Российский государственный гуманитарный университет
А. В. ГЛАДКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
МОСКВА 1 998
ББК 22.12 Г52
Гладкий А.В.
Г52 Математическая логика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 1998. 479 с.
ISBN 5—7281—0025—2
Книга представляет собой учебное пособие по математической логике, особенностями которого являются соединение строгости и доступное in изложения, достигаемое благодаря отчетливому выделению основных идей и тщательной проработке деталей, и повышенное внимание к гуманитарным аспектам предмета — в частности, к сто связям с естественным языком и лингвистикой. Излагаются семантика и синтаксис логики предложений и логики предикатов, элементы теории алгоритмов, формальная арифметика (включая теорему Гёделя о неполноте арифметики). Центральное место занимает теория доказательства, излагаемая на основе исчисления естественною вывода. Киша содержит много задач и упражнений
Для студентов математических и физико-математических факультетов, факультетов и отделений информатики, теоретической и прикладной лингвистики, искусственного интеллекта.
1602020000- 008
ОТ8(()3)-98
92—98
ББК 22.12
ISBN 5—7281 —0025—2
© А.В. Гладкий, 1998
© Российский государс твенный гуманитарный университет, 1998
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга — учебное пособие по математической логике для университетов и педагогических институтов. Она может использоваться и в других высших учебных заведениях, где изучается эта дисциплина.
Начав в 1972 г. читать математическуюлогику в качестве обязательного курса, я увидел, что хотя к тому времени на русском языке были уже прекрасные книги (Гильберт — Аккерман 1947 J1, [Клини (957 |, [Новиков 1959], |Чёрч 19601, |Гудстейн 1971 ], [Мендельсон 1971 |, ни одна из них не могла служить пособием по этому курсу, потому что в математической логике, науке сравнительно молодой, жанр учебника еще не отделился от жанра научной монографии2. И я решил попытаться написать более доступный учебник. Однако, начав работать над ним в 1973 г., я только к 1988 г. сумел его закончить. Как раз тогда начались времена, крайне неблагоприятные для издания научной литературы, и прошло еще восемь лет, прежде чем появилась возможность издать книгу.
Стремясь к доступности, я тем не менее не хотел достигать ее за счет упрощения и отказа от строгости, но старался все излагать ясно и разъяснять принципиальные и трудные моменты. Сейчас считается хорошим тоном избегать подробных объяснений в серьезных математических книгах, в том числе и в учебниках; распространилось мнение, что «умный и так поймет, а дураку все равно нс объяснишь». Это затрудняет изучение математики многим способным людям, не имеющим специальной склонности к разгадыванию ребусов. Разумеется, вредна и другая крайность — «разжевывание» всех деталей, отучающее от самостоятельного мышления; здесь нужно уметь находить золотую середину. Но на что ни в каких случаях не следовало бы жалеть усилий, так это на разъяснение содержательного смысла
1 Фамилия и гол в квадратных скобках означают ссылку на помещенный в конце книги список литературы.
" Появившиеся позднее книги [Клини J975), (Шонфилд 1975), (Ершов — Палки ин 1979) — также не столько учебники, сколько монографии. Книга )Колмогоров — Драгалитт 1982, 1984] (изданная двумя выпусками) - уже настоящий учебник, но опа содержи г не весь необходимый материал, и изложение в ней в ряде случаев конспективное Еще менее полна отличающаяся оригинальностью изложения книга [Марков 1984).
ПРЕДИСЛОВИЕ
формальных конструкций — а между тем он очень часто остается в тени. В математической логике такие разъяснения особенно необходимы, и я старался уделять им как можно больше внимания. Я стремился также подчеркивать общекультурный аспект математической логики — в частности, останавливаться на се связях с естественным языком.
Мне трудно судить, в какой мере соблюдена в книге «золотая середина». Безусловно, для некоторых студентов доказательства — или часть их — окажутся чересчур детальными. Но в таких случаях читатель может провести рассуждения самостоятельно, обращаясь к тексту лишь для самоконтроля. Вообще всегда очень полезно, прочтя формулировку утверждения, отложить книгу в сторону, подумать, как можно было бы его доказать, и только потом разбирать приведенное в книге доказательство. Необходимо также решать задачи. (Содержащиеся в основном тексте желательно решать все, помешенные в конце глав — можно выборочно.) По трудности задачи весьма разнообразны— от простых упражнений до восстановления доказательств далеко нс тривиальных теорем. (Трудные задами даются только в конце глав.) Те. кому этих задач будет мало, могут обратиться к задачнику (Лавров — Максимова 1975 |. Много задач по логике предложений с указаниями и решениями имеется в книге 1 Гиндикин 1972 |.
В отборе материала я в основном следовал традиции: однако ради удобства читателя добавлены некоторые простые разделы, обычно нс включаемые в курс математической логики, а именно: I) Книга начинается главой, посвященной множествам, отношениям и функциям. Это делает ее первую половину (главы 1—4) доступной для людей с математической подготовкой в объеме школьного курса. (Формально это верно и для второй половины, ио фактически там требуется более высокий уровень математической культуры.) Более подготовленный читатель может пропустить или бегло просмотреть эту главу 2) В книгу включены три приложения, посвященные отношениям эквивалентности и порядка, понятию мощности множества и математической индукции (последнее приложение содержит также элементы пиановской арифметики, знакомство с которыми необходимо для понимания главы 8) Читатель, незнакомый или плохо знакомый с этими вопросами, может обратиться к приложениям либо сразу после чтения главы 2. либо тогда, когда почувствует необходимость. Кроме того, в § 6.5 излагаются основы аристотелевской силлогистики.
В главах, посвященных логическим исчислениям, за основу взято генценовское исчисление естественного вывода, потому что оно лучше всего отражает процесс математического рассуждения. Рассматриваются и другие исчисления, но менее подробно.
7 —
Я благодарен коллегам и слушателям моих курсов, без постоянного общения с которыми книга не могла бы быть написана. Особую благодарность я хочу выразить В. А. Янкову. взявшему на себя тяжелый труд научного редактирования и сделавшему много важных замечаний.
Работая над книгой, я думал о моем учителе Петре Сергеевиче Новикове. Никто не сделал больше, чем он, для развития математической логики в нашей стране. Он был не только крупнейшим ученым, но и замечательным педагогом; все, кому посчастливилось у него учиться, испытали необыкновенное обаяние его личности. Его памяти я посвящаю эту книгу.
.1. Гладкий Май 1996 г.
ВВЕДЕНИЕ
1. Если мы попробуем задуматься, каким образом люди получают знания о мире, нетрудно будет заметить, что для этого есть два способа: непосредственное наблюдение и получение новых знаний из уже имеющихся. В реальном процессе познания эти способы сплошь и рядом комбинируются, но по крайней мере второй из них часто используется и в чистом виде1. Нередко при этом новое знание возникает таким образом, что человек не может дать себе отчет, как это произошло: тогда говорят, что знание получено благодаря «догадке», или и н т у и ц и и2. В других случаях человек сознательно анализирует имеющиеся у него знания и делает из них выводы; это называется р а с с у ж д е н и е м. Во многих случаях (хотя и не всегда) знания, полученные рассуждением, более достоверны; поэтому рассуждения часто используются для проверки интуиции. Так, в частности, поступают обычно при решении математических задач: сначала угадывают решение — или его основную идею,— а потом пытаются обосновать догадку строгим рассуждением (или вычислением, которое есть, в сущности, «механизированное» рассуждение); при этом случается, что рассуждение не подтверждает догадку или даже опровергает ее3. Механизм интуиции недоступен прямому наблюдению, и изучать его можно лишь косвенными методами, разрабатываемыми психологией. Материал для изучения строения рассуждений добывается проще, так как они производятся «на свету» и выражаются с помощью слов (или заменяющих их знаков). Тем не менее исследование механизма рассуждения — чрезвычайно сложная задача, занимающая ученых уже третье тысячелетие. Наука, имеющая своим предметом изучение рассуждений и выявление закономерностей, которым они подчинены, называется л о-г н к о й (греч. Хлнрхг], от Хбуос — «слово, речь, суждение, довод»).
В логике принято делить рассуждения на два типа, не являющиеся, впрочем, взаимоисключающими — индуктивные и дедуктивные. Индуктивными (от лат. inducuo — «наведение»)
Вряд ли можно сказать го же о нервом, как правило, результат наблюдения становится знанием только после взаимодействия со «старыми» знаниями
От лат. intuenr — «внимательно смотрю».
В естес!венных науках для проверки интуиции чаше используется не рассуждение, а наблюдение или его усложненная разновидность — экспсримеш.
9
называются рассуждения, с помощью которых из знаний об отдельных фактах получаются знания об обших закономерностях или из знаний о менее общих закономерностях — знания о более общих. Дедуктивные рассуждения (от лат. deductio — «выведение») — это рассуждения, состоящие в получении из имеющихся знаний нового знания по некоторым точным правилам, причем вывод является бесспорным: если исходные знания достоверны, то столь же достоверно получаемое из них новое знание. Например, если мы, зная, что два или три члене! большой семьи музыкально одарены, делаем отсюда вывод, что должны быть одарены и остальные — это индуктивное рассуждение; а когда я, узнав, что какого-то человека близкие друзья называют Колей, а отца его зовут Иваном Петровичем, заключаю, что. обращаясь к нему по имени и отчеству, его нужно называть Николаем Ивановичем — я рассуждаю дедуктивно. Индуктивное рассуждение обычно нс позволяет делать вывод с полной достоверностью, а только с большей или меньшей степенью правдоподобия. Однако если те единичные факты или частные случаи, из знаний о которых мы выводим общую закономерность, охватывают в совокупности все возможности (так называемая полная индукция), то вывод является абсолютно достоверным; такое рассуждение можно считать индуктивным и дедуктивным одновременно.
В науке, как и в повседневной жизни, используются рассуждения обоих типов, но сравнительная важность тех и других в разных науках различна. Науки, в которых преобладают дедуктивные рассуждения4, принято называть точными. «Самая точная» в этом смысле наука — математика; в ней дедуктивное рассуждение — единственный способ получения знаний, за которым признается доказательная сила5. Закономерности дедуктивных рассуждений по самой своей природе легче поддаются систематическому описанию; поэтому те разделы логики, в которых изучаются эти рассуждения, разработаны значительно полнее и глубже, чем логика индуктивных рассуждений («индуктивная логика»).
Логика тесно связана с философией и возникла одновременно с ней в первом тысячелетии до н. э. Развитие логики на Востоке и на Западе шло разными путями. Западный путь, который привел впоследствии к возникновению математической логики, являющейся предметом этой книги, берет начало в трудах древнегре
Вк.почаи и нычисления icp иышс)
Гак называемая математическая индукция (см. Приложение III) есть чисто НДУКШВНЫИ способ ран. у Ж, (СИНЯ, лишь но форме СХОДНЫЙ 4 ипдукнпшым
ю
ВВЕДЕНИЕ
ческих мыслителей6. Они разработали учение о п о н я т и я х, в ко-ых обобщаются знания об отдельных предметах и явлениях (на-п имер понятие «лошадь» возникает в результате обобщения знаний о конкретных лошадях), суждениях, в которых выражаются знания о связи между понятиями (например, «Всякая лошадь — четвероногое» или «Некоторые параллелограммы — прямоугольники») , и умозаключениях — элементарных рассуждениях, в которых из одного или нескольких суждений, называемых посылками, получается еще одно суждение, называемое з а-ключением, или следствием (например, нз посылок «Всякий прямоугольник — параллелограмм» и «Всякий квадрат — прямоугольник» получается заключение «Всякий квадрат — параллелограмм»). Наряду с общими, методологическими вопросами теории рассуждений греческие мыслители уделяли много внимания изучению конкретных форм, в которых протекает рассуждение — тому, что впоследствии стало называться формальной логикой. Создателем формальной логики был Аристотель (’Арютотелг]*;. 384— 322 до и. □.). Он исследовал, в частности, строение простейших умозаключении — так называемых категорических силлогизмов (см. § 6.5); построенная им теория силлогизмов оказала очень большое влияние не только на развитие логики, но. в сущности, и на всю европейскую культуру — хотя бы уже потому, что в течение многих веков знание ее считалось необходимым всякому образованному человеку и было одним из основных средств дисциплинирован ия ума. В дальнейшем формальной логикой занимались многие ученые древности, средних веков и нового времени; но за две с лишним тысячи лет — до XIX в.— она не вышла сколько-нибудь существенно за пределы круга идей и методов, очерченного в трудах Аристотеля. Новый этап в развитии лотки начался тогда, когда некоторые логики и математики стали пользоваться символическими обозначениями для простых логических операций, соответствующих союзам «и», «.«или», «если» и отрицанию, аналогично используемым в математике символическим обозначениям для арифметических действий. Это дало возможность изображать строение сложных суждении с помощью формул, похожих на выражения элементарной алгебры, и представлять некоторые логические закономерности в виде математических соотношений. Так возинкла «алгебра логики», из которой и развилась математическая логика, своеобразная научная дисциплина, являющаяся одновременно частью логики и частью математики — частью логики потому, что изучает строение рассуж-
11а Востоке логика с наибольшим успехом развивалась в Индии
il
дсний, а частью математики потому, что пользуется типично математическими методами. («Старые» разделы логики, в которых математические методы не используются, часто называют сейчас «традиционной логикой».) Впрочем, с математикой математическую логику сближают нс только ее методы, но в большой мерс н ее предмет, так как она изучает нс всякие рассуждения, а только дедуктивные и притом в их наиболее чистом виде, в котором они применяются по преимуществу в математике и довольно редко встречаются за се пределами. (Иногда математическую логику так и определяют как науку о математических рассуждениях, пользующуюся математическими же методами.) Поэтому развитие математической логики стимулировалось прежде всего стремлением математиков понять природу и структуру методов своей науки. Этому развитию особенно способствовали два обстоятельства: возникновение абстрактного аксиоматического метода, окончательно оформившегося к концу XIX столетия, и открытие примерно в это же время парадоксов теории множеств.
Абстрактный аксиоматический метод отличается от конкретного, использовавшегося еше Евклидом (ЕгхХе1й^<;,1П в. до н. э.) тем, что он имеет дело с «вещами» произвольной природы. В книге Евклида «Начала», считавшейся вплоть до прошлого века образцом математической строгости, изучаются свойства поверхностей, линий и точек. Этим объектам даются «определения», которые не являются определениями в смысле современной математики, но помогают представить себе «определяемые» объекты наглядно («точка есть то, что не имеет частей» и т. п_). Основные отношения между точками, линиями и поверхностями — такие, как, например, «точка находится на линии», никак специально не описываются, их смысл считается самоочевидным. В начале книги формулируются некоторые свойства основных объектов и отношений — «аксиомы» и «постулаты»,— принимаемые без доказательства, и далее из аксиом и постулатов выводятся другие свойства этих объектов и отношений — т е о р е-м ы. Но при этом фактически используются не только тс свойства основных объектов и отношений, которые сформулированы в виде аксиом и постулатов, но и ряд других свойств, не сформулированных явно, но кажущихся очевидными ввиду наших наглядных представлений о точках, линиях и поверхностях. Используются эти «наглядные» свойства, разумеется, также неявно — Евклид просто нс замечал, что пользуется ими. В противоположность этому, при современном абстрактном аксиоматическом изложении геометрии или любой другой математической дисциплины конкретная природа основных объектов н отношений нс имеет никакого значения, лишь бы выполнялись аксиомы; поэтому исключается неявное использование
12
ПРЕДИСЛОВИЕ’
в доказательствах «наглядных» свойств объектов и отношений7 *. Тем самым математическое рассуждение приобретает полную строгость, становясь цепочкой умозаключений, в каждом из которых из точно сформулированных посылок получается столь же точно сформулированное следствие с помощью некоторого «логического правила». Однако сами логические правила нс имеют еще точных формулировок и остаются интуитивными. Поэтому после появления абстрактного аксиоматического метода естественно возникло стремление дать правилам логического вывода «математически строгие» формулировки. Решение этой задачи облегчалось тем, что для суждений и логических операций уже имелись символические обозначения и существовала практика трактовки логических операции как математических, а в математике был уже накоплен опыт изучения операции самой различной природы. И действительно, в конце XIX и начале XX в. точные формулировки правил дедуктивного вывода были найдены. Системы таких правил получили название логических исчислении. Первые логические исчисления по своей формальной структуре были похожи на аксиоматические системы, о которых шла речь выше, отличаясь от них лишь тем, что не только аксиомы, но и правила вывода формулировались в явном виде. Такие логические системы аксиом находят широкое применение и сейчас.
Другим важным фактором, способствовавшим развитию математической логики, было, как уже говорилось, открытие парадоксов теории множеств. На этих и других логических парадоксах, т. с. рассуждениях, совершенно справедливых с интуитивной точки зрения, но приводящих тем не менее к противоречиям*, стоит остано
' Может возникну и. вопрос, а разве невозможно, чтобы математик, думая, >пи полностью отвлекся от конкретных свойств объектов и отношении, на самом деле все-таки «держал их в голове» и нс замечал, как пользуется ими9 В принципе .но. конечно, не исключено, но весьма маловероятно из-за того, что в современных дкеио-мажческих системах конкретные объекты и отношения, удовлетворяющиеакт иомам, можно, как правило, выбирать по-разному (Например, в системе геометрии можно понимать под точками упорядоченные тройки действительных чисел, под п.чоскос1я-ми — линейные уравнения с тремя неизвестными и под прямыми — системы двух таких уравнений.)
Это определение логического парадокса взято из книги |Карри 1969| (с. 20) Вообще в русском языке слово «парадокс», происходящее от греческого лараЛнЗо г,— «противоречащий установившемуся мнению, необычный, странный» (W’ija — «мнение, представление», лара-приставка, имеющая, в частности, значение отступле-
ния, отклонения), означает суждение, противоречащее общепринятым мнениям Логические парадоксы иногда называют также антиномиями (от греч. avrivipia — «противоречие в законе»; ¥бц.<>‘. — «закон», avn-приставка со значением противо-
положности).
13
виться подробнее — тем более, что знакомство с ними будет нам полезно в дальнейшем. (Впрочем, читатель, которому чтение следующих абзацев покажется трудным, может отложить ознакомление с парадоксами и вернуться к ним перед чтением § 8.4.)
1)	Самый старый и самый известный из логических парадоксов — парадокс лжеца. Полулегендарному поэту-прорицателю Эпимениду (’Enip.Fvidqc), жившему, по преданию, на Крите в VI в. до н. э., приписывается изречение «Все критяне лжецы». Такое высказывание в устах критянина звучит странно, потому что он обвиняет во лжи также и самого себя. Правда, здесь ист еще настоящего противоречия: даже если считать, что лжец никогда нс говорит правду, мы можем, услышав от критянина, что все критяне лжецы, заключить отсюда только, что это высказывание ложно — поскольку, если бы оно было истинным, это означало бы. что всякое высказывание всякого критянина ложно, в том числе и оно само. Но можно видоизменить эту ситуацию так, чтобы получился настоящий парадокс: как заметил еще в IV в. до н. э. Эвбулид/квросДбгк;), если кто-либо говорит: «Предложение, которое я сейчас произношу, ложно», то из истинности этого предложения следует, что оно ложно, а из ложности — что оно нс ложно, т. е. истинно. Это и есть пара доке лжеца.
Для дальнейшего полезно заметить, что парадокс лжеца можно получить, не пользуясь сложным по смысловому строению словом «сейчас»9. Пусть выбраны моменты времени /2, /. такие, что I < / < ?„ и пусть в момент i неким человек — которого мы будем называть по-прежнему «критянином» — говорит: ^Всякое предложение. которое я произношу между моментами Z и ложно», и больше он между z, и и нс говорит ничего. (Для простоты мы считаем произнесение предложения «моментальным» актом.) Это предложение не может быть ни истинным, ни ложным: из его истинности по самому его смыслу следовала бы его ложность, а если бы оно было ложно, т. е. не всякое предложение, произнесенное критянином между ?! и /2, было бы ложным, то, поскольку это самое предложение — единственное, которое он произнес в данный промежуток времени, оно было бы истинно.
9 Сложность его состоит в том, что оно обозначает не какой-то определенный момент времени, а тот, в который произносится содержащая его фраза — подобно Гому, как слова «я» и «ты» обозначают говорящего итого, к кому он обращается. Чтобы убедиться, чк) такие слона сложнее но смыслу, чем слова, обозначающие конкретные моменты времени или конкретных людей, достаточно вспомнить, что детям, как правило, бывает много грудиее научиться употреблять местоимения, чем существительные
ВВЕДЕНИЕ
2)	Парадокс Кантора. Пусть М — множество всех множеств и М' — множество всех подмножеств М Из теории множеств известно, что мощность множества всех подмножеств произвольного множества больше мощности самого этого множества10. Поэтому мощность М' больше мощности М. Но всякое подмножество М также есть множество, так что М' С Ми, следовательно, мощность М’ не превосходит мощности М.
3)	Парадокс Рассела. Назовем множество самосодержашим, если оно является своим собственным элементом (пример — множество всех множеств). ПустьR — множество всех несамосодержащих множеств. Тогда, если R — самосодержащсе множество, это значит, что R G R, а так как R по определению состоит из несамосодержащих множеств, то и R — несамосодержащее; если же R — несамосодер-жащес множество, это значит, что R (£ R, а так как R по определению содержит все несамосодержащие множества, то R — самосо-держащес.
Заметим, что парадокс Рассела можно сформулировать, пользуясь вместо понятия множества понятием свойства. Именно: некоторые свойства справедливы в применении к самим себе (иначе: «обладают сами собой»); например, свойство «быть абстрактным» само абстрактно- Назвав такие свойства «самообладающими», мы можем, рассуждая точно так же, как выше (читателю рекомендуется провести это рассуждение), установить, что свойство «быть несамообладающим» нс может быть ни самообладающим, ни нссамо-обладающим.
4)	Парадокс Перри (G.G. Berry). Некоторые словосочетания русского языка служат названиями конкретных натуральных чисел. (Например, число 23 можно назвать с помощью словосочетаний «число, на единицу меньшее числа, вдвое большего двенадцати», «наименьшее простое число, большее двадцати» и т. д.) Очевидно, число натуральных чисел, которые можно назвать с помощью словосочетаний, содержащих менее 60 слогов, конечно. Поэтому словосочетание «наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать с помощью словосочетания русского языка, содержащего менее шестидесяти слогов» называет некоторое натуральное число. Но само это словосочетание содержит всего пятьдесят один слог!
5)	Парадокс Ришара (Jules Richard, 1862—1956). Некоторые словосочетания русского языка служат определениями функций нату
См. теорсмъ IК к Приложении И к згой книге.
15
рального аргумента, принимающих натуральные значения. (Например, «сумма делителей данного числа», «число, на единицу большее числа, вдвое большего, чем данное число» и т. п.) Все такие словосочетания можно занумеровать натуральными числами, расположив их так, как располагают слова в словарях, и приписав тому словосочетанию, которое окажется первым, номер 1, тому, которое окажется вторым, номер 2 и т. д. Функцию, определяемую словосочетанием, имеющим номер п, будем обозначать /и. Рассмотрим теперь словосочетание «число, на единицу большее значения функции, определяемой словосочетанием, номером которого служит да иное число, при значении аргумента, равном данному числу». Это словосочетание определяет некоторую функцию натурального аргумента с натуральными значениями и, следовательно, должно получить некоторый номер п0. По определению функции /й имеем
— fn(n) + 1 для любого п. Но отсюда следует, в частности, что fi}Q(no) ~ ftiQ(no) + 1 •
Когда обнаружилось, что математические рассуждения, вполне согласующиеся, по-видимому, с общепринятыми нормами, могут приводить к противоречиям, это было воспринято многими математиками как кризис, ставящий под сомнение надежность методов математики. всегда считавшейся достовернейшей из наук. Правда, все парадоксы связаны с «экзотическими» объектами, определения которых содержат явное или неявное упоминание о них самих: содержанием предложения, приводящего к парадоксу лжеца, является утверждение о его собственной ложности; множество всех множеств состоит из элементов, среди которых имеется, в частности, оно само, и так же обстоит дело с любым самосодсржащим множеством; в словосочетании, которое служит именем числа, дающего парадокс Берри, фактически идет речь о множестве, содержащем это число в качестве элемента; функция, фигурирующая в парадоксе Ришара, определяется через множество всех функций натурального аргумента с натуральными значениями, одним из элементов которого опять-таки является сама эта функция. В конкретных математических дисциплинах, таких, как арифметика, элементарная геометрия, дифференциальное исчисление и т. п., подобные объекты не встречались, и можно было надеяться, что эти дисциплины не окажутся под угрозой. Но чтобы иметь в этом уверенность, нужен был тщательный анализ способов образования математических понятий и способов математических рассуждений, который позволил бы отличать «законные» способы от «незаконных». Возникла новая область научных исследований «на стыке» математики и философии — основания математик и; ее главным инструментом стала матема
16
ВВЕДИ! (ИЕ
тическая логика, развитие которой сделалось, таким образом, насущной задачей. В изучение оснований математики внесли свой вклад многие ученые, в том числе весьма выдающиеся - Г. Фреге, Б. Рассел. Д. Гильберт, Л. Брауэр, Г. Вейль и др. Как всегда бывает в философии и смежных с ней областях, мнения ученых о природе кризиса и путях его преодоления были различны. В философии математики появились разные направления. В частности, л о-г и ц и с т ы считали математику частью логики и видели пути преодоления кризиса в уточнении используемых в логике способов образования понятий. Формалисты придерживались мнения, что в математике первостепенную важность имеет не содержание, а форма се конструкций; поэтому они выдвинули программу построения здания математики в виде формальной дедуктивной системы, которая имела бы дело только с конечными (или, как иначе говорят, ф и-н ит н ы м и) объектами — например, конечными последовательностями записанных на бумаге значков,— и все действия с этими объектами производились бы чисто механически. При этом они надеялись строго доказать, что в такой системе невозможны противоречия. (О том, к чему привели попытки осуществить эту программу, мы расскажем в гл. 8.) Полностью противоположных взглядов придерживались и н т у и ц и о н и с т ы; они считали, что математика может опираться только на непосредственную интуицию, и поэтому лишь те математические понятия имеют право на существование, которые этой интуиции отвечают. С таких позиций ннтуиционисты подвергли критике абстракцию актуальной бесконечности, позволяющую обращаться с бесконечными множествами так, как если бы все их элементы были нам в самом деле «даны» и мы могли бы сразу со всеми этими элементами производить какие-то действия. Эта абстракция, на которой основана «классическая» канторова теория множеств (см. гл. 1 и приложение II). представлялась им противоречащей интуиции. Не отвечающими интуиции представлялись им также «чистые» доказательства существования: с их точки зрения существование некоторого объекта можно считать доказанным лишь при условии, что указан способ его построить. (О дальнейших выводах, к которым приводит такая позиция, будет сказано в § 5.2.) Позднее, в середине XX в., выступили конструктивисты. По их мнению, математика должна заниматься только к он ст р) к-т и в н ы м и объектами, т. е. такими, которые можно строить из некоторых однотипных простых частей ио простым правилам (как, например, слова в конечном алфавите). С этих позиций конструктивисты присоединяются к интуиционистской критике абстракции актуальной бесконечности и «чистых» доказательств существования (хотя и расходятся с интуиционистами в ряде принципиальных вопросов). Подробнее останавливаться на различных направлениях в
17
основаниях математики мы не можем". Но следует сказать, что все они так или иначе способствовали развитию математической логики и углублению знаний математиков о природе понятий и методов своей науки. Был получен ряд результатов, по большей части неожиданных, которые, хотя и ие привели к общему согласию в главных вопросах оснований математики (в том числе в вопросе о происхождении и значении парадоксов), но позволили гораздо лучше, чем раньше, представить себе, что можно и чего нельзя сделать с помощью формальных математических методов. (С наиболее важными из этих результатов мы познакомимся в гл. 8.) Кроме того» сами логические исчисления (см. выше), особенно так называемые исчисления естественного вывода (о них мы расскажем в гл. 5 и 6), дали возможность лучше понять, как устроены математические доказательства. Был подвергнут анализу и другой вид деятельности, составляющий нс менее важную часть работы математика, чем доказательство теорем: вычисления и всевозможные формальные выкладки. В результате этого анализа возникла теория алгоритмов, также ставшая составной частью математической логики. Элементам теории алгоритмов будет посвяшена гл. 7.
Современная математическая логика включает в себя еще и другие разделы, не получившие отражения в нашей книге. Сюда относится, например, аксиоматическая теория множеств, возникшая в начале XX в. в связи со стремлением уточнить методы теории множеств таким образом, чтобы избежать парадоксов. В аксиоматических системах теории множеств на способы образования множеств накладываются ограничения, дслаюшие невозможными конструкции того типа, которые приводят к парадоксам Кантора и Рассела. Впоследствии с помощью аксиоматических методов удалось получить фундаментальные результаты, относящиеся к решению ряда трудных проблем, возникших в теории множеств в конце прошлого и начале нынешнего столетия, в том числе проблемы континуума (см. конец Приложения II). Еще один обширный раздел математической логики, оставшийся за рамками книги — теория моделей, в которой логические понятия исследуются с помощью методов классической теории множеств и алгебры. (Впрочем, главное в этом разделе понятие модели будет рассмотрено в гл. 6 и 8.) Мы нс будем также касаться логических систем.
Довольно подробное изложение различных точек зрения на проблемы оиноиа-нии матем:пики имеется и книге [Френкель — Бар-Хиллел 1966|. Гам же есть обширная библиография поэтому вопросу С позицией интуиционизма можно познакомиться но книге |Рейтинг 19651, конструктивизма — по статье [Марков 1962] или добавлениям АА Маркова к книге [Гейтиш 1965] См. также введение к книге IКарри 1969] и посвященную формализации интуиционистской математики книгу I Клини — Весли 1978| -
18
ВВЕДШИ!
в которых наряду с истинными и ложными суждениями имеются неопределенные (многозначная логика) или возможные и необходимые (модальная логика), или такие, истинность которых зависит от времени (временная логика), а также некоторых других разделов математической логики. Все эти разделы нужно изучать по специальным руководствам (например, [Куратовский—Мостовский 1970], [Френкель—Бар-Хиллел 1966 1, |Манин 1979 | — по аксиоматической теории множеств, [Робинсон 1967 | — по теории моделей, [Bole — Borowik 1992]— по многозначной логике, [Фейс 1974], [McArthur 1976 [—по модальной логике, [Chellas 1993 | — по временной логике). Многие новые понятия и результаты из разных областей математической логики изложены в коллективной монографии [Справочная книга 1982— 1983 ]'2.
Говоря о современной математической логике, нельзя не сказать еше о том, что, начиная с конца 30-х годов, идеи и методы математической логики используются и за пределами логики и математики. Имеются две области такого их использования. Во-первых, это конструирование и эксплуатация различных автоматических устройств, в том числе вычислительных машин. В ряде случаев здесь используется технический аппарат математической логики (пример такого использования мы рассмотрим в § 3.5); сверх того, что особенно важно, идеи математической логики — в первую очередь теории алгоритмов, но также и всей науки в целом — и свойственный ей стиль мышления оказали и продолжают оказывать очень большое влияние на те своеобразные области деятельности, содержанием которых является автоматическая переработка информации (информатика) и автоматизация процессов управления (к и б е р н е т и к а)1’. Можно сказать, что математическая логика — один из главных источников идеологии информатики и кибернетики.
Другой областью использования идей и методов математическй логики стала лингвистика (языковедение). В этой науке в первой половине XX в. произошли революционные изменения, связанные
Э io именно монография, а не справочник, вопреки ее названию.
13 Термин «информатика», приблизительно соответствующий ашлийскому Computer Science, пал употребляться у нас сравнительно недавно для обозначения всего, что связано с разработкой принципиальных схем вычислительных машин и их использованием; сюда, в частности, относится так называемое математическое обеспечение ЭВМ — программирование, разработка трансляторов и т. д Мы назвали информатику и кибернетику «областями деятельности», потому что для них трудит» подобрать более узкое родовое понятие; обычно их относят к наукам, но в действительности они представляют собой прежде всего области практической деят ельности; если бы слово «ремесло» не получило (к сожалению) несколько пренебрежительного оттенка значения, следовало бы сказать, что это своеобразные ремесла.
19
с осознанием того факта, что в языке существенна не материальная природа его элементов, а только отношения между ними (по словам крупнейшего лингвиста конца XIX и начала XX в. Фердинанд*) де Соссюра, «язык есть система чистых отношений»). и эти отношения подчиняются строгим закономерностям, напоминающим матемггги-ческие. Стала очевидной желательность разработки математических методов исследования строения языка. При .этом своеобразие языковых явлений делало невозможным, за небольшими исключениями, использование готового математического аппарата, предназначенного для других целей; математический аппарат для лингвистики предстояло создать заново. Это было сделано в 50—60-е годы, когда появилась новая математическая дисциплина — математическая лингвистика, занимающаяся разработкой и изучением математического аппарата для описания естественного языка. Главными источниками идей и методов этой новой науки были математическая логика и абстрактная алгебра. Центральное место в математической лингвистике занимает теория формальных грамматик, родственная теории алгоритмов и имеющая с ней много точек соприкосновения (.см. § 7.9, пункт 7), Впрочем, математическая логика влияет на современное языковедение не только через математическую лингвистику, но и непосредственно: основные понятия математической логики — предикаты, кванторы, пропозициональные связки (см. гл. 2) вошли в «повседневный обиход» лингвистов: «математико-логический дух» все больше проникает в лингвистические теории и исследования14. Все это, разумеется, не случайно: столь важное значение математической логики для лингвистики обусловлено тем, что язык математики, изучением которого занимается математическая логика, представляет собой фрагмент естественного языка, обработанный и развитый специальным образом с целью обепечить максимальную точность, но все же сохранивший некоторые очень существенные черты естественного языка. Поэтому, когда лингвистике потребовались точные методы, аппарат математической логики мог служить образцом для их создания.
Следует сказать, что упомянутые области приложения идей и методов математической логики имеют много точек соприкосновения: с одной стороны, формальные грамматики, созданные для исследования строения естественных языков, оказались также и удобным средством анализа языков программирования и дру
14 Ч го касается непосредственного использования для исследования естественного языка сложного маю матико-логического аппарата, то здесь. кажется, единственным примером остаются появившиеся в 60-х годах так называемые грамматики Моптеио (см | Моптеио !985|. [Ци1кип 1985|)
20
ВВЕДЕНИЕ
гих формальных языков: с другой — в информатике большое место занимают задачи, связанные с переработкой информации, выраженной на естественном языке, и требующие применения точных методов лингвистики.
Представляется вероятным, что со временем сфера внематемати-ческих приложений математической логики будет расширяться. (Уже сейчас можно говорить, например, о важности ее идей для некоторых разделов психологии.)
Все сказанное, надо надеяться, в достаточной мерс объясняет, почему мгпематическая логика, еще 40—50 лет назад преподававшаяся у нас лишь в немногих учебных заведениях в качестве спецкурса, к настоящему времени стала неотъемлемой составной частью математического образования. Ей должен уделить известные усилия всякий, кто всерьез изучает математику. И эти усилия более чем окупятся, если он почувствует се красоту и испытает ее дисциплинирующее влияние.
ГЛАВА
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
§ 1.1.	МНОЖЕСТВА
1.	В разных науках и в повседневной жизни постоянно встречаются совокупности тех или иных «предметов». Например, физики имеют дело с большими и малыми совокупностями элементарных частиц, атомов, молекул и т. д., астрономы — с галактиками, состоящими из звезд, биологи — с совокупностями клеток и организмов. В математике также рассматриваются совокупности, состоящие, однако, не из материальных предметов, а из придуманных людьми абстрактных «конструктов»1 — например, чисел в арифметике, точек, прямых и плоскостей в геометрии. Совокупности различных предметов обладают, само собой, различными свойствами: но есть и такие свойства совокупностей — наиболее общие и универсальные,— которые не зависят от природы составляющих эти совокупности «вещей». Изучением таких свойств занимается особая математическая дисциплина — теория множеств; ввиду своей универсальности она образует базу всей математики, и ее понятия могут считаться самыми важными «словами» математического языка.
2.	Основные понятия теории множеств — множество, элемент и орин адлежн ост ь.
Множеством в математике называют любую совокупность любых «предметов» — или, если угодно, «вещей» или «объектов»,— конкретная природа и свойства которых могут быть какими угодно. Можно говорить, например, о множестве всех коров в некотором стаде; о множестве всех целых положительных чисел; о множестве всех букв русского алфавита; о множестве рек, впадающих в
От лат. construction — «построечное».
22
ГЛАВА 1
Волгу ниже Тверцы и выше Оки; о множества, состоящем из числа 8, Александр;» Македонского, Луны и слова «множество». «Предметы», из которых состоит множество, называются его элементами', о них говорят, что они принадлежат данному множеству (или входят в него). Если множество и его элементы обозначены какими-либо символами — например, буквами,— то вместо слова «принадлежит» на письме часто используется значок G; таким образом, a G А означает то же, что «а принадлежит А». Вместо «а принадлежит А» говорят также «Л содержит а». Итак; предложения «а есть элемент А», «а принадлежит Л» и «Л содержит а» означают одно и то же (в лингвистике такие предложения называются синонимичными); то же самое означает н символическая запись a G А.
Таким образом, мы познакомились с пятью словами математического языка: «множество», «элемент», «принадлежит», «входит в», «содержит». Слова «принадлежит» и «входит в» означают в точности одно и то же — это синонимы. (Что касается значка G, то это не особое слово, а сокращенная запись слова «принадлежит»,— так же, как «и т. д.» есть сокращенная запись для «и так далее».) «Множество» и «принадлежит»— первоначальные неопределяемые понятия, они лежат в основе всей теории множеств (и всей математики вообще); мы не определяем их через другие математические понятия, а только поясняем их смысл примерами н «приблизительным переводом» на естественный язык. (Такой «приблизительный перевод» мы делаем, говоря, что множество — это «совокупность», «собрание», «коллекция» каких-то «вещей».) Понятия «элемент» и «содержит» уже определяются через «множество» и «принадлежит»: их определения состоят в указании, что предложения «а есть элемент.!» и «А содержит а» означают то же, что «а принадлежит А»2.
Вместо слов «не принадлежит» часто пользуются значком С' (или €Е). Если, например, М означает множество всех четных чисел, то 2 G М, -5 (£ А/, О G М и т. д.
3.	Если каждый элемент множества А является также и элементом множества В, то говорят, что множество А есть подмножество, или часть, множества В, или, иначе — что А содержится в В, или, наконец, что В содержит А (все эти предложения, таким образом, синонимичны), а для краткости часто пишут АС.В. Следует обратить внимание, что слово «содержит» может употребляться в двух различных значениях: «содержит в качестве элемента» и «содержит в качестве подмножества». На самом деле то и другое «содержит» —
2 Точно так же можно было бы иностранцу, знающему, что значит по-русски «купить», но не знающему, что значит «продать», объяснить смысл этого последнего слова, сказав, что «Иван продал корову Петру» означает то же, что «Петр купил корову у Ивана»
МНОЖЕСТВА» ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
23
разные слова, совпадающие по произношению и написанию, но различающиеся по смыслу так же. как «лук» в смысле «оружие» и в смысле «овощ»; такие слова называются, как известно, омонимами.
Если, например, А, означает множество всех целых чисел, г! А2, и т. д.— соответственно множество всех целых чисел, делящихся на 2, на Зит. д., то	Л2СД, А,С/Ц, /2СЛ2, Л4С/12, Л6СЛ2 и т. д.;
в то же время, например, /1}СЛ2 неверно.
Важно заметить, что по точному смыслу определения каждое множество является частью (подмножеством) самого себя: ведь утверждение «каждый элемент множества А есть элемент множества Л» справедливо для любого А.
Говорят, что множество А равно множеству В, или что множества А и В равны, если А и В состоят из одних и тех же элементов — иначе говоря, если все элементы А являются элементами В и все элементы В— элементами Л, т. е. если справедливо АСВ и ВСА. Поскольку множество, кроме своих элементов, никакой другой «сущности» не имеет, мы можем, установив, что два множества равны, считать, что это на самом деле не два разных множества, а одно и то же. Вместо «Л равно В» пишут для краткости А - В, вместо «.1 не равно В» — А # В. Ясно, что для любых множеств А, В, С: а) А = Л: б) если А = В, то В = Л; в) если А = В и В = С, то А = С.
Если А СВ и А * В, говорят, что множество А есть истинное (или собственное) подмн ожество множества В — иначе, истинная (или собственная) часть множества В. Так, в приведенном выше примере А, и А() — истинные части множества А2.
4.	Множества можно задавать различными способами. Самый простой из них — перечислить все элементы множества, т. е. назвать 3 их один за другим («множество, состоящее из чисел 7. —3. 5. 18. ^», «множество, состоящее из города Торжка и планет Марса и Юпитера» и т. п.к Это далеко не всегда можно сделать; бывает, однако, что хотя в буквальном смысле перечислить все элементы множества нельзя, их можно называть один за другим так, что любой элемент был бы когда-нибудь назван, если бы мы располагали неограниченным временем. Например: «множество, состоящее из чисел 0, 2, Гбит, д.» (начиная с нуля, каждый раз прибавляем к очередному числу двойку). «множество, состоящее из чисел 1,4,9, 16, 25 и т. д.» (начиная с единицы, каждый раз берем квадрат следующего по порядку натурального числа). В этом случае мы также будем говорить, что множество задано перечислением элементов.
Для обозначения множества, заданного «настоящим» перечислением его элементов, пользуются фигурными скобками, внутри которых пишутся обозначения всех элементов множества, разделенные
24
ГЛАВА 1
запятыми: например. |2, 7, -2, означает множество, состоящее из чисел 2, 7, —2 и (это множество можно обозначить также {?, —2. 2, ^|, |^,-2, 2, ?| и т. д.). Если выписывать обозначения всех элементов утомительно и в то же время интуитивно ясно, как их перечислить, то такое обозначение обычно сокращают, заменяя знаки некоторых элементов многоточием — например, {1, 2, 3.100}
означает множество всех целых чисел от 1 до 100 включительно. Подобными обозначениями пользуются и для множеств, заданных «бесконечным перечислением»: {0, 2, 4, 6,...}, {1,4,9, 16, 25,...} ит. п.
Другой обычный способ задать множество — указать какое-либо характеристическое свойство его элементов, т. е. свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они («множество всех четных чисел», «множество всех целых положительных чисел, меньших семи», «множество королей Франции, вступивших на престол после 1600 г.»). Для множеств, заданных таким способом. также имеется удобный способ обозначения, сущность которого будет ясна из следующих примеров: {2111 = 0, ± 1, д: 2, ...} означает множество всех четных чисел; {3k + 11 к = 0. 1.2....} — множество всех целых положительных чисел, дающих при делении на 3 в остатке 1; {xlx— целое, х< 10} —множество всех целых чисел, меньших 10.
Вместо прямой черты часто пользуются двоеточием, например: {21 + 1 ;1 = 0. ± 1, ± 2,...}.
Можно задавать множества и другими способами, но рассмотренные нами — наиболее важные.
Задачи. 1) Для каждых двух из следующих множеств определить, равны ли они и содержится ди какое-либо из них в другом: множество квадратов целых неотрицательных чисел; {1,4,9, 16,...}; {(- и) 21и — целое}; множество квадратов всех целых положительных чисел, кроме 1, 2, 3 и 9; {Л211—целое, 1>20}; множество квадратов всех целых чисел, кроме 1,2, 3 и 9.
2) Тот же вопрос для множеств: {п I п — целое, - 25 < п < 25}; {0, 1,2,..., 25}; {0, 1,2,..., 24}; {0, ± 1, ± 2,... ± 24}.
5.	Читателю должно быть уже ясно, что во множестве не обязательно должно быть «много» элементов3 — так же, как чернила невсегда черные. Множество {nln — целое, 1 < и < 4} = {2, 3} состоит всего из двух элементов, множество {и I п — целое, 0 < п < 2}={ 1} —
Кстати, слово «много» ле обозначает никакого конкретного количества, в разных
случаях «много» может имен, разный смысл.
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
25
из одного. Более того, можно говорить о множестве, не содержащем ни одного элемента; только такой смысл может иметь, например, обозначение {и I п — целое, 0 < п < 1}, ничем существенным ие отличающееся от только что приводившихся. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. Поточному смыслу определения равенства множеств все пустые множества равны между собой (действительно, все они «состоят из одних и тех же элементов», а именно, «не состоят ни из каких»), или, лучшесказать, существует только одно пустое множество. Таким образом, {н I п — целое, 0 < н < 1} — то же самое, что множество королей франции, вступивших на престол после 1900 г.
По определению считается, что пустое множество — часть любого множества, т. е. для любого множества А имеет место4 0СЛ. (Это нс противоречит данному выше определению части: утверждение АС. В может быть опровергнуто только указанием элемента Л, нс являющегося элементом В, но при .4 = 0 такого элемента заведомо нет.)
Заметим еще, что множества могут быть, в свою очередь, элементами множеств. Например, {0, {!}, {2}, {3}, {1,2}, {2.3}. {1,3}, {1,2,3}} — множество всех подмножеств трехэлементного множества {1,2,3}: {0} — множество, единственным элементом которого является пустое множество5; {1, 2, {1,2}} — множество, состоящее из чисел 1, 2 и множества {1,2}.
Задача. Какие из следующих множеств пусты: множество положительных корней уравнения х2 - 5х + 6 = 0: множество отрицательных корней того же уравнения; множество корней уравнения sinx + cosx = 1 ?
6.	Если даны два произвольных множества Л и /?. то по ним можно образовать три новых множества, называемых их объединением, пересечением и разностью, следующим образом:
Объединением множеств Л и В (или: множества /4 с множеством /?) называется множество, состоящее из всех элементов А и всех элементов В. Объединение А и В обозначается XU/?.
Пересечением множеств А и В (или множества А с множеством В) называется множество, состоящее из тех элементов А, которые являются также и элементами В. (Иногда вместо «пересечение» говорят «общая часть».) Пересечение .4 и В обозначается ЛИН.
Разностью между множеством А и множеством В называется множество, состоящее из тех элементов А, которые не являются элементами В. Разность между А и В обозначается А\В.
«Имеет место* означает то же, что «верно».
Само ат о множество, очевидно, не пуст!
'26
ГЛАВА 1
На рис. 1 множества А и В условно изображены в виде кругов, по-разному заштрихованных. Множество AUB будет при атом изображаться всей так или иначе заштрихованной областью, ЛПВ — дважды заштрихованной областью, А\В и В\.Л — областями, несущими штриховку только одного вида.
A fl В
Рис I
Примеры. 1) Пусть А = {1,2, 3, 4}, В={2, 3, 5}. Тогда диЬ’ = = {1,2, 3, 4. 5}, ЛПВ = {2, 3}, А\В = {1,4}, В\А = {5}.
2) Пусть Х= (1,3,5,...}, У= {2, 4.6,...}.Тогда A4JУ = {I, 2, 3,...}, XOY = 0, X\Y = Л\ Y\X = У.
Из определении ясно, что если A(ZB, то AUB = В, АПВ = Л, А\В = 0. Если ЛС\В = 0, говорят, что А и В нс пересекаются. В этом случае, очевидно, А\В = А, В\А = В.
Ясно также, что для любого множества А имеет место 4U0 = А, ЛГ\0 = 0, А\0 = А.
Задача. Пусть А ~ {1, 2, 3,...}, В- {nln — целое, п < 6}. Наити див, ЛГВ, Л\В, В\А.
7.	Понятия объединения и пересечения можно обобщить6 следующим образом. Пусть Р — какое-либо множество, элементы которого мы будем называть индексами7, и пусть каждому индексу а&Р поставлено в соответствие некоторое множество Ли. Тогда мно-
6 О б о б щ и т ь понятие означает ввести повое понятие, более общее, чем данное,— иначе говори, такое, для которого данное есть частный случай. 1 1онятие, возникающее в результате обобщения, также называю! обобщением (ср. сказанное ниже, в н. 8. о словах «объединение» и «пересечение»). Например, понятие «населенный пункт» — обобщение понятия «город», а также понятий «деревня», «поселок» и т. и.; каждое из этих понятий — частный случай понятия «населенный пункт»
7 От лак index — «указатель».
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
27
>кество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному Л.,, называется объединением множеств А„ по Р и обозначается иЛ1(; множество, состоящее из всех тех элементов, которые ч£/'
принадлежат всем Аи одновременно, называется пересечением множеств Ли по Р и обозначается ПЛ(Д. Например, если /’={1,2, 3,...} и «ев
А,~ {0, для каждого п&Р, то иД,= {0, 1, 2, ...}, ПЛ„= {0, 1}. ев	«ев
Если все А„ равны одному и тому же множеству А, то UA„ = ЛЛС = А. При /*= {1, 2} получается частным случай, распер ° •'£/’	-	-	-
смотренный выше.
Вместо иД пишут ОД, вместо U/1,— иД. вместо ОД— UAt «={1.2... «1	'	>='	/е{2...«>	1=2 '	<e{i2...j	<=i
и т. п. Аналогичный смысл имеют обозначения ПД(, ПД, ОД, и т. п.
,= i ,=2	,=1
Задача. Введем следующие обозначения, общепринятые в теории числовых множеств: {л1<7 < .v < А} = (а, А); {.tie <.«</>}= fa, А]; {л'1 а < х < = Л} = <а. b |; {xl а < х < Ь} = [а, А); здесь всюду х — действительное число, а и h — заданные постоянные действительные числа. (Множество вида {а, А) называется интервалом, вида |ц, b ] — сегментом, или отрезком, вида {а, А] или |ц, Ь) —полуинтервалом. иначе полусегментом.) Пусть теперь R* — множество всех положительных действительных чисел. Найти U (0, а); Л (0, а);
«6R+ »er +
U [0. а |; П Ю. a |; U (0. a J; Л (0, а ]; U (0, а)\ Л |0, а).
<ЕК+ <*eR+ лек+ «ех+ '»fcR+ иекх
8.	Подобно тому, как в арифметике изучаются действия над числами — сложение, состоящее в образовании по двум числам их суммы, умножение, состоящее в образовании по двум числам их произведения, и др.,— в теории множеств рассматриваются действия, или операции*, над множествами, из которых важнейшими являются следующие три:
1)	Операция, состоящая в образовании по двум множествам А и В их объединения AUB. Сама эта операция также называется объединением.
2)	Операция, состоящая в образовании по двум множествам А и В их пересечения АС\В. Сама эта операция также называется пересечением.
3)	Операция, состоящая в образовании по двум множествам А и В их разности А\Р. Эта операция называется вычитанием (В из А).
2К	ГЛАВА 1
Таким образом, каждое из слов «объединение» и «пересечение» означает и операцию, и ее результат. Среди названий арифметических действии нет таких, которые совпадали бы с названиями их результатов: результат сложения называется суммой, и т. п. Однако в обычном русском языке немало слов, которые могут обозначать, с одной стороны, некоторое действие, а с другой — его результат: «работа» (ср. «Я наблюдаю за его работой» и «Эта вещь — работа мастера»), «решение» (ср. «Решение задачи заняло три дня» и «Решение оказалось простым»), «сочинение», «постройка» и т. п.
9. Введенные только что операции над множествами обладают некоторыми важными свойствами, во многом похожими на хорошо известные читателю свойства арифметических действий.
Вот эти свойства:
I.	Ли(/?иС) = (ZUB)UC (ассоциативность1 объединения).
Доказательство этого свойства несложно, но мы проведем его подробно, поскольку это первый пример доказательства равенства множеств, заданных по-разному. Для доказательства таких равенств обычно пользуются тем, что два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них содержится в другом (см. выше, п. 3). Так мы поступим и сейчас — докажем, что:
а) Ли(ВиС) С (ЛиВ)иС; б) (Лив)иС С Ли(ВиС).
Доказательство включения9 10 11 а) По определению ХСУ означает, что каждый элемент X есть элемент У. Но если xG/lU(Z?UC), то — по определению объединения — либо xG4, либо xGBUC.
Случай I xG/1. В этом случае, по определению объединения, xG.lUZ?. а отсюда — по тому же определению — xG(/UZ?)UC.
Случай 2. xGBUC. Тогда либо xG/?, либо xGC; из первой возможности — xGZJ — следует xGZUB, а отсюда —xG(/U/?)uC; из второй возможности — xGC — сразу следует xG(4U/?)UC. Итак, во всех возможных случаях имеем xG(/U/?)UC.
Доказательство включения б) аналогично, поэтому изложим его короче. Пусть xG(zlUB)UC. Тогда либо xG4UB, либо xGC.
Случай 1. xGL4UB. Тогда либо xGZ, либо xG/< Из XG4 следует xGZU(/?UC); из xG2? следует xG/JUC, а отсюда xGHU(BuC).
Случай 2. xGC. Тогда xGZJUC, а отсюда xGZU(BUC).
II.	AUB — Вил (коммутативность" объединения). Это свойство очевидным образом следует из определения объединения.
9 01 лаг. оиопо — «соединяю»
10 В к л io ч l* пнем называется всякое cooiношение вида PC.Q {подобно ючу, как соотношение вида Р= Qназывается равенством)
11 Oi лат. commute — «изменяю», «обмениваю».
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
111.	ЛП(ВПС) = (ЛПА?)ПС (ассоциативность пересечения).
Доказательство- а> Докажем, что А Г\(В ОС) С (Л О//) О С. Пусть уеЛО(Л'ОС). Тогда хе/ и xGZ/ПС, откуда следует, что ле/? и xGC. Но из хел и хе/? следует, что х€ЛОЯ, а отсюда и из хеС — что л-е(ЛО/ДПС.
б) Доказательство включения (ЛО//)ОС С ДО(/?ОС) предоставляется читателю.
IV.	ЛП/? = ДОЛ (коммутативность пересечения).
Очевидным образом следует из определения пересечения.
Благодаря коммутативности обг>сдинения и пересечения мы можем переставлять члены в выражениях вроде Ли/?, ЛИ/?, а благодаря ассоциативности — писать, например, вместо ДО(/?иС) иди
(ЛиЬ’)иС просто ЛО/?иС. Заметим, что Л,иЛ2и •• • иЛ„ = иЛ(,
л,пл2о ••• пл„ = плг
V.	ЛП(/?иС) = (АГ) В) U (ЛОС) (дистрибутивность12 пересечения по отношению к объединению).
Доказательство. Обозначим для краткости левую часть доказываемого равенства через М, правую — через N.
а)	Докажем, что MC1N. Пусть тогда х€ЕЛ и xG/?UC; последнее соотношение означает, что либо х^В, либо xGC. Если хС/?, то, поскольку хЕЛ, имеем х€ЛО/?, откуда х(Е(ЛП/?) U (/ЮС) = N. Если же xGC, точно так же получаем хЕЛПС, откуда xG/V.
б)	Докажем, что NC1M. Пусть xG/V; тогда либо хбЛГШ, либо хсЛПС. В первом случае хЕЛ и х€//; из х£2? следует xG/?UC, что вместе с х€Л дает х€ДГ1(7?иС) = М. Во втором случае рассуждаем аналогично.
Заметим, что доказанные свойства объединения и пересечения совершенно аналогичны известным свойствам сложения и умножения чисел, причем объединение соответствует сложению, а пересечение — умножению15.
Однако следующее свойство уже не имеет аналога в арифметике:
VI. Ли (/ЮС) = (ли/?) О (ЛиС) (дистрибутивность объединения по отношению к пересечению).
Доказательство. Обозначим левую часть через М, правую — через N.
а)	Докажем, что MCN. Пусть л'ЕМ; тогда либо х£Л, либо * 11
1_ О । ла ।. dislribuo - «распределяю».
11 Иногда объединение так и называют «сложением множеств», а пересечение — "умножением miюжеств»
30
ГЛАВА 1
xGZJDC. В первом случае сразу имеем хб/UB н хСЛЭС. откуда x6W. Во втором случае имеем х&В, откуда хелиД, и xGC, откуда XG.4UC: но х&АОВ и хЕЛиС дает xEN.
б)	Доказательство включения NC.M предоставляется читателю.
VII. Л = (Л\В) П (ЛГШ).
Доказательство. Обозначим правую часть через Р. Пусть хе Л; тогда, если хеД, имеем хеЛПЛ, откуда хеР, а если х(£В, то хЕА\В, откуда также хЕР. Итак, ЛСР. Пусть теперь хЕР; тогда либо х<ЕА\В, откуда хЕЛ, либохЕЛПР, откуда также хЕЛ. Итак, PC Л.
Отметим еше два очевидных равенства: AUA — А, ЛГ)Л = А.
Задача. Доказать, что:
(1) AUB = (А\В) U (В\А) U (АС\В);
(2) (Л\Р)ПС = (ЛПС)\Р.
10. Очень часто бывает, что рассматриваются всевозможные множества, являющиеся частями одного и того же множества В, и никакие другие множества не рассматриваются. Множество В называют в этом случае универсальным и для произволиного множества Л, содержащегося в В, разность обозначают через С Л и называют дополнением Л до В' если В все время одно и то же (как бывает чаще всего), слова «до В» опускают. Рассматривается также операция, состоящая в образовании по множеству А, содержащемуся в В, его дополнения (до L0; эта операция тоже называется дополнением (до В).
Основные свойства дополнения (в предположении, что все рассматриваемые множества содержатся в В):
1.	ССА = А.
Доказательство, а) Пусть хЕССЛ. Это значит, что хСВ и х^СЛ; но С А — это множество элементов В, не принадлежащих Л; поэтому xEt/ и х&СА дает хе л.
б)	Если хЕЛ, то х(£СЛ, но отсюда, поскольку хЕ£/, следует х<ЕВ\СА = ССА.
II.	С (АО В) = САСС В.
Доказательство, а) Пусть xeC(.-lUP). Тогда хфАОВ, а это значит, что х нс принадлежит ни А, ни В. Из х(£а — ввиду хЕР— следует хЕСЛ, а из х&В — хССВ. Итак, х&САССВ.
б)	Пусть хЕСЛПСЯ. Тогда хЕСЛ и хЕС’Р. Из хЕСЛ следует x$Lt, из хЕСВ — х^Р. Поэтому х(£лОВ, откуда xGC(AOB).
111.	С(ЛГ)/Д = слое в.
Доказательство предоставляется читателю.
Понятие дополнения и его свойства легко проиллюстрировать на рис. 1, если считать универсальным множество всех точек плоскости рисунка. Тогда СА и СВ будут представлять собой множества точек,
МНОЖГС1 ВА. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
31
псжаших вне соответствующих кругов, C(AUB) = СЛПСВ — множество точек, свободных от всякой штриховки, С(ЛГ)В) = = CAUCB — множество точек, заштрихованных только одной штриховкой или вовсе не заштрихованных.
Задача. Доказать, что С(А\В) = C4UZ?.
11. В математике (и не только в ней) часто приходится иметь дело с упорядоченными парами элементов того или иного множества, т. е. с парами, в которых одни элемент считается первым, а другой вторым- (В частном случае первый и второй элементы могут совпадать.) Например, координаты точки на плоскости — это упорядоченная пара действительных чисел, в которой первым элементом считается абсцисса, вторым — ордината. Упорядоченную пару с первым элементом О' и вторым элементом аг принято обозначать (&,, аг). Например, (3,-1) — упорядоченная пара, первый элемент которой — число 3, второй — число-1: (2.2) — упорядоченная пара, первый и второй элементы которой равны 2, и т. п.
Наряду с упорядоченными парами рассматриваются упорядоченные тройки, четверки и т. д. Обозначаются они аналогично: упорядоченная n-ка (подробнее — упорядоченная система п элементов14) с первым элементом вторым элементом а2, ..., п-м элементом а„ записывается в виде to,, «2,..., ап). Например, (2, 7, 6) — упорядоченная тройка с первым элементом 2, вторым элементом 7 и третьим элементом 6.
В повседневном жизни упорядоченные системы используются, когда нужно дать «имена» большому количеству однородных предметов, причем разные предметы должны иметь разные «имена». Так. номер телефона представляет собой упорядоченную п-ку элементов множества {0,1,..., 9} (число п в разных городах разнос); используемые в России почтовые индексы суть упорядоченные шестерки элементов того же множества15.
Нередко приходится иметь дело и с такими упорядоченными парами, тройками и т. д., в которых первые элементы берутся из одного множества, вторые — из другого, третьи — из третьего и т. д. Например, полное имя человека в России есть упорядоченная тройка, первый элемент которой принадлежит множеству личных имен, второй — множеству отчеств и третий — множеству фамилий.
Примечание. Внимательный читатель, вероятно, заметил, что мы не дали строгого определения упорядоченной п-ки (и даже упорядоченной пары), т. е. фактически ввели ешеодно неопределяемое понятие.
Упорядоченные системы часто называют также кортежами
То, что номера телефонов и почтовые индексы пишутся без запятых и без скобок, очевидно, несущественно.
32
ГЛАВА I
12. Пусть заданы п произвольных множеств: Л(, Л2, ..., АГ1(п > 2). Множество всевозможных упорядоченных «-ок вида (ар..., ап), таких, 4TOiz,GA], atlE.An, называется декартовым произведением'*' множеств А„ и обозначается А, х х А„ или ПА,. (В частном случае, когда п = 2, говорят: «декартово произведение At на Л2».) Например, если А = {а, Ь, с, d, е, f, g, h} и/?={!,..., 8}, то Ах В— множество, состоящее из 64 упорядоченных пар: {(а, 1), (<7, 2),..., (h, 8)}. (Если писать эти пары без скобок и без запятых, получим общепринятые обозначения полей шахматной доски.)
Декартово произведение А х х А называется «-ой дскарто-и раз
воа степенью множества А и обозначается А"; в частности, А х А = А2 называется декартовым квадратом А. Например, если R — множество действительных чисел16 17, то R2 — множество упорядоченных пар действительных чисел.
Операция, состоящая в образовании по множествам Л,, .... А„ их декартова произведения Д, X ••• х А„, называется декартовым умножением.
Важно заметить, что декартово умножение нс коммутативно, т. е. в декартовом произведении нельзя, вообще говоря18, переставлять сомножители. Например, если А = {0,1}, В = {1,2}, то А > В = = {(0,1), (0,2), (1,1), (1,2)}, В х д = {(1,0), (1,1), (2,0), (2,1)}.
Задачи. (1) Выписать все элементы множества
{«, б, с} х {и, в} х {б, <?}.
(2)	Пусть множество А состоит из т элементов и множество В из « элементов. Из какого числа элементов состоит множество А \ И!
(3)	Найти (и изобразить на чертеже) множество точек плоскости, координаты которых принадлежат множеству [1,4] х [2,3 I. (Здесь использовано введенное в задаче на с. 27 обозначение отрезка.)
(4)	Совпадает ли множество возможных в России полных имен людей с множеством И х С) х Ф, где И, О, Ф — множества возможных в России имен, отчеств и фамилий соответственно?
16 В честь великого французского ученого Рене Декарта (Rene Descartes., 1596— 1650), который впервые ввел в обиход математики упорядоченные системы.
17 Выражения вида «множество действительных чисел», «множество гочек плоскости» и т. л. означают «множество всех действительных чисел», «множество всех точек плоскости» и т. п., если только впереди не стоит слово типа «некоторое», «какое-либо», «любое», «всякое», «произвольное».
18 Выражения «вообще говоря, нельзя», «вообще говоря, не является» ит. и. означают «не всегда можно» (т. с. есть случаи, когда нельзя, и, может быть, есть и такие, когда можно), «не всегда является» и г. и.
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
33
§1.2 ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
1. Теперь мы должны познакомиться еше с одним важнейшим математическим понятием — понятием отношения19. Мы введем это понятие как неопределяемое и поясним его на примерах из естественного языка и элементарной математики.
В естественном языке много слов, обозначающих различные отношения между двумя лицами, между лицом и предметом, между двумя предметами и т. п. Например, в каждой из следующих фраз выделенное слово обозначает некоторое отношение: Миша с т а р-ш е Вани; Это дерево в ы ш е, чем то; Мать любит сына; Ученик уважает учителя; Анна — ж е и а Ивана; Петров — подчиненный Сидорова; Пушкин — автор «Евгения Онегина»; Книга принадлежит библиотеке; Деревня расположена на берегу. Некоторые из этих слов выражают отношения между объектами одной природы (например, «подчиненный»: вопрос «Является ли X подчиненным У-a?» имеет смысл только тогда, когда X и У — люди), другие — отношения между разнородными объектами (например, «автор»).
В математике также приходится иметь делос отношениями между элементами одного и того же или различных множеств. Например, «лежит на» во фразе «точка .1 лежит на прямой /» выражает некоторое отношение между элементом множества точек пространства и элементом множества прямых в пространстве; «параллельна» во фразе «прямая I параллельна прямой т» выражает отношение между двумя элементами множества прямых в пространстве. Если прямая / параллельна прямой т, можно сказать, что/и т «связаны» отношением параллельности, или «находятся» в этом отношении. Для произвольного отношения R также говорят: «х и у связаны отношением R», или «х и у находятся в отношении /?»; короче это записывают так: xRy. Здесь R может представлять собой либо словесное обозначение отношения — «х параллельна у», «х меньше у» и т. п., либо символическое — х < у, х = у и т. п. Множество, из которого берется первый из связанных отношением R элементов — тот, обозначение которого пишется слева от R — мы будем называть областью первых элементов или областью отправления отношения R, а множество, из которого берется второй элемент — областью вторых элементов или областью прибытия R. Если Р и Q — соответственно области отправления и прибытия отношения R и при этом
Иногда имеет «отношение» говорят ^соотношение».
34
ГЛАВА I
xGP и yE.Q, то x и у могут находиться или не находиться в отношении R, но, во всяком случае, вопрос «находятся ли х и у в отношении Я?» должен иметь смысл. Например, для рассмотренного выше отношения «лежит на» областью отправления служит множество точек, а областью прибытия — множество прямых; для отношения «быть автором» область отправления — множество людей, область прибытия — множество произведений человеческого ума и рук.
Если область отправления и область прибытия отношения совпадают, т. с. равны одному и тому же множеству М. мы говорим, что отношение задано на множестве М. Примерами могут служить отношение параллельности, заданное на множестве прямых, отношение < («меньше»), заданное на множестве действительных чисел, отношение = («равно»), также заданное на множестве действитель
ных чисел.
Если R — отношение с областью отправления Р и областью прибытия Q, то множество {(х, у) I xGP, yeQ, xRy} (содержащееся, очевидно, в Р х Q) называется графиком отношения R. Так, для отношений < и =, заданных на множестве действительных чисел, графиками будут множества {(х, у) I х < у] и {(л-, у) I х = у} соответственно. Пара (Пушкин, «Евгений Онегин») принадлежит графику отношения «быть автором», а пара (Пушкин, «Ревизор») не принадлежит.
Если отношение R задано на множестве действительных чисел,
координаты которых принадлежат
то множество точек плоскости,
графику отношения R (т. е. точек с координатами х. у. где xRy). обычно тоже называют графиком отношения R. Таким образом, можно сказать, что графиками отношений = и < служат соответственно биссектриса первого и третьего координатных углов и полуплоскость, расположенная выше этой биссектрисы (см. рис. 2).
Если R — отношение с областью отправления Р и областью прибытия Q, то множество тех элементов Р, которые связаны от
ношением R с какими-либо элементами Q. называется областью
определения отношения К, а множество тех элементов Q, которые связаны отношением R с какими-либо элементами Р,— множеством значений отношения R. Иногда область определения совпадаете
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
35
областью отправления и множество значений — с областью прибытия; так обстоит дело для рассмотренных выше отношений «лежит на», — , <• Но это нс всегда так. Пусть, например, Tv — следующее отношение, область отправления которого есть множество Г городов мира и область прибытия — множество Б русских букв: xTtiy тогда и только тогда, когда русское название города х начинается и оканчивается буквой у. Ясно, что область определения /’, отношения То есть соб-ствснная часть Г, а его множество значений Б, —собственная часть 7>; читатель сам укажет примеры городов, не принадлежащих Г,, и букв, не принадлежащих />г Другой пример: пусть К — следующее отношение, заданное на множестве действительных чисел: хКу тогда и только тогда, когда х2 4- у2 = I. Легко убедиться, что область определения и множество значений отношения К совпадают с сегментом (- I, 1 |. (Заметим, что графиком этого отношения служит — в силу теоремы Пифагора — окружность радиуса 1 с центром в начале координат.)
Отношение Т называют обратным для отношения R, если хТу тогда и только тогда, когда yRx. Отношение, обратное для /?, обозначают обычно R~'. Очевидно, область отправления (область определения) отношения R является областью прибытия, сответствеино множеством значений IV', а область прибытия (множество значений) R — областью отправления, соответственно областью определения /?-120; в частности, если R задано на множестве Л/, то и R~' задано на том же множестве. Ясно, что отношение R является, в свою очередь, обратным для R~'; поэтому говорят, что R и R~' взаимно обратны.
Примеры: для отношения < обратное отношение есть >, для «лежать на» — «проходить через» («прямая / проходит через точку Л» означает то же, что «точка Л лежит на прямой /»), для «быть женой» — «быть мужем». (Имеются и такие отношения, которые сами себе обратны — например, равенство, параллельность, приведенное выше отношение КЗ
Задачи. (1) Пусть S — отношение с областью отправления {0. 1,..., 9} и областью прибытия {«. б.я}, определяемое так:
х5у означает, что русское название цифры х начинается с буквы у. Выписать все элементы графика .$ и все элементы множества значений б.
(2) Пусть Rt и R2 — отношения, заданные на множестве действительных чисел и такие, что xRty означает х = у2. xR2yозначает
Выражение вида «Л(I?) есть Ль соответственно /А» означает «.1 есть Ли а Весть
36
ГЛАВА 1
Ixi = lyl. Найти и изобразить на чертеже графики этих отношений; найти их области определения и множества значений.
(3) Найти графики отношений, обратных отношениям задач (1) и (2). Изобразить графики отношений /?“' и R^1 на чертеже.
2. Сделаем теперь следующее отступление. Одной из характерных особенностей математического языка является широкое употребление буквенных обозначений, т. е. использование букв21 для именования различных объектов. Иногда буквы служат «собственными именами» — например, буква л обозначает одно вполне определенное число, подобно тому, как слово «Торжок» обозначает один вполне определенный город. Но такое употребление букв является исключением; в роли «собственных имен» в языке математики чаше выступают другие символы: цифры и последовательности цифр, специальные значки вроде +, уГ, стандартные буквосочетания — log, sin и т. п. Буква же обычно служит переменной, т. е. обозначает произвольный объект того или иного типа — число, точку, прямую, множество и т. п. (Иначе говоря, объект, обозначаемый данной буквой, может изменяться; отсюда и термин «переменная».) При этом каждый раз специально указывается, какого рода объекты имеются в виду; как правило, переменная обозначает произвольный элемент некоторого множества, которое называют в этом случае областью изменения данной переменной и говорят, что переменная изменяется в этом множестве, или принимает значения в нем, или пробегает его. Элементы области изменения переменной называют значениями этой переменной. Однако указание о том, что означает данная переменная, т. с. какова ее область изменения, всегда является «временным»: оно имеет силу только в пределах некоторого отрезка математического текста, чаще всего — одного рассуждения или одной формулировки. За пределами этого отрезка та же буква может уже означать что-либо другое — что именно, должно быть снова указано в тексте. Нередко в том или ином месте рассуждения произвольно выбранное значение какой-либо переменной фиксируется, т. е. объявляется до окончания какого-то этапа рассуждения неизменным; часто бывает также, что выбор значения одной переменной зависит от выбора значения другой (подробнее об этом см. в следующем пункте). Но и в этих случаях сохраняется главная особенность употребления переменных: у них нет своих собственных, раз навсегда связанных с ними значений (в отличие от таких символов, как 1, +, sin и т. п.); что означает та или иная
21 Иногда с индексами — дополнительными значками, цифровыми или тоже буквенными (помещаемыми чаще всего справа внизу): Хь а?, Ьп ит. н., а также с дополнительными значками иного вида: х', а*, у, 3 и т. п.
МНОЖЕСТВА, 01 ПОПП-НИЯ И ФУНКЦИИ	37
переменная, можно узнать только из контекста. Это сближает переменные с местоимениями естественного языка: «он», «этот», «такой» и г. п., которые представляют собой слов а-з а м е с т и т е л и. также не имеющие «своих собственных» значений и могушис обозначать «что угодно» в зависимости от контекста.
3. М ы подошли теперь ко второму по важности (после множества) математическому понятию — функции. Мы введем его на базе понятия отношения.
Отношение называется функциональным, если каждый элемент его области определения связан этим отношением не более чем с одним элементом области прибытия — или, что то же самое, если каждый элемент его области определения связан данным отношением ровно с одним элементом множества значений,
функциональное отношение обычно называют просто функцией22 *.
функцию (функциональное отношение) /'естественно представлять себе как некоторый «закон с о о т в с т с т в и я», по которому каждому элементу а области определения отношения F «сопоставляется» (или «ставится в соответствие») строго определенный элемент множества значений — а именно тот единственный элемент Ь, который связан с а отношением F, т. с. тот, для которого справедливо aFb. Этот элемент b обозначается F(a) (читается: «F от и называется образом элемента а; этот последний, в свою очередь, называется прообразом элемента Ь. Прообраз, в отличие от образа, не обязан быть единственным. Множество всех прообразов элемента b называют полным прообразом этого элемента. Вместо b= F (а) пишут также Ь, а если функция предполагается известной — просто а н> Ь. Если т и г — переменные, пробегающие соответственно область определения и множество значений F, то х называют независимой переменной, или аргументом^, а у — зависимой переменной. Если а — произвольное значение независимой переменной, т. е. произвольный элемент области определения функции F, то естественно сказать, что соответствующее значение b - Fta) зависимом переменной зависит от а (подробнее — «зависит по закону />»: этим и объясняются названия «независимая переменная» и «зависимая переменная». Вместо «функция /» часто говорят и пишут «функ
От лат. fungor— «выполняю, совершаю» (некоторое действие, paooiv). Выбор Термина обусловлен тем, что с понятием функции первоначально связывалось иред-Сгавдсцце о некотором действии, превращающем значение аргумента в значение за Мисимой переменной
От ла г. argumentum — «то. о чем идет речь» (oi arguo «утверждаю»), ctxici пенно «содержание, предмет, сюжет литературных) произведения» (Другое значение ь-’Юва argumentuni — «довод, доказательство»; отсюда русское «аргумент» — «до-*«».)
38
ГЛАВА I
ция F(x)» (читается: «F от л») или «функция у = /?(х)», причем подразумевается, что л — независимая, а у — зависимая переменная24. (Разумеется, вместо хи у можно использовать любые другие буквы!) Если х0 — какое-либо значение независимой переменной, то значение у0 = F(x0) зависимой переменной (т. е. образ х0) называют значением функции F, соответствующим х() (иначе — значением функции при значении аргумента, равном х0).
Примеры функций. (1) Пусть хМу означает «у— мать х-а». Областью отправления отношения М можно считать множество людей, областью прибытия — множество женщин. Очевидно, отношение М есть функция (поскольку у каждого человека только одна мать).
(2)	Рассмотренное на с. 35 отношение То есть функция.
(3)	Отношение =. заданное на множестве действительных чисел К, также есть функция.
(4)	Отношение/), заданное на том же множестве R и такое, что означает у = х + 1. является функцией: очевидно, для каждого действительного числа х имеется только одно число у, равное л- + 1.
(5)	То же верно для заданного иа R отношения/,, где х/зуозна-1 - ' \ чает у — — для каждого действительного х имеется не более
одного у, равного — (хотя не для всякого х такое у существует! ).
(6, 7) То же верно для заданных на R отношений /, и /4, где л/,у означает у — х2 и xf^y тогда и только тогда, когда либо х < 0 и у = х + 1, либох >1 иу = х2 + 1. (Обратить внимание, что область определения /, не совпадаете R, как и выше для /,!)
(8) Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть v обозначается |л|. (Например: |0|-Щ =0; |3|=|3,5| = 3; [-1,6 I - |-2 | = -2.) Если л/5у означает у = |х| . то отношение /, является, очевидно, функцией.
(9) Пусть л/(у (х и у — действительные числа) означает у = 1. Очевидно, /6 есть функция.
24 В обозначениях нскоюрых часто ВС1реч«к)1цихся и матима i икс функции скобки принято опускать (пример — 1рип>ипме'1рические функции: sin .v вместо sin(х), cos х и । н ).
МНОЖЕС’1 ВЛ, ОТНОШЕНИЯ И ФУHKI1ИИ	39
Замечание. Для конкретных функций наряду с обозначениями стандартного вида F(x) или Fx (см. сноску на с. 38) часто пользуются обозначениями, устроенными иначе. Все эти обозначения имеют вид .х... илиу = ...х..., где ...х... — символическое выражение, содержащее независимую переменную х, а у— зависимая переменная. При этом выражение ...х0..., получаемое из ...х... подстановкой вместо переменной х некоторого ее значения х0, служит обозначением соответствующего значения функции. Например, рассмотренная только что функция Д обычно обозначается просто х + 1 или у = х + 1, функция /2 обозначается или У = ~» функция Д — х2 или у — х2, функция /5 — |л ] или у — (х J, функция/6 — у = 1 (так что выражение в правой части равенства может даже не содержать х; это возможно лишь тогда, когда все значения функции одинаковы). Функция - обозначается у = х. Другие примеры подобных обозначений: V7, а\ х2 + х + 1.
В большинстве случаев при задании функции не указывают ее область отправления, ограничиваясь указанием области определения и области прибытия25. Таким образом, чтобы задать функцию, достаточно задать ее область определения и область прибытия и для каждого элемента области определения указать соответствующий ему элемент области прибытия. Если F — функция с областью определения А и областью прибытия В, говорят, что F отображает множество во А множество В26; если при этом множество А значений F совпадает с В, говорят, что Fотображает А на В. Вместо «функция, отображающая множество А в (на) множество В» говорят также «отображение множества А в, соответственно на, множество В», (Обратите внимание, что «отображение на» — частный случай «отображения в»). Отображение, множество значений которого совпадает с областью прибытия, часто называют сюръективным; вместо «сюрьсктивное отображение» говоря также «сюръекция».
(Таким образом, фраза типа «данное отображение А в В сюръективно» означает «данное отображение А в В есть отображение А на В.)
Вместо «Тесть функция, отображающая А в (на) В» (или: Тесть отображение А в (на) В) нередко пишут символически F: А В.
25 Что касается множества значений, то его нет надобности задават ь особо — оно полностью определяется заданием области определения и самой функции («закона соответствия»).
26 Иногда говорят еще и так: «/-’осуществляет отображение А и В». Это — обычное в естественном языке так называемое синонимическое преобразование, по-русски «отображать» = «осуществлять отображение», так же, как «ремонтировать» = «произ-в°.1ить ремонт», «путешествовать» — «совершать путешествие», «уважать» = «испыты-Ватъ уважение».
40
ГЛАВА 1
соответственно F: А В (Обратить внимание на различие между стрелками здесь и на с. 37!)
Если областью определения функции F является множество Л, говорят, что F определена на А.
Примеры. Пользуясь обозначениями вышеприведенных примеров (1) — (8), мы можем записать: М : Н -> F, где Н — множество всех людей и F — множество всех женщин; То : Г •* В (см. пункт 1);
/, : R R (здесь и далее R означает множество действительных чи-cen);/2:R\{0} ™ R\{0};A:R -* R;/4:R\|0, I | R; /5:R Z, где Z — множество целых чисел; /6:R -* R. Заметим, что для функций М, TQ, fs, fi-> f(, нельзя заменить -> иа читателю предоставляется найти множества значений функций /3, /4 и /б.
График функции F — это, в соответствии с общим определением графика отношения (пункт 1), множество всех тех упорядоченных пар (х. у), для которых у= F(x). Если D — область определения функции, то для каждого xG£> график функции содержит, очевидно, только одну пару с первым элементом х.
В частности, пусть область определения и множество значений функции F состоят из действительных чисел, так что F можно рассматривать как отношение, заданное иа множестве R; для таких отношений в пункте I было указано геометрическое представление графика. Тогда приведенное только что свойство графика функции можно сформулировать так: всякая прямая, параллельная оси ординат, пересекает график функции не более чем в одной точке.
Если F — произвольная функция, т. е. функциональное отношение. то обратное ему отношение F~' может, вообще говоря, не быть функциональным. Если же оно является функциональным, его естественно назвать функцией, обратной для F. Так, для функции /, (см. выше) обратное отношение функционально — иначе говоря, существует обратная функция Е-1 (а именно, у =	= х — I27),
а для функции Д обратное отношение не функционально, т. е. обратной функции ие существует (доказать это!). Читателю предоставляется для каждой из остальных вышеприведенных функций найти обратную или доказать, что ее не существует.
Если F — функция с областью определения А и множеством значений В, то для произвольного ССД множество образов всех его
27 С таким же успехом можно было бы написатьх = / '(у) = у - I или, скажем.
МНОЖ1:СТВЛ, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
41
элементов называется образом множества С, а для произвольного рСВ множество всех прообразов всех его элементов называется прообразом множества D.
Примеры. Для функции у = х + 1 с областью определения R образом отрезка (0, 1J является отрезок [ 1, 2 J, прообразом — отрезок [—1,0]. Для функции у = х2 с областью определения R полным прообразом всякого числа а > 0 является двухэлементное множество {—у/a, уГо} образом отрезка £—1, —	—отрезок lj,
прообразом отрезка lj — множество 1, - —J U . Для функции у = sin х с областью определения R полным прообразом
числа 1 является множество + 2лп I п = 0, ±1, ±2, образом
отрезка [0, j] — отрезок [0, 1 J, прообразом отрезка 10, 1J — объединение всевозможных отрезков вида |2л/7,л (2н + 1) ], где п = 0, ± 1, ±2, ....
Задача. Пусть F— функция с областью определения А и множеством значений В н пусть: С„ С2СЛ; £>„ О2СВ, Доказать, что; а) образ объединения С, и С2 равен объединению образов С, и С2; б) образ пересечения Q и С2 содержится в пересечении образов С, и С2; в) прообраз объединения D, и D2 равен объединению прообразов D} и £>2; г) прообраз пересечения D, и Г), равен пересечению прообразов D, и £>2.
Введем еще несколько важных понятий, относящихся к функциям. Пусть F:D^R, т. е. F есть функция, отображающая множество D в множество R — или, иначе, отображение D в R. Говорят, что функция F отображает D в R взаимно однозначно, или что отображение F является взаимно однозначным, если прообразы различных элементов R различны (т. е. каждый элемент R имеет не более одного прообраза) — или, что то же самое, если существует функция, обратная для F (можно сказать также «отображение, обратное для /'»). Синонимы слова «взаимно однозначный»: «одно-однозначный»', «инъективный». Вместо «взаимно однозначное» (или «инъективное») отображение говорят также «инъекция».
Отображение, являющееся одновременно инъективным и сюръективным, называется биективным (так что фраза «отображение F Множества А во множество В биективно» означает то же, что «F есть взаимно однозначное отображение А на В» или « F: А ™ В и /'взаимно однозначно»). Вместо «биективное отображение» нередко говорят
42
ГЛАВА I
«биекция»2*. Употребляется также термин «взаимно однозначное (или одно-однозначное) соответствие между А и В», означающий то же, что «взаимно однозначное отображение А на В».
Пусть, далее, F — отображение множества А во множество В и G— отображение множества В во множество С. Тогда каждому xGA отвечает единственное у = Е(х) ^В, а этому у, в свою очередь — единственное z = 6(у) = G(F(x))GC. Определим теперь новое отображение Н:А-*С, положив для каждого х€=Д соответствующий образ Н(х) равным G(F(x)). Это отображение называется композицией28 29 отображений F и G или произведением отображения F па отображение G и обозначается F°G. Таким образом, F°G(x) = G(F(x)). Если F: А В и G : В "* С, то очевидно, F ° G: А С.
Отображение Е множества А на себя называется тождественным, если Е(х) = х для каждого xGA. Если F: А В и Е(Е'~) есть тождественное отображение А, соответственно В на себя, то, очевидно, E°F = F°E’ ~ F. Очень важно также заметить, что если F: Л ,J» А и F взаимно однозначно, то F°F~' — F~'°F = Е, где Е — тождественное отображение А на себя.
Пример: подстановки.
Отображения множества (1,2, „., п} (п = 1, 2, ...) на себя называются подстановками степени п. Если F— подстановка и F(i) - j, говорят, что Fпереводит i в/; если при этом i = j — т. с. /’переводит i в себя,— говорят, что F оставляет i на месте. Для подстановок принят следующий весьма наглядный способ записи: числа 1, 2,п выписываются в строку без повторений в каком угодно порядке и под каждым числом пишется его образ. Полученную таблицу обычно
/12345'|	/2543П
заключают в круглые скобки. Например 24315 = 45132 есть подстановка пятой степени, переводящая 1 в 2. 2 в 4.4 в 1 и оставляющая на месте 3 и 5. Такую запись подстановки мы назовем стандартной. Число различных стандартных записей одной подстановки степени п равно числу различных строк без повторений — т. е. перестановок — из чисел 1,2, .... п.
Всякая подстановка есть взаимно однозначное отображение. Действительно, поскольку подстановка отображает множество
28 Термины «сюръекция», «инъекция», «биекция» образованы от основы пассивного причастия латинского глагола jacio — «бросаю» с приставками stir- (<н французского лиг — «на», «над»), in- («международная» приставка латинского происхождения, приблизительно соответствующая русской «в-»; ср. термин «инъекция» в медицине), bi- («международная» приставка латинского происхождения, означающая «дву-»; ср «биплан») (От той же основы: «объект», «субкек»», «проект», «проекция» )
29 От лат. compositio — «составление», «соединение»
МНОЖ1Х’ТВЛ, О (ШИПЕНИЯ И ФУНКЦИИ
43
{1 2. ...» н а себя, в нижней строке стандартном записи присутствуют все элементы этого множества; следовательно, в ней нет повторении30, т. е. образы различных чисел различны. Этот факт
можно иначе выразить так: для всякой подстановки степени п существует обратная ей подстановка степени п. (Заметим, что если в
стандартной записи подстановки Fпереставить строки, то получится стандартная запись подстановки F"’.)
Задачи. (1) Выписать все подстановки 1-й, 2-й, 3-й, 4-й степени
(каждую в какой-либо одной стандартной записи).
(2) Как из стандартных записей подстановок F и G получить стандартную запись подстановки f°G2 Найти всевозможные попарные произведения подстановок 3-й степени.
(3) Принятый для подстановок способ записи можно использовать для произвольных отображений, у которых области определения и области прибытия заданы перечислением элементов. Например, отображение F:{1, 2, 3}	{«, б, в}, такое, что F(l) = F(3) = б,
fl 23'1
F<2) - и, можно записать в виде , J. Пользуясь этой записью: а) выписать все отображения множества {1,2, 3} в себя; б) выписать все отображения {и, б, в} в {0. 1}. Какие из отображений а) и б)
сюръективны?
4. Выше, в пункте 1, говоря об отношениях, мы для простоты ограничивались теми из них, в которых участвуют только два объекта. Однако в естественном языке есть и такие слова, которые выражают отношения между тремя объектами — например, дал (кто — что — кому: Иван дал книгу Петру), науч и л (кто — кого — чему; Отец научил сына грамоте), рассказал (кто — кому — о чем: Ваня рассказал Мише о своей работе), между четырьмя — купи л (кто — у кого — что — почем: Иван купил у Петра корову за сто рублей), и даже между пятью — а р с н д о в а л3' (кто — У кого — что — на какой срок — за какую плату: Смит арендовал у Джонс:! пять акров земли на два года за двести фунтов).
В математике также встречаются отношения между тремя, четырьмя и более объектами. Например, если Л, И, С — точки, лежащие на одной прямой, то фраза «С лежит между А и /£» выражает определенное отношение между этими тремя точками; фраза «прямые к и I пересекаются в точке /1» выражает отношение между тремя объектами, два из которых — прямые, а третий — точка; если а, Ь, с— числа, то выражение а + h — с представляет собой утверждение о том, что между данными числами имеется определенное отноше-
10 г,	,
В самом деле, если ом какое-ниоудь число потерялось дважды, то для какого-’о другого не хватило бы места.
Пример 1О.Д. Апресяна.
44
ГЛАВА f
ние: сумма первых двух равна третьему; аналогично для выражений
а ~ b — с, а-b = с и т. п. Отношение пропорциональности: —	—
связывает уже четыре объекта.
В дальнейшем, говоря об отношениях, мы будем подразумевать отношения между любым числом объектов. Отношения между двумя объектами называются бинарными32, или двуместными, между тремя объектами — тернарными33, или трехместными; отношения, в которых участвует точно «объектов, п ~ 2, 3,.... называются «-арны-ми или «-местными.
Многие понятия, введенные выше в связи с бинарными отношениями, можно непосредственно обобщить на случай произвольных отношений. Именно: для произвольного «-арного отношения R говорят: «л,, х2, ..., х„ связаны отношением» или «х„ х2, ..., х„ находятся в отношении R»; множество, из которого берется первый (второй, третий и т. д.) из связанных отношением элементов, мы будем называть областью первых — соответственно вторых, третьих и т. д. — элементов отношения R; если для «-ариого отношения R области первых, вторых,..., «-х элементов совпадают с одним и тем же множеством М, мы говорим, что R задано на множестве М. Графиком «-арного отношения R называется подмножество декартова произведения М(х ... хЛ/„, где (г - 1,..., «) — область г-х эле-
ментов R, состоящее из всех тех упорядоченных л-ок (х„ ..., х„), для которых ..., х„ связаны отношением R.
Примеры. 1) Для тернарного отношения «х и у— отец и мать z-a соответственно» область первых элементов есть множество мужчин, область вторых элементов — множество жен шин. область третьих — множество людей.
2) Графику отношения «наибольший общий делитель чисел х и у равен г», заданного на множестве целых чисел, принадлежат, например, упорядоченные тройки (42, 60, 6), (-15, 10. 5), (3, 18, 3) и не принадлежат тройки (10, 6, 3), (-2, 4, 4).
3) График заданного на множестве действительных чисел отношения х + у + z = и содержит, например, упорядоченные четверки (2, 1, 5, 8), ( V3, — V3, 0, 0) и нс содержит четверок (2. 1,5, 6), (U.-i.vij.
Теперь мы можем обобщить также и понятие функционального отношения (функции).
(« +1)-местное отношение (« = 2,3,...) называется функцио-
12	>
От лат.Амш — «по два».
* Отдан term — «но 1ри».
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
45
нальным, если ни для какой упорядоченной л-ки (х„ хг) ие может существовать более одного у, такого, что х(.х„, у связаны данным
отношением.
Если в этом определении допустить также значение «, равное единице, и при п = 1 вместо упорядоченной м-кн брать просто х„ то введенное в пункте 3 понятие функционального бинарного отношения окажется частным случаем введенного только что общего понятия функционального отношения. (п + 1)-местное функциональное отношение обычно называют функцией п переменных34. В частности, функции одной переменной — это то же самое, что «просто» функции, рассматривавшиеся в пункте 3.
Иногда мы будем называть функцию п переменных также «-местной функцией и будем говорить, что се вместимость равна п. (Таким образом, «функция» и «функциональное отношение» — не полные синонимы: «двуместная функция» — то же, что «трехместное функциональное отношение».
Многие из введенных в пункте 3 понятий и обозначений можно теперь распространить на случай любого числа переменных. Прежде всего, областью определения и множеством значений функции (функционального отношения) F называются соответственно множество тех упорядоченных л-ок (х,.х„), для которых существуют
у, такие, что х„ х„, у связаны отношением F, и множество тех у, для которых существуют хр ..., х„, такие, что х,.хп, у связаны от-
ношением F. Если л-ка (ц,, ..., принадлежит области определения функции F, то тот единственный элемент b множества значений Л который связан с а„... а„ отношением F, обозначается F(at, ..., а,); саму функцию обозначают F(xt, ..., х„) (читается: «For хр хи») или у= Г(хр ..., хп), где хр ..., х„ — переменные, такие, что л-ка (х„ .... х„) пробегает область определения F, и у— переменная, пробегающая множество значений F. Переменные хп хп называют здесь независимыми переменными, или аргументами, а >—зависимой переменной. Если х°, .... х„ — какие-либо значения независимых переменных х„ ..., х„ соответственно, то значение у° = Е(х‘!, ..., х") зависимой переменной называют значением Функции F, соответствующим значениям х®, ..., х® независимых переменных.
Область z-х элементов (i = 1, п) функции (функционального отношения) Е(Хр ..., х„) иногда называют областью изменения
34
Иногда говорят «функция о т п переменных».
40
ГЛЛВЛ I
переменной х,. Чтобы задать функцию п переменных, достаточ-нозадать ее область определения и для каждой упорядоченной л-ки значений независимой переменной указать соответствующее значение функции
График функции у= F(x{, .... х„) есть, в соответствии с общим определением графика отношения (см. выше), множество тех упорядоченных систем (ц, ..., </,,♦ Л), для которых справедливо равенство b — F{af, ап).
Примеры. 1) Пусть d(x, у) означает наибольший общий делитель целых положительных чисел х и у. Область определения этой функции есть Z^. где Z+ — множество целых положительных чисел; множество ес значений есть Z+. Имеем, например, <7(42, 60) = 6; da, 10) = 2; </(5,8) = 1.
2)	Площадь прямоугольника есть функция длин его сторон х и у; обозначая эту функцию через S(л, у), имеем: .S’(x. у) = ху. Область определения функции 5 (х, у) есть R*, где R+ — множество положи тельных действительных чисел; ее множество значений есть R+.
3)	Окончание русского прилагательного (точнее, полного прилагательного в положительной стрепсни) зависит от его основы (например, основа прилагательного белый есть пел-, основа прилагательного настольный — настольн-) и четырех грамматических характеристик. по которым прилагательное согласуется с существительным: рода, одушевленности/неодушевленности, числа и падежа. Иначе говоря, окончание русского прилагательного есть функция пяти переменных х, у, z, и, v, где переменная х пробегает множество всевозможных основ русских прилагательных (довольно обширное, но конечное и вполне обозримое), переменная у пробегает множество {.чуж, жен. ср}, переменная z — множество {одуш, неодуш}, переменная и — множество {ед, мн} и переменная и — множество {им, род, дат, вин, те, предл}. Смысл обозначений здесь ясен. Обозначив эту функцию Fl(x, у, z, и, и), мы будем иметь, например:
Г1(болыи~. муж, одуш, ед, вин) — -ого:
П(больш-. жен. z, ед, вин) = -у/о прн любом значении z: П{маленьк-, у, z, мн, те} = -ими при любых значениях у и 2.
4)	Если и -fix, у, z) = х + у + z — функция с областью определения R*, где R — множество действительных чисел. то/(1, 1, 2) - 4,
f ИТ. п.
Обычно говорят просто «функция н = х 4- у + z<>. «функция Z = хр> и т. п.
Заметим, наконец, что при п '' 1 функция п переменных превращается в функцию н — 1 переменных, если значение одной из пере-
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ	47
мснных фиксировано. Например, из функции трех переменных и = л’ + у + z получаем, полагая у — 2, функцию двух переменных w == л + z + 2, а из этой последней, полагая z — I,— функцию одной переменной и — х + 3.
Задача. Найти множества значении следующих функций с областью определения Z2, где Z — множество целых чисел:
(a)	z = 3(л + у);
(б)	z — г\(х, у), где г{(х, у) — остаток от деления суммы л: 4- у на 3.
Задачи и упражнения
1) Для каждого из следующих множеств выписать все его элементы (а) {ш|ш — целое. —5 < tn < 5},
(б) {p'vlp. у — простые числа, р < 6. у < 10 },
<в) (л-|?-(л2 + 2л - 8) = 0),
(i	) {к + l\k, I— положительные делители числа 12).
2)	По образцу равенства {I. 3, 5. } = {2в—1|я = I, 2, } наши трутне способы задания для следующих множеств
(б) (0 3 8, 15, 24, . },
(в> {2* + 3|£ = 0 1. 2. }.
3)	Для каждого из следующих множеств выписать вес его элементы-
(u	) {X | {а. 6} С V С {а, б. в, г)}.
(б) {Д|Д С {а. б, в, г. О), а&А, оЕЛ):
(в) {Д | А С {а. б, в, г, <)}, [с/, 6}£А}‘
4) (а) Каким условиям должны удовлетворять числа а. b, с, d, чтобы было [а. б| С 1с. d]9
(б) Тог же вопрос для включения (а, Ь) С (с с!}
(в) То же для включения (a, b) С |с, </).
(1) То же для включения |с/, б) С (с, d)
5)	Найги
(а)	|1, 3J А |2, 6],
(б)	|1, 3| U |2, 6|;
(в)	| I, 31\|2, 61;
(D [2, 6]\Ц, 31.
6)	Доказать, что:
а)	1-1. 5]\(0, 1| = |-1, 0|U< 1. 5|;
б)	(|0, 2|U|4 6|)А|1. 7) = ||, 6|\(2, 4)
В задачах 7) — 15) требуется доказать справедливость выписанных равенств для произвольных множеств
7)	.V. (TUZ) = (X\Y)A(X\Z).
означает «нс содержится в»
48
ГЛАВА 1
8)	X\(mZ) = (X\y)U(X\Z).
9)	(X\Z)Ct(Y\Z) = (XAY)\Z.
10)	X\(Y\Z) = (X\y)U(XAZ)
11)	XUY = Хи(У\Х).
12)	XAY = Х\(Х\У)
13)	Х\(У\Х) = X.
14)	CXUY - CXU(XAY) = C(X\Y).
15)	CXAY = CX\CY.
16)	Доказать, что:
а)	Тогда и только тогда XCZ и YCZ, когда XUYCZ;
б)	Тогда и только тогда ХСУ и XCZ, когда XCYAZ.
17)	Доказать, что равенство У = (ХАСУ)и(УПСХ) равносильно X =0.
18)	Всегда ли справедливо (X\y)UZ = (XUZ)\(yuZ)?
19)	Показать на примерах, что.
а)	не всегда (XUY)AZ = (XUZ)Ar,
б)	не всегда (ХАСГ)и(УАСХ)СУ:
в)	при ХГ)У * 0, YC\Z * 0. XAZ * 0 возможно X(YYC\Z = 0
20)	Для конечного множества X будем обозначать число его элементов через MX). Доказать, что MXUT) = MX) + МП “ МХАУ).
21)	Доказать, что:
(а)	AAUB( = и(ДАД);
(б)	ли ад = п(див4).
22)	Доказать, что если AiGAiG .. GA„, то ПА — A. UA — А. <=|	«=i
23)	Пусть N, = {i, I + 1, I + 2, ...) Доказать, что AN, = 0.
24)	Пусть N = {1, 2, ...) и для каждого л = 0, 1, N„ есть множество тех целых положительных чисел, коюрыс делятся па 2", но не делятся на 2”+ . Доказать, что
(a)	UN,, = N;
(б)	AN,, = 0. и=0
25)	Найти и избразигь на чертеже множества точек плоскости, координаты которых принадлежат множествам.
(а)	{-1, 0. I, 2)2;
(б)	[0. 1 |х{0, 1).
26)	Доказать, что-
(а)	при непустых At, А, тогда и только тогда Ах ... хА„ С С /?1х .. x/i,„ когда А|С/?Ь .. .
МЦОЖЕСГВЛ. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
(б)	при непустых А и В тогда и только тогда АХИ = ВхА, когда л = в.
27)	Выписать все элементы областей определения, множеств значении и графиков следующих бинарных отношений:
(а)	Отношения Rt, заданного на множестве Б русских букв: xRiy означает, что в слове «парапсихологический» имеется буквосочетание XV.
(б)	Отношения Rj. заданного на множестве Z целых чисел xRjy означает, что х + у — Х’у
(в)	Отношения Rj с областью отправления Ь и областью прибытия / хВзу означает, что порядковый номер буквы г в русском алфавите равен у и у — четное число
28)	Выписать все элементы трафиков отношений. обратных отношениям предыдущей задачи.
29)	Найти области определения, множества значений и графики следующих бинарных отношений, заданных на множестве действительных чисел (трафики изобразить на чертеже)
(a)	Si vSiy означает х2 < у2;
(б)	Si. xSiy означает 2х + у > О,
(в)	Sj xSjy означает, что х < 0 и у < О,
(г)	S4: xS4y означает |х| = |у|;
(д? S5: xSsy означает х— |х| = у— [у]
30)	Найти и изобразить на чертеже графики отношений, обратных отношениям предыдущей задачи
31)	Пусть Q — бинарное отношение, заданное на множестве Ь русских букв: xQy означает, что х предшествует у в обычном алфавитном порядке (например. aQ6, aQe). Наити число нар, принадлежащих графику Q
32)	Доказать, чго графики взаимно обратных бинарных отношений, заданных на множестве действительных чисел, симметричны друг другу относительно прямой х = у.
33)	Если х — слово естественного языка, выражающее бинарное отношение, го слово, выражающее обратное отношение (если такое слово существует), называется конверсивоз™ слова х. Найти конвсрсивы слов севернее, потомок, начальник, ученик, автор, страшить, нравиться. Радовать, дружить
34)	Какие из отношений задачи 27 функциональны?
35)	Выписать все элементы графика функции, определенной на 'тожестве порядковых номеров слов в тексте настоящей задачи, считая с начала, и такой, что для каждого слова значение функции от ее ттомсра Равно чисту букв в ном слове
** От ли т caiiwrsKj — «обращение»
50
ГЛАВА 1
36)	Изобразить на чертеже графики следующих функций, определенных на множестве действительных чисел R-
(а) у = |л|;
2х, если х < О
х, если х > 0;
(б) у =
если
если
х < О
X > 0;
если х < О если х> 0:
(д) у = 1.
Какие их этих функций осуществляю! взаимно однозначные оюбра-жения? Какие из них отображают R на себя?
37)	Сколько существует отображений множесгва {1, 2, 3, 4} в себя? Сколько существует функций, отображающих это множество в себя и нс принимающих значений 1?
38)	Доказать, что умножение отображений ассоциативно.
39)	Пользуясь «подстановочными» обозначениями (ср. задачу (3) на с. 43) положим
Записать в тех же обозначениях: F°H\ С1: Нг: F°h\ GvF°H, F \ Н ЯоЕ"1 °G; FoH'F"'
40)	В лингвистике принято обозначать через Magt*1 функцию, определенную на некотором подмножестве множества слов заданного естественного языка (например, русского), и такую, что Magti(x) есть слово, обозначающее «высокую степень» от х, например, /Иодп(анлодис-менты) = бурные, Magni плакать) = горько, Л/л£п(опечаленный) = глубоко. Наши значения Magn от слов: уважение, свет, тьма, ненависть, храбрость, грех, спать, дурак, дождь, победа, поражение, здоровье, болезнь
41)	Выписать все элементы графиков следующих тернарных отношений, заданных на множестве целых чисел:
(a)	x + y+z = x-y-z, x-y-z * 0;
(б)	x-y-z = -x-y-z, 0 < |x-y-z| s 5;
(в)	х1 + / + z2 < 10.
42)	Сколько существует функций трех переменных:
а)	с областью определения {1. 2, 3) и множеством значений {0, 1)?
(б	) с облас1ыо определения {1. 2) и множеством значений {0, I)?
37 От лат. niagnm — «большой».
ГЛАВА
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
§2.1. ПРЕДЛОЖЕНИЯ
1. Сейчас мы познакомимся с принятым в математической логике символическим способом записи предложений. Этот способ пригоден лишь для некоторых предложений, особенно простых в смысловом отношении. Именно: в математической логике рассматриваются только предложения, имеющие характер четко сформулированных утверждений о каких-то фактах — так что для каждого такого утверждения можно спросить, истинно оно или ложно, и на этот вопрос имеется недвусмысленный ответ «Да» или «Нет». Всякое математическое рассуждение может быть изложено так, чтобы оно состояло только из таких предложений1; поэтому при анализе строения математических рассуждений — что и является главной задачей математической логики — другими предложениями можно не интересоваться.
2. Теперь мы введем в рассмотрение множество, состоящее из двух элементов — русских слов «истина» и «ложь», которые будут называться истинностными значениями и записываться всегда сокращенно: И, Л. О каждом предложении интересующего настипг» мы будем говорить, что ему присвоено орно и только одно из истинностных значений: И, если утверждение, выражаемое данным предложением, истинно, и Л, если это утверждение ложно (обычно говорят просто: «предложение истинно», «предложение ложно»). Вместо «предложению присвоено истинностное значение z» говорят также: «Предложение имеет истинностное значение z» или «Истинностное значение предложения есть z».
Хс)1я в деис1ви1Слык)С1и далеко не всегда математические рассуждения изла-’«Hoi 1аким образом
52
ГЛАВА 2
Например, предложениям «Кит — млекопитающее», «6 — четное число», «Волга впадает в Каспийское море», «2 < 5», «2 + 2 = 4», «Россия продала Аляску Соединенным Штатам за 7,2 млн. долларов», «Каждое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни» присваивается значение И, а предложениям «Кит — рыба», «5 — четное число», «Днепр впадает в Балтийское море», «5 < 2», «2 + 2 = 5», «Каждое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни» — значение Л. Для предложения «Вчера здесь шел снег» истинностное значение зависит от того, когда и где это сказано, для предложения «Прямые Z, и /2 параллельны» — от того, какие прямые обозначены через и Z2: однако если известны время и место в первом случае и прямые и Z, во втором, то истинностные значения присваиваются однозначно.
Примеры предложений, которым не имеет смысла присваивать истинностные значения: «Докажем, что прямые Z] и Z7 параллельны», «Докажите это самостоятельно», «Кажется, вчера здесь шел снег», «Вот это удача!», «Можно войти?,».
Если предложению А присвоено истинностное значение z, мы будем писать А = z {А может быть здесь как словесной записью предложения, так и символической.)
Например: Волга впадает в Каспийское море =
Кит — рыб;» = ?/;
2 + 2 = 4 = 77:
2 + 2 = 5 = Л.
В д а л ь н е й ш е м, говоря о предложениях, мы всегда будем подразумевать предложения, которым присвоены истинностные значения.
Замечания, b Говоря о наличии недвусмысленного ответа на вопрос, истинно или ложно некоторое предложение, мы имеем в виду принципиальную возможность дать такой ответ, а не фактическое его наличие при нынешнем состоянии знаний. Так, до сих пор неизвестно, истинно ли предложение: «Существует бесконечно много пар простых чисел ри р2, таких, чтоpt — рг = 2» («проблема близнецов»), но ясно, что оно либо истинно, либо ложно.
2)	Иногда вместо// пишут 1 и вместо Л — 0. В отдельных случаях это удобнее, но обозначения /7, Л хороши тем, что напоминают о содержательном смысле истинностных значений.
3)	Для обозначения предложений, которым присвоены истинностные значения, часто пользуются специальным термином — «высказывания». Однако без такого термина вполне можно обойтись.
3.	В науке о языке — лингвистике, или языковедении — предложение рассматривается как частный случай языкового
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
53
3 н а к а2 *. Языковой знак есть двуплановая единица: он имеет две с т о р о н ы, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя сторона знака — это его смысл, внешняя — его материальная (т. е. звуковая или графическая’) форма. Смысл языкового знака соотносится сего формой по определенным законам, изучение которых составляет главную задач) лингвистики. Математическая логика тоже, в сущности, занимается изучением соотношения между смыслом и формой языковых знаков определенного вида — предложений; однако в отличие от лингвистики, стремящейся к полному и всестороннему охвату смысла, она сознательно ограничивается рассмотрением одной «составной части» смысла предложения — его истинностного значения. Такое сужение рамок исследования может показаться на первый взгляд недостатком, но наделе оно оборачивается преимуществом — благодаря упрощению задачи удается добиться исключительной ясности и точности описания4.
Отмеченная аналогия между математической логикой и лингвистикой позволяет уяснить следующее: подобно тому, как для лингвиста предложение — это не просто последовательность звуков, а единство формы и смысла, так и для нас предложение будет представлять собой единство формы (т. е. символической записи) и истинностного значения: присвоенное предложению истинностное значение есть нс что-то отдельное от него, а одна из его «сторон» — его «часть», если угодно.
Замечание. Есть и такие разделы математической логики, в которых наряду с истинностными значениями рассматриваются некоторые другие аспекты смысла предложения. Сюда относится, например, модальная логика, имеющая дело с понятиями «необходимость» и «возможность». Этих разделов мы не будем касаться.
4.	Подход математической логики к изучению предложений отличается от подхода лингвистики еще в одном отношении: предложения, имеющие с лингвистической точки зрения один и тот же смысл (такие предложения называются синонимичными), в матсматиче-
2 Языковыми знаками являются также словосочетания, слова, морфемы (морфемами называются минимальные значащие языковые единицы — корни, суффиксы И 4.11.)
Для естественных языков графическая форма вторична по от ношению к звуковой
4 Надо сказать, что и лингвисты добились определенных успехов в анализе соотношения между смыслом и формой предложения лишь после того, как научились в какой-тр степени «схематизировать» смысл При этом известную роль сыграло использование опыта, накопленного математической логикой (см. следующий пункт). Зто вполне естественно, гак как схематизация и рассмотрение явлений по отдельным а<-нектам вообще характерны для науки (в отличие, например, от искусства, берущего явления «целиком»).
54
I ЛАВА 2
ской логике, как правило, ие различаются и символически записываются одинаково5. Например, предложения «15делится на 3», «Число 15 делится на число 3», «Тройка есть делитель пятнадцати», «Тройка является делителем пятнадцати», «Число 15 кратно трем» с точки зрения математической логики представляют собой одно и то же предложение.
Одной из главных задач современной лингвистики является формализация понятия смысла предложения. Наиболее естественным путем решения этой задачи представляется в настоящее время разработка универсального способа «смысловой записи» предложений, при котором синонимичные предложения либо записывались бы одинаково, либо их записи получались бы друг из друга с помощью некоторых строго определенных формальных преобразований. Излагаемый ниже символический язык, выработанный математической логикой для записи «самых простых» предложений, может рассматриваться как первое приближение — правда, еще очень неблизкое — к такому универсальному способу «смысловой записи». В течение последних десятилетий лингвистами предложен ряд других приближений, идущих значительно дальше6. В некоторых из них непосредственно используется ап па рати символика математической логики, в других применяется иной аппарат — однако для всех этих работ символический язык математической логики прямо или косвенно служил базой, наличие которой сделало исследование возможным. В то же время лингвистика и математическая логика интересуются при изучении предложений разными вещами: лингвиста интересует, как соотносится смысл предложения с его звуковой формой, а специалиста по математической логике — как с этим же смыслом, который для него уже является формой (вспомним, что форма предложений в математической логике — это его символическая запись, а символические записи предложений с одинаковым смыслом совпадают), соотносится истинностное значение.
§ 2.2. ПРЕДИКАТЫ И КВАНТОРЫ
1.	При построении символического языка для записи предложений — к чему мы сейчас и приступаем — естественно начать е предложений, устроенных наиболее просто.
' Имеются и виду' абсолютно синонимичные предложения, полностью совпадающие но смыслу Ниже, в начале гл 3, мы столкнемся с более слабой «лот-ической синонимией»
6 См . например, [Мельчук 19741 - [Падучева 1974!
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
55
Самые простые (по смысловой структуре) предложения представляют собой утверждения о том, что тот или иной «предмет» обладает каким-то свойством. В наиболее типичном случае имя «предмета» является в предложении подлежащим или группой подлежащего, а имя свойства — сказуемым или группой сказуемого. Например: «7 — простое число», «7 — составное число», «Треугольник АВС — равнобедренный»; первое из этих утверждений истинно, второе ложно, третье может оказаться истинным или ложным смотря по тому, какой треугольник обозначен через АВС.
Рассмотрим серию предложений, утверждающих, что различные индивидуальные предметы обладают некоторым свойством, все время одним и тем же. Например:
1)6 — четное число;
2)	- 2 — четное число;
3)	5 — четное число;
4)	0 — четное число;
5)	- 3 — четное число и т. п.
Предложения 1), 2), 4) истинны, 3) и 5) ложны, но устроены все эти предложения одинаково: сказуемое в них одно и то же, а подлежащим каждый раз служит обозначение некоторого конкрет-нго целого числа. Введя переменную х, пробегающую множество целых чисел Z, мы можем записать «общую схему» предложений Этой серии:
(*) х — четное число.
При каждом значении переменной х эта схема превращается в конкретное предложение — иногда истинное и иногда ложное. Можно сказать, что схема (*) определяет функцию —- мы будем обозначать ее G,— отображающую множество Z в множество предложений; для каждого целого числа х0 соответствующим значением этой функции будет по определению предложение «х0 — четное число». Таким образом, предложения 1), 2) и т. д. запишутся теперь как G(6), G(-2) и т. д. При этом имеем, пользуясь введенным на с. 52 способом записи:
G(6) = И, С(-2) = И. G(5) = Лит. п.
Важно заметить, что в соответствии со сказанным в конце предыдущего параграфа мы должны отождествить схему (*) со схемами «Число х — четное», «х является четным числом», «х есть четное число» и т. п., так что, например, «6 — четное число», «Число 6 — четное». «6 является четным числом», «6 есть четное число» — это не Разные предложения, а варианты7 одного и того же предложения, записываемого символически в видеО(б).
«Свободные на риаты». как сказал бы лингвист.
56
ГЛАВА 2
Функцию G мы определили с помощью схемы (*), которая, в свою очередь, отвечает некоторому свойству целых чисел — имение, свойству «быть четным». Аналогичным образом можно любому свойству целых чисел сопоставить функцию, отображающую Z в множество предложений. Например, свойству «быть нечетным» отвечает функция U, такая, что для любого целого х0 се значением служит предложение «л'о — нечетное число» (так что (7(1) = И, U(2) = JJ и т. п.); свойству «делиться на 5» отвечает функция Z)5, сопоставляющая каждому целому х0 предложение «хс делится на 5» (так что Ds(5) = Я, 5,(6) = //, £5(-20) = Яит.п.).
Итак, свойство определяет серию предложений с постоянным сказуемым и переменным подлежащим, а эта серия в свою очередь определяет функцию, отображающую множество, пробегаемое «переменным подлежащим» (в наших примерах этим множеством было Z, но ясио, что вместо него можно было бы взять любое множество), в множество предложений. Такие функции называют предикатами. от латинского грамматического термина praedicatum — сказуемое, так как именно сказуемое служит, как правило, именем свойства, определяющего эту функцию8. Точнее, эти функции принято называть одноместными предикатами — в отличие от многоместных предикатов, которые будут введены в следующем пункте. Подытоживая сказанное, получаем следующее определение:
Функция (одной переменной), отображающая произвольное непустое множество М в множество предложений, называется одноместным предикатом, определенным на М.
2. Второй по сложности тип предложений (с точки зрения смысловой структуры) — это утверждения о том, что те или иные «предметы» находятся в некотором отношении. В типичном случае имя отношения является сказуемым, а имена «предметов» — подлежащим и дополнением (или дополнениями). В «математических» предложениях такой способ выражения типичен для бинарных отношений (^прямая I пересекает плоскость Р», «6 делится на 3»), но есть и другие способы, в частности — с использованием однородных членов предложения («прямые/и гп параллельны»); для тернарных отношений этот последний способ преобладает («5 и 3 дают в сумме 8», «наибольший общий делитель чисел 9 и 12 равен 3»). Широко используются также символические обозначения («3 < 5», «аЕМ», «5 + 3 = 8», «6 4 = 8- 3»); более чем трехместные отношения почти всегда записываются символически.
К Кроме гого. сказуемое можно рассматривать как онера юр. который, действуя ил имя предмета, превращает сп> в предложение. Об истории термина «предикат» см н § 6 6
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
57
Рассмотрим теперь серию предложений, утверждающих, что различные индивидуальные предметы находятся в некотором отношении, все время одном и том же (для простоты—бинарном). Например:
6 делится на 3;
- 49 делится на 5;
12 делится иа 7;
28 делится на 4;
- 28 делится на - 9 и т. п.
Все эти предложения устроены одинаково, хотя некоторые из них истинны, а другие ложны. Введя переменные х и у, пробегающие множество целых чисел Z, мы можем записать «обшую схему» этой серии предложений:
(**) х делится на у.
(Эту схему можно записать также в виде «Число х делится на число у», или «у есть делитель х-а», или «у является делителем х-а», или «Число х кратно числу у» и т. п.— ср. выше, стр. 55).
Со схемой (**) мы свяжем, по аналогии с предыдущим пунктом, функцию двух переменных d(x, у) с областью определения Z2, значением которой для каждой пары целых чисел х0, у0 будет предложение «х0 делится на у0» (так что предложения нашей серии запишутся так </(6, 3),	49, 5) и т. д.; при этом t/(6, 3) = И,
d(- 49, 5) Л и т. п.
Такую функцию можно ввести, очевидно, для любого отношения. Например, отношению «быть медианой» отвечает «схема предложений» «Отрезок х есть медиана треугольника у», а с этой схемой естественно связывается функция М(х, у) с областью определения Ао v Ай, где Ао есть множество отрезков и Лл — множество тре угольников, такая, что ее значением для каждого отрезка х0 и каждого треугольника у0 служит предложение «Отрезок х0 есть медиана треугольника у0». Заданному на множестве натуральных чисел N отношению «быть наибольшим обшим делителем (н. о. д,)» отвечает схема «число z есть н. о. д. чисел х и у»; с этой схемой связывается функция у, z) с областью определения N‘. значением которой для каждой тройки натуральных чисел <х(), у0, z0) является предложение «Число z0 есть н. о. д. чисел ло и у()» (так что 27(16, 8, 4) = И, 0(6,8, 4) = Л и т. л.). Такие функции естественно назвать, как и рассмотренные в предыдущем пункте, предикатами, поскольку при словесном выражении именем отношения обычно бывает сказуемое. В отличие от одноместных предикатов предыдущего пункта эти пре
58
ГЛАВА 2
дикаты называют многоместными, конкретнее — двуместными9 трехместными и т. п.
Итак:
Функция п переменных (л = 1,2,...»с непустой областью определения, значениями которой служит предложения, называется п-мест н ым преди катом.
Мы намеренно допустили здесь и случай /7=1: благодаря этому определение предыдущего пункта оказывается частным случаем только что сформулированного.
Об л-местном предикате мы будем говорить, что его вместимость равна п.
Если область определения п-местного предиката имеет вид М" — иначе говоря, если все независимые переменные пробегают одно и то же множество М — мы говорим, что предикат определен на множестве М (не на Мп\). Например, <7(х), L/(x), Z\(x) (см. пункт 1), d(x, у) — предикаты, определенные на Z.
Может оказаться, что все значения предиката — истинные предложения; такой предикат называется тождественно истинным. Примерами могут служить определенные иа Z предикаты, отвечающие свойству «делиться иа 1» и отношению «число х либо меньше, либо больше, либо равно числу у»; если обозначить эти предикаты через Д(х) и Л(х, у) соответствеиио, получим Д(х0) = И при любом х0 и А(х0, у0) = И при любых х0, у0. Аналогично, предикат называется тождественно ложным, если все его значения — ложные предложения. Таковы, например, определенные на Z предикаты, отвечающие свойству «делиться на 0. не будучи равным нулю» и отношению «число х одновременно больше и меньше числа у».
Если F(Xf,..., х„) — предикат и х”,..., х° — какой-либо набор значений его аргументов, то истинностное значение предложения F(xf,..., х°) мы будем называть истинностным значением предиката F(x, х„), соответствующим данному набору значений аргументов. (Таким образом, значения предиката следует отличать от его истинностных значений; истинностное значение предиката — это истинностное значение его значения.) Например, для рассмотренного на с. 57 предиката D(x-y.z), означающего «число z есть н. о. д. чисел х и у», значением, соответствующим тройке чисел 10, 25, 5, будет предложение «Число 5 есть н. о. д. чисел 10 и 25», а истинностным значением для той же тройки чисел — буква И.
Предикаты F(xp х„) и G(x„ ..., х„) с одной и той же областью
9 Встречающийся иногда вариант «двухместный предикат» представляется нам неправильным. Двухместными могут быть экипажи, палатки, номера в гостиницах и т. п., но не предикаты.
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
59
определения мы будем называть равносильными, если для любого набора значений аргументов х...х„ истинностные значения F и С
совпадают. Равносильны, например, одноместные предикаты «л — неотрицательное число» и «х есть квадрат некоторого действительного числа», определенные иа множестве действительных чисел; то же верно для двуместных предикатов «х и у дают при делении на 5 одинаковые остатки» и «разность х - у делится иа 5», определенных на множестве целых чисел.
Равносильность предикатов F(x,, ..., х„) и <j(x„ —, х„) будет обозначаться так: F(xt, ..., х„) = G(xit ..., х„).
Замечания. 1) Если в многоместном предикате фиксировать значеиия некоторых, ио не всех, независимых переменных, получается новый предикат меньшей вместимости. Например, из предиката d(x, у) — «х делится иа у»,— получаем, положив у = 2, одноместный предикат d(x, 2), означающий «х есть четное число»; из предиката 5 (х, у, z), определенного на множестве действительных чисел и означающего х + у = z, получаем, полагая z = 0, двуместный предикат <S(x,y,0), означающий «х и у взаимно противоположны», а полагая у = 1 — предикат S(x, 1, z) — «z иа единицу больше, чем х»; из предиката D(x, у, z) — «н. о. д. чисел х ну равен г» — получаем, полагая и = 2 и z = 1, одноместный предикат £)(х, 2,1), фактически означающий «х есть нечетное число».
2) Мы можем теперь в математическом языке выделить некоторые аналоги частей речи. Именно: слова, словосочетания и символы, обозначающие отношения и свойства,— аналоги глаголов: «делится», «пересекает», «параллельны», «больше», «является четным». =, <, G; слова, словосочетания и символы, обозначающие объекты и классы объектов,— аналоги существительных: «целое число», «прямая», «множество», 0,1, л; аналогами местоимений служат переменные. Из примеров видно, что, скажем, «глагол» математического языка может не быть глаголом в языке естественном.
3. Следующими по сложности смысловой структуры можно считать предложения, являющиеся утверждениями о том. что все элементы заданного множества обладают заданным свойством: «всякий равносторонний треугольник является равноугольным», «всякая точка биссектрисы угла одинаково удалена от его сторон», «квадраты всех действительных чисел неотрицательны» (иначе: «всякое действительное число имеет неотрицательный квадрат») — ио том, что в заданном множестве существует элемент, обладающий заданным свойством: «существуют правильные двенадцатигранники» (иначе: «существуют двенадцатигранники, являющиеся правильными»), «существует действительное число, равное своему квадрату», «существуют действительные числа, не являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами». Для таких предложе
60
ГЛАВА 2
ний принят следующий символический способ записи. Если F — свойство элементов множества М и F(x) — соответствующий этому свойству предикат10 11 (определенный на М), то предложение «все элементы множества М обладают свойством F» — или, что то же самое, «каждый (или «любой», или «всякий») элемент множества М обладает свойством F» — записывается в виде Vx F(x), а предложение «во множестве М существует (или «есть», или «имеется», или «найдется») элемент, обладающий свойством F» — в виде Зх F(x). Читаются эти выражения обычно так: «Для всякого (или «для всех») х F(x)», «Существует х такое, что F(x)»". Выражения Vx и Зх называются квантором общности (или всеобщности) и квантором существования соответственно. При этом обычно говорят «квантор по переменной х»>.
Предложение Vx F(x) очевидно, истинно, если F(x) — тождественно истинный предикат, и ложно в противном случае, предложение Зх F(x) ложно, если предикат F(x) тождественно ложен, в противном случае оно истинно.
Подчеркнем, что поскольку выражения Vx F(x) и 3xF(x)— не предикаты, а предложения, они в действительности не зависят от переменной х (точно так же, как не зависит от х выражение Ь	п
f(x)dx, являющееся постоянным числом; ср. также а,, |] а,— a	i=>	/=1
эти выражения не зависят от i). Переменная х является здесь, как говорят, связанной. Переменную, пробегающую множество, на котором задан предикат, можно, очевидно, обозначить и любой другой буквой: поэтому вместо Vx F(x) можно писать Vy F(y), Vz F(z) и т. п. (потому что предложения Vy F(y), Vz F(z) и т. п. истинны тогда ь
и только тогда, когда истиино Vx F(x); ср. равенства f/(x)dx =
~ f/(y)dy = ff(z)dz); аналогично для квантора существования: вме-
сто Зх F(x) можно писать Зу F(y), 3z F(z) и т. п.
Постановку квантора общности и квантора существования можно, очевидно, рассматривать как особые операции, каждая из которых состоит в образовании по одноместному предикату некоторого предложения.
10 Обозначая свойство и предикат одной и той же буквой, мы хотим подчеркнуть, что предикат — это, в сущности, «и есть» свойство: задать свойство — значит задать предикат.
11 Таким образом, множество М явно не упоминается: это вполне естественно, так как, поскольку предикат /'задан, тем самым задано и множество, на котором он определен
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
61
Пусть, например, F,(x), F2(x), Р\(х), F4(x), F5(x) — предикаты, определенные на множестве многоугольников и означающие: F\(x) —«х имеет столько же вершин, сколько сторон», Fz(x) — «X имеет диагонали», Ft(x) ~ «д не имеет диагоналей», F4(x)— «Л имеет больше вершин, чем сторон», F5(x) — «х имеет меньше вершин, чем сторон». Тогда предложение VxF^x) истинно, и тем более истинно Эх F((x)l2; Vx Fz(x) и Vx Fs(x) — ложные предложения, ио Эх Fz(x) и Эх F3(x) — истинные; предложения Эх F4(x) и Эх Fs(x) ложны, и тем более ложны Vx F4(x) и Vx F,(x).
Операции постановки кванторов нетрудно обобщить на случай произвольных предикатов; однако в применении к многоместному предикату результаты операций будут нс предложениями, а тоже предикатами, но на единицу меньшей вместимости. Именно: для (я + 1)-местного предиката F(x!,..., х„, хл+|) </1 = 1,2,...) выражения Vx„+1F(x,, ..., Л'я, л',1+|) и 3x,.+lF(x„	х,, х,1+1) означают соответственно
следующие «-местные предикаты от переменных х,,..., х„: «Для всякого элемента хя+| области изменения переменной хп+| выполняется F(xp..., х„, л£+1); «Существует такой элемент хя+| области изменения переменной хя+р что выполняется F(x, ..., х„, х^*+1)».
То, что мы выделили именно последнюю переменную, нс имеет, разумеется, никакого значения — точно так же можно определить выражения Vx/F(x1, ..., х,,хя+|), 3xF(xp ..., х;,х„+|) (г = 1,..., п + 1), являющиеся «-местными предикатами от переменных
Примеры. 1) Пусть предикат Q(x, у) определен на множестве действительных чисел и означает х*=у. Тогда 3xQ(x. у) есть предикат от переменной у. значения которого являются истинными предложениями для неотрицательных значений у и ложными для отрицательных значений у. Например. 3xQ(x, 1) = И, 3xQ(x, -2) = Л.
Т) Пусть cl(x, у) — предикат, определенный на множестве целых чисел и означающий «хделится иа у». Тогда: Xfy d(x, у) есть предикат от х, значение которого при х = О есть истинное предложение, а все остальные значения — ложные предложения; значения предиката Vx с/(х, у)— истинные предложения при у=±1 и ложные при всех остальных у; предикаты Эхс/(х, у) и 3yJ(x, у) тождественно истинны.
3) Пусть ^(х, у, z) — предикат, определенный на множестве неотрицательных целых чисел и означающий х + у = г. Значения пре
12 Вообще из истинности предложения VxF(x) вытекает истинность предложения Эх F(x) (поскольку область определения предиката всегда непуста)
62
ГЛАВА 2
диката 3yS,(x, у, z)—истинные предложения при х < z и ложные при Л' > Z.
К многоместному предикату операции постановки кванторов можно применять несколько раз. Их Z-кратное применение к и-мест-ному предикату даст (и — /)-местный предикат при / < и и предложение при / = п: более чем и-кратное применение, очевидно, смысла не имеет.
Если, например, М}(х, у, z) — предикат, определенный на множестве целых чисел и означающий ху = z, то ЗуЛ/,(х, у, z) — двуместный предикат, означающий «г делится на х» (в обозначениях только что рассматривавшегося примера 2) этот предикат записывается как J(z, х); предикат Vz3yM((x, у, z) становится (как уже отмечалось) истинным предложением при х = ± 1 и ложным при всех остальных х; предложение 3xVz3yM.(x, у. z) истинно: предложение VxVz3yM,(x, у, z) ложно.
Если в многоместном предикате значения некоторых переменных фиксировать, а остальные переменные, как обычно говорят, связать кванторами, то также, разумеется, получится предложение. Так, если означает то же, что в только что рассмотренном примере, то Vz3yM,(l, у, z) — истинное предложение, Xfz3yMf(2, у, z) —- ложное предложение.
Задача. Пусть предикаты Q,(x, у) и Q2(x, у) определены на множестве действительных чисел и означают у < х2 и х2 + у2 = 1 соответственно.
а)	Для каких у значения предиката VxQ^x, у) — истинные предложения? Истинны ли предложения: 3yVx(2i(v, У)- VyVxQt(x, У)?
б)	Те же вопросы для предиката 3xQ2(x, у) и предложений 3>a.rQ,(.v, у) и Vy3.vQ,(x. у).
Заметим, что кванторы общности и существования не перестановочны: предложения Vx3yF(x, у) и 3yVxF(x, у) могут иметь разные истинностные значения. Например, если Л/(х, у) — предикат, определенный на множестве действительных чисел и означающий х < у, то предложение Vx3yM(x, у) истинно (для всякого действительного числа найдется большее), ио предложение 3yVxA/(x, у) ложно (нет такого действительного числа, которое было бы больше всех действительных чисел).
Задача. Если А — произвольное подмножество декартова произведения М, х х Мп. то для каждого I — !,....« множество
{.V,IЭл,... 3.V.3.W. Эл-,,(л-„ .... л,.„ л,.„ .... л„)еЛ)}
называется i-ой проекцией множества .1. (Попросту говоря, /-я про
СИМВОЛИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
63
екция множества А — это множество i-ых элементов всех w-ок, входящих в А. В частности, если п = 2 и М, — М2 — R, где R — множество действительных чисел, то А можно считать множеством точек плоскости; в этом случае первая и вторая проекции — это проекции на оси абсцисс и ординат соответственно в обычном геометрическом смысле.)
Найти:
а)	обе проекции множества МС.Бг, где Б — множество букв русского алфавита и Мсостоит из пар (х, у), таких, что в слове «соответственно» буква х где-нибудь непосредственно предшествует букве у;
б)	проекции на оси абсцисс и ординат множеств {(х, у)1 х2 + у2 = 1} и {(х, у)1х = у} (в обоих случаях х и у — действительные числа).
§ 2.3. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ СВЯЗКИ
1.	В предыдущем параграфе мы ввели символическую запись для «простых» предложений, т. е. для тех, которые получаются из предикатов фиксированием значений переменных и связыванием переменных кванторами. Теперь мы сделаем то же самое для «сложных» предложений, образованных с помощью союзов. При этом из большого числа имеющихся в естественном языке союзов нас будут интересовать только три: «и», «или», «если»'3; их мы «переведем» на символический язык. Перевод будет несколько схематичным, йодля наших целей вполне удовлетворительным.
Начнем с союза «и». В русском языке сложное предложение, образованное с его помощью — или с помощью близкого по значению союза «а»,— истинно в том и только в том случае, когда истинны оба составляющих его простых предложения. Например, предложение «Лиса — хищное животное, и медведь больше лисы» истинно, а каждое из предложений «Лиса — хищное животное, и медведь меньше лисы», «Лиса — травоядное животное, и медведь больше лисы», «Лиса — травоядное животное, и медведь меньше лисы» ложно, предложение «Столица Англии — Лондой, а столица Франции — Париж» истинно, а каждое из предложений «Столица Англии — Стокгольм, а столица Франции — Париж», «Столица Англии —
13 Вместо русских союзов можно было бы с таким же успехом отравляться,
скажем, от немецких «und», «Oder», «wemi», английских «and», «ог», «if» или французских «еь>, «он», «si».
64
ГЛАВА 2
Лондон, а столица Франции — Осло», столица Англии — Стокгольм, а столица Франции — Осло» ложно.
В математической логике принято для произвольных предложений «Л» и «В» записывать предложение «Л и В» символически в виде А&В. Это предложение называется конъюнкцией'4 предложений «А» и «Я»; оно истинно, если оба предложения А, В истинны, в противном случае оно ложно.
Замечание. Вместо знака & иногда используется знак л.
Правило присвоения конъюнкции истинностного значения можно записать в виде таблицы:
А	в	А&В
И	И	И
//	л	Л
Л	И	л
л	л	л
Здесь в каждой строке слева от вертикальной черты записана одна из четырех возможных комбинаций истинностных значений предложений А и В, а справа — соответствующее истинностное значение предложения А&В. Подобными истинностными таблицами мы будем широко пользоваться и впредь.
Пример. Пусть Р означает «дважды два — четыре», Q — «снег бел», Р’ — «дважды два — пять», ()’ — «снег черен». Тогда предложение P&Q истинно, a P&Q', P'&Q, P'&Q' ложны.
Конечно, в реальной речи весьма маловероятно встретить предложения вроде «Дважды два — четыре, и снег бел», но объясняется это не свойствами языка, а тем, что снег и таблица умножения обычно в одном рассуждении не встречаются. Можно, впрочем, представить себе ситуацию, в которой такая фраза естественна. Вообразим, например, что некий шутник, желая разыграть своего приятеля, яростного спорщика и любителя объяснять общеизвестные истины, стал уверять его, что дважды два — пять и что снег черен. Если приятель примет это всерьез, он вполне может воскликнуть: «Да ист же, дважды два — четыре, и снег бел!».
2.	Обратимся теперь к союзу «или». В русском языке этот союз имеет несколько различных значений. Из них нас будет интересовать только одно, наиболее употребительное — то, которое выступает в таких, например, предложениях: 1) «Здесь близко река или озеро» (иначе: «Здесь близко река или здесь близко озеро»); 2) «Это 14
14 От латинского conjunct io — «соединение, связь». Символ & — стилизованное (м писан нс ла  ннсконо el — «и»
СИМВОЛИЧ1 ский язык
65
яблоко сорвано с той или с соседней яблони» (иначе: «Это яблоко сорвано с той яблони или это яблоко сорвано с соседней яблони»); 3) «Завтра мне придется побывать в школе или в библиотеке» (иначе: «Завтра мне придется побывать в школе или завтра мне придется побывать в библиотеке»); 4) «Завтра в 10 часов вечера я буду уже в Москве или в Петербурге» (иначе: «Завтра в 10 часов вечера я буду уже в Москве или завтра в 10 часов вечера я буду уже в Петербурге»15. Все приведенные предложения отличаются следующей особенностью: каждое из них состоит из двух предложений — скажем, А и В — причем ни об Л, ни о В в отдельности говорящий не знает, истинно оно или ложно, однако он утверждает, что хотя бы одно из них истинно — а может быть, и оба. Например, предложение 1) будет признано истинным, если в действительности поблизости есть река, но нет озера, или реки нет, но есть озеро, или есть и река, и озеро; если же поблизости ни реки, ни озера нет, это предложение будет признано ложным. (Конечно, в случаях 2) и 4) А и В не могут быть истинны одновременно, но не потому, что «или» употреблено в иих в ином значении, чем в 1) и 3), а потому, что в этих случаях несовместимы факты, выражаемые соединяемыми предложениями16 17.
В математической логике предложение «Л или В», где «или» понимается в разъясненном только что смысле, записывается символически в виде AVB. Это предложение называется дизъюнкцией'1 предложений «Л» и «В»; оно истинно, если хотя бы одно из предложений А, В истинно, в противном случае (т. с. если Л и В оба ложны) оно ложно.
Правило присвоения дизъюнкции истинностного значения можно записать в вид следующей истинностной таблицы:
А	В	А\/В
И	И	И
И	Л	И
.7	И	И
Л	л	Л
’ Из .apyinx значений союза «или» можно указан,, в часшости, пояснительное («Самолет, или аэроплан, ecu, летательный аппарат тяжелее воздуха»). Однако в этом значении «или» употребляется не для соединения предложений.
16 Следующий пример позволяет особенно на гл яд но убедиться, что значение союза «или» — одп1' и и» же в предложениях тина I), 3) и типа 2), 4): фраза «Завтра его можно будет увиден, во Владивостоке или в Москве», если бы она была произнесена до появления реактивных самолетов, должна бы была быть причислена к тину 2), 4), но сейчас ее можно отнести к тину I), 3).
17 ()i ла> (lisjuncuo — «разъединение, разобщение».
66
1'ЛАВА 2
Пример. Если Q, Р', Q' означают то же, что в примере после определения конъюнкции, то предложения PvQ, PvQ', Р' \/Q истинны, а Р' V Q' ложно.
Конечно, надеяться встретить в реальной речи18 предложение «Дважды два — четыре или снег бел» еще труднее, чем «Дважды два — четыре и снег бел», и понятно, почему: как уже было сказано, союз «или» в интересующем нас значении употребляется в реальной речи для соединения предложений19 в тех случаях, когда ни об одном из этих предложений в отдельности говорящий нс знает, истинно ли оно; так что если бы мы захотели придумать ситуацию, в которой предложение «Дважды два — четыре или снег бел» могло бы быть произнесено, нам пришлось бы вообразить себе человека, не знающего, сколько будет дважды два и какого цвета снег, но берущегося рассуждать об этом.
3.	Займемся теперь переводом союза «если». В русском языке он имеет два основных значения: условное и противопоставительное. Нас будет интересовать только первое — выступающее, например, в таких предложениях: 1) «Если эта книга поступила в магазин, то она поступила и в библиотеку»; 2) «Если завтра будет хорошая погода, то мы пойдем в лес»; 3) «Если он вчера не был в городе, то новость еще не дошла до него»: 4) «Если интересующий нас треугольник — прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора»; 5) «Если меня не обманывает зрение, то это Иван Иванович»20. В каждом из этих предложений утверждается, что некоторое предложение — скажем, В — истинно при условии, что истинно некоторое другое предложение — скажем. А. При этом говорящий не знает, является ли А в действительности истинным, или по крайней мере сомневается — или делает вид, что сомневается — в его истинности (как в 5))21. Как зависит здесь истинностное значение сложного предложения от истинностных значений А и В, мы постараемся уяснить себе на примере предложения ]). Пусть некто — скажем, Иван — произнес это предложение; чтобы узнать, правду ли он ска
18 Не в качестве логического примера.
Точнее — для соединения предложений, выражающих единичные факты. Возможно еще использование его для соединения «предложений с переменными», т. е. предика гов (об этом будет речь в следующем параграфе)
Что касается противопоставительного «если», то оно означает приблизительно конъюнкцию с дополнительным значением «противопоставления», например: «Если на севере промышляли больше охотой, то на юге основу хозяйства составляло земледелие».
21 г,	-	.	„
Возможен еще случаи, когда истинность Л — предмет спора: «Если его, как ты думаешь, не были дома, то почему же в окне горел свет?». Однако в таких случаях предложение В не относится к интересующему нас типу предложений, которым имеет смысл присваивать истинностные значения.
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
67
зал, нужно выяснить, поступила ли книга в магазин и в библиотеку. При этом возможны четыре случая: а) Книга поступила и в магазин и в библиотеку; в этом случае естественно считать, что Иван сказал правду, б) Книга не поступила ни в магазин, ни в библиотеку. И в этом случае нельзя считать, что Иван сказал неправду* 21 22 *, в) Книга не поступила в магазин, но поступила в библиотеку. В этом случае также нет оснований уличить Ивана во лжи. г) Книга поступила в магазин, но в библиотеку нс поступила. В этом случае Иван сказал неправду.
Таким образом, поскольку предложению «Если А, то В» должно быть присвоено истинностное значение при любом распределении значений предложений А и В, это предложение должно получить значение Л в случае, когда А истинно и В ложно. и значение И во всех остальных случаях.
Предложение «Если А. то В» в математической логике записывается символически в виде ADB и называется импликацией2* предложений «Л» и «В»; оно ложно, если А истинно и В ложно, а в противном случае (т. е. если либо А ложно, либо В истинно) оно истинно.
Предложения А и В часто называют соответственно посылкой и заключением импликации AZ)B.
Замечание. Вместо знака □ иногда используется знак
Истинностная таблица, выражающая правило присвоения импликации истинностного значения, имеет вид:
А В АЭВ
ИИ	И
И л	л
ли и
л л и
Пример. Если Р, Q, Р', Q' означают то же, что в двух предыдущих примерах, то предложения PDQ, P'^>Q и P'DQ' истинны, а P^)Q' ложно.
22 ..
11ет также основании откладывать решение до тех пор, пока книга поступи! в библиотеку — ведь в предложении I) идет речь только о том, что было до его произнесения.
21 От лат. mplico — «вплетаю», «впутываю», «тесно связываю» '1акой выбор на-
звания можно объяснить тем, что здесь А, гак сказать, «влечет за собой» В («раз А
истинно, то и В тоже») — как если бы В было «привязано» к А. Отсюда и термин «влечет», имо1да используемый для словесного выражения импликации (см. ниже, с 72)
68
ГЛАВА 2
Разумеется, в реальной речи предложение «Если дважды два — четыре, то снег бел» не встретится — по той причине, что произносящий это должен нс знать, сколько будет дважды два, да к тому же еще считать, что от результата умножения двух на два зависит цвет снега. Предложения «Если число 18 делится на 6, то оно четно», «Если число 17 делится на 6, то оно четно», «Если число 17 делится на 6, тооио нечетно» (все они истинны!) также кажутся достаточно странными — потому что всякий, кто знает, что из делимости на 6 следует четность, должен знать и о том. что 18 делится на 6, а 17 не делится. (В то же время фраза «Если число делится на б, то оно четно» вполне естественна, так как здесь говорящему неизвестно, о каком конкретном числе идет речь. и. стало быть, неизвестно истинностное значение посылки импликации.) Однако необходимость считать такие странные предложения истинными не означает, что само понятие импликации — «странное», «неестественное» или. как иногда говорят, «парадоксальное»24. Ведь эти «необычные» предложения — не более чем примеры, приводимые ради лучшего уяснения «внутреннего устройства» понятия импликации; приводя такие примеры, мы как бы разглядываем понятие через увеличительное стекло — а разве не странно выглядит под увеличительным стеклом обыкновенная муха? С таким же успехом можно было бы из примитивности и искусственности текстов на первых страницах учебника иностранного языка сделать вывод, что сам этот язык примитивен и неестественен.
4.	Наряду с рассмотренными тремя союзами, весьма распространенными и в обиходной речи, при изложении математических рас-суждений используется «специфически математический» союз «если и только если» (иначе — «тогда и только тогда, когда». Предложение «А если и только если В» означает, что предложения «Л» и »В» эквивалентны25, т. е. что из истинности одного из них следует истинность другого (например: «Число делится на 10, если и только если оно делится иа 2 и на 5).
В математической логике предложение «А если и только если В» записывают символически в виде и называют эквиваленцией предложений «Л» и «В»; оно истинно, если АмВ оба истнины или оба ложны, и ложно в противном случае (т. е. если одно из предложений А, В истинно, а другое ложно).
Пример. Если Р, Q, Р’, Q' означают то же, что в предыдущих
24 О конъюнкции и дизъюнкции можно сказать то же самое, но импликация вызывает обычно наибольшие затруднения.
25 Слово «эквивалентный» (от лат. aequus — «равный», vulens — «сильный») означает в обычном русском языке «вполне равноценный в каком-либо отношении», «равносильный».
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
69
примерах, то предложения P**Q и истинны, a P**Q' и Р’**£) ложны.
В реальной речи предложение «Дважды два — четыре, если и только если снег бел», конечно, не встретится; причина этого аналогична приведенной выше для импликации.
5.	Нам остается перевести иа символический язык еще одно слово, дающее в естественном языке исключительно важное средство образования одних предложений из других — отрицательную частицу «не». Именно, нас будет интересовать тот случай ее употребления, когда она ставится перед сказуемым и в полученном таким образом новом предложении отрицается то, что утверждалось в старом. Например: «Он не ездил вчера в город», «Искомое число — не целое». Если исходное предложение есть Л, то новое предложение означает «Неверно, что Л». Это предложение в математической логике записывается символически в виде 7 А и называется отрицанием предложения А.
Замечание. Вместо 7А иногда пишут Л; встречается также обозначение —Л.
Истинностная таблица, представляющая правило присвоения отрицанию истинностного значения, имеет вид:
А 7А
И Л
Л И
Пример. Если 1\ Q, Р', Q' означают то же, что в предыдущих примерах, то предложения 7Р и 1Q ложны, а 7Р' и 1Q' истинны.
Символы &, V, □,«*, и 7 называются пропозициональными связками^.
Замечание. Значения слов естественного языка, которые мы «перевели» иа наш символический язык с помощью пропозициональных связок, на самом деле гораздо богаче и сложнее значений этих последних, и «переводы» далеко не точны (кроме случая дизъюнкции, довольно точно передающей смысл русского слова «или»). Подробный анализ значений соответствующих русских слов можно найти в работах (Гладкий 1979 |, (Гладкий 1982 |, (Гладкий — Дрейзин 1983 |. Однако для целей математической логики и такой схематический и неточный перевод оказывается вполне удовлетворительным.
Задача. Пусть X, X', У, Y' означают соответственно: «7 — простое число», «7 — составное число», «8 — простое число». «8 — составное число». *
26 Т. е. «связками, связывающими предложениями» (от латинского propositio — «предложение»).
70
ГЛАВА 2
а) Какие из предложений Х&У, Х&У, Х'&У, Х'&У истиииы и какие ложны?
б), в), г> То же с заменой & на V, на Э и на **.
д) То же для предложений 1Х, 7 У, 1Х', 7 У.
6. Каждой пропозициональной связке естественным образом сопоставляется некоторая операция над предложениями. Например, конъюнкции отвечает бинарная27 операция, состоящая в образовании по двум предложениям их конъюнкции; аналогично определяются операции, отвечающие дизъюнкции, импликации и эквива-ленции. Отрицанию отвечает унарная28 операция, состоящая в образовании по предложению его отрицания. Всего мы получаем пять операций — четыре бинарных и одну унарную. Эти операции также называются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивален-цией и отрицанием. (Таким образом, каждое из этих слов означает и операцию, и ее результат, подобно терминам «объединение» и «пересечение» в теории множеств — см. выше, с. 27-28.)
§ 2.4. ФОРМУЛЫ
1. Пусть у нас имеется произвольный набор предложений X,, .... Xfl; мы будем называть их элементарными предложениями и их «внутренним устройством» пока интересоваться нс будем. Будем применять к этим предложениям операции конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания; к полученным предложениям будем снова применять эти операции, и т. д. В результате мы будем получать «сложные предложения», например, A’1D(7X1), Xt&(X2vX3), ((7X)D(X2DX2))&Xs, ?('?Х4)Э(7(Х2Э(Х1&(7(ХлЭ(7(7(7А’5)))))))) и т. п. Такие выражения — составленные из элементарных предложений с помощью пропозициональных связок — называются формулами логики предложений (иначе — логики суждений или логики высказываний). Сами элементарные предложения также считаются формулами логики предложений.
Для упрощения записи формул логики предложений вводится соглашение о порядке действий, аналогичное принятому в арифметике. Именно, считается, что дизъюнкция связывает теснее, чем
27 Операцию называют бинарной (ср. термин «бинарное отношение»), если она производится над двумя объектами.
28 Операцию называют унарной (от лат. units — «один») если она производится над одним объектом.
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
71
импликация и эквиваленция, конъюнкция — теснее, чем дизъюнкция, импликация и эквиваленция, а отрицание — теснее всех остальных операций. Например: 1X&Y означает (iX)&Y (а не 7(X&Y)); XVY&Z означает Xv(K&Z) (а не (XvF)&Z)29 XvYDZ означает (Xv/JDZ (а не Xv(FDZ)); iX^tY&ZvX&Y означает (7Xp(((7y)&Z)V(X<&y)); 7(XDy&Z)v(X&-yvZ) означает (7(XD(y&Z)))V((X«&(7y))vZ).
Задача. Пусть X означает «В огороде бузина», У — «В Киеве дядька».
а)	Записать с помощью формул логики предложений: а 1) В огороде бузина, а в Киеве дядька; а2) Если неверно, что в огороде нет бузины, то или в Киеве дядька, или в огороде бузина; аЗ) Неверно, что если в Киеве нет дядьки и в огороде нет бузины, то или в огороде бузина, или неверно, что в Киеве нет дядьки; а4) Если неверно, что если неверно, что если неверно, что в Киеве дядька, то в огороде бузина, то в огороде бузина, то в огороде бузина.
б)	Записать по-русски: 61) 7ХЭ7У; 62)	7(XZ>Y)Z)X&7X:
63) (YVX)&7YDX: 64) 7(7(7XZ)Y)DY)3Y.
2.	В отличие от естественных языков, для которых основной формой29 30 является устная (звуковая), для символического языка математической логики основная форма — письменная (графическая). Однако существует и «устная форма» этого языка: его выражения иногда приходится читать вслух. Поэтому мы остановимся на правилах чтения формул логики предложений Правила эти зависят от естественного языка, которым пользуется читающий, и строятся они таким образом, чтобы получаемые при чтении выражения как можно лучше гармонировали со строем этого языка
Для русского языкг» можно предложить следующие правила
Основные правила. 1) Для формулы31 вида X, Y. Xf и т.п. единственное допустимое прочтение — «икс», «игрек», «икс-один» и т.п. соотвстственно.
2)	Формулу 77 - 7Х можно читать не—не— . не икс*^ (аналогично п раз, л>1	/I "раз
для 77 ... 7Y, 77 ... 7.Y, и т и.)
3)	Если А — какое-либо допустимое прочтение формулы 21, то формулу 721 можно читать «неверно, что А»
4)	Если 21, 23— любые формулы и А. В — какие-либо их допустимые прочтения, ю формулу 21&23 можно читать «А и В», формулу 21v23— «А или В», формулу 2ID23— «если А, то В», формулу 21 **23— «А, если и только если В»
29Аналогично тому, как в арифметике а±Ь~с означает </ + (Ь с), а не (« + />) - с.
30 г,
Для многих из них — единственной
31 В этом и следующем пунктах слово «формула» всегда будет означать формулу логики предложений.
72
ГЛАВА 2
Дополнительные правила. 1) Формулу 212)23 можно читан также «Из того, что А, следует, что В», или «Из А’ следует, что В», или «Из того, чю А, следует В», или «Из А' следует Й»или «то, что А, влечет Д'», иди «А' влечет В'», где А, В — любые прочтения формул 21 23. а А', В' — «номинализованные формы»32 этих формул, определяемые следующим образом?
а)	Если формула 21 прочтена по основным правилам без использования слов «неверно» и «если», такое прочтение является номинал изованной формой формулы 21.
б)	Если формула С имеет вид 21&23, соответственно 21v23 21D23 21**23 и С — любое прочтение формулы С, то выражение «конъюнкция (£•>, соответственно «дизъюнкция С», «импликация С», «эквиваленция (Е» является номинализованной формой формулы С.
Например, выражение «импликация “если игрек, то неверно, чю не зет или икс» — номинализованпая форма формулы K2)7(7ZvA').
в)	Если 21, 23*—любые формулы и А', В' — их номинализованные формы, то выражения «конъюнкция А' и В'», «дизъюнкция А' и В'», «импликация А' и В'», «эквиваленция А и В'», «отрицание А'» являются номинализованны ми формами формул 21&23, 21v23, 212)23, 21** 23 и /21 соответственно. При этом, сспи выражение А'(В') склоняется, оно должно стоять в родительном падеже
Например, выражение «дизъюнкция нс икс и импликации игрека и зета» есть номинализованпая форма формулы 7A'V(KDZ) (Названия букв X, Y, Z склонять не обязательно.)
Не рекомендуется, однако, читать «из того, что А», «то, что Л», «что В» в случае, когда А, соответственно В, является одновременно номинализованной формой формулы 21 (23). Например, формулу XvKD7(Z&X) можно прочесть «Из икс или не игрек следует, что неверно, что зет и икс», но не рекомендуется читать «Из того, что икс или не игрек.. »
2) Формулу 2(**23 можно читать также «то, что Д. эквивалентно тому, чю В», или «А‘ эквивалентно тому, что В», или «то. что А. эквивалентно В'», или «А' эквивалентно В’», где А, В, А', В' означают то же. что в (дополнительном) правиле 1), с теми же ограничениями на чтение «то, что А» и «тому, чю В».
3) В основном правиле 1) и в дополнительных правилах 1) и 2) одно из выражений А, В или оба можно заменять выражением «имеет место (или «выполняется», или «справедливо») А' (соответственно В')», где А'(В')— номинализованпая форма формулы 21 (соответствен по 23). Формулу 721 можно читать также «не имеет места (или «нс выполняется») А'», где А' имеет тот же смысл.
Например, формулу 77(XvV)2)Z можно прочесть «Если неверно, что нс выполняется дизъюнкция икса и игрека, то зет»
Любую формулу можно прочесть, пользуясь только основными прави-тдми, по использование дополнигелытых правил часто позволяет получать более понятные и естественнее звучащие выражения — прежде всею за счет разнообразия в чтении одних и тех же связок. Например, формула
' От латинского погпгп — «имя*
СИМВОЛИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
73
((A,DK)DZ)D(7(Xv7y)37Z) допускаем чтение «Если если если X, то Y. то Z, то если неверно, что X или нс Y, то нс Z», но гораздо лучше сказать «Если из того, чю X влечет Y, следует Z. го из отрицания дизъюнкции “X иди нс У” следует не Z». (Ср. также задачу на стр. 71; как записать более понятно предложение а4) из этой задачи?) Впрочем, очень громоздкие формулы обычно не читают словами.
3. Каждая формула логики предложений представляет собой предложение, истинностное значение которого зависит от истинностных значений входящих в формулу элементарных предложений. Эта зависимость для каждой формулы может быть представлена с помощью истинностной таблицы, аналогичной приведенным в § 3 таблицам для пропозициональных связок. Например, для формулы 7(Хр?Х2) истинностная таблица имеет следующий вид:
А',		7(А',С7А'2)
И	И	И
И	л	л
л	И	л
л	л	л
Действительно: а) Если Хг и Х2 истинны, то 1Х2 ложно, поэтому Х,Э7Х2 ложно и, значит, 7(Хр?Х2) истинно; б) еслиХ, истинно, а Х2 ложно, то ?Х2 истинно, X,D7X2 истинно и 7(X(D7X2) ложно; в) если X! ложно, то ХртХ2 истинно при любом Х2, и 7(Хр7Х2) ложно.
Другой пример: истинностная таблица для формулы (ХрХ2) &7(Х2 vXr) имеет вид:
Л',	А'г	(A,Z>A!)*7(A-2VXi)
И	И	л
И	л	л
л	И	л
л	л	И
Легко убедиться, что таблица записана верно, непосредственно «вычислив» значение формулы для каждого из четырех наборов значений X, и Х2 — ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ. Например, для набора ИИ дизъюнкция X2vX, принимает значение И, а ее отрицание 7(X2VX.) — значение//, поэтому конъюнкция (XpX2)&7(X2vX() ложна (так что значение импликации ХрХ2 вычислять не нужно).
74
ГЛАВА 2
Приведем пример построения истинностной таблицы для формулы, содержащей три элементарных предложения X,. Хг, Х3. В этом случае таблица имеет 8 строк: всевозможных наборов истинностных значений предложений Х(, Х2 имеется 4, и каждый из них может сочетаться с двумя значениями предложения Х3. (Читателю предоставляется доказать, пользуясь методом математической индукции, что для произвольного /7=1, 2.... число всевозможных наборов истинностных значений предложений Хр Хп равно 2я.) При составлении истинностных таблиц удобно располагать наборы значений элементарных предложений («слова» из букв И, Л) в лексикографическом порядке, т. с. так, как располагают слова в обычных словарях33 (так мы поступали и при и = 2). При этом расположении строк для формулы 7(Х2 V tXJD^&X, получаем следующую таблицу:
Л’1	Хг	Хз	7(.\'2V7Xi)DXj&X3
и	И	и	И
и	и	л	и
и	л	и	и
и	л	л	л
л	и	и	и
л	и	л	и
л	л	и	и
л	л	л	и
Последний столбец может быть заполнен путем непосредственного «вычисления» для каждой строки. Можно, однако, значительно упростить эту процедуру, заметив, что, во-первых, если предложения X, и Х3 оба истинны, то импликация имеет истинное заключение и поэтому истинна, и, во-вторых, если Х2 истинно илн X, ложно, то импликация также истинна, так как имеет ложную посылку. Остается произвести непосредственное «вычисление» для одной строки — той, где X, истинно. Х2 ложно и Хя ложно.
Вот еще один пример того, как можно упростить составление истинностной таблицы: для формулы Х|&(Х2ЭХ3)Э(Х1ЭХ_}) можно заметить, что если %! ложно или Хя истинно, то импликация X,Z)X3 истинна и, значит, истинна вся формула, если же X, истинно, а Хя ложно, то импликация Х,ЭХ, ложна, а импликация X2Z)X3 и вместе
33 Вообще прусском языке слово «лексикографический» (от греческого Altaev — «словарь«) означает ’«относящийся к составлению словарей».
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
75
с ней конъюнкцияXj&(XzDX3) — а значит и вся формула — истинна при ложном Х2 и ложна при истинном Х2.
Задача. Составить истинностные таблицы для формул:
a)	7(7X,V7X2);
б)	(X,&X2)VX3;
в) (X,D7X2)D7(X(VX2)&7X3;
г) (ХрХ2)&(7Х3Э7Х,).
4. Пропозициональные связки, введенные в § 2.3 для связывания предложений, можно использовать и для связывания предикатов. Именно, пусть F(x}, хп) и G(xt, хл) (« = 1,2, ...) — произвольные предикаты с областью определения М1х---хМ„. Для каждой упорядоченной и-ки значений переменных (х®, .... х®)6М,х ... хМп предикат F(xf. .... х.() при подстановке на место каждогох,соответствующего х® превращается в предложение F(x", .... х®); то же имеет место для предиката <7(х®, ..., х°). Естественно назвать конъюнкцией предикатов F(x}, .... х„) и G(xlt .... х„) и обозначить F(xf, ...» х„)& &G(xp ..., х„) предикат, значением которого для каждой я-ки (х®, ..., x®)GM,x хМИ служит предложение F(x^t..., х®)& &С(Хр ..., х®). То же самое слово в слово можно повторить для дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.
Пример 1. Пусть Р„(х) (я = 1,2, 3,...) — предикат, определенный на множестве целых чисел и означающий «х делится на и». Тогда: £>2(х)&£)3(х) — предикат, означающий «х делится на 2 и иа 3» (дающий истинные предложения для тех и только для тех х, для которых D6(x) = И); D2(x) V D^x) — предикат, означающий «х делится на 2 или на 3» (значения которого являются истинными пре-дло-жениями, например, для х = 2, 3, 4, 6, 8 и ложными для х = 1,5, 7, 11,35); £)2(x)D£)3(x) — предикат, означающий «если х делится на 2, то х дел и тся на 3» (да юши й исти иные предложен и я, например, для х= 1, 3, 5. 6, 7, 9, 11, 12 и ложные для п = 2, 4, 8, 10. 14); £)6(х)Э£>3(х) — предикат, означающий «если х делится на 6, то х делится на 3» (тождественно истинный); iD2(x) — предикат, означающий «х не делится на 2».
Предикаты можно соединять препозиционными связками и тогда, когда они зависят не от одних и тех же переменных (так что от некоторых переменных зависит только первый предикат, от некоторых — только второй и от некоторых — оба; общих переменных может и не быть). При этом получается предикат, зависящий от всех
76
ГЛАВА 2
тех переменных, от которых зависит хотя бы один из соединяемых предикатов.
Пример 2. Пусть М(х, у) — предикат, определенный на множестве действительных чисел R и означающий х< у. Тогда: М(х, у)& &М(у, z) есть предикат, означающий x<y<z; (М(х, у)&М(у, z) V v(M(z, у)&М(у, х)) — предикат, означающий «у расположено между х и zo.
ПримерЗ. Пусть PZ(x) и Mi(x) — предикаты, определенные на R и означающие х>0 и х<0 соответственно. Тогда (PZ(x)&PZ(y)) V v(Mz(x)&Mz(y)) — предикат, означающий «х и у имеют одинаковые знаки»; 7(PZ(x) vMz(x))V7(Z’Z(y))vMZ(y)) — предикат, означающий «хотя бы одно из чисел х, у равно нулю».
Пример 4. Если £>2(х) означает то же, что в примере 1, то (P2(x)&P2(y))V(7P2(x)&7P2(y)) означает «х и у имеют одинаковую четность».
Итак, мы имеем теперь семь операций, с помощью которых можно образовывать из предикатов новые предикаты и предложения: пять операций, соответствующих пропозициональным связкам, и две операции постановки кванторов. Выражения, образованные с помощью этих операций из предикатов, «внутренним строением» которых мы не интересуемся (эти предикаты мы будем называть элементарными) называются формулами логики предикатов (далее мы называем их просто формулами). Например, если Е,(х, у, z), Р2(х, у, z), G(x, у), Н(х, у), Р(х), (2(л) — элементарные предикаты, то следующие выражения являются формулами:
а)	Е,(х„ х2, х3)ЭР(х4);
б)	VxBzF2(x, у, z) У7Н(и, и);
в)	By tBzP,(z, у, yp?Vz(7Z’(z)&3xG(x, z));
г)	B^/’^zz, v, /)&Q(v)DVx7/’(x));
д)	Bx(G(x, у) - Vy(E,(x, у, z) vP2(zz, v. y))):
e)	7Vx 7Vy(E1(x, y, z) V7F,(z, y, x)&E,(Z, /, /)).
Здесь и далее при записи формул мы пользуемся сформулированным на стр. 71 соглашением о порядке действий, к которому теперь добавляется еще один пункт: кванторы связывают теснее, чем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Для каждого входящего в формулу квантора тот предикат (иначе — та часть формулы), к которому этот квантор относится, называется его областью действия. Например, в формуле в) область дей
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
77
ствия первого квантора есть 73zF,(z, у, у), второго — F{{z,y,y), третьего — 7P(z)&3xG(x, z), четвертого — G(x, г).
О вхождениях переменной, по которой берется квантор, в его область действия говорят, что они связаны этим квантором. Например, в формуле в) первый квантор связывает два вхождения у, второй — одно вхождение z, третий — два вхождения z и четвертый — одно вхождение х. Тс вхождения переменных, которые связаны кванторами, а также вхождения переменных в сами кванторы называются связанными вхождениями переменных в данную формулу; остальные вхождения переменных в формулу называются свободными. Например, формула д? содержит три связанных и одно свободное вхождение у, три связанных вхождения х и по одному свободному вхождению z, и и v ; в формуле а) все вхождения переменных — свободные, в в) — все связанные.
Говорят, что переменная является в некоторой формуле свободной, соответственно связанной, если в данной формуле имеются свободные, соответственно связанные вхождения этой переменной. Например, в формуле г) переменные и и t — свободные, и и х — связанные: в формуле д) переменная у является и свободной, и связанной.
Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой.
Поскольку при связывании переменной в предикате квантором предикат перестает зависеть от этой переменной (см. с. 60), каждая замкнутая формула представляет собой предложение, а незамкнутая — предикат, зависящий от ее свободных переменных (и только от них!). Например, формула а) выражает четырехместный предикат (от переменных л,, х2, х„ х4), формула с) — двуместный (от z и /), формула в) — предложение.
В дальнейшем нам будет иногда полезно следующее обозначение: для произвольной формулы $1 мы будем обозначать через $11* формулу, полученную из 31 заменой всех свободных вхождений переменной х вхождениями переменной у (если 31 не содержит свободных вхождений х, то 211 = 21).
5. Чтобы сформулировшь правила ’пения формул .ioi ики предика iob, введем сначала следующие |ермины.
Формулу вида Fi(x(, ..., х„), где F — эле.мешарный предика! и Х|, ... Хя — переменные (?i = 1, 2... ), назовем атомной.
Будем говори it. чю формула начинается с квантора, если она hmcci вид Vx'2l или 3x21 (х— переменная), причем облаоыо дейсшия квашора являе>ся «вся остальная часль» формулы (null ример, формула V v(F(x)&G(x)) начинаемся с квашора, a VxF(.v)&G(x)— iiei) Аналогия-
78
ГЛАВА 2
ным образом будет употребляться выражение «формула начинается с отрицания».
Теперь можно сформулировать правила чтения следующим образом.
Основные правила. Г) Атомные формулы читаются в соответствии с общим правилом чтения обозначений функций (см с 37 и 45).
Например, Е(х, у) читается «эф от икс, игрек»
2') Если А какое-либо допустимое прочтение формулы 21 то формулу Vx2l можно читать «для всякого (или «для каждого», «для любого», «для всех») хА», формулу 3x21 — «существует (или «найдется») х такое, что А"»
3') Если А — какое-либо допустимое прочтение формулы 21 то формулу 721 можно читать «неверно, что А», а если 21 атомная или начинается с квантора или отрицания — также «не А» (причем, если 21 начинается с квантора сущеегвовапия, нужно читать: «нс существует х такого, что ...»).
4' Это правило дословно совпадает с правилом 4) на с. 71
Дополнительные правила получаются из дополнительных правил на с. 72, если пункт а) определения номинализовапной формы заменить следующим
а’) Если формула образована из атомных с помощью операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и прочтена по основным правилам без использования слова «неверно», такое прочтение является се номипа-лизованной формой
Пример. Формулу в) на с 76 можно прочесть «Если существует у такое, что нс существует z такого, что F|(z, у, у), то не для всякого z имеет место конъюнкция “не P(z) и существует х такое, что С(х, z)”».
Замечания. 1) Если несколько одноименных кванторов стоят подряд, допустимо сокращенное чтение: например, ЗхЭуЭг читается «Существует х, существует у и существует z, такие, что» или «Существуют х. у и z такие, что»; VxVyVz читается «для любых х, у и z».
2)	В формулах логики предикатов для эквивалентен допустимо и даже предпочтительно чтение «тогда и только тогда, когда» (в формулах логики предложений такое чтение не рекомендуется, так как слова «тогда» и «когда» подразумевают наличие более чем одной возможности).
3)	Если в качестве элементарных выступают широко употребительные предикаты, имеющие стандартные обозначения (такие, как х = у. х<у и । н.). эти обозначения обычно сохраняются и в формулах дотики предикатов (например, вместо 3zM(z, у), где M(z. у) означает z < у, пищут просто 3z(x < у); дальнейшие примеры см в следующем пункте) Тогда формулы становятся, в сущности, сокращенными записями обычных математических формулировок, и при чтении их должны получаться правильные русские предложения Чтение по нашим правилам ласт именно такой результат, если добавить к ним следующую оговорку-фор.мула, в которой для элементарных предикатов используются «обычные», не функциональные обозначения. никогда не совпадает со своей номинализовапной формой.
4)	В повседневной речи в предложениях с союзом «если» посылка нередко с tout посте заключения («Мы пойдем в лес, если будет хорошая
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
79
погода»). Однако при чтении логических формул такой порядок не допускается Более того, он за редкими исключениями невозможен и в обычных формулировках математических утверждений.
Дело в том, что в русском предложении на первом месю обычно стоит ак называемая тема, т. е. «отправная точка» для развертывания сообщения (То, что об этой «отправной точке» сообщается, составляет вторую часть предложения —рему; тема — это. грубо говоря, «старое, известное», рема — «новое».) Однако в импликативных формулировках математических утверждений темой практически всегда служит посылка (анализ причин этого явления увел бы нас далеко за пределы математики)
Тем не менее «словесные импликации» с заключением впереди посылки нередки в математических текстах: так очень часто формулируют определения, строение которых мы сейчас вкратце охарактеризуем.
В отличие от математических утверждений, в которых, как показывает само их название, что-то утверждается о некоторых объектах, считающихся заранее заданными, в определениях вводятся новые объекты, представляющие собой конструкты, образованные из сырых (или определенные частные случаи старых), и этим новым объектам даются имена. Стандартная форма определения имеш приблизительно следующий ВИД:
«Если Л' образован (“получается**) таким-то способом из А, В, С,
или
«Если X обладает такими-то свойствами.
и.ли
«Если X находится в таких-то отношениях к А, В, С, ....
го V называется
Д'»
или
то X есть по
определению Д'»
Здесь А, В, С — старые объекты, X — переменная, обозначающая новый объект. А/ — имя нового объекта.
Например;
«Если число л получается из числа а умножением его на себя, то х называется квадратом числа а»;
«Если натуральное число отлично от единицы и делится только на единицу и на себя, оно называется простым»;
«Если возведение числа в степень п дает а, то эго число называется корнем степени п из а».
(Роль переменной X во втором примере играет словосочетание «натуральное число», в третьем — слово «число».)
Таким образом, матемаiическое определение представляет собой импликацию, условие которой сеть обычное математическое утверждение о каких-то объектах, в то время как заключение математическим утверждением не является: в нем только сообщается имя пскоюрого объекта.
80
ГЛАВА 2
описанною в условии Но когда определение входит в состав связного мтемшического текст, га его часть, где сообщается имя, нередко оказывается темой и с (явится поэтому на первое место, например: «Одним из важнейших понятии теории чисел являсюя понятие просило числа. Наlypa.ibHoe число называется проспим, если оно отлично от единицы и делится только па единицу и на себя», или: «Корни Число л* пазываеюя корнем степени я из а. если хп = а». Вместо «называется» часю говорят «ссп. ио определению», причем слова «по определению» большей час(ью для краткости опускаются, а иногда исчезает и «есть», заменяясь на гире. Так возникают формулировки вроде «Натуральное число—просюе, если оно отлично от единицы и делится юлько на единицу и на себя», «Число х есть корень степени п из а, если х” = й»
6. Теперь мы можем подвести итог всему сделанному. Мы построили символический язык, в котором предложения имеют вид математических формул. Этот язык хорошо приспособлен для записи математических предложений (а также любых других, содержание которых достаточно просто и может быть выражено в точных терминах). Особенно удобно пользоваться символическим языком для записи сложных формулировок — таких, например, как определения важнейших понятий математического анализа: предела функции, непрерывности и т.п. (см. ниже пример 4) — поскольку в этих случаях символическая запись позволяет лучше понять структуру формулировок. Для сплошной записи математических текстов символическим языком не пользуются, так как это сделало бы их чересчур громоздкими и неудобочитаемыми. Главное же достоинство символического языка состоит в том, что он позволяет логические связи между предложениями представлять в виде математических соотношений , а вывод одних предложений из других — т. е. рассуждение — в виде последовательности математических выкладок.
Сейчас мы проиллюстрируем на примерах представление предикатов с помощью формул и запись предложений на символическом языке (точнее, на языке логики предикатов). При этом для некоторых широко употребительных предикатов мы будем пользоваться нс функциональными обозначениями, а обычной записью, принятой в математике. Кроме того, иногда мы будем подставлять в предикаты
*4 Таким образом, истинностное значение заключения — а гем самым и всей импликации за висит здесь не от объективных свойств «вещи», как вслучае математического утверждения. а от соглашения о том, как назвать эту «вещь».
5 Заметим еще, что в формулировках определений на вновь вводимый термин падает так называемое логическое ударение, выражаемое в произношении особой интонацией, а на письме очень часто подчеркиванием, жирным шрифтом, разрядкой и -i. н. В кратких формулировках тина «Натуральное число — простое, если ...» логическое ударение особенно сильное.
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
81
вместо переменных выражения вида х + у, х + у + z, ху, (xy)z и т. п., образованные из переменных с помощью символов функций. Без этого можно было бы обойтись, но тогда пришлось бы вводить дополнительные предикаты, что сильно усложнило бы формулы.
Пример 1. Возьмем в качестве элементарного единственный предикат х = у, определенный на множестве натуральных чисел.
Выразим через этот предикат равенства некоторые арифметические предикаты, используя при этом также функцию ху (произведение х на у).
а)	Предикат d(x, у) — «х делится на у» представляется формулой 3z(yz — х) (Вместо 3z(yz = х) можно быо бы написать, скажем. Bu(yu = х) или =lt(yt = х) — ср. с. 60; это следует иметь в виду и далее).
б)	Предикат «z является общим делителем для х и у» — будем обозначать его £>0(х, у, z) — представляется выражением <7(х. z)& &d(y, z); устраняя сокращеннее/, получаем Bu(zu — x)&3v(zv — у).
в)	Предикат £>(х, у, z) — «z является наибольшим общим делителем (н. о. д.) для х и у» — представляет несколько большую трудность. Чтобы выразить его требуемым образом, мы несколько изменим обычную формулировку определения н.о.д. — «н. о. д. чисел х и у есть такой общий делитель х и у, который делится на любой их общий делитель» — и скажем так: «н. о. д. чисел х и у есть такое число z, что: 1) z есть общий делитель х и у; 2) если какое-либо число t является общим делителем х и у, то z делится на /». Это уже нетрудно перевести на символический язык:
£>(,(-<. У,	у, fpd(z, t)).
Устраняя сокращения, получаем:
3u(zu = x)&Bv(zv = y)&V((3r((r = x)&Bs(ts = y)D3iv(/w = z)).
г)	Аналогичным приемом мы воспользуемся, чтобы записать предикат Р(х) — «х есть простое число». Именно, предложение «х есть простое число», т. е. «х 1 и х делится только на 1 и на себя», мы представим в виде « х # 1 и если х делится на какое-либо число z, то z = 1 или z = х». Получаем для Р(х) такое выражение:
?(х = 1)&Vz(3m(zu = -x)D(z = l)V(z = х)).
д)	Запишем теперь на символическом языке какое-либо арифметическое предложение, иапример: «Если х делится на у иуделится иа z, то х делится на z». Оно представится так:
VxVyVz(c/(x, У))&с/(У, z)Dc/(x, Z)).
е)	Предложение: «Если произведение двух чисел делится на про
82
ГЛАВА 2
стое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей» выражается формулой:
VxVyVzVw(xy = u&d(u, z')&P(z)Dd(x, z)X/d(y, z)).
Сокращения вд) и е) читатель устранит сам.
ж)	Ассоциативность умножения:
VxVyVz[(xy)z = x(yz) ].
Пример 2. Возьмем в качестве элементарных четыре предиката, определенных на множестве точек и прямых, лежащих в одной плоскости: Г(х) — «х есть точка», /7р(х) — «х есть прямая», i(х, у) — «х есть точка, лежащая на прямой у», х = у — «х совпадает с у».
а)	Предикаты Пер{ху у) и Пар(х, у) —- «х и у — пересекающиеся прямые» и «х и у — параллельные прямые» — записываются символически в виде
Пр(х)&Пр(у)&Эг(1(г, x)&i(z, у))&7(х = у) и
np(x)&np(y)&7Bz(i(zy x)&i(zy у)).
б)	Предикат Д(х, у, z) — «х, у, z — вершины некоторого треугольника» (т. е. «точки х, у и z нс лежат на одной прямой») — записывается так:
T(x)&T{y)&T(z)&7Bt(i(x. t)&i(yy t)&i(zy 0)36.
в)	Предложение «Через любые две различные точки проходит прямая и притом только одна» выглядит так:
\/x\/y[T(x)&T(y)&i(x = y)D3z(z(x, z)&t(y, z)&\/u(i(x, и)&
&i(y, u):3z = д)) ].
г)	Предложение «Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки»:
VxVyVnVv|7(x = у)&/(п, x)&i(u, y)&i(v, x)&i(y, y)^>u =v|.
Пример 3. Возьмем в качестве элементарных следующие предикаты, заданные на множестве людей: Р(х, y,z) — «х и у — отец и мать z-a соответственно», М(х) — «х — лицо мужского пола», х — у — «х и у — одни и тот же человек» . Через эти три предиката
36 Мы пользуемся здесь конъюнкцией трех предложений, которая, собственно, не была определена, но смысл ее очевиден’- это предложение, истинное тогда и только тогда, когда истинны все гри составляющих ее предложения.
СИМВОЛИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
83
можно выразить вес термины кровного родства57. Например:
а)	Предикаты «л — отец у-а» и «х — мать у-a» записываются соответственно как BzP(x, z, у) и 3zP(z, х, у).
б)	«х — сын у-а»: (BzP(y, z, х) v3zP(z, у, х))&М(х\
в)	«.-д- — бабушка у-a»:	3u3v[P(u, х, v) & (3zP(y, z, у) V
V 3zP(z, v, у)) J.
г)	«х и у — сестры (не сводные, т. е. и по отцу и по матери)»: Bz3t(P(z, t, х) & P(z, t, у)) & jM(x) & 7М(у) & 7(х = у).
Пример 4. а) Пусть/—функция, определенная на некотором подмножестве М множества действительных чисел R и принимающая значения в R. Взяв в качестве элементарных определенные на R предикаты х<у и х£М и используя, кроме функционального символа /, символы еще двух функций: разности и абсолютной величины (модуля), — мы можем следующим образом записать определения предела и непрерывности функции в точке:
Число b есть предел функции/в точке а, если
Vb|e>0d36(6 > 0&Vx(xGAO(0< lx-fll <бЭ1/(х)-Ы < к)))
(«Двойное неравенство» 0< 1х — аКб следует понимать как сокращенную запись конъюнкции 0<1х — «I & 1х — й1А)
Функция /непрерывна в точке а, если
Ve|г > 0эЭ6(6 > 0&Vx(xGAO(I х-аI <6D!/(%)-/(«) I <«))) 1.
В приложениях математической логики иногда используются так называемые ограниченные кванторы: вместо \/x(P(x)2>F(x)) пишут MxF(x) (читается: «Для всякого х, обладающего свойством Р, ...») и Р(А->
вместо 3x(P(x)&F(x)) — 3xF(x) (читается: «Существует х, обладаю-рм
щее свойством Р, такое, что...»). Предикат Р(х) называется здесь ограничением. С помощью ограниченных кванторов наши определения можно переписать в более обозримом виде:
Число b есть предел функции /в точке л, если
Ve36Vx(0< lx-al <6Э1/(х)-б1 <f).
tX) ь>о *ем
Функция / непрерывна в точке а, если
Ve 36 Vx(ix—al < бЭ1Дх)—/(й)1 < в). е > ой > о сем
57 Точнее, псе термины кровного родства, имеющиеся в русском языке. В иекслсэры* других языках (например, в тюркских, в венгерском) термины родства связаны  акже со старшине! ном
84
ГЛАВА 2
б)	Пусть с/0,	... — числовая последовательность. Взяв в качест-
ве элементарных определенные на R предикаты х<у и xGN, где N — множество натуральных чисел, и используя те же две функции, что и выше, мы можем записать определение предела последовательности так:
Число а есть предел последовательности а„, если
Ve 3N Мп(п > NZ) I a—anI < e).
t>ow>on€*
Такая «кванторная запись» определений в последнее время получила в преподавании математического анализа довольно широкое распространение. При этом ограниченные кванторы чаще пишутся нс так, как у нас (и как вообще принято в математической логике), а в виде (Vs > 0), (36 > 0), (VxGAO. Для данных конкретных ограничений — х>0, xGM — такие обозначения ничем не хуже, но их нельзя распространить иа ограничения более общего вида; поэтому лучше пользоваться для ограниченных кванторов обозначениями, принятыми в математической логике.
Замечание. Из примеров видно, что употребление пропозициональных связок для соединения предикатов приводит к совершеиио «естественным» предложениям — в отличие от употребления их для соединения предложений о единичных фактах. Это вполне понятно, так как использование союзов «или» и «если» в «предложениях с переменными», т. е. в предложениях, в которых речь идет о неопределенных объектах, очень близко к употреблению этих союзов в обычной речи (см. § 2.3).
Задачи. (1) (а) Записать с помощью предиката равенства (определенного на множестве натуральных чисел), используя функцию ху.
(а 1) z есть общее кратное для х и у;
(а2) z есть наименьшее общее кратное для х и у;
(аЗ) х и у взаимно просты;
(а4) Если один из двух сомножителей делится на некоторое число, то на него делится и произведение;
(а5) Если произведение ху делится на простое число z и х не делится на z, то у делится на z;
(аб) Произведение любого числа х на единицу равно х;
(а7) Коммутативность умножения.
б) Перевести на русский язык:
(61)	Bz(2z = х);
(62)	?3z(3z — х);
(63)	Зу(уу = х);
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
85
(64)	3y3z(yy = z) & (zy = x);
(65)	3y3z(yy = z) & (zz = x);
(66)	VxVy(3zz(yzz = x) & 3v(xv = y) D (x = y));
(67)	VxVyVzVf((yz = t) & 3u(tu — x) D 3v(yv = x) & 3w(zw = x)).
(2)	(а) Записать с помощью элементарных предикатов примера 2: (а 1) Прямая, проходящая через точки х и у. параллельна прямой, проходящей через точки z и и. [Указание. Воспользоваться тем, что этот предикат можно представить так: «Всякая прямая, проходящая ... параллельна всякой прямой ...» — поскольку на самом деле прямая, проходящая через две точки, единственна];
(а2) х есть точка пересечения прямых у и z;
(аЗ) Прямые х, у, z не проходят через одну точку;
(а4) Через всякую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной;
(а5) Через всякую точку, ие лежащую на прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
6) Перевести на русский язык (смысл обозначений тот же, что в примере 2):
(61)	3x3y3z73f(f(x, t) & i(y\ t) & i(z, /));
(62)	VxVyVz(/7p(x) & Пр(у) & Z7p(z) & 7<x = z) &73u(/(iz, x) &
& /(zz, y)) & 7 3«(i(v, y) & i(v, z)) D73vv(z(b’, x) & i(w, z)));
(63)	VxVyVz(/7p(x) & Лр(у) & Bp(z) & j3u(i(u, x) & i(u, y)) &
& 3v(z(v, x) & i(v, z)) & 7(x - z) D3w(z(m>, y) & i(w, z) & 7(y = z)).
(3) (а) Записать с помощью элементарных предикатов примера 3: (al) х — внук у-й;
(а2) х — дядя у-й по отцу (древнерусск. стрый, польск. stryj);
(аЗ) х — дядя у-й;
(а4) х — племянница у-«;
(а5) х и у — двоюродные братья;
(аб) х — двоюродный брат у-й;
(а7) х — правнук у-а.
(б) Перевести на русский язык (смысл обозначений тот же, что в примере 3):
(61)	3zz3v[P(x, zz, v) & (3zP(y, z, y)v3zP(z, v, y)) ];
(62)	3z3zz3v|(P(y, z, zz) VP(z, y, £z)) & (P(iZ, v, x)V
vP(v, u, x)) | & 7M(x);
(63)	3z3/(P(z, /, x) & P(z, t, y)) & 7M(y)&7(x = y).
86
ГЛАВА 2
4) (а) С помощью элементарных предикатов примера 4 и функций х — у и 1x1 записать следующие определения:
(al) ограниченной последовательности;
(а2) предела всюду определенной фукиции при х~» + *>;
(аЗ) то же при х
(а4) равномерной непрерывности функции на множестве.
б) Указать, каким понятиям анализа отвечают формулы:
(61)	VS3WV«(h >	> S):
(62)	Ve 36 Vx(0 <х—а < 6э If(x)—b\ < е);
i > 04> OxGjV
(63)	VS36 Vx(0 < а~х < 6э/(х) < S). d > 0хСА7
Задачи и упражнения
1)	Найти значения и истинностные значения предиката F(/i), определенного на множестве целых положительных чисел и означающего «русское название числа п состоит из четного числа букв», для следующих значений аргумент: 2, 5, 15, 42, 223.
2)	Найти значения и истинностные значения предиката В(х, у), определенного на множес1Ве рек земного шара и означающего «х впадает в у», для следующих пар значений аргументов: (Обь, Иртыш), (Иртыш. Обь), (Клязьма, Ориноко), (Ориноко, Ориноко).
3)	Пусть М(х, у) — предика!, определенный на множестве целых положительных чисел и означающий х < у.
а) Для каждого из предикатов \fxM(x, у), ЗхМ(х, у), VvA/(x. у), ЗуМ(х, у) указа!ь, для каких значений аргумента он дает истинные предложения и для каких — ложные. Являются ли какие-либо из этих предикатов юждесгвенно истинными9 Тождественно ложными?
(б)	Связывая кванторами обе переменные, можно получить из предиката М{х, у) 8 различных предложений. Выписать эти предложения и наши их истинностные значения.
(в)	Выполни! ь предыдущие два задания для предиката В(х, у) из предыдущей задачи
4)	Пусть 5|(х, у, z)— предика! примера 3 на стр. 61. Ответить на вопросы задачи За для следующих предикатов-
3y3z5i(x, у, z); 3x3ySi(x. у, z); VxVySi(x, у, z); 3z3xSi(x, у, z).
5)	Пусть m(x, у, z) — предикат, определенный на множестве (-1,0, 1} и означающий ху — z.
а)	Сколько двуместных предикатов можно получить из щ(л, у, z), фиксируя значения переменных или связывая их кванторами?
б)	Сколько одномсс1ных предикатов можно получить из т(х, у, z) тем же способом?
в)	Сколько предложений можно получи ib этим способом из ш(х, у, Z)9
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
87
г)	Имеются ли среди предикатов пункта а) тождественно истинные? тождественно ложные?
д)	Тот же вопрос для предикатов пункта б)
е)	Среди предложений пункта в) указать примеры истинных и ложных.
6)	Кроме фиксирования переменных и связывания их кванторами, имеется еще один способ получать из многоместных предикатов предикаты меньшей вместимости—отождествление переменных Например, из двуместных предикатов Eix, у). Mix, у) и Qix, у), определенных на множестве действительных чисел и означающих х = у, х < у и х — у соответственно, отождествлением переменных получаем одноместные предикаты Е(х, х), Mix, х) и Qix, х) (первый из них тождественно истинен, второй тождественно ложен, >ре1ий истинен при х — О и х — 1 и ложен при всех остальных значениях х).
а) Пусть Aix, у), Bix, у) и Cix, у) — предикаты, определенные на множестве действительных чисел и означающие х<у2, х<[у] и х>[у[ соответственно, ([у] — целая часть у, см. с. 38.) При каких значениях х пежины предикаты Aix, х), Rix, х), Cix, х)?
(б	) Аналогичный вопрос для предикатов .Si(x, х, у), 5{(х, у, х), 5i(x, х. х). mix. х. у). т(х. х. х). где .Si(x, у, z). mix. у. z) — предикаты из задач 4 и 5
7)	По аналогии с определениями конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции определить пропозициональную связку, которая служила бы «переводом» на символический язык выражения «То. что .. противоречит тому, что (например: «то, что число делится на 4, противоречит его нечетности», иначе «то, чю число делится на 4, противоречит тому, что оно нечетно»)
8)	По аналогии с примером, приведенным в сноске 16, подобрать другие примеры, иллюстрирующие, чго совместимое <ь или несовместимость предложений, соединяемых союзом «или», может зависеть от обстоятельств.
9)	Русские союзы «а» и «но» выражают, очевидно, конъюнкцию с дополнительным значением «противопоставления». Указать другие примеры русских союзов, выражающих конъюнкцию с теми или иными дополнительными значениями.
10)	Пусть А означает «Андрей выдержал экзамен», Б—«Борис выдержал экзамен», В— «Виктор выдержал экзамен».
(а)	Записать с помощью формул логики предложений:
(al) Неверно, что ни Андрей, ни Борис не выдержали экзамена;
(а2) Из того, чго Андрей и Борис выдержали экзамен, не следует, что его выдержал Виктор;
(аЗ) Если Борис или Виктор выдержал экзамен, то и Андрей его выдержал.
(б)	Записать по-русски:
(61) 7(7Й&7ЛЭ7Б);
(62) 77((AVA) & 7£).
11) Для каждой из формул предыдущей задачи составить истинност
88
ГЛАВА 2
ную 1аблицу и с помощью этой таблицы перечислить все случаи, когда cooTBeiciByioLiJ.ee данной формуле утверждение оказывается опровергнутым. [Образец; утверждение (аЗ) будет опровергнуто в трех случаях: если Андрей не выдержал экзамена, а Борис и Виктор выдержали; если Андрей и Виктор не выдержали экзамена, а Борис выдержал; если Андрей и Борис не выдержали экзамена, а Виктор выдержал.]
12) Составить истинностные таблицы для следующих формул логики предложений:
(а)	7(ХУ7УЭ(Х&7УУ7*ЭУ));
(б)	X&7K3(yV7XD7Z);
(в)	7[(ХЭ7(У«* 7ZVX)) & (> DX&Z)];
(г)	7XIVX23X4&7X3;
(д)	(7XVZ)& (У□(£/□%));
(с) (Х|Э(Х’2Э ... Э(Хл-|
(ж) A'i VX2V ...VX„D> ,&У2& ... &У„;
(3)	&	7(Х>ХУ).
13)	Пусть R(x, у) — предикат задачи 2. Указать примеры рек и нар рек, для которых являются ищинными предложениями значения следующих предикатов:
7ЭуВ(х, у); 3z(B(x, z) & B(z, у)); 3z(B(z, х) & В(у, z)).
14)	С помощью единственного элементарного предиката х < у, определенного на множестве действительных чисел, записать
(а)	х — положительное число:
(б)	Числа х и у имеют разные знаки.
15)	(а) Присоединив к предикату предыдущей задачи предикат х = у, записать:
(al) предикат х < у,
(а2) предикат (зависящий от х, а и b) xG[a, ft);
(аЗ) предложение «Для любых двух различных чисел найдется число, расположенное между ними».
(б!) Записать в обычных обозначениях: (а < х)&((х < ft)v (х = 6)),
(62) Перевести на русский язык:
VxVy((x < 0) & 7(х < у)Э(у < 0)).
16)	Пус|ь Г(х) и С(х) — предикаты, определенные на множссшс Б русских букв и означающие «х — гласная» и «х— согласная» соответственно. Пусть кроме того, А(х, у, z) — предикат с областью определения Б*хБхБ. где Б* — множество всевозможных «слов», т. е. конечных послсдова1ельнос1ей из русских букв (не обязательно являющихся в самом деле русскими словами), означающий «в слове х Bciречае!ся двубуквеннос “иодслово” yz» (например, если ад - барокко, то предложения А(хо, б, а), А(хо, о, к), А{хо, к, о), Л(хо, к, к) истинны, А(.хо, а, б), Л(а0. б, д), Жхо, э, я) ложны).
СИМВОЛИЧЕСКИЙ язык
89
(а)	Пользуясь предикатами Г, С и Л как элементарными, записать следующие предикаты:
(aJ) В слове х никакие две гласные не стоят рядом:
(а2) Слово х состоит не менее чем из двух букв.
(б)	Перевести на русский язык (смысл обозначений тот же);
(61) 3y3z(A(x, у. z) & С(у) & Г(г)) & !3u3v(A(x, и, v) & Г(и)) &
& 13иЗг{А(х, и, v) & С(и));
(62) 13zA(x, z, z).
17) (а) С помощью определенного на множестве целых положительных чисел предиката х — у и функций х + у и ху записать:
(al) Если числа х и у делятся на z. то их сумма также делится на z;
(а2) Если два числа х и у делятся на z, то их разность, если она существует, также делится на z;
(аЗ) Сумма двух чисел, имеющих различную четность, нечетна;
(а4) л <у;
(а5) Остаток от деления х на 5 равен двум.
(б) Перевести на русский язык (смысл обозначений тот же):
(61 ) 3u(zu — х + y)&73i(ze = x)D73h'(zh' = у);
(62) (3z(2z = x)&3zz(2m = y))V(73z(2z = x) &
& 73zz(2zz — y)) D 3t(2v = x + y);
(63) Vx[3zzBi.3h’3((x = uu + tn> + tw + ft)v
V	Bz/3iBiv(x — uu + vr + ww) v
V	ЗнЭфс = uu + vir)v3zz(x - z/zz) |.
18)	С помощью элементарных предикатов примера 2 на с 82записать предикат «х, у, z. и — вершины некоторого параллелограмма».
19)	Присоединив к элементарным предикатам примера 2 на с. 82 предикаты К(х, у. z, и) — «х, у, z, и —точки, и отрезок ху равен отрезку ZU» И К|(х, у, Z, и, », тг) — «X, у, Z, U, V, W — точки, и Axyz — Auvw» (имеются в виду углы, отсчитываемые против часовой стрелки), записать.
(а)	Точка z — середина отрезка ху.
(6)	Точка z делит отрезок ху в отношении 1 ; 2-.
(в)	Отрезок хи лежит на биссектрисе угла L.yxz\
(г)	Отрезок хи делит угол Lyxz в отношении 1 . 2;
(д)	Отрезок хи— медиана треугольника xyz\
(е, ж) То же с заменой медианы на высоту и биссектрису:
(з, и, к) Медианы (высоты, биссектрисы) треугольника пересекаются в одной точке;
(л, м, н) Признаки равенства треугольников.
20) Присоединив к элементарным предикатам примера 3 на с. 82 предикат С(х, у) — «х и у— супрути» —выразить следующие термины родства через брак: тесть, теща, свскор, свекровь, зять, сноха, шурин, деверь, золовка, свояченица, свояк. (Имеется в виду запись предикатов «X — тесть у-a» и т и )
90	ГЛАВА 2
21) Способом, аналогичным использованному в примере 4 на с. 83, записать следующие определения:
(а)	Сходимости числового ряда;
(б)	Сходимости функционального ряда в точке;
(в)	Равномерной сходимости функционального ряда на множестве.
ГЛАВА
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ
§ 3.1. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ.
--- РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ
1. Логикой предложений (иначе — логикой высказываний) называется раздел математической логики, в котором изучаются свойства операций над предложениями (пропозициональных связок) или, чтото же самое, свойства выражений, образованных с помощью этих операций, т. е. формул логики предложений. Сейчас мы займемся изучением соотношения между формой этих выражений и их смыслом, т. е. их истинностными значениями. Строение связей между формой и смыслом выражений того или иного языка, естественного или искусственного, принято называть семантикой1 этого языка. Таким образом, нас будет интересовать семантика языка логики предложений; впрочем, слово «языка» здесь обычно опускают.
Приступая к занятиям семантикой логики предложений, следует прежде всего заметить, что две разные формулы2 могут иметь одинаковый смысл, т. е. быть синонимичными. Возьмем, например, предложения А ~ «Неверно, что Иванов и Петров — оба студенты» и В = «По крайней мерс один из двоих — Иванов или Петров — нс студент». Ясно, что эти предложения означают одно и то же. Введя элементарные предложения X = «Иванов студент» и У = «Петров студент», мы можем записать А и В в виде ?(Х & У) и iX V 7 У соотвст-
1 От греческого <5i)piaVT''c—«обозначенный» (бг)р.а — «знак», бирсам» — «обозначаю»). Семантикой — точнее, лингвистической семантикой — называется также раздел языковедения, в котором изучаются связи между формой и смыслом языковых единиц.
2 Всюду в этой главе слово «формула» будет означал- «формула логики предложений».
92
ГЛАВА 3
ствснно. Теперь легко попять, почему А и В синонимичны — составив истинностные таблицы для соответствующих формул, мы видим, что эти таблицы совпадают:
X
И и Л Л
Y 7(X&Y) 7XX/1Y
Л
И и и
(Здесь две таблицы самоочевидным образом сведены в одну.)
Ясно, что предложения, выражаемые этими формулами, останутся синонимичными, если взять в качестве X и У любые другие предложения; таким образом, мы имеем здесь дело, в сущности, с синонимией не предложений, а формул; эта синонимия имеет логическую природу — она обусловлена свойствами логических операций (в данном случае конъюнкции, дизъюнкции и отрицания).
Замечание. Рассматривая предложения А и В как «совпадающие по смыслу», мы, строго говоря, допустили неточность. Эти предложения вполне равнозначны лишь с точки зрения истинности/ложности, смыслы же их совпадают не до конца: тот, кто произносит предложение Л, предполагает, что у его собеседника возникло или может возникнуть мнение, что Иванов и Петров — оба студенты, и он делает акцент на опровержении этого мнения, тогда как в предложении В этот смысловой оттенок отсутствует. (Еще нагляднее это различие видно на примере более простых предложений «Иванов студент» и «Неверно, что Иванов нс студент».) Такие предложения — равнозначные с точки зрения истинностных значений — можно было бы назвать логически синонимичными, в отличие от «полностью синонимичных» — абсолютно тождественных по смыслу5. (Впрочем, в некоторых случаях логическая синонимия предложений. обусловленная синонимией формул, может приводить к настоящей синонимии. Например, формулы X & У и Y & X синонимичны (обе они принимают значение И тогда и только тогда, когда как X, так и У истинны), и поэтому предложения «Париж — столица Франции, и Лондон — столица Англии» и «Лондон — столица Англии, и Париж — столица Франции» логически синонимичны; но эти предложения синонимичны и «на самом деле». В то же время предложения «Он поднял руку, и стало тихо» и «Стало тихо, и он поднял
I 1а. ю сказа il. что и н лингвистике термин «синонимия» означает не абсолютное юж iolTiiocmi'IC.iob, <1 лини, совпадение ослонных значений. Например, слона «горе» и -чп’да»	синонимами, хотя в значении второю из них есть дополнительный
смысл «неожи uiiiii'K|и», которого нет в нервом
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
93
руку» имеют, очевидно, совсем разный смысл!) Так что нам не случайно пришлось на с. 53—54, говоря об отождествлении синонимичных предложений в математической логике, сказать, что они отождествляются лишь как п р а в и л о, а не всегда. Теперь мы можем уточнить это так: в математической логике синонимичные предложения отождествляются, если их синонимия вызвана не синонимией выражающих их формул логики предложений или логики предикатов, а какими-либо другими причинами (как в примерах иа с. 54)4.
Мы могли бы теперь сказать, что синонимия формул — это совпадение истинностных таблиц. Такое определение было бы, однако, недостаточно общим: совпадение истинностных таблиц предполагает, что обе формулы содержат в точности одни и те же элементарные предложения, но интуитивно очевидная синонимия возможна нс только в этом случае. Например, формулы
(X&YDZ) & (X&-;Y)3ZuXDZ
естественно считать имеющими один и тот же смысл, потому что первая из них, как легко проверить, истинна в точности для тех же пар значений X и Z, для которых истинна вторая, независимо от значения У5. Чтобы дать общее определение синонимии формул или, как принято говорить, их равносильности, мы введем некоторые новые понятия, имеющие и самостоятельное значение.
2. Пусть 21 — произвольная формула, содержащая элементарные предложениях,, ..., Хп (итолькоэти). Рассматривая их как переменные, пробегающие двухэлементное множество {И, Л}у мы можем сказать, что формула 21 задает некоторую функцию от этих переменных, значение которой для каждой упорядоченной и-ки значений переменных Х„ ..., Х„ равно соответствующему истинностному значению формулы 21. Например, формула Х.&Хг задает функцию <r(Xj, Х2), такую, что у (И, И) = ц Л) = <р(7/, И) - <р(Л, Л) = Л. Подобные функции называют булевыми»6. Именно: булева функции есть функция п переменных (л ~ 1,2, ...) с областью определения {И, Л}" и множеством значений, содержащимся в {Иу //},
Понятие синонимии формул логики предложений буле । сейчас еще расширено. О синонимии формул логики предика гоя см следующую главу
В матема in четких рассуждениях нередко оказывается удобно вместо доказа тельства им| шикации XDZ доказывать дне импликации X&KDZ и X&jyDZ, или, что то же самое, их конъюнкцию. Например, доказывая какое-либо общее свойство целых чисел, и hoi да доказывают его отдельно для неотрицательных и для отрицательных чисел. (Здесь роль X играет предложение «Данное число - целое», роль Z — «Дан ное число обладает нужным свойством», роль У— «Данное число — пестрина гель ное».) Эго не «по иное, как доказательство разбором случаев (взаимоисключающих» 1 аких случаен можш быть и больше двух (см. задачу 4е в конце главы).
В чеси.одного изроздпслей магемаiической логики Джорчжа Буля (см $ b Ь)

ГЛАВА 3
Любую булеву функцию можно, очевидно, задать истинностной таблицей точно такого же вида, как тс истинностные таблицы, которые сопоставляются формулам. Если истинностная таблица, задающая булеву функцию F, совпадает с истинностной таблицей некоторой формулы 31, говорят, что формула 3! представляет (или задает, или реализует) функцию F.
Естественно возникает вопрос: всякая ли булева функция может быть представлена формулой? Ниже мы докажем, что ответ иа этот вопрос — положительный.
Пусть F(Xt, ..., Хп) — произвольная булева функция. Будем говорить, что переменная Х( (z = 1, ..., п) является для этой функции несущественной, если значения Дне зависят от значений Xt — иначе говоря, если для любого набора7 X? —, Х?_„	..., Х^ значений
остальных переменных F(X^ ..., Xf_p И, Xf+IХ^п) = F(X^ ..., Xf_p л, ....
В противном случае мы будем называть переменную Х{ существенной для F. Булеву функцию, для которой все ее переменные существенны, назовем приведенной.
Пример. Рассмотрим функцию <р(Х(, -^2> заданную следующей истинностной таблицей:
Х|	х2	Xj	<р(Х1, Х2, Хз)
И	//	И	И
И	И	л	л
И	л	И	И
И	л	л	л
л	И	н	л
л	И	л	л
л	л	И	л
л	л	л	л
Легко проверить, что для этой функции переменные X, и Х3 существенны, а Х2 несущественна.
Если из истинностной таблицы функции F вычеркнуть столбцы, отвечающие несущественным переменным, получится таблица, в которой каждая строка будет повторяться несколько раз8. Вычерк-
7 Слово «набор» здесь и далее означает то же, ч то «упорядоченная система» (ср. Выше, с. 73—74. где мы уже пользовались этим словом).
8 Два раза, если вычеркнут один столбец, четыре раза, если вычеркнуты два столбца, 2* раз, если вычеркнуто к столбцов
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
95
нув затем «лишние» строки, мы получим новую истинностную таблицу, которая будет определять некоторую булеву функцию G(X,t, Xf ), где Xlt X, — все существенные независимые переменные функции F. Для любого набора Х^, .... Х^ значений переменных Х„ Хп имеем, очевидно, F(Xf, Х^) = G(X^,	Х^). Эту
функцию G — очевидно, приведенную — мы назовем основой функции F.
Например, из рассмотренной только что таблицы после вычеркивания столбца, отвечающего Х2, с последующим вычеркиванием «лишних» строк получится следующая таблица, определяющая функцию t|)(X,, Х3) — основу функции <р(Х,, Х2, Х3):
У,	Хз	4 (Х|, Хз)
И	И	И
И	л	л
л	И	л
л	л	л
Замечание. Вычеркивая все совпадающие строки, кроме одной, мы можем, разумеется, оставить любую. Но если мы хотим, чтобы в новой таблице наборы значений независимых переменных были упорядочены лексикографически (при условии, что так было в старой), то годятся уже не все варианты вычеркивания. Самый простой способ сохранить лексикографический порядок — оставлять каждый раз первую из совпадающих строк. Доказать пригодность этого способа предоставляется читателю.
В частном случае, когда функция Ссама приведенная, ее основа по определению будет совпадать с ней самой.
Возможен и «противоположный» случай, когда все независимые переменные несущественны. Это будет, очевидно, тогда и только тогда, когда функция для всех наборов значений независимых переменных принимает одно и то же значение И или Л. В первом случае такую функцию называют тождественно истинной, во втором — тождественно ложной. Основами тождественно истинных и тождественно ложных булевых функций мы будем считать константы И и Л соответственно. Иногда мы ради общности будем называть эти константы булевыми функциями от 0 переменных.
Теперь мы можем, наконец, сформулировать определение равносильности формул. Именно, мы будем называть две формулы равносильными (друг другу), если представляемые ими булевы функции имеют одну и ту же основу.
96
ГЛАВА 3
Для частного случая, когда множества входящих в формулы пропозициональных переменных совпадают, определение равносильности можно сразу же упростить: такие формулы равносильны тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же булеву функцию — поскольку две различные булевы функции от одного и того же множества переменных не могут иметь одну и ту же основу. (В самом деле, если функции F/У,, ..., Уп) и F2(yp У„) имеют общую основу G(Yit ..., У^), то для любого набора У?, ..., У^ значений переменных будет ^(У?,..., У^) = 6(У«, ..., ^) = Г2(У7, ..., У^).) Иначе говоря, равносильность формул от одного и того же множества переменных означает совпадение их истинностных таблиц. В общем случае, если формула 21 содержит переменные У„ У,„ Z,. ..., Z„, а формула®— переменные У„ У„, Up, также необязательно для проверки на равносильность находить основы представляемых формулами функций ..., У„, Zp ..., Z,„) и £2(УИ ..., У„, Ut, ... £/р); вместо этого можно сравнить истинностные таблицы функции 6,(Ур —, У„, Zp ..., Zm, ..., Ц,), полученной из F, добавлением несущественных переменных Ц, Ц, (т. е. такой, что для каждого набора У?, ..., У^, Z?. ..., Z^.	значений всех
переменных 6,(У[',	Z^, (/?, ..., t^) = С(У?, ...» Z£)) и функции
С2(УР Уп, Zp ..., Zin, Ut, L/J, полученной аналогичным образом из F2. формулы равносильны тогда и только тогда, когда эти истинностные таблицы совпадают. Действительно, С} имеет, очевидно, ту же основу, что и F(, а 62 — ту же, что и F2, н по предыдущему основы функций Gt и С2 совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их истинностные таблицы.
Примеры. 1) Пара таблиц на с. 92 доказывает равносильность формул 7(Л'& У) и уХ V 7 У.
2) Следующая пара таблиц (также сведенных в одну) доказывает равносильность формул (УХ\&Х2) V (1Х}&7Хг) и (ХЛЭ7Х,) & & (7X3D7XJ:
Xi	Л’2 А'з	(7A'i&Az2) V (7A'i&7A'2)	(А'зЭ7Х!)& (7А'зЭ7А,1)
и	И и	Л	Л
и	и л	Л	л
и	л и	л	л
Окончание табл. см на с гр. 97
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
97
А'1 А'2 А'з	(7Х1&Х2) v (7*1&7А'2)	(А'3Э7Х1) & (7А'зЭ7А'1)
ИЛЛ	Л	Л
ЛИИ	И	И
ЛИЛ	И	И
Л Л И	И	И
л л л	И			Я
Для упражнения полезно найти общую основу этих формул.
Вместо «формулы 21 и ® равносильны» мы часто будем писать 21 =
Читатель без труда докажет, что отношение равносильности формул является отношением эквивалентности, т. е. что оно рефлексивно, симметрично и транзитивно (см. Приложение I).
Задача. Доказать, что
(а)Х37У = УЭтХ;
(б) XD(XDZ) = X&yDZ;
(в) X = (X&Y&Z)V (X&Y&iZ) v(X&iY&Z) v(X&iY&iZ).
3. Пользуясь понятием равносильности формул, можно установить ряд простых соотношений, которые мы сейчас выпишем; читатель без труда докажет их самостоятельно. Ради удобства запоминания мы разобьем эти соотношения (иногда называемые основными равносильностями логики предложений) на три группы.
В группу 1 войдут восемь соотношений, в которых участвуют только конъюнкция и дизъюнкция:
1 1. XV(yvZ) = (XV У) VZ (ассоциативность дизъюнкции).
I 2. XV У = yvX (коммутативность дизъюнкции).
I 3. X&(Y&Z) = (X&Y)&Z (ассоциативность конъюнкции).
I 4. Х&У = У&Х (коммутативность конъюнкции).
I 5. X&(yvZ) = X&yvX&Z (дистрибутивность конъюнкции по отношению к дизъюнкции).
1 6. XV(y&Z) = (XV У) & (XVZ) (дистрибутивностьдизъюнкции по отношению к конъюнкции).
I 7. XVX = X (идемпотентностьк‘'дизъюнкции).
8а От лат. idem — «то же самое» и potentia — «степень» (смысл этого термина в том, что если понимать операцию — в данном случае дизъюнкцию — как «умножение», то а" = а для любого п.
98
ГЛАВА 3
1	8. X&X = X (идемпотентность конъюнкции).
Группу II составляют три соотношения, в которых, кроме конъюнкции и дизъюнкции, участвует также отрицание:
II	I. пХ = X («правило снятия двойного отрицания»).
П 1: ?(%& П = 7XV7У } (<<3аКОНЫ Де М°Ргана»9> 
Читатель, видимо, заметил, что соотношения групп I и II похожи на выведенные в гл. 1 свойства операции над множествами. Именно, если заменить равносильность равенством, дизъюнкцию — объединением, конъюнкцию — пересечением и отрицание — дополнением, то равносильности II—16 превратятся в равенства I—VI из пункта 9 § 1.1, I 7,8 — в равенства Лил = Л и ЛЛЛ ~ А (с. 30) и II 1—II3 — в равенства I—III из пункта I0§ 1.1. Это сходство не случайно. Чтобы объяснить его, рассмотрим произвольное множество {/, которое будем считать универсальным, и каждому множеству Л С Я сопоставим определенный на U предикат Ял(х), такой, что FA(x)=M при х€=Л и F((x) = Л прн х$.А (так называемый характеристический предикат множества Л). Очевидно, два подмножества U тогда и только тогда равны, когда их характеристические предикаты равносильны10. Если А и В — произвольные подмножества U, то предикат FAl)B(x) будет принимать значение И для тех и только для тех x&U, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Л и В — иначе говоря, для тех xG£/, для которых хотя бы один из предикатов /\(х) и FB(x) принимает значение //, т. е. для тех, для которых принимает значение И предикат Ял(х) V Яв(х). Итак, предикат FAUB(x) равносилен FA{x} V FB(x). Точно так же можно показать — читатель сделает это самостоятельно,— что предикат FArtB(x) равносилен Fa(x) & FB(x), a Fca(x) равносилен предикату lFfi(x). Теперь мы можем из любой равносильности между формулами, содержащими только знаки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, вывести соответствующее теоретико-множественное равенство. Для примера докажем таким образом дистрибутивность пересечения относительно объединения. Обозначим множество AO(BUC) через М и (ЛГЧ5) U (ЛИС) — через N. Предикат FA,(x) равносилен, по доказанному, предикату FAQB(x) V FACiC(x), а этот последний — Fa(x) & FB(x) V Fa(x) & Fc(x). Точно так же видим, чтоЯДх) равно
9 О Де морганс см. в § 6.6.
10 Определение равносильности предикатов см. на с. 59.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
99
силен -г4(х) & (FB(x) V Fc(x)). Но при любом x0GZ/ предложения f 4(x„) & F„(xd) v/?(a-„) <Sr Fc(x„) и /,(л„) & V Fr(x0)) прини-мают одинаковые истинностные значения (соотношение I 5); поэтому предикаты FA(x) & (Ей(х) V /"с(х)) = FM(x) и F^x) & FB(x) V V Fa(x) & Fc(x) = Fn(x) равносильны и, следовательно, M = N.
Задача. Вывести соответствующие теоретико-множественные равенства из остальных соотношений групп I и II.
Последнюю группу соотношений составляют три равносильности, в которых участвует импликация, и еще одна, содержащая также эквиваленцию:
Hi l.XDY = 7Xvy;
пипуs 7(х&7У);
III	3. ХЭУ = 1Y31X («закон контрапозиции»").
III 4. Х*»У = (А'ЭУ) & (Y3X).
Для лучшего усвоения этих сотношеиий полезно иметь в виду их очень простой содержательный смысл: предложение «Из X следует У» означает то же, что каждое из двух предложений: «Либо У верно, либо X неверно» (III I) и «Невозможно, чтобы X было верно, а У неверно» (III 2); если из верности X следует верность У, то из неверности У следует неверность X, и если из неверности У следует неверность X, то из верности X следует верность У (III 3); X эквивалентно У тогда и только тогда, когда из X следует У и из У следует X (III 4).
Замечание. Если в формулу, представляющую булеву функцию F(X{, ...у Xt), вместо каждой переменной X, подставить некоторую формулу представляющую булеву функцию Gt(Yk , ..., У* )» то полученная формула будет, очевидно, представлять функцию
F(G,(y У ) С„(У ........... У	)).
II	U|	Л1	nsn
Но если в две булевы функции F и G, имеющие общую основу H(Zlt	Z), подставить вместо всех переменных какие-либо булевы
функции, то полученные при такой подстановке функции также будут иметь общую основу — совпадающую с основой функции ............- L^,e %»•где	та функция, которая подставлена вместо Zr Поэтому любые две равносильные формулы остаются равносильными, если заменить в них все переменные произвольными формулами (причем, разумеется, все вхождения одной и той же переменной должны заменяться одной и *
От лат. contruposilia— «прогивиположение»
100
ГЛАВА 3
той же формулой). В частности, все ос но в н ы е равносильности остаются справедливыми при замене переменных X, У, Z любыми формулами.
§ 3.2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
---- НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.
ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫЕ
И ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Основные равносильности логики предложений позволяют производить тождественные преобразования формул, т. е. переходить от одних формул к другим, равносильным, аналогично тому, как производятся тождественные преобразования в элементарной алгебре. В частности, благодаря соотношениям 11,3 можно опускать скобки в выражениях вида X V( XVZ), (Х& Y)&Z и т. п.12; соотношения 1 2,4 дают возможность переставлять члены в дизъюнкциях и конъюнкциях, соотношение 15 — раскрывать скобки. Здесь, однако, есть одна тонкость, которую с первого взгляда можно и не заметить. Именно: мы можем, конечно, быть уверены — учитывая замечание в конце предыдущего параграфа — что, скажем, формула (9lv^)&G (где 91, S5, 6 — произвольные формулы) равносильна формуле 9J&G	но следует ли отсюда, что (91 можно заме-
нять на 9J&C внутри более сложных формул? Будет ли, например, формула ?(£О(91 V95)&G) равносильна ?(£D9l&
Ответ, как мы сейчас увидим, положительный — но это, разумеется, нужно доказать; необходимо сначала достаточно четко сформулировать вопрос в общем виде.
С этой целью мы введем в рассмотрение понятие подформулы. Именно, мы будем называть подформулой формулы 91 всякую формулу 93, «входящую в состав» 91, т. е. такую, что формулу 91 можно получить из некоторой формулы 6 заменой некоторого вхождения некоторой переменной на вхождение формулы 93. Например, формула 9!0 — 7ХИ7Х&У — в более педантичной записи 9(0 — (?(Х)) D D((7(X))&(}/))13 — может быть получена из формулы (7(Х)) D (Z)
12 Выражение Xi& ... &Х„ можно было бы определить и независимо как предложение, истинное тогда и только тогда, когда истинны все предложения Х|& ... аналогично можно определить Aj v ... V Х„. Ср. сноску 36 к гл .2
13 Здесь нам удобно заключать в скобки даже элементарные предложения (ср. строгие определение формулы в § 5.2).
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ 11РЕДЛОЖЕНИЙ
101
заменой (единственного в ней) вхождения переменной Z вхождением формулы (7(A)) & (У), так что эта последняя есть подформула формулы 210. Подформулами 210 являются также А', У, 7(A) и сама %. При этом подформула 7(A) входит в 210 дважды — иначе говоря, 210 содержит два вхождения этой подформулы; то же верно для подформулы X.
Далее, мы будем называть формулу непосредственной составляющей формулы 91, если 21 имеет либо вид. 7(93), либо (S3) а (б), либо (б) а (93), где б — какая-то формула и а •— один из знаков &, V, D. **. (Например, 7(Х) и(?(Х))&(У) — непосредственные составляющие формулы 210 предыущего абзаца.) Для каждого вхождения подформулы 93 в формулу 21 существует, очевидно, единственная пследовательность вхождений подформул б0, 6Ъ ..., бр в формулу 21, такая, что: (а) данное вхождение® в 21 является одновременно вхождением в каждую подформулу б,; (р)б0 — 21; (у)бг = 93; (д) для каждого 1=1,... р формула б, есть непосредственная составляющая формулы б,./4. (Например, для второго — считая слева направо — вхождения X в 210 эта последовательность имеет вид: 210, (7(Х)) & (Y), 7(A), X. Число р, т. е. уменьшенное на I число членов этой проследовательности, мы назовем глубиной данного вхждения 93 в 21. (Например, глубины первого и второго вхождений X в 210 равны 2 и 3соответственно, глубина вхождения (7(A)) & (У) равна I, глубина вхождения 210 равна 0.)
Теперь точную формулировку нашего вопроса и одновременно ответ на него даст нам
Теорема о замене равносильных формул (логики предложений). Если в формуле 21 заменить вхождение подформулы 93 вхождением формулы 93', равносильной 23, то полученная формула 21' будет равносильна 21.
Доказательство мы проведем индукцией по глубине заменяемого вхождения подформулы 93. (О доказательстве по индукции см. Приложение III.)
Базис. Пусть глубина заменяемого вхождения 93 в 2J равна нулю. Тогда 93 = 21, 93' = 21', и доказываемая равносильность совпадает с данной.
Индукционный шаг. Допустим, что наше утверждение доказано для вхождений глубины р -1 (где р — произвольное целое положи
14 11онягие вхождения подформулы в формулу (или, более общо, одного слова в другое), ин jyитивно довольно ясное, мы оставили пока без стройно определения. Дать такое определение нетрудно, но наши формулировки стали бы тогда громоздкими и менее прозрачными. Впрочем, йогом нам все же придется это сделать (см. с. 382).
102
ГЛАВА 3
тельное число), и докажем его для случая, когда глубина заменяемого вхождения 25 в 21 равна р. Рассмотрим последовательность, фигурирующую в определении глубины: 21 = б0, б,, бр = %. Интересующее нас вхождение 25 в 21 является также вхождением 25 в бп причем глубина его здесь равна р -1; поэтому, если б3' — формула, получаемая из б, заменой этого вхождения 25 вхождением idj, то по предположению индукции б^ = бг Поскольку б1 есть непосредственная составляющая формулы 21, возможны три случая: (а) 21 = (G^afS)); (б) 21 = (^«(бД; (в) 21 = 7(бД (вслучаях (а) и (б) а = &, V, Э, *>). В случае (а), обозначая через F(X, Y),G,G' и Н булевы функции, представляемые формулами (Х)а(У), б1} б7' и © соответственно, видим, что формула 21 представляется функцией F(G, Н), а формула 21' — функцией F(G', Н); но G и G' имеют общую основу, и поэтом}7 то же верно для F(G, Н) и F(G', Н) (совпадающую с основой функции F(L,FT), где L — общая основа G и G')7t. е. 21 = 21'. В случаях (б) и (в) рассуждения совершенно аналогичны.
2. Теперь мы действительно имеем право производить с помощью основных равносильностей тождественные прсобразвания так же, как это делается в элементарной алгебре. Производя эти преобразования в определенном порядке, можно привести произвольную формулу к некоторому особенно простому виду. Прежде всего, пользуясь соотношением II 1, мы можем устранить двойные отрицания, т. е. заменить каждую часть формулы, имеющую вид 21 (здесь 21
п раз
означает произвольную формулу), на 21, если п четно, и на 721, если п нечетно. Далее, пользуясь III 4, можно устранить все знаки экви-валенции. а затем, пользуясь соотношениями 111 1 и 111 2 (где как удобнее) — также и все знаки импликации; если при этом возникнут двойные отрицания, устраняем их, как указано выше. После этого, пользуясь законами Де Моргана, «загоняем внутрь» знаки отрицания, т. е. заменяем части формулы, имеющие вил 7(2lv25) или 7(21<&25), на 721&725 или на 721V 725 соответственно: при этом каждый раз, если возникнет необходимость, устраняем двойные отрицания. Проделав такие преобразования нужное число раз, мы в конце концов получим формулу, в которой знаки отрицания стоят разве лишь перед элементарными предложениями — иначе говоря, выражение, составленное из элементарных предложений и их отрицаний с помощью знаков дизъюнкции и конъюнкции. Если в этом выражении раскрыть все скобки по соотношению 1 5, получится формула, представляющая собой дизъюнкцию конъюнкций, состоящих из элементарных предложений и их отрицаний (точно так же, как в элементарной алгебре многочлен, т. с. выражение, составленное из букв и чисел с помощью знаков сложения и умножения, после раскрытия
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
103
скобок становится суммой одночленов — произведений букв и чисел).
Замечание. Собственно гововоря, некоторые члены дизъюнкции могут оказаться не конъюнкциями, а просто элементарными предложениями или отрицаниями элементарных предложений: но для единообразия мы будем называть такие выражения «конъюнкциями из одного члена». Кроме того, вместо дизъюнкции конъюнкций! может получиться одна конъюнкция: в этом случае мы также будем говорить о «дизъюнкции из одного члена».
Примеры. 1) 7(((ХЭ77У) Э 777(KDZV7X)) VZ) =
= 7(((ХЭУ) D7(yDZV7X))VZ) = 7((7(XDK)V
V7(KDZV7X))VZ) S 7((77(Х&7У) V 77( Y&1(Z V 7%))) V Z) =
= 7(((X&jY) V (y&7(ZV7X)))VZ)’5 S
= 7((X&7Y) V(y&7(ZV7X)))&7Z S (7(X&7Y) &
& 7(Y&7(Z\/7X))) &7Z'b = (7X\/77Y)&((7Y)\/77(ZV7X))&7Z =
= (7XV Y)&(7YVZV7X)&7Z = (7X&7Y&7Z) V
\f(7X&Z&7Z) V (7X&tX&7Z)\/(Y&7Y8i7Z) V
*' V ( Y&Z&7Z) V ( y&7X&7Z)_.
’ 2) ((XiVX2)&(X|VX3))V7X2 = (X.&X,) V
V (X,&X3) V (X2&Xt) V (X2&Xt) V 7X2.
Мы будем теперь называть элементарной конъюнкцией всякую формулу, представляющую собой конъюнкцию элементарных предложений и отрицаний элементарных предложений. Формула, являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнкций, называется формулой в дизъюнктивной нормальной форме (сокращенно д. н. ф.). Нами доказана, таким образом
Теорема о приведении к д. н. ф. Для всякой формулы логики предложений существует равносильная ей формула в д. н. ф.
На самом деле доказано больше: мы указали, как практически получить для каждой формулы равносильную ей формулу в д. н. ф. (как обычно говорят — привести формулу к д.н.ф.).
Замечания. 1) При приведении формул к д.н.ф. полезно иметь в виду, что из двух одинаковых членов в конъюнкции или в дизъюнкции один можно вычеркнуть (в силу законов идемпотентности).
15 Для большей наглядности мы иногда сохраняем скобки, которые можно опускать.
16 Этот шаг можно было бы объединить с предыдущим, заметив, что законы Де Моргана легко обобщаются на случай трех (и вообще любого числа) членов.
104
ГЛАВА 3
(Так, в примере 1 можно заменить 1X&1X&1Z на 1X&1Z, в примере 2 — Хх&Х} на X,.
2)	Более формальное доказательство теоремы о приведении к д. н. ф. проводится методом математической индукции — например, возвратной индукцией по числу вхождений в исходную формулу пропозициональных связок (см. приложение III). Читатель может при желании проделать это сам.
3.	Наряду с дизъюнктивной нормальной формой для формул логики предложений можно получить еще одну нормальную форму, называемую конъюнктивной. Именно, если определить элементарную дизъюнкцию как формулу, представляющую собой дизъюнкцию элементарных предложений и отрицаний элементарных предложений, то конъюнкцию элементарных дизъюнкций естественно назвать формулой в конъюнктивной нормальной форме (сокращенно к. н. ф.). (Здесь, как и выше, допускаются конъюнкции и дизъюнкции из одного члена.) Имеет место
Теорема о приведении к к. н. ф. Для всякой формулы логики предложений существует равносильная ей формула в к. н. ф.
Доказательство состоит, аналогично предыдущей теореме, в указании способа приведения формулы к к. н. ф.; именно, формула приводится к к. н. ф. также, как к д. н. ф.. стой только разницей, что на последнем этапе раскрытие скобок производится не по соотношению I 5. а по 16.
Пример. (X «* 7 Z) V (7 X *» У) =
s ((X Э 7 Z) & (7 Z D X)) V ((7 X Э Y) & (Г □ 7 Xj) =
= {(' XV 7 Z) & (Z V X)) V ((X V Y) &(7У V 7Х)} S
= (7XV7ZVXvy)&(ZVXVX V У) &
& (7 X V 7 Z V 7 У V 7X)&(Z V X V 7 У V 7 X).
Повторяющиеся члены можно здесь опустить.
Заметим, что в примере 1 предыдущего пункта предпоследняя формула находится в к. н. ф. (так что при приведении к к. н. ф. здесь не нужно раскрывать скобки).
Замечание. Вместо «формула в дизъюнктивной (соответственно “конъюнктивной” нормальной форме» часто говорят просто «дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма».
Задача. Привести к д. и. ф. и к. н. ф.
(о)(Х Э 7 У) V 777(УЭ (7 У« У));
(fi) 7 (X, & 7 (Х2 V7 X,) Э X,)) & Х2.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
105
4.	Формула, представляющая тождественно истинную (тождественно ложную) булеву функцию, также называется тождественно истинной, соответственно тождественно ложной. Все тождественно истинные формулы равносильны между собой — их общей основой является константа И; то же верно для тождественно ложных формул, обшая основа которых — константа Л. Очевидно и обратное — формула, равносильная тождественно истинной (тождественно ложной) формуле, сама является тождественно истинной, соответственно тождественно ложной. Ясно также, что отрицание тождественно истинной формулы есть формула тождественно ложная, а отрицание тождественно ложной — тождественно истинная.
Примеры.	1) Формулы	2> Формулы
X V 7 X, 7 (X & 7 X), XDX	Х& 7 X, X ** 7Х, 7 (X V 7 X)
тождественно истинны.	тождественно ложны.
Предложения, выражаемые тождественно истинными формулами, «абсолютно истинны», т. е. истинны вне зависимости от содержания входящих в них элементарных предложений. Некоторые тождественно истинные формулы соответствуют важным логическим законам. В частности, формула X V 7 X выражает один из основных законов классической логики — закон исключенного третьего: всякое суждение либо истинно, либо ложно, «третьего не дано» (по-латыни tertium non datur17); формула 7 (X & 7 X) выражает другой важнейший закон логики — закон противоречия: никакое суждение не может быть истинным и ложным одновременно.
Тождественно истинные формулы логики предложений называют также тавтологиями, или тавтологичными формулами (от греч. xavToXofEW — повторяю сказанное) — видимо, потому, что некоторые из них выглядят как «повторения одного и того же» (ХЭХ, Х**Х, ХЭХ&Хит. п.).
Понятие тождественно истинной формулы позволяет заметить связь между отношением равносильности формул и операцией экви-валенции: формулы 21 и ® тогда и только тогда равносильны, когда эквиваленция 21 *» 25 тождественно истинна. Действительно, соста
И>ю|да закон шк и называют «принципом leruiim non daiur».
106
ГЛАВА 3
вив для формул 21, SB и 21 «♦ 23 общую истинностную таблицу:
мы видим, что согласно определению эквиваленции в столбце для 21 ** 23 тогда и только тогда будет всюду стоять И, когда столбцы для 21 и для 23 совпадают.
Ввиду соотношения III 4 эквиваленция 21*» 23 тождественно истинна тогда и только тогда, когда тождественно истинны обе импликации 21 □ 23 и 25 Э 21. Итак, тождественная истинность этих двух импликаций необходима и достаточна для равносильности формул 21 и «В.
Задачи. 1) Доказать тождественную истинность формул:
(а)	(X D Y) э (7 Y Э 7 X) ;
(б)	(7 Y Э 7 X) Э (X D У);
(в)	(X D (У Э Z)) D (X & Y D Z);
(г)	(X & Y D Z) D (X D (У Э Z));
(д)	(X Э У) & (У Э Z) D (X □ Z).
2)	Доказать тождественную ложность формул:
(а)	X & (X D Y) & (X D 1Y)-,
(б)	X & У & (X & У D Z) & 7 Z.
Сейчас мы присоединим к полученным в предыдущем параграфе соотношениям несколько новых; их особенностью будет то, что некоторые из участвующих в них предложений предполагаются тождественно истинными или тождественно ложными. В этих соотношениях буква SR будет обозначать произвольную тождественно истинную формулу, <у — произвольную тождественно ложную и X — произвольное предложение.
ivi.x& m = х.
IV2. X & <у = <у.
IV3.X V SR = SR.
IV4. X V (у = X.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
107
1V5. D X = SR.
IV6.X □ SR = SR.
Доказательства этих соотношений очень просты. Например: если X принимает значение И, то, поскольку SR всегда имеет значение И, X & 91 тоже принимает значение И\ если же X принимает значение Л, то и X & SR принимает значение Л. Аналогично: каково бы ни было X, импликация D X принимает значение Я, поскольку импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно. Остальные соотношения читатель докажет сам.
Равносильность IV 5 выражает так называемое правило Дунса Ско т а18) из лжи следует все, что угодно (ex false quodlibet).
Замечание. Равносильности IV 1—6 остаются справедливыми при замене переменной X любой формулой (ср. замечание на с. 99).
Соотношения IV 1—6 во многих случаях позволяют упрощать формулы, т. с. находить для них равносильные более простого вида. Именно, в силу IV 1,4 в конъюнкциях можно вычерчивать тождественно истинные члены, а в дизъюнкциях — тождественно ложные; в то же время тождественную истинность или тождественную ложность формулы нередко удается установить с помошью соотношений IV 2, 3, 5, 6 (а также законов исключенного третьего и противоречия). Например, формула (7 (X & iX 27 У) V X) & & {Y \j Z \j у Z) равносильна X, поскольку: а) импликация X & 7 X D Yтождественно истинна (в силу IV5 и тождественной ложности формулы X & 7 X), так что дизъюнкция 7 (X & 7 X Э У) v X равносильна X (IV 4); б) дизъюнкция Y V Z v 7 Z тождественно истинна (IV 3 и закон исключенного третьего), так что конъюнкция X & (У V ZV 7Z) равносильна X (IV 1). Тем же способом последние формулы примера 1) на с. 103 и примера на с. 104 можно упростить до (7 X & 1Y& 7 Z) V (7 X & 1Z) V (Y& 7 X & 7 Z) и до (Z V X V У) & (7 X V 7 Z V 7 У) соответственно.
Задача. Упростить:
(а)	(X V 7 УЭ (Z D У V 7 У V X)) & (XV Т (X D Х)р У;
(б)	((Х& 7 (X & 7 X ЭУ& 7 У)) DZ)VX V (У & Z);
(в)	(X, & (Х2 v Xi ЭХг V Х3)) V (Xt & X, & 7 Х2) V
V X, V (Х2 & 7 (X, & 7Х,)).
18 Иоанн Дунс Скот (Johannes Duns Scotus, 1265—1308) —один из крупнейших средневековых философов и богословов, монах-францисканец, родом из Шотландии
ГЛАВА 3
§3.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ ФОРМУЛОЙ. СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
1. Сейчас будет доказана
Теорема о представлении булевой функции. Всякая булева функция может быть представлена формулой.
Чтобы доказать эту теорему, введем сначала некоторые новые понятия.
Пусть Х„ ... , Хп — элементарные предложения (иначе — переменные), пробегающие {И, Л}. Мы будем называть полной элементарной конъюнкцией от Х„---,Хи всякую формулу вида X/ & Х2‘ & ••• & X/, где для каждого i - 1, п X’ есть либо X,., либо 7 Xt.
Полных элементарных конъюнкций от Xt, , Хг имеется ровно 2". (Действительно: а) полных элементарных конъюнкций от X, ровно две — X, и 7 X,; б) для каждого п число полных элементарных конъюнкций от Хр Х„ + , вдвое больше, чемотХ„ Хи, т. к. каждую конъюнкцию X/ &	& X,,' можно дополнить до полной
элементарной конъюнкции от Х„---, X,+ | двумя способами — X/ &  Хп' & Хп +, и X/ &  •• & X/ & 7 Хп + р Ср. с подсчетом наборов значений элементарных предложений, с. 74).
Пример. Полных элементарных конъюнкций от X,, Х2 имеется четыре:
Х,&Х2, XK&1XV 7Х|&Х2, 7Х,&7Х2.
Мы будем теперь называть п-мерным булевым вектором всякую упорядоченную n-ку истинностных значений (которую мы будем записывать без скобок и запятых) или, что то же самое, слово длины п, состоящее из букв И, Л. /~ю букву этого слова естественно назвать i-ой координатой вектора. Например, ЛИИЛИ — пятимерный булев вектор с первой координатой //, второй координатой И н т. д. z-ю координату вектора г мы будем обозначать через г1.
Очевидно, строки истинностной таблицы от п переменных — это как раз все «-мерные булевы векторы, так что число последних равно 2".
Всякую булеву функцию F(Xt   , Х„) мы можем рассматривать
СЕМАН'ГИКЛ ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
109
теперь как векторную: F(r) будет означать то же, что г"). Иногда мы будем также обозначать через 21(г) истинностное значение, принимаемое формулой 21 на векторе г (т. с. при подстановке г1 вместо А’,, г2 вместо Х,ит. д.).
Сопоставим, далее, каждому «-мерному булеву вектору г полную элементарную конъюнкцию Кг от переменных АГ,, •  - , Хп следующим образом: Кг = Х\ &	& Х^,
I X,, если f = И
где X'= < ,,	,	„ Например, если г-ИЛЛИ. то
‘	|7АГ„ если/ = Л.
Кг = Хх&1 Х2& 7 х3 & х4.
Лемма. Если г — «-мерный булев вектор, то Кг(г) — И \\ для любого «-мерного булева вектора г, 7 г K'(rt) = Л.
Доказательство леммы, а) Из определения формулы Х\ видно, что при подстановке / вместо Х( она принимает значение И\ поэтому и Kt примет значение И, если каждом}7 Xt дать значение /. б) Если г, г, то хотя бы для одного i0 = 1,	« будет гф /о, т. е. /,« = 77,
если /о — И, и /о = /у, если /о = Л. Но тогда формула X' при подстановке вместо X , примет, очевидно, значение 77, а поэтому и Кг примет значение 77 при подстановке вместо каждого X соответствующего /г
Доказательство теоремы. Пусть F(Xt, --, Хп)— произвольная булева функция.
Случай 1. Функция F нс является тождественно ложной. Обозначим через М множество тех «-мерных булевых векторов, на которых F принимает значение И; поскольку F не тождественно ложна, это множество не пусто. Пусть М =	г4|. Тогда формула
$1 = Kr\ V • - - V КЛ будет представлять нашу функцию. Действительно, для любого j = 1, -  -, ж формула K'i на векторе г, принимает значение И, так что дизъюнкция Kr' V - • - VK'* также принимает значение И на этом векторе; с другой стороны, на векторе, не принадлежащем М, все формулы К'1,-", Кг^ принимают значение 77, а поэтому их дизъюнкция также ложна. Итак, формула 21 принимает значение И для тех векторов г, для которых F(r) = И, и значение 77 для тех, для которых F(r) = 77.
Случай 2. Если F(Xx, Х^ тождественно ложна, она представляется, например, формулой Xt & 7 -V, & Х2 7 Хг
ПО	ГЛАВА 3
Пример. Пусть функция f(Xl,X2,X3) задана истинностной таблицей:
X,	х2	Хз	Т(А1,А2,Х3)
И	И	И	И
И	И	л	л
И	л	И	л
И	л	л	И
л	И	И	И
л	И	л	л
л	л	И	л
л	л	л	л
Выбирая из таблицы тс строки, для которых в столбце F(Xl,X2,Xi) стоит И, и составляя для них соответствующие полные элементарные конъюнкции, получаем формулу
X, & Хг & Х3 V X, & 7 Хг & 7 Х3 V 7 X, & Хг & Х3.
Заметим, что в случае нетождественно ложной функции соответствующая формула является формулой в д. н. ф. Такие формулы — именно, формулы, являющиеся дизъюнкциями полных элементарных конъюнкций от переменных X,, Хя, причем ни один член в дизъюнкции нс повторяется дважды,— называются формулами в совершенной д. н. ф. (сокращенно с. д. н. ф.) от X,---, Хп. Таким образом, мы показали, что всякую не тождественно ложную формулу можно привести к с. д. н. ф.19). Способ приведения состоит в том, что для формулы строится истинностная таблица, а по этой таблице строится формула в с. д. н. ф., как описано в доказательстве теоремы. (Кстати, заодно мы передоказали теорему о приведении к д. н. ф.)
Можно приводить формулы к с. д. н. ф. и иначе — с помощью тождественных преобразований. Для этого нужно сначала привести формулу к д. н. ф., как описано в § 2, и вычеркнуть а) повторяющиеся члены в конъюнкциях и б) те конъюнкции, в которых какие-либо элементарные предложения встречаются вместе с их отрицаниями (с. 107). Каждую из оставшихся конъюнкций20) можно
19 Для тождественно ложной формулы не существует равносильной формулы в с. д. н -ф., т. к. всякая полная элементарная конъюнкция для какого-то вектора истинна.
20 Если все конъюнкции оказались вычеркнутыми, формула тождественно
ложна.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
III
записать в видеХ{| &	& Х^у где Xty---yXj — какие-то из входя-
щих в формулу переменных X,,..., Х„, и для каждого i Х/естьХ, или 7 Х(. Если эта конъюнкция — не полная, преобразуем ее так: берем некоторую не входящую в нее переменную X, (Z — I,---, п) и заменяем ХХ(' &	& Х.^' на (X/ &	& X,*') & (X, V 7 X,) (соотноше-
ние IV I): раскрывая скобки, получаем Х^ &  & ХУ & X,) V v (X,,' &    & ХУ & 7 Х?). Таким образом, одну конъюнкцию мы заменили двумя, содержащими на одну переменную больше. При необходимости каждую из этих конъюнкций снова дополняем, и так до тех пор, пока не получится дизъюнкция полных элементарных конъюнкций —- в которой остается вычеркнуть повторяющиеся члены, если таковые окажутся.
Пример. Формула примера 1) нас. 103 после приведения кд. н. ф. и вычеркивания повторений и тождественно ложных конъюнкций получает вид (7 X & 7 У & 7 Z) V (7 X & 7 Z) v(y & iX & 7 Z) (с. 107 ). Первая и третья конъюнкции — уже полные; преобразуя вторую, имеем:
1X&1Z = (7 X&iZ)&(Y\/7 У) = (7 X&Y&yZ) V
V (7 X & 7 Y & 7 Z).
Вставляя полученную дизъюнкцию вместо 7 X & 7 Z и устраняя повторения, приходим к формуле (7X&?y&?Z)V V (7 X & Y& 7 Z).
Задача. Двумя способами привести к с. д. н. ф. формулы задачи на с. 107.
Замечание. Из доказательства теоремы о представлении булевой функции формулой ясно, что формула в с. д. н. ф. от переменных Хх,---,Х„ тогда и только тогда тождественно истинна, тогда она содержит все полные элементарные конъюнкции от этих переменных.
2. Пусть 21 — формула, образованная из элементарных предложений с помощью операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Сопоставим ей две новые формулы: 21’, полученную из 21 переменой местами знаков конъюнкции и дизъюнкции, и 2Г, полученную из 21’ заменой всех неотрицаемых вхождений элементарных предложений отрицаемыми и наоборот. Формулу 21* мы будем называть двойственной для 21, а 2Г — противоположной для 21. Очевидно, 21” = 2ГЛ = 21.
Пример. Если 21 = Х3 V 7 (7 (Х2 V 7Х,) & 7 Х2),
то 21* = Х3 & 7 (7 (Х2 & 7 X,) V 7 Х2),
21л = 7 хз & 7 (7(7 Х2 & Xj) V Х2).
112
ГЛАВА 3
Лемма о противоположной формуле. Формула, противоположная формуле 21, равносильна отрицанию 21.
Доказательство мы проведем с помощью принципа возвратной индукции (см. приложение III, пункт 2).
Пусть 21 — формула, образованная из элементарных предложений и их отрицаний с помощью операций конъюнкции и дизъюнкции. Обозначим через с1(Ъ1) общее число вхождений пропозициональных связок в формулу 21. Мы докажем лемму возвратной индукцией по числу </(21).
Базис. Пусть d(W) — 0. Тогда 21 есть элементарное предложение X; поэтому 21* тоже есть X, так что 21л = 1Х.
Индукционный шаг. Пусть п > 0 и утверждение теоремы справедливо для всех формул 25, для которых d($B) < п. Покажем, что тогда оно справедливо и для любой формулы 21, такой, что </(21) = п.
Если </(21) = п > 0, то формула 21 содержит хоть одну пропозициональную связку. Поэтому возможны три случая:
а) 21 = 2Ц & 2^, б) 21 = 2^ V 2Ц, в) 21 = 7 25, причем в случаях а) и б), очевидно, </(210, </(212) < л, и в случае в) </(25) < п. Поэтому, в силу индуктивного предположения, в случаях а) и б) 21* = 7 2lt, 2lj = 7 212, и в случае в) ЯХ = 7 25- Но в случае а) имеем, очевидно, 21Л = 21^ v 912, откуда 21л = 7 2Ц v 7 312, а эта последняя формула, в свою очередь, равносильна 7 (21, & 910 = ? 91, Случай б) рассматривается аналогично. В случае в) 21* = ?25Л = 7 725 = 721.
Из доказанной леммы можно вывести, в частности
Принцип двойственности. Если две формулы, образованные из элементарных предложений с помощью операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, равносильны, то двойственные им формулы также равносильны.
Доказательство. Назовем булевы векторы гиг' взаимно противоположными, если г' получается из г переменой местами букв И и Л. (Например, векторы ИЛЛ пЛИИ взаимно противоположны.) Пусть 21 и 25 — формулы, удовлетворяющие нужным условиям, г — ц-мерный булев вектор, где п — общее число элементарных предложений, входящих в 21 и 25, и г' — вектор, противоположный г. Из определений двойственной и противоположной формул ясно, что 21*(г) = 2Г(г'), 25*(г) — 25Л(г')- Но если 21 = 25, то и 721 = 7 25, откуда 2Г = 25Л; поэтому для любого г имеем 2Г(г) = 21Л(г') = = 7 21(г') = 7 25(г') = 25л(г') = 25’(г); а это и значит, что 21* s 25‘-
Задача. Для каждой из основных равносильностей группы I указать другую равносильность той же группы, которую можно вывести из нее по принципу двойственности.
3. Назовем полной элементарной дизъюнкцией от переменных
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
ИЗ
X,, ... Х„ формулу вида X,'V ... VX/, где для каждого i= 1, ... , п X/ есть либо Хп либо iXt. Конъюнкция полных элементарных дизъюнкций от переменных Х„ ... Хп, в которой ни один член не повторяется дважды, называется формулой в совершенной к. н. ф. (сокращенно с. к. н. ф.) от Хь ..., Хп.
Ясно, что для формулы в с. д. н. ф. двойственная и противоположная являются формулами в с. к. н. ф., и обратно.
Всякую не тождественно истинную формулу можно привести к с. к. н. ф. Для этого достаточно привести ее отрицание к с. д. н. ф., а затем перейти к противоположной формуле. Можно, впрочем, приводить формулы к с. к. н. ф. и непосредственно, с помощью тождественных преобразований — аналогично тому, как это делается для с. д. н. ф. Читателю предоставляется самому восстановить подробности.
Задачи. I) Двумя способами привести к с. к. н. ф. формулы задачи на с. 107.
2) Вывести теорему о приведении к к. н. ф. из теоремы о приведении к д. н. ф. и леммы о противоположной формуле.
§ 3.4. СЕМАНТИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ
1. Пусть Г — конечное множество формул, 55 — некоторая формула и Х„ ..., Хп — все элементарные предложения, входящие в формулы из множества Г или в формулу 35. Мы будем говорить, что формула 55 есть семантическое следствие — или просто следствие — множества формул Г (иначе: 55 (семантически) следует из Г) и писать /’=>55, если для любого набора значений переменных Х}, ..., Х„, для которого все формулы, входящие в Г, принимают значение И, формула 55 также принимает значение И. (Если при этом в какую-то формулу входят только некоторые из переменных Xt, ..., Хп — скажем, X,, ..., Х„ s<n, — то, говоря, что эта формула принимает значение И для набора Х\, .... XJ значений переменных X,, ..., Х„, мы имеем в виду, что она принимает значение И для набора X?, ..., X? зиачений входящих в нее переменных.)
В частности, 0=>55 означает, что 55 тождественно истинна.
Если Г не пусто и состоит из формул 21,, ..., 21(;, мы часто будем вместо «55 следует из множества Г» говорить «55 следует из формул 21,,..., 55/> и писать 21,, ..., 21^23 (а ни {21,,..., 21J=>25).
114
ГЛАВА 3
Для любых формул 21,,	21к, S& можно проверить, является ли
следствием 21,,21,, составив для них «общую истинностную таблицу», как в следующем примере:
X У Z	ХЭУ	Y^Z	XDZ
НИИ и и л или ИЛЛ ЛИИ лил л л и л л л	и и л л и и и и	и л и и и л и и	и л и л и и и и
Из этой таблицы видно, что формула XDZ есть следствие формул ХЭУ и FDZ; действительно, в каждой из тех строк, в которых на пересечении со столбцами значений формулы XD Y и YZ)Z стоит И (а именно, в 1-й, 5-й, 7-й и 8-й строках), на пересечении со столбцом значений формулы XDZ также стоит И.
(Установленный только что факт представляет собой очень важный логический закон, широко используемый, в частности, в математических рассуждениях: если из утверждения X следует утверждение У, а из У следует утверждение Z, то из X следует Z.)
Задачи. 1) Доказать, что:
(а)	X, ХЭУ=>У;
(б)	X, У=> Х&У;
(в)	Х{&Хг, Хг&Х. => Х,&Х2&Х3;
(г)	каждая из формул X, Y, X v У есть следствие формулы Х& У.
2) Является ли какая-либо из формул XD( YDZ) и (XD y)DZ следствием другой?
Докажем теперь три совсем простых, но поучительных утверждения.
Утверждение 1. Формула 56 тогда и только тогда является следствием формулы 21, когда импликация 21Э56 тождественно истинна.
Доказательство. Путь 21 и 56 — произвольные формулы и X,, .... Х„ — все входящие в них элементарные предложения. Импликация 2025 является ложной для тех и только тех наборов значений предложений Хр Хп, для которых 21 истинна, а ложна; поэтому тождественная истинность этой импликации означает, что
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
115
таких наборов нет. т. с. что для каждого набора, для которого 21 истинна, % также истинна — а это как раз и значит, что 25 есть следствие 21.
Утверждение 2. Две формулы тогда и только тогда равносильны, когда каждая из них есть следствие другой.
Доказательство. Очевидно, тогда и только тогда каждая из двух формул 21 и 25 будет следствием другой, когда при любом наборе входящих в обе формулы значений элементарных предложений, при котором истинна какая-то одна из них, истинна и другая. Но это значит, что истинностные таблицы формул 21 и 25, зависящие от всех входящих в эти формулы переменных, совпадают — т. е. что 21 и 25 равносильны.
Утверждение 3. Тогда и только тогда 21=>25, когда 725=>721.
Доказательство. В силу закона контрапозиции импликация 21=>25 тогда и только тогда тождественно истинна, когда это же верно для 725Э721. Отсюда и из утверждения 1 сразу следует нужный факт.
2. Семантическое следование допускает простое и наглядное описание с помощью совершенных нормальных форм. Это описание основано на трех леммах:
Лемма 1. Если 21 и 25 — формулы в с. д. н. ф. от одних и тех же переменных, то 21=>25 тогда и только тогда, когда множество дизъюнктивных членов 21 содержится во множестве дизъюнктивных членов
Доказательство. Пусть и — множества дизъюнктивных членов 21 и 25 соответственно, и Xt,..., Хп — переменные, от которых зависят 21 и 25. Если г — произвольный «-мерный булев вектор, то ввиду леммы предыдущего параграфа тогда и только тогда 21(г) — И, когда КгЕ:Му, и аналогично для 25- Путь теперь 21=>25- Это значит, что для любого г, для которого 21(г) = И, т. с.	будет также
25(г) = //, т. е.	Таким образом, из 21=>25 вытекает
Обратно, если 7ИаСЛ/в, то по предыдущему для любого г, для которого 21(г) = И, будет также 25(г) — И, что и означает 2!=>25.
Лемма 2. Если 21 и 25 — формулы в с. к. н. ф. от одних и тех же переменных, то 21=>25 тогда и только тогда, когда множество конъюнктивных членов 21 содержит множество конъюнктивных членов
Доказательство. Пусть N* и — множества конъюнктивных членов 21 и 25 соответственно. Ввиду утверждения 3 и леммы о противоположной формуле 21=>25 тогда и только тогда, когда 25л=>21л. Отсюда получаем в силу леммы 1, пользуясь обозначениями из се доказательства, что 21=>25 тогда и только тогда, когда МЙЛСМЩЛ.
116
главаз
Но последнее включение равносильно 21.
Лемма 3. Формула S& является следствием формул 9Ц, , ..., тогда и только тогда, когда она является следствием их конъюнкции.
Эта лемма непосредственно следует нз того, что конъюнкция истинна для тех и только для тех наборов значений переменных, для которых истинны все ее члены.
Лемма 1 дает возможность для произвольной формулы в с. д. н. ф. легко обозреть все следствия из нее (зависящие от тех же переменных): это будут в точности те формулы, которые получаются из данной добавлением в качестве дизъюнктивных членов каких-либо «новых» полных элементарных конъюнкций от тех же переменных (а также, разумеется, сама данная формула). Например, из формулы (XftiX^ V (7Х(&7Х2) получается четыре следствия:
1) она сама; 2) (X1&7X2)v(7Xl&7X2)v(Xl&X2); 3) (X(&7X2)v v(7Xl&7X2)V(7X1&X2); 4) (Xl&7X2)v(7X,&7X2)v(X!&A’2)v(7X1&X2) (тождественно истинная формула).
Аналогично, в силу леммы 2 для любой формулы в с. к. н. ф. все следствия из нее, зависящие от тех же переменных, получаются вычеркиванием из нес каких-либо конъюнктивных членов (в частности, можно ничего не вычеркивать или вычеркнуть все — в последнем случае считаем, что получилась тождественно истинная формула22. Пользуясь леммой 3, можно теперь для любой (конечной) системы формул получить всевозможные следствия из нее: для этого нужно привести все формулы к с. к. н. ф. от всех тех переменных, которые входят хотя бы в одну из них, а затем из полных элементарных дизъюнкций, входящих в полученные с. к. н. ф., составить всевозможные конъюнкции (включая пустую).
Пример. Из формул (Xt VX2)&(X, V7X2) и (X, V7X2)&(7X, vX2) получается 8 следствий:
1)	(X, VX2)&(X, V7X2)&(7X( vX2);
2)	(X,vX2)&(X,v7X2);
3)	(X, vX2)&(7X, vX2);
4)	(X,V7X2)&(7X,VX2);
21 Это вытекает из следующего очевидного факта: если С — произвольная формула в с. к. н. ф. от переменных Х\, то полная элементарная дизъюнкция Xi' V, х/Х„' является одним из конъюнктивных членов С тогда и только тогда, когда полная элементарная конъюнкция Xi''& ... &Х„", где Х" = 7Хд если Xi = Xt, и Xi = Xt, если Xi' — IX,, является одним из дизъюнктивных членов Сл.
Которая, очевидно, является следствием любой системы формулы (в то же время любая формула — следствие тождественно ложной).
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
117
5)	X,vX2;
6)	x,v?x2;
7)	7X,VX2;
8)	тождественно истинная формула.
Задачи. 1) С помощью с. д. н. ф. получить всевозможные следствия из формулы А** У.
2) С помощью с. к. н. ф. получить всевозможные следствия из формул AZ) У и KDZ.
§ 3.5. ПРИЛОЖЕНИЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ
--- ПОЛНОТА
1.	Как уже говорилось во Введении, идеи и методы математической логики находят приложение в некоторых практических задачах. Сейчас мы рассмотрим одну такую задачу, в которой «работает» логика предложений — синтез релейно-контактных схем. Исторически применение методов математической логики к прикладным вопросам началось именно с этой задачи23.
Начнем с примера. Пусть в каком-нибудь цехе или лаборатории имеется п установок (машин, аппаратов, вспомогательных устройств), работающих на электрическом токе; обозначим ихц, ..., Каждую установку можно включать и выключать. Фиксировав некоторый момент времени, будем обозначать через At предложение «Установка ц в данный момент включена». Булев вектор г = г'	г”, где
г1 — истинностное значение предложения А„ мы назовем режимом работы системы установок («,, ..., а„) (в данный момент времени). Как правило, этот режим должен удовлетворять каким-то специальным условиям, которые обычно легко записываются с помощью формул логики предложений. Например, условие «Установки и а2 не могут работать (т. е. быть включенными) одновременно» означает, что на векторе г должна быть истинна формула 7(Л|&/2), условие «Если работает хотя бы одна из установок а2, а*, а4, то должна работать также установка с|0» — что на г истинна
23 Возможность использовании методов логики предложений для синтеза релейно-контактных схем была обнаружена в конце ЗО-х годов независимо К. Шенноном (Claude Е. Shannon) в США и В. И. Шестаковым в СССР.
118
ГЛАВА 3
формула A, vZ3 vX4DА10, и т. п.24 Таких условий может быть много, но их всегда можно заменить одним — условием истинности конъюнкции формул, отвечающих каждому условию в отдельности. Обозначив эту конъюнкцию через 21, рассмотрим следующую задачу: как построить автоматическое устройство, которое «следило» бы за выполнением условия 21 — например, включало бы при его нарушении звонок или сигнальную лампочку? Для этого достаточно иметь электрическую цепь, в которой идет ток тогда и только тогда, когда 21 выполняется. Посмотрим, как можно реализовать такую цепь.
Допустим, что с каждым устройством at мы можем связать некоторое число проводников электрического тока таким образом, что по каждому из них идет ток тогда и только тогда, когда а, включено, и эти проводники можно соединять между собой в любых комбинациях (технически это вполне осуществимо). Для простоты будем считать, что с каждым устройством можно связать сколько угодно таких проводников, которые мы будем рассматривать как разные экземпляры одного и того же проводника а; о каждом таком экземпляре мы будем говорить просто «проводник а» (например, вместо «два экземпляра проводника а>> будем говорить «два проводника 09», вместо «еще один экземпляр проводника а>> — «еще один проводник ар и т. п.25 Теперь мы можем каждое предложение Ар поскольку мы интересуемся только его истинностным значением, понимать как «По проводнику а идет ток».
Из этих проводников ос мы и будем строить нашу цепь. Идея построения чрезвычайно проста. Пусть ос и 0 — два проводника электрического тока и А, В — предложения «По а идет ток» и «По [> идет ток» соответственно. Тогда, соединив а и р последовательно (рис. 3), мы получим проводник, по которому ток идет тогда и только тогда, когда истинна конъюнкция А&В, а соединив аир параллельно (рис. 4), получим проводник, по которому ток идет тогда и только тогда, когда истинна дизъюнкция A v В. Поскольку для каждой формулы существует равносильная, не содержащая знаков импликации и эквиваленции (см. § 3.2), мы можем считать, что наша формула 21 содержит только знаки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Поэтому, чтобы «смодели
24 Легко понять, какой смысл могут иметь подобные условия в реальных ситуациях. Например, последнее условие потребуется, если ею — вентиляционное устройство, включение которого при работе установок <?2, сз, с/4 предписывается правилами техники безопасности.
25 Подобно тому, как говорят «вслове ’’каша” две буквы а» вместо «два вхождения буквы а» или «еще один учебник» вместо «еще один экземпляр учебника».
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
119
ровать» формулу 21 цепью, составленной из проводников сср ..., ап, нам остается научиться «конструировать» на основе проводника а другой проводник а', по которому ток будет идти тогда и только тогда, когда по а ток не идет — т. е. когда истинно отрицание предложения «По а идет ток». Это осуществляется с помощью реле, подключенного к а и размыкающего а' в точности тогда, когда по а идет ток (рис. 5). Таким образом, мы можем составить из Ct], ..., сс„ цепь, в которой ток будет идти тогда и только тогда, когда выполнено условие 21. Такая цепь строится с помощью простых со-
единений (контактов) и реле; поэтому она называется релейно-контактной схемой. Например, схема, изображенная на рис. 6, моделирует формулу i^&A^ А^&{А^1Аа)\/ {Ai&iA^z по ней (между «полюсами» Р и Q) идет ток тогда и только тогда, когда выражаемое этой формулой предложение истинно.
Итак, запись условия на языке логики предложений дает возможность без труда построить — или, как часто говорят, синтезировать— схему устройства, автоматически контролирующего выполнение этого условия. При реальном осуществлении такого устройства важно добиться, чтобы оно было как можно проще, и прежде всего •— чтобы для его изготовления требовалось как можно меньше экземпляров всех проводников в совокупности. Здесь приходят на помощь различные приемы упрощения формул. О некоторых самых простых приемах упрощения мы упоминали в § 3.2. Существует много других, более тонких и эффективных приемов; им посвящены многочисленные специальные исследования.
2.	Кроме релейно-контактных схем, есть и другой способ модели-
120
ГЛАВА 3
РИС 7 рования формул логики предложений — с помощью так называемых функциональных элементов.
Пусть F(X„ ..., Х„) — произвольная булева функция, и пусть у нас имеется некоторое устройство — «ящичек», из которого «торчат» с одной стороны п проводов bt, ..., b„ — их мы будем называть входными каналами, — ас другой еще один провод t — выходной канал (рис. 7). Каждый входной канал
может быть подключен к источнику тока. Если в канал bt поступает
электрический импульс, мы будем говорить, что в наше устройство по i-му входному каналу подается истинностное значение И, а если не поступает — что в него по i-му входному каналу подается истинностное значение Л. Если по первому входному каналу в устройство подается истинностное значение г', по второму — F и т. д., мы скажем, что на вход нашего устройства подается вектор г = г1 г2... г". В зависимости от того, какой вектор подается на вход, в выходном канале появляется или не появляется электрический импульс; в первом случае мы скажем, что на выходе устройства появляется истинностное значение И, во втором — что на выходе появляется Л. Пусть теперь устройство удовлетворяет следующему условию: каков бы ни был л-мерный булев вектор г, всякий раз, когда он подается на вход устройства, на выходе появляется значение F(r). Такое устройство называется функционеры ням элементом, реализующим функцию F. (При этом неважно, как устроен «ящичек» внутри.)
Пусть, далее, мы имеем булеву функцию от к переменных G(Yf, ..., УА) и к булевых функций от п переменных: F^X^ .... Хп), Fk(X,t .... Х„), и пусть для каждой из этих функций у нас есть реали
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
121
зующий ее функциональный элемент. (Элемент, реализующий некоторую функцию, мы будем обозначать тем же символом, что и ее самое.) Для каждого / = 1,...» п мы соединим г-е входные каналы всех элементов Ft,..., Fk таким образом, что по ним всегда будет подаваться одно и то же истинностное значение, и для каждого/= 1,..., к к выходному каналу элемента Ff подсоединим /-й входной канал
Рис 8
элемента G (рис. 8). Полученная схема будет, очевидно, работать точно так же, как работал бы элемент, реализующий функцию G(Fi(Xi, .... Х„), .... Fk(Xt, X,)), и мы также будем говорить, что эта схема реализует названную функцию.
Теперь ясно, что, каков бы ни был набор булевых функций Н,, Hs, мы можем для любой функции, представимой в виде суперпозиции Я!5 ..., Hs в каком-либо числе, построить реализующую ее схему из функциональных элементов, реализующих Я,, ..., Ял. Но всякая формула логики предложений (кроме формул вида Хр не содержащих пропозициональных связок) есть не что иное, как представление некоторой булевой функции в виде суперпозиции функций из набора Я(, ..., Я5, где
Я/Х,, Х2) = Х,&Х2, H2(Xt, Х2) = Xt vX2,
Н,(Х„ xj = xpxv НА(Х„ Х2) = х,«х2,
Я3(Х.) = 7Х„
и теорема о представлении булевой функции означает, что любая булева функция представима в виде суперпозиции функций из этого
122
ГЛАВА 3
набора26. Поэтому любая булева функция может быть реализована схемой из функциональных элементов, соответствующих перечисленным пяти функциям. Более того, из доказательства упомянутой теоремы ясно, что достаточно даже трех функций — Н2, Н5.
Пример. Схема, изображенная на рис. 9, отвечает той же формуле, что и схема рис. 6. (Входные каналы обозначены так же, как переменные, значения которых на них подаются.)
3.	Множество булевых функций называется функционально полным или просто полным, если любая булева функция представима в виде суперпозиции функций, принадлежащих этому множеству (иначе говоря — может быть реализована схемой из элементов, отвечающих функциям, входящим в это множество). Примерами полных множеств могут служить {Ht, .... Я5) и {Н„ Н2, Н5}.
Поскольку дизъюнкция представима через конъюнкцию и отрицание, а конъюнкция — через дизъюнкцию и отрицание (законы Де Моргана), множества {/7Р Н5} и {Н2, Hs} также полны, а ввиду равносильности X,VX2 == 7ХрХ2 полным является и {Я3, Я5}. Всякое множество булевых функций, содержащее полное подмножество, само полно; поэтому множество булевых функций является полным, если оно содержит хотя бы одно из множеств {//,, Я5}, {Н2, /Д}. {Я3, Н5}.
Можно было бы показать (см. задачу 28 в конце этой главы), что для множеств, состоящих из пропозициональных связок, т. е. содер-
26 Это верно и для функций вида X,, т. к X, = ИХ,.. Можно, впрочем, считать
Xi «тривиальной суперпозицией» (ср. конъюнкции и дизъюнкции из одного члена).
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
123
жащихся в {Я„	Н5}, верно и обратное: всякое полное подмножество множества {Я„	Я5} содержит хотя бы одно из трех перечис-
ленных множеств.
Существуют и одноэлементные полные множества. Таково множество, единственным элементом которого является штрих Шеффера (обозначение Х\ У) — булева функция, задаваемая следующей таблицей:
X	Y	х|г
И	И	л
И	Л	И
л	И	И
л	л	И
(Очевидно, Х\ Y = 7(Х&У)27.) Читатель проверит, что Х\Х = = 1Х и (XI Y) I (XI У) = X&Y, откуда и следует представимость любой булевой функции с помощью суперпозиций через XI Y. Этим свойством обладает также, как легко убедиться аналогичным образом, функция 7(XV У) (иногда обозначаемая через Х| У). Других функций двух переменных, обладающих этим свойством, не существует (см. задачу 29 в конце главы).
Необходимое и достаточное условие полноты множества булевых функций было получено американским математиком Э. Постом (Emil Leon Post, 1897—1954). Доказывать это условие мы не будем; его формулировку см. ниже (сноска 31 в этой главе).
Задачи и упражнения
1)	Построить истинностные таблицы для всех булевых функций от одной переменной Х| и от двух переменных Xi, Хг.
2)	Доказать, что число различных булевых функций от переменных Xi .... Х„ равно 22 .
3)	а) Сколько существует приведенных булевых функций от переменных Xi, ..., Х„?
б)	Для каждой приведенной булевой функции от двух переменных Xi, Хг указать какую-либо представляющую ее формулу.
4)	Доказать, что:
(a)	(XV7X)&V s Г,
(б)	Xv(X&K) = Х-.
(в)	XD(FDZ) = rD(XDZ);
27 Ср. задачу 7 из гл. 2 (с. 87).
124
ГЛАВА 3
(г)	Х{&Х2& ... &XnDY = (X,D(X?D ... Э(Х„ЭГ)...)>;
(д)	X2DXiVX2 = 7Х2&7Х3Э7Х2;
(е)	&(^ЭУ)&(72,& ... &7ZKDY) =YU.
5)	Пусть X означает «Иванов — студент», Y — «Петров — студент», Z — «Сидоров — студент». Для каждой из основных равносильностей групп I, II, III построить достаточно приемлемые стилистически русские предложения, выражающие левую и правую части этой равносильности. (Образец: «Или Иванов —- студент, или хотя бы один из двоих. Петров или Сидоров — студент»; см. также пример на с. 91.)
6)	Показать, что так называемое симметрическое вычитание множеств (симметрическая разность между А и В — обозначение А+В— равна по определению (A'JB) \ (А(УВ)) соответствует отрицанию эквива-ленции28 29 в том смысле, в каком объединение соответствует дизъюнкции и пересечение — конъюнкции (с. 98).
7)	Привести кд. н. ф. (с помощью тождественных преобразований) и, если можно, упростить:
(а)	(ХЭУ)Э(ГЭХ):
(б)	XV7ZDV&Z;
(в)	(XV7rDX&Z)D7(XD7X)vr&7Z;
(г)	(7XVZ)&(rD((/DX));
(д)	7((XD7(rD7ZvX))&(rDX&Z));
(е)	(Х!Э(Х2Э - Э{Хп-^Х„}...));
(ж)	XiV ...	... &Y„.
8)	Привести формулы предыдущей задачи к к н. ф. (с помощью тождественных преобразований).
9)	Доказать тождественную истинность формул:
(а)	УЭ(ХЭУ);
(б)	7ХЭ(ХЭУ)-.
(в)	(ХЭГ)Э(( 7ХЭУ)ЭГ);
(г)	(XD(rDZ))D((XDr)D(XDZ)).
10)	Доказать тождественную ложность формул:
(а)	XV7XDY&7Y;
28 Этой равносильностью формализуется широко употребительный в математике прием доказательства разбором случаев: чтобы доказать утверждение У, доказывают его справедливость при каждом из условий Z|, ..., Zk, 7Z\& ... &7%к, в совокупности исчерпывающих все возможности. Ср. сноску5 на с. 93.
29 Отрицание эквиваленции называют иногда разделительной дизъюнкцией.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
125
(б)	7(7(... 7(7(X&7XOrl)Dr2)D...Drn_l)Drn)DZ&7Z;
(в)	(Х,& ... &Х„) & (X.V ... VX„DE) & 7К.
11)	Вывести равносильности, аналогичные соотношениям IV5 и IV6, с левыми частями 2\ЭХ и XD5.
12)	Доказать, что X&yYZ>5 = XDY.
13)	Для каждой булевой функции одной и двух переменных (см. задачу 1)) найти представляющую ее формулу способом, использованным в доказательстве теоремы о представлении булевой функции.
14)	Двумя способами — с помощью истинностных таблиц и с помощью тождественных преобразований — привести к с. д. н. ф. формулы задачи 7.
15)	Булевы функции F(Xt, ... Х„) и F*(XIt ..., Х„) называют двойственными друг другу, если F’(X.... Хп) = 7F(7X|, ..., 7Х„). Доказать, что
двойственные друг другу формулы представляют двойственные друг другу функции.
16)	Найти все самодвойственные > т.е. двойственные самим себе (см. предыдущую задачу) булевы функции одной и двух переменных.
17)	Для произвольного н-мерпого булева вектора г положим Dr = X[v ... vX«, где Х[ есть уХ, при г = И и X, при г' = Л. Показать, что Dr(r) = Л и Dr(r') = И при г' * г
18)	Опираясь на результат предыдущей задачи, дать доказательство теоремы о представлении булевой функции, аналогичное приведенному в § 3.3, но с использованием с. к. п. ф. Извлечь из этого доказательства еще один способ приведения формулы к с. к. н. ф. и еще один способ построения формулы по истинностной таблице.
19)	Привести формулы задачи 7 к с. к. н. ф. тремя способами: с помощью тождественных преобразований (используя решение задачи 8), с помощью с. д. н. ф. (используя решение задачи 14) и с помощью истинностных таблиц без обращения к с. д. н. ф. (см. задачу 18).
20)	Доказать, что:
(а)	Каждая из формул XVY и XvyY есть следствие формулы 7(ХЭГ);
(б)	Формула X&YV7X&VV7X&7F есть следствие формулы X**Y,
(в)	Формула XDK есть следствие формул 7XVKVZ и 7XVKV7Z;
(г)	Формула 7X|DX2 есть следствие формул X1VX2VX3VX4, X1VX2VX3V 7X4, XiVX2V 7X3VX4, XtVX2V 7X3V7X4.
21)	Доказать (методом математической индукции), что формула XiDX„ есть следствие формул X1DX2, Х2ЭХз, .... Xn-iDXn.
22)	(а) Доказать, что каждая из формул
Х,& ...&ХЛЭК!& ... &Y„,
X,V ... VXWDK|V ... vr„
является следствием формулы
(Х|ЭГ1)& .. &(Х„ЭГ„).
(б)	Верны ли обратные утверждения?
126
ГЛАВА 3
23)	Изобразись на чертежах релейно-контактные схемы и схемы из функциональных элементов, отвечающие формулам:
(a)	Xi&lXi VX2&7.Y3;
(б)	7(XIV7X2)&(X3&7A'4V7X|),
(в)	(Xi v Хг v 7Хз)&(7Х| VAS) V (Х2 V Х3);
24)	Определим на множесгве «-мерных булевых векторов отношение <, положив п < г2, если, счшая Л < И, имеем: a) rj < г2 для каждого i — 1, п; (3) хотя бы для одного i г\ < г2. Булева функция F(X|,	Х„)
называется монотонной, если г( < г2 влече! F(r0 — F(r2). Найти все монотонные функции одной и двух переменных.
25)	Булева функция FpG, .... Х„) называется линейной, если она представима в виде Х,,+ ... +Х,„ + А, где 1 <6 < . . 4 <«, + означает разделительную дизъюнкцию (см. сноску 29), и Л — константа И или Л Найти все линейные функции одной и двух переменных
26)	Множеово М булевых функций называется функционально замкнутым, если суперпозиция функций, принадлежащих М, также принадлежит М. Доказать, чю следующие множества функционально замкнуты
(а)	множество функций, сохраняющих И, г. е. таких, что F(H, И, .... И) = И,
(б)	множество функций, сохраняющих Л (определяются аналогично);
(в)	множество монотонных функций (см задачу 24);
(г)	множество линейных функций (см. задачу 25);
(д)	множество самодвойственных функций (см задачу 16)
27	) Будем говорить, что булева функция F(Xt, .... Х„) обладает свойском <хя, если либо п — 1, либо число «-мерных векторов, на которых F принимает значение И, четно Доказать, что если функции F(Xb ... X*, Уь ..,Yi) и G(.Y„ ... X*. Z..Z,„) (k, I, m = О, !,...)
обладаю! свойствами	и	соответственно, то функция
F(.Y|, .... Ха, ¥i, ... Г/) ♦* G(X|, ... Ха. Zi, . , Z,„) обладает свойством U А+/+,и.
28	) Доказать, что всякое полное множеово пропозициональных связок содержит хотя бы одно из множеств {//|, Н$}, {Н2, Н5], {//3. Н$} (с. 122). {Указание- Сначала доказать, пользуясь задачей 26а, что всякое полное множество пропозициональных связок содержи! Н$. Затем воспользоваться задачей 27. {
30	Определения этой и предыдущей задач станут прозрачнее, если вместо И писать 1 и вместо Л — 0 (ср замечание 2) на е 52) Разделительная дизъюнкция превратится при этом в сложение по модулю 2 (а конъюнкция — в умножение).
31	Из результата этой задачи немедленно следует, что для полноты множества булевых функции необходимо, чтобы оно для каждою из множеств (а) — (д) содержало хотя бы одну функцию, в него не входящую (поскольку ни одно из этих множеств не исчерпывает всех булевых функций). В дсйщвнтелыюсти сформулированное условие является и достаточным. Это и есть условие Поста (с. 123). Доказательство его доыа 1ОЧНОС1И (и необходимости) см в книге [I иидикии 1 У72|, §6.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ 11РЕДЛОЖЕНИЙ	127
29) Доказать, что никакая функция двух переменных, отличная от Х|У и (с. 123), не образует одна полного множества. [Указание. Воспользоваться задачами 26 и 27. [
30) Назовем систему соотношений вида С = <Б, где Си® — формулы, полной, если, каковы бы ни были две равносильные формулы 21 и 23, можно преобразовать 21 в 23. применяя соотношения из данной системы (Применение соотношений понимается в том же смысле, как применение основных равносильностей при тождественных преобразованиях, описанных в § 3.2.)
(а)	Доказать, что система, состоящая из основных равносильностей групп I—Ш, полна.
(б)	Найти все минимальные полные подсистемы этой системы
ГЛ А В A
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
§4.1. ИНТЕРПРЕТАЦИИ И МОДЕЛИ.
----ВЫПОЛНИМОСТЬ, ИСТИННОСТЬ И РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ
1. Логикой предикатов называется раздел математической логики, в котором изучаются свойства операций над предикатами и выражений, образованных с помощью этих операций — т. е. тех выражений, которые мы назвали формулами логики предикатов. При этом имеются в виду только такие свойства, которые не зависят от природы элементарных предикатов, входящих в формулы1. Поэтому при изложении логики предикатов мы будем считать, что входящие в формулы2 знаки элементарных предикатов могут означать любые предикаты от соответствующих переменных; нам будет удобно, таким образом, говорить, что в формулы входят не предикаты, а символы предикатов — иначе, предикатные символы — от некоторых переменных и что эти предикатные символы можно замещать любыми предикатами от тех же переменных. (Фактически эти предикатные символы, выступающие вместо конкретных элементарных предикатов, суть переменные, значениями которых служат предикаты — «предикатные переменные», в отличие от «предметных переменных», от которых предикаты зависят.)
Пример. Формула \/х ByF(x, у) содержит один предикатный сим-
1 Свойства, зависящие от природы элементарных предикатов, относятся не к лотке, а к тем математическим дисциплинам, к которым принадлежат выражаемые этими элементарными предикатами свойства и оiношения. Например, истинность предложения VxVyVz((/(.r, y)&d(y, z)Dd(jc, z)). iae d(x, у) означает «л делится на у», есть фак г арифметики, а не логики
2 Слово «формула» в этой главе всегда, если не оговорено противное, означает «формула логики предикатов».
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
129
вол F (от двух переменных). При замещении Fопределенным на множестве действительных чисел R предикатом х < у формула превращается в истинное предложение «Для всякого действительного числа существует большее его действительное число», при замещении определенным на А предикатом л > у — в истинное предложение «Для всякого действительного числа существует меньшее его действительное число», при замещении предикатом х > у, определенным на этот раз на множестве неотрицательных действительных чисел — в ложное предложение «Для всякого неотрицательного действительного числа существует меньшее его неотрицательное действительное число», при замещении предикатом «лесть корень уравнения у»> с областью определения Rx£^2, где Ед2 есть множество квадратных уравнений с действительными коэффициентами — в истинное предложение «Всякое действительное число служит корнем некоторого квад ратного уравнения с действительными коэффициентами», при замещении предикатом «уесть корень уравнения л» с областью определения Eq2 х R — в ложное предложение «Всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет дсйствитс 1ьный корень».
Задача. Наити такие замещения предикатных символов F и G в формуле 3yF(x, у) DG(x) конкретными предикатами, чтобы получился (а) тождественно истинный предикат; (б) тождественно ложный предикат; (в) предикат, нс являющийся ни тождественно истинным, ни тождественно ложным. Выразить полученные предикаты словесно.
Итак, мы будем рассматривать формулы, получаемые из предикатных символов с помощью кванторов и пропозициональных связок. (Болес точное определение формулы логики предикатов мы отложим до гл. 6.) Каждый предикатный символ имеет определенную вместимость', он может быть одноместным, двуместным и т. д.; ради общности мы будем рассматривать также нульместные предикатные символы (фактически играющие роль пропозициональных переменных5). Будем предполагать при этом, что предикатные символы разной вместимости всегда различны.
Пусть М — некоторое множество формул. Сопоставим каждому предикатному символу, входящему хотя бы в одну из формул этого множества, некоторый предикат той же вместимости, что и данный символ. (Нульместным предикатным символам сопоставляются предложения4.) В этом случае мы будем говорить, что задана интер-
Таким образом, формулы логики предложений становятся теперь частным случаем формул логики предикатов.
Таким образом, мы формально считаем всякое предложение (истинное или ложное — мы вообще рассматриваем только такие') «нульместным предикатом»
130
ГЛАВА 4
претация5 множества М. В частности, если М одноэлементно, будем говорить об интерпретации формулы, если двухэлементно (трехэлемеитно и т. д.) — об общей интерпретации двух (трех и т. д.) формул.
Если все предикаты, сопоставляемые символам, входящим в формулы из М, определены на одном и том же множестве Е, мы будем называть Е основным множеством дайной интерпретации. Впрочем, мы всегда можем считать, что все предикаты определены на одном и том же множестве, рассматривая объединение всех множеств, участвующих в данной интерпретации, и заменяя каждый предикат F(xh х„) предикатом x,GMt& ... &x„GMn&F(xlf ..., х„), где М — область изменения переменной х,. В дальнейшем мы всегда так и будем поступать и без дальнейших пояснений будем говорить об основном множестве интерпретации.
Очевидно, всякая интерпретация некоторого множества формул является одновременно интерпретацией любого его подмножества (в частности — любой входящей в него формулы).
Если даиа интерпретация формулы, то при замещении каждого предикатного символа сопоставленным ему в дайной интерпретации предикатом эта формула превращается в предикат (зависящий от всех входящих в нее свободных переменных), если она ие замкнута, ив предложение, если она замкнута.
Пример. Пусть Ф — множество всевозможных формул, содержащих трехместные предикатные символы .S и М, двуместный символ Е и одноместные символы 7V и / и не содержащих никаких других предикатных символов. Рассмотрим следующие интерпретации множества Ф, которые будем обозначать Д(, ..., Д5, Д£.
Д,: Основным множеством служит множество натуральных чисел N. Предикатному символу S отвечает предикат St(x, у, z), означающий «х + у — z», символу М предикат у, z) — «ху = z», символу Е предикат Et(x, у) — «х = у», символу N предикат N,(x) — «х = 0», символу / предикат /,(х) — «х = 1».
Д2 — Д5: Основными множествами служат в Д2 миожество целых чисел Z, в Д3 — миожество рациональных чисел Q, в Д4 — множество действительных чисел R, в Д5 — множество {0. 1,2, ..., 10}. Предикаты определяются аналогично Д,.
Д'р Основное множество состоит из всевозможных квадратных матриц размерности п с действительными элементами. Предикаты определяются аналогично Д,, но при этом сложение и умножение
От лат. interpretatio — «разъяснение, истолкование».
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
131
понимаются в «матричном» смысле. О заменяется нулевой матрицей и 1 — единичной матрицей.
Рассмотрим теперь следующие формулы из Ф:
(1)	3z(S(x, у, zi&VtiSix, у, t)Z)E(t,z)));
(2)	Six, у, t) &S(t, z, u)&Siy, z, v, wfDEfu, vv);
(3)	Six, y, z)&N(y)DE(x, z);
(4)	3yVz(S(x, y, z)DW(z));
(5)	Six, y, z)&Siy, x, t)2>E(z, t);
(6)	3z(M(x, y, z)&\/tiM(x, y, t)^E(t, z)));
(7)	Mix, y, t)&Mit, z, u)&Miy, z, v)&Mix, v, w)Z>E(u, w);
(8)	Six, y, D&Mil. z. u)&Mix, z, v)&Miy, z, wi&Siv, w, r> D DE(u, r);
(9)	Mix, у, г)&Цу)ЭЕ(х, z);
(10)	7N (x) D3yVz(M(x, y, z) D/(z));
(11)	Mix. y, z)&M{y, x, t)^>E{z, t).
В интерпретации Д, формула (1) превращается в определенный на N двуместный предикат 3z((x + у = z)&V/(x + у = Ot = z)) (тождественно истинный, т. к. для любых двух натуральных чисел существует их сумма и она единственна), формула (2) — в семиместный предикат (х + у = t)&(t + г = ы)&(у + z = v)&(x + v = hO(v= w) (также тождественно истинный ввиду ассоциативности сложения), формула (4) — в одноместный предикат 3yVz((x + у ~ z)D(z = 0)) (дающий истинное предложение для х = 0 и ложное для х > 0). Для остальных формул читатель найдет соответствующие предикаты сам. В интерпретациях Д2 — Д5 получатся такие же предикаты, но с другими областями определения. При этом, например, предикат 3yVz((x + у = z)D(z = 0)) в Д2 — Д4 (но не в Д5) будет тождественно истинным, а предикат 3z((x + y~z)& V/(x + y=O? = z)) остается тождественно истинным в Д2 — Д4, но перестает быть таковым в Д5. Аналогичные предикаты получатся и в Д£, только 0 нужно будет заменить нулевой матрицей и I — единичной.
Задача. Поменяв местами сложение и умножение в интерпретациях Д, — Д£, т. е. при тех же основных множествах сопоставив символам S, М, Е, N, I предикаты ху = z, х + у = z, х = у, х = 1, х — 0 соответственно, исследовать формулы (1) — (11) на истинность в полученных интерпретациях.
2. Пусть 21 — произвольная формула и Д — некоторая ее интерпретация. Мы будем говорить, что формула S5 истинна в интерпретации А, если она превращается в этой интерпретации в тождественно истинный предикат (в случае, когда она не замкнута) или в
132
ГЛАВА 4
истинное предложение (в случае, когда она замкнута). Будем говорить, далее, что формула 21 выполнима в интерпретации А, если она превращается в эти интерпретации в не тождественно ложный предикат (в случае, когда она не замкнута) или в истинное предложение (в случае, когда она замкнута). (Таким образом, для замкнутых формул понятия истинности и выполнимости в интерпретации совпадают.)
Замечания. 1) Очевидно, формула 21 тогда и только тогда истинна в интерпретации А, когда ее отрицание невыполнимо в А.
2)	Если основное множество интерпретации конечно, то эту интерпретацию можно задать (с точностью до истинностных значений предикатов) с помощью таблиц, в которых для любого «-местного предикатного символа и любого набора п элементов основного множества указано истинностное значение отвечающего данному символу предиката на данных элементах. При таком задании интерпретации истинность и выполнимость формулы в ней можно проверить простым перебором всевозможных комбинаций значений свободных переменных.
Пусть теперь М — множество формул и А — некоторая его интерпретация. Если каждая формула из М истинна в А, говорят, что А является моделью множества А/. (В частном случае, когда М состоит из одной формулы, А называют моделью этой формулы.)
Возвращаясь к только что рассмотренному примеру, мы видим, что А, служит моделью для формул (1) — (3), (5) — (9) и (I I), Д2 — для (1) — <9) и (I I). А, и Д4 — для (I) — (I J), Д5 — для (2), (3), (5), (7) — (9) и (II),	— для (I) — (9). В А, нс являются истинными
формулы (4) и (10), в Д2 — формула < 10), в Д5 — (I), (4), (6) и (10), в А{? (при п> I) — (10) и (IJ). В то же время все формулы (I) — (II) выполнимы во всех этих интерпретациях. Во всем этом читатель немедленно убедится сам. (Например: формула (10) выполнима, но не истинна в Д£, так как для некоторых, но не для всех, ненулевых матриц существуют обратные.) Примером формулы, невыполнимой в А£, может служить отрицание любой из формул (1) — (9); аналогично для остальных интерпретаций.
Еще один пример был фактически рассмотрен выше (с. 128— 129); там мы привели пять интерпретаций формулы Vx3yF(x, у), в трех из которых она выполнима (или, что здесь то же самое, истинна) и в двух невыполнима.
Заметим, что формула 21 (лэ, содержащая свободную переменную л-, истинна в интерпретации А тогда и только тогда, когда в ней истинна формула Vx2l(x). (В самом деле, одноместный предикат тогда и только тогда тождественно истинен, когда VxF0(x) —
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
133
истинное предложение; (к + I)-местный предикат F(x, у}, тогда и только тогда тождественно истинен, когда тождественно истинен А-мсстный предикат VxF(x,yt, >„).) Например, вместе с формулой 3zS(x, у, z), истинной, очевидно, во всех интерпретациях А1 — Д4 и в тех же интерпретациях истинны формулы Vx 3z5 (х, у, z), Vy 2a,S (x, y, z), Vx Vy 3zS (x, y, z).
Аналогично, формула 2l(x) выполнима в интерпретации тогда и только тогда, когда выполнима формула Зх21(х).
Мы будем называть формулу всюду истинной, если она истинна во всякой своей интерпретации, и выполнимой, если существует интерпретация, в которой она выполнима.
Замечания. 1) Во избежание недоразумений нужно всегда помнить, что слово «выполнимая» с добавлением слов «в такой-то интерпретации» означает одно, а без добавления — другое. (Можно было бы назвать формулу, выполнимую хотя бы в одной своей интерпретации, «где-нибудь выполнимой», но включать слово «где-нибудь» в состав термина неудобно.)
2)	Вместо «всюду истинная» в литературе на русском языке часто употребляется неудачный термин «общезначимая»6.
3)	Из предыдущего следует, что формула 91(х) со свободной переменной х тогда и только тогда всюду истинна, когда всюду истинна формула Vx2l(x), и тогда и только тогда выполнима, когда выполнима формула Зх21(х).
4)	Очевидно (см. замечание I на с. 132), формула тогда и только тогда всюду истинна, когда ее отрицание невыполнимо.
Подобно тождественно истинным формулам логики предложений, всюду истинные формулы логики предикатов выражают «абсолютно истинные» предложения. (Незамкнутая всюду истинная формула становится «абсолютно истинным» предложением, если связать все свободные переменные кванорами общности.)
Примеры. I) Формула F(x) y->F(x) всюду истинна. В самом деле, если заместить F произвольным одноместным предикатом /*0 и затем дать переменной х произвольное значение, то получится истиннное (в силу закона исключенного третьего) предложение F(x0) V~F(x()). Таким образом, при любом замещении F конкретным предикатом наша формула переходит в тождественно истинный предикат.
2)	формула Vx(Hx) V?F(x)) также всюду истинна (см. выше замечание 3).
3)	Формула VxF(x)D3xF(x) всюду истинна, гак как для любого предиката Fo, для которго предложение \fxFn(x) истинно, предложе
IkunuMuiiii и pcjy.ibiaiu iienp.iHit ii.uoro иерсно.ы нехециии ullffeniciilKiiliit'
134
ГЛАВА 4
ние 3xF0(x) также истинно7, а поэтому истинна и импликация Vx/0(x)D3x/0(x).
4,	5) Формула 3yVxF(x, y)DVx3y/(x, у) всюду истинна. Действительно, если заместить /’произвольным двуместным предикатом /0, выражающим некоторое бинарное отношение, то посылка нашей формулы утверждает, что в области прибытия отношения имеется элемент, связанный этим отношением с каждым элементом области отправления, а заключение — что для каждого элемента области отправления существует — вообще говоря, свой — связанный с иим элемент области прибытия. Очевидно, из истинности посылки вытекает истинность заключения. В то же время при истинном заключении посылка может оказаться ложной; так будет, например, если Fo — определенный на множестве действительных чисел предикат х < у (для каждого действительного числа найдется большее, ио иет такого числа, которое было бы больше всех действительных чисел). Следовательно, обратная импликация Х/лЗу/(х, y)D3y\/x/(x, у) не истинна в этой интерпретации и, значит, ие всюду истинна. Однако она выполнима (например, она выполнима в интерпретации, в которой F замещается предикатом х < у, определенным на множестве неположительных действительных чисел).
6) Другим примером выполнимой, но не всюду истинной формулы может служить Vx3y/(x, у): иа с. 129 мы указали для нее и такие интерпретации, в которых она выполнима, и такие, в которых она не истинна.
7, 8) Формула F(x)&iF(x) невыполнима: каким бы предикатом Fo мы ни заместили символ F, предикат F0(x)&7FQ(x) будет тождественно ложен. Вместе с этой формулой невыполнима и Bx(F(x)& &7F(x)) (см. замечание 3).
Задачи. I) (а) Показать, что формулы
VxF(x) V VxG(x)D\/x(F(x) V G(a)),
3x(F(jc) & G( x)) Э BxF(x) &3xG(x)
всюду истинны.
(б) Показать, что обратные этим формулам импликации не всюду истинны, но выполнимы.
2) Показать, что формулы F(x)&7=lxF(x) и Vx(F(x)Z)G(x))& &Bx(F(x)&7G(x)) невыполнимы.
3. В семантике логики предложений главным рабочим инструментом было у нас понятие равносильности формул. Аналогичное
стой.
Стоит напомнить. что область определения предиката всегда считается непу-
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
135
понятие мы введем и в логике предикатов; здесь оно также играет первостепенную роль в семантических рассмотрениях. Однако прежде чем определить это понятие, нам придется обобщить понятие равносильности предикатов, которое мы ввели в § 2.2 (конец пункта 2) только для случая, когда предикаты зависят в точности от одних и тех же переменных. Именно: предикаты F(xt, х„, у,,..., yk) и G(xp ..., х„, z„ ..., zt) (п, к, / = 0, 1,...) мы будем называть равносильными, если для любого набора х°, ..., х°,	..., у*, z°, ..., z°
значений переменных х,, zf истинностные значения предложений F(x°,.... х°, У?,.... у£) и G(x°, ...» х°, zf-..., z® совпадают. (В этом случае функция F в действительности ие зависит от у„ уА, a G — от zp ..., zh так что эти переменные «несущественны» для соответствующих функций (ср. § 3.1). Можно было бы по аналогии с § 3.1 определить и «основу» предиката.) При к = I = 0 это определение переходит в прежнее. Если п — к = 0, то равносильность предиката F предикату G(z(, ..., z?) означает, что этот последний тождественно истинен или тождественно ложен; аналогично для F(yt, ..., уА) при п = I = 0. Поэтому мы могли бы теперь определить тождественно истинный (тождественно ложный) предикат как такой, который равносилен истинному, соответственно ложному предложению. При этом истинное (ложное) предложение оказывается частным случаем тождественно истинного, соответственно тождественно ложного предиката, и, полагая в определении равносильности предикатов п = к = I = 0, мы можем назвать два предложения равносильными, если совпадают их истинностные значения.
Для обозначения равносильности предикатов в общем случае мы сохраним введенное в § 2.2 обозначение =.
Нетрудно доказать — это предоставляется читателю,— что отношение равносильности предикатов является отношением эквивалентности.
Пример. Предикаты Q,(x, у, z) и Q2(y, у, z, t), определенные на множестве действительных чисел и означающие соответственно ((х < у) V (х > у) V(x = у))&(у < z) и ((V = /)&7(v — t)) V(y < z), равносильны, т. к. каждое из предложений Q,(x°, /, z°) и Q2(iP, у°, z°, (°) истинно тогда и только тогда, когда ус < z°. (Эти предикаты равносильны также предикату у < z.)
Задача, а) Доказать, что иа конечном множестве, состоящем из т элементов, существует ровно 2"' попарно неравносильных одноместных предикатов.
б) Сколько существует попарно неравносильных «-местных предикатов иа конечном множестве, состоящем из т элементов?
Теперь мы можем определить понятие равносильности формул.
136
ГЛАВА 4
Именно, две формулы называются равносильными, если в любой обшей интерпретации входящих в обе формулы предикатных символов они превращаются в равносильные предикаты.
Для обозначения равносильности формул будет использоваться все тот же знак =.
Легко проверить — читатель сделает это сам,— что равносильность формул является отношением эквивалентности.
Примеры. 1) i(F(x)&G(x)) s 7F(x) V?G(x).
В самом деле, если мы замостим F и G произвольными одноместными предикатами Fo и Ge и затем дадим переменной х произвольное значение х0, то формула y(F(x)&G(x)) превратится в предложение 7(F0(.V())&G0(x0)), формула 7F(x)V7G(x) — в предложение 7F0(x0) V7Go(x0); но истинностные значения этих предложений совпадают. Таким образом, истинностные значения предикатов 7(F0(x)&G0(x)) и ?F0(x) V ?G0(x) совпадают при любых значениях х, т. е. эти предикаты равносильны. Итак, при любом замещении символов Fh G конкретными предикатами, т. е. в любой общей интерпретации наших формул, эти формулы превращаются в равносильные предикаты.
2)	Vx(F(x)&G(x)) = VxF(x)&VxG(x).
Действительно, во всякой общей интерпретации этих формул левая часть превращается в истинное предложение, если предикат F(x) & G(x) тождественно истинен, а в противном случае она превращается в ложное предложение. Правая же часть превращается в истинное предложение, если истинны оба предложения VxF(x) и VxG(x), и в ложное в противном случае. Таким образом, та и другая части превращаются в истинные предложения, когда оба предиката F и G тождественно истинны, и в ложные предложения в противном случае.
3)	Если 21(х) и ®(х) — произвольные формулы, содержащие свободную переменную х, то из 21(х) = Я5(х) следует Vx2l(x) = Vx£B(x) и 3x9l(x) = Эх$(х).
В самом деле, пусть формула 21(х) содержит, кроме х, свободные переменные х„ ..., х„, у„ .... ук, а ®(х) — х„ ..., х,„ zlt ..., z, (п, к, 1 = 0,	причем общими переменными являются только
х, х|} ..., х„. Возьмем произвольную общую интерпретацию формул 21(х) и 95(х); 91(х) превратится в ней в некоторый предикат А(х, Хр ..., х,„ур уА), a i&(x) — в предикат В (х,х„ .... х„, z„ ..., zt). Эти предикаты равносильны; поэтому одноместный предикат А(х, х”, •	х°, у", ..., у”) будет тождественно истинеи для тех и толь-
ко для тех наборов х°, ..., х°, yf, ..., у%, z®, .... zf, для которых тождест-
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
137
венно истинен предикат £(х, х,’,	х°,z°t,z®, а это и означает,
что VxA(x, X],	х„, ур у,) = \/хВ(х, хр хл, z,, ..., z,); анало-
гично этому, упомянутые одноместные предикаты будут для одних и тех же наборов х^, z° не тождественно ложны, что дает ЗхЛ(х. хр х„, у, ..., уА) = ЗхВ(х. Хр х„, z(, ...,z;).
Замечания. 1) Очевидно, что любые две всюду истинные формулы равносильны, и обратно — формула, равносильная всюду истинной формуле, сама всюду истинна. Аналогично для невыполнимых формул.
2)-Из определения равносильности предикатов непосредственно следует, что предикаты F(xn ... х„, ур у\) и С(х„ ... х,„ z,, ..., zj) тогда и только тогда равносильны, когда тождественно истинна эквиваленция F(Xp ... ул.) «* G(Xp Z/). Поэтому формулы 21 и 25 тогда и только тогда равносильны, когда эквиваленция 91 ♦* S? всюду истинна (ср. аналогичный факт в логике предложений, с. 105).
4.	Обратимся теперь к способам установления равносильности и всюду-истинности. В логике предложений имеются, как мы знаем, универсальные (и притом очень простые) способы, позволяющие для любой формулы узнавать, является ли она тождественно истинной, и для любых двух формул — равносильны ли они. В логике предикатов подобных способов нет, и пытаться их найти было бы бесполезно: доказано, что не может существовать никакого универсального метода, который для любой формулы логики предикатов позволял бы с помощью одних и тех же четко определенных операций — так сказать, «механически» — выяснять, является ли она всюду истинной; аналогичный факт имеет место и для равносильности8. Поэтому всюду-истинность и равносильность формул приходится в разных случаях доказывать по-разному; вопрос о том, является ли, скажем, та или иная формула всюду истинной, может оказаться весьма сложной задачей. Но для многих важных частных случаев способы установления равносильности и всюду-истинности можно все же указать.
Самый простой их этих случаев — тот, когда удастся воспользоваться средствами логики предложений. К этому случаю относятся некоторые из приведенных выше примеров (пример I нас. 133, пример 1 на с. 136); сейчас мы разберем его в общем виде.
Пусть 21 и 25 — произвольные равносильные формулы логики предложений. Проделаем с ними следующие три операции: (а) вместо каждого элементарного предложения подставим некоторый предикатный символ (причем на место одного и того же элементарного предложения всюду, как в 91, так и в 25. подставляется один и тот же
8 Точные формулировки и доказательства эт их результатов буду < приведены ниже (§ 8.5).
138
ГЛАВА 4
символ); (б) каждый предикатный символ заместим некоторым конкретным предикатом (всюду одним и тем же); (в) в полученной формуле фиксируем значения всех свободных переменных. После операции (а) 21 и 25 переходят в формулы логики предикатов 21' и после (б) — в предикаты 210 и 25О и после (в) — в предложения 21* и
Эти предложения либо оба истинны, либо оба ложны (т. к. 21* и 25* получаются из равносильных формул 21 и 25 заменой переменных элементарных предложений некоторыми конкретными предложениями). Поскольку это верно при любом выборе значений входящих в предикаты 210 и 25О свободных переменных, эти предикаты равносильны. Последнее, в свою очередь, справедливо при любом замещении входящих в 21' и 25' предикатных символов конкретными предикатами; а это значит, что 21' = 25'.
Итак, мы доказали
Утверждение 1. Если в равносильных формулах логики предложений заменить элементарные предложения произвольными предикатными символами так, чтобы одно и то же элементарное предложение заменялось в обеих формулах одним и тем же символом, то возникающие при этом формулы логики предикатов также равносильны.
Пусть, далее, 21 — произвольная тождественно истинная формула логики предложений. Проделав с ней указанные выше операции (а), (б) и (в) и сохраняя прежний смысл обозначений 21’, 210 и 21*, аналогично предыдущему видим, что предложение истинно, и это верно при любом выборе значений свободных переменных, так что 210 — тождественно истинный предикат; последнее справедливо при любом замещении входящих в 21' предикатных символов конкретными предикатами, а это значит, что 21' — всюду истинная формула.
Итак, доказано
Утверждение 2. Если в тождественно истинной формуле логики предложений заменить элементарные предложения произвольными предикатными символами, то возникающая при этом формула логики предикатов всюду истинна.
5.	В заключение параграфа рассмотрим понятие семантического следования, аналогичное соответствующему понятию логики предложений (§ 3.4).
Введем сначала следующее определение: предикат Е(х|,..., х„, у;,	у*) не сильнее предиката G(x{, ..., х,„ zn ..., z,) (и, к, 1~ 0,1...)
(иначе: предикат G не слабее предиката F), если для любого набора xf, ..., z° значений переменных хп ..., zz, для которого F(x®, .... з£) = /7, будет также G(x°.z°) = И.
Примеры. 1) Если U — произвольное непустое множество и
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
139
FM(x) — характеристический предикат множества MC.U (см. с. 98), то FA(x) не сильнее Fb(x) тогда и только тогда, когда АС_В.
2)	Очевидно, тождественно истинный предикат не слабее, а тождественно ложный — не сильнее любого предиката.
Мы скажем теперь, что формула 95 есть семантическое следствие — или просто следствие — конечного множества формул Г (иначе: 95 (семантически) следует и.ч Г), если для любой интерпретации множества /4J{95} тот предикат, в который превращается конъюнкция всех формул из Г, не сильнее предиката, в который превращается 95-
В частности, при пустом Г это означает, что в любой интерпретации формулы SB она должна превращаться в предикат, истинный для всех значений своих аргументов,— т. е. что 95 всюду истинна.
Обозначаться семантическое следование будет так же, как в логике предложений: 7=>£5.
Если множество Г нс пусто и состоит из формул 91А, мы часто будем вместо «$& следует из Г» говорить «95 следует из 9Ц, ..., 91А» и писать Ш,,.... 9IA=>S5.
Примеры. 1) \fx(F(x, у) D С(х, у)), F(z, у) => G(z, у). В самом деле: заместим F и G произвольными конкретными предикатами Fo и Go. Если при этом для некоторых значений у0 переменных z, у конъюнкция \/x(F0(x, у0) Э G0(x, y0))&F0(z0, у0) принимает значение И, то Vx(F0(.v, y0)DG0(x, у0)) и F0(z0, у0) — истинные предложения; вместе с первым из них истинно и предложение F0(z0, y0)^G0(z0, у0). но из истинности импликации и ее посылки следует истинность заключения — в данном случае предложения G0(z0, у^). Таким образом, предикат Va(F0(x, у) D Gu(x, y))&F0(x, у) не сильнее предиката G0(z, у).
2)	Очевидно, \fxF(x)=> Эх£(х) (ср. пример 3 на с. 133).
3)	Повторяя рассуждения, приведенные при разборе примеров 4, 5 на с. 134, читатель легко докажет, что 3yVxF(x, у) => Xfx3yF(x, у), а обратное неверно.
4)	Очевидно, всюду истинная формула следует из любой формулы, и любая формула следует из невыполнимой.
Задачи. 1) Доказать, что F(x) V G(x), ?3yG(y) =>F(x).
2) Доказать, что
VxF(x) V VaG(x)=> Vx(F(.v) v G(x));
3x(F(x)& G(x))^3xF(x)&3xG(x),
а обратные следования не имеют места (ср. задачу 1 на с. 134).
Из определений непосредственно ясно, что: (а) предикат F не
140
ГЛАВА 4
сильнее предиката G тогда и только тогда, когда импликация F Z)G является тождественно истинным предикатом; (б) два предиката тогда и только тогда равносильны, когда каждый из них не сильнее другого. Из (а) и (б), в свою очередь, сразу вытекает, что в логике предикатов справедливы аналоги утверждений I и 2 из § 3.4, а именно:
Утверждение 3. Формула SB тогда и только тогда является следствием формулы Ш, когда импликация всюду истинна.
Утверждение 4. Две формулы тогда и только тогда равносильны, когда каждая из них есть следствие другой.
Справедливо также и утверждение, аналогичное утверждению 3 из § 3.4:
Утверждение 5. Тогда и только тогда когда 7®=>721.
Доказательство. Ввиду утверждения 1 (см. предыдущий пункт) SlDSB = 7®Э7Ш. Поэтому импликация 21DSB тогда и только тогда всюду истинна, когда то же верно для 795Э7Ш. Остается воспользоваться утверждением 3.
§ 4.2. ОСНОВНЫЕ РАВНОСИЛЬНОСТИ.
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
ПРЕФИКСНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
1. Если при доказательстве равносильности формул не удается обойтись средствами логики предложений (см. пункт 4 предыдущего параграфа), пользуются свойствами кванторов. Наиболее важные из этих свойств (часто называемые основными равносильностями логики предикатов), будут сейчас доказаны; для удобства запоминания мы разобьем их на четыре группы.
Группа 1: перестановка одноименных кванторов.
11. VxVyf'(x, у) = VyVxF(x, у).
12. 3jcHyF(x, у) = ЭуЗл:Г(х, у).
Для доказательства соотношения 11 достаточно заметить, что при замещении символа F любым конкретным двуместным предикатом Fo как левая, так и правая его части превращаются в истинные предложения в том и только в том случае, когда Fo — тождественно истинный предикат. Соотношение 1 2 предоставляется доказать читателю.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
141
ГруппаП:связь между разноименными кванторами.
III. 7VxF(a) = 3x7 F(x).
112. 73xF(x) = \/xlF(x).
Доказательство соотношения Ill. Заместим предикатный символ /'произвольным одноместным предикатом Fo. Если предложение 7VxF0 истинно, то XfxF0(x) ложно; следовательно, предикат Fc не является тождественно истинным и, стало быть. 1FO ие является тождественно ложным, т. е. для какого-то значения переменной х он принимает значение И, так что 3x7Fv{x) — истинное предложение. С другой стороны, если предложение 7Vx70(x) ложно, то VxF0(x) истинно; поэтому предикат F0(x) тождественно истинен, a 7F0(x) тождественно ложен, так чтоЗхТ/Дх) — ложное предложение.
Доказательство соотношения 112. Заместим F произвольным одноместным предикатом Fo. Предложение ?3xFf)(x) тогда и только тогда истинно, когда Эл-/-0(х) ложно, т. е. предикат Г0(х) тождественно ложен; а Это имеет место тогда и только тогда, когда предикат 7Fg(x) тождественно истинен, т. е. истинно предложение Vx7F0(x).
Замечание. Если некоторый (одноместный) предикат Р(х) определен на конечном множестве {лр ..., а,}, то XfxP(x) означает то же, что Р(я|)& ... &Р(а„), а ЗхР(х) — то же, что P(a()V ... VР(а^. В общем случае кванторы обшности и существования можно понимать как «бесконечную конъюнкцию» и «бесконечную дизъюнкцию». Тогда соотношения группы II оказываются обобщениями на «бесконечный случай» законов Де Моргана.
Группа 111: вынесение кванторов за скобки.
Для произвольной формулы 21, нс содержащей свободных вхождений переменной х, справедливы соотношения:
1111.2l&VxF(x) = Vx(2l&F(x)).
1112.	2lWxF(x) = Vx(2lVF(x)).
1113.	2l&3xF(x) = 3x(2l&F(x)).
1114.	2Iv3xF(x) = Hx(2lVF(x)).
Доказательства проведем сначала для случая, когда 21 — замкнутая формула. Заместим F прозвольиым одноместным предикатом Го и все предикатные символы, входящие в 21 — произвольными предикатами (соответствующей вместимости); формула 21 перейдет при этом в некоторое предложение 21*. Тогда имеем:
1)	Если предложение 2l*&VxF0(x) истинно, то истинны оба пред
142
ГЛАВА 4
ложения 21* и VxF0(x); из истинности \fxF0(x) следует, что предикат Г0(д) тождественно истинен; поэтому предикат 2l*&F0(x) также тождественно истинен, так что \/x<ty*&FG(x)) — истинное предложение. С другой стороны, если 21*&Va7:'0(x)) ложно, то ложно либо 21*, либо XfxF^x); в первом случае 21*&Е0(х) — тождественно ложный предикат, во втором предикат F0(x) не тождественно истинен, и, стало быть, нс тождественно истинен также и предикат 21*&F0(x). В обоих случаях предложение \fx($l*&F0(x)) ложно.
2)	Если 21* WxF0(x) истинно, то истинно либо 21*, либо \fxF0(x). Из истинности 21* сразу следует тождественная истинность предиката 21* V F0(x); если истинно VxF0(.v), то предикат FG(x) тождественно истинен, а отсюда опять-таки следует тождественная истинность предиката 21* VF0(x). Следовательно, предложение Vx(2l* V F0(x)) истинно. Если же 21* V VxF0(x) ложно, то ложны оба предложения 21* и \fxF0(x); поэтому предикат не тождественно истинен, но он ввиду ложности 21* равносилен 21* VF0(x). Таким образом, предложение Vx(2l* V Fc(.v)) ложно.
3)	Если 21*&3xF0(x) истинно, то истинны оба предложения 21* и 3xF0(x); значит, предикат Fv(x) не тождественно ложен, но он ввиду истинности 21* равносилен 2l*&F0(x); поэтому предложение Зл(21*&Г0(л)) истинно. Если 21*&3aFg(x) ложно, то ложно либо 21*, либо ЗхЕ0(х). Из ложности 21* сразу следует тождественная ложность 21*&Г0(х), нз ложности Зх/?0(х) —тождественная ложность F0(x) и тем более 21*&Е0(х). Поэтому предложение 3x(21*&F0(x)) ложно.
4)	Соотношение 1114 читатель докажет самостоятельно.
Перейдем к случаю, когда 21 не замкнута. Заместим F произвольным одноместным предикатом и все предикатные символы в 21 — произвольными предикатами; формула 21 перейдет теперь в некоторый предикат 210. Если в этом предикате дать свободным переменным произвольные значения, получится некоторое предложение 21*; рассуждая точно так же, как в предыдущем случае, видим, что предложения 21*&Vx Fa(x) и Vx(21*&Ftl(x)) имеют одинаковые истинностные значения; а поскольку это справедливо при любом выборе значений свободных переменных, предикаты 2l0&V.\7?0(.v) и V.v(210&F0(a')) равносильны. Тем самым доказано 1111. Остальные соотношения доказываются так же.
Если формул;! 21 содержит свободные вхождения х, так рассуждать нельзя, т. к. тогда при фиксировании значений свободных переменных истинностное значение предиката также фиксируется.
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКА ! ()В
143
При нарушении нашего условия соотношения группы III могут нарушаться. Например, формулы Gix, y)&VxFix) и X/xiGix, y)&F(x)) не равносильны; чтобы это показать, заместим Г и G предикатами, определенными на множестве целых положительных чисел и означающими соответственно х > I и х < у. Тогда первая формула перейдет в двуместный предикат (д < y)&Vx(x > 1), равносильный х < у, а вторая — в тождественно ложный одноместный предикат \fxix < у& &х >1).
Другие примеры см. в задаче 17 в конце главы.
Группа IV: переименование связанных переменных.
1V1. VxF(x) = VyF(y).
IV2. BxFix) = ByFiy).
Эти соотношения следуют из того, что, как было отмечено еще в гл. 2 (с. 60), предложения VxF0(x) и Vy/’o(y) имеют одинаковые истинностные значения, каков бы ни был предикат Fo, и то же самое верно для НхГ0(х) и ЗуГ0(у).
Замечания. 1) Во всех выведенных сейчас равносильностях можно, разумеется, вместо хну взять любые другие переменные.
2) Равносильности групп I—III останутся справедливыми, если заменить в них Fix) и Fix, у) любыми формулами.
Покажем это, например, для равносильности III; для остальных равносильностей групп 1—111 рассуждения в точности такие же.
Пусть сначала формула 31, на которую мы заменили Fix), не содержит свободных переменных, отличных от х. Тогда при замещении предикатных символов конкретными предикатами 31 превращается в одноместный предикат G0(x)9, и в силу Ill предложения 7VaG0(.v) и Эд7(70(х) имеют одинаковые истинностные значения; а поскольку это верно при любом замещении, формулы ?Vx3l и 3x731 равносильны.
Пусть теперь 31 содержит, кроме v. свободные переменные Уг ..., ув. При замещении предикатных символов конкретными предикатами 51 превращается в in + 1)-местный предикат б?0(х, у,,..., у„); этот последний при фиксировании значений ур ..., у,, становится одноместным предикатом G0(x, У|\ у^,), и, как в предыдущем случае, мы видим, что предложения 7VxG0(x, у^, ..., ув) и 3x?G(x, yj1, ..., ув) имеют одинаковые истинностные значения; по-
9 Эго верно даже тогда, когда 21 не содержит свободных вхождений х; предикат Со(л) в этом случае тождественно истинен или тождественно ложен.
144
ГЛАВА 4
скольку это справедливо при любом выборе значений ур у„, предикаты 7VxG0(x,у,, и 3x7G0(x, ур у„) равносильны, а так как это верно при любом замещении, имеем 7Vx2l = 3x721.
3) Аналогичный факт имеет место и для равносильностей группы IV, но с одной оговоркой. Именно, эти равносильности остаются справедливыми, если Fix) заменить произвольной формулой 21, такой, что (а) 21 нс содержит свободных вхождений у и (б) никакое свободное вхождение х в 21 не находится в области действия какого-либо квантора по у, a F(y) заменить формулой 21IJ, полученной из 21 заменой всех свободных вхождений х вхождениями у. Покажем это сначала для случая, когда 21 не содержит свободных переменных, отличных от х. Тогда при замещении предикатных символов предикатами формула 21 перейдет в некоторый одноместный предикат G0(x), а формула 211* — в предикат G0(y), отличающийся от G0(x) только обозначением независимой переменной. Поэтому предложения VxG0(x) и VyG0(y) принимают одинаковые истинностные значения, и то же верно для 3xGox и 3yG0(y). Если 21 содержит, кроме лю, еще свободные переменные z„ ..., zA. то при замещении предикатных символов предикатами и фиксировании значений переменных zl5 zk формула 21 превратится в одноместный предикат G0(x, z°, ..., zA), а формула 211’ — поскольку среди переменных z,, ..., zA нет у и ввиду условия (б) всякое свободное вхождение х превращается в свободное вхождение у,— превратится в предикат G0(y, z°,	z°), отличающийся от G0(x, z“, z°k) только обозначе-
нием независимой переменной. Поэтому истинностные значения предложений VxG0(x, z®, ...,zk) и VyG0(y, z°, ...,z°) совпадают, а поскольку это верно при любых значениях хр ..., zA, предикаты VxG0(x, z:, ...,zA) и VyG0(y, zp .... zA) равносильны; аналогично для квантора существования. Но если условие (а) или (б) не выполняется , то при замене Fix) на 21 и Fiy) на 211 * соотношения IV1 и IV2 могут нарушиться. Например, если 21 есть G(x, у) (не выполняется условие (а)), то левая часть соотношения IV! превратится в VxG(x, у), а правая — в VvG(y, у); эти формулы, очевидно, неравносильны. Если 21 есть Vy/f (х, у) (не выполняется условие (б)), получаются формулы \fx\fyH(х, у) и МуМуН(у, у), также нс равносильные.
Итак: в формуле Vx2l можно переименовать х в у, если выполняются условия (а) и (б).
2. С помощью соотношений I—IV мы можем, учитывая только что сделанные замечания, производить над формулами логики пре
21 мижс! и ни содержат ьх (ср предыдущую сноску)-
СЕМАНТИКА ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
145
дикатов тождественные преобразования, причем ввиду утверждения 1 из предыдущего параграфа в этих преобразованиях можно использовать также любые равносильности логики предложений. Но, как и в логике предложений, возникает вопрос о допустимости замены формулы на равносильную внутри более сложной формулы (ср. начало § 3.2). Решается этот вопрос так же, как там — с помощью понятия подформулы и теоремы о замене равносильных формул. Прежде всего, аналогично тому, как сделано в § 3.2, мы будем называть подформулой формулы 21 всякую формулу «входящую в состав» 21, т. с. такую, что формулу 21 можно получить из некоторой формулы С заменой некоторого вхождения формулы вида F(zp ..., Zf). raezp ..., zk (к > 0) — все входящие в 25 свободные переменные и F — предикатный символ вместимости к, вхождением формулы 25. Например, формула
31с = Vx(7(G(x))D(3.y(3Z(F(z, у)))))"
может быть получена из Vx(7(G(x))D (Зу(Я(у)))) заменой (единственного) вхождения формулы Н(у) вхождением формулы 3z(F(z, у)) или из Vx(7G(x))D(L)) (где L — нульместный предикатный символ) заменой L на 3y(3z(F(z, у))); таким образом, формулы 3z(F(z, у)) и Hy(3z(F(z, у))) являются подформулами 2(0. Остальные 5 подформул 210 читатель легко найдет сам.
Мы будем теперь называть формулу 25 непосредственной составляющей формулы 21, если 21 имеет либо вид 7(25), либо вид (25)а(С) или (С)а(25), где а — один из знаков &, V, D, *», либо, наконец, вид Q(25), где Q — квантор11 12 С помощью понятия непосредственной составляющей можно теперь определить понятие глубины вхождения подформулы в формулу, дословно повторив формулировку соответствующего определения из § 3.2. После этого может быть сформулирована и доказана
Теорема о замене равносильных формул (логики предикатов). Ее формулировка дословно совпадает с формулировкой соответствующей теоремы логики предложений (§ 3.2). Доказательство ее также очень похоже на доказательство этой теоремы: оно ведется индукцией по глубине заменяемого вхождения 250, причем базис слово в слово совпадает с прежним, а индукционный шаг точно так же, как прежде, сводится к доказательству того, что формула перейдет в равносильную, если заменить в ней вхождение непосредствен-
11 Здесь мы намеренно сохраняем все скобки.
12 При этом формула 23 можс! и не содержать подкванторной переменной — в ci |ределении формулы нет такого ограничения Ясно, что в этом случае формулы 23 и (?(23) равносильны.
146
ГЛАВА 4
ной составляющей 61 вхождением формулы 6Ъ равносильной 6Г Однако при этом возможны не три случая, как в логике предложений, а пять: случаи (а), (б), (в), такие же, как прежде, и, кроме того, (г) 21 = Vx(61) и (д) 21 = ЭхС^). В случае (а), если, например, а есть &, беря произвольную интерпретацию формулы 21 и обозначая соответственно черезG. С мН предикаты, в которые в этой интерпретации переходят формулы 6/ иЭ. видим, что формула 21 перейдет в той же интерпретации в предикат G&H^ а 21' — в С&Н. А так как G и С равносильны, G&H и С&Н тоже равносильны, откуда, поскольку это верно для любой интерпретации, 21 = 21'. Точно так же рассуждаем при а = V, D, *» и в случаях (б) и (в). Случаи (г) и (д) мы фактически уже рассмотрели (см. пример 3 на с. 135).
3. Теперь мы в самом деле можем производить над формулами логики предикатов тождественные преобразования с помошью соотношений групп I—IV и равносильностей логики предложений. Производя такие преобразования в определенном порядке, можно для каждой формулы получить равносильную, имеющую особенно простое строение. Делается это так:
1) С помошью соотношений III 1,2, 4 из § 3.1 устраняем все знаки импликации и эквиваленции (если таковые имеются).
2) К полученной формуле последовательно применяем — в произвольном возможном порядке — преобразования следующих двух типов:
Преобразование типа Л. Находим в формуле некоторую подформулу 6, имеющую вид 2l&V.v55(x), или 2lvVx25(x), или 21&ЭхЯ5(х), или 2lv3x23(-*T где 21, Я5(х) — какие-то формулы’3. Пусть для определенности б = 2l&Vx$B(x) (в остальных случаях все делается точно так же). Преобразуем 6 следующим образом: проверяем, содержит ли 21 свободно переменную х, и если иет — заменяем 6 иа Vx(2l&23(a)) (соотношение III 1), если да — заменяем все вхождения л в Vx23(a) вхождениями какой-либо новой переменной, скажем, z, не встречающейся в нашей «большой» формуле вовсе (соотношение IV1) и затем заменяем 2l&Vz$)(z) на Vz(2l&$B(z)). Таким же образом поступаем с подформулами вида Va£B(a)&21 и т. п. (это возможно ввиду коммутативности конъюнкции и дизъюнкции).
Преобразование типа Б. Находим в формуле некоторую часть, имеющую вид 7V,kQ5(x) или 73а25(х). и заменяем ее на Зх7$В(х), соответственно на Vx7^(a) (II1,2).
Применяя преобразования типов А и Б, мы шаг за шагом «вытаскиваем наружу» все кванторы и в конце концов приходим к формуле, в которой ни одни квантор не стоит внутри конъюнкции или дизъ
23(д) может даже и нс содержать свободных вхождений х (ср. сноску 12).
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
147
юнкции или вслед за отрицанием; но в такой формуле квантор может стоять только либо вслед за другим квантором, либо в самом начале — иначе говоря, формула должна иметь вид Q|X,£)2x2 ••• QsxS&- где QrK|, Q2x2, —у Q.x. — какие-то кванторы и — бескванторная формула. Формула, имеющая такой вид., называется формулой в префиксной нормальной форме (сокращенно п. н. ф.). Выражение Qtxt ... Qsxs называется здесь кван торным префиксом'4 (или кванторной приставкой), формула -—матрицей'' данной формулы. Кроме того, всякую бескванторную формулу естественно также считать формулой в п. н. ф.
Итак, доказана
Теорема. Для всякой формулы логики предикатов существует равносильная ей формула в п. н. ф.
Более того, мы указали практический способ «приведения к п. н. ф.» (ср. доказательство теоремы о приведении к д. н. ф. в § 3.2).
При фактическом приведении формул к п. н. ф. удобно «по пути» устранять двойные отрицания всякий раз, когда они возникают (а также производить любые другие упрощения, если они возможны).
Пример.
73у7Эи((ЭхГ(х, у, z)DVxG(x, y))&7VzF(z, и, z)) =
= Vy773tz((73xF(x, у, z) V\/xG(x, y))&BzjF(z, и, z)) =
= Vy3u((Vx7F(x, у, z) VV/G((, y))&3vjF(y, u, v)) =
= Vy3u(V/(Vx7/?(x, y, z) VG(/, y))&3v?F(v, u, v)) =
s Vy3u(V(Vx(7F(x, y, z) \/G(t, yy)&Bv~]F(v, u, v)) =
= Vy3uVrVx((7F(x, y, z) VG((, y))&3v7F(v, u, v)) =
= Vy3zzV/VxHv[(7F(x, y, z) VG((, y))&7F(v, u, v) ].
Задача. Привести к п. и. ф.:
(a)	73xF(x, z)&(G(x, y)DVz//(z, х));
(б)	Vx73yG(x, у, z)&3x3yG(y, x)D3z//(z);
(в)	Vx, -- Vx„F(x„ x„)D3x., ••• 3x„G(x.,	x„). 14 15
14 От лат. praefixus — «прикрепленный спереди»
15 Это слово, как и омонимичные ему алгебраический и типографский термины, происходит от латинского слова matrix, первоначальное значение которого — «матка» (например, пчелиная); от этого значения идет, видимо, типографский термин. Наш термин произошел, скорее всего, от одного из производных значений латинского слова — «ствол, из которого растут ветви», а алгебраический от другого производного значения — «список, перечень».
148
ГЛАВА 4
Полезно заметить, что в силу соотношений группы II отрицание формулы Qtx} ... Qfxs%>, где Qtxt, ..., Qsxs — кванторы, равносильно формуле Q,'x,...Q/x,7S5,	где Q'xt — квантор, «противоположный»
Q(x. Например:
7Vx3yBzV^F(x, у, z, и) = 3x\/y№z3u~fF(x, у, z, и).
Образовывать отрицания формул в п. н. ф, с тремя, четырьмя и более кванторами приходится, например, в анализе, когда нужно подробно формулировать утверждения вроде: «Данное число не является пределом данной последовательности», «Данная функция имеет разрыв в некоторой точке» и т. п. Указанное сейчас правило может в этом помочь; однако необходимо решительно предостеречь от попыток пользоваться правилом вместо размышления. Строить отрицания нужно всегда по смыслу, а правило использовать только для самоконтроля.
§ 4.3. ПРЕДМЕТНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНСТАНТЫ
1. Для приложений полезно расширить запас выразительных средств логики предикатов, присоединив к нему символы «предметных функций» (например, числовых: х + 1, sinx, х + у и т. п.) и «предметных констант» (таких, как 0, 1 и т. п.). Аргументные места в предикатах смогут занимать тогда нс только предметные переменные, но н всевозможные выражения, образованные из предметных переменных, предметных констант и символов предметных функций с помошью подстановки (суперпозиции) — так называемые термы16. Например, если Е — двуместный предикат, означающий равенство действительных чисел, то при такой записи Е(х + 0, х) будет означать х + 0 = х, а свойство ассоциативности сложения запишется в виде Е((х + у) + z, х+ (y + z)); сравнение с формулой (2) на с. 131 показывает, что этот способ записи много проше. Мы. однако, будем использовать не символы конкретных функций и констант, а абстрактные функциональные символы и символы констант — аналогично тому, как мы делаем, начиная с § 4.1, для предикатов; эти символы могут обозначать любые предметные
16 От нем. / егт или англ, term — «член матема гического выражения» (то и другое от дат. terminus — «граница, пограничный знак, цель»; отсюда же русское слово «термин»).
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ 11РЕДИКАТОВ
149
функции и любые предметные константы. В отличие от предикатных символов, в качестве которых обычно используют прописные латинские буквы, функциональными символами и символами констант у час будут строчные латинские буквы (иногда с индексами), причем для функциональных символов чаше всего берутся буквы/, g, А, а для символов констант — a, b, с, d.
Теперь в число формул логики предикатов войдут, например, такие выражения, как F{g}(a, b, с), g2(c, щ A)), \/x3y(F(a,f{g(x, /)))& &7G(g(Al,(^(A2y))))) и т. п. Свободное и связанное вхождения переменной, свободная и связанная переменная, замкнутая формула определяются так же, как прежде. (В кванторы могут входить, разумеется. только переменные.)
2. Расширив запас формул логики предикатов, мы должны, само собой, дополнить н определение интерпретации. Именно, задавая интерпретацию множества формул М, мы будем теперь не только сопоставлять каждому входящему в одну из формул М предикатному символу некоторый предикат той же вместимости, но также и каждому входящему в одну из формул М функциональному символу некоторую функцию той же вместимости, а каждому входящему в одну из формул М символу константы — некоторый фиксированный объект. Обычно мы будем считать, что все входящие в интерпретацию предикаты н функции определены на одном и том же множестве, н этому же множеству принадлежат все значения функций и все объекты, сопоставленные символам констант (ср. с. 130); эго множество мы будем называть основным множеством данной интерпретации.
Как и прежде, незамкнутая формула превращается в интерпретации в предикат, а замкнутая — в предложение. Определения формулы, истинной в интерпретации, формулы, выполнимой в интерпретации. модели, всюду истинной формулы, выполнимой формулы, равносильности формул не меняются. Утверждения 1 и 2 пункта 4 § 4.1. как легко проверить, остаются в силе, равно как и все утверждения пункта 5 и все содержание § 4.2.
Пример. Пусть Чг — множество всевозможных формул, содержащих двуместный предикатный символ Е, двуместный функциональный символ f, одноместный функциональный символ g и символ константы а. Рассмотрим следующие интерпретации 3,, ..., множества формул Ч':
S,: Основным множеством служит множество натуральных чисел N. Символу Е отвечает предикат равенства, символам / и g — функции х + у и х + 1, символу а — число 0.
52: Основным множеством служит множество целых чисел Z.
150
ГЛАВА 4
Символу Е отвечает предикат равенства, символам f и g — функции х + у и —х, символу а — число 0.
Е, отличается от Е2 тем, что вместо Z берется множество рациональных чисел Q.
Е4 отличается от Е3 тем, что вместо л + у, -х и 0 берутся соответ-
ственнох-у, q>(x) =
— при х* 0 и । О при х — О
z,5: как _2, с той только разницей, что символу Е сопоставляется предикат х < у.
Расмотрим, далее, следующие формулы из У:
(1)	Bz(E(f(x, у), z)&\/t(E(f(x, у), /)□£(/, z)));
(2)	E{f(f(x, у), z),f(x,f(y, z>>);
(3)	E(f(x, a), x);
(4)	E(f(x,y),f(y, x));
(5)	E(f(x,(g(x)),
(6)	E(x, g(x)).
Читателю предоставляется самому выяснить, какие из этих формул истинны и какие выполнимы в каждой нз интерпретаций
Задачи и упражнения
1) Наши такие два замещения предикатного символа F конкретным предикатом в формуле 3xF(x)DVxF(x), чтобы при одном замещении получилось истинное предложение, при другом — ложное.
2) (а) Пусть Ф — множество всевозможных формул, содержащих двуместные предикатные символы Gi и Gi и трехместный предикатный символ Н и не содержащих никаких других предикатных символов. Обозначим через Г1г следующие интерпретации множества Ф:
Гц Основным множеством служит множество натуральных чисел N; символам Gi, G2 и Н отвечают соответственно предикаты Е(х. у), М(х, у) и С(х, у, z), означающие «х = у», «х < у» и «у расположено между х и z»;
Гу. Основным множеством служит множество действительных чисел R, предикаты определяются так же. как в Г\,
Гу. Основным множеством служит N; символам Gt, G? и Н отвечают соответственно предикаты Е(х, у), d(x, у) и £)(х, у, z), означающие «х = у», «х делится на у» и «z есть наибольший общий делитель х и у»;
Гу. Основным множеством служит множество всех плоскостей в трехмерном евклидовом пространстве, символам Gt, G? и Н отвечают
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
151
соответственно предика1ы Е(х, у), Л(х, у) и /(х, у, z), означающие «х совпадает с у», «х и у параллельны» и «х, у и z проходят через одну точку».
Рассмотрим следующие формулы из Ч<
(«) С2(х, y)&G2(y, г)ЭЯ(д\ у, z),
Ф> С2(х, y)&Gi(y, z)D7H(x, у, z);
(у) Vy(7G|(x, у)ЭС2(у, х));
(6) VyGzty. х))-.
(е) Я(х, у, z)**G2(x, z)&G2(y, z)&
&\ft(C2(x, t)&C2(y, О DC2(z, fl).
Для каждой из формул (<л) — (е) и каждой из интерпретаций Д — Гд выяснить, истинна ли эта формула в данной интерпретации, и если нет—выполнима ли она в ней.
(б) Пусть /5 — интерпретация множества Ф. в которой основным множеством служит множество людей, а символами G\, С2 и Н отвечают соошетственно предикаты А(х, у), В(х, у) и Р'(х, у, z), означающие «х — мужского иола, а у - - женского», «х старше у-a» и «х и у— родители z-а» (не смешивать с предикатом Р из примера Зв § 2 4. пункт 6).
Рассмотрим следующие формулы:
(а)	~>С2{х, y)&~lG2(y, x)&3z3t(H(z, t. x)&H(z. t, у));
ф) F(x, у, z)&Gi(x, у);
(у) Я(х. у. Z) DCj(x. z)&C2(y. 2):
(6)	7ЭхЭу//(х, у, z);
(в)	73y3z//(x, у, z).
Выразить на русском языке предикаты, в которые переходят формулы (а) — (е) в интерпретации Г$. Какие из эшх формул истинны в Г5? Какие выполнимы?
3) Пусть Чг нолучаегоя из Ф (см задачу 2) заменой символа Н четырсхмес!ным предикатным символом К Обозначим через Г/, Г2 , Г3' интерпретации множества Ч-1', в коюрых основное множество и предикаты, отвечающие С| и С2 — те же, что в Л из задачи 2а, а символу К отвечают соответственно предикаты 77|(х, у, z, t), /72(х, у, z, t), Пз(х, у, 2, О, означающие «числа х, у пропорциональны числам z, t», «числа х, у, 2, t взаимно просты» и «х = у = 2 = (».
Рассмотрим формулы-
(а) К(х, у, z, OD(G.(x, y)DG,(2, ());
ф) К(х. у, z. О D (G2(x, у) Э G2(z. О>:
(7) 3x3y(Gi(x, z)&G2(y, ()&К(х, у, z, ())•
Задание го же, что в задаче 2а.
4)	Доказать, что следующие формулы всюду истинны:
a)	Vx(F(x)DF(x));
152
ГЛАВА 4
б)	VxF(x)DF(y);
в)	F(y)D3xF(x);
г)	3yG(x, x)D3y3zG(y, z)\
д)	3x3y3z//(x, у, z) v3zVyVx7//(z, у, л))
.5) Доказать, то следующие формулы невыполнимы:
a)	3x((G(x)D7G(x))&(7G(x)DG(x)));
б)	3yVx7F(y, x)&Vx3yF(x, у);
в)	(Я(х)Э/7(у))&Зх//(х)&3х7//(х)
6) Доказать, что следующие формулы выполнимы, но нс всюду истинны:
a)	3yF(x, у):
б)	F(y)DVxF(x);
в)	3xF(x)DF(y),
I) 3x(G(x>D7G(x))&3x(7G(a)DG(x));
д) Vy3x//(x, y)&73xVy/7(x, у),
с) 3xF(x, y)&3xF(y. х):
ж) VxF(x, y)WxF(y, х);
з) F(x)&(3xF(x)DVxF(x)).
7) Доказан», чго если формула (з) предыдущей задачи в какой-либо интерпретации выполнима, го она в ней истинна
8) (а) Доказать что формула
Vx7A/(x, x)&VxVyVz(M(x, y)&M(y, z)DM(y, z))&
&3x3yA7(x, y)&Vy(A/(x. y)vM(y, хрМ(у, x)) выполнима, но ни в какой интерпретации не истинна.
(б) Доказать, что формула
Vx7M(x. x)&VxVyVz(M(x. у)&Л4(у, z)DM(x. z))&Vx3yM(x. у) выполнима, но не является выполнимой ни в какой интерпретации с конечным основным МНОЖСС1ВОМ.
9)	Доказать, что следующие предикаты, заданные на множсове действительных чисел R, равносильны:
а)	Зх(х2 = z2 —2z— 1.5) = (z<-3)v(z>5);
б)	(ху>3х)&(х < 0)V(xy<3x)&(x > 0)v(y<3)&(x=0) = у<3.
10)	Доказать, что-
a)	3x(F(x) vG(x)) = 3xF(x)v3xG(x);
6)	3x(F(x)DG(x)) = VxF(x)D3xG(x);
в)	VxVyF(x. y)D3z3/F(/, z) = G(z)V7G(z);
СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
153
г)	VxVy3z(F(x>z)&F(z,y))&VxVyVz(F(x, y)&F(y,z)DF(x.z))=VxVyF(x, у).
И) (а) Доказать, что 3xVy(F(x)&G(y)) = Vv3x(F(x)&G(y)).
(б)	То же с заменой & на v
(в)	Можно ли в (а) и (б) замени! ь F(x) G(y) произвольными формулами?
12)	Доказать, что:
a)	3xF(x, y)D73xF(y, x)=>73xF(x, х);
б)	VxVyVz(F(x, y)&F(y, z)DF(x, z)), 73xF(x. x),
3x3yF(x, y)=>73x3y(F(x, y)&F(y, x>).
в)	VxVy3z(F(x, z)&F(z, y)vF(y, z)&F(z, x)),
VxVvVz(F('x, y)&F(y, z)DF(x, z))=>VxVy(F(x, y)VF(y, x)).
13)	Для следования а) предыдущей задачи показать подходящим подбором интерпретации, что обратное следование неверно.
14)	(а) Доказать, что для любой формулы логики предикатов можно построить равносильную, не содержащую кванторов существования.
(б) То же с заменой кванторов существования па кванторы общности.
15)	Вывести соотношение 112 из Ill
16)	Используя соотношения III.2, вывести III2 из 1113 и 1114 из ИИ.
17)	(а) Показать, что формулы G(x, y)WxF(x) и Vx(G(x, y)vF(x)) не равносильны.
(б)	То же для формул G(x, y)&3xF(x) и 3x(G(x, y)&F(x)).
(в)	То же для формул G(x, y)v3xF(x) и 3x(G(x, y)vF(x))
IУказание. В (а) и (б) заместить F и G предикатами, определенными на множестве всех целых чисел и означающими соответственно «х > О», «х <у » В (в) использовать замещение из примера после доказа!ельс1ва соотношений группы III, заменив в нем предикат х > 1 па х < 1.]
18)	Привести кп н. ф.:
a)	(73xF(x, у, z)DVxF(x, х, x))VF(x, z, у);
б)	7(3z7Vx(G(x, y)&F(x, z))DVy/7(y, z)>:
в)	Vx( 7F(x)DVy(7F(y)D( 7VzF(z) DVzzF(u))));
r) F(X|, X2>&Vx2G(Xi, X2, X3)&73X1F(X|, X|);
д) VxiFIxi, .... x„)D(Vx2F(xb ..., x„)D.. D(Vx„F(xlt . ., x„)DG(y))...).
ГЛАВА
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
§5.1. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО ----- ИСЧИСЛЕНИЯ
1. В настоящей главе мы будем изучать отношения между формулами логики предложений — а именно, отношение выводимости и некоторые производные от него,— отвлекаясь от истинностных значений этих формул. Строение связей между единицами того или иного языка, рассматриваемыми в плане выражения, т. е. безотносительно к их смыслу, называют синтаксисом1 этого языка. Таким образом, мы будем сейчас заниматься синтаксисом языка логики предложений; слово «языка» здесь обычно опускают и говорят просто о синтаксисе логики предложений (ср. начало гл. 3).
Что же такое отношение выводимости? «Материально», т. е. по объему, оно совпадает с рассматривавшимся в гл. 3 отношением семантического следования. Но задается оно совсем иначе — как результат «процесса вывода», аналогичного процессу доказательства в «обычной математике», пользующейся естественным (а не символическим) языком, но происходящего в соответствии с некоторыми четко сформулированными правилами — настолько четко, что ведущийся по этим правилам процесс вывода в принципе может быть механизирован. Совокупность этих «правил вывода» называют иногда логическим исчислением. Чаще, однако, последний термин понимают в более широком смысле, включая в логическое исчисление не только правила вывода, или, как еще говорят, правила преобразова-
1 От греч. cu'vrayc — «строй, устройство, сочетание, связь, система» Соответствующий аспект исследования языка, а также раздел языковедения, в котором изучаются связи между языковыми единицами безотносительно к их смыслу, называют иногда синтактикой.
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕ11ИЙ
155
ння формул, но и правила их образования, позволяющие строго формально описать само понятие формулы. А чтобы это можно было сделать, исчисление должно содержать еще одну компоненту — перечень элементарных символов, из которых формулы строятся. (Разумеется, при построении конкретного исчисления компоненты должны вводиться в обратном порядке — сначала перечень элементарных символов, затем правила образования и, наконец, правила преобразования.) В дальнейшем мы будем понимать логические исчисления именно в таком расширенном смысле; это тем более уместно, что до сих пор мы не дали еще строгого определения формулы логики предложений, равно как н формулы логики предикатов2.
2. Итак, логическое исчисление есть система, состоящая из трех компонент, которые мы сейчас охарактеризуем более подробно.
I.	Первая компонента — перечень элементарных символов, в совокупности образующих алфавит данного исчисления. С формальной точки зрения это просто некоторое множество, но оно должно быть задано достаточно конструктивно — либо просто перечислением элементов, либо «как бы перечислением» вроде ц, ап или П] аг,--' (поэтому мы и говорим о «перечне»). В принципе можно было бы обойтись исчислениями с конечным алфавитом, но это приводит к не вызываемому необходимостью усложнению вида формул; поэтому чаще рассматриваются исчисления с бесконечными алфавитами.
Следует иметь в виду, что элемент алфавита — это не какой-то конкретный «экземпляр» символа, а «символ-образец», с которого можно изготовить сколько угодно «копий». (Это согласуется и с обычным «нематематическим» употреблением слова «алфавит»: под алфавитом, как правило, понимают именно множество образцов букв.)
Из элементарных символов, как из «букв» алфавита, можно составлять «слова» — конечные последовательности элементарных символов, или, точнее, «копий» элементарных символов; эти «копии» называются вхождениями элементарных символов в слово. Например, «парапсихоэкстрасенсобред» — слово в русском алфавите, содержащее два вхождения буквы «п», три вхождения буквы «а» и т. д. (Формально слово в алфавите А можно определить как отображение конечного отрезка натурального ряда {1. п} в А, а вхождение символа в слово — как упорядоченную пару (k, f(k)\ , rj\cf— упомянутое отображение и A G {1.	л). Например, вхож
2 В качестве синонима термина «логическое исчисление» в расширенном смысле иногда употребляются термины формальная система и формальная теория. (Эти словосочетания используются и вне магматическом лотки — разумеется, в друтх тначеииых )
156
ГЛАВА 5
дения буквы «а» в только что приведенное слово суть (2,а), (4,а) и (15,а) .> Число вхождений символов в слово (т. е. мощность отображаемого отрезка) называется длиной этого слова. Например, длина только что приведенного слова равна 24.
II.	Вторая компонента — совокупность правил образования формул, выделяющих из множества всех слов в алфавите исчисления некоторые «отмеченные» слова, называемые правильно построенными формулами — илн просто формулами — этого исчисления. Правила образования должны быть таковы, чтобы по каждому слову в алфавите исчисления можно было распознать, является ли оно формулой. Чаще всего используются так называемые индуктивные системы правил образования, позволяющие строить формулы «шаг за шагом», переходя от более простых к более сложным. Прим:ер такой системы будет приведен в следующем параграфе.
III.	Третья компонента — это совокупность правил преобразования формул, иначе называемых правилами вывода. С помощью этих правил определяется отношение выводимости — бинарное отношение, областью отправления которого является множество всевозможных конечных множеств формул данного исчисления*, а областью прибытия — множество всевозможных его формул. Если в исчислении / формула 21 выводима из множества формул Г, пишут ГI— 21; если при этом исчисление / заранее известно и подразумевается, то знак / часто опускают и пишут просто Г |— 21. При этом для обозначения множества, заданного перечислением его элементов, используется их перечень — т. с. пишут, например, 21, ®[— б или 21|—® (а ие {21, ®}|— б и не {21} |—5®). Если множество Г пусто, пишут I— 21 (а не 0 |— 21) или |- 21.
Содержательный смысл выводимости Г\— 21 состоит в том, что а) формула 21 истинна при условиях Гиб) этот факт установлен с помощью формального вывода. В частности, формула, выводимая из пустого множества, истинна без всяких условий, и имеется формальный вывод, позволяющий установить ее истинность. Поэтому такие формулы естественно называть теоремами — или доказуемыми формулами — данного исчисления. Вывод формулы из пусто-
Чаще здесь говорят не о конечных множествах, а о конечных последовательностях формул. Это обыкновение возникло в свое время в связи с так называемой «финитной установкой» Д. Гильберта, надеявшегося дать обоснование математики, исходя из реально выписываемых последовательностей символов; эти надежды не оправдались, и в настоящее время определение отношения выводимости для последовательностей, а не для множеств сохраняется в основном по традиции, которую мы позволяем себе нарушить, поскольку изменения при этом не так уж велики, но все же многие формулировки становятся проще и естественнее.
СИ11ТАКСИС ЛОГИКИ 11РЕДЛОЖЕ11ИЙ
157
го множества мы будем иногда называть доказательством этой формулы.
Более конкретно выводимость формулы 51 из множества формул Г означает существование так называемого вывода 51 из представляющего собой либо конечную последовательность формул, либо дерево, в узлах которого стоят формулы, и служащего изображением «процесса выведения 51 нз Г». Каждый шаг этого процесса состоит в применении того или иного правила. В разных исчислениях правила вывода устроены по-разному, но при всем их разнообразии можно выделить два основных типа: структурные правила, отвечающие чисто формальным шагам вывода (например, правило, устанавливающее, что всякая формула выводима из любого содержащего ее множества формул) и логические правила, отвечающие шагам, основанным на свойствах логических операций и логических констант (например, правило, устанавливающее, что из формул 51 и 25 выводима формула 51&25). Особое место занимают правила, устанавливающие выводимость каких-либо формул из пустого множества. Такие формулы — выводимые из пустого множества непосредственно в силу какого-то одного правила — называются аксиомами4 данного исчисления. (Таким образом, аксиома в логическом исчислении есть частный случай теоремы — «исходная» теорема.) Правила этого типа чаще всего формулируют отдельно от остальных, просто перечисляя аксиомы (если их множество конечно) или указывая их общий вид. Иногда аксиомы считают отдельной, четвертой компонентой логического исчисления.
3. Несколько слов о классификации логических исчислений. Прежде всего, различают чистые логические исчисления (лучше было бы говорить «чисто логические исчисления»), предназначенные для формализации логического вывода безотносительно к предметной области, в которой он применяется, и прикладные логические исчисления (иначе — логико-математические исчисления), служащие для формализации вывода теорем в тех или иных разделах математики. Прикладные исчисления получаются из чистых сужением алфавита и добавлением специальных математических аксиом. В этой главе мы будем иметь дело исключительно с чистыми логическими исчислениями; с прикладными исчислениями мы столкнемся в § 6.3 и в гл. 8.
Логические исчисления делят также на исчисления гильбертов-
4 От греч. d£i сира — «основное положение» (собственно, «нечто достойное признания» — отйг&О > - «достойный, заслуживающий»)
158
ГЛАВА 5
ского типе? и ген ценовс кого типа5 6. Первые характеризуются тем, что почти все логические правила формулируются в виде аксиом, во вторых аксиом почти нет или даже нет вовсе. В исчислениях гильбер-товского типа выводимость описывается технически проще, зато исчисления генценовского типа более естественны — вывод в них больше похож на то, как на самом деле рассуждают математики. Поэтому мы будем вести основное изложение на базе «генценовских» исчислений. (О «гильбертовских» см. в §§ 5.5 и 6.4.)
4. В заключение параграфа заметим, что слово «теорема» будет использоваться в этой главе (и в главах 6 и 8) в двух значениях: для обозначения формального объекта — теоремы логического исчисления — ив обычном «неформальном» смысле. Можно было бы, конечно, избежать омонимии — например, называть теоремы логических исчислений «формальными теоремами» или, наоборот, переименовать «обычные» теоремы в «метатеоремы»,— но мы этого не делаем, поскольку читатель вряд ли спутает два столь разных значения слова.
§ 5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ Ga
Сейчас мы рассмотрим логическое исчисление, предназначенное для описания отношения выводимости в логике предложений. Это исчисление, построенное Г. Генценом7 и известное под названием исчисления естественного вывода, мы будем обозначать Сс. В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе определение исчисления Go будет состоять в описании его алфавита, правил образования и правил вывода.
I. Алфавит исчисления Са есть объединение следующих трех попарно непересекающихся множеств:
{Х„ Х2,...} (множество переменных);
{&, V, D, 7, Л] (множество логических символов);
{(,)} (множество синтаксических символов).
5 По имени предложившего их немецкого математика Д. Гильберта (David Hilbert, 1862—1943). Гильберт, крупнейший математик своего времени, внес, в частности. существенный вклад в развитие математической логики.
6 По имени придумавшего их ученика Д Гильберта немецкого математика Г Гснцена (Gerhard Gentzen, 1909—1945)
7 Рассматриваемое нами исчисление не в точности совпадает с исчислением Г. Гснцена; различия, однако, несущее!венцы.
СИНТАКСИС ЛОГИКИ 11РЕДЛОЖЕ11ИЙ
159
Пояснения: а) Л означает логическую константу «ложь».
б) Константа «истина» и знак эквиваленции не включены в алфавит во избежание мало оправданного усложнения правил вывода. (Вместо константы «истина» можно использовать выражение тЛ; по поводу эквиваленции см. задачу 5 в конце главы.)
в) Скобки названы синтаксическими символами потому, что они служат исключительно для описания того, как построена формула, т. е. выполняют чисто синтаксические функции.
II.	Правила образования формул в исчислении Go имеют следующий вид:
(а)	Каждая переменная есть формула.
(б)	Л есть формула.
(в)	Если 2! и 23— формулы, то (2!)&08). (2l)V(»B), (2!)Э0В) — также формулы.
(г)	Если 21 — формула, то 7(2!) — также формула.
(д)	Всякая формула является таковой в силу одного из правил (а) — (г). (Иначе говоря, не существует никаких формул, кроме построенных по правилам (а) — (г).)
Мы сформулировали, таким образом, систему правил, состоящую из нескольких «положительных», или, как обычно говорят, прямых правил, указывающих, какие бывают формулы, и одного «отрицательного». или косвенного правила, утверждающего, что никаких других формул не бывает. При этом прямые правила делятся на безусловные, утверждающие просто, что такие-то и такие-то объекты являются формулами (правила (а) и (б)), и условные, утверждающие, что если какие-то объекты суть формулы, то и некоторые другие объекты, построенные определенным образом из исходных, тоже будут формулами (правила (в) и (г)). Так устроенные системы правил, служащие для определения некоторого понятия, называются индуктивными. (Часто им дают нмя индуктивных определений; отдельные правила называют тогда пунктами определения и говорят о прямых пунктах и косвенном пункте. Сформулированная нами система правил — это индуктивное определение формулы исчисления Go.)
Число вхождений в формулу логических символов, отличных от Л (т. е. пропозициональных связок), мы будем называть сложностью этой формулы. Когда нужно доказать, что все формулы обладают некоторым общим свойством, это делается чаще всего с помощью возвратной индукции по сложности формулы. (Мы уже пользовались этим методом при доказательстве леммы о противоположной формуле в § 3.3.)
Для упрощения записи формул мы обычно будем опускать некоторые (или все) скобки, следуя тому же соглашению о порядке действий, которого мы придерживались в предыдущих главах.
160
ГЛАВА 5
Ш.Правил а вывода — самая сложная и самая интересная часть всякого логического исчисления. Формулируя эти правила, мы всегда будем использовать для обозначения произвольных формул прописные готические буквы и для обозначения произвольных к о-н е ч н ы х множеств формул — прописные греческие (так что, например, запись 21, 2lD23i—будет означать: «Каковы бы ни были формулы 21 и 23, из формул 21 и 21D23 выводима формула 23».
В исчислении Go правила вывода следующие:
А. Прямые правила
А1.Структурные правила
1) Если 2IGC, то Г|-21 (правило тривиальной выводимости, сокращенно ТВ);
2) Если Ci-21^ .... Гд-21, и 2Ц,	21А.	..., ®,|-G (* = 1, 2, ...,
I = 0, I, ...), то С, ..., Гк, 23и 23,|—С (правило транзитивности, сокращено Т).
Пояснение. Мы пишем Г,, ..., Гк, ..., 23, вместо Г,и UFk U U {231t	23,}. Подобными обозначениями мы будем пользоваться и
дальше (например, Г, 21 вместо Г U {21}.
Содержательный смысл структурных правил очевиден.
Правило транзитности мы могли бы сформулировать в более простом и изящном виде: Если Z’i—21, ..., Гк\—21л и 211? ..., 2lA|—G, то Г|5 ..., Гд—23; из этой формулировки вместе с правилом ТВ очевидным образом получается наша, которую мы предпочли потому, что она удобнее в работе (см. ниже).
А2.Логические правила
Исчисление Go содержит десять логических правил. Восемь из них — так называемые правила введения и удаления логических символов, играющие, в сущности, роль определений пропозициональных связок. Каждой пропозициональной связке отвечают два правила — правило введения и правило удаления этой связки. Мы расположим эти правила в два столбца:
1) 21, 23I-2I&23
(введение конъюнкции);
3) 21|—21 v®
231-21V®
(введение дизъюнкции);
5) Если Г, 2Й-23, то Г1-21Э23
(введение импликации)'.
2) 21&23I-2I
21&93I—25 (удаление конъюнкции);
4) Если Г, 2I|—G и
Г,25|-<£, то Г, 21 vS&i—6 (удаление дизъюнкции);
6) 21, 21э23|-23
(удаление импликации);
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
161
7)	Если Г, Шн/7,	8) 21. 7<М|-Л
то Г|—721
(введение отрицания);	(удаление отрицания).
Сокращенно эти правила будут обозначаться ВК. УК, ВД, УД, ВИ, УИ, ВО, УО.
Кроме правил введения и удаления, имеются еще два особых логических правила:
9)	Л\-$Ь (правило Дунса Скота, сокращенно ДО;
10)	|-21V721 (закон исключенного третьего, сокращенно ИТ).
Пояснение. Логические правила исчисления Go представляют собой формализацию простейших «правил логического вывода», которыми пользуются математики в своих рассуждениях. Так, доказав два утверждения А и Б, математик выводит из этого, что истинно также утверждение «Л и В» (введение конъюнкции); обратно, если доказано «Л и В», считается истинным каждое из предложений А и В по отдельности (удаление конъюнкции). Если доказано хотя бы одно из утверждений А, В, отсюда выводится истинность утверждения «Л или В» (введение дизъюнкции). Удаление дизъюнкции — это доказательство разбором случаев: если в какой-то ситуации (описываемой множеством предложений Г) возможны два случая А и В (нс обязательно взаимоисключающие) и в каждом из этих случаев удается доказать утверждение С, то Это утверждение можно считать вообще доказанным для данной ситуации. Далее, если из А можно вывести В, то считается доказанным условное утверждение «Если А, то В» (введение импликации); обратно, из истинности условного утверждения и его посылки выводится истинность заключения (удаление импликации). Введение отрицания — это прием доказательства, который в старых учебниках математики назывался приведением к нелепости (по-латыни reductioadabsurdum): если, допустив, что (при некотором условии Г) предложение А истинно, мы приходим к заведомо ложному выводу, то мы можем считать доказанным, что (при условии Г) предложение А ложно (т. е. что истинно его отрицание)8. Удаление отрицания — это закон противоречия (ср. с- 105). Правило Дунса Скота, позволяющее вывести из ложного Утверждения все, что угодно (ср. другую формулировку того правила на с. 107), в математике используется, когда считают доказанным Условное утверждение, если его посылка опровергнута (ср. соображения, приведенные в § 2.3 при определении импликации): в исчислении Go это означает применение ДС в сочетании с введением импликации (см. ниже пример (9)). В обычных математических рассуж
8 п
1 [ривсденнс к нелепости не сле;<ует смет и па и, с доказательством от противного **’ нем см. ниже, с. 173).
162	ГЛАВА 5
дениях правило Дунса Скота часто используется также при доказательстве разбором случаев: если, доказывая, что при некотором условии Г справедливо утверждение С, мы рассматриваем различные случаи и при этом оказывается, что с одним из них условие несовместимо (т. е. в этом случае из Г выводится заведомая ложь), то мы считаем, что и в этом случае С истинно при условии Г. (Типичный пример — когда при доказательстве какого-либо свойства элементов множества в одном из случаев множество оказывается пустым.) В формальных выводах в исчислении Go правило Дунса Скота также часто применяется в сочетании с разбором случаев, т. е. удалением дизъюнкции (см. ниже примеры (14) и (23).
Особняком стоит закон исключенного третьего — единственное правило, справедливость которого ставится частью математиков под сомнение9. Эти математики считают, что всякое математическое доказательство должно быть «конструктивным»; в частности, утверждение о существовании объекта с определенными свойствами может считаться доказанным лишь при условии, что известно, как такой объект построить, а дизъюнкция обоснована только тогда, когда известен способ узнать, какой ее член верен, и найти обоснование его верности. Поэтому если, например, А есть утверждение о существовании объекта с теми или иными свойствами, то дизъюнкция «А или не А» может считаться обоснованной лишь в двух случаях: когда указан способ построения такого объекта и когда доказано, что его не существует.
Впервые с этого рода критикой закона исключенного третьего выступили в начале нынешнего столетия сторонники интуиционистского направления в философии математики (см. Введение) — JT. Э. Я. Брауэр (Luitzen, Egbcrtus Jan Brouwer, 1881—1966) н Г. Вейль (Hermann Weyl, 1885—1955). Таких же взглядов относительно конструктивности в математических рассуждениях и роли закона исключенного третьего придерживаются сторонники возникшего в середине века конструктивного направления, основоположниками которого были А.А. Марков (1903—1979) и Н.А. Шанин (род. в 1919 г.). Логическое исчисление, формализующее допустимые с интуиционистской точки зрения методы рассуждения, было построено в 1930г. учеником Брауэра А. Рейтингом (Arend Heiting). В отличие от классической логики, используемой в обычных матема
9 Подвергалось критике также правило Дунса Скота, ио эта критика не нашла сколько-нибудь заметного отклика. Последовательное проведение основанной на этой критике точки зрения требует отказа от операции отрицания и, стало быть, от всех связанных с ней правил. Попытки обосновать математику без использования отрицания предпринимались (см. ]Френкель — Бар-Хиллел 1966], с. 289—291), но вряд ли можно говорить здесь о существенных успехах.
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИИ
163
тических рассуждениях, логику, описываемую исчислением Рейтинга, принято называть интуиционистской илн конструктивной логикой'0. Исчисление Go без закона исключенного третьего равносильно «пропозициональной части» исчисления Гентинга11.
В дальнейшем изложении неконструктивные формальные выводы — т. е. те, в которых используется закон исключенного третьего — будут отмечаться звездочкой.
Заметим еще, что закон исключенного третьего занимает среди правил исчисления С(1 особое место и в отношении формы: он дает единственную в этом исчислении схему аксиом. (Вообще схемой формул принято называть выражение, содержащее «формульные переменные» (у нас эту роль играют прописные готические буквы) и превращающееся при замене этих переменных произвольными формулами также в формулу (например, 21Э®, ?2lV7® и т. п.). Если каждая формула, возникающая таким образом из некоторой схемы формул, является аксиомой соответствующего логического исчисления. эту схему называют схемой аксиом данного исчисления. Точно так же говорят о схемах теорем. ]
Б. Косвенное правило. Отношение выводимости между множеством формул и формулой может иметь место только в силу одного из прямых правил.
Таким образом, определение отношения выводимости по своей формальной структуре аналогично определению формулы: оно яв-ля ется инду кти вным.
Заметим, наконец, что прямые правила вывода, аналогично прямым правилам образования формул, можно разделить на безусловные и условные. Правила Т, УД, ВИ, ВО — условные, все остальные — безусловные12.
ю „
Конструктивной логиком занимаются не только ингуиционисты и конструктивист, но и «классики». Образцами «классического» подхода к конструктивной логике Moiyr служить работа К. Гёделя JGddel 1933] и курс лекций 11 .С 11овикова |Новиков •977].
Исчисление, равносильное гейт миговскому исчислению в полном объеме, будет н°строено ниже, в § 6.1.
Почему мы относим к безусловным правило ТВ — ведь оно имеет вид условного Предложения? Дело в том, что в посылке этого предложения нет речи о выводимости.
164
ГЛАВА 5
§ 5.3. ФОРМАЛЬНЫЕ ВЫВОДЫ
------ В ИСЧИСЛЕНИИ Go
1. Посмотрим теперь, как «работает» исчисление С70, т. е. как в нем доказывается выводимость. Когда нужно доказать, что в, том или ином логическом исчислении из некоторого множества фор-! мул Г выводима некоторая формула 21, это делается обычно путем последовательного применения правил вывода. Такое «прямое» доказательство выводимости принято называть выводом 21 из Г в данном исчислении.
Приведем для начала четыре простых примера выводов в исчислении Go.
(1)	Легко видеть, что (21&25)&б|-21. В самом деле, по правилу УК имеем (21&23)&б|—&б|—2I&25 и (21&25)|—21, откуда по правилу Т получаем (21&25)& 61—21.
(2)	Покажем, что 21, 25, 21&25 v6D(S|—@. Имеем 21, 25121&25 (правило ВК), 21&251- 21&25 V б (правило ВД), откуда 21, 23 I— 21&25 V G (правило Т). Но 21&25 V б, 21&25 V 6d@i-@) (правило У И), так что по правилу Т получается 21, 25, 21&25 v6d(S]—@.
(3)	21&55»|—SB&21. По УК имеем 21&25|-25 и 21&25I-21, а по ВК 25, 2l|-25&21. Отсюда по Т получаем 21&25I-25&21.
(4)	21, 251—21V®. Имеем 21,23|-21 (по ТВ) и21|—21V25 (по ВД), откуда SI, 55l aiv® (ПО Т).
Очень удобно изображать вывод формулы 21 из множества Г в виде дерева, в котором 21 служит «корнем», а элементы Г — «листьями». Например, только что приведенные выводы представляются в виде деревьев следующим образом:
<»
2—	--УК
Я S5
(2) ] f ВК
? ад®ус вд
J &
21&25УбР@
УИ
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
165
ai&s VK	? SI&8
21	Z $
25&21
*4) 1 Я я 8 * * * ТВ
2 91V® ВД
Из этих примеров должно быть уже понятно, как устроены ^деревья вывода» в простейшем случае, когда применяются только безусловные правила и правило транзитивности. Нетрудно было бы дать и точное определение такого дерева, но мы отложим это до того времени, когда будет рассмотрен общий случай, а пока ограничимся следующими неформальными пояснениями:
1)	Каждой горизонтальной черте отвечает применение некоторого (безусловного) правила: над чертой стоят посылки этого правила, под чертой — заключение. Дерево, содержащее только одну черту — это «элементарное» дерево; его «корень» выводим нз множества «листьев» непосредственно в сипу соответствующего правила1'.
2)	Каждое неэлементарное дерево «собирается» из других «меньших» деревьев, и эта «сборка» есть не что иное, как применение правила транзитивности. В самом деле, всякое нсэлементарное дерево имеет вид
б.---б. 91,.-.21.
—-------2 *--' (*=1,2,/ = 0, 1

где б], ..., бА — деревья и 21,, 2Д 25 — формулы14.
Пусть б, и Д( — соответственно «корень» и множество «листьев» дерева 6, (Z= 1, ... , к). Тогда, если	ЗЦ, ..., 21,|—25 и для
каждого z = 1,..., к справедливо Aj—б„ имеем по правилу транзитивности А,, ..., Д*, 311т, 21,|-$В; но Л,, ... , Дл, ..., 21,— это как раз множество «листьев» нашего «большого» дерева.
|Л Множество «листьев» «элементарного» дерева для безусловного логического
правила состоит или из двух элементов (для ВК, У И и У О), или из одного (для УК, ВД
и ДС), или пусто (для ИТ). В случае ТВ листьев может быть сколько угодно (но хоть
один лист должен быть).
Поскольку мы рассматриваем выводы из множеств, а не из последовательно-
стей формул (в отличие от того, как излагал свое исчисление сам Генцсн), мы можем
не различать деревья, отличающиеся друг от друга только порядком поддеревьев, «корни» которых расположены непосредственно над одной чертой.
166
ГЛАВА 5
3)	Каждое применение правила, отличного от правила транзитивности, мы будем в дальнейшем называть элементарным шагом или просто шагом вывода. Шаги вывода мы нумеруем (номер ставится слева от черты). Пока что без номеров можно было бы обойтись, но потом они нам понадобятся. Номера присваиваются шагам таким образом, чтобы в каждом поддереве самая нижняя черта имела наибольший номер15; в остальном нумерация произвольна. Справа от черты мы пишем сокращенное название правила. Впрочем, в дальнейшем мы будем писать его нс всегда, так же как и номер.
Задача, а) Доказать, что всякая теорема исчисления Go выводима в нем из любого конечного множества формул. (Указание: воспользоваться правилами ТВ, ВК и УК ].
б) Доказать, что в Go справедливо «правило расширения»: если Г]—21 и ГС А, то А1—21.
Перейдем теперь к выводам, содержащим условные логические правила. Для чего эти правила служат? В математических рассуждениях часто прибегают к введению промежуточных гипотез, которые потом устраняются. Примером может служить доказательство от противного: чтобы доказать некоторое утверждение, мы принимаем гипотезу, что оно неверно, которая в дальнейшем устраняется. Тоже происходит при доказательстве разбором случаев: рассматривая каждый отдельный случай, мы принимаем гипотезу, что этот случай имеет место, а когда все случаи разобраны, мы больше не нуждаемся в этих гипотезах. Для формализации таких доказательств — с введением промежуточных гипотез, которые потом устраняются — как раз и служат условные логические правила. При применении каждого из этих правил устраняется некоторая гипотеза или гипотезы (устраняемые гипотезы были обозначены на с. 160—161 через 21, 25 в правиле УД и через 21 в правилах ВИ и ВО). В дереве вывода гипотезы — это те формулы, которые являются его «листьями». Поэтому устранение гипотезы можно представлять себе как «обрыв» илн «увядание» листа. (Из дальнейшего будет видно, что «увядание» — более точный образ.) При «сборке» большего дерева из меньших16 некоторые их листья могут «увядать»; те листья, которые не «увянут» до конца, образуют множество исходных посылок вывода, т. е. то множество Г, которое стоит слева от знака |— в выводимости Г|—21, доказываемой с помощью данного дерева; «увядшие» листья — это промежуточные гипотезы. Может случиться, что «увянут» все листья;
15 Мы делаем так, впрочем, только ради удобства; на самом деле существенно только то, чтобы номера разных шагов были различны.
16 Хотелось бы. конечно, говори и. здесь о «выращивании» дерева, но тогда ему пришлось бы расти от листьев к корню.
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
167
тогда мы получим вывод из пустого множества — иначе говоря, корень дерева будет теоремой.
В соответствии со сказанным применение условных логических правил изображается в дереве вывода следующим образом:
а)	Применению правила ВИ отвечает горизонтальная черта, снизу от которой записывается формула 21Э25, а сверху — формула 25, причем эта последняя должна быть корнем дерева вывода, среди «неувядших» листьев которого имеются все формулы, составляющие Г, и формула 21. При «достройке» дерева с корнем 25 до дерева с корнем 21Э25 лист 21 «увядает». «Увядшие листья» — т. е. устраненные гипотезы — мы будем заключать в квадратные скобки, указывая при них номера шагов, на которых они устранены (номер пишется в круглых скобках справа).
б)	Применение правила ВО изображается точно так же с заменой 25 на Л и 21D25 на 721.
в)	Применению правила УД отвечает горизонтальная черта, снизу от которой записывается формула б, а сверху — 21 v 25 и два раза та же формула б, причем одно из верхних вхождений б должно быть корнем дерева, среди неувядших листьев которого имеются формула 21 и все формулы, составляющие Г, а другое — корнем дерева, среди неувядших листьев которого имеются формула 25 и все формулы, составляющие Г. (Формула 21V® тоже может быть здесь корнем какого-то дерева.) При «сборке» «большого» дерева листья 21 и 25 «увядают».
Проиллюстрируем применение условных логических правил на примерах.
(5) I—21D 21.
Доказательство:
2 Ви
(На шаге 2 применяется ВИ с пустым Г.)
(6) 21|- 7721.
Доказательство:
i-gLl^'P) уо
2——во
(На шаге 2 применяется ВО с Г = 21.)
(7) 21 у® |— ^5V21.
168
ГЛАВА 5
Доказательство:
1 —Ist ](3)— од 2 —КЗ) вп
' SVSI Д $У2! д 2lv%
Л	®V2l	УД
(На шаге 3 применяется УД с пустым Г.)
Теперь мы можем сформулировать точное определение дерева вывода. Деревья, которые мы будем определять, нс содержат номеров шагов и имен правил; эти компоненты можно восстановить по остальным, и мы пишем их в примерах только для облегчения понимания (да и то нс всегда).
Предварительно определим элементарное дерево вывода (в исчислении 6’(|). Так мы будем называть выражение, состоящее из горизонтальной черты, снизу от которой записано заключение некоторого безусловного правила исчисления Go, а сверху в произвольном порядке — все посылки этого правила. (В частности, в случае правила ТВ над чертой записывается произвольный конечный набор формул, а под чертой — любая формула из этого набора; в случае правила ИТ над чертой не пишется ничего.)
Определение дерева вывода в исчислении Go будет индуктивным. Одновременно будут определяться корень дерева вывода, его зеленые листья, его увядшие листья и его высота.
Определение состоит из следующих шести пунктов;
I)	Всякое элементарное дерево вывода есть дерево вывода высоты I. Его корнем служит формула, записанная под чертой, зелеными листьями — формулы, записанные над чертой; увядших листьев у него нет.
2)	Пусть в — элементарное дерево вывода, в котором над чертой записаны формулы 21,, ..., 21д, *$,,	25/ (Л = 1,2,...; 2 = 0,1, ...) и под
чертой — формула б, и пусть д,,ёл. — деревья вывода с корнями 21,, .... 21А, множествами зеленых листьев Гг .... Г* и множествами увядших листьев Д„ ..., Дл соответственно, причем наибольшая нз высот этих деревьев равна п. Тогда выражение, полученное из заменой каждой формулы 21// = 1, ..., к} деревом ё., будет деревом вывода высоты п + 1 с корнем б. множеством зеленых листьев /’U	UTAU{25,, SBJ и множеством увядших листьев Д,и ... ОДЛ.
3)	Пусть ё — дерево вывода высоты п с корнем Ъ, множеством зеленых листьев Г и множеством увядших листьев Д, причем /"содержит формулу 21. Тогда выражение, состоящее из горизонтальной черты, снизу от которой записана формула 21Э25, а сверху —- дерево ё, будет деревом вывода высоты п + 1 с корнем 2025, множеством зеленых листьев Г\{21} и множеством увядших листьев Ди{21}.
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
169
4)	Аналогично предыдущему пункту с заменой 55 на Л и 2025 на 721.
5)	а) Пусть и 62 — деревья вывода, каждое из которых имеет корнем формулу б, с множествами зеленых листьев 1\ и Г2 и множествами увядших листьев Д, и Д2 соответственно, причем Г, содержит формулу 21, а Г3 — формулу 55, и наибольшая из высот деревьев fi б2 равна п. Тогда выражение, состоящее из горизонтальной черты, снизу от которой записана формула б, а сверху в произвольном порядке деревья 6, и б2 и формула 21V 55, будет деревом вывода высоты п + 1 с корнем б, множеством зеленых листьев {/'Д{21}) U (Г2\ {55} U U{2lVS5} и множеством увядших листьев A(UA2U{21,55}
б)	Аналогично а) со следующими изменениями: вместо формулы 21 V55 над чертой записывается некоторое дерево вывода 6 с корнем 21V 55, множеством зеленых листьев Г и множеством увядших листьев Д; п есть наибольшая из высот деревьев б(, б2, б; множество зеленых листьев нового дерева есть (/'\{21})и(Г\{^})и/', множество увядших листьев — Д,иД2иДи{21,55}.
6)	Всякое дерево вывода является таковым в силу одного из пунктов 1) — 5).
Часть дерева вывода, состоящую из горизонтальной черты и формул, записанных непосредственно над ней и под ней, мы будем называть шагом вывода.
Заметим еще, что корень — это формула, под которой нет черты, а листья — формулы, над которыми нет черты.
Теперь, определив понятие дерева вывода, мы можем сказать, что формула 21 выводима из множества формул Г тогда и только тогда, когда существует дерево вывода с корнем 21 и множеством зеленых листьев Г. Это вытекает непосредственно из правил вывода исчисления Go и определения дерева вывода.
Замечание. Одно из правил Go — правило транзитивности — «работает» в деревьях вывода не так, как остальные: оно обеспечивает самую возможность построения дерева, тогда как другие правила обеспечивают элементарные шаги. Поэтому, если бы мы вместо индуктивного определения выводимости сразу определили ее с помощью деревьев вывода, правило транзитивности было бы нс нужно. Можно было бы обойтись также без правила тривиальной выводимости, так как его можно вывести из остальных правил. В самом деле, поскольку мы рассматриваем лишь конечные множества формул, это правило можно заменить следующими двумя:
(а) 21|_ 21; ф) если Г\— 21, то Г, 55|- 21.
170
ГЛАВА5
Но во-первых, если Г дерево вывода с корнем 21 и множеством 21"
зеленых листьев Г, то
f, _Я®Rk
1	Я&®
а УК
есть дерево вывода с корнем 21 и множеством зеленых листьев ГО {25}; во-вторых, дерево
И____— RK
я & я в?)
имеет корнем 21 и множеством зеленых листьев {21}. Таким образом, определив выводимость с помощью деревьев вывода, мы могли бы обойтись без структурных правил (как и сделано в изложении самого Гснцена).
2. Рассмотрим теперь еще ряд примеров выводов — или, что то же самое, деревьев вывода.
(8) 251- 2СЖ
Дока зател ьство:
1	тв
2	Л ви
(9) 721|— 2025.
Доказательство:
I [Я 1(3) 7Я уо
2	-----ДС
3	ВИ
25
(10) 2lV(23v6) |- (2lV25)v6.
Дока зател ьство:
। _!% 10) Вд
2 ВдДз ЖЖ вд	5 вд
4 (21VS)V(S (21V%)V<S 125Уб|(7) уд 6 21VS вд
(21у25)у6_______________________(21V25)Уб 21У(25Уб) уп
(21V 25) Уб	УД
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
171
(11> (<av®)v6 i-av(®vc).
(12) й&(®&6) |-(й&®)&с.
(13) (2(&SB)&G |-«&(®&6).
Эти три выводимости читатель докажет самостоятельно. (14) аV®, ?а ®.
Доказательство:
I 1Ч1(4.)7Й уо
2-4-де
4---®----------
, [% 1(4)	731 тп
з Л ТВ
—-УД
$ %
(15)	QlV($&G) |-(QlVS5)&(3lvG).
Доказательство: , i®&ei(9)	|®&с_к?)_
, I'Wl 2 [«К9) Д ®	°7 Л
о йу®___________иус_ йу®_________________aiуcs
(йу®)&(йуС)	(Яу®)&(йу6) aV(®&G)
9	(Яу®)&(Яу6)
(16)	(йу®)&(Яус_) i-«v(®&e).
Доказательство:
|®|(5) 16'1(8)
1 (ЙУ®)&(ЯУ£) 2 [й|(5) л 4®&6
«У® ИУ(®&6) ЙУ(®&6)	[211(8)	(ЙУ®)&(«Уб)
£	йу(®&С) уд av(®&6)' avc
ИУ(®&6)	УД
(17)	Я&(®Уб) |-(И&®)У(«&С).
Доказательство:
Й&(®у6)	<M(®v6)
Й |®|	_9‘_। ।
Я&®	Я&6
(й&®) v (я&б)	(й&®)у(й&е)
(й&®)у(й&6)
Я&(® У (£) ®уС
(18)	(й&®)у(Я&6) |-«&(®УС).
172
ГЛАВА 5
Эту выводимость читатель докажет самостоятельно.
(19)	911- 91V91.
(20)	SIvSl i-SI.
(21)	SI i-Sl&Sl.
(22)	91&91 i- 31.
(19), (21) и (22) — частные случаи правил ВД, ВК и УК. (20) доказывается так:
-фтв Штв aivsi
----------й-------------уд
Все рассмотренные до сих пор выводы были конструктивными, т. е. ни в одном из них не использовался закон исключенного третьего. (Без сомнения, выводимости (11), (12), (13) и (18) читатель доказал — или докажет — также конструктивно.) При этом среди наших примеров были аналоги всех основных равносильностей логики предложений из группы I (см. § 3.1) — в том смысле, что для каждой из этих равносильностей се правая часть выводима в Go из левой, а левая из правой. Далее мы получим такие аналоги и для прочих основных равносильностей из § 3.1. но не все они будут конструктивны. В частности, закон исключенного третьего нужен, чтобы получить аналог равносильности 111 — точнее, одну из «половин» этого аналога (другую «половину» мы уже доказали — см. выше пример (6)). В § 3.1 мы назвали равносильность III «правилом снятия двойного отрицания». Однако при переходе к двум выводимостям 7?Э11- 91 и 91 j- 7791 естественно называть так только первую из них — второй скорее подошло бы название «правила постановки двойного отрицания»; впредь мы ее так и будем называть. Итак:
*(23) 77911-91.
(Напоминаем, что звездочкой мы договорились отмечать неконструктивные выводы.)
Доказательство:
2 77Й |7а](5)уо
77Й 1211(5)	Л
I----31 тв Зйдс 4й77я1Дп
91	УД
Комментарий: а) Ниже (с. 174) мы покажем, что из конструктивных правил исчисления G(l и правила снятия двойного отрицания можно, в свою очередь, вывести закон исключенного третьего.
б) Неконструктивный характер правила снятия двойного отрица-
СЙ1ГГАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕ11ИЙ	173
Иия можно пояснить так. Если А — утверждение о существовании объекта с теми или иными свойствами, то с конструктивной точки зрения оно считается истинным лишь тогда, когда указан способ построения нужного объекта, в то время как двойное отрицание утверждения А означает только неверность утверждения, что такого способа не существует. Если мы опровергли утверждение о несуществовании способа построить какой-то объект, это еще не позволяет нам указать конкретный способ его построения.
в) На правиле снятия двойного отрицания основано доказательство от противного. Оно состоит в следующем: желая доказать утверждение А, мы принимаем гипотезу, что оно неверно — иначе говоря, что истинно его отрицание,— и пытаемся привести эту гипотезу к нелепости, т. е. вывести из нее два противоречащих друг другу утверждения — скажем, В и «не Z?»17. Если это удалось, то мы можем заключить, пользуясь правилом введения отрицания, что гипотеза неверна, т. е. что справедливо утверждение «Неверно, что А неверно», откуда по правилу снятия двойного отрицания следует, что А истинно. Таким образом, доказательство от противного сложнее, чем приведение к нелепости, и в отличие от него неконструктивно. Приведением к нелепости мы лишь опровергаем некоторую гипотезу, а от противного доказывается «положительное» утверждение.
Займемся теперь аналогами законов Де Моргана. Эту роль выполняют четыре выводимости:
(24)	791&7SB |_ 7(91 V®).
(25)	7(91 v SB) |_ 791&7SB.
(26)	791V 7® I- 7(91&SB).
*(27) 7(91&SB) 1-791V7SB.
Первые три выводимости мы докажем приведением к нелепости: . 791&7%ve	о ?91&7SBvk
-,731	|Я](5)уо * 78	№1(5)у0
5  Л.'I	(31VS](6) уд
6 7(31 VS) B0
В роли В часто оказывается само А. Тогда утверждение «нс В» вытекает из гИис1тезы тривиальным образом, гак как совпадаете пей (формально — выводится из •ипотезы по правилу тривиальной выводимости).
174
ГЛАВА 5
131]	155 ]
31У%	7(31v55)	31v%	7(31 vg)
JI	JI
?31 785
731&7Й
[31&55 ](3)	(51&%](6)
?81	1731X7)	*	*	(755 ](7)
g Л	' А Л
л 7(31&55)____________________ 7(31&S5) 751V 7%
'	7(51&S5)
Содержательный смысл этих выводов понятен. Например, выводя 7(21&£5) из 751 v ?85< мы рассматриваем два случая: 731 и 785, и в каждом из них приводим к противоречию (т.е. к нелепости) гипотезу, что конъюнкция 51&S5 истинна. Обратный вывод (т. е. доказатель- I ство соотношения (27)) мы также проведем разбором случаев, но | теперь это будут случаи 85 и 785, для разбора которых необходим | закон исключенного третьего. В случае мы введем еще одну промежуточную гипотезу 31. которую уже имеющиеся гипотезы 7(31&55) (основная) н 85 (промежуточная) позволяют легко привести к нелепости, т. е. доказать 7 31, откуда уже сразу выводится 751V 7$g. В случае 785 вывод дизъюнкции 751У7»В очевиден. Формальный вывод выглядит так:
131|(3)	(551(7)
31&95 7(31&55)
3^-
4 -2L	s17-^D	6__
_____________731 у 755	7Э1У755	Я5У755
751V 7®
Итак, «три четверти* законов Де Моргана удается доказать конструктивно. Неконструктивность последней «четверти» связана с тем, что с конструктивной точки зрения дизъюнкция 731 v785 считается обоснованной лишь тогда, когда хотя бы для одного ее члена предъявлено обоснование, в то время как истинность формулы 7(51&85) означает только, что доказана невозможность обосновать одновременно 51 и 55.
Покажем теперь, что закон исключенного третьего будет теоремой в исчислении, полученном из (7С заменой этого закона правилом снятия двойного отрицания. Очевидно, достаточно установить, что формула 77(31 у 751) доказуема в Собез применения правила ИТ. Для
-ИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
175
этого, в свою очередь, достаточно привести к нелепости формулу 7^21 V 791). Но из этой последней ввиду (25) выводима в <70 без ИТ конъюнкция 791&7791, из которой по УК можно вывести и 7791, что i-[O УО дает Л. (Построение дерева не представляет никаких трудностей.)
Теперь мы должны получить аналоги основных равносильностей группы III из § 3.1, т. е. следующие шесть выводимостей:
(28)	?91VSS I-91DS5.
*(29) 91055 I-791VS5.
*(30) 7(91&?дз) 1-913$.
(31)	91Э$ |- 7(91&7$).
(32)	91Z)S5 |—7S5Z)791 (.закон контрапозиции).
*(33) 755D791 н 91DSB (обратный закон контрапозции).
Деревьев вывода для (28) — (33) мы нс будем выписывать; ограничимся указаниями, по которым нетрудно их построить. Чтобы получить (28). достаточно вывести SB из ?91vS5 и 91 (чтобы можно было воспользоваться правилом ВИ), а это легко делается разбором случаев. Правая часть (29) очевидным образом выводится из левой с добавлением одной из гипотез 91, 791; далее пользуемся правилом ИТ. Для доказательства (30) достаточно получить 7(91& /55), 91 |— S3; но, принимая гипотезу 7S5, из нее и из 91 выводим 91&7$, что дает противоречие; поэтому 7(91&?$), 911- 77S6- (31) легко доказать приведением к нелепости. Чтобы получить (32), достаточно вывести 791 из 91э«В и 7SB, а это можно сделать, приведя к нелепости гипотезу 91. В точности так же из 7$Э?91 и 91 выводится 77$; отсюда, пользуясь правилом снятия двойного отрицания и введением импликации, получаем (33).
Неконструктивность соотношений (29), (30) и (33) связана с тем, что импликация с конструктивной точки зрения считается обоснованной тогда, когда указан способ, позволяющий по любому обоснованию посылки построить обоснование заключения. Неконструктивность (29) означает, что из су шествования такого способа не следует, что мы умеем опровергнуть посылку или обосновать заключение. С Другой стороны, если мы доказали, что 91 и отрицание $ не могут одновременно быть истинными, это еще не дает нам способа по всякому доказательству 91 строить доказательство SB; в этом смысл неконструктивности (30). Наконец, значение неконструктивности (33) легче всего пояснить на примере случая, когда 91 и 33 — утверждения о существовании объектов, обладающих некоторыми свойствами а и [> соответственно. Тогда импликация 7$Э791 с конструктивной точки зрения будет обоснована, если имеется способ по любо
176
ГЛАВА 5
му доказательству невозможности существования объекта со свойством р построить доказательство невозможности существования объекта со свойством <х; но такой способ вовсе не обязательно позволит по любому объекту со свойством а строить объект со свойством р, что как раз и необходимо для конструктивного обоснования импликации 21Э55.
Замечание. Тот факт, что закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания нельзя вывести из конструктивных правил исчисления Go, может быть строго доказан. В задаче 17 в конце этой главы будет указано построение, позволяющее провести это доказательство.
В заключение отметим еще несколько выводимостей, которые часто бывают полезны:
(34)	2lD(55D(S) i-S5D(21d(S)
(правило перестановки посылок)}
(35)	<Иэ(®э£) [21&55DG
(правило соединения посылок);
(36)	21&55D(S i-21D(55DG)
(правилоразъединения посылок)',
(37)	Шэ®, ’3D 6 j- SIdG
(закон транзитивности импликации)',
(38)	Ш.Э55,, .... 2(„D55„ |- 21|&...&21,)Э551&..&25„
(правило соединения импликаций).
Эти выводимости читатель без труда докажет сам.
3. Отмстим теперь три очевидных, но важных факта.
Лемма 1. Тогда и только тогда Г, 21|- 55, когда Г |- 21D55.
Доказательство. Г i- 21D55 следует из Г, 21 |- 55 по правилу ВИ, а Г, 21 I— 55 из Г \- 21Э55 — по правилу У И.
Например, следующие формулы будут теоремами исчисления Go:
21V(55Vt)D(2lV55)VG (из (10)),
(21v55)VGd21v(®vG) (из (И)), ит. д.
Лемма 2. Если Г, 211- 55, то Г, 755 |- 721,
Доказательство. Из Г, 21|—55, применяя правило УО, получаем Г, 21,725 \-Л и далее, применяя ВО — Г, |- 721.
При доказательстве лемм 1 и 2 мы не пользовались законом исключенного третьего. Но он понадобился бы для доказательства утверждения, обратного лемме 2, и понадобится для доказательства следующей леммы:
Лемма 3. Если Г, 21 |— 55 и Г, 721 |— 55, то Г i— SB.
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖИ! 1ИЙ	177
Доказательство. Достаточно применить закон исключенного третьего и правило УД.
4. Будем говорить теперь, что формулы 21 и S дедуктивно эквивалентны, если каждая из них выводима из другой. (Ввиду леммы 1 это равносильно доказуемости двух импликаций 21DS и 25Э21.)
Доказанные выше аналоги основных равносильностей из § 3.1 позволяют предположить, что при «синтаксическом» построении логики предложений дедуктивная эквивалентность играет такую же роль, как равносильность при «семантическом» построении. Это действительно так, и в следующем параграфе мы выясним, в чем здесь дело. А пока что заметим, что для дедуктивной эквивалентности имеет место теорема о замене, совершенно аналогичная доказанной в § 3.2 теореме о замене равносильных формул.
Теорема о замене дедуктивно эквивалентных формул (в исчислении Go). Если в формуле 21 заменить вхождение подформулы S вхождением формулы S', дедуктивно эквивалентной S, то полученная формула 21' будет дедуктивно эквивалентна 21.
Доказательство проводится индукцией по глубине заменямого вхождения подформулы S и строится совершенно аналогично доказательству упомянутой теоремы из § 3.2. Базис можно воспроизвести слово в слово. В индукционном шаге, рассуждая опять-таки точно так же, как в § 3.2, нетрудно убедиться, что достаточно доказать следующее: если формула 21 имеет один из трех видов (а) 21 — (G)a(£>), (б) 21 = (£))a(G) и (в) 21 = 7(G), где в случаях (а) и (б) а — V, D, то формула 21', получаемая из 21 заменой выделенного вхождения G вхождением формулы G', дедуктивно эквивалентной G, будет дедуктивно эквивалентна 21. А это последнее утверждение доказывается следующим образом. В случае (а) при я = <&, поскольку по условию G |— G', применением правил УК, ВК и Т получаем (G)&(£>) |- (£’)&(£>); обратная выводимость доказывается так же. При я = V поступаем аналогично, пользуясь правилами ВД, УД и Т. При а = D из условия G |— 6' применением правил У И и Т получаем G, G'd£)|-S>, откуда по правилу ВИ следует, что
1- GdS); обратное получаем так же. В случае (б) при а = &, V рассуждаем точно так же, как в случае (а); при а = D условие
G' вместе с правилами УИ и Т даст S), £oG i— б', откуда по ВИ получается ©Эб р-йэС, и так же доказывается обратное. Наконец, в случае (в) из G б' получаем |- GdG', откуда в силу (32) и Т вытекает |- 7(б’)Э7(б) и далее 7(G') i— 7(G); обратное — так же.
Замечание. При доказательстве теоремы о замене мы нигде не пользовались законом исключенного третьего. Следовательно, эта теорема справедлива и в конструктивном варианте исчисления Go.
178
ГЛАВА 5
§ 5.4.	СЕМАНТИЧЕСКАЯ ПРИГОДНОСТЬ И ПОЛНОТА ИСЧИСЛЕНИЯ Go
1.	В самом начале этой главы, прежде чем определить отношение выводимости, мы говорили, что по объему оно совпадает с изучавшимся в гл. 3 отношением семантического следования. Теперь, располагая строгим определением выводимости и многочисленными примерами, мы можем доказать это утверждение (для исчисления Go). Одновременно мы покажем, что понятие теоремы в Gv совпадает по объему с понятием тождественно истинной формулы.
Предварительно введем два технических термина. Именно, мы будем называть логическое исчисление семантически пригодным™, если всякая его теорема истинна, и полным — или семантически полным'9.— если всякая истинная формула в его алфавите является в нем теоремой. Эти термины оправдываются тем, что если в логическом исчислении можно доказать теорему, не являющуюся истинной в некоторой содержательной математической теории, то это исчисление, безусловно, не годится для описания данной теории, а если в исчислении доказуемы только предложения, истинные в содержательной теории, но не все такие предложения, тогда естественно сказать, что исчисление описывает теорию, но не полностью. Конечно, так сформулированные определения семантической пригодности и полноты — нс настоящие математические определения, потому что в них участвует понятие «истинной формулы», не имеющее строго определенного смысла и для разных исчислений уточняемое по-разному. Но если ограничиться исчислениями с тем же алфавитом и тем же множеством формул, как в логике предложений (а в этой главе мы так и делаем), то естественно понимать «истинную формулу» как тождественно истинную18 19 20, и тогда понятия семантической пригодности и полноты получают точный смысл.
Заметим еще, что обычно в семантически пригодном исчислении выводимость влечет семантическое следование, а в полном семантическое следование влечет выводимость.
2.	Займемся сначала семантической пригодностью. Справедлива Теорема о семантической пригодности исчисления G't). Если
18 Этот термин введен А-А. Марковым.
19 В отличие от дедуктивной полно гы, которая будет определена в § 6.2. В настоящей главе мы называем семантическую полноту просто полнотой.
20 В гл. 3 мы определили тождественную истинность для формул, не содержащих констан гы Л. но ясно, что это определение можно без всяких изменений перенести на формулы, содержащие ее. То же верно для семантического следования.
СИ11ТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖИ!1ИЙ
179
формула 21 выводима в исчислении Go из множества формул Г, то 21 семантически следует из Г.
Доказательство проведем возвратной индукцией по высоте дерева вывода 21 из Г.
Базис. Пусть 21 выводится из Г с помощью дерева высоты 1, т. е. элементарного дерева вывода. Тогда 21 — заключение некоторого безусловного правила вывода, все посылки которого входят в Г. Поэтому достаточно для каждого из этих правил проверить, что для всякого набора значений пропозициональных переменных, для которого истинны его посылки, заключение также истинно; а такую проверку легко провести непосредственно. (Например, для У И достаточно заметить, что в силу определения импликации для любого набора значений, для которого формулы 2JD25 и 21 истинны, формула ig также истинна.)
Индукционный шаг. Пусть п > 1 и для деревьев, высоты которых меньше п, утверждение доказано. Рассмотрим формулу 21. выводимую из множества Г с помощью дерева высоты п. Тогда возможны следующие случаи:
а)	Дерево образовано по пункту 2 определения (см. с. 168) из деревьев ..., с корнями 211.... 21, и множествами зеленых листьев
.... Гк, а также (быть может) формул	причем
/' = Ди - Г,и{2\, ...,®Д. В этом случае, поскольку высоты деревьев Д, ..., (\ меньше п, по предположению индукции для каждого 1= 1, .... к формула 21, семантически следует из С другой стороны, paces ждая так же, как в базисе, видим, что 21 семантически следует из 21р .... 21,,	Поэтому 21 семантически следует из Г.
б)	Дерево образовано по пункту 3 определения. Тогда 21 имеет вид би© и существует дерево вывода формулы £> из множества Ги{б}, имеющее высоту п — 1. По предположению индукции £» семантически следует из Ги{б}, т. е. всякий раз, когда все формулы из Г и формула G принимают значение И, формула £» также принимает значение И; поэтому импликация бэ£) должна быть истинной, когда все формулы из Г истинны (ср. доказательство утверждения 1 из § 3.4), а это и значит, что 21 = бэ£) семантически следует из Г.
в)	Дерево образовано по пункту 4. Тогда 21 имеет вид. 7® и существует дерево вывода константы Л из FU{6}, имеющее высоту и — 1. По предположению индукции Ги{б}=>Л. Это означает, что все формулы из Г и формула б нс могут быть истинны одновременно — иначе говоря, что всякий раз, когда все формулы из Г истинны, формула б ложна и, стало быть, формула 7б истинна. Таким образом, и в этом случае Г=>21.
г)	Дерево образовано по пункту 5а. Тогда множество Г можно
180
ГЛАВА 5
представить в виде Г — r'U7’"U{6 V©)} таким образом, что существуют деревья вывода формулы 21 из множеств F'UfG} и /-и(Э), высоты которых меньше и. По предположению индукции Г'и{£}=>21 и Г"и{£)}=>21. Но отсюда немедленно вытекает, что формула 21 будет истинна всякий раз, когда истинны все формулы, входящие в объединение Г'иГ", и хотя бы одна из формул Си© — иначе говоря, когда истинны все формулы, входящие в Г'иГ”, и дизъюнкция (S v £). А это как раз и значит, что 21 семантически следует из множества Г'иГ"и{(£ v£)} = Г.
д)	Дерево образовано по пункту 56. В этом случае начинаем рассуждение так же, как в предыдущем, с той разницей, что Г представляется не в виде Г'UГ"U{б V©)}, а в виде Г'иГ"иГ’, где Г' — множество зеленых листьев некоторого дерева вывода б* высоты < п с корнем GvS), Заменяя в исходном дереве поддерево б'формулой GvS), оказываемся в условиях предыдущего пункта и заключаем, что Г'U/’" UС у£)=*Г. Но в силу предположения индукции Г‘=>{£\/£)}, и поэтому21 /’’иГ"U/’‘=>21. Теорема доказана.
Вспомнив, что формула, семантически следующая из пустого множества, тождественно истинна, немедленно получаем
Следствие. Всякая теорема исчисления Go тождественно истинна.
3.	Сложнее доказывается
Теорема о полноте исчисления Go. Всякая тождественно истинная формула в алфавите исчисления G() является теоремой этого исчисления.
Для доказательства этой теоремы22 введем предварительно следующее обозначение.
Пусть 21 — произвольная формула (в алфавите исчисления G), п — целое положительное число, такое, что 21 не содержит переменных с номерами, большими п, и г — произвольный и-мерный булев вектор. Будем обозначать через 2? саму формулу 21, если 2Цг) = И. и формулу 721, если 21(г) = /7. В частности, если z, п — целые положительные числа, такие, что i < п, и г = г, ... гп — произвольный «-мерный булев вектор, то X' есть X, если rt = И, и 7Х{, если г = Л. (Таким образом, обозначение X't имеет здесь тот же смысл, что и в §3.3.)
Основную роль в доказательстве теоремы будет играть
Лемма. Для любой формулы 21, любого целого положительного числа п, такого, что 21 нс содержит переменных с номерами, ббльши-
21 Непосредственно из определения семантического следования ясно, что если гиД=»21 и /TJ2U23, то гиА=»23.
22 Метод, которым мы пользуемся при доказательстве теоремы о полноте, предложен венгерским математиком Л. Кальмаром (Kalmar Laszlo, 1905—1976),
сцЦТЛКСИСЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ	181
-—-—
п. и любого «-мерного булева вектора г формула 21' выводима из формул Хр ...» X'.
Доказательство лем мы проведем возвратной индукцией по сложности формулы 21.
Базис. Пусть сложность формулы 21 равна нулю, т. е. 21 не содержит пропозициональных связок. Тогда 21 есть либо переменная Хг, 1 < i < щ либо константа Л. Но X', ..., Х'|- X' по правилу ТВ; если жс 21 - Л, то 26 — 1Л, а эта формула выводима из любого множества формул. (В самом деле, Г, Л |- Л, откуда по ВО Г 1Л.)
Индукционный шаг. Допустим, что утверждение леммы справедливо для всех формул, сложности которых меньше некоторого положительного s. Рассмотрим произвольную формулу 21 сложности х и докажем, что утверждение верно и для нее.
Фиксируем подходящее число и и произвольный булев вектор г. Поскольку х > 0, формула 21 содержит хотя бы одну пропозициональную связку и, следовательно, возможны четыре случая: (1) 21 = (®)&(б); (2) 21 = (95) v(6); (3) 21 = (95)D(G); (4) 2i = 7(95). Во всех этих случаях сложности формул ® и б меньше х, так что по предположению индукции ®г и бг выводимы из X',..., X'. Рассмотрим теперь каждый случай отдельно.
В случае (1), если ®(г) = б(г) = И, имеем ®' = ®, б' — б, 21(г) = И, 26 = 21. Поэтому из Х[,   •, X' выводимы 95 и б, а из них по ВК выводится ®&б = 21 = 26. Если же хотя бы одно из значений ®(г) и б(г) есть Л — для определенности пусть первое,— то — 7®, 21(г) = Л, 26 = 721. Но ?95 I- 7(®&б) (по УК и лемме 2 из предыдущего параграфа), так что из Х\, X' выводима формула ?(95&б) = ?21 = 21'.
В случае (2), если хотя бы одно из значений ®(г) и б(г) — пусть первое — есть И, то ®' = 95, 21(г) = //, 26 = 21, и из X', -  X' выводима формула 95, из которой по ВД выводится 95 V б — 21 — 21'. Если жс®(г) = б(г) — Л, то®' = 7®, б' = 76,21(г) = Л,21' = 721, атак как 7б, тб |- 7(®v6) (по ВК 7®, 7б |-7®&7б, а в силу (24) из предыдущего параграфа 7®&?б |- 7(®v6)), то из X', X' выводится 7(®V6) = 26.
В случае (3) нам придется рассмотреть три подслучая: <а) 21(г) = Л; (б) б(г) = Я; (в) ®(г) = И, б(г) = Л23. В подслучае (а) ®' = уф, 2((г) = и, 26 = 2(, а так как 7® |- (®эб) (см. в предыдущем параграфе пример (9)), то из Х[, • ••, X' выводима формула $56)6 = 21 = 26. В подслучае (б) рассуждаем так же, используя при-
Разумеется, подслучаи (а) и (б) не исключают друг друга.
182
ГЛАВА 5
мер (8) из предыдущего параграфа. В подслучае (в) 2У = 85, <? — тС, Ш(г) = Л, 21г = ?21. Но по УИ 85, ®DC |- б, откуда по лемме 2 из предыдущего параграфа 85, 7(£ |- 7(S5d€). Поэтому из Х\, ..., Х'„ выводима формула 7(85Э<5) = ?2l = 2С
Наконец, в случае (4). если 85(г) = И, то 2У = 85, 21(г) = Л, 2Г = 721, и из Х\,Хг„ выводима формула 85, из которой по правилу постановки двойного отрицания выводится 7725 ~ 721 = 2К Если же 25(г) = Л, то 25г = 7®, 21(г) — И, 2? = 21, и X', ..., Хгп |- 7® = 21 = Г.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть 21 — произвольная тождественно истинная формула, фиксируем раз навсегда подходящее число п. Тогда для любого н-мерного булева вектора г будет 2Г = 21, и по только что доказанной лемме X',   , Хтп । 21. Сопоставим теперь произвольном} «-мерному булеву вектору г конечную последовательность множеств формул Г\, ..., Г', Г'+| следующим образом: если 1 < г < п, то /Д = {X', Х'„, ...» X'}; Г'+| = 0. Покажем теперь индукцией по г, что для любого i = 1,..., п + 1 и любого «-мерного булева вектора г имеет место Ff н 21. Сделав это24, мы убедимся, в частности, что Гг„+1 |— 21, т. с. 21, и доказательство теоремы о полноте будет завершено. Базис индукции у нас уже готов; остается провести индукционный шаг.
Итак, пусть для некоторого / = 1, ..., п справедливо следующее утверждение: для любого «-мерного булева вектора г имеет место Г' |- 21 или, что то же самое, Г'+1, X' |— 21. Фиксировав произвольный вектор г, изменим его i-ю координату; обозначим полученный таким образом вектор через г'. Тогда наряду с выводимостью F Ci, Xrt |- 21 будет иметь место Г £r+), X' |— 21. Но так как всякая формула Хг зависит только от у-и координаты вектора г', а у г и г' все координаты, кроме 4-й, совпадают, имеем X£+i ~ 2^+1, •••>	= Хг„,
т. е. 70+1 ~ Г С| (так при I < п\ равенство F'+l = F'+| выполняется тривиальным образом). Таким образом, F£r+I, X' |— 21. А поскольку одна из формул X', X' есть Х„ а другая 1Х„ имеем F,r+I, Xt i— 21, /'Ci> 7A", i- 21, откуда по лемме 3 из предыдущего параграфа /’Ci 1—21. Этим заканчивается индукционный шаг и вместе с ним доказательство теоремы.
24 Об индукции но конечному oi резку натурального ряда см. в Приложении III («амечание 2 на с. 461)
С01П ЛКСИС ЛОГИКИ I Н’СДЛОЖЕНИЙ	I КЗ
Замечание. Тот вывод произвольной тождественно истинном формулы из пустого множества формул, способ построения которого был сейчас указан, является, вообще говоря, неконструктивным (поскольку лемма 3 предыдущего параграфа зависит от закона исключенного третьего).
Следствие. Если формула 21 в алфавите исчисления Се семантически следует из множества Г формул в том же алфавите, то 21 выводима в G из Г.
Доказательство. Пусть Г — конечное множество формул и Г=*21. Если Г пусто, формула 21 тождественно истинна, и по только что доказанной теореме |- 21, т. е. Г |— 21. Если Г не пусто, Г — {(£,, 6J, то формула 61D(G2d-«O(Gkd21)‘“) тождественно истинна. (Всамом деле, легко видеть, что она могла бы принимать значение Л толь ко на таком векторе, на котором все С. истинны и 21 ложна, что несовместимо с условием.) Поэтому в силу теоремы о полноте I-С1Э(С2Э«-О((\Э21)--), откуда, применяя к раз УИ, получаем (£„.... С,н
4.	Мы убедились теперь, что синтаксическое понятие выводимости в Go совпадает по объему с понятием семантического следования, и то же верно для понятий теоремы в Go и тождественно истинной формулы. Синтаксические понятия математической логики часто называют формальными, так как они, во-первых, относятся к форме, а не к смыслу ее выражений (именно в таком значении —«относящийся к форме»— употребляется слово «формальный» в языковедении) и, во-вторых, связаны со строгим соблюдением некоторых четко сформулированных правил (что отвечает одному из главных значений слова «формальный» в обиходном русском языке: «сделанный с соблюдением всех принятых правил, в установленном, законном порядке»; исторически именно это значение было исходным). Может возникнуть соблазн распространить на синтаксический и семантический подходы к понятиям математической логики обычное противопоставление формы и содержания и считать первый подход «менее содержательным», чем второй (соблазн этот тем сильнее, что в современном языке у слова «формальный» есть еще одно значение: «существующий только по видимости, по форме», которое воспринимается сейчас едва ли не как основное). На самом же деле для такого заключения нет ни малейших оснований. Скорее уж наоборот: синтаксическая система понятий моделирует реальный процесс логического вывода и потому дает гораздо больше сведений о его содержании, чем семантическая, имеющая дело с уже готовыми результатами процесса безотносительно к тому, как они получены. В действительности эти системы понятий необходимым образом дополняют Друг друга, и именно наличие их обеих и тесная взаимосвязь между
184
ГЛАВА 5
ними25 обеспечивают математической логике то важное место в здании математики, которое она сейчас занимает.
5.	Одно из важнейших требований, предъявляемых к.погическим исчислениям, претендующим на значимость для логики или математики — непротиворечивость^ т. е. невозможность доказать две противоречащие друг другу теоремы26. (Разумеется, это требование имеет смысл только для тех исчислений, алфавиты которых содержат логический символ, интерпретируемый как отрицание — ср. сноску на с. 162). Удовлетворяет этому требованию и изучаемое нами исчисление: справедлива
Теорема о непротиворечивости исчисления Go. Ни для какой формулы исчисления Go невозможно, чтобы и она, и ее отрицание были в этом исчислении теоремами.
Доказательство. Допустим, что для некоторой формулы 21 одновременно I— 21 и |— Тогда по теореме о семантической пригодности обе формулы 21 и т 21 должны быть тождественно истинны, что невозможно, т. к. из тождественной истинности 21 следу ет тождественная ложность 721.
Таким образом, непротиворечивость Go оказывается простым следствием семантической пригодности.
§ 5.5.-ДРУГИЕ ВАРИАНТЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ------- ПРЕДЛОЖЕНИИ
1.	Сейчас мы приведем пример исчисления гильбертов-скоготипа для логики предложений с тем же объемом понятий выводимости и теоремы, что и в С„. Но сначала необходимо сделать несколько общих замечаний о гильбсртовских исчислениях.
Как было уже сказано в § 5.1, в этих исчислениях почти все логические правила формулируются в виде аксиом. Но у них есть еще одна особенность — отсутствие условных логических правил. Кроме того, в них по традиции используется другой, технически более простой способ описания вывода. (При наличии условных правил этот способ неприменим.) Именно, выводом формулы 21 из мно
25
Эи взаимосвязь основана прежде всего на семантической пригодности и полноте логических исчислений.
26 Правда, сейчас можно услышать о попытках стропи, нетривиальные исчисления, не удовлетворяющие этому условию (ради приложений к нематематическим системам, функционирующим несмотря на наличие в них противоречий — как, например, в юриспруденции). Однако здесь еще, видимо, рано говорить о существенных результатах.
СИНТАКСИС ЛО1 ИКИ I 1РЕДЛ0ЖЕПИЙ	185
жества форм)-и Г в исчислении гильбертовского типа принято называть конечную последовательность б15 ..., С, формул этого исчисления , такую, что б, = 21 и каждая формула б,удовлетворяет хотя бы одному из грех условий: (eg бе/’; (()) б( есть аксиома; (у) г> I и t является заключением некоторого правила, все посылки которого содержатся среди форм)л б1э б_,27. (Аксиомы здесь не включаются в число правил.) Число / называется длиной вывода. Формула называется выводимой из если существует ее вывод из /’. Теорема и доказуемость определяются, как обычно.
Иногда в литературе встречаются «гибридные» исчисления с большим числом аксиом и условными правилами (пример см. в задаче 20 в конце гл. 6). Для таких исчислений выводимость приходится определять индуктивно.
Разными авторами предложено много различных исчислений гильбертовского типа с разными наборами аксиом; но в отношении правил разнообразие значительно меньше. Едва ли не все исчисления этого типа, предназначенные для логики предложений, содержат либо одно правило — удаление импликации, либо два — удаление импликации и подстановке. Первое из этих правил в традицион ной (не математической) логике обозначается латинским термином modus poncns, т. е. «положительный способ» (умозаключения)2К; так же обычно называют его и в логических исчислениях гильбертовского типа (термин «удаление импликации» используется только в контексте системы правил введения и удаления). Правило подстановки состоит в том, что формула, полученная из некоторой теоремы заменой всех переменных произвольными формулами, также считается теоремой (например, вместе с формулой М~>Х, считается теоремой формула (Х1&А'2) V7(Xi&X2). Это правило используется в тех исчислениях, в которых аксиомы задаются простым перечислением, как конкретные формулы (например, Xh&A'2DA'l, Х,\пХ, и т. п.). В исчислениях, в которых аксиомы задаются в виде схем (например; «Всякая формула вида 21&ЯО21 есть аксиома»). правило подстановки но нужно.
Подчеркнем еще раз. чн’ 1схннче1кая простота .iocihi.tcicm здесь за счс| осте Г|!1Тнпч*1и В реальных m.i тематических рассуждениях логические аксиомы (кроме • «1кона исключенного третьего) не используются, зато нтктоянпо встрсчаю1ся нроме-^У1 очные типотезы, т. е. нрнменяклся условные логические правила Кроме того, дерево дао! гораздо более естественную модель пруктуры логического вывода, чем ”ине й на я н осл едовате л ы юс  ь 2К ..
*> нро1мионоложнос1Ь «птрнцательному спосооу» (modus tolleiis), т.е. выводу из пРеДложений АЛИ и 7/>’ предложения 7.4
186
ГЛАВА 5
2.	Рассмотрим теперь исчисление //0, предложенное П.С. Новиковым [Новиков 1959 J29. Оно определяется так:
Алфавит Но состоит из тех же символов, что и алфавит Go, кроме Л.
Правила образования формул в Но тс же, что в Go, кроме правила (б).
Единственное правило вывода в Но есть modus pone ns (сокращенно MP): 21, 21D® I-«Б.
Аксиомами Но являются всевозможные формулы следующих видов:
I
1.213(55321);
2. (2lD(55DG))D((2O5B)D(2OG));
11
[. 21&5Б321;
2.
3. (213>В)3((2[Эб)Э(213;Б&С));
HI
1.	2lD2lv>5;
2.	$D2lv$;
3.	(2OG)D((5BDG)3(21v»E>dG));
IV
1.(21355)3(7553721);
2. 21D7721;
3. 7721321.
Приведем два примера выводов в Но. Мы будем записывать выводы «столбиком», нумеруя входящие в них формулы и при каждой из них указывая (в скобках), на каком основании она включена в вывод.
(1)	Покажем, что |— 2lZ)2l.
29 Строго говоря. Но в нашем изложении не полностью совпадает с исчислением П.С Новикова: там используются конкретные аксиомы и правило подстановки, а у нас — схемы аксиом
СШ11ЛКСИС ЛОГИКИ I Н’ЕДЛОЖП 1ИЙ
187
1.2(D((2l2)2l)D2l) (аксиома по схеме II)w
2.	(2O((2l=>2lD2l))D((2lD(2lD2l))D(2lD21)) (аксиома по схеме 12)
3.	(2lD(2(D2l))D(2lD2l) (по МР из 1 и 2)
4.	(20(21321) (аксиома по схеме 11)
5.	21D21 (по МР из 4 и 3)
(2)	Покажем, что 21&*Ь |- fb&2l.
1.	21&£5Э$5 (аксиома по схеме 112)
2.	(21&$ЭЯ5)Э((9(&$Э31)Э(91&$Э$&9()) (аксиома по схеме И 3)
3.	(2(&«Э21)Э(2(&®ЭМ21) (по МР из 1 и 2)
4.	21&25D21 (аксиома по схеме III)
5.	21&SBD5B&21 (по МР из 4 и 3)
6.	21&S5 (исходная формула)
7.	53&21 (по МР из 6 и 5)
Задача. Доказать, что в /7(;:
(а)	21V$ (-$V2(:
(б)	|- ((ШЭ$)Э(2(Э^)Э((ЯЭ$)Э(91Э$&С‘)).
Доказательства выводимости путем непосредственного построения выводов часто оказываются очень громоздкими. Поэтому обычно пользуются производными правилами, выводимыми41 из правила МР и аксиом. В частности, следующая теорема дает возможность пользоваться в /70 правилом введения импликации:
Теорема о дедукции. Если Г, 211- sB, то Г i- 212Ж
Доказательство. Выводимость 35 из Г, 21 означает, что существует вывод *5 из 21, представляющий собой последовательность формул
..., Gs = «В. Докажем возвратной индукцией no $, что при этом условии Г |- 21DQ3.
Базис. Пусть s= I, т. е. данный вывод состоит из одной формулы Ц ~ ф. Эта формула должна либо быть аксиомой, либо принадлежать Г, либо совпадать с 21. В первых двух случаях вывод 21355 из Г
<0 Сама по себе запись 21э((21 Z)21)d21) — это, конечно, не аксиома, а схема аксиом, да и последовательность формул, которую мы выписываем — не вывод, а «схема выводов». Ио если понимать под ^произвольную конкретную формулу, мы имеем право говорить «аксиома 21d((21d21)d21)» и т. п (как говорят, скажем, «ЧИСЛО X + V»).
31 г,
Разумеется, в неформальном смысле. Слова «вывод», «выводимым», «выводимое и,» так же омонимичны, как слово «теорема» (см. выше, § 5.1, пункт 4).
188
ГЛАВА 5
имеет вид $. $D(21d$) (аксиома по схеме II), 20$. В третьем случае 2(э$ совпадает с 21D21, а эта формула, как мы только что показали, выводима из пустого множества и тем более из ГЛ2
Индукционный шаг. Пусть 5 > 1 и для любой формулы $', выводимой из Т, 21 с помощью вывода длины < s, формула 21э$' выводима из Г. Рассмотрим произвольную формулу $, выводимую из 21 с помощью вывода длины пусть б,,..., 6, = 23 — этот вывод. Формула $ должна либо быть аксиомой, либо принадлежать Г, либо совпадать с 21, либо получаться по МР из некоторых формул 6 и бу, где z, / < s. В первых трех случаях можно рассуждать так же, как в базисе. В четвертом случае одна из формул 6,, б, — импликация с заключением £5, а другая — посылка этой импликации. Пусть для определенности 6, = 6,Э$. Последовательности 6V ..., б, и 6,, ..., 6 являются, очевидно, выводами своих последних формул из Г, 21; поэтому по предположению индукции из Г выводимы формулы 20 б( и 21эб, = 20(6,3$). Это дает возможность построить вывод формулы 20$ из Г следующим образом: записываем вывод формулы 206, и вслед за ним вывод формулы 20(6,3$), далее пишем аксиому (2О(6р$))Э((2О6,)Э(2О$)) (по схеме 12), потом получаемую из этой аксиомы и формулы 2О(6,Э$) формулу (2Об,)Э(2О$) и, наконец, получаемую из предыдущей формулы и 206, формулу 20$.
В качестве следствия из теоремы о дедукции легко получить еще одно производное правило: закон транзитивности импликации (сокращенно ТИ): 20$, $Эб |— 206.
Доказательство. Ввиду теоремы о дедукции достаточно показать, что 20$, $Эб, 211- 6. Но 21, 20$ i- $, а $, $Эб |- б.
Очень полезно также правило устранения теоремы (сокращенно УТ): Если Г, 21 |- $ и |— 21, то Г н $.
Доказательство. Заменив в выводе формулы $ из 21 первое вхождение 21 доказательством* 1’ 21, получим, очевидно, вывод $ из Г. (Впрочем,правило УТ — частный случай правила транзитивности.)
Рассмотрим теперь несколько примеров доказательств выводимости с использованием производных правил.
(3)	|- (7$D72t)D(2lD$).
32 Из определения выво.-щ в исчислении тильбсрговското типа непосредственно ясно, чго в любом таком исчислении справедливо «правило расширения» (ср. задачу на с. 166) если Г |— 21и ГСЛ, к, А |- 21 (а также правила тривиальной выводимости И 1р<1НЗИ1ИВ1ШС1И)
1 ’ М ы видим здесь, что олово «доказат ельегво» i а к же омонимично, ка к «теорема» и «вывод»
1Л111ЛКСИС ЛОГИКИ 11РГД1ЛОЖЕНИЙ
189
Доказательство. Имеем i-(7sBD721)D(7721D77sB) (аксиома по схеме IV1): поэтому, если мы докажем, что н (7721Э77^)Э(21э^), т0 воспользовавшись правилом ТИ, получим нужную теорему.
21D772I, 773lD7^S5. 7725D25 |-21D23 (два раза ТИ), откуда 772ID77SB I- 21D25 (два раз УТ) и по теореме о дедукции (-77207-^5)Э(21Э*В).
(4)	73lD(3lD«B).
Доказательство. Нужная теорема получается по ТИ из 720(725^721) (это аксиома по схеме II) и (3).
С помощью примера (4) можно вывести еще одно производное правило: если Г, 21 । -25 и Г, 21 |- ?25, то Г |— ?21. В самом деле, пусть Г. 211- 55 и Г, 21 |- 725, и пусть 6 — произвольная (формальная) теорема. Так как по (4) |—720(253/6), имеем Г, 211—7(5, откуда по теореме о дедукции Г|-21э?б, и далее Г	(ввиду IV1 и
МР). Поэтому Л 7/6 |- 721, а отсюда, поскольку (ввиду 1V2) ~	—
теорема, по правилу УТ получаем Г |- 721.
Из только что доказанного правила легко получить еще одно: если Г, 21 н 23 и Г, -?2I н 25, то Г |- 25- Действительно, из Г, 2! |- 23 следует Г, ?sB I- 721 (ввиду теоремы о дедукции, IV1 и МР) и точно так же из т21 i- 25 следует т® i_ 77Ш. Но из Г, ’’25	721 и
Т,7$51-7731 по предыдущему правилу вытекает Г |— тт25, откуда ввиду' IV3 Г |- 25.
(5)	21V 721.
Доказательство. По 111 1,2 имеем i- 2021 v 721 и ?2Id2Iv721 и потому 21 -2lV?2I и ?2I |- 21V?21. Отсюда по только что выведенном}, правилу |- 21V 721.
Задача. Пользуясь производными правилами, доказать, что в//п:
(а)	21 v«B. ?21 |-«В;
(б)	721&74Б i-7(2lv^);
(в)	7(21 V25) I- 72!&7«В;
(Г) 721 v?>23 1- 7(21&«В);
(д) 7(21&«В) I- 721V7SB.
Мы могли бы теперь доказать для исчисления Н() теоремы о заме-дедуктивно эквивалентных формул, о семантической пригодно-Сти и о полноте аналогично тому, как это было сделано для Со; Доказатсльства потребовали бы сравнительно небольших измене-ний (например, вместо правил введения и удаления конъюнкции и
190
ГЛАВА5
дизъюнкции пришлось бы пользоваться аксиомами групп II и III в сочетании с МР и теоремой о дедукции) и кое-где упростились бы. Но вместо этого мы покажем, что исчисления Go и Но равносильны в следующем смысле; если в G() рассматривать только формулы, не содержащие константы //, то понятия выводимости и теоремы для ограниченного таким образом исчисления будут совпадать по объему с соответствующими понятиями для Но. Отсюда будут немедленно следовать и теоремы о замене, о семантической пригодности и о полноте для //п.
Перейдем к точным формулировкам и доказательству. Рассмотрим прежде всего исчисление, получающееся из Go следующим образом: из алфавита изымается символ Л, из системы правил образования формул — правило (б) и из системы правил вывода — УО, ВО и ДС и взамен вводятся два новых правила: если Г,21|- Q) и Г, 211— 7$S, то Г |— 7 21 (ВО'); 21, 721 i— (ДС’). Обозначим это исчисление Go. Покажем, что если /"—конечное множество формул исчисления Go и 21 — формула G,„ то /’ i- 21 тогда и только тогда, когда Г |— 21 (и,
в частности, формула исчисления G(I является в Go теоремой тогда и только тогда, когда она — теорема в Go). В самом деле: (а) Произвольное дерево вывода в Go легко переделать в дерево вывода в С(), заменяя каждое применение ВО' последовательным применением УО и ВО, а каждое применение ДС' — последовательным применением УО и ДС. (б) Пусть б — дерево вывода в Go, у которого корень и зеленые листья нс содержат символа Л. Если и остальные формулы, входящие в б, не содержат Л, то б уже является деревом вывода в Go. В противном случае заменим все вхождения Л в формулы, фигурирующие в б, вхождениями конъюнкции Xl&~rXi. При этом все применения правила УО превратятся в применения ДС, а элементарные поддеревья, отвечающие применениям правил ВО и ДС, превратятся в «неправильные» элементарные поддеревья, которые можно устранить следующим образом. Возьмем самое верхнее «неправильное» элементарное поддерево, т.е. такое, выше которого нет других «неправильных» поддеревьев (если таких несколько, берем любое из них). Пусть это поддерево есть к; обозначим через 7. то поддерево дерева б, которое служит деревом вывода корня дерева г (т. е. то «полное» поддерево б, которое «растет» из кория в). Дерево в имеет вид —-g—, где С — некоторая формула, а /. есть где }х — некоторое дерево вывода в Go с корнем Х{&1Х}. Заменим в дереве б поддерево 7. поддеревом
сИ|ГГАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ	191
Ж УК Ж УК
= — (? 1
Ясно, что /? есть дерево вывода в G(), причем на самом нижнем щагс в } ' применяется ВО', если г отвечало применению ВО, и ДС', если г отвечало применению ДС. Дерево, полученное из б заменой /. на будет содержать одним «неправильным» элементарным поддеревом меньше; множество зеленых листьев при этом не меняется. Устранив таким образом все «неправильности», мы получим дерево вывода в Go с тем же корнем и тем же множеством зеленых листьев, что и <Y
Докажем теперь, что формула в алфавите исчисления Но тогда и только тогда выводима в Я(, из множества формул в том же алфавите, когда это имеет место в Со.
(а)	Покажем, что если Г |— 21, то/' |— 21. Достаточно убедиться, что «о
всякая теорема /70 является теоремой и в Go; действительно, тогда при непустом Г — {55т ФД из S3, ...,	|— 31 получим, применяя к
 "о
раз теорему о дедукции, i-sB1D(sb2D ... D(Q\D3l) ...), откуда
I-	^]D(^2D ... D0B D21) ...) и далее по У И	..., 23 |— 2L А поскольку
Г'о	‘	' Со
единственное правило исчисления Яо действует и в G(1, остается проверить, что все аксиомы Hti доказуемы в Со — или в G(l, так как аксиомы Яо не содержат вхождений Л. Для схемы 11 мы это фактически уже сделали (пример (8) из § 5.3). Для схем 111,2, III 1,2 и IV1,2,3 достаточно воспользоваться соответственно правилами УК и ВД и примерами (32), (6) и (23) из § 5.3 в сочетании с леммой 1 из того же параграфа. Для схемы 1II.3 рассуждаем так: поскольку 21эб, ^1-Си гВЭб, 33 |- (S, по правилу УД имеем 206,	51V23 I- б,
а отсюда, применив три раза ВИ, получаем । (5lD6) D ((гВЭб) Э ^(21 V£5D(S)). Сходным образом можно рассуждав, для 12 и ИЗ; читатель сделает это сам.
(б)	Чтобы показать, что Г |— 21 влечет Г |— 21, достаточно устано-
вить, что в действуют все правила исчисления Go. Мы уже заметили (см. сноску к доказательству теоремы о дедукции), что в любом Исчислении гильбертовского типа справедливы правила тривиально» выводимости и транзитивности. Что касается логических пра-кил, то: УК и ВД непосредственно следуют из схем II1,2 и III 1,2 сочетании с МР); У И есть МР; справедливость ВИ обеспечивается
182
ГЛАВА 5
мер (8) из предыдущего параграфа. В подслучае (в) 25г = S3,	— 7 б,
ЧЦ(г) = Л, 2Г = ?21. Но по УИ 25Эб |- G, откуда по лемме 2 из предыдущего параграфа i- 7(25Э^). Поэтому из Х\, ..., Хгп выводима формула 7(25Эб") — /21 = 2lr.
Наконец, в случае (4). если £5(г) = И. то 25г =	21(г) = Л,
W = 721, и из X,,Хгп выводима формула из которой по правилу постановки двойного отрицания выводится 7725 = ?21 = 2Е. Если же 25(г) = Л, то 25r = ?25, 21(г) — И, 2Е = 21, и Х[, ..., Хгп |- 7«В = 21 = 2Г.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть 21 — произвольная тождественно истинная формула, фиксируем раз навсегда подходящее число п. Тогда для любого «-мерного булева вектора г будет 2Г = 21, и по только что доказанной лемме X', •••, X'|—21. Сопоставим теперь произвольному «-мерному булеву вектору г конечную последовательность множеств формул Г[, ..., Г‘„, Г'^ следующим образом: если 1 < i < п, то Г' = {X', Х'+|, ..., X'}; Г '+1 = 0. Покажем теперь индукцией по г, что для любого i = 1,..., п + 1 и любого «-мерного булева вектора г имеет место Г' н 21. Сделав это24, мы убедимся, в частности, что Г r„+l I- 21, т. е. 21, и доказательство теоремы о полноте будет завершено. Базис индукции у нас уже готов; остается провести индукционный шаг.
Итак, пусть для некоторого /=!,...,« справедливо следующее утверждение: для любого «-мерного булева вектора г имеет место Г' |- 21 или, что то же самое, Гг1+1, X' |- 21. Фиксировав произвольный вектор г, изменим его /-ю координату; обозначим полученный таким образом вектор через г'. Тогда наряду с выводимостью Г r+l, X' |- 21 будет иметь место Т'+), X' |— 21. Но так как всякая формула Хг зависит только от ;-и координаты вектора г', а у г и г' все координаты, кроме д-й, совпадают, имеем ХД, = Х'+1, ..., Х'п = ХД т. е. Г'+1 ~ Г'+1 (так при i < «; равенство Г'+1 = Г'+| выполняется тривиальным образом). Таким образом, Г'^, X't |-21. А поскольку одна из формул X', X' есть Ха а другая ?Х„ имеем Г'+1, X. |-21, Гг1+1, tXj-W, откуда по лемме 3 из предыдущего параграфа /’[ , 1—21. Этим заканчивается индукционный шаг и вместе с ним доказательство теоремы.
24 Об индукции по конечному oiрезку натурального ряда см. в Приложении III (шмечание 2 на с. 461)
сИ1]ТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
193
Заметим еще, что для описания конструктивной логики исчисления в <<||енодных» алфавитах непригодны, так как в ней не выполняются классические соотношения между пропозициональными связками
4. Кроме исчислений гильбертовского типа и исчислений естественного вывода существует еще одна широко употребительная разновидность логических исчислений — так называемые секвенциаль-Hbie исчисления. Они относятся к генценовскому типу и были введены в той же работе Г. Гснцена [Генцен 1967 |35, в которой впервые появились исчисления естественного вывода. Аналогично последним, в них используется представление вывода в виде дерева, но здесь при движении вниз ио дереву переходят не от формулы к формуле, а от выводимости к выводимости, причем листьями дерева служат тривиальные выводимости вида 241—2k а корнем —та выводимость, которую нужно доказать. Таким образом, в этих исчислениях происходит «вывод выводи мостсй». Все правила в них должны быть условными; например, правила введения и удаления конъюнкции заменяются такими правилами: «Если Г |— 21 и Г i— SB, ю Г |— 21&SB», «Если 211- А, то Г, 21&SS |— А»; «Если Г, SB |— А, то Г, 21&SB I— А». С помощью этих правил можно следующим образом доказать выводимость 21&SB н 25&21:
SB 1-8	21 j— 24
2I&SB |- SB	21&SB i- 21
21&SB i- SB&21
При таком способе вывода оказывается удобно обобщить понятие выводимости, рассматривая случаи, когда из данного множеств:! формул выводима хотя бы одна из двух формул 2Ц, 212 или хотя бы одна из трех формул 21,, 212, 2(3 и г. д.— иначе говоря, когда из истинности всех формул, входящих в некоторое конечное множество, следует истинность хотя бы одной из формул, входящих R Другое конечное множество (и этот факт устанавливается путем Формального вывода). Разумеется, выводимость хотя бы одной из нескольких формул содержательно означает то же, что выводимость их дизъюнкции — но точно так же выводимость и з нескольких формул содержательно равносильна выводимости из их конъюнкции. Возникает, таким образом, своеобразная симметрия левой и пРавой частей выводимости. Однако за термином ^выводимость» желательно все же сохранить его прежнее значение: поэтому мы будем, Следуя Г. Генцсну, называть «обобщенную выводимость» секвен-
п
|(	*» нашем списке литературы указан год онуоликовапия русского перевода. В
1'д ,|инш|ке на работа впервые была опуб.|иковапа в 1934— 1935 г г
194
ГЛАВА $
ццей* и для ее обозначения пользоваться не знаком а новым символом -» . Точнее, мы будем называть секвенцией выражение вида 91,,	9l^-»S&1, ЯЗ/, где 91,, ..., 91л, 5^,	£5, —формулы и к,
I ~ О, IЧасть секвенции слева от стрелки называется ее антецедентом, справа — сукцедентом*7. Поскольку мы допускаем случаи к = 0 и I = 0, антецедент и сукцсдснт могут быть и пустыми. Содержательно пустота антецедента означает, что сукцсдснт истинен, пустота сукцсдинта — что антецедент ложен; секвенция, у которой обе части пусты, противоречива36 37 38. Подчеркнем, что антецедент и сукце-дент секвенции — последовательности, а нс множества формул; принципиального значения это не имеет (ср. сноску на с. 156), но форма секвенции такова, что было бы неестественно считать се состоящей из множеств.
Теперь мы можем описать секвенциальный вариант исчисления предложений, который мы будем обозначать 50. Алфавит и правила образования формул будут в 5пте же, что в Hv. Правила вывода будут иметь вид фигур заключения', каждая такая фигура состоит из горизонтальной черты, снизу от которой записана некоторая секвенция (нижняя секвенция данной фигуры), а сверху — одна или две секвенции (верхние секвенции фигуры). Точнее, правила будут представлять собой схемы фигур заключения, содержащие схемы секвенции', в этих схемах прописные готические буквы будут обозначать, как и прежде, формулы, а прописные греческие — последовательности формул (а не множества, как раньше). Собственно фигура заключения есть выражение, полученное из схемы фигур заключения заменой схем секвенций конкретными секвенциями.
Далее следует перечень схем фигур заключения.
Структурные фигуры заключения:
1) Разбавление^
в антецеденте’.
О
£>, г * е
2) Ризбавлен uew в сукцеденте:
Г- (-)
36 Or лат sequens — «следующий».
37 От лат. antecedens — «предшествующий» и succedeiis — «идущий вслед».
’8 Если сукцсдснт состоит из формул 23|, . , 23/, это означает, что при условии истинности антецедент имеет место хотя бы один из случаев, описываемых этимй формулами Если же сукцсдснт пуст, это зкачи), что при истинности антецедент? «никакой случай невозможен» А если при этом пуст и антецедент, это значит, чП «никакой случай невозможен» даже без всяких условий.
34 По-немецки Verdumiung, чю может означать также «утончение». В литератур* на русском языке сиу фигуру до сих нор так и называли «утончением», хотя это конечно, ошибка антецедеи г или сукцедент здесь именно разбавляется, а не делаете» тоньше.
ГИ1>ТАКСИС ЛОГИКИ I [РЕДЛОЖ ЕНИЙ	195
3) Сокращение	4) Сокращение
в антецеденте-.	в сукцеденте:
Э, О, (-J	Г- Н. ©, ©
э, г -» н	Г^> Н, ©
5) Перестановка	6) Перест ановка
в ан т ецеден те:	в сукцеденте:
л, £>, е, /• н	н, г>, е, л
л, ч, s>, г а	г е, е, а, л
7) Сечение (вывод по транзитивности):
©	©, А->Л
Г, А-* В, Л
Логические фигуры заключения:
I) Введение конъюнкции	2) Введение конъюнкции
в антецедент:	в сукцедент:
31, Г -* А	Ф, Г -* А	Г -* А, 31 Г -* А, ф
Я&®,	21&SB, г^>д	/»л. а&®
3) Введение дизъюнкции в антецедент:	4) Введение дизъюнкции в сукцедент:
а, г -» л ®, г -» л	г д, а г -♦ д, ®
3iv«s, г -* а	Г A, 3lv«b Г -> Д, 3lv«B
5) Введение импликации в антецедент:	6) Введение импликации в сукцедент:
/'-> А, 51 Я, У -* А	31, Г А, «В
аэ®, г, е -»д, л	г д, аз®
7) Введение отрицания в антецедент:	8) Введение отрицания в сукцедент:
Г А, 51	51, А
?а, г -* д	г^> д, ?а
Иногда мы будем сокращенно обозначать фигуры заключения аналогично тому, как обозначились правила Go, например РА, ПС, В^А, вдс.
Легко заметить, что правилам введения логических символов исчисления С() отвечают здесь фигуры введения в сукцедент, а правилам удаления — фигуры введения в антецедент (последнее особенно °Чевидно в случае, когда сукцедснты верхних и нижних секвенций с°Дерхат не более чем по одной формуле).
196
ГЛАВА 5
Определим теперь дерево вывода в исчислении S(l. Одновременно будут определяться корень, листья и высота дерева. Определение будет состоять из трех пунктов:
1)	Всякая секвенция есть дерево вывода, корнем и единственным листом которого служит она сама. Высота такого дерева равна нулю.
2)	Выражение, «получаемое из фигуры заключения г заменой ее верхних секвенций деревьями вывода, корнями которых служат эти секвенции, есть дерево вывода; корнем этого дерева служит нижняя секвенция дерева г, а листьями — все листья деревьев, которыми заменены верхние секвенции. Высота такого дерева на единицу больше наибольшей из высот деревьев, из которых оно получено.
3)	Всякое дерево вывода является таковым в силу пункта 1 или 2.
Мы будем теперь называть секвенцию выводимой, если она либо имеет вид 21 -> 21, либо является корнем некоторого дерева вывода, все листья которого — секвенции вида 21 -* 21.
Приведем несколько примеров выводов секвенций.
1)	Вывод закона коммутативности дизъюнкции:
рис	RnC
51 J. gvSI ВДС -у.-У'У'Л ВДС SIVSB-SSvSl
В ДА
2)	Вывод закона исключенного третьего:
-ЛЦ^гвос
___РпС
-* 21, 21V721
^217^1, 21
21V721, 21V721 Jj
-> 21V 721
3)	Вывод правила снятия двойного отрицания:
21	21
21, ?21
ВОС
7721 - 21
ВОА
4)	Вывод секвенции ?2lV7®	?(21&®):
руд ВОА ПА 	ROC 721	7(21&%)
?21,21&^
21&23, ?21
Р,КА "Ж »g ,К/.
7g -______________ВДА 751V 7g 7(SI&g)	"
с ин глксис лотки предложении
sg, SI
SB SI&55, ?51
-»a&g, ?51, ?sB
7(Sl&g) -» 751, 7Sg
7(5I&8) -* 751, 7SIV7SB
7(5I&8) 75IV7SB, 751
7(51&ЭД -* 75IV7SB, /51У'-В
7(SI&SB) 7SIV7SS
6) Вывод секвенции 51, SI355, 5'3<S
5)	Вывод секвенции 7(ЭД&>&) -* 7$V7$5:
31-«-РА _____1-. ПС
51, sg^SI к'
„.jks^Siasg BQC
вое
ВОА
ВДС
ПС
ВДС
- сс
S' — РА
S' - 7—вкс
SI-» SI SB^SB SIDS», SI — sy SI, SlDSg -* SB
ВИА ПА
si, sosa, sbdg
sb -» sb e - e 5'3 e, sb -» e a, SBPC -* c c
ВИА ПА сечение
Замечание. Выводы примеров 1,4 и 6, принадлежащие конструктивной логике, отличаются от неконструктивных выводов примеров 2, 3 и 5 тем. что в них сукцеденты всех секвенций содержат нс более чем по одной формуле. Далее мы увидим, что это не случайно.
Просматривая фигуры заключения исчисления 5С, можно заметить, что все они, кроме сечения, обладают следующим свойством: каждая формула, входящая в верхнюю секвенцию, либо входит также и в нижнюю, либо является непосредственной составляющей (подформулой глубины 1) некоторой формулы, входящей в нижнюю секвенцию. Поэтому если дерево вывода нс содержит сечений, то все участвующие в выводе формулы являются подформулами формул, входящих в заключительную секвенцию — т. е. в ту секвенцию, которая служит корнем дерева (свойство подформульности). Оказывается, однако, что для любой секвенции, выводимой в St), существует дерево вывода, не содержащее сечений, и такое дерево можно эффективно построить по произвольному дереву вывода данной секвенции. Это так называемая основная теорема Генцена411 (доказывать се мы нс будем). Таким образом, для всякой выводимой) секвен- 40 * * *
40 Точнее, основной теоремой Генцена называется соо1ве1сгвующее утверж-
дение для узкого исчисления предикатов и секвенциальной форме (см. ниже, § 6.4)
-Ыя которого только чти сформулированная теорема фактически является частным
случаем.
। ад
ГЛАВА 5
ции найдется дерево вывода, обладающее свойством подформуль-ности. Содержательно это означает, что для всякого доказуемого математического утверждения можно найти «прямое» доказательство — «прямое» в том смысле, что все участвующие в нем промежуточные утверждения являются «частями» доказываемого. Практически такое «прямое» доказательство далеко не всегда проще «косвенного», т. к., с одной стороны, оно может быть длиннее, с другой — что случается особенно часто,— большой кусок «косвенного» доказательства может уже находиться в нашем распоряжении (например, когда нужное утверждение — частный случай или простое следствие известной или ранее доказанной нами теоремы) и тогда удобнее воспользоваться этим доказательством, даже если все целиком оно длиннее «прямого». Однако теоретическое значение основной теоремы очень велико. В частности, она позволила Генцену доказать непротиворечивость арифметики41. Широко используется эта теорема в современных исследованиях по теории логического вывода и по сто автоматизации (см. в настоящем параграфе пункт 5). Ее доказательство можно найти в статье [Генцен 1967 ], в книге [Клини 1957 ] и в приложении 1 (написанном редактором перевода Г.Е. Минцем) к книге [Клини 1973 |.
Задачи. 1) Построить деревья вывода для следующих секвенций:
(a)	-»2О(21Э$);
(б)	21D®, 21,
(в)	21Э« -» 7ЖЭ721;
(Г) 721&725 -> 7(91 v®);
(Д) 7(21 V «5) -» 7$&7$В.
2) Вывести секвенцию примера 6 без сечения.
Теперь нам остается показать, что исчисление 5() равносильно ранее построенным исчислениям 6'0и Н1У Достаточно установить, что секвенция /’ -> А тогда и только тогда выводима в 50. когда Г\~ ал. где Г' — множество формул, входящих в и д[л есть формула если А = «В15 ..., 23, (к = 1, 2, ...), а если Л— пустая последовательность, то = Xi&iXl. (Об исчислении (70см. выше,
41 С привлечением средой, лежащих вне ее пределов. Доказан, непротиворечивость арифметики ее cooci не иными средствами невозможно (см. ниже, §8.4, пункт 5)
В генценовском доказательстве непротиворечивости арифметики нспо.'н.зуе1ся основная теорема и общем виде — для исчисления предика юн (см. предыдущую сноску) Эго доказательство изложено в с ииьях Пеицеп (а)| и |Генцен (б)|
СЦ|ЦЛКСИС ЛОГИКИ IП’кДЛОЖЬПИЙ	199
пункт 2 этого параграфа.) В доказательстве мы опустим большую ^технических подробностей, предоставив восстановить их чита-тСдю. Далее вместо |—будем писать просто |—.
а)	Тот факт, что из выводимости секвенции Г -» А следует I ' _ доказывается возвратной индукцией по высоте дерева вывода секвенции. Базис очевиден, т. к. при нулевой высоте секвенция имеет вид 21	21. Индукционный шаг распадается на случаи, завися-
щие от вида нижнеи фигуры заключения. Случаи, отвечающие разбавлению, сокращению и перестановке, очевидны. Если нижняя фигура есть сечение, то при пустом 6 из Г Я) и £), А -» Л вытекает по предположению индукции Г |_© и ©, Д' i- откуда Г, |- <"уЛ по правилу транзитивности исчисления GQ. При непустом О рассуждаем так: из Г -* 0, © разбавлением в антецеденте получается / -* 0, 53; отсюда в силу предположения индукции и уже проведенного индукционного шага для разбавления следует 7<уе, Г' |— но ’Л®, <Vev£> £ (см. пример (14) из § 5.3). Поэтому 7<уе, Г' i— £>, а поскольку по предположению индукции справедливо также 5\ Д' I— ёуЛ, имеем 7<уе, I1, Д’ , - Лл, откуда тД®.	Д' - vtV\ В то же
время очевидно, что <у®, Г. А' | fyeV<y'\ Далее пользуемся правилом удаления дизъюнкции и законом исключенного третьего.
Случаи, отвечающие логическим фигурам заключения, читатель разберет сам. Для всех фигур, кроме ВКА и ВДА, при непустом А следует рассуждать аналогично тому, как было сделано для сечения при непустом 0.
б)	Обратное утверждение доказывается тоже возвратной индукцией — по высоте дерева вывода в С?о. И базис, и индукционный шаг распадаются здесь на случаи в зависимости от вида самого нижнего элементарного дерева — иначе говоря, от того, какое правило применялось на последнем шаге вывода. В каждом из случаев индукционного шага для каждого из деревьев, из которых данное дерево непосредственно «собирается» на последнем шаге вывода, имеется по предположению индукции соответствующее секвенциальное дерево вывода, и к этим секвенциальным деревьям вывода нужно «пристроить» снизу некоторое — для каждого случая стандартное — дерево вывода в 5С. Такое же стандартное секвенциальное дерево строится для соответствующего случая в базисе. Например, для правила это будет дерево
Г" ^21
-* 2lD$	21Э«, Г" •* Я5
---------------г. г, %---------сечение
.......... перестановки и сокращения
Г-«
200
ГЛАВА 5
(здесь Г—последовательность, получаемая из Г, Г" вычеркиванием повторений, если они есть), для правила ВО' (возможного только в индукционном шаге) — дерево
St Z'7' SB
2' «, ,-> ВО А
7ф, ЭД, I '
........... . . сечения, перестановки
/• _>	и сокращения
тт^гвос
Ш,
(где Г имеет тот же смысл, что и в предыдущем дереве); для правила ИТ (возможного только в базисе) соответствующим секвенциальным деревом будет дерево вывода закона исключенного третьего (см. выше пример 2). Построение остальных стандартных деревьев предоставляется читателю.
Замечание. Проведя все опушенные рассуждения, читатель сможет убедиться, что в первой части доказательства закон исключенного третьего применяется лишь тогда, когда сукцедент содержит больше одной формулы, а во второй части единствен нос стандартное дерево, в котором встречаются секвенции более чем с одной формулой в сукцеденте, отвечает закону исключенного третьего. Поэтому конструктивный вариант Go равносилен исчислению 50 с дополнительным условием, что сукцсдснт каждой секвенции содержит не более одной формулы.
5. Вскоре после появления быстродействующих цифровых вычислительных машин — которые, как известно, позволяют автоматизировать не только арифметические вычисления, но и формальные преобразования символических выражений — возникла идея использовать эти машины для автоматического построения выводов в логических исчислениях. Начиная с 50-х годов в этом направлении ведутся непрекрашаюшиеся исследования42. Основная трудность связана здесь с тем. что процесс вывода в логическом исчислении — недетерминированный: после очередного шага его можно, как правило, продолжать по-разному, и поэтому построение формальных выводов требует интуиции и сообразительности точно так же, как любая математическая задача (в чем читатель, без сомнения, уже убедился). Можно, конечно, думатьотом, чтобы перебирать все выводы подряд — сначала, скажем, все деревья высоты 1, потом высоты 2 н т. д.,— и отбирать те из них, которые окажутся доказательствами интересных теорем. Это, в сущности, та самая идея, на которой был основан проект механического сочинения книг «по философии, поэзии, праву, математике и богословию», предложенный одним из
42 С методами атома гического доказательства теорем можно нознакомшьсм по ккип' (Чень — Ли 19831 См также | Ма<.лов 1986], гл. 8
си« 1ТЛКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕН 1ИЙ	201
пофессоров Академии прожектеров в Лагадо в «Путешествиях Гул-ивсра» Свифта: выписывать подряд всевозможные комбинации спов. а среди них окажутся и все нужные книги. Несостоятельность такого подхода обнаружилась очень скоро, и с начала 60-х годов основные усилия в этом направлении сосредоточены на том, чтобы попытаться с помощью машины в какой-то мере имитировать процесс поиска вывода человеком. В частности, ищутся критерии «естественности» вывода и способы построения выводов, удовлетворяющих этим критериям. Примером такого критерия может служить упоминавшееся выше свойство лодформульности; поэтому теорема Генцена находит в работах по «машинному доказательству теорем» широкое применение.
Какое же значение имеют эти исследования для математической логики и для математики в целом? Прежде всего следует сказать, что вряд ли можно рассчитывать на сколько-нибудь широкое практическое использование машин для поиска доказательств, по крайней мере в обозримом будущем. (Другое дело — автоматизация необходимых для доказательства технических выкладок. Примеры такого использования ЭВМ уже имеются: самый известный из них — решение проблемы четырех красок.) А если бы «машинное доказательство» оказалось практически возможным, вряд ли математикам стоило бы этому радоваться. Ведь новые математические идеи и методы чаще всего возникают не только и не столько благодаря новым результатам, сколько благодаря усилиям, приложенным для их получения; и если бы эти усилия стали ненужными и «ручное» (лучше сказать, «головное») доказательство теорем сохранилось бы только в виде развлечения или «гимнастики для ума», то профессия математика исчезла бы, и вслед за ней исчезла бы математическая культура (что нанесло бы непоправимый урон и обшей культуре человечества, ибо математическая культура — ее неотъемлемая часть). Развитие математической науки прекратилось бы, и вскоре не Осталось бы людей, способных понимать сделанное сю прежде. Чадо думать, впрочем, что этого никогда не произойдет. (Для уверенности в этом есть, к роме сложи ости задачи, и другие основания — См- ниже, § 8.4, пункт 4.) А если так, то исследования по «автоматизации вывода» полезны, потому что благодаря им удается глубже понять природу процесса логического вывода — иначе говоря, они Сп°собствуют развитию его теории; более того, они сами ей принадлежат. Кроме того, они могут иметь значение для понимания ПсИхологии математического творчества и других творческих провесов (см. [Маслов 1986 J, гл. 9).
Опрашивается аналогия между автоматизацией логического •^вода и автоматизацией перевода с одного естественного языка на РУгой. Правда, сейчас существуют уже автоматические системы,
202
ГЛЛВД j
способные более или менее удовлетворительно переводить тексты относящиеся к определенной специальной области (например, по электротехнике)4'; однако конкурировать с настоящим хорошим переводчиком, знающим не только оба языка, но и предмет, о котором идет речь, эти системы нс могут и вряд ли смогут когда-нибудь. Что же касается автоматического перевода художественной литературы, да и вообще таких текстов, где важна нс только «информация», но и стиль (а он далеко нс безразличен на самом деле и в научной книге), то такого перевода не видно и в отдаленной перспективе — и это очень хорошо, потому что если бы автоматизация перевода продвинулась до такой степени, что изучение иностранных языков стало бы ненужным (о чем втайне мечтают в наше время многие «работники умственного труда» и r том числе «ученые»). это неизбежно обернулось бы таким упадком культуры, последствия которого трудно предвидеть. Но эта опасность, скорее всего, нам не грозит, а исследования по автоматизации перевода вносят определенный вклад в развитие лингвистической науки, способствуя лучшему пониманию ряда аспектов языка и выработке новых методов (в частности, экспериментальных). И в лингвистике, и в математике, и в других областях умственной деятельности человека автоматизация желательна лишь постольку, поскольку она облегчает громоздкие и однообразные операции; автоматизация творческой работы принесла бы с собой неисчислимые опасности — но она, надо надеяться, неосуществима.
Задачи и упражнения
1)	Изменить правила образования формул исчисления Go так, чтобы: (а) не было скобок вокруг элементарных подформул (т с. переменных л J/), но были наружные скобки вокруг каждой неэлементарнои формулы;
(б)	не было ни скобок вокруг элементарных подформул, ни наружных скобок,
(в)	скобки были расставлены в соответствии с обычным сот лишением о порядке действий |Указание Одновременно с формулой определять ее «главную связку». |
2)	Ипотда в математической логике используется так называемая бесскобочная запись формул43 44, при которой знаки бинарных операций ставятся не между аргументами, а перед ними например, вместо X&(YvZ) цишегся &XVYZ, вместо X&YvZ— V&.VYZ, вместо 7.WIO D?(7.Y&7Z)—3V7AT7&7X7Z При гаком способе записи формула всегда читается однозначно и скобки не нужны Изменить алфавит И правила образования формул исчисления Go применительно к этой записи
43 См | Апресян и др 19X9]
44 Предложенная польским лишком Я Лукасевичем (Jan Jukasicuici, 1878'''
1956)
с^н1ЛКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ	203
3)	Доказать, чю каждое безусловное логическое правило исчисления кроме ИТ. можно замени!ь условным по следующему образцу: "урило ВК rrpno6peiaei вид «Если /'|—21 и /’|—23, то Г 21&23» («у1ожпо замени!ь» означав!, чю при такой замене объем нонягия сводимости остается прежним.)
4)	Убеди г вся, чю правило УД равносильно следующему правилу: £С(,и Г. 211—С и /, 231—С, а также Г i— 2Iv23>io /’, Г |—С.
5)	Показаю, чю если присоедини г ь к алфавиту Gn символ **. соответствующим образом дополнить правила образования формул и добавить правила вывода «Если Г, 211— 23 и /, 23|—21, ю Г |— 21** 23» (введение экв ивалонами) и «21** 23, 211 23», «21** 23, 23( 21» (удаление эквивалениии). го в полученном исчислении
a) 21Э23, 23э21|—21** 23;
б)	21** 23н21э23;
Б) 21** 23|— 23э21,
г) 21** 23|~23«* 21
и все эти выводимости .можно установить без использования закона исключенного грегьего.
6)	Показа!ь, чю в исчислении Go-
а) |- 7(21&721),
б) |-(723Э721) Э ((?23Э21р23);
в)	j—21&23 v 21&723 V721&23 v 721&723;
г)	(21 v 23) & (21 v 723) А (721 v23) & (721V723) |-Л.
7)	Показа 1Ь, чю следующие формулы дедуктивно эквивалентны в Go:
а)	21&7Л и 21,
б)	21 &Л и Л;
в)	21V7/ и 21;
г)	21V77/ и 7J/;
Д) 21 ЭЛ и 721;
е) 77/ Э21 и 21;
Ж) 21Э721 и 721
з) 21i&212&. -&21кэ23 и 2liD(2l2D. Э(21КЭ23) )
&) Показать, что формула в алфавите Gn тогда и юлько юны является теоремой, когда она дедуктивно эквивалентна 7JZ
. а) Показать, что в конструктивном варианте Go из соо г ношения параграфа 5.3 выводим закон исключенного ipcibero
б>в) То же для соотношений (30), (33) параграфа 5 3
'') Показать, что сооиюшение (27) нара!рафа 5.3 равносильно в “сгруктивно.м варианте Go ослаблениему закону исключенного треть-ft!“: I-72IV7721.
204	ГЛАВА 5
10)	Доказать, что в конструктивном варианте Go справедливы следующие выводимое г и.
а)	777211— 721 («правило снятия тройного отрицания»);
б)	77(21v 721) ;
в)	11Л\-Л.
Попытаться дать содержательное истолкование этих фактов
1 I) Показать, что в Go можно заменить закон исключенного грегьег» и правило Дунса Скота правилом снятия двойного отрицания (т е, что если изъять из Go правила ИТ и ДС и добавить правило снятия двойного отрицания, то в гаком исчислении можно вывести не только ИТ (с. 174), но и ДС). [Замечание. Можно доказать (подобрав подходящую модель), что ДС нельзя вывести из остальных аксиом Go. Таким образом, правило снятия двойного отрицания в некотором смысле сильнее закона исклю-ценного третьего.]
12)	Доказать теорему Гливенко45- Если формула 21 является теоремой в Go, то формула 7721—теорема в конструктивном варианте Go. [Указание. Доказать, что если/'— множество, полученное из /'заменой каждой входящей в него формулы ее двойным отрицанием, то из Г |— 21 следует, что Г\— 7721 в конеIрук 1ИВНОМ варианте Go.]
13)	Показать, что в Gn можно замени!ь правило введения отрицания и закон исключенного третьего одним правилом. «Если Г, ~!01\—Л, то /’I— 21» («правило доказательства от противного»).
14)	а) Доказать, что всякая тождественно истинная формула в алфавите Go, не содержащая знаков & и V, является теоремой в исчислении, полученном из Go изъятием знаков конъюнкции и дизъюнкции и отвечающих им правил (с соответствующим изменением правил образования формул).
б) Аналогичная задача для формул, не содержащих знака D.
15)	Не пользуясь теоремой о полноте, показа!ь. что любые две равносильные формулы в алфавите исчисления Go дедуктивно эквивалентны в Go. (Указание. Воспользовался результаюм -задачи 30а в конце гл. 3 и выводимостями из § 5 3.]
16)	Пользуясь выводимостями из § 5.3, показать, что формула в с. д н ф. от переменных Xt. .. Хп, содержащая все полные элемешарпые конъюнкции от этих переменных, является щоремои в Go-
Замечание. Результагы задач 15 и 16 вместе с замечанием в конце пункта 1 § 3.3 дают еще одно доказательство теоремы о полноте Go.
17)	Сопоставим каждому логическому символу 5 исчисления 1
Со функцию <ps, отображающую множество {0, ~, I] в себя, еле4 дующим образом- (cc)<p<s(X, Y) = min(X, У); ф) <pv(X, У) = тах(Х, У);
45 Валерий Иванович Гливснко (1897—1940) — советский математик, был про* фессором Московского педагогического института им. К Либкнехта
С0|{ТАКСИС ЛОГИКИ 11РЕДЛОЖЕ11ИЙ
вим функцию <рщ, полученную соответствующей суперпозицией функций, отвечающих входящим в 01 логическим символам. (Напри-мер, если 21= 7(ЛрХ2&А,), то ^(Х,. X,, А',) = v>7(v7(X,.	*,)))•
если 21= XVJI. то 4>„(X|)=<pv(X|. О).
я) Доказать (возвратной индукцией по высоте дерева вывода), чго если Г1-21 в конструК1Ивпом варианте Go, го при Г^0 для любого набора значений переменных, входящих в 21 и в формулы из Г, в Г найдется такая формула 23, что значение для этого набора нс превосходит значения а если Г нус го, го <ра тождественно равна единице
б)	Пользуясь результатом пункта а), показать, что закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания в конструктивном варианте Со нс выполняются.
в)	Аналогично предыдущему пункту показать, что в конструктивном варианте Go пс имеют места выводимости (29). (30) и (33) из § 5.3.
18)	Показать, что следующие формулы дедуктивно эквивалентны в исчислении Но:
а)	21э23и 721v23;
б)	21э23и 7(21 &723),
в)	2Iv23n 721 D23;
г)	21&23и 7(213 723);
Я) 21&23DC и 21D(23d(E);
е) 21э(23э(Г) и 233(21 эС).
19)	Показать, что исчисления Но и Но равносильны в каждом из следующих двух смыслов:
а)	Формула в алфавите Но выводима в Но из множества формул в тогда и только тогда, когда она выводима из него в Но.
б)	Формула в алфавите Но выводима в Но из множества формул в 0 Югда и только тогда, когда она выводима из него в исчислении, "обученном из Но соответствующим расширением алфавита и правил
206	I ЛАВА 5
образования формул и добавлением четырех новых схем аксиом: 2Iv23d(72Id23), (721 d23)D 21 v 23,21 &23э 7(21 D 723), 7(21э723)Э21&23
20)	а) Показать, что исчисление, полученное из Мт заменой схем аксиом 2 и 3 одной схемой (?23Э721)Э((723Э21)Э23), равносильно //о.
б) То же для исчисления, полученного из Н» заменой схем 2 и 3 схемой 7?2lD2I
2i)	Показать, чю в исчислении So (и даже в его конс1рук1ивпом варианте) из секвенции ~»21&721 выводима пустая секвенция и обратно
22)	Пользуясь основной теоремой Гснцена. доказать чю
а)	в Л'о певыводима пустая секвенция (ввиду результата предыдущей задачи это означает, что So непротиворечиво);
б)	если в конеi рукгивпом варианте So выводима секвенция вида -» 21v23, то в нем выводима хотя бы одна из секвенций 21 и 23 (теорема Генцена о дизъюнкции показывающая, что в конструктивном исчислении предложений дизъюнкция ведет себя в соответствии с ее содержательным конструктивным пониманием).
23) Пользуясь теоремой Гснцена о дизъюнкции (см предыдущую задачу), доказать невыводимоегъ в конструктивном варианте S'o закона исключенного третьего (без использования интерпретаций — в отличие от задачи 17)
СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
§6.1.
ИСЧИСЛЕНИЕ С,
1. Для изучения синтаксиса логики предикатов мы будем пользоваться тем же аппаратом, с помощью которого в предыдущей главе изучался синтаксис логики предложений — логическими исчислениями. Основное изложение будем вести на базе построенного Г. Гснценом исчисления естественного вывода, которое будет обозначаться Это исчисление предназначено для формализации логики предикатов в расширенном варианте, описанном в § 4.3 — с функциональными символами и символами констант.
2.1. Алфавит исчисления G, есть объединение следующих шести попарно неперссекаюшихся множеств:
{/•'* | п, к = 1,2,...} (множество предикатных символов);
{/* | и. к = 1,2,...} (множество функциональных символов);
{х,,л'2,...} (множество (предметных) переменных);
{йр л2,...} (множество символов предметных констант);
{&, V, D, 7, V, Э, J/} (множествологических символов);
{(,), ,} (множество синтаксических символов) -
Пояснения, а) Верхние индексы при предикатных и функциональных символах означают их вместимости. Поэтому символы с верхним индексом к мы будем называть к-местными.
б) Переменные, являющиеся элементами нашего алфавита, мы печатаем курсивным шрифтом в отличие от «неформальных» переменных. для которых мы используем прямой шрифт.
в) Запятую — элемент нашего алфавита мы печатаем здесь жирным шрифтом, чтобы не смешивать ее с «неформальной» запятой. В Дальнейшем, однако, опасность такого смешения возникать не бу-Яет, и «формальная» запятая будет печататься обычным шрифтом.
II. Поскольку в формулы нашего исчисления могут входить слож
208	ГЛАВА б
ные термы, правилам образования формул нужно предпослать правила образования термов. Вот они:
(?) Каждая переменная есть терм.
ф) Каждая предметная константа есть терм.
Если /*— А-местный функциональный символ и tk — термы, то/* /<.) также есть терм.
([<) Всякий терм является таковым в сил у одного из правил (а), (р) <-(-).
Теперь мы можем сформулировать правила образования формул исчисления G,:
(а)	Если F* — А-местныи предикатный символ и / — термы, то F * (ф ..., tk) есть формула.
(б)	Л есть формула.
(в)	Если ЭД и 35 — формулы, то (ЭД)&(55), (ЭД)У(Я5), (ЭД)Э(ЗЗ) — также формулы.
(г)	Если ЭД — формула, го _,(ЭД) — также формула.
(д)	Если ЭД — формула и х — переменная, toVa-ЭД и ЭхЭД — также формулы.
(е)	Всякая формула является таковой в силу одного из правил (а) — (д).
Таким образом, системы правил образования термов и формул — индуктивные; каждая из них содержит несколько прямых правил и одно косвенное.
Формулы, образованные по правилам (а) и (б), называются атомными.
Обычно мы будем опускать в формулах часть скобок, придерживаясь прежнего соглашения о порядке действий.
Сложность формулы определяется как число вхождений в нее Л оги чес к и х с и м волов, от л и ч и ы х от. 7.
Если существуют свободные, соответственно связанные вхождения переменной х в формулу ЭД. мы будем говорить, что х входит в ЭД свободно (связанно).
Через ЭД!', где ЭД — формула, х — переменная и I — терм, будет обозначаться результат подстановки I вместо х в ЭД, т. е. формула, полученная из ЭД замещением всех свободных вхождений л- вхождениями /. Но вместо этого обозначения мы обычно будем пользоваться другим, более традиционным. Именно, произвольную формулу ЭДмЫ будем иногда обозначать ЭД(х), где v — переменная (не обязательно входящая в ЭД!). и тогда в пределах «области действия» этого обозначения вместо ЭД1;' будем писать ЭД(/). В частности, если х нс входит свободно в ЭД, то ЭД(/) - ЭД(д) (в другой записи; ЭД|,Ч = ЭД). ПонягеН также смысл обозначения ЭД(х, у) и вслед за ним ЭД(ф /) и т. п
СИНТАКСИС.401 ИКИ 11РЕДИКЛ1ОВ	209
Следует заметить, что в очень ясном на первый взгляд понятии подстановки терма в формулу вместо переменной таится «подводный камень». Допустим ради простоты, что в формулу 21(х) не входят свободно никакие переменные, кроме х, а терм / есть просто другая переменная, скажем, у. Тогда в произвольной интерпретации фор-мула 21 = 21(х) перейдет в одноместный предикат Ф(х), и естественно ожидать, что21(у) перейдет в тот же самый предикат, только с другим обозначением аргумента. Так оно и будет, например, для формулы 2I(,v2) = SXjF^x,, x2)&F[(x2j при х = х2. у = х}; если мы возьмем в качестве основного множества интерпретации, скажем, множество всех действительных чисел и будем интерпретировать F\a, b) и
как предикаты а1 = b и а < 0, то формула 21(х2) превратится в предикат Эх/х* = х2)&(х2 < 0), истинностное значение которого есть// при х2 — 0 и// при х2 0, и в точно такой же предикат, только от хр превратится формула 21(х$). Но если в качестве у взять хр картина изменится: в той же интерпретации формула Ш(х,) превращается в предикат Эх,(xf = х,) & (х, < 0), равносильный предикату х, < 0. Произошло это потому, чтосвободное вхожденисх, превратилось после замены в связанное вхождениех,. Подобный нежелательный эффект может возникнуть и при подстановке сложного терма; так, если в том же примере подставить вместо х2 терм / }(xf) и истолковать/ [(и) как а + 2, то при i 1 получится предикат, истинностное значение которого есть И при х, = —2 и J1 при х; -2, а при /в I —тождественно ложный предикат (т. к. ни один из корней Уравнения xf = х, + 2 не удовлетворяет неравенству х, + 2 < 0). На такие «неправильные подстановки» необходимо наложить запрет1, что и будет сделано при формулировке правил вывода: в эти правила войдет условие, чтобы ни одно свободное вхождение заменяемой перемен ной х в формулу 21 нс содержалось в области действия квантора по какой-либо переменной, входящей в терм I. Если это условие выполняется, говорят, что/ле/xw {свободен для подстановки вместо Л « Формулу 21.
—---------
В ьчлеи ценном языке аналогом .нон» заире ia bi ранда, неполным? служи! неиоз ЧОжцосп, использован, месюимения и качестве собственных имен. К прошлом у мно-народов (в том числе и у русских) едва ли нс любое сушсс пепельное и нри.-iata Ытыюе могло быть личным именем, но месюимсния, кажен'я, пикета или почт O|7ia не yiioiреблялись для этой цели, потому чю высказывание, содержащее шкое «Кт''ЧМло ,’ы o,,ei п> легко попять неправильно (I [анриыцр, услышав в огне i на вопрос ° это сделал?» имя «Никто», спрашивающий может решить, то виновника не ’Чествует. Этим, как известно, воспользовался хитроумный Одиссеи, чюбы сна-циклона Полифема.)
210
ГЛАВА6
Замечание. Очевидно, что (а) всякая переменная свободна для подстановки вместо самой себя в любую формулу; (б) терм, нс содержащий переменных, свободен для подстановки вместо любой переменной в любую формулу; (в) переменная, не входящая в формулу связанно, свободна для подстановки в эту формулу вместо любой переменной.
111. Система правил вывода исчисления G, получается из соответствующей системы исчисления Go добавлением четырех новых логических правил:
11)	Если 21 и переменная х не входит свободно ни в одну формулу из Г, то Г [— VxSl (введение общности);
13) 21(0 |—Зх21(х). где х — переменная и t — терм, свободный дл я п одета н о в к и в м есто х в 21
(введение существования);
12)	Vx21(x) |—21(f), где х — переменная и t — терм, свободный для подстановки вместо х в 21 (удаление общности);
14)	Если /', 21 I— б и переменная х не входит свободно ни в одну формулу из /'и в б, то г, 3x21 н б
(удален ие сущеетвования).
Сокращенно эти правила будут обозначаться BV, W, ВЗ, УЗ.
Пояснение. В § 5.2 мы видели, что каждое логическое правило исчисления G(, представляет собой формализацию одного из простейших «правил логического вывода», используемых в обычных математических рассуждениях. То же верно и для новых правил: если, фиксировав произвольный элемент х заданного множества, мы доказали, что он (при некотором условии /') обладает свойством А, темы можем заключить, что этим свойством (при условии Г) обладают все элементы множества (BV)2; из утверждения «Все элементы данного множества обладают свойством А» следует, что для любого элемента t этого множества справедливо утверждение «/ обладает свойством А» (УХ/), и из справедливости этого утверждения хотя бы для одного элемента множества вытекает утверждение «<В данном множестве существует элемент, обладающий свойством Л» (УЗ); наконец, если для фиксированного, но произвольного элемента множества из того, что он обладает свойством А. следует (при условии Г) утверждение С. то это утверждение будет следовать (при условии Е) также из существования в данном множестве элемента, обладающего свойством А (УЗ).
Содержащееся в правилах BV и УЗ требование, чтобы переменная х не входила свободно в формулы из Г, обеспечивает произволь-
~ Это пояснение будет понятнее, если вместо 21 писать 21(х), на «по мы всегда имеем право Го же относится к пояснению правила УЗ (см ниже).
иц I ДКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКА I он	211
ость элемента х; если бы какая-нибудь формула $5€=Г содержала ободные вхождения х, то речь шла бы уже нс о произвольном х. а точько о таком, который удовлетворяет условию 25(х). Понятно, почему в v нс Д°ЛЖН0 «ходить свободно и в €: в противном случае выводимость /’. 21 |— б будет означать только то, что если элемент х об падает свойством Л, то тот же с а м ы й х должен обладать и свойством С. О смысле требования, чтобы в W и ВЗ терм I был свободен для подстановки вместо х в 21, мы уже говорили: при несоблюдении этого требования 21(х) и 21(/) могут просто-напросто оказаться ра з н ы м и п рсди катам и.
Задача, а) Убедиться, что при отказе от ограничения в одном из новых правил стали бы доказуемыми (без изменения остальных правил О,) следующие формулы:
Vy(Fj(y)3VxF!(x)) - для BV;
Vx3yF;(x,	>) — для W:
.v)D3A-VyFf(x. j1) — для ВЗ;
Ул((^(х)эГг(л))Э(ЗхА;(л)ЭГ,(л))) - для УЗ.
б) Подобрав для формул пункта а) подходящие интерпретации, убедиться, что из них можно получить следующие утверждения: «Всякое натуральное число равно нулю» — из первой и из четвертой; «Существует натуральное число, которое больше самого себя» — из второй; «Существует натуральное число, равное всем натуральным числам» — из третьей.
Замечание. Если вспомнить, что кванторы обшности и су шествования можно понимать как «бесконечную конъюнкцию» и «бесконечную дизъюнкцию» (см. замечание на с. 141), то станет ясно, что правила введения и удаления общности существования — это, в сущности, распространенные на «бесконечный случай» правила введения и удаления конъюнкции и дизъюнкции. (Чтобы убедиться в этом для правила ВК, нужно взять его в форме, указанной в задаче 3 R конце гл. 5.)
3. Теперь нам нужно дополнить данное в § 5.3 определение дерева вывода — указать, как изображается в нем применение новых пра-В|1л. Для безусловных правил У V и ВЗ это совсем просто: соответствующие элементарные шаги вывода будут изображаться так же, как прочих безусловных правил. Сходным образом изобразится и Применение BV: ему будет соответствовать горизонтальная черта, сверху от которой пишется формула 21, а снизу — формул;! Vx21; °Днако в отличие от безусловных правил здесь придется следить, ,тобы зеленые листья дерева с корнем 21 не содержали свободных вхождений х. Ост,1ется правило УЗ, которое мы изобразим аналогии-
212
ГЛАВА б
но УД: его применению будет отвечать горизонтальная черта, снизу о г которой записывается формула б, а сверху — ЗхЭД и та же формула б, причем она должна быть корнем дерева вывода, среди зеленых < листьев которого имеются все формулы, составляющие Г. и формула ЭД; при «достройке» меньшего дерева до большего лист ЭД увядает.
Теперь мы можем получить точное определение дерева вывода в исчислении Gt из соответствующего определения для <7С (§ 5.3, пункт 1), переименовав косвенный пункт 6 в пункт 8 и добавив два новых прямых пункта:
6) Пусть б — дерево вывода высоты п с корнем ЭД, множеством зеленых листьев / и множеством увядших листьев А, и х — перемен- I мая, нс входящая свободно ни в одну формулу из Тогда выраже-] ние, состоящее из горизонтальной черты, снизу от которой записана формула Х/хЭД, а сверху — дерево б, будет деревом вывода высоты | п + 1 с корнем \/хЭД, множеством зеленых листьев Г и множеством | увядших листьев А.
7) а) Пусть б — дерево вывода высоты п с корнем б, множеством зеленых листьев Г и множеством увядших листьев А, причем Г содержит формулу ЭД и переменная х не входит свободно ни в одну формулу из Г, кроме ЭД, и в формулу б. Тогда выражение, состоящее из горизонтальной черты, снизу от которой записана формула б, а сверху в произвольном порядке дерево б и формула ЗхЭД, будет деревом вывода высоты и + 1 с корнем б, множеством зеленых листьев (Г\{51})U{ЗхЭД} и множеством увядших листьев AU{ЭД}.
б) Аналогично а) со следующими изменениями: вместо формулы ЗхЭД над чертой записывается некоторое дерево вывода б с корнем ЗхЭД, множеством зеленых листьев Г' и множеством увядших листьев А'; п есть наибольшая из высот деревьев б и б', множество зеленых листьев нового дерева есть (Г\{ЭД})иГ'. множество увядших листьев — АиА'и{ЭД}.
Следует также иметь в виду, что, введя два новых безусловных правила, мы расширили объем понятия элементарного дерева вывода и тем самым фактически изменили пункты 1) и 2) нашего определения.
4. Перейдем теперь к примерам формальных выводов в Gr Заметим прежде всего, что — поскольку в (7, действуют все правила вывода исчисления <70 — приведенные в § 5.3 «схемы выводов» для Go годятся и для G, поэтому сейчас нас будут интересовать только выводы с применением новых правил.
Отсюда следует, между прочим, чго всякая формула исчисления Gi, являющаяся частным случаем теоремы исчисления Go. есть теорема G] и может быть доказана в Gi без применения новых правил.
сц|ПлКСИГ J,C>1 ИКИ llrRWKA1OB
213
go всех примерах буквы х, у будут означать произвольные переменные.
(1)	VxVy2l |- VyVx21.
Доказательство:
УхУу91(л, у)
2y>gj<*'.>4 у»
JK^Lbv
УуУл-ЗИл, у)
(2)	Зл’3у91|- 3y3x2l.
Доказательство:
[91 (л-, у) КЗ)
1 ^91 (л, у) ВЭ
г---------------ВЭ
ЭуЗл-91(л, у)
3--------------------
|ЗуЭ1(л. у) |(4) ----------------УЗ
ЗлЗуЭКл, у)
-----------УЭ
ЗуЗл91(л, у) 4---------------
3y3x2l (.v, у)
(3)	Va-721 |-тЗ№1.
Доказател ьетво:
1 VxTSto
? т91(л)	|91(л) |(3)
|ЗлЭ1(.у) |(4) уз
3
4 —Т" ВО уЗлЗНл)
(4)	73x91 |- Ул-791.
Дока затеяьетво:
1 J.^6r) |(3)
2 Нл-^(л)?3x21 (а)
3 ———
4	
\/х?21 (х)
(5)	Зат21 ?Vx<
214	ГЛАВА
Доказательство:
|У.уЗД(а) 1(3)
? ai(x) |7ЭДл) кд, з
/ 7Ух31(л)	Эл-7Э1(л)
7VxSl(x)
*(6) vV.vSl I- 3x7ai.
Доказател ьство:
. Р21(х) 1(31
‘ Зх^м[73x-ai(.t) ко
3_____'L_
77Я(Л) ак-v)
773л-791(л)
Зх7Й(х) '
Опушенные фрагменты дерева (замененные пунктирными линиями) аналогичны примеру (23) из § 5.3. Шагу, на котором устраняется промежуточная гипотеза ’3.v?51(a), для большей ясности приписан условный номер к.
Читателю рекомендуется, учитывая замечание в конце пункта 2 этого параграфа, убедиться, что доказательства выводимостей (3)^ (4), (5) совершенно аналогичны доказательствам выводимостей (24), (25), (26) из §5.3. (Но для (6) мы дали доказательство, непохожее на пример (27) из § 5.3 и более сложное. Полезно попытаться объяснить, почем} аналогия здесь «нс проходит», а также дать для примера (27) из § 5.3 доказательство, аналогичное только что приведенному для примера (6).)
Доказанные шесть выводимостей были аналогами равносильностей групп I и И из § 4.2; следующие восемь будут аналогами равносильностей группы ill. Из них (8) —(13) имею'1 место лишь прИ условии, что формула Q5 нс содержит свободных вхождений _v; (7) и (14) справедливы без ограничений.
(7) V.v(2l&®) ,
(8) i-
*(9) Vx(^v^) i-Va-^Iv^.
(10)	Va-'21v$ i-V.v(SlVfc).
t Ц| Г1ЛК1 ИС Л<>1 ики 11РИДИКЛ I он
(II)	Зл(21&8) нЭл21&®.
(12)	Зл4Д&® |- Зх(91&®).
(13)	Зл(Иу®) i-3x91v®.
(|4)3x?1v8i Эл(<Му®).
Мы докажем четыре из этих выводимостей: (7), (9), (11) и (12).
Доказательство остальных предоставляется читателю.
Доказательство выводимости (7):
Ух(71(х)&®)
Ул(ЭДх)&®)
"ЭДл)	91(.t)&®
УлЯ(л)	_____® _____
V.v9l(.v)&®
Доказательство выводимости (9):
У.т(И(.т)У®) у
91(л)У®	17® I
-ДД-ВУ
УхМ(Л)У® ВД____________V.tSl(’v) У®~~ ВД ®У7® уТ
У.гЩ(л)у®	J
Опущенная часть дерева (замененная пунктирном линией) аналогична примеру (14) из § 5.3.
Доказательство выводимости (11):
. |21(a-)&£> |(5)
2	-	ВЗ 3 |S11(A')*g’ 1Ф УК
4 ЭлТЦх)--------------------®
Злй(л-)&®	____ Зл(<Ц(л)&®)
3.vSl(.t)&®
Доказательство выводимости (12):
1	уК
®______________1ЧЧ 1(5) ск
, 71(л)&®	. Hx(M(.t)&®) v ,
’Зх£Я(х))&®^______________________ Зх21(х)
Зх(Я(х)&®)
В выводе (9) отсутствие свободных вхождений х в ® необходимо ^Ля применимости ВУ, в (11) и (12) — для применимости УЗ.
216
ГЛАВА в
Задача. Для каждой из выводимостей (8) — (13) убедиться, подобрав подходящие формулы и интерпретации (аналогично задаче в конце пункта 2 этого параграф:!), что если бы она была справедлива без О( раничений, то из нес следовало бы некоторое заведомо ложное утверждение.
Следующие две выводимости, служащие аналогами основных равносильностей группы IV из § 4.2, справедливы при условии, что у не входит в 21(х) свободно и никакое свободное вхождение х в 51(х) нс находится в области действия квантора по у:
(15)	V.Vll(x) I—Vy2l(y).
(16)	ЗлШ(л) |-Эу21(у).
Доказательство выводимости (15):
Ул21|л-)
W
VySl(y)
BV
Выводимость (16) чита ।ель докажет сам.
Добавим теперь к полученному запасу выводимостей ешеодну:
(17)	Vx2l |- .Эл<
Доказтельство предоставляется читателю.
Задача. Доказать, что в исчислении (7,:
(a)	ByVxSI |- VxHySl;
(б)	Vx(9l&®) i- Vx21&V.v®:
(в)	VxSl&Vx® r Vx(2l<&®),
(г)	3.v(5lVS5) |-Hx2lv3x®;
(д)	Hx21v3x® i—Ha(21vS5):
(e)	Vx2lvVx® i- Vx(2lv®);
(ж)	3x(2l&®) i- ЭлШ&Эл®;
(з)	Vx(2l D ®) V.v'21 D Vx®;
(и)	Vx(2l Э 55) l- 3x21 D Hr®.
5. В заключение napai рафа отмстим некоторые простые свойства исчисления G,.
1)	Для G, сохраняют силу леммы 1, 2, 3 из § 5.3 (пункт 3); их доказательства можно повторить слово в слово.
2)	Для исчисления G, можно ввести понятие дедуктвнои ,)квива~ лентности формул, дословно повторив соответствующее определение для (70 (§ 5.3, пункт 4). Имеет место для (7, и теорема о замене
сцН ГлКСИС -,,огики ПРЕДИКАТОВ
«,ктивно эквивалентных формул. Формулируется она так же, как соотрстСТВ-ющая теорема для G(1 (§ 5.3, пункт 4), и так же доказы-ается, с той только разницей, что в индукционном шаге к случаям <а) <б), Добавляется еще случай (г) 21 = Qx(C), где Q — один из знаков V, 3 и х — переменная. При Q- V дедуктивная эквивалентность формул 21 = Va(G) и 21' = Vx(G') (при условии, что б и 6' едуктивно эквивалентны) доказывается так: поскольку 6	6' по
условию и Vx(G)|-G по W, имеем Vx(G) н 6', откуда
I—	) П° ^V: так же получается обратная выводимость. При 3 рассуждаем аналогично, пользуясь правилами ВЗ и УЗ.
3)	Теорема о приведении формул к префиксной нормальной форме (см. § 4.2) может быть усилена теперь следующим образом: для всякой формулы в алфавите исчисления Gt можно построить формулу в префиксной нормальной форме (в том же алфавите), равносильную и дедуктивно эквивалентную данной.
В самом деле, просмотрев доказательство теоремы из § 4.2, мы легко убедимся, пользуясь выводимостями (3) — (16) и теоремой о замене дедуктивно эквивалентных формул, что каждое из преобразований, производимых при приведении к п. н. ф., переводит формулу в дедуктивноэквивалентную. (Добавление к алфавиту логической константы У/ ничего не меняет в доказательстве.)
§ 6.2. СЕМАНТИЧЕСКАЯ ПРИГОДНОСТЬ --- И ПОЛНОТА ИСЧИСЛЕНИЯ G,
1.	Теорема 1 (о семантической пригодности исчисления G,). Если формула 21 выводима в исчислении G, из множества Формул Г, то 21 семантически следует из Г.
Доказательство очень похоже на то, которое было дано в § 5.4 для соответствующей теоремы об исчислении <7(), и также проводится возвратной индукцией по высоте дерева вывода 21 из Г.
Базис. Если высота дерева равна 1, то 21 — заключение некого-Р°го оезусловного правила вывода, все посылки которого входят в Г. оэтому достаточно для каждого из этих правил проверить, что,
Ова бы ни была интерпретация множества формул /’U{21}, если фо НСКотоРого набора значений свободных переменных, входящих в Рмулы из этого множества, вес предикаты, отвечающие в данной, ни РпРСгании формулам из Г, становятся истинными предложе-Че То предикат, отвечающий формуле 21, для этого набора зна-и переменных также станет истинным предложением. Для
2i8
rjlAnAl
старых правил эта проверка проводится точно так же, как в слуц J исчисления G1(. Нетрудно провести ее и для новых безусловных npJ вил — W и ВЗ. В самом деле, пусть в некоторой интерпретация формула ЭД переходит в предикат F(x, уи •••, У*) и терм I — в фунЛ цию /(z„ • ••, г,), где х, у,, •••, ук и z„ •••, z, — все свободные перемеД ные, входящие в ЭД и в / соответственно, к, 1 = 0,1,... и некоторые из переменных z,, •••, z, (или все они) могут содержаться среди перемен! ных х, уи (Мы можем считать, что х входит свободно в ЭД, поскольку в противном случае формулы \/хЭД(х) и ЭхЭД(х) переходя! в любой интерпретации в тот же предикат, что и ЭД(х), а формула ЭД(/) совпадает с ЭД(х), так что наше утверждение для обоих правил тривиальным образом верно.) Тогда: формула Х/хЭД(х) перейдет 1 этой интерпретации в предикат G(yt, •••, уА), такой, что для любых допустимых значений у®, ••••>* переменных ур ••.у* тогда и только тогда •••, >5) - И, когда £(х°, у®, •••, j£) = И для любого допустимого значения х® переменной х; формула ЗхЭД(х) перейдет в предикат Н(у|, -••, уу), такой, что Я(у®, ..., у®) = Я тогда и только тогда! когда F(xt}, у%, •••,>£) = Н хотя бы для одного допустимого значения л”; формула ЭД(/) перейдст в предикат F(/(z®, ..., z®), у„ ..., уА). Но очевидно, что: а) если для каких-то у®, ..., у® имеем (7(у®, .... у£) = И, то F(/(z®, Zy), yf, • • •, ypk) = И, каковы бы ни были z®, •••, z®; б) если F(/(z°, • ••, z®), yf, -,yf) = И для некоторых yf, •••, yf, zf, zf, то
Индукционный шаг проводится по той же схеме, что и для (70, и в случаях, когда дерево образовано по одному из старых пунктов определения (т. е. пунктов 2, 3, 4, 5), можно рассуждать точно так же. Остается рассмотреть еще три случая:
е) Дерево образовано по пункту 6 определения из § 6.1. Тогда 1 имеет вид Vx£), причем существует дерево вывода формулы Э из /я имеющее высоту п—1, и х не входит свободно ни в одну формулу и3
По предположению индукции £) семантически следует из Г, т. е.в любой общей интерпретации Г и £) всякий раз, когда для какого-то набора значений входящих в формулы из Г и в формулу £) свободны* переменных все предикаты, отвечающие формулам из Г, истинны> предикат F, отвечающий £), также истинен. Пусть у,, • ••, ук — ®сС переменные, входящие свободно в формулы из Г; ни одна из них совпадает сх. По только что сказанному для всякого набора значенй1* Ур	Ук, для которого истинны все предикаты, отвечающие форк*Я
Т. е. их значения являются истинными предложениями.
С0Ц ГАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКА! ОВ
219
из Г, предикат сбудет истинен при любых значениях остальных •Л -йодных переменных формулы 5), в том числе и х; поэтому при С^)бом наборе значений переменных, входящих свободно в формулы р и в формулу Vx©, при котором все предикаты, отвечающие д.пг)мулам из /\ истинны, будет истинен и предикат VxF, отвечающий формуле VxSX Таким образом, Va© семантически следует из Г.
ж) Дерево образовано по пункту 7а. Тогда /' можно представить в виде Г'и{3х©} таким образом, что существует дерево вывода формулы из множества Г'и{©} высоты п—1 и х не входит свободно ни в одну формулу из Г' и в 91. По предположению индукции 91 семантически следует из F'U{©}. Пусть z„ •••, zm — все переменные, входящие свободно в формулы из Г', в 91 и в © и отличные от х. В любой обшей интерпретации Г, © и 91 для всякого набора значений
переменных zt, zm, х. для которого истинны все предикаты, отвечающие формулам из Г, и предикат G, отвечающий формуле ©, будет истинен и предикат F, отвечающий формуле 91. А это значит, поскольку х не входит свободно в формулы из Г и в 91, что для любого набора значений z„ •••, zM, для которого истинны все предикаты, отвечающие формулам из Г', и сверх того предикат G истинен хотя бы при одном значении х — иначе говоря, истинен предикат Зх(7, отвечающий формуле Зх©,— предикат Fтакже истинен. Итак, формула Асемантически следует из F'U{3x©}.
з) Дерево образовано по пункту 7б. Этот случай легко сводится к предыдущему; подробности читатель восстановит сам.
Теорема доказана.
Следствие 1. Всякая теорема исчисления G всюду истинна.
Это непосредственно вытекает из доказанной теоремы, потому ЧТО формула, семантически следующая из пустого множества, яв ляется всюду истинной.
Следствие 2. Исчисление G, непротиворечиво, т. с. никакая формула не может быть в нем теоремой одновременно со своим отрицанием.
В самом деле, если бы формулы 91 и 791 были теоремами в то по следствию 1 обе они были бы всюду истинны, что невозможно.
Вопрос. Где в доказательстве теоремы о семантической пригодности G, используется условие свободы терма для подстановки в прави-Jlax W и ВЭ?
Задача. Пользуясь теоремой 1, доказать, что для выводимости из § 6.1 и выводимостей (а), (е), (ж), (з), (и) из задачи в конце УНкТа 4 §о.1 обратные выводимости не имеют места.
G 2. Нд теореме о семантической пригодности аиалогия между Go и I кончается Полнота G\ доказывается значительно сложнее, чем " w Ц) — что вполне естественно, поскольку в Go достаточно иссле-
220
Г-ЛАЦд-
девять поведение формулы на конечном и просто устроенном множе ствс «-мерных булевых векторов, а в G, приходится иметь дело произвольными интерпретациями, вообще говоря, бесконечными Первое доказательство полноты исчисления предикатов (без функ; циональных символов и констант) было опубликовано в 1930 г К. Гёделем [Godcl 1930 |5. Это доказательство, очень красивое, хотя и довольно сложное, имеется в книгах | Гильберт — Аккерман 1947 и | Чёрч 1960 |. Мы изложим сейчас другое, более простое доказателц ство, найденное позднее американским математиком Л. Генк иным | Henkin 1949 | (и упрощенное немецким математиком Г. Хазснъеге, ром [Hasenjager 1953 |)6.
(Существуют и другие доказательства этой теоремы. Особого упоминания заслуживают «табличные» доказательства, основанные на идеях голландского математика Э. Бета (Evert Willem Belh, 1909-« 1964). См., например. [Smullyan 1968 р.
Прежде чем доказывать теорему о полноте, мы введем некоторы новые понятия и установим некоторые факты, представляющие ц самостоятельный интерес.
Будем называть тривиальным ограничением исчисления 6\ всякое логическое исчисление G', удовлетворяющее следующим условиям: (-а) алфавит G' содержится в алфавите G, и содержит все переменные, все логические и синтаксические символы и хотя бы один предикатный символ; (р) множество формул состоит из всех формуя <7(, являющихся словами в алфавите G/; (-у) правила С совпадаете; правилами G,.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что в любом три' виальном ограничении G, сохраняют силу все выводимости из § 6.1< равно как и выводимости, доказанные в предыдущей главе для G(}, 1 также леммы 1,2, 3 из § 5.3 и теорема о замене дедуктивно эквивалентных формул.
Пусть теперь L и L — логические исчисления с одним и тем же множеством формул. Мы будем говорить, что А есть простое расти" рение L с помощью множества формул А, если множество правил L' есть объединение множества правил L с множеством всевозмоЖ-1 ных правил вида । 71, где 71 С Д — иначе говоря, если L' получается! из L присоединением всех элементов А в качестве аксиом. Если А
5 К. Гедель (Kurt Godel, 1906—1979) — австрийский математик (с 1938 г, жил® США) Математическая логика обязана ему очень глубокими идеями и псобыкновена но сильными результатами, и мы в агой книге еще не раз встретимся с его именем- I
6 Генкин, как и Гедель, рассматривал не наше исчисление Gi, а исчисления предикатов гильбертовского типа, однако выбор конкретного исчисления здесь н® и| рает роли
С1Ц|ТАК< ИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
состоит из одной Формулы ЭД или из двух формул ЭД, 23 и т. п., мы 6v4eM говоРиТЬ ° простом расширении L с помошью формулы ЭД, соответственное помощью формул ЭДи^ит. п.
Лемма 1. Если L! — простое расширение £ с помощью множества замкнутых формул А, то: (а) всякая теорема L является теоремой и в д'; (б) формула в алфавите L тогда и только тогда является теоремой в L', когда она выводима в L из некоторого конечного подмножества А- (Если А конечно, это равносильно выводимости формулы из самого А.)
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Докажем (б). Назовем накрытием листа дерева операцию, состоящую в проведении над Ним горизонтальной черты (над которой ничего нс пишется). Обратную операцию — стирание стоящей над формулой-узлом дерева i о-ризонтальной черты, над которой ничего нс написано,— назовем раскрытием узла. Ясно, что (б) будет доказано, если мы установим справедливость следующих двух утверждений: (ос) если в дереве вывода в Lc множеством зеленых листьев Г U Аг где А, С А. накрыть все листья, принадлежащие А,\Г, то получится дерево вывода в L' с множеством зеленых листьев Г; ф) если в дереве вывода в L' раскрыть все узлы, отвечающие применениям правил вида ЭД, где ЭД G А, то получится дерево вывода в L. (а) легко доказывается возвратной индукцией по высоте исходного дерева, причем как базис, так и индукционный шаг распадаются на случаи, зависящие от того, какому правилу отвечает корень дерева, т. е. какое правило применяется на последнем шаге вывода (ср. доказательства теорем о семантической пригодности GQ и Gt). Например, если корень дерева
б отвечает правилу ВИ, то б имеет вид
где г — дерево с
ЭД Э
корнем S5 и множеством зеленых листьев, содержащим ЭД. Если при этом А, — некоторое подмножество множества зеленых листьев дерева 6, состоящее из элементов А, то (поскольку все элементы А|
являются зелеными листьями также и для е) по предположению индукции дерево е', получаемое из е накрытием всех листьев, принадлежащих АД/’, есть дерево вывода в L'; а т. к. формула ЭД, не будучи зеленым листом б, не входит в Ар она остается зеленым листом Для и, следовательно, дерево — есть дерево вывода в Осо-VI J
бог» внимания требуют случаи, отвечающие правилам BV и УЗ, Потому что их можно применять лишь при условии, что зеленые "Чйстья поддерева, «растущего» из узла, отвечающего формуле, к Которой
применяется правило, не содержат свободных вхождений созываемой переменной; но т. к. при накрытии узлов нс возникает
222
ГЛАВА 6
новых зеленых листьев, выполнение этого условия для нового дерева всякий раз вытекает из выполнения его для старого. Точно так же доказывается и (р), но с тон разницей, что теперь прн преобразовании дерева добавляются новые зеленые листья, принадлежащие А; однако все онн являются замкнутыми формулами, что н обеспечивает выполнение условия применимости правил BV и УЗ.
Задача. Показать, подобрав соответствующий пример, что утверждение (б) леммы 1 может оказаться неверным, если хотя бы одна формула из Д не замкнута.
Введем теперь понятие исчисления на основе G{. Так мы будем называть всякое логическое исчисление, являющееся простым расширением какого-либо тривиального ограничения G,. (В частности, само G, тоже есть исчисление на основе G{).
Лемма 2. Если исчисление на основе G, противоречиво, то любая его формула является в нем теоремой.
Доказательство. Из и 721 по УО выводима константа 77, а из нее по ДС — любая формула.
Лемма 3. Пусть G— исчисление на основе G, и б — замкнутая формула в алфавите G, такая, что ее отрицание не является в G теоремой. Тогда простое расширение G с помощью б непротиворечиво.
Доказательство. Допустим, что лемма неверна, т. е. существует такая формула £), что и она сама, и ее отрицание •— теоремы нашего расширения. Тогда по лемме 16 б ®, б |— 7®, откуда по лемме 2 из § 5.3 7®	7б, 77® |- 76 и далее по лемме 3 из § 5.3	76, что
противоречит условию.
Будем называть логическое исчисление дедуктивно полным, если, какова бы ни была его замкнутая формула, или она сама, или ее отрицание является в нем теоремой. Имеет место
Лемма 4 (лемма Линденбаума)7. Всякое непротиворечивое исчисление на основе G, имеет непротиворечивое дедуктивно полное простое расширение.
Доказательство. Обозначим наше исчисление через Р. Поскольку множество Ф всех замкнутых формул /’ есть бесконечное подмножество множества всех слов в алфавите Р, а этот алфавит счетом, множество Ф также счетно (см. Приложение II, пример на с. 445)-Пусть б,, б2... — некоторый пересчете!». Определим последовательность множеств формул До, Ар Д2, ... и последовательность исчислений Ео, Д, L2,... следующим образом: (7)А0 = 0; Ео = Р; (й) если А„ и
7 А. Линдснбаум (Adolf Liiideiibatim» — польский .математик и логик (род. в
1904 г . iipoii«i-.i без вес! и н вильнюсском гетго. где нлходгысн с осени 1941 i )
z-Ц! 11АКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ	223
д определены, то в случае, когда формула 7Ся+| не является в Ln теОремой, Д„+| = A„U{G,,+1} и Д1+! есть простое расширение Ln с по-мо»нью <\(+1; в противном случае Дм+| - Дп, £я+1 = Ln. Положим д U Д„; простое расширение Р с помощью Д обозначим L. Для каждог0 п — 1,2,... одна из формул €й, 7<S„ является теоремой в Lt), а следовательно и в £ (по лемме 1а, поскольку L — простое расширение L„ с помощью Д\Д„); таким образом, L дедуктивно полно. В то же время L непротиворечиво. В самом деле, если бы две формулы виДа ® и 7® были теоремами в £, они были бы по лемме I б выводимы в Р из каких-то конечных подмножеств Д. Но всякое конечное подмножество Д содержится в некотором Д„, так что 5) и 75) оказались бы выводимыми в Р из какого-то Дп и, значит, были бы теоремами в Ln (по лемме 16, т. к. £я— простое расширение Р с помощью Д„). Однако все Ln непротиворечивы: для £0 это верно по условию, а непротиворечивость £,и+| следует из непротиворечивости Ln (тривиальным образом, если |-7<iw, и по лемме 3 в противном случае).
3. Назовем моделью логического исчисления такую интерпретацию множества его формул, в которой истинны все его теоремы (иначе говоря — которая является моделью множества его теорем). Для исчисления G, ввиду следствия I из теоремы о семантической пригодности всякая интерпретация множества его формул является моделью. Из этого же следствия мы вывели непротиворечивость G(; но на самом деле для непротиворечивости исчисления на основе G, достаточно, чтобы у него была хотя бы одна модель — ведь формулы 21 и не могут быть истинны в одной и той же интерпретации. Естественно возникает вопрос: верно ли обратное? Следует ли из непротиворечивости логического исчисления, что у него есть модель? Для рассматриваемых нами исчислений на основе С, ответ оказывается положительным: справедлива
Теорема 2. Всякое непротиворечивое исчисление на основе С, имеет модель.
Именно из этой теоремы мы выведем потом теорему о полноте и даже без особого труда. Вся трудность сосредоточена в доказательстве теоремы 2, к которому мы теперь переходм.
Пусть Р — непротиворечивое исчисление на основе G,. Обозначим через La исчисление, получаемое из Р добавлением счетного Множества новых символов предметных констант {с,, с2, ...} с соот-Ветствующим изменением множества формул, но без изменения
224
ГЛАВА 6
правил вывода. Lo фактически является, как и Р, исчислением на основе (?,. (В самом деле, если в G, обозначать символы предметных констант не ц, а2, а «р ер а2, с2, ..., то полученное исчисление будет обладать всеми свойствами Р, кроме тех, в формулировках которых участвуют конкретные символы предметных констант, названные «по именам».) Всякое дерево вывода в исчислении Z,() превратится, очевидно, в дерево вывода в Р, если для каждого символа с\, встречающегося в формулах этого дерева, заменить все вхождения этого символа во все формулы дерева вхождениями некоторой переменной, не встречающейся в формулах данного дерева (причем разные с, должны заменяться разными переменными). Отсюда следует, в частности, что£0 непротиворечиво, т. к. вывод противоречия в А(1 можно было бы преобразовать указанным способом в вывод противоречия в
Пусть 21,, 2U, ...— некоторый пересчет множества всех формул исчисления Lo, содержащих не более одной свободной переменной (счетность этого множества очевидна). Из множества {с,, с2, ...} выберем последовательность с, с ..., состоящую из попарно различных членов и такую, чтобы для любого п = 1,2, ... символ нс входил ни в одну из формул 21,, .... 21,г Будем обозначать через формулу
21,,
менее педантичной записи — 21, ,(с ) □
D Vx, 2lri(.v( )), гдех, есть (единственная) свободная переменная, входящая в 21п. если 21/г нс замкнута, и д,, если 21„ замкнута. Простое расширение £0 с помощью формул гВ15 .... 23 „ обозначим через Ln, простое расширение/^ с помощью множества {23,,	-..} — через L.
Докажем, что L непротиворечиво. Для этого достаточно доказать непротиворечивость всех Lrl, п = О, I, ... (ср. доказательство леммы 4), что мы сделаем индукцией по п. Непротиворечивость Lo уже доказана. Допустим, что Lt непротиворечиво. Если при этом L,l+I противоречиво, io по лемме 2 в нем доказуема любая формула, в частности и по лемме 16 25„+| ь 735в+1. Отсюда, поскольку " ®„+, I- '7®„<.р по лемме 3 из § 5.3 получаем |— 723„+1. А т. к. для любых G и £) из формулы ?(£□£)) выводима конъюнкция б&?£) (см. в § 5.3 выводимость (30). лемму 2 и выводимость (23)), формулы
СЦ||ТАКС11С ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
225
91„+1
1 и 7 Vx, 21„+1 оказываются теоремами в L„. Заменяя всюду
в доказательстве 21„.
щую ни в одну из участвующих в этом доказательстве формул, получим доказательство формулы 21,
символ с на переменную л„ нс входя-'л+1
а вместе с этой последней по
из которой в
правилу BV будет теоремой и формула Vx,2l,
(15) из § 6.1 выводима формула Vx, '2l„+l(x4 так что Ln
силу
оказывается противоречивым вопреки предположению индукции.
Пусть теперь Т — непротиворечивое дедуктивно полное простое расширение L, существование которого следует из непротиворечивости L по лемме 4. Определим интерпретацию / множества всех формул исчисления Т, которая, как мы потом докажем, будет моделью для Т и тем более для Р, следующим образом:
Основным множеством интерпретации I будет множество всех замкнутых термов — т. е. термов, нс содержащих переменных — исчисления Т (или, что то же самое, исчисления £0).
Каждому символу предметной константы будет отвечать в / он сам.
Каждому ^-местному функциональному символу /* будет отве-
чать в I функция к переменных /*, значение которой для любых к замкнутых термов ..., 6 есть терм/*(6,	/А).
Каждому /.местному предикатному символу F кп будет отвечать в f ^-местный предикат F*, значение которого для любых к замкнутых термов .... есть предложение «Формула Г(/„ zA) доказуема в Г»
Предложение или предикат, отвечающее (-ий) формуле 21 в интерпретации /, мы будем обозначать 2б.
еперь для завершения доказательства теоремы достаточно попасть, что в интерпретации / истинны все теоремы исчисления Т. Нам УДет удобнее установить более сильный факт: что формула 21 в алфавите исчисления Г тогда и только тогда доказуема в Т. когда она ф0 ИННа в /. Достаточно доказать это утверждение для замкнутых
РМул, поскольку произвольная формула 21(гр ..., z,J со свободны-^сременными z., .... z,„ очевидно, тогда и только тогда доказуема В у,	I’ ””
> когда доказуема формула Vz1 ... Vz,„2l(zn ..., z,J, и тогда и только
226	ГЛАВд6
тогда истинна в /, когда истинна та же самая формула. Мы ДокажеД наше утверждение (для замкнутых формул) возвратной индукцце^ по сложности s(2l) формулы 21.
Базис. Если s(2l) = О, то 21 либо имеет вид Fkn(u}i..., ик), ик, ..., ик — замкнутые термы, либо есть константа Л. В первом слД чае истинность формулы 21 в интерпретации / означает — поопре, делению этой интерпретации.— что истинно предложение ик), т. е. что формула F*(w,,..., щ.) = 21 доказуема в Т. Во втором случае формула 21 — Л не доказуема в Т 8, и соответствую» щес предложение 21' — «формула 21 доказуема в Г» ложно.
Индукционный шаг. Пусть s > 0 и для всех замкнутых формул, сложность которых меньше s, наше утверждение справедливо. Рассмотрим произвольную замкнутую формулу 21 сложности х и покажем, что утверждение справедливо также и для нее. При этом, как всегда в доказательстве индукцией по сложности, нам придется рассмотреть несколько случаев, зависящих от вида формулы.
(а)	21 — 25&б. Формулы 25 и б. очевидно, замкнуты. Пусть формула 21 истинна в / — иначе говоря, соответствующее предложение 21' истинно. Но 21' есть конъюнкция предложений 25' и б': поэтому они тоже истинны, что по предположению индукции влечет |- 25 и б, откуда по ВК |- 25&б. Обратно, если |-25&б, то по УК |—25 и |—6; отсюда по предположению индукции следует, что предложения 25;и б' истинны, а вместе с ними истинно и (ф&б)'.
(б)	21 = 25 V б. Формулы и замкнуты. Если 21' истинно, то истинно хотят бы одно из предложений 25' и б', откуда по предположению индукции следует, что хотя бы одна из формул и б доказуема в Г, и далее по ВД получается ц-25 V б. Обратно, если |— 25Уб, то хотя бы одна из формул 25 и б доказуема вТ: в противном случае ввиду дедуктивной полноты Т были бы доказуемы формулы и и, следовательно, также их конъюнкция, из которой (по (24) из §5.3) выводима формула 7(25 V б), а она не может быть теоремой ввИДл непротиворечивости Т. Отсюда по предположению индукции следует, что хотя бы одно из предложений 25' и б' истинно, а поэтому истинна и их дизъюнкция 25х V б' — (25 V б)'.
(в)	21 = 25Э6. Формулы 25 и б замкнуты. Если 21' истинно, то® ложно или б' истинно. В первом случае по предположению индукЦйЙ формула % не доказуема в Т и, следовательно, доказуема формуй 725, из которой с помощью (9) из § 5.3 можно вывести 25 Э б. Во втор0**
8 Э го слсдус г из непротиворечивости 7’. поскольку из /7 по  1равилу ДС вывод>,тС1 противоречие
^^КСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
227
v4ae доказуема формула б, из которой с помощью (8) из § 5.3 дять-таки выводится ЯЗЭб. Обратно, если |— 25Эб, то доказуема я бы одна из формул 7® и б (в противном случае были бы дока-* емы 55 и 76, и из их конъюнкции ввиду (31) из § 5.3. закона рапозиции и правила постановки двойного отрицания выво-дцтся 7(53Э<£)). Отсюда по предположению индукции следует, что Сложно или б' истинно; но и то, и другое влечет истинность предложения 55 Э 67 — 3F.
(г)	31 = 755. Формула 55 замкнута. Если Ж истинно, то ложно, и по предположению индукции формула 55 не доказуема в Т, а, значит, доказуемо ее отрицание 755 = Ш. Обратно, если |- 7®, то 55 не доказуема, и по предположению индукции ложно и, стало быть, истинно.
(д)	21 = Vy55(y). Из замкнутости 21 следует, что формула 53 либо содержит единственную свободную переменную у. либо также замкнута. Во втором случае формулы 21 и 53 дедуктивно эквивалентны (Vy53 1- 53 по У V, а поскольку 55 не содержит свободных вхождений у, из выводимости 55 |- 55 no BV получается 55 1- Vy$5); кроме того, они, очевидно, равносильны. Поэтому в данном случае справедливость нашего утверждения для 21 тривиальным образом следует из справедливости его для %. Рассмотрим теперь первый случай. Пусть 21' истинно. Это значит, что предикат 23'(у) тождественно истинен, т. е. что для любого замкнутого терма v истинно предложение [ 55(f) Формула 55(f) замкнута, и по предположению индукции из истинности (55(v) ]' следует |—55(f). Но формула 53 входит в наш перечень формул, содержащих не более одной свободной переменной, т. е. совпадает с одной из формул 21„, а переменная у совпадает с л . Имеем, таким образом, i— 2ln(v) для любого замкнутого терма v; в частности, |- 21н(с(). Но одной из аксиом исчисления Т является фор-мула 55,; = 2lfi(c(. )DVx( 2l;i(.vy ); поэтому (ввиду У И) в Т доказуема Формула Va; Si/.v, ) = Vy55(y). Обратно, если (— Vy55(y), то по УХ/ будет ®(f) для любого замкнутого терма f: отсюда по предположению индукции следует, что для любого замкнутого терма v предложение
J истинно, а это и означает истинность предложения IVW) |/.
(е)	21 = Эу55(у). Формула Ж либо содержит единственную сво-^Дную переменную у, либо замкнута. Во втором случае 21 и 53 рав-
ильны и дедуктивно эквивалентны (53(у) |- Зу55(у) по ВВ: из 5 поскольку у не входит свободно в 55, по УЗ получается
О’) ь-53(у)), и утверждение тривиально. В первом случае, если
228	     1ЛАВд|
21' истинно, т. с. если существует замкнутый герм v, для которое! истинно (21(?л) V, го по предположению индукции формула jB(v) док Л зуема в Т — а из нее по ВЗ выводится Зуф(у). Обратно, пуЛ i- Зуф(у). Допустим, что предложение (Зу«В(у) ]' ложно. Тогда д_п' любого замкнутого терма v предложение 25(г) также ложно и. следр! вательно, 7SB(v) истинно. Отсюда ввиду предположения индукции и уже проведенного индукционного шага для отрицания вытекает, чТо для любого замкнутого терма v доказуема формула 7Ф(е). Но из этог^ следует, что i-Vy7Q5(y) (рассуждение аналогично случаю (д), пр. скольку 7 £5 совпадает с одной из формул 2lrt и у совпадает с л( ) и далее'1 i— “3y^i(y) (по (3) из § 6.1), что невозможно ввиду непротиворечиво-
сти Т.
Доказательство теоремы 2 окончено.
4. Теперь уже легко получается
Теорема 3 (теорема Гёделя о полноте). Всякая всюду истинная формула в алфавите исчисления G, является в G, теоремой.
Доказательство достаточно провести для случая замкнутой формулы (см. обоснование аналогичного соображения на с. 225). Допу! стим, что существует всюду истинная замкнутая формула 21 в алфавите G,, нс доказуемая в G,. Тогда нс доказуема также и формула 7?21, и по лемме 3 простое расширение G, с помощью ’?21 непротиьЛ речиво. В силу теоремы 2 оно должно иметь модель. Таким образом существует интерпретация формулы 21, в которой /21 истинна и, стало быть, сама 21 невыполнима, вопреки условию.
Следствие. Если формула 21 в алфавите исчисления семантически следует из множества /'формул в том же алфавите, то 21 выводима в G, из Г.
Это можно доказать аналогично тому, как мы доказали в § 5Л пункт 3, следствие из теоремы о полноте исчисления Go. Подробности читатель восстановит сам.
Итак, для исчисления G, нс только понятие теоремы совпадает по объему с понятием всюду истинной формулы, но и понятие выводИ' мости с понятием семантического следования, аналогично тому, как было для G(].
Теорему 3 можно обобщить следующим образом:
Теорема 3'. Если L—исчисление на основе G„ то формула р алфавите £ доказуема в L тогда и только тогда, когда она истинна всякой модели L.
Доказательство. Тот факт, что формула, доказуемая в L, истий] на во всякой модели £. непосредственно следует из определеНйЧ! модели логического исчисления. Докажем обратное. Пусть формУЛ
IЛКС11C ЛОГ ИКИ 1 H’lSHMKA I OB	229
31 истинна во всякой модели L. Мы можем считать эту формулу за!икнутой <СР- Доказательство теоремы 3). Тогда, если 21 не дока-3уСМД в то недоказуема также и 7тИ; поэтому простое расширение £с помощью э'21 непротиворечиво и, следовательно, имеет модель, которая, очевидно, является моделью и для L; но в этой модели формула ЭД, вопреки условию, невыполнима.
Из доказательства теоремы 2 легко получить сшс один очень важный результат:
Теорема 4 (теорема Лсвенгейма — Сколема)9. Всякое исчисление на основе G,, имеющее какую-либо модель, имеет также счетную модель (т. е, модель со счетным основным множеством).
Доказательство. Как было замечено в начале предыдущего пункта, если исчисление на основе Gt имеет модель, оно непротиворечиво. Поэтому мы можем построить для него другую модель с помощью конструкции, использованной в доказательстве теоремы 2. Но основное множество этой модели содержится в множестве всех слов в счетном алфавите и содержит счетное множество {Ср с2,..,}; поэтому оно и само счетно ( см. Приложение II, теорема 7).
Теорема Левенгейма — Сколема показывает, что исчисления на основе G, не могут служить для формализации таких математических теорий, которые предназначены для описания исключительно конечных или исключительно несчетных множеств — например, теории действительных чисел или теории конечных полей. Для формализации теории действительных чисел, равно как и для описания конечных множеств, нужно существенно расширить запас выразительных средств языка, а именно, ввести кванторы по приди-катам10. Такое расширение связано, однако, с определенными
Л Лёвснгейм (Leopold Lowenheim, 1878—-’) — немецкий математик (был учи-1елем гимназии в Берлине) Т Сколем (Thoralf Skolcm, 1887 -1963) — норвежский '’нематик (был профессором университетов и Осло и Бергене), внесший сущестиен-вклад в математическую, логику 10у.	.
кванторы но предикатам нужны дли формулировки того снопе тиа, которым система действительных чисел отличается от системы рациональных чисел — cbohci |,ег|рерыиткти. Например, в теории Дедекинда это свойство формулируется тк аково бы ии было множество действительных чисел D, такое, что и оно само, и его д<’1И),,в<‘(1ие ire пусты и каждый эясмеш D больше каждою элемеша дополнения 1), сУ*иест гзуег либо наименьший элемент в I), либо наибольший в дополнении D». Но ф.1Ссги ч»ожества /7 можно рассматривать сю характеристический предикат, так что ду1КТИчс<ки М1’1 имеем здесь квантор общности по одноместным предикатам 11о ново-- "писания конечных множестве помощью кванторов по предикатам см задачу 1) в К°мПе главы
230
ГЛАВА б
трудностями". Исчисление предикатов рассматриваемого нами типа — без кванторов по предикатам, а также без предикатов от предикатов — часто называют узким исчислением предикатов или исчислением предикатов I-й ступени.
Заметим еще, что для любого исчисления на основе G,, имеющего хоть одну модель, существуют даже модели произвольной бесконечной мощности (строящиеся довольно тривиальным образом по счетной модели — см. задачу 12 в конце главы).
5. В заключение параграфа отметим еще один факт, устанавливаемый тривиально, неважный для приложений;
Теорема 5. Если £0 — тривиальное ограничение G, и L — простое расширение Lo с помошью множества замкнутых формул А (иначе говоря — Тесть исчисление на основе Gt, заданное системой аксиом А), то всякая интерпретация множества формул исчисления L, в которой истинны все формулы из А, является моделью для L.
Доказательство. Всякая теорема исчисления L выводима в из А (по лемме 1) и поэтому семантически следует из А (потеореме 1). А это и значит, что в любой интерпретации, в которой истинны все формулы из А, истинны и все теоремы L.
§ 6.3. ИСЧИСЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ G С РАВЕНСТВОМ.
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
I. Едва ли не во всякой достаточно богатой содержанием математической теории так или иначе присутствует отношение равенства: «.v и у — один и тот же предмет», символически обозначаемое обычно знаком =, Если мы хотим описать такую теорию с помощью логического исчисления, мы должны одному из его двуместных предикатных символов —- скажем, символу F] — отвести роль предиката равенства. Это значит, что в исчислении должны быть теоремы (в частном случае они могут быть аксиомами), выражающие тот факт, что обозначенное данным символом отношение ведет
11 Эти трудности возникают из-за того, что» вводя кванторы но предикатам, г. е-разрешая себе рассматривать всевозможные предикаты, например, от плюральных чисел как «заранее имеющиеся в наличии», мы можем столкнуться с парадоксами (ср парадокс Ришара (с.м. Введение), связанный с рассмо»рснисм как «наличных» всех функций натурального аргумента с натуральными значениями)
,ГГЛКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ	23I
--- ” ~ ~
бя как Равснство« Говоря неформально, эти теоремы должны ут-С|ржд^ть, что, во-первых, всякий предмет находится в отношении с самим собой и, во-вторых, отношение F$ может связывать предает только с самим собой. Первое из этих двух утверждений выражается. очевидно, формулой VxF?(x, х). Со вторым дело обстоит сложнее — ег0 не Удается выразить на нашем языке вполне адекватно. Это утверждение означает, в сущности, что предметы, связанные отношением неразличимы, т. с. всякое свойство, которым обладает один из них, есть и у другого. Но у нас нет средств, позволяющих выразить любое мыслимое свойство предметов, и поэтому придется ограничиться более слабым утверждением: если два предмета связаны отношением F* и один из них обладает каким-либо свойством, представимым с помощью некоторой формулы нашего исчисления, то и второй обладает этим свойством. Это можно записать в виде схемы формул
VxVXFXx, у) Э (Ш(х, х) D Ш(х, у)),
гдех, у — переменные, 21(х, х) — произвольная формула и ЭД(х, у) — формула, получаемая из Ш(х, х) заменой некоторых свободных вхождений х (не обязательно всех) вхождениями у, причем ни одно из заменяемых вхождений х не должно содержаться в области действия квантора по у. В конкретных исчислениях, описывающих содержательные теории, такое ослабленное утверждение все же, как правило, удовлетворительно характеризует предикат равенства — в той же мерс, в какой само исчисление можно считать удовлетворительным для описания соответствующей содержательной теории (подробности см. ниже).
Изложенные соображения приводят нас к следующему определению:
Исчисление L на основе G, называется исчислением на основе G, с Равенством, если его алфавит содержит предикатный символ F] — который мы в дальнейшем будем заменять символом = и вместо ~ Ц, /2) писать /| = /2 — и в G, доказуемы следующие формулы:
(г) х = х;
(Ох = уЭ(Ш(х,х)ЭШ(х,у)),
гДе х, у, 21 (х, х), Ш(х, у) удовлетворяют только что сформули рован-нЬ1м условиям12.
Выше мы писали (г) и (О с кванторами, которые здесь опущены ради техниче-Ого удобства. (Их можно восстановить с помощью BV.)
232
ГЛАВА б
2. Установим теперь некоторые общие свойства исчислений на основе G, с равенством.
Теорема I. Во всяком исчислении на основе G, с равенством;
(a) |-Vx(x = х);
Ф)| VxVy(x = yDy=x);
(у) |—VxVyVz(x — у&у = zDx = z).
Доказательство, (а) получается из (r) no правилу BV. Чтобы доказать (|3), достаточно установить |— х = уЭу = х, откуда требуемое получится также по BV. Для этого возьмем в (г) в качестве ЭД(х, х) формулу х = х и в качестве Ш(х, у) — у = х . Получим I—х — уЭ(х = Оу — х), откуда по правилу перестановки посылок ((34) из §5.3) । - г = хЭ(х = уЭу = х). Остается применить^) и У И. Аналогично, для доказательства (у) достаточно установить |- х = у&у = zDx = z, для чего, записав (z) в виде j- — zD(2l(y, у) D ЭД(у. z)), возьмем в качестве Ш(у, у) формулу х = у и в качестве ЭД(у. z) — х = z; получим г- у = zD(x — yDx — z) и далее I— х — у&у ~ zDx = z.
Следствие I. Во всяком исчислении на основе G, с равенством для любых термов I,
(a,) I-1 = г,
(Р.) i-/= г'Э/’ = /:
(Т1) 1-( = /'&(' =	/ = /"
Это получается из (з), (р), (у) noYV.
Следствие 2. Во всякой модели исчисления на основе G, с равенством предикат, отвечающий символу = , есть отношение эквивалентности.
Доказательство. Пусть R — этот предикат. Тогда в силу (а), (р), (у) истинны предложения, выражающие рефлексивность, симметричность и транзитивность R.
Если в модели исчисления на основе G} с равенством символу ** отвечает предикат равенства, такую модель называют нормальной.
Теорема 2. Во всяком исчислении на основе Gf с равенством:
(a) i- v, = z <&& у, = z, D
э (я(Уг У,..У». У.) Э а(Ун z.... Л. г,)),
где у, .... уА, zp zk переменные, 91(у,, у,, ..., ук, у^ — произвольная формула и 21(У|, zp ..., ук, zk) — формула, получаемая из предыдущей путем замены некоторых (необязательно всех) вхождений каж-
сП*1
ГДКСИС ЛОГИКИ (1РЕДИКАГОВ
233
• .. вхождениями z, причем ни одно из заменяемых вхождении у дои 3'	'	,
члпжно содержаться в ооласти действия квантора по z;
не
(6) I-J. = zi Ji = Z, Э
□ л. Л) = '(у,, zr л, ZA
где Vp УД zp zk ~ переменные, /(у, у, ...,ук, ук) — произвольный терм я /(у, zp уЛ, z^ — терм, полученный из предыдущего заменой некоторых (не обязательно всех) вхождений каждой у вхождениями z.
Доказательство. При k = 1 (а) совпадает с (£). При А = 2 по (/) имеем
I-»'. = zi Э (И0’г Jr Jr Л) 3 а(Ур z„ л, Ь))
И
НЛ = z23(a(Jr ZP Jj. Ji) 3 a(Ji> zi. Ji» z;)).
а из этих двух выводимостей, пользуясь правилом соединения импликаций и законом транзитивности импликации ((38) и (37) из §5.3) и правилами УИ, УК и ВИ, легко получить
НУ, = х, & У2 = z2 D 91(у, у, у2, у2) D Ш(у„ z,, у2, z2)).
Аналогично доказывается (а) для произвольного/; > 1. Чтобы получить (б), достаточно взять в (а) формулу
Фр У...., У» Ук) = Фр Ур •••> Ук)
в качестве 91(у, у, уА. уЛ) и у,....у, ук) = /(у, z„ .... у, zj в ка-
честве 3i(y|t у., zk) и затем воспользоваться правилом перестановки посылок, пунктом (а,) следствия 1 из теоремы 1 и правилом УИ.
Теорема 3. Если исчисление на основе G, с равенством имеет м°Дель, то оно имеет и нормальную модель.
Доказательство. Пусть L — наше исчисление, Л/ — основное божество данной модели, R — предикат, отвечающий в ней симво-в , Ф* — предикат, отвечающий символу F*, q’* — функция, от-Вечающая символу /„*, а„ — элемент Л/, отвечающий символу а„. По Пп ^Стиию 2 из теоремы 1 R есть отношение эквивалентности. Для е^Изкельного а мы будем обозначать через (а ] тот класс экви-^нтнисти. которому принадлежит а.
ц, *°СтРоим теперь новую интерпретацию исчисления L следую-образом:
Ее основным множеством будет фактор-множество М/R.
234	1'ЛЛВд|
(б)	Каждому предикатному символу F* будет отвечать предикау Ф*, сопоставляющий всякому упорядоченному набору к классов э^, вивалснтности В}, .... Вк предложение «Существуют такие р 1 что[$(€~/?,и предложение Ф*(р,.(JA) истинно».-Легко видеть, что это
предложение равносильно следующему: «Для любых р,,рА, та,! ких, что р,вД, предложение Ф^(р(, рА) истинно». В самом деле, по теореме 2а в L доказуема формула
у, =	= zp(^(y„ уЛ) DF,*(z„ .... zj),
и потому отвечающий си предикат
у,Л2,&...&уЛ^ э ('»:(>.. Л) э ^))
тождественно истинен, а это значит, что если р|ЛР,, .... Р^Р*, то истинностные значения предложений <b£(p„ -Р*) и Ф*(рр •••» Р*) совпадают.
(в)	Каждому функциональному символу /,* будет отвечать функция (р*, сопоставляющая всякому упорядоченному набору к классов 1р, ],.... [рА [G М/ R класс [q*(pr р*) J. Это определение не зависит от выбора элементов в классах («представителей»), поскольку по теореме 26 в Lдоказуема формула у — гх&.---&.ук — ZfPf*(y\. ..., уА) =| =	zA), так что отвечающий ей предикат ylRzx&"‘&ykRzk D
*(yt, .... y*)^<r*(zl3 .... zk) тождественно истинен — иначе говоря, если р,Лр1р*Яр/, то(р*(р|?..., р*) и ф*(р’„	р4) принадлежат одному
и тому же классу.
(г)	Каждому символ) предметной константы ап будет отвечать класс |(х„ [.
Очевидной возвратной индукцией по сложности терма (т. е. по числу вхождений в него функциональных символов) легко доказать, что для произвольного терма /(у,,уА), содержащего переменные ук и не содержащего других переменных, и для любых р„ ...» имеет место равенство т(|р, ], ..., [рА ]) = [т(рр ..., рА) ], где тй т - функции, отвечающие терму I соответственно в старой модели и в новой интерпретации. (В частности, при к = 0, если гит — образы I в старой и новой интерпретациях, то т = [т].)
Теперь уже нетрудно доказать, что если 21 = 21(ур ...,уА) — проиЗ' вольная формула исчисления L, содержащая свободные переменны6 ур...,уА и нс содержащая других свободных переменных, 11
^(у|5 ..., уЛ), >1(У|,	У*) — предикаты, отвечающие формуле 21 в стЗ'
0ЦТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
235
„ и новой интерпретациях соответственно, то предложения рой	_
/о Ц*) и А( [0,),|рА J) равносильны, каковы бы ни были рг бМ- (Это доказывается возвратной индукцией по сложности фор-* пы' базис основывается на пункте (б) определения новой интер-^петации и только что сформулированном утверждении о термах; Йндукционный шаг, как обычно, распадается на случаи, соответст-vtoiUHe пунктам индуктивного определения формулы; подробности предоставляются читателю.) А отсюда немедленно следует, что формула исчисления L истинна в новой интерпретации тогда и только тогда, когда она истинна в старой; поэтому, поскольку старая интерпретация является моделью исчисления L, новая также будет его моделью. Кроме того, если R — предикат, отвечающий в новой модели символу = , то по пункту (б) ее определения BRB' истинно тогда и только тогда, когда найдутся такие	и [3'€=/?', чторЯр' — иначе
говоря, когда В совпадает с В'. Таким образом, новая модель нор
мальна.
Описанный в доказательстве теоремы 3 способ построения нормальной модели по произвольной модели исчисления L мы будем называть нормализацией исходной модели. Так же будет называться и сама новая модель. Примеры будут приведены ниже, после того, как мы научимся задавать многие важные исчисления с равенством с помощью легко обозримых множеств дополнительных аксиом.
Замечание. Из доказательства теоремы 3 непосредственно следует. что если формула в алфавите исчисления на основе С, с равенством истинна в некоторой модели М этого исчисления, то она истинна и в модели, полученной из М нормализацией, и обратно. Поэтому формула, истинная во всех нормальных моделях такого исчисления, истинна и во всех вообще его моделях. Отсюда вытекает, в частности — ввиду теоремы 3' предыдущего параграфа — что формула в Алфавите исчисления на основе Gt с равенством доказуема в этом исчислении тогда и только тогда, когда она истинна во всех его нор-мальных моделях.
доказательства теоремы 3 легко получить также следующее Дополнение к теореме Лёвенгейма — Сколсма:
Теорема 4. Всякое исчисление на основе с равенством, имею-^ее какую-либо модель, имеет конечную или счетную нормальную МоДСль.
В самом деле, по теореме Левенгейма — Сколема исчисление на °ве G, с равенством имеет счетную модель; но мощность фактор-Зкества М/R не превосходит мощности М.
• Как же обеспечить для конкретного исчисления выполнение Овий (г) и (/)? Напрашивается очевидный способ: взять их в качс-
236
ствс схем аксиом. Однако схема (/) сложна и плохо обозрима. Поэточ му будет полезна следующая теорема, которая даст нам возможное^ заменись эту схему другим условием, гораздо легче поддающим^ проверке:
Теорема 5. Пусть для исчисления L на основе G,: (а) выполняете^ условие (г); (б) условие (/) выполняется для случая, когда 91(х, х) атомная формула, не содержащая термов, отличных от переменных и 21(х, у) получается из 21(х, х) заменой одного вхождения х вхожде’ ниему; (в) для любого функционального символа/ЛА, принадлежащего алфавиту L, доказуемы формулы
=	.........л>.
где у..... yk, z — переменные, i — I,..., к. Тогда Z, есть исчисление
основе G с равенством.
Доказательство. Покажем сначала, «го —х = уЭ/ - /Ц. где х, у- переменные, I — произвольный герм, содержащий вхождениях, и '— терм, полученный из I заменой одного вхождения х вхождением у. Доказательство проводится возвратной индукцией по сложности л(/) терма к Базис (ривиалещ поскольку при Ч/) =0 имеем / = х. Пусть > 0 и утверждение справедливо для всех термов, сложности которых меньше.s. Тогда, если x(t) = д и / содержит вхождения х, термы / и i II }'можно представить в виде
?=/*(/....4	•	...,4)
где /Л. — некоторые термы и /, содержит вхождения х. По пред-положению индукции х = уЭ/( = /1; из нашего условия (в) с п(Г мошью) BV и У\? получается i /. = /,|| 'D? - /|| *. Остается воспользо* вгиься транзитивностью импликации.
Очевидно, для доказательства (/) достаточно установить, что х — уЭ(2!Э'Л|| У), где 21 — произвольная формула, содержат^ свободные вхождения х, и 211| ' получается из 21 заменой на у одн°г° свободного вхождения х, не содержащегося в области действия кваН^ торг» по у. Чтобы это доказа ть, заметим сначала, что наших услов*11* (а) и (б) досгаточно для справедливости теоремы I, гак как в & доказательстве (О использовалось только для атомных формул, содержащих термов, отличных от переменных Д;»лсс проведем воЗ" вратную индукцию по сложности з(21) формулы 21.
СЦ| | i лК( ИС логики ’ Н'ЕДИКАТ ОВ
237
Базис. Если х(21) = 0, то 51 и 31Ц' можно представить в виде ^)> ^11~	....<11 v- > 4), и из условия (б) по
gtf и VV получаем |- /, = /J| JD(31D21|]но но доказанному выше । х =- уЛ, = /,|| ф Остается воспользоваться транзитивностью имп-ликаиин.
Индукционный шаг распадается на обычные случаи, (а) 31 ч» ?зз. Поскольку, очевидно, 95 = (95[|') ||*, имеем по предположению индукции ,-у = xZ>(95||'D95), откуда по правилу контра познай и закону транзитивности импликации [-у = лО(Э1Э31|| *). Далее пользуемся пунктом (|1) теоремы I. (б) 51 = S5&6. Здесь возможны два подслучая:
(б 1 •» 211|; = 95||	, (б2> 211[; = 95#е ||;.
В первом из них по предположению индукции |- х = = yD(95D951|откуда требуемое получается ввиду легко проверяемого соотношения ЯМ/уЭё&ёг (£). Л — произвольные формулы); так же рассуждаем и во втором. Случаи (в) 2! = 95 vG и (г2) 21 - 95 D б, 311| ' = 95 Э б || ' рассматриваются аналогично. В случае <г!) 31 = 95D6, 3l||(' = 95||*Эб пользуемся выводимостью	(6Эл)Э(^Э<у) и теоремой 1 (как в случае (а)),
(д) 51 = Vz95. Тогда 311| = Vz(951| '): поскольку х — свободная переменная в 31 и заменяемое вхождение х не содержится в области Действия квантора по у, обе переменные х и у отличны от z. По Предположению индукции !—х = уЭ(95Э95|| *); отсюда легко получить выводимость х = j, Vz95i— 951| *, после чего остается применить
и дважды ВИ. Аналогично рассматривается случай (с) 21 = 3z93.
Доказанной сейчас теоремой особенно удобно пользоваться тогда, когда алфавит содержит конечное число предикатных и функциональных символов <а в прикладных исчислениях чаше всего бывает именно так). В этом случае условие (/) можно заменить конечным числом схем аксиом, каждая из которых содержит о д и н к°НкРСтный предикатный или функциональный символ и сим-в°лы, обозначающие п р о и з в о л ь н ы е переменные (в к<»че-Стве таких «мстапеременных для переменных» мы используем б) квы ’ 2> с индексами или без них, а также х без индекса). Такие ^Хемы аксиом — не содержащие метапеременных для формул и рК]°в,а только для переменных — мы будем называть простей
238	1-'<АИД ।
шими'\ В частности, среди простейших схем аксиом, возникающий из условия (б) теоремы 5, всегда должны присутствовать схемы
(е,)х = yD(x = zDy = z), (е2)х = yD(z = xDz = у).
Но они равносильны условиям (s) i- .v = у Dy = х-(/) <- х - у&у = zDx - z. В самом деле. (/) равносильно выводимости л* — У, У = zl— * — z, которую можно записать также в виде z = л л = yi-z = у, что равносильно доказуемости схемы (е2), а из (е2) с помощью (у) легко вывести и (к,). С другой стороны, при доказатель-| ствс теоремы 1 мы фактически вывели (s) и (/) из допущения, что доказуемы (е,) и (е2).
При описании конкретных исчислений с равенством обычно предпочитают пользоваться нс схемами (ej и (е2). а условиями (s) и (/) — законами симметричности и транзитивности равенства,— которые естественно объединяются с условием (г) — законом рефлексивности равенства — в группу условий, характеризующих равенство как отношение эквивалентности. Так будем поступать и мы в нижеследующих примерах. Прежде чем переходить к их рассмотрению, условимся об одном полезном сокращении: будем обозначать через 3’№l(.v) формулу
3a(21(.v)&Vj-(M(>)Dj = л)),
где у — произвольная переменная, свободная для подстановки вместо х в 51(л). Выражение B!.v2l(,r) читается «Существует (или «найдется») единственное л\ такое, что 21(л)».
4. Перейдем к примерам исчислении на основе G{ с равенством.
Пример 1. Узкое исчисление предикатов с равенством (обозначение С?Г). Так мы будем называть простое расширение (7, с помощью множества формул видов, описанных в условиях (а), (б), (в) теоремы 5 (причем в условии (б) берутся всевозможные предикатные символы, в условии (в) — всевозможные функциональные символы G,).
Все следующие примеры будут представлять собой так называемые элементарные теории. Под элементарной теорией некоторого класса математических систем принято понимать логическое исчисление, множество теорем которого совпадает с множеством истинных в системах этого класса элементарных предложений, т. е. пред-
u Без простейших схем аксиом можно было бы обогнись, замени» их копкретяьп ми аксиомами. Например, схема дг-х рэвносияьна аксиоме Xi = ai, поскольку из последней по правилам BV и W полу чается |— к, = г, для любой переменной л,. Мы <|С делаем этого ради технического упрощения, пуск, и небольшого В дальнейшем мН чаек» будем низы иль простейшие схемы аксиом нроио аксиомами
П ЛКСИС ЛОГИКИ 11РЕДИКА1 о в
239
олений, формулируемых на языке узкого исчисления предикатов -’1 значит, без использования кванторов по предикатам) Напри-
в теории упорядоченных множеств (см. о них в Приложении I) h Лдпоженис «Если для любых двух элементов упорядоченного ножества существует элемент, меньший их обоих, то и для любых х элементов найдется элемент, меньший их всех» элементарно а предложение «Если упорядоченное множество вполне упорядочено (т. е- R любом его непустом подмножестве имеется наименьший элемент), то оно линейно упорядочено» не элементарно14. Если класс состоит из одной системы, говорят просто об элементарной теории этой системы. Вообще говоря, элементарная теория нс обязательно должна задаваться конечным или вообше легко обозримым множеством аксиом; можно, в частности, просто принять в качестве аксиом все предложения, истинные в системах данного класса. Мы, впрочем, подобные тривиальные способы задания рассматривать не будем.
Во всех дальнейших примерах подразумевается, что алфавит исчисления содержит символ = и что (г), (х), (О являются его аксиомами: поэтому задание исчисления будет состоять в перечислении остальных символов и остальных аксиом, которые мы будем называть собственными аксиомами данного исчисления.
Пример 2. Элементарная теория полугрупп (обозначение П). Исчисление на основе Gt с одним функциональным символом f который мы будем заменять знаком + и вместо +(/,, /2) писать /, + и собственными аксиомами
(л|) -V =	+ z = у + z;
(л2) л- = yDz + л- = z 4- у;
(л4)(л + у) + 2 = л' + (у+2).
Пример 3. Элементарная теория групп (обозначение С). Получается из П добавлением символа предметной константы а{, который мы будем заменять знаком 0. и аксиом
(л„)л- + О = х;
(л5) Vx3y(x + у) = 0.
Пример 4. Элементарная теория абелевых групп (обозначение °' - Простое расширение G с помощью формулы
К) X + у = у + X.
’’РИх .	говорят также об элементарных свойствах матема i ических chcicm. На-
Tapj/jСв°йство упорядоченного множесша 6i.ni. линейно упорядоченным злемен-’а снойство быть вполне упорядоченным не элементарно.
240	I ЛЛНЛ 6
Пример 5. Элементарная теория колец (обозначение А), Получается из .4G добавлением функционального символа/который мц будем заменять знаком • и вместо (/р /2) писать /,  /7, и аксиом
(л7) х = yD.vz = yz;
(nJ х = yDz-x = z- у;
W (x J’)‘Z = X-(yz)-
(-Ъо) (x + y)'2 = X’Z + y-z;
(n,|) x  (y 4- z) — x-y 4- x-z.
Пример 6. Элементарная теория, коммутативных колец (обозначение KR). Простое расширение R с помощью формулы
(Л|2) л-у = ух
(одна из аксиом (л10) или (л„) становится здесь избыточной).
Пример 7. Элементарная теория полей (обозначение С). Получается из KR добавлением символа предметной константы а2, который мы будем заменять знаком 1, и аксиом
(лн)А-1
(л|4) Vx(7(x = 0)ЭЗу(ху = 1)).
Пример 8. Элементарная теория упорядоченных множеств (обозначение Or). Исчисление на основе G, с предикатным символом Л'2, который мы будем заменять знаком < и вместо <(/р /2) писатт /, < /2, и собственными аксиомами
("|) ,г = >О(Л < zDy < z):
(<>2) Л- = jO(z < ,Oz < у);
ООЧХЛ');
(о4) V <	' zD.v <z.
Пример 9. Элементарная теория линейно упорядоченных множеств (обозначение 1.Х)г) Простое расширение Or с помощью формулы
(О,) X = yVx < yvy < Л.
Все описанные исчисления являются исчислениями на основе G, с равенством. Ввиду теоремы 5 Это следует из наличия в них гжсиоМ (г), (у), (/), а также аксиом (л,), (л2) (для примеров?—7), (л7), (лъ) (для примеров 5—7), (о,), (о2) (для примеров 8, 9).
0111 ГЛКС'ИС ЛОГИКИ ПРЕДИКА РОВ
Что представляют собой нормальные модели этих исчислений? ^ормальные модСли исчисления Gf — это все те и только тс интер-Стдции множества всех формул G(, в которых символу = (т. е. F^) трс*чвет предикат равенства. В самом деле, во всякой такой ингер-прСтации аксиомы исчисления G = истины, так чго по теореме 5 пре-дЬ]душс[о параграфа она является моделью (7 f. Точно так же видим, 0 нормальными моделями исчислений П, G, AG и т. д. служат в точности все полугруппы1’, все группы, все абелевы группы и т. д.
Поучительны также и примеры ненормальных моделей; три таких примера мы сейчас приведем. Это тоже широко употребительные алгебраические конструкции, и они позволят нам почувствовав природу описанного в доказательстве теоремы 3 метода нормализа
ции.
Пример 1. Рассмотрим следующую интерпретацию множества формул исчисления С: основным множеством будет множество целых чисел, символу = отвечает предикат сравнимое!и по некоторому фиксированному модулю т. символы +. •. 0. I имеют обычный смысл. Нетрудно показать, что в этой интерпретации истинны формулы (х). (г). (/) и ст,)— (л13), а при простом т также и (л!4). (Доказательства можно найти в любом курсе теории чисел.) Следовательно, эта интерпретация является моделью для R и KR, а при простом щ и для С. При т > 1 эта модель ненормальна; ее нормализация приводит к кольцу (при простом /л — полю) классов вычетов
по модулю т.
Пример II. Чтобы получить представление о наиболее интересном классе ненормальных моделей исчисления /7, введем предварительно некоторые алгебраические понятия. При этом мы будем обозначать пол у групповую операцию нс знаком +, как выше, а знаком  (который часто будет опускаться) и называть се умножением. Так же Мы будем поступать и дальше (в частности, говоря о группах): cooi -встствснно вместо 0 будем писать I.
Пусть Л - произвольный алфавит. Множество /1* всех слов в этом алфавите образует нолу| руппу относительно операции «умножения слов», состоящей просто в том, что множитель записывается ВСЛеД за множимым, так что произведение слова а ил слово у сыт» С-Юво лу. (Например, если х = рок, у = око, то ху = рококо, ул = око-!)ок.) Такая полугруппа называется свободной.
Лесой нативным исчислением называется упорядоченная пара " (Л, R)y где .1 — конечный алфавит и R — конечное множество ' а(<ия вцда л о у. гдех. у — слова в алфавите Л. Применить к слову
’чщ ^°'1У^Руч>юи называсиж. как извесню. множество с определенном на нем асео-бинарном операцией
242
гллвд.
z правило x у значит заменить в z некоторое вхождение х вхожде„ нием у или наоборот (например, каждое из слов неотлучный и нерсцЛ лунный получается из другого применением правила от ра3) Слова и и »?в алфавите ассоциативного исчисления эквивалентны а этом исчислении (обозначение: u~v), если у можно получить из ц (или, что то же самое, и можно получить из и) последовательным применением правил. Ясно, что это отношение действительно является отношением эквивалентности и вдобавок обладает тем свойством, что из х, ~х2 и >• ~у2 следует х,у, ~х2у2. Поэтому на фактор, множестве A*/R можно определить операцию умножения «по представителям», положив для любых классов эквивалентности .V и у: XY = {xylxeA’, у(=У]. Эта операция ассоциативна, так что A*/r будет полугруппой (это так называемая фактор-полугруппа полугруппы .4* но отношению R). Обычно в теории полугрупп алфавит ассоциативного исчисления называют системой образующих полугруппы A*/R (его элементы называются ее образующими), а правила — ее определяющими соотношениями (записывают их обыч-| но не в виде х <*у, а в виде х = у). Полугруппа, заданная конечной системой образующих и конечным множеством определяющих соот-ношений, называется конечно определенной.
Пусть теперь М конечно определенная полугруппа, заданная системой образующих А и множеством определяющих соотношений R. Рассмотрим следе тощую интерпретацию множества формул исчисления П: основным множеством будет множество Л* всех слове алфавите Л, символу = отвечает предикат х ~у, символу + отвечает! функция ху. Из отмеченных выше свойств отношения ~ и операции а множения слов немедленно следует, что в этой интерпретации истинны формулы (г), (s), (/), (Л]), (л2), (л,), так что данная интерпретация есть модель исчисления П. Если отношение R нетривиально (т. е. существуют хотя бы два различных слова, эквивалентных в смысле R), то эта модель ненормальна. Ес нормализация дает как раз полугруппу A*/R — М.
Пример III. Ассоциативное исчисление (Л. R) называется групповым. если Л есть объединение двух непсресскаюшихся равномоШ* пых алфавитов Л* = {а . ... а,) и Л = {ар1, ..., др1}, причем фиксировано взаимно однозначное соответствие между А* и А- (элементу а„ соответствует «“') и R содержит для каждого i = 1, ..., п «прЗ-вила сокращения» ща~' о А, а~'а1 А (А — пустое слово). НетруД" но доказать, что для группового ассоциативного исчисления фактор' полугруппа Л*//? является группой; единицей в ней будет класс»! содержащий А, обратным элементом для класса X — класс, содержа' ший для каждого слова xGX обратное слово х-1, определяемое таМ
iH I АкСИ< ЛОГИКИ 1 1РВДИКАТОВ
243
ИЛИ
___ а 1 и а, 1 = а;, Л ' - Л.. (Вес слова, обратные словам из (1‘ 1 zV, входят в один класс, поскольку из д-у следует gjjacL»1	-	«
-| = с" Л ~л' >т _|л*>,_|~Л>_| — у'1.) Группы, задаваемые таким лп1зом- называются конечно определенными группами. Чтобы за-ь конечно определенную группу, достаточно указать алфавит -Г fcro называют системой образующих группы} и «собственные» определяющие соотношения (т. с. отличные от всегда имеющихся соотношений а,а~х = 1 ^а~'а, = 1; символ 1 используется обычно вместо V- Говоря об определяющих соотношениях группы, подразумевают, как правило, «собственные» определяющие соотношения. Например, группа, заданная образующими а, Ли определяющими соотношениями аг = 1, Л* = 1, bob - а, изоморфна, как легко проверить, группе подстановок 3-й степени'6
" Пусть теперь в интерпретации предыдущего примера исчисление A*/R — групповое. Если в этой интерпретации дополнительно сопоставить символу 0 пустое слово, она станет интерпретацией множества формул исчисления С. которая, очевидно, будет моделью этого исчисления, всегда ненормальной (т. к. теперь отношение R нс может быть тривиальным). Нормализация даст iy группу, которая задается данным ассоциативным исчислением.
Задачи. 1) Охарактеризовать класс групповых исчислений, являющихся моделями исчисления .46'.
2) Указать примеры ненормальных моделей исчислений ()г и LOr.
3) Привести примеры выводов в исчислениях примеров 2—Q или хотя бы в некоторых из них. (Желательно показать, в частности, что в G доказуемы формулы
о + Л- = Л, Vv3!i(A + >• = 0).
Л + г = 0DJ + .V = 0,
v.v(.v + г = Л)Э2 = 0,
х + У = Q&x + z = ODy = z,
VxVy3!z(x 4- z = у),
Ф°РмУла -х  0 = 0, в С — формула л у = ОЭх = Ovy = 0, Ог - формула л- < уЭ?(у < а).)
с ^то можно сказать о семантической пригодности и семантиче-и полноте рассмотренных исчислений? В § 5.4 мы определили
морфное соответствие получится, например, если соностани гь образт lomcii ^"‘"•’’Ицию (12), а образуются b ио.к танонку
244	ГЛЛВЛ]
семантическую пригодность исчисления как истинность всякой д0^ казуемой в нем формулы и семантическую полноту — как доказуе] МОСТЬ ВСЯКОЙ ИСТИННОЙ, При ЭТОМ ИСТИННОСТЬ ДЛЯ каждого ИСЧИСЛе! ния понимается по-своему — в зависимости от того, для каких целей оно построено. Когда речь идет об исчислениях на основе G(, под истинностью естественно понимать истинность в интерпретациях определенного класса — тех, для описания которых это исчисление предназначается (тогда семантическая пригодность исчисления означает, что все эти интерпретации служат для него моделями). Для самого (7|, призванного обслуживать нужды любых математических теорий, этот класс состоит из всех вообще интерпретаций, для узкого исчисления предикатов с равенством — из всех тех интерпретации, в которых символу 7-'2 отвечает предикат равенства, для элементарной теории групп — из всех групп, и т. д. И легко видеть, что при таком понимании истинности все эти исчисления семантически пригодны и семантически полны. Например, для элементарной тео-] рии групп в силу теоремы 5 предыдущего параграфа всякая группа является моделью'7, а в силу замечания после теоремы 3 настоящего параграфа всякая формула, истинная во всех группах, доказуема в Элементарной теории групп. Аналогично для остальных исчислений. (Этим, собственно, и оправдываются термины «элементарная теория групп» и т. п.)
5. В § 1.2 (пункт 3) мы определили функцию как отношение, связывающее каждый элемент своей области определения с одним-единствеаным элементом множества значений. Для таких отношений в математике используются особые «функциональные» обозначения, очень упрощающие работу с ними. Эти обозначения фигурируют и в логических исчислениях в виде функциональных символов и строящихся с их помощью термов. Кажется правдоподобным, что ничего принципиально нового такие обозначения не дают и нужны только для удобства. Следующие рассуждения показывают, что эта догадка верна.
Пусть L— непротиворечивое исчисление на основе С с равенством и G(y(, z) — формула в его алфавите, не содержатся свободных переменных, отличных ог у,, .... у„, z, и такая, что
. У>'|	Vy„3!zG(y,.	z). Добавим к алфавиту L новый и-мест-
ный функциональный символ g и к множеству аксиом L — аксиоМУ' (точнее — простейшую схему аксиом) 6 (у, .., уи, #(у, ..., ун)) и в^ новые аксиомы, возникающие после добавления# из схемы аксиоМ
17 В згой icopcve. шла речь с» расширении с помощью замкнунах формул, 1,0 аксиомы любой из наших элементарных теорий можно «замкнуть», связан все свобод niiie переменные кванторами общности
•\fcVHC 'IO1 ИКИ ЫРГ.ДИКЛ ГОВ	245
СИ”' .----- ---- -------------
(или. если исчисление задано способом, основанным на теореме .словия (в) этой теоремы). Полученное исчисление — кото-. можно также считать исчислением на основе G. с равенством Р°с 224) — обозначим L' Покажем теперь, что по любой формуле исчисления L' можно эффективно построить дедуктивно эквива-,нтнучоой исчислении £') формулу 21' исчисления L таким обра-, иго • 21 тогда и только тогда, когда |- 21', и если 21 не содержит зоМ. 1,4 а го21 = 21.
Пусть сначала 21 — произвольная атомная формула в алфавите £' содержащая вхождения g. Обозначим через 21“ формулу, полу-ченн'.5" из 21 заменой одного вхождения терма g{jt, /,.), где
. I — гермы, не содержащие g, вхождением некоторой переменной -V. нс содержащейся в 21. (Для определенности будем считать, что заменяется самое левое вхождение терма такого вида и что v — первая нс входящая в 21 переменная.) Положим эд* = 3.v(2l	.... х)). Пользуясь аксиомой С(ур у,., go;,..., yj)
иусловием - Vy,... Vy^IzCfy,,..., r„, z), легко доказать (подробности предоставляются читателю), что формулы 21 и 21* дедуктивно эквивалентны. Поскольку 21* содержит на одно вхождение g меньше, чем 21, последовательным повторением описанного преобразования мы получим в конце концов формулу 21', не содержащую g и дедуктивно эквивалентную 21. Теперь мы определим 2Г для всех остальных формул в алфавите L', полагая 21 = 21. если 21 — атомная формула, яс содержащая g, а для неаюмных формул пользуясь индуктивным определенном:
((21)?СЗ)) = (Ш')а(ф’) (д = v, D);
([1(21))- = (1(21') ф = 7, Vx, Вл).
Дедуктивная эквивалентность 21 и 21' для общего случая следует из Те°ремы о замене дедуктивно эквивалентных формул. Далее, если ф 21’, то гем более 3('5 откуда ввиду дедуктивной эквивалентности 1121’ следует |у 21. Ос1астся доказать, чго |— 21 влечет [- 2Г. Посколь-КУ из । 21 следует 21', достаточно убеди i вся, ч го если 21 — формула в ’’лфавите L, то из |- 21 следует । 21. Это мы сделаем так. Пусть М — ^‘*Кая~либо нормальная модель исчисления L (существующая потео-ь Мс 2 предыдущего параграфа и теореме 3 настоящего). Ввиду усло-51 Уу,...у)? 3!z(i(yp ..., у„, z) для любых п элементов лр ... /г ос-
HbrfH°r° м,южества модели М в этом множестве найдется единствен-ллстиент р>, для которого истинно предложение С(э,, .... я,., 0),
246
гллвЛ1
где С — предикат, отвечающий в модели М формуле С. Пусть ф _J функция п переменных, сопоставляющая любым т|5 аи соответс-М вуюшее [к Дополним Л/до интерпретации Л7' множества формул д» сопоставив символу g функцию ф. Легко видеть, что Л-7' будет мо_ долью исчисления IДействительно, все правила (7, справедливы в любой интерпретации (см. доказательство теоремы о семантической пригодности (7,); справедливы в Л-7' и аксиомы равенства (в том чисде и для формул, содержащих g), потому что символу = отвечает в М -3 а, стало быть, и в М' — предикат равенства; собственные аксиомы исчисления L не содержат g и поэтому, будучи истинными в Л/ истинны и в Л7': аксиома G(y„ .... у/;, g(yp ..., уг;)) истинна в силу определения функции ф. Пусть теперь 21 — формула в алфавите L, доказуемая в£'. Тогда для любой нормальной модели М исчисления /..формула 21 истинна в соответствующей модели Л-7', а поскольку ЭД не содержит^, она истинна и в Л7. Таким образом, 21 истинна в любой j нормальной модели исчисления £; но, как мы видели при доказа-и тельстве теоремы 3, для произвольной модели L существует нормальная модель того же исчисления, в которой всякая формула истинна тогдгт и только тогда, когда она истинна в исходной модели; I поэтому формула 21 истинна в любой модели L и, следовательно, по теореме 3 предыдущего параграфа она доказуема в L.
Замечание. Это утверждение можно доказать и чисто синтаксиЖ чески, не обращаясь к моделям (см., например, (Клини 1957 I, § 74)1 но такое доказательство очень сложно.
Доказанное утверждение допускает следующую очевидную мо- | дификанию: вместо формулы С(ур ..., yrt, z) можно взять формулу! (E(z) с единственной свободной переменной z. удовлетворяющую условию -3!zG(z). Тогда вместо функционального символа вводится | новый символ предметной константы, но все конструкции и доказательства остаются, в сущности, прежними.
Последовательно применяя описанную процедуру, можно, разу- । моется, ввести и несколько новых функциональных символов и/или символов предметных констант.
Примеры. I) Поскольку в элементарной теории групп доказуема | формула V.v3!j’(.v + у = 0) (см. задачу в конце пункта 4), мы можем добавить к ней новый одноместный функциональны и символ g и аксиомы х = jOgf.v) = #(у) и х + ^(х) — 0. (Обычно вместо g(x) пишут —л*.) Однако ввиду доказанного нами утверждения при гакоМ. | расширении исчисления будут доказуемы только те формулы Б прежнем алфавите, которые были доказуемы ранее.
2) К элементарной теории полей мы можем тем же способов I добавить два новых одноместных функциональных символа g («пр0'
247
Л [ j л КС ИС Л 01 ики ПРЕДИКА [ о в
-наложный элемент») и h («обратным элемент»)18, но никаких т1? |1Х теорем при этом опять-таки не получится.
г1° Наше утверждение дает возможность не только добавлять, но и сТранять функциональные символы и символы предметных кон- „иг Можно, например, в элементарной теории групп G заменить символы + и 0 предикатными символами ?,иГ;, дооавив аксиомы Vy Vy,2UF । Он z)и j(z) и заменив все аксиомы, содержащие +
Q их «переводами», построенными в соответствии с описанной выше процедурой [например, (л,) заменится аксиомой
3z2(3z,((-v = lOz, = z2)&f !(.V, z, z,Y)&r ‘(y, t, z2)>,
— аксиомой 3z,(3z,(z2 = x&F	\x, z,, z2)) ].
В построенном таким образом исчислении — обозначим его <7*— будут доказуемы «переводы» всех теорем исчисления G, и наше утверждение показывает, что если снова добавить к G* символы + и О вместе с аксиомами F,(x, у, л + у) и F [(0), то никаких новых теорем в алфавите G* кроме «переводов» teopCM из G, мы не получим. Таким же способом можно и в любом исчислении на основе Gt с равенством устранить все функциональные символы и символы предметных констант. Однако использование этих символов делает язык логики предикатов (как и содержательный математическим язык) несравненно более обозримым и наглядным, и поэтому ими пользуются весьма широко.
6. В заключение параграфа сделаем еше одно замечание, которое понадобится нам позже. Для произвольного логического исчисления алфавит которого содержит символы предметных констант, и произвольной его интерпретации I естественным образом определяется отображение множества замкнутых термов исчисления L в основное множество интерпретации /: образом символа предметной константы служит тот элемент основного множества, который отвечает ему в Интерпрстации /, и если ар ..., тк— образы термов /р ..., /А„ fkn — ^-местный функциональный символ и <( — функция, отвечающая ему в [ то образом терма /*(/../А) служит qfa,...Образ
замкнутого терма в этом отображении мы будем в дальнейшем назы-®ать просто элементом, отвечающим данному терму в данной ин-^Рпретащш. Если L — исчисление на основе G с равенством и I —
Нормальная модель, то, очевидно, формула г, = /2, где /р 12 -^^кнутые термы исчисления L, превращается в модели / в предло-
Ие «г, совпадает с т2», где т, и т2 — элементы основного мпожссч ва
ри _»п>м /ЦО) можно формальна положить, например, ранным 0.
24«

/, отвечающие термам /, и /2. а формула = /,) — в предложен^ «г, нс совпадает с с2». Поэтому из доказуемости в L формулы следует, что термам t и /2 отвечает в / один и гот же элемент, а доказуемости 7(/, = /2) — что им отвечаю?' разные элементы. (Q^ ратное неверно: например, если добавить к алфавиту элементарно^ теории групп два новых символа предметных констант и и Ь. т0 термам ab и Ьа в некоторых нормальных моделях полученного исчисления будет отвечать один и то? же элемент, а в некоторых — рд3, ныс, и как раз полому ни одна из формул ab = Ьа и 7(аЬ — Ьа) Не может быть доказуема в этом исчислении.)
§ 6.4. ДРУГИЕ ВАРИАНТЫ УЗКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
1. Рассмотрим исчисление гильбертовско’о типа //„ определяемое следующим образом:
Алфавит Н, состоит из тех же символов, что и алфавит G|} кроме Л.
Правила образования термов — те же, что в (7,.
Правила образования формул — те же, что в (7., кроме правила (б).
Множество правил вывода Н состоит из двух правил:
Modus ропсп\ (сокращенно МР>: ЭД, ЭДЭЭЗ|- 33.
Правило обобщения (сокращенно Об): ЭД1 V.v9l, где х— любая переменная.
Аксиомы задаются с помощью схем, которые делятся на 5 । рупп, нумеруемых римскими цифрами. Группы 1 — IV — такие же, как в исчислении На (см. § 5.5). Группа V состоит из четырех схем аксиом:
1.	УхЭД(д)ЭЭД(/);
2.	ЭД(/)ЭЗхЭД(х);
3.	Vx(3IDjB)D(21dVy$);
4.	V v(ЭД3’33)Э(ЭхЭДЭ'ЗЗ),
причем в первых дву х схемах /означает герм, свободный для подстЗ' новки вместо переменной х в ЭД, в схеме 3 переменная v нс должна входить свободно в ЭД. а в схеме 4 — и 53.
Задание. Для каждой схемы группы V наити аналог (или анало' ги) в iруппе II или III.
1АКСИС логики предикатов
Поскольку в Н1 входят все схемы аксиом и единственное правило [вО'К1 исчисления Н1}, всякая схема вывода в Я(, будет также и БЬсмой вывода в Яг Приведем пример вывода в Я, с использованием СХБых аксиом и правила Об: докажем, что 21, ЗхЭДэ®: Vx95.
1 3x2l(x)D^(x) (исходная формула)
2. Vv(3.v8(x)D$(.v)) (по Об из I)
3 Va(3x21(x)D^(x))D(3a-21(x)DVx^(a')) (аксиома по схеме V3)
4, 3a'21(a)DVx'15(a) (по МР из 2 и 3)
5.	21(а’) (исходная формула;
6.	Ш(.г)ЭЗх21(х) (аксиома по схеме V2)
7.	Зх'Л(а) (по МР из 5 и 6)
8.	VajB(x) (по МР из 7 и 4).
Других примеров «прямых» выводов в Я( мы приводить ие будем, потому что в интересных случаях такие выводы громоздки, и притом за счет не столько «новой», сколько «старой» («пропозициональной») части исчисления. Для упрощения доказательств выводимости в Я, используются, как и в Яо. производные правила, среди которых центральное место занимает, как и там. теорема о дедукции. Однако дословно перенести эту теорему mi случаи Я нельзя. В самом деле, по правилу Об F [(xj i-VxF[(x), и если бы теорема о дедукции в прежнем формулировке была верна для Я,. мы имели бы I^F[(x)DVa-F [(х). Но естественно ожидать, что всякая теорема Я, всюду истинна (и это действительно так ввиду равносильности Ht и G|. которая будет доказана ниже, и семантической пригодности G,), между гем как формула F \(xy3\/xF ](х) не истинна ни в какой инт ер-претации, в которой символу F [ отвечает предикат, не являющийся ни тождсывенно истинным, ни тождественно ложным (в такой ин-терп ротации она перейдет в ложное предложение для всякого х0, для которого предложение, отвечающее /•’(х{)), истинно). Чтобы сфор мутировать тсорем\ о дедукции для //,, нам понадобится понятие 3(1(^исирости формул и выводе, определяемое индуктивно следующим образом.
Пусть бр ..., бп — вывод в логическом исчислении гильбергов-Ск°готипа. Тогда: (7) всякая формула 6г зависит в данном выводе от Сам°й себя; (п) если (£ зависит в данном выводе от б и формула бА ®^лючена в вывод как результат применения некоторого правила к ^КиК1~либо входящим в вывод формулам, одна из которых есть б(, то зависит в данном выводе от б,; (т) формула может зависеть от Рмулы в данном выводе только в силу пункта (/) или (п).
£ллвЛ(.
250
Например, в приведенном выше выводе от формулы I ^авися> формулы 1.2, 4 и S, от формулы 2 — 2, 4, и Я, и г. л.
Теперь может быть сформу.тирована и доказана
Теорема о дедукции. Сети Г. 21т- ® и существует такой вывОд формулы 23 из множества Г. 21. в котором ни при каком применении правила Об к формуле, зависящей от 21, не связывается кванторов общности никакая переменная, входящая свободно в 21, то /'|-
В частности, если формула 21 замкнута, то из /’, 2Ь- 24 всегда следует Г\ 21D23.
Доказательство проводится по той же с .емс, что и для Н(). Базис можно повторить слово в слово. В индукционном шаге к четырем разобранным для Но слу чаям, которые и здесь разбираются точно так же, добавляется еще один: когда форму ла (S - ® получается из не-ко юрой формулы Cr, i ' , по правилу Об. г с. 25 = V.\vj При лом по условию теорем ы либо а не «.ходит свободно в 21, либо G. нс зависит в данном выводе от 21. По предположению индукции /'j- 20 С. а это дает возможность если _v не входит свободно в 21, построить вывод формулы из /'следующим образом: к выводу 206 из /'приписываем формулу Va(2O6,). получаемую по правилу Об, аксиому (по схеме \ 3) Vv(2OC; )Di2OV.y6j и. наконец, формулу 2lDV.v6’p получаемую из МР из двух предыдущих. Если же <£ нс зависит от 21, то, как сразу следует по определения зависимости, су шествует вывод б, из к нему достаточно дописать формулы Vv(S, (по Об из предыдущей). х/лб,э(9О\/л6^ (аксиома по схеме II >, 2OVvGt (по МР из двух предыдущих).
Замечание. I 1росмотрев доказа тельство теоремы, легко убедиться, что в строящемся в нем выводе формулы 2005 из Г правило Об применяется только к тем переменным, к которым оно применялось в исходном выводе 25 из Г 21.
Из доказанной теоремы можно заключить, что вес производные правила и все выводимости, полу чеппые нами для /7Г1 с применением теоремы о дедукции, верны и кН В самом доле, при их доказательстве теоремой о дедукции приходится лользова гься только для таких выводов, в которых правило Об вообще нс применяется. (Остается справедливым, очевидно, и правило уст ранения теоремы. >
Задача. Доказать для Н некоторые (или все) выводимости и3 § 6.1 (пункт 4).
Посмотрим теперь, как связаны между собой исчисления Ht и G,-В § 5.5 мы у< j ановил и, что их «пропозициональные части*» //„ и Go равносильны в смысле совпадения по объему отношении выводимо* сги (если в G’„ рассматривать только формулы, не содержащие коН'
спИ>л1<<
НС JIO1 ИКИ 1 [1’ЕДИКА 1 О В
JT0M смысли Я, и G не равносильны. В самом деле, в СТ из формулы Ь ] (л) выводима формула ЧхЬ'\ (г). но если бы эго z 1 п0 лсрно в G,, то по правилу ВИ получилось бы |- F [(x)DV.vF [(д'), jToixj не может бы и>. поскольку импликация F [(x)DV.vf ](л'), как z ш  же замечено, нс является всюду истинной. Однако в иекото-оь1--и'	„
, fkircc слаоом и тоже естественном смысле исчисления // и О все рОМ и»-’-'
равносильны. Именно, формула 31, нс содержащая?/, выводима в q из множества Г формул, нс содержащих э/, тогда и только тогда, когда существует вывод 21 из Г в //,. в котором ни к одной переменной, входящей свободно в какую-либо формулу из Г, не применяется правило обобщения. Отсюда следует, в частности, что формула в алфавите Я, тогда и только тогда является в // теоремой, когда она является теоремой в Gr
Чтобы доказать это утверждение, предварительно устраним из G символ ?/ тем же способом, которым мы пользовались в § 5.5 для Go: перейдем к исчислению G', отличающемуся otG, тем. что в алфавите пет символа .7, среди правил образования формул — правила (б), а правила вывода УО, ВО и ДС заменены правилами ВО' и ДС' (их формулировки см. в § 5.5). Точно так же, как это делалось для Со и можно доказать, что для любой формулы 21 в алфавите G,', и любого конечного множества / формул в том же алфавите Г21 тогда и только тогда, когда Г\- 21. (Вместо пропозициональной переменной Л' здесь можно взять, например, формулу VxF [(л).) Покажем
теперь, что/' 21 в том и только том случае, когда существует вывод ^из Гв Яи в котором к переменным, входящим свободно в формулы из /. если такие есть, не применяется правило обобщения.
(а; Чтобы показать, что из существования удовлетворяющею Указанному условию вывода 21 из Г в Н. следует /'|- 21, досгаточ-Но убедиться, что всякая теорема Н, сеть теорема и в G,'. Дсйствп-тел1,цо тогда при непустом /' — {Q5,,	Т\} мы сможем, ввиду нало-
женного на вывод условия, воспользоваться теоремой о дедукции; пР‘1меняя ее к раз, получим	Э(0ДЭ21)- •}. о1 куда
t, Э(^Л321)- • -) и далее по У И $4 21. Теперь достаточно [1Р°веригь. что нее аксиомы //, доказуемы в о,'- иди в G, так как °Ни чс содержат .7, — и что применение правил //, к теоремам Ц'дает
теоремы G.’. Утверждение о правилах очевидно, поскольку МР "^Иствует и в 67(под именем У И) и из ;-21 ввиду BV следует i- V.v2l. г° касается аксиом, то для групп I — IV можно рассуждать слово в 1ак жс, как в § 5, а проверка доказуемости в G,' аксиом
252
uiabAi
группы V — несложное упражнение, выполнение которого предОх ст авляе i ся чита гелю,
(б) Чтобы доказать обратное утверждение, достаточно устан0. вить, что (а) для всякого безусловного правила исчисления О,'суще. ствует вывод в Н, его заключения из сто посылок без применен^ правила Об и (б» каково бы ни было условное правило G,', если в ц имеют месте) выводимости, фигурирующие в его условии, и соответствующие выводы можно провести без применения правила Об к переменным, входящим свободно в исходные формулы этих выводов то выводимость, фигурирующая в заключении правила, также имеет место в //., причем соответствующий вывод можно провести с соблюдением того же ограничения (например, для правила BV этоозначает следующее: если существует вывод 21 из Г в Н. в котором к переменным, входящим свободно в формулы из Г (если такие есть), не применяется правило Об, и переменная л нс входит свободно ни в одну формулу из то существует вывод формулы V.vSl из Г в //,. удовлетворяющий тому же ограничению). Утверждение (а) для «пропозициональных» правил G/, имеющихся также и в G„, фактически уже доказано в § 5.5 при доказательстве равносильности G(, и //0; для правила W достаточно воспользоваться схемой аксиом VI и правилом МР, для ВЭ — схемой V2 и тем же МР. Утверждение (б) нужно доказать для правил 1, УД, ВИ, ВО', BV, У В. Для правила Т оно тривиально (ср. сноску к доказательству теоремы о дедукции для //()). Докажем его справедливость для УД. Пусть существуют выводы в />! формулы б из Г. 21 и из Г в которых ни к каким переменным, входящим свободно в первом случае в формулы из Г и в 21, а во втором — в формулы из /'и в ф, нс применяется правило Об. Ввиду этого ограничения мы можем воспользоваться теоремой о дедукции и заключить, что из /' выводимы в Я, формулы 206 и ^Эб; более того, их можно вывести так, чтобы к переменным, входящим свобод* но в Г, не применялось правило Об (см. замечание к теореме о дедукции для Ht). Остается воспользоваться схемой аксиом 1ПЗ и (трижды) правилом МР. Аналогично доказывается утверждение дЛя BU и ВО' (в последнем случае нужно убедиться, что рассуждения» использованные при доказательстве ВО' для //0, пригодны и для сохраняют ограничение, налагаемое нами теперь на вывод). Д-^1 правила BVточная формулировка утверждения (б) приведена выше, а само оно очевидно, т. к. переменная х, к которой применяется ™ при переходе от 21 к VMM, по условию нс входит свободно в форму/’1’1 из Л Остается правило УЗ. Ни если существует вывод б из Г, 21»₽
ПЛКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
ся1 _____________
253
тором Об нс применяется к переменным, входящим свободно в к°пМулы из Г и в 21, и переменная л нс входит свободно ни в одну Ф nMV;lV из и в 10 в силу теоремы о дедукции и замечания к ней ^щсствует вывод в //, импликации 206 из Г, в котором правило Об е применяется к переменным, входящим свободно в формулы из /, и отсюда Г\-^ V.v(31dC) с сохранением того же ограничения на вывод;
но если к выводу формулы V.x(2O 6) из /’приписать формулу 3x21 и аксиом) (по схеме V4) Vx(2OG)D (3x206), а затем дважды приме нить МР’ получится вывод б из Л 3x21, удовлетворяющий нашем) ограничению.
2. Рассмотрим теперь секвенциальный вариант исчисления предикатов, который мы будем обозначать St. Алфавит и правила образования термов и формул исчисления 5, будут те же, что в Нг Схимами фигур заключения S, будут все схемы фигур заключения исчисления 5(, (см. § 5.5) и еще четыре схемы логических фигур:
9) Введение общности
в антецедент (BV/4):
10) Введение общности в сукцсдснт (BVC):
21(/),/'-» \
Vx21(x), Г -> А
Л, 21(a)
/ ' -» Д, Vx2l(x)
11) Введение существования в антецедент (ВЗ/Х):
12) Введение существования в еукцедент ( ВЭС):
_ 21( д ), г -> Д
Зх21(л), / -> А
/' -> А. 2£(/)_
Г -» Д, Зх21(х)
В от их схемах на л- и t накладываются следующие ограничения: в VA и ВВС /должен быть термом, свободным для подстановки вместо пеРеменяои л в 21; в BVC и ВЗА переменная v не должна входить Св°болно ни в одну формулу из гид.
Дерево вывода и выводимая секвенция определяются для 5, так *с» как для 50.
Очевидно, всякая «схема деревьев вывода» в 5'0 годится и для 5(; тому всякая «схема выводимых секвенций» исчисления 50 будет ем°й выводимых секвенций» и в 5Г
254
'ЛЛВАб
Приведем два примера выводов в S, с использованием новых ф^ гур заключения.
I) Вывод секвенции ?B.v21(.v) -» Vx791(.y):
М№ ВОА
Я(Л> -> 51(Л)	~Зл-Я(л), Эл-ащ • ил
3(л) -» Зл-Д(л-Г ________________Зл-а(л-), 7Эл-М(л) -»
SI(А). -ЗхЯ(х) ->	сечение
73хЯ(х> - 751(л)
7ЭлИ(л) - V.v7a(.v)
2)	Вывод секвенции Vx2lv$ -» Vx(2lv®) (при условии, что х не входит свободно в
-» -iiuj
afo	вдс	ss -> ss
Уха(л) atx)vsB	sB^a(.r)vsB
vxawvsB -> afoviB „ г д v.va(.v) v sb -» v.vi as v) v sb)
Отмеченное на с. 197 свойство фи пр заключения исчисления So, отличных от сечения, имеет место и для новых логических фигур 9—12. Поэтомх всякое дерево вывода в 5„ не содержащее сечений, обладает, и в S(), свойством подформул внести:У. В то же время для 5, справедлива основная теорема Генцешк для любой секвенции, выводимой в 6',, существует дерево вывода без сечении, и такое дерево можно эффективно построить по произвольному дереву вывода данной секвенции. Комментарии по поводу этой теоремы (которую мы не будем доказыва гь) и библиографические ссылки см. выше, в §5.5.
Задачи. 1) Построить деревья вывода для секвенции, сосиветст-вующих некоторым (или всем) выводимостям из § 6.1 (пункт 4).
2) Вывести секвенцию примера 1) без сечения.
Можно показать, что исчисление S, равносильно исчислениюGiB том смысле, что секвенция Г -* А выводима в S, тогда и только тогда» koi да Г' - - 1де Г' — множество формул, входящих в /, и З'ссть формула jB, V- • - VBA, если А = 'Ху,Х\., а если А — пустая послед**' ватсльность. то <у4 =	Вместо этого, очевидно, достй'
точно доказать, чю 5. равносильно в том же смысле исчислению Ge построенному1 в пункте 1 настоящего параграфа. Доказательств
19 , .	-	..[ЦК
II рандл. $ цчт> по отменю hmcci мл ю чишь при mcice оитем поиюк*'1 .. иидформучы. при котором форме та. ЦО |у>иемам из подформулы формулы 21'43'•’СН нек<ппрых переменных произнольпыми цинюдными для подС1апанки hmCi to нНх TL‘ М<1М11. тдкже к 4lll.tr К Я иидф|)рм\ toil форм\ Н>1 21
• t i tle Л™ ИКИ ПРЕДИКАIOB
-----------
логично намеченному в § 5.5 доказательству равносильное!и ис-..ши 5'1 и б/'; кук и гам. мы приведем сейчас только обшл ю . цо которой читатель сможет восстановить подрооностч.
схС,0 7от факт, что из выводимости в 5', секвенции Г -* А следует у\ доказывается, как и для исчислении 5(| и 6',' возвратов ин-
rV "	г
кцис11 по высоте дерева вывода секвенции. Ьазис и случаи индук-'*• нного шага, отвечающие старым фигурам заключения, нс огли-цаЮТся от соответствующих частей рассуждения из § 5.5. Аналогично овазится и индукционный шаг для новых случаев: для BVC и ВЗС при непустом А применяется тот же прием, который был использован ня сечения при непустом У.
б) Обратное утверждение также доказывается совершен но аналогии соответствующему утверждению для 5(1 и добавляются четыре новых случая, отвечающие правилам введения и удаления общности и существования В качестве примера приведем пднллртнос секвенциальное дерево для правила Е53:
/('’ДДр взе
21(1) -» ЗуЙГл)
Э.уВД---------------сечение
51(21
Замечание. Проведя все рассуждения для новых случаев, читатель убедится, что в первой части доказательства закон исключенного третьего применяется, как и в старых случаях, лишь тогда, когда сукцедент содержит больше одной формулы, а во второй части ни в одном из стандартных деревьев, отвечающих новым случаям, нет секвенций более чем с одной формулой в сукцсденю. Отсюда и из замечания в конце пункта 4 § 5.5 следует, что конст руктивныи вари-aHTG, (т. G без закона исключенного третьего) равносилен исчислению, S', с дополнительным условием, что су кцедент каждой секвенции содержит не более одной формулы.
§6.5. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
И АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ СИЛЛОГИСТИКА
етОт> *  В традиционной формальной логике, идущей от Ари-I$l <СМ’ введение) было подробно разработано учение о ките-, ('с*их суждениях—предложениях, описывающих простей-Кз‘,исоотношения между свойствами предметов. Рассматривае-тР<|Диционнои логике категорические суждения разделяются,
256	’’ЛАЦ
с одной стороны, на утвердительные и отрицательные, с другой на частные и общие. Это дает четыре тина суждений'
I.	Общеутвсрдительные: «Все предметы, обладающие свойств/ 5, обладают свойством Р».
2.	Чнстноутвсрдительные: «Некоторые предметы, обладают свойством 5, обладают Свойством /*».
3.	Общеотрицательные: ^Никакой предмет, обладающий свои ством 5, нс обладает свойством Р».
4.	Частноотрицательные: «Некоторые предметы, обладающее свойством нс обладают свойством Р».
По давней традиции обшеутвердитсльные и частноу гвердитеЛ вые суждения обозначают соответственно прописными латинским* бу квами .1 и 1 (первой и второй гласными латинского слова affirtno — «утверждаю»), общеотринательные и частноотринательные — бук-вами Е и О (нервов и втором гласными латинского слова negoA «отри ца ю»).
В Литературе ио традиционной логике суждения чаще представляются с помощью терминов — слов или словосочеганий (обычно существительных или именных групп), которые служат общими именами предметов, обладающих данными свойствами. Например для свойства «быть человеком» соответствующий термин — «чело-век», для свойства «быть простым числом» — «простое число», дл> свойства «делиться на 5» — «число, делящееся на 5>>. Предложения получающиеся при таком способе представления, обычно короче! лучше стилистически. Они имею г следующий вид -74 и Гр — терем ны, отвечающие свойствам 5 и Рсоответственно):
4.	«Все Т\ суть Тр» («Все существа, способные к абстрактному мышлению — люди»; «Все птииы — животные , «Все ромбы — Ш рал л ел о г ра м м ы ».
/ «Некоторые Т\ суть /р» («Некоторые люди — кикгнцы», «Нч которые морские животные -- млекопитающие», «Некоторые ро»* бы — прямоугольники»).
Е: «Ни одно 1\ не есть («Ни один великий поэт — не дсКч лент», «Ни одно млекопитающее, обитающее в Европе,— несумч‘| тои»; «Ни один квадрат — не треугольник»).
О: «Некоторые 7’А нс суть Тр» («Некоторые мат ематики - не п₽е подаватели»; «Некоторые лесные растения — нс деревья»; «НекоТ рые делители числа 6 — не простые числа»).
Часто используется также «комбинированным» способ, при * тором первым член суждения представляется термином- *1 рой — названием свойства: «Все 1\ обладают свойством Р» и 1*' («Все люди смертны». «Некоторые бельгийцы юнорят по-флаМ^*
257
. ИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
------------------------
<Ни одно простое число не делится на 10»: «Некоторые птицы £,:‘1’<е'ит-1С'1атЬ>>)
fier/(МСТим; что при оооих способах представления суждения с ио-терминов его первый член — подлежащее (точнее, группа го), а второй — сказуемое «.группа сказуемого). Их и иа-соответственно субъектом и предикатом суждения”0.
просмотрим» как выражаются суждения типов А, I, Е, О на символом языке современной математической логики. На первый их перевод на этот язык представляется совершенно очевид-®3 J еСЛИ обозначить, как мы делали в гл. 2, соответствующие свой-Й1? зм 5 и Г предикаты теми же буквами 5 и Л то наши четыре типа суждений будут представляться так:
Л: vX-S’iAjD/Vv);;
/:За(5(а)&/>(л)); £,: V>(S(л‘)D?Р(х));
О: 3xi5(a-)&tP(x));
Это простое представление нуждается, однако, в уточнении. Дело в том, что в отличие от математической логики, в основе которой лежит язык современной математики, традиционная формальная логика возникла и развивалась на базе естественного языка; а в есте
ственном языке предложение, в коюром идет речь о том или ином предмете, осмыслено лишь тогда, когда этот предмет существует;
при произнесении такого предложения существование данного предмета п одр а з у м с в а ет с я. Например, предложение «Жена Ивана работает на почте» подразумевает (независимо от того, истинно оно или ложно? истинность предложения «У Ивана есть жена»71. В част-чости, в предложениях, в которых идет речь обо всех или некоторых предметах, обладающих тем или иным свойством, подразумевается, чю предметы с данным свойством существуют; как говорят лингвисты, такие предложения содержат презумпцию22 существования предметов с данным свойством. Поэтому и н традиционной термальной логике при рассмотрении категорических суждении "««разумев ается, что свойства 5 и /’для каких-то предметов имеют ‘ст<), и предложения вроде «Все действительные корни уравнения
2,1
2| Ul' ciopiin jthx терминов см следующий парацмф
yVjj *’Wiee louiiujio означает следующее, когда |акое предложение протнисшсм в
♦У 11ВдЯх "Ормаяыюго речевого аш, говоря тип уверен. чю ип minoci ь предложения
22 1,а СС1|, жена» не противоречит сведениям, имеющимся у слушающего
-*•*-!. ртеыинрПо— «предположение, ожидание». И том же значении унсп
*0^ Ся Ыкже термин пресуппозиция (от латинской» р/исьupроиПО, имеющего тит
55R	1Ллвл6
x2 + 1 -0 — целые числа» или «Некоторые единороги живут Гренландии» в этой логике не рассматриваются, в то время как мд-р,8 магическая логика свободно оперирует и такими предложениями ' присваивает им истинностные значения (первое из двух приведу них сейчас предложений она считает истинным, второе — ложным) Эта особенность языка математической логики связана с тем, что со. временная математика широко пользуется понятием пустого мн0. жестка, введение которого позволило существенно упростить мц0, гис математические построения и придать им более законченный характер21 * 23.
Впрочем, традиционная логика в своем понимании суждений так. же отошла от естественного языка, хотя и нс так сильно, как математическая. В естественном языке предложения с кванторными словами «все», «некоторые», «ни один» и т. п. содержат более сильную презумпцию, чем существование предметов с соответствующими свойствами: в них подразумевается, что предметов с этими свойствами имеется «достаточно много» и уж во всяком случае больше одного. Эта презумпция была отброшена уже традиционной логикой: она признает законными (и истинными) такие необычные для обиходной речи суждения, как «Все делители единицы равны единице», «Некоторые тверские князья были братьями Александра Невского»24, «Нм один русский царь по имени Михаил не отличался крепким здоровьем», ''«Некоторые острова, на которых родился Наполеон, не находятся в Тихом океане». Это, разумеется, подготовило почву для следующего шага — введения в рассмотрение предложений с кванторными словами, относящимися к «пустым» свойствам. С другой стороны, в естественном языке презумпция существования оiносит-ся только к теме предложения (см. выше, с. 70), которая в предложениях нейтрального стиля, выражающих простые категорические суждения, обычно совпадает с подлежащим (ср. старое школьное определение подлежащего как «того, о чем говорится в предложи нии»). В самом деле, предложения вроде «Карл Великий был гренландским императором» или «Некоторые киевские княгини бы-ш ведьмами» воспринимаются нс как неправильные (противоречат1* языковым нормам), а только как ложные, подобно предложения*! «Карл Великий был китайским императором» или «Некоторые киевские княгини были уроженками острова Пасхи» Однако традицией'
21 Эю можно сравнить с юн ролью, которую веною время сыграло введение
нуль Кстяги» абстракции нуля и пускно множееюа teoio связаны междх собой:
пуль — вто не чю иное, как мощность пустою множества. Введение нуля и ннеД*511 нусюго множества — два этана одного процесса
24 11а самим ic'iv братом Александра I (ейского был только норный зверской *<|Ю'3 Ярослав Ярославин
JTAKCHC ЛОГИКИ ] П’ГДИКЛТОВ
259
чогика не делает в этом отношении различия между суоъ-и предикатом и предполагает (хотя и неявно), что суще-еК .пт как предметы, обладающие свойством 5, так и обладающие струна сроиств°м / •
Вознрашаясь к представлению категорических суждении традицией логики на современном символическом языке, мы можем u ,рЬ сказать, что все они содержат следующую презумпцию: ни одцн из предикатов Л‘ и Р не должен быть тождественно ложным. 0НЯчс ГОВОРЯ» должно быть истинно предложение 3y5(y)&3zP(2). Присоединив это предложение конъюнктив но к каждому из выражений (1), мы и получим точное представление традиционных типов категорических суждений на символическом языке:
(2)
Л: Oy5(y)&3z/>(z))(&VA-(5(.v)D/’(x));
/: (3y5(y)&3zP(z))&3x(S(x)&P(.v));
Ei (3 v.S(v)&3z/’(z))(&V.v(5(a)D7/,(x));
О: (ByS(y)&BzP(z))&3x(5(x)&7P(a-)).
Общий для всех этих формул конъюнктивный член 3yS(y)&3z/*(z) мы будем называть презумпцией или подразумевае-
мой частью суждения, а второй конъюнктивный член — его основной или утверждаемой частью.
Формулы (2) для частных суждений можно очевидным образом упростить: представление О равносильно 3z/>(z)&3.v(5’(.v)&'?/>(x)), представление /— Зл(5(л)&/)(л')). Однако полные представления удобнее гем, что в них явно выделяются подразумеваемая и утверждаемая части.
В традиционной логике был установлен ряд свойств категориче-Ск“х суждений, важнейшие из которых следующие:
Ь Суждения типов А и О находятся межд) собой в отношении Противоречия, и то же верно для / и Е. Это значит, что суждение типа
Членами 5 и Р истинно тогда и только тогда, когда суждение типа
Стемц же членами ложно, и аналогично для / и £.
Суждения типов / и Е допускают обращение, т. с. сохраняют
Явность при перестановке членов25.
ц.,. ( 'Радицииннои дошке персе га понка членов суждения назывденя простым обращением icon uersio simplex) в оыичие от обращения посредством ерес.М,<с,<ия Icoiiuenlo per limitutionem или per acadeiis) — операции. Сся-кнннеи в ^,)Слс*1110вке членов обпито суждения с одновременным превращением ею в частное С^’«деД,Ь141 011еР«>И|,н применима и к суждениям пша А (например, из не)нинисги ^Topi*11141 *Чсе не галлы — химические элементы» еле,ует испншосчт. суждения «Не НКЦ. ,1е * омические длеменнл — металлы»), что тривиальным образом вытекает m
' MCl.iu ..............,	.-и ..... .....  .1	.ц
260
'"Ль,
Свойство II тривиальным образом следует из представлений поскольку формула 5(л)&/’(х) равносильна (а в исчислении предки! тов дедуктивно эквивалентна) формуле P(x)&S(x). и то же верно Я формул $(х)Э1Р(х) и /\л)Э75(л). Сложнее обстоит дело со свлЯ ством 1. Легко убедиться, что. например, отрицание представлю I (2) для А не равносильно соответствующему представлению ддл| (и вообще никакому из представлений (2)). Возникает эта неравц0 сильность из-за того, что с точки зрения математическом логЯ предложение типа А ложно нс только тогда, когда истинно предло^£ ние типа О с теми же членами, но и при нарушении презумпций (Например, если S — свойство быть натуральным числом, удовд^ воряюшим условию О < п < 1, и Р — любое свойство, то все форм^Н (2) дают ложные предложения.) Чтобы передать на нашем язьц* точку зрения традиционной логики, мы должны пони мать отрицаю* суждения иначе — так, чтобы оно не затрагивало презумпцию.
этого введем следующее определение:
Пусть С — предложение одного из видов (2) Я. (2)/. (2)Е, (2)0, Мы будем называть внутренним отрицанием предложения С конъюнкцию его подразумеваемой части и отрицания его утверждаемой части.
Теперь непосредственно очевидно, что внутреннее отрицание предложения вида (2)Л равносильно (и дедуктивно эквивалентно) предложению вида (2)0 с теми же членами, и то же верно при перемене местами Л и О; аналогично для Е и I Тем самым обосновано свойство I.
Например, из истинности суждения «Все птицы — животные» вытекает ложность суждения «Некоторые птицы — не животные»,11 обратно; из истинности суждения «Некоторые ромбы — прямоугольники» вытекает ложность суждения «Ни один ромб — не прямоугольник», и обратно.
Замечание. Можно также интерпретировать категорически суждения в терминах отношений между классами. Если для прост®' ты обозначать классы предметов, обладающих свойствами S и также через S' и Р, то основная часть суждения типа А будет означат* что S содержится в типа / — что 5 пересекается с Р, типа Е — чТ° , содержится в дополнении Р, типа О — что 5 пересекается с допоЛ**Я нием Р-, презумпция суждения любого типа означает, что S и ?
пусты.
2. Важнейшим разделом традиционной формальной логики ляется учение о простых категорических силлогизмах* — эле^В тарных умозаключениях, с помощью которых из двух катетер*’4
26 C)i ipi*4. iopoi; «рассуждение, умозаключение»
п гглксис логики i ir кд икл гов
х суждений выводится третье. Основные понятия и главнейшие С поженил этого учения содержатся уже в грудах Аристотеля. В . п» нейшем мы будем для краткости называть простые категориче-" не силлогизмы просто силлогизмами.
В каждом силлогизме суждение с субъектом S и предикатом Р, ^ззываемос заключением данного силлогизма, выводится из двух * дСний, называемых его посылками, одно из которых содержит S, ,, другое Р. Кроме того, обе посылки содержат еще один член М (один и тот же в обеих). Р, S и М мы будем называть соответственно большим, меньшим и средним членами силлогизма (чаше говорят, впрочем, о большем, меньшем и среднем терминах). Посылка, содержащая больший член, называется большей посылкой, содержащая меньший — меньшей посылкой.
Пример силлогизма:
Во всяком прямоугольнике диагонали равны
Всякий квадраг ccib прямоугольник
Следов»! ел ыю. во всяком квад раю диагонали равны
Большая посылка может либо иметь М своим субъектом, а Р — предикатом, либо, наоборот, Р — субъектом и Л/— предикатом. Аналогичные две возможности имеются для меньшей посылки. Комбинирование этих возможностей дает четыре типа силлогизмов, или, как обычно говорят, четыре фигуры силлогизма:
I	II	111	1\
МР	РМ	МР	РМ
SM	SM	MS	MS
SP	SP	SP	SP
Здесь в каждой схеме иад чертой записаны посылки, под чертой — заключение; в схематической записи каждого суждения на первом месте стоит субъект, на втором — предикат.
A priori каждое из трех суждений, входящих в силлогизм, может принадлежать к одному из четырех типов А, /, Е, О. Это дает для каждой фигуры 43 = 64 комбинации: Л-Ы, .14/, ЛАЕ, ..., ООО. Всего получается таким образом, 64 • 4 = 256 мыслимых видов, или, как Принято говорить, модусов21 силлогизма. По из всех этих формально в°3Можных модусов лишь немногие правильны, т. е. обладают тем Св°йством, что из истинности обеих посылок построенного по данно-МУ модусу силлогизма вытекает истинность его заключения. Пра-пильные модусы силлогизма принято обозначать специально приду-Манными словами из букв латинского алфавита (не имеющими соб-Ственного смысла), каждое из которых содержит три гласных; первая
О г дат modus, — «способ*
2b2
I ЛАНД
из них обозначает тип большей посылки, вторая — тип меньшей третья — тип заключения2*. Вот списки рассматриваемых в градц’
ционной логике правильных модусов по фигурам:
I Barbara Cel a rent Darii Ferio
II Cesare Camestres Festino Baroko
III Dara pi i Disaniis Daiisi Felapton Bokardo Ferison
IV Bramaniip Camenes Di mans Fesapo Fresison
Приведенный выше силлогизм был построен ио модусу Barbara.
Дадим еще два примера.
Модус Ferio:
Пи один мало! рамоч ный не годится в уч и юля
Некоторые выпускники педагогических пнен-пугов мало!раменны.
Следовгиельно, нскоюрыс выпускники нсдаюгичсских mhcimiviob не годятся в учи юля
Модус Da rapt i:
Все киш живут в воде
Все киты — млскопинношие.
Слсдоваюлыю, нскоюрыс млеконицпощие живут в воде
(Заметим, что в последнем примере используется презумпция непустоты классов).
Кроме перечисленных девятнадцати модусов, правильными являются еще пять: AAI и ЕАО первой фигуры, ЕЛО и АЕО второй фигуры. ЛЕО четвертой фигуры. Их правильность тривиальным образом вытекает из правильности модусов Barbara, Cclareni, Cesare, Camcsires, Camenes. поскольку из истинности суждения тина Л следует истинность суждения типа / с теми же членами (если верно, что все Ts суть Тр, то тем более верно, что некоторые Ts суть Тр), и то же справедливо для Е и О* 24. Но для реальных рассуждений эти модусы
2Х
Со!ласныс, хотя и нс все, тоже имело! мнемоническое шанские (см в конце главы)
24 п '	...
и приходной речи в условиях нормальною речевой) акта предложение вида «I (екоторые 1\ суть Iр» ш- можем утл ребля 11.ся, если говорящий уверен, ч н> ла само'1 деле в с е 7s суть 1р По его можно употребить, в часпюии, ioi да, кшда говорящий, будучи уверен, чгохо!я бы некоторые l\ сун> Гр, не шаег, верно ли лгодля ви-.х. 7л, и если потом будс! усланонлсно, ши в дейы ни т ел ыюш и нее Г* суп. Гр, утверждение «Некоторые 7\ суп. /'/)» все таки не считается опровергнутым (Ср описание ша,и?' ния LOiota «или» в § 2 3 ) Такого понимания частых суждении — как не приговор6' чаш.их общим, но более слабых — придерживается и традиционная формальная лотка (равно как и магматическая)
... АКСИС ЛОГИКИ 11РГ.ДИКАтов
СЙ*’1 _ ______ ______________ ___
узкого значения нс имеют: незачем доказывать более слабое ут-^*пХДение’ если можно в точности так же доказать более сильное. Поэтому в традиционной логике указанные пять модусов нс рассматриваются.
г 0СТальныс 232 модуса — неправильные.
Теперь наша задача — понять, как, пользуясь средствами мате-этической логики, обосновать модусы, признаваемые в традиционной логике правильными, и опровергнуть тс, которые она считает ^правильными.
Чтобы опровергнуть тот или иной модус, достаточно указать интерпретацию, в которой посылки некоторою построенного по этому моДУ€У силлогизма истинны, а заключение ложно. Рассмотрим, например, модус ЛЕЕ первой фигуры. Поэтому модусу, если бы он был правильным, из суждений «Все Тсуть 7ф» и «Ни одно Ts не есть Тм» выводилось бы суждение «Ни одно 7\ не есть Тр». Ио если взять в качестве 5. Е и Л/ соответственно свойства «быть числом, дающим при делении на 3 остаток 1», «быть четным числом» и «быть числом, делящимся на 6», мы увидим, что хотя суждения «Все числа, делящиеся на 6, четны» и «Ни одно число, даюшсс при делении на 3 остаток I, не делится на 6» истинны, суждение «Ни одно число, дающее при делении на 3 остаток I, не является четным» ложно. Не составляет труда записать для этих суждений представления в виде (2).
Само собой, подбор опровергающих интерпретаций для 232 модусов был бы крайне скучным и утомительным занятием и потребовал бы очень много времени. Но тот, кто захочет лично убедиться, что традиционная логика права, отвергая эти модусы, легко заметит, что перебор можно существенно сократить. Прежде всего, поскольку из правильности модуса XYA некоторой фигуры следует правильность модуса ХУ/той же фигуры (этим мы пользовались выше), мы можем, Доказав неправильность модуса ХУ/ какой-либо фигуры, сразу заключить, что модус XYA этой фигуры тоже неправилен; аналогично Для XYO и XYE. Уже одно это тривиальное соображение сокращает Перебор почти вдвое. Но точно так же неправильность одного из м°Дусов AYZ, EYZ, XAZ, XEZ тем или иной фигуры влечет соответственно неправильность модуса IYZ, OYZ, XIZ или XOZ этой фигу-РЬ1« Кроме того, работа намного облегчится, если пользоваться тео-Ретико-множсствснной моделью (см. замечание в конце пункта 1 эт°го параграфа) и соответствующими рисунками. (Так, доказан-я только что неправильность модуса АЕЕ первой фигуры означает.
и SE.M 0 даже при дополнительном условии нецусто-рЭ(,Всех ТРСХ классов S, М, не следует SAP * 0.) Внимательное смотрение этой модели даст возможность заметить некоторые
264	1 ЛАВД I
закономерности (приводимые обычно в учебниках традиционной логики): обе посылки правильного модуса нс могут быть частным Jj обе посылки правильного модуса нс могут быть отрицательными если одна из посылок частная, го и заключение должно быть чаек ным; если одна из посылок отрицательная, то и заключение должц! быть отрицательным, и обратно, если заключение отрицательное,-Я одна из посылок должна быть также отрицательной, и т. д. ИсполД зованис этих закономерностей позволяет свести перебор к mhhhmvJ му. В подробности мы вдаваться нс будем: такого рода работу всегда проще и полезнее проделать самому, чем проследить, как ее выполнил другой.
Перейдем теперь к обоснованию правильных модусов. Это можно делать либо синтаксическим способом, доказывая, что формула представляющая заключение силлогизма, выводима в исчислении предикатов из формул, представляющих посылки, либо семантическим, доказывая вместо выводимости семантическое следование. Ввиду полноты и семантической пригодности исчисления предикатов эти способы равносильны. Мы применим синтаксический способ,I причем будем пользоваться исчислением G,; говоря о выводимости,! будем иметь в виду выводимость в лом исчислении. Кроме того, условимся еще об одном соглашении: в дальнейшем, говоря о большей посылке, меныпей посылке или заключении силлогизма, мы будем подразумевать представления этих суждений в виде (2).
Прежде всего ясно, что для любого мыслимого силлогизма из презумпций его посылок, т. е. формул 3yA/(y)&3z/>(.v) и 3yS(y)&3zA/(z) (гак для первой фигуры; для остальных аналогично) выводима презумпция его заключения — 3y.S(y)&3z/?(z). Поэтому для доказательства правильности силлогизма достаточно вывести из его посылок основную часть заключения.
Начнем с первой фигуры. Для каждого из се правильных модусов можно вывести основную часть заключения даже из основных частей посылок, не пользуясь презумпциями, а именно:
Barbara: Vx(A/L>r), Vx(5DA7)i- V.v(SDP) no YV. ТИ5" и BV.
Celareni: Va'(A/Z>7/,J, Vx(SDA/) i—Vx(SD_?P) точно так же.
Darii: V.v(A/D/‘), Зх(5&Л/)н 3.v(S&/’) no W, УК, УИ, ВК, ВЗ, УЗ.
Ferio: V.<(M?/’), 3.v(S&M)l- 3.v(S&7P)
точно так же.
Для правильных модусов второй фигуры основные части закл»0' чений также выводятся из основных частей посылок. При этом сооТ' ветсгвующие выводимости легко получить из выводимостей, дока'
ГИ — закон |раи'Я1тчннос1И импликации (<37> ш§5.3).

265
[{ТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
х только что для силлогизмов первой фигуры51. Напри-модуса Camestrc*» нужная выводимость V.v(/OA/), получается из выводимости для силлогизма моДУсУ Celareni со средним членом 7 А/, если воспользоваться А0 ,ктивной эквивалентностью импликаций PDA/ и	Лег-
провсРить’ чтО тем же способом — контрапозицией в большей ^сыпке— модус Cesare сводится также к Celareni, a Fcstino и Baroko к Ferio.
В третьей фигуре для четырех из шести правильных модусов — pj5aniis, Datisi, Bokardo, Ferison — тоже можно вывести основные части заключений из основных частей посылок; соответствующие деревья вывода читатель легко построит сам. Для модусов Darapti и Felapton основные части заключении не выводимы из основных частей посылок. В самом еле, для Darapti соответствующая выводимость имела бы вид V.v(ADP), V.v(A/DS)|- Вх(Л'Др); если бы она была верна, то третья формула также и семантически следовала бы из первых двух, но это опровергается любой интерпретацией, в которой предикат А/(л) тождественно ложен, а Р{х) и S(x) несовместимы. Совершенно аналогично можно рассуждать для модуса Felapton. Таким образом, здесь для вывода основной части заключения из посылок нужно пользоваться также и презумпциями последних. Для модуса Darapti соответствующая выводимость имеет вид
3yA/(y)&3z/>('z)&V.v(A-/(x)D/,(x^,
3y^(y)&HzS(z)&V.v(M(z)D5(.v))|-3x(5(.v)&P(A-));
читатель без труда докажет се сам. Совершенно аналогичный вид имеет выводимость для модуса Felapton.
Наконец, в четвертой фигуре для модусов Caniencs, Diniaris, Fresison основные части заключении выводимы из основных частей
посылок, а для Fesapo и Bramaniip необходимо пользоваться презумпциями. При этом первые четыре модуса легко свести к предыдущим подобно тому, как это было сделано для модусов второй фигуры: gamenes контрапозицией в обеих посылках сводится к CeLirent; pIn'aris перестановкой членов в большей посылке — к Disaniis; IeSisoii перестановкой членов в меньшей посылке — к Fcstino: ^SaP° контрапозицией в большей посылке — к Felapton. Для an,aiihp нужная выводимость есть
a>’A/(y)&3zS(z)&vA-(A/(A-)DS(.v))H-3.v(.S(.v)&/J(x)).
titJl '-водным образам iiociyii.iior и в три шционнои .читке: модх-еы нервом фигуры
<ие а,0,хя н ней очевидными, и к ним сводя ц_я все поильные. Однако наши ынкобы
11,41 oi.iirkEiuiCM or ।радши«ониых (о них см. за bhv 23 в конце ыавы)
266
ГЛдвА|
Ес легко доказать, заметив. что F’(.v), /’(лрм Af(.v)DS(x)i- P[X)&S(x). Чтобы доказать для Bramaniip нсвывОд^' мость основной части заключения из основных частей посылок, модЯ но взять в качестве Р и М тождественно ложный предикат, Fesapo — тождественно истинный в качестве Р и тождественно лол ныи в качест вс Л/.
Итак, мы показали, что все девятнадцать традиционных npJ вил иных модусов обосновываются выводами в исчислении п редиса, тов. Во всех этих выводах участвуют только одноместные предикату, поэтому при обосновании аристотелевской силлогистики можно обойтись ослабленным вариантом исчисления предикатов — без многоместных предикатных символов (а также без функционала ных символов и символов предметных констант, которыми мы тоже нс пользовались). Для пятнадцати модусов основные части заключении выводимы из основных частей посылок — иначе говоря, выводимы из посылок без использования «нспустоты» свойств, о которых идет речь в силлогизме; следовательно, эти модусы остаются правильными и при допущении суждений с кванторными словами, относящимися к «пустым» свойствам. Остальные четыре модуса при таком расширении традиционного представления о суждении теряют силу32.
Замечание. Поскольку в традиционной логике требование непу-стоты рассматриваемых свойств не формулировалось явно, а лишь подразумевалось, можно спорить о том, какое уточнение презумпции существования лучше отвечает ее (традиционной логики) духу: в виде конъюнкции 3yS(y)&HzP(z) или в более простом и более адекватном с точки зрения естественного языка виде 3yS(y) (ср. выше, с. 258). Решающий довод в пользу нашего представления подразумеваемой части суждения в виде конъюнкции состоит в том, что представление в виде HyS(yj не обеспечивает выводимости всех традиционных правильных модусов силлогизма. При таком представлю' нии подразумеваемая часть заключения следует из подразумеваемых частей посылок только для тех фигур, где субъект заключения является в меньшей посылке также субъектом, т. с. для первой 0 второй; что же касается третьей и четвертой фигур, тотам при усЛ12 * * 15'
12 В современной логической лшературс иногда встречаются утверждения вр°^ следующего «. Математическая лотка доказали, что модус Brama пир... не м<,я< считайся общезначимым» (К о ид а к о в Н. И , Jlotический словарь. М ,
1971.С 61) Это.pa3VMecic«,нетак Гради! (ионнаялогикапонимаеrevждгниен|,а ’
чем магемшичеекая. и при .этом снопе!венном си понимании все ее 19 модусов оД011® ково правильны \1агематическая логика не «ш меняет»традиционную (точно так как, скажем, теория относительное!и не «oimchhci» классическую физику). н>' ,,
голъко ясно нрсДшавлять себе, н каких i рапииах справедливы tради!(ионные ло151 «.кие законы
267
тЛКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
что меньшая посылка — утвердительное суждение, из этой ₽я1<’пКи с использованием ее основной части можно вывести под-П°СЬ 1евасмую часть заключения (действительно, в этом случае Ра3-* посылка представляется в видсЗуЛ/(у)&\/.г(Л/(л-)Э5(л')) или
&Зл(Л/(л)&5(х)); из той и другой формулы очевидным об-^Зом следует Зу5(у)). Этому условию удовлетворяют все модусы ^етьей фигуры, а в четвертой все, кроме одного — Camenes. В нем Тодра3УмСвасмая часть заключения не следует из посылок, и по этому модусу из суждений с «непустыми» субъектами можно вывести суждение с «пустым» субъектом, например:
Все нлры — хищные живошыс
Ни одно хищное живо гное — не единорог
Ни один единорог— не i игр
По-видимому, в логике, которая стремилась бы в наибольшей возможной степени остаться верной духу естественного языка, модус Camenes не должен был бы считаться правильным”.
На этом мы заканчиваем наш краткий очерк аристотелевской силлогистики и ее взаимоотношения с математической логикой14. В наши дни эта силлогистика может показаться частным и нетрудным вопросом, не идущим ни в какое сравнение с современными достижениями науки. Действительно, логика ушла далеко вперед с тех пор, как взяла на вооружение математические методы. Но фундаментом здания математической логики послужило именно это старое учение осуждении и силлогизме. В этом учении отражены самые существенные черты дедуктивного мышления; ему обязана математическая логика и самой идеей логического вывода, и главнейшим из своих понятий — понятием предиката, и теми представлениями, которые привели впоследствии к введению логических операций (см. следующий параграф).
Традиционная формальная логика — это замечательное достижение человеческого гения, потребовавшее огромной силы мысли Упомним хотя бы о том. что Аристотелю и его последователям приходилось все, что мы сейчас записываем символически, выра-Кать словами) и сильно повлиявшее на разви i ис нс только науки, но кУЛьтуры в целом. И подобно всем таким достижениям она заслу-^Ивает не только почтительного взгляда, как некая реликвия, но и интереса и изучения.
сИл- ^ejlK34) вс вспомним, и этой связи, чю мшнис логики счигакн все шюбпн. 34 r,'tvnj ,,Ci верши фигуры искусе щепными и бесполезными.
i)(Jj вопрос о таимое i ношении между аристотеяепской силлогис< икон и тпримен-.101 икон подробно рассмотрен л кише |Лек;п.'евич ] 95У|
2W<	_____________________,Лл,1л#
§ 6.6. ИСТОРИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ
---- К ГЛАВАМ 2-6
Как мы уже говорили, основы формальной логики бь^ заложены Аристотелем. Ес основные понятия введены им в книг^ j «Категории» и «Об истолковании». Во второй из этих книг он опреде, ляет предмет своего исследования как «высказывающую речь», т. е такую речь (лб'р;), «в которой содержится истинность или ло^ ность». В высказывающей речи он выделяет две части, соответствуй шиетому, что сейчас называют субъектом и предикатом, или подлежащим и сказуемым35. В качестве двух основных типов «высказан 1 ваюших речей» он рассматривает утверждение и отрицание. В следующих книгах — «Первая аналитика» и «Вторая аналитика» — он строит теорию силлогизмов. (При этом первые три фигуры изложены систематически, по существу так же, как принято делать и сейчас; что касается четвертой, то все ее модусы упоминаются Аристотелем | но он нс дает ее систематического изложения.)
После Аристотеля формальную логику развивали философы, принадлежавшие к различным школам. В частности, школа стоиков интересовалась в логике прежде всего способами составления сложных предложений из простых: именно стоики положили начало тому, что теперь называется логикой предложений или логикой высказываний. Одним из основных правил их логики был modus ponens. (Это правило еще до них использовали ученики Аристотеля Фсоф-раст (Of dtp рас то;, ок. 372—287 до н. э.) и Эвдем (ЕЙбфос)? Тонкость и глубина логических построений стоиков были оценены по достоинству только в наше время36.
Из ученых, занимавшихся логикой в последующие столетия37.
35 Аристотель не отделил учение о формах мышлении (т.е- логику — сам он еще нс пользовался этим термином) от учения о языке (см. об этом, например, (SteHiihaj 1863]), для которого его труды также сыграли основополагающую роль И пеМ6 Аристотеля в 1счение многих веков лингвистика развивалась под сильнейшим влиянием логики и нередко не отделялась от нее (см. [Sleinthal {863], |l’tnborg 1967b ]Ashworth 1974]). [[равна, уже древнегреческие грамматики разработали учение0 частях речи, склонении, спряжении и т. д (ем., например, (Античные теорий — 1936]: школьная грамматика до сих пор но всем существенном следует этому учению)> ли ни в античное время, ни в средние века не было учения о членах предложс!11111' Грамматические понятия подлежащего и сказуемого, отдельные от логических |ЮнЯ'  ни субъекта и предика«а. появились, видимо, не ранее XVII в
36 В книгах но исюрии логики, написанных в XIX в., можно прочесть, что вкляй стоиков в развитие лонжи был крайне незначительным, а мнение их рассужде^11*1 попросту бессмысленны (См., например, (Prantl 1855|.) Авторы этих киш не зна^111 математической .ioi ики.
17 Логические исследования стоиков относятся в основном к III веку д<> н.э.
269
vrHC логики ИРГДИКАгов
сиИ'глКЬ——	-------
-.отмстить Галена (Г.аХт]¥бс) ок. 130—200 н.э.); это тот самый который считается одним из величайших врачей древности. раДе^’ вь1дВинул требование строгой аксиоматизации логики.
с ему приписывали также изобретение четвертой фигуры О ^оГИЗма, но многие современные исследователи вслед за Я. Дука-сй' иЦем считают это ошибкой.)
средние века логика развивалась в рамках так называемой схо-Т1,ческой (т. с. «школьной») философии. Для ознакомления сред-^вековых западноевропейских ученых с наследием античной логи-i огромное значение имела деятельность последнего значительного имского философа Боэция (Anicius Manlius Torquaius Severinus Boethius, ок. 480—525): переводы с греческого на латинский, комментарии к трудам древних авторов, а также его собственные логические сочинения. Именно Боэций ввел в употребление термины siibiectum (в более позднем написании subjectum) и praedicatum (subjectum — от пассивного причастия глагола subjicio — «бросать, подкладывать, подставлять»; pracdicaiurn — от пассивного причастия глагола praedico— «объявлять, заявлять, говорить»; русские термины «подлежашее» и «сказуемое» — переводы этих слов.) Схоластическая философия, подчиненная богословию и занимавшаяся чрезвычайно абстрактными вопросами, сделалась потом объектом насмешек, и слово «схоластика» стало употребляться для обозначения любых бесплодных, пустопорожних умствований. В действительности же средневековая философия внесла свой вклад в развитие человеческого мышления; в частности, были сделаны успехи в развитии логики, чему как раз способствовала изощренность схоластов в отвлеченных умозрительных построениях. Мы уже упоминали о правиле Дунса Скота: «Из противоречия можно вывести все, что угодно». Средневековым философам фактически были известны законы Де Моргана (разумеется, в словесной форме). В XIII в. испанский философ и богослов Раймунд Луллий (Raimundus Lullius, 1235—1315) пред принял попытку разработать способ механическою •Моделирования логических операций, т. е., выражаясь современным Языком, построить логическое исчислении. Выработанные схоласти-Ческой философией представления о бесконечности содержали в себе За^атки идей, которые привели впоследствии к возникновению тео-₽Ии множеств. (Ее создатель Г. Кантор (см, сноску на с. 432) был Г2>'бок знатоком философии, в том числе средневековой, и это Ст°ятельство, несомненно, имело существенное влияние на на-тйв ЛСНИесго исследопаний’ Предшественник Кантора, предвосхить	некоторые его идеи — чешский богослов, философ и матема-
Больцано (Bernhard Bolzano, 1781 —1848), в своих исследова-q ° бесконечности непосредственно отправлялся от схоластики.) <1ко качественный сдвиг в развитии формальной логики мог про-
270
'ЛЛВд6
изойти только благодаря ее с и м в о л и з а ц и и и м атс мати3, ц и и. Это стало возможно лишь после того, как символически* обозначения вошли в обиход математики, т. с. уже в новое время3» Идея математизации логики впервые была выдвинута всликц/ философом и математиком Г.В. Лейбницем (Goitfricd Leibniz, 1646—1716). Он представлял себе математизированную Ло гику как систему знаков, находящихся во взаимно однозначном со>
ответствии с мыслями, и правил оперирования с этими знаками построенных таким образом, что всякий раз, когда некоторая мысль является следствием другой, «образ» первой получается из «образа» второй по этим правилам”; эту систему Лейбниц называл «ВсеобпИ характеристикой» (Characlcrislica universalis). Он мечтал о времени когда философы вместо того, чтобы спорить, будут говорить: «Посчитаем!»* 40 41.
Лейбниц не построил развернутой формально-логической системы (сохранились только наброски), но под его влиянием в XVIII в.
предпринимались попытки построения математизированных логических систем, продолжавшиеся и в первой половине XIX в. Первыми серьезными успехами в этом направлении были работы английских математиков А. Де Моргана4’ (Augustus De Morgan, 1806— 1871) и Дж. Буля (George Boole, 1815—1864), с которых и начинается история математической логики как таковой — вес предыдущее было предысторией (без которой, однако, математическая логика не могла бы возникнуть). А. Де Морган опубликовал в 1847 г. работу «Formal logic or the calculus of inference, necessary and probable) («Формальная логика или исчисление выводов, необходимых и вероятных»), в которой, поставив себе целью усовершенствовать теорию силлогизма, пользовался в неявном виде алгеброй классов (т. е. фактически алгеброй множеств, подчиняющейся тем же законам, что и алгебра предложений — см. §1.1, пункт 9, и § 2.1, пункт 3; алгебраическую систему, подчиняющуюся эчим законам, называют теперь булевой алгеброй). Законы, носящие теперь его имя, Де Морган сформулировал также на языке классов. В более поздних работах он заложил основы теории отношений.
В том же 1847 г. была опубликована работа Дж. Буля «The mathematical analysis of logic» («Математический анализ логики») >в
Символические обозначения а рифме  ических действии, знаки >, < и скобка вошли в употребление в течение XV- XVII веко» Тогда же появились букве»1*® обозначении для чисел
” См [Scholz 19311, с. 52—53.
40 Развитие математической лотки не оправдало э>их надежд Лейбница- boJ*1-4’ того, оно позволило усыновить (см следующие две 1ланы). что даже математически рассуждение не всегда можно заменить вычислением.
41 Встречающееся иногда написание «де Морган» неправильно.
271
Л vГИС ЛОГИКИ i 1РЕДИКЛ ГОВ ------------------------
также фактически вводится алгебра классов. Буль исполь-Ьс'г р дтой работе символы двух видов: X, Y, Z, и л, у, z, ... . Пер-3- еТсЯужат для обозначения предметов, входящих в определенные вЬ1С , __ хдля членов одного класса, Удля членов другого и т. д.,— ^торые представляют собой «операторы выбора»: например, символ а ействуя на какой-либо класс, «выбирает» из него все Х-ы, кото-Те нем содержатся. Но так как «универсум» (класс, содержащий мыслимые предметы) естественно обозначать через I, и так же вСтеСтвенно результат действия х на 1 обозначать той же буквой х, то ^становится фактически также и обозначением класса всех Х-ов, а * обозначением класса, состоящего из всех тех Х-ов, которые одновременно являются У-ами (т. с., выражаясь современным языком, пересечения хПу). Далее Буль говорит, что если разделить какую-либо «группу объектов» на две части и из каждой части выбрать все Х-ы, то результат будет тот же, как если бы мы выбирали все Х-ы из этой группы как целого; этот факт он записывает символически в виде л(и + г») — хи + XV. (Таким образом, знак + фактически служит для обозначения объединения классов, но лишь в случае, когда они не пересекаются). К полученному таким образом дистрибутивному закону присоединяются еще два закона, обосновываемые аналогичным образом: ху = ух и х” = х. Затем вводится обозначение I-х для класса «всех не-Х-ов» (т. е. для дополнения класса х). Далее Буль показывает, как можно интерпретировать иа этом языке традиционные типы суждений Л, Е, I, О (см. предыдущий параграф). Например, суждение типа А: «Все Х-ы суть У-и» — представляется равенством ху « х, которое переписывается также в виде х( I — у) = 0. так что 0 оказывается фактически обозначением пустого класса. (В явном виде это не объясняется; нет и обоснования перехода от равенства ху = х к равенству х(1 — у) = 0.) Потом дастся интерпретация на том же языке категорических и гипотетических силлогизмов и рассматриваются еще некоторые свойства введенных в начале Работы операций42. В дальнейшем Буль написал еще несколько ра-От, в которых развивались эти идеи. В частности, ои занимался Начиная уже с первой работы, о которой говорилось выше) реше-Нйем «уравнений в классах» («булевых уравнений»); эти уравнения R последующие несколько десятилетий неизменно привлекали вни-* ние ученых, занимавшихся математической логикой.
йа>к поДРобно оста।гонялись на содержании .иой работы нс только винду ее ста.ц°С1и ,ля истории ма!ема-| и ческой ложки, ио и с целью показать, как далеки Со^ ,1с работы но математической лотке от современного стиля ее изложения К Ся ь‘ ле,11'’о, в книгах по исгорни логики рассуждения старых авторов чаек) излагаю! -°4cpi 1 цзн р(Ша,,, гом виде.
272

Идеи Буля были развиты во второй половине XIX в. английскь логиком, философом и экономистом У. С. Джсвонсом (Willie Stanley Jcvons, 1835—1882) и немецким математиком Э. Шрёдер0 (Ernst Schroder, 1841 — 1902). В их работах алгебра классов приобре ла уже отчетливый характер. Джевонс разработал технику выводу следствий из посылок, основанную фактически на совершенна дизъюнктивных нормальных формах (на языке классов). (Он гю.
строил также «логическую машину» для механического осущсствд ния таких выводов.) Шрёдер в трехтомном сочинении «Vorlcsungen fiber die Algebra der Logic» («Лекции по алгебре логики») дал подрой нос изложение алгебры логики (все еще на языке классов); он ввел для представления булевых функций нормальные формы (фактически — дизъюнктивные).
Настоящая логика предложений, не зависящая от логики классов, впервые появилась в опубликованной в 1877 г. работе английского математика X. Мак-Колла (Hugh MacColl, 1837—?) «The calculus of equivalent statements and integration limits» («Исчисление эквивалентных предложений и пределы интегрирования»).
Истинностные таблицы впервые были применены в 1879 г. для некоторых частных случаев немецким математиком и философом Г. Фреге (Gottlob Frege, 1848 -1925), а шесть лет спустя уже в общем виде — американским логиком Ч. Пирсом (Charles Sanders Peirce, 1839—1914). Кванторы также вел в употребление Фреге; несколько позже независимо от Фреге их использовал Пирс, ссылаясь как на автора идеи на своего соотечественника Митчелла (О. Н. Mitchell). (Пирс ввел также префиксную нормальную форму.) Но самая глубокая идея Фреге состояла в построении математической логики в виде логического исчисления; таким образом, он был основоположником современной теории доказательств. Эту идею он осуществил в работе «Bcgriffschrift». опубликованной в 1879 г.45. Однако эга работа не была тогда оценена по достоинству; ее значение было понято специй" листами только через три десятилетия44. В течение этих десятиле-
4Д Идеи теории доказательства в известной степени предвосхитил сии' в пер110** половит те XIX в Ь Больцано (см выше)
41 Фраге был также автором очень i тсбоких исследовании по icopuu смысла.
1 орые дают нр.ию спита i ь его оспонополо.+.пикоц современной -ни ической семантик11, а также того направления и современном лит вис i икс. которое известно под им^НС*’ «жп и чес кии анализ языка» 'Эти и селе, тона ноя полное г но сохраняют свис зтычС11т,с* сейчас (Три его важнейшие работы но семантике опубликованы в русском персвоАс* [Фреге 1977], [Фреге 19761, [Фреге 196О| I И тожен не оиюв теории смысла ФРе^ имеется во введении к книге [Черч 1960 [ ) 1 Icpisoe прикладноелот ическое исчислен111, также пос троил <1>регс (в работе «Die Giiindgcsei/e der Arilhinetik» («Основные закот11’’ арифметики»)) Заметим еще, что именно он тамспил нечеткое понятие «переменно1*’ количества» принятым сейчас представлением и переменной как символе
2Ti
,Ц1 AK(;WC ^огики ПРЕДИКАТОВ
• появились работы по математической логике итальянского мате-Т1*тика Дж. Пеано (Giuseppe Peano. 1858—1932) и его учеников и следователей, содержавшие подходы к логическим исчислениям, п°СуеТупавшие в этом отношении более ранней работе Фреге. Под 110 тянием сначала этих работ, а затем и работы Фреге в начале XX в. bJ1* английских ученых: математик и философ А. Уайтхед (Alfred bjorth Whitehead, 1861—1947) и философ Б. Рассел (Bertrand Russelh 1^72—1970) — предприняли капитальное исследование, рс-«пьтатом которого был трехтомный труд «Principia Mathematical» («Основания математики»), опубликованный в 1910—1913 гг. Эта книга оказала большое влияние на последующее развитие математической логики и исследований по основаниям математики. Однако в книге Уайтхеда и Рассела еще не было явной формулировки исчисления предикатов как отдельного логического исчисления; впервые такая формулировка была приведена, видимо, в книге [ Гильберт — Аккерман 19471 (се первое немецкое издание вышло в 1928 г.). Там же впервые было использовано в качестве термина математической логики слово «предикат». Этот термин, получивший потом широкое распространение, следует признать очень удачным, так как обычно в предложении, выражающем тот факт, что какой-то предмет обладает тем или иным свойством (см. § 2.1) именем свойства является сказуемое. Тем ие меисе его приняли нс все авторы (например, в книге [Черч 1960 1 вместо него употребляется термин «пропозициональная функция»). Используемое в нашей книге определение предиката как функции, значениями которой служат предложения, заимствовано у С. К. Клини (см. [Клини 1957], [Клини 1973]).
Что касается обозначений, то символы V для дизъюнкции и D для импликации введены Уайтхедом и Расселом (точнее, Уайтхед и Рассел видоизменили обозначения U и О, которые применял Пеано; Гильберт и Аккерман обозначали импликацию знаком -* ); символ & как обозначение конъюнкции впервые использован, вероятно, Гильбертом и Аккерманом (Пеано обозначал конъюнкцию знаком П, Уайтхед и Рассел —точкой); знак 3 для квантора существования ®вел Пеано; символ 7 для отрицания предложен Рейтингом, символ ’Для квантора общности — Гснцеиом (у Уайтхеда и Рассела отри-Ч^вие обозначается знаком —, у Гильберта и Аккермана — чертой НаД отрицаемым выражением; квантор общности по х в обеих этих Книгах обозначается (х)).
Болес подробные сведения по истории формальной логики можно ^‘*йти в специальных книгах, например, [Bochenski 1970], [Scholz ,/1 I- На русском языке есть книга [Стяжкнн 1967 ] (содержащая Мирную библиографию). В статье [Кузичева 1978 ] дан очерк раз-3 математической логики в XIX в. (к сожалению, неполный: не ‘^Рлгивдются работы Фреге, Пирса, Мак-Колла). Очень ценные
274
,J1*4
исторические сведения имеются в книге [Чёрч i960]. Существу! хрестоматия по истории математической логики с комментариям^ * обширной библиографией [Berka-Kreiser 1971 ]. Логические работ*1 Аристотеля помещены во 2-м томе собрания его сочинений на рус ском языке [Аристотель 1978 ].
Задачи и упражнения
I)	Изменить правила образования формул исчисления G, аналогично задачам 1 а, б, в в конце гл. 5.
2)	Изменить алфави! и правила образования юрмов и формул цс, числения G, применительно к бесскобочной записи термов и формул (См задачу 2 в конце гл. 5). (В бесскобочной записи вместо Г*(/|Э .... ( j пишется F*/, . аналогично для функциональных символов.)
3)	Показать, что правила W и ВЭ можно заменить условными правилами но образцу задачи 3 в конце гл 5.
4)	Убедиться, что правило УЗ равносильно следующему правилу; Если 211—С и Г' |—Зх21, причем х не входит свободно ни в одну формулу из Г и в (£, то Г, Г' |—(£ (ср. задачу 4 в копие гл. 5).
5)	Показа 1ь, что если в исчислении G, замениib правило BV правилом 21 [— Vx2l, то теоремами полученного исчисления будут ге и юлько те формулы, которые истинны во всевозможных интерпретациях с одноэле-мешными основными множествами
6)	а) Показан., что правила ВЭ и УЗ можно заменить правилами 7Vr ?21 н 3x21 и 3x21 ь ?Vx72(
б)	Показать, что правила BV и У\/ можно заменить правилами 73х 721 н Vx21 и Ух21н 7Эх 721.
7)	Показать, чю если 21—формула в алфавите G,, такая, что 3x21 [—Vx2l, то можно указать формулу, дедуктивно эквивалентную 21 и нс содержащую свободных вхождений х.
8)	Доказать непротиворечивость G,, не пользуясь теоремой о семантической пригодное!и. | Указание. Если в формуле исчисления G, вычеркнуть все кванторы, а от каждой атомной подформулы оставить только предикатный символ, получится формула исчисления предложе-ний Go, в котором роль пропозициональных символов играют символы F*. Установить связь между выводимостью в G, и в Go и воспользоваться непротиворсчивос1ью Go (Этот способ, в сущности, равносилен цоказа-(сльщву юга, чю всякая теорема G} ис!инна в любой интерпретаций с одиоэлеменi ны.м основным множесiвом.) 1
9)	Доказав, чю если Г|—21 и все формулы, входящие в Г, равно и формула 21,— бескванторною, то 21 можно вывести из Г без использования правил введения и удаления общности и существования (и, значй7, с использованием только бескванторных промежуточных формул). зание. Можно воспользоваться юоремой о семантической пригодности Сг
10)	Показа|ь, чю теорема о полноте остается справедливой Д'‘1Я исчисления, полученного из G, изъятом знака существования (й-’'1,л существования и импликации, или существования, конъюнкции и диЗ'ь1
0ЦТА^СИС Л0ГИКИ 1,ГЕДИКЛТ ОН
275
ни) и 01 всчающих этому знаку (или знакам) правил с соответ ст вую-ЮнК изМснением определения формулы. (Ср. задачу 14 в конце гл. 5 )
Показать, что формула с квантором по предикатам
72ff(73JC|F?(^,	х2)&
& Fi(X2 *з)	хз)) & \fxi3x2Fi(xi, хг))
инна на БССХ конечных множествах и ложна па всех бесконечных.
МС 12) Доказать, что всякое исчисление на основе G,. имеющее хоть одну юдоль, имеет модели любой бесконечной мощности. | Указание Ввиду геОремы Лёвен гей ма — Сколема достаточно показать, что если ЛСД и ____исчисление на основе G(, то всякую модель L с основным множест-в0Гл А можно расширить до модели с основным множеством /?,]
13)	Пусть G| — исчисление, полученное из G, изъятием знаков котгь-юНкцци. дизъюнкции и существования и отвечающих им правил (с соответствующим изменением правил образования формул). Можно определить понятие исчисления на основе G, аналогично тому, как было сделано для Cv Убедиться, что для G, и исчислений на основе G, сохраняют силу все теоремы из § 6.2.
14)	а) Доказать, что если исчисление на основе G, с равенством имеет бесконечную нормальную модель, то оно имеет и счетную нормальную модель.
б) То же для исчисления на основе G'( с равенством, имеющего конечные нормальные модели с основными множествами, содержащими сколь угодно много элементов
(Указание. Добавить к данному исчислению L новые символы предметных констант Ь2, .... и аксиомы 7(^ = 6) (г*/) Доказать непротиворечивость этого расширения (от противного, интерпретируя участвующие в выводе противоречия символы 6 элементами подходящей нормальной модели L). Воспользоваться тем, что всякая модель такого расширения бесконечна. |
15)	а) Добавим к исчислению G” ( § 6.3. пункт 4, пример I) аксиому 3*3у(7(х = у) & Vz(z = xVz = у)). Что можно сказать о мощности основного множества нормальной модели такого исчисления?
б) Показать, что для любого целого положительного п найдется исчисление на основе G. с равенством, для которого мощность основного Множества всякой нормальной модели равна л.
*6) а) Указать пример модели исчисления С ( § 6.3, пункт 4, пример • основным множеством которой служило бы множество всевозможных Очленов с рациональными (или действительными, иди комплексны коэффициентами.
осц > Лазать примеры моделей исчисления G (там же, пример 3). аек вНым множеством одной из которых служило бы множество комн ЧиСе,1Ь1Х чисея* ДРУГОЙ — множество отличных от нуля комплексных Мун..’ а нормализациями—аддитивная группа денет витальных чисел и BgT и,,ликативпая группа положительных действительных чисел соот
'вепно.
ИсчИс, ^Усть и /2 — следующие интерпретации множества формул '1е’*ия R ( § 6 3, пункт 4, пример 5): их основными множе-
276

сгвами служа! множсс1ва всевозможных упорядоченных пар натуру ных чисел для /, и множество всевозможных упорядоченных J целых чисел, вторые элементы которых отличны or нуля—Для*/' выражения (а, 6) - (с, J), (a, b) + (с, d), (а, Ь) • (с, d), 0 и 1 ( 1 чак>1 для /, cootbcictbchho
(« + С,
b)(< -d) + | (& — й)(с — tf), |(g-fcXc-<Q| - (й - b)(c - d)'
Mu • %
 '1 °зци + <0.
2
2
(1,0), для /2 — cid — be, (ad + be, bd), (ac, bd), (0,1), (1,1).
Показать, m i о:
a)	/, есть модель исчисления KR, и ее нормализация дает кольц© целых чисел,
б)	/2 есть модель исчисления С, и ее нормализация дает поле рациональных чисел.
18)	а) Показать, что если из исчисления Or ( § 6.3, пункт 4, пример 8) изъять символ - и все содержащие его аксиомы и в полученном исчислении пользоваться записью = 1г как сокращением для формулы
Vz(/i
z&h
где z — переменная, не входящая в Zj и ft, то в гаком исчислении будут доказуемы все опущенные аксиомы.
б)	Верно ли то же самое для исчисления LOdl
в)	Указа 1ь модели исчисления Or, в которых «восстановленное» в соответствии с пунктом а) о  ношение «равепс1ва» нс совпадает с исходным (В частности, нормальная модель может стать ненормальной.)
19)	Охаракюризовать множество теорем исчисления, полученного добавлением к Ht правила введения импликации.
20)	Пусть И* — исчисление, полученное из //, заменой схем аксиом V3,4 и правила Об двумя правилами: если Г |— 21 и переменная х не входи г свободно в 21 и ни в одну формулу из Г, то Г j—2( dVx23, есЛИ Г \— 21з23 и переменная х нс входит свободно вВи ни в одну формулу из Г, то / |- Эх2£>В”’
а)	Сформулировать индук1ивное определение выводимости для Н, -
б)	Показа 1ь. что Л/* равносильно исчислению Gy' в смысле совпадения по объему oi ношений выводимости. Указание. Доказан ь для Н\ «сильную» теорему о дедукции (без каких-либо ограничений на вывоД В из Г, 2О.|
21) Дй1ь обоснование правильных модусов силлогизма с помо1Дь1° теоретико-множественной интерпретации.
станет понятен, если замелить, f 0 при х > 0
Смысл этою выражения
— =j1л1 “Ри х - б 1x1 - х | 0 при у <0,	2
В основных чергах Н* совпадает с исчислением, рассмотренным в книг' никовJ 959|
2
46
re I»*1'
277
ЛКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ c»”lL -	-------------
ad ateurdum
22) Показать, что правильноею модусов Darapli и Fclaplon можно ,ОСДС1ВС1П1О вывесш ИЗ правидьносш двух ДруТИХ модусов IpCILCH i,eI1 -оы (каких?), а модусов Bramaniip и Fesapo— из правильное in двух модусов четвертой фигуры (каких?)
;1Р'23) Названия правильных модусов второй, третьей и четвертой фитур погизма содержа! в себе указания на способы их сведения к модусам с,ъЪБС,й фигуры (см. сноску на с 262) первая буква показывает, к какому пе^уСу нужно сводить, буква v или р означает, чю суждение, обозначен-м е предшествующей гласной, следус! подвергну!ь обращению — соответ Твенно простому (simplex) или посредством ограничения (ger jj^itaiioiiem), при наличии буквы т нужно поменять местами посылки (metathesis— перестановка), при наличии буквы к — применить rcductio id" abiiirdum Процедура сведения состоит в следующем, а) если в названии нет буквы к. то сначала производится обращение посылок, обозначенных т.таспыми, за которыми следус! s или р, затем, если название содержи! букв) /н. посылки меняются местами, далее производится вывод по модусу первой фщуры, название которого начинается юи же буквой, что и название сводимого модуса, и. наконец, производится обращение заключения, если за обозначающей ею гласной следует s или р; б) если в названии есть буква к, то посылка, за обозначением которой она следует, заменяется суждением, противоположным заключению 1. и производи 1ся вывод по соответствующему модусу первой фигуры, в результате чего получается суждение, противоположное замененной посылке Например, силлогизм но модусу Disarais «Некоторые гравы ядовиты; все травы — растения, следовательно, некоторые растения ядовиты» обосновывается так: из большей посылки простым обращением получается равносильное суждение «Некоюрые ядови!ые предметы — травы», из этого суждения как из меньшей посылки и из суждения «все гравы — растения» как из большей выводи! ся но модусу Darii суждение «Некого рые ядовитые предметы — растения», из которого еще одним простым обращением получайся нужное заключение
а)	Привести примеры обоснования модусов, в названиях которых есть буквы р и k.
б)	Хотя бы для некоторых модусов второй — четвертой фигур указать выводы в исчислении G., воспроизводящие описанный способ обоснова-Ния (Особенно желательно сделать это для модусов, в сведении которых У‘‘аст[>,уе। обращение посредством ограничения, эго как раз те модусы, Д;,я которых основные части заключений не выводимы из основных частей Ссылок )
с Суждением, противоположным для суждения типа Л,1,Е или О, называется Иц Вегствс 1,110 суждение типа О, Е, I или Л с гемм же членами. (Ср и понятием - Peiineixj отрицания; в чем различие?)
1
ГЛАВА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
§7.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
1. Одним из главнейших понятий математики является как известно, понятие функции (см. выше, § 1.2, пункт 3). Содержательно функция представляет собой «закон соответствия*, по которому каждому элементу области определения — значению аргумента — сопоставляется какой-то элемент области прибытия -- значение функции. При этом, вообшс говоря, нс требуется, чтобы значение функции «можно было каким-либо способом «в самом деле найти» («построить», «вычислить» и т. п.) по соответствующему значению аргумента; однако ясно, что для математики и в особенности для ее приложений все же должны быть наиболее интересны те функции, для которых способы нахождения (иначе — «построения» или «вычисления») их значении существуют.
В трудах Ньютона и Лейбница, в которых впервые появилось понятие функции, равно как и в работах математиков многих следующих поколений, неявно предполагалось, что значение функции всегда можно так или иначе «найти», производя над значением аргУ' мента некоторые «действия», предписываемые связанным с этой функцией «аналитическим выражением»1. Правда, тогда рассматрИ' вались только функции действительной и комплексной переменной; но потом, в XIX столетии, было замечено, что даже если ограничить' ся только такими функциями, их общие свойства никак не связаны с возможностью «вычислять» их значения (более того, с ней не свяЗЭ' ны и тс специальные свойства, которые играют основную роль ® анализе — непрерывность, дифференцируемость и т. п.). Тогда нятие функции было освобождено от связи с аналитическим выраЖе' нием и приобрело ту общность, в которой мы пользуемся им теперь
О ।сюда и самый гермип -функция» (см сноску на с 37).
279
Р|1ТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ -----------——--------
ознанис того факта, что не для всех функций можно «вычис-Н° иХ значения, не могло, разумеется, уменьшить практического са к изучению тех функций, для которых такое вычисление оЖН°; с теоретической же стороны естественно было теперь по-.ть вопрос о том, чем отличаются «вычислимые» функции от сТ3. ычислимых», т. с. о выработке точного понятия «спосо-Лз вычисления функции».
£>£ j Интуитивное представление о «вычислительной проце-е>> существовало у математиков уже давно, и за этими процедурами был закреплен специальный термин, не отвечавший еще никакому точному понятию: алгоритм ы2. Примерами могут служить, скажем, изучаемые в школе процедуры выполнения арифметических действий над натуральными числами в десятичной записи, или над обыкновенными дробями, или над десятичными дробями; все эти процедуры обычно называют алгоритмами Несколько более сложные примеры — алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, правило Крамера для решения систем линейных уравнений, правила дифференцирования элементарных функций и т. п. Кроме алгоритмов для вычисления функций, говорят еще об алгоритмах для распознавания свойств и отношений, подразумевая под этим строго определенные «правила» или «процедуры», позволяющие отвечать на вопросы вроде «Является ли данное натуральное число простым?», «Являются ли два данных натуральных числа взаимно простыми?» и т. п. Однако задача распознавания свойства или отношения всегда может быть представлена как задача нахождения, или «вычисления», истинностного значения некоторого предиката (одноместного или многоместного); поэтому под алгоритмом всегда можно понимать процедуру, позволяющую «находить» или «вычислять» значения некоторой функции.
Слово «алгоритм» происходит от имени работавшего в IX в. в Багдаде (и писан-^ег°’ как все тогдашние мусульманские ученые, по-арабски) математика ал-Хорезми имя указывает на происхождение из Хорезма) В ла  инских переводах его сочи-11и, получивших распространение в Европе с ХП века, имя автора писалось в 1рак>КеНно^ форме, чаще всего Algonihmus или Algorism us. По арифмешческому татУ ал-Хорезми европейцы впервые познакомились е созданной в Индии пози-системой счисления, которой мы пользуемся и сейчас. Со временем слово га? иревра!илось в название основанной на этой системе, арифметики, изла-иа3|> гогда в виде собрания правил действий над числами, а потом так стали р3*1, любые правила, допускающие «механическое» выполнение.
РИфм^^'ССком языке существуюi два вариаша этого термина: «алгоршм» и «алго-я°гик*	из двух главных имеющихся в нашей стране школ математической
Сочда1|,|°й П С- Новиковым, говорят и пишут «алгоритм», в другой, создан->Кцй Марковым— «алгорифм». Авгор, являясь учеником II С Новикова, нридер-‘ с'Чл| первого варианта
2X0
-1ЛЛЬД7
Анализ только что приведенных и любых других примеров ajir^J ритмов (много таких примеров читатель без труда укажет сам h аналогии) показывает, что все они обладают следующими ДВу^л характерными особенностями:	1
1) Н а л и ч и с четкого описания: алгоритм всегда 01J сывастся настолько четко, что на основе этою описания можно Дед ствовать чисто механически, не вникая в смысл (выражаясь «HacJ временный лад», можно сказать, что эти действия можно nopv^M машине).
2) Детерминированность, Это значит, что если процедура является алгоритмом, то ни в какой момент ее выпо^ нения не должно возникать сомнения, что делать дальше: каждд! следующий шаг должен однозначно определяться исходными дай ными (т. е. значением аргумента) и результатами уже выполнен! ных шагов.
Сказанное сейчас ни в коей мере нс может еще претендовать!® статус математического определения; мы хотели только подыто-жить, хотя бы частично, давно существующие в математике интуи-| тивные представления об алгоритме, или «вычислительной процеду-ре». Этими интуитивными представлениями математики могли об-| ходиться до тех пор, пока речь шла только об отыскании алгоритмов для решения конкретных «вычислительных» задач и при этом всякЖ раз нужный алгоритм удавалось найти — потому что когда алгорита} найден, ни у кого из математиков нс возникает сомнения, что эта действительно алгоритм, т. с. вычислительная процедура. Но со вре! менем возникли некоторые задачи несомненно «вычислительного» характера, для которых все попытки нахождения алгоритмов заводиТ ли в тупик, и появиласьгипотеза. что по крайней мере для части этил задач вообще никаких алгоритмов не суЩВ
с т в у е т. Проверка этой гипотезы в каждом случае требует ужч строгого определения алгоритма: ведь если мы хотим математически доказать, что чего-то не существует, это «что-то^, должно быть определено так, как полагается определять матсма|и' чсские понятия3.
Именно в связи с проблемой доказательства несуществования аЛ'] горитма в 30-е годы нынешнего столетия одновременно нескольким^ исследователями — К. Гёделем, Э. Постом, А. Тьюрингом4, А. чем’ — были предприняты усилия дать точное определение соотвеТ' ствующсго понятия.
3 В то же время доказать существование некоторого (чгьекта нередко удастся 11 огсутс1вци строгого определения, для лого достлочно i юс < рои и. пример
Л Тьюринг (Alan М. Curing, 1912—1954) — английский млемашк
‘Л Черч (Alonzo Church, 1903--1995) американской мгпематцк
281
мгНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ —-----------------
g результате этих усилий было предложено несколько вариантов печения, которые оказались равносильными между собой, и на °осн°вС удалось доказать, что для многих «вычислительных» задач ^горитмы действительно невозможны. Вместе с тем благодаря нали-строгого определения математики смогли заняться изучением свойств алгоритмов (или, что, по существу, то же самое — ° ^числимых» функций), их классификацией и т. п. Возникла. <( ким образом, новая математическая дисциплина — теория « г о п и т м о в, с самого начала осознавшая себя частью матема-я Л 1	1
русской логики, ибо алгоритм есть один из видов математического осуждения, изучение структуры которого математическая логика имеет своим предметом. Изложением основных понятий и фактов теории алгоритмов мы сейчас и займемся.
§ 7.2. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
1. Нашей ближайшей задачей будет теперь сформулировать точное определение алгоритма. В настоящее время существует много вариантов этого определения. Все они представляют собой довольно сложные, развернутые конструкции и по форме нередко различаются весьма существенно. Поэтому они обычно трактуются
как самостоятельные математические понятия, и каждое из них име-
ет свое название; доказательство равносильности двух таких конструкций (а все они между собой равносильны) иногда оказывается не слишком простым. Две из этих конструкций получили особенно широкое распространение ввиду их наглядности и удобства. Сейчас мы опишем одну из них, названную в честь ее автора «машиной Тьюринга»; уместность слова «машина» будет ясна из дальнейшего. Дру-Гая конструкция будет изложена в §§ 7.8 и 1.9е.
Прежде чем переходить к точной формулировке, необходимо сде-Лать следующее замечание. Отмеченное в § 1 условие наличия четкого описания алгоритма предполагает, очевидно, что все объекты, с Которыми алгоритм имеет дело — значения аргумента вычисляемой - Нкции, значения самой функции, возникающие в процессе вычис-пия «промежуточные данные» — также должны бы *ь описаны на-Пько четко, чтобы с ними можно было оперировать механически. 11 * * *
11 41*1ды1ых конструкций наиболее распространенная «и также очень veicci
Те°РИ1' ' ,1аг-:,яА1,ая> — нормальный алгорифм Л. Л Маркова, Оснонныс* ниняны
... ' ’’«чн.иых алгорифмов можно иаиги и книге (Мендельсон 1971 ], м* подроб-
—): книгах (Марков 1954] и [Маркой Нагорный 1 9841
282
Но любые «четко описываемые» математические объекты до пускаЛ представление в виде слов в алфавитах; поэтому можно потребовав чтобы именно слова в алфавитах были теми объектами, с которые’ работает алгоритм. Для машин Тьюринга, к определению которь 1 Mill теперь приступим, дело обстоит именно так7.
Машина Тьюринга по определению представляет собой соьо купность нескольких компонент, которые мы опишем сейчас по от дельности. При этом мы будем, следуя установившейся традиции пользоваться наглядными образами, так что по форме нашеопреде’ ленис может показаться не вполне строгим. Однако без использовд. ния этих образов изложение проиграло бы в ясности и простоге и фактически ничего не выиграло бы в строгости, т. к. перевод ца «абсолютно строгий» язык не представляет никаких принципиальных трудностей.
Итак, машина Тьюринга есть совокупность следующих пяти
компонент:
1)	Лента, разделенная на конечное число ячеек (> 1). На ленте выбрано направление, называемое направлением слева направо. Соответственно этому на ленте выделяются крайняя слева и крайняя справа ячейки (в частном случае, когда лента состоит из одной ячейки, они совпадают); каждая ячейка, кроме крайней слева, имеет единственную соседнюю слева, каждая, кроме крайней справа — единственную соседнюю справа. В процессе работы машины лента может изменяться, а именно, к ней могут подклеиваться новые ячейки справа (но не слева!).
2)	Головка, которая в каждый момент работы машины находится в некоторой ячейке ленты — или. как чаще говорят, обозревает эту ячейку (рис. 10). («Устройство» головки и ленты нас не интересует— существенно лишь то, что было о них сказано.)
Головка.
Рис 10
7 Имею।см п другие универсальные способы представления «четко описан'1^ объектов; в частное in, их можно представлять с помощью натуральных чисел, и не^ торые варианты понятия алгоритма «работают» не со словами, а с натураль,1Ь|Г' числами — например, рассматриваемые ниже, в §§ 7.8 и 7.9, рекурсивные функШ I
283
„.01,1 IHOPHH AJHOPHTMOB
' '--------------------
3)	Два конечных алфавит = {</_,, "с...... "J (" - О
(luyniPeH"“11
q = {ft,. ft, ft) (' г О-
внешний
- зеваем ый также множеством состояний. Элементы Л называют-н‘ вне1лннми символами машины, элементы Q — внутренними со-С^п0Яниями или просто состояниями. В каждый момент работы майна находится в некотором состоянии (т. с. ей сопоставлен некоторый элемент алфавита Q) и в каждой ячейке лен гы записан некоторый (единственный) внешний символ. (Таким образом, внешние символы «видны» на ленте, являющейся «внешним устройством» машины, в то время как состояние «не видно» и является в каждый момент чем-то «внутренне присущим» машине в целом.)
Символы а_„ л0, <70, играют особую роль и носят особые назва
ния: а_, называется граничным маркером, а0 — пустым символом, — заключительным состоянием, — начальным состоянием. Особенности употребления этих символов будут точно указаны ниже, предварительно же можно сделать следующие пояснения:
Граничный маркер записывается в крайней слева ячейке и остается в ней в течение всего процесса вычисления, чтобы головки не могла «свалиться» с ленты влево8. Вместо а_к мы часто будем писать #.
Пустой символ служит для того, чтобы можно было рассматривать ленту, у которой в некоторых ячейках ничего не записано (это Удобно из содержательных соображений) и в то же время формально считать, что в каждой ячейке всегда записан какой-то символ (что упрощает формулировки и рассуждения). Таким образом, если в некоторой ячейке записан символ е/(), содержательно это означает, что ячейка пуста.
Начальное и заключительное состояния указывают соответственно начало и конец процесса вычисления.
4)	Программа машины — конечное множество слов специально-г°«ида, называемых командами. Именно, каждая команда имеет вид

гДс:
(а)	-> («стрелка») — некоторый специальный символ, не входя-ЩИйни вл. ни BQ9;
а . «Сваливание» вправо предотвращается дрччим способом — лоцклеиваппем Ю|,*и (см ниже)
*1ц| ^ 'РС.чка используется только ради п.плядноыи — если ее oiivcihii,. никакая ’Рчацим Hi- шнерягня
ОДНН ИЗ н
: граничив
__________________________________________________галЛ
(б)	dj и ак — внешние символы; при этом либо ни не есть граничный маркер, либо оба совпадают маркером:
(в)	qt и q, — внутренние состояния; при этом состояние н заключительное.
(г)	С («эс» русское прописное10, нс «це» латинское) — одна Из трех русских букв 77, Н, П\ если при этом команда содержит границ! ный маркер, то С * Л.
Кроме того, программа в целом должна удовлетворять условию которое мы, назвав части команды, стоящие слева и справа от стрел’ ки, се левой частью и правой частью соответственно, сформулц_ руем так:
(д)	если левые части двух входящих в программу команд совпадают, то совпадают и правые; иначе — программа не может содержать двух (или более) различных команд с одинаковыми левыми I частями".
Содержательно команда представляет собой предписание, в соответствии с которым выполняется очередной шаг вычисления. Именно, если программа машины содержит команду qp, -> akCqh то всякий ( раз, когда машина находится в состоянии д, и головка обозревает ячейку, в которой записан символ ар очередной шаг состоит в том, что: (г) в обозреваемой ячейке символ а, стирается и вместо него записывается а/2; (и) головка сдвигается на одну ячейку влево, гели | С = Л, на одну ячейку вправо, если С = П, и остается на месте, если С = Н; (Ш) машина переходит в состояние др.
Поскольку программа может содержать только одну команду с левой частью qtap очередной шаг определяется однозначно. Таким образом, условие (д) обеспечивает выполнение сформулированного в § 1 принципа детерминированности.
Может случиться, конечно, что машина окажется в таком состоя- । нии q. и головка — в ячейке, где записан такой символ а,, что программа нс содержит команды с левой частью д?а/, тогда очередной шаг невозможен, и вычисление прекращается.
Смысл оговорок в условиях (б), (в) и (г) теперь достаточно ясен: первая из них означает, что граничный маркер в процессе вычисления не может быть ни стерт, ни записан заново ни в какой ячейке;
io
От слова «сдвиг»
11	Таким образом, программа определяет функцию, отображающую искотор08 подмножество декартова произведения ((?\{?о})хЛ в декартово произведен1* А X {Л, //, //) X Q.
12	В частности, если /= А, содержимое ячейки не меняется.
13	В частности, если i = /, состояние не меняется.

ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
285
________что, оказавшись в заключительном состоянии, машина не ₽Т ет продолжать работу; третья — что из ячейки, в которой запи-граничный маркер, головка нс может сдвинуться влево.
с^2 Определение машины Тьюринга закончено. Из сопровождав-его содержательных пояснений понятно, что представляет собой ^бота машины», или «вычислением. Но среди вычислений нам ^обно будет выделить некоторые «правильные», которых для всех ваших целей будет достаточно. Именно, правильными мы будем считать такие вычисления, при которых: (J > в крайней слева ячейке денты записан граничный маркер, и ни в какой другой ячейке его нет' (2) в начальный и заключительный моменты головка обозревает крайнюю слева ячейку; (3) в начальный момент машина находится в начальном состоянии, а в заключительный — в заключительном; (4) в заключительный момент все пустые ячейки (если они есть) расположены правее всех непустых.
Теперь мы определим правильное вычисление формально. Для этого введем сначала понятие ситуации машины Тьюринга: так мы будем называть всякое слово вида xqy, гдсхЕЛ*, у€=А+ (А* означает множество всех слов в алфавите А, Л+ — множество всех непустых слов в алфавите А), <y,GQ и ху представимо в виде #z, где z не содер-
жит #. Содержательно ситуация - это «моментальная фотография» машины в процессе правильного вычисления: ху есть содержимое ленты в данный момент, qt — состояние, в котором в этот момент находится машина, а первая буква слова у (т. е. то место в слове ху = #z, перед которым вставляется q) отвечает обозреваемой ячейке.
Ситуацию вида qt#l мы будем называть начальной, ситуацию виДа q^aa” (т > 0), где и не содержит aQ — заключительной'*. Начальная ситуация будет называться п-местной (п= 1, 2,...), если °иа содержит точно я - 1 вхождение а0. //-местную начальную ситуа-^Ию q}#xt av х2 пох„ мы будем интерпретировать как запись упорядоченной л-ки слов х„ .... х„. (Например, а, а2 — запись слова 0|<эь (/,# с/2 a, а0 а2 а2 — запись пары слов a2av а^а^, q{# а0 а} а2 а0 — запись четверки А, А, а, а2, Л, где Л — пустое слово).
Мы будем, далее, говорить, что ситуация у' получается из си-^У(Щии s выполнением команды К, если имеет место одно из следую-
Условий:
(а) К -- сц а, akHql, $ = vql a}w, s' = vqt akw,
сокращенная запись слова a... a
m раз
286	ГЛА1ц1
Qi) К = q: at -* ak Jiqf, a = vpqqaw. s' — vpj, a,akw. где cir^A\
(yl) К = q, а -> akriqn s ~ it///, й,и'р А' = VLikQt "Д'|, ГДС ar^-A',
(т2) К = q, «, -* а^Пц,, s = IV, u„ s' = гада,
Смысл этого определения ясен; в пояснении нуждается тольк пункт (у2), отвечающий случаю, когда головка обозревает крайннЯ справа ячейку, а команда требует сдвига головки вправо. Тогда спра. ва подклеивается новая ячейка и в нее передвигается головка; пр^ этом в подклеенной ячейке ничего не пишется (формально — загщ. сывается пустой символ).
Теперь мы можем дать формальное определение правильного вычисления;
П равилъным вычислением машины Тьюринга М мы будем называть последовательность (.s0, sp) ситуаций этой машины, такую что:
(а)	для каждого I = 0,	ситуация \f+ получается из л; вы-
полнением некоторой команды машины Л/;
(б)	у0 — начальная ситуация;
(в)	л — заключительная ситуация.
Если существует правильное вычисление машины М1 начинающееся «-местной начальной ситуацией qt# tta{} ••• aot„ и заканчивающееся ситуацией q0#ua™(tn > 0), где и не содержит ц0, мы будем говорить, что машина М перерабатывает упорядоченный набор слов /„ ..., t„ (при л=1 — просто слово ft) в слово и, и писать и = Л7|/|,	/„ I- Если Л/ |/р ...» t„ | существует, мы говорим, что маши-
на Л/ применима к набору /, —, / (при /7=1 — к слову ip.
Остается определить понятие функции, вычисляемой машиной Тьюринга. При этом будет удобно дополнить опредсЛ нис машины, выделив во внешнем алфавите — точнее, во м нот жсстве А \ {а— два подалфавита /1ьх и которые мы назш всм входным и выходным алфавитами соответственно. (В частно1*1 случае они могут совпадать.) Если теперь М — машина Тьюринга с входным и выходным алфавитами, мы скажем, что Л/ вычч^ ляет функцию /вместимости и, если/ удовлетворяет следуют111** условиям:
(1) область определения / содержится в <•!*'' (д-й дскартоР°в степени множества слов в алфавите а множество значений
(2) для произвольного набора (лр....,\и) G/1*''тогда и тол>»ь£|
тогда у = /(л,.л-J. когда у = Л71л,..v„ I и у G
Из определения ясно, что каждая машина Тьюринга М с вход'11’
287
. । Ы JIX) РИМ AJ] ГОРИ I MOB ___
уОцИым алфавитами для всякого п = 1,2, ... вычисляет нското-I1 в1,,функцию вместимости п, и иритом единственную. Правда, при р?М0>кет оказаться, что область определения этой функции пуста 3 , не существует такого набора (х„ .. х„) €Е Л*'!, что машина Л/ к (Т. с-	*
,му применима и при этом М\х].....х„ | €Е ЛН|1Х), так что иногда ходится рассматривать нигде не определенную функцию; такая ^^нкция представляет собой, впрочем, не менее «законный» объект, ?см пустое множество.
Теперь мы можем, наконец, дать определение вычислимой функ-— или, более подробно, функции, вычислимой по Тьюрингу, так j будем называть всякую функцию, вычисляемую некоторой машиной Тьюринга с входным и выходным алфавитами.
В дальнейшем нам понадобится также понятие вычислимого пре-диката. Его нельзя ввести просто как частный случай вычислимой функции, г. к. значения предиката — предложения — не являются констру ктивными объектами. Поэтому мы примем следующее естественное определение:
Предикат Е(лр ..., xj, определенный на некотором подмно-жс-стве и-й декартовой степени множества всех слов в некотором конечном алфавите, называется вычислимым (по Тьюрингу), если вычислима функция, сопоставляющая каждому набору х?, ..., х” значений переменных х,, ...,х„ истинностное значение предложения Е(х?,..., х°).
§ 7.3. ПРИМЕРЫ МАШИН
Чтобы освоиться с понятием машины Тьюринга, необходимо разобрать достаточное число примеров и, главное, поупражняться в самостоятельном построении машин. Сейчас мы приведем РЯД примеров; при этом каждый раз будет выписываться только про-гРамма машины. Иногда мы будем отступать от стандартных обозначений внешних символов и состояний, введенных в предыдущем ПаРаграфе: для обозначения состояний будет в некоторых случаях ^пользоваться буква q с двойными индексами, а в качестве внешних вводов будут допускаться любые знаки (отличные от q с индекса-' Начальное и заключительное состояния, пустой символ и гра-^НЫЙ маркер всегда будут обозначаться стандартным способом. ^е1Дний алфавит машины, из которого исключены граничный мар-Р и Пустой символ, мы часто будем обозначить через И,.
Пример 1. Построим машину, которая к каждому слову х в витс .4, будет приписывать справа символ т. с. будет перераба-j L'iTl. V П VZI	'
(1)	(jia -* ajlq. (z ~ -1, 1, п)
(2)	-* flr7tfz
(3)	q2at -* arHq2 (i = 1,.... n)
(4)	r/2# -> #Hqlt
Программа содержит, таким образом. 2л + 3 команды. Нумера» ция строк команд введена только для того, чтобы сделать более наглядной запись вычислений (см. ниже).
Приведем два правильных вычисления этой машины, начинающихся словами агй,а? и Л соответственно:
1)	q.#a2ci{a2
(I)
(1)
#агд}ауаг
(1)
#ага цхаг
(1)
#tz2<ij а2дхаа
(2)
#a,a-qia^
' (3)
2) V,#
(1)
*?,"с
(2)
«г*“:
(4)
Vo*",
(3)
#V?"2"l"2"l
(3)
q^a^cqcijc^
(4) z/0# a,ata >at
Цифра .между ситуациями обозначает здесь номер той стр0^ программы, выполнением команд которой нижняя ситуация чается из верхней.
Таким образом, правильное вычисление э;ии машины сост° в следующем: сначала, находя^! ь состоянии //,, машина двй^
289
[ (- Ь| [ЮРИИ Л Л1 'О РИТМ о в 9^М	— -	—	------
,,, вправо, ничего при этом нс изменяя на ленте, пока головка го-'10 ,|дСТ до конца исходной цепочки; затем она справа от исходной пишет а,, переходя при этом в состояние q2, в котором голов-йеП вйжстся влево (ничего не изменяя), пока нс дойдет до гранич-** маркеРа»т0Гда состояние заменяется на д0, и вычисление закан-ц”вас[СЯ- ,	,	,
Дальнейшие примеры мы не будем разбирать так подробно; в стности, образцы вычислений приводиться нс будут. Однако чита-ю рекомендуется самому строить такие образцы.
Т ПримеР 2< Построим теперь машину, приписывающую к каждо-слову в алфавите Л, символ at слева.
(I)	V,# - #Пч.
(2)	</,«, -	= ।.....и)
(3)	(',) = I............">
(4)	- «Э<72 (l= 1,
(5)	ч,а, - a^lQ, (i = I, .... if)
(6)	и,# - Нч„
<7) v,«0 -» а,
Здесь символ п, приходится записывать в уже занятой ячейке; поэтому все символы, входящие в цепочку, нужно сдвинуть на одн\ ячейку вправо, для чего служат команды строк 2, 3, 4. Сдвигаемые символы «запоминаются» с помошью состояний. Команда 7 служит для обработки пустого слова.
Пример 3. Следующая машина у каждого слова длины > 3 в алфавите .4, стирает три последних символа, а слова меньшей длины Прорабатывает в пустое слово.
(1)	qta. -* а/7^, (t = -1, 1, л)
(2)	Vi"n -
4ia, (z = 1,	«)
(4)	- av4qA(i = I, ...» л)
(5)	QAat ulr.4(^ (i = I, n)
a JI (I? (i = 1, ..., rt)
(7)	9/#	#Я<70( h = (2, 3, 4, 5)
4 ^°'10жив теперь в каждом из рассматриваемых примеров = <4,, мы видим, что машины этих примеров вычисляют
290

соответственно функции /|5 /2,определенные на всем Л*х и такие, что

Z, =
у, если l.vl > 3, г — уа^а^а,^
Л, если 1д1 < 3.
Здесь ixl означает длину слова (см. с. 156), Л — пустое слово.
Задача. Построить машины Тьюринга, работающие следующ^ образом:
(а): Машину, приписывающую к каждому слову в алфавите д слово иг<.1{и2 справа;
(б) То же — слева;
(в) Машину, стирающую у каждого непустого слова первый символ, а пустое слово перерабатывающую в себя.
Во всех следующих примерах будут рассматриваться машины с входным и выходным алфавитами. Когда о входном алфавите ничего нс говорится, подразумевается, что он есть {с/р ..., б/J. Если ничего не говорится о выходном алфавите, это означает, что он совпадаете входным. Нам будет удобно «помечать» внешние символы различными «метками», т. е. рассматривать символы вроде 7zf, a,, a',, b и т. п. Все такие «помеченные символы» считаются принадлежащими разности л. \
Пример 4. Построим машину, удваивающую каждое слово в алфавите Лм, т. е. вычисляющую функцию/(.v) — л-.v.
(I) «,# -» Пч,
дЛ • аДчи(' = >• —. ')
(3)	в, а, -»	((, j = 1, s)
(4)	Пц„ (i,j = I-------------s)
(5> (/,«„ -» ггДч, (| ~ 1, —, л) (6) чта: а//<72 (/= I,s)
(7)	у//, K’lQ, Ч = 1, —, ')
(8)	q^i, -» ajlq, (i = I..v)
(9)	y/l, -* ^/7<73 (/ = 1,s)
(10)	qiaf -* o,/7q( (/ = 1,s)

ТЕОРИИ AJI1 ОРИ ГМОВ	291
(11)	Ч>“« “*	- 1 ’	'•
(|2)	“*	~ ' ’
(13) чЛ “г''ч. (' = ' •• »>
(14> V,* "* #нЧи
(15) ЧЛ -* а^'Ч«
работа машины состоит в том, что каждый символ входного слова к0Пирусгся справа. Копируемый символ помечается (одной чертой), чтобы избежать его повторного копирования, и запоминается с помощью состояния (строка 2). Затем головка идет вправо (строки 3 и 4) до первой пустой ячейки, где записывается копия (строка 5), которая также помечается (двумя чертами), чтобы избежать в дальнейшем копирования копии. Потом головка идет влево (строки 7 и 6) до первого помеченного символа, встреча с которым в состоянии цг служит сигналом к началу нового цикла (строка 8). Если в состоянии с которого должен начинаться цикл, головка попала нс mi а на
Ъ. это значит, что копирование окончено; тогда остается снять метки (строки 9—14). Команда 15 служит для обработки пустого слова.
Пример 5. Следующая машина будет «разбавлять» каждое непустое слово в алфавите /1„х, записывая перед каждым его символом букву Лвх (например, a2a]ai перерабатывается в calcuieai>. При этом мы полагаем Лвмх = /1BXU{c}. Пустое слово эта машина будет перерабатывать в себя.
(I)	Ч,# #Пц,
(2)	чД<17 (i = 1,s)
(3)	• ajlqj (/ = 1,	.*>')
<4)	- b.Hq,
(5)	bJlqi
<6)	- bJ!q,
ЧЛ -» ajlii, 0=1.........')
(8>	<Js7i, -> a,Hq, (l = I..... s)
<9>	q,h b./lq4
^0) (j4b “» bJIq^
<11	)	-» bllq^i = (1.*)
(,2	> q„b ЬПч,Д1 = I, .... S)
292
(I3> q,a„ - ar7<7a(i = I...........s)
(14)	</,,< ->	= I, -, ')
(15)	</,/> -» »//<,, (1 = I, .... .v)
(16)	qji -♦ <//(/,
(17)	<74# - #Hq„
(18)	</,«„ -* «,//<?„
Здесь команды строк 2—8 служат для того, чтобы <,отмериТЬй справа от входного слова кусок ленты, равный ему по длине. С помощью команд строк 9—16 каждый символ входного слова (начиная с крайнего справа) переносится вправо и перед ним вставляется с Встреча страничным маркером в состоянии (команда 17) сигнализирует об окончании работы. Команда 18 служит для обработки пустого слова.
Задача. Построить машины Тьюринга, вычисляющие следующие функции:
(а>/(л) = с1'1:
(б)Д.т) = с1''*:
(в) /(.v) — X Л, где т —обращение слова v
(г) /(.V) = £.
Машины следующих четырех примеров предназначаются для распознания свойств слов и бинарных отношений между словами — иначе говоря, для вычисления одноместных и двуместных предикатов. Выходным алфавитом каждой из этих машин будет {и, л}; слова, обладающие нужным свойством (соответственно пары, находящиеся в нужном отношении), будут перерабатываться в и, нс обладающие (не находящиеся) — вл.
Пример 6. Следующая машина распознает четность длины слова.
(1)
(2)	ц.а1~*а1Пц2 (f = 1,..., $)
(3)	{i ~ I, ..., a)
(4)
(5)
(6)	(i - 1.................x)
|S Например, обращение слова «р<ну» ecu. «viap» По определению полага”1* Л -- Л
293
,.,||Ы IIIOI’HHAJIIOI-HTMOI)
Lnr',u------------	---------
(7)	~
(8)9,#-’*^
(9) ,74 £A
(|O> </,"« ','-77"
(11)
Пример 7. Следующая машина распознает, является ли слово симметричным'6.
(1)
(2)	(z = 1, ...,5)
(3)	<7, йГ^Л'Л, 0» J = h *)
(4)	(i= Ь —> ’>)
(5)	<7 Д“*«>‘7</2, (Z, i ~ 1.
(6)	z/2A“*^'7<72 (» = 1, —, л)
(7)	(!2и,-^иЛ(ц (i, I = 1, ....
(8)	q2a,-^arTIqL (l — 1, ..., л)
(9)	чЛ1,~*иЛ(1\ G
(10)	(ца^а.Пц^ (7=1.
(11)	qyTtp+a Пец (i. j =
(12)	qjt:^unqA (z -
(13)	ад,-.а,г7(7,
(14)	ysa,-*«ir7^ (i -
(15)	q^i'-*a„;lq5 u =
(16)	Qjt^ftriqb
(,7) (k.4tt^uJIqt}
(18)	qsa *ПЛ^\ 0 ~
(l9>
v)
Рч , -h)ik> (.«.и метрнчио, если оно couiia.iari со споим обращением -

(20)	q^u^Iq1 (i = I.......a)
(21)	g.tal-*ua,4(i-,(i - 1,..., \)
(22)	q17i,-^air!lq1 (i = 1, a)
(23)	q^XFlq*
(24)	q^l^iJIq,.
(25) qiav-^uJlq0
При работе машины сравниваются между собой сначала первыми последний символы, затем второй и предпоследний и т. д. (строки 2—9). Если оказалось, что какие-либо два сравниваемых символа различны (строка 7), то все стирается и записывается л (строки 18— 24). Об успешном окончании сравнения сигнализирует в случае слова четной длины встреча в состоянии дх с символом, помеченным двумя чертами, т. с. первым символом правой половины слова (строка 10), в случае слова нечетной длины — встреча в состоянии </2, с символом, помеченным одной чертой — этот символ стоит тогда в середине слова (строка 11). В обоих случаях все стирается и записывается и (строки 12—17). Команда 25 служит для обработки пустого слова.
Пример 8. Аналогично машине примера 7 будет работать машина, распознающая, является ли слово х началом слова у. Эта машина начинает работу с двуместной начальной ситуации qfixa^y (х. у — слове» в алфавите {«,,flj). Она сравнивает сначала первые (слева) символы слов л и у, затем вторые и т. д.; сравниваемые символы помечаются. Если при этом окажется, что каждый символ слова X
совпадает с занимающим такое же место символом слова у, то все стирается и записывается и. Если же на каком-либо месте обнаружится несовпадение или в слове у не хватит букв для сравнения также все стирается, но записывается л. Программу машины читатель построит сам. Во всех следующих примерах мы также будем
предоставлять выписывание программ читателю.
Пример 9. Небольшим усложнением машины примера 8 мо?КЧ получить машину, распознающую, является ли слово х подсловом слова у. Она работает сначала так же, как предыдущая, но сел** окажется, что х нс есть начало у, машина нс торопится закончи11’ работу: вместо этого она зачеркивает первую букву слова у (т* L' помечает ее особой меткой) и проверяет, является ли х начаЛ°М оставшегося слова; при отрицательном ответе зачеркивается втор®4 буква слова у, и т. д. Работа заканчивается, когда либо х оказал^ началом одного из «укороченных у-ов» (или самого у) — тогда ₽L
(1 (ЦЫ 1Е0РИИ АЛГОРИТМОВ	295
9JI’M ------------------------------ ---- —--------------
ются и пишется и,— либо очередной «укороченный у» оказался сТ>,^ис х-а — тогда все стирается и пишется л.
^^Замечание. В программах машин примеров 8 и 9 должны быть {ландЫэ обеспечивающие получение и при пустом х.
1(0 За-1ача’ Построить машины Тьюринга, распознающие:
(а)	Дзет ли Длина слова при делении на 3 остаток 2.
(б)	Содержит ли слово заданную букву.
(р) Имеет ли слово вид хх.
(г)	Выполняется ли неравенство l.vl > lyl.
(д)	Является ли х концом у.
(е)	Совпадают ли х и у.
Пример 10. Как построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию Subsl (х, у, z), значение которой равно результату замены р 2 первого (считая слева) вхождения слова х словом у, если такое вхождение существует, и равно г в противном случае?17
Удобно начатье построения вспомогательной машины, перерабатывающей xaoya{}z в x«oy<7tl Sub.st (х, у, z). Прежде всего эта машина будет, работая аналогично машине предыдущего примера, распознавать, является ли слово х подсловом слова z. Однако теперь содержимое ленты не стирается; вместо этого в случае, когда х не содержится в z, стираются все метки и записи возвращается ее первоначальный вид; если же удалось найти вхождение х в z (ясно, что способом, описанным в примере 9, отыскивается именно первое вхождение, считая слева). то оно, буква за буквой, заменяется вхождением слова у, причем если длина у не равна длине v, то «хвост» слова z придется сдвинуть влево или вправо. Разумеется, программа этой машины будет громоздкой, но никаких принципиальных трудностей ее построение нс представляет. Нужная машина получится теперь из вспомогательной добавлением блока команд, стирающего х и у и сдвигающего оставшуюся часть записи в начало ленты.
Задача. Построить машину Тьюринга, вычисляющую наибольшее общее начало слов х и у.
В заключение параграфа остановимся на использовании машин Тьюринга для вычисления числовых функций (точнее — функций, ОпРеделснных на подмножествах натурального ряда или его декартовых степеней и принимающих в качестве значений натуральные числа), а также предикатов от натуральных чисел. Для этого нужно Условиться о некотором способе записи натуральных чисел. Проше всего пользоваться одноэлементным входным алфавитом {I} и изо-РДжать число п словом, состоящим из п палочек. Пользуясь такой Описью натуральных чисел (мы будем называть ее простейшей},
Subsl от лат. subslitulio — «полстипоикав
296
читатель без труда построит, например, машины, вычисляю^.  функции/(и) = «,/(«) = п + 1 (ср. пример !)./(«) = 2п (ср. при^Я 4),/(я) = Зя, машину, распознающую четность числа (ср. примеру и т. п. Рассмотрим, кроме того, два примера машин, вычисляют^ числовые функции двух переменных.
Пример 11. Очень легко построить машину, вычисляющую сум му двух натуральных чисел, т. с. перерабатывающую таоп в т + п В самом деле, эта машина должна только поставить в первой пусто^ ячейке палочку и стереть последнюю палочку полученного слова.
Пример 12. Значительно сложнее будет машина, вычисляют^ произведение. Впрочем, принципиальных трудностей ее построение также не представляет, так как идея ее работы достаточно ясна Проше всего организовать работу такой машины следующим образом. Имея на ленте перед началом работы ситуацию	она
прежде всего проверяет, есть ли слева от первой пустой ячейки хоть одна палочка. Если ист (это знчит, что т =0), го все содержимое ленты стирается. В противном случае стирается первая слева палочка слова т и затем, если стертая палочка не была в т единственной, слово п копируется, т. е. справа от него п раз записывается некоторый вспомогательный символ — скажем, d. Потом стирается вторая па-
лочка слова щ, после чего п копируется еще раз, и т. д.— до тех пор. пока не будет стерта последняя палочка слова т. Тогда п уже не копируется; вместо этого все d превращаются в палочки и все палочки придвигаются вплотную к граничному маркеру.
Описанная машина умножает, собствен но, п на ш.
Задача. Построить машины Тьюринга, вычисляющие (в простейшей записи):
(а)	Разность т -
(б)	неполное частное отделения /и на н:
(в)	остаток отделения т на п.
(Машина пункта (а) должна быть неприменима к парам (ш, п),У которых т < и, машины пунктов (б) и (в) — к парам вида (т. 0).)
Замечания. 1) Вместо простейшей записи натуральных чисел можно, разумеется, использовать любую другую — например, обы*-ную позиционную или позиционную без нуля (о ней см. ниже, в начале § 7.7). Но программы машин будут тогда сложнее.
2) Мы не можем касаться здесь вычисления функций действ»® тельной (и тем более комплексной) переменной, так как рассматр»*' ваемыс в классическом анализе действительные числа не допуска*^1! необходимого для наших целей четкого описания (см. начало пред1’1' душего параграфа), т. е. изображения в виде слов в каком-либо К|Я нечном алфавите. С помощью точного понятия алгоритма — пример, в форме машины Тьюринга — можно ввести понятие в1’1
рМПГГЬ1 ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
297
jMorD действительного числа, объем которого охватывает все ! реально встречающиеся в вычислительной практике; такие j допускают изображение в виде слов в конечном алфавите, и ннх можно естественным образом ввести понятие вычислимой Но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки нашей
цИС-^’1 ц^СЖ1’ ццс-иа ДПЯ К-ФУИКТ' КИНГ» •
§ 7.4. ТЕЗИС ЧЕРЧА — ТЬЮРИНГА
Рассмотрим теперь доводы в пользу того, что понятие машины Тьюринга действительно может служить уточнением интуитивного понятия алгоритма — иначе говоря, в пользу следующего
утверждения:
Для всякой функции, которую можно каки м-л ибо способом вычислить, можно п о-строить вычисляющую ее машину Т ь ю р и н г а.
Это утверждение, называемое обычно тезисом Черча — Тьюринга, впервые было высказано Л. Тьюрингом в 1936 г. применительно к конструкции машины, от которой описанная выше отличается лишь несущественными деталями19; аналогичное утверждение при-
менительно к некоторому совсем другому уточнению того же интуитивного понятия было несколько раньше высказано А. Чёрчем.
Разумеется, тезис Чёрча — Тьюринга не может быть математической теоремой или аксиомой, потому что участвующее в его формулировке понятие «каким-либо способом вы числить» нс есть точ нос математическое понятие. По своему статусу этот юзис похож скорее На законы физики, представляющие собой обычно утверждения о том, что то или иное явление природы описывается некоторой мате-матической конструкцией (например, дифференциальным уравнением) — с Т0й розницей, что речь идет не о явлении природы, а об °Чном из видов человеческой деятельности — вычислении. В спра-ВеДливости физических законов мы убеждаемся пуз см анализа °П1>1тных данных; аналогичным образом, к убеждению в справсдли-
(((^ u вычислимых действительных числах и вычислимых функциях дет 1ьишль-1 ^4 |1С’еМС ИНО11 См‘ IKynmcp 1973], | Марти u-Лёф 1975| или [Марков Нагорный
Г’
входная конструкция была предложена тогда жг*_) Попом (который является u,ia	еще. одной конструкции, предназначенной ыя ton же цели — сейчас
kl31,ec itui под именем продукции Посла)
298

вости тезиса Чёрча - Тьюринга приводит нас анализ фактов, OTf^ сящихся к вычислительной практике и смежным с ней областям
Обратимся прежде всего к вычислению, выполняемому ком без использования вспомогательных средств. Слово «вычисл/ ние» мы будем понимать в широком смысле — нс обязательно оперирование с числами. Примерами «нечисловых вычислений» Мо гут служить тождественные преобразования в элементарной алгебр,» или в логике предложении, нахождение производных от элсментар пых функции и т. п. Каждое вычисление состоит в последовательно^ преобразовании некоторого комплекса символов, записанных на бумаге или на доске. (Вычисления «в уме» можно нс рассматривать особо, г. к. их всегда можно заменить письменными вычислениями имеющими ту же структуру.) Принципиально ничего нс изменится' если мы будем представлять себе, что всякое вычисление производи тся на од ной достато чно бол ы ио и дос к е (доска отл и чается от бумаги тем, что написанное на ней можно стирать и на освободившемся месте писать снова) и что доска разграфлена на клетки, причем в каждой клетке можно записать только один символ. Вычисление можно теперь рассматривать как последовательность шагов, на каждом из которых изменяется содержимое одной клетки; вобшемслу-
мсстс записывается другой. Но от чего зависит, в какой клетке производится очередной шаг и что в ней на этом шаю записывается? Разумеется, нс только от того, что было раньше записано в нем самой, но и от содержимого других клеток; например, при сложении «столбиком» записываемая в клетке цифра определяется цифрами, стоящими над ней. Следовательно, прежде чем изменить содержимое какой-либо клетки, нужно, вообще говоря, просмотреть некоторые другие клетки и запомнить какие-то сведения о том. что в них находится. Кроме того, следующий шаг может зависеть от предыдУ' щих; поэтому после выполнения очередного шага бывает нужно что-то о нем запомнить. Мы можем сказать теперь, что кроме «явных* шагов, на которых изменяется содержимое клеток, имеются ешс «неявные», состоящие в просмотре клеток без изменения их содеР.' жимого. Но между этими двумя типами шагов нет принципиально)’ разницы, так как просмотр клетки можно представлять себе KJh «нулевое изменение»: записываемый в клетке символ совпадав находившимся там ранее. Таким образом, вычисление состоит ”3 «элементарных шагов», на каждом из которых изменяется содер^и' мое какой-то клетки, и обо всяком шаге вычислитель должен, вооб^ юворя, что-то запомнить. В любой момент он держит в памяти кие-то сведения об уже выполненной части вычисления. После о,}*^ родного шага к этим сведениям что-то добавляется и вместе е что-то из имевшихся ранее сведений может быть на данном i”1
299
.-Ц-ГЫ 1 Г.ОРиИ АЛГОРИТМОВ —-------
1Ьзовано до конца» и за ненужностью забыто; естественно ска-<‘,,с чт0 при каждом шаге «состояние памяти изменяется». Это «со-зЯ1Г1’* е памяти» можно представлять себе как набор сведений о не-,-тоЯн*'1
с Ь1Х уже выполненных шагах, причем для каждого шага указы-1(01 ^,г,, скажем, координаты клетки, где он выполняется, характер щенения содержимого и «давность» этого шага по отношению к *13стояшеМУ моменту. Все эти или любые другие сведения о выполненных шагах можно записать в виде некоторого слова в конечном алфавите (для данного вычисления фиксированном). Но объем па-человека ограничен; существует константа (сейчас нам неважно какая), ограничивающая сверху длины запоминаемых слов. Поэтому число возможных «состояний памяти» конечно.
Заметим теперь, что в отличие от «явных тагов», с которых мы начинали анализ процесса вычисления, каждый «элементарный шаг» зависит только от состояния памяти и от содержимого той клетки, где этот шаг выполняется (результаты просмотра других клеток учитываются в состоянии памяти). Hit каждом «элементарном шаге» изменяются содержимое одной клетки и состояние памяти’0. Кроме того, каждый предыдущий «элементарный шаг» должен включать в себя указание «адреса» клетки, где нужно произвести следующий. Не будет существенным ограничением считать, что эта новая клетка, если она нс совпадает со старой, расположена рядом с нем ведь до любой клетки можно доити «мелкими шажками», сдвигаясь каждый раз на одну клетку (вправо, влево, вверх или вниз).
Итак, мы расчленили процесс вычисления на «элементарные шаги», каждый из которых состоит в том, что вычислитель, обозревая некоторую клетку и учитывая, (а) каково состояние его памяти и (6) что записано в обозреваемой клетке, производит три операции: й> заменяет символ, записанный в обозреваемой клетке, другим символом; (и) переходит к обозрению одной из четырех соседних клеток или продолжает обозревать ту же клетку; (ш) изменяет состояние памяти. Ясно, что такой шаг может быть выполнен часто Механически, без понимания его смысла, если имеемся инструкция — ПрИ Т<1КОМ_1О состоянии памяти и таком-то символе в обозре-в^смой клетке заменить этот символ на такой-то. сдвину гься в ia-КУЮ-то сторону (или нс сдвигаться) и заменить состояние памяти на т‘1кое-ю. Эта инструкция может быть, очевидно, записана в ючно <1к°й же форме, как мы записываем команды машины Тьюринга: (fa п'О/, где ц и ц — состояния памяти, а и а' — символы, ис-^Льзуемыс при вычислении, и С при ни мает од но из значений «вира
»> «влево», «вверх», «вниз», «на месте». Таким образом, анализ Одесса вычисления привел нас к «двумерной машине Тьюринга»,
Га ivmiH'ich, и iMciii’iiiic 1ОС1ОИПИЯ iuimiuii uik>kc можсч бып. н>лсщам
300
rjlA4,
отличающейся от рассматривавшейся одномерной только тем, лента заменена разграфленной на клетки доской и головка движет ° нс в двух, а в четырех направлениях. Такая двумерная Мацц,* вполне могла бы использоваться в качестве уточнения понятия адЯ ритма. Но одномерная машина «технически проще» и поэтому уд0^' нее для формальной трактовки (т. е. для доказательства теоре^ и т. п.), хотя принципиальной разницы между одномерным и дВу* мерным вариантами нет: нетрудно понять, что клетки, на которь1с разграфлена доска, можно тем или иным регулярным способом рдс^ положить на одномерной ленте; при этом клетки, соседние на доске не обязательно будут соседними на ленте, но всегда можно «найтц>> на ленте клетку, которая на доске была рядом с обозреваемой, с помощью некоторой «стандартной подпрограммы».
Таким образом, анализ того, ktik вычисляет человек, подтверждает тезис Черча — Тьюринга. Применение вспомогательный средств (например, таблиц) или механических приспособлений (счеты, арифмометр) не даст ничего принципиально нового: использовав ние таблиц всего лишь увеличивает объем памяти вычислителя (что может быть очень важно практически, но теоретического значения не имеет), а вычисления с помошью простых механизмов можно
«моделировать» последовательными изменениями их (механизмов) схем, выполненных с помощью символов на клетчатой доске.
Что касается вычислений с помощью современных вычислительных машин с программным управлением21, то и их принципиальные возможности, как известно, не превышают возможностей человека-вычислителя (единственное их преимущество — быстродействие). Кроме того, читатель, хотя бы немного знакомый с этими машинами, наверняка сразу заметил, что машины Тьюринга очень иа них похожи, и построение машин Тьюринга для вычисления конкретных функций — это, в сущности, программирование22. Главное отличие машин Тьюринга от реальных ЭВМ (если отвлечься от ограниченности объема памяти и времени работы последних) — крайняя про' стота элементарных шагов; эта простота позволяет легко строит® «трансляторы» с языков реальных машин на язык машины ТьюрМч га. Можно сказать даже, что машина Тьюринга — это общая абсТ' рактная схема вычислительной машины с программным улрав^’ иисм. (Но стоит подчеркнуть, что Тьюринг придумал свои машинН
21 В русском языке эти машины обычно обозначаются не слишком удачным т(Т мином «электронная вычислительная машина (ЭВМ)», подчеркивающим непривД рабов ы, а способ технической реализации, или совсем уж неудачным словечком ныотер» (транслитерация английского сотри(сг), пушенным в ход малообразован ми журналистами, лишенными чувства родного языка
2 В отличие от программы для ЭВМ программа машины Тьюринга счпта* частью самой машины, но это вопрос терминологии
301
. ГЫ I Г.О1’И И ЛЛГОРИ1 МОК ------—-----------—--------------------
>сК0.1ько лет до появления первых ЭВМ: это лишним раз опровер-эя HL ,.сХОжее мнение, что «теория должна следовать за практикой».) ^’подытожив ая все изложенное, мы можем сказать, что анализ ’НИ» реальных вычислительных процедур убеждает нас в воз-Ст^иости указать для каждой такой процедуры осуществляющую ее ^1дмну Тьюринга. Это и есть главный довод в пользу тезиса Чср-hU ___ Тьюринга; к нему мы добавим еше два косвенных довода:
41 |) Для уточнения понятия алгоритма предложено довольно много нСТрукций. основанных на различных соображениях и весьма разнообразных по форме; нередко в двух таких конструкциях трудно на первый взгляд усмотреть что-либо общее. Однако все эти конструкции равносильны между собой в том смысле, что всякая функция, вычислимая с помощью какой-либо одной из них, вычислима и с помошью любой другой. (При этом для каждой пары конструкций их равносильность удастся строго доказать.) Никто еще не смог предложить конструкцию, приводящую к более широкому классу вычислимых функций.
2) До сих пор во всех случаях, когда для какой-либо конкретной функции, вычислимость которой в интуитивном смысле не вызывает сомнений, исследовался вопрос, вычислима ли она также и в смысле какого-либо уточнения понятия алгоритма (а значит, и всех известных уточнений), на этот вопрос удавалось получить положительный
ответ.
Тезисом Чёрча — Тьюринга часто пользуются для сокращения доказательств теорем теории алгоритмов: если по ходу рассуждения нужно установить, что некоторая функция вычислима по Тьюрингу, Довольствуются указанием «неформальной» вычислительной процедуры и построение машины Тьюринга опускают. (Впрочем, в тех случаях, когда мы будем им пользоваться в этой книге, способы построения машин будут довольно очевидны.)
§ 7.5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАШИНА ТЬЮРИНГА
,	1. В дальнейшем нам понадобится машина Тьюринга,
®°лЭдающая следующим свойством: если записать на ее ленте про-РДМму произвольной машины Тьюринга М и произвольное слово во еШнем алфавите этой машины, она переработает это слово так же, кПереработала бы его машина М. Иначе говоря, нам нужна маши-* которая могла бы работать за любую машину Тьюринга; такую ^ину естественно назвать универсальной.
302
Чтобы выразить понятие универсальной машины ТьюринЫ точных терминах, нужно прежде всего уточнить, что значит «заццй сать на ленте программу машины Л/ и слово в ее внешнем алф.(' вите». Проше всего было бы понимать это так, что на ленте пишетс' слово рСх, где р состоит из записанных подряд команд маш^ь М, х — слово во внешнем алфавите М и □ — разделительный зниуМ Но тогда все символы, входящие в р и в х, должны принадлеждМ внешнему алфавиту универсальной машины; следовательно, эТОт алфавит должен содержать все внешние и внутренние символы шины М. Однако внешний алфавит универсальной машины — как ч всякой другой — конечен и поэтому не может содержать все внешние и внутренние символы любой машины.
Выход из затруднения состоит в том, чтобы научиться к о д и р 0_ в а т ь программы произвольных машин и слова в их внешних алфавитах словами в каком-либо одном конечном алфавите. Посмотрим как это можно сделать.
Заметим сначала, что, раз навсегда фиксировав два произвольных счетных множества символов
21 = {</_,, «„
И
а = {<70,	},
мы можем ограничиться рассмотрением только тех машин Тьюринга, у которых внешние и вну |реннис алфавиты содержатся в 21 и в £ соответственно, поскольку всякую другую машине можно получить из некоторой машины этого класса простым переименованием символов; более того, в этом классе можно рассматривать только такие машины, у которых граничным маркером, пустым символом, начальным и заключительным состоянием служат а . а0, у, и Ро соответственно. Гак мы и будем теперь поступать, при лом множества 21 и С выберем так, чтобы они не имели общих элементов.
Определим коды символов, участвующих в наших записях, следующим образом: кодом символа а„ (п =-1,0, 1, -- ) будет слово а> а2, кодом символа qm (tn = 0, 1, ••) — слово at а'”*2 ai9 код*1' ми символов Л, И, П, -*,*,□ — символы аА а*, а(_, а,, а*, соответственно. (Роль символа * выяснится позже.) Код символа b буЛси обозначаться x(Z>).
Кодом слова bt...bk в алфавите 2lU£lU{.7. Н. II.	*. □}, где Ь{,
bt — символы, мы будем называть теперь слово х,( Ь^...г.(Ьк). Код0^ пустого слова будет служить оно само. Код слова х будет обозначат1’) СИ Х(Л).
В частости, код команды машины Тьюринга всегда имеет
. n i ы ТЕОРИИ ЛЛГОРИ1 MOB
--------------------
303
h. tn —
,///,«,«! “2u7“2l*l 4, 5, 6.
2- ”рсдц теперь M — некоторая машина Тьюринга, то кодом ее про-v/,; fr,bl будем называть слово лхх(/<1)«8 а* у^К^аь, где К„ ....
,___составляющие программу команды, расположенные в лекси-
паФическом Л0РяДке ходов. Если считать, что внешний и внут-к нний алфавиты машины содержат только символы, встречаюшие-РСр командах2', то — поскольку граничный маркер, пустой символ и Опальное состояние мы договорились всегда обозначать одинако-в0__машина будет полностью определяться своей программой. По-
этому' вместо «код программы машины М» мы будем говорить просто м*' Кол машины М будет обозначаться xfAf).
Задача. Построить машины Тьюринга, распознающие для каждого слова в алфавите аф, является ли оно: кодом какого-либо символа; кодом какой-либо команды; кодом какой-либо машины Тьюринга. Убедиться, что первые две машины можно построить так, чтобы, какое бы слово в алфавите йф ни было записано на ленте к началу вычисления, головка сначала проходила бы его слева направо, ничего не изменяя на ленте, а затем двигалась бы влево, стирая при этом все24.
Теперь мы можем сформулировать следующее определение: машина Тьюринга U называется универсальной, если, какова бы ни была машина Тьюринга М и каково бы ни было слово х во внешнем алфавите М, машина U применима к цепочке х(ЛГ)«9м(х) тогда и только тогда, когда Л/ применима к х, и в случае применимости
^|х(Л/)цчх(х)| = х(Л/[х |).
Иначе говоря, универсальная машина перерабатывает код слова рОл, где р — программа Л/, в код того слова, в которое М перерабатывает х.
Замечание. Можно было бы рассматривать машину, унивсрсаль-нУ'ю не для всех машин, а только для машин с фиксированным внеш-£им алфавитом. Тогда вопределении универсальной машины можно ьыо бы заменить х(ЛТ)т?9х(л) на х(Д7)а9х и х(Л7|х}) на Л/|х|; код МаШины также можно было бы упростить — кодировать только со-Ст°яния, а внешние символы в кодах команд записывать без из-Мснения.
,(а _ Лг* это мы имеем право, «. к. пас итсресуег юлько то, как машина работает, а Р^оту машины «лишние» символы никак не в insnoi
Такие машины называются конечными автоматам и. Конечным автоматом 1С1См также машина примера 6 из § 7 3.
304
IJlA4,
2. Теорема. Универсальная машина Тьюринга существует.
Доказательство этой теоремы должно было бы состоять, стр0 говоря, попросту в выписывании программы нужно»! машины. ко мы этого делать нс будем, потому что такая программа была б' чрезвычайно громоздкой и трудно обозримой. Вместо этого мы ощ/ шем «общую стратегии» работы машины, причем постараек( ' сделать это так, чтобы из описания был ясен способ пос (роения граммы.
В самых общих чертах работу нашей машины можно охарактер^ зевать так: справа от разделительного знака а., она имитирует вычис-ление машины Л/, пользуясь при этом «инструкциями», полученны-
ми слева от разделительного знака, т. с. там. где записан код пр0. граммы Л/; иерея тем. как имитировать очередной ш;п вычисления машина должна «заглянуть в программу» и «выяснить», что на этом шаге делать. Болес подробно это вьилядит следующим образом. В начале вычисления между и,} и х(л) вставляется х(<у,#); тем самым
справа от и,, оказывается код начальной ситуации машины Л/. Затем машина имитирует начинающееся с этой ситуации вычисление М, последовательно выполняя «макрошаги», отвечающие шагам вычисления Л/. Каждый шаг вычисления Л/ состоит в переходе о г некоторой ситуации s' машины М к другой ситуации .s', получающейся из$ выполнением одной из команд М. Перед началом соответствующего
«макрошага» на ленте универсальной машины — в дальнейшем мы обозначаем се через U — должна быть записана цепочка х( ЛЛнух(х).
Всяким раз, когда на ленте машины U записана цепочка такого вида, она будет работать следующим образом. Пусть j> = w/,n,iv. Тогда прежде всего слова от щ — т. с. в слове х(А7) — ищется подслово х((///,). Поскольку такое подслово имеется справа от а., (и притом только одно), искать его слева о» □ можно с помощью подпро! раммы, анало)ичной программе примера 9 из § 7.3. Если в х(Л/) такого подслова нс нашлось, это значит, что в программе Л/ нет команды с левой частью <?//,, т. е. что Л/, оказавшись в ситуации s, нс может продолжать работу. Тогда и машина I! прекратит вычисление («сл°' мается»). Если же подслово х(</,«л) в х(Л/) имеется (очевидно, там .может быть только одно такое нодслово). то за ним должно непосреД' ственно следовать подслово «7х(«АС(/,). где <ьХ‘7; — правая часть ео-держащейся в программе Л/ команды с левой частью ц.а. Тогда м‘г шина {'должна будет преобразовать x(.s) в x(v'), где s' — ситуа*1*1*1 машины Л7, получающаяся из s выполнением команды qa, * Для этого она заменит некоторое подслово слова х(х) другим пОДс-п° ком; характер этой замены зависит от вида команды в соответет*1 с определением отношения «ситуация s' получается из сигуаи1111’
<|.'НТЬ! 1 КОРИИ АЛГОРИТМОВ
305
^днснисм команды К» (§ 7.2, л. 2). Именно: если имеет место ₽Ь10Внс (а> 143 этого определения, то происходит замени xCq/zJ на
); если имеет место ([!), то заменяется y.(arqa^ на xty/z/^); в
•чае (fl) заменяется х(да/п.) на xfn^aj, и в случае (у2) — х(/у,а,) на у[а Qfio)- Прежде чем производить замену, машина должна выяс-итЬ. чТО представляет собой С (т. с. какой из трех символов а6 содержится в подслове х(^/т, -* аАС</,) слова х(Л/)),аесли
П, го проверить еще, пусто или непусто слово м> (для этого нужно сПрава от второго вхождения а, в х(,\) отсчитать два вхождения а2 и
проверить, что стоит непосредственно за вторым из этих вхождений — cii или а^- Паму замену можно произвести с помощью подпрограммы, аналогичной программе примера 10 из § 7.3. На этом «макрошаг» заканчивается; слово, записанное на ленте после его окончания, есть м(Л/)л9х(х'). Затем, если состояние, входящее в —
нс заключительное, начинается следующий «макрощаг». В противном случае, если ситуация >' не заключительная (т. е. если непосредственно справа от п9 не стоит asa2a25 или непосредственно справа от ач стоит «//ft/,, но х(у') содержит вхождение слова	правее
которого есть ci2a'’cr2), где р > 276), то вычисление прекращается без
результатно («машина ломается»); если же ситуация х — заключительная, то машина переходит к последнему этану работы, на котором стирается слово х(Л7)«9х(</0#) и оставшееся слово сдвигается влево вплотную к граничному маркеру, после чего машина переходит в заключи I ел ьное состоя н ие.
Теперь ясно, что если перед началом работы на ленте машины I1 записано слово х(Л/)а,х(л), то в случае, когда Л/ перерабатывает v в К машина U завершит работу в заключительном состоянии с записанным на ленте словом х(у): если же М неприменима к л\ то {/ «сломается» или будет работать вечно. Таким образом. It действительно есть универсальная машина.
Мац,
•но пмювка (мюзреидст не крайнюю
§ 7.6. НЕРАЗРЕШИМЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
1. Сейчас мы познакомимся с примерами нсвычислимь151 предикатов, или, иначе, нераспознаваемых свойств и отношений т. е. таких свойств и отношений, для которых не существует распознающих их алгоритмов (см. §7.1). Задачи о нахождении алгоритм^ для вычисления функций (в частности, предикатов) называютобыц. но алгоритмическими проблемами; если алгоритма для вычисления той или иной функции нс существует, говорят, что соответствующая алгоритмическая проблема неразрешима.
Утверждения о неразрешимости проблем распознавания свойств имеют следующий вид: «не существует алгоритма, позволяющего по любому конструктивному объекту из заданного класса 4 узнать, обладает ли этот объект данным свойством». Тезис Черча — Тьюринга позволяет уточнить эту формулировку так: «Не существует машины Тьюринга, распознающей данное свойство объектов класса Л». При этом предполагается, ч го класс А состоит из слов в некотором конечном алфавите; но в действительности очень часто речь идете классах иной природы, элементы которых кодируются словами (примеры см. ниже). Что касается выражения «машина Тьюринга распознает свойство», то это понимается, как в § 7.3: машина перерабатывает каждый элемент класса .4 н и, если он обладает данным свойством, и в л — если нс обладает27. Аналогичным образом уточняются утверждения о нераспознаваемое™ отношений.
Проще всего доказывается неразрешимость некоторых алгоритмических проблем, относящихся к самой теории алгоритмов — именно, проблем распознавания определенных свойств машин Тьюринга. Из них самая простая — проблема распознавания самопрм-менимости, с которой мы и начнем.
Будем называть машину Тьюринга самоприменимой, если она применима к своему собственному коду. В противном случае машина назы ва етс я несам onрименимой.
Теорема 1. Не существует алгоритма, позволяющего для любой машины Тьюринга узнать, является лиона самоприменимой.
В соответствии со сказанным выше точный смысл этого утверж' дения таков: не существует машины Тьюринга, перерабатываю^^1!
27 Вместо и 99.1 можно. само собой, ис)((>.'11>.ю1япь-'набые другие ihmiklim-также |эользова9 9>ся имеет» ма<и9И19Л Тыоршна каким-либо друшм i очным tMipe.ie-1 пнем х'99х)рнгма
I,j ГГОГ’ИИ АЛ1 ОРИ гмов
пюбои самоприменимои машины 1 ьюринга в и и код любой 1С03 |М011Р|,МСНИМО*’ вл-
^Доказательство. Допустим, что такая машина существует: обоз-м ее М). По этой машине легко построит», другую машину Л/р ^ботаюшую на кодах несамопримснимых машин <ак же, как Л/(). а Р‘ к0Дах самопримснимых машин работающую вечно. (Например.
<7о ~ заключительное состояние машины Л7,,, го А-I, можно полу-цить из Л?о добавлением двух новых состоянии q‘ и q". причем заклю-ццтельным состоянием М, будет уже не qn, a q”. и трех новых команд: й)# -* ч'и uHq’, q'ji julq".)
Какова бы ни была машина Тьюринга Л/, машина W,, очевидно.
применима к се коду тогда и только тогда, когда М нссамоприме-нима. Но отсюда следует, что: во-первых, Л/, нс может быть само-применимой, так как тогда она была бы неприменима к своему коду, т. с. была бы нссамоприменима; во-вторых, Л/, нс может быть неы-моприменимой, так как в этом случае она была бы применима к своему коду, т. с. была бы самоприменима. Имеем прошворечие7*.
Следствие. Существует машина Тьюринга, для которой неразрешима проблема распознавания применимости, т. е. нет алгорит ма. позволяющего по любому слову в ее внешнем алфавите, не содержа-
щему граничного маркера и пустою символа, узнать, применима ли
она к этому слову.
Доказательство. Нужным свойством обладас» у ниверсальная машина Тьюриша U. В самом деле, она применима к слову вида х(Л/)и9х(Л/), где х(Л7) — код произвольной машины Тьюринга Л/, тогда и только тогда, когда М самоприменпма; поэтому. если бы для б существовал алгоритм, распознающий применимое! ь. мы могли оь! для произвольной машины Л/, применяя этоталюритм к слову узнать, является ли М самоприменимои
В дальнейшем нам не раз придется строит ь по заданным машинам Тьюринга другие, определенным образом от них за вися щ не. Мы всегда будем делать это неформально, oi раннчиваясв описанием ^стратегии работы» новой машины (ср. посiроение универсальной м‘1Шины в предыдущем параграфе). Однако при некотором навыке ^Ращения с машинами Тьюринга читатель всегда сможет извлечь из ‘‘Кого описания способ фактически преобразовать программу дап-н°и машины (или программы данных машин, если их несколько) программу новой машины.
5;[	*- ют поранит. внимание, что i.u*ci> истъ1Ы<»тмн дианита iwimh мето i Клио
101 самый, с помощью которого доказываются теоремы о осечетноети конинту-и <» мощности множества нодмножес <н (теоремы 12 и 18 из 11р1ин*жент»я 11)
308
П,ЛьА?
2. Для формулировки следующей теоремы нам понадобятся Не^Я торые новые понятия.
Две машины Тьюринга, имеющие один н тот же внешний а^ф. вит, мы будем называть эквивалентными, если, каково бы ни бьы слово в их общем внешнем алфавите, не содержащее граничили маркера и пустого символа, они либо перерабатывают его в одно иТо же слово, либо обе к нему неприменимы. Свойство машин Тьюриц^ называется инвариантным, если любые две эквивалентные машищ, либо обе обладают этим свойством, либо обе не обладают. Свойство машин Тьюринга называется нетривиальным, если существуют кам машины, обладающие этим свойством, так и нс обладающие.
Задачи. 1) Привести примеры инвариантных и неинвариантных свойств машин Тьюринга.
2) Является ли самоприменимость: а) инвариантным свойством-б) нетривиальным свойством?
Теорема 2 (теорема Райса [Rice 1953 |). Ни для какого нетривиального инвариантного свойства машин Тьюринга нс су шествует алгоритма, позволяющего для любой машины Тьюринга узнать, обладает лн она этим свойством.
Доказательство. Пусть а — произвольное нетривиальное инвариантное свойство машин Тьюринга. Рассмотрим машины, не при-
менимые ни к какому слову; все они, очевидно, эквивалентны между собой, и ввиду инвариантности свойства а оно либо выполняется для всех таких машин, либо не выполняется ни для одной из них. Пусть для определенности имеет место второе (в противном случае вместо а возьмем его отрицание). Пусть, кроме того, Л/, — некоторая машина, обладающая свойством а (она существует ввиду нетривиальное™ а). Рассмотрим теперь произвольную машину Тьюринга Л/. По ней без труда можно построить другую машину Л/’, работающую следующим образом: если в начальной ситуации на ее ленте записано слово х, она ставит справа от него разделительный знак, за ним записывает слово у = х(А7), и далее, «не трогая» л, перерабатываету по программе .машины Л/. Очевидно, этот этап вычисления в том и только в том случае успешно закончится (т. е. приведет к заключительной ситуации машины ЛУ), когда М самолрименима. В этом случае вычисление продолжается так: все, что правее разделительное0 знака, а также он сам, стирается, а затем оставшееся слово л перерЯ' батывастся по программе машины Л/,. (В случае же несамоприменИ' мости машина М’, очевидно, «ломается» или работает вечно.) Таким образом, если М самолрименима, то Л/' эквивалентна М» а если М нссамоприменима, то М' не применима ни к какому сло»У' Следовательно, М' обладает свойством а тогда и только тогда, когД^ Л-/ самолрименима. Но программу М' — а значит, и се код — мо#*?° без труда построить по программе или коду М. Поэтому, если &
элкм':'
[ Г ы 1 КОРИИ-ЛЛГОРИ! мов
309
,стВовал алгоритм, распознающий ч, из него можно было бы ^-^чить алгоритм, распознающий самоприменимость произвол ь-А0'?"машины М (он состоял бы в том, чтобы построить по Л7 соот-^^твуюшую машину М' и применить к этой последней алгоритм, Б^сГ103наюшмй я),— а такой алгоритм невозможен по предыдущей тгоремс.
Т Замечания. 1) Чтобы доказать неразрешимость проблемы распознания свойства а, мы установили, что из разрешимости этой лро-басмы следовал;! бы разрешимость проблемы распознавания само-применимости — иначе говоря, свели проблему распознавания самопримснимости к проблеме распознавания а. Так поступают очень часто — чтобы доказать неразрешимость некоторой алгоритмической проблемы, сводят к ней (а нс наоборот!) другую проблему, заведомо неразрешимую. Прием, как видим, совсем простой — но осуществить сведение может оказаться нс просто и даже
очень нс просто.
2) В конце рассуждения мы оперировали интуитивным понятием алгоритма и, следовательно, фактически воспользовались тезисом Черча - - Тьюринга. Полное доказательство, не использующее это( тезис, должно было бы включать в себя построение машины Т ьюри lira — скажем, MOi— строящей по коду произвольной машины М код соответствующей машины М' Тогда по машине М, распознающей
а, легко строилась бы машина Л/, распознающая самоприменимость:
М перерабатывала бы код произвольной машины так же, как Л/„, а результат перерабатывала бы, как М. Фактическое построение машины Mv было бы довольно-таки трудоемкой технической работой, которую мы позволяем себе нс проводить, ссылаясь на то, что провести се в принципе нетрудно {см. § 7.4). Так всегда поступают при Доказательстве неразрешимости алгоритмических проблем методом сведения.
Выведем теперь из теоремы 2 три следствия.
Следствие 1. Ни для какого нетривиального свойства одноместных числовых функций2'1 не существует алгоритма, позволяющего Для любой машины Тьюринга, внешний алфавит которой содержит символ I, узнать, обладает ли данным свойством функция, вычисляемая этой машиной {в простейшей записи).
Доказательство. Пусть а — произвольное нетривиальное свой-СТв°одноместных числовых функций. Мы скажем, что машина Тью-
1|йт '-«онстио числовых функций (т с функции, определенных на ньдчножссимк
Н,! 1°П) Ряда — см с’ 295) нетривиально, если существуют как функция, обла-
Чая этим свойством, 1ак и не обладающая
ч
ринга М обладает свойством 3,t- если при отождествлении симк i I и выборе в качестве входного и выходного алфавитов одного^ же одноэлемеи г кого множества {с/,} эта машина будет выцц одноместную функцию, обладающую свойством а. Свойство [J видно, нетривиально и инвариантно. Но если бы существовала' ритм, распознающий по любой машине с внешним алфавитом Г°' держащим палочку, обладает ли вычисляемая сю функция Л1?' сгвом а, то для распознавания по любой машине, обладает ли *1’ свойством [ift> достаточно было бы воснользова гься л им алгоритм^*1 отождествив палочку с и..
Замечания. 1) Следствие I справедливо и для любых других аж фсктивных способов записи натуральных чисел (например, обычной десятичной записи: достаточно было бы отождествить а ач, Ию с цифрами 1,	9, 0).
2) JIcr ко распространит вследствие 1 и на многоместные функции А теперь ну ст ь читатель немного задумается над только что доказанным утверждением. Казалось бы, чго может быть естественнее такой задачи: дано некоторое свойство вычислимых функций; требуется наити алгоритм. позволяющий по любой вычислительной процедуре узнать, обладает' ли вычисляемая с помощью этой процедуры функция данным свойством. 11 во г оказывается. что ни для одного нетривиального свойства такого алгоритма быть не может!
Следствие 2 (а) Не существует алгоритма, позволяющего для любых двух машин Тьюринга узнать, эквивалентны ли они.
б) Не существует алгоритма, позволяющего для любых двух машин Тьюринга, внешние алфавиты которых содержат символ 1> узнать, совпадают ли вычисляемые ими числовые функции.
Доказательство, (а) Фиксируем произвольную машину ТьЮр®-га М и обозначим через -уч своим во машины Тьгоринга быть эквива тентнои машине Л/. Это свойство, очевидно, инвариантно и нстри®1 ально. Но алгоритм, распознающий эквивалентность двух пр°1!3 вольных машин, позволял бы распознавать для любой маШИмЬ' обладает ли она свойством */*,.
б) Получается аналогично с использованием следствия I- 3, Следствие 3. Существует машина Тьюринга, для которой решпма проблема распознавания переработки слов, г. с. нет^ ритма, позволяющего для любых слов д\ у в се внешнем алфавитс’ содержащих пустого символа и граничного маркера, узнать, ncpL* батывает ли она х в у.
Доказательство. Эт им свойством обладает универсальная м<-на Тьюринга. В самом деле, если бы это было не так, мы могли ^'^.г произвольной машины Тьюринга Л/ узнать, например. перер«,€к
1Ъ1 11 OI’HИ Л.КГОРИ I MOB
универсальная машина слово	в *(«,) — иначе
перерабатывает ли М однобуквенное слово а, в с ебя. 11о свои-г°₽ Прорабатывать «, в себя нетривиально и инвариантно. сТВдадача. Д°казать- чго ис существует алгоритмов, позволяющих юбым двум машинам Тьюринга, внешние алфавиты которых ’Ой<ат символ I, узнать, вычисляют ли они функции:
С°Д(а) с одной и той же областью определения;
ф) с одним и тем же множеством значении;
(В) с непсресекающимися областями определения; (Г) с непсресекающимися множествами значений;
(д) взаимно опрятные.
3. Неразрешимые алгоритмические проблемы встречаются нс только в теории алгоритмов и не только в математической логике*0 нОи в других областях математики. Наиболее важные и интересные из них относятся к алгебре и теории чисел. Ради примера мы рассмотрим сейчас первую алгебраическую проблему, для которой была доказана неразрешимость — проблему тождества для полугрунн.
Именно, для каждой полугруппы, заданной конечнон системой обра-
зующих и конечным числом определяющих соотношении (см. выше, §6.3, пример II) естественно возникает следующая проблема: найти алгоритм, позволяющий для любых двух слов, составленных из образующих данной полугруппы, узнать, представляют ли они один и тот же ее элемент. Это и есть проблема тождества для конечно определенной полугруппы. Если вместо полугруппы рассматривать соответствующее ассоциативное исчисление, речь будет идти об алгоритме для распознавания эквивалентности слов, и саму проблему называют тогда проблемой эквивалентности30 31. Например, для исчисления с алфавитом {о, />} и единственным правилом ab <-> Ьа проблема эквивалентности разрешима, и алгоритм сводится к подсчету числа вхождений а и b в обоих' словах — поскольку, как легко убедиться, два слова и и г» эквивалентны в этом исчислении тогда и только тогда, когда для каждой из букв a, h число ее вхождений в и Равно числу вхождении в v. Однако нс для любого ассоциативного ^числения такой алгоритм существует: в 1947 г. А. А. Марковым и  Постом были независимо построены примеры ассоциативных ис-^Ислений с неразрешимой проблемой эквивалентности. Один подо-ь,и пример мы сейчас опишем.
Пусть Л7— произвольная машина Тьюринга с внешним алфа т°м {с/_|э	..а } и внутренним алфавитом {t/0, </р ..., </,}. причем
30
Ире.	u.ienu важная неразрешимая проблема, оинкятцаяся к .клике
гов, будет рассмотрена и § К 5
А "I- Проблему эквивалентноеin слов шилаиил в 1V14 г норвежский маюмашк VJ (Axel Thue, 1863—1922)
312

a ,,	70, q{ имеют стандартный смысл. Построим но этой
ассоциативное исчисление Им следующим образом:
Алфавит исчисления /Д, есть {л_г, Qfl, qn d}.
Множество правил исчисления Им состоит из основных пращ сопоставленных командам машины Л/, и одного дополнительная правила. Основные правила таковы:
а)	Каждой команде вида qta/ akHq, сопоставляется правиЛо ч,и, ** va;
б)	Каждой команде вида <///, -» a^Iq,сопоставляется совокупность всевозможных правил ад,а. ** где г = -1, 0. .... п:
в)	Каждой команде вида </// -* ajlq, сопоставляется совокупность всевозможных правил q,aar *» akqflr, где г = 0, ..., я.
Дополнительное правило есть und ** d.
Ясно, что если s и л' — ситуации машины М. такие, что У получается из ч выполнением некоторой команды, то. применяя к слову й/ или к слову 5й0</, получаемому из sd применением дополните® кого правила, одно из правил, сопоставленных этой команде, мы сможем полу чить слово s7/’2. Поэтому, если А/ перерабатывает слово л в слово у, то из слова qta , xd применением наших правил можно
получить некоторое слово вида цаа^ус^(1 (гп = 0, 1, из которого при гп 0 с помощью дополнительного правила можно получить q„a yd. Следовательно, если М перерабатывает л в у, то слово q.a^xd эквивалентно в Иц слову qQa_Kyd.
1[окажем теперь, что верно и обратное: если л, у — слова в алфавите {а,, .... ап}, исчовог/д/ rv</эквивалентно вслову qna_,yd, тоМ перерабатывает \ в у.
Для произвольной ситуации л машины М будем обозначать через л всякое слово, получающееся из s приписыванием или вычеркни’' нием на правом конце некоторого числа вхождений ав <в частности, н сама л может быть обозначена через Г). Слово вида sd с помоШМ0 дополнительного правила может быт?, преобразовано, очевидно! только в слово 'такого же вида (с тем же л).
Пусть и и г — произвольные слова, эквивалентные в А/д/. ТогД‘1 существует последовательность слов и = z(), zt.z,w — г. в котоР011
каждый следующим член получается из предыдущего при менени^’ некоторого правила. Такую последовательноегь мы будем назыв^т’’ путем из и в ?•. Слово вила й/. где \ — ситуация машины М, буДс называть нормальным', все правила исчисления переводят нор
Примени и, (oriu niiiii-ibiu>c up.iiui io rit‘tH>\iuiiMO u c tvч,ц- < f2) (im §7 7’
^ЕНТЫ ТЕОРИИ алгоритмов
313
ь1е слова в нормальные, так что если путь начинается с нор-г0 слова, то он весь состоит из нормальных слов; такой путь та}<>ке будем называть нормальным.
^ь,рсЛи и - zo» —’ zm = v— нормальный путь из и в v. мы скажем, слова z, и z(, где 0 < z и i + 1 < / < т, образуют вилку, если при ереходеотг,к z1+1 применяется основное правило справа налево, при riepeX0^c0TZ/_’ к z> — основное правило слева направо, а при переходе от к z,-p если z + 1	— 1, применяется только дополнитель-
ное правило. Очевидно, в этом случае zt. zl+l и z( имеют соответственно вид sd и s"d, где ситуации s' и s" получаются из ситуации х выполнением некоторых команд; но ввиду детерминированности машины Тьюринга к каждой ситуации применима только одна команда, так что s' — s". Следовательно, слова z. и z/ могут отличаться друг от друга разве только числом вхождений а0 перед d, и z можно получить из z( с помощью дополнительного правила. Заменяя отрезок пути zt,	ZyOTpesKOM с теми же первым и последним словами, на
котором применяется только дополнительное правило (или, если zt = z, просто вычеркивая отрезок z.+J, ..., zz), мы получим путь из и
в v, содержащий двумя применениями основных правил меньше; произведя это преобразование достаточное число раз, можно получить путь, к которому оно уже неприменимо и который, следовательно, не содержит вилок.
Пусть теперь х и у — слова в алфавите {«„ такие, что Qft-'Xd и q^a_xyd эквивалентны в Ич. По только что доказанному существует нормальный путь без вилок z0, ..., z, из qxa_xxd в qt)a_xyd. Пусть zk — последнее на этом пути слово, такое, что при переходе от z*-i к zk применяется основное правило. Очевидно, zA имеет вид
^а-1Уа'^(р = 0, Поэтому правило, применяемое при переходе От 2*_| к zA, отвечает команде, содержащей <70; а поскольку q0 может с°Держаться только в правой части команды, это правило применяйся слева направо. Но отсюда немедленно вытекает, что все ос нов-^правила на данном пути применяются слева направо — иначе он с°Держал бы вилку. Следовательно, если z(,..., z; — отрезок нашего •< на первом шаге которого применяется основное правило, а на х остальных — дополнительное, toz, и zf имеют вид соответствен-s ГДС Ситуация s' получается из s выполнением некоторой ^анды. Поэтому, если iv, ix, ii (0 < i0 < i, <• •< i, = k — 1 < n) —
ПеДоватсльность, состоящая из всех номеров для которых при реходе от zif к z,a+i применяются основные правила, то слова
314
	
z^, 2г , zlf имеют вид s^d, s^d, ..., s^d, где для каждого h = 0, ] I — 1 ситуация ,sfc+l получается из sh выполнением некоторой ком- ’ | ды; при этом можно считать, что <?0 = q^a_xx', а так как из у, выполц? нием некоторой команды получается заключительная ситуация v последовательность s0, sh ,$/+| есть правильное вычисление шины Л/, начинающееся словом х и заканчивающееся еловому.
Итак, мы доказали, что если х и у — слова в алфавите {цр , (l} то слово qta_ixd эквивалентно в Им слову q^a^yd тогда и только TonM когда машина М перерабатывает х в у. Поэтому, если существу® алгоритм, позволяющий для любых двух слов в алфавите исчисления Ии узнать, эквивалентны ли они в Им, то этот же алгоритм позволит нам для любых двух слов х, у в алфавите {яиaj узнать, перерабатывает ли машина М х в у. Следовательно, если взять в качестве М машину с неразрешимой проблемой распознавания переработки слов (см. следствие 3 из теоремы 2), то для исчисления Им алгоритм, распознающий эквивалентность слов, будет невозможен.
Замечание. Ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой эквивалентности, строящееся описанным только что способом,
очень громоздко: даже при самом экономном программировании оно будет содержать сотни, если не тысячи правил. Но существуют и совсем простые примеры полугрупп с неразрешимой проблемой тождества33, указанные Г. С. Цсйтиным и Ю. В. Матиясевичсм (ссылки см. в книге (Мальцев 1965 J, 2-е изд.) Так, полугруппа Г. С. Цейтина имеет пять образующих a, b, с, d, е и семь определяющих соотношений: ас = са, ad = da, be — cb, bd — db, eca = ce, edb = de, eca = ссае. Полугруппа Ю. В. Матиясевича имеет всего три опреде-
ляющих соотношения.
4. В заключение параграфа приведем без доказательства два самых знаменитых результата о неразрешимости алгоритмических проблем.
1) Проблема тождества для конечно определенных групп. Эту проблему, формулируемую точно так же. как соответствующая проблема для более общего класса конечно определенных полугрупп » поставил в 1912 г. немецкий математик М. Дэн (Max Dchn, 1878-" 1952). Долгое время она считалась одной из главных нерешсннь1Х задач теории групп. Для довольно широких частных классов грУоГ1 удалось найти решающие ее алгоритмы, и еще в 40-е годы мнОГИе
33 Просты в лих примерах, впрочем, только описания полугрупп, а не док<|3< тельства неразрешимости для них проблемы тождества.
,4 Очевидно, из неразрешимости более частной проблемы всегда следует нср|,эО ШИМОСТ1, более общей, по не наоборот
.’il l Ы ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ ----------------------
л-глисты надеялись на положительное решение для общего слу сГ,еЙОднако в 1949 г. П. С. Новиков (1901 —1975) построил пример цаЯ\цНо определенной группы, для которой проблема тождества не-(Новиков 1955]. (Этот пример очень сложен; впослед-Pa3ffi были найдены более простые доказательства существования СТ их групп — см., например, [Шенфилд 1975 |, Приложение 1.) т3 2) Десятая проблема Гильберта. С давних времен математики терссуются поиском целочисленных решений алгебраических И чвнений с целыми коэффициентами — так называемых диофан-^овых уравнений (по имени греческого математика Диофанта /A^ir-xvTOc), жившего, по-видимому, в 111 в. н. э., чьи работы сыгра-пИ большую роль в их изучении). Для многих частных типов диофантовых уравнении были найдены алгоритмы, позволяющие их решать. В 1900 г. Д. Гильберт поставил задачу решения диофантовых уравнений в общем виде; на современном языке она может быть сформулирована так: найти алгоритм, позволяющий для любого уравнения вида /(л,, ..., л„) = 0, где/(л,, ..., х„) — многочлен с целы-
ми коэффициентами от неизвестных л'(, ...,л;((л — произвольное целое положительное число35), узнать, имеет ли оно целочисленные решения. Эта задача находится под номером 10 в списке важнейших проблем математики, содержащемся в докладе, с которым Гильберт выступил на II Международном конгрессе математиков в августе 1900 г. В течение десятилетий попытки найти нужный алгоритм ни к чему не приводили; после появления результатов об алгоритмической неразрешимости возникла гипотеза, что и эта проблема неразрешима. Но только в 1970 г. Ю. В. Матиясевичу (и несколько позже независимо Г. В. Чудновскому) удалось доказать, что это действительно так — алгоритма для решения произвольных диофантовых Уравнении не существует. (См., например, приложение (написанное
А. Захаровым) ко 2-му изданию книги [Мальцев 1965 ].)
§ 7.7. РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ
МНОЖЕСТВА
1. Точное понятие алгоритма позволило нам выделить сРсди всевозможных функции вычислимые, т. е. такие, значения вторых можно «в самом деле находить». Под таким же углом зрения
Для уравнений с одним пспзвесинлм ыкой алгоршм ют гнус г, ею описание *,к> н;п'п п п любом учебнике высшей алюбры
316
rjIA|j4
можно рассмотреть и понятие множества: весьма естественно цОп таться среди всевозможных способов задания множеств выдел bJ' «эффективные», т. е. такие, которые позволяли бы «в самом дрТь работать» с множествами — указывать их конкретные элемен-ц/6 производить над ними вычислительные операции, отвечать для 11 кретных объектов на вопрос, входят ли эти объекты в данное мНо жество, и т. п. При этом, разумеется, нам придется ограничить множествами, состоящими из конструктивных объектов; как и пре^ де, моделью конструктивного объекта будет служить для ц;,с слово в конечном алфавите. Однако во многих случаях удобно вместо слов рассматривать натуральные числа, пользуясь тем, что между словами в заданном конечном алфавите и натуральными числами можно установить очень простое взаимно однозначное соответствие. Именно, если фиксировать произвольное целое Р> 1, то любое целое положительное и может быть единственным образок представлено в виде
(*) п = щ-Р^' + а2-Р*"2 +	+ ак,
где а, принимают значения 1,..., Р. (Доказать это можно индукцией; читателю рекомендуется восстановить доказательство’6). Поэтому, если выбратЕ» конечный алфавит V = {«,,..., ар} мощности Р и сопоставить числу п, представленному в виде (*). слово й,, а^ й^, то каждому целому положительному л будет отвечать единственное слово; обратно, для каждого непустого слова av й, в алфавите V по формуле (*) вычисляется единственное целое положительное число, которому отвечает это слово. Если, кроме того, числу 0 сопоставить пустое слово, мы получим взаимно однозначное соответствие между натуральным рядом и множеством всех слов в алфавите К Число, соответствующее слову х, мы будем обозначать vx и называть стандартным номером этого слова, а само отображение v — стандартной нумерацией слов в алфавите V.
От обычной записи натуральных чисел в системе счисления с основанием Р представление с помощью отображения v отличается тем, что «цифры» at,..., ар имеют значения 1,..., Р, а не 0, ..., Р -Для наших целей обычная запись непригодна из-за того, что при не»1 используются не все слова, составленные из цифр, а только те, торые не начинаются с нуля17. Читателю рекомендуется поупрэ*'
Дли доказа 1Слмтиа сущей новация представления (*) воспользоваться геор1^ мой о делении с остатком (см. пример па с 459); едино! нсююсн, доказать от про1 и*1 него	
Можно, конечно, пользоваться также записями вроде 02 или 002, но 1и исчезает взаимная однозначность.
лЕцТЫ IЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
317
гя в записи чисел в «десятичной системе счисления без нуля» Ч^значая цифры хотя бы 1. -   .9, X), а также решить задачи 16—19 5\онис главы.
₽ В настоящем параграфе мы будем все время, говоря о множе-подразумевать множества натуральных чисел (и говоря о до-С? нении множества — дополнение до натурального ряда). Кроме 11071 мы будем считать, что фиксирован некоторый конечный алфа-т^т р == {а„ ..., «Д, Р > 1, и во всех вычислениях на машинах Тью-нга числа представляются словами в этом алфавите описанным Только что способом 38 *. Сплошь и рядом мы ради упрощения речи не gv-дем различать число и представляющее его слово (здесь это не может привести к путанице).
Вернемся к нашей основной задаче. Существуют, как известно, два основных способа задания множества — путем указания характеристического свойства его элементов и путем их перечисления (см. § Cl- пункт 4). Владея точным понятием алгоритма, мы можем теперь указать для каждого из этих двух способов «алгоритмический вариант». Для первого способа такой вариант получается наложением условия, чтобы характеристическое свойство было распознаваем ы м (или, как часто говорят, разрешимым), т. е. чтобы существовал алгоритм, позволяющий по любому слову узнать, обладает ли оно этим свойством. В алгоритмическом варианте второго способа перечисление должно быть «в самом деле перечислением», т.е. происходить с помощью некоторого перечисляющего алгоритм а. Эти соображения нетрудно уточнить следующим образом. В первом варианте нс вполне четкое понятие «характеристического свойства» можно заменить понятием характеристического предиката (см. выше, §3.1. пункт 3). Во втором варианте перечисляющий алгоритм можно понимать как машину Тьюринга, которая «выдаст» в заключительных ситуациях всевозможные элементы Множества, если «подавать» на ее ленту в начальных ситуациях всевозможные натуральные числа: иначе говоря, перечисляемое множество должно быть множеством значений (одноместной) функции. Которую вычисляет некоторая машина Тьюринга с входным и выходным алфавитами, совпадающими с нашим алфавитом К Это приводит нас к следующим двум определениям:
1- Множество называется разрешимым {или рекурсивным)*4, если ег° характеристический предикат является вычислимым.
38
T(J ^ в примерах паря графа 7-3 мы пользовались другой записью (простейшей) з<‘’ из-за того, что при ней иро!раммы машин намного проще,
Св Термины «рекурсивное множество» и «рекурсивно перечислимое множество» с тсм< ,,т° ври определении Э1их понятий часто используется другое уточне-г,0,<ятия алгори!ма — рекурсивные функции (см. ниже, §§ 7 8 и 7 9)
2. Множество называется перечислимым40 (или рекурсивно пер, числимым), если оно является множеством значений некоторой BbJ числимой функции.
Здесь и далее в этом параграфе, говоря о вычислимых функцИ$(х мы подразумеваем одноместные вычислимые функции.
Задачи. 1) Доказать без использования тезиса Чёрча (т. е. п0 строением соответствующих машин) разрешимость следующих Мно жеств слов в алфавите {а,,..., aj (s > I)40 41:
(а) Множества слов четной длины.
(б) Множества слов, длины которых дают при делении на 3 оста-ток 2.
(в)	Множества симметричных слов.
(г)	Множества слов, содержащих заданную букву.
(д)	Множества слов вида ,v.v.
(е)	Множества слов, начинающихся заданным словом.
(ж)	Множества слов, содержащих заданное подслово.
(з)	Произвольного одноэлементного множества.
(и)	Пустого множества.
Для пунктов (а) — (ж) воспользоваться примерами и задачами из § 7.3.
2)	Доказать без использования тезиса Чёрча разрешимость следующих числовых множеств, понимаемых как множества слов в алфавите {I} (см. § 7.3):
а)	Множества четных чисел.
б)	Множества чисел, делящихся на 5.
в)	Множества полных квадратов.
3)	Доказать с использованием тезиса Чёрча разрешимость следующих числовых множеств (способ записи чисел здесь несуществен):
а)	Множества простых чисел.
б)	Множества степеней двойки.
в)	Множества чисел вида Ся-10", где С. - z?-e десятичное приближение с недостатком числа V2.
г)	То же для числа л.
4)	Доказать без использования тезиса Чёрча перечислимости множеств из задач 1) и 2).
Размышляя над результатами задач I, 2 и в особенности 3, читатель без труда поймет, что практически все множества натурал ьН'*1*
40 Мы творим проси • «персчпьлимое». а не «алгоритмически перечислимое»»111,4 как в тейстншелыккти перечмимп. что-либо (как и вычислии>) можно толь*1’ помощью какою-то ал юртm.i
41 Алфа ши {<л,считается здесь содержащимся в нашем основном алфа1,г|1 ( {</i. , «Д, ио не обязан совпади । i, ь ним; поэтому допускается и случаи л - I Маш*1 vims = I можно i tpoiiii. ик же, к,>к для ибщеиилучая
ЦЫ I ЬОРИИ АЛ l ОРИ I MOB
, и слов в алфавитах, возникающие из задач вычислительного Ц11С-1Ктера. разрешимы. (То же верно и для перечислимости — ’‘“’’ниже теорему 4.)
'2 Займемся теперь изучением свойств разрешимых и перечисли-х множеств.
*	теорема 1. Объединение и пересечение разрешимых множеств зрешимы; дополнение к разрешимому множеству разрешимо.
*	* Вриду известного соответствия между теоретико-множественными операциями и пропозициональными связками (см. выше, § 3.1. пункт 3) эта теорема немедленно вытекает из следующей:
' Теорема 1Дизъюнкция и конъюнкция вычислимых предикатов
вь1числимы; отрицание вычислимого предиката вычислимо.
Теорема 1' справедлива для предикатов любой вместимости: мы. однако, докажем се только для одноместных предикатов — этого достаточно, чтобы получить теорему 1. Для обшею случая теорема доказывается аналогично.
Доказательство теоремы Г. 1) Пусть машины Тьюринга Л-7( и М242 вычисляют предикаты Т,(л') и Л(л) соответственно. Тогда машина, вычисляющая предикат f1(x)v f\(x) (с входным алфавитом, равным объединению входных алфавитов ,W, и Л72), будет работать следующим образом. Если на ее ленте в начальной ситуации записано слово (число) .V, она это слово удваивает (см. пример 4 из § 7.3), вставляя между двумя его экземплярами разделительный знак (не принадлежащий объединению внешних алфавитов и Л72); затем она работает со вторым экземпляром х, как Л/, (обращаясь при этом с раздел ит ел ь н ы м з на ком, как с гран и ч н ы м маркером); есл и в результате получится и, то все содержимое ленты стирается и вслед за (настоящим) граничным маркером записывается и; если же в результате работы со вторым экземпляром х получилось л, то машина стирает это л и разделительный знак, а затем работает с первым Экземпляром х, как Л72.
2) Если машина М вычисляет предикат F(x), то машина, вычисляющая ?F(.v) (с тем же входным алфавитом), должна работатЕ» так )Ке> как Л-7. до самого конца, а затем, если получилось и. переработать ег° в л, а если л — в и.
3) Утверждение для конъюнкции следует из утверждении для дизъюнкции и отрицания ввиду соотношения & F2(-v) = ^7('Л(л-)У7Л2(х)).
Задачи
Ь Доказать пункт 3) теоремы 1 непосредственно.
Венцу в эгом паршрафс, юиоря и машинах Тьюриша, мы иодрлзумснасм иЧы с входными и выходными алфавитами
™глАЧ)
2)	Используя задачи 1) н 2) в конце предыдущего пункта и тео му 1, доказать разрешимость следующих множеств:
а)	Произвольного конечного множества.
б)	Множества всех натуральных чисел.
в)	Множества нечетных чисел.
г)	Множества чисел, делящихся на 10.
Теорема 2. Объединение и перечисление перечислимых МЦо жсств перечислимы.
Доказательство. Пусть машины М, и М2 вычисляют функц^ /(х) и/2(х) с множествами значений Et и Е2 соответственно. Тогда-
1)	По машинам М, и М2 легко построить машину, которая будет вычислять функцию/, определенную следующим образом:
| = /.(-х)» если/,(х) определена:
• л' 1 не определена, если /(х) не определена;
Я2л-+ lJ = ^A^ ССЛ1|-/2<Л) опраелена;
' | не определена, если /2(х) не определена.
Ясно, что значениями / будут те и только те числа, которые служат значениями хотя бы одной из функций /,/2, так что множество ее значений есть Е^ЕГ
2)	Нетрудно построить по Л/, и Л-/2 также машину, вычисляющую функцию#, такую, что: (а) для чисел вида х = 2Л’-3Лг #(л) определена тогда и только тогда, когда /(х,) и /2(х2) определены и совпадают, и в этом случае значение #(х) равно общему значению /,(х,) и /2(х2); (б) для остальных х значение #(х) не определено. Значениями убудут, очевидно, те и только те числа, которые служат значениями как/,, так и/2, так что множество ее значений есть ЕХС\Е2.
Теорема 3. Множество тогда и только тогда перечислимо, когдаон° является областью определения некоторой вычислимой функции.
Доказательство. 1) Пусть машина М вычисляет функцию /(х) t множеством значений Е. Рассмотрим машину, входной и выходной алфавиты которой совпадают с выходным алфавитом машины работающую следующим образом. Если в начальной ситуации на ее ленте записано число х, машина ставит справа от него разделитель' ный знак («квадратик») и справа от этого знака проделывает первых шага того вычисления машины М, которое начинается с чИс' ла 0. Затем головка идет вправо: в первой встретившейся ей при этогл пустой ячейке ставится другой разделительный знак («звездочка»); справа от этого знака записывается число 1 и производится первь111 шаг вычисления машины Л/, начинающегося с этого числа. Зате1*’ головка идет влево до квадратика, и на том участке ленты, где оыл
321
<г1ц bl ТЕОРИИ АЛГОРИ1 MOB
Ьлг>м ----------------------
сданы два первых шага вычисления Л/, начинающегося с нуля, ° изводится третий шаг Этого вычисления. (Для этого нужно, разу-чтобы после первых двух шагов была помечена ячейка, в -.сете* >
Ж" тОрой остановилась головка, и метка указывала, на каком состояли вычисление было прервано.) Если на этом шаге головка машины * питалась вправо, то производится сдвиг вправо той части записи, 1 торая расположена правее преобразуемого сейчас участка. Далее сковка идет вправо, и на том участке ленты, где был выполнен первый шаг вычисления М, начинающегося с единицы, производится второй шаг (здесь нужно сделать те же оговорки, которые были сделаны относительно вычисления, начинающегося с нуля). После этого головка идет дальше вправо; в первой встретившейся ей пустой ячейке ставится еще одна звездочка, за ней записывается число 2 и производится первый шаг начинающегося с него вычисления М. Потом головка снова идет влево до квадратика, после чего производится четвертый шаг вычисления с нулем, третий с единицей, второй с двойкой, затем через звездочку записывается число 3 и над ним производится первый шаг вычисления, и т. д. Таким образом, наша машина параллельно вычисляет (вернее, пытается вычислять) значения функции / для всевозможных значений аргумента п. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то ««-участке» вычисление не остановится. Если эта остановка безрезультатная, так что /(«) нс определена, машина продолжает работу с той только разницей, что далее головка проходит этот ««-участок», нс изменяя его. Если же вычислено значение Дн), оно сравнивается с х. При /(«) * х работа продолжается так же, как в случае безрезультатной остановки; при Дл) — х все содержимое ленты стирается, и машина переходит в заключительное состояние.
Ясно, что функция, вычисляемая описанной машиной, определена для тех и только для тех х, которые служат значениями функции Л т- е. принадлежат Е.
2) Пусть машина М вычисляет функцию/с областью определения Е. Рассмотрим машину, входной и выходной алфавиты которой Совпадают с входным алфавитом М, работающую так: если в начальной ситуации на ее ленте записано слово х, оно удваивается с постановкой разделительного знака между двумя экземплярами, затем со ®т°Рым экземпляром машина работает, как М, и если при этом будет лУчено какое-то значение Дх), то справа от разделительного знака "стирается и он сам тоже, головка становится на граничный мар-Р и машина переходит в заключительное состояние: если же Да) нс Редел ено, то машина «ломается» или работает вечно. Вычисляемая этой машиной функция определена в точности для тех же х, что ’ и в случае, когда ее значение определено, оно совпадает lo
322

образом. множество значений
значением аргумента; таким функции есть Е.
Теорема 4. Всякое разрешимое множество перечислимо.
Доказательство. По машине Л/, вычисляющей характеристик ский предикат множества Е, легко построить другую машину, рая выдает и, если М выдаст и, и работает вечно, если М выдает, I (ср. доказательство теоремы I предыдущего параграфа). Области определения вычисляемой этой машиной функции есть Е. Остается воспользоваться теоремой 3.
Задача. Доказать теорему 4 без использования теоремы 3. [Ука_. заиис. Начать с удвоения исходного слова. ]
Теорема 5 (теорема Поста). Множество тогда и только тогда разрешимо, когда оно само и его дополнение перечислимы.
Доказательство. 1) Пусть множества Е и СЕ (дополнение £) перечислимы. По теореме 3 существуют машины Тьюринга Mi и Л-f вычисляющие функции /( м/2с областями определения Е и СЕ соответственно. Построим по ним машину (входной алфавит которой будет совпадать с входным алфавитом Л*ж машины Л/,), работающую следующим образом. Если на ее ленте в начальной ситуации записано слово х в алфавите А'кк, оно удваивается (с постановкой разделительного знака между экземплярами), а затем оба экземпляра обрабатываются параллельно — первый по программе машины Mt, второй по программе М2 (шаги вычислений с первым и вторым экземплярами производятся поочередно — ср. доказательство теоремы 2). Поскольку х принадлежит одному и только одному из множеств Е и СЕ, один и только один из этих двух параллельных процессов закончится вычислением значения соответствующей функции. После этого все стирается и записывается и. если вычислено значение и л, если вычислено значение/2. Таким образом, наша машина вычисляет характеристический предикат множества Е.
2) Обратное утверждение непосредственно вытекает из теорем и 1.
3. Обратимся теперь к вопросу о существовании неразрешимых и непсречислимых множеств, а также невычислимых функций. (Разумеется, речь идет о множествах натуральных чисел — или ело» Б конечных алфавитах — ио функциях, отображающих такие множества на такие же.) Ответить на этот вопрос очень просто, исходя И3 мощностных соображений. Действительно, мощность множеств3 функций, вычисляемых всевозможными машинами Тьюрннга, всяком случае нс превосходит мощности множества кодов всевоЗ^ можных машин Тьюринга, т. с. слов специального вида в алфавит*-i/K}; но даже множество всех слов в конечном алфавите счетН0, в то время как множество всех функций, отображающих подмноЖ1-
к41. цТЫ ТЕОРИИ АЛГПРИ! МОК
—-------------
323
натуРального Ряда на подмножества натурального ряда, имеет сТБЭдость континуума. Далее, мощность множества всех перечисли-множеств натуральных чисел нс превосходит мощности множе-мЬ1Х вычислимых функций, значения которых пробегают эти множе-<гГ®‘. тдким образом, множество перечислимых множеств натураль-«’чисел счетно, в то время как множество всех подмножеств н упального ряда имеет мощность континуума. Итак, невычисли-Я «с функции и непсрсчислимые (а значит, и неразрешимые) мно-М£СТва не только существуют, но их «больше», чем вычислимых /hvHKUHH’ соответственно перечислимых множеств.
к Это простое решение страдает, однако, существенным недостат-
ком- оно не дает никакого конкретного примера нсперечислимого множества или невычислимой функции. Кроме того, мощностные соображения не позволяют решить столь же естественный вопрос о существовании неразрешимых перечислимых множеств; как легко видеть, множество разрешимых множеств тоже счетно. Заметим, что
если нам удастся указать пример неразрешимого перечислимого множества, то его дополнение в силу теоремы 5 даст нам пример неперечислимого множества, а его характеристический предикат (точнее — функция, сопоставляющая значениям аргумента истинностные значения значений предиката) — пример невычислимой функции. Сейчас мы укажем такой пример; но сначала нам будет удобно ввести следующее простое, но важное для дальнейшего определение;
Стандартный номер кода машины Тьюринга называется гёделев-ским номером — или просто номером — этой машины.
Это определение нуждается, впрочем, в уточнении: ведь стандартная нумерация слов зависит от выбора алфавита (а также от выбора его пересчета). Коды машин Тьюринга — это цепочки в алфавите Л' — {<?,, ..., ц8}, и мы можем выбрать любой алфавит, содержащий Л'. Мы остановимся на алфавите {а,, ..., я9} — из соображений, которые выяснятся ниже, в § 7.9. А сейчас перейдем к обещанному примеру.
Теорема 6. Множество номеров самоприменимых машин Тью-Рйнга перечислимо, но не разрешимо.
Поскольку мы обычно отождествляем слово с его номером, вместо Множества номеров мы можем говорить здесь о множестве кодов.
Доказательство. Утверждение о неразрешимости этого множест-есть просто другая формулировка теоремы 1 предыдущего пара-^’фа. Чтобы доказать его перечислимость, рассмотрим машину Пиринга с входным алфавитом {й(,..., <яу}, работающую следующим Разом: если на ее ленте в начальной ситуации записано слово х, она ^РСжде всего, нс изменяя этого слова, распознает, является ли оно Дом какой-либо машины Тьюринга; если нет — машина «ломает-
324
‘ъ
ся», если да — удваивает слово х, вставляя между двумя его экзе^, л яра ми Лу, и далее работает как универсальная машина, т. с. прео& разовывает слово х в соответствии с программой той машины, а ' которой это же слово служит кодом. Если при этом будет подуч^ результат — т. с. если машина с кодом х самоприменима,— то содержимое ленты стирается, и машина переходит в заключительно состояние. (В противном случае она, очевидно, «ломается» или рабо тает вечно.) Ясно, что вычисляемая этой машиной функция опреде
лена для тех и только для тех слов, которые являются кодами само применимых машин Тьюринга. Остается применить теорему 3.
Таким образом, два основных способа задания множеств при ад.
горитмизации оказываются неэквивалентными: перечисление — способ более сильный, чем (эффективное) указание характеристического свойства элементов.
Отмстим еще
Следствие. Множество номеров несамоприменимых машин Тью-
ринга нспсречислимо.
Доказательство. Пусть А В и С—соответственно множество номеров несамоприменимых машин, дополнение к множеству номеров самоприменимых машин и множество чисел, нс являющихся номерами никаких машин. Множество С разрешимо и тем более перечислимо, и если бы А также было перечислимо, то ввиду очевидного равенства В = ДОС по теореме 2 оказалось бы перечислимыми В, что невозможно в силу теорем 5 и 6.
С помощью конструкции, использованной в доказательстве теоремы 6. мы докажем сейчас еще одну важную теорему. Ее доказательство доставит нам еще два примера неразрешимых перечислимых множеств (а также способ получать такие примеры в любом числе).
Теорема 7. Существуют нс пересекающиеся перечислимые множества £, и Ez, такие, что никакое разрешимое множество не может содержать нс имея при этом общих точек с Ег. (Как иногда говорят, Ех и Е2 не отделимы разрешимыми множествами.)
Доказательство. Обозначим через Е{, соответственно через Д» множество кодов тех машин Тьюринга, которые перерабатывает свой собственный код в пустое, соответственно в непустое слово. Д;15’ доказательства перечислимости этих множеств достаточно рассм°т реть машину, использовавшуюся в доказательстве теоремы 6, изМ^ нив ее в случае Е, так, чтобы она переходила в заключительное стояние лишь при условии, что результат, получаемый на эта<^’ когда машина работает как универсальная, есть пустое слово
И.1ПОМН11М, Ч ГО nycioe. слово служи I СВОИМ и»ьс свечным кодом
325
.гИ1Ы ТЕОРИИ ЛЛГОРИ гмов
———
случае Е2 — при условии, что этот результат есть непустое слово. а ₽ Сстим теперь, что существует разрешимое множество Е, содер-\е д и не пересекающееся с Е2. По машине, вычисляющей ха-ктсристический предикат множества Е, легко построить другую ^щииу — обозначим се М,— которая каждое число, т. е. каждое М ово* в алфавите {лр «9}, перерабатывает в непустое слово, если -р и в пустое, если х(£Е. Но во что переработает машина М свой собственный код х(М)? Если в пустое слово, то тем самым х(Л7)еД, оТКуда xC-A'QGE' — а тогда по построению машины она должна перерабатывать х(ЛГ) в непустое слово. Если же М перерабатывает х(Л7) в непустое слово, то х(Л/)&Е2, откуда k(M)(£e и, следовательно. М дОджна перерабатывать х(М) в пустое слово. Полученное противоречие завершает доказательство.
Замечания. 1) Очевидно, любая неразрешимая алгоритмическая проблема даст пример неразрешимого множества. Например, в силу теоремы Райса для любого нетривиального инвариантного свойства машин Тьюринга множество номеров (или кодов) машин, обладающих этим свойством, неразрешимо; для всякой полугруппы с неразрешимой проблемой тождества неразрешимо множество слов вида хПу, где .с и у— произвольные слова из образующих полугруппы, представляющие один и тот же ее элемент, и □ — символ, отличный от всех ее образующих, и т. п.
2)	Существуют и такие множества натуральных чисел, которые неперечислимы вместе со своими дополнениями (см. задачу 35 в конце главы).
Задачи. 1) Доказать, что множество номеров машин, применимых каждая хотя бы к одному слову, перечислимо.
2)	Доказать, что множество номеров машин, нс применимых ни к каким словам, неперечислимо. [Указание. Воспользоваться теоремой Райса, результатом предыдущей задачи и теоремами 5 и 2. ]
3)	Доказать, что для любого слова у множество номеров машин, ВЫЧИСЛЯЮЩИХ функции, принимающие хотя бы для одного слова значение у, перечислимо, а множество номеров машин, вычисляющих функции, не принимающие значения у, нсперечислимо.
4)	Теорема 7 допускает следующее обобщение: для любого п = 2, ’— найдутся попарно нспсресекающиеся перечислимые множества ”	Е„, для которых не существует попарно непсресекающихся
₽азРешимых множеств G,,..., Gn, таких, что EtQGf. Доказать.
4-	В заключение параграфа докажем еще две теоремы о способах Ренисления множеств.
Прежде всего естественно спросить: нельзя ли использовать для Речисления множеств только всюду определенные вычислимые У^Кции? Это лучше отвечало бы интуитивному представлению о
«запуская» машину последовательно для ццс получили бы один за другим все элементы мно^ не рискуя, что вычисление окажется бесконеЛГ' безрезультатно. Ответ на этот вопрос, за очевиднее® 1устого множества, оказывается положительным к?1
326___________________________________________________
перечислении: О, 1,2,..., мы ства, никогда нли оборвется исключением г
видно из следующей теоремы.
Теорема 8. Всякое непустое перечислимое множество являете! множеством значений некоторой всюду определенной вычисли|М функции.
Доказательство. Пусть машина М вычисляет функцию f с Не, пустым множеством значений Е, и пусть х0 — некоторый элемент £ Построим по машине М новую машину Л7„ которая будет работать так же, как машина, построенная в пункте 1 доказательства теоремы 3, с той только разницей, что зона ленты, где записано данное число х, используется теперь как «счетчик шагов»: после имитации каждого шага какого-либо вычисления машины М головка машины Л7( идет в зону счетчика, и содержащееся в этой зоне число уменьшается на единицу. Когда содержимое зоны счетчика оказывается нулем (пустым словом), имитация вычислений машины М прекращается и. если на имитировавшемся перед этим шаге работы машины М как раз было вычислено какое-то значение /(z) функции /, машина записывает это на ленте (стирая все остальное) и переходит в заключительное состояние: в противном случае она все стирает, записывает на ленте слово х0 и также переходит в заключительное состояние. Вычисляемая машиной М{ функция всюду определена, и легко видеть, что множество ее значений совпадает с Е.
Еще лучше отвечало бы интуитивному представлению о перечислении использование разнозначных всюду определенных функций (т. е. таких, значения которых для любых двух различных значений аргумента различны); тогда каждый элемент множества считался бы только один раз. Разумеется, для конечных множеств такими функ" циями обойтись нельзя; но для бесконечных множеств это возможно, как показывает
Теорема 9. Всякое бесконечное перечислимое множество является множеством значений некоторой разнозначной всюду определен' ной вычислимой функции.
Доказательство. Пусть машина М вычисляет функцию/с бесконечным множеством значений Е. По машине М мы построим нОвУ10 машину Л/„ вычисляющую функцию /; эта машина будет работать так же, как машина, построенная при доказательстве теоремы 8,110 со следующими отличиями: I) каждый раз, когда при имитации & кого-либо шага работы машины М вычисляется некоторое значение функции/, оно сравнивается со всеми ранее вычисленными ее ниямн, и только в случае, когда оно отлично от всех этих значений’
,гцТЫ ТЕОРИЙ АЛГОРИТМОВ
327
исходит обращение к счетчику и уменьшение на единицу его пЯСимого; 2) после имитации тех шагов работы М, на которых не ^^цсляется никакое значение /, обращения к счетчику не проис-*°*Пусть теперь М' — машина, отличающаяся от М, тем, что она пбше никогда не обращается к счетчику. Эта машина работает в£ЦНо, вычисляя одно за другим значения функции /, так что каждое зиаченне в как°й_то момент оказывается вычисленным. Пусть bi,— — последовательность, состоящая из значений /, расположенных в том порядке, в котором их «выдаст» машина М', и Ь^,
b Ь — подпоследовательность этой последовательности, определенная так: = bt; Ь1г есть первый член последовательности, отличный от b,^ есть первый член, отличный от Ь,* и от Ь^, и т. д. Легко понять, что если на ленте машины М\ в начальной ситуации записано число к, то в заключительной ситуации на ней будет ЛА+|- А поскольку Ь,е Ь^,— бесповторный пересчет множества Е, машина Mt вычисляет разнозначную функцию, для которой Е есть множество значений.
Замечания. I) Эта конструкция годится н для конечного £, но тогда она даст функцию, определенную на некотором отрезке натурального ряда.
2) Потом мы усилим теорему 5 еще н в другом направлении (см. § 7.9, теорема 4).
Задачи. 1) Показать, что множество значений возрастающей всюду определенной вычислимой функции разрешимо, и обратно — всякое бесконечнее разрешимое множество есть множество значений некоторой зозрастаюшей всюду определенной вычислимой Функции.
2) Показать, что всякое перечислимое множество есть множество значений некоторой возрастающей вычислимой функции. [Указание: см. пункт 2 доказательства теоремы 3. ]
§7.8.
ПРИМИТИВНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
1. В этом и следующем параграфах мы познакомимся с одним уточнением понятия вычислимой функции, в основе т°рого лежит широко распространенный способ вычисления функ
328
___ Г,'АВЛ
ций натурального аргумента, состоящий в том, что задается /(ту, так называемая рекуррентная44 формула /(л + ? ” = А(/(л)), позволяющая вычислить f(n + 1), если известно/(я) ' 56 помощью этой формулы последовательно вычисляются /(1)? и т. д. Такой процесс последовательного вычисления значен -функции называется рекурсией45. Метод рекурсии даст возможност сводить вычисление одной функции к вычислению другой: если умеем вычислять h, то мы сумеем вычислить и любое значение / (Примером может служить функция 2", которую можно задать L* венствами 2° = 1, 2'к 1 = 2"-2, сводящими вычисление ее значений к вычислению значений функции h(m} — т-1.) Таким образом, если из вычислимой (в интуитивном смысле) функции получена с помощью рекурсии другая функция, то эта новая функция также вычислима (в том же смысле).
Разумеется, рекурсия — не единственный способ получать одни функции из других, при котором вычислимая функция переходите вычислимую. Тем же свойством обладает, например, подстановка (суперпозиция): если мы умеем вычислять функции /(.v) и g(x), то мы сумеем вычислить и функцию g(/(x)).
Если у нас есть некоторый запас «простейших» функций, вычисление которых тривиально, то все функции, которые можно из них получить, производя сколько угодно раз суперпозиции и рекурсии, с точки зрения любой разумной интуиции также будут вычислимыми. Естественно спросить: насколько широк класс вычислимых функций. которые можно так получить? Прежде чем выяснять этот вопрос, нужно, разумеется, уточнить, из какого запаса «простейших» функций мы исходим. Но целесообразно также обобщить понятие рекурсии — и даже в двух направлениях. Во-первых,/(л + 1) может зависеть не только от f(n}, но и от самого и: в этом случае рекуррентная формула имеет вид /(я + I) = /з(л./(л)), где Л.— некоторая заведомо вычислимая функция двух переменных. Например- ДлЯ функции	будет Л(/, ля) = лл • (Z + I), что дает формулу
(л + I)! = я!-(я +1)46. (В рассмотренном выше частном случае, кот' да h — одноместная функция и /(л + 1) - Л(/(л)), функцию f часто называют итерацией47 функции А.) Во-вторых, с помощью реку?" сии можно вычислять также и функции нескольких переменных •
44 От лат гесигт — «возвращаюсь»).
45 От ла г. recursio — «возвращение, круговорот» (rectirso — «возвращаюсь»)! 
46 0! можно формально положить ранным 1.
47 От лат iferatm — «повторение» lilerum - «еще раз»).
* Которые мы теперь обязаны ввести в рассмотрение, поскольку рекурси0 вычисление функции одной переменной мы производим с помощью функции Л,в1 переменных
деМСНТЫ ТВ0РИИ АЛГОРИТМОВ
329
этом все переменные, кроме одной, служат «параметрами», и каждого фиксированного набора нх значений вычисление нКциИ от оставшейся переменной производится точно так же. как это делали для одноместных функций. Это значит, что если счисляем функцию/(х,, ..., хк), к > 1, и рекурсия проводится по переменной хк, то /(х|? ..., хА_р 0) вычисляется по формуле
Vp °) =	•••> -V), а /(х„ ..., хкхк + I) — по формуле
/(л’р -- Vp л* + О = л^р -Vp -V Я-V Vp л'л)Ь r^e £ и А — заведомо вычислимые функции вместимости к - I и А + I соответственно. Например, для /(х, х2) — х,х2 функция g(x,) тождественно
равна нулю, а А(хр х2, хЛ) есть х4 + х„ что дает формулы х,-0 — 0, X[('V2 + О = ЛГЛ2 + ЛГ
Что касается исходного набора «простейших» функций, то в него
естественно включить тривиальные функции вида /(хр ..., х4) =
я х (/ = 1, ..., к), а также функции-константы /(х,) = гп. Но одних этих функций недостаточно, чтобы получить сколько-нибудь интересный класс с помощью подстановки и рекурсии (см. задачу 36 в конце главы), и мы добавим к ним еще одну, также очень простую и вычислимую тривиальным образом: 5(х) = х + 1. При этом, кстати, мы сможем вместо всевозможных функций-констант обойтись функцией, тождественно равной нулю: из нее и из $(х) с помощью подстановки очевидным образом получаются все остальные функции-
константы.
Функции, получаемые из описанного исходного набора с помощью подстановки и рекурсии, принято называть примитивно рекурсивными49. Фактически мы их уже определили, но ввиду важности этого понятия приведем строгие формулировки.
Всюду в этом параграфе, говоря о функциях, мы будем подразумевать функции, у которых область определения состоит из упорядоченных систем натуральных чисел (для одноместных функций — просто из натуральных чисел) и множество значений также есть подмножество натурального ряда.
0Мло б
Этот термин — перевод английского primitiw recursin' functimn Правильнее 1,1 iicpcHDMH 11, «примитивные рекурсивные функции» илii даже «нросияе рс кур г 1Ыс функции»’ I» англ и иском термине слово primitive— не наречие, а и рила га ' >нос, означающее «первоначальный, простой» (ср. primitive number — npncioe Ли ” ,,Р°Ч,1КЧ|О.ЧОЖЦОСГЬ «общим рекурсивным функциям» {general птигыае 11 общеирищпои русской версии — общере курси иные функции), которые г Рассмотрен ы ниже. (Английское primitive, каки русское «примитивный», про-РНг 11П Ог 1 hhckim’o primitiniis — «первый» > Однако в русской литературе но тео-‘-,,,'ьртпмои сложилась уже традиция, которую не стоит нарушать
’ьнеишис подробности см. в § 7 9 пункт I.
330
2Laua7
Будем называть исходными примитивно рекурсивными фу/ циями функции е*(хр ..., х;.) = xt, 0(х) - 0, S(x) — х + 1 <Функ'ц^ е'к называют функциями выделения аргумента, или
щими функциями).
Рассмотрим, далее, два оператора, действующие на фуНк ции: оператор подстановки и оператор рекурсии.
Оператор подстановки применяется к функциям gf Bhje
стимостн к и функции h вместимости I {k,l — 1, 2, ); результат его применения есть функция f вместимости А, определяемая ра_ венством
/(х„	х*) = A(g,(x„ xt),& (х............хЛ))30.
Оператор рекурсии применяется либо к натуральному числу и функции h вместимости 2, либо к функциям g и h вместимости п - 1 н п + I соответственно, где п-2, 3,...; результат его применения есть функция f вместимости I в первом случае и п во втором, удовлетворяющая рекурсивным равенствам: в первом случае это равенства
1 |} \f(x + 1) = Л(х,/(л)), во втором
(/(.<„ .... л,_„ 0) = g(x„ .... .V,)
[ 2> |/(л„ х. + 1) = й(х,_.... .Vl, х,„ f(x„ .... х„.„ xj).
Рекурсивные равенства вполне определяют функцию f: ее значение для х = 0 или для хп = 0 однозначно находится из первого равенства, а из второго равенства по значению для очередного х или х„ также однозначно находится значение для х + 1, соответственно для х„ + I.
Теперь мы можем, наконец, сформулировать основное определе-ние: примитивно рекурсивной функцией (сокращенно/?, р. ф.) назЫ' вается функция, которая либо принадлежит к числу исходных пр11' митивне рекурсивных функций, либо может быть получена из них с помощью операторов подстановки и рекурсии.
Задача. Описать класс функций, получаемых из исходны* п. р.ф. с помощью одного лишь оператора подстановки.
50 Вообще говоря, функции	Л не обязаны бын. всюду определенны*1’^
однако в насзоящем параграфе оператор подстановки будет применяться юльхо всюду определенным функциям (так чю и реаулыа! его применения будет |}С1 " ок редело hi юй фу пк киен)
bl IЕОРИИ АЛ l ОРИТМ0В
33»
Примеры п. p. Ф-:
j) функции произвольной вместимости n (n > I), тождественно вныенулю:0»(хи -	= °№>.	*.,))
Р‘ 2) функцни-константы к(х)(к = 1,2,...): I(x) = S(O(x)), л = S(I(x)) и т. д. Аналогично, с использованием примера I, полу-а'ются функции-константы kri(xt, ..., хп) = к вместимости и > I.
3) Функции SA(x) = х + к (к = 2, 3, ...): 52(х) = ^(5(х)).
5(%) = 5(52(х))ит.д.
3 4) функция + хг получается с помошью оператора рекурсии из функции 4(х,) = х, (в качестве g) и S(eJ(x„ х2, х,)) = х, + 1 (в качестве Л), так что рекурсивные равенства для х, + х2 имеют вид
1х, + 0 = 4(х)
|х, + (хг+ 1) = ^(Л„Х2,Л, + Лг)).
или, в менее педантичной записи,
|х| + О = х, |х, + (х2 + I) =
5)	Функция х,-хг получается с помощью оператора рекурсии из функций 0(х,) = 0 и ^(х,, х2, х3) + ej(xp х2, л5) = х3 + хг Рекурсивные равенства выписаны выше (с. 329).
6)	Функция х—I («усеченная разность между v и единицей»), равная х - I при х > I и 0 при х = 0, получается с помошью оператора Рекурсии из числа 0 и функции е[(х„ х2) = хг так что рекурсивные равенства имеют вид
/0-1=0
1(Л- + 1)^1 = Л.
В дальнейших примерах мы уже не указываем явно функции g и 1 (или число с и функцию Л) и ограничиваемся выписыванием рскур-Сивных равенств.
7)	Функция х—у («усеченная разность»), равная х — у при Л У И 0 При X < J4
Vv — (v + 1) = (•« — У) - 1 
8)	1л--у| =
332
^а*а7
9)	Функция sgx (читается «знак х»), равная 0 при х = О и Л- > О:
пРи
pg О = О
(х + 1)= I.'
10)	Функция sgx, равная I при х = 0 и 0 при х > 0: [^0= I
(ад (л + I) = 0.
11)	min(.r, у) = х — (л — у).
12)	шах(л, у) = у + (л- — j>).
13)	Функция г(х,у), равная остатку от деления у на х, если х * о и нулю, если х = 0:
[ г(х. 0) = О
|г(х. У + 1) = (г(л, у) + 1)-ад(х	(г(л, у) + 1)).
14)	функция q(x, у), равная целон части частного от деления у на х, если х # 0, и нулю, если х = 0:
1*М=о
[ <?(х, у + I) = <у(х, у) + sg I х - (г(х, у) + 1)1.
15)	х! (см. с. 329).
16)	ах, где а — константа (см. с. 328).
Задача. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
а)	х’;
б)	[Vx ];
в)	|log2xj;
г)	пйп„(хр ..., хл1) — наименьшее из чисел хр хп (п = 3, 4, •••)»
д)	max„(xp х„) — наибольшее из чисел хр ..., х„ (и = 3, 4,
2. Наряду с примитивно рекурсивными функциями естествен^0 ввести в рассмотрение примитивно рекурсивные предикаты. Мн будем называть предикат F(xp ..., х„), определенный на множеств6 натуральных чисел, примитивно рекурсивным, если примитивно р6' курсивна функция <pF(xp х„), сопоставляющая каждому набору х°, ..., х‘‘ значений переменных хр ..., х„ число I, если предложений F(x“, ..., х®) истинно, и 0, если это предложение ложно.
Функция называется характеристической функцией пре#11 ката F.
333
• Ml III Ы ПЛН’ИИ АЛГОРИТМОВ ------------------------
Замечание. Точно так же можно было бы определить и предикат, цислимыи по Тьюрингу — как предикат, для которого вычислима вЬ Тьюрингу характеристическая функция (ср. конец § 7.2).
150 Примеры примитивно рекурсивных предикатов:
р х=с, где с— произвольная константа: его характеристической функцией служит sg I к - cl.
2)	х > с: характеристическая функция bg(x—c).
3)	X = у: характеристическая функция ~sg lx - у!.
4)	X > У характеристическая функция sg(x—у).
5)«х четно»: характеристическая функция задастся рекурсивными равенствами
1/(0) = 1
]Дх + I) = sgf(x).
6) d(x, у) == «х делится на у»: характеристическая функция sg r(y, х)  -'®' + Sg*  Jgy3|.
7) у = T(a'i> •••’ Ая)> гДе Т — некоторая заданная п. р. ф.: характеристическая функция 5g ly-	л„)1.
3. Докажем теперь несколько простых теорем, облегчающих доказательство примитивной рскурсивности функций и предикатов.
Теорема I. Если функция Дхп..., л„) (п — 1,2, ...) примитивно рекурсивна, то таковы же и функции
у(х„ л„) = у Дх,................. x,rt, i)
«=0
и
Чх„ х„) = П Дх„ х„, <). >=0
Доказательство. Функция g задается равенствами
|g(x„ .... X,rt, Х„ + 1) = g(X..	Х„) + Дх...... Х„„ Х„ + I)).
Функция h задается аналогично.
Замечание. Теорема I останется справедливой, если вместо л„ ®ерхней границей суммирования или перемножения будет произвольная п. р. ф. (Достаточно воспользоваться оператором подстановки.)
Если функция /(.Vi, ... ад) примитивно рекурсивна и п, i„ — какая-либо г*еРестановка из чисел I, ...,п, тофуикиинДхц, . , .х,,,) также прими ihbijo рекурсивна» "“1Ко.,ьку /(.Г,,. . Х,„) = /(.-Дх., . Х«). . .. ........................................Л,,))-
1
Пример. Функции т(л) и з(л) — число делителей и сумма дедцт лей числа а — примитивно рекурсивны, поскольку
Ч*) = Е -V) --1;
1=0
°W = У л-j.
1=0
(Здесь условно считается т(0) = 5(0) = 0.)
Теорема 2. Если предикаты F(x„ ...,	.... д;,) примитивно
рекурсивны, тс таковы же и предикаты 7F(xt, ..., х„), /’(аи ..., л;г)& & С(л...., л„), Ял , y)vG(x„ л„), Я-Т, .... л„р6(х„ ..., х„).
Доказательство. Достаточно доказать утверждение теоремы для
и F&G Но если /(х„ .... л„) и £(.у, лп) — характеристические функции предикатов F и (/соответственно, то для “.'/и F&G характеристическими функциями будут sg/Cx,, ..., х„) и /{л,, хи)-S(A„ .... -О.
Пример. Ввиду теоремы 2 из примеров в конце п. 2 вытекает, что примитивно рекурсивны предикаты л у, л < у, л<у, а < л' < b (а, b — константы) «z есть общий делитель чисел х и у» И 1. п.
Впоследствии мы увидим, что утверждение теоремы 2 нельзя распространить на кванторы (§ 7.9, замечание 2 к теоремеб). Однаково многих случаях кванторы, участвующие в определениях арифметических предикатов, можно заменим» ограниченными кванторами (см. с. 83), берущимися не по всем натуральным числам, а лишь по тем, которые нс превосходят значении некоторой примитивно рекур' сивной функции от свободных переменных. Такие кванторы сохрЗ' няют примитивную рскурсивность: имеет место
Теорема 3 (об ограниченных кванторах). Если предикат F(x , ..., х,_, у) и функция q(Vp .., .vr) примитивно рекурсивны, т0 таковы же и предикаты Vy F(.vp ..., у,, у) и Зу F(v, ..., л„, >’)•
Доказательство. Если/(.у,	х„, у) — характеристическая фУн
кция предиката F, то для предикатов VyFn ByF характеристически , <‘Г	1 < г
ми функциями будут соответственно
П /(Л-,, .... л;„ у) II S,e V /(л-.,	у).
ТЬ( ТЕОРИИ АЛГОРИ1 MOB	335
Примеры. Следующие предикаты примитивно рекурсивны ввиду ,С0РсмЫ 3:	-	,	..
т р Р(х, у» z) — «z есть наибольший оощии делитель чисел vnP>:
р(л, J’, ') = ‘«Х	& </(У.	&
& V/	I) & d(y, t) D d(z, /)).
, < y)
2) P(x* y) — «X и у взаимно просты»:
Р(Х, Й s Vz (</(-’<> z) <& z) D z = 1).
I < И11«1(л j)
3) р(х) — <<х — простое число»:
р(л) = 7(х = 1)& y.v(</(.r, Й Dy = 1 Vy = л).
Теперь мы рассмотрим еще один естественный оператор, применяемый к предикатам и переводящий их в функции — так называемый оператор минимизации. Результатом его применения к предикату Их,, х„, у) является функция вместимости л, сопоставляющая каждому набору х°, ..., х“ значений переменных хр ..., х„ наименьшее значение у0 переменной у, при котором предложение Р(Хр хя, у0) истинно (если такое значение существует). Этот оператор не сохраняет примитивную рекурсивность (см. ниже, § 7.9, замечание 2 к теореме 3) нс говоря уже о том, что результатом его применения может быть не всюду определенная функция. Но в ряде важных случаев его можно заменить оператором ограниченной ми-*шмизации, который применяется к предикату F(xp ..., х„, у) и функ-
ции . vj — I, 2, результат его применения есть функ-НИя ДЛ|, ..., х„), значение которой для каждого набора х?, ..., л* значений переменных х„ ..., х„ определяется следующим образом: если Хотя бы для одного числа у, не превосходящего <р(х”, ...» х“), предложение F(x’’, ..., х“, у) истинно, то Дх", .... х®) равно наименьшему из т‘1ких у; в противном случае Дх®, ..., х°) = 0. Эту функцию хя) принято обозначать ру F(xt, х.„ у). Оператор огра-
Ученной минимизации сохраняет примитивную рекурсивность, как Называет
F Теорема 4 (об ограниченной минимизации). Если предикат Ц, ..., х„. у) и функция ф(х„ ..., хя) примитивно рекурсивны, тота-1<Ова же и функция ру ^'(хр ..., х„, у).
.ST(v,. . .
Доказательство. Если функция предиката F, то
характеристи ческа
pv F(xp х„, у) = ^Цл, ....
Яч - «) *	Ях,.... хя)
2 П 5(л'р	-v„, z) • .^V g (x„ л> l),
k-tl	<=<)	'=0
(В самом деле, ]] yggfx,, ..., л;„ z) есть 1 для всех к, меньших нац-,=п
меньшего у, для которого Е(л'р ...» хп, у) истинно, и 0 для всех к больших или равных этому у; второй сомножитель равен единице если Г(х„ ..., лГ1, у) истинно хотя бы для одного у < <р(хр ..., .у), ц нулю в противном случае.)
Примеры. 1) Функция (л, у) — наибольший общий делитель чисел .с и у:
(д', у) = jiz D(x, у, z). z<iinn(i ч
2)	Функция р, — простое число, имеющее номер Л' в последовательности простых чисел, расположенных в порядке возрастания (причем считается 2 = /?0):
Р» = 2
Р,-И = Ю’ (V > I’AlW)-
(Таким образом, здесь во втором рекурсивном равенстве А(хр х2) = ру (у > х2&р(у}'). При выборе ограничивающей функции использовано евклидово доказательство существования сколь угодно больших простых чисел: каково бы ни было Л'= 2, 3,..., среди чисел Л'+ 1, Л'+ 2,..., Л'! + 1 должно быть хоть одно простое, поскольку Л'! + 1 делится на какое-то простое число, но ни на одно из чисел 2,—• N делиться не может.)
3)	Функция ехр,л — показатель, с которым простое число/?, вкО" дит в каноническое разложение х (например,
схр„ 54 = 1, ехр( 54 = 3, ехр254 = 0):
ехр3 л- = |u 7z/(x, //+i)52.
sz Здесь Hcitti.'ii,30iiaiKi примигинкая реку реи hi юс п, функции л*1 ^задача н пункта I)
Ы f КОРИН АЛГОРИТМОВ
337
Часто бывает полезна также
Теорема 5 (о кусочном задании функции). Если /|(Л'Р...vj,
/(Л| хя) — примитивно рекурсивные функции и ГД.т,, хп), р.... л„) — примитивно рекурсивные предикаты, такие, что прСдикат F\ v •  • v Fk тождественно истинен и все предикаты Ft&F}, где z- р /. тождественно ложны, то функция
/,(л„	л„), если Гдл-р .... х„) = И
л„) =
Л(\,	V.). СОИ Ft(.r,..........л„), = И
примитивно рекурсивна.
Доказательство. Очевидно,
Дл,, ...» л„) = /фс,, .... л-J- &(.v„ ..., л„) +...
+ Л(Л1»	А’„) &(А*|> Ап),
rjcg — характеристическая функция предиката F
4.	В начале параграфа мы уже заметили, что все примитивно рекурсивные функции вычислимы в интуитивном смысле; запас этих функции, как видно из теорем и примеров предыдущего пункта, весьма широк. Но все же не каждая вычислимая функция примитивно рекурсивна. Сейчас мы построим пример функции, допускающей вычисление с помошью довольно очевидной, хотя и громоздкой процедуры и в то же время не примитивно рекурсивной. Для этого нам придется провести некоторую подготовительную работу.
Будем сопоставлять примитивно рекурсивным функциям натуральные числа, которые будем называть их гёдслевекими номерами или просто номерами, следующим образом:
Я) Число 2 будет номером функции 0 (л).
б)	Число 3 будет номером функции S(x).
в)	Функции убудут нумероваться последовательными простыми Ч1,1лами р2, р^ ... таким образом, что с возрастанием К. номера возрастают, а при одинаковых k функция с большим z имеет больший ^омср. Например. г] имеет номер 5, е, — 7, е~2 — 11 и т. д.
г> Если одномесгная функция /получается с помощью онера юра ^Урсии из числа с и двуместной функции h, имеющей номер /, то чело 2'-5-' будет номером функции /.
Д) Если п > 1 и «-местная функция /получается с помощью опс-^т°Ра рекурсии из <н - 1)-местной функции g и (п + 1)-мес«нон - иКции Л, имеющих номера i и/ соответ венно, то число 3' • 5- будет °мсром функции/.
338
с) Если /(л„ ..., хк) = Л(£,(.г„ хА), g,(x......хк)) и фунКЛ
Л,	имеют номера Z,/p соответственно, то Чис и
р\ /X/ • • Р^'+з будет номером функции /.
Заметим, что поскольку, как легко сообразить, каждую и. можно получить из исходных бесконечно многими способами53 кая п. р. ф. имеет бесконечно много номеров.
р.ф.
• Ься.
Задача. Найти хотя бы по одному номеру функций 02(лг
*г).
2(.v), .v + 2, х + 3, sgx, х - 1, х + у.
Нетрудно указать эффективную процедуру, позволяющую любому натуральному числу распознать, является ли оно номеров какой-либо п. р. ф., и в случае положительного ответа указать способ ее вычисления. Эту процедуру мы будем называть расшифровкой натурального числа; производится она шаг за шагом: сначала расшифровывается нуль, потом единица, потом 2 и т. д. Расшифровка
нуля состоит просто в констатации, что нуль не является номером никакой п. р. ф. Пусть п > 0 и все числа 0, ..., п - 1 уже расшишИ ваны. Тогда расшифровка числа п состоит в следующем. Прежде всего проверяем, является ли п простым числом. Если да — находим исходную п. р. ф. с номером п (это не представляет труда, и способ вычисления такой функции очевиден), и на этом расшифровка заканчивается. Если нет — проверяем, имеет ли п вид 2<+|-5/, и если имеет — является ли /номером какой-либо двуместной п. р. ф. (Число у, поскольку оно меньше л, уже расшифровано, а т. к. при расшифровке номера функции указывается способ се вычисления, то должна быть, разумеется, указана и ее вместимость.) Если уесть номер двуместной п. р. ф. /?., то п, очевидно, является номером одноместной п. р. ф., получающейся из с и h с помощью оператора рекурсии, и из способа вычисления h получается способ вычисления /, так что расшифровка на этом заканчивается. Еслиуне есть номер двуместной п. р. ф., мы констатируем, что п неесть номер п ,р. ф., и расшифровка заканчивается. Если же п не имеет вида 2r+1 -S', мы проверяем, имеет ли п вид 3‘-5', и если да — являются ли I и /номерами каких-л9В п. р. ф. gn h вместимости к - 1 и к + 1 соответственно для некоторого к = 2, 3,.... В случае положительного ответа п есть номер к-местной п. р. ф. /, получающейся из g и h с помощью оператора рекурсии, из способов вычисления g и h получается способ вычисления /• противном случае проверяем, имеет ли п вид р\	- р '/+i для каки^
либо целых положительных I, i,j\, ..., jh и если да — верно ли,чт°
53 Не сис1<1влян)т исключения и сами исходные функции напрЦЯИ 0(A) = 5(0(л)) - I =(S(4(0(a-))) - I) - 1 и г. д.
339
I <гНТЫ 1ЕОРИИ АЛГОРИТМОВ ------------------------
яется номером некоторой /-местной п. р. ф. A, a j\, jt — номе-<,ВЯ1ц некоторых п. р. ф. g„ g, одной и той же вместимости к. В Р ljae положительного ответа п есть номер п. р. ф. А(^(х.хл),....
-**))’ спос°б вычисления которой очевидным образом полу-деТся из способов вычисления Л, gp ..., gz; в противном случае Тяется констатировать, что п не является номером никакой п. р. ф.
°С Задача. Расшифровать числа; 23; 75; 100; 5929; 7г-11”;
Обозначим теперь через ф(х, у) двуместную функцию, определяемую следующим образом: если х есть номер некоторой одноместной п. р. ф. ф, то \/у(ф(х, у) = ч(>'))» в противном случае Vy(*K-v’>') = Поскольку мы располагаем эффективной процедурой, позволяющей для любого числа х узнать, является ли оно номером одноместной п. р. ф., и в случае положительного Ответа указать способ вычисления этой п. р. ф., функция ф должна быть признана в интуитивном смысле вычислимой. (Разумеется, она вычислима и по Тьюрингу.) В то же время легко показать, что она не примитивно рекурсивна. В с:1мом деле, в противном случае вместе с ней была бы примитивно рекурсивна также и одноместная функция ф(х, х) + 1 (поскольку ф(х, х) = ф(е[(л-), е‘(х)). Поэтому она имела бы в нашей нумерации некоторый номер х(). (У нее было бы даже бесконечно много номеров, но нам достаточно одного.) А тогда по определению функции ф оказалось бы ф(х0, у) = ф(у, у) + 1 для любого у, и, в частности, ф(х0, л0) = ф(лр, х0) + 1. Полученное противоречие доказывает. что ф нс есть п. р. ф/4
Итак, мы убедились, что нс все вычислимые функции примитивно рекурсивны. Тем но менее примитивная рекурсивность — понятие очень естественное и полезное. Примитивно рекурсивных функций более чем достаточно для всех практических вычислительных 3ЭДач, дц и в теоретических математических исследованиях вне магматической логики и смежных с ней областей вряд ли можно столкнуться с конкретной числовой функцией, которая не была бы при-читивно рекурсивной.
то же время класс примитивно рекурсивных функций можно Г ветвенным образом расширить так, чтобы полученный класс со
а* с классом всех вычислимых функций. Этим мы займемся в с^УЮщем параграфе.
'lTi Один пример вычислимой, ио не примиипши рекурсивной функции см ,е 46 и конце главы.
§ 7.9. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ
И ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
1.	Чтобы получить вес вычислимые функции ТОМ ъ способом, которым в предыдущем параграфе были получены п. р.фС достаточно добавить к операторам подстановки и рекурсии vnot^ навшийся выше (с. 335) оператор минимизации. Однако нам придет ся применять этот оператор и к таким предикатам, которые опреде лены нс для всех, а только для некоторых наборов натуральных чисел. (Функции, которыми мы сейчас займемся, гоже не всегда будут всюду определенными. Но все функции и предикаты, рассматриваемые в настоящем параграфе, определены на множествах, состоящих из упорядоченных наборов натуральных чисел, и значения функций — также натуральные числа; в дальнейшем это специально оговариваться нс будет.)
В применении к всюду определенным предикатам оператор мини-
мизации в том виде, как он упоминался выше, сохраняет вычислимость (хотя и нс сохраняет свойство быть всюду определенным). В самом деле, если F(x . ..., лп, у) — всюду определенный вычислимый предикат, то для всякого набора с®, ..., х® значении х(, ..., х„ мы можем, последовательно вычисляя /(х®, ..., л®, 0), /(х®, ..., х£, 1) ит.д., найти наименьшее число у", для которого /•’(х®, ..., х®. у1’) = Я, если только оно существует (в противном случае этот процесс будет продолжаться вечно). Но для не всюду определенных предикатов такой способ не годится: если, например. Г(х°, ..., х“, 0) не определено, а F(.vJ, х®, 1) = И, то, пытаясь вычислить Цх®, ..., х®, 0) (например, с помощью машины Тьюринга), мы, быть может, будем вынуждены работать вечно и так никогда и не узнаем, что это значение не существует, а следующее есть как раз то, которое нам нужно. Поэтому Д71® общего случая оператор минимизации определяется так: он при-меняется к предикату /•'вместимости к + 1 (к = 1,2. ...), и резуль' тат его применения есть функция / вместимости к. такая, что Д71® всякого упорядоченного набора х®,	х®, для которого существуй
такие числа у. что Цх®, х®, у) = И и при этом, если у > 0, всех z = 0, у-1 значения F(x®, ..., х”, г) определены, значей^ /(х®, ..., х®) равно наименьшему из таких у; если же таких у не суЩе ствует, то значение/(х®, ..., х®) нс определено.
Результат применения к предикату F оператора минимиза^1 принято обозначать руЦхр ..., хА, у).
MI-.I J ГЫ ТЕОРИИ ЛЛ1 ПРИIМОК
341
Мы будем теперь называть функцию частично рекурсивной53 COKpaiucnno ч. р. ф.У, если она либо принадлежит к числу исходных и ф., либо может быть получена из них с помощью операторов fi. Р’ 1
установки, рекурсии и минимизации.
Всюду определенная частично рекурсивная функция называется ^^рекурсивной5*1 Сокращенно о. р. ф.).
Исторический комментарий. Идея использования рекурсии для решения задач, связанных с основаниями математики, восходит к Т Сколему и Д. Гильберту. Точное понятие примитивно рекурсивной функции было введено К. Гёделем (Godel 1931 1; он называл эти функции просто рекурсивными {rekursiveFunktioneri). Термин «при митивная рекурсия» {primitive Rekurs'ion) предложила в 1934 г. р Петер” для обозначения рекурсии простейшего вида (описанной в начале предыдущего параграфа) в отличие от более сложных рекурсий. сводящихся к примитивной (как возвратная и одновременная рекурсии, описанные в задачах 39 и 41 в конце этой главы) или нс сводящихся (как «рекурсия со вставками», используемая при определении функции Аккермана — см. задачу 46). Обшерскурсивные и частично рекурсивные функции были введены Ж. Эрбраном™ и К. Гёделем; наиболее- распространенную сейчас форму их определе-
ния — с помощью оператора минимизации,- использованную и в нашей книге, предложил С. К. Клини54. Он же ввел термины primitive recursive function, general recursive function, partial recursive function. Более подробный исторический обзор см. в его статье | Клини 1982 |.
2. Главной задачей оставшейся части этого параграфа будет доказать, что понятие частично рекурсивной функции совпадает по объему с понятием функции, вычислимой по Тьюрингу. Точнее, мы докажем следующие две теоремы.
Теорема 1. Если V—конечный алфавит мощности >1и v — стандартная нумерация слов в этом алфавите, то для всякой ч. р. ф. 'й....можно построить машину Тьюринга с входным и выход-
' Этот закрепленный уже традицией термин — неправильный перевод анг.чим-Ск°го partial recursive function (ср сноску 49) Правильно должно бы было быть «час ™’'ная рекурсивная функция» («частичной функцией», по-английски partial function. иногда называют функцию, определенную на подмножестве натурального ряда)
Перевод английского general recursive function. Праннивнес было бы «общая •^курсивная функция» (ср. предыдущую сноску)
Р Петер (Peter Rozsa, 1905—1977)—венгерский математик Ес рабоп, имели o°«ii-iiioeзначение д,|я выяснения сигьема поняшя примитивно рекурсивной функции
Ж Эрбран (Jacques Herbrand) — французский математик, прожившим всего 31l> la (род. в 1908 г , noi иб в горах в 193l г), но успевший внеш и чн.ччи ныьный вклад ° Развитие матема iH’iciKon лотки
С.К. Клини (Stephen Cole Klecne. 1909—1994) —американский маюматк, •Ши из создателей теории алгоритмов.
342
I '-'1АЬд 7
ным алфавитами, совпадающими с К которая будет вычисляТь функцию V 7(\>ц. ..., VL'„).
Теорема 2. Если V — конечный алфавит мощности > 1, v — ста», дартная нумерация слов в этом алфавите и /(ц,	ц,) — функцця
вычисляемая некоторой машиной Тьюринга с входным и выходным алфавитами, совпадающими с V, то функция vf(v~'xt, \г'л ) час! тично рекурсивна.
При доказательстве этих теорем мы не будем, как правило, различать число и представляющее его слово (как не различали их в §7.7); будем говорить, например: «машина вычисляет функцию л’ + у>> (а не «функцию, сопоставляющую словам v_|.v и v-ly слово v_|(.v + у)»), «число х содержит вхождения символа at» и т. п.
Начнем с доказательства теоремы 1, идея которого очевидна: достаточно построить машины для вычисления исходных п. р. ф. и для каждого из трех операторов указать способ, позволяющий по машинам, вычисляющим функции, к которым этот оператор применяется, построить машину для вычисления функции, получающейся в результате его применения. Построение машин, вычисляющих исходные п. р. ф., равно как и построение машины, вычисляющей функцию h(gt(xt, хк), ..., &(л'„ ..., хА)), по машинам, вычисляющим функции Л, g„ ..., g, — это простые упражнения, которые читатель легко выполнит сам. Если даны машины для вычисления функций g(xt, х„_,) и Л(л'„	л„+1). то машина, вычисляющая функцию,
получаемую из#м h рекурсией, может работать следующим образом. Когда в начальной ситуации на се ленте записано слово х,а(} аох„, она записывает справа от него слово □.*„□, затем справа от второго квадратика вычисляет g(.v,. , х„_,), и если между двумяквадратика-ми записан нуль, создает заключительную ситуацию с записанным на ленте словом (числом) g(.v17 ..., л„_|): в противном случае она уменьшает число между двумя квадратиками на единицу и справа от второго квадратика вычисляет Л(лр ..., хп, g('c л; ,)); после чего, если между двумя квадратиками оказался нуль, создает заключительную ситуацию с записанным на ленте- числом h(x.......... л’л
g(A;, ..., а в противном случае уменьшаем число между квадра-гиками еще на единицу и справа ог второго квадратика вычисляет Л(х„ ..., л;г, h(x .., .vB,(g(A-,,	л„_,))), ит. д. Аналогично для случая,
когда оператор рекурсии применяется к константе и двуместной функции. Наконец, если дана машина, вычисляющая характеристическую функцию /(л-,, ..., л/(, у) предиката F(xt, ..., хп, у), то функция цу7’(л-,.л,;,	у) будет вычисляться машиной, которая, когда 15
начальной ситуации на се ленте записано слово _vta0 d0.v„, справа
оТ него вычисляет последовательно f(xt, хк, 0), /(лР л„, Г) tI т Д., пока для какого-то у не окажется /(л'|5 .... л„, у) = 1: тогда издастся заключительная ситуация е записанным на ленте числом у.
3. Сложнее и интереснее доказывается теорема 2. Для ее доказа-тСаьства мы воспользуемся методом арифметизации конструктивных процессов, который был уже использован выше, при построении примера в конце предыдущего параграфа. Арифметизация состоит в том, что конструктивные процедуры некоторого строго определенного класса нумеруются натуральными числами так, что всякую процедуру можно однозначно «расшифровать» по ее номеру. Свойства процедур превращаются тогда в свойства чисел, преобразования процедур — в числовые функции. Этот метод — изобретенный К. Геделем и впервые примененный им в доказательстве знаменитой теоремы о неполноте арифметики (см. ниже, § 8.3) — настолько поразителен как по простоте и изяществу идеи, гак и ио силе получаемых с его помошью результатов, что напрашивается сравнение с яругой арифметизацией, по праву причисляемой к величайшим достижениям математики — декартовой арифметизацией геометрии.
Для доказательства частичной рекурсивности вычислимых функций метод арифметизации применил С.К. Клини.
Одновременно с теоремой 2 будет доказана
Теорема 3 (теорема Клини о нормальной форме). Существуют такие примитивно рекурсивные предикаты 71? Т2,... вместимости 3.4,... соответственно и такая Одноместная п. р. ф. F, что для всякого п ~ 1,2,... любая «-местная ч. р. ф. f может быть представлена в виде
/(-'	...л ) =	z.x......Л-,,))
при некотором подходящем /(1.
Из этой теоремы следует, между прочим, что при получении произвольной частично рекурсивной функции из исходных всегда можно обойтись одним применением оператора минимизации.
Другое очевидное следствие из теоремы 3 — существование при любом « = 1,2,... (« + 1)-местной ч. р.ф., универсальной для «-местных ч. р, ф., т. е. такой ч, р. ф. Н(у0, л,, .... х„), что для всякой
. гнои ч. р. ф. <| при подходящем у() справедливо тождество '1(л. .... ля) — Ар .... л„). Действительно, этим свойством облагает функция
ЦцгТ (,v, z, л„ .... .г,)).
Замечания. 1) Построенная в конце предыдущего параграфа дву-Мсстная вычислимая функция является универсальной для одноместных п. р. ф. При доказательстве того, что сама ф не есть п. р. ф-.
344	2ZLA“A7
мы пользовались только ее универсальностью; таким образом, фг1^ тически мы доказали, что никакая функция, универсальная д1у одноместных п. р. ф., не может сама быть примитивно рекурсивно^ Легко обобщить это доказательство на случай функций любой вще^ стимости. Точно так же функция, универсальная для «-местных о. р. ф., не может быть обшерекурсивнои — это можно доказать тещ же самым рассуждением.
2) Еще одно очевидное следствие теоремы 3 — несохранение примитивной реку рейв ноет и оператором минимизации.
При доказательстве теорем 2 и 3 мы будем пользоваться описанным в § 7.5 кодированием слов и машин Тьюринга, а также введенной в § 7.7 стандартной нумерацией слов в фиксированном конечном алфавите, причем этот алфавит будет теперь не произвольным а конкретным — именно, это будет тот самый алфавит {«,, aj который мы использовали в том же параграфе при определении номера машины Тьюринга. Номер машины А7 мы будем теперь обозначать vM.
Наряду с машинами Тьюринга мы будем нумеровать также их правильные вычисления, которые мы будем в дальнейшем называть для краткости просто вычислениями. Именно, пусть Л’ = sp ..., хр) — вычисление некоторой машины Тьюринга. Тогда стандартный номер слова □x(50)Dx(s!)D---Dx(xp)O (здесь, как всегда, х(л) — код слова л) будет называться номером вычисления S и обозначаться vS.
Очевидно, по номеру машины или вычисления можно однозначно восстановить программу лом машины, соответственно вычисление.
Будем в дальнейшим обозначать алфавит {«„ ..., через W. Вычисление машины Тьюринга, в начальной и заключительной ситуациях которого на ленте записаны слова в алфавите W, назовем И7-вы числением.
Пусть теперь T„(l, z, .v,.vj — предикат, заданный на N"+2 и
означающий «/есть номер некоторой машины Тьюринга nz — номер некоторого ^-вычисления этой машины с д-мсстной начальной ситуацией, в которой на ленте записаны числа60 л,, ..., а;».
Введем в рассмотрение также следующую одноместную функций /•'с областью определения N: если лесть номер И-вы числения машины Тьюринга, то Г(лэ — то число, которое записано на ленте в заключительной ситуации этого вычисления; в противном случ‘,е Л(л) = 0.
60 Напомним. чн» числа мы июж/ихишясм с пре кланлмющими их словаяи 11 л icIi.iBiiia И'
Ы ТЕОРИИ АЛ! Ol’Hf MOB
345
Основная лемма. Предикаты 1\. Тг,... и функция Л примитивно пекУРсиВН1’1'
Р 03 основной леммы легко выводятся теоремы 2 и 3. В самом деле: :£.т(, сначала/(ivp w„) — функция, вычисляемая машиной Тью-' га М с входным и выходным алфавитом IV, и пусть х'‘, ..., х° — произвольный упорядоченный набор п натуральных чисел. Тогда, егди для этого набора функция f определена и f(x\\ .... х®) = У‘, то существует lV-вычисление машины М с «-местной начальной ситуацией, в которой на ленте записаны числа х’’.(или, если вы-
ражаться более педантично — слова v'x°t ..., v~‘x®) и в заключительной ситуации этого вычисления на ленте записано число у° (т, с. слово V-1/). Если z° — номер этого вычисления и г ° — номер машины М, то предложение Tn(i °. z°. х,1,...v®) истинно и
z° = pzT„(i°, z, Л'У, ..., х®) (в самом деле, существует только одно вы-
числение машины Л/с «-местной начальной ситуацией, в которой на ленте записаны числа х\,	х®, и это вычисление — как и всякое —
имеет только один номер; поэтому для каждого z < z® предложение T„(i0, z. х®,	x®) ложно). В то же время ясно. чтоу° = F(z°). Если же
/не определена для х®, ..., х®, то предложение Tn(i °, z, л®, ..., л") ложно при любом z, и поэтому выражение pzTr(z°, z, x‘J, ..., х®), а вместе с ним и	z. х?...х“)), не определено. Итак, функция
ДЛ1> -> Л'я) представима в виде F(pz7,„(i®, z, хр ..., х„)), и если мы до-
кажем, что Тп и F примитивно рекурсивны, то /окажется частично Рекурсивной. Тем самым будет доказана теорема 2 для частного случая, когда У = W и стандартная нумерация отвечает выбранному нами пересчету алфавита, а заодно и теорема 3, т. к. по теореме 1 всякая ч. р. ф. вычисляется некоторой машиной Тьюринга с входным 11 выходным алфавитами, совпадающими с W. Для общего случая теорема 2 будет теперь следовать из того, что для любого конечного алфавита У и любой стандартной нумерации v, слов в лом алфавите По всякой машине Тьюринга с входным и выходным алфавитом У. вычисляющей функцию /(ц, ..., ц), т. е. вычисляющей некоторую деловую функцию в системе счисления с множеством цифр У, мож-110 построить машину, вычисляющую ту же числовую функцию в СиСтсме счисления с множеством цифр И7, т. с. машину с входным и Вь*Ходным алфавитом И7, которая будет вычислять функцию м*„) = v-'v/^'viVj, ..., v7'vwe), где v — стандартная нумсра-слов в алфавите И7, отвечающая выбранному нами пересчету Этого алфавита, так что числовая функция vg^r'x,, .... v_|x„) будет Задать с функцией v/^’x,,	v/x,,). (Эта машина может, на
34ft
ГЛлЙЛ)
пример, сначала переводить исходные данные из «новой» систем счисления в «старую», а затем работать как старая машина и пер*11 водить результат из «старой» системы в «новую». Построение мац^' ны для перехода от одной системы счисления к другой — хороц]|| упражнение, не представляющее, впрочем, принципиальных тру/ постой.)
4. Теперь нам остается доказать основную лемму, к чему мы tl переходим. Для этого мы последовательно докажем примитивную рекурсивность ряда функций и предикатов, связанных сдевятерич. ным представлением натуральных чисел (без нуля) и с машинами Тьюринга. При этом мы будем пользоваться теоремами пункта 3 предыдущего параграфа. В качестве обозначений для этих функций и предикатов будут использоваться русские буквы и их сочетания представляющие собой понятные сокращения (обозначения функций будут состоять из строчных букв, обозначения предикатов — из прописных). Выражения «число» и «слово» (подразумевается слово в алфавите {л,, ..., л9}) будут употребляться как синонимы. «Цифры» alt..., ач будут обозначаться просто 1, ..., 9.
1)	пц(х) — последняя цифра числа х (пц(О) = 0):
пц(х) = Г(9, х) + 9sg г(9, х) sgx.
2)	бпц(х) = число х без последней цифры (бпц(О) = 0):
бпц(х) = х - пц(х)).
3)	бхв(х, «) — число хбез «хвоста» длины и, т. с. без п последних цифр (если п больше длины записи х, то бхв (х, и) =0):
бхв(х, 0) — х
бхв(х, п + I) = (бпц(бхв(х, и)).
4)	хв(х, и) — «хвост» числа х длины п (если п больше длины записи х, по хв(х, п) = х):
хв(х, и) = х — бхв(х, и)-9".
5)	НАЧ(х, у) — «слово у есть начало слова х») : НАЧ(х, п) = Эя [у = бхв(х, и) |.
6)	КОН (х, у) — «слово у есть конец слова х»): КОН(х. п) = Эи [у = хв(х, w) ].
7)	ВХОД (х, у) — «слово у входит в слово х»: ВХОД(х, у) = 3z|K0H(x, z) & HA4(z, у) I.
8)	произв(х, у) — произведение х на у в смысле умножения сл°в’
еНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
347
е слово, полученное из слова х приписыванием к нему слова у (сПРава):
произв(х, у) = jiz Ви|х = 6xb(z, л) & у = xb(z, л) |.
(Оценка для z основана на том, что самое большое л-значное число в пгвятеричной системе без нуля есть 9...9 — У 9*; поэтому д	‘ п раз
ПрОИЗВ(х,
9)	произвп(х„ х„) — произведение слов х,, х„ в смысле умножения слов (л = 2, 3, ...):
произв2(х„ х2) = произвел,, х2);
произвп+|(х„ хл+|) = произв (произвел,,х„), х„+|).
10)	Если функция /(х,,	х„) примитивно рекурсивна, то такова
же и функция
ЛЛ-'.....V,. ') = произв, „(/(%„ .... л„_„ Х„)./(л-„	1),
<=0	"
/(.V,, .... л,_„ 0)).
Доказывается аналогично теореме I из § 7.8 (с той только разницей, что умножение производится справа налево).
11)	ц(х,л) — л-я справа цифра числа х (если и = 0 или л > I х!, то Ц(л\ л) = 0):
ц(х, л) = пц(бхв(х, л — l))-.vg«.
12)	HOMJx) — «х сеть номер заданного символа с, принадлежащего одному из алфавитов 21, Ц, {JI, Н, П, *, □} (см. начало §7.5).
Этот предикат примитивно рекурсивен, как всяки» предикат вн-
-V = и, где и — константа (см. пример 1 в пункте 2 §7.8).
13)	НОМщ(х) — «х есть номер некоторого символа из алфавита 21»:
НОМш(х) = 3z[.v — произв<(2, z, 2)&(z /0)& z< \
&У/(ВХОД(г, 1} & ) < / < 9 Э / = I) |.
Напомним. чк> чгргс l»l iKMUihPi.iciiM Д'1ин>'1 <.лона ч
34Х
(Третий член конъюнкции означает, что 1 состоит только единиц.)	11
14)	НОМс(х)— «х есть номер некоторого символа из алфЯ вита Q».
Аналогично предыдущему.
15)	ном-однозн (х) — функция, значение которой есть номер ла (слова) х, если ходнозначно (т. е. х = 1,9) и нуль в противно случае.
Примитивная рекурсивность этой функции следует из теоремы о кусочном задании (§ 7.8, теорема 5).
16)	ном (х) — номер числа х:
ном(х) = л ном-однозн (ц(х, л)).
17)	КОМ(х) — «х есть номер команды (машины Тьюринга)».
Примитивная рекурсивность этого предиката следует из того, что номер (т. е. код) команды есть произведение шести слов, первое из которых является номером некоторого символа из С, отличного от дЯ второе — номером некоторого символа из 51 и т. д. Представляющую формулу читатель выпишет сам62.
Для следующих шести предикатов мы также ограничимся указанием идеи доказательства примитивной рекурсивности, предоставляя читателю выписать соответствующие формулы:
18)	МАШ(х) — «х есть номер некоторой машины Тьюринга».
Доказательство основывается на том, что слово х является номером машины Тьюринга, т. е. имеет вид 8v,8	8vr8. где v,, vf —
коды команд с попарно различными левыми частями, расположенные в лексикографическом порядке, тогда и только тогда, когда выполняются следующие пять условий: (а) х начинается и кончается цифрой 8; (р) х не содержит двух восьмерок подряд; (?) каждое слово z, не содержащее восьмерок и такое, что слово 8z8 входит в х, является номером команды; (й) если слово 8y,7w8y,7 входит в х и слова Ур у2 не содержат восьмерок, то у,# у2 (условие детерминирование' сти); (е) если слово 8Zj8z28 входит в z и слова zt, z2 ие содержат восьмерок, то существуют такие слова п, /2, ц, v2, что zx — z2 ~ nt2v2 и 1< /, < /2< 9 (лексикографическая упорядоченность кО' дов команд). Формулы (сограниченными кванторами), отвечают*16 условиям (а) — (г), строятся очевидным образом.
19)	СИТ (х) «х есть номер ситуации машины Тьюринга».
62 При этом нужно не забыт ь об oi раничепиях, содержащихся и пунктах (б) И определения программы машины (§ 7.2).
^ni ML,ri w*' ,:<>|>ии Л-’П0,’И 1 MOB
349
Представляющую формулу легко записать, воспользовавшись ррсдслснисм ситуации (§ 7.2) и заметив, что слово z тогда и только °эг3* является номером некоторого слова в алфавите 31, когда оно Удовлетворяет следующим условиям: (оА если слово / нс содержи! воск и слово 2/2 входит в z, то / состоит только из единиц; ([.() z либо русто, либо начинается словом 21 и кончается словом 12; (у) z не (-одержит вхождений слов 121 и 222; (6)z не содержит вхождении цифр з---9-
20.	21) НАЧСИТ(Л'), ЗАКСИТ(л) — «л есть номер начальной (заключительной) ситуации машины Тьюринга».
Соответствующие формулы получаются из формулы для СИГ добавлением конъюнктивного члена, означающего, чтол’ начинается словом 31113 = и(«7,) в случае НАЧСИТ и 3113 = х(//0) в случае ЗА-КСИТ, и во втором случае еше одного конъюнктивного члена, означающего, что х есть номер слова вида (т — 0. 1. ), где у нс содержит а{). (Свойство быть номером слова вида а"' можно представить аналогично свойству быть номером слова в алфави ге 31, заменив условие (й) условием (at') если слово / не содержит двоек и 2/2 входит в z, то / = 11.)
22) ВЫ11(х. у, z) — «л- и у — номера ситуаций, z — номер команды, и ситуация с номером у получается из ситуации с номером л-выполнением команды с номером г».
Представляющая формула будет иметь вид
СИТ(л) & СИТ(у) & KOM(z) &
где £ — дизъюнкция четырех формул, отвечающих условиям (а), (Р)> (т0’ (т^) из определения выполнения команды (§ 7.2.). Например, условию (я) отвечает формула
3/, Э/2 3/, 3/4 З-ц Зе, [z = произвД/, /,, 7,/,, 5,/4) &
& НОМС(/,) & НОМа(/2) & НОМм(/д) & НОМс(/4) &
& А' = ПРОИЗВ4(ц /„ /2 е2) & у = ПРОИЗВ4(ц /4, А, Р2) |.
23) ВЫЧ tv. у) — «х есть номер некоторого li'-вы числения маши-HbI с номером у».
Представляющая формула будет конъюнкцией пяти членов. пСрвый из которых есть МАШ (у), второй означает, что Л' имеет вид ^.9 ... 9/л9, где /,, ..., /г— номера ситуаций, третий — что ситуация с номером /, начальная, а с номером /,— заключительная, четвертый — что для каждого слова 9/,9/,_ь19 ситуация с номером /,,, получается из ситуации с номером /( выполнением некотором команды, ч°Мер которой входит в у, пятый — что в ситуациях с номерами /, и /г
350 ГЛлвА
записаны слова в алфавите И7. Второй член этой конъюнкции JiejS построить по аналогии с формулой для предиката МАШ, остальНь^ члены строятся с использованием предикатов НАЧСИТ, ЗАКС^Т ВЫП и функции ном-однозн очевидным образом.
Теперь уже легко записать представляющую формулу для пред^, ката Тп:
Tn(i, г, X.= Bbl4(z. О &3/|HA4(z, /) &
Э«я(и, — hom(.v,)	hom(.v,() & f =
»l<r »,</
= произв2п+1(931113212, Hj, 2112, u2, 2112,2112, un, 9) |.
Остается доказать примитивную рекурсивиость функции F. Для этого рассмотрим вспомогательные предикаты T'(t, z, у) — «Z есть номер некоторой машины Тьюринга иг — номер некоторого W- вычисления этой машины, в заключительной ситуации которого на ленте записано число у», и T"{z, у) ~ 3iT'(i, z, у). Предикат Т' примитивно рекурсивен, поскольку для него можно записать представляющую формулу, совершенно аналогичную записанной только что для Т,. Но вместе с Т' примитивно рекурсивен и Т". В самом деле, всякое вычисление машины Тьюринга /Ибудеттакже и вычислением машины М'. программа которой получается из программы М изъятием всех команд, не участвующих в данном вычислении. Если это вычисление есть (s(), s) и qta -» akCqt — одна из команд машины М'. то в вычислении найдутся такие две соседние ситуации «,я и у,„+,| что sm содержит q, и ар а л;я+| — q, и ак. Поэтому суммарная длина номеров символов из 51 и £2, входящих в код машины М', не превосходит удвоенной длины номера вычисления. Номера остальных символов, входящих в код М', однозначны; общее число их не превосходит увеличенного на единицу утроенного числа команд М‘ и поэтому меньше длины номера вычисления61. Следовательно, если i — номер машины М' и z — номер вычисления, то длина i меньше утроенной
*-Ы
длины z, и поэтому i• <	9* < 9‘ |z|4’1 < 9Jz+l. Таким образом, в фор-
муле z, у) можно ограничить квантор примитивно рекурсивной функцией 9*г+|. Но из примитивной рекурсивности Т" немедленно следует, что и F примитивно рекурсивна, т. к. F(z) = ру T"(z, у)-Тем самым доказательство основной леммы и вместе с ней теорем 2 и 3 завершено.
ri Чис io команд Л/' не больше числа ситуации вычисления, а длина номсР11 опунции не меньше семи
gJIgMEU । >»> ТЕОРИИ AJII ОРИТМОВ	351
5. Из доказательства основной леммы нетрудно вывести еще одну еОрему — усиление теоремы 8 из § 7.7;
Т Теорема 4. Всякое непустое перечислимое множество является множеством значений некоторой п.р.ф.
доказательство. Пусть i0 — номер машины Тьюринга М, вычис-^яюшей (одноместную) функцию с множеством значений Е, и л0 — ^который элемент Е. Обозначим через S(z) предикат BxT((z0, z, х) и положим
<1 и =
fxy7’'(z0, z, у), если S(z) = И y<z
.v0,	если S(z) = Л.
Очевидно, множество значений естьЕ, и по теореме о кусочном задании функции т примитивно рекурсивна.
Замечание. Усилить аналогичным образом теорему 9 из § 7.7 нельзя (см. задачу 46д в конце главы).
Кроме того, легко получается
Теорема 5. Множество Етогда и только тогда перечислимо, когда существует такой двуместный примитивно рекурсивный предикат Р, что Е — {х1 ЗуР(л, у)}. (Этот факт иногда выражают так; «Множество перечислимо тогда и только тогда, когда оно является проекцией некоторого примитивно рекурсивного множества».)
Доказательство, а) Пусть /0 — номер машины Тьюринга, вычисляющей (одноместную) функцию с множеством значении Е. Тогда
Е = |у I 3z Г ЭхТ’.Оо, z, V) & Г(10, z. у)] }.
б) Для произвольного двуместного предиката Р множество {xl3yP(,v, у)} является множеством значений функции
г{2\ = 1ехРсг» если %(exPoz’ exPiz) = 1
1 не определена, если (|/,(expcz, exp,z) = О,
Где ч;( — характеристическая функция предиката Р. Если Р примитивно рекурсивен, то/вычислима.
Замечания. 1) Пункт б) доказательства теоремы 5 остается справедливым для любого вычислимого предиката. Таким образом, проекция разрешимого множества всегда есть перечислимое множество.
2) Взяв в теореме 5 в качестве Е неразрешимое перечислимое Множество, мы видим, что операция связывания квантором существования ие сохраняет ни вычислимость, ни примитивную рекурсив-н°сть предиката (ср. с теоремой 1 из § 7.7 и теоремой 2 из § 7.8). То
верно и для квантора общности, поскольку дополнение к любому
352
перечислимому множеству, в частности неразрешимому, можно перь представить в виде (л! XfyP(xt у)} с примитивно рекурсивны^ р
6. В этой главе мы изложили только основные понятия и фук | теории алгоритмов. Более полное изложение можно найти в книг |Роджерс 1972 ], (Мальцев 1965 1, (Марков — Нагорный 1984 ], Х
7. Наряду с алгоритмами в математике и за ее пределами широКо используются родственные им исчисления, или дедуктивные сисгпе мы. Исчисление «работает» так же, как алгоритм, с тем единствен ным отличием, что оно не обязано удовлетворять условию детерминированности: на каждом шаге возможно, вообще говоря, несколько вариантов продолжения работы.' (Строго говоря, алгоритм есть частный случай исчисления — «детерминированное исчисление».) Так если в определении программы машины Тьюринга (§ 7.2) отказаться от условия (д), то полученный объект (.недетерминированная машина Тьюринга) будет реализовать уже не алгоритм, а исчисление. Если такая машина применима к какому-либо слову в том смысле, в котором мы определили применимость в § 7.2, то она перерабатывает
его (вообще говоря) нс в одно слово, а в некоторое множество слов.
(Такую «недетерминированную переработку» называют обычно ие «вычислением», а «порождением» или «выводом».) Другой пример —
логические исчисления, которыми мы занимались в двух предыдущих главах и будем заниматься в следующей главе. Еще один важный класс исчислений — формальные грамматики, применяемые в лингвистике и теории программирования. Основы общей теории исчислений были заложим Э. Постом (Post 1943 (. С основными понятиями и результатами общей теории исчислений, а также с некоторыми ее важнейшими приложениями, в том числе гуманитарными, можно познакомиться по книге | Маслов 1986 [, с теорией формальных грамматик — по книге (Гладкий 1973 (.
Задачи и упражнения
1)	Построить машины Тьюринга, осуществляющие сложение и умножение натуральных чисел в двоичной записи (с нулем).
2)	Построить машины Тьюринга, преобразующие простейшую 3<iin|CI’ натурального числа в двоичную (с нулем и без пуля) и обратно
3)	Построить машины Тьюриша. вычисляющие следующие чнсло№|1 функции б простейшей записи
(а)	«I
(б)	[V?|.
(В) [IOg2/l|
4)	Построить машины Тьюриша. распознающие следующие свойств*1 натуральных чисел в простейшей записи-
(а)	быть степенью двойки;
9ЛР>1ЕНТЬ1ГЕОРИИ
АЛГОРИТМОВ
353
(б)	быть полным квадратом;
(в)	быть простым числом.
5)	Убедиться, что для пунктов (а) и (б) задачи после примера 9 в g 7.3 можно построить конечные автоматы. (См. сноску24 на с 303)
6)	Построить конечный автомат, распознающий свойство слова в алфавите {at... а$] бьиь кодом какого-либо слова в алфавше 2IUJQ
(СМ § 7-5>-
7)	Показать, что по конечным автоматам, распознающим какие-либо свойства А и В слов в некотором заданном алфавите, можно построить конечные автоматы, распознающие свойства Л&Я, Ач В, ADB.
8)	(а) Назовем машину Тьюринга «нестирающей», если па каждом ее элементарном шаге либо записывается символ в пустой ячейке, либо над обозреваемым символом ставится метка, причем имеются метки только одного «сорта» (и в дальнейшем метку нельзя стереть), либо обозреваемый символ не меняется. Показать, что по всякой машине Тьюринга М можно построить такую нестирающую машину М', что M|/i. , /«1 = У тогда и только тогда, когда М' перерабатывает набор слов /i, ...., в слово вида z*y, где * — фиксированный символ, не принадлежащий внешнему алфавиту М
(б) Показать, что, добавив к машине Тьюринга еще одну головку (причем на каждом шаге работает одна 1’оловка и в каждой команде указывается, какая головка должна работать на следующем шаге), в пункте (а) можно обойтись без меток.
9)	Для недетерминированной машины Тьюринга (н. м. Т.) ( § 7 9, пункт 7) можно определить правильное вычисление так же, как для обычной машины Тьюринга, но правильное вычисление, начинающееся данным словом, не обязательно единственно. Н. м. Т. распознает некоторое свойство слов в заданном алфавите, если для слова х в этом алфавите тогда и юлько тогда существует правильное вычисление, начинающееся этим словом и заканчивающееся некоторым фиксированным символом (скажем, единицей), когда л обладает данным свойством. Аналогично определяется распознавание отношений.
(а)	Убедиться, что распознавание отношений «быть неделовом» (пример 9 из § 7.3) и «иметь вид хх» (задача после этого примера) можно производить на н. м. Т. проще, чем на детерминированной машине Тьюринга.
(б)	Доказать, что по н. м. Т., распознающей некоторое свойство слов, Можно построить детерминированную машину Тьюринга, распознающую 10 же свойство.
10)	(а) Показать, что всякая вычислимая по Тьюрингу числовая Функция может быть вычислена (в простейшей записи) с помощью Машины Тьюринга с внешним алфавитом {a_|, ао, га} (щ отождествляв 1ся с Палочкой).
(б)	Указать способ кодирования машин Тьюринга с использованием т°лько символов ао и а\.
(в)	Доказать существование универсальной машины Тьюринга с в,|ешним алфавитом {в-i, ао, ai). (Разделительный знак □ заменяется в ТаК0й машине «пробелом» некоторой фиксированной длины.)
354
___ П,АВа ,
11)	Показа 1Ь, что не cymcciByci алгорИ1ма, для любой машины Тьюринга узишь, является нереальной
позволяюще|.
°"" ущ“
12) Показать, чю нс сушсствус! алпоригмов, позволяющих для двух машин Тьюринга узнать

(а)	применимы ли они обе к заданному слову.
(б)	сущесюует ли xoib одно слово, к которому они обе при мен и мы;
(в) применима ли хоть одна из них к заданному слову,
(г) применима ли хоть одна из них хоть к одному слову.
13)	Сформулировать (по образцу теоремы Райса) и доказать (с ее помошью) общую теорему о нсраспознаваемости бинарных отношений дЛя машин Тьюринга
14)	Доказать, что существует машина Тьюринга, для которой нельзя распознать ио данному слову, является ли оно результатом переработки какого-либо слова этой машиной (Указание Пошроить машину, для которой резулыагами переработки слов слуха! все коды са-мопримснимых машин и только они.)
15)	(а) Доказать, что существует машина Тьюринга, для которой нельзя распознаю по данному слову, перерабатываем ли она
его в </.|.
(б) Доказаю, что существует ассоциативное исчисление, для которого нельзя распознать по данному слову, эквивалентно ли оно некоторому фиксированному однобуквепному слову
16)	Какие числа было бы удобно называть, если бы .мы пользовались десятичной системой счисления без нуля, «дссятнадца|ь», «двадцать десять — девяносто десять»?
17)	Указа ю условие, необходимое и достаточное для совпадения записей числа в системе счисления с основанием Р с нулем и без нуля
18)	Указать алгоритмы для перевода из системы счисления с нулем в сиоему без нуля (с гем же основанием) и обратно.
19)	Найти наименьшее и наибольшее Л-значпые числа в системе счисления с основанием Р без нуля.
20)	Доказать, что функция, обратная к разнозначной вычислимой функции, также вычислима. (Указание Использовать коН' струкцию, аналогичную пункту 1) доказательства теоремы 3 из § 7.7.1
21)	(а) Доказать, что множество тогда и только тогда перечисли" мо. когда оно являетоя «срезом» графика вычислимой функции (т е представимо в виде {х|/(х) = с) для некоторой вычислимой функции f и некоторого числа с).
(б) Доказать, что множество тогда и только тогда разрешимо, koi да оно являетоя «срезом» графика всюду определенной вычислимой функции
22)	Попя1ия разрешимое! и и перечислимости легко обобщить 1W многомерные множешва, фиксировав какую-либо нумерацию унорЯА0' ценных сис1см шнуральпых чисел (например, считая номером сисгемь1
gfl( МЕН ГЫ ТЕОРИИ АЛГОРИ ГМОВ	355
(<7|.  ’ число З"2 .. Ph'-i)64 Доказать, чю
(а)	Функции тогда и только тогда вычислима, когда ее трафик есть исчислимое множество.
(б)	Всюду определенная функция вычислима тогда и юлько ют ла, 1<огда ее график есть разрешимое множество.
23)	Доказать, что если объединение л попарно нснсрссскаютцихся рСрсчислимых множеств (л = 1, 2,...) совпадает со всем натуральным рядом, то все эти множества разрешимы.
24)	Доказать, что для любых бесконечных перечислимых множеств Е> и е2 найдется взаимно однозначная вычислимая функция с областью определения Ei и множеством значений Е2.
25)	Если всюду определенная взаимно однозначная вычислимая функция отображает множество Е\ на множество Е2. то из разрешимости Е2 следует разрешимость E\*s, но обратное неверно. Доказать
26)	Доказать, что если /—вычислимая функция с областью определения Е и множества Ei и Е2 таковы, что EiCJE и хЕЕ\ тогда и только тогда, когда f(x)E:E2, то из перечислимости Е2 следует перечисли мость Е\.
В задачах 27—35 будут использоваться следующие понятая Номером перечислимого множества называется номер любой машины Тьюринга, вычисляющей одноместную функцию, для которой данное множество служит множеством значений. Класс перечислимых множеств называется вполне разрешимым (вполне перечислимым). если множество всех номеров всех множеств этого класса разрешимо, соответственно перечислимо. Класс А конечных множеств натуральных чисел внешне, перечислим, если перечислимо множество номеров упорядоченных систем (об этих номерах см. задачу 22), составленных из расположенных в порядке возрастания элементов множеств, принадлежащих А (например, для множества {6, 3, 8, 2} берется упорядоченная четверка (2, 3, 6. 8)).
27)	Указать хотя бы но одному номеру пустого множества, множеств {0} и {!), множества всех чисел вида 11.. 1
28)	Доказать, что существуют только два вполне разрешимых класса перечислимых множеств: класс всех перечислимых множеств и пустой класс66.
29)	Доказать, что:
(а)	Класс всех непустых перечислимых множеств вполне перечислим,
(б)	Класс, единственным элементом которого служит пустое множество, не является вполне перечислимым.
’ Единственное требование, предъявляемое к этой нумерации — наличие длтп-Рктмов, позволяющих находить по системе ее номер и обратно
Болес того, если всюду определенная вычислимая функция f (не обязательно взаимно однозначная) такова, что тогда и только тогда, когда	’<> из
Разрешимости Е2 следует разрешимость Е\. В §7.6 мы фактически пользовались этим сущности, очевидным) соображением, доказывая неразрешимость алгоритмичс с*их проблем методом сведения.
Это утверждение — другая форма теоремы Райса (которая именно так была ^'Формулирована им самим в статье [Rice 1953|).
35ь

30) Доказать. что .тля любого конечного множества натуральных Е класс всех перечислимых множеств, содержащих £', вполне ЧИСЛОМ.
'"“'С,, "Чк
31)	Доказать, что если Е и Е' — перечислимые множества и /'сд. ю никакой класс перечислимых множеств, содержащий Е и нс содерж ’ щий Е', нс является вполне перечислимым (Указание Построить Э~ произвольной машине М машину М' так, что если М вычисляет функн с пустым множеством значений, то множеством значений функцц вычисляемой машиной Л/', будет Е, а в противном случае — Е' Восполь* зова ।вся результатами задач 26 и 296. |
32)	Доказать, что если Е — бесконечное перечислимое множество т0 никакой класс перечислимых множеств, содержащий Е и нс содержа щий пи одного конечного подмножества Е, не является вполне пере числимым (Указание Действовать аналогично решению предыдущей
33)	Доказать, что для пюбого вполне перечислимого класса К перечислимых множеств класс конечных множеств, принадлежащих К внешне перечислим.
34)	Пользуясь результатами предыдущих задач, доказать вторую теорему Райса [Rice 1953). Класс К перечислимых множеств ютда и только тогда вполне перечислим, кот да существует такой внешне перечислимый класс А конечных множеств, что
К — {ElE перечислимо и ЗЕ'(Е'ЕА&Е'СЕ)}
35)	(а) Пользуясь второй теоремой Райса (см. предыдущую задачу), показать, что для произвольного непустого перечислимого множества Е ни множество всех номеров Е ни дополнение к этому множеству не являются перечислимыми
(б) Привести друтис примеры множеств натуральных чисел, неперечислимых вместе с их дополнениями.
36)	Доказать, что всякая функция f(xt, ... х„), которую можно получить из функций с'*(л|.	, л>) = х, и функций-констант С ПО-
МОЩЬЮ подстановки и рекурсии. обладает следующим свойством существуют такие натуральные числа ст, . , с„, (т — 1,2, •-) и такое г = 1, .... я, что для любого набора и натуральных чисел л':, , значение /(х?, . л«) либо не превосходит х?. либо равно одтюмУ из чисел ci, , с,„
37)	Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
(а)	число простых делителей числа х,
(б)	л(х) — число простых чисел, нс превосходят них х.
(в)	<р(х) число чисел, нс превосходящих г и взаимно простых с
(функция Эйлера).
(г)	число степеней двойки, нс превосходящих v
38)	Доказать, что предикат «Число z есть наименьшее общее краТ* чисел х и у» и функция z = [х. у| — наименьшее общее кратное чИ X II I - примитивно рекурсивны
39)	Доказать теорему о возвратной рекурсии- Если местная функция g, (и + «)-местная функция h и одпомес'1
357
,JjKnitn ф| M’s прими!ивно рекурсивны и <p((.v + 1) < x (/ = 1
Ф* . О 1	' ю «-местная функция /. определяемая равенствами
ff И. </,-[. 0) =g(M.	л„_|)
/(VI , л„_|, х„ + I) =
= Л(Х| .. Х,ь ДХ|» ... X/t-I, ф|(Хй + I)),
?(-Ч,	^,-1. <ps(.vfI + 1))).
т.]Кх< примитивно рекурсивна ( Гак при п > 1, для /» - 1 аналогично ^формулировать!).) |Указание Доказать сначала прими|явную рекур сцвнос1ь функции
40)	Пользуясь теоремой и возвратной рекурсии (см предыдущую задачу.,. доказать, чю функция Л’(х), определяемая равенствами f(0) = О, F(l) = I, F(/i + 2) = F(ri) + F(n + I), примитивно рекурсивна’
41)	Доказать теорему об одновременной рекурсии: Если (п-1)-местные функции gi, .. и (n+s) местные функции Л|, hs примитивно рекурсивны, то таковы же и ,/-местные функции Д А, определяемые равенствами
I //(XI,	X„-J, O)=g,(Xj.	x/(-i)
I /,(Х|.	.	Хп + 1) = Й,(Л1.	V„. /1(Л1.	, Х„),	/3(Л1	Л,,))
(Гак при я > 1, для п = I аналогично (сформулировать!).;
42)	Расположив всевозможные упорядоченные пары натуральных чисел в последовательность таким образом, чтобы пара (пт, п) предшествовала паре (пт\ л’) тогда и только тогда, котла либо т + п < т + /Г', зибо пт + п — ш' + п и т < пт', назовем номер пары в этотт последовательности ее кантор веским номером и будем обозначать сто С(лт.п) (при Этом ( (0, 0) = 0) Первый и второй члены нары с номером к обозначим соответственно L(k) и R(k). Доказать, что функции A, R и С примитивно Рекурсивны. | Указание. Для L и R воспользоваться одновременной рекурсией (задача 41) и затем Л’тя С — ограниченной минимизацией.]
43)	Доказать, что функция [е-n] (е— основание натуральных лота-Рифмов) примитивно рекурсивна | Указание. Рассмотреть функцию 5„, определяемую равенствами So = 0. S„+i = (n + !)•$„+ 1 I
44)	Пусть а- действительное число. Обозначим через ф„(л)
= 1, 2, ...) п-и знак после запятой бесконечной десятичной троби Преж тавляющсГт а, и положим 4’ДО) = |с/[ Доказать что функции фу? 'k'- Ф» примитивно рекурсивны
45)	Доказать, что следующие функции и предикаты примитивны Рекурсивны (в нижеследующих определениях функции и предикатов ^йсла отождествляются с их записями в девятеричной системе без нуля)
(«т) Длина слова *
Значения .нои функции на тмлаюня чт ш.чи ФнСклтччи.
358
(б)	Обращение слова х;
(в)	«Проекция» х на заданный подалфавит Д’ алф (1. е. слово, получаемое из х вычеркиванием символов, нс Д');
(г)	SubsUx. у, z) (см. пример 10 из § 7.3);
(д)	«х есть симметричное слово»;
(е)	«х есть периодическое слово (i. е. х = z" для некоторого слова и некоторого п - 2, 3, 4, .)».
46)	Функцией Аккермана6* (см |Гильберт—Бернайс 1979), гл Уц § 3, и. 2) называется двуместная функция Д. определяемая равенствами
|ави|а <й..ад
принадлежат^
Д(0. у) = 2у + I
А(х + 1, 0) = Д(х, 1)
Д(х+ 1, у+ 1) = Д(х. Д(х + 1, у)).
Процедура, позволяющая вычислять значения этой функции, очевидна Доказась (последовательно), что:
(а)	Д(х, у) > у для любых х и у:
(б)	функция А монотонна по обеим неременным;
(в)	Для любой и. р. ф. /(Л|, ..., х„) найдется такое число z, что /(х.....х„) < A(z, max(xi.х„)) для любых Л[, .... х„,
(г)	функция Д(у, у) мажорирует любую одноместную п. р. ф <р в том смысле, что «р(у) < Д(у, у) для всех достаточно больших у (и, следовательно Д(х, у) не примитивно рекурсивна — что, впрочем, нетрудно вывести и непосрелс|венно из (в));
(д)	Не существует разнозначной одноместной п. р. ф., множество значений которой совпадало бы с множеством значений функции Д(у, у).
47)	Доказать, чю для любого « существует «-местная ч. р. ф., которую нельзя доопредели[ь до о. р. ф. (Указание См. замечание 1 после формулировки теоремы 3 из § 7.9.)
48)	(а) Доказать, что если для машины Тьюринга вычисляющей н-мсстную функцию /, существует такая «-.местная п. р. ф. <р, что для любых Х[, .... хп, для которых определено /(xi, ..., x„), длина соответ-с|вующспо полного вычисления машины не превосходит <р(лт, ..., х„), то функция
~х	хч), если /(хц ..., x,i) определено
р ’ ”	0,	если /(xi,	, х„) не определено
прими ihbiio рекурсивна.
(б) То же с заменой длины вычисления числом используемых в вычислении ячеек (равным числу ячеек па лепте в заключиюльной ситуации).
49)	Доказшь, что если машины Тьюринга удовлетворяет для некоторого и условию задачи 48а или 486, то область определения «-местной функции, вычисляемой этой машиной, есть примитивно рекурси®-
68 В. Аккерман (Wilhelm Ackermann) — немецкий математик, ученик Д. ГиЛь берта
Ы ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
354
jOe множество (i e ее характеристическая функция примитивно рекур-сцв||а^
50)	(а) Доказать, чго для всякой п. р ф. существует вычисляющая ,е машина Тьюриша, удовлетворяюшая обоим условиям задачи 48
(б) То же для функции с примитивно рекурсивной областью определения. доопредели мой до п. р ф.
51)	(а) Доказать, что характеристическая функция предиката Tnt1' 2 Ль ‘ “ А") М0ЖС1 быть вычислена с помощью машины Тьюринга, У которой число шагов правильного вычисления мажорируется линейной функцией от i + z, а число используемых в вычислении ячеек — .тотгтриф-мцчсской (Указание. Сначала оценить зависимость числа используемых ячеек от длины слова i + z. ]
(б)	То же для использованного в доказательстве основной леммы предиката T(i, z, у).
Замечание. Результаты задач 48 и 51 лают другое доказательство основной леммы.
52)	Указать пример разрешимого множества, не являющегося примитивно рекурсивным.
53)	Доказать, что н-месшая о р. ф. / гот да и только тогда может быть представлена в виде pyPpsj, , л„ у) с примитивно рекурсивным Р, когда трафик / является примитивно рекурсивным множеством
54)	Доказать, что трафик функции Аккермана (см задачу 46) примитивно рекурсивен
55)	Указать пример о р ф . график которой не является примитивно рекурсивным
ГЛАВА 8	ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА. ГРАНИЦЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИКИ
§8.1. ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
1. В § 0.3 мы рассмотрели ряд примеров прикладных логических исчислений, предназначенных для формализации поня-। ии группы, кольца, поля, упорядоченного множества и г. п. Однако наряду с этими чрезвычайно общими понятиями современная математика продолжает пользоваться также более старыми и более конкретными — такими, как число, точка, прямая, плоскость, к которым в конечном счете восходят и все более абстрактные понятия. Возникает вопрос, в какой мере эти «конкретные» понятия можно формализовать средствами математической логики. А так как все эти, да и все остальные математические концепции так или иначе опираются на понятие натурального числа, первым шагом на пути решения этого вопроса должна быть попытка формализовать ариф* метику натуральных чисел. Такая попытка действительно была предпринята (в основном по инициативе Д. Гильберта) в первой трети XX в.— и привела к совершенно неожиданным результатам. Изложением этих результатов мы и займемся в настоящей главе.
Есл и читатель не знаком с пеановской арифметикой, ему следуй’ прежде чем двигаться дальше, изучить пункт 3 приложения III.
2. Начнем с построения прикладного логического исчисления нЭ основе G,, которое естественно будет считать формальной версий арифметики натуральных чисел. Мы будем называть это исчисление формальной арифметикой и обозначать Аг.
Чтобы задать логическое исчисление на основе G, (см. § Ь*'' нужно перечислить его предика тыс и функциональные символ*’1’ символы предметных констант и аксиомы. Для исчисления АГ э компоненты таковы:
фОрМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА	361
I. Аг имеет один двуместный предикатный символ F f, один одноместный функциональный символ/ [, два двуместных функциональных символа /* и f\ и один символ предметной константы ut, Мы будем в дальнейшем вместо F *(/,, t2) писать /, = t2, вместо/ \(J) — Г, вместо /f((, /2) — /, + 1г, вместо /2(/, /_,) — /,/2 (или (/2) и вместо а — 0. Содержательно/' будет означать число, непосредственно следующее за /; смысл остальных обозначений ясен.
II. Аксиомы исчисления Аг задаются схемами:1
(г)а = а;
($) х = уОу = х;
(/) х = у&у = zDx = z;
(а,) х = уОх' = у';
(а2) х’ = y'Dx = у;
(а3) ?3х(х' = 0);
(а4) 31(0) &Vx(9I(x)d9I(x'))dVx9I(x);
(а,) х + 0 = х;
(а6) х + у' = (х + у)';
(а7) х-0 = 0;
(а8) х у' = х-у + х.
Здесь х, у, г — произвольные переменные; в схеме (а4) Ш(х) — произвольная формула в алфавите исчисления Аг и 111(0), ЭД(х') — формулы, полученные из ЭД(х) заменой всех вхождений х вхождениями термов 0 и х' соответственно. Все остальные схемы аксиом — простейшие (см. с. 238), и мы будем их называть просто аксиомами <ср. сноску на той же странице).
Комментарий. В аксиомах (ос,) — (а4) легко узнать аксиомы Пеано (см. Приложение III), однако аксиома индукции здесь ослаблена: в ней идет речь не о произвольном свойстве натуральн ых ч исел, как в неформальной пеановской арифметике, а только о таком, Которое можно выразить на языке узкого исчисления предикатов <т- е. с помошью формулы исчисления Аг). О последствиях этого Вынужденного ослабления принципа индукции см. ниже, в пункте 7 Настоящего параграфа. Для «формального нуля» мы пользуемся
в схеме (ag) (и далее, когда нужно) мы пользуемся общепринятым соглашением
0 ’’прядке арифметических действий
363______________________________ГЛЛИл8
обозначением 0, чтобы отличать его от «неформального» (обозначу могоО). Аксиомы (оц) — (ав) —это рекурсивные определения
и произведения (ср. § 7.8 и Приложение III).
Замечания. 1) Все аксиомы исчисления Аг, содержащие свобод ные переменные, сохраняют силу при замене этих переменных пр(у извольными термами.
Это непосредственно следует из правил BV и У V,
2) Чтобы доказать, что формула Vx9l(.v) — теорема исчисления Аг, достаточно, ввиду аксиомы (а4) (и правил ВК и УИ), установить что в нем являются теоремами формулы 31(0) и Vx(9l(x)D9l(x')) Такой способ доказательства мы будем называть формальной индукцией, а доказательства теорем 91(0) и V,v(2l(.v)D2l(,v')) — базисом (индукции) и индукционным шагом1.
В качестве примера формальной индукции выведем следующую (формальную) теорему (символ i— здесь и далее, если не оговорено противно*’ означает^):
(I)	i-Vx(.v =- 0v3y(х = у')).
Доказательство. Базис; i-0 = 0v3y(0 — у') ввиду аксиомы (г), замечания 1 и правила ВД. Индукционный шаг: Ввиду (г) и замечания I I— х' = л-', откуда по ВЭ |— Зу(х' = у'). Но из этой формулы по правилам исчисления Go и правилу BV выводима формула
Vx(x = 0v3y(x = y’)Dx' = 0v3y(x' = у')/.
В дальнейшем мы нс будем доказывать выводимости в Аг так подробно; в частности, не будем явно ссылаться на правила исчисле-ния Gv (кроме наиболее сложных случаев). Восстановление опущенных деталей будет предоставляться читателю.
3.	Чтобы иметь право считать логическое исчисление формальной версией арифметики натуральных чисел, мы во всяком случае должны быть уверены, что в нем доказуемы, во-первых, основные свойства равенства и, во-вторых, основные свойства сложения и умножения. Поэтому сейчас нам прежде всего необходимо убедиться, что исчисление Аг удовлетворяет этим требованиям. Первое из них означает, что Аг есть исчисление на основе G( с равенством. Чтобы установить это, достаточно — ввиду теоремы 5 из § 6.3 и того, что
2 Таким образом, юрмины -базис» и «индукционный шаг» приобрети)! icnep” наряду t обычным «неформальным» смыслом еще один, «формальный» (подобно тер минам «юорема» и «доказательство»).
’* Мы пользуемся здесь выводимое! ыо С ]-^21 э23 V<£ (Напомним, чю ввиду lK,JI ноты Go всякую выводимость в этом исчислении можно доказа п, е помощью неги'1110 «пых таблиц.)
фОрМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА	363
^до сказано на с. 238 о ее применении, а также ввиду наличия в Аг ксиом (f)> (s), (!), (ар — установить, что:
(2)	н- х = уЭх + z = у + z;
(3)	|- х - уЭг + х = z + у;
(4)	|—х = yDxz = y-z;
(5)	| х = yDz-x = zy.
Второе требование означает, что:
(6)	|- х + (у + z) = (х + у) + z;
(7)	1- х + у = у + х;
(8)	|-х + z = у + zDx = у,
(9)	| x-(yz) = (xy)-z;
(10)	i-x-y = ух;
(11)	I—(х + y)-z = х г + y-z;
(12)	i- ?(z = 0)&x-z = у-zDx = y.
Доказывать теоремы (2) — (12) нам будет удобнее нс в том порядке, в каком мы их записали. По ходу доказательства придется вывести также несколько вспомогательных теорем; некоторые из них имеют и самостоятельное значение. Большая часть доказательств будет проводиться с помощью формальной индукции.
Доказательство (2). Базис: |- х = уЭх + 0 = у + 0 ввиду аксиом (а5), (у) и (/); подробности восстанавливаются без труда. Индукционный шаг: чтобы доказать
I- Vz((x = уЭх + z = у + z)D(x = уЭх + z' — у + z')), достаточно убедиться, что |— х + у = у + zDx + z' = у + z'4; но это ввиду («6), (\) и (/) вытекает из |- х + z = у + zD(x + z)' = (у + z)', а последнее справедливо в силу (а() и замечания 1.
В дальнейшем ссылки на аксиомы (s) и (/) и на замечание I будут, как правило, опускаться.
Далее нам понадобятся три вспомогательные теоремы:
(13)	i-х + 0' = х';
(14)	|_0 + х = х;
(15)	i-х + у’ = х' + у
4 Если им1ьчикиция 23 ЭС истинна, то истинна, очевидно, и импликация РЫЗр^эС).
364
Теорема (13) легко выводится из (ад, (а,) и (а6). Докажем (14) Базис: 0 + 0 = 0 по (а5). Индукционный шаг: достаточно доказав О + х = х |- 0 + х' = х'. Но по (а() 0 + х = х |- (0 + х)' = х'. а По (а6) |- 0 + х’ = (0 + х)'. Доказательство (15) получается Та1,. 1-х + 0'=х’+0 ввиду (13) и (а5): х + у'= х' + у |-х + у* J = х1 + у', поскольку: х + у" = (х + у')' по (а6); х + у = л' + у I- (л + у'У = (л’ + у)' по («,); Н (л' + У)’ = л’ + у' снова по (а6).
Теперь мы можем доказать (7). Базис: |-х + 0 = 0 + х ввиду (а5) и (14). Индукционный шаг: х + у = у + х|-х + у' - у' + х, поскольку: X + у = у + X I- (х + у)' = (у + х)' по (cQ; |- (у + х)' = = У + X' по (а6); |—у + х' = у' + X по (15); н (х + у)’ = х + у по («6)-
Из (7) и (2) легко вывести (3); после этого можно доказать (4) так же, как (2), используя (а7) и (а8) вместо (а5) и (а6) соответственно, а вместо (а,) применив последовательно (2) и (3).
Докажем, далее, (6). Базис: |-х + (у + 0) = (х + у) + 0, поскольку |-х + (у + 0) = х + у (ввиду (а5) и (3)) и |- (х + у) + 0 = = х + у (по (а5)). Индукционный шаг: х + (у + z) — == (х + у) + z I— х + (у + z') = (х + У) + г' вытекает из того, что: нх + (у + z') = х + (у + z)' (ввиду (аб) И (3)); |-х + (у + z)' = = (x + (y + z))’ (по (aj); х + (у + z) = (х + у) + + z I- (х + (у + z))' = ((х + у) + z)' (по (а,); |- ((х + у) + z)' = = (х + у) + Z' (по (а6)).
Докажем (11). Базис: |-(х + у)-0 = х-0 + у-0, поскольку I—(х + у)-0 = 0 по (а7),	х-0 + у-0 — 0 + у-0 по (о?) и (2),
I-	0 + у 0 = 0 + 0 по (а7) и (3); |- 0 + 0 = 0 по (а5).
Индукционный шаг: выводимость
(х + y)-z = x-z + y-z |-(х + y)-z' = x-z' + y-z' вытекает из следующих выводимостей
I-	(х + y)-z' = (х + y)-z + (х + у) по (а8);
(х + y)-z = x-z + y-z i- (x + y)-z + (x + y) =
= (x-z + y-z) + (x + y) (no (2));
I—	(x-z + y-z) + (x + y) = (x-z + x) + (y-z + у) (легкополучает' ся из (6), (7), (2) и (3); i-(x-z + х) + (y-z + у) = x-z'+ yz* (из (as), (2) и (3)).
Следующие две вспомогательные теоремы читатель легк°
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
365
докажет сам:
(16)	1-0-А-- 0;
(17)	i-О' л = х.
Теперь можно доказать (10). Базис: х-0 = Ох ввиду (а7) и (16). Индукционный шаг: ху = ух |- ху' - у'-х, поскольку гХ-/ = ху + X по (а8); х у = ух |-х-у + х = ух + х по (2); 1-ух + х = ух + О'-х по (17) и (3); |—ух + О'-х = (у + 0')-х по (I I); l-О’ + 0')*х “ Улпо <13) и (4).
Из (10) и (4) получаем теперь (5). Кроме того, из (10) и (И) вытекает
(18)	i-х-(у + z) = x-y + x-z.
Докажем (9). Базис: |-х-(у-0) = (ху)-0, т. к. i-x-(yO) = 0 (ввиду (а7) и (5)) и |-(х-у)-0-0 (по (<х7)). Индукционный шаг: x-(yz) = (x-y)-z i-x-(yz') = (x-y)-z', поскольку l-X-(yz') = - x-(y-z + у) (ввиду (a8) и (5)); |-x-(yz + у) = x-(y-z) + x-y no (18)); x-(y-z) = (x-y)-z i-x-(yz) + x-y = (x-y)-z + x-y (no (2)); l-(x-y)-z + x-y = (x-y)-z' (no(a8)).
Доказательство теорем (8) и (12) мы отложим до конца следующего пункта.
Задача. Доказать, что:
(а)	х + у = ОЭх = О&у = 0;
(б)	i-х-у = ODx = Ovy = 0:
(в)	|- х + у = хЭу = 0.
4. Теперь нам нужно формализовать отношение «меньше». Пользуясь тем, что для натуральных чисел п < п тогда и только тогда когда п можно представить в виде т + к, где к 0, мы будем для произвольных термов t и и понимать выражение t < и как сокращенную запись формулы 3z(y = t + z'), где z — произвольная переменная, не входящая в t и и (очевидно, для фиксированных i и и всетакис Формулы дедуктивно эквивалентны). Основные свойства отношения «меньше» выражаются следующими формальными теоремами:
(19)	|_7 (х<х);
(19') |—х < уЭ7(х = у);
(20)	I- X < уЭ7(у < х);
(21)	I— х < у&у < zDx < z;
(22)	|_ 7(х = y)Dx < у Vy < х;
(23)	7(Эх)(х < 0);
366
(24)	[- (х < yDx + z < у + z) & (x + z < у 4- zDx < y);
(25)	i- |7(z = 0) D (x <yDxz < yz) |&(x z < y-zDx < y).
Докажем (19). Базис: чтобы доказать, что i— 7 Bz(0 = 0 + z'), д0_ статочно привести формулу Bz(0 — 0 + z') к противоречию, т. с. вывести из нее формулу, отрицание которой доказуемо в Аг. Но ввиду (сц) и (7) Bz(0 = 0 + z') |- Bz(z' = 0), а отрицание формулы Bz(z' = 0) есть аксиома (а,). Индукционный шаг: достаточно установить, что Bz(x' = х' + z') |- 3z(x = х + z'), а это легко сделать с помощью (сх6). (7) и (аг).
(19') сразу получается из (19), если заметить, что х<у, Л- = у I- X < х’.
(21)	в подробной записи имеет вид i— 3z,(y = х + z{)&
&3z2(z = у + z2)D3z,(z = х + zj),
а это легко доказать с помощью (б)* 6. Далее, из (21) вытекает I— х < у&у < xDx < х; это вместе с (19) дает |— 7 (х < у&у < х), что равносильно (20).
Часто бывает полезна следующая теорема (получаемая очевидным образом из ИЗ)):
(26)	|-х<х'.
Вместо (22) докажем равносильное утверждение I— х — yVx < yVy < х. Базис: j—х = Ovx < OvO < х вытекает из I—х = OvO < х, а это — из (1) и очевидной ввиду (а5) и (7) выводимости Зу(х = у') н 0 < х. Индукционный шаг: выводимость х = у Vx < у Vy < х I— х = у Vx < у' Vy’ < х получается из трех выводи мостей: х = у |- х < у'; х < у х < у'; у < х |— х = у' Vy' < х. Первая из них непосредственно вытекает из (26), вторая — из (26) и (21). Третью легко установить, если доказать, что х = у + z' i— х = = у'Vy' < х. Но эту последнюю выводимость ввиду (1) можно получить из следующих двух: х = у + 0' |- х = у', вытекающей из (13), и х = у + z," |—х = у' + z/, которую нетрудно получить, используя (13), (7), (6) и еще раз (13).
Чтобы доказать (23), достаточно заметить, что из Зх(х < 0) ввиду (аб) выводимо 3x3z((x + z)' = 0), а это противоречит аксиоме (ал).
Ввиду того, что Аг, как доказано в предыдущем пункте, есть исчисление на основе G[ с равенством, так чю в нем справедливо условие (i) из § 6.3 Далее МЬ1 пользуемся этим без оговорок (см., например, доказательства теорем (22) и (24))-
6 Используя также (2).
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА	367
Далее нам понадобятся две вспомогательные теоремы:
(27)	|—х < уЭх' <у’;
(28)	|- х' <у’Эх < у.
Первую из них легко получить, если доказать, что У =. х + z I—у' = х' -f- z'. а это очевидным образом вытекает из (а,), (й6) и (15). Так же доказывается и вторая (с заменой (а,) на (cQ).
Обращаясь теперь к (24) и рассматривая сначала первый член конъюнкции, видим, что в его доказательстве базис получается с помощью («5), а выводимость х + z< у + z \—х' + z < у' + z, на которой основывается индукционный шаг — с помощью (7) и (27): подробности предоставляются читателю. Для второго члена все делается так же (но вместо (27) используется (28)).
Остается доказать (25). Здесь в первом члене конъюнкции базис получается из аксиомы (г), индукционный шаг — из (а^), (24) и (21). Чтобы получить второй член, достаточно установить, что 7(л < у) |- 7 (x-z < y-z). Но из 7(х<у) ввиду (22) можно вывести х — у Vy < х; из х = у по (4) выводится xz = y-z,a из у < х, поскольку первый член конъюнкции уже доказан, можно вывести y-z < x-z. Как из x-z = y-z, так и из y-z < x-z выводится 7(x-z < y-z). Подробности читатель может восстановить сам.
Теперь, располагая теоремами о свойствах отношения «меньше», мы без труда докажем теоремы (8) и (12). Чтобы доказать (8), достаточно установить, что 7(х = у) |— 7(х + г — у + z); но ввиду (22) и (24) имеем ?(х = у) i- (х + z < у + z)V(y + z < х + z), из (19') получается х + z < у + zVy + z < х + z I— ?(х + z = у + z). Точно так же (с использованием (25) вместо (24)) доказывается (12).
Аналогично отношению «меньше» можно формализовать отношение «меньше или равно». Именно, мы будем для произвольных термов t и и понимать выражение / < ц как сокращенную запись формулы t < uVi = и. Читателю предоставляется доказать, что
(29)	|-х < yVy < х;
(30)	i-х < у&у < zDx < z;
(31)	i-O < х;
(32)	|- (х 5 уЭх < у')&(х < у')Эх < у).
Иногда мы будем вместо / < и писать и > I и вместо 1 < и — у > I.
Замечание. Читатель, несомненно, уже понял, что в доказательствах теорем (6) — (28) воспроизводятся в формализованном виде обычные доказательства соответствующих предложений «неформальной» пеановской арифметики (Приложение 111, Пункт 3).
Задача. Доказать, что:
(а)	|- Vx3y(x < у);
(б)	1- Vx 73у(х < у&у < х’):
(в)	н х < х + у;
(г)	|-7 (у = 0)Эл < ху;
(д)	Ь 7 (у = 0)Эх < х + у.
5. Особую роль в исчислении Аг играют термы О, О’, 0" и т. д. соответствующие конкретным натуральным числам. Эти термы принято называть цифрами. Цифру О"'"', содержащую п штрихов, мы будем для краткости обозначать п.
Заметим, что:
(33) |- х + 1 = х';
(34) нх-1 = х.
((33) совпадаете (13); (34) получается из (17) и (10).)
В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения о цифрах:
Утверждение 1. Для любых натуральных чисел т и к:
(а) I— т + п — т + л; (б) т  п — т • п.
(например, |— 2 + 2 = 4, |— 2-2 = 4; т • п (с «жирной» точкой) означает 0 с т-п штрихами в отличие от т  п — терма, содержащего функциональный символ •; аналогичный смысл имеет выражение т + п).
Доказательство. Справедливость (а) мы докажем индукцией7 по п. Базис: поскольку т + 0 — то же самое, что т, по (а5) имеем I- т + 0 = т + 0. Индукционный шаг: т. к. п + 1 совпадает с п', по (а6) имеем |- т + п + 1 — (т + л)'; в то же время по предположению индукции т + п — т + п, откуда ввиду (ai) I— (т + п)' = (т + я)'; таким образом, |— т + л + 1 — (т + п)'.н° (т + п)' — это не что иное, как (m + п) + 1 или, иначе, т + (п 4- I). Аналогично доказывается (б).
Утверждение 2. Если т < п. то |- т < п.
Доказательство. Пусть т < п. Тогда, полагая к = п — т — Ь имеем п = т + (к + I), откуда по утверждению 1 i- п ~ т + к + 1 или, иначе, \—п = т + к’, но отсюда сразу получается (— 3z(n = т + z'), т. е. |— т < п.
7 Само собой, здесь имеется в виду не формальная, а обычная матемагическа’’ индукция.
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕЧ МКА
369
Утверждение 3. Если т * п, то i— ~/{т = п).
Это утверждение непосредственно вытекает из предыдущего ввиду (19')-
Утверждение 4. Для любого натурального числа п
I- (х < л + 1Эх = О V ••• Vx = п) &
& (х = 0V Vx = «Эх< п + 1).
Читатель легко докажет это (неформальной) индукцией, используя (23) и (32).
Задача. Доказать, что:
(a)	|_,v + 2 = x"
(б)	i-х-у = xDx = OVy = 1;
(в)	если т < п, то |— т < п.
6. Для дальнейшего нам нужно формализовать теорему о делении с остатком и основные факты теории делимости.
Теореме о делении с остатком отвечает формальная теорема
(35)	|_VxVy(7(y = 0)D3!z,3!zz(x = yz, + z2&z2<y)),
доказательство которой можно получить следующим образом. Прежде всего нетрудно видеть, что (35) получается с помощью правил G, и аксиом (г), ($), (/) из
(35’) |- ?(у = 0)D3z,3z2(x = yz, + z2&z2 < у) и
(35") yz, + z2 = y-z3 + z4&z2 < y&z4 < у i- zt = z3&z2 = z4.
В доказательстве (35') воспользуемся формальной индукцией по х. Ее базис легко получить из очевидного утверждения 1-0 = у-0 + 0. Индукционный шаг: достаточно доказать, что
3z|3z23z3(x = yz, + z2&y = z2 + z/) i-
I-	3z,3z2(x’ = yz, + z2&z2 < y).
Для этого, в свою очередь, достаточно вывести правую часть из формулы х — y-z, + z2&y — z2 + z/. Но из этой последней ввиду (1) выводима дизъюнкция (х = yz, + z2&y = z2 + О') V(x = yz, + z2& &3z4(y = z2 + z4); из первого члена этой дизъюнкции нетрудно вывести формулу х' = yz,' + 0&0 < у, а из второго — х' = y-z, + z2'& &z2' < у; каждой из этих двух формул очевидным образом достаточно, чтобы вывести ту формулу, которая нам нужна.
370___________________________________________________
Переходя к утверждению (35"), заметим, что его легко получи?ь из двух более простых:
y-z, + z2 = y-zi + z4&z2 < y&z4 < У1- Zj = z3 и
y-z + z, — y-z + z2&z, < y&z2 <yi— z, = z2.
Второе из этих утверждений очевидно. Чтобы доказать первое достаточно, ввиду (22), привести к противоречию конъюнкцию ’
у-z, + z2 = у-z» + z4&z2 < y&z4 < y&z, < z3.
Но из ее первого и последнего членов выводится формула Bz5(y-z, + Z2 = у (z, + z5') + z4), а из этой последней — Bz5(z2 = yz/ + z4). Однако |—у z5' > у (ввиду (сс8) и свойств отношения < ), и мы приходим к противоречию со вторым членом нашей конъюнкции.
Легко понять, что формальное доказательство теоремы о делении с остатком, путь построения которого мы сейчас наметили, является попросту формализованной записью ее обычного доказательства. Так же обстоит дело и с основными фактами теории делимости. Понимая выражение и/1 как сокращенную запись формулы Зх(/ — и • х), нетрудно показать, что:
(36)	I— х/х:
(37)	|- 1/х;
(38)	i-x/0:
(39)	|- у/x&z/yDz/х;
(40)	i-y/x&x/yDx = у;
(41)	i-y/xDyz/x-z:
(42)	i—y/x,&y/x2Dy/(xl + х2);
(43)	н j/-v&7(x = 0)Dy < х.
Доказательство утверждений (36) — (43) предоставляется читателю.
Теперь нетрудно было бы и любое утверждение, элементарных курсах теории чисел (см., напри
1960 1), записать в виде формулы исчисления Аг и построить соответствующее формальное доказательство.
7. Что можно сказать о моделях формальной арифметики? ПО' скольку в нашем распоряжении имеются обычные, «неформальные» натуральные числа, и мы умеем их складывать и умножать (прич<Ж мы постоянно пользуемся ими в самых разнообразных нематематИ
доказываемое в мер, [Бухштаб
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА	37J
меских задачах, в том числе чисто практических, и они нас никогда (1С подводят), мы можем рассмотреть интерпретацию множества формул исчисления Аг, в которой основным множеством является мНожсство натуральных чисел и символам =, 0,	• отвечают
соответственно равенство, нуль, прибавление единицы, сложение и умножение. Все аксиомы исчисления Аг превратятся в этой интерпретации в истинные предложения обычной г, рифм стики, и, следовательно,— потеоремс 5 из § 6.2а — она будет моделью исчисления Аг. Эту модель, ради которой и построено наше исчисление, мы будем называть стандартной моделью (или стандартной интерпретацией) исчисления Аг. Но единственна ли эта модель? Всякому, кто впервые знакомится с формальной арифметикой, хотелось бы, без сомнения, чтобы это было так, и на то же самое настраивает обычная пеановская арифметика, которая, как легко убедиться, имеет только одну нормальную модель (с точностью до изоморфизма)9. Действительно, в этой арифметике очевидной индукцией доказывается, что всякое натуральное число есть нуль с каким-то количеством штрихов или без них, и поэтому, если Ер Е2 — основные множества двух нормальных моделей пеановской арифметики и 01? 02 — их нули, то
отображение, сопоставляющее произвольному элементу 0,.... G Е,
элемент Е2, представляющий собой 02 с тем же числом штрихов, оказывается биективным, и легко проверить, что оно изоморфно относительно операций, ', + и •. Однако для исчисления Аг такое доказательство не проходит (почему?), и можно показать, что если это исчисление непротиворечиво, то наряду со стандартной моделью оно должно иметь и другие нормальные модели, не изоморфные ей. Существование такой нестандартной модели мы докажем сейчас следующим несложным, хотя и довольно искусственным рассуждением. Добавим к алфавиту исчисления Аг новый символ предметной константы с и к множеству аксиом — всевозможные формулы вида 7(п = с), где я — произвольное натуральное число. Из непротиворечивости Аг вытекает непротиворечивость нового исчисления: если бы в нем существовало доказательство константы то, заменив в этом доказательстве все вхождения с вхождениями некоторой не кстречающейся в нем цифры л0. мы получили бы вывод константы
R В этой теореме речь идс> о множестве замкнутых формул, по, связан во всех Аксиомах Аг псесвободные переменные кванторами общности, мы, очевидно, получим Равносильное исчисление. (Ср сноску в конце пункта 4 § 6-3.)
В курсах теории числовых систем говорят просто «имеет только одну модель», Поскольку в обычном «неформальной» математике рассматриваются только нормальные модели. Пример ненормальной модели исчисления Аг см. в задаче 8 в конце лои главы.
372 главА8
Л в Аг из некоторых формул вида 7(л = л()). где п # л0; но все такце формулы являются в Аг теоремами (см. выше утверждение 3), что Л оказалась бы доказуемой формулой и в Аг. Ввиду теоремы 2 ц3 § 6.2 и теоремы 4 из § 6.3 новое исчисление имеет конечную цЛ1] счетную нормальную модель, которая тем самым является и нормальной моделью исчисления Аг. Впрочем, конечной эта модедь быть не может, т. к. всякая нормальная модель Аг бесконечна (в самом деле, по утверждению 3 для любых различных т и п имеем I- 7(т = л), и потому — см. § 6.3, пункт 6 — в любой нормальной модели Аг цифрам т и л отвечают различные элементы). В то же время, ссЗти бы существовало изоморфное отображение V этой модели на стандартную, то для любого натурального л было бы Чг( п ) = л, где п— элемент новой модели, отвечающий цифре Л10; но если y — элемент, отвечающий символу е, то г( & п, каково бы ни было п, и поэтому 4r(f) нс равно никакому натуральному числу п, вопреки определению стандартной модели.
Таким образом, хотя в исчислении Аг, как мы видели выше (см. конец предыдущего пункта), можно вывести все теоремы, доказываемые в элементарных учебниках теории чисел, не говоря уже о школьных учебниках арифметики", это исчисление не дает идеальной формализации обычной арифметики натуральных чисел. Далее мы увидим, что и стандартную модель оно описывает нс идеально, и что ее неполная адекватность своему прототипу не может быть «исправлена» добавлением каких-то аксиом, т. к. имеет глубокие причины, коренящиеся в самой природе формальных моделей как таковых. Но сначала нам придется рассмотреть ряд технических вопросов, к чему мы сейчас и перейдем.
10 Поскольку, с одной стороны, цифре п отвечает в стандаржой модели число** 1 *’ другой — нри любом изоморфном соответствии между двумя моделями Аг элементы, отвечающие в л их моделях одной и той же цифре, должны соответствовать ДР^Г Другу
1 Эю не относится к тем теоретике-числовым теоремам, для которых извести
лишь доказательства с использованием методов теории функций комплексного «ср6
ме> того.
ФОРМАЛЬНАЯ ЛГИФМЕ1ИКЛ
373
§8.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ФОРМАЛЬНОЙ ----- АРИФМЕТИКЕ ПРЕДИКАТОВ
И ФУНКЦИЙ
1. Пусть 21 = Ш(хр ..., хп) — формула исчисления Аг, не содержащая свободных переменных, отличных от хр ..., х„, и Чг(лр ..., х„) — п-местный предикат, определенный на натуральном ряде. Мы будем говорить, что формула 21 представляет предикат Чг, если для любых п натуральных чисел А,,	А„:
(I) |-21(А1Э	А„), если Ч'(А„	А„) = И;
(2) |- 721(A).А,), если ЧГ(А... k,) = Л.
Будем говорить также, что формула 21 (хр х„, лп+|) того же исчисления, не содержащая свободных переменных, отличных от л,,	х„+|, представляет всюду определенную числовую функ-
цию'2, если для любых натуральных А„ ..., к„:
(3)HB4+12I(A),...,An,x„tI);
(4) |- 31(А...А„, /), где I = /(Ар А„).
Если для некоторого предиката или функции существует представляющая формула, мы будем называть этот предикат (функцию) представимым (-ой) в формальной арифметике.
Замечание. Условие (3) можно заменить условием
(3') I-Л„, у)Эу = /), где / =/(А„ ..., А„).
В самом деле: из (4) и (3’) по В К и ВЗ получается
Зл„+1(21(АР ..., k,„ хп+|) & Vy«A., к,, у)Эу = хи+1)),
а это и есть (3); с другой стороны, чтобы вывести (3') из (3) и (4), Достаточно вывести противоречие из (3), (4) и дополнительной гипотезы Зу(21(Ар А, у)&7(у = 0), где I - f(kv kn), но из этой гипотезы и из (4) очевидным образом выводится
3y3z(2l(4p ..., А,„ у)&21(Ар .... А,„ z)&7(y = z)).
12 Мы называем функцию числовой, если опа отображает некоторое подмножество натурального ряда или какой-то его декартовой пенен» в натуральный ряд <ср.с. 295).
374	«ЛАВЛ 8
в то время как из (3) легко вывести формулу
VyVztW., ....	z)3y = z).
Примеры. 1) Предикат х, = представляется формулой х1 = * Действительно, если kt = к2, то цифры kt и к2 совпадают, и I- А, = к2 по аксиоме (г), а если kt & к2, то i— 7(к, = к2) по утверждению 3 предыдущего параграфа.
2)	Аналогичным образом легко доказать, что формула 7(х, = х2) представляет предикат х,	х2.
3)	П редикат л, < х2 представляется формулой х, < х2: при kt < к2 по утверждению 2 предыдущего параграфа имеем । kt < k2f а при kf > к2 либо kt и к2 совпадают, откуда i- 7(i, < £,) ввиду (19) из того же параграфа, либо |- к2< к„ откуда i- 7(к1 < к2) ввиду (20).
4)	Все исходные п. р. ф. (см. § 7.8) представимы в формальной арифметике. Именно:
(/) функция 0(х,) представляется формулой х2 = 0. В самом деле, ввид\ аксиомы (г) имеем н 0 = 0&Vy(y = ODy — 0), откуда с помощью ВЗ получается 31х2(х2 = 0), а формула ^(kt, I) из условия (4) для любого kt имеет вид 0 — 0 и доказуема также ввиду (г).
(п) Функция 5(х,) — х, + 1 представляется формулой х2 = х/, поскольку, с одной стороны, справедливо |- З’х2(х2 - х/) или, подробнее, - Зх2(х2 = x,'&Vy(y = х/Эу = х2)) (это получается по правилу ВЗ из очевидного утверждения |- х/ = x,'&Vy(y = x/Dy = х,'), с другой — для любого kt имеет место |- kt' = kt’.
(ш) Теперь читатель легко убедится, что функция е 'и(х„ ..., х„) представляется формулой х„+1 = xf.
Лемма. Предикат тогда и только тогда представим в формальной арифметике, когда представима иго характеристическая функция.
Доказательство. Если формула Ш(лп ..., х„) представляет предикат F(xt, х„), то функция <|, представляется формулой 51(х|э ..., х„)&хм+| = 1 V72I(Xj. ..., x„)&x„+l = 0. Обратно, если формула Я3(хр ..., хм, х/|+1) представляет функцию <|то предикат F представляется формулой 5&(х|э ..., х„, 1). Подробности читатель восстановит сам.
Задачи. 1) Доказать, что функции х, + х2, х,-х2, Lv, - х,1 представимы в формальной арифметике.
2) Доказать, что если предикаты F и (J представимы в формальной арифметике, то представимы и предикаты F&G, F^J^* FDG, 1F.
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЬI И КА	375
---------- _ _ ------------- -
3) Доказать, что если функция /(хр х„) представима в формальной арифметике, то представим и предикат Р(х„ л'и+1) = gX,tl =/(х„
2. В дальнейшем нам понадобится
Теорема. Всякая общерекурсивная функция представима в формальной арифметике13.
Доказательство. Мы уже знаем (см. выше пример 4), что в формальной арифметике представимы все исходные п. р. ф. Поэтому достаточно установить, что операторы подстановки, рекурсии и минимизации сох ран я ют свойство представимости в формальной арифметике (последний — в случае, когда результат его применения есть всюду определенная функция).
Для подстановки и минимизации это делается довольно просто. Пусть «-местные функции	и м-местная функция g
представляются соответственно формулами 21, = 21,(лр ..., л„+|),..., Э1,,, =	® = ®(Л'|...Тогда нетрудно убедиться,
что функция h, получаемая из /р g подстановкой, представляется формулой б=б(хр ..., д„+,)=3у| ••• 3y,n|2I,(xp ..., л;„ у,)&...& ..........-v',yj&®(yP
В самом деле: (а) условие (4) для формулы б выводится из соответствующих условий для 21,, ..., 2(m, ® с помощью правил ВК и ВЗ: (б) присоединив к условиям (3') для 21,, ..., 2lm, Q5 в качестве дополнительной гипотезы формулу, отличающуюся от формулы G(*,.л„+|) отсутствием приставки Зу, Зу/Н, нетрудно вывести равенство х,)+| = /, где I = h(kt, ..., Л„), после чего очевидным образом — с помощью УЗ, ВИ и BV — получается вывод условия (3') для б из соответствующих условий для 21,, ..., 21П), $5.
Далее, если предикат F(x„ •••, а,„ л„+|) представляется формулой а = 51(х„ .... Л„, л;.,) и функция /(л,,	л„) = tix„t,F(x„ л„,
всюду определена, то эта функция представляется формулой ..., А-,„ х„+1) = 21(х-„ ..., x„, A„+l)&Vy(y < Хп+Р721(Х„ .... А'л, у)). Действительно, пусть Лр ..., кп — произвольные натуральные числа, икп) — I. Тогда, чтобы получить условие (4) для формулы Q5, достаточно доказать, что (/) |- 21(Л,....Дп. Г) и (н)|—Vy(y</D
^>721(4,, ...,	у)). Но (i) есть условие (I) для 21, а (н) при 7 = 0 полу-
чается из (23) предыдущего параграфа и при I = j + 1 из утверждения 4 того же параграфа и условия (2) для 21. С другой стороны, из
13 В следующем параграфе ми убедимся, что вели формальная арифметика ^противоречива. го справедливо и утверждение, обратное згой теореме.
376	ГЛДВд^
того же (и) легко получить (in) \~у< lZ)7^(kt, ..., кп, у) ивто^ время |-у > ZZ)3z(z < у&21(Ап .... An, z)) (ввиду условия (1) для Щ) откуда очевидным образом получается |-у >ZD?Vz(z < □7Й(Л|,	кп, z)) и далее (iv) \-у>	...» к„, у). Но из (гй) и
(iv) ввиду (22) из предыдущего параграфа вытекает i- /(у = D795(A|, кп, у), а отсюда с помощью контрапозиции и BV выводится условие (3') для 55.
Переходя к оператору рекурсии, рассмотрим сначала ft-функцЛ Геделя-. р(х„ х2, хк) = г(х2-(х3 + 1) + 1, х,). (г(х. у) — остаток от деления у на х, см. с. 332). Эта функция — очевидно, примитивно рекурсивная — обладает следующим замечательным свойством: какова бы ии была конечная последовательность натуральных чисел к(„ Ар ..., Ая, найдутся такие натуральные а и Ь, что р(а, b, I) = А, для каждого 1 = 0, ..., п. Доказательство этого свойства основывается на так называемой китайской теореме об остатках14: для любых попарно взаимно простых натуральных чисел т,, ..., тк и любых к натуральных чисел Ср .... ск существует такое натуральное число х, что х = сг (mod т) для каждого i = 1, ..., к. Именно, положим: тах(и, к0, ..., к„) = TV; 7V! = Л; b-(i 4- 1) + 1 = z/ (i = 0, ..., п). Числа zt попарно взаимно просты. В самом деле, если бы нашлись такие /р 1г, 0 < z, < /2 < л, и такое простое число р, что z(j и z^ делились бы на р, то на р делилась бы и разность zt - z(| — b(i2 — it) и, следовательно, поскольку b делится на i2 — it, число р было бы делителем числа Ь\ но тогда разность zI( — b(it + 1) = 1 также делилась бы иа р. По китайской теореме об остатках найдется такое ау что для каждого / = 0,..., п число А, сравнимо с а по модулю z , а это, поскольку к, < z„ означает, что r(zh а) = А,. Но r(ziy а) ~ r(b (i + 1) 4- 1, а) = = р(ц, b, i).
Нетрудно доказать также, что функция р представима в фор' мальной арифметике. Представляющей формулой для нее служит
6)(Хр х2, х3, Х4) = Эу[х, = (х2-(х, 4 1)4 1)у 4 х4&
&х4< х2-(х, 4 1) 4 1 |.
14 Доказательсшо этой юоремы можно наити и любом учебнике теории чисел (см., например, |Бухилаб I960]). "Китайской теоремой об остатках» ее называю’ iioio-му, что соответствующая задача впервые встречается втракта ie древпекитайско!0 математика Суиь-цзы (III в. н.э.) в следующей форме: «Имеются вещи, число ИХ неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2, если считать их пятерками. т0 остаток 3, если считать их семерками, то остаюк 2. Спрашивается, сколько вешС’’1’* (См (Березкина J980|,c. 186.)
фОрМАЛЫ1АЯ АРИФМЕТИКА	377
Действительно: если р(А„ к2У к^ = к4, то (i)k4 < k2-(ki + 1) + 1 и найдется такое к,, что (ii)kt = (к2-(ку + 1) + 1)Л5 + Л4; из (/) и (п) ввиду утверждений 1 и 2 предыдущего параграфа следует (ill) 1^*4 <	+ 1) + 1 и (tif) |-£, = (к2-(к, + 1) + 1) *5 + к,-, из
(/v) вытекает (ц) |- Зу|kt — (к2-(к3 + 1) + 1)-у + к4 ], а из (ill) и (и) очевидным образом получается (3(кг к2, ку, к4) (условие (4)). Что касается условия (3), то ввиду (35) из предыдущего параграфа формула © удовлетворяет даже более сильному условию: |... 31х4®(х„ х2, хл, х4) (оно понадобится нам в дальнейшем).
Доказанные свойства [.-функции позволяют представлять в формальной арифметике предикаты, отвечающие утверждениям о конечных последовательных натуральных чисел. Именно это и нужно, чтобы доказать, что оператор рекурсии сохраняет представимость: ведь при рекурсии каждое следующее значение функции определяется последовательностью предыдущих значений. Мы проведем доказательство для случая функции п переменных при п > I; для п = 1 доказательство проводится совершенно аналогично (с очевидными упрощениями).
Итак, пусть функция /(х,, ..., х„) удовлетворяет рекурсивным равенствам
[/(-К,, ..., х„_|, 0) = #(х1э ..., хя_()
х„ „ х„ + I) = Л(х„ .... х^„ х,„/(х„ .... х„)).
и функции £(x]S ..., хя-1) и /1(х„ ..., хл+1) представляются соответственно формулами 91(х1Г...» х„) и53(Х|, ..., х„+2). Чтобы получить представляющую формулу для /, воспользуемся тем, что равенство /(хи .... х„_, хя) = хя+| справедливо тогда и только тогда, когда существует конечная последовательность с(„ ..., сх , такая, чго со =	с*п = хл+1 и с<+1 =	—> x„-t ч <-*«) для каждого
1 ~ 0, ..., х„ — 1, а это, в свою очередь, равносильно существованию таких а и Ь, что Ьу 0) = g(x}, ..., xn_(), Р(а, b, хп) = хя4., и для каждого / = 0, ..., хп— 1 выполняется равенство р(ц, b, i + 1) — = Л(хр .... хя_! I, Ь. /)). Таким образом мы приходим к формуле
С = С(х,, .... х_„) = 3з>,33>г|3г,(6(>'„ у2, 0, Z.) &
&	....-Vn	х,., x„tl)&Vz(z < х„э
ЗЗггЭг,(®(у„ i>2, z, z2)&@(y,, уг, z', zj &
&S5(x„ .... x^r. z, гг, zt))) |.
378
ГЛАВА J
Докажем, что эта формула в самом деле представляет функциюf Пусть/(Ар к„) = I. Будем обозначать выражение, стоящее в фор^ муле б в квадратных скобках, через £) или 5)(у„ у2,	..., л;, ,,); положим такжеДА,....................................кп_}, /) — lf(i — 0,	А„) (так что/А = I). Пустьац
b — числа, для которых (1(«, b. Г) = I, при любом i = 0,	к,,. Чтобы
доказать |- 6(4^, кл, Г) (условие (4) для функции б), достаточно проверить, что |—£)(о, h, к1У кп, I), а для этого, в свою очередь достаточно установить доказуемость каждого из трех конъюнктивных членов последней формулы в отдельности. Доказуемость первого члена следует из &(а, Ь. 0.10) (условие (4) для О) и 91(Л(, ....	10) (условие (4) для 31). Второй член есть &(а, Ь, кп, [у
его доказуемость следует из условия (4) для <5. Чтобы установить доказуемость третьего члена, достаточно установить доказуемость его подкванторного выражения, представляющего собой импликацию с посылкой z < jtn; эта последняя цель — ввиду утверждения 4 предыдущего параграфа и правил УД и ВИ — будет достигнута, если мы покажем, что для любого i < кг1 имеет место выводимость z = i I— 6, где 6 — заключение упомянутой импликации. Пусть теперь (V — формула, полученная из подкванторного выражения формулы 6 заменой переменных z, z2, z} цифрами i, Zl+1 соответственно. Ввиду правила ВЗ и того факта, что наше исчисление Аг есть исчисление на основе G, с равенством, для доказательств;! выводимости z = i I— 6 достаточно установить, что формула 3 доказуема. Но	Ь, i, b, Z+l, Zi+l)&S5(Jl|, Z, Z„ Z,+I); пер-
вые два члена этой конъюнкции доказуемы в силу условия (4) для (5, третий — в силу того же условия для Я5.
Остается доказать, что формула б удовлетворяет условию (3')-Мы докажем это (неформальной) индукцией по числу к„, которое для большего удобства будем обозначать L Итак, мы докажем индукцией по /, что формула б(Л„ ..., k„_t, i, z)2Dz = Z„ где lf = f(kt, .... A„_(, является теоремой.
Базис. Легко показать (это предоставляется читателю) что трехчленная конъюнкция £)(у, у2,	кп_,, 0, z) дедуктивно экви-
валентна конъюнкции двух своих первых членов. Отсюда по теоре-мс о замене дедуктивно эквивалентных формул следует, что фоР" мула б(Л,, ..., к„~1У 0, z)Dz = Z# дедуктивно эквивалентна форму-ле	у2, 0, z,)&Sl(4,,	z,_v2, 0. z) |Dz = А»
так что достаточно установить доказуемость этой последней. Но ввиду условия (3') для формулы 91 имеем 21(4,. ...,	z}) i- z, = ^итеМ
более @(y„ y2, 0, zJ&Slfi,, ..., kn_t, z,)&©(>-, y2, 0, z) i- z, - Ze.
НОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА	379
В то же время ввиду условия (3) для (5 справедливо (5(>\. Л- °.	у2, 0, z) |- z = z,. Отсюда 6(3’,. у2, 0, z,)&
$91(£р	z|)&©(yl, У2. 0. z) t- z = Zo. В последней выводи-
мости левую часть можно связать квантором существования по zt (правило УЗ), из-под которого можно затем вынести (5(ур у2, 0, z) (по (П) из § 6.1), после чего, применив еще два раза УЗ, получаем 3y,3v2|3z,(©(.)’„ );, 0, z,)&5l(t.z,))&©(>’,. у,, 0, z) I I-Z = 1„-
остается применить ВИ.
Индукционный шаг. Пусть i- (S(jtp ..., Ля_„ i, z)Dz = Z(, или, что то же самое, .....г) 1- z = I. Покажем, что в этом слу-
чае С(£р , £„_Р < + 1, z) I— z = /г+|. Сначала докажем, что 6(ЛР .... £,_р i+ 1, z) । 3iv(6(£15 £nP i, w)&ib(k}1 .... kti_t, i, w, z)). Для произвольного натурального числа j и произвольного терма / будем обозначать через £)/0 формулу 5)(ур у2, к,.kn_t, j, t). Вви-
ду утверждения 2 предыдущего параграфа i<i+l; поэтому из третьего конъюнктивного члена формулы £\+1(z) и тем более из самой этой формулы выводима формула ЗмЗи>(<5(ур у2, i, м>)& &(5(уР у2, i+l, wt)&^(kv ... kn_t, i, w, wt)) и, следовательно, также Зи’,|®(у„ y2, i+l, 1У,)&Зи(®(у„у2, i,	>',)) I, а из
этой последней формулы и формулы @(у„ у2, i+l,z), являющейся вторым КОНЪЮНКТИВНЫМ членом формулы ©.jpfz), можно, принимая во внимание, что |— 3LvG(ypу2, i+l, х) (усиленное условие (3) для О, см. выше, с. 377) вывести формулу 3>v((5(yp у2,1. w)& &33(£р .... i, w,z)). (Действительно, в любом исчислении на основе G, с равенством для любых формул ЭД и 9} справедлива выводимость ЭД(у). Зг(ЭД(г)&92(г)), 3!хЭД(х) |- 9?(у), где х, у, z — переменные, свободные для подстановки вместо друг друга в ЭД и 91; доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. ] Таким образом. £)(4j(z) j-Зм<@(ур у2, i, и’)&£5(А., ..., кн_ , i, и’, z)). Далее, т. к. первые конъюнктивные члены формул £>,(|р) и £)1+i(z) совпадают, а из третьего члена £)i+1(z) выводится третий член £),(»v) (ввиду утверждения 2 и соотношения (21) из предыдущего параграфа), имеем £),+1(z) |- £2&3w(<S(yp у2, i, w)&$&(kt, ..., i, w, z)). где 6 — конъюнкция первого и третьего членов 5),(vv); из правой части этой выводимости, внося й под квантор, можно вывести 3iv(S)1(m)& &53(ЛР ..., jtZ)_p i, z)). Отсюда, пользуясь правилами ВЭ и УЗ, получаем Зу^у^^/г) 1—Зу^Зз^З^^/и^&ЗЗ^,, ..., ktl р i, ip, z)). Но леКая часть последней выводимости есть как раз .... А„_р i+l, z), из правой легко вывести
380__________________________________________________
Э^(б(Л,, £я_р i, w)&^&(ki...kn_lt i, w, zj).
Теперь уже нетрудно завершить индукционный шаг. Используя замечание, сделанное выше в квадратных скобках, мы видим, чт0 ЭИ'(<?(4,,	к„_„ i, н)&®(4„	4л_„«, w, z)),	G(4„ .... 4,_„ i,Zj
3!уб(А,, Дп_р i, у) |-	Л„_|, l„ z). Но в левой части этой
выводимости первая формула выводится, как мы только что доказали, из С(ДР jtfl_P Н-1, z), а остальные две являются теоремами (вторая — ввиду уже доказанного условия (4) для (£, третья —. ввиду того же условия и предположения индукции). Поэтому <£(£,,	£л_, i+1, z) |-55(Лп ..., х, Zp z); однако по условию (3')
для формулы Ж имеем	i, l„ z) i- z = Z.+1. Этим за-
вершается индукционный шаг, а тем самым и доказательство теоремы.
Вспоминая лемму, доказанную в начале параграфа, непосредственно получаем
Следствие. Всякий рекурсивный предикат представим в формальной арифметике.
§ 8.3. АРИФМЕТИЗАЦИЯ ВЫВОДОВ
1. Сейчас мы занумеруем формулы и деревья выводов в исчислении Аг аналогично тому, как это было сделано в §§ 7.7 и 7.9 для машин Тьюринга и тьюринговых вычислений. Как и там, нумерация будет основана на использовании представления чисел в системе счисления без нуля.
Будем кодировать слова в алфавите исчисления Аг словами в алфавите {лр ..., о2()} следующим образом (ср. кодирование машин Тьюринга в § 7.5): кодом переменной х„ будет слово пр кодами символов 0,	v, D, 7, Л, V, 3, (,), , — символы а2, .... а\(>
соответственно15; кодом слова a,---as, где а( — элементарные символы, будет слово х(а()- • -x(aj, где х(а/) — код символа а,; кодом пустого слова будет оно само.
Стандартный номер (см. начало § 7.7) кода слова в алфавите АГ будет называться просто номером этого слова. Как и в §§ 7.7, 7.9, мЫ часто будем отождествлять номер слова с его кодом и вместо at, и т. д. будем иногда писать 1,2 и т. д.
1 Символы <7|7, .... azo понадобятся нам ниже для кодирования выводов.
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
Далее нам понадобятся некоторые функции и предикаты, определенные при доказательстве основной леммы в § 7.9 и являющиеся, как было установлено там же. примитивно рекурсивными16. Точнее, МЫ будем пользоваться только первыми одиннадцатью введенными там (на с. 346—347) функциями и предикатами, т. е. теми, которые относятся только к свойствам чисел (или слов) как таковых, а не нумеруемых объектов. К этим функциям и предикатам мы присоединим некоторые другие и докажем, что они также примитивно рекурсивны. Как и в § 7.9, функции обычно будут обозначаться сочетаниями строчных русских букв, предикаты — прописных. (Но иногда будут использоваться латинские и греческие буквы.)
1)	ПЕР(л') — «х есть номер переменной».
ПЕР(л') s 7(.х = 0)&?3z (ВХОДСх, z)&(z = 2v---vz = 20)). z<x
(Здесь перечислены все «цифры» нашей системы счисления, кроме единицы, служащей для кодирования переменных.)
2)	КВТ(.х) — «.v есть номер “квазитерма”, т. е. выражения, которое либо есть переменная или символ 0. либо имеет вид +(«» v), или -(и, г»), или (и)', где и, v— произвольные слова17.»
Чтобы доказать, что этот предикат примитивно рекурсивен, введем следующие вспомогательные функции а,(и, г»), аг(и, v), Ь(н): произвольным словам и. v (отождествляемым с их номерами) функция а, сопоставляет слово + (д, v) (отождествляемое с его иомером), а функция «2 — слово • (а, г>); функция Л произвольному слову и сопоставляет номер слова '(и). Примитивная рекурсивность этих функций очевидна.
Теперь определение предиката КВТ можно записать так:
КВТ(х) = ПЕР(л)\/х = 2v3w Зв(х — at(u, v)v.v = «2(ц, v))V
v3w(x = d(u)). u£x
(Число 2 — номер символа 0.)
3)	ТМ(л') — «х есть номер терма)»:
ТМ(х) = KBT(x)&Vz(BX04(.v, z)&KBT(z)DnEP(z)Vz =
= 2v3w3t»(z = at(u, v)Vz = a2(u, i))v3«(z = b(u))).
16 Тот факт, что сейчас мы пользуемся днадцатеричвой системой счисления вместо девятеричной, не имеет, разумеется, никакого значения.
17 Напомним, что обозначения ми « + и, н • р, и' мы пользуемся лишь для удобства чтения вместо + (и, v), (u, v), '(и).
382
1'ЛАВд 8
(Это представление основано на том очевидном факте, что слово является термом тогда и только тогда, когда, во-первых, оно есть квазитерм, и, во-вторых, непосредственные составляющие любого входящего в него неэлементарного квазитерма —тоже квазитермы.)
4)	Аналогичным образом нетрудно доказать примитивную рекур., сивность предиката ФМ (х) — «х есть номер формулы».
5)	цф(л) — функция, сопоставляющая натуральному числу л номер цифры п:
]цф(°) = 2
|чф(« + I) = Л(цф(п)).
(Здесь b — функция, введенная перед определением предиката КВТ.)
Для дальнейшего нам понадобится теперь уточнить понятие вхождения. Именно, мы будем называть вхождением слови у в слово х упорядоченную тройку слов шли чисел) («. у, у), такую, что ну V = .V.
6)	ОБЛКВ (х, и, у, V, z) — «вхождение (м, у, и) слова с номером у в формулу с номером х содержится в области действия квантора по переменной с номером z»:
ОБЛКВ (л, и, у, и, z) = фМ(х)&ПЕР(г)&
&х = произв$(д, у, v)&3jv Зи'2 3/, 3/, 3<у
|х = произв,(/|5 и>, (2)&ФМ(и’)&и2 = произв5(д, z, ил, у, %)&
&(q - 12 V <7 = I3)&« = произвд?,, г/, z, и-,)&и = произв(н>2, /2)
(Числа 12 и 13 — номера символов V и 3.)
7)	СВВХ (.v, и, у, у) — «тройка слов с номерами и, у, v представляет собой свободное вхождение переменной с номером у в формулу с номером х»:
СВВХ(х, м, у, и) = ФМ(х)&ПЕР(у)&х = произв4(д/, у.и)&
&/ОБЛКВ(х, н,у, и, у).
8)	СВ(х, у) — «переменная с номером у входит свободно в форму' лу с номером л»:
СВ(х, у) = В« Эе СВВХ(л, и, у, и).
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМ1 1ИКА	383
9)	СВП(х. у\ z) — «терм с номером z свободен для подстановки вместо перемен нои с номером у в формулу с номером х»:
СВП(х, у, z) = ФМ(х)&ПЕР(у)&ТМ(г)&
&^3« Зе 3»v (СВВХ(х, и, у, v)& w<x i?S< H<v
&ОБЛКВ1Х, и, у, и, и^&ВХОЩг, и)).
10)	зам(х. у. z): если х — номер формулы 51, у — номер переменной л; и z — номер терма /, свободного для подстановки в 51 вместо х,, то зам(х, у, z)—номер формулы 511;'<; в противном случае зам (х, у, z) = 0.
Чтобы доказать, что функции зам примитивно рекурсивна, докажем сначала примитивную рекуреивность трех вспомогательных функций;
А,(х, у, п) — номер начала формулы с номером х до и-го свободного вхождения переменной с номером у (если число таких вхождений меньше л, то й,(х, у, л) = х; если х — не номер формулы или у — нс номер переменной, то й,(х, у, л) = 0):
Л,(х, у, 0) = 0
h,(x, у, п + 1) = jiz |ФМ(х)&ПЕР(у)&НАЧ(г, h,(x, у, п))& z£a
&7(z = йдх, у. л))&(3д CBBXfx, z, у, w)Vz = х)&
&?3v Зи> |НАЧ(е, Л|(л, у, — /?|(х, у, //))&
&HA4(z,	— z)&CBBX(x, v, у. iv) 11.
Л2(х, У» /?) — номер куска формулы с номером х между л-м и и + 1-м свободными вхождениями переменной с номером у (или конца формулы после н-го вхождения, если число таких вхождений равно п; если же их меньше п, а также если х — нс номер формулы или у — не номер переменной, то h2(x, у, п) = 0):
Л2(х, у, п) = pw 1Л|(х, у, п + 1) = произв3(й|(х, у, и), у, и)
/з,(а, у. z, п) — номер результата замены в слове с номером Л,(х, у, л) всех свободных вхождений18 переменной с номером у вхождениями терма с номером z, свободного для подстановки в формулу с
I [одразумеиаштся гхождепия, етчюдные в формуле <. номером ».
ЗЙ4
1 ЛЛВд8
номером л вместо переменной с номером у.
h£x, у, z, 0) = 0
Лч(х, у, z, п + 1) = произв3(Л5(х, у, z, п),
z sg(x - Л,(х. у, z. п)). Ндх, у, п)) свп(х, у, z),
где евп — характеристическая функция предиката СВП.
Теперь ясно, что зам(х, у, z) = Л3(х. у, z, |1и(Л,(л-, у, п) == х)).
И) зам'(Л/(,	j„) (п = I, 2, -••): если Z—номер формулы
21(х15..., хи) (здесь х„ ..., л„, как всегда — не «метапеременные», а настоящие переменные!) и /,	/„ — номера термов свобод-
ных для подстановки в 51 вместо х„ хп соответственно, то зам'(<,/Р есть номер формулы 21(7,, у; в противном случае замп'(/,/„	= 0.
Примитивную рекурсивность этой функции можно доказать так. Используя функции новпср'п (у, zl5 z„) — номер Z-й (в порядке возрастания номеров) переменной, не входящей в формулу с номером у и в термы с номерами z,, zn, — примитивная рекурсивность которой устанавливается без труда, легко доказать примитивную рекурсивность функций зам'' (/,/й), отличающихся от заметем, что вместо л,, ..., х„ подставляются не термы	а первые (по
порядку номеров) п переменных, не входящих в формулу 21 и в термы lt, ..., 1п. Например, зам2 (г, л,/2) = зам (зам (i, с,, новпер2 с2, новпер2 (/,/,, Л)), где с*,, с2— номера переменных хр х2. Далее, формулу с номером зам,'	jn) можно получить из формулы с
номером зам'' (/,/р	/я) путем «-кратной последовательной подста-
новки термов с номерами вместо переменных с номерами новпер'Х/р/п У„),новпер" (/„/,, Примитивную рекурсивность соответствующей функции доказать нетрудно. Подробности предоставляются читателю. (Он без труда поймет также, почему нельзя воспользоваться последовательной подстановкой непосредственно вместо х„ ..., х„.)
12) общ(х, у), сущ(х, у): если х — номер формулы 21 и у — номер переменной х,, то обш(х. у) и сущ(х, у) — номера формул Vx,2l и 3x21 соответственно; в противном случае их значения равны нулю.
Примитивная рекурсивность этих функций очевидна.
2. Перейдем к кодированию и нумерации деревьев вывода. В кодах деревьев будут участвовать символы а|7, ц|8, а19, а20, вместо которых мы для удобства будем писать соответственно b, с, d, е.
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
385
1) Кодом элементарного дерева вывода (дерева высоты 1) будет с,пово ubi\c...vkc, где и — код формулы, записанной в дереве под чертой, и ц,..., vk — коды формул, записанных над чертой (в том порядке, как они записаны); код дерева, отвечающего правилу ИТ, имеет вид ubc, где и — код некоторой формулы вида 21 v?2l.
2) Пусть п > I и для каждого дерева вывода высоты < п определен код- Для произвольного слова w, содержащего вхождения символа е, будем обозначать через r(w) наибольший конец н\ начинающийся вхождением е и не содержащий вхождении b, с, J; если таких концов иет, тог(и’) — пустое слово. Пусть теперь: D — дерево вывода высоты п + 1; £>|, Dk(k — 1,2,...) деревья и/или формулы, записанные в D непосредственно над самой нижней чертой (слева направо); /— корень D; gt, gs(s = 0, 1, •••) — формулы, устраняемые на последнем шаге вывода, отвечающего дереву D. Тогда кодом дерева D будет слово//6ц а, ••• bvkakr(v^  r(y^\v, где: и — код формулы /; ц — код дерева или формулы £>; а. есть d, если £> — дерево, и с, если Д — формула; w = ewt-• • ewif где ну — код формулы gt (если s = 0, то w — пустое слово).
Таким образом, если q — код дерева вывода, то «главная часть» q, т. е. слово, получаемое из q вычеркиванием всех кусков вида г(и’), есть «линейная запись» дерева, a r(q) — перечень кодов его увядших листьев, разделенных вхождениями е. Полный список листьев дерева состоит из всех формул, коды которых входят в q таким образом, что за ними следуют вхождения с. Начало //до первого вхождения b есть код корня дерева.
Стандартный номер кода дерева вывода мы будем называть просто номером этого дерева.
Теперь нам нужно рассмотреть некоторые функции и предикаты, связанные с деревьями вывода, и доказать, что они примитивно рекурсивны. Для этого будут использоваться те же технические приемы, что и в § 7.9 и в пункте 1 настоящего параграфа, и мы позволим себе не приводить всех деталей; при желании читатель восстановит их без большого труда.
1)	Д(х) — «х есть номер формулы или перева вывода».
Здесь и далее, говоря о дереве вывода, мы подразумеваем дерево, отвечающее выводу, в котором не применяется правило тривиальной выводимости. Поскольку это правило, как мы показали на с. 169, избыточно, на объем отношения выводимости такое ограничение не влияет.
Доказательство примитивной рекурсивности предиката Д будет основано на том, что «главные части» используемых нами кодов деревьев вывода представляют собой «скобочные структуры», построенные так же, как термы и формулы; коды листьев занимают в
;w6 гллвл.
них места элементарных термов и атомных формул, коды остальных входящих в вывод формул — места функциональных и предикатных символов, символ b играет роль левой скобки, символы с и d — роль правой скобки. Поэтому мы можем определить предикат Д подобно тому, как было сделано выше для предиката ТМ. Однако это будет сложнее, потому что, во-первых, нужно учитывать увядание листьев, и во-вторых — это главное,— в отличие от терма и форму! лы, где «заголовок» может быть произвольным функциональным соответственно предикатным символом, в коде дерева «заголовок» (код корня) зависит от вида поддеревьев, из которых это дерево «собрано».
В доказательстве примитивной рекурсивности предиката Д мы будем использовать введенную на с. 385 функцию г(гг), примитивная рекурсивность которой почти очевидна, и еще несколько функций и предикатов, также, как нетрудно проверить, примитивно рекурсивных:
кор (л) («корень дерева х>>) — начало слова х до первого вхождения Ь (само это вхождение в кор (л) не входит); если вхождений b нет, то кор (х) — х;
бк (л) («х без корня») — конец слова х, остающийся после вычеркивания кор(х);
/?(нр иг, uj, </(ц, w2), s[u): функция р сопоставляет словам ир ц2, ui слово bulaibu2a2buiasr(ui)r(u2')f'(u3), где а, есть буква с, если ut не содержит вхождений Ь, и буква d в противном случае; д и s — аналогичные функции двух и одной переменной;
0А(и, v), 6у(и, г>), 0э(н, v). б7(г/): функция сопоставляет номерам слов и. v номер слова (ц)&(г>); (Jv, и 07 определяются аналогично;
ЛС(х, у) — «к содержит вхождение слова Ьус, а у непусто и не содержит вхождений Z>, с, d, е»\
УЛ(х, у) — «х содержит вхождение слова eye или оканчивается словом еу, а у не содержит вхождений b, с, d, е».
ЗЛ(х, у) = ЛС(х, у)&7УЛ(х, у).
(Если х — номер дерева вывода, то ЛС(х, у) означает, что у есть номер одного из его листьев, УЛ (х, у) — что у есть номер одного из его увядших листьев, ЗЛ(х, у) — что у есть номер одного из его зелены х л истьсв.)
Далее мы определим предикат КВД(х), аналогичный рассмотренному выше предикату КВТ(х). Именно, КВД(х) означет, чтох есть либо код формулы, либо слово, отличающееся от кода дерева тем, чТ°
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
387
ц, vK могут быть произвольными словами (но и и v связаны с ц, *4 так же, как в коде дерева). Мы положим
КВД(х) = OM(x)V(ABK(x)V...vAi3(x) |&В(х) ],
где В(х) означает, что а. есть с тогда и только тогда, когда есть код формулы (записать это нерудно) и где дизъюнктивные члены ’ Аз отвечают четырнадцати логическим правилам исчисления Аг — или, безразлично, исчисления Gt.
Мы выпишем в явном виде только некоторые дизъюнктивные члены; остальные читатель сможет записать сам.
Ак(-*) — За Hv [бк(х) = </(«, г>)&кор(х) = И<л Г=Л
= 0А(кор(д), кор(0) ];
АкОО = a;k(x)vA"k(a-,), где: Л;,к (х) s
== Эд 3z|6k(x) — £(д)&кор(п) = (J&(Kop(x),z) |;
АуК определяется точно так же с заменой 0А(кор(х), z) на UA(z, кор(х));
Ад(х) = Sv Bw 3z1 Bz2 [бк(х) =
uS.k "< i Z|<x z2—x
= произв3(/)(д, v, w),e, zt,e, z2)&Kop(x) = кор(д) = кор(г>)&
&ЗЛ(д, г,)&ЗЛ(и, z2)&Kop(H') = 0v(zl, z2);
Лцо(х) = Зд 3z [бк(х) = произв3($(п), e, z)& ll<X z<t
z)&KOp(tt) = 11&кор(х) = 67(z) J
(число 11 — номер символа Л);
Abv(x ) = Зм Bz [бк(х) = .$(д)&кор(л-) =
— общ(кор(д), z)&7Bh’ (ЗЛ(д, w)&CB(h’, z)) ];
Авэ(х) 3v 3z Эи- (бк(х) = s(u)&
&кор(д) = зам(ц z, w)&Kop(.v) = сущ(г», z) J.
Смысл приведенных записей легко понять. Например, в представляющей формуле для Ауд первый конъюнктивный член в квадратных скобках означает, что в дереве с номером х над самой нижней чертой записаны деревья с номерами и, о и и и что на последнем шаге
388
ГЛАВА8
соответствующего вывода устраняются гипотезы с номерами z, и z • смысл остальных членов ясен непосредственно.
Теперь предикат Д можно получить из КВД аналогично тому, ТМ получется из КВТ: слово удовлетворяет условию Д тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию КВД и для всякого входящего в него слова, удовлетворяющего условию КВД и не являющегося кодом формулы, его «компоненты» тоже удовлетворяют условию КВД. Соответствующая запись, из которой следует примитивная рекурсивность Д, громоздка, но очевидна.
2)	AKC(z) — «z есть номер аксиомы исчисления Аг».
Этот предикат можно представить в виде дизъюнкции одиннадцати предикатов, отвечающих схемам аксиом исчисления Аг:
AKC(z) = AKC/z)vAKCi(z)v...vAKCi,fe(z),
где для каждого?; = г, ..., <х8 АКСдг) означает «z есть номер аксиомы, образованной по схеме (£)»- Запись предикатов АКС>, отвечающих простейшим схемам, очевидна: например,
AKC/z) ~ Э/, Зд [ПЕР(/,)&ПЕР(д)&г = зам20, /„ /2) ],
где 4 — номер формулы х, = х2Эх2 = х,. Что касается предиката АКС„4, то с помошью функций 0а, 63, общ, b и зам (Ь — функция, определенная на с. 381) легко выразить функцию ф(/, /), которая всякому /, являющемуся номером формулы 91, и всякому /, являющемуся номером переменной х, сопоставляет номер формулы 91(0)&Vx(91(x)D91(x'))DVa-91(x); но
AKCU4(z) = Bi Bj (z = W,/)).
3)	ДОК(х, у) — «к есть номер теоремы и у— номер ее доказательства»:
ДОК(х, у) = Д(у)&кор(у) ~ x&Vz (3JI(z)DAKC(z)).
4)	<7(у) — функция, сопоставляющая каждому у, являющемуся номером формулы 91, номер формулы 911**, и равная нулю для остальных у:
г/(у) = зам(у, 1, цф (у)).
5)	W,(y, z) — «у есть номер формулы 91(х,), содержащей свободное вхождение переменной а; и не содержащей свободных вхождений
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
других переменных, az — номер доказательства формулы 21(>)» (так что 21(у) есть теорема):
^(y, z) = СВ(у, 1 )&Vv (СВ(у, v)Z)v = 1&ДОК(£/(у), z).
6)	W2(y, z) — «у есть номер формулы	содержащей свободное
вхождение переменной xt и нс содержащей вхождений других переменных, az — номер доказательства формулы ?21(у) (так что 721(у) есть теорема):
W2(y, z) = СВ(у, l)&Vv (СВ(у, v)Dv = 1)&ДОК(б7(^(у)), z).
3. Теперь мы можем доказать, что если формальная арифметика непротиворечива, то справедливо утверждение, обратное теореме предыдущего параграфа: всякая функция, представимая в формальной арифметике, общерекурсивна.
Пусть функция /(%,,	х„) представляется формулой
= 210(х..... хя+1), имеющей номер 10. Рассмотрим функцию
<p0(A„..., А„+|), сопоставляющую любым натуральным числам к„ ..., Л„+г номер формулы Шо(£(, ..., Лп+|); эта функция представляется в видезамп'+1(/0, цф(А,), ..., цф(Ан+1)) и, следовательно, примитивно рекурсивна. Далее нам понадобится функция Х(р), которая в случае, когда р — номер какого-либо доказательства формулы вида ^(Л,,	Лп+|), где к1У Лп+| — произвольные натуральные числа,
принимает значение Ач+1, а в остальных случаях обращается в нуль. Ес можно представить в виде
X (р) = рА [3<7 (ДОК(?, р)&Эк, ...ЭА„ (« = Ч’о(*|» •••.*.. *)) I </<₽	*!<₽ *п<р
(потому что для заданного р может существовать не более одного q, удовлетворяющего условию ДОК(<у, р), а для заданного q — не более одного набора к...кпУ удовлетворяющего ус-
ловию = (р0(Лр к„у А)19); следовательно, Xтакже примитивно рекурсивна.
По условию (4) (см. начало предыдущего параграфа) для любых kit .... к„ доказуема формула 2l0(-fc(, ..., к„, Г), где I = f(klt ..., кп). В то же время прн условии непротиворечивости исчисления Аг ни при каком т f{k^ ..., к„) формула	4П, т) не может быть доказуемой: ввиду условия (3') из |-	..., кп, т) вытекает \т = I,
но по утверждению 3 из §8.1 при т I должно быть также
Поскольку никакое число не может быть номером более чем одной формулы.
390	ГЛАВд 8
1— 1(т = Г). Поэтому всякое число р, для которого существует такое т, что р есть доказательство формулы	, кп, т) —
иначе говоря, всякое р, удовлетворяющее условию 3/д ДОК (%(£,,	к„, т)у р) — является номером некоторого дока-
зательства формулы 210(Л,, ..., кп, I). Отсюда следует, что для всякого такого р справедливо равенство Х(р) = I = /(А,,	к,). В сформули-
рованном только что условии для р можно ограничить квантор 3гц числом р (т. к. номер доказательства формулы 910(Лр ..., кп, т), очевидно, больше т). и мы получаем равенство
/(*,♦	*„) = X (|ip[3zw ДОК(<1о(Ар ..., кп, т), р) ]).
Таким образом, всюду определенная функция f выражается через примитивно рекурсивные функции и оператор минимизации; следовательно, она обшерекурсивна.
Объединяя доказанное утверждение с теоремой предыдущего параграфа, мы видим теперь, что если формальная арифметика непротиворечива, то класс функций, в ней представимых, совпадает с классом общерскурсивных функций.
Наконец, теперь легко видеть, что предикат, заданный на множестве натуральных чисел, тогда и только тогда представим в формальной арифметике,— при условии ее непротиворечивости,— когда он рекурсивен. В самом деле, по лемме из § 8.2 предикат тогда и только тогда представим в формальной арифметике, когда представима его характеристическая функция, а это по только что доказанному равносильно ее общерекурсивности, т. е. рекурсивности предиката.
Задачи. 1) Видоизменить конструкцию этого пункта таким образом, чтобы получить из нее новое доказательство теоремы Клини о нормальной форме для случая всюду определенных функций.
2) Какие функции представимы в противоречивом логическом исчислении, алфавит которого совпадает с алфавитом Аг?
§ 8.4. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ
1. Насколько адекватна формальная арифметика для описания содержательной арифметики натуральных чисел? Этот вопрос, к обсуждению которого мы сейчас переходим, можно уточнить так (ср. начало § 5.4): является ли исчисление Аг семантически пригодным и семантически полным?
фОРМАЛЫ (ЛЯ АРИФМЕ СИКА
391
В конце пункта 4 параграфа 6.3 мы уточнили понятия семантической пригодности и семантической полноты для исчислений на основе С?, следующим образом: семантическая пригодность исчисления означает, что все интерпретации определенного класса — те, для описания которых это исчисление предназначается — служат для него моделями, асемантическая полнота — что всякая его формула, истинная во всех интерпретациях этого класса, является в нем теоремой. Но исчисление Аг предназначено для описания всего лишь одной интерпретации — той. которую мы в § 8.1 (пункт 7) назвали стандартной. Эта интерпретация является для него моделью, н, таким образом, оио семантически пригодно.
Прежде чем переходить к несравненно более сложному вопросу о семантической полноте, вспомним, что в § 6.2 мы ввели еще дедуктивную полноту, означающую, что любая замкнутая формула либо доказуема, либо опровержима (т. е. доказуемо ее отрицание). Это понятие также представляет интерес в семантическом аспекте, хотя оно и определяется в чисто дедуктивных терминах. Прежде всего, легко видеть, что для семантически пригодных исчислений дедуктивная полнота влечет семантическую: если бы в семантически пригодном и дедуктивно полном исчислении некоторая истинная формула 21 оказалась недоказуемой, то ее замыкание20 21' также было бы истинной и недоказуемой формулой; но тогда была бы доказуема и, следовательно, истинна формула '21', однако ни при каком разумном понимании истинности формулы 21' и ’21' не могут быть истинны одновременно. В то же время обратное неверно. В самом деле, если хотя бы для одной замкнутой формулы 21 семантически пригодного исчисления L среди его «запланированных» интерпретаций — тех, для описания которых оно предназначено — найдутся две, в одной из которых 21 истинна, а в другой невыполнима, то ни одна из формул 21 и ?21 не может быть доказуемой в L и, следовательно, L не является дедуктивно полным. Но уже в исчислении С7,, которое, как мы доказали в § 6.2, семантически полно и для которого «запланированы» все интерпретации, можно указать сколько угодно замкнутых формул, истинных в одних интерпретациях и невыполнимых в других (см, хотя бы примеры в § 4.1), так что Gt дедуктивно неполно. То же справедливо для семантически полных исчислений, рассмот
20 Замыканием формулы 2l(zi,.... z*), содержащей свободные переменные zi...z* и не содержащей других свободных переменных, называется формула
Vzi ... Vz*2l(zi, .... z*); замыкание замкнутой формулы совпадает с ней самой. Легко видеть, что если 21—формула некоторого исчисления I. на основе Gi и 21' —ее замыкание, го: (а) |—21 тогда и только тогда, когда |—2Г; б) какова бы ни была интерпретация формулы 21, эта формула истинна к ней тогда и только тогда, когда истинна 21'.
392
ГЛАВА 8
ренных в § 6.3, пункт 4 (примеры 1—3). Существуют, например, группы, в которых истинна формула Vx(x 4- х 4- х = 0), равно как и группы, где истинно ее отрицание — и уже отсюда следует, что элементарная теория групп дедуктивно неполна; легко подобрать нужные формулы и для других исчислений из § 6.3. Мы видим, таким образом, что дедуктивная неполнота этих исчислений — естественное следствие разнообразия их моделей: исчисление, предназначенное для описания математических объектов с существенно разными свойствами, нс только не может, но и «нс должно» быть дедуктивно полным. Но если исчисление построено ради описания одной модели его семантическая полнота влечет дедуктивную и, следовательно, равносильна ей: ведь если в таком исчислении некоторая замкнутая формула 21 недоказуема, то из семантической полноты следует, что она нс является истинной в его единственной «запланированной» модели; поэтому формула 7 21 истинна в этой модели и, значит, доказуема.
Задача, а) Доказать, что исчисление, полученное из элементарной теории групп добавлением аксиомы Vx(x 4- х 4- х = 0), имеет с точностью до изоморфизма единственную модель.
б) Убедиться, что это исчисление дедуктивно полно.
Таким образом, для формальной арифметики оба понятия полноты совпадают по объему, и мы можем в дальнейшем интересоваться только одним из ннх. Нам удобно будет исследовать вопрос о дедуктивной полноте, которую мы будем называть теперь просто полнотой.
Если бы формальная арифметика была полной, это значило бы, что всякое истинное арифметическое предложение, выразимое на ее языке (т. е., в сущности, на языке узкого исчисления предикатов), было бы в ней доказуемо, а всякое ложное — опровержимо2'; это было бы очень «хорошее» и «естественное» свойство, и в свое время многие из математиков, занимавшихся логическими основаниями своей науки, надеялись, что формальная арифметика полна и это удастся доказать. Нов 1931 г. 25-летний К. Гёдель получил сенсационный результат: оказалось, что если формальная арифметика обладает некоторым простым свойством, которое он назвал <о-непро-тиворечивестью (н которое следует из семантической пригодности, если только в стандартной интерпретации нет противоречий), то она неполна, и, более того, можно указать конкретное предложение, выразимое на языке формальной арифметики и истинное, но не доказуемое в ней. А в 1936 г. Дж. Б. Россер показал, что в теореме Гёделя можно заменить ^-непротиворечивость обычной непротиво- 21
21 1 [апомним. что предложениям отвечают в исчислении на основе Gt з а м к и У" т ы е формулы.
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
393
речивостью (ценой некоторого усложнения доказательства и самого примера истинной недоказуемой формулы). Эту теорему называют обычно теоремой Гёделя о неполноте, а иногда просто «теоремой Гёделя», потому что это самая знаменитая из его теорем (и одна из самых знаменитых математических теорем вообще). Сейчас мы докажем ее в обеих формах — в первоначальной и в форме Россера.
2.	Пусть L — исчисление, алфавит которого содержит алфавит формальной арифметики, и пусть, какова бы ни была его формула 31 — 91(х), если для любого натурального п в L доказуема формула 21(л), то нс может быть доказуемой формула Вх7Ш(х). Такое исчисление называется ^-непротиворечивым.
Понятно, что если в стандартной модели, в которой каждый элемент основного множества отвечает некоторой цифре, нет противоречий, то формальная арифметика «-непротиворечиво.
Теорема 1. Если логическое исчисление на основе G, ^-непротиворечиво, то оно непротиворечиво.
Доказательство. Чтобы убедиться в непротиворечивости исчисления на основе G„ достаточно, ввиду леммы 2 из § 6.2, найти в нем хотя бы одну недоказуемую формулу. Но в «-непротиворечивом исчислении не может быть доказуемой никакая формула вида Зх7Ш(х), где 91(х) — доказуемая формула, поскольку вместе с 91(х) доказуема, очевидно, любая формула вида 31(л).
По поводу обратного утверждения см. замечание в конце этого пункта.
Рассмотрим теперь введенный в конце пункта 2 предыдущего параграфа предикат Wt. Поскольку он примитивно рекурсивен, по следствию из теоремы § 8.2 существует представляющая его формула х2) исчисления Аг. Будем обозначать через в, или ©i(X|) формулу 73x,9В, (хь. х2). Пусть т( — номер этой формулы; формулу e(/nt) — иначе тЗ.^ЯВ^т,, х2) — обозначим Вспоминая, что означает предикат видим, что для всякого натурального п формула имеет (в стандартной интерпретации) следующий смысл: «Нс существует такого натурального числа z. чтобы п было номером какой-либо формулы 91<Х|) с одной свободной переменной х|5 a z — номером доказательства формулы ЭД(п)». А поскольку т} как раз есть номер формулы содержащей одну свободную переменную х„ формула $,(«,) =	означает: «Не су ществу ст натурального числа,
являющегося номером доказательства формулы ©//л,)» — или, что то же самое: «Не существует доказательства формулы (3,(т,)», т. е. «ё),(т,) — не теорема». Таким образом, формула в ы р а-ж а е т у т в е р ж д е н и е о своей собственной недоказуемости — подобно тому, как предложение, фигурирую-
394
ГЛАВА g
щес в парадоксе лжеца (см. Введение) выражает утверждение о своей собственной ложности. Это предложение, как мы видели, не может быть ни истинным, ни ложным — и по аналогии естественно ожидать, что формула, утверждающая свою собственную недоказуемость, нс будет ни доказуемой, нн опровержимой. Сейчас мы покажем, что это действительно так.
Теорема 2 (теорема Гёделя о неполноте в первоначальной форме). (а) Если исчисление Аг непротиворечиво, то формула недоказуема в нем; (б) если исчисление Аг ^-непротиворечиво, то в нем недоказуема также и формула 7®j.
Доказательство, (а) Пусть формула ©{ = ©/mJ доказуема, и пусть nt — номер какого-либо ее доказательства. Тогда по смыслу предиката W} предложение И/Ш], «,) истинно и, следовательно, доказуема формула 2В/т(, nJ. В то же время вместе с формулой ©,' = yBxjSB/m,, xj доказуема и формула VxpSB/m,, х2), а из нее по W выводится тЯВ/т,, л,). Таким образом, обе формулы ®/тр л,) и 7SB/m,, nJ оказались доказуемыми, что невозможно, если Аг непротиворечиво.
(б) Если исчисление Аг со-нспротиворечиво и в нем доказуема формула 7©/ то формула ©{ = ©/mJ в нем недоказуема (потому что по теореме 1 Аг в этом случае непротиворечиво), так что никакое числои не является номером ее доказательства и, следовательно, для любого и предложение	ложно. Поэтому для любого п дока-
зуема формула 7ЯВ/т,, и). С другой стороны, вместе с формулой 7©^ = 773х2ЯВ1(т|, х2) доказуема и формула Эх2775Е1(т|, х2). Но в (о-непротнворсчивом исчислении эта формула не может быть доказуемой, если для любого п доказуема уЯВ/т,, л).
Замкнутые формулы, недоказуемые и неопровержимые в некотором исчислении, принято называть неразрешимыми предложениями этого исчисления. Мы доказали, таким образом, что ©7' — неразрешимое предложение формальной арифметики.
В стандартной интерпретации, как уже было замечено, формула ©1 даст предложение «формула ©j недоказуема». Но мы только что доказали, что это предложение истинно. Итак, ©, может служить также и примером недоказуемой истинной формулы.
Соблазнительно подумать: быть может, в нашей формальной арифметике просто не хватает каких-то аксиом, и именно поэтому в ней нельзя доказать все истинные арифметические предложения — так же, как нельзя доказать все истинные предложения евклидовой геометрии, не пользуясь пятым постулатом? Но нетрудно понять, что это нс так. В самом деле, при доказательстве теоремы Гёделя мы
ФОРМАЛЬНАЯ А РИФ М ЕТИК А
395
пользовались только тем, что, во-первых, в исчислении представимы все рекурсивные предикаты, и, во-вторых, некоторые предикаты, связанные с выводимостью в этом исчислении <рассмотренные в § 8.3), рекурсивны. Однако нз определения представимости предиката непосредственно следует, что всякий предикат, представимый в исчислении Аг, представим и в любом его расширении; что же касается предикатов, связанных с выводимостью, то для любого простого расширения Аг с помощью конечного или даже бесконечного, но разрешимого множества формул приведенное в § 8.3 доказательство рскурсивности этих предикатов можно повторить слово в слово с той только разницей, что в выражении для предиката АКС добавятся новые дизъюнктивные члены. Следовательно, теорема останется справедливой и для исчисления, полученного добавлением к Аг любого разрешимого множества новых аксиом. Можно, например, присоединить в качестве новой аксиомы саму формулу тогда мы получим неразрешимое предложение, которое строится так же, как б),, но, разумеется, нс совпадает с ним, потому что понятие доказуемости будет теперь другое и, следовательно, предикат Ж, и представляющая его формула SB, также изменятся.
Замечание. В предположении обычной непротиворечивости исчисления Аг можно нс только провести доказательство утверждения (а) теоремы 2, но и показать, пользуясь этим утверждением (и рассуждая, как в доказательстве утверждения (б)), что для любого п в Аг доказуема формула	л). Тем более все эти формулы будут
доказуемы в простом расширении Аг с помошью формулы 7®, =	х2), которое мы обозначим L. Но в L доказуема
также и формула	x2). Таким образом, если Аг непроти-
воречиво, то L ы-противоречнво. С другой стороны, ввиду утверждения (а) теоремы 2 из непротиворечивости Аг по лемме 3 из § 6.2 следует, что L также непротиворечиво. Итак, при условии непротиворечивости исчисления Аг у него имеется непротиворечивое и в то же время ^-противоречивое простое расширение.
3.	Обратимся теперь к теореме Геделя в форме Россера. Рассмотрим введенный вместе с предикатом Wt примитивно рекурсивный предикат W2 и представляющую его формулу л2). Будем обозначать через @2 или ©2(xi) формулу
VW,. х2)ЭЭх,(х, < х2ЛЯВ2(х,, Л,))).
Пусть т2 — номер этой формулы; формулу &2(т2), подробнее
V.v2(aB,(m2, Л'2)ЭЭЛ,(Л', < Л'2&ав2(т2, л,))),
обозначим Вспоминая, что означают предикаты W\ и W2, видим
396
ГЛАВА 8
(ср. начало предыдущего пункта), что формула <S2(m2) = ($2 имеет (в стандартной интерпретации) следующий смысл: «Для любого натурального числа, являющегося номером доказательства формулы ©2(/п,), существует меньшее натуральное число, являющееся номером доказательства формулы 7<$2(т2)». Таким образом, формула утверждает, что если она доказуема, то доказуемо и ее отрицание (и притом найдется доказательство отрицания, номер которого меньше номера доказательства самой формулы).
Теорема 3 (теорема Гёделя о неполноте в форме Россера). Если исчисление Аг непротиворечиво, то в нем недоказуемы формулы @2 и 7<32.
Доказательство, (а) Пусть формула @2 Доказуема, и пусть п2 — номер какого-либо ее доказательства. Тогда предложение W,(m2, п2) истинно и, следовательно, доказуема формула $Вц(т21 п2). Из этой формулы и из формулы $В1(т2. л2)ЭЗл3(х3 < л2&Ж2(/л,, х3)), непосредственно выводимой из (32, выводится формула Зх3(х3 < п2& &$®2(/и2, л3)), а из этой последней (с помошью утверждения 4 из § 8.1 и теоремы о замене дедуктивно эквивалентных формул) — формула
Зх3((х3 = Ovx'j = lv---vx3 = и2 — 1)&®2(т2, л3));
из нее, в свою очередь, выводится формула
Зл'3(л3 = 0&SB2(m2, Xj)V---vx3 = х2 — 1&£В2(т2, х3))
и далее, поскольку Аг — исчисление на основе <7, с равенством, формула Зх3(ЯВ2(т2. 0) v--- vSB2(m2, п2 — 1)). В последней формуле квантор можно отбросить (т. к. формула Ш, не содержащая свободных вхождений х, дедуктивно эквивалентна формуле 3x21 — ср. доказательство теоремы 2 из § 6.2, пункт (е) индукционного шага), так что дизъюнкция ЯВ2(лл2, 0)v---v$B2(m2, п2 — 1) оказывается доказуемой. Но если Аг непротиворечиво, то формула 7(S2 — 7®2(m2) недо-казуема (поскольку мы допустили, что доказуема <S2); поэтому для любого натурального п предложение W2(m2, ri) ложно и, следовательно, доказуема формула ?®2(т,, н). В частности, доказуемы все формулы 7$В2(т2, 0), ...,7$B2(m2, п2 — 1); поэтому доказуема их конъюнкция, а из нее можно вывести отрицание дизъюнкции $B2(m2, 0)v-.-v®2(m2. п2 — 1), которая, как мы видели, также доказуема. Итак, доказуемость формулы ©2 несовместима с непротиворечивостью Аг.
(б) Пусть доказуема формула 7<$2. Мы покажем, что тогда
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕ'1 МКА
397
также доказуема, что опять-таки несовместимо с непротиворечивостью Аг. Достаточно установить доказуемость формулы
© = \/х!(7ЙВ1(т2, х2) v3xt(x3 < x2&SB2(m2, xs))),
т. к. она, очевидно, дедуктивно эквивалентна А для этого достаточно, в свою очередь, убедиться, что доказуемо подкванторное выражение этой формулы, которое мы обозначим £У.
Пусть к — номер какого-либо доказательства формулы ?(32. Из доказуемости (22) § 8.1 следует, что |- х2 < Avк < х2. Поэтому, если мы покажем, что х2 < А|- £)' и к < х2 н Я)', то по правилам УД и Т сможем получить |— £)'. Но из доказуемости ?(32 и непротиворечивости Аг следует, что формула (S2' = недоказуема; поэтому для любого натурального п предложение Wt(m2, п) ложно и, значит, доказуема формула тЯВДт,, л). В частности, доказуемы все формулы ?$Вя(т2, 0), тЙВДтз, к), а вместе с ними и формулы х2 = 0Э7$®2(т2, х2), .... х2 = kD7$B2(m2, х2) (поскольку Аг есть исчисление на основе G, с равенством). Отсюда с помощью УИ и УД получается х2 = 0v---Vx2 — к \~	х2). Но формула
х2 — 0v---Vx2 = Л дедуктивно эквивалентна х2 < к (ввиду утверждения 4 из § 8.1 и легко проверяемой дедуктивной эквивалентности формул х < у + 1 их < у): таким образом, из формулы х2 < к выводится первый член дизъюнкции Я)', а значит, и она сама. С другой стороны, поскольку к — номер доказательства формулы 7<92 = ?($2(m2), предложение W?(m2, к) истинной, следовательно, доказуема формула ЙВ2(т2, к). Поэтому из к < х2 выводима формула к < Л'2&$®2(л12, А), а из нее выводится Зх3(х, < х28№2(т2, хл) — второй член дизъюнкции Я)'. Этим завершается доказательство теоремы.
Как и первоначальная форма, теорема Гёделя в форме Россера остается справедливой для любого простого расширения Аг с помощью рекурсивного множества формул. Действительно, в доказательстве этой теоремы мы пользовались, кроме представимости всех рекурсивных предикатов и рекурсивности предикатов, связанных с выводимостью (ср. соответствующее место предыдущего пункта), только доказуемостью (22) из § 8.1, утверждением 4 из того же параграфа и дедуктивной эквивалентностью формул х < у + I и х < у, т. е. доказуемостью некоторых формул; но всякая формула, доказуемая в Аг, доказуема и в любом его расширении. Таким образом, не только при условии о»-непротиворечивости, но и при условии обычной непротиворечивости неполноту формальной арифметики нельзя «исправить» добавлением новых аксиом.
398
ГЛАВА 8
4.	Изложенный только что результат Гёделя вызвал в свое время у математиков немалое удивление, и такое же удивление он вызывает у свежего человека сейчас. Изучая математику, мы со школьных лет привыкаем к мысли, что она обосновывает свои истины путем строгих логических рассуждений, исходя из немногих простых посылок — аксиом. И чем больше мы погружаемся в ее изучение, тем ближе вам кажется идеал построения ее как единой дедуктивной системы. Атак как все разделы математики так или иначе зависят от арифметики натуральных чисел, для осуществления идеала прежде всего необходимо построить формальную дедуктивную систему, полностью описывающую эту арифметику. Построение такой системы было одной из главных задач, которые ставили перед собой создатели теории логических исчислений22 и казалось, что все средства для ее решения уже налицо: математики научились не только изображать арифметические утверждения в виде конечных последовательностей знаков строго определенного вида, но и доказательства этих утверждений представлять как формальные преобразования таких последовательностей, выполняемые чисто механически по очень простым правилам, хорошо отображающим принятые в обычной, неформализованной математике способы рассуждений; поэтому представлялось почти несомненным, что все арифметические утверждения, истинность которых можно доказать обычными рассуждениями, могут быть получены путем механических преобразований. Но каким бы очевидным ни казалось это утверждение, это была всего лишь гипотеза, которую нужно было проверить; математики давно уже привыкли признавать истинным только то, что строго доказано, и знали, что очевидность может оказаться обманчивой — хотя бывает это редко. И вот произошел как раз такой редкий случай. Гёдель доказал — вполне строго,— что гипотеза, представлявшаяся столь правдоподобной, на самом деле неверна: не все истинные арифметические предложения можно получить «механическим» путем из аксиом, и никакое расширение системы аксиом в этом не поможет. Итак, надежды на построение математики в виде формальной дедуктивной системы не оправдались: никакая формальная система, допускающая «механизацию» выводов, не может исчерпать даже арифметику натуральных чисел — и тем более всю математику.
Важнейший методологический вывод из этого факта состоит в том, что математические рассуждения в принципе нс могут быть
22 Программа обоснования математики в рамках строго формальной дедуктивной системы была выдвинута в начале нынешнего столетия Д. Гильбертом, стоявшим в вопросах обоснования математики на позициях формализма (см. Введение). (СлсдуеТ заметить, впрочем, что сами формалисты так себя не называли.)
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА	399
полностью сведены к механическим выкладкам. Выше (§ 5.5. пункт 5) говорилось о трудностях, с которыми связана реальная автоматизация процесса вывода в логическом исчислении; но оказывается, что даже если отвлечься от этих трудностей, автоматизация математических рассуждений невозможна, т. к. не все эти рассуждения можно формализовать с помощью логических исчислений. И даже доказательство теорем элементарной арифметики не всегда можно свести к формальным выкладкам. Сходный вывод можно сделать из существования неразрешимых алгоритмических проблем (см. § 7.6): для ряда задач «вычислительного» характера, в том числе очень просто формулируемых, нет никакого способа решать их в общем виде с помощью одних лишь механических выкладок. Итак: теорема Гёделя, равно как и факт существования неразрешимых алгоритмических проблем, показывает, что из математики в принципе невозможно изгнать содержательные рассуждения, заменив их формальными выкладками.
Несколько иначе можно сформулировать основной методологический вывод из теоремы Гёделя следующим образом: процесс рассуждения невозможно полностью математизировать, т. е. представить вполне адекватным образом в виде математической модели, и это справедливо даже для самых простых и самых строгих рассуждений — математических доказательств.
Можно, правда, спросить: имеем ли мы право делать из теоремы Гёделя выводы, относящиеся к любым способам формализации арифметики натуральных чисел — в ней ведь идет речь только об одном способе? Но легко понять, что для таких сомнений нет основания. В самом деле, свойства натуральных чисел, выражаемые аксиомами формальной арифметики, безусловно должны быть признаны истинными — иначе это будут уже нс натуральные числа, а что-то другое. Столь же несомненным представляется, что правила вывода, действующие в исчислении Аг (или, что то же самое, в (7,), должны быть признаны законными с содержательной точки зрения. Поэтому всякое логическое исчисление, претендующее на роль формального эквивалента арифметики натуральных чисел, должно иметь среди своих основных или производных правил все правила исчисления Аг и среди своих аксиом или теорем все его аксиомы; следовательно, в таком исчислении должны быть доказуемы все формулы, доказуемые в Аг. Кроме того, мы, без сомнения, признаем пригодным для формализации арифметики только такое исчисление, в котором правила вывода будут обеспечивать рекурсивность отношения выводимости и множество аксиом будет рекурсивным. Но для любого исчисления с рекурсивным отношением выводимости и рекурсивным множеством аксиом, в котором доказуемы все формулы, доказуемые
400	ГЛАВА S
в Аг, можно доказать теорему Гёделя (в обеих формах) так же, как для Аг.
Стоит еще заметить, что из теоремы Гёделя никоим образом це вытекает существование таких математических утверждений, которые нельзя было бы ни доказать, ни опровергнуть никаким математическим рассуждением. Неразрешимое предложение, существование которого устанавливается теоремой Гёделя, в действительности истинно23, и его истинность доказывается одновременно с неразрешимостью как раз при доказательстве теоремы Геделя. Ни для какого математического утверждения мы не располагаем доказательством его содержательной неразрешимости, т. е. недоказуемости и неопровержимости содержательными средствами (а не в каком-то логическом исчислении)24. Болес того, следующее простое соображение показывает, что для широкого класса утверждений, включающего в себя, например, Великую теорему Ферма, доказательство содержательной неразрешимости невозможно25. Если Великая теорема Ферма неверна, т. е. существуют такие целые положительные числа а, Ь, с, п, где п > 2, что cf + Ь" — с", то проверка этого равенства будет доказательством того факта, что теорема неверна; поэтому если бы было найдено доказательство ее содержательной неразрешимости, она не могла бы быть неверной. Таким образом, предположение о существовании доказательства невозможности ни доказать, ни опровергнуть теорему Ферма приводит к противоречию, поскольку из такого доказательства немедленно получилось бы доказательство самой теоремы Ферма26. Ясно, что это соображение применимо к любому утверждению вида
Vz, Afzn A(z]t zf) или Bz, ••• 3zn ..., zn),
где A — рекурсивный предикат.
5.	Еще одно замечательное следствие из теоремы Гёделя состоит в том, что если исчисление Ас (или любое его простое расширение с помощью рекурсивного множества формул) непротиворечиво, то его
23 Это означает (см. конец пункта 4 параграфа 6.3 и начало настоящего параграфа), что оно истинно в стандартной интерпретации формальной арифметики.
24 Неразрешимость утверждения нс следует смешивать с неразрешимоегью алгоритмической проблемы В первом случае речь идет о невозможности решить д а н-н у го конкретную задачу, а во втором — всего лишь о невозможности решить целый класс задач одним способом (ноотому алгоритмические проблемы часто называют массовыми проблемами}.
25 Это соображение неоднократно приводил в устных беседах П.С Новиков (именно на примере теоремы Ферма).
26 (Добавлено в 1996 г.) Это было написано до того, как Великая теорема Ферма была доказана Мы сохраняем этот пример, г. к, он очень нагляден и приводится лишь с иллюстративной целью.
фОРМАЛЫ 1ЛЯ А РИфМЕТИ КА
401
непротиворечивость не может быть формально доказана в самом этом исчислении. Действительно, по теореме Гёделя из непротиворечивости Аг следует недоказуемость в нем формулы (?>,', и в то же время по лемме 2 из § 6.2 из недоказуемости в Аг хотя бы одной формулы следует его непротиворечивость. Таким образом, недоказуемость формулы ©j в исчислении Аг является необходимым и достаточным условием его непротиворечивости; однако формальным выражением недоказуемости формулы ©.' в Аг служит сама эта формула — а она недоказуема в исчислении Аг, если только оно непротиворечиво!
Разумеется, формула лишь косвенно выражает утверждение о непротиворечивости исчисления Аг. Но это утверждение можно выразить на его (исчисления Аг) собственном языке также и непосредственно — например, с помощью формулы
7Эх|Эх2Зх3Эх4(£)(х1, л2)&©(л5, x4)&91(x., х3»,
где £) и 91 — формулы, представляющие соответственно предикат ДОК и функцию 07 из §8.3. Действительно, в стандартной интерпретации эта формула — мы обозначим ее НЕПР — имеет следующий смысл: «Не существует таких натуральных чисел kt, к2, А3, к4, чтобы А, и Ад были номерами теорем исчисления Аг, а к2 и к4 — соответственно номерами их доказательств, и при этом теорема с номером ks была отрицанием теоремы с номером А;», или проще: «Не существует двух теорем исчисления Аг, одна из которых есть отрицание другой». Можно доказать, что из формулы НЕПР выводима в Аг формула ©[; отсюда ввиду теоремы 2 немедленно следует, что если Аг непротиворечиво, то формула НЕПР в нем недоказуема (и то же верно для любого простого расширения Аг с помощью рекурсивного множества формул). Это последнее утверждение носит название второй теоремы Гёделя; они было впервые опубликовано К. Геделем в той же статье [Godel 1931 |, что и теорема о неполноте.
Таким образом, формула НЕПР, непосредственно выражающая на языке исчисления Аг его непротиворечивость, нс может быть доказана в этом исчислении, если оно в действительности непротиворечиво. Доказательство этого факта, т. с. доказательство выводимости НЕПР|— ©р представляет собой, по существу, перевод на формальный язык тех содержательных рассуждений, которыми мы при доказательстве теоремы 2 установили, что из непротиворечивости Аг (являющейся в стандартной интерпретации смыслом формулы НЕПР) вытекает недоказуемость ©, (являющаяся в той же интерпретации смыслом ©{). В полном изложении это доказательство громоздко; мы его приводить не будем. Подробное доказательство вто
402
ГЛАВА 8
рой теоремы Гёделя имеется в книге (Гильберт — Бернайс 1982] (гл. V, §§ 1, 2) и в Добавлении I (написанном А.С. Есениным-Вольпиным) к книге (Клини 1957 ].
§ 8.5. ТЕОРЕМЫ ТАРСКОГО И ЧЁРЧА
1. В предыдущем параграфе мы показали, что если в конструкции, приводящей при неформальных рассуждениях к парадоксу лжеца, заменить истинность доказуемостью, то перевод такой конструкции на язык формальной арифметики не дает парадокса, но позволяет построить неразрешимое предложение, т. е. замкнутую формулу, которую нельзя ни доказать, ни опровергнуть. А что получится. если попытаться перевести на язык формальной арифметики ту самую конструкцию, которая приводит к парадоксу лжеца?
Излагая этот парадокс во Введении, мы еще не пользовались логической символикой. С ее помощью парадокс можно сформулировать так. Пусть И(р) — предикат, определенный на множестве предложений и означающий «Предложениер истинно», н M(t, р) — предикат, в котором первая переменная пробегает моменты времени и вторая — предложения, означающий «В момент времени t критянин произносит предложение/?» (мы считаем для простоты, что произнесение предложения — «моментальный» акт). Тогда, если в некоторый момент времени (0 критянин произнесет предложение р)Э7И(/?)), то, обозначив это предложение р0, мы увидим, что — поскольку М((с, /?0) истинно — из истинности предложения р0 следует истинность предложения ?И(/>0), т. е. ложность /?0, а из ложности р0 — ложность 7И(р0), т. е. истинность р027. Теперь понятно, в чем трудность формализации этого рассуждения: в формальном выражении того обстоятельства, что предложение р0 произносится именно в момент /0. Ведь критянин говорит в каждый момент то, что ему вздумается сказать, так что формализовать предикат M(t,p> было бы затруднительно.
Эту трудность можно если не преодолеть, то обойти следующим образом. Допустим, что иаш критянин наряду с обычными предложениями произносит также предложения вида /?(/), где t ~~ переменная, пробегающая моменты времени. Иначе говоря, он не
27 Поскольку ри есть единственное предложение, произносимое критянином в момент /о. (Естсстенно считать, чю он не может произнести в один момент более одного предложения)
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕ ГИКА
403
только высказывает истинные или ложные предложения, но еще и описывает свойства моментов времени. Тогда, если в некоторый момент времени Z, он опишет свойство Со моментов времени, состоящее в том, что если в момент t он описывает какое-то свойство, то сам момент (этим свойством не обладает, то из допущения, что момент tt обладает свойством Со, следует, что он им не обладает, а нз допущения, что нм не обладает — что он им обладает. Такой усложненный вариант парадокса лжеца нс столь выразителен и нагляден, как первоначальный, зато его нетрудно перевести на формальный язык. Для этого: а) заменим предикат И(р) предикатом И,(Г), определенным на множестве моментов времени и означающим «Если в момент i критянин произносит предложение, то оно истинно»; б) введем предикат 11(7, f), также определенный на множестве моментов времени и означающий «Если в момент t критянин описывает некоторое свойство С моментов времени, то в момент t' он произносит предложение „Момент / обладает свойством С“»; в) допустим, что если в момент t описывается некоторое свойство, то существует момент для которого Пи, б) истинно. Тогда свойство Со, о котором говорилось выше, будет выражаться формулой Vf (П(Г, /')Э7И,(г'))> и совершенно аналогично тому, как выше мы видели, что предложение р0 = \fp(M(t0, р)2)7И(р)) не истинно и не ложно, теперь мы видим, что таково же предложение Ccl(Z1) = \//'(П(г,, f)D7Ml(Z')) (поскольку по допущению в) существует момент /2, для которого П (t, истинно). Однако в отличие от выражения для р0 выражение для C0(t) не содержит затруднившего нас предиката M(t, р), и вдобавок в нем участвуют переменные только одного сорта — пробегающие моменты времени. Разумеется, предикат П (7, /') тоже зависит от произвола крнтяиина; но если критянин захочет облегчить нам задачу, он постарается строить свою речь так, чтобы зависимость между t и f была не слишком сложной. Это особенно легко сделать, если отождествить моменты времени с натуральными числами; тогда достаточно попросить критянина высказывать только такие предложения и описывать только такие свойства, которые выражаются формулами формальной арифметики, причем моментом произнесения каждой формулы дожен быть ее номер. (Заодно стоит на всякий случай попросить его произносить также и формулы с несколькими свободными переменными.) Сможет ли он тогда описать свойство Со — иначе говоря, можно ли это свойство выразить формулой формальной арифметики? Безусловно, можно, если существуют формулы формгптьной арифметики Q(x„ х2) с двумя свободными переменными х, и х2 и 9?(х2) с одной свободной переменной х2, выражающие (встандардной интерпретации) соответственно преди
404
ГЛАВА 8
каты П и Иа: тогда свойство Со будет выражаться, очевидно, формулой Vx2(Q(xl? х2)Э7Э?(х2)), которую мы обозначим 60(х,). Но это быстро приводит нас к противоречию. В самом деле, пусть с — номер формулы б0(х,) и d — номер формулы С0(с). Тогда предложение Q(r, d) истинно28; но если при этом истинно также н предложение б0(с) = Vx2(Q(c, x2)D79?(x2)), то вместе с ним истинна и импликация
J)D73i(£f), так что из истинности £1(с, d} вытекает ложность Ж (</), но 9? (</) ложно тогда и только тогда, когда ложно предложение с номером d, т. е. G0(c); если же G0(c) ложно, то 7$K(J) истинно (по смыслу формулы 9?) и поэтому истинна импликация £1(с, </)D79?(d); а отсюда следует — поскольку для всякого числа и, отличного от d, предложение Q(r, п) ложно — что истинно также и предложение Vx2(Q(c, ^ЗЯй) = С0(с).
Проведенное сейчас рассуждение ничем, кроме терминологии, не отличается от того, которое выше привело нас к парадоксу лжена (в усложненном варианте). Но теперь, после формализации, оно превращается в обычное доказательство от противного и приводит не к парадоксу, а всего лишь к выводу, что наше допущение о существовании формул Q и St, выражающих в стандартной интерпретации предикаты П и И,, было неверно. Однако формула, выражающая П, существует. В самом деле, в § 8.3 (конец пункта 2) мы доказали рекурсивность функции с/(у), которая всякому числу у, являющемуся номером формулы 21(х,) с одной свободной переменной х„ сопоставляет номер формулы 21(у), а вместе с этой функцией рекурсивен предикат d(y) = z, равносильный П (у, z); поэтому по тоереме из § 8.2 существует формула Q(xp д'2) исчисления Аг с двумя свободными переменными х2, такая, что для любых чисел т, п имеет место I- U(m, л), если п = d(m), и 7^(т, л), если п # d(m)\ но поскольку стандартная интерпретация является моделью исчисления Аг, из доказуемости формулы Q(/n, л) вытекает ее истинность в стандартной модели, а нз доказуемости ее отрицания — се ложность. Таким образом, формула Q выражает предикат П. Следовательно, н е существует формулы, выражающей предикат И,.
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема 1 (теорема Тарского)29. Не существует формулы формальной арифметики Э?(а,) с одной свободной переменной такой,
28 Под ИС1ИННОСТЫО и ложпос1ыо в эюм рассуждении подразумевается истинность и ложность в стандартной интерпретации (так что истинное и. Q(c, rf) означает истин несть П(с, (I), и т.н.).
29 А. Горский (Alfred Tarski, 1902—1983) —польский логик и ма>ема'1ик (с 1939 г. жил в США)
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
405
что для произвольного натурального п предложение Э?(л) истинно в стандартной интерпретации тогда и только тогда, когда п есть номер замкнутой формулы формальной арифметики, истинной в стандартной интерпретации.
(Доказывая эту теорему, мы нез«1метно потеряли из вида критянина. Если снова встретим его когда-нибудь — поблагодарим за помощь!)
Назовем множество натуральных чисел М арифметическим, если существует формула формальной арифметики 21(х,) с одной свободной переменной х„ такая, что пЕ.М тогда и только тогда, когда формула 2{(л) истинна в стандартной интерпретации. С помощью этого понятия теорему Тарского можно сформулировать так:
Теорема 1Множество номеров формул формальной арифметики, истинных в стандартной интерпретации, не является арифметическим.
Содержательно эта теорема означает, что понятие истинности в формальной арифметике невозможно определить внутри самой формальной арифметики.
2. Рассуждения, которыми доказывается теорема Тарского, легко перенести из плана истинности в план доказуемости. Тогда получается следующая теорема:
Теорема 2. Предикат «быть номером доказуемой формулы формальной арифметики» нс представим в формальной арифметике, если она непротиворечива.
Доказательство. Допустим, что существует формула £3 = ®(-vi)> представляющая этот предикат, т. е. такая, что для всякого числа п, являющегося номером какой-либо формулы 21, имеет место |— 25(л), если 21 доказуема, и |- 7Ж(л), если 21 недоказуема. Обозначим через Ф(х,, х2) формулу, представляющую функцию d(x])w, и рассмотрим формулу
©(X.) -	Х2)Э7^(Х2)).
Пусть к — номер этой формулы. Рассмотрим теперь формулу
Э(4) = V.v2(!j)(t, aJD7®(x2));
ее номер обозначим через /.
Допустим теперь, что формула £)(к) доказуема. Вместе с ней доказуема и формула	но, поскольку I = d(k) и формула ф представляет функцию </. имеем |—	Z). откуда |— 7$B(Z): но
тогда, если формальная арифметика непротиворечива, невозможно
Ане предикат г/(д'|) = хг. как в предыдущем пункте
406
ГЛАВА 8
I- ®(Z), а отсюда по определению формулы Ж следует, что формула с номером I, т. е. £)(£), не доказуема.
С другой стороны, если £)(А) нс доказуема, то нс доказуема и формула ф(Л, Z)Z>7$B(Z)- (Действительно, поскольку Ф представляет функцию (1 и d(k) = I, имеем । \/х2(ф(£, х2)3х2 = Z) (условие (3') в начале § 8.2), а из этой формулы и формулы ф(Л, /)□?£&(/) легко вывести £>(£).) Поэтому не доказуема и 7$B(Z) (см. (8) в § 5.3); между тем по определению формулы 85 в случае, когда формула с номером /, т. е. £)(£), ие доказуема, формула 7jB(Z) должна быть доказуемой. Полученное противоречие завершает доказательство.
Из доказанной сейчас теоремы и теоремы из § 8.2 немедленно вытекает
Следствие. Множество номеров теорем формальной арифметики неразрешимо. Иначе говоря: не существует алгоритма, позволяющего по номеру формулы формальной арифметики (или, безразлично, по самой формуле’1) узнавать, является ли эта формула доказуемой.
Замечания. I) В доказательстве теоремы 2 из всех свойств формальной арифметики (исчисления Аг) использовано только то, что в ней представима функция d. Поэтому теорема 2 — и вместе с ней отмеченное нами следствие из нее — справедлива для любого непротиворечивого исчисления на основе G, с равенством, алфавит которого совпадает с алфавитом Аг* 32 и в котором представимы все рекурсивные функции. В частности, теорема 2 сохраняет силу для любого непротиворечивого простого расширения исчисления Аг.
2) Множество номеров формул формальной арифметики, истинных в стандартной интерпретации, также неразрешимо (см. в конце главы задачу 18а).
3) Легко видеть, что множество номеров теорем формальной арифметики перечислимо. В самом деле, оно совпадает с множеством значений частично рекурсивной функции ухДОК(х, у).
3. Логическое исчисление называют разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий полюбой его формуле узнать, является лн она теоремой (иначе — если множество его теорем разрешимо).
Пользуясь этим понятием, мы можем сформулировать следствие из теоремы 2 так: формальная арифметика неразрешима.
Что можно сказать о разрешимости исчислений, рассматривавшихся в предыдущих главах? Исчисление предложений разрешимо,
1 Поскольку существуют алгоритмы, позволяющие находить по формуле ее но* мер и формулу по номеру Почнее — для всякого натурального числа узнавать, явля* стоя ли оно номером формулы, и если да - строить згу формулу)
32 Совпадение алфавитов необходимо для того, чтобы не изменилось определение номера формулы.
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
407
т. к. его формула тогда и только тогда является теоремой, когда она тождественно истинна, а свойство формулы быть тождественно истинной проверяемо. Что же касается исчисления предикатов, то оно неразрешимо. Сейчас мы займемся доказательством этого факта. Предварительно рассмотрим еще одно логическое исчисление с тем же алфавитом и теми же правилами вывода, что и Аг, и следующими аксиомами:
(pi) -V, = х,;
(Рг) *, = *2=>*2 = *,!
(Рз) xi — *?&х2 = х,Эх, = х3;
(p„).v, = х2Эх,' = х2';
(p5>*i' = х2’Эх, = х2;
(р6) 73х,(х,' = 0);
(р,)7(х, = 0)=>Зхг(х, = х2');
(р8) х, + 0 = х,;
(ps) *1 + х2 = (х, + х2) ;
(ho) *,0 = 0;
(рп)*Г*г'= *Г*г + *Р
(p.z) *1 = *2=4*, + *з = *г + *з&*з + *i = *з + *г):
(рм) Л1 = *2-4*1 '*з — х2-х1&х3'х| = х3-х2);
(ри) *1 = *2' *3 + *4&*4 < *2&*1 = *2*3 + *6&*«. < *23*4 = *6
(единственное ь остатка; знак < понимается здесь как сокращение — см. §8.1, пункт 4);
(pis) + *г = *г + *г
Это исчисление (введенное Р. Робинсоном33) мы будем обозначать R. Аксиомы (р,) — (р6), (р8) — (ри) отличаются от схем (г), (s), (/), («,) — (cQ, (ct5) — (й8) исчисления Аг только тем, что метапере-менные х, у, z заменены конкретными переменными х„ х2, х3. Это различие, как мы знаем, несущественно, так что фактически R отличается от Аг только тем, что схема («4) («аксиома индукции») заменена пятью новыми аксиомами. Исчислсни е R слабее, чем Аг
33 Собственно, Р. Робинсоном было предложено исчисление с аксиомами (pt) — (ри) (см ниже комментарий).
408
ГЛАВА 8
(см. задачу 19 в конце главы), но все же, как мы увидим, достаточно сильно, чтобы представить в нем все рекурсивные функции. Поэтому для него сохраняет силу теорема 2 (см. замечание I в конце предыдущего пункта) и, следовательно, оно неразрешимо. В то же время, поскольку множество его аксиом конечно, из его неразрешимости нетрудно будет вывести неразрешимость исчисления с тем же алфавитом совсем без аксиом (не считая закона исключенного третьего) — т. е. исчисления предикатов с «арифметическим» алфавитом,— а затем и «настоящего» исчисления предикатов. Таков план, к реализации которого мы теперь приступим.
Заметим прежде всего, что по теореме 5 из § 6.3 R есть исчисление на основе с равенством (применимость этой теоремы обеспечивается аксиомами (р,) — (р4), (р12), (р,,)). Далее, поскольку все аксиомы (р,) — (р15) являются теоремами исчисления Аг, всякая теорема исчисления R будет теоремой и в Аг. Обратное неверно (см. задачу 19 в конце главы), но все же многие теоремы Аг остаются теоремами в R. В частности, для R сохраняют силу утверждения I—4 из § 8.1. Утверждения 1 и 2 доказываются так же, поскольку в их доказательствах используются только аксиомы (г), (у), (/), (а,), («5) — (а8), фактически имеющиеся и в А, а также (3) из § 8.1, очевидным образом вытекающее из (р|2)34. Докажем утверждение 3. Пусть т & п; для определенности положим т < п. Нам достаточно привести к противоречию утверждение |— m = л. Однако, поскольку в нашем случае п > 0, по определению цифры терм л совпадает с (л — 1)'. Поэтому при гп = 0 утверждение । - т — п противоречит аксиоме (р6), а при гп 0 из этого утверждения, равносильного тогда । - (т — 1)' = = (л — 1)', ввиду аксиомы (ps) следует i— т — 1 = л — 1, затем I— т — 2 = л — 2 и т. д. — и, наконец, 1— 0 = л — т, что опять-таки, поскольку п — т > 0, противоречит аксиоме (р6). В утверждении 4 доказуемость первого члена конъюнкции мы установим неформальной индукцией. Ее базис состоит в доказательстве того, что i-x< 1Эх = 0, подробнее |- Bz(l = х + z')3x = 0. Но из 3z(l = х -г z'), легко вывести 3z(l = (х + z)') (ввиду (р9). Отсюда, поскольку 1 есть О', выводится 3z(0 = х + z) (ввиду (р,)), откуда, затем можно вывести х = 0 следующим способом: из 0 = x + z и i(z — 0) с использованием (р7) и (р9) выводится Зу(0 = (х + у)')> чТО противоречит аксиоме (р6); поэтому 0 = х + z\—'z = 0, откуда с использованием (ps) получается 0 = х + zi— 0 = х и далее О = х + z|— х = 0; остается применить УЗ. Индукционный шаг 3
34
(3) из 8 I используется идоказаюльегве пункта б) утверждения I
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
409
будет очевиден, если доказать, что х < п + 2\— х < п + 1 Vx = п + 1. Но из х < п + 2, т. е. из 3z(n + 2 = х + z'), с помощью (р9) и (р5) выводится 3z(n +1 = х + z); чтобы вывести из этой формулы дизъюнкцию x<« + IVx = n + l, достаточно вывести ее из п + 1 = = х + z; ноизл + I = х 4- z с дополнительной гипотезой г = 0 выводится х = п + 1, а с дополнительной гипотезой 7(х = 0) выводится (с помошью (р7)) Зу(п + 1 — х 4- у'), т. е. х < п + 1: остается применить ВД и ИТ. Доказуемость второго члена конъюнкции в утверждении 4 будет установлена, если мы убедимся, что при т < п справедлива выводимость х — т\— х < п, но это немедленно вытекает из утверждения 2.
Для дальнейшего нам понадобятся еще две доказуемости:
(*)lF0<.v;
(**) |-x<nV« <х (и — любое натуральное число).
Чтобы доказать (*), заметим, что формула у < z, как легко видеть, дедуктивно эквивалентна (в /?, как, впрочем, и в Аг) формуле 3w(z = у + и>). Поэтому достаточно убедиться, что |— 3w(x = 0 4- и<); ио это сразу следует из (р8) и (р)5).
Для доказательства (**) воспользуемся неформальной индукцией. Базис обеспечивается доказуемостью (*). Проведем индукционный шаг. Пусть для некоторого п справедливо |—х < п\/п < х. Чтобы доказать |—х < п + 1 Мп + 1 < х, заметим сначала, что, поскольку из (р7) следует |—х = OvByfx = у'), достаточно убедиться, что х = 0| х < л + I Vn + 1 < х и Зу(х = у')|- х < л + 1 V Vn 4- 1 < х. Но первая из этих двух выводимостей очевидным образом вытекает из (*), а вторую можно получить так: поскольку из первого члена дизъюнкции у < пУл < у, доказуемой ввиду предположения индукции, можно с помощью (p[S), (pq) и (р4) вывести у' < л + 1, а из второго таким же способом п + 1 < у', имеем I—у' < л 4- IVn + I < у', а отсюда уже легко получается нужная выводимость.
Теперь можно убедиться, что проведенное в § 8.2 доказательство теоремы о представимости в исчислении Аг рекурсивных функций остается в силе для исчисления R. Из всех свойств исчисления Аг (не считая того, что оно есть исчисление на основе G, с равенством) мы пользовались в этом доказательстве только утверждениями 1,2 и 4 из § 8.1, справедливыми, как мы видели, и для R, и доказуе-мостями (21), (22), (23) и (35) из того же параграфа. Но при этом (21) использовалось только для того, чтобы вывести х< i + 1 из х < i (см. с. 379), а это легко сделать непосредственно с помощью (р0); (22) использовалось только для того, чтобы получить
410
IЛАВА8
7(У = А) \—у< l\/y> I (см. с. 376), а это равносильно только что установленной доказуемости (**); (23) справедливо и для R (следует из (р6) и (р9)); наконец, (35) (существование и единственность остатка) используется только при доказательстве усиленного условия (3) ддя формулы & (см. с. 377), а это последнее также используется только один раз (с. 379), и притом таким образом, что вместо него можно воспользоваться доказуемостью
I-	VyVz(@(x„ х2, х3, у)&®(х„ хг, х3, z)Dy = z),
для получения которой достаточно единственности остатка, т. е. аксиомы (р14). Подробную проверку читатель может провести сам.
Итак, в исчислении R представимы все рекурсивные функции. Поэтому — см. замечание I в конце предыдущего пункта — мы можем считать доказанной следующую теорему:
Теорема 3. Если исчисление R непротиворечиво, то оно неразрешимо.
Замечания. I) Эта теорема справедлива и для любого простого расширения R.
2)	Представимость в R всех рекурсивных функций позволяет также повторить для этого исчисления доказательство теоремы Гёделя (как в первоначальной форме, так и в форме Россера).
Комментарий. Доказательство неполноты и неразрешимости исчисления Робинсона в его первоначальном виде (с аксиомами (р,) — (р13)) можно найти в книге (Клини 1957 |. Аксиома (р14) добавлена ради упрощения рассуждений Э. Мендельсоном (Мендельсон 1971 Г Аксиома (р|5) добавлена с той же целью автором этих строк. Без нее нетрудно обойтись, если понимать t < и как сокращение для 3z(u = z' + /) (так и сделано в книге (Клини 1957 ]), но автору неизвестно, можно ли доказать утверждения (*) и (**), нс пользуясь коммутативностью сложения, если t < и означает 3z(u = t + z'), как в нашей книге (и в книге (Мендельсон 1971 ], где утверждение (**) сформулировано без доказательства). Читатель без труда убедится, что в приведенных нами доказательствах использование (р15) станет излишним, если понимать 1 < и как 3z(u = z' + f).
Далее мы позволим себе считать исчисление R непротиворечивым — что представляется весьма вероятным, поскольку интуитивно ясно, что все аксиомы этого исчисления верны в стандартной интерпретации (и эту интуицию можно считать более убедительной, чем для Аг, так как множество аксиом конечно), и в самой этой интерпретации, по-видимому, нет противоречий35. Во всеX
35 Имеются, впрочем, и доказательств непротиворечивое «и А. См., например» (Клини 1957], §79
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
411
дальнейших формулировках условие непротиворечивости R будет подразумеваться.
Перейдем теперь к выполнению второй части плана, намеченного на с. 408.
Лемма 1. Если исчисление на основе G, разрешимо, то всякое его простое расширение с помощью конечного множества формул также разрешимо.
Доказательство. Пусть L — исчисление на основе G, и L' — его простое расширение с помощью конечного множества формул Г. Достаточно рассмотреть случай, когда Г состоит из одной формулы ЭД и, более того, когда эта формула замкнута’6. Нов этом случае по лемме 1 нз § 6.2 формула 93 тогда и только тогда будет теоремой исчисления L', когда она выводима в L из ЭД, а это, в свою очередь, справедливо тогда и только тогда, когда в £ доказуема формула ЭДэЗЗ. Поэтому из алгоритма проверки доказуемости в L немедленно получается алгоритм проверки доказуемости в L'.
Следствие. Если исчисление на основе Gt имеет неразрешимое простое расширение с помощью конечного множества формул, то оно и само неразрешимо.
Из этого следствия и теоремы 3 непосредственно вытекает
Теорема 4. Исчисление Gf1', полученное из /? изъятием всех аксиом, кроме ИТ, (иначе — полученное из G, ограничением алфавита символами, входящими в алфавит исчисления Аг) неразрешимо.
Обозначим теперь через G ~ исчисление, полученное из Gt изъятием из алфавита всех функциональных символов и символов предметных констант с соответствующим изменением определения формулы («чистое исчисление предикатов»}.
Лемма 2. Существует алгоритм, позволяющий по любой формуле ЭД исчисления <7, построить формулу ЭД' исчисления G “ таким образом, что I— ЭД тогда и только тогда, когда |—_ЭД'.
Доказательство. Для формулы ЭД, не содержащей функциональных символов и символов предметных констант, положим ЭД' = ЭД. В общем случае формула ЭД' строится следующим образом. Пусть а, — первый входящий в ЭД символ предметной константы (если таковой имеется), F\ — первый н е входящий в ЭД одноместный предикатный символ и хк — первая н е входящая в ЭД переменная. Обозначим через ЭД* результат замены в формуле ЭД всех вхождений символа а. 36
36 Дсйсшигсльно. во всяком исчислении па основе Gi (ввиду правил BV и УV) формула 10гда и только тогда является теоремой, когда эю верно для ее замыкания. Поэтому, заменяя одну из аксиом исчисления се замыканием, мы не изменяем множества его теорем
412
ГЛАВА «
вхождениями переменной хк и положим 21, =	'(xA)Z>
□3xa(F].(xa)&21*). Нетрудно видеть, что формула 21, тогда и только тогда всюду истинна, когда всюду истинна формула 21. В самом деле: а) Пусть 21 всюду истинна, /, — произвольная интерпретация формулы 21, и Ф — предикат, сопоставляемый в этой интерпретации символу F'. Тогда, если предикат Ф тождественно ложен, формула 21, очевидным образом истинна в в противном случае, рассмотрев интерпретацию / формулы 21. в которой всем входящим в обе формулы предикатным и функциональным символам и символам предметных констант сопоставляется то же, что в интерпретации /(, а символу а, — элемент b основного множества37, такой, чтоФ(Л) = /7, сразу видим, что из истинности 21 в / вытекает истинность 21, в 1Г б) Пусть 21, всюду истинна, / — произвольная интерпретация формулы 21 и b — элемент, сопоставляемый в этой интерпретации символу аг Рассмотрев интерпретацию /, формулы 21,, в которой всем символам, входящим в обе формулы, сопоставляется то же, что в 1, а символу F ‘ — предикат Ф, такой, что Ф(Ь) = И и Ф(г) = Л для всех z Ь, немедленно убеждаемся, что из истинности 21, в /, следует истинность 21 в 1. Далее, если в формуле 21, еще есть символы предметных констант, повторяем описанное преобразование — и так до тех пор, пока не получим формулу S3, не содержащую символов предметных констант и всюду истинную тогда и только тогда, когда всюду истинна 21. Если в формуле S3 есть функциональные символы, поступим следующим образом. Пусть п — наименьшее число, для которого формула 21 содержит «-местные функциональные символы, и пусть /?,	— все эти символы в порядке возрастания нижних индексов, и Е"(+|,	Е”+| — первые т не входящих в 23 (н + 1)-местных
предикатных символов в аналогичном порядке. Сопоставим каждому символу предикатный символ F"*'. Рассмотрим теперь самый левый входящий в S3 терм вида/„), такой, что термы ..., /„ не содержат вхождений функциональных символов. Пусть F"+' — предикатный символ, сопоставленный функциональному символу
и xs — первая не входящая в S3 переменная. Обозначим через S3* результат замены в формуле S3 всех вхождений терма /'(7И	1п)
вхождениями переменной xs и положим
S3, = 3xsF;*’(/„ ..., tn,x^3xs(Fn^\tly ...,
37 Основное .множество интерпретации / — то же, чго у /|-
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
413
Аналогично предыдущему38 нетрудно видеть, что формула тогда и только тогда всюду истинна, когда это верно для $8. Если формула S3, еше содержит вхождения функциональных символов, повторим это преобразование, и так до тех пор, пока не получим формулу 21', не содержащую предметных констант и функциональных символов и всюду истинную тогда и только тогда, когда это верно для 21. Описанный способ построения 21', очевидно, является алгоритмом. Но по теореме 3' из § 6.2 формула 2! всюду истинна тогда и только тогда, когда она доказуема в G{, а формула 21' — тогда и только тогда, когда она доказуема в G .
Теперь уже без труда получается
Теорема 5 (теорема Чёрча). Исчисление предикатов с функциональными символами и символами предметных констант и чистое исчисление предикатов (исчисления С, и С неразрешимы.
Доказательство. Рассмотрим произвольную формулу исчисления GAr — иначе говоря, произвольную формулу исчисления G,, содержащую только символы из алфавита Аг. Доказуемость этой формулы в GAr равносильна ее всюду-истинности (ввиду теоремы 3' из § 6.2). Но и доказуемость ее в G} равносильна се всюду-истинности; таким образом, формула исчисления GAr тогда и только тогда доказуема в Gfr, когда она доказуема в G,39. Поэтому алгоритм, распознающий доказуемость формул в Gl? распознавал бы се и в GAr. Но по теореме 4 для Gf1 такого алгоритма нет; следовательно, его нет и для G,. Отсюда ввиду леммы 2 немедленно вытекает, что такой алгоритм невозможен и для G ,.
4. Исчисление Робинсона, использованное нами для доказательства теоремы Чёрча, представляет и самостоятельный интерес: изучив его, мы убедились, что и конечно аксиоматизируемое «арифметическое» исчисление, не содержащее аксиомы индукции, может быть неполным. Но для доказательства теоремы Чёрча можно с таким же успехом использовать любое другое неразрешимое конечно аксиоматизируемое исчисление на основе G,. Рассмотрим, например, логическое исчисление /7,„ получаемое из элементарной теории полугрупп (§ 6.3, пункт 4) присоединением в качестве новых аксиом всех определяющих соотношений ассоциативного исчисления Им с неразрешимой проблемой эквивалентности (§ 7.6, пункт 3), записанных в виде равенств термов (ф//; — q/Uk и т. д.). Формула вида
38 С небольшими усложнениями, разобраться б которых предоставляется читателю.
39 Этот факт можно доказать и чисто синтаксически (см задачу 22 is конце главы).
414
ГЛАВА 8
w = w', где w и w' — замкнутые термы, т. е. по существу, слова в алфавите ассоциативного исчисления Им, доказуема в Пи, очевидно, тогда и только тогда, когда w и w' эквивалентны в Им. А так как алгоритма, распознающего эквивалентность слов в Им, не существует, Па — неразрешимое исчисление. Из этого факта с помощью лемм I и 2 можно вывести теорему Чёрча точно так же, как это было сделано выше с использованием факта неразрешимости R.
5. В ряде специальных вопросов представляет интерес исчисление одноместные предикатов, т. е. исчисление — обозначим его — получаемое изъятием из алфавита G всех многоместных предикатных символов с соответствующим изменением определения формулы. (В частности, этого исчисления достаточно для обоснования аристотелевской силлогистики — см. § 6.5.) В отличие от «всего» чистое исчисление одноместных предикатов разрешимо. Покажем это. Поскольку для G „ справедлива теорема о полноте (см. теорему 3' из § 6.2), достаточно найти алгоритм, распознающий всюду-истин-ность. Для этого мы докажем следующую теорему:
Теорема 6. Формула исчисления G^, содержащая к различных предикатных символов, тогда и только тогда всюду истинна, когда она истинна во всякой ее интерпретации, основное множество которой содержит не более 2' элементов.
Из этой теоремы легко получается нужный алгоритм, поскольку истинность формулы во всех интерпретациях с основным множеством не более чем из 2К элементов проверяема: на множестве из т элементов существует ровно 2'” попарно неравносильных одноместных предикатов (см. задачу на с. 135), так что каждому из к предикатных символов можно сопоставить одноместный предикат на т-Элсментном множестве 2'” способами, что дает 2'”* неизоморфных интерпретации для мощности гп, а всего 2* + 22А +  • 22 * интерпретаций, для каждой из которых можно непосредственно проверить, истинна ли в ней данная формула (см. замечание 2 на с. 132).
Доказательство теоремы 6. Пусть 91 — формула исчисления G содержащая предикатные символы F J , ..., F '. Мы покажем, что для произвольной интерпретации 1 этой формулы существует другая интерпретация Г с основным множеством не более чем из 2* элементов, в которой формула 91 тогда и только тогда истинна, когда она истинна в I. Отсюда сразу будет следовать, что если формула истинна во всех интерпретациях с нс более чем 2*-элемснтными основными множествами, то она всюду истинна. Обратное утверждение тривиально.
Итак, пусть I — произвольная интерпретация формулы 91, М —
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
415
ее основное множество и (Ц, ФА — предикаты, отвечающие в ней символам ..., F]. Сопоставим каждому aG.M Л-мерный булев вектор га - г“--г“ю где г “ есть истинностное значение предложения Ф,(я). Будем писать а ~ Ь, если г " — гь. Очевидно, отношение ~ есть отношение эквивалентности. Обозначим через М' фактор-множество М/~ и через Ф/(/ = 1, к) одноместный предикат на множестве М', сопоставляющий каждому классу А&М предложение: «Если z2G/,toGK(<7)». Пусть теперь Г — интерпретация с основным множеством М‘, в которой каждому символу F* отвечает предикат ф' Индукцией по сложности формулы нетрудно доказать, что если формула	у,) исчисления G “ со свободными переменными
у,, ул, не содержащая предикатных символов, отличных от FFj, переходит в интерпретациях / и Г в предикаты Ф(у,, .... у,) и Ф'(уг ys) соответственно, то для любых а„ afiM истинностное значение предложения Ф(а„..., л,) совпадает с истинностным значением предложения Ф'(Л>	Д), где A,, ...,As — те
классы эквивалентности, которым принадлежат соответственно «I, as. (В частности, если 55 замкнута, то соответствующие ей в 1 и в Г предложения одновременно истинны или ложны.) Отсюда следует, что формула 21 тогда и только тогда истинна в /. когда она истинна в Подробности предоставляются читателю.
Естественно возникает вопрос: останется ли исчисление G н разрешимым, если к одноместным предикатам присоединить двуместные? Ответ на этот вопрос — отрицательный; более того, фиксировав какой-либо двуместный предикатный символ, можно указать алгоритм, позволяющий по любой формуле чистого исчисления предикатов построить другую формулу, содержащую вхождения только этого фиксированного предикатного символа и всюду истинную тогда и только тогда, когда всюду истинна исходная формула. (Это теорема Л. Кальмара; ее доказательство имеется в книге [Чёрч 19601, § 47.) В то же время для многих частных классов формул чистого исчисления предикатов доказано существование алгоритмов, распознающих всюду-истинность. (Некоторые из этих классов рассмотрены в § 46 книги [Чёрч 19601; более полное изложение этого вопроса, отражающее новые результаты, см. в статье [Маслов 1968 I и книге [Drebcn — Goldfarb 1979 ).
В заключение упомянем о замечательной теореме, доказанной М. Пресбургером: формальная арифметика без умножения (т. е. исчисление, получаемое из Аг изъятием символа умножения и аксиом (<х7) и (ctR) с соответствующим изменением определения формулы)
416
ГЛАВА 8
полна и разрешима. Доказательство см. в книге I Гильберт — Бер-найс 1979 j, гл, VII, § 4.
Задачи и упражнения
I) Показать, что в исчислении Аг
а)	|— ху = 1Эх — 1&у = Г,
б)	3z(z + z = x)v3z((z + z)' = х)
2)	Доказать (8) и (12) из § 8.1 непосредственно, нс пользуясь отношением <. (Указание Доказательство (12) провести индукцией по г, применив внутри индукционного шага индукцию но х или по у и использовав (8).]
3)	Показать, что в исчислении Аг.
а)	|- 7(х = 0)Эх + х > х;
б)	|- 7(х = 0)&7(х = 1)Эх-х > х.
4)	Показать, что в исчислении Аг:
а)	|-х + х = 2-х;
б)	х > 2&у > 2Dx + у < х-у;
в)	I—х + у = x-уЭх = О&у = 0 Vx = 2&у = 2,
г)	[— 3z(« = т + z), если ж < и, и |— ?3z(n = т + z), если tn > л;
д)	I—3z(n = nvz), если п делится на т. и |— 7 3z(n = m-z), если п не делится на т
5)	Показать, что всякая бескванторная замкнутая формула исчисления Аг либо доказуема в нем, либо опровержима (т с, доказуемо ее oi рицание)
6)	Добавим к исчислению Аг новый одноместный функциональный символ f\ и новые аксиомы /?(()) =(0), /г(х') = х. Показать, что в полученном исчислении:
а)	|- х = уЭ/г(х) = /г(у);
б)	|-л-> 0Э(/ !(*))’ = л-
7)	Добавим к исчислению Аг новый двуместный функциональный символ fi. причем вместо /з(/|, 6) будем писать /f2 и новые аксиомы х = I, х’ = х>-х. Показать, что в полученном исчислении-
а)	I— х = yDxz = yz:
б)	j_ х = yDz ж = z у;
в)	|_AJ+Z = x'x*;
г)	|- ху 1 = (хТ,
д)	если tn' = р, ю |— т" = р.
8)	Рассмотрим следующую иншрпрстацию системы аксиом Аг
ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
417
основным множеством служит множество всевозможных конечных множеств целых положительных чисел; равенство означает равномощность; О есть 0; X' есть множес!во, получаемое добавлением к X наименьшего числа, не принадлежащего X; X + Y есть 0, если X = Y — 0, и {1, 2, . , |Х| + |У|} в противном случае; Х-Y есть 0, если X — 0 или Y = 0, и (I, 2,	|Х| - |у|} в противном случае. Показать, что эта интерпретация
является (ненормальной) моделью исчисления Аг. (Указание. Для дока-загольшва аксиомы индукции убедиться, что для всякого предика-ia Ф(Хь .. , X*), сопоставляемого в данной ин 1ерпретации какой-либо формуле исчисления Аг, существует такой предикат Ф'(Я|, ..., Пк), определенный на множестве натуральных чисел, что Ф(Х[............... Xt) =
= Ф'(|Х,|... |Х*|.|
9)	Показать, что аксиома индукции не выводима из остальных аксиом исчисления Аг. (Указание. Рассмотреть следующую интерпретацию: основным множеством служит множество многочленов с целыми коэффициентами, старшие коэффициенты которых нсотрица1ельны; нуль, равенство, сложение и умножение имеют обычный смысл; штрих означает прибавление единицы. Для опровержения аксиомы индукции взять в качестве 21 (х) формулу, означающую существование частного и остатка от деления х на 2.)
10)	Будем говорить, что формула формальной арифметики 21(хт, ..., х,„ х,)+|), не содержащая свободных переменных, отличных от X],..., х„+], сильно представляет всюду определенную числовую функцию f(x........ х„), если для любых натуральных .... к„ выполняется условие
(4) из § 8.2 и, кроме того, |— 3!a„4.i21(xi, .	x„+i). Функция, для
которой существует сильно предо являющая ее формула формальной арифметики, называется сильно представимой в формальной арифметике Доказать, что:
а)	Все исходные и. р ф сильно представимы в формальной арифметике;
б)	То же для [3-функции Гёделя;
в)	Операторы подоановки и рекурсии сохраняют свойово сильной прсдставимоо и в формальной арифметике
(Таким образом, этим свойством обладают все п.р.ф.)
11)	а) Изменить описанный в § 8.3 способ кодирования деревьев вывода, обходясь вместо четырех дополнительных символов b, с, d, е только одним.
б)	То же, обходясь совсем без дополни тельных символов.
В обоих случаях предикаты Д, ДОК, W\, Wi и функция d должны остаться примитивно рекурсивными.
12)	По аналогии с описанным в § 8 3 способом кодирования деревьев вывода в Аг закодировать деревья вывода в исчислении G| так, чтобы предикаты Д и ДОК были нримитвно рекурсивны.
40 Во втором английском издании киш и Э Мендельсона, с первого издания кото рой сделан русский перевод (Мендельсон 1971), приведен — без доказательства и без библиографической ссылки — результат Дайсона |V. Н Dyson |, доказавшего, что сильная представимость равносильна представимости в смысле § 8-2.
418
ГЛАВА8
13)	а) Определив подходящим образом код и номер конечного множесгва формул исчисления Аг (при этом не обязательно, чтобы каждое такое множество имело только один номер), доказать, что предикат ВЫВ(х, у, z) — «х есть номер конечного множества формул, у—номер формулы, выводимой из этого множества, и z—номер вывода формулы с номером у из множества с номером х» примитивно рекурсивен.
б) То же для исчисления Ci
L4) Доказать, что функция замык(х), сопоставляющая каждому х, являющемуся номером формулы исчисления Аг, номер ее замыкания, и равная нулю для остальных значений х, примитивно рекурсивна.
15)	Доказать, что множество теорем произвольного логического исчисления иа основе Gi с перечислимым множеством аксиом перечислимо.
16)	Доказать, что всякое дедуктивно полное логическое исчисление на основе Gj с перечислимым множеством аксиом разрешимо.
17)	Логическое исчисление, алфавит которого содержи! алфавит формальной арифметики, называется ы-полным, если, какова бы ни была его формула 21= 21(х), из доказуемости 21(п) для любого натурального п следует доказуемость формулы Vx2l(x). Показать, что если исчисление Аг непротиворечиво, то оно w-неполио. [Указание. Рассмотреть формулу 72Di(/Hi, х) из доказа1ельс|ва теоремы Гёделя.]
18)	а) Доказать, что множество номеров формул формальной арифметики, истинных в стандартной интерпретации, неразрешимо, если только в этой интерпретации нет противоречий. [Указание. Рассмотреть расширение исчисления Аг с помощью множества формул, истинных в стандартной интерпретации, и воспользоваться соображениями, изложенными в последнем абзаце пункта 3 § 8.4.]
б) Доказать, что это множество не может совпадать с множеством номеров теорем какого-либо непротиворечивого рекурсивно аксиоматизируемого (т. е. получаемого добавлением разрешимого множества аксиом) простого расширения исчисления Аг
19)	Доказать, что исчисление R слабее исчисления Аг (т. е. не всякая теорема Аг есть теорема R). [Указание. Воспользоваться интерпретацией, описанной в указании к задаче 9.]
20)	Показать, что аксиома (р|4) не выводима из остальных аксиом исчисления R. |Указание. Добавить к множеству натуральных чисел новый объект b и положить: Ь' = b; x+b=b+x=b для любого х; х • b = Ь • х = b для любого х 0; 0 - b = b • 0 = 0.]
21)	Два логических исчисления называются совместимыми, если исчисление, полученное объединением их алфавитов и множеств аксиом, непротиворечиво. Показать, что всякое исчисление, имеющее гот же алфавит, чю и R, и совместимое с R, неразрешимо.
22)	Не пользуясь теоремой о полноте, доказать, что если Г — множество формул исчисления G*r, 21— формула исчисления С\^ и Г|^2(, 10 Г|-^г2Г [Указание Преобразовать вывод, заменяя вхождения символов, отсутствующих в алфавите Аг, вхождениями подходящих формул и термов в этом алфавите.]
ПРИЛО-
ЖЕНИЕ
ОТНОШЕНИЯ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
И ПОРЯДКА
1. Среди используемых в математике отношений, весьма разнообразных по своим свойствам, можно выделить отдельные особенно важные типы; некоторые из них мы сейчас рассмотрим. Все эти отношения бинарны, и для каждого из них область отправления совпадает с областью прибытия. Поэтому слово «отношение» в настоящем приложении будет означать бинарное отношение, заданное на некотором непустом множестве (являющемся, таким образом, для данного отношения как областью отправления, так и областью прибытия).
2. Отношение R называется рефлексивным', если оно удовлетворяет условию \fx(xRx) (т. е. если каждый элемент соответствующего множества находится в этом отношении к самому себе).
Отношение R называется симметричным2, если оно удовлетворяет условию VxVy(x/?yDy/?x).
Легко видеть, что отношение тогда и только тогда симметрично, когда оно совпадает со своим обратным, т. е. удовлетворяет условию VxVy((x/?yDjc/?“l 2y)&(x/?_|yDx/?y) J. (Для доказательства достаточно вспомнить, что xR~'y означает то же, что yRx.)
Отношение R называется транзитивным3, если оно удовлетворяет условию Vx\fy\/z(xRy&yRzT)xRz).
Примеры.
1)	Отношение равенства действительных чисел является, очевидно, рефлексивным, симметричным и транзитивным: всякое число равно самому себе; если а = Ь, то b = а; если а = b и b = с, то а = с.
1 От лат. reflexus — «обратное движение, поворот». Ср. «рефлексия», «рефлекс», «рефлектор».
2 У потребление здесь слова «симметричный» хорошо согласуется с другими случаями употребления слов «симметричный», «симметрия» (от греческого epppeTpia — «соразмерность, правильное соотношение») в математике и в обычном русском языке.
О г ла ।. trans it us — «i icpexca. 11 рохож де н не». Ср «трл iвит*, «т pa i cam i ы й».
420
ПРИЛОЖЕНИЕ I
2)	Отношение <, заданное на том же множестве действительных чисел R (в дальнейшем символ R всегда будет иметь тот же смысл) рефлексивно (всегда а < а) и транзитивно (если а < b и b < с, то а < с), но нс симметрично (из а < b не следует b s а; например, 1 < 2 верно, а 2 < 1 неверно).
3)	Отношение <, заданное на R, не рефлексивно и не симметрично, но транзитивно.
4)	Отношение конгруэнтности (на «школьном» языке — равенства) треугольников рефлексивно, симметрично и транзитивно.
5)	То же справедливо для отношения подобия треугольников.
6)	То же верно для отношения равносильности формул логики предложений.
7)	Заданное на множестве формул логики предложений отношение «быть следствием» рефлексивно и транзитивно, но не симметрично (доказать это, подобрав подходящий пример).
8)	Заданное на множестве всех подмножеств фиксированного непустого множества отношение «быть подмножеством» рефлексивно и транзитивно, но не симметрично.
9)	Заданное на том же множестве отношение «быть истинным подмножеством» не рефлексивно и не симметрично, но транзитивно.
10)	Отношение равенства множеств рефлексивно, симметрично и транзитивно.
11)	Заданное на множестве прямых в пространстве отношение «иметь общие точки» рефлексивно и симметрично, но не транзитивно.
12)	Заданное на том же множестве отношение «не иметь общих точек» не рефлексивно и не транзитивно, но симметрично.
13)	Заданное на том же множестве отношение параллельности симметрично, но не рефлексивно и не транзитивно (импликация а 11 b&b 11 cDa11 с ложна, если al IЛ и с совпадает с а).
14)	Заданное на том же множестве отношение «х параллельна у или совпадает с у» рефлексивно, симметрично и транзитивно.
15)	Пусть а, Ь — целые числа и т — целое положительное число. Говорят, что а и b сравнимы по модулю т, и пишут a — Z>(mod m), если разностью - b делится на гп, или, чтото жесамое, если а и 6 дают при делении на т одинаковые остатки. При любом т отношение сравнимости по модулю т рефлексивно (а - а = 0 и 0 делится на т). симметрично (если а - b делится на т, то и Ь- а делится на /и) и транзитивно (если а-b и Ь — с делятся на т, то и а — с = (а — Ь) + (Ь — с) делится на т).
16)	Заданное на R отношение «быть противоположным числом» симметрично, но не рефлексивно и не транзитивно.
ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА
421
17)	Пусть Q — отношение, заданное на R следующим образом: xQy означает ху > Ovx = у = 0. Легко проверить, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.
18)	Заданное на множестве целых чисел Z (в дальнейшем символ Z всегда будет иметь тот же смысл) отношение делимости рефлексивно и транзитивно, но не симметрично.
19)	Пусть D — отношение, заданное на Z следующим образом: xDyозначает, чтохделится на у и при этом Ixl > 1у1. Это отношение не рефлексивно и не симметрично, но транзитивно.
20)	Заданное на произвольном множестве людей, среди которых есть хотя бы двое, один из которых — потомок другого, отношение «быть потомком» ие рефлексивно и не симметрично, но транзитивно.
Для большей наглядности сведем разобранные примеры в таблицу (+означает наличие свойства, - — его отсутствие).
Таблица I
№	Отношение	Рефл.	Симм.	Транз.
1	Равенство чисел	+	+	4-
2	<	*	-	+
3	<	—	—	+
4	Конгруэнтность	+	+	4
5	Подобие	+	+	4
6	Равносильность	+	+	4
7	Быть следствием	+	-	
8	Быть подмножеством	+	—	4-
9	Быть истинным под-	—	—	4
	множеством			
10	Равенство множеств	+	+	+
11	Иметь обшие точки	+	+	-
12	Не иметь общих точек	-	4-	-
13	II	—	+	-
14	I или =	4-	+	+
15	а =. b(modm)	4.	4	4
16	Быть противополож-	-	4	-
	ным числом			
17	е	4-	4-	4-
18	Делимость	4	-	+
19	D	-	-	
20	Быть потомком			4
422
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Задачи. 1) Исследовать на рефлексивность, симметричность и транзитивность следующие отношения:
а-д) Отношения (),, Q,,	Q4, Q5, заданные на R следующим об-
разом: xQy означает ху > 0, xQ2y — ху > 0, xQ3y — ху < 0, xQ^' — ху < 0, xQ5y — х < у + 1.
е) Отношение 5, заданное на множестве Б* «формальных слов» из русских букв (см. задачу 16 в конце гл. 2): xSy означает, что последняя буква слова х совпадает с первой буквой слова у.
2) Убедиться, что каждая из восьми мыслимых комбинаций наличия и отсутствия свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности осуществляется для некоторого отношения.
3. Исключительно важную роль играют в математике отношения, являющиеся одновременно рефлексивными, симметричными и транзитивными. Такие отношения называются отношениями эквивалентности или просто эквивалентностями.
Эквивалентностями являются, например, следующие отношения (см. табл. I): равенство действительных чисел; конгруэнтность треугольников; подобие треугольников: равносильность формул логики предложений; равенство множеств; параллельность или совпадение прямых; сравнимость целых чисел по заданному модулю; отношение Q.
Сейчас мы докажем теорему, из которой будет ясно, чем обусловлена исключительная роль отношений эквивалентности. Чтобы ее сформулировать, введем следующее понятие. Пусть М — произвольное множество и {Ка} — какая-то система подмножеств М, т. е. некоторое множество, элементы которого являются подмножествами М. Говоря, что система {/Q является разбиением множества М (иначе: множества образуют разбиение множества Л/, или: имеется разбиение М ни множества KJ, если каждый элемент М принадлежит одному и только одному из — или, что то же самое, если множества попарно не пересекаются4 и их объединение совпадает с М.
Теорема. Если R — отношение эквивалентности, заданное на произвольном непустом множестве Л/, то существует такое разбиение {Krt} множества Л/, что, каковы бы ни были x.yGM. тогда и только тогда xRy, когда .г и у принадлежат одному и тому же множеству Ки.
Доказательство. Пусть а — произвольный элемент множества М. Обозначим через Мо множество {.г\x^M&xRa}. Ввиду рсфлек-
□ ю значит, чп) пс пересеки инея никакие два из них (если они различны).
ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА
423
сивности отношения R имеем а^Мо, и поэтому объединение всех Ма содержит М-. но поскольку любое Мо содержится в М, это объединение совпадает с М. Если мы теперь покажем, что любые два различных множества вида Ма не пересекаются — т. е., что из Ма * Мьследует МаС\Мь = 0,— тем самым будет доказано, что множества Ма образуют разбиение М. Докажем это от противного. Пусть а, Ь^МУ Мо* Мь и МаС\М0* 0, т. е. существует хотя бы один элемент с множества М, такой, что cRa и cRb. Если z — произвольный элемент Мо, то zRa, отсюда и из cRa ввиду симметричности и транзитивности R вытекает zRc, а из zRc и cRb следует zRb, т. е. zGMb. Итак, мы доказали, что МаСМ^ точно так же можно доказать, что МьСМо. Таким образом, Мц = Мь, вопреки предположению.
Остается показать, что для любых ху у£=М тогда и только тогда xRy, когда х и у принадлежат одному и тому же множеству полученного разбиения. Но если х, yGMa, то xRa и yRat откуда xRy; обратно, если xRy, то хЕМ}, но у также принадлежит Му. Доказательство теоремы закончено.
Разбиение существование которого утверждается только что доказанной теоремой, называется разбиением на классы эквивалентности {по отношению R) или фактор-множеством множества М по отношению R и обозначается М/R.
Ясно, что справедливо и обратное утверждение: если {/С,} — произвольное разбиение множества М и xRy означает, что х и у принадлежат одному и тому же множеству разбиения {/Crt}, то R есть отношение эквивалентности, а {Ки} совпадает с фактор-множеством M/R.
Примеры:
1)	Для отношения равенства действительных чисел каждое множество Kv состоит из одного числа, так что все классы эквивалентности одноэлементны.
2)	Для отношения равносильности формул логики предложений каждый класс эквивалентности состоит из всех формул, представляющих одну и ту же булеву функцию.
3)	Для отношения сравнимости по модулю т каждый класс эквивалентности состоит из всех чисел, дающих при делении на т заданный остаток. Такие «классы равноостаточных чисел» принято называть классами вычетов по модулю т. Поскольку остаток от деления целого числа на т может принимать т различных значений: 0. 1, ..., т — 1 — имеется ровно т классов вычетов по модулю т:
(mk\k = Qt ± 1, ±2, ...}, {ш£ + 11А = 0, ±1, ±2,	...,
{mk + (т - I)Iк = 0, ± 1, ± 2,...}.
424
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Например, при т = 2 один класс состоит из четных чисел, другой — из нечетных.
4)	Для отношения Q имеем три класса эквивалентности: R+, R_, {0}, где Р+/соответственно R_, означает множество положительных (отрицательных) действительных чисел.
Для остальных эквивалентностей из табл. 1 читатель найдет классы эквивалентности сам.
Задача. Доказать, что следующие отношения, заданные на R, являются отношениями эквивалентности; для каждого из них найти классы эквивалентности и изобразить их схематически на чертеже:
a)	R,: xRty означает I х I = lyl;
б)	R2. xR2y означает |xj= [у J;
в)	R<: xRsy означает x - |x J = у - [у | (иначе: разность x - у есть целое число).
4. Отношение R называется антирефлексивным, если оно удовлетворяет условию Vx7(xRx) (т. е. никакой элемент не находится в этом отношении к самому себе).
Отношение R называется антисимметричным, если оно удовлетворяет условию VxVy(x/?yD?(yRx)).
Исследуем на антирефлексивность и антисимметричность отношения из табл. 1 (разумеется, на антирефлексивность нужно исследовать только нерефлексивныс отношения, а на антисимметричность — несимметричные).
1)	Отношение < не антисимметрично: из а < b не следует 7(* < й).
2)	Отношение < антирефлексивно (никакое число не меньше самого себя) и антисимметрично (если а < Ь, то не может быть b < а).
3)	Отношение «быть следствием» для формул логики предложений не антисимметрично.
4)	То же справедливо для отношения «быть подмножеством».
5)	Отношение «быть истинным подмножеством» антирефлексивно и антисимметрично.
6)	Отношение «не иметь общих точек» антирефлексивно.
7)	То же верно для отношения параллельности.
8)	Отношение «быть противоположным числом» не антирефлексивно (так как число 0 противоположно самому себе).
9)	Отношение делимости не антисимметрично.
10)	Отношение D антирефлексивно и антисимметрично.
11)	То же верно для отношения «быть потомком».
Присоединим к этим примерам еще один:
12)	Заданное на множестве Б букв русского алфавита отношение «алфавитного предшествования»: буква «а» предшествует всем остальным, буква «б» — всем, кроме «а» и «б», буква «в» — всем, кро
ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА
425
ме «а», «б» и «в», и т. д.— очевидно, антирсфлексивно и антисимметрично. (Заметим также, что это отношение транзитивно).
Разобранные примеры сведем в новую таблицу, в которой повторим также столбец для транзитивности.
Таблица 2
Ng |Отношение| Антирсфл. | Антисимм. | Транз
1	S	-	-	t
2	<	-	♦	«
3	быть	следствием
4	быть	подмножеством
5	бьиь	истинным подмножеством ♦
6	нс иметь общих ючек
7	II
8	быть	противоположным числом
9	делимость	-	-	♦
10	D	,	4.	»
11	быть ИОЮМКОМ	4	*
12	алфавитное предшествование
Задача. Исследовать на антирефлексивность и антисимметричность отношения из задачи 1 в конце пункта 2.
Отношения, являющиеся одновременно антирефлексивными, антисимметричными и транзитивными, называются отношениями порядка или просто порядками.
Если отношение порядка R удовлетворяет дополнительному условию VxVy(x yDxRyX/yRx) (т. е. если любые два различных элемента соответствующего множества «сравнимы в смысле R»), оно называется отношением линейного порядка (или просто линейным порядком).
Множество, на котором задано отношение порядка (соответственно — линейного порядка), называется упорядоченным (соответственно — линейно упорядоченным) множеством5. Болес строго, (линейно) упорядоченным множеством называется упорядоченная
В другой icpMHiio.ioiHH, < настоящее время менее упенребительной. то. что мы назвали отношением порядка п упорядоченным множеством, называют отношением чао инион» порядка и частично упорядоченным множеством, а то, чти мы назвали отношением линейного порядка и линейно упорядоченным множеством — просто отношением порядка и упорядоченным множеством. Кроме того, вместо «отношение линейного порядка» и «линейно упорядоченное множеспю» иногда говоря т «отношение полного порядка» и «полностью упорядоченное множество».
426
ПРИЛОЖЕНИЕ!
пара (М. R), где М — множество и R — заданное на М отношение (линейного) порядка.
Из отношений, включенных в табл. 2, порядками являются: <, «быть истинным подмножеством», D, «быть потомком», алфавитное предшествование. Легко видеть, что первый и последний из этих порядков линейны, а остальные нелинейны (точнее, отношения «быть истинным подмножеством» и «быть потомком» не являются линейными порядками, если они заданы: первое — на множестве всех подмножеств множества, состоящего не менее чем из двух элементов, второе — на множестве людей, в которое входят хотя бы два человека, ни один из которых не является потомком другого6.
Задача. Доказать, что следующие отношения, заданные на R, являются порядками:
a)	U;. хUty означает 1д1 < lyl;
б)	Uj: xUyy означает [д- ] < [у ];
в)	U3; xUsy означает х - [л- ] < у - (у);
г)	U4- xU^y означает IxiOyl Vlxl = lyl&x<y;
д)	Us: xUsy означает х = О&у * 0 vxy * 0&х<у.
Какие из этих порядков линейны?
Замечания. 1) Не все мыслимые комбинации наличия и отсутствия свойств антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности действительно возможны (ср. задачу 2 в конце пункта 2). Именно, всякое антисимметричное отношение антирефлексивно, а всякое, являющееся антирефлексивным и транзитивным. - антисимметрично. В самом деле:
(а)	Из условия антисимметричности вытекает, что для любого элемента а соответствующего множества из aRa должно следовать 7 (aRa); поэтому aRa невозможно.
(б)	Пусть отношение R анти рефлексивно и транзитивно, и пусть aRb. Тогда bRa невозможно, поскольку из aRb и bRa по транзитивности следует aRa.
Таким образом, отношение порядка можно было бы определить проще, а именно либо как антирефлексивное и транзитивное отношение, либо как антисимметричное и транзитивное.
2) Непосредственно из определений легко вывести, что отношение, обратное для антирефлексивного (антисимметричного, транзитивного) отношения, также антирефлексивно (антисимметрично, транзитивно). Отсюда следует, что отношение, обратное для поряд
6..	,
Название «линейный порядок» шражает тот факт, что в достаточно простых случаях элементы линейно упорядоченного .множества можно наглядно изображать точками прямой линии так, что xRy и «поражается как «т левее у». В то же время, например, для отношения «быть потомком» подобное тилидине изображение («родословное дерево») «нс укладывается» на прямой
ОТНОШЕНИЯ ЭКПИВАЛГН1НОСТИ И ПОРЯДКА
427
ка, также является порядком. Столь же легко усмотреть, что отношение, обратное для линейного порядка, также есть линейный порядок. Поэтому, например, отношение > (обратное для <) является линейным порядком; отношение «быть предком» (обратное для «быть потомком») есть порядок.
Рассмотрим еще один пример линейного порядка. Пусть Б — множество букв русского алфавита, R — заданное на Б отношение алфавитного предшествования (см. выше пример 12) и Б* — множество формальных слов в алфавите Б (т. с. конечных последовательностей элементов Б: см. задачу 16 в конце гл. 2). (Одним из элементов Б* является пустое слово Л. не содержащее никаких букв.) Будем говорить, что: а) слово х является префиксом слова у, если существует непустое слово z, такое, что у = xz; б) слово у отходит вни.1 от слова х на i-м шаге, если существуют такое слово и длины i - I7 и такие непустые слова х, и у„ что х = ихи у — иу\ и первая буква слова х, предшествует первой букве слова у, в смысле отношения R. (Например, слово «лес» — префикс слова «леска», пустое слово — префикс всякого непустого; слово «ворон» отходит вниз от слова «воробей» на пятом шаге и от слова «бор» на первом шаге.) Если слово х является префиксом слова у или слово у на каком-нибудь шаге отходит вниз от слова х, мы будем говорить, что слово х лексикографически предшествует слову у, и писать xR*y. Лексикографическое предшествование, называемое также лексикографическим (или словарным) порядком — это то самое отношение, с помощью которого принято упорядочивать слова в словарях*. Мы покажем сейчас, что оно действительно есть порядок, и притом линейный.
Поскольку из определения непосредственно следует, что отношение лексикографического предшествования антирефлексивно и любые два различных слова сравнимы в смысле этого отношения (т. е. одно из них лексикографически предшествует другому), достаточно доказать транзитивность. Пусть xR*y, yR*z. Возможны четыре случая:
а)	х является префиксом у и у — префиксом 2. Тогда, очевидно, х является префиксом z.
б)	х является префиксом у и существует такое i, что на /-м шаге z отходит вниз от у. Пусть длина х равна /. Если при этом i < I, то z на /-м шаге отходит вниз от х, а если i > I, то х является префиксом z.
в)	Существует такое/, что на /-м шаге у отходит вниз от х. и у
Дчиной слова называй с» число вхождении буки и нею I [анример, слово «лампа» имеет длину 5, пустое слово - длину О
Ср сноску на с. 74 (где рассматривался лексикографический порядок для слов о in ни копой длины, со. и'ржатих только букиы /1 и /Л Там жесм объяснение icpMHiia
428
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
является префиксом z. В этом случае z также отходит вниз от х на /-м шаге.
г)	Существуют такие i и /, что на Z-м шаге у отходит вниз от х и на /-м — z от у. Тогда z отходит вниз от х на А-м шаге, где к = min(z, f).
Итак, в любом случае из xR*y и yR*z следует xR*z. Доказательство окончено.
Замечание. При построении отношения R* и во всех последующих рассуждениях конкретная природа множества /> и отношения R не играла никакой роли — использовался только тот факт, что R есть линейный порядок. Поэтому лексикографический порядок можно определить, исходя из произвольного линейного порядка, заданного на каком-либо множестве. Например, если исходить из отношения <, заданного на множестве R, то, обозначая соответствующий лексикографический порядок через <* и пользуясь обычными обозначениями для упорядоченных систем чисел, играющих теперь роль «слов», имеем: (3, 6, -2)<* (3. 8); (-1, 4, 0)<*(0, -5, -1) и т. п.
5. Пусть М — произвольное непустое множество, R — заданное на М отношение и М' — непустое подмножество М. Определим отношение R' следующим образом: xR'y означает, что х, уЕ.М' и xRy. Иначе говоря, R' есть отношение, заданное на множеством' и отличающееся от R только дополнительным условием х, yGM'. Мы будем говорить, что R' есть отношение R, ограниченное множеством М'. Например, отношение равенства целых чисел можно рассматривать как отношение равенства действительных чисел, ограниченное множеством целых чисел.
Ясно, что если отношение рефлексивно (антирефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно), то оно остается рефлексивным — соответственно антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным — при любом ограничении; сохраняется при ограничении также и свойство VxVy(x * y^DyRyV Rx). Поэтому всякая эквивалентность остается при любом ограничении эквивалентностью, порядок — порядком и линейный порядок — линейным порядком. Например, равенство рациональных чисел, равенство целых чисел и т. п.~ отношения эквивалентности. Точно так же отношение < для рациональных чисел, для целых чисел и т. п. остается линейным порядком. Часто рассматриваются также ограниченные отношения лексикографического порядка — например, лексикографический порядок на множестве упорядоченных и-ок действительных чисел при фиксированном п. (В частности, для упорядоченных пар действительных чисел лексикографическое предшествование можно определить так: пара (х, у) предшествует паре <х', у'), если либо х < х', либо х = х' и у < у'.) Все такие ограниченные лексикографические порядки линейны.
Задача. Порядок R называется плотным, если он удовлетворяет
ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА
429
условию VxVy(x/?yOHz(x/?2&z/?y). Привести примеры плотных и неплотных порядков. Сохраняется ли свойство плотности при любом ограничении?
Задачи и упражнения
I) Исследовать на рефлексивность, антирефлексивность, симметрич-ноегь, антисимметричное! ь и транзит ив нос гь следующие таношения-
(а)	заданное на R отношение Р(: хР\у означает «х + у — целое число»;
(б)	заданное на R ошошение /Ч: гРзу означает |х —у| = 1;
(в)	заданное на множестве целых положительных чисел отно шенис Р»: vPjy означает «л есть наименьший отличный от единицы де титель у»,
(i	) заданное на том же множестае отношение P*z хРду означает v = у + I,
(,ч) заданное- па множестве Ь букв русского алфавита отношение Ps xPsy означает «в слове “бесконечность" имеется вхождение буквы г, непосредственно предшествующее вхождению буквы у» (например е/’зс. еР5ч)
2)	Сформулировать в теометрических терминах свойства графика заданного на R отношения, необходимые и достаточные для того. чтобы это отношение было: (а) рефлексивным; (б) ангирсфлексивным. (в) симметричным; (г) ашисиммегричным
3)	Доказать, что следующие отношения являются эквивалент постами и найти классы эквивалентности
(а)	заданное на R отношение х = yVx + у = 0.
(б)	заданное на R\{0} отношение х = уvxy = I
(в)	заданное на множестас Zz oi ношение	(«. й>(с d) означает
а + d = b + с
(г)	заданное на Zx(Z\{0}) отношение ~ (а, />)~(с, </) означае! ad = be
4)	Доказать, чго каждое из следующих oi ношений, заданных на множестве S функций, отображающих множество положи тельных действительных чисел в себя, является эквивалентностью.
(а)	/(Т> = «(1);
(б)	Inn (/(л) -g(x)) - О,
(в)	«1!пт (/(л) — х(х)) существует и конечен».
(г)	lim------ I,
(д)	«пт--- существует, конечен и отличен от нуля »;
(с) Эа(а > 0&3xqVx(x > х©Э|Дх) -g(x)| < <т));
430
ПРИЛОЖЕНИЕ I
(ж) 3a3ft(0 < а < A&3x0Vx(x > x0Da < —— < Л));
«(*)
I f(x)
(з) Bk(k < 0&3x0Vx(x > ХоЭ-т < —— < л )). х Жх)
5) Пусть F—произвольное отображение непустого множества А в непустое множество 13, и Rf—следующее заданное на А отношение,-xRry означает, что F(x) - F(y).
(а)	Доказать, что Rt—отношение эквивалентности;
(б)	Для каждого из перечисленных ниже отношений подобрать функцию F с числовыми значениями таким образом, чтобы данное отношение совпало с R/-: равенство действительных чисел; сравнимость по модулю /н; отношение Q (пример 17 в пункте 2).
6)	Попытаться естественным образом определить понятие «ашитран-зиэивного отношения» Привести примеры таких oi ношений.
7)	Доказав, что следующие заданные на R отношения являются отношениями линейного порядка:
(а)	0 < х < yVy < х < Ovx < 0 < yVx = 0&у * 0:
(б)	х-|х} < у-|y|vx-|x| = у - lyj&lxl < lyl.
8)	Доказать, что следующие отношения, заданные на Z\{0}, являю >ся отношениями порядка, но не линейного порядка:
(а)	«Число различных делителей х больше числа различных делителей
3’»;
(б)	то же для числа различных простых делителей,
(в)	«х делится па у2 и |х|> 1»
9)	Пусть —следующее отношение, заданное на Z2- (а, Ь) -{(с, (/) означает и+ Ь < с + (1\а + b = с + d&a < с Доказать, чю — линейный порядок.
10)	Доказать, что следующие отношения, заданные па 5 (см. задачу 4), являются отношениями порядка, но не линейного порядка
(а)	/(I) <«(!);
(б)	3xcVx(x > х0Э/(х) < g(x)):
(в) lim------— 0,
, , , /(х>
(г)	«liin —— существуй и меньше единицы»
(Д) 3x0Vv(x > ХоЭ2/(л’ < 4<л))
II)	Пущь /—функция, оюбражаюшая R в себя и удовлетворяющая условиям VxVv(x < vD/(x) < Ду)) и Vt(x < Дх)), и пушь a <zy означает Дх) < у.
(а)	Доказать, чю </ ешь порядок
(б)	Всегда ли лог порядок является линейным^
0’1 НОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА	431
12)	Пусть А, В — произвольные непустые множества, В— отображение А в В, Q — порядок на В, и пусть xQirjy означает F(x)QF(y).
(а)	Доказать, что (Дл — порядок на А.
(б)	Показать на примерах, чю может не быть линейным порядком, даже сели Q является таковым
13)	(а) Что представляет собой рефлексивное функциональное отношение?
(б) Указать примеры функциональных отношений порядка.
(в) На каких множествах возможны функциональные отношения линейною порядка?
ПРИЛО-
ЖЕНИЕ
II
мощность
МНОЖЕСТВА
1. В главе 1 было рассмотрено много примеров множеств. Некоторые из этих множеств конечны — например, {1}, {1, 2}, {1,2, ..., 1000}, {а, б, в}, 0,— другие бесконечны — например, множество действительных чисел, множество целых чисел, множество четных чисел, множество нечетных чисел. Что такое «конечное» и «бесконечное» множество, мы не определяли, но для любого «достаточно просто заданного» множества читатель без труда скажет, конечно оио или бесконечно1. Для конечного множества имеет смысл вопрос: «сколько в нем элементов?»; ответ на этот вопрос выражается целым неотрицательным числом2. Поэтому конечные множества можно сравнивать по числу элементов: например, множества {1,2, 3} и {а, б, «} состоят из одинакового числа элементов, а во множестве {1, больше элементов, чем в {1,2}.
Может показаться, что для бесконечных множеств «количественное сравнение» невозможно: нет смысла спрашивать, в каком из двух бесконечных множеств больше элементов. Однако это не так. Создатель теории множеств Георг Кантор3 ввел понятие мощности множества, позволяющее сравнивать любые множества по «ко
Примсром «не просто заданною» множества может служи ц. множества таких простых чисел р, для которых р + 2 также простое Неизвестно, конечно это множество или бесконечно («проблема близнецов» — см. с 52).
2 Мы нс всегда можем точно указать эго число, но уверены в его существовании, если знаем, что множество конечно
' Георг Кантор (Georg Саптог, 1845—1918) — немецкий математик, был профессором университета в Галле. Его идеи, которые впоследствии изменили лицо ма тематики, долгое время оставались непризнанными и находили противников даже среди очень крупных математиков. Ныне канторова теория множества образует фундамент здания матема? ики.
Содержание настоящего Приложения почти все восходит к работам Кантора — вплоть до идей доказа юльегв
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТ ВЛ
433
личеству элементов». При этом понятие целого неотрицательного числа оказалось частным случаем понятия мощности. Поэтому удобно начать изучение этого последнего понятия с анализа первого.
Читателю хорошо известно различие между количественными и порядковыми числами4. Первые выражаются количественными числительными: один, два, три,... — и служат для обозначения количества; вторые выражаются порядковыми числительными: первый, второй, третий, ... — и служат для обозначения места предмета в некотором ряду однородных «вешей». Нас будут сейчас интересовать только количественные числа.
Попробуем проанализировать значение некоторого конкретного (количественного) числа — скажем, «пять». Что означают такие предложения, как «У меня на руке пять пальцев». «У цветка яблони пять лепестков» и т. п.? В каждом из этих предложений утверждается, что некоторое множество — состоящее из пальцев руки, нз лепестков цветка ит.п. — обладает свойством «состоять из пяти элементов»; и этим свойством исчерпывается то, что есть общего между всеми такими множествами. Поэтому число пять можно трактовать как некоторое свойство множеств. Легко заметить, далее, что между любыми двумя множествами, обладающими этим свойством, можно установить взаимно однозначное соответствие — иначе говоря, каждое из этих множеств можно биективно отобразить на каждое другое,— в то время как между множеством, обладающим свойством «состоять из пяти элементов», и множеством, не обладающим этим свойством, взаимно однозначное соответствие невозможно. То же и для любого другого числа: два конечных множества состоят из одинакового числа элементов тогда и только тогда, когда между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Поэтому мы можем назвать два конечных множества «равночисленными», если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, и определить число элементов конечного множества как то общее, что имеется у всех множеств, равночисленных данному. Форма этого определения может показаться необычной, но пусть читатель попробует подумать — какое еще содержание может иметь понятие количественного числа? Тот факт, что понятие взаимно однозначного соответствия (биективного отображения) логически проще понятия числа, подтверждается, в частности, следующим: 1) Дети, еще не освоившиеся как следует с употреблением чисел, считают по пальцам, т. е. выполняют биективные отображения различных множеств
4 Под числами здесь и далее до конца этого пункта подразумеваются целые положительные числа.
434
ПРИЛОЖЕНИЕ И
на множества, состоящие из пальцев рук. 2) У народностей, не знакомых с абстрактным счетом5, меновая торговля основывалась на непосредственном установлении взаимно однозначного соответствия между множествами «единиц товара» (например, продавцы раскладывали шкурки, а покупатели клали рядом с каждой шкуркой, скажем, нож).
2, Сделаем теперь простое наблюдение: при определении равно-численности множеств мы не пользовались тем, что они конечны. Поэтому можно ввести аналогичное понятие для произвольных множеств. При этом мы заменим термин «равночислснность» другим — равномощность. Итак, мы будем говорить, что множество Л равномощно6 множеству В, если существует биективное отображение А на В (иначе: если между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие). Вместо «Л равномощно Я» будем писать также А ~ В. Докажем, что отношение равномощности множеств есть отношение эквивалентности.
1)	Каждое множество можно биективно отобразить на себя; нужным отображением является хотя бы тождественное. Таким образом, отношение равномощности рефлексивно.
2)	Если / есть биективное отображение А на В, то существует обратное отображение/ _|. область определения которого совпадаете множеством значений /. т. е. с В, а множество значений — с областью определения /, т. с. с А. Таким образом, /"' отображает В на А, т. е./"* 1 сюръективно. В то же время, поскольку = а означает то же, что b — а для каждого а(=А имеется только одно Ь&В, такое, что b — f(a)t отображение f~l инъективно. Следовательно, /"' есть биективное отображение В на А. Итак, из существования биективного отображения Д на В следует существование биективного отображения в на А, т. с. отношение равномощности симметрично.
3)	Если /— биективное отображение А на В и g— биективное отображение В на С, то f°g есть биективное отображение А на С. Действительно, если бы некоторое cGC имело два разных прообраза при отображении f°g- скажем, я, и л2, щ * а2, — то в силу инъек-тивиости/было бы/(я,) /(л2), откуда в силу инъективности gcae-
В языках народностей, познакомившихся с ним лишь недавно, числительные нередко подразделяются на i трал лед иные ряды, каждый из кот орых служи г для счета предметов только одною определенного вида. Например, в нивхском языке имеется около тридцати разрядов количественных числительных — для счета мелких круглых предметов, для счета длинных предметов, для счета лодок, для счета нарт и i д (см
I Крсинович 1973 [ >
° Ины да вместо «равномощно» говорят «эквивалентно».
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
435
довало бы £'(/("i)) * М/(а?)); но по предположению -= МЛА)) = Таким образом, f°g биективно. Итак, из существования биективных отображений Л на В и В на С следует существование биективного отображения Л на С, т. е. отношение равномошности транзитивно.
Определим теперь понятие мощности — обобщение понятия количественного числа7 8:
Мощность множества есть то общее, что имеется у всех множеств, равномощных данному.
Мощность множества А мы будем обозначать IАI.
Теперь необходимо выяснить, что значит, что два множества имеют одну и ту же мощность. По точному смыслу определения это должно означать: то общее, что есть у всех множеств, равномощных одному из двух данных — обозначим его А — совпадает с тем общим, что есть у всех множеств, равномощных другому данному множеству — скажем, в. Но это, в свою очередь, означает, что множества, равномощные Л, неотличимы от множеств, равномощных В — иначе говоря, что Л и В удовлетворяют следующему условию: (сс) всякое множество, равномощное множеству Л. равномошно и множеству В, а всякое множество, равномощное/?, равномошно Л. А поскольку равномощность есть отношение эквивалентности, условие (а) равносильно более простому условию (р) А — В. (Доказать это!) Итак: Два множества имеют одну и ту же мощность тогда и только тогда, когда они равномощны*. Иначе говоря, IЛI = IВI означает то же, что Л — В.
Рассмотрим теперь несколько примеров. При этом — и всюду дальше — наряду с ранее употреблявшимися обозначениями Z, R мы будем пользоваться следующими: N для натурального ряда чисел (т. е. множества {0, 1, 2, ...}9); Q, Q + , Q_ — для множеств всех рациональных чисел, всех положительных рациональных чисел и всех отрицательных рациональных чисел соответственно; R + , R. —для множеств всех положительных и всех отрицательных действительных чисел соответственно; Z+, Z_ — аналогично.
Мощности часто называют также кардинальными числами *уг латинского 1рам-матического 1ермина numeralia car di пи Ua — количественные числительные, букв, «основные числительные»; curdinalis — «основной, главный» (or curdo — «ось», «дверной крюк»), ср. русское «кардинальным» — «самый важный, cymeci венный, ОСНОВНОЙ»)
8 «А и В равномшцны» означает то же, что «А ранномощноЛ1» (или «В равномощно /1») Симметричные отношения очень часто выражаю ня подобным образом «прямые h и Ь. параллельны», «Миша и Гриша — братья» т.н
Чаще натуральными числами называют только целые положительно числа Одиаки мы в.п'он книге начинаем оп.че« натуральных чисел с нуля.
436
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Пример 1. Z+ — Z_. Действительно, если положить f(ri) = — я, то /будет биективным отображением Z+ на Z_.
Пример 2, N — Z+. Биективное отображение осуществляется функцией /(«) = п + I:
N = {0, 1, 2, 3,...};
1111
Z+ = { 1,2,3,4,...}.
Пример 3. Множество Z равномощно множеству четных чисел и множеству нечетных чисел (и, следовательно, эти множества равно-мошны между собой). Биективные отображения осуществляются функциями /(п) = 2п, g(d) = 2п + 1:
..., -4, -2, 0, 2, 4, ...
...»-2, -1, 0, 1, 2, ...
I 1111
...,-3,-1, 1, 3, 5,
При мер 4. IM ~ Z . Биективное отображение осуществляется следующей функцией/: /(2л;) = и,/(2и + 1) = - (и + 1):
О, I, 2, 3, 4, 5,6,...
Ill II II
0,-1, 1,-2, 2,-3, 3,...
Пример 5. Для любых действительных чисел a, b, с, d, таких, что а < b и с < d, отрезки |й, й] и [с, d] равномощны; то же верно для интервалов (я, Ь) и (с, d). Биективное отображение ((я, 6] на [с, d] d — с
(или, безразличие, (а, Ь) на (с, d)): /(х) = у_ - (х — а) + с (см. рис. II).
Пример 6. R — Rr. Биективное отображение:/(х) = 2х.
Пример 7. у, ~ R. Биективное отображение: /(х) = tgx.
Из примеров 5, 6 и 7 видно, что множества R и R+ равиомощиы любому интервалу.
Пример 8. Множество точек полуокружности, не включающее ее коицов, соответственно включающее концы, равномощно множеству точек ее диаметра, не считая концов, соответственно считая концы — а значит, и любому интервалу, соответственно отрезку (пример 5). Способ установления взаимно однозначного соответствия ясен из рис. 12.
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
437
Пример 9. Множество точек окружности равномощно множеству точек полуинтервала. Действительно, окружность можно представить в виде объединения двух иепересскающихся полуокружностей, одна из которых включает концы, а другая — нет, а полуинтервал в виде объединения отрезка и не пересекающегося с ним интервала (например, [0,2) = [0,1 ]U(I,2)). Остается воспользоваться примером 8.
Пример 10. Множество точек полуокружности, не считая концов, равиомощио R. Способ установления взаимно однозначного соответствия ясен из рис. 13.
Рис. 14
Примеры 8 и 10 дают еще одно доказательство равномощности интервала и множества действительных чисел.
Пример 11. Множество прямых на плоскости, параллельных заданной прямой, равномощно R. Доказательство ясно из рис. 14.
438
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Пример 12. Множество точек полусферы111 без ограничивающей сс окружности равномощно множеству внутренних точек круга. Доказательство аналогично примеру 8.
Пример 13. То же множество равномощно множеству точек плоскости. Доказательство аналогично примеру 10.
Из примеров 12 и 13 следует, что множество точек плоскости равномощно множеству внутренних точек круга {открытому кругу) 
Задача. Доказать, что:
a)Z-Z\{0};
б)	N - {-3,-2,-1,0, 1,2,...};
в)	N - NU{a, б};
г)	N равномощно множеству натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 2;
д)	R+ ~ R+\(0, I I:
е)	R~(R\ [-1. 1 |)U{0};
ж)	R\{2, 3, 4} - (-оо, -1 )U(0. 1)U(5, 7)U(co, + co);
3)	Q ~ Q\(-l,0 J;
и)	R равномощно множеству точек синусоиды.
Замечание. Примеры 2, 3, 4, 6, 7 показывают, что миожество может быть равномощно своей истинной части. Тому, кто имеет опыт обращения лишь с конечными множествами, такая возможность должна казаться удивительной; и действительно, скоро мы увидим, что она характерна именно для бесконечных множеств.
3. Но что такое бесконечное множество, как его определить? Понятно, что для этого достаточно сформулироватьопределение конечного множества. Чтобы это сделать, мы воспользуемся идеей построения конечных множеств «шаг за шагом», начиная с пустого, путем добавления элементов по одному. Эта идея приводит к индуктивному определению (ср. определения формулы в §§ 5.2 и 6.1). Чтобы его сформулировать, определим предварительно понятия пустого множества и атомного множества10 11: множество М называется пустым, если оно не имеет элементов, т. с. удовлетворяет условию тЗх(хСТИ), и атомным, если оно не пусто и не имеет
10 Сферой мы называем поверх посты пара, полусферой — одну из двух частей, на ко icpue делит сферу окружность большого круга.
11 Мы предпочитаем эпи термин напрашивающемуся «одноэлементное», так как последний включает в себя слоне «один», а число «один» — более сложный объект, опрц к'лнемып именно через поняшс атомного множества тем ниже)
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
439
различных элементов, т. е. удовлетворяет условию 3x(xGM& &Vy(yGMDy = х)).
Теперь индуктивное определение конечного множества можно сформулировать так:
(а)	Пустое множество конечно.
(б)	Если Л — конечное множество и /3 — атомное множество, то множество /ЮЛ' конечно.
(в)	Множество может быть конечным только в силу (а) или (б).
Множество, не являющееся конечным, естественно назвать бесконечным.
Из определения конечного множества непосредственно ясно следующее: если мы хотим доказать, что все конечные множества обладают каким-либо свойством, то нам достаточно установить, что, во-первых, этим свойством обладает пустое множество, и, во-вторых, если какое-то множество обладает этим свойством, то им обладает и объединение данного множества с произвольным атомным множеством.
Применим это соображение к доказательству следующих утверждений:
Теорема I. Множество, равномощное1 конечному множеству, также конечно.
Доказательство. I. Очевидно, между пустым и непустым множеством взаимно однозначное соответствие невозможно. Поэтому множество, равномощное пустому, также пусто и, следовательно, конечно. II. Пусть множество Л обладает тем свойством, что всякое равномощное ему множество конечно, и пусть Q — произвольное атомное множество. Нам нужно доказать, что тем же свойством обладает множество AUQ- Если QCZ (т. е. единственный элемент Q принадлежит А), это очевидно, т. к. тогда -4UQ = А. В противном случае произвольное множество С, равномощное AUQ, можно представить в виде С = Ди£)(, где Д~Л, Q~Q, = 0- Но At по условию конечно, a Q, — атомное (очевидно, всякое множество, равномощное атомному, — также атомное). Поэтому С конечно (по пункту (б) определения).
Следствие. Множество, равномощное бесконечному множеству, также бесконечно.
Теорема 2. Всякое подмножество конечного множества конечно.
Доказательство. I. Для пустого множества утверждение справедливо, т. к. у него есть только одно подмножество — оно само. II. Если множество Л обладает тем свойством, что всякое его подмножество конечно, и Q — атомное множество, то всякое подмножество множества AUQ либо содержится в А — и тогда оно конечно по условию,—
440
ПРИЛОЖЕНИЕ И
либо представляется в виде A'UQ, где Д’СЛ,— и тогда оно конечно по пункту (б) определения конечного множества.
Следствие. Множество, содержащее бесконечное подмножество, бесконечно.
Теорема 3. Объединение, пересечение, разность и декартово произведение двух конечных множеств суть конечные множества.
Доказательство. Поскольку множества ДПВ и А\В содержатся в А, утверждение теоремы для пересечения и разности следует из теоремы 2. Докажем его для объединения. I. Объединение произвольного конечного множества А с пустым множеством конечно, т. к. оно совпадает с А. II. Пусть множество В обладает тем свойством, что для произвольного конечного множества А объединение ДиД конечно. Тогда этим же свойством обладает и объединение В с произвольным атомным множеством Q. В самом деле, /U(/?UQ) = (71UB)UQ; но конечно по условию, а поэтому и (ДиВ)и(2 конечно (пункт (б) определения). Остается доказать утверждение для декартова произведения, что мы сейчас и сделаем. I. Для любого А множество Ах0 пусто и, следовательно, конечно. II. Если множество В обладает тем свойством, что для любого конечного множества А декартово произведение Ах В конечно, то множество /x(BUQ), где А — конечное множество и Q — атомное множество, состоящее из единственного элемента д, можно представить в виде (ЛхВ)иД , где Av — множество всевозможных упорядоченных пар вида (a, q), а€=А. Очевидно, Ап равномощно А и потому конечно (теорема 1). Поэтому и (AxB)UAv конечно — как объединение двух конечных множеств.
Теорема 4. Конечное множество нс может быть равномошно своей истинной части.
Доказательство. I. Для пустого множества утверждение теоремы справедливо просто потому, что у него нет истинных частей. II. Пусть утверждение верно для некоторого множества А, и пусть Q = {</} — атомное множество; докажем то же утверждение для AUQ. Если q€zA, оно очевидно, так как в этом случае -4UQ = А. Пусть q^A и утверждение для AVQ не имеет места, т. е. существует биективное отображение g: AUQ С, где С — истинная часть Возможны два случая: 1) q(£C, т. e. СС.-1. Тогда множество С\{#((/)}, являющееся истинной частью С, будет также и истинной частью А\ но функция ^биективно отображает А на {g(q)}, что противоречит предположению. 2) qGC. Поскольку С — истинная часть .AUQ, найдется такое a^AUQ, что а£С (в данном случае а£Д). Положим g~\q) = d и «исправим» отображение g: «перенесем» образ d из q в а. «Исправленное» отображение по-прежнему биективно, его областью определения остается ZUQ, но множеством значений будет теперь (C\{^})U {«}, нс содержащее q. Далее рассуждаем, как в случае 1.
МОЩНОС ТЬ МНОЖЕСТВА
441
4, Мощности конечных множеств — это нс что иное, как натуральные числа. (См. сноску 9 на с. 435!). В частности, мощность пустого множества — это число 0, мощность атомного множества — число 1, мощность множества вида ЛиВ, где Л и В атомные и АОВ = 0 — число 2, и т. д.
Нетрудно было бы систематически построить арифметику натуральных чисел, понимая их как мощности конечных множеств. Мы этого делать не будем. (Впрочем, ниже мы определим для произвольных мощностей отношение «меньше», сумму и произведение, частными случаями которых являются соответствующие понятия для натуральных чисел.) Не будем мы и уточнять понятия рационального и действительного числа; для наших целей достаточно тех сведений о них, которые имеются в школьном курсе математики.
Множество N всех натуральных чисел — называемое, как известно, натуральным рядом чисел или просто натуральным рядом — представляет собой простейший пример бесконечного множества. В самом деле, оно равномощно своей истинной части (см. хотя бы пример 2 в предыдущем пункте12) и, следовательно, по теореме 4 не может быть конечным.
Множества, равномощные натурал иному ряду, называются счетными. По следствию из теоремы 1 все они бесконечны; при этом они занимают среди бесконечных множеств особое место ввиду следующего факта:
Теорема 5. Множество тогда и только тогда бесконечно, когда оно содержит счетное подмножество.
Доказательство, (а) Пусть М — произвольное бесконечное множество. Поскольку М нс пусто (пункт (а) определения конечного множества), оно содержит некоторый элемент а0. Поскольку множество {й0} = 0U{no} конечно (пункт (б) определения конечного множества), М не совпадаете {а0} и, значит, содержит элемент at ас. Множество {й0, а,} = {o0}U {«,} также конечно (в силу того же пункта (б)); поэтому М {й0, а,}; следовательно, в М имеется элемент аг. отличный от <70 и от я,; а так как {&0,	а2} = [ас, c/JUjaJ конечно,
то М & {й0, Др а2} ив М найдется элемент отличный от г/(|, от at и от а2. Таким же образом для каждого натурального числа п в М можно найти элемент а„, причем т * пТ)ап1 а„. Полагая /(«) = а„, видим, что f есть биективное отображение N на {а0, alf а2, •••}, так что множество a,, а2, счетно. Итак, мы доказали, что произвольное бесконечное множество содержит счетное подмножество.
12 Можно ыкже биективно отобразить N на множество четных — или нечс1-IH.IX — ня ivpiuti.Hbix чисел аналогично примеру 3
442
ПРИЛОЖЕНИЕ II
(б) Обратное утверждение вытекает из бесконечности счетного множества и следствия из теоремы 2.
Мощность натурального ряда — или, что то же самое, мощность произвольного счетного множества — принято обозначать х0”.
В дальнейшем мы часто будем обозначать произвольное счетное множество через д2, ...,} (или {60, bv Ь2, -•-} и т. п.), подразумевая при этом, что выбрано некоторое биективное отображение натурального ряда на данное множество и образ числа п обозначен через ап. В этом случае часто говорят, что элементы множества з а-нумерованы натуральными числами. Иногда удобнее нумеровать их целыми положительными числами, т. е. обозначать множество, например, через {at, а2,
Теперь нетрудно заметить, что необходимое условие конечности, которое дает теорема 4, в действительности является также и достаточным — иначе говоря, имеет место
Теорема 6. Множество тогда и только тогда бесконечно, когда оно равномощно свой истинной части.
Доказательство. Ввиду теоремы 4 достаточно установить, что всякое бесконечное множество равномощно некоторой своей истинной части. Пусть множество М бесконечно. По теореме 5 М содержит счетное подмножество Мх = аг л2, Если положить #(«„) = аъ, и <в случае, когда М\М & 0) g(x) = л для	то g
будет биективным отображением М на множество (M\M,)U и{й0, а2, а4, являющееся истинной частью М.
Замечание. Характеристическое свойство бесконечных множеств, которое дает теорема 6, принимают иногда в качестве определения бесконечного множества.
/ Установим теперь несколько свойств счетных множеств.
V Теорема 7. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.
Доказательство. Пусть М = {а0, а,, а2,	— счетное множество
и М,СМ. Если М, пусто, оно конечно. Если не пусто, пусть и0 — наименьшее число, для которого Если	то ко-
нечно. В противном случае пусть и, — наименьшее число, для которого	Если = {аЯо> а }, то М, конечно. В противном
случае пусть п2 — наименьшее число, для которого anGMl\{a„o, ап}, и т. д. При продолжении этого процесса возможны два случая: 1) Найдется такое А, что	.... Тогда М, конечно. *
N (читается «алеф») — первая буква еврейскою алфавита.
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
443
2) М} ~ {аПо, а^, a t •••}. Тогда, полагая /(А) = ап^ (Л = О, I, 2...), получаем биективное отображение N на М}\ значит, М, счетно.
Теорема 8. Мощность бесконечного множества не меняется при объединении с конечным или счетным множеством.
Доказательство. Пусть А — бесконечное множество и В — конечное или счетное множество. Читатель без труда докажет, что .AU# = Ли(#\Л)14: по теореме 7 множество В\А конечно или счетно. По теореме 5 множество Л содержит счетное подмножество С — {с0, с„ сг, }. Рассмотрим два случая: 1) В\А конечно. Можно считать, что#\Л * 0 (иначеЛи# = Л). Пусть В\А = {Ьо, Ьи ..., Ь^. Определим функцию g, полагая g(b0) = с0. gtbt) = с„ g(bk) = ск, z(co) = с*+р 5(ci) = ^+2> — и = х пли xGA\C. Очевидно, g есть биективное отображение множества Ли# = ((#\Л)иС)и(Л\С) на А = CU(A\C).
2) В\А счетно, В\А = {й0, Ь„ Ь2, •••}. Полагая g(b„) - с2„, g(crI) = c2rt4.i и g(x) = х для xGA\C снова получаем биективное отображение Ли# на А.
\ Теорема 9. Объединение конечного числа множеств, одно из которых счетно, а остальные конечны или счстны, есть счетное множество.
Эта теорема для случая двух множеств является частным случаем предыдущей; случай трех множеств получается очевидным образом из случая двух, и т. д.15
Теорема 10. Декартово произведение конечного числа счетных множеств счетно.
Доказательство, (а; Рассмотрим сначала произведение двух сомножителей. Пусть Л = ц, а2. ••} и В = {й0, bit b2 -••} — счетные множества. Расположим элементы множества Ах В = {(<7;, Z>y) I д, у = О, I, ...} в последовательность следующим образом: сначала запишем (единственную) пару, у которой сумма индексов при а и b равна нулю, затем две пары, у которых эта сумма равна 1, затем три пары, у которых она равна 2, и т. д., а в каждой группе пар с одинаковыми суммами индексов (см. рис. 15, где эти группы изображены наклонными полосами) упорядочим пары по возрастанию индекса при а. В результате получим последовательность:
(а0, />„),	Л,), («„ />„), (а„, Ьг), (а„ />,), (о2, Ло), (о0, />,), ... .
14 Это верно для л ю б ы х множеств .4 и В
15 Строгое доказательство для общею случая должно проводиться но индукции (см Приложение III)
444
ПРИЛОЖЕНИЕ 1|
Рис. 15
Если теперь для каждого п = 0. I, 2,... положитъ/(«) равным «-му по порядку члену этой последовательности, то f будет биективным отображением N наЛхВ.
(б) Легко видеть, чтоДХ ••• ХД,хДп+1 ~ (Дх хД,)хД,+| (достаточно сопоставить каждой упорядоченной системе (пр ..., ап, а () где а,еД, пару ((«,, ап), ц,+))). Поэтому из результата для случая двух сомножителей сразу получается аналогичный результат для трех, далее так же для четырех и т. д.
Важный пример. Множества Q, Q+, Q_ счетны. Достаточно доказать это для (Д, так как между Q+ и Q_ очевидным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие, а тогда из равенства Q = Q+UQ _ U {0} будет следовать счетность Q. Но каждое положительное рациональное число единственным образом представляется в виде несократимой дроби, так что Q+ равномощно подмножеству Р множества Z+, состоящему из лар вида (т. п), где т взаимно просто с «. Поскольку Р бесконечно (хотя бы потому, что содержит все пары вида (щ, 1)), оно в силу теорем 10 и 7 счетно.
Теорема 11. Объединение счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Доказательство. Пусть Д,, Д,Д, ... — конечные или счетные множества и Л = ОД. Рассмотрим сначала случай, когда Д попарно я=0
не пересекаются. Каждому а€ЕЛ сопоставим упорядоченную пару натуральных чисел следующим способом. Пусть Д — тот член объединения, которому принадлежит а (поскольку члены объединения попарно не пересекаются, А- определяется единственным образом).
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
445
Множество Д можно представить либо в виде (адг aik} (если оно конечно), либо в виде {аЛ, аа, (если оно счетно); в обоих случаях найдется такое /, что а = a.f Пару (г, р мы и сопоставим элементу а и обозначим ее /(«)• Тем самым мы получаем отобра-женис/множсства А во множество N2; из способа построения отображения ясно, что оно инъективно — иначе говоря, что оно является биективным отображением множества на некоторое подмножество N2. Итак, А равномощно подмножеству N2; но всякое подмножество N2 конечно или счетно (теоремы 10 и 7).
Переходя к общему случаю, положим Ь’о = Ао, В{ = ДДД, А2 =	Вл = Л3\(ЛоиДиЛ2) и т. д.; положим также
В = иД,. Легко доказать, пользуясь методом математической ин-л=0
дукции, что /?оиди ••• иД = ЛоиЛ,и ••• ОД, (w = 0, 1, ...), откуда В = А. Столь же легко доказывается, что множества Д попарно не пересекаются. Тем самым задача сводится к предыдущему случаю.
Пример. Множество Е* всех слов в конечном или счетном алфавите V счетно. В самом деле, множество слов в алфавите Е, имеющих заданную длину п > 1, есть не что иное, как декартова степень V”. Если алфавит Е конечен, то Е” также конечно (подсчет мощности V см. в Приложении III, пример 2 на с. 460), а если И — счетное мно-
жество, С по теореме 10 также счетно. Но Е* = UE” (мы полагаем л=0
здесь Е1 — Ей обозначаем через Е° множество, состоящее из одного лишь пустого слова). А отсюда, поскольку V* в любом случае бесконечно (потому что для любого а£Е оно содержит все слова вида аа...а), по теореме 11 следует, что оно счетно.
Замечание. В частности, множество конечных последовательностей натуральных чисел счетно, т. к. его можно рассматривать как множество слов в алфавите N.
Задача. Доказать, что следующие множества счетны:
а)	простых чисел;
б)	составных чисел;
в)	рациональных чисел, принадлежащих интервалу (0, 1);
г)	десятично рациональных чисел (т. е. чисел, представимых в виде конечных десятичных дробей);
д)	точек плоскости, обе координаты которых рациональны;
с) точек пространства, все три координаты которых рациональны:
ж) многочленов с целыми коэффициентами;
з) многочленов с рациональными коэффициентами.
446
ПРИЛОЖЕНИЕ II
5- Бесконечные множества, не являющиеся счетными, принято называть несчетными. Существование несчетных множеств вытекает из следующей теоремы:
Теорема 12. Множество R несчетно.
Доказательство. Поскольку R заведомо бесконечно (хотя бы потому, что содержит N), достаточно показать, что оно не является счетным. А так какR ~ (О, I) (пункт?, замечание после примера 7), достаточно доказать это для (0, 1).
Допустим, что множество (О, I) счетно. Тогда положительные действительные числа, меньшие единицы,— т. е. бесконечные десятичные дроби с целой частью 0, не оканчивающиеся девятками и отличные от нуля,— можно занумеровать целыми положительными числами, так что (0, 1) будет представлено в виде {щ, и2, Обозначая /-й десятичный знак дроби п, через а , получаем:
щ = 0, а„ а12 ••• а|?
й2 = 0, а2| а22
av — О, аа a,j •••
Фиксируем теперь для каждого j = 1. 2. ... некоторую цифру ру, отличную от а}Р от нуля и от девятки. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь b = 0, р,02 ру . Среди ее десятичных знаков нет ни одной девятки и ни одного нуля; поэтому она является положительным действительным числом, меньшим I, и, значит, должна совпасть с некоторым а^, откуда ру — для любого /=1,2, .... В
частности, должно быть р^ = я но это невозможно — мы выбирали р,о как раз так, чтобы оно было отлично от а . Итак, предположение о счетности (0, 1) привело нас к противоречию.
Мощность множества R — отличную, как мы доказали, от Хо — называют мощностью континуума'6 и обозначают латинской буквой с.
Задача. Пользуясь теоремой 8, доказать, что мощность множества иррациональных чисел равна с.
6. Для произвольных мощностей можно определить операции сложения и умножения, частными случаями которых являются сложение и умножение натуральных чисел. Чтобы определить сложс-
16 Континуумом (от лат. continuum — «непрерывное») иногда называют само множество R.
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТ ВА
447
НИС, вспомним, что детям его объясняют с помощью примеров вроде такого: «У Вани два яблока, а у Тани три. Сколько яблок у них вместе? Пять. Значит, 2 + 3 = 5». Перевод на «взрослый» язык даст следующее определение суммы мощностей (пригодное для мощностей любых множеств, необязательно конечных!): мощностьр называется суммой мощностей р и v (обозначение: р = р + v), если существуют такие множества А и В, что IАI = р, 12?1 — v, АС\В = 0 и I XUBI = р. (Можно доказать, что в этом случае для любых двух множеств А, и Д, таких, что I А} I ~ p, IB, I = v и А,С1В, = 0, будет I AjUBJ = р). Произведение (любых) мощностей определяется также в согласии со «школьным» пониманием этого термина (<-т  п есть сумма п слагаемых, равных т»): мощность р называется произведением мощности р на мощность v (обозначение: р — p-v или р = pv), если существует такое множество В мощности v, элементами которого являются попарно непсрссс кающиеся множества, каждое из которых имеет мощность р, что мощность объединения всех множеств-элементов В равна р. (Можно доказать, что тогда для л ю-б о г о множества мощности у, элементами которого являются попарно непересскающиеся множества мощности р, мощность объединения всех его элементов равна р.)
Нетрудно убедиться, что обе эти операции ассоциативны и коммутативны, и умножение дистрибутивно по отношению к сложению. (Ассоциативность и коммутативность сложения тривиальным образом следуют из соответствующих свойств объединения множеств; на доказательствах остальных свойств мы останавливаться не будем.)
Примеры. 1) п + X о = X о Для любого натурального числа п. В самом деле, полагая Л„ = {к I AGN&A < п}, Вп =	> п],
имеем 1АД = п, 1/?„1 = Хо, = 0; но А„к)В„ = N, так что
1Ли/?„1 = х 0.
2)	х 0 + X о = X 0- Действительно, полагая
А = {0, 2, 4, В = {I, 3, 5, ...}, имеем Ы1 = 1Я1 = X 0, А ГУ В = 0, A\JB = N.
3)	л?  X с — Хо для любого натурального и # 0: полагая Ак = {кп, кп + 1, ..., кп+ (п - 1)} для каждого к - 0,1... и обозначая через В множество, элементами которого являются всевозможные Ак, видим, что 1BI ~ X о, 1ЛА1 = п для любого к, множества Ак попарно нс пересекаются и объединение их есть N.
4)	X о’ Хо ” хо: обозначая через £>„, где п — фиксированное натуральное число, множество всевозможных упорядоченных пар вида (т, п) где m£N, видим, что множества £)„ попарно не перссе-
448
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
каются, мощность каждого из них равна N „ и объединение их есть N2. Но по теореме 10 IN2! — S 0.
Дальнейшие примеры см. ниже (с. 451, 453).
Замечание. Из приведенных примеров видно, что «мощностные уравнения» | + Ко=хои£-Ки=кс имеют бесконечно много решений |7. Поэтому для произвольных мощностей нельзя определить ни вычитание, ни деление.
Задачи. I) Пользуясь определением конечного множества, доказать, что сумма и произведение натуральных чисел — натуральные числа.
2) Доказать, чтор-0 = 0-р=0 для любой мощности р.
3) доказать равенство X и - п — к 0, не пользуясь коммутативностью умножения.
7. Теперь мы можем вернуться к вопросу о сравнении произвольных множеств «по количеству элементов».
Это значит, что мы должны определить для произвольных мощностей отношение «меньше». Для натуральных чисел это делается очевидным образом: естественно считать, что натуральное число w меньше натурального числа п, если (произвольное) множество мощности т равномощно истинной части (произвольного) множества мощности л. (Это тоже перевод на «взрослый» язык «детского» объяснения: чтобы узнать, чего на столе больше — чашек или блюдец, нужно попытаться каждую чашку поставить на блюдце, и если блюдец не хватит — значит, чашек больше, а если останутся лишние блюдца — больше блюдец.) Но если бы мы попробовали распространить это определение на общий случай, то ввиду теоремы 6 всякая бесконечная мощность17 18 оказаласьбы меньше самой себя. Во избежание этого нужно дополнить определение требованием, чтобы множества, мощности которых сравниваются, не были равномощны.
Итак; если р и v — произвольные мощности, говорят, что р меньше v (иначе: v больше р) и пишут р < v (или v > р), если, каковы бы ни были множества А и В, такие, что L4I = р и lb’l = v, множество А равномощно некоторой истинной части множества В и не равномощно самому В. Из того факта, что равномощность есть отношение эквивалентности, легко выводится, что р < v тогда и только тогда, когда существуют множества Л и В, такие, что 1Л1 = р, I Bl = v и А равномошно некоторой истинной части В, но нс равномощно самому В.
17 В действительности эго верно для любых уравнений вида с ь р = р и Я’р = р , где р — мощность заданного бесконечного множества.
18 Конечными, соответственно бесконечными мощностями мы будем называть мощносш конечных (бесконечных) множеств.
М0ШН0С1Ь МН0Ж1-СГВА
444
Теперь наша ближайшая задача — установить, что введенное только что отношение < есть порядок. Для этого нам понадобится следующая теорема, представляющая и большой самостоятельный интерес:
Теорема 13 (теорема Кантора — Бернштейна)19. Если А - B'(ZB и В- Л'СЛ, то А ~ В.
Иногда эту теорему формулируют иначе:
Вторая формулировка теоремы Кантора — Бернштейна. Если Л2СЛ,СЛ0 и Л() - Л2, то Ло - Л, ~ А2.
Доказательство равносильности формулировок. Пусть справедлива теорема в первой формулировке. Тогда, если Л2СЛ,Сло и Ло — А2, имеем: I) Л, — Л,СЛ0: 2) Ло — Л2СЛГ Отсюда Л, — Ло. Таким образом, из первой формулировки следует вторая. Обратно, пусть справедлива теорема во второй формулировке, и пусть Л—В'СВ и В~А’СА. Тогда существуют биективные отображения /: А В' и g: В А' (рис. 16). Определим отображение Л: А-*А', положив для каждого л(ЕЛ: h(a) = =	Обозначая множество значе-
ний h через Л", имеем Л"СЛ'. Очевидно, h взаимно однозначно. Следовательно, А" ~ А; отсюда и из Л"СЛ’СЛ вытекает А ~ А', но по условию А' ~ В, так что Л — В. Итак, из второй формулировки следует первая.
Доказательство теоремы. Докажем теорему во второй формулировке. Пусть Л2СЛ,СЛс и Ло ~ Л2. Существует биективное отображение/: А А2. Имеем Л2 = /(Ло)20. Определим последовательность множеств Ал, Л4, Л5. следующим образом: Л3 =/(Л,), Л4 =/(Л2),	=/(Л3) и т. д. Поскольку для лю-
бых Си D из ССЛ следует/(С) имеем: As — /(Л,)С/(Лс) = Л2; А4 = /(Л2)С/(Л]) = Л(. Отсюда точно так же получаем Л5СЛ4, Л6СЛ5 и т. д. Мы получили, таким образом, бесконечную последовательность множеств
Л0ЭА, DЛ2ЭЛЛЭЛ4ЭЛ5D ....
19 Ф Бернштейн (Felix ISei'iistein. 1878—1456) — немецкий матемашк, был профессором университета в Гё1 гингене.
Через мы обозначаем образ множесны М при отображении f
450
ПРИЛОЖЕНИЕ II
где Ля+2 = /(Л„) для каждого п = 0, 1,2,.... Так как /взаимно однозначно, легко видеть, что f(An\A„+l) = Лч+2\ДЯ+3 (п = 0, I, 2, ...). По-
ложив D - О А„, будем иметь:
я=О
(*)	Ло = (Л0\ЛДи(ЛДЛ2)и(Л3\Л4)и---иЯ;
(**	) А, =	(ЛДЛ2)и(Л3\Л4)и..-и£>.
В самом деле: если леЛр, то либо а принадлежит всем Л„, либо нс всем. В первом случае «GD; во втором, если ЛИ() — первое из Лп, которому а не принадлежит, то > 0 и а^А и так что аеЛ ,\Л . Таким образом, Ло содержится в правой части соотношения (*); обратное включение очевидно. Равенство (**) доказывается так же.
Рис 17
Рассмотрим теперь множество
s = (лдл2)и(лэ\л4)и(л5\лв)и---иг>
(на рис. 17 жирными линиями отмечены разности, не содержащиеся в S) и определим на Лр функцию # следующим образом:
, _ J х, если xgS
~ [/(х), если x^S.
Имеем, очевидно:
ХЛ0\Л,) = /(Л0\Л,) = Л2\Л3;
Я(Л,\Л2) =	ЛДЛ2;
(Ж) = /(Д\Л3) = Л4\Л5;
i-ИДА) =	ддд,;
г(Л) =	в
(см. рис. 17).
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
451
Отсюда ввиду (*) и (**) получаем £(Л0) = А,. Ясно, также, что g взаимно однозначна. Итак, функция # осуществляет биективное отображение Л(, на Д; существование такого отображения нам и требовалось доказать.
Теорема Кантора — Бернштейна часто оказывается полезной при доказательстве равномощности множеств.
Примеры. I) Поскольку R равномощно любому интервалу, всякое подмножество R, содержащее какой-либо интервал, имеет мощность с. В частности, такова мощность любого отрезка и любого полуинтервала.
2) Поскольку R2 (множество точек плоскости) равномощно открытому кругу (замечание после примера 13 в пункте 2), всякое подмножество R2, содержащее какой-либо открытый круг, равномощно R2.
С помощью примера I легко показать, что: (а) с + п — с; (б) с + Х(, = с; (в) с + с = с; (г) если и 0, то с-п = с; (д) с- X 0 - с. (Здесь/? — произвольное натуральное число). В самом деле, полагая А=(1, 2), # = р, ~, ..., ^тг}, имеем IAI = с, 15! = /?, ДАВ = 0, I/1UBI = с; этим доказывается (а). Точно так r, J 1 , (I I I ,
же, заменяя множество [I,	наР» 2’ 4* ” Т соответствен“
но на (0, 1), получим (б) и (в). Чтобы доказать (г), рассмотрим множество В = {(0,1), (I, 2),..., (/? — 1, н)}. Очевидно, IBI = п, элементы В попарно не пересекаются, и их мощности, как и мощность их объединения, равны с. Аналогично с помощью множества {(), 1), (1,2), (2, 3),...} получаем (д).
Задача. Не пользуясь коммутативностью умножения, доказать равенства и - с — с, X 0  с — с.
С помощью теоремы Кантора — Бернштейна может быть доказана
Теорема 14 (теорема о сравнении мощностей)21. Отношение «меньше» для мощностей есть порядок.
Доказательство. Достаточно установить, что наше отношение антирефлексивно и транзитивно (см. с. 426, замечание 1). Антирефлексивность очевидна, так как из р < р по определению вытекало бы, что некоторое множество мощности р не равномощно самому себе. Докажем транзитивность. Пусть р, < р2 и р2<р5- Тогда найдутся множества А,, Л2, Ал, имеющие мощности р,, р2, р5 соответственно и
21 Иногда «1соремой о сравнении мощностей» называю г саму теорему Кантора — Берштейна.
452
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
такие, что: (а) Л) равномощно некоторому А2САг1 А2 ф Д2, а Д2 — некоторому Д/СД3, И/ Др (£) А, + А2 и Аг + Ау Из (а) следует, что Д2, а значит, и Др равномощно некоторому Д3 СД/С/Ц, Д3 Д,. В силу теоремы Кантора — Бернштейна Д^'у-Д, — иначе было бы Д/ ~ Д5, откуда Д2 ~ Д, вопреки (р). Но из Д, ~ Д" и А"л 7Д3 вытекает Д, 7ДГ Итак, IД, I < IД31, т. е. р( < ц3.
Замечание. В действительности отношение «меньше» для мощностей является даже линейным порядком. Однако доказательство этого факта выходит за рамки нашей книги.
8. Займемся теперь сравнением конкретных мощностей.
Следующие две простые теоремы еще раз подчеркивают особую роль счетных множеств.
Теорема 15.	() есть наименьшая из бесконечных мощностей.
Доказательство. Пусть р — произвольная бесконечная мощность, отличная от к (). и Л — множество мощности р. По теореме 5 множество Д содержит счетное подмножество В. Но по определению отношения «меньше» из Д -кВ и ВС А следует IЫ < IАI. т. е. к 0 < р.
В частности, к 0 < с.
Теорема 1b. Любое натуральное число меньше 0.
Доказательство. Для любого натурального числа н множество (Al kCN&k < п}, имеющее мощность и, содержится в N и не равномощно ему (конечное и бесконечное множество не могут быть равномощны — см. теорему 1).
Из теорем 15 и 16 следует, что любая конечная мощность меньше любой бесконечной.
Существуютли мощности, большие, чем е? В поисках таких мощностей кажется естественным обратиться к множеству точек плоскости — или, что то же самое, упорядоченных пар действительных чисел. По такому пути пошел сначала и сам Кантор, но результат был настолько неожиданным, что он первое время не мог поверить: оказалось, что множество точек плоскости равномощно множеству точек прямой. Сейчас мы это докажем:
Теорема 17. IR21 = с.
Доказательство. Поскольку R равномощно любому интервалу, а R2 — множеству внутренних точек любого квадрата (пример? после теоремы 13), достаточно показать, что (0, 1)~((0, I))2. (((О, I))2 = = {(-*> у) I о < .V < 1, 0 < у < 1} есть множество внутренних точек квадрата, ограниченного прямыми х = О, х — 1, у = 0, у = 1). Для доказательства воспользуемся теоремой Кантора — Бернштейна. В квадрате ((О, I))2 легко найти часть, равномощную интервалу (0, 1):
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
453
можно взять, например, множество {(х.-^)\0 < х < 1} (т. е. гот же интервал на прямой у = у). Остается найти в интервале часть, равномощную квадрату. Для этого рассмотрим произвольную точку А — (х, у)е((О. I))2, где х = 0, aia2ai..., у = О, ..., (а„ Д — десятичные цифры), и положим /(X) = 0,	- Поскольку
дроби л и у не оканчиваются девятками, дробь/(Л) также ими не оканчивается, т. е. является неотрицательным действительным числом. Очевидно,/(X) < 1. Кроме того,/(X)	0 (иначе все десятичные
знаки /(Л) были бы нулями, т. е. были бы нулями все знаки х и у, что означало бы х — у = 0). Итак,/(Д)е(0, 1). Мы получили отображение: /: ((0, I))2 - (0, 1).
Это отображение инъективно: если А, — (ХрУ,), Х2 = (х2, у2) и f(A,) = /(Л2) = о, 'ПТ,.... тоО, т,т,т,... = х, = х, и0, TjTiTt" =	= У2,
так что Л, = Х2. Поэтому, если В — множество значений/, то/отображает ((0, I))2 иа В биективно; в то же время ДС(0, 1). Доказательство закончено.
Следствия. 1) Для любого/? = 1, 2, 3,... IR"I = с. В частности, R3. т. е. множество точек трехмерного пространства, имеет мощность с.
Для доказательства достаточно вспомнить, что
Х,х ••• ХЛпХЛпХЛитГ(Л,Х ХЛД-ХЛ„+1
(ср. часть (б) доказательства теоремы 10).
2) с с = с.
Это равенство выводится из теоремы 17 так же, как из теоремы 10 было выведено равенство Кп’ Ь‘о= К 0.
Задача. Доказать, что множество прямых на плоскости и множество прямых в (трехмерном) пространстве имеют мощность континуума.
Вернемся теперь к вопросу о существовании мощностей, больших с. Следующая теорема дает на него положительный ответ — и, более того, позволяет утверждать, что для любой мощности можно найти большую.
Теорема 18. Для любого множества мощность множества его подмножеств больше его собственной мощности.
Доказательство. Пусть А — произвольное множество и В — множество подмножеств А. Нам нужно доказать, что: (а) А равномошно некоторому В'СВ; (б) А В В- Справедливость (а) устанавливается легко: если положить g(a) = {«} для любого аСА, то g будет биективным отображением А на множество одноэлементных подмножеств Л. Утверждение (б) докажем от противного. Допустим, что
454	ПРИЛОЖЕНИЕ 11
Л ~ #. Тогда существует биективное отображение/: А -> В. Для каждого а£А его образ f(a) есть некоторое множество ЛоСЛ; при этом либо а(ЕАо, либо а&Аа. В первом случае мы назовем элемент а «хорошим», во втором — «плохим». Обозначим через А* множество всех «плохих» элементов А и положим л* = /"'(Л*). Элемент а*, как всякий элемент А, должен быть либо «хорошим», либо «плохим». Но: если а* «хорош», это значит, что a*€zf(a*) = Д*, а так как А* по определению состоит из «плохих» элементов, то и а* «плох»; если а* «плох», это значит, чтоа*(£/(а*) = Л*, а так как Л* по определению содержит все «плохие» элементы, то а* «хорош». Итак, а* не может быть ни «хорошим», ни «плохим». Полученное противоречие завершает доказательство.
Замечание. Полезно обратить внимание на сходство проведенного рассуждения с доказательством теоремы 12. В основе обоих рас-суждений лежит так называемый диагональный метод Кантора, широко используемый в теории множеств, а также в математической логике. (Ср. доказательство неразрешимости проблемы распознавания самоприменимости в § 7.6.)
Нетрудно доказать (см. ниже. с. 460) что если А конечно, то мощность множестве! подмножеств А равна 2*лк Поэтому и в общем случае, если IАI = р, мощность множества подмножеств А обозначают 2й. Полезна также
Теорема 19. 2 К(, = с. (Иначе: множество подмножеств натурального ряда равномощно R).
Доказательство. Воспользуемся теоремой Кантора — Бернштейна, а также тем, что мощность множестве! Z+ равна х„, а мощность полуинтервала [0, 1) равна с. Пусть Р — множество подмножеств Z+. Нам достаточно (а) найти в [0, 1) часть, равномощную Р, и (б) найти в Р часть, равномощную [0, 1). Сделаем это так: (а) Пусть Q — подмножество [0, 1), состоящее из тех бесконечных десятичных дробей с целой частью 0. все десятичные знаки которых — нули и единицы. Тогда, сопоставляя каждому множеству XCZ+ дробь 0.	где для каждого /1=1, 2,... аи = 1, если /?£Л, и
ап = 0, если п&А (например, множеству {1, 3, 5,...} сопоставляется дробь 0,101010..., множеству {1.2} — дробь0,11000... = 0,11, пустому множеству — 0,000... = 0, всему Z+ — 0,111...), получаем, очевидно. взаимнооднозначное соответствие между Р и Q. (б) Сопоставим каждой бесконечной десятичной дроби х = 0,	е|0, 1)
множество f(x) = {1а„ 1а,а2, 1«.,а2а3, ••} (например, дроби 0,090909... = -jY сопоставляется множество {10, 109,	1090,
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
455
10909, ...}, дроби 0,25000... = ^— множество {12, 125, 1250, 12500, 125000,...}, дроби 0,141159... = л — 3 — множество {II, 114, 1141, 11415, 114159, ...}, дроби 0,000 ... = 0 — множество {10, 100, 1000, ...}). Если х * у, то f(x) * /(у). Действительно, если л = 0, а,а2 ..., у = 0, и х у, то хотя бы для одного п должно быть ап ря; но тогда единственное (п + 1)-значнос число, принадлежащее f(x), не будет принадлежать /(у). Поэтому / отображает (0, 1) на множество/([0, 1))СР биективно. Теорема доказана.
Естественно возникает вопрос: существуют ли мощности, промежуточные между к 0 и с? Это так называемая проблема континуума — одна из самых знаменитых в истории математики задач22. Кантору не удалось ее решить, и в течение десятилетий это не удавалось никому. Впоследствии было установлено, что утверждение о несуществовании промежуточных мощностей невозможно ни доказать, ни опровергнуть, исходя из некоторой стандартной системы аксиом теории множеств23 (о системах аксиом теории множеств см. во Введении).
На этом мы закончим наше краткое введение в теорию мощностей. Более подробное се изложение в том же неформальном стиле, которого придерживались мы, можно найти, например, в книге (Александров 1977 |.
Задачи и упражнения
1)	Путем непосредственного установления взаимно однозначного соответствия доказать, чго-
(а)	множество окружностей, лежащих в одной плоскости и имеющих один и тот же центр, равномощно R+,
(б)	множество прямоугольников, центры симметрии которых находя 1-ся в одной точке, а стороны параллельны двум заданным взаимно перпендикулярным прямым, равномощно R1;
(в)	множество точек плоскости, из которого выброшена одна точка, равномощно множеству точек плоскости, лежащих вне некоторой окружности;
(г)	каждое из множеств пункта (в? равномощно множешву точек, лежащих между двумя концентрическими окружностями;
(д)	множество точек плоскости равномощно множеству точек сферы, из которой выброшена одна точка;
22 Между прочим, она стояла на первом месте в списке важнейших математических проблем, составленном в 1900 г. Д. Гильбертом (см. с. 315).
23 Недоказуемость этого утверждения была установлена в конце 30-х годов К. Гёделем, неопровержимость — в начале 60-х американским математиком П. Коэном (Paul G, Cohen, род. в 1934 г.). Изложение их результатов см. в книге [Манин 1979].
456
ПРИЛОЖЕНИЕ П
(е)	множество подмножеств (произвольного) множества М равномощно множеству отображений М во множество {а, б};
(ж)	(О, I) - |0, 11.
2)	Доказать, что если А\В ~ В\А, то А - В.
3)	Доказать, что если ДСД и А ~ AU(C\B). то В ~ B\JC.
4)	Доказать, что следующие множества счетны:
(а)	каждый класс вычетов ио модулю т, где in — произвольное целое положительное число;
(б)	множество прямоугольных матриц с заданным числом строк и столбцов, элементы которых — целые, соответственно рациональные числа;
(в)	множество всех прямоугольных .матриц, элементы которых — целые, соответственно рациональные числа;
(г)	множество интервалов с рациональными концами;
(д)	множество окружностей с рациональными радиусами, центры которых имеют рациональные координаты;
(е)	множество бесконечных десятичных дробей, оканчивающихся девя 1 ками.
5)	Доказать, что всякое множество, элементами которого являются попарно непересскаютциеся интервалы, лежащие на одной прямой, конечно или счетно.
6)	Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции конечно или счетно.
7)	Положив в доказательстве теоремы 10 А = В = N, обозначим первый и второй элементы нары /(н) через 7(н) и г(н) соответственно, а число /" '((ет, б)) — С(а, Ь). (Функция С осуществляет нумерацию нар натуральных чисел, число С(а, Л) есть номер пары (а, Ь) в этой нумерации.) Найти явные выражения функций С, I и г
8)	Доказать, чю следующие множества имеют мощность континуума.
(а)	множество точек параболы.
(б)	множество точек окружности;
(в)	множество точек сферы;
(г)	множество треугольников на плоскости,
(я) множество комплексных чисел;
(е) множество квадратных трехчленов с действительными коэффи-циен га ми.
9)	Дать непосредственное доказательство равномощност и К и R (по аналогии с доказательством равномощное г и R2 и R)
10)	Доказать, что множество всевозможных последовательностей вида #о, аг, .... тде а, — действительные числа, имеет мощность континуума
11)	Доказать, что следующие множества имеют мощность континуума.
(а)	множество многоугольников на плоскости;
(б)	множество многогранников в трехмерном пространстве,
(в)	множество многочленов с действительными, соответственно комплексными коэффициентами
12)	Доказать, что мощность декартова произведения двух .множеств равна произведению мощностей сомножителей.
13)	Если ио. а\, аг.  и Ло, Ль fo, - — последовательности целых
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
457
положительных чисел и Гпп — = 0, говорят, что последовательность
йо, Оь .. растет быстрее, чем bo, bi. ... Доказать, что если множество М, состоящее из последовательностей целых положительных чисел, таково, чго для каждой последовательности целых положительных чисел в нем найдется последовательность, растущая быстрее, то М несчетно. [Указание: воспользоваться диагональным методом. 1
14)	Найти мощность множества возрастающих последовательпостей натуральных чисел.
15)	Найти мощность множества бесконечных десятичных дробей, не содержащих цифры 7, соответственно содержащих ее.
16)	Можно ли построить несчетное множество, элементами которого являются окружности, расположенные в одной плоскости и такие, что каждая из них расположена вне всех остальных?
17)	(а) Можно ли построить несчетное множество, элементами которого являются буквы П, расположенные в одной плоскости и попарно нс пересекающиеся?
(б) тот же вопрос для букв Т.
18)	Доказать, что множество всех функций действительной переменной имеет мощность 2е.
19)	Доказать, что множество всех непрерывных функций действительной переменной имеет мощность с.
ПРИЛОЖЕНИЕ III	МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И ПЕАНОВСКАЯ АРИФМЕТИКА
1. В предыдущем приложении мы определили натуральные числа как мощности конечных множеств, а этим последним дали индуктивное определение, означающее, в сущности, что конечные множества — это все тс множества, которые можно получить из пустого последовательным добавлением элементов по одному. Отсюда следует — поскольку мощность пустого множества есть нуль, а мощность множества, полученного из множества А добавлением одного элемента (т. е. множестве! HUQ, где Q — атомное множество и AHQ = 0), равна Ml + 1.— что все натуральные числа можно получить из нуля последовательным прибавлением единицы. Поэтому, если мы хотим доказать, что все натуральные числа обладают некоторым свойством, то нам достаточно убедиться, во-первых, что этим свойством обладает число 0, и, во-вторых, что каково бы ни было натуральное число, если оно обладает этим свойством, то им обладает и число, на единицу большее. Это простое соображение играет исключительно важную роль не только в арифметике натуральных чисел, но и в математике в целом; оно называется принципам математической индукции и формулируется обычно следующим образом:
Если некоторое свойство натуральных чисел1 справедливо для нуля и если для любого натурального числа п из справедливости этого свойства для п следует справедливость его для п + 1, то данное свойство справедливо для всех натуральных чисел.
На символическом языке математической логики принцип математической индукции записывается так:
+ 1))DV££(X;),
где В — произвольный одноместный предикат, определенный на N. Метод доказательства свойств натуральных чисел, основанный на
То есть свойство, имеющее смысл для натуральных чисел.
МЕ Ч ОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
459
принципе математической индукции, называется методом математической индукции2. Доказательство с помощью этого метода (его часто называют просто доказательством по индукции) состоит в том. что устанавливается справедливость нужного свойства для нуля — эта часть доказательства называется базисом индукции,— и доказывается, что для произвольного и из предположения, что свойство справедливо для п, вытекает, что оно справедливо и для п + 1; эта часть доказательства называется индукционным шагом. Предположение, что свойство справедливо для «, называется предположением индукции (или индуктивным предположением).
Пример. Докажем методом математической индукции, что произвольное натуральное число п обладает следующим свойством: каково бы нн было натуральное число к > 0, существуют такие натуральные числа (/иг, что п = k-q + ги г< к.
Базис. Если п = 0, то при любом к можно положить q = г — 0. Индукционный шаг. Пусть для некоторого п при любом к > 0 существуют такие (/иг, что п = к-q + rwr< к. Нам нужно доказать, что при любом к > 0 существуют такие q{ и гр что п + 1 = k-q} + г, и г, < к. Но если r<k— 1, то г + 1 < к и п + 1 = к • q + (г + 1); если же г = к - 1,тоя + 1 = k-q + к = k-(q +1) + 0. Таким образом, в первом случае имеем qt = q, r\ = г + 1, во втором qi = q + 1, г, = О3.
Методом математической индукции можно доказывать не только свойства натуральных чисел, но и свойстве! математических объектов любой природы, занумерованных натуральными числами. В самом деле, если а0, а{1	— последовательность, члены которой яв-
ляются, например, действительными числами, и С(х) — некоторое свойство действительных чисел, то, обозначив через В(п) свойство натурального числа п, состоящее в том, что действительное число а„ обладает свойством С, имеем:
VkB(k) = VkC(ak); B(Q) = С(а^Уп(В(п):>В(п + 1)) =
= V«(C(«„)DC(rz„+l)).
Поэтому, чтобы доказать, что все члены последовательности а^, а,,...
2 Во Введении (сноска на с 9) мы уже говорили, чго математическая индукция представляет собой в действительности не индуктивный, а дедуктивный прием рассуждения. В самом деле, заключение о справедливости утверждения для общего случая делается здесь не из справедливос ти его для некоторых част ных случаев, а из того, что оно справедливо для «начального случая» и что для любого случая из справедливости утверждения для него вытекает справедливость для следующей» (разумеется, это имеет смысл лишь в предположении, что случаи соогветс1вующим образом упорядочены).
3 Нетрудно было бы также показать, что пара чисел <?, г определяется единственным образом.
460
ПРИЛОЖЕНИЕ III
обладают свойством С, достаточно установить, что им обладает а0 (базис индукции) и что для любого п из того, что а„ обладает этим свойством, следует, что им обладает и п„+1 (индукционный шаг). Чаще всего метод математической индукции именно так и используется.
Примеры. 1) Выведем формулу суммы геометрической прогрес-
Vs	к qn+l — 1
сии: X aq — а----—.—, где a, q — произвольные действительные
б=о	Ч *
или комплексные числа, но q 1.
°	1 ~ 1
Базис aQk = а ~ а'~ 2 j • Индукционный шаг. Если для не-
*=о	(7	1
V *	(7
которого n верно, что д aq = a------------
*=o	<7 ~
ТО &Q
9”+,-l	„
T~V + ‘"'
qn™~ 1 Q~ 1
2)	Докажем, что число слов длины п в алфавите, состоящем из к букв (эти слова называют также размещениями с повторениями из к элементов по неравно к".
Базис. Слово длины 0 (пустое слово) единственно; но 1 = А0. Индукционный шаг. Из каждого слова длины п можно получить, приписывая букву справа, к различных слов длины п + 1, и каждое слово длины п + 1 можно получить таким способом только из одного слова длины п. Поэтому число слов длины п + 1 в к раз больше числа слов длины н, так что если слов длины п имеется кп, то слов длины п + 1 будет А"-А = А”т|.
3)	Докажем, что число подмножеств конечного множества, состоящего из п элементов, равно 2я.
Базис. Если п = 0, т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно 1 = 2°. Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого п и пусть М — множество мощности п + 1. Фиксировав некоторое б’()ЕМ, разделим подмножества М на два типа: (1) содержащие а0 и (2) не содержащие а0, т. с. являющиеся подмножествами множества M\{aQ}. Подмножеств типа (2) по предположению индукции имеется 2". Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как каждое подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента «0, и из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одной только одно
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
461
подмножество типа (1). Поэтому число всех подмножеств М равно 2" + 2" = 2я+|.
Замечания. 1) Если мы хотим доказать, что все натуральные числа, большие или равные некоторому п0, обладают свойством В, для этого достаточно установит)!, что это свойство справедливо для п0 и что для каждого п > п0 из справедливости его для п вытекает справедливость для п + ]. (В частности, при nv — 1 получается принцип математической индукции для множества целых положительных чисел.) В самом деле, если обозначить через С(п) свойство натурального числа п, состояшее в том, что число п + обладает свойством В, имеем:
Х/к(к > п0ЭВ(к)) = VkC(k))-, Я(л0) = С(0);
Vn[n > п0Э(В(п)ЭВ(п + ]))] = Уя(С(л)ЭС(и + 1)).
В качестве примера можно привести доказательство того факта, что сумма углов плоского выпуклого «-угольника равна л(« — 2). Здесь п > 3; базисом индукции служит доказательство теоремы о сумме углов треугольника; индукционный шаг легко провести, разбив (п + 1)-угольник диагональю на «-угольник и треугольник.
2)	Чтобы доказать, что все натуральные числа, не превосходящие некоторого п0, обладают свойством В, достаточно установить, что это свойство справедливо для нуля и что для каждого п < «0 из справедливости его для п вытекает справедливость для п + 1. В самом деле, полагая С(п) = B(n)Vn > «0, имеем:
\/к(к < п^В(к)) = \/кС(ку В(0) = С(0);
\fn |н < п0Э(8(п)ЭВ(п + 1)) I = V«(C(«)Z>C(n + 1)).
Докажем, например, что для любых натуральных пит, таких, что
tn < н, число «2-элементных подмножеств «-элементного множества (их часто называют сочетаниями из п элементов по т), обозначае-
мое обычно С" или ("), равно
н!
т\(п — m)Y
(В доказательстве п и
будут играть роль н0 и п соответственно.) При этом считается, что
О! = 1. Базис очевиден, так как С®
п\ 0!(« - 0)!
 Индукционный
шаг. Пусть для некоторого т < п равенство С"1
п\
= —----------— спра-
/«!(« — т)\
всдливо, и пусть Л — множество мощности т. Из каждого ли-эле-
ментного подмножества А можно получить, добавляя один из остальных п — т элементов, п — т различных (т + 1)-элсментных подмножеств; но каждое (т + 1)-элементное подмножество
= 1 =
т
462
ПРИЛОЖЕНИЕ III
получается таким способом из т + 1 различных «-элементных (например, подмножество {1,2, 3} множества {1,2, 3, 4} получается из подмножеств {1,2}, {1, 3}, {2, 3}). Поэтому
Гт+1 _	_ п\ п - т =___________________п!__________
"	" т + 1 т\(п — «)! « + 1 (т + 1)! \п—(т + 1) J!
3)	Утверждение, доказываемое по индукции, может содержать не одну, а несколько переменных, т. е. иметь вид Х/х{ \/хлД(х1, xt), где s> 1. Тогда для проведения индукции его представляют, выбрав некоторую переменную х;, в виде Х/х,(Х/х, Vxf_,Vxj+l ... VxsB(xp ..., xs)) (см. выше пример на с. 459 и пример 2 на с. 460). В этом случае говорят, что утверждение доказывается индукцией по переменной х,. Иногда при этом внутри базиса или индукционного шага проводится индукция по другой переменной.
Задачи. 1) Вывести формулу суммы арифметической прогрессии:
«	I
2 (а + kd) = у(2й + nd)-{n + 1).
2)	Доказать, что число слов длины и в A-буквенном алфавите, составленных из попарно различных букв {размещений без повторений из п элементов по Л),равно к(к — !)•••(/? — к + 1).
3)	Вывести формулу для числа сочетаний из п элементов до т индукцией по п.
п	v ,2 п(п + 1>(2я + 1)
4)	Доказать, что к — —------------£-
5)	Доказать, что если А и В — непустые конечные множества, 1/1 =й, 1Д1 =Z>, то число всевозможных отображений Л в В равно Ьа.
6)	Вывести биномиальную формулу Ньютона: {а + Ь)” = = С* akb"~k (a, b — произвольные действительные или комплексно
ные числа, п = 0, 1, ...).
2. В ряде случаев полезен следующий вариант принципа математической индукции — принцип возвратной индукции:
Если некоторое свойство натуральных чисел справедливо для нуля и если, каково бы ни было целое положительное п, из справедливости этого свойства для всех натуральных чисел, меньших п, следует справедливость его для п, то данное свойство справедливо для всех натуральных чисел.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
463
На символическом языке:
B(O)&Vn(n > 0&Vw(w < a2D/?(w))d/>Vi))DVWA).
Этот принцип легко вывести из основной формы принципа математической индукции. Именно: пусть В— свойство натуральных чисел, справедливое для нуля и такое, что для любого п > 0 из справедливости его для всех т < п вытекает справедливость для п. Положим С(и) = \/т(т <	Очевидно, С(0) = />’(0) = И. С другой стороны, С(п) = \/т(т < п + 1	поэтому, если для не-
которого п справедливо С(л), то справедливо В(п + 1); но С(п)&В(п + I) = С(п + 1). Итак, свойство С справедливо для нуля, и из справедливости его для п следует справедливость для п + I. Поэтому свойство С — и тем более В — справедливо для всех натуральных чисел.
Пример. Докажем, что всякое натуральное число, большее единицы, может быть представлено, и притом единственным образом (с точностью до порядка сомножителей), в виде произведения простых чисел.
Обозначим через В следующее свойство натуральных чисел: «число либо равно нулю или единице, либо представляется, и притом единственным образом, в виде произведения простых чисел» и докажем возвратной индукцией, что все натуральные числа обладают свойством В.
Базис очевиден: Z?(0) истинно по определению свойства В. Индукционный шаг: пусть п > 0 и свойство В справедливо для всех т< п. Тогда, если п = 1, то В(п) истинно по определению В\ если же п > 1, то в случае, когда п — простое, истинность В(п) очевидна; в противном случае, обозначая через р произвольный простой делитель числа п и полагая q = —, имеем 1 < q< п; по предположению индукции отсюда следует, что q представляется единственным образом в виде произведения простых чисел. Но из существования такого представления для q немедленно вытекает существование его для п — p-q, и если бы для п существовали два разных представления, то, поскольку каждое из них содержало бы множитель р, сокращение на него дало бы два разных представления для q.
Задачи. 1) Будем рассматривать конечные последовательности, состоящие из левых и правых скобок, и дадим индуктивное определение правильной последовательности скобок следующим образом: (/) пустая последовательность правильна: (и) если а — правильная последовательность, то последовательность (а) правильна; (ш) если а, р — правильные последовательности, то последовательность ар правильна; (iv) всякая правильная последовательность является та
464
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ковой в силу одного из пунктов (i) — (iii). Доказать возвратной индукцией по длине последовательности, что:
(а)	в правильной последовательности скобок число левых скобок равно числу правых;
(б)	если а — правильная последовательность скобок и р — ее начало (т. е. существует такая последовательность y» что й = то число левых скобок в р не меньше числа правых;
(в)	для всякой непустой правильной последовательности скобок существует единственное взаимно однозначное соответствие между множествами входящих в нее левых и правых скобок, такое, что для любых двух соответствующих друг другу скобок заключенные между ними скобки образуют правильную последовательность.
2) Семейство С непустых подмножеств непустого конечного линейно упорядоченного множества А называется бинарной системой составляющих для А, если: (г) само А и все одноэлементные подмножества А принадлежат С: (й) если Р, Q&C, то либо PC\Q = 0, либо PCQ, либо QCP; (ш) если Л/GC и М не одноэлементно, то существуют такие Р, Q<=C, Р ^Q, что М = PUQ; (iv) если М&С, а. Ь&М, cGA иа< с < Ь, то cGM. Доказать, что мощность бинарной системы составляющих для А равна 2 • IАI — 1.
3) Доказать, что если X, Y — слова в некотором алфавите, то слово X Yтогда и только тогда совпадает со словом YX, когда существуют такое слово Z и такие натуральные т, и, что X = Z”', У = Z”.
3. При аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел принцип математической индукции, являющийся одним из важнейших их свойств, обычно включается в число аксиом. Наиболее употребительная система аксиом арифметики натуральных чисел, предложенная в конце XIX в. независимо немецким математиком Р. Дедекиндом (Richard Dedekind, 1831—1916) и итальянским математиком Дж. Пеано (см. § 6.6), известна под названием системы Пеано. Эта система лежит и в основе формальной арифметики, рассматриваемой в гл. 8. Ее неопределяемые объекты — натуральное число (в дальнейшем мы для краткости будем говорить просто «число») и нуль. Ее единственное неопределяемое отношение — «число у следует за числом л>> (обозначение: у = л'). Аксиом всего пять;
1.	Нуль есть число.
II.	Для всякого числа х существует единственное число у, такое, что у = х'.
III.	Если х’ — у', то х = у.
IV.	Нуль не следует ни за каким числом.
V.	(Аксиома индукции). Если В — произвольное свойство чисел, справедливое для нуля и такое, что, каково бы ни было число х, из
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
465
справедливости свойства В для х следует справедливость его для х', то свойство В справедливо для всех чисел.
Систематическое построение арифметики натуральных чисел на основе системы Пеано можно найти в курсах теории числовых систем (см., например. [Ландау 1947]. [Фефермаи 1971 1). Здесь мы только введем сложение, умножение и отношение «меньше» и докажем некоторые из основных свойств этих понятий — с единственной целью облегчить чтение §8.1.
Утверждение 1. Любое число или есть нуль, или следует за каким-либо числом.
Доказательство. Базис тривиален. Тривиален и индукционный шаг, поскольку, каково бы ии было числох, для числа х‘ наше утверждение справедливо по самому определению этого числа, и поэтому из справедливости утверждения для л следует справедливость его для х' (так как импликация с истинным заключением истинна).
Утверждение 2. Существует единственная функция двух переменных, сопоставляющая каждым двум числам х, у число х + у таким образом, что выполняются условия:
51.х + 0 = х;
S2. х + у' = (х + у)'.
Доказательство. Пусть х — произвольное фиксированное число. Докажем, что для любого числа z существует такое число х + z, что при z = 0 оно равно х, а если z = у' для некоторого у, то х + z = (х + у)'. Базис. Достаточно положить по определению х + 0 = х. Индукционный шаг. Если наше утверждение справедливо для некоторого числа z, то, во всяком случае, число х + z определено. Полагая по определению х + z' = (х + z)', видим, что утверждение справедливо для z'. Остается доказать, что если /(х, у) — функция, определенная на множестве чисел и удовлетворяющая условиям (z) f(x, 0) = х и (м) /(х, у') = (/(х, у))', то/(х, у) = х + у для любых х, у. Докажем это индукцией по у. Базис, /(х, 0) = х + 0 ввиду S1 и (z). Индукционный шаг. Если для некоторого у справедливо /(х,у) = = х + у, то ввиду S2 и (zz) имеем /(х, у') = (/(х, у))'= = (х + у)' = х + у'. (Здесь мы воспользовались не только предположением индукции, но и аксиомой И, в силу которой из f(x, у) = X + у следует (Дх, у))' = (х + у)'.)
Утверждение 3. (х + у) + z = х + (у + z).
Доказательство проведем индукцией по z. Базис. Ввиду 61 (х + у) + 0 = х + у — х + (у + 0). Индукционный шаг. Пусть для некоторого z справедливо (х + у) + z = х + (у + z). Тогда, используя S2, получаем: (х + у) + z' = ((х + у) + z)' = (х + (у + z))' = = Л- + (у + Z)' = л- + (у + z’).
Утверждение 4. 0 + х = х.
466
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Доказательство. 0 + 0 = 0 по 51; если 0 + х = х, то по 52 0 + х' = (0 + х)' = х'.
Будем обозначать число 0' через I. Очевидно, х + 1 = х + 0' = = (х + 0)' = х'. Нетрудно доказать также (индукцией; это предоставляется читателю), что 1 + х = х'.
Утверждение 5. х + у = у + х.
Доказательство проведем индукцией по у. Базис, х + 0 = х = = 0 + х ввиду 51 и утверждения 4. Индукционный шаг. Если х + у = у + х, то, используя утверждение 3 и равенства х + 1 = х', 1 + х = х', получаем: х + у' = х + (1 + у) = (х + I) + у = = (1 + .») + у = I + (А- + у) = 1 + (у + х) = (I + у) + X = у' + X.
Утверждение 6. Существует единственная функция двух переменных, сопоставляющая каждым двум числам х, у число х-у таким образом, что выполняются условия:
Р1. х-0 = 0;
Р2. ху' = ху + х.
Доказательство (аналогичное доказательству утверждения 2) предоставляется читателю.
Утверждение7. (х + y)-z = x-z + y-z.
Доказательство. Базис, (х + у)-0 = 0 = 0 + 0 = х-0 + у-0 ввиду PI и 51. Индукционный шаг. Пусть для некоторого z справедливо (х + у)-z = x-z + y-z. Тогда по Pl (х + y)-z' = (х + y)-z + (х + у), но по предположению индукции (х + y)-z = x-z + у-z, а ввиду утверждений 3 и 5 имеем (x-z + y-z) + (х + у) = (x-z + х) + + (y-z + у); последнее выражение по Р2 равно x-z' + y-z'.
Утверждение 8. 0-х = 0.
Доказательство предоставляется читателю.
Нетрудно доказать также, чтох-1 = 1 - х = х.
Утверждение 9. х-у = у-х.
Читатель докажет это утверждение сам (индукцией, используя Pl, Р2, утверждения 7 и 8 и равенства 1 -х = х, х + 1 = х').
Из утверждений 7 и 9 следует
Утверждение 10. х-(у + z) = х-у + x-z.
Утверждение 11. (x-y)-z = x-(y-z).
Доказательство предоставляется читателю.
Определение. Будем говорить, что число х меньше числа у, и писать х < у, если существует такое число z, что у = х + г'.
Утверждение 12. Невозможно х < х.
Доказательство. Болес подробно утверждение можно сформулировать так: ни для каких чисел х, z невозможно равенство х = х + z'. Докажем его индукцией по х. Базис. Из равенства 0 = 0 + z' ввиду утверждения 4 следовало бы 0 = z', что противоречит аксиоме IV. Индукционный шаг. Пусть для некоторого х равен
МЕТОД МА НЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
467
ство х = .V + z' невозможно ни при каком z. Допустим, что для какого-то z имеет место*' = х' + г'. Тогда ввиду утверждения 5 и S2 получим х' = z' + х' = (z' + х)', откуда по аксиоме 111 х = х + z', вопреки предположению индукции.
Утверждение 13. Если х < у и у < z, то х < z.
Доказательство. Пусть х < у и у < z. т. е. существуют такие числа и, v, что у = х + и', z = у + v'. Тогда z = (х + и') + v' — = х + (д' + v') = х + (д' + v)'. Отсюда по определению х < z.
Задачи. В Положив 0" = 2, доказать, что* + х = х-2.
2)	Доказать, что если * + у = 0, то х = у = 0.
3)	Доказать, что если ху = 0, то х = 0 или у = 0.
4)	Доказать, что нуль есть наименьшее число (т. е. невозможно х < 0).
5)	Доказать, что для любых х, у, z: (а) тогда и только тогда х < у, когда х + z < у 4- z; (б) если z 0, то тогда и только тогда х < у, когда xz<yz.
6)	Доказать, что ни для каких х, у невозможно х < у < х'.
7)	Для каждой из аксиом П—V доказать ее независимость от остальных, подобрав интерпретацию, в которой она не выполняется, а остальные выполняются.
8)	Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если в каждом его непустом подмножестве есть наименьший элемент. Доказать, что: (а) множество натуральных чисел вполне упорядочено отношением <; (б) из аксиом I — IV и условия, что множество натуральных чисел вполне упорядочено отношением <, следует аксиома V.
9)	Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утверждениям 2 и 6, для операции возведения в степень.
ЛИТЕРАТУРА
В настоящий список включены только работы, упоминаемые в тексте книги. Если работа, вышедшая на иностранном языке, издала также в русском переводе, указывается только этот последний.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию М.: Наука, 1977-Античные теории языка и стиля / Под обшей ред. О.М. Фройденберг М., Л.: ОГИЗ-Соцэкгиз. 1936; 2-е изд. СПб.: Алетейя, 1996.
Апресян Ю.Д., Богуславский И.М., Иомдин ЛЛ. и др. Лингвистическое обеспечение системы ЭТАП-2. М.: Наука, 1989.
Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 2. М.: Мысль, 1978.
Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980.
Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, i960; 2-е изд. М.: Просвещение, 1966-Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965.
Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. М.: Наука, 1967. С 9—74.
ГенценГ Непротиворечивость чистой теории чисел //Там же (а). С. 77—153.
Генцен Г. Повое изложение доказательства непротиворечивости для чистой теории чисел //Там же (б). С. 154—190.
Гильберт Д, Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Изд-во иностр, лит., 1947.
Гильберт Д, Бернайс П. Основания математики: Логические исчисления и формализация арифметики. М.. Паука, 1979.
Гильберт Д., Бернайс П Основания математики. Теория доказательств. М.: Наука, 1982
Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.
Гладкий А.В. Формальные грамматики и языки. М.: Наука, 1973.
Гладкий А.В. О значении союза или // Семиотика и информатика / ВИНИТИ. М., 1979. Вып. 13. С. 196—214.
Гладкий А. В. О знамении союза если // Семиотика и информатика / ВИНИТИ. М., 1982. Вып. 18. С. 43—75.
Гладкии А.В., Байдакова ВЛ. Ободной системе аксиом исчисления предложений // Математическая лингвистика и теория алгоритмов. Калинин, 1978 С. 35—40-
Гладкий А.В , Дреизин Ф.А. К семантике русского отрицания // Wiener Slawistischcr
Almanack Bd. 11. Wien, 1983. S. 123—152.
Гудстейн P.J1. Математическая логика. M.: Изд-во иностр, лит., 1961 -
Ерщов Ю. Л., Пилютин Е. А. Математическая логика. М.: Наука, 1979.
Карри Х.Б. Основания математической логики. М.: Мир, 1969-
Клини С.К Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр, лит., 1957-
Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973.
Клини С.К. Об истоках теории рекурсивных функций // Алгоритмы в современной математике и ее приложениях: В 2 ч. Ч. 2. Новосибирск, 1982.
Клини С.. Весли Р. Основания интуиционистской математики. М.: Наука. 1978.
469
Колмогоров АЛ., ДрагилинА.Г. Введение в математическую логику. М : Изд-во МГУ, 1982.
Колмогоров АЛ., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополнительные главы М.: Изд-во МГУ, 1984.
Крейнович Е.А. Нивхгу. М.: Наука, 1973.
Кузичева З.А. Математическая логика // Математика XIX в. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. М.: Наука, 1978. С. 11—38.
Куратовский К., Мостовский. А. Теория множеств М.: Мир, 1970.
Кущнвр Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М : 11аука, 1973.
Лавров И.А., МаксимоваЛ.Л. Задачи по теории множеств и математической логике. М.: Наука, 1975.
Ландау Э. Основы анализа. М.: Изд-во иностр, лит., 1947.
ЛукасевичЯ- Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Изд-во иностр, лит., 1959.
Мальцев АЛ. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.; Наука, 1965; 2-е изд. М.: Наука, 1986-
Манин ЮЛ. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979.
Манин ЮЛ. Вычислимое и невычислимое. М . Сов. радио, 1980.
Марков А. А. Теория алгорифмов // Тр. / Матем. ин-т АН СССР им В.А Стеклова. Т. 42Д1 , Л : Изд-во АН СССР, 1954.
Марков А.А О конструктивной математике // Тр / Матем. ин-т АН СССР им. В.А. Стеклова. Т 67. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1962. С. 8—14
Марков А.Л. Элементы математической ло>ики. М.: Изд-во МГУ, 1984.
Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М.: Наука, 1984
Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике. М.: Мир, 1975
МасловС.Ю- Обрат ный метод установления выводимости для логических исчислений И Тр. / Матем. ин-т АН СССР им. В.А. Стеклова. Т. 98- М.: Изд-во АН СССР, 1968. С. 26—87.
Маслов С.Ю- Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Радио и связь, 1986.
Мельчук И.А. Опыт теории лишвистических моделей «Смысл « Текст». Семантика, синтаксис. М.. Наука, 1974.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М Наука. 1971.2-е изд. Мл Паука, 1976-
Монтегю Р Универсальная грамматика // Семиотика и информатика. М.. 1985 Вып.26. С. 105—136
Новиков П.С Элементы математической логики. М.: физматгиз, 1959; 2-е изд. М.: Наука, 1973.
Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп // Тр. / Матем. ин-т АН СССР им В.А Стеклова. Т- 44., М.‘ Изд-во АН СССР, 1955.
Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. Мд Наука, 1977.
Падучева Е.В. О семантике синтаксиса. М.: Наука, 1974.
Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М.- Наука, 1967-
Раджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: .Мир, 1972.
Справочная книга по математической логике. В 4 ч. / Под ред. Дж Барвайса. Ч. I: Теория моделей. М.: Наука, 1982, Ч 11: Теория множеств. М.: Наука, 1982; Ч. Ill: Теория рекурсии. М.: Наука, 1982; Ч. IV: Теория доказательств и коншруктивная математика. М. Наука, 1983.
Стяжкин ПЛ. Формирование математической ложки. М.: Паука, 1967.
Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974.
Феферман С. Числовые системы: Основания алгебры и анализа. М. Наука, 1971.
470
ЛИТЕРА!УРА
Фреге Г. Смысл и денотат // Семиотика и информатика / ВИНИ ГИ М,, Вып 8 1977-С. [81—210.
Фреге Г. Понятие и вещь// Семиотика и информатика / ВИНИТИ М., 1978. Вып. 10.
С. 188—205.
Фреге Г. Функция и понятие // Семиотика и информатика / ВИНИТИ. М_, 1980 Вып. 14. С. 159—183.
Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М . Мир, 1966-
Циткин А. И. Введение в грамматики Р. Монтегю // Семиотика и информатика / ВИНИТИ М., 1985. Вып. 26-С. 137—153.
Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М. Наука, 1983.
Чёрч А. Введение в математическую логику. Т. 1. М.: Изд-во иностр, лит , 1960
Шенфилд Дх. Математическая логика М.: Наука, 1975.
Ashworth Е. J Language and Logic in die Poslntedieval Period. Dordrecht, 1974.
Berka K., Kreiser L. Logik-Texte. Kommeiitierte Auswahi air modernen Logik Berlin, 1971-
Bolc I.., Borowik P. Many-Valued Logics. Vot. 1 Theoretical Foundations. Berlin;
Heidelberg, N. Y., 1992.
Bochenski I. M A History of Formal IjOgic N. Y., 1970
Chellas B. F. Modal Logic. Ah Introduction Cambridge, 1993
Godel K. Die Vollstandigkeit des logichen Aussagenkalkiils // Monatshefte fur Mathematik und Physik. Bd 37. 1930 S. 349—360. (Перепечатано в (Berka — Kreiser 19711, S. 283—294).
Godel K. Uber formal unentscheidbare Satze der Pnncipia Mathematica und verwandter Systemc//Monatshefte fiir Mathematik und Physik. Bd.38. 1931 S. 173—198. (Частично перепечатано с комментариями в (Berka—Kreiser 1971], S. 321—325).
Godel K. Eine Interpretation des iiHuitionisiischen Aussagenkalkijls // Ergebu. math. Koll. Bd. 4. 1933 S. 39—40. (Перепечатано в (Berka — Kreiser 1971 ], S. 187—188).
Dreben B., Goldfarb W. The Decision Problem. Reading, 1979.
Hasenjager G. Eine Bemerkung zum Ilenklns Beweis fiir Vollstandigkeit des Pradikatenkalkills det ersten Stufe //J. Symbolic Logic. Vol. 18. 1953, p. 42—48.
Henkin L. The Completeness of the First Order Functional Calculus //J Symbolic Logic. Vol. 14. 1949, p. 159—166-
McArthur R.P. Temps Ixtgic. Dordrecht, 1993
PinborgJ. Die Entwicklung der Sprachtheone im Mittelalter. Munster, 1967.
Post E.I.. Formal Reduction of the General Combinatorial Decision Problem // Amer. J. Math Vol-65. 1943, p. 197—215.
PruntlG. Geschichte der Logik im Abend lande. Bd. 1. Leipzig, 1855. (Фотомеханическая перепечатка. Graz, 1955.)
Rice H.G. Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems. // Trans. Amer. Math. Sot. Vol. 74. 1953, p. 358—366-
Robinson R.M. An Essentialy Undecidable Axiom System // Ргос. I»t. Cong. Math. Vol. 1. Cambridge. 1950, p. 729—730-
Scholz H. Geschichte der Logik. Berlin, 1931.
Smullyan R. First-Order Ixtgic. Berlin; Heidelberg; N.-Y., 1968.
Steinthal H. Geschishte der Sprashwissenschaft bei der Griechen und Romern.Mit hesondererRiicksichtauf dieLogik. Berlin, 1863; 2-teAufL, Berlin, 1890 (Bd. I). 1891 (Bd- II). (Фотомеханич. перепечатка 2-го изд.: Hildesheim, 1961.)
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома 157
—	собственная 239
Алгоритм 179
Алгоритмическая проблема 306
Алфавит 155
—	внешний 283
—	внутренний 283
—	входной 286
—	выходной 286
Антецедент 194
Аргумент 37
Ассоциативность дизъюнкции 97
—	конъюнкции 97
—	объединения 28
—	пересечения 29
Базис индукции 362, 459
Биекция 42
Булева алгебра 270
Булев вектор 108
Введение дизъюнкции (ВД) 160
—	импликации (ВИ) 160
—	конъюнкции (ВК) 160
—	общности (BV) 210
—	отрицания (ВО) 161
—	существования (ВЭ) 210
Взаимно однозначное соответствие 42
Вместимость 45
Вхождение переменной в формулу свободное 77
---------связанное 77
—	символа в слово 155
— слова в слово 382
Вывод 157, 164, 184
Выводимость 157
Высота дерева вывода 168, 196
Вычисление (правильное) 286
Вычитание множеств 27
Глубина вхождения подформулы в формулу 107, 145
График 34, 40, 44. 46
Декартова степень 32
декартов квадрат 32
Декартово произведение 32
Дерево вывода 165, 168, 196. 253
----элементарное 168
Дизъюнкция 65
— разделительная 124
-элементарная 104
----полная 112
Дистрибутивность дизъюнкции по oi ношению к конъюнкции 97
— конъюнкции по отношению к дизъ-
юнкции 97
— объединения по отношению к пересечению 29
— пересечения по отношению к объединению 29
Длина вывода 185
— слова 156
Д и. ф — см. нормальная форма дизъюнктивная
Доказательство 157
— от противного 173
— разбором случаев 93, 124, 161
Дополнение 30
Зависимост ь формул в выводе 249
Задано (отношение на множестве) 34
Закон исключенного третьего 105, 161
— контрапозиции 99, 175
----обратный 175
----ослабленный 203
—	противоречия 105
—	рефлексивности равенства 238
— симметричности равенства 238
— транзитивности импликации (ТИ)
176, 188
----равенства 238
Законы Де Моргана 98
Замыкание формулы 391
Значение переменной 36
Идемпотентность дизъюнкции 97
— конъюнкции 98
Импликация 67
Индукционный шаг 362, 459
Интерпретация 129, 149
Инъекция 41
Истинностная таблица 64, 73
Истинностное значение 51
472
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Исчисление 352
— ассоциативное 241
----групповое 241
— естественного вывода 158
— логико-математическое 157
— логическое 155
------- генцсновского типа 158
—---гильбертовского типа 157
----дедуктивно полное 222
----прикладное 157
----разрешимое 406
----(семантически) полное 178
— — семантически пригодное 178
----чистое 157, 411
— на основе G> 222
--------с равенством 231
— одноместных предикатов 414
— предикатов узкое (исчисление предикате 1-й ступени) 230
	с равенством 238
—	предложений 158
— секвенциальное 193, 253
Итерация 328
Категорическое суждение 255
Квантор общности 60
—	существования 60
Кванторный префикс (кванторная при-
ставка) 147
Классы эквивалентности 423
К. н. ф.— е,ч. нормальная форма конъ-
юнктивная
Код машины Тьюринга 303
— переменной 380
— символа 302, 380
— слова 302, 380
Коммутативность дизъюнкции 97
—	конъюнкции 97
—	объединения 28
—	пересечения 29
Композиция отображений 42
Конечный автомат 303
Конъюнкция 64
— элементарная 103
----полная 108
К. н. ф — см. нормальная форма конъ-
ЮНК1 ивная
Координата булева вектора 108
Корень дерена вывода 168, 196
Кортеж 31
Лексикографический порядок 74, 427
Лемма Линденбау.ма 222
— о противоположной формуле 112
Лист 165, 196
—	зеленый ! 68
—	увядший 168
Логика интуиционистская 163
— классическая 162
— конструктивная 163
Логические парадоксы 12
Матрица (формулы в п. н. ф.) 147
Машина Тьюринга 282
----несамоприменимая 306
----самопримснимая 306
----универсальная 303
Метод математической индукции 459
Множество 21
— бесконечное 439
— значений 35
— конечное 439
— линейно упорядоченное 425
основное 130,149
— перечислимое 318
— пустое 25, 438
— разрешимое (рекурсивное) 317
— рекурсивно перечислимое — см множество перечислимое
— универсальное 30
— упорядоченное 425
— функционально замкнутое 126
----полное 122
Модель арифмет ики стандартная 371
— логического исчисления 223
-------нормальная 232
— множен ва формул 132, 149
Мощность множества 435
Натуральное число 441,464
Находятся в (отношении) 33
Начинается с квантора 77
— с отрицания 78
Непосредственная составляющая 101,
145
Непротиворечивость 184
Неразрешимое предложение 394
Номер вычисления 344
— дерева вывода 385
— машины Тьюринга 323
— п. р. ф. 337
— слова (стандартный) 316, 380
Нормализация модели 235
Нормальная форма дизъюнктивная
(д. н. ф.) 103
-------совершенная (с. д. и. ф.) 110
----конъюнктивная (к. н. ф.) 104
-------совершенная (с. к. и. ф.) 113
— — префиксная (п. и. ф.) 147
473
Область вторых элементов 34, 44
— действия квантора 76
—	изменения переменной 36
—	определеним 35
—	отправления 34
—	первых элементов 34, 44
—	нрибьния 34
—	третьих элементов 44
Образ 37
— множества 40
Обитая часть множеств 25
Объединение множеств 25, 26
Ограничение (н кванторе) 83
Оператор минимизации 340
— ограниченной минимизации 335
— подстановки 330
— рекурсии 330
Операция бинарная 70
— унарная 70
Определение 79
— индуктивное 159
О р ф —см функция обтерекурспв-
11<1Я
Основа булевой функции 95
Основные равносильное! и дотики преди-
ка гон 140
-------предложений 97
О । делимое гь 324
От ношение 33
—	анти рефлексивное 424
—	антисимметричное 424
—	бинарное (двуместное) 44
—	выводимости 156
линейною порядка 425
—	обратное 35
—	ограниченное множеством 428
—	порядка 425
—	рефлексивное 421
—	симметричное 421
—	тернарное ( грехместное) 44
—	транзитивное 421
—	эквивалентнос ти 422
Отображает 39
Отображение 39
—	биективное 41
— в 39
—	взаимно однозначное 41
—	инъективное 41
—	на 39
—	одно-однозначное 41
—	сюръект ивннс 39
—	тождественное 42
Отождествление переменных 87
Отрицание 69
Парадокс Ьерри 14
—	Кантора 13
—	лжеца 13
—	Рассела 14
—	Ришара 14
Переменная 36
—	зависимая 37, 45
независимая 37, 45
несущественная 94
— свободная 77
— связанная 77
— существенная 94
Переработка набора слов машиной 286
I 1ерессчсние множеств 25, 27
Перестановка (фигура заключения) 195
I [сречисление элементов множества 23
I [одмножест во 22
— истинное (собственное) 23
Подразумеваемая часть суждения см. презумпция
Подстановка 42
— терма в формулу 208
Подформула 100. 145
Полу группа 241
— конечно определенная 242
— свободная 241
Правила введения и удаления логиче-
ских Символов 160
— вывода 156
---логические (57
---структурные 157
— образования формул 156, 209
---термон 209
— преобразования формул 156
— производные 187
— чтения формул 71.77
[ [равило безусловное 159, 163
— Дунса Скога (ДО 107, 161
— modus poiiens (МР) 185. 186. 249
—	обобщения (Об) 248
—	постановки двойною отрицания 172
—	снятия двойною отрицания 98, 172
—	|ран<и1ишюсти ('!) 160
— тривиальной выводимости (ГВ) 160
— усланное 159, 163
— устранения теоремы (У Г) 188
II и ф.- см нормнльная форма префиксная
11ре.(икат 56, 57
— вычислимый (рекурсивный) 287 двуместный 57
- многоместный 57
—	н-местный 57
—	ц-интмсстныи 56
474
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
—	представимый в формальной арифметике 373
—	примитивно рекурсивный 332
—	рекурсивный — см. предикат вычислимый
—	тождественно истинный 58
		ложный 58
—	трехмест ный 57
—	характеристический 98
11редположение индукции 459
Представление предиката формулой 373
—	функции формулой 373
Презумпция 257, 259
Приведение к д. н. ф. 103
—	к к. и, ф. 104
—	к нелепости 161
—	к п н. ф. 141
Применимость (машины Тьюринга) 286
Принадлежит 21
Принцип возвратной индукции 462
—	двойственности 112
—	математической индукции 458
Пробегает 36
Проблема Гильберта десятая 315
—	распознавания применимости 307
—	самонрименимости 306
---переработки слов 310
—	тождества 311, 314
—	эквивалентности 3| 1
Проекция множества 62
Прообраз 37
—	множества 41
—	полный 37
1 [ромежуточная гипотеза 166
11ропозициональные связки 69
Простое расширение исчисления 220
П- р ф- — см. функция примитивно ре-
курсивная
Пункт индуктивного определения кос-
венный 159
-------прямой 159
Равенство множеств 23
Равпомощность 434
Равносильность предикатов 59, 135
— предложений 135
— формул 96, 136, 149
Разбавление 144
Разбиение множества 422
Разность множеств 25
Рекурсия 328
Свойснюмшнии Гьюринга инвариантное 308
-------нетривиальное 308
— подформульности 197, 254
—	функций нетривиальное 309
—	характеристическое 24
— элементарное 239
Связаны (отношением) 33
Связывание квантором 62
С. д. н. ф. — см. нормальная форма дизъюнктивная совершенная
С. к. н. ф. — см. нормальная форма конъюнктивная совершенная
Секвенция 193
—	верхняя 194
—	нижняя 194
Семантика 91
Сечение 195
Силлогизм 261
Символ константы 148, 207
— логический 158, 207
— предикатный 128, 207
— — двуместный 129
---A-местный 20 7
---нульместный 129
------ одноместный 129
— синтаксический 158, 207
— функциональный 148, 207
— элементарный 155
Синтаксис 154
Ситуация машины Тьюринга 285
-------заключительная 285
------ — начальная 285
Следование семантическое 113, 139
Слово 155
Сложность форм /лы 159, 208
Соглашение о порядке действий 71,70
Содержит 22
Сокращение 195
Сукцедент 194
Схема аксиом 163
—	— простейшая 237
—	секвенций 194
—	теорем 163
—	фигур заключения 194
—	формул 163
Сюръекция 39
Тавтология 105
Тезис Чёрча-Тьюринга 297
Теорема (в логическом исчислении) 156
Теорема Гёделя вторая 401
---о неполноте 394, 396
---о полноте 228
—	I енцепа о дизъюнкции 206
— основная 197, 254
— Кантора-Бернштейна 449
475
— китайская об остатках 376
— Лёвецгейма-Сколема 229
— о дедукции 187 250
— о замене дедуктивно эквивалентных формул 177, 216
—-----равносильных формул 101, 145
— о непротиворечивое ги исчисления Go
184
— о полноте исчисления Go 180
— о представлении булевой функции формулой 108
— о приведении к д. н. ф. 103
------кк.н. ф. 104
— о семантической пригодности исчисления Go 178
----------Gt 217
— Поста 322
— Райса 308
— Тарского 404
— Чёрча 413
Терм 148, 208
— свободный для подстановки 208
Тождественные преобразования 100, 145
Тривиальное ограничение исчисления 220
Удаление дизъюнкции (УД) 160
— импликации (УИ) 160
— конъюнкции (УК) 160
— общности (W) 210
— отрицания (УО) 161
— существования (УЗ) 210
Упорядоченная пара 3!
Упорядоченная система 31
Утверждаемая часть суждения 259
Фактор-множество 423
Фигура заключения 194
------логическая 195
------ структурная 194
Формальная арифметика 360
— индукция 362
— система (формальная теория) 155
Формула атомная 208
— доказуемая 156
— логики предикатов 76
------выполнимая 133, 149
----------в интерпретации 132, 149
------всюду истинная 133, 149
------- — замкнутая 77
------истинная в интерпретации 131, 149
------предложений 70
--------- тождест венно истинная 105
—---------ложная 105
Функциннальный элемент 120
Функция 37, 45
— булева 93
----двойственная 125
----линейная 126
---- моногенная 126
— — приведенная 94
----самодвойст венная 125
— — сохраняющая И 126
-------Л 126
— — тождественно истинная 95
—------ложная 95
— вычислимая (но Тьюрингу) 287
— обратная 40
— общерекурсивная (о. р. ф.) 34!
— предметная 148
— представимая в формальной арифметике 373
— примитивно рекурсивная (и. р.ф.) 330
— характеристическая 332
— частично рекурсивная (ч. р. ф ) 34!
Цифра 368
Часть 22
— истинная (собственная) 23
Ч р.ф. — см. функция частично рекурсивная
Шаг вывода 166, 169
Штрих Шеффера 123
Эквивалентность дедуктивная 177, 216
— машин Тьюринга 308
Эквиваленция 68
Элемент 21
— отвечающий терму в интерпретации
247
Элементарная т еория 238
----абелевых групп 239
----’рунн 239
----колец 240
----коммутативных колец 240
----линейно упорядоченных множеств
240
----нолей 240
----полугрупп 239
----упорядоченных множеств 240
Элементарное предложение (в теории
математических систем) 238
----(в логике предложений) 70
Элементарный шаг вывода — см. шаг
вывода
P-функция Гёделя 376
<о- непро ги1юречивость 3 93
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
И 51	Or 239	0 25
Л (ИС1ИНН0СТН0С значе-	R (элементарная теория	U 25
ние) 51	колец) 239	П 25
Л (в команде) 284	R (исчисление Робинсо-	\ 25
II 284	на) 407	x 31
П 284	35	
С 284	i’o 194	i-> 3 7
А 69	Si 253	»-» 37
—А 69	t II у 236	— (отображение) 39
IAI 435	a" 361,464 [x| 38	-> (в секвенции) 194
(«Ь«2) 31		-» (в команде) 283
(<п,	</„) 31	xRy 33	40
Аг 360	XI Y 123	С 47
СА 30	21- 111	- 52,59, 135, 136
с 446 F(a) 37 FG 42	2Г 111 2ii; 77	Vx 60 За 60 & 64
G 239	21117208	v 65
Go 158	2llly236	□ 67
Go 190	"(X|, X2, a») 376	« 68
Gi 207	х(Л7) 303	7 69
GF 411	я(л) 302	=» ИЗ, 139
G Г 238	Л 285	1 123
	vx 316	|- 156
G^T 411 Ho 186	Ko442	1- 156
Hi 248	e 22	3!х 238
KR 239	£ 22	# 283
IXIr 239	E 22	□ 302
M/R 423	C 22	* 302
M(/i, . , f„J 2b6	- 23,231	1 295
n 368	{} 24	~ 434 <, > 27, 32*
* По техническим причинам для отношении «меньше или равно» и «больше или равно» используются обозначения <, >.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИ1	5
ВВЕДЕНИЕ......................................   8
ГЛАВА! МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ	21
§1.1.	Множества ....	..21
§ 1	2 Отношения и функции	.	33
Задачи и упражнения......................................... 47
ГЛАВА 2. СИМВОЛИЧЕСКИЙ ЯЗЫК ..	51
§ 2	1. Предложения ..	...	...	51
§ 2	2. Предикаты и кванторы..	54
§2.3.	Пропозициональные связки	63
§ 2.4.	формулы ...	70
Задачи и упражнения...	....	86
ГЛАВА 3. СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ ......... 91
§ 3.1.	Булевы функции. Равносильность формул................... 91
§3.2.	Тождественные преобразования Нормальные формы. Тожде-
ственно истинные и тождественно ложные формулы ......... (00
§ 3.3.	11редставление произвольной булевой функции формулой Со-
вершенные нормальные формы. Двойственность .	.	108
§3-4-	Семантическое следование............................... 113
§3.5	.	Приложения функциональная полнота	117
Задачи и упражнения................ ............ ....	123
ГЛАВА 4 СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ ....	...... 128
§4 1 Интерпретации и модели Выполнимость, истинность и равносильность формул ............................................... 128
§ 4-2, Основные равносильности Тождественные преобразования. I [рефиксная нормальная форма................................... 140
§4.3.	[ [редметные функции и константы .	148
Задачи и упражнения............................................. 150
478
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 5 СИНТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ. ......... 154
§5	1. Общее понятие логического исчисления	154
§5.2	. Определение исчисления Go .......................... 158
§5.3	. Формальные выводы в исчислении Go - - -	164
§5.4	.	Семантическая пригодность и полнота исчисления Go..	178
§5.5	.	Другие варианты исчисления предложений ....	184
Задачи и упражнения.......................................   202
ГЛАВА 6- СИН ТАКСИС ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ ..	.207
§6.1	. Исчисление Gt ..............................	..	207
§6.2	.	Семантическая пригодность и полнота исчисления Gi .... 217
§	6.3. Исчисления на основе Gi с равенством. 11екоторые прикладные ИСЧИСЛЕНИЯ	230
§6.4	Другие варианты узкого исчисления предикатов.......	248
§	6 5.	Исчисление предикатов и аристотелевская силлогистика .	255
§	6 6	Исторический коммен гарии к главам 2—6	268
Задачи и упражнения	.	.	274
ГЛАВА? ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ.........	278
§7.1	Предварительные соображения ..	..	.	278
§	7-2.	Машины Тьюринга..................................... 281
§	7 3.	Примеры машин....................................... 287
§74	Тезис Чёрча — Тьюринга -------------------------------- 297
§7.5	.	Универсальная машина Тьюринга....................... 301
§7	6.	Неразрешимые алгоритмические проблемы	...	306
§7.7	.	Разрешимые и перечислимые множества	.	.	315
§	7.8 Примитивно рекурсивные функции ....	....	327
§	7 9.	Частично рекурсивные и обтцерекурсивные функции	340
Задачи и упражнения .......................................   352
ГЛАВА 8. ФОРМАЛЫ1АЯ АРИФМЕТИКА ГРАНИЦЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИКИ ................................ 360
§8-1- Формальная арифметика................ ...	....	360
§	8.2. Представление в формальной арифметике предикатов и функций .......................  .	...	.	...	373
§	8.3. Арифметизация выводов ...	380
§8	4-	Теорема Гёделя о неполноте .	... 390
§	8.5.	Теоремы Тарского и Чёрча .	402
Задачи и упражнения......................................... 416
ПРИЛОЖЕ-
НИЕ!. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА	419
Задачи и упражнения	.	..... ...	..	429
ОГЛАВЛЕНИЕ	479
ПРИЛОЖЕНИЕ IL МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА ........... .. ..	432
Задачи и упражнения........................... 455
ПРИЛОЖЕ- МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
НИЕ1П.	И ПЕАНОВСКАЯ АРИФМЕТИКА................. 458
ЛИТЕРАТУРА .................................   468
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ......	...	471
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ	.	476
ГЛАДКИЙ АЛЕКСЕЙ ВСЕВОЛОДОВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Художник В.В. Сурков
Технический редактор Г.П. Каренина Корректор Т. М. Козлова
Компьютерная верстка г.И. Гаврикова
Лицензия JII’ №020219 or 25.09.96.
Подписано в печать 20.05 98
Формат 60 х 90 1 /j f. Гарнитура Таймс Усл. печ. 30,0 Уч.-изд. 30.0
Тираж ЮООэкз.
Заказ ЛУ
Издательский центр
Российского государственною гуманитарного университ ста 125267 Москва, Миусская нл , 6.
973-4200
I