Автор: Мадер В.В.
Теги: основы математики математическая логика математика
ISBN: 5-09-003861-9
Год: 1992
Текст
В. В. МАДЕР
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ДЕТЕКТИВ
В. В. МАДЕР
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ДЕТеКТиВ
Книга для учащихся
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1992
ББК 22.12
М13
Рецензенты:
учитель средней школы № 345 Москвы С. Г. Роман;
кандидат педагогических наук И. Л. Никольская (НИИ СиМО)
Мадер В. В.
М13 Математический детектив: Кн. для учащихся.—М.: Просвещение,
1992.—96 с: ил.-ISBN 5-09-003861-9.
Автор в занимательной форме знакомит читателя с методами решений логических
задач. В первой главе рассматривается графический метод, во второй—табличный,
в третьей главе показано, как решать логические задачи с помощью диаграмм Эйлера —
Венна. Главы объединены занимательным сюжетом. Книга доступна учащимся начиная
с шестого класса.
М 4306020000-601 37_92> инф> письмо _ 92 (S) ББК 22.12
103 (03)—92 ^7
Учебное издание
Мадер Виктор Викторович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДЕТЕКТИВ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Туркестанская
Младший редактор Т. Ю. Федорова
Художник Е. В. Викторов
Художественный редактор /О. В. Пахомов
Технический редактор Т. Е. Молозева
Корректор О. В. Ивашкина
И Б ЛЬ 13894
Сдано в набор 02.01.92. Подписано к печати 24.09.92. Формат 70X90'/^- Бум. офсетная. № 1. Гарнит. Литер. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 7,02. Усл. кр.-отт. 29,25. Уч.-и:-,д. л. 7,14. Гираж 80000 экз. Заказ № 3235.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и информации Российской Федерации.
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Смоленский полиграфкомбинат Министерства печати и информации Российской Федерации. 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
ISBN 5-09-003861-9 © Мадер В. В., 1992
\1 О
ПРЕДИСЛОВИЕ,
в котором рассказывается об удивительных превращениях,
закончившихся появлением Шерлока Холмса
Вся эта история, которую я хочу вам рассказать, началась в то далекое
время, когда я учился в шестом классе. Тогда в нашем классе было много
талантливых ребят: математиков, физиков, художников, музыкантов и поэтов.
Все мы любили фантазировать и изобретать. Поэтому нам вместе всегда было
интересно. Но особенно интересной наша жизнь стала после того, как к нам
в класс пришел новый ученик, который был не только талантливым и умным
мальчиком, но оказался к тому же еще и выдающимся фантазером. Он
постоянно придумывал невероятные истории, интересные задачи, новые игры.
Фамилия этого мальчика была Вартанян, но он уверял нас, что это ошибка
и что на самом деле его фамилия д'Артаньян. Он сказал, что является потомком
знаменитого д'Артаньяна, приключения которого описаны французским
писателем Александром Дюма в романе «Три мушкетера». Это было совершенно
невероятно, и, чтобы развеять наши сомнения, новоявленный д'Артаньян
рассказал нам, что у него дома есть фотография его прадеда, на которой
сохранилась отчетливая надпись: «Арман Луи Франсуа Виктор д'Артаньян
в возрасте 20 лет». Наш герой сказал, что эта надпись является
неопровержимым доказательством того, что его прадед в самом деле был потомком
знаменитого мушкетера.
Он рассказал нам историю жизни этого своего предка. Мы узнали, что он
родился и вырос в Париже. Там же он окончил историко-археологический
факультет знаменитого Сорбоннского университета. Получив диплом, он стал
сотрудником археологической экспедиции, отправлявшейся в Армению. В день
отъезда он сфотографировался, и именно эта фотография и сохранилась
в семейном альбоме.
В Армении всем сотрудникам экспедиции выдали новые паспорта. Но так как
у прадеда было слишком длинное имя—Арман Луи Франсуа Виктор
д'Артаньян, то его попросили сократить это имя. Тогда он решил отказаться от
имени Луи и Франсуа, а от имени Виктор оставить только первую букву. После
этого его имя стало значительно короче: Арман В. д'Артаньян. Но работники
паспортного отдела решили, что буква «д» тоже лишняя, и в паспорт они
записали: Армен Вартанян. Вот так и случилось, что француз д'Артаньян
превратился в армянина Вартаняна.
Мы, конечно, были возмущены действиями чиновников, исказивших
знаменитую фамилию, и решили немедленно исправить допущенную ошибку.
Именно с этих пор наш новый друг стал для нас д'Артаньяном. Это было
очень здорово: ведь теперь в нашем классе был наш собственный д'Артаньян, и
мы очень гордились этим.
С приходом д'Артаньяна в нашем классе все чаще стали происходить
всевозможные смешные и неожиданные истории. Однажды, например,
произошла следующая история.
В середине первого урока вдруг тихо открывается дверь, входит д'Артаньян
и спрашивает: «Можно войти?»
Мы чувствуем, что сейчас должно произойти что-то необычное, что-то
смешное. И между учителем и д'Артаньяном происходит в это время следующий
разговор:
Учитель. Почему ты опоздал?
Д'Артаньян. Потому что сумма крайних не делилась на сумму средних.
Учитель. Что? Что ты сказал?
Д'Артаньян.Я сказал, что сумма крайних не делилась на сумму средних.
Учитель. Перестань паясничать!
Д'Артаньян. Я говорю правду! Я опоздал потому, что мне все время
попадались несчастливые трамвайные билеты. Не мог же я с несчастливым
билетом идти в школу! Мне пришлось пять раз вернуться обратно. Хорошо еще,
что хоть на пятый раз мне наконец попался счастливый билет, а то я опоздал бы
еще больше. (В классе хохот.)
Учитель. Безобразие! А почему ты сначала говорил о какой-то сумме
крайних и средних?
Д'Артаньян. Но мне же надо было объяснить, почему я опоздал! Я думал,
что Вы знаете, что трамвайный билет бывает счастливым только тогда, когда
в его номере сумма крайних цифр делится на сумму средних. Поэтому мне
казалось, что если я скажу, что сумма крайних не делилась на сумму средних, то
все остальное Вы поймете сами. (В классе гомерический хохот.)
Чем эта история кончилась, я рассказывать не буду: это не так интересно.
Лучше я расскажу другую историю, которая была, пожалуй, еще интереснее.
Все началось с того дня, когда д'Артаньян нашел в библиотеке своего отца
старинную рукописную книгу. Он рассказал нам, что это был дневник его
прадеда, написанный на французском языке. Бабушка д'Артаньяна хорошо
знала французский язык и иногда по вечерам переводила любимому внуку
несколько страниц этой книги. Поэтому время от времени мы узнавали новые
любопытные подробности из жизни прадеда д'Артаньяна. Мы узнали, например,
что его другом был граф де Меринаж. Этот граф был гениальным математиком.
В дневнике было написано, что Меринаж открыл замечательную теорему,
которая была просто универсальной: все другие математические теоремы
получались из нее как простые следствия. Нам, конечно, хотелось побыстрее
узнать, что это за теорема. Но через несколько дней, когда бабушка д'Артаньяна
перевела ему еще несколько страниц дневника, выяснилось, что узнать это
невозможно. В дневнике было написано, что граф де Меринаж погиб, а все его
записи утеряны.
Тем не менее мы не теряли надежды, что теорема Меринажа все же найдется.
Мы узнали, например, что Меринаж в последние годы своей жизни работал на
археологических раскопках в окрестностях знаменитого Эчмиадзинского
монастыря. Поэтому мы стали лелеять надежду, что его записи, возможно,
попали в этот монастырь. Но как это узнать? Выход опять нашел д'Артаньян. Он
сказал нам, что летом поедет в гости к своим родственникам, которые живут
в Эчмиадзине, и там все узнает.
Когда д'Артаньян вернулся, он рассказал, что нашел на старом кладбище
могилу своего прадеда, но о графе де Меринаже он так ничего и не узнал. Это не
охладило нашего интереса к теореме Меринажа. Мы продолжали строить
различные догадки о том, где можно было бы найти записи Меринажа,
содержащие доказательство его знаменитой теоремы. Мы мечтали о том, что
кому-нибудь из нас удастся самостоятельно открыть эту теорему. Д'Артаньян,
например, уверял нас, что он уже кое-что придумал.
Теорема Меринажа стала главной темой наших разговоров. Даже на уроках
математики, когда возникали затруднения, мы шутили: «Это же просто! Надо
только применить теорему Меринажа». В конце концов даже наш учитель
заметил, что мы все время ссылаемся на какую-то странную теорему Меринажа.
Однажды он спросил: «О какой теореме вы говорите?» Все засмеялись, а кто-то
воскликнул: «В самом деле, разве кто-нибудь знает теорему Меринажа?» Ему
тут же ответили: «Ее знает только д'Артаньян. Он и есть граф де Меринаж!»
Эта шутка всем очень понравилась, и с тех пор д'Артаньян стал графом де
Меринажем. Но графом де Меринажем он был недолго. Произошло еще одно
удивительное превращение, и Меринаж превратился в Шерлока Холмса.
Произошло это следующим образом. Мы готовились к очередной игре в КВН.
На этот раз должны были соревноваться две команды сыщиков. Капитаном
одной команды был комиссар Мегрэ, а капитаном другой — Шерлок Холмс.
Шерлоком Холмсом был, конечно, наш д'Артаньян-Меринаж. В начале игры он
вышел на сцену в старинном фраке с большим увеличительным стеклом в руке
и курительной трубкой в зубах. Он действительно был очень похож на Шерлока
Холмса, и мы его встретили восторженными криками: «Да здравствует Шерлок
Холмс!» Игру он провел блестяще, и после каждой победы мы кричали: «Да
здравствует Шерлок Холмс!»
На следующий день мы в шутку продолжали называть его Шерлоком
Холмсом. А потом мы как-то незаметно привыкли к этому, и наш дорогой
д'Артаньян-Меринаж окончательно превратился в Шерлока Холмса. Вместе
с Шерлоком Холмсом у нас появился и свой доктор Ватсон, но о нем я расскажу
чуть попозже. Что же касается Шерлока Холмса, то следует заметить, что он
действительно оказался талантливым детективом. Он распутал много
интересных дел и решил целый ряд сложных задач. Обо всех этих делах я и хочу
рассказать в этой книге.
ДЕЛС
1
ГЛАВА 1. ПОИСК ИСТИНЫ
История с телефонными звонками
Слава детектива пришла к Шерлоку Холмсу после истории
с телефонными звонками. Эта история произошла следующим образом.
Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти
в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было
также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино
отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино
сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что
Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил
Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею,
Володе и Борису.
Холмс во время этого разговора нарисовал какую-то схему, а потом сказал:
«Все ясно! У кинотеатра собрались Андрей, Борис и Володя, так как они
созвонились со всеми, а Галя и Даша не смогли созвониться и поэтому в кино не
пришли».
Ребята удивились: «Как ты это узнал?»
Холмс ответил: «Все просто. Смотрите: я нарисовал пять точек и
обозначил их буквами А, Б, В, Г, Д (рис. 1). Это первые буквы ваших имен. Затем
я соединил те точки, которые соответствуют именам
созвонившихся ребят. Например: Андрей созвонился
с Борисом и Володей, поэтому я провел отрезки
АБ и АВ. После того как я нарисовал все такие
отрезки, получился рисунок, который вы видите. Из
рисунка видно, что каждый из трех ребят — Андрей,
Борис и Володя — созвонился со всеми остальными.
Поэтому эти ребята и пришли к кинотеатру. А Галя
и Даша не сумели созвониться между собой
(точки Г и Д не соединены отрезком) и поэтому
в соответствии с договоренностью в кино не пошли».
Г
Рис. 1
Кто принес цветы?
Однажды рано утром кто-то принес букет цветов и
поставил его в вазу на учительском столе. Когда ребята собрались, учительница
спросила: «А знаете ли вы, кто принес цветы?* Ребята стали гадать. Были
высказаны различные предположения: цветы принесли Андрей и Борис, Андрей
и Даша, Андрей и Сергей, Борис и Даша, Борис и Володя, Володя и Галя, Галя
и Даша. Учительница сказала, что в одном из этих предположений одно имя
названо правильно, а второе — неправильно. Во всех же остальных
предположениях оба имени названы неправильно. Холмс в это время чертил какую-то
схему и после короткого раздумья сказал: «Цветы принес Сергей».
Конечно, всем было интересно узнать, как Холмс пришел к такому выводу,
и поэтому ему пришлось выйти к доске и дать соответствующие объяснения. Он
нарисовал на доске шесть точек и обозначил их буквами А, Б, В, Г, Д, С. Этими
буквами (как и в прошлый раз) он обозначил тех ребят, имена которых были
упомянуты в различных предположениях. Затем, так как в каждом
предположении были названы два имени, Холмс соединил
•С соответствующие точки отрезками. После этого
получился рисунок (рис. 2).
«Заметим теперь,— сказал Холмс,— что из
всех сделанных вами предположений
заслуживает внимание только то, в котором одно из
указанных имен названо правильно. Это значит,
что мы должны найти такой отрезок, одному из
концов которого соответствует правильно
названное имя. Но этот конец не может быть общим
концом нескольких отрезков, так как правильно
Рис. 2 названное имя содержится только в одном-
единственном предположении.
Значит, на нашем рисунке надо искать такую точку, которая является концом
одного-единственного отрезка. На рисунке только одна такая точка — это
точка С. Значит, правильно было названо имя Сергей».
Кто дежурил в классе?
Обычно наш староста назначал двух дежурных, которые
должны были убрать класс и полить цветы. Но как-то утром класс оказался
плохо убранным, а цветы неполитыми. Узнать у старосты, кто был назначен на
дежурство, не удалось, так как староста заболел и в школу не пришел. Поэтому
ребята начали перебирать наиболее вероятные варианты. Было высказано семь
различных предположений: дежурили Сергей и Даша, Даша и Андрей, Борис
Рис. 3
и Даша, Галя и Борис, Борис и Володя,
Володя и Галя, Коля и Володя.
Учительница, которая внимательно слушала
ребят, сказала: «Не надо спорить.
Я знаю, кто должен был дежурить».
Ребята перебили ее: «Пожалуйста, не
называйте никого! Пусть Холмс
вычислит дежурных. Смотрите! Он уже
рисует схему». Но Холмс ответил, что данных мало. Тогда учительница
сказала: «Я помогу тебе: в пяти предположениях одно имя названо правильно,
а одно — неправильно; в двух же других предположениях оба имени
названы неверно».
Холмс посмотрел на свою схему и сказал: «Должны были дежурить Даша
и Галя». Ребята закричали: «Ура! Да здравствует Холмс!» А потом они
попросили Холмса объяснить, как он вычислил дежурных.
Холмс показал им свой рисунок (рис. 3), на котором он изобразил
сложившуюся ситуацию, и сказал следующее:
«Так как в каждом из семи предположений было названо по два имени, то на
рисунке получилось семь отрезков, каждый из которых соединяет две точки.
В двух предположениях оба имени были названы неправильно, а в каждом из
остальных пяти предположений правильно названо только по одному
имени. Значит, точки, соответствующие правильно названным именам, должны
быть концами пяти отрезков. А таких точек должно быть ровно две, так как
назначалось по два дежурных, и, значит, правильно названными могут быть
только два имени. Следовательно, на рисунке надо искать такие две точки, на
которые приходится пять концов отрезков. Кроме того, следует учесть, что эти
точки не могут быть соединены между собой, так как это означало бы, что
в одном из перечисленных выше предположений правильно названы оба имени,
а на самом деле таких предположений не было. Теперь нетрудно найти эти две
точки. Для этого надо перебрать все возможные пары не соединенных между
собой точек и для каждой пары таких точек надо проверить, приходится ли на
эти точки пять концов отрезков. Та пара точек, которая этим условиям
удовлетворяет, и будет искомой. По рисунку видно, что подходит только пара
Д и Г. Значит, дежурными были Даша и Галя».
ДЕПО
4
История с отчетом о соревнованиях
Это дело возникло на соревнованиях по легкой атлетике.
Наши ребята заняли первые четыре места. Но когда девочки стали вспоминать,
как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись. Было
высказано три мнения. Даша сказала, что Андрей был первым, а Володя —
вторым. Галя утверждала, что Андрей был вторым, а Борис — третьим. Лена же
была убеждена, что Борис был четвертым, а Сергей — вторым. Холмс, сказал,
что эти утверждения противоречат друг другу. Тогда девочки ооратились к Асе,
которая была судьей на этих соревнованиях и поэтому хорошо помнила, как
распределились места. Ася сказала, что каждая их трех девочек сделала одно
правильное и одно неправильное заявление. После этого Холмс помог девочкам
восстановить истину. Он начал с того, что сделал рисунок (рис. 4).
«На этом рисунке,— сказал Холмс,— мнения всех трех девочек изображены
графически. Даша сказала, что Андрей был первым, а Володя — вторым. Поэто-
10
о
Рис. 4
Рис 5
му я провел одну жирную линию между
кружочками А и 1 и другую — между
кружочками В и 2. Мнение Гали я отметил
параллельными линиями, а мнение Лены —
обычными линиями.
Ася сказала, что каждая девочка сделала
только одно правильное заявление. Значит,
из каждой пары одинаковых линий —
жирных линий, параллельных линий и обычных
линий — надо оставить только по одному
компоненту пары. Начнем с жирных линий.
Возможен только один из двух случаев: либо
истинно только А1, либо истинно только
В2 (т. е. либо Андрей занял первое место,
а Володя второе место не занял, либо,
наоборот, Володя занял второе место, но
Андрей первое место не занял).
Допустим, что истинно В2, а А1 ложно.
Так как А1 ложно, то линию А1 надо
стереть. Далее, так как В2 истинно, то, кроме
Володи, второе место никто занять не мог.
Поэтому надо стереть А2 и С2. После этого
получится рисунок 5.
От каждой пары одинаковых линий осталось по одной. Мы из каждой пары
стерли тот компонент, который был ложным. Значит, все оставшиеся
компоненты должны быть истинными (так как в каждой паре было ровно по
одному правильному заявлению). Но это невозможно, так как Борис не мог
одновременно занять третье и четвертое место. Значит, допущение неверно.
Рассмотрим теперь второй случай. Вернемся снова к рисунку 4. Допустим,
что А1 истинно, а В2 ложно. Значит, В2 надо стереть. Далее, так как А1 истинно,
то А2 ложно (Андрей не мог занять сразу первое и второе места). Значит,
стираем А2. Но если А2 ложно, то второй компонент этой пары БЗ должен быть
истинным. А если БЗ истинно, то Б4 ложно. Значит, стираем Б4. После этого
получится правильный рисунок (рис. 6).
Теперь легко записать ответ: А1, С2, БЗ, В4».
О
Рис. О
ДЕЛО | История с амфорой
Это дело возникло летом, когда Холмс отдыхал в Крыму.
Он тогда часто бывал на археологических раскопках и помогал рабочим.
Однажды он сам откопал старинный сосуд — амфору. Осмотрев эту амфору,
археологи высказали ряд предположений. Один сказал, что амфора изготовлена
финикийцами в V веке. Второй сказал, что амфора изготовлена греками в III
веке. А третий сказал, что амфора не греческая, а изготовлена в IV веке. После
этого амфору долго рассматривал главный специалист. Он взял лупу и прочитал
и
все надписи. Закончив осмотр, он сказал, что каждый их археологов был прав
только наполовину: в каждом из трех предположений одно утверждение истинно,
а одно ложно. Наступила пауза. Все ждали, что главный специалист подведет
итог и скажет, когда и кем эта амфора была изготовлена. Но вместо этого
главный специалист сказал: «Окончательный вывод вы можете сделать сами».
Тогда Холмс сказал: «Вы правы, вывод совершенно очевиден: амфора
изготовлена финикийцами в III веке».
Археологи удивились: им было непонятно, как Холмс пришел к такому
выводу. Поэтому Холмсу пришлось рассказать о том, как он рассуждал.
Как всегда, Холмс начал с рисунка (рис. 7).
Затем Холмс стал рассуждать следующим образом. Возможны только два
случая: либо истинно Г, либо истинно не Г.
Рассмотрим первый случай. Допустим, что истинно Г. Тогда не Г ложно.
А если не Г ложно, то второй компонент этой пары должен быть истинным.
Значит, истинно IV. Если же IV истинно, то V ложно (в самом деле, если сосуд
изготовлен в IV веке, то он не мог быть изготовленным в V веке). А если V ложно,
то второй компонент этой пары истинный, т. е. истинно Ф. Мы допустили, что
истинно Г, и пришли к выводу, что истинно Ф. Но сосуд не может быть
одновременно и греческим и финикийским. Значит, наше допущение неверно.
Рассмотрим теперь второй случай. Допустим, что не
Г истинно. Но если не Г истинно, то Г ложно. А если Г
ложно, то второй компонент этой пары должен быть
истинным. Значит, истинно III. Если же III истинно, то,
очевидно, V ложно. Но если V ложно, то второй
компонент этой пары истинный. Значит, истинно Ф. Таким
образом, получилось, что истинно ФШ. А это значит, что
Рис. 7 амфора была изготовлена финикийцами в III веке.
12
ДЕПО
6
Странный приказ
Эта история произошла осенью после начала учебных
занятий. Холмс как-то зашел в учительскую и на доске объявлений увидел приказ
директора, в котором говорилось о создании методического объединения
учителей, преподающих предметы естественнонаучного цикла. В этом приказе
было три пункта. В первом говорилось, что каждый член объединения должен
быть специалистом по двум предметам. Во втором пункте было сказано, что для
любых двух предметов естественнонаучного цикла в методическом объединении
должен быть ровно один представитель, являющийся специалистом по этим
предметам. В третьем же — что в объединении должно быть ровно три
специалиста по каждому предмету.
Когда Холмс рассказал ребятам об этом приказе, они удивились: ведь тут
ничего нелья понять; неизвестно, сколько учителей будет в объединении,
и неизвестно, сколько различных специальностей они будут представлять.
Холмс ответил:
— Ничего подобного! Все ясно: в объединении будет шесть учителей,
а различных специальностей будет четыре. Вы сейчас в этом сами убедитесь.
В первом условии сказано, что каждый член объединения должен быть
специалистом по двум предметам. Если теперь заметить, что у каждого отрезка
два конца, то совершенно ясно, что преподавателей можно изобразить
отрезками, а их специальности — точками на концах этих отрезков (рис. 8).
Здесь каждый из преподавателей А, В, С, Д, Е имеет две специальности.
Преподаватель А, например, имеет две специальности р и q.
Обратимся теперь ко второму условию. Там сказано, что для любых двух
предметов должен существовать ровно один преподаватель, являющийся
специалистом по этим предметам. На нашем рисунке это условие не выполнено.
Для предметов р и г, например, нет преподавателя, являющегося специалистом
по этим предметам. Чтобы второе условие было выполнено, надо провести
в пятиугольнике р q r s t все диагонали. Получим рисунок 9.
Из этого рисунка видно, что каждой из специальностей р, q, r, s, t владеют по
четыре человека (в каждой вершине сходятся четыре отрезка). В третьем же
условии сказано, что по каждому предмету должно быть только три специалиста.
Значит, пятиугольник не подходит (в нем слишком много диагоналей).
Попробуем теперь нарисовать четырехугольник (рис. 10):
Q Я
.в
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
Нетрудно проверить, что сейчас все условия выполнены. Значит, в
методическом объединении будет шесть преподавателей, которые будут представлять
четыре предмета естественнонаучного цикла. По-видимому, этими предметами
будут математика, физика, химия и биология.
Задача решена. Но хочется сделать еще одно интересное замечание. Для
решения нашей задачи нам потребовалась схема, в которой были бы
реализованы все условия задачи. Нарисовав такую схему, мы по существу построили
модель той ситуации, которая описана в приказе директора. Число вершин
и ребер этой модели не может быть изменено. Никакая другая фигура с другим
количеством вершин и ребер не подходит. И в этом смысле можно сказать, что
структура модели (число ее элементов, отношения и связи между ними)
определена вполне однозначно.
Но форму модели можно изменить. Представим себе, например, что на
рисунке 10 изображена пирамида с основанием р q r и вершиной s. Эта
пирамида, очевидно, тоже будет моделью рассматриваемой ситуации. Но эта
модель будет уже не плоской, а пространственной. Представим себе далее, что
мы смотрим на эту пирамиду со стороны вершины s и при этом располагаем
пирамиду таким образом, чтобы вершина s спроектировалась вовнутрь
основания р q г. То, что мы увидим, изображено на рисунке 11:
Мы ничего не изменили в нашей модели, мы только посмотрели на нее по-
новому. Поэтому рисунок 11, очевидно, тоже может служить моделью
рассматриваемой ситуации.
Мы можем видоизменить форму нашей модели еще одним способом.
Представим себе, что точки р, q, r, s на рисунке 11 начинают «разбухать»,
превращаясь в кружочки. Продолжая разбухать, эти кружочки сначала придут
в соприкосновение друг с другом, а потом, деформируясь, превратятся в
фигуры, плотно прижатые друг к другу. Мы получим картину, изображенную на
рисунке 12.
Это еще одна модель рассматриваемой ситуации. На этой модели
специальностям р, q, rt s поставлены в соответствие плоские фигуры, а
преподавателям — отрезки линий, по которым соприкасаются пары смежных фигур.
Было еще несколько аналогичных дел, расследованием которых занимался
Холмс. Но мы не будем заниматься детальным разбором этих дел. Мы только
расскажем о том, как эти дела возникли и к решению каких задач они привели.
Тем самым мы представим читателю возможность самостоятельно найти
решения этих задач.
Рис. 11 Рис. 12
14
1 — 12
1. Как-то раз мы отправились в лес по грибы. На следующий день все только
об этом и говорили. Холмс спросил, разводили ли мы костер. Кто-то ответил:
«Конечно, разводили! Мы решили так: пусть двое заготовят хворост, разведут
костер и вскипятят чай, а остальные пусть собирают грибы». Холмс спросил:
«Кто же разводил костер?» И тут ребята закричали: «Пусть он сам вычислит
наших костровых. Мы назовем ему несколько имен и посмотрим, сможет ли он
узнать, какие ребята на самом деле были костровыми». Это предложение всем
понравилось, и Холмсу было названо пять вариантов костровых. Были названы
Андрей и Борис, Андрей и Володя, Андрей и Галя, Галя и Даша, Даша и Сергей.
Холмс сказал, что этих сведений недостаточно. Тогда наш староста сказал,
что в четырех вариантах одно имя названо правильно, а одно — неправильно,
а в одном варианте оба имени названы неверно.
После этого Холмс сразу же назвал наших костровых. Кого же он назвал?
2. В нашем классе было принято устраивать приятные сюрпризы. Одним из
таких сюрпризов была стенгазета, выпущенная к 1 Мая. В стенгазете было
написано, что редколлегия (два человека) надеется быть узнанной.
Всем, конечно, хотелось узнать, кто же выпустил эту газету. Были высказаны
следующие предположения: газету выпустили Андрей и Борис, Борис и Володя,
Володя и Галя, Володя и Сергей, Сергей и Галя, Сергей и Даша, Галя и Даша.
Учительница сказала, что в пяти из этих предположений одно имя названо
правильно, одно — неправильно, а в двух предположениях оба имени названы
неверно.
Ребята спросили Холмса, может ли он по этим данным узнать, кто выпустил
стенгазету. Вместо ответа Холмс назвал этих ребят. Кого же он назвал?
3. В театре готовились к постановке новой пьесы, и мы решили пойти на
премьеру. Кому-то даже было поручено заблаговременно купить билеты. Когда
же дата премьеры была объявлена, оказалось, что мы забыли, кому это было
поручено. Ребята высказали ряд догадок. Возникли следующие предположения:
билеты должны были купить Андрей и Борис, Борис и Володя, Борис и Галя,
Володя и Галя, Володя и Даша, Даша и Галя, Сергей и Даша.
Пока ребята спорили, староста достал план культурных мероприятий
и установил, кто должен был купить билеты. Но староста не стал называть
никаких имен. Он сказал только, что в двух из обсуждаемых догадок одно имя
названо правильно, а другое — неправильно; во всех же остальных догадках оба
имени названы неверно. После этого ребята под руководством Холмса довольно
быстро установили, кому было поручено приобретение билетов. Староста
подтвердил, что названное решение правильное. Кому же было поручено
приобретение билетов?
4. У Гали на дне рождения были пять ее одноклассниц. Спустя несколько дней
подружки стали вспоминать, в каком порядке они сидели за столом. Галя
сказала: «Лена сидела справа от меня». Лена вспомнила, что справа от нее
сидела Нина, а Нина утверждала, что она сидела справа от Гали. Вера сказала,
что слева от нее сидела Ася. Ася считала, что справа от нее сидела Даша. Даша
же думала, что она сидела слева от Веры.
15
Холмс внимательно слушал этот разговор. После короткого раздумья он
сказал, что первые три утверждения несовместны и последние три утверждения
тоже несовместны. Девочки посовещались и признали, что Холмс прав. Они
сказали, что две девочки ошиблись, а утверждения всех остальных девочек
истинны. После этого Холмс нарисовал круглый стол и показал, в каком порядке
девочки сидели за этим столом. Как выглядел этот рисунок?
5. Девочки решили провести в нашем классе соревнования по
художественной гимнастике. В соревнованиях должны были участвовать Галя, Даша,
Лена, Ася и Вера. Мальчики стали обсуждать возможный исход соревнований.
Были высказаны следующие предположения.
Володя сказал, что Лена будет первой, а Вера — второй. Андрей сказал, что
первой будет Даша, а Галя будет четвертой. Борис сказал, что Ася будет
третьей, а Лена — пятой. Сергей сказал, что Даша будет второй, а Вера —
третьей. После окончания соревнований оказалось, что все девочки заняли
разные места, а относительно наших предположений выяснилось, что каждый из
мальчиков сделал одно правильное и одно неправильное заявление. Холмсу
рассказали об этом, и он быстро сообразил, как распределились места. Каким же
было это распределение?
6. Как-то летом Холмс отдыхал в Сочи. На пляже он познакомился
с четырьмя мальчиками, которых звали Арташ, Отар, Сурен и Гурам. Холмс
побеседовал с каждым в отдельности и узнал следующее.
Арташ сказал, что, по его мнению, Сурен из Еревана, а Гурам из Тбилиси.
Отар же сказал, что ему кажется, что Сурен из Тбилиси, а Арташ из Баку. Когда
же Холмс спросил Сурена, тот сказал, что Арташ из Сочи, а Отар из Тбилиси.
Холмс записал все эти сведения и показал их Гураму. Тот рассмеялся и сказал,
что все мальчики действительно из разных городов; что же касается выска-
занных предположений, то каждый из мальчиков прав только наполовину. После
этого Холмс быстро определил, откуда кто приехал. Что же выяснил Холмс?
7. Через несколько дней Холмс снова встретил на пляже Отара, Сурена
и Арташа. Гурама не было, его ждали, и поэтому разговор невольно зашел о нем.
Отар сказал, что он слышал, будто Гурам учится в десятом классе и имеет
собственную лодку. Сурен сказал, что он слышал совсем другое: что Гурам
учится в девятом классе и никакой лодки у него нет. А Арташ от какого-то
знакомого узнал, что у Гурама есть и лодка, и велосипед и что он учится
в восьмом классе. Холмс записал все это и, когда Гурам пришел, показал ему
свои записи. Гурам сказал, что каждый из мальчиков снова был прав только
наполовину. Тогда Холмс сказал: «Теперь все ясно». Что же выяснил Холмс?
8. На пляже Холмс познакомился с группой приезжих спортсменов. Они
рассказали, что каждый их них посещает две спортивные секции и что в каждой
секции пять спортсменов. Кроме того, они сообщили интересную подробность:
оказывается, каждые две секции имеют ровно одного общего представителя
(т. е., каким бы ни был выбор двух секций, всякий раз можно указать ровно
одного спортсмена, который посещает именно эти секции). Когда Холмс
рассказал Гураму об этой встрече, тот поинтересовался, сколько же спортсменов
было в этой группе и сколько у них^ыло спортивных секций. Холмс ответил, что
полученная информация вполне достаточна, чтобы это определить. Гураму
действительно удалось решить эту задачу. Сколько же было спортсменов
и сколько было секций?
9. Как-то раз на пляже снова встретились Отар, Сурен, Арташ и Гурам. К ним
подошел еще и Шалва, и они все вместе уселись на песке вокруг Холмса. Шалва
сказал: «Давайте предложим Холмсу новую задачу: пусть он отгадает наши
фамилии! Каждый из нас выскажет одно истинное и одно ложное утверждение,
17
а Холмс пусть разберется, у кого какая фамилия». Это предложение всем очень
понравилось, и ребята сказали Холмсу следующее.
Шалва сказал: «Моя фамилия—Мамардашвили, а фамилия Сурена —
Хачатурян». Отар сказал: «Мамардашвили — это моя фамилия, а фамилия
Арташа — Бицадзе». Сурен сказал: «Фамилия Арташа — Тургунян, а моя
фамилия — Мамардашвили». Арташ сказал: «Моя фамилия — Бицадзе, а
фамилия Гурама — Чочуа». Гурам сказал: «Да, моя фамилия — Чочуа, а фамилия
Отара — Тургунян».
Холмс нарисовал на песке схему, отображавшую высказывания ребят.
С ее помощью он установил, у кого какая фамилия. Какой же получился ответ?
10. Весть о том, что Холмс умеет «вычислять» фамилии людей, быстро
разнеслась среди отдыхающих на пляже. Желающих проверить эти способности
Холмса было много. Однажды, например, к Холмсу, по до шли пятеро молодых
людей, которые представились как Леонид, Сергей, Николай, Олег и Петр. Они
сказали, что фамилии у них такие: Антонов, Борисов, Васильев, Дроздов
и Иванов. Кроме того, они сообщили о себе такие сведения.
Петр знаком со всеми, кроме одного. Борисов знаком только с двумя. Леонид
знает только одного из всех. Дроздов и Сергей незнакомы. Николай и Иванов
хорошо знают друг друга. Сергей, Николай и Олег давно знакомы между собой.
Антонов знаком только с Петром.
Холмс сказал, что этих сведений достаточно. Через некоторое время он
действительно установил фамилии этих ребят. Каким же был ответ Холмса?
П. Однажды Холмс познакомился с четырьмя учащимися школы верховой
езды. Их звали Михаил, Кирилл, Иван и Николай. У лошадей этих ребят были
такие клички: Алтай, Буран, Верный, Серый. Новые знакомые рассказали, что
собираются на своих лошадях поехать в горы. Они предложили Холмсу поехать
с ними и обещали достать для него лошадь. Но Холмс отказался, и ребята уехали
в горы без него. Когда они вернулись, они рассказали, что на этот раз они
поменялись лошадьми: Михаил поехал на Буране. Николай поехал на лошади
Кирилла, а Кирилл — на лошади Михаила. Хозяин Серого поехал на Алтае,
а хозяин Алтая — на Верном.
Холмс сказал, что по этим сведениям трудно узнать, хозяином какой лошади
является каждый из наездников. Но, подумав немного, он все же ответил на этот
вопрос. Что же установил Холмс?
12. Осенью мы всем классом поехали в деревню на уборку картофеля. Рядом
с нами работали учащиеся местной школы. Они нам рассказали, что школа у них
маленькая — в старших классах работают всего три учителя: Воронов,
Соколов и Коршунов. Каждый из них преподает два предмета, так что
в расписании уроков всего шесть предметов: математика, физика, химия,
история, литература и английский язык. Из разговоров с нашими новыми
знакомыми мы узнали еще следующее.
Коршунов самый молодой из преподавателей. Учитель химии старше учителя
истории. Все трое — учитель химии, учитель физики и Соколов — занимаются
спортом. Когда между учителем литературы и учителем английского языка
возникает спор, Коршунов тоже принимает участие в этом споре. Соколов не
преподает ни английский язык, ни математику.
Конечно, у нас возник вопрос: какие же предметы преподает каждый из трех
учителей? Задача оказалась не из легких, но Холмс и в этот раз сумел ответить
на поставленный вопрос. Каким же был ответ Холмса?
ГЛАВА 2. КТО ЕСТЬ КТО?
Холмс распутал много сложных дел. При этом довольно часто проблема
сводилась к необходимости ответить на вопрос: кто есть кто? О делах именно
такого рода я сейчас и расскажу.
У кого какая профессия?
Это дело началось с того, что Холмс познакомился с
группой строителей. Их было пять человек: Андреев, Борисов, Иванов, Петров
и Сидоров. Профессии у них были разные: один из них — маляр, другой —
плотник, третий — штукатур, четвертый — каменщик, пятый — электрик. Они
рассказали о себе следующее.
Петров и Иванов никогда не держали в руках малярной кисти. Петров
и Борисов живут в одном доме со штукатуром. Андреев и Петров подарили
электрику красивую вазу. Борисов и Петров помогали плотнику строить гараж.
Борисов и Сидоров по субботам встречаются у электрика, а штукатур по
воскресеньям приходит в гости к Андрееву.
После этого они спросили, может ли Холмс по этим данным узнать, у кого из
19
них какая профессия. Холмс ответил, что сейчас попробует это узнать. Он
нарисовал следующую таблицу:
Фамилия
Андреев
Борисов
Иванов
Петров
Сидоров
Маляр
—
—
Плотник
—
—
Лтукатур
—
—
—
Каменщик
•
Электрик
—
—
•
—
—
Затем он стал рассуждать следующим образом.
Из первого условия видно, что Петров и Иванов не маляры. Значит, в столбце
«Маляр» против этих фамилий ставим прочерки. Из второго условия следует, что
Петров и Борисов не штукатуры. Значит, в столбце «Штукатур» против этих
фамилий тоже ставим прочерки. Аналогично ставим прочерки, соответствующие
всем остальным условиям. Мы получим картину, зафиксированную в нашей
таблице. Теперь видно, что в столбце «Электрик» есть только одна свободная
клетка. Значит, электрик — это Иванов. В соответствующей клетке ставим
точку. Но поскольку Иванов — электрик, то все остальные специальности не его
профессии, и поэтому в строке «Иванов» мы везде (кроме клетки с точкой)
ставим прочерки.
Нетрудно заметить, что в строке «Петров» есть тоже только одна свободная
клетка. Значит, Петров—каменщик. В соответствующей клетке ставим точку
и в столбце «Каменщик» прочеркиваем все остальные клетки.
После этого в строке «Борисов» окажется только одна свободная клетка.
Значит, Борисов — маляр. Ставим точку в этой клетке и прочеркиваем все
остальные клетки столбца «Маляр». Поступая дальше аналогичным образом,
узнаем, что Андреев — плотник, а Сидоров — штукатур.
Таким образом, действительно удалось узнать, кто есть кто.
двдз
8
) У кого какая должность?
Ребята рассказали Холмсу, что в соседней сберкассе
работают три человека: заведующий, кассир и контролер. Их фамилии: Борисов,
Иванов, Семенов. Удалось установить, что кассир не имеет ни братьев, ни сестер
20
и меньше всех ростом. Известно также, что Семенов женат на сестре Борисова
и ростом выше контролера. Можно ли по этим данным установить, кто есть кто?
Решение этой задачи Холмс снова начал с таблицы, которая на этот раз
выглядела следующим образом:
Фамилия
Борисов
Иванов
Семенов
Заведующий
1 •
Кассир
— 3
3
1 3
Контролер
2
2
1 — 2
По условию кассир меньше всех ростом. Значит, он по росту занимает третье
место, и мы в столбце «Кассир» в каждую клетку записываем цифру 3. Известно,
что Семенов женат на сестре Борисова. Значит, у Борисова есть сестра. Но так
как кассир не имеет сестер, то Борисов не кассир. В соответствующей клетке
ставим прочерк. Известно также, что Семенов выше контролера. Значит,
Семенов не контролер, и в соответствующей клетке мы тоже ставим прочерк.
Кроме того, так как Семенов выше контролера, а третье место уже занял кассир,
то у Семенова — первое место, а у контролера — второе. Поэтому в строке
«Семенов» в каждой клетке записываем цифру 1, а в столбце «Контролер» —
цифру 2.
Теперь видно, что Семенов не может быть ни кассиром, ни контролером, так
как в этих случаях получилось бы, что он по росту занимает одновременно первое
и третье или первое и второе места, что невозможно. Значит, Семенов —
заведующий. В соответствующей клетке ставим точку. Поскольку заведующим
является Семенов, то остальные клетки столбца «Заведующий» прочеркиваем.
После этого сразу видно, что Иванов — кассир, а Борисов — контролер.
ДЕПО
9
История с заметкой в стенгазете
После традиционного вечера встречи с бывшими
выпускниками школы в стенгазете появилась заметка о трех наших бывших учениках. В этой
заметке было написано, что Иван, Андрей и Борис стали учителями. Теперь они
преподают разные дисциплины: один — [математику, второй — физику, а
третий — химию. Живут они тоже в разных городах: Минске, Витебске и Харькове.
В заметке было еще написано, что первоначальные их планы осуществились не
полностью: Иван работает не в Минске, Андрей — не в Витебске; житель
Минска преподает не математику, Андрей преподает не физику. Повезло только
жителю Витебска: он преподает любимую им химию.
21
Прочитав эту заметку, ребята позвали Холмса и попросили его ответить на
вопрос: кто есть кто? Холмс нарисовал следующую таблицу:
Имя
Иван
Андрей
Борис
Минск
— Ф
не
Ф Ф
Ф
Витебск
X
не
Ф —X
X
Харьков
М
не
Ф • М
м
— Теперь,— сказал Холмс,— проанализируем исходные данные. Известно,
что житель Витебска преподает химию. Значит, в каждой клетке столбца
«Витебск» запишем букву X. Далее известно, что житель Минска преподает не
математику. Но житель Минска преподает и не химию (так как химию преподает
житель Витебска). Значит, остается только одна возможность: житель Минска
преподает физику. Поэтому в каждой клетке столбца «Минск» запишем
букву Ф. Для третьего столбца остается буква М.
Теперь заметим, что Иван работает не в Минске, а Андрей — не в Витебске.
Значит, в соответствующих клетках ставим прочерки. Осталось учесть последнее
условие: Андрей преподает не физику. Значит, в строке «Андрей» в каждую
клетку запишем «не Ф». Теперь видно, что в первой клетке строки «Андрей»
получилось противоречие. Значит, в этой клетке надо поставить прочерк.
В соседней клетке справа тоже стоит прочерк. Остается только одно: Андрей
живет в Харькове. Значит, в этой клетке ставим точку и вычеркиваем столбец
и строку, пересекающиеся в этой клетке. После этого сразу видно, что Борис
живет в Минске, а Иван — в Витебске. В соответствующих клетках ставим
точки. Из таблицы видно, какой предмет преподает каждый из учителей.
ДЕЛО
10
История с графиком отпусков
Однажды к Холмсу пришли его одноклассники: Антонов,
Борисов, Кириллов и Дроздов. Они рассказали, что их отцы работают в одном и том
же конструкторском бюро, все хотят отдыхать летом и поэтому при составлении
графика отпусков у них всегда возникают бесконечные споры. Ребята решили
устроить родителям сюрприз и разработать для них такой график, который
устраивал бы всех. С просьбой помочь им в этом деле они и обратились к Холмсу.
Холмс спросил: «Какие же условия должны быть соблюдены?» В ответ на этот
вопрос было сказано следующее.
График составляется на четыре года. Отпуск должен планироваться только
на четыре месяца, с мая по август. Продолжительность отпуска — один месяц.
22
В течение каждого месяца в отпуск может пойти только один человек. За четыре
года каждый из четырех сотрудников должен получить отпуск по одному разу
в каждый из этих месяцев. Кроме того, должны быть соблюдены следующие
условия: в первый год Кириллов должен отдыхать в июле. Во второй год
Антонову отпуск нужен в мае. В третий год Дроздову отпуск нужен в июне.
Борисову на четвертый год надо запланировать отпуск в июле. А в августе все
хотят отдыхать следующим образом: в первый год — Дроздов, во второй —
Кириллов, в третий — Борисов, в четвертый — Антонов.
Холмс сказал:
— Эта задача решается очень просто. Надо нарисовать соответствующую
таблицу и отметить на ней все пожелания родителей. Эта таблица будет такой:
Фамилия
Антонов
Борисов
Кириллов
Дроздов
Первый год
Июль
Август
Второй год
Май
Август
Третий год
Август
Июнь
Четвертый
год
Август
Июль
Рассмотрим теперь пересечение (общую часть) строки «Кириллов» и столбца
«Третий год». Этим пересечением является пустая клетка. В остальных же
23
клетках этой строки и этого столбца (рассматриваемых совместно) записаны
следующие три месяца: июнь, июль, август (август записан даже дважды).
Подумаем, какой же месяц можно вписать в пустую клетку, находящуюся на
пересечении рассматриваемых строки и столбца. Ни один из перечисленных
выше трех месяцев в эту клетку вписать нельзя, так как это привело бы к тому,
что в строке или в столбце название одного из месяцев оказалась бы
записанным дважды. Значит, из четырех летних месяцев три перечисленных
выше месяца не подходят. Следовательно, в пустую клетку на пересечении
строки «Кириллов» и столбца «Третий год» можно вписать только месяц май.
После этого в рассматриваемой строке, а также и в рассматриваемом столбце
останется по одной свободной клетке, которую теперь легко заполнить. Далее
снова обнаружатся строки или столбцы с одной-единственной свободной
клеткой. Заполнение этих клеток не составит труда. Я думаю, вы теперь сами
сможете закончить составление графика отпусков.
Нам в самом деле удалось это сделать. Получился следующий график:
Фамилия
Антонов
Борисов
Кириллов
Дроздов
Первый год
Июнь
Май
Июль
Август
Второй год
Май
Июнь
Август
Июль
Третий год
Июль
Август
Май
Июнь
Четвертый
год
Август
Июль
Июнь
Май
24
ДЕЛО & Где учатся и на чем играют члены
*м I эстрадного квартета?
Однажды весной мы прочитали в газете интересное
объявление. Там было написано, что в воскресенье в университете будет день открытых
дверей. Мы, конечно, всем классом отправились в университет. Там нас хорошо
встретили, провели с нами беседу, показали лаборатории, а потом выступил
эстрадный квартет. Мы познакомились с членами этого квартета. Это были
студенты четырех различных факультетов: математического, физического,
исторического и биологического. Их звали Андрей, Леонид, Михаил и Валерий.
Один из них был пианистом, другой — саксофонистом, третий —
контрабасистом, а четвертый — ударником. Они рассказали о себе следующее.
Михаил играет на саксофоне, а Леонид — на контрабасе. Пианист —
будущий физик, Михаил не историк, Андрей не биолог и не пианист. Ударника
зовут не Валерием, и он не историк.
Из этих высказываний трудно было понять, кто из этих ребят на чем играет
и где учится. Опять возник вопрос: кто есть кто? И мы, конечно, опять
обратились за помощью к Холмсу.
Свое объяснение Холмс, как обычно, начал с таблицы:
Имя
Андрей
Леонид
Михаил
Валерий
Пианист
не
Ф — Б
—
—
Ф
Саксофонист
—
—
—
Контрабасист
—
•
—
—
Ударник
не не
И Б
—
—
—
При заполнении таблицы Холмс рассуждал следующим образом.
Так как Михаил играет на саксофоне, а Леонид — на контрабасе, то
в соответствующих клетках ставим точки. Во всех остальных клетках тех строк
и тех столбцов, которые проходят через отмеченные точками клетки, ставим
прочерки. Остались незаполненными только четыре угловые клетки.
Теперь обратимся к другим условиям. Пианист — физик. Значит, в столбце
«Пианист» в свободных клетках запишем букву Ф. Михаил не историк. Значит,
в строке «Михаил» в тех клетках, где нет прочерков, записываем «не И». Андрей
не биолог. Значит, в строке «Андрей» в клетках без прочерков записываем «не
Б». Известно также, что Андрей не пианист. Значит, в соответствующей
клетке ставим прочерк. Ударник не Валерий. Значит, снова в соответствующей
25
клетке ставим прочерк. Последнее условие гласит: ударник не историк. Значит,
в столбце «Ударник» в клетках без прочерков записываем «не И».
Теперь видно, что без прочерков остались только две клетки. Значит,
Валерий — пианист, а Андрей — ударник.
Осталось узнать, кто из них где учится. Известно, что Валерий — физик.
Значит, остальные ребята физиками быть не могут, так как все они учатся на
разных факультетах. Про Андрея известно, что он не историк и не биолог. Но так
как он еще и не физик, то остается только одно: Андрей — математик. Значит,
оставшиеся двое ребят не могут быть ни физиками, ни математиками. Но так как
известно, что Михаил к тому же еще и не историк, то Михаил — биолог.
Следовательно, Леонид — историк.
ДЕПО | у кого какая моторная лодка?
12
Летом мы часто бывали на озере. Там почти каждый день
устраивались гонки на моторных лодках. Самыми быстрыми были четыре лодки:
«Дельфин», «Кит», «Волна» и «Радуга». Владельцев этих лодок звали Андрей,
Борис, Сергей и Герман.
Как-то раз эта четверка договорилась устроить гонки в четыре заезда таким
образом, чтобы каждый из них по одному разу прокатился бы на каждой из
четырых лодок. Нам эти гонки очень понравились, и вечером мы рассказали
Холмсу о наших впечатлениях. Но мы запомнили далеко не все и смогли
рассказать только следующее.
26
В первом заезде Борис плыл на лодке Сергея. Во втором заезде Сергей плыл
на лодке Германа, а Герман — на «Волне». Третий заезд выиграл Андрей. Он
плыл на своей лодке «Дельфин». Андрей выиграл и все остальные заезды. В
четвертом заезде Борис плыл на «Волне», а выиграла этот заезд лодка «Кит».
Холмс спросил: «Кому же из них какая лодка принадлежала?» На этот
вопрос мы ответить не*смогли, так как наши мнения разошлись*. Тогда Холмс
сказал: «Попробуем это вычислить». Он взял лист бумаги и начертил
следующую таблицу:
Имя
Андрей
Борис
Сергей
Герман
Первый
заезд
лС
Второй
заезд
не лА
лГ
«Волна»
не лА
Третий
заезд
лА
«Дельфин»
Четвертый
заезд
«Кит»
«Волна»
После этого Холмс стал рассуждать следующим образом:
— Лодку Сергея обозначим через «лС». Остальные лодки обозначим
аналогично. Заметив теперь, что Андрей выиграл все заезды, а так как
27
в четвертом заезде первой пришла лодка «Кит», значит, в этом заезде на ней
плыл Андрей. Это тоже отмечено в моей таблице.
Рассмотрим теперь строку «Андрей». В клетке, соответствующей третьему
заезду, записано «лА». Но так как в каждом заезде лодки менялись, то во втором
заезде можно записать «не лА». Заметим еще, что во втором заезде Герман плыл
на «Волне». А так как лодка Андрея — это «Дельфин», то, очевидно, «Волна» —
это не лодка Андрея. Поэтому в таблице я записал «Волна» не лА».
Теперь в столбце «Второй заезд» два раза записано «не лА». А так как лодка
Германа — это, конечно, не лодка Андрея, то остается, что на лодке Андрея во
втором заезде плыл Борис. Но лодка Андрея — это «Дельфин». Значит, Борис
плыл на «Дельфине». Отметив это в таблице, мы получим:
Имя
Андрей
Борис
Сергей
Герман
Первый
заезд
лС
Второй
заезд
«Дельфин»
лГ
«Волна»
Третий
заезд
«Дельфин»
Четвертый
заезд
«Кит
«Волна»
Заметим теперь, что в каждой строке и в каждом столбце названия лодок не
могут повторяться. Заметим также, что в строке «Андрей» и в столбце «Второй
заезд», рассматриваемых совместно, записаны только лодки «Дельфин»,
«Волна», «Кит». Значит, на пересечении этих строки и столбца не может стоять
название ни одной из этих лодок. Следовательно, в эту клетку можно записать
только название четвертой лодки, т. е. «Радуга». Теперь в строке «Андрей»
и в столбце «Второй заезд» записано по три названия лодок. Значит, можно
заполнить и соответствующие свободные клетки. Тогда в клетке, где записано
«лГ», появится вторая запись: «Кит». Таким образом, мы узнали, что лодка
Германа — это «Кит». А наша таблица примет теперь следующий вид:
Имя
Андрей
Борис
Сергей
Герман
Первый
заезд
«Волна»
лС
Второй
заезд
«Радуга»
лА
«Дельфин»
л Г «Кит»
«Волна»
Третий
заезд
«Дельфин»
Четвертый
заезд
«Кит»
«Волна»
Рассмотрим строку «Борис». Так как «лС» и «лА» уже заняты, то в клетке
третьего столбца можно записать либо «лБ», либо «лГ». Предположим, что мы
28
записали «лБ», тогда в четвертом столбце придется записать «лГ», и получится,
что лодка Германа — «Волна». Но мы уже установили, что лодка Германа —
«Кит», значит, наше предположение было неверным. Следовательно, в третьем
заезде Борис плыл на лодке Германа. Но тогда в четвертом заезде он мог плыть
только на лодке Бориса. Значит, «Волна»—лодка Бориса.
Таким образом, мы установили: лодка Андрея — «Дельфин», лодка
Германа — «Кит», лодка Бориса — «Волна». Теперь ясно, что для «лС» остается
только одна возможность: лодка Сергея — это «Радуга». Задача решена: мы
узнали, кому какая лодка принадлежит. Нетрудно закончить и заполнение
нашей таблицы. Тогда мы узнаем, на каких лодках участники гонок плавали в
каждом из четырех заездов. Мне кажется, вы получите удовольствие, если
сделаете это сами.
Нам действительно быстро удалось закончить составление таблицы:
Имя
Андрей
Борис
Сергей
Герман
Первый
заезд
«Волна»
«Радуга»
«Дельфин»
«Кит»
Второй
заезд
«Радуга»
«Дельфин»
«Кит»
«Волна»
Третий
заезд
«Дельфин»
«Кит»
«Волна»
«Радуга»
Четвертый
заезд
«Кит»
«Волна»
«Радуга»
«Дельфин»
Холмс нас похвалил. Он сказал, что использование таблиц является одним из его
излюбленных методов. Наиболее эффективным этот метод оказывается в тех
случаях, когда надо решать задачи типа «Кто есть кто?». А задачи такого типа
встречаются довольно часто. О некоторых из этих задач я сейчас расскажу, но
подробного решения приводить не буду. Я хочу предоставить вам возможность
в каждой из этих задач самостоятельно разобраться в вопросе: кто есть кто? Это,
вероятно, доставит вам удовольствие: ведь вы будете решать те же задачи,
которые когда-то решал Холмс.
13—24
13. Недалеко от нашей школы строился четырехквартирный дом. Когда
строительство было закончено и жильцы въехали в дом, у подъезда был вывешен
список жильцов. Таким образом, мы узнали, что в этом доме живут Воронов,
Павлов, Журавлев и Синицын. Учительница сказала нам, что один из них —
математик, другой — художник, третий — писатель, а четвертый — баянист, но
у кого из них какая фамилия, она не знала. Мы решили это выяснить, и в течение
следующей недели нам удалось установить следующее.
29
Ни Воронов, ни Журавлев не умеют играть на баяне. Воронов незнаком
с Журавлевым. Писатель и художник в воскресенье уезжают на дачу к Павлову.
Писатель собирается написать очерк о Синицыне и Воронове. По этим
скудным сведениям Холмс «вычислил», кто есть кто. Что же он узнал?
14. Вы, наверное, помните, что, когда Холмс отдыхал летом на море, он
познакомился на пляже с четырьмя ребятами, которых звали Арташ, Отар,
Гурам и Сурен. Как выяснилось, они занимались в разных спортивных секциях.
Один из них играл в баскетбол, второй — в волейбол, третий — в футбол,
а четвертый — в теннис. У них были и различные увлечения: один из них любил
кино, другой — театр, третий — эстраду, а четвертый — цирк. О своих
спортивных занятиях и увлечениях они рассказали Холмсу следующее.
Арташ не играет ни в волейбол, ни в баскетбол. Отар играет в футбол и любит
театр. Сурен не играет в волейбол. Тот из ребят, который играет в волейбол,
любит ходить в кино, а тот, который играет в баскетбол, не любит цирк.
Холмс нарисовал таблицу, заполнил ее и потом сказал: «Теперь я знаю
о каждом из вас, какое у него увлечение и каким видом спорта он занимается».
Что же установил Холмс?
15. Когда мы учились в восьмом классе, в Тбилиси проходила Всесоюзная
математическая олимпиада школьников. На эту олимпиаду поехали вместе
с Холмсом еще четверо из наших ребят: Лева, Коля, Миша и Петя. В первый
день они решили позавтракать в разных местах. Холмс предпочел остаться дома
и достал из своей сумки бутерброды, а остальные ребята пошли: один — в кафе,
другой — в столовую, третий — в закусочную, а четвертый — в буфет. После
завтрака все снова собрались вместе. Разговор, естественно, зашел о том, кто
как позавтракал. Выяснилось, что все они пили разные напитки, так как
в каждом из тех мест, где они завтракали, оказалось в наличии только по одному
зо
напитку: в одном месте — только кофе, в другом — только молоко, в третьем —
только ряженка, а в четвертом — только чай. В буфете, например, было только
молоко, а в столовой не было ряженки. Петя рассказал, что он был в столовой, но
пил там не чай. Лева рассказал, что он пил ряженку, а Миша сказал, что он не
был ни в закусочной, ни в буфете.
Холмс, который слушал этот разговор, вдруг встал и сказал: «Можете
больше ничего не рассказывать. То, что вы сообщили, достаточно, чтобы
определить, кто из вас где завтракал и что при этом пил». Что же выяснил Холмс?
16. Однажды на вечер встречи с бывшими выпускниками нашей школы
пришли студенты университета, которые в прошлом тоже были учениками нашей
школы. Их было шесть человек, и все они теперь учатся на разных факультетах:
математическом, физическом, химическом, биологическом, историческом и
литературном. Звали их Антонов, Борисов, Воронин, Гордеев, Данилов и Ефремов,
но кто из них на каком факультете учится, они не сказали.
Во время вечера студенты затеяли между собой смешную игру — в
перетягивание каната. При этом в каждом раунде участников одной команды объявляли
по фамилиям, а участников другой — по их специальностям. Всего было четыре
раунда. В первом раунде Антонов, Борисов и Воронин боролись против
математика, физика и химика. Во втором раунде Гордеев, Борисов и Антонов
боролись против математика, химика и биолога. В третьем раунде Гордеев,
Данилов и Ефремов боролись против биолога, историка и литератора.
В четвертом раунде Ефремов и Борисов боролись против математика и историка.
Холмс, как обычно, внимательно слушал и что-то записывал. После
четвертого раунда он сказал: «Слушайте, ребята! А ведь теперь мы можем
узнать, кто из студентов на каком факультете учится». «Если это действительно
так,— сказал наш староста,— то мы можем устроить студентам сюрприз».
31
После этого он поднялся на сцену и сказал: «Внимание! Наши уважаемые гости
не сказали нам, кто из них на каком факультете учится. Но мы это вычислили
сами. Сейчас вам Холмс объявит, кто есть кто». Все закричали: «Ура! Да
здравствует Холмс!» А Холмс спокойно поднялся на сцену и действительно
назвал специальность каждого из студентов. Что же сказал Холмс?
17. Рядом с нашей школой находится спортивный комплекс. Там работают
четыре спортивные секции. В воскресенье в спорткомплексе выходной, но
в отдельных секциях есть и другие выходные. Тренировки по волейболу проходят
во все дни, кроме понедельника. Тренировки по баскетболу — во все дни, кроме
вторника. Тренировки по легкой атлетике — во все дни, кроме четверга.
Тренировки по тяжелой атлетике проходят только три раза в неделю: по
понедельникам, средам и пятницам.
Холмс был знаком с четырьмя ребятами, посещавшими эти секции. Они были
из другой школы. Их звали Антон, Юра, Костя и Миша. Каждый из них посещал
только одну из секций. На тренировки они ходили только один раз в неделю
и обычно в разные дни. Но как-то так получилось, что день тренировки у них
совпал, и по дороге они встретились. Разговор зашел о том, кто когда ходит на
тренировку. Антон сказал, что он на тренировку всегда идет вместе с Мишей,
хотя они потом и расходятся по разным секциям. Им обоим хотелось бы ходить
на тренировки в начале недели, но в эти дни или та или другая из посещаемых
ими секций не работает. Юра сказал, что он решил идти сегодня, так как его
секция завтра не работает. Костя сказал, что он мог бы пойти и вчера
и позавчера, но поленился и поэтому идет сегодня. Миша сказал, что он мог бы
пойти вчера, может пойти и завтра, но решил пойти сегодня, так как в
остальные дни у него много других дел.
Холмс слышал этот разговор. Через несколько дней учительница спросила
Холмса, знает ли он Антона, Юру, Костю и Мишу и не может ли он сказать, кто
из них в какую секцию ходит. Тут Холмсу пригодился услышанный им разговор;
и хотя он не помнил, в какой день недели это было, но с помощью
табличного метода быстро нашел ответ на вопрос учительницы. Что установил Холмс?
18. Однажды осенью нас послали в ближайшую деревню на уборку
картофеля. В этой деревне была маленькая однокомплектная восьмилетняя
школа. Вечером нас пригласили на совет школы. Там были старосты всех
классов — с первого по восьмой. Они нам представились: Андрей, Борис,
Володя, Гриша, Даша, Елена, Женя, Зина. На совете было объявлено, что в поле
четвертый класс работал лучше, чем классы Андрея, Бориса и Володи,
а в теплице седьмой класс работал лучше, чем классы Гриши и Даши. После
совета мы разговорились с новыми знакомыми и узнали, что Женя на два класса
выше Бориса, но на один класс ниже Гриши. Даша сказала, что опередила
Андрея на один класс. Мы еще узнали, что Елена и Зина жили раньше в городе.
Поэтому Елена учится в этой школе только с третьего класса, а Зина — со
второго. Про Володю нам рассказали, что он в первом классе был отличником.
Когда мы стали расходиться, выяснилось, что Борис и Гриша живут на
Заречной улице. Даша и староста шестого класса — на Лесной, а Володя
и староста второго класса — на Парковой.
Нам захотелось узнать, кто из наших новых знакомых в каком классе
учится. Холмс помог нам решить эту задачу. Что же выяснилось?
3 Зак. 3235 В. В. Мадер
33
19. Как-то летом Холмс со своими родителями отдыхал в пансионате
«Пицунда». Во время обеда за соседним столом разгорелась оживленная беседа.
Поэтому внимание Холмса невольно было обращено к людям, сидящим за этим
столом. На столе лежала карточка с их фамилиями. Таким образом,
выяснилось, что фамилии этих отдыхающих были Арбатов, Быков, Власов, Гордеев,
Дмитриев, Елисеев. Из разговоров Холмс понял, что все эти люди приехали из
разных городов, а именно из Москвы, Санкт-Петербурга, Киева, Одессы, Риги
и Таллинна. Кроме того, он узнал еще следующее.
Арбатов и москвич — врачи, Дмитриев и петербуржец — учителя, Власов
и киевлянин — инженеры. Быков и Елисеев никогда не были в Киеве. Рижанин
старше Арбатова, а житель Таллинна старше Власова. Быков и москвич никогда
не были в Одессе, а Власов и рижанин не были в Тбилиси.
Все эти сведения Холмс свел в таблицу. А когда родители его спросили, не
знает ли он что-нибудь о людях за соседним столом, он ответил, что знает не
только их профессии, но и места жительства. Каковы же были эти сведения?
20. В этом же пансионате «Пицунда» Холмсу еще раз пришлось решить
задачу типа «Кто есть кто?». На этот раз его заинтересовали молодые люди,
которые тоже сидели за одним из соседних столов. По карточкам, лежавшим на
этом столе, он узнал фамилии этих ребят. Ими оказались Рудин, Самарин,
Теркин и Уткин. Из разговоров он понял, что все они учатся на разных курсах
Московского авиационного института. В частности, он узнал, что Теркин учится
на первом курсе, а Николай — на втором. Выяснилось, что Олег был курсом
старше Рудина. Остаток летних каникул они намеревались провести у себя
дома, Петр и Самарин — в Москве, Николай в Екатеринбурге, Рудин — в Калуге.
По этим сведениям Холмс определил, у кого из студентов какое имя и на
каком курсе он учится. Что же узнал Холмс?
34
21. Недалеко от пансионата был магазин. Там работали Арчвадзе, Бедолава,
Вашакидзе, Геловани, Дидидзе. Один из них был директором, второй —
товароведом, третий — кассиром, четвертый — бухгалтером, пятый —
продавцом. По вечерам все они занимались спортом: двое посещали одну секцию,
остальные трое — другую. Кассир ходил в ту же секцию, в которой занимался
директор, а Вашакидзе — в другую. Арчвадзе и Бедолава ходили в одну и ту же
секцию. Арчвадзе и Дидидзе недолюбливали друг друга и поэтому посещали
разные секции. У Вашакидзе и Геловани секция была общая. Геловани очень
расстроился, когда директор ему сказал, что бухгалтер собирается перейти
в секцию, в которой занимается кассир. По выходным дням в магазине и в обеих
спортивных секциях был выходной. Поэтому директор и Бедолава в эти дни
загорали на пляже и занимались плаванием. После тренировок Вашакидзе
и бухгалтер обычно заходили в гости к товароведу.
Обо всем этом Холмсу рассказали его многочисленные друзья. Им хотелось
узнать, сможет ли Холмс и на этот раз «вычислить», кто кем работает. Задача
была не из легких, но Холмс довольно быстро справился и с этим делом. Что он
установил?
22. В окрестности нашего города у подножия крутой горы на правом
берегу реки есть заброшенный монастырь. На противоположном берегу реки густой
лес. Как-то раз наши ребята — Антон, Борис, Володя и Гриша — решили
отправиться в поход к монастырю. Когда стали обсуждать его маршрут,
возникли разногласия. Было предложено четыре варианта:
1. Предлагалось идти лесом по левому берегу реки, а возле монастыря
перебраться через реку по старому висячему мосту.
2. Предлагалось идти по горной тропе на правом берегу реки.
3. Предлагалось на лодке подняться вверх по течению реки.
3.-1
4. Предлагалось автобусом добраться до местечка, расположенного вверх по
течению реки, и оттуда спуститься на плоту.
Наконец, было решено, что все пойдут разными маршрутами и встретятся
у монастыря. Вещи, необходимые на привале, распределили следующим
образом: один должен был взять палатку, другой — хлеб, третий — картошку,
четвертый — все остальное (чай, сахар, консервы, концентраты и т.д.).
Когда ребята вернулись из похода, рассказам не было конца. Холмс тоже
внимательно слушал эти рассказы. Для памяти он записал следующее:
«Хлеб привезли на лодке. Гриша доставил палатку. Борис тоже доставил
свой груз, но это была не картошка. Володя шел лесом. Борис жалел о том, что не
ему пришлось плыть на лодке. А тот, который шел по горной тропе, рассказал,
что с вершины горы видел Гришу».
По этим сведениям Холмс определил, кто из ребят каким маршрутом
добирался до монастыря и какой доставил туда груз. Что же установил Холмс?
23. К Новому году пять девочек из нашего класса приготовили нам сюрприз.
Это были Галя, Даша, Лена, Ася и Вера. Они организовали небольшой оркестр.
В этом оркестре были пианино, аккордеон, гитара, балалайка и ударные
инструменты. Но кто из девочек на каком инструменте играет, оставалось
тайной. Мы, правда, знали, что Галя не умеет играть на пианино, а Вера не умеет
играть на аккордеоне. Потом мы еще узнали, что Лена будет играть на
балалайке, но на чем будут играть остальные, оставалось неизвестным.
Тогда Холмс предложил нам обходной маневр. Он сказал, что можно
поговорить с девочками о чем-нибудь постороннем, например о том, кому из них
нравятся или не нравятся Кобзон, Высоцкий, Окуджава, Пугачева, Леонтьев,
и из этого разговора, возможно, удастся извлечь нужные нам сведения.
Мы сразу же подхватили эту идею, и нам удалось узнать следующее.
Оказалось, что каждой из девочек нравится только один из перечисленных выше
певцов, причем любимые певцы у всех были разные. Вере, например, нравился
Окуджава, гитаристу нравился Высоцкий, пианисту нравился Кобзон, а Лене,
Гале и Даше не нравилась Пугачева.
Холмс сказал, что этих сведений достаточно. Он в самом деле установил, кто
из девочек на каком инструменте играет и кто из певцов кому нравится. Таким
образом, мы узнали секрет девочек. Кто же из них на каком инструменте играет?
24. В нашей школе сложилась замечательная традиция. Каждый год в день
последнего звонка четыре лучших ученика десятого класса сажали по одному
дереву. А потом четыре лучших ученика первого класса поливали эти деревья,
причем каждый из них поливал только одно дерево. В прошлом году деревья
сажали Артур, Рубен, Марина и Оксана. А поливали эти деревья
первоклассники Миша, Коля, Таня и Валя. Деревья были все разные: береза, липа, рябина
и яблоня. Но точно никто не помнил, кто какое дерево посадил и кто его поливал.
Удалось установить только следующее.
Артур посадил рябину. Оксана посадила яблоню. Коля поливал березу,
а Миша и Валя поливали не липу. Таня поливала дерево, посаженное не
Мариной, а Валя поливала дерево, посаженное не Оксаной.
Холмс сказал, что этих сведений достаточно, чтобы определить, кто какое
дерево посадил и кто его поливал. Что же нам удалось установить?
Глава 3. ТРУДНЫЙ ВОПРОС: СКОЛЬКО?
Вопросы, интересовавшие доктора Ватсона
Ребята из нашего класса посещали три кружка:
математический, физический и химический. Списки членов этих кружков хранились у Холмса,
так как он был почетным членом всех трех кружков. Однажды Ватсон решил
организовать еще и кружок юных медиков. В этот кружок он решил пригласить
только тех ребят, которые пока ни в какие кружки еще не были записаны. Чтобы
узнать, сколько таких ребят, Ватсон обратился к Холмсу.
Холмс сказал, что всего в классе 36 человек, а кружки посещают:
математический — 18 человек, физический — 14 человек, химический — 10 человек.
Ватсон удивился: «Как же это может быть? Ведь 18+14 + 10=42, а в классе
только 36 человек». Холмс объяснил, что дело тут просто в том, что некоторые
ребята ходят в два, а возможно, и в три кружка. Ватсон согласился и спросил:
«А как же мы узнаем, сколько человек не посещают никаких кружков?» Холмс
ответил: «Чтобы это узнать, нужно сначала взять списки математического
и физического кружков и подсчитать, сколько ребят посещают оба кружка.
Потом нужно сделать то же самое и с другими списками».
Через некоторое время Ватсон получил следующие данные: все три кружка
посещают 2 человека, математический и физический — 8, математический
и химический — 5, физический и химический — 3.
37
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
— Теперь,— сказал Холмс,— посмотри на
картинку, которую я нарисовал. Она нам поможет ответить
на вопрос, который тебя интересует. На этой картинке
большой круг изображает множество всех учеников
нашего класса. Внутри этого круга расположены три
круга меньшего диаметра: эти круги изображают
соответственно множества членов математического,
физического и химического кружков. Для ясности эти
круги обозначены буквами М, Ф, X.
Общей части всех трех кругов соответствует
множество ребят, посещающих все три кружка. Поэтому эту
часть я обозначил через МФХ. Через МФХ я обозначил
ту область, которая изображает множество ребят,
посещающих математический и физический кружки, но
не посещающих химический кружок. Аналогичным
образом обозначены и все остальные области (рис. 13).
Следует заметить, что в математике рисунки
подобного рода используются очень давно.
Распространению этого метода во многом способствовал
знаменитый математик Леонард Эйлер. Поэтому круги,
изображаемые на рисунках подобного рода, часто называют
кругами Эйлера.
Теперь обратимся к числовым данным и перейдем
к рисунку 14.
В область МФХ впишем число 2, так как все три
кружка посещают 2 человека. Далее известно, что
ребят, посещающих математический и физический
кружки, было 8. Значит, в область МФ надо вписать
число^ Но область МФ состоит из двух частей: МФХ
и МФХ , причем в МФХ входят 2 человека. Значит, на
долю МФХ остается 6. Теперь рассмотрим область MX,
на которую приходится 5 человек. Эта область тоже
состоит из двух частей. На МФХ приходится 2. Значит,
на МФ X приходится 3.
Рассмотрим теперь область М, на которую
приходится 18 человек. Эта область состоит из четырех частей.
Количественный состав трех частей мы уже нашли: это
соответственно 6, 2 и 3. Значит, на четвертую часть
приходится 18—(6+2+3) = 7 человек.
Аналогичным образом можно вычислить
количественный состав всех остальных областей. Выполнив эти
вычисления, получим рисунок 14. Теперь можно
подсчитать число ребят, посещающих хотя бы один
кружок. Для этого надо просто сложить все числа,
записанные внутри кругов М, Ф, X. Получится
28. А всего ребят в нашем классе 36. Значит, на долю
области МФХ приходится 8 человек. Следовательно,
ребят, не посещающих никаких кружков, будет 8.
38
Узнав, что в кружковую работу не вовлечено целых 8 человек, Ватсон сразу
же объявил о создании нового кружка — кружка юных медиков.
А на математическом кружке ребята попросили своего учителя рассказать
поподробнее о кругах Эйлера. Свой рассказ он начал с простой задачи.
Задача. Сколько натуральных чисел из первого десятка не делится ни на 2,
ни на 3?
Для решения задачи удобно опять воспользоваться кругами Эйлера. Круги
Эйлера — это круги, изображающие те множества, о которых идет речь
в соответствующей задаче. В нашем случае получится три круга: большой круг,
изображающий множество чисел от 1 до 10, и внутри него два меньших круга,
изображающих множество чисел, кратных 2, и множество чисел, кратных
3. Обозначив множество чисел, кратных 2, через Л, а множество чисел, кратных
3, через В, получим соответствующий рисунок (рис. 15).
На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На
3 делится каждое третье число. Значит, таких чисел будет 10:3=3. На
2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Значит, таких чисел будет
10:6=1. Мы узнали, что область АВ состоит из одного-единственного числа,
область А — из пяти, а область В — из трех чисел (рис. 16).
Теперь видно, что на долю области SB приходится 10—(4 + 1+2) =3 числа.
Значит, в первом десятке содержатся три числа, не делящихся ни на 3, ни на 2.
— Теперь,— сказал учитель,— попробуйте решить задачу чуть посложнее.
Задача . Сколько натуральных чисел из второй сотни (начиная от 101 до
200 включительно) делится на 5, но не делится на 7?
Для решения этой задачи снова
можно воспользоваться рисунком 15 —
только на этот раз А и В будут иметь
другой смысл: А — это множество чисел
из второй сотни, делящихся на 5; АВ —
это множество чисел из второй сотни,
делящихся и на 5, и на 7. Если мы
узнаем численный состав этих
множеств, то мы сможем узнать также,
сколько чисел входит в область АВ ,
т. е. сколько чисел из второй сотни
делится на 5, но не делится на 7.
При решении этой задачи можно
воспользоваться следующим указанием.
Чтобы узнать, сколько чисел из
второй сотни делится на 5, надо сначала
узнать, сколько чисел, кратных 5,
содержится в двух первых сотнях вместе
(т. е. начиная от 1 до 200), а потом —
сколько чисел, кратных 5, содержится
в первой сотне. Разность и даст
количество чисел, кратных 5, содержащихся во
второй сотне.
Теперь вы, наверное, быстро
справитесь с этой задачей!
Ответ. 17.
Когда мы эту задачу решили,
учитель рассказал нам о математиках,
которые разрабатывали метод решения
задач с помощью кругов Эйлера. Мы
узнали, что одним из первых, кто
пользовался этим методом, был
выдающийся немецкий математик и философ
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—
1716). В его черновых набросках были
обнаружены рисунки с такими кругами.
Затем, как уже говорилось, этот метод
довольно основательно развил
швейцарский математик Леонард Эйлер
(1707—1783). Он долгие годы работал
в Петербургской Академии наук. К
этому времени относятся его знаменитые
«Письма к немецкой принцессе»,
написанные в период с 1761 по 1768 год.
В некоторых из этих «Писем...» Эйлер
как раз и рассказывает о своем методе.
После Эйлера этот же метод
разрабатывал чешский математик Бернард Боль-
цано (1781 — 1848).
Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы.
Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер
(1841 —1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логики». Но
наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского
логика Джона Венна (1843—1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен
им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь
Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда
диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также
диаграммами (или кругами) Эйлера — Венна. Эти диаграммы
могут быть построены по-разному. Рассмотрим четыре простейших случая:
1. Дано некоторое множество и указано свойство А. Очевидно, элементы
данного множества могут обладать или не обладать свойством А. Поэтому
данное множество распадается на две части, которые мы обозначим через
А и А . Эту ситуацию можно изобразить двумя способами (рис. 17, 18).
На рисунке 17 большой круг изображает данное множество. Маленький круг
Рис. 17
Рис. 18
А изображает ту часть элементов данного множества
(подмножества), которые обладают свойством Л,
а кольцеобразная область, обозначенная через ЛТ
изображает ту часть элементов данного множества
(подмножества), которые не обладают свойством А.
На рисунке 18 те же подмножества А и Л~изображе-
ны по-другому.
2. Дано некоторое множество и указаны два
свойства: А, В. Так как элементы данного множества
могут обладать или не обладать каждым из этих
свойств, то возможны четыре случая: АВ, АВ , А В,
А В . Следовательно, данное множество распадается на
четыре подмножества. Соответствующую диаграмму
снова можно изобразить двумя способами, как на
рисунках 19 и 20.
На рисунке 19 круг А — это подмножество тех
элементов данного множества, которые обладают
свойством Л, а область вне круга, т. е. область ЛТ— это
подмножество тех элементов, которые свойством А не
обладают. Аналогично круг В и область_вне его.
На рисунке 20 подмножества А, А , В, В изображены
по-другому: подмножество А — это область слева от
вертикальной черты (красная горизонтальная
штриховка) , а подмножество А — это обяасть справа от этой
черты. Аналогично изображены В и В : область В — это
верхний полукруг (черная вертикальная штриховка),
а область В — это нижний полукруг.
3. Дано некоторое множество и указаны три
свойства: А, В, С. В этом случае данное множество
распадается на восемь частей. Это можно изобразить
двумя способами (рис. 21, 22).
На рисунке 22 подмножества А и В заштрихованы:
А — горизонтально, В — вертикально, а подмножество
С — это маленький круг.
4. Дано некоторое множество и указаны четыре
свойства: А, В, С, Д. В этом случае множество
распадается на 16 частей. Это можно изобразить
с помощью диаграммы двумя способами (рис. 23, 24).
Рис. 19
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23
Рис. 24
41
Если будет указано пять свойств, то множество распадается на 32 части,
диаграммы станут еще более сложными, и мы их рисовать не будем.
Итак, увеличением свойств число частей каждый раз удваивается.
Некоторые части могут оказаться пустыми: в них не попадет ни один элемент
множества. Такие части называются пустые подмножества.
ДЕЛС
14
История с кубиками для детского сада
Однажды нашему классу поручили изготовить кубики для
детского сада. Несколько кубиков мы склеили из картона, а остальные сделали
из дерева. Кубики были только двух размеров: большие и маленькие. Когда
кубики были изготовлены, мы их покрасили: несколько кубиков — в зеленый
цвет, а остальные — в красный. Получилось 16 зеленых кубиков. Зеленых
кубиков большого размера было 6. Больших зеленых кубиков из картона было
4. Красных кубиков из картона было 8, а красных кубиков из дерева — 9.
Больших деревянных кубиков было 7, а маленьких деревянных кубиков было 11.
Староста спросил: «Сколько же всего получилось кубиков?» Мы хотели их
сосчитать, но Холмс сказал, что число кубиков легко вычислить и по имеющимся
данным. После этого он нарисовал диаграмму Венна (рис. 25).
На этом рисунке маленький круг — это красные кубики, кольцеобразная
область — это зеленые. Левый большой полукруг — это деревянные, а
правый — это картонные. Верхний большой полукруг — это большие кубики,
а нижний — маленькие. Холмс сказал, что поскольку каждая пара свойств:
большие — маленькие, красные —
зеленые, деревянные — картонные —
представляет собой пару взаимно
противоположных свойств, то можно было бы
описать кубики и с помощью всего трех
свойств: быть или не быть красным
(зеленые — это не красные), быть или
не быть большим (маленькие — это не
большие), быть или не быть деревянным
(картонные — это не деревянные).
Далее Холмс сказал, что заполнение
диаграммы следует начинать с того
подмножества, для которого указаны
все три свойства. Такое подмножество
у нас есть: это подмножество больших
зеленых кубиков из картона — таких
кубиков 4. Теперь ищем подмножество,
для которого указаны два свойства из
перечисленных трех. У нас это
подмножество больших зеленых кубиков —
таких кубиков 6. Но это подмножество
состоит из картонных и деревянных
деревянные картонные
Рис. 25
кубиков. Картонных было 4. Значит,
деревянных будет 6—4=2. Записываем
в соответствующую клетку диаграммы
цифру 2. Больших деревянных кубиков
7 (это левая верхняя часть нашей
диаграммы). Из них зеленых — 2 (это
мы узнали). Значит, красных будет
7—2=5. Записываем цифру 5 в
соответствующую клетку. Красных деревянных
кубиков 9. А мы узнали, что из них 5 —
это большие. Значит, маленьких
красных кубиков из дерева будет 9—
—5=4. Записываем цифру 4 в
соответствующую клетку.
Маленьких деревянных кубиков 11. Из них красных — 4 (это мы узнали).
Значит, маленьких зеленых кубиков из дерева будет 11—4=7. Записываем
7 в соответствующую клетку. Всего зеленых кубиков 16. Зеленые кубики
помещены в кольцеобразную область, состоящую из четырех частей. В трех
частях записаны цифры 4, 2 и 7. Значит, на долю последней, четвертой части
приходится 16—(4+2+7) =3. Следовательно, маленьких зеленых кубиков из
картона было 3.
Осталось последнее условие: красных кубиков из картона было 8. Сколько
из них больших и сколько маленьких, мы не знаем. Поэтому цифру 8
записываем так, чтобы было видно, что она обозначает те и другие вместе.
Теперь все клетки диаграммы заполнены, и мы можем сказать, сколько
сортов кубиков получилось и сколько было кубиков каждого сорта. Мы можем
ответить и на вопрос старосты: всего было изготовлено 33 кубика.
ДЕПО | Спор, возникший после субботника
15 f
После уроков у нас был субботник. Собралось 29 ребят. Нас
разделили на три бригады, которые должны были соответственно убирать двор,
поливать сад и мыть класс. На уборку двора отправили только одних мальчиков,
а в саду и в классе девочек было в два раза больше, чем мальчиков. Получилось
так, что девочек в саду было столько же, сколько было мальчиков во дворе,
а всего во дворе и в саду было 20 человек.
На следующий день между мальчиками и девочками разгорелся спор.
Мальчики утверждали, что на субботнике их было больше, чем девочек, и поэтому
большую часть работы выполнили именно они — мальчики. Девочки же
утверждали обратное: они были уверены, что на субботнике их было больше, чем
мальчиков, и поэтому мальчики просто не могли сделать больше, чем они — девочки.
Решить этот спор помог Холмс. Он нарисовал диаграмму (рис. 26).
— На этот раз,— сказал Холмс,— диаграмма получилась несколько
необычной. Особенность диаграммы состоит в том, что свойства — работать во
дворе, работать в саду, работать в классе — разбивают множество всех ребят на
три части, а не на две. С остальными свойствами — быть мальчиком и быть
43
девочкой — все обстоит так, как это обычно бывает
на диаграммах Венна: эти свойства взаимно
противоположны, и поэтому множество ребят распадается на
две части.
Приступим теперь к заполнению диаграммы.
Известно, что в саду девочек было в два раза больше,
чем мальчиков. Поэтому мы можем обозначить число
мальчиков, работавших в саду, через х, а девочек —
через 2х. Известно также, что в классе девочек тоже
было в два раза больше, чем мальчиков. Значит,
число мальчиков, работавших в классе, можно
обозначить через у, а девочек — через 2у. Известно
еще, что девочек в саду было столько же, сколько
было мальчиков во дворе. Но девочек в саду было 2х.
Значит, мальчиков во дворе тоже было 2х. Все эти данные запишем
в соответствующих клетках диаграммы. Наконец, заметим, что во дворе
работали только мальчики. Поэтому в клетке, обозначающей девочек,
работавших во дворе, запишем нуль. Всего во дворе и в саду было 20 человек.
С помощью диаграммы составим соответствующее уравнение 2jc+jc+2jc=20.
Значит, х=4. Всего на субботнике было 29 человек. С помощью диаграммы
составим еще одно уравнение 5х+3у=29. Так как х=4. то получим у=3.
Теперь подсчитаем, сколько было девочек. Их было 2х+2у,
т. е. 8+6= 14. А мальчиков было 29—14= 15. Значит, мальчиков было больше.
Рис. 26
44
ДЕЛО
16
История со сведениями о количестве
выписываемых журналов
На занятии физического кружка учитель спросил,
выписывают ли члены кружка такие специальные журналы, как «Квант» (К), «Техника
молодежи» (Т), «Юный техник» (Ю). Выяснилось, что 6 человек выписывают К,
5 человек — Т, 5 человек — Ю, 3 человека — К и Т, 2 человека — Т и Ю,
3 человека — К и Ю, а один человек не выписывает ни одного журнала, но читает
все эти журналы в библиотеке. Учитель попросил старосту составить справку.
На следующий день после уроков староста принес учителю записку со всеми
этими сведениями. Но учитель был недоволен, так как в записке не было указано,
сколько членов кружка выписывают все три журнала, сколько — два,
а сколько — только один. Узнать это у самих членов кружка староста не мог, так
как все ребята уже разошлись по домам. Но каким-то образом надо было все же
раздобыть эти сведения, так как учителю они нужны были именно сейчас.
Единственная надежда была на Холмса, и он действительно помог.
Холмс сказал:
— Сложившуюся ситуацию надо изобразить с помощью кругов Эйлера.
С этого и начнем. Сделаем рисунок (рис. 27).
Большой круг — это множество всех членов физического кружка. Я знаю, что
этот кружок состоит из 10 человек. Внутри большого круга нарисуем три
меньших круга: К, Т, Ю, которые изображают ребят, подписавшихся на
соответствующие журналы. Известно, что один человек не выписывает ни одного
журнала. Значит, в области, расположенной вне кругов К, Т, Ю, запишем
1. В остальных ячейках получившегося рисунка запишем буквы а, Ь, с, х, у, z, t>
которые будут обозначать число ребят, подписавшихся на соответствующие
наборы этих журналов.
С помощью этого рисунка исходные данные можно теперь записать
следующим образом:
(1)
(2)
Рис. 27
Так как членов кружка было 10, то запишем еще одно уравнение
(х+у+г) + (a+b+c) +t+1=10. (3)
Сложив уравнения каждой из систем (1) и (2) и присоединив к ним уравнение
(3), получим следующую систему:
\y+b+c+t=5,
[z+a+c+t=5\
45
(х+у+г) +2(a+b+c) +3t= 16,
(a+b+c)+3t=8t
(x+y+z) + (a+b+c)+t=9.
Отсюда получим x+y-\-z=3, a+b+c=5y t=\.
Заметим теперь, что x-\-y-\-z — это число ребят, подписавшихся только на
один журнал; а-\-Ь-\-с — это число ребят, подписавшихся ровно на два журнала,
at — это число ребят, подписавшихся на все три журнала. Значит, сведения,
необходимые учителю, получены: на один журнал подписалось 3 человека, на
два — 5 человек, на три — 1.
Загадочное письмо
Когда мы летом отдыхали в спортивном лагере, неожиданно
пришло письмо от незнакомых ребят, отдыхавших где-то в другом лагере.
Обратного адреса не было, и мы так и не поняли, от кого это письмо. В письме
было написано следующее:
«Здравствуйте, дорогие ребята! Мы узнали, что в следующее воскресенье
у вас будут проводиться соревнования по легкой атлетике и спортивным играм.
Мы хотим принять участие в этих соревнованиях и в субботу приедем к вам.
В состав нашей команды входят волейболисты, бегуны, прыгуны и метатели.
Команда у нас сильная. Все бегуны являются и прыгунами, а все прыгуны
являются или метателями, или
бегунами. Одна из особенностей нашей
команды состоит в том, что среди тех
метателей, которые являются еще и
прыгунами, нет бегунов. Метателей
у нас в два раза меньше, чем прыгунов,
и на два меньше, чем бегунов. Бегуны
составляют третью часть всей команды,
а волейболистов в два раза больше, чем
тех ребят, которые являются
одновременно и прыгунами, и метателями.
I* I I£^ 1|ЛДШ ) Мы заранее рады встрече с вами.
Ждите нас в субботу вечером. Приго-
товьте ночлег для всей нашей команды.
До скорой встречи!
Ваши друзья»
Известие о прибытии гостей,
конечно, обрадовало нас. Но когда стал
обсуждаться вопрос об устройстве
гостей на ночлег, мы заметили, что
в письме не было сказано, сколько
человек к нам приедет. Сколько же
4 в
спальных мешков потребуется? На этот вопрос никто не мог ответить, а завхоз
и начальник лагеря требовали от нас точных данных. Как же это узнать?
И тут нас опять выручил Холмс.
Он воспользовался методом кругов Эйлера и сделал рисунок (рис. 28).
На этом рисунке круги Б, П, М изображают соответственно множество
бегунов, прыгунов и метателей, а область вне этих кругов представляет
множество волейболистов, обозначенных буквой В. Известно, что все бегуны
являются прыгунами. Это значит, что область Б должна целиком находиться
внутри круга П: никакая часть области Б не должна выходить за пределы
круга П. Следовательно, те части области Б, которые на нашем рисунке все же
выходят за пределы П, должны быть пустыми. Чтобы это отметить, покроем эти
части области Б штриховкой.
Известно также, что все прыгуны являются или метателями, или бегунами.
Значит, круг П должен целиком находиться внутри области, состоящей из
Б и М. Следовательно, ту часть области П, которая не входит в фигуру,
состоящую из Б и М, надо заштриховать. (Штриховка означает, что там никаких
элементов нет: эта часть пустая.)
Известно также, что среди тех метателей, которые были еще и прыгунами, нет
бегунов. Значит, общая часть кругов М и П не должна находиться внутри
круга Б. Поэтому ту частичку общей части М и П, которая на нашем рисунке все
же находится внутри Б, мы тоже покроем штриховкой.
Все заштрихованные ячейки пустые. В оставшихся, незаштрихованных
ячейках запишем буквы х, yf z, t. Этими буквами мы обозначили число ребят,
занимающихся соответствующими видами спорта.
Обратимся теперь к остальным условиям, указанным в письме. Число
метателей в два раза меньше числа прыгунов. Из рисунка видно, что это условие
можно записать так: 2(x-\-y)=y-\-z.
Число метателей на два меньше
числа бегунов. Значит, x-\-y-\-2=z.
Бегуны составляют -о- всей команды.
Значит, 3z=x+y+z+t.
Число волейболистов в два раза
больше числа тех ребят, которые
одновременно являются прыгунами и
метателями. Значит, t=2y.
Рис. 28
Таким образом, получилась система четырех уравнений с четырьями
неизвестными. Решив эту систему, найдем х=2, у=6> z= 10, /= 12. Значит, всех
ребят было *+у+г+/-2+6+10+12=30.
ДЕПО
18
Олимпиадная задача
На школьной математической олимпиаде была задача,
которую никто, кроме Холмса, решить не мог. Вот эта задача.
В ящике лежат шары. Некоторые из них тяжелые, металлические. Все
остальные — легкие. Легкие шары отличаются друг от друга по целому ряду
признаков, а все металлические шары одинаковые. Часть легких шаров
изготовлена из дерева, остальные — из пластмассы. Некоторые из легких шаров
покрашены в красный цвет, остальные — в зеленый. Среди легких шаров есть
большие и маленькие: все большие одинакового размера, все маленькие тоже
одинакового размера. Больших красных шаров нет, нет и больших деревянных
шаров. Кроме того, известно следующее:
1. Всего шаров 11.
2. Маленьких зеленых шаров столько же, сколько деревянных.
3. Деревянных и красных шаров вместе на 5 больше, чем всех остальных
шаров (включая и металлические).
4. Маленьких красных пластмассовых шаров и больших зеленых
пластмассовых шаров, взятых вместе, в два раза больше, чем маленьких
зеленых деревянных шаров.
Сколько было деревянных шаров?
Эту задачу Холмс опять решил с помощью кругов Эйлера (рис. 29).
Так как больших красных шаров не было и не было больших деревянных
шаров, то соответствующие области Холмс заштриховал. Число шаров
в остальных ячейках он обозначил буквами а, Ь, с, d, t. После этого он
обратился к остальным условиям задачи:
1. Всего шаров было 11. Значит, a-\-b-\-c-\-d-\-t= 11.
2. Маленьких зеленых шаров было столько же, сколько деревянных. Но
маленькие зеленые шары — это шары не красные и не большие. Значит,
маленькие зеленые шары — это те шары, которые находятся вне кругов К и Б.
Из рисунка видно, что число таких шаров равно a-\-t.
Число деревянных шаров равно а-\-Ь. Следовательно,
a+t=a+b.
3. Деревянных и красных шаров вместе было
а-\-Ь-\-с, всех остальных было d-\-t. Но деревянных и
красных было на 5 больше, чем остальных. Значит,
Рис. 29
4. Маленькие красные пластмассовые шары — это те
шары из круга К, которые находятся вне кругов
Д и Б. Число таких шаров равно с. Большие зеленые
пластмассовые шары — это те шары из круга Б, которые
находятся вне кругов К и Д. Число таких шаров равно d. Маленькие зеленые
деревянные шары — это те шары из круга Д, которые находятся вне кругов
Б и К. Число таких шаров равно а. Значит, последнее условие запишем так:
c+d=2a.
Таким образом, получилась система четырех уравнений с пятью
неизвестными. Чтобы решить эту неопределенную систему уравнений, поступим следующим
образом. Примем неизвестное а за параметр, т. е. будем временно считать, что
а — это какое-то конкретное число, и выразим все остальные неизвестные через
этот параметр. Но сначала упростим систему: заметим, что из второго уравнения
следует t=b. Поэтому, заменив в остальных уравнениях / через 6, получим
a+2b+c+d=ll,
с—d=5—а,
c+d=2a.
Из последних двух уравнений этой системы найдем
с=
a~t
d=
a~
t , d= .
системы, найдем Ь=
Теперь, подставляя значения с и d во второе уравнение
11—За А * и 4 И—За
А так как t b то /
А так как t = by то /=
Найденные значения для Ь, с, dy t представляют собой выражения, зависящие
от а. Поэтому, придавая а всевозможные значения, мы получим
соответствующие различные значения для Ь, с, d, /.
Таким образом, задача, вообще
говоря, имеет бесчисленное множество
решений. Но из этого бесконечного
множества решений приемлемы будут
только те значения Ь, с, d, tt которые
являются натуральными числами.
(Число шаров не может быть ни
отрицательным, ни дробным.)
Значит, должны выполняться
следующие условия:
ra_j_5>0 (a+5—четное число),
\ За—5>0 (За—5 — четное число),
{11 —За>0 (11 —За — четное число).
Решив эту систему, получим
(а — нечетное число.
Но в промежутке от — до — находится
з з
только одно нечетное натуральное
49
число. Значит, а=3. Для остальных неизвестных получатся следующие
значения: 6=1, с=4, d=2, t=l.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи: деревянных шаров было
а-\-Ь. Значит, таких шаров было 4.
ДЕПО
19
История с дежурством на школьном
приусадебном участке
При нашей школе был небольшой приусадебный участок с
теплицей. Иногда, когда наступала очередь, наш класс работал на этом участке.
В одно из дежурств нам пришлось ремонтировать теплицу и поливать огурцы,
помидоры и капусту. Через несколько дней потребовались сведения о том,
сколько ребят было на дежурстве, но мы, к сожалению, этого сказать не могли.
Удалось установить только следующее. Ребята, ремонтировавшие
теплицу, не занимались поливкой, а ребята, поливавшие овощи, не участвовали
в ремонте теплицы. Никто из ребят не поливал одновременно огурцы и капусту.
Не было и таких ребят, которые поливали бы только помидоры. Огурцы поливали
7 человек, а помидоры — 4. Число ребят, ремонтировавших теплицу, было на
2 меньше числа ребят, поливавших только огурцы. Удвоенное число ребят,
поливавших только капусту, было на 1 больше утроенного числа тех ребят,
которые поливали только огурцы.
Вот и все, что удалось установить. Но Холмс сказал, что этих сведений вполне
достаточно. Рассуждал он так (рис. 30):
— Никто из ребят не поливал
одновременно огурцы и капусту.
Поэтому общую часть кругов О и К можно
заштриховать. Никто из ребят не
поливал только помидоры. Значит, ту часть
круга П, которая находится вне круга
О и вне круга К, тоже нужно
заштриховать. Численный состав остальных
ячеек обозначим буквами а, 6, с, d, t. Буква
а, например, обозначает число ребят,
Рис. 30
поливавших только огурцы. Буква b
обозначает число ребят, поливавших
и огурцы, и помидоры. Смысл остальных
букв тоже ясен из рисунка.
Теперь по известным нам данным
можно составить следующую систему
уравнений:
Ь+с=4,
a=t+29
2d=3a+l.
Получилась система четырех уравнений
с пятью неизвестными. Чтобы решить
эту систему, примем а за параметр.
Тогда нашу систему можно решить
относительно оставшихся четырех
неизвестных. Выполнив соответствующие
вычисления, получим
Ь=7—а, с=а—3,
d=
За+1
t=a—2.
Так как значениями а, 6, с, d, t должны быть натуральные числа, то должны
выполняться следующие условия:
'7—а>0,
а—3>0,
а—2>0, (3<а<7,
За+1—четное число. Откуда \а — нечетное число.
Но между числами 3 и 7 находится только одно нечетное число, а именно
5. Значит, а=5. Для остальных неизвестных получатся теперь следующие
значения: 6=2, с=2, rf=8, /=3. Осталось подсчитать общее число ребят,
работавших на участке. Это число равно
a+b+c+d+t=5+2+2+8+3=20.
ДЕПО щ
лл t Трудная задача
Однажды, когда проходила очередная игра КВН, нашей
команде (которую, как всегда, возглавлял Холмс) предложили задачу.
Бригада строителей, ремонтировавшая школу, состояла из рабочих
и учащихся ПТУ. В этой бригаде были штукатуры, маляры и разнорабочие
(т. е. рабочие, выполнявшие подсобные работы). Некоторые члены бригады
владели двумя специальностями, а некоторые владели только одной из этих
51
профессий. Те же члены бригады, которые не были ни штукатурами, ни
малярами, выполняли подсобные работы. Все подсобные работы выполняли
учащиеся ПТУ. Среди учащихся ПТУ не было штукатуров. Все штукатуры были
малярами.
Во время обеденного перерыва некоторые члены бригады питались
в столовой, а остальные уходили обедать домой. Дома обедали только те члены
бригады, которые являлись и штукатурами, и малярами. Кроме того, известно
следующее:
1. Число членов бригады, владевших двумя профессиями, было на 1 больше
числа рабочих, владевших только одной из этих профессий.
2. Рабочих было столько же, сколько было учащихся ПТУ.
3. Рабочих, владевших двумя профессиями, было столько же, сколько было
маляров среди учащихся ПТУ.
4. Разность между числом 18 и учетверенным числом тех рабочих, которые
владели только одной профессией, была такая же, как разность между числом
рабочих, обедавших дома, и числом тех членов бригады, которые владели двумя
профессиями и обедали в столовой.
Сколько членов было в этой бригаде?
Чтобы решить эту задачу, Холмс опять воспользовался методом кругов
Эйлера — Венна. Он нарисовал соответствующую диаграмму (рис. 31).
На этом рисунке круг М изображает множество маляров. Эллипсовидный
овал Ш изображает множество штукатуров. Общая часть фигур М и Ш
изображает множество членов бригады, владевших обеими специальностями.
Кольцеобразная область, находящаяся вне фигур М и Ш, изображает
52
рабочие учащиеся ПТУ
обедали
в сто/ювоп
Рис. 31
множество членов бригады, не
являвшихся ни штукатурами, ни малярами.
Эта область обозначена буквой П, так
как по условию задачи соответствующее
множество состояло только из людей,
выполнявших подсобные работы.
Вертикальная черта делит
множество всех членов бригады на рабочих
и на учащихся ПТУ. Горизонтальная
черта делит это .хе множество на людей,
обедавших в столовой, и на людей,
обедавших дома. По условию задачи все
подсобные работы выполняли учащиеся
ПТУ. Значит, из кольцеобразной
области П надо оставить только правую часть. Поэтому левую часть области
П надо заштриховать, отмечая этим, что эта часть области П пустая.
Среди учащихся ПТУ не было штукатуров. Значит, правую часть фигуры
Ш надо заштриховать. Все штукатуры были малярами. Значит, те части фигуры
Ш, которые выходят за пределы круга М, надо заштриховать.
Дома обедали только те члены бригады, которые являлись и штукатурами,
и малярами. Значит, из нижней части нашей диаграммы должна остаться только
та часть, которая находится внутри общей части фигур М и Ш; остальные надо
заштриховать.
Теперь все пустые области заштрихованы. Обозначив численный состав
остальных, незаштрихованных областей буквами а, Ьу с> ху уу мы можем
приступить к составлению системы уравнений. Система этих уравнений
получится из условий 1—4:
а+Ь=с+19
а+Ь+с=х+у,
а-{-Ь=х,
\8—4с=а—Ь.
Из первого и третьего уравнений следует, что х=с+1. Из второго и третьего
уравнений следует, что с=у. Первое и четвертое уравнения перепишем без
изменения. Таким образом, мы получим более простую систему:
х=с+1,
У=сУ
a+b=c+l,
а—Ь=18—4с.
Приняв за параметр с, получим следующее решение:
19-Зс t 5c-17
а=-
Ь=-
х=с+1, у=с.
2 ' " 2
Так как a, fe, с, *, [/ должны быть натуральные числа, то запишем:
19—ЗоО, rJLL<c<J^.
!5с-17>0, 5 3'
[с — нечетное число, I с — нечетное число.
53
Эти условия можно записать и так: 4^с^6, с — нечетное число.
Очевидно, этим условиям удовлетворяет только число 5. Значит, с=«5. Вычислив
значения остальных неизвестных, получим а=2, 6=4, jc=6, y=5.
Теперь можно ответить и на вопрос задачи: число членов бригады равно
а+Ь+с+х+у= 2+4+5+6+5= 22.
Задача решена. Но в заключение надо сделать одно замечание, касающееся
выбора параметра. Этот выбор может быть осуществлен совершенно
произвольно. Мы, например, выбрали в качестве параметра неизвестное с. Мы
поступили так только потому, что такой выбор казался нам наиболее удобным,
наиболее естественным. Но можно было выбрать параметр и по-другому.
Рассмотрим, например, случай, когда в качестве параметра выбрано
неизвестное а. Тогда мы получим следующее решение:
22—5а 19—2а 22—2а 19—2а
о— з~—' с~ з • х==—з~~' У=—з~~-
Так как значениями неизвестных должны быть натуральные числа, то должны
выполняться еще следующие условия:
'22—5а>0,
19—2а> О,
,22—2а>0.
Числа 22—5а, 19—2а, 22—2а должны быть кратны 3.
Первые три неравенства сводятся к условию а<4. Значит, из четырех чисел 1,
2, 3, 4 (которые могут быть значениями а) надо выбрать то, при котором будет
выполнено и четвертое из вышеуказанных условий. Проверка показывает, что
подходит только число 2. Значит, а=2; и теперь нетрудно вычислить значения
всех остальных неизвестных. Ответ, конечно, получится такой же, как
и в первоначальном нашем решении.
Рассмотренная задача еще раз убедила нас в эффективности метода кругов
Эйлера — Венна. Холмс этим методом пользовался и при решении целого ряда
других задач. О некоторых из этих задач я сейчас расскажу, но подробного
решения приводить не буду. Попробуйте решить эти задачи самостоятельно.
Надеюсь, это доставит вам удовольствие.
Задачи сформулированы таким образом, что наличие пустых ячеек
в соответствующих диаграммах Венна каждый раз особо оговорено. Поэтому
значениями неизвестных, обозначающих число элементов незаштрихованных
(а значит, и непустых) ячеек, могут быть только натуральные числа (нуля быть
не может).
25—36
25. Когда мы после ли мних каникул пришли в школу, наш классный
руководитель спросил, ходили ли мы в это время в кино, в театр и в цирк. Нам
тоже было интересно это узнать. Поэтому старосте поручили собрать
соответствующие сведения. Ему удалось узнать следующее.
54
Из 36 человек, которые учились в нашем классе, только двое не были ни
в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре — 11,
в цирке — 17, в кино и театре — 6, в кино и цирке — 10, в театре и цирке —
4. А сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке староста узнать не
смог. Таким образом, на вопрос, который нас интересовал, мы полного ответа не
получили. Но Холмс сказал, что имеющихся данных вполне достаточно, чтобы
узнать, сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке. Через несколько
минут он и в самом деле решил эту задачу. Что же он узнал?
26. Иногда Холмс сам придумывал интересные задачи, и мы с удовольствием
их решали. Вот одна из этих задач.
В салоне небольшого самолета было 42 пассажира. Некоторые из них были
москвичами, остальные — иногородними. Среди москвичей было 9 мужчин.
Некоторые из пассажиров были артистами, но ни одна из иногородних женщин
артисткой не была. Всего иногородних мужчин было 18. Из них 13 не были
артистами. Среди пассажиров, не являвшихся артистами, было 16 мужчин
и 11 женщин. 5 москвичей не были артистами. Сколько всего артистов было
в самолете?
27. Вот еще одна задача, придуманная Холмсом.
Он рассказал, что получил от своих друзей из Сочи посылку с яблоками
и грушами. Некоторые из этих плодов были большими, а остальные —
маленькими. По цвету плоды тоже различались: часть плодов была желтого
цвета, остальная часть — зеленого. Среди плодов не было маленьких груш и не
было маленьких зеленых яблок. Яблок было 25. Груш было 17. Больших плодов
было 32. Желтых плодов было 28. Зеленых яблок было на 2 больше, чем зеленых
груш. Сколько же в этой посылке было больших желтых яблок?
28. Однажды на уроке математики у нас была трудная контрольная работа.
Надо было решить три задачи: одну — по арифметике, одну — по алгебре
и одну — по геометрии. Контрольную
работу писали все 36 ребят из нашего
класса. На следующий день учитель
сказал нам, что во всех работах
была решена хотя бы одна задача, но
среди этих работ не было ни одной,
в которой были бы решены и
алгебраическая, и геометрическая задачи. Кроме
того, учитель сказал следующее:
1. Число ребят, решивших
геометрическую задачу, было на 4 меньше числа
ребят, решивших алгебраическую
задачу.
2. Сумма удвоенного числа ребят,
решивших только геометрическую
задачу, и утроенного числа ребят, решивших
только арифметическую задачу, равна
12.
3. Число ребят, решивших
алгебраическую задачу, в 2 раза меньше суммы
числа 6 и числа тех ребят, которые из
двух задач — арифметической и
геометрической — решили хотя бы одну.
Учитель сказал, что тем, кто решил две задачи, он поставит оценку 4,
а остальные, решившие только одну задачу, получат оценку 3.
Нам, конечно, было интересно узнать, сколько будет «четверок», но учитель
этого не сказал. Тогда мы обратились к Холмсу и спросили его, не может ли он
вычислить, сколько будет «четверок». Холмс сразу же принялся за вычисления
и через некоторое время ответил на наш вопрос. Что же узнал Холмс?
29. Когда мы в очередной раз приехали в деревню на уборку картошки, нам
сообщили новость: теперь в колхозе будет своя собственная пекарня!
Под пекарню перестраивается старое кирпичное здание. Работу выполняет
бригада квалифицированных строителей. Мы сразу же отправились к месту
строительства. Кто-то сказал, что в стенгазету надо будет написать заметку об
этой новости, а Холмс добавил, что будет еще интереснее, если, кроме заметки,
в стенгазете будет еще помещена задача, связанная с работой строителей. Эта
идея нам понравилась, и мы вместе с Холмсом придумали следующую задачу.
Бригада строителей состояла из каменщиков, печников, штукатуров
и разнорабочих (т.е. подсобных рабочих без квалификаций). Все печники
являлись каменщиками. Среди тех каменщиков, которые являлись еще
и печниками, нет ни одного, который не был бы еще и штукатуром. Все те
каменщики, которые были еще и штукатурами, оказались к тому же еще
и печниками. Кроме того, известно следующее:
1. Рабочих, владевших только одной специальностью, было столько же,
сколько было разнорабочих.
2. Сумма удвоенного числа тех рабочих, которые были только штукатурами,
и утроенного числа тех рабочих, которые были только каменщиками,
равна 15.
3. Число рабочих, владевших только специальностью каменщика, было
в пять раз меньше суммы числа 9 и утроенного числа тех рабочих, которые
владели тремя специальностями.
Сколько рабочих было в этой бригаде?
30. Предыдущая история имела продолжение. Когда бригада каменщиков,
печников и штукатуров закончила работу, на смену ей пришла другая бригада,
которая должна была отремонтировать и покрасить крышу. Мы снова решили
придумать задачу, связанную с этой бригадой. Вот эта задача.
Бригада, ремонтировавшая крышу, состояла из плотников, кровельщиков
и маляров. Разнорабочих не было. Выяснилось, что в бригаде не было ни одного
рабочего, который владел бы только одной из указанных специальностей. Не
было и ни одного рабочего, который владел бы сразу всеми тремя
специальностями. Всего в бригаде было 7 человек. Кроме того, было установлено, что если
к утроенному числу маляров добавить удвоенное число плотников, а потом из
полученной суммы вычесть число кровельщиков, то получится 13.
Сколько плотников было в этой бригаде?
31. Однажды весной в нащей школе была организована туристическая
секция. В эту секцию записалось много ребят, и каждый из записавшихся принял
участие хотя бы в одном из запланированных походов. Таких поуодов было три:
на озеро, к водопаду и в горы. Из ребят, побывавших в походе на озеро, никто не
пошел в поход к водопаду. Поэтому к водопаду пошло только 8 человек.
Все ребята, отправившиеся в горы, приняли участие по крайней мере еще
в одном походе. Число ребят, побывавших и на озере, и в горах, в сумме с числом
ребят, побывавших только на водопаде, было на единицу больше числа тех
ребят, которые были только на озере. Сумма утроенного числа ребят,
5С
побывавших только на озере, и удвоенного числа ребят, побывавших и на озере,
и в горах, оказалась равной 19. Но сколько всего ребят записалось в
туристическую секцию, никто не знал, так как соответствующий список был потерян. За
помощью обратились к Холмсу. Через некоторое время он ответил на заданный
вопрос.
Что установил Холмс? Сколько ребят было записано в туристическую
секцию?
32. Наша туристическая секция стала очень популярной. Поэтому осенью на
организационное собрание пришли не только все 15 старых членов этой секции,
но и много новых ребят. Списочный состав членов нашей секции стал
значительно длиннее. Мы совершили четыре похода. Первый поход был снова на
озеро, а потом было еще три новых похода: к старому монастырю, к
водохранилищу и к отвесным скалам. Каждый из членов нашей секции принял участие хотя
бы в одном из этих походов, но так как походы были очень утомительными, то
никто не участвовал более чем в двух походах.
Те из ребят, которые не были на озере, не пошли и к скалам, а те, кто был на
озере, пошли затем и к скалам. В походе к монастырю участвовало 8 человек.
В двух походах участвовало 17 человек. Кроме того, оказалось, что утроенное
число ребят, побывавших и у водохранилища, и у монастыря, было больше
удвоенного числа ребят, побывавших только у водохранилища, ровно на 15. Обо
всем этом мы решили написать в стенгазету. В связи с этим возник вопрос:
сколько новых членов мы приняли в нашу секцию? Ответ на этот вопрос опять
нашел Холмс. Что же он узнал?
33. Осенью был день рождения учителя математики, и мы решили подарить
ему большой букет цветов. Лена и Валя обещали принести розы и гвоздики.
У родителей этих девочек были садовые участки, и там можно было сорвать
самые красивые цветы.
На следующий день Лена и Валя
в самом деле принесли розы и гвоздики.
Некоторые цветы были белые,
остальные — ярко-красные, и букет получился
замечательный. Мы заметили, что среди
цветов, принесенных Леной, не было
белых роз, а среди цветов, принесенных
Валей, не было красных роз.
Выяснилось также, что ни Лена, ни Валя не
принесли белых гвоздик. Кроме того,
наш староста установил следующее:
1. Валя принесла столько же цветов,
сколько Лена.
2. Сумма удвоенного числа всех
белых роз и утроенного числа всех
красных роз оказалась равной 18.
3. Пятикратное число роз,
принесенных Леной, было больше удвоенного
числа красных гвоздик, принесенных ею
же, ровно на 10.
Староста сказал, что по этим
сведениям мы теперь можем вычислить,
57
сколько и каких цветов принесла
каждая из девочек. Нам действительно
удалось решить эту задачу. Что же мы
узнали?
34. Однажды мы совершили поход
к развалинам старой крепости. Поход
был трудный, и мы очень устали, так как
нам пришлось нести много поклажи.
Девочки несли только хлеб, а мальчики,
которых было в два раза больше, чем
девочек, несли все остальное: палатки,
спальные мешки и еду (консервы и
концентраты). Спальные мешки несли 7
человек. Консервы и концентраты несли
4 человека. Все ребята, несшие еду,
несли, кроме этого, еще палатку или
спальный мешок. Палатки были
тяжелые. Поэтому ни один из мальчиков не
нес одновременно палатку и спальный
мешок. Мы заметили также, что сумма
удвоенного числа ребят, несших только
палатки, и утроенного числа ребят,
несших, кроме палаток, еще и консервы,
и концентраты, была равна 7.
По этим данным Холмс быстро
вычислил, сколько ребят было в этом
походе. Какой же у него получился
ответ?
35. Когда мы пришли к старой
крепости, нужно было разбить лагерь
и приготовить ужин. Мы распределили
обязанности следующим образом: 5
девочек разводили костер, готовили ужин
и собирали лесные ягоды, а 10
мальчиков ставили палатки, ловили рыбу
и собирали грибы. Ни одна из девочек,
готовивших ужин, не собирала ягод и не
разводила костер. Все девочки,
разводившие костер, затем собирали ягоды.
Девочек, разводивших костер и
собиравших ягоды, было столько же,
сколько было девочек, собиравших
ягоды, но не участвовавших в
разведении костра.
Девочек, собиравших ягоды, было
в четыре раза больше, чем девочек,
готовивших ужин.
Мальчики, ловившие рыбу, не
ставили палаток и не собирали грибы. Ребят,
ставивших палатки, было столько же,
сколько было ребят, ловивших рыбу.
Число ребят, занимавшихся только
сбором грибов, было в два раза больше
числа ребят, занимавшихся только
установкой палаток.
Число ребят, занимавшихся и
установкой палаток, и сбором грибов, было
в три раза меньше числа ребят, занятых
рыбной ловлей. Ребята, отправившиеся
в лес на сбор грибов и ягод, вернулись
в лагерь с богатой добычей. Они заранее
решили, что каждая из девочек соберет
2 кг ягод, а каждый из мальчиков
принесет по целому ведру грибов.
Ребята, которые пошли в лес раньше,
помогли выполнить эту норму тем, кто
сначала занимался в лагере другим
делом и поэтому пришел в лес позже.
В результате намеченный план был
выполнен. Но ответить на вопрос
«Сколько было собрано ягод и грибов?»
нам помог Холмс. Ответьте и вы.
36. Во время похода к развалинам
старой крепости было у нас еще одно
приключение. На обратном пути из
крепости домой мы встретили группу
туристов, отдыхавших на берегу ручья.
Некоторые из них ловили рыбу,
некоторые лежали на поляне и загорали,
а некоторые купались в ручье.
Остальные, как нам сказали, ушли в лес
собирать грибы и ягоды. Все ребята,
купавшиеся в ручье, затем загорали на
поляне, а те ребята, которые ловили
рыбу, сидели в тени и не загорали.
Всего загорало 7 человек. Сумма
удвоенного числа рыбаков и
пятикратного числа тех ребят, которые
загорали, но не купались, была равна
18. Но сколько ребят было в лесу, мы не
знали. Когда мы об этом спросили, нам
ответили, что в лес ушло столько же
ребят, сколько занято на рыбной ловле.
Вернувшись домой, мы решили сами
вычислить, сколько ребят из
встреченной нами группы туристов было
в лесу и сколько всего было ребят в этой
группе. Здесь опять нам помог Холмс.
ПОСЛЕСЛОВИЕ,
в котором рассказывается о необычном путешествии
к таинственной пещере
Дорогие читатели, теперь вы знаете почти все истории, которые произошли
в нашем классе. Все они довольно забавны. Но самая интересная история
произошла уже после окончания десятого класса.
Экзамены были позади, и мы целые дни проводили на пляже: купались,
загорали, катались на лодке. Однажды после такого приятно проведенного дня
Холмс, Ватсон и я пошли домой. По дороге мы решили пройти мимо старого
восьмиквартирного дома, в котором жил высокий седой старик, который обычно
в это время выходил на прогулку со своей собакой. Это была огромная собака
с гладкой черной шерстью. Мы прозвали ее собака Баскервилей, а ее хозяину мы
присвоили титул лорд Баскервиль.
Мы были уверены, что с собакой Баскервилей рано или поздно обязательно
произойдет какая-нибудь невероятная история. И хотя за все эти годы ничего
особенного не случилось, мы тем не менее не переставали надеяться, что до
начала удивительных приключений осталось совсем немного. Поэтому мы
решили пройти мимо старого дома, в котором жил лорд Баскервиль со своей собакой.
Каково же было наше удивление и наша радость, когда мы увидели, что
у старого дома собралась группа людей, окружившая старого лорда и
оживленно что-то обсуждавшая.
Ура! История с собакой Баскервилей началась! Мы мгновенно добежали до
дома и узнали потрясающую новость: собака Баскервилей бесследно исчезла.
Это произошло совершенно неожиданно. Лорд Баскервиль, как обычно, вышел
на прогулку со своей собакой. Через некоторое время он вернулся в дом, оставив
собаку во дворе, а когда он снова вышел во двор, собаки там уже не было.
во
Кто же увел собаку? Старик считал, что это сделал один из четырех
мальчиков, игравших во дворе. Один из них катался на велосипеде, другой сидел
на скамейке и читал какую-то книгу, а третий и четвертый играли в футбол: один
из них стоял в воротах, другой бил по воротам. Как звали этих мальчиков, старик
не знал. К тому же мальчиков во дворе уже не было.
Как же узнать, кто увел собаку? Люди, окружившие старика, сочувствовали
ему и оживленно обсуждали случившееся:
— Кто-то, наверное, знает этих мальчиков, особенно тех, которые играли
в футбол. Они все время кричали. Я их просила: «Ребята, потише!»
— Да, да! Эти футболисты вели себя очень шумно. Я тоже слышала, как кто-
то им крикнул: «Андрей, потише!»
— Но громче всех кричал тот из футболистов, который был в майке.
Я запомнил его. Он так и не оделся, хотя второй мальчик несколько раз говорил
ему: «Боря, оденься — прохладно».
— А знаете что? Ведь сюда приходила еще какая-то девочка и крикнула:
«Юра, домой!» А потом она еще добавила: «Олег, тебя тоже мама зовет!»
— Кто же этот Юра? Это, наверное, тот из мальчиков, который катался на
велосипеде.
— Нет! На велосипеде катался кто-то другой. В нашем доме нет никакого
Юры. Но это не мог быть и Юра из соседнего дома: у него рыжие волосы, а на
велосипеде катался темноволосый мальчик.
Мы внимательно слушали этот разговор, и вдруг Ватсон сказал: «Пошли,
ребята! Я уже разобрался в этом деле».
Холмс сухо заметил: «Оказывается, у меня есть талантливые ученики..Что же
ты выяснил, Ватсон?»
Ватсон не заставил нас долго ждать и сразу же приступил к объяснениям:
— Обозначим мальчика с велосипедом буквой В, мальчика с книгой —
буквой К, футболиста в майке — буквой М, а футболиста в рубашке —
буквой Р. Имена четырех мальчиков нам тоже известны, и мы можем составить
таблицу, в которой будет учтено все то, что мы только что слышали:
Имя
Андрей
Боря
Олег
Юра
В
—
К
М
•
Р
Закончив заполнение таблицы, Ватсон пришел к следующему выводу: Андрей —
Р, Боря — М, Олег — В, Юра — К.
— Теперь,— сказал Ватсон,— надо еще заметить, что никто этих мальчиков
лично не знает. Значит, это мальчики из соседнего дома. Туда нам и надо пойти.
Только там мы сможем узнать, кто увел собаку Баскервилей.
В соседнем доме мы действительно быстро нашли Андрея. Этого крикуна
и заядлого футболиста все хорошо знали. Но встреча с Андреем ничего не дала,
61
он только удивился: «Пропала собака? Но мы с Борей тут ни при чем. Мы с ним
ушли раньше всех».
Довольно быстро нашли мы и Олега. Этого велосипедиста все тоже хорошо
знали. Разговор с Олегом получился очень интересным. Оказалось, что фраза
«Олег, тебя мама зовет!» относилась не к нему. Мама Олега была на курорте,
поэтому ее не было дома и она не могла позвать сына. Значит, звали какого-то
другого Олега. Кого же? Олег вспомнил, что когда он в последний раз проезжал
на велосипеде мимо дома лорда Баскервиля, то на скамейке, кроме мальчика
с книгой, сидел еще какой-то мальчик. По-видимому, это и был тот Олег,
которого звала мама.
Итак, круг сузился. Теперь надо было искать остальных двух мальчиков —
Олега и Юру. Юру было найти значительно труднее, потому что в доме было
несколько мальчиков по имени Юра. Но после долгих расспросов мы все же
нашли рыжеволосого Юру, вернее, узнали номер квартиры, в которой он живет.
Нам открыла его сестра. Это была та самая девочка, которая приходила
к дому лорда Баскервиля и звала своего брата и Олега домой. Она
представилась нам: «Меня зовут Лена» — и рассказала следующее:
— Юра, Олег и я уже давно решили отправиться в поход в горы. Там есть
какая-то таинственная пещера, и мы хотели ее обследовать. Эта пещера
находится в верховьях нашей речки в районе знаменитых Отвесных Скал. Мы
это место нашли на карте. Это довольно далеко. В ближайшее воскресенье мы
должны были отправиться в путь. Но сегодня мальчики заявили, что они меня
с собой не возьмут. Совсем недавно они собрали свои рюкзаки и ушли, сказав,
что будут ночевать у какого-то товарища. А в поход они отправятся завтра
утром. Жаль, что они не взяли меня с собой; ведь поход у них будет очень
интересный.
62
Потом Лена нам показала карту, на которой мальчики отметили три дороги,
ведущие к Отвесным Скалам. Самая короткая дорога была отмечена пунктиром.
Это была горная лесная тропа. Вторая дорога шла вдоль речки. На самом деле
это была только тропинка, и поэтому на карте она тоже была отмечена
пунктиром. Эта дорога была намного длиннее: ведь она шла вдоль речки, а речка
описывала большую дугу и к тому же сильно петляла. Третья дорога была
обычной проселочной дорогой. На этой дороге, на полпути до скал, была
большая деревня. По какой же дороге пойдут мальчики?
Лена сказала, что она не знает, какое решение приняли мальчики. Она только
слышала, какие доводы в пользу того или иного варианта они выдвигали. Во
время этого обсуждения были высказаны следующие соображения.
Если удастся достать палатку, то можно пойти либо по горной тропе, либо
вдоль речки. Этот выбор достаточно очевиден. Ведь дорога длинная — придется
идти два дня, и если будет палатка, то можно будет переночевать в лесу или
у реки. А если палатки не будет, то придется идти по проселочной дороге
и ночевать в деревне.
Была речь и о том, что в походе нужна собака. Мало ли что может случиться
в походе, а собака была бы надежным защитником. Кроме того, собака могла
пригодиться и в пещере. Ведь там, вероятно, много подземных ходов — можно
заблудиться, а если рядом будет собака, то она легко найдет обратную дорогу.
Мальчики говорили и о том, что если они пойдут по проселочной дороге, то им
придется идти без собаки, так как эта дорога идет через деревню, а там местные
овчарки все равно прогнали бы чужую собаку.
При обсуждении достоинств и недостатков отдельных маршрутов речь шла
и о погоде. Ведь выбор маршрута в определенной мере зависит и от погоды.
Мальчики говорили, например, что они пойдут вдоль речки только в том случае,
если не будет сильного ветра. И это понятно. Ведь при сильном ветре чувствуешь
себя защищенным только в лесу: лес гасит ветер, там всегда тише, а у реки
сильный, пронизывающий ветер становится особенно неприятным.
Вот и все, что нам рассказала Лена. Ватсон углубился в размышления. Он
что-то чертил, что-то записывал и в конце концов удрученно заметил, что
полученных сведений слишком мало. Он так и сказал: «По этим сведениям
нельзя узнать, по какой дороге пойдут мальчики».
Холмс все это время молчал. А когда Ватсон сказал, что маршрут мальчиков
установить невозможно, он встал, подошел к барометру, который висел на стене,
немного подумал и сказал:
— А я думаю, что нам все же удастся установить, по какой дороге пойдут
мальчики. Давайте рассуждать вместе. Прежде всего заметим, что собаку
Баскервилей, по-видимому, увели именно Юра и Олег. Кроме них, это никто не
мог сделать. Во всяком случае, у нас нет никаких оснований, чтобы заподозрить
кого-либо другого. Поэтому будем считать, что собаку увели Юра и Олег.
Теперь используем все сведения, которые нам сообщила Лена. Нам будет
удобно записать эти сведения в виде формул, где
П — мальчики достали палатку.
С — мальчики взяли с собой собаку.
ПД — мальчики пошли по проселочной дороге.
ГЛД — мальчики пошли по горной лесной дороге.
ДР — мальчики пошли по дороге вдоль речки.
В — во время похода будет ветреная погода.
Заметим также, что если над введенными буквами будет стоять черточка, то
jj будет означать, что соответствующее утверждение не выполнено. Например,
П будет означать, что мальчики не достали палатку.
Теперь полученные нами сведения запишутся совсем просто:
1. Ц-^(ГЛД или ДР).
2. П -ИТД.
3. ПД-^.
4. ДР —В .
Кроме этих четырех утверждений, нам понадобится еще один из законов
логики, который называется законом контрапозиции. Этот закон
утверждает, что высказывания_вида А -+В и В -►Л_эквивалентны друг другу в том
смысле, что если верно А -+В , то верно и В -+А (и наоборот). Рассмотрим,
например, следующие два высказывания:
С-^Д_ (если погода солнечная, то нет дождя).
Д -^С (если идет дождь, то погода не солнечная).
Очевидно, оба высказывания истинны. Мне кажется, что этот пример
достаточно убедительно подтверждает справедливость закона контрапозиции.
Приступим теперь к рассуждениям. Начнем с условия (3) ПД ->-С . По закону
контрапозиции получим С -ИЛ Д . А так как С истинно (мальчики взяли с собой
собаку), то истинно и П Д , т. е. мальчики не пошли по проселочной дороге.
Сейчас мы можем воспользоваться условием (2) П ->-ПД. Применив закон
контрапозиции, получим П Д ->-П. Но так как П Д истинно, то истинно П.
Таким образом, мы узнали, что мальчики достали палатку.
Теперь рассмотрим условие (1) П -►ГЛД или ДР. Мы знаем, что П истинно.
Значит, истинно (ГЛД или ДР). Это значит, что мальчики пойдут либо по горной
лесной дороге, либо по дороге вдоль речки. Но какую из этих дорог они выберут,
пока сказать нельзя. Осталось, правда, условие (4), но как им воспользоваться,
это далеко не ясно.
Ватсон, по-видимому, решил, что это условие никакой роли не играет,
а других условий нет, поэтому он и сказал, что сведений, полученных от Лены,
маловато. Это верно. Если не воспользоваться условием (4), то однозначного
ответа получить нельзя.
Но условием (4) все же можно воспользоваться. Для этого надо только
вспомнить, что резкое изменение атмосферного давления сразу же приводит
к ветреной погоде и чем больше скачок давления, тем сильнее ветер. Это
соображение и заставило меня подойти к барометру. Я увидел, что стрелка
сильно отклонилась, и пришел к выводу, что скоро подымется ветер. Кроме того,
сейчас, во время заката, небо стало совсем багровым, а это тоже признак
ветреной погоды. Значит, завтра будет сильный ветер. Таким образом, мы
установили, что В истинно. Теперь можно воспользоваться условием (4) ДР -+В .
Из этого условия по закону контрапозиции получим В -^Д Р . А так как В истинно,
то истинно и Д Р . Значит, мальчики не пойдут по дороге вдоль речки. Но они не
пойдут и по проселочной дороге. (Это мы установили раньше.) Остается только
одна возможность: мальчики пойдут по горной лесной тропе. Задача решена. Мы
узнали, какой маршрут выберут мальчики. Кроме того, попутно нам удалось
установить, что у них есть палатка.
Холмс был очень доволен, что ему удалось решить еще одну трудную задачу.
Мы тоже радовались его успеху. Но больше всех радовалась Лена. Она сказала,
64
что начатое нами расследование дела о собаке Баскервилей и о таинственной
пещере надо довести до конца. По ее мнению, обследованием пещеры должны
были бы заняться именно мы. Она так и сказала:
— Юра и Олег вряд ли справятся с этим делом. У них нет даже плана
пещеры, а у меня такой план есть. Я его нашла в бумагах дедушки и с тех пор все
время мечтала о том, чтобы попасть в пещеру. Чтобы осуществить эту мечту,
я рассказала Юре и Олегу о существовании таинственной пещеры. Я надеялась,
что они возьмут меня с собой, но бессовестные мальчишки обманули меня.
Вообще-то я догадывалась, что в последний момент они уйдут без меня.
Поэтому я им и не показала план пещеры. Впрочем, план им все равно не помог
бы. Они — бестолковые обманщики. А вы мне нравитесь. Вы не подведете.
И если вы согласны, то мы можем все вместе отправиться в поход и начать
обследование пещеры.
Эта идея всем очень понравилась, и мы сразу же начали обсуждать план
похода. Ватсон сказал, что, по его мнению, нам следует идти по пятам Юры
и Олега. Тогда мы могли бы все время наблюдать за ними. Но Лена решительно
отвергла эту идею: «Что тут интересного? Мы и так все знаем. Поэтому
наблюдать за мальчиками не только не интересно, но даже бессмысленно».
Холмс поддержал Лену. Он сказал, что мы не должны идти по следам
мальчиков, а должны опередить их. Это легко сделать, если мы поедем на
велосипедах по проселочной дороге. Тогда мы доберемся до Отвесных Скал всего
за один день, а Юре с Олегом потребуется два дня. Значит, мы опередим их на
целые сутки. Кроме того, этот план имеет еще и то преимущество, что мы вечером
будем уже в пещере и нам не нужна будет палатка.
План Холмса всем очень понравился, и на следующий день рано утром мы
уже были в пути. Предсказание Холмса сбылось: дул сильный ветер. Но
65
к счастью, ветер дул нам в спину, и мы быстро доехали до деревни. Там мы
устроили небольшой привал, пообедали в местной столовой и поехали дальше.
Вскоре мы благополучно добрались до цели нашего путешествия. Впереди
виднелись Отвесные Скалы, у подножия которых должен был находиться вход
в пещеру. Поднявшись по узенькой тропинке на возвышенность, мы оказались на
лужайке у основания скал. Место было открытое, и ветер был особенно
неприятен, но в углублении между двумя скалами мы нашли место, защищенное
от ветра. Здесь было тихо и уютно. Рядом рос густой кустарник, а на опушке
было много цветов. Мы стали собирать цветы, а Лена сплела каждому из нас
большой венок из этих цветов. Потом мы решили устроить соревнование, кто
найдет самый красивый цветок. В поисках такого цветка мы раздвинули кусты
и увидели, что за кустами находится довольно большой грот. Войдя в него, мы
увидели на стенах много надписей: «Здесь был Вася», «Коля+Оля=любовь»
и т. д. В глубине грота была черная дыра — это было начало подземного хода,
который, по-видимому, вел в ту самую таинственную пещеру, которую мы
собирались обследовать.
Мы достали из своих рюкзаков электрические фонарики и стали
разглядывать начало подземного хода. В это время Ватсон заметил, что на гладкой стене
над началом этого хода была довольно примечательная надпись:
Направо колодец, налево тупик, а прямо пред вами обвал и родник
Нам, конечно, захотелось проверить, соответствует ли эта надпись
действительности, и мы двинулись вперед. Пройдя метров десять, мы оказались
у развилки — дальше было три хода. Ход направо действительно приводил
к колодцу, ход налево заканчивался тупиком, а ход прямо приводил к месту, где
дальнейший путь был прегражден грудой обвалившихся камней. Сквозь эти
камни просачивались тоненькие струйки родника, которые тут же уходили
в почву. Все было точно так, как предсказывала надпись.
Но где же пещера? Мы были разочарованы. Одна только Лена не теряла
уверенности в существовании пещеры. Она говорила: «Раз у дедушки был план
пещеры, то должна быть и сама пещера. Надо искать эту пещеру, а не впадать
в панику».
Пристыженные Леной, мы решили внимательно рассмотреть план пещеры.
Однако изучение этого плана ничего нового не дало. На плане была изображена
только сама пещера, вернее, ее контур, а как попасть в эту пещеру, это Ленин
дедушка на карте не показал. Мы опять понуро замолчали, и тогда Лена
вспомнила, что на обратной стороне плана имеются какие-то непонятные записи,
которые, возможно, подскажут, как попасть в пещеру. Она показала нам эти
записи, и мы прочитали следующее:
1. Ружье брать с собой не надо, но надо взять собаку или лестницу
2. Собаку брать с собой не надо, но надо взять ружье или лестницу
3. Если брать с содой ружье, то не нужны ни собака, ни лестница.
Ватсон сказал, что эти высказывания противоречат друг другу. К тому же
было совершенно непонятно, какое они могут иметь отношение к пещере. Лена
тоже призналась, что все ее попытки понять скрытый смысл этих высказываний
так и не увенчались успехом. Холмс долго молчал, а потом сказал:
— Попробуем все же разобраться в этом деле. Нам будет удобнее
рассуждать, если все три высказывания будут записаны в виде формул, а для
66
этого нужны соответствующие обозначения. Поэтому начнем с того, что введем
эти обозначения: С — надо взять собаку, Р — надо взять ружье, Л — надо взять
лестницу. Теперь наши высказывания запишутся в виде следующих формул:
1. Р~, но (С или Л). 2. С", но (Р или Л). 3. Если Р, то (С" и Л").
В этих формулах встречаются так называемые логические связки: «или», «но»,
«если... то...». Для обозначения этих связок обычно используются символы:
V (или), • (но), -►- (если..., то...).
С помощью этих символов наши формулы примут более простой вид:
1. Р~ • (С V Л). 2. С" • (Р V Л). 3. Р-^ (С" • Л").
Нам понадобится еще один из законов _логики, который утверждает, что
формула вида А -+В равносильна формуле Л V В. С учетом этого замечания
формула (3) примет вид: Р V (С -Л).
Раскроем геометрический смысл приведенных формул. Для этого нарисуем
куб (рис. 32) и обозначим его грани: Л (правая грань^Л (левая грань),
Р (верхняя грань), Р (нижняя грань), С ^передняя грань), С _(задняя грань).
Грань Л означает Л истинно, а грань Л_ — Л ложно (т. е. Л истинно). Общее
ребро граней Л и С обозначим через ЛС , так как на этом ребре истинно и Л,
и С . Аналогичным образом обозначим и все остальные ребра. Каждую вершину
куба обозначим тремя буквами — именами тех трех граней, которые сходятся
в этой_вершине. Вершина С РЛ, например, является точкой, в которой сходятся
грани С , Р и Л. Название этой вершины означает С ложно, а Р и Л истинны.
Теперь нетрудно найти геометрическое толкование простейших формул.
С V Л, например, обозначает фигуру, состоящую из двух смежных граней
(передней и правой), а СЛ обозначает общую часть этих граней, т. е. ребро, по
которому они пересекаются.
Заметим еще, что каждое ребро есть объединение двух вершин (концов этого
ребра). Например, СЛ=СЛРУСЛР .
Каждая грань есть объединение четырех вершин^ (вершин
соответствующего квадрата). Например, Л=СЛРУС ЛРУС ЛР УСЛР_. Это равенство
является расшифровкой утверждения,
что Л истинно: в правой его части
перечислены все те (и только те) случаи,
когда Л истинно.
Поэтому если мы хотим выделить
какую-нибудь грань, например Л, и тем
самым отметить, что Л истинно, то для
этого достаточно отметить все те случаи,
когда Л истинно, т. е. отметить на
рисунке те четыре вершины, которые
принадлежат грани Л.
Аналогичным образом дело обстоит
и с ребрами: чтобы выделить ребро,
достаточно отметить два его конца.
Вернемся теперь к нашим формулам.
Для каждой из них найдем ее
геометрический аналог.
САР
C/JP
C/IP
СЛР
Рис. 32
67
Первая формула Р • (CVJ1)
означает, что мы должны найти общую часть
двух фигур, одной из которых является
нижняя грань Р , а другой —
объединение граней С и Л. Нетрудно видеть, что
общей частью этих фигур является
ломана^ состоящая из двух ребер:
СР УЛР . Чтобы выделить на рисунке
эту ломаную, отметим три ее вершины
черными окружностями._Эт2ши_верши-
нами будут СЛ Р , СЛР , С ЛР .
Геометр_ическим аналогом второй
формулы С • (РУЛ) тоже является
ломаная, состоящая из двух ребер:
С PVC Л. Вершины этой ломаной
отметим красными окружностями.
Аналогом третьей формулы
PV (С Л ) является фигура, состоящая из
нижней грани Р и бокового ребра С Л .
Все вершины этой фигуры отметим
маленькими черными кружочками.
Теперь нетрудно разгадать тайну
трех высказываний. Для этого
достаточно заметить, что у всех этих трех
высказываний должно быть что-то
общее. Это общее, как нетрудно
догадаться, состоит в том, что все они
истинны.
Когда истинно каждое из этих
высказываний в отдельности, мы уже
знаем. Первое высказывание истинно
в тех трех случаях, которые отмечены на
рисунке черными окружностями. Второе
высказывание тоже истинно в трех
случаях — это те случаи, которые на
рисунке отмечены красными
окружностями. А третье высказывание истинно
в пяти случаях, отмеченных черными
кружочками. Значит, чтобы узнать,
в каких случаях истинны все три
высказывания, надо просто выбрать те
вершины, которые отмечены всеми
тремя способами. На чертеже есть только
одна такая вершина^ это СЛР;
смысл же формулы С ЛР заключается
в том, что нужна лестница, а собака
и ружье не нужны.
Таким образом, задача решена. Это
было еще одной победой Холмса. Но
особого удовлетворения мы не
почувствовали, так как найденное Холмсом
решение приводило к такому трудному
вопросу, на который никто не мог
ответить: зачем нужна лестница?
Мы просто представить себе не
могли, где бы могла понадобиться
лестница. В подземных ходах она
была не нужна, а снаружи она тоже
была не нужна, так как на
Отвесные Скалы можно было подняться с
другой стороны: там был пологий подъем.
Так зачем же нужна лестница? Весь
остаток вечера мы только об этом
и говорили, но нужного ответа так и не
нашли. Наконец Холмс сказал: «Утро
вечера мудренее. Давайте устраиваться
на ночлег».
Рис. 33
Мы переночевали в гроте, а на слелующий день с самого утра занялись
обследованием окрестностей. Но главное, что нас занимало, это все тот же
вопрос: зачем нужна лестница? Ответ на этот вопрос мы не нашли, но зато
сделали небольшое географическое открытие: мы нашли второй грот — более
вместительный, более удобный, рядом с речкой. Мы сразу же перебрались в этот
грот, а потом решили еще раз осмотреть подземные ходы.
Когда мы подошли к колодцу, Лена вдруг воскликнула: «Ой, ребята! Я,
кажется, нашла разгадку: лестница нужна, чтобы спуститься в колодец».
— В самом деле, это почти очевидно! Как же мы не догадались? Ведь
колодец — это единственное место, куда можно попасть только с помощью лестницы.
Ватсон предложил сделать вереиочную лестницу. Веревки у нас были, и через
час лестница была готова. Привязав один конец лестницы к выступу скалы, мы
сбросили другой конец в колодец. Первой по лестнице хотела спуститься Лена.
Это она догадалась о назначении лестницы, и ей, конечно, принадлежало право
быть первой. Никто из нас не возражал, и не только потому, что мы хотели быть
джентльменами, но и потому, что мы были уверены, что в колодце ничего,
кроме воды, нет. Во всяком случае, сверху мы ничего особенного не увидели.
Каково же было наше удивление, когда Лена вдруг закричала: «Ребята!
Здесь есть боковой ход». Через несколько минут мы все были уже внизу и,
освещая дорогу электрическими фонариками, двинулись вперед. Сначала мы
шли прямо, потом начались ступеньки, и мы стали подниматься вверх. Мы шли
медленно. Вдруг ход неожиданно кончился, и мы оказались в пещере. Это была
именно та пещера, которую мы искали: она в точности соответствовала плану,
который нам показывала Лена (рис. 33).
Мы медленно обошли пещеру, осматривая каждый выступ. На одной из
стен мы обнаружили старую надпись Совместными усилиями нам удалось ее
прочитать. Текст был довольно странный:
69
Надпись была загадочной и непонятной. Сразу же возник целый ряд
вопросов. Взять хотя бы начало надписи — что значит «из 11 выбери 2»?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы положили перед собой план пещеры
и стали внимательно его рассматривать. Ответ быстро был найден: конечно,
имелись в виду 11 вершин того многоугольника, который изображал на плане
контур пещеры.
Следующий вопрос был труднее. Это был даже не вопрос — это была задача.
Нужно было выбрать две такие вершины, из которых можно было бы осветить
всю пещеру. Возможно ли это? И если возможно, то будет ли решение
единственным? А если окажется, что существует несколько решений, что делать
тогда? Ведь это привело бы к полной неразберихе! К счастью, мы скоро
убедились, что задача имеет только одно-единственное решение. Рассматривая
план пещеры и перебирая различные варианты, мы пришли к выводу, что
подходят только точки МиГ.
Теперь нам предстояло решить последнюю задачу: на ломаной,
соединяющей точки МиГ, надо было найти такую вершину X, чтобы на линиях ХМ и ХГ
было бы одинаковое число вершин.
Но ломаных, соединяющих точки МиГ, было две: МЛКАБВГ и МЗЖЕДГ.
На первой из них вершину X мы быстро нашли: это была точка А. Мы убедились,
что линии АКЛМ и АБВГ содержат одинаковое число вершин. На второй
ломаной МЗЖЕДГ средней точки не было. Значит, искомой точкой могла быть
только вершина А.
Надпись утверждала, что в точке А мы находимся у цели. У какой цели? Что
имеется в виду? Мы тщательно стали осматривать и обстукивать стены
и выступы у точки А. В одной из трещин между скалами мы нашли лом. Ватсон
заметил, что лом часто используется как рычаг для перемещения тяжелых
предметов. Поэтому мы стали искать тот предмет, для перемещения которого
и нужен был лом. Поиск был непродолжительным. На полу лежала большая
плита, которая сразу же привлекла наше внимание. Других «подозрительных»
предметов не было. Мы взялись за лом и общими усилиями сдвинули плиту
с места. Под плитой оказалась яма, в которой лежали мешочки с белым
порошком. Лена достала один из этих мешочков, открыла его и хотела
попробовать содержимое на вкус, но Ватсон отобрал у нее мешочек и сказал, что
белый порошок, возможно, очень ядовит и поэтому на вкус его пробовать нельзя.
Затем Ватсон сам занялся исследованием порошка. Он пришел к выводу, что это,
вероятно, наркотик.
Такое открытие было для нас совершенно неожиданным. Мы сильно
встревожились. Ведь сюда могли прийти хозяева этого склада наркотиков,
а встреча с нами вряд ли обрадовала бы их. Нужно было немедленно уходить.
Мы поставили плиту на место и стали выбираться из подземелья: спустились
по ступенькам к колодцу, поднялись по веревочной лестнице наверх, отцепили
и забрали ее с собой и через знакомый ход выбрались наружу.
Мрак и сырость остались позади. Мы снова увидели голубое небо,
зеленые леса, речку, цветы. День был великолепный. Солнце успело уже высоко
подняться. После завтрака прошло много времени, и мы почувствовали, что
сильно проголодались. За обедом мы продолжали обсуждать события дня, и тут
мы вспомнили про Юру и Олега. Ведь они должны скоро прийти!
Мы поднялись на пригорок и стали ждать прибытия «конкурирующей
фирмы». Вскоре на дороге действительно показались Юра и Олег. Впереди
70
бежала собака Баскервилей. Мы встретили их оглушительным «ура!». А потом
стали выкрикивать приветствия: «Привет бродягам!», «Привет похитителям
собака Баскервилей!», «Кладоискателям — ура!».
Юра с Олегом были совершенно ошеломлены: какие-то незнакомые мальчики
встречают их насмешливыми приветствиями. Ничего подобного они, конечно, не
ожидали. Но когда они увидели Лену, они немного успокоились. Потом начались
взаимные расспросы. Мы рассказали Юре и Олегу, что нашли пещеру, но как
попасть в эту пещеру, мы им не сказали.
— Попробуйте сами. Это совсем просто. Собака Баскервилей вам поможет.
После этого началась потеха. Юра с Олегом искали вход в пещеру, а мы
наблюдали за ними, предлагали неосуществимые планы, подсказывали
нереальные фантастические идеи и хохотали при виде их абсолютной
беспомощности.
Время пролетело быстро, наступил вечер, и мы все вместе отправились
к большому гроту, который мы нашли накануне и который теперь стал нашим
пристанищем. После ужина мы спокойно легли спать. Волноваться было
незачем: нас охраняла собака Баскервилей. Но спать не хотелось. Мы
переговаривались, прислушивались к шорохам ночного леса, смотрели на
звездное небо.
Вдруг собака Баскервилей тихонько заскулила, потом она вскочила
и тревожно стала смотреть в сторону тропы, ведущей на пригорок к Отвесным
Скалам. Тревога передалась и нам. Мы прицепили поводок к ошейнику собаки
и напряженно стали прислушиваться к ночным звукам. Наступила полная
тишина. Через некоторое время на тропинке появился человек. Собака натянула
поводок и двинулась вперед. Мы последовали за ней. Скрываясь в тени деревьев
71
и ступая почти бесшумно, мы старались остаться незамеченными. Между тем
человек подошел к скалам, нагнулся, достал откуда-то небольшой сверток
и направился к гроту. Мы двинулись за ним. Когда мы подошли к гроту, человек
уже углубился в подземный ход. Мы увидели, как он идет, освещая себе дорогу
электрическим фонариком. Дойдя до развилки, человек повернул направо
в сторону колодца. Мы не хотели потерять его из виду и быстро добежали до
развилки. С этого места мы снова увидели незнакомца. Он стоял возле колодца
спиной к нам и разворачивал свой сверток. Электрический фонарик лежал
справа на краю колодца, и мы отчетливо видели все, что он делает. Раскрыв
сверток, незнакомец достал из него веревочную лестницу и прикрепил один ее
конец к краю колодца.
В это время кто-то из нас нечаянно задел рыхлый выступ стены. Посыпались
камни. Тишину подземелья наполнил грохот обвала. Человек у колодца
вздрогнул, повернулся и выхватил из кармана пистолет. Он смотрел в нашу
сторону, но ничего не видел, потому что мы стояли в кромешной тьме. Мы
замерли от страха. И тут снова посыпались камни. Человек крикнул: «Стой!» —
но выстрелить не успел. На него ураганом налетела собака Баскервилей.
Человек упал на край колодца, потерял равновесие, выронил пистолет и полетел
вниз. Мы услышали дикий крик, прерванный всплеском воды на дне колодца.
Между тем собака Баскервилей, перепрыгнув через упавшего человека,
оказалась на маленькой площадке за колодцем. Она повернулась и прыгнула
назад, но при этом она задела электрический фонарик, лежавший на краю
колодца. Фонарик полетел вниз, вдогонку своему хозяину, и исчез в глубине
колодца. Стало совсем темно. Из колодца послышались страшные проклятия
и ругательства. Лена зажгла свой фонарик. Мы подошли к колодцу и посмотрели
вниз. Там, на большой глубине, отфыркиваясь и все еще ругаясь, плавал наш
незнакомец. Теперь он был не страшен: пистолета у него не было и выйти из
колодца он не мог — это было совершенно невозможно. Нам стало жаль этого
человека, и мы посветили ему, чтобы он мог выбраться на выступ, у которого
начинался боковой ход в пещеру. Потом мы пожелали ему спокойной ночи,
подобрали пистолет и веревочную лестницу и выбрались из подземного хода. Была
глубокая ночь, и надо было возвращаться к большому гроту и ложиться спать.
Мы так и сделали, но спать не хотелось. Мы делились впечатлениями,
вспоминали разные подробности ночного происшествия, радовались, что нас
выручила собака Баскервилей. Если бы не она, то все могло бы кончиться совсем
иначе — страшно даже подумать.
Потом мы стали обсуждать главный вопрос: что делать дальше? Ведь
незнакомец, для которого таинственная пещера на дне колодца стала теперь
тюрьмой, несомненно, имеет самое прямое отношение к складу наркотиков. Мы
пришли к выводу, что обо всем надо будет сообщить в милицию. За разговором
мы успокоились, нервное напряжение исчезло, и мы незаметно уснули.
Утром мы приняли такое решение: Юра с Олегом поедут на велосипедах
в деревню и сообщат обо всем в милицию, а все остальные останутся здесь.
После отъезда Юры и Олега время тянулось ужасно медленно. Ничего нового не
произошло. В полдень мы пообедали. Мы не забыли и нашего пленника: на
веревочке мы спустили ему сверток с бутербродами. Потом опять наступило
тягостное ожидание. Но ждать пришлось недолго.
Вскоре мы увидели вдали милицейскую машину. Она быстро приближалась
и через несколько минут подъехала к нам. На крыше машины лежали два
72
велосипеда, и мы сразу догадались, что вместе с милиционерами и
следователями приехали и наши друзья — Юра и Олег.
Работники милиции поздоровались с нами и попросили показать пещеру. Мы
передали им пистолет и веревочную лестницу, принадлежавшие нашему
пленнику, и пошли к маленькому гроту, в котором начинался подземный ход.
Пройдя по этому ходу до колодца, мы прикрепили там нашу лестницу,
спустились вниз, вошли в боковой ход, поднялись по ступенькам и попали
в пещеру. Там милиционеры арестовали незнакомца, а мы показали им склад
с наркотиками. Закончив осмотр пещеры, мы снова поднялись наверх.
Следователь попросил нас рассказать подробно о всех наших приключениях.
Рассказ получился интересный. Все милиционеры и следователи внимательно
слушали нас. Потом старший следователь сказал, что мы — молодцы и что нас
отвезут домой на машине: мы это вполне заслужили.
Мы тотчас же принялись за сборы: положили на крышу машины наши
велосипеды, погрузили все наши пожитки в багажник и устроились в салоне
машины. Собаку Баскервилей мы, конечно, не забыли. Она растянулась на
коврике в середине салона. Попрощавшись с милиционерами, мы поехали домой.
Так закончилось это необычное путешествие к таинственной пещере
у Отвесных Скал. Это было последнее приключение, которое произошло в нашем
классе. На этом заканчивается и мое повествование о Шерлоке Холмсе и его
друзьях.
Надеюсь, что эта книга вам понравилась и вы получили удовольствие, решая
приведенные в ней задачи.
В заключение хочу заметить, что если вас заинтересовали задачи, о которых
речь шла в послесловии, то более подробно вы сможете ознакомиться с методами
их решения по книге: Мадер В. В. Школьнику об алгебре логики.—М.:
Просвещение, 1991.
УКАЗАНИЯ.
РЕШЕНИЯ.
ОТВЕТЫ.
Задачи 1 — 12
1. Сначала надо сделать рисунок, изображающий сложившуюся ситуацию.
На этом рисунке будет пять точек. Некоторые точки будут соединены между
собой отрезками. Концы каждого отрезка изображают один из вариантов
предполагаемых костровых. Костровых было два. В четырех из названных
вариантов правильно было названо только по одному имени. Значит, надо искать
две точки, которые вместе служили бы концами ровно четырех отрезков. Эти
точки не могут быть соединены между собой, так как не было ни одного
варианта, в котором оба костровых были бы названы правильно. Этими томами,
как видно из рисунка, могут быть только А и С. При этом выполняется последнее
условие, согласно которому только в одном варианте оба костровых были
названы неверно. (Этому варианту, когда оба костровых были названы неверно,
соответствует отрезок ДГ.) Ответ. Костровыми были Андрей и Сергей.
2. Редколлегия состояла из двух человек. В пяти предположениях было
правильно названо по одному имени. Значит, на рисунке, изображающем данную
ситуацию, надо выбрать две точки, которые вместе служили бы концами пяти
отрезков. Этими точками будут В и Д. При этом будут выполнены и остальные
условия задачи. Ответ. Газету выпустили Володя и Даша.
3.0 т в е т . Приобретение билетов в театр было поручено Андрею и Сергею.
4. Рассмотрим сначала первые три утверждения. В первом утверждении
сказано, что Лена сидела справа от Гали. Это можно записать так: Г — Л.
Записав остальные два утверждения таким же образом, получим следующую
картину: Г — Л, Л — Н, Г — Н. По условию задачи одно из этих утверждений
неверно. Допустим, что неверно первое. Тогда второе и третье должны быть
74
истинными. Но это невозможно, так как они противоречат друг другу:
получается, что соседками Нины слева были и Лена, и Галя. Значит, первое
утверждение истинно. Легко проверить, что второе утверждение тоже не может
быть ложным: предположение, что оно ложно, а остальные два истинны, тоже
приводит к противоречию. Значит, ложно третье утверждение, а первое и второе
истинны. Следовательно, остается Г — Л, Л — Н, или
Г —Л—Н. (I)
Теперь рассмотрим следующие три утверждения: А — В, А —Д, Д — В.
Легко проверить, что ложным не может быть ни первое, ни третье. Значит,
ложно второе, а первое и третье истинны. Таким образом, остается
А-В-Д. (2)
Теперь на основании условий (1) и (2) мы приходим к следующему
ответу: расположение девочек за круглым столом см на рисунке 34.
5. Условия задачи можно проиллюстрировать рисунком 35.
Предположение Володи можно коротко записать так: Л1, В2. Это
предположение изображено на рисунке двумя простыми линиями. Остальные
предположения обозначены линиями другого вида. Каждое предположение верно
только наполовину. Значит, из каждой пары одинаковых линий нужно
оставить только одну, а другую стереть.
Рассмотрим пару Д1, Г4. Допустим сначала, что истинно Д1, а Г4 ложно. Но
если Д1 истинно, то Д2 ложно (так как Даша не могла занять первое и второе
места одновременно). Если же Д2 ложно, то второй компонент этой пары, т. е.
ВЗ, является истинным. Рассуждаем дальше: если ВЗ истинно, то В2 ложно, так как
Вера не могла занять одновременно второе и третье места. Если же В2 ложно, то
второй компонент этой пары, т.е. Л1, должен быть истинным. Получилось
противоречие: мы допустили, что истинно Д1, и пришли к выводу, что Л1 тоже
истинно, чего не может быть (Даша и Лена не могли одновременно занять
первое место, так как все участницы соревнования на самом деле заняли разные
места). Полученное противоречие говорит о том, что допущение было
неверным. Значит, истинным должно быть Г4. Если же Г4 истинно, то получается
следующая цепочка умозаключений: Г4 истинно -> Д1 ложно -> Л1 истинно ->
Л5 ложно -►АЗ истинно -> ВЗ ложно -> Д2 истинно. Таким образом, на
соревнованиях места распределились следующим образом: Л1, Д2, A3,
Г4. Теперь ясно, что пятое место досталось Вере. Ответ. Первое место заняла
Лена, второе — Даша, третье — Ася, четвертое — Галя, а пятое — Вера.
Рис. 35
Ли В
Лнет
Л
Рис. 36
Рис. 37
6. Условия задачи можно изобразить схематически (рис. 36).
Предположение, чтоСурен из Еревана, а Гурам из Тбилиси, можно записать
следующим образом: СЕ, ГТ. На рисунке это предположение отмечено двумя
простыми линиями. Известно, что каждое предположение верно только
наполовину. Значит, либо верно СЕ, а ГТ ложно, либо, наоборот, ГТ истинно,
а СЕ ложно. Рассуждая так же, как и в задаче 5, можно убедиться, что
предположение ГТ истинно приводит к противоречию. Значит, истинно СЕ. Если
же СЕ истинно, то цепочка соответствующих умозаключений приведет к выводу,
что истинны также АБ, ОТ и ГС.
Ответ. Сурен из Еревана, Арташ из Баку, Отар из Тбилиси, а Гурам
из Сочи.
7. Условия задачи изобразим с помощью рисунка 37.
В каждой из изображенных тут пар истинным является только один из
компонентов. Рассмотрим пару (Л, 10), которая означает, что у Гурама есть
лодка и он учится в десятом классе. Допустим, что 10 истинно, а Л ложно. Но
если 10 истинно, то 8 и 9 ложны, так как если Гурам учится в десятом классе,
то он, конечно, в это время не может учиться ни в восьмом, ни в девятом классе.
Если же утверждения 8 и 9 ложны, то вторые компоненты этих пар истинны,
т.е. истинно (Л и В) и истинно (Л нет). Получилось противоречие: истинно
Л (лодка есть) и истинно Л нет (лодки нет). Значит, верным должен быть
противоположный случай: 10 ложно, а Л истинно. Тогда получим такую цепочку
умозаключений: Л истинно -► (Л нет) ложно -+9 истинно -+8 ложно ->(Л и В)
истинно. Ответ. Гурам учится в девятом классе, и у него есть лодка и
велосипед.
8. Изобразим секции кружочками, а спортсменов —
отрезками. Тогда ситуацию, описанную в задаче, можно
представить с помощью схемы, показанной на рисунке 38.
Из рисунка видно, что секций было шесть; каждую
секцию посещало 5 спортсменов, любые две секции имели
одного-единственного общего представителя, и каждый
спортсмен посещал ровно две секции. Легко подсчитать,
что спортсменов было 15.
9. Условия задачи изобразим с помощью схемы (рис.
39).
Каждое из пяти высказываний состояло из двух частей,
из которых одна истинна, а другая ложна. Первое
Рис. 38 высказывание можно сокращенно записать в следующем
76
Рис. 39
Рис. 40
виде: ШМ, СХ. Остальные условия записываются аналогично. На рисунке
каждое высказывание изображено двумя линиями одинакового вида.
Рассмотрим высказывание ШМ, СХ. Оба компонента этого высказывания изображены
на рисунке обыкновенными линиями. По условию истинно либо ШМ, либо СХ.
Допустим сначала, что истинно ШМ. Но если истинно ШМ, т. е. если
фамилия Шалвы — Мамардашвили (а у всех ребят фамилии разные), то
у Отара и у Сурена должны быть другие фамилии. Значит, ОМ ложно и СМ
ложно. Но если ОМ и СМ ложны, то вторые компоненты соответствующих пар
должны быть истинными. Значит, истинно АБ и истинно AT. Получилось
противоречие (АБ и AT одновременно истинными быть не могут).
Значит, остается второй случай: истинно СХ. Этот случай приводит
к следующей цепочке умозаключений: (СХ) истинно -> (СМ) ложно -► (AT)
истинно -► (ОТ) ложно -> (ГЧ) истинно -> (АБ) ложно-»- (ОМ) истинно.
Таким образом, установлено следующее: СХ, AT, ГЧ, ОМ, ШБ. Ответ.
У знакомых Холмса были следующие фамилии:
Имя
Сурен
Арташ
Гурам
Отар
Шалва
Фамилия
Хачатурян
Тургунян
Чочуа
Мамардашвили
Бицадзе
10. Молодых людей обозначим первыми буквами их имен и нарисуем пять
точек, изображающих этих людей (рис. 40).
Сергей, Николай и Олег знакомы между собой. Поэтому соответствующие
точки соединим между собой (с помощью таких отрезков мы будем обозначать
наличие знакомства). Леонид знает только одного. Значит, из точки Л выходит
только один отрезок (второй конец этого отрезка пока неизвестен). Петр знаком
со всеми, кроме одного. Но кроме самого Петра, было еще четыре человека.
Значит, Петр знаком с тремя. Следовательно, из точки П выходят три отрезка
(вторые концы этих отрезков тоже пока неизвестны). Все это изображено на
рисунке 40.
Заметим теперь, что по условию задачи Антонов знаком только с Петром. Из
77
Дроздов
П
,0
Рис. 41
видно, что единственный
*/7
Антонов
Рис. 42 Антонов
рисунка же видно, что единственный человек, имеющий только одного
знакомого,— это Леонид. Значит, Антонов — это Леонид и он знаком только
с Петром. С учетом этих уточнений наш рисунок примет следующий вид
(рис. 41).
Известно еще, что Сергей незнаком с Дроздовым. А из рисунка видно, что
точка С, изображающая Сергея, не соединена только с точками П и Л. Значит,
Дроздов — это либо Петр, либо Леонид. Но так как Леонид — это Антонов, то
Дроздовым может быть только Петр. Поскольку же Сергей незнаком
с Дроздовым, а Дроздов — это Петр, то точки С и П отрезком соединить нельзя.
Следовательно, отрезки, выходящие из точки П, должны заканчиваться в точках
Н и О.
С учетом этих новых сведений получим и новый рисунок (рис. 42).
Заметим теперь, что Борисов знаком только с двумя. А на рисунке 42 есть
только одна точка, из которой выходят ровно два отрезка,— это точка С. Значит,
Сергей — это Борисов.
Обратимся теперь к последнему условию, в котором говорится, что Николай
и Иванов знают друг друга. Отсюда следует, что это разные люди и, значит,
Николай —это не Иванов. Но тогда остается только одна возможность:
Николай — это Васильев, а Олег — это Иванов. Ответ . У молодых людей были
следующие фамилии:
Имя
Леонид
Сергей
Николай
Олег
Петр
Фамилия
Антонов
Борисов
Васильев
Иванов
Дроздов
11. Сделаем рисунок, на котором буквами А, Б, В, С обозначены лошади
(А — Алтай, Б — Буран, В — Верный, С — Серый). Над этими буквами
нарисуем кружочки, которые будут обозначать хозяев этих лошадей. Например,
кружочек над буквой А обозначает хозяина Алтая. Чтобы отметить, кто на какой
лошади поехал, проведем соответствующее линии. Известно, например, что
хозяин Серого поехал на Алтае, а хозяин Алтая — на Верном. С учетом этого
условия получим рисунок 43.
Известно еще, что Михаил поехал на Буране. В какой же кружочек поместить
Михаила? Крайние кружочки не годятся, так как люди, изображенные этими
78
Рис. 43
Рис. 44
кружочками, едут не на Буране. Кружочек над Бураном тоже не подходит, так
как это означало бы, что Михаил поехал на своей собственной лошади, а по
условию все ребята ехали не на своих лошадях. Остается только одна
возможность: Михаила надо поместить в кружочек над буквой В. А так как
Михаил ехал на Буране, то надо провести соответствующую линию. Теперь ясно,
что кружочек над буквой Б надо соединить с С. Мы получим новый, более точный
рисунок (рис. 44).
Заметим теперь, что Кирилл ехал на лошади Михаила. А из рисунка 44 видно,
что лошадь Михаила — это Верный. Значит, Кирилл ехал на Верном.
Следовательно, в кружочек, соединенный с буквой В, надо поместить Кирилла.
Теперь из рисунка видно, что лошадь Кирилла — это Алтай. Но по условию на
лошади Кирилла ехал Николай. Значит, Николай ехал на Алтае. Следовательно,
Николая надо поместить в кружочек, соединенный с буквой А. Остается
заполнить последний кружочек, а для этого остается только одна возможность:
туда надо поместить Ивана. Ответ. Хозяин Алтая — Кирилл, хозяин
Бурана — Иван, хозяин Верного — Михаил, хозяин Серого — Николай.
12. Решение задачи начнем опять с рисунка, на котором верхний ряд букв
обозначает преподаваемые предметы, а нижний ряд — самих преподавателей
(рис. 45).
Чтобы на этом рисунке было видно, какой преподаватель какие предметы
преподает, соединим соответствующие буквы отрезками прямых. Начнем
с Соколова. Известно, что Соколов, учитель химии и учитель физики занимаются
спортом. Отсюда следует, что Соколов не преподает ни химию, ни физику. Кроме
того, известно, что Соколов не преподает ни английский язык, ни математику.
Значит, Соколов преподает два оставшихся предмета: историю и литературу.
Поэтому соединим букву С с буквами И и Л. Теперь заметим, что Коршунов
всегда принимает участие в споре учителя литературы с учителем английского
языка. Но учитель литературы, как мы установили (и как видно из рисунка),—
это Соколов. Значит, в споре участвуют Коршунов, Соколов и учитель
английского языка. С другой стороны,
кроме Коршунова и Соколова, в школе ^. ^.
работает еще и Воронов. Следователь- ку ч£/
но, учитель английского языка — это
Воронов, и мы можем на нашем рисунке
провести соответствующую линию. Об- ^^
ратим теперь внимание на следующие (к)
два условия: учитель химии старше
учителя истории, а Коршунов — самый Рис. 45
молодой. Но если учитель химии старше кого-то, а Коршунов — самый молодой,
то, очевидно, учитель химии старше Коршунова. Отсюда следует, что
Коршунов не преподает химию. Кроме того, из рисунка видно, что
Коршунов также не преподает ни историю, ни литературу, ни английский
язык (эти предметы преподают, как мы установили, Воронов и Соколов).
Значит, на долю Коршунова приходятся математика и физика. Поэтому
букву К надо соединить отрезками прямых с буквами М и Ф. Теперь из
рисунка видно, что второй предмет, который преподает Воронов,— это химия.
Ответ. Коршунов преподает математику и физику, Соколов — литературу
и историю, Воронов — химию и английский язык.
Задачи 13—24
13. Начертим таблицу, которая позволит исходные условия данной задачи
сделать более наглядными:
Фамилия
Воронов
Павлов
Журавлев
Синицын
М
X
—
Б
—
—
П
—
—
•
—
Так как ни Воронов, ни Журавлев не умеют играть на баяне, то они не баянисты.
Поэтому в столбце Б против их фамилий поставим прочерки. Далее, так как
писатель и художник бывают на даче у Павлова, то Павлов не писатель и не
художник. Поэтому в строке «Павлов» против букв П и X ставим прочерки.
Известно также, что писатель собирается написать очерк о Синицыне
и Воронове. Значит, ни тот ни другой не является писателем, и против их
фамилий в столбце П надо поставить прочерки. Теперь видно, что Журавлев —
писатель, и в соответствующей клетке мы поставим точку.
Вернемся теперь к условию, что писатель и художник бывают на даче
у Павлова. Но мы узнали, что писатель — это Журавлев. Значит, на даче
встречаются Павлов, Журавлев и художник. Отсюда следует, что
художником должен быть либо Воронов, либо Синицын. Допустим, что художник — это
Воронов. Тогда на даче встречаются Павлов, Журавлев и Воронов, и,
следовательно, Воронов знаком с Журавлевым. Но в условии задачи сказано,
что они незнакомы.
Значит, допущение было неверным. Остается второй случай: художник —
это Синицын. Поэтому в строке «Синицын» против буквы X ставим точку.
Теперь надо вычеркнуть все те строки и столбцы, на пересечении которых стоят
точки. После этого сразу будет видно, что Воронов — математик, а Павлов —
баянист.
Ответ. Холмс установил следующее: Журавлев.—писатель, Синицын —
художник, Воронов — математик, Павлов — баянист.
80
14. Решение задачи аюва начнем с таблицы:
Имя
Арташ
Отар
Гурам
Сурен
Б
не цирк
не цирк
не цирк
В
кино
кино
—
ф
ф театр
Т
В этой таблице отмечены все исходные условия задачи. Дальнейшие
рассуждения не представляют особого труда. Поэтому предоставим читателю
возможность самостоятельно довести дело до конца. Ответ. Отар играет в футбол
и любит театр. Арташ играет в теннис и любит цирк. Гурам играет в волейбол
и любит кино. Сурен играет в баскетбол и любит эстраду.
15. Решение задачи, конечно, надо начинать с таблицы, которая будет иметь
следующий вид:
Имя
Лева
Коля
Миша
Петя
Кафе
Р
•
не Ч —
Столовая
Р — не Р
— не Р
— не Р
неЧ ф не Р
Закусочная
Р
не Ч —
Буфет
Р М
М
— М
не Ч — М
При заполнении таблицы удобно рассуждать следующим образом. В буфете
было только молоко. Поэтому в столбце «Буфет» везде записываем М. В
столовой не было ряженки. Значит, в столбце «Столовая» пишем «не Р». Петя пил не
чай. Следовательно, в строке «Петя» пишем «не Ч». Кроме того, известно, что
Петя был в столовой. Значит, в соответствующей клетке ставим точку. Теперь
видно, что Петя пил не чай и не ряженку. Но он не пил и молоко, так как молоко
было только в буфете. Значит, Петя пил кофе. Так как Петя завтракал в столовой,
то в соответствующей клетке ставим точку. Во всех остальных клетках столбца
«Столовая» и строки «Петя» ставим прочерки.
Далее, известно, что Миша завтракал не в закусочной и не в буфете. Поэтому
в соответствующих клетках ставим прочерки. Теперь видно, что Миша был
в кафе. Значит, на пересечении этих строки и столбца ставим точку.
Лева пил ряженку. Поэтому в строке «Лева» записываем Р. Что же пил
Миша? Он не пил ни ряженку, ни кофе, так как эти напитки пили Лева и Петя. Он
не пил и молоко, так как молоко было только в буфете, а Миша завтракал в кафе.
Значит, Миша пил чай.
Осталось узнать, где завтракали Лева и Коля. Лева не мог завтракать
в буфете, так как в соответствующей клетке стоят две буквы: Р и М, а по условию
81
Лева пил только один напиток. Значит, Лева завтракал в закусочной и пил там,
как мы уже знаем, ряженку. Но тогда для Коли остается только одна
возможность: он завтракал в буфете и пил молоко. Ответ. Лева пил ряженку
в закусочной, Коля пил молоко в буфете, Миша пил чай в кафе, а Петя пил кофе
в столовой.
16. Составим таблицу:
Фамилия
Антонов
Борисов
Воронин
Гордеев
Данилов
Ефремов
М
—
—
—
•
—
ф
—
—
—
•
X
—
—
—
_____
Б
•
И
—
—
л
•
_____
_
—
Буквы М, Ф, X, Б, И, Л обозначают специальности студентов. В первом раунде
Антонов, Борисов и Воронин боролись против М, Ф, X. Значит, ни один из них не
мог быть ни математиком, ни физиком, ни химиком. Поэтому в каждой из строк
«Антонов», «Борисов», «Воронин» на пересечении со столбцами М, Ф, X ставим
прочерк.
Анализ составов команд, участвовавших в остальных раундах, тоже
приводит к соответствующим прочеркам (которые уже проставлены в нашей
таблице).
Дальнейшие рассуждения не представляют особого труда. Ответ.
Данилов — математик, Гордеев — физик, Воронин — биолог, Борисов —
литератор, Ефремов — химик, Антонов — историк.
17. Начнем опять с таблицы, изображающей график работы спортивных
секций. Прочерками отмечены дни, когда секции не работают.
День недели
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
В
—
Б
—
ЛА
—
ТА
—
—
Юра
—
82
В тот день, когда Холмс встретил ребят, они все шли на тренировку. Значит,
в этот день работали все секции. Из таблицы видно, что это могло быть только
в среду или в пятницу. Допустим сначала, что это произошло в пятницу. Юра
сказал, что его секция завтра не работает. Но поскольку мы приняли, что он это
сказал в пятницу, то завтра означает в субботу. А в субботу не работает только
секция тяжелой атлетики (ТА). Значит, Юра в пятницу пошел на секцию ТА.
Поэтому на пересечении строки «Пятница» и столбца «ТА» мы запишем «Юра».
Антон и Миша не могли в начале недели пойти вместе в спорткомплекс, так
как посещаемые ими секции в начале недели не работают. Из таблицы видно, что
в начале недели не работают только секции В и Б. Значит, Антон и Миша
посещали именно эти секции. Следовательно, секцию ЛА посещал Костя. Но
Костя сказал, что он мог пойти на секцию и вчера; из таблицы, однако, видно, что
вчера, т. е. в четверг, секция ЛА не работала. Получилось противоречие.
Значит, допущение было неверным.
Следовательно, ребята шли на тренировку в среду. Если теперь
рассматривать сначала высказывания Кости и Миши, а затем и остальных ребят, то мы
узнаем, кто из ребят какую секцию посещал. Ответ. Ребята посещали
следующие секции: Миша — секцию волейбола, Антон — секцию баскетбола,
Костя — секцию легкой атлетики, а Юра — секцию тяжелой атлетики.
18. Составим таблицу:
А
Б
В
Г
д
Е
Ж
3
Классы
1
•
2
3
•
4
—
—
5
6
—
—
7
8
Для обозначения старост классов использованы первые буквы их имен. Буква А,
например, обозначает Андрея. Известно, что четвертый класс работал лучше,
чем классы А, Б, В. Значит, А, Б, В не являются старостами четвертого класса,
и в столбце 4 на пересечении со строками А, Б, В ставим прочерки. Седьмой класс
работал лучше, чем Г и Д. Значит, в столбце 7 на пересечении со строками
Г и Д тоже ставим прочерки. Женя на два класса старше Бориса, но на класс
младше Гриши. Значит, Борис самый младший из них, и, следовательно, Женя
и Гриша не могут быть учениками первого класса. Следовательно, в столбце
83
1 против Ж и Г ставим прочерки. Даша опередила Андрея на один класс.
Значит, Даша тоже не могла быть ученицей первого класса, и мы можем поставить
еще один прочерк.
Елена учится в этой школе с третьего класса. Значит, в пересечении строки
Е со столбцами 1 и 2 ставим прочерки. Зина учится в этой школе со второго
класса. Значит, в строке 3 ставим соответствующий прочерк. Володя был
в первом классе отличником. Значит, он сейчас в первом классе уже не учится,
и мы можем в строке В на пересечении со столбцом 1 поставить прочерк. Из
последнего условия, что Б и Г живут на Заречной улице, Д и староста шестого
класса — на Лесной, а В и староста второго класса — на Парковой, следует, что
Б, Г, Д, В не являются ни старостами шестого, ни старостами второго класса.
Значит, снова можно поставить соответствующие прочерки.
Из таблицы теперь видно, что самый низкий класс, в котором могла учиться
Даша,— это третий. А так как Даша опередила Андрея на один класс, то самый
низкий класс, в котором мог учиться Андрей,— это второй. Значит, Андрей
в первом классе учиться не мог, и мы ставим соответствующий прочерк.
Теперь видно, что в первом столбце только одна свободная клетка. Это
значит, что в первом классе учится Борис (в таблице поставим соответствующую
точку). По условию Женя на два класса старше Бориса. Значит, Женя учится
в третьем классе (снова ставим соответствующую точку). Но Женя младше
Гриши на один класс. Значит, Гриша учится в четвертом классе (снова ставим
соответствующую точку).
Вычеркнем теперь все столбцы и все строки, которые пересекаются в клетках,
отмеченных точками. После этого мы увидим, что в столбце 2 осталось две
свободные клетки. Значит, во втором классе учится либо Андрей, либо Зина.
Допустим, что во втором классе учится Андрей. Тогда Даша должна учиться
в третьем классе, так как она опережает Андрея на один класс. Но это
невозможно, так как мы установили, что в третьем классе учится Женя, а не
Даша. Следовательно, наше допущение неверно. Поэтому остается только одна
возможность: во втором классе учится Зина (в соответствующей клетке надо
поставить точку).
Итак, старосты первых четырех классов известны. Узнаем теперь, старостой
какого класса является Андрей. Первые четыре класса отпадают. Если
допустить, что Андрей — староста пятого класса, то Даша должна быть
старостой шестого, но на этом месте в таблице стоит прочерк. Значит, это
невозможно. Если допустить, что Андрей — староста шестого класса, то по тем
же причинам снова получится противоречие. Значит, это тоже невозможно. Если
допустить, что Андрей — староста восьмого класса, то Даша должна была бы
быть старостой девятого класса, но такого класса нет. Значит, это тоже
невозможно.
Остается только одна-единственная возможность: Андрей является
старостой седьмого класса, а Даша — старостой восьмого (в соответствующих
клетках снова надо поставить точки).
Теперь снова надо вычеркнуть строки и столбцы, пересекающиеся в клетках,
отмеченных точками. После этого нетрудно заметить, что Елена — староста
шестого класса, а Володя — староста пятого.
Ответ. Андрей учился в седьмом классе, Борис — в первом, Володя —
в пятом, Гриша — в четвертом, Даша — в восьмом, Елена — в шестом, Женя —
в третьем, Зина — во втором.
84
19. Составим таблицу:
Фамилия
Арбатов
Быков
Власов
Гордеев
Дмитриев
Елисеев
Москва
В — В
— В
И — В
В
У — В
В
Санкт-
Петербург
В - У
У
И — У
У
У — У
У
Киев
В-И
-И
И —И
• и
У— И
— и
Одесса
В
—
и •
У
Рига
в
И —
У
Таллинн
В
И —
У
Арбатов и москвич — врачи. Поэтому в строке «Арбатов» и в столбце
«Москва» в каждой клетке записываем букву В. Дмитриев и петербуржец —
учителя. Поэтому в клетках соответствующих строки и столбца записываем У.
Власов и киевлянин — инженеры. Поэтому в соответствующих местах
записываем И. Из этих же сведений следует, что Арбатов не москвич, Дмитриев не
петербуржец, а Власов не киевлянин. Значит, в соответствующих клетках
ставим прочерки. Кроме того, в тех клетках, где записаны две разные буквы
(например, И и В), тоже ставим прочерки, так как каждый из
рассматриваемых людей имел только одну профессию, а не две.
Далее, Быков и Елисеев никогда не были в Киеве. Значит, они не киевляне,
и в соответствующих клетках ставим прочерки. Быков и москвич никогда не были
в Одессе. Значит, Быков не москвич и не одессит — ставим соответствующие
прочерки. Власов и рижанин не были в Тбилиси. Значит, Власов не рижанин.
И снова ставим соответствующие прочерки. Рижанин старше Арбатова,
а житель Таллинна старше Власова. Значит, Арбатов живет не в Риге,
а Власов — не в Таллинне (ставим прочерки!). Теперь в столбце «Киев»
и в строке «Власов» осталось ровно по одной свободной клетке. Значит, Гордеев
киевлянин, а Власов — одессит. В соответствующих клетках ставим точки
и вычеркиваем столбцы и строки, пересекающиеся в клетках, отмеченных
точками. После этого будет видно, что Елисеев — москвич, а Арбатов — житель
Таллинна. В соответствующих клетках снова ставим точки и вычеркиваем
столбцы и строки, пересекающиеся в этих клетках. Выполнив это, мы увидим, что
Быков — петербуржец, а Дмитриев — рижанин. У кого какая профессия,
видно из этой же таблицы. Ответ. Инженерами были киевлянин Гордеев и
одессит Власов. Учителями были петербуржец Быков и рижанин Дмитриев.
Врачами были москвич Елисеев и житель Таллинна Арбатов.
85
20. Составим таблицу:
Фамилия
Рудин
Самарин
Теркин
Уткин
Михаил
•
Николай
—
—
—
•
Олег
—
Петр
—
—
Прочерки в этой таблице поставлены из следующих соображений. Николай —
это не Теркин, так как они учатся на разных курсах. Олег старше Рудина.
Значит, Олег — это не Рудин. Петр и Самарин — москвичи, Николай — екате-
ринбуржец, Рудин — из Калуги. Значит, все они разные люди, т. е. Петр
не Самарин и не Рудин, и Николай тоже не Самарин и не Рудин.
Теперь из таблицы видно, что Рудин — это Михаил, а Уткин — это Николай.
Вычеркнув столбец «Михаил» и строку «Уткин», увидим, что Самарин—это
Олег, а Теркин — это Петр, От вет. Петр Теркин учится на первом курсе,
а Николай Уткин — на втором. А так как Олег курсом старше Рудина, то
получается, что Михаил Рудин учится на третьем курсе, а Олег Самарин — на
четвертом.
21. Составим таблицу:
Фамилия
Арчвадзе
Бедолава
Вашакидзе
Геловани
Дидидзе
Директор
1 1
1 — 1
2 — 1
2 — 1
2 — 1
Товаровед
1
1
2 —
2
2
Кассир
1 1
1 1
2 —I
2 — 1
2 — 1
Бухгалтер
1
1
2 —
2 —
2
Продавец
1
1
2
2
2
Арчвадзе и Бедолава посещали одну и ту же секцию, обозначим ее цифрой 1.
Теперь во всех клетках соответствующих строк можно записать 1. Арчвадзе
и Дидидзе посещали разные секции. Значит, в строке «Дидидзе» запишем 2.
У Вашакидзе и Геловани секция была общая. Если бы это была секция 1, то
получилось бы, что секцию 1 посещают четыре человека (это видно из таблицы!).
Но по условию в одну секцию ходило два человека, а в другую — три. Значит,
четыре человека секцию 1 посещать не могли. Следовательно, Вашакидзе
и Геловани посещали секцию 2, и в соответствующих строках надо записать 2.
Известно, что кассир и директор ходили в одну секцию, а Вашакидзе —
в другую. Но Вашакидзе, как мы установили, ходил в секцию 2, значит, кассир
и директор ходили в секцию 1. Поэтому в столбцах «Кассир» и «Директор»
записываем 1. В тех клетках, где записаны две цифры (2 и 1), надо поставить
прочерки, так как каждый из работников магазина посещал занятия только
в одной из двух секций.
Директор и Бедолава занимались плаванием. Значит, Бедолава не директор.
Геловани расстроился, когда директор сказал, что бухгалтер хочет перейти
в секцию, в которой занимается кассир. Значит, Геловани не директор, не
бухгалтер и не кассир. Вашакидзе и бухгалтер бывают в гостях у товароведа.
Значит, Вашакидзе не бухгалтер и не товаровед. На основании последних трех
выводов мы должны в нашей таблице поставить соответствующие прочерки.
Дальнейшее не представляет уже никаких трудностей. Ответ. Арчвадзе —
директор, Бедолава — кассир, Вашакидзе — продавец, Геловани — товаровед,
Дидидзе — бухгалтер.
22. Составим таблицу:
Имя
Антон
Борис
Володя
Гриша
На
неК
П
лодке
X
— X
X
— X
На
не
П
плоту
к
По лесу
не К
•
П
По горной
тропе
не К
П —
Володя шел по лесу — в соответствующем месте таблицы мы поставили точку.
На лодке везли хлеб, Гриша доставил палатку, а Борис нес не картошку. Все это
отмечено в таблице буквами X П, «не К». Борис передвигался не на лодке —
ставим прочерк. Тот, кто шел по горной тропе, видел Гришу. Значит, Гриша был
не тем, кто шел по горной тропе,— ставим еще один прочерк. На пересечении
строки «Гриша» и столбца «На лодке» стоят две буквы: П и X. Но каждый из
ребят вез только один груз. Значит, в этой клетке надо поставить прочерк.
Надо еще вычеркнуть строку и столбец, пересекающиеся в клетке,
отмеченной точкой. После этого сразу видно, что Антон плыл на лодке. В этой
клетке ставим точку и снова вычеркиваем строку и столбец, пересекающиеся
в данной клетке. Затем обнаружится, что Борис шел по горной тропе, а Гриша
плыл на плоту. В соответствующих клетках ставим точки
Из таблицы теперь видно, что Антон вез хлеб, а Гриша - палатку. Значит,
Борис не мог нести ни хлеб, ни палатку. Но по условию он не нес и картошку.
Следовательно, Борис нес все остальное. Таким образом, на долю Володи
87
пришлась картошка. Ответ. Антон плыл на лодке и вез хлеб. Борис шел по
горной тропе и нес консервы, концентраты и другие продукты. Володя шел по
лесу и нес картошку, а Гриша плыл на плоту и вез палатку.
23. Составим таблицу:
Имя
Галя
Даша
Лена
Ася
Вера
Аккордеон
неП
неП
неП
О —
Гитара
не П В
не П В
не П В
В
О— В
Балалайка
неП
неП
не П ф
О
Ударные ин
струменты
не П
не П
не П
О
Пианино
не П—К
неП К
не П К
О — К
Известно, что Галя не умеет играть на пианино, а Вера не умеет играть на
аккордеоне. Отметим это в таблице. Вере нравится Окуджава. Поэтому в строке
«Вера» во всех клетках записываем О. Аналогичным образом отмечаем
в таблице все остальные условия. В тех клетках, где стоят две буквы (например,
О и В), ставим прочерки. Лена играет на балалайке — в соответствующей
клетке ставим точку. Теперь видно, что буквы В, К, О стоят в тех столбцах или
строках, которые не проходят через клетку с точкой. Значит, Лене не нравится ни
Высоцкий, ни Кобзон, ни Окуджава. Кроме того, в клетке с точкой стоит «не П».
Значит, Лене не нравится и Пугачева. Следовательно, остается только одна
возможность: Лене нравится Леонтьев. Вычеркнем строку и столбец,
пересекающиеся в клетке, отмеченной точкой (в приведённой таблице это еще не
сделано). После этого сразу будет видно, что Вера играет на ударных
инструментах. В соответствующей клетке снова ставим точку и вычеркиваем
строку и столбец, пересекающиеся в этой клетке. Из таблицы видно, что Вере
нравится Окуджава.
Заметим теперь (это видно из таблицы), что гитаристке нравится Высоцкий,
балалаечнице — Леонтьев, ударнице — Окуджава, пианистке — Кобзон.
Значит, аккордеонистке нравится Пугачева. Но Гале и Даше Пугачева не нравится.
Кроме того, в двух клетках столбца «Аккордеон» стоят прочерки. Значит,
остается только одна возможность: аккордеонистке Асе нравится Пугачева.
В соответствующей клетке ставим точку.
После этого из таблицы сразу будет видно, что Даша — пианистка и ей
нравится Кобзон, а Галя — гитаристка и ей нравится Высоцкий. Ответ.
Аккордеонистке Асе нравится Пугачева, пианистке Даше — Кобзон, гитаристке
Гале — Высоцкий, балалаечнице Лене — Леонтьев, а Вере, играющей на
ударных инструментах,— Окуджава.
88
24. По условиям задачи получатся следующая таблица:
Имя
Артур
Рубен
Марина
Оксана
Миша
Р не Л
не Л
не Л
Я не Л
Коля
Р — Б
Б
Б
Я - Б
Таня
Р
—
Я
Валя
Р не Л
не Л
не Л
Я — не Л
Здесь буквами Б, Л, Р, Я обозначены береза, липа, рябина, яблоня. Теперь
рассуждаем следующим образом. Артур посадил рябину, а Оксана — яблоню.
Значит, липу могли посадить только Рубен или Марина. Допустим, что липу
посадила Марина. Тогда во всех клетках строки «Марина» надо
записать Л. После этого обнаружится, что во всех клетках этой строки надо будет
поставить прочерки. Ни один случай не подходит. Значит, это предположение
неверно. Следовательно, липу посадил Рубен. Поэтому в строке «Рубен»
в каждой клетке записываем Л. Тогда в трех клетках возникнет противоречие
и остается только один случай: Рубен посадил липу, а Таня ее поливала.
Дальнейшие рассуждения особого труда не представляют. Ответ. Артур
посадил рябину, а Валя ее поливала. Рубен посадил липу, а Таня ее поливала.
Марина посадила березу, а Коля ее поливал. Оксана посадила яблоню, а Миша
ее поливал.
Задачи 25—36
25. Решение задачи начнем с соответствующей диаграммы Эйлера — Венна
(рис. 46).
Круги К, Т, Ц обозначают соответственно множество ребят, побывавших
в кино, в театре, в цирке. В круге К содержится 25 человек, в круге Т — 11, а в их
общей части — 6. Заметим теперь, что общая часть кругов К и Т входит и в К,
и в Т. Поэтому если мы сложим численные составы К и Т, т. е сложим 25 и 11, то
общая часть будет сосчитана дважды. Следовательно, чтобы узнать, сколько
человек содержится в кругах К и Т вместе, надо сначала сложить численные
составы К и Т, а потом вычесть численный состав общей части. Значит, в фигуре,
состоящей из кругов К и Т, содержится (25+11)—6=30 человек.
Обозначим теперь через а число ребят, побывавших только в цирке. Чтобы
мужчины
^**—
/>ого
/ 5 ' ■
\13
же
'//
Рос
'//
1с
'
нщины
у//
J
V
/ )
9 /
1 артисты
J не артисты
Рис. 46
Рис. 47
узнать, чему равно а надо из числа ребят, содержащихся в фигуре, состоящей из
всех трех кругов, вычесть число ребят, содержащихся в фигуре, состоящей из
кругов К и Т.
Всего ребят было 36. Двое никуда не ходили. Значит, в фигуре, состоящей из
трех кругов, содержится 34 человека. А в фигуре, состоящей из кругов К и Т, как
мы уже узнали, содержится 30 человек. Значит, а=34—30=4.
Через КЦ обозначим общую часть кругов К и Ц, через ТЦ — общую часть
кругов Т и Ц, а через КТЦ — общую часть всех трех кругов. Численный состав
КТЦ обозначим через х. В КЦ входит 10 человек, в ТЦ — 4. Если мы сложим
численные составы КЦ и ТЦ, то общая часть КТЦ будет сосчитана дважды.
Значит, численный состав фигуры, состоящей из КЦ и ТЦ, равен 10+4—х=
= 14—х. Если сюда прибавить еще а, то получится численный состав круга Ц,
а нам известно, что в круге Ц содержится 17 человек. Значит, 14—л:+а= 17.
Но а=4. Значит, 18—*=17, т. е. х= 1. Ответ. В кино, в театре и в цирке
успел побывать только один человек.
26. Для решения задачи опять надо начертить подходящую диаграмму
Эйлера — Венна. Затем, используя условие задачи, надо в каждой клетке этой
диаграммы проставить соответствующее число. После этого получится картина,
как на рисунке 47. Теперь нетрудно подсчитать число артистов. Ответ. В
самолете было 15 артистов.
27. Нарисуем соответствующую диаграмму и обозначим неизвестные через а,
Ь, с, х, у. Через а, например, мы обозначили число маленьких желтых яблок.
Смысл остальных букв также ясен из нашего рисунка (рис. 48).
Используя условие задачи, мы приходим к следующей системе уравнений:
а+Ь+с=25,
х+у=17,
a+b+y=28f
с=х+2.
Решив эту систему, найдем а= 10, fc=7, c=8, jc=6, у= 11. Нам надо было узнать
число больших желтых яблок. Это число мы обозначили через Ь, а мы сейчас
установили, что Ь=7. Задача решена. Ответ. Больших желтых яблок
было 7.
28. По условию задачи получим диаграмму (рис. 49).
Так как каждый из учащихся решил хотя бы одну задачу, то область, внешняя
Ал
яблоки
( с
У
груши
1
I
у
—
большие
маленькие
Рис. 48
Рис. 49
90
относительно множеств А 9 Ал, Г, будет пустой. Поэтому мы эту область не
нарисовали. Используя условия 1—3 и учитывая, что всего в классе было
36 ребят, получим следующую систему уравнений:
(а+Ь+4=х+у,
2а+3с=12,
2(х+у)=6+а+Ь+с+х,
а+Ь+с+х+у=36>.
Получилась система четырех уравнений с пятью неизвестными. Значит, одно из
неизвестных надо принять за параметр. Из второго уравнения видно, что
в качестве параметра удобно взять или а, или с. Пусть для определенности
параметром будет с. Тогда из второго уравнения сразу получим а = —^—^- .
Если из четвертого уравнения вычесть первое, то после приведения подобных
получим
2х+2у=40—с (А)
Если сложить третье и четвертое уравнения, то после приведения подобных
получим
2x-t-dy=42 (В)
/Лы получили два уравнения: А и В. Решая эту систему, находим
36-Зс , о
х=—2—' у=с+2.
Подставляя теперь значения а, х, у в первое уравнение, найдем
Ь=с+Ю.
Учитывая ранее сделанное замечание, в котором говорилось, что значениями
неизвестных могут быть только натуральные числа (нуля быть не может),
приходим к следующим условиям:
12—300,
36—300,
i \с — четное число.
[с — четное число, v
Существует только одно четное натуральное число, меньшее 4: это число 2.
Значит, с=2. Теперь можно вычислить значения остальных неизвестных:
г.е.(с<4'
[с — че
П
м
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
91
a=3, fr=12, jc=15, i/=4. Из нашей диаграммы видно, что число ребят,
решивших две задачи, равно Ь+ху т.е. 12+15. Значит, две задачи решили
27 человек, и, следовательно, столько же было и «четверок*. Ответ. Холмс
узнал, что из 36 ребят 27 получили оценку «четыре*.
29. По условию задачи начертим диаграмму (рис. 50).
Используя условия 1—3, получим систему уравнений
\
2jc+3i/=15,
[5y=9+3z.
Получилась система трех уравнений с четырьмя неизвестными. Приняв
неизвестное у за параметр и решив эту систему, получим
г__ 15-Зу 5у-9 15-у
Учитывая теперь, что значениями х, f/, 2, / должны быть натуральные числа, мы
придем к следующим условиям:
у — нечетное число.
Этим условиям удовлетворяет только одно-единственное число, а именно
число 3. Значит, у=3. Значения остальных неизвестных легко вычисляются:
х=3, 2=2, /=6.
Теперь можно вычислить общее число всех ребят:
x+y+z+t=3+3+2+6= 14.
Ответ. Бригада строителей состояла из 14 человек.
30. По условию задачи получится диаграмма, как на рисунке 51.
Разнорабочих не было. Поэтому внешняя область отсутствует. Конкретные
числовые данные приводят к системе двух уравнений
(x+y+z=7y
[3(x+z)+2(x+y)-(y+z) = \3.
Приняв неизвестное z за параметр и решив эту систему, получим
6—z 22-Ъг
Кроме того, должны выполняться следующие условия:
\(6—z)кратно 4.
Этим условиям удовлетворяет только число 2. Значит, 2=2. Теперь легко
вычислить значения остальных неизвестных:
Плотников было х-\-у, т. е. 5.
Ответ. В бригаде было 5 плотников.
31. По условию задачи начертим диаграмму (рис. 52).
92
Конкретные данные приводят к системе трех уравнений
\y+t=x-U
[Зх+2у=19.
Приняв неизвестное х за параметр и решив эту систему, получим
9—3* 37—5л: л 5л:—21
У =
Z =
2 ' 2 ' 2
Кроме того, должны выполняться следующие условия:
19—Зх>0,
37—5х>0,
Ъх—21>0,
т. е.
х — нечетное число.
х — нечетное число,
Эти условия можно записать так:
|4<х< 7,
\х — нечетное число.
В промежутке между числами 4 и 7 заключено только одно нечетное число,
а именно 5. Значит, х=5. Остальные неизвестные имеют следующие значения:
у=2у 2=6, /=2. Теперь можно подсчитать общее число членов туристической
секции. Оно равно x-\-y-\-z-\-t=5-\-2-\-6-\-2= 15. Ответ. В туристическую
секцию было записано 15 ребят.
32. Условие задачи приводит к следующей диаграмме (рис. 53).
Буквами О, В, С, М обозначены множества ребят, посетивших соответственно
озеро, водохранилище, скалы и монастырь. Так как каждый из членов секции
побывал хотя бы в одном походе, то область, внешняя относительно множеств О,
В, С, М, будет пустой. Поэтому мы эту область не нарисовали.
Никто из членов секции не участвовал более чем в двух походах. Значит, те
ячейки нашей диаграммы, которые изображают множества ребят,
участвовавших в трех и более походах, должны быть пустыми. Поэтому эти ячейки мы
заштриховали наклонными черными линиями.
Те из ребят, которые не были на озере, не пошли к скалам. Значит, из той
области, которая находится вне множества О, надо исключить все те ячейки,
гвоздики розы
* .
М
Рис. 53
Рис. 54
93
которые находятся внутри множества С. Эти ячейки мы заштриховали
вертикальными черными линиями.
Те из ребят, которые были на озере, были затем на скалах. Значит, вся
область О должна находиться внутри множества С. Следовательно, ту часть
области О, которая этому условию не удовлетворяет, надо заштриховать. Мы
для этого воспользовались красной штриховкой.
Теперь конкретные условия с числовыми данными приводят к системе трех
уравнений (z+t=8
[ 32-2*/= 15.
Приняв неизвестное z за параметр и решив эту систему, получим
1=0—2, Х= 1 /—2, у= .
Кроме того, должны выполняться следующие условия:
8—2>0,
17—2>0,
32—15>0, т е |5<2<8,
2 — нечетное число, \z — нечетное число.
Этим условиям удовлетворяет только число 7. Значит, 2=7. Остальные
неизвестные будут иметь такие значения:
/=1, *=10, у=3.
Число членов туристической секции равно
x+y+z+t=lO+3+7+l = 2l.
Старых членов было 15. Значит, вновь было принято 6 человек. Ответ.
В секцию было принято 6 новых членов.
33. По условию задачи начертим диаграмму (рис. 54).
Конкретные данные, указанные в условиях 1—3, приводят к системе трех
уравнений
22+3*= 18,
б*—2х=10.
Приняв неизвестное t за параметр и решив эту систему, получим
5/— Ю 18—3/ с, хл
х=—-—, 2=—-—, #=5*—14.
Кроме того, должны выполняться следующие условия:
[Ы—10>0,
18—3*>0, [2</< 6,
5*—14>0, т. е. \t — четное число,
г — четное число,
Этим условиям удовлетворяет только число 4. Значит, /=4. Остальные
неизвестные будут иметь такие значения:
х=5, е=3, */=6.
Ответ. Лена принесла 9 цветков: 5 красных гвоздик и 4 красные розы. Валя
тоже принесла 9 цветков: 6 красных гвоздик и 3 белые розы. Значит, получился
букет из 18 цветков.
34. По условию задачи начертим диаграмму (рис. 55).
Буквами П, С, К обозначены множества мальчиков, несших соответственно
палатки, спальные мешки, концентраты. Буквой Д обозначено множество
девочек.
Конкретные данные, перечисленные в условии задачи, приводят к следующей
системе уравнений:
'x+y+z+s=2t,
Приняв неизвестное у за параметр и решив эту систему, получим
*=-^Г^ 2=4— у% s=y+3t t= 2Х~У.
Кроме того, должны выполняться следующие условия:
[у — нечетное число.
Этим условиям удовлетворяет только число 1. Значит, «/=1. Остальные
неизвестные будут иметь следующие значения:
х=2у 2=3, 5=4, /=5.
Теперь можно подсчитать общее число всех участников похода:
x+y+z+s+t=l5.
Ответ. В походе было 15 ребят.
35. Обязанности мальчиков и девочек были разные. Поэтому надо будет
нарисовать две диаграммы: в одной из них будут отражены виды деятельности
девочек, а в другой — виды деятельности мальчиков (рис. 56).
П
у
Рис. 55
Рис. 56
Буквами К, У, Я обозначены множества девочек, занимавшихся соответственно
разведением костра, приготовлением ужина, сбором ягод. Буквами П, Р,
Г обозначены множества мальчиков, занимавшихся соответственно установкой
палаток, ловлей рыбы, сбором грибов.
Условия задачи приводят к двум системам уравнений
{a+b+c+d=Wt
a+b=d,
с=2а,
3b=d.
Решив эти системы, найдем #=2, «/=2, 2=1, а=2, 6=1, с=4, d=3. Число
девочек, собиравших ягоды, равно х+#=2+2=4. Каждая из них собрала по
2 кг ягод. Значит, было собрано 8 кг ягод. Число мальчиков, собиравших грибы,
равно 6+с= 1+4=5. Каждый из них собрал по одному ведру грибов. Значит,
было собрано 5 ведер гирбов. Ответ. Было собрано 8 кг ягод и 5 ведер грибов.
36. По условию задачи получится довольно простая диаграмма (рис. 57).
Буквами Р, 3, К обозначены множества тех ребят,
которые соответственно рыбачили, загорали, купались.
Буквой Л обозначено множество ребят, отправившихся
в лес на сбор грибов и ягод.
Условие задачи приводит к следующей системе
уравнений:
(У+г=7у
J2a:+5z=18,
\t=x.
Приняв неизвестное z за параметр и решив эту
систему, найдем
J8-5z 7 t_ 18-Sz
Кроме того, должно выполняться дополнительное условие:
Г 18—5z>0,
\z — четное число.
Этому условию удовлетворяет только число 2. Значит, 2=2. Остальные
неизвестные будут иметь следующие значения:
х=4, (/=5, /=4.
Всего туристов было 2+4+5+4=15. Ответ. Туристов было 15, из них в лесу
было 4.
Рис. 57
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие, в котором рассказывается об удивительных превращениях,
закончившихся появлением Шерлока Холмса 3
ГЛАВА 1. ПОИСК ИСТИНЫ
Дело 1. История с телефонными звонками 6
Дело 2. Кто принес цветы? 8
Дело 3. Кто дежурил в классе? 8
Дело 4. История с отчетом о соревнованиях 10
Дело 5. История с амфорой 11
Дело 6. Странный приказ 13
Задачи 1 — 12 15
ГЛАВА 2. КТО ЕСТЬ КТО?
Дело 7. У кого какая профессия? 19
Дело 8. У кого какая должность? 20
Дело 9. История с заметкой в стенгазете . . . 21
Дело 10. История с графиком отпусков 22
Дело 11. Где учатся и на чем играют члены эстрадного квартета? ... 25
Дело 12. У кого какая моторная лодка? «... 26
Задачи 13—24 29
ГЛАВА 3. ТРУДНЫЙ ВОПРОС: СКОЛЬКО?
Дело 13. Вопросы, интересовавшие доктора Ватсона 37
Дело 14. История с кубиками для детского сада 42
Дело 15. Спор, возникший после субботника 43
Дело 16. История со сведениями о количестве выписываемых журналов 45
Дело 17. Загадочное письмо '. 46
Дело 18. Олимпиадная задача 48
Дело 19. История с дежурством на школьном приусадебном участке . . 50
Дело 20. Трудная задача 51
Задачи 25—36 54
Послесловие, в котором рассказывается о необычном путешествии
к таинственной пещере 60
УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ
Задачи 1 — 12 74
Задачи 13—24 80
Задачи 25—36 89