антецеденту суждения
необходимости, то оно называется простым материальным
заключением (consequentia materialis simpliciter). Например, заклю*
чение «Человек ходит, следовательно, животное ходит»
сводится к формальной импликации (в смысле Скотта) с
помощью добавления суждения «Всякий человек животное».
Если данное материальное следование сводится к
формальному посредством присоединения к антецеденту исходного
сложного суждения высказывания случайности, то это
материальное следование называется фактическим (ut nunc)
материальным заключением. Так, например, заключение
«Сократ идет, следовательно, белый идет» редуцируется
с помощью конструирования суждения случайности:
«Сократ бел».
Хотя Скотт отношение логического следования трактовал
еще содержательно, он, как и его ближайший ученик
Вильям Оккам (1300—1347), понимал уже самое следование
в значении очень близком к тому, которое формализуется
с помощью аппарата материальной импликации. Так, в числе
23

правил следования, разработанных Оккамом, можно,
например, прочитать следующие:
(1) Из невозможного суждения следует все что угодно.
(2) Необходимое суждение следует откуда угодно [2, IIIг
стр. 129—130].
Легко видеть, «что эти правила соответствуют следующим
всегда истинным положениям исчисления высказываний:
А 3 (А 3 В)
и
где символ «—» есть знак логического^отрицания. В другом
месте Оккам замечает:
(3) Из истинного суждения никогда не следует ложное.
(4) Из возможного суждения никогда не следует
невозможное [2, III, стр. 129].
Эти правила соответствуют следующим известным
формулам исчисления предложений и модальной логики: A&lBz>
D(iDB) и (A~p&iB~imp)Z){ADB),
где & есть знак конъюнкции, соответствующий союзу «и»,
символ — есть знак эквивалентности; р обозначает
некоторое фиксированное суждение возможности (от латинского
слова «possibile»), imp обозначает некоторое фиксированное
суждение невозможности (от слова «impossible»).
Последователь Скотта Строд развивал, в основном,
теорию формальной импликации (в том смысле, как это
понимал Скотт), для которой он предлагал 24 правила [2, IV,
стр. 46—48, 50—52]. Некоторые из них представляют
интерес в том отношении, что Строд намечает, так сказать,
дальнейшие градации модусов модальной логики. Между
модусами «истинно» и «ложно» у него вклинивается модус
«сомнительно». Приведем некоторые из правил Строда:
(5) Если консеквент сомнителен, то антецедент тоже
сомнителен или известен в качестве ложного.
(6) Если антецедент сомнителен, то консеквент не
обязательно должен быть отрицаем.
(7) Если отрицается консеквент, то антецедент не
обязан быть сомнительным.
Представляют интерес и правила следования,
разработанные Альбертом Саксонским (умер в 1390) [2, IV, стр. 73—
75]. В частности, он сформулировал правило, согласно кото*
24

рому, если из А вместе с каким-нибудь суждением
необходимости следует В, то это В следует из одного только А3.
Символически это правило можно передать так:
где буква N связана со словосочетанием «суждение
необходимости» (от слова «necesse»).
Известный вклад в разработку отдела «de consequentiis»
внес Марсилий Инген (умер в 1396) [2, IV, стр. 101—102].
Среди сформулированных им правил можно, например,
прочитать следующие:
(9) Можно заключать от каждого члена дизъюнкции ко
всей дизъюнкции.
(10) От универсального можно заключать к его
произвольному члену4.
Легко видеть, что девятое правило соответствует
современным правилам введения знака дизъюнкции: А\—А\/ В,
В\—А\/В, а десятое—правилу узкого исчисления предикатов:
Vx<H(x)\—ЭД (г/), где Vx— квантор общности (для всякого х)~
Буква ЭД обозначает некоторое свойство (предикат) предмета х.
Выражение «предмет х обладает свойством %> символически
записывается нами так: 21 (х).
Эти явные начатки исчисления предложений и
предикатов еще более ярко выражены в работах Раймонда Луллия
(1234—1315). Так, в его труде «Введение в диалектику»
суждения делятся сначала на истинные и ложные [3,
стр. 111]. На стр. 151—152 той же работы излагаются
условия, при которых соединительные и разделительные
суждения могут быть истинными или ложными. Эти условия
в точности соответствуют современным правилам истинности
для конъюнкции и дизъюнкции. Луллий вообще уделял
много внимания анализу взаимоотношения между
логическими константами «и» и «или». Ему, как и Дунсу Скотту,
были известны, в частности, правила для выражения
конъюнкции через дизъюнкцию и отрицание и обратно, именуемые"
в современной логике правилами Де Моргана. Так, логик
Ферабрих, повторяя Луллия, иллюстрирует правило
образования противоположности для сложных суждений следую-
3 «Si ad A cum aliqua necessaria sibi apposita sequitur Б, tunc В
sequitur ad A solum».
4 Там же: «Ab universal! ad suam indefinitam». У Раймонда
Луллия это правило сформулировано несколько более развернуто:
«от универсального можно заключать к соответствующему частному,
Неопределенному и индивидуальному» (Луллий. Введение в
диалектику. F8 гВ).
25-

щим примером: «Образовывай противоположность суждению
„Некоторые люди ходят и Сократ не ходит" так: „Ни один
человек не ходит или (vel) Сократ ходит"» [2, IV, стр. 58]5.
Записав этот пример символически, получаем
эквивалентность:
(11) SiP&S^TP ~ (SeP V йгGР),
где S есть знак субъекта суждения, Р — его предиката,
i и е — знаки византийского логика Пселла (родился в 1020 г.)
для обозначения, соответственно, частноутвердительного и
общеотрицательного предложений, символ £ есть знак
отношения принадлежности.
Логические идеи Луллия полностью разделялись
известным испанским педагогом и гуманистом Людовиком Вивесом
(1492 —1540) и гениальным мыслителем Джордано Бруно
(1548—1600). В логической школе Луллия ряд положений
исчисления высказываний постепенно оформляется в
специальный отдел под названием «axiomatica», предпосылаемый
силлогистике. Так поступает, в частности, ученик Луллия
И. Г. Альстед в своем учебнике «Новый вариант
общедоступной логики».
После этого краткого обзора отдела «de consequentiis»
перейдем теперь к столь же краткой характеристике
другого крупного раздела схоластической логики, а именно —
раздела «Insolubilia» (буквально: неразрешимости, т. е.
неразрешимые предложения), интенсивная разработка
которого относится, в основном, к XV—XVI вв. Наибольший
вклад в его разработку был внесен Альбертом Саксонским,
а также парижским оккамистом, известным своими
исследованиями по логике и физике, Иоанном Буриданом (умер
в 1358 г.), который рассматривает, в частности, такую инсо-
любилию6 (т. е. парадоксальное суждение): «Все, что
написано в этом фолианте, ложно». При этом в данном фолианте
вообще больше ничего не написано. Обозначим заключенное
выше в кавычки предложение через /?. Требуется определить,
истинно или ложно р. Допустим, что р истинно. Но тогда
оно, в его собственных словах, является ложным, как
написанное в данном фолианте.
5 Ферабрих употребляет союз vel, т. е. неразделительное «или»:
«Oppositum illius „Aliquis homo currit, et Socrates non est ille" est
ista „Nullus homo currit, vel Socrates est ille"».
6 В точных выражениях самого Буридана эта инсолюбилия звучит
так: «Propositio scripta in illo folio est falsa». Мы просто придали ей
несколько более удобную для анализа форму. Напомним, что такого
рода парадоксы играют большую роль в современной математической
логике и теории множеств.
26

Предположим теперь, что р ложно. Но тогда в фолианте
.должно найтись хотя бы одно истинное предложение, а
таковым может быть только р как единственное
предложение данного фолианта. Следовательно, р надо признать
истинным. Итак, предположив истинность р, мы приходим
к выводу, что оно ложно, и, наоборот, допустив р ложным,
мы должны признать его истинным. Перед нами,
следовательно, два суждения формы pZDp и pZ) р, которые и
свидетельствуют о наличии парадокса, ибо из них следует, что
р эквивалентно р, т. е. явное формальное противоречие.
Разберем теперь несколько примеров семантических
антиномий, встречающихся у Альберта Саксонского, позволив
себе, полностью сохранив форму, изменить в некоторой
части содержание фигурирующих в них парадоксальных
суждений. Первую из этих антиномий сформулируем так:
«Если 2x2 = 4, то некоторое, высказанное лицом N
в промежуток времени t, условное суждение ложно7» [2,
JV, стр. 79]. Кроме фразы, заключенной в кавычки, N за
время t не говорит больше ничего. Требуется определить,
что сказало лицо N: истину или ложь? С целью дать
точный анализ возникающей при этом парадоксальной
ситуации введем сначала два предиката: (1) «в промежуток
времени t некто (N) высказал условное утверждение х»,
который (предикат) обозначим короче «Утв х» и (2) предикат
тождества, обладающий тем свойством, что если х
тождественен Y(X = Y), то все, что верно относительно X, верно
и относительно У. Данные задачи можно тогда
сформулировать так:
1° Утв (2X2 = 4. 3 3X3Y (Утв (X Z) У) & X Z) У))8,
что выражает суждение: «Некто говорит: „Если 2x2 = 4,
то некоторое высказанное условное предложение ложно"».
2° VtVv(yTB(t^v).^.(t=.2x2=£.)&v =
= 3X3Y (Утв (X 3 У) & (жЗТ))),
что выражает то обстоятельство, что Л^ говорит только
заключенное у нас в кавычки предложение. Предположим
теперь, что то, что N сказал, т. е.
(1) 2X2 = 4.3.#Х#У(Утв(Х:эУ)&Х:э У),
7 «„Si homo est animal, aliqua conditional is est falsa", et sit
ли11а alia conditionalis».
8 Для уменьшения числа скобок мы здесь и ниже воспользовались
точками.
27

истинно. Так как посылка импликации (1) истинна, то,
учитывая наше предположение, истинно и заключение, т. е.
выражение:
(2) 3X3Y (Утв (X d Y) & (T5YJ)
верно.
Применив обычный способ рассуждения, состоящий во
введении символов С/0, У0, рассматриваемых как постоянные
(т. е. на место которых нельзя производить никакой
подстановки и к которым нельзя применять правило обобщения),
мы запишем (2) в виде:
(3) Утв([/0=>У0)&с/0:эУ0.
Применяя к условию 2° правило исключения квантора
общности (dictum de omni)9, мы получим далее
(4) Утв(ио^У0).^>.00=.2х2 = А.&.У0 =
= 3X3Y (Утв (X D Y) & (X 3 У)).
Так как в силу (3) в импликации (4) посылка Утв (U0ZD V0)
истинна, то истинен и консеквент (4), т. е. U0 совпадает
с 2x2=4, a V0 с 3X3Y (Утв (X z> У) &Х Z) У). Но это
означает, что U0 Z) VQ оказывается в точности нашей
импликацией (1). Между тем из (3) следует U0Z)V0. Предположив
истинность импликации (1), т. е. UQZ)V0, мы таким образом
получили, что импликация (1) ложна. Так как антецедент
ее истинен, то это означает, что заключение ложно, т. е.
имеет место формула
3X3Y (Утв (X Z) У) & Х5Т)
или
VxVy (Утв (X 3 У) -> (X 3 У)),
откуда, далее, в силу правила исключения квантора общности
(при замене X на 2 X 2 = 4, а У на 3X3Y (Утв (X Z) У) &
&ХзУ),
(5) Утв(2х2=4).з.^Х^У(Утв(ХзУ)&(ХзУ)).3.
.3.(2х2 = 4).З.^Х^У(Утв(ХзУ)&(ХзУ)).
Так как по условию 1° антецедент импликации (5)
истинен, то истинно и заключение, которым, однако, является
9 При замене t на U0i а V на V0, что разрешается по этому
правилу сделать.
28

импликация (1), предположенная нами ложной. Итак, если
импликация (1) истинна, то она ложна; если же она ложна,
то она истинна. Мы имеем, следовательно, дело с
«неразрешимым» (insolubile) предложением, с парадоксом.
Аналогично получается антиномия также в следующих
трех примерах Альберта Саксонского:
(a) «„2x2 = 5 или некоторая дизъюнкция ложна",
причем в нашей предметной области нет больше ни одного
предложения»10 [2, IV, стр. 80].
(b) «„2x2 = 4 или некоторая конъюнкция ложна",
причем заключенное в кавычки предложение является
единственным»11.
(c) Имеются только два предложения рг и р2. рг является
фиксированным истинным суждением, а р2 гласит: «Только
рх истинно». Требуется определить, является ли р2
истинным, или же оно ложно12.
Разберем хотя бы пример (с). Прежде всего, легко
получить парадокс содержательно. Допустим, что р2 истинно.
В таком случае только pL истинно, а все другое, отличное
от /?:, ложно. Но р2 отлично от рг. Значит, р2 ложно.
Предположим теперь, что р2 ложно. Тогда должно найтись
хотя бы одно истинное суждение, отличное от /?г Но таковым
может быть только р2 (ведь кроме р1 и р2 у нас нет ни одного
другого суждения). Значит, р2 истинно, что и конструирует
парадоксальную ситуацию. С целью дать формализацию этого
парадокса, введем сначала предикат тождества13, а также
предикат «Скз С» («сказал Сократ»), означающий: «утверждать
одно единственное истинное предложение в промежутке
времени t», и предикат «Скз П» («сказал Платон»), означающий
«утверждать в промежутке времени t предложение р2».
Формализуем антиномию следующей системой посылок:
1° Скз С(р V
2° Скз ЩСкз CipJ&iVziz^pJziz),
которую мы короче обозначим «Скз II (р2)»]
10 «„Homo est asinus vel aliqua disiunctiva est falsa", et sit nulla
alia disiunctiva in mundo».
11 «„Homo est animal et aliqua copulativa est falsa", et sit sic,
quod nulla alia copulativa sit in mundo, quam haec ipsa. Tunc quae-
ritur, utrum sit vera».
12 «Dicat Socrates: „Homo est animal", et Plato dicat: „Solus
Socrates dicit verum", et non simul alii loquentes in mundo. Tunc quae-
ritur, utrum Plato dicit verum».
13 Необходимость специального введения предиката различия
отпадает в силу того обстоятельства, что различие есть отрицание
тождества.
29

3° Vw (w=^p1 \/ w = p2), чем выражается то обстоятельство r
что кроме pL и р2 в промежуток времени t никем не
высказывается больше ни одного предложения;
4°Р1¥=Р2-
Предположим, что то, что сказал Платон, истинно, т. е.
что верна формула
(1) Скз CipJ&LVzdzjLpJ^z).
Но в (1) первый конъюнктивный член истинен (посылка 1°)г
и его можно поэтому отбросить. Формула (1) эквивалентна
выражению
(2) Vz((z=£Pl)Z>*).
По dictum de omni из (2) получаем
(3) (P2¥=Pl)^>P2'
Но поскольку антецеденту импликации (3) соответствует
посылка 4°, то (3) равносильно
(4) р2.
Итак, допустив, что р2 истинно, мы приходим к выводу, что
оно ложно.
Предположим теперь, что р2 ложно, т. е. что верна
формула:
(5) Скз CipJ&Vzdz^pjDz),
что равносильно
(6) Скз С(р,)\/аГ*((*^Л)&2),
откуда имеем
(7) Zfz((z^Pi)&Li).
Введем теперь вместо z постоянный символ z0, применяя
тот же прием, который был уже использован при
формализации предыдущего парадокса. Имеем
(8) (z0^Pl)&Z.
Применив к посылке 3° правило исключения квантора
общности, получим
(9) z0=p1\/z0 = p2.
Сравнивая (8) и (9) и учитывая, что 10 эквивалентно zf
заключаем, что z0 совпадает с р2. Подставляя в (8) р2
вместо 20, имеем
(10) (Р*¥-Р,)Ь%.
30

Но первый член конъюнкции (10) элиминируется как посылка.
Окончательно получаем
(") Рг
Итак, предположив ложность р2, мы получаем, что р2 истинно,
что в соединении с формулой (4) приводит к антиномии.
Предоставляем читателю самому получить антиномию из
следующих двух примеров Альберта Саксонского:
(d) Имеются лишь три предложения: р1ч р2 и /?3, причем
рг гласит: «р2 ложно», р2 гласит: «р3 ложно», а р3 гласит:
«/?! ложно». Требуется определить, истинно или ложно рг.
(e) Имеются лишь два предложения: рх и р2, причем pY
гласит: «р2 ложно», а р2 гласит: «р1 истинно». Определить,
истинно ли рг или же оно ложно.
Дискуссия по проблеме парадоксов в схоластической
логике была весьма оживленной. Здесь мы не
останавливаемся на ней, а отсылаем читателя, который хочет
ознакомиться с ней, к работе [5].
Из попыток средневековых ученых найти способы
устранения антиномий рассмотрим лишь теорию Буридана, которая,
по-видимому, представляет наибольший интерес. Она
изложена, в основном, в его работах «Sophismata» и «lohannis
Buridani Quaestiones in Methaphysicam Aristotelis», изданная
в Париже в 1518 г. Рассуждение Буридана о способе
элиминации семантического парадокса с формальной точки зрения
может быть передано так. Пусть р есть некоторое
неразрешимое предложение, например уже разобранное выше
суждение: «Все, что написано в данном фолианте, ложно». Для
устранения возникающей в этом случае антиномии Буридан
предлагает к р присоединить вспомогательную посылку А/?г
где Ар означает, что предложение р действительно было
высказано кем-нибудь, например Сократом. Из конъюнкции
р&Др выводимо предложение р. Но из р на основании
значения р, т. е. собственных слов этого выражения,
выводится суждение р. Итак, из /?&Ар получены два
предложения р и р, т. е. явное формальное противоречие. Но если
из данного суждения следует противоречие, то оно (данное
суждение) ложно, т. е. формула р&кр истинна. Ноиз/?&Д/>
следует, что р^Экр. Другими словами, из предположения,
что р истинно, следует только, что Сократ не мог его
произнести. Заметим, что из р&кр следует также, что ApZDpr
т. е. из того, что Сократ произнес р, вытекает ложность р.
Таким образом, парадокса не получается.
Другой способ формализации идей Буридана, на наш
взгляд, излишне модернизирующий и усложняющий эти
идеи, читатель может найти в книге [5].
31

На этом мы заканчиваем обзор некоторых элементов
математической логики в средневековых логических
исследованиях, считая, что затронутая тема безусловно
нуждается в дальнейшей разработке и не может не привлекать
внимания советских специалистов по истории логики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Вейль. О философии математики. М., 1934.
2. К. Prantl. Geschichte der Logik im Abendlande. Bd. 1—4, Leipzig,
1855-1870.
3. M. И. Владиславлев. Исторический очерк логики Аристотеля,
схоластической, формальной и индуктивной. СПб., 1881.
4. J. М. Bochenski. Ancient formal logic. Amsterdam, 1951.
5. E. A. Moody. Truth and consequence in Medieval logic. Amsterdam
1У5о.
6. К. Dtirr. The propositional logic of Boethius. Amsterdam, 1953.
7. Ш. Серрюс. Опыт исследования значения логики. ИЛ, М., 1948.
t

^
Н. И. С тяж к ан
УПРОЩЕНИЕ П. С. ПОРЕЦКИМ
НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМОВ
КЛАССИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Выдающаяся роль в развитии логики на рубеже XIX—
XX вв.принадлежит русскому логику и математику, профессору
Казанского университета Платону Сергеевичу Порецкому
(1846—1907). Им получены ценные научные результаты
в алгебре логики, сохраняющие свое значение вплоть до
настоящего времени.
Алгебра логики является наукой, широко используемой
сейчас в логике классов (объемов понятий) и высказываний
(суждений), в математике (булевы алгебры, теория
вероятностей) и в технике (теория релейно-контактных электрических
схем). Развитие алгебры логики связано с развитием
математической логики вообще, в свою очередь обусловленным как
потребностями математики в точном обосновании и строгом
изложении, так и, особенно, с преодолением трудностей
в решении ряда важных математических задач. Решения
последних выявили необходимость уточнить вопросы
общелогического характера, связанные с общими методами
решения задач и доказательства теорем и прежде всего задач
вычислительной математики, особенно важных для
естествознания и техники.
Принято считать, что разработка математической логики
была подготовлена исторически двумя генетическими
течениями: с одной стороны, — направлением Дж. Буля,
В. Джевонса и Э. Шредера, отличительной особенностью
которого является математическая обработка алгебры логики,
т. е. дедуктивного фрагмента классической логики; с другой
стороны, — направлением Г. Фреге, Д. Пеано и других, для
которого была характерна попытка отобразить отдельные
математические дисциплины в аксиоматически построенном
за

логическом исчислении. В зарубежной логической литературе
существует мнение, что «Лекции по алгебре логики» Э.
Шредера «представляют собой в известной степени заключительное
звено в цепи развития, начинающегося с Буля» [1, стр. 18.].
Эта точка зрения представляется нам ошибочной, поскольку
она игнорирует оригинальные логические исследования
П. С. Порецкого, работы которого существенно обобщают и
развивают достижения Буля, Джевонса и Шредера. Известный
французский ученый Л. Кутюра считал методы
Порецкого кульминационным пунктом в развитии алгебры логики
в тот период [2]. Исследования Порецкого продолжают
оказывать стимулирующее влияние на развитие
алгебраических теорий логики и в наши дни, что сильнее всего ощущается
в докторской диссертации А. Блэйка «Канонические
выражения в булевской алгебре», защищавшейся в Чикаго в 1938 г.1
Основные понятия А. Блэйка — «силлогистический полином»
и «упрощенная каноническая форма», по справедливому
замечанию автора, «предполагают комбинирование метода
Шредера с методом Порецкого» [3]. Метод Порецкого
оценивается Блэйком значительно выше методов его
предшественников. Так, метод Шредера «неудовлетворителен в том
смысле, что неполно характеризует класс всех заключений,
которые могут быть выведены из данного равенства. Таблица
следствий Порецкого предназначена для этой цели» [4, стр. 38].
Авторы, использующие канонические формы булевой
алгебры, и в настоящее время обращаются непосредственно
к работам Порецкого. Так, в недавно вышедшей книге
О. Беккера [5] достижения Порецкого отображены с
достаточной полнотой. Автор отмечает, в частности, что «закону
форм Порецкого соответствуют также соотношения для
логических неравенств» [5, стр. 21]. Теория логических неравенств
Порецкого используется в дальнейшем самим Беккером
в развиваемом им исчислении модальностей.
При изложении логики классов Порецкого, который сам
не сформулировал полностью систему используемых им
аксиом и правил вывода, мы приняли за исходный пункт
современную аксиоматику дистрибутивной структуры с
равенством. Это дает возможность упростить в некоторых случаях
доказательства ряда теорем Порецкого. В заключение
рассматривается возможность технических приложений идей
Порецкого, развитых дальше Блэйком, о канонизации
логических выражений. Задача настоящей статьи состоит в том,
1 Соотечественник Блэйка — логик и математик Мак-Кинси
в рецензии на эту диссертацию отмечает, что приемы Блэйка
стимулированы «таблицей следствий Порецкого, служащей для получения всех
следствий булевского уравнения» [4, стр. 93].
34

чтобы показать, что некоторые приемы Порецкого являются*
достаточно актуальными с точки зрения математической
логики и техники. Порецкому принадлежат оригинальные и
очень простые алгоритмы, решающие для исчисления классов
и высказываний задачи об отыскании всех следствий
определенного вида из заданных посылок и всех гипотез
относительно логических оснований для данных следствий. С
помощью этих алгоритмов очень просто решаются также и
булевско-шредеровские задачи об элиминации и решении
уравнений.
Логическое исчисление Порецкого строится, исходя
из множества переменных элементарных термов а, Ъ, с,. . . .
Кроме того, в его исчислении есть еще два постоянных
терма: 1 и 0. Эти термы, интерпретируемые в предметной
области исчисления классов, обозначают соответственно
универсальный («мир речи» — по терминологии Порецкого)
и пустой класс. Сложные термы образуются Порецким
из элементарных с помощью последовательности операций:
(I) двоичных, которые он обозначает знаками «•» и «-}-»
(в логике суждений эти знаки соответствуют конъюнкции и
дизъюнкции), (II) единичной, соответствующей образованию
дополнения (в логике суждений — отрицания), которую он
в разных работах обозначает по-разному. Мы будем обозначать
ее штрихом справа. Конъюнкцию и дизъюнкцию мы будем
в дальнейшем называть соответственно сложением и
умножением. Основным неопределяемым отношением, посредством
которого определяются все другие отношения, является
отношение равенства. Алгоритм Порецкого есть исчисление
логических равенств. Логические равенство отличается от
сколь-угодно сложного логического класса тем, что оно
выражает суждение и притом обязательно общее
(положительное или отрицательное). Равенство друг другу данных
логических классов означает, что они равнообъемны.
В рассмотрение вводится множество всех логических
равенств г вида е1 = е2, где е1 = Ф(а, Ъ, с, . . .), е2 = ср (а, 6,
с, . . .) логические термы, образованные с помощью операций.
«-J-», «•» и «Ь) из термов а, 6, с, d, . . .
Через посредство отношения равенства определяется
далее отношение включения
а ^ bDj: = : а = аЬ
ь.: = : обозначает здесь эквивалентность суждений по
определению. Употребленные выше буквы е1 и е2 не являются
знаками исчисления, применяемыми Порецким, но вводятся
нами для обозначения термов (для передачи содержательных
35

сообщений об этих термах). Мы будем в дальнейшем избегать
излишнего употребления скобок, используя с этой целью
прежде всего те же правила, которые применяют в обычной
буквенной алгебре, а также прибегая иногда к замене скобок
точками. Знак умножения между буквами будет в дальнейшем
опускаться.
Вопрос об аксиоматике Порецкого является достаточно
сложным. Трудность состоит в том, что Порецкий нигде не
дает точного перечня своих аксиом. В аксиоматическом
характере его логических работ сомневаться, однако, не
приходится. Так, например, казанский математик Н. Парфентьев
утверждал, что «исчисление Порецкого основывается на
нескольких постулатах и развивается в дальнейшем
дедуктивно-аксиоматическим путем» [6]. Другой русский
математик, И. Слешинский, справедливо считая, что алгебра
логики в [2] изложена по Порецкому (разумеется, в популярно-
фрагментарном освещении), признает фактически, что
аксиоматика Порецкого имеет вид2:
(Г Сл) а<^а
(2 Сл) ((а<Ь).(Ь<с))<{а<с)
(3 Сл) ab<a
(4 Сл) аЪ<Ь
(5 Сл) ((а < Ъ) (а < с)) < (а < be)
(6 Сл) ((а<6) (6<а))<(а=6)
(7 Сл) (а = 6)<(а<6)
(8 Сл) (а=Ъ)<(Ъ<а).
Мы утверждаем, что система аксиом и правил (1 Сл. —
S Сл.) в точности эквивалентна системе аксиом так
называемой «логической группы» (термин Карри), поскольку она
имеет дело только с одной операцией (обозначенной с
помощью « • »). Система аксиом и правил, описывающая
логическую группу в терминах отношения включения [7], такова:
<1 с)
(2 с)
(3 с)
(4 с)
(5,с)
(6,с)
е^е
«е < е() & (et < е2)) — (е < е2)
ее1 ^е
{{е < eL) & (ег < е2)) -> (е < е • е2)
(e = el)z>/: = :(e<e1)&(e1<e).
2 Запись аксиом 1 Сл — 8 Сл в точности совпадает
их у И. Слешинского.
36
с записью

Аксиомы (1 Сл — 5 Сл) в точности совпадают с аксиомами
(1 с — 5 с) Карри для логической группы. Аксиомы (6 Сл—
8 Сл) эквивалентны одной единственной аксиоме Карри,
а именно аксиоме (6 с). Следует заметить, что аксиоматика
(1 Сл — 8 Сл) не проводит различия между отношением и
правилом. В частности, в аксиоме (2 Сл), например, первый,
второй и четвертый знаки < употреблены в качестве знака
отношения, в то время как третий знак < есть явно знак
импликации (в смысле правила вывода). Точно так же точка
между первыми двумя скобками в этой аксиоме есть знак
конъюнкции в смысле исчисления высказываний, а не
в смысле операции, производимой Порецким (пересечение
классов). В исчислении высказываний, где различие между"
операцией и отношением стирается, поскольку и результатом
операции является «истина» или «ложь», все знаки Слешин-
ского могут быть истолкованы однозначно, однако в таком
случае окажется, что Слешинским не сформулированы правила
вывода из аксиом (в аксиоматике Карри аксиомы (2 с), (5 с)
и (6 с) являются правилами вывода). Аксиоматика (1 Сл —
8 Сл), предлагаемая Слешинским, не выявляет, таким образом,
действительную аксиоматику Порецкого. Уже в первом
крупном исследовании Порецкого [8] приводятся аксиомы и
правила, совпадающие соответственно с аксиомами и правилами
5А, 5*А, 6А, 6*А, 7А, 7*А, 9*11, 9П, 10А, 10*А, НА, 11*А,
12А, 12*А нижеприводимой системы. Остальные аксиомы
этой системы могут быть найдены в работе Порецкого [9].
Мы положили в основу' анализа исчисления Порецкого
систему аксиом и правил вывода дистрибутивной структуры
с дополнением, которую можно сформулировать следующим
образом.
Буквы а, Ъ, с, . . . обозначают переменные, знаки «1» н
«О» — постоянные. Операциями будут «умножение»,
обозначаемые знаком « • », «сложение» — «-(-*» «дополнение» — « 1».
«Терм» мы определим как обычно по индукции: (1)
переменные а, Ь, с, . . . и постоянные 1, 0 суть термы: (2) если е
есть терм, то ё— также терм; (3) если ех и, е2 — термы, .то
ег • е2 и е, -|- е2 также являются термами. В качестве исход^-
ного (неопределяемого) отношения Порецкий избирает
отношение равенства (=). Отношение включения (^)
определяется нами через равенство. Все формулы приводимой ниже
системы мы будем нумеровать подряд3, отмечая при этом
аксиомы буквой А, а правила вывода буквой П (правилами
вывода являются формулы, содержащие знаки импликации
«->» и конъюнкции «&»).
3 Формулы, двойственные к формуле за некоторым номере.м*
обозначаются тем же номером со звездочкой.
37

(1А)е = е (рефлективность равенства: принцип тождества)
(211) (е = е3) -> (е1 = е) (симметричность равенства)
(ЗП) ({е = е1))&(е1 = е2))->(е = е2) (транзитивность равенства)
(4А) е-е = е ( идемпотентность сложения и умножения
(4*А) е-\-е = е \ (конъюнкции и дизъюнкции)
коммутативность сложения и
умножения (конъюнкции и
дизъюнкции)
(5А) e>e1 = el
(5* А) е-\-е1=:(
[ ассоциативность
(6А) (е • еЛ • е2 = е (е, • е2)
4 ' \ и & viz/ i дизъюнкции и
(6* А> (е + ег) + е9 = с + (*i + *2)
v ' Nii/i- I \ 1 I z/ конъюнкции
(7А) е-(е-|-е1) = е принципы поглощения
(7*А) e-f-e^-e
(8А) е<е1:/)/=:е = ^,4
(8* A) ei ^ ezy: ^^ : ^i = ^ -т <?
(911) (е = ех) -> (е2е = е2е:)
(9*П) {е = е1)-»(е2 + е=е2 + е1)
(10А) е (ех -f- е2) = eei + ее2 дистрибутивность
(Ю*А) в+ ^=(6 + ^) (в + в2)
(НА) е + е'=1
(11*А) е-е' = 0
(12А) е + 0=е
(12* А) е- 1 = е.
Аксиомы понимаются нами как схемы аксиом, т. е. как
суждения, в которых буквы е, ех, е2 обозначают простые
или сложные термы. Употребление правил вывода поясним
на примере разбора соотношения (311), которое словесно
может быть передано так: «если доказаны посылки e = eL и
е[=е2, то доказано заключение е=е2 (свойство
транзитивности)». Иначе говоря, имея посылки е = е1 и е1 = е2, можем
применить к ним правило (ЗП), позволяющее вывести из них
суждение е — е2.
4 В истолковании в логике классов отношение а ^ Ь соответствует
вк лючению класса а в класс Ь.
5 Отношение > является обратным для отношения. Выражение
а > Ь читается так: «а содержит (включает) Ь».
38

Все теоремы логических равенств Иорецкого могут быть
получены по этим правилам вывода из вышеприведенной
аксиоматики. Докажем для примера одну из теорем теории
логических следствий Иорецкого [9]:
(е = е.е1)->(е=е fa+x)).
В интерпретации Порецкого эта теорема означает: «Если
доказано равенство е=еех [или, что то же—е^:е1, в силу
аксиомы (8А)], то доказано и равенство е — е (е1-\-х) (или,
что то же-—е^ег-{- х, в силу той же аксиомы)».
Доказательство:
(1) е = ее1 (дано)
(2) е -\- ех = еег -\- ех (по правилу 9*П при е2 = ех)
(3) е = е + ех (по 7*А и 2П).
Из (3) и (2), используя правило вывода (311), получим
(4) е = ее1 -(- ех,
откуда, опираясь на (10А) и (2П), имеем
(5) е=е (е1-[-х), что и требовалось доказать.
Заметим, что из системы аксиом и правил (1А — 12А)
может быть получено правило замены равного равным,
которое будет нами в дальнейшем использоваться при
доказательстве теорем теории Порецкого. Мы будем
пользоваться также в дальнейшем так называемым принципом
двойственности, следующим, как нетрудно обнаружить,
из приведенной нами системы аксиом [10, стр. 19]. Мы не
будем доказывать здесь теорем: О^а для любого класса а
и (двойственную) а ^ 1 для любого а, которыми будем
пользоваться. Их доказательство не представляет трудностей.
Переходим теперь к описанию основных понятий теории
Порецкого.
Решить данное логическое равенство — «значит вывести
из него все или некоторые его логические следствия» [8,
стр. V]. Решение равенства является полным или частным
в зависимости от того, все или только некоторые следствия
данного равенства действительно найдены. Говоря о «всех
следствиях» из данного равенства, Порецкий имеет в виду
вывод такого следствия из данного равенства, из которого
само это равенство также может быть получено в качестве
следствия. Другими словами, полное решение данного
равенства есть такая система его следствий, которая эквивалентна
этому равенству. Так, например, одним из частных решений
равенства
l = ab-\-a'c (1)
39

является a = ab (2), а полное решение равенства (1) состоит
из равенств
a = ab и а' = а'с. (3)
Действительно, помножив обе части (1) на а, имеем a = ab.
В самом деле,
a-l=a-ab-\-a-a' -с
a = ab-{-0
a = ab.
Точно так же, помножив обе части равенства (1) на а\
получим
а' • 1 = a'ab + а а с,
а =ас.
Таким образом, как (2), так и (4) оба являются следствиями
из (1). Легко доказать, что последнее, в свою очередь,
является следствием системы равенств (3). В самом деле,
сложив почленно (2) и (4), имеем
а~\-а' = ab-\-a'c
или
l = ab-\-a'c.
Таким образом, система (3) является полным решением
равенства (1). С другой стороны, ясно, что ни одно
из равенств (2) и (4) не эквивалентно в отдельности
равенству (1). Чтобы доказать это, достаточно положить й=1,
а отличным от 1, а с равным 0, тогда равенство (1) станет
неверным:
1=а • 1-|-я'• 0, т. е. 1 = а,
что противоречит нашему условию о том, что а является
отличным от 1. Аналогично доказывается, что из (4) не
вытекает равенство (1).
Переходя к представлению предложений в системе
Нередкого, отметим прежде всего, что для понимания логического
исчисления Порецкого существенна следующая теорема:
для каждого равенства е1 = е2, где е1=гф(а, 6, с,...);
е2 = ср(а, Ь, с, . . .) существуют в числе его эквивалентных
представлений две формы вида
eie2 + e'A = i-
40

Мы докажем, что (е1 = е2)^е1е2-\-е[е2 = 0, после чего вопрос
о равенстве еге2 -f- ехе2 = 1 решается, учитывая принцип
двойственности.
Докажем6 сначала, что fe1 = e2j -> (еге2-{- е'ге2 = 0).
е1 = е2 (дано)
6^2 = 0 (по правилу (9П)
е[е2 = 0 (по 9П и 5А).
Складывая почленно предыдущие два равенства, имеем.
Теперь покажем, что и наоборот
(е1е'2 + е,1е2 = 0)-*(е1=е2)
eie2 + eie2 = ° (Дан0)
j ехе;=0 (по 9П, 12А)
W } е[е2 = 0 (по 911, 12А).
Для того чтобы преобразовать два предыдущих равенства
во включения, заметим, что из системы аксиом и правил
(1А—12*А) выводится соотношение
(П) (ei<e8)5±(e1e; = 0).
Для этого достаточно воспользоваться определением
отношения ^ в (8А); умножив на е[? оба члена правой части
эквивалентности (8А), мы получим, что (е^е9)-> (ег-е'2 = 0).
Импликация в другую сторону получится так: е1 = е1(е2-\-е'2^
но е^^О, тогда e1 = eLe21 т. е. е1^е2. Поэтому из системы
равенств (I) с учетом соотношения (II) выводим е1 <^е2&е2^еГ
Следовательно, е]=е21 что и требовалось доказать.
Для теоремы (I) легко подыскать простую
топологическую модель. Пусть е] = Ф (а) = а; е2=у (b) = b, где буквы а
и b изображают классы (объемы понятий), которые в
соответствии с логической традицией мы будем
интерпретировать на кругах Эйлера. В результате имеем схему,
показанную на рис. 1, из которой ясно, что если а = Ь, то классы abr
у В доказательстве мы не будем полностью перечислять все аксиомы
и правила, которыми мы пользуемся; ограничимся лишь такими
указаниями, по которым читателю будет уже нетрудно восстановить весь
ход доказательства.
41

и bo! пусты; с другой стороны, ясно также, что
объединение классов ab и а'Ь' в этом случае совпадает с
универсальным классом 1.
Вышеприведенное аналитическое доказательство теоремы 1
является, однако, вполне независимым от той или другой
геометрической интерпретации ее условия. Выражение ехёг-\-
-{~еге2 в теореме 1 Порецкий называет логическим нулем
равенства е1 = е2, который мы обозначим посредством
@ (ег, е2), или, сокращенно, ©. Выражение eie2 + eie2 в
теореме 1 Порецкий называет логической единицей равенства
е1 = е2, которую мы обозначим посредством (D (е1? е2),_или,
сокращено, Q). Порецкий определяет также «универсальную
логическую единицу»:
V —: ^+Ф ^ + е*у- - • * (е»-1+е*-0 (е«+е^
и «универсальный логический нуль»:
%/- = :е19 е[ + е2 # в'Л • • • -К_! * <_1 + Ся # С
т. е. универсальный и пустой классы по современной
терминологии. Существенным понятием в логической теории
Порецкого является понятие формы
данного логического равенства. Форма
для данного равенства г есть его
эквивалентное представление гх, такое,
что из г следует гг и из гх следует
г7. Например, равенство a = ab имеет
следующие формы:
ab'=zO; b = b-\~a; a'-\-b=l и др.
Следует отметить, что существует
ряд логических выражений,
эффективное исследование которых обеспечи-
Рис. !• вается применением к ним теории
форм Порецкого. Применяя метод
Порецкого, например, к системе равенств а = Ь = с, для
которых логическими нулями будут соответственно:
1) ab'-f-a'b для а = 6,
2) be' -\-b'c для b— с,
3) ас' -j-a'c для а = с,
7 Два выражения называются эквивалентными в случае, если они
могут быть преобразованы одно в другое посредством конечного числа
шагов в смысле аксиом и правил 1А — 12*А.
42

мы получим логический нуль системы в виде
aV + a'b + be' -f Ъ'с + ас' + а'с — 0.
Теория форм логических равенств применяется Порецким
прежде всего для решения логической проблемы
исключения классов из данных логических равенств (проблема
элиминации). Правило элиминации Порецкого символически
можно представить так:
где
(е1=е2)-*[(Т)(а, а', 6, Ъ\ . . ., 1, 1, 1, 1, ...) = 1],
Ф=б1в2 + еЛ=ф(а, а', Ь, V, . . ., к, к\ е, е\ . . .).
У
Иными словами,-«для исключения из равенства г,
представленного в единичной форме 8 ф (а, Ь, с, . . .) = 1, данных п
букв, достаточно заменить
на 1 все исключаемые классы
и их отрицания» [8].
Рассмотрим пример
применения правила исключения
Порецкого.
Исключим буквы b и
d из равенства
abc'd-\-a'b'cd'=\,
уже представленного в
единичной форме. По
правилу исключения
Порецкого, имеем
л.1.с'.1 + а'- 1 -с-1=1,
ас' -{-а'с — 1, т. е.
а=с'.
¥
Рис. 2.
Наибольший интерес с точки зрения современной алгебры
логики представляет та часть теории логики Порецкого,
которая трактует о выведении следствий из данных посылок.
Дело в том, что при решении этой проблемы Порецкий не
ограничивается употреблением совершенной конъюнктивной
(двойственной дизъюнктивной) нормальной формы для
логических выражений, что, как известно, имеет место, напр мер,
8 Это представление не является однозначным, однако теорема
элиминации справедлива для любого из таких представлений.
43

в [1]. Прием Иорецкого был развит дальше в [З]9. Поэтому
идеи Порецкого, касающиеся канонизации логических
выражений, мы будем в дальнейшем излагать в терминах
Блэйка. Для этого нам придется определить его основные
понятия: формальное включение и силлогистический полином,
введенные им под явным влиянием логической системы
Порецкого. Если каждый член полинома А включается хотя бы
в один член полинома В (включение здесь понимается в смысле
отношения ^), то говорят, что полином А включается в
полином В формально.
Если же полином А неформально включается в полином
В, то *это обстоятельство записывают так: А с В. Например,
полином а'с неформально включается в полином а!Ъ-{-Ь'с.
Силлогистическим полиномом (обозначим его посредством рсил)
называется полином, обладающий тем свойством, что каждый
включаемый в него полином включается в него формально.
Другими словами, не существует такого полинома /?,
который бы включался в рсил неформально. Поэтому
силлогистический полином дает простую характеристику класса всех
включаемых в него полиномов. Прежде чем привести пример
силлогистического полинома, опишем идущий от Порецкого
прием получения силлогистического полинома для данного
логического выражения е [13, стр. 159].
Будем называть буквы сопряженными, если они
находятся друг к другу в отношении взаимного отрицания.
Сопряженными являются, например, буквы а и а', а", и а".
Будем называть два одночлена сопряженными, если они
отличаются друг от друга тем, что в одном из них
встречается какая-нибудь буква с, а в другом ее отрицание V,
н, кроме того, ни в одном из этих одночленов нельзя
найти другую букву /, для которой существовала бы
сопряженная ей буква /' в другом одночлене. Например,
сопряженными будут одночлены abed и defgd. С другой стороны,
одночлены аЬ и и а'Ъ' не являются сопряженными, поскольку
в них встречаются две пары сопряженных букв, а не одна.
Введем, вслед за Блэйком, операцию сопряжения
сопряженных одночленов. Эта операция состоит в том, что бе-
9 Легко убедиться, что приведенный выше алгоритм элиминации
Порецкого эквивалентен приему Блэйка (ср. правило элиминации
Порецкого с излагаемой в дальнейшем блэйковской операцией сопряжения
сопряженных мономов). Именно, в [13] Порецким была доказана
теорема, согласно которой имеют место следующие эквивалентности:
(1) Ах + Вх9 = Ах' + АВ и
(2) Ах + Вх' = (Ах + Вх') • (Л + В).
См. [13, стр. 159—160].
44

рутся произведения всех букв в сопряженных одночленах,
за исключением сопряженных букв.
Обозначим эту операцию посредством знака А перед
сопрягаемыми одночленами, а ее результат с
первоначальным выражением будем связывать знаком =:
А{Лс + Вс')ШАВ.
Легко показать, что Ас-\- Вс'-\- АВ = Ас-\- Вс.' В самом деле,
пользуясь тем, что АВ = АВс -f- АВс', имеем: Ac -f- Be' -\- АВ =
= Ас-\~Вс' -|- АВс-\- АВс, но, по правилу поглощения, ЛВс
поглощается членом Ас, в АВс'— членом Вс'', т. е.
Ас-\-Вс' + АВ=Ас + Вс'.
Таким образом, мы доказали, что результат сопряжения
сопряженных членов данного полинома, будучи сложен
с первоначальным полиномом, дает в итоге полином,
эквивалентный первоначальному.
Представим теперь, что данное логическое выражение е
сведено к эквивалентному ему полиному, который мы
обозначим ре. Как показал Блэйк [3], ре может быть однозначно
сведен к эквивалентному ему силлогическому полиному р°еил
посредством сопряжения всех сопряженных мономов и
использования правила поглощения
e-\~eei = e (аксиома 7*А).
Для удобства операцию сопряжения можно выполнять
сначала над двухбуквенными членами, затем над двухбуквен-
ными и трехбуквенными, далее над трехбуквенными и т. д.
После сопряжения и присоединения полученного таким образом
результата — нового члена, следует выполнить все
возможные поглощения. В качестве иллюстрации этого приема
найдем, например, силлогистический полином для выражения
"~ (1) a'b'c-\- a'b'de + abd'e' + acd'e'-\-b+ d + с'.
Прежде всего, из рассмотрения (1) замечаем, что третий
член поглощается пятым, а второй — шестым. Поэтому
выражение (1) сводится к выражению
(1*) a'b'c + acd'e' + b + d + c'.
Приступаем теперь к сопряжению сопряженных
одночленов. Одночлен а'Ь'с сопрягается с одночленом Ь, в
результате чего образуется новый член а'с, который, будучи
сложен с (1*), поглощает член аЪ'с. Сопрягая acd'e с с',
получаем новый член ad'e. Выражение (1*) сводится к
выражению (1**) a'c-{-ad'e' -{-b-\- d-\-c'.
45

Сопрягая а'с с ad'e\ имеем cd'e. Этот последний член
будучи сопряжен с d, образует в результате новый член сё.
Сопрягая член сё с с', получаем член ё, который, будучи
сложен с (1**), поглощает член ad'e', а также вновь
образованный член сё. Член а'с, будучи сопряжен с с', дает
место новому члену а', который поглощает а'с. В
результате получаем упрощенную каноническую форму,
силлогистический полином
(2) a' + b + d + ё + ё,
который является простым и, вместе с тем, однозначным
представлением логического выражения (1).
—г; i i i i—
аг в ct е' с'
i_i l^j i
х
Рис. 3.
Силлогистический полином употребляется для выведения
следствий из данного логического выражения. Если
равенство В = 0 является логическим следствием из равенства
Л=0, то полином рв, равный 5, включается в полином ри
равный А.
Приведем полином рА к виду р™ш; тогда рв включается
в рсил формально. Всякое следствие из логического
равенства А=0 включается, таким образом, формально в
полином р™л. Последний, таким образом, позволяет обозреть
вполне все включаемые в него полиномы, т. е. все
нетривиальные логические следствия из равенства А=0.
Для иллюстрации понятия о формальном включении
вернемся к рассмотренному нами примеру. Равенство рА = а'Ь-\-
-\-Ь'с = 0 соответствует системе равенств a'b — Q и /Ус = 0,
т. е. системы посылок а^Ь и Ь^с («все а суть 6» и «все b
суть с»). Равенство рв = а'с = 0 соответствует заключению
а^с («все а суть с»). Мы видели, однако, что а'с включается
в ab-{-b'c неформально. Приведем полином рА по правилу
сопряжения к виду р°ил = а'Ь-\- Ъ'с -\- а 'с. Теперь а'с, т. е. рв,
включается в /?°ил формально.
46

Изложенный метод сведения ре к р°пл может,
по-видимому, найти применение в теории релейно-контактных схем.
Советские ученые В. II. Шестаков [И] и М. А. Гаврилов [12]
показали, что законы алгебры логики справедливы также и
для соединений различных элементов в релейно-контактных
схемах, где логическому произведению суждений « • »
соответствует последовательное соединение контактов,
логическому сложению «-]-» — параллельное соединение контактов,
а логическому отрицанию «'»— размыкание замкнутых
контактов и замыкание разомкнутых.
Изложенный выше метод канонизации логических
выражений может быть с пользой применен для упрощения
структурных формул релейно-контактных схем. Например,
выражение а'Ыс -|- acd'e -\-b-\- d-\- с' соответствует схеме
рис. 2.
Упрощенная по методу Порецкого форма этого
выражения, а именно выражение а' -\- Ъ -f- d -f-e'-j- с' соответствует
гораздо более простой схеме рис. 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Д. Гильберт и В. Аккерман. Основы теоретический логики.
ИЛ, 1947.
2. Л. Кутюра. Алгебра логики. Одесса, Mathesis, 1909.
3. A. Blake. Canonical expressions in Boolean algebra. Chicago, 1938.
4. The Journal of Symbolic Logic, Vol. 3, N 2, 1938.
5. 0. Becker. Einfiihrung in die Logistik vorzuglich in den Modal-
kalkul. Meinsenheim—Glan, 1950.
6. H. Парфентьев. Рецензия на книгу Л. Кутюра. «Принципы
математики». Изв. физ.-мат. общ-ва при Казанском университете,
т. XVIII, 1912, № 4.
7. Н. В. Curry. Lecons de logique algebrique, Paris, Louvain. chap.
IV, 1952.
8. П. С. Порецкий. О способах решения логических равенств
и об обратном способе математической логики. Собр. протоколов
заседаний секции физ.-мат. наук при Казанском университете, т. 2>
Казань, 1884, стр. 161—330.
9. П. С. Порецкий. Sept lois fondamentales de la theorie des ega-
litcs logiqurs. Изв. физ.-мат. общ-ва при Казанском университете,
сер. 2, т. VIII, № 2, 3, 4. Казань, 1898—1899.
10. Г. Биркгоф. Теория структур. ИЛ, М., 1952.
11. В. И. Шестаков. Об одном символическом исчислении,
применимом к теории релейных электрических схем. Уч. зап. МГУ,
вып. XXIII, кн. 5, 1944.
12. М. А. Гаврилов. Теория релейно-контактных схем. Изд. АН
СССР, М.—Л., 1950.
13. П. С. Порецкий. Quelques lois ulterieures de la theorie des ega-
lites logiques. Изв. физ.-мат. общ-ва при Казанском университете>
сер. 2, т. X, Казань, 1900.

v
5. Bi Мгивениерадзе
О ФИЛОСОФСКОЙ СУЩНОСТИ
«СЕМАНТИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ ИСТИНЫ»
В семантической философии, представляющей новейшую
разновидность неопозитивизма, имеется несколько течений.
Наиболее влиятельным является течение, возглавляемое
группой «теоретических», или «академических семантиков»
(А. Тарский, Р. Карнап и др.). В отличие от группы
чшбщей семантики», основанной А. Коржибским, и школы
Ричардса—Огдена, занимающихся по преимуществу
исследованием социологических, лингвистических и
психологических проблем, представители «академической школы»
уделяют особое внимание логико-математическим вопросам,
главным образом логическому анализу основных понятий
наук.
Центральной проблемой, вокруг которой в течение
последних десятилетий сосредотачиваются усилия
представителей «теоретической семантики» (в дальнейшем будем их
именовать просто «семантиками»), является проблема
получения «точного определения истины», выяснение логической
и материальной природы истины. Выполнение этой основной
задачи предполагает использование и других важнейших
семантических понятий. «Именно по этой причине мы
считаем понятие истины. . . и проблему определения истины, —
пишет Тарский [3, стр. 56], — тесно связанными с более
общей проблемой установления основ теоретической
семантики».
Для получения точного, недвусмысленного определения
понятия истины необходимо, по мысли Карнапа и Тарского,
«специфицировать формальную структуру и словарный состав
языка», т. е. однозначно определить все употребляемые
понятия и выделить понятия неопределяемые. Попытки
доказательства указанного тезиса у «семантиков» тесно
переплетаются с попытками дискредитации живых разговорных
48

языков. Основой такой дискредитации является повторяемая
на разные лады абсолютизация возможности получения
на обычном языке двусмысленных выражений типа
антиномии «Лжеца». «Проблема определения истины приобретает
точное значение и может быть решена строгим путем только
для тех языков,—пишет Тарский [3, стр. 58], — структура
которых точно специфицирована. Для других языков —
т. е. для всех естественных „разговорных" языков — значение
проблемы является более или менее неопределенным, и ее
решение может иметь лишь приблизительный характер».
Специфицировать язык — это значит построить
«семантическую систему» с совершенно точной и строгой
характеристикой класса значимых слов и выражений, а также, что
крайне важно, дать так называемые правила вывода
логического следствия, посредством которых из числа принятых
выражений, указанных в качестве аксиом, дедуцируются
новые утверждения. При этом аксиомы, равно как и деду»
цированные из них предложения, относятся к «теоремам»
или «доказуемым предложениям».
Если спецификация структуры языка имеет отношение
только к форме включенных выражений, то язык считается
формализованным. Единственным языком со специфициро»
ванной структурой в настоящее время «семантики» считают
формализованные «языки» различных систем дедуктивной
логики.
Следует подчеркнуть, что различение формализации
и спецификации языка имеет для «семантиков» особо важное
значение. Необходимость такого различения продиктована
определенной трудностью, а именно — невозможностью пол*
ностью формализовать обычный разговорный язык. Если
нельзя формализовать язык, рассуждают «семантики», то его
нужно специфицировать, ибо оставить язык таким, каков он
сейчас, значит открыть возможность получения внутренне
противоречивых, бессмысленных выражений и псевдо-вопро-
сов. И хотя «семантики» вполне сознательно ограничивают
круг своих исследований именно вопросами «языка» наук,
тем не менее они отчетливо намечают перспективы
«улучшения» обычных разговорных языков и считают принципиально
приемлемым получение из них неких языковых суррогатов.
«Мы можем вообразить конструкцию языков, — пишет
Тарский [3, стр. 57—58], — которые имеют точно специфици*
рованную структуру, без того, чтобы быть формализован*
ными. В таком языке утверждаемость предложений, например,
может зависеть не всегда от их формы, но иногда от других,
нелингвистических факторов. Будет интересным и важным
действительно построить язык этого типа, и в особенности
49

такой, который оказался бы достаточным для развития
обширной отрасли эмпирической науки, ибо это оправдает
надежду, что языки со специфицированной структурой
могли бы окончательно заменить повседневный язык в
научных дискуссиях».
Порочность данного рассуждения состоит не в том, что
Тарский ратует за однозначное определение понятий и
терминов науки в научных дискуссиях. Напротив, однозначное
употребление применяемых в научных дискуссиях терминов
и понятий является необходимым и обеспечивает выполнение
основной, коммуникативной функции языка. Порочность
этого рассуждения заключается в том, что подчеркивание
«неполноценности» обычного разговорного языка ведет к
признанию неполноценности всех наук, построенных на обычном
языке, вносит излишние сомнения в общепризнанные
научные истины и толкает мысль на бесплодное прожектерство.
Слово, как правило, многогранно. Оно имеет множество
значений (полисемантично), но это ни в коей мере не служит
препятствием для однозначного выражения значения слова.
Скорее наоборот: гибкость слова, его полисемия позволяют
выражать тончайшие оттенки мыслей. Решающую роль здесь
играет «окружение» слова, контекст, который устраняет
полисемию слова и реализует его многозначность в
совершенно определенном направлении1. Таким образом,
многозначность слова как лексической единицы в реальном
языковом обращении всякий раз обретает однозначность,
моносемию.
Научные термины в отличие от слов, как правило,
однозначны; они отличаются большей точностью своих
смысловых границ. Если многозначность слова,
обеспечивающая богатейшие возможности смысловых выражений,
свидетельствует о наличии большого количества
выразительных средств и служит в некотором роде показателем
развитости языка, то многозначность термина, по существу,
является его. недостатком. Смысл и значение тех или иных
научных понятий, конечно, меняется по мере углубления
наших познаний о сущности предметов, явлений,
закономерностях объективного мира, по мере развития наук
(ср., например, термины «материя», «атом» и т. п.).
Изменение понятия, однако, не всегда ведет к изменению формы
выражения, к изменению словесной оболочки. Возникает
многозначность термина. Но многозначность термина в от-
1 В данном случае мы отвлекаемся от различного рода каламбуров
и бессмысленных выражений, наличие которых свидетельствует
не только и не столько о полисемии слова, сколько о нарочитом
использовании этой полисемии.
50

личие от многозначности слова (случаи омонимии)
непосредственно связана с развитием научного познания и часто
обусловлена социальной окраской, придаваемой термину
мировоззрением. Этот недостаток термина, однако, легко
устраняется анализом его этимологии2.
Дискредитация обычного языка, стремление построить
более или менее искусственные «языки», способные якобы
единственно правильно выражать семантические особенности
слов и предложений, являются общими чертами,
объединяющими лагерь «семантиков».
Для всех «семантиков» характерно публичное отречение
от какого-либо философского обоснования проповедуемых
теорий, хотя внимательный анализ их работ показывает,
что различные группы в «семантике» ставят именно
философские вопросы и что эти вопросы неизменно решаются
с субъективно-идеалистических позиций. Когда же некоторые
представители семантической философии (например, тот же
Тарский) занимаются чисто логическими вопросами (решение
которых представляет известный интерес), то они
подчеркивают философское, гносеологическое значение исследуемых ими
проблем, исходя при этом из ложного неопозитивистского
тезиса — «философия есть лишь логический анализ понятий
науки».
Так обстоит дело, в частности, с «семантической
концепцией истины». Разбирая встречающиеся в истории
философии различные определения истины, Тарский отдает
предпочтение «классическому аристотелевскому пониманию
истины», которое он формулирует так: «Истинность
предложения состоит в его согласии (или соответствии) с
реальностью» [3, стр. 54].
Что понимают семантики под реальностью? Когда речь
идет о прямом признании объективного существования
реальности, внешнего мира, то они отвергают этот вопрос
как псевдо-вопрос, неразрешимый якобы в силу самой его
постановки; когда же они, тем не менее, вынуждены
ответить на него, то основной вопрос философии решается,
в конечном счете, с субъективно-идеалистических позиций.
Тарский, однако, не соглашается с указанной
формулировкой. Приводя еще одно определение: «предложение истинно,
если оно обозначает существующее положение вещей», —
он делает затем предупредительную ремарку: «все эти
формулировки могут вести к различным непониманиям,
2 Следует подчеркнуть, что такой анализ, и не только
этимологический, но исследование исторического изменения понятийного
содержания научных терминов и выражений В. И. Ленин считал одной
из важных задач, обосновывающих научную теорию познания.
5!

так как ни одна из них не является достаточно точной»
и что «по крайней мере ни одно из них нельзя
рассматривать, как удовлетворительное понятие истины» [3, стр. 54].
Удовлетворительное определение истины, подчеркивает он,
должно быть «материально-адекватным и
формально-правильным».
Под «формальной правильностью» понимается
необходимость следования определенным формальным правилам,
которые устанавливаются при описании структуры «языка».
Ответ на вопрос, что является критерием «материальной
адекватности», Тарский начинает с конкретного примера.
Рассмотрим фразу «снег бел». Определяя условия, в
которых данное предложение будет истинным или ложным,
следует, по Тарскому, основываться на «классическом
определении истины» и усовершенствовать его. В конечном итоге
истинность данного предложения должна принять форму
следующего условия. Предложение «снег бел» истинно, в том
и только в том случае, если снег бел. Левая часть условия
содержит название предложения, которое появляется,
употребляя традиционную формально-логическую терминологию, в
материальном модусе («suppositio materialis»), а в правой части
находится само предложение и стоит оно в формальном
модусе («suppositio formalis»). Предикат истинности или
ложности относится не к содержанию предложения, но лишь
к его названию. «Следовательно,—пишет Тарский [3, стр. 55],—
если мы хотим сказать что-нибудь о предложении, например
что оно истинно, то мы должны для этого пользоваться
названием этого предложения, но не самим предложением».
Обобщая, далее, указанную процедуру, Тарский берет
произвольное предложение и обозначает его буквой р.
Название этого предложения обозначается буквой х.
Логическое отношение между двумя предложениями: «х истинно»
и р, принимает форму следующего условия (Т): х истинно
в том и только в том случае, если р.
Любое подобное условие, связывающее х и р,
обозначающие предложение и его название, Тарский называет
«равенством формы». Только после установления «равенства
формы» открывается возможность облечь в точную форму
условия, в которых употребление и определение термина
«истинный» будут рассматриваться как адекватные с
«материальной точки зрения». Таким условием Тарский считает
утверждаемость всех равенств формы. «Назовем определение
истины „адекватным", — заключает он,—если все эти
равенства вытекают из него»[3, стр. 55].
Далее, Тарский подчеркивает, что ни само выражение Г,
являющееся по существу не предложением, а лишь схемой,
52

ни какой-либо частный случай I нельзя рассматривать как
общее определение истины.
Любое предложение 7\ после того как в нем заменяются
буквы, соответственно, предложением и его названием,
является частным определением истины, поясняющим
истинность этого отдельного предложения. Общим же
определением должно быть логическое соединение всех частных
определений. Тарский обходит вопрос о том, что понимать
под «логическим соединением» и как в данном случае
следует решать проблему взаимоотношения единичного и общего,
т. е., с одной стороны, — бесконечного числа предложений,
возможность построения которых допускает язык, и их
определений, а с другой стороны, — общего для всех
определения.
Наконец, выделяя понятие истины среди прочих семанти
ческих понятий, Тарский усматривает в нем лишь чисто
логическую природу. Он приводит «типичные примеры
семантических понятий»: «обозначения», «удовлетворения»
и «определения». Например, выражение «отец своей страны»
обозначает Джорджа Вашингтона; «снег» удовлетворяет
функции-высказыванию «х белый»; равенство «2 • о: = I»
определяет число 1/2. Если слова: «обозначает», «удовлетворяет»,
«определяет» выражают отношения между некоторыми
высказываниями и объектами, «к которым относятся» эти
высказывания, — пишет Тарский, — то слово „истинный" имеет
иную логическую природу. Оно выражает свойство (или
означает класс) некоторых высказываний, а именно —
предложений» [3, стр. 56].
Один из основных недостатков всех существующих
определений истины Тарский видит в тохм, что они каким-то
образом касаются объективного содержания истины, что
«все формулировки, которые были даны ранее и имели
целью объяснить значение этого слова, относились не только
к самим предложениям, но также и к объектам „о которых
говорилось" в этих предложениях, или, возможно, „к
положениям вещей", описанным в них» [3, стр. 56].
Таким образом, в теории истины семантиков можно
явственно выделить следующие пункты-тезисы: 1) проблема
истины переносится из сферы взаимоотношения между
объективной действительностью и сознанием в сферу
взаимоотношения между уже отраженными явлениями — между
предложениями; при этом игнорируется главное —
соответствие предложений объективной действительности; 2)
«материальная адекватность» предложения ставится в зависимость
от «равенства формы»; 3) из понятия истины
выхолащивается всякое объективное содержание и истина рассматри
53

вается только как чисто логическое свойство; 4) сама проблема
истины непомерно сужается: истина трактуется как
логическое свойство, присущее лишь предложениям (но не
ощущениям, восприятиям, представлениям, понятиям).
Все эти положения, разумеется, далеки от правильной
постановки и научного решения философской проблемы
истины.
Известно, что единственно научным критерием истины
является, в конечном счете, только
общественно-производственная, материальная практическая деятельность людей,
а «критерий практики никогда не может по самой сути дела
подтвердить или опровергнуть полностью какого бы то
ни было человеческого представления» [1, стр. 130]. Более
того, если бы мы располагали таким критерием, который
в любых случаях однозначно решал бы вопрос о том,
является ли данное высказывание истинным или нет, то это
означало бы завершенность, предел научного познания.
Поэтому Ленин, вслед за приведенными выше словами,
добавляет: «Этот критерий тоже настолько „неопределенен",
чтобы не позволять знаниям человека превратиться в
„абсолют", и в то же время настолько определенен, чтобы вести
беспощадную борьбу со всеми разновидностями идеализма
и агностицизма» [1, стр. 130].
Принципиальная невозможность «жесткого»,
универсального критерия истины (чего-то вроде машины, сводящей всякий
мыслительный акт к вычислению), разумеется не означает,
будто в каждой специальной научной области, при решении
тех или других конкретных задач, мы не можем
пользоваться вспомогательными критериями, в том числе и
«автоматическими устройствами», пригодность которых, в свою
очередь, подтверждается, в конечном счете, с помощью
критерия практики. Классическими примерами таких
«устройств» являются: «решето Эратосфена» в математике
(с помощью него решается вопрос о том, является ли
данное целое число простым или нет), правила вывода
в логике (позволяющие из одних, уже установленных,
истин получать другие).
Вспомогательные критерии в некоторых случаях носят
«жесткий» характер и могут быть доступны определению.
Такие определения возможны, в частности, для некоторых
формализованных математических теорий. Так, например,
если речь идет о правилах, устанавливаемых в исчислении
высказываний, и мы хотим проверить, верно ли для этого
исчисления утверждение: ур ((р-> р) -> р) («для любого
высказывания р, если отрицание р имплицирует р, то р»),
нам достаточно, пользуясь определениями отрицания и им-
54

пликации, убедиться в том, что выражение (р^>р)^Р
истинно во всех случаях.
В других случаях дело обстоит не столь просто. Однако,
бывает все же такое положение, когда достаточно уметь
установить истинность или ложность некоторых простейших
высказываний, чтобы с их помощью можно было установить
уже истинность (или ложность) любого высказывания данной
формализованной системы, сколь бы сложным это
высказывание ни было. Именно такого рода формализованными
системами и занимается Тарский. При этом он предполагает
фактически, что истинность (соответственно — ложность)
элементарных высказываний всегда может быть установлена,
и интересуется только тем, как распространить это умение
оценивать истинность высказывания на более сложные случаи.
Поскольку сложность структуры высказывания
обусловливается не только способом его построения из других
высказываний, но и, прежде всего, участвующими в его
построении понятиями и связями между ними, задача определения
истинности сложного высказывания даже в предположении,
что истинность (ложность) всякого элементарного
высказывания уже установлена, оказывается не тривиальной. Следует
заметить, что трудности, обнаруживаемые Тарским уже
в простых случаях, весьма поучительны. Но к философскому
определению истины критерии Тарского непосредственного
отношения не имеют: ведь даже для самых простых
формализованных систем, вроде исчисления классов, они не
помогают решить вопрос о том, как установить истинность
элементарного высказывания: «такой-то класс содержится
в таком-то классе».
Тарский ограничивается, по существу, утверждением,
что высказывание, говорящее о таком-то обстоятельстве,
истинно, если само это обстоятельство имеет место, и ложно,
если он не существует. О самом важном, т. е. о том, каким
образом установить, имеет ли оно место или нет, Тарский
не говорит ничего. Между тем, в этом и состоит
философская проблема определения критерия истины. Пока мы не
знаем, например, бел ли снег, о котором идет речь, мы не можем
сказать, истинно или ложно предложение «снег бел».
Следовательно, Тарский исследует вопрос не вообще
об определении истины, а только о некотором
вспомогательном определении, помогающем переносить на более
сложные случаи умение справляться с более простыми.
Следовательно, имеется в виду не философская, а некоторая
специальная логическая проблема, предлагаемое решение
которой имеет смысл лишь как вспомогательный критерий
по отношению к критерию практики.
55

Истина есть субъективный образ объективного мира,
знание, адекватно отражающее объективную
действительность. Следовательно, исследование проблемы истины есть
исследование процесса познания, взаимоотношения между
субъектом и объектом. Отношение субъекта к объективному
миру выступает в виде активной материальной, практической
деятельности человека. Следовательно, научное исследование
проблемы истины есть в то же время исследование
общественной, материально-производственной практики человека»
Нарочитое игнорирование объективной действительности
является краеугольным камнем «семантической концепции
истины». Швейцарский математик и логик Ф. Гонсет бросил
Тарскому обвинение в «материализме». Гонсет писал, что
если предложение «снег бел» считается семантически
истинным в том случае, если снег действительно бел, то логика
впадает в «наиболее некритический реализм». Тарский
не преминул тотчас же отвергнуть это обвинение, так как
у него, Тарского, нигде мол не говорится о действительном
отношении предложения к объективной реальности, и что
возражения Гонсета основаны на иллюзии. «Получается
впечатление, — писал Тарский,—что семантическое
понимание истины якобы намерено установить условия, в которых
мы имеем основание утверждать любое данное предложение.
В действительности семантическое определение истины
ничего не подразумевает относительно рассмотрения условий,
в которых можно утверждать или защищать предложение,
подобное следующему (I): «снег бел». Оно лишь
подразумевает то, что когда бы мы ни утверждали или ни отрицали
это предложение, мы должны быть готовы утверждать или
отрицать соотносительное предложение (2) предложение «снег
бел» истинно» [3, стр. 71].
Игнорирование объективной действительности приводит
Тарского к тому, что проблема истины на деле остается
нерешенной, а его определение «семантики» как «дисциплины,
которая. . . имеет дело с некоторыми отношениями между
выражениями языка и объектами (или «положениями вещей»),
к которым относятся эти выражения» [3, стр. 56] осталось
пустой фразой, ибо из этой «дисциплины» выхолощено
всякое объективное содержание.
Исходя из «семантической концепции истины» невозможно
отличить истинное предложение от ложного Так, например,
ничего определенного (истинно оно или ложно) нельзя
сказать даже о таком заведомо ложном предложении как
«бог существует». Согласно «семантической концепции истины»,
можно лишь сказать, что название предложения «бог
существует» истинно в том и только в том случае, если бог
56

существует, и ложно в противном случае. Но существует ли
бог на самом деле, на этот вопрос «семантическая концепция
истины» ответа не дает. Но ведь наука состоит не из
названий предложений, а из самих предложений, прямо или
косвенно, но всегда так или иначе отражающих объективную
действительность.
Отсутствие объективного критерия истинности
предложений и подмена его «материальной адекватностью» или
«равенством формы» характеризуют в целом теорию познания
«чистых семантиков», и в частности «семантическую
концепцию истины» как теорию, не имеющую под собой
объективной основы.
Подлинно научная теория познания опирается прежде
всего на общественную практику. «Точка зрения жизни,
практики должна быть первой и основной точкой зрения
теории познания. И она приводит неизбежно к
материализму, отбрасывая с порога бесконечные измышления
профессорской схоластики» [1, стр. 130].
В «семантической концепции истины» сущность
определения истины переносится из теоретико-познавательной области
в логико-лингвистическую сферу, а потому проблема истины
в ней не решается, но лишь отодвигается, заслоняется*
Более того, Тарский не только отрицает объективную истину,
искусственно приписывая ей чисто логические свойства.
Если верить Тарскому «истина» может характеризовать лишь
предложения. В данном случае мы подчеркиваем
неправомерное сужение понятия истины, ведущее к умалению роли
ощущений в познании.
Тот, кто стоит на точке зрения научной гносеологии,
должен признать, что как научные обобщения, так и
чувственные восприятия содержат в себе объективную истину.
Другое- дело, что понятия глубже и вернее отражают
объективную действительность, чем непосредственные
чувственные восприятия, ощущения или представления. Но не
признавать истинности чувственной ступени познания, как
это делает Тарский, значит прийти к признанию
идеалистической интеллектуальной интуиции, к прямому признанию
агностицизма, так как примеры, которыми он оперирует
(«снег бел» и т. д.), позволяют определять их истинность
именно путем чувственного восприятия, путем чувственной
практической проверки.
Мы видели, что «чистые семантики» проблему истины
рассматривают с точки зрения соотношения между предложениями.
Хорошо известно, что не здесь должна решаться
философская проблема истины. Однако правомерна ли такая
постановка вопроса вообще? Нужно сказать, что с первого

взгляда кажется, будто в формализованных символических
языках именно к такому взаимоотношению и сводится
выяснение проблемы истины. Обратимся к элементарному
примеру.
Если некоторое высказывание (х) истинно, то его
отрицание (х) будет ложным. Можно также взять ряд так
называемых всегда-истинных формул из математической логики
х->х, х\/ х, х&х, которые соответствуют законам
классической формальной логики — «закону тождества», «закону
исключенного третьего» и «закону противоречия». Выводятся
они из определений связок «->», «V»? «&» и отрицания
посредством таблиц:
X
и
и
л
л
У
и
л
и
л
х\/у
и
и
и
л
X
и
и
л
л
V
и
л
и
л !
х->у
и
л
и
и
X
и
и
л
л
У
и
л
и
л
х &у
и
1 л
л
л
X
и
л
X
л
и
в которых предполагается, что как х и ?/, так и х->у, x\J у,
x&y, х могут иметь одно и только одно из двух значений —
истинное или ложное. Применяя эти определения, получаем:
X
и
л
X
и
л
X —> X
и
и
X
и
л
X
л
и
х \/ х
и
и
1
X
и
л
X
л
и
Х&.Х
л
л
X &£•
и
и
Таким образом, любая из формул х->х, x\J х или х&х
соответствует всегда-истинному высказыванию, ибо при
любой подстановке вместо х какого-нибудь высказывания,
отвечающего требованиям классической формальной логики, т. е.
либо ложного либо истинного, и притом только одного из
двух, эта формула оказывается истинной, х само по себе
еще не есть предложение; х есть переменная, на место
которой можно подставить предложения. Оперирование
подобными переменными и целыми системами переменных может
58

создать иллюзию, что проблема истины должна получить
свое решение именно во взаимоотношении или соответствии
между переменными, ибо «семантические системы» выглядят
замкнутыми в своей сфере и кажутся «независимыми» от
объективной реальности.
Дело в том, что приведенные выше некоторые формулы,
соответствующие всегда-истинным высказываниям, сами но
себе еще не являются высказываниями и поэтому не могут
рассматриваться как истинные или ложные. Как
справедливо отмечает С. А. Яновская, «написав, например, х\/х,
мы не высказали еще в действительности никакого
утверждения, тем более какой-нибудь истины. Только подставив
в эту формулу какое-нибудь высказывание, мы действительно
получим предложение. А чтобы оно было истинным, нужно
на самом деле убедиться еще в том, что мы имеем дело с
высказыванием, предварительно достаточно обработанным,
чтобы о нем можно было рассуждать по законам
классической формальной логики. Убеждение же этого рода создается
лишь, опираясь на содержание» [2, стр. 248].
Признавая значение исследования проблемы формального
соответствия между предложениями, следует в то же время
подчеркнуть, что такое исследование должно опираться на
научно-материалистическое понимание истины, как на основу
для правильных формально-логических определений. Ошибка
представителей «теоретической семантики» состоит не вообще
в постановке вопроса об исследовании соответствия
предложений, знаков, символов, а в придании этим символам
самодовлеющего значения.
Заметим тут же, что специальные логические работы
«чистых семантиков», и в особенности А. Тарского,
представляют определенный интерес, если иметь в виду
полученные им результаты, относящиеся к строгости в
построении и полноте дедуктивных систем и т. д. Мы не
останавливаемся на них, ибо наша цель — выяснение
гносеологических принципов семантической философии.
Результаты, к которым пришел Тарский в исследовании
«семантической концепции истины», лишь объективно
подтверждают точку зрения диалектического материализма.
Они состоят в том, что: 1) в неформализованном языке
нельзя дать непротиворечивого формального определения
истины; 2) в формализованном «языке» тоже нельзя дать
определения истины, оставаясь в этом «языке»: для этого
нужно построить «более богатый» мета-язык, для него,
б свою очередь, мета-мета-язык, и т. д. до бесконечности.
Следовательно, вообще истину невозможно определить
чисто формально: необходим другой критерий, критерий
59

практики. Только критерий практики позволяет в коночном
счете четко отграничивать истинные, научные положения от
ложных. С другой стороны, критерий практики содержит
некоторый элемент неполноты, «неопределенности», который
не позволяет знаниям человека превратиться в «абсолют».
Это «неопределенность», по мере развития познания, все
время ограничивается.
Таким образом, понятие «истины» имеет конкретный,
существенно развивающийся, не статический характер.
Поэтому его нельзя формально (т. е. без всякой
«неопределенности») определить раз навсегда. Но в этом и нет
нужды: более того, это было бы вредно, так как мешало бы
развитию науки, означало бы признание ее абсолютной
завершенности.
Семантическое понимание истины, представленное в
работах «чистых семантиков», и прежде всего Тарского имеет
широкое распространение за рубежом, причем не только
среди философов, логиков и математиков, но также среди
ученых — естествоиспытателей, юристов, литераторов,
историков, археологов. Следует отметить, что для многих
специалистов философии и логики, специально занимающихся
исследованием проблемы истины, некоторые ошибочные
положения «семантической концепции истины» являются
неприемлемыми и подвергаются справедливой критике.
Критика эта, правда, не всегда ведется с последовательно
научных позиций, но она подчас намечает поворот некоторых
философов и логиков в сторону диалектического
материализма.
В качестве примера мы разберем взгляды представителя
школы английских аналитиков — логика Макса Блэка,
который ставит своей задачей дать более доступную
интерпретацию сложного построения семантического понимания
истины Тарского [4]. Излагая и поясняя семантическое
определение истины, Блэк высказывает ряд критических
замечаний, с которыми мы не можем не согласиться.
Иллюстрируя способ, посредством которого Тарский
доказывает невозможность получения определения истины
простым обобщением (ибо «язык допускает построение
бесконечного числа предложений» [3, стр. 55]), Блэк приводит
следующие примеры «семантического» понимания истинности
предложения:
«Сегодня понедельник» истинно = сегодня понедельник3;
«Лондон—город» истинно = Лондон—город;
3 Здесь знак = обозначает логическую эквивалентность и является
синонимом условия «в том и только в том случае, если».
60

«Том любит Мэри» истинно = Том любит Мэри; и т. д.
«Естественный путь обобщения указанных условий, —
пишет Блэк,—приводит к тому, что: (6) для всех х, если
х есть предложение, то «х» истинно = х4. Но легко видеть,
что эта формула бессмысленна, нелепа. . . В
действительности «л:» есть двадцать четвертая буква алфавита, и даже
не есть предложение. Таким образом, сказать, что <<„хи
истинно» — это такая же бессмыслица, как и сказать: „Том
истинен" [4, стр. 248]».
Блэк правильно отмечает, что для решения
философской проблемы истины, на которую претендует Тарский,
отнюдь нельзя ограничиваться указанием на отдельные
случаи истинных высказываний, но необходимо дать общий
критерий истины. «Стоит отметить,—пишет Блэк,—что
формулировка общего критерия истины неизбежна для
прямого5 решения „философской проблемы истины". Ибо философ,
который озадачен природой истины, ищет
удовлетворительное общее описание обычного употребления (этого понятия).
Его жажду общности нельзя удовлетворить, сказав, что
то-то и то-то есть случаи истины. Философ, исследующий
„природу" или „существенную природу" человека, найдет
мало полезного, получив сведения о том, что все
американские граждане — люди» [4, стр. 257].
Блэк старается извлечь какую-то пользу из рассуждений
Тарского о критерии истинности; иногда он читает труды
Тарного материалистически; не ограничивается требованием
простого соответствия формул, а идет дальше и подлинным
критерием истины считает действительное положение вещей.
Констатируя условное соответствие между предложением и
его названием («Балтика не есть река», «Амазонка есть
река»), Блэк пишет: «Теперь же наше географическое знание
дает нам право утверждать и га и пгЬ (Амазонка есть река,
а Балтика не есть река). Поэтому мы можем утверждать,
что PRANRB (т. е. указанное в скобках предложение.—
В. М.) истинно» [4, стр. 251].
Здесь важно отметить, что для подлинно научного
определения истины Блэк не удовлетворяется «критерием»
«равенства формы», но остро чувствует необходимость выхода
за рамки лишь формально-логического определения и
обращения к действительности.
Блэк, далее, специально останавливается на вопросе
взаимоотношения между бесконечным числом предложений
4 «х» означает название предложения.
5 Я имею в виду ответ на вопрос философа, а не попытку показать,
что вопрос не правомерен и не подлежит рассмотрению (Примеч. Блэка).
61

и одним, общим для всех предложений определением, который
обойден Тарским. При этом Блэк правильно отмечает
недостатки «семантической концепции истины», основанной на
метафизической методологии.
Смысл спецификации «языка» у «чистых семантиков», как
известно, состоит в точном определении всех применяемых
терминов, а также в необходимости получения полного
перечня употребляемых названий, вплоть до имен отдельных
людей, если мы хотим включить их в «язык». Блэк
высмеивает тщетность подобных попыток. «Можно бы было
сказать, что пропуск собственного имени, уже используемого
людьми, говорящими на английском языке, будет просто
симптомом беззаботности в нашем определении . . . Но
независимо от того, какой бы скруполезной ни была забота
о получении „полного" перечня примитивных терминов на
английском языке, результирующий список будет устаревать
каждый раз по мере применения какого-либо нового названия,
имени» [4, стр. 255].
Блэк остроумно замечает, что «каждый момент крестят
ребенка или какая-либо монография получает название, и
перечень, а следовательно и определение истины, зависящее
от перечня, будет становиться неточным. „Открытый"
характер естественного языка, как это видно из
изменяющейся композиции его словарного фонда, развенчивает
попытку применения определения истины, основанного на
перечислении простых случаев. Попытка эта так же
безуспешна, как, скажем, попытка определить понятие
„названия", „имени" путем перечисления всех имен или названий,
которые когда-либо применялись» [4, стр. 255].
На ряде примеров Блэк подробно разбирает суть
«семантического определения истины» и приходит к правильному
выводу о том, что оно не является научно-философским
решением вопроса. «Если взять семантические определения
по их наличной стоимости,—пишет он, — то мы должны
предположить, что „истина" определена только для тех
случаев, которые в данное время обсуждаются, без какого бы
то ни было распространения на другие языки. Но говорить,
что это и есть то, что нам надо, значит заниматься
самообманом» [4, стр. 257]. В результате Блэк приходит
к справедливому выводу о том, что «семантическое
определение не вносит никакого вклада в „философскую
проблему истины"» [4, стр. 258].
Однако мы не во всем согласны с Блэком, который еще
далек от научного понимания критерия истины как
общественной практики человека. Он не видит основной ошибки
Тарско'го — отсутствия в теории познания точки зрения
62

практики, жизни. Блэк и сам допускает подобную ошибку,
отказываясь рассматривать практику как основу теории
познания и критерий истины. Отсюда односторонность его
критики и неумение предложить правильное решение
вопроса. С одной стороны, Блэк правильно подчеркивает, что
ни одно «формальное определение истины не достигает
сущности трудностей, находящихся в основе так называемой
философской проблемы истины» [4, стр. 260]. Но, с другой
стороны, он ошибочно заключает, что вообще невозможно
никакое определение истины, и что уяснение этой
невозможности будет лучшим решением проблемы. «Мой
собственный взгляд состоит в том,—пишет Блэк, — что любые
поиски прямого ответа на философскую проблему истины
в лучшем случае могут породить формулу плоскую и
тавтологическую, или спорную и парадоксальную, и что наиболее
надежный метод исследования данной „проблемы"
заключается в том, чтобы рассеять путаницу мысли, которая
породила ее» [4, стр. 259]. Ошибочность такого взгляда
очевидна. Отвергнув всякое понимание истины, в том числе
и научное, Блэк вместе с водой выплеснул и ребенка.
Наконец, Блэк в своей критике Тарского допускает два
взаимоисключающих тезиса: один — верный, другой —
ошибочный. Блэк пишет, что «семантическая концепция истины»,
в сущности, не решает философского диспута, так как
«философские диспутанты спорят о том, что в общем заставляет
нас сказать: „Идет снег" или „Лондон—город" и т. д.
Другими словами, они ищут общее свойство обозначения
истинных объектных предложений» [4, стр. 258].
Блэк очень верно отмечает также, что, несмотря на
кажущуюся философскую «нейтральность», «семантическое
определение предлагает иную философскую теорию истины
(хотя и такую, которую мало кто из философов найдет
притягательной)» [4, стр. 258]. Однако, буквально через
страницу, Блэк, будто уверовав в «нейтральность»
семантического определения, заявляет: «Действительно,
нейтральность определения Тарского по отношению к
противоборствующим философским теориям истины вполне достаточна
для демонстрации отсутствия в нем философской
значимости» [4, стр. 260].
Для доказательства правильного тезиса Блэк применяет
негодный аргумент. Как в действительности обстоит дело
с «нейтральностью» определения Тарского? Обсуждением
этого вопроса мы и закончим критический анализ
«семантической концепции истины».
Сам Тарский развиваемую им теорию истины называет
«нейтральной». Он пишет: «Мы можем принять семантиче-
63

<жое понимание истины, не поступаясь никакой
эпистемологической установкой. Мы можем остаться наивными
реалистами, критическими реалистами или идеалистами, эмпи-
ристами или метафизиками — кем бы мы ни были прежде.
Семантическое понимание полностью нейтрально по
отношению ко всем этим различным взглядам» [3, стр. 41].
Тарский полагает, что игнорирование в конечном счете
объективной действительности при исследовинии проблемы
истины есть, якобы, не идеализм, а некая «нейтральная»
позиция, и что, таким образом, ему удалось подняться
«выше» борьбы между идеалистами и материалистами.
Вся история философии свидетельствует о том, что
никакой «третьей» линии в философии не существует.
Различные эклектические школы и течения, существовавшие в
философии раньше и теперь, не только не опровергают
исторического факта разделения философов на два больших
лагеря — материалистов и идеалистов, но, напротив,
подтверждают наличие этих двух лагерей и в то же время
являют собой печальные образцы тщетных попыток
«преодоления» борьбы партий в философии.
Одним из аргументов для доказательства «нейтральности»
своей философии Тарский выдвигает необходимость для всех
философских направлений точно определять смысл и
значение применяемых терминов. Само по себе это положение
(как тезис, но не как аргумент!) является совершенно
правильным. Нельзя не согласиться с Тарским, когда он
доказывает необходимость семантического исследования
понятий науки и существования соответствующей теории,
«которая формулирует точное определение того или иного
понятия и устанавливает его общие свойства, обеспечивая,
тем самым, более прочную основу для всяких дискуссий,
в которых применяется данное понятие» [3 стр. 74].
Эта задача — важная и необходимая. Но правильная
постановка назревшей задачи еще не есть ее правильное
решение. И Тарский заблуждается, когда полагает, что
задача определения однозначного употребления научных
терминов якобы невыполнима на обычном языке слов.
Требование семантического исследования понятий в
качестве аргумента в пользу «нейтральности» семантической
философии по меньшей мере нелогично, ибо в таком
доказательстве происходит подмена тезиса (ignoratio elenchi).
Семантическое исследование и семантическая философия —
это разные вещи. Доказательство правильного тезиса
о необходимости семантических исследований Тарский
выдает за доказательство неправильного тезиса о
«нейтральности» семантической философии, совершенно не
№

вытекающего из требования однозначного определения
научных понятий.
Семантическая философия не является «нейтральной»,
ибо она представляет собой отнюдь не семантическое
исследование понятий науки, а философско-теоретическое
истолкование этого семантического исследования. А
семантическая философия как теория не может не отражать борьбы
партий в философии, ибо философия охватывает
общеметодологические принципы исследования, на основе которых
строится любая научная теория.
Другим аргументом в пользу «нейтральности» своей теории
Тарский выдвигает «нефилософский характер»
«семантического определения истины», которое якобы может служить
основой всех других определений. «Вообще я не верю, —
пишет он,—что имеется такая проблема, как „философская
проблема истины". Я убежден, что имеются различные
интересные (но не обязательно философские) проблемы,
относящиеся к понятию истины, но я в равной степени
убежден, что они могут быть точно сформулированы только
на основе точного понимания этого понятия» [3, стр. 71].
Тарский, как видим, все время ратует за «точное
понимание» понятия истины. Однако это его требование остается
лишь фразой, так как в его «теории истины» отсутствует
объективный критерий определения истинности того или
иного понятия. Здесь мы хотим обратить внимание и на
следующее обстоятельство. Можно подумать, что Тарский
и в самом деле не претендует на философскую значимость
своего определения. Такое предположение, однако, является
ложным. Приведенное высказывание Тарского находится
в-прямом логическом и фактическом противоречии с другим
его высказыванием, где он подчеркивает именно
философское значение своей работы, посвященной семантическому
пониманию истины. «Ее центральная проблема,—пишет
Тарский о своей работе, —построение определения истинного
утверждения (Aussage) и установления научных основ теории
истины — принадлежит к области теории познания и даже
считается одной из главных проблем этой отрасли философии.
Таким образом, я надеюсь, что эта работа заинтересует
эпистомологов (Erkenntnis-theoretiker) и что они смогут
критически проанализировать содержащиеся в ней результаты
и использовать их для дальнейших исследований в данной
области» [см. 4, стр. 246].
Как совместить эти заявления Тарского? Мы далеки от
мысли специально выискивать противоречивые высказывания
в работах Тарского и обнаруживать, таким образом,
непоследовательность в рассуждениях. Указанное противоречие
65

хотя и немаловажно, но оно носит все же внешний характер.
Хочется подчеркнуть здесь другую сторону, а именно —
причину возникновения данного противоречия. Дело в том,
что Тарский с самого начала принялся за «семантические
исследования» (1933) с целью раскрытия философского
значения проблемы истины и предлагал «семантическое
определение» как ключ к пониманию философской проблематики
вообще. В процессе дальнейшей работы для него становилось
все яснее, что необходимо как-то определить свою
философскую позицию и, тем самым, быть либо в лагере
материалистов либо в лагере идеалистов, так как убеждение
в «беспартийности» философии становилось все более шатким.
Тогда Тарский решил «отделаться» вообще от философии
с ее партийностью и стал провозглашать «нейтральность»
«лишь» «семантической концепции истины» (1944). Но здесь
его ожидало не меньшее разочарование: не желая четко
очерчивать своей философской позиции и пытаясь каким-то
образом доказать недоказуемое — «нейтральность»
исследования проблемы истины,—Тарский впал в элементарное
логическое противоречие, высказываясь прямо
противоположно относительно одной и той же вещи.
Наконец, еще одним аргументом для доказательства
«нейтральности» «семантического определения истины»
Тарский считает возможность существования множества
различных истин, а следовательно, и правомерность
различных понятий истины. «Является ли семантическое
понимание истины „правильным"?», — спрашивает Тарский и
отвечает: «Я надеюсь, что из сказанного здесь ничего не
будет истолковано как претензия на то, что семантическое
понимание истины является „правильным" или в
действительности „единственно возможным"» [3, стр. 65].
Тарский всемерно подчеркивает «надклассовость» своей
позиции, желание стоять «в стороне» от борьбы между
материализмом и идеализмом — этого стержня, вокруг
которого разгораются философские споры.
«Я не имею ни малейшего намерения присоединяться
к бесконечной дискуссии на тему „что такое правильное
понимание истины?", —пишет Тарский. — Должен сознаться:
я не понимаю, что ставится на карту в подобных диспутах,
так как сама проблема настолько туманна, что невозможно
никакое определенное решение. В действительности мне
кажется, что смысл, в котором употребляется фраза
„правильное понимание", никогда не был пояснен. В большинстве
случаев создается впечатление, что данная фраза
употребляется почти в мистическом смысле, основанном на вере,
что каждое слово имеет только одно „реальное" значение
66

(нечто вроде идеи Платона или Аристотеля) и что все
конкурирующие понимания действительно пытаются ухватиться
за это одно значение; поскольку, однако, они противоречат
друг другу, только одна попытка может быть успешной, и,
отсюда, только одно понимание является „правильным"»
[3, стр. 65].
Тарский удивляется: «что ставится на карту в
дискуссиях о проблеме истины?» Мы ответим: в таких
дискуссиях ставится на карту сущность мировоззрения,
правильность занимаемой классовой позиции, справедливость
проводимой политики, обоснованность научного подхода к
исследованию закономерностей развития природы, общества
и мышления. Существует только одно правильное понимание
истины, как проверенного практикой верного отражения
в сознании человека объективной действительности,
В трудах классиков марксизма-ленинизма всесторонне
разработан вопрос о процессе отражения и дается
единственно правильное понимание истины. При этом следует
подчеркнуть, что когда диалектический материализм
утверждает, что истина конкретна, объективна, абсолютна,
относительна, то это вовсе не означает признания пресловутой
множественности истин. Этим лишь раскрывается
диалектическая противоречивость сложного процесса познания и
характеризуются различные стороны единого понимания
истины.
Ненаучная теория множественности истин, которую
проводит Тарский, ни в какой степени не доказывает
«нейтральность» семантического понимания истины, но ведет
Тарского к еще более глубокому логическому противоречию,
которое ставит под удар всю его теорию в целом. В самом
деле, если согласиться с Тарским (веря в искренность его
заявления) в том, что «может настать время, когда мы
столкнемся с несколькими несовместимыми, но равным
образом ясными и точными пониманиями истины» [3, стр. 66],
то зачем было строить специальную теорию,
обосновывающую необходимость однозначного определения понятий
науки, и в особенности понятия истины? Зачем городить
огород именно на том месте, абсолютная непригодность
почвы которого заведомо известна? Какой смысл призывать
к однозначному употреблению терминов и слов, если тут же
признается нормальным существование многих истин?
Это глубокое внутреннее логическое противоречие теории
Тарского еще раз доказывает научную несостоятельность
субъективно-идеалистического понимания истины.
Пытаясь доказать «нейтральность» своей позиции,
Тарский то и дело попадает в объятия вульгарных разнос-
67

чиков идеализма. В науке идет острая идеологическая
борьба. Ученый не может оставаться в роли
«нейтрального» наблюдателя, ибо рискует стать пособником
политической реакции.
Неумолимая логика классовой борьбы свидетельствует
о том, что попытки занять какую-то «среднюю позицию»
в философии означают на деле лишь большие или меньшие
уступки идеологии реакции. Наглядным подтверждением
этого являются реакционные попытки «объяснить»
международную напряженность несовершенством языка слов и
использовать для такого «объяснения» «семантическую»
теорию о создании символического языка, способного якобы
заменить собой обычный разговорный язык. Подлинный
ученый, которому дорога истина, не может безразлично
относиться к тому, какими социальными силами и с какой
целью используются разрабатываемые им теоретические
взгляды.
В заключение автор приносит искреннюю благодарность
проф. С. А. Яновской за ценные советы и внимание,
оказанное при написании данной статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. И. Ленин. Соч., т. 14.
2. С. А. Яновская. Комментарии к книге: Д. Гильберт и В. Аккер-
ман. Основы теоретической логики, М., 1947.
3. A. Tar ski. The Semantic Conception of Truth, Readings in Philo-
sophycal Analysis. Selected and edited by H. Feigl & W, Sellars.
N. Y., 1947.
4. M. Black. The Semantic Definition of Truth. Philosophy and
Analysis. Edited by Margaret McDonald, Oxford, 1954.

«f5
В. M. Кедров
О ЧИСЛЕ ОТНОШЕНИЙ МНОЖЕСТВ (ПОНЯТИЙ) 1
Вопрос о характере взаимоотношений между понятиями
занимает большое место в логике — как диалектической,
так и формальной, хотя в той и другой он ставится и
решается по-разному. Задавая вопрос: «в чем состоит
диалектика?», В. И. Ленин подчеркивает, что она
предполагает «взаимозависимость понятий» — взаимозависимость
всех понятий без* исключения. «Каждое понятие находится
в известном отношении, в известной связи со всеми
остальными» (Философские тетради, 1947, стр. 170). Формальная
логика рассматривает связи и отношения между понятиями
лишь с их внешней стороны, ограничиваясь, в частности,
задачей выяснения объемных отношений между ними,
т. е. количественной их стороны. В настоящей статье
делается попытка только с этой одной количественной
стороны проанализировать отношения между понятиями,
рассматривая их в самой общей, абстрактной форме, как
это делает теория множеств. Постановка и решение такого
рода задачи приводит к необходимости разработать новый
комбинаторный способ исчисления, т. е. подсчета числа
отношений между понятиями (соответственно — между
множествами), отличный от принятого обычно в формальной
логике. Разработка такого способа и применение его для
решения конкретной логической, и вместе с тем
математической, задачи составляет цель данной статьи.
1. Формулировка задачи. Из теории множеств известно, что
между двумя множествами А ж В может сущзствовать
1 Математико-логическая задача в свете понятий 'физико-химиче -
ского анализа. В основе статьи лежит доклад, прочитанный в 1945 г .
на семинаре по математической логике, руководимом |и. И. Жегалкиным,
С. А. Яновской и П. С. Новиковым. В обсуждении и подготовке
данной работы ближайшее участие принимала |т. Н. Ченцова I.
В9

5 различных отношений: отношение тождества (А = В); два
отношения истинного включения (А с В и В (Z А)\
отношение пересечения (А-В^=0) и отношение независимости
(А - В = 0). В последнем случае ни один элемент
множества А не является одновременно элементом множества В.
В формальной логике перечисленным пяти отношениям
множеств соответствуют 5 случаев объемных отношений между
двумя понятиями.
Заметим, что, говоря об отношении множеств (понятий),
мы подразумеваем число различных видов отношений
между ними, независимо от того, сколько элементов входит
в то или иное множество (соответственно, сколько
предметов охватывается тем или иным понятием). Например,
все случаи пересечения двух множеств (понятий) А и В мы
считаем за одно отношение, независимо от того, сколько
элементов обоих множеств (понятий) входит в область
пересечения А • В и сколько их остается у каждого множества
(понятия) за ее пределами. Учитывается при этом только
одно: является ли данное множество пустым или нет.
Естественно, возникает следующая задача: определить,
во скольких отношениях могут находиться п множеств и,
соответственно, в формальной логике — п понятий2. Уже
при п = 3 подсчет числа «тройных» отношений обычным
(так называемым объемным) способом с помощью
общепринятой символики встречает большие затруднения. При п = 4
такой подсчет практически невозможен из-за громоздкости.
Поэтому нужно найти какой-то иной путь, который
позволил бы применить к данному случаю комбинаторный способ
подсчета общего числа отношений множеств (понятий).
В целях решения поставленной задачи были применены
представления и терминология, принятые в теории физико-
химического анализа [1].
Рассмотрим предварительно, почему решение задачи
оказалось невозможным с помощью обычного (объемного)
способа.
2. Несостоятельность обычного геометрического способа
наложения кругов. Обычный способ, предложенный еще Л.
Эйлером для изображения отношений множеств (понятий), состоит
в том, что каждое множество (понятие) изображается
в виде отдельной геометрической фигуры (круга), а
отношения множеств (понятий) изображаются в виде наложения
одних кругов на другие. Очевидно, что простейший случай
представляют отношения между двумя множествами (поня-
2 Такую задачу в применении к формальной логике поставил
перед автором данной работы в 1944 г. Э. Кольман.
70

тиями). Рассмотрим, как мыслится образование (генезис)
таких простейших отношений.
Допустим, что сначала дано множество (понятие) А,
изображаемое кругом А. Затем дается множество (понятие)
В, изображаемое кругом В3. После этого подсчитывается,
сколькими различными способами круг В может быть
присоединен к кругу А\ очевидно, таких способов существует
пять (рис. 1).
Совершенно безразлично, какой круг к какому другому
кругу присоединяется: дан ли вначале круг А ш к нему
присоединяется круг В или же наоборот; в обоих случаях
получаются точно такие же 5 отношений обоих кругов.
Такой способ подсчета числа различных комбинаций,
образованных из данных п множеств (понятий), можно
назвать основанным на «генетическом» признаке, ибо более
сложная комбинация, содержащая п множеств (понятий),
рассматривается как возникшая из более простой,
содержащей п — 1 множеств (понятий) путем добавления к этой
последней п-то множества (понятия).
При трех множествах (понятиях) значительно
усложняется образование их отношений, а вместе с тем
усложняется и подсчет общего числа их отношений. На первый
взгляд, по аналогии с предыдущим (простейшим) случаем,
можно было бы рассуждать так: даны пять отношений
между двумя кругами А и В\ рассмотрим, в каких
отношениях с третьим кругом С, изображающим множество
(понятие) С, может оказаться каждое из этих пяти простейших
бинарных отношений4. Однако простым будет подсчет
только в случае, когда А == В; здесь число отношений множеств
(понятий) будет, очевидно, равно 5. Но уже в случае
А-В = 0 необходим дополнительный анализ получающихся
отношений. В самом деле: здесь мы имеем прежде всего
3 Такие отношения, в которых участвуют только два множества
(понятия), мы будем в дальнейшем называть «бинарными».
4 В некоторых случаях множество (понятие) С приходится, ради
удобства, изображать двумя соприкасающимися кругами.
71

образование трех независимых рядов отношений: а) только
между кругами А и С, когда С не затрагивает В; б) только
между кругами В и С, когда С не затрагивает А; в) между
всеми тремя кругами, когда С одновременно затрагивает
одинаковым способом и А и В (рис. 2).
Как видно из рис. 2, в данном случае получается всего
15 отношений; однако три первые из них (верхняя строка)
тождественны между собой и представляют одно и то же
отношение независимости трех множеств (понятий) А, В ш С.
Поэтому в данном случае общее число различающихся между
собой отношений будет на 2 меньше, т. е. 13. Отсюда
следует, что при подсчете числа различающихся между
собой отношений необходимо дополнительно учитывать, какие
из отношений (образующихся различным генетическим путем)
оказываются тождественными. Следовательно, нельзя
ограничиться одним генетическим подходом. Другими словами,
если к определенному бинарному отношению между кругами
А и В присоединится круг С, то в общем случае нельзя
считать, что в результате такого присоединения всегда
образуются три различных отношения между тремя кругами
А, В и С. (В случае присоединения круга С отдельно
к кругу А, отдельно к кругу В и одновременно к обоим
кругам А и В могут образоваться тождественные
отношения между А, В и С.)
Картина усложняется еще больше кв том же случае
(А -В=0), если третье множество (понятие) С
присоединяется так, что оно затрагивает А и В различным образом.
(При этом ниже не учитываются отношения независимости
между А и С и между В и С, поскольку они были уже
учтены в предыдущем примере.) Здесь можно было бы
рассуждать следующим образом: на каждое отношение
истинного включения, а также на каждое отношение пересечения
кругов А и С приходятся два отличных от него отношения
кругов В ж С. Например, если исходить из отношения
пересечения А и С, то можно было бы допустить
образование двух тройных отношений (при том же отношении
независимости между А и В). Однако отношение истинного
включения С в В не может существовать при наличии
независимости А и В и при одновременном пересечении
А и С. Следовательно, при таком присоединении круга С,
когда он должен пересечь круг А, может образоваться
в заданных условиях только одно самостоятельное тройное
отношение между А, В и С (рис. 3).
Если комбинировать отношения истинного включения
(А в С и В в С) друг с другом, то можно получить
следующие (рис. 4) тройные отношения между А, В и С
72

• ©0 ©0 ©0
© © ©
0 0
00
Рис. 2.

(отношение независимости А и В по-прежнему принимается
за исходное, к которому присоединяется С).
Все эти три отношения, очевидно, тождественны между
собой и могут быть выражены как одновременное истинное
включение А и В (независимых друг от
друга) в С (рис. 5).
Особенно трудным и запутанным
становится подсчет общего числа
различающихся тройных отношений между А, В
и С, когда за исходное принимается
отношение истинного включения А в В
или В в А, а также отношение
пересечения А и В. При этом, как и в
предыдущих случаях, необходимо выявлять и
исключать из подсчета тождественные комбинации трех
множеств (понятий), образующиеся различными генетическими
путями, а также исключать такие случаи, когда соблюдение
Рис. 3.
Рис. 4.
исходных условий исключает возможность образования
определенного рода отношений.
Резюмируя все сказанное выше, можно сделать
следующий вывод: обычный способ образования тройных
отношений путехМ присоединения множества
(понятия) С к бинарным отношениям множеств
(понятий) А и В не дает возможности
применить комбинаторный метод подсчета числа
образующихся сложных тройных
отношений между А, В и С. По сути дела, в
каждом отдельном случае необходимо
дополнительно проверять, не являются ли
образованные комбинации тождественными или
же не нарушаются ли при их образовании
те или иные исходные условия.
Все это сказывается еще в большей
степени, когда число п множеств (понятий),
различные отношения между которыми подсчитываются,
больше трех. Можно легко показать, что трудности подсчета
числа различных комбинаций возрастают с увеличением п.
Рис. 5.
74

В связи с этим возникла необходимость отыскания
принципиально иного способа подсчета числа отношений
между п множествами (понятиями), позволяющего в общем
случае применять комбинаторный метод исчисления. Такой
способ был найден, исходя из аналогии между
математической комбинацией п множеств (или, соответственно,
логической комбинацией п понятий), с одной стороны, и системой
из нескольких компонентов и фаз, являющейся предметом
изучения физико-химического анализа.
3. Способ подсчета числа систем по признаку состава их
фаз. Допустим, что нам необходимо подсчитать число
различных физико-химических систем, образованных из п
компонентов. При этом упростим задачу, приняв, что в системах,
во-первых, могут существовать лишь твердые фазы, во-вторых,
что отсутствует взаимное растворение компонентов друг
в друге, равно как и в их соединениях, и, в-третьих, что
каждые два компонента могут дать лишь одно соединение
типа АВ, каждые три компонента — лишь одно соединение
типа ABC, и т. д. Следовательно, каждая твердая фаза
может содержать либо один из компонентов в чистом виде,
либо любое из соединений между любым числом компонентов
и соотношении 1 : 1: . . . : 1 (тоже в чистом виде). В системе,
состоящей из одного лишь компонента А, единственная
твердая фаза состоит, естественно, из одного этого
компонента А. Другими словами, число однокохмпонентных систем,
в данном случае, равно 1.
Если имеются два компонента А и В, дающие одно
соединение АВ, то, как известно, возможны пять различного
рода бинарных систем, образованных двумя данными
компонентами: 1) два свободных компонента А и В, т. е. АВ = 0;
2) чистое соединение АВ при отсутствии свободных
компонентов; 3) соединение АВс избытком свободного компонента А;
4) соединение АВ с избытком свободного компонента В;
5) соединение АВ с избытком обоих свободных компонентов
А и В.
В соответствии с принятыми выше условиями, в бинарных
системах максимальное число фаз, различающихся по составу,
равно трем. Это означает, что в первой системе (из
вышеперечисленных) будут присутствовать две фазы: одна —
состава А, другая — состава В. Эту систему можно выразить
формулой А-\-В. Во второй системе будет присутствовать
только одна фаза АВ] соответственно, ее формула будет АВ.
В третьей системе будут налицо две фазы: одна — состава АВ,
другая—состава А\ ее формула — АВ-\-А. В четвертую
систему будут входить две фазы: одна — состава АВ, другая —
состава В, ее формула — АВ~\-В. В пятой системе будут
75

присутствовать одновременно все три возможных при
данных условиях фазы; ее формула — АВ-\- А -\-В.
Для трех компонентов А, В и С возможны уже семь
различных по составу фаз: 1) А; 2) В; 3) С; 4) АВ; 5) АС;
6) ВС; 7) ABC. Из различных комбинаций всех или
некоторых из этих фаз образуются различные тройные системы.
Точно так же можно представить образование более
сложных систем, состоящих из четырех и более компонентов.
При этом сначала выясняется возможное общее число фаз,
различающихся по своему составу, а затем из этих фаз
путем различных комбинаций строятся многокомпонентные
системы.
Этот весьма простой способ выражения химического
состава как самих систем, так и состава образующих этих
системы фаз, мы и применим к решению задачи о числе
отношений множеств (понятий). Заметим, что при
пользовании этим способом вовсе не требуется рассматривать
множества (понятия) в виде кругов, последовательно налагающихся
один на другой. Независимо от того, . как и в какой
последовательности налагались и пересекались данные
множества (понятия), как и в какой последовательности они
включались одни в другие, рассматривается лишь конечный
результат всех этих операций. При полном отвлечении от
генезиса отношений учитывается только один «с о с т а в»
отношений. (Под «составом» отношений понимается в данном
случае наличие определенных областей, где признаки
различных множеств, соответственно — понятий, встречаются
раздельно или совместно.) Пользуясь таким способом, при
котором выясняется лишь окончательный «состав»
отношений, можно легко обнаружить, являются ли данные
отношения множеств (понятий) тождественными или различными
между собой. Так, например, легко можно установить
тождественность приведенных выше (см. рис. 4 и 5)
отношений, которые с генетической точки зрения кажутся
различными.
«Состав» каждого из четырех отношений, изображенных
на рис. 4 и 5, выразится одной и той же формулой:
АС ~\- ВС-\- С. Следовательно, все они тождественны между
собой. Формула же AC -f- ВС -\-С выражает одновременное
включение А и В (независимых между собою) в С; лучше
всего это показано на рис. 5.
Заметим при этом, что совершенно неважно с точки
зрения конечного результата, происходило ли сначала
включение А в С, а затем отождествление В с определенной
частью С (рис. 4а), или же, наоборот, сначала В было
включено в С, а затем часть С отождествлена с А (рис. 46).
/ э

Равно безразлично, были ли А и В порознь включены
в С в любой последовательности (рис. 4#) или же их
включение совершалось одновременно (рис. 5). Важно лишь то,
что^в итоге образовались, во-первых, две области АС и ВС,
во-вторых, область С, свободная от наложения с А и В, и,
в-третьих, не осталось свободных от наложения с С областей
А и В. Последнее обстоятельство и выражено тем, что
в формуле АС ~\- ВС -\^С отсутствует указание на
свободные А и В.
Исходя из отмеченной выше глубокой аналогии между
математической задачей о числе отношений множеств
(соответственно, логической задачей о числе отношений
понятий), с одной стороны, и физико-химической задачей
о числе многокомпонентных систем, образованных одной
или несколькими фазами, введем новые термины и
обозначения, необходимые для разработки нового комбинаторного
способа исчисления множеств (понятий), который мы назовем
фазовым.
4. Новые («фазовые») термины и обозначения: Пусть даны
п множеств (понятий): А, В, С,. . ., N, которые находятся
между собой в определенном отношении. По аналогии с
понятиями физико-химического анализа назовем эти множества
(понятия) компонентами, а данное их отношение между
собой — системой п компонентов. Например, если
дано пересечение двух множеств Ли В, то А и В будут
здесь множествами-компонентами, а выражение А-В = 0
будет обозначать систему двух компонентов. Очевидно, как
уже говорилось выше, два компонента А и В могут
образовать всего 5 различных систем отношений множеств
(понятий).
Назовем, далее, признаком элемента одновременную
принадлежность этого элемента к определенным множествам-
компонентам. Если элемент принадлежит только к одному
множеству, например только к А, его признак будет
однозначным и будет обозначаться через а. Если элемент входит
одновременно в два множества, например в А и В, его
признак будет двузначным и будет, соответственно,
обозначаться через ab, и т. д. Следовательно, признак
элемента указывает, в какие именно множества-компоненты
входит одновременно данный элемент. Например, в области
пересечения множеств А и В все элементы будут обладать
признаком аЪ (рис. 6), так как они принадлежат
одновременно к обоим множествам; остальные элементы будут
обладать либо только признаком а, либо только признаком Ь.
В каждой данной системе все элементы, обладающие
одинаковыми признаками, образуют одно самостоятельное
77

подмножество; например, в предыдущем случае все элементы
с признаком ab образуют подмножество ab. Это означает,
что в подмножество ab входят все элементы с признаком
ab, и только они одни. По аналогии с понятиями физико-
химического анализа назовем каждое такое подмножество
однородным, или фазой. Исходя из той же аналогии, под
составом фазы будем понимать те множества-компоненты,
элементы которых входят в данную фазу. Другими словами,
будем говорить, что компонент А входит в состав данной
фазы, если в суммарном признаке элементов данного
подмножества содержится признак а.
Формулой состава фазы, или, короче,
формулой фазы, служит поэтому признак
входящих в нее элементов. Так,
например, мы говорим, что фаза ab
образована из компонентов А я В, поскольку
эта фаза представляет собой область
пересечения между множествами (поня-
Рис. 6. тиями) А и В.
Фазы различаются между собой по
числу присутствующих в них множеств-
компонентов. Введем следующие термины: простые,
двойные, тройные и т. д. фазы или, соответственно, фазы
1-го, 2-го, 3-го и т. д. порядка. Простые фазы, или
фазы 1-го порядка, состоят каждая из элементов
одного какого-либо компонента; двойные фазы, или фазы
2-го порядка, состоят каждая из двух каких-либо
компонентов; тройные фазы, или фазы 3-го порядка, состоят
каждая из трех каких-либо компонентов; и т. д. Например,
система, изображающая пересечение множеств А и В (рис. 6),
имеет 3 фазы: две простые (а и Ь) и одну двойную (ab).
Низшей является фаза нулевого порядка, не образованная
ни одним из множеств-компонентов (пустое множество),
высшей — фаза п-то порядка, образованная всеми п
компонентами.
Система п компонентов может быть выражена как сумма
всех наличных фазовых подмножеств,
возникших при данном определенном соединении
п множеств.
Таковы терминология, символика и представления,
касающиеся нового способа подсчета числа отношений
множеств, основанного на аналогии между понятиями физико-
химического анализа и понятиями, которыми оперирует
теория множеств и, соответственно, формальная логика.
5. Фазовый способ, В табл. 1 сравниваются выражения
пяти простейших отношений между двумя множествами
78

(понятиями) А и В, (В дальнейшем в формуле фазы вместо
знака плюс ставится запятая.)
Таблица 1
Названия отношений
Тождество ....
Включение А в В .
Включение В в А .
Пересечение ....
Независимость . .
Обычные
обозначения
А = В
Аав
вал
А .5^0
А- В = 0
Новые
(«фазовые»)
обозначения
ab
аЪ + Ь
ab -\- а
ab -f- a -\-b
a + b
Отношение трех множеств А, В и С получат
аналогичное выражение. Например, отношение (A(ZB)dC примет
вид abc, be, с. Отношение А С (# = С) запишется так:
abc, be. Отношения В a A', А-С = 0] В-С = 0 запишутся
так: ab; а; с. Новая «фазовая» символика позволяет
несравненно точнее и проще, чем обычная символика,
выражать самые сложные отношения множеств.
При обычном способе множества берутся как целые
самостоятельные совокупности; их отношение можно
охарактеризовать в таком случае как наложение одного множества
на другое5 (2-й столбец в табл. 1). Как мы видели выше,
для комбинаторных целей такой способ непригоден по двум
причинам. Во-первых, отдельные множества неоднородны
в смысле нетождественности признаков своих элементов.
Например, в системе (А С В) с С множество В состоит из
элементов с признаками abc и be, множество С — из
элементов с признаками abc, be и с; это означает, что компоненты
В и С в данном случае представляют собой составные
части двух «соединений» ABC и ВС, а компонент С сверх
того присутствует еще и в свободном виде. Во-вторых,
отношения между множествами разнотипны; при включении
в систему какого-либо нового множества необходимо
учитывать не один какой-либо определенный род отношения,
а сразу все 5 различного рода возможных отношений вновь
включаемого множества с каждым из остальных
присутствовавших уже ранее множеств.
Однако применение комбинаторного метода возможно
лишь при соблюдении двух условий: 1) при
однородности элементов совокупности, которые лишь в этом
5 По аналогии с тем, как накладываются одна на другую
игральные карты.
79

случае могут служить единицами исчисления; 2) при
однотипности отношений между ними, т. е. когда каждая
в отдельности подсчитываемая комбинация образуется
в результате повторения одной и той же операции. По этим
причинам множества А, В, С. . ., взятые как отдельные
целые образования, не могут служить основой для
комбинаторных подсчетов. Принятие их за такую основу
неизбежно порождает запутанность, громоздкость и неточность
соответствующих вычислений.
При фазовом способе каждое множество-компонент уже
не рассматривается как единая, целая совокупность
элементов, а разбивается на однородные подмножества-фазы.
Соединение множеств, или система, рассматривается как
сумма фаз. Отношения между фазами ограничиваются только
одним, причем простейшим типом — их приложением
(присоединением) друг к другу6 (3-й столбец в табл. 1). При
таком способе фазы рассматриваются как самостоятельные
первичные образования, которые можно принять за единицы
комбинаторного исчисления. В силу, во-первых, своей
однородности и, во-вторых, однотипности своих взаимных
отношений фазы вполне могут служить основой для
соответствующего комбинаторного исчисления.-^
Фазовый способ не только позволяет легко подсчитывать
число комбинаций фаз, которыми исчерпываются отношения
между п множествами; он наглядно показывает, какими
именно комбинациями исчерпываются эти отношения.
Например, при я = 2 задача сводится к составлению пяти
различных комбинаций (сочетаний) из трех фаз: ab, а и Ъ.
При rc = 3 задача сводится к составлению 109 различных
сочетаний из семи фаз: abc, ab, be, ас, а, Ъ и с, и т. д.
б. Число отношений множеств (систем). Обозначим
через рп общее число различающихся между собою фаз, за
исключением нулевой фазы (пустого множества). Очевидно, рп равно
общему числу сочетаний п компонентов минус 1:
Л=2"-1. (1)
Обозначим далее через sn общее число возможных систем,
или отношений множеств при п компонентах. Очевидно, sn
равно числу сочетаний между всеми рп фазами:
sn=z2Pn=Z*n-)\ (2)
Но в sn входят не только те системы, которые
образованы всеми п компонентами (т. е. в которых присутствуют
б По аналогии с тем, как прикладываются одна к другой кости
домино.
80

элементы всех п множеств), но и те системы, которые
образованы меньшим числом множеств. Другими словами,
значение sn охватывает и такие системы, в которых отсутствуют
некоторые или даже все из данных п множеств. Однако
задача поставлена так, что необходимо подсчитать число
отношений между п множествами; поэтому из sn необходимо
исключить все системы, в образовании которых участвует
число множеств, меньшее, чем п.
Назовем недействительными те системы, в образовании
которых участвуют но все п компонентов, а только часть их А:,
причем к^п— 1. Обозначим число этих недействительных
систем через а. Назовем, далее, действительными те системы,
которые образованы обязательно всеми п компонентами.
Обозначим их число через Sn. Очевидно, что Sn<C.sn; например,
при п = 3 среди систем, состоящих из одной двойной фазы
и одной простой фазы, система ab, с будет действительной
(налицо все 3 множества А, В и С), а система ab, b будет
хотя и возможной, но недействительной, так как в ней
отсутствует множество С.
Допустим, что в системах, состоящих из п множеств,
будет исключено одно множество, например А. Между
оставшимися п—1 множествами, согласно (2), возможны 2(2М~""1—*)
отношений. Эти отношения, очевидно, нужно исключить
из 5Я.
Исключая из п другое множество, например В, получаем
такое же, как и при отсутствии А, число недействительных
систем, подлежащих исключению из sn. Так, поочередно
исключая каждое множество (А, В, С, ... и N) из общего
числа п множеств, получаем для к^п—1 множеств
следующее число отношений, которое обозначим через 5я__г:
5W_1=^.2(2M-1-1).
В sn__j вошли все а недействительных систем; однако
некоторые отношения подсчитывались нами более одного раза,
т. е. дублировались при подсчете. Например, одна и та же
недействительная нулевая система присутствовала при каждом
из п случаев поочередного исключения множеств А7 В, С, . . .
и N из общего числа п множеств. Недействительная система,
состоящая из одного компонента, например из А, подсчи-
тывалась п — 1 раз; и т. д. Исключая sn_x из (2), мы
исключили слишком много систем, так как sn^.1^>c Следовательно:
^п J> Sn Sn—1«
Обозначим число дублированных, а потому — излишне
исключенных систем, через а1# Очевидно, число ах надо
прибавить к sn—-V-i> чтобы получить Sn. Заметим, что
дублированные системы начинают возникать только с того мо-
81

мента, когда число оставшихся множеств к становится меньше,
чем а—1, т. е. когда к = п— 2. При к = п—1 системы
еще не дублируются; например, при п = 5 в случае к= п—1
каждый раз образуется система, не воспроизводимая при
опускании любого другого множества: так, система bcde
(нет А) появляется только один раз; и т. д. В случае
к = п — 2 дублирование систем становится возможным:
система bde образуется дважды — когда нет А и когда нет С.
Поэтому все дублированные (излишне исключенные) системы а
войдут в число 5W_2 систем, образованных п — 2 множествами.
В результате, для каждой пары исключенных множеств
имеем, согласно (2), 2{2П~'-1) отношений, или систем. Общее
число различных сочетаний п по 2 равно Сп. Следовательно,
sM__2 = Cw-2( ~1\ (Здесь, как и далее, С обозначает знак
сочетания).
Но, прибавляя 5W_2K5W — s,^, мы наряду с действительно
исключенными системами ах прибавили и те, которые перед
этим вообще не были исключены из sn. Значит, Sn<^sn —
— sn_] -|-s„_2. Обозначим через а2 число излишне
прибавленных систем. Эти системы начали возникать лишь при к = п — 3.
Подсчитывая, согласно (2), число s„__3 систем, образованных
п — 3 множествами, находим sn_3 = C„ • 2(2 —х).
Исключая 5Я_3 из sn — 5я_1-)-5/г__2, получаем снова
значение, меньшее искомого числа: Sn^>sn — sn_l-{-sn_2 — sn_3.
Рассуждая аналогичным образом, получаем в итоге ряд,
в котором каждый нечетный по порядку член ряда (1-й,
3-й и т. д.) является отрицательным (с его помощью из sn
исключаются системы, излишне прибавленные к sn на
предшествующей ступени подсчета). Каждый же четный по
порядку член этого ряда (2-й, 4-й и т. д.) является
положительным (с его помощью к sn прибавляются системы, излишне
исключенные на предшествующей ступени подсчета). Для
i-ro члена ряда, т. е. в системах, состоящих из п — i
компонентов, общее число излишне прибавленных или,
соответственно, излишне исключенных систем sn^.i может быть
определено по методу полной математической индукции:
*„_,.= (_iy. С*..2'2"--1'. (3)
Полученный ряд конечен; общее число членов в нем,
включая sni равно /г-f-l. Последний, п-й член, очевидно,
всегда равен +1. Суммируя (3), получаем общую формулу
ряда:
^=S0(-ir'-c;;.2(2W-^. (4)
♦—п
82

Выражение (4) отвечает на поставленный в пункте f
вопрос о числе отношений между п множествами,
соответственно о число Sn отношений между п понятиями в
формальной логике. В табл. 2 приведены значения Sn
отношений между п множествами для /г = 1, 2, 3, 4, 5.
Таблица 2
п
Рп
*й
О
Sn
1
1
2
1
1
2
3
8
3
5
3
7
128
19
109
'<
15
32 768
471
32 297
5
31
2 147 483 648
162 631
2 147 321 017
7'. Способы, аналогичные фазовому, в работах других
авторов. С момента окончания данной работы и ее сообщения
на семинаре по математической логике в 1945 г., в
зарубежной печати были опубликованы труды специалистов в области
логики и математики, в которых нашли отражение
изложенные выше идеи или идеи, близкие к ним.
Э. Кольман [2] поместил найденные мною числа,
приведенные в последней строке табл. 2, вместе с формулой [4].
В связи с тем, что книга [2] содержит первую публикацию
основной идеи и общего результата всей данной работы,
считаю необходимым привести здесь полностью
соответствующее место из этой книги [2, стр. 47]. «Нужно заметить, —
пишет Э. Кольман,—что при возрастании числа [различных
классов. — Б, К.] крайне быстро растет также число всех
возможных отношений между классами. Для двух классов
это число составит 6. . .» (при условии, что учитывается и
случай взаимного дополнения). «. . .Для трех классов это
число составляет (если не берется во внимание операция
дополнения) 109, для четырех — 32 297, для пяти классов —
2 147 321 017. Это показал Б. М. Кедров, который удачно
использовал для решения этой задачи (поставленной перед
ним автором этой книги) комбинаторный метод теории фаз,
уже применявшийся при проблеме вычисления энтропии
идеальных газов. При этом выяснилось, что геометрический
метод совершенно неприменим для классификации и подсчета:
возможных отношений между п классами, так как для полнот
представительства таких отношений необходимы так
называемые шаровые поверхности п—1 измерений. Если не
3

подсчитывать 5 операций дополнения, то число возможных
отношений для п классов составит:
к—Q
В 1949 г. в Париже вышла в свет книга женевского
ученого Ж. Пиажэ [3]. Глава V этой книги «Исчисление
предложений» посвящена выработке приема исчисления
предложений, отчасти сходного с «фазовым» способом, хотя и отличным
от него во многих весьма существенных отношениях.
Рассматривая прежде всего простейший случай двух
предложений р и q (этот случай отвечает отношению двух множеств,
соответственно двух понятий А и В), Пиажэ учитывает не только
непустые множества (понятия), но и все пустые, равно как
и отсутствующие. В § 28 указанной главы, носящем
заголовок «Шестнадцать сочетаний, вытекающих из возможных
комбинаций двух предложений», автор пишет [3, стр. 224]:
«Даны два каких-либо предложения рид. Они могут быть
истинными (р) или ложными (р) Будучи скомбинированы
попарно, они дают, таким образом следующие четыре
возможности:
pq, pq, pq, РФ>-
Очевидно, в данном случае парные комбинации
предложений р и q соответствуют тому, что мы назвали «фазами».
Истинное предложение соответствует присутствующему в
данной фазе компоненту, ложное предложение — отсутствующему
в ней компоненту. Следовательно, pq соответствует ab, pq — а,
pq—b, pq — фазе нулевого порядка, составленной из пустых
или отсутствующих множеств (понятий).
Далее автор рассуждает следующим образом: «Но каждая
из этих пар может быть сама по себе истинной или ложной,
т. е. каждое сочетание двух предложений (р и q) или (р и
q), и т. д., дает место само по себе двум новым
предложениям: «Истинно, что р и q истинны (сразу)» или «ложно,
что р и q истинны (вместе)». Если составить таблицу
возможных размещений для одной, двух, трех и четырех пар
(приведенных выше), то имеем (см. табл. З)7.
Отметим сразу же, в целях облегчения чтения табл. 3,
что каждый четный столбец содержит отрицание того разме
7 Эта таблица дает истинные пары и оставляет незаполненными
ложные. (Примеч. Пиажэ).
84

Таблица 3
1
РЯ
РЯ
РЯ
РЯ
2
—
—
—
—
3
РЯ
РЯ
РЯ
—
4
—
—
—
РЯ
5
—
РЯ
РЯ
РЯ
6
РЯ
—
—
—
7
РЯ
~
РЯ
РЯ
8
—
РЯ
—
—
9
РЯ
РЯ
—
РЯ
10
—
—
РЯ
—
и
РЯ
—
—
РЯ
12
—
РЯ
РЯ
—
13
РЯ
РЯ
—
—
14
—
—
РЯ
РЯ
15
РЯ
—
РЯ
—
16
—
РЯ
—
РЯ
щения, которое содержится в предыдущем нечетном столбце,
т. е. (если представить это отрицание в виде черты):
рч\ рй\ м\ м = 0; р?> pq> Ря=№, и т. д.
Констатируем, что в соответствии с известной формулой
размещений 21п имеется 16 возможных размещений для п = 2
предложений: 1 включает четыре истинные пары (столбец 1);
4 включают три истинные пары (столбцы 3, 5, 7 и 9); 6
включают две пары истинные (столбцы с 11 по 16); 4 включают
одну истинную пару (столбцы 4, 6, 8 и 10); и 1 не содержит
ни одной истинной пары (столбец 2)» [3, стр. 224—225].
Сравнивая прием, примененный здесь Пиажэ для подсчета
числа размещений различных пар предложений с «фазовым»
способом, мы обнаруживаем следующее: исходя из совершенно
иных посылок и ставя перед собой совершенно иные задачи,
Пиажэ по сути дела пришел к близким к нам (в
математическом смысле) выводам и приемам исчисления, которые
в своей основе имеют аналогичный нашему способ
комбинаторного подсчета возможных размещений (систем). Табл. 3.
составленная Пиажэ, есть не что иное, как комбинирование
фаз (пар) в целях получить все возможные системы,
состоящие из двух компонентов (или предложений р и q).
Разница (в математическом отношении), если не считать
различия в символике, состоит в том, : что Пиаже, решая
задачу исчисления предложений (истинных и ложных),
включает в рассмотрение все без исключения комбинации, иначе
говоря, не только те, которые мы назвали действительными,
но и те, которые мы назвали недействительными, хотя и
возможными. Вследствие этого задача, которую решает Пиажэ,
в математическом отношении представляется значительно
более простой, чем та, которая была решена нами. В самом
деле: у Пиажэ эта задача ограничена лишь подсчетом числа snr
которое равно 21п~1. Но так как при этом Пиажэ включает
в рассмотрение и ложные пары (в табл. 3 они отмечены
черточками), то общее число размещений (систем) удваивается.
85

В итоге получается известная формула 22м, вычисление
которой не составляет особого труда. Очевидно, что эта величина
равна 2sn.
Мы же обращали главное внимание (с математической
точки зрения) на определение способа элиминации числа
недействительных систем из общего числа возможных систем
(размещений), что и привело нас к формуле (4).
Очевидно, что для большего числа п компонентов
(предложений) у Пиажэ должны были получаться числа,
равные 2sn. Так, например, автор пишет: «Составляя такую же
таблицу с 3, 4, 5 и т. д. предложениями {pqr\ pqrs; pqrst
и т. д.), вместо бинарных сочетаний (pq), представленных
здесь, получают 256, затем 65 536, затем 4 294 967 296
возможных размещений, и т. д.» [3, стр. 225].
Приведенные числа содержатся в нашей табл. 2 для
случая лг = 3, п = 4 и дг=5 в строке sn (у нас их значения
уменьшены вдвое по сравнению с указанными Пиажэ).
Итак, ход рассуждений Пиажэ и их обоснование, а также
символика отличаются от изложенных в нашей работе.
К тому же полученный результат у Пиажэ носит (с
математической точки зрения) более частный характер, поскольку
свою задачу автор ограничил подсчетом только «возможных»
{по нашей терминологии) систем, включая сюда и пустые
множества. Иначе говоря, Пиажэ ограничился лишь
формулой (2), не ставя и не решая более трудной задачи подсчета
числа «недействительных» систем а в целях определения числа
«-^действительных» систем S„ (терминология и символика всюду
наши). Тем не менее работа Пиажэ представляет для нас
интерес как подтверждение предложенного нами фазового
способа подсчета числа отношений множеств (понятий).
В самом деле, суть исчисления у Пиажэ сводится именно
к комбинированию фаз для образования всех возможных
систем, т. е. по сути дела сводится к способу, который мы
назвали «фазовым». Можно констатировать, что, исходя из
совершенно различных установок и независимо друг от друга,
Пиажэ и автор этой статьи пришли в принципе к одному
и тому же вычислительному, комбинаторному приему.
Особенно интересно отметить, что Пиажэ ставит и решает задачу
(в рамках своего исследования) в общем случае для п
предложений (компонентов), пользуясь известной формулой
сочетаний 22n(=2sn).
Уже после того, как наша работа была закончена и
доложена на упоминавшемся выше семинаре по математической
логике, мы ознакомились с одной весьма интересной работой
П. С. Порецкого [4], которая касается теории дедуктивного
умозаключения, развиваемой формальной логикой. Критикуя
86

традиционное.учение о силлогизме, Порецкий с самого
начала выдвигает следующую задачу: «Показать, что система
двух посылок: „а содержится в Ь" и „Ъ содержится в с"
допускает не одно только заключение „а содержится в с"» [4,
стр. 1].
В связи с этим автор отвергает традиционную графическую
схему (рис. 7), поясняющую данный силлогизм.
Вместо нее^он выдвигает некоторую общую схему,
считая, что такой общей схемой для всех задач о трех
данных классах а, Ъ, с может быть только схема, представлен*
ная на рис. 8, где классы а, Ь, с изображены взаимно-
пересекающимися кругами. И действительно, как по*
казывает далее автор, в общем случае предусматривается
возможность существования предметов, принадлежащих как
к каждому классу отдельно, так и к нескольким классам
сразу. Все предметы, общие двум (и более) классам, должны
помещаться в общей части изображающих их кругов. Обратно,
каждый предмет, помещающийся в общей части нескольких
кругов, должен принадлежать ко всем классам,
изображенным этими кругами. Если же .в какой-либо задаче какие-либо
классы не имеют общих предметов (например, класс птиц и
класс людей), то это выразится на общей схеме допущением,
что общая часть кругов, изображающих эти классы, должна
быть пустою, т. е. вовсе не содержащею предметов, для
чего достаточно эту часть схемы затушевать или покрыть
штрихами [4, стр. 2].
Мы видим, что автор, ставя перед собой специальную
задачу — показать возможность не одного, а многих
различных заключений из двух посылок 1-й фигуры силлогизма,—
прибегает для случая трех понятий (большего числа их он
не рассматривает) к тому же самому в принципе способу,
который мы назвали «фазовым». По сути дела Порецкий
рассматривает понятие не как нечто целое, изображаемое одним
цельным кругом, но как составленное из различных областей,
87

причем пустые классы (множества, понятия) исключаются
путем зачернения соответствующих областей того или иного
круга.
Поскольку Порецкий поставил задачу, касающуюся
определенной фигуры категорического силлогизма, постольку,
конечно, он ограничил себя системами из трех компонентов
(говоря нашими терминами). Каков же ход рассуждения
Порецкого для п=3? Он пишет: «Понятно, что первая из
посылок взятой нами задачи, т. е. посылка „все а суть Ь",
должна изображаться схемою (рис. 9. — Б. /Г.),
показывающею, что предметов, принадлежащих к классу а и в то же
Рис. 9. Рис. 10.
время не принадлежащих к классу Ь, в данном случае
не существует» [4, стр. 2]. Продолжая рассуждение, Порецкий
приходит в итоге к тому, что совокупность обеих данных
посылок, а тем самым и вся данная задача вообще,
изобразится схемой, представленной на рис. 10.
Сопоставляя свою схему (рис. 10) с традиционным
графическим изображением 1-й фигуры силлогизма (рис. 7),
Порецкий отмечает, что в то время, как в традиционной схеме
«данные классы рассматриваются как нечто цельное и
нераздельное, в нашей схеме (рис. 10.—Б. К.) те же
классы представляются разбитыми на участки, или
подклассы, причем указаны все пустые участки, т. е. все
подклассы, логически равные нулю. Изучение этих
участков и должно доставить нам средство для полного
решения взятой задачи» [4, стр. 3].
То, что Порецкий именует «участками», соответствует
нашим фазам. Его схема (рис. 10) есть не что иное, как
фазовое изображение отношения истинного включения а в b и
b в с. Рассуждение Порецкого можно, поэтому, свести к
следующему: система трех понятий, находящихся в указанном
отношении между собой, представляет соединение трех фаз
abc; Ьс\ с. Изучение каждой из этих фаз дает ключ к
решению всей задачи об отношениях между тремя понятиями.
88

По этому поводу Порецкий замечает, что его схема (рис. 10),
подобно традиционной схеме (рис. 7), изображает, что все а
суть b и все b суть с, а также и то, что заключение «все а
суть с» совершенно верно. Но, в то время как из
традиционной схемы ничего более заключить невозможно, схема По-
рецкого (рис. 10), по его мнению, дает основание для
дальнейших заключений [4, стр. 3].
Обращаясь с этой целью к изучению общей схемы (рис. 8)
всех задач о трех данных классах вообще, Порецкий отмечает
следующее, весьма интересное для нас обстоятельство: «Легко
убедиться, что вообще три пересекающиеся круга разбивают
каждый из этих кругов на четыре участка и что общее число
обнимаемых этими кругами различных участков равно не
двенадцати, а только семи. . . Ясно также, что за пределами
всех трех рассматриваемых кружков должен находиться
восьмой участок, наполненный только такими предметами,
которые не принадлежат ни к одному из трех данных
классов а, Ь, с [это — пустое множество. — В. К.]» [4, стр. 3—4].
Очевидно, что Порецкий характеризует семь фаз, которые
могут быть образованы из трех компонентов. Для них, с
добавлением к ним еще и пустой фазы, он вводит особые
обозначения (в поисках средства «для символического
изображения всех указанных выше восьми-участков, для отличения
их одного от других» [4, стр. 4]). Так, например, все четыре
участка круга а и, вместе с тем, все четыре подкласса а, он
изображает следующим образом:
abc, abc0, ab0c, ab0c0.
Если опустить из формулы каждой фазы символ с
нулевым индексом, то получится уже знакомая нам фазовая
символика, обозначающая фазы, из которых может состоять
множество (понятие) А:
abc, ab, ас, а.
Далее Порецкий вводит следующие названия: он называет
вышеприведенные восемь классов «элементарными, или
элементами речи, о трех данных классах а, Ь, с». Мы же в этом
случае говорим о восьми фазах в системе из трех
компонентов.
Мотивируя вводимую им терминологию, автор пишет:
«пока идет речь только о трех данных класса а, Ь, с, т. е.
пока не дан нам какой-нибудь четвертый класс d,
дальнейшее разбитие данных классов на подклассы оказывается
невозможным и, следовательно, упомянутые восемь классов
представляются неделимыми. Что же касается трех данных
89*

классов a, b, с, которые, с точки зрения изображения
классов символами, представляются также в своем роде
элементарными, то мы назовем их простыми на том основании,
что они изображаются простейшими из символов, какие
только мы будем употреблять для изображения классов,
а именно отдельными буквами а, 6, с» [4, стр. 5].
Обозначая все пустые классы символом 0 (нуль), Порец-
кий составляет формулы для шести простых классов:
Л, #0, 0, c?q, С, Cq,
и для восьми классов элементарных (т. е. для восьми фаз):
abc, abc0, ab0c, ab0c01 aQbct aQbcQt aQb0c, а0Ь0соШ
WoCo
Рис, 11.
На этой! основе Порецкий конкретизирует свою общую
схему, давая каждому особому участку в ней, т. е. каждому
элементарному классу (фазе), формулу, выражающую его
состав. Он пишет, что на прилагаемой схеме (см. рис. 11)
каждый участок обозначен отвечающим ему символом. Как
видим, здесь по существу вводится фазовое обозначение.
В связи с этим Порецкий ставит тот же вопрос, который
мы поставили и рассмотрели в общем виде для п множеств
(понятий): «как составить из простых классов элементарные
ж обратно?» [4, стр. 7]. То есть, говоря нашими терминами,
как составить фазы из компонентов и как разложить эти
фазы на составляющие их компоненты?
Далее, логически развивая свою мысль, автор приходит
к следующей задаче — к составлению систем из отдельных
фаз (т. е. из «элементарных классов или элементов речи»).
90

Он начинает комбинировать эти фазы («элементы») и приходит
к выводу, что «путем сложения между собою восьми
элементов [имеются в виду восемь фаз, включая и пустую,
изображенных на рис. 8. — В. К.], без повторения одних и тех же
слагаемых, можно составить только следующие 256
различные классы: один класс без элементов (класс 0) и один
класс о восьми элементах (класс 1); 8 классов об одном
элементе (сами элементы) и 8 классов о семи элементах,
28 классов о двух элементах и 28 классов о шести элементах;
56 классов о трех элементах и 56 классов о пяти элементах;
наконец, 70 классов о четырех элементах (и в том числе
все шесть простые класса а, а0, Ъ, Ь0, с, с0)» [4, стр. 9—10].
Как видим, Порецкий в 1902 г. при подсчете отношений
между тремя понятиями («простыми классами») пришел к точно
тому же выводу, к какому в 1949 г. пришел Пиажэ,
пользуясь по сути дела одними и теми же приемами. И тот и
другой подсчитывали удвоенное значение общего числа
возможных систем sn для случая я = 3. И тот и другой с
совершенно разных сторон подошли к разработке того
комбинаторного способа, который мы назвали «фазовым». То
обстоятельство, что этот способ стал разрабатываться разными
лицами в разное время по случаю решения совершенно
различных задач, может служить доказательством его
своевременности, необходимости. Ради доказательства этого мы и
привели столь подробные выдержки из работ Пиажэ и По-
рецкого.
Но если в части определения числа sn наш способ во
многом сходен с тем, который был разработан для частного
случая (я = 3) Порецким и для общего случая п
компонентов Пиажэ, то в подсчете числа недействительных систем а
мы не нашли у названных авторов аналогичной постановки
вопроса. То же касается и вопроса, который мы назовем
вопросом о типах отношений множеств (понятий) (см. ниже).
8. Сравнение различных способов. Сравним теперь
терминологию и символику, принятые в фазовом способе, с теми,
какими пользуются Пиажэ и Порецкий в своих способах.
Это позволит нам еще яснее увидеть общность
комбинаторного подхода к решению подобного рода задач.
В табл. 4 сопоставлены различные термины,
обозначающие по сути дела одно и то же понятие.
Сравнение символики, введенной для обозначения
компонентов фаз и систем в фазовом способе и в способах Пиажэ
и Порецкого, дано в табл. 5.
Как видим, различие в способах касается того,
включать или не включать пустые множества и их символы
в обозначения соответствующих фаз. В зависимости от стоящей
91

Таблица 4
Фазовый способ
Компонент
Отсутствующий ком-
Состав фазы
Фаза в бинарной
системе
Система
Система п компонентов
i
1 Способ Пиажэ
Предложение
(proposition)
Ложное предложение
(proposition faux)
Соединение (liaison)
Пара (couple), или
бинарное соединение
Размещение
(arrangement)
Размещение' с п
предложениями
Способ Порецного
Простой класс
Пустой класс
Участок, или
элементарный класс
Класс
Задача о п классах
Таблица 5
Понятия (в «фазовых»
терминах)
Компонент
Отсутствующий
компонент
Признак компонента . .
В бинарной системе:
Ординарная фаза . .
Двойная фаза ....
В тройной системе:
Ординарная фаза . .
Двойная фаза . . . . i
Тройная фаза . . . .
фазовый способ
А, В, С, D,. . .
—
а, Ь, с, d. . .
а, Ь
аЪ
а, Ъ, с
аЪ, ас, be
аЪс
Обозначения
способ Пиажэ
р, q, г, d...
р, q, г, d. . .
то же, что и д
ря, рд
РЧ
pqr, pqr, pqr
pqr, pqr, pqr j
pqr
способ Порецногс»
a, b, с
a0, 60, c0
ля компонента
ab§, аф
аЪ
ab0c0, аф0с, афсь
abc0, ab0c, афс
abc
задачи, для решения которой применялся данный способ,
мы их не учитывали вовсе, тогда как Пиажэ и Порецкий
обращали на них особое внимание. Это сказалось и на итоге
самого комбинаторного исчисления [ср. нашу формулу (4)
с общей формулой Пиажэ и Порецкого, дающей значение
числа отношений множеств, равное 2sn].
92

* * *
Итак, с помощью таких понятий физико-химического
анализа, как понятия «состав», «система», «компонент» и
«фаза», решается поставленная в начале статьи
математическая задача о числе отношений п множеств и, соответственно,
логическая задача о числе отношений между п понятиями.
Тем самым учение Н. С. Курнакова о физико-химическом
анализе неожиданным образом нашло свое приложение
в математике и логике, на первый шгляд весьма далеких
от физической химии.
В связи с этим следует отметить, что сам Н. С. Курнаков
в своих трудах по теории физико-химического анализа
неоднократно подчеркивал связь, которая со времен Монжа
и, особенно, Гиббса установилась между математикой
(геометрией, топологией и комбинаторикой), с одной стороны,
и химией — с другой. Однако до сих пор эта связь не
считалась вполне взаимной. Она рассматривалась несколько
односторонне в том смысле, что лишь химия заимствует
некоторые положения и представления из области
математики (топологии и комбинаторики), с помощью которых
она развивает тот раздел физико-химического анализа (учение
о диаграмме «состав — свойство»), который можно назвать
ч<химической топологией».
Данная же работа показывает, что связь между
математикой и химией может считаться взаимной, так как
математическая логика и комбинаторика могут не только
использовать чисто химические понятия («состав», «система»,
«компонент», «фаза»), но и решать с их помощью совершенно
конкретные математические и логические задачи.
ДОПОЛНЕНИЕ
О типах отношений множеств и об их числе
О типах отношений множеств. Рассмотренная выше
фазовая символика позволяет ввести еще одно новое понятие
о типе отношений, или соединений, множеств. Рассмотрим
случай, когда пересекаются так или иначе множества Л, В
и С. Пересечение этих трех множеств может представлять
собою один из следующих типов8:
«цепочный», когда имеются, например, АВ и ВС, но нет
АС и ABC;
8 Названия условны и связаны с геометрическим изображением
систем (отношений множеств) в виде налагающихся друг на друга кругов,
овалов или треугольников.
93

«кольцевой», когда имеются все три двойные пересечения,
но нет тройного ABC, т. е. нет элементов с
признаком abc;
«веерный», когда имеется лишь тройное пересечение, но нет
двойных;
«розеточный», когда кроме тройного имеются все три
двойных пересечения;
«концентрический», когда имеется включение во включении,
т. е. включение, например, А в В и В в С\
«рассыпной», когда имеется лишь одно отношение назависи-
мости;
«нерасчлененный», когда имеется лишь одно тождество. И т. д.
Всего получается в названных выше случаях 7 типов
систем, которые объединяют 14 различных индивидуальных
Таблица G
Тип системы
Индивидуальные системы
Цепочный
Кольцевой
Веерный .
Розеточный
Концентриче
ский . .
Рассыпной
Н ерасчлененный
(ab, ас, а, Ъ, с)', (ab, be, а, Ь, с);
(ас, be, а, Ь, с,)
(ab, be, ас, а, Ь, с)
(abc, а, Ь, с)
(abc, ab, ас, be, a, b, с)
(abc, be, b); (abc, be, c); (abct ac, a);
abc, ас, c); (abc, ab, a); (abc, ab, b)
(a, b, c)
(abc)
систем (тройных) из общего их числа 109. Формулы этих
систем приведены в табл. 6.
Системы каждого типа имеют определенный общий
признак: например, при п = 3 общим признаком всех трех
систем цепочного типа служит наличие у них двух двойных
фаз и трех простых фаз при отсутствии тройной фазы.
Системы, образованные одинаковым числом множеств п и
состоящие из одинакового числа фаз каждого порядка, мы
относим к одному типу. Типы систем различаются между
собой не тем, какими индивидуальными множествами
образованы отдельные фазы, а тем, сколько в системах
имеется простых, двойных, тройных фаз и т. д. до фаз /г-го
порядка. Соответственно этому рассмотренные выше 14 систем
распределяются по 7 различным типам.
94

Условимся в формуле типа на месте единиц ставить число
присутствующих в системе простых фаз, на месте десятков —
число двойных фаз, на месте сотен — число тройных фаз, и
т. д. до последнего тг^го места, на котором ставится число
фаз высшего порядка. При отсутствии фаз данного порядка
на соответствующем месте в формуле типа ставится 0.
В итоге для систем каждого типа получим гг-значное число.
Например, при п = 3 формулы типов будут трехзначными;
в частности, приведенные выше 7 типов систем получат
следующие формулы:
цепочный |023| концентрический . . |111|
кольцевой .... 1033] рассыпной .... |003|
веерный |103| нерасчлененный . . . |100|
розеточный .... |133|
Промежуточными между веерными (103) и розеточнымв
(133) будут типы систем, выражаемые формулами (113) и
(123). Промежуточными . между концентрическими (111) и
нерасчлененными (100) будут типы систем, представляемые
формулами (110) и (101). Промежуточными между цепочными
(023) и рассыпными (003) будут типы систем, изображаемые
формулой (013). Промежуточными между нерасчлененными
(100) и рассыпными (003) будут типы систем с формулами
(011). Этим промежуточным типам отвечают еще 18
индивидуальных тройных систем из общего их числа, равного 109,
Аналогичным образом 5 отношений между двумя
множествами (см. разделы 1 и 4 основной статьи) распределяются
между следующими четырьмя типами:
|10| — одно отношение тождества (нерасчлененный тип);
|12| — одно отношение пересечения (цепочный тип):
|11| — два отношения включения (концентрический тип);
|02| — одно отношение независимости (рассыпной тип).
Заметим, что в число однотипных систем попадают все
системы, образующиеся в результате перестановки признаков,
характеризующих различные фазы. Например, однотипными
будут дне системы состава: 1) abc, ab, с и 2) abc, be, а. Обе
системы различаются перестановкой признаков А и С
в выражении для двойной и простой фазы. Однако
однотипными с ними в указанном выше смысле будет и система
состава abc, ab, а, поскольку число двойных фаз у нее равно
1 и число простых фаз равно 1 — так же, как и у обеих
предыдущих систем. Объясняется это тем, что однотипность
систем понимается . в данном случае не как способность
их взаимопревращаться друг в друга путем перестановки
признаков а, Ь, с, . . ., п, но лишь как наличие у них
9S

одинакового числа простых двойных, тройных и т. д. фаз,
конкретные признаки у коих обезличиваются вовсе.
Вопрос о типах отношений множеств (понятий) позволяет
в обобщенной форме выражать и обозначать такие приемы
теории множеств (соответственно, приемы формальной логики),
как включение одного множества (понятия) в другое, как
их тождество, пересечение и независимость. Например, если
в типовой формуле на я-м месте стоит 1, то это показывает,
что все п множеств (соответственно, понятий) так или иначе
пересекаются друг с другом, включаются друг в друга или
тождественны друг другу. Следовательно, это показывает,
что из всех п множеств (понятий) нет ни одной пары
независимых между собой. Точно так же, если в типовой формуле
данной системы стоит лишь одно число п на месте единиц,
то, значит, все п множеств (понятий) независимы между
собой. И т. д.
Число типов систем (типов отношений множеств или
понятий. Прежде всего определим число возможных
систем одного типа. Обозначим через к4 число фаз
г'-го порядка, стоящее в формуле типа на £-м месте.
Тогда система чисел гч (от i = 1 до i=n) будет признаком
типа отношений множеств (типа систем). В таком случае
общая формула типа примет вид:
1*11*11-1*11-2» * ' '» *<» * * '» W^l'
Спрашивается: посредством скольких индивидуальных
систем может осуществиться данный тип систем? Обозначим
через pt число возможных фаз 1-го порядка, т. е.
образованных i множествами из общего числа п множеств:
Pi = 4. (5)
Число комбинаций различных фаз £-го порядка равно
числу сочетаний р4 по к4:
рЩ рщ
п
Общее число st возможных систем, отвечающих данному
типу, равно числу комбинаций каждого сочетания фаз i-ro
порядка с каждым сочетанием фаз всех остальных порядков»
Следовательно:
*=Пс2- (6)
i=n п
Исходя из (6), можно определить общее число типов
систем (отношений множеств или понятий). Число фаз каждого
96

i-ro порядка колеблется в пределах от Pi = 0 (фазы
отсутствуют) до р; = С„ (все возможные фазы данного i-ro порядка
налицо). Соответственно, на i.-м месте в формуле типа может
стоять любое целое число тг^ от 0 до С„, следовательно, всего
С* —|— 1 чисел.
1]ри образовании всех типов систем каждое число фаз
i-ro порядка комбинируется с каждым числом фаз каждого
другого порядка. Обозначим общео число возможных
типов отношений (систем) п множеств через tn. Очевидно,
'. = П(^+1). (7)
Однако среди tn типов имеются такие, в образовании
которых участвовали не все п множеств, а к^п—1. Такие
типы, хотя и возможны, но для систем из п компонентов
являются недействительными, а потому должны быть
исключены из (7). Обозначим их число через т. Для п = 1
получаем т = 1, так как к<^1 имеется только в одном
типе |0|; для и = 2, получаем т=2, так как к<^2 имеется
в типах J00J и |01|; для п = 3, получаем т= 4, так как к<^3
имеется в типах |000|, |001|, 1002] и |010|. В общем случае
для данного к множеств число т равно числу всех
возможных разбиений к на различные слагаемые, считая, что и само к
представляет собою один способ разбиения [5, стр. 265].
Обозначая значение к в виде индексов у т, имеем:
хо= 1' ^ = 1; т2 = 2', тз = 3; т4 = 5; т5 = 7;
хв = 11; . ..; т* = <р(А),
где ср (к) — функция от /с, равная числу разбиений к на ела"
гаемые. Общее число всех недействительных типов равно
сумме знаний ср (/с):
т= 2 ?(Л). (8)
*=Я—1
Например, при /г = 3, х= т0-|- z1 -|-т2 = 4. Отсюда число Тп
действительных типов, т. е. число типов отношений
множеств, подлежащих подсчету, равно:
Г. = /я-т = П(С'я + 1)- 2 ?(*)• (9)
♦=я к=п—1
97

Ниже в табл. 7 приводятся числа Тп типов отношений
между п множествами для п= 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Таблица 7
п
tn
т
г.
1
2
1
1
2
6
2
4
3
32
4
28
4
350
7
343
5 1
8 712
12
8 700
6
526 848
19
526 829
7
80 289 792
30
,80 289 762
В заключение автор выражает свою признательность
академику А. Н. Колмогорову за сделанные им ценные
замечания по поводу данной работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. С. К урна ко в. Введение в физико-химический анализ. 4-е изд.,
М., 1949.
2. Arnost Rolman. Kriticky vyklad symbolicke metody moderni logiky.
Orbis, Praha, 1948.
3. J. Piaget. Traite de Logique. Essai de logistique operatoire. Paris,
1949.
4. П. С. П о p e ц к и й. Из области математической логики. Физико-
математический ежегодник, № 2, М., 1902.
5. Леонард Эйлер. Введение в анализ бесконечно-малых, т. 1. М..
1936.
==^==

Zf* =ЙЕ
В. Г. Кузнецов
ОБ ОСНОВАХ КВАНТОВО-РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
ЛОГИКИ
1. Тривалентно-бивалентные переходы. Можно думать, что
новые концепции в логике должны исходить не только
из основных принципов нерелятивистской квантовой
механики, но и из обобщения релятивистской квантовой теории.
Среди попыток такого обобщения мы встречаем попытки
вывести макроскопические, в общем случае релятивистские,
понятия из квантовых. В частности, можно представить
себе движение элементарной частицы как серию трансмутаций,
приводящих к регенерации частицы в соседних точках [1].
Серии таких трансм-утаций, соединяющие пространственно-
временные точки, в макроскопической апроксимации можно
считать движениями себетождественных частиц.
В современной физике элементарные трансмутации
являются предельным понятием, аналогичным понятию
движения частиц в классической физике. Трансмутации
могут получить объяснение только в пределах физики
элементарных частиц в собственном смысле (теории,
выводящей из более общих и «более элементарных» процессов
«величину», «структуру», заряд, массу, спин элементарных частиц.
Но такая теория выйдет за рамки современной квантовой
механики. Сейчас мы не можем даже сколько-нибудь
однозначно вывести из трансмутаций элементарных частиц
их движение как вторичное понятие, здесь приходится
ограничиваться самыми предварительными гипотезами.
Слишком общие и неопределенные, чтобы лечь в основу
конкретных количественных физических теорий, они уже
достаточны для некоторой перестройки основ логики.
Нам понадобится небольшое число собственно логических
понятий и символов. Это прежде всего бивалентные
высказывания, т. е. предложения, всегда допускающие определен-
99

иую оценку «истинно» (R) либо «ложно» (/■<"), подчиняющиеся
принципу исключенного третьего и рассматриваемые только
со стороны их истинности и ложности, без расчленения на
субъект и предикат. Они будут обозначаться х, у, q, к и т. д.,
а в случае многих высказываний х{. Из элементарных
бивалентных высказываний можно составить сложные, истинные
либо ложные высказывания с помощью символов: ~~, Д, \/,
->, ~, отчасти аналогичных словам: «не» (~), «и» (Д),
«или» (V)> «если, . . . то» (—>), «равнозначно» (~); х
обозначает отрицание х (высказывание х истинно, если х ложно);
х/\у называется конъюнкцией ж и у (это высказывание
истинно в том и только в том случае, когда х и у истинны); x\Jy
называется дизъюнкцией х и у (истинной, когда одно из
этих высказываний истинно); х -^ у называется
импликацией (она ложна только в том случае, когда х истинно,
а у — ложно); равнозначность х — у истинна тогда
а только тогда, когда х и у оба истинны либо оба ложны.
Квантовая физика не полностью подчиняется
соотношениям бивалентной логики [2]. Существуют попытки
поливалентных логик, не включающих закона исключенного третьего
и вводящих кроме «истинно» R и «ложно» F другие оценки.
Мы будем пользоваться тривалентпой оценкой: «истинно» R,
«ложно» F и «вероятно» W. При этом мы будем считать:
1) x=W, если x = W; 2) х{/\х2/\, . . ., /\xn=W, если
некоторые (хотя бы один) х{ = W, а остальные равны R;
3) хх\/х2\/, ..., \/xn = W, если некоторые (хотя бы один)
xt = W, а остальные равны F; 4) x->y=W, если x=R,
a y = W, либо x=W, a y = F, либо х и у равны F\
5) х ~ y = W, если х либо у равно W. Далее будем считать,
что если х1/\х2/\1- . . . , /\xn = R, то само существование
этой конъюнкции равно W, т. е. (х1/\х2/\, . . ., /\x„ = R)= W.
Эти свойства оценки W будем считать се определением.
«Вероятность» W, очевидно, не совпадает с математическим
понятием вероятности, она означает неопределенную, вообще
говоря, возможность [3]. Таким образом, рассматриваемая
логика отличается от непрерывно-метрической логики с
бесконечным числом значений вероятности от 0 до 1 [4].
Метрическая логика рассматривается в следующем параграфе.
Последующее изложение посвящено установлению и
интерпретации взаимных переходов от тривалентных высказываний
к. бивалентным высказываниям — началам трталентно-бива-
лентпой логики.
Высказываниям можно придать вид содержательных
суждений и таким образом перейти от исчисления
высказываний к исчислению предикатов. Обычно высказыванию х
придают смысл: «все субъекты обладают предикатом х». Мы
100

будем придавать иной содержательный смысл
высказываниям ху истолковывая их как предложения: «элементарный
субъект а( обладает предикатом х»> либо «субъект а{ входит
в множество X субъектов, обладающих предикатом х(а. £ X)».
Возьмем конъюнкцию тривалентных суждений
а,е*л«2б*л-.... л«.е*-
Она равна W. Предположим теперь, что все вероятные
суждения достоверны, т. е. что условия задачи допускают такую
апроксимацию. Тогда конъюнкция переосмысленных суждений
будет равна R, но существование такой конъюнкции является
тривалентным суждением, само предположение о достоверной
истинности всех а(£Х, согласно определению оценки W^
вероятно:
К6ХЛ, ••- f\a„£X = R) = W.
Такое соотношение можно назвать вынесением трива-
лептности за скобку. Оно является основой
последующих выводов и имея в виду возможную интерпретацию,
его следует назвать «представлением себетождественности».
В самом деле, если рассматривать предикат х как
субстанциальный признак себетождествепиого сложного субъекта а,
то конъюнкция ах£ХД, . . ., /\ап£Х будет суждением о то-
ждествеЕШости аи а2, . . .,' ап, т. е. о существовании
себетождествепиого сложного субъекта а. •
Себетождественность субъекта а — существование
конъюнкции достоверных а^Х — требует неизменности некоторого
предиката х. Следовательно, себетождественность —
относительное понятие, имеющее смысл применительно к данному
предикату. Элементарный субъект может входить в
различные сложные себетождественные субъекты.
Введем важные для применений тривалентно-бивалентной
логики понятия метав ы сказывай и я, метасуждения
и мета предикат а, которые будут обозначаться одним
и тем же символом: буквой, присвоенной исходному
(первообразному) высказыванию, суждению и предикату, с точкой
над буквой.
Метавысказыванием х от первообразного высказывания х
мы назовем высказывание x = R.
В бивалентной логике х и х = 7? равнозначны. В трива-
леитной логике равнозначность этих высказываний вообще
говоря не сохраняется. Если наряду с R и F фигурирует
третья, исключающая их оценка F, то в случае, когда
x=V, выражение x = R не равно V, а ложно: (x = R)=F.
В рассматриваемой здесь тривалентно-бивалентной дотике и&
101

определения оценки W и формулы вынесения W за скобку
вытекает следующее соотношение между х и x=R. Исходное
понятие — тривалентное высказывание (соответственно, три-
валентное суждение и тривалентный предикат) х. Мы
переходим к бивалентному высказыванию (суждению, предикату),
отбирая субъекты а4, достоверно обладающие предикатом х.
Поэтому x = R содержательно истолковывается как
экзистенциальное суждение: «существует себетождественный сложный
субъект а, состоящий из а,, достоверно обладающих
предикатом х». Согласно формуле вынесения W за скобку, это
суждение вероятно: (a;=/?)=W. Переосмысливая x=(x=R)—
относя его к а{1 мы получаем уже не первоначальный
предикат х, который мы приписывали а,, отбирая последние
в множество тождественных субъектов, а иной предикат.
Суждение x = R означает теперь не только достоверное
наличие предиката х у субъекта а{ , но и вероятное
существование сложного субъекта а. Это вероятное существование
множества, к которому принадлежат а{1 рассматривается как
предикат каждого а{— метапредикат х.
Если сопоставить оценки х и x = (x = R), мы получим
логический принцип неопределенности:
невозможна бивалентность обоих высказываний х и х и
достоверность обоих суждений: а{£Х и а{£Х. Если одно из
высказываний бивалентно и, соответственно, одно суждение
достоверно, то другое высказывание тривалептно и другое суждение,
вообще говоря, лишь вероятно.
2. Метрическая логика. В этой работе мы не будем
останавливаться на различиях между метрической логикой
й математическими дисциплинами [5] и ограничимся
указаниями на математические эквиваленты вводимых понятий.
При переходе к метрической логике несопоставимые друг
с другом предикаты заменяются интенсивными, а затем
метрическими предикатными многообразиями. Если
предикаты х1У х2, . . ., хп допускают по отношению друг к другу
оценки «больше» и «меньше», их можно назвать преди-
катами-интенсивностями, а множество х(х1ч...> хп)
интенсивным предикатным многообразием.
Расположив интенсивности в ряд так, чтобы за меньшей
следовала большая, мы можем сопоставить интенсивности
числам и, таким образом, параметризировать ряд. Среди
интенсивных многообразий выделяется класс
метрических многообразий, в которых каждым двум
предикатам сопоставлен особый предикат «расстояние», причем зная
предикаты, мы всегда можем найти расстояние. В настоящем
параграфе речь будет идти о метрических предикатных
многообразиях.
102

При переходе к метрическим многообразиям
естественным образом параметризируются множества субъектов и
суждений. Элементарный субъект отличается от других
субъектов, входящих в то же множество, числом,
обозначающим при параметризации принадлежащий ему предикат.
Поскольку элементарный субъект может обладать
предикатами, входящими в п различных многообразий, он отличается
от других упорядоченной - системой п чисел. Наименьшее
число п, необходимое для различения субъектов, можно
назвать размерностью пространства различимых субъектов.
При такой геометрической интерпретации субъект
становится геометрическим инвариантом: точкой либо состоящей
из - точек фигурой. Геометрическая точка (элементарный
субъект) параметризирована значениями (элементарными
предикатами) переменных (предикатных многообразий).
Суждения становятся координатными представлениями инварианта:
субъекту приписывается упорядоченная система метризирован-
ных предикатов, входящих каждый в одно из многообразий.
При ^метрическом переосмысливании каждое элементарное
суждение отвечает на вопрос, «каково расстояние» от
предиката, принятого за начало отсчета (во сколько раз это
расстояние больше, чем расстояние, принятое за единицу).
Множество элементарных субъектов, обладающих заданным
предикатом, соответствует множеству точек, находящихся на
равных расстояниях от оси отсчета. Бивалентные
элементарные суждения означают, что точка принадлежит либо не
принадлежит такому множеству X, т. е. обладает или не
обладает координатой х, равной общему для множества
расстоянию от оси.
С переходом к предикатным многообразиям осложняется
проблема себетождественности. Элементарные предикаты
уступили место многообразиям, вообще говоря,
нетождественных элементарных предикатов и неизменность
элементарного предиката перестает служить критерием
себетождественности. Вместо нее появляется новый, более общий
критерий.
Представим себе, что все элементарные субъекты а{1
образующие сложный себетождественный субъект а, обладают
. каждый двумя предикатами х{ и у., входящими в
метрические многообразия х и у. Введем невозможное в
неметрической бивалентной и тривалентной логике понятие
отношения между х{ и yt, понимая под ним отношение числа пара-
метризирующего х{ в многообразии х к числу у- в
многообразии у. Числа эти в общем случае отличны друг от друга.
Они могут быть связаны друг с другом таким образом, что
зная число х{ мы можем получить число у{. Тогда мы гово-
103

рим о функциональной связи предикатных многообразий*
Числа предикатов х{ и у{ могут отличаться благодаря тому,
что в многообразиях х и у выбраны различные начальные
предикаты (точки отсчета) либо благодаря различным
масштабам, либо в силу обеих этих причин. Когда различие
зависит только от них, связь между предикатными
многообразиями называется линейной. В этом случае отношение между
kxt=:xi+1 — х4 и Ду$- = ?л-+1 — Vi не зависит от индексов ?,
т. е. остается неизменным для всех х{ и yt. Мы можем
считать это неизменное отношение Дж$.: Дг/^ предикатом субъекта а4
и, поскольку этот предикат не меняется, считать его
критерием себетождественности субъекта а. Это —
себетождественность другого ранга по сравнению с известной нам собе-
тождественностью а, гарантированной неизменностью
элементарного предикатам. Теперь себетождественность гарантирована
неизменным предикатом-отношением, отношением
приращений Lxt и Ау4 элементарных предикатов х4 и уг Если
зависимость Х{ от yt нелинейна, т. е. отношение Д#$.: Дт/^
изменяется при изменении i, мы производим линеаризацию: берем
в качестве критерия себетождественности отношение,
связывающее A2x{= Axi+l — Д#$. с Д'2г^ = Ду,+1— А?/,-. Если же и этот
предикат (отношение А2х{: Д2?/,) изменяется, мы переходим
к отношению А3х4 : Д3г/,- и т. д., пока не находим постоянное
отношение, способное служить неизменным предикатом,
гарантирующим себетождественность.
Можно сделать сопоставимыми различные предикатные
многообразия, если выбрать одно многообразие t в качестве
исходного, предположив, что все рассматриваемые субъекты
обладают предикатами t{, входящими в t. Заметим в скобках,
что в качестве наиболее общего исходного предикатного
многообразия t человечество на заре цивилизации выбрало
время, указываемое положением Солнца и звезд. Отнесение
пространственных предикатов тел к времени стало основой
механики. Субъекты суждений в механике — это субъекты,
себетождественность которых гарантирована линейным (после
/г-кратиой линеаризации) отношением пространственных
предикатов к времени.
Это — отнюдь не общее определение себетождественности.
Могут быть нелинеаризируемые зависимости х от 2. Общей
гарантией себетождественности служит существование
определенного закона непрерывного изменения предиката, по
которому производится идентификация. Мы будем
рассматривать .только случай конечного числа п линеаризации, дающих
неизменное отношение А"х{ к Auyt.
Перейдем теперь к метрическому переосмысливапию
понятия метапредиката. В тривалентно-бивалентной неметрической
104

логике метапредикат х Гозначал существование множества
с заданным предикатом х, достоверно приписанным каждому
субъекту, входящему в X — существование, локализованное
в качестве предиката элементарного субъекта а{.
Существование множества X, т. е. себетождественность сложного
субъекта а, означает теперь линейную связь — постоянное
отношение приращений параметризированных предикатов xt
и у{. Значит, возможность ряда а{ с неизменным
предикатом х заменена вероятным неизменным отношением Lx{: Ay..
Вполне естественно отождествить постоянное отношение
Ах{: Ayi с метрико-логическим эквивалентом метапредиката х.
При всем отличии нового, метрического определения
метапредиката от старого, новое определение представляет собой
лишь обобщение старого. Раньше нам требовался
неизменный предикат х, чтобы «узнать» субъект а, сменивший
другие предикаты, чтобы утверждать: «это тот же самый субъект».
Мы «узнавали» а благодаря существованию определенного
закона, связывающего ак с at.. Неизменность х была таким
законом. Теперь при обобщении понятий неизменного
предиката и себстождественности законом, позволяющим «узнать» а,
служит неизменность отношения Axt: Д?д, т. е. неизменность
метапредиката х. При неизменности х{1 х{ равен нулю, в
случае х4 = хш, х{ равен нулю и т. д. Вообще в
рассматриваемом случае конечного числа линеаризации ссбетождествен-
(я) (я+1)
ность гарантируется гс-м метапредпкатом х, если х = 0.
Нетрудно видеть, что при непрерывной параметризации
метрико-логический метапредикат соответствует производной,
а неизменный метапредикат — последней ненулевой
производной. Нетрудно также указать логико-метрические
эквиваленты частной производной, дифференциала и т. д.
Нетривиален здесь вторичный характер аналитических
понятий по отношению к понятиям вероятности и неопределенности.
Всегда ли возможна непрерывная параметризация
метапредиката х? Из определения рассматриваемой здесь трива-
леитно-бивалентной логики вытекает, что различные
предикаты не соединены непрерывными переходами, что непрерывный
переход — макроскопическая апроксимация. В метрической
тривалентно-бивалентной логике два различных предиката xi
и xi+}, если суждения х{ и хш равны R, не связаны
промежуточными предикатами. Но при этом х. и xi+l равны W
и допускают непрерывный (топологический) переход от одного
( {п)\
к другому. Именно поэтому х \вообще говоря х) гарантирует
макроскопическую себетождественность. Из формулы х —
= (# = ./?) = И/ следует, что значения х могут быть
непрерывными, если значения х дискретны.
105

До сих пор речь шла о метавысказываниях
(соответственно, метасуждениях и метапредикатах): x = (x = R). Они
получили новое, метрическое истолкование. Остается сказать
несколько слов о первообразных предикатах х.
Первообразный предикат х — это предикат, метапредикатом которого
служит х, п-ш первообразный преднкат х — предикат, я-ым ме-
тапредикатом которого служит х. Метрически переосмыслен-
ный х. соответствует при непрерывной параметризации
неопределенному интегралу от х по у. Как уже говорилось,
представление об xi как о метапредикате от х означает
представление о фигурировавших до сих элементарных
субъектах а,-, как о статистических ансамблях, в которых большое
число суждений о более элементарных, чем а{ субъектах, по
всем правилам вынесения W за скобку, дает ряд
бивалентных суждений, ценой тривалентности существования таких
ансамблей. При метрическом переосмысливании и далее при
геометрической интерпретации, возникает представление о
протяженной точке, т. е. геометрическом объекте, лишь при
некоторых условиях рассматриваемом как приближенно
нульмерный. Такому взгляду на элементарные субъекты и
элементарные суждения соответствует атомистическая теория
вероятностей — представление об иерархии статистических
ансамблей, состоящих из элементарных событий, в свою
очередь являющихся статистическими ансамблями.
Исходным понятием теории вероятностей служит
пространство событий, точками которого являются
элементарные события. Теперь мы можем рассматривать элементарное
событие как ненульмерное, как ячейку с входящими в нее
микроэлементарными событиями, можем говорить о
микроструктуре пространства событий. Элементарное
событие обладает некоторой вероятностью. Предположим,
что всякая элементарная вероятность W есть вынесенная
за скобку вероятность «более элементарных» событий, т. е.
результат трива'лентно-бивалентного перехода в отношении
этих «более элементарных» событий. Мы отбираем из них
серии тождественных объектов, пользуясь как критерием
общим для серии предикатом, или, когда речь идет о
многообразиях, линейным отношением многообразий — неизменным
метрическим метапредикатом. Такую серию мы и рассматриваем
в макроскопической области как себетождественный объект,
участвующий в элементарном событии, которому мы
приписываем в макроскопическом пространстве событий нулевую
протяженность. Элементарная ячейка в пространстве событий
является предельным макроскопическим понятием для теории,
изучающей внутреннюю структуру ячейки, и предельным
106

микроскопическим понятием для теории, изучающей
структуру макроскопического объекта высшего порядка, в который
ячейка входит в качестве элементарной. Мы предположим,
что закономерности, полем действия которых служит ячейка,
рассматриваемая «изнутри», являются также
статистическими закономерностями, статистически детерминирующими
состояние ячейки, т. е. однозначно определяющими
вероятность каждого состояния в зависимости от предыдущих
состояний. Такая статистическая детерминированность
индивидуализирует ансамбль вероятных событий, который
становится субъектом вероятности — прежде всего вероятности
существования.
3. Физические прообразы тривалентно-бивалентных
преобразований. Каковы физические прообразы исходного
логического соотношения: перехода от микроскопических
отображений нетождественных субъектов к макроскопической
картине преобразований себетождественных сложных
субъектов, т. е. макроскопически непрерывных, топологических
преобразований? Выше говорилось, что некоторые общие
квантово-релятивистские постулаты, достаточные для
построения неклассической логики, недостаточны для
физической теории. Поэтому соображения, которые будут сейчас
высказаны, служат лишь некоторой иллюстрацией
принципиальной возможности физически интерпретировать понятие
транстопологических преобразований.
Физическая интерпретация логики исходит из некоторых
предельных постулатов, разумеется не априорных, а
доказываемых в иной, может быть еще не построенной физической
теории, означающей иную ступень приближения физической
картины мира к ее оригиналу. В данном случае таким
постулатом служит существование элементарных
пространственно-временных клеток, образованных тремя
элементарными пространственными расстояниями а и элементарной
длительностью — временем, необходимым свету, чтобы пройти
расстояние а. При континуальной апроксимации, т. е. при
игнорировании атомистической структуры пространства и
времени, каждой клетке соответствует точка в четырехмерном
мире — мировая точка. В клетках, под влиянием
неизвестных нам причин, с некоторой вероятностью происходят
порождения элементарных частиц — элементарные события.
Мы будем в дальнейшем рассматривать события, образующие
мировую линию себетождественной частицы, т. е. порождения
элементарных частиц одного и того же вида. Пребывание
частицы а в мировой точке с координатами х{ обозначим
символом а{£Х{. Мы выносим вероятность регенераций
за скобку и полагаем, что частица с достоверностью про-
107

ходит через каждую мировую точку данной мировой
линии.
Вероятность W существования мировой линии, физически
интерпретирующей конъюнкцию п бивалентных суждений
как нетрудно увидеть, зависит от числа п. Это число
пропорционально логарифму вероятности W; если п растет
в арифметической прогрессии, W уменьшается в
геометрической прогрессии. Целое число п соответствует
микроскопическому представлению. Речь идет о действии, деленном на
постоянную Планка /г, т. е. о безразмерном целом числе
элементарных пространственно-временных клеток между
объектами а: и ап. В свое время Эддингтон предположил, что
действие может оказаться логарифмом вероятности [6].
Но тогда не было условий для развития этой вскользь
брошенной мысли, не было ни квантовой механики, ни
представления о трансмутациях, ни попыток обобщения
релятивистской квантовой теории на путях квантования
пространства и времени.
Из сказанного следует, что наименьшее действие
означает наибольшую вероятность, что мы рассматриваем в
качестве истинных траекторий наиболее вероятные из
возможных цепочек трансмутаций-регенераций, что движения
частиц подчинены статистическому принципу наибольшей
вероятности, что траектории с наибольшей вероятностью
совпадают с геодезическими линиями — с прямыми
эвклидова пространства (в частном случае движения по инерции)
и с геодезическими линиями риманова пространства (в
случае движения под действием тяжести).
Можно представить и другие макроскопические
соотношения как апроксимации микроскопических соотношений.
При этом релятивистские соотношения представляются
статистическим результатом микроскопически-квантовых. Если
существование определенной частицы в некоторой
определенной точке есть статистический результат многочисленных
процессов взаимодействия с окружающим вакуумом, то
определенные мировые точки и мировые линии следует
рассматривать как апроксимации, и макроскопические закономерности
(в том числе наиболее общие — релятивистские) приобретают
статистически-квантовый характер. Речь идет уже не о
релятивистских поправках к квантовой теории (релятивистская
квантовая теория), а о квантовом обосновании
релятивизма [7]. Отсюда законность термина «квантово-реляти-
вистская логика».
108

Можно показать, что микроскопические понятия,
относящиеся к дискретному пространству-времени и основанные
на абсолютном мероопределении, дают, при
макроскопической апроксимации, понятия, связанные с
относительностью мероопределения пространства и времени (при
инвариантном мероопределении пространственно-временного
континуума).
Из принципа логической неопределенности вытекает, что при
достоверной линейности конъюнкции а1 £ Х1Д . . . Д ап{?Хп,
т. е. при достоверной истинности равенства xi^=xk остается
неопределенной оценка суждений at^X4. Поэтому при
большом числе п некоторые суждения а, £ Xt равны F. Все
субъекты ai входят достоверьым образом в другую
конъюнкцию, где не гарантирован критерий линейности х{ = хк.
Обозначим через L конъюнкцию, в которой гарантирована
линейность, и через М конъюнкцию, в которой гарантирована
истинность каждого суждения at. £Xt., и наметим возможную
интерпретацию этих понятий. Представим себе, что себе-
тождественный субъект а — это точка, движущаяся в
двухмерном пространстве, а а{ — мгновенные положения точки,
характеризующиеся координатами х{, причем х — линейная
функция у. Тогда конъюнкции L в плоскости ху
соответствует прямая L. Не все мгновенные положения а4 точки а
находятся на этой прямой. Все они расположены на линии М,
которая в общем случае не является прямой и состоит из
случайных блужданий в рассматриваемом пространстве. Если
эти блуждания в среднем симметричны, то а, в результате
большого числа блужданий, окажется вблизи исходного
положения. Если они несимметричны, то результатом их будет
макроскопический сдвиг точки а по прямой, совпадающей по
направлению с направлением асимметрии. Если же сама
асимметрия непостоянна, то макроскопический сдвиг точки
произойдет по кривой, которую мы можем линеаризировать,
допуская кривизну рассматриваемого пространства.
Теперь перейдем к собственно физической интерпретации.
При регенерации частицы ее возникновение в данной точке
зависит от ее возникновения и последующей аннигиляции
в соседней точке. Таким образом, речь идет о зависимых
событиях, соединенных переходными вероятностями, о
которых говорит теория марковских цепей. При симметричном
и изотропном распределении этих вероятностей в
пространстве, частица в результате микроскопических
блужданий остается в среднем макроскопически неподвижной.
Когда в пространстве существует анизотропное и
асимметричное распределение вероятностей, т. е. случайные
блуждания в одну сторону вероятнее случайных блужданий
109

в другую сторону, макроскопическим результатом
блужданий оказывается смещение частицы в направлении,
параллельном оси асимметрии. Если асимметрия изменяется, мы
получаем силовое поле, и частица двигается с ускорением.
Случайные блуждания частицы с нулевой массой покоя
образуют микроскопическую траекторию М, состоящую из
неделимых далее элементов, равных линейным размерам
пространственных ячеек. Макроскопический результат
случайных блужданий дает непрерывную траекторию.
Движение частицы по оси М происходит со скоростью, равной
скорости света, — это вытекает из гипотезы пространственно-
временных ячеек с линейными размерами порядка 10~13 см
и длительностью во времени, равной частному от деления
этой величины на скорость света. Движение по
траектории L происходит со скоростью, меньшей чем скорость
света, пропорциональной асимметрии вероятностей в
рассматриваемой точке и обратно пропорциональной массе
частицы. Распространение изменений симметрии можно
представить как распространение вдоль траектории силового
поля, действующего на частицу и увеличивающего ее макро-
скопическую скорость.
Микроскопическая траектория М случайных блужданий
и макроскопическая траектория L представляют собой
пространственные проекции мировых линий М' и L'. Каждому
пространственному переходу по линии М соответствует
четырехмерный элемент мировой линии М', направленный
вдоль мировой линии света, если переход но М был
параллелен оси асимметрии и траектории L, и направленный по
временной оси, если этот переход был перпендикулярен оси
асимметрии. Поэтому число п трехмерных элементов
траектории М равно числу четырехмерных элементов мировой
линии Мг. Между L и L нет такого соответствия, и длина
отрезка L зависит от того, на какое пространственное
сечение проецируется L'. В то время как длина отрезка
на М пропорциональна действию Гамильтона и лоренц-кова-
риантна, длина отрезка на L пропорциональна действию
Лагранжа, не обладающему лоренц-ковариантностью. Можно
показать, что длина L при одной и той же мировой линии и
одной и той же микроскопической траектории М уменьшается,
если пространственное сечение соответствует большей
скорости системы.
Нужно сказать, что квантово-релятивистская логика
сама, в своем отношении к классической, не допускает
безусловного применения бивалентных оценок и принципа
исключенного третьего. Она допускает переход от одного
типа оценок к другому типу оценок в зависимости от гра-
110

ниц применимости того и другого. В тривалентно-бивалент-
ной логике логическое обобщение закономерностей,
присущих одному кругу физических величин, дает лишь
возможное, подлежащее принципиально новой экспериментальной
проверке, представление о закономерностях, связывающих
иные (по «эрлангенскому рангу») физические величины.
Всякая логика — в этом ее значение — позволяет
сформулировать соотношения, эмпирически найденные конечным
числом наблюдений, достоверные для конечных областей,
в качестве всеобщих суждений, справедливых для
бесконечных областей. Логика позволяет инфинитизировать
эмпирически найденные закономерности, но только эксперимент
может установить границы, в которых такая инфинитизация
не лишает соотношения и закономерности физического смысла
и объективного значения. Сказанное относится ко всякой
логике, но только тривалентно-бивалентная логика явно
включает требование физической содержательности,
устанавливая объективные ранги — структуру пространства
суждений.
Классическая логика касалась абсолютно строгой
непротиворечивой схемой, независимой от эксперимента и
противостоящей ему как готовая форма, в которую можно уложить
любые физические соотношения. Классическая логика играла
по отношению к физике роль, аналогичную роли
пространства в классической картине мира. Квантово-релятивистская
логика, в своем отношении к физике, позволяет продолжить
эту аналогию, она меняет структуру в зависимости от
физического «заполнения», подобно пространству
релятивистской физики. Квантово-релятивистская логика начинает
с тривалентно-бивалептных переходов. Каждый такой переход
совпадает с заполнением некоторого статистического ансамбля
и переходом к другому относительно-макроскопическому
ансамблю, где действуют . специфические закономерности,
соответствующие той или иной группе преобразований,
т. е. той или иной геометрии Клейна. Раз такая
объективная иерархия вошла в логику, последняя становится
физической логикой в том смысле, что проблема приближенной
достоверности (а именно в связи с этой проблемой трива-
лентные соотношения переходят в бивалентные) может быть
решена лишь как физическая проблема. Непосредственная
интерпретация логических соотношений до
экспериментальной проверки носит поэтому гипотетический характер.
Основные физические гипотезы представляют собой
попытки интерпретации логических соотношений, попытки
перенести в область физических процессов, пока еще не
воспроизведенных экспериментально, закономерности экспе-
111

риментально изученной области. Для гипотезы достаточно,
чтобы она была «логически мыслимой», т. е. логически
непротиворечивой, иначе говоря «вероятной» (не в
математическом смысле измеримой вероятности, а в указанном выше
чисто логическом смысле неопределенности бивалентной
оценки). Когда гипотеза становится бивалентной, — это
значит, что найден experimentum criicis, и затем, если
проверка указывает на оценку «истинно», гипотеза
становится достоверной теорией.
ЛИТЕРАТУРА
1. Я. И. Френкель. ДАН СССР, 1949, УФН 42, 69, 1950.
2. G. Birkhoff u. J. v. Neumann. Ann. of Math. 37, 823, 1936;
Weizsaker. Naturwiss. 20, 42, 1955; Fevrier, C. R. 204, 481,
1537.
3. IT. R e i с h e n b а с h. Axiomatik der Wahrscheinlichkcitsrcchnung.
Math. Zeitschr., 1932.
4. A. Destouches. Cours du logique et philosophie general. 1947.
Chap. IV.
5. H. Reich en bach, ibid.; A. Destouches. ibid.
6. В. Эддингтон. Пространство, время и тяготение. Русск. пер.,
Одесса, 1923,-стр. 177.
7. V. Dirac. Proc. Roy. Soc. A^209, 291, 1951; A-212, 330, 1952;
Naturwiss. Rundschau 6, 11, 441, 1953.
t

А. А. Зиновьев
ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
ЗНАНИЙ О СВЯЗЯХ
Одним из недостатков исследований знаний о связях
предметов является то, что они берутся лишь в той или
иной частной форме (каузальной импликации, номологи-
ческих высказываний, модальных высказываний и т. п.).
Исследование этих форм не дополняется рассмотрением их
в общем виде. Цель данной статьи — ввести понятие «знание
о связи», охватывающее любые формы знаний о связях
и знания о любых формах связей, и в какой-либо мере
компенсировать отмеченный недостаток (во всяком случае,
обратить внимание на эту сторону дела)*.
I. Предварительные понятия. Предложения,
рассматриваемые с той точки зрения, что в них о чем-либо говорится
что-либо, будем называть высказываниями. То, о чем
говорится в высказываниях, будем называть предметами, а то,
что говорится о предметах — признаками. Предметы будем
изображать буквами а, Ь, с,..., признаки — буквами P,Q,R, . . .
Каждый из этих символов по отдельности будет изображать
любой предмет и признак, а различие совместно взятых
символов — лишь факт их (предметов и, соответственно,
признаков) различия. Поскольку эти символы лежат в основе
всей последующей символики, это замечание будет
относиться и к ней.
Предмет, имеющий (не имеющий) признак, будем
называть объектом и изображать символами типа (Ра) или (—Ра),
где скобки играют роль ограничителей комбинаций знаков,
а „—" имеет такой смысл: если один из (Ра) и (—Ра)
обозначает, что предмет имеет (не имеет) признак, то другой
обозначает, что предмет не имеет (имеет) признак. В отно-
См. примечание в концэ статьи.
ИЗ

пгении (Ра) и (—Ра) имеет силу принцип исключенного
третьего. Если одно из выражений «Объект существует»
и «Объект не существует» будет обозначать, что предмет
имеет (не имеет) признак, то другое будет обозначать, что
предмет не имеет (имеет) признак. Эти выражения имеют
то достоинство, что учитывают возможность наличия или
отсутствия у предмета любого признака и, вместе с тем,
позволяют брать объекты как предметы с логически
контролируемыми признаками «существует» и «не существует».
Благодаря этому можно любые объекты представить как
объекты с различными предметами, что важно для
дальнейшего. Например, приняв (Ра) за предмет с, a (Qa) за
предмет d, мы сводим объекты с одинаковым предметом к объектам
(существует с) и (существует d) с разными предметами.
Непустое множество объектов, в котором исключается
совместное наличие (Ра) и (—Ра), будем называть ситуацией.
Ситуации будем изображать, соединяя знаки объектов
знаком « • ». Две ситуации будем считать различными, если
в одной из них содержится по крайней мере один такой (Ра),
что в другой содержится (—Ра). Такое различие ситуаций
можно интерпретировать как изменение состояния предметов
во времени или (не исключающее «или») различие состояний
однородных предметов в пространстве. Непустое множество
различных ситуаций будем называть набором. Наборы будем
записывать, соединяя знаки ситуации знаком•«:». Знаки «•»
и « : » точнее определим ниже. Здесь же они будут
соответственно обозначать ситуации и разделять знаки ситуаций,
и только.
Высказывание представляет собой соединение
воспринимаемых знаков. Часть из них, обозначающую
(фиксирующую) предметы, будем называть предметными группами,
а часть, фиксирующую признаки — признаковыми группами.
Чтобы показать, что речь идет именно о предметных или
признаковых группах или о высказываниях, а не о
предметах, признаках или объектах, будем знаки последних
брать в кавычки.
Непустое множество высказываний, рассматриваемое как
одно высказывание, будем называть знанием. Понятие
«знание» охватывает как сложные высказывания (состоящие
из двух и более высказываний), так и простые. Оно
является обобщением понятия «высказывание» и, вместе
с тем, позволяет отвлечься от рассмотрения усложнения
структуры высказываний по тем линиям, которые нас
не будут интересовать. Из какого бы числа высказываний
ни состояло данное высказывание, его всегда можно
представить в форме, в которой оно обнаружит сходство с состав-
Ш

ляющими его высказываниями, а именно — в форме «.Ра»,
где «а» есть предметная группа, фиксирующая любое
множество предметов, а «Р»— то, что остается в высказывании
при замене предметных групп понятием «предмет» с
порядковыми числами (или просто выражениями «первый по
порядку фиксирования», «первый», «второй» и т. п.). Например,
«возникает b и исчезает с» представляется в форме «Ра»,
где «а» есть «Ь и с», «Р»— «возникает первый и исчезает
второй», «Ра» — «Ь и с обладают тем признаком, что
возникает первый и исчезает второй». Символ «Ра» можно
рассматривать как простейшее выражение всякого знания.
Примем следующее допущение: «а» может быть
сопоставлена с а и только с а, и наоборот. Другими словами,
допустим взаимно однозначное соответствие «а» и а. Следствием
этого допущения является следующее положение: предметы
различны в том и только в том случае, если различны
фиксирующие их группы, и наоборот. Аналогично для «Р»
и Р. Этим самым мы с самого начала отвлекаемся от
родовидовых отношений групп: все группы выступают у нас как
группы одинаковой степени общности, сопоставляемые
непосредственно с предметами и признаками. Исключается
также объемная интерпретация групп и знаний.
Сопоставление знаний с объектами, ситуациями и наборами
будем называть оценкой их по значимости. Если группе «а»
может быть (не может быть) сопоставлен некоторый предмет,
будем говорить, что существует (не существует) а. Здесь
существование (несуществование) есть частный признак
а в отличие от существования (несуществования) объекта
как логической характеристики ситуации. И смешивать их
ни в коем случае нельзя. Если а существует (не существует),
то «Ра» имеет (не имеет) смысл. Имеющее смысл «Ра» будем
называть истинным, если оно сопоставляется с (Ра), и ложным,
если оно сопоставляется с (—Ра). Аналогично: «—Ра»
истинно, если (—Ра), и ложно, если (Ра).
II. Поли предметные знания. По числу различных
предметных групп знания можно разделить на монопредметные
(содержащие только одну предметную группу) и
полипредметные (содержащие две и более предметные группы).
Последние, в свою очередь, можно разделить на
моноситуационные и полиситуационные. Именно это разделение
полипредметных знаний позволяет выделить знания о связях
в качестве знаний особого типа. Поскольку нам важно
лишь в самом общем виде выяснить указанные различия
полипредметных знаний, достаточно будет взять простейший
случай — двухпредметные знания. Будем их изображать
символом «Pab».
115

Моноситуационные «Pab». Чтобы получить знание
такого типа, необходимо в некоторой ситуации выбрать
объекты, допустим (Qa) и (Rb), и зафиксировать их в «Qa»
и «Rb». Последующий процесс заключается в том, что «а»
и «Ь» включаются в одно знание, а «Q» и «R» по
определенным правилам перерабатываются в «Р». Эта переработка
может осуществляться самыми различными путями, анализ
которых не входит в нашу задачу. Но во всех случаях она
совершается уже безотносительно к ситуации, как действие
с особого рода предметами — знаками. Например, взвесив
тела а и Ь, получив «а имеет вес 10 г» и «Ь имеет вес 5 г,»
мы из последних получаем «а вдвое тяжелее 6». Выражение
«вдвое тяжелее» есть продукт чисто формальной переработки
признаковых групп исходных знаний. Частным ее случаем
может быть простое соединение их в «Qa и Rb», где «Р»
есть «первый имеет Q, второй — Я».
Порядок фиксирования объектов дри получении таких
знаний сказывается лишь в том, что при различном порядке
могут получиться различные признаковые группы. Так, если
при фиксировании Qa и Rb в одном порядке (в приведенном
выше примере) мы получили «а вдвое тяжелее 6», то в
обратном порядке получим «6 вдвое легче а».
Пусть в ситуации имеются Re и Qd. При всех прочих
постоянных условиях сопоставление а и с даст «Рас»,
сопоставление d и b — «Pdb», сопоставление d и с — «Pdc»y
т. е. знания с признаковой группой, тождественной
таковой «Pab». Другими словами, при замене «а» на «d» или «Ь»
на «с» (или при замене обоих групп) мы получим знание,
эквивалентное «Pab»: если истинно (ложно) одно, истинно
(ложно) другое. Например, если с имеет вес 5 г, то «а вдвое
тяжелее с» будет эквивалентно «а вдвое тяжелее Ь». В общем,
здесь переработка «Q» и «R» в «Р» не зависит от того, каким
предметам принадлежат Q и R. Сопоставление такого типа
будем называть моноситуационным.
Полиситуационные «Pab», При получении их
сопоставление принимает полиситуационный характер:
сопоставляются предметы в двух и более различных ситуациях,
т. е. сопоставляются различные предметы в каждой из
ситуаций и эти же предметы в различных ситуациях.
В простейшем случае набор различных ситуаций можно
представить схемой:
I 1 1 2
I | ((xQa) ■ j (з-Rb)): (1)
~H~j : ЦхЦа) • | (^Щ) .
116

где х означает наличие или отсутствие черточки, и, по крайней
мере, для одного из Q и R смысл х в различных ситуациях
различен. Исходные знания, из которых получается «Pab»,
можно представить схемой:
I | ("xQa" • | "xRb"): (2)
II | : ("xQa" • j ~xRb")
Сопоставление может идти двумя путями: в рядах I и II
и в рядах 1 и 2. Но различие этих путей не влияет на тот
факт, что совершается двойное сопоставление (можно сказать,
горизонтальное и вертикальное сопоставления).
Момент, с которого сопоставление выступает как
полиситуационное, изображен на схеме 2. Какие сопоставления
совершались при фиксировании объектов до этого, значения
не имеет. Пусть, например, при фиксировании (Qa)
фиксировались (Q а), (Q°a), {Q3a)> . . •, а при фиксировании
(Rb)-(Rb), (R2b), (R'3b), .... Но раз «Qa» и «Rb» получены,
(Qa) и (Rb) выступают как объекты одной ситуации.
Дальнейшее (другое) сопоставление уже не зависит от того, как
получались «Qa>> и «Rb». Не зависит в том смысле, что
дальнейшее сопоставление может быть как моноситуационным
(«Qa» и «Rb» перерабатываются в «Pab»), так и
полиситуационным (наблюдается еще по крайней мере одна ситуация,
отличная от (Qa) • (Rb), т. е. (—Qa) • (Rb), (—Qa) - (—Rb) или
(Qa)-(-Rb)).
По схеме 1видно, что ситуации могут фиксироваться в
различном порядке — в порядке I—II или II—I. В зависимости
от этого получаются различные по содержанию «Pab».
Например, если ((Qa) • (Rb)) : ((—@а) • (—Rb)) фиксируется
в одном порядке, и мы приняли запись: «Если существует
(Qa), то существует (Rb)», то в обратном порядке получим
«Если не существует (Qa), то не существует (Rb)». Порядок
ситуаций изменяем, если при этом получаются эквивалентные
знания, и не изменяем, если этого нет. Для выяснения
характера порядка требуется наблюдение по крайней мере
двух наборов ситуаций и, естественно, по крайней мере два
полиситуационных сопоставления. В знании это учитывается
рядом знаний или специальными выражениями («и наоборот»,
«но не наоборот» и т. п.).
Объекты точно также могут фиксироваться в различном
порядке (в порядке 1—2 или 2—1). Порядок объектов
может быть изменяем или не изменяем, что выясняется
путем наблюдения ряда наборов ситуации, и фиксируется
117

посредством дополнительных знаний и специальных
выражений. Порядок объектов во всех ситуациях может быть
одинаковым (простой набор) и различным (смешанный набор).
Например, возможен набор {{Qa) • (Rb)) : ((—Rb) • (—Qa)),
который может быть выражен в «(Qa) предполагает (Rb)»
(или как-либо иначе).
Порядок есть нечто большее, чем субъективная
случайность. Достаточно напомнить, что для выяснения характера
порядка (изменяем он или нет) требуется два и более
сопоставления. Получаемые при этом знания выступают
как знания о различных наборах ситуаций (о различных
реальностях). Этот порядок, таким образом, выражает
свойство самого фиксируемого набора. С временной
последовательностью объектов и ситуаций это свойство не
совпадает. Учет времени есть учет частных признаков, так что
порядок объектов и ситуаций может отличаться от их
временной последовательности.
Для двух предметов и двух ситуаций (простейший случай)
возможны различные наборы ситуаций: ((Qa) • (Rb)) : ((—Qa) •
• (Щ), ((Qa) • (—Rb)) : ((—Qa) • (Rb)) и т. п. Они фиксируются
различными «Pab». Например, первый можно записать
в предложении «Если (Rb), то не обязательно (Qa)», второй
в предложении «Если (—'Rb), то обязательно (Qa)» и т. п.
С ростом числа предметов и ситуаций растет число
разнообразных вариантов наборов ситуаций, усложняются и
разнообразятся средства фиксирования. Нам здесь важно
отметить следующее. Наборы ситуаций и сопоставления любой
степени сложности можно представить как комбинации
простых. Например, ((Q]a) • (R'b)) : ((Q2a) • (R2b)), где в
отношении Q[ и Q2 (и R1 и R2) имеет силу принцип
исключенного третьего, можно представить как соединение ((Qa)-
■ (R'b)): ((-фа) ■ (-R'b)) и ((-Q*a) • (-R'b)): ((Q*a) • (R'b)),
а соответствующее сопоставление — как соединение двух
простейших полиситуационных сопоставлений. Причем, (—Q[)
и (—R ) здесь суть Q2 и R2, взятые в отношении к Q{ и R1,
а Q1 и R1 принимаются как (—Q2) и (—R2) в отношении
к Q2 и R2. Так что такое расчленение есть чисто логическое
действие, позволяющее судить о наличии различных ситуаций
для одних и тех же объектов. Сведение сложных наборов
ситуаций к комбинации пар ситуаций, различающихся
наличием или отсутствием одних и тех же объектов,
необходимо, согласно принятому определению различия ситуаций
для одних и тех же объектов. В противном случае характер
сопоставления остается неясным.
Когда полиситуационные полипредметные знания
получены, то в ряде случаев их строение явно обнаруживается
118

лишь со стороны их расчленения по фиксируемым объектам.
Например, в знании «Если (Qa), то (Rb)» прежде всего
обнаруживается расчленение на «Qa» и «Rb», а тот факт,
что слова «Если . . ., то . . .» сокращенно фиксируют вторую
ситуацию, допустим (—Qa) (—Rb), остается в тени. В ряде
же случаев явно обнаруживается лишь расчленение по
фиксируемым ситуациям. Например, в знании «В ситуации I имеет
место (Qa) и (Rb); в ситуации же II — (—Qa) и (—Rb)» скрыт
тот факт, что оно может быть представлено как соединение
знания о а и знания о 6. А между тем, только
соединение обоих сторон придает им характер знаний особого
рода.
Средства выражения этих знаний чрезвычайно
разнообразны (особое построение предложений, система
предложений, выражения и понятия типа «если . . ., то . . .»,
«значит», «в том и только том случае, если», «необходимо»,
«причина», «предполагает», «соответствует» и т. п., формулы,
таблицы, графики, схемы и т. д.). Примером получения
этих знаний могут служить применение методов Бэкона,
установление того или иного типа соответствия предметов,
выяснение функциональной зависимости, причинности и т. д.
Поскольку мы рассматриваем их в наиболее простой и
абстрактной форме, на всем этом останавливаться здесь не
представляется возможным.
III. Знания о связях. С точки зрения процесса
построения полипредметные полиситуационные знания выступают
прежде всего как сумма знаний, фиксирующих объекты
в различных ситуациях. Требуется еще дополнительное
условие, чтобы они превратились в знания о связях.
При фиксировании объектов ситуации и ситуаций набора
в знании мы это делаем по некоторым правилам (в
последовательности, в определенной периодичности, определенным
образом располагаем и т. п.) или в беспорядке (безразлично
к правилам), что специально отмечается и составляет поэтому
частный случай правильности. Те объективные свойства
ситуаций и наборов, которым соответствует эта
правильность, мы и называем их порядком. Это может быть
временная последовательность, последовательность или
периодичность наблюдаемости, пространственное расположение,
повторяемость и т. п. Рассмотрение порядка ситуаций и
наборов выходит за рамки логики. Но имеются некоторые
их общие черты, имеющие чисто логическую природу. На
них мы и остановимся здесь.
Примем следующие определения, учитывающие порядок
наборов и ситуаций. Упорядоченная ситуация (набор)
существует, если существует каждый входящий в нее объект
119

(ситуация) в заданном порядке. Две упорядоченные ситуации
(набора) различны, если они различаются по объектам
(ситуациям) или (не исключающее «или») по порядку объектов
(ситуаций). Упорядоченная ситуация (набор) не существует,
если существует ситуация (набор), отличная от нее.
Установление того, существует или нет упорядоченная
ситуация (набор) есть некоторая процедура, заключающаяся
в следующем. Пусть какой-то записью задана ситуация
(набор). В заданном порядке осуществляем наблюдение
(или доказательство) и выясняем, существует или нет
заданный объект (ситуация) в каждом шаге процесса. Если
осуществив все заданные шаги обнаруживаем, что все
объекты (ситуации) существуют именно в заданном порядке,
то ситуацию (набор) считаем существующей согласно
определению. Если на некотором шаге мы обнаруживаем, что
заданный объект (ситуация) не существует, процесс на этом
можем прекратить и-оценить заданную ситуацию (набор)
как не существующую. Возможность осуществления этой
процедуры проверки, как увидим, играет существенную
роль при определении значимости знаний.
С логической точки зрения упорядоченность ситуации
и набора различны. Согласно определению ситуации в ней
исключается совместное наличие (Ра) и (—Ра), и требование
непротиворечивости при записи ее выполняется само собой.
Согласно же определению набора в нем содержатся такие
различные ситуации, которые не могут образовать одну
ситуацию: в одной содержится (Ра), а в другой (—Ра).
Естественно, и логические знаки, посредством которых
записываются ситуации и наборы, должны учитывать это
различие. В первом случае, очевидно, допустима
упорядоченная конъюнкция, во втором необходима упорядоченная
исключающая дизъюнкция. Наиболее удобными нам
представляются знаки « • » и « : » с таким смыслом: первый
означает «Каждое из того, знаки чего соединены этим знаком»,
второй — «Любое одно и только одно из того, знаки чего
соединены этим знаком». Упорядоченность ситуаций и
наборов ими не охватывается. Для записи ее требуются
дополнительные знаки.
«Согласно принятым определениям возможен по крайней
мере один вывод типа «Если существует набор N и
существует S1, то существует и S2», где S1 и S2 суть частичные
ситуации (части ситуаций, входящих в N) или соединения
их знаком « : » с учетом порядка. Возьмем, например,
набор (1 • 2): ((—1) . (—2)), где 1 и 2 суть знаки объектов.
Возможен по крайней мере один из вариантов вывода:
1) существует набор и 1, значит существует 2; 2) суще-
120

ствует набор и 2, значит существует 1; 3) существует набор
и (—1), значит существует (—2); 4) существует набор и
(—2), значит существует (—1). Основания для вывода
проиллюстрируем на первом варианте: существует 1, значит
не существует (—1)-(—2); а поскольку существует набор
и существует 1, то существует (1 • 2), т. е. существует
и 2. Обращаем внимание на то, что вывод возможен,
но еще не необходим. Возьмем еще пример — набор
((1.2-3): ((—1). 2 . 3): ((—1) • (—2). 3)). Среди прочих
вариантов вывода здесь возможен вывод: существует набор и
существует (—1), значит существует (2 • 3): ((—2) • 3).
В зависимости от обстоятельств, лежащих за пределами
логики, возможно введение аксиом (будем называть их
аксиомами порядка), устанавливающих те или иные
допустимые варианты вывода и делающих их необходимыми.
Например, для набора ((1 • 2) : ((—1)-(—2))), где порядок
записи выражает порядок объектов и ситуаций, может быть
принята аксиома: «Существует набор, существует 1, значит
существует 2». Упорядоченные наборы, для которых
приняты такие аксиомы вывода, мы и называем связями,
а фиксирующие их знания — знаниями о связях.
Чтобы стало возможно применение принятой аксиомы,
необходимо полипредметному полиситуационному знанию
придать форму, сходную о односитуационным, «сократив»
факт полуситуационности в особых знаках. Точно также
сама аксиома должна быть отмечена в знании особым
логическим знаком. В практике обычного мышления это
осуществляется как выработка некоторых привычных навыков
оперирования речью (оперирования словами вроде «Если . . .,
то. . .», «Вследствие», «Поэтому», «Обусловливает» и т. п.).
В науке это выполняется посредством определений,
позволяющих по форме знания реконструировать запись набора
в форме упорядоченного множества знаний, фиксирующих
объекты и ситуации. Например, набор (1 • 2): ((—!)•(—2))
при условии аксиомы «Существует набор в указанном
порядке, существует 1, значит существует 2» по определению
может быть записан в форме (1/2), так что согласно
определению по знаку «/» можно восстановить набор, его
порядок и аксиому. Соответственно получим сокращение
записи знания, поставив кавычки.
Знаки, образующиеся в результате определений
указанного выше типа, будем называть группами связи.
Рассмотрение с логической точки зрения различных способов построения
групп связи, их видов и связей, правил оперирования
со знаниями, содержащими эти группы, составляет основную
задачу раздела логики, изучающего знания о связях.
12*

Когда знание о связи N построено, оно принимает вид
(символ изображает только состав знания): «Sl; S2\ К»,
где «К» есть группа связи, а 6й и S2— частичные наборы,
входящие в набор N. Фиксирование тех частичных наборов,
которые непосредственно не фиксируются в «Sl; S2; К»,
в соединении с соответствующими аксиомами порядка дает
возможность ввести в состав знания группу «А!"», построив
соответствующие определения. Встает теперь вопрос о
значимости знания. Определить значимость «Sl\ S2\ К» через
значимость «51» и «S2» (как функцию значимости последних)
невозможно: «К» не является показателем этой функции,
она вообще имеет происхождение, не зависящее от
значимости знаний. Здесь, очевидно, нужен принципиально иной
путь.
Этот путь связан с процедурой проверки (наблюдения
или доказательства) существования ситуаций и наборов, —
в определении значимости через существование и
несуществование ситуаций и наборов. Дело в том, что эта
процедура не зависит от принятых аксиом порядка и вообще
от того, приняты аксиомы или нет. Так что определения
значимости знания, фиксирующего 7V, могут быть введены
независимо от значимости «S1» и <<^2» (для этого достаточно
иметь определения значимости знаний вида «Ра» и «—Ра»
и заданный порядок проверки), а определения значимости
последних — независимо от значимости «iV». Допустив для
некоторого случая существование N и существование S1
и приняв для случаев такого рода аксиому «Существуют /V
и S1, значит существует SH, мы можем вывести в
соответствии с определениями значимости логические свойства
знаний о связях безотносительно к связям значимостей
составляющих его знаний. Пусть, например, «/V» истинно,
если существует /V; аналогично для «S[» и «S2». В
соответствии с этими определениями и аксиомой получаем утверждение
«N» • «S1» |—«£2», характеризующее «TV» с логической точки
зрения (знак «|—» есть знак следования).
Заметим, между прочим, что вследствие наличия в
знании «jfiT» (т. е. группы связи) замена предметных групп как
в случае с монопредметными знаниями оказывается
недопустимой. Пусть имеется «Qa; Rb\ К», которому мы придали
форму «Pab». Пусть наблюдается (Re). Заменив «ft» на «с»,
нолучим «Qa; Re; К». Зная только то, что «Pab» и «Re»
истинны, сделать вывод о значимости «Рас» нельзя: знание
содержит «К» как результат сопоставления ((Qa) • (Rb))
с некоторой второй ситуацией, отличной от нее, и без
наблюдения последней или без дополнительных сведений
о ней нельзя судить о том, будет результат сопоставления
122

тот же или нет. «Pab» и «Рас» могут оказаться
неэквивалентными. Можно сказать, что здесь построение «Р» зависит
от того, каким предметам принадлежат Q и R. Пусть,
например, знание «а изменяется вследствие изменения Ь»
фиксирует набор ((Ub) • (Ua)) : ((—Ub) • (—Ua)), где U
означает «Изменяется». Пусть с изменяется так же, как Ь.
Заменив «Ь» на «с», получим «а изменяется вследствие
изменения с». Эквивалентно это знание исходному или нет,
без сведений о второй ситуации для а и с судить нельзя:
не известно, будет это ((—Uc)-(—Ua)) или ((—Uc) -
■(Ua)).
Аксиомы порядка устанавливают правила вывода внутри
любого случая набора данного рода, предполагая характер
предметных групп (т. е. каковы множества предметов,
которым они соответствуют) данным. Так что знания
о связях универсальны независимо от числа случаев,
в отношении которых они истинны. Но эти аксиомы ничего
не говорят относительно того, имеем мы в том или ином
случае набор именно такого рода или нет. Другими словами,
от них не зависит та или иная общность знания (или
предметная его область). Последняя задается аксиомами,
которые в общем виде можно представить формулой
«У» • «Sl»\—«S2». Здесь «V» есть знание об условиях связи /V,
т. е. о предметах, отличных от предметов, о которых
говорится в «TV». В частности, «V» может быть знанием
о постоянстве условий. Так что знания о связях
универсальны при заданных условиях.
Таким образом, знание о связях суть знания,
фиксирующие наборы по крайней мере из двух различных ситуаций,
каждая из которых содержит по крайней мере по два
объекта. Наборы упорядочены особого рода аксиомами,
позволяющими делать выводы от существования их и
частичных наборов, входящих в них, к существованию других
частичных наборов, точно также входящих в них.
Посредством определений значимости знаний через существование
наборов из этих аксиом выводятся логические свойства
знаний.
Хотя при определении знаний о связях и связи мы шли,
по-видимому, чисто формальным путем, однако анализ
частных случаев знаний, которые интуитивно
рассматриваются как знания о связях, и реальных фактов, которые
мы считаем связями предметов, обнаруживает такие именно
их признаки, какие изложены выше.
В следующем параграфе в порядке иллюстрации общих
соображений мы изложим способ построения простейших
знаний о связях, способ определения их логических свойств
123

и некоторые операции с ними. Вместе с тем, это будет
решением одной из задач теории знаний о связях.
IV. Некоторые операции с простейшими знаниями о
связях. Объекты будем обозначать знаками 1, 2, 3, . . . Каждый,
из этих знаков по отдельности будет обозначать любой объект.
Различие их, если они взяты совместно, будет обозначать
то, что объекты различны. Пусть О — любой из 1, 2, 3, ...
Если один из знаков О и (—О) будет обозначать, что объект
существует (не существует), то другой будет обозначать, чта
этот объект не существует (существует). Круглые скобки
будут играть роль ограничителей комбинаций знаков,
рассматриваемых как нечто целое. Знак «—» перед О назовем
объектным отрицанием, а его отсутствие назовем объектным
утверждением. Примем аксиому: Л1. ( 0) = 0, где « »
есть двойное объектное отрицание, а «=» означает тождество.
Будем рассматривать наборы, изображаемые таблицей типа
МММ
мм
Горизонтальные ряды таблицы будут изображать ситуации
после заполнения их знаками «-(-» и «—». Отношение этих
знаков в таблице тождественно отношению О и (—О): если
один из них обозначает, что существует один из О и (—О),
то другой обозначает, что не существует этот же самый
из О и (—О) или, что то же, существует другой из О и (—О).
В соответствии с il и определением смысла «-)-» и «—»
в таблице имеем следующее положение:
т, 1°1 !-°|- I"0» 1°1
1+М-Г ММ 1-1 '
Порядок ситуаций набора допустим безразличным. Это
допущение означает, например, что имеет место
1 I 2 | 3 1 | 2 | 3 1 | 2 | 3
f
Т"
—
__ _|_
— —
4
4
— —
+
"Г
~
+
124

Возьмем набор
1|Л
+
Допустим, что условия постоянны, т. е. что в обоих
строках таблицы для прочих объектов (которые по каким-либо
причинам важно учитывать при построении высказывания)
«стоят одинаковые знаки. Будем этот набор при этом
допущении записывать знаком (2/1), а фиксирующее
(обозначающее) его высказывание будем изображать знаком «2/1». Объект,
знак которого стоит слева от «/», назовем вторым по порядку.
Набор
1
+
—
2
+
+
при том же допущении будем записывать знаком (2/1—),
а фиксирующее его знание будем изображать знаком «2/1—».
Знак «—» справа от 1 (а в дальнейшем справа от любого
сочетания знаков объектов) назовем модальным отрицанием,
его отсутствие назовем модальным утверждением. Часть
знания слева от «/» назовем левой, а часть справа от этого
знака — правой «2/1» и «2/1—» суть элементарные знания
о связях, исходя из которых возможно вывести
всевозможные сложные (производные) структуры знаний о связях,
оперируя при этом только знаками «•», «:» и «/».
Пусть на месте 1 стоит не один объект, а два или более.
Порядок их допустим безразличным. Это означает,
например, что имеет место
3 4 5 | 2 4 3 5 | 2 5 4 3 | 2
1 и т. д.
I I I
Будем называть эти объекты первыми по порядку. Запись
наборов с числом первых по порядку объектов более одного
будем производить так.
1) Выбираем ситуацию (строку в таблице набора) со
всеми «-f-» или строим такую ситуацию из любой ситуации
набора, применяя П.
125

2) Выбранную ситуацию (исходную) сопоставляем с
какой-либо другой ситуацией набора. Выбираем все объекты
из числа первых по порядку, у которых в последней (т. е.
в ситуации, сопоставляемой с исходной) стоит «—», и только
эти объекты. Записываем знаки этих объектов в правой
части знания, разделяя разграничивающими знаками, если
это требуется по тем или иным причинам. В соответствии
с принятой формой записи ставим или не ставим знак «—»
справа от знака этого сочетания объектов. Знак «—»
относится к сочетанию объектов в целом. Выделяем полученную
комбинацию знаков посредством ограничительных знаков.
Остальные объекты в даннОхМ сопоставлении оставляем без
внимания, так как ситуация для них не меняется, и они
попадут (согласно допущению) в число постоянных условий.
3) Сказанное во втором пункте выполняем для исходной
ситуации и каждой другой ситуации набора. Записываем
результаты в правой части знания подряд и в любом
порядке, соединяя их знаком «•».
Проиллюстрируем этот способ записи примером. Пусть
дан набор:
3 4 5
1 1 + 1
IM +
+ 1 + +
2
+
+
Возьмем в качестве исходной первую ситуацию. Согласно Ti
этот набор тождественен набору
(-3) 4 5 |(-2)
+
—
+
+
+ +
- +
— —
- +
+
—
—
+•
Сопоставляя первую ситуацию поочередно с каждой другой,,
получим «(— 2)/(— 3, 4)-(4, 5) • (4—)», где запятая
разделяет знаки объектов.
Примем обозначения: О — второй но порядку объект; К —
любое сочетание первых по порядку объектов; М и
Н—различные К] a, b и с — некоторые определенные знаки, стоящие
126

У О, К, М и Н. Это могут быть знаки «—» и их отсутствие,
а также все те знаКи, которые определяются через них
Из А1 следует:
Г2. В одном и том же наборе совместное наличие (аО/К) и
(aOjK—) исключается.
Это положение очевидно из того, что в таблице набора
в графе (аО) в каждой ситуации (строке) может стоять только
один из знаков «-}-» и «—» согласно А\ и определению
смысла этих знаков в таблице. Примем аксиомы:
А2. (К ) = К, где « » есть двойное модальное отрицание.
A3. (аО/Мв),. (аО/Нс) = (аО/(Мв) . (Не)).
АА. (аО/Кс) : (вО/Кс) = ((аО) : (вО)/Кс).
Примем определения:
Д1. (Кан) = (Ка) : (Ка—).
Д2. (анО) = (аО) : (—аО).
Знак «=» здесь означает тождество по определению. Знак «н»
можно применять тогда, когда не известно, имеет место (Ка)
или (Ка—) и (аО) или (—аО), и когда приходится допускать
возможность соответствующих различных наборов. Очевидно,
что:
ТЪ. (Кн-) = Д1, А2, Д\ (Кн).
(-нО) = Д2, А1, Д2, (нО).
Справа от «:=» указывается (это будем делать и в
дальнейшем), на основе каких Д, А и Т ставится этот знак.
ТА. (аО/Кн) = Д1 (аО/К):(а01К—):
(нО/Ка) = Д1 (01К а): (—О/К а).
(н01Кн) = Д1, Д2 (OIK): (-О/К): (О/К-):
■■(-О/К-)
Неоднократно применяя Г4, можно вывести положения для
любого числа сочетаний. Например, (0/(Мн) • (Я«)) = Г4, Г4
{01М • Я) : (OI(M-) . Н) : (О/М . (Н-)) : (0/(М-) . (Н-)).
Примем, далее, определения:
ДЬ. ((Мах) ■ (Hex)) : ((May). (Hey)) =
= ((Ma). (He)): ((Ma-). (He-)).
ДА. (xaO/Kex): (yaOjKey) = (aOjKe) : (—aOjKe—).
ДЬ. ((Max) ■ (Hey)) : ((May) ■ (#«*)) =
= ((Ma). (He-)): ((Ma-). (He)).
Д6. (xaO/Кву): (yaOjKex) = (aOjKe—) : (—aO/Ke).
127

Необходимость двоякого рода обозначений в этих
определениях видна из такого примера. Пусть Р есть сочетание,
отличное отМиЯ. Комбинация (Р . (М—) . (Я—)) :(Р—). Л/ . Я)
без двоякого рода обозначений не может быть сокращена. В
соответствии с ДЗ и ДЪ получим запись вида {Ру) • {Мх) • (Я#)
или {/>#) • (М?/) • {Ну), Из ДЗ — Д6 следуют положения,
которые легко получить, устранив в них знаки а и <?.
Из ДЗ — Д6 очевидно:
ТЬ. Если хш у взяты изолированно (вне связи друг с другом),
то х = у = н.
Тб. {Мх) • (Нх) = {My) • (Ну), (Мх) • (Ну) = (Afy). (Я*),
(atf/tfs) = (ytf/tfy), (я0/*у) = (уО/Кх),
если они берутся изолированно от связи с другими знаками-
Но, разумеется, это не всегда так, если они берутся в связи
с другими знаками. Так, (Мх) • (Нх) не тождественно
(My) • (Ну), если (Ру) • (Мх) • (Яг); естественно, здесь х не
тождественен г/, каждый из них не тождественен н.
77. (**-) = (£у), (Ку-)=(Кх), (-хО) = (уО) и (-J0) =
= (##), если х и у берутся в связи друг с другом.
Доказательство Т1: возьмем (Мх) • (Нх); поставим отрицание
у (Мх); (М*-).(Нх) = ДЗ ((М-)-Н):((М ) • (Я-)) =
= А2((М—) • Я) : (М . (Я—)) = Д5 (My) • (Яж); меняем знак
именно у М, а не у Я, так как возможно (jP#) • (Нх),
которое не зависит от отрицания (Мх); аналогичный результат
получаем для прочих вариантов — для отрицания (Нх)
в (Мх) • (Нх), (Мх) и (Ну) в (Мх) • (Яу), (My) и (Яз)
в (My) • (Нх) и для всех вариантов (аО/Кв).
.Знаки н, х, у, черточку и отсутствие ее, а также
всевозможные их комбинации, будем называть объектными знаками,
если они стоят перед знаками объектов, и модальными
знаками, если они стоят справа от К. Совокупность объектных
знаков будем называть объектной, а совокупность
модальных знаков — модальной характеристикой знания.
Основываясь на Л1, Л2, ТЗ и ТЬ—Т1, произведем следующее
обобщение знаков: знаки объектов будем рассматривать как знаки
объектов с любыми объектными знаками, а знаки сочетаний
первых по порядку объектов — как знаки сочетаний с любыми
модальными знаками. При этом, конечно, выполняются
правила подстановки. Например, если 0 = (—1) и происходит
замена О на (—1), то эта замена должна быть произведена
повсюду, где стоит О, и повсюду одинаково, т. е. на (—1).
Произведенное обобщение позволяет упростить
формулировки последующих положений, сохраняя их предельную
общность.
128

Два знания будем называть эквивалентными, если
тождественны фиксируемые им наборы. Рассмотрим
преобразования знаний в эквивалентные им с применением Л. Смысл
преобразований: заменяем некоторый объект его объектным
отрицанием и выясняем, как изменится вследствие этого
объектная и модальная характеристика знания.
С целью упрощения изложения мы сформулируем все
последующие положения как правила преобразования записи
наборов. Чтобы превратить их в правила преобразования
знаний, для этого достаточно заменить знак «=» знаком
эквивалентности и проставить в соответствующих местах
кавычки (это достаточно в силу определения
эквивалентности и принятых обозначений наборов и фиксирующих их
.шаний): эквивалентность будем обозначать знаком «=».
Отрицаемый объект из числа первых по порядку будем
обозначать знаком /. Пусть F — все сочетания первых по
порядку объектов, среди которых отсутствует сочетание Р
из этих же объектов. Примем аксиому:
A5(aO/F) = (aO/F-(PH)).
N3 АЪ и ^43 следует:
778. Если в правой части знания не стоит 1 отдельным
сочетанием, вписываем его с ««».
Согласно способу изображения наборов в табличной форме
имеем:
2'9. Объектное отрицание перед I ставится во всех
сочетаниях, где он фигурирует (содержится). В остальном
объектная характеристика правой части знания вследствие
отрицания I не меняется.
Так как
1 1°_т (-0| (-0)
i |о
+
+
+•
и
+
+
= Г,
(-1)| О
+
+
+
+
(за исходную можно нзять
и порядок ситуаций безразличен
и вторую ситуацию), то:
ПО. {0Ц) = (-01-1); (OJI-) = (OI-I-).
Til. (ОЦн) = Д1, ПО, Д6 (zO/—Iy):(yOI—Ix).
Т12. (нО/1н) = Д1, Д2, ПО, ТА (hOJ—Ih).
ПЗ. (xOIIx):(yOIIy) = T7, Til (—0/—1н).
744. (xOIIy): {yOjIx) = Til {01—Iн).
Tib. (нО/1) = Д2, ПО, Д2 (hOI—I).
(нО/1-) = Д2, ПО, Д2 (HO/-I-).
129

Из ПО—745 выводится ряд более частных следствий, на
которых мы оснанавливаться не будем.
Модальные знаки остальных сочетаний правой части
знания определяются по правилу:
1) Выбираем пары сочетаний, которые с точки зрения
содержащихся в них объектов различаются только тем, что
одно сочетание пары содержит отрицаемый /, а другое нет.
2) Если для какого-нибудь сочетания не находится
парное, вписываем его с «н» на основе 45 и 43.
3) К каждой такой паре применяем положения, которые
сформулируем ниже.
Пусть М и Н суть сочетания, из которых одно
содержит /, а другое — нет, и которые по остальным объектам не
различаются. Обозначим через «а» модальный знак М и
через «Ь» модальный знак Н. Согласно принятой форме записи
наличие М и Н в знании означает, что в наборе имеются
две ситуации (в таблице две строки), различающиеся лишь
существованием / (в одной строке таблицы в графе / стоит
«-)-», в другой строке в этой же графе стоит «—»,
остальные знаки одинаковы). После отрицания /, естественно,
знаки в графе / в этих строках (как и в прочих строках)
меняются на противоположные, и ситуации меняются ролями.
Иначе говоря,
/ . . . I ... (-/) ... |
. + ■
+
и М и Н меняются модальными знаками. Если при этом
происходит отрицание (9, то последние должны быть
заменены их отрицаниями. Если отрицание О не происходит,
дело ограничивается просто перестановкой их. Таким
образом, имеем:
746. (0/1 . (Ма) • (Не)) = (-OK—I) • (Мб—) • (На—)).
ТП. (01(1—) • (Ма) • (Нв)) = (0/(—1—) • (Мв) • (На)).
748. (0/(1п).(Ма).(Нв))=:Т4, Г16, ТП
(хО/(—1у) • (Мех) • (Нах)) : (уО/(—1х) . (Мву) • (Hay).
Г19. (пО\1 • (Ма) • (Не)) = Г15, Г16 (нО/(—1) - (Me—) . (На—)).
720. (xOftlx) - (Ма) . (Не)) = ДЪ—Д6, 746, 747
(-OI(-Ix) • (May) • (Hey)).
Т21. (хО/(1у)-(Ма).(Не)) = Дг—ДЬ, 746, 747,
А\ (0/(—1у) • (Мех) • (Нах)).
130

Из 746—Т21 выводится целый ряд положений, основные
из которых мы сформулируем ниже. Доказательства будем
опускать с целью сокращения изложения.
Т22. (0/1 • М • Я) = (-OK—I) ■ (М—) • (Я—))
(0/(1—) -М.Щ = (0/(—1—) -М-Н)
(0/1. (М-) ■ (Я-)) = (-0/(-1) -М-Н)
(0/(1-) • (М-) • (Я-)) = (OK-I-) ■ (М-) ■
(0/1 ■ М ■ (Я-)) = (-OK-I) ■ М • (Я-))
(0/(1-) ■ М ■ (Я-)) = (0/(-1-) . (М-) ■ II)
(#-))
(0/(1н) -М • Я) = (х0/(—1у) ■ (Мх) ■ (Нх))
(0/(1н) . (М-) ■ (Н-) = (хО/(-1у) ■ (My) ■ (Ну))
(0/(1н) • М ■ (Я-)) = (*0/(-1у) ■ (My) ■ (Нх))
(0/1 • (Мн) • (Нн)) = (—0/(—1) ■ (Мн) • (Ям))
(0/(1-) ■ (Мн) ■ (Нн)) = (0/(-1-) ■ (Мн) ■ (Нн))
(0/1 ■ (Мх) ■ (Нх)) = (-OK-I) ■ (My) ■ (Ну)
(0/(1-) • (Мх) ■ (Нх)) = (ОЦ-1-) ■ (Мх) ■ (Нх))
(0/1 ■ (Мх) ■ (Ну)) = (-0/(-1) • (Мх) • (Ну))
(0/1 ■ М ■ (Нн)) =(-0/(-1) ■ (Мн) • (Я-))
(0/(1-) ■ (Мх) ■ (Ну)) = (OK-I-) ■ (My) ■ (Нх))
(OI(I-) ■ М ■ (Нн)) = (OK-I-) ■ (Мн) ■ Я)
(0/1 ■ (М-) • (Нн)) = (-OK-I) ■ (Мн) • Я)
(0/(1-) • (М-) ■ (Нн)) = (0/(-1-) ■ (Мн) ■ (Н-))
(0/(1н) ■ (Мн) ■ Я) = (хО/(—1у) • (Мх) ■ (Нн))
(Н-)) = (хО/(-1у) ■ (My) • (Нн))
Н) = (уО/(-1х)-(Му).(Н-))
(Н-)) = (уО/(-1х) • (Мх) ■ (Н-))
Н)=(уО/(-1х)-(Му)-Н)
(Н-)) = (уО/(-1х)-(Мх).Н)
(Нн)) = (уО/(-1х) • (Мн) ■ (Нн))
(Нн)) = (уО/(-1х)
(Нн)) = (уО/(-1х)
(Нх)) = (уО/(-Тх)
(Ну)) = (уО/(-1х)
(Ну)) = (уО/(-1х)
(0/(1н)
(0/(1х)
(0/(1х)
(0/(1х)
(0/(1х)
(0/(1н)
(0/(1х)
(0/(1х)
(0/(1х)
(0/(1х)
(0/(1х)
■ (Мн)
(Мх)
(Мх)
(My)
(My)
■ (Мн)
(Мх)
(My)
(Мх)
(Мх)
(My)
(Мн)
■ (Мн)
(М-)
М
■ М
(Я-))
Н)
■ (Я-))
(Я-))
Я)
131

{0/(1 н) • (Мх) • (Нх)) = (у01(-1х) • (((My) • (Ну)) :
: ((Ms) • (Нх))))
(0/(1н) • (Ms) • (Ну)) = (уО/(-1х) • (((My) • (//*)) :
: ((Мх) • (Яг/)))).
Из Г22 следует:
Т23. (Кху) = (К—)] (Кхх) : (Куу)=К\ (Кнх) : (Кну) = (Кн).
Г24. Все положения, в которых имеет место (аО/. . .) =
= (—аО/. . .), суть положения об отрицании (аО). Очевидно,
что отрицание (аО) допустимо не всегда: оно недопустимо
тогда, когда вследствие отрицания (аО) в таблице набора не
оказывается ни одной строки со всеми «-]-» (согласно
принятой форме записи).
Если отрицается несколько объектов, то:
Г25. Отрицание осуществляется в последовательности
в любом порядке.
Примеры применения 7*25 можно увидеть в следующем
положении.
726. (0/(1 • 2 • (1, 2)) = (-0/(-1) ■ (2-) • ((-1), 2, -)) =
= (-0Д-1-) . (-2-) • ((-1), (-2))).
(01(1-) -2.(1,2)) = (0/(-1-) • 2 • ((-1), 2)) =
= (-0/(1-)-(-2). (1, (-2))) =
= (-0К-1-) ■ (-2) • ((-1), (-2))).
(01(1-) • (2-) • (1, 2)) = (0/(-1-) • 2 • ((-1), 2, -)) =
= (_0/(_1).(-2).((-1), (-2))).
(0/(1-)- 2.(1, 2, —)) = (0/(—1—) • (2—) - ((—1). 2)) =
= (—0/1 - (—2) - (1, (—2))) =
= (0/(_1).(_2-).((-1), (-2), -)).
(0/1 -2.(1, 2, -)) = (-0Д-1) • 2 • ((-1),: 2, -)) =
= (0/(-1).(-2)-((-1), (-2), -)).
(0/(1-) • (2-) • (1, 2, _)) = (0/(-1-) • (2-) • ((-1), 2, -)) =
= (0/(-1-).(-2-).((-1), (-2), -))).
Изложенные правила преобразования можно
интерпретировать как своего рода обобщение положений исчисления
высказываний и дополнение к ним. Условия такой
интерпретации:
1) Знаки первых по порядку объектов берутся как знаки
высказываний.
f32

2) Объектное утверждение и отрицание, а также «-)-» и
«—» в таблице, берутся как истинность и неистшшость
высказываний.
3) Второй по порядку объект берется как то или иное
соединение указанных в первом пункте высказываний,
определяемое комбинацией знаков «-)-» и «—».
Однако, это — лишь одна из возможных интерпретаций,
так как высказывания с их истинностью и неистинностью
суть лишь частный случай объектов.
Рассмотрим теперь один из возможных вариантов правил
вывода. Высказывания будем обозначать символами SO, SI,
S2, .... Примем определения:
Д1. «аО/Ка» истинно. =(аО/Ка) существует.
Д8. «аО/(Ма) • (На) • . . .» истинно. = Истинно каждое из
«аО/Ма», «аО/На», ....
Знаки «а» могут быть различными и одинаковыми. Согласно
Д1 и Д8 и определению «•» имеем:
ГЦ. Если Si и S2 имеют тождественные левые части
(части слева от «/»), а правая часть S2 содержится в правой
части Si, то Si \-S2.
7/2. Если SO |—Si, S0\—S2, . . ., SO \—Sn n в правой
части SO нет таких сочетаний знаков объектов, которые не
имелись бы по крайней мере в одном из Si, S2, . . ., Sn,
то SLS2- ... • Sn\-S0.
Пусть даны Si и S2. В левой части обоих зафиксирован
один и тот же объект. В правой части каждого
зафиксировано по крайней мере одно такое сочетание объектов,
которое не зафиксировано в правой части другого (является
необщим). По крайней мере одно сочетание объектов
фиксируется в правой части обоих (является общим). Требуется
выяснить характеристики (объектную и модальную) S3,
которое фиксирует в левой части тот же объект, что и
левые части Si и S2, фиксирует в правой части по крайней мере
два необщие для Si и S2 сочетания объектов и не фиксирует
по крайней мере одно общее для них сочетание. Для этого
необходимо:
/73. Путем эквивалентных преобразований (если это
потребуется) сделать одинаковыми (если это возможно)
характеристики объекта левой части и общих сочетаний Si и S2,
чтобы удовлетворить Ai и Т2. Согласно /71 и /72 перенести
соответствующие характеристики в S3 из высказываний,
получившихся в результате преобразований из Si и S2, или из
самих 64 и S2, если характеристики объекта левой части и
общих сочетаний одинаковы. К оставшимся после этого
сочетаниям правой части S3 приписать «н» согласно ^45;
Например, даны «0/(1—) . 2 . (1, 2—)» и «0/(2—) • 3 • (2, 3)»;
133

«0/(1-) . 2 . (1, 2, _)» = «_0/1 . (-2). (1, (-2))»=
= <«9/(-1) • ( -2-) • ((-1), (-2), -)»; «0/(2-) • 3 • (2, 3)» =
= <<0/(_2_) . 3 • ((-2), 3)»; «0/(-1) . (-2-). ((-1),
(—2), — )»*|— «0/— 1». «0/(—2—) • 3 • ((—2), 3)»|—«0/3». Согласно
A3 и АЪ «О/—1».«0/3»|— «0/(—1).3-((—1), 3, н)ь. Вывод
невозможен, если не выполняется ^43. Например, даны
«0/1 . (2—) . (1. 2)» и «(—0)j2 • 3 • (2, 3, —)». При любых
преобразованиях в первом знании сохраняется (2—), а во
втором— 2; «аО/2 • (2—)» исключается.
Пусть даны Si = «1/Ка» • «2/Ка» • . . . • «п/Ка»и S2=
«Mjсочетания из 1,2,..., я». Требуется выяснить модальную
характеристику S3 = M/Ka». Пусть все сочетания в Si и S2
определенные. Обозначим через «х» модальный знак того
сочетания Е правой части S2, которое содержит все знаки
объектов из числа 1, 2, . . ., я, стоящих в Si в
высказываниях с модальным утверждением, и только этих объектов.
Примем
Л6. Si.S2l-«M/Kx»*
Например, «1/#» . «2/#» . «3/АГ—» . «М/1 . 2 . 3 . (1, 2, —) X
X (1, 3,—) • (2, 3) • (1, 2, 3, — )»|— «М\К—», так как К стоит
только в «i/Кь и «2/К» и «М/(1, 2, —)». Если в S2
отсутствует указанное выше сочетание с «х», оно может быть
приписано с «н» согласно ^45. И тогда согласно Aft Si • S2\—
[— «М/Кн».
Пусть по крайней мере в одном из Si стоит (Кн).
Обозначим через «ж», «у», . . ., «5» модальные знаки
соответственно тех сочетаний правой части S2, которые не
содержат знаков объектов из числа 1,2,.. ., я, стоящих в Si
в знаниях с (К—). Согласно А6 и определению «н» имеем:
/74. £1 . *У2|— «М/Кх» : «М/Ку»: . . . : «M/Ks».
Из /74 следует:
/75. Если по крайней мере два из «я», «у», . . ., «5»
различны или по крайней мере один из них есть «и», то
*Я.*У2|— «М/Кн».
/76. Если все «#», «?/», . . ., «s» суть утверждения, то
SI - S2\— «М/К». Если все <т>, «?/», . . ., «s» суть отрицания,
то SI * S2\—«М/К—». Если в Si имеется хотя бы одно
знание, в правой части которого содержится два или более
сочетания, еывод строим по правилу:
/77. Сочетания, имеющиеся в одном из высказываний Si
и отсутствующие в других, вписываем в последние со
знаком «к» согласно А5. К каждому сочетанию применяем Л6,
#4, /75 и Я6. Строим £3, основываясь на Я1 и Я2.
J 34

Например, «I/К1 . (К2—) • (А1, К2)» . «2/А2. (A2, А3)» X
X «М/1 -2.(1, 2, —)»|- «1/К1 • (А2—) • (А1, А'2)» • «ЩКЫ) • А2 X
X (А1, К2, н) • {К2, А3)» . «M/l • 2 . (1, 2, —)ъ\-М1{К1н) • А2 X
X (А\ К2, н)».
Из Л6 следует:
178. Поскольку S2 содержит только одно (Ех), то«М/Кх» X
X £11—«М/Ех». Поскольку в S1 одно и то же сочетание имеет
только один набор модальных знаков, то имея «М/Кх» и
«М/Ех», мы можем указать этот набор для А в SI: во всех
высказываниях S1, объекты левой части которых фигурируют
в Е, ставим А с модальным утверждением, а в остальных —
с отрицанием.
Пусть даны
S1 = «1/сочетания из А\ К2,..., Кп» • «2/сочетания из
А1, А'2, . . ., Кп» . . . . . «TV/сочетания из А1, А2, . . ., Кп» и
6'2^«М/сочетания из А1, А2, . . ., Кп». Требуется выяснить
модальную характеристику S3 = «М/сочетания из 1, 2, . . ., 7V».
Задачу можно поставить так: каким должно быть £3, чтобы
S3-S1\-S2.
Если S1 не содержит неопределенных сочетаний, имеет
место правило:
Я9. По набору модальных знаков какого-либо сочетания
правой части S1 определяем, модальному знаку какого из
сочетаний правой части S3 должен быть тождественным
согласно Aft модальный знак этого же сочетания в S2, т. е.
применяем Я8. Делаем это для каждого сочетания.
Например, даны £1 ^«^(А1—) • (А2) • (А1, А2)»-«2/А1 X
Х(А2—).(А\ А2)» и S2 = «MK' (А2—)-(А\ А2, —)».
Требуется выяснить модальную характеристику S3 =
= «M/(la) • (2а) • (1, 2, а)». Если S3 • «1/А1—» • «2lKh\-«MjK4,
то модальный знак А1 в «М/К1» согласно AQ тождественен
модальному знаку такого сочетания правой части S3, которое
содержит знаки всех тех и только тех объектов левой части
Si, которые стоят в высказываниях с А1. В «1/А1—» имеет
место (А"1—), значит 1 отпадает. Остается 2. Значит, имеем
«М/2». Аналогично получаем «М/1—» и «М/(1, 2, —)». В
целом, получаем «М/(1—) • 2 • (1, 2, —)».
В SI могут быть сочетания с одинаковым набором
модальных знаков. Это значит, что модальные знаки этих сочетаний
в £2 тождественны модальному знаку одного и того же
сочетания в S3. А так как последнее имеет только один
модальный знак, то: /710. Если в SI имеются сочетания с
одинаковым набором модальных знаков, то должны быть
одинаковыми модальные знаки у этих сочетаний в S2. В противном
случае вывод невозможен.
135

Если в Si содержится по крайней мере одно модально
неопределенное сочетание, вывод делается по правилу:
/711. Сохраняем только те возможные комбинации
модальных знаков Si, которые удовлетворяют /710, и решаем задачу для
каждого возможного варианта в отдельности. Решаем задачу
для определенных сочетаний в Si. Оставшиеся после этого
сочетания в S3 пишем со знаком, тождественным
модальному знаку того сочетания в S2, набор модальных знаков
которого в SI содержит неопределенность. Если при этом
в разных вариантах одно и то же сочетание в £3 допускает
модальное утверждение и отрицание, пишем его с <ш».
Например, даны Si =«1/(К1н) • К2 • (К\ К2, —)» . «2/К1 X
Х(К2н).(К1, К2)» и S2 = <MIK1-(K2—).(R1, К2)». Только
два варианта из возможных вариантов *У1 удовлетворяют
/710: «1/(К1н) • К2 • (К\ К2, —)» • «2//Р. (К2—) • (К\ К2)» и
«l/^1—) • К2 • (К1, К2, —)» • «2/К1 • (К2н) • {К\ К2)». Для
первого варианта получаем S3 = «MI(i—) • 2 • (1, 2)», для
второго—J3=«Af/(l—) • 2- (1, 2, —)», в целом S3 = «M/(i—) X
Х2-(1, 2, и)».
Пусть даны 64 = «Л//сочетания из 1, 2,..., п» и й =
= «М/сочетания из К1, /Г2,..., Кт». Требуется выяснить
модальную характеристику ^^^«1/сочетания из К1, К2,...
. . ., Кт» • «2/сочетания из К\ К2, . . ., Кт» • . . . • «я/сочетания
из К1, К2, . . ., Кт». Другими словами, требуется выяснить,
каким должно быть S3, чтобы S3 • SI |—S2.
Для облегчения решения задачи строим таблицу
1
2
Ю
К*
к\ К*
1
где в горизонтальном ряду указаны все сочетания из К\
К2,. . ., Кт, а в вертикальном — все высказывания «S3.
Заполняем эту таблицу модальными знаками по правилу Я12,
которое, в свою очередь, можно представить в виде ряда
правил:
1) Берем в S2 любое сочетание с модальным
утверждением. Сопоставляем его с любым сочетанием в Si, имеющим
точно также модальное утверждение. По виду этих сочетаний
заполняем в таблице графу выбранного в S2 сочетания, при-
136

меняя /16 и /74—//8. Аналогично делаем для любого
сочетания из S2 с модальным отрицанием.
2) Если в S\ имеется несколько сочетаний с
утверждением (отрицанием), сказанное в пункте 1 осуществляем для
каждой возможной пары.
3) Если в Si имеются неопределенные сочетания, они
берутся как с утверждением, так и с отрицанием.
4) Если в S2 имеются неопределенные сочетания, в
таблице для них пишется набор знаков, полученный для них
как с утверждением, так и с отрицанием.
5) Неопределенные сочетания естественно брать после
выяснения наборов знаков для определенных сочетаний.
6) Если в S2 имеется несколько сочетаний с одинаковыми
медальными знаками, сказанное в предшествующих пунктах
делаем для одного из них и заполняем полученным набором
знаков графы всех этих сочетаний.
7) Непарные сочетания (т. е. сочетания в S2, модальная
характеристика которых не сходна с таковой сочетаний
в Si) оставляем без внимания.
8) Клетки таблицы, оставшиеся пустыми после обзора
всех сочетаний в S2, заполняем знаками <ш».
9) Если в какой-либо клетке оказывается два различных
модальных знака, заменяем их знаком «я».
Дать подробное обоснование и пояснение /712 в этой статье
не представляется возможным. Ограничимся простым
примером.
Пусть даны Si =«М/1 . (2—) .(1,2, —)»nS2 = «M/(K1—) X
ХА2.(А\ А2, —)». Сопоставляя (К1—) с (2—), (К1—)
с (1, 2, —) и А'2 с 1, получаем согласно /78
\
2
Л'1
- -ь
+ +
К*
+
—
к\к*
—Ь
+ +
причем графу (А'1, А2) заполняем аналогично графе А1.
Имеем, таким образом, Si • S2\— «1/(А2я) • А2 • (А1, А2, и)» X
X «2/А1 • (А2—) • (А1, А2)».
Если даны £1 = «Л7/сочетания из 1, 2,..., п» и £2 =
= «Л//сочетания из А1, А2, . . ., Aw» и требуется выяснить
модальную характеристику S3 = «А7сочетания из 1, 2,...
. . ., п» • . . . • «А^/сочетания из 1, 2, . . ., п», то задача решается
по правилу /712, что очевидно.
137

Если дано SI = «М/сочетания, из К\ К2, . . ., Кт)», можно
реконструировать S2 = «М/сочетания из 1, 2,..., п» или
S3 = «Kl (или 1)/сочетания из 1, 2, . . ., п (или из К1. К2, . . .,
iiT™)» • . . . • «Кт (или я)/сочетания из 1, 2, . . ., я (или из
К\ К2, . . ., Кт)». Для этого:
/713. Допускаем произвольное £2 (или S3) и по
рассмотренным выше правилам получаем £3 (или £2).
Мы изложили лишь общие соображения относительно
знаний о связях, а также некоторые простые операции
с ними. Задача дальнейшего исследования — выяснить пути
конструирования сложных знаний о связях, правила их
преобразования и возможные варианты вывода, а также
основывающиеся на этих правилах методы исследования
(анализа, синтеза и решения производныхЪт них задач)
сложных систем связей.
ПРИМЕЧАНИЕ
Обзор работ, имеющих отношение к"- рассматриваемой в статье
проблеме (мы имеем в виду работы Рейхенбаха, Карнапа, Бёркса, Чис-
хольма, Льюиса и других авторов) требует специального исследования.
Заметим здесь лишь то, что в этих работах отсутствует анализ
специфического способа построения высказываний о связях. Резюмируя
сказанное в статье, этот способ может быть описан следующей схемой.
Пусть х и у суть высказывания, (—х) и {—у) суть их отрицания,
((х1 - у2)1 : (—х1 • —у2)2) есть высказывание, фиксирующее набор
ситуаций. Индексы обозначают какой-то порядок, в котором высказывания
оказываются истинными, что соответствует объективному порядку
набора. Примем аксиому: при данной расстановке индексов допустим
вывод ((х1 • у2)1 : (—х1 • —у2)2) • у\-х, где «|—» есть знак следования.
Примем, далее, определение: (у/х) = ((х1 • у2)1: (—х1 • —у2)2)' Тем самым
мы дали схему построения элементарного высказывания о связи.
Очевидно, что (у/х) • у\-х. Введя определения отрицаний и используя
только знаки «•», «:», «/», знаки отрицаний и знаки объектов, можно
дать схемы построения сложных высказываний о связях.

В. С. Ill еы ре в
К ВОПРОСУ
О КАУЗАЛЬНОЙ ИМПЛИКАЦИИ
Существует определенная группа высказываний
эмпирических наук, выражение которых в форме молекулярных
высказываний исчисления высказываний математической
логики (являющихся функциями истинности атомарных
высказываний) встречает серьезные трудности. В данной статье
мы делаем попытку выявить: 1) отличительные логические
признаки высказываний этой группы; т. е. признаки,
принадлежащие всем этим высказываниям и только этим
высказываниям; 2) природу тех трудностей, с которыми
сталкиваются при выражении этих высказываний в форме
молекулярных; 3) отношение этих высказываний к формальным
и строгим импликациям — формам, как мы увидим ниже,
в определенной степени родственным и в то же время
отличающимся от рассматриваемого нами типа высказываний.
1. Понятие каузальной импликации. В системе нашего
знания широко распространены высказывания,
характеризующиеся следующим отличительным признаком: фиксируется
предмет х и два признака этого предмета А и В таким
образом, что 1) высказывание распространяется на любой
возможный предмет х, а .не только на имеющиеся налицо,
регистрируемые в данный момент (если их можно
зарегистрировать в принципе) предметы х\ 2) существует такая
логическая связь, что для любого возможного предмета х,
если истинно высказывание А (х) («предмет х обладает
признаком ^4»), то истинно высказывание В(х) («предмет х
обладает признаком В»).
Остановимся на первом требовании. Сравним два
высказывания: 1) «для всех х, если х книга, лежащая на столе,
то х имеет страницы»; 2) «для всех х, если х книга,
лежащая на столе, то х — книга, написанная на русском языке».
139

Пусть оба эти высказывания будут истинными. Однако в то
время, как истинность первого высказывания не изменится
от того, положим мы на стол или нет новые книги, так как
каждая книга обязательно будет иметь страницы, второе
высказывание может стать ложным, так как среди книг,
вновь положенных на стол, может оказаться книга не на
русском, а на каком-либо другом языке. Различие между
высказываниями будет ясно видно, если мы сформулируем эти
положения в сослагательном наклонении; 1) «для всех а\
если бы х было книгой, лежащей на столе, то х имело бы
страницы»; 2) «для всех х, если х было бы книгой,
лежащей на столе, то х было бы книгой, написанной по-русски».
Второе положение, очевидно, ложно.
Высказывания, которые распространяются на любой
возможный предмет х, а не только на регистрируемые
в данный момент предметы х, можно назвать
универсальными в отличие от просто общих высказываний, которые
распространяются на некоторое регистрируемое в данный
момент количество предметов. В универсальных
высказываниях предмет берется без ограничений пространственно-
временного порядка, тогда как в общих высказываниях это
ограничение имеет место. Сравним: «все люди смертны» и
«все люди в этой комнате сегодня одеты в темные
костюмы».
«Индикатором» универсальных высказываний является
перевод предложения, выражающего высказывания, в
сослагательное наклонение. Если соответствующее положение
в сослагательном наклонении сохраняет истинность, то
высказывание является универсальным.
Универсальные высказывания иногда называются
высказываниями об открытом классе, или нерегистрирующимп
общими высказываниями. Однако надо помнить, что в
качестве критерия различения не может употребляться
признак возможности регистрации. Число предметов в данный
момент и при данных обстоятельствах может быть учтено,
тем не менее высказывание распространяется на любой
возможный предмет и является универсальным. Например,
высказывание «во всяком товарном обществе действует
в той или иной форме закон стоимости» является
универсальным, хотя мы можем учесть все исторически
существовавшие товарные общества. Таким образом, признак
открытого класса следует понимать в том смысле, что
высказывание распростаняется на открытый класс, а не в том
смысле, что число членов класса нельзя учесть в момент"
принятия высказывания. Во втором понимании этот
признак будет принадлежат г, только некоторым универ-
140

сальным высказываниям (например, «все живые существа
имеют обмен веществ»).
Под сформулированный нами отличительный признак
подходят все универсальные высказывания формы «все S суть Р»,
если предмет х интерпретировать как предмет вообще, любой
предмет, a S и Р — как его признаки. Действительно, тогда
высказывания «все S суть Р» будут удовлетворять обоим
требованиям отличительного признака (они, во-первых,
являются универсальными, во-вторых, существует соотношение:
«для всякого х, если истинно S (х), истинно Р (х)>>— «для
любого предмета, если предмет — живое существо, то этот
предмет имеет обмен веществ»).
Сокращенно высказывания, охватываемые
сформулированным отличительным признаком, мы будем выражать: (х)
(Если А (х), то В(х))1 где косая черточка над квантором
общности означает универсальность высказывания. По
способу получения при данном состоянии нашего знания эти
высказывания разбиваются на две подгруппы.
В одних случаях значение терминов, выражающих
признаки А и В предмета х, т. е. логические связи этих
терминов в системе знания, таково, что существующие
логической теории средства гарантируют истинность
высказывания (х) (Если А (х), то В(х)). В традиционной логике
высказывания такого рода получили название аналитических.
В других случаях значения этих терминов таковы, что
существующие в логической теории средства не гарантируют
истинности высказывания (х) (если А (х), то В(х)).
Высказывания такого рода получили в традиционной логике
название синтетических.
Это разумеется, не определение, а лишь характеристика,
так как определение потребовало бы точного указания на
то, что понимается под «существующими в логической теории
средствами». Такое указание связано с определением понятий
выводимости и логической истинности, подробное изложение
которых заняло бы много места. Поэтому мы ограничимся
ссылкой на работы [2, 3, 4, 8, 16].
Однако гарантирует логика или нет истинность
универсального условного высказывания, в обоих случаях, если
это высказывание принято, то оно рассматривается как
истинное и, поскольку оно универсально, то для него
характерно, что в любых случаях истинность А (х)
определяет истинность В(х). (Особо следует оговорить, что мы
рассматриваем только достоверные высказывания. Вопроса
об отношении универсальности и вероятности
высказывания мы не касаемся.) Так как истинность А(х) всегда,
в любых случаях определяет истинность В(х), то логиче-
141

скую связь, образующую универсальное высказывание,
оценивают как необходимую, и тогда,, когда оно аналитично,
и тогда, когда оно синтетично. Но различие способов
получения высказываний переносят и на уже сложившуюся
логическую связь, различая понятие логической
необходимости как оценку логической связи, образующей
аналитическое высказывание и понятие физической или каузальной
необходимости как оценку логической связи, образующей
синтетическое универсальное высказывание.
Таким образом, аналитическим высказываниям (х)
(Если А (х), то В (х)) соответствует логическая
необходимость, а синтетическим высказываниям (х) (Если А (х)
то В (х) — физическая или каузальная необходимость
[1, 7].
В исчислении высказываний союзу «если . . ., то . . .»
разговорного языка соответствует импликация. Поэтому попытки
выражения высказываний, представленных в разговорном
языке условными предложениями, в исчислении
высказываний идут по линии представления их в форме
молекулярных импликационных высказываний. Отсюда каузально
необходимые универсальные высказывания «если . . ., то . . .»
получили у логиков, пытающихся представить их как особый
случай импликации, название каузальной импликации [1].
Мы для краткости в дальнейшем будем пользоваться этим
термином для обозначения синтетических (каузально
необходимых) высказываний (х) (Если А (х), то В (х). Эту группу
высказываний мы и сделаем предметом нашего дальнейшего
рассмотрения.
Из сказанного ясно, что для того, чтобы сформулировать
отличительный признак высказываний этой группы, надо
к отличительному признаку (х) (Если А (х), то В(х))в целом,
добавить признак синтетичности высказываний. Этот признак
будет отрицательным, т. е. в группу каузальных импликаций
попадут все высказывания (х) (Если А (х), то В (х)
верификация которых на основании истинности лишь А (х) при
данном состоянии наших знаний оказывается невозможной.
2. Трудности выражения каузальных импликаций в виде
молекулярных высказываний и их природа. Математическая
логика получила свое применение в первую очередь как
логика математики (работы Фреге, Пеано, Расселла). Однако
успехи математической логики выявили ее серьезные
преимущества перед традиционной формальной логикой и
вызвали, естественно, стремление применить ее для разработки
вопросов логики эмпирических наук. Применение
математической логики к эмпирическим наукам выдвинуло особую
проблематику. К этой проблематике относится, в частности.
142

проблема выражения высказываний, которые, с одной
стороны, сложны по своему строению (т. е. в них в качестве
компонентов могут быть выделены элементарные
высказывания), а с другой стороны, не являются функциями
истинности этих элементарных высказываний, и, следовательно,
не могут быть отождествлены с молекулярными
высказываниями исчисления высказываний. Перевод этих сложных
высказываний в молекулярные ведет к тому, что мы теряем
возможность различать между истинными и ложными
высказываниями, так как в качестве молекулярных и те, и
другие оказываются истинными. Это, в свою очередь, ведет
к парадоксам и препятствует употреблению аппарата
математической логики в эмпирических науках.
Это ясно видно на примере условных положений,
противоречащих факту [5, 9] (высказываний, выражаемых
сослагательным наклонением — «если бы имело место событие А,
то имело бы место событие В»), Поскольку в них лишь
предполагается возможность события А, в
действительности же его нет, то при переводе в материальную
импликацию любое условное положение, противоречащее факту,
окажется истинным как импликация с ложным
антецедентом. Таким образом, в качестве импликации окажется
истинным как высказывание «если бы земля прекратила бы
свое вращение вокруг оси, то в одной части земли все
время была бы ночь, а в другой — день», так и
высказывание «если бы земля прекратила бы свое вращение, то
теорема Пифагора перестала бы быть верной», поскольку
в обоих случаях отсутствует ситуация, в которой
антецедент был бы истинен.
Рейхенбах [13, 14, 15] формулирует эту проблему как
проблему различения осмысленной (reasonable) и
неосмысленной импликации, или, более широко, осмысленных или
неосмысленных высказываний. Осмысленные высказывания —
это такие высказывания, которые истинны и как сложные
высказывания, выражаемые в разговорном языке, и как
молекулярные высказывания, являющиеся функциями
истинности своих атомарных высказываний. Неосмысленные
высказывания, будучи истинными по правилам истинности
молекулярных высказываний, теряют осмысленность или
становятся ложными при переводе на разговорный язык1.
Например, истинное как импликация «(Тамбов—город) Z)
(Береза—дерево)» при переводе в условное предложение
теряет осмысленность.
1 Для импликации — в случае перевода в условное предложение,
а не вообще на разговорный язык.
143

Все высказывания (х) (Если А (х), то В(х))1 в том числе,
следовательно, и каузальные импликации являются
осмысленными импликациями. Однако не всякая осмысленная
импликация является высказыванием (х) (Если А (х), то
В(х)). Например, «если все люди смертны и Иван — человек,
то Иван — смертен» (пример Рейхенбаха из предисловия
к [14] очевидно являясь осмысленной импликацией, не
относится к высказываниям (X) (Если А (х), то В(х)). Таким
образом, проблема отличения осмысленной и неосмысленной
импликации шире проблемы выражения высказываний (х)
(Если А(х), то В (х)) в исчислении высказываний и подавно
шире проблемы каузальной импликации.
Проблема условных положений, противоречащих факту,
целиком может быть сведена к проблеме различения
осмысленной и неосмысленной импликации и по сути дела
является частной формой этой проблемы, в которой на
первый план выдвигается один из логических признаков
высказываний «если..., то...»; истинность следствия
определяется истинностью основания — безотносительно к тому,
истинно ли в действительности основание или нет. Нельсон
Гудмэн[9], в частности, говорит об этом: «Проблема состоит
в определенном типе связи между двумя
положениями-компонентами и истина этого типа положений — представлены
ли они в форме условных положений, противоречащих
факту, или в форму условных фактических положений, или
в какой-либо другой форме — зависит не от истинности или
ложности компонентов, но от того, содержится ли
подразумеваемая связь». Поскольку проблема условных положений,
противоречащих факту, тождественна проблеме отличения
осмысленных импликаций, а последняя охватывает более
широкий круг высказываний, чем каузальная импликация,
то ставить знак равенства между проблемой условных
положений, противоречащих факту, и проблемой каузальной
импликации, как это делают некоторые авторы [1, 6, 7, 9,
10], нельзя.
Иногда проблема сложных высказываний, не
являющихся функциями истинности своих компонентов,
формулируется как проблема высказываний «законов природы» (при
этом «закон природы» отождествляется с каузальной
импликацией и условным положением, противоречащим факту
[5, 9. 10]). Такой подход неудачен хотя бы потому, что
понятие «закона природы» как логического признака само
нуждается в определении и уточнении. Кроме того, даже
если согласиться, что интуитивно смысл этого
понятия ясен, то тогда объемы высш зываний, охватываемых
в понятии «закона природы», каузальной импликации и
144

условного положения, противоречащего факту, явно не
совпадают.
Существование сложных высказываний, адэкватно не
переводимых на язык исчисления высказываний, было
обнаружено в логике давно. В противоположность
экстенсиональной логической связи, образующей молекулярные
высказывания как функции истинности атомарных высказываний,
логическую связь, образующую эти высказывания, назвали
связью интенциональной (смысловой), подчеркивая, что эта
связь обусловлена самим значением компонентов, а не только
значениями их истинности.
Некоторые логики (Витгенштейн, Шлик, Рамзей) вообще
предлагали отказаться от рассмотрения высказываний этого
типа, как высказываний. Так, Витгенштейн не признает
высказываний ' о физических законах как высказываний
в собственном смысле этого слова, а берет их как правила
для установления высказываний [18]. Рамзей называет эти
высказывания гипотетическими переменными и говорит, что
«гипотетическая переменная, строго говоря, вовсе не
высказывание, но формула, из которой мы выводим
высказывания» [12].
Такой же позиции придерживается Шлик [17]: «Законы
природы не имеют характера высказываний, которые истинны
или ложны, но скорее устанавливают инструкции для
образования таких высказываний. . . Законы природы не
являются общими импликациями, потому что они не могут
быть верифицированы для всех случаев, они являются
скорее директивами, правилами поведения для того, чтобы
исследователь нашел свой путь в действительности и
предвосхитил определенные события».
* Другие логики считают, что эти сложные высказывания
в конечном счете могут быть выражены при помощи эктен-
сионального метаязыка [2, 3, 4]. Однако эту программу
в лучшем случае можно осуществить только для
аналитических высказываний.
Наконец, существует точка зрения, при которой авторы
отправляются от существования высказываний,
основывающихся на иных логических связях, чем экстенсиональные.
Развивая эту точку зрения, можно идти двумя путями.
Первый — это сопоставлять принципы построения
экстенсиональных высказываний с принципами построения интенцио-
нальных высказываний и идти по линии разработки
требований, предъявляемых к таким высказываниям. Все
дальнейшее изучение логических свойств этих высказываний
направлено на определение таких критериев, по которым мы
можем квалифицировать высказывание, истинное как функ-
145

цию истинности, в качестве истинного сложного
высказывания, не являющегося функцией истинности. По этому
пути идет Рейхенбах в своей теории номологических
высказываний [13, 14, 15]
Второй путь состоит в том, что логическая связь,
образующая интенциональное высказывание, берется как нечто
данное, исходное, далее неразложимое, и строится
исчисление, основанное на понятии об этой связи, взятой в качестве
первичного понятия. Это понятие определяется лишь
имплицитно [15] через аксиомы исчисления. Это путь создания
модальных логик, по которому пошли Льюис и Беркс —
первый создав свою систему строгой импликации,
основанную на понятии логической необходимости; второй —
выдвинув недавно систему каузальной импликации, основанную
на понятии каузальной необходимости.
Мы не разбираем в целом вопрос о сложных
высказываниях, не являющихся функциями истинности своих
компонентов, а касаемся только частного вида этих
высказываний— каузальных импликаций. Поэтому мы разберем
вопрос о строгой импликации, номологических
высказываниях и исчислении Беркса лишь в той мере, в какой это
касается каузальных импликаций. Однако прежде мы
постараемся четко выявить, в чем состоит причина того, что
каузальные импликации попадают в число интенциональных
высказываний, и в чем состоят трудности их выражения
в исчислении высказываний.
Как мы уже указали, трудности со сложными
высказываниями возникают ввиду того, что и истинные, и ложные
сложные высказывания оказываются истинными
молекулярными высказываниями.
Поэтому, если бы существовало такое высказывание p^q,
где у — какая-либо операция или последовательность
операций математической логики, которое оказалось бы
эквивалентным pCq (так мы будем обозначать каузальные
импликации), то для выражения pCq трудности были бы устранены,
так как если высказывания эквивалентны, то их условия
истинности совпадают. Если же нельзя построить руд,
эквивалентное pCq, то каузальные импликации адэкватно не
могут быть выражены в исчислении высказываний.
Если pyq и pCq эквивалентны, то
p^q = pCq (1)
должно быть всегда истинным.
Нетрудно убедиться, что при подстановке вместо у знака
конъюнкции выражение (1) не будет всегда истинным, так
как конъюнкция выражает просто сосуществование двух
146

объективных состояний, между которыми может и не иметь
место отношение «если . ..,"то . . .». Дизъюнкция также но
подходит, так как истинность одного из высказываний р и
q вовсе не гарантирует истинности высказывания «если р,
то q».
Подставим теперь вместо у знак импликации. Выражение
pCq = p^q (2)
будет всегда истинным, если будет всегда истинным
выражение:
((pCq) Z5 (р 3 q)) & ((р Z) q) Э (pCq)). (3)
Выражение
(pCq) Z){p^q) (4)
может быть ложным только тогда, когда pCq истинно,
a pZ)q ложно. Если pZDq ложно, то р истинно, ад —
ложно. Но при таких значениях истинности р и q
высказывание pCq не может быть истинным, так как это значило бы.
что (х) А(х) имеет место, а (х) В (х)— нет. Таким образом,
выражение (4) не может быть ложным и, следовательно,
будет всегда истинно. Это уже известный нам факт, что
всякое истинное высказывание (X) (Если Л(х), то В (х)) как
импликация будет истинным.
Выражение (pZ) q)Z) (pCq), напротив, будет не всегда
истинным, поскольку для верификации pCq недостаточно
истинности р, как мы указывали выше.
Поскольку выражение (2) не всегда истинно, то мы можем
сказать, что каузальная импликация не эквивалентна
материальной импликации.
Мы видим, таким образом, что у не может быть ни
знаком конъюнкции, ни знаком дизъюнкции, ни знаком
импликации. Последний случай отличается от первых двух
лишь тем, что (pCq) Z) (р 3 q) является всегда истинным, т. е.
при условии "истинности pCq истинна материальная
импликация pZD q. Поэтому мы и сочли целесообразным разобрать
этот случай отдельно. Но мы выяснили в отношении
pCq = p*(q пока лишь то, что у не может быть одной
операцией математической логики. Результаты нашего
рассмотрения не исключают, однако, что может существовать
некоторая последовательность операций, которая даст такое
молекулярное высказывание, что pyq = pCq будет всегда
истинным.
Обнаруженная нами синтетичность (как этот термин
понимается в символической логике — в смысле отсутствия
всегда истинности или всегда ложности) pCq = pZ) q вполне
147

совпадает с тем, что может иметь место в отношении двух
каких-либо молекулярных высказываний математической
логики, например pZ)q и pq, и ничего специфического для
высказывания pCq мы пока не видим. Так же как и в
случае pCq и pZ)q> эквивалентность pZ) q^pq не является
всегда истинной. Так же как и в случае pCq и pZ)q,
pqZ)(bZ)q) будет всегда истинным, но (pZ)q)Z)pq не будет
всегда истинным. Для того чтобы выяснить, почему
происходит расхождение между p^D q и pq, при каких
комбинациях значений истинности р и q значения истинности этих
молекулярных высказываний не совпадают, мы можем
построить таблицу истинности. То же самое мы можем сделать,
если мы обнаруживаем синтетичность любой эквивалентности,
где в качестве атомарных высказываний выступают какие-
либо формулы исчисления высказываний.
Таблица истинности для исчисления высказываний
является формой выражения правил истинности семантической
системы [2], дающей интерпретацию исчислению
высказываний как формально-дедуктивной теории. Поэтому, когда
в таблице мы выписываем в два вертикальных столбца
значения истинности каких-либо молекулярных высказываний
и обнаруживаем одинаковость или неодинаковость их
значения истинности при данной комбинации значений
истинности атомарных высказываний, мы фактически
сопоставляем правила истинности двух предложений семантической
системы.
Если мы хотим сопоставить правила истинности pZD q
с правилами истинности любого другого молекулярного
высказывания математической логики, то достаточно выписать
эти правила истинности, и если они совпадут с правилами
истинности pZ)q, то это высказывание окажется
эквивалентным pZ)q- Так, высказывание р V q окажется эквивалентным
pZ)q, а рд не будет ему эквивалентным.
Однако, если мы попытаемся сопоставить правила
истинности pZDq и pCq, то нам не удастся этого сделать, ибо
pCq не имеет правил истинности в том смысле, в каком их
имеет pZD q. Если мы будем сопоставлять правила истинности
в табличной записи, то это проявится в неопределенности
значений истинности pCq при всех комбинациях значений
истинности атомарных высказываний, кроме той, когда р
истинно, a q ложно (случай фальсификации pCq).
Таким образом, синтетичность эквивалентности pCq =
= pZDq отличается от синтетичности эквивалентности двух
каких-либо выражений исчисления высказываний, скажем,
pZ) q = pq. Во втором случае эквивалентность синтетична,
поскольку правила истинности двух выражений не совпа-
148

дают. В первом случае эквивалентность синтетична, поскольку
одно из выражений вообще не имеет зафиксированных
правил истинности, и, следовательно, сопоставление невозможно.
Естественно встает вопрос, является ли это различие
принципиальным или нет, т. е. объясняется ли оно тем, что
мы просто не установили правил истинности для pCq в
семантической системе для исчисления высказываний
математической логики, или тем, что таких правил истинности для
pCq построить нельзя. Иными словами, особенность в
синтетичности pCq = pZ)q по сравнению с синтетичностью
ру,<7 = ру2(7 (где fi и Та— любые логические константы)
заключается в том, что pCq и pZD q не принадлежат к одной
семантической системе. Вопрос состоит в том, имеется ли
принципиальная возможность включения pCq в
семантическую систему, интерпретирующую исчисление высказываний
математической логики, или такой возможности нет. Этот
вопрос является иной формулировкой вопроса о
принципиальной выразимости каузальных импликаций средствами
исчисления высказываний математической логики. Если
высказывание можно включить в семантическую систему,
интерпретирующую исчисление высказываний математической
логики, то оно может быть представлено как молекулярное
высказывание математической логики и, таким образом, его
логической формой может служить молекулярное
высказывание классического исчисления высказываний. Если его
невозможно включить в эту семантическую систему, то оно не
может быть так представлено. То обстоятельство, что
включение или невключение предложения в семантическую
систему определяется возможностью построения для него
правил истинности по типу, принятому в этой системе, не
вызывает никаких сомнений.
Теперь наша задача стоит так: 1) определить структуру
правил истинности семантической системы,
интерпретирующей исчисление высказываний и все логически возможные
модификации этой структуры, т. е. учесть все логически
возможные формы правил истинности, построенных по типу
правил истинности для исчисления высказываний; 2)
определить, могут ли эти формы удовлетворять вышеприведенному
требованию для каузальных импликаций (если pCq построено
по правилам истинности в какой-либо из этих форм как
истинное, то для любого возможного ж, если истинно А (х),
должно быть истинно В(х)).
Любое правило истинности в семантической системе
исчисления высказываний может быть представлено в виде
Ф = Т, где Ф высказывание метаязыка, утверждающее, что
определенное высказывание истинно, аТ — метаязыковое вы-
149

оказывание, представляющее собой знание о той или иной
комбинаций или ряде комбинаций значений истинности
атомарных высказываний (= здесь используется как метаязы-
ковый символ). Очевидно, что Т может: 1) выражать
значение об одной только комбинации значений истинности
атомарных высказываний, 2) выражать знание о ряде
комбинаций значений истинности атомарных высказываний. В этом
случае, в свою очередь, имеются две возможности: а) знание
заключается в том, что имеется ряд комбинаций наряду
друг с другом; б) знание заключается в том, что может
иметь место какая-либо комбинация из ряда комбинаций.
Символически это можно выразить:
1) Ф = Т, 2) Ф = (Т1ТТ2, ..., ТТ4)
(у может быть знаком дизъюнкции или конъюнкции; число
членов может быть любое до четырех)
а) Феее^&Т^, ..., &Т4),
б) Ф = (т,ут2у, ••- W-
Посмотрим теперь, могут ли правила истинности,
имеющие вышеуказанную структуру, удовлетворять требованию
«если pCq истинно, то если р, то q»:
1) 0 = !^ может быть одним из следующих высказываний:
а) имеет место ситуация (существует р и существует q),
что равносильно комбинации значений истинности (р+ и q+,
для краткости просто р+ и q+\ б) имеет место р+ и q~\ в) имеет
место р~ и q~; г) имеет место р~ и q+.
Могут ли такие правила истинности быть правилами
истинности для pCq? На р и q не налагается никаких
ограничений содержательного порядка, поэтому мы можем
подобрать такие примеры для всех этих вариантов, когда «если ру
то q» не будет истинным. Если это так, то Ф=еТ2 не может
служить правилом истинности для pCq.
2) Ф^ТХ V Т2, . . ., Х/Т4- Этот случай сводится к первому,
и поэтому высказывания такой структуры также не
подходят как правила истинности pCq.
3) Ф = Т\&Т2, ..., &т4.
Это может быть: а) [(р+ и q+) имеет место] & [(р и q+)
имеет место]; б) [(р+ и д+) имеет место] &[(/Г и q~) имеет
место]; в) [(р~ и q+) имеет место] &[(/?" и q~) имеет место];
г) [(р+ и q+) имеет место] & [р~~ и q~) имеет место] & [(/?"
и q+) имеет место].
Высказывание Т4=[(/?+ и q") имеет место] не может быть
включено в эти конъюнкции, так как высказывание pCq,
2 Знаки & и V здесь связывают предложения метаязыка.
150

построенное на этой комбинации, может быть только ложным
(по сути дела [(р+ н q~ имеет место)] — это правило ложности
для pCq).
Опять без труда мы можем показать, что для каждого
из указанных вариантов можно подобрать эмпирические
примеры, когда высказывания такой структуры будут истинными,
тем не менее, если их взять как правило истинности для
pCq, то положение «если р, то q» будет ложным. Возьмем,
например, случай «г». Под р и q понимаем высказывания:
«человек—высокий», «он одет в темный костюм»; ситуации
(p+q+), {p~q~)i (Р'Я+) будут иметь место. Тем не менее
положение «если человек — высокий, то он одет в темный костюм»
не будет истинным.
Мы видим, таким образом, что ни одно высказывание,
имеющее вышеуказанную структуру, не может служить
правилом истинности.
С другой стороны, любое правило истинности
семантической системы для исчисления высказываний должно иметь
структуру такого типа. Поэтому правила истинности
семантической системы исчисления высказываний не могут быть
правилами истинности для каузальных импликаций. Итак,
мы имеем право сказать, что каузальные высказывания не
могут быть представлены в виде молекулярных высказываний
исчисления высказываний.
Правила истинности для молекулярных высказываний не
могут служить правилами истинности для каузальной
импликации, потому что каузальная импликация строится
принципиально отличным от молекулярных высказываний способом.
Молекулярные высказывания служат сокращениями для
определенных комбинаций значений истинности высказываний
компонентов или для некоторых совместностей этих
комбинаций. Например, дизъюнкция р\/ q означает, что истинна
какая-либо из комбинаций «р и д», «р и д», «р и q» или
совместность этих комбинаций. Поэтому молекулярное
высказывание и является функцией истинности атомарных.
Высказывание же pCq не может быть сведено к таковым
комбинациям или совместиостям комбинаций.
В связи с этим мы коснемся некоторых положений теории
помологических высказываний Рейхенбаха. Рейхеыбах вводит
понятие адъюпктивной и коннективной интерпретаций таблицы
истинности. При адъюнктивиой интерпретации мы можем
идти как от значений истинности атомарных высказываний
к значениям истинности молекулярных высказываний, так и
наоборот. При коннективной интерпретации мы можем идти
только от значения истинности молекулярного высказывания
к значениям истинности образующих его атомарных высказы-
151

ваний. Нетрудно убедиться, что адъюнктивная интерпретация
таблиц — это выражение правил истинности, имеющих
структуру, которая указывалась нами выше (Ф = Т допускает оба
направления: «если Т, то Ф» и «если Ф, то Т»),
Далее Рейхенбах указывает, что так называемые
осмысленные высказывания, в частности осмысленные импликации, не
могут быть верифицированы при адъюнктивной интерпретации.
Итак, Рейхенбах признает: 1) что осмысленные
синтетические импликации не имеют правил истинности адъюнктив-
ного типа, 2) осмысленные синтетические импликации имеют
только условия своей истинности, что соответствует коннек-
тивной интерпретации таблиц, т. е. движению от значения
истинности молекулярного высказывания к значению
истинности атомарных высказываний. При этом, однако,
необходимо отметить, что условие истинности каузальной
импликации «для любого возможного х, если А (х), то В£х)» не
тождественно коннективной интерпретации таблиц,* так как,
согласно Рейхенбаху, если а^)Ь (ч —значок коннективной
интерпретации) истинно, то или ab истинно, или ab истинно,
или ab истинно. Таким образом, комбинации значения
истинности атомарных высказываний при коннективной
интерпретации импликации вытекают из условия истинности pCq, но
не совпадают с ними.
Коннективная интерпретация не является такой
интерпретацией для исчисления высказываний, при которой все
аксиомы и теоремы исчисления как формально дедуктивной
системы становятся всегда истинными утверждениями в инте-
претированном исчислении.
Поэтому сохраняя адъюнктивную интерпретацию для
исчисления высказываний, Рейхенбах вводит особые требования
для адъюнктивных высказываний, лишь при соблюдении
которых адъюнктивные высказывания могут интерпретироваться
как коннективные. Эти высказывания называются номологи-
ческими. Смысл этой процедуры состоит в том, что
упомянутые требования, сохраняя адъюнктивную интерпретацию*
сужают круг высказываний, к которым может применяться
исчисление высказываний до такого предела, что в этом
круге остаются только осмысленные высказывания.
Для нас важно отметить, что требования к номологиче-
ским высказываниям включают как знание о некоторой
совместности комбинаций значений пстинности, так и моменты,
не сводимые к значению о комбинациях значений истинности
и их совместностях. Так, требования, предъявляемые к
первичным номологическим высказываниям, включают среди
других два требования: 1) высказывание должно быть
универсальным, 2) должны быть истинными высказывания
152

a) (Ех) л (х) -В(х); б) (Ех) А(х). В (х) в) (Ех) А (х) . В (х).
Первое требование, которое совпадает с требованием,
сформулированным нами в отличительном признаке, очевидно
не сводится к комбинаторике значений истинности
высказываний-компонентов. Второе требование, наоборот,
формулирует условия комбинаторики значений истинности.
Таким образом, идя по пути выработки [требованию,
предъявляемых] к синтетическим осмысленным импликациям,
Рейхенбах, во-первых, признает принципиальную
невыразимость высказываний этого типа в адъюнктивно
интерпретируемом исчислении высказываний, а при коннективной
интерпретации не все аксиомы и теоремы становятся всегда
истинными утверждениями; во-вторых, он вводит в свои
требования для номологических высказываний моменты,
принципиально не сводимые к знанию о комбинациях
значений истинности (универсальность). Тем самым Рейхенбах
выходит за пределы специфически математической логики.
С другой стороны, требования, не связанные со значениями
истинности, служат у него лишь подсобным средством для
решения основной задачи — квалифицировать каким-то
образом исчисление высказываний для выражения осмысленных
высказываний. В этом смысле теория номологических
высказываний Рейхенбаха остается в пределах математической
логики.
Невозможность адэкватного представления каузальных
импликаций в адъюнктивно интерпретируемом исчислении
высказываний еще раз свидетельствует о необходимости
разработки специальной логической теории, изучающей
высказывания о связях (см. статью А. А. Зиновьева «Логическое
строение знания о связях», помещенную в настоящем
сборнике), поскольку высказывания о связях могут быть
интерпретированы в форме (х) (Если А (х), то В(х)), если
рассматривать предмет х как общий признак двух предметов А и В,
а А и В как предметы, которым принадлежит этот признак.
Таким образом, невозможность представить синтетические
высказывания типа (х) (Если А (х), то В (х)) в форме
молекулярного высказывания, являющегося функцией истинности
атомарных, косвенно свидетельствует о невозможности
построения в экстенсиональном исчислении высказываний
молекулярного высказывания, эквивалентного /с-высказыванию,
в частности о том, что для разработки правил верификации
/^-высказываний средства математической логики явно
недостаточны.
3. Каузальная импликация, формальная импликация и
строгая импликация. Выше мы отмечали, что между
материальной импликацией и каузальной ^импликацией имеет место
153

следующее отношение: если истинна каузальная импликации
pCq, то истинна и соответствующая ей материальная
импликация pZDq\ обратное неверно. Иными словами, всякую
каузальную импликацию можно заменить соответствующей ей
материальной импликацией, обратное же можно сделать не
всегда. Такое же соотношение существует между
материальной импликацией и формальной и строгой импликациями.
Рассмотрим теперь соотношение между каузальной
импликацией, с одной стороны, и формальной и строгой
импликациями, с другой.
Расселл называет высказывания формы «Фх всегда
имплицирует Wx» формальными импликациями [16]. С этим
определением согласуются два случая. Во-первых, класс
предметов мыслимых в высказывании, может быть закрытым
классом, т. е. все члены этого класса могут быть пересчитаны.
Например, «для всех х, х — книга, лежащая на этом столе D
х — книга, написанная на русском языке». Такую
формальную импликацию (X) (Р (х) ZD Q (х)) можно рассматривать как
конъюнкцию ряда материальных импликаций [Р (хг) ZD Q (х^] &
& [Р (х2) ZD Q (х2)] . . . & [Р (х„) ZD Q {хп)]. Эта формальная
импликация будет истинна, если будут истинны все
индивидуальные импликации. Верификация этой формальной
импликации достигается наблюдением всех индивидуальных случаев
Хц Х2, . . . Хп.
Во-вторых, класс предметов, мыслимых в высказывании,
может быть открытым классом. Например, «для всех х11
х — живое существо ZD х — имеет белковый обмен веществ».
Эти формальные импликации не могут быть представлены
как коъюнкция индивидуальных случаев, потому что число
этих индивидуальных случаев не поддается учету,
следовательно, верификация таких высказываний не может быть до*-
стигнута наблюдением индивидуальных случаев.
Очевидно, что две эти группы формальных импликаций
по-разному относятся к каузальной импликации. -Выше мы
указывали, что всякая каузальная импликация есть
высказывание типа (х) (Если ^4 (х), то В (х). Безусловно, что
существуют формальные импликации первого типа, которые
не могут рассматриваться как (х) (Если А (х), то В (х)),
так как они не являются универсальными высказываниями.
Однако, как было отмечено выше, высказывание о предметах,
количество которых может быть учтено, не обязательно есть
универсальное высказывание.
Универсальные высказывания могут быть получены и
тогда, когда количество предметов в принципе учитывается,
и тогда, когда нет возможности такого учета. Различие лишь
в том, что во втором случае можно построить только уни-
154

версальное высказывание, а в первом случае — и
универсальное высказывание и высказывание относительно
регистрируемого количества.
Неуниверсальные формальные импликации не являются
высказываниями типа (х) (если А (х), то В'{х)) и,
следовательно, не являются каузальными импликациями.
Универсальные формальные импликации являются высказываниями
типа (х) (Если А (х), то В (х)), и отождествление или
неотождествление их с каузальной импликацией зависит от
того, как рассматривать каузальную необходимость — как
понятие, включающее в себя логическую необходимость, или
как наряду стоящее понятие. В связи с этим мы переходим
к рассмотрению отношения строгой и каузальной импликации.
Понятие строгой импликации было определено Льюисом
эксплицитно через отрицание и возможность р ^ q =
= (—Q)(p - ~q) и имплицитно через систему аксиом
строгой импликации [8].
Об этом понятии А. Прайор [И] пишет; «Каково бы ни
было ее отношение к логической выводимости, основное
отношение строгой импликации к материальной импликации
просто. Так же как расселловская «формальная» импликация
(х) (Р (х) ZD Q (%)) означает «всегда случается, что Р (х)
материально имплицирует Q(x)» так и строгая импликация
Льюиса эквивалентна (хотя и не совсем определяется так)
необходимой материальной импликации р —^q — «Необходимо,
чтобы р материально имплицировало q» 3.
Но вопрос состоит в том, что следует понимать под
необходимостью логической связи, какие логические признаки
скрываются за этим термином? Поскольку модальность
вводится как первичное понятие (у Льюиса необходимость
определяется через отрицание и возможность, т. е. опять-таки
через модальность), то мы можем выявить эти логические
признаки только через исчисление (имплицитное определение
строгой импликации через систему аксиом), чем, в частности,
не решается вопрос о верификации этих высказываний.
Кроме того, неясно, к каким эмпирически данным
высказываниям должно применяться это понятие. Гейтинг [6] говорит
об этом: «Для Льюиса возможность есть первичное понятие,
а необходимость сводится к нему посредством отрицания.
Тем не менее, чтобы применить логику, надо знать, что
означают слова «необходимость» и «возможность»».
Для того чтобы сделать ясным смысл термина
«необходимость логической связи», надо дать интерпретацию исчисле-
3 Запись формулы в символике Лукашевича мы заменили обычной
символикой.
155

ния, в котором это понятие употребляется. Такая
интерпретация дается для строгой импликации в работах Карнапа
[2, 4], который интерпретирует строгую импликацию как
логически истинную импликацию.
«Два предложения N (А)» и «А — Л—истинно в S2»
соответствуют одно другому просто в том смысле, что если одно
из них истинно, то другое также должно быть истинно.
Это соответствие не может быть использовано как определение
для N, потому что второе предложение принадлежит не
к объект-языку, а к метаязыку. Второе предложение даже
не есть перевод первого в строгом смысле, которого требует
не ^/-эквивалентности, но интенционального изоморфизма.
Если М (т. е. метаязык. — В. Ш.) содержит модальный
термин «необходимость», то N (А) переводится в М
предложением формы «необходимо, что. . .» (где «. . .» есть перевод А);
если М не содержит модальных терминов, то нет строго
перевода для N (А). Но установленное соответствие делает
возможным в любом случае дать интерпретацию для N (А)
в М с помощью понятия ^-истинности, например
установлением правил истинности» [4].
Высказывание является логически истинным, если его
истинность определяется единственно из правил истинности
сематической системы безотносительно к фактическому
содержанию. Так, например, высказывание pfkq°Dr не будет
логически истинным, так как для его верификации требуется
эмпирическое знание о значениях истинности р, q и г.
Высказывание /?& q ID р будет логически истинным, так как его
истинность определяется исключительно по правилам
истинности исчисления высказываний. Для исчисления
высказываний объем понятий всегда-истинности, тавтологичности и
логической истинности совпадает. Поэтому строгую
импликацию можно также называть тавтологической или всегда-
истинной.
Заметим, что не всякая тавтологическая импликация
является осмысленной. Например, как указывает Рейхенбах [14]
вряд ли может рассматриваться как осмысленная тавтология
р • pZD q. В качестве осмысленных тавтологических
импликаций могут рассматриваться аналитические или логически
необходимые высказывания (х) (Если А (х), то В(х)).
Таким образом всякое аналитическое высказывание (х)
(Если А (х), то В (х)) может быть переведено в строгую
импликацию, однако не всякая строгая импликация является
аналитическим высказыванием (х) (Если А (х), то В(х)).
Более того, не всякая аналитическая осмысленная
импликация является высказыванием (х) (Если А (х), то В(х))у
например (х) (Если А (х) и Ь£Х то А (Ь)). Так как каузаль-
156

ная импликация является синтетическим высказыванием, то
ни одна каузальная импликация не может быть переведена
в строгую импликацию.
Коротко разберем отношения понятий логической
необходимости и каузальной необходимости как первичных
модальных понятий, являющихся основой для соответствующих
исчислений. Если исчисление строгой импликации Льюиса
основывается на понятии логической необходимости, то
исчисление каузальной импликации Беркса основывается на
понятии каузальной необходимости [1]. О том, что
выражает различение логической и каузальной необходимости, мы
говорили уже в п. 1. Теперь укажем на еще одно важное
различие между этими понятиями. Логическая необходимость
интерпретируется через логическую истинность, а последняя
может быть представлена как тавтологичность в
экстенсиональном исчислении высказываний. Поэтому система Льюиса,
в которой модальности могут интерпретироваться через
понятия логической (Л) и фактической (Ф) истинности
(необходимость (Np) как «^-истинность, невозможность (N — р) как
Сложность, случайность (—Np • —Np • — р) как Ф-истинность,
возможность (-N—р) как не Л-ложность— в сущности
остается в рамках экстенсионального исчисления, так как
требования, предъявляемые его модальностью к логической
связи, выражаются в понятиях о высказываниях
экстенсиональной логики.
Требования, предъявляемые каузальной модальностью,
невыразимы в понятиях о высказываниях экстенсиональной
логики. Поэтому невозможна и интерпретация каузальной
необходимости в этих понятиях, ибо такая интерпретация
означает задание правил истинности, а мы знаем, что
правила истинности адъюнктивного типа для каузальных
импликаций установить нельзя (это, в свою очередь является
внешней формой, другого, по сравнению с исчислением
высказываний, способа определения значения истинности).
Интерпретация каузальной необходимости осуществляется
в теории номологических высказываний Рейхенбаха. Его
физические модальности — то же самое, что и каузальные
модальности Беркса. Они интерпретируются через понятие
номологических высказываний (т. е. адъюнктивных
высказываний, интерпретируемых как коннективные). Высказывание
является необходимым, если оно номологическое; причем
если оно физически необходимо, то оно синтетическое, а если
оно логически необходимо, — оно аналитическое.
Вводя понятие каузальной необходимости, Беркс, в
отличие от Льюиса, выходит за пределы экстенсиональной логики.
Однако Беркс остается в рамках экстенсионального исчисле-
157

ния высказываний в том смысле, что* знание о логических
свойствах каузальной импликации в его исчислении
достигается только за счет сужения экстенсионального исчисления
высказываний. Новизна только там, где он выясняет
отношение каузальной импликации к высказыванию о
противоречащем факту условий и к строгой импликации.
Однако мы считаем, что при этом Беркс неправильно
принимает принцип pCq ZD р —3 ?» так как само введение
понятия каузальной необходимости имеет смысл постольку,
поскольку оно фиксирует логическую связь синетических
высказываний, в отличие от понятия логической
необходимости, которое фиксирует логическую связь и аналитических
высказываниях.
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Burks. The logic of causal propositions. Mind, V. 60, 1951.
2. R. Garnap. Introduction to semantics. Harward University, 1942.
3. R. Garnap. Logische Syntax der Sprache. Weltkreis verlag, 1928.
4. R. Garnap. Meaning and neccesity. 1947.
5. A. Ghisholm. The contrary-to-fact conditionals. Mind, V. 55,
1946.
6. A. H e у t i n g. La conception intutioniste de la logique. Les etudes
philosophiques, 2, 1956.
7. A. Hofstadter. Causality and neccesity. Journal of philosophy,
46, 1949.
8. C.J. Lewis a. C. Langford. Symbolic logic. N. Y., 1932.
9. Nelson Goodman. The problem of counter factual conditionals.
The Journ. of philosophy, 44, 1947.
10. G. P о p p e r. A note of natural laws and so-called contrary-to-fact
conditionals. Mind, V. 58, 1949.
11. A. Prior. Formal logic. 1954.
12. F. P. Ramsey. The foundations of mathematics. 1931.
13. H. Reichenbach. Elements of symbolic logic. 1948.
14. H. Reichenbach. Nomological operations and admissible
operations. Amsterdam, 1954.
15. H. Reichenbach. Theory of probability. 1948.
16. B. Russell. Introduction to mathematical philosophy. 1930.
17. J. O. Urmson. Philosophical analysis. Oxford, 1956.
18. L. Wittgenstein. Tractatus logico-philocophicus. London, 1922.

ф
С. К. Шаумян
ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПОНЯТИЯ ФОНЕМЫ
1. Постановка вопроса
Для современной символической логики характерно то,
что ее применение не ограничивается, как прежде, одной
лишь математикой, а распространяется все шире и шире
на разные области знания. Символическая логика уже заняла
арочное место в таких науках, как физика, биология,
кибернетика. Символическая логика применяется и в
структурной лингвистике. Значение символической логики для
структурной лингвистики настолько велико, что в настоящее
время структурная лингвистика не может успешно
развиваться без тесного контакта с символической логикой.
В настоящей работе мы применим некоторые идеи
символической логики к анализу понятия фонемы — центрального
понятия фонологии, представляющей собой отдел
структурной лингвистики,' посвященный изучению звуков с точки
зрения их места в структуре языка.
В современной науке о языке звуки изучаются двумя
дисциплинами: фонетикой и фонологией. Фонетика изучает
звуки как чисто физическое явление, фонология же изучает
то, какое место занимают звуки в структуре языка* как
знаки для различения слов.
Разницу между фонетикой и фонологией можно пояснить
на следующем примере. Возьмем звуки к и g. Для фонетики,
поскольку она изучает звуки как чисто физическое явление,
к и g — это всегда разные элементы, в каком бы языке они
ни употреблялись. Для фонологии же к и g могут быть
разными элементами в одних языках, например в русском,
и вариантами одного и того же элемента — в других,
например в голландском языке [1]. Спрашивается, почему с точки
зрения фонологии к и g суть разные элементы в русском языке
и варианты одного и того же элемента в голландском языке?
159

Дело в том, что к и g занимают разное место в структуре
русского и структуре голландского языка: в русском языке к и g,
встречаясь в одинаковых позициях, соотносятся друг с другом
как разные знаки для различения слов (ср. противопоставление
кость—гость), тогда как в голландском языке к и g не
встречаются в одинаковых позициях и поэтому не могут
рассматриваться как разные знаки для различения слов
(в голландском языке к встречается во всех позициях, кроме
как перед звонкими согласными, a g, наоборот, встречается
только перед звонкими согласными). Таким образом, когда
фонология рассматривает звуки к и g как разные элементы
в русском языке и варианты одного и того же элемента
в голландском языке, то она имеет в виду не физическую
природу этих звуков (с физической точки зрения звуки к и g
должны считаться разными элементами во всех случаях),
а то, какое они занимают место в структуре русского языка и в
структуре голландского языка как знаки для различения слов.
Так как специфика звуков определяется их местом
в структуре языка как знаков для различения слов, то
фонология представляет собой главную дисциплину в области
изучения звуков языка, тогда как фонетика служит
вспомогательной дисциплиной по отношению к фонологии.
Итак, сравнение фонетики и фонологии показывает, что
звуки языка могут рассматриваться под двояким углом
зрения: либо как чисто физическое явление, либо как знаки
для различения слов. Отсюда вытекает следующий закон:
звуки языка обладают двояким аспекто м—
физическим и семиотическим, —причем <D6a эти
аспекта не сводимы друг к другу. Мы будем
называть этот закон законом двойственности. Так как из
закона двойственности следует, что звуки языка как знаки
для различения слов принципиально отличаются от звуков
языка как чисто физического явления, то за первыми
закрепился термин «фонема». Когда говорят о понятии фонемы,
то имеют в виду не что иное, как звуки языка,
рассматриваемые в качестве знаков для различения слов.
В настоящее время все фонологи сходятся в том, что
фонемы есть звуки, рассматриваемые в качестве знаков для
различения слов.
Такова лингвистическая сущность понятия фонемы. Но
понятие фонемы можно анализировать также и с логической
точки зрения. С этой точки зрения вопрос стоит так: какова
логическая характеристика понятия фонемы в его отношении
К понятию звука?
В современной фонологической литературе широко
распространен взгляд, что всякая фонема, скажем фонема t
160

в русском языке, относится к определенному классу
элементов, представляющих собой отдельные звуки; так, под
понятие фонемы t в русском языке подходит класс звуков tv t2,
tz, t± и т. д.; иными словами, фонема есть общее, а звук есть
единичное понятие. Вот что, например, пишет Н. С.
Трубецкой: «разные звуки, реализующие одну и ту же фонему,
мы называем вариантами (или фонетическими вариантами)
данной фонемы» [2, стр. 36]. Если взять наш пример с
русской фонемой t, то, по Трубецкому, звуки tlt t2i t3, t±
и т. д. реализуют фонему t и поэтому должны считаться
вариантами этой фонемы. В действительности, логическая
характеристика фонемы и звука как общего и единичного
понятия несостоятельна.
Что фонема и звук не относятся друг к другу как общее
и единичное понятие, это мы докажем ниже. Здесь же уместно
поставить следующий вопрос: можно ли считать важным для
фонолога заниматься логическим анализом понятия фонемы?
В конце концов, разве фонологу так уж необходимо
установить логическую характеристику понятия фонемы? Не
достаточно ли для фонолога ограничиться тем, что он
установил лингвистическую сущность понятия фонемы?
В действительности, логический анализ понятпя фонемы
представляет первостепенную важность для фонолога. Суть
дела в следующем. Как известно, закон двойственности, на
котором мы останавливались выше, представляет собой
краеугольный камень фонологии. Фундаментальным
следствием из закона двойственности является методологическое
правило, требующее применять при анализе фонологических
проблем одни лишь семиотические критерии и полностью
игнорировать физические. В самом деле, если семиотический
аспект звуков языка не сводим к их физическому аспекту,
то мы не в праве ссылаться на физические критерии при
анализе фонологических проблем. Возьмем, например,
фонологическую проблему тождества. Как мы уже показали выше,
вопрос о физической природе к и g не имеет решительно
никакого отношения к вопросу о том, есть ли к и g разные
фонемы или варианты одной и той же фонемы. В своем
физическом аспекте к и g — это всегда разные элементы,
но в семиотическом аспекте к и g могут быть в одних
языках, например, в русском, разными элементами, а в других
языках, например в голландском, одинаковыми элементами;
дело решается не физическими критериями, а исключительно
структурной спецификой каждого конкретного языка.
На законе двойственности и вытекающем из этого закона
методологическом правиле о семиотических критериях
держится вся фонология. Без последовательного соблюдения
161

методологического правила о семиотических критериях не
может быть фонологии как самостоятельной дисциплины.
Но если рассматривать фонему и звук как общее и
единичное понятие, то между этой логической характеристикой
фонемы и звука и методологическим правилом о
семиотических критериях возникает конфликт. Действительно,
поскольку звук сам по себе есть физическое явление, то,
принимая фонему за обозначение определенного класса
звуков, мы тем самым открываем путь для применения в
фонологии физических критериев, что в корне противоречит
методологическому правилу о семиотических критериях.
Преодоление только что указанного конфликта между
логической характеристикой фонемы и звука как общего и
единичного понятия и методологическим правилом о
семиотических элементах имеет жизненно важное значение для
фонологии. Известно, что, опираясь на понимание фонемы
и звука как общего и единичного понятия, такие крупные
лингвисты, как Л. В. Щерба и Д. Джоунз, не соблюдали
методологического правила о семиотических критериях. Но
несоблюдение этого правила ведет к отрицанию фонологии
как самостоятельной дисциплины. Так оно и случилось
с Л. В. Щербой, Д. Джоунзом и их учениками.
Как же можно преодолеть конфликт между логической
характеристикой фонемы и звука как общего и единичного
понятия и методологическим правилом о семиотических
критериях?
Преодолеть этот конфликт можно, на наш взгляд, только
путем анализа понятия фонемы в свете символической логики.
2. Образование понятий и символическая логика.
Для того чтобы применить аппарат символической логики
к анализу понятия фонемы, нужно прежде всего выяснить, как
решается в символической логике проблема образования
понятий. Само собой разумеется, что в рамках нашей статьи
мы не можем рассматривать эту проблему во всем ее объеме
и сколько-нибудь подробно. Речь будет идти только о
некоторых принципиальных сторонах этой проблемы, выяснение
которых необходимо для логического анализа понятия
фонемы [4, 5].
Для нашей цели нужно прежде всего остановиться на
понятии пропозиционной функции1.
1 В нашей литературе по символической логике наряду с термином
«пропозиционная функция» употребляется термин «пропозициональная
функция». Мы предпочитаем термин «пропозиционная функция».
162

Что такое пропозиционная функция?
Возьмем следующие высказывания:
медь — металл,
железо — металл,
алюминий — металл.
Сравнивая эти высказывания, мы видим, что они
различаются между собой только своими первыми частями, т. е.
словами медь, железо и алюминий. Заменим эти слова
знаком х — мы получим во всех случаях одно и то же
выражение: х — металл.
Можно ли считать это выражение высказыванием? Нет,
нельзя. Всякое высказывание можно либо доказать, либо
опровергнуть, но х — металл нельзя ни доказать, ни
опровергнуть. Если мы хотим превратить это выражение в
высказывание, то мы должны заменить знак х, не имеющий
значения, какими-нибудь знаками, имеющими значение,
скажем теми же словами медь, железо, алюминий или же
другими словами.
Выражения, заключающие знаки, не имеющие значения
и превращающиеся в высказывания при замене этих знаков
знаками, имеющими значение, принято называть в
символической логике пропозиционными функциями.
Во всякой пропозиционной функции мы должны
различать предикат и один или несколько аргументов. Так, в
пропозиционной функции х — металл слово металл есть ее
предикат, а знак х — ее аргумент; в пропозиционной функции
«х меньше у» мы находим предикат «меньше» и два аргумента—
знаки х и у; в пропозиционной функции «х расположен между
у и z» содержится предикат «расположен» и три аргумента —
знаки х, у и z.
Препозиционные функции с одним аргументом называются
одноместными пропозиционными функциями, а
препозиционные функции с несколькими аргументами называются
многоместными пропозиционными функциями.
Соответственно различению одноместных и многоместных
пропозициониых функций различаются одноместные и
многоместные предикаты. Предикаты в одноместных
пропозициониых функциях называются одноместными предикатами,
а предикаты в многоместных пропозициониых функциях
называются многоместными предикатами.
Одноместные предикаты называются также свойствами,,
а многоместные предикаты — отношениями.
В рассмотренных выше примерах пропозициониых функций
переменными были только аргументы. Но в пропозициониых
функциях переменными могут быть также и предикаты;
163

в этом случае переменные выражаются обычно знаком /.
Пропозиционные функции, в которых переменными являются
и аргументы и предикаты, принято записывать следующим
образом: в скобках ставятся аргументы — знаки х, у, z и
т. д., — а перед скобками предикат — знак /. Например,
одноместная препозиционная функция записывается:
двуместная пропозиционная функция:
трехместная пропозиционная функция:
Традиционная логика сводит образование понятий к
определению через ближайший род и видовое отличие (definitio
per genus proximum et dil'ferentiam specificam).
С точки зрения символической логики всякое определение
через ближайший род и видовое отличие разлагается на
одноместные пропозиционные функции. Возьмем, например,
следующее определение через ближайший род и видовое
отличие :
«Квадрат есть равносторонний прямоугольник».
На основании этого определения образование общего
понятия квадрата представляется следующим образом. Сравнивая
индивидуальные квадраты, мы удерживаем их общие
свойства— прямоугрльность и равносторонность — и отбрасываем
их индивидуальные свойства — величину сторон. Общим
свойствам индивидуальных квадратов соответствуют две
одноместные пропозиционные функции:
«х есть прямоугольник»,
«х есть равносторонний».
Соединяя обе эти пропозиционные функции, мы получаем
общее понятие квадрата:
«Если х есть прямоугольник и если х есть равносторонний,
то х есть квадрат».
Таким образом, общее понятие квадрата, которому
соответствует пропозиционная функция «х есть квадрат»,
представляет собой результат пересечения двух общих понятий:
общего понятия «прямоугольник», которому соответствует
пропозиционная функция «х есть прямоугольник», и общего
понятия «равносторонний», которому соответствует
пропозиционная функция «х есть равносторонний».
Единичные понятия квадрата относятся к тем
индивидуальным квадратам, названиями которых можно заменить
знак х в пропозиционной функции «х есть квадрат».
144

По поводу анализа образования понятий в традиционной
логике К. Хемпель и И. Оппенгейм пишут так: «Анализ
образования понятий в традиционной логике
ограничивается теорией одноместных препозиционных
функций (или, что то же, теорией одноместных
предикатов). Иначе говоря: традиционная логика есть
логика классификационного образования
понятий» [4, стр. 12—13].
Почему в традиционной логике мы имеем дело с
классификационным образованием понятий? А потому, что теория
классов есть не что иное, как теория одноместных
препозиционных функций в иной формулировке. С каждой
одноместной пропозиционной функцией соотносится определенный
класс индивидуальных предметов, который можно назвать
объемом данной одноместной пропозиционной функции;
например, с одноместной пропозиционной функцией «х есть
стол» соотносится класс индивидуальных предметов,
обладающих свойством «быть столом». Последний принято
обозначать греческой буквой ср. Принадлежность же
индивидуальных предметов к тому или иному классу записывают
так: х в ср. Эта формула означает: любой предмет х является
элементом класса ср, если, и только если, он обладает
свойством соответствующей одноместной пропозиционной
функции f(x).
Итак, традиционная логика анализирует только
классификационное образование понятий.
Что можно сказать о классификационном образовании
понятий?
Классификационное образование понятий применяется
в тех областях знания, где мы имеем дело с
индивидуальными предметами, которые непосредственно даны в нашем
чувственном опыте; например, в ботанике мы имеем дело
с индивидуальными растениями, в зоологии — с
индивидуальными животными; сравнивая свойства индивидуальных
растений или животных, мы строим классификационную
иерархию общих понятий ботаники или зоологии.
Ну, а как быть с такими науками, как, например,
физика? В физике мы встречаемся с такими понятиями, как
электрон или протон. Здесь мы не можем исходить из
соответствующих индивидуальных предметов. В нашем
чувственном опыте не даны индивидуальные электроны, сравнивая
общие свойства которых мы могли бы образовать
классификационным путем общее понятие электрона.
Другой пример. Как известно, Д. И. Менделеев в свое
время предсказал существование галлия, скандия и германия,
которые впоследствии были открыты. Таким образом,
165

Д. И. Менделеев образовал понятие об элементах, которые
не были даны в его непосредственном опыте. Ясно, что
Д. И. Менделеев не мог образовать понятия галлия, скандия
и германия классификационным путем.
На основании только что сказанного становится
очевидным, что, кроме классификационного образования понятий,
должен существовать другой, несравненно более важный
путь образования понятий. И действительно, такой путь
существует, и анализирует этот путь символическая логика.
Традиционная логика ограничивается теорией одноместных
препозиционных функций, т. е. теорией классов, но
символическая логика занимается, кроме теории классов, также
и теорией многоместных препозиционных функций, то есть
теорией отношений. Именно последняя является ключом
к анализу образования понятий в абстрактных науках, в
которых мы имеем дело не с классификационным, а
реляционным путем образования понятий.
Понятие фонемы также принадлежит к тем понятиям,
образование которых может быть понято только с точки
зрения теории отношений современной логики.
3. Фонема как реляционное понятие
Как сказано в п. 1, в современной фонологической
литературе широко распространен взгляд, что звук и фонема
соотносятся друг с другом как единичное и общее понятие. Согласно
этому взгляду, мы имеем в речевом потоке не фонемы, а
индивидуальные звуки, которые служат вариантами фонем.
Например, в слове пол [pol] мы имеем три индивидуальных звука р, о,
/, которые служат вариантами соответствующих фонем р, о, I.
Каждая фонема реализуется в нескольких вариантах,
поскольку в речевом потоке качество каждого звука записит
от взаимодействия данного звука с соседними звуками. Это
можно иллюстрировать следующим примером. Возьмем в
русском языке слова газ [gas], год [got], густ [gust] и
сосредоточим внимание на первом звуке в каждом из этих слов.
В этих словах мы имеем три индивидуальных звука g,
которые отличаются друг от друга своим произношением:
звук g перед звуком и имеет велярную окраску, у звука g
перед звуком о велярная окраска менее выражена, а у звука g
перед звуком а велярная окраска минимальна. Желая указать
на разницу в произношении данных индивидуальных звуков,
мы должны были бы обозначить каждый из них особым
знаком: например, звук g перед звуком и— знаком g,, звук g
перед звуком о — знаком g2, звук g перед звуком а — знаком g3.
В других словах, например в словах гнуть, грабли, главный,
166

мы могли бы обнаружить новые индивидуальные звуки g,
имеющие свои особенности произношения. Многие из этих
особенностей не всегда заметны на слух даже специалистам
по фонетике, но современная инструментальная фонетика
позволяет исследователю с помощью особых приборов
обнаружить значительное число индивидуальных звуков g в
зависимости от положения этих звуков в речевом потоке. Итак,
в русском языке в речевом потоке употребляются
индивидуальные звуки gl1 g2, g3> #4> Ss и т* Д- Согласно
распространенному нгляду, эти индивидуальные звуки представляют
собой реализацию фонемы g: понятие о каждом из
индивидуальных звуков g и понятие фонемы g относятся друг
к другу как единичное и общее понятие.
Таков распрострненный взгляд на логическое соотношение
понятий звука и фонемы. Мы видим, что согласно этому
взгляду образование понятия фонемы происходит в рамках
классификационного образования понятий. Исходной базой
для образования понятия фонемы принимаются
индивидуальные звуки; иначе говоря — понятие фонемы рассматривается
как понятие, выводимое из индивидуальных звуков.
Возникает вопрос: может ли считаться правильным
взгляд, что понятие фонемы выводимо из индивидуальных
звуков и, таким образом, фонема и звук относятся друг
к другу как общее и единичное понятие?
Для ответа на этот вопрос обратимся к конкретным
фактам.
Возьмем испанское слово chino — «китайский», которое
произносится так: [tsino]. Рассмотрим в этом слове отрезок ts.
В нем два звука: t + s. Можно ли считать эти два звука
индивидуальными реализациями двух фонем: фонемы /
и фонемы s? Нет, нельзя. Суть дела в следующем. Согласно
фонологическому принципу коммутации, два соседниг звука
в том или ином слове могут считаться индивидуальными
реализациями двух разных фонем только в том случае, если
вместо каждого из этих звуков можно подставлять другие
звуки и, таким образом, получать новые слова. Но звуки t
и s в рассматриваемом отрезке ts не удовлетворяют этому
условию. Если звук s заменить звуком г, то получится
слово [trino\\ «тройной» что же касается звука t, то его нельзя
пи заменить каким-нибудь иным звуком, ни устранить вовсе:
слова типа [ksino], [psino], [sino] невозможны в испанском
языке, потому что звук s вне сочетания со звуком t в нем
не встречается. Отсюда следует, что в испанском языке звуки ts
не являются индивидуальными реализациями двух фонем t и s,
а должны рассматриваться как реализация одной цельной
фонемы с.
167

Рассмотрим теперь отрезок ts в немецком слове Matsch[mats]
«месиво». Здесь дело обстоит иначе. В этом отрезке звуки t и s
могут заменяться иными звуками независимо друг от друга.
Например, если звук t заменить звуком г, то вместо слова
Matsch получим Marsch [mars] — «марш». Если же звук ё'
заменить звуком е, то будем иметь Matte [mate] «циновка».
Отсюда следует, что в немецком языке звуки t и s в отрезке ts
должны считаться реализацией двух фонем — t и s.
Значит, можно сделать следующий вывод: отрезок ts может
рассматриваться в одном языке как реализация одной цельной
фонемы, а в других языках как реализация двух разных
фонем. Аналогичные случаи могут иметь место и в отношении
сочетаний других звуков.
Ясно, что понятие фонемы не выводимо из
индивидуальных звуков. Если бы понятие фонемы было выводимо из
индивидуальных звуков, то, сравнивая, например,
индивидуальные звуки ё в испанском языке — скажем §г в слове
chispa [tsispa] «искра», s2 в слове chape [tsape] «коса»,
53 в слове chota [tsota] «телка» и т. д.,—мы должны были бы
вывести из этих индивидуальных звуков фонему s. Однако,
как только что показано, в испанском языке фонема s
отсутствует, несмотря на то, что в этом языке существуют инди-
видульные звуки s. Сравнивая индивидуальные звуки s
в испанском языке, мы можем образовать общее понятие
звука s в испанском языке; но это будет общее понятие
именно звука § в испанском языке, которое ничего общего
с фонемой не имеет.
Итак, понятие фонемы не выводимо из индивидуальных
звуков. Как же возникает понятие фонемы? Понятие фонемы
возникает в силу того, что в речевом потоке индивидуальные
звуки вступают в определенные отношения друг с другом.
Вернемся к сочетанию ts в испанском языке и сочетанию ts —
в немецком. С физической точки зрения оба эти сочетания
являются сходными, но в испанском языке ts есть реализация
одной цельной фонемы с, а в немецком языке ts есть
реализация двух разных фонем — t и s. Почему? Потому что все
зависит от того, в какие отношения друг с другом вступают
индивидуальные звуки в речевом потоке: в испанском языке
звук s употребляется только в сочетании со звуком t, тогда
как в немецком языке звук s самостоятелен. Таким образом,
понятия звука и фонемы относятся друг к другу не как
единичное и общее понятие, а как эмпирическое и
реляционное понятие (термин «эмпирическое понятие» мы
употребляем в смысле понятия, которое соответствует объекту,
который дан в нашем непосредственном, чувственном опыте).
Рассматривая сочетание ts в немецком и испанском языках.
168

мы видим, что в нашем непосредственном, чувственном опыте
даны только определенные звуки. Анализ физических свойств
этих звуков никак не может привести к фонемам. Для того
чтобы обнаружить фонемы, мы должны выяснить, в каком
отношении друг с другом находятся звуки t и s, но это
отношение никоим образом не вытекает из физических свойств
этих звуков: тот факт, что звук § самостоятелен в немецком
языке и употребляется только в сочетании со звуком t
в испанском языке, не находится ни в какой связи
ни с физическими свойствами звука s, ни с физическими
свойствами звука t. Фонемы не даны в нашем
непосредственном, чувственном опыте, они обнаруживаются только
путем анализа отношений между звуками.
Если звук и фонема относятся друг к другу как
эмпирическое и реляционное понятие, то в речевом потоке мы должны
находить не только индивидуальные звуки, но и
индивидуальные фонемы. Если рассматривать речевой поток с точки
зрения фонетики, т. е. под физическим углом зрения, то мы
находим в речевом потоке индивидуальные звуки, которые
даны в нашем непосредственном чувственном опыте; если же
рассматривать речевой поток с точки зрения фонологии,
т. е. с точки зрения того, в какие отношения звуки вступают
друг с другом как знаки для различения слов, то мы
находим в речевом потоке индивидуальные фонемы.
Индивидуальные звуки и индивидуальные фонемы располагаются
в речевом потоке как бы двумя слоями: первый слой
составляют индивидуальные звуки, а второй слой —
индивидуальные фонемы. Первый мы будем называть фонетическим
слоем речевого потока, а второй — фонологическим слоем
речевого потока.
Перейдем теперь к анализу соотношения понятия звука
и фонемы с точки зрения символической логики. Для этого
вернемся к словам газ [gas], год [got], густ [gust]. Если эти
слова анализировались в плане фонетического слоя речевого
потока, то мы находим в качестве начальных элементов этих
слов индивидуальные звуки gx, g2, g3? если же подойти
к этпм словам в плане фонологического слоя речевого потока,,
то в качестве начальных элементов этих слов мы находим
индивидуальные фонемы, которые обозначим gv gu, glu.
Разумеется, что если кроме данных слов мы возьмем другие
слова, то к только что указанным индивидуальным звукам
и фонемам прибавятся другие индивидуальные звуки и фонемы:
gv g5, gQ и т. д. — с одной стороны, и gIV, gY, gVI —с другой.
Если в русском языке существуют индивидуальные звуки
£i> #2» £з> &> &>> £б и т- Д-> т0 ясно» чт0 эти индивидуальные
169

звуки составляют класс, который подходит под общее понятие
звука g в русском языке. Точно так же, если в русском
языке существуют индивидуальные фонемы gb gIb gnb g№
gVl gVI и т. д., то, значит, эти индивидуальные фонемы
составляют класс, который подходит под общоо понятие
фонемы g в русском языке.
Как образуется общее понятие звука g в русском языке?
Индивидуальные звуки g1? g2, g3, g4, g5, g6 и т. д.,
отличаясь друг от друга своим произношением, обладают вместе
с тем и общими свойствами; сравнивая эти звуки друг
с другом, можно выделить у них следующие общие свойства —
заднеязычность, смычность и звонкость. На основании
выделения этих свойств мы образуем общее понятие звука g,
под которое подводим индивидуальные звуки g.
Мы рассмотрели образование общего понятия звука g,
но таким же путем образуются общие понятия остальных
звуков. Во всех случаях мы имеем в речевом потоке
множество индивидуальных звуков, которые отличаются друг от
друга своим произношением. Сравнивая индивидуальные
звуки друг с другом, мы выделяем их общие свойства и,
образуя таким образом общее понятие того или иного звука,
скажем общее понятие звука t, подводим под это общее
понятие соответствующие индивидуальные звуки, скажем
индивидуальные звуки tx, t2, t3, £4, t5, t%.
Спрашивается: как следует характеризовать с точки зрения
символической логики только что рассмотренный процесс
образования общих понятий звуков языка?
Вернемся к нашему конкретному примеру — к образованию
общего понятия звука g. Если обозначить общие свойства
индивидуальных звуков g следующими знаками:
заднеязычность— знаком Н, смычность — знаком С, звонкость —
знаком V, то мы можем представить содержание общего понятия
звука g в виде сложной одноместной пропозициоппой
функции:
g(x) = H(x).C(x). V (х).
Эту формулу следут читать так: х есть звук g, если, и
только если, х обладает свойствами заднеязычности, смыч-
ности и звонкости.
Аналогично можно получить формулы общих понятий
других звуков. Во всех случаях мы будем иметь дело со
сложными одноместными, пропозиционными функциями.
Мы видим, что образование общих понятий звуков не
выходит за рамки классификационного образования понятий.
Для образования общих понятий звуков классификационный
способ вполне естественен: в нашем непосредственном опыте
170

даны индивидуальные звуки, обладающие определенными
физическими свойствами, и нам остается только выделить
общие физические свойства звуков.
Перейдем теперь к образованию общего понятия фонемы
g в русском языке. За исходную базу образования
общего понятия фонемы нужно взять индивидуальные фонемы
#ь 8п, ёГш, ?rvi §v> Svi и т. д.
Как сказано выше, индивидуальные фонемы не даны
в нашем непосредственном, чувственном опыте, а в нем даны
одни лишь индивидуальные звуки; что же касается
индивидуальных фонем, то они составляют глубинный слой
речевого потока, не выводимый из физической природы
индивидуальных звуков и обнаруживаемый только путем анализа
отношений между индивидуальными звуками. Отсюда следует,
что индивидуальные фонемы gb gIb gm, gIY, gVo gVI и т. д.
также не даны в нашем непосредственном, чувственном опыте,
и поэтому наша первая задача заключается в том, чтобы
открыть эти индивидуальные фонемы.
Как можно открыть индивидуальные фонемы gb gn gm
?rvi 3vi SYi и t- Д-? b речевом потоке мы находим glt g2, g3
и другие индивидуальные звуки g. Чтобы открыть
индивидуальные фонемы g, мы должны выяснить, в какие
отношения с другими индивидуальными звуками вступают
индивидуальные звуки g.
Сосредоточим внимание прежде всего на gx (этим знаком
мы условились обозначать индивидуальный звук g в позиции
перед и). Чтобы открыть индивидуальную фонему gb
достаточно выяснить, в какие отношения вступает индивидуальный
звук gj с индивидуальными звуками кг, bv dx в позиции
перед и.
Анализируя отношения между индивидуальным звуком g
и индивидуальными звуками кг, bv d11 мы открываем
индивидуальную фонему gr От индивидуального звука g1
индивидуальная фонема gr принципиально отличается тем, что она
характеризуется определенными дифференциальными
признаками 2: 1) задпеязычностыо (ср. отношение g1 — d1 и g1 — 6,);
2) звонкостью (ср. отношение g1 — к}).
В фонологии термины, обозначающие дифференциальные
признаки, совпадают с фонетическими терминами,
обозначающими акустические свойства звуков: например, термины
«заднеязычность», «переднеязычность», «звонкость», «глу-
2 В фонологии дифференциальными признаками называются те
элементы фонем, благодаря которым фонемы не смешиваются друг
с другом, функционируя в качестве знаков для различения слов.
171

хость», «назальность» и т. д. в фонологии служат названиями
дифференциальных признаков, а в фонетике — названиями
акустических свойств звуков. Но терминологическое
тождество не должно вводить нас в заблуждение: в отличие от
акустических свойств звуков дифференциальные признаки
выражают определенные отношения между фонемами. Чтобы
наглядно иллюстрировать разницу между акустическими
свойствами звуков и дифференциальными признаками фонем,
сравним следующие высказывания:
«Звук g1 — звонкий»,
«Фонема gl — звонкая».
Тождественная языковая форма, в которую облечены эти
высказывания, скрывает от нас то обстоятельство, что
логический предикат «быть звонким» в первом высказывании
имеет значение свойства, а во втором — значение отношения.
Понятие пропозиционнои функции позволяет устранить
двусмысленность: первое высказывание мы соотносим с
одноместной пропозиционнои функцпей: «х есть звонкий», а второе
высказывание — с двуместной пропозиционнои функцией:
«х находится е отношении звонкости к у». Так'как
дифференциальные признаки выражают отношения между
фонемами, то становится понятным, почему смычность не есть
дифференциальный признак фонемы gv хотя с физической
точки зрения фонема g"x — смычная: дело в том, что в
русском языке отсутствует щелевая фонема ур и, стало быть,
отсутствует отношение g{— ур в силу которого смычность
у фонемы gl могла бы служить дифференциальным
признаком этой фонемы.
Для дифференциальных признаков можно установить
общие формулы таким образом, что каждому
дифференциальному признаку будет соответствовать определенная
двуместная пропозиционная функция. В качестве примера
приведем общие формулы для заднеязычности и звонкости как
дифференциальных признаков. Если мы обозначим задне-
язычность знаком НГ1 звонкость — знаком Vr, то будем иметь
следующие общие формулы:
для заднеязычности как дифференциального признака:
Нг{х, у),
для звонкости как дифференциального признака:
Vr{x, у).
Сравним теперь с этими формулами общие формулы для
. заднеязычности и смычности как акустических свойств,
172

представляющие собой одноместные препозиционные
функции:
заднеязычность как акустическое свойство:
Н(х),
звонкость как акустическое свойство:
V(x).
Сравнивая наши формулы, мы ясно видим
принципиальное различие между акустическими свойствами и
дифференциальными признаками, которые обозначаются одинаковыми
терминами в фонологии и фонетике.
Вернемся к индивидуальной фонеме gr Итак, мы
установили, что индивидуальная фонема gl характеризуется
двумя дифференциальными признаками: заднеязычностью и
смычностыо. Благодаря этим дифференциальным признакам
индивидуальная фонема gx принципиально отличается от
индивидуального звука gl. С фонологической точки зрения
индивидуальный звук gx представляет собой не что иное,
как субстрат дифференциальных признаков заднеязычности
и звонкости. Но для определения индивидуальной фонемы
g1 недостаточно указать, что она характеризуется
дифференциальными признаками заднеязычности и смычности.
Ведь если мы будем аналогичным образом открывать
фонемы gIV gm, и т. д., то они также будут характеризоваться
этими же дифференциальными признаками. Например, если,
как мы условились выше, обозначить знаком g2
индивидуальный звук, встречающийся в позиции перед о, то
анализируя в этой позиции отношение индивидуального звука
g2 к индивидуальным звукам d2, b2, к21 мы установим, что
индивидуальная фонема gu также характеризуется
дифференциальными признаками заднеязычности и смычности. Для
того чтобы отличить друг от друга индивидуальные фонемы
?i» Sir Sin и т* Д*' мы Должны воспользоваться понятием
равновидности. Определяя понятие равновидности, А. Тар-
ский пишет: «Условимся называть два знака или два
выражения, состоящие из нескольких знаков, равновид-
ными, если они не отличаются друг от друга в отношении
своего начертания, но могут отличаться в отношении своего
положения в пространстве, т. е. в отношении места, на
котором они начертаны; в противном случае будем называть
их н е р а вно видными» [6, стр. 157]. Применяя понятие
равновидности в фонологии, мы находим, что
индивидуальные фонемы gx, gn, gnI представляют собой равновидные
семиотические элементы, которые, характеризуясь одинако-
173

выми дифференциальными признаками, отличаются друг от
друга разными позициями в речевом потоке. Таким образом,
позиции индивидуальных фонем gv gn, gm тоже должны
рассматриваться как реляционные характеристики этих
фонем. Эти характеристики мы обозначим Рх, Р21 Р3. Отсюда
мы можем установить формулы индивидуальных фонем g
P- = # . V • P
£lll=^*2 ' *2 ' "з*
Открыв индивидуальные* фонемы g, мы должны перейти
к общему понятию фонемы g. Этот переход происходит
следующим образом. Сравнивая gv gn, gul и другие
индивидуальные фонемы g, мы устанавливаем, что они суть
эквивалентные элементы в составе равномощных множеств
индивидуальных фонем, т. е. gu относится к dlv blv к1Г
как gl относится к dr bv кг; gUI относится к duv Ьш, kuv
как gn относится к rfn, bIV кп и т. д.
Представляя собой эквивалентные элементы в составе
равномощных множеств индивидуальных фонем, gv glv glu
и другие индивидуальные фонемы g содержат один и тот
же реляционный элемент — пересечение дифференциальных
признаков заднеязычности и звонкости, — различаются же
они между собой своими позициями в речевом потоке Р19 Р2*
Pz и т. д. Таким образом, gv glv gm и другие
индивидуальные фонемы g образуют класс индивидуальных фонем g.
Рассматривая gv glv gul и другие индивидуальные
фонемы g, мы видим, что физические различия между их
субстратами не являются резкими. В связи с этим необходимо
подчеркнуть, что если бы эти различия были даже и
резкими, это не оказало бы никакого влияния на
принадлежность данных индивидуальных фонем к одному и тому же
классу: все дело решается тождеством дифференциальных
признаков, физический же субстрат фонем не имеет никакого
значения для определения тождества индивидуальных фонем.
Это положение можно иллюстрировать на следующем
примере, который мы заимствуем из работы Р. Якобсона и др. [7].
Для функционирования индивидуальных согласных фонем
в датском языке существенное значение имеют так
называемые сильные и слабые позиции. В односложных словах
сильные позиции находятся в начале слова, а слабые —
174

в конце слова. Если взять в датском языке индивидуальные
фонемы t, d в сильных позициях, то в слабых позициях
им будут соответствовать индивидуальные фонемы rf, &
(см. табл.):
Сильная Слабая
позиция позиция
t d
d д
Так как в слабой позиции индивидуальная фонема d так
относится к индивидуальной фонеме д, как в сильной
позиции индивидуальная фонема t относится к индивидуальной
фонеме d, то эквивалентны друг другу t в сильной позиции
м d в слабой позиции, с одной стороны, d в сильной
позиции и д в слабой позиции, с другой. Отсюда заключаем,
что, хотя с физической точки зрения t в сильной позиции
и d в слабой позиции резко отличаются друг от друга, но
в фонологическом отношении эти индивидуальные фонемы
тождественны. Далее, хотя с физической точки зрения d
в сильной позиции и d в слабой позиции тождественны, но
в фонологическом отношении они принадлежат к разным
классам индивидуальных фонем.
Ясно, что тождество индивидуальных фонем является
чисто реляционным и никоим образом не зависит от
характера физического субстрата индивидуальных фонем. Для
того чтобы индивидуальные фонемы могли рассматриваться
как тождественные, нужно только, чтобы они были
эквивалентными элементами в составе равномощных множеств
индивидуальных фонем.
Итак, gv gIV gUI и другие индивидуальные фонемы g,
находясь во взаимно-однозначном отношении друг к другу,
образуют класс индивидуальных фонем g. Именно в связи
с этим классом и возникает общее понятие фонемы g. Общее
понятие фонемы g есть понятие, содержание которого
составляет пересечение дифференциальных признаков заднеязыч-
ности и звонкости, а объем — класс индивидуальных фонему.
Содержание общего понятия фонемы g можно представить
в виде следующей формулы:
g = Hr-Vr.
Мы рассмотрели образование общего понятия фонемы g.
Аналогично образуются общие понятия других фонем. Во
всех случаях задача состоит в том, чтобы путем анализа
отношений между индивидуальными звуками открыть инди-
175

видуальные фонемы и, установив эквивалентные элементы
в составе равномощных множеств индивидуальных фонем,
образовать класс индивидуальных фонем и соответствующее
общее понятие фонемы.
4. Заключение
Подведем итог логическому анализу понятия фонемы.
В речевом потоке в нашем непосредственном, чувственном
опыте даны индивидуальные звуки. Сравнивая
индивидуальные звуки друг с другом, мы можем образовать общее
понятие того или иного звука. Образование общих понятий
звуков происходит в рамках классификационного
образования понятий. Классификационному образованию понятий
в символической логике соответствует теория одноместных
пропозиционных функций, или иначе — теория классов.
Путем анализа отношений между индивидуальными
звуками в речевом потоке мы открываем индивидуальные фонемы,
которые не даны в нашем непосредственном, чувственном
опыте; устанавливая реляционное тождество между
индивидуальными фонемами, мы образуем общее понятие той или
иной фонемы. Образование понятия фонемы может быть
понято только в рамках теории многоместных
пропозиционных функций или иначе — теории отношений современной
логики.
Надо строго различать и не смешивать друг с другом
следующие две пары соотносительных понятий:
единичное понятие звука языка — общее понятие звука
языка;
единичное понятие фонемы — общее понятие фонемы.
В связи с различением этих пар соотносительных понятий
необходимо рассеять двусмысленность, связанную с
употреблением термина «фонема», который в одних контекстах
соответствует общему понятию фонемы, а в других
контекстах—единичному понятию фонемы. Например, если мы говорим: «В слове
стол четыре фонемы», то речь идет о четырех
индивидуальных фонемах; когда мы говорим: «В современном польском
литературном языке 42 фонемы», то в этом выражении мы
употребляем термин «фонема» в смысле общего понятия
фонемы; употребляя выражение «фонема и ее варианты», мы
должны подразумевать под термином «вариант фонемы» не
индивидуальный звук, а индивидуальную фонему, под
термином «фонема» мы должны подразумевать не общее понятие
звука, а общее понятие фонемы.
На основании изложенного можно сделать следующие
два вывода.
476

Следует признать ошибочным распространенный в
фонологической литературе взгляд, что звук языка и фонема
относятся друг к другу как единичное и общее понятие.
В действительности звук языка и фонема суть
гетерогенные понятия: они принадлежат к разным ступеням
познания звуковой стороны языка. На первой —
эмпирической— ступени познания звуковой стороны языка мы имеем
дело с единичным и общим понятием звука языка, на
второй — реляционной — ступени познания звуковой стороны
языка мы имеем дело с единичным и общим понятием
фонемы. Понятие звука языка есть эмпирическое понятие,
тогда как понятие фонемы есть реляционное понятие.
Переходя от понятия звука языка к понятию фонемы, мы
переходим не от единичного к общему понятию, а от сущности
менее глубокой — к сущности более глубокой.
Второй вывод касается значения символической логики
для фонологии. В п. 1 мы говорили, что фонология не может
существовать как самостоятельная дисциплина без
последовательного соблюдения методологического правила о
семиотических критериях в фонологическом анализе. Вместе с тем
мы указывали, что если рассматривать фонему и звук как
общее и единичное понятия, то между этой логической
характеристикой фонемы и звука и методологическим правилом
о семиотических критериях возникает конфликт.
Таким образом, проблема логической характеристики
фонемы имеет жизненно важное значение для фонологии.
Выяснив с помощью символической логики, что звук и
фонемы представляют собой гетерогенные понятия, мы тем
самым устранили указанный конфликт, так как
методологическое правило о семиотических критериях вполне гармонирует
с логической характеристикой звука и фонемы как
гетерогенных понятий, принадлежащих к разным ступеням познания
звуковой стороны языка — эмпирической и реляционной.
ЛИТЕРАТУРА
i. D. Jones. The Phoneme: its nature and use. Cambridge, i960.
2. N. S. T r u b e t z k о y. Grundziige der Phonologie. Prague, 1939.
3. С. К. Шаумян. О некоторых вопросах фонологии. Изв. АН СССР,
отд. литер, и языка, вып. 6, 1953.
4. G. G. Hem pel и. Р. О р pen he i т. Der Typusbegriff im Lichte
der neuen Logik. Leiden, 1936.
<5. G. G. H e m p e 1. Fundamentals of Concept Formation in Empirical
Science. Chicago, 1952.
6. A. T a p с к и й. Введение в логику и методологию дедуктивных
наук. ИЛ, М., 1948.
7. R. J а ко bs on а. С. G. М. Fa ant, М. Н all e.^Preliminarif s to
speech analysis: the distinctive features and their correlates. 3-rd pr.
Massach. Inst. Techn., Ac. Lab., 1955.

ф
А. Я. У ё мое
ПУСТЫЕ КЛАССЫ
И АРИСТОТЕЛЕВА ЛОГИКА
В традиционной, аристотелевской логике предполагается,
что субъект категорического суждения S — Р представляет
собой обязательно непустой класс, т. е. такой класс,
в котором есть по крайней мере один предмет. Например,
когда мы говорим, что металлы электропроводны, то при
этом предполагается реальное существование металлов. Это
суждение с традиционной точки-зрения потеряло бы смысл,
если бы оказалось, что металлов не существует в природе,
т. е. если бы, иными словами, субъект суждения оказался
пустым классом.
Однако потребности развития математики привели
к необходимости оперировать с пустыми классами. Поскольку
в математике зачастую нет средств для того,._чтобы_ заранее
безошибочно определить пустоту или непустоту того или иного
класса7ТоПйлГолнё "оправдано''"стремление ученых, занимаю1
щихся математической логикой, разработать такой
логический" аппарат 'ум6закл1бчёний," которым можно было бы
пользовать^
непустоты исследуемых к лассо в. ~~ ~
Я^о7^о^т^ади1щонная арйсготельская теория выводов
из категорических суждений типа S — Р для этой цели не
подходит, так как такие суждения предполагают непустоту
класса S.
Обычно считается, что математическая логика является
обобщением аристотелевской. Поэтому из правил первой можно
выводить правила второй. В случае, когда неизвестна
непустота классов, с помощью математической логики можно
показать неправомерность некоторых правил логики
Аристотеля. Другие же правила сохраняют свое значение и
в математической логике. Эту точку зрения развивают такие
178

крупные представители математической логики, как Д.
Гильберт и В. Аккерман [2].
Однако эта точка зрения была бы верной лишь в тОхМ
случае, если бы математическая логика оперировала понятиями
аристотелевской логики или хотя Сы .<чла выразить эти
понятия с помощью своих средств.
В самом деле, как с помощью средств математической
логики выражается аристотелевское общеутвердительное
суждение «Все А суть В»? Гильберт и Аккерман его выражают
на языке так называемого исчисления предикатов в виде
следующей формулы:
(А \/ В). «Все вещи являются или не обладающими
свойствами А или обладающими свойствами В».
Нетрудно заметить, что таким образом выражено не
категорическое суждение «Все S суть Р», а суждение,
имеющее в классической логике иную логическую форму —
форму разделительного суждения с неопределенно мыслимым
субъектом. Пользуясь символикой традиционной логики, его
можно выразить в виде: «Все S суть или не А или В».
Такое суждение может служить большей посылкой
разделительно-категорического силлогизма tollendo ponens, в котором
меньшая категорическая посылка будет отвергать
присущность S одного из предикатов «не А» или «В». В последнем
случае в выводе получим по правилам традиционной логики,
что «Все S суть не Л», иными словами то, что А — пустой
класс, поскольку S охватывает все существующие вещи.
Таким образом, разделительное суждение «Все S суть или
не А или В» вовсе не исключает и в классической
интерпретации пустоты класса А, в то время как категорическое
суждение «Все S суть Р», к которому должен был бы
относиться анализ, этой пустоты не допускает.
Гильберт и Аккерман признают, что их интерпретация
«обще утвердительных суждений не согласуется с
традиционной. Но причиной этого является не то, что математическая
логика допускает пустоту класса, являющегося субъектом
»5 общеутвердительном суждении, а то, что она вообще не
. пализирует эти общеутвердительные суждения, заменяя
их суждениями иной логической формы. Вследствие этого
не согласуется с аристотелевской интерпретация и частных
осуждений.
Гильберт и Аккерман сопоставляют с частными
суждениями высказывания типа (X V У) или (X \/Y), которые
представляют собой_ отрицание истинности высказываний
(X \/Y) или (X\JY). Так как отрицаемые высказывания
представляют собой разделительные суждения, то в
результате этих отрицаний мы получаем утверждения о ложности
175»

соответствующих разделительных суждений, например
высказывание (X V У) в классической интерпретации будет
означать: неверно, что все вещи S либо не обладают свойствами
X, либо обладают свойствами У.
Необходимо подчеркнуть, что поскольку такое
понимание категорических суждений не согласуется с
традиционным, не согласуется с традиционным и понимание
выводов из этих суждений, т. е. категорических силлогизмов.
Заменяя категорические суждения разделительными,
Гильберт и Аккерман вместо категорических анализируют
разделительные силлогизмы.
Законные модусы силлогизмов, по Гильберту и Аккер-
ману, могут быть сведены к двум формам, в одной из
которых обе посылки и заключение общие, а в другой одна
из посылок и заключение частные. Примером модуса,
относящегося к первой форме, может быть следующий:
Z\JY
X\JZ
Гильберт и Аккерман считают, что это модус
категорического силлогизма — Gamestres второй фигуры. Однако,
поскольку обе посылки этого силлогизма и заключение
разделительные, они образуют разделительный силлогизм:
Все вещи S суть или не X или не У
Все вещи S суть или не Z или У
Все вещи S суть или не X или не Z
Сущность этого силлогизма сводится к опусканию в
заключении предиката «или не У или У», как свойственного
всем вещам без исключения.
Модус
хуу
X\JZ,
считающийся модусом Barbara, на самом деле является
модусом следующего разделительного силлогизма:
Все вещи S суть либо не X либо У
Все вещи S суть либо не У либо Z
Все вещи S суть либо не X либо 7
180

Эта форма мало чем отличается от предыдущей.
Для всех 5 модусов категорического силлогизма с общим
выводом Гильберт и Аккерман дают общую схему, куда
попадают силлогизмы трех фигур:
| й V V |
\v\J w\
| а \у w |.
Может показаться странным, почему различие фигур,
столь существенное для теории категорического силлогизма,
оказывается таким незначительным в сравнении с общностью
заключения, почему все модусы с общим заключением
оказывается возможным объединить в одной схеме. Однако
это становится понятным, когда выясняется, что приведенная
схема выражает разделительные силлогизмы одного и того же
строения, отличающиеся друг от друга лишь типом
предикатов.
Существенно отличаются от рассмотренных силлогизмы
другого типа:
\а\у v\
\o\fw\
\Ww)\.
В этой схеме, но Гильберту и Аккерману, объединяются
десять законных модусов всех четырех фигур
категорического силлогизма. На самом деле здесь мы имеем дело
с разделительными силлогизмами, в которых одна посылка
и заключение представляют собой утверждения о ложности
соответствующих разделительных суждений. Например, модус
1 Y\JrZ 1
\ X у У 1
I х v z I
представляющий якобы модус Ferio 1-й фигуры, на самом
деле является следующим разделительным силлогизмом:
Все вещи S суть или не У или не Z
Ложно, что все вещи S суть или не X или не У
Ложно, что все вещи S суть или не X или Z
Здесь ложность того, о чем говорится в одной из посылок,
обусловливает ложность разделительного суждения в выводе.
Исследование выводов из ложных посылок не чуждо тради-
181

«дионной логике. Еще Аристотель исследовал во 2-й книге
первой аналитики категорические силлогизмы, у которых
среди посылок были ложные. Выводы от ложности частного
к ложности общего по логическому квадрату и выводы от
ложности одного суждения к истинности другого, ему
противоречащего, широко распространены. Использование
методов математической логики для исследования выводов
от ложности к ложности или от ложности к истинности
расширяет класс этих выводов и дает возможность решить
много проблем, неразрешимых с помощью традиционных
методов.
Разобранными примерами разделительных силлогизмов
исчерпывается, пожалуй, анализ категорических силлогизмов
в математической логике. Среди правильно составленных
разделительных силлогизмов не находится таких, которые
были бы аналогичны категорическим силлогизмам с общими
посылками и частным заключением.
Поскольку общему категорическому суждению
соответствует истинное разделительное, а частному—ложное
разделительное суждение, то строя требуемые разделительные
силлогизмы, мы получали бы умозаключештя от двух
истинных суждений к ложному, что указывает на неправильность
построения. Например, если построить силлогизм
У у*
который, считался бы модусом 3-й фигуры Darapti, то
получили бы:
Все S суть или не У или Z
Все S суть или не У или X
Ложно, что все S или не X или не Z
Вывод здесь не вытекает^ изi ^посылок. Это и является
причиной того^ почему математической логикой отвергаются
как незаконные модусы Darapti, Felapton, Bramantip и Fesaro.
Что же касается обращения общеутвердительных
суждений, то невозможность его для математической логики
вытекает [2] из принятого способа записи X\J Y', который,
как было показано, является фактически способом записи
не категорического, а разделительного суждения.
Таким образом, в рассуждениях Гильберта и Аккермана
имеет место своего рода тонкая подмена тезиса. Вместо
того, чтобы доказать^ что введение пустых классов требует
182

отказа от некоторых модусов категорического силлогизма,
они доказали то, что введение пустых классов не мешает
использованию разделительных суждений и силлогизмов.
Можно попытаться выразить категорические суждения
традиционной логики с помощью средств математической
логики иным путем. В исчислении предикатов применяются
универсальный квантор (х)А(х) и квантор существования
ЕхА(х).
Но можно ли с помощью этих кванторов выразить
категорическое суждение аристотелевской логики, например,
«Некоторые люди мудры», «Все люди смертны»? Первое
суждение математическая логика будет выражать с помощью
квантора существования «существует х таков, что х является
человеком и мудрым» [3, стр. 39]. Такое суждение
действительно приводится к форме категорического частноутвэрди-
тельного суждения. Однако суждение с универсальным
квантором: «для всех х, если х есть человек, то х — смертен»
(там же) по своей логической "форме не будет совпадать
с~ общеутвердительным суждением «Все люди смертны»,
так как в нем выражено не отношение по объему между
понятиями «люди» и «смертные», а отношение следования
между мыслями «х есть человек» и «х смертен». С точки
здения традиционной логики такое суждение является не
категорическим, а условным. Условное же суждение не
предполагает обязательную истинность основания. Так что и
с точки зрения классической логики х, означающий человека,
может оказаться пустым классом.
Подавляющая часть теорем и аксиом математики
выражается математической логикой с помощью
универсальных кванторов, т. е. условных суждений, поэтому проблема
категорических суждений и силлогизмов вовсе не имеет
определяющего значения для теории математического
доказательства, как это может показаться при чтении ра-
бошЛ11и ....... , _,,._. _ „,„„ IV _ ,. Г| ._.. ._^
Итак, мы видим, что с помощью средств математической t
логики нельзя выразить обычные категорические суждения -
традиционной логики. Поэтому с позиций математической»
логики, строго говоря, нельзя делать никаких высказываний!
об этих суждениях и умозаключениях, составленных из них.*
Могут возразить",' Wo р1Шги^ и
разделительными или условными суждениями чисто
формальное, что при помощи незначительного изменения формы
можно превратить проанализированные выше суждения
в категорические без изменения их смысла. Однако в данном
случае предметом обсуждения является не содержание,
а именно форма суждений. Различие же между формами
183

категорических, разделительных и условных силлогизмов
настолько существенно для формальной логики, что многие
вполне справедливо ставят вопрос о законности применения
к ним одного и того же термина «силлогизм».
Но, может быть, несмотря на различие между
разделительными и категорическими силлогизмами, можно говорить
о полной аналогии между ними, так что факт
неправомерности определенных форм разделительного силлогизма будет
тем самым означать неправомерность соответствующих форм
силлогизма категорического? Нетрудно показать
неправомерность вывода по аналогии в данном случае. Вывод по
аналогии нельзя считать правомерным тогда, когда для
установления полноты аналогии используются такие положения,
из которых вытекает то, что должно быть опровергнуто
с помощью данной аналогии. Именно такая ситуация имела бы
место при использовании аналогии между категорическими
и разделительными суждениями для доказательства
неправомерности выводов от общего к частному. Отрицанию
разделительного суждения (X\/Y), т. е. (X \/Y), можно
сопоставить отрицание общеутвердительного суждения. «Все X
суть У», т. е. неверно, что «Все X суть У», т. е.
«некоторые X не суть У», являющееся частноотрицательным
категорическим суждением. Отрицанию разделительного суждения
(X V У) можно точно также сопоставить отрицание
общеотрицательного суждения «Ни одно X не есть У», т. е. частно-
утвердительное суждение «Некоторые X суть У».
Для полноты аналогии необходимо установить, что
невозможности^ одновременной истинности разделительных
суждений (X \/ У) и (X \/ У) соответствует невозможность
одновременной пстинности категорических суждений «Все X
суть У» и «ни одно X не есть У». Точно также необходимо
установить, что подобно тому, как не могут быть вместо
ложны разделительные суждения и их отрицания, не могут
быть вместе ложны категорические суждения и их
отрицания.
Иными словами, законы противоречия и исключенного
третьего, истинность которых безоговорочно предполагается
при построении выводов из разделительных суждений,
должны так же безоговорочно предполагаться при
построении выводов из категорических суждений.
Однако, применяя эти законы к категорическим
суждениям, мы сразу же получаем, что из истинности общего
суждения необходимо вытекает истинность частного
суждения с тем же предикатом и субъектом. В самом деле,
используя схему логического квадрата, мы видим, что
применение закона противоречия к исходному истинному обще-
184

утвердительному суждению «Все S суть Р» вынуждает нас
признать ложность общеотрицательного суждения «Ни одно
S не есть Р». Применение же закона исключенного третьего
приводит к выводу о том, что в таком случае истинно
частноутвердительное суждение «Некоторые S суть Р».
Отсюда вытекает также законность обращения
общеутвердительных суждений. Все S суть Р,— следовательно,
некоторые Р суть S. Если бы заключение у нас оказалось
ложным, то по закону исключенного третьего мы должны были
бы считать истинным суждение «Ни одно Р не суть S»..
Обратив это суждение (законность обращения
общеотрицательных суждений признается математической логикой),
получаем «Ни одно S не суть Р». Но это суждение
противоположно исходному и, согласно закону противоречия,
они не могут быть вместе истинными. Поскольку истинно
исходное суждение «Все S суть Р», наше предположение
оказывается ложным. Следовательно, законность
обращения общеутвердительных суждений является неизбежным
следствием основных законов мышления.
Но, обосновав законность обращения
общеутвердительных суждений, нетрудно обосновать и законность
отвергаемых модусов Darapti, Bramantip, Felapton и Fesaro. Для
этого достаточно с помощью обращения свести их к
«приемлемым» формам с частной посылкой.
Например, модус Darapti 3-й фигуры
Все М суть Р
Все М суть S
Некоторые S суть Р
с помощью обращения меньшей посылки сводится к
«законному» модусу Darii первой фигуры.
Таким образом, на основе аналогии между
категорическими и разделительными силлогизмами нельзя доказать,
что указанные модусы категорических силлогизмов являются
незаконными.
Из приведенных соображений ясно, что невозможно
провести операцию отсечения от теории умозаключений
аристотелевой логики выводов от общих суждений к частным, не
затрагивая других ее фундаментальных положений.
Аристотелева логика является системой, отдельные элементы
которой взаимосвязаны друг с другом.
Отбрасывание выводов от общего к частному ведет к
отбрасыванию по крайней мере одного из основных законов
мышления (закона противоречия или закона исключенного
третьего), лежащего в фундаменте всей классической логики.
185

Отказываясь от этих законов, мы не можем лользоваться
ни одной из тех форм мысли, которые изучает классическая
логика. Поистине это слишком дорогая цена за те удобства
в математических рассуждениях, о которых говорит Д. II.
Горский [1].
Но как же все-таки быть с пустыми классами? Означает ли
сказанное, что при наличии пустых классов мы должны
пользоваться лишь условными или разделительными суждениями?
При существующем в аристотелевой логике понимании
категорических суждений молчаливо предполагается непустота
субъекта, и это, несомненно, так. Однако мы можем изменить эту
интерпретацию и допустить возможность пустого субъекта при
сохранении аристотелевской структуры категорического
суждения. Изменение этой интерпретации, будучи проведено
последовательно, не приведет к отбрасыванию каких-либо правил
аристотелевой логики. Необходимость отказа от этих правил
может появиться лишь при смешении логических форм
традиционной логики с выражениями математической
логики.
Допустим, что в суждении «все S суть Р», например «все
пойманные рыбы будут съедены» или «все отличники в
нашей группе получают повышенную стипендию», класс S
может оказаться пустым. Но в таком случае нет никакого
основания отказываться от допущения пустоты того же
класса и в частном суждении: «Некоторые S суть Р», т. е.
по крайней мере некоторые, а может быть, и все отличники
в нашей группе получают повышенную стипендию. На наш
взгляд, пустота субъекта частного суждения ничуть не
больше противоречит пониманию категорического суждения
аристотелевой логикой, чем пустота субъекта общего
суждения. Иллюзия того, что субъект частного суждения не
может быть пустым, проистекает из формы записи этого
суждения в исчислении предикатов математической логики
с помощью квантора существования. «Существуют такие х,
что х есть А и х есть В», Но это высказывание уже нельзя
считать формой записи частноутвердительного суждения
аристотелевой логики, как только мы предположим, что
субъект категорического суждения может быть пустым
классом.
Далее, допущение пустого класса влечет за собой
допущение пустоты для класса, являющегося предикатом
заключения. Суждение «Все А суть В», как показал еще Джевонс,
можно представить в виде суждения тождества «Все А суть
АВ». Если будет пустым класс А, то пустым окажется
также и класс АВ, так как логическое произведение любого
класса с нулевым классом есть пустой класс.
186

Аналогично в частноутвердительных суждениях
«Некоторые А суть В» пустой субъект А после обращения окажется
пустым предикатом.
Концепция пустых классов, если придерживаться ее
последовательно, приводит к понятию пустых подклассов
данного (вообще говоря, непустого) класса. Например,
в класс студентов данной группы можно включить
подклассы отличников, неуспевающих и т. д., причем каждый
подкласс и даже все подклассы могут оказаться пустыми.
В таком случае, имея в виду элементы этих подклассов,
можно формулировать частные суждения: «Некоторые
студенты данной группы — отличники», «некоторые студенты
данной группы — неуспевающие» и т. д. Бухгалтер при
определении размеров стипендии делит студентов на группы
по признаку успеваемости, образуя в своем уме подобные
суждения, и уже затем выясняет, являются ли их предикаты
непустыми классами. Необходимо иметь в виду, что в этих
случаях в пустой класс будет включаться не непустой
субъект, а лишь элементы пустого подкласса этого субъекта.
Вот если бы в пустой предикат включался весь класс,
являющийся субъектом, т. е. и его непустые элементы, то
тогда, действительно, с такими суждениями нельзя было бы
согласиться.
Принимая во внимание сказанное, нетрудно показать,
что введение в категорические суждения пустых классов
не означает неправомерности отвергаемых в[1] выводов от
общего к частному. Прежде всего ясно, что можно делать
выводы от истинности общего суждения «Все А (А может
быть пустым) суть В» к истинности частного «Некоторые А
(А может быть пустым) суть В» и, соответственно, для
отрицательных суждений, на основе законов противоречия и
исключенного третьего. В случае пустоты класса А в
частном суждении предикат В будет утверждаться относительно
пустых подклассов класса А.
То же самое при обращении суждения «Все А суть В».
Если А окажется пустым, то в обращенном суждении
«Некоторые В суть .Л» в субъект будут входить элементы пустого
подкласса В, которые входят также в пустой класс А.
Например, «Все отличники нашей группы (может быть пустым
классом) получают стипендию» — «Некоторые (может быть
пустым подклассом) получающие стипендию суть
отличники нашей группы».
Но если операция обращения общеутвердительньтх
суждений является законной, то при помощи этой операции, как
уже указывалось, легко привести к «законной» форме
отвергаемые модусы категорических силлогизмов. Могут возразить,
187

что несмотря на обращение, класс, соответствующий
среднему термину в незаконных модусах третьей фигуры, будучи
пустым, не будет связывать крайние термины. Но точно
так же можно возразить против всех «законных» форм
силлогизма, где средний термин, будучи субъектом общего
суждения, оказывается пустым классом. Например, в модусе
Barbara может ли средний термин связывать крайние, если
Все М суть Р
Все S суть М
Все S суть Р
он представляет собой пустой класс? Если может, то с
таким же успехом он сделает это и в третьей фигуре или
в тех «законных» модусах, к которым можно привести
незаконные модусы третьей фигуры.
Из сказанного следует, что математическая и
аристотелева теории анализируют формы правильного мышления
с различных сторон, выделяя в них различные моменты и
используя различные методы, лишь в известной мере
аналогичные друг другу.
ЛИТЕРАТУРА
\. Д. П. Горский. Некоторые вопросы объема понятия. Вопросы
логики, вып. 1, М., 1955.
2. Д. Гильберт и В. Аккерман. Основы теоретической логики.
ИЛ, М., J947.
3. А. Таре кий. Введение в логику и методологию дедуктивных
наук. ИЛ, М., 1948.

=^=
II
А. Д. Гетмапова
О СООТНОШЕНИИ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ
В СИСТЕМАХ ТИПА PRINCIPIA MATHEMATICA1
Развитие математической логики, связанное в
значительной мере с задачами обоснования математики, позволило
создать такие «логические системы», в которых удается
определить основные математические понятия в терминах
логики и доказать, пользуясь только строго
сформулированными и заранее перечисленными правилами вывода,
основные предложения математики (аксиомы арифметики), из
которых, как можно было думать, остальные ее
предложения должны были выводиться по правилам логики. Такими
«логическими системами» («большими логиками», как их
иногда называют) были прежде всего: система «Основных
законов арифметики» Г. Фреге[1], — в которой Б. Рассел
обнаружил, однако, противоречие, — и система самого Б.
Рассела, разработанная им в сотрудничестве с Уайтхедом в их
известном совместном трехтомном труде «Principia Mathe-
matica»[2].
Создание такой системы как «Principia Mathematica»,
естественно, поставило вопрос о том, является ли эта система
полной, т. е. удается ли по ее правилам действительно
доказать все содержательно истинные предложения
математики. Этот вопрос является особенно важным потому,
что как сам Рассел, так и его последователи,
представители так называемого логицизма в математике, сделали из
возможности таких систем, как «Principia IMathematica»,
вывод о том, что математика будто бы ваобще сводится
к логике, а это, в свою очередь, было истолковано ими
как доказательство априорного характера чистой
математики, ее независимости от окружающего нас действитель»
ного мира. Вопрос о том, сводится ли в действительности
1 Статья является изложением первых двух параграфов гл. III
диссертации автора, выполненной под руководством С. А. Яновской.
189

математика к логике, приобрел, таким образом, большой
методологический интерес в борьбе материализма с
идеализмом вокруг проблем обоснования математики.
1. О некоторых характерных чертах логики
Ясно, что для ответа на вопрос о том, сводится ли
математика к логике, необходимо прежде всего знать, что понимается
под математикой и логикой. Ведь можно так «расширительно»
истолковать термин «математика», что эта наука, по
определению, включила бы в себя и формальные логические
системы. Наоборот, можно так определить «логику», что
математика окажется, например, «прикладной» логикой или
даже просто, как у логицистов, логикой. Однако и матема^
тика и логика имеют, каждая, свое исторически
сложившееся и развивающееся содержание. Их определения поэтому
предполагают глубокий диалектико-материалистический
анализ истории математики и логики, их связи с практической
деятельностью людей и с другими науками. Но для самого
общего ответа на поставленный вопрос в применении к системам
типа «Principia Mathematica» достаточно отметить несколько
черт математики и логики. .Поскольку об особенностях
арифметики, связанных с наличием в ней так называемых
рекурсивных функций, нам придется говорить в связи с
теоремой Гёделя о неполноте формализованной арифметики,
предполагающей нужные нам логические понятия, мы начнем
сейчас с некоторых характерных черт логики, которые будем
излагать, по возможности не предполагая у читателя
специальных знаний по математической логике и не претендуя
на строгость формулировок.
1) Не приходится сомневаться в том, что логика — в
отличие от таких, например, наук, как минералогия, ботаника,
зоология — имеет дело не с какой-либо определенной областью
вещей, а с любой предметной областью. Поскольку наше
мышление отражает внешний мир, законы мышления не
могут не отражать законы этого внешнего мира; при этом
они отражают самые общие законы этого мира, равно
проявляющиеся в самых разнообразных областях
действительности и практической деятельности людей. Логически
правильно можно рассуждать в применении к вопросам,
относящимся к любым предметам. Логические ошибки также
могут быть обнаружены в рассуждениях любого предметного
содержания2.
2 Из этого не следует, разумеется, что в любых условиях и к
любой предметной области должен быть применим один и тот же аппарат
формальных логических правил.
190

2) Другая характерная черта логики состоит в том,
что логика позволяет нам, получив некоторую информацию,
некоторые знания об обстоятельствах дела, извлечь из них —
точнее говоря, выявить — содержащиеся в их совокупности
новые знания. Так, наблюдая движение Луны и Солнца
и делая логические выводы из этих наблюдений (включая* и
индуктивные обобщения), люди еще в античной древности
умели логически выводить из них достаточно точные
предсказания о наступлении солнечных и лунных затмений.
О Фалеев, которому история античной философии
приписывает такое умение, известно, что он сумел предвидеть
богатый урожай маслин и сделать отсюда такие логические
выводы, которые позволили ему весьма целесообразно
распорядиться своими средствами. Эти примеры,
насчитывающие уже более двух с половиной тысяч лет, являются
лучшим свидетельством того, как глубоко поражала людей
возможность с помощью логического рассуждения узнавать
нечто о вещах, недоступных (в ^данный момент)
непосредственному наблюдению; возможность, иначе говоря, извлекать
логические следствия из данных посылок.
3) Третья характерная черта логики, органически
связанная со второй, состоит в том, что всякий логический вывод
из посылок допускает некоторую формализацию, т. е. может
быть осуществлен по каким-нибудь общим правилам,
относящимся к способам выражения знаний и способам
переработки этих выражений: способам образования
и преобразования выражений. В зависимости от
средств, которыми мы располагаем, таких способов
формализации может быть много, начиная с того, что одно и то же
знание мы можем выразить на разных языках. Но
какой-нибудь из «языков» (под «языком» не обязательво понимать
звуковую речь) нам необходимо употребить. Без «языка»,
без материального способа выражения мысли невозможно
и самое мышление.
4) Формализация способов вывода состоит, прежде
всего, в том, что каждый шаг вывода совершается только
в соответствии с каким-нибудь из заранее перечисленных
правил вывода, относящихся только к способам
оперирования с некоторыми материальными объектами,—например,
словами, служащими для выражения мысли,—вообще, с
формальными выражениями мысли с помощью материальных
знаков. Среди этих знаков имеются такие, которые носят
специфически логический характер — так называемые
логические константы (постоянные), выражаемые
в обычной речи союзами: «н е», «и», «или», «если ... , то»,
«ни... ни», «х о тя . . . ,но . . .», «ее л и и то л ь к о если»,
191

«е ели не» и многими другими. В математической логике и
качестве таких констант обычно используют конъюнкцию,
дизъюнкцию, отрицание, импликацию,
кванторы общности и существования и некоторые другие.
С формальным характером логики (в смысле ее
применимости к широкому классу предметных областей) тесно
связано то обстоятельство, что такие логические
постоянные одинаково понимаются во всех применениях3
какого-нибудь логического исчисления и могут быть (при заданной
предметной области) однозначно определены
заданием способов оперирования с ними: заданием
некоторых аксиом, в которых знаки логических
постоянных уже фигурируют (без какого-либо предварительного
определения или объяснения), и правил образования тт
преобразования формул4.
2. Понятия «логической системы» и ее «моделей»
Вопрос об общем определении логической, т. е.
специфической именно для логики, постоянной представляет
определенные трудности. Чтобы дать хотя бы некоторое
представление об этом понятии, нам придется коротко
остановиться на понятиях «логической системы» и ее «модели».
Совокупность образуемых по определенным правилам
(правилам образования) формул, в которых выделено
подмножество доказуемых формул — аксиом и теорем, выводимых
из аксиом по заранее перечисленным правилам вывода, —
в современной литературе по математической логике
называется обычно логической системой. На наш взгляд,
это название не является удачным, так как оно основано
на предположении, что всякая «формализованная» научная
теория, т. е. теория, в которой точно перечислены не
только аксиомы, но и способы образования осмысленных
формул и логические правила вывода,—например, какая-
нибудь формализованная часть геометрии, — в
действительности есть уже тем самым логика. Поскольку все же
нам будет необходимо какое-нибудь общее название для
систем описанного выше рода, мы будем пользоваться
термином «логическая система» в его уже вошедшем в науч-
3 На самом деле только во всех применениях, подчиненных
определенным требованиям, относящимся к общим свойствам рассматриваем
мых предметов — таким, например, как требование строгой фиксиро-
ванности (неизменности) предметов, пока о них идет речь, требование
их «безразличия» друг к другу при образовании из них различных
совокупностей, и многие другие.
4 В общем случае без аксиом можно обойтись: их можно
элиминировать за счет введения дополнительных правил. Правила же
являются абсолютно необходимыми.
192

ный обиход смысле, имея, однако, в виду, что нас будет
интересовать именно вопрос о том, какие «логические
системы» действительно заслуживают названия «логических».
Заметим, что обычные аксиоматические системы
арифметики (система аксиом Пеано), геометрии (система аксиом
Гильберта), теории групп, теории структур и других алгебр,
вообще говоря, не являются еще «логическими системами»
в смысле приведенного выше определения этого термина.
В этих аксиоматических системах не формулируются явно
ни теоретико-множественные предпосылки, которыми в них
пользуются при доказательстве теорем, ни правила
логического вывода. Но поскольку многие из понятий,
относящихся к теории «логических систем», возникли уже в
применении к аксиоматическим системам,' мы будем пояснять
эти понятия на примерах, относящихся вообще к
дедуктивным аксиоматическим теориям.
Аксиомы и теоремы (вообще формулы) «логической
системы» содержат некоторые специальные термины
(постоянные), В общем случае эти термины могут быть двух родов:
(1) логические и (2) внелогические: специфические
именно для данной научной теории. Так, в системе
арифметических аксиом Пеано термины «нуль», «число» и
«следующее» являются — об эт«)м еще будет итти речь — не
логическими, а специфически арифметическими. Такие
же термины, как «тот же самый», «разный» (или
«отличающийся», «другой») являются логическими.
Различие между арифметическими и логическими
терминами заключается в том, что в то время, как первые
допускают разные интерпретации (истолкования)5, логические
термины во всех интерпретациях имеют один и тот же
смысл. Точно так же в аксиомах геометрии термины «точка»,
«прямая», «плоскость», «лежит на», «между», «конгруэнтно»
и некоторые другие имеют специфически ге ометриче-
ский смысл, несмотря на то, что понятие «конгруэнтности»
сходно с понятием «тождества», которое, говоря о системе
аксиом Пеано, мы отнесли к числу логических понятий.
В разных интерпретациях аксиоматических систем
геометрии геометрические термины получают разное истолкование,
логические же остаются неизменными6.
5 Известно, что системе аксиом Пеано удовлетворяет, например,
такое истолкование входящих в нее терминов: «нуль» — это обычная
1 1
единица, «число я» — обычная дробь -к^, «следующее за п» — дробь «Ш-
6 Система аксиом геометрии Евклида, сформулированной Д.
Гильбертом, удовлетворяет истолкование «точки» как тройки чисел,
«прямой» как пары алгебраических уравнений первой степени с тремя
неизвестными, «плоскости» как одного такого уравнения, и т. п.
193

В современной литературе интерпретации «логических
систем», получающиеся при том или ином истолковании
употребляемых в этих системах терминов, называются
обычно моделями. Для модели при этом существенны
два момента:
1) Наличие «словаря», содержащего истолкование
каждого постоянного термина «логической системы» в терминах
модели.
2) По идее модель должна иметь, в конечном счете,
конкретный, содержательный смысл. Ее предложения должны
быть либо верны, либо не верны, и притом непременно
одно из двух7. Истинность этих предложений должна
определяться их содержательным смыслом. При
истолковании, с помощью «словаря», терминов «логической системы»
аксиомы и теоремы логической системы должны
превращаться в содержательно истинные предложения
модели.
В модели — назовем ее М—какой-нибудь «логической
системы» S, вообще говоря, могут быть и такие истинные
предложения, которые не являются аксиомами или
теоремами (доказуемыми предложениями) в S. Но если всякому
истинному предложению модели соответствует доказуемое
предложение логической системы, vto модель называется
точной. Тогда логическая система S может
рассматриваться как полное «формализованное» отражение именно
данной содержательной модели М. Ибо если у той же логической
системы S найдется еще какая-нибудь другая точная
модель Af1, то последняя будет полностью изоморфна
первой, т. е. всякое предложение, истинное в М, будет иметь
своего истинного же двойника в Мг; наоборот, двойником
истинного предложения в Л/^ будет истинное предложение в М.
Следует заметить, что применение термина «модель»,
на наш взгляд, также не является удачным. Более того,
оно может вести к идеалистическим извращениям. Как
правильно заметил голландский математик Ван-Данциг, мы
не назовем город Париж «моделью» для его плана, — напротив,
план Парижа является «моделью» этого города. Аналогично,
в соотношении между «формализованной» (вообще,
аксиоматической) системой и ее содержательной моделью первичной
является именно модель, а не ее формализация. Правда,
после того как формализация уже выполнена, происходит,
7 Таким образом, предполагается, что учет конкретных условий
и обстоятельств дела произведен настолько полно, что
высказываемые утверждения (содержательные) удовлетворяют этому
требованию. Принципиально, однако, возможны и такие модели, в которых
закон исключенного третьего неверен.
194

говоря словами Маркса, употребленными им по
аналогичному поводу в его математических рукописях,
«оборачивание метода»: вторичное выступает как первичное, и мы
начинаем искать новые модели для полученной нами, при
отражении какой-нибудь одной из них, аксиоматической
системы8. Так обстоит дело, например, с различными мо
делями геометрии Евклида. Наоборот, в истории геометрии
Лобачевского создание дедуктивной научной теории
предшествовало отысканию ее моделей. Для современной мс
тематики, в которой аксиоматическиfi метод играет большую
роль, весьма характерен происшедший в последние годы
перенос центра тяжести с исследования внутренних свойств
аксиоматических систем на исследование их отношения
к моделям, т. е. к тому, что в этих формал* пых системах
отражается или может быть отражено, иными словами, к чему
они могут применяться. При решении этого вопроса «<. ора-
чивание метода» может иметь весьма существенное зна i ииё,
3. Логические и внелогические постоянные
Вернемся к интересующему нас, в связи с вопросом о
характерных чертах логики, вопросу о том, как отличить —
теперь уже в некоторой «логической системе» — термины,
специфические для логики, от терминов нелогического
характера, как отличить логические постоянные от
внелогических?
Естественно дать определение логической
постоянной в данной логической системе S как такого термина,
который имеет одно и то же значение во всех
моделях этой системы, т. е. представляется независимым
от конкретного содержания модели, одинаково применимым
(в одном и том же смысле) в любой предметной области,
о которой в связи с данной логической системой может
зайти речь. Наоборот, внелогическую постоянную
естественно определить как термин, значение которого
различно в разных моделях, т. е. который специфичен именно
для данной предметной области.
Но что значит, что некоторый термин не меняет своего
8 В математических рукописях Маркса дифференциальное
исчисление как таковое — как оперирующее с характерными для него
символами дифференциалов — получается путем «оборачивания метода»,
состоящего в том, что символическое выражение реального
математического процесса отыскания производной становится исходным
пунктом нового исчисления. Раздел, посвященный дифференциалу,
озаглавлен у Маркса: «Оборачивание метода (Umschlag in der Met-
hode). Дифференциал». Более подробные сведения об идеях Маркса
можно найти в статье [3].
105

значения при изменении модели? — Очевидно, это значит,
что аксиом и правил вывода логической системы S вполне
достаточно для однозначного определения значения
данного термина9; что в применении к нему система S
является полной: дает его полное определение.
Мы покажем сейчас, как достигается однозначность
определения в применении к импликации, отрицанию
и квантору общности10. Выбор именно этих логических
постоянных удобен здесь как в силу того, что они
допускают весьма простое и в то же время точное
содержательное определение, так и потому, что ими, как известно,
можно ограничиться при построении такого логического
исчисления, правил вывода которого достаточно для
доказательства весьма широкого круга математических
предложений. Импликации и отрицания достаточно для
выражения всех вообще функций алгебры логики (исчисления
высказываний), добавление же к ним квантора общности
позволяет построить и так называемое исчисление предикатов.
Докажем теперь две теЪремы11:
Теорема 1,
А. Пусть имеем логическую систему S, модели и правила
вывода которой предполагаются обладающими типичными для
классической двузначной логики чертами. Именно:
1) в любой модели М логической системы S значением
выражений типа высказываний может быть один и только
один из двух разных предметов, которые мы будем
обозначать соответственно цифрами 0, 1;
2) образованные из выражений типа высказываний с
помощью знаков импликации (-^) и отрицания (~~) (черта над
9 Для нас существенно то, что аксиоматически построенное чисто
логическое исчисление (без внелогических постоянных) можно
заменить «натуральным» исчислением в стиле Генцена, где есть только
правила вывода (без аксиом). Аксиомы, играющие роль явных или
неявных определений фигурирующих в них терминов, становятся
необходимыми именно в связи с появлением внелогических постоянных,
смысл которых они и призваны определять.
10 Пример заимствован из статьи [4]. Поскольку мы не даем здесь
точного определения модели (этому понятию и связанным с ним
работам стоило бы посвятить особую статью), нам пришлось специально
оговорить в условиях теорем некоторые свойства моделей,
содержащиеся у Кемени в его определении модели. Доказательство проведено
нами также в менее общих предположениях. Интересная статья
Кемени, посвященная уточнению понятий аналитического и
синтетического суждений, представляется нам все же спорной. Освещению и
критике точки зрения Кемени на интересующие нас вопросы в нашей
диссертации посвящен особый раздел.
11 Читатель, интересующийся только общим подходом автора
к рассматриваемому вопросу, может доказательства этих теорем
опустить.
196

формулой) правильные формулы 12 системы S при подстановке
на место выражений типа высказываний их значений (т. е.
нулей или единиц) также принимают одно и только одно
значение: 0 или 1;
3) доказуемой в системе S формуле X соответствует
в любой модели и при любых значениях входящих
в X переменных значение 0;
4) не все правильные формулы системы S доказуемы;
не все выражения типа высказываний тождественно равны
0 в М\
5) среди правил вывода в системе S имеется правило
зачеркивания, согласно которому, если доказуемы обе
формулы I и 1-^7, то доказуема и формула У; в М этому
правилу соответствует закон: при Х = 0 и Х^>У = 0 У = 0.
Б. Пусть, кроме того, в системе S доказуема всякая
формула одного из следующих четырех видов:
(I) Х-+Х,
(II) х^(Х^Х),
(III) X^(X^Y),
(IV) Х->1.
При этих условиях в любой модели системы S
импликация и отрицание могут иметь только одно значение: то
самое, которое совпадает с их обычным определением с
помощью таблиц истинности.
Доказ ательство.
а. Заметим прежде всего, что среди формул нашей
системы обязательно имеются как такие, которые могут
быть равны нулю в Л/, так и такие, которые равны
единице в М. Действительно, формулы I—IV равны нулю при
всех даже значениях переменных, а в силу условия (4) в М
должны быть и такие формулы, которые, для некоторых
хотя бы значений переменных, имеют значение 1.
б. Из условий теоремы ясно далее, что
1. В любой модели М системы S импликация (X -> У)
является функцией от двух аргументов (X и У), отрицание же
(X) функцией от одного (от X):
2. И аргументы и значения этих функций принимают
одно и только одно из двух значений: 0 или 1;
12 Понятие «правильной формулы», как, впрочем, и другие
аналогичные понятия, мы здесь не будем уточнять. В каждой
логической системе имеется свое определение правильной формулы этой
логической системы.
197

3. Для полного определения импликации и отрицания
достаточно поэтому заменить нулями и единицами
вопросительные знаки в следующих таблицах:
X
0
1
2
?
X
0
0
1
1
У
0
1
0
1
X-+Y
?
?
?
?
в. Подставляя в доказуемую формулу (I) вместо X
сначала 0, а, затем 1, мы получаем для любой модели
(0->0) = 0 и (1-»1) = 0;
т. е. обнаруживаем, что в первой и четвертой строках
таблицы а на месте вопросительных знаков в любой модели
должны стоять нули.
Подставляя в формулу (II) единицу на место Xt мы
получаем
(1-(1-1)) = 0
или, так как в любой модели
(1-1) = 0,'
то
(1-*0) = 0,
т. е. и в третьей строке таблицы а вопросительный знак
следует заменить нулем.
.• Если бы теперь нуль оказался на месте вопросительного
знака и во второй строке таблицы а, то, по правилу
зачеркивания, мы получили бы при этом для Y значение О,
между тем (см. вторую строку таблицы а) У имеет
значение 1. Остается, следовательно, только одна возможность*:
заменить во второй строке вопросительный знак на 1. Мы
получаем таким образом для импликации обычную таблицу:
X Y X-+Y
0 0 0
0 1 1
1 о о
1 1 о
198

Как нетрудно проверить, она действительно
удовлетворяет условиям теоремы.
г) Переходя к определению отрицания, заметим прежде
всего, что, как уже было отмечено, мы всегда имеем
возможность выбрать такие формулы X и У и такие
распределения значений для переменных, что Х = 0, а У=1.
Если бы мы теперь предположили, что, при 1 = 0 и
Х=0, то из условия (X -» (X -> У)) = 0, используя дважды
условие 5), получили бы У = 0, между тем У=1. Итак,
в первой строке таблицы |В вопросительный знак нельзя
заменить нулем. Но в таком случае, согласно условию (2),
на его место должна быть поставлена единица.
Обращаясь теперь к формуле (IV) и положив в ней Х = 0, мы
получим, в силу условия 5), 0=0, или, так как
0 = 1, то 1 = 0.
Для отрицания, таким образом, получается таблица
X
0
1
X
1
0
Опять-таки нетрудно проверить, что такое определение
отрицания действительно удовлетворяет условиям теоремы.
Мы убедились теперь в том, что оно, как и полученное
выше определение импликации, является единстве н^
ным, удовлетворяющим этим условиям.
Теорема П. К условиям предыдущей теоремы добавим
еще:
А. 6) Дана непустая предметная область D\
7) Формула jP (я) интедретируется (в модели) как
функция, относящая 0 или 1 к каждому элементу предметной
области D.
Множество тех элементов области D, для которых Р (х) =
= 0, называется объемом предиката Р\
8) выражение Ух Р (х) должно интерпретироваться как
функция, зависящая только от объема предиката jP, и
значениями которой могут быть 0 или 1;
Б. В системе S доказуемы формулы:
(V) УхР{х)^Р(у)
(VI) Vx(Q(x)^Q(x)).
199

В этих условиях возможна только одна единственная
интерпретация квантора общности: обычная 14.
Доказательство.
Рассмотрим два случая (здесь мы пользуемся законом
исключенного третьего).
I случай. Объем предиката Р не исчерпывает всей
предметной области D. В этом случае возьмем элемент
(предмет) у не из этого объема, т. е. возьмем у из дополнения
к объему предиката Р.
Для этого г/, в силу условия (7), будем иметь
Р(у) = 1
В силу ее доказуемости, формула (V) тождественно равна
нулю. Запишем:
(VzP(x)-+P(y)) = 0,
Надо определить, какое значение будет иметь формула
VxP(x). По условию (8), формула VxP(x) должна иметь
для каждого выбора предиката Р одно и только одно
значение: 1 или 0.
Если мы положим VxPx = 0, то получим (0->1) = 0,
что противоречит полученному нами выше табличному
определению импликации.
Следовательно, из двух возможностей:
VxP(x) = 0
VzP(x)=l,
мы можем взять только вторую.
Таким образом, если объем предиката Р не исчерпывает
всей предметной области, то VxP(x) = l, как это и должно
быть в соответствии с обычным пониманием квантора
общности. В самом деле, если не все х обладают свойством Р,
то утверждение, что они все обладают этим свойством
(VxP(x)), ложно.
II случай. Объем предиката Р исчерпывает всю
предметную область D. Покажем, что в этом случае формула
УхР (х) имеет значение 0.
Рассмотрим выражение Q (x)-+Q (х), где Q —
произвольный предикат. Так как для любого значения х из D Q (х)
имеет значение 0 или 1, то (см. 6) формула Q (x)-*>Q (х), в силу
14 Выражение УхР (х) интерпретируется обычно так: «Для всех
#, Р (х)» или «Все х обладают свойством Р».
200

условия В (I) предыдущей теоремы, тождественно (т. е. для
каждого х) равна 0. Она, следовательно, представляет собой
предикат, объем которого исчерпывает всю область Z),
т. е. такой предикат, объем которого совпадает с объемом
предиката Р. Но, по условию (8), значение выражения
VxP(x) определяется только объемом предиката Р.
Следовательно, VxP (х) совпадает со значением выражения
(VI) Vx(Q (х) -> Q (х)), которое, по условию теоремы,
доказуемо, т. е. имеет значение 0. Следовательно, и VxP (х) =
= 0.
Иными словами, если объем предиката Р исчерпывает
всю область D, то утверждение VxP(x) истинно, и это
опять-таки соответствует обычному значению квантора
общности в этом случае.
Доказывая теоремы об импликации и отрицании, мы
опирались на такие условия, которые заранее определяли
свойства класса моделей рассматриваемых «логических
систем». Именно, мы предполагали, что каждое
высказывание должно быть либо истинным, либо ложным и притом
непременно одним из двух, т. е. что в любой модели
справедлив закон исключенного третьего. Точно так же,
говоря о кванторе общности, мы предполагали, что
предикат определяется полностью его объемом, вводили в
рассмотрение предметную область, обладающую вполне
определенными свойствами. В этой области каждый предмет
предполагается раз навсегда данным и неизменным; если
он вступает в какое-нибудь отношение с другим предметом,
то это означает только, что образуется упорядоченная пара
предметов, и т. п.
Условия, предъявляемые к модели логической системы S,
являются, однако, не столь само собою разумеющимися,
как их иногда толкуют. О них нельзя сказать, например,
что они выполняются «во всех возможных мирах», как,
начиная с Лейбница, представляют это те философы —
особенно современные логицисты, —которые трактуют логику
как априорную науку, и при том толкуют ее метафизически,
отождествляя ее с каким-нибудь одним, раз навсегда
данным, универсальным аппаратом формально-логических правил,
применимым одинаково и в рассуждениях о
неизменяющихся предметах и в случаях, когда идет речь об изменении
и развитии. Скорее наоборот, ни в одном действительном
«мире» (какой-нибудь области материальных предметов)
условия, наложенные выше на модели «логической системы»,
полностью не выполняются. Они применимы, так сказать,
лишь к «моментальным снимкам с действительности», без
которых невозможно отразить явления никакого участка
201

действительного мира, всегда находящегося в состоянии
изменения и развития. Но и здесь вопрос об их
пригодности или непригодности решается не автоматически,
а на основе дналектико-материалистического учения о
конкретности истины.
Поэтому представление о том, что логическую постоянную
можно полностью определить ее свойствами, совсем не
обращаясь к тем или другим конкретным свойствам
рассматриваемых областей предметов, вообще говоря, неверно.
Даже в логике, которая изучает наиболее общие законы
правильного человеческого мышления, применимые в любых
областях науки, приходится изучать эти законы конкретно,
т. е. в их зависимости от свойств тех предметных областей,
которые в них отражаются. Так, в математике не всегда
можно пользоваться законом исключенного третьего15, не
всегда можно считать, что у понятия есть фиксированный
объем 16, не всегда можно заменять отрицание связки
включением субъекта в дополнение к предикату, не всогда можно
считать два равнообъемных понятия заменяющими друг
друга. Число такого рода примеров можно значительно
увеличить. Здесь для нас существенно, что при
определенном выборе класса моделей и точном выявлении условий,
которым они удовлетворяют, логические постоянные удается
однозначно (т. е. полностью) определить аксиомами и
правилами обращения с ними. Именно это мы показали в
приведенных выше теоремах. В применении ко всему классу
моделей, удовлетворяющих условиям этих теорем,
определяемые ими термины действительно сохраняют одно и
то же (постоянное) значение17. Однако в «логических
системах», претендующих на сведение математики к логике,
разделения на математические, не сохраняющие одного и
того же значения во всех моделях, и логические
постоянные, конечно, нет. Наоборот, авторы этих систем, начиная
15 Примеры математических рассуждений, где применение закона
исключенного третьего ведет к неоправданным заключениям, см.,
например, в книге [5, стр. 220—222].
16 Еще Фреге считал наиболее уязвимым местом своей системы
предположение, что у каждого понятия есть точно фиксированный
объем.
17 Мы уже отметили выше, что в определении этих постоянных
можно обойтись вообще без аксиом, ограничиваясь только правилами
вывода. Название «натурального» в применении к исчислению с одними
только правилами, введенное впервые Генценом, представляется нам
вполне оправданным: ведь вывод совершается всегда но определенным
правилам и было бы неестественно заменять эти правила добавлением
к аксиомам данной научной дисциплины аксиом (а не правил!)
логики.
202

с Фреге и Рассела, пытаются представить дело так, будто
в математике никаких других постоянных, кроме
логических, вообще не требуется, будто все истины математики
суть только тривиальные свойства логических постоянных,
одинаково верные во всех «возможных мирах» и ничего не
говорящие поэтому о действительном мире.
Строя свою «логическую систему» «Prineipia Mathematical,
Рассел настолько верил в тривиальный и априорный
характер математических истин, что рассчитывал даже на то,
что ему удастся когда-нибудь дать эффективный критерий,
позволяющий по виду отличать «тривиальные» (логические)
предложения от нелогических — эмпирических.
В 1936 г. А. Чёрч доказал, однако, что уже для самого
простого исчисления предикатов первой ступени не
существует алгоритмического (эффективного) приема, который
позволил бы по виду выражения решить вопрос о том,
является ли оно «законом логики» (доказуемой формулой
этого исчисления) или нет.
Замечательно, что теорема Чёрча имеет место несмотря
на то, что такие логические постоянные, как импликация,
отрицание и кванторы, определяются полностью правилами
обращения с ними не только в смысле однозначного
представления в любых моделях (определенного рода), но и
в том смысле, что все логические предложения («законы
логики»), устанавливающие их свойства, принципиально
могут быть выведены с помощью одних только этих правил
(теорема Гёделя о полноте узкого исчисления
предикатов).
В применении к математике не приходится сомневаться
в том, что в состав этой науки во вяком случае входит
арифметика натуральных чисел, включая так называемые
рекурсивные функции, соответствующие основным
арифметическим операциям: сложению, умножению и другим,
определяемым посредством математической индукции
(рекурсивно).
Как мы уя*е выяснили, в логике нет какой-либо одной
предметной области: некоторые законы логики равно
применимы и к предметной области натуральных чисел и
к предметной области людей (живших когда-либо и где-либо
в прошлом, настоящем и будущем) и к бесчисленному
множеству других областей; в арифметике же идет речь
именно о числах; в арифметике натуральных чисел —
именно о натуральных числах.
Но может быть числа (натуральные, прежде всего) входят
сами в область логики? Может быть, они являются
логическими постоянными? Именно это и утверждают логицисты.
20В

Разве, действительно, с помощью чисел нельзя одинаково
сосчитывать и людей, и растения, и вообще предметы любой
предметной области?
На этот вопрос ясный ответ дает, однако, знаменитая
теорема Гёделя о «неполноте формализованной арифметики>>.
Ведь если бы числа входили в область логики, они были бы
индивидуумами (предметами) специфически логического
характера — логическими постоянными. И такой же
характер носили бы их специфические отношения. Между
тем, в то время как логические постоянные могут быть
определены полностью с помощью системы формальных
аксиом и правил вывода, теорема Гёделя говорит о том,
что для чисел, их свойств и отношений такое полное
определение уже невозможно: нельзя указать такой
(непротиворечивой!) совокупности точно перечисленных формальных
аксиом и правил вывода (логической системы S), в которой
были бы выводимы 18 все содержательно истинные предложения
арифметики; никакими полностью перечисленными
формальными аксиомами и точно сформулированными эффективными
правилами вывода нельзя полностью охарактеризовать
понятие «следующего» (числа л-f-l, «следующего» за
числом п). Из этого явствует, что арифметическое понятие
«следующего» отнюдь не «чисто логическое» понятие, не
такая константа (индивидуальное понятие), которая может
быть полностью определена заданием логических правил
образования и преобразования формул.
Это и означает, прежде всего, что арифметика не
сводится к логике, что она имеет собственный предмет и
собственное, отличное от логики, содержание.
В истории науки это не первый пример того, как
идеалистические построения опровергаются самим развитием
науки. Развитие математической логики позволило по-новому
поставить вопрос о сущности основных арифметических
понятий «числа», «единицы», «следующего», вокруг которых
еще в древности шла борьба материализма с идеализмом.
Вспомним, например, борьбу Аристотеля, признававшего
абстрактный, но в то же время извлеченный из чувственного
характер этих понятий, против платоновской теории идей!
18 Под «выводом» здесь имеются в виду только такие
доказательства, которые осуществляются в конечное число шагов, состоящих
(каждый) в эффективном применении одного из заранее перечисленных
правил вывода. Каждое такое правило (без ограничения общности)
можно при этом считать осуществляющим переход от одной или двух
уже доказанных формул к новой (доказываемой по данному правилу)
формуле.
204

В наши дни вокруг этих понятий снова развернулась борьба,
которая в конечном счете сводится к борьбе материализма
с идеализмом. Теорема Гёделя, как и всякое подлинное
научное открытие, лишний раз подтверждает точку зрения
материализма. Действительное содержание теоремы Гёделя
«о неполноте формализованной арифметики», состоит не
в агностических выводах, которые кое-кто попытался из
нее сделать (в действительности из нее следует только
невозможность остановить развитие арифметики, замкнув ее в
рамки одной, раз навсегда данной формализованной
системы), а как раз в том, что арифметика имеет
собственное содержание, не сводящееся к логике.
4. Теорема Гёделя о неполноте формализованной
арифметики и методологические выводы из нее
Теорема Гёделя заслуживает подробного рассмотрения [6,
стр. 173—198]. Она была открыта австрийским математиком и
логиком Куртом Гёделем в 1931 г. и изложена им впервые в
знаменитой работе «О формально неразрешимых предложениях
«Principia Mathematica» и родственных систем». Теорема Гёделя
неоднократно, в том числе и популярно, излагалась другими
авторами, приводились новые доказательства,
устанавливались общие условия применимости этой теоремы к
различным логическим системам. Здесь следует прежде всего
отметить книгу польского математика и логика А.
Жостовского [7]. Освещение теоремы Гёделя мы начнем с цитаты
из введения к этой книге [7, стр. 3—4]:
«Проблема полноты формализованных систем19 имеет
важное значение потому, что она выявляет степень
трудности формализации содержательной математики даже для
того случая, когда мы ограничиваемся той частью
математики, которая имеет дело с целыми числами. Как мы увидим
в дальнейшем, никакая формализованная система
S не может быть полной, если некоторая
вполне определенная часть арифметики целых
чисел адэкватно выразима в S. Мы покажем
неполноту таких систем S, строя для каждой S
арифметическое предложение, которое неразрешимо в S20. Это
неразрешимое предложение, как мы увидим, содержательно
очевидно и становится доказуемым, если мы усилим систему S,
19 Формализованная система называется полной, если каждое
предложение, выразимое в ее терминах, либо доказуемо, либо
опровержимо в ней.— А. Г.
20 Т. е. которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами
системы S. — А. Г.
205

добавив некоторое число содержательно очевидных аксиом
и правил вывода21.
Отсюда следует, что никакая система S, к которой
применим описанный выше метод, не может совпадать
с содержательной математикой. Важно отметить,
что метод, о котором идет речь, настолько общ, что он
практически применим ко всем системам S, заслуживающим
названия формализованной арифметики»22.
Таким образом, не только никакая «чисто логическая»,
т. е. не содержащая внелогических постоянных, логическая
система, но вообще никакая строящаяся по точным
формальным и эффективно выполнимым правилам23
формализованная арифметика не совпадает полностью с
содержательной арифметикой.
Основные понятия и истины арифметики могут быть
выражены на «языке» (т. е. в терминах) Principia Mathe-
matica, могут быть эффективно «формализованы» в этой
системе. Но именно поэтому система Principia Mathematica
оказывается уже неполной: не все содержательные
арифметические истины, выразимые ее средствами, могут
быть доказаны в ней. Но тогда ясно, что содержательная
арифметика предшествует формализованной арифметике, что
формализация, уточняющая определенным образом понятия
и методы арифметики, играет роль лишь вспомогательного
средства, позволяющего лучше разобраться в содержании
арифметики, имеющем объективный, независимый от выбора
языка смысл.
Для тех читателей, которые . хотят ближе представить
себе сущность теоремы Гёделя, мы приведем краткую идею
доказательства этой теоремы. Разумеется, здесь не удастся
осветить основные трудности этого доказательства.
1. С помощью так называемой «гёделизации»24 всякое
высказывание о формулах и доказательствах переводится
в некоторое высказывание о числах, в арифметическое
высказывание. Для того чтобы это можно было сделать,
логическая система должна быть достаточно сильной. Система
Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда достаточно сильна
для этого.
21 Однако в новой системе S' опять найдется предложение,
неразрешимое в S' и в то же время содержательно истинное. Мы его
докажем в системе S", с которой, однако, опять повторится то же
самое, и т. д. — А. Г.
22 Подчеркнуто мной. — А. Г.
23 Которые к тому же в каждом доказательстве могут применяться
только конечное число раз.
24 О «гёделизации» можно прочесть, например, в книге [5]. Оттуда
же заимствован способ представления основной идеи теоремы Гёделя.
206

2. Система достаточно сильна и для того, чтобы ее
средствами можно было записать (выразить, построить)
формулу, которая говорит о самой себе, что она недоказуема
в системе Principia Mathcmatica. Так же обстоит дело и
в других достаточно сильных системах, поэтому в
дальнейшем мы будем говорить не о Principia Mathcmatica, а более
неопределенно: о некоторой логической системе S.
3. Назовем формулу, которая говорит о самой себе, что
она недоказуема в системе S, буквой Ф. Тогда мы будем
иметь доказанную эквивалентность
Ф = (Ф недоказуема в £)25. (1)
4. Докажем теперь, что Ф — недоказуемая в S формула.
Действительно, если бы Ф была доказуемой в S
формулой, то левая часть доказанной эквивалентности (1)
была бы доказана, а тогда, значит, была бы
доказана и правая ее часть (предполагается, что такого рода
простейшие правила вывода во всяком случае имеются в
системе S). Иными словами, было бы доказано, что Ф
недоказуема в S. Но ведь к этому выводу мы пришли, исходя
из предположения, что Ф — доказуемая в S формула.
Полученное противоречие свидетельствует о том, что наше
предположение неверно2**, т. е. что нельзя предположить,
что Ф — доказуемая в S формула. Значит, Ф —
недоказуемая в S формула.
5. Но ведь Ф и говорит, что Ф недоказуема в S.
Следовательно, Ф говорит правду, т. е. Ф истинная формула.
Итак, мы построили истинную, но в то же время
недоказуемую в S арифметическую формулу. И притом
построили эффективно. Таким образом ясно, что система S
действительно не полна: не вся содержательная арифметика
в ней находится. Такова, в частности, и система Principia
Mathcmatica.
Так как система S по предположению непротиворечива27
и представляет собой формализацию содержательной
арифметики, содержательно ложные предложения арифметики
в ней заведомо недоказуемы. Но так так как формула Ф
истинна, то отрицание ее Ф ложно. Поэтому Ф тоже
недоказуемая формула. Итак, ни Ф, ни Ф недоказуемы в S.
Такого рода формулы называются неразрешимыми в S.
Построение Гёделя, на котором основано доказательство его
25 Эта формула читается так: «формула Ф эквивалентна формуле
(Ф недоказуема в S)».
26 Система S предполагается непротиворечивой.
27 Непротиворечивость может пониматься при этом в смысле
существования модели, удовлетворяющей * условиям, о которых шла речь
выше.
207

теоремы, и есть поэтому построение формулы, неразрешимой
в формализованной системе S.
Ясно теперь, что среди моделей системы S могут быть
как такие, в которых формула Ф верна (такой, 'например,
является обычная содержательная арифметика), так и такие,
в которых Ф не верна (так называемые нестандартные
модели). Ведь верными во всех моделях должны быть только
доказуемые формулы системы S, а ни формула Ф, ни ее
отрицание не доказуемы! Но если предложение в одной
модели верно, а в другой неверно, то как же в нем могут
фигурировать только логические постоянные? Ведь логические
константы имеют одно и то же значение во всех моделях!
Следовательно, среди постоянных, фигурирующих в
арифметической формуле Ф, должны быть внелогические,
арифметические постоянные. Тот смысл, который эти постоянные
имеют в обычной содержательной арифметике, и есть их
специфический арифметический смысл.
Мы видим, таким образом, что системы, аналогичные
Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда, не только не
способны включить (формализовать) всю содержательную
арифметику, но что даже та часть арифметики, которая
получает отражение в этих системах, не становится при
этом логикой. Даже внутри этих формализованных систем
существует объективное различие между логическими
и внелогическими (математическими) понятиями и
соответствующими им терминами.
Но все постоянные в Principia Mathematica выражаются
в терминах логики. Как же объяснить наличие среди них
внелогических постоянных? Нельзя ли вообще предложить
такой способ построения «логических систем», по силе не
уступающих Principia. Mathematica, в которых
внелогические постоянные строго отличались бы от логических,
даже если первые выражены в терминах логических
постоянных, в которых математическая часть системы отделялась бы
от чисто логической?
На этот вопрос правильный, на наш взгляд, ответ дает
работа советского ученого Д. А. Бочвара [8]. С целью
облегчить читателю подход к идее Бочвара, остановимся
на примерах некоторых индивидуальных (постоянных)
предикатов, встречающихся в Principia Mathematica.
У представителей логицизма, начиная с Фреге и Рассела,
сведение математики к логике осуществляется путем,
во-первых, включения в логику тео'рии множеств,
трактующейся при этом как та часть логики, которая занимается
объемом понятий, и во-вторых, путем определения основных
понятий арифметики — к которой они считают сводимой
208

всю «чистую» математику—в теоретико-множественных
терминах. Так, число 1 при этом определяется как множество
всех множеств М, обладающих следующими свойствами:
(а) каждое М не пусто, т. е. содержит какие-либо элементы;
(б) если установлено, что хну суть элементы М, то х
совпадает с у.
Аналогично, число 2 определяется как множество всех
множеств М, характеризующихся тем, что (а) существуют
такие различные предметы х и у, которые являются
элементами М\ (б) всякий предмет z, о котором установлено, что
он является элементом М, совпадает либо с х, либо с у.
В этих определениях нет ничего такого, что делало бы
их логически неприемлемыми. Нет, в частности, порочного
круга, который усматривал в них Пуанкаре. Понятие «один»
не определяется здесь через понятие «два», понятие «два»
не определяется через понятие «три», как представлял это
Пуанкаре. Ибо наличие различных предметов предшествует,
конечно, определению их числа, а доказательство того, что
некоторое уравнение допускает единственное решение,
что какая-нибудь система аксиом однозначно определяет
какой-нибудь термин, в математике выполняется обычно
в соответствии с приведенным нами определением
единственности («единицы»): доказывают сначала, что существует
объект /?, удовлетворяющий требуемым условиям, а затем
показывают, что всякий объект, удовлетворяющий им,
совпадает с р. Но так же доказывается единственность не только
в математике. В народных поговорках, загадках, сказаниях
и шутках нередко используется такая ситуация, когда два
разных предмета (двойники или близнецы) неправомерно
отождествляются или, наоборот, один и тот же предмет,
обнаруженный в разное время в разных местах, принимается
за два разных предмета. Такие понятия, как «один»,
«два», «три» и т. д., действительно связаны на самом деле
с умением различать и отождествлять вещи, а это умение
и исторически и логически предшествует умению их считать.
Замечательно также, что в приведенных выше определениях
«единицы» и «двойки» умение различать и отождествлять
вещи предполагается на самом деле не только в виде
используемых в них понятий «тождества» и «различия», но
и непосредственно как умение отличать и отождествлять
написанные в разных местах на бумаге буквы ж, у, z.
Такое предположение содержится, конечно, в каждом
выражении, записанном с помощью букв некоторого алфавита.
Но здесь оно становится особенно существенным, поскольку
сами буквы могут быть использованы как предметы счета.
Историческое происхождение этой операции, предполагающее
209

приобретенную людьми ^на практике— отнюдь не
априорную— способность к абстрагированию и умению применять
эту способность к материальным предметам (написанным
на бумаге знакам), скрыто, таким образом, в приведенных
выше «логических» определениях единицы и двойки.
Вопрос о том, следует ли предпосылать вообще
абстрактную теорию множеств обычной арифметике, следует ли,
в частности, отождествлять какое-нибудь свойство множеств
с множеством множеств, является уже более сложным.
Простейшие множества, с которым имеет дело математика,
либо непосредственно являются множествами чисел либо
приводятся к таковым с помощью перечисления их
элементов. Эффективно перечисляемые конечные множества
являются простейшими, с которыми людям приходится иметь
дело на. практике и оперируя с которыми они обучались
счету. Может быть, поэтому следует начинать
теоретическую арифметику не с понятия множества вообще, не
с множества всех множеств определенного рода (например,
множества всех подмножеств данного множества), а с каких-
нибудь более простых понятий, достаточно хорошо
соответствующих, например, последовательному образованию
множеств палочек или штрихов, таких, как {|}, {||}, {|||}, {||||}, и т. д.?
Понятия тождества и различия так же допускают
полное определение с помощью правил обращения с
формулами, содержащими знак равенства, как это происходит
с импликацией, отрицанием и кванторами. Закон тождества
«а есть а», который может пониматься как утверждение,
что а тождественно а, что а совпадает с а, испокон веков
относился людьми к логике. В нем выражается,
действительно, некоторое общее свойство предметов любых
предметных областей определенного рода, таких, в которых
вещи предполагаются фиксированными и отличимыми друг
от друга, не изменяющимися хотя бы в течение того времени,
пока мы ведем о них речь. Метафизическим является не
самый этот закон тождества, а только предположение, что
предметы любых предметных областей в любых
конкретных условиях автоматически подчиняются этому закону.
Добавление этого закона к узкому исчислению предикатов
не делает еще это исчисление неполным: теорема Гёделя
о полноте узкого исчисления предикатов28 сохраняется и
при добавлении к нему предиката тождества. Предикат
тождества естественно, в силу всего этого, считать логическим.
Наоборот, уже такие понятия, как «единица» и «двойка»,
28 В смысле доказуемости всякой тождественно истинной формулы
этого исчисления.
210

которые, как мы видели, могут быть определены с помощью
понятия тождества, принадлежат тем не менее к той части
системы Principia Mathematica, для которой теорема полноты
уже не имеет места. Как мы уже видели, логические системы
такого рода отличаются тем, что в них заведомо имеются
предложения, верные в одной модели и неверные в другой.
Эти системы допускают, как теперь принято говорить
в таких случаях, неизоморфные модели, т. е. в них
должны существовать внелогические постоянные. Между
тем такие постоянные, как «импликация», «отрицание»,
«кванторы» и «знак равенства», естественно, как мы уже
видели, считать логическими. Какие же постоянные следует
рассматривать как внелогические? Обратимся к указанной
выше работе Д. А. Бочвара[8].
5. Д. А. Бочвар о соотношении математики и логики
На вопрос как отличать внелогические
постоянные от логических, Д. А. Бочвар
отвечает так: поскольку логика относится к любой
предметной области, в ней не может идти речь ни о каких
индивидуальных предметах. Предикат, выражающий собою
свойство или отношение, характерное для каких-нибудь
определенных предметов, в свою очередь тоже является
предметом, о котором может идти речь. Даже если такой
предмет определяется только с помощью логических
терминов импликации, отрицания, кванторов и тождества, то из
этого еще не следует автоматически его существование
в какой-нибудь, и тем более в любой, предметной области.
Между тем всякое определение, не являющееся просто
сокращением, заключает в себе аксиому, утверждающую
существование определяемого предмета. Такого рода аксиомы
носят уже внелогический характер. Если они не сводятся
просто к утверждению о непустоте рассматриваемой области,
то могут быть, например, неверны в какой-нибудь предметной
области, состоящей только из одного предмета, почему и
не могут считаться верными в любой предметной области.
Всякий индивидуальный предикат следует рассматривать
поэтому как внелогический, а соответствующий ему символ
(имя) как внелогическую постоянную.
В формализованных типа Principia Mathematica теориях
Бочвар предлагает выделить чисто логическую часть —
сформулированное им исчисление К0, непротиворечивость (и полнота)
которого легко доказывается и в котором, помимо предиката
тождества, нет вообще никаких индивидуальных предикатов.
Исчисление К0 Бочвара представляет собой расширенное
211

исчисление предикатов без теории типов, в котором нет
никаких специальных терминов для выражения конкретных
свойств или соответствующих им множеств предметов,
обладающих этими свойствами. П К0 нет поэтому ни понятий
мощности множества (кардинального числа), ни понятия
трансфинитного порядкового числа, ни каких-либо
индивидуальных чисел («один», «два», «три» и т. д.), ни такого
понятия, как «следующий за» и т. п.
Как известно, основные теоретико-множественные
понятия отнюдь не являются столь простыми и предшествующими
понятиям обычной арифметики, как это представляется на
первый взгляд. Распространение на бесконечные множества
привычных правил обращения с конечными множествами29
не всегда является обоснованным. Особые трудности,
делающие теоретико-множественные понятия и методы
неконструктивными, связаны при этом с применением закона
исключенного третьего. Как известно, понятия и методы
так называемой «наивной» теории множеств таят в себо
опасность парадоксов, многие из которых действительно
были обнаружены. Таковы, например, парадокс Рассела
о множестве всех нормальных множеств, который обнаружен
Расселом в системе Фреге, парадокс Кантора, связанный
с понятием множества всех множеств, парадокс «лжеца»,
известный еще древним грекам, и многие другие. Со всеми
этими парадоксами удается справиться различными
способами, ни один из которых не позволяет, однако, построить
такую логическую систему, которая была бы заведомо
непротиворечива и включала бы в то же время в себя всю
содержательную арифметику.
Система К0 Бочвара непротиворечива. Но она не
претендует на формализацию арифметики. Даже такие
арифметические понятия, которые выразимы в терминах его системы,
принадлежат, по Бочвару, не к этой логической системе,
а к арифметике, поскольку они являются индивидуальными
предикатами. Хотя система К0 представляет собой
расширенное исчисление предикатов без теории типов, но, так как
она непротиворечива, никаких парадоксов в ней нет. Более
того, все приведенные выше парадоксы получают в ней
полное разрешение: они превращаются в доказательство
несуществования в предметной области соответствующего
индивидуального предиката.
29 Правил, позволяющих, например, имея некоторую совокупность
непустых множеств, образовать новое множество, выбрав из каждого
множества этой совокупности по элементу (так называемая аксиома
выбора); или, имея какое-нибудь множество, представить себе
множество всех его подмножеств, и т. п.
212

Так, например, парадокс Рассела о множестве всех
нормальных (т. е. не содержащих самих себя в качестве
элемента) множеств, становится доказательством
несуществования такого множества. (Заметим, что это означает на
самом деле — поскольку предметная область состоит только
из фиксированных предметов, о которых можно рассуждать
по законам классической формальной логики, — что
множество всех нормалЕ>ных множеств нельзя рассматривать
как фиксированный предмет, не изменяющийся в то время,
пока о нем идет речь.)
Разумеется, система К{)1 как всякая вообще система
логических правил вывода, имеет смысл не сама для себя,
а в применении к каким-нибудь специальным
(индивидуальным) предметам, их свойствам или отношениям, т. е. в
применении к какой-нибудь определенной научной области.
Добавление к системе К0 индивидуальных предикатов и
определяющих их аксиом, относящихся к той или иной
конкретной научной дисциплине, не означает при этом
сведения этой дисциплины к логике. Оно равносильно
утверждению (или гипотезе) о применимости логических правил
вывода, образующих систему К0, в данной научной области.
Если какие-нибудь законы (например, закон исключенного
третьего) не применимы или имеют лишь ограниченную
применимость в этой области, то систему К0 можно
видоизменить, заменив ее системой, более приспособленной к
проблематике этой области (например, какой-нибудь
конструктивной логической системой), но также без
индивидуальных предикатов.
Мы не будем здесь останавливаться на технической
стороне исчисления К0. Приведем в качестве примера
доказательство несуществования такого предмета как множество
всех нормальных множеств или соответствующего этому
множеству предиката /У(Ф), определяемого формулой
/?(Ф) = Ф(Ф), (1)
где Ф — предикатная переменная, F — предикат, определяемый
формулой (1).
Если бы в предметной области существовал
индивидуальный предикат F, удовлетворяющий формуле (1), то,
подставляя его на место переменного Ф в формулу (1), мы
получили бы
F(F) = T(F),
т. е. противоречие, поскольку А = А означает, что если А
верно, то А — неверно, если же А неверно, то А—верно.
Из этого противоречия естественно следует, что предполо-
213

жение о существовании (в предметной области)
индивидуального предиката F неверно.
. Но такое рассуждение полностью формализуется в
исчислении К01 т. е. выполняется по правилам этого исчисления30.
Действительно, нетрудно показать, что в исчислении К{)
имеет место правило, которое гласит: если, добавив к
аксиомам этого исчисления некоторую формулу, мы придем,
применяя правила этого исчисления, к противоречию, то в
самом исчислении (без всяких добавлений к нему) доказуемо
отрицание добавленной нами формулы.
В качестве добавляемой к исчислению К{) возьмем формулу
ЭРУФ{Р(Ф) = Ф(Ф)\ (2)
По правилам исчисления К0 можно:
A) «Отбросить» квантор существования QF в формуле (2),
что соответствует обычному в математических (и других)
рассуждениях переходу, осуществляемому с помощью фраз такого
вида: «Назовем этот существующий, по предположению,
объект буквой F». Мы получим, таким образом, формулу
УФ(Г(Ф)=ФЩ), (3)
где букву F нельзя будет трактовать как переменную (на
место буквы F нельзя будет сделать никакой подстановки
или применить к ней правило обобщения).
Б) Применяя к формуле (3) правило, соответствующее
аксиоме dictum de omni (Vx(H(x) -> У1(у)) (в нашем случае
«если нечто верно для всех предикатов Ф, то оно верно и
для предиката F»), можно получить
F(F)=FjF). (4)
B) Но (4) — формула вида ЭДеее'ЗЬ которая, уже по
правилам исчисления высказываний, содержащегося в К0,
эквивалентна формуле ЗД&ЭД, т. е. противоречию.
Г) Из полученного таким образом противоречия можно
немедленно заключить, что формула (2), служившая
предпосылкой нашего рассуждения, неверна, т. е. что доказана
формула
ШУФ {F (Ф) = ФЩ), (5)
* 30 Для упрощения изложения мы здесь не следуем способу
вывода, которым пользуется Д. А. Бочвар.
214

утверждающая несуществование предиката F,
удовлетворяющего условию, равносильному (1) (в смысле доказуемости:
«дедуктивно-равному» условию (1)):
УФ^^ее-ЩФ)). (Г)
Таким образом, в исчислении К0 действительно доказано,
что в предметной области нет предиката, определяющего
множество всех нормальных множеств.
Мы видим, что идея Бочвара позволяет не только
выделить в «логических системах» подлинно логическую часть
и отличить логические постоянные от внелогических (от
индивидуальных предикатов, специфических для данной
научной области), но и элиминировать парадоксы, не прибегая
к теории типов§
Нам представляются поэтому весьма убедительными
выводы Д. А. Бочвара. Вот что он пишет:
«1. Логика не противоречива. Не существует никаких
логических парадоксов.
2. Все парадоксы возникают вследствие присоединения
к системе логических аксиом специальных аксиом,
утверждающих существование в области объектов определенных
предикатов со свойствами, противоречащими аксиомам
логики.
3. Математика не выводима из формальной логики, ибо
для построения математики необходимы аксиомы,
устанавливающие определенные факты в области объектов и прежде
всего — существование в последней определенных объектов.
Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой31.
4. Математика не является собранием тавтологических
истин32. Нетривиальность содержания математической
дисциплины обеспечивается нетривиальностью ее аксиом и,
прежде всего, аксиом существования.
5. Тогда как даже формализованная математика невыво-
дима из логики, известная интуиционисткая математика33
предполагается логикой34.
31 Хотя бы в них утверждалось существование объектов, построяе-
мых полностью в терминах классической логики. (Примеч. Д.
Бочвара).
32 Строго говоря, в системе К0 есть все-таки одно нетривиальное
утверждение, а именно утверждение непустоты каждой категории
в области объектов. (Примеч. Д. Бочвара).
33 Термин «интуиционистская математика» здесь обозначает
содержательную математику, отграниченную так, что вопрос о ее
непротиворечивости уже не имеет значения. (Примеч. Д. Бочвара).
34 Ясно, что здесь автор имеет в виду сказать, что при
построении аппарата логических исчислений приходится пользоваться содер-
215

6. Система Principia Mathematica представляет собой не
чистую логику, а особую математическую дисциплину —
специальную теорию предикатов (от п переменных (п =
= 1, 2, . . .)), построенных в терминах логики (т. е. из
элементов логической символики). В теории предикатов в
широких пределах формализуется математика и прежде всего
теория множеств, особенно родственная теории предикатов»
[8, стр. 382].
Убедительность этих выводов, на наш взгляд,
обусловливается их полным соответствием с принципами
материалистической диалектики. Ведь из работы Д. А. Бочвара
следует непосредственно, что даже если мы начнем с того,
что ограничим себя, по условию, лишь рассмотрением
таких предметных областей, все предметы которых строго
отличны друг от друга и абсолютно неизменны, то, изучая
их, неизбежно встретимся с такими понятиями (и
соответствующими им абстрактными предметами), которые этому
требованию строгой фиксированное™ и неизменности не
будут удовлетворять. Всякий парадокс в конечном итоге
превратится как раз в доказательство того, что предмет, для
которого он получается, не обладает этим свойством
неизменности, почему и высказывание о нем не подчиняется
законам классической двузначной логики. С помощью диа-
лектико-материалистического принципа конкретности
истины, учитывая условия, обстановку, место и время, эти
высказывания можно, конечно, так уточнить, что к ним
снова будут применимы законы классической формальной
логики. Но требование конкретности рассмотрения опять
приведет нас к необходимости изменять и развивать наши
понятия и теории.
ЛИТЕРАТУРА
1. G. Frege. Grundgesetze der Arithmetik, Bd. 1, Jena, 1893; Bd. II,
Jena, 1903.
2. A. Whitehead a. B. Russell. Principia Mathematica, v. 1,
1910; v. II, 1912; v. Ill, 1913.
3. Математические рукописи К. Маркса. БСЭ, т. XXVI, стр. 497.
жательно понимаемой арифметикой. Он считает при этом, что для этих
целей достаточно так называемой «интуиционистской» арифметики,
не пользующейся законом исключенного третьего в применении к
бесконечным множествам. Так как «интуиционизмом» называется также
субъективно-идеалистическое направление в философии математики,
то в той связи, в которой здесь упоминается интуиционистская
математика, предпочтительнее говорить о «конструктивной
математике». — А. Г.
216

4. J. Kemeny. A new approach to semantics, J. of. Symbol. Logic,
v. 21, No 1, March, 1956.
5. P. Петер. Рекурсивные функции. ИЛ, М., 1954.
6. К. Go del. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathe-
matica und verwandter Systeme I. Monatshefte fur Math, und Phys.
Bd. 38, 1931.
7. A. Mostowski. Sentences Undecidable in Formalized Arithmetic.
An Exposition of the Theory of Kurt Godel. Studies on Logic and
Foundations of Mathematics, Amsterdam, 1952.
8. Д. А. Бочвар. К вопросу о парадоксах математической логики
и теории множеств. Мат. сб., т. 15 (57), № 3, 1944.
t

f
А.СшЕсепин-Волъпин
АНАЛИЗ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ*
1. Принято считать, что трудности обоснования
математики связаны с понятием бесконечности. Знаменитая критика
Брауэра ставит под сомнение прежде всего применимость
классического понятия истинности к высказываниям вида
VxA (х) («для всех х, А (ж)») и ЭхА (х) («существует х такое,
что А (х)») на том основании, что истолкование формулы
такого рода как истинной связано с проверкой истинности
бесконечного множества предложений А (п). Ввиду того, что
такая проверка, вообще говоря, невыполнима, классическое
понятие истинности (а также ложности) оказывается
неприменимым к формулам вида VxA (х) и ЭхА (х).
С другой стороны, для любого конечного числа п
конъюнкция А (0) & ... & А (п) считается осмысленной (истинной или
ложной), коль скоро осмысленным является каждое A (i),
i^n. Иными словами, ограниченные кванторы Vxx<^nA (х)
и Эхх^пА (х) не нарушают осмысленности формулы. Но на
каком основании принимается эта точка зрения, в особенности
при очень больших п, например при я=триллиону (=1012)?
Ведь проверка триллиона предложений все равно невозможна,
по крайней мере, она во много раз превышает возможности
любого человека (в столетии меньше чем 4 миллиарда
секунд). Может быть, очень мощные быстродействующие
машины и могут справиться с такой задачей, но, так как
мгновенной скорости пе существует, то употребление такого
рода машин только расширяет пределы осуществимого, однако
практически невыполнимое число действий продолжает
существовать и тогда, когда мы начинаем применять любые
машины. Дальнейшее повышение скорости работы машин и
* Эта статья является первой в ряде работ, посвященных
основаниям математики и, в частности, теории множеств. Со времени её
написания (весна 1957 г.) мы вновь продумали нашу теорию и
подготавливаем новые публикации по затронутым вопросам. Цифры {1} — {5}
означают ссылки на примечания в конце статьи; [1] — [26] — ссылки
на библиографию.
218

увеличение числа работающих в принципе не устраняет
наличия неосуществимого числа операций, хотя бы по причине
ограниченности нашей части Вселенной в пространстве и
во времени, а также того факта, что скорости выполнения
отдельных актов ограничены.
Ссылка на бесконечность мира, вряд ли может помочь
делу. По-видимому, утверждение о бесконечности мира
связано с глубокими математическими исследованиями, так что
его применение в основаниях математики создавало бы
опасность порочного круга.
В силу сказанного, мы, вообще говоря, предлагаем
сомневаться в осмысленности утвержделий вида Vxx<1Ql2A (х) и
3%x<1qvA {%) даже для практически разрешимых А (х).
Поскольку до сих пор математики всех школ — как классики,
так и интуиционисты — игнорировали это сомнение, я буду
называть их точку зрения традиционной; этот термин
я буду распространять и на связанные с указанной точкой
зрения понятия и говорить о традиционной математике,
традиционных кванторах и т. д. С традиционной точки
зрения колоссальные, «астрономические» числа типа 1012, или
100! раз
10! \ 'io!..\ioi* / 10!\
10! ! +те V101 /
10! /
(П(я) — число простых чисел <С^) принципиально не
отличаются от 5 или 6. Другую точку зрения, принимающую
в расчет практическую невыполнимость огромного числа
действий, выраженного этими символами, я буду условно
называть откровенной.
Принцип, отличающий традиционную точку зрения от
откровенной, А. А. Марков охарактеризовал как
«абстракцию потенциальной осуществимости», т. е. как «абстракцию
от ограниченности имеющихся в нашем распоряжении
времени, места и материалов» [1, стр. 178]. Но хотя эта
абстракция с древних времен получила в математике самое
широкое распространение — мало того, математика
фактически слилась с этой абстракцией,—до сих пор не делалось
никаких попыток исследования тех правил, с которыми
связано применение этой абстракции. Настоящая работа как
раз и представляет попытку в этом направлении. Кроме
того, нас будут интересовать возможности математического
мышления, отказывающегося от этой абстракции.
Нам не известно никаких доводов в пользу традиционной
точки зрения, кроме огромных заслуг традиционной мате-
219

матики и важности абстракции потенциальной
осуществимости для ее основ. При всей вескости этих доводов,
природа их не такова, чтобы заставить нас умерить свой
скептицизм.
Во многих случаях встречающиеся в математике
колоссальные числа н*е рассматриваются с количественной точки
зрения, и наша критика не направлена против рассуждений
такого рода. Не вызывает возражений, например, употребление
гёделевых номеров в математической логике. Но в теории
алгорифмов злоупотребление абстракцией потенциальной
осуществимости недопустимо. В самом деле, что сказать по
поводу «вычислимой» функции, значение которой, даже при
аргументе, равном двум, потребовало бы больше бумаги,
чем ее может существовать на нашей планете и больше
времени, чем просуществует солнечная система? Теперь,
обращаясь к математической логике, мы находим неясным, в
каком смысле следует понимать противоречивость формальной
системы, если противоречие в этой системе возможно лишь
в такое громадное число шагов, как, скажем, 1012!Н. Имея
дело с такой системой, мы были бы практически убеждены
в ее непротиворечивости, если бы этому не препятствовали
какие-нибудь теоретические соображения; и надо считаться
с возможностью того, что наша вера в непротиворечивость
классической математики (я имею в виду системы, неском-
прометированные парадоксами) носит именно такой
характер. Наша откровенная точка зрения способствует уяснению
этого вопроса. Вместе с тем, она проливает свет на то, что
традиционная математика зачастую исходит из ложных
положений, которые оказываются истинными только в ее
идеализированном смысле. В свете этого соображения мы не
можем безгранично полагаться на ту предельную четкость
понятий, на которую претендует математика. Интересуясь
действительностью, мы вынуждены рассматривать такие,
без сомнения, расплывчатые понятия, как «много» и «мало».
Хотя никакого точного определения этих понятий не
существует, с ними связаны у нас вполне определенные
убеждения. Мы знаем, например, что если кто-нибудь выкуривает
только одну папиросу в год, то он курит мало, а если же
человек курит 100 папирос в день, то он курит очень много.
Откидывая все предубеждения, связанные с традиционной
точкой зрения в математике, мы скорее верим в
справедливость предыдущей фразы, чем в возможность вычисления,
слишком длинного для Солнечной системы1.
1 Замечу, что это не единственный случай, когда мы имеем
убеждения в терминах таких понятий, для которых мы не можем найти
220

На каком основании принимается в математике принцип
полной индукции? Иными словами, почему из утверждений
Р(0) и Vn(P(n)Z) Р(п-\-I)) мы делаем вывод, что Р (п) для
всякого я? По-видимому, все дело в том, что мы уверены
в выполнимости каждого отдельно шага того рассуждения,
которое нужно при произвольно данном п, и делаем отсюда
вывод, что выполнима и последовательность из п таких
шагов, хотя бы п равнялось триллиону. Это типичный случай,
когда традиционная точка зрения оказывается неоткровенной.
Мы не видим возможности преодолеть это затруднение для
числа 1012, но надеемся показать, как можно обходиться
без введения подобных чисел в рассмотрение.
С другой стороны, если верить в выполнимость триллиона
шагов, то почему тогда не поверить и в выполнимость
бесконечного числа шагов? Ведь на самом деле ни то, ни другое
не выполнимо, а что касается «мыслимости» или
«изобразимости» и триллиона, то ведь и число ^0 обладает этими
свойствами в неменьшей мере. Более того: число ^0 мы
фактически представляем себе лучше, чем триллион. Еще число
10!! раз 10!! раз
<2=(10!10! ')М0: . . . 10! !!...!, как оно ни огромно, мы не
так уж плохо представляем себе; например, мы не колеблясь
заключаем, что оно делится на 36517. Но стоит прибавить
к числу а число т: (а) и относительная ясность восприятия
числа а исчезает почти без остатка. Дальнейшее изменение
нескольких таких конструкций, например прибавление
[1 + (—1Г(а)]^(а) и т. п., — быстро приводит к числам,
о которых нам не известно ничего, кроме их колоссальной
величины. Разве не верно, что числа ^0 и ^ мы
представляем себе с большей ясностью! Напрашивается мысль, что
сама идея такого числа, как J$0, возникла благодаря
идеализации наших представлений о той огромности и той
смутности, которой обладают только что описанные натуральные
числа. (Отмечу следующую аналогию между числами 1012
и со: если понимать 1012 по фон Нейману, как множество
меньших чисел, то, коль скоро дано 1012, число 1012-[-1
осуществить легко: достаточно к элементам множества 1012
присоединить само это множество, которое нам дано. А чтобы
получить Ю12—1, надо устранить вполне определенный эле-
удовлетворительного определения. Вряд ли может существовать,
хотя бы в применении к математике, определение понятия «истина»,
обладающее той четкостью, на которую претендует традиционная
математика. (Определение Тарского применимо лишь к формальным
системам и носит, как это хорошо известно, лишь ограниченный
характер.) Однако мы убеждены в истинности того, что 2X2 = 4 и в
ложности того, что 2X2 = 5.
221

мент из множества мощности триллион, для чего надо
осуществить триллион проб; фактически, 1012—1
неосуществимо. Сравните это с существованием со -|— 1 и
несуществованием со—1! Впрочем, числа вида со—1 легко ввести в
рассмотрение2). При этом последовательность таких чисел, как
миллион, миллиард, триллион, . . ., миллиониллион, . . ., мил-
лиониллиониллион,..., миллиониллион (миллион раз «иллион»).
г (о U)Oi
. . ., напоминает ряд со, . . ., со • со, . . .,, ;со , . . .,, ш ,...,,
. . .,,, со^ .... В такой мере, что возникает желание
говорить о конечной модели для бесконечных множеств3.
Последнее обстоятельство наводит на мысль: нельзя ли
разрешить с откровенной точки зрения трудности обоснования
математики? В настоящей статье намечается доказательство
непротиворечивости простой теории типов с аксиомой
бесконечности. Попытки такого доказательства в терминах
традиционных понятий терпели неудачу. Причина таких
неудач хорошо объясняется второй теоремой Гёделя [4,
теорема XI]4. Согласно этой теореме, доказательство
непротиворечивости теории множеств или теории типов требует
привлечения таких средств, которые выходили бы за ее
пределы. Трудность состояла как раз в нахождении таких
понятий, которые не были бы формализуемы в теории
типов и, вместе с тем, были бы свободны от основных
возражений, которым эта теория подвергается. (Естественно,
2 Создание теории; «рациональных трансфинитов» — отрицательных
и дробных — легко провести, например, методом теории пар,
используя при этом «натуральные суммы и произведения» Гессенберга
[2, стр. 73—74].
3 Во время выполнения этой работы автору стала известна статья
Ван-Данцига [3], в которой развиваются соображения, аналогичные
изложенным (там же встречается только что использованный термин
миллиониллион). В качестве своих предшественников Ван-Данциг
указывает на Маннури, Бореля и Фреше. Откровенная точка зрения
представляется настолько естественной для ученых всех поколений, что
речь здесь может идти скорее о ее прослеживании, чем о выявлении
приоритета. Мне ничего неизвестно о чьих-либо попытках сделать из
этой концепции то употребление, которое делается в настоящей
статье.
4 Первое подробное изложение доказательства второй теоремы
Гёделя дано во втором томе книги Гильберта и Бернайса [22]. На
русском языке доказательство изложено автором этой статьи в
Добавлении 1 к переводу книги [7]. (Необходимо там внести исправления:
стр. 462, в формуле (7) опустить «=0»; четырьмя строками ниже
вставить «В» после «f-Зс». Стр. 469: в определении вывода У (строки 7—8
сверху) заменить всюду «V6» на «Va» и «~]а' = 0» на «0 = 0& 0 =0 3
ID 0 = 0»; в строке 8 вместо четырех правых скобок должно стоять
шесть. В строке 13 сверху слово «разрешимости» следует заменить
на «определения». Стр. 470, строка 17 сверху: опустить «по (а, Ь)».
Стр. 472: в формуле (25) заменить «е = а'» на «е' = а».)
222

что доказательство непротиворечивости теории типов,
формализуемое в цермеловской теории множеств, не дает
обоснования теории типов, хотя и представляет бесспорный
интерес с другой точки зрения, а именно — сравнения силы
теории типов и теории множеств. Ср. Кемени[5]). Понятие
«фактически осуществимого» объекта и есть то неформа-
лизуемое понятие, с помощью которого мы решаем вопрос
о непротиворечивости теории типов.
Мы выдвигаем следующий тезис: понятие
бесконечности в математике может быть заменено
понятием неосуществимого.
Это применение к основаниям математики многим,
вероятно, покажется важным доводом в защиту откровенной
точки зрения. Но для меня основным аргументом является
возможность развития мысли в указанном
направлении.
2. Теперь рассмотрим подробнее те правила, по которым
будем рассуждать об осуществимости. Что касается логики,
то мы примем, с одной оговоркой, интуиционистскую
логику, а именно — систему постулатов Гейтинга [6] или
равносильное ей интуиционистское исчисление предикатов в том
виде, как оно изложено Клини[7]. Это связано с тем, что
при установлении этой системы были приняты во внимание
именно свойства осуществимости («конструктивности»), хотя
и распространенной некритически на объекты,
осуществимые лишь в традиционном смысле Оговорка, о которой
идет речь, связана с тем, что мы не полностью принимаем
интуиционистскую систему, даже в традиционных
рассуждениях. Именно, принцип: «из противоречия следует все, что
угодно», выраженный у Клини постулатом
81: 14D(iD^),
на наш взгляд, неубедителен: для того, чтобы убедиться
в его справедливости, надо оказаться в условиях
осуществления противоречивой посылки — или, истолковывая
отрицание ~~]А как Лз0 = 1, в условиях, когда истинна формула
0=1. (Рассуждение о «всех случаях, когда 0 = 1»,
опирается на принцип: Vx ~~] А (х) 3 (А (х) ZD В), который мы не
умеем доказать без 8 ). Поэтому мы отвергаем указанный
принцип и остаемся на точке зрения «минимального
исчисления» (Иоганссон [8]).
Однако один результат, связанный с использованием 81,
может быть получен и с помощью рассуждения, которое не
223

опирается на 8 и не вызывает у нас возражений. Именно,
мы принимаем постулат:
811: Я Violin» =>Д),
который мы обосновываем так: пусть верно B\J ~~\ В и верно
~~| ~~\В В. силу "~| ~~| В, не может быть ~~| В, и потому
справедливость В \у ~~]В означает, что В верно, что и требуется доказать.
Итак, мы принимаем интуиционистское исчисление
предикатов (с равенством) [7] с заменой 81 на 8й {1}. Это исчисление
мы будем называть по-прежнему интуиционистским, а
интуиционистское в прежнем смысле — гейтинговским. Для
интуиционистской системы в этом новом смысле сохраняет силу
результат Гёделя (1930) о том, что классическая арифметика
может быть погружена в интуиционистскую, и доказательство
[7, § 81] в основном сохраняется. Генценовское [9—12] или
новиковское [13] доказательства непротиворечивости
арифметики не используют ни 81, ни 8й.
3. Помимо понятия осуществимого объекта, мы будем
рассматривать также относительную осуществимость. Объект А
мы будем называть осуществимым относительно В19 . . ., В81
если А может быть осуществлен в предположении, что
осуществлены В19 . . ., В8.
4. Полный отказ от абстракции потенциальной
осуществимости совершенно парализовал бы математику: нельзя
было бы сделать ни одного утверждения о существовании,
потому что, согласно принятой нами интуиционистской
концепции, такое утверждение должно предполагать некоторую
конструкцию, — а кроме рассматриваемой абстракции у нас нет
никаких других принципов, относящихся к возможности
построений. Трудно было бы утверждать существование каких
бы то ни было чисел, кроме нескольких участвующих явно
в формулировках аксиом; остались бы только тавтологические
суждения, а также тривиальные предположения с квантором
общности, причем и эти тавтологии должны были бы
устанавливаться без привлечения абстракции потенциальной
осуществимости, в частности без привлечения метатеорем, которые
как правило носят экзистенциальный характер. Можно
было бы позаботиться о спасении таблицы умножения, но уже
простые вычисления по ней были бы тесно связаны с этой
абстракцией. Более того: возможность повторить в любой
момент однажды проведенное рассуждение является гипотезой,
основанной на этой абстракции. Мы вовсе не считаем эту
гипотезу очевидной, тем более, что не видно никакого единого
довода, убеждающего нас в ее истинности. В одних случаях —
это наличие предписания, позволяющего провести рассужения
224

заново, например в арифметических выкладках; в других
случаях — это наличие памяти, которая сохраняет нам
замысловатые рассуждения.
Но вовсе не всякое применение абстракции потенциальной
осуществимости осуждается нашей критикой. Выполнимость
однажды выполненных построений мы примем как факт, а
возможность в любой момент осуществить выполнимое — хотя бы
как привычное заблуждение. Мы даже согласимся считать, что
раз примененную операцию можно всегда повторить; это
соглашение мы будем называть гипотезой об
осуществимости следующего шага. Шаг этот может,
в частности, состоять в переходе от натурального числа к числу,
непосредственно следующему за ним. Но не эта гипотеза
вызвала наши сомнения, а другая, касающаяся возможности
совершить таким образом любое число шагов. Мы хорошо мыслим
себе путника, решившегося пройти весь путь от Москвы до
Ленинграда пешком, без единого привала. В любой момент
он в состоянии сделать еще один шаг; даже в тот момент,
когда он падал от усталости, он мог бы сделать лишний шаг,
если бы к тому был достаточный стимул. И тем не менее, этот
путник не дойдет до Ленинграда. Это совершенно так же, как то,
что ребенок через секунду наверняка останется ребенком,
и все же он может дожить до 70 лет и никто тогда уже не
назовет его ребенком; и это несмотря на то, что 70 лет содержат
конечное число секунд. Утро и через секунду останется
утром (если не понимать это слово астрономически), — и все же
оно не продлится 30000 секунд. Эти вещи мы знаем
лучше всякой математики, а потому идея
использования этих расплывчатых понятий в основаниях
математики не кажется нам нелепой.
Таким образом, мы считаем мыслимой следующую
ситуацию: 1) число 0 осуществимо; 2) для произвольного п, если
осуществимо п, то осуществимо лг+1; 3) существуют
неосуществимые числа.
Ясно, что здесь мы расходимся с традиционными
представлениями, в частности с наивной верой в осмысленность
оборота «и так далее». 0, 0', 0", 0'", . . . — это лишь намек
на некоторый закон, но вовсе не его формулировка. «Как» же,
собственно, «далее»? И до каких пор далее? Никто не досчитал
таким образом до миллиарда, — и, как мы уже говорили
выше, никогда не досчитает. И подавно никто не сумеет
выполнить никакой математической конструкции в миллиард
шагов. Поэтому мы, следуя откровенной точке зрения,
воздерживаемся от разговоров о бесконечности и оборота «и так
далее», предпочитая говорить «до изнеможения» (сокращенно
«д. и.») и т. п.
225

Слово «осуществимо» требует, конечно, особых разъяснений
для каждого рассуждения. Вероятно, существуют и абсолютно
неосуществимые числа, ввиду ограниченности нашей
Галактики и возможностей человеческого мышления. Заметим, что
гипотеза о существовании неосуществимых чисел (или
объектов другого рода) не носит интуиционистского характера, так
как при этом никакое число, вообще говоря, не указывается.
Впрочем, мы можем пытаться описать такое число, как мы
уже делали прежде. Согласно традиционным воззрениям,
такая система мышления противоречива. Но это противоречие
достигается в неосуществимое число шагов, а мы уже
высказали свое отношение к такого рода противоречиям. (Тут надо
следить за тем, чтобы «неосуществимость» конструкций,
в связи с которыми введено это слово, означала и
неосуществимость рассуждений соответствующей длины.)
Абстракция потенциальной осуществимости будет
интересовать нас в отношении осуществимости натуральных чисел
и осуществимости слов в алфавите. В последнем случае
«осуществимость следующего шага» — это возможность приписать
букву. Следующий по силе случай применения абстракции
потенциальной осуществимости — это осуществимость
сочленения слов, т. е. возможность составить слово PQ
из любых двух слов Р и Q. В области натуральных чисел этой
гипотезе соответствует гипотеза об осуществимости
суммы осуществимых чисел. Эту гипотезу
можно истолковать, вовлекая в рассмотрения арифмометры,
которые обладают большими счетными возможностями, чем
человек; если мы и не в состоянии сами сложить два
полученных ранее числа, то арифмометр это сумеет сделать, а также
сумеет сложить между собой две полученных таким образом
суммы, и так до изнеможения. Еще проще можно мыслить
сложение х-\-у как формальную операцию выписывания слова
«х^у», рассматриваемого как обозначение для
соответствующего числа. Число считается при этом осуществимым,
если для него можно указать осуществимое
обозначение.
Нет видимых откровенных оснований считать, что
осуществимость следующего шага влечет осуществимость суммы,
хотя с традиционной точки зрения, это, конечно, так. Но
ведь чтобы из 109 и 109 получить 10°-(-10° с помощью одной
только операции следующего шага, придется совершить 109
шагов, т. е. практически неосуществимое число, тогда как
запись «109-f-109» мы можем осуществить сразу.
Осуществимость сочленения родственна гипотезе об
осуществимости воспроизведения, утверждающей,
что любое рассуждение, проведенное однажды, можно затем
226

повторить в любой нужный момент. Этой гипотезой-мы будем
свободно пользоваться в дальнейшем.
Следующим шагом является принятие гипотезы об
осуществимости подстановки, т. е. операции,
состоящей в переходе от А (х) и t к слову A (t) — или, более
общо, от слова ах . . . ап и соответствия а{ <—> А{ (i = 1, . . ., п)
к слову А1 . . . Ап. В области натуральных чисел этому
приблизительно соответствует гипотеза об
осуществимости произведения осуществимых чисел.
Аналогично предыдущему, эта гипотеза не сводится к гипотезе
об осуществимости суммы, например не видно, как можно
получить 109 X Ю9 с помощью сложений меньше, чем в
миллиард шагов. (Из того, что два числа можно сложить на
счетах, не следует, что на этих же счетах их можно и
перемножить: чтобы всегда быть в состоянии сложить на
счетах два изобразимых на них числа, достаточно уметь
присоединять к ним один дополнительный разряд; для умножения
этого недостаточно). Можно мыслить умножение х на~ у как
осуществление записи «х • у», тогда осуществимость
умножения чисел сводится к осуществимости сочленения слов при
наличии буквы « • »; но осуществимость этой буквы есть
гипотеза, независимая от осуществимости буквы «-f-». (То
обстоятельство, что и обратно: осуществимость буквы «-[-»
не зависит от осуществимости буквы « • », нас не интересует).
•Аналогично можно ввести гипотезу об осуществимости
степени: ху\ и вообще, для любой функции арифметики
Q (xv . . ., хп) можно ввести гипотезу об осуществимости
Q(x}1 . . ., хп)ъ. (Число п естественно считать осуществимым).
Аналогично обстоит дело с гипотезами об осуществимости
слов.
Предположим, что мы ввели некоторое число таких
гипотез. Естественно считать, что это число гипотез осуществимо;
в дальнейшем оно не будет превышать 15. Все равно будут
иметься неосуществимые числа и слова, это верно по-прежнему
в силу ограниченности наших возможностей. С помощью знака
функции, растущей быстрее, чем любая осуществимая
суперпозиция функций из данных гипотез, можно получить и
обозначения для таких чисел, а нужную для этого быстро растут
щую функцию можно получить, например, методом Дюбуа-
Реймона (если данные функции примитивно рекурсивны, то
можно взять диагональную функцию Аккермана).
Согласно абстракции потенциальной. осуществимости, эти
числа все-таки осуществимы. Таким образом, эту абстракцию
5 Однозначность функции Q (хъ . . ., хп) несущественна, лишь бы
она была конечнозначной.
227

нельзя свести ни к какому осуществимому числу только что
указанных гипотез. Совокупность последних относится к
первой примерно так, как теория типов к теории множеств (ср.
результат Кемени [5]).
Следует отчетливо представлять себе, что для любой
концепции осуществимого числа, включающей гипотезу
осуществимости следующего шага (т. е. функции х') (и гипотезу об
осуществимости 0), среди неосуществимых чисел нет
наименьшего. Иначе наименьшее такое число у было бы осуществимо
как (у —1)'. Дважды применяя контрапозицию, устраняем
закон исключенного третьего.
Во избежание недоразумений, подчеркнем, что
осуществимость или неосуществимость некоторого числа (или слова)
мы утверждаем только тогда, когда имеем в ней полную
уверенность. Мы убеждены в возможности осуществить 10 путем
выписывания всех меньших чисел на бумаге и утверждаем
осуществимость 10. Мы убеждены в невозможности
осуществить триллион таким образом и утверждаем это.
Относительно числа 5 000 000 возможны сомнения, потому что
нескольких лет работы было бы достаточно для осуществления
этого числа, хотя совершенно невероятно, чтобы у
кого-нибудь хватило на это усидчивости и внимательности. Поэтому
мы воздерживаемся в этом случае от заключения. Мы спаслись
от противоречия ценой закона исключенного третьего, так
что наши интуиционистские рассуждения об осуществимых
числах действительно должны быть слабее классических.
Понятие осуществимого числа или слова безусловно
подвержено эволюции, хотя при возможности достаточно «смелого»
понимания осуществимости эта эволюция не должна влиять на
доступные нам рассуждения.
Заметим, наконец, что хотя понятие осуществимого числа
или слова родственно другим расплывчатым понятиям,
например понятиям «много», «ребенок», «утро» (см. выше) или
понятию «куча», — последние интересуют нас здесь лишь
постольку, поскольку они связаны с осуществимостью.
Поэтому и трудности, с которыми они связаны, могут смущать
нас лишь в той мере, в какой они распространяются на
осуществимость.
5. Перейдем к откровенному обоснованию традиционной
арифметики. При этом мы установим, какие случаи
абстракции потенциальной осуществимости достаточны для
традиционных арифметических рассуждений.
Рассмотрим обычный символизм традиционной формальной
арифметики [7].
Примем: для слов — осуществимость каждого символа,
следующего шага, сочленения, воспроизведения, подстановки;
228

для чисел — осуществимость 0, следующего шага, сложения,
умножения.
Тогда каждая формула осуществимой длины осуществима6.
Каждое применение правил вывода осуществимо. При этом,
кроме допущенных применений абстракции потенциальной
осуществимости, мы пользуемся способностью
распознавания— например способностью узнать в формуле 93
заключение фигуры ЗД, ЗД ZD 93 и в формуле *2l Z) Vx4$(x), где х
не входит свободно в *21, заключение фигуры
% ID Ъ (яг)
Этой же способностью. мы пользуемся при распознавании
аксиом.
Рассмотрим теперь откровенную модель осуществимых
формул, в которой (переменное) число рассматривается как
(переменное) осуществимое число, причем 0 как 0, а'—как
число, следующее за а, и так д. и.; функции + и • —как
рассмотренные выше формальные символы, а дальнейшие
арифметические функции — как описания, полученные с
помощью символа i [7, § 74]. (Нас сейчас не интересует
однозначность выбора описания; для каждой конкретной рекурсивной
функции оно может быть получено из конкретного
определения этой функции). Гипотезы о сочленении и подстановке
позволяют построить описание для любой функции,
выразимой через + и# в осуществимое число шагов.
Предложение VxF(x) понимаем: «для всякого
осуществимого х, F(х) в силу откровенного довода»; Я xF (х) — «для
некоторого осуществимого я, F (х) в силу откровенного довода».
Пропозициональные связки понимаем в обычном
содержательном (интуиционистском) смысле.
Тогда очевидна истинность каждой осуществимой аксиомы
(так как в нее могут входить только осуществимые термы).
Для логических аксиом это утверждени° опирается только
на определения и постулаты интуиционистской логики (ср.
стр. 252); для аксиомы полной индукции также и на
осуществимость функции я', для остальных арифметических аксиом —
на соответствующие им содержательные предложения.
Легко проверить, что применения правил вывода сохраняет
истинность. Отсюда вытекает истинность каждой арифмети-
6 Под длиной формулы мы понимаем число всех ее знаков, включая
число знаков, образующих каждый индекс. Ясно, чао при этом в
осуществимую формулу могут входить только индексы осуществимой
длины. Аналогично определяем длину терма. В осуществимую формулу
могут входить только осуществимые термы. ••
22Й

ческой теоремы, доказательство которой имеет осуществимую
длину (ср. ниже, стр. 251—253).
Так как предложзние вида А & ~~| А или 0 = 1 не может
быть истинным в откровенной интерпретации, то отсюда
вытекает, что это предложение не можзт иметь
осуществимого доказательства.
Мы не считаем это обоснование традиционной арифметики
окончательным, так как можно усомниться в использованных
гипотезах. Использованное (в связи с принципом индукции)
предположение, что числа, осуществимые относительно -}-и«,
можно считать осуществимыми относительно одной только
операции', мы нэ умзем доказать без порочного круга.
(Попытка определить сложение над числами, осуществимыми
Относительно', связана с рассмотрением суперпозиций
функций— и, тем самым, сложения чисел шагов по вычислению
этих функций.) К тому же, для того, чтобы считать
выполнимость 10i2 шагов делом потенциальной осуществимости,
сперва надо признать, что вообщз число 1012 мыслимо как
элемент ряда 0, 0\ 0", . . . — а в этом можно усомниться.
Впрочем, наши гипотезы все же слабее традиционных.
(Напомним, что, по предыдущему, осуществимостью только
что перечисленных функций содержание абстракции
потенциальной осуществимости не исчерпывается.) Если бы мы
положили в основание модели более широкое понятие
осуществимости, мы смогли бы получить модель традиционной
арифметики, обладающую числами, неосуществимыми относительно
тех операций, которые мы до сих пор рассматривали и
которыми, как мы уже отметили, можно ограничиться при
фактическом изложении традиционной арифметики.
6. До сих пор мы рассматривали только натуральные
числа. «Неосуществимое число» — это было очень большое7
натуральное число. Безусловно, заслуживают рассмотрения
1
и дроби. Дробь — мы будем называть неосуществимо малой,
если п неосуществимое число; дробь —<С— мы при этом
также будем называть неосуществимо малой.
неосуществимо малая дробь, если п неосуществимо относительно т.
Мы здесь не останавливаемся на этой арифметике
«актуально бесконечно малых» и на ее применениях к математиче-
7 Растяжимость этого термина такова, что иногда и число 10 —
ц даже 5 — может показаться очень большим. Если перед произнесением
каждого следующего числа требуется экскурсия на Казбек, то, пожалуй,
даже число 3 покажется очень большим.
230

скому анализу. Очевидно, это понятие неосуществимости
можно использовать в тех . «наивных» физических
рассуждениях, в которых практически ничтожные длины
рассматриваются как дифференциал длины, интеграл рассматривается
как сумма всех бесконечно малых известного рода, и т. п.
7. В дальнейшем речь будет идти о теории множеств,
основанной на нижеследующей системе аксиом S. Эта
теория основана на классическом исчислении предикатов с
равенством. Помимо равенства «=», имеется лишь один
первоначальный предикат: отношение принадлежности (г). Имеется
лишь один вид переменных, именуемых переменными
множествами х, у, z, . . . (в случае надобности с индексами).
В формулировке аксиом S, <р, ф и т. п. означают формулы
этой теории, ср (я, ?/, z) означает формулу, не имеющую
свободных переменных, отличных от ж, ?/, z, и т. п. Имеется
функциональный символ {х, у), именуемый
(неупорядоченной) парой х и у. {xf/} считается множеством, {хх}
обозначается также (ж), {{х} {ху}} через <ху>, <x<yz» через <xyz>
и т. п.
Система аксиом S:
1. ze{xy) ~z = x\J z = y.
2. Vx3yVu [ 3z [usz&lzzx] 3 игу].
3. Vx3yVu [Vz [zeu Z) zsx] Z) игу].
4. t 3x3f [VuVvVw [<uv> г/ & <иго> г/ D v = w] &
& VuVvVw [<av> £/&<ии;> г/ D v = w] & Vu [игх Z> 3v {огх &
& <vu> г/]] & 3t [tsxui Vv [vzx Z) 1 <tv> г/]]].
5. VuVvVw [у (v, u)&l^(w, u)Z)v=w]Z)
Z)SyVz[zsy~St[tex8L<f{z, t)]].
Аксиома 1 выражает основное свойство пары {ху},
состоящее в том, что х и у являются ее единственными
элементами. Аксиома 2 утверждает, что для всякого множества х
существует множество, содержащее «теоретикомножественную
сумму» всех элементов х в качестве подмножества. Аксиома 3
утверждает, что для всякого множества х существует
множество, содержащее в качестве подмножества «множество
всех подмножеств» множества х. (Но существование «теоре-
тикомножественной суммы» и «множества всех подмножеств»
этими аксиомами еще не утверждается; оно доказывается
с помощью аксиом, получаемых из 5). Аксиома 4— это
аксиома бесконечности, утверждающая существование
множества, взаимнооднозначно отобразимого на свою правиль-
231

ную часть. Схема аксиом 5 — это схема подстановки
Френкеля; для всякого однозначного отображения, определяемого
какой-либо формулой ср (г;, и), она утверждает наличие
множества, являющегося образом произвольного множества х
при этом отображении.
Если отвлечься от второстепенных особенностей в
формулировках этих аксиом, то по сравнению с системой Цер-
мело—Френкеля здесь нехватает только аксиомы
протяженности:
0. Vu [иех ~ игу] Z) х = г/.
Отсутствие аксиомы протяженности в системе S может быть
восполнено относительным доказательством
непротиворечивости, а именно — доказательством следующей теоремы: Если
система S непротиворечива, то и система
Цермело—Френкеля ZF также непротиворечива. Доказательство этой
теоремы основывается на построении в S теории порядковых
чисел в таком объеме, чтобы в этой теории имел место
принцип трансфинитной индукции по всему классу трансфини-
тов,—причем надо, чтобы последний не был конфинален
никакому множеству трансфинитов. Здесь слово «класс»
означает совокупность, определяемую формулой; можно,
впрочем, показать, что формальное присоединение переменных
классов с предикативными аксиомами существования
классов (т. е. аксиомами вида Я A (хгА ~ ср (я)), где у (х) не
содержит связанных классовых переменных) не расширяет
класса доказуемых формул, не содержащих этих
переменных и, следовательно, не приводит к противоречию ([14—16]
и особенно [17], где этот результат получен финитными
методами). Отсутствие аксиомы протяженности в S при этом
не существенно, поскольку в работах Новак и Шенфилда
в качестве S допускаются всевозможные теории
определенного синтаксического вида. Коль скоро построена теория
порядковых чисел, обладающая указанными свойствами,
дальнейшее построение теории ZF — или геделевской системы 1
[18]8 — может быть выполнено различными средствами [19].
Можно также построить модель для ZF, модифицируя
соответствующим образом построение модели Д в работе [18],
а именно — рассматривая порядковые числа как множества
и вместо функции F определяя отношение принадлежности Е,
по трансфинитной индукции в тех случаях, когда, при |3<аг
геделевское построение требует F^zF'ol [~~| F'fisF'a.], полагая
8 Исправления: в аксиоме А4 следует вставить «(и)* после «(#2)»;
в аксиоме G3 следует вставить «(и)». после «(#*/)». Первое из этих
исправлений внесено в русский перевод А. А. Маркова.
232

fiEa [~](3i?a], коль скоро этому не препятствует требование,
чтобы соблюдалась аксиома протяженности. Если же в
модели A F1ol должно быть равнообъемным Fl$, то при у<а
следует положить у2?а ^ у^ф; наконец, если при р^ав
модели A F'fieF'oL, то следует доопределить Е таким образом,
чтобы было (3J3a, а если ~~] F'(3sF'a в А, то надо положить
~~| $Eoi (до этого соглашения $Еа было определено только
при (3<^а). Пользуясь этими эвристическими соображениями,
можно построить в S отношение Е самостоятельно, без
ссылок на построение модели А в системе 2 {2}.
Для построения в S использованной только что теории
порядковых чисел, метод Неймана (использованный Геделем
[18]) не применим, так как он во многих случаях опирается
на аксиому протяженности (например, 7.1, см. Гедель [18];
кроме того, неясность наступает даже на первых шагах —
может быть много пустых классов, какой из них — 0? каковы
a-М? со? и т. п.). Но можно провести обычное классическое
построение теории порядковых чисел (ср.,. например, [20]
или [2]), если устранить основное неудобство: неизвестно,
что следует назвать порядковым числом. Нетрудно ввести
в рассмотрение класс всех вполне упорядоченных множеств,
подобных данному; но такой класс не будет множеством и
его нельзя будет рассматривать в качестве элемента. Проще
всего выбрать из каждого такого класса по элементу и этот
выбранный элемент рассматривать как соответствующее
порядковое число. Но такое построение теории порядковых чисел
опирается на аксиому выбора {3}.
Можно думать, что это использование аксиомы выбора
в теории порядковых чисел на самом деле не является
неизбежным. Ганди [21] утверждает, что из непротиворечивости
системы у, без аксиомы протяженности вытекает
непротиворечивость системы 2,* и обещает опубликовать
доказательство.
Так или иначе, в дальнейшем обосновании системы $ мы
позаботимся об аксиоме выбора, согласно которой существует
однозначный класс, осуществляющий выбор элемента во
всяком классе всех вполне упорядоченных множеств, подобных
некоторому вполне упорядоченному множеству.
Что касается аксиомы бесконечности, то из нашей аксиомы 4
следует и аксиома бесконечности в геделевской [18] форме С1,
что мы предоставляем доказать читателю.
8. Мы приступаем к построению системы объектов,
которая с откровенной точки зрения, в силу дальнейших
рассуждений, оказывается моделью для системы S. Эту модель
будем обозначать М. В ее описании мы будем иногда
допускать традиционные выражения.
233

Индивидуумы: а(0), я(1), а(2), ..., а(г), где # —
некоторое неосуществимое натуральное число, превосходящее все
осуществимые числа.
Каждый индивидуум мы будем считать предметом.
Рассмотрим перечень, состоящий из скобок (и) и
индивидуумов: (, ), а(0), а(1), ..., а(^). Элементы этого перечня
мы будем иногда рассматривать как буквы (их всего я+З) —
и словам, составленным из этих букв (и запятой), будем
приписывать естественно определенный алфавитный порядок
(запятую можно при этом не принимать во внимание).
Если Ьх, . . ., Ь8— различные предметы, выписанные в
алфавитном порядке (s — натуральное число ^ 0, не обязательно
осуществимое), то (61? . . ., bs) называется множеством,
состоящим из элементов Ь}1 . . ., Ь/, каждое утверждение
At£ (Ь{1 . . ., ЬЛ) (i = 1, . . ., s) считается истинным; если b отлично
от Ь{, . . ., bs1 то fe(6[, . . ., Ь8) считается ложным. Множества
тоже называются предметами.
Никаких предметов, кроме описанных выше, не
существует.
Для любых предметов х и у имеет место хеу\/~\хеу.
С традиционной точки зрения проверка этого утверждения
выполнима для любых предметов х и у.
Каждому предмету приписываем в качестве ступени
наименьшее натуральное число, превосходящее ступени всех
его элементов. Индивидуумы и пустое множество ( ) имеют
ступень 0.
Вводим следующее откровенное понятие осуществимости:
1) Индивидуум а(0) осуществим. 2) Если а(п) осуществим,
то а (п -f- 1) . осуществим. Индивидуум осуществим только,
если это можно (в откровенном смысле этого слова)
заключить на основании 1) и 2). (Так что а (#) неосуществим).
Всякое множество ступени, осуществимой относительно
О и операции ', считаем осуществимым.
Модель М состоит из осуществимых индивидуумов и
множеств и отношений = и е (понимаемых в традиционном смысле).
Введенное понятие осуществимости является понятием
относительной осуществимости. Осуществимым предметом мы
теперь называем всякий предмет, осуществимый относительно
а(0) и множества Ind всех индивидуумов (а(0), ..., я(#)),
а также относительно перехода от множества х к множеству
Р (х) всех его подмножеств, перехода от множества х к любому
его подмножеству9 и перехода от а (п) к а (лг -f-1) согласно
2). Так как переход от х к Р (х) и к подмножеству х всегда
9 Последняя операция неоднозначна; ср. сноску 5 на стр. 227#
234

дает снова множество, но не индивидуум, то a (z) является
неосуществимым предметом.
Осуществимые предметы мы будем обозначать малыми
греческими буквами а, (3, у, Ь (иногда с индексами).
Осуществимые предметы рассматриваем как множества нашей
модели.
Для осуществимых чисел (входящих в обозначение
индивидуумов) введем переменные i, к, I, . . . (если надо — с
индексами).
Итак, имеется три рода переменных: числовая
переменная: £, к, I, . . ., пробегающая осуществимые числа,
переменные х, ?/, . . ., означающие произвольный предмет (индивидуум
или множество) и переменные а, (3, у, . . ., означающие
осуществимые предметы, т. е. множества модели М.
Два множества а и р считаются равнообъемными, если
Равнообъемные множества могут не совпадать, так как они
могут различаться неосуществимыми элементами, кроме того,
всякий индивидуум разпообъемен пустому множеству. Но
так как а и р имеют осуществимую ступень, то и их
элементы имеют осуществимую ступень, а потому, в случае
неосуществимости, должны быть индивидуумами. Таким
образом, если х входит только в одно из двух равнообъемных
множеств, то х — неосуществимый индивидуум.
Всякое множество а превращается в равнообъемное ему
множество (В при добавлении любого множества неосуществимых
индивидуумов.
Для любых осуществимых а и р10 (а, Р) имеет
осуществимую ступень и потому осуществимо; имеет место
Те(а, р)~Т=а\/т=Р-11
Это—аксиома 1 в нашей модели.
Далее:
Для всякого множества а множество S (а) (являющееся
теоретикомножественной суммой элементов а в
традиционном смысле) содержит в качестве элемента всякое у такое,
что для некоторого р 7£P&Psa- Символически:
#Р[ТгР&Р£а]ЭТ£6>).
10 Здесь считается, что а предшествует (3 в алфавитном порядке.
11 Кроме того, ?е («) ~ 7 = a V 7 = a- Поэтому V*V$3W~l [7£& ^ 7 =
«=а\/7 = Р]- Поэтому в качестве неопределенного описания [22, 23J
можно ввести функциональный символ пары {a, (3}.
235

Так как S (ее) имеет осуществимую степень, то оно
осуществимо, так что
#§FY[#P[Tsp&psa]IDr£8]-
Это дает аксиому 2 для нашей модели.
Множество (3 назовем подмножеством а (в нашей модели),
если
Если (3, будучи подмножеством а в нашей модели, обладает
элементом, не входящим в а, то последний должен быть
неосуществим, и так как его ступень меньше, чем ступень (3,
то он должен быть неосуществимым индивидуумом.
Множество всех Р + Т» где р— произвольное подмножество a
в традиционном смысле (оно обязательно осуществимо, так
как имеет осуществимую ступень), у — произвольное
множество индивидуумов, и -j- понимается в обычном теоретико-
множественном смысле, имеет осуществимую ступень и в него
входит в качестве элемента всякое рх, являющееся
подмножеством а в смысле нашей модели. Это дает аксиому 3.
До сих пор в рассуждениях об осуществимых и
неосуществимых предметах мы не выходили за пределы
интуиционистских правил. Такие рассуждения обосновываются нашим
предыдущим результатом о непротиворечивости традиционной
арифметики, обладающей неосуществимыми числами (см.
конец раздела 5). Образование множеств (bv . . ., 6J по
существу не вносит ничего нового, так как вместо (&х, . . ., bs)
можно рассматривать число З^1 • . . . • рьв* (pt— t-oe простое
число, а Бх, . . ., Bs — числа, уже рассмотренные в связи
с Ьи.. ., Ьш).
При этом, как мы уже отмечали, уху у (хеУ V ~~I хгУ) имеет
место в нашей модели. Чтобы принять это, достаточно
представить себе, что для решения вопроса об истинности или
ложности хгу мы обращаемся каждый раз к устройству,
обладающему способностью почти мгновенного ответа на
всякий вопрос, который может быть задан в финитных
терминах в предположении, что z — осуществимое число.
Для обоснования уху у (хгу \J ~] хгу) мы могли бы поступить
и иначе, а именно: в разделе 5, при обосновании
традиционной арифметики, будем под термином «осуществимое число»
понимать «число, осуществимое относительно некоторого
неосуществимого числа а». Тогда рассуждения раздела 5 дадут
нам обоснование традиционной арифметики, к которому можно
затем применить одно из упомянутых выше доказательств
непротиворечивости закона исключенного третьего. (Очень
236

удобно для этой цели доказательство Гёделя [7, § 81];
доказательство Новикова [13] нуждается в естественных
изменениях понятий; оно, заметим, может быть значительно
упрощено, ср. {4}.) В результате получим откровенное обоснование
классической арифметики, обладающей неосуществимыми
числами. Употребление множеств (Ь1, . . ., Ь8), как уже
отмечено, не вносит ничего нового.
Итак, в нашей модели имеет место ухуу (хеУ V ~\хгУ)-
Аналогично, можно считать, что имеет место уху у [х=у \/~\х=у).
Опираясь на это обстоятельство, можно доказать, что
присоединение закона исключенного третьего не приводит к
противоречию и в том случае, если рассматриваются формулы,
содержащие переменные всех трех родов: а, р, . . ., х, у, . . .
и i, /с, . . . . Доказательство опять состоит в применении
одного из упомянутых методов; все отличие от предыдущего
случая состоит в том, что теперь имеются три рода
переменных, но это не вызывает никаких осложнений. Поэтому
в дальнейшем будем пользоваться законом исключенного
третьего.
Пусть теперь дана произвольная формула теории
множеств у(х) (х — ее единственная свободная переменная).
Заменим все ее связанные переменные греческими буквами и
будем писать по-прежнему у{х). Докажем, что справедливо
Пусть х — произвольный элемент а. В силу закона
исключенного третьего имеем ср (х) V ~~| ср (х). Рассмотрим множество у
тех жга, для которых ср (х). Оно конечно (ибо является
частью а) и рассмотрение его в традиционной арифметике не
связано ни с какими затруднениями12. Кроме того, будучи
частью а, у имеет осуществимую ступень — поэтому оно
осуществимо и его можно обозначить через (3. Имеем
ух [жор ~ xsol&l ср (#)]. Тогда подавно
7т[теР~теа&?(т)]»
откуда VagfiVf [у^ ~ Ysa&¥ (т)Ь чт0 и требовалось доказать.
Итак, в нашей модели выполняется каждая формула
5а Vxgyyu [игу ~ ггея&ср (и)]\
это утверждение является схемой аксиом выделения Цермело.
Из него следует, в частности, что аксиомы 2 и 3 действи»
тельно дают теоретико-множественную сумму и множество
всех подмножеств данного множества.
Допустим теперь, что ср (и) 3 иея; тогда в 5а можно
опустить член иех, откуда
12 Подробнее см. в разделе 10.
237

(I) Vu [cp (и) 3 uex] 3 Зууи [игу ~ cp (в)].
В терминах нашей модели получим
V* [? (8) 3 М э tfpFT [Т£Р ~ ? (Т)]-
И подавно
(II) уи> [? (и) 3 ига] 3 tfP^T [Т£Р - <Р (т)1-
Рассмотрим теперь формулу F (х)
37 [х = <а (г + 1) а (0>1-
Ясно, что F (х) Z) xelnd2; здесь Ind2 означает множество,
составленное из всех пар <uv>, где и, ve Ind. Ind2 имеет
осуществимую ступень, равную трем, значит Ind2 осуществимо;
на основании (11), имеем
(III) tfPFT [Тер ~ & [Т = <а (i + 1) а (0>Н-
Обозначим осуществимое множество Ind через а; легко видеть,
что аир, выбранное согласно (111), рассматриваемые в
качестве х и / аксиомы 4, соответственно, удовлетворяют в нашей
модели всем требованиям этой аксиомы. (Роль t из аксиомы 4
выполняет а(0)). Ограничимся следующим пояснением: если
п — осуществимое число, то гг —f- 1 осуществимо и обратно;
z неосуществимо, и поэтому отсутствие индивидуума a(z-\~l)
не нарушает (III).
Итак, мы показали, что в нашей модели имеют место
аксиомы 1—4 и следующая схема аксиом выделения:
5а ^;: Vx3yVu [иву ~ иех&у (и)].
Обозначим эту систему аксиом через Z. Из доказанного
вытекает, что не существует противоречия в Z, имеющего
осуществимую длинуi3. Но если бы существовало противоречие
в Z, то его длину можно было бы считать осуществимой;
отсюда вытекает непротиворечивость системы Z14.
Остается рассмотреть схему аксиом 5 системы S. (Можно
показать, что из этой схемы вытекает схема 5а; [18,
теорема 5. 12]. Кроме того, при наличии схемы 5а, в
формулировке схемы 5 можно заменить часть «ср (у, и)&<р(г#, и)» на
«(ср (г;, гг)&ср (w, и))\/ (ср(и, г;)&ср(гг, го))», на чем мы не будем
останавливаться [24]. Получающуюся при этом схему
назовем 5Ь; она утверждает существование множества,
являющегося взаимнооднозначным образом произвольного mho-
is Откровенные рассуждения, связанные с моделью М, можно при
желании рассматривать как формальные доказательства осуществимой
длины.
14 В разделе 10 это рассуждение будет уточнено.
238

жества при отображении, выразимом любой формулой
системы S.
Схема 5Ь очень сильна; она позволяет рассматривать алефы
с любым трансфинитным индексом, который можно построить
в системе S. (Так обстоит дело при наличии аксиомы
протяженности,— или, как отмечено выше, аксиомы выбора
в надлежащей формулировке, однако, ср. {3}.) Естественно*
поэтому, что для ее обоснования нужны гораздо более
сильные предположения об осуществимости, чем для обоснования
системы Z.
Мы рассмотрим сперва то понятие осуществимости,
которое получится, если в модели М считать осуществимыми
все множества, независимо от их ступени. Эту модель
обозначим через Л\ Обоснование аксиом 1—5а для модели М
можно провести и в модели N (оно при этом упрощаетсяг
так как не приходится заботиться об осуществимости ступени
множества). В частности, можно считать обоснованной
непротиворечивость закона исключенного третьего, которым мы
будем пользоваться.
Займемся обоснованием схемы 5Ь. Пусть имеет места
FoFpKy [ср (р, о)&ср(у, о)зР = у]' обозначим это условие
через Uп (ср). Рассмотрим произвольное множество а и
обозначим через ф (z) формулу Зу [уеа& ср (z, у)]. Согласно закону
исключенного третьего, для всякого предмета z имеет место
ф (z) V ~~| ф (z). Представим себе, что рассматриваются (хотя бы
в алфавитном порядке) все предметы 0-й ступени, затем — все
предметы 1-й ступени, затем — все предметы 2-й ступени и
т. д. В силу f//2(cp), предметы х0 для которых окажется ф (х),
встретятся не больше раз, чем в а имеется элементов, поэтому
среди таких предметов (если они вообще существуют) имеется
последний (хотя мы и не имеем способа его найти. Это
соображение, основанное на рассмотрении мощности множества,
имеющего, вообще говоря, неосуществимое число элементов,
применяется здесь не для осуществления какого-либо объекта,
а только для обоснования обрыва процесса порождения
новых х). Поэтому можно рассмотреть множество |3 всех
таких х, что ф(я). По построению имеет место
Vz[ze$ — 37[jea&cp(z, y)J] — и подавно F8[8s[3 ~~ 3y[ysa&cp(8,y)]]r
т. е. Un (ср) з HfcVb [osp — З4 [ysa&cp (8, у)]], что и
требовалось доказать.
Обозначим через s(cp, a, z) ступень рассмотренного только
что множества (3. Она зависит не только от ср и а, но и от
выбора оттенков того смысла, в котором понимается
осуществимость чисел г, /с, . . . .
Что можно сказать по поводу модели N? Означает ли
полученная в ней интерпретация для системы S непротиво-
23&

речивость последней? Ответ на этот вопрос зависит от
возможности совмещать без противоречия неосуществимость
индивидуума а (%) с осуществимостью произвольных множеств.
Конечно, переход от а (п) к а(п-\-1) никак не связан
с теоретико-множественными операциями и потому может
мыслиться как неизмеримо более сложный, чем построение
каких угодно мыслимых множеств 15.
Попытаемся подойти к модели N с откровенной точки
зрения. Рассмотрим снова функцию s(cp, a, z). Как уже
отмечено, ее нельзя считать функцией в обычном смысле слова.
Она зависит от смысла, который можно приписывать
осуществимости чисел £, к, . . . . Можно ли считать, что число таких
смыслов ограничено, хотя бы числом z или, например, про-
изг$едением этого числа на константу, превосходящую число
возможных состояний ума? Если это так, то обозначим через
t(n, г, я) максимум всех s(cp, a, z) по всем формулам ср
длины ^я, множествам а ступени^ г и всевозможным
смыслам осуществимости чисел £, /с, . . ., при которых z
превосходит все осуществимые числа. Если в дополнение к
гипотезе об осуществимости следующего шага принять
гипотезу об осуществимости всех чисел ^£ (а, 6, с) при
осуществимых а, b и с, то в определении модели /V достаточно
считать осуществимыми множествами лишь такие, которые
имеют осуществимую ступень. (Можно, при желании, считать,
что и z неосуществимо в этом новом смысле.)
Здесь высказаны гипотезы значительно большей силы,
чем те, которые мы принимали выше. Гипотеза об
ограниченности числа возможных состояний ума (которую можно
заменить гипотезой о том, что для каждого & число
представляющих интерес возможных состояний ума мажорируется
некоторой функцией от я), кажется нам наименее
убедительной. (Что касается отсутствия априорной верхней грани для
числа множеств, подлежащих- испытанию при построении
множества (3, то эта ситуация сходна с той, которая имеется
у оператора ]хх «наименьшего числа ж, такого, что ...» в
случаях, когда этот оператор приводит к всюду определенным
функциям.) Но для наших целей существенна не справедли-
15 Достаточно, например, мыслить себе каждое а (п) в виде некоторой
звезды и операцию перехода от а (п) к а(п-\-1) в виде перелета
с одной звезды на другую, а образование множества звезд как
выделение части фотографии всех звезд; образование множества, состоящего
из звезд и множеств звезд как выделение части фотографии, на которой
изображены эти звезды и предыдущие фотографии с выделенными на
них частями, и т. д., чтобы представить себе указанное соответствие
между осуществимостью индивидуумов и множеств. Процесс получения
фотографий можно считать мгновенным по сравнению с
продолжительностью межзвездного перелета (ср. разд. 6).
240

вость этих гипотез, а их логическая совместимость; если они
совместимы, то непротиворечива система S (так как
противоречие осуществимой длины невозможно, а если бы
противоречие было, то его длину можно было бы считать
осуществимой) .
Из предыдущего можно, в частности, сделать такой
вывод: из противоречивости системы S следовала бы
неограниченность числа возможных состояний ума по поводу некоторого
определенного вопроса, не сзязанного с системой S. Даже
если эта неограниченность имеет место, кажется невероятным,
чтобы она являлась следствием из противоречивости какой бы
то ни было формальной системы.
От употребления гипотезы об ограниченности числа
упомянутых состояний ума можно освободиться, если считать,
что для каждого неосуществимого числа z можно выбрать
некоторое такое состояние. Возможность такого выбора
является самостоятельной гипотезой, — и если ее принять, то
этим будет ослаблена предыдущая гипотеза о функции t(a,b,c).
Что касается упомянутой выше формы аксиомы выбора
в системе S, заметим, что в качестве предиката,
осуществляющего выбор некоторого вполне упорядоченного
множества из всякого класса вполне упорядоченных
множеств, подобных некоторому, можно фиксировать предикат
«у подобно х и предшествует в алфавитном порядке всякому
отличному от у множеству, подобному х». Утверждение
«у подобно х» выразимо в Z. Поэтому для выразимости этого
предиката в нашей модели достаточно присоединить к ней
двуместный предикат Л1(х, у), означающий «х предшествует
у в алфавитном порядке». Для этого предиката имеется
финитный метод проверки, поэтому можно принять
VxVy(Al(x, у) V ~~| Л1(х, у)), — и все предыдущие
рассуждения сохраняют силу.
Отметим еще следующее обстоятельство, связанное с
моделью N. Благодаря присоединимости к S аксиомы выбора в
рассмотренной выше формулировке, после того как в S будет
построена теория порядковых чисел (см. раздел 7), можно
будет рассматривать в S модель для S, в которой
порядковые числа строятся по Нейману [18], т. е. каждое из них
будет рассматриваться как множество всех меньших
порядковых чисел. Именно (в обозначениях Геделя [18] для
системы S, причем формулы, определяющие свойства множеств,
рассматриваются как классы): пусть Sp(x) — класс множеств,
равнообъемных х\ этот класс является множеством, так как
все его элементы имеют одну и ту же ступень, а класс
множеств ограниченной ступени является множеством, коль
скоро множеством является класс всех индивидуумов; по-
241

следнего легко достичь, если рассматривать в качестве уни^
версального класса V такой класс, в наследство16 элементов
которого входят лишь те индивидуумы, которые входят в
некоторое множество — такой класс естественно определяет
модель для S [25]. Пусть As— функция, осуществляющая
выбор элемента из каждого непустого множества [18],
определенная описанным выше образом. Тогда по метатеореме
М5 [18] (доказательство этой теоремы не опирается на
аксиому протяженности) Sp(x) можно рассматривать как Sp'x,
где Sp— некоторый класс, и K = As[ W (Sp) есть функция,
осуществляющая для каждого множества х выбор некоторого
определенного равнообъемного ему множества — одного и
того же для всех множеств, равнообъемных с х. Чтобы
получить неймановскую теорию ординалов из построенной выше
теории порядковых чисел, достаточно по индукции
определить функцию 7\ для которой Т'а=К1Т"а> где а —
переменное порядковое число.
Если провести эту конструкцию в модели N, то при нашем
определении предиката А1, зависящего от алфавитного
порядка, Т1а будет некоторым (осуществимым) множеством
модели TV, которое с традиционной точки зрения
удовлетворяет неймановскому определению натурального числа. При
этом, для а=(о, будет существовать взаимнооднозначное
отображение натурального числа Г'а на свою правильную
часть. С традиционной точки зрения, это — противоречие, но
с откровенной точки зрения оно связано лишь с тем, что
рассматриваемая нами «осуществимость» для модели N
является на самом деле относительной осуществимостью
(ср. раздел 3). Противоречие, которое получается
традиционно в связи с Т'и), неосуществимо17.
Множества модели N мы понимали содержательно, и то же
самое можно сказать о формулах ср, которыми
описываются классы предметов. Построенная средствами N модель
для ZF (как внутренняя модель для ZF в S) также может
16 Наследством предмета х называется множество, состоящее из х
и таких */, что существует конечная последовательность х0 = х, х1у . . .,
а?п = 2/, где а?<+1еж* (i = 0, • . ., п — 1). Подробнее см. [25].
17 Аналогичное обстоятельство имеет место в модели М для
множества второй ступени, элементами которого служат все
одноэлементные множества {a{i)}> состоящие из индивидуума. С откровенной
точки зрения, это множество также можно выбрать, при надлежащем/,
в качестве множества х аксиомы 4. С традиционной точки зрения это
множество конечно, однако всякое опровержение утверждения о
возможности его взаимнооднозначного отображения на свою правильную
часть оказывается рассуждением неосуществимой длины. Что касается
множеств {а (п)} с неосуществимыми /г, то с откровенной точки зрения
они пусты.
242

пониматься содержательно, и притом с традиционной точки
зрения все ее множества конечны, но среди этих конечных
множеств есть неосуществимые. Имеется в этой модели и
система всех «наследственноконечных» множеств, т. е. таких
множеств, наследство которых состоит только из конечных
множеств и индивидуумов. Что касается последних, то при
построении модели для ZF в S нетрудно позаботиться о том,
чтобы они образовывали бесконечное множество, и чтобы,
кроме того, выполнялась «аксиома фундирования» D
системы 2 [25]. Теперь можно считать, что модель N
погружена в систему множеств, удовлетворяющих аксиомам
системы Бернайса—Мостовского [25 или 26], понимаемую
здесь содержательно. Класс On всех порядковых чисел
модели N совпадает при этом с множеством со системы
Бернайса—Мостовского, а множества модели TV — с множествами
системы Бернайса—Мостовского, имеющими ступень <^ш.
Обозначим эту расширенную систему ВМ. ВМ удовлетворяет
всем аксиомам Бернайса—Мостовского (для схемы 5 это
показывается, как и выше, но, конечно, с еще более сильными
гипотезами об осуществимости, рассчитанными на то, чтобы
все множества ВМ можно было считать осуществимыми.
С традиционной точки зрения, множества ВМ можно
считать не отличимыми от всех, осуществимых и
неосуществимых, множеств модели М или TV — переход к ВМ состоит
лишь в новом выборе понятия осуществимости). При этом
число со играет в ВМ роль недостижимого порядкового числа,
т. е. алефа, не являющегося пределом меньшего числа
меньших алефов. (Это следует из того, что всякая меньшая
последовательность алефов конечна, а- потому не может быть
конфинальна <о в ВМ, рассматриваемой традиционно.)
Итерируя это рассуждение и применяя все более сильные
гипотезы об осуществимости, можно строить непротиворечивые
системы BMV ВМ2, ... с дальнейшими недостижимыми
числами в любом конечном числе, которое можно считать
осуществимым.
Эти системы будут вложены друг в друга; наличие двух
недостижимых чисел в ВМ2 вытекает из того, что ВМ2 есть
модель rjikZF в N, вложенная в ВМг, так что помимо
недостижимого числа Я, имеющегося в BMV в ВМ2имеется
меньшее недостижимое число «и»>, определенное как выше (и,
конечно, отличное от числа ш модели для ZF в TV). Каждая из
этих систем имеет модель типа N, множества которой — это
прежние, осуществимые и неосуществимые,множества модели М
или N, но в каждой из которых применяется более сильная
гипотеза об осуществимости, чем в предыдущей. Построение
объемлющей системы для BMV ВМ2, . . . требует мажорирования всякого
243

осуществимого числа таких гипотез, которое можно
обосновать, например, диагональным методом Дюбуа-Реймона;
число # надо понимать тогда неосуществимым в этом новом
смысле понятия осуществимости. Получится система ВМ^,
в которой верна аксиома о существовании бесконечной
возрастающей последовательности типа о> недостижимых чисел 20,
о
-1» • • •
Рассматривая ВМ^ как модель типа ZF в N (наличие
недостижимых чисел в S влечет то же самое для ZF), можно
затем погрузить ее в модель для ВМг и получить следующую
модель ВМо) с недостижимым числом 2и, превышающим
все 20, 2Х, . . . (Числа 20, 21? . . . продолжают быть
недостижимыми, потому что переход к более широкой системе
связан каждый раз лишь с присоединением новых множеств
больших ступеней, в то время как нарушение
недостижимости каждого из чисел 20, 2Х, . . . могло бы произойти лишь
за счет присоединения новых множеств имевшихся прежде
ступеней.) Таким же путем можно получить ВМа для
всякого определимого трансфинитного числа а. При этом
используются последовательно все более сильные гипотезы об
осуществимости.
Построение систем ВМ^ с еще большими,
«неопределимыми» £, входящими в класс On системы ZF, связано с
дальнейшим качественным усилением гипотез об осуществимости,
и приводит последовательно к системам BM»V £<20. Далее,
еще смелее вводя гипотезы осуществимости, получаем
системы BMt с К 2Х К 22, . . ., £< 2а, . . . по всем
определимым а — и далее, при желании, со всеми а<^20, а<[21, . . .,
затем а<2 с определимыми (3, еще далее — с S<20, (3<C^i
и т. д.
Так получаются системы ВМ^ где Sj=22o, £ = 2Sg,...,
затем—£=2gg = 2g0; затем ^ = Qqo_^1 и т. д. Можно мыслить
себе последовательность таких порождений, как 22о, имеющую
типи)-|-1, со -[-2,..., (!>!,..., 20, 21? . . ., QSo — последнему
числу пусть соответствует QQi\ последовательность таких 22а
с а= 1, 2, . . ., а), . . ., а)1, . . . , 20, . . ., 2gt (последнему числу
пусть соответствует 222 и т. д.); у чисел 2уа, а пробегает
опять-таки все уже имеющиеся индексы — и так без всякой
мыслимой остановки.
Мы рассмотрели неограниченную последовательность все
более сильных, «оголтелых» теоретико-множественных систем,
для обоснования которых нужна «оголтелая»последовательность
гипотез об осуществимости. Абстракция потенциальной
осуществимости включает в себя все эти гипотезы и таким образом —
мыслимая вне откровенной точки зрения — оказывается,
244

в свете этой последней, достаточной для обоснования всех
этих безудержно растущих теоретико-множественных систем.
Если же представить себе «абсолютно» неосуществимые на-*
туральные числа (мажорирующие все те, которые могут быть
осуществлены с помощью любого осуществимого числа этих
гипотез), — то придем к мысли о возможности еще более
сильной, «абсолютно неосуществимой» системы типа ВМ .
Как и рассмотренные выше системы, она допускала бы, правда,
«мистическую», интерпретацию в конечном.
Добавим еще, что если бы в использованном выше
обосновании закона исключенного третьего мы воспользовались
видоизмененным методом Новикова [13] (видоизменение
должно состоять главным образом в употреблении
«осуществимости» вместо «эффективности» при определении
«регулярных формул»), или методом Генцена устранимости
сечений (причем трансфинитную индукцию следовало бы
заменить индукцией по числам, осуществимым в надлежащем
смысле), то, помимо непротиворечивости, мы получили бы
также ш-непротиворечивость рассматриваемых теорий [12,
стр.490], а также возможность итерированного применения
правила Карнапа и следующий результат Новикова [12, стр.491]:
Если F(n) для каждого п доказуема или опровержима и
доказуема формула *3.xF{x), то для некоторого
(осуществимого) п доказуемо F(n). со-непротиворечивость каждой из
теорий N, ВМ0, ВМг. . . можно доказать также с помощью
предиката истинности для этой теории, определимого в
следующей теории18. Аналогично обстоит дело с правилом
Карнапа.
9. Вспомним, что трудность восприятия гипотез об
осуществимости начинает проявляться особенно заметно уже
при построении модели N. Модель М гораздо убедительнее
дальнейших моделей. Поэтому система Z обоснована нами
гораздо лучше, чем все последующие системы.
От системы Z легко перейти к теории типов. Рассмотрим
последовательно множества C/0=Ind, С/1 = Р(С/0), . . . Ui+1 =
= Р(и{), . . ., (Р(х) означает множество всех подмножеств
множества х, i = 0, 1, 2. . . — все натуральные числа). (Мы сейчас
снова стоим на традиционной точке зрения.) Тогда для
каждого £=0, 1, 2, . . . можно ввести переменные х{, у{, . . .,
х. у. . . ., ж" ... пробегающие UQ-\- . . . -\- U.. Эти
переменные мы будем называть переменными i-го шипа. Формулы,
составленные из этих переменных символов, =, е и опера-
!8 Заметим в этой связи, что в теории типов п-{-1-й. ступени
доказуема w-непротиворечивость теории типов /г-й ступени.
Аналогичное обстоятельство имеет место в теории множеств.
245

торов исчисления предикатов, можно естественным образом
интерпретировать в системе Z. При этой интерпретации,
аксиомы свертывания и аксиома бесконечности оказываются
доказуемыми предложениями в Z. Для аксиомы
бесконечности это легко усмотреть непосредственно, а для проверки
аксиом свертывания достаточно рассмотреть восемь типов
формул (в которых для краткости мы указываем индекс
только у первого вхождения каждой переменной):
(1) УХтУУпЯ*шшх{т,пыУитшхЫ,»)[и& ~ И = X \/ U = у\ .
(2) 3zn+,VxnVyn+1 [< жу > ez ~ хгу].
(3) ^xm+1Vyn+13zmuximfn)+1Vum&x{mfn) [uez ~ игх & игу].
(4) Ухт+1Эут+1Уит [игу ~ "| игх].
(5) Vxm+iayn,^VumVvm [< иу>гу ~~ vzx].
(6) Vxn^ayn+1Vzn]zzy ~ Эип[<ш>гх]].
(7) Vxn+b3yn^VunVvnVwn [< иг;м; > гу ~ < г;гот > еж].
(8) Vx^3yMVunVvnVwn [< uvw >*y~<uwv> гх].
Справедливость в Z каждой из этих формул при нашей
интерпретации легко усматривается, на чем мы здесь
останавливаться не будем. Методом доказательства теоремы М 1 [18]
легко вывести из этих формул всякую аксиому свертывания.
Таким образом получается модель для простой теории типов
с аксиомой бесконечности, но пока без аксиомы
протяженности. Чтобы получить и последнюю, введем
последовательность предикатов Ext(), Ext2(), . . . следующим образом.
Постулируем: VuqEx^^q);
Extn+1 (ип) ~ Vvn_x [vn^Eun z> Extn {vn^)\ &
Vv^Vw^ [Vun_2 [un^2 evn^ ~ ип_2гюп^] & г^еи,, Z) uV-i£WJ
(л^1; при n= 1 второй член отсутствует, так что V щЕхЬ^щ)).
Обозначим через й{, v., . . ., и., . . . переменные,
определяемые условиями Ext.+1 (гг.), Ext.+l (г;.), . . ., Ext.^ (и'.), . ..
Предоставляем читателю проверить, что для переменных
Я., v ,. . ., ир . . . выполняются аксиома бесконечности,
аксиомы (1)—(8) и аксиома протяженности.
(Впервые обоснование относительной непротиворечивости
аксиомы протяженности было опубликовано в [21]).
Таким образом, мы получаем откровенное обоснование
простой теории типов с аксиомой бесконечности.
10. Полученный результат означает, что математика,
развиваемая на основе откровенной точки зрения, во всяком слу-
246

чае не беднее результатами, чем теория типов или теория
множеств. Что касается принципиального вопроса об
обосновании математики, то преждевременно было бы считать его
исчерпанным 19, поскольку откровенная точка зрения сама
несет в себе некоторые трудные вопросы. Верно, что основная
трудность — обоснование непредикативных определений, иначе
говоря, избежание порочного круга в основаниях математики
нами преодолена за счет перехода в область откровенных
рассуждений. Это не удивительно: упомянутая трудность, как
известно, не возникала бы в теории множеств, если бы
образование множества всех подмножеств данного множества и
выделение подмножества тех элементов данного множества,
которые обладают некоторым свойством, не были бы спорными
операциями. Спорными же они были именно потому, что в
рамках теоретико-множественных построений не могли быть
сведены к более простым без порочного круга. Переход к
откровенной точке зрения спас положение благодаря тому, что
рассмотрение всех подмножеств конечного множества, которое
может быть задано пересчетом элементов, и рассмотрение
совокупности этих множеств с успехом сводятся к
арифметическим операциям — и полученные множества сами
допускают конечный пересчет. Аксиома же бесконечности
спасается трактовкой бесконечности как неосуществимости. Ясно,
что тут неизбежна некоторая комбинация откровенных и
традиционных методов, каковая и имела место в предыдущем
изложении. Впрочем, благодаря предварительно достигнутой
откровенной трактовке традиционной арифметики,
традиционные методы могли в свою очередь рассматриваться с
откровенной точки зрения, при существенном использовании
относительной осуществимости. Традиционная точка зрения все же
нужна в тот момент, когда мы утверждаем существование
неосуществимого объекта, относительно которого затем будет
рассматриваться осуществимость (ср. приведенные ниже
постулаты 1)—4) и 6)).
Рассмотрим откровенные постулаты, на которые мы
опирались при обосновании теории Z (модель М).
1) Существует число #, превышающее все числа,
осуществимые относительно 0, ', -}-, •, а в случае применения ген-
ценовского доказательства непротиворечивости закона
исключенного третьего, и относительно операции 2". (При желании
19 Не говоря уже о том, что современная математика не может
быть полностью сведена к теории множеств. Так, в теории алгорифмов
имеется спорный вопрос о справедливости тезиса Черча, согласно
которому интуитивное понятие вычислимой функции можно заменить
понятием рекурсивной функции. Рассмотрение этого вопроса, как нам
кажется, выходит за пределы теоретико-множественной математики.
247

получить (^-непротиворечивость теории Z должно иметься
неосуществимое относительно указанных операций число
2/<С#, относительно которого z неосуществимо. Заметим,
что если мы добиваемся возможности многократного
применения правила Карнапа, вместо одного неосуществимого у
вводим соответствующее число таких неосуществимых
относительно предыдущих. Рассмотрение новиковского
доказательства непротиворечивости потребовало бы вместо 2п
другой операции, упомянутой в доказательстве теоремы 2 § 11.)
Далее, имеются индивидуумы а(0), а(1), ..., а (г),
причем а (п) осуществим одновременно с п. (Последнее
утверждение не является существенным требованием, так как
в качестве а (п) можно было бы использовать п.)
2) Множество (а (0), . . ., a (z)) считаем осуществимым.
3)—4) Если множество х осуществимо, то осуществимо
и множество Р (х) всех подмножеств х и всякое г/Сж.
(Относительная осуществимость Р (х) и у С х.)
5а) Утверждения уех \J ~~| угх считаются истинными; Ь) то же
для x = y\J~~\ х = у и для А1(х, у) V ~| А1(х, у).
6) Для всякого х и любой формулы F(z), построенной из
= , е, логических операторов и переменных х, у, . . ., а, (3, . . .
и i,/c,...: если верно \z (zsxZD F (z) \J ~] F(z)), то
справедливо следующее утверждение:
В: 32/Vz (zey ~ zexlkF(z)).
7) Рассуждения осуществимой длины, все посылки
которого истинны в откровенном смысле, не может привести к
противоречию. (Непротиворечивость откровенной точки зрения.)
Постулаты 2)—4) эквивалентны тому, что всякое
множество осуществимой ступени (над нашей областью
индивидуумов) осуществимо, чем мы пользовались выше. Заметим,
что в них речь шла о «множествах» вообще, как в теории
Цермело, а не о множествах определенной ступени, или
типа, как в теории типов. Если ослабить постулаты 2)—4),
заменив постулаты 3) и 4) системой аналогичных постулатов
для каждого типа и потребовав, чтобы множеству (а(0), . . .,
а(%)) был приписан тип 1, то полученных постулатов
оказывается все же достаточно для обоснования теории типов.
Постулат 5) устанавливается путем традиционного
рассуждения; с традиционной точки зрения он истинен (в
интуиционистском смысле). Потенциальную осуществимость,
которая используется в этом традиционном рассмотрении,
можно заменить осуществимостью для более сильного
субъекта, чем тот, осуществимость для которого
подразумевается в постулатах 3)—4).
Постулат 5) позволяет пользоваться, без риска
противоречия, классическими выводами из посылок, не содержащих
248

знаков \/ и 3 — или сохраняющих интуиционистскую
истинность при замене V и J на ~|> & и 1, V, соответственно,
по хорошо известным правилам классической логики. Это
доказывается методом погружающих операций [7, § 81];
наличие нескольких родов переменных, соответствующих
различным смыслам осуществимости, не требует никаких
изменений этого метода.
Постулат 6) обосновывается путем более сложной
комбинации откровенных и традиционных рассуждений или,
скажем лучше, откровенных рассуждений, связанных с двумя
различными понятиями осуществимости (потому что
откровенная точка зрения как раз и состоит в том, что возможны
различные понятия осуществимости). Приводим это
обоснование, выделяя курсивом употребления используемых при
этом общих положений.
Фиксируем произвольное (осуществимое) множество х
модели М; согласно условию постулата 6), F(z)\/ ~]F(z) истинно
для всякого, осуществимого или неосуществимого,
элемента z множества х. Поэтому конъюнкцию всех таких
утверждений F (z) \/ ~~| F (z) (zex) мы считаем истинной.
Заметим, что эта конъюнкция может быть
неосуществима (здесь и ниже мы понимаем осуществимость
в том же смысле, что и постулатах 1)—4)) и мы ее мыслим
только метатеоретически (понимая под метатеорией
совокупность утверждений о данной, или «предметной», теории,
которую не обязательно считать формализованной). Такое
понимание истинности если и выходит за пределы
интерпретации осуществимых конъюнкций, соответствует
традиционной интерпретации квантора общности, который ведь
мыслится б классических рассуждениях как бесконечная
конъюнкция. Применим к рассматриваемой конъюнкции
дистрибутивный закон; получим дизъюнкцию всех членов
вида F'IzJ&l . . . 8lF'(z8), где z19 . . ., zs — все элементы х
(осуществимые или нет), а каждая формула F' (z-) есть F(zj
или "^F(z.). Согласно дистрибутивному закону и
интерпретации дизъюнкции, один из этих членов является истин- л
ным. Пусть это будет член F' (Zj)& . . . &/" (z8); рассмотрим
множество у всех тех z{, для которых F' (z4) в этом члене
есть F(zi)1 т. е. некоторый предмет вида (ztl, . . ., z^)(Z^>).
Построение этого предмета (zit, . . ., Ztj) по данной формуле
вида F'^JSl . . .&lF'(z8) есть некоторая операция,
осмысленная с традиционной точки зрения; рассмотрение множества у
можно заменить применением этой операции; согласно
постулату 4), результат у этой операции осуществим (в
применении к осуществимым х). Пользуясь, в применении к фор^
муле Fr (zx) & . . . &F' (zj, интерпретацией конъюнкции и
249

отрицания, а также определениями предикатов zex и zey
(с переменным г/), убеждаемся в том, что множество у
удовлетворяет постулату 6).
Это рассуждение носит неэффективный метатеоретический
характер] хотя мы и доказали существование формулы
F' (zx) &...&/" (zs) и множества у, мы не имеем никакого
способа для их нахождения.
Мы тут существенно воспользовались классической
интерпретацией пропозициональных операторов &, V и ~| в
применении к произвольным (неопределенным) формулам; можно
было бы избежать использования интерпретации дизъюнкции,
рассмотрев конъюнкцию всех членов AqZ)B, где Aq— член
этой дизъюнкции, а В— утверждение постулата 6),
преобразованных к виду "1 Aq у Б, снова применив дистрибутивный
закон (с учетом идемпотентности &) и воспользовавшись тем,
что "1 {Ах V ... V Aq) Z) "1 Ах & ... & ~~| Aq с последующим
переходом от^^у ...\/ Ач)\/В к Агу ...yAqZ)B.
Все рассуждения неосуществимой длины, которыми мы при
этом пользуемся, состоят в образовании конъюнкций уста^
новленных утверждений, использованиях интерпретаций конъ^
юнкции и отрицания, в применениях дистрибутивного закона и
формулП (A1\/...\/A1)z>-\A16i...&-\Av-\(A1\/...\/At)\/
У В 3 (А V • • • V Ад ID В). Все эти действия связаны с
рассмотрением пропозициональных операторов, но не объектов
модели М и относящихся к ним переменных. Поэтому мы
не опасаемся того, что такое рассуждение неосуществимой
длины может привести к противоречию. Каждое такое
рассуждение мы считаем (метатеоретически) за один шаг; число
таких шагов осуществимо (для осуществимого х). Ниже, при
рассмотрении постулата 7), мы отвлечемся от того, что
такой шаг распадается на неосуществимое число более
мелких шагов, —точнее, под «рассуждением осуществимой длины»
мы будем понимать вывод следствий из предыдущих
постулатов, имеющий осуществимую длину.
При рассмотрении модели N и дальнейших моделей ВМ
можно пользоваться аналогичными рассуждениями. Именно,
при проверке схемы 5 в модели TV достаточно, рассуждая
как выше для схемы 5а, рассматривать в качестве х
множество всех предметов ступени меньшей, чем какое-либо
число, осуществимое относительно функций ' и t(a, b, с).
Постулат 7) является, конечно, спорным. К этому вопросу
мы еще вернемся. А сейчас покажем, что постулаты 1)—7)
допускают интерпретацию в теории множеств Z (или, при
указанном ослаблении постулатов 2)—4), в теории типов), если
последняя непротиворечива.
250

В самом деле, в теории Z может быть построена теория
порядковых чисел в том же объеме, что и в теории типов
(ср. раздел 9). В частности, в этой теории имеется
бесконечный трансфинит z и можно рассматривать множество
элементов, обозначаемых а(0), ..., а(#). Не представляет
труда рассматривать далее множества всевозможных
ступеней, получаемые из (а (0), . . ., а (#)) посредством операций Р (х)
и перехода к подмножеству. Постулаты 1)—7) при этом
оказываются выполненными в теории множеств (или теории
типов), если термин «осуществимый» трактовать как
«конечный». (Это относится к понятию «осуществимый» в
абсолютном смысле. «Объект осуществимый относительно данных
объектов и операций» надо интерпретировать как «объект,
получаемый из данных объектов путем применения конечного
числа данных операций»). В частности, постулат 7)
означает при этом попросту непротиворечивость теории множеств Z
(или теории типов). (Причем можно даже считать, что в
постулате 7) речь идет о рассуждениях по классическим
правилам, поскольку теория множеств или теория типов
являются классическими.)
(Система положительных целых трансфинитов теории,
упомянутой в сноске 2 на стр. 222, более сходна с
множеством (а(0), ..., a(z)) модели М, так как в ней каждый
отличный от нуля элемент непосредственно следует за
некоторым элементом.)
Таким образом, откровенные постулаты, использованные
для обоснования теории Z, не хуже, чем сама эта теория,
и то же верно для теории типов. (Странный характер
дополнительных постулатов, потребовавшихся для
обоснования ZF, связан с трудностями аксиомы подстановки,
природа которых иная, чем у непредикативных определений
теории типов. Отвлекаясь от сложности понадобившихся
в модели TV и в дальнейших моделях ВМ гипотез об
осуществимости, для обоснования схемы аксиом 5 мы
привлекаем постулат 6) для случая, когда х есть множество всех
предметов ступени, меньшей, чем какое-либо число,
осуществимое относительно функции t (а, Ь, с).)
Заметим, что это рассуждение не может служить для
теоретико-множественного обоснования откровенной точки
зрения в целом, потому что последняя не может быть
полностью охарактеризована никаким множеством
постулатов.
Рассмотрим теперь снова постулат 7). Мы утверждаем,
что при обосновании непротиворечивости теории Z мы
могли бы использовать его далеко не во всей силе, с
которой он был выше высказан.
251

В самом деле, наша задача состояла в том, чтобы
опровергнуть гипотезу о противоречивости теории Z. Если
теория Z противоречива, пусть имеется противоречие длины I
(понимая под длиной доказательства число встречающихся
в нем символов) (см. сноску 6 на стр. 229). Число применений
правил вывода в таком случае < Z, а число I можно считать
осуществимым (коль скоро противоречие нам дано!).
Рассмотрим все аксиомы (длины < I для определенности;
перебор всех таких аксиом опирается на осуществимость
сочленения и подстановки). Каждая логическая аксиома очевидна
благодаря откровенной интерпретации логических операторов.
Именно, импликация AZD В интерпретируется так: имеется
откровенный довод, в силу которого всякий, кто принимает А,
должен принять и В. Конъюнкция A Sl В интерпретируется
так: «имеется откровенный довод, заставляющий принять .4,
и имеется такой же довод для В». В силу этих
интерпретаций, мы вынуждены признать истинной всякую
осуществимую формулу, имеющую вид (A З^ЗС^З^&ЙЗС) или
(i&^DC)D(4D(5DC)), и правило modus ponens; тем
самым А 3 (В 3 А) становится равнозначным А & В 3 А,
т. е. верным, a (A 3 В) 3 ((A 3 (5D С)) 3 (A 3 С)) —
равнозначным (A ZD В) & (А 3 (В 3 С)) & А з С; но согласно
интерпретации для &, всякий, кто признает (iDB)&(^D
3 (В 3 С))& А, должен (в виду modus ponens) признать и С.
Подобным же образом проверяются и остальные аксиомы
интуиционистской логики. Дизъюнкция А V В
интерпретируется так: «имеется откровенный довод, заставляющий
принять А, или имеется такой довод для В». (А 3 С) 3 ((В 3 С) 3
3 (^4 \/ В 3 С)) теперь равнозначно
(Az)C)&l(Bz)C)&l(A\/B)Z)C.
Тот, кто принимает (А 3 С)&(Б 3 С) Si (А \/ 5), должен
признать, что А \/ В, т. е., что имеется откровенный довод для А
или откровенный довод для В. Если, например, имеется довод
для А, то А 3 С по modus ponens дает С. Отрицание ~~]А
интерпретируется как А 3 /, где / — некоторое заведомо
ложное положение, например 0=1 или а(0) = а(1).
VxF(x) интерпретируется так: «имеется откровенный довод,
в силу которого F (х) для всякого х рассматриваемого типа»;
3fxF(x)— «для некоторого такого я имеется откровенный довод,
заставляющий принять F (х)». Равенство интерпретируется,
как совпадение (в традиционном смысле).
Выше (раздел 8) и на стр. 247—250 мы привели доводы,
заставляющие признать каждую из аксиом 1—5а теории Z.
252

Итак, все аксиомы (длины ^Z) верны. Если верны
посылки правила вывода, то верно и заключение (мы уже
отметили это для modus poriens, это также верно и для остальных
правил вывода). Чтобы убедиться в этом, достаточно каждый
раз воспользоваться упомянутой в разделе 5 способностью
распознавания, а также осуществимостью сочленения (для
правил с кванторами). Считая осуществимой любую
последовательность операций сочленения, подстановки и
распознавания, в количестве ^Z (точнее умозрительных переходов,
соответствующих применениям этих гипотез), мы можем таким
образом осуществить предложенный нам вывод длины I
в откровенной теории (выбирая в качестве z некоторое число,
превосходящее все числа, осуществимые при сделанных
предположениях) и получить, например, результат а(0) = а(1).
(Мы сейчас отвлекаемся от употребления закона исключенного
третьего, кроме случаев, предусмотренных постулатом 5.
Метод Гёделя показывает, что эти употребления можно
исключить.) После того как этот результат будет получен, он
может быть сделан для нас очевидным, потому что длина
доказательства Z была осуществимой, т. е. это доказательство
нам доступно. Абсурдность утверждения а(0) = а(1)
заставляет нас отвергнуть возможность получения противоречия в Z.
Как видно из этой схемы рассуждения, оно вовсе не
использует того, что всякое откровенное рассуждение
осуществимой длины не приводит к противоречию; мы
воспользовались этим только для длины Z. Каждое число /с = 1,
2, 3, . . . (д. и.) мы «осваиваем», т. е. научаемся понимать
откровенную истинность всех логических выводов
ограниченной длины (^0» имеющих к шагов и так по всем к^.1.
После этого число Z мы можем считать «освоенным», т. е.
истинность всякого логического вывода длины ^ Z
установленной. Затем для этого осуществимого Z мы с помощью
гораздо большего, неосуществимого, числа z строим модель М
(зависящую от Z), которая убеждает нас в невозможности
получить в Z противоречие длины ^Z. Никакой модели,
в которой требовалось бы проводить рассуждения любой
осуществимой длины, нам не понадобилось.
Таким образом, мы получаем доказательство
непротиворечивости теории Z, опирающееся не на постулат 7), а на
только что проведенное рассуждение, связанное лишь с
упомянутыми гипотезами об осуществимости, используемыми
^ I раз. Это доказательство непротиворечивости можно
описать так: допустим, что в теории Z имеется противоречие;
выражая \/ и 3 по классическим правилам через & и V,
получим противоречие, не использующее символов \J и 3,
причем исходными формулами этого противоречия будут
253

замыкания аксиом теории Z, приведенных к «нормальному
виду»(т. е. к виду без\/и Я) и замыкания формул вида | \FZDF,
также приведенных к нормальному виду, причем в силу
упомянутого рассуждения [7, § 81] F можно считать
элементарной формулой. Заключением противоречия пусть будет
заведомо ложная формула /. Тогда на основании теоремы о
дедукции можно получить в интуиционистском исчислении
предикатов вывод формулы i&BD/, где А — конъюнкция
замыканий формул |~^F~DFс элементарнымиF, а
Б—конъюнкция замыканий аксиом теории Z, приведенных к
нормальному виду. В силу осуществимости подстановки, этот вывод
осуществим, если данное противоречие осуществимо. Пусть I —
длина этого вывода; постулируя осуществимость I и выбирая
в качестве z неосуществимое число, превосходящее все
осуществимые числа, освоим Z, как описано выше, т. е. убедимся
в истинности осуществимой формулы А & В 3 /. После этого
убедимся в истинности формулы А, используя обоснование
постулата 5), аксиомы F V \F D ( П ^3/^) и правила,
позволяющие переходить от доказанных формул к их замыканиям
и конъюнкциям, а затем убедимся в истинности формулы Вг
воспользовавшись обоснованием аксиом 1—5а), в частности
обоснованием постулата 6) для схемы 5а), переходом к
нормальному виду (основанным на постулате 5)) и правилами
перехода от доказанных формул к их замыканиям и
конъюнкциям. Образуя затем конъюнкцию ДВи применяя modus
ponens, получим откровенное обоснование формулы /.
Невозможность такого обоснования убеждает нас в
непротиворечивости теории Z.
Аналогично обстоит дело с обоснованием теории ZF и
рассмотренных выше аксиом о существовании недостижимых
чисел20.
С другой стороны, возвращаясь к теории Z или к теории
типов, мы видели, что непротиворечивость этих теорий
влечет совместимость откровенных постулатов 1) — 7). Тем
самым постулат 7) — в применении к модели М — мы можем
считать также обоснованным (но согласно сделанному ранее
замечанию о неаксиоматизируемости откровенной точки
зрения, это не означает возможность проводить любые
откровенные рассуждения осуществимой длины, не рискуя впасть
в противоречие).
20 Мы признаем, что откровенная точка зрения —и, в частности,
методы рассуждения, использованные в предыдущих рассуждениях, —
в свою очередь должна еще быть предметом критического обсуждения
и, возможно, дополнительного обоснования. Поэтому мы не претендуем
на то, что нами дано окончательное обоснование теории типов.
254

Так как математические теории допускают, как правило,
теоретико-множественные интерпретации, то они допускают
и откровенные интерпретации, причем выполняется постулат
непротиворечивости, аналогичный постулату 7), т. е. можно,
не опасаясь противоречия, проводить любые рассуждения
осуществимой длины.
11. В рассмотренном выше обосновании теории Z и более
сильных систем мы имели дело с формулами неосуществимой
длины; к таким формулам мы применяли образование
конъюнкции, состоящей из неосуществимого числа членов,
дистрибутивный закон и эквивалентность А 3 В ~ A \J В. Дадим
еще другое обоснование рассуждений такого рода. С этой
целью рассмотрим следующую разновидность исчисления
Новикова, построенного в работе [13].
Пустое слово есть формула.
Элементарные формулы: х и х.
Элементарные формулы суть формулы.
Если имеется последовательность формул F19 F2, . . ., то
£Fn и UFn суть формулы.
Других формул нет.
Термин «последовательность» формул означает здесь и ниже
класс формул, определенный каким-либо образом,
допустимым с откровенной точки зрения. В частности, это может
быть любая конечная последовательность, например из трех
з
членов, и тогда мы пишем также Рх\/F2\/Fz вместо 2^<
♦=i
з
и РХ-Р2*Р3 или даже РгР2Р3 вместо П^. Рх, Р2, ... может
определяться также как совокупность формул Р{
определенного вида с осуществимыми индексами i — и тогда 1>Р4 есть
пара, состоящая из знака £ и определения этого вида,
аналогично для ИР4. Или же Fx, Р2, ... есть последовательность
в традиционном интуиционистском смысле слова; тогда Т>Р{
есть пара, состоящая из знака £ и интуиционистского
определения этой последовательности; аналогично для ИР4.
Последний случай можно, как объяснено выше, рассматривать
аналогично предыдущему, но с более сильным понятием
осуществимости. При желании (например, в связи с
системами ВМа) можно рассматривать много различных смыслов
осуществимости. Порядок, в котором следуют формулы Р1У
Р2, Р3, ... можно определять как угодно, лишь бы это
определение было законным с нашей точки зрения; впрочем,
в дальнейших рассуждениях порядок несущественен, и когда
мы пишем, например, ЛР4\/G, мы вовсе не предполагаем,
что П/\ действительно стоит на первом месте.
255

Операция отрицания: х есть х, х есть х; £/^ есть Ш\.
и П/^ есть £/\..
Члены формул: непустые формулы Fx, F2, ... и их члены
служат членами формул £/^. и ILF,; всякая формула является
своим членом; другого членства не существует.
Операция ~: если над некоторыми слагаемыми какого-
либо члена М формулы F поставлена тильда (~), то это
означает, что в члене М каждое такое слагаемое, имеющее
вид EG,., надо заменить слагаемыми G4l а каждое такое
слагаемое, имеющее вид х, х или ПС,, оставить без изменения.
Регулярные формулы. Некоторым формулам мы следующим
образом припишем ранг:
1. Если формула имеет вид 1>F. и можно (эффективно)
указать /^ = я, то £7^. имеет ранг 0.
2. Если все формулы F19 F21 .. ., Fn1 ... имеют ранг <>,
то формула UFn имеет ранг ^>.
3. Если в формуле 1>Р4 можно (эффективно) указать
слагаемое Fk=^Fkj такое, что 2^<V^л имеет ранг <>, то
формула liFi имеет ранг <^>.
4. Если в формуле Е/^ можно (эффективно) указать
слагаемое Fk = J\Fkj такое, что каждая формула 2^-V^W
имеет ранг <г, то формула £7^ имеет ранг ^J>.
5. Если формула F имеет ранг <>, а формула F
получается из F вычеркиванием некоторых, но не всех,
сомножителей в некоторых членах вида TIG,, то F* имеет ранг ^г.
6. Если формула F имеет ранг <>, a F' получается из F
присоединением к некоторым членам F дополнительных
слагаемых, то F' имеет ранг ^г.
7. Если формула F имеет ранг <V, a F' получается из F
применением операции ~ (т. е. расстановкой ~ над
некоторыми членами F), то F' имеет ранг ^>.
8. Если формула F имеет ранг <V, a F' получается из F
путем объединения некоторых сомножителей в один в
некоторых членах, то F' имеет ранг <J>,
9. Если формула F имеет ранг <^r, a F' получается из F
путем опускания некоторого слагаемого Hj в некотором
члене М= £7УЯ формулы F, при условии, что после этого
опускания в М все еще остается слагаемое Hj (т. е. F'
получается из F путем замены Hj\J Hj на Hj в М), то F имеет
ранг ^>.
10. Если формула F имеет ранг <[ г, a F' получается из F
путем введения в некоторое произведение добавочного
множителя //, уже имевшегося в этом произведении, в
некотором члене М формулы F, то F' имеет ранг ^г.
256

Формула F называется регулярной, если она имеет ранг ^г,
где i — какое-нибудь осуществимое число.
Операции, о которых идет речь в пунктах 5 и 6, а также
в пунктах 7 и 8 и в пунктах 9 и 10 определения ранга,
называются двойственными друг другу. Член Fk, о котором
идет речь в пунктах 3 и 4, называется выделенным членом.
Теорема 1. Если формула F регулярна, a F' получается
из F опусканием в некоторых членах М формулы F
слагаемых HF+, где некоторое Ft есть х, то F' регулярна.
Эта теорема легко доказывается индукцией по рангу
формулы F. Например, если F регулярна в силу пункта 4
определения ранга, то если опускание производится только в
некоторых F4 или Fkj, утверждение очевидно; если же опусканию
подлежит и член Fk, то некоторое FkJ- есть X, и мы
применяем индуктивное предположение к формуле ^Е4\/ FkJ, Рас"
i=£k
сматривая FkJ(=x) как произведение.
Остальные пункты рассматриваются аналогично.
Следствие 1. Если формула х\/F регулярна, то и F
регулярна.
Следствие 2. Формула х не регулярна.
В самом деле, если бы х была регулярна, то по
следствию 1 регулярно было бы пустое слово; но очевидно, что
к пустому слову не может привести ни один из пунктов 1—10.
Теорема 2. Если формулы F\J G и F\/H регулярны,
то G \/ Н регулярна.
Доказательство проводится индукцией по виду формулы F.
Если F есть х или х, то применяем следствие 1 и затем
пункт 6. Пусть для Fx, F2, ... и Fx, F2, . . . теорема
доказана; докажем ее для 1>Е{ и UFi9 а также для LF4 и ll/'V
Для этого докажем следующее предложение:
Если регулярная формула имеет вид £/\- V G, где для
каждого F{ верна теорема 2, то какова бы ни была
регулярная формула ИЁ{\/Н, формула G\J Н регулярна.
Это предложение доказывается индукцией по рангу
формулы lF{ V G. Если этот ранг равен 0, то или G содержит
слагаемое х и тогда G V Н регулярна в силу пунктов 1 и 3,
или некоторое F{ есть х, тогда по предыдущей теореме Н
регулярна и G\/ Н регулярна в силу пункта 6. Если tF{ V G
регулярна в силу пункта 3 или 4 и выделенный член
входит в G, то этот выделенный член служит также выделенным
членом формулы G\J Н, которая в силу индуктивного
предположения и пунктов 3 и 4 также оказывается регулярной;
если же выделенный член есть некоторое Fk, то возможны
два случая: 1) Fk = ^Fkj. Тогда формула ^Е+\/ Fk\/ G имеет
257

меньший ранг и, по индуктивному предположению (где Fk\J G
играет роль G) и ввиду регулярности формулы XI F% V Н
(см. пункт 5),Fk\/ G \J Н регулярна, так что и 7^. V G\/ Я
регулярна (пункт 3); кроме того, в силу и п. 5 регулярна и
формула Fk\J Н, и в силу предположения о Fk, и п. 9 G\/ Н
регулярна. 2) Fk=:]IFkj. Тогда каждая формула ^iF{\/Fkj\/ 6
имеет ранг, меньший чем t,Ft\/G) применяя индуктивное
предположение с Fkj\/G в роли G и формулой J\F{\/Н
(см. пункт 5) в роли П/\ \J Н, убеждаемся в регулярности
каждой формулы Fkj\/ G\/ Н, следовательно (пункт 4),
формула Fk\/ G\/ Н регулярна (в предположении
осуществимости некоторой операции); как прежде, Fk\J Н регулярна и,
в силу индуктивного предположения относительно Fk,
G\J H\J Н регулярна, а, значит, регулярна и формула G\/Н
(см. пункт 9). Если F'—^FiX/G регулярна в силу одного
из пунктов 5—10, то достаточно рассмотреть случай, когда
операция производится только в членах /\, так как в
членах G можно произвести эту операцию уже в формуле G\/ Н.
Производя в соответствующих членах /\- двойственную
операцию и применяя индуктивное предположение к формуле F,
из которой согласно пунктам 5—10 получена F',
убеждаемся, что формула G\J Н регулярна. (4).
Следствие: Если формулы F и F\J Н регулярны, то Н
регулярна.
Теорема 3. Всякая формула вида F\J F регулярна.
Доказательство — индукцией по виду F. Если F есть х
или х, то F\J F имеет ранг 0. Пусть для всех Fx, F2, . . .,
Fnl . . . теорема верна и F есть I>Fn; тогда каждая
формула Fn\/ Рп регулярна, значит F\J Fn регулярна (пункт 6)
и F\J\\Fn, т. е. F\J F, регулярна согласно пункту 4.
Случай F = l\F{ рассматривается аналогично.
Предыдущее обоснование теории множеств можно записать
в логических символах, причем будут встречаться символы
предикатов, относящихся к различным метауровням, и
переменные, пробегающие осуществимые числа (быть может, в
различных смыслах этого слова). Все рассуждение опирается
при этом на некоторые исходные формулы или аксиомы
и происходит по правилам вывода исчисления предикатов
с несколькими родами переменных. Можно считать, что все
формулы замкнуты — для этого достаточно все аксиомы
заменить их замыканиями и, в качестве новых аксиом, добавить
замыкания прежних аксиом и всех формул видов Vx(F(x)Z)
IDG(x))ZD(VxF(x)Z)VxG(x))1 VxVyF{x, y)Z)VyVxF(z, у),
258

Vx(F (х) 3 G) 3 {3xF(x) 3 G) (G не содержит свободно x).
(При замене в данном выводе всех формул их замыканиями,
каждое применение правила вывода переходит в применение
правила, доказуемого с помощью этих аксиом и modus ponens).
Modus ponens — единственное правило вывода исчисления
предикатов, преобразованного таким образом.
Каждая элементарная замкнутая формула истинна или
ложна, в чем можно убедиться с помощью достаточно
длинной проверки; каждую такую проверку считаем за один шаг
(ср. обоснование постулата 5 выше). Теперь каждой
замкнутой формуле сопоставляем формулу исчисления Новикова
следующим образом: элементарной формуле сопоставим х
или х, смотря по тому, истинна она или ложна. Если каждой
формуле <21, 93, 51(0» гДе * — терм без переменных,
сопоставлена формула исчисления Новикова А, В, At соответственно,
то формулам П^1, ЗД&93, 21 \J Ъ, 213 93, УхУ1(х), ЯхЪ (i)
сопоставляем соответственно формулы Л, АВ, А\/В, А\/В,
П^*> 2^* (в ДВУХ последних случаях индекс t пробегает
t t
термы, не содержащие переменных и относящиеся к области
изменения переменной х). Будем называть формулу
регулярной, если сопоставленная ей формула исчисления Новикова
регулярна. Легко видеть, что все аксиомы классического
исчисления предикатов регулярны, и правило modus ponens
сохраняет регулярность (следствие из теоремы 2). Сохраняет
регулярность также образование любых конъюнкций, в
предположении, что ранги их членов ограничены осуществимым
числом. Ранг формулы F\/ F ограничен числом, зависящим
только от числа логических операторов формулы F. Легко
проверяется также регулярность каждой формулы AqZD В
(стр. 250; проверка регулярности этой формулы основана на
определении множества у постулата 6, теореме 3 и пунктах 1,
2, 4 и 6 определения ранга) и утверждения каждой из аксиом
1—4 (причем используются соответствующие предположения
об осуществимости — например, выделенная на стр. 56
курсивом операция для формулы ipB в связи с
квантором Я у).
Следовательно, регулярна каждая формула HAq \J В^ или
£^493i?t, где В4 — утверждение постулата 6) для некоторой
формулы F(я). Значит, регулярна и П(£^4 з#,). Если бы
i -
с помощью постулата 6) (т. е. с помощью некоторых В4)
можно было получить противоречие, а значит, и формулу
~~10 = 0, то регулярна была бы некоторая формула вида
П В4; V "| 0 = 0; тогда (в силу теоремы 2 и предыдущего)
239

регулярна была бы и формула П£Л?:эО = 0, а значит и
<) = 03]£ПЛ9, и по теореме 2 — формула 2ПЛ9, где
конъюнкция берется по всем Aq для некоторой F(х), а дизъюнкция —
по всем F(x), входящим в противоречие.
Между тем, нерегулярность ИГЫ9 доказывается
индукцией по виду формул F{x). Если все F(х) элементарны, то
предположение о регулярности £1Ы9 влечет, в силу
теоремы 1, регулярность пустого слова. Индукция проводится
^с помощью следующей теоремы:
Теорема 4. Пусть R — класс формул Fki таких, что для
всякого его подкласса S нерегулярна формула 2^, где
Ffc = J\ ^ Fki, каждое Fki есть Fki или Fki и конъюнкция
Fk&3
берется по всем распределениям значений Fki в S, а к
пробегает осуществимую систему индексов; Hkj — формулы вида
2^*Л- или формулы вида Ц/^> в обоих случаях все Fkj{^R.
4 i
Тогда формула %Мк, где Mk — JJ^HkJ (Hkj есть Нк, или HkJl
J
а конъюнкция берется по всем распределениям значений HkJ
для всех /) нерегулярна.
Доказательство. Пусть все Hkj суть Ц/^л- (случай,
*
когда все Hkj суть 2-^л^» рассматривается аналогично) .
Допустим, что %Мк регулярна. Обозначим через Тк
произвольный член конъюнкции Fk, а через Fkj% — слагаемое Fjki
суммы Тк. Распределение значений HkJ определим следующим
образом: если для некоторого i значение Fkji есть Fkj{,
положим Hkj = Hkjy а в противном случае—Hkj = HkJ.
Дизъюнкция множителей Мк с этими распределениями регулярна
(пункт 5) и над ними можно затем поставить «~» (пункт 7).
Снова пользуясь пунктами 5 и 7, мы оставим во всех HkJ
вида Hkj только множитель F^ji, а над остальными H^j
поставим «~». Получится регулярная формула, из которой затем
согласно пункту 6 получим формулу 27V Согласно пункту 4
и в виду осущзствимости системы значений /с, формула %Fk
будет регулярна, что противоречит условию теоремы.
В этом доказательстве использован закон исключенного
третьего — но только в форме yz(zix Z)A (z) V ~| A (z)) и его
можно свести (см. [7, *58 b—с, *25, *51а]) к утверждениям
вида (D): yz(zzxZ) ] ]F(z))ZD~\ \yz(zixZDF{z)). Кроме того,
индексы пробегали совокупности значений, не дозволенные
в определении формулы, так что можно усомниться в суще-
260

ствовании выделенных в Мк множителей. Но в силу
конечности числа членов каждого Ад, последнее сомнение
отпадает благодаря постулату 6). (Определение регулярных
формул позволяет считать F(z) имеющими тот же вид, что и
в постулате 6).) Заметим, что ранги использованных регу
лярных формул не превосходят некоторого фиксированного
числа, являющегося значением вычислимой функции ср от
длины I данного противоречия. Достаточно «освоить» число
ср (/) (т. е. научиться понимать смысл утверждения о регу
лярности формул ранга ^ ср (/)), чтобы убедиться в несуще
ствовании в Z противоречия длины <^/. Возможность
«освоения» ср (/) также есть постулат, которым мы пользуемся в этом
доказательстве непротиворечивости. (В следующей работе мы
покажем достаточность постулатов 1), 3), (Z)), 5а) и 6)
непосредственно, не пользуясь аппаратом регулярных формул и
связанными с ним гипотезами об осуществимости.)
Справедливость (/)), 5а) и 6) для х{-\-х2 вытекает из их
справедливости для х{ их2 — это позволяет ограничиться в обоснова
нии теории типов второй ступени только гипотезой о суще
ствовании неосуществимого (относительно ') числа, могущего
быть полученным путем осуществимого (относительно ') числа
сложений ранее построенных чисел (т. е. имеющего двоичнов
разложение с осуществимым относительно ' числом знаков) и
индукцией по осуществимым числам (5). Таким числом можно
считать триллион.
Примечания при корректуре:
1. В действительности, постулат 8Т также может быть выведен из 811.
(Так K3lk~]A,A\-~~]B\S], то ~]А,А\-В \J~~~\B и, в силу 8й, ~~\АУА \-
~Y\BZ2B\ но -]А,А\--\-\.В[8].)
2. Этой моделью можно воспользоваться и для относительного
доказательства непротиворечивости аксиомы выбора в системе Z.
3. Существует и другое построение теории порядковых чисел в Sr
не использующее аксиомы выбора, при этом схему аксиом 5 можно
заменить на 5а. Это построение сходно с тем, которое изложено
у Shepherdson'a [Journ. of symb. logic, 16, 4951, 161 — 190], однако-
равенство во многих случаях заменяется на равнообъемность.
4. Если в определении ранга устранить пункты 5—10, то получим
определение формул, регулярных в смысле [13]. Легко доказывается,
что преобразования пунктов 5—10 сохраняют регулярность (ср. [13]).
Теорема 2 позволяет значительно сократить доказательства в [13].
5. Обоснование теории Z на этом пути требует дальнейшего посту
лата об осуществимости — в более сильном смысле — всякого числа
относительно сложения, и обоснования связанной с этой осуществи
мостью формы принципа индукции.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. Марков. Теория алгорифмов. Тр. математич. ин-та АН
СССР, 38, 1951, стр. 176-189.
2. Ф. X а у с д о р ф. Теория множеств. ОНТИ. 1937, ОНТИ, М. Л, 304 стр.
261

3. Van Dantzig. Is 1010 a finite number? Diabetica, 1956, N 9,
pp. 273—277...
4. K. Go del. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathe-
matica und verwandter Systeme. I. Monatshefte fur Mathematik und
Physik, 38, 1931, 173—198.
5. J. Kemeny. Type theory vs set theory. Dissertation, Princeton
University, 1949; (Journ. of symbolic logic, 15, 195U).
6. A. H e у t i n g. Die formalen Rt geln der intuitionistischen Logik,
Sitzungsberichte der preufiischen Akademie der Wissinschaften,
Physikalischmathematische Klasse, 1930, S. 42—56.
7. S. G. Kleene. Introduction to metamathematics, 1952. Русск. пер.
G. К. Клини. Введение в метаматематику. ИЛ, 1957.
8. J. Johansson. Der Minimalkalkul, ein reduzierter intuitionischen
Formalismus. Gompositio Mathematica 4, 19;>6, N 1, SS. 119—136.
9. G. G e n t z e n. Die Widerspruchsireiheit der reinen Zahlentheorie.
Math. Annalen, 112, 1936, SS. 493—565.
10. G. Gentzen. Neue Fassung des Widerspruchstreiheitsbeweises fur
die reine Zahlentheorie. Forschungen zur Logik und zur GrunJJegung
der exacten Wissenschaften, новая серия 44. 1938, N 4. SS. 19—44.
11. К. Schutte. Beweistheoretische Erfassung der unendlichen lnduk-
tion in der Zahlentheorie. Math. Annalen, 122, 1951, S. 369—389.
12. A. G. E с e н и н- В о л ь п и н. Добавление VII к переводу книги [7].
1957, стр. 485—492.
13. П. G. Новиков. On the consistency of certain logical calculus.
Математический сб. 54, 1943, № 12, 231—261.
14. I. Novak. A construction for models of consistent systems. Funda-
menta Mathematicae, 1956, pp. 87—110.
15. Hao Wang. On Zermelo's and von Neumann's axioms for set
theory. Proc. of the National Academy of Sciences, 35, 1944, N 3,
pp. 150—1587.
16. A. Mostowski. Some impredi^ative definitions in the axiomatic-
set theory. Fundamenta Mathematicae, 1950, pp. 111—124.
17. J. R. Shoenfield. A relative consistency proof. Journ. Symbolic
Logic, 19, 1954, N 1, 21-28.
18. К. Godel. The consistency of the axion of choice and of the
eneralized continuum-hypothesis with the axioms of set theory,
nstitute for Advanced Study, 1940, 66 p. Русск. перевод
А. А. Маркова. Успехи матемаиических наук, 3, 1948, N 1,
стр. 96—149.
19. G. Takeuti. Construction of the set theory from the theory of
ordinal numbers. Journ. of Mathematical Society of Japan 6, 1954,
N 2, pp. 196-220.
20. W. Sierpinski. Lecons sur les nombres transfinis. Paris, 1928.
21. R. O. G a n d y. On the axiom of extensionality, I. Journ. of
Symbolic Logic 21, 1956, N 1, pp. 36—48.
22. P. Hilbert und P. В e r n а у s. Grundlagen der Mathematik.
Berlin—Springer. Bd. J, 1934; Bd. II, 1939.
23. A. G. Есенин-Вольпин. Добавление V к переводу книги [7],
1957, 481—484.
24. P. Bernays. A system of axiomatic set theory, II. The Journ. of
symbolic logic 6, 1941, pp. 1—17.
25. A. G. Есенин-Вольпин. Недоказуемость гипотезы Суслина
без помощи аксиомы выбора в системе аксиом Бернайса-Мостов-
ского. ДАН СССР, .96, 1954, №Л, стр. 9-12.
26. A. Mostowski. Uber die Unabhangigkeit des Wohlordnungssatzes
vom Ordnungsprinzip. Fundamenta Mathematicae 32, 1939,
pp. 201—252.
262

ф
В. С. Чернявск и й
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
НОРМАЛЬНЫХ АЛГОРИФМОВ МАРКОВА
Как известно, алгорифмическим процессом называется
процесс, протекающий по общепонятным, четким предписаниям,
а сами эти предписания — алгорифмом. Так называемая теория
нормальных алгорифмов изучает процессы, заключающиеся
в преобразовании слов, т. е. упорядоченных конечных наборов
букв некоторого конечного алфавита.
В статье применяется следующая терминология.
Если алфавит А входит в алфавит Б, то Б называется
расширением алфавита А. Мы говорим, что слово jP входит в словоQ,
если слово Q может быть представлено в виде RPS, где R и
S — слова (возможно пустые).
Если Q может быть различными способами представлено
в виде RPS, то мы говорим о различных вхождениях слова jP
в слово Q, в частности можем говорить о самом левом или
самом правом вхождении слова Р в слово Q. Всякое вхождение
всякого слова в слово Q называется частью Q. Мы будем
рассматривать также пустое слово. Пустое слово входит в
любое слово между всякими его соседними буквами, а также
стоит в начале и в конце каждого слова. Пустое слово
обозначается знаком Л.
Алгорифм, исходными данными и конечными результатами
которого являются слова некоторого алфавита А, называется,
следуя А. А. Маркову, нормальным алгорифмом над А и в 5,
если он задан упорядоченной таблицей подстановок вида
( А, — В, }
\А(-*.В( ,
Ап -* В„ )
263

где А{ и В4(l^i^n) слова в алфавите А или его
расширении Б, а —> и • не принадлежат к Б; и правилом:
«Требуется среди слов А; найти первое входящее в Р, и первое
вхождение этого Ai в Р заменить на В4. Процесс нужно
повторять до тех пор, пока не будет применена строка с
точкой после стрелки или пока ни одно А. не будет входить
в обрабатываемое слово. В этих случаях процесс
прекращается и полученное слово считается его результатом.
Если же процесс не прекращается никогда, алгорифм
считается неприменимым к исходному слову».
Два алгорифма над алфавитом А называются
эквивалентными относительно алфавита А, если они, будучи применены
к одному слову из А, дают одинаковые результаты всякий раз,
когда хотя бы один из этих результатов лежит снова в А.
В настоящей работе из класса нормальных алгорифмов
выделяется подкласс так называемых «челночных»
алгорифмов, который для всякого нормального содержит
эквивалентный ему челночный и с помощью которого облегчается
построение общей теории нормальных алгорифмов,
изложенной в книге А. А. Маркова «Теория алгорифмов».
1. Построение алгорифмов.
Что такое челночный алгорифм, легче всего пояснить на
примерах. Мы будем строить различные алгорифмы, причем
все они будут получаться челночными.
Возьмем датинский алфавит, обозначим его через А и
поставим себе задачу построить какой-либо простой нормальный
алгорифм, например, алгорифм зачеркивания первой буквы а
в слове.
Вначале представим себе, что процесс должен быть
совершен маленьким живым существом, которое может
передвигаться по слову, втискиваясь между его буквами, видеть одну
букву по ходу движения перед собой, запоминать различную
информацию, стирать буквы, писать буквы, втискивая их между
собой и соседними буквами и т. д.
Как бы мы сформулировали программу действий для этого
существа (которое дальше будем называть челноком), чтобы
ее выполнение всегда приводило к стиранию первой буквы а
в произвольном исходном слове Р?
Это можно было бы сделать так:
Появись на левом конце слова головой вправо
-^ Р
(—*> обозначает челнок).
264

Если перед тобой буква %=^а, преодолей ее
-^е — 5-^ ' (1)
и повторяй так, пока не дойдешь до а. Дойдя до а,
уничтожь его и себя и останови процесс
-^ а -* *Л. (2)
Если же ты пройдешь Есе слово и не встретишь а,
уничтожься и останови процесс
-*■ ---Л. (3)
Символические записи наших команд челноку, собранные
вместе, уже составляют нормальный алгорифм (I):
г-^5 — 5-^(6^в), (1)
(*) -^ а-*»Л, (2)
1-^ —.Л. (3)
Здесь нужно сделать следующие разъяснения. Чтобы эту
запись можно было считать таблицей алгорифма мы должны
—^ считать буквой. Следовательно, мы должны расширить
алфавит А до алфавита 2>=^4(J—^-
Далее, строка
считается сокращением вместо целой серии строк такого
вида, у которых \ пробегает все буквы алфавита А, кроме
буквы а:
-± Ь _* Ь -ъь ,
и т. д.
Однако нормальный алгорифм, задаваемый таблицей (I)
еще не тот, что мы хотели: какое бы слово Р в алфавите А
мы ни взяли за исходное, ни одна из левых частей в (I)
не будет входить в Р, так как все эти левые части
содержат букву —^ , не входящую в А и, следовательно, не
входящую в Р. Значит, ни одна строка в (I) не будет
применима к Р и, согласно условию, мы должны считать, что (I)
перерабатывает Р в Р.
Это объясняется тем, что мы никак не отразили в (I)
нашей первой команды челноку — появиться на левом конце
слова. Соответствующая строка выглядела бы так:
Л — -^. (4)
265

Каждое слово, в том числе и Р, начинается с пустого
слова Л; следовательно, применение строки (4) приведет
именно к тому, что слева от Р появится челнок
-^ Р.
Теперь нужно решить, куда поместить строку (4).
Предположим, что мы ее поместим в начале таблицы. Это
приведет к тому, что будет применяться только эта строка.
Действительно, эта строка всегда применима и, находясь
в начале таблицы (т. е. наверху) фактически и будет
применяться. Это привело бы к тому, что к Р приписывались бы
все новые и новые челноки.
Если бы мы поместили эту строку посредине, так что ниже
•ее стояла бы хоть одна строка, то эта нижнестоящая строка
никогда бы не применялась, так как над ней, т. е. раньше
нее, стояла бы всегда применимая строка.
Итак, чтобы строка (4) не парализовала работу никакой
части таблицы, она должна стоять в конце ее.
Таким образом, таблица нашего алгорифма принимает вид
^S-^S^(^a), (1)
-». а-*» Л, _ (2)
-- -^«Л, (3)
Л -^^. (4)
Специального рассмотрения требует строка (1). Эта строка
нами считается за сокращение, заменяющее целую серию
строк. Однако не указывается, в каком порядке должны быть
расположены строки этой серии. Это допустимо лишь при
условии, что взаимное расположение строк внутри серии не
отражается на алгорифме, и, следовательно, может быть
выбрано произвольным. Это должно быть проверено.
Посмотрим, как будет работать алгорифм (II). Какое бы
слово Р в алфавите А не было бы взято в качестве исходного,
ни одна из строк (1), (2), (3) не будет применима, так как
в А, а следовательно, и в Р нет буквы -^. Поэтому первой
будет применена строка (4), которая припишет к Р слева
челнок.
Дальше процесс пойдет следующим образом. Если смежная
с челноком справа буква есть а, то применима будет строка (2),
а и челнок исчезнут и процесс остановится (после стрелки —
точка). Если же справа от челнока стоит %=^а, то применима
будет одна и только одна из строк серии (1), применение
которой передвинет челнок на одну букву вправо и т. д., пока
челнок либо встретит а, тогда он и а исчезнут, либо пройдет
(П)
266

слово до конца. В последнем случае строки (1) и (2) не будут
применимы и будет применена строка (3) — челнок исчезнет
и процесс остановится. Алгорифм действительно «зачеркивает»
первое а в слове.
Описанный процесс характеризуется следующим: так как
каждая строка из серии (1) содержит в левой и правой частях
точно по одному челноку, то применение такой строки не может
изменить количество челноков в слове, т. е. в слове будет
всегда точно один челнок. Этот челнок вместе с правой
смежной с ним буквой образует вхождение в обрабатываемое слово
точно одной левой части из строк серии (1). А это значит, что
как бы мы не расположили строки из серии (1), применима
будет только одна из них. Таким образом, строки из серии (1)
перестановочны между собой, их порядок безразличен и,
следовательно, допустимо сокращение (1).
Строка (2) тоже перестановочна с любой строкой из серии (1).
В самом деле, если челнок находится внутри слова, то он стоит
либо перед а, либо перед не-а. В первом случае строка (2)
применима [где бы она ни стояла по отношению к (1)], а из
серии (1) не применима ни одна. Во втором случае применима
какая-то определенная строка из (1) и не применима строка (2).
Если же челнок прошел слово насквозь, то строка (2) не
применима независимо от расположения относительно (1).
Далее, челнок исчезает только с применением строки (2)
или (3), но это совпадает с окончанием процесса. Иными
словами, в слове есть точно один челнок. Он появляется в
начале и исчезает в конце процесса.
Далее, строка (3) — единственная [не считая (4)], в левой
части которой стоит один лишь челнок. Поэтому она не
перестановочна ни со строкой (2), ни со строками из (1), так как,
будучи применима всегда, когда в слове есть челнок, она
парализовала бы любую строку с челноком в левой части,
которую мы поставили бы ниже ее. Если же она стоит ниже
всех строк с челноками в левых частях, то она применяется
как раз в тех случаях, для которых предназначена, т. е. когда
челнок прошел" слово насквозь и перед ним больше букв нет.
Тогда строки (1) и (2) не применимы, а применима строка (3).
По определению нормального алгорифма каждый шаг
применения его таблицы состоит из трех действий — из
выполнения трех правил:
1. Отыскание среди левых частей строк таблицы первой
(сверху), входящей в обрабатываемое слово.
2. Отыскание в обрабатываемом слове первого (слева)
вхождения этой левой части.
3. Подстановка вместо этого вхождения соответствующей
правой части.
267

В общем случае правило 1 приводит к неперестановочности
строк таблицы, так как если в данный момент применимы две
строки, то дальнейший ход процесса зависит от того, которая
из них стоит выше. В нашем примере это влияние правила 1
значительно ослаблено: большинство строк, а именно — все
строки из (1) и строка (2) — перестановочны, а для двух
оставшихся указано определенное место в таблице —
последнее и предпоследнее.
Сильно упрощается применение правила 2. За исключением
первого шага, когда применяется строка (4) с левой частью А ?
имеющей множество вхождений в любое слово, в
обрабатываемом слове имеется лишь одно вхождение левой части
применимой строки и отыскивать первое вхождение становится
излишним (в слове всегда только один челнок!).
Построим более сложный алгорифм зачеркивания точно
двух первых букв а в слове. Этот алгорифм должен зачеркнуть
два первых а, если они есть в слове; если же в слове двух а
нет, то алгорифм должен оставлять слово без изменения.
Воспользуемся прежним методом, т. е. продумаем
программу действий для челнока и соберем в
таблицу символические записи наших предписаний.
Появись на левом конце слова
Л-^-^ (И)
и двигайся вправо, пока перед тобой будут буквы, отлич=
ные от а
_^_^^(?74а). (1)
Встретив а, подчеркни его, преодолей и запомни, что
одно а ты уже нашел
_^ а _^ а -^ . (2)
(Изменение содержания памяти челнока сводится к замене
буквы, изображающей челнок, другой буквой).
Двигайся затем вправо до тех пор, пока перед тобой
будут буквы, отличные от а
--Ц-^Ц-М^а). (3)
Встретив а, уничтожь его и повернись
-"> а -+ -"- (4)
Двигайся теперь влево до тех пор, пока перед тобой
будут буквы, отличные от а
e^- — ^-5(S*e). (5)
268

Когда же ты встретишь подчеркнутое а, — уничтожь erof
уничтожься сам и останови процесс
а ^ _> • Л. (6)
Если ты не встретишь ни одного а на твоем пути вправо
и пройдешь все слово насквозь,—уничтожь себя и останови
процесс
• А.
(7)
Если же ты не встретишь второго а при твоем движении
вправо и выйдешь на правый конец слова с
загруженной памятью, то повернись, но помни, что второго а ты не
нашел
Тогда иди влево через отличные от а буквы
\^-*^.\ (?=^а).
(8)
(9)
Дойдя до подчеркнутого д, восстанови его и уничтожься
а <^ —> • а
В результате получается следующая таблица:
(10)
(HI)
_^^5-^(5^а)
—*• v —*■ а -**■
-*М — 5 -"* (1=^=а)
-^ а_> ^_
%^-+^\ (б^в)
а -"—» • А
-»._*• А
-^ _> ^м.
?-«*-* **\ (5=^ в)
а -щ —*■ • а
Л -> -^
(1) I
(2) I
(3) п
(4) II
(5) III
(6) III
(7) I
(8) II
(9) IV
(10) IV
(11) •
(III) есть таблица нормального алгорифма, записанная
в алфавите Z> = ^4|J{—^. -^ *^-> ^S #}•
Все левые части содержат челнок в том или ином виде,
кроме левой части строки (11), которая помещена в конце
таблицы из тех же соображений, из которых в алгорифме
269

(II) на последнее место помещена строка (4). Следовательно^
если к переработке предложено слово Р в алфавите А, то
применима будет лишь строка (11), применение которой приведет
к появлению челнока слева от Р.
Далее, если не считать «заключительных» строк (6), (7) и
(10), применение которых уничтожает челнок и останавливает
алгорифм, то все правые части содержат по одному челноку.
Значит, в процессе работы алгорифхма челнок не создается и не
уничтожается. Значит, в слове всегда точно один челнок.
Челноки могут быть разных видов. Смотря по тому,
какого вида челнок входит в левую часть, строки разбиваются
на группы — «элементы таблицы», которые мы обозначили
(справа) через I, II, III и IV.
Так как в каждый данный момент в слове находится лишь
один челнок какого-то определенного вида, то в каждый
данный момент «работает» лишь один элемент таблицы, причем
работает независимо от того, как расположены его строки по
отношению к строкам других элементов.
По отношению к строкам всякого элемента можно повторитьг
то, что было сказано об алгорифме (II). В каждом элементе
содержится не более одной строки, левая часть которой
содержит только одну букву — челнок. Эта строка описывает
действие челнока в случае, когда он прошел сквозь все слово
и перед ним по ходу движения нет букв. Это единственная
строка среди строк элемента, неперестановочная с остальными
его строками. Ее место — последнее (из тех же соображений,
из которых в таблице (II) мы строку (3) поставили после строк (1)
и (2).
Остальные строки элемента перестановочны. Таким
образом, можно как угодно менять расположение строк алгорифма,
если только при этом «начальная» строка (II) будет на
последнем месте и каждая строка с однобуквенной левой частью будет
ниже всех остальных строк того же элемента. Можно,
например, сначала написать все строки всех элементов с двубуквен-
ными левыми частями, затем все строки всех элементов с одно-
буквенными левыми частями, затем строку (И). При этом
внутри каждой группы порядок строк безразличен.
Когда мы предписываем челноку что-либо запомнить, то
он должен перейти в новое состояние, т. е. просто должна
появиться новая буква, изображающая челнок. Тогда работать
начнет новый элемент таблицы, у которого в левых частях
стоит челнок этого нового вида. Этим обеспечивается
изменение поведения челнока с изменением загрузки его памяти.
Построим теперь алгорифм обращения слова Р, т. е.
алгорифм, перерабатывающий всякое слово в алфавите А в то же
слово, но написанное справа налево:
270

собака — акабос.
Сформулируем программу действий для челнока:
Появись на левом конце слова
А -> -^ * (10)
Поставь перед собой звезду и преодолей ее, запомнив,,
что звезда стоит
_^ _* * «_^. (1)
Запомни первую букву перед тобой, уничтожь ее и
повернись
^^^($ел) (2>
(-^-J—это одна буква алфавита!)
Преодолей звезду
* ^-^^ * ($е-4). (3)
Преодолей все буквы, которые стоят перед тобой
-П^-^т). ($, ц£А). (4)
(Это предписание бесполезно в начале процесса, но лишь
только челнок перенесет хоть одну букву влево от звезды,
оно будет нужно).
Выйдя на левый конец слова, напиши букву, находящуюся
в твоей памяти, забудь ее и повернись, однако помни, что
ты влево от звезды
^ -> 5 ^. (5)
Иди вправо до тех пор, пока перед тобой будут буквы
из А
^£->?^. ($£4)) (6)
Дойдя до звезды, преодолей ее и перейди в то же
состояние, что и в левой части предписания (2)
L^ * ^ * i—^. (7)
(Теперь челнок автоматически начнет работать по
предписанию (2) и повторит все до (7) и будет повторять этот цикл,
пока, выполнив (7), сможет выполнить (2). Но когда вправо
от звезды более не будет букв, (2) станет неприменима и это
будет означать, что работа сделана и процесс нужно
оканчивать). Поэтому мы продолжаем:
271

Если, преодолев звезду, ты не найдешь букв, повернись
и помни, что нужно кончать процесс
— -^ ^J. (8)
(-<U и l-^ — это разные буквы, и ^1 у нас еще не
встречалась!).
Увидев звезду, уничтожь ее, себя и останови процесс.
*-<и->.Л. (9)
Соберем строки в таблицу, группируя их по элементам:
(1) i
(S6/1) (2) И
(3) II
(еел) (4) ш
(5, -чел) (5) ш
(1£А) (6) III
(еел) (7) iv
(8) IV
(9) V
(10).
Алгорифм (IV) работает следующим образом.
В начале применяется (10) и к слову приписывается слева
челнок, после чего «включается» элемент I.
Работа элемента I коротка: написать перед словом звезду,
после чего «управление» процессом передается элементу II.
Если справа от звезды есть/-хоть одна буква из Л, работает
строка (2), и управление передается элементу III. III прогоняет
челнок на левый конец и печатает букву из памяти челнока,
после чего управление передается элементу IV.
IV возвращает челнок к звезде и переводит его через звезду,
после чего управление передается снова элементу II.
II работает различно, в зависимости от того, есть ли еще
буква вправо от звезды. Если есть, II направляет процесс по
прежнему циклу; если нет, передает управление элементу V,
который и заканчивает процесс. Это — так называемая
условная передача управления в зависимости от выполнения того
или иного условия. С условной передачей управления мы уже
сталкивались, хотя и не говорили об этом. Например, в алго-
(IV)
А
• Л
272

рифме (III) элемент II передает управление элементам 111 или
IV, в зависимости от того, встречает ли челнок вторуюJ5yKBy а
в слове или нет.
Существенно новым в алгорифме (IV) является наличие
цикла, применение которого повторяется много раз.
2. Свойства челночных алгорифмов.
Приведенных примеров достаточно, чтобы дать
представление о методах составления «челночных» нормальных
алгорифмов и сформулировать их свойства:
1) Челночный алгорифм над алфавитом А записывается
в расширении этого алфавита Б, которое помимо А содержит
две непересекающиеся группы букв. Первая может состоять
из звезд, подчеркнутых букв из А, надчеркнутых букв из А
и т. п. Вторая — из различного вида челноков.
2) В таблице челночного алгорифма всегда есть одна строка
вида
А —5,
где Z один из видов челнока. Это строка, которую мы будем
называть начальной, всегда стоит на последнем месте и
применяется один раз в начале процесса.
3) Все левые части всех остальных строк содержат не более
двух букв, из которых одна всегда челнок.
4) Каждая правая часть содержит не более двух букв, из
которых одна — челнок. Если же челнока нет, то строка
является заключительной, т. е. после стрелки — точка.
Из этого следует, что в течение процесса в обрабатываемом
слове находится точно один челнок, который исчезает в конце
процесса.
5) Далее, все челноки делятся на левосторонние, которые
входят в левые части строк с какой-либо буквой слева, и
правосторонние, которые входят в левые части с какой-либо буквой
справа.
Строки таблицы делятся на группы — элементы, по
принципу сходства челноков в левой части. (Это деление, хотя и
не строго, но достаточно наглядно, и мы будем им пользоваться).
6) В каждом элементе есть не более одной строки, левая
часть которой однобуквенна, т. е. состоит из одного челнока.
Так как в слове всегда только один челнок, то элементы
между собой перестановочны; так как челнок всегда одно-
сторонен, то все строки элемента с двубуквенными левыми
частями перестановочны между собой.
7) Единственная строка элемента с однобуквенной левой
частью должна стоять после (т. е. ниже) всех остальных строк
элемента.
273

По определению нормального алгорифма допускается
случай, когда процесс останавливается из-за неприменимости всех
левых частей таблицы. Челночный алгорифм, если он верно
составлен, останавливается лишь при применении
заключительной строки.
Наконец, челночные алгорифмы допускают интерпретацию
в виде процесса, осуществляемого машиной специального вида
или «живым существом» — челноком.
Отмеченные номерами 1)—7) свойства можно принять за
определение челночного алгорифма. Можно также исходить
из интуитивного представления о челноке, как о разумном
существе, способном выполнять определенные операции и
действующем по предписаниям, задаваемым таблицей.
В первом случае мы получаем подкласс нормальных
алгорифмов, во втором — строим новый тип алгорифмов,
аналогичный машинам Тьюринга. В дальнейшем изложении мы формально
будем стоять на первой точке зрения, но все время будем иметь
в виду и вторую, используя связанную с ней интуицию и
терминологию.
3. Композиция челночных алгорифмов.
В "связи с построением алгорифмов встает вопрос об их
композиции, т. е. возможности из простых алгорифмов
составить сложный.
Назовем входом алгорифма тот его элемент, челнок
которого входит в правую часть начальной строки, а сам этот
челнок — начальным. Назовем выходом алгорифма всякую
правую часть конечной строки. Всякий алгорифм имеет один
вход и не менее одного выхода.
Пусть имеются два алгорифма 21 и 93 в алфавитах А и
В соответственно, оба над алфавитом D. Поставим себе
задачу построить алгорифм (I над алфавитом Z), который
всякое слово из D преобразовывал бы вначале как 21, а
результат затем преобразовывал бы как CS.
Сперва переделаем 21 так, чтобы челнок исчезал при
остановке 21 не где попало, а в начале слова. Для этого
каждую правую часть каждой конечной строки А{—>*В{
заменим на А{—* &{В4, где 8;-—какие-либо не входящие
в А и различные между собой левосторонние челноки, и
вставим перед начальной строкой дополнительные элементы
( } \ 6,^.Л
по числу новых челноков 6t-.
274

Мы получим таким образом новый алгорифм 9Г над
алфавитом 2), эквивалентный, как легко видеть, алгорифму
91 относительно D и отличающийся от него только тем, что
в новом алгорифме челнок уничтожается лишь достигнув
предварительно начала слова. 9Г будет алгорифмом уже
не в алфавите А, а в алфавите
Л'= 411 {в,}.
Теперь построим 91 следующим образом.
Переименуем все челноки в алфавитах А и Б, сделав
их различными. Для этого достаточно приписать к челнокам
алфавита Б какой-либо знак, скажем штрих или что-либо
иное. Переименуем соответственно челноки в 9Г и 93.
Теперь любой челнок из 9Г и любой челнок из 93—
различны. Ясно, что алгорифмы 91' и 93 остались
эквивалентными себе относительно алфавита Z), хотя пх алфавиты и
изменились.
Далее, отбросим в 9Г начальную строку. Заменим в 9!'
заключительные строки
в, -* • А
на
где Qcq — начальный челнок алгорифма 93.
Такую операцию будем называть подключением выходов
алгорифма 9Г ко входу алгорифма 93.
Отбросим в 93 начальную строку. Припишем все строки
93 к строкам 91' и в конце припишем начальную строку
алгорифма 91', ранее отброшенную от его таблицы.
Построение требуемого (£ закончено.
Рассмотрим другой пример.
Пусть алгорифм 91 имеет два выхода, т. е. остановка
процесса может произойти по двум причинам. Пусть, далее,
мы хотим, чтобы в зависимости от причины остановки
к обрабатываемому слову применялся алгорифм 93х или 932-
Тогда, аналогично предыдущему случаю, мы должны
подключить один выход 91 ко входу 93х, а другой — ко входу 93L,,
написать 91, 93х, 932 один под другим в произвольном
порядке, убрав предварительно в 95х и 932 начальные строки,
а начальную строку из 91 поместить в конце.
Полученная таблица дает требуемое.
Возможны также циклические подключения: если 91
имеет два выхода, то один из них можно подключить
к входу самого 91. Тогда 91 будет работать до тех пор,
27!F,

пока не произойдет остановка по причине,
сформулированной в заключительной строке, образующей второй выход.
Наконец, возможно подключение выхода одного алгорифма
не ко входу другого алгорифма, а к любому его элементу.
Для этого достаточно в правую часть соответствующей
заключительной строки первого алгорифма поставить не начальный
челнок второго, а челнок того элемента, к которому мы хотим
подключить первый алгорифм. Такое подключение, однако,
требует, чтобы в первом алгорифме челнок исчезал в том месте
обрабатываемого слова, в котором находится челнок того
элемента второго алгорифма, к которому производится
подключение. Если такого согласования нет, необходимо между
подключаемыми алгорифмами вставить элемент, который
перевел бы челнок в нужную часть слова.
Нет возможности, да и нужды рассматривать все случаи,
которые могут когда-либо представиться. Ограничимся
рассмотренными примерами.
4. Эквивалентность челночных и нормальных алгорифмов.
Пусть 9£ — нормальный алгорифм в алфавите А над В.
Покажем, что существует челночный алгорифм (Е,
эквивалентный 91 относительно В.
Пусть
Ак-+Вк
таблица алгорифма 91.
Построим вначале челночный алгорифм (£,. применения
i-и строки из таблицы 91.
Пусть i-я строка
А{ —> %г
имеет вид
a<i • • • аш —* Рл • • • Р<«.
Тогда 6; задается следующей таблицей: «Иди по слову,
пока не дойдешь до ап
а а
а а
«Найдя а41 подчеркни ее, преодолей и перейди в
состояние, в котором ты будешь проверять ai2»
ii 12
—^ лп —> ап -± .
а а
* ik И
1 aik может совпадать с лц при / Ф к. но —^ и —^ — всегда раз-
7. а
лачны при I Ф к.
276

Если следующая буква zi2, преодолей ее и перейди
в состояние, в котором ты будешь проверять ai3
и т. д. до ain.
Проверив ain, повернись для уничтожения найденного
вхождения Ai
in
а
Иди влево, уничтожая все буквы, пока но дойдешь до
подчеркнутой
\ *--+*-{%£В).
Дойдя до подчеркнутой, уничтожь ее и повернись для
подстановки В{
И
^in -* * р 2.
Печатай одну за другой буквы (За, рй, . . ., ptf(т_^
il 12
i (т—1) im
Напечатай р<т, уничтожься и останови процесс
im
-f -> • P.m- (а)
Если при проверке очередной буквы ты увидишь не ту,
что нужно, повернись
ii л ^ ^ s (^<*.'2)
11 ? -* ^ Н^О
и иди влево до подчеркнутой
5-«.-»►-^6. (бе в)
г/с i7
2 Рл может совпадать с fy/ при /с ^/, но —^ и —^ —всегда раэ-
Р Р
личны при к Ф1.
277

Дойдя до подчеркнутой, восстанови ее и повернись для
поисков НОВОЙ 0Ln
а
а,, ^ —* а,
а
Если в поисках лп или при проверке очередной буквы
ты окажешься в конце слова, значит в обрабатываемом
слове нет вхождения А{. Тогда останови процесс и
уничтожь себя
-^ -> • А,
*...., I (Ь)
—> . Л.
Наконец начальная строка
Мы получили требуемый челночный алгорифм (£(
применения i-и строки нормального алгорифма У13.
Выходами его являются строка (а) — совершена
подстановка В4, и строки (Ь) — нет вхождения А{.
Теперь мы обычным образом собираем вместе £,, . . ., (£Л
и подключаем выход (а) каждого из них (если i-я строка
не заключительная) на вход (£т, а выходы (Ь) каждого из
них (кроме последнего) — ко входу следующего по
порядку 6;.
Полученная композиция всех (£, и дает нужный
челночный алгорифм (Е, эквивалентный данному 9t относительно
фиксированного алфавита В.
Таким образом, доказана эквивалентность нормальных
и челночных алгорифмов. Однако вопрос о построении
нормального алгорифма, который по заданному нормальному
алгорифму над алфавитом В строил бы эквивалентный ему
относительно В челночный, требует особого рассмотрения.
Мы вернемся к нему ниже, в разделе 8.
5. Алгорифмы в однобуквенком расширении алфавита.
Пусть дан алфавит А, содержащий букву а, и B = A\J$ —
однобуквенное расширение этого алфавита. Тогда для
любого челночного алгорифма над А существует эквивалентный
ему относительно А алгорифм в В. Этот последний, правда,
уже не челночный в В.
3 Специальные случаи (Ai— пусто, В{ — пусто) приводят к
отбрасыванию первой — «ищущей» или второй — «печатающей» части
алгорифма (Г»\
278

Пусть ч21 — челночный алгорифм над А и пусть С Z) А —
его алфавит. Без ограничения общности можно считать, что
Назовем левой скобкой слово
в В
и правой скобкой — слово
в В.
Пронумеруем алфавит С\А, сначала все не-челноки,
затем все челноки и поставим каждой букве в С в
соответствие некоторое слово в В — ее «перевод». Перевод буквы \
будем обозначать [5]. Ниже дается таблица перевода
к '
(к — номер %к в установленной нумерации).
Перевод всякого челнока содержит между скобками
кортеж из а длиннее, чем перевод любого не-челнока.
Пусть jP — слово в С:
Определим перевод jP:
Пусть Р — слово в С и Q = [P] есть перевод Р в В.
Q составляется нами согласно таблице перевода из целых
частей — переводов отдельных букв слова Р. Эти части будем
называть истинными переводами.
Покажем, что всякая часть R слова Q, имеющая вид
[S] (S (£ А), есть истинный перевод.
Пусть i? = [5] имеет вид
ftSapa ... а$а^,
т. е. вид кортежа из а, отграниченного слева левой скобкой,
а справа — правой скобкой.
Но в Q (в процессе его построения из истинных
переводов букв слова Р) кортежи из а могли появиться лишь
в следующих четырех случаях:
1) Как буква а в левой скобке.
2) Как буква а в правой скобке.
279

Но в этих случаях кортеж соседствовал бы с двумя
подряд идущими ,3 либо слева, либо справа, что не имеет
места в R.
3) Как кортеж из а в слове Р.
Но в этом случае он был бы ограничен либо буквами
отличными от (В, что не имеет места в i?; либо имел бы слева
правую скобку истинного перевода, либо имел бы справа
левую скобку истинного перевода, либо и то, и другое,
т. е. соседствовал бы либо слева, либо справа, либо и слева
и справа с двумя подряд идущими (3, что не имеет места,
в R.
4) Как кортеж истинного перевода, но в этом случае R есть
истинный перевод и утверждение доказано.
Отсюда следует, что если в Р есть один челнок, то в Q
есть одна часть i?, являющаяся переводом челнока.
Пусть теперь таблица алгорифма (£ имеет вид
( л,-* в,
{ Ап-*В„
Назовем переводом алгорифма d и обозначим [(£]
алгорифм с таблицей
( [Аг] — [flj
( [Ап]-+[ВЯ].
Докажем следующие теоремы.
Если к Р применима i-я строка алгорифма^,
ток [jP] применима i-я строка алгорифма [(£].
Если i-я строка начальная, то утверждение тривиально,
так как в этом случае А{ = [А{]=Л.
Если же i-я строка не начальная, то А- есть слово,
состоящее из челнока и буквы. Но тогда Ai входит в слово Р,
a [Af] в слово Р, а так как [А.] есть левая часть 1-я строки
в [(£], то утверждение доказано.
Если к Р неприменима i-я строка (£, то к [Р]
неприменима i-я строка [(£]. *
Строка с левой частью А- может быть неприменима, когда
в Р и А{ — разные челноки. Тогда в [Р] и [А{] переводы
челноков тоже разные; либо буквы при челноках разные,
но тогда и в [Р] и [А{] переводы букв при переводах
челноков тоже разные. В обоих случаях i-я строка в [(£[ —
неприменима.
Отсюда легко получаем, что если в результате
одного шага применения £ к Р мы получим ^, то
280

в результате одного шага применения [dj к [Р]
мы по лучим [Q].
Это следует из двух ранее сформулированных теорем и
из того, что в [(£] правые части суть переводы
соответствующих правых частей из (L
Отсюда следует, что если Q — результат
применения £ к Р, то [Q] — результат применения [GJ
к [Р], а если Q к Р слова в А, то [Q] =.Q и [Р] = Р. Тем
самым доказано, что [6] эквивалентен (£
относите л ьно Л.
6. Нормальные алгорифмы и машины Тьюринга.
При использовании челночных алгорифмов довольно
просто решается вопрос о соотношении нормальных
алгорифмов и машин Тьюринга — вопрос об их эквивалентности.
Мы будем предполагать машины Тьюринга работающими
над бесконечными словами, записанными в конечном
алфавите
^ 0» ^ 1» • • • > ^ »и
на бесконечной в обе стороны ленте. Лента предполагается
разбитой на клетки, причем буква SQ интерпретируется как
пустая клетка. На ленте лишь конечное число клеток
предполагается заполненным буквами, отличными от *У0. Таким
образом «значащая» часть слова, т. е. часть слова,
ограниченная самой левой и самой правой буквами, отличными от SQt
включая и эти крайние буквы, является конечной.
Машина обладает рабочим органом, который находится
всегда в некоторой клетке, конечным числом состояний
?o?i • • • 9п
и всегда находится в одном из них.
Машина Тьюринга может:
1) видеть содержание к-летки, в которой находится
рабочий орган;
2) печатать любую букву кроме S0 в клетку, в которой
находится рабочий орган, уничтожая при этом букву, ранее
стоявшую в этой клетке;
3) передвигать рабочий орган на одну клетку влево;
4) передвигать рабочий орган на одну клетку вправо
(в этих случаях мы будем говорить о передвижении самой
машины);
5) переходить из одного состояния в другое.
Исходными данными для машины' является такая
значащая часть слова, записанного на ленте, в которой не должно
быть S0.
281

Работа машины определяется конечным неупорядоченным
набором команд вида
qtSjlSrfrL (Sr=£Sa)
qiSj\Sj.qt.R (Sr^S0)
и правилом: находясь в состоянии qt и видя букву Sj,
машина печатает в эту клетку букву Sj'(Sf^S0), переходит
в состояние д., и сдвигается налево (или направо — во
втором случае)4; qY считается исходным состоянием машины,
а д0 считается «конечным» состоянием машины, т. е. q0 не
входит ни в одну левую часть ни одной команды. Работа
продолжается, пока применима какая-либо команда.
Результатом работы считается значащая часть слова, написанного
на ленте, когда машина находится в состоянии q0.
Мы можем рассматривать машину относительно алфавита
{или над алфавитом)
с с
°гр • • • 1 ui]ii
где S4l ... Sik — любой подалфавит алфавита SX1 ..., Sm.
В этом случае мы в слове, являющемся результатом работы
машины, должны все буквы, не входящие в Stl, ..., Sik
считать равными .S0.
Машина задается таблицей команд и стандартным
исходным положением рабочего органа в исходном слове, а именно —
в его начале.
Бросается в глаза далеко идущая аналогия между машинами
Тьюринга и челноками. Машина в определенном состоянии
находится в одной клетке и видит ее содержание; челнок в
определенном состоянии смотрит на одну букву и видит ее. Машина
передвигается по ленте; челнок преодолевает буквы или
поворачивается, перенося тем самым свой «взгляд» с одной буквы
на другую. Машина заменяет одни буквы другими; челнок
стирает буквы и печатает новые. Можно поэтому надеяться,
что всегда можно построить машину Тьюринга и челночный
алгорифм, которые копировали бы в каком-то смысле действия
друг друга.
При этом нужно иметь в виду следующие различия.
1. Машина находится в клетке с буквой; челнок — может
смотреть на букву, находясь либо справа, либо слева от нее.
2. Машина может выйти за пределы значащей части
слова и будет видеть S0. Челнок, копирующий ее действия,
ничего не будет при этом видеть.
4 Таким образом, значащая часть слова никогда не будет
содержать Sq.
282

3. Машина не может просто стереть букву, не заменив
ее другой, или вставить новую букву между уже
напечатанными; челнок это может сделать.
Пусть нам теперь задана машина ^ с таблицей Т и
исходным положением рабочего органа — левой буквой
значащей части слова.
Построим челночный алгорифм G, который по
одинаковым с машиной $ исходным словам давал бы одинаковые
с ней результаты (у машины имеются в виду значащие
части слов).
Для этого каждой команде вида
qiSj\Sfqi,R1
где Sj=j£=SQ, ставим в соответствие строки
—^ Sj ■—» Sjf —^
L>j JL-. —■> Oj* —^ ,
а каждой команде вида
4iSj\SrqvL,
где Sj=^S0 — строки
—^ Sj —> ^L- Sjf
Sj^_-^^ Sjf.
Две строки для каждой команды нам нужны потому, что
мы не знавм заранее, с какой стороны подойдет машина
к Sj в состоянии q{. Для работы машины это безразлично,
для челнока — в силу его односторонности — нет. Если же
машина видит SQ, значит она вышла за пределы значащей
части слова.
Поэтому каждой команде вида
9iS0\SjqifR
ставим в соответствие строки
и, аналогично, каждой команде вида
QiSo\Sj'9i'L
283

строки
4 -> 9i' S-
Далее. Так как безрезультатная остановка машины 5
но определению не дает результата, то при отсутствии в
левых частях команд машины *5 сочетания qtSj мы к таблице
челночного алгорифма приписываем строки
ч д* ^ v 9i
Все эти строки записываются одна под другой: сначала —
все с двубуквенными левыми частями, затем — все с однобук-
венными левыми частями,
Наконец, пишем начальную строку.
Полученный алгорифм G эквивалентен машине
относительно алфавита SX1 ..., ^.Эквивалентность легко доказы*
вается индукцией по шагам процесса.
Пусть теперь, наоборот, нам дан челночный алгорифм £
над алфавитом *SA, ..., Sm. Построим эквивалентную ему
машину Тьюринга.
Здесь мы встречаемся со следующим затруднением. В то
время как челнок может по желанию стирать буквы в слове
или вставлять новые буквы между уже стоящими, машина
Тьюринга ничего этого выполнить не может. Она может
лишь заменять одну букву другой. Если же она хочет
повторить одно действие челнока, скажем вставку одной буквы,
то она должна отойти, скажем, на правый конец слова, и.
передвигая букву за буквой на одну клетку вправо,
освободить нужное место для вставляемой буквы и только после
этого произвести вставку.
Или она может поступить и так. Желая поставить
какую-то букву, скажем Sj, правее (или левее) некоторого
вхождения буквы St1 она может отойти на нужное место
рядом с S4 и поставить туда Sj. Но при этом она забьет
какую-то букву, стоявшую на том месте, куда теперь
поставлена буква Sj. Машина должна ее запомнить, прежде чем
забивать, сделать еще один шаг в том же направлении и
поставить там только что забитую букву. При этом будет
забита новая буква. Машина должна повторить с ней уже
проделанную операцию перенесения на одну клетку и
повторять так до тех пор, пока она не выйдет на конец слова.
Машина узнает об этом, встретив первую букву SQ (эта буква
284

не может появиться в слове в процессе работы алгорифма (£,
которую копирует машина). В дальнейшем машина должна
вернуться на то место, куда была поставлена буква Sj. Для
того чтобы можно было найти это место, она может
печатать вначале не Sj, а какую-либо ее модификацию, скажем Sj.
Тогда, вернувшись к этой букве, машина должна заменить
Sj на Sj, после чего может перейти к копированию
дальнейших действий челнока. Мы будем следовать этому
последнему варианту.
Далее нужно иметь в виду следующее. Если челнок
печатает новую букву (а не заменяет одну букву на другую),
то соответствующая строка содержит в своей левой части лишь
один челнок, так как в противном случае ее правая часть
должна была бы содержать три буквы, что противоречит
определению челночного алгорифма. Это нужно понимать так:
что бы челнок ни видел, он печатает новую букву левее (если
он правосторонний) или правее (если он левосторонний) той
буквы, на которую он смотрит. Значит, машина, находясь
к клетке с той буквой, на которую смотрит челнок, должна
сделать шаг влево или, соответственно, вправо, напечатать
нужную букву и начать перенос забиваемых букв на одну
клетку, как описано выше.
Кроме того, нужно различать случаи, когда челнок печатает
новую букву перед собой, за собой и поворачивается ли он
при этом, так как от этого зависит, какую букву он увидит
после подстановки.
Стирание буквы можно осуществить так. Машина
штрихует стираемую букву, отходит на правый конец слова
и, заменив последнюю справа букву на S0— букву, которая
должна быть специально введена для обозначения пустого
места, передвигает все буквы на одну клетку влево, пока
не возвращается на нужное место.
Остальные действия челнока не вызывают затруднений.
Заключительным строкам таблицы челночного алгорифма
команды даются так, как если бы челнок в правой части
я о до
оыл в состоянии —^ или ^__ .
Соответствующие всем этим действиям группы команд
(хотя и многочисленных) несложно было бы выписать, но
мы этого делать не будем: читатель, скорое всего, все равно
не станет в них разбираться либо удовлетворившись
убеждением, что команды можно выписать, либо же предпочтет
ныписать их сам, не утомляя себя разбором громоздких
конструкций, составленных другими.
Таким образом, можно построить требуемую машину <£,
эквивалентную челночному алгорифму (£ относительно
алфавита Sx, ..., Sm.
285

Тем самым доказана эквивалентность машин Тьюринга
челночным и, следовательно, нормальным алгорифмам.
7. Универсальный алгорифм.
Пусть $1 — норхмальный алгорифм в алфавите А и
[а^В{ (i=l, ..., п)
его таблица. Пусть *, * , 0, к — буквы, не входящие в А.
Заменим в строках этой таблицы -> на *, точку — на О, Л —
на л. Припишем эти строки одну к другой по порядку слева
направо, отделяя их буквой $ и поставим еще | в начале
и в конце полученного слова. Это слово в алфавите В =
= Ли{*, I , О, Ц будем называть программой алгорифма $1
и обозначать ПрЭД.
Пусть буква II не входит в В. Построим над В
челночный алгорифм И, который слова вида
Пр<а«Л (1)
где Р — слово в А, перерабатывал бы в Q (тоже слова в ^4),
где Q есть результат применения алгорифма ЭД к слову А
и был бы неприменим к словам вида (1), если ЭД
неприменим к Р. Этот алгорифм назовем универсальным.
Представим себе теперь работу челнока. В его
распоряжении есть программа алгорифма <21, т. е., по сути дела,
та же таблица алгорифма ЭД, и слово Р. С этим словом он
должен сделать то, что сделал бы с ним алгорифм <21.
Естественно, что челнок должен делать то, что делали бы мы,
применяя % к Р.
Прежде всего, челнок должен выделить первую строку
в Пр ЭД (строкой мы называем часть Пр $1, которая
изображает одну из строк таблицы <21). Это можно сделать заменив,
скажем, #, ограничивающие эту строку, на (|). Букву (#)
будем называть скобкой.
Затем челнок должен приступить к поиску первого
вхождения Ах в Р. Челнок запоминает первую букву в Ах,
скажем аа, и отмечает все вхождения ее в Р, надчеркивая
их. Отмеченные буквы суть возможные начала вхождений А
в Р. Так как первые буквы всех этих вхождений уже
отмечены, то первую букву из Ах уже проверять не придется и
ее тоже нужно отметить особым образом — надчеркнуть. Это,
конечно, должно быть сделано одновременно с запоминанием
ее в самом начале.
Затем челнок начинает проверять, не является ли первая
из отмеченных в слове Р букв аи началом вхождения А,
286

в Р. Для этого он возвращается из Р в первую строку г
доходит до надчеркнутой буквы и поворачивается. Увидев
какую-то букву а12, он ее запоминает, подчеркивает ее и
идет в Р. Там он идет спокойно вправо, пока не встретит
надчеркпутую букву. Последнее служит челноку сигналом,
что нужно насторожиться. Челнок преодолевает эту надчерк-
нутую букву, и если следующая буква а12, он ее
подчеркивает, забывает то, что помнил, и возвращается в первую строку.
Дойдя до первой строки и преодолев ( $ ), челнок
движется влево, пока не дойдет до подчеркнутой буквы (ее он
уже проверил), поворачивается, запоминает букву, которую
видит, подчеркивает ее и идет в Р.
В Р он спокойно идет до надчеркнутой буквы, дойдя до
нее он настораживается и преодолевает ее. В настороженном
состоянии челнок движется вправо, преодолевая ранее
подчеркнутые буквы (среди которых могут быть и надчеркиу-
тые, — их мы будем называть надподчеркнутыми) пока не
дойдет до неподчеркнутой (которая может быть надчеркнутой) и,
если она совпадает с той, которую челнок помнит, он ее
подчеркивает, поворачивается, и т. д.
Допустил!, что проверяя очередную букву из Аи челнок
обнаруживает, что за подчеркнутыми в Р буквами стоит
буква, отличная от той, которую он помнит. Это значит, что
проверяемое вхождение ап в Р не есть начало вхождения
Ал в Р. Тогда челнок поворачивается, идет по подчеркнутым
буквам влево, снимая все подчеркивания, но не трогая над-
черкивания, пока не дойдет до надчеркнутой, но не
подчеркнутой буквы. Это — ап, которое проверялось, но не
выдержало проверки. Челнок снимает с него подчеркивание.
Теперь будет проверяться уже следующее вхождение ап в Р —
оно теперь первое из падчеркнутых. Далее, челнок идет
в первую строку, преодолевает подчеркнутые буквы,
восстанавливая их, пока не дойдет до надчеркнутой. Не
преодолевая ее, челнок поворачивается, запоминает стоящую перед
ним букву (это вторая буква в Av первую проверять не
нужно), подчеркивает ее и идет в Р. Там он доходит до
первой надчеркнутой, настораживается, и т. д.
Началась проверка следующего вхождения ап в Р.
Допустим, что А1 не входит в Р. Челнок об этом может
узнать тремя путями.
1. При разметке в Р первой из Ах буквы ап, челнок
может не найти ни одного ее вхождения.
2. Проверив очередное вхождение ап и сняв с него над-
черкивание, челнок может не найти следующего вхождения.
3. Проверяя очередное вхождение и идя с загруженной
памятью по подчеркнутым буквам в Р, челнок может
287

выйти на конец слова Р — вхождение А1 не умещается
в Р.
В этих случаях челнок переходит к переносу скобок
вправо. Он возвращается в первую строку, восстанавливая
все над- и подчеркнутые буквы и, дойдя до левой скобки,
заменяет ($) на 8 . Затем он идет вправо, преодолевает (!)
и, дойдя до Z , заменяет ее на (*). Теперь скобками
выделена вторая строка и процесс идет так же, как с
первой.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока либо все
строки не будут проверены и ни одна из них не окажется
применимой к Р, — об этом челнок узнает, когда, пытаясь
перенести скобки вправо, он натолкнется на # , либо
челнок обнаружит вхождение некоторого А( в Р. Об этом
челнок узнает, когда, вернувшись в выделенную скобками
строку и дойдя до подчеркнутых, т. е. уже проверенных
букв в А{, он повернется и увидит не букву из А, а *,
которая заменяет стрелку.
Найденное в Р вхождение А{ состоит из над-подчеркну-
тых, подчеркнутых букв и одной иадчеркнутой перед ними.
Челнок должен идти в Р, дойти до первой иадчеркнутой,
уничтожить ее и поставить *. Далее, он должен идти вправо,
уничтожая подчеркнутые и над-подчеркнутые, восстанавливая
надчеркнутые и преодолевая остальные. Дойдя до конца
слова Р, челнок должен вернуться в отмеченную скобками
строку и начиная с конца переносить буквы из В{ по одной
(отмечая их) в Р туда, где он поставил звезду. О том, что
всё В{ уже подставлено в Р, челнок узнает, когда, двигаясь
в отмеченной скобкахми строке по подчеркнутым (т. е. уже
подставленным в Р) буквам из В{1 он увидит не
неподчеркнутую букву, которую еще нужно перенести в Р, а * или О.
В первом случае он должен убрать в jP звезду и во всем
обрабатываемом слове все надчеркивания и подчеркивания,
перенести скобки влево на первую строку и повторять все
сначала. Во втором случае нужно кончать процесс:
применена строка с точкой.
Если челнок кончает процесс (применена строка с точкой
или ни одна из строк неприменима к Р), то он очищает Р
от технических знаков (звезды, штрихи) и уничтожает все,
что стоит левее Р.
Еще нужно обратить внимание на следующее. А4 может
быть пустым. Тогда, выделив нужную строку скобками,
челнок увидит X. В этом случае он прямо идет в Р и за #

•заставит *, а дальше действует по общей схеме подстановки В0
на место * в Р.
288

Пустым может быть и В{. Тогда челнок преодолеет X и
не станет переносить его к звезде в Р.
Наконец, челнок должен всегда помнить, в какой части
слова Пр *2l Z Р он находится, так как от этого зависят его
действия.
Ш Перенос скобах ffnpado
©II
W Остановка
©♦I
Рис. 1.
Запишем теперь эту схему работы челнока в виде команд,
как мы это делали ранее, и символические записи команд
соберем в таблицу челночного алгорифма.
289

Команды челноку мы соберем в группы 1—VIII, которые
будем называть операторами. Такое членение облегчит ссылки
и анализ таблицы. Каждый оператор будет распадаться на
элементы, которые будут помечены латинскими буквами в
круглых скобках.
Подключения и передачи управления указаны стрелками
на схеме рис. 1. Каждому оператору дадим условное название,
которое приблизительно соответствует работе, совершаемой
оператором. Будем считать, что челнок стоит в начале слова.
При передаче команды элементу того же оператора,
указывается только буква.
I. «Начало»
Оператор I отмечает скобками первую строку и отводит
челнок к левой скобке.
1(a) Преодолеть Ц, заменив на (J), и перейти к 1(b).
1(b) Идти вправо до |, заменив на (J), повернуться и
перейти к I (с).
1(c) Идти влево до (J), повернуться и перейти к II (а).
П. «Разметка первой буквы из А{»
Если А{ не пусто, этот оператор надчеркивает первую
букву в А; и все вхождения этой буквы в jP и оставляет
челнок на правом конце Р. Если же А{ пусто, то II (а)
передает управление в V(a).
11(a) Если аа справа—не X, запомнить, надчеркнуть,
преодолеть и перейти к Ь). Если буква справа — X, перейти
к подстановке вместо пустого слова V(a).
(b) Идти вправо до $ , преодолеть и перейти к (с).
Элемент (с) проводит челнок по Р и, если там челнок
встречает ап, надчеркивает его и передает управление в (d),
если не встречает,—то в (VI).
(c) Идти вправо до aix, преодолеть, надчеркнуть и перейти
к (d); или идти до конца, если аа в jP нет, повернуться
и переходить к переносу скобок вправо (Via).
(d) Идти вправо, надчеркивая ап и преодолевая \=fi=aix до
конца слова Р, повернуться и перейти к (поиску
вхождения А4) (Ша).
III. «Поиск «хождения Л,- в Р»
Оператор III принимает челнок в конце Р, отводит его
к началу А+ и, начиная со второй, проверяет буквы из Ait
как было описано ранее. Если он обнаруживает вхождение
290

в Р, он передает управление в IV (подстановка В4); в этот
момент* челнок находится в i'-й строке перед звездой.
Если же в Р нет вхождения А., оператор III передает
управление в VI (перенос скобок вправо). В этот момент челнок
находится в конце Р.
(a) Идти влево до (J), преодолеть и перейти к (Ь).
(b) Идти влево до первой подчеркнутой или надчеркнутой
буквы, повернуться и перейти к (с).
(c) Если впереди at-,— запомнить, преодолеть, подчеркнуть
и перейти к (d).
Если впереди * — преодолеть и перейти к подстановке В±
(IVa).
(d) Идти вправо до первой надчеркнутой буквы в Р,
преодолеть и перейти к (е), или до конца в i\ повернуться
и перейти к переносу скобок вправо (Via).
(e) Идти вправо по подчеркнутым и над-подчеркнутым до
первой неподчеркнутой ai или at, подчеркнуть,
повернуться и переходить к (а) или до первой
неподчеркнутой £ или £, не равной а^ повернуться и перейти к (/),
или до конца, повернуться и перейти к переносу скобок
вправо (Via).
Цикл (а) — (е) проверяет, не является ли очередное
вхождение aix в Р началом вхождения Ai в Р. Если проверка
обрывается на какой-то букве, то (е) передает управление
в (f). Применение (f) приводит к тому, что начинается
проверка уже следующего вхождения ап в Р.
(f) Идти влево по подчеркнутым и над-подчеркнутым буквам,
убирая подчеркивания, встретив надчеркнутую — снять
надчеркивание; идти далее до (|), преодолеть, идти
влево, восстанавливая подчеркнутые до надчеркнутой,
повернуться и перейти к (с).
IV. «Подстановка Bt»
Оператор IV принимает челнок, когда? тот стоит в i-й
строке перед звездой. Оператор IV уничтожает
обнаруженное вхождение At в Р, ставит на этом месте звезду, а затем
подставляет Bt по одной букве за звезду. Оператор IV
оставляет челнок в i-й строке за звездой.
(a) Идти вправо до *, преодолеть и перейти к (Ь).
(b) Идти вправо до надчеркнутой буквы, уничтожить,
поставить * и перейти к (с).
294

(c) Идти вправо, уничтожая подчеркнутые, над~подчеркнутые
и восстанавливая надчеркнутые, до конца, повернуться
и перейти к (d).
(d) Идти влево до (£), преодолеть и перейти к (ё).
(e) Идти по подчеркнутым g или X влево до X или \ чистых,
запомнить, подчеркнуть, повернуться и перейти к (/).
до * — повернуться и перейти к переносу скобок влево
(Vila),
или до О—повернуться и переходить к окончанию
(Villa).
(f) Идти до звезды в слове Р, преодолеть и перейти к (g).
(g) Напечатать содержание памяти, повернуться и перейти
к (d).
V. «Подстановка вместо пустого слова»
Оператор V получает управление от (Па), если Ai пусто.
В этот момент челнок стоит в £-й строке. V ставит звезду
в начале Р и передает управление (IVd), когда челнок
находится у звезды в Р.
(a) Идти вправо до I, преодолеть и перейти к (Ь).
(b) Поставить звезду, повернуться и перейти к (IVd).
VI. «П е р е н о с скобок вправо»
Оператор VI получает управление от III, когда челнок
находится в конце Р. VI восстанавливает все буквы в Р и
в i-й строке, переносит левую скобку за правую и передает
управление в (1с), оставляя челнок у правого конца
выделенной строки. Если при переносе скобки вправо челнок
натолкнется на t, VI передает управление в VIII для
остановки.
(a) Идти влево, восстанавливая все буквы, до (%) преодолеть
и перейти к (Ь).
(b) Идти влево, восстанавливая все буквы, до (#), заменить
на 8, повернуться и перейти к (с).
(c) Идти вправо до (J), преодолеть и перейти к (d).
(d) Идти до Ц, заменить на (J), повернуться и перейти
к (1с),
или до * и перейти к (окончанию) — (Villa).
292

VII. «Перенос скобок влево»
Этот оператор получает управление от IV, когда челнок
находится в £-й строке за звездой. VII уничтожает *вР,
уничтожает скобки, восстанавливает буквы в i-й строке,
отводит челнок в начало слова и передает управление в (1а).
(a) Идти вправо до Ц, преодолеть и перейти к (Ь).
(b) Идти вправо до *, уничтожить и перейти к (с).
(c) Идти влево, восстанавливая все над- и подчеркнутые
буквы и заменяя (*) на % до начала слова, перейти
к (1а).
VIII. «Остановка»
Остановка VIII получает управление от (Vie), если
применена строка с точкой, или от (Vld), если последняя строка
оказалась неприменимой и при переносе скобок вправо
челнок натолкнулся на S. VIII проводит челнок в конец Р и
затем двигает его влево, очищая Р от * и уничтожая всё
левее Р. Затем челнок уничтожается и процесс
останавливается.
(a) Идти вправо до конца Р, повернуться и перейти к (b)t
(b) Идти влево до |, уничтожая *, и перейти к (с).
(c) Идти влево, уничтожая всё, дойдя до начала
уничтожиться и остановить процесс.
Теперь остается записать эти команды символически,
собрать их вместе и приписать в конце начальную строку.
При этом будем применять такую символику
а< и 5 — буквы алфавита А,
s — буква алфавита В, в котором записан Ц, отличная
от скобок (J) и от !,
Чтобы облегчить чтение таблицы, будем каждый челнок
снабжать внизу индексом, совпадающим с индексом элемента
и точками — одной, если он находится в выделенной
скобками строке программы, двумя, если он находится между
выделенной строкой и словом Р, и тремя, если он
находится в Р.
Например,
... 2d
это челнок элемента d оператора II, находящийся в Р.
293

Таким образом, то, что обозначено латинской буквой,
строго говоря, не один элемент, а целая группа элементов.
Таблица универсального алгорифма дана в конце работы.
8. Некоторые особенности челночных алгорифмов.
Пусть дан алфавит/?. Рассмотрим все возможные челночные
алгорифмы в алфавите В. Каждая строка таблицы такого
алгорифма есть не более чем шестибуквенное слово в алфавите
^U{-"> •» -Ч> Таких слов — конечное число.
Рассмотрим теперь таблицу челночного алгорифма, в
которой встречаются несколько одинаковых строк. Оставив
первую из них и убрав остальные, мы получим таблицу
алгорифма, не просто эквивалентного исходному по
результатам работы, но совпадающего с ним по процессу.
Так как из конечного числа строк можно составить лишь
конечное число таблиц с попарно различными строками, то
в фиксированном алфавите В можно записать лишь конечное
число челночных алгорифмов, т. е. заведомо не все.
Отсюда следует, что для всякого достаточно богатого
алфавита А не существует алгорифма над А, который программу
каждого нормального алгорифма в А преобразовывал бы в
программу алгорифма, челночного в алфавите преобразующего
алгорифма и эквивалентного данному нормальному
относительно А. Причина этого лежит в том, что фиксировав алфавит
преобразующего алгорифма, мы ограничили бы алфавит тех
челночных алгорифмов, программы которых мог бы
напечатать преобразующий алгорифм, а это привело бы к
ограниченности их числа, в то время как во всяком алфавите А,
содержащем хотя бы 6 букв, уже можно записать программы
счетного числа нормальных алгорифмов.
Однако этот факт и эффективность преобразования,
указанного в разделе 4, с одной стороны, и принцип
нормализации, с другой стороны, друг другу не противоречат.
Принцип нормализации утверждает, что если какими
угодно средствами задан интуитивно ясный нам алгорифм 21
преобразования слов некоторого алфавита А, то над А
существует нормальный алгорифм 9?, эквивалентный
алгорифму 51 относительно А.
Когда мы по заданному нормальному алгорифму 91 над
А строили эквивалентный ему относительно А челночный
алгорифм (£, то мы делали две вещи. Во-первых, й
фиксированном алфавите {—^, -*—, а, р, « , », 0, 1, . . ., 9} строили слова:
И i2
-^, -g- и т. д. (их нелинейность несущественна и ее можно
преодолеть) и, во-вторых, объявляли эти слова буквами,
294

т. е. строили алфавит, отличный от того, которым
пользовались как данным. Первую часть этой работы, конечно,
может выполнить и алгорифм, а только это и утверждает
принцип нормализации. Вторая же часть — рассмотрение
результатов работы некоторого алгорифма в алфавите,
отличном от алфавита этого алгорифма — дело не этого алгорифма,
а человека, наблюдающего за его работой, и к этому
принцип нормализации отношения не имеет. Можно утверждать
следующее: каков бы ни был алфавит А, существует
нормальный алгорифм в EzdA, который по программе любого
нормального алгорифма 9? в А давал бы программу
алгорифма (£ в Z?, во-первых, эквивалентного 91 относительно А,
и, во-вторых, челночного в некотором специальном
алфавите над А.
Далее, алфавит В всякого челночного алгорифма над
алфавитом А содержит помимо А две части:
В1 — всевозможные вспомогательные символы и
В2—все челноки.
Если ограничить одновременно Вх и В21 то в В заведомо
нельзя записать всех челночных алгорифмов над А.
Способ построения челночного алгорифма над А,
эквивалентного относительно А данному нормальному алгорифму
над А, доказывает, что при фиксированном А можно
ограничить Вг Оказывается, что можно ограничить и 2?2, если
при этом не ограничивать В^.
Мы лишь кратко наметим идею доказательства.
Процесс, осуществляемый челноком, получает несколько
иную интерпретацию. Будем считать, что в начале слова
стоит «мыслящий символ»—□ (это — буква в Вх), который,
переходя из состояния в состояние, руководит действиями
челнока. Челнок ходит по слову, периодически возвращаясь
к символу □, и выполняет его указания. При этом мы
полагаем, что челнок может выполнять лишь строго
ограниченное число функций такого, например, вида: «дойти до
подчеркнутой буквы, снять подчеркивание, подчеркнуть
следующую, запомнить ее и вернуться к символу а „на доклад"
и за новыми указаниями» или «вместо подчеркнутой буквы
напечатать другую, которую прикажет символ □» и т. п.
После этого последовательно доказываем, что если дан
нормальный алгорифм 91 в алфавите А, то, во-первых,
можно так построить челночный алгорифм £f применения
5 Возможность ограничить Вх равносильна возможности ограничить
алфавит машин Тьюринга; возможность ограничить В2 — возможности
ограничить число их состояний; невозможность одновременного
ограничения Z?i и В2 равносильна невозможности одновременного ограничения
их алфавита и числа их состояний.
295

£-й строки алгорифма 9}, что число челноков в Gt. будет
ограничено равномерно относительно длины левой и правой
частей этой строки6 и, во-вторых, возможна такая
композиция всех (Ег-, которая не потребует переименования
челноков и, следовательно, не потребует увеличения числа их
типов (переименовываться будут символы а).
Таблица универсального алгорифма
ах — буква алфавита А, \ — буква алфавита A, s— буква
•3f
алфавита Б, отличная' от * и от*
4 * ^ lb.
2с ... * ч 2с. . .
1а. * v * Mb. -^ с
l£.S -**П.(***)
lb.
1с7 ^ *
0,% СЦ
2b.v*; v*'2b.
^ (*^fl<>
2c...a' ~"^2d..
a<
s {— —* f— s 2c . . . 6a. . .
lc. 1c.
(it a; ai
2d. . . За.. .
at a,i
2b. S ~~>S2h. S3^". "^З^Т.5
За. . . За.
a>i си За. . За. .
(*")заГ. ""* зб:^*'
a* * * я*
2b. . * ~~* * 2c. . . S ЗБТ "^ ЗТГ5^^^ ^
6 Так как за общим течением процесса теперь «наблюдает» символ Q,
а на долю челнока остается лишь выполнение операций конечного числа
типов, то челноку требуется лишь конечное число различных состояний
памяти, т. е. требуется лишь конечное число типов челнока.
296

3b.
Зс. "'
^ *
Зс.
си
3d.'*'
3d.
*3f (* = ?'. P)
3c.
ai
±'з£
* —^
4a.
Ui
u'3d.
s3d. .
3d. .
4
3d. .
а{
3d. .
3d. .
*
*
*
\
i
* 3d. .
ai
ai
-hz*..
~* ба^г:.
я*
3e. . . 1
a»
3e. .
3e. . .
3e. . .
k ->e
3e.
lit.
За.
Л;
Зе. .
ai
Зе. .
a»
Зе. .
Z3f.
3frJ(^at.)
6аГ .
3fTJ
bfr.
*ЗГ~.
*ЗГ~.
* ^
* 3f. . .
S3L~.
( *) 3f-
*зГ
3f.
3t\
3fJ
3f. . .
3f.
зГ"'*'
3f.
•8(8^1 S)
3f.
•3f.
^ ■ t
3f. *
1
3c.
4a.
4a.
(**)
4a..
4a. . *
^
4b.
E
4b. . .
4c. . .
4c. . . '
4c. . .
4c. . .
4c. . .
4d. .
°4a.
(**)
S4t.
* —:
* 4b
4b.
* —^
4c. .
4c. . .
4c. . .
td
4dT .
4a..
297

* 4d.. .
*
' *'4d7.
4d. .
xtr
Itr
a<£r
*4eT
0 i—
4e.
a-i
4d. .
~^ t^S
~* 4d~.
~* 7a
~^ 4eTl
(if
-^a>t
~~^ "' 7a.
"^°"^
a<
(!)
4f.
a*
4i\ . "
4f.
a,
4f7
a,
4fT
'4f. .
C)
4f.
4i\
4g-
"5 —^
oa.
5a.
5a. .
5a. .
298
(I) -мп
5a.
>a. .
5b. . .
5b. ..
I
6a.
htr
16a. . .
* 6a.. .
*
5,
4d. .
* 6il"7.
L6a '
" 6aT7 .
' баГ.
"баГ. *
6a. .
S6TT
s
6а. .
6b.
С)
«г5
6с.
6Ь.
С)
6с.
6с
-"о
6d.
^
Нг/.
^
6с1.
^
7а.
7а.
8 вс.
u'6d.
~^ * 8а
«£
7а. v*;
"7а.
С)
7а.
7а.
7а..
7а. . .

7b...
—^ *
7b...
4tr..
* 7c...
° 7c.
* ^
* 7c.
7b...
7c...
7c . #
7c.
*(*тМ', Г)
7c.
7c.
7a..
8a
7c. *
7c.
7c.
la
8a
V *
8a *
8a *
8a
«йг
> * ___V
* 8a
-*8a
"^ 8Ъ
"* 8%"^
8b
* «b"
* 8c
8b
-^
8c
8c"
-^
8c
• Л
^
la

f5
Г. H. Поваров
ЛОГИКА И АВТОМАТИЗАЦИЯ
Мировая техника переживает сейчас эпопею автоматизации.
Первые автоматы конструировались еще античными
мастерами, но это большей частью были лишь хитроумные игрушки,
поражавшие людское воображение. Ныне автоматы стали
важнейшим средством управления технологическими
процессами в больших и малых отраслях народного хозяйства.
Автоматизация при правильном ее проведении резко
повышает производительность труда, интенсифицирует и ускоряет
производственные процессы, открывает новые пути к росту
объема и качества продукции. Многие современные
технологические процессы нельзя осуществить без автоматизации,
тай как слаженное, качественное управление ими не под силу
человеку с его ограниченными и относительно медленными
памятью и вниманием. Автоматизируется не только
промышленное производство и сельское хозяйство, но также научные
и учетно-плановые вычисления, справочно-библиографические
поиски, перевод с одного языка на другой и прочие виды
умственного труда — в той мере, в какой они сводятся
к программной обработке информации.
Успехи автоматизации основаны на достижениях многих
наук: математики, физики, механики, химии и др.
Логика тоже не стоит в стороне. За последние двадцать
лет в математической логике сложилось особое прикладное
направление, разрабатывающее средствами математической
логики проблемы синтеза и анализа дискретных автоматических
устройств.
Дискретными (прерывистыми) называются устройства,
работа которых состоит в скачкообразной смене конечного числа
своих состояний (режимов работы). Таковы, например,
различные цифровые вычислительные машины. В отличие от этого,
работа непрерывных (плавных) устройств, например модели-
300

рующих вычислительных машин, состоит в непрерывном,
плавном изменении своих параметров.
Указанное направление в математической логике вызвано
к жизни потребностями практики, необходимостью
преодоления тех трудностей, с которыми встречаются
проектировщики дискретных автоматов и вообще дискретных технических
устройств. Его представителями являются математики и
инженеры. Логические проблемы проектирования дискретных
технических устройств, будучи весьма частными и специальными
на фоне теоретико-познавательной общелогической
проблематики, отличаются тем не менее чрезвычайной сложностью
и обладают большой практической, прикладной значимостью.
Значение технических применений математической логики
отмечалось на Всесоюзном совещании по телемеханизации
в народном хозяйстве (1954 г.), на сессии Академии наук СССР
по научным проблемам автоматизации производства (1956 г.);
на III Всесоюзном математическом съезде (1956 г.), на
Международном симпозиуме по теории переключений (США, 1957 г.)
и других конференциях и совещаниях.
Направление в математической логике, занимающееся
проектированием дискретных технических устройств, можно
условно назвать «технической логикой». Другим
крупным направлением в математической логике является
теория математических доказательств, выросшая из
применения математической логики к основаниям математики. Оба
эти направления развились из «алгебры логики» XIX в., но
теория математических доказательств значительно отошла
по своей проблематике от «алгебры логики», а техническая
логика непосредственно продолжает традиции последней.
Обслуживая аксиоматический метод, теория математических
доказательств занимается гипотетической
дедукцией для бесконечных (актуально или
потенциально) областей объектов. Техническая логика занимается
традуктивными умозаключениями1 и
аналогичными процессами и имеет дело с конечными
областями или, точнее, с конечными
конфигурациями объектов. А именно, она занимается равносильными
преобразованиями логических условий работы дискретных
технических устройств.
Дело в том, что закономерности смены состояний в конечных
дискретных устройствах выражаются, вследствие своей внут-
1 Мы пользуемся определением традукции, которое приводится
в работе [1]. А именно, в отличие от дедукции (умозаключения от
общего к частному) и индукции (умозаключения от частного к общему)
традукция есть умозаключение от знания определенной степени общности
к новому знанию той же степени общности.
301

ренней простоты, в виде чистых логических закономерностей
и лишь в случае особой сложности переходят в более
специфические комбинаторные и вероятностные закономерности.
Как мы знаем, законы логики являются отражением
различных взаимосвязей и взаимоотношений предметов и явлений
действительности, а потому способны служить нам для
изучения действительности. Характер же и сложность
математических и других более специальных законов, в которых мы
нуждаемся в дополнение к законам логики, зависят от свойств
изучаемых явлений и предметов.
Итак, логические условия работы дискретного устройства
определяют порядок и способ смены состояний (режимов
работы) устройства в зависимости от внешних воздействий
и внутренней эволюции устройства2. При логическом
синтезе условия работы устройства преобразуются из
формы, удобной для понимания работы устройства, в форму,
удобную для реализации этих условий электрическими,
кинематическими и т. п. цепями. Логический анализ
состоит в обратном преобразовании. В обоих случаях имеет
место традукция.
Количество и состав элементов дискретного технического
устройства и способ их соединения друг с другом,
обеспечивающие выполнение данных логических условий работы
устройства (т. е. нужную смену состояний), называются
логической структурой устройства. Физическая
структура устройства определяется электротехническими,
механическими и т. п. параметрами и характеристиками этих
элементов.
Логический синтез создает логическую структуру устройства,
а логический анализ объясняет ее. Поэтому логический синтез
называется также структурным синтезом, а
логический анализ — структурным анализом.
В простейшем случае дискретное техническое устройство,
в частности дискретный автомат, состоит из соединенных
определенным образом элементов (приборов, механизмов), каждый
из которых способен принимать только два состояния
(положения, позиции) и потому работает по принципу «да — нет».
Разнообразные выключатели, переключатели и кнопки,
которые окружают современного человека со всех сторон на
производстве и в быту, могут служить примерами этих элементов
типа «да—нет», 1
Наряду с ручными выключателями, в современной технике
широко используются автоматические элементы типа «да—
2 Для сравнения можно рассмотреть плавные устройства, где условия
работы выражаются специальными математическими законами
(дифференциальными уравнениями).
302

нет», изменяющие свое состояние без вмешательства человека,
а под действием других элементов (приборов, механизмов).
Автоматический элемент типа «да—нет», где управляющий
и управляемый органы представляют собой электрические
цепи («первичную цепь» и «вторичную цепь»), называется
электрическим реле. Электрические реле, где
первичная цепь воздействует на вторичную с помощью
контактов, рвущих или воссоединяющих вторичную цепь
под влиянием токов в первичной цепи, называются
электромеханическими, или контактными, реле.
Контакты — это раздвижные стыки проводников. По существу
электромеханическое реле отличается от обычного, всем
известного ручного электрического выключателя только тем, что
рычаг или кнопку, выключающие электричество, передвигает
не рука человека, а электромагнит или другой управляющий
орган, питаемый от первичной цепи. Электрическое реле,
где первичная цепь разрывает или воссоединяет вторичную
цепь без помощи механически движущихся частей, а
посредством чисто электромагнитных нелинейных эффектов,
называется бесконтактным. В качестве бесконтактных
реле используются электронные и газоразрядные лампы,
полупроводниковые и магнитные приборы и т. д. Главное
преимущество бесконтактных реле — их быстродействие
(отсутствует инерция движущихся частей!). Из новейших
бесконтактных реле* упомянем криотрон — элемент, работающий
при температуре жидкого гелия и основанный на разрушении
сверхпроводимости магнитным полем.
Соединяя вторичные цепи электрических реле друг с
другом и затем с первичными цепями этих же или других
электрических реле, можно получить очень сложные и гибкие
электрические схемы. В случае электромеханических реле эти схемы
называются релейно-контактны ми схемами,
в случае бесконтактных реле — бесконтактными
релейными схемами, а в общем случае — вообще р е-
лейными схемами. Одни реле в схеме являются
управляющими, другие — управляемыми. Вместе с реле
в релейную схему могут входить ручные выключатели,
сигнальные лампы, фотоэлементы, разные электромеханизмы и т. п.
Современные релейные схемы могут содержать сотни и
тысячи реле, так что для их описания понадобятся целые книги.
Сложная, богатая логическая структура позволяет релейным
схемам отвечать сложными реакциями на внешние воздействия
и выполнять разнообразные логические программы. Например,
релейные вычислительные машины, особенно электронные,
способны выполнять такие сложные вычисления, как решение
дифференциальных или алгебраических уравнений, способны
303

подготовлять метеорологические прогнозы, составлять
бухгалтерскую отчетность, моделировать ход сражений, решать
шахматные задачи и т. д. Неоднократно строились релейные
«роботы», имитирующие поведение животных, хотя эти
«синтетические звери» нашли пока применение только в рекламном
деле. В целом релейно-контактные и бесконтактные релейные
схемы составляют важнейший класс дискретных технических
устройств, и их проектирование является наиболее значительной
логической задачей современной дискретной автоматики.
Долгое время логический синтез и анализ релейных схем
был искусством, требующим большого многолетнего опыта
и доступным лишь немногим высококвалифицированным спе-
циалистам-«схемщикам». Часто приходилось
руководствоваться лишь методом «проб и ошибок».
В конце XIX в. и первой четверти XX в. были
предприняты попытки создать научную методику для синтеза и анализа
логической структуры релейно-контактных схем (М. Бода,
Р. Эдлер, А. К. Кутти, М. Г. Цимбалистый и др.). Однако
результаты этих работ не нашли широкого инженерного
применения, так как отсутствие подходящего математического
аппарата значительно осложняло их использование и
дальнейшее развитие. Эти первые методы относятся к современным
методам, как геометрическая алгебра древних — к
современной алгебре.
В 1910 г. известный физик П. Эренфест [2] указал на булеву
алгебру 3 как на математический аппарат для исследования
логической структуры релейных (а именно, телефонных) схем.
Булева алгебра, названная по имени Дж. Буля, возникла
в XIX в. как «алгебра логики», а затем переросла в
аксиоматическую теорию, допускающую внелогические интерпретации
[3]. Однако такая аксиоматизация не уменьшает логического
значения булевой алгебры. Как исчисление высказываний
булева алгебра по-своему завершает восходящее к стоикам
учение о связях между высказываниями внутри сложных
высказываний. Как исчисление высказываний она и
применяется в теории релейных схем.
Открытие П. Эренфеста послужило основой для
возникновения современной теории логического (структурного)
синтеза и анализа релейно-контактных схем. Строгое доказатель-
3 К сожалению, до сих пор нет хорошего отечественного учебника
по булевой алгебре и другим логическим исчислениям, применяемым
в технике. Поэтому элементы булевой алгебры обычно излагаются
в книгах по теории релейных схем. Наиболее полным переводным
учебником остается книга Л. Кутюра [4]. Учебники Д. Гильберта
и В. Аккермана [5] и А. Тарского [6] также излагают исчисление
высказываний, но они написаны применительно к теории
математических доказательств.
304

ство того, что булева алгебра описывает логическую
структуру релеино-контактных схем, и первые систематические
методы синтеза, основанные на применении булевой алгебры,
были даны в 30-х годах В. И. Шестаковым [7—8] и К. Э.
Шенноном [9]. Кроме того, А. Накасима и М. Хандзава [10—ИJ,
В. А. Розенберг [12] и Иоганна Пиш [13] построили
специальные схемные алгебры, фактически совпадающие с булевой
алгеброй, но не отметили сразу этого совпадения4.
В послевоенные годы теория релеино-контактных схем,
основанная на применении булевой алгебры, быстро
развивалась в СССР и в зарубежных странах. Появилось несколько
монографий [14—21] и множество журнальных статей.
Почетное место среди них принадлежит работам советских авторов,
создавших в этой области сильную научную школу с рядом
важных направлений.
Основные итоги этого двадцатилетнего развития таковы.
Два состояния реле («включено»—«выключено») можно
поставить в соответствие с двумя значениями истинности
(«истина»—«ложь», или алгебраически 1 и 0) высказывания
о состоянии этого реле. В силу этого любые высказывания
о зависимости между работой разных реле, а следовательно,
и любые условия работы релейной схемы можно выразить
равенствами между высказываниями о состоянии управляемых
(зависимых) реле и булевыми функциями, аргументами
которых служат высказывания о состоянии управляющих реле;
операции булева сложения, булева умножения и отрицания
(инверсии), с помощью которых записываются эти булевы
функции, соответствуют логическим связкам «или», «и», «не»
.между высказываниями; равенство означает логическую
эквивалентность. Высказывание о состоянии реле обозначается
той же буквой, что и реле 5, и рассматривается просто как
алгебраическая переменная, способная принимать значения
0 и 1. Это или какое-либо эквивалентное алгебраическое
представление и лежит в основе применения математической логики
в теории релеино-контактных схем.
С другой стороны, состояния контакта
(«замкнут»—«разомкнут») тоже можно поставить в соответствие со значениями
истинности (0 и 1) высказывания о состоянии контакта. Это
позволяет представить любое высказывание о проводимости
контактной схемы («замкнута или разомкнута при таких-то
состояниях реле») в виде булевой функции от высказываний
4 Некоторые зарубежные авторы пытались замалчивать вклад наших
отечественных ученых.
5 Только обычно эта буква пишется большой для обозначения
релей маленькой — для обозначения высказывания. Например,
высказывание «реле X включено» обозначается буквой х.
305

о состояниях реле, которые входят в схему своими контактами.
При этом был выявлен изоморфизм между
параллельно-последовательными контактными схемами
и булевыми функциями. Благодаря этому логический синтез
параллельно-последовательных контактных схем сводится
к графической интерпретации полученной алгебраически
функции, а логический анализ параллельно-последовательной
контактной схемы состоит в переходе от графического изображения
схемы к ее булевой функции и в преобразовании этой функции
к достаточно простому виду. К. Э. Шеннон, М. А. Гаврилов
и другие разработали методику синтеза и анализа логической
структуры параллельно-последовательных контактных схем
путем равносильного преобразования булевых функций и,
в частности, путем упрощения последних [9, 15]. Таким
образом, применение булевой алгебры сделало синтез параллельно-
последовательных контактных схем сравнительно легким делом.
Но умение построить для любой булевой функции
реализующую ее параллельно-последовательную контактную схему
означает возможность реализовать любые условия работы
релейно-контактной схемы. В самом деле, для этого достаточно
выразить условия работы в виде равенств между
высказываниями о состоянии управляемых реле и булевыми функциями
от высказываний о состоянии управляющих реле, реализовать
эти функции параллельно-последовательными контактными
схемами и включить эти схемы между соответствующими
управляемыми реле и источником тока. Ток, проходя через
контактные схемы при их замыкании, будет возбуждать реле согласно
данным условиям работы.
Однако параллельно-последовательные схемы — не самые
экономные и выгодные контактные схемы. Часто лучшее
схемное решение получается с помощью не
параллельно-последовательных контактных схем. Не
параллельно-последовательные схемы называются также мостик овым и, ввиду
своей характерной конфигурации6.
Работа мостиковых контактных схем, разумеется,
описывается булевыми функциями, но структурно мостиковые схемы
не изоморфны булевым функциям. Поэтому синтезировать
мостиковые схемы сложнее, чем
параллельно-последовательные. Тем не менее с помощью булевой алгебры можно успешно
строить мостиковые схемы, обнаруживая мостиковые
соединения по закономерностям в строении булевых функций.
К. Э. Шеннон, Иоганна Пиш, А. М. Брылеев, М. А. Гаврилов
и другие разработали так называемые графо-алгебраические
6 Параллельно-последовательные схемы сокращенно называются
П-схемами, а не параллельно-последовательные (мостиковые) схемы
сокращенно называются Н-схемами.
306

(или «графо-аналитические») методы анализа и синтеза мости-
ковых схем [9, 15, 17—20, 22—23]. А. Г. Лунц, Б. И. Арано-
вич, М. Л. Цетлин и другие предложили матричные методы
анализа и синтеза контактных схем любого вида, и в особен-
ности мостиковых. Эти методы [24—29] основаны на
применении матричной булевой алгебры. Наконец, К. Э. Шеннон,
Г. Н. Поваров, А. Свобода, Ф. Свобода и другие разработали
универсальные методы, основанные на учете общих
закономерностей в образовании мостиковых схем [30—33]. Эти
методы позволяют также экономить контакты путем
многократного использования одних и тех же контактов в цепях между
разными парами полюсов многополюсной контактной схемы.
В настоящем сборнике синтезу контактных схем посвящена
статья автора [34].
Развитие технической логики способствовало также
оживлению графических методов логического синтеза и анализа
контактных схем на основе графической интерпретации
булевой алгебры. Можно указать на метод «числовых косточек»
А. Свободы [32], графический метод Г. Н. Поварова [35] и др.
Такие графические инженерные процедуры в ряде случаев
бывают удобнее символической, буквенной алгебры, подобно
тому как подчас номограммы удобнее буквенных формул
обычной алгебры. Однако свободная манипуляция разными
методами обязательно требует привлечения булевой алгебры.
Несмотря на достигнутые успехи, ни графические, ни
символические методы пока еще не дают возможности строить
оптимальные, наиболее выгодные схемы систематически.
Пока что удалось строго доказать оптимальность лишь очень
немногих схем, например схемы сложения по модулю два 136].
Поэтому при синтезе контактных схем, как и вообще в задачах
технической логики, большое значение имеет эмпирический
подбор возможно лучших схемных конфигураций путем
интуитивного или даже случайного комбинирования контактов
(или других элементов). Такой несистематический, эмпирический
подбор зачастую позволяет опытному «схемщику» улучшить
результаты систематического, методического синтеза (если,
разумеется, отсутствуют строгие доказательства оптимальности).
Контактные схемы можно упрощать введением
дополнительных электрических элементов: вентилей, сопротивлений
и т. п. Для этого были также применены методы, основанные
на булевой алгебре или ее модификациях. А именно,
контактные схемы с вентильными элементами исследовались М. А. Гав-
риловым, Д. X. Шефером и другими [37—38]. Контактные
схемы с сопротивлениями изучали В. И. Шестаков, С. А. Карль-
сон, Дж. Шекел и другие [8, 39—40]. В настоящем сборнике
последний вопрос рассматривается в статье Б. М. Ракова [41].
307

Упомянем еще контактные схемы с шаговыми
переключателями, изучавшиеся Э. Н. Гилбертом, В. М. Остиану и
другими [42—43].
Была сделана попытка применить булеву алгебру для
анализа неисправностей в контактных схемах [44].
Применением булевой алгебры к логическому анализу
и синтезу релейно-контактных схем в целом, т. е. схем,
содержащих не только контакты управляющих реле, но и первичные
цепи («обмотки») управляемых реле, занимались К. Э. Шеннон,
М. А. Гаврилов, А. Н. Юрасов, В. И. Шестаков, В. Н. Рогиы-
ский, Г. В. Лазарев, В. И. Иванов, Л. Львовский, М.
Новотный, Д. А. Хафмен и другие [9, 15—21, 45—55]. Здесь
приходится учитывать воздействия электромеханических реле
не только на свои контакты, но и друг на друга. Часть из этих
работ относится к выбору дополнительных реле для
обеспечения непротиворечивой и согласованной работы схемы,
а часть — к синтезу контактных подсхем, управляющих
первичными цепями (обмотками) реле, в случае временных
зависимостей в схеме. Дело в том, что вследствие этих зависимостей
реле в схеме часто принимают далеко не все возможные
комбинации своих состояний и благодаря этому те или иные
контактные соединения в схеме фактически могут не изменять своего
состояния во время работы схемы. Замена таких соединений
постоянными проводами представляет собой дополнительный
источник экономии контактов.
В настоящем сборнике вопросам синтеза
релейно-контактных схем в целом посвящены статьи А. Н. Юрасова [56] и
В. Г. Лазарева и В. Ф. Дьяченко 157]. В последней статье
излагается опыт логического проектирования целого
практического устройства (релейной подстанции АТС).
Иногда вместо булевой алгебры используются ее
арифметические эквиваленты [58] или алгебра Галуа, которая, как
показал И. И. Жегалкин [59], также является своего рода
логическим исчислением. В частности, Г. К. Моисил широко
применял алгебру Галуа для исследования сложных вопросов
теории релейно-контактных схем и, в частности, для
исследования схем с временными зависимостями [60]. В. И.
Шестаков, Г. Роледер, Г. К. Моисил и другие применяли также
многозначные логические исчисления [61—65]. Несомненно,
многозначные логические исчисления найдут себе применение
при исследовании дискретных технических устройств,
состоящих из элементов (приборов, механизмов), каждый из которых
может принимать не два, а много состояний (положений,
позиций).
Обрисовав положение с релейно-контактными схемами,
перейдем теперь к бесконтактным релейным схемам.
308

Пример теории релейно-контактных схем облегчил
внедрение булевой алгебры и других средств математической логики
в теорию бесконтактных релейных схем. Цепи первой
электронной вычислительной машины ЭНИАК (1946 г.)
проектировались в какой-то мере с помощью булевой алгебры [66]. В
последующее десятилетие появилось много работ по логическому
синтезу бесконтактных релейных схем с помощью булевой
алгебры или ее эквивалентов. Первые работы были
посвящены схемам, где в качестве реле использовались электронные
лампы. Было установлено тождество задачи логического
синтеза таких электронных релейных схем с задачей
представления булевых функций в виде суперпозиции некоторых
элементарных функций (т. е. в виде подстановок элементарных
функций друг в друга). Это открыло возможность строить
электронные релейные схемы систематическими методами, используя
достижения математической логики.
В Вычислительной лаборатории Гарвардского
университета при постройке электронных вычислительных машин
Марк-Ш и Марк-IV были разработаны под руководством
Г. X. Эйкена различные систематические методы синтеза
электронных релейных схем, изложенные в монографии [67].
Здесь вместо булевой алгебры используется ее арифметический
эквивалент. Из других работ по электронным релейным схемам
упомянем [68—72]. В настоящем сборнике синтезу
электронных релейных схем посвящена статья автора [73].
Релейным схемам с другими бесконтактными реле
посвящены работы: [67] (вентили), [74] (лампы с холодным катодом),
[75] (трансформаторы), [76] (магнитные элементы) и др. В
общем методика логического синтеза и анализа этих схем
аналогична соответствующей методике для электронных релейных
схем. Логические схемные свойства новейшего элемента — крио-
трона, — по-видимому, будут средними между аналогичными
свойствами электромеханических реле и электронных ламп.
В последнее время формируется теория логических сетей
и других «абстрактных моделей» релейных схем, носящая по
существу чисто логический характер и основанная на
отвлечении от конкретной физики реле [77—80]. В этих моделях
реле определяются аксиоматически, своими свойствами, и схемы
имеют вид логических диаграмм. Это позволяет выявлять
и исследовать проблемы синтеза и анализа, общие для любых
видов релейных схем, и изучать реализуемый схемой
логический замысел независимо от его физического воплощения.
Много статей по теории логических сетей находится в
сборнике [81]. В настоящем сборнике к этому обобщенному
направлению примыкают статьи Н. Е. Кобринского и Б. А. Трах-
тенброта [82] и А. Д. Харкевича 183].
309

Следует еще сказать о применении математической логики
к разным вопросам построения и эксплуатации прочих
технических средств дискретного действия: механизмов СЦБ
[18—19,91], строительных сооружений7 [84], программ для
вычислительных машин [85] и т. д.
Конечно, задачу можно обратить и рассматривать не
применение математической логики к технике, а применение
техники к моделированию логических процессов, или, иными
словами, к созданию логических машин. Однако это большой
самостоятельный вопрос, который мы здесь только упомянем.
В настоящем сборнике одной из проблем логического
моделирования посвящена статья В. И. Шестакова [86].
Этот краткий обзор технических применений
математической логики далеко не полон и не равномерен. Некоторые
вопросы, например синтез контактных схен, мы изложили
более полно, другие вопросы лишь бегло упомянули 8. Однако
и такой обзор позволяет видеть, насколько богато,
содержательно и разнообразно поле деятельности технической логики.
Применение булевой алгебры и других логических исчислений
значительно облегчает работу проектировщиков дискретной
автоматики и другой дискретной техники, делает проекты более
надежными и, что весьма важно, значительно облегчает
подготовку кадров квалифицированных проектировщиков.
Конечно, опыт и искусство инженера и сейчас играют
большую роль при создании сложных, часто весьма
индивидуализированных устройств, однако техническая логика,
гарантируя определенное, большей частью вполне хорошее решение,
тем самым побуждает инженера к творческим поискам лучших
решений. Систематическое же изучение таких лучших
практических решений позволяет выявлять закономерности,
использованные в этих решениях интуитивно или даже случайно,
и разрабатывать новые, более совершенные систематические
методы синтеза.
Таков вклад логики в автоматизацию. Происходящее ныне
постепенное внедрение результатов технической логики в
практику проектных организаций и в преподавание технических
дисциплин в высшей школе должно пойти на пользу
техническому прогрессу и будет способствовать росту
научно-технического могущества нашей Родины.
7 Сооружения «работают» в релейном режиме в том смысле, что
их судьба определяется альтернативой «устойчиво — неустойчиво».
8 В связи с этим выбор имен и цитированной литературы не
означает оценки их значимости. Подробный перечень литературы по теории
релейных схем ежегодно печатается в журнале «Автоматика и
телемеханика» [87—90].
310

ЛИТЕРАТУРА
1. П. В. Таванец. Классификация умозаключений. Философские
записки. Изд-во АН СССР, М.—Л., 1946, стр. 84—117.
2. П. Эренфест. Рецензия на книгу Л. Кутюра «Алгебра логики».
ЖРФХО, Физ. отд., 1910, т. 42, отд. 2, вып. 10, стр. 382—387.
3. Г. Быркгоф. Теория структур. ИЛ, М., 1952.
4. Л. Кутюра. Алгебра логики. «Матезис», Одесса, J909.
5. Д. Гильберт, В. Аккерман. Основы теоретической логики.
ИЛ, М., 1947.
6. А. Т а р с к и й. Введение в логику и методологию дедуктивных
наук. ИЛ, М., 1948.
7. В. И. Шестаков. Некоторые математические методы
конструирования и упрощения двухполюсных электрических схем класса
А. Канд. диссертация, НИИФ МГУ, 1938.
8. В. И. Шестаков. Алгебра двухполюсных схем, построенных
исключительно из двухполюсников (алгебра Л-схем). ЖТФ, 1941,
т. 11, вып. 6, стр. 532—549.
9. С. Е. Shannon. A Symbolic Analysis of Relay and Switching
Circuits. Trans. AIEE, 1938, V. 57, pp. 713—722.
10. A. Nakashima. The Theory of Relay Circuit Composition. Nippon
Electr. Commun. Eng., 1936, No 3, pp. 197—226.
11. A. N a k a s i m a, M. H a n z a w a. The Theory of Equivalent
Transformation of Simple Partial Paths in a Relay Circuit. Nippon Electr.
Commun. Eng., 1938, No 9, pp. 32—39.
12. В. А. Розенберг. Задача о блокировке и преобразовании
контактных групп. Автоматика и телемеханика, 1940, № 1, стр. 47—54.
13. Н. Pies ch. Begriff der allgemeinen Schaltungstechnik. Arch.
Elektrotech. (Wien), 1939, Bd. 33, H. 10, SS. 672—686.
14. П. H. Рам л ay. Применение алгебры логики для- анализа схем
связи и СЦБ. ЛЭТИИСС, Л., 1948.
15. М. А. Г ав рилов. Теория релейно-контактных схем. Изд-во АН
СССР, М.-Л., 1950.
16. В. Н. Рогинский, А. Д. Харкевич. Релейные схемы в
телефонии. Связьиздат, М., 1955.
17. W. Keister, А. Е. Ritchie, S. Н. Washburn. The Design
of Switching Circuits. Van Nostrand, N. Y., 1951.
18. R. Grea, R. H i g о n n e t. Etude logique des circuits electriques
et des systemes binaires. Berger — Levrault, Paris, 1955.
19. M. Touchais. Les applications techniques de la logique. Dunod,
Paris, 1956.
20. O. Plechl. Elektromechanische Schaltungen und Schaltgerate.
Springer, Wien, 1956.
21. F. Simon. Jelfogos aramkorok logikus felepites. Budapest, 1954.
22. H. Piesch. Uber die Vereinfachung von allgemeinen Schaltungen.
Arch. Elektrotech. (Wien), 19o9, Bd. 33, H. 11, SS. 733-746.
23. A. M. Брылеев. Теоретические методы синтеза
релейно-контактных схем класса Н. Техника жел. дорог, 1948, № 8, стр. 23—24.
24. А. Г. Л унц. Алгебраические методы анализа и синтеза контактных
схем. Изв. АН СССР, серия мат., 1952, т. 16, № 5, стр. 405—426."
25. Б. И. Аранович. Использование матричных методов в вопросах
структурного анализа релейно-контактных схем. Автоматика и
телемеханика, 1949, т. 10, № 6, стр. 437—451.
26. М. Л. Цетлин. Применение матричного исчисления к
синтезу релейно-контактных схем. ДАН СССР, 1952, т. 86, № 3,
стр. 525—528.
311

27. Г. BL Поваров. О некоторых матричных методах анализа
релейно-кентактных схем. Сб. по автоматике и телемеханике.
Изд-во АН СССР, М., 1956, стр. 278-285.
28. F. Е. Hohn, L. R. Schissler. Boolean Algebra and the Design
of Combinatorial Switching Circuits. BSTJ. 1955, v. 34, No. 1,
pp. 177—202.
29. J. P i esc h. Die Matrix in der Schaltungsalgebra zur Planung relais-
gestenerter Netzwerke. Arch, elektr. Ubertragung, 1955, Bd. 9,
H. 10, SS. 460-468.
30. С. E. Shannon. The Synthesis of Two-Terminal Switching
Circuits. BSTJ, 1949, v. 28, No. 1, pp. 59—98.
31. Г. H. Поваров. Математическая теория синтеза контактных
(1, к)- полюсников. ДАН СССР, 1955, т. 100, № 5, стр. 909—
912.
32. A. Svoboda. Synthesa releovych sfti. Stroje na zpracovani in-
formaci, Sbornik 2, Praha, 1954, str. 157—208.
33. Ф. Свобода. Синтез релейных схем при помощи машин.
Автоматика и телемеханика, 1957, т. 18, № 3, стр. .240—255.
.14. Г. Н. Поваров. Математико-логическое исследование синтеза
контактных схем с одним входом и к выходами. [Наст. сб.].
35. Г. Н. Поваров. Графический синтез симметрических схем.
Приборостроение, 1956, № 12, стр. 7—9.
36. С. Саг dot. Quelques resultats sur l'application de Talgebrc
de Boole, a la synthese des circuits a relais. Ann. Telecommun.,
1952, t. 7, no. 2, pp. 75—84.
37. M. А. Г а в p и л о в. Релейные схемы с вентильными сетками.
Автоматика и телемеханика, 1955, т. 16, № 4, стр. 328—343.
38. D. Н. S с h ае f е г. A Rectifier Algebra. Commun. and Electronics,
1955, No. 16, pp. 679—682.
; 9. S. A. Karlsson. Relaalgebra. Tekniska Forenings i Finland For-
handlingar, 1953, Nr. 3, SS. 45—54.
40. J. Shekel. Sketch for an Algebra of Switchable Networks. Proc.
IRE, 1953, v. 41, No. 7, pp. 913—921.
41. Б. M. Раков. Логический синтез схем релейного действия,
содержащих сопротивления и контакты. [Наст. сб.].
42. Е. N. Gilbert. N-Terminal Switching Circuits. BSTJ, 1951, v. 30,
No. 3, pp. 668—688.
43. В. M. О с т и а н у. Синтез схем с шаговыми переключателями. Сб.
по автоматике и телемеханике, Изд-во АН СССР, М., 1956,
стр. 253—267.
44. С. В. Яблонский, И. А. Чегис. О тестах для электрических
схем. УМН, 1955, т. 10, вып. 4 (66), стр. 182—184.
45. М. А. Г ав рилов. Основные формулы синтеза релейных схем.
Автоматика и телемеханика, 1954, т. 15, № 6, стр. 521—537.
46. А. Н. Ю р а с о в. К вопросу составления структурных формул
многотактных схем. Устройства и элементы теории автоматики
и телемеханики, МММ, М., 1952, стр. 125—146.
47. В. И. Шестаков. Алгебраический метод синтеза многотактных
релейных систем. ДАН СССР, 1954, т. 99, № 6, стр. 987—990.
48. В. Н.Рогинский. Синтез многотактных релейных схем с
конденсаторами. Сб. научных работ по проводной связи, Изд-во АН
СССР, М., 1956, вып. 5, стр. 65—78.
49. В. И. Иванов. Циклические релейные схемы и аналитические1
соотношения в них. ДАН СССР, 1955, т. 104, № 2, стр. 239—241.
50. В. Г. Лазарев. Определение минимального числа
промежуточных реле при синтезе многотактных схем. Сб. научных работ по
проводной связи, Изд-во АН СССР, М., 1956, вып. 5, стр. 93—103.
312

51. L. Livovschi. Aplicarea calculului implica^iilor la proiectarea
circuitelor automate cu contacte de relee. Bui. Stiin^. Acad. RPR,
Seci. mat. fiz., 1952, t. 4, Nr. 1, pp. 195—225.
52. M. Novotny. Theoreticke reseni releovych fetezu. Slaboproudny
Obzor, 1953, sv. 14, Ms. 7/8, str. 309—316.
53. D. A. Huffman. The Synthesis of Sequential Switching Circuits.
J. Franklin Inst., 1954, v. 257, No. 3, pp. 161—190; No. 4,
pp. 275-303.
54. W. S. Bennett. Minimizing and Mapping Sequential Circuits.
Commun. and Electronics, 1955, No. 20, pp. 443—447.
55. D. A. Huffman. The Design and Use of Hazard-Free Switching
Networks. J. Assn. Computing Machinery, 1957, v. 4, No. 1,
pp. 47—62.
56. A. H. Ю p а с о в. Аналитический синтез многотактных схем по
формулам включения. [Наст. сб.].
57. В. Ф* Дьяченко, В. Г. Лазарев. Применение в телефонии
алгебры логики при анализе и синтезе релейно-контактных схем.
[Наст. сб.].
58. I. A. D. Lewis. A Symbolic Method for the Solution of Some
Switching and Relay-Circuit Problems. Proc. IEE, 1951, v. 98,
Part 1, No. Ill, pp. 181—191.
59. И. И. Жегалкин. О технике вычислений в символической
логике. Мат. сб., 1927, т. 34, вып. 1, стр. 9—28.
60. Gr. С. Moisil. Intrebuintarea imaginarelor lui Galois in teoria
mecanismelor automate. Comunicarile Acad. RPR, 1954, t. 4,
Nr. 11/12, pp. 581-585, 587—589; 1955, t. 5, Nr. 6, pp. 959—963;
1956, t. 6, Nr. 4, pp. 505—508, 509—513; Nr. 5, pp. 621—623, 625—
626; Nr. 9, pp. 1055—1058.
61. В. И. Шее так ob. Представление характеристических функций
предложений посредством выражений, реализуемых релейно-кон-
тактными схемами. Изв. АН СССР, серия мат., 1946, т. 10, № 6,
стр. 529—554.
62. Н. Rohleder. Der dreiwertige Aussagenkalkul der theoretischen
Logik und seine Anwendung zur Beschreibung von Schaltungen, die
aus Elementcn mit zwei stabilen Zustanden bestehen. ZAMM, 1954,
Bd. 34, Nr. 8/9, SS. 308—311.
63. H. Rohleder. Die Verwendung von Aussagenkalkulen zur
Beschreibung elektrischer Schaltungen. Z. f. math. Logik u. Grundlagen
d. Math., 1955, Bd. 1, H. 4, SS. 304-309.
64. Gr. С Moisil. intrebuin^area logicilor trivalente in teoria
mecanismelor automate. Communicarile Acad. RPR, 1956, t. 6, Nr. 2,
pp. 231-234; Nr. 3, pp. 385—386.
65. С Y. Lee, W. H. Chen. Several-Valued Combinatorial Switching
Circuits. Commun. and Electronics, 1956, No. 25, pp. 278—
283.
66. A. W. Burks. Electronic Computing Circuits of the ENIAC. Proc.
IRE, 1947, v. 35, No. 8, pp. 756—767.
67. Синтез электронных вычислительных и управляющих схем. Пер.
с англ. иод ред. В. И. III ее та ков а. ИЛ, М., 1954.
68. Е. С. Berkeley. Algebra in Electronic Design. Radio-Electronics,
1952, Febr., pp. 55—58.
69. S. H. Washburn. An Application of Boolean Algebra to the
Design of Electronic Switching Circuits. Commun. and Electronics,
1953, No. 8, pp. 380—388.
70. H. Greniewski, К. В о с h e n e k, R. Marczynski.
Application of Bi-Elemental Boolean Algebra to Electronic Circuits. Studia
Logica, 1955, t. 2, pp. 7—76.
313

71. J. N. Harris. A Programmed Variable-Rate Counter for Generating
the Sine-Function. IRE Trans., 1956, v. EC-5, No. 1, pp. 21—26.
72. A. Weinberger, J. L. Smith. A One-Microsecond Adder Lsing
One-Megacycle Circuitry. IRE Trans., 1956, v. EC-5, No. 2,
pp. 65—73.
73. Г. H. Поваров. О логическом синтезе электронных
вычислительных и управляющих схем. [Наст. сб.].
74. А. В. Шилейко. Применение ламп с холодным катодом в качестве
элементов быстродействующих релейных схем. Тр. МЭИ, 1953,
вып. 13, стр. 42—52.
75. Cz. Rajski. Transformatorowa realizacja roznicy symetrycznej.
Arch. Elektrotech. (Warszawa), 1955, t. 4, zesz. 3, str. 419—422.
76. R. C. M i n n i с k. Magnetic Switching Circuits. Journ. Appl. Phys.,
1954, v. 25, No. 4, pp. 479—485.
77. A. W. Burks, J. B. Wright. Theory of Logical Nets. Proc. IRE,
1953, v. 41, No. 10, pp. 1357—1365.
78. A. W. Burks, I. M. С о p i. The Logical Design of an Idealized
General-Purpose Computer. J. Franklin Inst., 1956, v. 261, No. 3,
pp. 299—314; No. 4, pp. 421—436.
79. J. Riguet. Sur les rapports entre les concepts de machine de mul-
tipole it de structure algcbrique. C. r. Acad. Sci., Paris, 1953,
t. 237, No 6, pp.425—427.
80. E. C. Nelson. Mathematical Models of the Logical Structure ol
Digital Computers (Abstract). Computers & Automation, 1956, v. 5,
N 10, p. 52.
81. Автоматы. Пер. под ред. А. А. Ляпунова, ИЛ, М., 1956.
82. Н. Е. Кобринский, Б. А. Трахтенброт. О построении
общей теории логических сетей. [Наст. сб.].
83. А. Д. Харкевич. О коммутационных схемах и их логической
сущности. [Наст. сб.].
84. Н. М. Герсеванов. Применение математической логики
к расчету сооружений. Собр. соч., т. I. Стройвоенмориздат, М.,
1948, стр. 123—204 (впервые опубликовано в 1923 г.).
85. А. И. Китов. Электронные цифровые машины. Советское радио,
М., 1956, гл. 5.
86. В. И. Ш е с т а к о в. Моделирование операций исчисления высказы
ваний посредством релейно-контактных схем. [Наст. сб.].
87. Г. Н. Поваров. Список отечественной литературы по теории
релейно-контактных схем за 1950—1954 гг. Автоматика и
телемеханика, 1955, т. 16, № 4, стр. 411—412.
88. Г. Н. Поваров. Список иностранной и переводной литературы
по теории релейных схем за 1950—1954 гг. Автоматика и
телемеханика, 1955, т. 16. № 4, стр. 412—420.
89. Г. Н. Поваров. Список отечественной литературы по теории
релейных схем за 1955 г. Автоматика и телемеханика, 1956, т. 17,
№ 4, стр. 384.
90. Г. Н. Поваров. Список отечественной и переводной литературы
по теории релейных схем за 1956 г. Автоматика и телемеханика,
1957, т. 18, № 12, стр. 1151-1152.
91. С. М. Яковлев. Теория структур комбинаторных механизмов.
Автоматика и телемеханика, 1958, т. 19, № 3, стр. 221—227.

ф
В. И. Шестаков
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ПОСРЕДСТВОМ РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫХ СХЕМ
Введение
Математическая логика за последние два десятилетия
нашла весьма плодотворное применение для анализа и синтеза
релейных систем, используемых в различных областях
техники. Уже появилась обширная литература по вопросам
анализа, синтеза и упрощения релейных систем с помощью
средств математической логики; однако еще мало работ по
релейному моделированию логических исчислений. Теория
моделирования разработана недостаточно даже для
двузначного исчисления высказываний. Между тем, теория
моделирования логических исчислений является важным источником
методов анализа и синтеза релейных систем и имеет
первостепенное значение для создания логических машин.
Целью настоящей работы является исследование связи
между логическими операциями двузначного и трехзначного
исчислений предложений и переключательными операциями
в релейно-контактных схемах, построенных из двухпозицион-
ных и трехпозиционных реле. В отличие от других работ,
основное внимание в настоящей статье уделено исследованию
общих принципов моделирования операций исчисления
высказываний посредством релейно-контактных схем.
Работа состоит из двух частей.
В первой части вводятся новые, так называемые
«безрелейные» обозначения релейно-контактных схем и излагаются
результаты ранее опубликованных работ автора [1, 4] по
алгебре двухполюсных схем. Эти результаты используются
во второй части работы, посвященной моделированию
операций трехзначного исчисления высказываний.
315

Под трехзначным исчислением высказываний понимается
исчисление Д. А. Бочъара [2, 3], расширенное здесь до
функционально полного исчисления. Выбор в качестве объекта
моделирования именно исчисления Д. А. Бочвара обусловлен
тем, что все операции этого исчисления, имеющие специальные
обозначения, обладают естественной и ясной логической
интерпретацией. Однако предлагаемый метод моделирования
пригоден также и для моделирования операций любого другого
трехзначного исчисления высказываний.
Введенная в настоящей работе новая характеристическая
функция — «знак высказывания» — является частным случаем
рассмотренной ранее [4] характеристической функции
предложения тг-значной логики и выражается через вырожденные
и единичные функции предложений так же, как и эта последняя.
Однако в схемах, предлагаемых для реализации этих
функций, имеются существенные различия. Вместо предложенных
ранее пассивных двухполюсных схем, в которых п различным
значениям проводимостей сопоставлялись п различных
значений истинности моделируемых предложений тг-значной
логики, здесь используются пассивные четырехполюсные схемы —
трехпозиционные коммутаторы, в которых трем значениям
полярности напряжения на выходах сопоставляются три
значения истинности моделируемых высказываний.
Для моделирования операций трехзначного исчисления
высказываний можно использовать также и активные
двухполюсные схемы, содержащие трехпозиционные
переключатели и один или несколько источников напряжения. На эту
возможность указал М. Greniewski [5]. Однако в его
кратком сообщении не излагается общий метод конструирования
этих схем, а приводится лишь несколько примеров таких схем.
Предлагаемый метод моделирования трехзначных
исчислений высказываний следует рассматривать в связи с новыми
задачами автоматики вообще и техники автоматических
вычислительных машин в частности. Дело в том, что большинство
существующих автоматических быстродействующих
вычислительных машин работает по двоичной системе счисления.
Известно, однако, что наиболее экономичной (в отношении
необходимого для машины оборудования) является троичная
система счисления. Существует перспектива развития
автоматических вычислительных машин, вычисляющих в этой
системе. В связи с этим моделирование трехзначных
исчислений посредством электрических схем приобретает известное
значение.
Необходимо отметить немногочисленность работ в этой
области, что является естественным результатом
неразработанности многозначных обобщений математической логики.
316

Несомненно, что по мере развития автоматики вообще и
автоматических вычислительных машин в частности число и
значение работ по многозначной логике и ее приложениям будет
все более возрастать. Следует отметить появление за последнее
время ряда статей по этим вопросам в Румынской Народной
Республике, принадлежащих академику Гр. Моисилу и его
ученикам [6—9].
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ ИСЧИСЛЕНИЯ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ ПОСРЕДСТВОМ ДВУХПОЛЮСНЫХ СХЕМ
1. Основные определения и операции алгебры
двухполюсников
Полюсами электрической схемы называют тс узлы этой
схемы, к которым можно присоединять источники
электродвижущих сил или другие электрические схемы.
Двухполюсником, или двухполюсной схемой,
называется всякая электрическая схема, имеющая только
два полюса, и притом такая, что мгновенные силы токов,
протекающие через ее полюсы, всегда равны друг другу.
Двухполюсник вполне характеризуется заданием его
сопротивления Z или проводимости У. Двухполюсник, имеющий
проводимость У, будем называть двухполюсникОхМ У, т. е.
в качестве символа двухполюсника будем использовать его
проводимость. Графически двухполюсник У будем
изображать так, как показано на рис. 1.
Двухполюсники, проводимости которых равны 0 и оо,
будем называть, следуя принятой ранее [1] терминологии,
вырожденными двухполюсниками и б уд ем
графически изображать их так, как показано на рис. 2а и 26
соответственно.
Операцию инверсии У двухполюсника У определим,
как и в 11], посредством следующих равенств:
Y'=Y-\ если У^О и У^<
О'=оо,
оо'=0.
(1)
Двухполюсник У будем называть инверсным по
отношению к двухполюснику У. Очевидно, что и наоборот,
двухполюсник У является инверсным по отношению к
двухполюснику У, т. е.
Y = (¥')'. (2)
317

Операцию, определяемую равенством
Vy.= ГС+*;)', О)
будем, как и в[1], называть гармоническим
сложением.
В соответствии с принятым условием обозначать
двухполюсники символами их проводимостей, мы должны
обозначать параллельное соединение двухполюсников Yj и У2
(рис. 3) суммой Y} -|- У2, а последовательное соединение тех же
двухполюсников (рис. 4)—гармонической суммой У^У».
-ост
-об
Рис. 1. Рис. 2.
Жирная точка (•), служащая знаком гармонического
сложения, является одновременно и графическим обозначением
узла, в котором осуществлено последовательное соединение
двухполюсников Yx и У2 (рис. 4).
Двухполюсные схемы, построенные посредством только
параллельного и последовательного соединения
двухполюсников, принято называть П - с х е м а м и, или схемами
класса П. Этим схемам взаимнооднозначно соответствуют
описывающие их алгебраические выражения,' члены которых
у2 г о Y, • Уг о
Рис. 3. Рис. 4.
соединены только знаками сложения и гармонического
сложения. Такие выражения будем называть
[[-выражениями. Взаимно однозначное соответствие между П-схемами
it П-выражениями позволяет производить всякого рода
преобразования П-схем исключительно посредством преобразования
соответствующих им П-выражений, совершенно не
используя чертежей этих схем.
Будем называть схемы, построенные исключительно из
вырожденных двухполюсников, — вырожденнымисхе-
м а м и. Соответственно и любые величины, могущие
принимать только два значения—0 или оо, будем называть
вырожденными величинами. Переменные
вырожденные величины будем называть вырожденными
318

переменными, а если они являются функциями каких-
либо аргументов, — вырожденными функциями
этих аргументов.
Вырожденные величины будем обозначать малыми буквами,
а переменные, принимающие любые значения или только
значения, отличные от 0 и оо, — большими буквами.
2. Моделирование операций исчисления предложений
посредством вырожденных П-схем
Используя вырожденные функции предложений [4],
нетрудно установить изоморфное соответствие между
исчислением предложений и алгеброй вырожденных П-схем.
Для этого можно использовать, очевидно, только
взаимнооднозначные вырожденные функции предложений. Так как
вырожденная переменная, согласно определению, может
принимать только два значения — 0 или оо, а предложением
в исчислении предложений называют лишь такое
высказывание, которое может быть только либо истинным, либо
ложным, то существуют, очевидно, только две взаимно
однозначные вырожденные функции предложения р. Одну из них
мы обозначим символом [р], а другую — символом [р]'.
Функцию [р] определим, как и в [4], посредством условий
[р]= оо, если р истинно, \
[/>] = 0, если р ложно, j
Функцию [р'] определим посредством условий
[р]'=0, если р истинно, 1
|/?J'=oo, если р ложно. )
Функция ЦрУ является, очевидно, инверсией функции [р].
Для установления изоморфного соответствия между
алгеброй П-схем и исчислением предложений можно
воспользоваться любой из этих функций. Мы выберем для этой
цели функцию [р].
Если предложение, формулирующее необходимые и
достаточные условия, при которых вырожденный
двухполюсник х пропускает ток, мы обозначим буквой /?, то получим
равенство
х=[р]. (5)
Предложение /?, удовлетворяющее равенству (5), будем
называть условием проводимости или условием
замыкания вырожденного двухполюсника х, а сам
вырожденный двухполюсник х, удовлетворяющий уравнению (5)
(4) .
(4')
319

для заданного предложения р, будем называть моделью
(или реализацией) предложения р. Будем говорить также,
что двухполюсник х моделирует или реализует
предложение р.
Вырожденные двухполюсники будем графически
изображать так, как показано на рис. 5а. Изображения типа
рис. 56 будем применять, когда для нас будет существенно,
какое предложение р моделирует изображаемый
двухполюсник.
Условимся обозначать тождественно истинное
предложение буквой 7\ а тождественно ложное — буквой F. Из
определения вырожденной функции [р] и равенства (5) получаем
следующие равенства:
0 = [П (5а)
оо=т- (56)
Равенства (5а) и (56) утверждают, что моделями тождественно
ложного и тождественно истинного предложений являются
о X' —о о
с— х о а
о f^pJ о б
о—-Ал 7——of!
Рис. 5. Рис. 6.
двухполюсники 0 и оо, изображенные на рис. 2а и 26
соответственно.
Если предложения ряд одновременно истинны или
одновременно ложны, то говорят, что они логически
равносильны, или эквивалентны, а эквивалентность
этих предложений записывают посредством формулы p = q.
Легко доказать, что эквивалентность предложений р и q
является необходимым и достаточным условием равенства
их вырожденных функций [р] и [q], т. е. что
([p] = lq])==(p = q). (6)
Очевидно, что подобная же эквивалентность имеет место
и для функций [р]' и [д]':
([p]' = [q]')^(p^q). (6')
Отрицание предложения /?, т. е. предложение «не-р»,
будем обозначать символом ^р.
Из определения инверсии (1) и определения вырожденной
функции предложения следует
[~р] = \р]'. (7)
320

Из этого равенства и равенства (5) следует равенство
х' = [~р], (8)
утверждающее, что моделью ~ р служит инверсия х'
вырожденного двухполюсника х, моделирующего предложение р
(рис. 6). Справедливость этого утверждения следует также
из непосредственного сравнения таблиц значений инверсии
х' вырожденной величины х и ~р (см. табл. 1 и 2).
Таблица! Таблица 2
Таблица 3
Таблица 4
О
00
F
Т
Т
F
X
0
0
со
со
У
0
со
0
со
х + у
0
00
00
00
р
F
F
Т
Т
q
F
Т
F
Т
pVq
F
Т
Т
Т
Аналогично, сравнивая таблицу 3, в которой приведены
правила сложения вырожденных величин х и г/, с
таблицей 4, посредством которой определяется операция
дизъюнкции р\/ q (р или q) предложений р и q, можно получить
равенство
[pV ?] = [р] + М- (9)
Это равенство утверждает, что моделью дизъюнкции р\/ q
является параллельное соединение вырожденных
двухполюсников, моделирующих предложения р и q (рис. 7).
Операция конъюнкции р ■ q(p и q) предложений р и q
определяется через операции отрицания и дизъюнкции
посредством равенства
(p-i) = 1)~(~pV~q), (Ю)
где знак = D означает равенство по определению.
Сравнивая определение конъюнкции предложений р и q
с определением (3) гармонического сложения, приходим
к заключению, что
[p-q] = [p]*lq]. (И)
Заметим, что если в качестве символов двухполюсников
используются символы их проводимостей, то знак
гармонического сложения является одновременно и знаком
последовательного соединения двухполюсников, между которыми
стоит этот знак. Поэтому мы можем сказать, согласно
равенству (11), что моделью конъюнкции предложений р и
32t

q является последовательное соединение вырожденных
двухполюсников, моделирующих предложения р и q (рис. 8) *.
Операция импликации p~D q (если р, то q)
определяется посредством равенства
Из равенства (12) следует, что
[pD?] = [p]' + № (13)
Операция эквивалентности предложений
определяется через операции импликации и конъюнкции
предложений посредством равенства
Ы ч
>
Гп1 /
/*/■
-fpj—+—ff/'
Рис. 7. Рис. 8.
Из равенства (14) и (13) следует, что
[p = q] = dp}' + [q]) . ([q]' + [p]). (15)
Правые части равенств (13) и (15) дают алгебраические
выражения вырожденных П-схем, служащих соответственно
моделями импликации и эквивалентности предложений р и q.
Разумеется, каждая операция исчисления предложений
может быть моделирована не единственным образом.
Например, в силу известного соотношения
(~Р\/9)я(~9\/Р) = РиЯ\/~Рт~9,
мы можем из равенства (15), на основании формулы (6),
получить равенство
[p = q] = [p].[q] + [p]'.[q]' * (15')
и тем самым найти другой способ моделирования
эквивалентности посредством вырожденных П-схем.
Вообще, если / {рх, ~рг, . . ., рПУ ~р„) — любая формула
исчисления предложений, где предложения рх, ~ри . . .
1 С алгебраической точки зрения исчисление предложений с
операциями отрицания, дизъюнкции и конъюнкции является булевой
алгеброй. Установленное изоморфное соответствие между алгеброй
вырожденных П-схем и исчислением предложений, где основными
операциями являются операции отрицания, дизъюнкции и
конъюнкции, позволяет утверждать, что алгебра вырожденных П-схем
является булевой алгеброй.
322

. . ., рп1 —рп соединены только знаками дизъюнкции и
конъюнкции, то будет иметь место равенство
[/(А. ~Р\* • ••> А. ~Рп)] =
= F([pi]Api]\ .... [аМаП, (16)
где ^([pj, [ft]', ..., [/?„], [ря]') есть выражение, получаемое
из формулы /(/?!, ~рх, . . ., А» ^Рп) посредством замены
предложений рх, ~рц . . ., ря, ~ря» их вырожденными
функциями [jdJ, [pj', . . ., [ри], [ря]' и замены знаков операций
\/ и ■ (квадратная точка) соответственно знаками -|- и •
(жирная точка).
Так как всякая функция ср(р,, . . ., рп) исчисления
предложений всегда представима посредством выражения /(рх,
~р2, . . ., ря, ~ря), где предложения pL, ~р^ . . ., ря, ~рп
связаны друг с другом только знаками дизъюнкции и
конъюнкции, то всякую функцию ср (jDj, . . ., рп) исчисления
предложений можно моделировать посредством некоторой
П-схемы F(xv x'v . . ., хп, х'п)^ построенной из вырожденных
двухполюсников xv x'v . . ., хп, х\ Выражение /(рх, ~Рц • • •
. . ., р„, ~рп) не может содержать знаков отрицания нигде,
кроме как только перед предложениями, служащими
аргументами данной функции, потому что операция инверсии
не реализуема, как известно, посредством каких-либо схем,
не содержащих реле.
В соответствии с обычным соглашением обозначать
вырожденные величины малыми буквами, а невырожденные —
большими буквами, обмотки реле обозначают обычно
большими буквами, а контакты — малыми буквами.
Контакт, разомкнутый, когда реле X находится в
нормальном состоянии (т. е. не возбуждено), и
замкнутый, когда это реле находится в рабочем
состоянии (т. е. возбуждено), называется замыкающим
контактом этого реле и обозначается соответствующей
малой буквой х. Контакт, замкнутый, когда реле X находится
в нормальном состоянии, и разомкнутый, когда это реле
находится в рабочем состоянии, называется размыкающим
контактом этого реле и обозначается символом х\
Некоторые авторы предпочитают применять вместо штриха
черточку над буквой, т. е. обозначать размыкающий контакт
символом х.
Если реле X обладает несколькими размыкающими и
замыкающими контактами, то каждый из замыкающих контактов
обозначается буквой х, а каждый размыкающий контакт —
символом х.
323

Полагая, что р означает предложение: «реле X
возбуждено»,, мы можем размыкающий и замыкающий контакты
этого реле определить как вырожденные двухполюсники х и я,
удовлетворяющие равенствам (8) и (5) соответственно.
Действительно, если отвлечься от того, что изменения положений
контактов х и х всегда несколько запаздывают относительно
изменения соответствующих состояний реле X, управляющего
этими контактами, то можно сказать, что контакт х замкнут,
а контакт х разомкнут тогда и только тогда, когда истинно
предложение р, т. е. когда реле X действительно возбуждено.
Таким образом, замыкающий контакт х и размыкающий
контакт х' реле X можно рассматривать соответственно как
модели предложений: р~ «реле X возбуждено» и ~~ /?=
«реле X не возбуждено».
3. Реализация операций исчисления предложений
посредством релейно-контактных схем
Схемы, построенные из обмоток электромеханических
реле, контактов этих реле, а, быть может, и контактов
кнопок и ключей, называются релейно-контактными
схемами. Релейно-контактные схемы, не содержащие
обмоток реле, называются контактными схемами. Эти
последние весьма близки к вырожденным схемам. Релейно-
контактные схемы в общем случае не являются
вырожденными схемами, так как они содержат обмотки реле,
обладающие конечными проводимостями, значительно
отличающимися от 0 и со.
Переход реле X из нормального состояния в рабочее
называется срабатыванием, а обратный переход —
отпусканием реле X. Необходимые и достаточные
условия, при которых данное реле срабатывает, называют
условиями срабатывания этого реле.
Если мы соединим реле У последовательно с контактом х,
то получим схему x*Y. Считая, что х удовлетворяет
равенству (5), получим выражение [р] • У, из которого видно, что
предложение р, составляющее условие проводимости
(замыкания) контакта х, является вместе с тем и условием
срабатывания реле У,в схеме x*Y. Последнее утверждение
справедливо, конечно, только в предположении, что к
рассматриваемой схеме приложено напряжение, достаточное для
срабатывания реле.
При параллельном соединении реле У с контактом х мы
получим схему х -f- У. Если х по-прежнему удовлетворяет
равенству (5), то полученная схема описывается выражением
[р]-|-"У, из которого следует, что ж-|-У = У, когда р ложно,
324

и x-\-Y = со -\-Y, когда р истинно. Таким образом, реле У
в схеме x-\-Y возбуждено, когда р ложно, и не возбуждено,
когда р истинно. Действительно, в последнем случае кон-*
такт х замкнут и обмотка реле Y шунтируется контактом х,
обладающим в замкнутом состоянии очень большой
проводимостью (#=оо). I] результате практически весь ток
проходит по шунтирующему контакту ж, минуя обмотку реле У.
Следовательно, предложение /?, составляющее условие замы*
кания контакта х, является вместе с тем и условием
отпускания реле У в схеме x-\-Y, а условием срабатывания
реле У в этой схеме является условие размыкания
контакта х, т. с. отрицание ~р предложения р.
Если реле У обладает по крайней мере одним
замыкающим контактом х и одним размыкающим контактом х', то
при включении реле У последовательно с контактом х
(т. с. при включении У по схеме х* У) получим:
у={х}, у' = {х}\ (17)
где фигурные скобки, окружающие х, отмечают, что именно
контакт х управляет реле У. Если бы мы включили реле У
последовательно с контактам х (т. е. образовали бы схему
я'#У), то вместо равенств (17) мы получили бы равенства:
у = {х'}, у'={х'}'. (17')
Как видно из равенств (17) и (17'), замыкающий контакт у
реле У просто воспроизводит (с некоторым запаздыванием,
от которого мы здесь отвлекаемся) состояние контактного
двухполюсника, последовательно соединенного с реле У,
т. е. контакта х в случае схемы x^Y или контакта х'
в случае схемы x'*Y. Размыкающий же контакт у' реле У
реализует (также с некоторым запаздыванием) инверсию
контактного двухполюсника, последовательно соединенного
с реле У, т. е. реализует инверсию {х'} контакта х в схеме
x*Y и инверсию {х'}' контакта х в схеме х'•Y.
При включении реле У параллельно контакту х (т. е.
по схеме x-\-Y) получаем равенства:
У ={*}', 2/'=W- (18)
Для схемы х' -\- У мы получили бы, очевидно:
у = \*)\ у'={х). (18')
Из равенств (18) и (18') видно, что при параллельном *со-
единении реле У с контактным двухполюсником замыкающий
контакт у этого реле реализует инверсию проводимости
этого двухполюсника, а состояние размыкающего контакта
у' в такой схеме лишь воспроизводит (с некоторым запазды-
325

ванием) состояние контактного двухполюсника,
управляющего реле У, т. е. контакта х в схеме x-\-Y, или контактах'
в схеме х -f- Y.
Итак, операция инверсии вырожденных двухполюсников,
не реализуемая контактными схемами, может быть*
реализована посредством релейно-контактных схем двумя способами:
либо посредством размыкающего контакта у' в случае схемы
х«У, либо посредством замыкающего контакта у в случае
схемы x-\-Y.
Примечание. При учете запаздываний, неизбежных при
срабатывании и отпускании реле, точной инверсией контакта х не
является ни размыкающий контакт у' в схеме х • У, ни замыкающий
контакт у в схеме x-\-Y. Лишь о замыкающих и размыкающих
контактах одного и того же реле можно говорить, что они являются
точными инверсиями друг друга. В частности, размыкающий контакт
у' реле У является, строго говоря, инверсией только замыкающего
контакта у того же реле.
Это, однако, справедливо лишь тогда, когда можно пренебречь
переходными процессами и считать, что контакты мгновенно
переходят из замкнутого состояния в разомкнутое и, наоборот, из
разомкнутого состояния в замкнутое. В действительности же эти процессы
совершаются в течение некоторых коротких, но конечных
промежутков времени, и поэтому в реальных релейных системах оба контакта
у и у' могут быть разомкнуты одновременно при срабатывании или
отпускании реле У.
Отвлекаться от запаздываний, неизбежных при работе реле,
можно лишь в так называемых однотактных релейно-контактных
схемах. При анализе и синтезе многотактных схем нужно обязательно
учитывать запаздывания при срабатывании и отпускании реле. Если
запаздывание при срабатывании реле У и запаздывание при его
отпускании равны каждое величине т, то
y(t) = x(t — z) и y'{t) = [x(t~z)Y
в случае схемы х • У и
y(t) = (x(t-z))' и y'(t) = x(t-z)
в случае схемы x-\-Y.
Эти равенства можно сокращенно записать следующим образом-
и
у = {*}!> у={х}х.
В случае, когда запаздывания у всех реле, входящих в
рассматриваемую релейно-контактную схему, одинаковы, индексы в этих
равенствах можно отбросить, и тогда эти равенства совпадут
соответственно с равенствами (17) и (18).
Мы показали, как посредством реле может быть
осуществлена операция инверсии вырожденных двухполюсников
(контактных двухполюсных схем). Теперь мы можем утвер-
326

ждать, что посредством релеино-контактных схем можно
реализовать любые выражения исчисления предложений,
где элементарные предложения связаны лишь операциями
отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Рассмотрим несколько примеров моделирования посреди
ством релейно-контактных схем таких выражений
исчисления предложений, в которых знаки отрицания встречаются
не только непосредственно перед элементарными
предложениями и которые вследствие этого не могут быть
моделированы контактными схемами.
Пример 1. Рассмотрим моделирование выражения —(—/>),
встречающегося, например, в законе двойного отрицания:
~(~р) = Р. (19)
Пусть контакт х моделирует предложение pt т. е. х удовлетворяет
равенству (5). Тогда, на основании второго из равенств (17), моделью от-
I.
л
Рис.
1
У
I
10.
у г
I А
Рис. 9.
рицания ~р предложения р будет размыкающий контакт у' реле У
в схеме х' • У.
Если не учитывать запаздываний, то размыкающий контакт у'
в схеме х«У, изображенной на рис. 9, эквивалентен замыкающему
контакту х и, следовательно, второе из равенств (17') эквивалентно
(с точностью до запаздываний) равенству
* = {*'}', (20)
являющемуся аналогом закона двойного отрицания.
Закон двойного отрицания может быть моделирован также и
релейно-контактной схемой, изображенной на рис. 10. Действительно,
моделью отрицания ~р является размыкающий контакт а?', а моделью
отрицания отрицания ~ (~р) будет, согласно первому из равенств
(18'), замыкающий контакт у реле У в схеме рис. 10. В случае схемы
х' -\- У выполняется (с точностью до запаздываний) равенство у = х и,
следовательно, опять-таки имеет место равенство (20).
Таким образом, двойное отрицание ~ (~р) моделируется
размыкающим контактом у' в схеме xf %Y и замыкающим контактом у
в схеме х' -f- У.
Пример 2. Выражения ~(pmq), —(р\/q)t которые встречаются,
например, в левых частях эквивалентностей:
~ (Р ■ Я) = ~ Р V ~ Я,
<(P\/q)=E~p'~q, I <21)
327

называемых обычно формулами де-Моргана, нереализуемы
посредством контактных схем. Однако, как легко видеть, они могут быть
реализованы посредством релейно-контактных схем, изображенных
на рис. И и рис. 12.
Действительно, если х=[р], y=[q], т. е. если замыкающие
контакты хну моделируют соответственно предложения р и q, то
размыкающие контакты и' и v' реле U и V в схемах х • у U и (х -\-y)%V
удовлетворяют, очевидно, равенствам:
и'={хтуу, г/ = {х-\-у}'.
Следовательно,
и' = 1~(РаЯ)Ь *>' = 1~(Р\'Я)]>
т. е. размыкающие контакты и' и г/ моделируют выражения —(р ■ q) п
^(р\/я) соответственно. Из рассмотрения рис. Л и 12 легко
заметить, что
и' — х' -\- у', v' = x'my'1
Т 1
X
I I
U v'
I \
Рис. 11.
т. е. имеют место равенст
{я*г/}' = ж' + г/', {х + уу = х'%у'1 (22)
аналогичные формулам де-Моргана.
Мы будем называть первичными такие реле,
замыкающие контакты которых моделируют элементарные
предложения, а размыкающие контакты — отрицания этих
предложений. Вторичными реле будем называть реле,
замыкающие и размыкающие контакты которых моделируют некоторые
выражения, построенные из элементарных предложений
посредством операций отрицания конъюнкции и дизъюнкции.
Примером вторичных реле могут служить реле У, U и V
в схемах, изображенных на рис. 9, 10, 11 и 12.
Равенства (22) позволяют утверждать, что всякая релейно-
контактная схема, в которой запаздывания не существенны
(т. е. всякая однотактная схема), может быть заменена
контактной схемой, построенной из замыкающих и размьь
V
A А
Рис. 12.
328

кающих контактов первичных реле. Такая возможность может
быть реализована, очевидно, лишь в том случае, если
каждое первичное реле данной схемы обладает и размыкающими
и замыкающими контактами.
Инверсными схемами принято называть схемы,
реле которых присоединены параллельно к контактным
схемам. Примерами инверсных схем могут служить схемы
я + У, x' + Y.
Инверсные схемы обладают некоторыми практическими
недостатками, из-за которых они употребляются значительно
реже, чем схемы, в которых реле соединяются только
последовательно с контактными схемами. Эти последние релейно-
контактные схемы называются обычно нормальными.
В настоящей статье мы будем применять для моделирования
формул исчисления предложений исключительно нормальные
релейно-контактные схемы. Поскольку в этом случае мы
будем иметь дело лишь с релейно-контактными схемами,
в которых реле соединены с контактными схемами только
одним способом (последовательно), то мы можем ввести
обозначения, при которых алгебраические выражения,
описывающие структуры рассматриваемых схем, вовсе не
содержали бы символов обмоток реле.
Для этого условимся замыкающий контакт вторичного реле,
последовательно соединенного с двухполюсной контактной
схемой S(xv x'v . . ., хп, х'\, обозначать символом IS(xv x'v . . .
. . ., хп, %'„)), а размыкающий контакт того же реле —
символом (S (xv x'v . . ., хи, aQ}'. Далее условимся параллельное
соединение нескольких двухполюсников обозначать всегда
посредством суммы этих двухполюсников, заключенной
в круглые скобки. Если мы будем применять круглые
скобки в алгебраических выражениях схем только для этой
цели, а фигурные скобки — только для обозначения
контактов вторичных реле, то по виду алгебраического
выражения нормальной релейно-контактной схемы мы всегда можем
однозначно начертить схему, соответствующую
рассматриваемому выражению.
Пусть мы имеем, например, два выражения (x-\-y)^z и
{x-\~y}9z. Согласно принятым нами условиям, первое из
этих выражений однозначно соответствует контактной схеме
рис. 13, а второе — релейно-контактной схеме рис. 14.
Действительно, согласно принятому нами условию, (х -f- у)
означает параллельное соединение контактов х и у. Символ
{х-\-у} означает замыкающий контакт некоторого реле,
последовательно соединенного с контактной схемой (х-\-у).
Какой буквой мы обозначим это реле — безразлично. На
329

рис. 14 мы обозначили это реле буквой U, а его
замыкающий контакт — буквой и. В этих обозначениях второе из
рассматриваемых нами выражений эквивалентно выражению
ifz, т. е. {х-\-у} •z=.U9Z.
Следовательно, выражение [х -\-у} •z является
алгебраическим выражением структуры и проводимости
двухполюсной контактной схемы u%z. Одновременно его можно
рассматривать и как сокращенное обозначение всей релейно-кон-
тактной схемы, изображенной на рис. 14.
Аналогично выражения {#'}', {x^y),, [х-\-у\ мы можем
рассматривать не только как символы размыкающих
контактов в схемах рис. 9, 11 и 12 соответственно, но также
и как сокращенные обозначения самих этих схем.
Подобные сокращенные («безрелейные») обозначения ре-
лейно-контактных схем являются особенно удобными при
моделировании формул исчисления предложений посредством
л л 1
X и X Ц 2
Y V I
} U и
4 А А
Рис. 13. Рис. 14.
релейно-контактных схем. Алгебраические выражения схем
в этих обозначениях не будут содержать символов
невырожденных двухполюсников (обмоток реле), действия над которыми
производятся не по правилам булевой алгебры, которой
подчиняются действия над предложениями и вырожденными
двухполюсниками.
Формулы исчисления предложений, в которых
элементарные предложения связаны друг с другом только операциями
конъюнкции и дизъюнкции, могут быть моделированы как
контактными, так и релейно-контактными схемами. Естественно
в таких случаях выбрать ту схему, которая проще
реализует данное моделируемое выражение, т. е. содержит
меньшее число контактов. В последнем рассмотренном нами
примере предложение (р\/ q)wr можно моделировать как
контактной схемой (x-\-y)mz, так и релейно-контактной схемой
{x-\-y}%z. Первую схему следует предпочесть второй, так как
первая схема содержит всего лишь три контакта, а вторая —
четыре контакта и, кроме того, еще одно лишнее реле.
330

В тех же случаях, когда моделируемое выражение
содержит знаки отрицания не только непосредственно перед
символами элементарных предложений, но также и перед
некоторыми их конъюнкциями и дизъюнкциями, использование
релейно-контактных схем для моделирования таких
выражений оказывается неизбежным.
Примечание. Если бы мы условились обозначать
двухполюсники их сопротивлениями, то в равенстве (5) буква означала бы
сопротивление двухполюсника х, моделирующего предложение р. В этом
случае предложение р, удовлетворяющее равенству (5), было бы
условием непроводимости или условием размыкания
двухполюсника х. Соответственно должны измениться и обозначения
двухполюсников, изображенных на рис. 2а и 26. Эти двухполюсники мы
должны были бы обозначать теперь символами со и 0, соответственно.
Вследствие этого должен измениться смысл равенств Ъа и 56. Эти
равенства теперь утверждают, что моделью тождественно ложного
предложения F и тождественно истинного предложения Т является
постоянно замкнутая цепь («короткое замыкание полюсов») и постоянно
разомкнутая цепь («разрыв цепи»), соответственно.
Так как сопротивления двухполюсников при последовательном их
соединении складываются, а при параллельном соединении тех же
двухполюсников — гармонически складываются, то дизъюнкция р V q
предложений р и q моделируется теперь последовательным
соединением, а конъюнкция тех же предложений — параллельным
соединением двухполюсников, моделирующих предложения р и q. Иначе
говоря, когда параметрами, моделирующими предложения, являются
сопротивления, а не проводимости, как раньше, тогда моделями
дизъюнкции р V q и конъюнкции р ш q являются схемы [р] -f- [q] и
{/>]•[?], изображенные на рис. 7 и 8 соответственно.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ ПОСРЕДСТВОМ ТРЕХПОЗИЦИОННЫХ
КОММУТАТОРОВ
1. Основные определения из теории четырехполюсных схем
Четырехполюсником, или четырехполюсной
схемой, называется всякая электрическая схема, имеющая
два полюса, к которым подводится энергия (входные полюсы),
и два полюса, от которых
энергия отбирается (выходные по- п __^ с>
люсы), причем мгновенные силы ' £
токов, проходящих через входные я— о
(и соответственно через
выходные) полюсы, равны друг другу Рис. 15.
(см. рис. 15).
Четырехполюсник, не содержащий внутренних источников
энергии, называется пассивным четырехполюсником, в
отличие от активного четырехполюсника, где имеются
внутренние источники энергии.
h—О —*-<Л
331

Отношение выходного напряжения Е2 к входному
напряжению Е± будем обозначать символом КЕ, а отношение
выходного тока /2 к входному току 1{ — символом Кг\ т. о.
Кв = ТГ1* К
I'll
(23)
Каскадным соединением двух четырехполюсников
называется такое их соединение, при котором выход одного
четырехполюсника соединяется со входом другого
четырехполюсника (рис. 16). При каскадном соединении двух
четырехполюсников, изображенных на рис. 16, имеет место равенство
так как -~-^=
£-1
Ei.
Ео
кв=к$к®
Е 1
(24)
Рис. 16.
Рис. 17.
Параллельным соединением двух четырехполкхГ
ников называется такое их соединение, при котором их вход
и выходы соединяются параллельно (рис. 17).
Существуют еще и другие соединения
четырехполюсников [1].
2. Реализация некоторых характеристических функций
предложений посредством четырехполюсных схем
Характеристической функцией
предложения называют [4] функцию о)я (р), определяемую условием
W (р) = о), если р истинно.)
(25)
o)aQp) = a, если р ложно, j
Вырожденная функция [р] является одной из
характеристических функций предложения р.
В работе [1] было показано, как вырожденную функцию
[р] предложения р можно реализовать посредством
двухполюсной контактной схемы. Там же было показано, что
если в качестве моделирующего параметра выбрать К к,
то характеристические функции 1(р), 1(/>), —I (р) и 1_г (р)
332

можно реализовать посредством четырехполюсников
соответственно рис. 18, 19, 20 и 21.
Следуя принятой ранее [4] терминологии, функцию 1 (р)
будем называть единичной функцией предложения р,
а функцию 1 (р) — дополнительной единичной
функцией того же предложения. Как было показано в [4], эти
функцлл выражаются через вырожденные функции [р], [p]f
предложения р следующим образом:
i(p)=i •[?],
-[pj ■
- fpj ■
"с -■ HPJ
Рис. \Ь
1(Р)= !•[/>]'.
о [р]' -
о [рУ -
кг Up)
Рис. 19.
(26)
Из этих равенств, на основании равенства (7), следует
i(p) = l(~p); (27)
т. е. четырехполюсник, изображенный на рис. 19, реализует
единичную функцию отрицания ~ р предложения р.
Предложение «четырехполюсник реализует единичную
функцию 1 (р)» мы условимся понимать как утверждение, что
для этого четырехполюсника имеет место равенство Ке= 1 (/?).
Рис. 20.
В аналогичном смысле мы будем понимать и предложение
«данный четырехполюсник реализует характеристическую
функцию %(р)».
Можно еще более упростить терминологию, если
условиться называть четырехполюсник, реализующий в только что
определенном смысле функцию ма(р), просто
«четырехполюсником wa(p)>>. Приняв этот сокращенный способ
выражения, мы можем сказать, например, что на рис. 20 и
рис. 21 изображены четырехполюсники —1 (р) и l_i(p)
соответственно.
зяз

На основании очевидного равенства
—1 (р) = 1 (р) - (—1) = (—1) • 1 (/?) (28)
мы можем сказать, что четырехполюсник 1 (р) (рис. 20)
представляет собой каскадное соединение четырехполюсников I (р)
и —1. Четырехполюсник —1 суть просто пара перекрещен-
рых проводов (рис. 22).
Иначе говоря, четырехполюсник —1 (р) получается из
четырехполюсника 1 (р) посредством перекрещивания
проводов либо на его входе, либо на его выходе.
Четырехполюсник 1 х (/?) (рис. 21)
является двухпозиционным коммутатором. Как
видно из рис. 18, 19 и 21, он представляет
собой параллельное соединение
четырехполюсников 1 (р) и —1(р). Алгебраически
/г = "/ мы можем выразить это соединение посред-
Р и с. 22. ством равенства
1_1(р) = 1(р) + (-1(р)), (29)
где -j- представляет собой знак следующей операции [1]:
5-И
5 + 71 — 5.1), если 0<5<1 и 0<т)<1,
S + l + S-l, если —1<?<1 и —1<1)<0,
S + 1], если —1<5<0 и 0<т|<1,
или 0<?<1 и —1<1)<0.
(30)
Как следует из равенств (30), соотношение (29) можно
заменить более простым соотношением
1_, (р) = Цр)-Цр) = 1 (р)-1 (~р). (29')
Если мы заменим аргумент ~р функции 1 (~~р) каким-либо
другим предложением q, несовместным с предложением р,
но не эквивалентным предложению ~р, то из четырехполюсника
l-i(p) получим четырехполюсник (рис. 23), для которого
Ks=l(p)-l(q). (31)
Схема рис. 23 отличается от двухпозиционного
коммутатора рис. 21 лишь тем, что предложения р и q несовместны,
но не являются отрицаниями друг друга, вследствие чего
в схеме рис. 23 имеется третье состояние, в котором эта
схема не пропускает тока.
Действительно, как непосредственно видно из рис. 23, эта
схема удовлетворяет следующей совокупности предложений:
334

«если /?, то Ех = Е2 и 11 = 12»1
«если q1 то Ех = —Е2 и /х =—/2»,
«если —/? и ~ д, то I1 = I2 — Q»1
(32)
где /? и ^ — несовместные предложения, но g не является
отрицанием предложения р.
Если бы q было отрицанием предложения р (т. е. q=~p),
то третье состояние, очевидно, было бы невозможно и схема
рис. 23 превратилась бы в схему рис. 21 — схему двухпози-
ционного коммутатора.
В случае, когда предложения р и q несовместны, но не
являются отрицаниями друг друга, назовем схему рис. 23
трехпозиционным коммутатором, а предложения
р и д, удовлетворяющие совокупности условий (32), будем
называть соответственно условиями сохранения и
условиями изменения знака напряжения Е2 и
тока /2.
Действительно, знаки напряже- с*г [р] — -о
ния Е2 и тока 12 на выходе трехпо- \ {„? ^ /
зиционного коммутатора становятся ,- ,
противоположными знакам напря- д/ у,
жения Ег и тока 11 на входе того
же коммутатора только в случае, Рис. 23.
когда истинно q и ложно р. В
случае, когда истинно р и ложно q, величина, а следовательно,
и знак напряжения и тока на выходе оказываются
соответственно равными величине напряжения и тока на входе этого
коммутатора. В случае же, когда оба предложения р и q
ложны, цепь тока оказывается разомкнутой и, следовательно,
/1 = 0 и /2 = 0.
Относительно напряжения Е2, имеющегося на выходных
полюсах после отключения их от входных полюсов
коммутатора, можно лишь сказать, что оно будет непрерывно
уменьшаться до нуля, причем скорость убывания напряжения Е2
будет тем больше, чем меньше сопротивление и емкость
между выходными полюсами.
Если напряжение Ег сохраняет некоторое постоянное зна-
чение, то К^ = -~- стремится к нулю при стремлении Е%
к нулю и значение КЕ = 0 можно рассматривать как
стационарное значение, которое КЕ принимает после
разрыва всех цепей коммутатора.
Как и во всех других случаях, мы будем и в данном
случае принимать во внимание только стационарные значения
величин, и поэтому будем считать, что на выходе коммута-
335

тора ^2=0 и, следовательно, ijf# = 0, когда одновременно
ложны р и q.
3. Схемы, построенные из трехпозиционных коммутаторов
и реле
Кроме обычных реле, имеющих два устойчивых
состояния и называемых поэтому двухпозиционными
реле, существуют также и реле, имеющие три устойчивых
состояния. Эти последние называются трехпозицион-
н ы м и реле. Примером трехпозиционного реле могут
служить поляризованные реле с
нейтральным положением якоря. Якорь такого реле
находится в среднем, или нейтральном, положении до тех пор,
пока сила тока, протекающего через обмотку реле, равна
нулю или мало отличается от нуля. Как только сила тока
превысит некоторое минимальное значение, якорь реле
перебросится в одно из двух крайних положений, причем
направление переброса зависит от направления тока. Для изменения
положения якоря поляризованного реле надо изменить
направление тока, протекающего через его обмотку, а для того
чтобы возвратить якорь в нейтральное положение, необходимо
совсем выключить ток. Такие изменения тока, протекающего
через обмотку трехпозиционного реле, мы сможем осуществить,
если присоединим обмотку этого реле к выходным полюсам
трехпозиционного коммутатора.
Трехпозиционное реле, управляемое трехпозиционным
коммутатором, может посредством замыкания своих контактов
управлять другими трехпозиционными коммутаторами, ко
входам которых в свою очередь присоединены другие трех-
позиционные реле. Таким образом, используя трехпозицион-
ные коммутаторы и трехпозиционные реле, можно строить
различные схемы, которые будем называть
трехпозиционными релейно-коммутаторными
схемами.
Позиции, в которых находятся трехпозиционные
коммутаторы в таких схемах, зависят от состояний
трехпозиционных реле, управляющих этими коммутаторами, а состояния
самих трехпозиционных реле зависят, в свою очередь, от
позиций, в которых находятся коммутаторы, к выходам которых
присоединены эти реле. Перед нами стоит, таким образом,
задача найти способы символического выражения этой
зависимости — зависимости положения коммутаторов от
состояний управляющих ими реле — и зависимости состояния
реле от положения коммутатора, к выходу которого оно
присоединено.
336

Пусть дано некоторое трехпозиционное поляризованное
реле, и пусть / — сила тока, протекающего по его обмотке.
Предложения />0 и 1<С0 обозначим буквами ряд
соответственно, т. е. положим р = (1^>0) и д = (/<^0). Тогда
1 (р) = 1 (/>0), и 1(^)=1(/<0), и, следовательно,
1 (Р) - 1 (?) = 1 (/>0) - 1 (/<0) = sign /, (33)
где | 1 при />0, |
sign / = 0 при / = 0, (34)
(1 при / < 0.)
На основании равенства (31) отсюда следует, что
Я, = sign/, (35)
если /?^(7>0) и д==(/< 0).
Это означает, что трехпозиционный коммутатор (рис. 23)
реализует функцию sign /, если [р] и [д] суть контакты,
замыкаемые соответственно при 1^>0 и /<0.
Поскольку, как видно из совокупности предложений (32),
изменения знака тока и напряжения на выходе трехпози-
ционного коммутатора происходят одновременно, то
равенство (35) эквивалентно равенству
KE = signE\ (36)
если р = (Е'^>0) и д = (Е'<0), где Е' — напряжение,
приложенное к обмотке трехпозиционного реле, управляющего
данным трехпозиционным реле.
Трехпозиционный коммутатор, определяемый условиями
(32), находится в нейтральном положении лишь тогда, когда
/ = 0 или (что эквивалентно) когда J5' = 0. Разумеется, это
требование может быть выполнено в реальных условиях лишь
приближенно, и с тем большим приближением, чем больше
чувствительность трехпозиционного реле, управляющего этим
коммутатором.
Условия (32), а следовательно, и равенства (35) и (36)
могут быть выполнены совершенно строго лишь при бесконечной
чувствительности реле, управляющего трехпозиционным
коммутатором. Имея дело с реальными трехпозиционными реле
и коммутаторами, мы должны считать эквивалентными нулю
те значения силы тока и напряжения, при которых данное
реальное трехпозиционное реле остается в нейтральном
положении.
337

Из равенства (35) следует, что
E2 = E1signI,
(37)
где Ех и Е2 — напряжения на входе и выходе коммутатора
рис. 23, а / — сила тока, протекающего по обмотке реле,
у которого замыкающие контакты [/^>0], [I <^0] включены
соответственно в прямые и диагональные провода этого
коммутатора.
Если полярность напряжения Ег постоянна, как это имеет
место, например, когда вход коммутатора присоединен к
источнику постоянной электродвижущей силы (рис. 24), то знак
Рис. 24.
напряжения Е2 зависит исключительно от силы тока /. Если
к выходу этого коммутатора присоединим трехпозиционные
реле, изображенные на рис. 24 квадратом ТР, то знак тока /2,
протекающего через обмотку реле ТР, будет функцией
знака тока / в обмотке трехпозиционного реле,
управляющего рассматриваемым трехпозиционным коммутатором.
Если вместо трехпозиционного реле ТР мы
присоединили бы к выходу нашего коммутатора другой коммутатор,
описываемый, например, равенством
Ez = E2signr, (37)
Рис. 25.
аналогичным равенству (37), то получили бы схему,
изображенную на рис. 25 и описываемую равенством
E3=:El- sign/, sign/', (38)
Если к выходу коммутаторной схемы рис. 25 мы
присоединим трехпозиционное реле ТР, то знак тока /3»
протекающего через обмотку этого реле, будет однозначно определяться
338

произведением знаков sign/ и sign/' токов / и /',
протекающих через обмотки реле, управляющих соответственно первым
и вторым коммутаторами, соединенными каскадно (рис. 25).
При каскадном соединении т коммутаторов, для каждого
из которых 7^}=sign/(£), получим коммутаторную схему,
для которой
KE = flsignI(i). (39)
Ранее было показано [1], что параллельное соединение
двухпозиционных коммутаторов не является вообще двух-
позиционным коммутатором. Этот результат легко обобщить
и на случай трехпозиционных коммутаторов. Можно убедиться,
что схемы, получаемые при других типах соединений
(отличных от каскадного) двух трехпозиционных коммутаторов, не
являются, вообще говоря, трехпозиционными коммутаторами.
Таким образом, единственным регулярным способом
построения трехпозиционной коммутаторной схемы из
элементарных трехпозиционных коммутаторов является их
каскадное соединение. Имеется, однако, другой общий метод
построения трехпозиционных коммутаторных схем — не из
трехпозиционных коммутаторов, а непосредственно из
двухполюсных схем, составленных из контактов трехпозиционных реле,
управляющих данной схемой. Таким способом можно построить
трехпозиционную коммутаторную схему, для которой условия
сохранения и изменения знаков напряжений на выходе
являются любой заданной функцией знаков токов, проходящих
по обмоткам трехпозиционных реле, которые управляют этой
схемой. Этот способ мы можем использовать для
моделирования операций трехзначного исчисления высказываний,
4. Основные понятия у операции
трехзначного исчисления высказываний Бочвара
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом
с системой трехзначного исчисления высказываний, которая
была развита Д. А. Бочваром [2, 3]. Основным достоинством
трехзначного исчисления, разработанного Д. А. Бочваром,
является ясная логическая интерпретация этого исчисления.
Следуя обычной терминологии, будем называть
высказывание предложением в том и только в том случае, если
оно имеет смысл, т. е. если оно истинно или ложно.
Высказывание, не истинное и не ложное, будем называть,
следуя Д. А. Бочвару, бессмысленным или
бессодержательным. Для обозначения любых переменных
высказываний будем применять те же буквы, которые мы раньше
339

применяли для обозначения предложений, т. е. буквы р, q, г
и s. Множество значений, которые могут принимать эти
переменные, состоит из следующих трех элементов: Т — «истина»,
F — «ложь» и TV — «бессмыслица».
В качестве основных операций, посредством которых можно
определить все операции исчисления высказываний Бочвара,
примем следующие две: операцию pxYq («ни р, ни </»),
определенную табл. 1, и операцию |—р («р истинно»),
определенную табл. 2. Остальные операции исчисления Бочвара
можно определить через эти две посредством следующих
равенств:
Т аб л и ца 1
~Р = прЩ — <яе —р»; (Д1)
Pnq = D-pW -Я — «Р и q»; (Д2)
PV? = i,~(~Pn~?) — «Р или q»; (ДЗ)
рЭ? = 0~(рП~?) — «если р, то q»; (Д4)
р Ddq = fl(pD Q)Cl(q D p) — «если и только
если q»; (Д5)
р /\q = ь \— р П [— q — «р истинно и q
' РЯ
FF
FT
' FN
TF
ТТ
TN
NF
NT
NN
1 рЩ\
т !
F
N
F
F
N
N
N
N
истинно»;
истинно»;
q истинно»;
(Д6)
«p истинно или q
(Д7)
- «если p истинно, то
(Д8)
— «р равносил ьно q»; (Д9)
Таблица2
o = q = D(p*-+q)r\(~P+-*-~q)—«p
эквивалентно #»; (Д10)
1 р = ^^— ~р — «р ложно»; (Д11)
р = в~\—р—«р не истинно»; (Д12)
=\р= в~1 р — «р не ложно»; (Д13)
\ р = врГ\^\р — «Р бессодержательно» (Д14)
Первоначально [2] Д. А. Бочвар в качестве основных
принял следующие операции: ~р, рП#, [—р и ур, но затем [3]
он оставил в качестве основных только первые три из этих
операций. Операцию pWq он не рассматривал вовсе, но
введение этой операции оправдано тем, что она позволяет
уменьшить число основных операций до двух.
р
\ F
т
N
hp\
F 1
Т
F
340

Таблица 3
Следуя терминологии Бочвара, операции, определяемые
равенствами (Д1—Д5), будем называть внутренними,
а операции, определяемые равенствами (Д6—Д14), —
внешними формами высказываний. Все внутренние формы
высказываний можно получить посредством итерации
операции p^q, а все внешние формы высказываний — посредством
двух операций: pWq и \— р.
Для более глубокой симметрии исчисления мы ввели здесь
еще один символ, а именно символ ^jp, определяемый
равенством (Д13), и несколько изменили определение операций
р*->{ и I р, которые Бочваром были определены
посредством равенств:
Р.*-+Я = 1>(Р-*Я)П(9"+Р) и IP = D~([-P\J~\P)-
Легко проверить, что операции, определяемые этими
равенствами, тождественны операциям, определяемым посредством
равенств (Д9) и (Д14). Операции p\Jq, pZDq, pZD(Zq, p/\q,
p\/q, P~*q, P = q> ~~\P и P определены здесь
совершенно так же, как они были определены
Бочваром.
Исчисление Бочвара не является
функционально полным, так как введенные им операции
позволяют переходить от ложных высказываний
к истинным и обратно, а также от
бессодержательных высказываний к ложным или
истинным, но не дают возможности переходить от
истинных или ложных высказываний к
бессодержательным высказываниям. Однако известно
[10], что всякая операция любой я-значной
логики может быть построена посредством
итерации одной бинарной операции, обобщающей
операцию Шеффера [11]. Для трехзначного
исчисления высказываний эту операцию, которую мы
будем обозначать здесь символом обычной
операции Шеффера, можно определить посредством ^ -
<•* о т~» 1ЭОПИЦ& ч
табл.о. Вводя сокращения:
P° = DP, Р+1=1,Р*\Р*
РЯ
FF
FT
FN
TF
ТТ
TN
NF
NT
NN
р\я'\
T
N
F
N'
: n
F
F
F
F
(* = 0, 1, 2), (Д15)
мы можем определить следующую
вспомогательную операцию —\р,
(Д16)
-\р=Лрх\р2)\(р\р2)
,2М
р
F
Т
N
-\Р
N 1
Т
F
Как следует из (Д16), значения операции —\р
удовлетворяют табл. 4.
341

Основные операции исчисления Бочвара можно определить
через операции р \ q и —\р посредством равенств:
рЩ=л-\(р \ Ч), (Д17)
*-р=»№\р*)\р*- (Д18)
5. Моделирование операций исчисления высказываний
посредством трехпозиционных коммутаторов.
Условимся называть знаком высказывания
характеристическую функцию, определяемую следующим условием:
II, если |—/?,
О, если J р, (40)
—1, если "| р.
Из этого определения следует равенство
signp = lfl-p)-l(-|p), (41)
аналогичное равенству (33).
Если мы положим
1-р = (/>0) и -1р = (/<0), (42)
то из равенств (33) и (41) получим
sign / = sign/?. (43)
Из равенств (35) и (43) следует
KE = ^grip. (44)
Это означает, что высказывание р может быть
моделировано посредством трехпозиционного коммутатора рис. 26. Когда
высказывание р истинно, будут замкнуты контакты [|—р]
в прямых проводах этого коммутатора и напряжение на его
выходе будет такое же, как и на его входе, т. е. К£=1.
В том случае, когда высказывание р ложно, будут
замкнуты контакты [~]р] в диагональных проводах коммутатора,
и знак напряжения на его выходе будет противоположен
знаку напряжения на ого входе, т. е. КЕ = —1.
В случае, когда высказывание р не истинно и не ложно,
а бессодержательно, контакты [|—р] и [~\р] будут разомкнуты
и, следовательно, выход коммутатора будет отсоединен от его
входа, в результате чего через некоторое время установится
стационарное значение КЕ = 0.
342

Строго говоря, это равенство имеет место для коммутатора
рис. 26 только в том случае, когда к выходу этого
коммутатора присоединена некоторая нагрузка с конечным
сопротивлением. Поэтому мы будем предполагать коммутатор
рис. 26 нагруженным конечным сопротивлением.
Коммутатор, моделирующий sign/?, будем называть просто
«коммутатором sign р». Коммутатор sign р является в то же
время и коммутатором signg для высказывания q,
эквивалентного высказыванию р. Это следует из очевидной
эквивалентности
(sign р = sign q) = (p = q). (45)
Как следует из (ДИ),
в силу этого из (41) следует равенство
sign (~р) = —sign р, (46)
утверждающее, что коммутатор sign(~p) можно получить из
коммутатора sign/? посредством перекрещивания проводов на
его входе или выходе.
В исчислении Д. А. Бочвара предложения являются
частным случаем высказываний. Именно: предложения суть такие
высказывания, которые не являются бессодержательными;
т. е. предложение, по Бочвару, можно определить как
высказывание, удовлетворяющее формуле ~ j р.
Действительно, по определению операции j р
- 1р = ~(рП1р),
откуда на основании определения операций р, ^jp и свойств
операций ~р, fl^U получаем эквивалентность
- \p=^\-pV~]p,
утверждающую, что отрицание бессодержательности
высказывания р равнозначно утверждению того, что оно либо истинно,
либо ложно. Высказывания, которые либо истинны, либо
ложны, мы и называем предложениями.
Для всякого предложения р имеют место следующие экви*
валентности:
в силу которых из (41) и определения характеристической
функции 1_г (р) предложения р следует равенство
signp = l_1(p). (47)
343

Это равенство имеет очевидный смысл: коммутатор sign,
моделирующий предложение р, есть двухпозиционныи коммутатор
В частности, для любого высказывания р:
sign \-р = 1-! G-P), (47.1)
3ignnp=L1(np), (47.2)
sign j р = 1-г dp), (47.3)
Схема коммутатора i__1 (р) изображена на рис. 27.
Так как все внешние (по терминологии Д. А. Бочвара)
операции исчисления высказываний суть предложения, то
для всех них мы получим аналогичные равенства. В
частности, для внешних операций, определения которых
приведены выше, справедливы следующие равенства:
sign(pAff) = *-](Mff). (47.4)
sign>V») = 1-i W?). (47-5)
sign (p-»q) = 1_х (р ^ у), (47. 6)
sign (p^q)= 1_! (р — j), (47. 7)
8ign(p = q) = l-1lp = q), (47.8)
где р и q — любые высказывания.
Таким образом,
моделирование внешних операций
исчисления высказываний
должно производиться двух-
позиционными
коммутаторами.
Моделирование предло-
ff fpj = /frpj -(nf7pj 4- 1(Щ) жений посредством дву хнози-
циоиных коммутаторов было
рис. 27. рассмотрено автором в
работе [1].
Рассмотрим теперь вопрос о моделировании любых
операций над высказываниями.
Пусть имеем любое высказывание F (р) о
высказывании р. Подставляя в (41) вместо р высказывание F (р),
получаем равенство
signF(p)=l(\-F(p))-lC\F(p)). (48)
Если функция F(p) нам задана, например, таблицей, то мы
знаем, в каких из трех случаев |—р, ~}р и | р
высказывание F(p) истинно и в каких из этих случаев юно ложно.
344

Мы можем, стало быть, заменить предложения (—F(p), ~\F(p)
в равенстве (48) соответственно эквивалентными им
предложениями F}(\— р, ~]р, I р) и F2(\—p9 "]/?, I р) и получим
таким образом равенство
BlgaF(p) = l[F1([-p, ~]р, lp)]-l[Ft(\-p, ~\р, 4 /»)]. (49)
Тем самым мы свели задачу построения трехпозиционного
коммутатора s]gn F(p) к задаче, которую нетрудно решить,
а именно — к задаче построения четырехполюсных схем,
моделирующих функции l[Fx([-p, ~\р, 1р)] и l[F2([—/?, ~]р>
1р)]-
Если, например, надо построить коммутатор sign (—\р)г
то в силу формулы (48) мы получаем равенство
sign Нр) = 1(| |р)_1(-|_|р).
Но из табл. 4 следует
1 \р = У-р, 1-\р^ \р.
Следовательно,
sign(-\p) = i(\-p)-l{lp), (50)
т. е. коммутатор sign (—\р) отличается от коммутатора sign/?
(рис. 26) лишь тем, что контакты [~]р] в диагональных
проводах коммутатора sign/? заменены контактами [ I р].
Коммутатор signF(p, q, . . .) строится аналогично
коммутатору sign F(p), но вместо формулы (49) получаем
аналогичную формулу
sign(p, q, ...)=i(Fl(\-p, iPf \P> Hff. ~W> U«. ••■)) —
-l(F2([~Pl -]p, ip, |-j, -\p, \ q, ...)). (49')
Если функция F(p, q, . . .) нам задана, например,
таблицей, то тем самым нам заданы и функции Fl и F2l т. е. нам
известно, посредством каких операций исчисления
предложений связаны друг с другом аргументы этих функций.
Поэтому мы можем, пользуясь выведенными формулами,
выразить функции i(Fx) и i(F2) через функции [[--/?], [~}р]т
Ир], 1\-д], 11 Ph Ugh ...
Если нам надо, например, построить коммутатор sign (рФд),
то пишем прежде всего равенство
sign (рЩ) = 1 (\- (pWg)) -1 П №))• (51)
На основании формул (26) вычисление единичных
функций сводится к вычислению соответствующих вырожденных
функций. Но, как следует из табл. 1,
\Ь-(рЩ)] = Г\рш-]д]9
П(р^)] = К1р-Н?)\/(Нр*1?)У(|-р-1-?)]-
345

Преобразуя правые части этих равенств по ранее
полученным формулам, получим выражения двухполюсных схем:
[-\(pVq)] = [-}p].[\-q] + [\-p].[-}q} + [t-p].[[-ql
образующих соответственно прямые и диагональные ветви
коммутатора sign(pWq), изображенного на рис. 28
Произведя здесь замену высказываний р и q их отрицаниями,
получим согласно (Д 2) равенство
sign (pf]q) = sign (~pW~q). (52)
Из определения (Д 3) и равенства (46) следует равенство
sign (p\Jq) = —sign (pWq), (53)
signfp +1) = i(ip) • t(7f) -(Hip) ■ tff9j ♦ t(tp) (Ktq) ♦ /f?fj)
Рис. 28.
утверждающее, что коммутатор sign(/?U?) можно получить
из коммутатора sign (p^q) посредством перекрещивания
проводов либо на его входе, либо на его выходе.
Заменив в sign (р (J q) высказывание р его отрицанием ~р,
получим коммутатор sign(pD^).
Из определения (Д 5) после некоторых преобразований
можно получить равенство
sign (р з С д) = 1 • ([|- р] • [ П д] + П Р] • М) ■
— ^•(1\-р]'Ш + Г\р]'11д]),
(54)
правая часть которого соответствует коммутатору рис. 29.
Используя формулы, выведенные в работах [1] и [4],
равенство (54) можно переписать в следующем виде:
sign (Ъ з сд)= 1 (\-р)• 1 (Н?)4-1 С\р)• 1Пя)-
_(1(|-р).1П«) + 1П/>)-1(Н?)).
346

Правую часть этого равенства можно, используя выведенные
в [1] и [4] правила, привести к более простому виду:
Отсюда
[iQt-p)-l(-]p)].[l(\-q)-l(-[q)].
sign (р D С q) = sign p. sign д,
(52)
т. е. операцию внутренней эквивалентности p~D(Zq
высказываний р и q можно моделировать каскадным соединением
коммутаторов sign/? и sign#, моделирующих высказывания р
и q. Полученная таким образом схема sign/?, signg проще
схемы рис. 29. В силу определения (Д 9) и равенств (55),
(47. 7) и (47. 1) имеем
sign (^?) = L1(^j)=L1(hp)-Li(h?). (56)
-O-pJ PgJ-
-frp] [ц] ■
-&p] />£/-
-[lp] //£/-
-frpj D-f]-
-&P] &#-
[7PJ [7J J
PPJ-
-[up
Siff77(p Эс;) = 1(hp) 'f(Hf) ♦ Iftp) -/(7$) -(t(tp)-ff7f) ♦ f(7p)-t(Hf))
Рис. 29.
т. е. коммутатор sign (/?<--► g) можно осуществить посредством
каскадного соединения коммутаторов 1_2(|—р) и 1_] ([— #).
Так как в силу определения (Д 10) эквивалентность p = q
высказываний р и q верна только тогда, когда эти
высказывания одновременно либо истинны, либо ложны, либо
бессодержательны и ложны во всех остальных случаях, то
справедливо следующее равенство:
siga(p = q)=l(\-p)-i(}-g) + i(l_p)-iC\g) + H\pyHlg)-
- (1 (Нр) ■ 1 (д) + 1 П Р) • 1 П Я) + ! (I Р) • * (I *))•
Вынося общие множители 1 ((— р), 1(1р) и 1 (| р) за скобки,
получим равенство
Sign (/> = ?)= 1 (HP) • 1-! (h 0) + 1 (>)• 1-1 (1 ?)+
-MU/O-l-iU?), (57)
правая часть которого описывает схему рис. 30.
347

До сих пор нам встречались каскадные соединения либо
только четырехполюсников, моделирующих посредством К в
единичные функции предложений, либо соединения двух-
иля трехпозиционных коммутаторов только друг с
другом.
Схема рис. 30 представляет собой параллельное
соединение трех каскадных соединений двухпозиционных
коммутаторов 1 х (|—д). 1_1(~|д) и 1_х( I q) с четырехполюсниками,
моделирующими единичные функции 1 (|—/?), 1(1/?) и 1(1 р).
signfp^^rfrpJt^p^ffypyt^^Opn^)
Рис. 30.
Символы [|— р]\ [~]р]' и [ | р]\ встречающиеся в схеме
рис. 30, можно рассматривать либо как обозначения
размыкающих контактов, размыкаемых, когда истинны
соответственно предложения |—д, ~]д и J д, либо как сокращенные
-fipj-
-№-
-PPJ-
-Г?р]-
9ign(p f<f) = t(ip) • f(7f) -(TCP)' 1Щ) i rttP} Щ)
Рис. 31.
обозначения параллельных соединений замыкающих
контактов, а именно — следующих схем
П?] + и?1» П—«1 + U?] и [Н ?] + П?] соответственно.
348

Использование кроме замыкающих также и размыкающих
контактов позволяет в ряде случаев уменьшить общее число
контактов. Если, например, для реализации sign (p^q)
используем, помимо замыкающих, также и размыкающие контакты,
то можем получить схему, изображенную на рис. 31. В этой
схеме число контактов на два меньше числа контактов
в схеме рис. 28.
В силу возможности получить любую операцию
исчисления высказываний посредством итерации операции р | q,
достаточно иметь в любом числе экземпляров релейно-комму-
таторную схему, реализующую p\q. Коммутатор sign (p\q)
можно построить непосредственно по табл. 3, определяющей
stgn(p i #=1(7рУ Щ)-(фр) + 'ftp)
Рис. 32.
операцию р|#. Как следует из табл. 3, имеет место равенство
sign (р|д) = 1С|р). 1Ш-(1» • 1U<7) + 1(I-P)-1U<7)4-
+ 1 ( \ Р) ■ 1 (Н?) + 1 ( \Р) • 1 (1 Я) + 1 (I Р) • 1 ( I Я)),
или после некоторого упрощения
sign (р I q) = 1 П р) ■ 1 П Я) - (* ( I Р) + ! (I Я)) •
Коммутатор sign (/?!#), схема которого описывается правой
частью этого равенства, изображена на рис. 32. Эта схема
достаточно проста, но в силу того, что выражение операций
только посредством итерации операции р | q, как правило,
бывает сложным, проще строить коммутаторные схемы,
моделирующие какие-либо операции исчисления высказываний,
непосредственно по таблицам значений этих операций.
Примечание. Изложенный здесь метод пригоден для
моделирования любых операций трехзначного исчисления высказываний,
независимо от того, как мы интерпретируем значения Т, F и N этих
высказываний. В некоторых случаях оказывается целесообразным
интерпретировать значение N как неопределенное значение истинности,
а символ \, р— как высказывание? утверждающее, что высказывание
р имеет неопределенное значение истинности. При такой интерпрета-
349

ции высказываний представляется целесообразным изменить также и
принятые нами определения «знака высказывания», а именно — в этом
случае целесообразнее определить эту характеристическую функцию
высказывания посредством следующих условий:
( 1, если р истинно,
I О
sign/> = < ,у, если р неопределенно,
{ —1, если р ложно,
О
где я- — символ неопределенного значения.
Соответственно, в этом случае следовало бы изменить и
определение функции sign/. А именно, следовало бы ввести не вполне
определенную функцию, определяемую следующими условиями:
( 1, если / > О,
. О
sign I = \ тг , если /==0,
—1, если / <0.
Моделью высказывания р при этом остался бы тот же трехпози-
ционный коммутатор, что и раньше, но неопределенности
высказывания р соответствовало бы неопределенное значение напряжения Е2 на
выходе этого коммутатора. Физически это означало бы, что мы
отказываемся от принятого нами допущения, по которому на выходе
разомкнутого трехпозиционного коммутатора стационарное значение
напряжения Е2 = 0. Это равносильно отказу от предположения, что
выход этого коммутатора нагружен некоторым конечным
сопротивлением.
Отказ от этого допущения привел бы к необходимости провести
значительные изменения в математическом аппарате, .использованном
нами. В частности, пришлось бы отказаться от формулы КЕ=1(р),
формулы (31) и ряда других. Поэтому мы все же решили сохранить
это допущение, хотя с физической точки зрения нет серьезных
возражений против отказа от него.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. И. Ш е с т а к о в. Моделирование операций исчисления
предложений посредством простейших четырехполюсных схем.
Вычислительная математика и вычислительная техника, сб. 1, М., 1953,
стр. 56—89.
2. Д. А. Бочвар. Об одном трехзначном исчислении и его
применении к анализу парадоксов классического расширенного
функционального исчисления. Мат. сб., нов. серия, т. 4 (46), вып. 2,
1938, стр. 287—308.
3. Д. А. Бочвар. К вопросу о непротиворечивости одного
трехзначного исчисления. Мат. сб., т. 12/54, 1943, стр. 353—369.
4. В. И. Ш е с т а к о в. Представление характеристических функций
предложений посредством выражений, реализуемых релейно-
контактными схемами. Изв. АН. СССР, серия матем., т. 10, 1946,
стр. 529—554.
350

5. Greniewski. Intrebuin^area logicilor trivalente in teoria meca-
nismdor automate. 1. ReaJizarea prin circuite a functulor funda-
mentale. Comun. Acad. RPR, 1956, 6, Nr. 2, pp. 225—229. %
6. Gr. G. Moisil. Intrebiunt-area logicilor trivalente in teoria mecha-
nismelor automate. II Kcua(,ia caracteristica a unui releu polarizat.
Gomun. Acad. RPR, 1956, 6, Nr. 2, pp. 231—234.
7. Gr. G. Moisil. Intrebuin|area logicilor trivalente in teoria meca-
nismelor automate III. Scheme cu contacte reale. Comun. Acad.
RPR, 1956, 6, Nr. 3, pp. 385—386.
8. Gr. G. Moisil. Simplificarea schemelor prin introducerea contac-
telor multi-pozitionale. Bui. st. al. Acad. RPR, Nr. 4; 1955, p. 843.
9. Gh. loan in. Asupra teoria algebrice a contactclor multipozi-
^ionale si aplicatiile ei la studiul contactelor reale. Bui. stiin^.
sect,, de'stiin^e mat. fiz., VII, Nr. 2, 1955, p. 229.
10. D. L. Webb. Generation of any n-valued logic by one binary
operator. Proc. NAS 21 (1935), pp. 252—255.
11. H. M. Sheffer. A set of five postulates for Boolean algebras.
Trans. Amer. Math. Soc. 14 (1913), pp. 481—488.
t

Sffb
H.E. К об рипскай, В. А. Т рахтенб рот
О ПОСТРОЕНИИ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ЛОГИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 1
Рассматривая проблемы общей теории логических сетей,
естественно было бы дать в начале точное, формальное
определение понятия логической сети. Однако такое определение
весьма громоздко, и поэтому более целесообразно сперва
ограничиться некоторыми пояснениями, достаточными для
дальнейшего изложения.
Под логической сетью мы понимаем некую математическую
схему, которая адекватным образом описывает организацию
и работу физического устройства, предназначенного для
синхронной переработки дискретной информации.
В этом смысле к логическим сетям можно отнести релейно-
контактные, электронные и многие другие схемы дискретного
действия, получившие самое широкое распространение в
различных автоматических системах.
За последние пятнадцать лет в отечественной и зарубежной
литературе появилось много работ по вопросам анализа и
синтеза систем переработки дискретной информации. В первую
очередь сюда следует отнести теорию релейно-контактных схем,
в развитии которой важную роль сыграли работы В. И. Шеста-
кова и М. А. Гаврилова. Разработка теории
релейно-контактных схем интенсивно продолжается до настоящего времени,
и решению тех или иных вопросов посвящены работы советских
ученых: А. Г. Лунца, Г. Н. Поварова, С. В. Яблонского, В. Н. Ро-
гинского, А. В. Кузнецова и других —и зарубежных ученых
К. Шеннона, А. Свободы, Г. Мойсила и других. В связи с
развитием электронной автоматики, и в частности автоматических
вычислительных машин, в последнее время появились работы,
1 Основой статьи послужил доклад авторов на Межвузовской
конференции по применению математических машин в автоматическом
управлении — в Ленинграде в июне 1956 г.
352

развивающие аналогичные методы применительно к электрон*
ным и бесконтактным электромагнитным схемам (Г. Эйкен,
Д. Хаффмен, Ф. Муррей и другие).
Целью большинства упомянутых работ является создание
эффективных методов анализа и синтеза систем дискретного
действия, базирующихся главным образом на методах алгебры
логики.
Несомненно, что применение алгебрологических методов
имеет здесь важнейшее значение в связи с представлением
информации преимущественно в двоичном коде. Необходимо
вместе с тем отметить, что в теории систем дискретной
переработки информации возникает круг вопросов, связанных
и с другими математическими методами и понятиями, в
частности с методами и понятиями теории алгорифмов, теории
информации и др.
В 1953 г. появилась работа А. Бёркса и Д. Райт [1], откуда
заимствован нами термин «логические сети». В ней авторы
предприняли попытку более общего изложения теории
дискретных систем. В этой работе кроме понятий алгебры логики
привлекаются и другие понятия, в частности понятие
эффективного оператора преобразования информации.
Работа [1] побудила нас продолжать работу над вопросами,
которые были поставлены ее авторами, и в этой нашей статье мы
хотим высказать некоторые соображения по проблемам теории
логических сетей.
Мы полагаем, что на основе уже накопившегося большого
материала можно и нужно построить общую теорию логических
сетей с четким разграничением различных аспектов этой теории
и включающей следующие разделы:
1. Эффективное преобразование информации. Здесь должен
быть рассмотрен в самой общей форме вопрос о том, какие
виды преобразования информации выполнимы реальными
физическими системами. Необходимо классифицировать эти виды
преобразования, изучить их общие свойства, не зависящие от
специального выбора системы кодирования. При этом
целесообразно указать в самых общих чертах проблемы анализа
и синтеза, а также возникающие здесь трудности и перспективы
их решения.
2. Кодирование информации и основы алгебры логики. Оба
эти раздела связаны между собою, поскольку вопрос о
кодировании информации разрешается двоичным кодом, для которого
имеется хорошо развитый аналитический аппарат алгебры
логики.
3. Логические операторы физических элементов. Здесь
подлежат рассмотрению функциональные свойства
разнообразных физических элемептов, служащих основой для созда-

ния реальных систем Переработки дискретной
информации.
4. Организация логической сети. В этом разделе
необходимо изучить геометрию логической сети, а также
взаиморасположение и взаимосвязь ее отдельных элементов.
5. Вопросы анализа и синтеза сети. В этом разделе
необходимо дать общие соображения по рациональным методам
анализа и синтеза логических сетей.
В настоящей статье мы изложим, в основном, эти вопросы,
которые пока еще но являются общеизвестными и с которыми
связаны результаты, полученные нами.
I. Эффективное преобразование информации
1. Работа синхронного устройства для переработки
дискретной информации протекает, как известно, отдельными
(дискретными) тактами; при этом в каждом такте по входным каналам
устройства поступает, а по выходным каналам выдается по
одному сигналу.
Будем полагать, что множество различных сигналов,
каждый из которых может быть подан на вход устройства, является
конечным. Это множество назовем входным алфавитом, а сами
сигналы — входными буквами. Аналогично определим
понятия выходного алфавита и выходных букв. Примем обозначения
XQ1 £17 Х2, ...» %т—1
И
Z0> ^-» Z2> • • •» Zn—1
соответственно для букв входного и выходного алфавитов.
Обычно в реальных физических устройствах каждый
канал является носителем двоичного знака, т. е. канал может
пребывать в одном из двух функционально различимых
состояний. В таком случае потребуется log2m входных
каналов и log2n выходных каналов для прохождения входного и
выходного сигнала (буквы) соответственно (рис. \а). При
синхронной работе устройства в каждый из моментов
времени £ = 0, 1, 2, ... на его вход поступает буква #(0), я(1),
х(2), . . ., x(t), . . ., а на его выходе появляется буква z(0),
z(l), z(2), . . ., z{t), ... (на рис. 16 изображены
соответствующие пропускные способности входного и выходного
каналов).
Упорядоченную последовательность из [х букв назовем
словом длины [а. Наше устройство перерабатывает всякое
входное слово в выходное слово той же длины. Поскольку
слова могут иметь произвольную длину, удобно рассматри-
354

вать переработку «бесконечных слов», т. е. бесконечных
последовательностей букв. Став на такую точку зрения, мы
рассматриваем устройство как носитель оператора Т,
преобразующего бесконечные последовательности букв x(t) в
бесконечную последовательность z{t)
z{t)=T[x{t)\. (1)
Примером такого оператора может служить оператор
поразрядного сложения в двоичной системе. Здесь каждая очередная
входная буква (входной сигнал) представлена парой цифр
соответствующего разряда слагаемых; выходная буква — цифрой
того же разряда суммы. Именно такой процесс переработки
а
1одгт Г Г
входных \ Z11ZZ
каналов 1 j;
/Г
-
1ft)
j
Рис. 1.
информации осуществляется двоичным сумматором
последовательного действия.
Можно ли физически осуществить синхронное устройства
для оператора поразрядного умножения? Такое устройство
должно последовательно перерабатывать пары цифр
одноименных разрядов сомножителей в цифру того же разряда
произведения. Ниже будет показано, что реализация этого
оператора подобным способом невозможна.
Возникает вопрос, как охарактеризовать класс операторок,
для которых возможна физическая реализация. В связи с этим
сделаем два замечания:
1. Оператор преобразования информации не может быть
предсказывающим, т. е. выходная буква в каждом такте
зависит только от одновременно и ранее поданных входных букв,
но не от букв, которые могут быть поданы в последующих
тактах (условие детерминированности оператора [1]).
2. Физическая система, реализующая оператор, может
пребывать в конечном числе функционально различимых
состояний, т. е. обладать конечной памятью.
fo/xodwb/x
кансг/юд
355

Если принять эти замечания, то мы придем к понятию
ограниченно-детерминированного оператора. Более точному
определению этого понятия мы предпошлем одно полезное
графическое изображение операторов переработки дискретной
информации. Информация, которая может быть подана на вход
устройства, изображается в виде разветвляющегося дерева
(рис. 2а), jx-ярусного, если перерабатываются слова заданной
конечной длины [х, и бесконечноярусного, если
перерабатывается бесконечная последовательность букв. Число ребер,
исходящих из каждой узловой точки дерева, равно возможному
числу букв входного алфавита. Дерево, показанное на рис. 2а,
соответствует входному алфавиту из двух букв (0, 1) и \х—4.
Принятый порядок сопоставления входных букв с ребрами
показан на рис. 26 (левое ребро сопоставляется с входной
буквой 0, правое — с буквой 1). В соответствии с таким
порядком путь на дереве, отмеченный штрихами, изображает
входное слово ОНО, а путь, отмеченный кружками, изображает
входное слово 1001. Совокупность возможных путей,
исходящих из любой узловой точки дерева, образует ветвь этого узла.
Очевидно, что ветвь любого узла можно рассматривать как
самостоятельное дерево, основанием которого служит данный
узел.
Пусть теперь ребрам этого дерева произвольным образом
приписаны буквы выходного алфавита. Тем самым каждому
входному слову, изображенному в виде пути, отвечает
выходное слово, составленное из выходных букв, приписанных
ребрам, образующим этот путь. Так, например, на рис. 3 видно,
что входному слову ОНО отвечает выходное слово аваа, а вход-
356

ному слову 1001 отвечает слово вава (а, в — буквы выходного
алфавита).
Легко усмотреть, что всякое дерево с распределенными по
его ребрам выходными буквами задает детерминированный
оператор и, наоборот, всякий детерминированный оператор может
быть задан аналогичным путем посредством некоторого дерева.
Рассмотрим, например, детерминированные операторы,
заданные посредством деревьев, изображенных на рис. 4 и 5.
На рис. 4 всем ребрам одного яруса приписана одна и та же
буква. Это означает, что соответствующий оператор
преобразует любое входное слово в одно и то же выходное слово, т. е.
выходное слово не зависит от входного. Такой оператор мы
будем называть константным. В дереве на рис. 4 имеется в видут
что выходные буквы располагаются по ярусам в следующем
порядке: 1010010001000010. . . Дерево на рис. 5 изображает
оператор двоичного счетчика, в котором подача на вход 0
не меняет его показаний, а подача на вход 1 изменяет его
показания с 0 на 1, и наоборот.
Отметим теперь, что в дереве рис. 4 существует бесчисленное
множество попарно различных ветвей, т. е. таких пар ветвей,
у которых при наложении друг на друга несомые ими входные
буквы не всюду совпадают. В дереве на рис. 5 существует пара
различных ветвей, но не существует ни одной тройки попарно
различных ветвей.
Не вдаваясь в полную формализацию понятий, которые
здесь возникают, ограничимся следующим определением.
Определение: оператор называется ограниченно-
детерминированным (о-д оператор), если он может быть задан
357

посредством дерева с конечным числом попарно-различных
ветвей 2.
Подчеркнем, что требование конечности множества попарно-
различных ветвей выражает в другой форме условие конечности
ft ft t t t t t t
Рис. 5.
памяти устройства, перерабатывающего информацию. Отсюда
следует, что всякий физически реализуемый оператор с
необходимостью является о-д оператором. В связи с этим уместно
указать, что оператор поразрядного умножения является де-
2 Здесь имеются в виду операторы, перерабатывающие бесконечные
последовательности букв.
358

терминированным, но не обладает свойствами ограниченной
детерминированности и поэтому, как указывалось выше, не
может быть реализован.
2. Весом (К) о-д оператора называется максимальное число
попарно-различных ветвей в его дереве.
О-д операторы естественным путем классифицируются по
весу. При этом простейшими являются операторы с
единичным весом (К=1). Они характеризуются тем, что выходная
буква в каждом такте зависит только от входной буквы,
поданной в том же такте, и не зависит от ранее поданных входных
букв (от предыстории процесса). Следуя математик о-логи-
ческой терминологии, будем такие операторы (с весом JT=1)
называть истинностными. Устройство, реализующее
истинностный оператор, не имеет памяти. На рис. 6 изображено дерево
истинностного оператора логического отрицания.
Теперь нетрудно установить справедливость следующего
утверждения: всякий о-д оператор любого веса является
физически реализуемым. Заметим, что физическая реализуемость
истинностных операторов не вызывает сомнений и способы
такой реализации достаточно хорошо известны (например,
посредством однотактных релейных или электронных схем).
Для доказательства этого утверждения в общем случае
К^>1, введем в рассмотрение еще один (третий) алфавит,
так называемый алфавит состояний, число букв которого
равно весу К оператора: qQ, qx, . . ., qK~^ Припишем каждой
узловой точке дерева одну из этих букв, причем так, что
двум узловым точкам приписывается одна и та же буква
и том и только в том случае, когда из них выходят две
неразличимые ветви. На рис. 7 показана расстановка букв
алфавита состояний в дереве двоичного счетчика (ср. с рис. 5).
359

Теперь каждая выходная буква, несомая ребром дерева,
однозначно определяется входной буквой, сопоставленной
этому ребру, и буквой состояний той узловой точки, из
которой ребро исходит. Эту однозначную зависимость можно
задать обычным способом в
виде функциональной
таблицы, которая для рис. 7
изображается таблицей 1.
Аналогично определяется
буква узловой точки, в
которую входитребро. Этабуква
соответствует состоянию,
которое вырабатывается в
конце рассматриваемого такта.
В нашем примере таблица
выработанных состояний
изображается таблицей 2.
Вместе с тем всякий о-д
оператор можно задать
посредством уравнений:
Входная
буква
0
0
i
\
Исходное
состояние
%
Я\
Я\
%
Т
а б л иц а 1
Выходная
буква
0
1
1
0
Таблица 2
Входная
буква
0
0
1
1
Исходное
состояние
%
Я\
Яо
Я\
Выработанное
состояние
Яо
Я\
Я\
Яо
z(t) = v[x(t), q(t — 1)]]
,(2)
q(t)=ty[x(t), q{t-i)]\
называемых каноническими, где ср и ф — функции, заданные
посредством таблиц. Отсюда видно, что о-д оператор может
быть физически реализован посредством устройства,
изображенного на рис. 8.
360

*W
Действительно, блок <р реализует истинностный оператор,
перерабатывающий в каждом такте пару букв (входную и
состояния) в одну выходную букву. Последняя зависит от
этой пары букв (как указано в табл. 1) и не зависит от
предыдущего процесса. На физическую реализуемость такого
оператора было указано выше. Аналогичное положение для
блока ф, вырабатывающего очередное состояние. Кроме того,
устройство включает элемент задержки (3) на один такт для
букв состояний. Через него осуществляется обратная связь
выхода блока ф с входами обоих блоков.
Таким образом, всякий о-д оператор действительно
физически реализуем, причем для этого достаточно располагать
элементами задержки и элементами,
осуществляющими истинностные
преобразования.
Отметим теперь без
доказательства некоторые важные свойства о-д
операторов.
Теорема 1. Если в дереве о-д
оператора одна из выходных букв не
встречается ни в одном из первых
К—1 ярусов, но встречается в
последующих, то вес оператора ^ К.
Применяя этот признак к дереву
оператора поразрядного умножения и
его отдельным ветвям, можно
установить, что его вес должен был бы быть больше любого наперед
заданного К, т. е. этот оператор не является о-д.
Теорема 2. Если о-д оператор имеет вес, равный К, то он
перерабатывает всякую периодическую последовательность
в периодическую же с периодом, увеличенным не более, чем
в К раз.
Из теоремы 2 вытекает, в частности, теорема, доказанная
в [1] и утверждающая, что если о-д оператор является
константным, то он вырабатывает периодическую последовательность.
При этом можно показать, что приведенная длина 3 этой
последовательности в точности равна весу оператора.
Отмеченные свойства периодичности характерны для о-д
операторов и имеют определенное значение при анализе работы
устройств, их реализующих. В связи с этим может возникнуть
вопрос о том, имеет ли место обратное утверждение, а именно:
если задан детерминированный оператор и известно, что он
перерабатывает периодическую последовательность в
периодическую с удлинением периода не более чем в К раз, то можно ли
Рис. 8.
3 Т. е. сумма длин периода и предпериода (переходного процесса).
361

утверждать что он является о-д оператором и можно ли дать
оценку его веса посредством этого числа К? Оказывается, что
это не так.
Для обоснования этого утверждения достаточно обратиться
к примеру. Предположим, что в дереве на рис. 4 произведены
следующие изменения: вдоль пути 101001000100001. . . ребрам
приписаны выходные буквы, одинаковые с входными, а всем
остальным ребрам приписан 0. Таким образом, этот
оператор перерабатывает указанную входную последовательность
в нее же самую. Любая другая входная последовательность
начиная с того места, где возникает отличие от указанной,
перерабатывается в последовательность нулей, т. е. в
последовательность с периодом, равным единице, которой предшествует
соответствующий переходный процесс. Нетрудно показать,
что этот детерминированный оператор не является о-д, хотя
и увеличивает приведенную длину любой периодической
входной последовательности не более чем в два раза.
До сих пор мы касались в наших рассуждениях процессов
переработки бесконечных последовательностей, изображаемых
бесконечными деревьями. Представляет большой теоретический
и практический интерес установить связь между этими
процессами и их конечными начальными частями. Важно уметь
каким-то образом судить о бесконечном дереве в целом по его
отдельным конечным кускам. Об этом говорит следующая
теорема.
Теорема 3. Если даны два оператора, вес каждого из которых
^ JT, и если они совпадают на 2К — 1 нижних ярусах дерева,
то они совпадают всюду [4].
Иначе говоря, о-д оператор веса К полностью определяется
его поведением при переработке слов длины \х=2К — 1.
Практическое значение этой теоремы сводится к тому, что
если имеется грубая оценка (К) для веса о-д оператора, то
достаточно построить дерево с 2К — 1 ярусами и проследить
поведение оператора на этом конечном участке дерева. Это
позволяет уже распределить буквы состояний по узлам и в
соответствии с этим составить функциональные таблицы и
канонические уравнения (2). Таким образом, эта теорема дает
предпосылки для достаточно эффективного решения задачи
синтеза.
Пример. Построить функциональные таблицы для.
оператора, перерабатывающего последовательность единиц в
последовательность вида 100100100. . ., а входные буквы 0 в нули.
Из рассмотрения заданного характера переработки
информации легко установить, что вес соответствующего оператора
не более 3. Строим дерево оператора из 2К— 1=5 ярусов
(рис. 9) и распределяем буквы алфавита по узлам дерева.
362

Сравнение ветвей дерева показывает, что алфавит состояний
включает три буквы: q0, qv q2. В соответствии с этим составляем
табл. 3.
Таблица 3
Входная
буква
0
0
0
1 |
1
1
Исходное
состояние
Яо
Я\
?2
Яо
Я\
Я*
Выходная
буква
0
0
0 1
1
о
0 1
Выработанное
состояние
Яо
Я\
Яч
Я\
Яъ
Яо
1а
Рис. 9.
II. Организация логической сети
Из предыдущего рассмотрения ясно, что физическая
реализация о-д операторов требует элементов двух видов:
элементов, осуществляющих задержку, и логических элементов,
осуществляющих истинностное преобразование информации.
Поскольку обычно информация, перерабатываемая
устройством, изображается двоичным кодом, целесообразно сразу же
принять, что элементы указанных двух типов приспособлены
для приема и выдачи такой информации, т. е. снабжены
двоичными каналами (способными находиться в двух состояниях,
обозначаемых 0 и 1).
Как для теоретических исследований, так и для
практической реализации удобна^ стандартизация этих элементов.
Стандартизация элементов задержки представляется весьма
363

естественной; а именно, типовым будем считать элемент
(рис. Юа), осуществляющий задержку одного двоичного знака
(единицы информации) на один такт (единицу памяти).
Задержка одной из т букв алфавита на г тактов требует
r\og2m единиц памяти (рис. 105). Здесь log2m элементов
определяет ширину канала задержки, а г — его длину.
Известно также, что любой истинностный блок может
быть составлен из простых элементов некоторого
фиксированного, конечного универсального набора. В настоящее время
в различных автоматических системах находят применение
а
Юд2т
эле мен I
тоб
г элеие?/тс8
—»г*~у-<лр-+ >»НГ~Ы~ТН-^
3ZH*-
-43Z}HZZZf-^
Рис. 10.
самые разнообразные наборы универсальных элементов. Одним
из стимулов такого разнообразия является, в частности,
стремление к моделированию логических элементов в нервных сетях
(моделирований нейронов). Однако для теоретических
исследований обычно ограничиваются универсальным набором из
двух элементов (элемент логического отрицания и элемент
конъюнкции или дизъюнкции) или единственным
универсальным элементом, реализующим функцию Шеффера (не А или
не В). В дальнейшем мы будем пользоваться этим
универсальным элементом, который физически реализуется, например,
условной схемой, показанной на рис. И.
Рассмотрим теперь принципы организации сети из
указанных двух стандартных элементов: элемента задержки и
логического элемента (звена) Шеффера [1].
Сеть образуется из конечного числа узлов, соединенных
между собою стандартными элементами. Узел называется
входным, если из него исходят лишь входные каналы
элементов сети. Узел называется выходным, если он соединяет только
выходные каналы некоторых элементов. Промежуточный узел
включает каналы обоих типов. Таким образом, входной узел
364

является источником информации, выходной узел получает
информацию, а промежуточный узел передает информацию от
какого-либо выходного канала к некоторым входным каналам.
Соединение элементов сети должно быть подчинено условиям
непротиворечивости и определенности передачи потока
информации. Для этого должна иметь место такая коммутация
элементов, при которой:
1. Каждый входной канал получает информацию только от
одного выходного канала (условие непротиворечивости). Вместе
Вгоднь/в
каналь/1
Я
'
в *
д+в
Въ/*ос?ной
канал
Рис. 11.
ог,«
<х?
*9
**;
> »
» >
i
1-
Р,
>« *
—*•*—^
i i
"*
~*
с тем выходной канал может передавать информацию
нескольким входным каналам.
2. Не допускается кольцевое соединение (замкнутая петля),
образованное только логическими элементами (условия
определенности передачи информации). Пример схемы,
включающей замкнутую петлю из логических элементов, показан на
рис. 12. Здесь узлы Р2, рз, °Ч
лежат на петле.
Можно доказать, что
всякая сеть, в которой
соблюдаются указанные свойства,
строится по нижеследующим
индуктивным правилам:
1. Каждый стандартный
элемент является ЛС,
имеющей только входные и
выходной узел.
2. Пусть Lx и L2 являются двумя логическими сетями,
не имеющими общих узлов, и пусть а,, а2, . . ., а,- и J^, (32,
. . ., (3fc обозначают соответственно их узлы. Тогда в
результате присоединения некоторых выходных или промежуточных
узлов а; из Lx к попарно различным узлам (Зв из L2 получим
также ЛС (рис. 13).
3. Если в ЛС некоторые входные узлы объединяются
в один (т. е. соответственные входные каналы получают
информацию от одного источника), то получается опять ЛС.
4. Если все каналы входного узла Д. в ЛС L являются
входами элементов задержки, то путем его присоединения
к любому выходному или промежуточному узлу той же
Рис. 12.
365

сети L образуется также ЛС, в которой f{ является
промежуточным узлом (рис. 14).
Такие сети, согласно [1], будем называть логическими
(ЛС).
Пусть йх, /г2, . . ., h>j, взятые в определенном порядке,—
входные узлы ЛС, a gx, g2, . . ., gk, взятые в определенном
порядке, — некоторые из выходных или промежуточных узлов
сети. Пусть, далее, h8(t) и gp(t) означают двоичный знак,
пребывающий в момент времени t в узле h8 и gp. Если для
каждого £ = 0, 1, 2, ... рассматривать входную букву h (t) =
В годные *"~
узлы *~
л
с:
ь.
<*<
—t-
* *4^Z
и
Рис. 13.
Рис. 14.
= «hx(t), МО, '••' МО» и выходную букву g(t) — «g^t),
£2(0» •••» йь(0»» то оператор
ЙГ(0 = Г[Й(0] (3)
реализуется логической сетью.
При этом имеют место следующие теоремы:
Теорема 4. Всякий оператор, реализуемый логической
сетью, включающей V задерживающих элементов, является
о-д оператором с весом К ^ 2 .
Теорема 5. Всякий о-д оператор с весом К может быть
реализован логической сетью, включающей V = \og2K
элементов задержки, и не может быть реализован логической
сетью с меньшим числом элементов задержки.
III. Кодирование и алгебра логики
1. Задачи анализа и синтеза логической сети естественным
образом связываются с составлением канонических уравнений
(2). В связи с двоичным представлением информации
становится возможным применение хорошо разработанного
аппарата алгебры логики, и таким образом сами уравнения или
встречающиеся в них функции задаются посредством формул
алгебры логики.
366

Разумеется, для этих же целей можно пользоваться и
другими способами кодирования информации, например
троичным, четвертичным и вообще TV-ричным кодированием, и
сообразно этому привлекать аппарат многозначной логики. Отметим
попутно, что в области многозначной логики и ее применения
для синтеза электронных схем ряд интересных результатов
получен С. В. Яблонским [5]. Однако двоичная система
кодирования (и связанный с нею аппарат алгебры логики) остается
преобладающей как в теоретических исследованиях, так и при
решении практических задач.
Выше было отмечено, что при физической реализации обычно
пользуются различными типовыми элементами. Простота и
экономичность сети, конечно, зависят от удачного выбора типовых
элементов. Однако, не предрешая вопроса о том или другом
выборе типовых элементов, естественно полагать, что при
любых обстоятельствах степень сложности полученных формул
алгебры логики в большей мере предопределяет трудоемкость
дальнейшей работы по синтезу сети и сложность
соответствующей реальной конструкции.
Можно выбирать различные критерии для оценки простоты
формул алгебры логики. Пожалуй, наиболее естественной и
универсальной является оценка полученной формулы по ее длине,
т. е. по общему числу вхождений в нее переменных и
логических знаков. Получение таких, по возможности простых
(коротких) формул алгебры логики, участвующих в описании
рассматриваемого процесса переработки информации, и
составляет задачу минимизации канонических уравнений.
Одним из основных путей решения этой задачи является
минимизация формул для заданной функции алгебры логики
посредством тождественных преобразований. При этом находят
применение различные практические приемы, развитые в
работах Г. Эйкена [3] и В. Куайна [6] (способ уравнений с
неопределенными коэффициентами и минимизирующие карты и
поверхности). Некоторые графические приемы минимизации
формул алгебры логики предложены С. В. Яблонским.
Вместе с тем важное значение имеют здесь вопросы
рационального кодирования информации. Отметим следующие два
аспекта этого вопроса:
1. Выбор кода.
Приведем простой пример, иллюстрирующий влияние
выбора кода на вид функции алгебры логики, описывающий
процесс переработки информации. Предположим, что
истинностный оператор перерабатывает восемь входных букв а, 6,
с, d, е, /, g, h в выходные буквы р и j согласно табл. 4.
В рассматриваемом случае естественно кодировать каждую
букву входного алфавита группой из трех двоичных знаков
367

Таблица 4
Вход
а
Ъ
с
d
Выход
р
Т
Т
Т
Вход
е
/
S
h
Выход
Т
Т
Т
Р
(#!, #2, я3)' а букву выходного алфавита — одним двоичным
знаком. Однако легко заметить, что отнесение кодов к этим
буквам влияет на сложность соответствующей функции
алгебры логики. Для этого достаточно сравнить приведенные
ниже табл. 5 и 6 для различных способов кодирования.
Функция алгебры логики, соответствующая табл. 5,
запишется так: р = #1£2£3-[-#1#2жз» а Для табл. 6 эта функция
принимает следующий более простой вид: fi = xix2x3-\-xix2xd =
—— Х\Х%.
Таблица 5 Таблица 6
Вход
000
ill
010
011
Выход
1
0
0
0
Вход
| 100
101
110
001
Выход
0
0
0
1
Вход
000
001
010
он
Выход
1
0
0
0
Вход
100
101
101
111
Выход
0
0
0
1
Таким образом, выбор кода позволяет получить экономию
за счет выбора одной из нескольких функций с
последующей ее минимизацией тождественными преобразованиями.
Некоторые соображения о выборе кодов для конкретного
случая кодирования десятичных цифр даны в работе [3J.
2. Учет неиспользуемых кодовых групп.
При двоичном кодировании всех Q букв данного
алфавита (входного, выходного или состояний) длина каждой
кодовой группы выражается целым числом -ц — таким, что
удовлетворяется неравенство tj — log2(?<l. Общее число
кодовых групп, которое может быть при этом образовано, равно
Р = 2\
и, следовательно, Р — Q кодовых групп остаются
неиспользованными. Это означает, что первоначальные функции,
368

сопоставляющие буквы в исходных алфавитах при переходе
к двоичному ходу, порождают функции алгебры логики,
не всюду определенные.
Между тем всякая формула алгебры логики задает
функцию, всюду определенную. Поэтому здесь возникает задача
расширения заданной, не всюду определенной функции до
такой определенной функции, для которой формула алгебры
логики была бы минимальной.
Вернемся к примеру (I, 2) и табл. 3. Табл. 3 включает
три буквы состояний qQ1 qv и д2. Для их кодирования
выберем кодовые группы по дна двоичных знака каждая
(Ум У-i)- Кодирование букв входного и выходного алфавита
примем таким, как показано в табл. 3. Теперь табл. 3
может быть представлена в следующем виде (полагаем 0О = ОО,
?1 = 01 и ?а=10):
Таблица 7
п/п.
i
2 1
3 1
4
5
6
7
8
if!
0
0
0
0
i
1
1
1
Исходные
l/i (t-i) '
0
0
1
1
0
0
i
1
состояния
v* (t-i)
0
1
0
1
0
1
0
\
Выходная
буква
z(t)
0
0
о
—
1
0
0
—
Выработанные состояния
Vi (0
0
0
1
—
0
1
0
—
v.(0
0
1
0
—
i
0
0
—
В табл. 7 строки 4 и 8 соответствуют избыточным кодовым
группам алфавита состояний (неиспользуемым состояниям).
Для этих состояний выходную букву и код выработанного
состояния можно выбирать произвольно, и при удачном выборе
их формулы алгебры логики могут получить простое
выражение.
Дополним 4-ю и 8-ю строки табл. 7 и представим ее в
полном виде (табл. 8).
По табл. 8 получаем следующие формулы для выходной
буквы и выработанных состояний:
z(t) = x(t)gl(t — l)gi(t — l),
yl(t) = X(t)yl(t—l)y2(t—l)t
y2(t) = x(t)y2(t — l)+x(l)yi(t — l)y2(t—i).
369

Таблица 8
*(0
0
0
0
0
* i
1
1
1
Wi «-!)
i
0
0
1
1
0
0
1
1
1/2 e-1)
0
J
0
1
0
1
0
1
2(0
0
0
0
0
1
0
0
0 ,
i/i (0
0
0 1
1
1
о
1
0
1
V2 (0
0
1
0
1
1
0
0
0
Вопросами учета неиспользуемых состояний (в нашей
терминологии — избыточных кодовых групп для алфавита
состояний) занимался В. Н. Рогинский [8]. Им разработаны
некоторые приемы, основанные на так называемых
преобразованиях равнозначности, которые нашли применение при
синтезе релейно-контактных схем. В наиболее общей форме
решение этой задачи было получено Ю. Журавлевым[9].
В самых общих чертах оно сводится к следующему.
Для данной функции F (хи х21 . . ., хп), не определенной
всюду, рассматриваются функция F'(хг, ж2, . . ., хп),
получаемая доопределением функции F там, где она не
определена нулями, и функция F" (xL, ж2, . . ., хя), получаемая из
F доопределением F там, где она не определена единицами.
Далее, исходя из сокращенной дизъюнктивной нормальной
формы для F' и F":
^ = 9^ + ^ + ... + ^*; f" = % + % + -.. + %
описывается процесс отбора некоторых из слагаемых SHV ty2l
. . ., <2lfc, сумма которых и дает самое экономное
доопределение функции F.
IV. Некоторые вопросы синтеза логической сети
1. При синтезе логической сети приходится обычно
принимать во внимание различные соображения. Некоторые из них
диктуются конкретными условиями проектирования и
эксплуатации устройства (например, габариты, стоимость,
внешние условия работы и т. п.). Другие носят более общий
характер, и они поддаются достаточной общей математической
трактовке. К последним относятся вопросы функциональной
надежности устройства и минимизации его логической сети.
370

Требования функциональной надежности приводят к
изысканию методов синтеза, обеспечивающих заданный уровень
вероятности правильной работы устройства при заданной
надежности элементов. Эта задача и соответствующие методы ее
решения носят статистический характер; они исследованы в работах
Дж. Неймана [10].
Требование минимизации, как уже
указывалось выше, сводится к
созданию устройства с наименьшим числом
типовых элементов.
Ясно, что различные требования,
предъявляемые при синтезе, тесно
связаны между собою, и при окончательном
выборе схемы и конструкции
устройства они должны учитываться в их
взаимосвязи. Вместе с тем в первом
приближении естественно
рассматривать различные аспекты задачи синтеза
независимо. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи
минимизации.
В соответствии с каноническими уравнениями (2) логическая
сеть может строиться из двух блоков: истинностного (И) и
задержки (3), стандартным образом соединенных посредством
канала обратной связи (рис. 15). Поэтому минимизация
af)
т ,
ttt'ti
\
и
i ■
\
\
i
3
\
№
№
Рис
15.
Вход
дь/ход
Рис. 16
логической сети должна рассматриваться комплексно
относительно обоих блоков. Представляется очевидным, что
односторонняя минимизация одного из блоков может с необходимостью
привести к нерациональному увеличению числа элементов
другого блока. Это можно проиллюстрировать следующим
простым примером.
Рассмотрим константный о-д оператор, вырабатывающий
периодическую последовательность 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.
Этот оператор может быть реализован с помощью
логической сети, содержащей 8 задерживающих элементов Зх, 32,
. . ., 38 так, как это указано на рис. 16. Если в начальный
момент в 32 подан импульс (единица), то на 8-м такте он
дойдет до выхода 38 и будет циркулировать по замкнутой
петле, вызывая единицу через каждые 8 тактов.
24*
371

m
Hi
Iff
1гьШ
С другой стороны, теорема 5 раздела 2 гарантирует
реализацию рассматриваемого оператора, имеющего вес 8,
с помощью лишь log28 = 3 задерживающих элементов. При
этом, однако, усложнится логический блок сети. Такая
логическая сеть с тремя задерживающими элементами
указана на рис. 17. Здесь L{ и L2 реализуют истинностные
операторы: Lx переводит двоичную запись любого из чисел
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 в двоичную запись числа, большего на
единицу, а двоичную запись числа 7 — в запись нуля; L2
переводит запись любого числа,
отличного от 7, в 0, а запись числа 7 — в 1.
Представляется вместе с тем
интересным выяснить возможности
минимизации каждого из блоков сети в
отдельности. Применительно к истинностному
блоку общая картина выясняется одной
из теорем К. Шеннона [И], доказанной
им для контактных цепей релейного
устройства. Она впоследствии получила
обобщение в работе О. Б. Лупапова [12].
I Шенноном введена функция L(m),
определяющая минимальное число
контактов, достаточное для реализации любой
функции алгебры логики от т
переменных, и доказано, что для любого е^>0
и для всех m^>N(s) (т. е. при достаточно больших т)
справедливо неравенство
I
й
Рис. 17.
L(m)>t-(i-e).
Разумеется, для некоторых отдельных функций т
переменных возможна значительно более экономная реализация.
В частности, существуют функции т аргументов, которые
допускают самую экономную реализацию посредством так
называемых бесповторных схем, насчитывающих в точности
т контактов. Синтезу таких бесповторных схем посвящена
работа Б. А. Трахтенброта [13].
Заслуживает, однако, внимания следующий факт,
установленный Шенноном. В классе функций т аргументов доля
тех, которые требуют для их реализации малого числа кон-
тактов, а именно <^ — (1—в), стремится к нулю при т,
стремящемся к бесконечности. В работах О. Б. Лупапова
аналогичное явление обнаружено для схем, построенных на
произвольных элементах, в частности для электронных схем.
Эти теоремы показывают, что среди всех возможных функ-
372

ций от т аргументов лишь для сравнительно немногих
возможна существенная минимизация.
Теперь уместно попытаться оценить возможность
минимизации блока задержки (памяти). Оказывается, что и здесь
имеет место аналогичное явление шенноновского типа,
сущность которого заключается в следующем. Предположим, что
нас интересует процесс переработки слов данной
фиксированной длины fx. Самый благоприятный случай с точки зрения
минимизации памяти возникает при чисто истинностном
операторе, когда ничего не нужно запоминать. Самый
неблагоприятный случай в этом смысле возникает при необходимости
запоминания всего входного слова. В этом последнем случае,
если входной алфавит включает т букв, т. е. ширина входного
канала задержки log2 /п, потребуется объем памяти, равный
u. log2 т единиц памяти. Это означает, что необходимая
удельная память на единицу входной информации равна единице.
Оказывается, что в общем случае имеет место следующая
теорема:
Теорема 6. Каково бы ни было е ^> 0, в классе всех о-д
операторов, доля тех, которые перерабатывают слова длиною и.
с удельной памятью <^ 1 — е, стремится к нулю при jx,
стремящемся к бесконечности.
Приведенные выше факты могут привести к мало
обнадеживающим выводам о возможности существенной минимизации
для подавляющего большинства мыслимых о-д операторов.
В известной мере дело обстоит так; однако при решении
практических задач приходится преимущественно иметь дело не
с любыми, случайными о-д операторами, а с небольшим классом
сравнительно простых операторов, обладающих достаточно
обозримой внутренней закономерностью (например,
периодичностью некоторых процессов или другой внутренней ;связью).
Для подобных операторов задача минимизации решается
в большинстве случаев успешно. Поэтому одной из основных
задач синтеза ЛС является выработка разнообразных методов
минимизации применительно к отдельные, практически
важным классам о-д операторов.
2. Изложенные в предыдущих разделах соображения
позволяют указать общий ход решения задачи синтеза логической
сети.
Исходным является описание процесса переработки
информации, по которому может быть построено дерево для этого
оператора или оператор может быть непосредственно задан
в виде дерева.
В первом случае, на основе некоторых общих соображений,
устанавливается грубая оценка веса К оператора, т. е. числа
возможных состояний устройства, перерабатывающего инфор-
373

мацию. Это позволяет построить конечное дерево оператора
с не более чем 2К — 1 ветвями. Практически при постройке
дерева возможно значительное сокращение его схемы, так как
структура его ветвей обнаруживается уже на первых ярусах
и их дальнейшее продолжение не требуется. Путем
тщательного рассмотрения ветвей дерева устанавливается число
попарно неразличимых ветвей и их узловым точкам
приписываются различные буквы алфавита состояний.
Схема дерева с приписанными к его узлам буквами
алфавита состояний позволяет непосредственно составить
функциональные таблицы типа табл. 1 и 2, определяющие выходную
букву и выработанное состояние в зависимости от входной
буквы и исходного состояния. Эти таблицы составляются
вначале в заданных входном и выходном алфавитах и
принятом алфавите состояний.
Далее возникает задача выбора кодов для двоичного
кодирования букв заданных алфавитов. В некоторых случаях способ
кодирования диктуется конкретными условиями работы
устройства, исключающими свободу выбора кода. В тех случаях,
когда возможен произвольный выбор кода, принимают во
внимание соображения, изложенные в разделе 3.
Далее составляются функции алгебры логики,
описывающие процесс переработки информации. Здесь принимаются
во внимание возможности получения этих функций в наиболее
простом виде за счет привлечения неиспользуемых кодовых
групп. Число функций соответствует числу двоичных знаков
в кодовых группах выходной буквы и буквы алфавита
состояний. Эти функции минимизируются посредством тождественных
преобразований и приводятся, таким образом, к возможно
более коротким формулам.
По этим формулам строится логическая сеть на заданных
типовых элементах. Здесь, в зависимости от конкретных
условий, могут быть приняты во внимание возможности уменьшения
необходимого числа истинностных элементов за счет
увеличения числа элементов задержки, целесообразность выбора тех
или иных типовых элементов из набора и другие соображения,
обеспечивающие уменьшение общего числа входных каналов
и промежуточных узлов сети.
В заключение этого раздела приведем пример,
иллюстрирующий общий путь решения задачи синтеза логической сети.
Пример. Построить схему двоичного счетчика импульсов
(счетчика четности) с управлением его выхода от
синхронизирующего импульса.
Схема должна работать так, что: 1) рабочий и управляющий
импульсы подаются в чередующемся порядке; 2)
синхронизирующий импульс, поданный после каждого насыщенного чет-
374

ного такта, вызывает выходной импульс (насыщенным мы
считаем такт, в котором был подан хотя бы один рабочий
импульс).
Рис. 18.
2(t)
Услоднов обозначение:
Рис. 19.
Указанное описание процесса переработки информации
позволяет составить дерево для соответствующего оператора
(рис. 18). Входные буквы обозначены а, Ъ и с, выходные
буквы — 0 и 1. По грубой оценке if = 4, и дерево может
375

быть построено для семи ярусов. Практически можно в
данном случае ограничиться построением неполной схемы
дерева, так как структура всех его ветвей выясняется на
первых четырех ярусах. Узлы на дереве, соединенные
пунктирными линиями, являются узлами неразличимых ветвей. По
дереву видно, что алфавит состояний включает четыре буквы
Qoi ?м ?2' ?з-
Принимаем следующие двоичные коды для входного
алфавита и алфавита состояний: а = х^%2, Ъ = ххх1, с=^ххх2\
9о = У\У2> Qi = lJi7J2, Я-1 = У\У* Яз = У\У* и строим
функциональную таблицу (хх— синхронизирующий импульс, х% — рабочий
импульс).
Таблица 9
*i<0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
*,(/)
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
Vi(*-1>
0
0
0
г °
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1Л</-1>
0
0
0
0
1 :
1
1
1
0
0 1
0
1
1
1
1
2(0
0
0
0
°
0
1
—
1 1
1
1
1
! 1
0
0
i/i (0
0
0
0
—
' 0
0
1
—
1 °
0
у*(0
0
1
0
—
1
1
0
—
0
1
0
1
1
0
0
Подчеркнутые строчки в табл. 9 соответствуют
неиспользуемым кодовым группам. Привлекая некоторые из этих кодовых
групп, получим после минимизации следующие формулы алгебры
логики, описывающие процесс переработки информации:
z(t) = xl(l)x2(l)yl(t-l)-\-xl(l)x2(t)y2(t-l)-\-
+ xl(l)gl(t — l)yi(t — l) + x1(t)y1(t — l)yi{t-l),
yi(0 = *(0,
У г (0 = *1 (0 *2 (0 2/2 (* — 1) + *i (0 *2 (0 &(< — !) +
+ *, (0 2/1 (* - 1).V2 (« — !) + «1 (0 2/! («- 1) 2/2 С - 1).
376

где z(t) — выходной сигнал, yx(t) и у2 (t) — выработаптше
состояния. Схема логической сети, построенная в соответствии
с этими формулами, показана на рис. 19.
Если несколько изменить кодовые группы для букв
алфавита состояния и синтез схемы проводить применительно
к использованию триггериых схем, то нетрудно получить
схему, осуществляющую заданный процесс переработки
информации, представленную на рис. 20 и приведенную в работе 13].
Эта схема в ее практической реализации не удовлетворяет
требованию 2 образования логической сети (раздел 2), как так
*,ГО
Рис. 20.
логические элементы Шеффера (ZZ7) образуют логическое кольцо
без элементов задержки. Правильная работа схемы,
обеспечивающая определенность передачи информации, здесь
достигается за счет физических свойств триггериых схем,
обладающих внутренней задержкой. Более подробный анализ
подобных схем выходит за рамки настоящей статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1 A. W. Bur ks, J. В. Wr ight. Theory of Logical Nets. Proc. IRE,
V. 41, No 10, 1953, pp. 1357—1365.
2 M А Гаврил OB. Теория релейно-контактных схем. Изд-во АН
СССР, М., 1950.
3. Синтез электронных вычислительных и управляющих схем. Пер.
под ред. В. И. ПЪстакова. ИЛ, 1954.
4 Б А Трахтенброт. Об операторах, реализуемых в логических
сетях. ДАН СССР, т. 112, № 6, 1957.
5. С. В. Яблонский. Функциональное построение в fc-значнои
логике. Тр. Мат. 11н-та им. Стеклова, т. 51, 1957.
6. W. Quine. The Problem of Simplifying Truth Functions, The
American Mathem. Monthly, 1952, v. 58, No 8.
377

7. С. В. Яблонский. О суперпозициях функций алгебры логики.
Мат. сб., т. 30, вып. 2, 1952, стр. 329.
8. В. Н. Рогинский и А. Д. Харкевич. Релейные схемы
в телефонии. Связьиздат, 1955.
9. Ю. Журавлев. Об отделимости подмножеств /i-мерного
единичного куба. ДАН СССР, т. 113, № 2, 1957. Тр. Мат. ин-та
им. В. А. Стеклова, т. 51.
10. Цзянь Сюэ-сянь. Техническая кибернетика. ИЛ, 1956.
11. К. Шеннон. The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits.
-< Bell System Techn. Journ., 1949, N 1.
12. О. Б. Л у п а н о в. О возможностях синтеза схем из разнообразных
элементов. ДАН СССР, т. 103, № 4, 1955.
13. Б. А. Трахтенброт. Синтез бесповторных схем. ДАН СССР,
т. 103, № 6, 1955.
==2}^=_=

Г.Н.П о в аров
МАТЕМАТИКО-ЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИНТЕЗА
КОНТАКТНЫХ СХЕМ С ОДНИМ ВХОДОМ
И к ВЫХОДАМИ1
Введение
Каждый опытный инженер-проектировщик знает, что
синтез контактных схем представляет собой своеобразное
увлекательное искусство, требующее особых
логико-комбинаторных навыков и способностей 2. Однако еще в XIX в. была
установлена возможность систематического, регулярного
решения схемных задач (М. Бода и др.). Применение булевой алгебры,
предсказанное П. Эренфестом, открыло новые горизонты
для научной разработки методов схемного синтеза. Благодаря
работам К. Э. Шеннона, В. И. Шестакова, М. А. Гаврилова и
других исследователей из многих стран синтез контактных
схем постепенно превращается в науку, основанную на
точном расчете [2].
В этой статье излагается разработанная автором
систематическая теория синтеза контактных схем с одним входом и к
выходами. Она основана на математической логике.
Аналогичная теория построена К. Э. Шенноном [5] для контактных
двухполюсников. Д. Ю. Маллер 16] недавно получил сходные
результаты для комбинаторных электронных схем.
Исходные положения излагаемой теории автор нашел
в 1954 г. [7] и затем опубликовал и развил их в ряде статей
1 Доклад на Международном симпозиуме по теории переключений,
происходившем 2—5 апреля 1957 г. в Вычислительной лаборатории
Гарвардского университета (Кембридж, Массачусетс, США). Печатается
с небольшими изменениями. В частности, сделаны ссылки на другие
статьи настоящего сборника. Доклад предполагает знакомство
читателя с элементами теории релейно-контактных схем (см., например,
[3, 4]).
2 «Составление схем для электрических аппаратов представляет
собой работу, которая настолько же возбуждает ум, как решение
загадок определенного вида»[1].
379

[8—19]. Здесь дается сводная картина полученных
результатов. Синтез контактных схем рассматривается с чисто
логической (структурной) точки зрения. Однако реальная природа
контактных схем настолько близка к их логической
структуре, что результаты логического синтеза имеют
непосредственный электротехнический смысл.
Целью теории является изучение контактных схем с
минимальным числом контактов. При этом замыкающий или
размыкающий контакт считается за один контакт,
переключающий — за два.
Общие замечания о контактных многополюсниках
Контактный многополюсник называется ориентир о*
ванным, если его полюсы однозначно разделены на
входы и выходы. Ориентированный многополюсник с р
входами и q выходами называется многополюсником
порядка (р, д), или (/?, q)-n о л юс н и к о м. Операция
переименования входов в выходы и выходов во входы называется
транспонированием ориентированного многополюсника.
Входы и выходы будут отдельно друг от друга нумероваться
натуральными числами 1, 2, ....
Контактный (р, д)-полюсник называется
разделительны м (в направлении от входов к выходам), если
структурные проводимости htj между его выходами i и /, где £, /=1,
2, . . ., q и £=т^=/, равны нулю при любых состояниях
приемных элементов3.
Теорема 1. Пусть М является разделительным (р, q)-
полюсником с проводимостью Д-J) между входом i и выходом /,
и пусть TV является любым (г, $)-полюсником с
проводимостью Др между входом i и выходом /. Пусть каждый
выход к схемы М соединен с одним и только одним входом
х(А:) схемы N (рис. 1). Тогда проводимость fu- между входом
i и выходом / результирующего (р, $)-долюсника есть
я
Jlj = £ Чк 'x{k)j '
где i = l, 2, ...,/? и /=1, 2, . . ., s.
В самом деле, правая часть равенства описывает пути из
i в /, пересекающие линию раздела между М и N один раз,
а других путей не может быть ввиду разделителыюсти М.
3 Структурной называется проводимость, измеряемая нулем и
единицей. Равенство нулю означает разомкнутую цепь, равенство
единице — замкнутую цепь. Приемными элементами называются реле
и переключатели, контакты которых находятся в данной схеме.
380

Упомянутый (/?, $)-полюсник можно назвать каскадным
соединением, или каскадом, многополюсников М и N.
Эта теорема представляет собой развитие общих
закономерностей многополюсного последовательного соединения,
установленных М. А. Гавриловым [3J. Аналогичные теоремы
принадлежат К. Э. Шеннону [5] и М. Л. Цетлииу[20].
К. Э. Шеннон рассматривал соединение (1, тг)-долюсника
/
Рис. 1.
с (п. 1)-полюсником. М. Л. Цетлин сформулировал общую
теорему об умножении матриц проводимостей, но без указа*
ния достаточных условий ее применимости4.
Теорема 1 объясняет ошибку А. Шваба [23]. Схема рис. 2
реализует функцию
а не функцию а&Д -\- abf2 -j- аб/3 + абД, как думал А. Шваб,
<:
^
h
h
Рис. 2.
Назовем последовательность к булевых функций п
переменных (к, я)-рядом. Члены (к, я)-ряда (3 назовем (3-функ-
циями. Условиями проводимости многополюсника
называются условия, определяющие для нужных пар полю-
4 Многополюсное последовательное соединение исследовалось также
В. И. Шестаковым[21] и Р. Риги [22].
381

сов, при каких комбинациях срабатываний и
несрабатываний приемных элементов многополюсник образует замкнутый
путь между полюсами. Будем считать, что условия
проводимости контактного (1, /с)-полюсника с п приемными
элементами Х19 Х2, . . ., Хп изображаются (к, д)-рядом
причем переменная #, изображает состояние приемного
элемента Х4, а функция /{ изображает структурную
проводимость между входом и i-м выходом. Действительно, используя
соответствие между словами «или», «и», «нет» и операциями
булевой алгебры: сложением, умножением и инверсией
(отрицанием),—можно записать любые словесные условия
проводимости (1, /с)-полюсника в виде формул, составленных
из букв xv х2, . . ., хп с помощью этих трех операций, т. о.
в виде булевых функций переменных х{1 х21 . . ., хп (см. [3, 4]).
Переменная х{ принимает значение 1, когда элемент Х{
сработал (включен), и значение 0, когда Х{ спокоен (выключен).
Базис (к, я)-ряда есть его максимальная
подпоследовательность, все члены которой попарно различны и не суть
О и 1. (к, тг)-ряд, совпадающий со своим базисом, назовем
5ь-рядом, или базисной последовательностью
к функций п переменных5. Число (к, п)-рядов равно 2к2<п.
Число 5Лм-рядов равно числу размещений АкгП , причем
к^22П— 2. Задача схемной реализации (/с, /г)-ряда сводится
к задаче реализации его базиса. Действительно, каждое
множество совпадающих функций можно реализовать одной и
той же контактной цепью, совместив соответствующие
выходы, а функции 0 и 1 не требуют контактов. Поэтому мы
будем исследовать лишь Вкп-ряцы. Далее, пусть L(k, п)
есть такое целое число, что любой (к, л?)-ряд реализуется
с L(k, п) контактами и хотя бы один (к, /г)-ряд не
реализуется менее чем с L(k, п) контактами. Сложность (/с, п)-
ряда есть отношение наименьшего числа контактов, с
которым реализуется ряд, к числу L(/c, п).
Сложность контактных (1, /£)-ПОЛЮСНИКОВ
Мы рассматриваем синтез контактных (1, /с)-полюсников
и получаемых из них транспонированием (/с, 1)-полюсников.
5 Термины «(/с, и)-ряд» и «2?£Я-ряд» употребляются нами в качестве
условных сокращений длинных выражений «последовательность к
булевых функций п переменных» и «базисная последовательность к
булевых функций п переменных».
382

С их помощью можно построить любые вычислительные и
управляющие схемы комбинаторного типа («однотактные»).
Применим теорему 1, взяв А: попарно изолированных
контактных деревьев в качестве М и универсальный
многополюсник в качестве N.
Контактное дерево п переменных (см. рис. 3) реализует
конституенты единицы6 и содержит 2W+1 — 2 контактов. Мы
будем считать дерево
(1, 2*)-полюсником.
Дерево, а следовательно, и
группа попарно
изолированных деревьев суть
разделительные
многополюсники.
Универсальным
многополюсником п
переменных называется
(22й, 1)-полюсник,
реализующий между
единственным выходом и 2 2п
входами все 2"п булевых
функций этих переменных. Универсальный
п переменных можно построить с
2.22* — 2 2 22' + 2лг — 4
'— х.
Р и с. 3.
многополюсник
Рис. 4.
контактами. При малых п эта оценка дает несколько
большую точность, чем верхняя граница 2 • 22*, данная в [5].
Теорема 2. Любой (к, я,)-ряд А (Жр хъ . . ., хп),
6 Конституентом единицы по хъ х2, . . ., хп называется произведе"
ние вида х\х% . . . хп, где Х{ есть либо a?t-, либо Xi (см. [3, 4]). Число
конституентов единицы по п переменным равно 2я.
383

f2(xu x2, ..., xn), . .., fk(xu x2, . . ., xn) реализуется при
любом m, O^m^n, соединением группы к контактных
деревьев п—т переменных хг, х2У . . ., хп_т и универсального
многополюсника т переменных х„_т+], . . ., хп (рис. 4).
В самом деле, разложил! функции ряда на констптуенты
единицы по я,, х2, . . ., хп_т. Тогда коэффициенты
разложения суть функции остальных переменных хп_т+], . . ., хп.
Деревья реализуют констптуенты единицы, универсальный
многополюсник — все возможные коэффициенты при них. Так
как группа к деревьев есть разделительный многополюсник,
то применима теорема 1. Если соединить выходы деревьев
со входами универсального многополюсника согласно
разложениям функций /,, /2, . . ., Д, то результирующий каскад
будет обладать проводимостями /и /2, . . ., Д. между своим
единственным выходом и к входами, что и требовалось
доказать.
Теорема 2 позволяет построить (/с, 1)-полюсник с любыми
проводимостями /и /2, . . ., /fr, а тем самым и любой (1, &)-по-
люснпк. Этот метод синтеза можно назвать методом
универсальных многополюсников.
Схема, полученная по теореме 2, содержит не более
т—1
<?(m)=k(2n-m+1 — 2) + 2.22W— 2 2 22* + 2/тг —4
*=о
контактов, будучи при заданных кип функцией т.
Знак разности
Дер = ср (т -\- 1) — ср (т)
совпадает со знаком монотонно возрастающей функции
W (т) = — к2п + 2W+1 (22W+1 — 2 . 22W + 1).
Поэтому у{т) имеет на сегменте |0, п] не более двух
целочисленных точек минимума, причем в случае двух точек они
являются соседними7.
Наименьшее неотрицательное целое число М, для кото*
рого
к2п<2Ж+1 (22*+1 — 2 . 22¥+ <)>
есть наибольшая точка минимума для у{т).
Пусть MY— наименьшее неотрицательное целое число,
для которого
pog8ft] + n<il/1 + l + 2jr'+1,
7 Символ [а, (3] обозначает множество таких чисел у, что а < у < |3;
символ (а, (•;] обозначает множество таких чисел у, что а < ?/< |3;
символ [а, (з) обозначает множество таких чисел у, что а < у < (3. В
частности, [0, п\ есть множество чисел (целых или действительных) от О
до п.
384

где [log2A] — характеристика (целая часть) log2k. Тогда
М1<М<М1 + 1.
Если к есть 1 или степень двух и Мх>0, то М1 = М. Это
достаточно очевидно8.
Нетрудно видеть, что при \og2k-\-n^l
<?(M])<f(\og2k + n)-2k,
где / (р) = 2р~Жг*"1-}-2 . 2?м\ а Мх определяется из неравенств
М у + 2*1 < р < М х + 1 + 2^1+1.
Отсюда вытекает
Теорема 3. При \og2k-\-n^l
каково бы ни было s > О, существует такое nQ1 что при
Для оценки числа L(k, п) снизу мы будем пользоваться
следующей теоретической моделью контактных схем.
Мы будем считать, что схемы состоят из ветвей,
полюсов и узлов. Ветвями служат контакты; каждая ветвь
присоединена к двум узлам, каждый полюс — к одному узлу
(см., например, рис. 7). Два (/?, д)-полюсника скелетно
равно си л ьны (скелетно эквивалентны), если их можно
перевести друг в друга взаимно однозначным
переименованием ветвей и узлов (нумерация полюсов не изменяется) так,
чтобы соседние ветви перешли в соседние ветви, соседние
полюсы — в соседние полюсы, соседние ветви и полюсы —
в соседние ветви и полюсы. При этом слова «соседние ветви
и полюсы» обозначают ветви, соседние с полюсами, и полюсы,
соседние с ветвями. Под скелетом (конфигурацией) (/?, q)-
полюсника мы понимаем те свойства этого (р, д)-полюсника,
8 Статья [5| содержит ошибку: Шеннон принимает за М
наименьшее целое число, для которого (рассматривается лишь к — \)
п < Л/ + 1 + 2ж+1.
В связи с этим для некоторых п им указаны ошибочные М. Далее,
оценка <? (М) представляет собой при к = 1 уточнение оценки / (М)
в [5]. Оценка 2й-"1— 18, приводимая в [5], либо совпадает с <р(М),
либо больше ее. В силу этого т = 2 является точкой минимума
границы контактов только для 6 < п < 10, а не для 6 < п < 13, как
указано в [5].
385

которые у него общи со всеми скелетно равносильными ему
(/?, д)-полюсниками 9. Полюс, присоединенный к узлу, к
которому не присоединена ни одна ветвь, называется пустым,
а схема без коинцидентных и пустых полюсов называется
примитивной. Схема связна, если любые два ее узла
соединяет хотя бы один путь.
Лемма 1. Число скелетов связных примитивных (1, к)-
полюсников, содержащих не более Q ветвей, меньше, чем
(4<?)«.
Распределяя по этим скелетам связных примитивных
(1, &)-полюсников контакты п приемных элементов всеми
возможными способами и учитывая, что при к^Т22П~ , где
Т — любое целое число, Б^-ряды составляют существенную
долю (к, я)-рядов10, можно доказать следующую теорему.
Теорема 4. Для любых действительных чисел е, S£(0, 1]
и любого целого Т ^ 1 найдется такое я0, что при п > п0 и
к ^ 722W~~ число ВАп-рядов, требующих для своей реализации
не более
(1-е)
\og2k + n
контактов, не превышает
ОЛ22Я—2
В статье [12] изложены теоремы с несколько сложной
логикой, из которых вытекают две следующие теоремы.
Теорема 5. Для любого действительного е £ (0, 1]
найдется такое п0, что если п^>п0 и к^ Р = п [2п22П~~ -\~
+ 2п{2п — 2)2*ш2П~\ но /с<22Я — 2, то любой #*я-ряд тре-
3
бует не менее (1 — г) у к контактов.
Следствие. Для любого действительного е£(0, 1]
найдется такое п0, что если п^>п0 и к^ Р, то любой 5&п-ряд
требует не менее
I1 }log2k + n
контактов^
9 В математической логике такие определения называют
определениями через абстракцию.
ю Т. е. при этих условиях
22Я—2
386

Теорема 6. Начиная с некоторого гг0, при к<^Р хотя бы
один 2?£Я-ряд требует не менее -^к контактов.
Следствие 1. Начиная с некоторого /г0, если
А6[2%-2", Р],
то
к2п
L(k, /г)>; т——.
Следствие2. Начиная с некоторого п0, если
/се [2*п-\ 22/з'2М),
то
L(/c, /г) _> 1 г—]—•
Заметим еще, что любой 2?Ля-ряд требует не менее к
контактов. Действительно, в противном случае одна из функций
ряда была бы нулем.
Объединение верхних и нижних оценок, приведенных
выше, дает следующие теоремы [10]11.
Теорема 7. Для любых действительных ех, е2, 8£ (0, 1]
и любого целого Т^ 1 найдется такое п0, что при п^>п0 и
к < Т22П~г
и лишь не более ^Ак2,п__2 из Б^-рядов имеют
сложность <(1 — е2) — .
Теорема 8* Начиная с некоторого п0, при /с ^ [22П , Р]
3 1
всегда ~ fe <[ L (/с, га)<С 4к и сложность любого БЛя-ряда ^ — •
Теорема 9. Для любых действительных е1э е2, 5 ^ (О, 1J
найдется такое п0, что если п^>п0 и fc£[/\ 22Я — 2], то
(l-8l)|-ft<L(*, n)<(i+e2)2k
и сложность любого Б^-ряда ^ (1 — в2) -г-. При к — 21" — 2
сложность любого 2?ь*ряда есть 1.
11 Эти результаты подробно обсуждаются в докладе автора на
Всесоюзном совещании по телемеханизации в народном хозяйстве
(1954 г.) [19]. Подробные доказательства содержатся в [7].
387

Метод каскадов
На теореме 1 основан метод синтеза контактных (1, к)- и
(к, 1)-полюсников, который можно назвать методом
каскадов.
Пусть дан 5^-ряд р и ^-функции зависят от хи х2, . . ., хп.
Положим р = р(°), и если 0<^i<C.n, то пусть fW есть
последовательность коэффициентов разложения (^_1)-функций по xt
на конституенты единицы, а последовательность (3<» образуется
из *(& выбрасыванием каждой функции, встречающейся
второй раз. Тогда З**"1) состоит из функции 0, 1, хп1 хп — всех
или части.
Пусть схема ©W реализует (3(*), а схема {в(1)} получается
из &) присоединением контактов приемного элемента Х%
согласно формулам разложения (3(1_1)-функций на 7(*}-фУнкЦии
(рис. 5). В силу теоремы 1 схема {6(*}} реализует^*-1). Если
6И)—5Н), где ^С""1) есть подходящая часть
универсального многополюсника переменной хп1 и ф'"1) = {§(*)}, то ^°)
реализует р(°) = р. Число контактов в ^°\ вообще говоря,
зависит ,от порядка, в каком функции разлагались но
переменным.
Практически можно применять весьма простую процедуру,
построив таблицу разложений (3-функций и переведя ее затем
на графический язык [15]. Примером таблицы разложения
может служить табл. 1; где к = п = 3. Но этому примеру
легко представить себе общий случай.
Таблица 1
(1) = *i(4) + *i(5)
(2) = «^6)+*, (7)
(3) = *1(8)+*1(9)
(4) = «g + *2(10)
(5) = *2(10)
(6) = *2(«)
(8) = яг2(Ю)+*8(11)
(9) = *2(Н)+х2(10)
(1) = ж1ж2 + ж1ж3 + лг2ж3 I
\^/ "~~ ^1*^*2 ~Т~ 13 ~т~ 2 3
\о) == Х]Хс>Хъ —j— Х-^Х^Хо -~\—
+ Х^Х^Х^ -f- Х\Х2Х3 1
(4) = х2 + хъ, (5) = я?2а?3|
(Q) = x2xz, (7) = *2 + *з
(8) = х2хг -f *2*3
(9)=х2^3 + ^з J
(10) = я?3. (И)-% 1
Упрощенно функцию /,. мы обозначаем символом (i).
Таблица разложения содержит п строк. В правую часть 1-й
388

(сверху) строки вписываются (3-функции (1), (2), . . ., (к).
Например, табл. 1 содержит в правой части 1-й строки
функции:
(1) = xvx2 -J- Х]Х% -\- х2х%;
(Z; = ХХХ2 -р Х]Х^ -\~ Х2Х$,
( О J X iJbnJLrn X-lX^Xo I X 1 Jjiybn чЛи/Л JLnJsn.
Чтобы получить 2-ю строку таблицы, надо разложить
каждую из функций (1), (2), . . ., (к) по переменной хх
согласно известной формуле булевой алгебры
/(*,, х2, . . ., xn) = xj(l, х,, . . ., xn)-\-x,f(0, х2, . . .. хп)
о—•— xL
Рис. 5.
и составить список коэффициентов разложения /(1, х2, . . ., хп)
и /(О, х21 . . ., хп). Всего мы получим 2к коэффициентов
разложения. Они являются функциями п—1 переменных.
Некоторые из этих коэффициентов могут оказаться равными нулю
или единице, некоторые могут оказаться равными друг другу.
Вычеркнем из списка все нули, все единицы и все функции,
встречающиеся второй раз. Оставшиеся функции
перенумеруем числами fc-f-1, к-\-2 п т. д. и впишем в правую часть
2-й строки таблицы разложения, обозначая функцию № /
символом (/). В нашем примере список коэффициентов
разложения функций (1), (2), (3) по х] будет содержать 6
коэффициентов:
*^2 ~Т *^3' ^2*^3' *^2^3> **-2~1"Х3' Х2^3 I ^2*^3» ^2^3 I *^2^3*
Все они не равны нулю и единице и отличны друг от
друга. Вычеркивать здесь нечего, поэтому все они вписаны
в правую часть 2-й строки табл. 1. В левой части 2-й строки
мы записываем равенства, выражающие функции 1-й строки
через функции 2-й строки.
389*

При сравнении друг с другом, а также в целях более
простой записи коэффициенты могут подвергаться
алгебраическим преобразованиям. Например, подстановка единицы
вместо хх в функцию (1) = хгх2-\-ххх3-\-х2х3 непосредственно
дает коэффициент х2 -\-хг-\-х2х3. Согласно правилам булевой
алгебры
Х2 + Х3 + Х2Х3 ==%2\ Х3'
Третья строка получается из 2-й так же, как 2-я из 1-й,
только функции 2-й строки разлагаются не по хъ а по х2 и
нумерацию невычеркнутых коэффициентов начинаем не с к + 1,
а с /с'+1, где к' — номер последней функции 2-й строки.
В нашем примере мы получим 12 коэффициентов разложения:
1, #31 *^3» ^» ^> *^3» ^3» *» *^3» *^3» *^3> ^3'
На этот раз в списке коэффициентов разложения есть и
нули, и единицы, и повторяющиеся члены. После
вычеркивания получим функции (10) = х3 и (11) =^з» которые запишем
в правую часть 3-й строки. В левой части 3-й строки
записываем равенства, выражающие функции 2-й строки через
функции 3-й строки. Читатель должен обратить внимание на
то, как влияют на эти равенства вычеркнутые ранее единицы
и нули. Влияние единицы видно в равенстве для функции (4),
влияние нулей — в равенствах для функций (5) и (6).
При я = 3 третья строка является последней, а при я>3
надо еще построить 4-ю, 5-ю, . . ., п-ю строки. Четвертую
строку получаем из 3-й, 5-ю из 4-й, . . ., п-ю из (п— 1)-й
строки так же, как 2-ю из 1-й или 3-ю из 2-й, только при
построении £-й строки функции предыдущей (i — 1)-й строки
разлагаем по xi_l и нумерацию невычеркнутых
коэффициентов разложения начинаем с &(*_2)+1, где №~2) — номер
последней функции в (i—1)-й строке.
Легко видеть, что £-я строка таблицы разложения
содержит функции п — i + l переменных xit xi+l1 . . ., хп, а п-я
строка — функции одной переменной хп. Так как существуют
только две функции одной переменной, отличные от 0 и 1,
а именно — функции хп и %п, то п-я. строка таблицы
содержит всего один или два члена. Именно такова 3-я строка
табл. 1.
После построения таблицы разложения остается перевести
на графический язык ее левую часть. Последовательности
функций в строках таблицы заменяются параллельными
рядами узлов схемы. Эти ряды можно, например, вычерчивать
по вертикалям. Нумерация функций переносится на узлы,
и формулы в левой части таблицы заменяются соединениями
узлов через контакты приемных элементов. Как обычно, х4 за-
390

меняется замыкающим контактом элемента Х4, a х4—
размыкающим контактом элемента Х4. Контакты хп1 хп [если мы
строим (1, /с)-полюсник] присоединяются ко входному узлу.
С ним же соединяются контакты, изображающие переменные,
у которых коэффициенты разложения равны единице.
Например, в случае равенства (4) = х2 -\-х2(10) из табл. 1 контакт х2
присоединяется ко входу. Узлы 1, 2, . . ., к являются
выходами. Например, таблице 1 отвечает схема на рис. 6. Это —
разрядная «ячейка однотактного двоичного сумматора.
Как другой пример построим схему сравнения двоичных
чисел. Пусть реле Ап, Ап_х, . . ., Ах изображают двоичное
число р = апап_г. . . аг, реле Вп1 Вп_г, . . ., Вх — двоичное число
о = ЬпЬп^г. . . й1# Реле С должно сработать при р<Са, реле D —
при р^>с. Пусть /(ая, . . ., ах, Ьп, . . ., Ьх) — условия работы
для С. Тогда f(bn, .. ., Ь19 ап, . . ., аг) — условия работы для D.
Разложение дает:
/(а/, ..., ах, bj, ..., Ь1)=ауЬу4-(^А +
+ flA)/(e/-i» •••> ап bJ-i, •••, Ьх), /(а1? bl) = alb1.
По методу каскадов получим схему на рис. 6 (где я = 5)12.
Заметим, что метод синтеза Д. Зехеба и У. П. Кейвуда [24],
разработанный независимо от метода каскадов, по существу
повторяет его, но сформулирован только для двухполюсников.
Другие примеры см. в [15].
391

~1
г-
t—t
\—L
f
11_
£
\
в,
Метод каскадов применим при любых условиях
проводимости (1, А)-или (к, 1)-полюсников и в этом смысле
универсален13. Характерная особенность метода каскадов —
возможность строить мостиковые схемы сразу, без предварительного
построения параллельно-последовательных двухполюсников.
Эту особенность разделяет с ним комбинаторный метод
Ф. Свободы [26—27].
Метод универсальных
многополюсников позволяет
оценить сложность схем,
получаемых по методу каскадов.
Однако при практическом синтезе
вместо метода универсальных
многополюсников следует
пользоваться методом каскадов.
Метод каскадов
представляет собой однозначный
закономерный процесс и позволяет
строить сложные схемы без
больших затрат времени. По
сравнению с другими методами,
метод каскадов часто, хотя и не
всегда, дает меньшее число
контактов. Однако другие методы
построения схем, особенно
мостик овых, либо лишены
универсальности, либо требуют
большего числа схемных
преобразований. Часто метод
каскадов дает схему, которая
служит исходным материалом
для дальнейшего упрощения по другим методам. Поэтому метод
каскадов может быть рекомендован для практического
употребления (наряду и совместно с другими методами).
Г"
ь
-4'
i—t
fc.
'f
Рис. 7.
Схемы упорядоченного типа
Итак, при &^22Я~ почти все (в теоретико-числовом
смысле) 5^-ряды требуют числа контактов порядка L(/c, ri).
Метод каскадов в основном решает задачу синтеза с
минимумом контактов для этих 5ь-рядов высокой сложности,
а также для Д^-рядов при A>22W_1* Говоря «в основном»,
мы имеем в виду, что любой другой возможный метод уже
13 Метод каскадов применим и к электронным схемам [25].
392

не снизит порядка числа контактов (без помощи вентилей,
сопротивлений и прочих дополнительных элементов).
Высокая сложность основной массы i^-рядов связана
с хаотическим подбором их членов. Условия проводимости
практических схем закономерны и обычно входят в классы
i^-рядов исчезающей малой сложности. По примеру
М. А. Гаврилова [28], мы назовем такие схемы схемами
упорядоче в^н ого типа.
Изучение схем упорядоченного типа, как об этом подробно
сказано в [8, 19], тесно связано с изучением систематики~и
свойств булевых функций.
Автором исследовались «
классы симметрических,
функционально разделимых
и особенных булевых
функций и рассматривались
вопросы схемной реализации
этих функций.
Булева функция
называется
симметрической, если она переходит
в себя при любой переста- Рис. 8.
новке своих аргументов.
Симметрия булевых функций изучалась С. Панкаджам [29],
К. Э. Шенноном [5, 30], автором [8—9, И, 14, 18] и
другими. Как показал автор [14], функция f {хх, х21 . . ., хп)
является симметрической тогда и только тогда, когда
Назовем рабочим числом симметрической булевой
функции число аргументов, истинностьu которых влечет
истинность функции. Назовем, далее, элементарной
симметрической функцией симметрическую функцию
точно с одним рабочим числом. Существует п -f-1
элементарных симметрических функций п переменных. Всякая
симметрическая булева функция однозначно разлагается в сумму
элементарных симметрических функций.
Симметрическая функция переменных хХ1 х2, . . ., хп с
рабочими числами а]? а2, . . ., аг обозначается символом
Решетка элементарных симметрических функций п
переменных (рис. 8) реализует между своим входом и п -\-1 вы-
14 Истинность означает равенство единице, ложность — равенство
нулю.
393

ходами все элементарные симметрические функции этих
переменных и содержит п2-\-п контактов [30]. Решетки суть
разделительные многополюсники.
Универсальный многополюсник симметрических функций п
переменных есть (2W+1, 1)-полюсник, реализующий все 2n+1
симметрических функций этих переменных. Его можно
построить с 2п+г — Qn — 8 контактами [18].
Теорема 10. Любые к симметрических булевых функций п
переменных реализуются при любом m, Ок^т^п,
соединением группы к решеток элементарных симметрических
функций п — т переменных и универсального многополюсника
симметрических функций т переменных.
В самом деле, разложим реализуемые функции на
элементарные симметрические функции по w — т переменным.
Тогда коэффициенты разложения суть симметрические
функции остальных т переменных, и мы можем поступить так же,
как в теореме 2.
Результирующая схема содержит не более
усям(т)=к(п — т)2 + к(п — m) + 2M+3 — 6т — 8
контактов.
Наименьшее неотрицательное М, для которого
kn-{-3<kM + 2M+\
есть наибольшая точка минимума для <рсим(иг).
2п/2
Теорема 11. При п ^ 16 и &<[ —
[log2A/i] —2<AT<[log2&/i] —1.
Для к ^> 1 оценки ранее не было, для/с=1К. Э. Шеннон
ранее вывел оценку п2— п-\-2. Оценка, приводимая здесь,
близка при А: = 1 к п2— 2n[log2n]15.
При практическом синтезе симметрических схем вместо
метода универсальных многополюсников следует применять
метод каскадов. Схема на рис. 6, на которую мы ссылались
при изложении общей процедуры метода каскадов, была как
раз симметрическая. Наряду с этим алгебраическим
вариантом метода каскадов, автор разработал графический вариант
метода каскадов, лучше приспособленный для построения
симметрических схем [16—17].
Условия проводимости симметрического (1, А)-полюсника
с п приемными элементами задаются к симметрическими
булевыми функциями п переменных, которые однозначно опре*
деляются своими рабочими числами. Без ограничения общ-
15 Подробный вывод этих формул см. в [18].
394

ности можно считать, что все эти функции отличны от 0 и 1
и^попарно различны. Графический метод каскадов состоит из
операций, которые мы объясним на примере синтеза схемы
для функций:
^0,2(^1» Ж2» Х3> ^4/' ^1,з(^1» ^2» ^3» ^4/» ^1,3, 4\^1» Ж2» *^3» ^4/»
где /с — 3, п = &. Сначала чертится вертикальный ряд к
точек (ряд*№ 1). Возле них выписываются рабочие числа дан-
ОА^£г j
«2Г; .
1^
f*'
Г
г 1
Рис. 9.
ных симметрических функций (см. рис. 9, где/с = 3). Под рядом
№ 1 пишется число приемных элементов п, которое в
рассматриваемом примере равно 4.
К каждой точке ряда присоединяется по переключающему
контакту приемного элемента Хг, причем размыкающие
контакты направляются вправо по горизонтали, а замыкающие —
вверх по диагонали. Правые концы этих контактов образуют
новый вертикальный ряд точек (ряд № 2). Под ним пишется
число п—1, т. е. в рассматриваемом примере число 3. Числа,
стоящие возле точек ряда № 1, переносятся по горизонталям,
если они не превосходят п—1, и переносятся с уменьшением
на единицу по диагоналям, если они больше нуля (см. рис. 9).
Затем объединяются точки ряда № 2, оставшиеся без чисел.
Точки ряда № 2, возле которых стоят все числа от 0 до п—1,
395

соединяются со входом схемы (точкой «+») и после этого
мысленно исключаются из ряда № 2, а числа возле них стираются.
К каждой точке окончательного ряда № 2 присоединяется
по переключающему контакту приемного элемента Х2, и
процесс повторяется для нового ряда (ряда № 3), но с заменой
числа п—1 числом п — 2. Аналогично строятся ряды №№4,
5, . . ., п\ под ними пишутся числа п — 3, п — 4, . . ., 1, и
для получения ряда № (/+1) присоединяются к ряду № /
контакты xj, xj. Способ формирования рядов тот же, что и
для ряда № 2, но с заменой числа п—1 числом, стоящим
под формируемым рядом. Тогда ряд № п содержит не более
чем две точки: точку, возле которой стоит число 0, и точку,
возле которой стоит число 1. Соединение этих точек с
точкой «-{-», соответственно через контакты хп и хп1 дает
искомую схему. Индексация приемных элементов произвольна 16.
Метод каскадов дает лучшие либо такие же результаты
против метода симметрических решеток К. Э. Шеннона [30] и
потому имеет преимущество перед ним.
Изложенный графический вариант метода каскадов можно
распространить и на несимметрические (1, /с)-полюсники.
Пусть переменной х{ приписан какой-нибудь
целочисленный вес q{. Функция /(ж2, ж2, . . ., хп) называется
квазисимметрической относительно взвешивания ql4 q2, . . ., qn,
если ее значение однозначно определяется суммой весов тех
переменных, что приняли значение 1. Каждая сумма весов,
при которой функция принимает значение 1, называется
рабочим числом квазисимметрической функции.
Графический вариант метода каскадов применим и для синтеза
квазисимметрических (1, /с)-полюсников 17, но при этом, когда
строят ряд № /, подписывают под ним не число п — /-|-1,
а разность числа, стоящего под рядом № (/—1), и числа
Qj'-ii кроме того, при переносе чисел по диагоналям из ряда
№ (/— 1) в ряд № / числа уменьшаются на ^_,.
Индексация приемных элементов здесь уже не безразлична.
Примером синтеза квазисимметрической схемы может служить
рис. 10. Эта схема реализует 8 функций соответственно с
рабочими числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; переменная ах имеет
вес 1, переменная а2 — вес 2, переменная а3 — вес 1, и
переменная а4 — вес 3. На схеме переменные расположены в порядке
а4, а2, а3, а,.
16 Практические примеры (вычислительные и защитные схемы)
даны в статьях [16—17].
17 Квазисимметрическим называется многополюсник, реализующий
квазисимметрические функции.
396

Автор обязан В. Н. Рогинскому указанием, что любая
функция /(#!, х2, . . ., хп) является квазисимметрической
относительно взвешивания 1,2, . . ., 2W_1. Рабочими числами
функции служат двоичные номера (или десятичные
эквиваленты двоичных номеров) конституентов единицы, на которые
функция разлагается. Таким образом, графический вариант
метода каскадов пригоден для любых (1, /с)-полюсников 18.
Для перевода булевой функции из числовой формы в алгебраи-
'°\^V-
**>
2о—йи-
0
7
дг
Ог
^
•
г
г\
О
г
о
1
Рис. 10.
ческую форму и обратно можно использовать методику
А. Свободы[31]. При п^5 для этой цели может служить
таблица 3. Корваса из [31].
Иногда, например для функции Slrlf4(xl, х2, х3, я4),
выгоднее другой метод, разработанный автором. Этот метод
является двойственным к методу симметрических решеток
К. Э. Шеннона [30] и может быть назван методом
двойственных симметрических решеток [13].
Нерабочим числом симметрической булевой
функции назовем число ее аргументов, истинность которых
вызывает ложность функции. Ясно, что симметрическая булева
функция однозначно задается своими нерабочими числами.
На рис. 11 изображена двойственная симметрическая решетка,
полученная инвенсированием обычной симметрической решетки.
18 В. Н. Рогинский подробно разработал этот графический метод
и на его основе сконструировал машину для автоматического синтеза
контактных схем.
397

Двойственная симметрическая решетка строится так.
Рисуется набор горизонтальных рядов последовательно соеди-
Рис. 11.
ненных размыкающих контактов приемных элементов. Каждый
узел между контактами в этих рядах, находящийся перед
размыкающим контактом какого-нибудь
элемента, соединяется через размыкающий
контакт того же элемента с
расположенным выше рядом в узле, находящемся
сзади размыкающего контакта того же
элемента. Узлы нижнего ряда
размыкающих контактов соединяются через
замыкающие контакты с одним полюсом
двухполюсника, а самые левые контакты
каждого ряда размыкающих контактов
присоединяются свободными концами к
другому полюсу.
Горизонтальные ряды замыкающих
контактов назовем уровнями схемы
и перенумеруем их снизу вверх, считая
самый нижний уровень за нулевой,
следующий — за первый, следующий — за
второй, и т.д. Каждый уровень нашей
решетки отвечает одному возможному нерабочему числу, и чтобы
получить двухполюсник для симметрической функции, надо лишь
398

закоротить уровни, номера которых являются рабочими
числами функций; т. е. надо соединить накоротко самые
правые точки рядов размыкающих контактов, окаймляющих эти
уровни, и потом отбросить ненужные контакты. Так, схема
на рис. 12 реализует функцию
Si, 2, 4 (л, 6, с, d).
Этот метод применим и для некоторых многополюсников [13].
Важно отметить, что эти графические методы получены
путем графической интерпретации закономерностей и методов
булевой алгебры, т. е. также в конечном счете с помощью
математической логики.
Свойства булевых функций
с точки зрения теории контактных схем
Теорема 12. Булева функция
И—W»
/(^1» Х2- • • •» %п)== Xi »(^1> • • •» Хп—т)Х
Xvail, ai2t ###f ац{\%п—т+11 • • »t #я)»
где О^т^п, является симметрической тогда и только
тогда, когда точки (£, atV) либо сплошь заполняют, либо
сплошь не заполняют каждую идущую слева вниз направо
диагональ точечной решетки из т -(- 1
горизонтальных и п — т -f- 1
вертикальных рядов (рис. 13).
В самом деле, каждая такая
диагональ есть геометрическое место точек,
у которых сумма абсциссы и ординаты
постоянна. Поэтому каждая диагональ
соответствует одному из п -\- 1 рабочих
чисел, а каждая точка диагонали
соответствует разложению рабочего числа
на слагаемые, откуда и следует
доказываемое.
Теорема 12 дает простой способ отыскивать рабочие
числа коэффициентов разложения симметрической функции п
переменных на элементарные симметрические функции по
п — т переменным. Чтобы получить эти числа, следует
начертить точечную решетку из т-\-1 горизонтальных и
п—т-\-1 вертикальных рядов и провести в ней диагонали
для каждого рабочего числа разлагаемой функции. Тогда
рабочие числа коэффициента разложения при Si{xl^ . . ., яй__т)
т
п |
i» '
/7«
\
^
\
i
Рис. 13.
399

суть ординаты точек сечения диагоналей £-й вертикалью.
Эту решетку мы назовем картой разложения
симметрической функции, а точки (£, а^) — рабочими точками
карты. Описанный способ может быть полезен при анализе
и синтезе симметрических контактных схем.
С другой стороны, теорема 12 позволяет исследовать
систематику симметрических булевых функций весьма простым
и наглядным геометрическим методом. В частности, с ее
помощью автор получил [11] теоремы о типах симметрических
функций.
Булева функция f (xi7 х2, . . ., хп) называется функцией
одного типа с булевой функцией g (х17 х2, . . ., хп), если
/(#!, х21 . . ., хп) переходит в g (х[7 х2, . . ., хп) при некоторой
перестановке аргументов и (или) замене некоторых
аргументов отрицаниями [32]. Так, / {х, z, у) одного типа с / (#, у, z).
Функции одного типа реализуются физически одинаковыми
схемами [7].
Теорема 13. Число типов симметрических булевых
функций п переменных равно
v. = 2» + 2C*] + 2[-2±i]-»-l.
Теорема 14. Число булевых функций п переменных
одного типа с симметрическими равно
хя=22я —2w+1 + 4.
Теорема 13 определяет число физических различных
симметрических контактных двухполюсников, а теорема 14
определяет число функций (условий проводимости),
реализуемых при помощи конфигураций этих двухполюсников.
(Символ [z] означает целую часть от z.)
Булева функция п переменных f(xl7 х2, . . ., хп), отличная
от 0 и 1, называется функционально разделимой,
если существуют такие булевы функции g(z{1 z2, . . ., z„_e+1)
и h(zl9 z2, ..., zt), что lOO и ffa, х21 . . ., xn) = g[h(y1,
Vv .-., У.), У.+1, • .., УпЪ где y19 y2, ..., у, —некоторое
подмножество переменных xY, x2, . . ., xn, a ys+}1 уВчг2, . . .,
yn — остальные из этих переменных19.
Иными словами, функционально разделимая функция
представима в виде подстановки функции не менее двух
переменных в функцию не менее двух же переменных.
По определению функционально разделимые функции
возможны лишь начиная с п=3. Тривиальным примером
19 Это определение несколько отличается от определения К. Э.
Шеннона. Он требовал [5], чтобы 1 < s < п — 1.
400

функционально разделимых функций являются суммы и
произведения, составленные из переменных и их отрицаний.
Реализация функции /=g(A, . . .), как известно, сводится
к реализации функций g, h и h и подстановке схем для h
и Л в схему для g («блочный метод синтеза» [5]).
Ввиду простоты схемной реализации функционально
разделимых функций желательно обладать критерием
функциональной разделимости булевых функций. Предлагаемый ниже
критерий теоретически прост, но требует больших вычислений.
В дальнейшем под словом «разложение» будет пониматься
разложение на конституенты единицы. Мы будем считать,
что члены разложения расположены в лексикографическом
порядке, причем х{ предшествует х{.
Критерий функциональной разделимости дается
следующей теоремой.
Теорема 15. Функция (fxL, х21 . . ., хп) функционально
разделима тогда и только тогда, когда хотя бы для одного
подмножества у}1 у21 . . ., уг переменных хХ1 х21 ..., хп, где
0<^г<^п—1, существует такая функция h остальных
переменных, что все отличные от 0 и 1 коэффициенты разложения
функции / по г/2, г/2, . . ., уг равны либо /г, либо /г.
Таким образом, чтобы найти функциональное разделение
данной функции f (xlt х2, . . ., хп) либо убедиться в ее
функциональной не разделимости, надо для каждого подмножества
надлежащей мощности г, образованного из переменных
£j, £2, . . ., хп, найти отличные от 0 и 1 коэффициенты
разложения по этому подмножеству и сравнить их с первым
отличным от 0 и 1 коэффициентом и его отрицанием.
В качестве простого примера возьмем функцию
f(x,*y, z) = xyz4-xyz-\-xyz.
Разложение по х дает
Л = У*. h = y* + VZi h¥=fv /2=7^/1;
разложение по у дает
f1 = xz + xz, f2=xz, hl^U, кФ1\\
разложение по z дает
Л = *У> /2 = ХУ+ХУ> ft^fu /2^/1-
Следовательно, функция / функционально неразделима.
Теорема 16. Функции / и / либо обе функционально
разделимы, либо обе функционально неразделимы.
401

Теорема 17. Пусть функция Ng(zl9 z2» . . ., zn^8+l )
получается из g(zv z2, . . ., z„_g+1) заменой zx на zx. Тогда, если
glHVi* Уъ, • - -, У.), У.Л. ••-. yJ =
то либо g = g\ h = h\ либо g = Ng', h = h'.
Эта теорема устанавливает своего рода единственность
строения функционально разделимой функции.
Булеву функцию f(xlt х2, . . ., #„) мы назовем
особенной относительно х{, если / = xj'-f-/", где ж, есть х{
или ^, а /' и /" не зависят от ^. Функцию, особенную хотя бы
относительно одного аргумента, назовем особенной.
Теорема 18. lim (2п/22") = 0, где 2W — число особенных
п->со
функций п переменных.
А именно, 2м<^гг32Я~1 (см. [7]).
Функцию, особенную относительно каждого аргумента,
назовем совершенно особенной. Совершенно особенные
функции интересны тем, что к их числу принадлежат все
функции, реализуемые с независимыми контактами.
Теорема 19. Булева функция является совершенно
особенной тогда и только тогда, когда она одного типа
хотя бы с одной функцией, представимой выражением без
отрицаний [7].
Схемная реализация совершенно особенных функций
рассматривалась А. М. Брылеевым [33], М. А. Гавриловым [3],
Б. А. Трахтенбротом [34], Э. Н. Гилбертом [35] и другими.
Рассмотрим вопрос о соотношении между симметрическими,
функционально разделимыми и особенными функциями.
Т е о р е ма 20. Единственными функционально разделимыми
симметрическими функциями п переменных являются функции
U, 1, Х]Х2 . . . Хп1 ХуС2 . . . %п1 х± —|— х2 —р . . . -\- хп1
Х± -f- X% -j- • . • -j- Хп, ^i ® ^2 Ф • • • Ф *^»> *^1 Ф *^2 Ф • • • vB #«t
где ^0^0'"©^ есть сумма по модулю два20.
Эта теорема вытекает из теорем 12 и 15.
Теорема 21. Кроме 0 и 1, единственными особенными
симметрическими функциями п переменных являются 2/г
функций
S0(xx, . . ., хп), S0yi(xu . . ., хп), . . ., *So,l,....«-l(*b • • •» Хп)'
Sn{xU . . ., Х„), Sn-.itn(Xi, • • -, Хп),...., Si, 2, ..., п (#1, . . ., Хп).
Объединение теоремы 20 с теоремой 21 дает перечисление
функций, входящих сразу в три класса.
20 О функции хг © х2 ® . . . © х„ см. в [30J.
402

Теорема 22. Единственными симметрическими функ-*
циями п переменных, функционально разделимыми и в то же
время особенными, являются (кроме 0 и 1)
Х±Х2 • • • Хп, £v %2i • • • ^пч Xl \ X2 \ • • • I" Xni Xl 4 ^2 T~ • • • I Xn-
Схемы с малым числом приемных элементов
Как уже говорилось выше, функции одного типа
реализуются физически одинаковыми схемами. В книге [36]
приведена таблица типовых функций четырех переменных (всего
402 функции). Построив для них схемы, автор нашел, что
функция 293 требует не более 14 контактов; функции 163,
205, 368 и 369 — не более 13; прочие — не более 12 (см.
таблицу 5.3.2 в [7]). Затем В. Л. ван дер Пуль [37] построил
для функции 293 схему с 13 контактами. Отсюда следует
Теорема 23. 1,(1, 4)< 13.
Заметим, что, как показал К. Кардо [38], L(l, 4)^12.
Далее, с помощью упомянутой таблицы функций четырех
переменных автор получил следующую теорему.
Теорема 24. L(l,5)<28.
Ранее L( 1,5)^30 было лучшей оценкой [5].
Схемы с тремя и менее приемными элементами подробно
исследованы К. Э. Шенноном [5].
Заключение
С помощью методов математической логики мы
получили количественную оценку сложности основной массы
контактных (1, /с)-полюсников и в общем более или
менее решили задачу минимального синтеза для этой
основной массы их. Мы видели, что подавляющее большинство
(1, /с)-полюсников требует фантастически большого числа
контактов даже при наилучшем пректировании. Отсюда
вытекает важность исследования схем упорядоченного типа,
которые реализуют условия, встречающиеся на практике, и
отличаются простой структурой.
Мы исследовали несколько классов схем упорядоченного
типа. Однако в целом задача минимального синтеза схем
упорядоченного типа еще ожидает своего решения. Особенно
большие трудности представляет оценка снизу минимума
контактов в этих схемах. При этом изучение схем упорядоченного
типа тесно связано с изучением систематики булевых функций.
Поиски, изучение и освоение схем упорядоченного типа —
важная цель для будущих работ в области технических
применений логики.
Ш

ЛИТЕРАТУРА
1. A. Schwaiger. Besprechung Edlers Buches. ETZ, 1928, Jg. 49.
H. 10, S. 414.
2. Г. H. Поваров. Логика и автоматизация. [Наст. сб.].
3. М. А. Гаврил о в. Теория релейно-контактных схем. М.—Л.,
Изд-во АН СССР, 1950.
4. В. Н. Р о г и н с к и й, А. Д. Харкевич. Релейные схемы в
телефонии. Связьиздат. М., 1955.
5. С. Е. Shannon. The Synthesis of Two-Terminal Switching
Circuits. Bell System Techn. Journ., 1949, V. 28, No. 1, pp. 59—98.
6. D. E. Mull er. Complexity in Electronic Switching Circuits. Trans.
IRE, 1956, V. EC-5, No. 1, pp. 15—19.
7. Г. H. Поваров. Исследование контактных охем с минимальным
числом контактов. Диссертация, И AT АН СССР, 1954.
8. Г. Н. Поваров. О функциональной разделимости булевых
функций. ДАН СССР, т. 94, № 5, 1954, стр. 801—803.
9. Г. Н. Поваров. О синтезе контактных многополюсников. ДАН
СССР, 1954, т. 94, № 6, стр. 1075—1078; т. 96, № 6, стр. 1084.
10. Г. Н. Поваров. Математическая теория синтеза контактных
(1, /г)-полюсников. ДАН СССР, 1955, т. 100, № 5, стр. 909—912;
т. 102, № 2, стр. 196.
11. Г. Н. Поваров. К изучению симметрических булевых функций
с точки зрения релейно-контактных схем. ДАН СССР, 1955, т. 104,
№ 2, стр. 183—185.
12. Г. Н. Поваров. К математической теории синтеза контактных
(1, А:)-полюсников. ДАН СССР, 1956, т. 111, № 1, стр. 102—104.
13. Г. Н. Поваров. Новий метод синтезу симетричних контактних
схем. ДоповцЦ АН УРСР, 1955, № 2, стор. 115—117.
14. Г. Н. Поваров. О методике анализа симметрических контактных
схем. Автомааика и телемеханика, 1955, т. 16, № 4, стр. 364—366.
15. Г. Н. Поваров. Метод синтеза вычислительных и управляющих
контактных схем. Автоматика и телемеханика, 1957, т. 18, № 2,
стр. 145—162.
16. Г. Н. Поваров. Графический синтез симметрических контактных
схем. Приборостроение, 1956, № 12, стр. 7—9.
17. Г. Н. Поваров. До питания про структурне проектування
симетричних контактних схем. Автоматика, 1956, № 4, стор. 48—53.
18. Г. Н. Поваров. К синтезу симметрических контактных схем.
Сб. по автоматике и телемеханике, Изд-во АН СССР, М., 1956,
стр. 268—277.
19. Г. Н. Поваров. Состояние вопроса о минимальном числе
структурных элементов в релейно-контактных схемах. Сб.
«Телемеханизация в народном хозяйстве», Изд-во АН СССР, М., 1956,
стр. 135—138.
20. М. Л. Цетлин. Применение матричного исчисления к синтезу
релейно-контактных схем. ДАН СССР, 1952, т. 86, № 3,
стр. 525—528.
21. В. И. Шее таков. Моделирование операций исчисления
предложений посредством простейших четырехполюсных схем.
Вычислительная математика и вычислительная техника, Изд-во АН СССР,
М., 1953, вып. 1, стр. 56—89.
22. R. Rig hi. Ulteriori sviluppi dell'algebra di commutazione: appli-
cazione ai circuiti multiterminali. Ingegneria ferroviaria, 1954,
An. 9, No 4, pp. 271—276; № 5^pp. 397—408.
23. H. Schwab. L'algebre des chaines de contacts. Ann. Telecomm.,
1952, t. 7, n° 1. pp. 2—16.
404

24. D. Zeheb, W. P. Gay wood. A Symbolic Method for Synthesis
of 2-Terminal Switching Circuits. Commun. and Electronics, 1955,
No. 16, pp. 690—693.
25. Г. H. Поваров. О логическом синтезе электронных вычисли
тельных и управляющих схем. [Наст. сб.]..
26. F. Svoboda. Neurcita dvouhodnotova Booleova funkce. Casopis
pro pestovani matematiky, 1953, Rocnik 78, 6is. 4. str. 373—375.
27. F. Svoboda. Uziti neurcite dvouhodnotove Booleovy funkce na
synthesu jednotaktnich hradlovych schemat. Stroje na zpracovani
inforraaci, Praha, 1954, Sbornik 2, str. 209—244.
28. M. А. Таврило в. Определение числа контактов в схемах релейно-
контактных дешифраторов и их распределение по реле. Изв. АН
СССР, ОТН, 1945, № 12, стр. 1109-1127.
29. S. Pan k a jam. On Symmetric Functions of n Elements in a
Boolean Algebra. J. Indian Math. Soc, 1936/7, V. 2, No. 5, pp. 198—210.
30. С. E. Shannon. A 'Symbolic Analysis of Relay and Switching
Circuits, Trans. AIEE, 19o8, V. 57, pn. 713—722.
31. A. Svoboda. Synthesa releovych siti. Stroje na zpracovani infor-
maci, Praha, 1954, Sbornik 2, str. 157—208.
32. G. P61ya. Sur les types des propositions composees. J. Symbolic
Logic, 1940, V. 5, No. 3, pp. 98—103.
33. A. M. Б рыл ее в. Теорема обратного порядка и синтез релейно-
контактных схем. Техника железных дорог, 1947, № 1, стр. 12—15.
34. Б. А. Т р а х т е н б р о т. Синтез бесповторных схем. ДАН СССР,
1955, т. 103, № 6, стр. 973—976.
35. Е. N. Gilbert. Lattice Theoretic Properties of Frontal Switching
Functions. Journ. Math, and Phys., 1954, V. 33, No. 1, pp. 57—67.
36. Синтез электронных вычислительных и управляющих схем. Пер.
с англ. под ред. В. И. Шестакова. ИЛ, М., 1954.
37. W. L. van der Poel. Enige bijzondere onderwerpen uit de schattel-
algebra. De Ingenieur (Utrecht), 1955, V. 67, Nr. 1, biz. E. 9—E. 14.
38. С Cardot. Quelquos resultats sur Implication de Talgebre de
Boole a la synthese des circuits a relais. Ann. Telecomm., 1952,
t. 7, n° 2, pp. 75—84.

ф
Г. Н9 Поваров
О ЛОГИЧЕСКОМ СИНТЕЗЕ
ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
И УПРАВЛЯЮЩИХ СХЕМ
1. Проектирование электронных схем релейного действия,
применяемых в вычислительных и других автоматах,
начинается с логического синтеза схемы, т. е. с выбора такой
структуры схемы, которая воплощала бы логику задуманной работы
схемы1. Структура схемы — это количество, логический
состав и способ соединений элементов схемы. За логическим
синтезом схемы следует физический синтез, т. е. расчет
электрических параметров схемы и выбор каталожных типов
электронных ламп и других деталей. Математическая логика
облегчает логический синтез [1—3]. В настоящей статье излагаются
некоторые методы логического синтеза электронных схем,
основанные на математической логике и аналогичные методам
синтеза контактных схем2.
По причинам, указанным в [4], мы будем пользоваться
булевой алгеброй, а не тем арифметическим эквивалентом
ее, который употребляется в [2]. Булевы переменные,
константы и операции мы обозначаем теми же символами, что
в [5], а электронноламповые операторы—теми же символами,
что в [2].
2. Рассматриваемая задача синтеза состоит в следующем.
Даны к булевых функций п переменных
/1 \Х\-> Х2ч • • «1 Xn)i /2(^1» Х2> • • •» Хп)ч • • •» 7к\Х\ч X2i • • •» Хп)щ
Требуется построить структурную диаграмму электронной
схемы (функциональную схему, по терминологии книги [2]),
1 Логический синтез называется также структурным.
2 В первом варианте мысли статьи были доложены 9 февраля 1954 г.
на семинаре Лаборатории по разработке научных проблем проводной
связи АН СССР. Работа выполнена в Институте автоматики и
телемеханики АН СССР.
406

в которой напряжение на i-оы выходе было бы функцией
fiix\y х2у • • •» хп) входных напряжений х1У я2, . . ., хп (если
отвлечься от переходных процессов). По аналогии со статьей [6]
мы назовем такую схему электронным
переключательным (п, /с)-п олюснико м.3 Без ограничения общности
можно считать, что функции Д, /2, . . ., /fe отличны от 0 и 1
и попарно различны. По аналогии с [6] мы назовем
(л, 22* — 2)-полюсник универсальным
многополюсником п переменных, а (п, 2я)-полюсник, реализующий
конституенты разложения единицы по п переменным, —
деревом («пирамидой») п переменных.
Решение этой задачи при помощи математической логики
прямо или косвенно сводится к представлению каждой
функции /<(#!, #2, . . ., хп) в виде суперпозиции элементарных
функций, описывающих работу отдельных электронных ламп
или их простейших соединений. Мы считаем элементарными
функциями суммы функций вида С1(х) = х и произведения
функций вида Т1(х) — & и Р2(х, у) = х\у, где х\у = х-\-у
есть функция4, введенная Шеффером [7].
Символ СА есть оператор катодного повторителя с одним
входом, символы 7\ и Р2 обозначают лампы с анодной
нагрузкой. При этом 7\ есть оператор лампы с одним входом
(триода), Р2— оператор лампы с двумя входами (пентода)5.
Сложение означает обобществление катодного сопротивления,
умножение — анодного. Для краткости мы полагаем
т
Тт(Уи ?/2 Ут) = П Тх(у{).
г=1
Как и в [2], предполагается, что вместе со входным
напряжением xi всегда имеется его инверсия х4.
3. По способу передачи воздействий со входов на выходы
электронные переключательные (п, /с)-полюсники делятся на
(га, /с)-полюсники без обратной связи и (п, /с)-полюсники
с обратной связью. Примером последних может служить
фиг. 3 из [8]. (пу /с)-полюсник без обратной связи будет назы-
3 Такие схемы называют еще комбинаторными или логическими.
4 Ее основные свойства: xjy = xjy\ x\x = x\l=x, х\х = х\0 = 1. Она
неассоциативна.
5 Термины «триод» и «пентод», применяемые в [2] как названия
ункциональных элементов, неудачны, так так может случиться, что
ункциональный «триод» придется реализовать многосеточной лампой,
например пентодом [4].
407

ваться сходящимся (конвергентным), если каждая его
лампа управляет только одной другой его лампой, и
расходящимся (дивергентным) в противном случае.
Сходящиеся электронные переключательные (га, /с)-полюс-
ники аналогичны параллельно-последовательным контактным
двухполюсникам в том, что и те и другие допускают прямую
алгебраическую запись своей структуры в виде суперпозиции
определенных элементарных функций. Нетрудно видеть, что
сходящийся (га, 1)-полюсник всегда можно записать в виде
суперпозиции элементарных ламповых функций и что эта
запись вполне однозначно задает его структуру. Сходящийся
(га, &)-полюсник распадается на к не связанных друг с другом
(га, 1)-полюсников. Расходящиеся электронные
переключательные (га, /с)-полюсники аналогичны контактным (1, А)-по-
люсникам с мостиковыми соединениями и объединением
выходных цепей. В книге [2] расходящиеся (га, /с)-полюсники
употребляются довольно часто, но не рассматриваются
систематически. Структуру расходящегося (га, /с)-полюсника
нельзя записать в виде суперпозиции элементарных функций.
4. В основе излагаемых ниже методов синтеза (га, /с)-по-
люсников лежит равенство
/(У1. У2> ••;. y«)=fyi//(l. У2» ' ' м Ут)\Х
XШ/(0, у2, ..., ут)]. (Ф 1)
Пользуясь этим равенством и табл. 1, можно свести
реализацию функции f(yx у2, . . ., ут) к реализации ее
коэффициентов разложения/' = /(1, у2, . . ., ут) и /" = /(0, у21 .. ., ут).
Таблица 1
Значения /', /"
(г=0
/'=0{/" = 1
( 0</"<1
|/"=0
/'=1 /"=1
(о</"<1
0</'<1
Г = о
: /" = 1
. 0</"<1
Оператор для /
/=i
/ = 3/1
t = VX
/ = 0
/=Т2(у„П '
f = Pi(yuf) j
f = Pi{Vuf)Pitii.n\
408

Последовательное разложение функции /{(х19 х2, . . ., хп) по
хъ х2, . . ., хп_х согласно табл. 1 дает суперпозицию
элементарных функций и тем самым сходящийся (п, 1)-полюсник
для fi(x}, х2, . . ., хп). При суперпонировании операторов
следует учитывать, что
Р2(У, 1) = Тл(у, 0) = у, Р2(у, 0) = 1, Т2(у, 1) = 0. (Ф2)
Кроме того, при т^>2 для экономии входных сеток6 функ*
m
цию вида N ^ следует реализовать оператором Cm(yL, у29
m
• • •» У«), а функцию вида Цу4— оператором rm(^, у2, ..., £от).
*=i
Например, для функции
f(w, х, у, z) = w[x{y -\- z) +х{у ® z)]-\-
+ ®[x(y@z) + xyz\, (ФЗ)
где 2/0z='i/z-f^, мы получим оператор
P2\w, Р2[х, Р2(у, z)]P2[x, Р2(у, z)P2(y, z)]}X
ХР2{йР2[х, Р2{у, z)P2(y, z)]P2[x, Т2(у, z)]
с 24 входными сетками.
Такой метод синтеза является булевым эквивалентом
третьего основного метода, описанного в книге [2, гл. IV,
стр. 44—50]. В области контактных двухполюсников [5 J
этот метод имеет аналогию в виде методов синтеза на основе
равенств:
/O/i, у2. •••> y«)=yi/(4» У2> •••» y«)+»i/(0, у2. ••* У«).
/(У1. У2. •••» У«)=[У1+/(°. ^2» •••> У«)][»1+/(1, */2> •••. У»)]-
Мы будем называть его по форме получаемых схем методом
деревьев.
5. Результаты разложения функций fi(xv, х2, . . ., хп)
можно записать также в виде цепочки равенств, и это даст
новый метод синтеза расходящихся (п, /г)-полюсников, более
экономный, чем метод деревьев.
Мы скажем, что функции Д, /2, . .., fk образуют
последовательность [К0). Условимся также называть А-функциями
6 Мы называем сетку входной, если она служит для управления
лампой извне. В [2] такая сетка называется управляющей. Однако
термин «управляющая сетка» закреплен долгой традицией за
определенными сетками лампы и не может быть рекомендован для
обозначения любых входных сеток лампы, например защитной (антидинатронной)
сетки пентода.
409

Таблица 2
(l)=P8[w.(2)JP2[e.(3)]
(2) = P2lx,(i)]P2[x,(b)]
(3) = Р9Лх,(Ь)]Р2[х, (6)]
(1) = (ФЗ)
(3)=x(y©z)+x(y+z)
(4)=y + z
(5) = »©*
(6)=J/Z
(4) = i>2 (</,*)
(5) = P2(2/, z)i>2(<7, z)
(6) = T2(2/, z)
члены функциональной последовательности Д. Если
0<^i<C^—1> т0 пусть уФ есть последовательность
коэффициентов разложения (З^"1) функций по £t. согласно
равенству (Ф 1), а последовательность (W образуется из 7(>)
выбрасыванием функций, встречающихся второй раз, а также нулей
и единиц. Тогда результаты разложения (^-функций можно
записать в виде равенств, выражающих (3(*-~1>-функции через
(В^)-функции согласно табл. 1. Пусть схема©*) реализует (3^,
Рис. 1.
а схема {&)} получается из &^ присоединением ламп в
соответствии с равенствами, выражающими р(*~1)-функции через
(З^-функции. Тогда {в(1)} реализует (№'-1). Возьмем в качестве
(g(«-2) схеМу ^cw-2) получаемую разложением (3^"~2)-функций
согласно табл. 1. Если ^*-1)={2^}, то £(0> реализует рт.
^ Например, для функции (ФЗ) мы получим цепочку
равенств, приведенную в табл. 2. Соответствующая диаграмма
(20 сеток) изображена на рис. 1. В качестве второго при-
410

Таблица 3
(1) = Г8[*,(5)]
|(2) = />2[*,(5)]Р,[Л,(6)|
(3) = 7>2lx,(6)]P,[«,(7)J
|(4) = Г,[*,(7)1
(1)=ху2
(2) = xyz -\-xyz + xyz
(3) = xyz--\-x$z-\-xyz
(A) = xyz
(b)=y + z |
(6) = yz + ys ;
(7) = 0 + г i
\(Ь) = Р2(9,г) !
(6) = i52(l/)2)P2(2/>Z)
р) = Р2()/, г)
мера построим (3, 4)-полюсник, реализующий все
элементарные— в смысле [6] — симметрические функции трех
переменных. Цепочка равенств дана в табл. 3, диаграмма — на
рис. 2. Третьим примером будет служить дерево трех пере^
менных. Метод каскадов дает в этом случае схему на рис. 29
из [2].
Описанный метод представляет аналогию с методом
каскадов для контактных схем [9—10] и потому будет также
? * У %
l@J
К 1 * г
L(pJ L(?>J L®J
\(3) Vv
Рис. 2.
называться мeтодом каскадов. Основная идея метода
каскадов — однократная реализация совпадающих
коэффициентов разложения (как это видно из разобранных
примеров).
Число входных сеток в схеме, построенной по методу
каскадов, зависит, вообще говоря, от того, в каком порядке
функции разлагаются по переменным. Очевидное
исключение составляют симметрические схемы. Другое исключение
составляют (п, &)-полюсвики, реализующие целые классы
411

Таблица 4
;(1)-Р81»,(2)1 Рг{»,ТгЦ2)\)
|(2) = J>2[*,(3)] ^2<*,Гг[(3)])
|(3) = Р2(у, г) Р2(у,г)
(l) = u>©*©2/@z|
(2) = a;@2/©z
(3) = у©«
однотипных — в смысле [И] — функций, например деревья
и универсальные многополюсники7.
Метод каскадов в некоторой мере восполняет тот
пробел в методике выбора общих элементов для схем с
несколькими выходами, о котором говорится в [2, гл. VII].
6. Для дальнейшей экономии
входных сеток будем при
формировании р(*> выбрасывать из 7(1) также
функции, являющиеся инверсиями
предыдущих функций. При
построении £(*-J) из §W эти инверсии
реализуются' с помощью операторов 1\.
Например, для суммы по модулю
два w ф х © у © z мы получим
цепочку равенств в табл. 4 и диаграмму
(14 соток) на рис. 3. Метод деревьев
дал бы 28 сеток, а обычный метод
каскадов дал бы 20 сеток. Метод
каскадов с такой поправкой мы
назовем усиленным методом
каскадов.
Нетрудно видеть, что х} © х2
© • • • ф хп требует по методу
деревьев 2w+i — 4 сеток, по методу
каскадов 8 (/г — 1) — 41'сеток и по усиленному методу
каскадов 5(л —1) —1 сеток.
7. Для синтеза электронных переключательных (я, к)-
полюсников можно предложить также метод, аналогичный
методу универсальных многополюсников для контактных
{1, А)-полюсников [6].
Назовем соединительным деревом переменных х{, х2, • • •» х*
переключательный (/4-2\1)-полюсник такого вида, как
на рис. 4, где 1 = 2. В этой схеме при комбинации № i
Рис. 3.
7 То же справедливо для числа контактов в контактных (1, &)-
нолюсниках, построенных по методу каскадов. Внимание автора на
второе из этих исключений обратил В. И. Иванов.
412

определяется входным напряжением у{. Таким образом,
соединительное дерево реализует функцию, коэффициенты
разложения которой по xY, х2,..., хг согласно равенству
(Ф1) суть г/0, yv . . ., у2/_ь Отсюда ясно, что, соединяя/с
соединительных деревьев переменных^, х2, . . ., хп_т с
универсальным многополюсником переменных яя__т+1, #я_т+2, . . ., хп,
где l<^w^ft, и отбрасывая лишние лампы с учетом
соотношений (Ф2), можно построить схему для любых к заданных
функций п переменных9.
Рис. 4.
Универсальный многополюсник можно построить либо
по усиленному методу каскадов, либо по методу,
описанному в [2, гл. VII, стр. 88—89].
Заметим, что оценка (4.24) в книге [2, стр. 50]
фактически относится не к третьему основному методу (методу
деревьев), а к методу универсальных многополюсников при
т = 2.
ЛИТЕРАТУРА
Быстродействующие вычислительные машины. Пер. с англ. под
ред. Д. Ю. Панова, ИЛ, М., 1952.
Синтез электронных вычислительных и управляющих схем. Пер.
с англ. под ред. В. И. Шее та нова, ИЛ, М., 1954.
A. W. Burks, J. М. Go pi. The Logical Design of an Idealized
General-Purpose Computer. Journ. Franklin Inst., V. 261, Nos 3, 4,
1956.
Г. H. Поваров. Рецензия на книгу «Синтез электронных
вычислительных и управляющих схем». Автоматика и телемеханика-
т. 15, № 6, 1954.
8 Способ нумерации комбинаций (наборов) входных напряжений
описан в [2, гл. III, стр. 22].
9 Таким образом, метод деревьев было бы точнее называть
методом соединительных деревьев.
413

5. М. А. Г ав рилов. Теория р елейно-контактных схем. Изд-во АН
СССР, М.—Л., 1950.
6. Г. Н. Поваров. О синтезе контактных многополюсников. ДАН
СССР, т. 94, № 6, 1954.
7. Н. М. Sheffer. A Set of Five Independent Operations for Boolean
Algebras. Trans. Amer. Math. Soc, V. 14, No 3, 1913.
8. H. Rohleder. Der dreiwertige Aussagenkalkiil der theoretischen
Logik und seine Anwendung zur Beschreibung von Schaltungen, die
aus Elementen mit zwei stabilen Zustanden bestehen. ZAMM, Bd. 34,
Nr. 8/9, 1954.
9. Г. H. Поваров. Исследование контактных схем с минимальным
числом контактов. Канд. диссертация, И AT, АН СССР, 1954.
10. Г. Н. Поваров. Математическая теория синтеза контактных
(1, /с)-полюсников. ДАН СССР, т. 100, № 5, 1955.
11. G. Р 6 1 у a. Sur les types des propositions composees. Journ. Symb.
Logic, V. 5, No 3, 1940.
t

v
А. Д. X арке вин
О КОММУТАЦИОННЫХ СХЕМАХ
И ИХ ЛОГИЧЕСКОЙ СУЩНОСТИ
При исследовании принципов работы многих устройств,
применяемых в различных областях техники, полезно
рассматривать их как устройства дискретного (релейного в
широком смысле слова) действия. Для таких устройств
существенным является наличие некоторого числа состояний
некоторых характеристик этих устройств.
Если в какой-нибудь физической системе используются
устройства дискретного действия, находящиеся во взаимной
зависимости друг от друга, то определенные характеристики
всей системы в целом также рассматриваются как дискретные.
При этом зависимости оказываются весьма сложными. При
проектировании физических систем, изучении их принципа
действия, поведения при различных повреждениях и в других
случаях необходимо знать закон зависимости характеристик
системы в целом от характеристик используемых в ней устройств.
Если изучаемая физическая система является системой
дискретного действия, то для описания ее характеристик и
поведения необходимо знать логическую структуру (логическую
схему) этой системы.
Изучение логических структур дискретных физических
систем является предметом теории схем, которая получила
наибольшее развитие в исследовании релейно-контактных систем [1].
Сложность создания теории схем самого общего вида, т. е.
схем, в которых возможны любые дискретные функциональные
зависимости между отдельными частями схемы и любые
законы построения (взаимной связи отдельных частей),
обусловливает использование индуктивного метода развития этой
теории, который выражается в изучении и разработке теории
отдельных классов схем. При этом особый интерес для
инженерных приложений представляют упорядоченные схемы,
т. е. схемы с небольшим числом закономерностей построения и
415

типов воздействия отдельных частей, так как схемы общего
вида, как это будет показано ниже на примере дискретного
Q-полюсника, в большинстве случаев теряют значение для
техники из-за их сложности.
В настоящей работе ставится вопрос о выделении из
совокупности дискретных схем класса коммутационных схем
как схем, предназначенных для передачи воздействий между
однородными объектами.
Такая постановка вопроса оправдывается в первую очередь
интересами технических приложений, так как
коммутационные схемы выполняют специфические для них функции и имеют
свои специфические технические характеристики и области
применения. С другой стороны, она может быть полезной и для
развития теории схем, так как теория блочного построения
коммутационных схем снимает часть непреодолимых до сих
пор трудностей, которые возникают при рассмотрении схем
в общем виде.
Коммутационные схемы
Рассматривая логическую сущность работы дискретных
систем, наиболее удобно пользоваться дискретными
функциями с конечным числом значений и конечной областью
определения.
В общем случае такая функция может иметь к
аргументов, принимающих р значений каждый (р-значные аргументы),
а сама функция на любом из рк наборов аргументов может
принимать любое из v значений (v-значная функция). В
частном случае при р=2 и v = 2 дискретная функция будет
булевой функцией (двузначной функцией двузначных
аргументов). '
В физических системах могут встречаться самые
различные характеристики, описываемые дискретными
функциями. Совокупность дискретных функций, описывающих
характеристики системы, составляет логическую схему
рассматриваемой системы и выражает ее логическую сущность.
Иногда этими характеристиками являются характеристики
воздействия между некоторым чисдом Q объектов. Тогда
общая логическая схема воздействий между Q объектами
будет представлять из себя дискретный ()-полюсник.
Дискретным (?-полюсником назовем схему, имеющую Q
полюсов ((^-элементов первого множества), каждой паре
которых поставлены в соответствие одна или две
характеристики воздействия между ними. Характеристики эти обычно
имеют вид дискретной функции I Q(Q — 1) или 2~(?((? — 1)
элементов второго множества].
416

В частном случае, если характеристики воздействия
между любой парой полюсов являются булевыми функциями,
мы имеем контактный (?-полюсник [1, 3J.
Дискретную функцию, описывающую характеристику
воздействия полюса q- на полюс qj и являющуюся в общем
случае v-значной функцией к р-значных аргументов,
обозначим через
#(?<> ?./)=# 0*1» Х2,- ". Хк)-
Если воздействие между полюсами д. и gj двустороннее,
т. е. воздействие полюса д4 на полюс gj такое же, как и
воздействие полюса gj на полюс д4, то
D(q{1 gj)=D(gj, q4).
Так как число F таких функций равно F = ^k, то число
Lg различных ф-полюсников будет равно:
а) при одинаковой функции воздействия полюса i на / и
полюса / на i [D(g4l gj) = D(gj, qt)]
T v 2 Г .
б) при разных функциях воздействия полюса i на / и
полюса / на i [D (д0 q))=£D(qj, q{)]
В большинстве такие ()-полюсники являются сложными,
как это показано для случая контактных двухполюсников
К. Шенноном [2], контактных ф-полюсников— Э. Гильбертом [3]
контактных (1 хМ)-полюсников — Г. Н. Поваровым [4—6],
контактных (УУхМ)-полюсников — В. М. Остиану [7].
Выделение отдельных классов логических схем и, в
частности, классификация дискретных (?-полюсников
представляется весьма сложной задачей, так как желательное
разделение на классы должно исходить не только из логической
сущности рассматриваемых схем, но и должно
согласовываться с интересами инженерных применений.
При рассмотрении дискретных (?-полюсников как
логических схем, предназначенных для передачи воздействий между
некоторым числом (Q) объектов, естественно выделить такие
схемы, которые предназначены для передачи воздействий
между однородными объектами. Такие схемы
соответствуют физическим системам, используемым в различных
областях и, в частности, в технике связи (телеграфии,
телефонии, широковещании, телевидении), телемеханике, в
технике счетно-решающих механизмов. При этом такие схемы
417

могут описывать как логическую сущность отдельных устройств
и приборов (например, блока передачи импульсов от
перфокарт к счетчикам в счетно-аналитических машинах), так и
сложнейших систем в целом (например, телефонных сетей,
охватывающих территории города или целой страны).
Логические схемы, предназначенные для передачи
воздействия между однородными объектами, назовем
коммутационными схемами. В этом случае выделение класса
коммутационных ()-полюсников из дискретных ()-полюсников
целесообразно произвести с помощью запрета одновременного
воздействия одного объекта на несколько других, т. е. с
помощью разрешения лишь попарных воздействий. Условно
это можно записать в виде равенства нулю цепочки воздействий
между двумя объектами через третий объект, т. е.
D(9t,qj)-D(q„9.)=o. (1)
Для частного случая контактного (?-полюсника, когда
дискретная функция D является булевой и ее можно
трактовать как проводимость G между полюсами, соотношение (1)
можно записать в виде
<?(?,, qj)G(q{, дл)=0. ф (2)
Условия (1) и (2) будем называть условиями
ординарности.
В физических системах, в которых имеет место передача
воздействий между объектами, объекты часто разделены
на две группы, и тогда предметом исследования является
ориентированная передача воздействий от объектов первой
группы к объектам второй группы.
В этом случае логической схемой, соответствующей
рассматриваемой физической системе, будет дискретный (N X М)-
полюсник, т. е. дискретный ориентированный ()-полюсник,
у которого Q полюсов разбиты на две группы N и М по
принципу направления передачи воздействия. Назовем
группу из N полюсов входами, а группу из М полюсов —
выходами.
Для таких схем существенно отсутствие передачи
воздействий как между полюсами из группы N (входами), так
и между полюсами из группы М (выходами). Поэтому при
выделении класса коммутационных (N X М)-полюсников из
дискретных (N X М)-полюсников к условию ординарности
следует добавить условие отсутствия непосредственных
воздействий между полюсами отдельных групп, т. е.
D(n4, nj) = 0\ ^)
D{miy mj)=0)'
418

Эти условия для случая контактных (N X М)-полюсни-
ков запишутся в виде
G(nt, nj) = 0\ (4)
G(mt., mj) = 0J
Условия (3) и (4) назовем условиями
разделённо сти 1.
Запись условий ординарности (N X М)-полюсника можно
осуществить двумя соотношениями вида (1) или (2).
Для случая дискретного (N X М)-полюсника эти
соотношения имеют вид
0(т{, /zy)Z)(m., пе) = 0) '
а для случая контактного (N X М)-полюсника их можно
записать в виде
G(nt, mj)G(ni7 те) = 0\ ,g,
G(m{, nj)G(mi, л,) = 0|
Итак, класс коммутационных (УУхМ)-плюсников
выделяется из дискретных (ТУхМ)-полюсников соблюдением
условий разделенное™ (3) и ординарности (5), которые для случая
булевых функций записываются в виде (4) и (6). Для случая
(1 х М)-полюсника условия разделенности и ординарности
соответственно упрощаются. Двухполюсник удовлетворяет
условиям разделенности и ординарности, и поэтому любой
дискретный двухполюсник является коммутационным.
Рассмотренное выделение класса коммутационных схем
имеет не только логический интерес, но и позволяет наметить
область применения таких схем.
2. Регулярные операции над коммутационными схемами
С точки зрения технических применений помимо вопросов
оптимального построения коммутационных схем весьма
важным является так называемое построение блоками, при
котором более сложные схемы получаются из более простых
посредством некоторых регулярных операций.
Рассмотрим три регулярные операции над
коммутационными схемами, имеющие важное значение в технических
применениях, и выясним условия, при которых, в результате этих
операций, получается коммутационная схема.
1 Следует разделённость отличать от разделительности, под
которой в литературе чаще всего понимают одновременное соблюдение
условий (3) и (5) или (4) и (6).
419

Эти операции назовем объединением,
каскадным построением имногоступенным
(функциональным) построением.
> Не снижая общности, можно рассматривать операции для
случая, когда дискретные функции являются булевыми.
а) Объединение
При осуществлении этой операции могут объединяться входы
коммутационных схем и выходы коммутационных схем. Пусть
две коммутационные схемы Sx и S2 даны их матрицами про-
водимостей (в общем случае — матрицами воздействий):
G'(nv тл) G'(nv т2) . . . G'(nv mMJ
■ о и ||G>2> mi) G'K Ш2) ' ' ' С'(Я2> Шм)
I'M
1^1 =
G'(nNt> mi) G'(V m2) • • • G'Kv mJft)
G"^, mjG"^, m2). . . G"(nv m^
G"(*a, m2) G*(/i,,m2). . .G*(nrmMJ
G'(n„M, m^G'^m,). . . G" (n^ m^
где С и G"— любые булевы функции.
Матричный способ позволяет коротко описать структуру
и действие коммутационной схемы, так как матрицы ||*М и
\\S2\\ дают запись воздействий между полюсами схемы.
Первая коммутационная схема имеет Nx входов и
выходов, а вторая — N2 входов и М2 выходов. Пусть для
определенности 7V2 }> 7VX и М2^>М1. Операцию объединения
входов у коммутационных схем Sx и S2 будем обозначать
S^ —oS2 и понимать под ней составление матрицы вида
l^l=|5il-o|5J = (l,0l11
G'(nv т,). . .G'(nv mM)G"(nv mj . . . G«(nv mMJ
G'(nNi, иг,). . .G'(nNi, mM^G"(n^ mx) . . . G"(nSi, тщ)
0 ... 0 G"(^i+1, mx) . . . G"(n№i+V mM)
0
0 G"(n,v mt) . . . G"(n^ mMJ
420

Операцию объединения выходов у коммутационных схем Sx
и S2 будем обозначать Sx о- S2 и понимать под ней
составление матрицы вида
l^lllioi
1Л1= 11^1^11^
G' (nv mj . . . G' (nv тм) О
^2 II
О
G' (nv mt) . . . G' (ngt, тм) 0 ... О
G"(nv тх) . . . G"(nv mMi)G"(nv mJ/+1) . . . G"(nv тМг)
G"(n«,>m0 ■ ■ ■ 0"Ытм)°"(пк,>тм1+1) ■ ■ ■ G"{n^mM)
В рассмотренном примере объединялись все N\ входов
в первом случае и все М1 выходов во втором. При помощи
операции объединения входов у коммутационной схемы
^(^X^i) (Nx входов и Мх выходов) и у коммутационной
схемы S2 (N2 X М2) (N2 входов и М2 выходов) мы получили
схему S(NxM), число входов N которой равно большему
из чисел N} и N2, а число выходов М — сумме чисел М1 и
М2. Для нашего случая iV = 7V2, М = Мх-\-М2. Таким
образом,
S(N X M) = SX(NX X Мг) -oS2{N2 X M2)=S[N2 X
X(Mx-\-M2)l (7)
Аналогично при операции объединения выходов,
получим
S' (N' X М') = S, (N, XMJo-Sz (iV2 X М2) =
= S'[(N1 + N2)XM21 (8)
Такое объединение является частным случаем более об*
щего, когда объединяются не все, а произвольное число
входов или выходов. Этот случай можно условно записать
следующим образом:
I^IIHI^I-oll^lH psjiou
IfloiKH
million
11^1=11^110-11^11=
oflfl^ll Г
(9)
(10)
421

Соотношения (9) и (10) для случая N2^>N1, М2^>М1можно
записать так:
S(NXM) = S1 (N, X Мх) ^S2 (N2 X М2),
где AT8<iV<iV1 + 7V2, М = М1+М2;
S'(N' X M^^S^N, X MJo-S^Nt X М2),
где N' =N, -f tf8, М2 < М' <Л/х + М2.
В частном случае число объединяемых входов и
выходов может быть равным нулю. Тогда операцию объединения
будем называть нулевым объединением, или составлением
матрицы каскада.
Условно нулевое объединение можно записать так:
|*|=1*1-о-1* 1=||] о1,1,1 \Ц
Операции объединения входов, выходов и нулевое
объединение можно производить над несколькими схемами (или
их матрицами) и осуществлять многократно в любом порядке.
Объединение коммутационных (1 X Л/)-полюсников и
двухполюсников является частным случаем рассмотренных
операций.
Операции объединения входов или выходов соответствуют
запараллеливанию входов или выходов физических систем
в соответствии с рис. la, lb, lc, Id с целью увеличения
числа входов или выходов или того и другого вместе.
Выясним условия, при которых операция объединения
приводит к схеме из класса коммутационных схем.
Если Sx и S2— коммутационные схемы, то они
удовлетворяют условиям ординарности и разделенности. Соблюдение
условия ординарности означает равенство нулю попарных
произведений элементов одной строки или одного столбца
матриц IS J и Ц^Ц.
Для того чтобы схема S или £" была коммутационной,
необходимо, чтобы соблюдалось условие ординарности2 для
этих схем, т. е. в матрицах Ц^Ц и \\S'\\ попарные произведения
элементов одной строки или одного столбца должны быть
равны нулю.
Это имеет место в случаях:
а) Если G и G" функции, не имеющие общих аргументов
(случай, который очень часто имеет место в технических
приложениях). Для краткости это условие назовем
независимостью.
2 Соблюдение условия разделенности при объединении, как и при
других операциях, рассматриваемых далее, очевидно.
422

б) Если G и G" имеют общие аргументы, но взаимно
ортогональны. Для краткости второе условие назовем
ортогональностью. Таким образом, операция объединения не
приводит к схеме из класса коммутационных схем при
наличии независимости или ортогональности элементов
исходных матриц*
/о-
tyo-
Ц*">
N0xM9
-of
-oMf NjO—
-о/ /o-
N1%Mi
N-хИ,
-o/
-oMf
-oM,4
-oM7
/o-
N,o-
/fco-
N,*M,
-o/ /o-
-<W, Nto-
-o/ /o-
^ «°-
Л£ж/*/,
*i'"*
-o/
-oM,
Рис. 1.
б) Каскадное построение
Операцией каснадного построения для схем Аг, А2, . . ., Аа;
Bv В2У . . ., В ; . ..; И^, W%, . . ., W£ назовем операцию вида
||К,\\ X ЦМП1 X \\кг\ X |М2|| х ... х \м^Л х ll#JI.
где
^НИЛ-о-МЛ-о- . . . -o-MJ
II^INII^JI -o-||fi2| -о- . . . ног Ш
l*J=|WM
-o-
ivr
423

а \\Мг\\, \\М2\\, . . ., ЦМ,,»!! — числовые матрицы, элементами
которых являются нули и единицы. Эти матрицы,
выражающие закон соединения выходов предыдущего каскада со
входами последующего, назовем межкаскадными.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся в
приложениях случай, когда межкаскадная матрица содержит по
одной единице в каждой строке и столбце.
Пусть коммутационные (N X М)-полюсники А19 А2У В1 и
В2 даны их матрицами проводимостей:
||^||=IGllGl8|
11^21 ^22 ||
1*,|=
Git smi
11 °"12
smi smi
G21 G22
М2||=|
1*2 1 =
G\\ G\A
G'l\ G22ll
\GnGn\
lG21 G22l
и дана межкаскадная матрица \М|| =
1000
0010
0100
0001
. Проделаем
операцию двухкаскадного построения.
Нулевым объединением получим матрицы каскадов \К^\
l*il=Mii-o-M.I=
1^1=1^11-0-|я, II •=
Gn
^21
0
0
G"n
Gn
0
0
G12
^22
0
0
G12
G22
0
0
0 0
0 0
G'n G'n
с с
"21 "22
0 0
0 0
SMn /~i in
Gn Gv
smi* si in
G21 °22
Тогда матрица каскадного построения будет равна
№11x11^11x11^11 =
GllG'll G11G12 G12G11 G12G12
G21Gi'l G21G'l2 G22Gli G11G12
Gl /Iff SM SMI SM SMIt SM SMH
11G11 G11G12 Gl2G'll G12G12
Gl sin Sit SMI SM SMll Sit SMn
21G11 ^21^22 ^22^11 Cr22G12
424

Так как исходные схемы являются коммутационными, то
они удовлетворяют условию ординарности, а следовательно,
в матрицах исходных схем попарные произведения элементов
одной строки или столбца равны нулю. Легко видеть, что
матрицы схемы, получаемой каскадным построением,
удовлетворяют условию равенства нулю попарных произведений
элементов, стоящих в одной строке или столбце. Поэтому в
результате операции каскадного построения над
коммутационными (Л^хМ^-полюсниками мы получили также
коммутационный (^хМ)-полюсник.
Приведенные выше рассуждения относились к случаю,
когда исходные коммутационные схемы имеют одинаковое
Рис. 2.
число входов и выходов, т. е. для случая, когда матрицы
исходных схем квадратные и имеют одинаковое число элементов.
Сказанное в одинаковой степени относится и к операции
каскадного построения над произвольными коммутационными
схемами.
Операции каскадного построения соответствует подключение
выходов коммутационных схем предыдущего каскада ко
входам коммутационных схем последующего каскада по закону,
определяемому числовой межкаскадной матрицей, как это
показано для рассмотренного примера на рис. 2.
в) ног тупеиное построение
Операцией многоступенного построения назовем
многократное применение операции каскадного построения. Много-
ступенное построение осуществляется следующим образом.
Если
'11^1=«^1«х||м||х||л:2||,
425

где
ll^illHHxII-o-IIAI-^ о-И. II
И
1*211 = 11^1 -0-J5J -О O-WBJ,
то для матриц первого каскада справедливо
\\А<\М\К'г\\Х\\М'\\Х\\Ч>
в свою очередь
||л:|=|^||хр"|х|^||ит. д.,
наконец
№-1)\\=\\к\\\х\\м>1х\\к>1.
Аналогичные преобразования производятся над матрицами
второго каскада. Многоступенному преобразованию
соответствует схема взаимных соединений, показанная на рис. 3.
Многоступенное построение коммутационных схем широко
применяется в автоматической телефонии. Примеры такого
построения рассмотрены в работах [8—12].
Так как многоступенное построение является
многократным повторением каскадного построения, *а последнее при
426

указанном типе межкаскадной матрицы не выводит из класса
коммутационных схем, то легко видеть, что получаемая в
результате этого преобразования схема будет коммутационной.
Выводы
1. При рассмотрении логической сущности физических
систем удобно пользоваться понятием логической схемы как
совокупности дискретных функций, описывающих
характеристики системы.
2. Целесообразно также использование понятия дискретного
()-полюсника, который является логической схемой,
предназначенной для передачи взаимодействия между любыми из
Q объектов.
3. Дискретные ф-полюсники, осуществляющие передачу
воздействий между однородными объектами, следует выделить
в отдельный класс коммутационных ()-полюсников с помощью
условия ординарности.
4. Дискретные (7УХ^)-полюсники, осуществляющие
передачу воздействий между однородными объектами, выделяются
в отдельный класс коммутационных (ЛгхМ)-полюсников с
помощью условий ординарности и разделенное™.
5. С точки зрения технических приложений представляют
интерес операции над коммутационными схемами, названные
в работе операциями объединения, каскадного построения и
многоступенного построения.
6. Если исходные схемы являются коммутационными,
а элементы их матриц — независимыми или ортогональными,
то операция объединения приводит снова к коммутационной
схеме.
7. Операции каскадного построения и многоступенного
построения над коммутационными схемами при использовании
межкаскадных матриц, содержащих только одну единицу
в каждой строке и столбце, всегда приводят к
коммутационной схеме.
ЛИТЕРАТУРА
1. М. А. Гаврил о в. Теория релейно-контактных схем. Изд-во АН
СССР, 1950.
2. С. Е. Shannon. The Synthesis of Two-Terminal Switching Cir-
quits. Bell Syst. Techn. Journ., V. 28, No. 1, 1949, pp. 59—58.
3. E. N. Gilbert. N-terminal Switching Circuits. Bell Syst. Techn.
Journ., V. 30, No. 3, 1951.
4. Г. H. Поваров. Исследование контактных схем с минимальным
числом контактов. Диссертация, ИАТ АН СССР, 1954.
5. Г. Н. Поваров. О синтезе контактных многополюсников. ДАН
СССР, т. 94, № 6, 1954.
427

6. Г. Н. Поваров. Математическая теория синтеза контактных
(1, *)-полюсников. ДАН СССР, т. 100, № 5, 1955.
7. В. М. Остиану. О синтезе контактных схем с шаговыми
переключателями. ДАН СССР, т. 103, № 5, 1955.
8. С. С 1 о s. A Study of Non-blocking Switching Networks. Bell Syst.
Techn. Journ., V. 32, No. 2, 1953.
9. С Y. Lee. Analysis of Switching Networks. Bell Syst. Techn.
Journ., V. 34, No. 6, 1955.
10. А. Д. Харкевич. Многоступённое построение полнодоступных
коммутационных систем. ДАН СССР, т. 112, № 6, 1957.
И. А. Д. Харкевич. О построении полнодоступных
коммутационных систем. Сб. научных работ по проводной связи, вып. 5, Изд-во
АН СССР 1956
12. W. Keister, А. Е. Ritchie, S. Н. Washburn. The Desigu
of Switching Circuits. Van Nostrand, N. Y., 1953.
t

=вг=
Б. М. Раков
ЛОГИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СХЕМ РЕЛЕЙНОГО ДЕЙСТВИЯ,
СОДЕРЖАЩИХ СОПРОТИВЛЕНИЯ И КОНТАКТЫ
В настоящей статье рассматриваются вопросы построения
схем релейного действия, составленных из сопротивлений и
контактов, с помощью алгебры логики. Логический синтез
таких схем является новой проблемой, важность которой
обусловлена тем, что применение сопротивлений часто
позволяет сократить число контактов в схеме [3]. Благодаря этому
оказывается возможным строить сложные шифраторы и
дешифраторы для различных преобразований информации.
1. Предварительные замечания о рассматриваемых схемах
Выберем величину, с помощью которой можно определять
релейное действие схемы и записывать его средствами алгебры
логики.
Будем различать в схеме релейного действия точки входа
и выхода. Точками входа схема подключается к источнику
энергии, точки выхода соединены с реагирующими органами,
которые управляют действием соответствующих реагирующих
элементов. Релейное действие схемы охарактеризуем
величиной коэффициента передачи напряжения Ки от входной (или
входных) точки к рассматриваемой точке выхода. Для схемы
релейного действия, в соответствии с [1], существенны две
группы значений Кп: Кп1 и Ки1Г причем
*«<*„. *.„>*.р. (1)
Если Ки входит в группу КчП, то реагирующий элемент,
соединенный с рассматриваемой точкой выхода, срабатывает,
производя переключения в схеме. Если Ки входит в группу
KhV то срабатывания не происходит. Отметим, что для кон-
429

тактных неинверсных схем Киа = 0, К =i. Мы будем рас^
сматривать схемы, в которых Ки принимает значения1:
*.! = *■. = 0. Ки11^Кир>0. (2)
Схема при этом составляется из управляемых контактов и
постоянных активных сопротивлений, не равных 0 или оо;
источник питания схемы генерирует постоянное напряжение (70.
Наши результаты применимы и в случае, если вместо
активных сопротивлений в схеме используются постоянные
реактивные (емкость или индуктивность), a UQ является
переменным напряжением фиксированной частоты.
4t
/о (ZZb
б ч>щг
20 X_t
Рис. 1.
2. Логические свойства четырехполюсников Zx и Zn.
Будем представлять рассматриваемые схемы в виде
соединений элементарных электрических цепей — четырехполюсников
особых, вводимых автором типов Z и Z [2], [3]. Определяя
коэффициенты передачи Ки для отдельных четырехполюсников
и их соединений, а затем исследуя изменение значения Ки,
можно выяснить логические свойства четырехполюсников
Z , Zrl и их соединений, необходимые для синтеза схем.
Четырехполюсник Zz (рис. la) имеет точки входа i, 2
и точки выхода 3, 4; к точкам выхода подключается
реагирующий орган (например, обмотка реле х). Zr содержит
постоянное сопротивление Z2 (проводимость У2) и контактную
цепочку / (она может содержать, в частности, только один
контакт)2 с переменными сопротивлением Z2 и
проводимостью У2.
Четырехполюсник Zn (рис. 16) в отличие от Ъ\ имеет
два постоянных сопротивления (ZT, У, и Z3, У3); / — кон-
1 Ряд таких схем был испытан экспериментально и использован
в действующих установках, применяемых в информационных работах
в Институте научной информации АН СССР.
2 Контактные цепи мы обозначаем структурными формулами,
применяя для этого алгебру логики согласно [1].
430

тактная цепочка с переменными Z2, У2. Здесь и далее
предполагается, что реагирующий орган X имеет
сопротивление R и проводимость Y . Отметим, что в соответствии
с [1] справедливо:
. /=1, Z2 = 0, Y2=oo; / = 0, Z2=co, Y2 = 0. (3)
Используя положения теории пассивного
четырехполюсника [4] и применяя его матрицу [5], получим формулу
для ки четырехполюсника типа Zr:
К.= у1 у ■ (4)
Подставив теперь в (4) условия (3), получим:
/=1, К„=0, /=0, #а>0. (5)
Из (5) следует, что структурная формула,
характеризующая логическое действие Zp имеет вид:
F(X)=J.X. (6)
Четырехполюсник Zr моделирует логическую операцию
инверсии входящего в него контакта или контактного
соединения.
Подобным путем для Ки четырехполюсника Zn получим
следующую формулу:
■**■« у у у у V * ^ '
или
F(X)=f.X. (8)
Четырехполюсник Zn моделирует логическую операцию
инверсии входящего в него контакта или контактного
соединения.
Рассмотрим теперь каскадное (рис. 2а) и параллельное
(рис. 26) соединения однотипных четырехполюсников. На
рис. 2а и 26 четырехполюсник с номером i обозначен
прямоугольником с соответствующим номером, причем l^i^ra.
Будем считать, что четырехполюсник Zr с номером i
обозначен через Z ; в обозначения его элементов также введем
индекс i. Аналогичные обозначения установим и для Zn
с номером i. Ки для ZIt. или Zn. обозначим через' Kui, ре-
431

зультирующий коэффициент передачи соединения п
четырехполюсников обозначим как К\ Очевидно, что для
Каскадного соединения ZIt. или Zni (рис. 2а) справедливо [5]:
«:=«„■■ ■£„<••-к,*- (9)
Учитывая (3), (4), (7), (9), получим, что структурная
формула действия каскадных соединений Zu или ZUi одинакова:
/г(х)=л...л---/»^ (Ю)
31 tn
И 2п
Зп
4гг
71
Т
1 21
и I '
2i | [
/tfl '
2/71
i
7?
31
4/7
3i
и §|
'
Каскадное соединение
четырехполюсников Zj. или Zjj.
моделирует булево умножение
инверсий входящих в них
контактов или контактных
соединений.
С помощью матричных
методой [5] были получены сле-
и Щ X дующие выражения для Кпп
параллельного соединения 3:
а) для
четырехполюсников ZT
К»=-
1 +
lv.y,
Рис. 2.
nY
1 У
;(И)
»=1
б) для четырехполюсников Zu
1
К*
2
4=1
Y3 (Vt + У*)
Ух+^+^З
^2*
+,—
<=1
. + ^2* -+" ^3
2уг
УтУз
<=i
+ У а + Y3
(12)
3 В целях упрощения принято условие Yu=Ylt Yzi=Y3.
432

Подставляя в (И) и (12) зависимости (5), получим 4:
в) для четырехполюсников Zl
F(X)=f1.../i...fnX; (13)
г) для четырехполюсников Zn
F (X) =fl...fi...fnX = (Л + • • • + Л + • • • +/.) X. (14)
Параллельное соединенно четырехполюсников Zn
моделирует булево сложение инверсий входящих в них контактов
или их соединений.
Параллельное и каскадное соединения
четырехполюсников Zx обладают одинаковым релейным действием.
Параллельное соединение Zu обладает важным свойством
приводимости, используя которое можно сокращать число
контактов в схеме релейного действия [3]. А именно: если
схема релейного действия содержит группу различных ZIb,
входы которых присоединены к источнику питания, а
выходы к соответственным X., причем каждый Zn. группы
содержит один и тот же контакт или их соединение Д. с
одинаковой проводимостью Y2i для всех i, то такая группа
может быть заменена эквивалентным ей по релейному действию
многополюсником, имеющим две точки входа, один элемент
^i» ^i» один элемент f{ и столько элементов Z3i1 Y3i,
соединенных с соответственными Xt, сколько было их в группе
четырехполюсников ZUi до приведения.
Количество приводимых Zn. группы ограничивается
условиями (2). Если элементы fi — не контакты (а, например,
электронные и т. п. элементы), т. е. условия (3) изменены,
то количество приводимых Z и еще более ограничивается
за счет конечных проводимостей Y2i.
3. Синтез схем с сопротивлениями и контактами на основе
использования логических свойств четырехполюсников Z
Пусть любой Zu содержит элемент с проводимостью Yu = У1
и элемент f{. Перепишем (6) условно, отражая в логической
(структурной) формуле инверсию действия f{ за счет
использования Y}:
F(X)^fiXi~\YJi\Xi, (15)
где [YJi | = 0, если Д = 1, и \Y1fi\ = i, если /t = 0. Знак=
указывает на эквивалентность по релейному действию. Далее,
4 Знак -f- есть символ булева сложения.
433

обозначим через Р. точку четырехполюсника ZUi, в которой
соединяются элементы Ух, Д., Х4 (аналогично точке 3 на
рис. 1а), и введем условную запись:
\г^{\х4=\ги\х,=ир(. (16)
Рассмотрим наиболее общий случай релейно-контактной
схемы (рис. За), структурная формула которой имеет вид0:
Используя (15), (16), преобразуем (17):
(17)
(18)
*=1
i=l
2&-
J I I
/0-
I II 1П.
I—L L—L I—L
кП хП кП
Рис. 3.
Схема с введением Zj и формулой (18) примет вид,
показанный на рис. 36. Очевидно, что различные Д. имеют
одну общую точку (точка 2 на рис. 36) и я точек /V
Поэтому в схеме (18) возможны такие же преобразования
с использованием результатов теории релейно-контактных
схем, как и в обычной схеме общего вида (17) с одним
входом и п выходами. За счет таких преобразований в ряде
случаев схема (18) имеет меньше контактов, чем (17), хотя
релейное действие схем одинаково.
Пример 1. Схема для кодирования цифр 1-^-7 десятичной системы
счисления соответствующими двоичными числами.
Пусть каждой цифре /, 1 ^ / < 7, в схеме соответствует клавиша Aj
с контактами a/, dj. Кроме того, пусть схема имеет реле фиксации
двоичного кода Х{, 1 < i < 3, причем срабатывание реле Х{ означает,
что код содержит 1 на разряде 2« .
Очевидно, структурная формула схемы имеет вид:
F = («14- «з 4- «5 + ai) *i + («2 4- «з 4- ч 4- ai) я* 4-
+(«4+ «5+ «6 +«7)^3 • (19)
5 Здесь и далее 2 — символ булевой суммы.
434

Используем (18) и преобразуем (19), вводя Zx:
F = («1 + «3 + «5 4" al) Pl + (а'2 + аЗ + Ч + al) Р2
+ («4 4" «5 4" Ч + <*l) Рд = «1«3*5«7^1 + «2«3«в«7^2 4" а>'5°"бйУз =
= ^7 («1«3^5^1 4" «6 («2^2 4- <М*Рз)1 * (2°)
I I ' I I гт
"/ °1 °S
I Г, J
#? fy #7
J
~l
f
P и с 4.
Схема (19) приведена на рис. 4а, схема (20) — на рис. 46; в схеме (20])
содержится контактов 9 вместо 12 для схемы (19).
Пример 2. Пусть релейно-контактная схема имеет структурную
формулу вида:
F = ai (а2 4- а3) *, + «2 («1 4" в3) *2- (21>
Введем в схему четырехполюсники Zz и применим "(18):
/' -- а1 (а2+«з) р1 4" «2 («i4-fl3) р2 = («1 + ЧЧ) р\ + («2 4-п«1«з) ^2- (22)
Используя выводы теории [1J, можно установить, что схема с
формулой (22) — мостиковая. Схемы (21) и (22) после преобразования
показаны на рис. Ъа и 56 соответственно; схема Ъб содержит в 2 раза
меньше контактов, чем схема Ъа.
435

Таким образом, любая релейно-контактная схема,,
имеющая структурную формулу типа (17) и вид рис. За, может
быть приведена посредством четырехполюсников Zr к схеме
с формулой (18), рис. 36, в которой могут быть
осуществлены преобразования с целью уменьшения числа контактов.
4. Синтез схем с сопротивлениями и контактами на основе
использования логических свойств четырехполюсников Zn
Логические свойства четырехполюсников Zr определены
формулой (8). Введем символ ■ для последовательного
соединения отрезков электрических цепей и представим (8)
*-т-*
Г
I
1
-7 Т*
rh гп
а о* аз а' аз
Xf Хг
б X, а> "г Хг
Y
Р,
Р и с. 5.
иначе, отражая в структурной формуле для ZIU элементы
'lit fit * 2i'
/? = /Д, = | Уи/,| - YziX{ = Yu - |/<У„|Х< , (23)
где
\Y j.\ - Y -Y ■ \f.Y 1-1 °' еСЛИ fi = i \
Ввиду сходства логических свойств четырехполюсников
Zj и Zn, отраженного в формулах (6) и (8), ясно, что
четырехполюсники Zn можно применять для преобразования
схем так же, как и четырехполюсники Zr:
(24)
где Pt — точка соединения элементов YUl /t, У3,
четырехполюсника ZUi. Однако в этом случае имеется больше воз-
436

можностей для сокращения числа контактов
преобразованной схемы за счет использования свойств дизъюнктивности
(14) параллельного соединения Zn. Это свойство позволяет
при синтезе схемы по (24) разбивать цепочки Д на более
мелкие, с которыми затем и производятся преобразования.
Пример 3. Пусть структурная формула схемы имеет вид:
F = Ч (Ч 4- Ч) Х\ + \Ч (Ч + Ч) + Ч\ ^2 .
При преобразовании схемы согласно (24) используем свойство (14). Это
позволяет разделить цепь при ЛГ2 на две параллельные цепочки кон-
Ь-т^
ГП ГН а3
лг и,, а, ач |
¥ ¥J
т
г~?1
Ь- ^ -7+^,
о, а,
1
1
_L
Jl
;Ц]
Рис. 6.
тактов аъ и а*2 (ах -j- а±). Для преобразования цепи а2 (ai4~a4)
используем четырехполюсник Zll2V для цепи а3— четырехполюсник ZII22.
Ввиду (24) и (14) получим:
f = 4 («2 4- ч) Х\ 4- [а2 (ai 4- а4) 4- «з] х2 = «! (а2 4- «4) Pi 4-
-j- Л2 (Ч + Ч) ^21 4- W2 = («1 4" «2«4> Р\ + (й2 + 4dl) Р2\ + «3^22 •
В соответствии с [1] можно установить, что между Р\ и £>21 имеется
мостиковое соединение через контакт а±.
Схема до преобразований представлена на рис. 6а, после
преобразований — на рис. 66.
Рассмотрим теперь использование свойства приводимости
четырехполюсников типа Zn.
Пусть схема общего вида (рис. За) содержит I
реагирующих органов Xj (1^/^0> причем каждый Xj соединен
с контактной цепочкой /•:
>=1
437

Каждую цепь fj представим в виде:
/,-=2Х-+/},
(26)
где /, —параллельные цепи, входящие в рассматриваемую/у,
причем каждая из цепей f4, еще хотя бы один раз
встречается в виде параллельной цепи в остальных fj схемы;
цепь /'. не встречается повторно. Индекс ij означает
фиксированные номера i для данного номера / (l^i^m). Индекс
i введен для обозначения всех повторяющихся цепочек схемы.
Подставив (26) в (25), получим:
J=i
= 2(2ь+г,
У=1
(27)
Введем в схему (27) четырехполюсники Zn так, что любой
из них включает одну из повторяющихся цепочек /,.,
преобразованную согласно (8):
'-i'[2iy'/*i-
J=i L V
Гс
<j+f;
xj,
Y — Y
(28)
Очевидно, что в схеме (28) содержатся группы
четырехполюсников ZUi (i. — фиксированный номер i), в каждой из
которых любой Zu. содержит один и тот же элемент )..
Выделим эти группы и применим к ним свойство приводимости,
сформулированное в п. 2:
J=i
'=2(2^)^-2
У=1
+
'Л- Ji
|1',/,|-/2п.,ал
2'л- '
+
(29)
Индекс ji введен для обозначения номеров / в индексах
элементов схемы, входящих в группу ZJb. с фиксированным
номером i.
Схема (29) содержит такое же число реагирующих
органов, как и (28); повторение некоторых номеров j\ в
первых двух слагаемых является следствием свойства
приводимости и дизъюнкции (14).
438

Из (29) ясно, что если для любого номера / схемы всегда
/у = 0 и схема не содержит таких цепей, а каждая цепь fit
содержит только один контакт, то схема может быть
построена с минимальным числом контактов. Это справедливо
для кодирующих или шифраторных [6] схем. Структурная
формула такой схемы имеет вид:
J J \ ij J
(30)
10-
i
н=>
ч=>
<fc&-
ф— fff-+
Аз-
т~а
<№-i-\
Ф— аб-\
4 q_—j
P и с. 7.
Пример 4. Схема с формулой (19), как нетрудно видеть,
соответствует по структуре формуле (30). Преобразуем (19), вводя ZTT и
используя (29): *
F=^(4 + 4 + a5-\-a1) ^1 + («2 + «з + «б + «7) Х24-(а4 + а54-
-fa6 + «7) ^3 = 1^1^1 ■ У31ХТ + | ¥га2 | - У32Х2 + \ Y& | - (У3Л +
+ У32Х2) + |У1Й-4| . Узз^з + UVol ■ (^зА + Узз*з) + |У1«б1 -
- (^32^2 + У33^з) + I У1«7 I - (У31*1 + ^32*2 + ^ЗЗ^З)-
Полученная схема содержит минимальное число контактов и
представлена на рис. 7. Символом © обозначено соединение
горизонтальной шины контакта с вертикальной шиной реагирующего органа
через соответствующее сопротивление. ^
Для декодирующих или дешифраторных схем [6] также
возможно достижение минимального числа контактов при
введении в схему четырехполюсников Z .
Структурная формула дешифраторной схемы имеет вид:
F =
?(?'•<)
X,
(31)
439

Будем считать, что каждый реагирующий орган имеет
инверсное действие, т. е. срабатывает, если Ки. входит в группу
Ки1, и не срабатывает, если Knj входит в группу Ки11;
притом Kuj здесь взят для точки / выхода схемы, к которой
подключен Xj. Такой результат для электронной лампы
х
Г '1
Ll Нп Г1"!
а3 ая а.
Ч? ЦЧ «1 °t °.1 &1 $3
I f f I' I I I
|/ *2 *3
x
\ ? t f
10-
!i
2 У»
J (
)
i
)
)
Y37
<\ r\ r\ s\
(
\
* ' V
)
X, X^ Xj Xh X$ X6 x7
I I I ! I I I
'■П
a9-\
*•>->
Рис. 8.
достигается путем перемены полюсов источника питания
в точках входа схемы, причем при срабатывании лампа
открыта, при несрабатывании — заперта. Если Xj — реле,
то для получения инверсного действия можно его либо
включить в схему инверсно, либо использовать его контакты.
Реагирующий^орган Xj с инверсным действием будем
обозначать как Х.г Тогда:
^=№=№
(32)
440

Подставив (32) в (31), получим:
'•=2(?/,)-.-2(Щ,)^=2(|/,)г, (зз.
Структурная схема (33) совпадает с (30), поэтому для нее,
а следовательно, и для (31) справедливы все выводы,
относящиеся к (30).
Пример 5. Рассмотрим дешифраторную схему с формулой:
F — ах [а2а^Х^ + а2 (dsX2 + аз^з)1 + а\ («2 («з^4 + азхз) +
+ а2 (аъХь 4- 4xi)\ •
Схема декодирует двоичные числа 1-—7, набираемые на контактах а
приемных элементов Аъ А2у А3, представляя каждую двоичную
комбинацию соответствующей десятичной цифрой с помощью реагирующих
органов XY 4-Z7.
Преобразуем формулу схемы, вводя инверсное действие
отдельных X и применяя (23):
F = (а1 + а2 + Й) Х1 + (al + &2 + аз) Х2 + (а\ + й2 + Ч) Х3 +
4" («1 4- а2 + Ч) Х1 + («1 4- «2 4" Я~з) Х5 + (й1 + «2 4- аз) Х6 +
+ (*1 4- *2 + йз) ^7 •
В этой схеме используем Zn и преобразуем формулу, согласно (29):
F=| Y^l ■ (У3Л + ^32^2 4- ^ЗЗ^з) + I Yl*l I - (У3Д4 + ^35^5 4"
4-Узо^б 4- Уъ^) + I У 1*2 | ■ (У3Л 4- Уз A 4- ^35^5) 4- I У1Я2 I -
. (У32^2 + УЗЗ^З + ^36^6 + ^37^7)4-|У1«3 1 - (V2 + W +
+ y36ZG) + |yi%| - (У31^14-Уз3Тз4-Уз5^5 4-Уз7^7) •
Схема до введения Zn приведена на рис. 8а, после
преобразования — на рис. 86. Схема рис. 86 содержит минимальное число
контактов.
ЛИТЕРАТУРА
1. М. А. Гаврил о в. Теория релейно-контактных схем. Изд-во АН
СССР, 1950.
2. В. И. Ш е с т а к о в. Моделирование операций исчисления
предложений посредством простейших четырехполюсных схем
Вычислительная математика и вычислительная техника. Изд-во АН СССР,
1953.
3. Б. М. Раков. Исследование некоторых схем релейного действия,
т. 1. Канд. диссертация, МВТУ им. Баумана, 1954.
4. Л. Р. Нейман, П. Л. Калан тар о в. Теоретические основы
электротехники, ч. П. Госэн ргоиздат, 1954.
5. Э. В. Зелях. Основы общей чеории линейных электрических схем.
Изд-во АН СССР, 1951.
6. О. А. Г о р я и н о в, Р. Л. Райнис. Телеуправление. Госэнерго-
издат, 1954.
441

3ft
A. H. Юр асов
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
МНОГОТАКТНЫХ СХЕМ
ПО ФОРМУЛАМ ВКЛЮЧЕНИЯ
Математическая логика широко используется при
аналитическом синтезе релейно-контактных схем. Мы рассмотрим
ее применение для схем, в которых предусматривается
определенная последовательность действия элементов во времени,
т. е. для многотактных схем. Последовательность
действия элементов многотактных схем обычно принято
записывать при помощи таблиц включения, однако более просто
эта последовательность может быть записана при помощи
формул включения, предложенных В. А. Розенбергом [1, 2].
Эти формулы представляют собой ряды букв со знаками +,
где буквы изображают элементы, изменяющие свое состояние;
знак «+» изображает срабатывание реле, а знак «—»
изображает его отпускание. Расположение букв и выбор знаков +
передают последовательность действия элементов.
Существующие алгебрологические методы синтеза
многотактных схем основываются на использовании таблиц включения
[2—7]. Метод, разработанный автором и основанный также на
использовании таблиц включения [6], исходит из
предположения, что каждое состояние (включенное или отключенное)
рассматриваемого элемента схемы в течение последовательного
ряда тактов принципиально может быть обеспечено одним
воздействующим элементом. В настоящей статье этот метод
излагается для формул включения.
Непрерывный ряд тактов, в течение которого какой-либо
из элементов находится во включенном состоянии, назван
периодом включения этого элемента.
Непрерывный ряд тактов, в течение которого элемент находится в
отключенном состоянии, назван периодом отключения.
Такты, непосредственно предшествующие началу каждого из
442

периодов включения рассматриваемого элемента, названы
включающими тактами; такты, непосредственно
предшествующие началу каждого из периодов отключения, —
названы отключающими. Элементы, изменяющие свое
состояние во включающем и отключающем тактах, будут
названы основными по отношению к рассматриваемому
элементу. Непрерывный ряд тактов, равный по числу тактов
рассматриваемому периоду включения, но сдвинутый по
отношению к нему на один такт влево, назван включающим
периодом.
* * *
Сущность предлагаемого бестабличного метода
заключается в следующем. Схема, как обычно, получается путем
графической интерпретации логической (структурной)
формулы схемы. Структурная формула схемы составляется по
правилам булевой алгебры (исчисления высказываний) [2] на
основе последовательного рассмотрения каждого из периодов
включения отдельных элементов схемы. Для какого-либо
элемента W схемы структурная формула составляется таким
образом. Сначала составляется условие срабатывания /' для
первого периода включения элемента ТУ, причем, как
правило, в него вводится один основной элемент, изменяющий
свое состояние во включающем такте. Если введенный
основной элемент вторично изменяет свое состояние в
рассматриваемом включающем периоде, то в формулу вводится в виде
слагаемого 1 дополнительный блокирующий элемент Q, также
изменяющий свое состояние в течение включающего периода
между двумя изменениями состояний основного элемента.
При введении в формулу состояние элемента Q принимается
обратным тому, которое он занимает во включающем такте.
Так, если во включающем такте элемент Q отключен, то
в условие срабатывания должен вводиться его замыкающий
контакт, а если элемент Q — включен, то — размыкающий.
В качестве вводимого дополнительного элемента может быть
также взят самоблокирующий контакт элемента W. Проверка
неизменности функции / в течение включающего периода
названа «первой проверкой».
После составления условия срабатывания составляется
условие отпускания /", в которое сначала вводится один
основной элемент, изменяющий свое состояние в
отключающем такте.
При изменении значения функции /" в течение
включающего периода оказывается необходимым введение в нее
дополнительного элемента, изменяющего свое состояние между
1 Сложение всюду считается булевым.
443

двумя изменениями значений функции /". В этом случае
дополнительный элемент должен быть введен в функцию /"
с учетом состояния этого элемента в отключающем такте
в соответствии со значением союза и. Проверка неизменности
функции /" в течение включающего периода названа «второй
проверкой».
Структурная формула для одного (га-го) периода
включения элемента W записывается как произведение fn ./^ = /
или, при наличии блокирующего дополнительного элемента,
как fn-\-q • f'n=f(W) » а при самоблокировке — как fn -\-w • /?" =
Приведенные структурные формулы, выражающие условия,
необходимые для обеспечения включенного состояния
элемента W в течение одного (га-го) периода включения, должны
быть увязаны с условиями его состояний во всех остальных
тактах.
Если в формуле вида fn.)"n (или fn-\-q.J"n, fn + w-K),
составленной для га-го периода включения элемента W,
раскрыть знак инверсии, а затем раскрыть все скобки, то
каждый одночлен полученной формулы, состоящий из
произведения воздействующих элементов, будет представлять собой
отдельное условие срабатывания элемента W (отдельную
параллельную цепь). Ни одна из таких цепей не должна
возникать в каком-либо такте, в котором обусловливается
отключенное состояние элемента W. Наличие замкнутой цепи,
хотя бы в одном из указанных тактов, приводит к
необходимости введения в нее дополнительного элемента, состояние
которого должно изменяться в интервале между включающим
тактом периода включения элемента W и тактом, в котором
образуется замкнутая параллельная цепь. В этом случае
дополнительный элемент должен быть введен в условие
срабатывания в соответствии с общими правилами, т. е. должен
быть приписан к условию срабатывания (со знаком
умножения) в том состоянии, которое он занимает во включающем
такте периода включения элемента W, и затем проверен на
неизменность состояния во включающем периоде. Выявление
указанных параллельных цепей названо «третьей проверкой».
При составлении структурной формулы для какого-либо
периода включения элемента W нельзя исключать члены
в промежуточных формулах до окончания операций по
третьей проверке.
Структурная формула для всех периодов включения
элемента W находится как сумма структурных формул для
отдельных периодов его включения
444

Общая структурная формула всей схемы находится путем
суммирования структурных формул ее элементов.
Выбор основных элементов и последовательное
нахождение дополнительных элементов, на основании трех
последовательных проверок, могут быть легко произведены по
формуле включения.
Пусть имеется некоторая формула включения для схемы,
содержащей элемент W,
... + A+W —X + Y — W...
I I
В этой формуле легко выделить период включения
элемента W. Обозначим его скобкой снизу формулы.
Включающий период обозначим скобкой сверху формулы. Основным
элементом для условия срабатывания /' является
предшествующий элементу W элемент А, а основным элементом для
условия отпускания /" — предшествующий элемент У.
Неизменность значения функции /' в течение включающего периода
(первая проверка) будет обеспечена, если символ А не
встречается вторично в течение включающего периода; а
неизменность значения функции /" (вторая проверка) будет
обеспечена, если символ Y не встречается в течение включающего
периода. Если неизменность значений функций /' и /" не
обеспечивается, то в них должны быть введены
дополнительные элементы, выбранные из числа элементов, содержащихся
во включающем периоде. При отсутствии необходимых
элементов в формулу включения должны быть введены новые
промежуточные элементы.
Составив для рассматриваемого периода включения
элемента W формулу вида /'./", следует проверить каждую
входящую в нее параллельную цепь (третья проверка).
Такую проверку просто произвести, если обозначить
элементы, входящие в каждую параллельную цепь, числами 2°,
21, 22, 23, 2* и т. д. [3] (т. е. числами 1, 2, 4, 8, 16 и т. д.)
и затем пронумеровать комбинацию из обозначенных
элементов в каждом такте формулы, включая нулевой такт. Номера
комбинаций, соответствующие номеру параллельной цепи,
должны приходиться только на такты, входящие в периоды
включения элемента W. Если такой номер придется на
некоторый такт /с, в котором обусловливается отключенное
состояние элемента W, то в проверяемую параллельную цепь
должен быть введен дополнительный элемент из числа
элементов, заключенных в формуле включения между
включающим тактом элемента W и тактом к.
445

При отсутствии необходимого элемента в формулу должен
быть введен новый промежуточный элемент. Таким образом,
по исходной формуле включения схемы может быть найдена
окончательная реализуемая формула включения и составлены
структурные формулы для всех исполнительных и
промежуточных элементов схемы.
* * *
Методику составления многотактных схем по формулам
включения поясним следующим примером.
Требуется составить многотактпую схему, содержащую
приемный элемент А и исполнительные элементы Хи Х2 и Х3,
последовательность действия которых выражается следующей
формулой включения:
+л+х]+х2-х1+х,-х2-х3+х1 + х2-х1 + х,ит.д.
Составим сначала структурную формулу для элемента X,.
Рассмотрим первый период включения элемента Х} (такты
2 и 3)
^-Л+Х^Х.-Х,.
Для условия срабатывания /' основным элементом
является А, а для условия отпускания /" основным элементом
является Х2. Отсюда
По первой и второй проверкам дополнительных элементов
вводить не надо.
Произведем третью проверку.
Обозначим а числом 1, х2— числом 2; тогда комбинация
а • х2 должна быть обозначена числом 1.
Подпишем номера комбинаций под всеми тактами
формулы включения, учитывая только элементы А и Х2.
+А+Х, + х2- X, + Х3- X,-Sx^+X,\ Х2 - X, + х3.
0 11 3 3 3 ff\ 1 1 3 3 3
Скобками сверху обозначены включающие периоды для
элемента Хг.
Оказывается, что номер 1 проверяемой включающей
комбинации а • х2 встречается в шестом такте (обведен кружком),
когда элемент Хх должен быть отключен. Следовательно,
в цепочку а • х2 необходимо ввести дополнительный элемент,
который должен изменять свое состояние между шестым
446

тактом и включающим тактом рассматриваемого периода
включения элемента Х2 (первым тактом). Таким элементом
является Х3. Он должен быть приписан к формуле в виде
множителя с учетом состояния, которое он занимает во
включающем такте (в первом такте). Как видно из формулы
включения, в первом такте элемент Х3 отключен. Следовательно
/(X,), = а ' Х2 ' Х3'
Рассмотрим второй период включения элемента Х1 (такты
8 и 9)
—Х3 -\-Х1-\-Х2 — X,.
Отсюда
/(Х,)2 = /2 ' > 2 ~= Х3 * Х2-
Произведем третью проверку.
Обозначим х2 числом 1, хг— числом 2.
Тогда хг • х2 будет комбинацией № 0, и такты формулы
включения получат следующую нумерацию
+л + х; + х2-х1 + х3-х2-'х3 + х11 + Х2-Х2 + Х3.
/р\ 00 113 200 113
Номер 0 встречается в нулевом такте, когда элемент Х1
должен быть отключен. Введем в цепочку дополнительный
элемент А. Так как в седьмом такте (во включающем)
элемент Л включен, то
В результате общая формула для элемента Х{ примет вид:
f(xx) = f(xl)il\f(xl)2 = а ' х2 ' хъ "Г хг ' Х2' а = а ' Х2 ' жз-
Составим структурную формулу для элемента Х2.
Для этого элемента достаточно рассмотреть только один
период включения (такты 3, 4, 5), поскольку в тактах 9, 10, 11
условия повторяются.
Возьмем период
-\-Хх -\- Х2 — Хх -|- Х3 — Х2.
Для условия срабатывания основным элементом
является Xj.
Так как он изменяет свое состояние в течение
включающего периода (в такте 4), введем в формулу
самоблокирующий контакт элемента Х2. Для условия отпускания основным
элементом является Х3. Следовательно,
f(X7) = (Х1 ~г xi) ' хъ= Х\ хъ I х2Хъ-
447

Произведем третью проверку для цепочки хх • х3.
Обозначим хг числом 1, хъ — числом 2. Тогда х1 • хъ будет
комбинацией!*^ 1, и такты формулы включения получат нумерацию
-}-А -\-Х1-{-Х2 — Х1 -f- ^з — %2 — ^з + ^1 + ^2 — Х\-т~ ^з-
0)011 02 2 0 1 1 0
о
Дополнительных элементов вводить не надо, так как
номера 1 приходятся только на такты включающих периодов.
Произведем третью про-
—" верку для цепочки х2 • хъ.
Обозначим х2 числом 1, £3 —
числом 2. Тогда х2 • х3 будет
комбинацией № 1, и такты
формулы включения получат
нумерацию
«г,
*з **з х9
I I г
*г
■) 0 0 1 I
-\- Хг —Х2 — -Х"3 +
3 2 0
X
+ х1+х2-х1 + х3.
0 113
Рис. 1.
Дополнительных элементов
вводить не надо.
Составим структурную формулу для элемента Х3.
Рассмотрим период — Х1-\-Х3 — Х2 — Х3.
Отсюда
/(х3) — Х1
X,
--Х1 • х2.
Произведем третью проверку.
Обозначим хх числом 1, х2 — числом 2. Тогда х1-х2 будет
комбинацией № 2, и такты формулы включения получат
нумерацию
+Л+Х1 + Х2-Х1 + Х3-Х2-Х3 + Х1+Х2-Х1 + Х3.
Дополнительных элементов вводить не надо. Теперь легко
записать общую структурную формулу всей схемы:
F = а • х2 • хъ • Хх -\- (хх -j- #2) * хъ * ^2 + xi • х2' Х-з-
Соответствующая схема приведена на рис. 1.
448

Синтез многотактных релейно-контактных схем с помощью
счетно-аналитической машины, по-видимому, наиболее просто
можно осуществлять по описанной методике.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. А. Розен б ер г. Некоторые свойства релейного набора.
Автоматика и телемеханика, № 1, 1939.
2. М. А. Гаврил о в. Теория релейно-контактных схем. Изд-во АН
СССР, 1950.
3. М. А. Гаврил о в. Основные формулы синтеза релейных схем.
Автоматика и телемеханика, № 6, 1954.
4. В. И. Ш е с т а к о в. Алгебраический метод синтеза автономных
систем двухпозиционных реле. Автоматика и телемеханика, № 4,
1954.
5. В. Н. Рогинский, А. Д. X а р к е в и ч. Релейные схемы в
телефонии. Связьиздат, 1955.
6. А. Н. Юра с о в. К вопросу составления структурных формул
многотактных схем. Сб. «Устройства и элементы теории автоматики
и телемеханики», Машгиз, 1952.
7. W. Keister, A. Ritchie, S. Washburn. The Design of
Switching Circuits. Van Nostrand. N. Y., 1951.
==^

Т5
В. Ф. Дьяченко, В. Г. Лазарев
ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕЛЕФОНИИ
АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ПРИ АНАЛИЗЕ
И СИНТЕЗЕ РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫХ СХЕМ
До последнего времени в телефонии синтез релейно-кон-
тактных схем производился в основном чисто интуитивным
путем, поэтому сложность и качество схемы во многом зависели
от опыта и интуиции проектировщика.
В связи с этим, во-первых, число реле бралось зачастую
завышенным, а во-вторых, контактные схемы получались
сложными. Как показал анализ ряда схем, построенных
интуитивным путем даже весьма опытными проектировщиками,
почти все они могли быть упрощены в той или иной степени
с помощью теории релейно-контактных схем, основанной на
использовании алгебры логики.
Попытка широкого внедрения аппарата алгебры логики
в инженерную практику проектирования схем автоматических
телефонных станций (АТС) и, в частности, релейной
телефонной подстанции на 100 номеров была сделана коллективом
группы АТС Лаборатории по разработке научных проблем
проводной связи АН СССР в 1952—1955 гг. Эта попытка показала
не только возможность, но и практическую целесообразность
применения алгебры логики при синтезе схем АТС.
В настоящей статье на нескольких примерах освещается
опыт Лаборатории по разработке научных проблем проводной
связи АН СССР по применению математических методов
синтеза и анализа релейно-контактных схем в телефонии,
основанных на законах алгебры логики.
Рассмотрим преобразования двух типовых схем АТС:
схемы комплекта реле соединительных линий (РСЛ) и схемы
регистра промежуточного оборудования для связи шаговых
с машинными АТС [1 ] и на примере схемы исходящего комплекта
реле соединительных линий (РСЛ) для связи релейной теле-
450

фонной подстанции и районной АТС типа ATG-47 [2]
ознакомимся с основными этапами синтеза новой схрмы.
1. Преобразование схемы комплекта РСЛ промежуточного
оборудования для связи шаговых АТС с машинными АТС j,
Преобразование типовой схемы комплекта ([1], рис. 9) с
помощью законов и соотношений алгебры логики дает возмож-
г*
X.
UB
Рис. 1.
ность упростить схему комплекта. Для примера приведем
преобразование контактных цепей реле В (РСЛ-3) и Д (РСЛ-5) 1.
На рис. 1 изображены цепи включения реле В и Д так,
как это принято в типовой схеме.
Как следует из описания условий работы комплекта [1],
первая и вторая обмотки как у реле 2?, так и у реле Д вклют
чены дифференциально. При этом реле В и Д срабатывают,
если замыкается цепь первой обмотки, и отпускают, когда
замыкается цепь второй обмотки.
Таким образом, реле В (и соответственно реле Д)
работает только тогда, когда цепь первой обмотки (Fbj или Рд^
1 Для удобства условимся обозначать реле, входящие в схему
комплекта РСЛ, следующим образом: реле РСЛ1-—А, РСЛ2—В;
РСЛЗ-В, РСЛ4—Г, РСЛ5—Д, РСЛ6—Е, РСЛ7—Ж, РСЛ8—И,
РСЛ9—К.
451

замкнута и цепь второй обмотки (Fbu или Рд1Л разомкнута
или когда цепь второй обмотки замкнута и цепь первой
обмотки разомкнута.
Это условие по законам алгебры логики будет выражено
следующим образом [3]:
для реле В FB = Рв1Рвп-]г FbjFBii (!)
и
для реле Д Рд = Рд/Дп-\- Рд/дп. (*')
Теперь нетрудно записать цепи I и II обмоток реле В
и Д в виде:
Fbj = д (жаб -\- ав),
Fbit = гд (жаб -\~ав);
Гдт = ва (жб -\- <9),
Рд11 = аве (жб -\- д).
для реле В (2)
для реле Д (2')
Соответственно инверсии этих цепей запишутся следующим
образом:
Рвг=д + (ж + а-{-б)(а + в), |
\ для реле В (6)
/•В// = (г + д) + (* + а + б)(в + в); (
^Д/ = в + а + (ж + б)5, )
\ для реле Д (о)
РДп=а + в + е+(ж + б)8. (
Подставляя эти выражения в формулы (1) и (Г), получим
/?в = д (жаб + ав) [(г + 9) -f (ж -f а + б) (д + *)1 +
+ [5 -f- (ж -j- a -f б) (а -}- #)] гд (жа§ + а<?)>
/?д = Ва (жб -\-д)[а + в-\-ё-\-(ж-{- б)д] -f
-\-[e -\- а -\- (ж -\- б)д] аве (жб -)- 9).
Раскрывая скобки и совершая обычные преобразования [3],
получим:
FB = даг (жб -|- в),
/<д = авё (жб -\- д).
Аналогичным путем получим формулы работы других
реле комплекта.
Зная порядок поступления управляющих сигналов из
связанных с комплектом приборов (т. о. порядок работы
4-52

приемных элементов [1]) и формулы работы роле комплекта
и исполнительных цепей, можно построить обычными
методами алгебры логики (см., например, [4, 5]) таблицу
включений, представляющую собой символическую запись условий
работы комплекта. Из этой таблицы легко можно выявить
неиспользуемые состояния [4, 6], позволяющие упростить
контактные цепи комплекта2.
Так, учитывая, что реле Д в процессе работы схемы
комплекта никогда не работает одновременно с реле В и Ж,
можно записать соотношения [7]:
дв = в\ (4)
Вд'=д; (5)
дж=ж. (6)
А если учесть, что реле Л срабатывает всегда раньше
реле В и Д и отпускает всегда позже того, как отпускают
реле В и Д, то будут справедливы соотношения:
ад = д (7)
и
ав = в. (8)
Применяя соотношения (4), (5), (6), можно превратить
формулы (2) в формулы
Рв1 = абж-\-в, |
ГВп=г(абж-\- в) J
для реле В.
Формулы (2') при применении соотношений (7)—(8)
превратится в формулы
Рд£ = абвж -\-д, |
Рд1Т = е (абвж -|- d) J
для реле Д.
Найдя формулы включения для каждой обмотки реле В
и Д, легко определить общую формулу включения реле В и Д:
F = авб [ж (Вт + гВп) + ж (Д7 + еДп)\ +
+ в (Bj + гВ/7) + S (Д7 + еД/7). (9)
Схема включения реле В и Д (рис. 2), построенная по
формуле (9), имеет на 12 контактных пружин меньше, чем схема
включения реле В и Д, изображенная на рис. 1.
2 Неиспользуемые состояния можно также усмотреть и
непосредственно из словесной формулировки условий работы, но табличный
метод дает наглядное представление о порядке работы реле комплекта
и, следовательно, о появлении и непоявлении состояний реле комплекта.
453

\°
в\
Аналогичным образом при учете неиспользуемых состояний
и применении законов и соотношений алгебры логики
упрощаются и другие цепи комплекта. Если аналогичным образом
учесть неиспользуемые состояния для упрощения и других
цепей комплекта, можно в общей
сложности сэкономить 13% от
общего числа контактов в схеме.
В данном случае мы произвели
преобразования контактной схемы
комплектов РСЛ без изменения числа
и порядка работы как приемных, так
и промежуточных реле и поэтому
получили выигрыш лишь по числу
контактов.
Однако, если применить теорию
релейно-контактных схем также для
построения таблицы включений (но
при этом не изменять условий
взаимодействия комплекта со смежными
приборами, а изменить только
последовательность действия реле), то
можно получить схему,
выполняющую те же функции, что и типовая,
но имеющую по сравнению с ней на
2 реле и 21 контактную пружину
меньше.
Л
вГлГП
h
Г
Ля
н
Рис. 2.
2. Преобразование схемы регистра промежуточного
оборудования
Анализ существующей схемы релейного регистра
промежуточного оборудования для связи шаговой и машинной АТС
с помощью теории схем ([1], рис. 12) показывает, что схемы
почти всех узлов регистра построены нерационально, с
большим излишеством контактов и реле.
Задаваясь условиями работы отдельных узлов релейного
регистра и привлекая аппарат алгебры логики, можно построить
оптимальные по количеству реле и контактов схемы.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Проанализируем схему (рис. За) для
включения «реле четного режима» (ЧР) при наборе цифр
сотен.
Реле ЧР должно срабатывать при наборе одной из цифр
сотен 5, 6, 7, 8 или 9 и не срабатывать при наборе одной из
цифр 0, 1, 2, 3 и 4, согласно принятому коду фиксации
абонентского номера (табл. 1).
454

Булева функция для цепей, воздействующих на реле ЧР,
получается как сумма обязательных конституентов с
номерами i=9, 2, 7, 4, 1:
— абёг -f- абвг -\- абвг -\- абвг -{- абвг.
л
з
i-^JT~P^.
5ЛЫЭ
КрелеЧР
WAS
Иреле ЧР
Р и с. 3.
Общее решение цепи с учетом обязательных конституен»
тов К{ и условных конституентов К1 можно записать еле*
дующим образом [4, 6, 8]:
'=2*+2т-
(10)
Тогда
^)=Яв+^ + Я7 + Я4 + ^ + ^ + ^ + ^ + ^ +
+ ^ + ^ = а^з -f абвг + абвг + абвг + абвг + ^ + ^Г +
аб5г . яб<?г , ябвг , абёг
U
U
U
U
• а{бв-\-бв)-\-аг.
Соответствующая этой формуле схема (рис. 36) имеет на
пять контактах пружин меньше, чем типовая схема (рис. За).
455

Таблица 1
Рабочие
состояния

Неиспользуемое
состояние
Цифры

фиксации
\
г
3
4
5
6
7
8
9
0
Состояние реле
А(1)
+
+
+
+
+
+
+
+
?(2)
+
+
+
+
+
+
+
+
В(4)
+
+
+
+
+
+
+
+
Г(8)
+
+
+
+
+
+
+
+ ,
Номера
консти-
туента
(0
5
10
3
12
9
2
7
4
1
8
15
13
11
6
14
0
Консти-
туент
Ki
абвг
абвг
абвг
абвг
обе* г
абъг
абвг
абвг
аШ
абЪг
абвг
абвг
абъг
абвг
абвг
абЪг
Пример 2. Рассмотрим схему (рис. 4а) включения реле
ЧР через контакты реле, фиксирующих цифры сотен, из
которых одна цепь (I) замыкается при наборе одной из цифр
О, 2, 4, 5, 7 или 9, а вторая (II) — при наборе одной из
цифр 1, 3, 6 или 8.
Запишем формулу с учетом неиспользуемых состояний,
дающих упрощение формулы для цепи I:
*/ = Я8 + Яи + *и + *. + *7 + Я1 + £ + ^ + ^+^ +
+ 1Г + 7Г •
Конституент К0 взят из тех соображений, что цепь I
замыкается через контакт фиксирующего реле десятков Б, которое
срабатывает после набора цифры десятков:
Fj — абвг -j- абвг -j- абвг -\- абвг + абвг + абвг -|—— -\- -^- -|-
абвг , абвг , абвг , абвг= , g , ff
о ~ и ~ о ' о * '
456

Формулу Fu можно получить аналогичным образом,
использовав следующее свойство конституентов разложения
единицы [4J:
FII = FI. (И)
При этом получим -
FII = FI = (8-\-6B + 6e)=2(6+e)(6 + B)=s(6B-\-6e).
Окончательно
Fi4P) = FI-\-FII=e-\-6e-\-6eJre{6e-\- бв).
Этой формуле соответствует схема на рис. 46, которая
содержит на 11 контактных пружин меньше, чем схема,
эксплуатируемая в настоящее время (рис. 4а).
Большое влияние на сложность контактной схемы регистра
оказывает выбор кода фиксации в схемах пересчета номера.
Анализ кода фиксации и схем контактных пирамид цепей
соответствия релейного регистра промежуточного
оборудования показывает, что принятый код фиксации (табл. 1)
является неудовлетворительным и не может дать схему с
минимальным количеством контактов.
При составлении кода фиксации надо стремиться к тому,
чтобы каждой исполнительной цепи соответствовала работа
одного реле фиксатора. Тогда каждая цепь будет зависеть
только от одного элемента.
Так, первая рассматриваемая нами цепь для реле ЧР
(рис. За) должна замыкаться при наборе одной из цифр тысяч
5, 6, 7, 8 или 9. Составляя новый код фиксации, примем, что
одно реле, например реле Б, будет срабатывать при наборе
этих цифр. Тогда вся контактная схема будет иметь всего лишь
один замыкающий контакт этого реле (рис. Зв).
Вторая схема для работы реле ЧР (рис. 4а) дает два выхода:
первый соответствует набору одной из цифр сотен 1, 3, 6 или 8
и второй — 0, 2, 4, 5, 7 или 9. Эти выходы получены путем
объединения четырех и шести выходов контактной пирамиды.
Наиболее простая схема получится, если одно реле (^4)
будет срабатывать при наборе четных цифр, а второе реле В —
при наборе цифр 2, 3, 6 или 7, что необходимо для выбора
четных рам линейного искания ЛИ. Тогда схему (рис. 4а)
можно заменить более простой, показанной на рис. 4в.
Таким образом, выбраны состояния трех реле из четырех.
Состояние четвертого фиксирующего реле Г надо выбрать
так, чтобы фиксация цифр осуществлялась различными
комбинациями состояний реле. Код, построенный исходя из этих
соображений, показан в табл. 2.
457

При таком коде значительно упрощаются контактные
кодовые пирамиды десятков и единиц: достаточно сравнить
существующую типовую схему (рис. 5а) с той же схемой при
выбранном новом коде фиксации (рис. 56).
-^6
\-J^
г ..0й
t>
„5,9
1
0ЛМ19
дб
Креле
ЧР
1A6,S
I Т 1,3.6.8 1
дб^ъ ►
j | К реле ЧР
Рис. 4.
Итак, анализ схемы релейного регистра с помощью теории
схем дал в целом значительное упрощение схемы. В частности,
уменьшено количество реле (вместо 52 стало 44); количество
контактных пружин уменьшено на 264 пружины (с 719
уменьшено до 467 пружин).
458

Таблица 2
Рабочие
состояния 1

Неиспользуемые
состояния
Цифры

фиксации
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Состояния реле 1
Л(1)
+
+
+
+
+
+
+
+
Б(2)
+
+
+
+
+
+
+
+
В(4) 1
+ 1
+
+
+
+
+
+
+
Г(8)
+
+
+
+
+
+
+
+
Номера
консти-
туента
(г) -1
8
5
4
1
2
15
6
И
10
9
3
7
12
13
14
0
Консти-
туент
К;
йЪъг
абвг
абвг
абЪг
абв"г
абвг
абвг
абъг
абъг
абёг
абъг
абвг
абвг '
абвг
абвг
абвг
3. Основные этапы синтеза новой схемы на примере
исходящего комплекта реле соединительных линий (РСЛ)
Не вникая в детали составления схемы исходящего
комплекта РСЛ, связанных со знанием схем АТС, отметим на этом
примере лишь основные этапы работы и укажем на
нерешенные задачи, которые встают перед проектировщиком при
синтезе новой схемы.
Процесс синтеза новой схемы состоит из следующих
этапов:
1. Формулировка условий работы проектируемой схемы.
При этом задаются те функции, которые должна выполнить
схема. После чего, зная принимаемые и выдаваемые схемой
воздействия, выбираются приемные реле. Следует заметить,
что до сих пор нет достаточно четких указаний на то, как
выбирать минимальное число приемных реле. На этом этапе
составления схемы еще имеется элемент интуиции, требующей
умения и опыта проектировщика для выбора правильного
и рационального решения, что является существенным
недостатком теории схем.
459

2. Построение предварительной таблицы включения,
являющейся символической записью условий работы схемы.
Процесс составления таблицы включения в теории схем
достаточно подробно разработан и не представляет затруднений
(см., например, [4]).
3. Выявление реализуемости таблицы включения. На
данном этапе выявляется возможность схемной реализации
таблицы включения. Этот процесс в настоящее время также хорошо
DA8
' ' О** 6
16
i
M^jr
^г
LL
5,9 ^J
JT^ '-
Ж'
АХ
All
»V
-сг^в
JTS
I
^7
Ж
^ш_
Ж
>Ж
Ж'
Рис. 5. Контактная кодовая пирамида десятков
и единиц
а — в схеме существующего релейного регистра,
б —по новому коду фиксации
изучен, и имеются достаточно определенные и удобные способы
решения с помощью булевой алгебры [3, 4, 8, 9].
4. Если таблица нереализуема, что бывает при синтезе
многотактных схем [8], то определяют минимальное число
промежуточных реле, с помощью которых нереализуемую
таблицу включений переводят в реализуемую. Но прежде чем
определить необходимое число промежуточных реле, следует
рассмотреть возможность уменьшения числа совпадающих
состояний [9] включением приемных реле в местных цепях,
460

т. е. попытаться использовать приемные реле в качестве
промежуточных.
5. Построение окончательной таблицы включений,
содержащей для многотактных схем кроме приемных и
промежуточные реле.
6. После того, как построена окончательно таблица
включений, можно перейти к синтезу контактной схемы, для чего
предварительно строят схему со скелетным представлением
исполнительных цепей, цепей включения промежуточных и
приемных реле и т. п. Например, для схемы комплекта
РСЛ такая скелетная схема будет изображена так, как
показано на рис. 6, где FPt, Рас и т. д.—скелетное
изображение контактных схем исполнительных цепей и цепей
включения промежуточных реле; Gm, Оц — скелетное изображение
схем цепей удержания приемных реле в местных цепях;
RK — скелетное изображение схемы цепи включения
приемного реле К.
Следует Заметить, что такой переход пока не лишен
интуиции и требует определенного навыка и знания специфики
построения телефонных схем, в чем заключается пока второй
из существенных недостатков теории синтеза схем.
Последующие операции, т. е. получение формул контактных
цепей и их преобразование методами алгебры логики с целью
выработки наиболее простой схемы с точки зрения
минимального числа контактов, в настоящее время хорошо изучены
и не представляют затруднения (см., например, [3—7]).
Схема указанного комплекта РСЛ, полученная в
Лаборатории по разработке научных проблем проводной связи
АН СССР, является оптимальной и содержит 6 реле и 65
пружин, что на 2 реле меньше, чем существующие схемы
комплектов РСЛ, выполняющие аналогичные функции.
Заключение
Работа, проведенная в Лаборатории по разработке
научных проблем проводной связи АН СССР, показала, что если
в настоящее время анализ схем с помощью алгебры логики
уже получил более или менее решающее значение, так как
к любой релейной схеме можно применить объективные
методы анализа и такие методы являются сильными средствами
в руках проектировщика для выявления ошибок, излишеств
и других дефектов, которые были допущены при
проектировании схемы, то при синтезе схемы алгебра логики играет
пока лишь вспомогательную роль и синтез еще во многом
зависит от опыта проектировщика.
Так, для построения контактных схем имеются довольно
сильные методы, позволяющие получать схемы с числом кон-
461

Dlt/ poHHopntfy
4-CS—4
-ii—ski—ч
сяН-с»-]Н<
плЬношэрои oodognda uig

тактов, близким к минимуму в различных классах схем, но
при выборе вида таблицы включений, от которой во многом
зависит также и сложность контактной схемы, существует
довольно большой произвол.
Пока еще нет метода, дающего возможность однозначным
•путем переходить от таблицы включений к схемному
изображению для сложных схем. В настоящее время имеются лишь
вполне определенные рекомендации по выбору минимального
числа промежуточных реле (например, [9]). Однако при этом
не учитывается то обстоятельство, что на реле может быть
размещено лишь ограниченное число пружин; следовательно, на
вопрос: какое минимальное число реле требуется для
построения схемы, если на каждом реле можно разместить какое-либо
определенное число контактов? — ответить нельзя. Нельзя
пока ответить и на вопрос: каким образом включить
промежуточное реле, чтобы получить наипростейшую схему как
с точки зрения числа реле, так и с точки зрения числа
контактов? Почти ничего не говорится в литературе о
выборе минимального числа приемных реле, а также о
построении блочных схем. Однако все перечисленные нерешенные
вопросы, возникающие при синтезе релейно-контактных схем,
не могут служить препятствием в применении алгебрологи-
ческой теории схем не только для анализа, но и для синтеза схем
уже сейчас, так как применение теории позволяет более
сознательно подходить к процессу составления схемы и получать
более обоснованные варианты схем, в меньшей степени
зависящие от интуиции и опыта проектировщика.
Вышесказанное позволяет сделать следующие выводы:
1. Математические методы анализа и синтеза релейно-
контактных схем, основанные на законах алгебры логики,
дают значительную экономию во времени, уменьшают влияние
интуиции проектировщика, позволяют получать объективные
решения.
2. Методы синтеза схем, основанные на использовании
алгебры логики, подлежат дальнейшему развитию и
уточнению, в первую очередь в отношении:
а) получения оценок минимального числа промежуточных
реле с учетом ограниченного размещения на каждом из них
контактной нагрузки;
б) получения рекомендаций о порядке включения
промежуточных реле с учетом получения оптимальной контактной
схемы;
в) решения задачи выбора минимального числа приемных
реле;
г) решения задачи по построению схем с общим минимумом
числа приемных и промежуточных реле.
463

ЛИТЕРАТУРА
1. Б. Н. Вознесенский, Д. Ф. Логинов и М. Б. Гранат.
Промежуточное оборудование для совместной работы АТС
машинной и шаговой систем. Связьиздат, 1954.
2. Л. С. Фарафонов, К. И. Волкова, Я. Г. Кобленц,
Е. М. Ройтенберг. Автоматические телефонные станции
декадно-шаговой системы. Связьиздат, 1951.
3. М. А. Г а ври л о в. Теория релейно-контактных схем. Изд-во АН
СССР, 1950.
4. В. Н. Рогинский, А. Д. X а р к е в и ч. Релейные схемы в
телефонии. Связьиздат, 1955.
5. М. А. Г а в р и л о в. Определение последовательности работы
элементов в релейных схемах. Автоматика и телемеханика, № 5, 1952.
6. В. Н. Рогинский. Учет неиспользуемых состояний при синтезе
релейно-контактных схем. Автоматика и телемеханика, № 3, 1954.
7. М. А. Г а в рилов. Основные формулы синтеза релейных схем.
Автоматика и телемеханика, № 6, 1954.
8. В. Н. Рогинский. Синтез многотактных релейных схем. Сб.
научных работ по проводной связи, вып. 4, Изд-во АН ССОР, 1954.
9. В. Г. Лазарев. Определение минимального числа промежуточных
реле при синтезе многотактных схем. Сб. научных работ по про--
водной связи, вып. 5, Изд-во АН СССР, 1956.
==^==

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
I
Э. Кольман. Значение символической логики 3
Н.И. Стяжкин. Элементы алгебры логики и теории
семантических антиномий в поздней средневековой логике .... 20
Н.И. Стяжкин. Упрощение П. С. Порецким некоторых
алгоритмов классического исчисления высказываний 33
B. В. Мшвениерадзе. О философской сущности
«семантической концепции истины» 48
Б. М. Кедров. О числе отношений множеств (понятий) ... 69
Б. Г. Кузнецов. Об основах квантово-релятивистскои логики 99
А. А. Зиновьев. Логическое строение знаний о связях . . . 113
B.C. Швырев. К вопросу о каузальной импликации 139
C. К. Шаумян. Логический анализ понятия фонемы 159
А. И. Уёмов. Пустые классы и аристотелева логика 178
И
А. Д. Гетманова. О соотношении логики и математики
в системах типа Principia Mathematica 189
A. С. Есенин-Вольпин. Анализ потенциальной
осуществимости 218
B. С. Чернявский. Об одном классе нормальных
алгорифмов Маркова . 263
Г. Н. Поваров. Логика и автоматизация 300
В. И. Шестаков. Моделирование операций исчисления
высказываний посредством релейно-контактных схем 315
Н.Е. Кобринский, Б. А. Трахтенброт. О построении
общей теории логических сетей 352
Г. Н. Поваров. Математико-логическоо исследование синтеза
контактных схем с одним входом и к выходами 379
Г. Н. Поваров. О логическом синтезе электронных
вычислительных и управляющих схем 406
465

А.Д. Харкевич. О коммутационных схемах и их логической
сущности 415
Б. М. Раков. Логический синтез схем релейного действия,
содержащих сопротивления и контакты • . . . . 429
A. Н. Юрасов. Аналитический синтез многотактных схем
по формулам включения 442
B. Ф. Дьяченко, В. Г.Лазарев. Применение в телефонии
алгебры логики при анализе и синтезе релейно-контактных
схем л 450

Логические исследования
(Сборник статей)
Утверждено к печати
Институтом философии
Академии наук СССР
Редактор издательства Г. Л. Смолян
Технический редактор Т. П. Поленова
РИСО Л- 27-90Б. Сдано в набор 16/YI-1958 г.
Подписано к печати 9/1 1959 г. Формат 60x927i*.
Печ. л. 29!/4. Уч.-изд. л. 2974.
Тираж 5000 экз. Т—00219. Изд. № 2567.
Тип. зак. 703.
Цена 18 руб. 50 коп.
Издательство Академии наук СССР
Москва, Б-64, Подсосенский пер., 21
1-я типография Издательства АН СССР
Ленинград, В. О. 9 линия, д. 12.

ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Стр.
44
44
97
102
110
198
199
235 |
255 |
286
292
292
340
340
374
391
398
407
425 J
Стропа
13 сн.
3 сн.
6 VH.
23 св.
10—12 сн.
12-13 сн.
8 св.
19 св.
11 св.
17 св.
5 св.
7 св.
15 св.
17 св.
7 св.
5 сн.
19 сн.
6 сн.
6 сн. 1
Напечатано
и defgd
= Лх' + АВ и
знаний
а*(- X и a,i£X
лоренц-ковариантна, ло-
ренц-ковариантностыо
по правилу
зачеркивания
Х=0
разнообъемен
^А\/В
*
*
£ или X влево до X или ?
до * —
РУЯ ,
(Р ZD q) С (q Z) р) \
попарно неразличимых
рис. 6
размыкающий
х|у = х|у
в) ног тупенное
Должно быть
и efgd'
^Ax' + AB + Btfn
значений
ai^X и в{£ X
лоренц-инвариантна, ло
ренц-инвариантностью
в силу условия 5)
X также равно 0
равнообъемен
~-]А\/В
*
*
*
£ влево до £
до * или X —
PUq
(pZDq)f](q^p)
попарно различимых
рис. 7
замыкающий
х|у = у|х
в) Многоступенное