Теория электромеханических систем - Кёниг Г.

Автор: Кёниг Г.

Теги: теория автоматического управления электромеханика

Год: 1965

Похожие

Неразрушающий контроль. Справочник. Том 4. Акустическая тензометрия. Магнитопорошковый метод контроля. Капиллярный контроль

Основы физики и техники ускорителей

Мощные электровакуумные приборы СВЧ. Часть 2

Электротехнические устройства

Текст

. \.

TEOIWI
ЭАЕКТРО-
i.^механических ’
СИСТЕМ
L I t i ’ •' 11

Г. КЁНИГ и В. БЛЕКУЭЛЛ
•3
ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Перевод с английского
И. Ф. ИЛЬИНСКОГО, Л. А. САДОВСКОГО и В. К. ЦАЦЕНКИНА
ЧМ'
Биа w •
ИЗДАТЕЛЬСТВО «Э Н Е Р Г И Я»
1965 ЛЕНИНГРАД
МОСКВА
Сярлстозск'J* З'М»
liCnri l а
621.3
К 33
Книга посвящена приложению теории графов, разработан-
ной для электрических цепей, к широкому классу электроме-
ханических систем. Авторы пытаются объединить в целях ана-
лиза и синтеза разнородные элементы и построить на этой
базе общую теорию электромеханических систем.
Книга может быть полезна научным работникам и инже-
нерам, специализирующимся в области разработки и исследо-
вания сложных систем автоматического управления.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Появление в последнее десятилетие большого числа новых элемен-
тов и средств автоматизации позволило создать современные системы
автоматического управления и вызвало вместе с тем необходимость
в систематизации математического описания разнородных элементов,
в унификации методов расчета, анализа и синтеза сложных систем.
Предлагаемая вниманию советского читателя книга Кёнига и
Блэкуэлла является одной из первых попыток решения этих проблем.
Объединение в целях теоретического анализа и синтеза весьма различ-
ных по своим физическим свойствам и назначению элементов (электри-
ческие машины, электронные, магнитные и другие усилители, гидропре-
образователп, гироскопы и т. п.) авторы основывают не на применении
известного метода аналогий, а на использовании одной из ветвей топо-
логии — теории линейных графов.
Теория линейных графов в последнее время привлекает внимание
специалистов в области электрических и электронных цепей, так как
позволяет существенно упростить расчет сложных цепей и достигнуть
большой экономии времени.
Авторы предлагаемой книги показывают интересную возможность
использования теории линейных графов для решения наиболее трудной
и важной задачи — получения уравнений систем с физически разнород-
ными элементами.
Этот метод, дающий высокую степень математической абстракции,
позволяет обнаружить глубокую общность в математическом описании
элементов различной физической природы.
Для достижения такого результата авторы книги основывают-ана-
лиз систем не на понятиях, которые можно истолковать субъективно
(падение напряжения, приложение силы и т. п.), а на показаниях изме-
рительных приборов (вольтметра, динамометра и т. п.), служащих
единственным связующим звеном между физическими наблюдениями и
математическим описанием.
Первые семь глав, составляющие треть книги, являются теоретиче-
ской базой и посвящены определению понятия системы, цели и методов
анализа и синтеза систем (гл. I), получению’математического описания
разного рода простых двухполюсных элементов (сопротивлений, индук-
тивностей, пружин, вращающихся и перемещающихся масс и т. д.)
(гл. 2) и систем из таких элементов (гл. 3, 4). Рассмотрев детально на
простых примерах сущность и применение теории линейных графов для
записи уравнений систем, а также некоторые аналитические методы
решения дифференциальных уравнений (гл. 5), авторы переходят
к описанию более сложных элементов многополюсников (гл. 6) и си-
стем, составленных из них (гл. 7).
Последние семь глав книги посвящены детальному математическо-
му анализу ряда типичных электромеханических преобразователей, та-
ких как коллекторные машины постоянного тока (гл. 8), гидравличе-
ских передач, усилителей, гироскопов и т. п. (гл 9), а также некоторых
электромеханических систем (гл. 10). Особое внимание уделено получе-
нию уравнений машин переменного тока (гл. 11, 12, 13) и многофазных
систем (гл. 14).
Книга Кёнига и Блэкуэлла, интересная своеобразной постановкой
задач современной электромеханики, не исчерпывает, конечно, всего их
многообразия. Более того, авторы не сумели показать в книге, как
используются большие возможности предлагаемого ими подхода там,
где он наиболее эффективен, — при анализе и синтезе сложных систем.
Эти недостатки являются естественными — они объясняются новиз-
ной трактовки проблем теории современных электромеханических си-
стем Направленность книги на систематизацию и унификацию разно-
родных элементов и построенных из них систем делают ее интересной и
весьма полезной для широкого круга специалистов, занимающихся как
разработкой элементов, так и созданием сложных систем автоматиче-
ского управления.
Канд. техн, наук Ильинский И. Ф.,
канд. техн, наук Садовский Л. А ,
канд. техн, наук Цаценкин В. К-
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Бурное развитие теории автоматического регулирования настоя-
тельно требует нового подхода к методам анализа, проектирования и
синтеза систем. Это требование касается не только инженеров электри-
ков, оно справедливо для всех инженерных специальностей. Уместно
поставить вопрос: может ли существовать инженерная дисциплина, ко-
торая объединяла бы широкое разнообразие компонент или элементов,
образующих системы? Очевидно, что определенный ответ на такой
вопрос может оказаться опрометчивым. Однако понятия об аналогиях
и физической эквивалентности, которые используются уже в течение
многих лет, наводят на мысль о возможности существования такой дис-
циплины. Авторы полагают, что основой ее служит не представление
об аналогиях, а понятие о линейном графе.
Для математика линейный граф является лишь совокупностью отрез-
ков линий. Для инженера же, занимающегося расчетом и проектиро-
ванием систем, линейный граф может значить существенно больше.
Теория линейных графов плодотворно применяется в последние годы для
анализа, проектирования и синтеза электрических цепей; отдельные эле-
менты этой теории применяются уже в течение многих лет. И хотя тео-
рия линейных графов не рассматривается как 'панацея при решении
всех прикладных аналитических задач, она, тем не менее, образует
ядро дисциплины, заслуживающей тщательного рассмотрения.
Одна из целей настоящей книги состоит в том, чтобы показать при-
менимость этой дисциплины к решению множества инженерных задач.
Электрические машины, многофазные системы и следящие системы
объединены в настоящей книге в одну дисциплину, наряду с раздела-
ми механики, гидравлики и электронных цепей, встречающимися в тео-
рии автоматического регулирования. Каким же образом удается объ-
единить электронные цепи, статику и динамику, гидравлику и теплотех-
нику в единую дисциплину? Такой результат не может быть получен
немедленно, хотя это и является заманчивым. К нему можно придти
лишь путем последовательного развития.
Одна из существенных черт настоящей книги, по мнению авторов,
заключается в концентрации внимания на строгих и упорядоченных
методах вывода уравнений, присущих теории линейных графов. Мате-
матическое исследование физической системы включает два важных
шага:
I) вывод математических уравнений, описывающих характеристики
системы; и 2) изучение характеристик системы путем решения урав-
нений.
Жиль (Gille), Пелегрин (Pelegrin) и Диколн (Десаи1пе) в книге
«Системы автоматического регулирования» пишут: «Вопреки сущест-
вующему иногда мнению, вывод или запись уравнений системы более
5
важны, чем исследование самих уравнений. Действительно, практика
показывает, что большинство ошибок возникает в результате неточно-
сти уравнений, а не из-за ошибочных решений. Кроме того, уже полу-
ченные уравнения могут быть решены и изучены при помощи вычисли-
тельной машины, однако ни одна вычислительная машина не в состоя-
нии записать уравнения системы».
Авторы предвидят критические замечания, связанные с тем, что
в книге слишком много внимания обращено на строгие методы вывода
уравнений. Конечно, такой подход часто приводит к дополнительной
работе в тех частных случаях, когда могут быть использованы упро-
щенные методы. Хотя наиболее важные упрощенные методы и рассмо-
трены в книге, авторы считают, что их практическое использование бу-
дет эффективным лишь после освоения строгих методов. Наблюдения
авторов показывают, что точные методы легко упрощаются, если об-
стоятельства позволяют это делать, тогда как первоначально бесси-
стемные методы никогда не могут быть сделаны достаточно строгими
Без понимания теории, на основе которой получены упрощенные мето-
ды, последние часто выглядят лишь «набором ловких приемов».
Подход к изучению электрических машин и следящих систем с по-
зиции теории линейных графов может оттолкнуть специалистов, хорошо
знакомых с этими предметами, еще и по следующей причине. Может
показаться, что инженеры, овладевшие излагаемыми в книге методами,
будут испытывать затруднения при общении со специалистами, полу-
чившими обычную подготовку по электрическим машинам и следящим
системам. Этого не следует бояться, так как хотя предлагаемая дис-
циплина и основывается на некоторых новых для этих областей поня-
тиях, результаты обоих методов согласованы везде, где это возможно.
Следовательно, специалист, знакомый с содержанием этой книги, не
встретит серьезных затруднений при работе в области электрических
машин или систем автоматического регулирования.
Эффективный расчет и проектирование сложных систем требуют
строгой и систематичной методики записи всех операций. Этому требо-
ванию удовлетворяет матричная алгебра. Преобразование Лапласа
дает систематизированный операторный метод решения систем линей-
ных дифференциальных уравнений, обычно присущих любой физиче-
ской системе. Предполагается, что читатель умеет пользоваться указан-
ными методами.
Практика чтения лекций и ведение упражнений в период написания
этой книги показали, что теория линейных графов в приложении к си-
стемам не представляет чрезмерной трудности для студентов. Действи-
тельно, усвоение основных понятий является наиболее легким, когда
эти понятия рано вводятся в учебную программу. Именно на этой ста-
дии лучше всего познакомить студентов с предлагаемой дисциплиной,
не связывая ее с воплощением систем в металле. Авторы надеются, что
предлагаемая книга явится шагом в создании важной инженерной дис-
циплины.
Герман Е. Кёниг, Вильям А. Блекуэлл
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
1-1. Понятие системы
Под системой понимают упорядоченное соединение или расположе-
ние частей целого. Если комбинация состоит из физических объектов,
таких как машины, пружины, металлические детали, электронные лам-
пы, транзисторы, трубопроводы, насосы п т. п., то ее называют физиче-
ской системой в отличие от нервной системы живых существ или эконо-
Рис. 1-1-1. Типичная система автоматического регу-
лирования.
мической системы нации.
Слово система озна-
чает также, что комбина-
ция частей создается в со-
ответствии с некоторым
Рис. 1-1-2. Типичная элек-
тронная система.
целесообразным принципом и характеризуется систематическим распо-
ложением частей. Системы автоматического управления, усилители, те-
ле- и радиоприемники, электрические и механические машины, механи-
ческие передачи, дорожные мосты — все это примеры физических си-
стем, состоящих из элементов, расположенных в соответствии с опреде-
ленными законами.
Часть физического устройства может классифицироваться как эле-
мент или как система в зависимости от принятой точки зрения и целп
исследования. Для инженера, занимающегося проектированием систем
регулирования, такие предметы, как электрические и гидравлические
усилители, исполнительные двигатели, коммутаторы, решающие прибо-
ры, сельсины, зубчатые передачи и рычаги являются элементами или
компонентами системы управления. Например, проектировщик системы
7
управления, показанной на рис. 1-1-1, рассматривает электронный уси-
литель, демодулятор, гидравлический двигатель, сельсин и соленоид-
ный вентиль как компоненты системы. Однако инженером, занимаю-
щимся проектированием и разработкой этой аппаратуры, каждая из них
рассматривается как система. Для проектировщика электронных уси-
лителей усилитель является набором сопротивлений, катушек индуктив-
ности, конденсаторов, транзисторов или электронных ламп (см., напри-
мер, рис. 1-1-2). Инженер, конструирующий гидравлический вентиль
с электромагнитным приводом, имеет дело с вентилями, катушками,
трубопроводами и насосами. Конструктор сельсинов комплектует каж-
дую машину обмотками, магнмтопроводом, валом и подшипниками.
Металлург и специалист по физике твердого тела каждую часть
мащины или сети рассматривает как систему, состоящую из определен-
ного числа химических элементов и называемую соединением или веще-
ством. Основная задача металлурга заключается в определении ком-
понент и установлении связи механических, электрических и тепловых
свойств системы (вещества) со свойствами компонент (химических
элементов).
Физик-атомник рассматривает химический элемент как систему
компонент, называемых ядрами и электронами. Специалистом по ядер-
ной физике каждое ядро рассматривается как система компонент, на-
зываемых элементарными частицами. Основная задача вновь состоит
в определении компонент и установлении зависимости свойств системы
от свойств компонент и метода образования структуры системы.
1-2. Основная цель анализа системы
Где-то, приблизительно в центральной области «спектра» систем,
простирающегося от микроскопической системы ядра до сложных си-
стем выведения на орбиту искусственных спутников и далее, оказывает-
ся вещество в своем естественном состоянии. Если начать с этой части
спектра и проследовать до управляющих систем, расположенных в его
конце, то основная задача будет заключаться в определении, развитии
и создании сочетаний элементов или компонент с целью образования
системы с требуемыми характеристиками. В частности, конечная цель
может состоять в создании усилителя с необходимой переходной харак-
теристикой, который является комбинацией сопротивлений, катушек
индуктивностей, конденсаторов и электронных ламп, или разработке со-
четания усилителей, вычислительных устройств и машин, которое будет
успешно вести самолет в требуемом направлении.
Фундаментальная задача анализа систем состоит в том, чтобы ма-
тематически связать характеристики системы с характеристиками от-
дельных элементов в зависимости от способа их (элементов) сочетания.
Например, если усилитель, изображенный на рис. 1-1-2, должен
использоваться как элемент системы управления, показанной на
рис. 1-1-1, то проектировщик системы должен знать характеристики
этого усилителя, представленного в виде четырехполюсника. В идеаль-
ном случае проектировщик задает характеристики усилителя как ком-
поненты проектируемой им системы. Тогда в задачу инженера, проек-
тирующего усилитель, входит нахождение соответствующего сочетания
компонент, подобного изображенному на рис. 1-1-2, и подбор характе-
ристик каждой лампы, сопротивления и т. п., обеспечивающий требуе-
мые характеристики усилителя. Для того чтобы выполнить последнюю
задачу аналитически, проектировщик должен иметь возможность полу-
чить математическое выражение, связывающее измеримые полюсные
8
характеристики усилителя с характеристиками его элементов (сопро-
тивлений и электронных ламп) и предписанными способами их соеди-
нения.
Подобным же образом, если проектировщик системы управления
пользуется аналитическими методами, он должен иметь возможность
получить математическую функцию или функции, связывающие изме-
римые характеристики вход — выход системы управления с полюсными
характеристиками ее отдельных блоков (усилителя, дискриминатора,
гидравлического двигателя и т. п.) и способом их соединения.
Предметом настоящей книги является такой анализ систем, кото-
рый позволяет определить математические характеристики или матема-
тическую «модель» физической системы на основании заданных мате-
матических характеристик или моделей компонент и способа их соеди-
нения. Компоненты системы могут быть любого типа (электрические,
механические, гидравлические, электромеханические, электрогидравпи-
ческие и т. д.), могут иметь любое конечное число «зажимов» и соеди-
няться любым образом. Хотя основное внимание в книге уделяется ком-
понентам, характеристики которых описываются линейными дифферен-
циальными уравнениями с постоянными коэффициентами, формальные
методы принципиально не зависят от математической формы характе-
ристик компонент.
1-3. Методы анализа
Один из старейших методов анализа систем дает механика. Ла-
гранж в 1760 г. получил уравнения, известные сейчас как уравнения
Лагранжа. В этом методе каждой компоненте системы соответствует
характеристическая функция. Характеристическую функцию системы
получают простым сложением характеристических функций компонент.
Чтобы получить математические уравнения, описывающие характери-
стики системы, нужно взять частные производные последовательно
по системе переменных, называемых обобщенными координатами. Хотя
тот факт, что характеристическая функция системы является алгебраи-
ческой суммой характеристических функций компонент и является
привлекательным, но систематизированная методика, пригодная для
выбора требуемых обобщенных координат, отсутствует. Более детально
вопросы о применении этого метода рассмотрены в [Л. 1-1 и 1-2].
Второй метод, иногда применяемый в механике, основан на прин-
ципе виртуальных перемещений. Детально этот метод описан во мно-
гих книгах по прикладной механике [Л. 1-3 и 1-4] Он основан на том,
что схематическое изображение каждого твердого тела вместе с систе-
мой соответствующих стрелок используется для нахождения матема-
тических соотношений между силами, приложенными к компонентам,
образующим систему. Этот метод обладает недостатками, так как
нельзя создать систематическую методику 'нахождения соотношений
между вторыми фундаментальными переменными — перемещениями.
Ниже будет показано, что способы определения математической связи
между обеими системами переменных важны при полной и системати-
ческой формулировке метода.
J Третий метод, еще не завоевавший всеобщего признания и не на-
шедший широкого применения, состоит в использовании теории линей-
ных графов, которая, вероятно, более известна как теория цепей, разви-
ваемая в электротехнике.
Предмет анализа систем, излагаемый в следующих главах, бази-
руется на теории электрических цепей. Однако конечная цель требова-
9
ла значительного расширения понятий теории цепей, а также перенесе-
ния центра внимания на некоторые новые понятия. По этой причине
авторы не могли строить изложение всецело на основе современной тео-
рии цепей. Читатель, знакомый с этой теорией, обнаружит, например,
что стандартные контурные и узловые уравнения, широко используемые
при анализе электрических цепей, должны рассматриваться как особый
случай более общего формального метода. Без такого расширения по-
нятий невозможно охватить большое количество компонент, встречаю-
щихся в системах.
Очевидно, что эти расширенные понятия дают новые средства ана-
лиза. В качестве примера можно привести способ получения характе-
ристик многополюсных компонент и методы исследования сложных си-
стем путем последовательного анализа блоков. Только благодаря при-
менению таких новых средств задача анализа становится практически
выполнимой. Т- и П-образные схемы замещения в теории электрических
цепей и блок-схемы в теории автоматического регулирования являются
лишь очень ограниченными формами понятий многополюсного пред-
ставления, развитого в гл. 6 и 7.
1-4. Операционные принципы анализа систем
Распространение принципов, используемых в теории электрических
цепей, на более всеобъемлющий предмет анализа систем требует неко-
торых изменений в основных понятиях. Так, уравнения Кирхгофа для
токов и напряжений рассматриваются обычно как отображения физи-
ческих законов, описывающих поведение электрических токов. В 1955 г.
Трент [Л. 1-5] показал, что формулировку основных законов механики
также можно обобщить следующим образом: полная сумма перемеще-
ний по замкнутому контуру стремится к нулю. Уравнение вершин
(vertex equation) для механических систем содержится в обычной фор-
мулировке трех законов механики. В гл. 2 и 3 показано, что эти «узло-
вые» и «контурные» свойства являются фундаментальными для многих,
если не для всех, физических измерений и, действительно, проявляются
уже при градуировке измерительных приборов.
Если законы Кирхгофа являются в действительности основным
свойством измерения, то какова же роль в анализе физических систем
таких физических понятий как напряжение, ток, сила, температура и
давление? Для нахождения математических характеристик компонент
и систем применяются те или иные измерительные приборы, позволяю-
щие связать физические наблюдения с системой вещественных чисел.
Например, наше восприятие расстояний связывается с системой вещест-
венных чисел путем использования градуированной линейки. Ощуще-
ния, вызванные физическим контактом с горячей печью или парой элек-
трических зажимов, находящихся под напряжением, связывается с си-
стемой вещественных чисел путем использования термометра или
вольтметра.
Вообще показания всех типов приборов так или иначе, прямо или
косвенно связаны с одним или несколькими наблюдениями или ощуще-
ниями, и именно это делает измерения полезными. Термометр, например,
имеет отношение к наблюдаемому состоянию воды (жидкости, твердого
тела или газа). Показания вольтметра и амперметра косвенно связаны
с яркостью лампы накаливания и вращением вала двигателя. Измери-
тельные приборы служат в качестве важнейшей связи (единственной
связи) между математическими уравнениями и физическими наблюде-
ниями.
10
Наименования или термины, такие как расстояние, время, темпе-
ратура, напряжение, ток, сила или давление ассоциируются с использо-
ванием приборов или измерением. Эти слова имеют смысл в науке
лишь потому, что они связаны с процессом измерения.
Такие символы, как и, I, 6, f и t имеют смысл при математическом
анализе, потому что они отображают показания измерительных прибо-
ров. В следующей главе даются точные определения измерений, ото-
бражаемых при помощи символов. Понятие о том, что отображает пока-
зание прибора по необходимости, является качественным и осмысливает-
ся только при многократном пользовании прибором. Так, говорить, что
«и отображает показания вольтметра, f изображает показания динамо-
метра и t отображает показания часов», более приемлемо, точно и по-
лезно для целей математического анализа систем, чем делать утверж-
дения типа «и отображает падение напряжения, f отображает силу,
приложенную к точке, и t отображает время».
Показания измерительных приборов по существу не зависят от на-
блюдателя, тогда как понятия падение напряжения, сила и время (то,
что показания приборов отображают) меняются в зависимости от инди-
видуума. Понятие о том, что измерено, зависит от мастерства, возраста,
зрелости и мировоззрения индивидуума. Связывая математические сим-
волы с показаниями контрольно-измерительных приборов, а не с поня-
тиями, исследователь имеет полную свободу для размышлений о том,
что такое напряжение, ток, температура, время, сила и т. п. Пуанкаре
[Л. 1-6] говорил: «Главное состоит не в том, чтобы знать, что такое сила,
а в том, как ее измерить. Все, что мы не умеем измерять, так же бес-
полезно для механика, как, например, субъективное представление о теп-
ле и холоде для изучающего теплотехнику. Это субъективное представ-
ление о тепле и холоде нельзя перевести на язык чисел; следовательно,
оно бесполезно...».
Именно эти операционные понятия и определения математических
переменных, используемых при анализе систем, дают возможность охва-
тить в пределах одной дисциплины огромный круг задач, встречающихся
при математическом исследовании физических систем. Физические тео-
рии и понятия изменяются от одного класса физических систем к друго-
му, тогда как объективные технические операции остаются неизменными.
В соответствии с таким характером предмета этой книги дальнейшее
изложение, в отличие от большинства технических книг, необычно сво-
бодно от физических понятий.
1-5. Задача синтеза
Синтез определяется как процесс нахождения по крайней мере од-
ной совокупности характеристик компонент системы и способа соедине-
ния этих компонент для получения с допустимой степенью приближения
заданной совокупности характеристик системы. Желательно (если это
возможно), чтобы процесс синтеза выраж-ался в математической форме.
Может иметься едва ли не любое число элементов и способов их соеди-
нения, которые будут давать требуемый результат. Например, существу-
ет множество способов соединения сопротивлений, катушек, конденсато-
ров, электронных ламп или транзисторов, которые в результате образу-
ют радиоприемник или телевизор. Аналогично при проектировании си-
стемы управления для выполнения данной задачи имеется не только вы-
бор из электрических, механических, пневматических или гидравличе-
ских элементов или их сочетаний, но также почти неограниченный выбор
из характеристик отдельных блоков и способов их соединения. Таким об-
ll
разом, так как нет единственной комбинации блоков, обеспечивающей
требуемые свойства системы, то едва ли возможно найти математиче-
ское выражение характеристик системы в виде явной функции от харак-
теристик элементов и способа их соединения.
По необходимости синтез систем ограничивается тем, что определя-
ются значения величин сопротивлений, индуктивностей, емкостей и ко-
эффициентов обратной связи и усиления при предполагаемой структуре
системы в функции ее характеристик. В частности, при синтезе фильтров
обычно предполагается, что элементы образуют многозвенную комбина-
цию, показанную на рис. 1-5-1. В системах управления блоки включают-
ся для образования обратной связи по схеме, изображенной на рис. 1-5-2.
Рис. 1-5-1. Многозвен-
ная схема, используе-
мая при синтезе филь-
тров
Рис. 1-5-2. Обратная
связь в системе авто-
матического регули-
рования
В последнем примере задача синтеза состоит по существу в том, чтобы
попытаться выразить значения коэффициентов усиления прямого кон-
тура G и обратного контура Н в виде явной функции от характеристик
«вход — выход». Уравнения для синтеза даже этих относительно про-
стых видов соединения элементов сложны и их вывод довольно труден.
Представляя себе ограниченность доступных в настоящее время
методов синтеза и возможное число компонент, которые соединяются
в систему, изучающий данный предмет обычно интересуется, какие эле-
менты и каким образом нужно соединить, чтобы получить желаемые ха-
рактеристики системы. Общим для всех известных методов синтеза яв-
ляется то, что выбор компонент и способа их соединения базируется
в основном на имеющемся опыте создания систем с аналогичными свой-
ствами. В этом смысле первые стадии разработки или проектирования
системы являются искусством — искусством также в том смысле, что
возможность соединения компонент ограничивается физической реали-
зуемостью и доступностью этих компонент. Один из важных методов
синтеза состоит в предположении и проверке его путем анализа.
Именно на первой стадии разработки системы качественное понима-
ние и прошлый опыт дают возможность предположить, что конкретная
комбинация определенного типа компонент может привести к желаемым
характеристикам. Помимо этой первой стадии, сохраняется неизбежная
задача отыскания приемлемой системы численных величин для парамет-
ров компонент и доказательства, что предложенная система будет функ-
ционировать.
Если систематические методы анализа не позволяют связать харак-
теристики предлагаемой системы с характеристиками компонент, то
остается одна возможность — построить систему и испытать ее. Метод
построения и испытания обычно наиболее целесообразен, когда число и
стоимость компонент малы, например при разработке простого усилите-
ля. Однако подобный метод было бы трудно применить для проектиро-
вания управляемого снаряда. Математические методы анализа исполь-
зуются для систематических расчетов свойств предлагаемой системы.
Математической замены для процесса творчества нет. ЛТатематиче-
ские методы анализа только расширяют способность инженера иссле-
12
довать значимость систем, которые являются плодом его воображения.
С появлением цифровых вычислительных машин, дающих сотни решений
математических уравнений в течение нескольких минут, возможности ис-
следования предлагаемых систем еще больше расширяются. Любой ин-
женер, занятый анализом или проектированием систем и пользующийся
для получения решений вычислительными машинами, может исследо-
вать сотни идей за время, требуемое для проверки одной идеи чисто
экспериментальными лабораторными методами. Стоимость исследова-
ния на вычислительных машинах также значительно ниже.
Так как проектирование системы начинается с идеи, то методы ана-
лиза, хотя и необходимы, но недостаточны. Именно идеи должны дать
первый толчок. Хорошая осведомленность о существующих элементах
систем и их характеристиках, связанная с практическим опытом, являет-
ся, конечно, полезной для стимуляции идей, но, с другой стороны, не
гарантирует результата.
Можно было бы сказать, что проектировщик системы находится
примерно в таком же положении, как композитор или писатель Сочета-
ние аккордов, мелодий и т. п. или слов, фраз и выражений, т. е. того,
что может образовать музыкальное произведение или поэму, ограничено
только воображением Сочетания должны, конечно, соответствовать не-
которым приемлемым образцам, чтобы результат не был классифициро-
ван как шум или не находился в противоречии с .правилами грамма-
тики.
Композитор исследует идеи и оценивает их относительное достоин-
ство посредством музыкального инструмента. «Музыкальным инструмен-
том» для инженера является математический анализ и (или) лаборатор-
ный эксперимент. Но подобно тому как знание лишь теории музыки и
грамматики недостаточно, чтобы быть композитором или поэтом, так и
одно знание теории линейных графов или любого другого метода ана-
лиза не позволяет стать опытным специалистом.
Изложение материала в следующих главах проводится с той точки
зрения, что математический анализ в конечном счете является основой
всего проектирования и синтеза систем. Главной целью книги является
изложение предмета анализа. Исходя из этой цели, примеры компонент
и систем подбирались только на основе их эффективности при иллюстра-
ции тех или иных стадий исследования. Однако ввиду того, что «искус-
ство» входит в проектирование систем, необходимо также создать хотя
бы ограниченный «справочник» характеристик элементов Таким обра-
зом, компоненты и системы, включенные в книгу в качестве примеров,
подобраны с учетом как их распространенности, так и эффективности
при иллюстрации методики. Примеры компонент систем, отобранных по
этому принципу, включают среди большого числа других механических
и гидравлических компонент также электрические машины переменного
и постоянного тока, гидравлические двигатели и насосы, исполнительные
механизмы, гироскопы, электронные лампы и транзисторы.
Многофазная машина переменного тока представляет собой в част-
ности, пример компоненты, требующей особого метода для получения ее
характеристик и включения ее в систему. Именно по этой причине ма-
шинам переменного тока и системам с ними отведено сравнительно боль-
шое место.
Применительно к машинам переменного тока авторы считают, что
в этом случае как и для любой другой компоненты системы имеются две
задачи, представляющие интерес:
1. Нахождение типа и размера машины, которая имела бы опреде-
ленные статические и динамические характеристики.
13
2. Представление устройства в виде компоненты системы и анализа
ее как части системы.
4 В соответствии с целями этой книги рассматриваются только те
аспекты проектирования машин, которые находятся в рамках предмета
анализа систем. Они включают такие вопросы, как шаг и распреде-
ление обмотки, особенности соединения в звезду и треугольник. Предпо-
лагается, что аспекты проектирования, которые связаны с определением
типа и размера магнитной цепи, вентиляторов охлаждения, вала и под-
шипников рассмотрены в других инженерных дисциплинах, таких как
теория поля (электромагнитного и теплового) и материаловедение.
ГЛАВА ВТОРАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХПОЛЮСНЫХ
КОМПОНЕНТ
Хотя электрические аналоги физических систем используются для
анализа давно, обоснованной общей теории такого анализа до сих пор
не существует. Если исследуемые системы состоят только из двухпо-
люсных компонент, имеющих аналоги в теории электрических цепей, то
нет нужды искать более общий метод анализа. Иногда анализ сложной
системы может быть сведен: 1) к попытке нахождения электрического
аналога сложной компоненты и (или) 2) к попытке записать контурные
и узловые уравнения системы, для которой электрические аналоги неиз-
вестны. На самом деле, анализ многих систем не может быть проведен
ни при помощи контурных уравнений, ни при помощи узловых урав-
нений.
Используя понятие о связи переменных с системой при помощи из-
мерительных приборов, можно полностью обойти электрические аналоги
и установить формальную последовательность операций, пригодную как
для двухполюсных компонент, так и для компонент с большим числом
полюсов. Цель этой главы состоит в том, чтобы познакомить с операци-
онным методом, пригодным для: 1) однозначной связи системы пере-
менных с физической системой и 2) изображения этих связей на простых
диаграммах, которые можно использовать при анализе. Поскольку речь
идет об анализе систем, содержащих только двухполюсники, методы,
изложенные в этой главе, мало отличаются от метода электрических
аналогов, однако они закладывают методическую основу, представляю-
щую собой большую ценность для анализа смешанных систем со слож-
ными компонентами.
Для анализа физической системы требуется: 1) математическое
описание каждой компоненты; 2) математическое описание поряд-
ка соединения компонент, образующих систему. Совокупность этих
математических уравнений называют уравнениями системы. Тео-
рия ориентированных линейных графов, развитая как абстрактная
математическая дисциплина, представляет ценность для анализа систем,
так как дает возможность разработать простую систематическую мето-
дику получения уравнений системы. В этой главе мы будем излагать
метод математического описания двухполюсных компонент, используя
в качестве полезного дополнения понятия из теории линейных графов.
Математическое описание любого физического устройства неизбеж-
но ассоциируется с измерением. Пуанкаре удачно заметил: «...Ученый,
кожа которого является абсолютно плохим проводником тепла и, кото-
рый, следовательно, никогда не испытывал ощущения тепла и холода,
14
мог бы снимать показания термометра как и любой другой и имел бы
достаточный материал для создания теории теплоты в целом». В этой
главе мы покажем, что измерения для рассматриваемого класса компо-
нент и систем неизменно связаны с двумя точками, участками или об-
ластями и что показания приборов зависят от «ориентации» того или
иного вида. Мы также покажем, как связаны математические перемен-
ные, используемые при анализе систем, с показаниями приборов.
2-1. Некоторые предварительные замечания
Схема электрической цепи, показанная на рис. 2-1-1,а, обычно рас-
сматривается как исходный пункт в анализе электрических цепей. Го-
ворят, что стрелки на этой схеме изображают предполагаемое направле-
ние тока, или исходное на-
Рнс. 2-1-1. Типичная электрическая цепь и ее ли-
нейный граф.
а — схема; б — линейный граф.
нения ориентированным отрезком линии.
правление тока. Знаки « + »
рассматриваются как пред-
полагаемые полярности на-
пряжений, или исходные по-
лярности напряжений. Аб-
страгированная форма этой
схемы, называемая линей-
ным графом цепи, показана
на рис. 2-1-1.6. Эта схема ча-
сто трактуется как изобра-
жение «геометрии» цепи и
получается путем замены
каждого физического соеди-
Ориентация используется для
изображения направления как напряжения, так и тока. В качестве
основы для записи контурных и узловых уравнений электрических цепей
можно использовать либо схему замещения, либо линейный граф. И схе-
му замещения, и граф можно применять с одинаковым успехом. Такое
Рис 2-1-2 Типичная система из электрических двух-
полюсников и четырехполюсников.
а — схема; б — граф системы.
метрию схемы и приобре-
тает новый и важный
положение характерно
для цепей, содержащих
только двухполюсники.
Когда в электриче-
ские схемы в качестве
компонент входят много-
полюсники, как показано,
например, на рис. 2-1-2,а,
граф не изображает гео-
смысл. На основе понятий,
изложенных в этой и сле-
дующих главах, будет показано, что линейные графы для электрической
системы на рис. 2-1-2,с и механической системы на рис. 2-1-3,а имеют
формы, показанные на рис. 2-1-2,6 и 2-1-3.6, соответственно. Очевидно,
что ни в одном из этих примеров граф не изображает геометрию систе-
мы или соединения между зажимами компонент. В случае электриче-
ской системы (рис. 2-1-2) ориентированные отрезки линий, связанные
с тонкой медной пластинкой, даже не изображают предполагаемого на-
правления тока В действительности, между зажимами а и b имеется
ток, однако граф системы не содержит линию, соединяющую эти два
зажима.
15
В механической системе на рис. 2-1-3,а связь между твердым те-
лом М и точкой g отсутствует, однако граф содержит отрезок линии
между соответствующими точками.
На чем же основано построение этой схемы, называемой линейным
графом? Ценность подобной схемы несомненна. Она является основой
для записи контурных и узловых уравнений для электрических схем, со-
Рис. 2-1-3. Типичная систеам из двухполюсников и
четырехполюсников.
а — схема; б — граф системы.
держащих многополюсные компоненты, а также и для других физи-
ческих систем.
Ответ на этот вопрос может быть найден при критическом рассмот-
рении основ математического анализа физических систем. В начале
мы рассмотрим основы математического описания двухполюсников.
2-2. Электрические измерения и полюсные графы
Теория электричества и электротехника базируются на измерениях,
проводимых при помощи амперметров и вольтметров. Имеется много ти-
пов этих приборов, но все они, по крайней мере теоретически, отградуи-
рованы по эталонным образцам. Так как мы интересуемся главным об-
разом описанием свойств систем и компонент посредством математи-
ческих уравнений, то нашей главной задачей является определение свя-
зи математических символов с показаниями приборов, а не того, что из-
меряет прибор или как установлены эталоны.
Мы будем строить наши определения на базе использования «безы-
нерционных» вольтметра и амперметра. Осциллограф и прибор электро-
динамического типа являются примерами
таких измерителей. Однако прибор элек-
тродинамического типа можно считать
«безынерционным» при относительно мед-
ленных изменениях во времени измеряемой
величины.
Показания амперметра и вольтметра
всегда связаны с двумя «точками» — их за-
жимами. Кроме того, показание прибора
в любой конкретный момент времени зави-
сит от относительной ориентации зажимов.
Ориентация, используемая при регистрации
Рис. 2-2-1. Ориентация при-
боров.
а — вольтметра; б — амперметра.
любого данного измерения, может ‘быть удачно показана с помощью
диаграммы, подобной изображенным на рис. 2-2-1. Оказывается, что
при исследовании систем ориентированный отрезок линии может быть
чрезвычайно полезен.
Каждая электрическая компонента должна иметь, по крайней мерс,
два зажима. Электрические характеристики по определению получают,
исходя из измерений напряжения и тока на зажимах компоненты. Ис-
16
пользуя ориентированные отрезки линий, эти измерения для двухполюс-
ника на рис. 2-2-2,а отображают диаграммой, показанной на рис. 2-2-2,б.
Можно также использовать относительную ориентацию вольтметра и
амперметра, показанную на рис. 2-2-3. Без ущерба для общности одна
из этих ориентаций может быть принята за основу. Мы примем за стан-
дартную относительную ориентацию, которая изображена на рис. 2-2-2,
Рис. 2-2-2. Стандартная схема ориентации приборов для двух-
полюсной компоненты.
и будем пользоваться одинаковым отрезком линии для обозначения ори-
ентации как вольтметра, так и амперметра (рис. 2-2-2,в). Этот отрезок
линии называется полюсным графом двухполюсной компоненты.
В том случае, когда компонента имеет большее число зажимов (см.
гл. 6), ориентированный отрезок служит также для указания пар полю-
Рис. 2-2-3. Другая ориентация измерений. ориентации измерений для че-
тырехполюсника.
сов, относительно которых производились измерения. Например, сово-
купность отрезков на рис. 2-2-4,б изображает измерения вольтметром на
парах полюсов а—Ь, а—с, b—с и Ь—d компоненты, показанной на
рис. 2-2-4,а.
2-3. Полюсное представление двухполюсников
При математическом описании характеристик электрической компо-
ненты символы и и i используются для изображения измерений напря-
жения и тока, определяемых полюсным графом. Если показания при-
боров меняются во времени, то используют символы u(t) и 1(f). Эти пе-
ременные или функции времени называют полюсными переменными ком-
поненты.
Описание характеристик электрического двухполюсника считается
полным, если дано уравнение (или график), связывающее переменные
u(t) и i(t). Такое уравнение, называемое полюсным уравнением, вместе
с полюсным графом компоненты образует полюсное представление ком-
поненты. Описание компоненты не является полным при отсутствии либо
полюсного уравнения, либо полюсного графа.
При рассмотрении частей или блоков системы как компонент под-
разумевается, что полюсные уравнения для каждой из этих частей не
зависят от системы, в которой компонента используется. Это означает,
2—1738 17
Бив
что полюсное уравнение для любого двухполюсника может быть получе-
но путем измерений на зажимах «изолированной» компоненты, т. е.
в комбинации с подходящим источником питания. Например, чтобы най-
ти полюсные уравнения электрического двухполюсника, его зажимы
можно подключить к соответствующему генератору согласно рис. 2-3-1.
Рис. 2-3-1. Частный случай изме-
рений, определяемых полярным
графом электрического двухполюс-
ника.
Входные зажимы вертикального V и го-
ризонтального Я усилителей осциллогра-
фа подключаются к зажимам двухполюс-
ника и к зажимам стандартного сопро-
тивления соответственно. При периодиче-
ском изменении (во времени) напряже-
ния генератора на экране осциллографа
получают график u(t) в функции i(t).
Заземленная точка является общей для
вертикального и горизонтального усили-
телей. Поэтому, для того чтобы получить
ориентацию измерений (ориентировать
отрезок), меняют знак показаний, наблюдаемых по горизонтальной оси
на экране осциллографа, на обратный.
Полюсное уравнение электрической компоненты может содержать
либо обе, либо одну из переменных u(t) и i(t). Если, например, напря-
жение на зажимах не зависит от тока, то полюсное уравнение имеет
вид п(/)=Е. Чаще всего, однако, полюсное уравнение выражает функ-
циональную зависимость двух переменных.
2-4. Резистивные компоненты
Любой электрический двухполюсник, у которого «(/) и i(t) связаны
алгебраическим уравнением, будем называть резистором. Предположим,
что в результате измерений, проведенных на некоторой электрической
компоненте при помощи источника с периодически изменяемым напря-
жением, получена характеристика, подобная представленной на рис. 2-4-1.
Рис. 2-4-1. Типичная
вольт-амперная характе-
ристика.
Рис. 2-4-2. Аппроксима-
ция для малых сигналов
нелинейной вольт-ампер-
ной характеристики.
Если характеристика аппроксимируется прямой, проходящей через на-
чало координат (пунктирная линия), то полюсное уравнение можно за-
писать как
zz(/)=l/?z(/) (2-4-1)
или
= (2-4-2)
Для некоторых компонент характеристика имеет вид, показанный
на рис. 2-4-2. В подобных случаях часто используют аппроксимацию для
18
малых сигналов. Это означает, что полюсное уравнение связывает изме-
нение u(t) с изменением i(t):
bu(t) = RdM(t). (2-4-3)
Точка, относительно которой происходят вариации u(t) и i(t), на-
зывается рабочей точкой. Коэффициент Rd в уравнении (2-4-3) назы-
вается дифференциальным сопротивлением. Уравнение (2-4-3) обычно
записывают как
u(t)=Rdi(t), (2-4-4)
имея в виду, что переменные изображают изменения относительно неко-
торой заданной рабочей точки.
Компоненты, имеющие полюсные характеристики типа изображен-
ной на рис. 2-4-2, обычно классифицируют как нелинейные. Однако если
рабочая точка, называемая иногда точкой покоя, известна, то полюсное
уравнение, изображающее малые отклонения от этой рабочей точки, ли-
нейно.
2-5. Емкостные компоненты
Рассмотрим далее характеристики, для которых i(t) является функ-
цией производной u(t) по времени. Любой электрический двухполюсник,
для которого связь i(t) с du(t)fdt выражается алгебраическим уравне-
нием, называется емкостью.
Предположим, что результаты измерений на зажимах исследуемого
двухполюсника представлены характеристикой на рис. 2-5-1. Если эту
характеристику аппроксимировать прямой, проходящей через начало
координат, то полюсное уравнение для компоненты можно записать как
W = C-^u(t).
(2-5-1)
Рис. 2-5-1. Типичная харак-
теристика конденсатора.
В уравнении (2-5-1) 1(f) является явной
функцией от u(t). При анализе систем часто
удобнее выражать u(t) в виде явной функции
от i(0- Если du(t)ldt существует, то обратное
соотношение можно получить, проинтегриро-
вав выражение (2-5-1):
t
M(f) = A-jt(Odf + «(O). (2-5-2)
о
Если u(t)—разрывная (например, ступенчатая) функция, то
du(t)Idt не существует и уравнение (2-5-1) не является удовлетвори-
тел1ной формой полюсного уравнения. При этом условии уравнение
(2-5-1) не имеет решения. В подобных случаях можно произвести заме-
ну переменных. Новая переменная q(t) определяется как
С [и (/) — и (0)] при £ 3= 0,
0 при ?<0.
(2-5-3)
Тогда t — причем в этом случае производная существует. Физи-
ческое понятие, связанное с переменной q (t), называется зарядом-
2
19
Пример 2-5-11. Разрывные функции часто используются для изображения на-
пряжения на емкости, когда ключ мгновенно подсоединяет источник напряжения
к конденсатору (рис. 2-5-2) Полюсное уравнение емкости для t^O имеет вид:
q(t)=C[u(t)— п(0—)].
(3-5-4)
Пусть
(5 при t < О,
и (t) = <
(10 при t 0.
Подставив эту функцию в полюсное уравнение для емкости, получим:
[0 при t < 0 (по определению),
Q ) |5С при t ;> 0
или
d (0
При t = 0
dq (О
— = i (t) — неопределенность.
при t < 0,
при t > 0.
Именно представление, что i(t) изображает «нечто текущее», а не
математика или .показания приборов, позволяет нам считать, что в точке
разрыва непрерывности ток бесконечен. Следует еще раз подчеркнуть,
Рис. 2-5-2.
что мы имеем дело здесь не с субъ-
ективными физическими понятиями
и теориями «электрического тока»,
а с объективными операционными
понятиями, связанными с математи-
ческим описанием физических ха-
рактеристик компоненты системы,
полученных из измерений. При этом,
Рис. 2-5-3. Аппроксимация
для малых сигналов нели-
нейной характеристики кон-
денсатора.
как уже отмечалось выше, мы должны согласовывать наши выводы
с математикой.
Когда ток является непрерывной функцией времени, переменная
q(t) связана с i(t) соотношением
о
(2-5-5)
Величину С обычно получают из графической зависимости q(f) и п(()
в соответствии с уравнением (2-5-3), а не из уравнения (2-5-1).
Предположим, что характеристика емкостной компоненты имеет
форму, представленную на рис. 2-5-3. Если характеристика аппроксими-
руется прямой линией, проходящей через начало координат, то уравне-
ние для вариаций относительно точки u(t) =0 имеет вид:
q(t) — Cu(t).
Если требуется, чтобы двухполюсник работал в «нелинейной» обла-
сти, что можно осуществить, присоединив, например, напряжение сме-
20
щения последовательно с изменяющимся напряжением, то изменения
u(t) и i(t) относительно рабочей точки связаны соотношением
Д<7 (t) = Сd (f). (2-5-6)
Как и в случае резистивной компоненты А обычно опускается. При
атом следует помнить, что переменные всегда представляют изменения
относительно рабочей точки, независимо от того находится ли рабочая
точка в нуле или нет.
2-6. Индуктивные компоненты
Рассмотрим для двухполюсника зависимость временной производной
i(t) от u(t). Электрический двухполюсник, для которого u(t) связано
с di(t)ldt при помощи алгебраического уравнения, называется индук-
тивностью.
Если полюсная характеристика рассматриваемой компоненты имеет
вид, показанный на рис. 2-6-1, и если эта характеристика аппроксими-
Рис. 2-6-1. Типичная ха-
рактеристика индуктив-
ности.
Рнс. 2-6-2. Аппроксимация для
малых сигналов нелинейной ха-
рактеристики индуктивности.
руется прямой, проходящей через начало координат, то полюсное урав-
нение запишется как

(2-6-1)
В уравнении (2-6-1) u(t) является явной функцией от Если
dittydt существует в интервале 0 <7 то решение уравнения (2-6-1)
имеет вид:
(2-6-2)
о
Если i(0 —разрывная функция, то уравнение (2-6-1) не имеет ре-
шения. Как и в случае емкостной компоненть/, эту трудность обходят,
вводя новую переменную Л,(/), определяемую как
( L[i(0-i(0)]
I О
при
при t<0.
(2-6-3)
Тогда u(t) —dX(t) /dt, если производная существует. Переменную
иногда называют потокосцеплением или изменением потокосцепления.
21
Если напряжение является непрерывной функцией времени, то пере-
менная K(t) связана с «(/) соотношением
t
l(t)=\u(t)dt. (2-6-4)
o’
Численное значение L обычно получают из графической зависимости
А (0 от i(t).
Если Z(/) и i(t) для двухполюсника связаны нелинейной зависи-
мостью (рис. 2-6-2), то используют дифференциальный коэффициент
индуктивности, характеризующий изменения относительно рабочей точ-
ки. При этом следует помнить, что переменные в полюсном уравнении
X(O=iLdi(O (2-6-5)
изображают изменения относительно определенной рабочей точки.
2-7. Активные компоненты
Двухполюсники, описанные в трех предыдущих параграфах, обычно
называют пассивными компонентами. Пассивной компонентой считается
такая, у которой подводимая энергия всегда положительна, независимо
от условий работы, т. е. независимо от того, как используется компонен-
та в системе. Математически подводимая к компоненте в течение вре-
менного интервала от / = 0 до t—T энергия определяется как
т
W(T)=^u(t)i(t)dt. (2-7-1)
и
Таким образом, пассивная компонента определяется математически
как такая компонента, для которой интеграл (2-7-1) больше нуля при
любых условиях работы, если и(1) и i(jt) равны нулю при /=0. Все дру-
гие компоненты являются активными.
Понятия генератора или источника и нагрузки широко распростра-
нены в технических дисциплинах. Если компонента работает в таких
условиях, что подводимая в течение данного временного интервала энер-
гия больше нуля, то говорят, что компонента действует в течение этого
интервала как нагрузка. В противоположность этому, если подводимая
энергия отрицательна, то говорят, что компонента является генератором
электрической энергии. Исходя из принятой в настоящей книге ориен-
тации приборов, выражаемой при помощи полюсных графов, эквива-
лентные математические выражения имеют вид:
если при Г>0
т
J w(f)t(O^>O,
о
то компонента работает как нагрузка в течение этого временного интер-
вала;
если при Т>0
т
и (t) i (I) dt < О,
о
то компонента работает как генератор в течение этого временного ин-
тервала.
22
Хотя обычно говорят о подводимой (входной) энергии и отдаваемой
(выходной) энергии компоненты, математически нужно рассматривать
только одно определение, вытекающее из уравнения (2-7-1). Если, на-
пример, этот интеграл отрицателен, то мы имеем право говорить, что
подводимая мощность отрицательна или что отдаваемая мощность поло-
жительна. В настоящей книге будет использоваться определение энер*
гни, вытекающее из уравнения (2-7-1).
Если полюсная характеристика компоненты имеет вид, представлен-
ный на рис. 2-7-1, и если эта характеристика аппроксимируется прямой
... линией, то полюсное уравнение можно за-
v писать как
u(t)=ud(t)+Ri(t) (2-7-2)
и° пли
У/ Ш /(0 = id(0 + 4MW- (2-7-3)
Ч
Рис. 2-7-1 Типичная характе- Эт1! два уравнения соответствуют теоремам
ристина активного двухполюс- Тевенина и Нортона.
ника. Если полюсная характеристика двухпо-
люсника аппроксимируется горизонтальной
(или вертикальной) прямой линией, то два измерения взаимно незави-
симы и компонента называется источником напряжения (или тока).
В этом случае коэффициент R в уравнении (2-7-2) {или 1/Л в (2-7-3)]
равен нулю и полюсное уравнение принимает вид
u(t)=u0(t)—заданная функция времени (2-7-4)
или
/(/)=*о(Л—заданная функция времени. (2-7-5)
2-8. Механические измерения и полюсный граф
Математическое описание движения твердых тел, часто называемое
механикой твердого тела, может основываться на измерениях, требую-
щих измерителей перемещений и сил. Как н в случае электроизмери-
тельных приборов, имеются различные типы этих измерителей, но все
они сравниваются с эталонными приборами. Простейшим видом измери-
теля перемещений является градуированная линейка. К другим устрой-
ствам относятся одометр и различные виды электромеханических пре-
образователей, таких как потенциометры и поворотные трансформаторы.
Показания вольтметра или осциллографа, используемого совместно
с преобразователем, пропорциональны расстоянию между двумя движу-
щимися частями. Однако независимо от конкретного вида измерительно-
го прибора Он градуируется в соответствии с эталонной линейкой. Сле-
довательно, показания измерителя, изображаемые посредством матема-
тических переменных, определяются на основе измерений, произведен-
ных посредством градуированной линейки.
Чтобы осуществить измерение перемещения между двумя точками,
необходимо вначале 'выбрать линию или линии, вдоль которых должна
располагаться линейка, т. е. линию или линии, которые должны быть
отградуированы. Эти градуированные линии называются координатными
осями и могут быть прямолинейными или криволинейными. В общем
случае для того чтобы связать расстояние между двумя твердыми тела-
ми с системой вещественных чисел, требуется шесть отградуированных
линий или шесть координатных осей — три для параллельного переноса
и три для вращения. Для переноса наиболее часто используются три
23
системы координат: декартова, цилиндрическая и сферическая. Для
удобства мы в дальнейшем будем пользоваться в основном правой си-
стемой декартовых координат.
Упорядоченная тройка вещественных чисел, называемая вектором
и изображающая параллельный перенос между двумя точками в про-
странстве, получается путем измерения расстояния вдоль координатных
осей между точками в соответствии с рис. 2-8- 1,а.
Отметим, что начало координат совпадает с точкой а, что в рас-
сматриваемом случае перемещение между двумя точками изображается
упорядоченной тройкой положительных чисел. Это означает, что состав-
ляющие вектора 6(0 = 1бж(0 +jdy(t) + кбг(0 все положительны. Однако
Рис. 2-8-1.
а — частный случай измерения перемещения при поступательном
движении; б — полюсный граф.
когда начало координат перенесено в точку b (без вращения), переме-
щение между двумя точками изображается упорядоченной тройкой от-
рицательных чисел (составляющие вектора 6(1) все отрицательны). Та-
ким образом, мы «видим, что измерение перемещения также зависит от
ориентации.
Если переменная 6(0 = i6x(0 +j6y(0 +кбг(0 используется для изо-
бражения единственного измерения перемещения, то необходимо уста-
новить пару точек, к которым измерение относится, и определить начало
координат. Так же, как и в случае электрических изме-
с рений, эти сведения регистрируются путем связи ориен-
Л тированного отрезка линии с парой точек, как показано
на рис. 2-8-1,6. В этой книге ориентированный отрезок
6 и переменная 6(0 используются для изображения из-
мерений перемещений. При изображении ориентирован-
Рис. 2-8-2. ного отрезка всегда подразумевается, что начало коор-
динат правой координатной системы расположено так,
как показано на рис. 2-8-1,а Указанное измерение может быть описано
как смещение b относительно а. Таким образом, 6(0 изображает век-
тор смещения Ь относительно а. Отметим, что направление возрастания
шкал неотделимо от измерительного прибора и будет постоянно исполь-
зоваться при анализе любой данной системы. Ориентированный отрезок
указывает только начало шкалы.
Часто удобно использовать одну какую-либо точку как начало коор-
динатных осей при всех измерениях, имеющих отношение к данной сово-
купности точек. Тогда общая точка изображается как точка с на
рис. 2-8-2. Предписанные измерения указываются изображенной парой
ориентированных отрезков.
24
Чтобы связать вращение одного твердого тела относительно другого
с системой вещественных чисел, система из трех исходных линий, на-
пример правая система декартовых координат, связывается с обоими
телами, как показано на рис. 2-8-3,а. На этом рисунке тело Ь показано
вращающимся вокруг оси У. Угол вращения определяется путем изме-
рения угла между Ха и Хь- Обычно градуируют круговую шкалу, исполь-
зуемую для измерения этого угла в направлении, в котором вращает-
ся правый винт, совершающий поступательное движение вдоль оси, по
которой производится вращение. Таким образом, при измерении угла
вращения вокруг оси Y на рис. 2-8-3,а используется круговая шкала,
градуированная по часовой стрелке. Это условие «правосторонности» при
Рис. 2-8-3.
а — частный случай измерения перемещения при вращательном движении;
б — полюсный граф.
градуировке круговых шкал выбирается здесь для измерений враща-
тельных перемещений. Как и при градуировке координатных осей, на-
правление возрастания шкалы неотделимо от измерителя перемещений
и должно быть стандартизовано при изучении данной системы.
После того, как установлено направление градуировки, остается
выбрать начало шкалы и отметить его на полюсном графе. Это вновь
достигается посредством ориентированного отрезка линии, как показа-
но на рис. 2-8-3,б. Ориентация отрезка на рис. 2-8-3,б подразумевает,
что начало шкалы расположено в соответствии с рис. 2-8-3,а, и наоборот.
Это означает, что шкала неподвижна относительно тела а и что измере-
ние изображает вращение тела Ь относительно тела а.
К сожалению, простое представление положения тела, вращающе-
гося в трехмерном пространстве, через вращения вокруг трех координат-
ных осей отсутствует. Последовательность вращений должна быть точно
определена для того, чтобы трехмерный вектор вращения был задан
однозначно. Однако имеется много систем, в которых нужно рассматри-
вать вращение вокруг одной оси. Схема на рис. 2-8-3,а является доста-
точной, когда фу изображает единственное вращение. Вращения вокруг
осей X и Z могут быть соответственно обозначены фх и ф2.
Вторым фундаментальным измерением, входящем в математическое
описание механических систем, является измерение силы или момента.
Для изображения результатов измерения сил, вызывающих поступатель-
ное движение, используются следующие переменные:
F(/)=i/x(0+/L(0 +#z(0-
Общепринятое понятие силы состоит в том, что это есть нечто, да-
вящее в точку. Однако для того, чтобы математическая переменная F(Z)
имела какую-нибудь ценность при анализе систем, нужно установить ее
25
связь с показаниями измерителя. Простейшим видом измерителя силы
являются пружинные весы.
Ориентированный отрезок на рис. 2-8-4,б используется для обозна-
чения ориентации шкалы измерителя силы, изображенного на рис. 2-8-4,с.
Важно отметить, что показание измерителя положительно, когда
зажим, связанный с началом
ром сила равна нулю, вдоль
оси X в положительном на-
правлении. Таким образом,
если изменить ориентацию
отрезка на обратную, то не-
подвижным будет противо-
положный конец шкалы
(как на рис. 2-8-5). Отме-
тим, что вращение стрелки
измерителя силы на полный
оборот не изменяет знака
показаний прибора.
Как и при электрических измерениях, для указания ориентации при
измерении силы и перемещения используется ориентированный отрезок,
как показано на рис. 2-8-6.
При измерении вектора силы F(Z) каждая его составляющая может
быть измерена непосредственно спосо-
бом, описанным выше. С другой сторо-
ны общая сила, измеренная вдоль ли-
нии действия, может быть разложена
на три координатные составляющие.
В любом случае F(/) есть просто ма-
тематическая функция, изображающая
один или несколько результатов изме-
рений. При таком подходе нам нет
нужды иметь дело с понятиями «дей-
ствие» и «реакция» подобно тому, как
«падение» или «потеря» напряжения.
стрелки, движется из положения, в кото-
а
-2 -10 12
♦_________Ь
кллпг* * — О
ЧЬ
Л
Off
Рис. 2-8-4.
а — частный случай измерения силы при поступатель-
ном движении; б — полюсный граф.
ие.. 2-8-5.
а частный случай измерения силы
поступательном движении;
граф.
при
б — полюсный
мы не пользовались понятиями «падение» или «потеря» напряжения.
Однако F(f) является векторной функцией. Поэтому иногда бывает
удобно рассматривать F(£) как векторную функцию, изображающую
силу в точке измерения, связанной с вершиной в начале ориентирован-
Компонента Измеритель
Силы

Зксиентрик
0 12 3ч 5 6-1012
f)
Рис. 2-8-6. Измерения для механического двухполюсника
при помощи градуированной пружины.
ной стрелки. Это позволяет быстро установить, что ориентация измери-
теля, диктуемая ориентированным отрезком на рис. 2-8-6,в, совпадает
с изображенной на рис. 2-8-6,а.
Имеются другие виды измерителей силы. Одним из наиболее рас-
пространенных измерителей является тензометр, изображенный на
26
рис. 2-8-7. Тензодатчик представляет собой полоску материала, электри-
ческое сопротивление которого между двумя противоположными конца-
ми является функцией удлинения. Тензодатчик крепится на механиче-
ском соединении. Если соединить тензодатчик с источником постоянного
тока как показано на рисунке, то отклонение вольтметра будет пропор-
ционально удлинению или деформации пластинки. Вольтметр градуи-
руется при помощи эталонных весов или гирь. Ме-
ханическое соединение, на котором устанавливает-
ся тензодатчик, может иметь различные геометри-
ческие формы и выполняться из различных мате-
риалов в зависимости от требуемой чувствитель-
ности.
Для определения показаний тензометра удобно
представить его как «закрытый» прибор с двумя
механическими зажимами. Очевидно, что знак по-
казания вольтметра (силы) зависит от ориентации
вольтметра относительно электрических зажимов
тензодатчика и не зависит от ориентации механических зажимов. В си-
стеме на рис. 2-8-8 при ориентации полюсного графа считается, что по-
казания вольтметра положительны, когда сила, приложенная к тензо-
метру, вызывает движение точки с в положительном направлении X от-
носительно точки Ь. Если изменить ориентацию отрезка на обратную,
то необходимо поменять зажимы вольтметра (без изменения ориента-
ции датчика) и начало шкалы перемещений перенести в точку b (без
вращения).
Рассмотрение методов измерения момента ограничим случаем си-
стем с вращением вокруг одной оси. Использование переменной Tx(t),
Ty(t) или Tz(t) зависит от того, относится ли измерение к вращению
Рис. 2-8-8. Измерения для механического двухполюсника
при помощи тензодатчика.
а — схема измерений; б — полюсный граф
вокруг оси А, У или Z. Чтобы дать определение измерению момента, вы-
текающее из ориентированного отрезка линии, рассмотрим в качестве
примера измерение момента вращающейся машины, схематически изо-
браженное на рис. 2-8-9,а. Один метод измерения момента (возможно
не совсем пригодный для широкого применения) состоит в том, что меж-
ду валами двух машин устанавливается пружина, как показано на ри-
сунке. Ориентированные отрезки на рис. 2-8-9,б указывают, что градуи-
рованные шкалы для измерения перемещения и момента неподвижны,
относительно тел b i\ а соответственно (рис. 2-8-9,а). Заметим, что если
в соответствии с нашим условием связи показаний измерителя силы
с ориентацией отрезка точка с вращается в положительном направле-
нии по отношению к точке а, то показание измерителя момента поло-
жительно.
27
Более распространенный метод обнаружения относительных пере-
мещений двух концов пружины (точки а и с на рис. 2-8-9,а) состоит
в использовании тензодатчиков или других электрических элементов,
чувствительных к механическим деформациям. Пружина может быть
заменена отрезком вала с двумя установленными на нем тензодатчика-
ми, расположенными под углом около 45° к оси вала (рис. 2-8-10). Че-
Рис. 2-8-9. Измерение момента (а) и
полюсные графы (б, в).
Рис. 2-8-10.
Схема уста-
новки тензо-
датчиков
при изме-
рении мо-
мента
тыре зажима тензодатчиков подводятся к вращающимся кольцам и под-
соединяются в схему моста, изображенную на рис. 2-8-11. Отклонение
стрелки вольтметра или луча осциллографа, подключенного к выходным
зажимам моста, пропорционально деформации вала. Как и в случае из-
Рис. 2-8-11. Система тен-
зодатчиков, используемая
для измерения момента.
Рис. 2-8-12. Измерение момента при помощи тензометра.
а — схема измерений; б — полюсный граф.
мереннй перемещений при помощи тензометра, знак показания электри-
ческого прибора зависит от ориентации прибора относительно зажимов
моста.
В соответствии с предыдущим полюсный граф на рис. 2-8-12,6 ука-
зывает, что вольтметр присоединен таким образом, что при вращении с
в положительном направлении относитечьно а, показания вольтметра
положительны.
2-9. Полюсное представление механических двухполюсников
Примерами механических двухполюсников могут служить стальные
цилиндрические пружины, часовые пружины, отрезки валов, автомобиль-
ные и самолетные амортизаторы. Одним из важных примеров механиче-
ских двухполюсников, который не столь очевиден и может быть непра-
вильно истолкован, является простая пара материальных объектов, на-
пример, пара шаров или шар и земля. Один объект сам по себе не
является механическим двухполюсником, так какой не может быть свя-
зан с измерением силы и перемещения. Эти измерения производятся
всегда относительно второй точки — обычно некоторой точки или линии
28
на земной поверхности. Компонента, образованная физическим объектом
вместе с землей, называется механической массой ’.
Полюсные уравнения для механических двухполюсников имеют
в основном такой же вид как и рассмотренные выше уравнения для
электрических компонент. Они объединены в табл. 2-9-1.
Таблица 2-9-1
Система с поступательным движением Система с вращательным движением
fx (0 = В8Х (0 (0 Тх (0 = в?х (0 ¥х(0 = 4"Гх Демпфер
fx (0 = KM0 М')={/х(<) Tx(t) = K?x(t) <fx(t} = ^Tx (/) Пружина
fx (/) = М8Х (/) (0 7'х (0 = (0 Тх (П = 4-^х(0 Масса
где
d
fW=-dlhW
d
Коэффициенты для полюсных уравнений механических компонент
определяются путем измерений, которые производятся в соответствии
с методами, рассмотренными в § 2-4—2-6 для электрических компонент
Различие относится лишь к измерительным приборам. Помимо компо-
нент, описываемых полюсными уравнениями, приведенными в табл. 2-9-1,
имеются источники силы и перемещения и другие «активные» механиче-
ские компоненты.
2-10. Гидравлические измерения и полюсный граф
Математическое описание потока жидкости основывается на из-
мерениях, производимых посредством расходомера и манометра. Мано-
метр одного из простейших типов состоит из рычажного механизма,
снабженного стрелкой и шкалой, нагруженного пружиной и соединен-
ного с диафрагмой. Схематически такое устройство показано на
рис. 2-10-1. Если два впускных отверстия прибора а и b подсоединены
к отрезку трубопровода или контрольному клапану (рис. 2-10-3), то го-
ворят, что прибор измеряет разность давлений или дифференциальное
давление между двумя областями а и Ь. Очевидно, что число, появляю-
щееся на шкале, меняет знак при изменении присоединения впускных
отверстий на обратное. Если отверстие b соединено с атмосферой, то
прибор показывает манометрическое давление (по отношению к атмо-
1 То есть в да.нном случае земля является системой отсчета (подробнее см.
М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс, Переходные процессы в линейных системах, Физматгиз,
М„ 1961, стр. 75—76). Прим, переводчиков.
29
сферному давлению). Если прибор отградуирован так, что показание
стрелки соответствует атмосферному давлению, когда оба отверстия со-
единены с атмосферой, то говорят, что прибор измеряет абсолютное дав-
ление. Однако даже в случае измерения абсолютных давлений измере-
ние всегда производится относительно двух областей — области, о кото-
Рис. 2-10-1. Измерителе
давления.
а — схема прибора; б — по-
люсный граф.

Рис. 2-10-2. Измерение
потока.
а — схема измерения; б —
полюсный граф.
рой идет речь и вакуума. Независимо от используемого в действитель-
ности метода измерения ориентированный отрезок на рис. 2-10-1,6 ука-
зывает, что ориентация измерителя давлений эквивалентна показанной
на рис. 2-10-1,а для мано-
метра с диафрагмой.
Простейшим типом
расходомера является
турбинка, схематически
изображенная на рис.
2-10-2,а. Здесь стрелка
указывает, что показания
прибора положительны,
если поток направлен от
а к Ь. При любом методе
Измеритель
даВленил
Измеритель
потока
Насос
Рис. 2-10-3. Измерения для гидравлического двухпо-
измерения расхода ори- люсника.
ентированный отрезок
рис. 2-10-2,6 указывает, что ориентация прибора эквивалентна показан-
ной на рис. 2-10-2,о.
Как н в случае описанных ранее измерений, ориентированный отре-
зок используется для обозначения пары областей, для которых произво-
дится измерение, и указания ориентации прибора. Символы p(t) и g'(t)
используются для отображения показаний изме-
рителей давления и расхода для двухполюсника
на рис. 2-10-3,о с ориентацией, соответствующей
полюсному графу.
Типичными гидравлическими двухполюсни-
ками являются управляющие вентили, отрезки
трубопроводов, резервуары, насосы и любые ча-
сти гидравлического оборудования, имеющие
входное и выходное отверстия. Площади попе-
речных сечений этих отверстий представляют
собой области, для которых могут производить-
ся измерения давления и расхода. Важным гидравлическим двухполюс-
ником, при рассмотрении которого легко впасть в ошибку, является
открытый резервуар, изображенный на рис. 2-10-4. Двумя «зажимами»
этой компоненты являются соответственно площадь а и область Ь (по-
перечное сечение входного отверстия и атмосфера). Ориентация изме-
Рис. 2-10-4. Гидравличе-
ский резервуар
30
рений давления и расхода, связанных с этими площадью и областью,
изображается ориентированным отрезком.
Полюсные уравнения и методы измерения коэффициентов вновь
совпадают с рассмотренными выше для других типов компонент и нет
необходимости возвращаться к этому еще раз. Сводная таблица уравне-
ний для типичных компонент приведена в конце главы.
2-11. Тепловые измерения и полюсный граф
Математический анализ тепловых систем основывается на измере-
ниях, 'производимых при помощи термометра и калориметра. Измеряе-
мые величины называются температурой и тепловым потоком. Суще-
ствует много типов термометров, начиная с градуированного столбика
ртути и кончая термопарой. Хотя общепринятое представление о «теп-
ле» связывает показания этих приборов и то, что они измеряют, с од-
ной областью пространства, в действительности приборы и процесс из-
мерения, как и раньше, связаны с двумя областями.
Материал Л Материал В
Начало шкалы термометра по Цельсию устанавливается следую-
щим образом: термометр помещают в сосуд с тающим льдом и замечают
положение столбика ртути. Измерение температуры производится пу-
тем фиксации разности в положении столбика ртути в сосуде со льдом
и во второй точке Нет особых причин считать, что температура в со-
суде со льдом более предпочтительна в качестве начала шкалы, чем
температура во второй точке, однако обычно за нуль принимают темпе-
ратуру тающего льда. В этом смысле показание измерителя зависит от
ориентации, используемой при измерении.
Ориентация измерения температуры оказывается более очевидной
в случае, когда измерение производится для двух областей, ни одна из
которых не идентична сосуду со льдом. Если термометр снабжен под-
вижной шкалой, то измерение температуры, связанное с областями а
и b на рис. 2-11-1,а, может производиться следующим образом: 1) по-
мещают термометр в область а и устанавливают начало шкалы; 2) за-
мечают показания, когда термометр находится в области Ь. Если про-
цесс измерения производится в обратном порядке, то знак показаний
изменится. Для указания ориентации измерения вновь используется
ориентированный отрезок (рис. 2-11-1,6).
Так как термометры редко снабжаются подвижными шкалами,
то практические методы измерения основаны на использовании термо-
метров с неподвижной шкалой, у которых за нуль принята температу-
ра в сосуде со льдом или какая-либо другая стандартная точка (вклю-
чая так называемый «абсолютный нуль»). При измерениях последова-
тельно замечают показания термометра в областях а и Ь. Эти измере-
ния описываются при помощи пары прямых линий, приведенных на
31
рис. По определению температура x(t) связана с xu(t) и Ть(0
соотношением
т(0 =tb(t) —Xa(t)
и иногда называется температурой области b относительно а.
Измерение температуры т, описываемое ориентированным отрез-
ком на рис. 2-11-2,6, удобно производить при помощи схемы с термо-
парой, изображенной на рис. 2-И-2,а. Как видно, термопара образована
двумя отрезками проволоки из различных материалов, соединенными
последовательно. Показания вольтметра с вы-
соким входным сопротивлением пропорцио-
нальны измеряемой температуре т, связанной
. с двумя точками. Зажимы вольтметра ориен-
тированы так, что его показания выражаются
положительным числом, если ха>хь-
Измерения теплового потока производят-
ся путем наблюдения изменения температуры
стандартного объема воды, изолированного от
среды контейнером с тепловой изоляцией (рис.
2-11-3,а). По определению функция теплопере-
дачи Q(t) пропорциональна температуре объ-
ема воды относительно сосуда с тающим
льдом. Ориентация отрезка на рис. 2-11-3,6
указывает, что измерение теплового потока
совпадает с изображенным на рис. 2-11-3,а. Показания измерителя по-
ложительны, если Та>Ть.
Схема измерений температуры и теплового потока, используемых
для получения полярного уравнения теплового двухполюсника, приве-
дена на рис. 2-11-4,6. Ориентация обоих приборов указана полярным
графом на рис. 2-11-4,6. Полярное уравнение для длинного тонкого изо-
вольтметр програ-
дциробонпый о
Термопара
Нагребатель
Рис. 2-11-3. Калориметр
с термопарой.
лированного стержня имеет вид:
<2(0=Кт(0-
Коэффициент К, называется коэффициентом
теплопередачи стержня.
। ТеплоИоя
I компонента .
^1777777777777777/7^.
о!
777/777/77/77
Теплоизоляция \777/77/77. Г/Л
Калориметр
Рис. 2-11-4. Измерения для теплового двухполюс-
ника.
Другим общим случаем двухполюсника является тепловой конден-
сатор, представляющий собой некоторый объем вещества. В этом слу-
чае в связи с тем, что измерение температуры в точке невозможно,
характеристики теплового конденсатора можно определить только от-
носительно некоторой исходной точки, например сосуда со льдом.
В частности, для того чтобы измерять теплоемкость объема вещества,
тело нагревают до произвольной температуры и помещают в стандарт-
ный калориметр (рис. 2-11-5,а). Пусть измерения температуры тела а
О
Q
о

32
и калориметра b определяются графом на рис. 2*11-5,6. Если т(0)
г(0 изображают соответственно показания термометра до и после по-
гружения тела в калориметр, то по определению
Qb(t) =T!b(t)— Tfc(O) при Qb = Q=—Qa- (2-11-1)
В соответствии с понятиями, связанными с этим процессом измерения,
Q(t) называют тепловым потоком от объема а к объему Ь. Если обо-
значить через t время, за которое т*(/) =ra(t), то
— Qa (Л) = Qb(tl) =Ть(М—Ть (0) =
Рис. 2-11-5. Тепловой двухполюсный кон-
денсатор.
(2-11-2)
Рис. 2-11-6. Двух-
полюсный источ-
ник тепла.
рассматривается как изображение общей теплопередачи между двумя
телами [от а к Ь, если Q (<i) >0]. Отношение
р(6) —tb (0)
ta (G) — ta (0)
(2-11-3)
называется теплоемкостью объема а, а полюсное уравнение компонен-
ты имеет вид
Qa(0 =С[ТО(/)-Та (0)] (2-11-4)
или
Qa(0=CTa(0-Qa(0). (2-11-5)
Отметим, что, как и в случае массы, тело плюс исходная точка,
используемая при измерениях, рассматриваются как двухполюсник.
Подобным же образом газовая горелка, изображенная на рис. 2-11-6,
рассматривается как двухполюсник, полюсное уравнение которого
Q(t) =Qd = const
при неизменной скорости горения.
2-12. Обобщение
Выше было показано, что все измерения, рассматриваемые в этой
главе, связаны с двумя точками, площадями или областями и чувстви-
тельны к ориентации того или иного вида. Мы можем спросить: «явля-
ется ли это типичным для всех измерений и, если да, то какое это имеет
значение? Является ли такой тип измерения единственным, который
может быть реализован?». Было бы опасно пытаться ответить на любой
из этих вопросов определенно. Однако практика показывает, что если
исключения и имеются, то их очень мало и есть основания для утверди-
тельного ответа на оба вопроса. Даже показание измерителя освещен-
3—1738
33
ности, например, связано с двумя областями и ориентировано. Дейст-
вительно, будут ли показания отрицательными или положительными
зависит от того, устанавливался ли нуль шкалы в темной комнате или
при ярком солнечном освещении
Поскольку речь идет об анализе систем, то достаточно представ-
лять себе, что, по крайней мере, обширная группа измерений относится
к категории измерений, связанных с двумя точками, площадями или об-
ластями, и для которых показание измерителя является функцией
ориентации. При записи таких измерений или при однозначном их пред-
ставлении посредством математической функции необходимо указать
пару точек или областей, относительно которых производится измере-
ние, и используемую ориентацию прибора. Ориентированный отрезок
линии с конечными точками, соответствующими точкам или областям
измерения, является удобным и исчерпывающе служит этой цели.
Методы анализа, излагаемые в следующих главах, зависят только
от свойств, общих ‘для класса измерений, рассмотренных в данной гла-
ве, и совершенно не зависят от типа объектов, для которых производят-
ся измерения, и от применяемых приборов. Следовательно, целесообраз-
но разделить пары переменных, связанных с любым данным отрезком
линии (переменные, изображающие два основных измерения), на две
общие группы.
Рассматривая измерения, представленные переменными, мы видим,
что u(t), 6(i)> ф(0> Р(0 и т(0 (напряжение, перемещение, угол пово-
рота, давление и температура) всегда связаны с таким подсоединением
измерителя относительно областей или точек, что измерение можно
характеризовать как параллельное (accross) измерение. Такое поло-
жение измерителя существенно отличается от подсоединения измери-
телей для второго класса величин, а именно, i(Z), F(t), T(t), g'(t)
и Q(t) (ток, сила, момент, поток жидкости и теплопередача). В соот-
ветствии с общепринятыми понятиями о том, что измеряется измерите-
лем, последний класс переменных соответствует последовательным
(through) измерениям *.
2-13. Мощность и энергия
Переменные, рассмотренные в этой главе и отображающие парал-
лельные и последовательные измерения, являются единственными мате-
матическими переменными, которые могут быть просто определены как
выражение конкретных измерений. В соответствии с этим все другие
математические функции и переменные должны определяться на осно-
ве этих фундаментальных переменных. Так, мы не можем утверждать,
что переменные, рассматриваемые в этом параграфе, отображают по-
казания измерительных приборов. Например, показание ваттметра
отображает (с достаточной степенью точности) произведение показаний
вольтметра и амперметра. Так как ваттметр является частью физиче-
ской системы, то это соотношение не может быть доказано математи-
чески.
Математический анализ физических систем основывается на фун-
даментальных параллельных и последовательных переменных, техника
же имеет дело с произведением этих переменных — мощностью. Мощ-
ность для каждой пары переменных определяется следующим образом:
1 Впервые, по-видимому, предложил различать переменные двух типов Файерстоун
[Л. 2-1]. Он назвал эти переменные «accross variables» и «through variables» в зависи-
мости от способа измерения. В данной книге использованы термины «параллельные» и
«последовательные» переменные.
34
Определение 2-13-1. Электрическая мощность
Ре(О=и(-')г(О-
Определение 2-13-2. Механическая мощность при параллель-
ном перемещении
Рт (!)=г., (О fx (0 4- (0 fy (0 + 8z(0 f. (О-
Определение 2-13-3. Механическая мощность вращения. При
вращении в плоскости относительно оси X:
Pr(t)=4>x(t)7x(f);
оси У
(0;
оси Z
Pr (0=^(0 Tz(t).
Определение 2-13-4. Гидравлическая мощность
Ph(t) = p(t)g(i).
Определение 2-13-5. Тепловая мощность
Pt(t) = x(t)Q{t).
Для каждой пары фундаментальных переменных определена также
функция, называемая энергией. Если P(t) представляет собой любую
из определенных выше функций мощности, то энергия определяется
следующим образом:
Определение 2-13-6. Энергия
t
W(t) — W(O)=$P(t)dt.
о
В этом определении №(/) изображает энергию как функцию вре-
мени и 1F(O) — энергию при t=0. Отметим, что 1F(Z) может быть най-
дена только относительно определенной точки временной шкалы, приня-
той за нуль, /=0. Следовательно, W(t) связана не только с двумя точ-
Та блица 2-14-1
Обозначе- ние Наименование Единица измерения 1
t Время секунда
и Напряжение вольт
О Поступательное перемеще- метр
ние
i Электрический ток ампер
f Сила ньютон
V Вращательное перемещение радиан
т Момент ньютон-метр
р Давление ньютон/кв-метр
ё Поток жидкости куб. метр/секунда
*- Температура градус Цельсия
Q Тепловой поток джоуль/секунда
3*
35
Полюсные представления
/^-компонента
Тип компоненты Наименование н схема Полюсное представление g 6 О > О Наименование и схема
Временная область Комплексная область
Общий /^-компонента « *'(') = *//'(*) у (0 х' (0 x'(s)=/?/(s) y'(s)=^-x’(s) /.-компонента
Электрический Сопротивление g Р g «(*) = # (/) u(s) = Ri (s) i (s) = ^-u(s) Индуктивность 0 t>
Механический с поступатель- ным движением Демпфер ед* »(«) f(s) = B6(s) Пружина f а
Механический с вращательным движением Вращающийся демпфер f (s) g~ T (s) 7(s) = By(s) Вращающаяся пружина a D
36
Таблица 2-15-1
типичных двухполюсников
£-компонента С-компоиента
Полюсное представление а Ь Наименование и схема Полюсное представление g b

Временнйя область Комплексная область Временнйя область Комплексная область
х'(0 = л' (s)=s£y'(s) — — £/ (0+) «/'(«) = 4 *'(®)+ | У(0+) $ С-комионента d x'(s)= у' (S) + *'(0+) 1 S у' (s) = sCx' (S) — - Сх' (0 +)
u(t) = — Ld4l и (s) = sLi (s) — -£/(0+) ‘(s) = ^;w(s)»+ <(0+) 1 s Емкость -41— d = с ^utt) “(S) = ^'(s)+ ц(0+) 1 S i (s) = sCu (s) — -Cn(0+)
G(0 = 4^) s e(s) = ^-f(s) — f(0+) К f (s) = K^ + , f (0+) 1 5 Масса □° . f(s) , 6<s)~ sM + + d(0+) s f (s) = sAlfi (s) — — MS (0 +)
f(0 = ?(«) = ^7(s)- 7(0+) К T(s) = k№+ 7(0+) Вращающаяся масса d • 7(0 = /^?(0 sJ (Q+) s 7’(s) = s/y(s)- -Z?(0+)
37
Тип компоненты ^-компонента
Наименование и схема Полюсное представление а b О » о Наименование и схема
Временная область Комплексная область
Гидравлический Гидравлическое сопротивление । о ь p(s) = flg(s) g(s) = £- p(s}
Тепловой Тепловая проводимость Q(O = G-(O • t(s)=g-Q(s) Q(s) = Gt (s)
ками, площадями или областями пространства; она также связана
с двумя точками временной шкалы.
Методы анализа систем, излагаемые в дальнейшем, не зависят от
того, является ли система электрической, механической, гидравлической
или тепловой. Они зависят только от свойств последовательных и
параллельных измерений. Следовательно, каждый тип измерения удоб-
но изображать простым символом. Последовательные и параллельные
переменные, встречающиеся в определениях мощности, рассматрива-
ются как фундаментальные последовательные и параллельные перемен-
ные н изображаются соответственно у' и х'.
Определение 2-13-7. К фундаментальным параллельным перемен-
ным относятся и (t), 8 (t), <р (t), р (f), z (/), изображаемые в общем случае
временной функцией х'(t).
Определение 2-13-8. К фундаментальным последовательным пере-
менным относятся Т (t), g(t), Q(t), изображаемые в общем слу-
чае временной функцией у' (t).
Мы будем рассматривать только примеры систем, измерения
в которых не отличаются от описанных в этой главе. Вместе с тем сле-
дует помнить, что рассматриваемые математические методы применимы
для любой системы, если измерения отвечают свойствам последова-
тельных и параллельных переменных.
38
П рсдолжение табл. 2-15-1
L-компонента С-компонента
• Полюсное представление g » 6 о » о Наименование н схема Полюсное представление с 6 о » —О
Временная область Комплексная область Временная область Комплексная область
Гидравлическая емкость о |т~~ d 1 p(s)--^g(s) + Р(0+) s g(s) = sCp(s) — -Cp(0+)
Теплоемкость d t(s)=^Q(S) + *(Q+) ‘ s Q(s) = sCtt(s) — — Cti (0+)
2-14. Единицы измерения
До сих пор мы не касались вопросов, связанных с градуировкой
измерительных приборов. Градуировка каждого из измерительных при-
боров, описанных выше, может производиться в соответствии с одним
из многих применяемых стандартов. Например, градуировка линейки,
используемой для измерения перемещений, может соответствовать
метрической или британской системе мер- Выбор определенного стан-
дарта. применяемого для градуировки измерительных приборов, назы-
вают выбором системы единиц.
При анализе взаимосвязанных систем желательно использовать
совместимую систему единиц для электрический, механических, гидрав-
лических и тепловых измерений. Согласно определению, система единиц
(градуировки) совместима, если свойство консервативности характери-
стической функции для электромеханической, электротермической или
любой смешанной системы сохраняется без введения переводных по-
стоянных. Система единиц, используемая для того, чтобы поставить
в соответствие числовые величины математическим переменным, рас-
сматриваемым до сих пор, приведена в табл. 2-14-1 и называется систе-
мой МКС (метр — килограмм — секунда).
В табл. 2-14-1 показаны не все переменные; единицы для перемен-
ных, не вошедших в таблицу, легко выводятся на основе имеющихся.
39
2-15. Выводы
Основные результаты настоящей главы систематизированы в виде
табл. 2-15-1, в которой показаны схематические изображения типичных
компонент и их полюсное представление
Следует отметить, что обычно двухполюсники не удается
описать посредством простых полюсных представлений, приведенных
в табл. 2-15-1. Удовлетворительное описание пассивного двухполюсника
в линейном диапазоне может потребовать сочетания всех этих форм.
Кроме того, почти каждая составляющая является практически нели-
нейной, однако для целей этой книги за редким исключением доста-
точно считать, что работа происходит в таком диапазоне, для которого
линейное полюсное уравнение является приемлемым.
Авторы понимают, что в начале изучения операционного определе-
ния переменных системы могут встретиться трудности, так как такое
определение существенно отличается от физического объяснения, осно-
ванного на умозрительных моделях, таких как протекание электриче-
ского тока, тепловой поток и сила реакции. Однако, когда операцион-
ное представление усвоено и принято, появляется гораздо большая сво-
бода для процесса мышления. Умозрительные модели изменяются от
одного типа системы к другому, операционные же принципы неизменны.
Значение понятий и определений, введенных в этой главе, не можетбыть
полностью оценено, пока не усвоен материал, изложенный в гл. 6.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
В гл. 2 мы рассматривали использование полюсного графа и по-
люсного уравнения для математической записи характеристик двухпо-
люсников. Теперь мы обратимся к первому практическому приложению
этих понятий — графу системы.
В этой главе мы вводим понятие графа системы как совокупности
полюсных графов компонент, определенных в предыдущей главе. Мы
увидим, что только в случае электрических цепей, составленных из
двухполюсников, граф системы изображает «геометрию» системы. Бес-
спорно, что именно это геометрическое подобие между видом графа
еистемы и физической системой привело к использованию теории гра-
фов в первую очередь для анализа электрических цепей, а не систем
других типов.
Мы также покажем, что первый и второй законы Кирхгофа имеют
фундаментальное значение для анализа всех систем с сосредоточен-
ными параметрами и могут рассматриваться как основное свойство
измерений.
Наконец, будут представлены существенные свойства графа
системы, обеспечивающие основу для систематического анализа физи-
ческих систем. Хотя возможно не все эти свойства являются существен-
ными при записи контурных и узловых уравнений для систем, состоя-
щих из двухполюсников, но они важны для более общих методов,
используемых при исследовании систем, содержащих многополюсники.
Эти методы рассмотрены в гл. 6 и 7. Основные свойства графа системы
позволяют более полно понять происхождение и недостатки контурных
и узловых уравнений, широко используемых при анализе электрических
цепей.
40
3-1. Граф системы
По определению граф системы — это совокупность полюсных гра-
фов компонент, полученная путем объединения вершин полюсных
графов в соответствии с соединениями между полюсами компонент.
Пример 3-1-1 Граф для электрической системы на рис. 3-1-1.а показан на
рис. 3|-Г1,б. Отметим, что граф системы является просто совокупностью полюсных
графов, используемых для изображения характеристик компонент. То, что он имеет
геометрический вид, подобный принципиальной схеме, характерно лишь для электрп
ческих цепей, состоящих из двухполюсников, и не относится к общему случаю.
МнВунтиБ Кпнденса
Рис. 3-1-1. Типичная система из электрических
двухполюсников.
а — схема; б — граф системы.
Полюсные уравнения для компонент системы на рис. 3-1-1 суть
(О
(индекс d обозначает «задающую» или заданную функцию);
d
U2 (t) — Li it (t),
d
(О = c3 из (0;
u4(Z)=/?4i4(Z) при м(0<0;
i4(()=0 при u4(Z)>0;
us[t)=Rsis(t);
is(t)=0 — ключ разомкнут;
us(Z)=O—ключ замкнут.
Рис 3-1 2 Типичная система из механических двух-
полюсников.
а — схема; б — граф системы.
Отметим, что отсутствуют ограничения, накладываемые на вид полюсных урав-
нений компонент. Онн могут быть нелинейными, как, например, для диода или зави-
сеть от времени, например для ключа. Было бы полезно напомнить в этом месте, что
ориентация каждого отрезка линии в графе системы точно указывает порядок соеди-
нения прибора для нахождения связи между переменными u(t) и i(t), относящимися
к элементу графа.
41
Пример 3-11-2. Механическая система на рис. 3-1-2,а в соответствии с ее гра-
фом рассматривается как совокупность двухполюсников Ориентация отрезков линий
указывает ориентацию измерений сил м перемещений, изображаемых при помощи пе-
ременных fv И бу.
Заметим, что элемент 5 является полюсным графом устройства, удерживающего
систему в покое, и имеет полюсное уравнение следующего вида:
6v(<)=dd—постоянное перемещение, если устройство считается абсолютно
жестким.
Элементы 6 ,и 7 графа изображают полюсные графы масс. Полюсные уравнения
для этих двух компонент имеют вид:
Отметим, что 6,(0 является перемещением «земли» g относительно тела Ь, ,в то время
как д6(0—перемещением тела с относительно «земли».
Рис. 3-1-3. Типичная схема нз гидравлических двухполюсников.
а— схема-, б — граф системы.
Пример 3-1-3. Гидравлическая система на рис. 3-1-3 .рассматривается как
ансамбль двухполюсных компонент в соответствии с графом системы. Вновь граф си-
стемы является просто совокупностью полюсных графов, используемых для представ-
ления характеристик компонент системы. Общая вершина, отмеченная буквами a, g, h
и связанная с атмосферой, означает, что переменные p(t), относящиеся к элементам
1 5 и 6, изображают измерения, произведенные относительно атмосферы. Если нас
интересуют только зажимы а и <?, то элементы 1, 2 и 3 могут быть, конечно, преобра-
зованы в один полюсный граф двухполюсника. Возможны также другие аналогичные
упрощения. Более подробно эти вопросы рассмотрены в следующих главах.
3-2. Определения в теории графов
Для математика линейный граф есть просто совокупность отрезков
линий. Для специалиста по анализу систем линейный граф имеет дру-
гое значение. Он образует основу для преобразования дифференциаль-
ных уравнений компонент с целью получить математическое описание
системы. Прежде чем изучать свойства линейных графов, необходимо
ввести некоторые основные определения. Для читателя, уже знакомого
с теорией линейных графов, определения, приведенные здесь, служат
в качестве краткого обзора. Читателю, незнакомому с предметом, они
помогут при изучении более подробных исследований {Л. 3-1, 3-2 и 3-3].
Определение 3-2-1. Ориентированный отрезок линии вместе
с четко выраженными крайними точками рассматривается как элемент.
Определение 3-2-2. Вершина есть крайняя точка элемента.
Определение 3-2-3. Ориентированный линейный граф опреде-
ляется как множество ориентированных отрезков, любая пара которых
не имеет общей точки, не являющейся вершиной.
Определение 3-2-4. Подграф есть любое подмножество эле-
ментов графа.
42
Определение 3-2-5. Контур есть такой подграф, у которого
каждая вершина является инцидентной для двух и только двух элемен-
тов подграфа. Контур иногда называют замкнутым «путем».
Определение 3-2-6. Дополнение подграфа S графа G есть под-
граф, остающийся в G, когда удалены элементы S.
Определение 3-2-7. Изолированной частью называют связный
подграф, если он не содержит ни одной вершины, общей с его дополне-
нием
Понятие об изолированных графах является важным при изобра-
жении измерений в многомерных механических системах, где иногда
удобно использовать изолированный ориентированный отрезок для
о if ь
Рис. 3-2-1. Граф системы для статической фермы.
а — схема; б — граф системы.
каждой координаты. Тогда изображение измерений в наиболее общем
случае механической системы без вращения производится при помощи
трех изолированных графов.
Пример 3-2-1. Граф системы для статической фермы, изображенной на
рис. 3-2-1, состоит из двух изолированных подграфов — они определяют 'ориентацию
измерений вдоль каждой ,из двух осей.
Полюсные уравнения для компонент этой системы, которая является статически
опоеделимой структурой, связывают переменные силы f(t) одного подграфа с пере-
менными силы другого подграфа.
3-3. Уравнения контуров и вершин для механических систем
Измерим длины двух двухполюсников в соответствии с ориентиро-
ванными отрезками на рис 3-3-1. Предположим, что компоненты имеют
одинаковую длину и что параллельные переменные б] и б2 равны еди-
нице Теперь соединим концы двух компонент, как показано на
рис. 3-3-2. Расположив линейку между точками а и d в соответствии
Рис. 3-3-1.
43
с элементом 3 графа, изображенного на рис. 3-3-2, мы запишем согласно
определению
6з=б i + 62 = 1 +1 = 2 (3-3-1)
и отградуируем линейку в соответствии с этим (отметим точку 2 на
шкале).
Перепишем уравнение (3-3-1) в виде
61+62—6з=0. (3-3-2)
Сумма параллельных переменных б вдоль контура равна нулю. Отме-
тим, что относительная ориентация отрезков в контуре устанавливается
Рис. 3-3-3.
а — схема; б — граф.
относительными знаками слагаемых в уравнении (3-3-2). Уравнение
(3-3-2) можно также записать
—61—62 + 63=0. (3-3-3)
Это соотношение между параллельными переменными называется
уравнением контура (circuit equation).
Пусть измерение силы, связанное с граничными точками пары пру-
жин, производится в соответствии с ориентированными отрезками на
рис. 3-3-3. На этом рисунке 6<j(£) изображает задатчик перемещения,
например кулачок, разделяющий точки g и с. Соотношение между по-
казаниями измерителей согласно определению
A+f2=/3 (3-3-4)
II
h—h (3-3-5)
и измерители силы [з и /4 проградуированы соответственно. Перепишем
уравнения (3-3-4) и (3-3-5)
Л+/2-/з=0 (3-3-6)
и
f3+A=0. (3-3-7)
Сумма последовательных переменных f при вершинах графа равна
нулю. Отметим, что относительная ориентация элементов, инцидентных
вершинам Ь и а, используется для определения относительных знаков
составляющих в уравнениях (3-3-6) и (3-3-7) соответственно. Эти
уравнения, конечно, остаются справедливыми если изменить на обрат-
ные все знаки в любом уравнении. Эти соотношения между последова-
тельными переменными называют уравнениями вершин (vertex equa-
tions ).
44
3-4. Уравнения контуров и вершин для электрических систем
Рассмотрим упрощенный метод градуировки вольтметра (парал-
лельный измеритель) и амперметра (последовательный измеритель).
Отклонение стрелки вольтметра принимается за единицу, когда он при-
соединен к зажимам нормального гальванического элемента (рис. 3-4-1).
Говорят, что второй гальванический элемент будет подобен первому,
если тот же самый прибор дает одинаковые показания для обоих эле-
ментов Чтобы определить положение метки, соответствующей значе-
Рис. 3-4-1.
Рис. 3-4-2.
а —схема; б —граф.
нию 2, нормальные элементы включаются последовательно, а вольтметр
соединяют в соответствии с ориентированным отрезком 3 на рис. 3-4-2.
По определению
Ui + U2=u3= 1 + 1 =2 (3-4-1)
и вольтметр проградуирован в соответствии с этим выражением. Пере-
пишем уравнение (3-4-1):
Hl + U-2—U% = 0.
Сумма переменных напряжения вдоль контура равна нулю. Мы вновь
напомним, что относительная ориентация отрезков, образующих контур,
определяет относительные знаки слагаемых в уравнении контура.
Градуировка амперметра производится аналогичным образом.
Единичное отклонение определяется в функции от силы, возникающей
между’ парой стандартных катушек. Отклонение на две единицы можно
найти, соединив амперметры в соответствии с ориентированными
отрезками на рис. 3-4-3. Положение рисок, отмечающих 2 и —2 (для
приборов с нулем в центре шкалы) устанавливается так, что
й+ 12 = гз= 1 + 1 =2 (3-4-2)
/з=-й. (3-4-3)
45
Снова перепишем уравнения
(3-4-4)
(3-4-5)
*1 + 1’2—1’3=0;
/3 + I 4 = О
и также как при измерении силы градуировка такова, что сумма после-
довательных переменных при вершинах графа равна нулю, если отно-
сительные знаки слагаемых в уравнениях берутся в соответствии с отно-
сительной ориентацией отрезков, ицидентных вершинам.
3-5. Постулаты для вершин и контуров
Для методов измерений, рассмотренных в § 2-10 и 2-11, подразуме-
вается, что сумма переменных p(t), изображающих измерение давления,
и переменных т(Г). изображающих измерение температуры, вдоль кон-
туров графа системы равна нулю. Можно показать, если это еще не оче-
видно, что сумма последовательных переменных g(t) и Q(t), изобра-
жающих соответственно измерения потока жидкости и теплового потока,
при вершинах графа системы равна нулю. Таким образом, мы видим, что
все фундаментальные параллельные и последовательные переменные,
используемые для изображения измерений в различного типа физиче-
ских системах, обладают этими чрезвычайно важными свойствами.
Математическая формулировка этих свойств — уравнения вершин и
контуров — вместе с
Рис. 3-5-1. Ориентация
контура.
полюсными уравнениями компонент образуют
основу для анализа физических систем. Если
суммы последовательных и параллельных пере-
менных графа системы при вершинах и вдоль
контуров равны нулю (как это имеет место для
всех рассматриваемых систем), то применимы
методы вывода уравнений, изложенные в сле-
дующих главах. Такие утверждения или гипоте-
зы называют постулатами. Формальное изложе-
ние двух основных постулатов анализа систем:
Постулат I. Постулат для вер-
шин. Пусть граф физической системы содержит е ориентированных
элементов и пусть y'j(t) изображает фундаментальную последователь-
ную переменную /-го элемента; тогда для /г-й вершины графа
£ ад6(0 = 0,
7=1
где
(О, если /-й элемент неинцидентен k-u вершине;
1, если у-й элемент ориентирован от k-й вершины;
— 1, если /-й элемент ориентирован к k-й вершине.
Прежде чем сформулировать второй постулат, нужно дать опреде-
ление ориентации контура.
Определение 3-5-1. Ориентация контура 'предписывается
ориентированной стрелкой, параллельной контуру (см. рис. 3-5-1).
П остулат II. Постулат для контуров. Пусть линейный
граф физической системы содержит е ориентированных элементов и
46
пусть x'j(t) изображает фундаментальную параллельную переменною
j-го элемента; тогда для k-ro контура
V bjx'j (0 = 0,
где
| 0, если /’-й элемент не входит в k-i\ контур;
I 1, если ориентация /-го элемента совпадает с ориентацией, вы-
Л = | бранной для k-ro контура;
| — 1, если ориентация /-го элемента противоположна ориентации
* для k-ro контура.
Мы отметим, что в механических системах с поступательным дви-
жением каждая составляющая векторной функции, изображающей
параллельные п последовательные измерения, удовлетворяет этим по-
стулатам независимо. Следовательно, при использовании скалярных
переменных y'(t) и x'(t) в основных постулатах общность не теряется,
если ясно, что эти переменные изображают составляющие последова-
тельных и параллельных переменных.
Здесь уместно еще раз подчеркнуть, что последовательные и парал-
лельные полюсные переменные каждой компоненты связаны при
помощи математического уравнения, называемого полюсным уравне-
нием. Эти уравнения получают при изучении изолированных компонент.
Взаимосвязи между полюсными переменными компонент в системе
определяются уравнениями вершин и контуров для графа системы. Эти
три системы математических уравнений образуют законченную основу
для вывода математических уравнений, описывающих систему в целом
независимо от ее сложности. Ниже развиты методы для выбора неза-
висимых переменных, определяющих число независимых уравнений,
и сведения к удобному минимуму числа уравнений, которые должны
решаться как совместная система.
3-6. Дерево и его дополнение
Постулаты I и II подразумевают, что: 1) одно уравнение, содержа-
щее последовательные переменные (у'), может быть записано для каж-
дой вершины линейного графа и 2) одно уравнение, содержащее парал-
лельные переменные (%'), может быть записано для каждого контура.
Однако все эти уравнения не
являются независимыми. Для
нахождения методов выбора
подходящих систем независи-
мых уравнений контуров и вер-
шин определим дерево (tree)
графа.
Определение 3-6-1.Де-
рево определяется как связ-
ный подграф связного графа
G, содержащий все его верши-
ны v, но не содержащий кон-
туров.
Элементы дерева называ-
ют ветвями (branches). Дерево
легко распознается при помо-
Рис. 3-6-1. Типичный граф системы и четыре из
16 возможных деревьев.
47
щи простого правила- один и только один элемент соединяет любую
пару из v вершин. Четыре из возможных 16 деревьев графа на
рис. 3-1-6,а показаны на рис. 3-1-6,б — д. Дерево на рис. 3-1-6,д имеет
все ветви, инцидентные одной вершине, и называется лагранжевым
деревом.
Отметим, что дерево всегда имеет v—1 ветвей. На это важное
свойство указывают как на одну из общих теорем, отражающую свой-
ства линейных графов.
Рис. 3-6-2. Типичный граф системы, стоящий из несколь-
ких частей, и лес.
а — граф из трех частей; б — лес (три дерева).
Рис. 3-6-3. Хорды
для деревьев на
рис. 3-6-1.
Теорема 3-6-1. В дереве связного графа, содержащего v вершин,
имеется точно v— 1 ветвей.
Если граф системы состоит из п изолированных частей, то для сово-
купности деревьев — по одному для каждой части — используется тер-
мин лес (forest). В качестве примера на
рис. 3-6-2 изображен граф из трех частей
и лес. Отсюда следует, что лес графа с v
вершинами имеет v—п ветвей.
Подграф, содержащий элементы гра-
фа, которые не входят в дерево, назы-
вается дополнением дерева.
Определение 3-6-2. Хордами
(chords) называются элементы связного
графа G, который образует дополнение
дерева.
Хорды для четырех деревьев, приве-
денных на рис. 3-6-1, показаны пункти-
ром на рис. 3-6-3.
Так как хорды входят в дополнение
дерева, то число хорд, содержащихся
в графе, который состоит из одной части
и имеет v вершин и е элементов, всегда павно
е—(v—1) =е—и+1.
Поэтому вторая основная теорема, отражающая свойства линейного
графа, формулируется следующим образом.
48
Теорема 3-6-2. Для связного графа G, содержащего v вершин
и е элементов, число хорд точно равно е—v+1
Дополнение леса графа, имеющего п частей и v вершин, содержит
е—v+n элементов.
Заметим, что в примере на рис. 3-6-2 каждая хорда вместе с вет-
вями дерева образует контур. Это свойство является действительно
общим, так как в дереве имеется один и только один путь между двумя
любыми вершинами.
3-7. Уравнения фундаментальных контуров
Классификация элементов графа системы на ветви и хорды обра-
зует основу для записи подходящей системы независимых уравнений
контуров. Дерево, выбранное для конкретного анализа, целесообразно
назвать формальным деревом (formulation tree).
Рассмотрим уравнения для трех контуров, определяемых хордами
(светлые линии) на рис. 3-7-1. Пусть ориентация контуров, по которой
находят знаки слагаемых в уравнениях (см. посту-
лат II), совпадает с ориентацией хорд на рисунке.
Используя фундаментальные параллельные пере-
менные x'(t) уравнения для этих трех контуров
можно записать:
I x'z(t) +х'б(0— x'i(0 =0;
II x'3(t) +х'4(() — x's(t) =0;
III x'e(t) +x'l(t)—x'i(t) =0.
Такая форма записи уравнений контуров приемлема, однако некоторые
важные свойства, особенно касающиеся независимости уравнений,
трудно обнаружить. В основном без матричной записи невозможно
с любой общностью исследовать свойства систем совместных уравнений.
По этой причине свойства уравнений контуров и вершин получают из
матричных форм и все методы вывода и решения уравнений разраба-
тывают, используя матричную алгебру. Если записать параллельные
переменные как элементы столбцовой матрицы с хордами в конце
столбца, то получим обычно используемую форму уравнений контуров:
— 1 0 1| 1 о о
О 1 — 11 О 1 о
1—1 0| О 0 1
х\(0 ’.
x\(t)
(0
ветви
= 0.
х'2(0 1
л'ЛО
*'.(0 ’
хорды
(3-7-1)
Независимость этой системы уравнений немедленно следует из
единичной матрицы третьего порядка, выделенной пунктиром. Любые
добавочные уравнения контуров являются линейной комбинацией урав-
нений, записанных выше. Следовательно, уравнение (3-7-1) содержит
максимальное число независимых уравнений контуров, которые можно
было бы записать для рассматриваемого примера. Заметим, что число
независимых уравнений контуров равно числу хорд. Хотя мы не будем
приводить общего доказательства, этот подсчет применим к любому
графу в соответствии со следующей теоремой:
4—1738
49
Теорема 3-7-1. Для связного графа G, содержащего е элемен-
тов и v вершин, число независимых уравнений контуров равно е—и+1.
Для графа, состоящего из п частей, число независимых уравнений
контуров вновь равно числу хорд е—v + n.
Если контуры, используемые для записи независимых уравнений,
выбрать так, чтобы каждый контур содержал точно одну хорду, и пере-
менные расположить так, что-
бы ветви были в начале, а хор-
ды -— в конце столбца, то всег-
да можно получить форму,
приведенную в рассмотренном
выше примере. Так как имеет-
ся значительная свобода в вы-
боре дерева, то мы мало поте-
ряем в общности, если будем
выбирать контуры по этому
способу. Эти контуры называ-
ются фундаментальными кон-
турами. Они постоянно исполь-
зуются в этой книге для записи уравнений контуров, независимо от то-
го, говорится об этом специально или нет.
Определение 3-7-1. Фундаментальным контуром называется
контур, образованный одной хордой и ее единственным путем в дереве Т
связного графа G. Ориентация фундаментального контура такая же
как и у хорды.
При рассмотрении свойств уравнений фундаментальных контуров
иногда удобно пользоваться символической записью. Запишем уравне-
ние (3-7-1) в партиционной (partitioned) форме
НВ /||
X'b(t)
Х'Л)
(3-7-2)
где Х'ь и Х'а изображают соответственно параллельные переменные ветвей
и хорд.
Другое важное свойство уравнений фундаментальных контуров со-
стоит в том, что параллельные переменные хорд всегда могут быть
выражены в виде явной функции от переменных дерева, но не обратно.
Из уравнения (3-7-2) имеем:
X'c(t) = BX'b(t). (3-7-3)
Чтобы выразить переменные дерева в виде явной функции от пере-
менных хорд, требуется существование обратной матрицы В. В общем В
может быть прямоугольной и, следовательно, не иметь обратной матрицы,
например для уравнения (3-7-1)
В
— 1 0 1
О 1—1
1 —1 о
(3-7-4)
и, хотя она квадратная, обратной матрицы не имеет (определитель В
равен нулю).
Чтобы показать значение уравнений фундаментальных контуров,
рассмотрим важный пример «трехфазной» нагрузки, используемой
обычно в системах передачи мощности. На практике иногда требуется
50
определить три напряжения на нагрузке U\, и? и и3 (называемых фаз-
ными напряжениями), см. рис. 3-7-2. При этом величины напряжений
между передающими линиями щ, и3 и ие известны. Уравнения контуров,
если использовать элементы /, 2 и 3 в качестве ветвей дерева, имеют
вид:
— 1 1 0| 1 О О
0—1 1 I 0 1 О
1 0 — 1 | 0 0 1
их
и2
м3
«4
«в
(3-7-5)
или символически
II в /II
ис
(3-7-6)
Из этого следует, что линейные напряжения могут быть представлены
как функции от фазных напряжений. Однако так как определитель В
равен нулю, то фазные напряжения не могут быть выражены в виде
явных функций от линейных напряжений, как это требуется в перво-
начальной постановке задачи. Такой же вывод следует из того, что эле-
менты /, 2 и 3 не могут быть все одновременно дополнением этого же
дерева.
Из уравнений фундаментальных контуров также следует, что все
фазные напряжения (напряжения ветвей дерева) могут быть точно
заданы произвольно, в то время как все три линейных напряжения не
могут быть заданы произвольно. Общая формулировка этого свойства
следующая
Теорема 3-7 2 Система параллельных переменных линейного
графа может быть точно задана произвольным образом тогда и только
тогда, когда они могут входить в ветви некоторого дерева графа.
3-8. Уравнения отсечений
Классификация элементов графа на ветви и хорды выбранного
дерева образует также основу для нахождения удобной независимой
системы уравнений вершин, связывающих последовательные перемен-
ные. Рассмотрим уравнения для вершин а, Ь и с на рис. 3-8-1. Отметим,
что эти вершины являются полюсными вершинами лагранжева дерева
Уравнения для этих трех вершин, записанные в матричной форме:
а 1 0 0 1 0—1 с 010 0—1 1 6001—1 1 0 i/'i (0 У'4 (0 у\ (0 ветви = 0. (3-8-1) ’ хорды
у'At) у'At) у'At)
Независимость уравнений обеспечивается единичной матрицей
третьего порядка. Последовательные переменные ветвей могут быть
всегда выражены через последовательные переменные хорд, но не
4*
51
обратно. Число независимых уравнений равно числу ветвей, т. е. v— 1.
Вновь этот подсчет применим к общему случаю в соответствии с тео-
ремой.
Теорема 3-8-1. Для связного графа G, содержащего v вершин,
число независимых уравнений вершин равно v—1.
Форма системы уравнений (3-8-1), связывающих последовательные
переменные, особенно удобна. Может возникнуть вопрос: реализуема
ли эта же самая форма для любого дерева. Ответ на этот вопрос утвер-
дительный. Уравнения вершин в приведенном выше примере являются
специальным случаем более общей системы уравнений, называемых
уравнениями отсечений (cut-set equations) [Л. 3-2].
Обратимся к рис. 3-8-1. Окружность около вершины а разделяет
вершины графа на две группы. Множество элементов, имеющих одну
вершину в каждой группе (элементы, пересекаемые окружностью),
называется отделенным' множеством {segregate set). Отделенное мно-
жество, которое содержит только одну ветвь дерева, как в приведенном
выше примере, называется отсечением (cut-set). Первое уравнение
в (3-8-1) получено суммированием элементов, входящих в отделенное
множество; причем положительное слагаемое используется в качестве
ветви дерева. Положительное слагаемое используется в качестве пере-
менной хорды, если соответствующие элементы отсечения ориентирова-
ны в том же направлении (относительно окружности), что и ветвь
дерева. Если хорда ориентирована противоположно ветви, то исполь-
зуется отрицательный знак. Очевидно, что окружности около вершин b
и с на рис. 3 8-1 определяют два дополнительных отсечения, каждое
из которых содержит точно одну ветвь выбранного дерева. Уравнения-
ми для этих отсечений являются соответственно второе и третье урав-
нения в (3-8-1).
Прежде чем переходить к другим примерам, следует привести не-
которые формальные определения.
Определение 3-8-1. Пусть вершины связного графа G разде-
лены на две взаимоисключающиеся группы А и В. Множество элемен-
тов, имеющих одну вершину в группе А и одну вершину в группе В,
называется отделенным множеством.
Определение 3-8-2. Отсечением называется отделенное мно-
жество, содержащее точно одну ветвь формального дерева.
Определение 3-8-3. Уравнение отсечений для А-го отсечения
имеет вид
е
у1 азУ з (О=о,
j=i
где
О, если j-й элемент не входит в k-e отсечение;
1, если /-й элемент является ветвью определяющего дерева или
если /-й элемент является хордой, имеющей ту же относи-
а = тельную ориентацию, что и ветвь определяющего дерева k-ro
отсечения;
— 1, если j-й элемент является хордой, имеющей относительную
ориентацию, противоположную той, которую имеет ветвь опре-
деляющего дерева k-ro отсечения.
Теорема 3-8-2. Для связного графа G, содержащего v вершин,
число независимых уравнений отсечений равно v—1.
Можно было бы показать, что и—1 уравнений отсечений, опреде-
52
ляемых таким образом, удовлетворяют основному постулату для вер-
шин, приведенному ранее.
Для большинства систем простой метод определения отсечений
состоит в нанесении на граф системы замкнутой линии, которая пере-
секает точно одну ветвь формального дерева. Эта линия автоматически
делит вершины на две взаимоисключающиеся группы. Элементы,
имеющие точно одну вершину внутри замкнутой линии, составляют
отсечение. В качестве примера, иллюстрирующего этот метод, рассмот-
Рис. 3-8-2.
рпм уравнения отсечений для дерева на рис. 3-8-2. Три замкнутые
линии, используемые для определения трех отсечений, обозначены I, II
и III. Три уравнения отсечений, соответствующие рассмотренным выше
условиям ориентации, имеют вид
I 1 0 0 — 1 1 1
II 0 1 0 — 1 1 0
III 0 0 1 1 0 — 1
(О
у'At)
у\ (О
у'з (О
у\ (О
у'в (О
ветви
= 0.
хорды
(3-8-2)
В соответствии с принятым последовательные переменные ветвей
дерева всегда входят первыми в матрицу-столбец. Символически урав-
нения отсечений в партиционной матричной форме запишутся
Ц/л||
У At)
У At)
= 0.
(3-8-3)
В противоположность же аналогичной ситуации для параллельных
переменных последовательные переменные ветвей дерева могут быть
выражены как явные функции от последовательных переменных хорд
V'b(t) = -AY'At). (3-8-4)
Чтобы рассмотреть некоторые из приложений этого свойства вер-
немся к трехфазной электрической системе на рис. 3-7-2. Уравнения
отсечений
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0—1
— 1 1 0
0—1 1
0
Ч
Ч
ч
ч
ч
(3-8-5)
53
Из уравнений (3-8-5) очевидно, что фазные токи ilt i2, i3 могут быть вы-
ражены через токи хорд, но не обратно. Три тока хорд могут быть
заданы независимо, в то время как токи ветвей не могут быть заданы
независимо. Общая формулировка этого свойства следующая:
Теорема 3-8-3. Множество последовательных переменных связ-
ного графа системы могут быть заданы независимо тогда и только
тогда, когда они образуют дополнение некоторого дерева.
3-9. Связь между матрицами коэффициентов уравнений отсечений
и уравнений контуров
Системы уравнений, названные выше уравнениями фундаменталь-
ных контуров и уравнениями отсечений, имеют очень интересные и по-
лезные свойства Из уравнений (3-7-1) и (3-8-1) мы имеем:
— 1 0 1
О 1 —1
1 —1 О
и At —
1 0 —1
О —1 1
— 1 1 О
Сравнение этих двух подматриц показывает, что одна является транс-
позицией другой, взятой с обратным знаком:
В = — At. (3-9-1)
Это не случайное совпадение, а скорее отображение общего свойства
матриц коэффициентов для контуров и отсечений, записанных для
одного и того же формального дерева.
Теорема 3-9-1. Пусть уравнения фундаментальных контуров
и уравнения отсечений записаны для одного и того же формального
дерева:
ИМ
Х'ьУ)
X'c(t)
= 0; ||/Л ||
yb(t)
= =0.
Тогда
В-- At,
где At — транспозиция А.
Это свойство чрезвычайно полезно и его следует отметить особо.
Во-первых, в соответствии с теоремой 3-9-1 не необходимости выво-
дить обе системы уравнений, любая из систем является достаточной.
Более того, из теоремы 3-9-1 следует, что
X'b{t) *'с(0 = 1 | —В X'b{t) (3-9-2)
y'b(t) У’сЮ — — А 1 (3-9-3)
Применяя тождество (3-9-1) к записанным выше уравнениям, получим:

и
Y'b(t)
Veit)
Из уравнения (3-9-4) следует, что используя транспозицию матрицы
отсечений, все параллельные переменные графа системы можно выра-
зить как линейные комбинации параллельных переменных формального
дерева. Из уравнения (3-9-5) мы видим, что путем транспозиции матри-
цы фундаментальных контуров все последовательные переменные графа
системы могут быть выражены как линейные комбинации последова-
тельных переменных дополнения формального дерева.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ
ИЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Полюсные уравнения для компонент, рассмотренные в гл. 2, и урав-
нения отсечений и контуров графа системы, рассмотренные в гл. 3,
образуют основу для анализа систем. Теперь мы рассмотрим различные
методы нахождения частного решения уравнений отсечений, контуров
и полюсных уравнений, для того чтобы получить целесообразные систе-
мы совместных уравнений, описывающих системы из двухполюсников.
Рассматриваемые ниже методы являются более общими по сравне-
нию с обычными методами теории электрических цепей, использующими
контурные и узловые уравнения. Эти уравнения не полностью отвечают
требованиям анализа систем по двум причинам: 1) правила их записи
для систем, содержащих многополюсники, становятся слишком слож-
ными и 2) даже для систем, состоящих из простых двухполюсников
и содержащих как параллельные, так и последовательные источники
внешних воздействий, возможны задачи, трудно разрешимые обычными
методами. Здесь приводится метод вывода уравнений, который приго-
ден для системы любой конфигурации. Хотя полученные ниже резуль-
таты в некоторых случаях идентичны уравнениям, которые могут быть
записаны непосредственно (и несколько проще для этих примеров),
излагаемый метод без заметных изменений может использоваться для
значительно более сложных задач.
В § 4-6 и 4-7 приведены практические методы вывода уравнений,
основанные на более общих представлениях, изложенных в первых
пяти параграфах. Эти методы даны конспективно и включают, в част-
ности, правила записи контурных и узловых уравнений (там, где они
применимы) в форме, удобной для системы любого типа — электриче-
ской, механической пли гидравлической.
Авторы понимают, что иногда вывод и решение уравнений системы
могут составлять единый процесс. Естественно легче сосредоточить вни-
мание тогда, когда задача близка к завершению. Однако решение си-
стемы совместных уравнений не зависит от процесса их вывода. Поэто-
му рассмотрение методов аналитического решения не нуждается в кпас-
сификации ни по типу систем, ни по методам получения уравнений.
С другой стороны вывод уравнений системы зависит в некоторой степе-
ни от вида полюсных уравнений компонент и является самостоятельным
предметом большой важности. Это особенно справедливо в свете того
факта, что для получения решений все шире используются аналоговые
и цифровые вычислительные машины. По этой причине авторы предна-
меренно разделяют получение уравнений и их решение
(3-9-5)
55
По этому поводу в [Л. 4-1] сказано: «Вопреки существующему
иногда мнению, вывод или запись уравнений системы более важны, чем
исследование самих уравнений. Действительно, практика показывает,
что большинство ошибок возникает в результате неточности уравнений,
а не из-за ошибочных решений. Кроме того, уже полученные уравнения
могут быть решены и изучены при помощи вычислительной машины,
однако ни одна вычислительная машина не в состоянии записать урав-
нения системы».
4-1. Уравнения ветвей (примеры)
Чтобы показать как использовать линейный граф, о котором шла
речь в предыдущей главе, для анализа физических систем, рассмотрим
Рис. 4-1-1. Типичная система из электриче-
ских двухполюсников.
а — схема; б — граф системы.
в качестве простого примера мо-
стовую схему на рис. 4-1-1,а.
Пусть требуется определить все
измерения напряжений и токов
2 в этой системе.
Каждая компонента системы,
а также соединение компонент
вместе с переменными, исполь-
зуемыми для описания их харак-
теристик, определяются графом
системы на рис. 4-1-1,6. Матема-
тическое описание характеристик
компонент дается при помо-
щи следующих уравнений, назы-
ваемых полюсными уравнениями
компонент или просто
полюсными уравнениями:
4 (О
4 (О
ga 0 О
О ё. о
о о gf
ООО
о
о
о
ёв
«з (О
«4 (О
«5 (О
«в (О
(0 = 10;
и2 (t) — 5.
(4-1-1)
При выборе дерева графа системы, используемого в качестве осно-
вы для записи уравнений отсечений и фундаментальных контуров
(формального дерева), следует в интересах максимальной простоты
включать в дерево те элементы, для которых переменные напряжений
являются ветвями. Такое дерево выделено темными линиями.
Уравнения отсечений для этого дерева имеют вид:
1
о
о
о
1
о
0
о
1
1
1
— 1
1 0
0 —1
— 1 1
4(0 0(0 4(0 ветви
4 (0 4(0 4(0 | хорды
= 0.
(4-1-2)
Уравнения фундаментальных контуров для этого же дерева запи-
шутся как
56
— 1 —1 1
— 1 0 1
О 1—1
«1(0 ]
«2 (О Z
«3(0 '
li^t) )
«5(0 (
«в (О J
ветви
= 0.
хорды
(4-1-3)
1 о о
О 1 о
О О 1
Полюсные уравнения (4-1-1) компонент вместе с уравнениями
(4-1-2) и (4-1-3) графа образуют систему из десяти совместных уравне-
ний. Две из двенадцати переменных известны Uf(/) и u2(t). Эти три
системы совместных уравнений называют уравнениями системы. Мы
можем рассматривать уравнения контуров и отсечений как соотношения
между переменными, используемыми для описания характеристик
компонент (переменными в уравнениях компонент). Эти последние
соотношения зависят, конечно, от способа соединения компонент, обра
зующих систему, и мы ясно видим важную роль графа системы
Чтобы осуществить решение уравнений системы, заметим, что
полюсные уравнения компонент определяют токи как явные функции
напряжений и поэтому их можно подставить в уравнения отсечений.
Чтобы выполнить эту подстановку, запишем вначале уравнения отсе-
чений (4-1-2) таким образом, чтобы 0(0, й(0> 0(0 и 0(0 являлись
элементами отдельной матрицы — столбца. Тогда
0(0
0(0
о
0 110
0 1 0—1
1—1—1 1
0(0
0 (0
0(0
0(0
=о.
(4-1-4)
После подстановки (4-1-1) в (4-1-4), получим:
0 (0
О (0
о
0 110
0 1 0—1
1-1—1 1
ё, 0 о о
О g. о о
О о g„ о
0 о о ёъ
«з (0
«4 (0
МО
«в (0
= 0.
(4-1-5)
Теперь выражения (4-1-3) и (4-1-5) представляют собой шесть
уравнений для восьми переменных, две из которых [щ (0 и иг(01 изве-
стны. Однако из уравнения (4-1-3) мы видим, что все напряжения
в (4-1-5) можно выразить в виде функции от трех напряжений, т. е.
«3 (0 0 0 1 «Л0
«4 (0 «6 (0 «в (0 1 1 0 1 0 — 1 — 1 — 1 1 «2 (0 «з(0 (4-1-6)
где последние три уравнения являются уравнениями контуров в изме-
ненной форме, а первое выражает тождество u3(t)=u3(t). Уравнения
57
контуров в
в (4-1-5). В
(4-1-6) имеют теперь вид,
результате получим:
II ЛЮ
удобный для
подстановки
или, произведя
ЛЮ
g3 О
О
о о g5
О 0 о а
о
1
1
о
о
1
о
— 1
1
— 1
— 1
1
указанное ‘тройное перемножение матриц,
+
&
«> Ю
«2 Ю
«3 Ю
«1 Ю
и2 Ю
«зЮ
(4-1-7)
=0.
(4-1-8)
Подстановка численных значений коэффициентов проводимости в эту
последнюю систему уравнений дает:
ЛЮ
1,0
0,4
-1,0 —0,6
0,4— 1,0
0,6 —0,6
1,5
10
5
«зЮ
= 0.
(4-1-9)
О
О
1
1
1
— 1
1
О
— 1
О
— 1
1
&
о
О
в
о
о
о
о
о
= 0
результатом следует сделать несколько за-
В связи с последним
мечаний:
1. При получении частного решения (4-1-8) не требовалось обрат-
ных матриц. Это непосредственно следует из того, что уравнения ком-
понент являются явными для токов и из основного свойства уравнений
фундаментальных контуров.
2. Из (4-1-7) мы видим, что матрицы коэффициентов, расположен-
ные слева и справа от матрицы проводимостей, связаны: одна является
транспозицией другой. Мы покажем, что это —- общее свойство, которое
используется для существенного сокращения процесса вывода уравне-
ний АрактиЧМВ методы будут рассмотрены в § 4-6.
3 Независимая переменная ИзЮ в (4-1-8) или в (4-Ь9)
напряжение для ветви дерева, которое неизвестно. „Эта ,п'-р;м?Н из
в^р^ТяЛсяД виде функции
решения последнего уравнения. Это уравнипк, в чаш нос
«,(О=о
или после подстановки численных значений
10
5
-111,0 0,611
4-1,5«3(0=°-
(4-1-10)
Решая относительно us(t), получим:
„,(0=^=8.ее.
58
контуров в (4-1-6) имеют теперь вид,
в (4-1-5). В результате получим:
удобный
Для
подстановки
4(0
4 (0
0
0 110
о 1 0—1
i—1—i 1
g3 О о о
о gt о о
О о g5 о
о о О gR
О 0 1
1 1 —1
1 0—1
0—1 1
или, произведя указанно^ тройное перемножение матриц,
4(0
4(0
О
g4 + gS Si -- (g4+g5)
g4 g4 + g3 ------------- (g4H“ge)
-(g4 + gs) — (£, + &.) g3 + g4 + g5 + ge
22, (0
И2 (0 = 0
(0 (4-1-7)
м(0
24 (0 =0.
223 (0 (4-1-8)
Подстановка численных значений коэффициентов проводимости в эту
последнюю систему уравнений дает:
4(0 1,0 0,4—1,0 10
4(0 + 0,4 0,6 —0,6 5 = 0.
0 — 1,0 —0,6 1,5 «4 (0
(4-1-9)
В связи с последним результатом следует сделать несколько за-
мечаний:
1. При получении частного решения (4-1-8) не требовалось обрат-
ных матриц. Это непосредственно следует из того, что уравнения ком-
понент являются явными для токов и из основного свойства уравнений
фундаментальных контуров.
2. Из (4-1-7) мы видим, что матрицы коэффициентов, расположен-
ные слева и справа от матрицы проводимостей, связаны: одна является
транспозицией другой. Мы покажем, что это — общее свойство, которое
используется для существенного сокращения процесса вывода уравне-
ний. Практические методы будут рассмотрены в § 4-6.
3. Независимая переменная из(0 в (4-1-8) или в (4-1-9) изображает
напряжение для ветви дерева, которое неизвестно. Эта переменная
определяется в виде функции от известных напряжений ui(t) и u2(t) из
решения последнего уравнения. Это уравнение, в частности, имеет вид:
— ||g4 + g5 g4 + ge II
22,(0
24(0
+(gs + g4+gi + g4>)24 (0 — 0
или после подстановки численных значений
-II 1,0 0,6||
10
5
+ 1,5«3(0 = О.
(4-1-10)
Решая относительно u3(t), получим:
ut(t) = Д = 8,66.
1,0
58
Определив одно неизвестное напряжение дерева, все остальные
значения напряжений и токов системы получают при помощи простой
алгебраической подстановки. В частности, из уравнений контуров
(4-1-3) или (4-1-6) все остальные напряжения (напряжения хорд) опре-
делятся как:
«4 (0 1 1 —1 10,0 6,33
(0 = 1 0 —1 5,0 = 1,33
«в (0 0 — 1 1 8,66 3,66
Все значения токов, за исключением токов источников напряжения,
определяются путем подстановки напряжений элементов в полюсные урав-
нения компонент (4-1-1):
Ч(П
ч (О
*.(*)
0,3 о
О 0,4
О О
О О
О О
О о
0,6 о
О 0,2
8,66
6,33
1,33
3,66
2,60
2,533
0,80
7,33
Токи от двух источников напряжения определяются после подстановки
решения для u3(t) в первые два уравнения (4-1-9):
— 3,33
— 1,80
4(0
1
0,4
0,4 — 1,0
0,6 —0,6
10
5
8,66
В § 4-6 будет показано, что практический метод анализа систем, со-
стоящий из двухполюсников, позволяет получить систему уравнений
(4-1-8) быстро и эффективно без всех подробностей, приведенных выше.
Рис. 4-1-2. Типичная система из механических двух-
полюсников и граф системы с двумя возможными
формальными деревьями
Действительно, мы увидим, что достаточно записать только уравнения
отсечений (4-1-2). Однако, такие «ускоренные» методы основаны на
глубоком понимании общих свойств уравнений системы. С этой целью
мы проанализируем механическую систему, приведенною на рис. 4-1-2,о.
Пусть требуется найти перемещения и силы в механической систе-
ме на рис. 4-1-2,о, если изменение положения точки а определяется
функцией 61 (£).
Каждая из компонент системы и их соединения вместе с полюсны-
ми переменными, используемыми для описания их характеристик.
59
отождествляются с совокупностью отрезков на рис. 4-1-2,6. Полюсные
уравнения для этих компонент, представляющих силы (последователь-
ные переменные) в виде явной функции от перемещения (параллельных
переменных), имеют вид:
К. 0 0 0
МО
ш 0 0 0 МО
-— при />(), (4-1-11)
0 0 Al 0 мо
МО 0 0 0 ".да (0
где 6,(0 —заданная функция времени.
Переменные f(t) и 6(/) изображают отклонения силы и перемеще-
ния от их значений при /=0. Если система в исходном положении (при
/<0) находилась в покое, то &(/) и /(/) изображают отклонения пере-
мещения и силы от состояния «свободной подвески». Заметим, что со-
отношение для последовательной и параллельной переменной элемен-
та 1 отсутствует, так как параллельная переменная 6] (/) этого элемен
та является заданной временной функцией.
В соответствии с изложенным в гл. 3 дерево, выбираемое для
записи уравнений контуров и отсечений, содержит элемент 1 (заданную
параллельную переменную) в виде ветви. Выбранное дерево выделено
на рис. 4-1 2,6 темными линиями.
Уравнения фундаментальных контуров:
1 [ 1—1110
— 11—1 0 [ О 1
МО
МО
МО
МО
МО
ветви
= 0.
хорды
(4-1-12)
Уравнения отсечений для того же дерева:
1 i о о, — 1 1
0 i 1 о [ — 1 1
0 1 о 1 1 1 0
Л (О
h(t)
ветви
= 0.
хорды
(4-1-13)
Сочетание уравнений (4-1-11) —(4-1-13) образует систему из девяти
совместных уравнений для 10 переменных. Следовательно, так как одна
переменная 61 (/) задана, то остальные переменные определяются из
решения этой системы совместных уравнений. Заметим, однако, что
уравнения отсечений и уравнения контуров являются алгебраическими.
Дифференциальные уравнения, которые должны решаться как совме-
стная система, получают из решения этих девяти совместных урав-
нений.
60
Полюсные уравнения компонент являются явными для
/4(0 и fs(()- Следовательно, их можно подставить непосредственно
в (4-1-13). В результате получим:
МО 0 0 0—11 10—11
0 0 1 10
Кг 0 0 0
0 Л1,5Г’ 0 0
0 0 К. 0
0 0 0 .. d2
8а(0
83 (0 8.(0 = 0. (4-1-14)
МО
равнения (4-1-14) и
(4-1-12)
составляют пять уравнений для шести
переменных, одна из которых 61(f) известна. Из (4-1-12) следует, что
переменные хорд, появляющиеся в (4-1-14) 64(f) и 65(f), могут быть
выражены в визе явных функций от переменных ветвей дерева
62(f) и 63(f). Чтобы исключить путем подстановки переменные хорд из
уравнения (4-1-14), запишем (4-1-12) таким образом, чтобы параллель-
ные переменные в (4-1-14)
дерева:
были явными
функциями от переменных
МО
(О
84 (О
МО
о
о
— 1
1
1
о
-1
1
О
1
1
О
8.(0
МО •
83 (О
(4-1-15)
Теперь уравнение (4-1-15) можно
окончательно систему уравнений:
подставить
в (4-1-14). Тогда
получим

О
О
о
М —
о
Л (О
о
о
о
о
1
о
О
О
1
— 1
— 1
1
1
1
о
О
О
О
О
О
к4
о
О
d2
о
о
— 1
1
1
о
— 1
1
о
1
1
о
8.(0
МО
МО
= 0.
(4-1-16)
Таким
образом, совместные дифференциальные
уравнения имеют вид:
О
^ + ^3^ кя+к.+м^ -к.
8.(0
8а(0
83 (О
(4-1-17)
Независимые переменные 62(f) и 63(f) изображают неизвестные
параллельные переменные двух ветвей дерева. Эти две переменные
61
определяются в виде функций от заданного параллельного переменного
61(0 113 решения последних двух уравнений в (4-1-17). Последние два
уравнения имеют вид:
+ -к.
МО
МО
-К,
(4-1-18)
После того, как -найдено решение этой пары дифференциальных
уравнений, остальные параллельные переменные определяются из урав-
нений контуров (4-1-12), т. е. параллельные переменные дерева опре-
деляют параллельные переменные хорд.
Все последовательные'переменные, за исключением Л (0, находят
путем простой подстановки параллельных переменных в полярные
уравнения (4-1-11). Последовательную переменную для заданного па-
раллельного воздействия получают из решений первого уравнения
в (4-1-17).
В интересах цельности изложения решение последней пары диффе-
ренциальных уравнений будет дано лишь в следующей главе.
Окончательная система уравнений (4-1-17) называется уравнения-
ми ветвей системы, так как независимые переменные являются пере-
менными ветвей. Любое дерево, которое содержит заданные перемен-
ные (элемент 1 в этом примере) в виде ветвей, может служить основой
для вывода уравнений. Если при записи уравнений отсечений и конту-
ров за основу принято лагранжево дерево на рис. 4-1-2,в, то оконча-
тельная система уравнений ветвей для системы имеет вид:
Уравнения ветвей этого специального вида называются узловыми урав-
нениями, так как переменные 61, 63 и 65 являются узловыми (node)
переменными (лагранжева дерева). При наличии небольшого опыта
последнюю систему уравнений можно записать непосредственно по
графу, применяя простую систему правил. Эти правила будут даны
в следующем параграфе.
У читателя может возникнуть вопрос, почему мы не вводим эти
простые правила здесь и забываем о приведенной выше алгебре теперь,
когда мы знаем ответ. К сожалению, это не так просто. Во-первых, не
всегда можно включить элементы с заданными параллельными пере-
менными в лагранжево дерево, как это имело место в первом примере
настоящего параграфа. Во-вторых, и это более важно, хотя совокуп-
ности двухполюсников часто встречаются в электрических системах,
они являются исключением, а не правилом при изучении систем. Для
62
систем, содержащих большое количество многополюсников различных
видов, правила для непосредственной записи узловых уравнений явля-
ются чрезмерно сложными и не имеют поэтому практической ценности.
Частные решения, рассмотренные в этой главе для совокупностей про-
стых двухполюсников, образуют основу для анализа более сложных
систем и должны быть усвоены теперь же. Здесь удобно использовать
алгебру для систем уравнений.
4-2. Символический анализ
Если алгебру, использованную в примере предыдущего параграфа,
рассмотреть исходя из действий над системами уравнений, то она
окажется очень простой. Воспользуемся матричной формой записи
и повторим выводы.
Используя матричный символ для изображения каждой подмат-
рицы, выделенной пунктиром в уравнении (4-1-12), запишем символи-
чески уравнения контуров:
||5„ В1г7|| xbl(t) xb2(t) Xc(t) = 0. (4-2-1)
Аналогично, уравнения отсечений, входящие в (4-1-13), можно записать в
виде: / 0 Лп 0 / Л21 У'ьЛП YbAt) у = 0. (4-2-2)
Удобная символическая запись полюсных уравнений компонент (4-1-11)
имеет вид1:
У'ъЛ)
V'c(t)
Xb(t)
Xc{t)
(4-2-3)
где Xb(t)— заданные временные функции.
В приведенных выше уравнениях (как и везде в настоящей книге)
индексы b и с используются для обозначения подматриц, изображаю-
щих переменные, связанные с ветвями и хордами соответственно.
Заданные параллельные переменные всегда включаются в дерево и за-
писываются в виде первой системы в матрицах-столбцах. Мы здесь рас-
сматриваем каждую матрицу-столбец (иногда называемую вектором)
как переменную, приравниваем переменные и производим алгебраиче-
ские подстановки почти так же, как при действиях над обычными урав-
нениями. Имеется три основных шага при частном решении трех систем
уравнений.
Шаг 1. Так как полюсные уравнения являются явными функциями
для последовательных переменных, то их можно подставить в уравне-
ния отсечений [уравнения (4-2-3) в (4-2-2)] :
ХьЛ)
Xc(t)
(4-2-4)
1 Для упрощения записи матрица коэффициентов W не разделена в соответствии
с разбиением .матриц-столбцов.
63
Шаг 2. Из уравнения (4-2-1) выразим все параллельные перемен-
ные уравнения (4-2-4) через параллельные переменные ветвей
XbAt)
Xc(t)
о /
&11 ^12
xbl(t)
xb2(t)
(4-2-5)
Шаг 3. Уравнение (4-2-5) можно теперь
получить уравнения ветвей для системы
подставить в (4-2-4), чтобы
о|Н>+
О
1 Л21
О 1
^11 ^12
XbAt)
ХъЛ)
= 0. (4-2-6)
Заметим, что уравнение (4-2-6) можно рассматривать как две системы
уравнений и записать в виде
и
г'Ь1(0+||0 ли|| W
dt)
о /
^11 ^12
Xbi (t)
Xb2(t)
(4-2-7)
II / Л21 ]|
О /
^11 В12
xbl(t)
XbAt)
= 0.
(4-2-8)
= 0
Уравнение (4-2-8) не зависит от Vbl и представляет собой систему
совместных уравнений, число которых равно числу переменных, содержа-
щихся в матрице-столбце ХЬг (О- Так как Xbl (t) содержит заданные функ-
ции, то ее удобно записать в виде
(4-2-9)
Решение этих совместных уравнений, представляющее параллельные пере-
менные Xb2 (t) в виде явных функций от УЬ1 (t), является решением систе-
мы. Если требуется решение для У'Ь1 (t), то его получают при помощи
подстановки решения для Xb2(t) в уравнение (4-2-7).
Символический анализ позволяет вывести дифференциальные урав-
нения для любой системы, состоящей из пассивных двухполюсников,
типа описываемых уравнением (4-2-3). Нельзя считать, что этот резуль-
тат можно использовать как основной рецепт. Скорее матричные урав-
нения этого типа имеют основную ценность в качестве удобной и ком-
пактной записи алгебраических операций над системами уравнений.
В любой конкретной задаче подстановки часто производят сначала
в матричной записи, чтобы исследовать общие свойства решения.
Имеется, по крайней мере, два таких важных общих свойства, выте-
кающих из (4-2-6).
Количество уравнений. Число уравнений ветвей для системы всегда
равно числу ветвей дерева. Если параллельные переменные для неко-
торых ветвей являются заданными (известными) временными функция-
ми, то число совместных дифференциальных уравнений, требуемых для
нахождения решения, соответственно уменьшается. Если пх — число
64
элементов, для которых параллельные переменные известны, a v — чис-
ло вершин графа, то число совместных уравнений определится как
и— 1— пх.
Симметрия. Из теоремы 3-9-1 следует, что
=11-^-^ ||t =
— Blit
---В12*
или
Л,,— я ^21 —
Следовательно, в уравнении (4-2-6) мы имеем:
О /
^11 ^12
О
^21 i
(4-2-10)
Это соотношение имеет два важных приложения. Во-первых, оно ука-
зывает, что тройное произведение в (4-2-6) (матрица коэффициентов в ко-
нечной системе уравнений) симметрично, если симметрична W Для
систем, состоящих из двухполюсников, W всегда диагональна и, сле-
довательно, симметрична. Это утверждение не обязательно справедливо
для систем, содержащих многополюсники. Указанная симметрия, наряду с
прочими условиями, служит удобной основой, позволяющей избежать оши-
бок при составлении тройного произведения. Равенство (4-2-10) также
означает, что первое тройное произведение в (4-2-9) симметрично, если
симметрична W
4-3. Уравнения хорд (пример)
В примере на рис. 4-1-2 характеристики компоненты были опреде-
лены так, что силы (последовательные переменные) являлись явными
функциями перемещений (параллельных переменных). Хотя эта форма
встречается наиболее часто, соответствующие уравнения для электри-
ческой или механической системы могут оказаться и в инверсной фор-
ме— параллельные переменные могут являться явными функциями от
последовательных переменных. Может также оказаться, как мы увидим
ниже, что целесообразнее представлять полюсные уравнения в инверс-
ной форме. Полюсные уравнения для компонент в выражении (4-1-11)
можно подвергнуть инверсии при помощи преобразования Лапласа или
введением новой переменной й(7), называемой импульсом силы и опре-
деляемой следующим образом:
й(0 = jf(O^-
о
Если f(t) интегрируема, то h(t) непрерывна и удовлетворяет свойству
вершин графа системы. Полюсные уравнения компонент во временной
области имеют вид:
5—1738
65

i<p
dt*
ООО
О 4- о о
° 0 Г.гг- 0
о о о 4
Afs
М)
МО
МО
S5 (О
МО
hs(t)
h4(t)
K(t)
t >0; 8i (О — задана
(4-3-1)
или символически1,
ГЬг(0
X’c{t)
VbAt)
у At)
Хь, (О — задана.
(4-3-2)
Шаг 1. Так как эти уравнения разрешены относительно параллель-
ных переменных, то они подставляются в уравнения контуров вместо
уравнений отсечений, так же как раньше, — выражение (4-3-1)
в (4-1-12). В результате получим:
1—110
— 1 0 0 1
М0+
1 d* 0 о 0
Кг dt2
0 1 м3 0 0
X 0 0 1 d2 к; dM 0
0 0 0 i м5
hAt)
hAt) = 0 (4-3-3)
hAt)
h. (t)
X
или при символической матричной записи
В1ХХ'Ь1(1) + \\В1г
II г(я)
П2(0
У At)
= 0.
(4-3-4)
Шаг 2. Из уравнений отсечений (4-2-2)
как явная функция от переменных хорд
Уб2(/) может быть выражено
Г6г(0 = -А1Гс(0.
(4-3-5)
’ Для упрощения записи Z
ной форме.
£
dt
не представлено в соответствующей партицион-
1
66
т. е. в уравнении (4-3-4)
УьЛ)
К (О
/^21
Z
Гс(О-
(4-3-6)
В развернутом виде из уравнения (4-1-13) получим:
— 1
О
О
1
МП
МО
(4-3-7)
Шаг 3. Подставим (4-3-7) в (4-3-3):
1
М0 +
1—110
— 1 0 0 1
11 л'; 0 "
0 0 K^di* °
о 0 0 i
i — i
— 1 о
1 о
О 1
или в общем случае уравнение (4-3-6) в (4-3-4):
I МО
I hAt)
(4-3-8)
ЯЛ(О + И в121\\
I -А.
I /
Ус(0 = 0. (4-3-9)
Осуществляя тройные матричные перемножения в уравнении (4-3-8), полу-
чим:
J_£i J I 1_ d’ 1 d2
Кг dt^M, dt* Кг di*
1 d2 _L d5-i L
Кг dt* Кг dt*‘ Ms
A(0
MO
= 0.
(4-3-10)
Система уравнений, полученная из приведенного выше частного ре-
шения, именуется уравнениями хорд, так как независимыми переменны-
ми являются переменные хорд. Уравнения хорд — это лишь особая си-
стема контурных уравнений, записанных для наиболее удобной систе-
мы контуров, определенных выбором формального дерева. Для систем,
состоящих из двухполюсников, уравнения хорд могут быть также запи-
саны, исходя из простой системы правил. Эти правила изложены
в следующем параграфе после рассмотрения более общих методов.
Количество уравнений. В соответствии с числом строк в В12 и Ус (t)
уравнения (4-3-9) число уравнений хорд равно числу хорд. Если ни
одна из последовательных переменных хорд не задана, как в настоящем
Б*
67
примере, то число независимых дифференциальных уравнений, тре-
буемое для получения решения, равно числу хорд
е—v +1,
где е — число элементов графа системы.
Симметрия. Из теоремы (3-9-1):
5,2 =
и, как и в случае уравнений ветвей, матрица коэффициентов уравнений
хорд всегда симметрична, если Z симметрична. Для систем, состоя-
™ f d \
щих из двухполюсников, ZI 1 диагональна.
Важно отметить, что'формулировка окончательной системы урав-
нений производится независимо от подстановок, возможных для трех
систем уравнений — отсечений, контуров и полюсных уравнений компо-
нент. Очевидно, возможные подстановки зависят от вида данных полюс-
ных уравнений компонент. В тех случаях, когда имеется возможность
выбора вида полярных уравнений — последовательные переменные
являются явной функцией от параллельных переменных, или наобо-
рот — может оказаться, что один способ имеет преимущество перед
другим. Это следует из правил для подсчета числа уравнений в системе.
В настоящем примере при анализе системы требуется решение двух
уравнений независимо от того, являются ли независимыми переменны-
ми силы или перемещения. Однако это справедливо не всегда и при
анализе можно предопределить, исходя из числа вершин и ветвей
в графе, какой метод приведет к наименьшему числу совместных урав-
нений.
4-4. Дополнительный пример
‘В примере, использованном ранее, система содержала лишь элементы с задан-
ными параллельными 'переменными и пассивные двухполюсники. Часто возникают слу-
чаи когда система включает в себя компоненты, для которых последовательные пере-
менные не зависят от параллельных переменных. К таким компонентам относятся ста-
билизаторы тока, приводы с постоянным моментом и насосы с постоянным потоком.
ВпВонопор- .ЧроВиитель-
Рнс. 4-4-1. Система из гидравлических двухполюсников.
а — схема; б — граф системы.
Поршневой насос, приводимый в движение с постоянной скоростью, представляет со-
бой распространенный пример компоненты этого типа.
Пусть требуется определить давление и поток в -различных компонентах гидрав-
лической системы, показанной на рис. 4-4-1,а, в которой внезапно закрыт клапан. Эта
система может изображать часть водопроводной городской сети. Уравнительная труба
представляет собой вертикальный отрезок трубы, запаянный вверху. Воздушная каме-
ра в верхнем конце этой трубы служит для амортизации удара, возникающего при
внезапном перекрытии клапана.
68
Система может рассматриваться как совокупность двухполюсников в соответст-
вии с графом системы, представленным на рис. 4-4-11,6. Для получения полюсных урав-
нений в диапазоне изменений давления и потока в системе каждую из компонент
можно рассматривать изолированно. Так, пока трубы наполнены водой, водонапорная
башня не пустует, а озеро не осушено, полярные уравнения для элементов 1—5 будут
выражаться следующей линейной формой;
d d2 р 1 М О 0 0 п
K1 Т- Л11 и и и и
Pl (0 d d2 0 К* dt~ + gfi 0 0 0
Рг (0 ]
Рз(О = 0 0^-00 X
Р*(0 1
Р»(0 0 0 0 с? 0 d d’ 0 0 0 0 Rs + A4S №
gl (О
g3 со
gAt)
gs (О
при
(4-4-1)
где переменные давления и потока изображают изменения соответствующих величин
относительно значений при /=О:
ge(t) задано при ОО;
gi(t) = O при />0.
Если f=0 соответствует моменту перекрытия клапана, го ps(O и Pi(t) изобра-
жают, соответственно, изменение давлений на входных отверстиях (.между входными
отверстиями и атмосферой) водонапорной башни и уравнительной трубы. Переменные
потока g(t) изображают поток после перекрытия клапана.
Так как насос считается источником постоянного потока, то последовательная
переменная для элемента 6 задана и не зависит от давления. С другой стороны, если
клапан, изображаемый элементом 7, закрыт при />0, то gr(t) задана н равна нулю.
В соответствии с гл. 3, элементы, для которых последовательные переменные заданы,
включены в систему, образованную хордами.
При выборе дерева, используемого для вывода уравнений, элементы, имеющие
заданные последовательные переменные, всегда содержатся в системе, которая обра-
зована хордами, и выступают в качестве последних элементов матрицы-столбца. Вос-
пользовавшись деревом, изображенным на рис. 4-4-1,6 темными линиями, запишем
уравнения фундаментальных контуров:
О 0—1 lllJOO
F-— 1 о 6 ; 1 6
о о о —1 ; о;о 1
Pi(O
р= (О
Рз (О
р«(О
р5 (О
Р.(0
Р,(О
ветви
= 0.
(4-4-2)
хорды
По причинам, указанным 'В
ном выводе уравнений отсечений.
предыдущем
параграфе, нет необходимости в деталь-
69
Чтобы показать преимущества матричной записи для вывода уравнений, запишем
уравнения контуров (4-4-2) в виде
Ви 1 0
Ви 0 1
Х'„ (О
Х'сг (i)
Уравнения отсечений в символической форме
||/ —Вщ —Вт
= 0.
(4-4-3)
yb(t)
II Ус1Щ =0.
Ус2«)
(4-4-4)
Аналогично полюсные уравнения можно записать:
X'b
Х’с1 (/)
; Усг — задано.
(4-4-5)
Шаг 1. Как и в предыдущем примере, полюсные уравнения подставляются
в уравнения контуров, так как являются явными функциями для параллельных пере-
менных
21
Yb(t)
у а (О
Х'с (0 = 0.
(4-4-6)
Шаг 2. Выражают
переменные хорд
все последовательные переменные в уравнении (4-4-6) через
Уь(1) =
Гс1(0
Вт Вт
1 0
(4-4-7)
Шаг 3. Чтобы получить окончательную систему уравнений, подставляют (4-4-7)
в (4-4-6):
Вш Вт
1 о
Ус. (О
Ус! (*)
Л"са (О = 0.
(4-4-8)
коэффициентов в развернутом
виде путем сравнения уравнений (4-4-3)
Для эффективного использования результатов применения символической записи най-
дем матрицы
и (4-4-2):
о
—1
о
о
—1
о
—1
—1
о
1
о
—1
1
0
о
Ви I
Ви о
матричное произведение
в (4-4-8)
__ Вт Вт
1 0
(4-4-9)
Тройное
матрицы. Результирующие уравнения хорд для системы имеют вид:
можно выполнить, не переписывая
’d
dt
МО
(4-4-10)
=°-
Рп (0
1
С3
g, (О
70
где
z d \ d d2
z> \dF)=R'dT + M>dP<
( d \ d ds
Zi\dt ) = Ridt + Midt2’
f d \ d d2
Zs \ dFJ=RidT + A'^dt2'
Так как ge(t) и ёт(() заданы, то для анализа системы требуется решение только
одного (первого) дифференциального уравнения. Вообще, если пу последовательных
переменных хорд заданы, то число совместных уравнений, которые нужно решить,
равно-
е—о +1—Пу.
4-5. Обобщение
В рассмотренных в предыдущих параграфах примерах, мы ограни-
чивались системами, которые содержат компоненты либо с заданными
последовательными переменными, либо с заданными параллельными
переменными. Для часто встречающихся систем, содержащих компо-
ненты обоих типов, используются те же основные методы. Если умело
разделить различные типы компонент системы на соответствующие
группы, то сложность операций, связанных с частным решением урав-
нений отсечений, контуров и полюсных уравнений, сводится к миниму-
му. Цель этого параграфа — определить эту классификацию и описать
последовательность операций в символической форме. Вновь следует
подчеркнуть, что методы, описываемые здесь для специальных случаев,
уже рассматривались и подготовлена почва для вывода уравнений и
анализа систем с многополюсниками, которые будут изучаться в сле-
дующих главах.
Выбор формального дерева. Дерево, используемое для записи урав-
нений отсечений и контуров, выбирается так, чтобы все элементы с за-
данными параллельными переменными входили в виде ветвей и все
элементы с заданными последовательными переменными — в виде хорд.
Если это невозможно, то полное решение получить нельзя.
Группирование уравнений отсечений и контуров. Необходимо четко
различать заданные переменные как для ветвей, так и для хорд. Сле-
довательно, при записи уравнений отсечений и контуров переменные
разделяются на четыре группы. Пусть индексы b и с изображают ветви
и хорды соответственно. Запишем уравнения графа в виде:
уравнения отсечений
Z О л„ л12
О 7 Л2, Л gg
Уь.а)
УЬЛ*)
К. (О
гС!(0
уравнения фундаментальных контуров
В1г 1 О
В21 В22 О 7
XbAt)
xbt(t)
Xedt)
Хсг (t)
(4-5-1)
(4-5-2)
71
где Xbl(f) и Y02(t) — заданные функции времени. Так как
^11 ^12
^21 Т?22
^21t
2^12t ^22 i
(4-5-3)
то из графа следует записать либо уравнения отсечений, либо уравне-
ния контуров, а не те и другие одновременно.
Полюсные уравнения компонент. Полюсные уравнения для компо-
нент разделяются на те же группы, что и переменные в уравнениях
графа.
1. Если результирующие уравнения должны быть записаны через
последовательные переменные (уравнения хорд), то уравнения компо-
нент должны быть явными функциями для параллельных переменных:
Х'ьЛ)
X’cdt)
Yb2(t)
Усх(0
(4-5-4)
2. Если уравнения системы должны быть записаны через парал-
лельные переменные (уравнения ветвей) то уравнения компонент
должны быть явными функциями для последовательных переменных:
y'bAt)
vrcdt)
xb2(t)
Xcdt)
(4-5-5)
Уравнения системы — форма ветвей. Три важные подстановки
в системах уравнений приводят к уравнениям ветвей для системы:
Шаг 1. Подставим уравнения компонент (4-5-1) в уравнения кон-
туров (4-5-2):
В»
В 22
Х'Ь1(0+
В12 1
в22 о
Гь,(0
XrC2(t)=0.
(4-5-6)
Шаг 2.
(4-5-1):
Выразим УЬ2 (/) через УС1 (t) и УС2 (t) из уравнений отсечений
Уьг (О __ ^21 ^22
гС1(0 “ I о
гС1 (О
Усг (О
Bl2t B22t
1 о
Усг (t)
Усг (0
(4-5-7)
Шаг 3. Подставим (4-5-7) в (4-5-6)
Вгг
В21
^ы(0 +
о
1
гс,(О=о.
Bl2t. B22t
I о
гС1 (О
КС2 (О
(4-5-8)
Так как Xbl(f) и Усг (0 — заданные функции времени, то решение для
системы находится из первой системы уравнений для УС1(0 как функция
от этих заданных переменных. Эта первая система уравнений имеет вид:
«.ЛЮ+ИВ» Л
Bi2t
1
В2г t
О
гсг(0|=о.
(4-5-9)

72
Количество уравнений
е—v+1—Пу,
где е — количество элементов;
и — количество вершин;
пу — количество элементов, для которых последовательные перемен-
ные являются известными функциями времени.
Уравнения системы — контурная форма. Шаг 1. Подставим полюс-
ные уравнения компонент (4-5-5) в уравнения отсечений (4-5-1):
>М)+
Шаг 2.
(4-5-2):
Xb2(t)
XcAt)
о А*
/ А.
xb2(t)
А. (О
Выразим А'с, через Xbl(t)
о /
-А -в12
xbl(t)
xb2(t)
и Xb2(t) из
0 1
Alt ^21t
^12
^22
гС2(О=-о.
(4-5-10)
уравнений контуров
xbl(t)
Xb2(t)
(4-5-11)
Шаг 3. Подставим (4-5-11) в (4-5-10):
П,(0 +
о л„
1 А.
о 1
Ait Ait
xbl(t)
xb2(t)
Л12
r'C2(0=o.
(4-5-12)
Так как Xbl(t) и УС2(?)— заданные функции времени, то решение для
системы находится из дифференциальных уравнений, содержащихся во вто-
рой системе уравнений для Xb2(t). Эта вторая система уравнений имеет
вид:
А1Ю}+А2П2(0=0.
(4-5-13)
Количество уравнений
v—l—nx,
где v — количество вершин;
пх — количество элементов, для которых параллельные переменные
являются известными функциями времени.
4-6. Практические методы вывода уравнений
Символическая запись, использовавшаяся в предыдущих парагра-
фах, весьма эффективна при изучении общих свойств уравнений систе-
мы и общих методов решения. Однако, когда приступают к выводу
уравнений для конкретной задачи, необходимо учитывать детали каж-
дого уравнения. В этом случае использование символической записи
не дает преимуществ. Сведения же, полученные при изучении общих
свойств, служат основой для умелого эффективного обращения с урав-
нениями системы. На приводимых далее примерах показано, как в со-
ответствии с общими выводами, сделанными выше, можно упростить
методы получения уравнений ветвей и хорд для системы.
73
Пример 4-6-1. Вывести дифференциальные уравнения, необходимые для опре-
деления деформации вала вращающейся механической системы, показанной да
рис. 4-6-1. Момент, приложенный между одним концом вала и землей, задан. Другой
конец вала приводится во вращение с заданной скоростью (по отношению к земле).
Эту систему в соответствии с графом на рис. 4-6-1,6 можно считать состоящей нз
трех отрезков вала и двух маховиков (вместе с поддерживающими их подшипника
мн) Отметим, что деформацией отрезков валов, «а которых размешаются маховики
а b с
। < I
I I = ।
d
а 2 Ь,с 3 фе 4 f
T(t)
9
Источник g Источник
скорости ) момента
Рис. 4-6-1.
а — типичная вращающаяся механическая система; б—граф си-
стемы.
('>, с и d, е), можно пренебречь. Учитывая момент трения в подшипниках и -пред-
ставляя его -в виде линейной функции, запишем полюсные уравнения, связанные с эле-
ментами графа:
Kt 0 0 0 0
0 к, 0 0 0 MO
Г,(0 0 0 К< 0 0 <f3(0
— 0 0 0 d d* . B*dt +M*dt* 0 ¥1(0 ¥s (t) - (4-6-1)
Л(0 0 0 0 0 d , d2 dt + dt* ¥e(0
Так как одна параллельная -переменная и одна последовательная переменная
заданы, то число дифференциальных уравнений, требуемых для получения решения,
равно:
v—1— Пу — 4—1=3,
если используется форма ветвей.
При использовании формы хорд полюсные уравнения должны быть явными функ-
циями от <р(0- Чтобы получить требуемые соотношения, не прибегая к преобразованию
Лапласа, нужно прибавить второй элемент параллельно каждому из элементов 5 и 6.
Это, конечно, увеличит число хорд на два. При этом общее число дифференциальных
уравнений при использовании формы хорд равно -четырем. Таким образом, основываясь
на числе уравнений, которые требуют совместного решения, можно сделать вывод, что
форма ветвей является -наиболее удобной для этого конкретного случая.
Забегая вперед, отметим, что перемещения срц(<), ср^(/) -и крИО, изображающие
деформацию между концами трех отрезков вала, малы по сравнению с другими пере-
мещениями. Эту деформацию можно -наблюдать, прочертив линию вдоль вала, который
находится в ненапряженном состоянии Если отрезки вала
__________________...j соединены так, что эти исходные линии образуют одну
непрерывную линию, то при деформации или закручивании
* вала исходная линия займет положение, показанное на
рис. 4-6-2 пунктиром. Деформация этой линии изображает-
ся переменной <р(/).
Рис. 4-6-2. Если элементы 2, 3 и 4 являются ветвями дерева, то
переменные, изображающие деформацию вала, выступают
в качестве независимых переменных. Их проще получить непосредственно из решения
дифференциальных уравнений, а не -путем сложения и вычитания двух почти равных
функций. При этом точность численного решения сохраняется, а число алгебраических
операций сводится к минимуму.
Так как полюсные уравнения компонент 1(4-6-1) являются явными функциями для
последовательных переменных, то их можно подставить в уравнения отсечений графа
системы. Следовательно, при записи уравнений отсечений переменные в левой части
74
уравнения (4-6-1) образуют отдельный столбец. Уравнения отсечении, записанные из
графа системы, имеют вид:
1 0 0 0 1 1
0 10 0 1 1
0 Л(') + 0 10 0 1
0 0 0 10 0
1
У,(О 1
Л(О + 1 Л (0 = 0- (4-6-2)
Л(О 1
Л (О I
Отметим, что переменные все еше располагаются >в следующем порядке: вначале
ветви дерева и затем хорды. Однако последовательная переменная для параллельного
воздействия входит в виде отдельного столбца слева Последовательная переменная
для заданного момента входит в виде отдельного столбца справа Хотя, конечно, нет
необходимости использовать именно такое расположение, авторы обнаружили, что это
весьма естественная и удобная особенность, которую следует иметь в виду. Конечно,
уравнения отсечений можно записать в этой форме так же просто, как и в любой
другой, но при этом устраняются ненужные перестановки.
Прежде чем подставить (4-6-1) в (4-6-2), вспомним на основе материала преды-
дущих параграфов, что параллельные переменные в (4-6-1) связаны с параллельными
переменными ветвей дерева через транспозицию матрицы коэффициентов, содержащей
четыре строки и пять столбцов, в уравнении (4-6-2). Следовательно, уравнения ветвей
для системы получают, образуя тройное матричное произведение
(4-6-3)
d d*
— В6 dt + Л dt2
.Однако, как будет показано ниже, это тройное матричное произведение можно
легко вычислить, не прибегая к такой подробной записи, как в выражении (4-6-3).
Запишем тройное матричное произведение (4-6-3) в виде
AWAt.
Очевидно, что если диагональная матрица W умножается слева на матрицу А,
то каждый столбец А просто умножается на соответствующие диагональные элементы
матрицы W. Для получения этого результата удобно воспользоваться сокращенной за-
писью. Поместив коэффициенты W над каждым столбцом матрицы А, получим:

0 0 0 1 1
1 0 0 1 1
AW = 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
(4-6-4)
• Заметим теперь, что так как /-Й столбец в At тождественен у'-й строке в А, то
умножение справа АIV на At производится без письменной записи At. Так, элемент
(1,1) тройного произведения AWAt получается путем умножения первой строки мат-
рицы А самое на себя, причем каждый член суммы умножается на соответствую-
щий коэффициент W [коэффициенты, записанные над столбцами в уравнении (4-6-4)].
Этот элемент имеет, в частности, следующий вид:
(0х0Х^)+1(0Х0хКз)+К0Х0ХК4) + (1Х1ХГ5)+1(1Х1ХГ6) = Г5+Ге.
75
и показан также в уравнении (4-6-5) 'наряду с другими элементами в произведении
AWAt =
w6 + We П76 + wt w6
K3+WB
0
0
0
Kt
(4-6-5)
6
4
7
?.
Рис. 4-6-3.
Элементы (1,2), (1,3) и (1,4) матрицы получены путем умножения первой строки
матрицы А на вторую, третью и четвертую строки соответственно; причем каждый
член суммы умножен на соответствующий коэффициент, записанный вад столбцами
матрицы А (элементы диагонали в ВТ). Аналогично, элементы
(2,2), (2,3) и (12,4) получены путем перемножения второй строки
самоц иа себя и на третью и четвертую строки. Полученные ре-
зультаты приведены в уравнении (4-6-5). Так как известно, что
, тройное произведение дает симметричную матрицу, то немедлен-
но можно записать члены, расположенные ниже диагонали.
Таким образом, для систем, состоящих из двухполюсников,
матрица коэффициентов в полюсном уравнении всегда диаго-
нальна, и тройные матричные произведения, необходимые при
использовании ветвей, можно легко найти, если уравнения отсе-
чений записаны в виде (4-6-2). Иными словами, уравнения отсе-
чений можно получить непосредственно из уравнения (4-6-2) без
полной записи промежуточных шагов.
системы в окончательном виде запишутся
Уравнения для
•как
Л(0 W, + w. r5+ir6 wt 0
0 0 + W„ + We W6 Wt 0 U7, tfs+№. 0 X
0 0 0 0
<fi(O 1
X ¥2(0 ¥з(0 + 1 1 T,(t) = o,
МО 1
где w s = d d2 It + dt2’
(4-6-6)
d d2
= df 4" Мв •
Так как Ti(t) и <Pi(7)—известные функции времени, то, как уже отмечалось вна-
чале, требуется решить совместно три дифференциальных уравнения
Пример 4-6-2. Чтобы показать, как используются те же методы для вывода
уравнений хорд, найдем уравнения для системы, определяемой графом на рис. 4-6-3.
Полюсные уравнения компонент
*At)
x2{t)
yAt)
yAt)
заданы;
где
Xi (f) = Z.«/i(O; /=3,4, 5, 6, 7,
i
. d di
Z^A.+B^ + C,-^.
(4-6-7)
Этот граф является классическим примером так называемого неплоского (nonpla-
паг) графа. Это название исходит из того факта, что невозможно изобразить граф так,
чтобы элементы не пересекались, т. е. граф не может быть начерчен на плоскости.
Число совместных уравнений хорд, необходимых для анализа этой системы, рав-
но, конечно, двум, так как последовательные переменные двух хорд являются задан-
ными функциями времени. Так как полюсные уравнения компонент системы являются
76
явными функциями для параллельных переменных, то их можно подставить в урав-
нения фундаментальных контуров. При записи этих уравнений располагают перемен-
ные так,-чтобы параллельные переменные, входящие в полюсные уравнения, располага-
лись в виде отдельного столбца. Таким образом, из графа мы непосредственно за-
пишем-
Z3 Z4 Zs Z, Z,
1 1 1 1 1 1 0
0 I 11^1 (О i 1 1 0 0 1
1 1 ||-*2 (Ч 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1- 0 0
х3(0 0 0
х4(0
xs(0 + 0 0 |Х. (П | = о
Xt, (0 1 0 0 I (0
х,(0
(4-6-8)
Как и в случае формы ветвей, дифференцирование
к тройному матричному произведению вида:
уравнения хорд приводит
BZBi,
где В — матрица коэффициентов из четырех строк и пяти столбцов в (4-6-8);
Z—матрица коэффициентов в полюсных уравнениях.
Чтобы облегчить операцию нахождения тройного матричного произведения, по-
местим коэффициенты полного сопротивления над столбцами матрицы В. В соответ-
ствии с методами, описанными в предыдущем примере, мы получим непосредственно
из (4-6-8) уравнения системы:
1 1 ?3+z4+z5+z6 Z34~Z4 Z3 Z3+Z4+Zs
0 1 1 1 -МО ха(Ч + Zs+Z4 z3 Z3+Z4+Z7 Z3 Z3-|-Z4 Z3 Z3 Z3 X
0 0 Z3+Z4+Z5 Z3-|-Z4 Z3 Z3-f-Z4-|-Z5
У АП 0
уАП 0
X У» (0 + Xe(0 = 0. (4-6-9)
у At) x9(0
Так как Хр(0. ха(/), й(0 и №(0 —известные функции времени, то мы имеем два
совместных дифференциальных уравнения (два первых) в уравнении (4-6-9), которые
нужно решить для анализа характеристик системы.
Читатель, вероятно, обнаружит, что практические методы вывода
уравнений, рассмотренные в этом параграфе, легче применять в общем
случае и они приводят к меньшему числу ошибок, чем методы для
получения контурных и узловых уравнений, (рассматриваемые в сле-
дующем параграфе. Кроме того, и это более важно, методы, данные
в этом параграфе, непосредственно применимы для систем с многопо-
люсниками, тогда как методы для записи контурных и узловых уравне-
ний — не применимы. Тем не менее, в повседневной инженерной прак-
тике встречается много относительно простых систем, для которых кон-
турные и узловые уравнения можно записать непосредственно из графа
системы или даже из схематического изображения системы. В следую-
щем параграфе изложены методы записи контурных и узловых урав-
нений, обычно используемые при анализе электрических цепей. Правила
записи этих уравнений установлены так, чтобы можно было применить
их непосредственно для других систем.
4-7. Уравнения ветвей (узловые уравнения), полученные из графа
Требование максимальной простоты при выводе уравнений для
физических систем предполагает их запись непосредственно из рас-
смотрения физической системы или ее графа. Полученная в результате
77
система уравнений относится к уравнениям ветвей, рассмотренным
в предыдущем параграфе. Методы, изложенные в предыдущем пара-
графе, близко подводят к удовлетворению этого требования; нужен
лишь один промежуточный шаг. Для систем, содержащих двухполюсни-
ки, некоторые особые формы уравнений ветвей и хорд имеют очень про-
стую схему регулярности, и можно установить набор правил для запи-
си этих уравнений из рассмотрения графа системы. Так как для элек-
трических систем граф и схема системы подобны, то правила можно
применять непосредственно к схематическому изображению системы.
Если для записи уравнений отсечений и уравнений контуров может
быть выбрано лагранжево дерево, все элементы которого направлены
постоянно к (или постоянно от) общей вершине, то получаемые в ре-
зультате уравнения ветвей имеют простую схему регулярности и их
можно записать из раУ-смотрення графа, следуя простой системе пра-
вил. Для удобства повторим здесь граф, приведенный на рис. 4-1-2,в
и уравнения ветвей (4-1-19):
К2 О -К2
О К, + М3^-г -К.
-к2 -к.
МО
S3 (О
МО
(4-7-1)
Из этих уравнений следует, что:
1. Для каждой ветви дерева с параллельными переменными ветвей,
выступающими в качестве «независимых» переменных, вводится одно
уравнение.
2. Коэффициент (/, /) (на диагонали) всегда положителен
и изображает сумму коэффициентов полюсных уравнений компонент
для элементов графа, входящих в /е отсечениеВ случае, если отсут-
ствует соотношение между последовательными и параллельными пере-
менными элемента графа в /-м отсечении, то последо-
вательная переменная этого элемента входит в j-e
уравнение в качестве отдельного столбца. Знак тако-
го элемента матрицы согласуется с уравнениями от-
сечений графа.
3. Недиагональные элементы матрицы всегда от-
рицательны. Коэффициент (/, k) (недиагональные
элементы) всегда равен коэффициенту (£, /) и изо-
бражает сумму коэффициентов в полюсных уравне-
ниях компонент для элементов графа, общих для j-ro
и k-ro отсечения.
Напомним, что при выводе уравнений ветвей не-
обходимо, чтобы уравнения компонент представляли
Рис. 4-7-1. Кодиро-
ванный граф си-
стемы.
последовательные переменные в виде явных функций от параллельных
переменных. При записи уравнений ветвей из рассмотрения графа по-
лезно записать коэффициенты полюсных уравнений компонент около
элементов графа системы, как показано на рис. 4-7-1. Этот процесс
можно назвать «кодированием графа».
Имеются, конечно, другие способы установления схемы регуляр-
ности, и любое из многих умозрительных представлений можно исполь-
зовать для запоминания схемы регулярности. Например, инженер-элек-
1 Уравнения отсечений для специального случая лагранжева дерева называются
также уравнениями вершин.
78
трик часто рассматривает эти уравнения как сумму «токов, текущих к»
вершинам. Величины токов выражаются как функции напряжений де-
рева. Таково словесное выражение аналитического вывода, полученного
в предыдущих параграфах. Наиболее широко применимое словесное
описание узловых уравнений состоит в том, что они изображают урав-
нения отсечений, причем величины последовательных переменных явля-
ются функциями от параллельных переменных лагранжева дерева.
Между уравнениями ветвей лагранжева дерева, определенными
здесь, и узловыми уравнениями, рассматриваемыми в большинстве книг
по электрическим цепям, имеется лишь небольшое (различие. Уравне-
ния, представленные здесь, содержат одно уравнение для каждой ветви
дерева независимо от того, задана ли параллельная переменная дерева,
или нет. Совместные уравнения, которые нужно решать, получаются
в результате второго шага при записи соответствующих уравнений
в преобразованном виде. Например, если 61(0 в уравнении (4-7-1) за-
дана, то два совместных уравнения имеют вид:
-к. +
МП
(0
= 0.
(4-7-2)
Именно эта последняя пара уравнений обычно называется в теории
электрических цепей узловыми уравнениями и даются правила для их
записи непосредственно из графа. Однако схему регулярности значи-
тельно легче установить и запомнить на основе системы уравнений, со-
держащих все ветви дерева. Кроме того, и это более важно, все v—1
уравнений ветвей необходимы при получении многополюсного представ-
ления блоков системы. Этому вопросу посвящены, в частности, гл. 6
и 7.
Схема регулярности уравнений ветвей для пути дерева иллюстри-
руется уравнением (4-6-6). В этом примере заданными являются как
последовательная, так и параллельная переменные.
Возвращаясь к уравнениям ветвей (4-1-8) для графа системы на
рис. 4-1-1,б, читатель может заметить, что за исключением знака недиа-
гональных членов рассмотренная выше схема регулярности может при-
меняться для более общего случая уравнений ветвей. Общее правило
для определения знака недиагональных членов является значительно
более сложным, и нет смысла пытаться получить его. Если для вывода
уравнений нельзя использовать лагранжево дерево, как, например,
в системе на рис. 4-1-1, то более подходящими являются общие методы,
изложенные в предыдущих параграфах.
4-8. Уравнения хорд (контурные уравнения), полученные из графа
Чтобы показать схему регулярности уравнений хорд, повторим
здесь уравнения системы (4-4-10) и граф системы на рис. 4-4-1.
79
А (О
Яв (О
g, (t)
о
А (О
а (О
(4-8-1)
Из этих уравнений следует, что:
1. Имеется одно уравнение для
каждой хорды. Последовательные
переменные хорд выступают в качестве независимых переменных.
2 . Коэффициент (/, /) (на диагонали) всегда положителен и изо-
бражает сумму коэффициентов полюсных уравнений компонент для эле-
ментов графа, содержащихся в /-м контуре. В случае, когда отсутствует
соотношение между параллельной и последовательной переменными
элемента /-го контура, параллельная переменная этого элемента графа
входит в /е уравнение в виде элемента отдельного столбца. Знак таких
•элементов матрицы соответствует уравнениям
фундаментальных контуров графа.
3. Коэффициент (/’, k) (недиагональные
члены) всегда равен коэффициенту {k, j) и
изображает сумму коэффициентов полюсных
уравнений компонент для элементов графа,
общих для j-го и А-го контуров. Знак элемента
матрицы положителен, если ориентация /-го и
А-го контуров совпадает с ориентацией общих
элементов графа, и наоборот.
Как и в случае уравнений ветвей, полезно
произвести кодирование графа. Для этого за-
Рис. 4-8-1. Кодированный
граф системы.
писывают коэффициенты полюсных уравнений компонент около соответ-
ствующих элементов, как показано на рис. 4-8-4. Отметим, что они
являются коэффициентами полюсных уравнений компонент, если урав-
нения записаны так, что параллельные переменные являются явными
функциями от последовательных переменных.
При анализе электрических цепей ориентацию контура часто рас-
сматривают как изображение исходного направления тока, «протекаю-
щего в контуре», и называют контурным током. Хотя это умозритель-
ное представление может служить для запоминания при анализе элек-
трических цепей, но оно чрезмерно ограничено для исследования систем.
Переменная силы f(t) очень редко рассматривается как нечто «теку-
щее» вдоль контура; однако контурные уравнения и схема регулярности
так же реальны и полезны для механических систем, как и для элек-
трических цепей.
Более общее словесное выражение уравнений хорд состоит в том,
что они изображают уравнения фундаментальных контуров, в которых
величины параллельных переменных выражаются как функции от пере-
менных хорд. Это понятие, связанное с простой схемой регулярности,
рассмотренной выше, имеет ту же ценность для анализа систем, что
и метод записи уравнений хорд для всех типов систем, состоящих из
двухполюсников.
Уравнения хорд, определенные здесь, несколько отличаются от
контурных уравнений, применяемых в теории электрических цепей.
Во-первых, в уравнениях, рассматриваемых здесь, содержится по
одному уравнению для каждой хорды, независимо от того, задана ли
последовательная переменная хорды или нет. Тогда совместные уравне-
ния, которые нужно решать, получаются в результате второго шага.
Так, если в уравнении (4-8-1) заданы ge(t) и g?(t), то для анализа
системы требуется решить только одно дифференциальное уравнение.
ВО
Именно эту последнюю систему уравнений в теории электрических цепей
обычно называют «контурными уравнениями».
Во-вторых, в настоящей книге используются фундаментальные кон-
туры. Это ограничение обычно не накладывается на контурные уравне-
н' я и нет необходимости использовать его здесь. Схема регулярности
применяется даже если контуры, выбранные для записи уравнений кон-
туров, содержат более чем по одной хорде. Однако, как мы увидим
в следующей главе, уравнения хорд для фундаментальных контуров
имеют простейшую из возможных форм, используемых для полярного
представления систем, состоящих из двухполюсников.
ГЛАВА ПЯТАЯ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Методы вывода уравнений, рассмотренные выше, позволяют полу-
чить совместные дифференциальные уравнения, описывающие свойства
системы. Решение системы уравнений в общем случае можно найти при
помощи: 1) аналоговой вычислительной машины, 2) цифровой вычис-
лительной машины на основе численных методов, 3) аналитических
методов. В настоящей главе рассматриваются аналитические методы
решения систем уравнений, основанные на преобразовании Лапласа, и
изучаются некоторые важные свойства и характеристики аналитических
решений. Предварительное исследование, проведенное в предыдущей
главе, показало, что уравнения для всех линейных систем идентичны
по форме. После получения математических характеристик системы
решение обычно находят при помощи вычислительных машин или при
помощи аналитических методов, рассмотренных в этой главе.
5-1. Методы решения, применяемые при проектировании системы
При рассмотрении примеров в предыдущей главе мы видели, что
характеристики системы описываются системой совместных дифферен-
циальных уравнений.
Например, уравнения ветвей для любой системы, состоящей из
двухполюсников, образуют систему дифференциальных уравнений вто-
рого порядка, которая в общем виде запишется как
F (0 = ™ (£) X (0 = W,X (0 + W2 А X(0 + Ws £ X(t), (5-1-1)
где F (t) — матрица-столбец известных функций времени;
wt, w2, w3 — матрицы постоянных коэффициентов, изображающие раз-
личные параметры системы.
Чтобы определить характеристики системы, нужно найти решение
этих уравнений для переменных, содержащихся в матрице-столбце X (t)
через известные функции F (f). Цель проектирования системы заклю-
чается не только в решении этих уравнений, но и в нахождении такого
сочетания параметров системы, при котором получается требуемое
решение. Методы, используемые для достижения этой цели, называют
либо проектированием системы, либо синтезом. Все многочисленные
методы проектирования основаны на свойствах решения и его связи
с матрицей коэффициентов. Здесь мы ограничимся только решением
системы уравнений, а задачей проектирования заниматься не будем.
6—1738
81
При проектировании системы могут использоваться следующие
методы решения:
1. Методы, основанные на преобразовании Лапласа.
2. Методы, использующие аналоговые вычислительные машины.
3. Численные методы.
Численные методы имеют практическое значение при наличии циф-
ровых вычислительных машин. С увеличением доступности такого обо-
рудования последние методы станут высоко эффективным средством
проектирования систем. Один из методов проектирования при помощи
цифровых вычислительных машин состоит в 'получении повторяющихся
решений дифференциальных уравнений для заданных изменений в ма-
трицах коэффициентов (изменений параметров системы) до тех пор,
пока не будут получены нужные характеристики. Конечная цель про-
граммирования решения и выбора изменений коэффициентов состоит
в том, чтобы последовательность решений автоматически сходилась
к заданному.
Методы, основанные на применении аналоговых вычислительных
машин и применяемые главным образом при проектировании замкну-
тых систем автоматического управления, будут рассмотрены ниже. При
проектировании системы на аналоговой вычислительной машине изме-
няют определенные параметры системы (коэффициенты в уравнениях)
при помощи потенциометров, включенных в схему модели. Решение по-
вторяют для различных положений потенциометров, пока не будут най-
дены требуемые характеристики системы.
При теоретическом исследовании, а также при проектировании
широко применяется преобразование Лапласа, которое позволяет уста-
новить связь между свойствами решения и численными значениями эле-
ментов матриц коэффициентов. Рассмотрим этот метод решения,
используя обозначения, принятые в матричной алгебре.
5-2. Использование преобразования Лапласа (примеры)
Предполагается, что читатель знаком с методом решения диффе-
ренциальных уравнений, основанным на преобразовании Лапласа
[Л. 5-1 и 5-2]. Далее излагается в матричных обозначениях метод реше-
ния систем дифференциальных уравнений, основанный на преобразова-
нии Лапласа. Рассмотрение начнем с примера.
Пример 5-2-1. Пусть требуется проанализировать механическую систему, по-
казанную «а рис. 4-1-2, и определить перемещение двух твердых тел, если изменение
6, (t) во времени задано в виде ступенчатой функции:
» /О при <<0,
М0 = (д, При7>0.
где Д1=0,1 м.
Система вначале находилась в покое. Коэффициенты уравнений компонент
имеют следующие численные значения:
7И3= 1 кг; К2= Ю кг/м;
Als=2 кг; К<=5 кг/м.
При анализе мы будем пользоваться узловыми уравнениями (4-1-19), так как
переменные перемещений, которые нужно определить, 'имеются в уравнениях системы.
Отметим, что подобные требования служат основой для выбора наиболее подходя-
щего формального дерева.
Преобразованное по Лапласу уравнение (4-1-19) имеет .вид:
| М3 О I I
|о М, I
1 Л^2 Ц- К4 —К4
I -К*
М0+)
(0+)
(5-2-1)
82
Все функции в правой части уравнения (5-2-1) должны быть известными. При этом
решение будет единственным. Действительно, из условия задачи мы имеем:
М0+) 11= 83(0+)
»= (0+) II 86 (0+)
Однако в интересах общности анализ будет проводиться
нальной записи. Пусть
по возможности в функцио-
I F. (0 +)
I fs(0+)
Л4, 0
0 .И6
8з(0+)
«з (0+)
F.(s) I
F. (s) I
0
Kt
-Из 01
0 Л15|
8. (s).
«з(0 +)
86(0 +)
(5-2-2)
(5-2-3)
где F(s)— функция только задающего элемента системы;
Е(0+)— функция только начальных условий.
Разрешив уравнение (5-2-1) относительно бз(к) и 6з(д) и найдя обратную мат-
рицу коэффициентов, получим:
83(s) I
8S(s) I
Ki
F3 (0 +)
Fs(0 +)
(5-2-4)
где D(s) — многочлен no s, являющийся изображением определителя матрицы коэф-
фициентов.
В частности
D(s) = (М5х2+Д2+Д4) (Мэ^+К,)- K24= (M3A1s)s«+
+((К2+К4) Al3+KejMsJs2+KzKt.
(5-2-5)
Этот многочлен называется характеристическим уравнением.
Для 'численных значений, заданных в задаче:
£>(s) = 2 s4+25 s^+50.
(5-2-6)
Если мы раскроем матричные произведения в (5-2-4), то, в частности, получим:
83 (s) = + [Ft (s) + Fз (0 +)] + [F. (s) + Fs (0 +)]- (5-2-7)
Мы видим, что в общем случае элементы матрицы коэффициентов в (5-2-4) яв-
ляются отношениями многочленов. Многочлен в знаменателе имеет более высокую
степень, чем многочлен в числителе. Короче говоря, коэффициенты являются рацио-
нальными функциями от s. Кроме того, мы видим, >что если изображение заданной
функции 6i(O является многочленом, то 6®(s) и 65(s) также изображаются суммой
рациональных функций от s. В этом частном примере F$ (s) является просто отноше-
Д,Д2
нием —-— .
Для нахождения обратного преобразования Лапласа функции от s используются
два основных метода:
1. Теорема о вычетах, основанная на интеграле обращения.
2. Разложение «а элементарные дроби Хевисайда.
В случае, если рассматриваемая функция является рациональной 'или если она
представляет собой сумму рациональных функций, то теорема о .вычетах сводится
к такому же '.методу как и разложение на элементарные дроби [Л. 5-3].
6*
83
= s
+
и
1 || + Ka +
— D(s) ||
Чтобы 'найти обратное преобразование для (5-2-7) или более полно для (5-2-4),
определим корни D(s) и запишем этот многочлен в виде произведения:
D(s) =k(s—si) (s—s2) (s—s3) (s—s4),
(5-2-8)
где Si, s2, s3 и st—корни многочлена;
k — коэффициент при высшей степени s.
Для численных значений D(s), приведенных в (5-2-6), получим четыре корня:
Si = — j /10; s3 = — j /2.5;
s2 = //10; s4 = //2,5
или
D (s) = 2 (s 4- j /10) (s — j /16) (s + / /2?5) (s — j /2?5). (5-2-9)
Отметим, что все корни различны и образуют сопряженные пары Легко пока-
зать, что если многочлен имеет вещественные коэффициенты, то любые комплексные
корни должны образовывать сопряженные пары.
Если «е использовать интеграл свертывания, то невозможно продолжать реше-
ние, не определив в явном виде задающую функцию i6f(s). Для заданной функции вре-
мени мы имеем:
Ms) =_______
(s) | D (s)
Af5s2 + К2 + К 4
Af3s2
Ез(0+)
Еь(0+)
при t > 0.
(5-2-10)
Чтобы получить изображения известных функций времени, разложим (15-2-ГО) 1на
' сомножи-
то -разло-
элементарные дроби. Так как многочлен
теля, является общим для всех четырех
жение на элементарные дроби получается
D(s), в котором имеются четыре
членов в матрице коэффициентов,
в виде
(s)
«з («)
S — Si
S — S2
___1
s — s3 * '*4s —
(5-2-11)
1
1
s ’
где каждая матрица X является матрицей-столбцом второго порядка, коэффициенты
которой получены следующим образом: пусть sh изображает А-й корень D(s) и Хк—
k-я матрица коэффициентов .в уравнении (5-2-11), тогда *
Xft = llm (s —sft)|
s-*sx I
(8)
Ms)
или из (5-2-10)
S — Sk
= 1
D* (sft)
MSS* + Кг + Ki
Ki
Af3s2 + К.
0
Кг
А,
s
Д.(0+)
(0 +)
MjS^ -J- Кг + Kt
Ki
Ki
Af3sl+ Ki
Кг
Ai
Sfc
Л(0+)
А3 (0 +)
. (5-2-12)

0
где
D* (s)l(s — sh)
многочлен D(s) с вычеркнутым сомножителем s — s&, вычисленный при s = sh. Так,
для рассматриваемого примера,
D* (аг) = k (s, — s2) (s, — s3) (s, — s4).
Аналогично
X. — 11m s
s-»0
Кг + Ki K.
Ki Ki D(°)
0
Кг
1
(5-2-13)
84
Для численных значений Л4 и Д получим-
0,0166
— 0,0166
0,01661
0,0166 I
| °,066II _ [0,066 I
I 0,033 ||’ | 0.033 ||’
(5-2-14)
Отметим, что А'1=А'а и Х3—Х4. Это не случайность. В общем случае коэффициен-
ты Х\ и Хг являются комплексно сопряженными, если корни Si и s2 также комплексно
сопряженные Отсюда следует, что если Xi и Хг вещественные числа, то они равны.
Аналогично, если Х3 и Х4 вещественные числа то они равны, так как ®з и s4— ком-
плексно сопряженные.
Функция времени, соответствующая каждой рациональной функции в разложе-
нии на элементарные дроби, является экспонентой и решение во времени имеет вид
!!! II = X>eS1/ + Х^ + x*eS>1 + X^lt + X“
МОН
(5-2-15)
Так как
X,=X-; X3 = X4;
* —• * г---
Si =s2 = — j у 10; s3 = s4 = — j у 2,5;
то первая и вторая пара экспонент изображают косинусоидальные функции
МО
8s (0
= 2Х1 cos Sit + 2Х3 cos s3t -j- Ха при t > 0
(5 2-16)
или численно
МО
МО
0,033
— 0,033
cos У10/
I 0,133 I
| 0,066 |
cos У"2,51 +
0,1
0,1
(5-2-17)
Это решение представляет устойчивые колебания с двумя различными частотами
около нового положения. Так как переменные в уравнениях изображают изменение
перемещения относительно положения при 1=(0—), то это новое положение отстоит
на 0.1 м от первоначального. Ориентация отрезков линий 3 и 5 графа системы вместе
с положительным числом показывает, что это движение происходит в направлении от
точки b (земли)
Пример 5-2-2. Как изменится решение задачи, рассмотренной в предыдущем
примере, если учесть демпфирующее действие атмосферы на твердые тела
В этом случае полюсные уравнения для элементов массы принимают вид:
|М0
IMO
d
Мз dt* +Вз dt 0
d2 • d
0 ~dF + B= 'dF
I MO I
I MO I
(5-2-18)
Повторный анализ показывает, что решение имеет ту же форму что и в (5-2-15),
за исключением того, что корни являются теперь комплексными числами
Sl=“l 4-/01» $2 ---°*---/Pli
s3 =“34-/?3; s4 = “3 —/₽3;
(5-2-19)
здесь од и а3 — отрицательные числа и коэффициенты в матрицах X — комплексные
числа
Xi = Xs; Х3 = Х4. (5-2-20)
85
Экспоненты в решении (5-2-15) можно вновь сгруппировать в пары, представляющие
косинусы:
= + (Х3еы + Хге~1?з1) + Xs. (5-2-21)
В общем случае матрицы коэффициентов Х3 и Л"3 являются матрицами-столб-
цами с комплексными коэффициентами
II (О
(t)
Х,ел
Хге,вз
X3?s’
X>e’s<
Следовательно, уравнение (5-2-21) можно записать:
|гз(/)| = ^
I ts(t) I
X, cos (₽ + 9.) II e,sZ II X3 cos (₽,/ + 93)
X2 cos (₽,'/ + e2) II + e ||x4cos(₽3l+64)
(5-2-22)
(5-2-23)
5-3. Переходная и установившаяся составляющие решения
Если cfi и аз в уравнении (5-2-23) отрицательные числа, то реше-
ние изображает затухающие колебания, возможно, двух различных
частот. С бесконечным увеличением t все члены, кроме последних, стре-
мятся к нулю. По этой причине коэффициенты в Xs называют либо
установившимся решением, либо вынужденным режимом. В противо-
положность этому коэффициенты, затухающие по экспоненте, назы-
ваются переходными составляющими. Если мы попытаемся применить
эти понятия для классификации различных членов решения (5-2-17),
то заметим, что отсутствуют экспоненциально затухающие члены. Это
мешает рассматривать все решение как установившееся. Первое требо-
вание, предъявляемое к определению,— это его полезность. Понятие
о переходных и установившихся составляющих решения очень полезно,
за исключением подобных граничных случаев.
С математической точки зрения имеется более важная характери-
стика решения, чем изложенные выше понятия о переходных и устано-
вившихся составляющих. Возвращаясь к примеру 5-2-1, заметим, что
в соответствии с (5-2-11) и (5-2-15) члены решения можно разбить на
две группы.
Первая группа из четырех членов в уравнении (5-2-11) обязана
своим происхождением корням (нулям) D(s)—определителя матрицы
коэффициентов в системе уравнений. Из уравнения (5-2-12) мы видим,
что значения коэффициентов в Xh зависят как от начальных условий,
так и от задающей функции. Однако величины коэффициентов при
экспоненциальных функциях от sb s2 и т. д. полностью определяются
характеристиками пассивных компонент системы и совершенно не зави-
сят от задающей функции. По этой причине эту часть решения иногда
называют характеристическим решением. Отметим, что за исключением
граничных случаев переходное и характеристическое решения совпа-
дают.
Вторая группа членов (матрица Xs) связана с корнями (нулями)
знаменателя изображения задающей функции. Из уравнения (5-2-13)
видно, что коэффициенты Xs являются функциями только задающей
функции и не зависят от начальных условий. Мы также видим, что для
вычисления этой составляющей решения нет необходимости знать
корни D(s). Эта часть решения называется частным решением. Если
исключить граничные случаи, частное и установившееся решения совпа-
дают.
86
С характеристическим решением тесно связан вопрос об устойчи-
вости. В рассмотренных выше примерах корни определителя матрицы
коэффициентов (характеристического уравнения) были либо чисто мни-
мыми, либо комплексными с отрицательными действительными частями.
Из (5-2-21) и (5-2-23) видно, что если любой из корней имеет положи-
тельную действительную часть
Sfc = <ffc + /Ph,
то решение растет беспредельно и систему называют неустойчивой.
В уравнениях систем, состоящих из двухполюсников (за исключением
возможных характеристических уравнений компонент с отрицательными
коэффициентами), корни с положительной вещественной частью ни-
когда не встречаются. Однако, как мы увидим в следующей главе, по-
добные корни часто появляются в уравнениях систем, содержащих мно-
гополюсники, а именно, электронные лампы, вращающиеся машины и
гидроусилители. Одной из основных задач проектирования таких систем
является выбор характеристик компонент, при которых система устой-
чива. Действительно, проблема устойчивости настолько важна, что
часто стремятся узнать, устойчива или нет система, не учитывая кон-
кретные величины переходных членов. Это означает, что решение часто
сводится к вычислению корней характеристического уравнения.
Задача нахождения корней характеристического уракдения является
наиболее трудной при решении системы дифференциальных уравнений.
Если нет возможности использовать цифровые вычислительные машины,
то численные методы нахождения корней многочленов четвертого,
пятого и шестого порядков оказываются слишком громоздкими и слож-
ными. Если вычислительные машины являются повседневным орудием
инженера, то нахождение корней не вызывает трудностей. Почти каж-
дый вычислительный центр имеет набор программ для вычисления
корней многочленов едва ли не любого порядка, который может встре-
титься на практике. Этими программами легко пользоваться, и получе-
ние результата — дело нескольких минут.
Имеются также различные критерии, пригодные для быстрого опре-
деления знака действительных частей корней характеристического
уравнения. Некоторые из этих критериев рассмотрены в приложении.
5-4. Использование преобразования Лапласа (продолжение)
Рассмотрев в деталях решение конкретного примера, наметим
теперь в общих чертах приложение этого метода к системам дифферен-
циальных уравнений. Матричные обозначения обеспечивают удобную
систему записи для систематического выполнения большого количества
операций, требующихся при решении.
Пусть уравнения для системы записаны в виде
= (5-4-1)
или для уравнений второго порядка
(^1 + ^2^-+^з^)х(0 = Г(0, (5-4-2)
где F (t) — матрица-столбец известных функций времени. Например, так
как (t) и Т, (t) в уравнении (4-6-6) — известные функции, то члены
в правой части этого уравнения могут быть объединены и представлены
в виде матрицы-столбца F (t). При решении частной задачи эти известные
функции так и группировались.
87
Изображение по Лапласу системы уравнений (5-4-2) имеет вид:
(W, + W2s 4- W3s°) X(s) = F (s) + sW3X(0 -]-) +
+ W3X(0+) + W2X(0+). (5-4-3)
В этом изображении системы уравнений имеются три важные
группы членов. Первым шагом при решении уравнений является опре-
деление этих групп.
Шаг 1. Группирование
1. Матрица коэффициентов
W(s) = W1 + sW2+s=W3 (5-4-4)
представляет собой квадратную матрицу. Элементы в W (s) являются мно-
гочленами от s. ,
2. Матрица-столбец F(s) изображает известные функции от s, так
как соответствующие функции времени известны. Если изображения
системы задающих функций являются рациональными функциями
(отношениями многочленов), то элементы в F(s)—также рациональ-
ные функции.
3. Начальные условия можно сгруппировать для образования
матрицы-столбца:
F(s, 0+) = sW3X(0+) + W3X(0+) + W2X(0+). (5-4-5)
Если требуется найти единственное решение, то для любой конкретной
задачи должны быть известны численные значения начальных условий.
В общем случае, элементы в F(s, 0 + ) являются известными многочле-
нами от s.
При решении любой данной системы уравнений целесообразно
сгруппировать задающие функции и начальные условия в изолирован-
ные матрицы-столбцы и записать изображение уравнения в виде
W(s)X(s) = F(s)-J-F(s, 0+). (5-4-6)
Шаг 2. Решение в комплексной области. Чтобы решить уравнение
(5-4-6) относительно X(s), найдем обратную матрицу W (s) и запишем ре-
шение в виде
X(s) - W1 (s) [F (s) + F (s, 0 +)] = [F (s) + F (s, 0 +)], (5-4-7)
где Dt (s) — квадратная матрица, элементы которой являются алгебраиче-
скими дополнениями элементов W (s);
D (s) — многочлен от s, представляющий собой определитель матри-
цы W(s).
Многочлен D(s) называется характеристическим уравнением.
Шаг 3 Вычисление корней характеристического уравнения. Чтобы
перейти к обратному преобразованию, необходимо найти корни D(s)
и выразить этот многочлен в виде произведения сомножителей
D{s) =k(s—s}) (s—s2) ••• (s—Sn),
где S], s2, — корни D(s); k — коэффициент при высшей степени s.
Так как коэффициенты О($)—вещественные числа, то любые
комплексные корни должны образовывать сопряженные пары. До вы-
полнения обратного преобразования можно сказать, что 1) комплекс-
ные корни с отрицательными действительными частями соответствуют
88
затухающим колебаниям, 2) отрицательные действительные корни соот-
ветствуют протеканию переходного процесса по экспоненциальному
закону, 3) мнимые корни соответствуют незатухающим колебаниям и
4) корни с положительными действительными частями отвечают усло-
виям неустойчивости.
Шаг 4. Разложение на элементарные дроби. Вид разложения на
элементарные дроби зависит от вида рациональных функций в F (s).
Для того чтобы продолжить рассмотрение методов, основанных на
преобразовании Лапласа, нужно знать вид этих функций.
Существует несколько видов задающих функций, используемых при
расчете характеристик систем. Два из этих видов используются наибо-
лее часто:
1. Ступенчатые функции
О /<0,
Xi t>0.
(5-4-8)
2. Синусоидальные функции
(t) =Xi cos со/ при (>0. (5-4-9)
Рассмотрим теперь общий вид решения для каждого из этих двух видов
функций.
5-5. Реакция на ступенчатые задающие функции
Если все задающие функции системы являются ступенчатыми
функциями, то матрицу-столбец F(s) в (5-4-7) можно записать в виде
F(s) = Fy при (5-5-1)
где F — матрица-столбец, состоящая из известных постоянных.
Уравнение (5-4-7) теперь можно записать в виде
X(s\ ^Ms) Г F _l .F(c O-Li] (5-5-21
k(s— S1)(S—S2). .. (s—sn) [s 1
Различные корни. Если корни sz различны, то разложе-
ние на элементарные дроби имеет вид:
х(«)=-^-4——+---+Н4- (5-5-3)
V ' S — Si 1 s—s2 1 1 s—sn
где Xk — матрица-столбец, полученная из (5-5-2):
Xh = - lim X (s) (s — sh) (5-5-4)

и Xs — матрица-столбец, определяемая выражениями:
Xs = V™ХS = fe(0 —s,)(0 —L)... (0 —s„) = WT F; (5'5’5)
Xs = W~l(0)F. (5-5-6)
Решение во времени, полученное при помощи обратного преобра-
зования каждой системы рациональных функций в уравнении (5-5-3),
имеет вид:
X (0 = XteSii 4- XzeSit +... 4- Хпе^ + Xs.
(5-5-7)
89
По определению последняя матрица-столбец в (5-5-7) является
частным решением. Оставшиеся члены называются характеристическим
решением. Если все корни slf s2, sn, вещественные или комплексные
с отрицательными вещественными частями, то характеристическое
решение с увеличением времени стремится к нулю и называется пере-
ходным решением В этом специальном случае частное решение назы-
вается установившимся решением. В случае, если любая пара корней
имеет нулевые вещественные части, то понятия переходного и устано-
вившегося решений неприменимы. В случае комплексных корней экспо-
ненты во временном решении попарно образуют временные синусо-
идальные функции — затухающие или незатухающие.
Из уравнения (5-5-6) видно, что частное решение получается путем
подстановки s = 0 в W~’(s) и умножения на величины ступенчатых
функций F. Следовательно, если требуется найти только установив-
шуюся составляющую решения, то не нужно вычислять корни характе-
ристического уравнения. Действительно, обратное преобразование W (0)
можно произвести после подстановки $ = 0; при этом достигается суще-
ственная экономия времени.
Кратные корни. Если два корня, скажем, первый и второй, одина-
ковы, то разложение на элементарные дроби имеет вид:
A.+'/y-b-H-v-s.-K'' (5-5-8)
Xi — liin (s — s,)° X (s),
где
X2 = lini A(s-S1)2X(s).
Все другие коэффициенты вычисляются так же как и раньше.
Временное решение, отвечающее уравнению (5-5-8), запишется как
X (t) = tXieSlt + X2eSlt 4- X3esj + - • + Xnes" + Xs. (5-5-9)
5-6. Реакция на синусоидальные задающие функции
Если все задающие функции являются синусоидальными временными
функциями одной частоты, то матрицу-столбец F (t) в (5-4-2) можно за-
писать как
(5-6-1)
90
где F —• матрица-столбец с комплексными коэффициентами, а элементы
F и F являются сопряженными комплексами. Отметим, что комплексные
числа в F содержат всю информацию о косинусоидальных функциях: их
модуль равен половине амплитуды, а угол равен фазовому углу косинусо-
идальной функции.
Изображение функции времени в (5-6-1) записывается как
F (s) = F —U—И F (5-6-2)
' 7 s — уса 1 s + у<1> '
и уравнения в комплексной области для системы, заданной уравнением
(5-4-7), имеют вид:
Юс)-- --------____________vz
ft(s-s1)(s-s,)...(s-s„) 74
X[F^+6^+F(s,0+)]. (&fr3)
Различные корни. Если все корни slt s2, ..., stl различны и не
равны /со, то разложение на элементарные дроби имеет вид-
ВД=+• • •+s-fk- <5-6-4)
о о £ о 0 2 « *> п & J Л Jw
Элементы в матрицах-столбцах получаются из (5-6-3) путем вычисления
следующих пределов:
Aft = lim(s — sk)X(s), 6=1,2, .... п;
Xs = lira (s - /со) X(s) = F=W 1 (/co) F; (5-6-5)
Xs = lira(s + /co) X(s) = F = W ~1 (- / co) F. (5-6-6)
В качестве упражнения читателю предлагается найти вид |решення для
случая, когда не все корни различны или когда Si=jt<) и s2=—/ы.
Отметим, что при решении любой частной задачи, необходимо
вычислять только одну матрицу-столбец Xs. Отметим также, что Xs не
зависит от начальных условий.
Обратное преобразование для системы рациональных функций
в (5-6-4) дает решение во времени:
X(t) = Х^+ Х^ + ... + Хпе+ Xseiat xse~iat. (5-6-7)
w
Как и в случае реакции на ступенчатую функцию, последние две
матрицы-столбца вместе с экспоненциальными членами называются
частным решением, а оставшиеся члены образуют характеристическое
решение. Как и прежде, если все корни характеристического уравнения
вещественные и комплексные с отрицательными вещественными
частями, то эти решения называются установившимся и переходным
решениями соответственно. Последнее решение с течением времени
стремится к нулю.
Очевидно, что если нас интересует только установившаяся состав-
ляющая решения, то нужно вычислить лишь одну матрицу-столбец
91
в (5-6-7), а именно Xs. Из уравнения (5-6-5) следует, что нет нужды
определять корни характеристического уравнения, т. е. исключается
задача отыскания корней многочлена.
Из уравнения (5-6 5) следует, что численные значения комплексных
коэффициентов в Xs получаются умножением справа обратного пре-
образования для матрицы коэффициентов W (s) после подстановки
s = /it> на комплексные коэффициенты F. Последние представляют собою
комплексные числа, изображающие модуль и фазовый угол синусо-
идальных задающих функций в F (t).
5-7. Понятия о комплексном полном сопротивлении и полной
проводимости
Только что приведенные соотношения имеют большое значение.
Они дают быстрый и удобный метод нахождения установившейся со-
ставляющей решения для физических систем, на которые воздействуют
возмущения, являющиеся синусоидальными функциями. Метод является
весьма полезным при проектировании систем и сравнении их свойств.
Два последних типа в (5-6-7) образуют матрицу-столбец синусо-
идальных функций:
Xs(t)=Xse
М i Л ~iwt
-]-Xae
X.e16'
X2eiB’
Хпе1вп
X.e461
X2e~l6>
Xne^
X' cos (wt e.)
Xz COS (wt + 62)
Xn cos (wt 0n)
(5-7-1)
Мы видим, что вся необходимая информация известна, если опреде-
лены комплексные коэффициенты в Xs. Эти комплексные числа, назы-
ваемые комплексными амплитудами (phasors), содержат всю информа-
цию о модуле и фазовом угле установившегося решения для системы
с синусоидальными задающими функциями. Следовательно, при опреде-
лении установившегося режима для задающей функции этого типа ре-
шение считается «полным», если вычислены комплексные коэффициенты
при экспоненциальных членах в косинусоидальной функции. Из уравне-
ния (5-6-5) следует, что комплексные коэффициенты в показательной
форме для реакции на синусоидальное воздействие связаны с комплекс-
ными коэффициентами в показательной форме для задающих функций
посредством изображения матрицы коэффициентов при s=/w:
Xs=W~1(jw)F (5-7-2)
или
W(jw)Xs = F. (5-7-3)
Уравнение (5-7-3) называют уравнением комплексной полной проводи-
мости системы. Отметим, что матрица коэффициентов в (5-7-3) точно
равна матрице коэффициентов в (5-4-1), рассматриваемой во времен-
ной области, причем каждая производная заменена на /со, а каждая вто-
92
рая производная — на (/<о)2=—ы2. Если в системе уравнений использу-
ются смешанные интегро-дифференциальные уравнения, то каждый
временной интеграл заменяется на 1//<о.
Если уравнения системы записаны через последовательные перемен-
ные хорд, то комплексная форма полюсных переменных имеет вид-
Z(jW)Vs-=F,
где Z(j<o) — комплексное полное сопротивление системы.
Хотя понятия комплексного полного сопротивления и полной прово-
димости были развиты в теории электрических цепей, они не теряют
своего значения при анализе других типов физических систем.
Прям ер 5-7-1. Чтобы продемонстрировать приложение общих результатов, по-
лученных в этом параграфе, рассмотрим механическую систему на рис. 4-6-1. Требует-
ся определить установившееся рассогласование между входным положением '(конец
вала о) и выходным положением (конец вала /) при холостом ходе [Т7 (0=0], если
(внешнее воздействие изменяется во времени синусоидально
фг(0=Ф1 cos
Коэффициенты уравнений компонент 'имеют следующие численные значения:
Л'2=К4=50 кг • м/рад\ BS=BE=O 05 кг-м- сек/рад;
Кз=25 кг-м/рад\ Ms=Me=B,1 кг- м- сек2/рад.
Пусть <pi'(f) запишется .в виде
¥. (f) = 4^+4 е-/3'=Ф2,-^ + -4 e~'3t.
Используя уравнения системы (4-6-6) и результаты настоящего параграфа, установив-
шееся решение можно записать как
¥2(0 Фг Фг
¥з (0 — 2 Фз ^+-4 * Фз е~,3/.
¥4(0 Ф4 «• ф<
Матрицы коэффициентов, образующие комплексные коэффициенты для косинусои-
дальной функции, записанной в показательной форме, получены простой заменой
d d2
-“2-
С другой стороны, можно считать, что мы угадали вид решения для задающей
, ... ¥' /ш/
функции 2~е‘ , и что это решение имеет вид:
<fn (0 1
¥з(О 1 ¥з е'ш‘
t*(t) ¥4
Подставив это решение в дифференциальные уравнения, мы получим уже известные
результаты.
Используя уравнения комплексного полного сопротивления для установившегося
решения, полученное из (4-6-6), и численные значения, заданные в условии задачи,
имеем:
49,1 4-/0,3 -0,9 4-/0.15 0
— 0,9 4-/0,15 24,7 4-/0,15 0
0 0 50
?2
¥з
¥4
— 1,8 4-/0,3
— 0,94-/0,15
0
Ф1
2 •
£
2
93
Решение относительно независимых переменных получают путем умножения обеих
частей на обратную матрицу коэффициентов:
¥2
Уз
¥4
37. le--’’."1 + 0, G85e _з<>,342
1,37е-з,.34« + 36,8в"
О
Ф.Х10"3 = —
37,1 —/6.5
37,6 —/6.7
О
ф1ХЮ"3 =
0,0377й“'9’95°
0,0382е^/10'’“
О
Ф>.
Из полученных выше результатов видно, что скручивания валов являются сину-
соидальными функциями времени, причем скручивание каждого отрезка вала составляет
около 3,8'/о от максимального значения входной величины. Эта максимальная ошибка
10° 1
отстает по фазе приблизительно на /ggs—jg" периода от максимального значения
входной величины. Таким образом, вся информация об изменении во времени fi(t),
y3(t) в неявном виде содержится в этих комплексных числах. При желании выразить
функцию в явном виде можно записать:
¥г (О
¥з(<)
¥4(^)
0.0377Ф1 cos (3t — 9,9°)
0.0382Ф! cos (3Z —10,1°)
О
Используя полученные результаты, выходное положение (положение конца вала /)
можно определить путем простого сложения. Из графа на рис. 4-6-1 мы имеем:
¥з(0 = ¥* (О + ¥»(О+ ¥з(0 + ¥4(0
или через комплексные числа, изображающие модуль и фазовой угол каждой синусои-
дальной функции времени:
ф7 = ф, + ф2 + ф3 + ф4 = (1 — (0,0371 — /0,0065) — (0,0376 — /0,0067) +
_|_ 0] Ф, = [ 1 — (0,0747 — /0,0132)] Ф! = (0,9253 + /0,0132) Ф, = 0,925e/0-82°®j.
Мы видим, что модуль внешнего воздействия ослабляется приблизительно на 7,4%
от входа к выходу и смещается во времени на угол 0,82°. Отношение
^=0,925?°-82°
Ф1
называется комплексной передаточной функцией холостого хода (complex no-load
transfer function) системы. Понятно, конечно, что эта передаточная функция имеет
смысл только для синусоидального изменения во времени с данной частотой.
В качестве упражнения предлагаем 'читателю на основе полученных выше резуль-
татов вычислить комплексное число, представляющее собой входную комплексную про-
водимость, Л/Ф1-
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОПОЛЮСНИКОВ
Аналитические методы решения, рассмотренные в предыдущей гла-
ве, или любые методы решения, использующие вычислительные машины,
непосредственно применимы для исследования дифференциальных урав-
нений любой системы с линейными компонентами независимо от ее
сложности. По существу любые дополнительные трудности, возникаю-
щие при анализе более сложных систем, связаны с выводом уравнений.
Эта и следующая глава полностью посвящены рассмотрению методов,
94
которые позволяют получить математические характеристики любой
системы, если ее компоненты имеют конечное число зажимов и харак-
теризуются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вначале
мы покажем, как характеристики многополюсников представляются ма-
тематически, как они измеряются, и, наконец, как можно их получить.
6-1. Общие понятия
Компонента физической системы была определена как ее любая
часть (блок), имеющая, по крайней мере, два зажима Название ком-
понента подразумевает, что соотношения между полюсными измере-
ниями не зависят от системы, в которую входит компонента. Многие
компоненты, например электронные триоды, транзисторы, трансформа-
торы, редукторы и рычаги, имеют более двух зажимов. Все компоненты,
которые предназначены для связи между электрической и механической
системами, называются электромеханическими преобразователями. Они
должны иметь, по крайней мере, одну пару электрических и одну пару
механических зажимов. Аналогичное утверждение справедливо для дру-
гих типов преобразователей — электротермических, электрогидравличе-
ских и др. Следовательно, любое математическое описание систем, со-
держащих эти многополюсники, должно основываться на целесообраз-
ном и полном математическом описании полюсных характеристик
неприводимых многополюсников.
Второй тип многополюсников встречается при изучении больших,
сложных систем, для которых целесообразно, если не необходимо, рас-
сматривать такие блоки как электрические или механические усилители,
корректирующие цепи, фильтры и вращающиеся машины, в качестве
«законченных узлов» с двумя, тремя, четырьмя, пятью и более зажи-
мами. Если бы каждый такой законченный узел изображался сложной
совокупностью двухполюсных (или многополюсных) компонент, содер-
жащихся в нем, и вывод характеристик системы основывался бы на
этом громадном количестве деталей, то количество уравнений препят-
ствовало бы анализу даже относительно простых управляющих систем.
Единственный практический метод состоит в том, что сначала получают
системы полюсных характеристик для тех зажимов каждого закончен-
ного узла или блока, которые используются для соединения его
с остальными блоками системы.
Наметив общие задачи, приступим теперь к их более детальному
рассмотрению. Первый вопрос, требующий ответа, — что составляет
полное математическое описание полюсных характеристик многополюс-
ника, т. е какое количество переменных или измерений и уравнений
требуется для математического описания характеристик.
6-2. Полюсные характеристики многополюсников
V
В качестве примера рассмотрим механический или электрический
четырехполюсник, например редуктор или фильтр на рис. 6-2-1,а.
При измерении полюсных характеристик редуктора можно, например,
измерить вращение каждого вала относительно корпуса и (или) вра-
щение одного вала относительно другого. В общем случае, когда для
представления параллельных измерений на зажимах четырехполюсника
используются ориентированные отрезки линий, получается схема, пока-
занная на рис. 6-2-1,а.
Для электромеханической компоненты электрические измерения
производятся на одной системе зажимов, а механические измерения —
на другой, причем все зажимы принадлежат одной и той же компоненте.
95
Для такой компоненты отрезки линий, используемые для обозначения
всех возможных параллельных измерений, образуют граф, состоящий
из двух частей. Такой граф изображен на рис. 6-2-2. Рассматриваемая
компонента является асинхронной машиной с редуктором на одном
конце и с выходом вала на другом. Не следует производить измерения
на паре зажимов, образованной одним электрическим и одним механи-
ческим зажимом.
Из постулата для контуров очевидно, что не все параллельные
измерения, определяемые графами на рис. 6-2-1,6 и 6-2-2,б, необходимы
для нахождения полюсных характеристик компоненты, т. е. в соответ-
а — типичные четырехполюсные компоненты; б — граф, опре-
деляющий параллельные измерения.
ствии с (3-7-2) все параллельные измерения изображают линейные ком-
бинации измерений, определяемых деревом графа, которое показано
темными линиями. Это дерево или система деревьев (лес) называется
параллельным полюсным графом (across terminal graph) компоненты.
Для нахождения полюсных характеристик и-полюсной компоненты
нужна также подходящая система последовательных измерений. Пусть
требуется найти характеристики электрического четырехполюсника.
Рис. 6-2-2. Типичная шестиполюсная электромеханиче-
ская составляющая.
а — трехфазная асинхронная машина; б — электрические измере-
ния; в — мехаинческне измерения.
Чтобы определить три переменных напряжения для дерева, изображен-
ного на рис. 6-2-1,6 темными линиями, подсоединим источники напря-
жения к трем парам зажимов в соответствии с рис. 6-2-3,а. Четырех-
полюсник помещается как бы в «испытательную систему». Для каждого
источника напряжения может быть осуществлено одно измерение тока.
Эти измерения тока производятся при помощи амперметров, включае-
мых последовательно с каждььм источником напряжения. Отрезки ли-
ний 4, 5 и 6 на рис. 6-2-3,б определяют последовательные измерения на
зажимах четырехполюсника и называются последовательным полюсным
графом (through terminal graph).
В случае механических компонент тензодатчик или аналогичный
измеритель силы включается последовательно с механической связью,
используемой для перемещения механических зажимов. Для гидравли-
ческих систем измеритель потока целесообразно включать последова-
тельно с насосом, связанным с зажимами.
96
Теперь ясно, что мы имеем один граф, называемый параллельным
полюсным графом, для определения параллельных измерений и второй
граф, называемый последовательным полюсным графом, для опреде-
ления последовательных измерений. Однако так же как и в случае
двухполюсников, при полюсном представлении компоненты для про-
стоты используется только один граф.
Как параллельный, так и последовательный полюсные графы явля-
ются деревьями. Следовательно, один полюсный граф образует полюс-
Рис. 6-2-3. Измерения для типичного четырехполюсника.
а — схема; в — объединение последовательного и параллельного полюсных
графов; в — полюсный граф.
ную систему хорд (см., например, рис. 6-2-3,б), если другой рассмат-
ривается как дерево, и наоборот.
Из этого следует, что система последовательных переменных для
параллельного полюсного графа всегда может быть вычислена по ре-
зультатам измерений, определяемых последовательным полюсным гра-
фом, и наоборот. Аналогичное утверждение справедливо для парал-
лельных переменных. Таким образом, любой граф будет содержать всю
существенную информацию.
Например, на рис. 6-2-3,б переменные тока для параллельного по-
люсного графа вычисляются по измерениям токов, определяемым после-
довательным полюсным графом, при помощи соотношения
l'l 1 * * * * * * В4
i2 = ts
Ч Al
Эти простые соотношения всегда справедливы, если последова-
тельный и параллельный полюсные графы тождественны. Следователь-
но, полюсный граф на рис. 6-2-3,в используется для обозначения после-
довательных и параллельных измерений, определяемых графом,
и соответствующей схемы.
В общем случае полюсный граф содержит последовательный по-
люсный граф точно такой же конфигурации, но с противоположной
ориентацией. Ниже мы покажем это на примере (рис. 6 2-4).
В табл. 6-2-1 приведены полюсные графы типичных неприводимых
многополюсников и их уравнения в виде, часто употребляемом для
изображения характеристик компонент. Под неприводимой компонентой
понимают такую компоненту, которая не может быть разложена на
компоненты с меньшим числом зажимов без изменения ее свойств. Это
не означает, конечно, что численные значения коэффициентов полюсных
уравнений не могут быть получены на основе геометрической конфигу-
рации устройства, материала, термической обработки и других струк-
турных деталей. Действительно, задача проектировщика компоненты
именно и заключается в том, чтобы найти связь этих коэффициентов
с разрабатываемой конструкцией. Например, четыре коэффициента для
7—1738
97
Типичные неприводимые многополюсники
Таблица 6-2-1
Схема и наименование
компоненты
Типичные характеристики компонент
Полюсный граф Полюсное уравнение
Активные компоненты
Пассивные компоненты
Автотрансформатор
с сердечником
П12
О
«2
в,2—
98
П родолжение табл. 6-2-1
Схема и наименование ___________________Типичные характеристики компонент
компонен ты ~ ~ Г
Полюсный граф | Полюсное уравнение
Схема й наименование
компонент
п12 = г в радианах
W////M.9
Блок
Гидравлический
резервуар
7*
99
Продолжение табл. 6-2-1
Схема и наименование
компоненты
Полюсный граф
Типичные характеристики компонент
Полюсное уравнение
Потенциометр
Пневматическая
мембрана
рычага имеют очень простую связь с его геометрической длиной. Ана-
логично два члена в уравнениях для автотрансформатора равны отноше-
нию витков. Можно показать, что индуктивность такого же устрой-
ства пропорциональна .
Хотя эти соотношения интересны и важны, они не являются пред-
метом изучения при анализе систем. jMh будем рассматривать характе-
ристики неприводимой компоненты в качестве исходных. В следующем
Рис. 6-2-4. Измерения, определяемые полюсным графом.
а — полюсный граф; б — объединение последовательного и парал-
лельного полюсных графов.
параграфе излагаются систематические методы получения численных
значений коэффициентов уравнений. Однако следует сразу же подчерк-
нуть, что математическое представление характеристик, используемое
в табл. 6-2-1, не единственное, так как, во-первых, во многих случаях
уравнения могут быть записаны в другой форме и, во-вторых, может
быть использован какой-либо другой полюсный граф
100
6-3. Другие представления полюсных характеристик
Другие формы полюсных уравнений. Если в выражении полюсных
характеристик электронной лампы заменить второе полюсное уравнение
на обратное, то получим:

О О
ёт ёр
ие
Up
(6-3-1)
где
ёр Rp’
ь??г — п
t\p
При кодировании полюсного графа в соответствии с видом урав-
нений получается схема, показанная на рис. 6-3-1,о и называемая экви-
валентной по Тевенину. Если тот же самый полюсный граф кодируется
в соответствии с уравнением (6-3-1),
Рис. 6-3-1. Схемы замещения триста.
то полученная в результате схема
(рис. 6-3-1,6) называется эквивалент-
ной по Нортону. Мы привели здесь эти
кодированные графы, чтобы показать
связь между рассматриваемым типом
представления и другими, часто ис-
пользуемыми представлениями. Оче-
видно, при наличии различных форм
полюсных уравнений, приведенных
в табл. 6-2-1, использование кодиро-
ванной системы, разработанной для
представления информации, которая содержится в уравнениях, почти
не дает преимуществ.
Так как определитель матрицы коэффициентов для электронной
лампы равен нулю, то полюсные уравнения для выбранного графа мож-
но представить только в двух возможных формах. В противоположность
этому для транзистора определитель матрицы
коэффициентов не равен нулю и имеется не-
сколько других форм записи полюсных урав-
нений.
В общем случае форма записи полюсных
уравнений не определяется всецело вопросами
удобства. Использование некоторых форм позво-
ляет получить более высокую степень точности
при измерении коэффициентов, а также и при
анализе системы. Например, численные значения
4 О ппиг
Рис. 6-3-2. Последова-
тельная схема замещения
трансформатора.
коэффициентов, стоящих в первой строке и первом столбце, в полюсных
уравнениях для автотрансформатора и зубчатой передачи в табл. 6-2-1
часто настолько малы, что ими можно пренебречь. В таких случаях
нецелесообразно преобразовывать первое уравнение, чтобы представить
оба тока в виде функций от напряжений или оба перемещения в виде
функций от моментов.
Чтобы показать связь форм уравнений, приведенных здесь, с дру-
гими часто используемыми формами, отметим, что уравнения для авто-
трансформатора такие же как и для эквивалентной схемы трансформа-
тора на рис. 6-3-2. Коэффициенты и Li иногда называют полным
эквивалентным сопротивлением и индуктивностью рассеяния соответст-
венно.
101
Схема на рис. 6-3-2 иногда используется как эквивалентная схема
двухобмоточного (четырехполюсного) трансформатора с сердечником,
показанного на рис. 6-3-3,с. Полюсный граф изображен на рис. 6-3-3,б,
а соответствующие полюсные уравнения имеют вид:
О
О
/гг.
О
О
О
Л
«2
«3
Отметим, что Гз=0 и что u3(t) не связано произвольным образом
с любой другой переменной, и наоборот. Переменные u3(t) и i3(t) обыч-
но не рассматриваются. Следовательно, эти переменные и линию, опре-
Рис. 6-3-3. Двухобмоточный
трансформатор.
а — схема; б — полюсный граф.
Рис. 6-3-4. Приближенная схе-
ма замещения двухобмоточною
трансформатора.
деляющую пару зажимов, к которым они относятся, можно исключить
из полюсного представления, оставив для изображения двухобмоточ-
ного трансформатора только два «связанных» элемента.
Представление, изображенное на рис. 6-3-3 (даже если элемент 3
исключен), позволяет рассматривать эту компоненту как часть любой
системы, включая такие, например, когда резистивные элементы соеди-
няют зажимы а — Ь и с — с'. Однако эти компоненты нельзя ввести
в эквивалентную схему на рис. 6-3-2. Действительно, если бы это имело
место, то один резистивный элемент оказался бы закороченным. Таким
образом, эквивалентная схема является только двухвходным представ-
лением (two-port representation), а не действительным четырехполюс-
ным представлением устройства.
Полюсное уравнение для трансформатора показывает также, что
токи связаны через отношение чисел витков, т. е. что сумма н. с. исче-
зающе мала. Обычно это не соответствует действительности п сумму
н. с. нужно учитывать в полюсных характеристиках. В этом случае
уравнения в комплексной области изображают линейное приближение
в виде (все начальные условия нулевые)
м,(з) 1 1 (с\ = ^12 1 «1(«) (6-3-2)
1 1г\$) *^12 /?2 ^25 W2\d/
или для установившихся значений
и ««12
1 = Д 1 ~'П'1г /?2+/<0Й2 о. (6-3-3)
Эти уравнения часто представляют в виде эквивалентной схемы, изо-
браженной на рис. 6-3-4. Составляющая тока
102
г П
т Ri + fab?
называется намагничивающим током. Как и прежде, эта эквивалентная
схема является только двухвходным представлением полюсных урав-
нений.
Другие полюсные графы. Практика показала, что полюсные изме-
рения, определяемые графами в табл. 6-2-1, вообще говоря, наиболее
выгодно использовать для этих компонент. Из этого, конечно, не сле-
Рнс. 6-3-5. Другое полюсное
представление триода.
дует, что нельзя использовать другие пере-
менные, которые могут оказаться более
подходящими в некоторых случаях. Напри-
мер, характеристики транзисторов часто
получают из измерений, при которых база
используется в качестве общего зажима.
В этом случае полюсный граф имеет эле-
менты между b—е и Ь—с.
В следующем параграфе будет пока-
зано, что, имея полюсные уравнения для
какого-либо конкретного полюсного графа, можно вывести уравнения
для любого другого графа. На рис. 6-3-5 приведены подобные резуль-
таты для электронного триода. Эти уравнения имеют ту же форму,
чю и уравнения в табл. 6-2-1 и уравнение (6-3-1). Изменились лишь
величины коэффициентов
0 0 И,
= р. Rp
1 + Р- 1 + Iх l2
11 -— 0 0 «1
gp Ч- gm gm 4-^2
6-4. Получение полюсных характеристик из результатов лабораторных
измерений
Полюсные уравнения представляют собой не что иное, как систему
уравнений, описывающих соотношение между совокупностями измере-
ний для компоненты, исследуемой в лаборатории. Количество измерений
и конкретные особенности, относящиеся к этим измерениям, уже были
рассмотрены. Остается найти связь между математическим уравнением
или уравнениями и системой кри-
вых, полученных в результате лабо-
раторных исследований. В общем
случае эта задача очень трудна,
если не известна форма полюсных
уравнений. Даже если она известна,
задача остается сложной, и часто
можно рассчитывать лишь на уста-
новление соотношения в ограничен-
ном диапазоне амплитуд и частот
Мы покажем, что если полюс-
Рис. 6-4-1. Измерения для вывода полюс-
ных уравнений автотрансформатора из
табл 6-2-1.
а — схема системы; б — граф системы
ные характеристики компоненты
можно считать линейными пли если допускается линейная аппроксима-
ция для малых сигналов, то их характеристики можно получить, рас-
сматривая одновременно только два измерения. В качестве примера
103
рассмотрим задачу измерения численных значений коэффициентов по-
люсных уравнений для автотрансформатора, приведенного в табл. 6-2-1.
Чтобы снять характеристики, соединим источники напряжения в соот-
ветствии со схемой на рис. 6-4-1,а. Если каждый источник напряжения
рассматривать как двухполюсную компоненту, то граф системы будет
иметь вид, изображенный на рис. 6-4-1,6. Измерения токов определя-
ются элементами 3 и 4. Измеряемые переменные связаны с переменны-
ми, используемыми в полюсном графе, при помощи соотношения
Ч —______ Ч
г2 Ч
(6-4-1)
и коэффициенты полюсных уравнений связаны
ниями и токами «
с измеряемыми напряже-
(6-4-2)
Если предположить, что полюсные уравнения линейны в окрестно-
сти значений «2=0 и Z3 = 0, то элементы первого столбца матрицы коэф-
фициентов удобно определять при условии, что «2=0, т. е., замыкая на-
коротко зажимы Ь и с через амперметр. При этом
(6-4-3)
и мы видим, что каждый элемент в первом столбце получается из соот-
ношения между двумя измерениями. Все методы и приближения, ис-
пользуемые для нахождения полюсных характеристик двухполюсных
компонент, применимы для каждой пары, измерений напряжения и тока.
По очевидным причинам этот опыт называется опытом короткого замы-
кания, а коэффициенты 7?i и Li — сопротивлением и индуктивностью ко-
роткого замыкания. Эти коэффициенты называют также эквивалентным
сопротивлением и индуктивностью рассеяния. Известно, что для сердеч-
ника с высокой магнитной проницаемостью коэффициент /zi2 фактически
равен отношению чисел витков.
Значения элементов во втором столбце получают при г3=0. Источ-
ник напряжения отключают от зажимов а — с и записывают соотноше-
ние между «] и «2, а также между и «2. Во многих случаях й не зави-
сит от «2 и равен нулю, что соответствует равенству нулю элемента (2,2)
матрицы. В других случаях эти две переменные связаны уравнением
которое приводит к уравнению (6-3-2) в комплексной области.
Мы видим, что независимо от методов, применяемых для записи
системы уравнений, соответствующих измеренным характеристикам, по-
люсные уравнения получают столбец за столбцом, устанавливая такие
начальные условия, чтобы все независимые переменные, кроме одной,
равнялись нулю. Для ненулевых рабочих точек независимые перемен-
ные поддерживаются равными их значениям в рабочей точке. Напри-
104
мер, при снятии характеристик электронного триода для малых сигна-
лов рабочую точку устанавливают, включая последовательно с пере-
менным сигналом постоянное напряжение, как показано на рис. 6-4-2.
Первый столбец матрицы коэффициентов в уравнениях в табл. 6-2-1
для электронного триода получают путем измерения г3 и ир в функции
от ug при фиксированных значениях анодного тока. Переменная i( изо-
бражает изменение анодного тока и, конечно, равна нулю. Аналогично
второй столбец получают путем измерения г3 и ир в функции от i4 при
фиксированных значениях напряжения сеточного смешения. Эти про-
стые опыты позволяют получить две кривые, из которых определяются
коэффициенты в данной рабочей точке. Для более широкого применения
семейство этих кривых строится в интересующем диапазоне напряжений
смещения.
Изложенная выше методика заполнения матрицы коэффициентов
по столбцам является также весьма полезной при определении формы
Рис. 6-4-2. Измерения для вывода по-
люсных уравнений триода из
табл. 6-2-1
Рис. 6-4-3. Измерения для вывода полюс-
ных уравнений резервуара из табл. 6-2-1
полюсного уравнения. Например, первый столбец в полюсных уравне-
ниях для рычага в табл. 6-2-1 находят, полагая, что /2=/з==0, т. е. что
точки b и с могут двигаться свободно. При этих условиях задача сво-
дится к известной задаче о динамике движения твердого тела, и fi
пропорциональна ускорению крайней точки рычага. Кроме того, если
нельзя пренебречь демпфированием рычага, то появляется член, про-
порциональный скорости. При этих же условиях параллельный перенос
точек b и с при малых перемещениях пропорционален произведению 6
на отношение плеч рычага.
Аналогично коэффициенты во втором и третьем столбцах получают
при условии, что точка а фиксирована (дг = 0). При этом движение то-
чек b и с пренебрежимо мало (б2=б3=0). С другой стороны, сила, тре-
буемая для удержания точки а в фиксированном положении, когда
к точке b приложена сила /г, равна: /1 = 1121/2-
Рассматривая изменения во времени только одной независимой
переменной, описание большинства механических, пневматических и ги-
дравлических компонент в табл. 6-2-1 сводя! к ряду привычных харак-
теристик.
В качестве последнего примера рассмотрим резервуар для жидко-
сти. Характеристические уравнения находят путем подсоединения к ре-
зервуару двух насосов в соответствии с рис. 6-4-3. Первый столбец эле-
ментов матрицы в уравнениях получают, измеряя давление источника р,
и разности давлений в баке р,2 в функции от потока источника
когда клапан 1Л закрыт (<74=<72=О) - Мы знаем, конечно, что
повышение уровня жидкости пропорционально объему потока q-з',
отсюда определяется коэффициент Кроме того, если впускная труба
имеет значительную длину и (или) малое поперечное сечение, то дав-
ление в баке при этих условиях прямо пропорционально скорости по-
105-
тока. Чтобы определить коэффициенты во втором столбце, закроем кла-
пан V2 и откроем V[. При этом второй насос просто перекачивает жид-
кость через бак без изменения уровня, и значения элементов во втором
столбце очевидны.
6-5. Классификация многополюсных компонент
Хотя понятия мощности и энергии компоненты не применяются
в рассматриваемых здесь методах анализа систем, они полезны при вы-
боре компонент для конкретных систем. На этих понятиях основана
также классификация компонент.
Определение 6-5-1. Пусть матрицы-столбцы X'(t) и Y'(t) изобра-
жают параллельные и последовательные переменные полюсного графа
компоненты. Мощность компоненты как функция времени определяется
через скалярное произведение
p(t) = X't(t)Y'(t)=Y't(t)X'(t)’
Матрицы-столбцы X’ (t) и Y' (t) иногда называются векторами, так как
они изображают упорядоченную последовательность вещественных функций;
отсюда наименование—скалярное произведение.
Определение 6-5-2. Пусть функции X' (t) и V (t) не зависят от
времени или являются периодическими функциями времени, в которых Т
изображает целое число периодов изменения временных функций. Средняя
мощность компоненты определяется из выражения
p = ^p(t)dt.
о
Для электронного триода в табл. 6-2-1
О О
—и Rp
/7(0 = ||wg «Р ||
Ч
иР
II11 е ^р II
Средняя мощность для синусоидальных
ния с амплитудами 1Р и Ug равна:
p= — v-
4g
ip
(6-5-1)
функций тока и напряже-
I рСе I Ip Bp
2'2'
Мы видим, что так как ц>0, то средняя мощность компоненты может
быть отрицательной. По этой причине первые две компоненты
в табл. 6-2-1 классифицируются разными авторами как активные ком-
поненты, усилители и источники энергии.
В противоположность рассмотренному выше примеру средняя мощ-
ность, подводимая к зубчатому редуктору, при постоянном моменте
и скорости
^=11?. ЛИ 51
—п1г О
или при синусоидальном
= — Л/г1г?1 + 'Рг/г1гЛ = ^1?; (6-5-2)
?i
Т
1 2
изменении с амплитудой Ф1 выражается как
„ 51
Р---о
106
В этом случае средняя мощность всегда либо равна нулю, либо поло-
жительная независимо от величины Такие компоненты соответствен-
но называются пассивными элементами, а средняя мощность рассмат-
ривается как полная подводимая мощность или мощность потерь.
6-6. Аналитические методы получения полюсных характеристик
Одним из наиболее важных достижений анализа систем являются
систематические методы получения характеристик компонент системы
и такого представления результатов, при котором система в свою оче-
редь может рассматриваться как одна из компонент еще большей си-
Рис. 6-6-1. Совокупность
электрических двухпо-
люсников.
а — полюсный граф к рис= 6-6-1; б — объ-
единение полюсного графа с элементами,
представляющими внешние измерения.
стемы. При такой методике анализ любой системы можно производить
при помощи последовательности хорошо спланированных, упорядочен-
ных шагов.
Теперь мы покажем, что формальные методы, рассмотренные
в гл. 4, непосредственно применимы в виде упорядоченной и система-
тической методики для вывода полюсных характеристик многополюс-
ных компонент. Мы начнем с рассмотрения примера.
Рис. 6-6-3. Граф
системы, показан-
ной на рис. 6-6-1
с элементами 4, 5
п 6, представляю-
щими внешние
измерения.
Пример 6-6-1. Электрическая цепь на рис. 6-6-1 долж-
на использоваться как четырехполюсная компонента системы.
Необходимо определить полюсные характеристики компоненты.
Для решения этой задачи мы найдем аналитический экви-
валент операциям, проводимым в лаборатории. Иными словами,
вместо измерений мы выведем уравнения, изображающие одну
систему полюсных измерений как функцию второй системы.
В частности, система полюсных напряжений будет использо-
ваться в соответствии с полюсным графом на рис. 6-6-2,а. То-
ковые переменные полюсного графа связаны с внешними изме-
рениями, определяемыми элементами 4, 5 и 6 на рис. 6-6-2,б,
очень простым уравнением
(6-6-1)
Требуемый результат получается путем простого ««приложения» напряжений к за-
жимам данной системы и расчета результирующих полярных токов. Граф -системы
вместе с элементами, определяемыми внешними измерениями, изображен -на рис. 6-6-3.
Система рассматривается как совокупность двухполюсных компонент, характеристики
которых даются уравнением
*7
is
1В
'10
(6-6-2)
или символически
4 = WUC.
(6-6-3)
107
Следуя формальной процедуре, описанной в гл. 4, мы находим is и *е как
функции от Ui, us и «б- Так как мы ищем токи как явные функции от напряжений,
то последние считаются заданными переменными <и в соответствии с этим входят в ка-
честве ветвей в дерево, изображенное «а рис. 6-6-3 темными линиями. Отметим, что
в этом -случае элементы, изображающие внешние измерения, образуют дерево графа
системы так как система и компонента -имеют одно и то же число вершин.
Уравнения отсечений для графа запишутся как:
*4
1 0 0|1 1 00
0 10 10 110
0 0 110 10 1
*8
h
*9
*10
(6-6-4)
или в символической форме:
Для уравнений контуров мы имеем:
и-л. / II
иь
ис
= 0.
(6-6-5)
(6-6-6)
Подставляя полюсные уравнения (6-6-3) в
Uс. через 1/ь из уравнения (6-6-6), получим:
уравнения отсечений (6-6-5) -и выражая
h = — A WAtUb
или в развернутом -виде
Si + gs Sb Sb
d
Sb Sb + Sa + c9 rff Sb
Sb Sb Sb+Su
u5 .
«8
(6-6-7)
Полюсные измерения связаны с переменными полюсного графа на
уравнением (6-6-1), следовательно, полюсные уравнения имеют вид:
рис. 6-6-2,а
*2
*8
Si + Sb Sa Sb
d
Se Sb + Sa + ca Sb
Sb Sb Se+Sa
Hi
«2
U3
(6 6-8)
Система уравнений ветвей (6-6-7) также может быть записана непосредственно
aia основе рассмотрения схем регулярности, приведенных в гл. 4. Этот -короткий путь
может с успехом -использоваться для систем, состоящих из двухполюсников.
Отметим, что полюсные уравнения для -рассмотренной выше -ко-мпо-ненты были
получены без использования обратных матриц. Это можно было предвидеть, так как
все переменные -напряжения в формальном дереве заданы, т. е. токи являются функ-
циями напряжений ветвей дерева.
Пример 6-6-2. Гидравлическая система, показанная -на р-ис. 6-6-5,а, должна
использоваться как трехполюсная компонента. Определить ее полюсные ха-рактер-и-
стики. Характеристики компонент устройства приведены на рис. 6-6-4 и .в уравнении
(6-6-9):
о
Pi
Pi
Ра
R1 0 0
0 R? 0
о О Rs
Si
S2
Sa
Pd
(6-6-9)
Мы -выведем полюсные уравнения для устройства -в той же форме, что и уравне-
ния компонент, и будем произвольно использовать полюсные переменные, определяе-
108
мые полюсным графом >на рис. 6-6-5,б. Внешние измерения выбраны в соответствии
с этим и показаны на рис. 6-6-5,в при помощи элементов 4 и 5. Так как результирую-
щие уравнения компонент изображают давление в виде явной функции от потока,
то элементы 4 н 5 включаются в систему хорд.
Приступая к решению, выведем уравнения хорд для графа из уравнений графа
и уравнений компонент или запишем их на основе рассмотрения устройства в следую-
щем виде
Ri + Rz + Rs Ri Rz
Ri R, 0
Rz 0 Rz
gs
gi
gi
Pd
0
0
0
Pt
Pt
= 0.
(6-6-10)
Требуемые полюсные характеристики -содержатся неявно в уравнении (6-6-10)
Чтобы получить внешние измерения давления как явную функцию от потока, нужно
Рис. 6-6-5.
а —схема, б — полюсный граф; в — граф системы с эле-
ментами, представляющими внешние измерения.
решить первое уравнение относительно g3. когда g4 n gs известны, и подставить это
решение в два последних уравнения. Таким образом из первого уравнения получим:
__ — lIRi Rail gt
Ri + Rz + Rs | g6
Pd
Ri + Rs + Rs’
(6-6-11)
Подстановка этого результата в
два последних уравнения дает:
= 0.
(6-6-12)
После перемножения матриц и группировки членов получим результат, выражен-
ный через переменные полюсного графа на рис. 6-6-5, б:

(Rz + Rs) — R1R2 I
I — R1R2 R2 (Ri 4~ Rs) I
Ri 4~ R2 + Rs

Ps
R1 + Re+R3’
(6-6-13)
Используя эти два примера как основу для обобщения, мы видим,
что процесс вывода полюсных представлений основан на подходящей
интерпретации методов анализа систем, рассмотренных в гл. 4. Мы про-
сто находим аналогию для вычисления последовательных переменных
для системы заданных параллельных переменных или наоборот.
В рассмотренном выше примере уравнения для системы, изобра-
жаемой графом, являются алгебраическими. В более общем случае со-
ответствующие уравнения являются дифференциальными уравнениями.
Следовательно, запись уравнений в явном виде для искомой перемен
ной, требуемая в качестве последнего шага при выводе, может быть
осуществлена после применения преобразования Лапласа. Предполо-
109
жим, например, что уравнения хорд для системы изображаются в сим-
волической форме как:
X'd2(t)
= 0,
(6-6-14)
0
где Лщ(0 и Xd2(t) матрицы-столбцы известных параллельных переменных
для устройства;
X'C2(t) и УС2 (t) — параллельные и последовательные внешние измерения-
Чтобы получить Х'С2 (0 как явную функцию от FC2 (/), выполним пре-
образование Лапласа и исключим УС1(/). Хотя учет ненулевых на-
чальных условий вполне возможен, полюсные представления сущест-
венно упрощаются, когда цсе начальные условия нулевые. Следует иметь
в виду, что в настоящей книге все полюсные представления в комплекс-
ной области подчиняются этому ограничению.
Метод исключения УС1 (s) из уравнения (6-6-14), записанного
в комплексной области, состоит в «триангуляции» матрицы коэффициен-
тов. Это достигается простым умножением слева уравнения (6-6-14) на
преобразованную матрицу

1 о
Z2I(s)Z-' (s) /
В результате получим:
Zu (s) Xl2(s)
0 Z22(s)-Z21(s)Z“'(s)Z12(s)
(6-6-15)
Kci(s)
Vc2(s)
X'dl(s)
X d2 (•$) Z21 (s)Z, J (s)Z da ($)
(6-6-16)
Если элемент (2,1) —нулевая матрица, то последняя система уравнений
не зависит от первой системы. Эта система уравнений изображает тре-
буемое соотношение между внешними измерениями.
6-7. Общие свойства полюсных представлений
Два примера, рассмотренные в § 6-6, первоначально предназнача-
лись для того, чтобы продемонстрировать методику вывода общего
n-полюсного представления. Заметив, что эта методика сводится к про-
стому приложению п—1 воздействий к соответствующим зажимам си-
стемы и решению полученных в результате уравнений, мы зададим теперь
вопрос: какие же выводы можно сделать на основании полученных ре-
зультатов, прежде чем приступать к детальному рассмотрению? Можно
ли всегда получить полюсные уравнения в любой форме? Если нет, то
как определить, какая форма возможна? На эти вопросы можно отве-
тить, воспользовавшись свойствами линейных графов и формальными
методами, полученными в гл. 4 для графа системы.
Чтобы облегчить общее рассмотрение, удобно ввести наименования
для часто употребляемых форм полюсных уравнений.
ПО
Определение 6-7-1. Если полюсные уравнения для «-полюсной
компоненты записаны в виде
Y' WX,
то элементы матрицы коэффициентов W называются параметрами ко-
роткого замыкания.
Определение 6-7-2. Если полюсные уравнения для «-полюсной
компоненты записаны в виде
X' = ZY,
то элементы матрицы коэффициентов Z называются параметрами холо-
стого хода.
Определение 6-7-3. Если полюсные уравнения для «-полюсной
компоненты записаны в виде
//п /712
^21 7/22
то элементы матрицы коэффициентов называются h-параметрами.
При выводе полюсных уравнений для компоненты через параметры
короткого замыкания элементы, изображающие внешние измерения,
включаются в дерево графа системы вместе с параллельными воздейст-
виями. Если такое дерево нельзя обнаружить в графе системы, то пред-
ставление через параметры короткого замыкания невозможно. Напри-
мер, полюсные характеристики механической системы, изображенной
на рис. 6-7-1, не могут быть выражены через параметры короткого за-
мыкания, так как элементы 7 и 8 (внешние измерения) и элемент 6 (воз-
мущение) не могут быть включены в одно и то же дерево. Однако, так
как оба эти элемента можно ввести в дополнение дерева, то характе-
рно. 6-7-1.
а — схема; б — граф системы с элементами, приставляющими внеш-
ние измерения; в — полюсный граф.
ристики могут быть выражены через параметры холостого хода. Анало-
гично, так как элементы 6 и 8 можно включить в дерево, причем эле-
мент 7 будет являться хордой, то полюсные характеристики можно
также представить через Л-параметры.
Критерий независимости уравнений, данный в теоремах 3-8-3
и 3-7-2, позволяет установить возможность вывода характеристики «-по-
люсной компоненты в конкретной форме. При этом независимые пере-
менные полюсных уравнений рассматриваются как заданные перемен-
ные графа системы.
111
Аналогично, если независимые переменные рассматриваются как за-
1анные функции, то формула для количества уравнений, приведенная
в гл. 4, помогает определить порядок операций, позволяющих предста-
вить эти переменные в явном виде.
6-8. Двухвходное представление
Общее рассмотрение полюсных представлений, их измерение и ана-
литический вывод, разбираемые в настоящей главе, применимы в общем
случае к компонентам с любым числом зажимов или пар зажимов,
включая двухвходные (с двумя парами зажимов) представления. Одна-
ко двухвходные представления так часто используются при анализе
Рис. 6-8-1. Применение четырех- Рис. 6-8-2. Двухвходное
полюсника в качестве двухвходной представление,
компоненты.
систем автоматического управления, что целесообразно дополнительно
рассмотреть некоторые особые свойства этих компонент. Начнем с того,
что покажем, как четырехполюсное представление может быть сведено
к двухвходному.
Предположим, например, что совокупность компонент, изображен-
ная на рис. 6-6-1, подсоединяется к другим компонентам так, что про-
изводятся соединения только между парами зажимов а — b и с — d (но
не между а — с, а — d, b — d или b — с). При таком ограничении типа
соединения граф системы, содержащей эту четырехполюсную компонен-
ту, имеет вид, изображенный на рис. 6-8-1.
Из уравнений отсечении, определяемых ветвью 2, следует, что
t2=0. Двухвходное представление, определяемое графом на рис. 6-8-2,
получим, полагая в уравнении (6-6-8) 12 = 0 и исключая второе уравне-
ние. В результате имеем:
где
ii(s)
io(s)
gi(s) gio(s)
goi(S) go(s)
Ui(s)
uo(s)
(6-8-1)
„ (gi+ga)(ga + c»s) + gig2 .
ёг g2 + g3 + C3s
g/o(s)= go,(s)=
62 ~Г 63Д~ c3$
(6-8-2)
(6-8-3)
rr ( \____(ёг + gr)(gs + C3S) + ёгёь
о О 1*7
(6-8-4)
Цепь, описываемая теми же узловыми уравнениями, что и полюс-
ные уравнения (6-8-1), показана на рис. 6-8-3. Подобная схема, назы-
ваемая П-образной, может быть всегда найдена для изображения па-
ры совместных уравнений в двухвходном представлении, которое преду-
ёг + ёз + cas
112
сматривает, что матрица коэффициентов симметрична относительно
главной диагонали.
Аналогично любая пара совместных уравнений в виде
Ui
ио
Zi Zio
Zoi Zo
(6-8-5)
где
Zoi — Zi0
может быть представлена схемой, имеющей такие же контурные урав-
нения. Такая схема изображена на рис. 6-8-5 и иногда называется
эквивалентной Т-образной схемой. Отметим, что графы как П- так и
Рис. 6-8-3. Схема замещения,
состоящая из двухполюсников,
для двухвходной компоненты,
представленной на рис. 6-8-2 и
уравнением (6-8-1).
а с
к <i
j t
и и
b d
Рис. 6-8-4.
Рис. 6-8-5. Схема замещения,
состоящая из двухполюсников,
для двухвходной компоненты,
представленной на рис. 6-8-4 и
уравнением (6-8-5).
Т-образных представлений отвечают эквиваленту из трех двухполюсни-
ков, в то время как полюсный граф на рис. 6 8 2 и 6-8-4 содержит
только два элемента, переменные которых связаны соотношениями
(6-8-1) и (6-8-5). Оба типа представления содержат одну и ту же ин-
формацию. Тип представления, используемого для двухвходных компо-
нент, зависит от метода получения уравнений системы, содержащей
компоненту. Если контурные и узловые уравнения могут быть записа-
ны из рассмотрения графа, то целесообразно использовать Т- или
П-образное представление, образованное сочетанием эквивалентных
двухполюсных компонент. С другой стороны, если применяются более
обоснованные формальные методы, то наиболее простым и удобным
является полюсное представление, изображенное на рис. 6-8-2 п
6-8-4. Эти методы и их применение в специальном случае для систем,
состоящих из двухвходных компонент, рассмотрены в следующей
главе.
Кроме определенных в предыдущем параграфе параметров холо-
стого хода, параметров короткого замыкания и ^параметров, сущест-
вуют еще так называемые каскадные параметры, которые полезно ис-
пользовать при изучении взаимосвязанных систем с двухвходными и
трехполюсными компонентами.
Определение 6-8-1. Если полюсные уравнения трехполюсной
или двухвходной компоненты записаны в виде ,
(6-8-6)
то элементы матрицы коэффициентов называются каскадными пара-
метрами.
Эти коэффициенты иногда изображаются матрицей
А В
С D
8—1738
ИЗ
Таблица 6-9-1
Типичные приводимые трехполюсники
(корректирующие цепи)
Характеристики компоненты
Схема компонент
Полюсный граф
Полюсное уравнение
1 —Z2(s) II
Z2 (s) Z, (s) Z2 (s) II11 Xi (s) 1
Z,(s) + Z2(s) ||po(s) |
C,s —R2C ,s
R2C,s R2(RtCts+l)
(Rj-j-Ri) C,s -|- 1
ifcai
Запаздывающая цепь
C2s —(Z?aC£s—|—1) I
/?aCgs+l /?! (7?aCgs+l) |
(^1+^2) Сг$+1
I “i (s) I
I *0 (s) I
Опережающая цепь
'4 (s) j
uo(s) I
Ч1®+1 —^2(г1Я + 1)
^1S+1) RiRz J|||a(.(s)||
(^1+^2) (^ss+l) || io (s)||
|h (s) I
la., (s) I
I Kl/CB(TxS+l) —^(-2,5-1-1)11
l_2CiC4s+l)__AJ_JI||ai(s) I
(K>+K2)(^s+1) |L(s)l
B, _ B,
K1 > ’2- +
fi2s(T,s+l) — (t,s+l)
Bi Ч~ в 2

114
и называются A-B-C-D-коэффициентами. В любом случае различие
между только что рассмотренной и любой из рассмотренных ранее
формами уравнений состоит в том, что последовательные и параллель-
ные переменные одной и той же пары зажимов оказываются по одну
и ту же сторону от знака равенства. Чтобы вывести уравнения в этой
форме для двухвходной компоненты, нужно просто заменить на обрат-
ное одно уравнение в уравнениях, записанных через параметры холо-
стого хода или короткого замыкания.
6-9. Типичные трехполюсные компоненты
Примеры типичных трехполюсных компонент, часто встречающих-
ся в системах автоматического управления, приведены в габл. 6-9-1.
Ниже будет показано, что эти компоненты можно применять для улуч-
шения качества замкнутых систем автоматического
управления. По этой причине они называются коррек- 1 __
тирующими цепями ’. /'* ’Г )
Элементы (2,1) матрицы коэффициентов изобра- Р р
жают выходное напряжение или перемещение в виде
функции от соответствующих входных переменных, ----------
если 10 или f0 равны нулю. По этой причине элемент Рис 6.9.i
(2,1) называется передаточной функцией холостого
хода (no-load transfer function). Большинство приме-
нений этих компонент в автоматических системах с обратной связью
таково, что передаточная функция содержит всю требуемую инфор-
мацию.
Примеры, приведенные в табл. 6-9-1, позволяют также показать,
как понятие о полюсном представлении можно эффективно использо-
вать для изучения свойств системы. Все характеристики, перечислен-
ные в этой таблице, были получены на основе первой строки таблицы.
Чтобы найти, например, полюсные характеристики механической! опе-
режающей цепи, положим, что
7 _ 1 7 _ 1
K1 + B1S 2^К2‘
Первая строка в табл. 6-9-1 получена из уравнений хорд для графа
системы на рис. 6-9-1. Полюсные уравнения имеют вид:
zz3(s)
u/s)
u-i(s) I Zj-|-Z2 Z2
и0(«) I Z2 Z2
ii(s)
Us)
(6-9-1)
Эти уравнения записаны через параметры холостого хода. Чтобы пред-
ставить характеристики через /z-параметры, записывают уравнение, об-
ратное первому, и получают результаты, приведенные в таблице.
Во многих приложениях задача получения полюсного представле-
ния сводится к такому же простому процессу, как и при использова-
нии характеристик, приведенных в табл. 6-9-1.
1 Наименования опережающая цепь и запаздывающая цепь, встречающиеся в таб-
лице, также станут понятными -из материала следующей главы.
8* 115
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ
ИЗ многополюсников
В предыдущих главах мы показали, как математически выража-
ются характеристики многополюсников и рассмотрели виды этих мате-
матических представлений. Теперь вернемся к методам получения
характеристик систем, которые образованы из таких многополюсников.
Мы начнем главу с систематических и в некоторой степени формаль-
ных общих методов. Они являются основой для менее формальных ме-
тодов, используемых для получения характеристик специальных типов
систем, которые представлены в последней части главы.
7-1. Уравнения ветвей для систем с многополюсниками
Если характеристики всех компонент системы могут быть пред-
ставлены через параметры короткого замыкания, то методы вывода
характеристических уравнений или получения полярного представле-
ния системы в виде n-полюсной компоненты аналогичны ранее рассмот-
ренным методам для систем, состоящих из двухполюсников. Однако
результирующие уравнения обычно не могут быть записаны из рассмот-
рения системы. Чтобы продемонстрировать методы вывода уравнений,
обратимся к следующему примеру.
Пример 7-1-1. Требуется получить тре.хполюсное представление электронного
усилителя, изображенного на рис. 7-1-1,а Поскольку это представление также позво-
Рпс. 7-1-2. Граф для си-
стемы на рис. 7-1-1 вме-
сте с элементами, пред-
ставляющими внешние
измерения.
ляет найти частотные характеристики усилителя, то нужно учесть емкости всех кон-
денсаторов, а также емкость сетка — анод. Полюсный граф, который будет использо-
ваться, приведен на рис. 7-1-1,6.
Граф системы вместе с его элементами, изображающими внешние измерения,
доказан на рис. 7-1-2, а полюсные характеристики компонент—в уравнении
13 ёг Ч- Сз$ ООО 0 «3
ч 0 C4s 0 0 0 «4
= о о g5 0 0 «5 (7-1-1)
0 0 0 Cps — Cps “e
h о 0 0 gm—CpsgP+CpS «7
Отметим, что все характеристики компонент представлены через параметры короткого
замыкания и что формальное дерево содержит две ветви, которые не изображают
внешних измерений. Следовательно, для вывода уравнений требуется найти матрицу,
обратную матрице коэффициентов второго порядка.
Единственная 'разница между этой системой и системой, содержащей двухполюс-
ники. состоит в том, что матрица коэффициентов для уравнений компонент является
116
в большинстве случаев недиагональной. Если зависимые переменные в полюсных урав-
нениях записаны в виде отдельного столбца, то в соответствии с практическими выво-
дами из метода, рассмотренного в § 4-6, уравнения отсечений для графа имеют вид:
Z*2
О
О
о
о
1
о
о
о
о
1
О 1 о
1 0 1
0—1 — 1
1 0 1
(7-1-2)
Независимые переменные в полюсных уравнениях компонент связаны с напряже-
ниями ветвей через транспонированную матрицу коэффициентов в уравнениях отсе-
чений:
«3 0 0 1 0 111
«4 0 0 0 1 u2
«3 0 1 0 1 «3
«6 1 0 —1 0
и. 0 1 —1 1
(7-1-3)
Характеристическое уравнение системы получается после подстановки уравнения
(7-1-3) в (7-1-1) и затем в (7-1-2). После перемножения мы получаем:
ii
is
О'
О
Cps —CpS 1 0 —CpS
gm' C pS g^-^-gpCps —(gm + gp) gs+gp+^ pS
gm gp Igp+gm+ga+CsS gp
gm C pS Sb+Sp+^PsI — (gm+gp) gp+g5+^-4S+^- Ps
.“А.
Из"
«4
(7-1-4)
'Отметим, что наличие членов, расположенных не на диагонали в (7-1-1), прн об-
разовании этого тройного .матричного произведения весьма затрудняет, а иногда и не
позволяет осуществить перемножение в один этап. Только этим вывод уравнений
ветвей для систем с многополюсниками отличается от методов, изложенных в § 4-6
для систем с двухполюсными компонентами. В практических случаях достаточно напи-
сать только уравнения отсечений (7-1-2); нет необходимости выражать уравнения
(7-1-3) в явном виде. Чтобы получить результирующее выражение (7-1-4), просто
умножают матрицу коэффициентов в уравнении (7-1-1) на матрицу коэффициентов
(7-1-2), а затем умножают этот результат на транспонированную матрицу коэффици-
ентов, выведенную для уравнения i(7-l-3).
Полюсные уравнения компоненты получаются из решения последних двух урав-
нений в (7-1-4) относительно и3 и и подстановки этого результата в первые два
уравнения. Чтобы показать типичную форму подобного решения, зададимся числен-
ными значениями параметров системы
gm = I0-3; £р=5Х IO-5; g5= 10~6; Ср = 10-п;
£з='Ю-3; Са=10-2 и С4=10-2.
'В этом случае уравнение (7-1-4):
*2
0
о
+10-4
Ю-’s —10-7s
0 —lO-’s
10—10--s 0,51+10-’s —10,5 0,51+10-’s
—10 —0,5 20,5+100s —0,5
10—10-’s 0,51+10-’s —10,5 0,51 + 100s
«г
Из
«4
(7-1-5)
и решение для и3 и и4 имеет вид:
Из
И4
—(0,l+103s) —50s
102(I + 10s—10-’s2) 5,2+51s+10-6s2
Ha
(7-1-6)
117
После подстановки этого решения в первые два уравнения (7-1-5) и приравнивания
внешних измерений полюсным переменным графа на рис. 7-1-1.<7 находят требуемые
полярные уравнения
II ii __ Й _ ®П (s) ®12 (s) I I и,
|l io 1г Wit (s) w22 (s) I I u0
где
s(95-f- 4 000s 4- 10‘s2)
w,,(s) = 10 ” 5j2+ 3 000s + 104s2 ’
s(5,2 — 2 050s— 104s2)
^12 (s)— 10-” 5 2 _p 3 000s -f- I04s2 ’
« 4 s (18 900 4~ I05s — I0-3s2).
Ш21 (s) = 10 4 5,2 4-3 000s 4-104s2 ’
zx ,„_,s(950 4- 3,4-10-4s4-10-’s2)
12,22 (s) — 10-4 5,24- 3 000s 4- 10’s2
Коэффициенты полученных полюсных уравнений представляют собой -отношения
многочленов от s. Это типичное полюсное представление характеристик составляющих
в комплексной области. Передаточная функция холостого хода для составляющей
получается подстановкой /о=О, после чего определяется отношение выходного напря-
жения ко входному
Ио _ K'2.(s)_ 189004- 10!s —10-’s2
ut W22 (s)~950 4-3,4 X 10-4s4- 10-3s2 ‘
Как мы у.видим в дальнейшем, для некоторых ограниченных ендов соединений
необходимо знать только передаточную функцию. Однако если усилитель может быть
произвольным образом включен в другую систему, то необходимо искать все четыре
многочлена в полюсных уравнениях.
За некоторыми исключениями, относящимися к многочленам от s в матрице ко-
эффициентов, полюсные уравнения усилителя, как трехполюсника, имеют ту же форму,
что и уравнения для вакуумной лампы. Теперь усилитель может быть включен в ка-
честве компоненты в другую систему точно таким же способом как электронная лам-
па в усилитель в качестве его элемента.
7-2. Уравнения хорд в системах из многополюсников
Когда все характеристики компонент могут быть представлены
через параметры холостого хода, методы вывода уравнений не отли-
чаются от уже рассмотренных для систем, состоящих из двухполюсни-
ков. Достаточно рассмотреть один простой пример.
Пример 7-2-1. Найдем полюгные хавактеристики транзисторного усилителя,
показанного на рис. 7-2-1,а, используя полюсный граф на рнс. 7-2-1,6.
Рис. 7-2-1. Типичная цепь с транзи-
стором.
а — схема; б — полюсный граф.
Рис. 7-2-2. Граф для
системы на рис. 7-2-1
вместе с элементами,
представляющими
внешние измерения.
118
Граф для системы вместе с элементами, определяемыми внешними измерениями,
показан на рис. 7-2-2, а соответствующие полюсные уравнения компонент имеют вид-
«1 Ri Ria 0 0 0 i 1
и2 Rai Rz 0 0 0 *2
«3 = 0 0 Rz 0 0
«4 0 0 0 r4 0 *4
“б 0 0 0 0 R6 *5
(7-2-1)
Уравнения контуров для графа, включающие все зависимые переменные, которые
представлены в полюсных уравнениях в отдельной 'Матрице-столбце, выражаются, как
—10010
—11001
0 1 — 10 0
—1 10 0 0
Независимые переменные
представляющими токи, через
(7-2-2)
в уравнениях компонент связаны с переменными хорд,
транспонированную матрицу коэффициентов в (7-2-2):
i, —1 —1 0 —1
i2 0111
»з = 0 0—1 0
it 10 0 0
г5 0 10 0
Выполнив тройное матричное произведение,
систем уравнений, имеем:
0
0
«с
«7
(7-2-3)
полученное из комбинации этих трех
Ri 4- R< Ri — Riz | —Rzi Ri — Riz
Ri — Rn Ri ~Ь Rz - Rzi—Ri2~\~Rs Rz~ Riz Ri-j-Rz— Riz— Rzi
—Rzi Rz — Rai [ Rz -j- Rz Rz—Rzi
Ri — Rai Ri Rz — Rai Riz I Rz — Riz Ri + Rz — Riz— Rzi
(7-2-4)
Осталось попытаться представить результирующую матрицу коэффициентов в об-
щем виде Для любых численных величин коэффициенты в полюсном представлении
можно найти так же, как в предыдущем примере, получив матрицу, обратную матрице
коэффициентов второго порядка.
7-3. Уравнения ветвей-хорд для систем с многополюсниками
В отличие от двухполюсников характеристики многополюсных ком-
понент не всегда можно представить в комплексной области через
параметры холостого хода и короткого замыкания, необходимые для
получения уравнений ветвей и хорд. Если, например, массой и коэффи-
циентом демпфирования четырехполюсного рычага, показанного
в табл. 6-2-1, можно пренебречь, то уравнения компонент имеют вид:
Л
S2
+
119
Аналогично коэффициенты /?] и Li
трансформатора часто принимаются
к двум полюсным уравнениям:
в уравнениях двухобмоточного
равными нулю, что приводит
«1
К
О пх 2
—«12 О
и2
Анализ систем, содержащих составляющие этого типа, нуждается
в: а) критерии независимости уравнений системы и б) новом методе
их вывода. Все это будет продемонстрировано на следующем примере.
Рис. 7-3-1. Типичная система .из рычагов.
Рис. 7-3-2. Полюс-
ный граф для
двухплечевого
рычага без уче-
та массы.
Пример 7-3-1. Сложный рычаг, показанный на рнс. 7-3-1, будет использован
в качестве четырехполюснон компоненты в гидроусилителе. Требуется найти полюсные
уравнения для полюсного графа на рис. 7-3-1,6, когда трение сцепления и сила инер-
ции рычагов пренебрежимо малы
Характеристики каждого рычага, рассматриваемого в качестве трехполюсной ком-
поненты, представлены уравнением (7-3-1) (см. табл 6-2-1):
(7-3-1)
Граф для системы (вместе с внешними измерениями) показан на рис. 7-3-3, а вы-
ражения для характеристик компонент имеют вид:
Z,(s) 0 0 0 0 f 3
ветви < 8< ООО —ли 0 ft
— 0_ 0 0 Р П 75 fs
7.’ 0 n6i 0 ~0 0 X
хорды < f. 0 0 n7S 0 0 8,
Za^~ Bs+k'
(7-3-2)
При выводе требуемого полюсного представления удобно преобразовывать по-
люсные уравнения компонент таким образом, чтобы слева от знака равенства записать
только параллельные переменные, а справа — только последовательные. Тогда
1 0 0 10 0 «3
0 I 0 0 84
0 _0 J_ 1°^. Л75 86 =
0 0 0 ;° 0 86
0 0 0 {0 0 8,
Z,(s) 0 0 [0 0 f3
О 0 0 [ 0 0 f 4
__о Ъ
О —0(10 [е
о 0 —П,5 (01 f,
(7-3-3)
Важное отличие представленных выше полюсных уравнений от других, рассмот-
ренных ранее, состоит в том, что матрицы коэффициентов имеются по обе стороны от
знака равенства. Матрицы коэффициентов являются особенными, следовательно, эти
120
Рис. 7-3-3. Граф для
системы на рис. 7-3-1,
включающий внешние из-
мерения.
уравнения .не могут быть решены в явном виде, что необ-
ходимо для вывода уравнений ветвей и хорд. Таким обра-
зом, полюсные уравнения нельзя подставлять в виде си-
стемы ни в уравнения контуров, ни в уравнения отсечений.
Однако можно: а) выразить все параллельные переменные
в (7-3-3) в виде явных функций параллельных переменных
дерева, как это делалось при получении уравнений ветвей;
б) выразить все последовательные переменные в виде яв-
ных функций последовательных переменных хорд, как при
выводе уравнений хорд. Имея в виду эту цель, выберем
формальное дерево для графа на рис. 7-3-3. Мы далее
увидим, что дерево, используемое для записи уравнений от-
сечений и контуров, должно содержать элементы 4 и 5
в качестве ветвей дерева, а элементы 6 и 7 в качестве хорд.
Для этого нужно добавить элемент 3 в дерево. Чтобы
упростить анализ, запишем полюсное уравнение для этой
компоненты |(элемент 3) через параметры холостого хода.
Кроме того, требования для выбора дерева заставляют добавить в него два элемента,
представляющие внешние измерения.
Уравнения фундаментальных контуров для выбранного графа имеют вид:
8.
0 0—1 0 1 8а 8.
1—1 0—1 —1 8, + 8, =0. (7-3-4)
—10011 ». 8.
86
Для справки мы приведем также уравнения отсечений в явном виде
h 0 1 —1
0 —1 0 ft
ft = —1 0 0 f. (7-3-5)
ft 0 —1 1 ft
ft 1 —1 1
Из уравнения (7-3-4) следует, что все параллельные переменные в (7-3-3) связаны
с переменными дерева:
8, 0 0 10 0 81
8< 0 0 0 1 0 82
86 = 0 0 0 0 1 83 > (7-3-6)
86 0010—1 84
87 —1101 1 8S
а из уравнения (7-3-5)—что все последовательные переменные связаны с переменными
хорд: f 3 —1 0 0
ft 0 —1 1 ft
ft = 1 —1 1 ft (7-3-7)
ft 1 0 0 ft
ft 0 1 0
Уравнения (7-3-6) и (7-3-7) можно, конечно, записать иепосредствевно из графа.
Подставив уравнения (7-3-6) и (7-3-7) в (7-3-3) и сгруппировав два полученных
матричных произведения, мы найдем частное решение системы:
0 0 10 0 81 Z3(s) 0 0
0 0 пы 1 —пы 8a 0 0 0 ft
ntt nis 0 n76 1—n7S 8, = 0 0 0 f 7 (7-3-8)
0 0 0 0 0 84 1 ^64 ^64 ft
0 0 0 0 0 85 1 4“ П7Б П15
121
Заметим, что эта система уравнений содержит для каждой ветви дерева парал-
лельную переменную и для каждой хорды последовательную переменную. Среди этих
переменных 62 и fe при выводе считаются заданными, а все остальные переменные
рассматриваются как неизвестные. Следовательно, последнюю систему уравнений удоб-
но преобразовать, транспонировав первые два столбца из левой части системы в пра-
вую, а первые два столбца — из правой в левую. Тогда уравнения принимают вид:
1 0 0 -Z3(s) 0 а»
«54 1 0 0 «4
о «75 1+«75 0 0 «5
0 0 0 — 1 —«54
0 0 0 «75 (1 ~Ь «7б) fl
0 0 0
0 0 0
Л75 Я75 0
0 0 - -«54
0 0 - “«75
«1
f.
(7-3-9)
и мы видим, что если дь 'б2 и fs являются известными функциями, то решение осно-
вывается «а получении матрицы, обратной матрице коэффициентов пятого порядка.
Возможность нахождения этой матрицы зависит от численных значений пы и n7S — от-
ношения плеч рычагов. Поскольку вторая и последняя пары уравнений являются вза-
имно независимыми, для существования обратной матрицы необходимо, чтобы два
определителя 'второго порядка не принимали нулевых значений, т. е. решение суще-
ствует только, когда
1 —Лв4
«75 I"F «75
-- ( 1 ~Ь «7s) "4“ «75«54 -^"9.
Решение существует для всех положительных значении п15 и лв4 и, кроме
того, для некоторых отрицательных значений, если
— 1
«75 Ф
I + «54
Для данной системы только положительные величины «75 и п64 являются реализуемы-
ми и решение всегда возможно.
В следующем параграфе-дается общий критерий существования решения. Им мож-
но пользоваться для предварительного исследования перед непосредственным состав-
лением уравнений.
Задача получения матрицы, обратной матрице в (7-3-9), значительно упрощается,
потому что вторая и последняя пары уравнений являются взаимно независимыми. По-
добное упрощение является обычно характерным для систем с идеальными соедини-
тельными устройствами. В этом случае получить решение совсем не так трудно, как
может показаться вначале при ознакомлении с уравнением.
Чтобы завершить решение в нашем примере, положим, что-
«54 — 2 л75 -- 3.
Решение двух последних уравнений в (7-3-9) дает:
fi
0 0 2|
0 0 9 I
г>
®г
fs
Подстановка (7-3-10) в верхнее уравнение (7-3-9) дает:
а, = 10-’II о о -2Z3(s)||
(7-3-10)
(7-3-11)
Решение второй пары дает:
6—601
3 — 3 0 I
10-’
8
(7-3-12)
122
или после подстановки 53 из (7-3-11):
®4
®Б
= 10-’
—6
—3
Полное решение составляется из
уравнение:
®з
®4
®s =
fa
h
®i
®2
fa
— IO-®
16Z3(s) |
12Z3(s) |
®i
®2
h
(7-3-13)
объединения (7-3-10)—(7-3-12) в простое матричное
О 0 —2Z3 (s)
6 —6 1,6Z3 (s)
3—3 l,2Z3(s)
10-’.
(7-3-14)
6
3
о о
о о
Из этого выражения все силы и перемещения в системе определяются посредст-
вом простой подстановки результатов в соответствующие уравнения отсечений и кон-
туров графа системы. В данном примере нас больше всего интересует получение по-
люсных характеристик устройства, рассматриваемого в качестве четырехполюсника,
а также, в частности, вывод уравнений, переменные которых ft, f2 и бе являются яв-
ными функциями 6i, ба и fs- Это достигается подстановкой решения '(7-3-14) в уравне-
ния отсечений и контуров, которые определяются ветвями 1 и 2 и хордой 3. Эти урав-
нения имеют вид:
Г.
fa
®2
0 0—1
0 0 о
1 о о
®э
®4
®Б
fa
f,
(7-3-15)
Эти уравнения графа можно было, конечно, записать в таком виде .непосредственно
из рассмотрения графа системы. Расположение переменных логически следует из того,
что 61, t>2 в fa принимаются заданными функциями, между тем как остальные пере-
менные получены из решения уравнений (7-3-14).
Подставив уравнение (7-3-14) в (7 3-15) и выразив измерения, как функции пе-
ременных полюсного графа на рис. 7-3-1,б, мы найдем требуемые полюсные уравнения
четырехполюсника;
fa 0 0 —0,9 ®о
fii = 0 0 0,9 ®и (7-3-16)
®io 0,9 —0,9 0,04Z3(s) f 10
Пять уравнений (7-3-9) системы, полученных из частного решения
полюсных уравнений компонент, контуров и отсечений, не требуют на-
хождения обратных матриц. Неизвестные переменные в уравнениях
являются, в частности, неизвестными перемещениями ветвей и неизвест-
ными силами хорд. Эта система уравнений в дальнейшем называется
уравнениями ветвей-хорд. Общие свойства таких уравнений, включая
критерий независимости, рассматриваются в следующем параграфе.
•
7-4. Общие свойства уравнений ветвей-хорд
В общем случае полюсные уравнения для идеальных соединитель-
ных элементов можно представить символически, как
*х
у.
о ЛГ12 Ух
Мх о х2
(7-4-1)
где Nt2 и N21 — прямоугольные матрицы с постоянными коэффициентами.
Для большинства реализуемых идеальных соединительных элементов
Л\2 =— N121. Однако в дальнейшем это ограничение не накладывается.
123
ряд элементов, определяе-
Критерий независимости. Следующая теорема дает критерий, при
помощи которого гарантируется независимость уравнений системы, со-
держащих прямые соединительные элементы.
Теорема 7-4-1. Пусть граф G содержит
мых полюсными уравнениями вида:
0 N12
М, О
(7-4-2)
2
2
и Хо и Уо представляют все остальные переменные графа системы. Пусть
для графа системы G существует дерево Т, характеризующееся следую-
щим:
1. Элементы, соответствующие переменным в Хи входят в Т;
2. Элементы, соответствующие переменным в Уг входят в дополне-
ние Т, а уравнения отсечений и фундаментальных контуров, которые опре-
деляются через Х2 и У1г записаны в виде
Хо
= 0;
=0-
(7-4-3)
2
О
(7-4-4)
Если определители матриц коэффициентов выражаются как
|/+В1аЛГ12|^О; (7-4-5)
7 + A.M.I^O, (7-4-6)
то уравнения (7-4-2) — (7-4-4) вместе с разностью уравнений контуров
и отсечений образуют независимую систему. В случае, когда граф си-
стемы не является связным, семейство деревьев, которое называется
лесом, составляет основу формулировки теоремы.
Хотя формальное доказательство теоремы здесь не приводится,
интуитивная оценка ее обоснованности в некоторой степени следует из
утверждения, что элементы в Х\ задаются через элементы в Ха По-
скольку лишь элементы дерева можно задать произвольно, они долж-
ны быть включены в дерево вместе со всеми параллельными возмуще
ниями, если требуется обеспечить согласованность между полюсными
уравнениями контуров и компонент. По аналогичным причинам эле-
менты в У2 включаются в дополнение дерева.
Условия (7-4-5) и (7-4-6) соответствуют требованию, чтобы ранг
уравнений объединенных контуров и «идеально связанных» элементов
был максимальным. Эти две системы уравнений, записанные совмест-
но, имеют вид:
Вц [-^12
о ;/ -лг
После умножения этого уравнения на матрицу коэффициентов
1 -в,2
0 1
124
мы получаем:
,вп о /+ад2
I 0 1 -N1Z
Если для определителя выполняется условие
|/+вилги1¥=о.
то переменная Х2 может быть выражена через Хо и максимальный ранг
гарантирован. Аналогичным образом требуемый ранг объединенных
уравнений отсечений и «идеальных связей» обеспечивается при выпол-
нении условия
1/4-АЛиИО.
Суть теоремы 7 4-1 и ее применение лучше всего показать, обра-
тившись к примеру 7-3-1. При построении формального дерева элемен-
ты 4 и 5 на рис. 7-3-3 были включены как ветви, а элементы 6 и 7 —
как хорды, тем самым были удовлетворены условия 1 и 2 теоремы.
Чтобы подсчитать определители (7-4 5) и (7-4-6), запишем уравнения
контуров для хорд 6 и 7, опуская все элементы, кроме ветвей дерева,
переменные которых входят в уравнения двух рычагов (элементы
4 и 5).
(7-4-7)
Матрицей коэффициентов в уравнении (7-4-7) является матрица В12,
которая включена в математическую формулировку теоремы 7 4-1, и
мы получаем:
|/+в12лг12|=|
«54 1+«75
1 о
о 1
—лм О
о —«,5
= 1 + «7»
(7-4-8)
поскольку А21 = — В'12,
второй определитель выражается, как
1
\1+AM = \1-B\2N21\ =
+«75
1 +П75
= l+«7s + «64«73
(7-4-9)
Решение не существует, если соотношения рычагов таковы, что
определители в (7-4-8) и (7-4-9) принимают нулевые значения.
Обратившись снова к преобразованным уравнениям системы
(7-3-9),’ отметим, что в (7-4-8) и (7-4-9) входят определители двух
матриц коэффициентов второго порядка, величины которых должны
быть ненулевыми, чтобы существовало решение уравнений. Таким об-
разом, с помощью теоремы можно найти и подсчитать определители
подматриц, расположенных на главной диагонали, в уравнениях си-
стемы, которые записаны в форме, аналогичной (7-3-9).
Стоит отметить, что если уравнения фундаментальных контуров опре-
делены через хорды, имеющие переменные в У2 или Х2, и не содержат
элементов, имеющих переменные А\, то В12 = 0, и решение существует
для всех значений коэффициентов связи в ДГ12 и N21.
125
Вывод уравнений. Чтобы изучить в более общих чертах основные
свойства уравнений ветвей-хорд для систем, состоящих из многополюс-
ников, запишем полюсные уравнения компонент в символической
форме
Л'ы задана
Yci задана
(7-4-10)
Если мы желаем изобразить W и Z в партиционной форме, то урав-
нение (7-4-10) принимает вид:
\VX1 W12
w2I w22
УЬг
(7-4-10a)
Полюсные уравнения (7-3-3) для примера
циальной форме
7-3-1 представляются в спе-
I w12
о о
хЬг
о
В общем случае для матриц коэффициентов W и Z не существует
ограничений. Тем не менее обычно получается некоторое упрощение,
когда формальное дерево и полюсные уравнения компонент могут быть
записаны в таком виде, что = Z22 = l. В специальном случае там,
где Wn = /, W22 —/ и W12 = W'21 = 0 общая форма уравнений (7-4-10),
конечно, сводится к явной форме, которая необходима при получении
уравнений хорд.
Когда формальное дерево «выбрано в соответствии с теоремой
7-4-1, уравнения отсечений и контуров имеют вид:
хЬ1
:вп в121 о xb2 = 0;
^21 ^22 0 1 хС1
хС2
уЬ1
1 0 Лп Л12 УЬг = 0
|0 1 Л21 Л22 УС1
Ус.
(7-4-11)
(7-4-12)
и параллельные и последовательные переменные в уравнении (7-4-10) свя-
заны с соответствующими переменными дерева и хорд через
и
В решении любой задачи эти уравнения контуров и отсечений записы-
ваются прямо в последней форме.
126
Уравнения ветвей-хорд для системы получаются подстановкой
уравнений (7-4-13) и (7-4-14) в (7-4-10):
||№||
Если W
случае:
l^u w12
|W21 w22
о
—Л21
или
0 1
^11 ^12
изображены
Bl2
-W12fl21 W„- Wl2Bl2
W22B21 W2l - W22Bl2
*Ь1
хЬг
i42i A
1 о
в партиционной форме, мы
1421
1
^22
о
С1
С2
имеем
Ct
С2
(7-4-15)
в общем
(7-4-15а)
7 7
-^12
'7 7
11^21 ^22
xbi
Xb2
Z ji422
Х2\А22
Поскольку Xbl и ГС2 заданные функции, логично
(7-4-16) к виду
С2
(7-4-16)
привести уравнения
wu-w12b12
w21~w22b12
(7-4-16а)
и Z
В итоге количество неизвестных переменных и уравнении ветвей-
хорд точно равно количеству полюсных уравнений компонент, т. е.
е=пх—пу. Неизвестные переменные представляют параллельные пере-
менные дерева, и последовательные переменные хорд — те переменные,
которые не заданы
В общем случае обратная матрица, требуемая при решении, имеет
порядок е—пх—Пу. Зачастую, однако, решение достигается при помощи
обратных матриц от двух или более подматриц более низкого порядка.
Если, например, W2l и W22 обе являются нулевыми, как в примере
7-3-1, то уравнения ветвей-хорд имеют вид:
W^-Wl2Bi2
о
\х в 7 А
w ц^21
^21 ^21-^22
(7-4-17)
и решение требует нахождения обратных матриц от двух матриц коэф-
фициентов, одна из которых имеет порядок е—и+1—пу, а другая
и—1—пх. Отметим, что эти порядки точно равны порядку обратной
матрицы, необходимого для решения уравнений ветвей и хорд соответ-
ственно.
И, наконец, в особом случае, когда W =/, полярные уравнения со-
ставляющих являются явными относительно параллельных перемен-
ных, а уравнения ветвей-хорд могут быть сведены к уравнениям хорд
или контурным уравнениям. Чтобы показать это, рассмотрим уравне-
ния (7-4-15) при Ш=/:
0 I
—в„ —в
А22
о
С1
(7-4-18)
с»
Присутствие нулевой и единичной матриц в первой строке указывает
на то, что дальнейшее упрощение возможно без нахождения обратной
матрицы. В частности, верхняя система уравнений можег быть решена
127
относительно Xb2 и подставлена в нижнюю систему. Это решение эф-
фективно реализуется умножением обеих частей уравнения (7-4-18)
на матрицу коэффициентов
В12 1
Л22 о
В результате получается:
О
о в22
В12
В22
.Л21
1
А22
О
к,
ГС2
(7-4-19)
о
Теперь верхняя система 'уравнений должна быть решена как совместная
система. Поскольку Xbi и FC2 являются известными функциями и — Л21=
= В' 12, а—А22 — В'22, эта верхняя система уравнений записывается в виде
--ЛАМ#» W
/?',2
у01 + цд12 /|| |!z||
В'22
о
кС2.
(7-4-20)
Матричное уравнение (7-4-20) точно соответствует системе уравнений
хорд, которая рассматривалась в гл. 4.
Аналогичным образом можно показать, что когда Z=1 уравнения
ветвей-хорд сводятся к уравнениям ветвей или узловым уравнениям.
Таким образом, составление уравнений для ветвей и хорд можно рас-
сматривать, как частный случай более общих методов, с которыми мы
ознакомились в этом параграфе. Несмотря на то, что такие методы
привлекательны с точки зрения целостности и общности, они не обяза-
тельно являются наиболее целесообразными и выгодными в частных
случаях. Следует отметить, что, когда это оказывается возможным,
лучше выражать все полюсные уравнения компонент в явном виде
через параллельные и последовательные переменные и использовать
методы получения уравнений ветвей или хорд, которые рассматрива-
лись в гл. 4 и § 7-1 и 7-2. Если полюсные уравнения компонент нельзя
получить в этих явных формах, то полезно использовать методы выво-
да уравнений ветвей-хорд, приведенные здесь. Некоторые исключения
из этого общего правила обусловлены особыми обстоятельствами, ко-
торые будут рассмотрены в следующих параграфах главы.
7-5. Практическое применение уравнений ветвей-хорд
Использование методов вывода уравнений, представленных в пре-
дыдущем параграфе, демонстрируется на двух примерах, в первом из
которых рассматривается применение идеальных трансформаторов.
Хотя в данном случае конечный результат можно получить быстрее
с помощью менее формального способа, тем не менее пример эффек-
тивно демонстрирует рассмотренные выше методы.
Пример 7-5-1. Предположим, что два трансформатора на рис. 7-5-1,а соедине-
ны, как показано на рис. 7-5-1,б, и используются в качестве отдельного трансформа-
тора Элемент должен применяться в системе с частотой 400 гц и его с достаточной
точностью можно считать идеальной компонентой. Нужно найти, как выражаются по-
люсные характеристики элемента через измерения, соответствующие полюсному графу
на рис. 7-5-1,в, а также определить значения токов и напряжений в каждой обмотке,
если номинальный выходной ток трансформатора составляет 110 а, а номинальное
входное напряжение равняется 440 в.
128
Граф системы вместе с элементами,
рениямн, показан на рис 7-5-2:
которые отождествляются с внешними изме-
«2
«1
»»
(7-5-1)
Когда формальное дерево выбрано, как показано темными линиями, и полюсные
уравнения компонент взяты в форме (7-5-1), то удовлетворяются пункты 1'и 2 условий
теоремы 7-4-1.
Отметим, что полюсная характеристика системы выражается через выходной ток i6
и входное напряжение и7. Следовательно, эти элементы классифицируются как хорды
Рис. 7-5-1 Система из идеальных трансформаторов
а — схема трансформаторов; б — схема системы; в — полюсный
граф.
Рис. 7-5-2. Граф
для системы, пока-
занной на рис.
7-5-1, вместе с
внешними изме-
рениями.
и ветви соответственно. С учетом элементов, которые представляют внешние измере-
ния, мы также запишем уравнения, содержащие i7 (входной ток) и и5 (выходное на-
пряжение) как явные’функции и7 и »6.
Чтобы подсчитать определители в (7-4-5) и (7-4-6) теоремы 7-4-1, запишем урав-
нения контуров, соответствующие хордам 1 н 3, пропуская все ветви кроме тех, пере-
менные которых появляются в (7 5-1)
1 1
1 I
1
1
«2
«4
Для определителя уравнения (7-4-5) мы получаем:
«21 О
О л43
О «S3
•+«21 «43+«53
«21 1+«4з+«53
8
= «21 -Ь «43 -F- «S3 -Ь 1-
Поскольку Bia = — А'ц, определитель уравнения (7-4-6) имеет вид:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 + —1 —1 —1
—«21 О О I
о «43 «S3 I
— 1 + «21 + «43 + «S3
1+«21 «43 «S3
«21 1+«43 «S3
«21 «43 1+«S3
и мы видим, что если «21+«4з+«зз=—1, то система не имеет решения. Конечно реше-
ние существует при такой ориентации обмоток на стержнях трансформатора, когда
«2ь «4з и «5з все являются положительными.
9—1738
129
Чтобы получить уравнения системы, запишем (7-5-1) как
1 0 0 —«21 о
0 1 0 0 —«4 3
0 0 1 о —«S3
ООО 0 0
ООО 0 0
напряжений
и
«2 0 0 0 0 0 *2
«4 0 0 0 0 0 «4
“з = 0 0 0 . 0 0 __ «5 (7-5-2)
«1 «21 0 0 1 0 »1
Из 0 «43 «5з 0 1 «3
(7-5-2) через напряжения ветвей и токи
токов
Выражая переменные
хорд мы имеем из графа:
в
(7-5-3)
(7-5-4)
После подстановки (7-5-3) и мы принимает вид: (7-5-4) в (7-5-2) частное решение уравнений сисге-
1-Ьл Л43 ^53 21 ^21 •+«43 «S3 1 #21 #4.3 +#S3 ! 0 0 ! 0 0 0 0 R С Й W А М
0 0 0 0 0 0 1 1+«21 «21 | «3з+«53 1+«4з+«53 <1 *3
«21 «33 «S3 0 0 0 II7II (7-5-5)
0 0 «21 —(«<з + «5з) II II
и мы видим, что решение существует, поскольку определители третьего и второго
порядков не принимают нулевых значений. Конечно, это те же самые определители,
о которых говорилось в теореме 7-4Jl.
Уравнение (7-5-5) в численной форме представляется как
3 2 2
3 4 3
5 5 6
ООО
ООО
I О О
1 О О
J О О
3 2
8 О
«2
«4
»1
«3
2 О
3 О
5 О
О —2
О —8
(7-5-6)
130
и мы получаем решение
«2 9 —2 —2 0 0 2 0
Ut —3 8 -3 0 0 3 0
Us 1 11 —5 —5 6 0 0 5 0
ii 0 0 0 9 —2 0 —2
is 0 0 0 -8 3 0 —8
«7
(7-5-7)
«2 2 0
и4 3 0
__ 1 5 0
11
«1 0 —2
0 —8
и,
it
(7-5-8)
Поскольку номинальный выходной ток составляет
440 в, часть параметров обмоток выражается как
«2 80
«4 120
Us = 200
is —20
ls —80
110 а, а входное напряжение
(7-5-9)
Остальные параметры обмоток получаются подстановкой решения (7-5-9) в урав-
нения отсечений и контуров, определяемых элементами 2, 4, 5 и 1, 3 соответственно. Из
графа на рис. 7-5-2:
i2=i4=t5=ii+i3+«6=—20—80+110=10 и Ui=u3=«7—«а—«4—«5=440—80—120—200=40.
Чтобы получить полюсные уравнения системы, подставим решение (7-5-8) в урав-
нения отсечений и контуров, определяемые элементами 7 и 6 соответственно. Эти два
х равнения, записанные совместно, имеют вид
ие is —1 —1—1 0 0 «2 Us is + «7 (7-5-10)
0 0 0 —1 —1 —is
Подстановка (7-5-8) в (7-5-10) дает результат, который можно было ожидать заранее
Поскольку внешние измерения связаны с переменными полюсного графа через
то полюсные уравнения графа, изображенного на рис. 7-5-1,в,
имеют внд:
«о
it
О
1
11
*о
Ui
(7-5-11)
В качестве второго примера, иллюстрирующего методы вывода уравнений, мы
рассмотрим механическую систему, которая приводится в движение гидравлическим
приводом.
•Пример 7-5-2. Устройство, показанное на рис. 7-5-3,а, может использоваться, как
гидромеханическая компонента в системе управления. Установим полюсные характери-
стики в комплексной области для компоненты через измерения, определяемые изобра-
и полюсный
Рис. 7-5-3. Гидромеханическая система
граф
Рис. 7-5-4. Граф для
системы на рис. 7-5 3
вместе с внешними из-
мерениями.
жениым полюсным графом. В целях упрощения можно пре-
небречь массами iscex компонент системы Гидравлический
поршень и рычаг считаются идеальными. Численные
значения составляющих системы даны в уравнении (7-5-12). Эти уравнения соответст-
вуют элементам графа системы, приведенного на рис. 7-5-4. Большое количество нулей,
входящих в матрицу коэффициентов, исключено для упрощения записи
1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 о? ор * to
0 0 0 «5
0 0 50 0 ° 0 0.01 —0,01 0 « Г- ® <5© <5© tf© —
(7-5-12)
Элементы, представляющие внешние механические измерения в
включены в граф системы, а формальное дерево выбрано как отмечено
системе, были
темными линия-
ми. Так как элемент 9 не образует контура с любыми другими элементами, нет необхо-
дпмост! использовать какие-нибудь элементы, представляющие внешние измерения дав-
ления и потока. Кроме того, поскольку механическая система содержит только один
идеальный рычаг, не нужно вычислять определители в теореме 7-4-1; матрица Вщ рав-
на нулю
Следует также отметить, что гидравлический поршень не классифицируется, как
идеальное соединение. Хотя матрица коэффициентов в уравнении
о
0,01
— 0 01
о
й,
Ps
li:
имеет ту же форму, что и идеальный рычаг и трансформатор, переменные слева явля-
ются обе последовательными переменными. Компоненты, которые имеют полюсные
уравнения этого типа, иногда называют гираторами. Поскольку полюсные уравнения
уже представлены (за исключением специальной формы параметров короткого замы-
кания) то, чтобы получить уравнения, содержащие эти компоненты, не требуется спе-
циальных методов, кроме рассмотренных ранее.
132
Из графа системы переменные в (7-5-12)
ветвей п хорд через
связаны соответственно
с переменными
83
«4
«в
Зе
8,
6С
Рэ
fa
f*
f 5
f6
f,
f,
g.
О
О
—1
1
1
1
О
1
О
1
О
О
О
О
о
о
1
о
о
о
о
—1
—1
о
I
о
о
о
1
О
— 1
1
О
1
о
о
о
о
о
1
о
о
О
1
О
1
О
о
о
—1
о
о
о
о
1
о
О
О
О
О
О
О
1
о
о
о
о
о
о
1
81
«2
«з
84
Рз
fs
f.
f'
gl
(7-5-13)
(7 5 14)
(7-5-15)
В выражении (7-5-15) пятое и шестое уравнения независимы от остальных, а пер-
вые четыре—от последнего. Следовательно, для решения системы требуется найти ма-
трицу, обратную матрице коэффициентов, расположенной в левом верхнем углу. Это
легко осуществить, если в матрице коэффициентов вначале произвести триангуляц но
с помощью элементарных операций со строками. Соответствующие действия в строках
выполняются последовательно, если обе части первых четырех уравнений умножить на
следующую матрицу коэффициентов
1 000
2 10 0
О 0 10
—150 —50 1,5 1
В итоге получим:
I 0 —0,01 0,01
О 1 —0,02 0,02
0 0—1 —2
0 0 0 —5.5
0,01 0 0 О
О 0,01 |
О 0,02 I
О О I
О —1,5
—1 О
0 -1 !
О о I —1
83
й4
fs
f.
f,
f.
g»
ООО
2—2 О
ООО
—150 100 О
—s О О
О 0 0,01
—0,01 О О
81
82
Рз
(7-5-16)
133
Решение для сил в хордах
fs —56,0 37.3 —0,0056
fs 28 — 18,6 0,0028 я
f, — s 0 0 °2
fs 0 0 —0,01
3,
й2
А
(7-5-17)
и для перемещений дерева
й3 I II —0,84 0,56 0.16ХЮ-4
й4 | II 0,32 —0,78 0.32Х10-4
Решение показывает, как зависит
мешений н давления. Этот результат
й, в последнее выражение в (7-5-16):
g9= 10-‘ П 0,16
(7-5-18)
поток жидкости за поршнем от полюсных пере-
определяется после подстановки решения для
0,56 0.16ХЮ-4 11
Й!
й2
Ps
(7-5-19)
Требуемое полюсное представление получается, когда приведенные выше решения
подставляются в уравнения отсечений, определяемые элементами 1 и 2. Эти уравнения
суть
II!:
I —1 —1 —1 I
— 1 О О О I
h
f,
f.
(7-5-20)
и полюсные уравнения для графа на рис. 7-5-3,в через параметры короткого замыкания
выражаются как
fio -fl 84+s —56 —0,0016 Йц)
fll = -h = —56 37,3 —0,0056 й|, (7-5-21)
g9 0,0016 0,0056 0,16X10-’ Ps
Из этого и предыдущих параграфов вообще следует, что различ-
ные способы получения характеристик системы представляют упорядоч-
ненную комбинацию или частное решение уравнений отсечений и кон-
туров графа системы наряду с полюсными уравнениями компонент си-
стемы. Конкретная группировка уравнений отсечений и контуров и
способ сочетания их с полюсными уравнениями компонент зависит
только от формы, в которой последние существуют или могут быть
представлены:
I. Если все характеристики компонент системы могут быть пред-
ставлены через параметры холостого хода, то эффективным является
частное решение, приводящее к уравнениям хорд.
2. Если все характеристики компонент системы могут быть пред-
ставлены через параметры короткого замыкания, то эффективным яв-
ляется частное решение, приводящее к уравнениям ветвей.
3. Если характеристики компонент могут быть представлены через
параметры короткого замыкания или холостого хода, тогда, конечно,
имеется выбор методов, которые можно использовать.
4. Когда характеристики многополюсников не могут быть представ-
лены через параметры холостого хода и (или) короткого замыкания,
134
выбора не существует и приходится прибегать к смешанным методам
вывода уравнений, таким как метод ветвей-хорд, разобранный в §7-3—
7-5. Вообще говоря, этот метод является более громоздким, чем любой
другой, й применяется только в случае необходимости.
Хотя различные способы для получения частного решения фунда-
ментальной системы уравнений отнюдь не исчерпаны, методы, представ-
ленные здесь, обеспечивают, по крайней мере, один эффективный спо-
соб для получения характеристик всякой системы, образованной из
двухполюсников или многополюсников любого типа. Вообще приведен-
ные методы были отобраны с учетом возможности использования их и
практичности для различных линейных систем. Из этого не следует,
что алгебраические операции, которые входят в вывод, не могут быть
значительно упрощены в определенных конкретных применениях. Дей-
ствительно, такие сокращения в случае систем, образованных из двух-
входных компонент, представляют существенную экономию времени
и усилий и рассматриваются в последних параграфах этой главы.
7-6. Преобразование дерева
Выше неоднократно отмечалось, что всякий полюсный граф мо-
жет служить основой для представления полюсных характеристик мно-
гополюсных компонент. В некоторых конкретных 'Случаях полезно ис-
пользовать один полюсный граф вместо другого. Например, если два
четырехполюсника должны быть включены параллельно, как изобра-
жено на рис. 7-6-1,с, то применение идентичных полюсных графов для
обеих компонент дает определенные преимущества. На рис. 7-6-1,6
Рис. 7-6-1. Параллельное соединение четырехполюсных
компонент.
а — схема; б — граф системы; в — полюсный граф.
показан граф системы для подобного случая. Читатель может легко
убедиться, что когда характеристики каждой компоненты выражены
через параметры короткого замыкания
vA=wAxA,
У в = ВХВ,
(7-6-1)
(7-6-2)
то полюсные уравнения для системы в случае применения полюсного
графа на рис. 7-6-1,в получаются простым сложением матриц коэффи-
циентов компонент:
Fc = (W4 + Wb)Xc.
(7-6-3)
Если полюсные представления обеих компонент не выражены через
элементы одного и того же графа, тогда, конечно, вначале нужно пре-
образовать их к одинаковому дереву, чтобы можно было воспользо-
ваться преимуществом этого упрощения.
135
Нахождение одного полюсного представления из другого факти-
чески является частным применением общих методов получения много-
полюсных представлений. Рассмотрим первый пример.
Пример 7-6-1. Пусть требуется вывести полюсные уравнения для графа на
рис. 7-6-2,б из полюсного представления, выраженного уравнениями (7-6-4) и графом
на рис. 7-6-2,а:
У1
У2
Уз
(7-6-4)
Чтобы найти это представление, рассмотрим граф системы вместе с внешними
измерениями, как показано на рис. 7-6-2,в. Поскольку полюсные уравнения для нового
Рис. 7-6-2.
а — путь полюсного графа; б — лагранжев полюсный граф;
в — граф системы.
полюсного графа также должны быть явно выражены через последовательные пере-
менные, то внешние измерения классифицируются как ветви. Уравнения отсечений и
контуров для графа системы:
(7-6-5)
(7-6-6)
Так как полюсные графы всегда являются деревьями, вывод одного
полюсного представления графа из другого никогда не включает опре-
деления обратных матриц и называется преобразованием переменных,
т. е. преобразованием переменных для второго дерева. Для справки
полученные выше результаты обобщаются и излагаются в виде теоре-
мы, которая дается без формального доказательства.
136
Теорема 7-6-1. Преобразования дерева. Пусть матрицы-
столбцы ХА и Fj представляют соответственно параллельные и последо-
вательные переменные связного полюсного графа 7\, а Х2 и Fa — соот-
ветствующие параллельные и последовательные переменные связного по-
люсного графа Т2 и пусть G является объединением Т2 и Т2.
1. Если полюсные уравнения Т2 записаны как
то полюсные уравнения Т2 имеют вид:
Y^AW.A'X,,
где А — матрица коэффициентов в уравнениях отсечений для G
Y2+AYt=O.
2. Если полюсные уравнения Т\ записаны как
то полюсные уравнения Т2 имеют вид
X2 = BZ1B'Y2,
где В — матрица коэффициентов в уравнениях фундаментальных контуров
для G
х^вх^о.
3. Если полюсные уравнения 7\ записаны как
W^^Z.Y,,
то полюсные уравнения Т2 имеют вид:
где В и А являются матрицами коэффициентов в уравнениях отсечений и
контуров для G
x,+bx2=q-
Yt-^-AYa=O.
Применение второй части этой теоремы поути очевидно. Применение
третьей части демонстрируется на следующих примерах.
Пример 7-6-2. Полюсные характеристики для рычага с четырьмя точками при-
ложения сил, изображенного на рис. 7-6-3,а, даются полюсным графом на рис. 7-6-3.6 и
уравнениями (7-6-8). Требуется найти полюсные уравнения для графа на рис. 7-6-3,в:
137
Граф, состоящий из соединений двух деревьев, показан иа рис. 7-6-4. Уравнения кон-
туров, определяющие элементы 4, 5 и 6 в качестве формального дерева, имеют вид:
Уравнения отсечений,
рева:
«1 —10 0 84
s2 + —1 —1 0 «з = 0.
83 —1 —1 —1 «в
определяющие элементы
(7-6-9)
1,2 и 3 в качестве формального де-
а — схема; б —лагранжев полюсный граф; в — путь полюсного
графа
На основании теоремы 7-6-1
через
полюсные уравнения для
дерева
рис. 7-6-3,в выражаются
1
О
О
О
О
О
О
О
—1
4
2
, d2
М М1
6.
—1
—1
—1
—1
«s
или
(7-6-11)
Одна из модификаций уравнения (7-6-11) получается при решении верхних двух урав-
нений в явном виде относительно 64 и и последнего уравнения относительно /в
(7-6-12)
138
Пример 7-6-3. Полюсные уравнения для усилителя с сопротивлением в аноде,
изображенного на рис. 7-6-5,а, удобно представить через полюсный граф на рис. 7-6-5,б
и (7-6-13):
h
«2
(7-6-13)
Когда возбуждение усилителя подается на зажимы g—р, он называется катодным по-
вторителем. Его характеристики удобно выразить через граф на рис. 7-6-5,в.
Рис. 7-6-5. Типичный электронный усилитель и
два полюсных графа.
Чтобы преобразовать дерево, запишем уравнения (7-6-13) в форме:
Уравнения контуров и отсечений для объединения двух полюсных графов выра-
жаются:
п требуемые уравнения становятся:
gi gi
Р-21 1+Р-21
_|1 1 О
Hi I ---^2 R1
Хотя полюсные уравнения (7-6-15) полностью отвечают поставленным условиям,
удобно в этом конкретном примере выразить г'з и «4 в виде явных функций «з и /4.
Преобразуем вначале уравнения (7-6-15)
I 1 -gi
R2 1-Ьр-21
gi О
—Р21 R2
вычислив матрицу, обратную матрице коэффициентов второго порядка, получаем
уравнения в требуемом явном виде
«3 =.__________1________
at (1 + Р-21) + Rzgi
и мы замечаем, что коэффициент усиления на холостом ходу для катодного повтори-
теля составляет
-- (gl^2 + Р21)/[( 1 + р21) + Яг£1]
gi
giRz
(7-6-16)
u3
по сравнению с — |x2i для усилителя с сопротивлением в аноде.
7-7. Каскадное соединение двухвходных компонент
Двухвходные и трехполюсные компоненты часто применяются
в приложениях теории регулирования. Действительно, главная часть
теории и расчета следящих систем основывается на свойствах связан-
139
ных между собой компонент или блоков этого типа. Хотя общие мето-
ды вывода уравнений, относящиеся к этим специальным типам компо-
нент, уже рассматривались, можно сэкономить значительные усилия и
время, если использовать некоторые сокращенные методы. Все эти
способы представляют, по существу, вырожденную форму приведенных
выше методов.
Каскадные параметры. В гл. 6 уже подчеркивалось, что специаль-
ный вид полюсного представления, получивший название «каскадные
параметры», находит применение в последовательном соединении двух-
входных и трехполюсных компонент. Преимущества этой специальной
формы удобно показать на двухвходных компонентах, изображенных
Рис. 7-7-1. Каскад из двухвходных компонент.
а — схема; б — граф системы.
на рис. 7-7-1,а. Граф системы приведен на рис. 7-7-1,б Пусть полюсные
уравнения двух компонент будут представлены через каскадные пара-
метры
W21
^21 k2
Уз
Хз
(7-7-1)
У*
х4
w43
Уз
Хз
(7-7-2)
Уз _
2
Из уравнений контуров и отсечений получена очень простая связь между
переменными полюсных уравнений:
—1 О
О 1
Уз
Уз
(7-7-3)
Полюсные уравнения для системы, рассматриваемой в качестве двух-
входной компоненты, получаются простой подстановкой (7-7-1)
в (75-7-3) и этого результата в (7-7-2). В итоге получается:
Уз
*4
\k3 “>43
И43 ^-4
-1 О
О 1
к и>ъз
^3 3 ^3
Уз
-*А4- w13z2J
^1^43 ^4^21
—^21+^2^43
Уз
Х3
(7-7-4)
Отметим, что необходимо соблюдать установленное правило для изо-
бражения измерений или графа системы. Из графа системы, показан-
Рис. 7-7-2. Граф каскада
из двухвходных компонент
ного на рис. 7-7-2, мы видим, что элементы,
которые представляют внешние измерения, па-
раллельны элементам 1 и 4. Уравнения отсе-
чений и контуров для этих четырех элементов
тривиальны.
Параметры холостого хода и короткого
140
замыкания. Полюсные характеристики каскадного соединения двухвход-
ных компонент можно также легко и быстро получить, когда характе-
ристики элементов представлены через параметры холостого графа и
короткого замыкания. Пусть характеристики двух компонент графа си-
стемы на рис. 7-7-1,6 даны в виде
или
А _ Л Й “ N N N M ft ft 34 1 2 Уз У4 (7-7-5) (7-7-6)
х.. л л -з 4 Z2 1= i
х3 2 1 2 12 0 0 У1
х2 — 2 21 2 22 0 0 Уг (7-7-7)
Х3 0 0 Z3 Z34 Уз
xt 0 0 Z43 Z4 У4
Из графа системы на рис. 7-7-1
Л'2—*3 = 0 И У2=—Уз,
(7-7-8)
и мы видим, что частное решение системы уравнений получается под-
становкой у3=—у2 и вычитанием третьего полюсного уравнения из вто-
рого, что дает
(7-7-9)
Полюсные уравнения для системы, рассматриваемой как двухвходная
компонента, получаются исключением второго уравнения в последней
системе, и в результате
(z2 -р Z3)— Z12Z2I Zi2Z34
___________Z«»Z2.______(za+z,)—Z<3Z3<
x4 22 + 23
Уз
У4
(7-7-10)
Специальные методы, обеспечивающие сокращение операций при
выводе представления двухвходных компонент, включенных последо-
вательно, когда их характеристики выражаются через параметры ко-
роткого замыкания, в значительной степени аналогичны описанным вы-
ше и не нуждаются в дальнейшем рассмотрении.
h-параметры. Пусть характеристики отдельных компонент для кас-
кадного соединения, показанного на рис. 7-7-1, представлены в форме
й12
ftai ^2
Уз
Уз
х4
Й43
й4|
У*
(7-7-11)
(7-7-12)
х2
х,
В общем случае, когда все четыре коэффициента в уравнениях ft-пара-
метров являются ненулевыми, получение характеристик системы свя-
141
зано с громоздкими вычислениями даже для каскадного соединения
двухвходных компонент.
Однако имеются различные специальные формы представления
A-параметров, которые позволяют удобно и быстро вывести уравнения
в системах, образованных из последовательно включенных двухвход-
ных компонент. Эти формы будут рассмотрены ниже.
Идеальные соединительные элементы. Пусть харак-
теристики двухвходных компонент на рис. 7-7-1 таковы, что матрица
коэффициентов в полюсных уравнениях имеет нули на главной диаго-
нали:
Уг
х2
О h12
h21 О
Уг
Уг
Х4
О h3i
/г43 О
-*з
У1
(7-7-13)
(7-7-14)
Из уравнений отсечений и контуров
х2=х3 и у3=— уа-
Характеристики системы получаются простой подстановкой х2 из
(7-7-13) в выражение для Хл в (7-7-14) и уз из (7-7-14) в выражение
для yi в (7-7-13), что дает (рис. 7-7-3):
^12^34
О
Л
У<
(7-7-15)
Примерами двухвходных или трехполюсных компонент этого типа яв
ляются идеальные трансформаторы,
зубчатые передачи и рычаги. От-
Рис. 7-7-3. По- Рис. 7-7-4. По-
люсный граф люсный граф
для уравнения для уравнения
(7-7-15). (7-7-18).
Рис. 7-7-5. По- Рис. 7-7-6. По-
люсный граф люсный граф
для уравнения для уравнения
(7-7-21). (7-7-27).
метим, что результирующее выражение получается просто образова-
нием произведений соответствующих коэффициентов в полюсных урав-
нениях.
Идеальные однонаправленные составляющие.
Пусть характеристики двухвходных компонент, изображенных на
рис. 7-7-1, имеют вид:
и
Уг
Уз
х4
О
ft2i
О х4
^2 Уг
О 0 х3
h4S h4 у4
(7-7-16)
(7-7-17)
Существенной особенностью этих уравнений является строка из нулей
в матрице коэффициентов.
142
Поскольку у2=—уз и «3 = 1/4, характеристики системы получаются
непосредственно подстановкой х2 из (7-7-16) в выражение для х4
в (7-7-17), что дает (рис. 7-7-4)
Ух
О 01 1л, I
Л43Л21 й41 1У4 I
(7-7-18)
Отметим, что этот чрезвычайно простой результат является прямым
следствием того, что уз=0 во второй из соединенных в каскад двухвход-
ных компонент. Мы говорим, что нагрузка второго каскада не оказы-
вает влияния на первый. Кроме того, выходное полное сопротивление
первого каскада h2 не входит в характеристики системы. Действитель-
но, полюсные уравнения содержат больше сведений, чем фактически
требуется для каскадного соединения таких компонент. Аналогично,
если второй каскад следует за компонентой, у которой последователь-
ная переменная равна нулю или незначительна, то его выходное пол-
ное сопротивление й4 также не представляет интереса. По этой причи-
не только передаточная функция холостого хода [коэффициент (21)
в матрице определителя] заносится в справочные таблицы двухвходных
компонент.
Вообще мы видим, что характеристики системы, образованной из
каскадного соединения двухвходных компонент этого специального
типа, получаются просто умножением передаточных функций холостого
хода отдельных компонент, входящих в каскад. Электронные усилители
и некоторые виды гидроусилителей могут служить наиболее подходя-
щими примерами компонент такого типа.
Когда характеристики двух последовательно соединенных двух-
входных компонент имеют вид
и
У1 I К й12
хг | 0 0
у3
х4
У1
h3 ^34 -^з
0 0
(7-7-19)
(7-7-20)
то характеристики системы аналогичны предыдущим (рис. 7-7-5)

о
^12^34
о
х4
У4
(7-7-21)
Заслуживающими внимания примерами компонент этого типа являют-
ся такие устройства, как центробежный регулятор с шарами и различ-
ные виды пневматических составляющих, где входное перемещение или
давление незначительны.
Однонаправленные компоненты. Когда уравнения ком-
понент, показанных на рис. 7-7-1, выражаются как
Уз
fts 0 х3
^43 ^3 У4
(7-7-22)
(7-7-23)
143
то характеристики системы удобно получать, образуя произведение,
которое можно назвать передаточной функцией нагруженной системы.
Особенность матрицы коэффициентов состоит в том, что элемент (1,2)
ровен нулю.
Из уравнений графа следует, что
У2=— Уъ и х2=х3- (7-7-24)
Следовательно, из первого выражения в (7-7-23) мы получаем урав-
нение
У2=— h3x3=—h3x2, (7-7-25)
которое после подстановки во второе выражение в (7-7-22) дает:
х2=h2\X\—h2h3x2
или
’ <7-7'26)
После подстановки уравнения (7-7-26) в последнее выражение
в (7 7-23) мы находим полюсные характеристики системы (рис. 7-7-6):
У1
К
А«А*И
О
А3
х.
Ул
(7-7-27)
Здесь h*2i = h2ll(h2h3+1) —называется передаточной функцией нагру-
женной системы для первого каскада. Каскадное включение усилителей
на рис. 7-7-7, где входной ток второго каскада достигает большой вели-
чины, является типичным примером системы, для которой полезно при-
менять этот метод составления уравнений.
Легко показать, что передаточную функцию h*2i, входящую в урав-
нение (7-7-27), можно получить, рассчитав или измерив выходное на-
пряжение первого усилителя, как функцию входного напряжения при
включенном втором усилителе.
В общем случае, если переда-
точные функции двухвходных
компонент этого последнего ти-
па устанавливаются при вклю-
ченном втором каскаде, то ха-
рактеристики системы снова
выражаются просто через про-
изведение передаточных функ-
ций компонент нагруженной
Рис. 7-7-7. Каскад из усилителей
системы.
Когда известны полные по-
люсные характеристики компо-
нент, то также известны все сведения, необходимые для выражения
передаточной функции нагруженной системы. Приведенная выше мето-
дика, в соответствии с которой вначале рассчитываются h*21 компонен-
та, а затем образуется произведение этих передаточных функций, пред-
ставляет очень простой и удобный способ получения характеристик
каскадных двухвходных компонент подобного специального вида.
Такой же метод можно применить при анализе последовательно
включенных двухкаскадных компонент, когда их характеристики имеют
аналогичную форму:
Подробный
Уг
хг
А, А12
h21 О
X,
Уг
вывод предлагается сделать читателю.
(7-7-28)
144
Отметим, что идеальная однонаправленная компонента является
разновидностью однонаправленной компоненты. В последнем параграфе
мы имеем возможность обратиться к этому классу компонент в связи
с общим понятием о структурных схемах. Для удобства весь класс уси-
лителей относится к однонаправленным компонентам.
7-8. Параллельные и последовательно-параллельные
трех- и четырехполюсники
Параллельные четырехполюсники. Когда два четырехполюсника
соединяются, как схематически
общем случае, как на рис.
7-8-1,6, принято считать ком-
поненты параллельными. В
§ 7-6 уже отмечалось, что ма-
трица коэффициентов коротко-
го замыкания для полюсного
графа на рис. 7-8-1,в получа-
ется суммированием матриц
коэффициентов короткого за-
мыкания для двух компонент.
Во многих применениях связь
осуществляется лишь между
входной парой А—В и выход-
ной парой С—D. В этом слу-
чае требуется только двухвход-
ные характеристики системы.
Двухвходное представление
получается из четырехполюс-
показано на рис. 7-8-1,а, или в более
Рис. 7-8-1. Параллельное соединение двух че-
тырехполюсников.
а —схема; б — граф системы; в — полюсный граф;
г — двухвходный полюсный граф.
ного представления исключе-
нием одного уравнения. В частности, если
графа на рис. 7-8-1,в имеют вид
уравнения для полюсного
(7-8-1)
где Wij = Waij-}-Wbij, уравнения для двухвходного представления на
рис. 7-8-1,г можно получить, установив уС1 = 0 и исключив последнее
уравнение
Уг
Уо
^13
^23
ЩГ 31 Гза||
^33
Xi
Хо
(7-8-2)
^21 W22
Однако вопрос заключается в следующем: может ли вообще быть по-
лучено двухвходное представление как сумма двухвходных представле-
ний отдельных компонент, и если да, то для каких ограниченных форм
полюсных уравнений компонент?
Вообще говоря, двухвходное представление параллельных четырех-
полюсников никогда не может быть получено как сумма двухвходных
представлений компонент. Однако если уравнения четырехполюсника
имеют специальный вид, то его можно включить параллельно с двух-
входной компонентой. Например, когда двухобмоточный трансформа-
тор включается параллельно с резистивным четырехполюсником, граф
системы становится таким, как показано на рис. 7-8-2,б. Третий элемент
(изображен штриховой линией) для трансформатора обычно исклю-
10—1738
145
Рис. 7-8-2. Параллельной соединение развязанного
и пассивного четырехполюсников.
а — схема; б — граф системы.
чается, потому что io3 = 0 и все остальные полярные напряжения незави-
симы от иа?, т. е. матрица коэффициентов содержит строку и столбец
из нулей. Если схема на рис. 7-8-2 будет использоваться только как
двухвходная компонента, то tfc3 = 0 и при выводе необходимо лишь двух-
входное представление резистора с четырьмя зажимами. Важное огра-
ничение здесь представляется в том, что полные четырехполюсные ха-
рактеристики одного из четырехполюсников будут представлены через
полюсный граф двух отдель-
ных частей. Однако этот по-
люсный граф не является
двухвходным представлени-
ем. Чтобы избежать путани-
цы, четырехполюсник, для
которого полюсный граф
представлен в виде двух
раздельных частей, в даль-
нейшем относится к развя-
занной компоненте.
Полюсные графы всех
четырехполюсных электро-
механических, гидромехани-
ческих и электрогидравличе-
ских компонент (преобразо-
вателей) по определению имеют две части, и таким образом, эти компонен-
ты относятся к классу развязанных. Кроме того, когда две или более
таких компонент соединяются в каскад, как показано, например, на

Рис. 7-8-3. Каскадное соединение электромеханических преоб-
разователей.
а — схема; б — граф системы; в — граф компоненты.
рис. 7-8-3, четырехполюсный граф системы всегда имеет две изолиро-
ванные части и каскад снова классифицируется как развязанная ком-
понента. Такие компоненты часто встречаются в системах управления,
и поэтому характерные особенности, отмеченные выше, следует хорошо
усвоить. В гл. 10 мы увидим, что при подходящем выборе блоков
Рис. 7-8-4. Последовательно-параллельное соединение двух че-
тырехполюсников.
а—схема; б — граф системы; в — полюсный граф.
146
большинство систем управления можно рассматривать как соединение
двухвходных компонент или четырехполюсных развязанных компонент.
Последовательно-параллельные четырехполюсники. Другим видом
связи между четырехполюсниками, лежащим в основе почти всех си-
стем управления, является последовательно-параллельное соединение,
которое показано схематически на рис. 7-8-4,а для электрической ком-
поненты, а в более общем случае — через полюсный граф на
рис. 7-8-4,б. Когда полюсные уравнения двух компонент даны в сме-
шанной форме:
Ха1 бац ^012 ^ai3 Уаг
У аг — ^аг (7-8-3)
У аз - . . -^аз
*bi hbn hbi2 hbi3 Уьг
УЪг = • • . ХЪг (7-8-4)
Уъз . . . •%Ъз
матрица коэффициентов в уравнениях для полюсного графа на рис. 7-8-4,в
получается су ммированием матриц коэффициентов компонент:
-XCi
Ус2
Усз
h ан ^га12 + hb12
h,
Усг
-^С2
*с3
Двухвходное представление системы на рис. 7-8-4, конечно,
чается при установлении t/c3=0 и исключении
Как
рис.
(7-8-5)
полу-
последнего уравнения,
и в случае параллельного соединения, если одна из компонент на
7-8-4
является
б)
Рис. 7-8-5.
УЪг
в
У аз
развязанной, то, чтобы найти двухвходное пред-
ставление системы, требуется только
двухвходное представление второй ком-
поненты. Когда графы двух
имеют вид, изображенный
7-8-5,а, а уравнения записаны
компонент
на рис.
как
то матрица коэффициентов
на рис. 7-8-5,б получается
понент:
Уо
^ан
Йа21
hb2i
^012
^а22
^Ь12
^Ь22
(7-8-6)
аг
Уъг
%Ъ2
(7-8-7)
полюсных уравнениях для полюсного графа
путем сложения матриц коэффициентов ком-
12
Уг
(7-8-8)
t>22
Уаг .
h
fta2i
О
Очевидно, что эти простые способы нахождения уравнений распро-
страняются на последовательно-параллельные соединения трехполюс-
ников, а также и на последовательно-параллельные соединения между
двумя развязанными компонентами. Для трехполюсникавершины С иЕ
графа системы, изображенного на рис. 7-8-5,а, объединяются, и на ха-
рактеристики компонент не накладываются никакие ограничения.
10*
147
Чтобы продемонстрировать типичное применение полученных выше
результатов, зададимся целью получить характеристики вход — выход
двух трехполюсных электронных усилителей, соединенных, как показа-
но на рис. 7-8-6. Полюсные уравнения этих усилителей имеют вид
ga О
Ра
ttai
(7-8-9)
(7-8-10)
а)
Рис. 7-8-6. Последовательно-параллельное соедине-
ние двух трехполюсных компонент.
а — схема; б — граф системы; в — двухвходной граф.
ibi
А И
О,
’ >
В С
^ai
^02

Zb Rfc
О о
Для получения полюсных уравнений двухвходного графа, изобра-
женного на рис. 7-8-6, найдем матрицу, обратную данной в (7-8-9),
и сложим результирующие матрицы коэффициентов
Zb + y- рь
о Q
— Pg 1
Zagа Zq
«о
(7-8-11)
Получив матрицу, обратную данной в (7-8-11), чтобы выразить вы-
ходное напряжение как явную функцию входного напряжения и выход-
ного тока, мы имеем:
ii
ио
Zqgq
gaZb + 1 + PaPb
(7-8-12)
Анализируя последний пример, можно сделать несколько важных вы-
водов:
1. Коэффициент усиления на холостом ходу (передаточная функ-
ция) системы из уравнения (7-8-12) составляет
Р«а
—— — 7 ,----— при 1=0,
ui gaZb + 1 + PaPb 1
и мы видим, что при gu=0 коэффициент усиления системы можно сде-
лать произвольно большим, регулируя усиление усилителей так, чтобы
PaPb — 1.
148
2. Если ць=1, 2ь*=0 и [Ха 1> то с достаточной степенью точ-
ности
Ui ~
и коэффициент усиления системы нечувствителен к изменениям коэф-
фициентов усиления усилителей. Кроме того, выходной сигнал является,
по существу, точной копией входного. Для чисто электрических компо-
нент эти свойства не имеют существенного значения. Однако если
выходная переменная представляет механическое перемещение или
скорость, как в случае, когда компоненты являются электромеханиче-
скими преобразователями, то последовательно-параллельное соедине-
ние дает очень эффективное средство для осуществления точного управ-
ления механическим движением с помощью электрического сигнала.
Эти выводы более подробно рассматриваются в гл. 10.
3. Если gQ=0, то выходное полное сопротивление системы
1 + Н-аР-Ь
Таким образом, последовательно-параллельное соединение может так-
же эффективно использоваться для реализации источника с почти по-
стоянным напряжением, т. е., когда papt> -’°0, выходное полное сопро-
тивление стремится к нулю.
4. И наконец, если обе компоненты в последовательно-параллель-
ном соединении являются идеальными однонаправленными компонента-
ми, то ga = 0 и двухвходные характеристики системы также являются
идеальными однонаправленными
о о
p«a Za
1 + HaHft 1 + BaP-Ь
li
«о
«о
io
(7-8-13)
Если эта система должна применяться в последовательной и (или) по-
следовательно-параллельной схемах с другими идеальными однонаправ-
ленными компонентами, то представляет интерес лишь передаточная
функция.
Последовательно-параллельные соединения однонаправленных
трехполюсников и четырехполюсников позволяют получить широкое
разнообразие характеристик и описываются относительно простыми
математическими выражениями. Легко понять, что именно по этой при-
чине они часто используются в системах управления. Действительно,
последовательно-параллельная форма является основным строительным
блоком для систем автоматического управления и называется системой
с обратной связью. В следующем параграфе приводится обоснование
этого целевого назначения, а также обсуждается, какое отношение имеют
рассмотренные методы вывода уравнений к понятиям о структурных
схемах и схемах с обратной связью. В гл. 10 методы получения уравне-
ний, представленные в этом параграфе, применяются для анализа
типичных систем управления.
Итак, главная задача этого параграфа состояла в том, чтобы пока-
зать, что двухвходное представление последовательно-параллельного
соединения получается суммированием соответствующих матриц коэф-
* Эти частные значения получаются просто включением последовательной компо-
ненты Ь между D и В.
149
фициентов. Не существует ограничений по отношению к матрицам коэф-
фициентов, кроме того, что они должны соответствовать полюсным
уравнениям, которые записаны в форме (7-8-6) и (7-8-7). Если обе ком-
поненты системы являются трехполюсниками, то вообще не существует
ограничений, накладываемых на компоненты. Однако в случае четырех-
полюсников по крайней мере одна из двух компонент должна быть раз-
вязанной.
Если полюсные уравнения компонент системы такие же, как и для
идеальных однонаправленных компонент, то форма, требуемая в выра-
жении для суммы ,[уравнения (7-8-6) и (7-8-7)], не может быть полу-
чена. Однако в этом случае результат настолько прост, что его легко
запомнить. В частности, если полюсные уравнения для компонент графа
системы, показанном на рис. 7-8-5,а имеют вид
О о
Уш
(7-8-14)
И1
-£ai
У az
и УЬг то полюсные уравнения для жаются через У. = хо __ Zb Р*ь УЬг 0 0 хЬ2 двухвходного гра 0 0 Ра Za 1 + BaP-Ь 1 + Р-аВь (7-8-15) фа на рис. 7-8-5,в выра- Xi . (7-8-16) Уо
аналогично, когда уравнения записаны для однонаправленных компонент и
уа1 — Wa 0 Ра 0 xai У аг (7-8-17)
УЪ2 = 0 рь ° 1 нм | УЬг 1 хЬг . (7-8-18)
полюсные уравнения для двухвходного графа на рис. 7-8-5,б имеют вид
Уг —- wa -Ра Xi (7-8-19)
1 + Ра?Ь 1 + PaPb
0 0 Уо
7-9. Общее представление о структурных схемах и обратной связи
в системах с двухвходными компонентами
В § 7-7 отмечалось, что, когда системы образованы из последова-
тельного соединения только однонаправленных двухвходных компонент,
удается упростить анализ, используя понятие передаточной функции
нагруженной системы. При этом оказывается достаточной зависимость
лишь между двумя переменными (вместо обычных четырех) —по одной
от каждой пары полюсов. В таких случаях математические выражения,
входящие в вывод, можно представить в виде простой наглядной диа-
граммы. Например, если полюсные характеристики двух компонент
150
каскада представлены в виде (7-7-16) и (7-7-17), то связь между входом
и выходом параллельных переменных дается в уравнении (7-7-18) как
X0 = X4 = /243/221X-|=/?43/221Xi. (7-9-1)
Предусматривается, конечно, что компонента 'Попользуется при
условиях, когда ул=0 (выход разомкнут). Зависимость (7-9-1) по опре-
делению можно наглядно представить структурной схемой на рис. 7-9-1,а.
Математические уравнения (контура или части полюсных уравне-
нии), с помощью которых получен этот результат, приведены на
рис. 7-9-1,6 вместе со структурной схемой, представляющей их. Точка
л ~Г<|Д- a h 3=2-г 9 Xj» h —
-* "<>зп2< * г< ‘‘З
xli=hli3h2tx1 Хг~/>г1х1, x^-h^Xj, 12~хз
a) 6)
Pnc. 7-9-1. Структурная схема уравнения (7-9-1).
показано на
как
объединения двух блоков называется узлом. По определению, перемен-
ная х3, направленная от узла, равна переменной, направленной к узлу,
как и следует из уравнения х3=х2.
В более общем случае считается, что переменные, выходящие из
узла, равны сумме переменных, входящих в него,
рис. 7-9-2. Отметим, что на рис. 7-9-1,б узелвструк-
турной схеме используется для представления урав-
нения контура, в то время как «блоки» используют-
ся для представления элементов полюсного урав-
нения компонент.
Связывая узел структурной схемы с каждой
последовательной переменной в уравнениях отсече-
ний и каждой параллельной переменной в уравне-
ниях контуров, можно изобразить структурную схе-
му любой системы. Например, рассмотрим структурную схему для кас-
кадной пары двухвходных компонент на рис. 7-7-1, где полюсные урав-
нения (7-7-11) и
уравнения снова
(7-7-12) компонент записаны через /1-параметры. Эти
приведены здесь вместе с
уравнениями графа
/1ц
^21
/112
Л 22
Уг
^33 ^34
Л43
Лз
^4
2 *з Уг — У»'
(7-9-2)
представляющая зависимости между ком-
схема, наглядно
этих уравнениях, показана на рис. 7-9-3. Алгебраические
Структурная
понентами в
операции для каждого узла определяются так, чтобы выполнялось со-
гласование с математическими уравнениями, которые соответствуют
диаграмме. В частности, по определению уравнение для узла 2 имеет
вид
! 1/1
2
£/з
4
Х2— /121Х[ +7l22l/2
и соответственно представляет одно из уравнений.
Эта диаграмма является типичной для структурной схемы, отве-
чающей, например, уравнениям каскада из двух транзисторов. Отме-
тим, что она не имеет сходства со схемой системы или ее линейным
графом. Однако в частном случае для однонаправленных компонент
151
Лц = Л12=0, Лзз=Лз4=0 и структурная схема при холостом ходе (уо=О)
показана на рис. 7-9-1. Она обладает заметным сходством со схемой
физической системы. Действительно, она выглядит, по существу, как
однолинейная схема, показывающая внутренние соединения. В этом
и других особых случаях, часть которых рассматривается ниже, струк-
турная схема может быть составлена по виду системы. Уравнения систе-
мы записываются из диаграммы, а не наоборот. Когда этот метод при-
Рис.е 7-9-3. Структурная схема уравнения (7-9-2).
меним, то иногда, хотя, конечно, и не во всех случаях, он сокращает
вывод уравнений по сравнению с непосредственным использованием
более общих методов чз теории линейных графов.
Более абстрактная форма структурной схемы, из которой исключе-
ны прямоугольники, иногда называется диаграммой распространения
сигнала. Последовательная система приемов, именуемая алгеброй гра-
фов распространения сигналов, была разработана для приведения диа-
грамм к простейшим формам за счет устранения контуров и узлов
[Л 7-1 и 7-2]. Эти методы упрощения графа распространения сигналов
Рис. 7-9-4. Обратная связь с двухвходной компонентой.
являются операционным эквивалентом аналитических методов, относя-
щихся к уравнениям отсечений, контуров и компонент. Таким образом,
если .структурную схему или граф распространения сигнала нельзя
нарисовать по виду системы, то эту схему можно методически изобра-
зить по уравнениям отсечений и контуров линейного графа и полюсным
уравнениям компонент. В таком случае имеется выбор: получить част-
ное решение для системы аналитическим методом, который уже рас-
сматривался, либо за счет упрощения структурной схемы. Последний
способ исчерпывающе представлен в других книгах. Применение струк-
турной схемы в качестве основы операционного метода упрощения
систем уравнений не входит в нашу задачу.
С представлением однонаправленных двухвходных компонент в виде
структурных схем тесно связано понятие об обратной связи. Термины
обратная связь и системы с обратной связью имеют такое широкое
разнообразие дополнительных значений и их оттенков, что, в сущности,
невозможно дать всеобъемлющее определение. Субъективную природу
понятия обратной связи можно показать на примере очень простой
двухвходной системы, изображенной на рис. 7-9-4,а. Схему этой систе-
мы можно также представить так, как на рис. 7-9-4,б В любом случае
152
компонента из-за связей в системе сводится к трехполюснику, полюсный
граф которого изображен на рис. 7-9-4,в. Выводы из этого примера
зависят от нашей точки зрения. Относительно схемы на рис. 7-9-4,а мы,
например, можем сказать, что выходной сигнал подается на вход и
такая система обычно называется системой с обратной связью. С дру-
гой стороны, на рис. 7-9-4,б или 7-9-4,в мы видим просто трехполюсник.
причем возбуждение подано на зажимы а—с, а не а—Ь. Для большей
конкретности можно сказать, что рассматриваемая компонента является
обычным усилителем, показанным на рис. 7-9-5,а:
Ч
z/2
— ^21
О
К
(7-9-3)
Полюсные характеристики этого трехполюсника выражаются уравне-
нием (7-9-3) и связным полюсным графом. Когда пары полюсов g—k
и р—k выбраны как входные и выходные, компонента называется уси-
лителем с сопротивлением в анодной цепи. Данное представление
явчяется особенно удобным для того, чтобы ясно показать связь между
полюсными переменными.
Когда возбуждение того же самого усилителя подается на зажимы
g—р, его схема обычно изображается, как на рис. 7-9-6,а. Он назы-
вается катодным повторителем и классифицируется как усилитечь соб-
рагной связью:
^2
«2
О О
— Р23 R*z
^2
(7-9-4)
где
„ ____ Р21 п* _______ &
1 23 1 + P-2I ’ 2 1 + Р-21 '
Это назначение следует в значительной степени из структурной схемы
уравнений, показывающей выходное напряжение холостого хода в функ-
ции входного напряжения. Зависимость устанавливается из (7-9-3) и
связного графа. В частности, из графа на рис. 7-9-7,а и уравнения
(7-9-3)
иг=-Рг1и<(7-9-5)
иг иг^и3(7.5.6)
Рис. 7-9-7.
153
требуемая зависимость входа — выхода при холостом ходе (1’2=0) полу-
чается из решения системы уравнений (7-9-5) и (7-9-6). Аналитическое
решение, конечно, дает:
---Р*21
W2 — Г"I----------Й3.
2 1 + Р-21 3
(7-9-7)
Наглядное представление этой пары совместных уравнений дается
схемой на рис. 7-9-7,б. Конфигурация структурной схемы подсказывает
идею обратной связи — выходная переменная подается на вход. Отме-
тим сходство между структурной схемой и принципиальной схемой си-
стемы, показанной на рис. 7-9-4,а. В этом конкретном примере струк-
турную схему можно, в сущности, рассматривать как однолинейную
схему, показывающую внутренние соединения. Действительно, именно
такие аналогии, а не наглядные представления математических выра-
жений способствовали появлению идей о структурной схеме. Из струк-
турной схемы можно также уяснить, что входной сигнал усилителя iii
пропорционален сумме выходного и входного сигналов системы.
иг = "Ргзиз (7S8)
и3~и1~иг (7S£fJ
Рис. 7-9-8.
Другое полюсное представление трехполюсного усилителя дается
уравнением (7-9-4) и связным полюсным графом. Оно было получено
из представления, соответствующего уравнению (7-9-3), преобразова-
нием дерева. Единственное преимущество последнего представления по
сравнению с ранее полученным состоит в том, что оно выражает выход-
ное напряжение как явную функцию напряжения на вновь выбранном
входе.
Отметим, что последнее полюсное представление также ясно пока-
зывает, как изменяется выходное полное сопротивление, когда выби-
рается другой способ питания усилителя. Это изменение иногда назы-
вается влиянием обратной связи на выходное полное сопротивление
и, конечно, не указывается структурной схемой.
Катодный повторитель и усилитель с сопротивлением в анодной
цепи отличается лишь включением питания и значениями коэффициен-
тов в уравнениях. Для любого вида применения можно непосредственно
использовать двухполюсные представления, рассмотренные ранее, а так-
же трехполюсные представления. Мысль об обратной связи возникает
только тогда, когда мы обращаемся к изображению в виде структур-
ной схемы для уравнений, которые получаются при выводе коэффици-
ента усиления одного представления через коэффициент усиления дру-
гого.
Далее, чтобы показать субъективность понятия обратной связи, вы-
ведем ту же передаточную функцию холостого хода, что и (7-9-3), взяв
в качестве исходных полюсные характеристики усилителя, выраженные
уравнением (7-9-4) и связным полюсным графом на рис. 7-9-6,б. Из
представления на рис. 7-9-8,а следует, что требуемый результат нахо-
154
дится с помощью совместного решения (7-9-8) и (7-9-9) и в аналитиче-
ской форме выражается как
P-21ZZ1.
Структурная схема для уравнений изображает снова не что иное, как
диаграмму обратной связи, показанную на рис. 7-9-i8,6 И, чтобы быть
последовательным, нужно рассматривать усилитель с сопротивлением
в анодной цепи как усилитель с обратной связью. Вероятно, причина,
по которой это рассмотрение не применяется,
состоит в том, что полюсные характеристики
усилителя обычно выражаются через измере-
ния, соответствующие полюсному графу на
рис. 7-9-5,б, а не на рис. 7-9-6,б.
В предыдущем параграфе подчеркивалось,
что последовательно-параллельная форма
представления компонент является основным
строительным блоком автоматического управ-
Рис. 7-9-9.
ления и называется системой с обратной связью. Покажем это назна-
чение последовательно-параллельного соединения на примере струк-
турной схемы для уравнений, при помощи которых выводится коэффи-
циент усиления системы. <Предполагается, что две компоненты являются
идеальными однонаправленными трехполюсниками или развязанными
четырехполюсниками. Из графа системы, изображенного на рис. 7-9-9,
следует, что уравнения контуров для указанного дерева имеют вид:
Х01 =Хг + Хы;
-Хо = Ха2\ Хъ2 = Ха2.
(7-9-10)
(7-9-11)
Если z/o=0, то уы = 0, уС2=0 и полюсные уравнения можно записать:
Ха2 — Ра ($) Xal',
ХЬ1 = Ць($)ХЬ2.
(7-9-12)
(7-9-13)
Рис. 7-9-10. Структурная схема для уравнений (7-9-10) — (7-9 13).
---Р-23^1
Иа 1 — F23
Структурная схема для приведенных выше четырех уравнений пока-
зана на рис. 7-9-10,а, где (7-9-10) представлено узлом /, (7-9-11) —
узлом 2, а (7-9-12) и (7-9-13) изображены двумя блоками. Эта схема
точно соответствует блок-схеме, используемой для получения решения
четырех уравнений на аналоговой вычислительной машине. Выход вы-
числительной машины замыкается или «подается обратно» на вход так,
что при этом образуется петля обратной связи. Так как проектирование
большинства систем управления выполняется на основании результатов
математического моделирования, то стало обычной практикой характе-
155
ризовать систему по виду блок-схемы, используемой для решения на
машине.
Когда блок-схема на рис. 7-9-10,а изображается в форме, показан-
ной на рис 7-9-10,6, то она выглядит точно так же, как однолинейная
схема системы на рис. 7-8-4. Символ ® указывает, что два канала
соединяются последовательно, а не параллельно. Очевидно, если в дру-
гом случае придется встретиться с этим типом системы, то можно будет
изобразить структурную схему, а следовательно, и блок-схему для ана-
логовой вычислительной машины по принципиальному виду системы.
Однако если хотя бы один из четырехполюсников в последовательно-
параллельном соединении не является развязанной компонентой или
если полюсные уравнения отличаются ют уравнений идеальной одно-
направленной компоненты, то блок-схема или структурная схема,
используемая для математического моделирования, будут иметь мало
сходства или совсем не будут походить на однолинейную схему си-
стемы.
Вообще понятие об обратной связи является специфичным для
представлений типа структурной схемы или распространения сигнала,
а не для представления линейными графами. Всякую систему можно
рассматривать с позиций обратной связи, изобразив структурную схему
или граф распространения сигнала для уравнений отсечений и контуров
графа системы и для уравнений полюсных компонент. Очевидно, такая
структурная схема будет зависеть от того, как представлены характе-
ристики компонент, и от того, как выбрано формальное дерево в линей-
ном графе системы.
Методы обратной связи п структурных схем находят практическое
применение при выводе уравнений только тогда, когда структурная
схема может быть получена из рассмотрения системы, а не из матема-
тических уравнений. В таких случаях уравнения системы получаются
непосредственно из структурной схемы, а не наоборот. Структурная
схема является иной формой записи информации, содержащейся в по-
люсных уравнениях компонент и графе системы.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ПОЛЮСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЛЕКТОРНЫХ МАШИН
В предыдущих главах были даны основные понятия о полюсном
представлении отдельных узлов системы и методы получения сочетаний
разных форм полюсных уравнений с уравнениями отсечений и контуров
графа системы. Теперь мы обратимся к более детальному изучению
свойств полюсных уравнений и их выводу для некоторых важных ком-
понент систем управления. В дальнейшем эти полюсные уравнения
будут использованы для получения характеристик типичных систем
управления, в которые входят компоненты. Мы начнем вывод полюс-
ных уравнений коллекторной машины, исходя из свойств ее элементов
и их соединения, т. е. сама по себе коллекторная машина рассматри-
вается как система, состоящая из электрических и механических частей.
8-L Некоторые общие замечания
Коллекторная машина является одним из наиболее старых типов
вращающихся электромеханических компонент. В ранних применениях
машина главным образом использовалась при установившемся режиме
156
работы в качестве генератора, снабжающего систему энергией постоян-
ного тока, или в качестве двигателя, работающего в основном на по-
стоянную механическую нагрузку. Главная задача для подобных
применений заключается в расчете самой машины. При расчете харак-
теристик обычно определяются номинальные токи и напряжения на
зажимах, скорость и момент на валу (или выход), к. п. д. и регулиро-
вочные свойства.
Номинальные значения характеристик и режимов работы представ-
ляют, по существу, их теоретические верхние пределы, при которых
машина не разрушается от перегрева, порчи изоляции или из-за какого-
нибудь другого механического повреждения. Внешняя характеристика
генератора постоянного тока определяется как процентное изменение
напряжения на зажимах якоря (номинальное напряжение принимается
за базу) при изменении тока якоря от нуля до номинального, в то вре-
мя как все прочие параметры поддерживаются постоянными. Аналогич-
но, механическая характеристика двигателя определяется как процент-
ное изменение скорости при изменении момента от нуля (холостой ход)
до номинального (номинальная нагрузка) при условии, что остальные
параметры поддерживаются постоянными.
Если коллекторная машина является элементом сложной электро-
механической системы, то полюсные характеристики, так же как и ме-
тоды расчета, основанные на только что рассмотренных определениях,
оказываются неполными. Коллекторную машину, как любую компо-
ненту, можно включить в изучение системы, если известна математиче-
ская зависимость между полюсными перменными в предлагаемом
диапазоне их изменений. Задачу о связи полюсных уравнений коллектор-
ной машины с физической геометрией и размерами материалов, исполь-
зующихся в конструкции, не следует смешивать с задачей о включении
полюсных уравнений машины в математическое описание системы
управления. 'Решение первой задачи в значительной мере основывается
на теории поля. Вторая задача представляет для нас большой интерес,
и поэтому ниже основное внимание уделяется типам полюсных уравне-
ний и их свойствам, а не проектированию самой машины.
8-2. Электродинамометр
Прежде чем изучать свойства коллекторной машины, полезно оста-
новиться на приборе, который можно рассматривать как одну из основ-
ных компонент коллекторной
машины. Такой прибор пред-
ставляет собой электродинамо-
метрический механизм, схема-
тически показанный на рис.
8-2-1. На основе этого меха-
низма выполняются приборы
для измерения тока 1 и мощно-
сти: катушка с — d намотана
на ферромагнитном сердечни-
ке, который свободно повора-
чивается (в исходном положе-
нии сердечник удерживается противодействующей пружиной) относи-
тельно неподвижной катушки а — Ь. При надлежащем проектировании
1 .В соответствии с мормативами Национального бюро стандартов США сила тока
составляет один ампер, когда сила притяжения .между двумя стандартными катушками
достигает определенной величины.
157
полюсные характеристики прибора (без его противодействующей пру-
жины) для ограниченной области частот можно представить в виде
«1(0
иг(1)
Л0 =
я-£.л)
ill ^1г(Т) ^22 4“ Lza (it
0(0
«г(«)
ю № (0]++j 4) ? (о-
(8-2-1)
(8-2-2)
hz^
Рис. 8-2-2. Типичная кри-
d
вая для -gpLij, (у) в функ-
ции от <?.
Мы полагаем, что запись уравнений (включая выражение для мо-
мента) в такой форме является очевидной для данной конструкции.Сле-
дует отметить, что вообще Li2 зависит не только
от ср, но также и от Л и i2. Однако для многих
применений приемлемые результаты получаются
если считать, что Li2 не зависит от токов.
Коэффициенты в уравнениях (8-2-1) и
(8-2-2) могут быть связаны с геометрией, типом
материала, из которого выполняются элементы
конструкции, и числом витков обмотки. В част-
ности, зависимость устанавливается через век-
торную функцию В, характеризующую магнит-
ную индукцию. Такой способ вывода применяет-
ся в теории поля, и здесь он не будет рассматри-
ваться. Вместо этого получим полюсные уравнения, исходя из операций,
используемых для их измерения.
Запишем отмеченные® (8-2-1) производные произведений в развер-
нутой форме, после чего полюсные уравнения принимают вид:
«1(0
«2(0
о
0 /?22
0(0
0(0
^1г(?)
^22
d
dt
0(0
1,(0
i.(0
т (0=- [л2 (?)«\(00(0]+[В +J^ (0-
(8-2-3)
(8-2-4)
Второй член в правой части уравнения (8-2-3) часто называют э. д. с.
трансформации, тогда как третий член иногда называют э. д. с. вра-
щения или противо-э. д с.
Из уравнения (8-2-3) следует, что если условия испытаний устанав-
ливаются такими, при которых
1 0(0
I 0(0
= const,
(8-2-5)
ф (/) = ф = const,
(8-2-6)
О у LM
£ LM О
Л
о
158
то (8-2-3) сводится к
«г(0 = /?п О
u2(t) О R22
о 4/-^
4/чД?) 0
(8-2-7)
о
Если значения /?ц и R22 определены из предыдущих опытов (напри-
мер, если принять <р=0), то коэффициент — 7-1г(ф) выражается в функ-
ции ср построением отношения
1^?) = ^
d
dtf
(8-2-8)
б зависимости от <р. На рис. 8-2-2 изображена типичная кривая для ди-
намометра, полученная в результате такого построения.
Произведение й£12(ф) часто называют потокосцеплением катушки
с—d, которое зависит от <р и I. Вектор магнитной индукции В2, связан-
ный с обмоткой с—Ь, можно выразить через число витков обмотки и гео-
метрию стали в области катушки с—d. Таким образом, коэффициент
Z]£i2(<p) может быть получен как явная функция геометрических границ
поверхности стали и числа витков, интегрированием индукции В2 по по-
верхности области (по любой поверхности области), ограниченной об-
моткой с—d. По этой причине член ЛА12(ф) иногда называют потоко-
сцеплением вращающейся катушки. По аналогичной причине производ-
ную произведения
иногда называют скоростью изменения потокосцепления.
Отметим, что для кривой на рис. 8-2-2 при малых углах поворота
4? Л12 (?) « const; L12 (<?) К?.
Читателю предлагается убедиться, что Е12(ф) можно определить
экспериментальным способом, установив:
ф(0 =(D = const; (8 2-9)
i2(0=0; (8-2-10)
«1(0 =|t/i|sino)Z (8-2-11)
и построив семейство кривых, представляющих Х2(0 = J м2(0^
в функции z'i для разных значений Ф. Когда значения Е12(ф), получен-
ные из этих кривых, изображаются как функция от ф, тогда в итоге
получается кривая, показанная на рис. 8-2-3.
Третий способ измерения коэффициента dL12((p) /dtp вытекает из вы-
ражения для момента. Когда
ф(^) = ф = const
0(0
0(0
Л
/2
= const,
(8-2-12)
159
выражение для момента сводится к
г=-^1£12(¥)/Л]-
(8-2-13)
Эта составляющая .в выражении момента называется электромагнитным
моментом. Построив отношение ТЦ}12 в зависимости от <р, можно полу-
чить кривую, аналогичную показанной на рис. 8-2-2. Полюсными уравне-
Рис. 8-2-4. Полюс-
ный граф для урав-
нения '(8-2-18).
Рис. 8-2-3. Типичная кри-
вая1 для £1г(ср) в функ-
ции от ср.
ниями (8-2-1) и (8-2-2) можно пользоваться лишь в тех 'случаях, когда
три экспериментальных метода, описанные выше в общих чертах, дают
совпадающие результаты.
Если полюсные характеристики не отличаются от приведенных на
рис. 8-2-2 и 8-2-3, то приемлемое представление для ограниченной
области частот и ограниченного угла поворота относительно <р=0 полу-
чается при допущении
^А12(?)~Л2 = const для — (8-2-14)
Кроме того, для малых углов поворота L120. Следовательно, для
—£ < ? < е и достаточно малом е
(8-2-15)
L^i^XAMt). (8-2-16)
С учетом вышеупомянутых ограничений
полюсные уравнения электро-
динамометра имеют вид:
«А0
«2(0
/?„ 0
0 R22
/а(/)
0
0 L22
d
dt
о д2
д2 о
1\(/)
(8-2-17)

i^t)
T(t) = - А^)12Ц)+ (5 it).
Отметим, что даже с данными ограничениями в полюсные уравнения
входят квадратичные члены, т. е. T(t) и ut(t) являются функциями про-
изведений ii(t)iz(t) и 4(0ф(0 соответственно. Однако, когда одна пара
электрических зажимов (скажем, а — Ь) питается от источника посто-
янного тока, электродинамометр становится линейным четырехполюс-
160
яым электромеханическим преобразователем (для ограниченного угла
поворота относительно <р=0). Линейный граф, соответствующий парам
зажимов, изображен на рис. 8-2-4. Полюсные уравнения для двух эле-
ментов имеют вид
zz2(Z)
idt)
<?(t)
(8-2-18)
Один из наиболее практичных способов получения того же эффек-
та, который создается обмоткой постоянного тока а — Ь. заключается
в замене участков полюсов из «мягкой» стали и соответствующей об-
мотки а—b постоянным магнитом. Для такого устройства коэффициент
(Л12Л) прямо пропорционален остаточной индукции постоянного магни-
та. Если пренебречь (коэффициентами затухания R22 и В, то характе-
ристики при установившемся значении постоянного тока иногда назы-
ваются идеальными характеристиками четырехполюсного электромеха-
нического преобразователя
и.
т
о АЛ
-АЛ о
Л
ф
Для этих идеальных условий общая энергия
входа пренебрежимо мала:
т2
Р=||ЛФ II
= (АЛ)(ФЛ-ФЛ) = о
п иногда считается, что компонента представляет идеальный преобра-
зователь энергии.
Можно вывести уравнения электромагнитного момента для идеаль-
ных условий, когда общая энергия на входе пренебрежимо мала, а урав-
нение напряжения имеет вид
[/2= (Л12/1)Ф.
В отношении исходных данных существует выбор. Вообще, когда полюс-
ные уравнения компонент принимаются в качестве исходных, как это
делается в настоящей книге, тогда мощность или энергия изображают
полученную характеристику компоненты. Если в .качестве исходных дан-
ных используются энергия или мощность вместе с частью полюсных
уравнений компоненты, то выводятся оставшиеся полюсные уравнения,
такие, как уравнение электромагнитного (момента. Последний метод для
многих более привлекателен, поскольку с понятием энергии в научной
работе приходится чаще встречаться. Тем не менее для системы полюс-
ные характеристики являются фундаментальными и поэтому принима-
ются в качестве исходных. К тому же первый метод проще.
Теперь рассмотрим случай, когда на якоре электродинамометра, изо-
браженного на рис. 8-2-1, имеется п катушек. На рис. 8-2-5,а показана
конструкция устройства при и=4. Все катушки идентичны, расположены
на якоре с равномерным угловым смещением и соединены последова-
тельно, как следует из графа системы на рис. 8-2-5,б. Эта обмотка на-
зывается распределенной. Она позволяет экономичнее использовать ма-
териал, т. е. получить в установившемся режиме более высокие отноше-
ния момента к весу и момента к току.
11—1738
161
Теперь получим полюсные характеристики всей обмотки якоря для
малых углов поворота, рассматривая каждый виток в качестве компо-
ненты с известными полюсными характеристиками. Это достигается сум-
мированием соответствующих активных сопротивлений и индуктивно-
стей отдельных катушек. В частности, мы должны выразить коэффици-
енты в полюсных уравнениях (8-2-19) через коэффициенты в (8-2-17) и
число витков распределенной обмотки
zzt(O
HQ(0
Ru О
О Raa
+?(0
W) .
МО
О Да
Да о
°
О Laa
ia(t)
d
dt
(8-2-19)

T (0 = - AiaR (0 ia(t) + (£ +J (/).
a — распределенная обмотка; б— граф системы
Рис. 8-2-5.
Рис. 8-2-6 Полюсный
граф для уравнения
(8-2-19).
Пусть р, представляет собой угловое смещение /-го витка от осевой
линии неподвижной системы отсчета, как показано на рис. 8-2-5,а. В пре-
делах угла
—гг<₽г<тг Для всех /
с достаточно хорошим приближением справедливо
А? (ф) —APj-
(8-2-20)
Для всех катушек, соединенных последовательно,
До (ф) -^-12 (ф) +В1з (ф) + • • • + A,n+i —^гРг+^эРзЧ- • • • +&п-нРп+1- (8 2-21)
Если конструкция такова, что радиальная составляющая индукции
в воздушном зазоре одинакова во всех точках зазора под каждым полю-
сом , то на рис. 8-2-3 кривая между точками f> =-и <р — ~ является
прямой линией. При этом условии коэффициенты уравнения (8-2-21) оди-
наковы и суммирование сводится к
Аа(ф) ~^2(Рг + Рз+ • -ЬРп-н)-
(8-2-22)
162
Из рис. 8-2-5,а следует, что когда положение ротора отсчитывается от
плоскости, проходящей через центр катушки, как показано, тогда
f=^-(₽a + ₽a + - + ₽n+1) (8-2-23)
и (8-2-22) упрощается:
bia(cp) = k2nq>. (8-2-24)
В реальных конструкциях трудно получить равномерную индукцию
в воздушном зазоре ©следствие насыщения полюсов и по другим при-
чинам. Следовательно, сумма в (8-2-21) несколько меньше, чем
в (8-2-24). Отношение двух сумм называется обмоточным коэффициен-
том
, _____ k?.n<f
d -|- Л3Р3 + .. . -|- ^n + iPn + 1
(8-2-25)
Обмоточный коэффициент является удобным расчетным параметром не-
зависимо от конструктивных особенностей воздушного зазора. Таким
образом, уравнение (8-2-21) можно записать в общем случае
ДДф) =&A«cp. (8-2-26)
Используя обмоточный коэффициент как параметр, выразим Aia
в полярном уравнении через соответствующий коэффициент для одной
катушки:
Ага= Lia(fp) = kdn L12 (?) = kdnAia. (8-2-27)
Индуктивность Laa получается аналогичным суммированием:
п + 1 п + 1
(8-2-28)
/=2 /г-2
Выражение для этой двойной суммы трудно получить в явном виде
через число обмоток. Достаточно сказать, что если обмотка распределе-
на по всей окружности, то величина индуктивности очень мала по
сравнению с индуктивностью сосредоточенной катушки, имеющей то же
число витков
Очевидно, активное сопротивление Даа связано с числом витков
через
/?оа=п/?2. (8-2-29)
8-3. Конструктивные особенности коллекторной машины
Коллекторная машина, по существу, является электродинамометри-
ческим устройством, в котором полезный угол поворота расширен за
счет добавления механического коммутатора и катушек обмотки якоря.
Схема простейшей коллекторной машины изображена на рис. 8-3-1,а.
Щетки или скользящие контакты установлены так, чтобы обеспечивать
связь с катушкой, расположенной в требуемой области. Механический
коммутатор называется коллектором.
Более рациональное использование материалов и улучшенные по-
люсные характеристики получаются, когда число контуров якоря и сег-
ментов коллектора достаточно велико. Хорошая механическая конструк-
11*
163
ция и экономия поверхности достигаются за счет размещения сторон
якорных катушек (называемых сторонами катушки) в пазы, вырезан-
ные в якоре, как показано на рис. 8-3-2. Возможное соединение сторон
катушек с сегментами коллектора изображено на рис .8-3-3. Коллектор,
Рис. 8-3-1.
а — элементарная коллекторная машина; б — полюсный граф
конечно, вращается умеете с якорем, а щетки укреплены в определенном
месте корпуса.
Обмотка, типичный образец которой представлен на рис. 8-3-1, на-
зывается разомкнутой, потому что каждая катушка разомкнута, пока
сегменты коллектора не соприкасаются со щетками. Разомкнутая об-
мотка непрактична и применяется
для относительно небольшого числа
катушек (секций). Этот недостаток
отсутствует в обмотке, показанной
на рис. 8-3-2 и 8-3-3. Последняя об-
мотка называется замкнутой вслед-
ствие того, что соединения секций
якоря образуют хотя бы один за-
мкнутый контур.
Наиболее распространенными
замкнутыми обмотками являются
петлевая и волновая. Существует
много подразделений и комбинаций
этих обмоток, такие, как простая
параллельная, лягушачья, двухходо-
вая и т. д. |[Л. 8-1 и 8-2].
Обмотка, показанная в качестве примера на рис. 8-3-2 и 8-3-3, яв-
ляется одним из наиболее распространенных типов и называется пет-
левой. «Петлевой» обмотка называется из-за конструктивного выпол-
нения. Выводы катушек соединены со смежными
сегментами коллектора так, что образуют петлю,
когда обмотка размещена на якоре.
Отметим, что для положения ротора, изобра-
женного на рис. 8-3-3, контуры, которые образова-
ны сторонами катушек 1—1 и 5—5, замкнуты на-
коротко щетками. Катушки, не подвергающиеся
коммутации (не короткозамкнутые), образуют две
последовательные ветви между щетками. Одна
ветвь включает катушки 2, 3 и 4, а другая — 6,
7 и 8.
Рис. 8-3-2. Схематическое изображение
сторон катушек в якорной обмотке двух-
полюсной коллекторной машины.
Рис. 8-3-3. Соедине-
ние катушек обмотки
с сегментами коллек-
тора двухполюсной
коллекторной ма-
шины.
При малых углах поворота вала каждая из
этих групп катушек имеет полюсные характеристи-
ки, идентичные рассмотренным в предыдущем па-
раграфе для электродинамометра. Угол поворота
вала (или соответствующий период времени),впре-
164
делах которого катушки 1 и 5 замкнуты накоротко, называется перио-
дом коммутации. Как только заканчивается этот период коммутации,
начинается другой период для новой группы катушек (такой же, как
и предыдущая группа) в каждой параллельной ветви. Таким образом,
работу коллекторной машины можно рассматривать как непрерывный
процесс переключения.
Ток якоря, по существу, не зависит от времени или от положения
якоря. Если якорь вращается, то ток, протекающий по катушке 1—1,
должен изменить знак за интервал времени, в течение которого сегмен-
ты, как а, так'и Ь, находятся в контакте со щеткой. График тока
в функции ф может походить на одно из се-
мейств кривых, показанных для примера на рис.
8-3-4. Приращение Дф называется углом комму-
тации. Характеристики, выраженные в виде кри-
вых 1, 2 и 3, показывают ускоренную коммута-
цию, линейную коммутацию и запаздывающую
коммутацию соответственно.
Характеристики коммутации, приближаю-
щиеся к линейным (рис. 8-3-4), желательны, если
Рис. 8-3-4. Типичное из-
менение токов в катуш-
ках обмотки при комму-
тации в зависимости от
положения ротора.
нужно устранить искрение при размыкании ще-
точного контакта с сегментом а и цепью 1—1.
Одно из наиболее эффективных средств достиже-
ния этой желательной характеристики состоит
в том, что между главными полюсами укрепля-
ются дополнительные полюсы со второй парой
катушек, именуемых коммутационными катушками, как показано на
рис. 8-3-2 Эти катушки соединяются последовательно с зажимами
якоря (щеточными выводами). Число витков коммутационной обмот-
ки и величина воздушного зазора между дополнительным полюсом и
поверхностью якоря регулируются до тех пор, пока не достигается
приемлемая коммутация (без искрения). Несомненно, задача получе-
ния приемлемой коммутации при изменяющихся во времени условиях
работы является наиболее серьезным ограничением для машин этого
типа.
8-4. Полюсные характеристики коллекторной машины
Ранее отмечалось, что в наши задачи не входит изучение подроб-
ностей расчета коллекторной машины. Однако, чтобы лучше ознакомить-
ся с методами применения линейных графов для изучения систем, по-
лезно рассмотреть саму машину ,в виде системы связанных компонент
(катушек). В таком случае используются свойства соответствующего
линейного графа, чтобы установить зависимость между полюсными
уравнениями, характеристиками коммутации машины и формой об-
моток.
Рассмотрим интервал значений угла поворота якоря, для которого
данная группа сегментов находится в контакте со щетками. Будем обо-
значать этот интервал, как ф1<ф<фг- Для такого интервала каждая
вращающаяся и каждая неподвижная катушки являются компонентами
системы, полюсные уравнения которых уже известны. Линейный граф,
соответствующий соединению этих компонент в машине (рис. 8-3-2) для
интервала ф1<ф<ф2, изображен на рис. 8-4-1,а. На этом рисунке эле-
менты 1—8 соответствуют зажимам каждой якорной катушки. Элемен-
ты 9—12 связаны с контактными поверхностями щеток и представляют
измерения и — i между выводом угольной щетки и точкой на сегменте
коллектора, к которой присоединяется катушка коллектора. Элементы
165
13 п 14 соответствуют выводам двух статорных катушек (коммутацион-
ной и возбуждения). Элемент 15 представляет измерения момента и
углового перемещения якоря относительно корпуса.
Если в релях упрощения принять равными нулю переменные напря-
жений для элементов 9—12 (короткое замыкание), то, используя полу-
ченные в § 8-2 полюсные уравнения для электродинамометра, можно за-
писать полюсные уравнения для элементов графа системы на рис. 8-4-1:
Uj
U2
«з
«4
«в
«7
«8
d
dt
d
Ll2 dt
^13
«14
d -
L'2 dt L'B dt
d_ d
^зг+^-гг^^ ••• l-2s d(
d
dtLl13
d
dtL--13^
(у)
d
d
dt -йг.и (у)
AL r L
LtB di £г» dt • • • LaB dt
d d d
^£-1.1з(у) ^^г.1з(у) • £-в.1з(у)
rf d d 1
—(1-1,11 (f) dfl-1:1«(y) • d( La.u (v) ,
d
^13.1з+ ^'3.73^7
d
R14,14“F £14,14^
(8-4-1)
/?п + L
d d
О
166
T(t)= i3+...+fg^z,gij3) _
-(^4L^+:^ L^+-• •+/»4/в-)MO; (8-4-2)
zze —zz10=zz1i = «12=0, (8-4-3)
где, конечно, 'некоторые члены L могут равняться нулю.
Теперь мы воспользуемся методом, развитым в гл. 4, чтобы вывести
полюсные уравнения для полюсного графа на рис. 8-4-1,6. В соответст-
вии с этим элемент 16, представляющий внешние измерения, классифи-
цируется как элемент системы хорд, если мы хотим получить в полюс-
ных уравнениях напряжения в виде явной функции токов.
Поскольку система хорд содержит три элемента, кроме элемента 16,
требуется найти матрицу, обратную матрице третьего порядка, чтобы
вывести полюсные уравнения для графа на рис. 8-4-1,6. Такую опера-
цию трудно осуществить для нелинейных членов, входящих в полюсные
уравнения составляющих. Однако, когда переменные токов примени-
тельно к элементам 1, 5 и 6 являются известными функциями времени,
требуемый результат можно получить без вычисления обратной матри-
цы. Сейчас мы покажем, что свойственная машине симметрия, а также
требования безыскровой коммутации облегчают определение значений
этих трех переменных хорд.
Катушки 6 и 2 находятся в одном и том же пазу и в пределах про-
изводственных допусков идентичны. Аналогичное утверждение сохраня-
ется для пар катушек 3—7, 4—8 и 1—5. Эти и другие виды симметрии
вместе с уравнениями контуров
Ч2 + и3 + 114 = — (Ug + Wr + We) = Н1б + И13 (8-4-4)
означают, что ток хорды z6 связан с полюсным током через
._____.___i_d
'— А 2 ’
т. е. токи в двух параллельных ветвях обмотки одинаковы по амплитуде.
Вообще мы очень мало знаем о мгновенных изменениях токов Л и
«5 во времени. Однако из предыдущего параграфа нам известны некото-
рые сведения об изменении величины этих переменных и их среднем
значении в период коммутации. В частности, если мы примем, что АЛ
и А/] представляют собой изменения этих переменных в интервале по-
ворота вала
Дф=<р2—<рь
то
ЛЛ = 1'б(ф2)—«2(<Г1); (8-4-5)
Д/5=*2(ф2)—'б(<Р1) =—А/1. (8-4-6)
Безыскровая коммутация обеспечивается также при условии, что
за период коммутации средние значения i}(t) и i3(t) стремятся к нулю:
7, (средний) = 0=—/5 (средний). (8-4-7)
Приведенные выше зависимости наряду с тем обстоятельством, что
интервал коммутации очень мал, дают возможность прибегнуть к аппро-
ксимации дифференциальных уравнений уравнениями в приращениях.
167
если принять приращение времени dt в качестве периода коммутации.
В этих уравнениях мы будем использовать переменную АЛ чтобы пред-
ставить изменение в интервале коммутации, и переменную /, чтобы пред-
ставить значение переменной в середине интервала. В частности, мы
имеем:
ДД =— A/s = /d — изменение тока за приращение времени; (8-4-8)
/2 =— /5 = 0— значение тока в середине приращения; (8-4-9)
/в = — /2=-у-—значение тока в середине приращения; (8-4-10)
Д/в =— Д/2 = ^—изменение тока за приращение. (8-4-11)
После записи последнего уравнения в (8-4-1) в приращениях мы
получаем выражение для полюсного напряжения .в обмотке возбужде-
ния (вычисленного относительно середины приращения):
8 8
и,=и„=«„/„+ (£)+£ А (тг) (8-4-12)
k-l k=l
где Lfe,i4 характеризует изменение индуктивности за интервал. Подстав-
ляя выражения (8-4-8) — (8-4-11) в уравнение (8-4-12) и учитывая, что
в соответствии с рис. 8-3-2 £2,14=—А6,14; £3,14=—£7,14 и т. д.,
а £2,14-Ь£з,14-1-£4,14=01 мы получаем:
+ + -(Д£2л4+Д£3,14+Д£4.н)^. (8-4-13)
Для данного выполнения обмотки обеспечивается
Д£2,14+А£з,14+A£4,i4~2£ij4, (8-4-14)
а уравнение (8-4-13) сводится к
= + (8-4-15)
и мы убеждаемся, что в пределах приближенного уравнения (8-4-14)
напряжение возбуждения не зависит от тока якоря.
Из уравнений контуров графа
На='Д1б= НгЧ- + Ui—£13, (8-4-16)
записав дифференциальные уравнения для этих напряжений [уравне-
ния (8-4-1)] в форме уравнений в приращениях и произведя указанное
суммирование, получим:
Ua = /и - Raa/d - Laa ~ , (8-4-17) ‘
где
~ (^^-2,14 "Ф" А4-3 Л4 -ф- А£4Л4);
Raa = (R22 + R33 + R-ti) + Ris'y
Raa — (£22 -ф- £33 -ф- 4-44 -ф- 2£33 -ф- 2£24 -ф- 2£35) -ф-
ф- (4-13лз 2£2iI3 2£3-13 £3,14).
168
Аналогичным образом уравнение, выражающее момент через полюсные
переменные, записанное в приращениях для малых углов поворота, име-
ет вид:
T=AalIJd+B% (8-4-18)
Уравнения в приращениях для полюсного графа на рис. 8-4-1,б
при интервале коммутации, принятом за приращение, суть:
Uf иа — Rt 0 др Raa /f la + Lf 0 0 La Д/ ДА ; (8-4-19)

т = ~ -VW. + в g + J . (8-4-20>
Эти уравнения в приращениях применимы только .в пределах интервала
времени, именуемого периодом коммутации. Однако, как мы отмечали
ранее, если все якорные катушки одинаковы, то граф и полюсные урав-
нения для каждого последующего интервала также одинаковы. Следо-
вательно, полюсные уравнения справедливы в равной степени для всех
интервалов. Когда отношение ширины щеток к ширине сегмента кол-
лектора таково, что короткозамкнутые катушки сменяются последова-
тельно при переходе от одного интервала к другому, тогда для всех
интервалов получаются мало отличающиеся полюсные уравнения и ли-
нейные графы. Если же это изменение не так мало, чтобы считаться
незначительным, то машина имеет малую практическую ценность.
Отметим, что уравнения в приращениях (8-4 19) п (8-4-20) прибли-
женно выражают напряжения и момент относительно середины интер-
вала коммутации через полюсные токи и скорость вала в начале и кон-
це коммутационного периода. Когда величина интервала коммутации
приближается к нулю, эти уравнения в приращениях становятся диффе-
ренциальными:
I «/(0
।
Rff + Lff^ о
Aaf<f (0 Raa Ваа
b(t)
*а(0
(8-4-21)
/(/) = - Aafif(t)ia(t) + + J ?(t). (8-4-22)
Эти дифференциальные уравнения приняты в качестве полюсных урав-
нений коллекторной машины.
I
8-5. Лабораторное измерение коэффициентов полюсных уравнений
Коэффициенты уравнений (8-4-21) и (8-4-22) можно также опреде-
лить экспериментальным способом. Конструктор машин, конечно, пола-
гает, что подобные результаты соответствуют величинам, которые полу-
чены им из расчета размеров машин.
Если полюсные уравнения в форме (8-4-21) корректны, то значения
Rff 11 находятся из измерений на зажимах обмотки возбуждения.
Когда строят кривую в функции получается петля гистерези-
169
са, аналогичная изображенной на рис. 8-5-1. Как и во всяком ферро-
магнитном индукторе, ширина петли характеристики X — i, построенной
по изменению синусоидального напряжения на зажимах, возрастает
с повышением частоты. Вид характеристики также изменяется с вели-
чиной приложенного полюсного напряжения. Очевидно, что /выбранные
линейные полюсные уравнения могут вообще не обеспечить требуемой
точности в широком диапазоне изменения полюсных переменных. Если
Рис. 8-5-1. Типичная
1 — i-характеристика для *
обмотки возбуждения ма-
шины постоянного тока.
Рис. 8-5-2. Типичная на-
грузочная характери-
стика.
Рис. 8-5-3. Типичная кри-
вая намагничивания хо-
лостого хода.
предполагается использовать полюсные уравнения в линейной форме, то
линейная аппроксимация должна быть выполнена в выбранной рабочей
точке.
Коэффициент Lff можно также измерить, подав на зажимы ступен-
чатую функцию напряжения и записав изменение i(t). Если результирую-
щая кривая аппроксимируется экспонентой i=e~(R L}t, то отношение RffjLff
легко определить. Отношение LnlRti называется постоянной времени.
Тем же методом можно воспользоваться для измерения постоянной
времени якорной цепи LaaIRaa. Однако из-за скользящего контакта ак-
тивное сопротивление цепи неподвижного якоря может в значительной
степени отличаться от сопротивления вращающегося якоря. Как и
в предыдущем случае, линейную аппроксимацию следует выбирать
в рабочей области и сопротивление якоря лучше измерять, когда он вра-
щается. Для этого во время эксперимента устанавливается:
1/ = / = const;
<р(/) = Ф =const,
а к зажимам якоря присоединяется переменное сопротивление. График
Ua в функции 1а для этих условий представляет собой в итоге кривую,
показанную на рис. 8-5-2. Если результирующую кривую аппроксими-
ровать прямой линией, то точка пересечения ее с осью Ua характеризу-
ется произведением и часто называется э. д. с. Или противо-э. д. с.
Активное сопротивление на якорных зажимах находится по наклону
аппроксимирующей линии. Применяемая здесь техника измерения на-
зывается испытанием под нагрузкой.
Чтобы измерить возможные изменения величины коэффициента Aaf
от г/(0, устанавливают i'a(/)=0 и снимают зависимость ua(t) от if(t)
при постоянной <p(t). В итоге получается кривая, изображенная на
рис. 8-5-3. Такой метод иопытаний называется опытом холостого хода,
а полученный график — кривой намагничивания холостого хода.
170
Если вместо вычерчивания графика иа от if построить отношение
иа/<р = Aajif, то получится кривая той же формы, но она будет незави-
сима от скорости вращения. Переменная Aafif — U-a]<f является мерой по-
тока в воздушном зазоре и характеристикой кривой, намагничивания
машины. Отношение ua^if — Aaf называется магнитным сопротивле-
нием машины.
Отметим, что для измерения коэффициентов Aaj и Aafif можно также
воспользоваться уравнением момента (8-4-22) и рассмотреть T(t) и ia(t) при
<у(/)-=0. Результаты, конечно, не должны отличаться от тех, которые
получены иными методами, описанными выше.
8-6. Основные способы работы
Заметим, что даже когда характеристики, рассмотренные в преды-
дущем параграфе, аппроксимированы линейными функциями на основе
соответствующего эксперимента, полюсные уравнения для коллектор-
ной машины как шестиполюсной составляющей являются квадратичны-
ми функциями полюсных переменных. Если машина вводится в систему
в качестве шестиполюсника, то результирующие нелинейные математи-
ческие выражения вообще не поддаются решений}. Однако если пред-
ставить машину четырехполюсной компонентой, приняв постоянной лю-
бую из трех функций if(t), ia(t) и q(t) в (8-4-21) и (8-4-22), то урав-
Рнс. 8-6-1. Полюс-
ный граф для
уравнения (8-6-1).
Рис. 8 6-2. Полюс-
ный граф для
уравнения (8-6-2).
Рис. 8-6-3. Полюс-
ный граф для
уравнения (8-6-3).
нения становятся линейными. Основная коллекторная машина, которая
используется в системах управления, может применяться в одном из
следующих трех вариантов:
1. Вращающийся усилитель <р(/) = Ф (постоянная скорость):
О
Aaf& $аа~1~ Ваа
«а(0
if (О
ia(t)
(8-6-1)
Поскольку скорость постоянна, третье полюсное уравнение, вклю-
чающее T(t), нет необходимости решать одновременно с двумя други-
ми. Следует, однако, отметить, что оно все еще остается квадратичным
и что момент можно подсчитать после получения решения для to и if.
2. Электромеханический преобразователь if=If (постоянный ток
возбуждения):
ua(t)
T(t)
Baa I i-nCL Aaflf
-Aaf]f B + J~
(8-6-2)
?(0
171
3. Электромеханический усилитель ia = Ia
(постоянный ток якоря):
Uf{t)
T(t)
4(0
(8-6-3)
Б практических случаях последний способ работы трудно реализо-
вать, так как требуется источник постоянного тока.
8-7. Работа в установившемся режиме на постоянном токе
Чтобы получить аналитическое решение в функции времени для ис-
следования систем, содержащих коллекторные машины, необходимо
иметь постоянные коэффициенты в полюсных уравнениях, которые при-
ведены в § 8-6. В действительности классификация различных способов
действия охватывает работу в изменяющихся от времени условиях. Для
большинства систем управления характеристики переходных процессов
имеют важное значение. Таким образом, удовлетворительное исследова-
ние систем, содержащих машины, зависит от нашего умения получить
приемлемую линейную аппроксимацию для каждого полюсного урав-
нения.
С другой стороны, имеется очень большая область применения кол-
лекторных машин, в которой характеристики в установившемся режи-
ме важнее, чем в динамическом. В таких случаях можно включить не-
линейные коэффициенты в полюсные уравнения и в основном использо-
вать графические методы решения. Примерами подобного применения
коллекторных машин служит работа в качестве источника напряжения
постоянного тока (генератора) и источника механического момента
(двигателя).
В этой книге условно считается, что машина работает как генера-
тор, когда
^)Г(0<0,
и как двигатель, когда
<р(ОГ(О>о.
При переходных процессах или меняющихся во времени статических
условиях машина может работать то генератором, то двигателем. Одна-
ко, исходя из длительного неизменного режима, под установившимися
характеристиками двигателя подразумевают работу с заданным посто-
янным напряжением на зажимах. Установившийся режим генератора
означает работу с заданной постоянной скоростью вращения вала.
8-8. Характеристики генератора постоянного тока в установившемся
режиме
Независимое возбуждение. Когда вал приводится во вращение с по-
стоянной скоростью и обмотка возбуждения питается от источника по-
стоянного напряжения, как показано на рис. 8-8-1, считается, что ма-
шина является генератором с независимым возбуждением.
При этих условиях мы интересуемся только характеристиками
устройства, рассматриваемого в качестве двухполюсной электрической
компоненты — генератора. Типичная нелинейная вольт-амперная харак-
теристика в установившемся режиме показана для этого двухполюсника
172
на рис. 8-8-2. В некоторых простых применениях эту кривую можно ис-
пользовать при решении уравнений системы графическим способом.
Например, когда к зажимам якоря подключается линейное сопротив-
ление, точка пересечения вольт-амперных характеристик сопротивления
(показана на рис. 8-8-2,б пунктирной линией) и машины представляет
собой графическое решение для нелинейной системы.
Шунтовой генератор. Когда обмотка возбуждения коллекторной
машины присоединяется параллельно с якорем (рис. 8-8-3) и вал при-
Рпс. 8-8-1. Схема машины
постоянного тока с незави-
симым возбуждением.
Характеристика иа
8-8-2. Полюсное представле-
Рис.
ние для установившегося режима
генератора с независимым воз-
буждением.
а — полюсный граф; б—Ua—^-харак-
теристики.
этом в соответствии с полюсным
водится во вращение с постоянной
скоростью, машина называется шун-
товым генератором. С точки зрения
полюсного представления интересно
рассмотреть генератор, показанный
схематически на рис. 8-8-3 в каче-
стве двухполюсной компоненты. При
графом на рис. 8-8-4 сохраняются лишь вершины а и Ь.
Сейчас мы покажем, что нелинейные полюсные характеристики
этой системы в установившемся режиме можно получить из нелиней-
ных характеристик компонент системы. Из формального дерева следу-
ет, что уравнения фундаментальных контуров
для графа системы на рис. 8-8-4 имеют вид:
и уравнения отсечений
Uf=Ud-,
Uf=>Ua;
Рпс. 8-8-4.
a — граф системы; б — полюс-
ный граф для шунтового гене-
ратора на рис. 8-8-3.
Нелинейная характеристика,
которая будет использоваться в гра-
фическом анализе, связывает Ua и
If. Следовательно выбранное дерево
включает элемент f как хорду, так что
(8-8-1)
(8-8-2)
(8-8-3)
If входит в уравнения системы
в качестве переменной. Нелинейные уравнения для компонент:
Ua = Eg(/f)-\-RaaIa-, (8-8-4)
Uf = Rffh,
(8-8-5)
173
где зависимость Eg (If) = yAaf(If)If показана в виде характеристики холо-
стого хода на рис. 8-8-5.
Частное решение системы этих трех уравнений получается подста-
новкой (8-8-3) в (8-8-4), а результата вместе с уравнением (8-8-5)
в (8-8-2). В итоге получается:
О— (Rff + Raa) If + RacJd Eglf.
(8-8-6)
Рис 8 8-5. Кривая холостого хода маши-
ны постоянного тока, имеющей мощность
Vie л. с.
Нелинейный член (Rff+Raa) h
и линейный член (EgIf) построены
вместе на рис. 8-8-5 в функции If.
Точка пересечения этих двух кривых
представляет собой графическое ре-
шение уравнения, когда Лг=О. Кри-
вая холостого хода Eg(If) является
двузначной на протяжении боль-
шей части рабочей области и пере-
текает линию сопротивления в двух
точках. Точка, которая будет исполь-
зоваться в решении, зависит от то-
го, как изменяется If — возрастает
или убывает. Используем для опре-
деленности верхнюю кривую. Пере-
сечение кривых происходит при 118 в
и Д=0,052 а. Таким образом, полюс-
ное напряжение холостого хода рав-
няется 118 в, и одна точка на вольт-
амперной характеристике компонен-
ты, изображенной на рис. 8-8-6,
найдена.
Чтобы подсчитать дополнительные точки на кривой, разрешим
уравнение (8-8-6) относительно Id‘
j _ Eg(If)— (Rtf + Raa)If
Raa
(8-8-7)
Из (8-8-5) и (8-8-2) имеем также:
Ud=RffIf=Ei, (8-8-8)
где 7i и Ui представляют собой переменные полюсного графа на
рис. 8-8-4.
Дополнительные точки на кривой U\—Л рис. 8-8-6 можно определить,
взяв величины If из характеристики холостого хода для отдельных зна-
чений Eg(E) и подсчитав соответствующие Id и Ud по уравениям (8-8-7)
и (8-8-8). Общий вид построенной кривой показан на рис. 8-8-6.
Если в результате проектирования машина имеет кривую холостого
хода, изображенную на рис. 8-8-7,а, то можно получить такую характе-
ристику, которая показана на рис. 8-8-7,б. В относительно широком диа-
пазоне изменения напряжения на зажимах характеристика имеет фор-
му, свойственную источнику постоянного тока. Достаточно большая ве-
личина Кс<р достигается за счет того, что машину снабжают второй
обмоткой возбуждения, напряжение на зажимах которой поддерживает-
ся постоянным.
Между прочим, интересно отметить, что, когда начальная точка на
кривой холостого хода (ДОф на рис. 8-8-5) ниже оси If, полюсное напря-
17!
жение холостого хода никогда не может превышать нескольких вольт,
независимо от величины Rft. Это условие рассматривается как размагни-
чивание машины. В таком случае надлежащие условия работы дости-
гаются просто переменой зажимов обмотки возбуждения (при том же
направлении вращения вала).
Компаундный генератор. Когда вторая обмотка на статоре коллек-
торной машины соединяется последовательно с якорем, как показано
Рис. 8-8-6. Полюсные харак-
теристики для шунтового ге-
нератора, работающего в
установившемся режиме.
Рис. 8-8-7.
на рис. 8-8-8 и 8-8-9, машина назы-
вается компаундной. В отличие от
шунтовой обмотки сериесная обычно
имеет всего несколько витков и
рассчитывается на ту же величину
тока, что и обмотка якоря. Если вал
приводится во вращение с постоянной скоростью, то машина, как и
в случаях, рассмотренных ранее, именуется генератором.
Один из возможных вариантов такой машины изображен на
рис. 8-8-10. Легко показать, что полюсные уравнения для этой машины
имеют вид:
Aaf^ Ra+Aafz?-]- La^t
(8-8-9)
И/1
ufa
Рис. 8-8-8. Компаундный Рис. 8-8-9. Компаунд- Рис. 8-8-10. Компонента и полюс-
генератор с самовозбуж- ный генератор с неза- ный граф для уравнений (8-8-9) и
денпем. впспмым возбужде- (8-8-10).
нием.
Отметим, что коэффициент Aaf2(p в уравнении напряжения якоря пред-
ставляет собой активное сопротивление. Численное значение этого чле-
на может быть или положительным, или отрицательным и произвольно
175
изменено простым переключением зажимов /2- Принято называть маши-
ну при Ла/2ср<0 согласно компаундированной, а в противном случае —
встречно компаундированной.
Когда система на рис. 8-8-10 принимается в качестве компоненты,
задача аналитического определения полюсных характеристик компаунд-
ных машин, изображенных на рис. 8-8-8 и 8-8 9, аналогична той, кото-
рая уже рассматривалась при-
менительно к генераторам с
независимым и параллельным
возбуждением. На рис. 8-8-11
изображены типичные кривые
для машины, работающей ге-
нератором. Кривые построены
для машин с независимым
возбуждением и 'самовозбуж-
дением, с компаундированием
и без него.
Не существует особых
преимуществ в компаундиро-
вании машины с независимым
возбуждением, поскольку на-
Рпс. 8-8-11 Типичные характеристики генера-
торов с самовозбуждением, работающих в
установившемся режиме.
пряжение якоря можно лег-
ко регулировать, изменяя ток возбуждения. С другой стороны, согласно
компаундированную
вать таким образом,
Рис. 8-8-12. Типичная ха-
рактеристика сериесного
генератора, работающе-
го в установившемся ре-
жиме.
машину с самовозбуждением можно отрегулиро-
что будет обеспечиваться, по существу, постоянное
напряжение якоря в широком диапазоне рабо-
ты Кривая компаундированной машины на рис.
8-8-11 приведена для генератора с самовозбуж-
дением.
Сериесный генератор. Сериесный генератор
имеет только одну последовательную обмотку
возбуждения. Поэтому полюсное уравнение уста-
новившегося режима для машины как двухпо-
люсной электрической компоненты входит в
(8-8-9) при условии, что /д = 0. Нелинейные ха-
рактеристики установившегося режима для это-
го электрического, двухполюсника могут быть
также подсчитаны по кривой холостого ходас по-
мощью методов, аналогичных тем, которые использовались для парал-
лельного соединения. Подробное построение предлагается выполнить
читателю. Типичная кривая показана на рис. 8-8-12
8-9. Характеристики двигателя постоянного тока в установившемся
режиме
Двигатель постоянного тока является двухполюсной механической
компонентой. И якорь, и обмотка возбуждения питаются от источника
напряжения. Как и в случае с генератором, мы рассмотрим характери-
стики двигателя в установившемся режиме. С переходными процессами
мы ознакомимся при изучении электромеханических преобразователей.
Шунтовой двигатель. Машина (система), схематически изображен-
ная на рис. 8-9-1, называется шунтовым двигателем. Во многих случаях,
особенно для машин большой мощности, якорь и обмотка возбуждения
могут питаться от источников с различными значениями напряжений.
176
Однако ни полюсные характеристики, ни анализ таких машин ничем
существенным не отличаются.
Чтобы показать, как находится механическая характеристика из
полюсного представления, рассмотренного в предыдущем параграфе,
Рис. 8-9-1. Шунтовой
двигатель.
Рис. 8-9-2.
а — граф системы; б — полюсный
граф для шунтового двигателя на
рис. 8-9-1.
возьмем типичные значения параметров машины мощностью */16 л. с.:
5QO=40 олг; fyf=2 000 ом;
Laa = незначительна; Lff=60 гн;
5 = 100- 10~4 н м- сек! об;
7=3-10 4 н м • cok2Jo6.
На рис. 8-9-3 показана кривая холостого хода, из которой опреде-
ляется коэффициент AOf. Когда эта характеристика аппроксимирована
пунктирной линией а, коэффициент Aaf находится как
Рпс. 8-9-3. Кривая холостого хода для машины
постоянного тока имеющей мощность ‘/is Д- с
Однако если напряжение на зажимах обмотки возбуждения точно
задано, как в этом примере, то мы можем подсчитать ток возбуждения
и найти результирующее значение AuiqJf по кривой холостого хода.
Так, если напряжение возбуждения 100 в, то
If
200
2 000
0,050 а
(8-9-2)
12—1738
177
и по кривой
или
f/Ma/ = 118
1 1 о
Aaflf = 2?3q = 0,625 в сек/рад.
(8-9-3)
Чтобы построить требуемую механическую характеристику, мы
просто подсчитаем и нанесем на график момент на валу для номиналь-
ного напряжения и различных значений <р в интересующем нас диапа-
зоне изменения скорости. Для этих расчетов используются уравнения
машины, а также уравнение отсечений и контуров графа системы, пока-
занного на рис. 8-9-2. Полюсными уравнениями являются уравнения
электромеханического преобразователя (8-6-2) с ограничением для
частного случая установившегося режима работы:
Ua
т
Raa AafIf
Aaflf В
(8-9-4)
Подстановка заданных числовых значений в (8-9-4) приводит к
40 0,625
—0,625
7Г
(8-9-5)
Рис. 8-9-4. Полюсные характеристики для шун-
тового двигателя постоянного тока при устано-
вившемся режиме работы.
Ua — Ea=l00; (8-9-6)
(8-9-7)
из которого
T = -/-{Aaf/fEa-
Еаа
-[(AafIfy+RaaB]'®}==
= —1,57 -4-0,01136Ф. (8-9-8)
График, построенный по этому
уравнению, показан на рис.
8-9-4.
Уравнение (8-9-8) вместе
с отрезком линии на рис.
8-9-2,б, который представляет
измерения, соответствующие
переменным, составляют ха-
рактеристики шунтовой маши-
ны с возбуждением от источ-
ника напряжения. В электри-
ческих цепях такое двухполюс-
ное представление часто назы-
вают эквивалентом Нортона.
Отметим, что в этом примере, где ток возбуждения неизменный и
не зависит от остальных переменных системы, коэффициент Aafif=ualq.
находится непосредственно из кривой намагничивания и линейная
аппроксимация не требуется.
1 а
I ?
178
Из (8-9-8) следует, что момент машины является функцией тока
возбуждения. Таким образом, для каждой данной нагрузки регулирова-
ние скорости на валу может быть осуществлено при помощи перемен-
ного сопротивления, включенного последовательно с обмоткой возбуж-
дения. Двигатели постоянного тока, так же как и генераторы, часто
бывают компаундными и сериесными. Анализ установившихся режимов
таких машин основывается на представлениях, изложенных в общих
чертах в § 8-8 и 8-9, и не будет подробно рассматриваться
8-10. Вращающийся усилитель с большим коэффициентом усиления
Коллекторная машина, снабженная двумя обмотками возбуждения,
может применяться в качестве двухвходной электрической компоненты
с очень высоким коэффициентом усиления. При постоянной скорости
вращения вала полюсные уравнения машины, которая рассматривается
как трехполюсник, можно записать в виде
л;,+о, J L — dt 0
«МО «/г (/) = L — 12 dt Rfz~{-Lfa 0 , (8-10-1)
«а(0 Aafj1 ~Laa di
а соответствующий полюсный граф для них показан на рис. 8-10-1.
При очень низких частотах или медленных изменениях и
i/2(0 напряжение па(0 пропорционально сумме этих переменных. Та-
ким образом, когда машина работает как вращающийся усилитель, она
может использоваться для получения выходного напряжения, пропор-
ционального сумме или разности задающего и регулируемого тока или
напряжения.
При соответствующем соединении машина может также служить
в качестве усилителя с высоким коэффициентом усиления. Одно такое
соединение схематически показано на рис. 8-10-2. Эта система носит
занного на рис. 8-10-2.
фирменное название «регулекс» и применяется в промышленных систе-
мах управления, где требуется большое усиление мощности постоянного
тока. Полюсные уравнения для полюсного графа на рис. 8-10-3,6, полу-
ченные из графа системы на рис. 8-10-3,а и (8-10-1), имеют вид:
ufl Rfl 0 h'
u. RfZl-AafZ RfsRaa ’ (8-10-2)
Raa ~i~RfZ — <f-AafZ Raa + RfZ V-AafZ
12*
179
Уравнение (8-10-2) в какой-то степени неточно, поскольку Д„/2 не является
полностью независимым от //п когда рассматривается насыщение. Можно
заметить, что коэффициент усиления становится очень высоким, когда
Raa + Rfs Например, если Rf2 = <?Aaf2,
I
Rfi
RfZ'fAgfj
Raa
0
Rft
(8-10-3)
где отношение R/zlRaa вообще является очень большим. Отметим, что,
предположив в этом примере Лй/2 постоянным, мы получаем напряже-
ние на якоре вращающегося усилителя в RfzlRaa большим, чем для ма-
шины с независимым возбуждением при тех же полюсных условиях.
В практических случаях число витков и сечение провода для вто-
рой обмотки возбуждения выбираются такими, что ее сопротивление
получается меньшим, чем *? Ло;2- Последовательно с обмоткой возбуж-
дения включается переменное сопротивление, чтобы иметь регулируе-
мый коэффициент усиления. Однако полюсные уравнения из-за влия-
ния насыщения не дают приемлемого линейного приближения в пре-
дельном случае для Raa+Rf2= ^Aa/z.
8-11. Другие системы с коллекторными машинами
Рассмотрим систему регулирования скорости, изображенную на
рис. 8-11-1,а, чтобы продемонстрировать применение понятий полюсного
представления для анализа реальных машинных систем и заложить
основу для дальнейшего изучения. В наших целях эту систему следует
рассматривать как каскад из трех развязанных четырехполюсников,
которые в своей основе являются одинаковыми устройствами, но отли-
чаются способами возбуждения Такой каскад часто используется в ка-
честве основной компоненты прямой цепи системы регулирования ско-
рости и положения. Следовательно, нашей задачей является вывод
Возбудитель
[генератор)
вращоюшийся
усилитель
(генератор)
Злектромеюни-
чесний оресбро-
звдотель
Рис. 8-11-1. Типичная система с машинами постоянного
тока.
а — схема; б — полюсный граф
полюсных уравнений для полюсного графа на рис. 8-11-1,6. Перед тем
как приступить к аналитическому исследованию, вероятно, полезно дать
качественную характеристику системы.
Валы первой и второй машин приводятся во вращение с постоян-
ной скоростью, а машины работают генераторами, у которых напряже-
ние возбуждения является переменным. Исходя из характеристик гене-
ратора, представленных в предыдущих параграфах, мы вправе ожидать,
180
Рис. 8-11-2.
а — граф системы; б — полюсный граф.
что выходное напряжение каждого из них приблизительно пропорцио-
нально приложенному напряжению возбуждения. Хотя две компоненты
имеют разные названия, они отличаются только физическими размера-
ми и номинальной мощностью.
Третья машина получает постоянное напряжение возбуждения и
работает в качестве двигателя с регулируемым напряжением якоря.
Из характеристик, приведенных в предыдущих параграфах, следует
также, что ее скорость холостого хода пропорциональна напряжению
на зажимах якоря. Предполагается, что качественно в таком случае
скорость третьей машины будет выражаться приблизительно линейной
функцией сигнала, приложенного к об-
мотке возбуждения первой машины.
Кроме того, при соответствующем рас-
чете и выборе компонент входная мощ-
ность возбуждения первой машины
может составлять всего лишь около
2 вт, а мощность на валу третьей ма-
шины может достигать 2 кет.
Проектировщик системы должен
иметь такое же качественное представ-
ление о характеристиках компонент,
чтобы приступить к предполагаемому
проектированию. Система на рис. 8-11-1
механический преобразователь с большим коэффициентом усиления.
Следующий шаг состоит в том, чтобы количественно определить, на-
сколько хорошо система может работать, и математически выразить ее
характеристики через характеристики компонент (машин). В дальней-
шем мы покажем, как используются эти сведения при проектировании
для того, чтобы найти количественные характеристики компонент, необ-
ходимые для получения требуемых полюсных характеристик.
Полюсное представление системы, изображенной на рис. 8-11-1,
удобно получить в два приема: 1) найти полюсное представление воз-
будителя и усилителя, соединенных в каскад; 2) объединить результи-
рующее выражение с полюсным представлением электромеханического
преобразователя, чтобы прийти к полюсному представлению системы.
Каскад из возбудителя и усилителя. Граф рассматриваемой систе-
мы показан на рис. 8-11-2,а, а полюсный граф для требуемого пред-
ставления— на рис. 8-11-2,6.
Полюсные уравнения для двух машин, записанные в комплексной
области при нулевых начальных токах, имеют вид:
может
как
«/2 (5)
Ma2(s)
м/А5)
MaAS)
о ,
И- sT.a2
оА«)
i'ai(s)
*/A«)
^аг(^)
(8-11-1)
(8-11-2)
где
Kgj —
Объединение этих зависимостей в соответствии с требованиями,
выраженными в уравнениях графа (см. гл. 7).
Mai, («) —M/2 (S) = 0; (8-11-3)
ial(s)=-i]2(s), (8-11-4)
181
дает полюсные уравнения системы
О
«л(«) =
Наг («)
Kg.Kg2
Ai(s)
if. (s)
io.2 ($)
(8-11-5)
где
Al (s) = (Rai +s(Aai +£/2) .
Полная система. Рассматривая этот каскад в качестве четырехпо-
люсника, получим граф
о (1-2) е 3h
полной системы таким, как показано на
Рис. 8-11-3.
a —• граф системы; б — полюсный
граф.
(8-11-5) являются полюсными уравнениями
рис. 8-11-3,а. Выражения (
для первой компоненты. Полюсные уравнения второй компоненты име-
ют вид:
где
^аз ($)
тS3 (5)
S3
(^)
?8з($) ’
(8-11-6)
Km'i =з4 apbift-
Объединив полюсные уравнения компонент в соответствии с урав-
нениями графа, запишем требуемое полюсное представление системы:
-^(s) ^3+k22(5)4-sJss
Л3 (-s)
I ОЛ«)
I ?S3(s) ’
(8-11-7)
13 —R.m
K-ms Rss “4~ 5
гд
IS ( -- RriisKglKg2 .
— Д1 (s) Дг (s) .
№ч
Когда нагрузка на валу двигателя отсутствует, Т£3(s)~0, и мы
имеем из (8-11-7):
Уяз($) ------------------------------------
W/1 (s) "b Р£з + Ks2 (S) + SJ яз] ’
Уяз(з)-__________________К тп zKglKgt_______________
ufi (5) Ai (s) (^/1 + s^fi) [A2 (s) (#вз+ *з) + К/~пз1
Кг. (S)
(8-11-8)
(8-11-9)
в комп-
Это отношение называется передаточной функцией системы
лексиой области. Решение для <£(/) во временной области (в установив-
шемся режиме) при ступенчатом изменении Ufi(t) показывает, что
установившаяся выходная скорость третьей машины пропорциональна
182
величине напряжения, приложенного к обмотке возбуждения первой
машины. В частности,
АшзА gi Адаб/ fi
Ф..= -------------------------------о~
(RaI + Rfi) Rfl[(R«2 + Ra3)Bsz + K2m3]
ДЛЯ
Лз=0,
(8-11-10)
и передаточная функция ненагруженного преобразователя выражена
через параметры машины. Из полученного выражения мы теперь мо-
жем найти по крайней мере одно семейство характеристик компонент,
которое будет удовлетворять данному коэффициенту усиления в уста-
новившемся режиме. Ниже будет рассматриваться более общая и слож-
ная задача нахождения характеристик компонент, обеспечивающих
требуемый переходный процесс или частотную харктеристику.
8-12. Двухосная коллекторная машина (электромашинный усилитель
с поперечным полем)
Интересное и полезное видоизменение коллекторной машины полу-
чается за счет добавления второй пары щеток, которые называются
щетками по продольной оси и расположены посередине между обычны-
ми щетками (именуемыми вследствие этого щетками по поперечной
оси). Схематическое изображение такой двухполюсной машины пока-
зано на рис. 8-12-1,0. Независимо от возможных задач коммутации эта
вторая пара щеток может быть добавлена к любой из большинства
стандартных коллекторных машин. Однако значительное улучшение
характеристики достигается также за счет того, что между главными
полюсами встраиваются дополнительные. Эти полюсы называются
а — схема, на которой обозначены: /—2 — обмотка управления: 5—4— ком-
пенсационная обмотка; 5—6— выводы по продольной оси; 7—8—выводы
по поперечной оси; б — полюсный граф электромашинного усилителя.
поперечными. Дополнительные полюсы обычно не имеют обмотки. По
причинам, которые станут ясными впоследствии, главные полюсы снаб-
жаются компенсационной обмоткой в добавление к одной или несколь-
ким обмоткам управления. Компенсационная обмотка соединяется по-
следовательно со щетками по продольной оси так же, как и компаунд-
ная обмотка, применяемая в обычной машине.
На рис. 8-12-1,а показано схематическое изображение электрома-
шинного усилителя с одной обмоткой управления и с выведенными за-
жимами обмотки по поперечной оси. В комплексной области полюсные
183
уравнения для полюсного графа на рис. 8-12-1,6, справедливые при по-
стоянной скорости вращения вала, имеют вид:
Ilf («) Rff + sLff sLjc 0 sLfd. if (s)
uc(s) .— S^fc /?cc “H 0 sLcd ic (s)
«<7 (s) Rqq -J- Si -qq VAjd i4 («)
nd(s) sLfd S^cd <?Adq Rdd~j~sLdd id (s)
(8-12-1)
Обычно зажимы по продольной оси являются короткозамкнутыми,
а компенсационная обмотка соединяется последовательно с зажимами
по поперечной оси в соответствии с графом системы на рис. 8-12-2,а.
Рис. 8-12-2.
а — граф системы, б — полюсный граф.
Следовательно, мы можем получить полюсные характеристики электро-
машинного усилителя, рассматриваемого в качестве четырехполюсной
компоненты.
Уравнения для полюсного графа на рис. 8-12-2,6, полученные из
(8-12-1) и графа системы, имеют вид:
Ilf (s) 4a (S) = Rff-^-sLff 0 Raa if (s) io(s) (8-12-2)
R.qq “p SL.qq
При этом принималось, что Lqc Чп ^dd 2 A^cd И ЧТО Red'-—Rdd 4"Rcc. (8-12-3) (8-12-4) (8-12-5) (8-12-6)
Приближение, следующее из (8-12-3), можно реализовать только,
когда главные полюсы снабжены компенсационной обмоткой и добав-
лены полюсы по поперечной оси.
Сравнив полюсные уравнения электромашинного усилителя
(8-12-2) с уравнениями каскада машин (8-11-5), мы найдем заметное
сходство. По этой причине электромашинный усилитель часто называют
двухкаскадным усилителем Обычно электромашинный усилитель отли-
чается более высоким быстродействием, чем соединенные в каскад
машины.
Как и всякая коллекторная машина, электромашинный усилитель
может быть снабжен любым количеством обмоток управления. Незави-
симо от их количества полюсные уравнения легко выводятся из полу-
ченных ранее выражений.
184
s -
Таблица 8-13-1
Полюсные представления некоторых распространенных в системах управления двухполюсных компонент, содержащих
коллекторные машины
Название и схема Полюсный граф Полюсные уравнения, записанные в комплексной области, где это возможно
1. Основная коллекторная машина * / d \
осе uj(t)=(Rf + l14FJi.,(t)
Аф-ч- '1'1'
6 1 М 1 111 b d f Ио(0 = Aaf ft (0 if (0 + f Ra + La to (0
f d \ T.(t) = - Aalia(t)if(t) + (B, +
2. Вращающийся усилитель
M;(s) — Rj+sLf 0 if(s)
Ua(s) Kg Ra + sLa ia(s)
где Ke — Aaff, и у, постоянна
00
СЛ
Название и схема
3. Электромеханический "преобразователь

4. Электромеханический усилитель
Л I

Полюсный граф
Продолжсние табл. 8-13-1
Полюсные уравнения, записанные в комплексной области, где это возможно
И0(в) Ra “Н sl^a Кт ia(s)
~Кт B'S + s J 8 ?«(5)
где Д'п> = Л„/7/ и If постоянный
«/(«) — Rj 4- sLf
Ts(s) -Ke
5 +
О
f.(s)
где Ke = AaiIa и Zo постоянный
Название и схема Полюсный граф
5. Амплидин
G. Каскад из ЭМУ и вращающегося
усилителя
ос
-j
Продолжение табл. 8-13-1
Полюсные уравнения, записанные в комплексной области, где это возможно
«/($) R, + sLt 0 h(s)
1 4u(s) Ka(S) Ra i<M
гпо Д' = Мея f) (^dij f)
ГДС Л“----------Rq + sLQ
и «р постоянна
«II («) Rf i + sLj । 0 (s)
Ua2 (s) — Kal(s)Kej RI2+R«i + sL12 ^+SLaS f«2 (s)
8. Каскад из ЭМУ и системы Г—Д
AJ I—I I---1,^
1
Продолжсние табл. 8-13-1
Полюсные уравнения, записанные в комплексной области, где это возможно
«л (s)
Ts2 (s)
R/i + sLu
О
RgtRmi R . Km2 . .
Д(5) B’=+w +
где A(s) = (Rai + Rat) + s(Lai -( Lag)
UJi (s)
T„ (s)
Rj i + sLji 0
-Kx В6, + ^+з!.г
A(s)
r, Kax{s}K, gzKmz
где K,= ^s)[(Rat + Rt2) + sLl2]
Д (s) = (Ra2 + Ras) + 5 (LO2 + Las)
01(5)
(s)
01(5)
f«»(5)
8-13. Заключение
Полюсные представления коллекторных машин и типы коллектор-
ных машин, часто применяющиеся в электромеханических системах
управления, сведены в табл. 8-13-1.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ПОЛЮСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПИЧНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ
И МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Цель предыдущей главы состояла в том, чтобы продемонстрировать
применение теории линейных графов и понятий многополюсных пред-
ставлений для анализа типичных электромеханических компонент. Те-
перь мы покажем, как эти методы используются при аналитическом
исследовании типичных гидравлических, механических и гидромехани-
ческих систем.
9-1. Гидравлический исполнительный механизм (ГИМ)
механизм.
В гидравлических двигателях и исполнительных механизмах
удается получить гораздо более высокий момент или отношение силы
к весу, чем в электрических машинах. По этой причине гидравлические
составляющие находят широкое применение в самолетных и ракетных
системах. Существует большое разнообразие конструкций гидравличе-
ских двигателей, так же как и машин постоянного тока. Мы рассмотрим
для примера только два основных типа: линейный исполнительный ме-
ханизм двойного действия и аксиально-поршневой гидромотор. Рас-
смотрим вначале первый из них.
Основной ГИМ с возвратно-поступательным движением имеет
поршень и цилиндр, именуемый силовым цилиндром, а также управ-
ляющий золотник, как
показано на рис. 9-1-1.
Исполнительным меха-
низмом иногда называ-
ют сам силовой ци-
линдр. В любом случае
нас интересуют полюс-
ные характеристики си-
стемы как трехполюс-
ной составляющей. Эти
характеристики можно
измерить непосредст-
венно или получить из
Жидкость
с'дысоким
давлением
Рис. 9-1-1. Гидравлический исполнительный
а — чхема; б — полюсный граф.
характеристик поршня
и золотника, взятых в
качестве отдельных компонент. В этой главе
будет использоваться последний метод.
Характеристики управляющего золотника. Конструкция золотника
изображена на рис. 9-1-2. Полюсные уравнения золотника имеют вид:
h
gi

(9-1-1)
189
С этими полюсными характеристиками можно лучше всего ознако-
миться, если рассмотреть способы их измерения.
Чтобы найти из эксперимента коэффициенты в первом столбце
определителя в (9-1-1), нужно сделать равным нулю дифференциаль-
ное давление между входными трубопроводами. Это осуществляется
соединением областей с и d (рис. 9-1-2) трубой с низким сопротивле-
нием. Измерив силу Л, необходимую для движения управляющего зо-
t Рис. 9-1-2 Гидравлический золотник.
а — схема; б — полюсный граф.
Рис. 9-1-3. Типичная ста-
тическая характеристика
гидравлического золотни-
ка, выражающая зависи-
мость между силой и пе-
ремещением.
лотника, в функции от перемещения находят коэффициент уравнения
с индексами (1,1). Типичный график, выражающий изменение статиче-
ской силы в зависимости от положения, показан на рис. 9-1-3. Форма
кривых, полученных при испытаниях, зависит от конструкции золотни-
кового поршня [Л. 4-1]. Наклон линии выражается через коэффици-
ент ki. Этот коэффициент характеризует взаимодействие между жид-
костью и поршнем. Так, если поршень, изображенный на рис. 9-1-2,
движется вправо, то давление жидкости на сек-
цию 2 несколько больше, чем на секцию 1.
Коэффициенты Bt и Mi представляют соот-
ветственно коэффициент демпфирования и мас-
су золотникового поршня. При подходящей фор-
ме проходного отверстия клапана поток на вы-
ходе прямо пропорционален положению управ-
ляющего золотника и коэффициент Л2 считается
постоянным.
Значения членов в последнем столбце
в (9-1-1) определяются при условии, что пор-
шень золотника удерживается в фиксированном
положении, а давление между двумя выходными
каналами меняется. Небольшое количество жидкости, циркулирующей
между этими двумя каналами (если жидкость вообще может протекать
между ними), представляется коэффициентом Обычно этот
член зависит от положения золотника и гидравлического сопротивле-
ния, которое имеет насос высокого давления. Подобным же образом
коэффициент Л12(б1) представляет взаимодействие между циркулирую-
щей жидкостью и золотниковым поршнем. В большинстве случаев этот
член настолько мал, что им можно пренебречь, а коэффициент 1/^?г(б1)
приближенно может считаться постоянным для малых изменений бь
В действительности коэффициент T?2(6i) ближе к
(9-1-2)
190
Характеристики силового цилиндра Полюсные характеристики си-
лового цилиндра часто выражаются в простой форме (рис. 9-1-4):
§3
1л
ь ь &
^34 dt
__b R JL । лг d2.
«34 D3dt П dt*
Рз
(9-1-3)
Эти уравнения становятся очевидными из испытаний, аналогичных ра-
нее рассмотренным. Коэффициент k3 представляет поток утечки в порш-
Рис. 9-1-5.
а — граф системы; б — по-
люсный граф гидравлическо-
го исполнительного меха-
низма. показанного на
рис. 9-1-1.
не. Обычно этим коэффициентом
можно пренебречь.
Характеристики Г ИМ. Характе-
ристики системы получаются объ-
единением характеристик двух компонент
стемы. Граф системы изображен на рис.
£12(61) =0 имеем:
в соответствии с графом си-
9-1 -5,а. В итоге для &з=0 и
к+в^ + м^. О
(ч I®.+л, (м ~+м, ~
Отметим, как влияют нелинейные характеристики сопротивления гид-
равлического золотника на полюсные характеристики системы. Если
сопротивление золотника обратно пропорционально положению управ-
ляющего поршня (открывание каналов) в соответствии с уравнением
(9-1-2), то из (9-1-4) следует, что при 6i¥=0 сила на выходе исполни-
тельного элемента в конечном счете не зависит от положения золот-
ника. Этот результат соответствует интуитивному представлению о том,
что можно ожидать от подобной системы. Силовой цилиндр в конце
концов наполнится жидкостью, имеющей давление, равное питающему,
независимо от того, насколько открыт золотник.
9-2. Гидроусилитель
ГИМ рассмотренной конструкции не является достаточно совер-
шенным. Должно быть предусмотрено специальное устройство, обеспе-
чивающее автоматическое закрывание золотника, когда силовой пор-
шень занимает требуемое положение. Это достигается с помощью
простого рычажного механизма, изображенного на рис. 9-2-1,о. Граф
системы, представляющий и рычаг и ГИМ в качестве трехполюсной
компоненты, показан на рис. 9-2-1,6.
191
Чтобы вывести полюсные уравнения для этого устройства, обра-
тимся к графу системы на рис. 9-2-2 и запишем полюсные уравнения
компонент как

0 -ks<
0 |
К
5.
; о
I z41 z
(9-2-1)

где
Z4J — k3ik21R2 (St);
z<=[W(«.)£l
Рис. 9-2-1. Гидравлический усилитель.
a — схема; б — граф системы.
Рис. 9-2-2. Граф для ги-
дроусилителя и а
рис. 9-2-1, включая внеш-
ние измерения.
Используя форму записи, несколько отличающуюся от рассмотренной
в гл. 7, запишем уравнения отсечений и контуров в виде
(9-2-2)
Г, , 10 0
h ‘’"-ill
Подстановка (9-2-2) в (9-2-1) дает:
fe
Л
h
(9-2-3)
0 оо i-p5„
i-Н. -К. 0 0
о 1 О Z,
О о 1 Z41
fe
^se —^se fr
0 0 к = 0.
0
0 z4—Z4l
(9-2-4)

192
Чтобы исключить 65, воспользуемся уравнением вершин и получим:
1Ц~&5в ~Лб О
О 1 о
О 0 1
о
f.
Л
f.
Ь+*56
--^56^1
__ь 7
К56^41
О
-(^eZ4+Z4+Z41)
(9-25)
Разрешив (9-2-5) относительно переменных сил дерева и подставив ре-
зультат в (9-2-3), получим требуемые полюсные уравнения:
f, =__________1 1 Кв
fs (1 + ^Р _! 1
О
Ж5в
О
~kwzl
I KbZ41
О
-Л
(9-2-6)
Из (9-2-6) полюсные уравнения для
полюсного графа на рис. 9-2-3 суть:
^58 (Zl + + ^56^4i)
Л — 1
fo\ (‘ + ^г
kj^
d+kjz^^+kj^z.+z.
Si
So
(9-2-7)
В большинстве реальных систем коэффициент Z, пренебрежимо мал
по сравнению с соответствующим коэффициентом Z4 и уравнения (9-2-7)
приближенно выражаются, как
«xd+^J
Ь - 3 V
f (1 + kJ* A
/ о
^SBZI
(i+^e)z41+(i+^6rz4
li
(9-2-8)
в частности, с учетом (9-2-1) мы можем выразить два нелинейных члена
уравнения, как
Кв^г (1 + kJ = Кв (1 + kJ k3ik21Rs (3,);
(1 + КвГ Z4 + (1 + kJ Z4l = (1 + kJ kJ31R3 (6J +
+ (1 + kJ2 {[^3 + Яг (Sx) + M, .
Полученные полюсные уравнения гидравлического усилителя со-
держат несколько важных рабочих характеристик.
Позиционные характеристики холостого хода для установившегося
режима. При установившемся режиме зависимость между выходным
положением поршня в силовом цилиндре и входным по-
ложением рычага для [о = 0 выражается, как
8о —&S6 (। 4- ^5в) (8i) , /поп)
6< “ (1 + kJ *„*2./?2 («Ж) “ 56’ { ’
Таким образом, конечное положение поршня в ненагру-
женном цилиндре прямо пропорционально входному по-
ложению и не зависит от вида нелинейности сопротивле-
ния золотника Легко показать, что полученные выше
Рис. 9 2-3 По-
люсный граф
для уравнения
(9 2-7)
13—1738
193
выводы также распространяются на работу при нагрузке силового
поршня в случае, когда нагрузка пропорциональна скорости или уско-
рению поступательного движения. Отметим также, что коэффициент
пропорциональности в (9-2-9) представляет отношение плеч рычага
между точками с—а и b—а. Это можно было интуитивно предполо-
жить.
Характеристики при малых сигналах. Линейные полюсные уравне-
ния для гидроусилителя могут применяться только при рассмотрении
малых перемещений поршня относительно выбранной рабочей точки.
При такой аппроксимации для малых сигналов передаточная функция
в комплексной области, которая связывает выходное перемещение со
входным, является рациональной функцией.
Др (s)________Z41 (s) ____________________________________________
(S) (s) -|-(l-|-fe5e) Z4 (s) ^34^21^2 + [(в3 + ^2^34)2S + Af3S2] (1 +Й5В)
(9-2-10)
Когда сила нагрузки не является пренебрежимо малой, но пропор-
циональна выходному перемещению и его производным по времени,
передаточная функция для усилителя с нагрузкой остается такой же,
как (9-2-10). Изменяются только значения коэффициентов многочлена
в знаменателе.
Чтобы более ясно показать, как определяются коэффициенты в по-
люсных уравнениях гидроусилителя через номинальные параметры,
рассмотрим следующий пример.
Пример 9-2-1. Используя номинальные данные, выразить в численном виде по-
люсные уравнения каждой компоненты гидравлического усилителя, показанного на
рис. 9-2-1, а также представить характеристики усилителя как компоненты.
Золотник
Максимальный расход = 10 галлонов/мин
Масса золотникового поршня
Максимальное перемещение золотника
Сила противодействия золотника
Полученные из этих данных коэффициенты в полюсных
равлического золотника, равны:
Л, = 200; Mi = 0,227;
-6.3-10-5
*21 = 0,3-ю-3
= 6,3-10-6 м31сек
= 0,5 фунта=0,227 н-сек2/м
= 0,3 аа = 0,3-10_3 м
= 200 н
при давлении питающей жид-
кости 1 000 фунтов на
кв. дюйм = 7,24-106 «/а2.
уравнениях (9-1-1) для гид-
0.21,
и полюсные уравнения при малых сигналах имеют вид:
fi
82
200 + 0,2s2 0
ю-в
~0,21 0,23
Силовой цилиндр
Площадь поршня = 10 дюймов=6,4 • 10-3 а2
Масса поршня=8 фунтов=3,62 н • секг1м
Утечка — незначительная
Из этих данных коэффициенты в полюсных уравнениях для силового цилиндра, пока-
занного на рис 9-2-1 [см. уравнения (9-1-3)], равны: А3=0; й34=—6,45- 10-3; А13=
= 3,62; В3 = 0,
и уравнения имеют вид:
d
0 —6,45-Ю-3-^-
d2
6,45-Ю-3 3,62
Рз I
I I
I h I
9,
Рг
194
где k3i отрицателен, потому что изменено направление подачи жидкости к поршню на
рис. 9-2-1 по сравнению с показанным на рис. 9-1-1.
Если взять отношение рычагов на рис. 9-2-1 таким, что k$s=5, то полюсные урав-
нения для всего усилителя имеют вид:
fi II (5/6)!-(200 + 0,2s*)
fo I I в/6-294
5/36.(200 + 0,2s2)
49+9,345+3,62s2
9-3. Аксиально-поршневая гидравлическая машина
Одна из основных гидравлических машин, способная работать как
насос или двигатель, изображена на рис. 9-3-1,а. Она содержит группу
малых поршней и цилиндров, равномерно расположенных во вращаю-
щемся блоке цилиндров. Поршневые штоки соединены с регулируемой
наклонной шайбой. Наклонная шайба вращается вместе с валом, нагне-
тательными поршнями и блоком цилиндров. Между цилиндрическим
блоком и золотниковой плитой имеется сальник.
Изменяя угол поворота наклонной шайбы, можно регулировать
длину хода нагнетательных поршней на оборот вала. Следовательно,
в установившемся режиме объемный (или весовой) расход жидкости,
нагнетаемой каждым поршнем, прямо пропорционален углу, под кото-
рым установлена наклонная шайба.
С помощью неподвижной золотниковой плиты производится пооче-
редное подключение нагнетательных поршней к трубопроводам с раз-
<< Поршни
.Неподвижная
золотниковая
плита
luvecKue
1шип-_____
нини Г
/ L
о Г
%
областям
Сир
Врощоющиися
блок цилиндров
Рис. 9-3-1. Аксиально-поршневой ги
дравлпческпй насос.
а — схема; б — полюсный граф.
Регулируя- Сфегн
мая наклон- /иодш,
ноя шойбо-> я
ь Поршни
\Угол
поворота
личным направлением жидкости. При этом блок цилиндров вращается.
Таким образом, золотниковая плита выпрямляет, или «коммутирует»,
выходной поток жидкости от нагнетательных поршней так же, как кол-
лектор машины постоянного тока выпрямляет или коммутирует ток на
зажимах каждой катушки якорной обмотки. Напротив, когда устрой-
ство питается от источника жидкости с постоянным давлением, золот-
никовая плита служит для попеременного включения нагнетательных
поршней к выходам высокого и низкого давления источника жидкости.
В следующей главе будет показано, как из двух таких машин мож-
1 q* 195
но получить привод с регулируемой скоростью. Здесь мы займемся
определением полюсных характеристик гидравлической машины, рас-
сматриваемой в качестве компоненты. Интересующие нас характери-
стики и полюсные переменные соответствуют полюсному графу па
рис. 9-3-1,б. Отметим, что в данном случае нужно сделать две пары
гидравлических измерений и две пары механических измерений. Изме-
рения относительно оси х служат для представления характеристик на
валу, а измерения относительно оси у используются для представления
характеристик наклонной шайбы.
Как и в случае машины постоянного тока, требуемые полюсные
характеристики можно получить из характеристик различных элемен-
тарных компонент, из которых образован весь агрегат. Например, ма-
Рнс. 9-3-2.
Pnc. 9-3-3.
рассматривать как
совокупность нагнетающих насосов и
наклонной шайбы и блока
наклонной
полюсным
шину удобно
основных вращающихся элементов: вала,
цилиндров (рис. 9-3-1,а) с поршнями, отсоединенными от
шайбы. Полюсные характеристики этой шайбы представлены
графом на рис. 9-3-2 и системой уравнений:
d
О

—kt sin <f>t
1 s
Tt
sin <ps sin (<ps — a)...
— cos — cos (<ps — a)...
а.
d
dt
<?t
sin (<ps — 6а)
—cos(?.4— 6а)
= —&tsin<Pt
cos
cos(<p., — a)
cos (<ps — 6a)
(9-3-1)
(9-3-2)
О
А
Отметим, что наклонная шайба служит для преобразования враща-
тельного движения в периодическое поступательное движение. Коэффи-
циент kt фактически представляет собой радиус наклонной шайбы. Ве-
личина синусоидального линейного перемещения (вдоль оси х) сфери-
ческих подшипников соединительных стержней прямо пропорциональна
синусу угла поворота наклонной шайбы. Таким образом, мы можем
рассматривать наклонную шайбу как модулятор синусоидального пря-
молинейного движения нагнетательных поршней. При малых углах
поворота наклонной шайбы sin<pp~<pp, и модуляция прямо пропорцио-
нальна углу поворота.
Как и при изучении машины постоянного тока, мы рассмотрим ма-
лый угол поворота, в интервале которого не наблюдается «эффект
196
переключения» наклонной шайбы, т е. приращение <ps, для которого
данная группа нагнетательных поршней открыта в областях с и d зо-
лотниковой плиты. Для такого интервала в окрестности <ps=0 система
уравнений (9-3-3) выражает связь между измерениями давления и по-
тока в двух трубопроводах, ведущих к областям с и d, и перемеще-
ниями нагнетающего поршня. Переменные в этих уравнениях соответст-
вуют графу на рис. 9-3-3
/н
b
b
h
fv
fv
fr
Sc,
ga'
Bp Д- A lp
G
0
0
0
'0
0
0
0
0
0
0
0 '
0
0
0
kpd
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 k pc
0 0 0 0 0 kpC
0 • . 0 0 0 0 kpc
0 0 0 0 k pc 0
0 0 0 . . . 0 h К pc 0
0 0 0 0 k pc 0
0 0 kpC kpC Ppc 1 Rc 1_ Red
kpd kpd 0 0 0 1 Red I Rd
Sp
§2'
83'
S4'
86'
(9-3-3)
Pc
Pd
197
где pJRc и PdIRd представляют собой соответственно величины утечки
для всех поршней и уплотнений, ограничивающих области с и d, a pc/RCd
и PdJRcd представляют собой утечку между двумя областями. Конечно,
предпринимаются всякие усилия, чтобы свести к нулю все утечки, осо-
бенно утечки в атмосферу. Хотя утечку в атмосферу возможно устра-
нить, утечка между двумя областями может оставаться заметной.
Когда все утечки, кроме утечек между двумя областями, пренебрежимо
малы, мы получаем выражение
1 1 1 _г
Re ~Red ~Rd h'
и далее мы будем считать, что Gh представляет эту гидравлическую
проводимость. При записи полюсных уравнений для поршней также
предполагалось, что в положении <ря=б поверхность поршня / полно-
Рис. 9-3-4. Граф системы для аксиально-поршневого насоса на
рис. 9-3-1.
стью закрыта центральной частью золотниковой плиты. Если это усло-
вие не выполняется, то между двумя областями имеется значительная
утечка. Значения остальных членов в этих уравнениях очевидны. Отме-
тим, что когда ВР, Мр и коэффициенты утечки незначительны, уравне-
ния очень похожи на уравнения идеального рычага или трансформа-
тора.
Граф системы на рис. 9-3-4 получен на основе приведенного выше
анализа компонент. В соответствии с уравнениями отсечений и контуров
этого простого графа полюсные уравнения компоненты получаются
подстановкой (9-3-2) в (9-3-3), а результата — в (9-3-1). Отметим, что
в уравнении (9-3-3) требуется найти и первую и вторую производные
перемещений по времени, входящих в (9-3-2) Поскольку это последнее
уравнение является нелинейным [включает как <ря(0. так и <рг(О], сле-
дует попытаться найти косвенные методы определения этой произ-
водной.
Чтобы упростить алгебраические выражения, предположим, что
угол наклонной шайбы мал, т. е.
sin<pf = <pt.
Совместное решение (9-3-1), (9-3-2)
и (9-3-3) при этих условиях дает:
—+ it
— 2ktkpCtf>t cos a
sin (<ps -f- 2a) sin(<?s —2a)
— cos (<ps 4- 2a) —cos fe—2a)
Pd
Pd
(9-3-4)
198
и
gc
=2ktkpc cos a
gd
sin (<?s 4- 2a) — <Pt cos (<ps 4* 2a)
k&t sin (<?s — 2a) — <ft cos (<ps — 2a)
Gh
-Gh
-Gh
Gh
Pc
Pd
(9-3-5)
и мы убеждаемся, что полюсные характеристики компоненты действи-
тельно являются нелинейными функциями полюсных переменных.
Эти нелинейности мы рассмотрим несколько позже, а сейчас обра-
тимся к последней группе членов в правой части уравнения (9-3-4).
Данные члены представляют момент на валу и наклонной шайбе, соз-
Рис. 9-3-6. Момент наклонной шай-
бы в функции от положения вала.
Положение Воло <f>s
Рис 9-3-5. Момент на валу
в функции от положения вала
для аксиально-поршневого на-
соса, работающего в установив-
шемся режиме.
данные гидравлическим способом, и
потому называются гидравличе-
ским моментом. Напомним, что эти
уравнения справедливы только для
ограниченного интервала времени,
в течение которого поршень / за-
крыт золотником. В частности, они применимы в малой окрестности
<ps=0. Для других рабочих точек выражение гидравлического момента
снова имеет ту же форму. Следовательно, если построить зависимость
гидравлического момента на валу от положения вала, то получается
кривая, показанная на рис. 9-3-5. Конечно, пульсации являются пря-
мым следствием переключающего действия золотника. Если число
поршней увеличить, то отношение величины пульсаций к среднему мо-
менту уменьшается. Низшая гармоника в ряде Фурье, представляющем
пульсации момента, равна 7фя. За исключением очень малых скоростей,
эти высокочастотные члены не обнаруживаются на валу машины.
Аналогично при изменении положения вала момент на наклонной
шайбе также имеет пульсирующий характер (рис. 9-3-6). Однако
в этом случае средняя величина момента равна нулю. Повторив при-
веденные выше рассуждения, читатель может, например, легко пока-
зать, что когда вал находится в положении <р.$<= а, цилиндр 5 закрыт
золотником. При этом гидравлический момент на наклонной шайбе
имеет ту же величину, что и ранее для <ps=0, но знак его становится
противоположным.
Из (9-3-5) следует, что в потоке также имеются пульсации. Соот-
ветствующие члены уравнения (9-3-5) записаны в самой общей форме.
Конечно, это является характерным для насосов поршневого типа.
Так же, как и все подобные пульсации гидравлического момента, они
далее не будут учитываться. Для определенности используемые ниже
«средние» величины будут получены из уравнений (9-3-4) и (9-3-5) при
условии, что <ps=0.
199
Теперь можно записать полюсные уравнения компоненты в виде
Ts Tt gc gd ЛЛтЛ + ЛЫ^ —KtsVt?* Kse<ft —Ksc^t Bt X С ft 4- 0 0 Ts Tt Pc Pp > A'scTt 0 Gh -Gh ^scT t 0 -Gh Gh X (9-3-6)
где коэффициенты связаны с стемы следующим образом: характеристиками каждой компоненты си-
Bs (Tt) = Вя + (7k2Mp)<?t + т*. (9-3-7)
Л(?0 = Л + (’М>р)?ь (9-3-8)
Bt = ’/2k2tBp; (9-3-9)
/\=Л + ’ММ; (9-3-10)
kts = '/2k2MP-, (9-3-11)
ksc—-2ktkpc cos a sin 2a. (9-3-12)
Инженера, использующего эту машину в качестве компоненты дру-
гой системы, интересует только форма уравнений (9-3-6) и то, что
В.ч(<р() и Js(<pt) являются соответственно многочленами второго и перво-
го порядков ст tpt. Однако при расчете компоненты также представляют
интерес зависимости между коэффициентами в по-
люсных уравнениях и характеристики элементов
(9-3-7)—(9-3-12)
Что касается полюсных уравнений, то они в об-
щем не поддаются аналитическому решению. Прием-
лемая точность может быть получена при линейной
аппроксимации для малых изменений угла поворота
наклонной шайбы относительно данной рабочей точки.
При любом аналитическом исследовании мы не имеем
выбора, но вынуждены делать такие аппроксимации
даже если они могут вносить значительную ошибку.
Читатель уже должен осознать, что линейная аппро-
неизменно диктуется ограничениями, связанными с ана-
литическим исследованием, а не основывается на приемлемой точности.
Несколько упрощенные полюсные уравнения (9-3-13) получены
исключением излишней поправки на атмосферу1 Поскольку гидравли-
ческие соединения должны быть сделаны только на выводах с и d,
а
%
"г.
Ь
। >
"В
&
"Ph
Полюс-
9-3-7.
граф для
Рис.
ный
уравнения (9-3-13).
ксимация почти
9
9
d
1 Если сжимаемость жидкости и утечка в атмосферу должны учитываться в по-
люсном представлении, то в уравнениях .необходимо оставить поправку на атмосферу.
200
можно применять полюсный граф, показанный на рис. 9-3-7, и полюс-
ные уравнения (9-3-13)
Ts
Tt
ён
Bs (<ft) -J-/s (?/) jy-
kscVt
(9-3-13)
0
0
Читателю предлагается самому получить это представление из пре-
дыдущего.
9-4. Гидравлический привод
Гидропривод, изображенный на рис. 9-4-1, состоит из гидравличе-
ской машины с постоянной скоростью на входе (насос), и машины
с фиксированным положением наклонной шайбы (двигатель). Изменяя
положение наклонной шайбы насоса, можно регулировать выходную
скорость двигателя таким же образом, как регулируют скорость двп-
Нпппп Мптпг
Рис. 9-4-1. Гидропривод.
гателя постоянного тока в системе Г—Д- а) изменением возбуждения
двигателя, б) изменением возбуждения генератора Эти две системы
схожи во многих отношениях
Рис. 9-4-2. Рис. 9-4-3. Рис. 9-4-4.
Полюсные уравнения гидравлического насоса (рис. 9-4-2), соответ-
ствующие полюсному графу на рис. 9-4 2, сводятся к
л,
phl
(9-4-1)
Полюсные уравнения гидродвигателя, соответствующие
графу на рис. 9-4-3, являются линейными и выражаются как
полюсному
4
Т
s2

Рн,
к
(9-4-2)
За исключением коэффициента механического демпфирования в (9-4-1),
обе системы уравнений линейны.
201
Дифференциальные уравнения гидропривода получаются объеди-
нением (9-4-1) и (9-4-2) в соответствии с графом системы. Подробный
вывод предлагается сделать читателю. Результирующие уравнения для
полюсного графа на рис. 9 4-4 имеют вид:
Тг
То
(9-4-3)
где коэффициенты в характеристических уравнениях каждой составляющей
равны:
вг=вц-
А о i
Kse К,
SC*---^2- ф © •
К2 2
В° = ) + Gfti + Ghi ’ J ° ~ ('?/„)•
Поскольку положение наклонной шайбы двигателя фиксировано,
а скорость вала насоса постоянна, то в вышеприведенных выражениях
Ф/2 и <psi являются постоянными, и мы видим, что, за исключением ко-
эффициента механического демпфирования во входной полной прово-
димости, уравнения системы имеют относительно простую линейную
форму.
Коэффициенты в (9-4-3) можно, конечно, определить непосредст-
венно из измерений, установив на зажимах соответствующие условия
испытаний. Методы, детально рассмотренные применительно к маши-
нам постоянного тока, пригодны также и здесь, и мы не будем повто-
ряться. Изменяется только приборное оборудование.
Наконец, отметим, что в случае когда коэффициенты утечки Ghi 11
G/12 очень малы, коэффициенты Koi и Во в (9-4-3) становятся очень
большими. Следовательно, точность оказывается недостаточной, если,
характеристики компонент представлены в этой форме. Более удовлет-
ворительные результаты можно получить используя уравнения в виде
Л
То
Кг + BtfiS -)- J.S2
Koi
Во + Кв
о
1____
Во + Кв
Тг
т
1 о
(9-4-4)
Из выражений для Во и Koi, приведенных после (9-4-3), следует,
что если при конструировании машины удается сделать утечки незна-
чительными, то обоими коэффициентами Gm и G^2 можно пренебречь
п полюсные уравнения гидропривода с регулируемой скоростью враще-
ния значительно упрощаются:
Ki + ^iTis + M2
К SC,?!,
KsCsVt,
Тг
Т
1 о
(9-4-5)
Аналогичные нелинейные уравнения во временной области можно
также получить, приняв Gm = G/!2=0 в (9-4-1) и (9-4-2).
202
Из уравнений (9-4-5) следует, что, пока отсутствует утечка (или
расширение гидравлических магистралей с жидкостью), выходная ско-
рость прямо пропорциональна углу поворота наклонной шайбы. При
этом предполагается, что время переходного процесса системы ничтож-
но и что выходная скорость абсолютно независима от момента нагрузки.
Такие характеристики гидравлической передачи, а также более вы-
сокое отношение момента к весу, чем в электромеханической системе
Г—Д, позволяют использовать этот гидропривод в качестве компоненты
системы управления. Переходный процесс в гидроприводе заканчивает-
ся очень быстро и в том случае, когда утечка не является незначи-
тельной.
С точки зрения проектирования гидропривода одним из наиболее
интересных вопросов является определение уровней давления, с кото-
рыми работает система. Эти сведения можно также получить из (9-4-2).
В частности, когда утечка золотника незначительна,
л.=цк[в-(?--)+7-(,р-) (9’4'6)
откуда следует, что дифференциальное давление между магистралями
прямо пропорционально моменту нагрузки.
Чтобы показать, как связаны коэффициенты в полюсных уравнени-
ях гидравлического насоса, двигателя и системы передачи с номиналь-
ными данными, рассмотрим следующий пример.
Пример 9-4-1. Из номинальных данных, приведенных ниже, определить вели-
чины коэффициентов в полюсных уравнениях для каждой компоненты системы, пока-
занной на рис. 9-4-1, и характеристики системы, взятой в качестве компоненты.
Насос
Производительность =2 600 дюймов3/сек-рад = 1.67 м3/сек-рад
Коэффициент утечки =0,148 дюймов31сек-фунтов иа кв. дюйм
— 3,5-10 10 м31сек-(нмг)
Масса наклонной шайбы = 0,04 н-м-сек2/рад. Коэффициенты в уравнении (9-4-1)
выражаются через
Л, = 0,04;
ksc,4^ = 467;
G/li=3,5-10-,°,
и полюсные уравнения имеют вид:
Т6
&hx
d2
° К
1,67 3.5-10-*« phx
Двигатель
Производительность =84 дюйма3/оборот = 22-I0-s м3[рад
Коэффициент утечки =0,148 дюйма3-сек-фунт на кв. дюйм —
=3,5-IO-10 м3[сек(н м2)
Момент инерции насоса =0,054 н-м-сек2/рад.
Полюсные уравнения для гидродвпгателя [см. (9-4-2)] имеют вид:
Вкг
Т.г
3.5-10-1» 22-105
d
—22-10-6 0,054-^у
Pll2
¥s2
203
Гидропривод. Подставив в (9-4-3) численные
уравнения гидравлического привода:
значения, получим полюсные
7\
То
0,04^- 0
d
-5.03-10s 69+0,054-gy
fi
<fo
9-5. Характеристики гироскопа
Одним из наиболее интересных механических устройств является
гироскоп, или вращающийся волчок. Гироскоп укрепляется в системе
подвижных рамок, называемых кардановым подвесом, как схематиче-
ски показано на рис. 9-5-1, и находит практическое применение в воен-
а)
Рис 9-5-1. Гироскоп с кардановым подвесом.
но-морских и космических системах инерционного наведения. Первая
наша задача — получить полюсные характеристики гироскопа с кардан-
ным подвесом.
Ротор гироскопа приводится во вращение с постоянной скоростью
электрическим двигателем. Практически вращающийся элемент сам по
себе может быть ротором двигателя. Интересующие нас характеристики
выражают зависимость между моментом и положением карданова под-
веса относительно заданной системы отсчета. Такая система отсчета об-
разована тремя взаимно перпендикулярными линиями 0—х, 0—у и 0—z
на рис. 9-5-1,а и иногда называется Ньютоновой системой координат.
В навигации эти три координатные оси обычно устанавливаются пли
определяются относительно заранее принятой группы звезд, и говорит-
ся, что система координат фиксирована в пространстве.
Чтобы задать количественно ориентацию гироскопического подве-
са b относительно выбранной системы координат, отмечают группу вза-
имно-перпендикулярных осей 0—g, 0—р и 0—X на подвесе так, как пока-
зано пунктирными линиями на рис. 9-5-1,а. Угловое положение тела С
однозначно определяется тремя действительными числами, измеренными
в определенной последовательности:
1. представляющим угол поворота С относительно координатной
оси у;
2. <рс, представляющим угол поворота С относительно оси С;
3. представляющим угол поворота С относительно оси Е.
204
Отметим, что конечная ориентация тела зависит от последователь-
ности, в которой производились измерения. Углы поворота в вышеупомя-
нутой трехмерной системе называются углами Эйлера.
Три измерения момента (относительно системы отсчета), соответ-
ствующие углам поворота Эйлера, выражаются через переменные Ту, 7\
и Т^. Ориентация и момента, и перемещения задана отрезками линий на
рис. 9-5-1,6.
Полюсные характеристики для этого графа (характеристики гироскопа)
можно найти, рассматривая гироскоп как агрегат, состоящий из элемен-
тарных частей. Однако здесь будут даны только конечные результаты
этого вывода.
Пусть и Jz представляют соответственно величины моментов
инерции относительно каждой оси. Каждый из соответствующих момен-
тов инерции измерен при условии, что относительно двух остальных осей
вращение отсутствует. Для симметричного гироскопа J Здесь мы
рассмотрим только сам вращающийся гироскоп без карданных подвесов.
Основные уравнения для симметричного гироскопа имеют вид:
7\=(?£ 4- cos ?>. 4- <fu cos ?c) 4- (¥>.)’ Z — cos <?.; (9-5-1)
7^ = JT< (— sin 4- <py cos <?.) 4- 4- <?y sin «?.) — sin <?.; (9-5-2)
Л=<s\ 4- (s5!/)2 Asin s\cos s>: — Л (s’!/cos s9 (^+?!/sin s’J- (9-5-3)
Отметим, что эти уравнения являются сложными и существенно нелиней-
ными. Однако значительное упрощение получается, когда работа гироскопа
рассматривается при следующих условиях:
1. Постоянная скорость вращения
<рс = const; <Pt = 0.
2. Высокая скорость вращения
S,t>S,y: ?t>S>;.
В результате этих ограничений уравнения сводятся к
7\ = J^ucos^; (9-5-4)
cos <р, 4- «?.^; (9-5-5)
Л = (9-5-6)
Когда внешние моменты не прикладываются к осям карданова под-
веса, гироскоп называется свободным гироскопом. Из решения (9-5-4)—
(9-5-6) для нулевого момента получаем:
<РУ = <?. = 0,
т. е. = const и «?;. = const есть решение дифференциального уравнения
для гироскопа. Этот результат говорит о том, что если трение в под-
шипниках карданова подвеса отсутствует, то гироскоп будет сохранять
фиксированное положение в пространстве. Однако, поскольку такие рас-
205
четные требования могут удовлетворяться лишь приближенно, гироскоп
будет «уходить», что следует из решения уравнений (9-5-4) — (9-5-6) для
случая, когда внешняя нагрузка не равняется нулю. Таким образом,
когда крепление f—,f' карданного подвеса вмонтировано в корпус кораб-
ля или самолета, гироскоп будет поддерживать фиксированное положе-
ние (за исключением малой ошибки ухода) относительно неподвижной
системы отсчета.
9-6. Другие характеристики гироскопа
Представим, что гироскоп с карданным подвесом, показанный на
рис. 9-5-1, используется при условиях, что ось подвеса а остается парал-
лельной выбранной координатной оси, которая обозначена как ось у.
Такие условия существуют в течение относительно короткого промежут-
о
। >
'с Я:
। •
а
Рис. 9-6-1.
а Ь
Рис. 9-6-2.
а — граф системы; б — полюсный
граф для скоростного гироскопа.
ка времени, например, когда точки f—f' фиксированы по отношению
к поверхности земли. При таких условиях Т. и <?. представляют значения
момента и угла поворота, измеренные между подвесами а и Ь.
Пусть внутренний подвес поворачивается только на малый угол
относительно положения, перпендикулярного внешнему подвесу. При
этих условиях и .соответствующие характеристики гиро-
скопа представляются линейными дифференциальными уравнениями
(рис. 9-6-1):
где =
Можно считать,
Ту
т.
(9-6-1)
что переменные в этих уравнениях соответствуют из-
мерениям, которые определяются графом на рис. 9-6-1, т. е. Ту и фу
представляют собой момент и угол поворота подвеса а по отношению
к системе координат, а Т. и <₽с выражают момент и угол поворота под-
веса b относительно подвеса а.
Чтобы продемонстрировать некоторые характеристики, входящие
в (9-6-1), рассмотрим случай, когда постоянный момент прикладывается
к подвесу а, а подвес b имеет свободу вращения. Решение (9-6-1) для
установившегося режима имеет вид:
iy
Ту
о
(9-6-2)
О
1
'h
1
О
206
или
<Р« = 0;
1 г
~ Т“'
Этот результат, конечно, является математическим выражением замеча-
тельного свойства, которое заключается в том, что приложение момен-
та к одному карданному подвесу не вызывает никакого вращения дан-
ного подвеса. Напротив, второй карданный подвес поворачивается (пре-
цессирует) с постоянной скоростью, прямо пропорциональной приложен-
ному моменту.
Покажем очень простой пример применения полюсного представле-
ния, данного выше. Пусть закручивающаяся пружина укреплена между
внутренним и внешним подвесами на рис. 9-5-1,а. Граф системы изобра-
жен на рис. 9-6-2,а, а полюсные уравнения этой системы как четырехпо-
люсной компоненты имеют вид:
Г н —
Т dt2 5 dt
Ту
То
(9-6-3>
__ It b A-J --
n\dt RsA-Jldt*
?o
Отметим, что если 7'o = 0 и если то передаточная функция, уста-
навливающая связь между положением внутреннего, подвеса [и скоростью
внешнего подвеса, выражается как
--17t •
и устройство называется скоростным гироскопом, потому что выходное
положение пропорционально входной скорости.
Одно из применений этого прибора состоит в определении угловой
скорости крена или изменения тангажа самолета или ракеты. Например,
если внешний подвес а на рис. 9-5-1 прикреплен к корпусу ракеты, а ось
ориентирована по направлению полета, то отклонение внутреннего под-
веса прямо пропорционально угловой скорости крена ракеты. Однако
гироскоп дает ложные показания, если у ракеты одновременно с креном
происходит изменение тангажа.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
АНАЛИЗ ТИПИЧНЫХ СИСТЕМ
В гл. 1 подчеркивалось, что конечная цель анализа системы состо-
ит в проектировании или синтезе системы, чтобы удовлетворить задан-
ному ряду полюсных технических условий. Целью настоящей книги не
является подробное рассмотрение различных методов проектирования
системы. Эти методы достаточно подробно изложены в книгах по про-
ектированию систем управления [Л. 4-1 и 5-3]. Однако нашей целью
в этой главе является ознакомление с методами анализа, при помощи
которых «расчетные уравнения» формулируются так, что можно употре-
бить имеющиеся в распоряжении методы проектирования. Способы по-
лучения уравнений, которые будут рассматриваться, составляют специ-
альные приложения многополюсных представлений, описанных в гл. 7,
и демонстрируются на примерах систем, содержащих различные компо-
ненты из гл. 8 и 9.
207
10-1. Типичная задача проектирования
Зависимость между анализом и проектированием, вероятно, лучше
всего показать на простом примере. Одним аспектом проектирования
мостового усилителя, изображенного на рис 10-1-1, является определе-
ние числовых значений различных сопротивлений и параметров ламп,
которые позволяют получить характеристики вход — выход в соответ-
ствии с техническими требованиями. Расчетные технические условия
формулируются однозначно, когда полюсный граф и матрица коэффи-
циентов в полюсных уравнениях системы заданы. Таким образом, по-
люсный граф на рис. 10 1 1,6 вместе с полюсными уравнениями (10-1-1)
однозначно представляют трехполюсные характеристики, которые будут
использованы при проектировании
ио
0 0
10 ЮЛ
«г
(о
(10-1-1)
где Л = 1 000.
В типичном случае вход усилителя может присоединяться к неболь-
шому тахометру, и желательно, чтобы входной ток оставался равным
нулю при всех условиях. Выход обычно подключается к обмотке воз-
буждения машины постоянного тока, сопротивление которой составляет
1 000 ом. Установление коэффициента усиления, равного 10 при холо-
стом ходе, и выходного сопротивления, равного 10 ком, эквивалентно
требованию, чтобы ток в обмотке возбуждения, подключенной к усили-
телю, равнялся
. ___Ю
'° \\kUi'
Таким образом, хотя несомненно существуют другие способы задания
технических условий, их всегда можно свести к требованиям, относя-
щимся к матрице коэффициентов полюсных уравнений для заданного
полюсного графа. Очевид-
но, изменение полюсного
графа без соответствующего
изменения уравнений приво-
дит к совершенно иным тех-
ническим
понент.
Из
остается
ли реализовать
технические условия при
конкретной структуре систе-
мы. Цель анализа — опреде-
лить выражения, представ-
ляющие каждый член в по-
люсных уравнениях, как
функцию параметров систе-
Эти сведения автоматически получаются, когда полюсные уравне-
системы выводят через произвольные значения коэффициентов
I
_ J
4
Рпс.
10-1-1. Мостовой усилитель постоянного тока.
а — схема; б — полюсный граф.
•of Ь о-
условиям для ком-
анализа системы
найти — возможно
заданные
условия
мы.
НИЯ
в уравнениях для сопротивлений и ламп. Хотя в настоящем примере не-
которые величины сопротивлений берутся фиксированными, чтобы обес-
печить необходимые напряжения сеточного смещения и анодного пита-
ния, желательно рассматривать в идеальном случае все коэффициенты
в уравнениях произвольными.

208
Полюсные, характеристики вход — выход для мостового усилителя
на рис. 10-1-1,а можно, конечно, найти из уравнений ветвей системы,
рассматривая каждую лампу и сопротивление как одну компоненту. Од-
нако из подсчета числа вершин в графе системы следует, что для полу-
чения полюсных уравнений требуется определить матрицу, обратную
матрице пятого порядка. Такое преобразование очень трудно осущест-
вить, когда все коэффициенты представлены в символической форме.
В настоящее время для вычислительных машин матрицы коэффициен-
тов записываются только в численном виде. Из-за этих ограничений
желательно прибегать к таким методам анализа системы, чтобы не
возникала необходимость в нахождении матрицы, обратной матрице
коэффициентов выше второго или третьего порядка. Воспользовавшись
полюсными представлениями блоков, можно избавиться от вычисления
обратных матриц высокого порядка. Например, для схемы на рис. 10-1-1
удобно вначале получить полюсное представление для двух блоков, вы-
деленных пунктирными линиями.
Вообще каждая система может быть расчленена на отдельные бло-
ки, и не существует установленных правил для отбора этих блоков, при
помощи которых достигается «наиболее простой» результат. Однако, ис-
пользуя методы, рассмотренные в первых семи главах, исследователь
может заранее судить о том, какой порядок матрицы получается в каж-
дом конкретном случае и насколько сложно определить для нее обрат-
ную матрицу. Он может последовательно прийти к конечному результа-
ту при любом выбранном расчленении системы.
Если читатель почувствовал, что методы анализа, описанные в пер-
вых семи главах, являются предельно систематизированными и что они
сковывают развитие индивидуального мастерства, то, вероятно, искус-
ство расчленения системы на «наиболее желательные» блоки вызовет
к жизни новые идеи.
Блоки, отмеченные пунктиром на рис. 10-1-1, выбраны по следую-
щим причинам: 1) два блока по существу одинаковы; 2) они образуют
два плеча моста; 3) для вывода полюсных уравнений требуется найти
лишь матрицу, обратную матрице первого порядка.
Трехполюсное представление для электронной лампы и сопротив-
ления дается графом, показанным на рис. 10-1-2,6, и уравнением
(10-1-2). Коэффициенты определены как явные функции характеристик
компонент в системе:
»1
4
0
G2i
о
G3
«1
иг
(10-1-2)
где
G2, = Р-А-

Из этого представления можно получить двухполюсное представление
блока, которое дается графом на рис. 10-1-3 и уравнениями
ts = Gs«3;
с ____________1
3 Rki (1 + На) + fpt
(10-1-3)
Если мы примем упомянутые выше блоки в качестве компонент, то
соответствующий граф усилителя (за исключением напряжения смеще-
ния) изображен на рис. 10-1-4. Очевидно, что, когда G2G5 = G4G3, мост
14—1738
209
сбалансирован и при подаче постоянного напряжения к точкам due
выходной сигнал на зажимах с—b отсутствует. Такая характеристика
является желательной во многих применениях. Из (10-1-2) и (10-1-3)
мы видим, что если две лампы идентичны и если = то G2=G3 и
мост балансируется при G4 = G5.
Рис. 10-1-2. Блок для систе-
мы, показанной на
рис. 10-1 1
а — схема, б — полюсный граф.
Рис. 10-1-3. Блок для систе-
мы, показанной на
рис. 10-1 1
а — схема; б — полюсный граф
Рис. 10-1-4. Граф систе-
мы, показанной на
рис 10-1-1.
С параметрами системы, соответствующими условиям балансирова-
ния, выведенные уравнения для полюсного графа на рис. 10-1-1,6 име-
ют вид:
0
0
О
(о
Gii
1 4- G2R
2G2
1 +
Hi
«о
(10-1-4)
полюсные уравнения, выраженные в смешанной форме, в соответствии
с техническими требованиями запишутся:
ii
«о
0 0
Рог
«г
io
(10-1-5)
где
___G21
Рог —
п ____ 1 + g2r.
— 2G2
Выражения, которые связывают коэффициенты полюсных уравнений
с параметрами системы, получаются подстановкой G2l и G2, приведен-
ных после (10-1-2), в уравнения для poi и Ro. При этом считается, что
G4 = G5 и используются одинаковые лампы:
Рог=^ (Ю-1-6)
и
/?o=4[/?ftl(l+p1)+GJ14-/?4]. (10-1-7)
Технические условия выполняются, когда
Pi=20
и
(1 + Р1) +гР1 +/?4 = 2U?hl +/-Д1 +/?4 = 20Л.
Величина Rki выбирается в соответствии с сеточным смещением, а ве-
210
личина анодного сопротивления г?я зависит от применяемой лампы. Если
лампа с коэффициентом усиления 20 имеет анодное сопротивление
10 ком, то в этом частном примере величина /?4 составляет:
/?4 = 20й—21 Rk ।—гр I = 1 Ой—21 Rh(.
и полюсные технические условия могут быть удовлетворены, поскольку
106/21.
Коэффициенты в полюсных уравнениях системы выражены
в (10-1-6) и (10-1-7) через коэффициенты полюсных уравнений ее ком-
понент (параметров системы). Далее эти уравнения называются расчет-
ными. Дтя целей проектирования желательно знать уравнения, обрат-
ные расчетным уравнениям, т. е. получить коэффициенты в полюсных
уравнениях компонент как явные функции коэффициентов полюсных
уравнений системы. В приведенном выше простом примере оказалось
возможным выразить /?4 в виде явной функции параметров, соответ-
сгвуюших полюсным техническим условиям, и других параметров систе-
мы. Однако в общем случае расчетные уравнения являются нелинейны-
ми, и не всегда удается получить решения для всех или даже части па-
раметров системы в виде явных функций коэффициентов в полюсных
уравнениях, соответствующих техническим условиям. Чаще оказывается,
что семейство параметров системы, удовлетворяющих расчетным урав-
нениям, должно быть определено итерационным способом. Этот процесс
«поисков» решения для расчетных уравнений называется проектирова-
нием п подробно не будет рассматриваться в этой главе. Наша задача
состоит в том, чтобы ознакомиться со способами получения расчетных
уравнений в форме, подходящей для существующих методов проектиро-
вания.
Наряду с задачами нахождения ряда параметров системы, удовлет-
воряющих заданным полюсным техническим условиям, конечно, суще-
ствует и много других соображений, которые входят в реальный про-
ект, таких как цена, вес, надежность, чувствительность к изменениям
окружающей среды и допуски в элементах. Поскольку расчетные урав-
нения выражают коэффициенты в полюсных уравнениях через парамет-
ры системы, с их помощью можно также узнать, к каким изменениям
характеристик системы приводит изменение характеристик компонент.
10-2, Использование многополюсных представлений
для вывода уравнений
Чтобы показать дальнейшее применение многополюсных представ-
лений для анализа систем вообще и для вывода расчетных уравнений
в частности, рассмотрим схему с электронными лампами, изображенную
на рис. 10-2-1,а. Непосредственный вывод уравнений для полюсного
графа на рис. 10-2-1,6 требует нахождения матрицы, обратной матрице
пятого порядка, если пользоваться методом ветвей. Поскольку такое
преобразование практически невозможно выполнить для уравнений, за-
писанных в общем виде, мы вначале получим полюсное представление
для подходящих блоков. Четырехполюсное представление блока, пока-
занного на рис. 10-2-2, требует определения матрицы, обратной мат-
рице первого порядка, и имеет вид:
Ч
ч
ч
0 0 0
^41 ^22 * 23
G31 G,2 G33
«1
иг »
«2
(10-2-1)
14*
211
где
z~> __ Oml
21 £р14~£з + £в ’
ГТ ёз (ёР1 + ёв) |
22— gpt+g34-g6 "Г
Q ______ ёбётп1
31 ~ ёР1 + ёз+ёе’
Полюсное
полюсным
постоянного
Рис. 10-2-1 Цепь с усилителем
тока.
а —схема; б — полюсный граф
представление
графом на рис.
Ц
Ч '
*'в
блока, изображенного
10-2-3,6 и уравнением
0 0 0
на
и.
«5
«в
рис. 10-2-3,а, дается
(10-2-2)
0
0
рг gi
g-,
показанной
Рис. 10-2-2 Блок для системы,
на рис. 10-2-1.
а — схема; б — полюсный граф.
Полюсное представление этого второго блока можно найти непосред-
ственно или просто установив l/g3=g6=gs = 0 и gt=gT в уравнении
(10-2-1).
Граф системы для случая, когда каждый блок является компонен-
той, показан на рис. 10-2-4,а вместе с элементами, представляющими
внешние измерения. Уравнения для полюсного графа имеют вид:
0 0 0 0
0 Ga Sm2 gpz
0 g21 0 g22 Gb
0 GS1 gp2 Gc Gd
Ui
ио
«г
«з
(10-2-3)
212
где
Ga---ёт~\~ Spz'i
Gb = G23 + G2t;
Gc---GS1 | gmn
Gd=G„-|_Ggl-|- gpi-
Исключив последние два уравнения из (10-2-3), получим:
ti
го
о о
Goi Go
Ui
«о
(10-2-4)
где
~ ___ gmitGaGzi — GbG3i) + gps(G22G3i — GcG2i) .
uoi — — G22Gd—GtG6
! gmzGbgpi--g'p2^22
Go = Ga G22Gd —GcGb •
Выражения, связывающие коэффициенты в полюсных уравнениях
системы с коэффициентами полюсных уравнений составляющих (па-
раметрами системы), получаются подстановкой G21, G3i, G22 и т. д ,
приведенных после (10-2-1), и Ga, G& и т. д., приведенных после
(10-2-3), в уравнения для Goi и Go. Результаты такой подстановки,
если даже они доведены до конца, дают два совместных алгебраиче-
ских уравнения с девятью параметрами системы. Однако, поскольку
конечные уравнения нелинейны и очень сложны, нереально пытаться
получить аналитическое решение или даже завершить подстановки
в общем виде. На самом деле'однозначного решения не существует.
Гораздо проще найти, как зависят полюсные характеристики си-
стемы, показанной на рис. 10-2-1, от сопротивления потенциометра
Рис. 10-2-3. Блок для системы, показанной
на рис. 10-2-1.
а —схема; б — полюсный граф.
Рис. 10-2-4. Граф системы, показанной
на рис. 10-2-1.
а — граф системы; б—полюсный граф.
и его установки, когда все остальные параметры берутся фиксирован-
ными. Типичные численные значения параметров системы составляют:
= £Г„(В = 2 000-10-®; gP1 =gP2 = 100- 10 е;
g5 = 100-10-e; ge==g7 = 5-10-*;
_ 10-е , ___ ю-«
— (1 — P)R ’ ₽/? ’
где O<0<1 означает установку потенциометра, а 106/? представляет
собой сопротивление потенциометра.
213
Величины коэффициентов в полюсных уравнениях двух блоков
для конкретных 'параметров, приведенных выше, можно 'оценить, вос-
пользовавшись преимуществами приближенных методов. Для коэффи-
циента G2\ в уравнении (10-2-1) справедливо выражение
с _ 2 000 • 10-’
°21 1 + 105(1 —g)R ’
(10-2-5)
очевидно, если р<0,9 и сопротивление потенциометра больше чем 106,
т. е. /?>1, го во всех практических случаях знаменатель выражается
как 105 (1—Р)/?.
Одно из главных преимуществ метода вывода уравнений, основой
которого является расчленение системы на повторяющиеся комбинации
блоков, заключается в том, что оказывается возможным получить та-
кие приближенные выражения На каждом этапе анализа «можно уви-
деть, что происходит».
Если ограничить сопротивление потенциометра в пределах /?>1
и р<0,9, то численные* значения коэффициентов в (10-2-1), выражен-
ные в микросименсах, составляют:
с, 2 000 19 (10-2-6)
U21 1 + 105(1 -p)R
GSi = 10 000(1 — ₽)R 1 + 105(1 -₽)R -^95; (10-2-7)
G 1 I 105 i (10-2-8)
°22 1 + 105(1—g)R ~ ₽(! — ₽)/? ’
1 5 „ 1 0,0476 1
[R 1+105(1 —₽)/? ~ (1— ₽)/? ~₽R;
Gzi = G23 =
g„=(-^-4-100)4
5[100+(T=w](1_₽)/?
1 + 105(1 —₽)/?
1 + 105(3/?
₽R
(10-2-10)
Значения коэффициентов в (10-2-3) как функций от р и R полу-
чаются подстановкой (10-2-6) — (10-2Д0) в выражения, приведенные
после уравнения (10 2-3). В результате
Ga = 105; (10-2-11)
(10-2-12)
r — (1 — 2ООО0Я)
n 1 + 300₽R
(10-2-13)
(10-2-14)
Расчетные уравнения окончатепьно получают подстановкой
(10-2-6) — (10-2-14) в выражения для Go,- и Go, приведенные после
(10-2-4). Конечные уравнения, размерность в которых взята в микро-
сименсах, имеют вид:
°- = 2-тЧбз(¥+199’5 + 3800^' (Ю-2-15)
_ 56 — 200g
0 ““2,3— 40g’
(10-2-16)
214
Мы видим, что полюсные характеристики системы при достаточно точ-
ной аппроксимации связаны с. положением потенциометра и его сопро-
тивлением через простое алгебраическое уравнение.
Передаточная функция холостого хода, выражающая связь между
выходным и входным напряжениями, получается подстановкой io=0
в (10-2-4) и решением относительно iit7uo-
ut Coi 39,9/?+199,5 + 3 8000
ио~ Go — 56 — 200₽
Если сопротивление потенциометра взято равным
в (10-2-17) /?=1 и выражения для передаточной функции
сопротивления запишутся:
Рис. 10-2-5. Структур-
ная схема для \ равне-
ния (10-2-20).
Uj _ 4,3+1680
ио 1 — 3,570
0,041— 0,710
Ro~ 1—3,570 > №°М.
(10-2-17)
1 Мом, то
и выходного
(10-2-18)
(10-2-19)
Из (10-2-18) и (10-2-19) очевидно, что при холостом ходе коэффи-
циент усиления и выходное сопротивление неограниченно увеличива-
ются, когда
^зЧ7=°>28-
Кроме того, если
0,058=^ <₽ <0,28,
то выходное сопротивление отрицательно. Следовательно, для сопро-
тивления нагрузки R/, присоединенного к выходным зажимам, выход-
ное напряжение и ток возрастают неограниченно, когда
Ri-^RO,
и подобный усилитель называют нестабильным. Таким образом, основ-
ной интерес представляет область положений потенциометра, для
которой О,28<0<О,9.
Интересно также отметить, что выражение для коэффициента
усиления (10-2-18) можно записать в виде
и{ 4,3+680 5,5 + 88?
"й?-/ 3.57Х , 3,57 — 1 + (5,5 + 880 ) 0,0525’
( 1 - 4,ЗХ ir)+(4’3 + 68₽)-6r
Структурная схема для (10-2-20) показана на рис. 10-2-5. Эта система
иногда называется усилителем с обратной связью.
10-3. Типичная электромеханическая система управления
В примерах двух предыдущих параграфов характеристики компо-
нент описываются алгебраическими уравнениями, и поэтому расчетные
уравнения компонент системы являются также алгебраическими.
Когда характеристики компонент системы описываются дифферен-
циальными уравнениями, расчет обычно основывается на изучении
215
в комплексной области свойств полюсных уравнений, выражающих
расчетные выходные переменные как явные функции расчетных вход-
ных переменных. Например, мы увидим, что переменные входа и вы-
хода для электромеханической системы на рис. 10-2-1 связаны двумя
уравнениями:
G (s)
?о («)
Gn(s) G12(s)
G2i(s) G22(s)
«г (s)
To (s)
(10-3-1)
Если требуется, чтобы при любой заданной величине tit выходная ско-
рость на валу не зависела от момента нагрузки, как в приводе с по-
стоянной скоростью, то при проектировании исследуются свойства
рациональной функции G22(s) и зависимость ее от параметров систе-
Блок А
Рис. 10-3-1. Типичная система регулирования скорости.
мы. С другой стороны, если выходная скорость должна быть прямо
пропорциональной входному напряжению для любой заданной величи-
ны момента нагрузки То, как в системе регулирования скорости, то
главное внимание в расчете уделяется свойствам функции G2i(s) и ее
зависимости от расчетных параметров. Если требуется получить такие
характеристики, чтобы выходная скорость была пропорциональна
входному напряжению и ,не зависела от момента нагрузки, тогда нуж-
но рассматривать оба коэффициента G2l(s) и G^s). Когда мощность
на входе системы должна быть равна нулю, тогда h.Gh(s) и G12(s)
должны быть равны нулю.
Во всяком случае, цель при выводе уравнений состоит в том, что-
бы выразить коэффициенты полюсных уравнений через параметры
системы; а целью проектирования по-прежнему является подбор пара-
метров системы (коэффициентов в полюсных уравнениях), пока не
реализуются требуемые характеристики системы. В частности, предель-
ные эксплуатационные характеристики для приведенной выше системы
получаются, когда
’ G22,(s)=0 и G21(s)=const.
Поскольку ни одно из этих условий нельзя полностью выполнить для
системы, показанной на рис. 10-3-1, конструктор может попытаться
настроить систему, ориентируясь лишь на приближение к этим «иде-
альным» условиям.
У читателя, естественно, уже может возникнуть вопрос — сущест-
вует ли определенная последовательность операций при разработке
структуры (соединения компонент) предполагаемой системы. К сожа-
лению, на этот вопрос еще нельзя ответить положительно. В основном
структура предполагаемой системы должна быть создана преимущест-
венно на основе опыта и запаса известных характеристик компонент.
Например, из характеристик машин, рассмотренных в гл. 8, мы зна-
ем, что выходная скорость системы с отключенным тахогенератором
216
(рис. 10-3-1) приблизительно пропорциональна напряжению на (входе
усилителя. Мы также знаем, что выходное напряжение тахогенератора
приблизительно пропорционально скорости вращения вала. Следова-
тельно, если вал тахогенератора соединен с выходным валом, а его
якорь включен последовательно со входными зажимами (при соответ-
ствующей полярности), как показано, то входной сигнал усилителя
автоматически увеличивается при уменьшении скорости нагруженного
.вала. По выражению специалистов по автоматическому регулированию,
выходной сигнал сравнивается со входным или выход «подается» ко
входу; поэтому возникло название — система с обратной связью. Если
тахогенератор на рис. 10-3-1 заменяется потенциометром, то система
имеет потенциальное управление с помощью позиционного устройства.
Задача этого параграфа заключается в том, чтобы получить рас-
четные уравнения в форме, удобной для использования известных
методов проектирования. Мы ограничим наше рассмотрение система-
ми, в которых соответствующие характеристики представлены в виде
одного операторного уравнения, связывающего две переменные. Запи-
шем это уравнение в общем виде:
C(s)=M(<r)/?(s), (10-3-2)
где C(s) и fi(s) выражают соответственно регулируемую и регулирую-
щую или задающую переменные, преобразованные по Лапласу. Рацио-
нальная функция Al(s) называется передаточной функцией, а уравне-
ние, выражающее M(s) через параметры системы, — расчетным урав-
нением. Например, M(s) может представлять в (10-3-1) G2i(s) или
G2z(s) .
Залог успешного решения заключается в таком представлении
полюсных уравнений системы, чтобы можно было получить при анали-
зе группу параметров системы, которые обеспечат требуемый переход-
ный процесс. Большинство методов расчета (Л. 4-1 и 5-3] исходят из
того, что расчетные уравнения записываются в виде
С(s) = М(s)R(,)=R(s)= R(s). с 10-3-3)
Расчетные уравнения можно всегда записать в этой форме, по-
скольку p(s) и q(s) являются многочленами от s, у которых q(s) име-
ет равный или более высокий порядок по сравнению с p(s). Однако эта
форма является полезной при проектировании, когда каждая из функ-
ций G(s) и Н (s) соответствует компоненте системы
В гл. 7 было показано, что такая форма получается при последо-
вательно-параллельном соединении трехполюсных или четырехполюс-
ных развязанных компонент, когда полюсные уравнения имеют такой
вид, как для однонаправленных компонент. >Это является основой для
отбора блоков, которые используются при анализе системы. Например,
на рис. 10-3-1 два блока А и В, отмеченные пунктирными линиями,
образуют последовательно-параллельное соединение двух развязанных
четырехполюсников. Следовательно, если полюсные уравнения для
этих двух блоков записаны так же, как и для идеальных однонаправ-
ленных компонент, то в соответствии с выводами гл 7 мы можем пред-
положить, что передаточная функция системы имеет вид:
1+6MHW (10-3-4)
217
где G(s) —передаточная функция блока А н Н(s) —передаточная
функция блока В. Кроме того, отметим, что в этом случае блок 4 мо-
жет (рассматриваться как группа
следовательно.
Легко показать, основываясь
характеристики для блока А на
графом, показанным на рис. 10-3-
из пяти компонент, включенных ло-
на результатах гл. 8, что полюсные
рис. 10-3-1 определяются полюсным
2,о, и уравнениями (10-3-5):
или
где
G (s) T2(s) z2(s) _ ?2 (5) 0 0 u1 (s) 1 (s) g22(s) <f>2(s) 0 0 Ji r x «1 (5) — g21 (s) 1 'P , ,
Й22(Д S22(S) 1 J
(10-3-5)
(10-3-6)
. —Р-дК«1Кт2
д-2
^22 (s) = N2Bi -]- Вт2 -ф- + s (Лк2 + N2J/);
^(s)-------(^at Н- (-^al
цд и Вл представляют собой коэффициент усиления и выходное сопро-
тивление усилителя, М выражает передаточное отношение редуктора;
Bi и /г характеризуют соответственно коэффициент демпфирования
и момент инерции нагрузки. Все остальные коэффициенты представля-
ют собой параметры машин в соответствии с табл. 8-13-1.
Для целей проектирования целесообразно выразить коэффициенты
в полюсных уравнениях компонент как отношение многочленов, запп-
Рнс. 10-3-2.
а и б — полюсные графы для блоков, показанных на рис. 10-3-1; в — граф
системы; г — полюсный граф системы.
санных в виде произведений сомножителей, например член gsi(s)
в уравнении (10-3-6) можно представить как
где
+ /?/!)’
Ди + Lai _ Lfi
^Ral + Rat’ ~ RA+Rjl ‘
218
Коэффициенты tj и т2 называются постоянны м'1 времени, a k2l — коэф-
фициентом усиления. Аналогично g22(s) можно записать как
= --------------(/?□.+/?O2)(1-T1S)------------ ’ <10-3-8)
где
Nj J l -|- J ml
T' ~ NjBt + B,nt ‘
После преобразования числителя (10-3-8) уравнение принимает вид:
g22(s) = fe22 (Ю-3-9)
1 *Т"
Аналогичным образом полюсные характеристики для тахогенератора без
учета коэффициента механического демпфирования и момента инерции
изображаются графом на рис. 10-3-2,6 и уравнениями
«4 (5)
о
kt
-kt I
Rt Ч- ।
?s(s)
«4 (5)
(10-3-10)
Граф, соответствующий последовательно-парал тельному соедине-
нию двух блоков, приведен на рис. 10-3-2,в. Из этого графа очевидно,
что r4(s) =/j (s) =0, и тахогенератор рассматривается как идеальная
однонаправленная компонента при последовательно-параллельном со-
единении. Полюсные уравнения системы в соответствии с § 7-8 име-
ют 'ВИД'
0
0
ii (s)
To (s)
GU)
1 +G(s)H
g22(s)[l + О (s) /Y]
W; (s)
To(s)
(10-3-11)
где
-- ^21
G(x) = -g2,-(s)-
&22 (S) kSl (t2S + 1 ) (taS 4- 1 ) (t4S + 1 ) ’
H = kt,
и расчетное уравнение получилось таким, которое требуется для тра-
диционных методов проектирования
Структурная схема, представляющая зависимость между <pn(s)
и ui(s) "(когда To(s)=0), изображена на рис. 10-3-3. В этом случае
имеется заметное сходство между структурной схемой и схемой систе-
мы. Эту струшурную схему можно нарисовать по виду системы. G(s)
называется передаточной функцией прямой цепи, a G(s)H— переда-
точной функцией разомкнутой цепи. В противоположность этому пере-
даточная функция системы при холостом ходе
М(з)
G(s)
1 4-G(s) Н
называется передаточной функцией замкнутой цепи.
Следуя методу, продемонстрированному на приведенном выше
примере, можно рассматривать большинство систем управления как
последовательно-параллельное соединение двух или более однонаправ-
219
ленных трехполюсников и развязанных четырехполюсников. Когда
возможен такой подход, G(s) и H(s) 'представляют, в частности, 'Пере-
даточные функции двух компонент при последовательно-параллельном
соединении. Другие примеры получения уравнений рассматриваются
в следующих параграфах. Теперь ознакомимся более детально с тем.
ЁЛОК в
Рис. 10-3-3. Структурная
схема для передаточной
функции в уравнении
(10-3-11).
как используются операторные расчетные урав-
нения для проектирования и почему требуется
указанная форма.
В соответствии с определением, приведен-
ным после (10-3-7), &2i прямо пропорционален
произведению коэффициентов усиления усилите-
ля, генератора и двигателя (.UAKgiKms).
Задача проектирования обычно заключается
‘в подборе такого коэффициента усиления &21/&22,
а иногда и kt, чтобы получить требуемую харак-
теристику системы. Например, если все корни
l + G,(s)/7 имеют 'Отрицательные вещественные
части, то выходную скорость вала в установившемся режиме при посто-
янном входном напряжении находят, приняв s = 0 в передаточной функ-
ции холостого хода;
Ф° _ 0(0)
Ui 1 +G(0)fe, ’
где
д/пу__ /?21 (й) _ l^-aI\glKm2 _____________Rai -р Rg2_______
1 + */«) (Ral + Ra2)(N^Bl+Bm2) + K2m2 '
Установившаяся ошибка между напряжением тахогенератора и вход-
ным напряжением выражается как
JI — Ь <ь — fe<G(0) 1+(fe,-fe,)G(0)
ы ! 1 + G (0) kt ~~' 1 + G (0) kt
и, поскольку речь идет об установившейся ошибке, желаемые условия
можно получить, взяв максимально возможные коэффициенты усиле-
ния Однако система также должна быть устойчивой, т е. решение во
временной области для произвольной входной функции должно быть
ограниченным и не иметь колебательного характера. Как отмечалось
в гл. 5, экспоненциальные члены во временном решении определяются
по полюсам 2M(s) =G(s)/[l + G(s)/7]. В начале проектирования следу-
ет удостовериться, что система устойчива, и установить связь между
устойчивостью и численными значениями параметров системы. Если
знаменатель Al(s) имеет лишь второй порядок, то можно получить ана-
литическое решение для корней многочлена и выразить их как явные
функции параметров системы. Например, если в (10-3-7) и (10-3-8) Т|
значительно меньше, чем т; и т2, то знаменатель G(s) в (10-3-11) мож-
но аппроксимировать многочленом
(10-3-13)
и можно выразить полюсы M(s) через К21, К22, t2 и т3. В частности,
м (s) — _______2^1_____~------------------------__ (Ю-3-14)
J — q (s) ~' 1 + G (s) kt й2г(г25-|-1)(Ъ« + И—’
220
или
---------------------------------------------!----- . (10-3-15)
V ' ^22Т2Х3 „ tz + tj «21««
s2 4-----s — —г—
taz, K22
Знаменатель (10-3-15) теперь можно записать в виде произведения
/ШН ~ ~*2'------------!-----
’ fe22T2z3 (s —S1)(S—s2)’
где из решения квадратного уравнения
— (z2 + z3) /, Г Г1 I 4Z:2ife|T2z3 1*/2) Л 0-3 16)
|1+[ 1+л«(гг+гзр] )’ (Ю-3-lb)
s2 = .~^+U / 1 Г1 _ 1 |. (Ю-3-17)
2 2т2т3 ( 1 [ ft22(t2 + z3)2J J
В выражениях для S| и $2 ®се параметры являются положительны-
ми постоянными, за исключением, возможно, kt — коэффициента уси-
ления тахогенератора. Если й(<0, то вещественные части Sj и s2 отри-
цательны для всех значений
и Кт
21 Rai + Rai
и коэффициент усиления усилителя может быть сделан неограниченно
большим. Система при этом остается устойчивой. С другой стороны,
когда kt>0, система определенно неустойчива при любой приемлемой
величине коэффициента усиления усилителя. Конечно, знак kt можно из-
менить простым переключением выводов тахогенератора.
Интересно отметить, что когда удается выразить корни знаменате-
ля Л1(х) через параметры системы, то можно также исследовать, на-
пример, как меняется переходная функция системы от выбора ее пара-
метров. В частности, из (10-3-16) и (10-3-17) мы видим, что еслий(<0и
1) если
^k2lki^ = kt2 (т2 -|- г3)2,
то переходный процесс характеризуется критическим демпфированием;
2) если
*®3 ^>^22 (*®2 [ •«,) ’
то кривая переходного процесса в системе представляет затухающие
колебания; ,
3) если
^22 (*^2 | *®з) ’
то переходный процесс характеризуется чрезмерным демпфированием.
Каждую из этих характеристик переходного процесса можно полу-
чить регулировкой любого из нескольких параметров. Однако во мно-
гих задачах проектирования все параметры системы, за исключением
коэффициента усиления усилителя, считаются неизменными.
221
Когда многочлен знаменателя
W)
G(s)
1 4- G (s)/Z(s)
имеет степень выше второй, невозможно аналитически выразить полю-
сы Л1 (s) как явные функции параметров системы. Задача подбора па-
раметров системы, обеспечивающих устойчивую работу и заданные
характеристики в переходном процессе, становится задачей главных
пропорций [Л. 4-1 и 5-3]. Нашей целью не является рассмотрение всех
различных методов подбора коэффициентов в расчетных уравнениях
для удовлетворения заданных технических условий.
Основной графический метод исследования устойчивости приведен
в приложении.
10-4. Типичная электромеханическая позиционная система
Система, изображенная на рис. 10-4-1, предназначена для приве-
дения нагрузки в соответствие с заданным входным положением вала.
Все характеристики компонент системы известны и не изменяются, за
исключением коэффициента усиления усилителя и передаточного отно-
шения редуктора выходного потенциометра. Численные значения ха-
рактеристик компонент наряду с предполагаемой величиной коэффи-
циента усиления усилителя приведены ниже.
1. Является ли система устойчивой для предполагаемой величины
коэффициента усиления усилителя? Если нет, то какие изменения сле-
дует сделать, чтобы обеспечить ее устойчивость?
2. Из анализа системы определить величину передаточного отно-
шения, при которой установившееся или статическое положение выход-
ного вала было бы таким же, как и входное положение вала.
Рис. 10 4-1 Типичная электромеханическая позиционная
система.
3. Какова ошибка между положениями
вал вращается с постоянной скоростью?
Полюсные характеристики компонент:
Усилитель
двух валов, когда входной
0 0
200 2000
Ui
io
(10-4-1)
222
Система Г—Д и нагрузка
Uf
Ts
2000 + 50s О
8000 10 + s
if
(10-4-2)
Потенциометры 4 в/pad.
, Мы знаем из гл. 7 и предыдущего параграфа, что если эту систе-
му рассматривать как последовательно-параллетьное соединение одно-
Рис 10-4 -2 Граф системы, показанной
10-4 1.
на рис
направленных компонент, то можно получить передаточную функцию
в форме, удобной для проектирования,
______G (s)
fi 1 +G(s)H (s) ’
где G(s) и H(s<) являются передаточными функциями двух компонент
в последовательно-параллельном соединении. Следовательно, для нас
особый интерес представляют блоки этого типа. Например, на
рис. 10-4-2,а показан граф системы для случая, когда каждый блок,
выделенный на рис. 10-4-1 пунктирной линией, считается компонентой.
Мы убеждаемся, что блоки А и В образуют последовательно-парал-
лельное соединение. Эти два блока, принятые за компоненту, соединя-
ются в каскад с блоком С. Кроме того, из схемы на рис. 10-4-1 следу-
ет, что сам блок А состоит из каскадно включенных компонент.
Полюсные уравнения для блока А:
<?2
о
— 8 000р.
(4 000+ 50s)(10 + s) s
0
1
(10+ s)6
«t
Л
(10-4-3)
где р представляет собой коэффициент усиления усилителя. Для этого
коэффициента оставлено буквенное обозначение, поскольку, возможно,
его придется изменять.
Полюсные характеристики потенциометра и зубчатой передачи без
учета механического трения и момента инерции имеют вид:
Т
1 3
0 0
4+ Z(<p3)
?3
Й
где N выражает передаточное отношение редуктора между нагрузкой
и потенциометром. Выходное сопротивление 7(<рз)фактически является
функцией положения потенциометра. Однако, как только входной ток
223
усилителя доходит до нуля (Z4=0), из графа системы следует, что
4=0, и Z(cps) не представляет интереса. Полюсные уравнения для по-
следовательно-параллельного соединения, соответствующие
5 и 0 на рис. 10-2-4,6, имеют вид:
элементам
где
4
0
g(s)
1 + g(s)4.V,
О
1
(10 + s)s[l +g(S) 4N(]
— 8 000ц
то
(10-4-4)
(10-4-5)
(4 000+ 50s) (Ю-f- s)s ’
Учитывая уравнение каскадно включенного входного
характеристики вход — выход как функцию двух переменных
I
потенциометра,
мы получим
параметров:
Ti
Vo
0
1
Чтобы
0
4g О) _______________________
l+g(s)4A't s (10 + s) [1 + g (s) 47V(]
То
(10-4-6)
аналитически решить вопрос об устойчивости, требуется
вычислить корни многочлена от s третьей степени. Эта задача может
быть решена графическим способом
с
Рис. 10-4-3. Кривая Найквиста для
— 3 200цМ
(4 000 + 50s) (10 + s) s ’
а) [л>0;
б) P<0.
помощью критерия Найквиста,
который рассмотрен в прило-
жении. Общий вид годографа
и z-\ м — 32 б00^'
4g(S)Mt (4 000 + 50s) (10 + s) s
для величин s на контуре, за-
мкнутом в правой полуплоско-
сти, показан на рис. 10-4-3,6
для ц>0. Эта кривая всегда
охватывает точку —1, что го-
ворит о неустойчивости систе-
мы для всех положительных
значений коэффициента усиле-
ния усилителя. Однако имеет-
ся по крайней мере несколько
отрицательных значений р,
при которых система является
устойчивой, как показано на
коэффициент усиления, конечно,
графике рис. 10-4-3,6. Отрицательный
получается простым реверсированием входных или выходных зажимов
усилителя.
Чтобы получить количественный критерий допустимых значении
коэффициента усиления, запишем расчетное уравнение в виде
—0,80рА4
(10-4-7)
4g(s)Nt Q o,O125s) (1 — 0. Is) s
график амплитуды и фазового угла для значений s, иахо-
положительной мнимой оси. Результат построения изобра-
10-4-4 для 7V/ = 1 и ц=—200. Из этого графика следует, что
и построим
дящихся на
жен на рис.
когда фаза составляет —180°, амплитуда 4g(s) равняется 7 дб, или
2,26 единиц. Следовательно, кривая Найквиста на рис. 10-4-3,6 охваты-
вает точку —1, и система неустойчива для коэффициента усиления .
р = —200. Для того чтобы система была устойчивой, кривая коэффи-
224

циента усиления на рис. 10-4-4 должна проходить ниже оси абсцисс,
когда фазовый угол достигает —180°. Таким образом, если коэффициент
усиления является отрицательным и имеет величину |ц! <80, то система
устойчива.
Положение выходного вала в уставовпвшемся режиме в зависимо-
сти от положения входного вала можно определить, взяв предел от пере-
даточной функции (10-4-6) в комплексной области при s ->0:
Фо — 32 000р. _ 1
Ф~ — 32 000|лЛ4~Л'(
Для такого положения валов, которое требуется в технических условиях,
tft=l.
Ошибку между положениями двух валов, когда положение вход-
ного вала выражается как
фДП=Ф.(П.
лучше всего найти, рассмотрев функцию ошибки:
(S) = (S) — <?о (S) = <?i (s) — t Ti (s) =
1 , (1—0.0125s) (1-b 0.1s) s ,,
— 1 + 4g(s) Cf>i —(1 0,0125s) (1 + 0,1s) —0,8|л*;
Ошибка в установившемся режиме
. , ,. (1 4-0,0125s) (1 + 0,1s) s ф;
s™S4>e S imS I1 + 0,0125s)(1 4-0,Is)—0,80/ s2
= 1^Ж^ = 0’006296’’
и мы видим, что ошибка при постоянной скорости на входе прямо про-
порциональна скорости изменения входного положения. Это означает,
что когда входной вал «следит» за объектом, движущимся с постоянной
15—1738
225
скоростью (например, в случае преследования в авиации), орудийная
башня, приводимая выходным .валом, всегда движется с запаздыва-
нием. Эта ошибка пропорциональна скорости движущегося объекта.
10-5. Типичная гидроэлектрическая система
Рассмотрим методы получения уравнений и анализа на примере
гидроэлектрической системы, показанной на рис. 10-5-1. Пусть требует-
ся определить характеристики этой системы, рассматривая ее в ка-
честве: а) регулируемой системы управления; б) привода с постоянной
скоростью. В последнем случае нужно исследовать, может ли система
поддерживать заданную скорость независимо от момента нагрузки.
Рис. 10-5-1. Типичная гидравлическая система регули-
рования скорости.
Когда два блока, выделенные пунктирными линиями, взяты в ка-
честве компонент, система рассматривается как каскад из двух ком-
понент, который соединен последовательно-параллельно с тахогенера-
тором.
Полюсные уравнения для гидропривода (блок В) получены в гл. 9
[уравнение (9-4-4)]. Эти уравнения с числовыми коэффициентами име-
ют вид:
Гидропривод
d
। >
< >
9
0,5s2
— 5 000
1 + 0,005s
0
10- =
1 + 0,005s
83
Т\
(10-5-1)
Рис. 10-5-2.
где представляет собой переменный момент нагрузки.
Полюсные уравнения для гидроусилителя в блоке А получены
в гл. 9 [уравнения (9-2-8)]. Эти уравнения с параметрами, которые будут
использоваться в данном примере, имеют вид:
Гидроусилитель
200(1 -f-Ю-3s) 40(1-|-10~3s)
250 50(1 + 0,2s + 0,04s2)
Полюсные уравнения для соленоида аналогичны уравнениям
постоянного тока и имеют вид:
sp
(10-5-2)
машины
226
Соленоид
f е
< ।
/ а"
и ii
Л 9
Рис. 10-5-4.
fa
5 0004-2s —25 I
2 0 I
if
(10-5-3)
Если в уравнении (10-5-3) сила постоянна и равняется 2, а в уравнении
(10-5-2) сила реакции равняется 200
щения золотника требуется величина
Полюсные уравнения соленоида
мых в качестве компоненты, можно
компоненты. Результат представлен
•на .рис. 10-5-5.
Гидроусилитель и соленоид
6, то для максимального переме-
тока 30 ма.
и гидроусилителя, рассматривае-
получить, соединив в каскад две
в уравнениях (10-5-4) и графом
Рис. 10-5-5.
Uf
5000(1 4-2-10 3s) 0,4s
-TTlh-s Ю(1 4-0,2s)s
if
(10-5-4)
Многочлен, расположенный в первом столбце и первой строке, должен
включать дополнительный сомножитель
4s
200(1 + 10-3s)’
обусловленный —2s ,в (10-5-3). Однако этим сомножителем от s можно
пренебречь, 'потому что по сравнению с 3 000 его величина составляет
всего лишь 4.
Если представить электронный усилитель коэффициентом усиления
р и выходным сопротивлением, рав>ным 5 000 ом, то полюсные характе-
ристики всего блока А даются графом на рис. 10-5-6 и уравнением
(10-5-5). Для блока А на рис. 10-5-1
? I 0 0 и
4 Ч / = -2'5-10'^ 10(14-0 2sls • (Ю-5-5)
[ I f2 (1+ 10 3sp 10(14-0,4s)s о2
b 9
Рис. 10-5-6.
В уравнении (10-5-4) имеется коэффициент 0,4 s, и поэтому в много-
член, расположенный во второй строке и втором столбце (10-5-5), дол-
жен входить дополнительный множитель
— 10~4s
(1 + O.OOlsp ’
Однако, как и в предыдущем случае, величина этого сомножителя со-
ставляет только 1,2-10—4 и по сравнению с 10 может не учитываться.
Отметим, что мы пришли бы к такому же результату, если бы рассмат-
ривали систему, состоящую из гидроусилителя и соленоида, в качестве
однонаправленной компоненты.
15*
227
Естественно, следующий этап анализа заключается в том, чтобы
получить полюсное 'представление каскада из двух блоков. Поскольку
вторая компонента в каскаде является однонаправленной (но не идеаль-
ной), можно воспользоваться свойствами передаточной функции нагру-
женной системы или записать результирующие выражения по виду си-
стемы.
Полюсное представление, полученное последним способом, выра-
жается уравнением (10-5-6) и графом на рис. 10-5-7.
Блоки А и В
0 0
\ 10-2
1 + 0,005s
где
— 0,125р.
(1 + 0 005s) (1 Н-0,001s)2 (1 -Ь 0,25s) s '
(10-5-6)
(10-5-7)
Теперь не составляет труда получить характеристики входа — вы-
хода всей системы, образовав последовательно-параллельное соедине-
Рис.
с е
'1 9
5 Л
о О
9
Рис. 10-5-8.
Рис. 10-5-9.
а — граф системы: б — полюсный
граф-
vr %
То-Т.
о в
с 9
Рис. 10-5-10.
ние этих однонаправленных компонент с тахогенератором. Полюсные
характеристики тахогенератора представлены графом на рис. 10-5-8 и
уравнением
Т II I
1 е =
о
0,1
— 0,1
100
(10-5-8)
?в
где коэффициент демпфирования и момент инерции не учитываются, так
как они малы по сравнению с аналогичными коэффициентами других
компонент системы.
Граф системы для последовательно-параллельного соединения по-
казан на рис. 10-5-9,а. Из графа следует, что 1'5=0. В соответствии
с выводами гл. 7 полюсные уравнения для графа на рис. 10-5-9,6
имеют вид:
<Ро
о о
G(s) 102
l-|-0,lG(s) (1 +0,005s)[I+0,lG(s)]
Hi
T
1 о
(10-5-9)
Регулирование no скорости. Характеристики системы, рассматри-
ваемой в качестве системы регулирования скорости (при постоянной на-
грузке) определяются отношением многочленов, в котором <p0(s) выра-
жена в функции u,(s). Если в четырехполюсное представление гидро-
привода входит нагрузка, то характеристики системы регулирования
скорости при заданной нагрузке определяются передаточной функцией
холостого хода в (10-5-9). Когда при анализе системы требуется полу-
228
чить только эти характеристики, тогда целесообразно включить данную
нагрузку в полюсное представление системы, имеющей последователь-
но-параллельное соединение с компонентой обратной связи, как мы
делали в предыдущем параграфе. Если требуется исследовать характе-
ристики при различных значениях коэффициентов демпфирования и
моментов инерции, то эти коэффициенты при выводе уравнений обозна-
чаются символами, а выражение для нагрузки добавляется к полюсным
уравнениям, приведенным выше Чтобы продемонстрировать этот по-
следний метод, запишем полюсное уравнение нагрузки в виде
Л = (5: + ^)^. (10-5-10)
Граф для этой простой системы изображен на рис. 10-5-10, откуда
следует, что
TO = TL,
а из уравнений (10-5-9) и (10-5-10)
Д ___ G (s) ut_______№i + Ю~г¥о_______ /in к ip
Уо — 1+O,1G(S) (1 +0,005s)[I 4-0,lG(s)]
или, выразив <po как явную функцию «$, получаем:
’ ________________G(s)-(1 +0,005s)ui__________ НО 5 12)
Уо (1 + 0,005s) + (Bi+ М)-Ю-г + (1 +0,005s).0,lG(s) ' 1 7
Чтобы представить (10-5-12) в виде стандартного расчетного уравне-
ния, разделим числитель и знаменатель на
(1 +0,005 s) + IO-2.
В результате получаем:
»-=т+Ж)“*’ °0-5-13’
где
G' (s) = G (s) (1 + 0,005s) + (Bi + /(S). 10-! • (10-5-14)
Из (10-5-7) следует, что
G' “ 10-4(100 +Bi) + (0,5 + 7i)s] (1 + 0,001s)’-(t+0,25s)s’ 0°'5*15)
и мы убеждаемся, что такое же выражение можно получить, если вклю-
чить уравнение для произвольной нагрузки в полюсное представление
гидропривода.
Из (10-5-13) и (10-5-14) 'следует, что если система устойчива, то
скорость на выходном валу в установившемся режиме связана со вход-
ным напряжением через
. —0,125(117,
^^o7WoX=lot7i
п совершенно не зависит от коэффициентов демпфирования и момента
инерции нагрузки. С другой стороны, если ошибка определена как
£= 10иг-— <ро,
229
то
Е = 1 +O,1G'(S)Ui
и ошибка в установившемся режиме при линейно возрастающем сигна-
ле на входе выражается пределом
к- г Ю Ut
s_>o 1 + 0,lG'(s) s»
Из выражения для G'(s), приведенного после (10-5-15), следует, что
_-(100+б1)
0,125р. •
Чтобы свести к минимуму ошибку слежения, нужно увеличить коэффи-
циент усиления усилителя настолько, насколько это возможно из усло-
вий устойчивости системы. Отметим также, что ошибка слежения
является функцией коэффициента демпфирования нагрузки.
Переходный процесс и устойчивость зависят от полюсов выра-
жения
V/ (s) —_____G'(s)___
1-4-0.1G'(s)
или корней многочлена 1+0,1 G'(s). При наличии цифровой .вычисли-
тельной машины эти корни легко определить для любого заданного
значения ц. Если требуется исследовать устойчивость системы в зависи-
мости от коэффициента усиления, то нужно построить график, на кото-
ром корни 1+0,1 G'(s) представлены в функции от ц (см. приложение).
Когда вычислительной машины нет, лучше всего воспользоваться
(1+0,005s)(l+0,00Is) •••
Рис. 10-5-12. Полюсная
диаграмма для
G(s) =
—0,125р
‘ (I + 0,25s)s-
критерием Найквиста при исследовании устойчивости системы с раз-
ными коэффициентами усиления. Этот способ был рассмотрен в при-
мере предыдущего параграфа.
Диаграмма Боде для ненагруженной системы показана на
рис. 10-5-11. Соответствующая полярная диаграмма приведена на
рис. 10-5-12. Мы видим, что система устойчива, пока 201og |G(s) | мень-
ше нуля при сдвиге фазы 180°. Из графика на рис. 10-5-11 следует, что
230
это условие выполняется, пока коэффициент усиления усилителя менее
100 дб. И наконец, теоретически нижний предел ошибки при линейно
возрастающем на входе 1напряжении [см. уравнение (10-5-16)] состав-
ляет:
£=—(100+Вг) • 10-5.
Регулирование по скорости. Характеристики системы, рассматри-
ваемой в качестве привода с постоянной скоростью, зависят от коэффи-
циента в (10-5-9), представляющего выходной импеданс. Для любого
постоянного напряжения скорость на валу выражается как
» ________________ 10~2Г°(Я) -
То Iй! s t (1 + 0,005s) [1 + О, IG(s)] ’
и очевидно, что устойчивость и переходный процесс при ступенчатом
или линейном изменении выходного момента снова определяются кор-
нями 1 +0,1 G(s).
Если коэффициент усиления р < 105, то система устойчива. Выра-
жение для скорости на валу при установившемся режиме в функции от
момента на валу имеет вид
Фо— lim s% = lOt/i + 0Г.о для То (t) = То.
s->0
В установившемся режиме скорость не зависит от нагрузки.
Когда нагрузка на валу линейно изменяется во времени
To(t) = Tct,
скорость в установившемся режиме выражается как
ДЛЯ To(t) = Tot.
Изменение скорости для р=100 дб составляет лишь
Д<ро = — 0,С08То [рад/сек].
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ПОЛЮСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАШИН ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
В настоящей главе мы еще раз вернемся к рассмотрению компо-
нент систем. Рассматриваемый класс электромеханических компонент
отнесен к машинам переменного тока в связи с тем, что к электрическим
зажимам подводятся синусоидальные напряжения и токи с неизменной
или модулированной амплитудой. В предыдущих главах было уделено
внимание характеристикам компонент, поэтому целью настоящей главы
является лишь нахождение целесообразного полюсного представления
этих устройств.
Как мы увидим далее, исходные полюсные уравнения машин пере-
менного тока несколько сложнее уравнений любых других ранее рас-
смотренных компонент. Эта сложность, однако, может быть в значи-
тельной мере устранена путем применения соответствующих преобра-
зований переменных. Здесь мы впервые встречаемся с этим важным
методом в полюсном представлении компонент.
231
Преобразования переменных приводят иногда к некоторым труд-
ностям, связанным с тем, что переменные в конечных полюсных уравне-
ниях не связаны непосредственно с измерениями на зажимах компонент.
Однако читатель должен иметь в виду, что в любом случае полученный
конечный результат является лишь сравнительно более простым пред-
ставлением характеристик компонент.
Настоящий метод изложения позволяет достичь высокой степени
обобщения и в этом смысле является весьма привлекательным. Однако
опыт авторов показывает, что, несмотря на заманчивую краткость и
математическое изящество, обобщенное изложение создает значитель-
ные трудности для чтения и понимания материала читателем, начинаю-
щим изучать предмет. Именно поэтому настоящее изложение ограни-
чено типами машин, которые обычно используются в силовых системах
или в системах автоматического регулирования.
11-1. Элементарная машина переменного тока
Рассмотрим сначала простейшую машину переменного тока,
изображенную на рис. 11-1-1. Эта машина состоит из двух катушек,
одна из которых расположена на статоре, а вторая на роторе. Она иден-
тична электродинамометру, использованному ранее в качестве исход-
ного элемента для вывода полюсных характеристик машины постоян-
ного тока, с той лишь разницей, что статор рассматриваемой машины
имеет обычную цилиндрическую поверхность.
Как и в машине постоянного тока, катушки а—а' и b—Ь' (см.
рис. 11-1-1) расположены в пазах и могут быть распределены по по-
верхности статора и ротора в виде петлевой или волновой обмотки или
другим удобным способом. Более подробно эти вопросы рассмотрены
в следующем параграфе. Здесь же достаточно отметить, что полюсные
Рис. 11-1-1. Элементар-
ная однофазная машина
а b с
a' b' d
Рис. 11-1-2. Полюсный граф элемен-
тарной однофазной машины.
характеристики простейшей машины переменного тока (рис. 11-1-1)
имеют тот же вид, что и характеристики электродинамометра. Однако
в этом случае мы не накладываем каких-либо ограничений на угол по-
ворота вала. Полюсные характеристики представлены рис. 11-1-2 и
уравнениями (11-1-1) и (11-1-2):

«8 (О
Чт (О
L
Я*
is(t)
ir(t)
(11-1-1)
4^г(?) RrrA-it^rr
T (t) = - is (t) [Lsr (<p) iT + (t),
UT \ J
(11-1-2)
232
где коэффициент Es,(<p) является периодической функцией положения
ротора и может быть выражен как бесконечный ряд нечетных гармоник
вида
00
L,r(<p)=V Ahcos(2k — l)«f>(i). (11-1-3)
А=1
Если форма поверхности ротора или статора отличается от цилин-
дрической, как это было, например, в случае электродинамометра
(рис. 8-2-1), коэффициенты Lrr или Lss также являются функциями по-
ложения ротора. При этом момент на валу определяется более общим
выражением:
^(0— 2 ’Ils ir d,f ft j /2
II ^Sr \т)
LsrW
Lrr (?)
(О
ir (0
+

Рассмотрим сначала случай, когда коэффициенты Lrr и Lss не зави-
сят от положения ротора, и предположим, что коэффициент Lsr(q) выра-
жается первым членом ряда Фурье (11-1-3). При этом выражение для
момента на валу (11-1-2) запишется в виде
Т (t) = Atis (!) iT (/) sin <f> (i) + (в +J ? (!) = Te (!) + (B -h/ A-) <? (i),
(11-1-5)
где Гв(/)= HJs (/) ir(i) sin f>(i) называют электромагнитным моментом.
Один из важных установившихся режимов машины, представленной
на рис. 11-1-1, характеризуется следующими полюсными условиями:
ir (!) = IT = const; (11-1-6)
is(!) = fs sinai; (11-1-7)
?(0 = ?* + ?<>, (U-l-8)
где <p и <?0 — постоянные величины. При этих условиях выражение для
электромагнитного момента имеет вид:
Те (0 = AJrh sin urf sin (<pi -ф- <p0) = [cos (<p! -)- ?o — —
— cos (# + <?„ +<oi)l, (11-1-9
откуда следует, что при средняя величина электромагнитного мо-
мента равна нулю. Однако если = то средний момент отличен от
нуля. Так, из выражения (11-1-9) следует, что
Te(t) = ^~{cos^0 — cos(2<о/То)] при <р=4-<о; (11-1-10)
Te(i) — ~A^k[Cos<p0 — cos(2<nZ — <р0)] при ? = — «>, (11-1-11)
233
а средний момент за один оборот вала определится как
(7\)ср= A,I2S cosy, при ? = + «>;
(11-1-12)
(^е)ср —— Л1/2г/в cos у 0 при ? = — и. (11-1-13)
Скорость вращения вала <р = (о называют синхронной скоростью,
а средний момент при синхронной скорости — синхронным моментом.

ф=а> ф
О—
5₽=-<о
0
Рис. 11-1-3. Механическая
характеристика однофазной
синхронной машины.
Более общее определение этих тер-
минов дается в следующих пара-
графах.
Устройство, изображенное на
рис. 11-1-1 и работающее при ука-

О Я 2Я
Рис. 11-1-5. График изменения
индуктивности статора двухпо-
люсной машины переменного
тока с явно выраженными по-
люсами.
Рис. 11-1-4. Элементар-
ная однофазная явнопо-
люсная машина перемен-
ного тока.
занных выше условиях, называют однофазной синхронной машиной. Это
название связано с тем фактом, что машина развивает момент и вра-
щается лишь при синхронной скорости ф=±ю. Зависимость среднего за
оборот вала момента от скорости показана на рис. 11-1-3. Отметим, что
машина с такой характеристикой не обладает самозапуском. Она долж-
на быть приведена во вращение каким-либо
внешним двигателем. После того как ско-
рость вала достигнет синхронной скорости,
машина будет продолжать вращаться
с этой скоростью до тех пор, пока момент
нагрузки не превысит некоторую граничную
величину, называемую моментом выхода из
синхронизма (пунктирная линия на рис.
11-1-3). После этого скорость уменьшится,
средний момент станет равен нулю, и ма-
шина остановится.
Рассмотрим теперь характеристики од-
нофазной машины с явнополюсным ротором,
схема которой изображена на рис. 11-1-4.
Единственным отличием полюсных уравнений этой машины от рассмо-
тренных выше является зависимость собственной индуктивности катуш-
ки статора Lss от положения ротора. За один полный оборот вала индук-
тивность статора проходит через два максимума и два минимума. При
соответствующем выборе геометрии ротора эги изменения могут быть
представлены в виде кривой, изображенной графически на рис. 11-1-5
и выраженной аналитически следующим уравнением:
£5Ь(ф) =LS|+ LS2 cos 2ф(/). (11-1-14)
В соответствии с этим в уравнение (11-1-1) войдет выражение
(11-1-14) для Lss, а уравнение момента получится из (11-1-4) путем
234
подстановки в него выражения (11-1-14). Тогда, с учетом принятого
ранее выражения для £sr(tp), получим:
Те (t) = £ (t)LSi sin 2<р (0 + (0 iT (t) sin <? (t). (11-1-15)
Сравнение (11-1-15) с полученным ранее выражением для электро-
магнитного момента показывает, что последнее выражение содержит
дополнительный член, называемый реактивным моментом или момен-
том, обусловленным явно выраженными полюсами:
Tr £sa sin 2<р (/).
С учетом полюсных условий (11-1-6) — (11-1-8) реактивный момент
в случае явнополюсного ротора определяется как
/2
Tr (f) = £S2 [sin (2<р/ + 2%) — 1/2 sin (2<р/ Д- 2% + 2«>/) —
— 1/2 sin (2<р/ + 2<р0 — 2«0] (11-1-16)
Средний реактивный момент отличен от нуля лишь при условии, что
y = При этом
t2l
(Тт)ср=-------^^sin^ для ? = <о;
(Л)ср =----^7^— sin 2<р0 для <р = — и-
Если нагрузка на валу, включая трение в подшипниках, достаточно
мала, машина будет работать как синхронный двигатель при отсутствии
тока в роторе. Это свойство такой машины используется в электриче-
ских часах и многих других электрических механизмах времени. Элек-
трические машины, действие которых основано на указанном принципе,
называют реактивными машинами. В связи с тем что реактивный мо-
мент равен нулю при скоростях, отличных от синхронной, для пуска
реактивных двигателей необходимы специальные устройства.
11-2. Основные определения и понятия в машинах переменного тока
Для того чтобы использовать полюсное представление элементар-
ной машины переменного тока для получения полюсных характеристик
реальных машин, введем некоторые определения и понятия, относя-
щиеся к конструкции машины. •
Полюсы. Понятие полюсов, впервые введенное при рассмотрении
коллекторных машин, должно быть несколько расширено. Обмотка,
состоящая из одной катушки, всегда определяется как двухполюсная
обмотка, независимо от того, расположена ли она в двух пазах или
распределена по поверхности. Таким образом, простейшая машина пе-
ременного тока, рассмотренная в предыдущем параграфе, является
примером машины с двумя полюсами на роторе и на статоре. Маг-
нитные полюсы могут быть только парными, поэтому число полюсов
машины всегда является четным. Мы будем рассматривать лишь маши-
ны с одинаковым числом полюсов на статоре и на роторе.
235
На рис. 11-2-1 показан пример четырехполюсной машины с двумя
одинаковыми катушками сс' и dd' на роторе и четырьмя одинаковыми
катушками aar, bb', ее' и ff' на статоре. В примере для наглядности ис-
пользована машина с явнополюсным ротором, в которой понятие полю-
сов более близко согласуется с аналогичным понятием в коллекторных
Рис. 11-21 Элементарная четырехпо-
люсная машина переменного тока.
машинах, однако все основные опре-
деления полностью применимы и к ма-
шинам с неявнополюсным ротором.
Полюсное деление машины с 2р
почюсами равно 2л/2р рад. Для ма-
шины, изображенной на рис. 11-2-1,
полюсное деление ротора равно 2л/4.
Полюсное деление измеряют иногда
градусами, единицами длины или, как
мы увидим далее, числом пазов, рас-
положенных на дуге 2л/2р рад.
Многополюсная обмотка. |Предпо-
ложим, что катушки в машине, изо-
браженной на рис. 11-2-1, соединены,
как схематически показано на рис.
11-2-2,а. Заметим, что две статорные
катушки аа' и bb' соединены последо-
вательно и образуют четырехполюс-
ную обмотку. Вторая пара катушек f'f
и е'е также соединена последователь-
но и образует вторую четырехполюсную обмотку. Полученные таким
способом две группы катушек соединены между собой последовательно
и встречно и образуют четырехполюсную двухслойную обмотку. Две
роторные катушки соединены последовательно и образуют однослой-
ную четырехполюсную обмотку.
Полюсные уравнения для каждой компоненты графа системы, изоб-
раженного на рис. 11-2-2,6, соответствуют выражениям (11-1-1) и
(11-1-2), в которых
= A ccs2?
(11-2-1)
и
(11-2-2)
В последних выражениях учитывается лишь главный член ряда, пред-
ставляющего связь между статором и ротором. Мы пренебрегаем также
всеми изменениями коэффициентов самоиндукции статора, связанными
с положением вала.
Полюсные уравнения для всей обмотки (рис. 11-2-2,в) также име-
ют вид (11-1-1) и (11-1-2), причем
An (<р) =2А, cos 2гр.
(11-2-3)
Важно отметить, что взаимодействие между статором и ротором
имеет циклический характер, причем в случае четырехполюсной маши-
ны одному обороту вала соответствуют два полных цикла. В общем
случае, когда одному обороту вала соответствует п циклов изменения
Аг(<р), считают, что машина имеет 2п полюсов.
Распределенные обмотки. Если ротор и статор элементарной ма-
шины (рис. 11-1-1) представляют собою цилиндрические поверхности,
кривая изменения коэффициента Аг(<р) для каждой одновитковой ка-
236
тушки на роторе и статоре имеет форму, представленную на рис. 11-2-3.
Эта функция может быть разложена в ряд Фурье, состоящий из нечет-
ных гармоник:
Lsr(<p)=/li cos ф—А3 созЗф+Л5 cos 5ф— ..., (11-2-4)
где 4ft=4i/ife2.
Для большинства машин переменного тока желательно по возмож-
ности устранить все гармоники, кроме основной. Это достигается по-
Рис 11 2-2. Схема соединения и полюсные
графы для машины, изображенной на
рис. 11-2-1.
а — соединения для четырехполюсного статора; б —
граф системы; в — электрический полюсный граф.
Рис. 11-2-3. График из-
менения взаимной индук-
тивности статора и рото-
ра для машины, изобра-
женной на рис. 11-1-1.
средством распределения витков обмотки на поверхности статора и
ротора. Чтобы показать, как это осуществляется, рассмотрим случай,
когда витки статорной обмотки распределены, как изображено на
рис. 11-2-4.
Коэффициент взаимной индукции между одним витком на роторе
и тремя катушками на статоре, соединенными последовательно, может
Рис. 11-2-4. Двухполюсная маши-
на переменного тока с распреде-
ленной обмоткой статора.
Рис. 11-25
а — соединение катушек ста-
тора; б — полюсный граф.
быть представлен в виде суммы коэффицентов для отдельных катушек.
Из рис. 11-2-5 следует, что
Lsr ф) l^ad (ф) 4" ^Ьа (ф) 4” ^cd (ф) , (11 ”2-5)
237
где каждый член в правой части представляет собою ряд Фурье из не-
четных гармоник. Рассмотрим сначала сумму основных гармоник.
В предположении, что все катушки статора одинаковы, для двухполюс-
ной машины можно записать:
bod(q>) =А cos<p; (11-2-6)
Lbd(<р) =А cos(<р—у); (11-2-7)
^cd(cp) =71i cos (ср—2у). (11-2-8)
Тогда
bsri(?) = ARe(e/9+ cos (<? + oj, (Ц-2-9)
где
. fr П+e"H + d-^| .
3
Аналогично для третьей и пятой гармоник:
Lsr3 (?) = 3Md, CCS (3<р 4- з,); (11-2-10)
Lsr. (?) = 3y4Ads cos (5? + °s). (11-2-11)
где
K. = (11.2.l2)
3h= z (1 +e~'k'14- e~i2kl). (11-2-13)
Коэффициент Kdh называют коэффициентом распределения, a ah —
пространственной фазой (phase displacement) для k-й гармоники. В при-
мере, показанном на рис. 11-2-4, у = 20°, следовательно
Kd = 1/3 11 4- е-/20°4- е-/40°| = 0,957; 31 = -20°; (11-2-14)
Kda= 1/3 11 4-б’-/60°4- е~/120°| —0,70; з3 = - 60°; (11-2-15)
Ado=l/3|1+e“'100°4-e'j20(r| = 0,218; as = 263°. (11-2-16)
Коэффициент взаимной индукции LST(y) для распределенной обмотки вы-
разится как
LST (?) = ЗД [0,957 cos (? — 20°) 4- cos (3<р — 60°) 4-
4-^р cos (5? - 97°) 4-..(11-2-17)
где Д— амплитуда первой гармоники коэффициента взаимной индук-
ции между парой катушек. Отметим, что гармоники выше пятой малы
по сравнению с основной, а отношения амплитуд третьей и пятой гармо-
ник к амплитуде основной гармоники уменьшены благодаря распреде-
лению обмотки. При соответствующем выборе величины у одна из этих
гармоник может быть уменьшена до нуля. •
238
Уравнение (11-2-17) было выведено для двухполюсной машины.
В общем случае выражения для коэффициента распределения Kdh и
пространственной фазы вь могут быть получены следующим образом.
Пусть машина имеет 2р полюсов и обмотка состоит из и одинаковых
катушек, причем соседние катушки смещены одна относительно другой
на у механических радианов. Коэффициент распределения и фазовый
угол в механических радианах для А-й гармоники определяются выра-
жением
nKd + . (11-2-18)
Для 2/7-полюсной машины переменного тока удобно ввести понятие
электрического угла, определив его как произведение соответствующего
механического угла, измеренного относительно вала машины, на число
пар полюсов:
Ctg = р&тп-
Общее выражение для коэффициента взаимной индукции между
одной роторной катушкой и распределенной статорной катушкой, имею-
щей п витков, смещенных на у механических радианов, имеет вид;
L&T (6') — п [ Д/Q, cos (6' 4- а,) 4- cos (36' 4- Зз) 4-
4-AKdscos(50'4-3s)4--• -L (11-2-19)
где 6' = ру — электрический угол между осью катушки а статора и
осью катушки ротора (см. рис. 11-2-4). Если 6 — электрический угол
между осью катушки ротора и осью статорной обмотки, то несоответ-
ствии с рис. 11-2-4
0=6'4-о,
и
LST (6) = п [A^dt cos 0 4- AtKda cos (30 4- За, 4- а8) -ф-
+ AKdscos(564-5a,4-a5)4-. . .]. (11-2-20)
Катушки с укороченным шагом. В предыдущих рассуждениях мы
принимали, что каждая катушка занимает л электрических радианов —
одно полюсное деление. Однако, делая шаг катушки меньшим, чем по-
люсное деление, можно уменьшить некоторые нежелательные гармо-
ники. Пусть шаг катушки в электрических радианах равен р'л, где
р' — множитель, называемый укорочением шага и определяемый как
часть от полного шага: ,
< 1.
Рассмотрим коэффициент взаимной индукции между катушкой с пол-
ным шагом (р'=1) на поторе и катушкой с укороченным шагом (р'<1)
на статоре. Используя понятия теории поля, можно показать, что выра-
жение для коэффициента взаимной индукции между этими катушками
имеет вид:
LST (6) — A, sin // у cos 0 -j- А3 sin /7 у cos 36 4- As sin // у cos 56 4-. . . =
— cos 6 4- /53K/J3cos36-|- AsKPs cos 56-f- • - • (11-2-21)
239
Множитель Д’ называют коэффициентом укорочения для k-й гармо-
ники и определяют как
К = sinA-$. (11-2-22)
Таким образом, каждая гармоника коэффициента взаимной индукции умень-
шается на величину, определяемую ее собственным коэффициентом укоро-
чения. Коэффициент укорочения может быть выбран таким образом, чтобы
исключить определенную гармонику и все кратные ей. Например, если
// = 2/3, Kpi = 0,866, 7(^=0, Кр= — 0,866; все гармоники, кратные
третьей, также ,имеют коэффициент укорочения, равный нулю.
В случае, если все катушки распределенной обмотки имеют одина-
ковый шаг, укорочение шага сказывается лишь на амплитуде коэффи-
циентов в выражении (11-2-20). Таким образом, коэффициент взаимной
индукции между катушкой ротора с полным шагом и распределенной
обмоткой статора, состоящей из п катушек с укороченным шагом, опре-
деляется выражением (11-2-20), с той лишь разницей, что каждый член
умножается на соответствующий коэффициент укорочения:
Lsr (6) = п [A1KdKpi cos 6 + A3KdKp> cos (36 + За, + a3) +
+ 4Ad/+cos (56 + 5s, + os) + . . . ]. (11-2-23)
Выбрав шаг обмотки, при котором Дрз=0, и распределив обмотку так,
чтобы TCd5=0j можно полностью устранить две гармоники низких поряд-
ков, причем основная гармоника изменится сравнительно мало.
Далее мы рассмотрим эффект, вызываемый укорочением шага и
распределением роторной обмотки. В качестве исходного уравнения
примем выражение (11-2-23). Если 6 — угол между осями обмоток,
уравнение (11-2-23) не отличается по виду от уравнения для одной ка-
тушки на роторе и одной катушки на статоре, если не принимать во
внимание фазовый сдвиг высших гармоник. Так как предполагается,
что амплитуды высших гармоник должны быть пренебрежимо малы, их
фазовый сдвиг не играет роли. Следовательно, предыдущие рассужде-
ния теперь могут быть повторены для распределенной группы катушек
с укороченным шагом на роторе с использованием в качестве исходного
уравнения (11-2-23). В результате получим:
Lsr (6) = nsnr WdKpK'dK'pi cos 6 + AJ(dKpK'dK'P3cos(36 + 83) +
+ dscos (56 + 8J + . . . ], (11 -2-24)
где ns, nT — числа катушек статора и ротора;
Kdh K'dk — коэффициенты распределения для k-й гармоники статора и
ротора;
КРк, К'рк — коэффициенты укорочения для k-й гармоники статора и ро-
тора;
Ah— амплитуда k-й гармоники разложения в ряд Фурье коэффи-
циента взаимной индукции между одной катушкой с полным
шагом на роторе и одной катушкой с полным шагом на ста-
торе.
6 — угол, определяющий положение оси обмотки ротора по отно-
шению к оси обмотки статора (угловое положение вала, из-
меренное в электрических угловых единицах).
240
В предыдущих рассуждениях ставилась цель показать некоторые
способы, позволяющие подавить нежелательные гармоники в коэффи-
циенте взаимной индукции между парой распределенных обмоток ста-
тора и ротора машины переменного тока. В дальнейшем мы будем
предполагать, что коэффициенты распределения и укорочения выбраны
таким образом, что взаимная индуктивность между обмотками статора
Рис. 11-2-6. Развернутая схема четырехполюс-
ной однофазной обмотки статора.
и ротора является синусои-
дальной функцией положения
вала. Число полюсов опреде-
ляется числом циклов за пол-
ный оборот вала.
Практическое выполнение
обмоток При теоретическом
рассмотрении вопросов о шаге
катушек и их распределении
совершенно не учитывались ог-
раничения, связанные с прак-
тическим выполнением обмо-
ток. Между тем ряд усло-
вий обычно определяется эко-
номическими соображениями.
Во-первых, в условиях массо-
вого производства катушки
должны формоваться до
укладки в машину. Во-вторых,
ротор и статор для уменьше-
ния потерь на вихревые токи
набираются в виде пакетов
из тонких стальных пластин. В-третьих, в пластинах вырубаются пазы,
предназначенные для укладки катушек. На рис. 11-2-6 показано, как
могут быть размещены стороны катушек одной статорной обмотки че-
тырехполюсной машины. Приведенная схема не является примером
практического выполнения об-
мотки, а служит лишь осно-
вой для дальнейших рассуж-
дений.
Заметим, что катушки аа'
и bb', сс' и dd' и т. д. перекры-
вают друг друга. Обмотку
с таким расположением кату-
шек называют обмоткой «враз-
валку». С другой стороны, об-
мотка с такими же характери-
стиками может быть получена
путем размещения катушки аа'
в пазах 1 и 6, катушки bb' —
в пазах 2 и 5. Такая обмотка
Рис. 11-2-7. Две возможные схемы соединения
для обмотки статора, изображенной на
рис. 11-2-6.
а — последовательное соединение; б — последователь-
но-параллельное соединение.
называется концентрической или спиральной. В последнем случае, одна-
ко, катушки аа' и bb' не являются идентичными.
Конфигурация пластины статора накладывает ограничения на шаг
обмотки и ее распределение. Для четырехполюсной машины с 24 паза-
ми полный шаг катушки составлял бы 6 пазов Укорочение может опре-
деляться величинами р'=1, 5/в, 4/е и т. д. В примере на рис. 11-2-6
р'=Чъ. В этом случае каждая сторона катушки расположена в своем
пазу. При выборе укорочения р'=&1& стороны Ь' и с заняли бы один
16—1736
241
и тот же паз; в трех других пазах также оказалось бы по две стороны
катушек.
На рис. 11-2-6 показаны четыре распределенные обмотки, каждая
из которых смещена относительно соседней на 180 эл. град (90 механи-
ческих градусов). Комбинацию обмоток, полученную при соединении
их друг с другом, как показано на рис. 11-2-7, называют фазой. Полу-
Рис. 11-2-8. Элементар-
пая трехфазная обмотка
статора.
Рис. 11-2-9.
а — схема соединения для ма-
шины, изображенной на
рис. 11-2-8; б—полюсный граф
для машины.
ченную таким способом обмотку статора называют однофазной обмот-
кой. Коэффициенты укорочения и распределения для этой обмотки до
пятой гармоники включительно имеют следующие величины:
К„=0,866; К =0; К = — 0,866;
Pi Ps Ps
к. =0,965; Kri =0,259; =0,707.
U1 Ug «5
В рассматриваемом случае при фиксированном распределении обмотки
выбор укорочения р'=ъ1в мог бы оказаться более удачным, так как
позволил бы уменьшить пятую гармонику в той же пропорции, что
и третью.
Трехфазная обмотка статора. В том случае, если машина должна
питаться от трехфазной сети, она имеет
Рис. 11-2-10. Развернутая схема четырехпопюс-
иой трехфазной обмотки статора.
три однофазные обмотки, сдви-
нутые относительно друг друга
на 120 эл. град. Одинаковые
однофазные обмотки образуют
так называемую симметричную
трехфазную обмотку. Элемен-
тарная трехфазная обмотка
двухполюсного статора пока-
зана на рис. 11-2-8. Каждая
однофазная обмотка здесь со-
стоит из двух катушек, распо-
ложенных под углом 180° и со-
единенных последовательно,
как показано на рис. 11-2-9.
На рис. 11-2-10 показана
трехфазная обмотка четырех-
полюсной машины. Заметим,
что каждая фаза этой обмотки
аналогична однофазной обмот-
ке, показанной на рис. 11-2-6,
и что фазы смещены друг отно-
сительно друга на 120 эл. град.
242
Теперь становится ясным, что однофазная обмотка на рис. 11-2-6 была
специально выбрана так, чтобы на ее основе можно было получить
трехфазную обмотку. При этом все пазы оказываются заполненными,
что приводит к более экономичному использованию материала. Обмот-
ка может быть выполнена из 24 предварительно заготовленных одина-
ковых катушек путем соответствующего соединения их зажимов.
Коэффициенты укорочения и распределения определяются конфигу-
рацией однофазной обмотки и имеют в рассматриваемом случае те же
величины, что и для обмотки, изображенной на рис. 11-2-6. Диаграмма
Рис. 11-2-11 Схема соединения обмотки статора, изображен-
ной на рпс. 11-2-10.
соединений для трехфазной машины показана на рис. 11-2-11. Штриха-
ми отмечены зажимы, относящиеся к сторонам катушек, которые рас-
положены в нижней части пазов. Заметим, что каждая катушка зани-
мает нижнюю половину одного паза и верхнюю половину другого.
11-3. Полюсные характеристики машины с трехфазным статором
и однофазным ротором
В настоящем и последующих параграфах мы будем использовать
полученный в предыдущем параграфе вывод о том, что каждая фаза
может быть представлена в виде катушки с двумя зажимами, опреде-
ленным образом размещенной в пазах вращающейся или неподвижной
Рпс. 11-3-1.
а — схема машины переменного тока; б — полюсный0 граф ма-
шины переменного тока.
части машины. При соответствующем выборе распределения обмотки
и других расчетных деталей коэффициент взаимной индукции между
любой фазой ротора и любой фазой статора является синусоидальной
функцией положения ротора, причем одному обороту вала соответст-
вует р циклов изменения коэффициента взаимной индукции. Следова-
тельно, с помощью упрошенной схемы машины можно достаточно
просто представить каждую фазу в виде катушки из одного витка, как
показано на рис. 11-3-1. Так как число полюсов в машине влияет лишь
16*
243
иа число периодов, приходящихся на один оборот вала, рассматривае-
мая схема может быть применена при любом числе полюсов, если
ввести переменную
Q=P<f>,
определяющую положение ротора относительно статора, как показано на
рис. Тогда угол между соседними фазами статора составляет
2л 2п 1
электрических радианов или — механических радианов.
О О р
Если три фазы статора одинаковы, но полюсные уравнения для
фазы ротора и каждой из фаз статора имеют вид (11-1-1). Полюсные
уравнения для графа, изображенного на рис. 11-3-1,6, запишутся тогда
в следующем в идее
«л (О
«в (О
«с (О
ur(t)
^АА “Ь dt ^АА dtLAB — L dt AC
dtLAB %вв + dtLBB — L dt вс
dt^AC dtLBC p 1 I XCC T- dt cc
dt ^Ar (?) dt ^Br (?) dt ^Cr (?)
dt ^Ar (?)
di ^Br(?)
TtLcrW
j %rr + dt ^rT
'z (0
<B(0
«c(0 ’
ir{t)
(11-3-1)
где Lab, Lac, Lbc — взаимные индуктивности между тремя фазами
статора.
Электромагнитный момент трехфазной машины определяется сум-
мой трех составляющих, каждая из которых представляет собою мо-
мент, созданный фазой ротора и одной из фаз статора. Таким образом,
момент на валу машины с цилиндрическим ротором запишется в виде
Г(0 = -1| iA(t) lB(t) ic(t)\\X
LAr(?)
LBA?)
LCr (?)

(11-3-2)
В более общем случае, когда ротор имеет явно выраженные полю-
сы, в уравнение момента войдет также реактивная составляющая. Тогда
уравнение момента на валу с учетом (11-1-4) запишется как
Т’(0 = -1/2||1Д0 iB(t) ir(0II
244
Laa^) LabW) Lac№ LaM
^AB^f) LBr№ MO
^AC LBc (?) ^cc (?) LcA?) ZC (0
£Cr(T) ir (t)
(11-3-3)
Отметим, что при цилиндрическом роторе все индуктивности статора
не зависят от <р, а уравнение (11-3-3) упрощается и принимает вид
(11-3-2).
Для дальнейшего анализа удобно представить уравнения (11-3-1) —
(11-3-3) в матричной
эти уравнения можно
форме. В соответствии с пунктирными линиями
записать в следующем виде:
gutu
„ > d ,
UAt) ==
ur (0
is + dt Lss
itL^
T (t)=- ~ IIЛ (0 ir(t) II ~
L-SS
Lrs (?)
4(0 .
iAt) ’
LsA?)
LT
I At)
ir(t)
(11-3-la)
d
(lt-3-3a)
являться или не
могут
£sr(?) = L'rS(?) всегда
где Lss и Lr в зависимости от геометрии ротора
являться функциями положения вала, тогда как
являются функциями положения ротора, что отмечено в уравнениях.
Матрицы коэффициентов в уравнениях (11-3-1а) и (11-З-За) для
машины с цилиндрическим ротором и симметричной трехфазной обмот-
кой статора обладают важными и полезными свойствами. Благодаря
тому что все обмотки одинаковы и симметрично расположены, выра-
жения для и Lss при цилиндрическом роторе имеют вид:
Lss---
^АА
^АВ
Rss---
^АВ
^АА
^АВ
^АВ
^АВ
^АА
^АА
0
О
0
АА
о
о
о
RAA
(11-3-4)
(11-3-5)
Эти матрицы коэффициентов называют матрицами сопротивлений и ин-
дуктивностей статора.
Матрица коэффициентов, определяющая индуктивную связь между
статором и ротором, при условии, что все фазы статора одинаковы и
245
что выбором коэффициентов укорочения и распределения устранены
все гармоники выше первой, имеет вид:
L г (?)---^rs (?)----["дг
COS 6
cos (6—120°)
cos (6 — 240°)
при 6 = p?. (11-3-6)
Если ротор имеет явновыраженные полюсы, в выражение для ин-
дуктивности статора входит дополнительная группа членов, являющихся
функциями положения вала. В частности, если принебречь всеми гар-
мониками выше второй, то
Lss (?) =
^ЛА ^АВ ^АВ
^АВ ^АЛ ^АВ
АВ АВ ^АА
L' cos 26
АА
L’abcos (26 — 120°)
L’ab cos (26 +120°)
£'лвсо5(26 —120°)
U АА cos (26 — 240°)
£'лвс°5 20
£'лвсо5(26 + 120°)
£' cos 26
Ad
L'aa cos (26 — 120°)
(11-3-7)
Обращаясь к полученным выше полюсным уравнениям машины
переменного тока, нетрудно заметить, что они являются нелинейными
и содержат нелинейности квадратичной и трансцендентной форм. Это
делает невозможным применение методов, основанных на преобразо-
вании Лапласа, при анализе систем, содержащих такие машины в ка-
честве компонент. С другой стороны, обе матрицы коэффициентов
Ess и Lsr обладают удобным видом симметрии. Все коэффициенты на
главной диагонали матрицы Lss одинаковы, а все коэффициенты, не ле-
жащие на главной диагонали, равны. Как Rss, так и Lss представляют
собою матрицу третьего порядка с циклической симметрией, общее
определение которой дается в следующем параграфе. Здесь лишь от-
метим, что этот вид симметрии, как будет показано, может быть исполь-
зован для эффективного упрощения полюсных уравнений многофазной
машины.
11-4. Разложение на симметричные составляющие
Существенные упрощения полюсных уравнений трехфазной симмет-
ричной машины могут быть получены посредством преобразования пе-
ременных. Определим новую систему переменных — напряжений и токов
как линейную комбинацию полюсных напряжений и токов. Пусть,
в частности, Z7J (/) и Г (t) — системы трех напряжений и токов, удовлет-
воряющие следующим условиям:
Ust(t) = SsUs(ty,
(11-4-1)
где
1
Кз
1 1 1
1 а а2
\ а? а
(11-4-2)
(11-4-3)

246
и
а = е'2”'3
Для настоящего изложения несущественно, как определяется мат-
рица коэффициентов^. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем
параграфе. Здесь же достаточно отметить, что эта матрица невырож-
денная, симметричная с комплексными коэффициентами. Важно также,
что эти комплексные коэффициенты удовлетворяют следующим соотно-
шениям;
as = а-1 — е '2*13\
(11-4-4)
а3 = 1;
(11-4-5)
1 H-a4-aa= 1 +a-2 + a-* = 0.
(11-4-6)
Новые переменные называют симметричными составляющими ста-
торного напряжения и тока. В развернутом виде они записываются как
(11-4-7)
где верхние индексы 0, + и — обозначают соответственно нулевую,
положительную и отрицательную последовательности. Коль скоро су-
ществует матрица <S_|, симметричные составляющие однозначно опре-
деляют исходные переменные, и наоборот. Отметим, что если полюсные
переменные — вещественные функции времени, то симметричные состав-
ляющие представляют собою комплексные функции времени, причем
и~ является сопряженным комплексом по отношению к и\ Например,
если полюсные напряжения имеют вид
ЧА (О
«в (О
«с (О
COSU)^
cos (a>t — 120°)
cos (<ot — 240°)
a a-
(11-4-8)
то
< (0
«.+ (0
«7(0
0
e,at
e~iat
(11-4-9)

247
Полюсные уравнения машины, в которых в качестве переменных
использованы симметричные составляющие, получаются путем подста-
новки выражений (11-4-1) и (11-4-2) в уравнения (ll-3-la) и (11-З-За).
В результате для машины с цилиндрическим ротором имеем:
где
^(0
llr (t)
S3ZssS~'
S^tLsr(<f)
^+L4<
(11-4-10)
ZSS = /?S5 + ^ L
SS'
^t[Lrs(V)S~']
<(0
r.(0=—fl|[f иг <7(0 IIX
(11-4-11)
0 ST' Д £.<(?>

Матричные произведения, входящие в эти уравнения, можно записать
в развернутом виде, используя матрицы коэффициентов (11-3-4) и (11-3-5):
SZssS^
RaA + (LAA + 2Lab)± о о
о rAa + \LAA + Lab dt 0
0 0 ^AA+l^+LAB^+^]i
р0 I J о _d '«т > dt 0 0
0 R++L+^. 8 1 в at 0
0 0 _d в 1 в at
(11-4-12)
Полученная матрица коэффициентов значительно проще первона-
чальной, так как она является диагональной матрицей. На диагонали
расположены вещественные коэффициенты, называемые коэффициента-
ми последовательностей или параметрами симметричных составляющих.
Сопротивления и индуктивности положительной и отрицательной после-
довательностей идентичны:
= L~ = L.. — L-
s Л Л Л В’
Я+ = /Г = Ялл.
(11-4-13)
(11-4-14)
248
Остальные матричные произведения в уравнении (11-4-10) записы-
ваются в виде
о
£
dt e
C 7 — J_± £
o3z,Sr— 2 i^At
0
£
dt
eie
(11-4-15)
dt
ZrsS^
О
= L
d .
dt e
0 £ e~i6
dt
d
dt
e,e
(11-4-16)
£ P-^
dt e
d
= £
e-^
—/е
£ z>/e
dt e
j/" О
где L*r = —g- LAr называют модулем взаимной индуктивности поло-
жительной последовательности. Сопряженные комплексные коэффи-
циенты L*efe и называют коэффициентами связи положитель-
ной и отрицательной последовательности.
Используя полученные соотношения, уравнение (11-4-10) можно запи-
сать в следующем виде:
«>)
«+(0 =
«7(0
«г (0
о 0 0
о о
о О С + Си®(С^')
0 и №>'•) 31 (СУ)
Матричные произведения, содержащиеся в уравнении момента (11-4-11),
с учетом равенства S'3 = S3 и Lsr (?) = L'rs (?) могут быть сгруппированы
таким образом, что уравнение момента приобретет следующий вид:
Т (I) = - ir (t) Д Lrs (?) 5Г1 < (0 + (* -^) m (11 -4-18)
где £rS(?) определяется выражением (11-4-16).
т. 6
Взяв производные по <р — — , получим:
Т (t) = - pL*ir (/) [- je~ie i; (t) + je16 Г (0] + (В + J А)? (0 =
= 2pL^rir (0 Re [ji;+ (0e~ie] + (в + I11-4’19)
где Re [f (z)] обозначает вещественную часть f (z).
249
Если обозначить символом Im мнимую часть функции, то уравнение
момента запишется следующим образом:
7(0 = -2^г/г(/)1т[/а+(0^,е] + О1’4-20)
Использованное в предыдущем изложении преобразование назы-
вают преобразованием переменных. Уравнения (11-4-17) и (11-4-19)
являются системой преобразованных полюсных уравнений машины пе-
ременного тока. Эту систему уравнений будем называть полюсными
уравнениями машины для симметричных составляющих.
Отметим, что полюсные уравнения для симметричных составляю-
щих в некоторых отношениях проще первоначальных полюсных урав-
нений, а именно-
1. Уравнение для нулевой последовательности не зависит от осталь-
ных уравнений.
2. В результате преобразования матрица коэффициентов статора
становится диагональной; упрощается также матрица, выражающая
связь между статором и ротором,
3. Выражение для момента становится функцией двух токов — од-
ного статорного и одного роторного.
Следует, однако, отметить, что электромагнитный момент по-преж-
нему является нелинейной функцией симметричных составляющих
токов.
При применении такого преобразования переменных к полюсным
уравнениям явнополюсной машины изменяются лишь матрица коэффи-
циентов статора и уравнение момента. Читатель может убедиться, что,
положив в уравнении (11-3-7) L'AB = L'AA (обычное допущение) и пре-
образовав матричные произведения в уравнении (11-4-10), можно запи-
сать полюсные уравнения явнополюсной машины для симметричных
составляющих в виде
“,+ (о =
«30
Ur (t)
(11-4-21)
и
Т (0 -- -2р (L^ir (t) Im [Г (t) е~,в] +
L'^Im {f-'2e [is+ (О)2}) + (в + J 4) W. (11’4'22)
250
где второй член в правой части представляет собою реактивный момент
машины, обусловленный явновыраженными полюсами ротора Более
подробное рассмотрение явнополюсной машины выходит за рамки на-
стоящей книги и поэтому в дальнейшем не приводится.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что использование
в многофазной машине переменного тока симметричных составляющих
вместо обычных полюсных переменных позволяет достичь существенных
математических упрощений. Прежде чем перейти к рассмотрению
вопроса об использовании преобразованных уравнений для изучения
рабочих характеристик машины и для анализа систем, содержащих
машины переменного тока, полезно более детально изучить свойства
самого преобразования. Рассмотрим для этого более общий случай,
когда машина имеет три фазы на статоре и произвольное число п фаз
на роторе.
11-5. Машина с трехфазным статором и л-фазным ротором
Рассмотрим машину с цилиндрическим ротором, показанную схема-
тически на рис. 11-5-1. Обмотка статора аналогична обмотке, рассмот-
ренной в § 11-3. Обмотка ротора состоит из п однофазных обмоток,
расположенных симметрично со сдвигом между осями соседних обмо-
механиче-
ток, составляющим Р = — электрических радианов или —
ских радианов. Обмотка ротора предполагается симметричной, хотя для
ясности на рис. II-5-1 показана лишь группа катушек.
а — схема машины переменного тока с трехфазным статором и «-фазным ро-
тором; б — полюсный граф машины.
Для каждой фазы ротора и трех фаз статора справедливы полюс-
ные уравнения (11-3-1) и (11-3-2) или (11-3-3), записанные в матричной
форме в виде (11-3-1 а) и (11-З-За). Если ротор состоит из п таких фаз,
то полюсный граф имеет вид, показанный на рис. 11-5-1,6. Полюсные
уравнения удобно записать в матричной форме следующим образом:
Ur(t)
ZsS
TiL’^4}
4£"<»
Zrr
I At)
(11-5-1)
251
г (о=-1 и л (о/'г (0 II/- Lss(?)LsrW /s(z) +
2 U d? Lrs(<p)Lrr(<?) /r(f)
+(5+74)?w П1'5'2)
или для случая машины с цилиндрическим ротором, когда Lss и LTr не
зависят от <р:
т (0 = - I s (0 ~ LST (?) /г (0 + (в + / 4) Т (0 (11 -5-3)
Отметим, что в матричной форме полюсные уравнения машины
с трехфазным статором и n-фазным ротором имеют такой же вид, как
и уравнения для машины с трехфазным статором и однофазным рото-
ром, с той лишь разницей, что матрица коэффициентов первого порядка
для ротора заменена матрицей коэффициентов n-го порядка. Последняя
имеет вид:
где при п = 5
Ztt------Rrr “1“ 1-ГГ1
(11-5-4)
Rtt
о
0 0 0 0
0 0 0
0 /?„ 0 0
о о /?ц о
о о о
(11-5-5)
I'll
L12
I'll
I'll
I'll
I'll
I'll
a.
I'll
I'll
I'll I'll I'll
I'll I'll I'll
I'll I'll I'll
I'll I'll I'll
I'll I'll I'll
(11-5-6)
Матрицы RTr и Lrr обладают так называемой циклической симмет-
рией. Матрица RrT является также диагональной. Определение матрицы
порядка п с циклической симметрией дается ниже. Здесь же мы лишь
отметим, что: 1) каждый элемент матрицы LTr представлен в первом
столбце; 2) диагонали, параллельные главной, составлены из одинаковых
элементов; 3) в первом столбце второй и пятый, а также третий и чет-
вертый элементы соответственно идентичны.
Остальные матрицы коэффициентов в уравнениях (11-5-1) и
(11-5-3) в развернутом виде записываются следующим образом. Матри-
ца коэффициентов статора
ZSS = RSS + -^LSS, (11-5-7)
где Rss и Lss — матрицы коэффициентов третьего порядка с циклической
симметрией, определяемые соотношениями (11-3-4) и (11-3-5).
о
о
о
252
Матрицы коэффициентов, определяющие связь между статором
и ротором, при га=5:
£Sr(?) = £'rs(<P) = ^rX
cos б cos(O-f-p) cos (0-ф- 2р)
cos (6 — a) cos (0 — а-|~Р) cos (0 — а-|-2р) ...
cos(0—2а) cos(0—2а-|-р) cos(0—2аЦ-2р) .. .
cos (0 -ф- 4р)
cos (0—а.-]—4[3) »
cos (0—2а-ф-4₽)
(11-5-8)
где 0 = />?.
Символы аир употреблены здесь, чтобы подчеркнуть общность за-
„ г, о 2л 2л
писи этой матрицы. В рассматриваемом случае р = — и а = -д- электри-
ческих радианов. Таким образом, коэффициенты связи между тремя фаза-
ми статора и каждой последующей фазой ротора отличаются сдвигом на
угол р.
Полученные результаты могут быть легко распространены на ма-
шину с n-фазным ротором и m-фазным статором. Однако в связи с тем,
что наиболее важным вариантом является трехфазный, общий случай
здесь не рассматривается, хотя преобразования и теоремы, представ-
ленные в следующем параграфе, применимы к машине с т-фазным
статором и п-фазным ротором.
11-6. Разложение n-фазной системы на симметричные составляющие
В предыдущих параграфах было показано, что основным свойством
симметричной трехфазной машины является циклическая симметрия
матриц коэффициентов статора и ротора. В свою очередь, основная
особенность матриц коэффициентов с циклической симметрией состоит
в том, что они могут быть превращены в диагональные матрицы путем
преобразования переменных, выведенного из определителя Вандер-
монда. Рассмотренное в § 11-4 разложение на симметричные состав-
ляющие третьего порядка является примером такого преобразования
переменных. Преобразование такого же типа может быть применено и
к полюсным уравнениям машины с n-фазным ротором, рассмотренной
в предыдущем параграфе. Однако, если ротор имеет 40—50 фаз, как
это часто бывает в асинхронных машинах, задача получения необходи-
мых матричных произведений может быть весьма громоздкой и утоми-
тельной. Определение основных свойств матриц с циклической симмет-
рией и разложения на симметричные составляющие n-го порядка
позволяет избавиться от необходимости вычислять эти матричные про-
изведения. Именно эти вопросы и рассматриваются в настоящем
параграфе. Вначале дается общее определение матрицы с циклической
симметрией.
Определение 11-6-1. Матрица с циклической симметрией. Гово-
рят, что симметричная матрица Л1 порядка п обладает циклической сим-
метрией, если в первом столбце Л-й элемент равен п — А-ф-2 элементу,
где k= 1,2,..., п, а п -1~ 1 = 1, и
= УИ,+1> j+l.
Мы уже встречались с примерами матриц коэффициентов третьего и
пятого порядков, «обладающих циклической симметрией.
Матрица разложения на симметричные составляющие п-го порядка,
используемая для обращения матрицы с циклической симметрией
в диагональную, определяется следующим образом.
253
Определение 11-6-2. Матрица симметричных составляющих /г-го
порядка Sn имеет вид:
1 1 1
1а а*
1 а2 а*
... 1
... ап~1
(11-6-1)
1 ап~1 as^n~1’> ... а(п~Чг
где а = е п.
Это определение отличается от более широко распространенного мно-
жителем -^=-. Данное определение используется в настоящей книге в свя-
у ,г •
зи с тем, что оно приводит к более простой форме обратной матрицы.
Два основных свойства матрицы симметричных составляющих фор-
мулируются в следующих теоремах. Доказательства этих и других
теорем в книге не приводятся из соображений сокращения объема,
однако интересующиеся читатели могут найти более полное математи-
ческое изложение этих вопросов в [Л. 11-1].
Теорема 11-6-1. Sj^1 = Sn (звездочкой отмечена сопряженная ком-
плексная матрица).
Так как по определению Sn — симметричная матрица, существует
следующая теорема:
Теорема 11-6-2. S-1 = (S-1)'.
Основная теорема разложения на симметричные составляющие форму-
лируется следующим образом:
Теорема 11-6-3. Пусть Л1—матрица с циклической симметрией по-
рядка п. Тогда L — SnMS~' является диагональной матрицей. Если Sft —
k-я строка матрицы Sn, a — первый столбец матрицы М, то элементы
на главной диагонали матрицы SnM S~* запишутся в виде:
nS^M^
Эта теорема определяет также коэффициенты в преобразованных ма-
трицах коэффициентов статора и ротора
Ls = SnLrrS~' и Ls — SmLssS~~l
как явные функции коэффициентов в одном столбце LrT и Lss- Следую-
щие две теоремы подобным же образом определяют коэффициенты в пре-
образованной матрице коэффициентов связи статора и ротора
г (?)=Sn£Sr (?)«;’
как явные функции коэффициентов в LST (?).
Теорема 11 -6-4. Если Lsr (?) — т X п—матрица с элементами вида
LM = cos [6 —(i— 1)р —(Л — 1)а],
254
где
то в матрице Lser(W)=SmLsr($)S~' содержится лишь два элемента, от-
личных от нуля. Этими элементами являются е78, расположенный во
второй строке и втором столбце, и е~'\ расположенный в т-п стро-
ке и п-м столбце.
Теорема 11-6-5. Если £rs(0) представляет собою транспонирован-
ную матрицу £sr(6) и если
Lsrs (f)) = SnLrs(())^,
то Lsrs (6) = [£®r (6)]*t (индекс t обозначает транспонированную матрицу;
звездочка — сопряженный комплекс), а £яг(0) определяется в соответствии
с теоремой 11-6-4. Следующие две теоремы полезны при выражении мо-
мента через симметричные составляющие.
Теорема 11-6-6. Пусть £sr(0) определена в соответствии с теоре-
мой 11-6-4. Тогда S~‘Lsr(6)S^ содержит лишь два элемента, отличных
Vтп >е с-
от нуля: -^-у— е , расположенный в «z-и строке и втором столбце, и
расположенный во второй строке и /г-м столбце.
Теорема 11-6-7. Пусть £sr (6) = [£м(6)]', тогда
$;‘£ГЛ0) s;1 = [$;'£. Лб) О-
Прежде чем перейти к применению приведенных выше теорем, целе-
сообразно привести некоторые определения и теоремы, относящиеся
к переменным — симметричным составляющим.
Определение 11 -6-3. Пусть Xs = SnX является матрицей-столб-
цом и представляет переменные, определенные при разложении на сим-
метричные составляющие п-го порядка. Если п^З, то переменные в пер-
вом, втором и п-м ряду матрицы Xs называют переменными соответствен-
но нулевой, положительной и отрицательной последовательностей.
Остальные переменные, если они существуют, не имеют специально-
го названия ввиду их сравнительно малой значимости.
Теорема 11-6-8. Пусть X—матрица-столбец, состоящая из п ве-
щественных функций. Если № = то переменные положительной и
отрицательной последовательностей в Xs представляют собою сопряжен-
ные комплексы х+ = х~.
Определение 11-6-4. Говорят, что система из п постоянных
величин или вещественных синусоидальных функций времени является
симметричной, если их максимальные значения одинаковы и если они
могут быть расположены в одной из двух приведенных ниже последо-
вательностей.
255
Положительная последовательность фаз:
А
COS (lot -ф- 6)
cos (<ot -ф- 6 — а)
cos (<ot 4- 0 —2a)
cos [toZ -ф- 6 — (n—1) a]
Отрицательная последовательность фаз:
Xi
X2
COS (tot 4-0)
cos (lot 4- 0 4- a)
cos (iot 4- 0 4- 2a)
cos [<oZ 4“б4~(и—1) a]
где a=—, а ш может быть равна нулю.
В качестве примера приведем случай, когда
Три переменные
п = 3, 0 = 15° и о>=0.
Xi
Xt
х3
cos 15°
cos(15°—120°)
cos (15°—240°)
0,966
—0,259
—0,707
(11-6-2)
образуют симметричную трехфазную систему постоянных величин положи-
тельной последовательности.
Подобным же образом, если п = 4, 0 — 30° и <о=1, переменные об-
разуют симметричную систему отрицательной последовательности вида
Х1
хъ
х3
X.
cos (t -ф- 30°)
cos 4~ 120°)
cos (t 4-210°)
cos (t 4- 300°)
(11-6-3)
На практике наиболее часто встречаются симметричные системы
переменных. Поэтому желательно уметь быстро определять для данной
системы полюсных переменных величины или временные функции
симметричных составляющих,- или наоборот. Иными словами, имея,
например, полюсные напряжения Us(t) мы должны без вычисления матрич-
ных произведений находить элементы матрицы Us (f) = SUs(t)- Эта опера-
ция выполняется на основе следующих двух теорем.
Теорема 11-6-9. Если X представляет собою симметричную систе-
му из п постоянных или функций времени в соответствии с определением
11-6-4, то переменные положительной и отрицательной последовательности
(элементы второго и последнего рядов) в матрице Xs = SnX определяют-
ся как
х~ =Л'+ =-^у- Хе*г(ш,+в) для положительной последовательности и
Л"- = х+ = Хе _, (mf+e) для отрицательной последовательности.
Остальные п—2 элемента в Xs представляют собою нули.
256
Применение этой теоремы к симметричным системам переменных,
определяемым выражениями (11-6-2) и (11-6-3), дает соответственно:
Все остальные переменные, как следует из произведения SX, являются
нулями.
Следующая теорема может рассматриваться как обратная по отно-
шению к предыдущей, так как она определяет симметричные полюс-
ные переменные в виде явных функций известных переменных положи-
тельной и отрицательной последовательностей.
Теорема 11-6-10. Пусть Xs — матрица-столбец, составленная из п
симметричных составляющих, в которой ненулевыми элементами являются
лишь х+ и х~ (элементы 2-го и /г-го ряда). Пусть, далее, xk обозначен
k-й элемент в матрице X=S~'XS. Тогда
xh = ^Re(x+e~i{k^>}a),
УП
где
Читатель может задать вопрос: целесообразно ли тратить время
на то, чтобы понять смысл теорем, приведенных в этом параграфе? Не
проще ли вычислять необходимые матричные произведения в том виде,
как они записываются? Это, конечно, можно и нужно делать на перво-
начальных стадиях изучения предмета. Однако, когда методика усвоена,
нет необходимости повторять каждый раз громоздкие выкладки. Зна-
чение большинства приведенных выше теорем в том и состоит, что они
позволяют избежать этих громоздких выкладок при вычислении мат-
ричных произведений и обратных матриц. Время и усилия, затрачен-
ные на освоение теорем, вполне окупятся в процессе их применения.
Применение теорем иллюстрируется следующим примером.
Пример 11-6-1. Преобразовать полюсные уравнения машины переменного тока
с трехфазным статором и пятифазным ротором в уравнения, содержащие симметрич-
ные составляющие.
Преобразованные уравнения запишутся в матричной форме как
S3ZssS^ S3 [Z,sr (у) $5 I
Urs (у) $з ] s3zTTs^
4^(у) Zrr
Is
‘s
lr
(11-6-6)
т=- (?) v isr j+(в+1 ) f- (11 -6-7)
17—1738
257
где
Uf
Ur
п
If
sz о
0 s5
s3 о
0 s5
и„
Ur
h
Ir
(11-6-8)
(11-6-9)
и
Из теоремы 11-6-3 мы знаем, что Zsss и Zsrr в уравнении (11-6-6) являются
диагональными матрицами и что коэффициенты на диагонали могут быть получены
путем умножения соответствующих рядов матрицы S' на первый столбец матриц Z„,
или Zrr. Первые столбцы этих матриц коэффициентов равны соответственно:
d
Ra + la dt
d
lab dt
d
Lab dt
И
d
Rt + Lt dt
d
Ll‘ dt
d
Lls dt
d
L's dt
L'2 dt
Отметим, что индуктивности в этих матрицах-столбцах записываются без труда, так
как известно, что матрицы L,, и LTT обладают циклической симметрией. Результат
выполненного в соответствии с теоремой 11-6-3 умножения строк матрицы симметрич-
ных составляющих на каждую из приведенных выше матриц-столбцов выражен урав-
нением (11-6-10), где
L° = in + 2£12 + 2Z.13;
L~ = L+ = £n + £„ (б + b*) + £>s(fe= + ft’);
LS = LAA + ~LAB'
Lbr = L“ = Llt + LiS (Ьг + ft3) + Ll3 (ft* + by,
s ~ 4 — I*AA I AB'

b =
2n
“5~‘
8= РЧ-
258

м°
S
“s

и,
й?
ilbr

n ra + dt 0 0 0 + A ra -I" Ls dt 0 0 ° _A RA + Ls dt 0 ° 0 _ 0 d □. 4t 0 0 0 0
0 0 ° R + I° — R1 + Lr dt 0 0
0 4&(e) 0 o + d Rl + Lr dt 0
0 0 0 0 0 Rl + L“ ~dt
0 0 0 0 0 0
0 0 rf . , dF^(0) 0 0 0
259

(11-6-10)
Из теорем 11-6-4 и 11-6-5 известно, что каждое из матричных произведений
^r(¥) = S3-rfr[£ar(¥)S5-Il
d ,
L^(¥) = S5-^-[Lsr(¥)Sr]
^содержит два элемента и что £®г (у) = (?)]*«. как показано в уравнении (11-6-10).
Преимущества уравнения (11-6-10) по сравнению с первоначальными полюсными
уравнениями очевидны. Каждый из токов i°, i®, i“ и i* является неза-
висимым от остальных токов. Таким образом, при заданных напряжениях необходимо
решить совместно лишь следующие уравнения:
где
d
Z^R + L-^.
Транспонировав второе и третье уравнения и токовые переменные, получим:
, d . ,
-dt^) о
~dt о
о о z~
0 о 4 i+(0)
(11-6-12)
откуда очевидно, что лишь одна пара уравнений должна быть решена совместно. Реше-
ние второй пары уравнений и решение первой пары представляют собой сопряженные
комплексы. Рассмотрим теперь выражение для момента (11-6-7). Для случая т=3 и
п=5 в соответствии с теоремой 11-6-6 имеем:
4[^г(?)5г'] =
0 0 0 0 о
ООО 0—1Р^~ Lsre~
0 jp—l— L„e’* 0 0 0
260
Следовательно,
т(О = --ф- laxp (ii-^ V - V) + ( в + 7 4) т(0 =
=~^тр-£Л12р Re(/i+e-,e i~)+ (в + / ?(<) =
= —-0^^i2PIm(‘4+e_'e‘r+)+ + (11-6-14)
Предыдущий пример позволяет распространить полученные ранее
результаты на общий случай симметричной машины. В примере было
выбрано п=5, чтобы получить все характерные члены уравнений. Снова
обратимся к примеру, чтобы обобщить полученные в нем результаты.
Пусть машина переменного тока с цилиндрическим ротором имеет т-
фазный статор и n-фазный ротор, где и п>3.
1. Матрицы Z^s и Zsrr всегда являются диагональными, и каждая из
них может быть записана непосредственно по теореме 11-6-3.
2. Матрицы Lssr (<f>) и L~rK (?) содержат лишь по два элемента, отлич-
г-, Утп г ±м
ных от нуля. Эти элементы имеют вид LMe ‘ и имеются лишь в
уравнениях, соответствующих положительной и отрицательной последова-
тельностям.
3. Электромагнитный момент является функцией одних лишь токов
положительной и отрицательной последовательностей статора и ротора.
4. Токи всех последовательностей, за исключением токов положи-
тельной и отрицательной последовательностей, определяются лишь на-
пряжениями соответствующих последовательностей и начальными усло-
виями. Таким образом, если полюсные напряжения машины симметрич-
ны, установившиеся токи всех последовательностей, за исключением
токов положительной и отрицательной последовательностей, равны
нулю. Такой режим работы называют симметричным.
5 В симметричном режиме машина полностью характеризуется
полюсными уравнениями положительной последовательности и соответ-
ствующим уравнением момента. Так, полюсные уравнения в симметрич-
ных составляющих для машины, работающей в симметричном режиме,
записываются как
(О
й+(0
^+ +vi
V (о
ir+ (О
(11-6-15)
. . . «-l .Q / d \ .
T (t)=-L+ 2p Im [»+ (!) + ( В + J 4 (t). (11-6-16)
где
, V mn
^Sr ~ 2
Соответствующий полюсный граф для от=3 и п = 5 показан на
рис. 11-6-1. Переменные в полюсном графе получены из переменных
в полюсных уравнениях посредством разложения на симметричные со-
ставляющие. В результате при симметричном режиме число уравнений,
261
характеризующих машину, уменьшается с т + п + 1 до трех, а число
переменных — с 2 (m+n-j-1) до шести. Такое число уравнений и пере-
менных сравнимо с числом уравнений и переменных, характеризующих
элементарную коллекторную машину. Основное различие состоит в том,
что для осуществления такого упрощения необходимо использовать
переменные, которые не находятся в прямом соответствии с элемен-
тами полюсного графа. Таким образом, для измерения коэффициентов
Статор Ротор вал
Рис. 11-6-1. Полюсный граф машины переменного
тока i трехфазным статором н пятифазным ро-
тором.
в преобразованных полюсных уравнениях необходимы специальные
методы. Эти методы, а также рабочие характеристики в установив-
шемся режиме рассматриваются в гл. 12.
Пример П-6-2. В качестве второго примера, демонстрирующего применение
теорем, запишем полюсные уравнения для машины с четырехфазным статором и двад-
цатифазным ротором, все фазы которого являются короткозамкнутыми. Уравнения
машины в симметричных составляющих, записанные в матричной форме, имеют вид:
d
^20 [^rs (у) $4 ]
U
di ^вг ^20
Ur
it
(11-6-17)

Ut) = - [/f]' ± [L,r (y) zrs] + (fi + /
(11-6-18)
где
(11-6-19)
и
n
Isr
st о
0 S^o
(11-6-20)
Из теоремы 11-6-3 известно, что матрицы Zfs и Zfr являются диагональными.
Из теоремы 11-6-4 следует, что Lssr (у) = [Z.®s (у)]*» и что эти матрицы содержат эле-
менты лишь на пересечении второй строки и второго столбца и четвертой строки и
двадцатого столбца. Следовательно, роторные токи всех последовательностей, за
исключением i’1' и i~, равны нулю, так как равны нулю напряжения всех соответ-
ствующих последовательностей. Таким образом, полюсные уравнения машины имеют
вид:
262
0 °
0 Tt °
d di 0 0 0 0 0 0 Tt^r6~^ i°s is iXs ‘7
8) 1 V + ^57 0 , +d 0 Rf + ^dt i'r+ lr
(ll-G-21)
T= — 2pL+ Im (e-^+) + (B + 7 Д) ¥•
(11-6-22)
При желании теоремы 11-6-3 и 11-6-4 могут быть использованы для определения вели-
чин коэффициентов в полюсных уравнениях для симметричных составляющих как яв-
ных функций коэффициентов исходных полюсных уравнений. Выполнив необходимые
преобразования, можно убедиться, что коэффициенты в первом и третьем уравнениях
в (11-6-21) являются идентичными.
.Принципиальная схема и полюсный граф машины с четырехфазным статором по-
казаны на рис. 11-6-2. Так как фазы ротора являются короткозамкнутыми, на зажимах
ротора не может быть выполнено каких-либо внешних соединений, и поэтому граф ро-
Рис. 11-6-2.
а — схема машины переменного тока с четырехфазным
статором н n-фазным ротором; б — полюсный граф ма-
шины.
А С' В В‘
Рис. 11-6-3. Схема со-
единения обмоток
в машине с двух-
фазным статором.
торных цепей большого интереса не представляет. Для того чтобы статор питался от
симметричной системы четырехфазных синусоидальных напряжений, последние должны
иметь вид:
иА cos at
ив = и cos (at — 90°)
ис cos (cof — 180°)
aD cos (at — 270°)
Практически полюсные напряжения такого вида можно получить от двух источников
напряжения посредством соединения фаз статора в параллель, как показано на
рпс. 11-6-3. Такой статор обычно считают двухфазным. При указанном соединении экви-
валентная фаза, образованная катушками АА' и СС', смещена относительно эквива-
лентной фазы ВВ' и DD' на 90 эл. град. В соответствии с определениями, данными
в настоящей книге, «истинная» двухфазная машина имела бы обмотки, смещенные иа
180 эл. град, и была бы эквивалентна однофазной машине.
В следующей главе четырехфазное полюсное представление че-
тырехфазной машины (для соединения, показанного на рис. 11-6-3)
будет выведено из данного выше полюсного представления.
11-7. Выводы
В связи с тем, что при выводе уравнений машины переменного тока
был использован обширный математический аппарат, целесообразно
подвести некоторые итоги для наиболее важных типов машин.
В следующей главе будет показано, что численные значения коэф-
фициентов в уравнениях, записанных в симметричных составляющих,
могут быть найдены непосредственно путем измерений на зажимах ма-
шины. В связи с этим все последующее изложение, относящееся к ха-
рактеристикам машин переменного тока и систем, содержащих такие
264
машины, будет основываться на полюсных уравнениях машин, записан-
ных в симметричных составляющих. В дальнейшем у нас не будет
необходимости возвращаться к первоначальному виду полюсных урав-
нений и к математическим выкладкам, использованным при выводе
уравнений в симметричных составляющих. Таким образом, уравнения,
приведенные в настоящем параграфе, следует рассматривать как полюс-
ные уравнения машин. Целью данной главы как раз и являлось полу-
чение такого результата. Действительно, читатель, рассматривающий
данные здесь уравнения как полюсные уравнения машины переменного
тока, может использовать настоящие выводы как отправный пункт для
освоения материала последующих глав.
Ниже рассматриваются четыре типа машин, наиболее часто встре-
чающихся на практике, приводятся их схемы, а также полюсные графы
и уравнения.
Машина с трех фазным статором и однофазным ро-
тором (рис. 11-7-1):
а — схема машины с трехфазным статором и одно-
фазным ротором; б — полюсный граф.
Т = ~2р [Д^-/2е(/+Л }+(£ + J 4t) U1’7’3)
где

1
1
1
1
~ Лз
1
а
Us
а2
а2
I.
аг
а2
11В ’
ис

1
1
1
1
1
1
а
а
1
а
А
1в
265
и
6 = /*Р-
Если ротор является цилиндрическим, то Е'л = 0.
Машина с трехфазным статором и трехфазным рото-
ром (рис. 11-7-2)
а — схема машины с трехфазиым статором и трехфазным ротором; б полюс-
ный граф.
Рис. 11-7-2.
T = -2pL+ +
(11-7-4)
(11-7-5)
(11-7-6)
(11-7-7)
(11-7-8)
где
и
и
и
и
и
и
/3
1 1
а а2
а2 а
1 1
а а2
а2 а
1 1
а2 а
а а2
иА
ив »
ис
Ua I
«з
С
266
ii
*2
*3
1
Vs
1 1 1
1 a2 a
1 a a2
lr
Машина с трехфазным статором и
замкнутым ротором (рис. 11-7-3)
/z-ф а з н ы м коротко
Т = — 2pL+sr Im (is+}r+e /e) 4" (в + J 4г) V, <1 Ь7‘12)
где
1
1
1
«s
1 1
а а2
а2 а
ил
ис
1 1
а2 а
а а2
•о
е=л>-
267
Машина с четырехфазным статором и
коза минутым ротором (рис. 11-7-4)
/z-ф а з н ы м
ко рот-
Рис.
11-7-4.
а — схема машины с четырехфазным статором и п-фазным
короткозамкнутым ротором; б — полюсный граф.
+ d
s dt
«г
Rr+Lr
d
dt
T = — 2pL±\m (is+/>“/6)+(^ + /4)^
(11-7-13)
(11-7-14)
(11-7-15)
(11-7-16)
(11-7-17)

dt (sre )
где
«s
1111
1 j -1 —/
1—1 1—1
1 -/ -1 i
uc
lA

1111
1 -/ -1 i
i—i i—i
i j -1 —/

268
Отметим, что уравнения для четырех типов машин имеют одинако-
вую форму. В частности, уравнения для двух последних машин иден-
тичны; различными в этих двух случаях являются лишь преобразова-
ния. Полюсные уравнения во всех случаях являются нелинейными.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МАШИН ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
В предыдущей главе было показано, что полюсные характеристики
многофазных машин переменного тока удобно представлять с помощью
симметричных составляющих. Прежде чем перейти к использованию
таких характеристик для получения характеристик систем с машинами
переменного тока, целесообразно изучить рабочие характеристики самой
машины. К последним относятся механические характеристики (зависи-
мость скорости от момента) при различных способах питания и элек-
трические характеристики при вращении вала машины с постоянной
скоростью.
Настоящая глава имеет целью показать, как получаются эти харак-
теристики из решения полюсных уравнений в симметричных состав-
ляющих и как определяются коэффициенты уравнений из данных лабо-
раторных испытаний.
12-1. Решение уравнений при постоянной скорости вращения
Обратившись к уравнениям, приведенным в выводах по предыду-
щей главе, заметим, что, независимо от вида машины, уравнения,
которые необходимо решить для получения рабочих характеристик ма-
шины, могут быть отнесены к одному из двух основных типов. В случае,
если статор и ротор имеют более чем по три фазы, необходимо решить
три нелинейных дифференциальных уравнения вида
+ d d
's dt dt
dt
(12-1-1)
T = - L*2p Im (iX/eV4(5 + y 4) (124-2)
Если статор имеет три
ным, необходимо совместно
или более фазы, а ротор является однофаз-
решить четыре нелинейных дифференциальных
уравнения:
Us
иг
о 4<L>/e)
о 4(£>_/в)
4(«'в) ^+^4
(12-1-3)
7 = - r>^Im(iXjc)+(^+-/4)'P- (12-1-4)
269
Аналитического решения этих нелинейных дифференциальных уравне-
ний в настоящее время не существует, однако в частном случае вращения
вала с постоянной скоростью (<р = const) <р0, и уравнения сво-
дятся к линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффи-
циентами. Метод решения дифференциальных уравнений этого типа иллю-
стрируется следующим примером.
Пример 12-1-1. Пусть вал машины переменного тока с трехфазным статором и
однофазным ротором приводится во вращение с постоянной скоростью от первичного
двигателя, такого как паровая турбина или двигатель внутреннего сгорания. Питание
фазы ротора осуществляется от источника постоянного напряжения. Такую машину
называют генератором переменного тока.
Пусть коэффициенты в полюсных уравнениях имеют следующие численные зна-
чения:
L°=0.01 гн; £+ = 0,17 гн; L^ = \ гн; £г = 500 гн;
/?+ = 1 ом; Rr = 200 ом; R® = 1 ом.
Машина имеет четыре полюса; скорость вала составляет:
if = 1 800 об1мин = 60л рад/сек.
Напряжение, приложенное к фазе ротора, 200 в.
Необходимо определить:
1. Напряжение на разомкнутой обмотке статора в установившемся режиме.
2. Переходные и установившиеся токи в машине при коротком замыкании всех
трех фаз статора.
3. Момент иа валу в период, следующий за коротким замыканием.
Рассматриваемые процессы описываются полюсными уравнениями (11-7-1)—
(11-7-3). Если выключатель, закорачивающий три фазы статора, включается, когда ось
фазы ротора совпадает с осью фазы А, то
6 = 4/2¥ =377/,
и уравнения приобретают вид:
ц°= 1 + 0,01^«°;
1+0.17^ 0
«7= 0 1+°-17й
200 . .
_е-М/ 200 + 500 д
Г = — 4ir Im (j+ е~,иЛ) + + J ¥.
где to = 377.
Если токи статора равны нулю, то ir = 1 а и
(12-1-5)
(12-1-5а)
= 0,
£
dt
e’ai
ineT*
(12-1-6)
270
Напряжения, измеренные на зажимах статора, равны:
иа
иь
ис
1 1 1
1 а2 а
1 а а2
О
jwe'^
— jae~’wt
= — 435
sin wt
sin (cot — 120 ’)
sin (cot + 120°)
(12-1-7)
В практических случаях три фазы статора бывают соединены в треугольник, как
показано на рис. 12-1-1, или в звезду, как показано иа рис. 12-1-2.
Рис. 12-1-2. Трехфазиая обмот-
ка, соединенная в звезду.
а — схема; б — полюсный граф.
Рис. 12-1-1. Трехфазная обмот-
ка, соединенная в треугольник.
а — схема; б — полюсный граф.
При соединении в треугольник напряжения в (12-1-7) являются линейными, тогда
как при соединении в звезду эти же напряжения оказываются фазными. Очевидно, ли-
нейные напряжения в случае соединения в звезду находятся как сумма фазных напря-
жений.
Переходя к решению второй части задачи, отметим, что напряжения статора
всех последовательностей, включая равны нулю. Отсюда следует, что
»° = О
и уравнение нулевой последовательности в дальнейшем не рассматривается. Для ре-
шения уравнения (12-1-5) целесообразно использовать преобразование Лапласа. Реше-
ние может быть получено путем использования теоремы подстановок. Однако значи-
тельно более простым способом является введение экспоненциальных членов e~'at
и наряду с независимыми переменными (t) ui~(t), в результате чего уравне-
ние (12-1-5) приобретает вид:
0
d
dt
d
Wdi
0
— eiat
dt e
d ,
1 + 0.17^ e~,at
— e~iu>t
dt e
d
dt
d
200 + 500 gj
e~,at i+(t)
eiat is (t)
ir (O
(12-1-8)
Если теперь умножить
венно, то они превращаются
фициентами. Переменные в
второе уравнения иа ё~и eiat
соответст-
первое и
в дифференциальные уравнения с постоянными коэф-
этом случае записываются как

e-^^(t)
ir (0
e^'i-(t)
ir (t)
(12-1-9)
271
Заметим, однако, что в уравнения входят производные по времени от двух
функций времени, имеющие вид:
Следовательно, если умножить первое уравнение на е~i<oi, эти члены перепишется в
виде
}ь (0] = е-& [ ei<* jb {t} + lb {t} jtaei^ =
* e~lai ft ir V)1= (ft + j® ) (0-
Второе уравнение содержит аналогичные члены, следовательно,
запишутся теперь как
полюсные уравнения
О
О
200
fd \ d
1 + 0,17 ( + /ш } 0 di±iw
fd \ d
0 1+°’17(d?-/“)
d d d
dt di 200 + 500^
is(0
ir(t)
(12-1-10)
Используя преобразование Лапдаса, уравнения (12-1-10) можно записать в виде
0
0
200
s
(1 + /64) + 0.17s 0 /377 + s
0 (1 —/64)+ 0,17s — /377 + s
s s 200 + 500s
ibs(s)
М«)
0,17 0 1
0 0.17 1
1 1 500
is(0+)
‘*(0+)
>r (0+)
(12-1-11)
Подставив в (12-1-11) начальные значения
токов и решив уравнение, получим:
1
D(s)
is(s) _ 1 du(s)
ibs (s) ir (s) D(s) di3(s) d33 (s)
dii(s) dJ2(s) d13(s)
dj2(s) dn(s) d13(s)
d3i(s) d3i(s) d33(s)
1
1
500
200
S
»г(0+),
(12-1-12)
где
dll (s) = (1 — /64 + 0,17s) (200 + 500s) — s (— /377 + s)
=*= (1 — /64 + 0,17s) (200 + 500s);
272
(s) =s(/377 4- s);
du (s) = - (1 — /64 + 0,17s) (/377 + s);
d31 (s) = —s (1 — /640,17s);
d33 (s) = (1 4- /64 4- 0,17s) (1 — / 64 4- 0,17s);
D (s) = (1 4- /64 4- 0,17s) (1 — /64 4- 0,17s) (200 4- 500s) —
— s (/377 4- s) (1 — /64 4- 0,17s) — s (— /377 -|- s) (1 4- /64 4- 0,17s) =
= (1 4-/64 4-0,17s) (1 —/64 4-0,17s) (200 4-500s).
Найдя указанные матричные произведения в (12-1-12) и сгруппировав члены, по-
лучим с достаточно хорошим приближением;
(S) 's(s) = ir (s) —(/377 4-s) 200 , s
85 (5,9 4- /377 4- s) (0,4 4- s) -(-/377 4-s)
85 (5,9 —/377 4-s) (0,4 4-s) 1 500 (0,4 4-s)
— 11,8 X 106 — /31700s 4-s2
— 11.8Х Ю6 4- /31700s 4-s2
(64 4- 0,17s)2
M0 4-)
14,5 (5,9 4- /377 4- s) (5,9-/377 4- s) (0,4 4- s)
(12-1-13)
Для перехода от изображений к оригиналам разобьем
на слагаемые и применим обратное преобразование Лапласа.
полученные многочлены
В результате получим:
‘1(0 isd) ir (0 = — 5,9 — 5,9 1 4- 5,9е" <5-9+/“) * 5,9е_(5,9-/в>м — 2/500е—5,9( sin со/ (12-1-14)
Из последних уравнений c учетом (12-1-9) определим токи положительной и
отрицательной последовательностей:
(0 £ (/)«?'“' = — 5,9 е'ш 4-5.9 е-5,9/ (12-1-15)
‘Г(0 e~iat е-5.э/
Для нахождения момента на валу подставим выражение для i* (/) из (12-1-15) в
уравнение (12-1-5а). Пренебрегая коэффициентом механического демпфирования, полу-
чаем:
Т (t) = — 4 (1 — 2/500е“5-9/ sin со/) Im (— 5,9 4- 5,9е“5'9' ) =
= 23,6c?-s.9< — 0,096/? ~I1.61 sin2 со/ = 23,6с?-5.91 — 0,048e-“.s‘(1 — sin 2co/), (12-1-16)
откуда следует, что в результате аппроксимации, использованной при выводе конечного
результата, установившийся момент равен нулю.
Статорные токи, как следует из преобразования, обратного разложению на сим-
метричные составляющие, равны:
‘л (О
‘в (О
‘с(0
1 1 1
1 а2 а
1 а а2
— 5.9
0
е‘^
е~‘а1
4-5.9
В-5.Э/ I
= — 6,8
cos со/
cos (со/ — 120°)
cos (со/ 4- 120°)
1
-1/2
-1/2
е-5.э/
(12-1-17)
1
F3
18—1738
273
где первая матрица определяет установившийся режим работы. График кривой то-
ка «л(0 показан на рис. 12-1 3
Рассмотренная в примере методика применима к решению всех
полюсных уравнений машин переменного тока, приведенных в выводах
к гл. 11, при условии, что скорость вращения вала считается постоян-
Рнс. 12-1-3. Переходный ток в фа-
зе А короткозамкнутого генератора
переменного тока.
ной. Решение предыдущей задачи бы-
ло выполнено с помощью обычного
преобразования Лапласа, с той лишь
разницей, что вначале дифференциаль-
ные уравнения с переменными коэф-
фициентами путем замены переменных
были преобразованы в уравнения с по-
стоянными коэффициентами. К сожа-
лению, уравнения в изображениях
имеют комплексные коэффициенты,
что приводит к усложнению алгебраи-
ческих выкладок.
Преобразование, использованное
при решении примера 12-1-1, вообще
говоря, применимо ко всем полюсным
уравнениям машин переменного тока,
приведенным в выводах к гл. 11, если
используется новая пара переменных
статора.
«8ь(0 = е_/®'/К+Ю; (12-1-18)
ibs(t) = e~iet (12-1-19)
При подстановке этих переменных в уравнения
последние записываются следующим образом.
1. Для многофазного ротора и статора:
(12-1-1) —(12-1-4)
% (О
< (()
(О
'С (()
(12-1-20)
= - L^2p Im (/) (<)] + [B + J A) ? (Z). (12-1-21)
2. Для многофазного статора и однофазного ротора:
«s (0
4ь(о
Ur (i)
274
ibsV)
%(*)
iT(t)
T(t) = - L*2pir (0 Im [i‘* (f) e~iB°]+(B -ф- <p (t).
При получении этих результатов использовалось соотношение
(12-1-22)
(12-1-23)
- (/) = e-w рда d_ t (t} + i {t) j = + /e ) z (Z).
При постоянной скорости вращения 6 = const уравнение (12-1-22) не от-
личается по виду от использованного в предыдущем примере.
Б случае синусоидальных симметричных полюсных напряжений на-
пряжение
ubs(t) = e~iBt (t)
обладает очень важными свойствами. Например, если
«Л (0 cos (wt -ф- a)
Ug (t) = I7S cos (wt — 120° -ф- a)
“с (0 cos (wt -ф-120° 4- a)
(12-1-24)
то напряжение положительной последовательности выразится как
а (12-1-25)
Если скорость вращения вала в электрических радианах в секунду
равна частоте синусоидальных напряжений статора и токов, как это было
в предыдущем примере, то иь является комплексной постоянной. Ампли-
туда иь прямо пропорциональна амплитуде фазового напряжения, а фаза
соответствует фазовому сдвигу а фазовых напряжений.
Ток также определяется амплитудой и фазовым сдвигом симмет-
ричных синусоидальных токов статора. Следовательно, физическая интер-
претация решения уравнений (12-1-20) и (12-1-21) может быть дана непо-
средственно без выполнения обратных преобразований. Так, например, из
выражения (12-1-14), являющегося решением примера 12-1-1, следует, что
установившаяся составляющая тока ib равна —5,9 а. Отсюда можно
сразу же заключить, что амплитуда установившейся составляющей фазо-
V*" 3
вых токов составляет 5,9 а, а фазовый сдвиг равен 180°. Пример
решения, в котором рассматривается в следующем параграфе.
На основании свойств переменных иь и ib было бы логичным назвать
приведенное выше преобразование комплексно-частотным преобразо-
ванием. Однако исторически сложилось так, что эти переменные известны
18*
275
как переменные обратной последовательности. Это название связано
с тем, что „фиктивный" комплексный ток (t) можно рассматривать как
причину возникновения вращающегося магнитного поля в воздушном за-
зоре машины. Тогда умножение тока i* (/) на е~‘^‘ вызовет уменьшение
скорости этого поля на величину 0, т. е. появление составляющей ско-
рости поля 6, направленной в противоположную или обратную сторону.
Хотя для использования такого названия и нет каких-либо других причин,
оно столь же хорошо, как и любое другое, и поэтому будет применяться
в книге для обозначения переменных, определяемых уравнениями (12-1-18)
Если машина имеет многофазную обмотку ротора, подобные мате-
матические упрощения могут быть получены в результате применения
комплексно-частотного преобразования к ротору. В частности, если

(12-1-26)
^(0 = ^
(12-1-27)
и (12-1-2) позволяет
то подстановка этих выражений в уравнения (12-1-1)
представить полюсные уравнения в виде
«;+ (о
(О
(12-1-28)
Т (I) = - L*2p Im [is+(0 ? (О е ,6с] -ф + J <f (t). (12-1 -29)
Переменные, определяемые выражениями (12 1-26) и (12-1-27), называ-
ют переменными прямой последовательности. Эти переменные не дают
каких-либо преимуществ по сравнению с рассмотренными выше за ис-
ключением случая, когда статор является однофазным. В этом случае
применимы лишь переменные прямой последовательности.
12-2. Решение уравнений при постоянной скорости вращения
(продолжение)
Применение рассмотренного выше метода анализа к решению урав-
нений для случая, когда скорость вращения вала не равна частоте элек-
трических переменных, покажем на следующем примере.
Пример 12-2-1.
Машина переменного тока с трехфазным ротором и статором должна использо-
ваться в качестве асинхронного двигателя, приводящего во вращение механизм с высо-
ким моментом инерции. Три фазы статора подключены к источнику переменного напря-
жения, фазы ротора замкнуты накоротко. Для ограничения статорных токов в период
пуска к зажимам статора подводится вначале напряжение составляющее половину но-
минального. После того как машина достигнет наибольшей возможной при таких усло-
виях скорости, на статор подается номинальное напряжение. Коэффициенты в j равне-
ньях имеют следующие численные значения:
/?+=0,Зол<; /?+ = 0,Зоя;
/.+ = 0,053 гя; /.+ = 0,053 гя;
/ + = 0,05 гя;
В= 0.
276
Коэффициенты для нулевой последовательности не заданы, так как напряжения стато-
ра образуют симметричную систему. Номинальное напряжение статора равно 220 в,
частота 60 гц, скорость вращения вала в момент переключения напряжения со ПО в па
220 в составляет 1 440 об/мин |(машпна четырехполюсная).
В предположении, что за первую половину секунды после изменения напряжения
скорость вращения вала не изменяется ощутимо, определить:
1. Установившиеся момент и фазовые токи при питании машины напряжением
ПО в.
2. Переходные токи статора непосредственно после переключения статора со ПО в
па 220 в.
Для ответа на эти вопросы нужно решить уравнения положительной последова-
тельности (11-7-6) и (11-7-8). В численном виде эти уравнения запишутся как
«5+ (О
«г+ (<)
= 102
d го
30 + 5-3di 5dfe
d ,-о d
5die 30 + 5,3
(12-2-1)
is+ (0
ir+ (0
T = 4-0,05 Im [i+ (0 -r+ (/) tf-'8].
(12-2-2)
Комплексно-частотное преобразование будет применяться только к роторным
переменным в связи с тем, что полюсные напряжения ротора равны нулю, и нас ин-
тересуют лишь токи статора. Пусть 6 = в/ и
u’r(t)=ei^ u+(t)
(12-2-3)
;f(?) = e^i+ (i).
(12-2-4)
Тогда уравнения (12-2-1) н (12-2-2) перепишутся в виде:
«s+ (0
= 10~2
d
30 + 5-3 dt
fd .Л
5 (dt ~ i6)
(0
'ir(t)
(12-2-5)
о
Т = —0,2 Im [i+(t)H (Z)].
(12-2-6)
Применение к уравнению (12-2 5) преобразования Лапласа с произвольными на-
чальными условиями и решение полученного уравнения относительно изображений
токов дает;
1
'D(s)
is <s)
'i[ («)
102
D(s)
5,3s + 30 —/5,30
— 5s + /59
«s+ («) +
159-/28,10 + 3,095 150-/26,59
150 + /26,50 159 + /250 + 3,095
is+(°+)
i'(0+)
(12-2-7)
где
D (s) = (900 — /1590) + (318— /3,090) s + 3,09s2.
(12-2-8)
Решения, требующиеся в обеих частях задачи, получаются путем нахождения
обратного преобразования Лапласа для уравнения (12-2-7) при соответствующих вели-
чинах 0, и+ (s) и начальных условиях.
277
В первой части задачи нужно найти линь решение, соответствующее установив-
шемуся процессу’ при симметричной системе синусоидальных напряжений. Если при-
нять, что
“л (О
ив
uc(f)
cos <&t
cos(co/ — 120’)
cos (со/ -|- 120°)
то

й+ (s) =
УЗ U,
2 s—/со’
(12-2-9)
Установившуюся сос+авляющую решения для Ua = 110 j/"2 в можно получить,
вычислив остаток при s = /co в разложении на простые дроби коэффициентов в мат-
рице коэффициентов при «+ (s) в уравнении (12-2-7). В результате для
1 440
0 = 2-тпг- -2л =301
имеем:
4+ (0 Уз ПО /2 30 + /402 -Г3 У2 0,202-/0,292 pi«>t
‘fr (0 2(890-/720) — /380 е 2 > 2 — 0,216+ /0,266
НО У2
2
Не производя дальнейших
в каждой фазе статора:
и в каждой фазе ротора
0,356e~jSS>2 I
0,340г--’51 I
(12-2-10)
вычислений, получаем действующие значения токов
110-0,356 = 39 а
110-0,324 = 36,6 а.
Мгновенные значения токов статора будут:
‘л (О
*В (О
»с (О
cos (со/ — 55,2°)
cos (со/ — 120° — 55,2°)
cos (со/ + 120° — 55,2°)
Для роторных цепей справедливо соотнощенне:
г о
i+(Z)=e~'e' ^(/) = -^- 0,340г-/5,гИэ”-Э|>1)',
п мгновенные значения роторных токов определяются как
МО
/г (/)
МО
cos (76/ —51°)
cos (76/ — 120°—51°)
cos (76/ + 120° —51°)
(12-2-11)
(12-2-12)
Из полученного результата следует, что частота роторных токов равна разности
между частотой приложенных к статору напряжений и угловой скоростью вращения
вала 0 = pf, выраженной в электрических радианах в секунду.
Установившееся значение момента на валу получается путем подстановки вели-
чин токов, определяемых уравнением (12-2-10), в уравнение (12-2-6):
Т = — 0,2Im[(0,202— /0,292)(— 0,216 — /0,266)] 6-ПОг =
= —0,2(0,0631 — 0,0537)-6-ПО2 = — 1102.1,13-10-3 = — 136,5 н.л(> (12-2-13)
278
откуда следует, что установившийся момент пропорционален квадрату напряжения,
приложенного к статору.
Отметим, что точность вычислений по последней формуле является невысокой, так
как момент пропорционален разности двух близких по величине чисел. По этой причи-
не вид полюсных уравнений, использованный в настоящем примере, не является целе-
сообразным для расчета установившихся процессов. Методы, позволяющие получить
большую точность, рассматриваются в следующем параграфе.
Решение для переходных токов статора, возникающих при подключении послед-
него к сети 220 в, получается путем применения обратного преобразования Лапласа
к уравнению (12-2-7) при
6 = 301,
. , |<3 220 /2
В предположении, что токи ротора и статора не изменяются мгновенно при пере-
ключении, начальные значения токов в уравнении (12-2-7) получаются из решения для
установившегося режима (12-2-10). Эти начальные условия зависят от момента пере-
ключения, т. е. от величины t в уравнении (12-2-10). Если переключение происходит
в момент прохождения статорного тока через максимум, то в уравнении (12-2-10) wf=
= 55с и с хорошим приближением имеем:
is (0 +)
ifr (0 +)
т/з r—
-%-по/2
0,353
— 0,333
(12-2-14)
Подстановка этих начальных условий в уравнение (12.2.7) при 6 = 301 дает:
is+ («) 102 5,3s+ 30 — / 1 590 2K +
'г (s) Z)(s) — 5s + j 1 505 s — /co 1
1 I 1,09s — /3 330
£>(«) Ц—l,03s + /3 НО
(12-2-15)
где
Уз
/( = -?_£-по р'г,
а разложение иа множители D(s):
D(s) =3,09[s + (51,5—/293)l{s+ (51,5—/8)].
Для вычисления матричных произведений, образующихся при подстановке выра-
жения (12-2-14) в уравнение (12-2-7), полезно представить матрицу коэффициентов
в (12-2-7) как сумму трех матриц. Тогда результирующее произведение будет суммой
грех матричных произведений, в одном из которых все коэффициенты являются веще-
ственными числами, в другом—мнимыми и в третьем — функциями s.
Для получения численных значений статорных токов в переходном режиме, вы-
званном переключением, разложим уравнение (12-2-15) на элементарные дроби и при-
меним обратное преобразование Лапласа. В результате получим:
U)
ifr (О
или
'С (О
ifr (О
0,404-/0,584
— 0,432+ /0,532
0,712е~/55,2°
— 0,70в—/51,0°
3,842-/0,3118
3,632 +/0 >328
е- (51,S-J2S3) +
+ K 3,794 +/0,89581 — 3,54 —/0,860 1 g-(51,6-i8) ‘ (12-2-16)
e-(Sl,S-J2S3)t _|_
— 3,85е/4>65°
3.64?5’2”
= Л
е^ + К
е'ш{ + К
З,88е'13-3”
— З.бЗе'13,7’
(12-2-17)

+ *
279
Токи в фазах статора получаются в результате преобразования, обратного разло-
жению на симметричные составляющие:
‘л (О
'в (О
{'с (О
— 422/2
+ 427/2
cos (col — 55,2°)
= 78/2
cos (mi — 120° — 55,2°)
cos (col + 120° — 55.2°)
cos (0,78col + 4,6°)
cos(0,78cot — 120°+ 4,6°)
cos(0,78cot + 120° +4,6°)
g-0,137ml
cos (0,021<ol + 13.3°)
cos (0,021col — 120° + 13,3°)
cos (0,021col + 120° + 13.3°)
e—0,137ml
(12-2-18)
Постоянная времени затухающих экспонент составляет величину 1,15 периода. Сле-
довательно, электрические переходные процессы являются существенными лишь па
протяжении трех периодов, или 0,05 сек. Большинство электромеханических систем об-
ладает достаточно высоким моментом инерции, в силу чего изменение скорости враще-
ния вала за время протекания электрических переходных процессов является незначи-
тельным.
Из примеров решений, приведенных в этом и предыдущем парагра-
фах, следует, что анализ работы машин переменного тока при условии
постоянства скорости вращения выполняется с помощью обычного пре-
образования Лапласа, так как коэффициенты R и L считаются неизмен-
ными (не зависящими от токов). В этих примерах в результате решения
полюсных уравнений были получены некоторые динамические и стати-
ческие характеристики генераторов и асинхронных двигателей. Подоб-
ным же образом можно получить характеристики для других режимов
работы. В частности, в следующих параграфах настоящей главы будут
рассмотрены статические характеристики для ряда важных случаев пи-
тания машин Значение этих характеристик определяется по крайней ме-
ре двумя соображениями:
1. Как было показано в предыдущем параграфе, электрические пе-
реходные процессы в машине часто заканчиваются прежде, чем насту-
пают какие-либо заметные изменения в механической системе, соединен-
ной с валом.
2. Лабораторные измерения коэффициентов, использованных в при-
мерах предыдущих параграфов, основаны на полюсных уравнениях для
установившегося режима.
12-3. Характеристики синхронных машин в установившемся режиме
(линейные задачи)
В этом параграфе мы возвращаемся к более общему рассмотрению
решения полюсных уравнений, описывающих установившиеся режимы
машины переменного тока с трехфазным статором и однофазным рото-
ром (см. § 12-1). Целью настоящего параграфа является более подроб-
ное изучение установившихся режимов на основе решения уравнений
для симметричных составляющих.
Говорят, что машина вращается с синхронной скоростью, если
6 —(ds при симметричной системе напряжений статора положительной
последовательности и угловой частоте радианов в секунду. Для
фазовых напряжений отрицательной последовательности и той же
частоты синхронная скорость определяется как 6 = — <ds.
280
Если вал приводится во вращение с постоянной скоростью, а ротор
питается от источника постоянного тока, то, как было показано в при-
мере 12-1-1, машина работает в режиме генератора переменного тока и
частота напряжений статора определяется скоростью вращения вала и
числом полюсов машины:
0 =Л>.
Последовательность напряжений статора устанавливается направлением
вращения вала.
С другой стороны, такое же устройство может использоваться в ка-
честве двигателя переменного тока и обеспечивать постоянную скорость
вращения вала при питании статора трехфазным напряжением частоты
£i>s, В этом случае, как будет показано, скорость определяется числом
полюсов и частотой напряжений статора. Направление вращения опре-
деляется последовательностью трехфазных напряжений. При включении
такой машины в систему она может работать как в двигательном, так
и в генераторном режиме в зависимости от относительной величины на-
пряжений статора и момента на валу. Однако при изучении характери-
стик синхронных машин в установившемся режиме наиболее важна
классификация не по режимам работы, а по тому, рассматриваются ли
полюсные уравнения как линейные или как нелинейные. Упрощения,
достигаемые при рассмотрении полюсных уравнений как линейных, весь-
ма полезны на начальной стадии изучения, и поэтому этот случай рас-
сматривается первым. Линейная аппроксимация является также необхо-
димой для получения решения, описывающего переходные процессы (об-
щего решения), пример которого приведен в § 12-1. Решения нелиней-
ных уравнений рассмотрены в гл. 13.
Изучение общих статических характеристик синхронных машин
основано на решении уравнений (12-1-22) и (12-1-23) при следующих по-
люсных условиях:
О=0/+оо=®^4-бо; (12-3-1)
ur(t) = Ur— const; (12-3-2)

(12-3-3)
Эти условия соответствуют постоянной скорости вращения, питанию ро-
тора от источника постоянного тока и питанию статора симметричными
синусоидальными напряжениями положительной последовательности.
Матрица коэффициентов для уравнений, соответствующих устано-
вившемуся режиму, получается путем простой замены dfdt на нули
в матрице коэффициентов уравнения (12-1-22), так как в левые части
уравнений входят лишь постоянные величины. Полюсные уравнения син-
хронной машины в установившемся режиме запишутся как
1/~ з
у 6 Т]
2 Us
2 Us
иг
/?+-}-/шд + о jusL+e*°
О R+ + iasL+ - i<vsL+e-IB°
О 0 Rr
ib
s
i.
(12-3-4)

T = - 2PLUT Im (ib + B<?.
(12-3-5)
281
Решение этих уравнений имеет вид
• — Еп
tr ~ Rr;
(12-3-6)
ь __ 1 f Уз
s k+S-Mz+V 2
U s — j<osL^re'B°i^.
(12-3-7)
При любых заданных напряжениях или токах ротора коэффициент
ui6L^rir является известной постоянной, величина которой пропорциональна
амплитуде э. д. с. статора. Если принять, что
. +. Уз" „
— 2
то Es будет являться фазной э. д. с. статора.
Установившийся момент на валу получается путем подстановки вы-
ражения (12-3-7) в уравнение (12-3-5). При этом пренебрегают величиной
R , что позволяет упростить алгебраические выкладки и сконцентрировать
внимание на важных принципиальных положениях, а не на алгебраических
преобразованиях. При необходимости соответствующая операция может
быть проделана и без такого упрощения. Для большинства реальных машин
в силу чего выражение (12-3-7) можно переписать в следую-
щем виде:
ib=^_
s
(— j Us — <DsL+ri>'e°).
(12-3-8)
Тогда электромагнитная составляющая момента на валу с достаточно
хорошей точностью выразится через фазовый ток ротора и напряжение
статора следующим образом:
Тв= М-2/?гт1т
УЗ l^r-2pU,ir .
m.z + Sina’
Уз L+-2pU,iT
2 ®А+
sin
(12-3-9)
где а = б0 + ^-.
Угол а называют углом момента или углом мощности. Уравнение
(12-3-9) указывает на то, что момент на валу изменяется от максималь
ноге значения (положительная величина) при а = л/2 до минимального
значения (отрицательная величина) при а=—л/2. Абсолютная величина
максимального момента, называемая моментом выхода из синхронизма,
определится как
__ Уз Lsr 2р j. .
е макс— Us r'
(12-3-10)
при
а —
71
282
Если нагрузка превосходит эту величину, дальнейшее увеличение
угла а приводит лишь к уменьшению момента, и ротор выпадает из син-
хронизма. Можно показать, что средний момент при Ь =£us равен нулю,
и машина останавливается. Для возобновления работы машина должна
быть приведена во вращение каким-либо другим способом. Один из та-
ких способов основан на использовании дополнительной короткозамкну-
той многофазной обмотки на роторе. Действие этой обмотки при пуске
синхронного двигателя станет очевидным после рассмотрения асинхрон-
ных двигателей.
Угол момента а можно наблюдать в лабораторных условиях с по-
мощью стробоскопа. Если световые импульсы стробоскопа синхронизи-
рованы с напряжением на одной из фаз статора и направлены на вра-
щающийся вал (или ротор), то последний кажется наблюдателю непо-
движным. При наложении на вал тормоза положение ротора, наблюдае-
мое в свете стробоскопа, несколько изменится. Это угловое смещение
ротора от его положения при отсутствии нагрузки на валу (трением
в подшипниках пренебрегаем) определяет угол а, измеренный в элек-
трических единицах. В соответствии с уравнением (12-3-9) при прило-
жении к валу нагрузки направление наблюдаемого смещения ротора
противоположно направлению вращения. Момент в этом случае являет-
ся отрицательным, и говорят, что машина работает двигателем. С дру-
гой стороны, если та же машина приводится во вращение другим дви-
гателем, ротор, наблюдаемый в свете стробоскопа, смещается в сторону
вращения, т. е. угол момента является положительным. В этом случае
момент является положительным, и мы говорим, что синхронная ма-
шина работает как генератор, преобразуя механическую энергию в элек-
трическую. Мощность на валу без учета механических потерь" и потерь
на трение о воздух определится как
P(t) = Tc(t)V(tY, (12-3-11)
_/ + i и
P(/) = j./3-£r-L±sina. (12-3-12)
Ls
Отметим также, что в соответствии с уравнением (12-3-9) электро-
магнитный момент для данной величины а не зависит от времени. Этот
результат противоположен результату, полученному в § 11-1 для одно-
фазного статора.
В примерах предыдущих параграфов мы видели, что электрические
переходные процессы в типичной машине длятся лишь в течение не-
скольких периодов частоты статора. Если изменение угла момента а во
времени происходит сравнительно медленно (например, несколько герц
для весьма малых машин), то уравнение (12-3-9) с достаточно хорошим
приближением может применяться для изучения динамики машины и
ее механической нагрузки. Для фиксированных значений напряжения
статора и ротора и малых изменений а уравнение электромагнитного
момента превращается в линейное:
Л «Л-------7Т----а. (12-3-13)
Если полагать, что изображает изменение скорости вращения вала по
сравнению с синхронной, то
« = /?</,
283
и синхронная машина может рассматриваться как двухполюсная меха-
ническая компонента, полюсное уравнение которой для малого сигнала
имеет вид:
В,п и Jm — коэффициенты, определяемые механическим демпфированием
и инерцией;
Ф — синхронная скорость.
Чем выше сопротивление статора, тем точнее описывает это уравне-
ние динамические изменения a=pq/. Отметим, однако, что сопротивле-
ние статора влияет лишь на величину Ке в уравнении (12-3-14), но не
изменяет вида уравнения.
В машинах, имеющих подшипники с малым трением, Jm > Вт. Если
принять в качестве первого приближения, что Вт — 0, то переходная со-
ставляющая решения уравнения (12-3-14) имеет вид:
= К sin
где
Машина при этом будет испытывать механические колебания около син-
хронной скорости до тех пор, пока не будут приняты меры для суще-
ственного увеличения коэффициента демпфирования. В то же время
увеличение трения в подшипниках отрицательно сказывается на к. п. д.
машины.
Далее мы увидим, что момент на валу асинхронной машины (ма-
шины с трехфазным статором и n-фазным короткозамкнутым ротором)
равен нулю при синхронной скорости и отличен от нуля при других ско-
ростях. Будет показано, в частности, что при малых отклонениях от
синхронной скорости момент на валу асинхронного двигателя пропор-
ционален переменной dxp'ldt в уравнении (12-3-14). Отсюда вытекает
возможность электрического демпфирования, осуществляемого посред-
ством ряда специальных короткозамкнутых обмоток или фаз на роторе
Е1а практике эти короткозамкнутые фазы состоят из медных стержней,
расположенных в специальных пазах на роторе и соединенных между
собой по концам посредством медных колец.
При рассмотрении асинхронных машин мы увидим, как влияют на
коэффициент демпфирования активное сопротивление и индуктивность
демпфирующей обмотки. Здесь же достаточно уяснить, что такое элек-
трическое демпфирование является возможным. Тогда полюсные урав-
нения реальных синхронных машин, представляемых как двухполюсные
механические компоненты, могут быть аппроксимированы уравнением
следующего вида:
Т= + (Bm + Ве) + -^1 <?' + ДТОФ, (12-3-15)
284
где ---------? представляет изменение скорости вращения вала по отно-
шению к синхронной скорости. Используя это уравнение, следует иметь
в виду те ограничения, при которых аппроксимация является приемлемой.
Все эти сведения о рабочих характеристиках машины были получе-
ны из уравнения момента в установившемся режиме. Рассмотрим те-
перь электрические полюсные характеристики в установившемся режи-
ме, описываемые уравнением (12-3-4), из которого можно получить:
Us = (/?s+ + /Ч£+) ibs + /“ЛХ Л, (12-3-16)
где Us—амплитуда симметричных синусоидальных полюсных напряже-
ний статора. Если Is — амплитуда симметричных синусоидальных фаз-
ных токов статора, а б — фазовый угол между напряжениями и токами,
то ib также можно представить как:
а уравнение (12-3-16) запишется в следующем виде:
= « + + у^<оА+/^(0о+л/2); (12-3-17)
Us = (Я+ + ) /Z+ Ее"*. (12-3-18)
Читатель может убедиться самостоятельно, что мощность в трехфаз-
ной системе при симметричных напряжениях и токах определится как
Л =11 (О 4(011
г (/)
< (0
= 3 COs 3 = 3 (Us) г (Л) .. cosS
2 ' 5'действ ' s'действ
По этой причине коэффициент cos б называют коэффициентом мощно-
сти, а угол б — углом коэффициента мощности.
Форма уравнений (12-3-17) и (12-3-18) особенно удобна для ана-
лиза установившихся режимов, так как она устанавливает в явном виде
связь между амплитудами напряжений и токов статора и фазовым
углом между ними. Эта форма, как мы увидим в следующем параграфе,
удобна также для измерения коэффициентов в полюсных уравнениях
для машин такого типа.
Так как электрическое полюсное уравнение для установившегося
режима (12-3-18) содержит комплексные коэффициенты, оказывается
невозможным изобразить в двух измерениях граф, определяющий по-
люсное напряжение как функцию тока, как это делалось при изучении
полюсных характеристик машин постоянного тока. Вместо этого для
облегчения понимания смысла указанного уравнения иногда пользуют-
ся графическим изображением, называемым векторной диаграммой. Пе-
ременные Us, Ise'\ Ese'a в уравнении (12-3-18) называют векторами.
Соответствующее графическое представление уравнения (12-3-18) для
двух различных режимов работы показано на рис. 12-3-1. Отметим, что
в случае двигательного режима а<0 и —л/2<б<0, в то время как для
генераторного режима а>0 и л/2<б<л. Однако обычно не принято счи-
тать угол коэффициента мощности генератора большим л/2. На прак-
285
тике угол коэффициента мощности генератора отсчитывают от —Us
(угол б'). Таким образом, в соответствии с принятой терминологией
в обоих случаях, представленных на рис. 12-3-1, углы коэффициента
мощности следует рассматривать как отстающие. В связи с тем, что
напряжение фазы А статора было принято за начало отсчета, величина
U- в (12-3-18) является вещественным числом. Однако, если бы это
начало отсчета оказалось неудобным, можно бы было использовать ве-
личину Use y для того, чтобы повернуть всю диаграмму на любой же-
Рис. 12-3-1 Векторная диаграмма, соот-
ветствующая уравнению (12-3-18) при
пренебрежении ветпчнной
а — двигательный режим; б—генераторный
режим.
Генератор
Отстающий
коэффициент
мощности
Опережающий
коэффициент
мощности
Гоператор
Iml5ejS
ДВигатель
Опережающий
коэффициент
мощности
PelsejS
Отстающий
коэффициент
мощности
ДВигатель
Рис. 12-3-2. К опредетению режима ра-
боты машины.
лаемый угол. Важным является лишь относительное расположение век-
торов. Если угол коэффициента мощности отсчитывается от Us, как по-
казано на рис. 12-3-1, различные режимы работы однозначно опреде-
ляются квадрантом, в котором располагается вектор 1&е'\ как показано
на рис. 12-3-2.
12-4. Определение коэффициентов уравнений синхронной машины
по данным лабораторных измерений
Полюсные уравнения машины переменного тока для симметричных
составляющих особенно удобны благодаря тому, что коэффициенты /?+ ,
L+ и L*r могут быть определены непосредственно по лабораторным изме-
рениям. Проектировщик машины может при расчете пользоваться и обычно
пользуется этими коэффициентами. Таким образом, необходимость опреде-
ления коэффициентов собственной и взаимной индуктивности фаз дикту-
ется не только чисто академическим интересом.
Методика измерения коэффициентов основана на полюсном уравнении
(12-3-18), отражающем связь между электрическими величинами в уста-
новившемся режиме. Отметим, что в уравнении содержатся все три коэф-
фициента Lr , L+ и R* и что уравнение соответствует симметричным си-
нусоидальным полюсным напряжениям.
Вообще коэффициенты, входящие в уравнения для
последовательностей, всегда определяются посред-
ством подключения с и м м м е т р и ч н о й системы напря-
жений к многофазной обмотке, а не путем раздельно-
го питания ее фаз. Если не учитывать этой особенности, а также
286
того факта, что в данном случае мы имеем дело не с вещественными,
а с комплексными числами, методика измерения коэффициентов в урав-
нениях для последовательностей остается той же самой, что и для лю-
бых других компонент. Обращаясь вновь к уравнению (12-3-17), мы
имеем.
= « + + (12-4-1)
откуда следует, что если коэффициенты являются постоянными и не за-
висят от токов, то все они могут быть найдены из двух опытов холостого
хода, а именно:
1) из опыта, в котором /ч=0;
2) из опыта, в котором ir=0.
Характеристика холостого хода. Если все фазы статора разомкнуты,
а вал приводится во вращение с синхронной скоростью ы5, то в уравне-
нии (12-4-1) 7s=0 и амплитуда напряжения на любой фазе статора
связана с роторным током следующим соотношением:
где угол момента а равен нулю, так как момент на валу отсутствует.
Снятый экспериментально график зависимости Us от ir имеет вид, пока-
занный на рис. 12-4-1, и называется характеристикой холостого хода.
Так как на практике обычно используются вольтметры, показывающие
действующие значения напряжения, кривая строится в действующих
значениях. Если аппроксимировать эту характеристику прямой линией,
то коэффициент £* будет пропорционален ее наклону. Если характери-
стика, показанная на рис. 12-4-1, снята при G = <os = 377 рад)сек, то
шАг = -2-7Г -----L5------180 ом'
Л+=^=0,477 гн.
s г 377
При определении коэффициентов в уравнениях для последовательно-
стей иногда бывает удобно пользоваться таким масштабом измерения,
при котором номинальное полюсное напряжение (в нашем случае 220|/2 )
принимается за единицу. Ток ротора, обеспечивающий такое напряжение,
также принимается за единицу. Эту систему обычно называют системой
относительных единиц (отн. ед.).
Таким образом, в системе относительных единиц мы имеем:
z + __ V3
— 2 ’
0,002230 отн. ед.
8Г 3/7
Полное сопротивление статора. Полное сопротивление статора опре-
деляется посредством измерения отношения между величинами фазно-
го напряжения и тока в одной из фаз статора, когда все три фазы пи-
таются от симметричной системы трехфазных напряжений. В процессе
этого опыта цепь ротора должна быть разомкнута. Ротор должен быть
287
неподвижен, так как характеристика холостого хода (рис. 12-4-1) не
проходит через начало координат (эффект остаточного намагничива-
ния). Измерения при номинальном напряжении дают:
Л =10 а (действующее значение),
t7s = 220 в (действующее значение),
6 = 84° (ток отстает от напряжения), откуда следует, что
«+ +/«,.L*=-|^=2,3 + ,-21,9 о.ч.
Л+ = 1^9=0,058 гн.
в 377
Если номинальный фазный ток составляет 15 а, то в системе отно-
, 10
сительных единиц Is — — отн. ед. и
* 1
< + ^А+ = 1в^=0,157 + /1,49 отн. ед.,
£+=4^=0,0039 отн. ед.
в 377
В системе относительных единиц порядок величин коэффициентов
остается одним и тем же для машин с самыми различными номиналь-
ными данными, что является преимуществом этой системы.
Рпс. 12-4-1 Характери-
стика холостого хода
синхронной машины.
Рпс. 12-4-2. Соединение фаз
статора для измерения пол-
ного сопротивления нулевой
последовательности
Z°=^t>+jcoL».
Из изложенного выше следует, что методика измерения коэффици-
ентов в уравнениях синхронной машины очень проста, если мы предпо-
лагаем, что эти коэффициенты не зависят от токов. Такая же мето-
дика применима, конечно, для определения коэффициен-
тов R*, L* и в уравнениях любой машины с трехфазным
статором и однофазным ротором независимо от ее назна-
чения.
В полную систему уравнений для машин переменного тока такого
типа входят еще четыре коэффициента: Rr, Lr, и L°. Способ определе-
ния Rr и Lr очевиден. Коэффициенты и £° определяются посредством
измерения полного сопротивления трех фаз статора, соединенных в парал-
лель, как показано на рис. 12-4-2.
В действительности индуктивности зависят от величины полюсных то-
ков, от скорости их изменения или частоты. Например, характеристика
288
холостого хода, приведенная на рис. 12-4-1, показывает изменение L*r
от тока ротора при токе статора, равном нулю. Вообще же £+, £* и LT
являются функциями как ir, так и £,.
Величины индуктивностей, измеренные описанным выше способом,
можно рассматривать как известное приближение, соответствующее ра-
боте с небольшими отклонениями от рабочих точек /8=0 и ir=0 при
номинальной частоте. Во многих случаях желательно использовать чи-
сленные значения коэффициентов, полученные в результате линейной
аппроксимации в области рабочих точек, соответствующих, например,
номинальным величинам Is и ir. Способы измерения индуктивностей при
таких условиях рассмотрены в гл. 13.
12-5. Характеристики асинхронных машин в установившемся режиме
(линейные задачи)
Изучив подробно характеристики синхронных машин в установив-
шемся режиме, получаемые в результате решения полюсных уравнений,
мы переходим теперь к рассмотрению подобных характеристик для
асинхронных машин. Это рассмотрение основывается на свойствах ре-
шения уравнений (12-1-20) и (12-1-21) для установившегося режима при
следующих полюсных условиях:
6 = const или 6 = 6/4-60; (12-5-1)
«+ = 0; (12-5-2)
(12-5-3)
Эти полюсные условия соответствуют постоянной (но не обяза-
тельно синхронной) скорости вращения, короткозамкнутой многофазной
обмотке ротора и симметричным синусодиальным полюсным напряже-
ниям статора положительной последовательности.
Следует отметить, что настоящее изложение может с таким же
успехом основываться и на уравнениях (12-1-28) и (12-1-29). Выбор сде-
лан исключительно в интересах сохранения связи с предыдущими па-
раграфами. Так как в левой части уравнений содержится экспоненци-
альная функция, определенная соотношением (12-5-3), матрица коэффи-
циентов уравнений для установившегося режима найдется путем вычис-
ления вычета при s = j (<os — 6) в преобразованном по Лапласу уравнении
(12-1-20). Полюсные уравнения для последовательностей, описывающие
установившийся режим асинхронной машины, имеют вид:
УЗ ,,
0
/?,+ +1Ч£+ /4£>'е“
ib
(12-5-4)
где wr = ws — 6 называют частотой скольжения. Частота скольжения
связана со скоростью вращения вала соотношением
? = у “г)-
19—1738
289
В интересах упрощения алгебраических выкладок и концентрации внима-
ния на принципиальных положениях мы снова пренебрегаем величиной Д*
в сравнении с шДЛ- Как и в случае синхронной машины, это упрощение
не является обязательным. С учетом указанного упрощения решение урав-
нения (12-5-4) имеет вид:
V3 i”rt
(12-5-5)
1

где
D (» = <oscor [(L+ )2 - L+L+] _|_ h»sL+Rr.
Выражение для электромагнитной составляющей момента на валу
запишется как
. L* .
ТЕ = — Lsr • 2/?1т (ibsi,+e ). (12-5-6)
Из приведенного выше решения следует, что
* 3£72
ibi+ = z;mS М2 (/ШЛ+ Я+ — uL+ L+) eiB°- (12-5-7}
В г 4|£)(jCo)|2 ' т sr г г st Г ' и 1 /
Следовательно,
_ 3 (Lt)2 ZpU* a>rR+
Те=—4 —1 r ---• (12-5-8)
4 “s{“г К^)2- W12 + (W)2}
т. е. момент не зависит от времени и от начального положения вала 60.
Для данной машины при симметричной системе напряжений ста-
тора определенной величины установившийся электромагнитный момент
является функцией лишь частоты скольжения иг. Это становится более
очевидным, если записать уравнение для электромагнитного момента
в следующем виде:
е~ К^г + К3(^):
(12-5-9)
где
_3(ДД)з2/^
1 .2
4о>
^=[(£+г)!-ВД!;
(^)2-
На рис. 12-5-1 представлена зависимость электромагнитного момента
от частоты скольжения шг и от скорости вращения вала 6 для двух
различных величин сопротивления ротора. Пересечение кривой
с осью моментов определяет величину момента, развиваемого неподвиж-
ным двигателем, или пускового момента.
Здесь следует отметить ряд интересных свойств рассматриваемой ха-
рактеристики. Во-первых, в некотором диапазоне скоростей около точки
290
О)г = 0 можно пренебречь коэффициентом <о^К2 по сравнению с K3(R.+)2
В этом случае зависимость момента от скорости выразится прямой ли-
нией:
= = (12-5-10)
K3Rr
и машина может быть представлена двухполюсной механической компо-
нентой, описываемой одноэлементным полюсным графом и линейным
полюсным уравнением вида:
+ (12-5-11)
С точки зрения проектирования машины важно отметить, что ли-
нейная зона расширяется при увеличении сопротивления ротора. С дру-
гой стороны, если скорость вращения вала должна как можно меньше
Рис. 12-5-1. Механические характеристики асинхронной ма-
шины при питании статора синусоидальным напряжением
постоянной величины.
зависеть от нагрузки, при расчете следует принимать возможно мень-
шую величину сопротивления ротора Большинство асинхронных машин
спроектировано с учетом этого последнего требования.
Уравнение (12-5-10) можно также переписать в виде
Te = pKi(^ = В#',
где <?' обозначает изменение скорости вращения вала по отношению к син-
хронной скорости. Коэффициент
3(£+)Ч2/0^
Яе~рЛ4 — 8<о2(2.+)2₽+
является коэффициентом электрического демпфирования, введенным
при рассмотрении в § 12-3 характеристик синхронной машины. Там же
было отмечено, что для демпфирования механических колебаний на ро-
торе может быть помещена дополнительная система короткозамкнутых
обмоток. Из результата, полученного выше, очевидно, что эффективность
таких демпфирующих обмоток возрастает при приближении к нулю их
сопротивления.
Из рис. 12-5-1 следует, что при увеличении частоты скольжения от
нуля момент достигает максимума. Продифференцировав уравнение
19*
291
(12-5-9) no (or и приравняв производную нулю, получаем, что максимум
момента соответствует следующей частоте скольжения:
' Кг •
(12-5-12)
Рис. 12-5-2. Зависимость тока
статора и коэффициента мощ-
ности машины от частоты
скольжения.
Таким образом, характеристика симметрична относительно точки wr = 0.
Подстановка двух значений со,- из урав-
нения (12-5-12) в уравнение (12-5-9) позво-
ляет найти величину максимального мо-
мента:
^вмакс = рг^-—-• (12-5-13)
V 2КгКг
Максимальный момент часто называют кри-
тическим. Это название связано с тем об-
стоятельством, что при увеличении тормоз-
ного момента от нуля до максимума часто-
та скольжения также увеличивается (ско-
рость вращения уменьшается), а при пере-
ходе момента через максимум машина оста-
навливается. Для возобновления работы
момент на валу должен быть снижен до
величины пускового момента.
Из полученных выше результатов сле-
дует, что в пределах допущений, использо-
ванных при анализе, максимальный момент
не зависит от сопротивления ротора. По-
следнее влияет лишь на частоту скольже-
ния, соответствующую максимальному моменту. С другой стороны, из
выражения для Д, следует, что максимальный момент прямо пропор-
ционален отношению Таким образом, в пределах, допускаемых
изоляцией и перегревом, критический момент может быть увеличен либо
за счет повышения напряжения, либо за счет снижения частоты. Однако
в связи с тем, что большинство параметров, принятых при выводе урав-
нения момента постоянными, в действительности зависят от частоты,
уравнение (12-5-9) не позволяет учесть количественно влияние измене-
ния частоты на момент. Вернемся к характеристикам, связывающим
электрические величины. Из уравнения (12-5-5) имеем:
ib
Яг+ + /»,
£>(/«)
/з ,, /<»,* Vз . ц i<“rt
-^Use /Уе
(12-5-14)
где

----------‘----r-~7 - U,.
». (о>гКг + jL+R+ )
(12-5-15)
Графики зависимостей фазного тока Д и коэффициента мощности
cos б от частоты скольжения а>г представлены на рис. 12-5-2. На этом
рисунке при положительном коэффициенте мощности —л/2<б<0, а при
отрицательном л<б<Зл/2.
Роторный ток определяется вторым уравнением в (12-5-5). Знание
величины роторного тока важно с точки зрения расчета машины, так
292
как температура ротора не должна превышать определенную величину.
Однако, как компонента системы, асинхронная машина связана с други-
ми компонентами лишь через зажимы статора и через вал, в силу чего
роторный ток не представляет интереса и в дальнейшем не рассматри-
вается.
12-6. Определение коэффициентов уравнений асинхронной машины
по данным лабораторных измерений
Фазный ротор. При расмотрении методики измерения коэффициен-
тов в уравнениях асинхронной машины целесообразно начать со случая,
когда машина имеет трехфазные обмотки как на статоре, так и на рото-
ре. Если к ротору и статору приложены симметричные синусоидальные
напряжения положительной последовательности и частоты со., (ротор
заторможен), то уравнения для установившегося режима имеют вид:

R* + jv>sL*
(12-6-1)
Заметим, что мы имеем по одному уравнению для каждой системы по-
люсов — одно для полюсов ротора и одно для полюсов статора.
Элементы матрицы коэффициентов в уравнении (12-6-1) могут быть
определены поочередно путем приравнивания нулю одного из токов, что
осуществляется посредством размыкания всех (а не одной) фаз статора
или ротора. Во всем остальном методика измерения коэффициентов
уравнений для последовательностей не отличается от методики опреде-
ления параметров холостого хода для любой четырехполюсной компо-
ненты. Пусть, например, обмотки ротора разомкнуты, а к фазам статора
приложены симметричные напряжения. Если Us и Л—-напряжение и
ток одной фазы статора, a Ps — мощность, измеренная в той же фазе,
то
где
|/?,+ + /«А+1 = 7Г> (12-6-3)
Аналогично, если Ur — напряжение на одной из фаз ротора, то
<osL+=^. ’ (12-6-4)
Остальные коэффициенты могут быть найдены посредством размы-
кания фаз статора и приложения симметричной системы напряжений
к ротору.
Короткозамкнутый ротор. В тех случаях, когда переменное сопро-
тивление ротора не является обязательным, в целях уменьшения стои-
мости изготовления асинхронных машин применяют обмотку типа бе-
личьего колеса. Обмотки такого типа изготовляются посредством залив-
293
кп расплавленной меди или алюминия в форму, содержащую пластины
ротора. На рис. 12-6-1 изображено типичное беличье колесо без пластин.
При такой конструкции обмотки удается не только снизить стоимость,
но и получить более низкое сопротивление ротора. Если колесо симмет-
рично, то такая обмотка подходит под определение симметричной об-
мотки. Следовательно, полюсные уравнения
машины не отличаются от уравнений (12-6-1).
Однако способ измерения коэффициентов, ис-
пользованный для машины с фазным рото-
ром, в данном случае не применим, так как
полюсы ротора не выведены наружу. По этой
Рпс. 12-6-1. Типичная обмот-
ка ротора типа «беличье
колесо».
причине полюсные характеристики должны
определяться лишь по данным измерений на
полюсах статора.
Для того чтобы показать, как это может
быть сделано, рассмотрим свойства решения
уравнений (12-5-4). Из уравнений (12-5-5) следует, что решения отно-
сительно токов могут быть представлены в следующем виде:
ь
i
/ 3 г it>s
е
(12-6-5)
i+r = , (12-6-6)
где коэффициенты Це ‘ и Це г определяются из уравнений,
щихся в результате подстановки выражений (12-6-5) и (12-6-6)
ние (12-5-4):
получаю-
в уравне-
Us
R* -j- /iosLe+
Це*'
(12-6-7)
О

Дг
Последнее \ равнение умножено на отношение юя/(ог, благодаря чему
получена симметричная матрица коэффициентов.
Измерения, проводимые лишь на полюсах статора короткозамкну-
того асинхронного двигателя, осложняются тем фактом, что разность
L+L+ — (L+ )2
а г ' sr '
(12-6-8)
мала по сравнению с величинами и (ТЛ)2. Эта разность (12-6-8)
тем меньше, чем меньше воздушный зазор между ротором и статором.
Если обозначить

(12-6-9)
то сформулированное выше положение может быть записано в виде двух
неравенств
L+ — nL+
s sr
s
(12-6-10)

п
(12-6-11)
294
Так как индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа вит-
ков, а и2 представляет собой отношение двух индуктивностей, то посто-
янную п можно рассматривать как «эффективное» отношение чисел вит-
ков ротора и статора. Действительно, если бы ротор имел не беличье
колесо, а трехфазную обмотку, то п являлось бы отношением чисел вит-
ков статорной и роторной фаз. Мы не можем определить величину L*,
гак как не можем измерить п. Однако это не вызывает затруднений
благодаря тому, что знание истинной величины п не тре-
буется для проводимого анализа.
Поставим задачу так преобразовать матрицу коэффициентов в урав
нении (12-6-7) путем добавления к ней строк и столбцов, чтобы малые
разности, содержащиеся в неравенствах (12-6-10) и (12-6-11), оказались
в ней коэффициентами. Для этого умножим второе уравнение на —п и
прибавим к нему первое уравнение. Тогда уравнение (12-6-7) приобре-
тает вид-
Us
Us
R*+KL+ j»sL+
Rs + /®,hr — « R+— inJrsH
he^
he1*' ’
(12-6-12)
где
L+ — nL+;
8 БГ
(12-6-13)
(12-6-14)
Выполненные преобразования эквивалентны умножению уравнения слева
на матрицу преобразования
1 0
1 —п
(12-6-15)
Отметим, что члены с малыми разностями располагаются в послед-
ней строке уравнения (12-6-12). При умножении матрицы коэффициен-
тов справа на транспонированную матриц)' преобразования аналогичные
разностные члены будут располагаться в последнем столбце. Этот слу-
чай соответствует следующей замене переменных. Пусть
he
1ге
, 'ъ*
he
h*y
(12-6-16)

в
1 1
0 —п
При подстановке (12-6-16) в уравнение (12-6-12) получим
уравнений вида
новую систему
U&
Us
R+ -Д iwstsr
Д+4“Re~\~
(12-6-17)
h/y
где
Де = Д+ + ^-^/?г+;
-- 1st ! ГS*
295
Связь между независимыми переменными в этой новой системе урав-
нений и переменными статора и ротора определяется по уравнению (12-6-16):

/8.
1
n
1
n
/Z'
Ire1'
(12-6-18}
1
О

Из экспериментов следует, что L является функцией тока /х, тогда1
как все остальные индуктивности практически не зависят от величины
токов. По этой причине 1хе х называют комплексным намагничиваю-
щим током. Далее будет показано, что момент на валу пропорционален
/у, поэтому 1уе иногда называют моментной составляющей тока.
Рис. 12-6-2. Т-образная эквивалентная схе-
ма для уравнения (12-6-17).
На рис. 12-6-2 изображена
электрическая цепь из двухполюс-
ных составляющих, называемая
эквивалентной схемой и имею-
щая контурные уравнения, ана-
логичные уравнениям (12-6-17),
Разумеется, что эквивалентная
схема не содержит никаких све-
дений, кроме тех, которые заклю-
чены в представляемых ею урав-
нениях. Однако эквивалентная схема иногда бывает полезна, так как
делает решение уравнений более наглядным.
Коэффициенты lsr и lrs в уравнении (12-6-17) называют индуктивно-
стями рассеяния. Использование индуктивностей рассеяния в полюсных
уравнениях представляется теоретически оправданным, так как в отличие
от L , L* и L! они представляют собой разность двух нелинейных чле-
нов и в силу этого практически не зависят от Д и /г. Кроме того, ин-
дуктивности рассеяния в короткозамкнутой асинхронной машине могут
быть измерены с достаточной точностью, тогда как другие индуктивные
коэффициенты вообще не поддаются измерению. При выполнении всех не-
обходимых расчетов мы никогда не нуждаемся в знании величины п. Обо-
снованность метода измерений определяется тем, что разность L* —nL^r
мала по сравнению с /Л. Измерения осуществляются путем проведения
двух стандартных опытов — опыта короткого замыкания и опыта
синхронного вращения или холостого хода. Условия проведения этих
опытов вытекают из вида уравнений (12-6-17) или эквивалентной схемы
(рис. 12-6-2).
Опыт короткого замыкания. При заторможенном роторе 6 = 0
асинхронный двигатель может рассматриваться как трехфазный коротко-
замкнутый трансформатор. При этих условиях с достаточно хорошим
приближением можно полагать, что
/хл=//-+4^^о.
(12-6-19).
Достаточная малость этой переменной очевидна из следующих соображе-
ний. Из уравнения (12-6-7) следует, что при
<Or = “s — б = ®3
296
и
Но
he’*'
he'*'
(12-6-20)
(l/«) Ll
- i^Ltr
he
(12-6-21)
Используя приведенное выше допущение, получаем из второго урав-
нения в (12-6-17), что
C7e~(/?e-H«»A)/Z*'- (12-6-22)
С учетом соотношения
Г Jr A _ г Jh
Ii,e — п е — I se
уравнение (12-6-22) запишется в виде
Us~(Re + faLe)Ise\ (12-6-23)
Отметим, что этот результат соответствует полному входному со-
противлению эквивалентной схемы (рис. 12-6-2) при (or=cos и при пре-
небрежении током, протекающим в средней ветви. Следовательно, те же
условия опыта могут быть получены из рассмотрения эквивалентной
схемы.
Величины Re и wsLe определяются путем измерения напряжения,
тока и угла коэффициента мощности на одной фазе статора при пита-
нии всех трех фаз симметричными полюсными напряжениями. Опыт
короткого замыкания позволяет определить лишь следующие величины:
Re = R±-\-nsR*; (12-6-24)
Le = lsr + n4rs. (12-6-25)
Измерения на полюсах статора не дают возможности найти значе-
ния lsr и n2lrs по отдельности. Однако с учетом того, что
получаем:
lsr = n4rs=^. ' (12-6-26)
Опыт короткого замыкания не позволяет также определить величины
и n2R* по отдельности. Как мы увидим дальше, если бы индуктив-
ность L+ не зависела от величины тока статора, величину R* можно
было бы определить из опыта синхронного вращения, описанного ниже.
Однако, учитывая, что это не так и что целесообразно пользоваться ве-
личинами коэффициентов, соответствующими режиму работы, опыт ко-
роткого замыкания обычно проводят при токе, близком к номинальному.
297
Соответствующие напряжения статора при этом оказываются
обычно весьма малыми по сравнению с номинальным напряжением. Ве-
личину сопротивления статора 7?s при 60 гц обычно принимают на 25%
больше той, которая получается при измерении на постоянном токе. Эта
разница учитывает возрастание сопротивления с частотой за счет поверх-
ностного эффекта. С учетом такого допущения величины R* и n2R* мо-
гут быть определены порознь из опыта короткого замыкания. В промыш-
ленных машинах обычно можно с достаточной точностью считать, что
R+=n2R+.
S Г
Опыт синхронного вращения. Если ротор приводится во вращение
с синхронной скоростью, то ior=<os—0=0, и, как очевидно из эквива-
лентной схемы (рис. 12-6-2) или из уравнений (12-6-7) или (12-6-17),
ток ротора также равен нулю. При этих условиях независимые перемен-
ные в уравнениях (12-6-17) связаны с фазными токами статора следую-
щими соотношениями:
7^ = -^Л=0; (12-6-27)
Ixe х = Iseis + е*' = Ise . (12-6-28)
Из первого уравнения в (12-6-17) получим, что
U* = + 4ls+) /.еЪ‘ . (12-6-29)
Следовательно, измеряя напряжение и ток статора и угол между ними
при вращении ротора с синхронной скоростью, можно определить осталь-
ные коэффициенты в уравнениях (12-6 7) На практике этот опыт обыч-
Рис 12-6-3. Типичная форма
установившихся напряжения и
тока статора.
но проводят при вращении машины
вхолостую и при номинальных на-
Рис 12-6-4. Типичные характеристики
7s is-
пряжениях, приложенных к статору.
Если сопротивление ротора, трение
в подшипниках и сопротивление воз-
духа охлаждающему вентилятору
достаточно малы, то ротор будет вращаться со скоростью, близкой
к синхронной. Опыт, проводимый таким образом, называют опытом хо-
лостого хода или вращения вхолостую.
Нелинейные эффекты. В предыдущем изложении мы предполагали,
что полюсные уравнения являются линейными. Если изобразить зависи-
мость фазного тока статора при синусоидальном напряжении от време-
ни, то окажется, что эта кривая, примерный вид которой показан на
298
рис. 12-6-3, содержит значительный процент третьих гармоник. Здесь
было бы логичным спросить, что же мы понимаем под углом коэффици-
ента мощности для двух таких функций времени. Прежде чем попытать-
ся ответить на этот вопрос, рассмотрим графики зависимости от тока
временного интеграла фазного напряжения. Если обозначить
t
о
то типичное семейство характеристик XS(Z)—is(t) для данной частоты и
при трех различных значениях Us имеет вид, представленный на
рис. 12-6-4. В общем случае ширина петли гистерезиса растет с увеличе-
нием частоты. Если бы петли гистерезиса на рис. 12-6-4 имели эллипти-
ческую форму, то п р и любой заданной ч а ст о т е и напря-
жении Us ток являлся бы синусоидальной функцией
времени, а его амплитуда и угол коэффициента мощности определя-
лись бы уравнением, подобным уравнению (12-6-29). Однако как /?s+, так
и L* являются функциями Иs и Чтобы подчеркнуть это обстоятель-
ство, перепишем уравнение (12-6-29) в следующем виде:
Us = [/?+ (Hs, ш6) 4- jw.L+(Us, шв)] Л = « + i^(UK, ш,)]Л,
(12-6-30)
где /2R*—потери в меди статора, a 7~Ril(Us, »«)— потери в ста-
ли, прямо пропорциональные площади петли гистерезиса. Отметим, что
R+ = R+, если R* измерено в опыте короткого замыкания, тогда как
R+ — R при измерении в опыте синхронного вращения.
Когда мы говорим, что величина и фазовый угол напряжений ста-
тора связаны уравнением с комплексными коэффициентами приведенно-
го выше вида, мы подразумеваем эллиптическую аппроксимацию харак-
теристики —<‘s (линейную аппроксимацию зависимости и is). По-
скольку напряжения статора не слишком высоки, форма тока искажает-
ся не очень сильно и эллиптическая аппроксимация дает удовлетвори-
тельные результаты.
Наиболее распространенный на практике способ измерения сопро-
тивлений и индуктивностей статора для больших машин основан на из-
мерении действующих значений напряжений, токов и средней мощности
(с помощью ваттметра). Величины R* и OJST*, рассчитанные по этим
измерениям, соответствуют аппроксимации петли гистерезиса эллипсом,
имеющим такую же площадь. Так как подобные машины в нормальных
условиях работают при определенной частоте и при напряжении, близ-
ком к номинальному, опыт холостого хода обычно проводится при но-
минальном напряжении. При использовании эфективного сопротивления
для учета конечной ширины характеристики Л.,—is полюсные уравнения
для установившегося режима (12-6-17) приобретают вид;
Us
Us
Rc ja>Jsr Re-{-
/J*
l/v
(12-6-31)
где Re=R^ -\~n2R+ и Le = lsr-\~n2lrs измеряются при заторможенном
роторе, a ^-\-R^ и L*— при синхронном вращении. Читателю пре-
299
доставляется возможность показать, что эквивалентная схема также мо-
жет быть изменена с целью включения в нее коэффициента R*.
При изучении характеристик короткозамкнутой асинхронной маши-
ны как изолированного устройства (работа при известных напряжени-
ях статора) эквивалентная схема или полюсные уравнения, содержащие
индуктивности рассеяния (12-6-17), являются удобными. Однако при
введении переменной 1хе,Ъх теряется общность с предыдущим изложе-
нием в выражении переменных статора. Поэтому эту форму уравнений
трудно использовать, когда машина работает в системе. В последнем
случае применяется несколько измененная форма уравнений для поло-
жительной последовательности.
Умножим второе уравнение в (11-7-10) на п и заменим ток ротора
переменной 1+[п. Тогда уравнения для короткозамкнутой асинхронной
машины запишутся как
и +
8
о
/?+4-£+4 4r(nL+eie)
я 1 8 at at ' er '
-£-(nL+e~iB) nsR++ n2Lr^r
at 4 sr ' r * 1 at
Te = — nL+ -2plm[ i + ‘r j6
<r \ ‘ n
(12-6-32)
(12-6-33)
В связи с тем, что каких-либо внешних соединений с короткозамкну-
тым ротором не существует, умножение i* на 1/п не имеет значения.
Вычисление коэффициентов в уравнении (12-6-32) иллюстрируется следую-
щим примером.
Пример 12-6-1. В результате измерений, проведенных на трехфазной асинхрон-
ной машине, получены следующие данные.
Опыт холостого хода Ротор вращался вхолостую, к статору было прило-
жено симметричное трехфазное напряжение. Измерения для одной фазы дали (практи-
чески обычно измерения проводятся на всех трех фазах и в расчете используется сред-
няя величина):
1/,=440 в (номинальная величина);
/.= 2,0 а-
Р= 20 вт.
Опыт короткого замыкания. При заторможенном роторе и симметрич-
ном трехфазном напряжении, приложенном к статору, измерения для одной фазы дали:
/7,=44 в;
/,= 10 а (номинальная величина);
Р=70 вт
Используя эти данные, необходимо:
1. Определить коэффициенты в уравнениях (12-6-17)
2. Найти удобную систему численного выражения коэффициентов уравнений для
последовательностей. Эти уравнения используются при 'изучении переходных процессов.
Для опыта холостого хода в соответствии с уравнением (12-6 31) имеем:
300
Следовательно, коэффициенты, расположенные на пересечении первой строки
и первого столбца в матрице коэффициентов уравнения (12-6-17), определяются как
Р 20
—ж = = 5 ом;
/2Г 4
440/2 = 220 ом.
В относительной системе единиц номинальные напряжение, ток и полная мощ-
ность (в действующих значениях) приняты за единицу. Тогда
4,5-10-’
—— = 0,112 отн. ед.;
~ q—q = 5 отн. ед.
В рассматриваемом случае в величину R* + RJ
ческое трение и потери на трение ротора о воздух,
во вращение извне. При опыте холостого хода
/х^0,
и коэффициент R? на пересечении второй строки
(12-6-17) определится как
(12-6-34)
входят также потери на механи-
так как машина не приводнтся-
и второго столбца в уравнении
, Р 70
Re + Rs+ + = = ом
1S
= 0,016 отн. ед,,
R+^s/isR+ =а0,35 ом = 0,008 отн. ед.;
Коэффициент, связанный с индуктивностями рассеяния, равен:
Us 44
«X =<asler + “sn4re=-j^^-jQ =4,4 ом = 0,1 отн. ед.
4>J,T^,<i>enslrB = 2,2 ол=0,05 отн. ед,
Из определений индуктивности, выраженных соотношениями (12-6-13) и (12-6-14) сле-
дует, что
— 220 — 2,4 = 217,6 ом = 4,95 отн. ед.;
<os«2Z.+ = ч>апЧтв + <osnl+ = 217,6 + 2.4 = 220 ом = 5 отн. ед.
В связи с отсутствием способов определения п полюсные уравнения для положитель-
ной последовательности записываются в
имеем!
форме уравнений
(12-6-32). При <0 = 377
d
0,35 + 0.584^-
0,577-^- е'й
d
0,577-.7 е~1Ъ
dt
d
0,35 + 0,584^7
(12-6-35)
Ге= —0,577-2р Im
;+ - —- z,—78
« П

0
где все коэффициенты

п
выражены в стандартных единицах — омах и генри.
При необходимости иметь лишь рабочие характеристики для уста-
новившегося режима нет надобности возвращаться к первоначальному
виду уравнений для последовательностей. Все характеристики с доста-
301
точно хорошей точностью могут быть определены непосредственно из
уравнений (12-6-17). Выражение для момента на валу в функции пе-
ременных, входящих в это уравнение, получается из уравнений (12-5-6).
Если напряжения статора симметричны, то установившиеся составляю-
щие г* и i+ в этих уравнениях запишутся как
(12-6-36)
а уравнение для момента приобретает вид:
,Te=-~L;r2p\m(Ise V^r)
или, при выражении через переменные, определенные в (12-6-16),
Те = - 4 nL;r 2д!ш [ (/ХЛ +/Z* ) Л* Ч
(12-6-37}
Момент на валу может теперь быть представлен как функция лишь
1и. Из уравнения (12-6-17) имеем:
Ле
X
/COS (Ls lsr)
(12-6-38)
Подстановка (12-6-38) в. уравнение (12-6-37) дает выражение для момента
на вал}7 как функции 1р.
Те= — (п2 ^R+']f . (12-6-39)
е 4 <а, I «г > / « '
Механическая мощность на валу определится как
л- л. 1 I , 3 СО <0 . 2 /2
Рв = Тр? = Те-(и>* — ч>г) = — ~2 —%,) ]v
или при использовании действующего значения 1р.
ps = Te<? = -3 (n2R^) (Л )Действ. (12-6-40)
Из этих уравнений следует, что механическая мощность или момент,
развиваемый асинхронной машиной, прямо пропорционален омическим по-
терям в роторной цепи.
Пример 12-6-2. Для асинхронной машины предыдущего примера рассчитать
мощность в установившемся режиме, если частота скольжения составляет одни про-
цент от асинхронной скорости. Двигатель четырехполюсный, к его статору приложено
симметричное трехфазное напряжение 440 в при частоте 60 гц. При заданной скорости
вращения частота скольжения
юг=0,01 -377
и мощность на валу
1—0,01 , 9
T’s =7'с <р = — 3 Q Q] дуу — 377-0,008 (/^,)деПств = 3-0,792 (/у )деПств •
302
Решая уравнение (12-6-17) относительно /и при ws'<or = lCG, получаем:
ц (0.112 + /5) — (0.008+ 70,05) гг ir
1«с (0,112 +/5) (0,808 +/0,1) — (0,008+/0,05)s — 1,210 ;0 145 отн’ ед
или (/2 )= 1,498 (в действующих значениях). Тогда мощность на валу
Te<f = — 3-0,792-1,498 = — 354 отн. ед. = — 15 600 вт.
12-7. Выводы
Изучая решения уравнений для установившихся режимов при сим-
метричных полюсных напряжениях и способы измерения коэффициентов
в уравнениях, читатель может утратить перспективу. Столь подробное
рассмотрение характеристик для установившихся режимов объясняется
двумя причинами. Во-первых, эти характеристики, являясь «нормаль-
ными» полюсными характеристиками, дают по крайней мере качествен-
ное представление о том, чего можно ожидать от такого устройства при
включении его в систему в качестве компоненты. Как уже было отмече-
но в предыдущей главе, такое представление является весьма важным
при конструировании системы из элементов, удовлетворяющих опреде-
ленным требованиям. Во-вторых, характеристики для установившихся
режимов служат удобной основой для измерения большинства электри-
ческих коэффициентов в полюсных уравнениях.
Если не считать этих деталей, сами полюсные уравнения машин пе-
ременного тока, приведенные в выводах к гл. 11, имеют важное и пер-
спективное значение. Если скорость вращения вала постоянна, эти урав-
нения путем подстановки
(0 = е-уЧ+(0,

где
е = ё( + е0,
могут быть сведены к системе дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами, общин вид которых приведен в (12-7-1) (12-7-4):
(0
ТрехсЬазный статор и п-фазный ротор
R° 0 0 0
я в at
о w(4+/’)) о
о о 0
о 0
№
?(0
(12-7-1)
303
T(t) = - L+r-2pIm[? (О ?(0 e~'e“ ] + (в +J±\ '<f (t). (12-7-2)
В случае симметричного ротора типа беличьей клетки напряжения ротора
всех последовательностей всегда равны нулю, и токи ротора всех после-
довательностей за исключением i (t) и i (/) = i (t) также равны ну-
лю при всех условиях. В общем случае полюсные уравнения для трехфаз-
ного ротора и статора должны, конечно, включать в себя уравнения для
нулевой последовательности.
Трехфазный статор и однофазный ротор
T(t) = - L'ZpXxa [if(/) e~iB°ir (/)] + (в +•?£)<? (0 (12-7-4)
Эти уравнения применимы к большинству практически используе-
мых машин переменного тока, включая однофазные короткозамкнутые
асинхронные двигатели и машины с полым ротором. В однофазных асин-
хронных двигателях используется лишь одна обмотка на статоре. По-
люсные характеристики для этого случая можно получить из уравне-
ний (12-7-3) и (12-7-4) при простой перестановке индексов $ иг.
Машина с полым ротором показана в разрезе на рис. 12-7-1. Это
устройство может рассматриваться как короткозамкнутый асинхронный
двигатель, в котором беличье колесо размещено не в ферромагнитном
роторе, а закреплено непосредственно на валу Ферромагнитная же часть
элемента, называемого в обычной машине ротором, закреплена на ста-
нине, как показано на рис. 12-7-1. Так как на валу закреплено одно лишь
304
Ферромагнитный
Рис. 12-7-1. Двигатель
с полным ротором.
того, который деталь-
колесо, необходимость в его перфорации отпадает, в результате чего
оно приобретает вид полого цилиндра или стакана. Очевидно, такая
конструкция позволяет существенно уменьшить механическую инерцию.
Однако отметим, что при этом значительно увеличивается эффективный
воздушный зазор, в который теперь входит стенка стакана и простран-
ство с обеих ее сторон.
Желая получить полюсные уравнения машины с полым ротором, за-
метим, что при выводе уравнений (12-7-1) не было наложено каких-либо
ограничений на число стержней, которые может иметь беличье колесо.
При увеличении числа стержней в колесе его структура постепенно ста-
новится сплошной. Таким образом, все характеристики для машины
с полым ротором также могут быть получены из
уравнений (12-7-1) и (12-7-2).
Важно отчетливо представлять себе, что хотя
весь материал настоящей главы относится глав-
ным образом к характеристикам для установив-
шегося режима при симметричных питающих
напряжениях, приведенные выше полюсные
уравнения выражают общие полюсные характе-
ристики, справедливые как для установившихся,
так и для переходных режимов при симметрич-
ных или несимметричных полюсных напряже-
ниях.
Независимо от типа машины или способа
питания ход анализа ее работы не отличается от
но рассмотрен в настоящей главе применительно к трехфазной асин-
хронной и синхронной машине. Хотя детальное рассмотрение характе-
ристик других устройств, таких, например, как широко распространен-
ный однофазный асинхронный двигатель, и представляет немалый
интерес, оно не дает ничего нового с точки зрения методов анализа.
В настоящей главе не ставилось цели исследовать полюсные характери-
стики всех возможных машин переменного тока. Здесь излагался лишь
метод проведения таких исследований.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущей главе рассматривались методы решения линейных
полюсных уравнений машин переменного тока для установившихся и
переходных режимов, а также способы измерения коэффициентов в об-
ласти нулевых токов. В общем случае полюсные уравнения машин пере-
менного тока могут быть нелинейными по следующим причинам (или
по одной из этих причин):
1. Индуктивности являются функциями независимых переменных.
2 Скорость вращения вала непостоянна, в результате чего момент
и напряжение не являются линейными функциями тока и скорости.
В первой части настоящей главы мы рассмотрим способы измерения
индуктивностей как функций токов, сопровождая это кратким изложени-
ем графических методов решения нелинейных уравнений для установив-
шегося режима.
Во второй части этой главы излагаются способы представления не-
линейных полюсных уравнений в форме, удобной для их решения на
цифровых вычислительных машинах, а также приводится пример реше-
ния, описывающего переходный процесс изменения скорости.
20—1738
305
13-1. Измерение нелинейных индуктивных коэффициентов
для синхронных машин
Индуктивные коэффициенты в полюсных уравнениях машин пере-
менного тока, как и в случае любого ферромагнитного индуктора, явля-
ются функциями токов и частоты. При установившемся режиме работы
частота задана, однако величины токов как ротора, так и статора могут
изменяться, и поэтому желательно знать зависимость от токов «величин
L+ и L+ в полюсных уравнениях. В машинах постоянного тока индуктив"
ность обмотки возбуждения и взаимная индуктивность обмоток возбуж-
дения и якоря являются функциями лишь тока возбуждения и практи-
чески не зависят от тока якоря. В машинах переменного тока задача
существенно осложняется, так как L*, L* и Lr являются функциями двух
токов —ротора и статора. Характеристика холостого хода (рис. 12-4-1)
показывает зависимость L* от тока ротора при токе статора, равном
нулю. Численные значения индуктивностей, найденные для рабочих точек,
отличных от нуля, иногда называют „ насыщенными “ значениями индук-
тивностей.
Одним из важных примеров того, как линейный анализ может при-
водить к серьезным ошибкам, является синхронная машина. Этот при-
мер используется в качестве основы для изложения методов измерения
индуктивных коэффициентов как функций токов.
Регулировочные характеристики. Рассмотрим вначале графики
зависимости тока ротора iT от величины статорного тока /s при фикси-
рованных значениях напряжения статора Us и угла коэффициента мощ-
ности б. Из уравнения (12-3-17) следует, что
-^o>sL+r iTeia = Eseia = Us - (R* +1^)1 se‘\ (13-1-1)
Г о
В большинстве машин значительной мощности R* < “sb*, благодаря
чему можно пренебречь величиной R* в уравнении (13-1-1) при измерении
других коэффициентов. С учетом этого допущения выражение в правой
части уравнения (13-1-1) достигает максимума при 3 = ztir/2:
—Es — US + «>SL:/S (13-1-2)
Г о
при s = -|-;
n
— cosl+zr = £'s = t7s — <nsL*/s (13-1-3)
V
t к
при 8 =-------
Оба этих условия соответствуют работе машины на границе между
двигательным и генераторным режимами. Такой режим можно назвать
режимом нулевого коэффициента мощности. Нулевой коэффициент
мощности реализуется практически при подключении к каждой фазе
статора конденсатора или катушки индуктивности. Семейство кривых,
показывающих зависимость ir от ls при постоянном Us и нескольких
306
значениях 6, приведено на рис. 13-1-1. Эти кривые построены по уравне-
нию
. U„ — jasL*Iseii
!Р -------------------
(13-1-4)
При 8 = it 90° и постоянных величинах —это уравнение дает прямые
sr
V,
линии, пересекающиеся с осью tT в точке —Г+" И имеющ'ие на*
L*
клон it — + ' Регулировочные характеристики, снятые при нулевой
мощности, используются как основа для измерения коэффициентов
и L+ в уравнениях синхронной машины. Отметим, однако, что
могут являться функциями Is и 1Т, а экспериментальные кривые не
Уз Lt
жут этого, так как их наклон определяется отношением —-----
Чг
и L+ST
пока-
Кри-
вые на рис. 13-1-1 являются типичным примером экспериментальных кри-
вых, и на этом основании мы делаем вывод, что отношение —— не за-
Lsr
висит от тока. Таким образом, изменения L* и L* при изменении то-
ков /s и ir являются идентичными.
Рис. 13-1-1. Типичные
регулировочные ха-
рактеристики для син-
хронных машин.
Рассмотрим далее зависимость напряжения статора Us от тока ста-
тора Is при фиксированных значениях тока ротора ir и угла момента а.
Так как угол а зависит как от ls, так и от 6, эта кривая, носящая назва-
ние внешней характеристики, наиболее просто
определяется графически. Способ построения оче-
виден из рис. 13-1-2 и уравнения (13-1-1). Как и
прежде, пренебрегаем для простоты величиной R*,
что дает:
Us = Eseia-\- (j^L+jlse1*. (13-1-5)
При построении внешней характеристики, обозна-
ченной на рис. 13-1-3 «cos 6 = 0,8 отст.», величина Es
была выбрана равной 300 в. Угол коэффициента
мощности, соответствующий cos 6 = —0,8, состав-
ляет, очевидно, 6=143,1°. В соответствии с уравне-
нием (13-1-5) две стороны и угол треугольника на
рис. 13-1-2 находятся для любой заданной величины
тока нагрузки Is. Следовательно, величина Us определяется графически
путем замыкания треугольника. Повторяя такие операции для несколь-
ких значений тока нагрузки, получаем кривую, обозначенную «cos 6=
= 0,8 отст». Выполнение соответствующих построений для различных
углов коэффициента мощности позволяет получить семейство характе-
ристик, показанное на рис. 13-1-3. Снятая в лаборатории характери-
стика, соответствующая нулевому коэффициенту мощности (6= ±90°),
может быть, конечно, использована как основа для определения коэф-
20*
307
фициентов <osL^ и tu«£s+r- В этом случае пересечение кривой с осью Us
определит величину (2/^Лз) a>sL*rir, а наклон выразится как ±о>5£*.
Однако экспериментально снятые кривые, как правило, не являются пря-
мыми линиями (рис. 13-1-4), что свидетельствует о зависимости £s+ от /6.
Так как отношение L*JL* не зависит от /g, L* также является функ-
Рис 13-1-2. К графическому определению величины U„ для построе-
ния внешних характеристик (см. рис. 13-1-3).
« номинальный ток статора; б — удвоенный номинальный ток статора.
цией /s. Две возможные аппроксимации действительных кривых показа-
ны на рис. 13-1-4 пунктирными линиями.
Нагрузочные характеристики. Выше было отмечено, что L+ и L+
являются функциями токов Is и iT, но что отношение £*/£* практиче-
ски не зависит от этих переменных. Это означает, что знание зависимости
const
К/
Экспериментальна»
криИся 5=90'
Рис. 13-1-4. Экспериментальные внешние
характеристики при нулевом коэффициенте
мощности. Аппроксимация А основана на
максимальном значении аппроксима-
ция В — на величине tOsA*. вычисленной
при I, = 0.
Рпс. 13-1-3. Внешние характе-
ристики для постоянной £.+,

Экспериментальная
при!о Б=~90
‘s
О
одного из этих коэффициентов от
Is и iT дает возможность найти
другие зависимости. Изменение син-
хронного индуктивного сопротивле-
ния <nsL* от токов Is и ir удобно ис-
следовать, изображая напряжение
статора Vs в функции ir при фиксированных значениях Is и 8. Одна из таких
кривых для Д = /;В при 8 = 90° показана на рис. 13-1-5. Эти кривые называют
индукционными нагрузочными характеристиками, так как они сняты
при мощности статора, равной нулю. Кривая для Is — Q (характеристика
холостого хода) была уже рассмотрена в § 12-4.
308
Если ЛУ=О, то из уравнения (13-1-1) для /? <^.wsL+ имеем:
t7s = a>s£+r ^^“ + 7ш5£+Л^ (13-1-6)
Г О
или при 6 = 90°
678 = ш7£+г^=1г-£+/81 (13-1-7)
\ Г /
Зависимость L+r от тока ротора, при которой уравнение (13-1-7) удов-
летворяет условию, выраженному кривой /8=0 на рис. 13-1-5, показано
на рис. 13-1-6. Несколько сложнее находятся зависимости для L*r и L*,
когда то же уравнение должно удовлетворять условию, выраженному
второй кривой на рис. 13-1-5, снятой при номинальном токе и нулевом
Рис. 13-1-5. Эксперимен-
тальные характеристики
холостого хода и нагру-
зочная.
Рис. 13-1-6. Зависимость
синхронного индуктивного
сопротивления от тока ро-
тора, определенная из кри-
вых рис. 13-1-5.
коэффициенте мощности. Вид двух кривых на рис. 13-1-5 позволяет пред-
положить, что вторая имеет ту же форму, что и первая, но сдвинута
вправо на величину iT — nIs. В связи с этим может оказаться удобным
добавление и вычитание из уравнения (13-1-6) члена
V °
где п — постоянная величина. Полюсное уравнение для установившегося
режима перепишется тогда в виде
67s (i,e,a-j-jms (L* угЗ~П^‘т') —
(13-1-8)
Переменную
Еве№ = £= шв£+г (</“ + njlseil) = <»sL+/'re*
F о а
(13-1-9)
называют вектором, эквивалентной, э. д. с. воздушного зазора, а
ГТе* = ~ (iTeIa + nj/seil) (13-1-10)
называют вектором, эквивалентного роторного тока.
Коэффициент
Le^L+-^nL+ (13-1-11)
е • тЛЗ •'
309
называют эквивалентной индуктивностью или индуктивностью рас-
сеяния.
С учетом условий, при которых сняты кривые на рис. 13-1-5 (8 =
= 90°), уравнение (13-1-8) приобретает следующий вид:
U s — Eg <x>sLe! s.
(13-1-12)
причем
Eg = ^-£=(iT—nIs). (13-1-13)
V J
Уравнение (13-1-12) должно, разумеется, удовлетворять условиям,
выраженным обеими кривыми на рис. 13-1-5. При /s —0 мы имеем:
Рис. 13-1-7. Треугольник Потье и характери-
стика холостого хода.
(13-1-14)
а при /S = /SH и 6 ==90°
— (13-1-15)
Сравнивая выражения
(13-1-14) и (13-1-15), нетрудно
видеть, что последнее пред-
ставляет такую же кривую,
как и первое, но сдвинутую
вправо на величину ir=nls и вниз на величину asLeIs. Произведение
nls называют реакцией статора, приведенной к роторному току, a cosLe—
реактивным сопротивлением Потье. Теперь нам нужно определить по
кривым, изображенным на рис. 13-1-5, величины nls и asLe. Эти два
коэффициента используются далее совместно с характеристикой холо-
стого хода для определения нели-
нейных характеристик синхронной
машины в установившемся режиме.
Эти коэффициенты, как впервые
было обнаружено Потье, могут быть
определены с помощью треугольни-
ка, располагаемого между кривыми,
как показано на рис. 13-1-7. Этот
треугольник, называемый треуголь-
ником Потье, дает очень хорошее
приближение в полном диапазоне
изменения ir от нуля до номиналь-
ного значения. Если треугольники Рпс. 13-1-8. К определению треугольии-
уменьшены вдвое, как показано ка Потье.
на рис. 13-1-7 пунктиром, они
располагаются между кривой, соответствующей половинной нагрузке при
нулевом коэффициенте мощности и кривой при 7s = 0, откуда следует,
что размер треугольника и величина 7S связаны линейным соотноше-
нием.
Для нахождения треугольника выбирают точку В' на колене кри-
вой. Затем на прямой, параллельной оси ir, откладывают отрезок А'В',
равный АВ, и проводят линию А'С' под углом д. Пересечение этой ли-
нии с кривой, снятой при 7s = 0, в точке С' определяет высоту и основа-
310
нпе треугольника Потье. Основание и высота этого треугольника пред-
ставляют коэффициенты в уравнении (13-1-8), как показано на
рис. 13-1-8. Величина п определяется путем деления отрезка ab (в мас-
штабе тока возбуждения) на номинальный ток нагрузки 7SH.
Коэффициенты п, Le, а также Eg обычно используются как основа
для представления нелинейных характеристик синхронной машины, при-
чем величина Eg берется по характеристике холостого хода. Однако при
использовании линейной аппроксимации по значениям Le и п могут быть
найдены коэффициенты 7/ и L+. В частности, величина (2/J/3 )
может быть определена из характеристики холостого хода. Эта величина
совместно с величинами Le и п, определенными из треугольника Потье,
позволяет найти Lb . Изложенная выше методика иллюстрируется следую-
щим примером.
Пример 13-1-1. На рис. 13-1-9 и 13-1-10 показаны характеристики холостого
хода и индукционная нагрузочная, а также характеристика Лг=Ф-(»г) мя синхронной
машины с неявнополюсным ротором. Сопротивления фаз ротора и статора в относи-
:.х единицах составляют:
Rr= 1 отн. ед.
0,005 отн. ед.
Рис. 13-1-9. Характеристика холостого
хода для типичной синхронной машины.
Рнс. 13-1-10. Характеристики
Хг—ir типичной синхронной ма-
шины.
Используя для индуктивностей линейную аппроксимацию, соответствующую ма-
лому сигналу, можно записать полюсные уравнения для последовательностей в чис-
ленной форме, позволяющей исследовать переходные процессы вблизи точки установив-
шегося режима, характеризуемой -следующими полюсными условиями:
U, = 1 отн. ед.; 18 = — 0,588е—,31’6 ;
й>4 = p<f = 377; иг = 1 отн. ед.
Так как мы рассматриваем изменения полюсных напряжений, токов и момента
относительно .нормальный рабочей! точки в установившемся режиме, все переменные
в полюсных уравнениях будут выражать именно эти изменения относительно рабочих
точек Все индуктивности, -следовательно, должны быть вычислены для нормальной
рабочей точки
Ua = 1 отн. ед.;
I, = —0,588е~/31-е<’.
311
Из треугольника Потье (рис. 13-1-9) получаем, что 'индуктивное сопротивление рас-
сеяния
(л. 2 , 1—0,86
ь>вД, = — nLsrj-----------j------°'14 отн’ ед-«
а эффективное отношение чисел витков
Оба эти коэффициента не зависят от Is и ir.
С другой стороны, индуктивность Lsr является функцией эффективного тока ро-
тора;
Гге# = -==.(;,?“ +n;7s?1). (13-1-16)
V
Из уравнений (13-1-8) и (13-1-9):
Ege# = asL+['re^ = U, — jv>sLeI,^. (13-1-17)
Следовательно, если Eg известно, то эффективный роторный ток Гг определяется
непосредственно по характеристике холостого хода. По заданной величине напряжения
статора и по определенному из треугольника Потье индуктивному сопротивлению
рассеяния находим:
Egel? = 1 + 0,14-0,588е~;3’,6’ = 1,07 — j0,0432= 1,07е“;2'3” ,
т. е. Eg = 1,07 отн. ед. и р =—2,3°. По характеристике холостого хода на рис.
13-1-9 для Eg — 1,07 имеем.
Гг = 1,13 отн. ед.,
т. е. устанавливаем рабочую точку. Наклон характеристики холостого хода в этой
( 2 \ ,
точке определяет величину <os I —] Lsr с учетом насыщения:
\ У 3 j
2 +
<*>8 ~^= Lgr = 1,07 — 0,55 = 0,52 отн. ед.
или
. 1 3
<os7.+= 0,52—g—= 0,452 оти. ед.
Индуктивное сопротивление статора в этой точке определится как
nL^r + Le^ =0,52-0,68-)- 0,14 = 0,494 отн. ед.
Для того чтобы иайти величину установившегося тока ротора и индуктивность
ротора, соответствующую линейной аппроксимации, обратимся к уравнениям (13-1-16)
Гге'9 = -|= (iTe'a -)- п]1,е1ъ)
V 3
или
= JQ. I't^ - пЦ,е» = ill. j _ 13е-/2,з« + /0 68.о.558^3,'6‘ =
= 1,18 + /0,277 = 1,2е/13>3“.
Величина установившегося тока ротора в рабочей точке составит:
ir = 1,2 отн. ед.,
312
а угол момента определится как
а = 13,3°.
Индуктивность фазы ротора определяется по рис. 13-1-10:
8—2
Lr = j -Q- = 5 отн. ед.
При выражении коэффициентов в численной форме и при использовании относи-
тельных единиц линейные полюсные уравнения синхронной машины, записанные для
синхронной скорости и справедливые при малом сигнале, имеют вид:
0,494 d d ,я
°-005 + “ST dT ° 0.452-^-?®
и+ i+
s 0,494 d d s
«- == 0 °-005+-ST-dF 0.452^-^ ,
0,4524^’ 0,452-4^ 1 + 54
где все переменные представляют собою отклонения от рабочих точек
«+ = 1; i + = — 0,588е“'31-6’;
i, = 1.2 отн. ед.;
е = 4>st + е0 = v,t + 13,3° + 90°.
13-2. Характеристики синхронной машины в установившемся режиме
(нелинейные задачи)
Нелинейные уравнения синхронных машин, как правило, не ре-
шаются аналитически Однако существует по крайней мере два типа
задач, в которых нелинейный анализ позволяет предсказать поведение
машины в установившемся режиме, тогда как результаты, даваемые
линейным приближением, оказываются в общем случае неприемлемыми.
К первому типу относится определение тока ротора (тока возбужде-
ния), необходимого для получения требуемых значений Us, Is и 6. Ко
второму типу относится расчет тока ротора, необходимого для получе-
ния заданных значений Us, Is и а. Далее будет рассмотрен каждый из
этих двух типов задач.
Расчет изменения напряжения. К наиболее важным применениям
характеристики холостого хода и треугольника Потье следует отнести
расчет относительного изменения полюсного напряжения генератора
при переходе от холостого хода к работе под нагрузкой. Для номиналь-
ного тока нагрузки это относительное изменение напряжения выражает-
ся как
(Р,)/ =o-(^)z =/
ДП//о=---------------_^д.юо«/О) (13-2-1)
(Ua>'.='.n
где (Us)r . — полюсное напряжение статора (симметричное) при номи-
1 ЯН
нальном полюсном токе и заданном угле коэффициента
мощности 8. Наиболее часто используется cos 8 = 0,8.
Расчет относительного изменения напряжения производится в два
приема:
1) определяют ток ротора ir, обеспечивающий номинальное полюс-
ное напряжение и номинальный полюсный ток при заданном угле д;
313-
2) определяют полюсное напряжение при 7s=0 и при токе ротора,
определенном в п. 1.
Для любой машины при заданных величинах Us, Is и 3 величина
Еее^ определяется в соответствии с (13-1-8) как

(13-2-2)
По характеристике холостого хода, изображенной на рис. 13-1-7, опре-
деляется величина Гт, соответствующая найденному значению Eg. Эта
операция эквивалентна решению нелинейного уравнения (13-1-9) относи-
тельно Гг. После этого аналитически определяется величина iTeIa из урав-
нения (13-1-10). Коэффициент п, разумеется, является известным парамет-
Рнс. 13-2-1. Векторные диаграммы, соответ-
ствующие уравнению (13-1-8).
а — генераторный режим, отстающий коэффи-
циент мощности (6 = 150°); б — двигательный ре-
жим. отстающий коэффициент мощности (6=—30°).
ром для любой данной машины.
Если ток ротора поддержи-
вается равным рассчитанному вы-
ше, а нагрузка изменяется, соот-
ветствующие э. д. с. обозначают-
ся Es и по-прежнему находятся
по характеристике холостого хо-
да, представленной на рис. 13-1-7.
Эти величины используются для
определения численны?; значении
(Us)ls=o, входящих в уравнение
(13-2-1). При расчете процентного
изменения напряжения с учетом
нелинейности две точки опреде-
ляются по характеристике холо-
стого хода. Кроме того, в расчете
используются лишь простые алге-
браические операции. Иногда эти
алгебраические операции пред-
ставляют в виде векторных
диаграмм. Примеры двух таких
диаграмм показаны на рис.
13-2-1.
N-образные кривые. При не-
обходимости установить величи-
ны роторных токов, соответствую-
щие заданным значениям 77s, 1Я
и а, непосредственное использо-
фиксированных значениях Us и а.
вание характеристик холостого хо-
да и нагрузочных связано с опре-
деленными трудностями. В этих
случаях более удобно использо-
вать семейство кривых, выражаю-
щих зависимость /„ от 1Г при
Эти кривые, показанные на
рис. 13-2-2, называют V-образными кривыми в связи с их специфической
формой. Для того чтобы показать способ получения V-образных кривых,
вновь обратимся к уравнению (13-1-1), поло?кив R^— Q.
/ ' (U s — E:.e‘a) = [fs sin a -|- j (Us — Es cos a)] (13-2-3)
/“A “A
314
или
/s =—-рр [([/s — Es cos a)2-}- E2 sin2 a]'/«; (13-2-4)
6 = arctg ^-£*c9sg_ 180°. (13-2-5)
Рассмотрим теперь частный случай уравнения (13-2-3) при а = 0.
Если потери на трение в подшипниках пренебрежимо малы, этот случаи
соответствует отсутствию нагрузки на валу (вал вращается свободно):
/^ = -^(С7,-ЕЛ (13-2-6)
Существуют три режима работы, представляющие особый интерес:
1) Л = 0 при US = ES;
2) lse,z = Ise ‘2 при t7s>£'s;
3) lse,l = Ise 2 при US<ES.
Режимы 2 и 3 называют соответственно режимами синхронной индук-
тивности и синхронной емкости в связи с тем, что уравнения имеют та-
кой же вид, как уравнения для индуктивности и емкости. В зависимо-
сти от величины тока возбуждения, соответствующей той или иной части
характеристики, говорят, что машина работает с недовозбуждением или
с перевозбуждением. Используя принятую для двигателей терминоло-
гию, можно рассматривать коэффициент мощности соответственно как
нулевой, отстающий и опережающий.
В более общем случае, когда а=И=0, из уравнения (13-2-3) следует,
что при данном угле момента коэффициент мощности равен единице
(ток Д достигает минимума), если
Us—Es cos ct=O. (13-2-7)
Мы уже видели, что в синхронном режиме угол мощности ограничен
величиной — 90°. Угол а в этом диапазоне имеет обратный знак по от-
ношению к знаку вещественной части /Se's. Таким образом, для двига-
тельного режима а < 0, и располагается в первом или четвертом
квадранте. При этом опережающий коэффициент мощности соответствует
соотношению Us Es cos а, а отстающий —соотношению Us > Es cos а.
Для генераторного режима а>0, и Ее‘ъ располагается во втором или
третьем квадранте, опережающий коэффициент мощности соответствует
соотношению Us^> Es cos а, а отстающий—соотношению f7s<Escosa.
Вид кривых для трех значений а представлен на рис. 13-2-2. Экспери-
ментальные V-образные кривые для машины вследствие нелинейности
могут значительно отличаться от кривых, полученных из линейных урав-
нейий.
V-образные кривые синхронной машины широко используются для
расчета роторных токов (токов возбуждения), необходимых для работы
машины в двигательном или генераторном режиме при заданном полюс-
ном токе, если известны момент на валу и напряжение статора. С по-
мощью таких кривых решаются задачи корректирования коэффициента
315
мощности в системах передачи энергии. Например, в целях снижения
потерь в линиях передачи синхронная машина часто включается парал-
лельно трехфазной индуктивной нагрузке, как показано на рис. 13-2-3.
Рис. 13-2-3. Использование син-
хронной машины для повышенна
коэффициента мощности.
Рис. 13-2-2. V-образные кривые синхронной ма- ния во вращение нагрузки
шины. с постоянным моментом.
В любом случае статорный
ток синхронной машины примерно равен (и противоположен по фазе)
току в индуктивной нагрузке. Необходимая величина тока возбужде-
ния для синхронного компенсатора определяется непосредственно из
V-образных кривых.
Синхронная машина может
вращаться свободно или ис-
пользоваться для приведе-
13-3. Полюсные уравнения с вещественными коэффициентами
для решения на электронной машине
Все решения, рассмотренные в этой и предыдущей главе, получены
в предположении, что скорость вращения вала постоянна. Если такое
допущение не может быть сделано, полюсные уравнения для последова-
тельностей являются нелинейными, и единственный практически прием-
лемый путь их решения состоит в применении электронных вычисли-
тельных машин. На аналоговых машинах можно решать лишь диффе-
ренциальные уравнения с вещественными коэффициентами. Цифровые
машины позволяют решать дифференциальные уравнения с комплекс-
ными коэффициентами, однако программа в случае дифференциальных
уравнений с вещественными коэффициентами составляется значительно
проще. В настоящем параграфе ставится цель показать, каким образом
полюсные уравнения для машин переменного тока могут быть представ-
лены в виде, удобном для решения на вычислительной машине, т. е.
в виде дифференциальных уравнений с вещественными коэффициента-
ми. В следующем параграфе будет рассмотрен пример решения на циф-
ровой вычислительной машине типичной задачи определения переход-
ного процесса при переменной скорости вращения.
У равнения для симметричных составляющих с вещественными ко-
эффициентами. Характеристики переходного процесса при переменной
скорости вращения могут быть определены из решения полюсных урав-
нений для симметричных составляющих, приведенных в выводах
к гл. 11. Первый шаг при программировании численного решения этих
уравнений состоит в разделении вещественной и мнимой частей коэф-
фициентов и переменных. Б уравнениях (11-7-2), например, благодаря
тому, что первые два уравнения являются сопряженными, этот резуль-
тат может быть получен путем сложения и вычитания первой и второй
316
строк и столбцов в матрице коэффициентов. Эти операции проще всего
выполняются посредством формального преобразования переменных.
Для образования суммы и разности первых двух строк умножим слева
первые два уравнения на матрицу
1 1 1
(13-3-1)
В связи с тем, что разность между коэффициентами в первых строках
является чисто мнимой величиной, вторая строка матрицы преобразова-
ния умножена на /.
Для выполнения подобных операций с первыми двумя столбцами
используем следующую замену переменных:
1 /
1 -/

i
Re(ie+)
Im(t;+)
В результате умножения слева уравнения (11-7-2) на матрицу
(13-3-1) и указанной замены переменных получаем следующие диффе-
ренциальные уравнения с вещественными коэффициентами:
(13-3-2)
<+7.^ cos 26
*/2В'А sin 20
2L + cos 6
8 Г
S/2B' sin 26 L + cos 6
L+ — s/2L' cos 26 L+sin6
8 I * A ST
2B+sin6 Lr
er '
Re«+)
Im(i\+)
(13-3-3)
T = - 2p£+z;.{[Im (<+)[ cos 6 [Re ((+)] sin 6} + 2p• {[Re (i,+)2] +
4-[Iin(i:>+H}sin26 —2p-3l2L'A [Re^+)][Im(<+)]2cos26 + + -y-
(13-3-4)
Для машин с цилиндрическим ротором L'л = 0, благодаря чему
уравнения существенно упрощаются и приобретают
вид:
2~(L+rcos6)
0
(13-3-5)
Т = - Дг{[1т (/,’)] cos6 - [Re (г;+) sin 6]} + ( Д + J (13-3-6)
317
Подобным же образом могут быть разделены вещественные и мни-
мые части полюсных уравнений для симметричных составляющих для
других типов машин. Например, применение указанного выше преобра-
зования к уравнениям для ротора и статора машины с трехфазными
ротором и статором [(11-7-6) — (11-7-8)] приводит к следующим пяти
дифференциальным уравнениям с нелинейными вещественными коэф-
фициентами:
d
dt
Re (ip) г Rt 0 0 0
1т(и+) 1 — 1 0 R + 0 0 s
« Re(wr+) 0 0 R + 0
Im (гД) 1 0 0 0 Rr+
£+ 0 L^r cos 6 — L+ sin 6 sr
0 L+ L * sin 0 L+ cos 6
L cos (I L+ sin 6
sr sr
— L sin 6 L+ cos 6
S Г Б Г
ImG\+)
Re(ir+)
Im(2r+)
(13-3-7)
T = - {[Re (/+)] [Im (/*)] - [Im (i;+)] [Re (Г)]} cos 6 -
- {[Re (is+)l [Re О - [Im Gs+)][Im (i r+)]}sin 6 + (в ±. (13-3-8)
Коэффициенты L* ~{--^-L'A и L*------a b УРавнениях (13-3-3)
могут быть измерены как импедансы одной фазы статора при различных
положениях ротора, если приложить к статору симметричную систему
синусоидальных напряжений, а фазы ротора оставить разомкнутыми. До-
казательство этого положения предоставляется читателю. Коэффициент
a>s представляет собой наибольшее возможное индуктивное
сопротивление фазы, получаемое при условии, что ось явн ©выраженного
полюса параллельна оси фазы А (начало отсчета), т. е. при условии, что
6о = 0. Коэффициент L* Д- L'д называют индуктивностью по про-
дольной оси. Коэффициент -----------^-L'A~) является наименьшим воз-
можным индуктивным сопротивлением фазы. При этом ось явновыражен-
ного полюса расположена под прямым углом к оси фазы А, т. е. 60 =
= -у. В связи с этим коэффициент L*-----а называют индуктивно-
стью по поперечной оси. Сумма и разность двух этих коэффициентов,
3
полученных в результате измерений, позволяет найти величины L'
и L*.
Хотя приведенный выше вид уравнений вполне пригоден для их
численного решения, в ряде случаев более удобно пользоваться другими
формами уравнений. Например, если к статору приложена симметрич-
318
ная система синусоидальных напряжений, модулированных по ампли-
туде
"л (О
Чв (О
«с (О
= Us(t)
COS tost
cos (<u8Z— 120°)
cos (ws/+ 120°)
(13-3-9)
то

0
e ’*
=^~Us(t)
(13-3-10)
и напряжения в левой части уравнений (13-3-3) и (13-3-5) представляют
собою модулированные по амплитуде синусоидальные функции вида
Re [«+ (01 = s(t) cos
Im [«+(0]=-^-t7s(0sin«>st
Таким образом, как приложенные напряжения, так и коэффициенты
уравнений содержат тригонометрические функции. Кроме того, так как
переменная О выражает действительное положение вала в электриче-
ских радианах, достижение приемлемой точности может быть связано
со значительными трудностями, если в переходном процессе имеют ме-
сто малые изменения скорости или положения вала по сравнению с соот-
ветствующими величинами в установившемся режиме. В связи с этим
при изучении синхронных машин, например, целесообразно искать ре-
шение непосредственно для угла момента
а(0 = 6оЮ-4>
так как этот угол очень мал по сравнению с углом, представляющим
действительное положение вала:
e(o=<os/+0o(O-
Иными словами, желательно, чтобы полюсные уравнения выражали из-
менения скорости вала по отношению к синхронной скорости, а не
> к скорости, равной нулю.
Уравнения для продольной и поперечной осей. Одна из форм по-
люсных уравнений с вещественными коэффициентами, которая позво-
ляет избежать некоторых отмеченных выше трудностей, получается при
устранении из уравнений для симметричных составляющих экспоненци-
альных членов е’6 и е—;® до разделения вещественной и мни-
мо й частей.
Для этого необходимо произвести
в уравнениях (11-7-2) и (11-7-3):
следующую замену
переменных
и
S
U
q
S
1 1 1
К 2 _у j
e~iB 0
0 е‘в
(13-3-11)
319
и

1
или
I
i’
1
—/
1
/
e~ie О
е’9
О
i
1
е'6
О е
О
-J8
1
1
/
—i
ls
(13-3-12)
уравнения
>1
iQ
S
(13-3-13)
вещественными
Полученные в результате
гами для явнополюсной синхронной машины (включая уравнение
левой последовательности статора) имеют вид:
с
коэффициен-
для ну-
где
.0
I;
T = -2p[^3L^s-(Lds
La = L+
(13-3-14)
/2^4
d
dt / р
Г> — r + — — и
s —Ч 2 Л-
iQs
It
(13-3-15)
(13-3-16)
Так как коэффициенты , и вх°Дят в эти уравне-
ния в явном виде, последние обычно называют у равнениями для про-
дольной и поперечной осей. Переменные и называют
наем и током по продольной оси, a u4s и iq — напряжением и
по поперечной оси.
Если три преобразования, применяемые последовательно при
уравнений для продольной и поперечной осей, объединить
лучится весьма интересный результат:
напряже-
те ком
в одно,
выводе
то по-
«°(0
Us (0 /2
и:ю
1
|/ 2 cos 6
2 sin 6
/2 О
О
О
1
—/
О
1
/
О О
О ё~‘9 О
О ei9
1
О
1
1
1
1
а
а2
1
а2
а
1
11А W
IIВ (О
«с (О
1
1
11 а (О
«в (О
«С (О
(13-3-17)
320
Один из .наиболее важных переходных процессов изменения скоро-
сти в синхронных машинах имеет место при симметричных синусои-
дальных напряжениях статора, модулированных по амплитуде и описы-
ваемых уравнениями (13-3-9). Типичные изменения Us(t) во времени
выражаются ступенчатыми функциями, функциями вида y=kx и сину-
соидальными функциями. Независимо от вида модулирующей функции
изменение симметричных составляющих во времени описывается урав-
нением (13-3-10). Заметим, что если положение вала описывается функ-
цией
0 = (ds£-)-6o, •
то для любой симметричной системы напряжений статора, модулиро-
ванных по амплитуде, из уравнений (13-3-10) и (13-3-11) можно по-
лучить:
Напряжения по продольной и поперечной осям являются функциями
угла момента, а при любом заданном значении угла момента они пря-
мо пропорциональны амплитуде модулирующей функции. Токи по про-
дольной и поперечной осям обладают аналогичными свойствами.
Электрическая мощность на зажимах трехфазного статора опреде-
ляется соотношениями:
\\^АивиС\\
1А
£С
i°
= \\u°udu<i II
Iй
id
1ч
(13-3-19)
В следующем параграфе рассматривается пример, иллюстрирующий
применение уравнений для продольной и поперечной осей для расчета
переходного процесса изменения скорости.
13-4. Расчет на вычислительной машине переходного процесса
изменения скорости [Л. 13-1]
Двухполюсный трехфазный генератор, имеющий частоту 60 гц, со-
единен с системой, как показано на рис. 13-4-1. В установившемся ре-
жиме, предшествующем короткому замыканию, его выходная мощность
составляет 0,5 отн. ед. при коэффициенте мощности cos 6 = 0,85 (ток
в нагрузке отстает от напряжения). к системе
Во всех режимах, за исключением ко-
роткого замыкания, можно считать,
что напряжение на зажимах системы,
к которой присоединен генератор, не
зависит от тока генератора и состав-
ляет 1 отн. ед. В момент £=0 возника-
ет короткое замыкание в непосредст-
венной близости от зажимов генерато-
ра. Определить, с какой скоростью
21—1738
Генератор
ПараВая _[_
тиаВино ' __
Источник тока
выклю-
чатель
АВорийная
секция
Рпс 13-4-1. Типичная система с син-
хронной машиной.
321
i
должен сработать выключатель, чтобы отсоединить поврежденную сек-
цию прежде, чем машина выпадет из синхронизма.
Механическая характеристика паровой турбины в пределах, исполь-
зуемых в данной задаче, обеспечивает постоянство выходной мощно-
сти, т. е.
7’<р = const.
Коэффициенты в уравнениях для симметричных составляющих име-
ют следующие величины:
= 0,005 отн. ед.;
= 1,2 отн. ед.;
RT=\ отн. ед.;
Lr — 6 отн. ед.
0,6 отн. ед.
Рис. 13-4-2. К определению пе-
ременных в уравнениях.
Коэффициенты L* и L*r вычислены при токе ротора 1,6 отн. ед.,
а э. д. с. при таком же токе ротора составляет 1,5 отн. ед.
Коэффициенты демпфирования турби-
ны и генератора пренебрежимо малы, сум-
марный момент количества движения тур-
бины и генератора при номинальной скоро-
сти составляет:
М = 4>J— 0,0159 отн. ед.
Коэффициенты нулевой последователь-
ности при решении не используются, так
пак короткое замыкание возникает на всех
трех фазах.
Наибольшее время, в течение которого
выключатель может оставаться закрытым
после короткого замыкания, будет опреде-
ляться путем последовательных приближе-
ний. Пусть t=0 соответствует моменту
возникновения короткого замыкания, а /=/] — моменту отключения вы-
ключателя. Решение нелинейных дифференциальных уравнений, опре-
деляющее зависимость а от времени, будет повторяться при возра-
стающих значениях до тех пор, пока не будет обнаружено, что угол
момента а возрастает безгранично. Полюсные напряжения при этом
принимаются равными 1 отн. ед. за исключением интервала

Полюсные уравнения, используемые при решении задачи, получа-
ются из (13-3-15) и (13-3-16) с учетом того, что L'A=0:
и.
dt
l/2L+-£
' sr dt
(13-4-1)

322

(13-4-2)
Так как выходная мощность генератора постоянна, удобно умножить
обе части уравнения (13-4-2) на 6 = у. Тогда, пренебрегая величиной В,
получаем:
ЬТ = — jZ2L>-^ + bJ 6. (13-4-3)
При любой данной скорости можно подставить в уравнения
(13-4-1) известные значения коэффициентов и получить в результате
линейные дифференциальные уравнения, связывающие изменения на-
пряжений с изменениями токов. Однако в связи с тем, что скорость
(или угол момента) изменяется, дифференциальные уравнения явля-
ются нелинейными. При этом необходимо использовать действительные
значения всех переменных, входящих .в уравнения. Для того чтобы по-
казать, как это осуществляется, обратимся к рис. 13-4-2. Из уравнений
(13-4-1) следует, что характеристика холостого хода выражает соотно-
шение между uqs и ir при отсутствии нагрузки. Если аппроксимировать ха-
рактеристику холостого хода прямой, проходящей через начало координат,
то будет справедливо соотношение
и наклон этой прямой выразится коэффициентом [/2А*б. С другой сто-
роны, если мы хотим аппроксимировать ту же характеристику прямой ли-
нией, касательной к кривой в рабочей точке ir= 1,6 отн. ед., то связь
между uqs и ir выразится как
tt’ = l,5-|-0,6fr,
где
i’T — ir — It —i-г — 1 ,6.
Таким образом, для получения системы уравнений, соответствующих ра-
бочей точке гг= 1,6 отн. ед., член в уравнениях (13-4-1) и (13-4-3)
заменяется на где /Л = 0,6, a i’r выражает изменение
тока возбуждения относительно рабочей точки tr= 1,6 отн. ед. Тогда
уравнения, которые должны быть решены, приобретают вид:
s tl>
иг — /?г1,6
«.++^4 ~LV
о Rr+L,4-
(13-4-4)
p=67'=-^5+/2£s+/r) е^ + 67-^е. (13-4-5)
Для получения численного решения уравнений (13-4-4) и (13-4-5)
по методу Рунге — Кутта необходимо сначала привести уравнения
21*
323
(13-4-4) к нормальному виду, т. е. решить их относительно первых про-
изводных. Записывая коэффициенты при производных в (13-4-4) в виде
отдельной матрицы коэффициентов, получим:
0 V2Ltr
О Lt О
О LT
d
dt
UT— /?г1,6
— Ls+6 О
*t V$L$
0 Rr
(13-4-6)
После вычисления
решения относительно
обратной матрицы коэффициентов в (13-4-6) и
первых производных уравнения в нормальном
виде записываются как
(< - ’А® - - Rt % - /2Л>Г) А-
— (us — ^tК "F Lt bi? ) F (иг ,6 RTi,)
6
р+(^+^+л)^]^
(13-4-7)
где
K = LrLt- (^2Ltr)s.
Кроме дифференциальных уравнений, мы имеем дополнительные
трансцендентные уравнения следующего вида:
ud=t^.-^cosO = Ucosb'; (13-4-8)
uq=— sine=—и sine; (13-4-9)
S 2 у 2
где
6' = O)/-|-a4--J. (13-4-10)
Для решения уравнений (13-4-7)—(13-4-10) необходимо определить
исходные величины ids , iq , i'r, 0 и 6*. Эти начальные условия определяются
из установившегося режима, имевшего место непосредственно перед ко-
ротким замыканием. Из имеющихся данных следует, что
р — — 0,5 отн. ед.;
(«f )’ + («! )2 = 1 отн.ед.;
^)2 + 0’:Г = й=0,588 отн. ед.
324
Если пренебречь потерями в машине, т. е. сопротивлением статора,
то величины i’ и а можно определить из уравнения (13-4-5), учитывая,
что мощность на валу должна быть равна по величине и противоположна
по знаку мощности на электрических зажимах. В результате получаем,
что
0,5 = — 1,5^
или
ij =—0,333 отн. ед.
Из определения Л следует, что
i’ = — К sin (6' + б) = — 0,588 sin (S' + б) = 0,333,
или
6'-|-б = а 4-90° +6 = 34,5°, или 34,5° + 90°.
Из заданных полюсных условий с учетом того факта, что угол а
должен располагаться в первом квадранте, имеем:
а = — 34,5° — 31,6° + 90° = 23,9°
Рис. 13-4-3. Кривые типичного переходного про-
цесса при изменении скорости, полученные на
цифровой вычислительной машине.
Тогда начальные условия записываются как
(0-|-) = 0,588 cos 34,5°=0,485 отн. ед.;
iJ(0-]-) = 0,338 отн. ед.;
Гг(0+) = 0;
б (0 +) = 6' (0 +) = 23,9° + 90° = 0,4116 рад-,
б (0 +) = 377 рад{сек\
<(о+)=«:(о+)=о.
325
Результаты решения уравнений (13-4-7) с коэффициентами и на-
чальными условиями, приведенными выше, на цифровой вычислитель-
ной машине показаны на рис 13-4-3. Из представленных кривых сле-
дует, что во всех случаях угол момента продолжает возрастать в тече-
ние некоторого короткого времени после размыкания выключателя. Из
кривых следует также, что угол момента может кратковременно пре-
вышать значение у и возвращаться к устойчивому состоянию после
устранения короткого замыкания. Расчет показал, что если выключа-
тель сработает не позже чем через 0,25 сек после короткого замыкания,
машина возвратится к устойчивому состоянию.
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
МНОГОФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ
В предыдущих двух главах было показано, что полюсные характе-
ристики многофазных машин удобно выражать не через переменные,
полученные непосредственными измерениями на зажимах, а через так
называемые полюсные переменные последовательностей. Теперь мы по-
дошли к вопросу о том, как определять характеристики системы, содер-
жащей такие компоненты. Для ответа на этот вопрос можно воспользо-
ваться одним из двух способов:
1) выразить вновь полюсные уравнения компонент через полюсные
переменные, входящие в граф системы;
2) использовать в уравнениях графа системы переменные последо-
вательностей, входящие в уравнения компоненты.
Применение исполнительного двигателя как части системы управ-
ления является характерным примером использования первого способа.
Этому вопросу посвящена первая часть настоящей главы. Примером
использования второго способа являются энергетические системы и мно-
гофазные авиационные системы. Рассмотрение этих методов является
основным содержанием настоящей главы.
14-1. Выражение полюсных уравнений исполнительного двигателя
в явном виде
Типичное применение исполнительного двигателя как компоненты
системы иллюстрируется примером следящей системы, изображенной
па рис. 14-1-1. В следующем параграфе будет показано, что выходной
сигнал сельсина-трансформатора (вход усилителя) примерно пропор-
ционален разности между положениями входного (<pi) и выходного
(<р0) валов. Рассматривая качественную сторону вопроса, можно пола-
Рпс. 14-1-1. Типичная следящая система переменного
тока.
326
фаза
а
С' В В"
Рис. 14-1-2.
а — граф системы; б — полюсный граф для
четырехфазной машины.
С В
s
гать, что вал исполнительного двигателя будет вращаться до тех пор,
пока существует достаточное рассогласование между положениями
обоих валов. Нашей первой задачей будет получение на основе резуль-
татов предыдущей главы полюсного представления исполнительного дви-
гателя, позволяющего включить его в качестве компоненты в приведен-
ную выше систему или в любую другую систему, в которой одна
питается от источника напряжения
неизменной величины и частоты.
В указанном применении двигатель
должен быть представлен в виде
четырехполюсника.
Для того чтобы прийти к необхо-
димому полюсному представлению,
начнем с полюсных уравнений че-
тырехфазной машины (11-7-13) —
(11-7-17), приведенных в выводах
и гл. 11. Как уже было отмечено
.в гл. 11, фазы статора в реальных
машинах обычно соединяют парал-
лельно, как показано графом на рис. 14-1-2.П. Для того чтобы вывести
полюсные уравнения для графа, изображенного на рис. 14-1-2, исполь-
зуем те же приемы, которыми мы пользовались для любой другой ком-
поненты. Если элементы, отражающие
s качестве ветвей формального
отсечений мы получим:
внешние измерения, входят
то из уравнений контуров и
дерева,
«Л
ис
UD
1
о
—1
о
о
1
о
—1
1А
'в
in
(14-1-2)
Отметим, что полюсные уравнения
составляющих получаются
нов к и уравнений (14-1-1) и
разования, следующие за
лля симметричных
путем простой подст а-
(14-1-2) в уравнения преоб-
УРа
в н е н и е Si
(11-7-17):
и°
S
Us
lLs
1
7
—1
—7
1
—1
1
—1
1
—j
—1
7
1
о
—1
о
О
1
О
—1
и.
иг
ля
D
и
и
(14-1-1)
и

— 2
1
1
1
1
К
1 О —1
О 1
О
О —1

327
К
^2
о о
1 i
о о
1 -/
и i
и„
(14-1-3)
О 10 1
о -/ 0 /
(14-1-4)
В полученных результатах прежде всего следует отметить тот факт, что
полюсные уравнения для симметричных составляющих
не изменились. Изменилось лишь преобразование, связывающее
переменные в этих уравнениях с полюсными переменными. Подобный
вид связей мы увидим при рассмотрении трехфазных трехполюсных
представлений в следующих параграфах.
Кроме того, из уравнения (14-1-3) следует, что переменные последо-
вательностей и их для всех значений иг и «2 равны нулю. Из этого
результата и из уравнений (11-7-13) и (11-7-14) вытекает, что токи после-
о =0 -х
довательностеи ts и ts также всегда равны нулю для данного вида со-
единения. Следовательно, полюсные уравнения для графа на рис. 14-1-2,6
можно записать в виде
(14-1-5)
где
(14-1-6)
(14-1-7)
(14-1-8)
Отметим, что it представляет собой удвоенную вещественную часть
i*, а 1г— удвоенную мнимую часть г*. В обычных случаях одна из ста-
торных обмоток, называемая обмоткой возбуждения, питается от источ-
ника синусоидального напряжения, как показано на рис. 14-1-3, т. е.
= U , COS wt.
(14-1-9)
Вторая обмотка, называемая обмоткой управления, подключена
к источнику синусоидального напряжения, модулированного по ампли-
туде
и2 (t) = U2 (t) sin wt.
(14-1-10)
328
Обмотка
Возбуждения
у////////л9

Далее мы увидим, что при соответствующем расчете скорость враще-
ния вала в установившемся режиме примерно пропорциональна моду-
лирующей функции Предметом нашего дальнейшего исследова-
ния будет вывод полюсных уравнений, показывающих зависимость мо-
мента и скорости вращения вала от
тока и напряжения управляющей
обмотки.
Для получения этой зависимо-
сти нужно подставить заданные по-
люсные напряжения (14-1-9) и
(14-1-10) в полюсные уравнения и
решить три полученных дифферен-
циальных уравнения. Однако в связи
с тем, что эти уравнения являются
нелинейными относительно перемен-
ных i*, i* и 6, их общее аналити
ческое решение получить не удает-
ся. Единственным средством для приведения уравнений к решаемому виду
является наложение ряда ограничений на условия работы машины, а так-
же на ее расчет.
Постоянство скорости вращения вала. Если рассматривать ско-
рость вращения вала неизменной, то уравнение (14-1-5) может быть при-
ведено к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
путем умножения второго выражения на е'в и следующей замены пере-
менных:
б)
Рис. 14-1-3.
а — схема исполнительного двигателя; б - по-
люсный граф.

В результате получим:
(14-1-11)
T=-2pL*lm(i* +
Решение уравнения (14-1-11) в изображениях с нулевыми
начальными
условиями имеет вид:
t+(«)
i; (*)
i
—D(s)
/?r++Lr+(S-/e)
us+ (s)
0
(14-1-12)
*s+4-^+s
где
D (s) = (/?; 4- L>) + L+ (s - /©)] - (L^s (s-jb). (14-1-13)
К сожалению, невозможно ни подставить (14-1-12) в (14-1-11), ни
записать последнее в изображениях. Иными словами, не существует
простого соотношения между преобразованием по Лапласу произведе-
ния двух неизвестных функций времени и преобразованиями каждой из
этих функций. Следовательно, для получения требуемого вида полюс-
ных уравнений необходимо предварительно найти решение уравнения
329
(14-1-11), выраженное в функции времени. Последнее обстоятельство
вынуждает нас наложить второе ограничение на условия работы двига-
теля.
Заданный вид полюсных напряжений. Для получения решения
уравнения (14-1-11) как функции времени переменная
«* (0 = «1(0+ /«2(0
должна являться известной функцией времени, поддающейся преобра-
зованию по Лапласу. Наибольший интерес представляют синусоидаль-
ные функции, поэтому будем считать, что
/а>/ #
и2 (0 = t71cos(<of + ai)=^i-2’ + ^i—2~’ (14-1-14)
«2(/) = t72sin(W4-a2)+^2 Yj-----е 2] ’ (14-1-15)
где
U2 = U2e'a*.
Момент на валу при постоянной скорости вращения и заданном
виде полюсных напряжений определится путем подстановки решения
уравнения (14-1-12), выраженного в функции времени, в уравнение
(14-1-11). Установившаяся составляющая решения для i* (t) имеет вид:
:-+/^ _ 1^++Дг+(“-в)1(^-б'2) еМ ,
‘s (0 D(jco) 2
। [Я* — j^(u> + Q)](Ut—U2) e~iwt, (14-1-16)
~ D(— /со) 2
где D(/w) определяется по (14-1-13) как
D (/со) = <RS+ + [(Г*)2 - L+Z.s+] <0 (<о - 0) + j 4- Rs+L+ (ш - 6)].
(14-1-17)
Ограничения при расчете машины. Заметим, что установившаяся
составляющая переменной 1* (t) является комплексной нелинейной функ-
цией скорости вращения вала. Линейная зависимость может быть полу-
чена при наложении некоторых ограничений на расчет машины. В част-
ности, если двигатель спроектирован с достаточно высоким сопротивле-
нием ротора, таким, что
> [(£+г)2 - <Z.S+] <»(<»- б); (14-1-18)
(14-1-19)
то D(jw) ^R' (R* ju>L*), и уравнение (14-1-16) принимает вид:
•.+ ,, = [/?/+А+(<о-ё)]({Л + *7г)
ls ’ + 2 Т"
[/?+ - jL+ (со + ё)] (U, - U2) _ eiwt e-j^t
(R+-i«>L+)R+ 2 2 -W22 2 ’
(14-1-20)
330
где iei и tS2— комплексные числа. При указанных ограничениях устано-
вившаяся составляющая решения для запишется как
'r R+(R+ + jv>L+) 2j '
£s+r(« + 0)(tf-&) e-l^ i e* i e-^ лл ,
2/ -7n 2j 2j • 1 ’ >
Требуемый вид полюсного уравнения получается при подстановке
(14-1-20) и (14-1-21) в уравнение для момента (14-1-11):
Т (t) = (в 4-J ? (0 + 2/? Im [у- (ЛХ7Г1 - /S2/r2 -
- /Jr^M + /SI/rie-i2u,>) ]. (14-1 -22)
Отметим, что последнее выражение содержит два синусоидальных
члена с двойной частотой. Эти члены, однако, не представляют особого
интереса, так как момент инерции ротора достаточно велик, и двойная
частота не оказывает существенного влияния на положение ротора.
Следовательно, члены с двойной частотой, хотя они иногда и являются
причиной ощутимого шума, могут не учитываться в полюсных урав-
нениях.
Выразив Is и iT в (14-1-22) через полюсные напряжения (7, и U2
в соответствии с уравнениями (14-1-20) и (14-1-21), получим в результате
требуемую форму уравнения для момента:
+^)»W+
T{t)=
2р (L+y [8 (Д', и г + UJUi) - а> (#. & + &*Л)) f в
' 2R+ [(/?+ У + ®s (L+)=] к
2р (L+y [8 (l/f + U%) — 2to[/,l72 cos (g, — a2)]
“I 2/?+ [(/?+)= 4-<o2(^+)=]
Для нахождения зависимости полюсного тока управляющей обмотки
i2 (t) от полюсных напряжений и скорости вращения вала следует исполь-
зовать преобразование (14-1-3) и выражение для тока i* (t) (14-1-20). В ре-
зультате получим:
<2 (/) =/ [ is (t) is (01 = (A, Л2) ~2j (/si /ss) ~2j
где
у (R+ + jwL+)Cr2______________fv+ih
2 ~ r+ (Rs+ + /<oL+) r+ (Rs+ + /®l+)
(14-1-24)
(14-1-25)
331
Уравнения (14-1-25) и (14-1-23) могут теперь быть объединены, в ре-
зультате чего полюсные уравнения машины запишутся как
Л
т
—KttUi cos (ai — аг) В + ^22 (^| + U22) +J
(14-1-26)
¥
где
R* + fat? . __.
Rr(Rs+iu,Ls') 12 — 2/?+(«++;<ol+)’
(£*У2/хо K _ (L+2py .
R r+ [(/?* )s + “2bsl ’ 22 4₽r+[(/?+)= +<02(1.+)=]
t2 (0 = 1г ~2j~ — 4 ~~2j~ = S’n +
* e,at r*r e~,a>t
u2 (/) = U2 ---------вг -2j—=U2 sin И + а2).
Машину, которая удовлетворяет требованиям, выраженным урав-
нениями (14-1-18) и (14-1-19), называют исполнительным двигателем.
Отметим, что результирующие полюсные уравнения для исполнитель-
ного двигателя содержат комплексные числа Ц и U2, представляющие
величину и фазовый угол синусоидального напряжения и тока в управ-
ляющей фазе. Вспомним также, что эти уравнения были получены
в предположении постоянной скорости вращения, а также фиксирован-
ной величины и частоты напряжений статора. Логично опросить, какова
же ценность полученных результатов, если целью применения испол-
нительного двигателя в системе является получение переменной ско-
рости вращения за счет изменения величины напряжения на управляю-
щей обмотке? Ответ может быть один: хотя эти результаты и далеки от
совершенства, они являются лучшим представлением машины, доступ-
ным при аналитическом решении задачи.
Рассмотренный выше пример ярко демонстрирует серьезные труд-
ности, возникающие при аналитическом получении характеристик
системы, содержащей нелинейные компоненты. Приведенная система
содержала лишь нелинейности типа произведения i* (t) irr(t) и 6 (О С (О,
однако даже в этом случае математика не дает способа получения реше-
ния в общем виде, и инженер вынужден пользоваться ограниченными ре-
шениями, хотя их несовершенство и является очевидным.
В гл. 12 при рассмотрении электрических переходных процессов
в асинхронном двигателе, вращающемся с постоянной скоростью, мы
видели, что эти процессы затухают в течение нескольких периодов несу-
щей частоты и что постоянная времени увеличивается с ростом сопро-
тивления ротора. Так как сопротивление ротора исполнительного
двигателя существенно превосходит таковое для обычных промышлен-
ных асинхронных двигателей, продолжительность электрических пере-
ходных процессов в нем даже несколько уменьшается. Следовательно,
полюсное представление исполнительного двигателя (14-1-26) дает
достаточно хорошее совпадение с результатами измерений при условии,
что изменения скорости вращения вала и модулирующих напряжений
не являются одновременно ступенчатыми функциями.
332
Конечно, можно получить численное решение для переходных про-
цессов при изменении скорости вращения исполнительного двигателя,
подобно тому как это делалось для синхронной машины (см. § 13-4).
Однако полученные таким способом результаты не будут представлены
в аналитической форме. В настоящее время неизвестен метод, позво-
ляющий использовать результаты анализа компоненты, проведенный на
цифровой вычислительной машине для предсказания поведения
системы, содержащей такую компоненту.
Даже при введении ограничений, необходимых для получения аналити-
ческого решения, полюсные уравнения (14-1-26) все еще являются нели-
нейными функциями U2. Избежать нелинейности, вносимой членом К21,
можно путем поддержания неизменными фазовых углов в обеих обмотках.
Нелинейный член, расположенный на пересечении второго столбца и
второй строки, называют эффективным коэффициентом демпфирова-
ния. Он может быть линеаризован лишь при рассмотрении малых изме-
нений относительно рабочей точки О2. Влияние изменения рабочей точки
на величину коэффициента демпфирования удобно выразить с помощью
графиков зависимости Т от ? при фиксированных значениях Сг. Семей-
ства таких кривых при а2 — а2 = const и трех значениях напряжения воз-
буждения показаны на рис. 14-1-4. Указанные зависимости могут быть
просто построены с учетом того, что при фиксированных значениях U1 и
С2 механические характеристики линейны, а точки пересечения с осями
определяются как
Т (0) = — KtiUtU2 cos («! — <*2) при <р = 0; (14-1-27)
у(0)= (?«.-»>_). при 7 = 0. (14-1-28)
Из рассмотрения рис. 14-1-4 следует, что наиболее благоприятные
условия работы соответствуют случаю (7i> U2, так как при этом на-
клон механических характеристик (коэффициент демпфирования)
остается неизменным. Во всех случаях момент достигает максимума
При di—Ct2 = 0 ИЛИ СИ-02 = л.
Из полюсных уравнений следует также, что если одна из фаз не
получает энергии, то пусковой момент равен нулю, и машина не вра-
щается. Другое благоприятное свойство исполнительного двигателя
состоит в том, что если при его вращении одна из фаз обесточивается,
то двигатель останавливается. Этот результат также можно получить
из полюсных уравнений. В частности, если машина вращается
без нагрузки (Т=0), и скорость вращения вала определяется соотно-
шением
Кг.С/.СА cos (а, —aa) •
В + K22 (U2i + C/2) ’
(14-1-29)
то очевидно, что при приближении или U2 к нулю скорость враще-
ния вала тоже стремится к нулю.
Полюсные уравнения выражают также способность исполнитель-
ного двигателя реверсироваться. Если напряжения управления и воз-
буждения определяются выражениями (14-1-14) и (14-1-15), скорость
вращения вала положительна. Если же фаза управляющего напряже-
ния изменена на обратную
333
П2 (0 = U2 sin сх2 —| - -п) = — U2 sin (<s>t Ц- a2 (14-1-30)
то направление вращения становится отрицательным, т. е. двигатель
реверсируется.
Методика непосредственного измерения коэффициентов полюсных
уравнений очевидна из кривых на рис. 14-1-4 и полюсных уравнений.
В заключение следует отметить, что смысл изложенного метода сво-
дится к выражению полюсных уравнений исполнительного двигателя
через полюсные переменные, а не через переменные последовательно-
стей. Нелинейность уравнений приводит к весьма громоздким матема-
тическим преобразованиям. Результирующие полюсные уравнения
(14-1-26) могут теперь использоваться в качестве основы для получения
характеристик любых систем, содержащих исполнительные двигатели.
При этом следует, обращать внимание на применимость полученных
-Т(0)
-ПО)
-ЦО)
При ,а~а.= const,
TIO]=-K2I V, иг cos аГаг,
<flD)=
8^Кгги,
При U, =иг. и-а = const,
тЮ1= ~ U* cos а,-аг,
К..
При U, <.<.U2,a~a=c;onst,
T(0)=-H2t ut иг cusa,-a2>
K2.U,
° 22 г
Рис. 14-1-4. Механические характеристики ис-
полнительного двигателя в установившемся ре-
жиме.
уравнений для специфических режимов работы исполнительного двига-
теля. Было показано, что при соответствующих условиях скорость вра-
щения вала исполнительного двигателя прямо пропорциональна ампли-
туде синусоидального напряжения постоянной частоты, приложен-
ного к обмотке управления. Если амплитуда синусоидального напря-
жения постоянной частоты периодически изменяется во времени, то
такое напряжение называют модулированным. Оно выражается функ-
цией следующего вида:
U (t) = U (t)sin ^t-]-a) U
где U (t) — вещественная функция времени (принимает лишь положитель-
ные и отрицательные численные значения), a U (t) — комплексная функция
334
времени. Комплексная функция О (t) содержит больше информации, чем
U (t), так как указывает не только амплитуду, но и фазовый угол сину-
соидальной функции. Следовательно, комплексная функция представляет
большую ценность для анализа системы. По определению U (t) и U (/)
называют соответственно вещественной и комплексной модулирующими
функциями. Функции sin (wt-ф- а) и называют соответственно ве-
щественной и комплексной несущими функциями.
В полюсных характеристиках исполнительного двигателя, как и в ха-
рактеристиках многих компонент систем переменного тока, интерес пред,
ставляют лишь модулирующие функции. Именно такая комплексная мо.
дулирующая функция U (t) входит в полюсные уравнения исполнительного
двигателя.
Если несущая частота достаточно высока, так что изменение ампли-
туды несущей функции от цикла к циклу является небольшим, прием-
лемая точность достигается при допущении, что комплексные модули-
рующие функции в полюсных переменных связаны с синусоидальными
вариациями относительно фиксированной амплитуды и что эта связь
выражается установившейся составляющей решения. Именно такое
допущение было использовано при выводе характеристик исполнитель-
ного двигателя. Иными словами, мы предполагаем, что комплексные
напряжения и токи в уравнениях изменяются во времени. Следуя та-
кому методу, все характеристики компоненты в системе с модуляцией
представляют не в мгновенных, а в комплексных величинах. Тогда ана-
лиз системы с модуляцией проводится точно такими же методами, ко-
торые использовались применительно к обычным системам с той разни-
цей, что полюсные переменные являются комплексными, а не вещест-
венными функциями времени.
14-2. Четырехпроводная трехфазная электромеханическая система
Хотя сам исполнительный двигатель и является многофазным
устройством, система, рассмотренная в предыдущей главе, не может
служить примером многофазной системы, так как напряжение лишь
Рис. 14-2-1. Типичная трехфазная электромеханическая
система и полюсный граф >
на одной из двух фаз изменяется в функции времени. Теперь мы пере-
ходим к очень важной задаче определения характеристик систем, со-
держащих многофазные устройства, соединенные и работающие таким
образом, что они образуют так называемые многофазные системы.
В настоящем изложении мы начинаем с применений, в которых маши-
ны переменного тока используются в качестве электромеханических
компонент, и ограничиваемся рассмотрением специального режима, при
котором вал вращается с постоянной скоростью. Однако во всех случаях
335
характеристики компоненты выражаются через соответствующие систе-
мы переменных последовательностей, а не через полюсные переменные.
Анализ таких систем проводится с использованием указанных пере-
менных последовательностей. Можно сказать, что метод, использующий
переменные последовательностей в качестве основы для представления
характеристик, является ключом к успеху при анализе многофазных
систем.
Для того чтобы показать основные методы получения характери-
стик, применимые для анализа многофазных электромеханических си-
стем, рассмотрим пример,
9
Рнс. 14-2-2. Граф системы, изо-
браженной на рис. 14-2-1.
в котором две трехфазные машины соеди-
нены, как показано на рис. 14-2-1,а. Если
ротор одной машины питается от источника
синусоидального напряжения неизменной
амплитуды, то такое устройство называется
решающим устройством и находит примене-
ние в следящих системах (см. рис. 14-1-1).
Если оба ротора питаются постоянным то-
ком неизменной величины, а статоры под-
ключены к источнику синусоидального на-
пряжения, то один вал, вращаясь, будет
следовать за другим с некоторой ошибкой.
Такое устройство называют сельсинной па-
рой. С другой стороны, одна машина может
рассматриваться как синхронный генератор, а вторая—как синхронный
двигатель. В любом случае характеристики устройства могут быть выра-
жены через измерения, определяемые полюсным графом на рис. 14-2-1,6
и соответствующей системой полюсных уравнений. Эти уравнения будут
выведены из полюсных характеристик каждой машины (11-7-2) и
(11-7-3). Если обмотки статора каждой машины соединены в звезду
с заземленной нейтралью, граф системы имеет форму, показанную на
рис. 14-2-2. Отметим, что полюсный граф в подграфе, пока-
зывающем соединение полюсов статора для каждой
машины, образует полное дерево. Мы увидим далее, что
это свойство является основным при выводе характеристик многофаз-
ных систем.
Уравнения графа. Уравнения
для подграфа статора имеют вид:
фундаментальных
контуров
110 0
0 10
II 0 0 1
или в символической форме
и
и
и
«4
«6
«в
= 0
(14-2-1)
(14-2-2)
Дчя уравнений отсечений имеем:
(14-2-3)
В целях единообразия представим полюсные уравнения для по-
следовательностей (11-7-2) ,в символической форме, подходящей для
сочетания с уравнениями графа.
336
Полюсные уравнения
Z' 0 WL'r^ 0
d
^.(0 0 < 0 V) ; (14-2-4)
«Г1 (0 0 zr, 0 MO
zf MO
0 0 z r.
T.. m=- 2M.+„ ta (£ (14-2-5)
(14-2-6)
где
^jo ^.(0 <(o S 0 0 s S 0 Ustt) usAt) 4,(0 I (14-2-7)
Oo 0 s 4.(0
и S —матрица разложения трехфазной системы на симметричные
составляющие. Важно понимать, что невырожденные преобразования
(14-2-7) являются частью полюсного представления, так как они свя-
зывают переменные последовательностей, используемые в полюсных
уравнениях, с полюсными измерениями, определяемыми графом.
Для того чтобы получить уравнения характеристик для системы,
мы объединим полюсные уравнения, уравнения преобразования и урав-
нения графа, воспользовавшись для этого одним из возможных и целе-
сообразных способов. Отметим, однако, что подстановка уравнений пре-
образования (14-2-7) в полюсные уравнения не дает никаких преиму-
ществ, а лишь возвращает нас к первоначальному виду уравнений для
связанных цепей. Ценность преобразования выявится
лишь в том случае, если анализ системы может
быть проведен на основе переменных последова-
тельностей. Следовательно, вместо применения обратного преобра-
зования к полюсным уравнениям мы разложим уравнения
графа на симметричные составляющие. Для этого умно-
жим уравнения (14-2-2) и (14-2-3) слева на матрицу преобразования S,
в результате чего получим:
22—1738
337
Аналогично для уравнений отсечений имеем:
или
Si'U /II
(14-2-10)
(14-2-11)
Отметим, что переменные последовательностей для статоров свя-
заны посредством матрицы коэффициентов в уравнениях отсечений и
контуров. ,
Уравнения для системы получаются путем объединения уравнений
(14-2-4) с преобразованными уравнениями отсечений и контуров, про-
водимого в соответствии с методикой, уже рассматривавшейся в гл. 7.
В частности, подставим (14-2-4) в (14-2-9) и выразим /J как функцию Л"
на основании уравнения (14-2-11). В результате получим следующую си-
стему уравнений:
0 (0 — c+c it it^.M Zr 0 <(0 OJO ; (14-2-12)
«гJO ~itLr^ 0 OJO
Теа (0 = - 2PlL+, iri Im (i + (14-2-13)
(0 = - Im (-C ) (14-2-14)
В развернутом виде уравнение (14-2-12) записывается как
0
0
0
«г, (0
«г.(0
0 0 0 0
0 *++ь+й 0 -^/Ва)
0 °
0 ^.+^1 0
0 0 Rr,+ Lr.i
338
Сю
Сю
Сю
с ю
Сю
(14-2-15)
где 7?° = К° -j- ; К* = Я* + <1
L° = L°+^; L+_L£+4-L+
Для получения полюсных уравнений устройства в явном виде необхо-
димо решить верхние три уравнения относительно i*(f) и i~ (f) и
подставить полученные результаты в последние два уравнения для напря-
жений, а также в уравнения для моментов.
’ Если оставить в стороне тот факт, чго уравнения системы явля-
ются нелинейными, последний шаг был бы лишь обычным, часто при-
меняемым приемом. Так как матрица коэффициентов, которая должна
быть преобразована в обратную, является диагональной, обратная
матрица находилась бы весьма просто. Однако в связи с присутствием
квадратичных членов в уравнениях (14-2-13) — (14-2-15) мы вновь ока-
зываемся в таком же положении, в котором были при анализе системы
с исполнительным двигателем: мы не можем получить полного и об-
щего решения. С помощью аппроксимаций, подобных использованным
в примере с исполнительным двигателем, можно получить лишь числен-
ные решения или ограниченные формы полюсных представлений. Отло-
жим дальнейшее обсуждение этих решений до следующих параграфов
и займемся методами получения уравнений.
14-3. Топологические требования к трехфазным системам
Единственным новым приемом, использованным в предыдущем
параграфе при выводе уравнений системы, было применение разло-
жения на симметричные составляющие к уравнениям графа. Важным
шагом в этом методе являются математические операции, сопутствую-
щие переходу от уравнения (14-2-8) к (14-2-9) йот (14-2-10) к (14-2-11).
Этот шаг оказался возможным благодаря тому, что переменные, вхо-
дящие в уравнения отсечений и контуров, связаны посредством суммы
и разности единичных матриц третьего порядка.
В свою очередь соответствующие единичные матрицы являются
прямым следствием топологических свойств графа системы. Отметим,
что подграф, использованный при выводе уравнений, образован посред-
ством специального соединения двух идентичных по-
люсных графов, имеющих одинаковое число вершин — в рассма-
триваемом случае четыре. Один полюсный граф образует полное дерево,
а второй—полную систему хорд, и наоборот. В противоположность это-
му, если обмотки одного из статоров соединены в треугольник, а другого
в звезду, подграф системы внутренних соединений имеет форму, пред-
ставленную на рис. 14-3-1,а. В этом случае одна группа трехфазных
элементов образует полное дерево, а другая не образует, в связи с чем
22*
339
матрицы отсечений и контуров не выражаются суммой и разностью
единичных матриц третьего порядка. В частности,
и
«4
"в
— 1 1 О
0—1 1
1 0-1
и2
«»
= 0,
(14-3-1)
и алгебраические преобразования, важные для выражения уравнений
через переменные последовательностей, не могут быть произведены.
Если три фазы обоих статоров соединены в треугольник или в звезду
без связи нейтралей, то графы системы имеют форму, показанную соот-
ветственно на рис 14-3-1,6 и в. В первом случае дерево графа системы
не содержит всех элементов каждого статора, во втором случае к эле-
ментам каждого статора добавляется еще один элемент. В обоих слу-
Рис. 14-3-2. Графы с минималь-
ным числом элементов.
Рис. 14-3-1.
а — граф системы при соединении звезда — треугольник;
б — то же при соединении треугольник — треугольник;
в — то же при соединении звезда — звезда.
чаях теряются соответствующие единичные матрицы в уравнениях
графа, и характеристики системы не могут быть
выражены через трех фазные переменные последо-
вательностей.
Описанные выше трудности связаны с тем, что для выражения
полюсных характеристик трехполюсной компоненты используются трех-
элементные графы, а не двухэлементные, как требуется. При использо-
вании минимального числа элементов, необходимого для представления
трехполюсных статоров, соединенных в звезду и треугольник, граф
системы соединения статоров имеет форму, показанную, например, на
рис 14-3-2,а или б
Уравнения отсечений и контуров для простого графа на рис. 14-3-2,6
имеют вид:
10|
0 1 I
1 0
0 1
1 о
0 1
1 о
0 1
Ч
Ч

(14-3-2)
(14-3-3)
Полюсные переменные связаны теперь посредством суммы и разности
единичных матриц второго порядка. Это согласуется, конечно, с числом
переменных, необходимых для трехполюсного представления. При ис-
пользовании истинного трехполюсного представления характеристики
систем соединения трехполюсных (двухэлементных) трехфазных ком-
понент могут быть получены, если точно следовать методике, изложен-
ной в предыдущем параграфе применительно к четырехполюсным
340
компонентам. Как будет показано ниже, в системах соединения трех-
и четырехполюсных компонент мы не встречаемся с какими-либо труд-
ностями, если используем полюсные графы для представления ком-
понент.
14-4. Трехполюсное представление трехфазных компонент
Рассмотрим сначала задачу определения трехполюсного представ-
ления трехфазного статора, соединенного в звезду. Будем полагать,
что ротор является однофазным. Граф для системы, включающий внеш-
Рис 14-4-1.
а —граф системы; б — полюсный граф.
ние измерения, показан на рис. 14-4-1,а, уравнения компонент представ*
лены в символической форме в виде уравнения (14-4-1):
где
^*3 Ь**» CQ Q О • + « 1 « й II — - =- -+а” -'а* а ° N ° + S | N II II 1 0 0 1°. 0 <Д6) Г Z+ Z+ (6) Г Z+r(6) Zr ir 7L+irIm(Z,+ eHB), 111 “° 1 a2 a a* ’ \ а а2 8 111 lA 1 a a2 ' 1 a2 a i c
/3
Уравнения отсечений и контуров
для графа на рис. 14-4-1
UA
ис
(14-4-1)
(14-4-2)
(14-4-3)
(14-4-4)
имеют вид:
% . I -1 0 1
«Л, । 0-11
'а
1С
— 1 о
0 —1
1 1
i

341
Требуемое трехполюсное представление получается путем подста-
новки преобразований (14-4-3) и (14-4-4) в уравнения отсечений и
контуров, приводящей в результате к новым преобразованным уравне-
ниям. Для напряжений можно записать:
% II
— 1 0 1
0—11
1 1 1
1 а2 а
1 а а2
и*
и~
8
= 0
или при выражении через переменные, определенные полюсным графом на
рис. 14-3-1,6:
I
। «2
Для токов
.0
I
1 1 1
1 а а,2
1 а2 а
— 1 0
0 —1
1 1
или при выражении через переменные, определяемые полюсным графом на
рис. 14-3-2:
«
Отметим, что матрица коэффициентов в уравнении (14-4-5) по отно-
шению к матрице коэффициентов в (14-4-6) является транспонирован-
ной сопряженной матрицей.
Полюсные уравнения в симметричных составляющих (14-4-1) и
(14-4-2) и новые преобразованные уравнения (14-4-5) и (14-4-6) обра-
зуют полюсные уравнения для трехполюсного представления. Как и
в случае исполнительного двигателя (§ 14-1), вывод касается лишь
преобразований, связывающих переменные последовательностей с изме-
рениями, определяемыми полюсным графом
Переменные и\ и «2, определяемые полюсным графом на
рис. 14-4-1,6, называют линейными напряжениями. Столбец нулей
в матрице коэффициентов в (14-4-15) свидетельствует о том, что линей-
ные напряжения являются независимыми от напряжения нулевой после-
довательности. Аналогично строка нулей в (14-4-6) предполагает, что
ток нулевой последовательности равен нулю для любой трехполюсной
или трехпроводной трехфазной компоненты. Таким образом, трехполюс-
иое представление трехфазной машины с тремя зажимами, соединенной
в звезду, состоит при всех условиях из уравнений для положительной
и отрицательной последовательностей и уравнений преобразования
(14-4-5) и (14-4-6).
342
Решая (14-4-5) относительно и* и «в , получаем:
а из (14-4-6) имеем:
и*
и~
/3 1 а2
1 1
а2 а
и,
«2
(14-4-7)
(14-4-8)
О _ L
Ч V3
1 1 а
Интересно отметить, что матрицы коэффициентов в этих уравнениях
являются субматрицами в матрице разложения трехфазной системы на
симметричные составляющие.
Перейдем теперь к выводу такого же трехполюсного представления
синхронной машины, соединенной в треугольник, как показано на
Рис. 14-4-2.
Вал
Статор
ЬЬ
Ротор
рис. 14-4-2. Поставим задачу получить полюсный граф и уравнения
преобразования в том же виде, как при соединении в звезду
[рис. 14-4-1 и уравнения (14-4-7) и (14-4-8)].
Из уравнений отсечений и контуров графа имеем:
«л 1 0
— 0 —1 11 y (14-4-9)
ис — 1 1 «2
*л
к ^2 — 1 0—1 0—1 1 гс (14-4-10)
Применяя к этим уравнениям графа трехфазное преобразование в симмет-
ричные составляющие получаем:
«S 0 0
«А+ «Г е;3°« — i i ui (14-4-11)
4 = 0 е~,30° 0 i е,30° — i О О + <1 1 <1 • (14-4-12)
Строка нулей в матрице коэффициентов в (14-4-11) свидетельст-
вует о том, что напряжение нулевой последовательности при соеди-
нении в треугольник равно нулю для любой данной системы линейных
343
напряжений. Подобным же образом из уравнения (14-4-12) следует,
что фазные токи нулевой последовательности не протекают в линейных
проводах. В этом случае, как и при соединении статора в звезду, урав-
нения для нулевой последовательности не входят в трехполюсное пред-
ставление трехфазной машины, соединенной в треугольник.
Так как мы потребовали, чтобы уравнения преобразования для
трехполюсного представления при соединении в треугольник были та-
кими же, как при соединении в звезду, уравнения для последователь-
ностей должны измениться. Для того чтобы вывести уравнения для
последовательностей в этом новом представлении, подставим (14-4-5)
в (14-4-11), а (14-4-12) в (14-4-6). В результате получим, что перемен-
ные последовательностей для статора, соединенного в треугольник,
связаны с переменными последовательностей для статора, соединен-
ного в звезду, следующими соотношениями:
О <?/30°
е-/30" О
(14-4-14)
Полюсные уравнения для последовательностей в трехполюсном
представлении статора, соединенного в треугольник, получаются путем
подстановки (14-4-13) и (14-4-14) в (14-4-1) и (14-4-2):
«Д
«Г
«г
3Z+ 0 /Зе'/30°Р(6)
О 3Z+ /3e/30°Z+ (6)
ГзЛ+(^) КзЬЛ^(О) Zr
.+
гА
/Д •
ir
(14-4-15)
Полученное полюсное представление статора может рассматри-
ваться как трехполюсное представление треугольника в виде эквива-
лентной звезды, так как при выводе были использованы те же полюс-
ные графы и те же преобразования.
Отметим, что величины коэффициентов, характеризующих полные
сопротивления статора, увеличились в 3 раза, а коэффициенты взаим-
ной связи между статором и ротором увеличились в /3 раз. Отсюда вы-
текает, что величины полных сопротивлений статора для установившегося
режима при соединении в треугольник втрое меньше соответствующих
сопротивлений при соединении в звезду, а номинальные полюсные напря-
жения при соединении в звезду больше номинальных напряжений при со-
единении в треугольник в ]/~3 раз. Номинальный ток при соединении в
звезду составляет 1/1^3 от номинального тока присоединении в треуголь-
ник.
+ « d(L+e,B)
Так как ^+(0) = ——
, то в уравнении (14-4-15) имеем:
УЗ e~i3Q° Z* (0) = ]Z3e~i30° ~ (Z.+ е~’6).
344
Т а б л и ц а 14-4-1
Трехполюсное представление многофазных машин
Трехфазный статор и однофазный ротор
Схема
Полюсный граф
Трехполюсные симметричные составляющие
us
us
иг
где
Уравнения для последовательностей
R‘+L,~dt 0 ~dt
0 /?'+£«ИГ у6)
е=±в(?+¥о)-
Трехфазный статор и трехфазиый ротор*
Схема
Полюсный граф
Трехполюсиые симметричные составляющие
Us 1 i a “1
Us ~ КЗ" i a2 u2
* + Ur . 1 i a «3
Ur “ /3" i a2
G 1 i I ir
*2 - ГЗ a? a is
*3 1 1 1 :+ lr
- Гз a2 a ir
а ь с
345
Продолжение табл. 14-4-1
Трехфазиый статор и трехфазный ротор*
Схема
Полюсный граф
Трехполюсиые симметричные составляющие
' +
US
Us
• +
Ur
Ur
где
Уравнения для последовательностей
R‘+L‘~dt 0 0
О R“+Lrdt 0 ~dt(zsTe~lG)
I
4(^-/е) ° °
° 4(^/e) ° r'+l^
7-=-Lsr2pim^+^e-/e)+^+;4);,
* Для л-фазиого короткозамкнутого ротора полюсные уравнения имеют такую же форму, при-
чем =иг =0.
Эта разница в форме уравнений для последовательностей указы-
вает на то, что для машины, работающей в режиме генератора пере-
менного тока, при переходе от соединения в звезду к соединению в тре-
угольник появляется сдвиг в фазовом угле полюсных напряжений.
Применительно к двигательному режиму синхронной машины указан-
ная разница проявляется в том, что при одинаковых полюсных напря-
жениях направление вращения вала будет различным для соединения
в звезду и треугольник. В реальных условиях для сохранения направ-
ления вращения следует поменять местами любые два зажима.
За исключением изменения величины коэффициентов и знака 6
полюсные уравнения для статора, соединенного в звезду и в треуголь-
ник, как для трехполюсного устройства, являются идентичными. Дейст-
вительно, если машина рассматривается как трехполюсный «черный
ящик», внешние измерения не позволяют различить способ соединения
ее обмоток. Следовательно, рассматривая трехполюсную трехфазную
машину как компоненту системы, мы не интересуемся внутренним
соединением ее обмоток. Эти детали представляют интерес лишь при
проектировании машины.
Поскольку мы рассматриваем применение машины как компоненты
системы, можно обобщить результаты настоящего параграфа, перечис-
лив трехполюсные представления для трехфазных машин с однофазным
и трехфазным ротором, как показано в табл. 14-4-1.
Составляющие, определяемые уравнениями преобразования, свя-
зывающими переменные последовательностей с полюсными перемен-
ными в трехполюсном представлении, мы будем называть в дальней-
шем трехполюсными симметричными составляющими в отличие от
трехфазных симметричных составляющих, используемых до сих пор
для четырехполюсных трехфазных систем.
346
Как и во всех случаях полюсного представления, коэффициенты
в уравнениях для последовательностей, приведенных в табл. 14-4-1,
могут быть определены экспериментально из опытов холостого хода
или короткого замыкания при рассмотрении системы трех полюсов как
«входа» и «выхода». В частности, если валы машин (табл. 14-4-1) при-
водятся во вращение с постоянной скоростью, коэффициенты в уравне-
ниях удобно определять по двум опыта.м холостого хода: 1) когда все
зажимы на роторе разомкнуты, а к статору приложена система симме-
тричных напряжений и 2) когда все зажимы статора разомкнуты,
а к ротору приложена система симметричных напряжений. Эти два
опыта позволяют определить все четыре электрических коэффициента
в уравнениях для последовательностей.
14-5. Системы, образованные трехполюсными трехфазными
электромеханическими компонентами
Если система состоит лишь из трехполюсных трехфазных компо-
нент, вывод уравнений системы производится путем разложения на
симметричные составляющие уравнений графа до объединения их с по-
люсными уравнениями компонент. Покажем применение этого метода
на примере дифференциальной следящей системы, изображенной на
рис. 15-5-1, а.
Если две роторные цепи возбуждаются от источника синусоидаль-
ного напряжения неизменной амплитуды, сумма углов, характеризую-
щих положение валов всех трех машин, сохраняется примерно посто-
янной при условии, что один из валов может свободно вращаться. Та-
кая система называется дифференциальной следящей системой, так как
Рис. 14-5-1. Типичная трехфазная электромеханическая система.
а — схема; б — граф системы.
угол, определяющий положение ненагруженного вала машины 2, пря-
мо пропорционален разности углов, определяющих положения валов
машин 1 и 3. .
Из графа системы на рис. 14-5-1,6 следует, что полюсные перемен-
ные машины связаны единичными матрицами. Следовательно, преобра-
зованные уравнения для двух отдельных подграфов имеют вид:
(14-5-1)
347
(14-5-2)
В соответствии с табл 14-4-1 полюсные уравнения для первых двух
машин объединяются, как указано в (14-5-1), путем вычитания двух
уравнений для ротора второй машины из двух уравнений для статора
первой машины. В символической форме результат можно записать как
о =
о
О -Zsr (62) о о
О 2з о -zrs(62) О
0 zr^zSi О ZJ6J
о -zje2) о z,.2+zSj z^ej
О О ZJ6J Z^/ej Zri
(14-5-3)
Ar2A/riIm(zX/61)
Asr2AIm (—
<Pi
?2
(14-5-4)
Уравнение (14-5-3) можно рассматривать как неявную форму по-
люсных уравнений для последовательностей для системы, состоящей
лишь из первых двух машин. Чтобы учесть третий сельсин, вычтем
уравнения для статора (первые два) в (14-5-3) из уравнений для ста-
тора третьего сельсина, как указано в (14-5-2). В результате получим:
О
О
О
О
348
о
т
?1
о
d
dt
dt
d
dt
?3
st\
(14-5-6)
T
1 2
T
1 з
о
о
?г
о
о
Im (<* e ,B>)
W 'и (/>-«)
L
где
в.=^рл-
Для получения полюсного представления системы, состоящей из
элементов графа гх и г3 и /, 2 и 3, необходимо решить уравнение
(14-5-5) относительно переменных последовательностей и подставить
полученные результаты в оставшиеся уравнения. Как и прежде, этот
шаг не представляет труда в случае линейных дифференциальных урав-
нений. Применительно же к нелинейным уравнениям, приведенным вы-
ше, единственная возможность получить решение основывается на ис-
пользовании численных методов. Однако, как уже отмечалось ранее,
в настоящее время не существует метода, позволяющего использовать
полученные результаты для получения полюсного представления.
Из изложенного не следует, тем не менее, что рассмотренный про-
цесс вывода уравнений является бесполезным с точки зрения анализа.
Эти уравнения позволяют выбрать условия работы и ввести допущения,
необходимые для аналитического решения задачи.
14-6. Аналитическое решение для типичной трехфазной
электромеханической системы
Прежде чем продолжить обсуждение методов вывода уравнений,
целесообразно рассмотреть некоторые примеры решения. Рассмотрим
частный случай применения дифференциальной следящей системы
(рис. 14-5-1), когда роторные токи двух машин являются известными
функциями времени. Пусть, например, эти роторные токи определяются
как
tpl — — 1 ,si и
(14-6-1)
349
Пусть также машины 1 и 3 имеют идентичные характеристики. Если
машина используется как компонента системы управления, интерес
представляют лишь момент на валу и положение вала. Поэтому в на-
стоящем примере мы выведем полюсные уравнения системы и оставим
лишь те из них, которые связывают механические переменные.
При возбуждении, соответствующем (14-6-1), уравнения для диф-
ференциальной следящей системы (14-5-5) образуют две пары совмест-
ных уравнений. Первая пара составляется из первого и третьего урав-
нений и записывается как
О
О

где
=^r = RS + RS ;
So *1 1 *2 51
L =L 4-L =£ +£. ;
Sq ГS3 S2
L =L .
sr! sr3
Вторая пара уравнений является комплексно сопряженной с первой и
не нуждается в рассмотрении.
Требуемое полюсное представление системы получается посредством
решения уравнения (14-6-2) относительно токов и i* и подстановки по-
следних в уравнения для моментов (14-5-6). Как и прежде, нелинейные
формы, содержащиеся в уравнениях, вынуждают нас решать задачу при
постоянной скорости вращения вала. Кроме того, так как скорости 63, 6,
02 являются близкими и так как они малы по сравнению с частотой <о, алге-
браические выражения, входящие в решение, оказываются весьма слож-
ными. Поэтому мы будем рассматривать три фиксированных положе-
ния вала и выведем выражение для момента в функции этих фиксиро-
ванных положений. Для заданных функций времени (14-6-1) уравнение
(14-6-2) перепишется в следующем виде:
R- + L-a
<-t>Lsr lr cos wt. (14-6-3)
е>е‘
Эти уравнения представляют собою пару совместных дифференци-
альных уравнений с комплексными коэффициентами и синусоидальны-
ми задающими функциями. Установившееся решение имеет вид:
где
1
D
2 ’
e1'6’
ei6‘
mLrs/<
(14-6-4)
(14-6-5)
R -\-jwL — j<»LelBs
—J^L e^'^R
* 2 So l So
350
1
D

R —jvL iw^srelB2
Sq * Sq *
^—iwLs„
е'Вз
^Lsr/r', (14-6-6)

(14-6-7)
Так как мы должны выразить токи как явные функции положения
валов, представим полученное выше решение в .виде
S3
Sg
где
К^3—
K,e‘
(/? + /<о£ )coL,
' A(j ' Sq 7 5
K1 (^0+/“^0)г + (^г2)а
(>>Lsra>Lsri
=К^а';
(14-6-8)
(14-6-9)
(14-6-10)
R _________шЧг.™Чг,_______к ja,.
(^0 + /«Ч )2 + (“W 2
Комплексные постоянные и Кг зависят лишь от расчетных параметров
машины.
Выражение для моментов на валу находят путем подстановки
(14-6-4),
зованпй
(14-6-11)
(14-6-8) и
получаем:
(14-6-9) в
уравнение
(14-5-6). После ряда преобра-
Т\
7\
Т3
d

31 +6я)
A
О
О
L
.sr pt Кг sin (б, + б2 — 63 — аг)
^aA(^-^)sin(01+62-6s)
(14-6-12)
где все составляющие моментов частоты 2ш опущены. При выводе пред-
полагалось также, что машины 1 и 3 одинаковы, т. е. имеют одинаковое
Рис. 14-6-1. Полюсный граф для си-
стемы, изображенной на рис. 14-5-1.
число полюсов (/?, = р3) и одинаковые значения
Lsr = Lsra. Вместе с тем каких-либо условий на
при выводе не накладывалось. Отметим также,
тированы так, что R < <oLs°, то К2 является
в уравнениях (14-6-12) а2->0.
h
9
взаимных индуктивностей
число полюсов машины 2
что если машины спроек-
действительным числом, и
351
Для малых угловых смещений sin 0^0, и полюсные уравнения для
полюсного графа дифференциальной следящей системы, изображенного на
рис. 14-6-1, являются линейными и имеют следующий вид:
rt
Л
Л
<£ I j d1 Ргс
dt' ldt* Pl1
d , , d2
-с2
Pz 2
С,
р-с2
Рг 2
d , , d2
%
%
?3
Р1
С
(14-6-13)
где
Сх^Ж
С^/2гЬг/2^-К22У,
e,=(— A'r'i+^J;
e2= —a?2; 64=a?s-
Более удобную форму полюсных уравнений можно получить в виде
изображений при замене второго уравнения на обратное:
С,С2 Wt(s) с\с2 r2(s) Pz Cl P1U72 (s)
Л (S) Л (S) =: с,- С,С2 U7a(s) U7x(s) c,c2 lT2(s) Pz c, Pi (s) Фх («) Тз(«) • (14-6-14)
Ф2 (5) Pi с2 Pi ca 1 r2(s)
Pz №2(s) Pz Wz (S) Wz (s)
где:
^(5) = ^ + ^ + ^;
U72(s) — ~F B2s ~F J2s2-
Если пренебречь коэффициентами демпфирования и моментами инер-
ции роторов машин, то полюсные уравнения приобретают очень простой
вид:
0 0 PzCi Pl c2
T',
1 T 1 3 — 0 0 p2 Ci Pi c2
?2 _£? _ Pi 1
Pz Pz c2
Тх
Фз
т
1 2
(14-6-15)
При отсутствии нагрузки на валу второй машины (на выходном валу)
положение этого вала выражается через положения входных валов сле-
дующим образом:
таг +f-(s)1 (14-М6)
или, если пренебрегают величинами В и J:
Ф = —^(Фх + фД
(14-6-17)
352
Благодаря тому, что электрические переходные процессы протекают
значительно быстрее механических, полюсные уравнения дифференци-
альной следящей системы для установившегося режима дают вполне
приемлемые результаты при описании изменения положения вала во
времени.
14-7. Выполнение решения для типичной трехфазной электромеханической
системы на вычислительной машине [Л. 13-1]
Рассмотрим теперь решение для типичной нелинейной электроме-
ханической системы переменного тока.
Синхронный генератор соединен с синхронным двигателем, как по-
казано на рис. 14-2-1. Нагрузка двигателя изменяется мгновенно от
0,5 до 0,6 отн. ед. Нужно определить, останется ли машина в синхро-
низме. Если останется, то решить такую же задачу при мгновенном из-
менении нагрузки от 0,5 до 0,8 отн. ед. Полюсное напряжение до при-
ложения нагрузки составляет I отн. ед., коэффициент мощности при от-
стающем токе равен 0,85. Машины идентичны, коэффициенты последо-
вательностей в относительных единицах имеют следующие величины:
#+=0,005; <oL+=l,2;
<о£+=0,6; #r=l;
sr > 1 'Г ’
Lr = 6,0; <о = 377; 2/7 = 2.
Уравнения для системы такого типа уже были получены в § 14-2:
(14-2-13)—(14-2-15). Из этих уравнений не удается исключить оба экспо-
ненциальных члена путем замены переменных; могут быть исключены
лишь коэффициенты e±iB' или e±iB1. Мы исключим экспоненциальные чле-
ны е±1В‘ и затем разделим вещественные и мнимые составляющие путем
применения преобразования переменных, приводящего к уравнениям по
продольной и поперечной оси:
d
Us,
и
lsl
1
—7
e~iB'
0
0
eiB'
(14-7-1)
<jB' 0
0 е~,в'
1
1-7
.d
1SI
i4
Si
(14-7-2)
1
/2
Г2
1
7
7

В результате получим следующие дифференциальные уравнения с ве-
щественными коэффициентами:
/К 4
/^4
—/21*, [cos (Я1 — а2) + ^sinK— «=)]
—Г—sin (а, ~ аг) + 62 cos (а1—
(14-7-3)
23—1738
353
C+(^ + L^) (И-7-4>
ur = V2Z/|cos (a, — а2) — (а2 — а2) sin (а, — <x2) j £ —
— /2LS£ [sin (a, — a2) + («1 — aa) cos (a, — a2)J £4~
+(^+L.4)^ <14-7-5>
Рг= + U 6.; (14-7-6)
A = 62Л ='— p/^Ltr/r, К cos <ai — a*> + C sin (ai — Ml +
+ U^62. (14-7-7)
где
61 = «rf4-ai 4"2 ’ =
e2 = w/ + a2 + ^-; ^62 = a2- (14-7-8)
Начальные условия, вычисленные на основании заданного установив-
шегося режима, имеющего место до приложения нагрузки, [запишутся
как
£(0-4-) = —0,484;
£(04-) = — 0,335;
^(О-Н^-Ьб;
£(°4-) = 0,852;
Я1(0-|-) = 23,6°=0,4116 рад;
а2(04-) = —28° = —0,4886 рад;
е1(0-|-) = а1(04-)4-у= 1.982 рад;
62 (0+) = a2 (04-) 4- г = 1 ш:рад;
64044 = 6,(044 = 377 рад!сек;
pi (0 + ) =0,5;
Р2(04-)=0,5.
Можно показать, что в настоящем примере изменение тока ротора
за переходный период является пренебрежимо малым, так как индук-
тивность ротора составляет 6 отн. ед., в то время как индуктивность
статора составляет всего 1,2/377 отн. ед. С учетом этого упрощающего
354
условия уравнения (14-7-3) — (14-7-7) записываются в форме, требуемой
метолом Рунге — Кутта, как
d
dt
£1
0.
в2
62
I - + M^A.sin (а, - а2)] 4
[- R+. ~ + WC/r. - 02/2£*д cos (а-а2)] ±
6.
(А + бУ^д^)^
Ъ
{А + ’62/2Л+д [— i’ cos (а, — аг) — £ sin (а, — а2)]} у~-
(14-7-9)
Результаты решения уравнения (14-7-9) на вычислительной машине
для заданных численных значений коэффициентов и начальных усло-
вий показаны на рис. 14-7-1 и 14-7-2. Решения получены для двух зна-
чений ступенчатого изменения нагрузки синхронного двигателя:
Др2 = 0,6—0,5 = 0,1;
Др,, = 0,8—0,5 = 0,3.
Эти изменения эквивалентны ступенчатому изменению момента, так
как скорость 6=о> остается неизменной. На рис. 14-7-1 представлена
разность углов момента си—а2; очевидно, что при Др2 = 0,3 машины вы-
падают из синхронизма. На рис. 14-7-2 изображено изменение углов
момента каждой машины во времени для тех же условий. Заметим, что
для случая неустойчивой работы (Др2=0,3) угол а2 монотонно умень-
шается, в то время как щ испытывает малые колебания.
На рис. 14-7-3 представлены зависимости огибающих токов и i’ от
времени. При желании программа для численного решения может быть
составлена таким образом, чтобы получить изменение мгновенных значе-
ний полюсных токов от времени.
Численные методы, использованные для анализа приведенной выше
системы, могут, конечно, быть применены и для других систем. Эти ме-
тоды представляют собою единственный практически целесообразный
путь решения нелинейных уравнений указанного типа.
14-8. Полюсные характеристики трехфазных электрических компонент
До настоящего времени мы рассматривали трехфазные машины
как электромеханические компоненты и видели, что их полюсные харак-
теристики описываются сложными нелинейными уравнениями. Теперь
мы переходим к анализу значительно более простого, но очень важного
23*
355
Рпс. 14-7-1. Изменение относительного угла мо-
мента двух машин в системе на рис 14-2-1 в пе-
реходном процессе при ступенчатом изменении
нагрузки второй машины.
Рис. 14-7-2. Изменение углов момента двух машин
в системе на рпс. 14-2-1 в переходном процессе
при ступенчатом изменении нагрузки второй ма-
шины.
Рпс. 14-7-3. Изменение токов последовательно-
стей id(?) и /’(/) при Др2=0,1 и Др2=0,3
356
класса систем, в которых скорость вращения валов всех машин может
рассматриваться постоянной. Типичными примерами систем, в кото-
рых такое упрощение часто оказывается возможным, являются авиа-
ционные системы электроснабжения и энергетические системы. В этих
системах инерция нагрузки, присоединенной к валу, обычно бывает так
велика, что изменения скорости вращения за время протекания элек-
трических переходных процессов оказываются пренебрежимо малыми.
При указанных допущениях электромеханические компоненты сводятся
к чисто электрическим компонентам, и, если не учитывать возможные
нелинейности индуктивных коэффициентов, полюсные характеристики
описываются линейными уравнениями, допускающими аналитическое
решение.
Трехфазные электрические системы можно отнести к системам с мо-
дуляцией, так как лишь амплитуда и фазовый угол синусоидальных
полюсных напряжений и токов компонент системы изменяются во вре-
мени. Неизменность скорости вращения предполагает постоянство ча-
стоты. Следовательно, интерес представляют лишь модулирующие функ-
ции, в связи с чем целесообразно применять частотное преобразование.
Такой подход уже использовался в гл. 12 для решения уравнений ком-
поненты, а также .в предыдущем параграфе в качестве первого шага
при решении нелинейных дифференциальных уравнений системы. Одна-
ко в последнем случае преобразование, эквивалентное комплексно-ча-
стотному, применялось после вывода уравнений системы. Если же в те-
чение рассматриваемого интервала времени все валы в системе враща-
ются с постоянной скоростью, целесообразно сначала применить ком-
плексно-частотное преобразование к полюсным уравнениям, а затем
уже вывести уравнения для системы. При этом предполагается, конеч-
но, что уравнения компонент должны быть выражены через перемен-
ные, определенные в гл. 12 как переменные обратной последовательно-
сти. Перечень типичных трехфазных электрических компонент и их по-
люсных уравнений приведен в табл. 14-8-1.
Переменные в этих уравнениях связаны с переменными в полюсных
графах соотношениями (14-8-1) — (14-8-4). Уравнения записаны в виде,
обычно используемом при заданных полюсных напряжениях.
В связи со следующим далее изложением здесь уместно заметить,
что если угол а рассматривается как функция времени, то уравнения
для машин, приведенные в таблице, применимы также для изучения
переходных процессов изменения скорости. Таким образом, мы можем
рассматривать табл. 148-1 как сводку характеристик типичных трех-
фазных электрических и электромеханических компонент.
Для трехфазного четырехполюсного представления можно запи-
сать:
357
со Таблица 14-8-1
сл
00 Типовые трехфазные электрические компоненты
Переменные, входящие в соответствующие уравнения для последовательностей, связаны с переменными, определяемыми
полюсными графами, посредством уравнений (14-8-1) —(14-8-4)
Схема Граф
Полюсные уравнения для последовательностей при положении вала 8 = ш/ + а + -
Г енератор
= d Z. + L, dt 0 * d z,r ~dt T = 2pL,ri z» = „ d 0 / (oZ ar 4* Z BT * d , * * d з 4" dt- ]ti)Zsr 4“ Zsr „ d „ d ZsT dt Rr + Lr dt .. / d \ 1 r Im e '“) 4- (в + J J — ^Rs + juL,, zaT = jL,Te,a 1 ir
Zt + Ls4t ° ^Ztr+^rit
== 0 *. . .j. d . *, *, d “b "s dt Zsr ‘s
* , d Ztr~dt . d d zsr~di Rt + Lr'di "s lKs + Ls dt J ‘s ‘r
T = 2X+i, Im (j'ibs е~'а) + (в + 1 i
2s+ = /?;+/W+, z+=i£are/e
П родолжениё табл. 14-81
Схема
Г раф
Полюсные уравнения для последовательностей при положении вала 9 = “< + а + у
Трехфазная
машина с фаз-
ным ротором
Трехфазный
трансформатор
Трехфазный
трансформатор
“s d Zs 4- L, d ] <&Z 8Г “j- Zsr ;b ‘s
'’и? d j (<0 — 9) Z я г 4* st d Zr + Lr-dF e'9 ibr
Ze = fle + /wLe, Zr = Rr + j(w-0)Lr
Zgr ~ jLar
T = 2pZ.sr Im (/* f e~ia) 4- (й 4- / У “
Zp = Rp 4* jcoLp
Трехфазная
линия передачи
8.
о о----off
bo of
с о — о!
Вход Выход
£<>□_ £°9
Трехфазная
линия передачи
и земля
Продолжение табл. 14-8-1
Полюсные уравнения для последовательностей при положении вала 9 = at + а + -g-
«Р
d
Zp + Lp (Ц npt
ttps 0
„О___/ n° | /°
us ~ I т
'°
ZP = RP + ia>L„
>Р
“д
Zi = Ri+ jtaLi, wt = g, + jwC,
Z+ =Rf + , w+ = gf + iuC+
Продолжснис табл. 14-8-1
Схема
Граф
Полюсные уравнения для последовательностей прн положении вала 9 = at + а + —
361
индуктивность
цй =
ц!> = Rib
и° = Ri°
/ d \ .
«ь = IZ + С j иь
Z = jaC
;ь=(г + С dFj"6
Z = ja>C
d
i° = C dtu°
( d\.
ub = ( Z + L ib
Z = jwL
-[z + LTu)ib
Z = /coL
d
Для трехфазного трехполюсного представления
'иь
*
иь
1
/3
e~iat
О
О
е'ш<
1 а
1 а2
«1
иг
=_1_ 1 1
i2 Кз а1 а
eia>t
О
О
e~iwt
ib
*
1Ь
(14-8-3)
(14-8-4)
Теперь рассмотрим кратко каждое полюсное представление, приве-
денное в табл. 14-8-1.
Генератор переменного тока (компоненты 1 и 2). Четы-
рехполюсное представление генератора переменного тока было получе-
но в гл. 12. Трехполюсное представление получается аналогичным об-
разом. Отметим, что напряжение ротора в общем случае является функ-
цией обеих переменных последовательностей для статора. Генератор
переменного тока является единственной компонентой из перечисленных
в таблице, для которой это утверждение -справедливо.
Трех фазная машина с фазным ротором (компонента 3).
Трехполюсное представление трехфазной машины с фазным ротором
получается на основании данных табл. 14-4-1 путем применения преоб-
разований
и е~м
к уравнениям для симметричных составляющих соответственно ротора и
статора. Член ш — 6 представляет собою разность между частотой в си-
стеме (в электрических радианах в секунду) и скоростью вращения вала
машины (тоже в электрических радианах в секунду). В соответствии с пре-
дыдущим изложением ш—6 называют частотой скольжения. Можно по-
казать, что для постоянной скорости вращения вала полюсные характери-
стики не зависят от угла а.
Трехфазные трансформаторы (компоненты 4, 5 и 6). Если
скорость вращения вала трехфазной машины с фазным ротором рав-
на нулю, то эта компонента представляет собой трехфазный трансфор-
матор. Более дешевая конструкция трехфазного трансформатора полу-
чается при соединении первичных и вторичных обмоток трех одинако-
вых трансформаторов в звезду или треугольник, как показано, напри-
мер, на рис. 14-8-1, в результате чего получается так называемая транс-
форматорная группа. Полюсные характеристики во всех случаях имеют
одинаковый вид. Однако в связи с тем, что коэффициент связи между
первичной и вторичной обмотками каждого трансформатора близок
к единице, т. е. Л4ц» ~ , измерять и представлять полюсные
характеристики через параметры холостого хода не является целесо-
образным. Следовательно, как и в случае однофазных трансформато-
ров, полюсные характеристики почти всегда представляют через Л-па-
раметры. Коэффициенты определяют из одного опыта холостого хода
и одного опыта короткого замыкания. Для хорошо выполненной сило-
вой трехфазной трансформаторной группы полюсные уравнения имеют
вид, приведенный в таблице, причем элемент (2,2) принимается равным
нулю. Это соответствует пренебрежению намагничивающим током.
Если же указанный элемент не является пренебрежимо малым, то
362
уравнения для трехполюсного трехфазного трансформатора, представ-
ленные в комплексной области, имеют вид:
«>)
ibp (s)
Zp Lps
Ups
tips
1
Zs+L„s
ubp (S)
(14-8-5)
где Zs=i/?s+/W-s— полное выходное сопротивление для установивше-
гося режима при разомкнутой первичной обмотке.
Полюсное представление для трансформаторных групп, приведен-
ное в табл. 14-8-1, также может быть получено из полюсных уравнений
Первичные Вторичные Первичные „ f
। Вторичные
Рис. 14-8-1. Типичные трансформаторные группы.
а — соединение треугольник — треугольник; б — соединение
треугольник — звезда.
для отдельных трансформаторов. Например, полюсные уравнения для
трех одинаковых трансформаторов при соединении первичных и вторич-
ных обмоток в звезду имеют вид:
ил
ив
ис
1А'
'‘В’
'-с
Ra-YLa~T 0 0 0 0
о ^+^4 0 0 0
° ° ^+^4 ° °
— nps О О ООО
О —nps О ООО
О 0 — nps ООО
гс
UA'
и В’
ис
(14-8-6)
Применяя к уравнению (14-8-6) преобразования (14-8-1) и (14-8-2),
можно получить четырехполюсное представление, приведенное в таб-
лице, если принять, что
l+p-^
R°z=R L°=L.
хр Р А
Отметим, что этот результат может быть быстро получен посредством
применения сначала разложения на симметричные составляющие, а за-
тем комплексно-частотного преобразования.
363
Трех фазные линии передач (компоненты 7 и 8). Если дли-
на линии меньше длины волны, то полюсные уравнения для линии пе-
редачи очень похожи на уравнения трансформаторной группы, если в них
положить nps= I. Коэффициенты в уравнениях определяются из опытов
холостого хода и короткого замыкания, В частности, элемент (1,1)
в трехполюсном представлении является входным полным сопротивле-
нием при трехфазном коротком замыкании на выходе (без заземления)
и симметричном трехфазном напряжении на входе. Элемент (2,2)
представляет собой полную выходную проводимость при разомкнутом
входе и симметричном трехфазном напряжении, приложенном к вы-
ходным зажимам. В этот элемент входят как емкость между линиями,
так и соответствующая проводимость.
В случае четырехполюсного представления коэффициенты положи-
тельной последовательности получаются с помощью аналогичных опы-
тов холостого хода и короткого замыкания с той лишь разницей, что
напряжения прикладываются и измерения производятся между линией
и землей, как указано графом, а при коротком замыкании все три фазы
заземляются. Коэффициенты нулевой последовательности получают из
опытов холостого хода и короткого замыкания (с заземлением) при
соединении всех трех линий в параллель.
Трехфазные сопротивления, конденсаторы и ин-
дуктивные катушки (компоненты 9, 10 и 11). Полюсные представ-
ления симметричных трехфазных групп сопротивлений, конденсаторов
и катушек индуктивности для трехфазных систем с модуляцией являют-
ся очевидными. Они приведены для полноты и наглядно демонстрируют
контраст с другими компонентами. Аналогичные трехполюсные пред-
ставления также, конечно, могут быть получены при соединении ком-
понент в треугольник.
Важно понимать, что для симметричной системы фазных напряже-
ний вида
11 а У)
«в (О
мс(0
= Up(t)
COS (со/ -ф- р)
COS (со/ — 120° —р)
cos (со/—|—120° + ₽)
(14-8-7)
напряжения в полюсных уравнениях для последовательностей при че-
тырехполюсном представлении имеют амплитуду и фазовый угол, пря-
мо пропорциональные таковым для фазных напряжений, т. е.
иь (/) = Uр (/) е* = &.&p(t), (14-8-8)
где Up (/) называют комплексным фазным модулирующим напряжением.
Токи при условии симметрии имеют такую же интерпретацию.
Если линейные напряжения в трехполюсных представлениях явля-
ются симметричными и имеют вид:
11 At) =и (/) cos (со/ -ф- ₽)
«2(/) ! —cos (со/-ф-120° 4-Р)
то переменные в полюсных уравнениях для последовательностей при
трехполюсных представлениях прямо пропорциональны по амплитуде
и фазовому углу линейным напряжениям:
йь (t)=e‘3aPOl
(14-8-9)
364
a U, (t) называют комплексным линейным модулирующим напряжением.
Из уравнений (14-8-8) и (14-8-9) следует, что линейные л фазные напря-
жения при соединении в звезду связаны следующим соотношением:
tyz(0=2re“/3O°^w-
Таким образом, мы видим, что если полюсные напряжения обра-
зуют симметричную систему, то необходимая информация содержится
в переменных уравнений для последовательностей, и нет нужды произ-
водить обратное преобразование переменных.
Рассматривая полюсные уравнения для трехфазных составляющих,
приведенные в табл. 14-8-1, можно обнаружить, что эти уравнения не
отличаются по виду от уравнений для систем постоянного тока, с той
лишь разницей, что коэффициенты в этих уравнениях комплексные, а не
вещественные. Аналитическое решение получают с помощью обычного
преобразования Лапласа По этой причине преобразование переменных,
использованное в настоящем параграфе, может рассматриваться как
приведение систем переменного тока к эквивалентным системам
постоянного тока.
14-9. Графы последовательностей для симметричной трехфазной
энергетической системы, работающей в установившемся режиме
Из рассмотрения характеристик трехфазных компонент, приведен-
ных в табл. 14-8-1, следует, что для всех компонент, кроме трех-
фазного генератора переменного тока, с каждым трех- или четырех-
полюсным входом или выходом связано лишь одно уравнение. Отметим
также, что полюсные уравнения генератора переменного тока при
установившемся режиме приводятся к виду, соответствующему этому
основному свойству. Существует множество задач, особенно в области
Нагрузка Нагрузка
Рис. 14-9-1. Типичная тре.хфазная энергетическая система.
365
Рис. 14-9-2.
передачи и распределения энергии, где рассматриваются лишь характе-
ристики в установившемся режиме Применение для таких систем спе-
циальных методов анализа позволяет существенно упростить решение
и сократить необходимое для него время. Как тип рассматриваемых
систем, так и применяемые методы анализа лучше всего могут быть
показаны на примере типичной энергетической системы (рис. 14-9-1).
Заметим, что три зажима каждой компоненты всегда соединены
таким образом, что образуется симметричная трехфазная схема. В слу-
чае трансформаторов и линий электропередачи одна группа из трех
зажимов может рассматриваться как вход,
а вторая — как выход. Подобным же обра-
зом группы зажимов нагрузки и генераторов
также могут быть отнесены к входным и вы-
ходным,
между
группами
компоненты (см., например, рис. 14-9-2).
никогда не
образом, удобно рассматривать систему состоящей из связанных
между собой компонент с одной или двумя группами зажимов. В этом
отношении система очень походит на систему взаимосвязанных одно-
и двухвходных компонент, рассмотренную в гл. 7. Как и там, связь
между входами и выходами компонент
Непосредственная
входными
з
СВЯЗЬ
ВЫХОДНЫМИ
трехфазной
и
а ж и м о в
осуществляется. Таким
Нагрузка а
Погрузка 4
Нагрузка '
Линия у
Погрузка 2
системы,
изо-
Рис. 14-9-3. Однолинейная диаграмма i
браженной на рис. 14-9-1.
может быть показана с по-
мощью однолинейной диа-
граммы. Такне диаграм-
мы используются при изу-
чении энергетических си-
стем для представления
системы на рис. 14-9-1
в виде, показанном на
рис. 14-9-3. Как и в слу-
чае однолинейных диа-
грамм для систем, по-
строенных из компонент
с двумя входами, одно-
линейная диаграмма на
рис. 14-9-3 показывает
относительную ориента-
цию измерений, исполь-
зованных при получении
характеристик компонент,
и не содержит какой-ли-
бо другой информации.
Эта же информация со-
держится и в линейном
графе системы.
трех- и четырехполюсных
Рассмотрим теперь линейные графы
трансформаторов и линий передач, соединенных между собой. Эти
графы показаны на рис. 14-9-4,а.
До настоящего времени при аналитическом изучении мы постоян-
но использовали относительные ориентации, указанные в графах для
компоненты, и убеждались, что это дает нам ряд преимуществ. Здесь
же при использовании этих относительных ориентаций оказывается,
что граф системы содержит больше информации, чем необходимо. Вся
существенная информация может быть включена в эквивалентный
366
полюсный граф, показанный на рис. 14-9-4,6. За исключением случая,
когда соединяются трех- и четырехполюсные компоненты, эквивалент-
ный граф может рассматриваться как один элемент относительно каж-
дой группы зажимов. Более того, переменные последовательностей
в полюсных уравнениях для двух компонент связаны уравнениями кон-
туров и отсечений этого эквивалентного графа. Даже в случае соедине-
ния трех- и четы'рехполюсных компонент (рис. 14-9-4,а) можно пока-
зать, что соответствующие переменные связаны контурными уравнения-
ми графов на рис. 14-9-4,6. Следовательно, эквивалентный граф
может использоваться в качестве основы для непо-
Рис. 14-9-4.
а — графы соединенных трех- н четырехполюсных трехфазных компонент:-
б — эквивалентный полюсный граф.
средственной записи преобразованных уравнений
отсечений и контуров. Так как эквивалентный граф для после-
довательностей может быть получен непосредственно из рассмотрения
системы, то удается избежать трудоемкой работы, связанной с предва-
рительной записью уравнений контуров и отсечений с последующим
разложением на симметричные составляющие.
Дальнейшее упрощение достигается путем присоединения эквива-
лентного полюсного графа для последовательностей (рис. 14-9-4,6)
к общей вершине, как показано на рис. 14-9-5. Эта операция оказывает-
ся возможной благодаря тому, что компоненты в системе используются
как компоненты с двумя входами. Уравнения для обратной последова-
тельности, соответствующие установившемуся режиму работы трехпо-
люсного трансформатора и четырехполюсной ’линии передачи, имеют
•ь
t,
(14-9-1)
(14-9-2)
и\
А
367
Другое полюсное представление линии передачи получается при
использовании эквивалентных графов для последовательностей, пока-
занных на рис. 14-9-6; полюсные уравнения записываются в виде:
Рис. 14-9-6.
4
ь
iv
U7.
ii'i
(14-9-3)

О
О
графа
Уравнения для этого
преобразования для дерева:
получаются
посредством использования
К
К
— 1
О
А
ь
4
<4
ъ
ь
U4'
1
— 1
(14-9-4)
1
О
Последнее полюсное представление линии передачи как компоненты
с двумя входами имеет очевидное преимущество, так как матрица коэф-
фициентов в полюсных уравнениях является диагональной. Имеются
также и другие преимущества, которые станут очевидными в дальней-
шем.
Полюсные характеристики трехфазного трансформатора также мог-
ли бы быть представлены полюсным графом, использованным для
линии передачи, если бы не коэффициенты, выражающие отношение
чисел витков. Эта трудность может быть исключена при использовании
системы относительных единиц. Вместо численного выражения первич-
ных и вторичных напряжений и токов в вольтах и амперах представим
эти величины в виде десятичных долей от номинальных напряжений
и токов. Так, если номинальные первичное и вторичное напряжения
равны соответственно 230 и ПО кв, а номинальная полная мощность
составляет 10 000 ква, то номинальные первичный и вторичный токи
определятся как
10X10“
230X103
= 43,5 а
10X10“
110ХЮ3
=91,0 а.
и
Показания амперметра и вольтметра, соответствующие этим вели-
чинам, примем за единицу. Все полные сопротивления, относящиеся
к части системы и определяемые величинами единичных напряжений
и токов, выразим в виде долей единичного полного сопротивления.
Определим единичное полное сопротивление как отношение единичного
напряжения к единичному току. Предположим, например, что при опре-
делении полного сопротивления короткого замыкания измерения на
первичной стороне трехфазной трехполюсной трансформаторной группы
показали, что при токе
ib = 43,5 а = 1 отн. ед.
р
368
напряжение составляет:
й*=(0,5 + /6)-10’ в = (2,17 -J— /26) • 10“ ’ отн. ед.
Полное сопротивление определится как
Zp = (0-5±/|)J°,-==11,5 + /138 ом
или
Zp = С2’_17-+_^6).-10? =(2,174-/26)-10-3 отн. ед.
Относительная система единиц используется почти всегда при
изучении электроэнергетических систем.
Для записи в относительной системе
для трансформатора (14-9-1) имеют вид:
единиц полюсные уравнения
4
"Г
А
1

—1
О
(14-9-5)
Как и в случае линии передачи, полюсные характеристики трехфаз-
ной трансформаторной группы можно теперь представить в виде полюс-
ного графа на рис. 14-9-7 и уравнения (14-9-6):
Z о-
-4
4
2'
•ъ
ь
и2,
(14-9-6)
2»
О
О
О
°8
Рис. 14-9-7.
исключен из полюсного графа
Так как i2, =0, элемент 2' может быть
Подобным же образом для представления трехфазных генераторов
переменного тока могут использоваться эквивалентные одно- и двухвход-
ные графы последовательностей, показанные на рис. 14-9-8,в.
Используя эквивалентные графы для компоненты и опуская коэф-
фициент выходной проводимости 1FP в полюсных уравнениях для линий
передачи, можно представить граф для системы на рис. 14-9-3, как
показано на рис. 14-9-9,а. Отметим, что эквивалентный граф для после-
довательностей в таком изображении имеет заметное сходство с одно-
линейной диаграммой. Каждая вершина графа соответствует шине,
а каждый элемент — линии или трансформатору. Символ заземления
используется в графе для того, чтобы отметить точки, образующие об-
щую вершину, и не имеет другого смысла.
Так как переменные, связанные с элементами графа на
рис. 14-9-9,а, являются переменными обратной последовательности,
использованными при описании компонент, уравнения контуров и от-
сечений для этого графа служат лишь для установления связи между
переменными последовательностей в полюсных уравнениях компонент.
Этот граф может быть получен непосредственно из рассмотрения одно-
линейной диаграммы. Следовательно, полностью исключается необхо-
24—1738 369
димость предварительной записи уравнений контуров и отсечений по-
люсного графа с последующим преобразованием переменных. Следует
подчеркнуть, что ориентация отрезков линий не имеет ничего общего
ни с токами, ни с напряжениями, изм
ходными зажимами трансформаторов
а — схемы трех- и четырехполюсных трехфазных
ров; б — полюсные графы; в — эквивалентные гр
последовательностей.
ряемыми между входными и вы-
1 линий передач. В связи с этим
мы будем называть такой
тип графа графом посде-
ь довательностей.
5 (При выводе уравне-
ний электроэнергетиче-
ской системы все элемен-
ты графа могут рассма-
триваться как аналоги
,.е* двухполюсных компонент.
s Таким образом, аналид
установившихся режимов
,а. многофазной электриче-
sr^ Lr ской системы приведен к
простейшему возможному-
виду. Контурные и узло-
вые уравнения графа по-
нерато- „
ы для следовательностеи могут
быть записаны непосред-
ственно из его рассмотре-
ния, как показано в гл. 4. При этом целесообразно закодировать граф,
чтобы указать форму уравнений последовательностей для компонент.
При учете коэффициентов проводимостей We для линий передач зако-
дированный граф имеет вид, представленный на рис. 14-9-1,6 Обычно
при изучении систем электропередачи численные значения (в относи-
тельных единицах) полных сопротивлений последовательностей для ли-
ний и трансформаторов указывают у элементов графа, как показано на
рисунке.
Значение графа последовательностей как практического средства
для построения математической модели сложных систем электропере-
370
дачи нельзя переоценить. Польза графа последовательностей, как
и любого другого графа системы, определяется следующими двумя
функциями, которые он выполняет:
1. При разделении элементов графа последовательностей на ветви
и хорды можно применять графический метод выбора независимых
переменных последовательностей для использования их в математиче-
ской модели системы.
2. Переменные графа последовательностей удовлетворяют постула-
там контуров и вершин. Следовательно, граф последовательностей
(вместе с уравнениями последовательностей для компонент) содержит
необходимую и достаточную информацию для построения математиче-
ской модели любой системы, как бы сложна она ни была.
Все методы анализа, рассмотренные в первых десяти главах настоя-
щей книги, включая использование полюсных представлений для части
системы, могут быть применены непосредственно к графу последова-
тельностей. При этом однажды приходится обращаться к уравнениям
преобразования (14-8-1) — (14-8-4), а именно: выяснив, какие полюс-
ные напряжения и токи требуются, необходимо представить результаты
анализа системы в виде измеряемых функций времени. Таким образом,
анализ симметричных трехфазных систем переменного тока проводится
на основе методов, изложенных в первых десяти главах. В следующем
параграфе мы покажем применение графа последовательностей для
общего анализа переходных процессов в трехфазных электромеханиче-
ских системах.
14-10. Применение графа последовательностей для изучения переходных
процессов
Для того чтобы показать применение графов последовательностей
для вывода уравнений системы при изучении переходного процесса из-
менения скорости, рассмотрим следующий пример.
Предположим, что в результате аварии, происшедшей в системе
(рис. 14-9-1) на шине С, все три линии оказались замкнутыми на землю.
Требуется определить наибольшее время, в течение которого выключа-
тели в линиях 1 и 2 могут оставаться включенными после аварии при
условии, что машины не выпадают из синхронизма. Найдем уравнения,
позволяющие решить эту задачу на цифровой вычислительной машине.
В рассматриваемом случае можно не учитывать все четыре нагрузки,
благодаря чему система упрощается и сводится к трем машинам, свя-
занным с помощью четырех линий передачи и соответствующих транс-
форматоров.
В соответствии с табл. 14-8-1 в полюсные уравнения генераторов
переменного тока при переходном режиме входят как уравнения обрат-
ной последовательности, так и уравнения, сопряженные с ними. Пере-
* *
менные последовательностей иь и 1Ь для генераторов связаны с соответ-
ствующими переменными для других компонент посредством графа по-
следовательностей, аналогичного графу, показанному на рис. 14-9-9 для
переменных иь и 1Ь. Следовательно, граф последовательностей для всей
системы состоит из двух отдельных подграфов, показанных на рис. 14-10-1,
* *
одного для переменных 1Ъ другого — для ib и иь. В обоих этих
подграфах пренебрегают коэффициентами Wi для линий передачи. Это
эквивалентно пренебрежению токами холостого хода линий передачи.
В целях упрощения задачи полные сопротивления трансформаторов добав-
24*
371
лены к полным сопротивлениям линий передачи или генераторов. Полюс-
ные уравнения для элементов 1, 2, 3 и 4 имеют вид:
ZZ* = ^h-]-ja)Lft> гДе £=L 2, 3, 4,
а для элементов 2', 3' и 4'
+ !•„ где *'=!', 2’, 3', 4'.
Элементы S! и s'i связаны с элементами и уравнениями напряже-
ний и моментов, приведенными для генератора в табл. 14-8-1. Элементы
s2, s'2 и s3, х'з связаны с элементами г2, т2 и г3, т3 полюсными уравне-
ниями такого же вида.
Элементы f и f' выражают напряжения и токи, обусловленные ава-
рийным режимом. Таким образом, трехфазное замыкание на
представляется в виде трехфазной компоненты со
ными уравнениями:
землю
полюс-
следующими
ubf = 0 для t > 0.
*ь
и ttf заданы,
a ubf
дерево.
Уравнения для системы получаются теперь посредством объедине-
ния уравнений контуров и отсечений графов последовательностей
с полюсными уравнениями компонент в
Так как мы интересуемся решением для t^>0,
элемент включается в виде ветви в формальное
то этот
Рис. 14-10-1.
Граф
последовательностей для системы
на рис. 14-9-1.
совместно решить четырнадцать
соответствии с методами, рас-
смотренными в гл. 7. Так
как уравнения моментов
являются нелинейными
относительно токов для
элементов sb s2, s3 и sT,
s'2, s'3, наименьшее коли-
чество математических
преобразований при вы-
воде уравнений хорд по-
лучается, когда указан-
ные элементы рассматри-
ваются как хорды в фор-
мальном дереве.
Из количества хорд
следует, что при любых
заданных напряжениях
роторов и моментах не-
дифференциальных урав-
методы их
обходимо
нений. Хотя эти уравнения и являются весьма сложными,
получения очевидны, и мы не будем останавливаться на этом подроб-
нее. В этих четырнадцати уравнениях восемь можно сгруппировать
в сопряженные пары и разделить вещественные и мнимые части коэф-
фициентов в целях подготовки уравнений для решения на вычислитель-
ной машине.
Если система содержит дополнительные механические компоненты,
присоединенные к валам машин, и (или) дополнительное оборудование
постоянного тока, связанное с зажимами роторных фаз, то графы этих
372
дополнительных составляющих объединяются с элементами т\, т2,
т2 и гь г2 и Гз на рис. 14-10-1.
Очевидно, однако, что с добавлением к системе новых электриче-
ских и механических компонент будут возрастать число и сложность
нелинейных дифференциальных уравнений. Это может привести к не-
возможности их решения даже с помощью вычислительных машин.
В линейных системах эта верхняя граница существенно расширяется
благодаря использованию полюсного представления блоков. Было бы
желательно применить подобные методы и в рассматриваемом случае
нелинейной системы. Однако в настоящее время не существует способа,
позволяющего это сделать.
ПРИЛОЖЕНИЕ
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Если уравнение в комплексной области содержит многочлены от s
выше второй степени, то аналитическое представление полюсов переда-
точной функции системы Al(s) как явных функций .параметров системы
оказывается невозможным. Одним из основных вопросов, возникающих
как при проектировании, так и при анализе, является вопрос об устой-
чивости системы. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо опреде-
лить, положительны или отрицательны вещественные части полюсов
M(s). Эту информацию можно получить без фактического нахождения
полюсов, воспользовавшись некоторыми критериями устойчивости.
Наиболее часто используются два критерия — критерий Рауса и
критерий Найквиста. Критерий Рауса является аналитическим [Л. 5-2
и 7-3], в то время как критерий Найквиста — графический. Для целей
проектирования более полезен критерий Найквиста, так как он дает
большие возможности для наблюдения влияния ряда параметров ком-
понент на устойчивость системы. В связи с этим далее рассматри-
вается только критерий Найквиста.
П-1. Теорема Найквиста
Основой для широкого использования критерия Найквиста является
следующая теорема.
Теорема П-1-1. Пусть рациональная функция G(s) является
аналитической в замкнутом контуре С на плоскости s и пусть G(s) не
имеет нулей в С. Выберем произвольную начальную точку на С и рас-
смотрим геометрическое место точек s, определенное по часовой стрелке
вокруг С. Соответствующий годограф G(s) будет окружать начало
координат в направлении против часовой стрелки
N = P-Z раз, (П-1-1)
где Р и Z— число полюсов и нулей G(s) внутри С. На рис. П-1-1,6
показан типичный годограф G(s) для годографа $, определяемого кри-
вой С на рис. П-1-1,й. То, что G(s) два раза охватывает начало коор-
динат по часовой стрелке, показывает, что внутри контура С нулей
G(s) на два больше, чем полюсов.
Теорему П-1-1 можно использовать для исследования абсолютной
устойчивости системы с любой заданной передаточной функцией. Выбе-
рем для этого контур С вдоль мнимой оси и вдоль полуокружности
в правой полуплоскости (рис. П-1-2). Радиус R может быть выбран как
угодно большим, благодаря чему контур охватит любые конечные ве-
личины s в правой полуплоскости. Тогда количество оборотов G(s) по
374
часовой стрелке будет равно числу полюсов минус число нулей G(s)
в правой полуплоскости. Если G(s) имеет полюсы или нули на мнимой
оси, то контур С должен быть выбран таким образом, чтобы избе-
жать их.
Пусть, например, G(s) = -y-. Удобно разделить контур С на четыре
участка, как показано на рис. П-1-3,а:
Cj изображает дугу окружности при R -* оо.
С2 изображает положительную ось /р.
С3 изображает дугу окружности при г -> 0.
С4 изображает отрицательную ось /р.
Г одограф G (s) = для значений s,
этой кривой, показан на рис. П-1-3,б.
соответствующих отрезкам
Пример П-1-1. Годограф G (s) =
К
s (s + а)
где а> 0, определяет количество
нулей ' в’ правой полуплоскости. Так как G (s) пмеет полюс в начале координат,
то мы воспользуемся таким же контуром, как на рис. П-1-3,«. Годограф показан на
рис. П-1-4.
Построение годографа облегчается благодаря тому, что G (s) является отноше-
* *
нием многочленов, a G(s) = G(s). Поэтому часть годографа G(s), лежащая ниже
вещественной оси, является зеркальным отображением части, расположенной выше
вещественной оси, если С симметричен относительно вещественной оси на комплекс-
ной плоскости.
375
П-2. Применение критерия Найквиста
Рассмотрим вначале систему, передаточная функция которой
H(s) = 1. Тогда
^=^>=4^4 • (П'2’»
Говорят, что система, описываемая такой функцией, имеет единичную
обратную связь. Если G(s) записано как отношение двух многочленов,
то передаточная функция .для этого частного случая имеет вид:
М (s) =. (П-2-2)
' 1 + G (s) p(s) + q(s) ' '
Эта функция обладает тремя основными свойствами:
1. Так как p(s) и <?(s) не имеют общих нулей, то нули Al(s)
являются также нулями G(s).
2. Полюсы М ($) являются нулями 1 + G (s).
3. Неустойчивые полюсы G(s) не проявляются как неустойчивые
полюсы Л1($). В этом .можно убедиться, разделив числитель и знамена-
тель (П-2-2) на G(s).
Из перечисленных выше свойств видно, что для исследования
устойчивости интерес представляют только нули 1 + G(s). Поэтому
критерий Найквиста основывается на использовании функции F(s) =
= 1 + G(s). Если эту функцию построить для значений s, расположен-
ных по кривой, окружающей правую полуплоскость, то число конту-
ров N, окружающих начало координат по часовой стрелке, изображает
разность между числом полюсов и нулей F(s) в правой полуплоскости:
N=P—Z. (П-2-3)
Для большинства систем управления неустойчивые полюсы F (s) рас-
полагаются в начале координат. Следовательно, если эта точка исклю-
чается из кривой, окружающей правую полуплоскость, то Р—0 и число
полюсов Af(s) [нулей Е(з)] в правой полуплоскости равно числу конту-
ров, окружающих начало координат по часовой стрелке.
В общем случае иногда проще строить годограф G(s), а не 1 +
+ G(s). Функция G(s) относится к точке (—I) так же, как 1 + G(s) от-
носятся к началу координат. Следовательно, критерий в окончательном
виде сводится к подсчету числа контуров G(s), окружающих точку
(-1)-
П ример П-2-1. Определить, изображает ли функция
G(s)
^)=T+W)
устойчивую систему, если
К
°<5)= Г(з + йу при«>0.
Прежде всего отметим, что хотя G (я) имеет полюс при я = О, этот полюс не яв-
ляется опасным для Л4(я). График G (я) для значений я, расположенных на контуре
рис. П-1-2, показан иа рис. П-2-1. Независимо от значений коэффициентов К и а эта
кривая нигде не охватывает точку (— 1). Следовательно, поскольку речь идет об
устойчивости, проектировщик имеет полную свободу в выборе значений параметров
системы.
376
Пример П-2-2. Показать, устойчива ли система, описываемая функцией
G(s)
^) = T+U#’
если
К
s(s' +as + 6)
при а>0 и й>0.
Для значения К, используемого при построении графика G(s) на рис. П-2-2, си-
стема безусловно устойчива. Однако, так как вещественные и мнимые части G(s) пря-
мо пропорциональны К (предполагается, что а и Ь — постоянны), имеется значение К,
при котором годограф G(s) пройдет через точку (—I). Это условие соответствует гра-
нице между абсолютной устойчивостью и неустойчивостью. В этом случае говорят, что
система имеет критический коэффициент усиления.
Функция G(s), рассмотренная в приведенном выше примере,
характерна для систем управления. Мы видим, что график G(s) для
значений s на положительной вещественной оси содержит всю инфор-
мацию, необходимую для выяснения устойчивости системы. Таким обра-
зом, годограф G(s) в окрестности |s[=0 имеет одну и ту же форму
независимо от конкретных значений постоянных, а годограф для s на
отрицательной вещественной оси является сопряженным для годографа,
соответствующего значения s на положительной вещественной оси.
На рис. П-2-3 изображены три кривые, называемые полярными.
Они показывают, как может влиять на устойчивость изменение пара-
метров системы, изображенных величиной К. Система неустойчива при
К=К2иК=К3.
Пример П-2-3. Рассмотрим систему, характеризуемую передаточной функцией
G(s)
Af (s) — t + G (s)
при
к
6 — s* -f- as3 -f- bs -f- c ’
a > 0; b > 0; c > 0.
Полярные кривые G(s) для трех различных значений К показаны на рис. П-2 4.
Отметим, что система становится неустойчивой, если значение коэффициента усиления
увеличить or Ki до Кз-
377
Система, рассмотренная в примере П-2-1, называется системой
второго порядка. В примерах П-2-2 и П-2-3 исследовались системы
третьего порядка. Хотя некоторые системы можно с достаточной точ-
ностью представить как системы второго порядка, подавляющее боль-
К
s (s2 -f- as -f-6)
в зависимости от К.
Рис. П-2-4. Полярные кривые
К
для G (s) — + as2 + bs + с
прп а > О, b > 0, с > 0.
и
более высокий порядок. Важно, что
рис. П-2-3 и П-2-4 для систем третьего
шинство систем имеет третий
форма полярных диаграмм на
порядка обусловливает количественную меру относительной устойчи-
Рис. П-2-5.
вости — запас по фазе и запас по усилению.
Рассмотрим полярную диаграмму для
G (s) = . * j.. , (П-2-4)
' ' s (s2 -f-as -f- b) '
изображенную на рис. П-2-5. Система, для ко-
торой построена эта полярная диаграмма, устой-
чива. Количественная мера того, насколько
устойчива система, может быть установлена
следующим образом: пусть Gm — такая постоян-
ная, что график G'(з) =GmG(s) проходит через
точку (—1). Постоянная Gm называется запа-
сом по усилению и может быть найдена непо-
средственно из полярной диаграммы, как пока-
зано на рис. П-2-5.
Неустойчивость может возникнуть также в результате сдвига угла
G(s), т. е. из-за изменения величин а и (или) b в выражении (П-2-4),
а не К. Угол 6, отмеченный на рис. П-2-5, называется запасом по фазе,
Хотя запасы по усилению и по фазе не содержат сведений о поло-
жении полюсов
.. . . G (s)
(s) — 1 + G (s)
на комплексной плоскости, они позволяют проектировщику оценить
область изменений коэффициентов усиления компонент системы, в ко-
торой сохраняется устойчивость. Они также дают возможность опреде-
лить допуски на коэффициент усиления, фазовый сдвиг и диапазон
дрейфа этих величин, допустимый в системе.
378
Важно отметить, что полярные диаграммы строятся только для
той части контура, окружающего правую комплексную полуплоскость,
которая совпадает с положительной мнимой осью, т. е. для s=/p, при-
чем Следовательно, свойства G(s) для диапазона значений s,
используемых для получения полярной диаграммы, тождественны свой-
ствам G(ja), входящего в уравнения полного комплексного сопротивле-
ния. В частности, рассмотрим уравнение
x0(s) = G(s)Xi(s). (П-2-5)
В гл. 5 было показано, что если
- eiat • е~1ш1
Xi (t) = Xi cos -2~+Xi • (П-2-6)
то установившаяся составляющая решения имеет вид:
х0 (/) = Хо cos (ш/ + 6) = хв —2-Ь Хо е—2--- (П-2-7)
Здесь комплексные коэффициенты Хв и Л, связаны уравнением полного
комплексного сопротивления
Х0 = О(/ш)Х,. (П-2-8)
Следовательно, полярная диаграмма тождественна амплитудно-фазовой
характеристике компоненты, изображаемой G(/w). Фазовый угол, опре-
деляемый по полярной диаграмме, соответствует фазовому углу ампли-
тудно-фазовой характеристики для этой компоненты.
Ниже мы будем исследовать только уравнения вида
/И (s\ —„РФ____
J 1 Ю j + G (s) ‘
Критерии стабильности и условия проектирования, рассмотренные
в этом и следующем параграфах, можно также применять для других
форм уравнений, используя эквивалентную выходную переменную.
В частности, если уравнение имеет вид:
C(s) G(s)
R(s) ~~ 1 +G(s)H (s) ’
то, умножив его на Н (s), получим:
С (s) С (s) Н (s) Н (s) G (s) G' (s)
j ~ R(s) — 1 + G (s) /7 (IjT — 1 + G' (s) •
В тех случаях, когда H(s) —постоянная, этот метод является осо-
бенно удобным, так как эквивалентная выходная переменная, исполь-
зуемая при проектировании, связана с действительной выходной пере-
менной системы через масштабный коэффициент.
П-3. Диаграммы Боде
С теоретической точки зрения полярные диаграммы чрезвычайно
полезны при исследовании вопроса об устойчивости, так как они явля-
ются лишь частью полного годографа Найквиста. Однако практическое
их использование ограничено из-за трудности построения с достаточной
степенью точности. Этот недостаток отсутствует у так называемых диа-
379
Прайм Боде. Диаграмма Боде является другим способом представления
полярной диаграммы. В частности, модуль и аргумент комплексной
функции G(s), а не ее вещественная и мнимая составляющие, строятся
в функции от значений s на положительной мнимой оси.
Если разомкнутая система состоит из однонаправленных компо-
нент, образующих каскад, то G(s) является произведением их переда-
точных функций. Если соответствующие передаточные функции компо-
нент представлены в виде произведения сомножителей, то G(s) также
является произведением сомножителей. Таким образом,
G(s) = ~. (П-3-1}
'' <7(s) (s —s,)(s —s2)... (s —sn) ' '
Методы построения диаграммы Боде требуют, чтобы G(s) было задано
в таком виде.
Вещественные корни. Вначале рассмотрим случай, когда все корни
«л в выражении (П-3-1) вещественны и все корни знаменателя отрица-
тельны (условие устойчивости). Для удобства уравнение (П-3-1) запи-
шем в виде
г , , К (—s„)(—st) . . (— sm) (1 + STg)(l + S-tb) ... (1 +stm) _ _ n
1 (-S1)(-ss) ..(-sn) (l+st1)(l+sx2)...(l+s-tn) ’ k J
где
1
-------
Теперь рассмотрим модуль и аргумент G(s) как функцию от s на
положительной мнимой оси. При s — jfi модуль G(s) равен:
1 1
I Ст (iR\ I_ % ( s°) ( St) • ( sn) (1 + Р2"а ) .. . (1 + ₽ггт) /т-т Q
lGWP)|— (-S1)(-s2). ---------Т X’ ( >
(1+₽Ч)2...(1-м2^)2
а аргумент
ZG 0₽) — (®о 4* 4“ • • • 4* — (®i 4~ 4“ • • • 4“ (П-3-4)
где
eh= arctgpTfi.
Модуль и аргумент G(/P) могут быть построены по (П-3-3) и
(П-3-4). В таком виде,однако,задача почти не отличается от построения
полярной диаграммы. Вместо этого возьмем логарифм |G(/P)|. В соот-
ветствии с установившимися методами используем десятичный лога-
рифм, умноженный на 20. В частности, модуль G (/Р) в децибелах опре-
делится как
| G (₽) |дб = 20 lg |G(/₽)|.
В предыдущем параграфе было установлено, что G(jP) тождественно
G(/(o), входящему в уравнение полного комплексного сопротивления.
В связи с этим на практике обычно используют /о> вместо /р в качестве
380
аргумента диаграмм Боде. Придерживаясь этих общепринятых правил,
мы получим из (П-3-3):
| G (/ш) |d6 = 201g IG (h) I = 201g I 1+
+ 201g(l +^)2+... + 201g(l + <»4)2-
-201g(l+™^)2-... —201g(l+<«’^)2. (П-3-5)
Если изобразить каждый член, за исключением постоянной, как
функцию от Igo, то сумма (П-3-5) аппроксимируется двумя прямыми
линиями. Рассмотрим, например, член
I f (/”) k = 201g (1 + o>V)2 = 101g (1 + »V). (П-3-6)
Для очень больших значений ш это выражение аппроксимируется функ-
цией
fh (jm) = 201g шт = 20 (1g ш - 1g 4). (П-3-7)
ш2т2 1.
.fh (jm) называется высокочастотной асимптотой. Для очень малых
значений ш f (jm) аппроксимируется низкочастотной асимптотой
f0(/<o)=101gl=0, (П-3-8)
шгт! 1.
Две асимптоты, построенные в функции от 1g ш, показаны на рис. П-3-1.
Так как функция |/(/ш) |йб аппроксимируется соответствующими
асимптотами для низких и высоких частот, нужно исследовать лишь зна-
чение | f (jm) | в окрестности точки ш == -i-. Эта точка называется часто-
той сопряжения. В частности,
при Ш = 4- If (jm) |d6 = 20 1g /2 ~ 3; (П-3-9)
приш=±- |f(»|d6 = 201g ^^0,92- 1,0; (П-3-10)
при |/(»|()6 = 201gK5=-201g2 + 201g^=201gWT + 201gX
+ (П-3-11)
Таким образом, при частотах, равных половине частоты сопряже-
ния и двойной частоте сопряжения, функция отличается от соответст-
вующей асимптоты приблизительно на 1 дб, как показано на рис. П-3-2.
Термины октава и декада используются для обозначения изменения
частоты относительно данной соответственно в 2 и 10 раз. Таким обра-
зом, диапазон частот, простирающийся на одну октаву ниже частоты
381
10 гц и на две октавы выше этой частоты, равен диапазону от 5 до
40 гц. Таким же образом изменение на единицу величины 1g ю соответ-
ствует изменению <о на одну декаду.
В соответствии с этой терминологией каждый член в (П-3-5), зави-
сящий от частоты, можно аппроксимировать асимптотами, пересекаю-
щимися в точке частоты сопряжения. Система прямых линий, аппрокси-
мирующая функцию |6(/(о)|йб> получается путем образования суммы от-
дельных асимптот.
Функция |G(/w)|d6 отличается от этой суммы в точках частот
сопряжения на 3 до, если частоты сопряжения отстоят друг от друга на
одну декаду или более.
Рис. П-З-З. Диаграмма Боде для
— «о > —S,.
Пример П-3-1. Построить диаграмму Боде для
G (s) = пРи — sa> — si; (П-3-12)
1 i
IG (j«) laa = 20 [lg + lg (1 + «!^ ) 2 -1 g (»+ i) 2 ] • (П-3-13)
Асимптоты для этой функции вместе с приближенным значением функции пока-
заны на рис. П-3--3.
График фазового угла (уо) (П-3-4) получен путем сложения п вычитания
СО
графиков для каждого угла 6fc = arctg-----. Для ускорения процесса построения
— s h
графика важно определить три критические точки:
п
<о = —sk, =
382
<0 = 0, fl* = O;
<о-»оо,
Г рафик зависимости физового угла от 1g со для функции, рассмотренной в при-
мере П-3-1, имеет вид, показанный на рис. П-3-4:
ZG(/“)= в« — в* = arctg —----arctg _*г~- (П-3-14)
оа о 1
Кратные корни. Теперь рассмотрим случай, когда G(jw) содержит
множитель в степени п:
= (П-3-15)
Выражение (П-3-5) для |G(/o>)|d6 в этом случае содержит член вида
1
2
IH/“)b6 = 20/ilg(l + «V) . (П-3-16)
Эта функция в п раз больше уже рассмотренных членов в первой сте-
пени. Отсюда следует, что высокочастотная асимптота для члена в сте-
пени п имеет наклон 20п дб)декада н что функция отличается от ее
асимптот на Зп дб в точке частоты сопряжения.
Нулевые корни. Множитель sn либо в числителе, либо в знамена-
теле G(s) соответствует особому случаю, так как $ь=0 и, следователь-
но, т не определена. Однако это не вызывает трудностей при построении
частотной характеристики. Пусть
f(/o>) = (/«)". (П-3-17)
Тогда диаграмма Боде содержит член вида
IW<o)ld6 =20nlg(o. (П-3-18)
Функция изображает прямую линию с наклоном 20 дб/декада, прохо-
дящую через точку <о=1 на оси (1g <о = 0). Таким образом, в этом слу-
чае нет необходимости говорить об асимптотах.
Комплексные корни. Если полюсы и нули G(s) не являются дей-
ствительными, то построение частотной характеристики иногда может
быть более сложным. Так как комплексные корни должны образовы-
вать сопряженные пары, удобно рассматривать произведения каждой
пары сопряженных множителей. Такое группирование приводит к чле-
нам вида
f (s) = (s — s,) (s — sj = 1 2’ft>s + bss-, (П-3-19)
где у и b — вещественные постоянные.
Y называется коэффициентом демпфирования В этом случае
графики модуля и фазы содержат один или несколько членов вида
i
2
| f (jv) |,б = 201g [(1 - b^y- + 4Y!W] (П-3-20)
и
/J (jw) = arctg (П-3-21)
383
Для низкой частоты

и
Для высокой частоты
->20flg со2 —lg-^
lf(/<6
и
// (» -> я рад.
Для
1
ь
I/-(»1^ = 201g 2У
и
ZJ Рад-
Таким образом, мы видим, что низкочастотная и высокочастотная
асимптоты пересекаются при со— -у и что высокочастотная асимптота
имеет^наклон 40 дб[декада. Вид функции | f (/со)|бб вблизи частоты со-
пряжения зависит от величины коэффициента демпфирования у. Для
комплексных корней значения у лежат в пределах 0 < у < 1 - При у = 1
корни действительные и равные. При у = 0 корни мнимые.
Графики модуля и фазы для
G ~ 1 -f- 2y6s + 62s2
показаны на рис. П-3-5 и П-3-6 для значений у=0, у=0,6 и у=1.
Рис. П-3-5. График модуля
1
G(s) — 1 +2y6s + 62sa
При S = /со.
Рве. П-З-6. График фазового угла
G (s> = 1 + 2;6s -f-
при S = /<0.
из
Как мы уже отмечали, дна'
граммы Боде содержат точно та-
кую же информацию, что и поляр-
ные диаграммы. Однако их построе-
ние значительно проще. Запас по
коэффициенту усиления для дан-
ной функции G(s) может быть по-
дпаграммы Боде при частоте, для
равен —л, как показано на рис. П-3-7,
усиления при этой частоте изображает
по коэффициенту усиления, \/Gm.
лучен непосредственно
которой фазовый угол
Величина коэффициента
величину, обратную запасу
Если коэффициент усиления в этой точке меньше 1, то полярная кривая
384
проходит правее точки —1 и система устойчива. Если величины выра-
жаются в децибелах, то это соответствует коэффициенту усиления,
меньшему 0 дб, или запасу по коэффициенту усиления, большему 0 дб.
(Запас по коэффициенту усиления) <36 = 20 lg Gm>0. (П-3-22)
Аналогичным образом запас по фазе можно найти из диаграмм
Боде, вычитая л радиан из угла, при котором модуль равен 0 дб.
Здесь интересно отметить, что для системы из каскадно соединен-
ных однонаправленных компонент коэффициент усиления системы
получается путем суммирования коэф-
фициентов усиления компонент, выражен-
ных в децибелах. Следовательно, можно
определить запас по фазе и по коэффп
циенту усиления для такой системы из
экспериментальных частотных характе-
ристик компонент.
П-4. Корневые годографы
Хотя критерий Найквиста позволяет
получить ответ на вопрос об устойчиво-
сти, он дает мало или вообще не дает
сведении о действительных значениях
полюсов 7H(s). Эти значения нужно
знать для определения переходной функ-
ции системы Если проектирование основано на подборе параметров
системы с целью получения заданной переходной функции, то должна
быть известна зависимость этих полюсов, по крайней мере, от одного
из параметров системы. В 1948 г. Эванс ввел понятие о корневом годо-
графе, который устраняет до некоторой степени указанный выше недо-
статок критерия Найквиста.
Метод корневого годографа (Л. П-2 и 5-3] также требует, чтобы
передаточная функция системы имела следующий вид:
£<*). — д/ ___ (П-4-1)
R(s) 1 ~ '+G(s)H(s) > k 4
где
G (s) Н (s) = k (п.4.2)
Зная полюсы и нули G(s)//(s), наносят полюсы M(s) [нули
1+G (s)G(s)] на комплексную плоскость в функции коэффициента уси-
ления k. Многие вычислительные центры имеют готовые программы
для вычисления полюсов М (s) в функции коэффициента усиления. Кор-
невой годограф на рис. П-4-1 был получен при помощи подобной про-
граммы. Для очень простых задач, а также в случаях, когда не удается
воспользоваться готовыми программами, геометрическое место точек
может быть построено при помощи других методов [Л. П-2 и П-3]. В лю-
бом случае идея состоит в том, чтобы изобразить графически величину
полюсов 7И(з) в функции коэффициента усиления для
O(s)ff(s)=8,++<’-y ,(„ Д + 2)-. (П-4-3)
как показано на рис. П-4-1. В этом выражении -^- = 0,05 является по-
стоянной времени корректирующей цепи, а К изображает коэффициент
усиления системы.
25—1738
385
Рис. П-4-1. Типичный корневой
годограф
-И(«)— 1 + G(s)H(s) ’
г . х ' (s + 0,0lkc)K
s(s + 0,01)(s2+25-|-2r
kc = 23.
Рнс. П-4-2. Типичный корневой годограф
То же, что рис. П-4-1, но при fec=30.
386
На основании этого графика проектировщик может выбрать вели-
чину коэффициента усиления, соответствующую любой совокупности
полюсов M(s) на годографах. Например, если на рис. П-4-1 K=l. tq
полюсы Alls) равны:
S] = —0,57—/О,11; s2 = —0,57+/0,11;
s3= —0,49—/0,70; s4=—0,49+/0,70
и система устойчива. Ее переходная функция имеет вид:
С (0 = (Де*' + + А3е*>‘ + A4eSt‘+1) R.
Очевидно, что коэффициент усиления можно выбрать на основе
экспоненциальных членов, содержащихся в переходной функции.
Однако способ, при помощи которого можно определить из корневого
годографа значения коэффициентов At, А2, А3 и Л4, к сожалению, отсут-
ствует. Без этих сведений не может быть построена действительная
кривая переходного процесса. Таким образом, хотя метод корневого
годографа дает дополнительное средство для проектирования управ-
ляющих систем, он также не обеспечивает всей количественной инфор-
мации, необходимой для эффективного и точного выбора параметров
системы.
Построив семейство корневых годографов, можно исследовать влия-
ние изменения других параметров системы. Например, корневой годограф
на рис. П-4-1 построен для постоянной времени системы . Влия-
«2 С ZU
1 1
ние изменения этой постоянной времени до значенияясно из кор-
невого годографа на рис. П-4-2. При наличии вычислительной машины
подобные исследования можно выполнить весьма быстро и точно, после
того как получены уравнения системы.
25*
ЗАДАЧИ
К главе 2
2-1. Видите ли Вы возможность придумать определенное количество способов,
позволяющих представить характеристики физического устройства без использования
каких-либо методов измерения. После ответа на этот вопрос дайте определение изме-
рительного прибора.
2-2. Предположим, что и—/-измерения для электрического двухполюсника пред-
ставлены полюсным уравнением i=u2 при и^О и i=—и2 при ы<0. Найти дифферен-
циальное сопротивление для значений i=0, ±1 и ±10.
2-3. Выяснить, почему выражение (2-5-2) не является удовлетворительным полюс-
ным уравнением для описания характеристики 'конденсатора, подключенного к батарее
с бесконечно малым внутренним сопротивлением.
2-4. Показать, что уравнения (2 7-2) и (2-7-3) являются уравнением прямой ли-
нии в отрезках (рис. 2-7-1).
2-5. Каково Ваше мнение: производится ли измерение силы относительно одной
или двух точек. Можете ли Вы привести из своей практики примеры, когда измерение
лроизводится относительно одной точки?
2-6. Почему при анализе систем желательно иметь однозначные условия связи
переменных системы с ее компонентами? Выяснить, .можно ли взять неверный знак
в любом или во всех полюсных уравнениях компонент системы.
2-7. Объяснить утверждение из § 2-3 «... знак показаний, наблюдаемых по гори-
зонтальной оси на экране осциллографа, изменяется на обратный» в соответствии
с рис. 2-3-1.
2-8. Какие практические задачи, связанные с дифференцирующими цепями, Вы
можете назвать?
2-9. Показать, что уравнения (2-7-2) и (2-7-3) соответствуют цепям, эквивалент-
ным по Нортону и Тевенииу.
2-10. Показать, воспользовавшись синусоидальным воздействием, что последова-
тельная /?А-цепь пассивна. То же самое проделать для последовательных RC- и LC-
пепей.
2-11. Приведите несколько примеров активных двухполюсников.
2-12. Фазовый сдвиг между током и напряжением для электрической компоненты
на рис. 3-2-12 можно наблюдать, используя электронный коммутатор и осциллограф.
Предполагается, что напряжение на сопротивлении R значительно меньше, чем на
компоненте.
°- о ныи коммуто- логроф
тор
Рпс. 3-2-12.
а) Показать, как нужно соединить электронный коммутатор, чтобы измерение
напряжения, определяемое линейным графом, выполнялось непосредственно, а измере-
ние тока—с противоположным знаком.
388
б) Показать соединения, при которых оба измерения осуществляются непосред-
ственно.
в) Предположим, что электронный коммутатор срабатывает мгновенно. Пусть
в качестве компоненты используется сопротивление. Изобразить на одной и той же оси
времени напряжение источника м форму напряжения и тока полученные при соеди-
нениях в соответствии с пп. «а» и «в». Амплитуды произвольны. Рассмотреть этот же
случай для конденсатора.
г) Пусть компонента образована последовательным соединением сопротивления
и 'индуктивности, причем при частоте со их полные сопротивления равны по абсолют-
ной величине. Изобразить форму тока н напряжения как и в п «в».
2-13. Чтобы измерить момент на валу, к нему прикреплены два тензодатчика,
рис. 3-2-13,а. Если момент равен нулю, то -сопротивления датчиков одинаковы и рав-
ны г.
Рис. 3 2-13
Предположим, что под действием приложенного момента сопротивления датчиков
изменяются на одну и ту же величину (но имеют противоположные знаки) е.
Для образования измерительного моста на рис 3-2-13,а используются два оди-
наковых сопротивления R, батарея Е и ламповый вольтметр V.
а) Показать, что если значения -сопротивлений R значительно больше, чем изме-
нение е сопротивления г, то напряжение, измеряемое вольтметром, пропорционально е
б) Четыре одинаковых тензодатчика укреплены иа одном и том же валу, рис.
3-2 13,а. Отметить соответствующими буквами на рис 3 2 13,6 такое расположение
тензодатчиков, образующих измерительный мост, при котором отклонение вольтметра
максимально.
2-14. На рис. 3-2-14 изображены д-ва твердых тела А и В В вращается около
оси х которая неподвижна относительно А.
а) Как Вы определите положение В относительно А (покажите на рис. 3-2-14).
б) Какой измеритель нужно использовать, чтобы выполнить это’ Изобразите этот
измеритель, указав его ориентацию и соответствующий ориентированный граф.
2-15. Рассмотрим массу -и пружину как компоненты и -их линейные графы, рис.
3-2-15. Пусть в качестве измерителя силы используются пружинные весы, а измерите-
лем перемещения является градуированная линейка.
а) Показать, -как должны быть размещены приборы для измерения полюсных
переменных компонент .в соответствии с их линейными графами. Изобразить две схемы
для каждой компоненты: одну в случае задатчика перемещения и одну в случае задат-
389
Рис. 3-2-14.
Рис. 3-2-15.
чика силы. Предполагается, что перед началом измерений показания всех приборов
равны нулю.
б) Для массы предполагается, что перед 'началом измерения показание градуиро-
ванной линейки равно —2. Записать полюсное уравнение для этой компоненты, считая,
что оно линейно.
в) Для пружины предполагается, что перед началом измерений показания изме-
рителей силы и перемещения равны + 2. Нарисовать график, определяемый полюсным
уравнением компоненты.
К главе 3
3-1. Определить двухполюсники и изобразить графы для электрических, механи-
ческих и гидравлических систем, показанных на рис. 3-3-1.
3-2. а) Для графов систем на рис. 3-3-1,а, в, е й ж выбрать формальное дерево и
записать уравнения фундаментальных контуров и отсечений.
б) Какое количество независимых уравнений контуров и отсечений можно запи-
сать для графов систем на рис. 3-3-1,б, дне?
в) Пусть уравнения отсечений и контуров по пункту а запишутся в виде
390
Показать, что в любом случае
Д1 =—Ajt.
3-3. а) Выбрать формальный лес (совокупность деревьев) и записать уравнения
фундаментальных контуров и отсечений для графа на рис. 3-3-3.
б) Получить выражение для количества независимых уравнений контуров и отсе-
чений в функции от количества элементов, вершин и изолированных и (или) изолируе-
мых частей графа системы.
3-4. Пусть граф G системы связный и содержит е элементов н v вершин.
а) Какое максимальное количество параллельных переменных может быть зада-
но произвольно?
б) Какое максимальное количество последовательных (воздействий может быть
задано произвольно?
в) Имеется ли какое-либо ограничение для системы в расположении заданных
параллельных и последовательных воздействий? Объяснить ответ.
г) Почему из всех возможных уравнений контуров и отсечений удобно исполь-
зовать уравнения фундаментальных контуров и отсечений?
3-5. а) Найти и перечислить компоненты вращающейся механической системы,
изображенной на оис. 3-3-5.
Рис. 3-3-5.
б) Нарисовать граф системы и отметить вершины, а также и соответствующие
точки связи для системы на рис. 3-3-5. Отметить также элементы графа (вершины
отмечаются буквами, а элементы — цифрами).
с) Выбрать лагранжево дерево так, чтобы общая вершина соответствовала «зем-
ле», и записать уравнения фундаментальных контуров и отеечений.
3-6. Решение для механической системы на рис. 3-3-6 дает, что при t=ti числен-
ные значения сил и перемещений элементов 1 и 5 следующие:
ММ=1;
fi(/i)=-i.
а) Если при /=0, 6s=0, то будет ли точка b при t = t\ справа или слева от ее
положения при t=0?
б) Укажите, находится ли при t=tj связь, соответствующая элементу 1, в со-
стоянии сжатия или растяжения, если fi = 0 при t=0. Докажите Ваше утверждение,
показав «а чертеже, как производится измерение
391
3-7. Рассмотрим систему, движущуюся поступательно, и ее линейный граф,
рис. 3-3-7. Используя те же приборы, что >и в задаче 2-15, показать, как их нужно
подсоединять к системе, чтобы измерить полюсные переменные элементов 2, 4, 5 и 6.
Изобразить на отдельных чертежах.
3-8. Граф для механической системы показан на рис. 3-3-8. Можете ли Вы, ис-
пользуя приведенные ниже результаты измерений сил и перемещений, определить все
остальные силы м перемещения для системы? Если да, то каковы их величины?
61=1; 63=—1,5; б6=1,5; fe=5; /6=1,5; f7=—1.
Рнс. 3-3-6.
3-9. В § 3-3 и 3-4 указывалось, что математическое описание механических и
электрических систем и компонент основывается на связи между двумя типами изме-
рений, последовательных и параллельных. При этом измерители градуируются так, что
последовательные измерения удовлетворяют постулату для вершин, а параллельные —
постулату для контуров графа системы. Можете лн Вы указать другие системы, для
которых эти условия существуют?
3-10. Дороги или улицы города можно рассматривать как совокупность стоянок,
улиц, перекрестков и т. п. Очевидно, сумма переменных, изображающих поток транс-
порта (количество автомашин, проходящих через данную точку), должна равняться
нулю для вершин графа системы. Можете ли Вы придумать вторую (параллельную)
Рис. 3-3-7. Рис. 3-3-8.
переменную, сумма которой вдоль контуров равна нулю, и, таким образом, создать
основу для систематического анализа транспортных сетей?
3-11. В гл. 3 подчеркивалось, что измерения напряжения и тока, используемые
при анализе электрических систем, ориентированы. Показания амперметра и вольтме-
тра, измеряющих действующее значение, не зависят от ориентации зажимов. Выяснить,
почему подобные измерения не могут служить основой для полного 'И систематиче-
ского анализа электрических систем.
3-12. Можете ли Вы придумать какие-либо физические измерения, не связанные
с двумя точками? Что в этом смысле можно сказать об 'измерителе освещенности?
Каким способом, если он существует, связано это свойство измерения с понятием от-
носительности?
К главе 4
4-1. Объясните парти иконные линии в уравнении (4-1-2).
4-2. Укажите контуры для графа системы на рнс. 4-1-1.
392
4-3. Объясните, почему первое уравнение в (4-1-17) нельзя использовать с любым
из двух других для определения 63 и 6з-
4-4. Проверьте уравнение (4-1-19).
4-5. Проверьте уравнение ‘(4-2-6)
4-6. Объясните разбиение Хщ н Хы в уравнении (4-2-1) и У'ы и У'ьг в (4-2-2).
4-7. Показать, что количество уравнений в (4-2-9) равно v—1—пх, где пх—коли-
чество заданных параллельных функций.
{ d \
4-8. Предположим, что W 1^1 симметрична. Показать, что после подстановки
уравнения (4-2-ГО) в ‘(4-2-9) получается симметричная матрица, если выполнено пер-
вое тройное произведение.
4-9. Показать методику, используемую для получения уравнения (4-3-3).
4-10. Найти преобразование Лапласа для уравнения (4-1-11). Найти уравнения,
обратные исходным, и выполнить в комплексной области операции, описанные в § 4-3.
4-11. Выполнить тронное матричное произведение, необходимое для получения
выражения (4-4-10).
4-12. Для системы, состоящей из двухполюсников (рис. 3-4-12) выполнить сле-
дующее:
Рис. 3-4-12.
а) Изобразить граф системы
б) Найти количество уравнений, которые необходимо решать совместно, еслидтя
вывода использованы уравнения ветвей я хорд.
и) Использовать метод получения уравнений, который дает меньшее количество
совместных уравнений, и решить их в символической форме.
г) Записать в развернутом виде уравнения по п. «в».
4-13. Выполнить задание задачи 4-12 для системы на рис. 3 4-13.
4-14. Выполнить задание задачи 4-12 для системы на рис. 3-4-14.
4-15. Рассмотрим две системы на рис. 3-4-15,а и б. Деформация вала между
вершинами b и с ‘равна нулю. Считается, что масса каждого отрезка вала равна нулю.
а) Изобразить линейные графы обеих систем, рассматривая каждую пружину,
демпфер, массу и источник как компоненту. Ориентировать отрезки линий так, чтобы
стрелка указывала направление от вершины а к вершине Ь, от вершины Ь к вершине с
и т. д., и от какой-то вершины к вершине g.
б) Для каждой системы найти количество уравнений, которые должны решаться
созместно, если для вывода использованы уравнения хорд и ветвей.
в) Выбрать одну из четырех систем уравнений, рассматриваемых в п. «в», и за-
писать в .развернутом виде полученные уравнения
г) В системе на рис. 3-4-15,6 масса М имеет полюсный граф, показанный на
рис 3-4-15,в. Определить, изображают лн показания измерителей на рис. 3-4-15,е силу
и перемещение, соответствующие отрезку линии, или же значения этих переменных
с обратным знаком.
4-16. а) Для системы на рис. 3-4-16 вывести уравнение во временной области,
выражающее явную зависимость перемещения между точками а—g от f(t).
393
б) Для той же системы вывести уравнения (уравнения ветвей) для случая, ког-
да перемещение между точками а—g является заданной функцией времени. Включить
перемещение между точками а—b как одну из переменных.
Источник
Рис. 3-4-15.
4-17. а) На рис. 3-4-17 -изображен измеритель ускорения. Выведите уравнения
системы (во временной обласги) -и используйте их для вычисления перемещения меж-
ду точками Ь и g в функции Считать полюсные уравнения для всех компонент
линейными.
5
Рпс. 3-4-16. Рис. 3-4-17.
б) Выполнить задание по п. «а», когда уравнения для демпфирующего элемента
и пружины имеют вид:
8(0
f (П = М(0 + М! (О-
4-18. Вращающийся маятник связан с вращающейся механической системой,
рис. 3-4-18. Получите уравнения -системы во временной области и -используйте их для
определения -реакции системы, когда -маятник освобождается нз положения, отстояще-
го от состоя-иия равновесия -на малое перемещение (точка а свободно вращается).
4-19. Получить уравнения для системы в задаче 4-18, когда вал а приводится -во
вращение двигателем, полюсное представление которого 'имеет вид:
г, (О = У.-Mi (О-
4-20. Вывести уравнения для системы на рис. 3-4-20, используя поток в качестве
независимых переменных хорд, г. е. вывести уравнения хорд.
394
К главе 5
5-1. Рассмотрим последовательную /?£-цепь на рис. 3-5-1. Пусть c(/) = sinl.
а) Показать, используя преобразование Лапласа, что установившееся решение
для тока имеет вид:
!(/) = /ел4-/ел,
* . t
где I — сопряженный комплекс /
Записать выражение для / через R и L-
б) Показать общий вид решения для i (t), если при t =0, i (/) = i (0-J-).
5- 2. Пусть задана следующая система уравнений:
I yi (s) 1(1 6 2s 4-1 I lxi(s)
I j/2 (s) | II 2s 4-I s2 4-2s 4- 101 |x2(s)
а) Найти решения для xt(l) и x2(t) и начертить график, когда j/i(Z) и y2(t)
являются ступенчатыми функциями
Il 1/2 (О
б) Найти зависимость от частоты модуля и фазового угла x2(t) в установив-
шемся режиме, когда
%](/) =XiCos со/, t/s(/)=O.
5-3. Простая механическая система приводится в движение источником синусои-
дального перемещения
6(/) = 16sin со/,
как показано на 'рис. 3-5-3. Две стрелки связаны с точками а и с системы и исполь-
зуются для записи перемещений этих точек во времени. Влиянием стрелок на движе-
ние системы можно пренебречь. Система вначале находилась в покое. Коэффициенты
имеют следующие значения:
Мь=Мс=1;
К,=К2=1;
со =2.
а) Найти граф системы, вывести уравнения системы, решить их для установив-
шегося режима перемещений точек сиси изобразить графически эти зависимости
395
Использовать метод вывода уравнений, дающий минимальное количество уравнений
системы.
б) Получить полное решение для перемещений точек а и с и изобразить соответ-
ствующие кривые.
5-4. Параметры компонент системы на рис. 3-5-1 следующие:
Коэффициент упругости вала / = 5 н-м/рад.
Коэффициент упругости вала 2=1 н-м/рад.
Коэффициент упругости вала 3=2 н-м/рад.
Момент 'инерции массы Af5= 1 н • м • сек2/рад.
Момент инерции массы Л16=4 н- м • сек2/рад.
а) Найти граф и вывести уравнения системы таким образом, чтобы моменты меж-
ду двумя концами валов 1 и 2 в явном виде входили в эти уравнения как неизвестные
переменные.
б) Решить уравнения системы и определить момент между двумя концами валов
1 и 2 как функцию времени, когда полюсные характеристики обоих источников сле-
дующие:
у7 = 1 для всех значений t\
у при f<0;
= 1
—при t > 0.
Ориентация элементов полюсных графов для источника скорости и источника момента:
от а к g и от источника .момента к g соответственно.
в) Из решения по п. «б» вычислить значения моментов и перемещений для всех
остальных элементов графа системы.
г) Решить уравнения системы и определить момент между двумя концами валов
1 и 2 в функции времени, когда полюсные характеристики обоих источников имеют
вид:
ср?= 10 sin t\
Tt=0.
5-5. а) Определить входной комплексный импеданс между точками а и g на
рис. 3-5-4 в функции частоты, когда Т’4=0.
б) Найти комплексную передаточную функцию, связывающую положение источ-
ника момента относительно точки g с задающей функцией <р7=Oystn cof.
396
К главе 6
6-1. Преобразовать уравнение (6-3-1) так, чтобы оно представляло электронный
триод, у которого ток сетки не равен нулю, а является функцией сеточного напря-
жения.
6-2. Найти (см. схему на рис. 3-6-2,а) полюсные уравнения для полюсных графов
на рис. 3-6-2.6, в и г.
6-3. Найти (см. схему на рис. 3-6-3,а) полюсные уравнения для полюсных графов
на рис. 3-6-3,б, виг.
Рис. 3-6-3.
6-4. Рассмотрим пассивную цепь на рис. 3-6-4.
а) Получить полюсные представления этой схемы в
приведенной ниже
форме:
б) Можно ли записать эти полюсные уравнения через параметры холостого хода?
Аргументируйте Ваш ответ.
6-5. Пружина, показанная на рис. 3-6-5, является одновременно вращающейся
компонентой и компонентой с поступательным движением. В ее полюсном представле-
нии элемент 1 изображает измерения дли поступательного движения, а элемент 2—
измерения для вращении
I h
(Л
Л11 К12
Ku К.гг
8.
?2
а) Изобразите ща чертеже, касс нужно разместить приборы и источники для из-
мерения Ли.
б) Выполнить задание по п. «а» для измерения Ki%.
6-6. На рис. 3-6-6 изображены вал А с резьбой и ганка В. Когда вал вращается,
гайка, которая не может свободно вращаться, движется вдоль вала по резьбе
Рис. 3-6-4. Рис. 3-6-5. Рис. 3-6-6.
397
Рис. 3-6-9.
Рис. 3-6-10.
а) Каковы две ‘возможные формы полюсных уравнений? Деформацию вала и
гайки не учитывать, трением пренебречь.
б) Для одной из форм полюсных уравнений, полученных в «а», показать распо-
ложение приборов и ’их ориентацию для получения элемента (1,2) матрицы коэффици-
ентов.
6-7. Для системы компонент «а рис 3-6-7 и приведенных «иже уравнений найти
подходящее полюсное представление, сохранив только зажимы а, Ь и с.
Уз
Х<,
2ц
0
212
2гг
Уз
Уг
о — П34
«34 о
Хз
У*
хз = г.,у5.
6-8. а) Вывести полюсные уравнения для корректирующих цепей, изображенных
на рис. 3-6-8.
б) Найти передаточные функции холостого хода для этих цепей.
6-9. Форма полюсных уравнений для четырехполюсника на рис. 3-6-9 соответ-
ствует двух'входному полюсному графу, приведенному там же:
67,(5) II Л
/, (s) II С
В и г (S)
D —/2 (s)
Определить параметры А, В, С, D для цепи.
6-10. Получить полюсные уравнения для полюсного графа идеального трансфор-
матора на рис. 3-6-10 -в виде:
(О
«’₽ (О
«т (О
'«(0
«т(0
398
6-11. Записать полюсные уравнения для компонент на рис. 3-6-11, используя
результаты измерений, которые Вы могли бы получить при лабораторных 'испытаниях,
и полюсные графы.
6-12. Механическая система на рис. 3-6-12 может быть включена в качестве ком-
поненты системы при помощи зажимов а, b и g.
а) Получить трехполюсное представление компоненты.
б) Найти передаточную функцию, свизывающую 62 с 6Ь когда fz=O.
7///////7, д
Рис. 3-6-12.
К главе 7
7-1. а) Получить указанное трехполюсное представление системы, изображенной
на рис. 3-7-1.
б) Используя представление, полученное выше, найти входную проводимость и
коэффициент усиления, когда выходной ток равен нулю. Какова величина выходного
сопротивления, когда вход замкнут накоротко?
7-2. Записать в общем виде полюсные уравнения для трех систем на рнс. 3-7-2,
используя приведенные полюсные графы (их можно представить так, что ие потре-
буется находить обратных матриц).
7-3. Система механических компонент на рис. 3-7-3,а предназначена для исполь-
зования в качестве трехполюсиика. Вывести полюсные уравнения для полюсного гра-
399
фа на рис. 3 7-3,6. Полюсные характеристики двух рычагов представлены полюсными
графами «а рис. З-7-З.в и г и следующими уравнениями:
—0.5
10~2
81 I II Ь II I О
h II II 84 II | 0,5
7-4. Система, показанная .на рис. 3-7-4, содержит идеальный трехобмоточный
трансформатор.
Возможно ли получить трехполюсное представление относительно зажимов а,Ь,с
для любых передаточных отношений? Если возможно, то указать с помощью полюс-
ного графа, какими 'измерениями следует воспользоваться, чтобы получить это пред-
ставление.
400
Рис. 3-7-4.
7-5. а) Вывести полюсные уравнения для системы, изображенной на рис. 3 7-5,а,
используя 'Измерения, которые соответствуют полюсному графу на рис. 3-7-5,б. Трех-
обмсточный трансформатор считать идеальным. Отношение чисел витков его обмоток
Л 0,5.
Рис 3-7-5.
б) Повторить 'ВЫВОД
представлены в виде
для случая, когда полюсные уравнения трансформатора
d
4112 dt
d
+ dt
d
dt
7-6. Вывести полюсные уравнения дтя системы, показанной на рис. 3-7-6,а, ис-
пользуя измерения, соответствующие полюсному графу .на рис. 3-7-6.6. Шкив и рычаг
считать идеальными. У рычага ljl2=2.
7-7. Вывести полюсные уравнения для системы, показанной на рис. 3-7-7,а, ис-
пользуя измерения, соответствующие полюсному графу на рис. 3-7-7,6. Отношение
витков для двух идеальных трансформаторов составляет NijN2—\0, JV3/jV4=100.
7-8. Цепь из идеальных трансформаторов и активных сопротивлений показана на
рис. 3-7-8.П. Для этой цепи будет использоваться полюсный граф, изображенный иа
рис. 3-7-8,6.
а) Записать полюсные уравнения отдельно для каждого трансформатора, а затем
объединить их в одно матричное уравнение.
б) Найти граф системы. Определить условия, достаточные для существования
полюсного представления при всех значениях n^NJNi, и na=NelNs.
26—1738
401
Рис. 3-7-8.
в) Вывести полюсные уравнения для указанного четырехполюсного представ-
ления.
г) На зажимы а, с подано переменное напряжение Е, а электромагнитный вольт-
метр подключен к зажимам с—d. Выразить показания вольтметра через £, щ, п2 и п3.
Показать, что этот результат можно также определить по 'виду системы, т. е. без
формального вывода.
7-9. Вывести полюсные уравнения для полюсного графа на рис. 3-7-9,б, используя
преобразование дерева и следующие полюсные уравнения для полюсного графа четы-
рехполюсника на рис. 3-7-9,а:
Рис. 3-7-9.
7-10. Полюсные уравнения для полюсного
вид:
графа рычага на рис. З-7-Ю.с имеют
Л
8г
«3
d*
М dfi «21 «Э1
— «21 О О
— «31 о О
81
f г
f,
С помощью преобразования дерева найти
на рис. 3-7-10,6.
полюсные уравнения для полюсного графа
Рис 3-7-10.
402
7-11. Вывести полюсные уравнения для полюсного графа на рис. 3-7-11. По воз-
можности пользоваться только комбинациями из соединений двухвходных компонент.
7-12. Соединить параллельно два четырехполюсника, показанные на рис. 3-7-12
(полюсные уравнения компонент приведены ниже). Найти общее правило, в каком
виде лучше представлять уравнения для этой конкретной задачи.
б)
Уз ёз ёзг gl3 -Vi
Уг = gzi ёг ёгз Х2 »
Уз ёзг ёзг ёз Хз
1/4 ёг Й45 ёге xt
1/5 = ёзг ёз ёзг Хз >
Уг ёзг ёгз ёз Хз
х. 5—1 0 Уз
Хг —1 10 —2 Уг »
Хз 0—2 4 Уз
Xt 5 0—1 Уг
Хй = 0 5—2 Уз »
Хв —I —2 4 Уз
Xi 0 —I —1 Уз
Уг = 1 2 —1 Хг >
Уз 1 —I 4 Хз
Уг 0 —1 —1 Хз.
xs *= 1 2 —1 Уз
хв 1 —1 4 Уг
Рис. 3-7-11.
26*
403
7-13. Найти лвухвходное представление для соединенных в каскад двухвходных
и трехполюсиых компонент, показанных .на рис. 3-7-13. Полюсные уравнения компо-
нент приведены ниже. При каких условиях передаточную функцию системы можно по-
лучить как произведение передаточных функций компонент?
а)
х, I II 1 + 2s 1 I II р, II
х2 I I 1 2 +3s I II 4-2 |Г
х3 I 3 + 5s — 2 I
xt I — 2 4 + 2s I
</s
J/4
Рнс. 3-7-13.
7-14. Найти двухвходное
последовательно-параллельное
представление трехполюсников (рис. 3-7-14), имеющих
соединение. Полюсные уравнения компонент такие же,
как и в задаче 7-13. Указать, в каких случаях можно получить общую передаточную
функцию из передаточных функций отдельных компонент в виде простого выражения
, , Hi(s)
|X(S) " 1+М*)М*)’
где gi(s) и P2(s) — передаточные функции компонент.
При каких условиях можно .рассматривать m(s) -и p2(s) как передаточные функ-
ции «нагруженной» системы?
7-15. Линейный граф и «граф распространения сигнала» очень схожи в том, что
они оба содержат семейство ориентированных отрезков линий. Чем различаются эти
две диаграммы?
404
7-16. Привести примеры физических компонент (электрических, ‘Механических, ги-
дравлических, электромеханических и г. д.), имеющих полюсные характеристики, кото-
рые даны в обшем виде в задаче 7-13.
К главе 8
8-1. Вывести уравнение (8-2-3) из (8-2-1).
8-2. Обсудить задачу, предложенную в '§ 8-2 перед уравнением (8-2-9).
8-3. Вывести уравнение (8-2-22), а затем получить из 'Него (8-2-24).
8-4. Объяснить второе утверждение в параграфе после уравнения (8-2-24).
8-5. Написать эквивалентное уравнение для иа (уравнение 8-4-16), используя
цепь, в которую входят элементы 6, 7 и 8.
8-6. Получить уравнение (8-4-13).
8-7. Объяснить уравнение (8-2-14).
8-8. Вывести уравнение (8-4-15).
8-9. Вывести уравнение (8-4-17).
8-10. Показать, что если считать постоянным ток io, то коэффициент матрицы
(1,2) в уравнении (8-4-21) равен нулю только тогда, когда токи в катушках, подвер-
гающих™ коммутации, являются линейными функциями t Рекомендуется использовать
последнюю строку в матричном уравнении (8-4-1) и предположить, что ii=—15 на
рис. 8-4-1.
8-11. Опишите, как, используя уравнение (8-4-22), можно определить значение
Аа; экспериментальным способом.
8-12. Коэффициенты полюсного уравнения для коллекторной машины составляют:
Rfi—900 ом;
/?оо = 40 ом;
В —2 • 10-1 н • сек/м;
Ло/=13 ом сек/рад;
Ljу =60 гм;
Вас ~ 0;
J=3 -10'* н-сек2/м.
Ток возбуждения if считать постоянным и равным 0,05 а. Якорь включается на
постоянное напряжение так, что
( 0 для f<°
Ua^ ( 115 в для t^0.
Найти аналитическое решение для скорости <p(Z) и тока якоря ia(l) и построить
эти кривые в функции времени для интервала 0,1 сек. Получить точное решение для
максимума тока и соответствующего значения t.
8-13. Подсчитать изменение электромагнитного момента Te(t) в н-м для маши-
ны из предыдущей задачи. Условия работы и параметры не изменяются.
8-14. Машина, параметры которой приведены в задаче 8-12, вращается с посто-
янной скоростью 1 800 об/мин. К зажимам якоря подключается последовательная цепь
RL (1 500 ом ч 25 гн).
а) Определить ia(t) и ua(t) для ступенчатого изменения напряжения, которое
подается на обмотку возбуждения гак, что «/=115 в для 1^0.
б) Определить ua(t) при условиях п. «а» и нагрузке, отключенной от якоря.
в) Определить внешнюю характеристику генератора для установившегося режима
работы, соответствующего условиям пп. «а» и «б». За базовое напряжение принять
напряжение нагруженного генератора.
8-15. Для коллекторной машины, параметры которой приведены в задаче 8-12,
вместо коэффициента Aaf задана нелинейная кривая намагничивании, показанная «а
рпс. 3-8 15. Определить полюсную характеристику машины, вращающейся со скоростью
1 800 об/мин п работающей в качестве шунтового генератора, если последовательно
обмотке 'возбуждения включается сопротивление 1 200 ом. Построить кривую, исполь-
зуя в расчетах эту характеристику 'намагничивания.
8-16. Какое добавочное сопротивление следует присоединить к машине из задачи
8-15, чтобы напряжение холостого хода составляло НО в?
8-17. Решить задачу 8-Г5, используя вместо кривой намагничивания выражение
Па = 7+2 000 if. Какое максимальное значение тока можно получить от этой машины,
работающей в качестве генератора?
8-18. Объясните, почему невозможно повысить напряжение холостого хода шун-
тового генератора до номинального, если полярность обмотки возбуждения не соот-
ветствует требуемой.
8-19. Машина, параметры которой приведены в задаче 8-15, имеет сериесную об-
мотку возбуждения. Отношение витков сериесной и шунтовой обмоток составляет 0,02.
405
Рис. 3-8-15. Кривая намагничивания
холостого хода при скорости
1 800 об1мин.
а) Вывести полюсные уравнения,
люсному графу. Решение выполнить в
обозначить символами.
Определить полюсную характеристику маши-
ны при скорости вращения 1 800 об!мин, если
она работает генератором с самовозбужде-
нием и имеет согласное компаундирование. До-
бавочное сопротивление к обмотке возбужде-
ния составляет 1 500 ом.
8-20. Решить задачу 8-19 для случая
встречного компаундирования.
8-21. Решить задачу 8-19 для случая,
когда напряжение шунтовой обмотки возбуж-
дения постоянно и составляет 120 в.
8-22. Решить задачу 8-21 для случая
встречного компаундирования.
8-23. Найти такое отношение витков
сериесной и шунтовой обмоток для согласно
компаундированного генератора из задачи
8-19, при котором напряжение на зажимах
якоря при to=0,75 а будет равно напряже-
нию .холостого хода.
8-24. Валы двух коллектооных машин
соединены и приводятся во вращение от внеш-
него двигателя, как схематически показано на
рис. 3-8-24. Параметры этих машин различные
соответствующие 'показанному «а рисунке по-
ко.мплексноп области, коэффициенты уравнений
Рис. 3-8-24.
б) Получить передаточную функцию холостого хода
«ай(х)/«л(х)[ДЛЯ »а2(а)=0].
8-25. Определить механическую характеристику машины, параметры которой при-
ведены в задаче 8-15, если 'напряжение поддерживается равным ПО в, а скорость
может меняться в зависимости от нагрузки.
8-26. Построить кривую, выражающую зависимость момента от тока, для ме-
ханической характеристики из предыдущей задачи. Воспользоваться нелинейной кри-
вой намагничивания.
8-27. Повторить решение задачи 8-26 для случая линейной аппроксимации кривой
намагничивания, которая проходит через начало координат и имеет такой же угол
.наклона как нижняя часть кривой.
8-28. Вывести уравнение (8-10-2).
8-29. Получить передаточную функцию холостого хода ('8-11-9) из уравнения
(8-11-7).
8-30. Найдите полюсное 'представление для машин 2 и 3 'на рис. 8-11-1, рассматри-
вая их как одну компоненту. Сравните полученные результаты с полюсным представ-
лением системы Г—Д в табл. 8-3-1.
8-31. Получить полюсное представление [уравнение (8-11-7)] полной системы,
показанной на рис. 8-11-1, из совместного решения уравнений, которые найдены в за-
даче 8-30, и уравнений машины 1.
8-32. Вывести уравнение (8-11-9), непосредственно используя полюсные пред-
ставления машины / и компоненты, образованной из машин 2 и 3.
8-33. Вывести полюсные уравнения электромашинного усилители [уравнения
(8-12-2)], отметить, какие аппроксимации необходимы при этом.
8-34. Получить полюсные представления 8 в табл. 8-13-1, используя полюсное
представление для электромашинного усилителя и системы Г—Д, приведенные
в этой таблице.
406
К главе 9
9-1. Если уравнения, устанавливающие связь с измерениями, соответствуют гра
фу на рис. 3 9-1,а, то в полюсных характеристиках силового цилиндра учитывается
сжимаемость жидкости и упругость цилиндра и трубопроводов. Получить эти урав-
нения.
Замечание: вначале полезно рас-
смотреть уравнения, устанавливающие
связь с измерениями в соответствии
с графом на рис. 3 9 1,6 Затем из этих
уравнении можно вывести полюсные
уравнения для графа на рис. 3-9-1,а.
Точка е представляет область атмо-
сферы.
9-2. Как можно видоизменить по-
люсное представление для гидравличе-
ского золотника, показанного на
Рис. 3-9-1
рис. 9-1-2, чтобы включить сжимаемость жидкости и
упругость (расширение) тру-
бопроводов?
9-3. Вывести полюсные уравнения .ГИМ, показанного на рис. 9 1 1, и усилителя,
показанного на рис. 9 11, для случая, когда в полюсных уравнениях компонент учи
тынается упругость трубопроводов и сжимаемость жидкости
9-4. а) Записать уравнения
Можно считать, что сила в золотнике прямо
(9-3-6) с учетом сжимаемости
с жидкости трубопроводов.
о б) Внести соответствующие
изменения в полюсные представ-
ления гидравлических компонент
в гидроприводе, показанном на
d рис. 9-4-1. Получить полюсные
уравнения для этой системы.
9-5 Записать в общем виде
уравнения гидравлического золот-
ника, управляемого соленоидом,
и усилителя (рис. 3-9-5).
пропорциональна величине постоян-
ного тока в обмотках соленоида и зависит от его знака. Как можно классифицировать
эту компоненту?
9-6. а) Получить полюсные характеристики системы, образованной включением
вращающегося демпфирующего элемента между внутренним и внешним подвесами
гироскопа на рис. 9-5- 1,а.
б) Какова передаточная функция холостого хода, устанавливающая связь между
положениями двух подвесов?
К главе 10
10-1. Цепь с двухкаскадным усилителем изображена на рис. 3-10-1,а. Численные
значения параметров: Hi = Pa=2, rpi = rp2= 106, = 106; 7?2=0.5-106; =
= 4 = 25; С — очень большая.
Используя расчленение на блоки, которые выделены пунктиром на рис. 3-10-1,6,
получить указанное тре.хполюсное представление системы и определить величину ко-
эффициента усиления при холостом ходе в децибелах и величины входного и выход-
ного сопротивлений
10-2. Получить указанные трехполюсные характеристики механической системы
на рнс. 3-10-2,с как функцию отношений рычагов П\ и п2. Остальные коэффициенты:
Л41 = Л42=1; А[=й2=Йз=1; jB,= 1.
Предлагается использовать расчленение на блоки, как показано на рие. 3-10 2,6.
Отметим, что с помошью такого расчленения система представляется в виде каскада
из трех трехполюсных компонент Сделать по крайней мере еще одно расчленение.
10-3. Система, показанная на рис. 3-10-3, является частью системы регулирования
уровня в баке. Используя приемлемые приближения, где это -возможно сделать, опре-
делить .характеристики системы, рассматриваемой в качестве шестиполюсной изоли-
рованной компоненты, через ее параметры. Сигнал с -выходного потенциометра подает-
ся на вход электронного усилителя, имеющего незначительную входную проводи-
мость.
407
г
Рис. 3-10-3.
408
10-4. Полюсные уравнения для привода с регулируемой скоростью имеют вид:
200 1
s + 20 1 + p. (s)
где
1 250
И = (s + 20) s
Этот привод спроектирован так, чтобы получить скорость, близкую к постоянной и
независимую от момента нагрузки.
а) Устойчива ли система? Если да, то получить решение для (?)— когда
То (?) является ступенчатой функцией Те.
б) Построить частотную характеристику для <f0(?)— когда T0(t) является си-
нусоидальной функцией времени. Показать и величину, и фазу угла.
10-5. Численные значения параметров компонент в позиционной электромехани-
ческой системе, показанной на рис. 3-10-5, выражаются через:
Мостовой усилитель
4=0;
и2 = 10И1 + Ю4/2.
Амплидин
ча
1,800+ 150s
5X104
о
50
Двигатель
иа
т
30 0,6
— 0,6 (2 +3s) ХЮ
I
<Р I
Редуктор
Г,
о
1/36
— 1/36
0
ч
Л
Потенциометры
И
ПО И
к = 2б^ = 2^ = ± 1’75*-
а) Представить
ная функция имела вид:
характеристики вход—выход таким
образом, чтобы передаточ-
G(s)
C(s)= i + G(s)//(s) ’
где G(s) и Н(s) — передаточные функции двух составляюших в последовательно-па-
раллельном соединении (диаграмма обратной связи).
б) Определить знак в полюсном уравнении потенциометра, соответствующий
условиям устойчивости (для заданных величин параметров), и рассчитать переходную
функцию для ступенчатого воздействия на входе:
0
Ф,-
f <0
t +:0.
?i(O =
27—1738
409
Найти «предельную ошибку» системы. Индуктивностью обмотки возбуждения ампли-
дина в расчетах можно пренебречь.
в) Подобрать такой коэффициент усиления усилителя, который обеспечивает кри-
тическое демпфирование в системе. Определить значения других параметров системы,
при регулировании которых .можно добиться того же результата.
г) Построить диаграммы Боде для пп. «в» и «б», и указать, как влияет измене-
ние коэффициента усиления на частотную характеристику.
10-6. Полюсные уравнения с численными коэффициентами для некоторых состав-
ляющих системы, показанной на рис. 3-10-6,
Для одинаковых усилителей 7 и 77

имеют вид:
0
10
О
104
к,-
Для машины постоянного тока
100
иа*
Т.
107,
, d \
— 107, f ,0 + 5df ) 10-4

7?=10< ом; С=10 Ц/.
Рассматривать в качестве переменных параметров коэффициенты передачи по-
тенциометра, передаточное отношение редуктора м ток 7,.
а) Найти характеристики вход — выход и определить семейство значений пере-
менных параметров, которые обеспечивают устойчивую работу и, кроме того, дают
минимальную ошибку положения и (или) минимальную скоростную ошибку в уста-
новившемся режиме.
б) Для параметров, полученных в предыдущем пункте задачи, определить, как
изменится ошибка положения и (или) скоростная ошибка в установившемся режиме,
если нагрузка на выходе возрастает сразу от нуля до 7'ь=1 н-м.
Рис. 3-10-6.
10-7. Заданная частотная характеристика показана на рис. 3-10-7.
а) Определить переходную функцию при единичном скачке на входе.
б) Рассчитать весь переходный процесс для
10 t <0
fi (0 = У
1 sin 107 7 > 0.
в) Рассчитать постоянные коэффициенты позиционной и скоростной ошибок для
системы.
Рис. 3-10-7.
410
10-8. а) Показать, как .можио расчленить систему, изображенную на рис. 3-10-8,
на группу каскадных и последовательно-параллельных соединений однонаправленных
трехполюоников и (или) развязанных четырехполюсников.
б) Представить из пункта «а» задания полюсные уравнения каждой компоненты
з общем виде, получить характеристики вход—выход системы с передаточной функ-
цией холостого хода, записанной как
G(s)
C(s)— ] +G(s)H(s)
Можно ли связать каждую передаточную функцию G(s) и W(s) с конкретным блоком?
в) Нарисовать структурную схему для математических выражений, с помощью
которых можно получить передаточную функцию в «б» и показать, что в системе
можно выделить две петли обратной связи.
г) Как изменятся уравнения, если исключить усилитель 2?
10-9. а) Приняв гидропровод в качестве одной компоненты, показать, как можно
расчленить систему, представленную на рис. 3-10-9,а, на группу параллельно соединеп-
Рпс. 3-10-9.
ных развязанных четырехполюсников. Полюсные уравнения шарового регулятора,
показанного на рис. 3-109,6, для малых изменений положения регулятора относи-
тельно рабочей точки х=Х и малых изменений скорости относительно <р=Ф имеют
вид:
7(f) I
НО I
d
B + J4t ~К'
da
Кг Al dta
?(0
-НО
27*
411
где В — коэффициент демпфирования, обусловленный трением в подшипниках.
К1 = ФЛ1ЬА’;
Кг = ФМЬХ\
Мь1* .
М ~~ 1‘— А'2/4’
J = 2Mb
б) Представить в обшем виде полюсные уравнения каждой компоненты из п. «а»
задачи и получить характеристики вход — выход системы такими, чтобы передаточная
функция выражалась как’
C(s)— j _|_GR(s)-
10-10. Повторить решение задачи 10 9 для системы, показанной на рис. 3-10-10,а.
Полюсные уравнения для «агрузки, паровой турбины, паропроводов и золотника, рас-
Рпс. 3-10-10.
сматриваемых в качестве одной компоненты (рис. 3-10-10,6)
ближенно в виде
можно представить п,ри-
fb
О
kab
о
К главе 11
пределы изменения <ро в уравнениях (11-1-12) и (11-1-13).
что за один оборот ротора собственная индуктивность статора
машины, изображенной на рис. 11-1-4, проходит через два максимальных и два мини-
мальных значения.
11-3. Покажите, что средний реактивный момент равен нулю при всех скоростях,
меньших синхронной. Используйте уравнение (11-1-15), приняв i,=0.
11-1. Объясните
11-2. Докажите.
412
11-4. Приведите обоснование следующему утверждению: «При достаточно ма-
лых значениях Вп явнополюсная машина переменного тока с одной катушкой на стато-
ре будет вращаться в двигательном режиме с син-
хронной скоростью в положительном направлении
при —18О°<(ро<О, если is(t)=ls sin wt»
11-5. Найти первые четыре члена ряда Фурье
для кривой взаимной индуктивности показанной на
рис. 11-2-3, и показать, что Да=Л1/А2.
Проверьте
(11-2-2).
Проверьте
Проверьте
Найдите коэффициенты распределения для
основной, третьей и пятой гармоник взаимной индук-
тивности для машины с четырьмя последовательно
соединенными статорными кагзшкамп, смещенными
одна относительно другой на 15°.
11-10. Покажите размещение катушек в двух-
полюсной однофазной машине переменного тока,
статор которой имеет конфигурацию, показанную на
11-6
(11-2-1) и
11-7.
11-8.
11-9.
уравнение
уравнение
уравнение
(11-2-3), используя
(11-2-10).
(11-2-11).
3-11-10, если шаг катушки
рис.
составляет девять пазов и используются четыре катушки на полюс.
11-11. Рассчитайте коэффициент укорочения, коэффициент распределения и об-
моточный коэффициент для машины, данные которой приведены в предыдущей задаче.
11-12. Решите задачу 11-10 для трехфазной обмотки и рассчитайте коэффициенты,
указанные в задаче 11-11.
11-13. Дайте обоснование формы матрицы коэффициентов в уравнении (11-3-1).
11-14. Дайте обоснование формы матрицы L., (6) в уравнении (11-3-7).
11-15. Выведите уравнение (11-4-21), используя уравнение (11-3-7) и S-преобра-
зовакие переменных статора.
11-16. Запишите уравнения для момента (11-4-20) и (11-4 22), используя i~, 'вме-
сто г1.,
11-17. Напишите в 'развернутом виде .матрицы четвертого и седьмого порядка,
обладающие циклической симметрией.
11-18. Напишите S'-матрицы четвертого « седьмого порядка.
11-19. Используя теорему 11-6-1, напишите матрицы, обратные матрицам пре-
дыдущей задачи. Проверьте результат умножением.
11-20. Напишите ЗХ4-матрицу Afsr(6).
11-21. С помощью теоремы 11-6-4 напишите матричное произведение
S3Msr(6) S7’, используя матрицу Msr (6) из предыдущей задачи. Проверьте результат
путем умножения трех матриц.
11-22. Докажите теорему 11-6-8.
11-23. Докажите теорему 11-6-9
11-24. Покажите, что теорема 11-6-10 может быть использована для преобразо-
вания переменных положительной последовательности (11-6-4) и (11-6-5) в системы
симметричных переменных (11-6-2) и (11-6-3) соответственно.
11-25. Покажите, что теорема 11-6-8 справедлива для /2 = 4 и /2=5.
11-26. Вычислите трехфазные симметричные составляющие, соответствующие сле-
дующим системам фазных напряжений:
и
в)
и
и
413
К главе 12
12-1. Определите переходные и установившиеся токи
мера 12-1-1 после присоединения статора к трехфазному
которого
в синхронной машине цри-
Источнику напряжения, для
иа
«ь
«с
= — 435
sin tot
0
0
12-2. Определите переходные и установившиеся токи
в синхронной машине при-
мера 12-1-1 после присоединения статора к симметричному трехфазному 'источнику
напряжения отрицательной последовательности
Ua sin tot
иъ = — 435 sin (<ol + 120°)
Чс sin (<ol — 120°)
12-3. Трехфазная асинхронная машина примера 12-2-1 должна питаться от двух-
фазного источника напряжения по схеме, показанной на рис. З-12-З.о.
Линейные напряжения для графа на рис. 3-12-3,6 равны:
I «1 I >г~
= 110V2
I «2 |
sin col
sin (col — 90°
а) Определить установившиеся и переходные токи статора непосредственно после
замыкания выключателя, соединяющего статор с источником напряжения; предпола-
гается, что скорость вращения вала остается равной нулю в течение первых несколь-
ких периодов после замыкания выключателя.
б) Рассчитать установившийся пусковой момент.
12-4. Полюсные напряжения на каждой фазе ненагружениого трехфазиого гене-
основной гармоники, третью гармонику. Форма напряжения
иа всех фазах одинакова. Объясните явления, имею-
щие место при соединении статора в треугольник,
как показано на рис. 12-1-1.
Примечание. Для решения нужно определить
Wa + Wb + uc.
12-5. Вычислите установившийся момент выхода
из синхронизма для машины примера 12-1-1, если
фазное напряжение составляет 220 в (действующее
значение).
12-6. Нагрузка /(=10-1-/10 присоединена к каж-
дой фазе генератора, данные которого приведены
в примере 12-1-1.
а) Определите установившиеся токи статора.
б) Определите установившийся момент на валу
и угол момента.
в) Объясните явления, которые будут иметь место при подключении к статору
нагрузки в виде несимметричных активных сопротивлений.
12-7. Обнаружено, что при работе машины из примера 12-1-1 в двигательном ре-
жиме вхолостую имеют место колебания около синхронной скорости с частотой 1 гц.
Какова механическая инерция 'Машины, если фазные 'напряжения составляют 220 в
(действующее значение).
12-8. Синхронная машина из примера 12-1-1 присоединена к трехфазному 'источ-
нику напряжения, -имеющему следующие фазные напряжения:
ратора содержат, кроме
А
А'
В
В‘
Рис. 3-12-5
«л (О
ив (О
«с (О
= 220 У 2
cos col
cos (<ol — 90°)
— У 2 cos (tot — 45°
где « = 377.
Скорость вращения постоянна и составляет 1 800 об!мин.
Механическая нагрузка на валу машины равна 7 000 вт.
а) Рассчитайте установившийся угол момента.
б) Рассчитайте установившиеся токи статора.
С
С
с
b "
с
414
12-9. Решите предыдущую задачу для случая симметричных питающих ‘напряже-
нии, амплитуда которых составляет 220/}^2 в.
12-10. Для машины с трехфазным статором и однофазным ротором получены
следующие результаты измерений. Вели вращать вал с постоянной скоростью
200 обIмин и питать ротор от источника постоянного тока с напряжением 110 в, то
постоянный ток ротора составляет: Zr=l а, а фазное напряжение на разомкнутых
фазах статора равно 220 в (действующее значение) при частоте 60 гц.
Если цепь ротора разомкнута, вал неподвижен, а к Статору приложено симмет-
ричное трехфазное напряжение 220 в «а фазу, то ток в каждой фазе равен /,= 15 а
(указаны действующие значения напряжения и тока) и отстает от иапряжения на
угол 82°.
а) Определите коэффициенты в полюсных уравнениях для симметричных состав-
ляющих.
б) Каким способом можно измерить индуктивность фазы ротора?
12-11. а) Рассчитайте критический ‘момент для асинхронной машины примера
12-2-1 при питании симметричным напряжением 220 в (действующее значение).
б) Определите скорость вращения вала, соответствующую критическому моменту.
в) Рассчитайте еще несколько точек и постройте механическую характеристику
машины.
г) Покажите, как изменится вид этой характеристики при увеличении сопротивле-
ния ротора в 10 раз.
12-12. Асинхронный двигатель на 60 гц с однофазным статором и црехфазным
ротором имеет следующие значения коэффициентов:
£, = 0,3 гн; R, = 0,3 ом;
I* = 0,053 гн; R* = 0.3 ом;
£* = 0.03 гн.
Фаза статора присоединена к источнику с напряжением НО в (действующее
значение).
а) Определите момент при следующих значениях скорости вращения:
¥ — 0;
= О,8со.
б) Изобразите форму механической характеристики.
в) Какие общие заключения вы можете сделать относительно пускового момен-
та этой однофазной асинхронной машины?
г) Рассмотрите различные способы пуска такой машины.
12-13. Трехфазный короткозамкнутый шгесгиполюсный асинхронный двигатель
имеет следующие номинальные данные:
Ри=5,5 кет; (7н=22О в; /я=22 a; fn = 60 гц; nB=l 165 об!мин.
Статор 'соединен в звезду. Сопротивление между полюсами статора при рабочей
температуре равно 0.6 ом. При отсутствии нагрузки п при номинальном напряжении
и частоте ток равен 10 а, а мощность 270 вт. При заторможенном роторе, на-
пряжении 55 в и номинальной частоте ток равен 21 а, а 'Мощность 800 вт.
а) Определить синхронную скорость машины. Какова частота роторных токов
при номинальной скорости?
б) Определить параметры эквивалентной схемы двигателя.
в) С помощью эквивалентной схемы или полюсных уравнений, выраженных че-
рез индуктивности рассеяния, определить следующие величины:
пусковой электромагнитный момент при номинальном напряжении;
потребляемую мощность, ток статора и электромагнйтный момент при номиналь-
ной скорости.
К главе 13
13-1. На рис. 3-13-1 изображены характеристика холостого хода и индукционная
нагрузочная характеристика трехфазного генератора. Используя этн характеристики,
определить 'коэффициенты в полюсных уравнениях для симметричных составляющих
при линейной аппроксимации в области рабочей точки (7, = 150 в, /,=— 4е~/31,6’ ,
со, = ру = 377. Активное сопротивление фазы статора составляет 0,5 ом. Каков угол
момента в указанной рабочей точке?
415
13-2. Используя графические методы и кривые рис. 3-13-1, определить токи ро-
тора, .необходимые для получения в установившемся режиме при Us= 130 в и Л=4 а
(на фазу) следующих значений коэффициента мощности:
а) 0 отст. (генератор),
б) 0,8 отст. (генератор);
в) 0,8 опереж. (генератор);
г) 1 (генератор);
д) 0,8 отст. (двигатель);
е) 0,8 опереж. (двигатель);
ж) 0 опереж. (генератор).
13 -3. Для уточнения ваших представлений объясните, в чем состоят трудности
аналитического определения установившихся значений полюсного напряжения Us по
заданным величинам э. .д. с. Ее, тока статора 18 и угла момента б.
13 -4. Используя кривые на рис. 3-13-1, определите процентное изменение полюс-
ного напряжения машины, работающей генератором, при изменении фазных токоз от
Д=0 до /а=4 а и при cos 6=0.8 (опереж.); фазное полюсное напряжение при нагруз-
ке составляет 150 в.
13 -5. При изменении последовательности трехфазных 'напряжений, приложенных
к асинхронной машине, на обратную направление вращения машины также изме-
няется. Это свойство часто используется для реверсирования нагрузки, приводимой
во вращение асинхронными машинами.
а) Пусть механическая нагрузка на валу асинхронной машины характеризуется
соотношением
/ d \
У1 = г®' + 1 dt J ¥‘-
Запишите дифференциальные уравнения для системы -в форме, удобной для ре-
шения на цифровой вычислительной .машине, и укажите начальные условия, необходи-
мые для решения. Скорость при этом не должна рассматриваться неизменной.
б) Подставьте в уравнения, выведенные в п. «а», типичные численные значения
и определите переходные токи статора и момент на валу непосредственно после ре-
версирования напряжений статора.
К главе 14
14-1. При аналитическом выводе полюсных уравнений для исполнительного дви
гателя в § 14-1 мы были вынуждены ограничиться рассмотрением установившейся
составляющей решения, полученного при постоянной -скорости вращения и известных
полюсных напряжениях.
416
а) Как можно было бы использовать семейство численных решений нелинейных
уравнений исполнительного двигателя для определения справедливости таких до-
пущений?
б) Запишите уравнения (в нормальном виде), которые нужно было бы использо-
вать для этого анализа, и определите изменения во времени напряжений статора
14-2. Используя полюсные уравнения исполнительного двигателя (14-1-26), полу-
чите характеристики вход — выход системы, изображенной на рис. 14-1-1, как явные
функции параметров системы. Передаточную функцию пары, образованной сельсином-
датчиком и сельсином-трансформатором прн работе без нагрузки, можно получить из
уравнения
и0(О=^(фг—<po)sin ы/,
где По (О — напряжение на разомкнутых зажимах d—d'. Получите передаточную
функцию в виде
C(s) =
_____________R{s.
1 +G(s)//(s)
G(s) и H(s), зная передаточные функции частей
Можно ли определить функции
системы при их работе без нагрузки?
Если да, то покажите, как это
14-3. Из полюсных характеристик исполнительного двигателя (14-1-26) следует,
что при уменьшении напряжения управления t/2 до нуля момент на -валу также при-
ближается к нулю, и машина останавливается, если на
ханическая нагрузка. Решение задачи 12-12 показывает,
сделать.
валу имеется пассивная ме-
однако, что .момент на валу
. ы
однофазного асинхронного двигателя равен нулю лишь при <р=0 и <р~~. Оба эти
свойства связаны с видом характеристик двигателя. Какие особенности расчета ма-
шины объясняют эту разницу в характеристиках? Может ли оказаться, что некоторые
исполнительные двигатели будут продолжать вращаться, если напряжение на обмотке
управления равно нулю? Ожидаете ли вы такую тенденцию у всех исполнительных
двигателей? Объясните.
14-4. Объясните, для чего в схеме на рис. 14-11 часто включают конденсатор
между точками Ь, Ь’ параллельно с обмоткой управления. Используя выражения для
коэффициентов в полюсных уравнениях для исполнительных двигателей (14 1-26),
определите, какой должна быть емкость этого конденсатора.
14-5. а) Получите полюсное представление для группы тре.хфазных компонент,
изображенной на рис. 3-14-5. Покажите, что при пренебрежении токами возбуждения
Трансформатор
Рис. 3-14 5.
do Ь
IV
е с
линии передачи и трансформатора и использовании
t относительных единиц полюсные
уравнения в симметричных составляющих для этой группы имеют такой же вид, что
и полюсные уравнения в симметричных составляющих для генератора.
б) Какие дополнительные трудности возникают при. получении полюсного пред-
ставления с учетом токов возбуждения указанных компонент?
Источник
постоян-
ного то ко
Источник
постоян-
ного токо
Источник
постоян-
ного токо
Рис. 3-14-6.
417
14-6. а) Используя результаты задачи 14-5 и полюсные графы компонент, выве-
дите уравнения в ’Симметричных составляющих для системы из трех взаимосвязанных
машин, изображенной на рис. 3-14-6 ‘(для случая переменной скорости). Машины 1
и 2 и связывающие их линии идентичны и имеют следующие коэффициенты:
= 0,005 отн. ед.; + = 1,5 отн. ед.;
v>L,T = 1,0 отн. ед.; RT = 1 отн. ед.; Lr = 4 отн. ед.; со = 377.
Коэффициенты механического демпфирования и инерции равны соответственно
В и Л
б) В качестве первого шага при выводе уравнений п. «а», предназначенных для
решения на вычислительной машине, следует разделить вещественные и мнимые части
переменных .и получить соответствующую систему дифференциальных уравнений с ве-
щественными коэффициентами.
14-7. Получите результаты п. «а» предыдущей задачи путем изображения экви-
валентного графа системы для последовательностей и использования его в качестве
основы для записи уравнений для последовательностей.
14-8. а) Предположите, что в примере § 14-10 достаточно точный результат мож-
но получить, пренебрегая изменением скорости вращения в течение первых несколь-
ких циклов. Используя 'эквивалентный граф для последовательностей на рис. 14-10-1
и уравнения для компонент, получите уравнения для системы в операторной форме,
если каждая роторная цепь возбуждается от источника постоянного напряжения. Эти
уравнения должны использоваться в качестве основы для изучения электрических пере-
ходных процессов при замыкании на шинах С. Численные значения коэффициентов
машины в относительных единицах:
R* = R+=0.005; ь>Л+ = <о£+ = 1.5;
Oj OJ Oj Og
<оЛ+ = coZ± =1,0; /?+ = 0,003;
ЬГ1 ОГ2 оз
<о1-Х = 1,3; <<Гз=1.0;
= = ^. = ^ = 6; 1Гз = 4.
Эквивалентные полные линейные сопротивления остальных элементов графа при
установившемся режиме имеют следующие величины:
Zi=0,06+/0,25; Z2=0,l+/0,5; Z3=0,03+/0,2; Z4=0,05+/0,3.
б) Каким методом вы бы предложили решать эти уравнения?
в) Покажите, как бы вы подготовили эту задачу для решения на цифровой
вычислительной машине.
ЛИТЕРАТУРА
1-1. Blackwell W. A. and Koenig H. E., Lagrangian versus Linear Graph
Techniques, Proc. Third Midwest Symposium on Circuit Theory, Iowa State College.
1958, May.
1-2. Koenig H. E. and Blackwell W. A., On the Codification of Lagrangi-
an Formulation, Proc. IRE, 1958, July, p. 1428—1429.
1-3. Seely F. B. and Ensign N. E., Applied Mechanics for Engineers, John
Wiley and Sons, Inc., New York, 1940.
1-4. Jensen A., Applied Engineering Mechanics, McGraw-Hill Book Company,
Inc., New York, 1946.
1-5. Trent H. M., Isomorphisms between Oriented Linear Graphs and Lumped
Physical Systems, J. Acoust. See. Am., 1955, p. 600—527.
1-6. Poincare Henri, Science and Hypothesis, Dover Publications, New York,
1952, p. 106.
2-1. Firestone F. A., The Mobility Method of Computing the Vibrations of
Linear Mechanical and Accoustical Systems: Mechanical-Electrical Anologies, J. Appl.
Physics, 1938, v. 9, p. 373—378.
3-1. Reed M. B. and Seshu S., On Topology and Network Theory, Proc. Univ.
III. Symposium on Circuit Theory, 1955, p. 2.1—2.16.
3-2. Gui Hemin E. A., Introductory Circuit Theory, John Wiley and Sons, Inc.,
New York, 1953.
3-3. R e z a F., Some Topological Considerations in Network Theory, Trans. IRE
on Circuit Theory, 1958, March, p. 30—42.
4-1. Gilie J. С., P e 1 e gr i n M. J., Decaulne P., Feedback Control Systems,
McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1959, p. 25 (есть русский перевод).
5-1. Churchill R. V., Operational Mathematics, McGraw-Hill Book Company,
Inc., New York, 1944.
5-2. Gardner M. F. and Barnes J. L., Transients in Linear Systems, John
Wiley .and Sons, Inc., New York, 1942 (есть русский перевод).
5-3. T r u x a 1 J. G., Automatic Feedback Control System Synthesis, McGraw-Hill
Book Company, Inc., New York, 1955 (есть русский перевод).
7-1. Mason S. J., Feedback Theory—Some Properties of Signal-flow Graphs,
Proc. IRE, 1953, v. 41, p. 1144—1156.
7-2. Mason S. J., Feedback Theory—Further Properties of Signal-flow Graphs,
Proc. IRE, 1956, v. 44, ,p. 920—926.
7-3. Seshu S. and Balabanian N., Linear Network' Analysis, John Wiley and
Sons, Inc., New York, 1959, ,p. 407—425 (есть русский перевод).
8-1. Bull H. S., Direct-current Machinery, John Wiley and Sons, Inc., New
York, 1939.
8-2. Siskind Ch. S., Direct-current Machinery, McGraw-Hill Book Company, Inc.,
New York, 1952.
8-3. F i t z g e г a 1 d A. E. and Kingsley C., Electric Machinery, McGraw-Hill
Book Company, Inc., New York, 1952.
8-4. К u Y. H., Electric Energy Conversion, The Ronald Press Company, New York,
1959.
8-5. Kloeffler R. G., Kerchner R. M., Brenneman J. L., Direct-current
Machinery, The Macmillan Company, New York, 1950.
419
11-1. Blackwell VV. A. and Koenig H. E., On the General Properties of
Terminal Equations for Polyphase Machines, Matrix and Tensor Quart., v. 9, 1958, № 1,
p. 2—12.
13-1. Gilchrist R. W., A Digital Computer Solution of Synchronous Machine
Differential Equations in Power System Stability Problems, Ph. D. thesis, Michigan State
University, 1960, June.
П-l. Bode H. W., Network Analysis and Feedback Amplifier Design, D. Van
Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1945, chap. VIII.
П-2. Evans W. R., Control-System Dynamics, McGraw-Hill Book Company,
Inc., New York, 1954.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию............................................. 3
Из предисловия авторов..................................................... 5
Глава первая. Общие понятия................................................ 7
1-1 Понятие системы.................................................... 7
1-2. Основная цель анализа системы..................................... 8
1-3. Методы анализа.................................................... 9
1-4. Операционные принципы анализа систем............................. 10
1-5. Задача синтеза................................................... 11
Глава вторая. Математические характеристики двухполюсных компонент 14
2-1. Некоторые предварительные замечания............................. 15
2-2. Электрические измерения и полюсные графы........................ 16
2-3. Полюсное представление двухполюсников........................... 17
2-4. Резистивные компоненты.......................................... 18
2-5. Емкостные компоненты ........................................... 19
2-6. Индуктивные компоненты.......................................... 21
2-7. Активные компоненты........................................... 22
2-8. Механические измерения и полюсный граф.......................... 23
2-9. Полюсное представление механических двухполюсников.............. 28
2-10. Гидравлические измерения и полюсный граф........................ 29
2-11. Тепловые измерения и полюсный граф.............................. 31
2-12. Обобщение........................................................33
2-13. .Мощность и энергия..............................................34
2-14. Единицы измерения............................................... 39
2-15. Выводы.......................................................... 40
Глава третья. Системы, состоящие из двухполюсников........................ 40
3-1. Граф системы..................................................... 41
3-2. Определения в теории графов...................................... 42
3-3. Уравнения контуров и вершин для механических систем.............. 43
3-4. Уравнения контуров и вершин для электрических систем............. 45
3-5. Постулаты для вершин и контуров.................................. 46
3-6. Дерево и его дополнение.......................................... 47
3-7. Уравнения фундаментальных контуров............................... 49
3-8. Уравнения отсечений................................__.............51
3-9. Связь между матрицами коэффициентов уравнений отсечений и уравнений
контуров ........................................................ 54
Глава четвертая. Вывод уравнений для систем, состоящих из двухпо-
люсников ........................................................... 55
4-1. Уравнения ветвей (примеры)....................................... 56
4-2. Символический анализ............................................. 63
4-3. Уравнения хорд (пример).......................................... 65
4-4. Дополнительный пример............................................ 68
4-5. Обобщение..................................................... . 71
4-6. Практические методы вывода уравнений............................. 73
4-7. Уравнения ветвей (узловые уравнения), полученные из графа........ 77
4-8. Уравнения хорд (контурные уравнения), полученные из графа........ 79
Глава пятая. Аналитические методы решения уравнений....................... 81
5-1. Методы решения, применяемые при проектировании системы........... 81
5-2. Использование преобразования Лапласа (примеры)................... 82
5-3. Переходная и установившаяся составляющие решения................. 86
421
5-4. Использование преобразования Лапласа (продолжение)............... 87
5-5. Реакция иа ступенчатые задающие функции.......................... 89
5-6. Реакция на синусоидальные задающие функции....................... 90
5-7. Понятия о комплексном полном сопротивлении и полной проводимости . 92
Г лава шестая. Характеристики многополюсников............................. 94
6-1. Общие понятия...........•........................................ 95
6-2. Полюсные характеристики многополюсников.......................... 95
6-3. Другие представления полюсных характеристик......................101
6-4. Получение полюсных характеристик из результатов лабораторных изме-
рений .............................................................103
6-5. Классификация многополюсных компонент............................106
6-6. Аналитические методы получения полюсных характеристик............107
6-7. Общие свойства полюсных представлений............................110
6-8. Двухвходное представление........................................112
6-9. Типичные трехполюсные компоненты.................................115
Глава седьмая. Вывод уравнений для систем, состоящих из многополюс-
ников ................................................................116
7-1. Уравнения ветвей для систем с многополюсниками...................116
7-2. Уравнения хорд в системах из многополюсников.....................118
7-3. Уравнения ветвей-хорд для систем с многополюсниками.............1.19
7-4. Общие свойства уравнений ветвей-хорд.............................123
7-5. Практическое применение уравнений ветвей-хорд.................. 128
7-6. Преобразование дерева............................................135
7-7. Каскадное соединение двухвходных компонент.......................139
7-8. Параллельные и последовательно-параллельные трех- и четырехполюсни-
ки ................................................................145
7-9 Общее представление о структурных схемах и обратной связи в системах
с двухвходными компонентами..................................150
Глава восьмая. Полюсные характеристики коллекторных машин..............156
8-1. Некоторые общие замечания.......................................156
8-2. Электродинамометр...............................................157
8-3. Конструктивные особенности коллекторной машины..................163
8-4. Полюсные характеристики коллекторной машины.....................165
8-5. Лабораторное измерение коэффициентов полюсных уравнений.........169
8-6. Основные способы работы.........................................171
8-7. Работа в установившемся режиме на постоянном токе...............172
8-8. Характеристики генератора постоянного тока в установившемся режиме 172
8-9. Характеристики двигателя постоянного тока в установившемся режиме 176
8-10. Вращающийся усилитель с большим коэффициентом усиления..........179
8-11. Другие системы с коллекторными машинами.........................180
8-12. Двухосная коллекторная машина (электромашинный усилитель с попе-
речным полем)................................................... 183
8-13. Заключение......................................................189
Глава девятая. Полюсные характеристики типичных гидравлических и
механических систем ................................................. 189
9-1. Гидравлический исполнительный механизм (ГИМ).....................189
9-2. Гидроусилитель...................................................191
9-3. Аксиально-поршневая гидравлическая машина....................195
9-4. Гидравлический привод............................................201
9-5. Характеристики гироскопа.........................................204
9-6. Другие характеристики гироскопа..................................206
Глава десятая. Анализ типичных систем.................•...................207
10-1. Типичная задача проектирования..................................208
10-2. Использование многополюсных представлений для вывода уравнений. . 211
10-3. Типичная элекромеханическая система управления ................ 215
10-4. Типичная электромеханическая позиционная система................222
10-5. Типичная гидроэлектрическая система.............................226
Глава одиннадцатая. Полюсные характеристики машин переменного тока 231
11-1. Элементарная машина переменного тока............................232
11-2. Основные определения и понятия в машинах переменного тока.......235
11-3. Полюсные характеристики машины с трехфазным статором и однофаз-
ным ротором........................................................243
11-4. Разложение на симметричные составляющие.........................246
422
11-5. Машина с трехфазным статором и n-фазным ротором.................251
11-6. Разложение n-фазной системы на симметричные составляющие........253
11-7. Выводы........................................................ 264
Глава двенадцатая. Линейные методы анализа машин переменного тока 269
12-1. Решение уравнений при постоянной скорости вращения..............269
12-2. Решение уравнений при постоянной скорости вращения (продолжение) . 276
12-3. Характеристики синхронных машин в установившемся режиме (линейные
задачи)..........................................................280
12-4. Определение коэффициентов уравнений синхронной машины по данным
лабораторных измерений...........................................286
12-5. Характеристики асинхронных машин в установившемся режиме (линей
ные задачи)......................................................289
12-6. Определение коэффици нтов уравнений асинхронной машины по данным
лабораторных измерений.......................................2J3
12-7. Выводы..........................................................303
Глава тринадцатая. Методы решения нелинейных уравнений....................305
13-1. Измерение нелинейных индуктивных коэффициентов для синхронных
машин............................................................306
13-2. Характеристики синхронной машины в установившемся режиме (нелиней-
ные задачи)......................................................313
13-3. Полюсные уравнения с вещ< ственными коэффициентами для решения на
электронной машине...............................................316
13-4. Расчет на вычислительной машине переходного процесса изменения ско-
рости ...........................................................321
Глава четырнадцатая. Многофгзные системы..............................326
14-1 Выражение полюсных 'равнений исполнительного двигателя в явном
виде.......................................................... 326
14-2. Четырехпроводная трещазная электромеханическая система.........335
14-3. Топологические требовяия к трехфазным системам.................339
14-4. Трехполюсное предстанение трехфазных компонент.................341
14-5. Системы, образованны трехполюсными трехфазными электромехани-
ческими компонентами ........................................... 347
14 6. Аналитическое решеншдля типичной трехфазной электромеханической
системы........................................................ 349
14-7. Выполнение решения дя типичной тре.хфазной электромеханической
системы на вычислителной машине.................................353
14-8. Полюсные характеристки трехфазны.х электрических компонент .... 355
14-9. Графы последовательнстей для симметричной трехфазной энергетиче-
ской системы, работаюкй в установившемся режиме.................365
14-10. Применение графа посщовательностей для изучения переходных про-
цессов ..........................................................371
Приложение. Критерии устойтвости.................................... 374
П-1. Теорема Найквиста...............................................374
П-2. Применение критерия Ншвиста......................................376
П-3. Диаграммы Боде...................................................379
П-4. Корневые годографы...............................................385
Задачи ...................................................................388
Литература................................................................419
Herman E. Koenig, William . Blackwell
Electromechanical system theory, McGraw-Н Book Company, N. Y., 1961
Кёниг Герман E., Блекуэл Вильям A.
Теория электромеханических системперевод с английского),
М.—Л., издательство „Энергия", 1>5, 424 с. с черт.
Тематический план 1965 . № 196
Редактор И. В. Антик Техн, редактор V. П. Печенкина
Сдано в набор 24/ХП 1964 г. Подписано к печати 12/Ш 1965 г.
Бумага 70X1089,, Уч.-изд. 32,7 Печ. л. 36,3
Тираж 5 800 экз. Цена 2 р. 4<. Зак. 1738
Московская типография № 10 Глтолиграфпрома
Государственного комитета Совета Миниов СССР по печати
Шлюзовая наб., К
Цена 2 р. 44 к.