A. M. Поляков
КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
И СТРУНЫ
Перевод с английского
В. Г. Книжника
под редакцией
А.А.Белавина и М. Ю. Дашкевича
Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика»
Издательский дом
«Удмуртский университет»
1999

УДК 530.1.43+539.12
ПоляковА. М. Калибровочные поля и струны. — Ижевск:
Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 312 с. —
ISBN 5-7029-????-?
Автор книги — выдающийся физик-теоретик, специалист по
квантовой теории поля. Книга написана на основе его научного
дневника и представляет субъективный взгляд на важнейшие проб-
проблемы теоретической и математической физики — конфайнмент
кварков, инстантоны, магнитные монополи, струны, критические
явления. Во всех этих областях автор внес значительный и ори-
оригинальный вклад. Эти разнообразные вопросы объединены общей
целью — понять поведение квантовополевых систем в области силь-
сильной связи, когда теория возмущений неприменима. В книге ясно
и увлекательно изложены тонкие и сложные современные мето-
методы квантовой теории поля, и она отлично дополняет традиционные
учебники по теории поля и физике элементарных частиц.
Для физиков и математиков различных специальностей, аспи-
аспирантов и студентов старших курсов университетов. Может быть
использована как пособие по специальным курсам: непертурбатив-
ные методы квантовой теории поля, критические явления и т. п.
ISBN 5-7029-????-?
Научное издание
Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала
«Регулярная и хаотическая динамика».
http://www.uni.udm.ru/rcd
© Harwood Academic Publishers,
Chur, Switzerland, 1987
© перевод на русский язык,
М. И. Гетманская, А. А. Белавин, 1995
© Редакция журнала «Регулярная
и хаотическая динамика», 1999
© Издательский дом
«Удмуртский университет», 1999

Содержание
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 6
Глава 1. Статистическая механика и квантовая теория
поля 8
1.1. Квантовые частицы 8
1.2. Глобальные и локальные симметрии. Предвари-
Предварительное описание 11
1.3. Дискретные глобальные симметрии 12
1.4. Непрерывные абелевы глобальные симметрии . . 18
1.5. Неабелевы глобальные симметрии 20
1.6. Дискретные калибровочные симметрии 22
1.7. ОB)-калибровочные системы 23
1.8. Неабелевы калибровочные теории 25
Глава 2. Асимптотическая свобода и ренормализацион-
ная группа 27
2.1. Главные киральные поля 27
2.2. Модель п-поля 35
2.3. Неабелевы калибровочные поля при D = 4 . . . . 38
Глава 3. Приближение сильной связи 43
3.1. Модель Изинга 44
3.2. Непрерывные глобальные симметрии 47
3.3. Калибровочные симметрии 50
Глава 4. Инстантоны в абелевых системах 59
4.1. Инстантоны в квантовой механике и в модели
Изинга 59
4.2. Инстантоны в модели с глобальной ОB)-симметрией 64
4.3. Компактная КЭД (ОB)-калибровочная модель) . . 72
Глава 5. Конфайнмент кварков, сверхтекучесть, упру-
упругость. Критерии и аналогии 84
Глава 6. Топология калибровочных полей и близкие во-
вопросы 97
6.1. Инстантоны для D = 2, N = 3 п-полей 97
6.2. Инстантоны в неабелевых калибровочных теориях 105
6.3. Качественные эффекты инстантонов 112

4 СОДЕРЖАНИЕ
Глава 7. Аналогии между калибровочными и киральны-
ми полями. Динамика петель 124
7.1. Неабелев фазовый множитель 124
7.2. Квантовая теория петель 132
Глава 8. Разложение при больших N 138
8.1. ОGУ)-симметричная сг-модель 138
8.2. Главное киральное поле для SU(N) 148
8.3. о-Модель на СР^ 153
8.4. Неабелева калибровочная теория 159
Глава 9. Квантовые струны и случайные поверхности . . 164
9.1. Предварительные математические сведения: сум-
суммирование по случайным путям 164
9.2. Меры в пространствах метрик и диффеоморфизмов 170
9.3. Замкнутые пути 177
9.4. Общая теория случайных гиперповерхностей . . . 182
9.5. Двумерные поверхности. Геометрическое введение 189
9.6. Вычисление континуальных интегралов 198
9.7. Амплитуды рассеяния 206
9.8. Амплитуды рассеяния и операторное разложение 210
9.9. Тензор энергии-импульса в конформной кванто-
квантовой теории поля 218
9.10. Физические состояния теории струн в критичес-
критической размерности 227
9.11. Ферми-частицы 237
9.12. Фермионные струны 243
9.13. Вершинные операторы 256
Глава 10. Попытка синтеза 269
10.1. Длинноволновые колебания струн в критической
размерности 269
10.2. Возможные приложения критических струн . . . 282
10.3. Трехмерная модель Изинга 290
10.3.1. Уравнение Дирака в двумерной модели
Изинга 291
10.3.2. Трехмерный случай. Петлевое уравнение . 295
10.4. Внешняя геометрия струн 299
Предметный указатель 304

Предисловие редактора перевода
Эта книга должна была выйти в переводе на русский язык почти
десять лет назад. Публикации помешала неожиданная смерть ее пере-
переводчика Вадима Книжника в возрасте 25 лет.
Удивительно, что Дима выполнил перевод этой книги, одновремен-
одновременно интенсивно занимаясь научной работой. Выдающиеся результаты,
полученные им, свидетельствуют о его удивительном таланте. Они на-
навсегда вошли в современную квантовую теорию поля и теорию струн.
Я надеюсь, что несмотря на задержку с выходом русского перево-
перевода эта книга будет полезна как для специалистов в квантовой теории
поля, так и для молодых людей, вступающих в эту область физики. А
светлый образ самого Вадима Книжника будет вдохновлять нас своей
преданностью Науке.
Ноябрь 1995
Александр Белавин

Предисловие
В течение многих лет я вел заметки по различным вопросам физи-
физики, что-то вроде научного дневника. Иногда они содержат новые резуль-
результаты, но чаще — вывод какого-нибудь известного факта, но сделанный
способом, который казался мне приятным. Эти заметки были полез-
полезны, когда я хотел вспомнить какой-нибудь сюжет. Ведь лучше всего
советоваться с самим собой.
Эта книга возникла из этих записок, или, лучше сказать, из той их
части, которая посвящена теории поля. Я решил издать ее, поскольку,
как мне кажется, есть люди, которые найдут ее полезной.
Часто я здесь обсуждаю вопросы, которые еще не поняты до конца.
Я делаю это в надежде, что подход, который я предлагаю, хотя и несо-
несовершенен, все же будет стимулировать более глубокое проникновение
в предмет.
В этой книге я не даю много ссылок (кроме тех случаев, когда я
привожу самые последние результаты). Причина состоит в том, что,
хотя изучать историю физики и оценивать заслуги очень интересно, я
еще к этому не готов.
Читатель может найти множество ссылок в многочисленных об-
обзорах, например, К. Wilson and J.Kogut, Physics Reports, 12, 75-200
A974); J.Kogut, Reviews of Modern Physics, 55, 775-836 A983);
A. 3. Паташинский, В. Л. Покровский, Флуктуационная теория фазовых
переходов, М., Наука A975) и Superstrings (J.Schwarz ed.), World
Scientific Pub. A985).
Я также привожу ниже (в произвольном порядке) некоторые из
моих любимых статей, которые оказали глубокое влияние на эту книгу.
Выбор, по определению, субъективен и не полон.
А. М. Поляков
1. А. Паташинский, В.Покровский, ЖЭТФ 46, 994 A964).
2. В. Грибов, А. Мигдал, ЖЭТФ 55, 1498 A968).
3. В. Вакс, А. Ларкин, ЖЭТФ 49, 975 A965).
4. В. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 A971).
5. К. Wilson, Phys. Rev. D 10, 2445 A974).
6. M. Gell-Mann and F. Low, Phys. Rev. 95, 1300 A954).
7. Л.Ландау, А.Абрикосов, И. Халатников, ДАН 95, 497 A954).

7
8. L. Faddeev and V. Popov, Phys. Lett. В 25, 30 A967).
9. T.Skyrme, Proc. Roy. Soc. A 260, 127 A961).
10. J.Schwinger, Phys. Rev. 94, 1362 A954).
11. M.Atiyah, V.Patodi, and I. Singer, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 77,
43 A975).
12. R. Jackiw and K. Rebbi, Phys. Rev. D 14, 517 A971).
13. J.Kogut and L.Susskind, Phys. Rev. D 11, 395 A975).
14. G. 'tHooft, Phys. Rev. Lett. 37, 8 A976).
15. G. 'tHooft, Nucl. Phys. В 72, 461 A974).
16. L. Brink, P.DiVecchia, and P.Howe, Phys. Lett. В 65, 471 A976).
17. S. Deser and B. Zumino, Phys. Lett. В 65, 369 A976).
18. С. Marshall and P. Ramond, Nucl. Phys. В 85, 375 A975).
19. M. Green and J. Schwarz, Nucl. Phys. В 255, 93 A985).
20. A.Migdal, Nucl. Phys. В 180, 71 A981).
21. D. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 A973).
22. H.Politzer, Phys. Rev. Lett. 30, 1346 A973).
23. А. Замолодчиков, Письма ЖЭТФ 43, 565 A986).
24. К. Wilson, Phys. Rev. 179, 1499 A969).
25. D. Amati and M. Testa, Phys. Lett. В 48, 227 A974).

Глава 1
Статистическая механика и квантовая
теория поля
1.1. Квантовые частицы
У нас нет лучшего средства для описания элементарных частиц,
чем квантовая теория поля. Квантовое поле — это ансамбль бесконеч-
бесконечного числа взаимодействующих гармонических осцилляторов. Возбуж-
Возбуждения этих осцилляторов отождествляются с частицами. Особая роль
гармонических осцилляторов связана с аддитивностью их спектра. Ес-
Если Ei и Ei — энергетические уровни, то Е\ + Е^ — тоже энергети-
энергетический уровень. В точности таких свойств мы ожидаем от элементар-
элементарных частиц. Поэтому мы пытаемся отождествить гамильтонианы час-
частиц с гамильтонианами связанных осцилляторов (обычный пример из
физики твердого тела: возбуждения кристаллической решетки могут
быть интерпретированы как частицы — фононы). Все это очень в ду-
духе XIX столетия, когда люди пытались строить механические модели
всех явлений. Я не вижу в этом ничего плохого, поскольку любая не-
нетривиальная идея в определенном смысле верна. Мусор прошлого часто
оказывается сокровищем настоящего (и наоборот). По этой причине мы
будем смело прибегать к различным аналогиям при обсуждении наших
основных проблем.
Очень важная аналогия, которой мы будем часто пользоваться,
имеется между квантовой механикой D-мерных систем и классической
статистической механикой в D + 1 измерении. Продемонстрируем это
на простейшем примере D = 1 квантовой механики одной частицы. В
соответствии с принципом Фейнмана амплитуда перехода F из точки х
в точку х' дается суммой по всем возможным траекториям, соединяю-
соединяющим точки х и х'. Каждая траектория берется с весом expf ^S[x(t)] 1,
где Sr[a;(i)] — классическое действие. Поэтому
F{x, х', Т) = Л )м> Vxit) exp J i j \™f - v(x(t))] dt 1 . A.1)

1.1. Квантовые частицы
9
Здесь F — амплитуда, Т — время перехода, v(x) — внешний потенциал.
Континуальный интеграл определен следующим образом. Разобьем ин-
интервал [О, Т] на N маленьких интервалов [0, t\], [t\, t^\, ... , [ijv-ъ Т].
Вместо A.1) рассмотрим выражение
fN~X ( m
F = J Д dXj ^^J—-
x exp
A.2)
(здесь жо = ж, io = 0, x;y = ж', fjv = T). Можно показать, что при
tj+i — tj ~ T/N —>• 0 выражение A.2) имеет конечный предел. Этот пре-
предел и есть амплитуда перехода. Хотя я не буду доказывать это утверж-
утверждение (сошлюсь вместо этого на книгу Фейнмана и Хибса1), я коротко
поясню происхождение формул A.1) и A.2). В соответствии со стан-
стандартной квантовой механикой амплитуда перехода определяется как2
F(x, х', Т) = (x'\e~TiHT\x), A.3)
где Н — гамильтониан. Можно переписать A.3) следующим образом:
F{x, х', Т) =
г_^ х _ _ _ х
— Ht
x{xi\eh г\х)
Нетрудно проверить, что когда все интервалы
место асимптотическое выражение
A.4)
— tj —>• 0, имеет
A.5)
XP. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, М.,
«Мир», 1968.
2Мы положили (х'\х) = 5(х' — ж).

10 Глава 1
После подстановки A.5) в A.4) получается A.2). Отметим, что в отсут-
отсутствие потенциала v формула A.5) точна при любом значении tj+i — tj
и описывает распространение свободной частицы.
Чтобы увидеть аналогию с классической статистикой, надо рас-
рассмотреть распространение частицы в мнимом времени Г. Точнее, рас-
рассмотрим выражение
-нт
Z(x, х', Т) = (х'\е~П~\х) = F(x, x', -IT). A.6)
Можно снова повторить процедуру разбиения временного интервала, с
той единственной разницей, что tj в A.4) теперь приобретают множи-
множитель —г. Таким образом, получаем
Z(x, х\ Т) = Г <о)_ Vx(t) exp J -1 / (>ж2 + v(x(t))) dt I , A.7)
что следует понимать в том же смысле, что и A.1). Мнемоническое
правило для перехода от A.1) к A.7) очень простое: рассмотрим выра-
выражение
гТ
It A.8)
о
и сделаем замену t = —it. Тогда получим
Л, ч 2 1
4\§г) +V(-X^\ dT- (L9)
Вывод формулы A.9) показывает, что мы располагаем даже большей
свободой при вычислении континуального интеграла. Можно выбрать
точки разбиения {tj} так, чтобы они лежали на произвольном контуре
в комплексной плоскости, и время может быть не только мнимым, оно
может течь вдоль любого комплексного пути (такого, конечно, чтобы
было выполнено условие сходимости для A.2), ImAt < 0 ). Эта сво-
свобода полезна при решении некоторых задач. Однако сейчас нас инте-
интересует другая сторона дела. Формула A.9) имеет важную физическую
интерпретацию. Давайте рассмотрим упругую струну длины Т, обла-
обладающую собственным натяжением. Пусть концы струны расположены

1.2. Глобальные и локальные симметрии. Предварительное описание 11
в точках х и х'. Предположим, что струна помещена во внешний потен-
потенциал v(x). Потенциальная энергия такой струны равна
f (jg) +v(x(r))}dr. A.10)
Отметим, что теперь т не время, а длина упругой струны. По принципу
Больцмана классическая статистическая сумма струны пропорциональ-
пропорциональна
A.11)
fvx(t),
(/3 — обратная температура; мы опустили вклад кинетической энергии,
потому что в классической статистике он отщепляется в виде множи-
множителя, не зависящего от ж и х'). Сравнение выражений A.11) и A.9) при-
приводит к первой аналогии — аналогии между классической статистикой
и квантовой механикой: Амплитуда перехода за время {—гТ) для клас-
классической частицы совпадает с классической статистической суммой
для струны длины Т, вычисленной при /3 = 1/Н.
Вторая аналогия следует из того, что квантовая статистическая
сумма частицы равна Zqu = Тге~'эя и, следовательно,
Zqu= I dxF(x,x, -i/3h). A.12)
Поэтому второе правило гласит, что в квантовом случае обратная тем-
температура играет роль мнимого времени.
Наш вывод этих аналогий был чисто техническим. Я уверен,
что для них имеются глубокие причины, связанные со свойствами
пространства-времени. Хотя настоящее объяснение отсутствует, я позд-
позднее, при обсуждении гравитации, приведу некоторые соображения на
эту тему. Пока наши цели более скромные — мы собираемся использо-
использовать эти аналогии при решении конкретных задач. Хотя мы выводили
все для случая одной частицы, очевидно, что обе наши аналогии верны
для любого числа степеней свободы.
1.2. Глобальные и локальные симметрии.
Предварительное описание
Имеющиеся в природе элементарные частицы очень похожи по
своим свойствам на возбуждения некоторой сложно устроенной сре-
среды (эфира). Мы не знаем детальной структуры эфира, но мы выясни-
выяснили многое об эффективных лагранжианах для их низкоэнергетических

12 Глава 1
возбуждений. В аналогичной ситуации мы бы оказались, если бы ничего
не знали о молекулярной структуре жидкости, но имели бы уравнение
Навье-Стокса и могли предсказать множество замечательных явлений.
Конечно, есть много различных молекулярных структур, но все они
приводят к одной и той же низкоэнергетической картине. Для целей
теории можно брать любую удобную модель, если только она обладает
нужными свойствами при низких энергиях.
В этом разделе мы обсудим наиболее фундаментальные принципы
симметрии в физике частиц в рамках таких специально подобранных
моделей. Возможно, самым важным открытием современной физики
частиц является калибровочный принцип. В соответствии с этим прин-
принципом все взаимодействия в природе возникают из лагранжианов, ин-
инвариантных относительно локальных преобразований симметрии. За-
Замечательным образом это требование определяет низкоэнергетическую
структуру лагранжиана.
Первым (и самым сложным) примером этого явления была общая
теория относительности, в которой из-за гравитационного поля разре-
разрешались различные лоренцевы повороты в различных точках. Вторым
(и самым простым) примером была квантовая электродинамика, с абе-
левой калибровочной группой (которая отвечает произволу в фазе вол-
волновой функции электрона). Наконец, есть поля Янга-Миллса, которые
считаются ответственными за сильные и слабые взаимодействия. Из-
Изучение динамики калибровочных полей — самая важная задача совре-
современной физики.
Пользуясь аналогиями, описанными в предыдущем разделе, мы
сначала исследуем некоторые классические системы, а затем переве-
переведем результаты на язык теории частиц.
1.3. Дискретные глобальные симметрии
Мы начнем со случая глобальной (не калибровочной) симметрии.
Простейший пример дает хорошо известная модель Изинга. Ее статис-
статистическая сумма имеет вид:
AЛЗ)
х,6
Здесь х обозначает узел кубической решетки, <5 — единичный вектор,
соединяющий этот узел с одним из его ближайших соседей, а перемен-
переменная ах принимает значения ±1. Ясно, что эта система инвариантна

1.3. Дискретные глобальные симметрии 13
относительно группы Z2: ах —>• — ах. Если размерность ж-пространства
превышает 1, у системы A.13) имеется две фазы. В высокотемператур-
высокотемпературной (маленькие /3) фазе 7г-симметрия не нарушена и дальний порядок
отсутствует. Я имею в виду следующее. Рассмотрим большую, но ко-
конечную систему и зафиксируем значение ах на ее границе В:
<тх\*ев = 1. A.14)
Тогда среднее значение (сгх) внутри системы будет стремиться к нулю
при неограниченном увеличении размеров системы. Чтобы доказать
это, вычислим корреляционную функцию в пределе малых /3. Имеем
A.15)
(в этой формуле мы разлагаем экспоненту в ряд по /3 и оставля-
оставляем первый ненулевой вклад, который связан с цепочкой произведе-
произведений C(crx(Tx+s) вдоль прямой линии, соединяющей точки 0 и R). Таким
образом, корреляционная длина, равная log~1(l//3), мала, и, следова-
следовательно, граничные условия слабо влияют на состояния внутри системы.
Для малых /3
(<?o"\r) = %
(ах) ~ е-ы°вA/0) -^ 0 A.16)
L—юо
(L — размер системы).
Рассмотрим теперь случай больших /3 (низкотемпературная фаза).
Максимальный вклад в A.13) на этот раз вносит конфигурация со все-
всеми ах = 1. Вероятность переворота спина по порядку величины рав-
равна e~4DP, так что следует ожидать, что
(ах) = 1-0 (е-4*3*) . A.17)
Здесь D — размерность пространства, a 2D равно числу ближайших
соседей. Однако выражение A.17) не вполне справедливо. Для D = 1 эн-
энтропийные эффекты полностью разрушают упорядочение при всех /3.
Чтобы увидеть, как это происходит, исследуем одномерную цепочку
Изинга. В основном состоянии все спины повернуты вверх. Общая кон-
конфигурация может быть задана указанием тех ребер, которые соединя-
соединяют противоположно ориентированные спины. Если число таких ребер

14 Глава 1
равно п, то энергетический множитель равен е~2/3п, но число конфигу-
конфигураций с таким п составляет 2(Nl/n\(N — n)\) (N — полное число ребер),
и в результате
Z = V2 „ Nl ,-2^". A.18)
^ n!(iV-n)! v '
Видно, что среднее значение и по порядку величины равно Ne~2@, и,
следовательно, средняя корреляционная длина rc ~ N/n ~ e2/3. Поэтому
при любой величине /3 влияние граничных условий пренебрежимо ма-
мало и спонтанная намагниченность (<т) равна нулю. В двумерном случае
простое и важное рассуждение, принадлежащее Пайерлсу, показывает,
что дальний порядок выживает при больших /3. Суть дела состоит в
следующем. Рассмотрим «каплю» перевернутых спинов, погруженную
в «море» спинов, которые смотрят вверх. Если граница капли имеет
длину L, то энергетический множитель для такой конфигурации ра-
равен e~2@L. В то же время число петель длины L на решетке ведет себя
как CL (С — некоторая константа); ниже мы обсудим это комбина-
комбинаторное утверждение во всех подробностях. Поэтому, если /3 > -logС,
то рождение таких чуждых капель сильно подавлено и в системе есть
дальний порядок. При /3 < ^logC, наоборот, выгодно рождение ка-
пель, разрушающих дальний порядок. Аргументация в случае D > 2
аналогична. Вывод состоит в том, что для систем с Z2 симметрией
при D ^ 2 имеется фазовый переход между фазами со спонтанно на-
нарушенной (ферромагнитная) и с восстановленной (парамагнитная) сим-
симметрией. Сходным образом можно рассмотреть более сложные дискрет-
дискретные группы, например, Ър. При этом фазовая структура более богата,
и мы отложим обсуждение таких систем.
Теперь мы более подробно объясним, какое отношение имеет ка-
качественное поведение модели Изинга к квантовой теории поля. Будет
доказано, что непрерывный предел квантовой теории поля с лагранжи-
лагранжианом
? = ±(ада-*м, AЛ9)
v(<p) =v(-<p),
описывается непрерывным пределом модели Изинга более или менее
независимо от конкретного вида потенциала v((p). Причина этого явле-
явления состоит в том, что вблизи фазового перехода второго рода, когда
решеточная система выглядит как непрерывная из-за большой корре-
корреляционной длины, ее поведение обладает замечательными свойствами
универсальности. Как правило, изменение решеточного взаимодейст-
взаимодействия приводит к изменению температуры перехода, но не меняет корре-

1.3. Дискретные глобальные симметрии 15
ляционные функции, выраженные через корреляционную длину гс. Ни-
Ниже мы объясним эту универсальность с помощью операторной алгебры.
Пока же ограничимся более простым рассуждением. Прежде всего, опи-
опишем диаграммную технику для вычисления корреляционных функций
модели Изинга. Справедливы следующие соотношения:
Z =
tp=O
A.20)
I /Cx.x' = ?.8x.x'-
Мы получили стандартное функциональное представление для фейн-
мановских диаграмм со свободным пропагатором /3/Сх,х' и вершинами,
определяемыми свободным потенциалом logBchy>). Определим дайсо-
новскую собственно-энергетическую функцию Е как сумму диаграмм,
не допускающих разбиения на части, связанные единственной линией
(одночастично-неприводимых диаграмм). Для точного пропагатора G
поля tp имеем уравнение Дайсона (в импульсном представлении)
(/ВДГ () A.21)
S(p)= + + +....
При общих значениях /3 сингулярности по р в A.21) имеются
при \р\ ~ 1. Это означает, что корреляционная длина по порядку вели-
величины равна шагу решетки. В такой ситуации нет никакой вращатель-
вращательной симметрии и универсальность отсутствует. Однако должна сущест-
существовать температура фазового перехода /Зс, определяемая условием
1 = /Зс/С@)Е@). A.22)
В этой точке имеется сингулярность при р = 0, и корреляцион-
корреляционные функции ведут себя степенным образом. Разлагая К,(р) по р при
|/3 - AС\ < /Зс, имеем

16 Глава 1
(здесь z ~ 1 — постоянная, которую мы в дальнейшем включаем в
определение поля ip; т ~ |/3 — /Зс|//Зс). Уравнение A.23) позволяет легко
оценить ситуацию в критической точке. Возьмем затравочную функ-
функцию Грина Go(p) = 1/(р2 + т) и вычислим первую диаграмму для Е:
ЕA)=
J V +т
Мы видим, что при D > 4 вклад ?A) пренебрежимо мал по срав-
сравнению с р2 + т; при D = 4 поправка имеет относительный поря-
порядок log(l/r), а при D < 4 имеются очень большие степенные поправки.
Аналогичная оценка диаграмм более высокого порядка показывает, что
при D > Dcr = 4 они несущественны. Более того, видно, что наиболее
сингулярные вклады связаны со взаимодействиями типа <р4, и можно
надеяться, что вклады старших степеней (р несущественны. Ниже бу-
будет показано, что это действительно так. Конкретный вид /СХ)Х< тоже не
важен. Мы видели, что достаточно удержать только член р2 в разложе-
разложении К,(р). Все эти рассуждения не являются доказательствами, но они
указывают путь в более сложных ситуациях и потому заслуживают
упоминания.
Мы пришли к следующему утверждению. Рассмотрим D-мерную
модель Изинга с короткодействующим взаимодействием
? = - у у/Сх,х'О-жоу.
х,х'
Пусть температура /3 близка к критической |(/3 — /Зс)//Зс| <S 1- Тогда
все корреляционные функции имеют тот же вид, что в полевой теории
с лагранжианом
С = \{д^J + \mlip2 + AovA A-25)
тоже определенной в .D-мерном евклидовом пространстве. Важно отме-
отметить, что параметр тп^ в A.25) должен быть выбран так, чтобы физи-
физическая масса удовлетворяла условию mphys =тСЛ2 (Л — обрезание
по импульсам). Это условие означает, что мы находимся в критичес-
критической области для теории A.25). Сама критическая точка отвечает значе-
значению nig = nig сг, при котором mphys = 0. Чтобы определить непрерыв-
непрерывный предел теории (или, другими словами, перенормировать ее), надо
перейти к пределу тп\ —>• тп\ сг и А2 -> оо таким образом, чтобы mphys
оставалась фиксированной. Если это возможно, мы получим теорию,
инвариантную относительно вращений, причем она не зависит от того,
как мы определим ее на масштабе обрезания.

1.3. Дискретные глобальные симметрии 17
Понятно также, что теория A.25) имеет две фазы при D > 1, в
одной фазе (ф) = 0, а в другой фазе симметрия нарушена и (ф) ф 0.
В случае D = 1 мы возвращаемся к самому первому нашему примеру
квантовой механики одной частицы в потенциале. Известно, что волно-
волновая функция основного состояния должна быть четной, и следователь-
следовательно (<?>) = 0. Это заключение совпадает с результатами нашего анализа
модели Изинга. Мы объясним это совпадение в главе, посвященной ин-
стантонам.
Как случилось, что теория с дискретными переменными ах = ±1
оказалась эквивалентной теории с непрерывным полем <р? Это можно
объяснить таким образом. Изменим шаг решетки, разбив исходную ре-
решетку на блоки и зафиксировав величины так называемых блок-спинов
(например, можно фиксировать суммы спинов, расположенных в вер-
вершинах каждого гиперкуба нашей решетки). Затем просуммируем по
всем конфигурациям с такими фиксированными значениями. В резуль-
результате получится эффективная энергия, зависящая от блок-спинов S, ко-
которые теперь уже не удовлетворяют условию S2 = 1. Повторяя мно-
многократно это преобразование, мы придем к эффективному действию,
зависящему от непрерывного поля (р.
Обычно в физике частиц считают фундаментальными лагранжиа-
лагранжианы типа A.25). Мне кажется, что правильными переменными на очень
малых расстояниях являются аналоги <т, поскольку именно в них за-
заключена квинтэссенция свойств симметрии. Различие между перемен-
переменными, однако, не видно на больших расстояниях, а теория на малых
масштабах (порядка планковской длины) пока не построена.
Последнее, что нам осталось объяснить про модель Изинга в этой
вводной главе, это ее гамильтонова формулировка. Для перехода к ней
разобьем .D-мерную координату ж на (D — 1)-мерную у и одномерное
«время» t: х = (у, t). Пусть константа связи во временном направлении
намного больше, чем в пространственных (универсальность позволяет
прибегнуть к этому приему, не изменяя критического поведения). Име-
Имеем
Z= ^ exP[f3i'^2<Ty,t<Ty+S,t)exp[Po'^2cry,tcry,t+iy A-26)
Эту сумму можно представить в удобном виде, введя так называемую
трансфер-матрицу Т. Она определена так:
({ау}\Т\{ау}} = fa^) ^

18 Глава 1
и имеет размер 2N x 2N, где N — число точек у. Из этого определения
сразу следует, что
Z = Tr(TL), A.28)
где L — длина решетки в ^-направлении. Поэтому для решения задачи
достаточно диагонализовать матрицу Т. Для наших целей можно еще
упростить A.27), используя тождество
е,, = ch/3o + (ayay)shC0 = еA + ау<ту) + ^A " Wv) =
= {{ay}\e^+e-^rl\{ay}).
A.29)
Здесь мы ввели матрицы Паули ту и состояния Цсгу}), удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнениям т^Цсгу}) = cry\{cry}). Если положить /3i <S 1, то
fa) Т,Уу+у})- A-30)
y,S y,8
Из этих двух соотношений получаем
T = eNI3°(l+H),
У y,S
Критическая точка исходной модели отвечает значениям парамет-
параметров, при которых исчезает щель в спектре Н1.
1.4. Непрерывные абелевы глобальные симметрии
Следующей в порядке возрастания сложности будет система с
глобальной ОB)-симметрией. Вместо переменных а = ±1 надо по-
поместить в каждую вершину решетки двумерный единичный вектор
п = (cos a, sin а). Энергия равна
? = - ^/СХ;Х'ПхпХ' = -^/СХ;Х' cos(ax-av), -тг < ах ^ тг. A.32)
х,х' х,х'
1Это условие подразумевает, что е 2^° ~ /3± <С 1. Поэтому достаточно брать Н
в линейном по Ту приближении.

1.4- Непрерывные абелевы глобальные симметрии 19
Статистическая сумма определяется как
Z= fj[daxe-fie^l A.33)
Можно использовать тот же прием, что и в случае модели Изинга, и пе-
перейти от A.33) к теории непрерывного комплексного поля ф = ф\ + ъфч-
Для этого напишем
Gо — функция Бесселя). Повторив рассуждения из предыдущего раз-
раздела, можно убедиться, что теория A.33) попадает в один класс уни-
универсальности с теорией, описываемой лагранжианом
С = д^дрф + т2оф*ф + 1Мф*фJ. A.35)
И в этом случае при D = 1 нет фазового перехода, а при D ^ 2 име-
имеются две различные фазы. Существенным отличием от модели Изинга
является наличие бесщелевых возбуждений при всех /3 > /Зс, что гаран-
гарантируется теоремой Голдстоуна. Физический смысл этих возбуждений
очень прост. Пусть симметрия нарушена и (ф) ф 0 (мы увидим, что
это происходит при D ^ 3), тогда состояния с различной ориентаци-
ориентацией, (ф) = ега(ф), должны иметь одинаковую энергию. Если образовать
состояние с медленно меняющейся фазой а(х), то его энергия будет
стремиться к энергии вакуума при уменьшении волнового вектора до
нуля. Поэтому в спектре не должно быть щели. Чтобы показать это
более формально введем сохраняющийся ток
для которого выполняется тождество Уорда
(М*)ФШ = М(х - У)Ш)-

20 Глава 1
В импульсном представлении оно имеет вид
ч^МчШ-ч)) = @(о)>. A.38)
Переходя к пределу q —>• 0, заключаем, что среднее {Jn{qL>{—q)) должно
быть сингулярно в этом пределе. Особенность имеет вид
При D = 2 ситуация более хитрая. Ясно, что в этом случае пропагатор
поля п в модели A.33) не может иметь голдстоуновского полюса. В
самом деле, так как
1 = <п2@)> = / -^(n(q)n(-q)), A.40)
J Bтг)
такой полюс в правой стороне равенства привел бы к противоречию в
инфракрасной области. Ответ состоит в том, что сингулярность смяг-
смягчается. В этом случае нет также наивного параметра порядка и насто-
настоящего нарушения симметрии: (п) = 0. Тем не менее, фазовый переход
при некотором /Зс происходит и наблюдаемые свойства двух фаз силь-
сильно отличаются. В дальнейшем мы подробно обсудим эту теорию. Мы
столкнулись здесь со свойством, характерным для всех непрерывных
симметрии. В таких системах имеются две критические размернос-
размерности — верхняя (D = 4), в которой флуктуации в точке фазового перехода
становятся несущественными, и нижняя (D = 2), в которой голдсто-
уновские бозоны начинают сильно взаимодействовать друг с другом.
1.5. Неабелевы глобальные симметрии
Имеется несколько неабелевых обобщений предыдущих моделей.
Наиболее прямое состоит в том, чтобы рассмотреть то же выраже-
выражение A.32) для энергии, но считать единичные векторы пх TV-мерными.
В этом случае группой симметрии будет O(N). Наибольшее качест-
качественное различие между абелевым и неабелевым случаями имеется
при D = 2. Из-за сильного взаимодействия голдстоуновских бозонов
они приобретают энергетическую щель при всех значениях /3, и в не-
абелевой системе фазовый переход вообще отсутствует. На предвари-
предварительном этапе обсуждения можно объяснить эту качественную разни-
разницу так. В непрерывном пределе лагранжиан A.32) для N = 3 имеет
вид
с ~ (д^пJ = (д^вJ + sin2 в{д„фJ A.41)

1.5. Неабелевы глобальные симметрии 21
(здесь в, ф — полярный и азимутальный углы). Из A.41) следует,
что амплитуда рассеяния голдстоуновских бозонов с характерными им-
импульсами к пропорциональна к2: F ~ к2. Первая радиационная поправка
к этой амплитуде дается диаграммой
kD~2 при Бф2, A.42)
^logi при D = 2.
Последняя оценка — следствие логарифмической расходимости безраз-
безразмерных интегралов. Это показывает, что взаимодействие при D = 2
оказывается сильным в инфракрасной области (в абелевом случае это
не так, там F ~ к4).
Чтобы увидеть последствия этого факта, потребуется более слож-
сложный анализ. Мы посвятим ему отдельную главу.
При D > 2 в системе имеется фазовый переход и спонтанное нару-
нарушение симметрии.
Другое важное неабелево обобщение состоит в том, чтобы при-
приписать каждому ребру решетки элемент группы. Рассмотрим матри-
матрицу g € G, где G — компактная группа Ли. Энергия определяется фор-
формулой
? = ~ ? Kx,a,X',pTr(g-^gX',p). A-43)
Статистическая сумма равна
Z = I П Me*,**) e~pe A.44)
х,а
(dfi(g) — мера Хаара на группе).
Энергия ? инвариантна по отношению к G x G преобразованиям,
описываемым формулой
gx,a -»• ugx,av; u,v eG. A.45)
Качественные свойства этой теории такие же, как и у O(N) модели.
Существует множество других неабелевых моделей, в которых по-
поля принадлежат не самой группе, а фактор-пространству G/H. Некото-
Некоторые интересные свойства этих теорий мы обсудим позднее.

22 Глава 1
1.6. Дискретные калибровочные симметрии
Начнем с дискретной калибровочной группы. Основными перемен-
переменными будут а = ±1. Но на этот раз они сопоставлены не вершинам, а
ребрам решетки. Если обозначить ребро парой векторов (х,а), в кото-
которой х — начальная вершина ребра, a a — его направление, то выраже-
выражение для энергии имеет вид
? = - 2_^ О'х,аО'х+а,рО'х+Р,аО'х,Р A.46)
х,а,Р
(через а обозначен единичный вектор в направлении а). Правило, по
которому образовано выражение A.46), достаточно очевидно. У нас есть
«1-формы» или «векторные потенциалы» аХуСХ, сопоставляемые ребрам.
Затем берем четыре ребра, образующих «плакет», и перемножаем соот-
соответствующие потенциалы. В результате получается «2-форма» или «на-
«напряженность поля», которая сопоставляется данному плакету. В A.46)
записана сумма по всем плакетам. Самым замечательным свойством
этой конструкции является калибровочная инвариантность построен-
построенных 2-форм. Если сделать преобразование
&х,а -»• %ff|t,Q%+Q A-47)
(с Цх = ±1): то напряженность поля не изменится:
/х,а/3 = &х,а&х+а,рО'х+13,аО'х,р ~^ Jx,a0-
Поэтому действие обладает симметрией (Z2)N, где N — число вершин
решетки. Поэтому, если в случае глобальной Z2 симметрии энергия ?
имела в точности два вырожденных минимума (когда все ах = +1
или —1), то в калибровочном случае вырождение огромно: всякая кон-
конфигурация, являющаяся «чистой калибровкой»
&х,а =VxVx+a, A-48)
при любом выборе {г)х} оказывается основным состоянием с минималь-
минимальной энергией.
Эти специальные свойства означают, прежде всего, что в подоб-
подобных системах не может быть параметра порядка, (ах,а) = 0, и, более
того, только калибровочно-инвариантные величины могут быть отлич-
отличны от нуля. Это следует из того факта, что, фиксируя значения ах>а
на границе нашей системы, мы не можем испортить калибровочную
инвариантность внутри нее. Все это не оказывает сколько-нибудь су-
существенного влияния на фазовую структуру калибровочных систем.

1.7. ОB) -калибровочные системы 23
Различные фазы легко определяются по разному поведению калибро-
вочно-инвариантных корреляционных функций. Ситуация здесь напо-
напоминает ту, с которой мы столкнулись в двумерной модели с глобаль-
глобальной ОB)-симметрией, где фазовый переход второго рода происходил
без явного нарушения симметрии.
Физические свойства 22-калибровочной системы таковы: при
D = 2 эта модель точно решается и эквивалентна набору невзаимо-
невзаимодействующих друг с другом D = 1 моделей Изинга (это следует из то-
того, что преобразованиями A.47) можно добиться, чтобы все <тхд = 1),
и потому не имеет фазового перехода. При D = 3 мы покажем, что
эта теория эквивалентна трехмерной модели Изинга (с помощью ду-
дуальности Крамерса-Ваннье). Эта модель представляет очень большой
интерес, поскольку она описывает большинство D = 3 фазовых перехо-
переходов в природе. Мы посвятим ее изучению специальную главу. Наконец,
при D ^ 4 численный анализ 2г-моделей показывает, что у них должен
быть фазовый переход первого рода. Это означает, что корреляционная
длина никогда не становится бесконечной и теория не имеет непрерыв-
непрерывного предела.
1.7. ОB)-калибровочные системы
В этом случае система задается сопоставлением единичных век-
векторов (которые можно записать в комплексном виде) каждому ребру
решетки: фх<а = егЛ*-а(—тг < Аха ^ тг). Выражение для энергии имеет
вид
(L49)
os(^X;Q + Ax+a^ - Ax+(iya - AXtp).
х,а,Р
Энергия A.49) инвариантна относительно преобразований
Фх,а -»• е^фх,ае-{ч>^' A.50)
или
Ах,а -»¦ Ах,а + (рх - 1рх+а
(с произвольными {ipx}). Формальный непрерывный предел A.49) сов-
совпадает со знакомым выражением
- дрАа.

24 Глава 1
Должны ли мы заключить из этого, что непрерывным пределом нашей
модели является свободное поле Максвелла? Чтобы понять, что проис-
происходит на самом деле, сравним эту ситуацию с описанной в случае A.32).
В том случае энергия после формального перехода к непрерывному пре-
пределу приобретала вид
? = const + \{д11аJ. A.52)
Она описывала безмассовое скалярное поле — голдстоуновское поле,
связанное с нарушением симметрии. В том абелевом случае возмуща-
возмущающие взаимодействия (описываемые опущенными членами ~ (д^аL)
были, как мы видели, несущественны. Но в главе, посвященной инстан-
тонам, мы покажем, что из-за непертурбативных эффектов, связанных
с вихрями, существует фазовый переход, после которого поле а приоб-
приобретает массу. Поэтому следует заключить, что при /3 > /Зс система дей-
действительно описывается безмассовым свободным голдстоуновским по-
полем; в критической области |/3 — /Зс| <S /Зс возникает сложно взаимодей-
взаимодействующая непрерывная теория с безмассовыми и массивными части-
частицами, и при /3 < /Зс безмассовые частицы пропадают. Все эти эффекты
непертурбативные. Отметим еще одно интересное явление при D = 2:
строго говоря, здесь нет спонтанного нарушения симметрии, и поле
из A.35) обладает свойством
(ф) = 0. A.53)
Тем не менее, безмассовые голдстоуновские моды, описываемые фа-
фазой а(х), имеются и исчезают в точке фазового перехода. Один из пу-
путей, позволяющих понять это, основан на представлении
ф(х) = p(x)eia{x\ A.54)
Можно показать, что
ГО, /3 < /Зс;
</>(*)> v—И ' а я A-55)
v-юо (_ const, /3 > /Зс
(V — объем системы). Все это имеет место и в случае A.49), A.51).
Если D = 4, то при больших /3 получается теория свободных фото-
фотонов. Видно, что в некотором смысле фотоны являются голдстоуновски-
ми бозонами, связанными с калибровочной инвариантностью, хотя эта
инвариантность, строго говоря, не нарушается. Если уменьшать /3, то
при некотором /Зс из-за инстантонных эффектов произойдет фазовый

1.8. Неабелевы калибровочные теории 25
переход. При /3 < /Зс в теории будут только массивные возбуждения.
При D = 3 ситуация еще более интересная. Будет показано, что в этом
случае непертурбативные эффекты истребляют фотоны при всех /3 и
имеется только одна массивная фаза. Таким образом, формальный не-
непрерывный предел A.51) не имеет никакого отношения к делу. Это
только один из множества примеров, когда из-за квантовых поправок
эффективный лагранжиан в корне отличается от классического.
Остается сказать, что при D = 2 калибровочная модель тривиаль-
тривиальна, а при D > 4 в ней, видимо, имеется фазовый переход первого рода.
1.8. Неабелевы калибровочные теории
В этом случае мы сопоставляем каждому ребру матрицу из неко-
некоторой компактной группы Ли G: ВХуа € G. Энергия равна
5 = " Е \ [^{Bx,aBx+a^B-l^aB-^) + ее] . A.56)
х,а,0
Она инвариантна по отношению к преобразованиям
Вх,а ->¦ hx1BXyOlhx+a. A.57)
Для определения наивного непрерывного предела выберем Вх,а близки-
близкими к единичным
Вх,а ~ I + Ах,а A.58)
с малыми и медленно изменяющимися Ахос. Тогда
S = const - | / Тг F^dx, A.59)
Fafi = daAf3 - дцАа + [Aa, A0]. A.60)
Это выражение известно как действие Янга-Миллса. Так же как и для
глобальных симметрии при D = 2 в калибровочном случае при D = 4
возмущающее взаимодействие существенно. Это следует из оценок
\
A.61)
при D = 4

26 Глава 1
(здесь F — амплитуда рассеяния квантов Аа с характерным импуль-
импульсом к). Поэтому даже при больших /3 истинное ультрафиолетовое пове-
поведение не имеет никакого отношения к наивному непрерывному преде-
пределу. Мы приведем аргументы, показывающие, что фактически эта тео-
теория имеет энергетическую щель и довольно своеобразный спектр при
больших /3. Исследование этого предела является центральной задачей
теории сильных взаимодействий. Это связано с тем, что теория A.56)
достигает непрерывного предела только при /3 —>¦ ос, и имеются различ-
различные указания, на то, что этот предел в случае G = SUC) описывает
реальный мир сильных взаимодействий. Большая часть наших усилий
в последующих главах будет посвящена этой задаче.
Здесь нам остается сказать, что при D = 3 теория имеет анало-
аналогичные свойства: ни при каких /3 нет фазового перехода и при /3 —}¦ ос
имеется массивная фаза. При D > 4 имеет место фазовый переход пер-
первого рода.
Перейдем теперь к более систематическому изучению перечислен-
перечисленных выше теорий и их структуры.

Глава 2
Асимптотическая свобода и
ренормализационная группа
2.1. Главные киральные поля1
В этом разделе мы изучим предел больших /3 для D = 2 главного
кирального поля, которое описывается лагранжианом
4d BЛ)
J€G).
Как обсуждалось в главе 1, инфракрасное взаимодействие безмассовых
частиц, описываемое B.1), оказывается логарифмически сильным. Те-
Теперь наша цель — прояснить структуру этого логарифмического взаи-
взаимодействия.
Рассмотрим эффективный лагранжиан, возникающий из B.1) в од-
нопетлевом приближении. Чтобы найти его, представим квантовое по-
поле g{x) в виде
g(x) = h(x)gA(x), B.2)
где gci — какое-нибудь классическое решение уравнений движения, сле-
следующих из B.1),
W = О,
B.3)
Rn =du,g-g x.
Наша задача — проинтегрировать по полям h(x) с тем, чтобы полу-
получить эффективное действие, зависящее от gc\(x). Это более или менее
стандартный подход в теории поля, но он нуждается в некоторых по-
пояснениях. На первый взгляд, из-за инвариантности меры интегрирова-
интегрирования, Vh(x) = V(h(x)gci(xj), результат интегрирования по h(x) вообще
не должен зависеть от gc\(x). He вполне ясно также, какие типы клас-
классических решений разрешается рассматривать. На оба вопроса можно
¦"¦Главное киральное поле — это такое поле, которое определяет главное расслое-
расслоение над базовым пространством.

28 Глава 2
ответить, если рассмотреть систему конечного размера и фиксировать
значение g(x) на ее границе Г:
g(x)\r=g(O, Се г. B.4)
Мы исследуем функционал
e-b^)\ B.5)
r =s(O
где S — действие. Этот функционал — ничто иное как аналог шредин-
геровской волновой функции. Классический предел Н —> О отвечает ми-
минимуму действия S с граничными условиями Дирихле B.4). Интегри-
Интегрирование по h(x) в разложении B.2) отвечает учету квантовых флук-
флуктуации. Из сказанного ясно, что необходимо фиксировать граничные
значения h(x)
h(x)\r = I. B.6)
Итак, мы вычисляем интеграл по h{x) и получаем эффективное дей-
действие, зависящее от gc\(x). Следует понимать, однако, что gc\{x) не
является независимой переменной: классические решения находятся в
соответствии с граничными условиями g(?) (? — (D — 1)-мерная пере-
переменная). Таким образом, мы фактически вычисляем функционал B.5),
который, с одной стороны, как уже говорилось, аналогичен шрединге-
ровской волновой функции, с другой стороны, является аналогом ам-
амплитуд на массовой поверхности для теории в пространстве-времени
Минковского (они также зависят от (D — 1)-мерных полей).
Вся эта информация о граничных условиях и Ф-функционалах мо-
может оставаться в подсознании, пока мы интересуемся бесконечными
системами. В большинстве случаев не следует беспокоиться и можно
просто выражать gc\{x) через g(x).
Подставляя B.2) в B.1), получаем
B-7)
Поскольку мы интересуемся только однопетлевыми поправками к клас-
классическому действию, достаточно рассмотреть малые флуктуации мат-
матрицы h. Представим
Ь = еф~1 + ф+±ф2 B.8)

2.1. Главные киральные поля 29
(ф принадлежит алгебре Ли группы G). Подстановка B.8) в B.7) дает
? = ?с1 " А Ъ(д,фJ - -^ Тг (Дс>, 3„0]) + О«>3) B.9)
2ео 2eg
(мы опустили член Л^дцф, поскольку в силу уравнений движе-
движения д^Щ} = 0).
Квадратичный по Дд член в эффективном действии дается фейн-
мановской
1 fACD
B.10)
J BтгJ 8p2(p + qJ
Если выделить ультрафиолетово-расходящийся вклад из B.10), эф-
эффективное действие приобретает вид
х t;Cv(G) / м " + конечный вклад =
2 У BтгJ р4
/С„(С) \ 1 /" , -1 л 2
= —т—-log А • к / TrfOug'.Ougii) а ж + конечный вклад
\ ^ J 2 У
B.11)
(Л — обрезание в интеграле по импульсам).
Понятно, что если выразить все через перенормированную кон-
константу связи,
то эффективное действие будет конечно в заданном порядке. Результат
проведенного вычисления допускает две интерпретации. Одну, более
наивную, мы уже обсуждали: вычислялось эффективное действие, и
1Мы обозначим через tA генераторы фундаментального представления алгебры
Ли группы G, [tA,tB] = fABCtc; TrtAtB = -±дАВ;ф = фЧА; Дм = RAtA. fABC —
структурные константы этой алгебры. Отметим, что fABCfBCD = CV(G)SAD.

30 Глава 2
ультрафиолетовая расходимость в нем могла поглощаться переопреде-
переопределением константы связи. Другая интерпретация состоит в следующем.
Предположим, что имеется теория с обрезанием Л (которое по порядку
величины равно обратному шагу решетки). Если мы интегрируем по
полям h(x) с волновыми векторами в интервале Л < \р\ < Л, то мы
получаем эффективное действие, которое в низкоэнергетическом пре-
пределе снова имеет вид B.1), но с перенормированным значением ё^е^(А)
константы связи е2, = ед(Л):
B.13)
Эта формула следует непосредственно из B.11), если область интегри-
интегрирования по р ограничена условием Л < \р\ < Л. Мы заключаем, что
теория с обрезанием Л и голым зарядом е2, должна быть эквивалентна
(для малых импульсов р « Л) теории с обрезанием Л и специально
подобранным новым голым зарядом ё2,. Это утверждение называется
перенормируемостью. Формула B.13), как ясно из ее вывода, верна при
условии, что
e2log4<l; е2<1. B.14)
Л
Ничто не мешает повторению этой процедуры и переходу от Л к Л < Л
и т. д. Совокупность таких преобразований параметров обрезания од-
одновременно с константами связи е2, называется ренормализационной
группой. Самое важное следствие перенормируемости состоит в том,
что она контролирует зависимость различных физических величин от
импульсов. Рассмотрим для примера поведение эффективного заря-
заряда е2(р) для флуктуации с импульсом р. Эту величину можно опреде-
определить по-разному. Одна из возможностей состоит в том, чтобы связать
ее с четырехточечной функцией со всеми импульсами, равными по мо-
модулю р. Имеется множество других возможностей, и мы прокоммен-
прокомментируем этот произвол позднее. Поскольку в нашей теории нет никаких
размерных параметров, кроме Л, у нас должно быть
e2(p)=e2(\og(A/p),el). B.15)
Выразим е2(р) через е2(/х), где /х — некоторое фиксированное значение
импульса. Обращая B.15), найдем
B.16)

2.1. Главные киральные поля 31
Подстановка B.16) в B.15) дает
е2(р) = e2(log(p//4e2M,log(A//x)). B.17)
Перенормируемость означает прежде всего то, что B.17) не зависит от
последнего аргумента. Это объясняется тем, что изменение Л может
быть скомпенсировано изменением е2, так, чтобы е2(р) не изменилось.
Следовательно,
e2(p) = e2(log(p//x),e2(/x)). B.18)
Мы видим, что е2(р), будучи выражено через е2(/х), не содержит ника-
никаких расходимостеи и не зависит от структуры теории на масштабах по-
порядка шага решетки. Но это еще не все. Еще одно ограничение на B.18)
вытекает из того, что точка /х совершенно произвольна. Поэтому точно
так же, как и в случае с Л, сдвиги /х должны компенсироваться изме-
изменением е2(/х). Это приводит к функциональному уравнению на е2(р),
которое можно легко разрешить. Именно, справедливо соотношение
е2(р) = /(log(p//i) + g(e2(p))), B.19)
где
f(g(x)) = x. B.20)
Функциональный вид B.19) есть явная запись указанного свойства:
сдвиг log(p/fi) компенсируется подходящим изменением е2(/х). Форму-
Формула B.20) следует из того, что е2(р)| _ = е2(/х). Соотношение B.19) ока-
оказывается очень сильным ограничением на зависимость эффективного
заряда от импульса. Оно не выполняется ни в каком фиксированном
порядке теории возмущений и позволяет получать непертурбативные
выражения.
Из B.19) следует, что в теории без размерных параметров имеет
место так называемая размерная трансмутация:
e2(p) = /(log(p/A)), A = /хе"^"». B.21)
Все величины зависят от универсальной корреляционной длины Л,
которую следует считать постоянной, когда шаг решетки Л стремит-
стремится к нулю. Никаких других произвольных параметров в теории нет.
(Последнее утверждение не всегда справедливо: есть теории с несколь-
несколькими эффективными зарядами, вроде безмассовой скалярной КЭД, где
физические величины зависят от отношений этих зарядов.) Чтобы уви-

32 Глава 2
деть, как B.19) улучшает теорию возмущений, перепишем это соотно-
соотношение в дифференциальной форме:
dlog(p//i) ^ ^'п B.22)
0(х) = f(g(x)).
Это уравнение Гелл-Манна-Лоу. Его решение можно разложить в ряд
по степеням logp//x:
е2(р) ~ е2(/х) + /3(е2(/х)) logp//x + O((logp//xJ). B.23)
С другой стороны, из B.13) следует, что
^^. B.24)
Сравнивая эти два результата, найдем
Наконец, решая уравнение B.22), получим
е2(р) = <?М . B.25)
1 , CV(G) 2, ,, р2
l + ^^e2(/x)log-
Легко проверить, что в отличие от B.24) выражение B.25) согласуется
с B.19) (причем f(x) = ?k/Cv(G)x). Другая полезная запись зависи-
зависимости е2(р)
е2(р) = ^ B.26)
(Л — обратный шаг решетки, р <S Л). Какова область применимос-
применимости B.25) и B.26)? Она определяется тем, что мы пренебрегли всеми
высшими степенями е2(р) в выражении для /3-функции. Поэтому усло-
условие применимости
е2(р) < 1. B.27)

2.1. Главные киральные поля 33
Реальное «улучшение» теории возмущений, достигнутое Гелл-Манном
и Лоу, состоит в том, что им удалось заменить разложение по степе-
степеням голого заряда е2,, который не обязан быть малым, разложением
по степеням е2(р), который действительно мал во многих интересных
ситуациях.
Например, можно переписать B.25) приближенно в виде
8 * B.28)
CV(G) log(p2/\2)
Ясно, что это правильное асимптотическое разложение для е2(р)
при р > А. Как мы увидим, в этой области удается вычислить кор-
корреляционные функции, поскольку эффекты взаимодействия малы. Эта
малость в ультрафиолетовой области носит название асимптотической
свободы. При р < А теория возмущений неприменима, и необходимы
качественно иные методы исследования. Мы обсудим их в следующих
главах.
Перейдем к вычислению корреляционных функций. Рассмотрим,
например,
V(x -y) = (Tv(g-1(x)g(y))). B.29)
Применим ту же тактику, что и раньше. Проинтегрируем по быстрым
флуктуациям с Л < \р\ < Л и используем ренормгрупповые соображе-
соображения. Итак, записываем
g(x) = e+Mgoix) ~ A + ф(х) + \ф2{х))&{х) B.30)
и интегрируем по полям ф с длинами волн в указанном интервале1
B.31)
Повторяя те же рассуждения, что и при выводе уравнения Гелл-
Манна-Лоу, получим из B.31) для
d(p)=p2D(p) B.32)
уравнение
|^2 B.33)
1Здесь мы полагаем tAtA = —Сч1. Для фундаментального представления груп-
группы G = SU(N) имеем С2 = (N2 - 1)/2N, Cv = N.

34 Глава 2
где
7(е2) = ^е2+О(е4). B.34)
Решая B.33), найдем окончательно
B.35)
при р > Л.
Естественно, эта формула справедлива лишь при р 3> А.
Мы уже говорили, что определение е2{р) неоднозначно. Этот про-
произвол приводит к неоднозначности /3-функции и 7-функции. Однако от-
ответ для корреляционной функции хорошо определен: неоднозначности
в определении /3 и 7 сокращают друг друга. Более того, универсальны
первые два коэффициента /3-функции. В этом можно убедиться, исполь-
используя определение е2(р). Возьмем, скажем,
ё2(р) = е2(р) + Cie4(p) + С2е6(р) + ... B.36)
и
de а Л i а „6 | fO ЧТ\
- pie + р2б + • • • • yZ.61)
Тогда, подставляя B.36) в B.37), получим:
dlogp/fi dlogp/ц
= (l+2Cr1e2+...)(/3ie4+/32e6 + ...) =
= /3ie4 + (/32+2C1/31)e6+ = B-38)
= /3i(e2 - Cie4J + (fo + 2Ci/3i)e6 + ... =
Коэффициент /Зз меняется, но в первых двух петлях /3-функция оказы-
оказывается универсальной. В тех случаях, когда несколько первых коэффи-
коэффициентов /3-функции обращаются в нуль, универсален первый неисчеза-
ющий коэффициент.
Таким образом, мы приходим к выводу, что ренормализационная
группа Гелл-Манна-Лоу является полезным средством исследования в

2.2. Модель п-поля 35
области малых эффективных зарядов. Чтобы использовать этот ме-
метод, надо вычислить коэффициенты при первых степенях logp//x в вы-
выражениях для физических величин. Это легко сделать в первом при-
приближении, но при переходе к старшим порядкам трудности возраста-
возрастают, поскольку оказывается необходимым выделить неглавные вкла-
вклады ~ logp/fi на фоне главных ~ (logp//x)n. В асимптотически сво-
свободных теориях ренормализационная группа дает порядок за порядком
разложение по обратным степеням \ogp/fi. Например, в двухпетлевом
приближении решение уравнения B.22) имеет вид
е(р)
р> А.
B.39)
Полезно помнить также выражение для обратной корреляционной дли-
длины А через затравочные параметры Л, во:
А = const • A(eg)/32//3ie1//3ieo. B.40)
Оно получается из соотношений
дХ . дХ del =
дА ^ де20 дА ' B-41)
А = Аф(е1)
(первое является ренормализационным уравнением, а второе следует
из соображений размерности). Уравнение B.40) указывает правильный
переход к непрерывному пределу теории. В асимптотически свободном
случае (/3i < 0) он дается условиями
е0 -)• 0, Л ->• оо, А ->• const. B.42)
2.2. Модель п-поля
В этом разделе мы рассмотрим другой важный пример асимпто-
асимптотически свободной системы с глобальной симметрией. Это теория по-
поля TV-мерного единичного вектора п, п2 = 1, с действием
2еЯ .¦¦, B-43)

36 Глава 2
Чтобы работать с ренормализационнои группой, положим
ЛГ-1
п(х) = A - Ф2)^т{х) + J2 <Раеа(х) B.44)
а=1
(здесь По (ж) — медленно меняющийся вектор, а {еа} ортогональны к
нему и друг к другу; (ра(х) — «быстрые» флуктуации с Л < |р| < Л).
Векторы (по, еа) связаны соотношениями
B-45)
Здесь Ва^ и А°? — некоторые потенциалы, характеризующие поле По;
соотношения B.45) вытекают из условий Поеа = 0 и еаеь = 6аь- Под-
Подстановка B.44) в B.43) дает
h [ШФ)р)
2е§ У " B.46)
+ (д^а - А?<рь + ВЦ\ - </>2I/2JК*-
Оставляя только квадратичные по ф члены, получаем
B-47)
Логарифмический вклад в перенормировку е2, связан со вторым чле-
членом в фигурных скобках в B.47). Интегрируя по ф с импульса-
импульсами А < \р\ < А, найдем
- (N - 1)] I -0^ = SabB - N) || log A;
+
ё2"е2+ 2.
B.48)

2.2. Модель п-поля 37
Повторяя рассуждения предыдущего раздела, получаем
е
е2И B.49)
Нетрудно найти и выражения для корреляционной функции
V[x - у) = (п(х)п(у)) B.50)
и функции 7(е2) в главном порядке
(п(ж)п(у))Л ^ (по(ж)по(у)>A - (</>2>л,л) =
B.51)
= (n0(a;)n0B/)>(l-^-ie2(A)logf '
2тг '
!) B.52)
Отметим, что поля А^ь не участвовали в нашем вычислении, посколь-
поскольку они входят в действие калибровочно-инвариантным образом. В ре-
результате они могут возникать в ответе лишь в комбинациях, содержа-
содержащих (F?bJ (F?b — янг-миллсовская напряженность поля. (F®bJ имеет
размерность 4 и не может содержать логарифмических расходимостей.
Существенная здесь калибровочная инвариантность отражает произвол
в выборе полей {еа} (напомним, что только поле п является физичес-
физическим).
Такого рода вычисления легко обобщаются на случай полей, при-
принадлежащих любому однородному пространству G/H. Пока мы разо-
разобрали случай Н = I и случай n-поля: п € SN = SO(N + l)/SO(n),
где SN — единичная сфера.

38 Глава 2
2.3. Неабелевы калибровочные поля при D = 4
В этой теории действие имеет вид
= --Ц f Tr F2v
ze0 J
B.53)
Следуя обычной процедуре, представим
Ай= Ай+ а„ B.54)
и разложим B.53) до квадратичных по ай членов
9 — 5— / Тг F2 d4r -
D - 2е2 У ""
- ^Tr d4x {(Vfial/-Vl/allJ + 2Flil/-[all,al/]} = B.55)
= S-\Tv f dAx {(VMa,J + 2F^ • [o^,ov] - (Va«aJ} •
(Здесь VMa^ = дйа„ + [Ай, а„].)
Теперь надо проинтегрировать по всем полям ад с импульса-
импульсами А < \р\ < А. Теперь нужно зафиксировать калибровку ад, потому
что из-за калибровочной инвариантности действия квадратичная фор-
форма B.55) имеет нулевые собственные значения. В самом деле, если
взять
то, согласно B.55), S*- ' = О для любой функции w. Это просто означа-
означает, что мы должны интегрировать по направлениям в функциональном
(о)
пространстве, ортогональным к а^ , т. е. тем, для которых
Тг I a^ dAx = 0. B.57)
Поскольку w — произвольная функция, ад должны удовлетворять усло-
условию
VMaM = 0. B.58)
Это аналог лоренцевой калибровки в КЭД. Более удобна для наших це-
целей фейнмановская калибровка, отвечающая прямому добавлению чле-
члена (УдЯдJ к B.55) (при этом сокращается последнее слагаемое в этом

2.3. Неабелевы калибровочные поля при D = 4 39
выражении). Хорошо известно, что добавление члена, фиксирующего
калибровку, должно сопровождаться введением духового детерминан-
детерминанта, который в случае фейнмановской и лоренцевой калибровок есть
просто det(V2). Окончательно получаем
f
det(V2) x
, , , B-59)
x exp l± TV / ((V^a^J + 2F/ll/[afi, а„]) d4x > .
Легко уяснить смысл всех членов в B.59). Если бы вклад Р^[а^, а„]
отсутствовал, то имелось бы просто четыре независимых поля ай, ин-
интегрирование по которым дало бы [det ~'2(V2)]4. После умножения на
det(V2) получилось бы [det ~'2(V2)]2. Это означает, что вместо четы-
четырех поляризаций поля ад имеется две, т. е. роль духового детерми-
детерминанта сводится к сокращению вклада двух нефизических поляризаций.
Другими словами, можно сказать, что имеются два сорта заряженных
частиц, движущихся во внешнем магнитном поле F^. Это приводит к
диамагнетизму Ландау (взаимодействию магнитного поля с орбиталь-
орбитальным движением), мы вычислим этот эффект чуть ниже. Сам по себе
он приводит к экранированию эффективного заряда, известному как
эффект «нулевого заряда». Последний член в B.59) описывает прямое
взаимодействие внешнего поля Рй„ со спином глюонов ад, приводящее
к парамагнетизму Паули. Как мы увидим ниже, этот эффект сильнее
диамагнитного, и в результате мы попадаем в ситуацию асимптотичес-
асимптотической свободы.
С логарифмической точностью два упомянутых эффекта могут
рассматриваться независимо. Начнем с первого из них. Во втором по-
порядке по F^u эффективное действие описывается диаграммами
BтгL B.60)
Выражение для П?* в B.60) получается из поляризационного оператора
безмассовой скалярной КЭД умножением на изотопический множитель

40 Глава 2
Множитель 2 в B.61) есть следствие двух физических поляризаций ай.
Вычислить щ?™ не составляет труда:
феа,аг) = _ 1 [ #Р BР + Я) „Bр + Я)и 1Д Г ^р
"" 4/ B7ГL p2(p + qJ +2 ""У B7r)V B.62)
Это равенство следует из сохранения тока, ql'Ir^a (q) = 0. Оно обес-
обеспечивает сокращение квадратичной расходимости в П^а . Вычисляя
след B.62) по fiv, достаточно следить только за членами, пропорцио-
пропорциональными q2:
1 (.2 q2+±pq + Ap2
~i Г
-4J
BтгL р4 \ 2A + 2pq/p2 + q2/p
d4p 1 / ,
Btt)V \ " р2 р2) 647Г2 ЬЛ2'
B.63)
Поэтому с логарифмической точностью диамагнитный вклад в пере-
перенормировку константы связи имеет вид:
)gy^ (Л<Л). B.64)
diam
Видно, что этот эффект приводит к уменьшению константы связи при
переходе к большим длинам волн. Физическая интерпретация состоит в
том, что в пространстве Минковского введенный в вакуум заряд экра-
экранируется виртуальными парами частиц и античастиц, точно так же
как в диэлектрической среде. В евклидовом пространстве также не со-
составляет труда объяснить знак B.64). Эффект второго порядка в общем
случае должен уменьшать эффективное действие (или свободную энер-
энергию, если пользоваться языком статистической механики). Это видно
из того, что

2.3. Неабелевы калибровочные поля при D = 4 41
(В этой формуле <р — любое поле, a V(tp) — любое возмущение с
(V(tp)) = 0.) Таким образом, знак в B.64) должен был быть отри-
отрицательным. Однако векторное поле входит в действие с дополнитель-
дополнительным множителем г (в евклидовом пространстве дополнительный мно-
множитель в амплитуде распространения скалярной частицы имеет вид
ехр{г §с Adi}, где С — траектория частицы). Во втором порядке это
приводит к появлению лишнего множителя г2 = — 1 и изменению знака
в B.65).
Из этого обсуждения ясно, что спиновый член в B.55) приведет
к возникновению вклада с отрицательным знаком в перенормировку
заряда. Этот парамагнитный эффект легко вычисляется
„(paramagnet) 1_ [ ^а (гЛ^Ь ( „\ d Ч
eff г»
8=0 B.66)
CV(G) ь л
167Г2 Og A
Складывая диамагнитный и парамагнитный вклады, получаем
JL = JL_!iCUG) л2.
ё2 е2 3 167Г2 ёЛ2
Теперь можно повторить все рассуждения, касающиеся ренормализа-
ционной группы, и убедиться, что неабелевы калибровочные теории
асимптотически свободны:
Gr) Iog(p2
Это известный результат Гросса, Вильчека и Политцера.
Нетрудно найти и различные калибровочно-инвариантные функ-
функции Грина на малых расстояниях. Как и прежде, они отличаются от
свободных множителями вроде (Iog(p2/A2)O, где j зависит от типа

42 Глава 2
функции Грина. Однако описанные выше методы совершенно неадек-
неадекватны при исследовании инфракрасной области р2 < А2, которая пред-
представляет наибольший физический интерес. Чтобы решить эту задачу,
перейдем к изложению совершенно другого подхода.

Глава 3
Приближение сильной связи
В предыдущей главе мы видели, как простые пертурбативные ме-
методы позволяют анализировать поведение асимптотически свободных
теорий на малых расстояниях. Причиной успеха была логарифмичес-
логарифмическая малость взаимодействия флуктуации с большими импульсами. В
области р ~ А, однако, это взаимодействие становится порядка едини-
единицы (наивно пользуясь формулой B.68), можно даже говорить о неогра-
неограниченном росте эффективного взаимодействия). Таким образом, что-
чтобы анализировать инфракрасную структуру теории, нужно развивать
какие-то непертурбативные методы. В этой главе мы опишем простей-
простейший (и во многих отношениях несовершенный) такой метод — раз-
разложение сильной связи. К сожалению, под этим именем фигурирует
разложение не по физической константе связи (которая действительно
бывает большой), а по затравочной, eg. На первый взгляд, это лишает
затею всякого смысла, поскольку мы выяснили ранее, что непрерыв-
непрерывный предел решеточной модели достигается, когда
0. C.1)
"° log Л л-
Тем не менее, разложение при больших е\ представляет интерес, по-
потому что имеются причины полагать, что в большинстве асимптоти-
асимптотически свободных систем отсутствует фазовый переход по вд. Если это
так, то качественные свойства спектра и корреляционных функций не
изменятся при переходе от малых к большим вд. В частности, массы
элементарных возбуждений не имеют сингулярностей по вд, и поэтому
их разложения по степеням 1/вд могут быть продолжены до достаточ-
достаточно малых значений вд. Мы не будем обсуждать эти вычислительные
проблемы и сосредоточимся лишь на качественных сторонах картины,
возникающей в пределе сильной связи. Хотя основной интерес для нас
представляют неабелевы калибровочные системы, мы начнем с более
простых случаев, так как всегда полезно рассматривать любую кон-
конкретную теорию в контексте более широкого класса моделей.

44 Глава 3
3.1. Модель Изинга
В этом разделе мы обсудим предел сильной связи (малых 0) в мо-
модели Изинга. Используя соотношение
C.2)
получим
{а} х,6 C.3)
Разлагая произведение в C.3), заметим, что вклад дают только чле-
члены с четным числом переменных а в каждой вершине. Каждое ребро
может вносить вклад 1 или Caxirx+s- Если во втором случае мы будем
проводить линию вдоль соответствующего ребра, то получится следу-
следующее диаграммное разложение для Z. Нарисуем всевозможные замк-
замкнутые пути на решетке. В каждой вершине может сходиться четное
число линий, а каждое ребро может быть пройдено не более одного ра-
раза. Правила построения корреляционной функции (<7о<тд) точно такие
же, только в точках 0 и R должно сходиться нечетное число линий.
Вклад каждого контура в сумму равен (L, где L — длина контура.
Интерпретация этих правил такова. Поскольку корреляции экс-
экспоненциально затухают (~ (\R\ при /3 -С 1), имеются массивные
возбуждения с щелью ~ log(l//3). При увеличении /3 (и умень-
уменьшении константы связи) массовая щель уменьшается. В некото-
некоторой точке /Зс число контуров длины L, по порядку величины рав-
равное exp(const • L), полностью компенсирует затухание (L. В этой точ-
точке происходит конденсация контуров — появляется конечная плот-
плотность линий. В корреляционных функциях этот фазовый переход
проявляется в том, что (<то<тл) —> const Это разложение по кон-
Я->оо
фигурациям линий типично для всех систем с глобальными сим-
метриями. Сами линии — не что иное, как мировые линии эле-
элементарных возбуждений. Мы продемонстрируем это более явно, вос-
воспользовавшись гамильтоновой формулировкой модели Изинга, давае-
даваемой A.31):
(u = e-P\v = 01). C.4)
Пределу сильной связи отвечает и>». В некотором смысле первый
член в C.4) является кинетической энергией, а второй — потенциаль-

3.1. Модель Изинга 45
ной (поскольку первый член описывает изменение наблюдаемой Ту во
времени).
В главном приближении основное состояние описывается волновой
функцией
I jl\ TT / 1 \ I a\ def Щ | )y + O\\)y F.0)
l0> = n(-iJ; W,= лт^ ¦
(Гильбертово пространство в нашей задаче образовано тензорным про-
произведением двумерных пространств для всех вершин у. Операторы ту
действуют как матрицы Паули в пространстве, отвечающем у, и как
единичные операторы — во всех остальных пространствах.) Энергия
основного состояния C.5) равна
Ео = -Nu. C.6)
Первое возбужденное состояние в главном приближении имеет вид
i*>=п (л;
уфу0 ^ 'У ^ ' УО
Эти состояния (нумеруемые векторами j/o) обладают энергией
Е1-Ео = 2м. C.8)
Таким образом, в главном приближении имеется невырожденное основ-
основное состояние и сильно вырожденный первый возбужденный уровень,
отделенный от основного состояния энергетической щелью 2м. Мы убе-
убедимся теперь, что в следующем приближении это вырождение снима-
снимается.
Обозначим второй член в C.4) через V. Первое, что необходимо
сделать, — это вычислить матричные элементы (y'|V|y). Из очевидных
соотношений
Т
\У) =
< |Ю1,№> Cm ^ г/г), C.9)
т3у№ = \у)
находим
(y'\V\y)=vY,Sy,v±s,
s C.10)

46 Глава 3
В то время как Щ описывает отдельные независимые спины, член V от-
отвечает перескакиванию возбуждений с одного узла решетки на другой.
Диагонализуя Щ + V, видим, что в первом порядке теории возмущений
собственные состояния гамильтониана имеют вид
C-и)
()
?(р) = Ег(р) -Ео =
Как и следовало ожидать, мы получили элементарные возбуждения с
конечной щелью, величина которой зависит от квазиимпульса р. Этот
вывод остается справедливым во всех порядках теории возмущений,
дающей разложение по степеням v/u. Как уже говорилось, в случае
модели Изинга это разложение начнет расходиться при определенном
критическом значении v. Это значение отвечает точке фазового пере-
перехода, в которой щель
Е1@)-Ео = 0. C.12)
Вблизи этой точки мы ожидаем (и покажем явно для случая D = 2),
что
т = Е1@) -Е0 «1
?(р) = (т2 + р2I/2 C-13)
при |р| < 1.
За точкой фазового перехода образуется конденсат возбуждений, и
разложение сильной связи неприменимо. В этой фазе нужно начинать с
обратного предела, рассматривая как возмущение первый член в C.4).
В нулевом приближении имеется строго упорядоченный вакуум
п
Из изложенного должно быть ясно, что контуры, появившиеся при ис-
исследовании евклидовой версии модели, — это просто мировые линии
частиц, которые мы исследовали в гамильтоновом подходе. Проследить
за соответствием между шредингеровской теорией возмущений для га-
гамильтониана и диаграммным разложением в евклидовом подходе было
бы интересным упражнением.

3.2. Непрерывные глобальные симметрии 47
3.2. Непрерывные глобальные симметрии
Начнем с абелева случая. Для перехода к пределу сильной связи
полезно использовать разложение, аналогичное C.2):
(In(f3) = i nJn(i0), Jn — функция Бесселя). Подставляя C.15) в выра-
выражение для статистической суммы, получаем
l
log
7Г
/ П"^
x,S
)} (зле)
В результате приходим к следующим графическим правилам для вы-
вычисления C.16). Снова имеется граф на решетке, причем каждой линии
сопоставляется ненулевое целое число п. Поток величины п сохраняется
(благодаря условию Х^й(Пж>|5~Пж-|5>|5) = ^)- ^то означает, например, что
когда три линии встречаются в одной вершине, то П1 + П2 + П3 = 0. Каж-
Каждому фрагменту пути мы сопоставляем множитель 1Пя> s(f3)/%(/3) < 1
и берем их произведение вдоль всего графика. Отметим, что в модели
Изинга действовали те же правила, только пх^§ принимали значения 0
и 1, и сохранение имело место по модулю 2. Для вычисления корреля-
корреляционной функции
^(@)(B))^ C.17)
(m — целое число) можно пользоваться теми же правилами, только
теперь
?("»!,« - nx-s,s) = mEx,R - Sxfi), C.18)
s
что означает наличие «источников» n-потока, расположенных в точ-
точках 0 и Д. Ответ для корреляционных функций опять состоит в том, что

48 Глава 3
они экспоненциально убывают при малых /3. Следовательно, мы ожи-
ожидаем, что в этой фазе имеются только массивные возбуждения. Стоит
переписать эту теорию в гамильтоновой форме. Для этого введем ан-
анизотропию во «временном» направлении:
-S = /30 ^ cos(^!/,< - <Py,t+i) +0i^2 cos(ipy,t - <py+s,t) C.19)
v y,s
(здесь у принадлежит (D — 1)-мерной решетке.) В пределе боль-
больших /Зо C.19) можно заменить на
-S = const- [dtlpo^H^r) -/3iI]C0S(^*-^+5,t)}- C.20)
J У V ' y,S
Сравнивая C.20) с A.10), мы видим, что получили действие в мнимом
времени для системы связанных ротаторов, расположенных в вершинах
решетки и описываемых угловыми переменными {уэу}. В вещественном
времени их лагранжиан имеет вид
2
с = Е f (ifr) + & Е cos^>*
У У,8
Переходя стандартным способом к гамильтониану, мы найдем
Н = 2в~ Е11 ~ &1 Е cos(fy - fy+s),
У У,$
C.22)
(Отметим аналогию этого выражения с C.4).) Предел сильной свя-
связи /?i/3o <S 1 отвечает пренебрежимо малой потенциальной энергии
в C.22):
C.23)

3.2. Непрерывные глобальные симметрии 49
Здесь {пу} — произвольный набор целых чисел; основному состоянию
отвечают все пу = 0. Первое возбуждение получается, когда какое-
то пУо = ±1. Оно отделено от основного состояния массовой щелью.
Действительно, в нашем приближении ротаторы не взаимодействуют.
Описанное элементарное возбуждение — это просто возбуждение одного
ротатора, расположенного в точке j/o- Как и в предыдущем примере,
учет потенциальной энергии приводит к перескокам между у и у + S:
? C-24)
Поэтому, как и в изинговском случае, имеются элементарные возбуж-
возбуждения с энергией, зависящей от квазиимпульса. Щель отлична от нуля в
любом конечном порядке по /3i/?o- Однако мы опять ожидаем появления
фазового перехода. Остановимся на структуре фазы с большими /3i/?o-
В то время как при малых /3i/3o имелся набор практически не связан-
связанных ротаторов, при больших /3i/3o все эти ротаторы жестко скреплены.
Если рассматривать их как нечто подобное твердому телу, спектр воз-
возбуждений будет иметь вид
Е = ?, C.25)
где L = X) 'и — полный угловой момент, а / — момент инерции. В
у
жестко связанной фазе / должен быть пропорционален числу ротато-
ротаторов N: I ~ N. Если ротаторы слабо взаимодействуют друг с другом,
то / ~ 1 (независимое вращение). Фазовый переход по /3i/3o является
переходом между этими двумя режимами. В фазе с малыми /3i/3o в
спектре имеется щель, а в фазе с большими /3i/3o щель отсутствует (в
пределе N —> оо). В следующей главе мы обсудим этот фазовый переход
более подробно.
В неабелевом случае режим сильной связи мало отличается от опи-
описанного выше. Например, в случае n-поля гамильтониан имеет вид
я= at ?'2-& ?("»"»+«)• C-26)
У V,S
Здесь 1у — стандартный оператор углового момента; собственные зна-
значения 12у равны 1A + 1) (с кратностями 21 + 1). Все выводы остаются
прежними, только элементарные возбуждения на этот раз оказывают-
оказываются векторами (для них / = 1) и, как будет объяснено ниже, фазовый
переход при D = 2 отсутствует. Последнее очень важно. Это значит,

50 Глава 3
что и в пределе /3i/3o —> оо (или е2 —>¦ 0) сохраняется щель в энерге-
энергетическом спектре. Это может быть интерпретировано как результат
сильного взаимодействия голдстоуновских бозонов. На основании раз-
разложения сильной связи мы ожидаем, что лагранжиан
?=-1-(ЯпJ C.27)
описывает массивные частицы с изотопическим спином 1. Размерная
трансмутация, обсуждавшаяся в главе 2, предсказывает, что все ампли-
амплитуды рассеяния зависят только от pj/m (где pj — импульсы частиц)
и не содержат никаких свободных параметров (типа констант связи).
Все эти предположения подтверждаются точным решением теории.
Последняя модель с глобальной симметрией, которую мы рассмот-
рассмотрим, — главное киральное поле. Лагранжиан равен
У V,S
Он описывает набор симметричных волчков (в случае g € SUB)). Га-
Гамильтониан имеет вид
Н = Е W^ ~ Т Е ^ (^rf-) + -с} • C.29)
У У,8
Здесь 1у — оператор левых поворотов, который в случае группы SUB)
выражается через производные по углам Эйлера (см. любой учебник
по квантовой механике). Собственные значения 1^ снова равны /(/+ 1),
но их кратности теперь B1 + IJ из-за того, что C.29) имеет группу
симметрии SUB) x SUB). Волновые функции элементарных возбужде-
возбуждений преобразуются по фундаментальным представлениям обеих групп.
В случае SUB) эти возбуждения преобразуются как векторы относи-
относительно 50D) ~ SUB) х SUB). Этот вывод подтверждается точным
решением.
3.3. Калибровочные симметрии
Мы видели, что в режиме сильной связи все системы с глобальны-
глобальными симметриями выглядят практически одинаково. Во всех случаях
имеются массивные точечные возбуждения, распространяющиеся по

3.3. Калибровочные симметрии 51
решетке. В неабелевых двумерных теориях эта картина остается пра-
правильной даже при малых константах связи.
В случае калибровочных систем предел сильной связи снова не
очень чувствителен к виду симметрии. Однако калибровочная инва-
инвариантность приводит к качественно новым особенностям, к описанию
которых мы переходим.
Рассмотрим сначала разложение статистической суммы в Z2 слу-
случае при малых /3. Поскольку каждый член в выражении для энер-
энергии A.46) сопоставляется какому-то плакету, разложение имеет вид
суммы по наборам плакетов, таким что по каждому ребру пересекает-
пересекается четное число плакетов. Следовательно, вместо замкнутых путей мы
получаем нечто вроде замкнутых поверхностей. Вклад данной поверх-
поверхности в статистическую сумму равен (th/З), где А — число плакетов
или просто площадь поверхности. Для более сложных калибровочных
групп типа 0B) или SU(n) разложение при малых /3 выглядит точно
так же, только плакеты снабжены еще сохраняющимися квантовыми
числами, подобно тому, как это было в случае путей при описании сис-
систем с глобальными симметриями.
Таким образом, имеется весьма общее правило, согласно которо-
которому разложение сильной связи для калибровочных систем мы можем
получить из разложения для соответствующей системы с глобальной
симметрией, заменяя пути на поверхности. Физический смысл этого
правила проясняется при переходе к гамильтонову описанию. Перейдем
к гамильтониану в случае ОB)-теории (остальные случаи рассматри-
рассматриваются аналогичным образом). Как обычно, для этого надо ввести ан-
анизотропию во «временном» направлении в формуле A.49). Получаем:
у'а C.30)
+ /3i ^ (C0S(AV,oc + АУ+ос,/3 - Ау+/3,ос - Ау,р) - 1) •
У,ос,0
Здесь а = 1,... ,D — 1; у принадлежит (D — 1)-мерной решетке, а че-
через фу обозначена временная компонента вектор-потенциала Ау$. Пер-
Первый член в C.30) получается разложением косинуса в A.49) и перехо-
переходом к непрерывному времени. Чтобы перейти к гамильтониану, введем
канонический импульс
^ C.31)

52 Глава 3
Гамильтониан равен
Н = 2_^ Е>у,аАуос — С =
2/Г
»,« У,<х,Р
2 у(ЕУ,<* ~ ЕУ~а,а)-
C.32)
Так как в лагранжиане отсутствуют производные фу по времени, надо
просто минимизировать гамильтониан Н по этому полю. Отсюда полу-
получается условие
Ту = $^(Я„,а - Еу-а>а) = 0. C.33)
а
С учетом этого условия гамильтониан равен
Vi4Yll X)i/3). C.34)
Отметим, что операторы Ги являются генераторами калибровочных
преобразований поля АУуОс. В самом деле,
^2^ =шу-шу+а. C.35)
Z
Поэтому
[Г„,Я]=0. C.36)
В квантовой теории следует подставить
i дАУуОС
в гамильтониан и решить уравнения
ГИФ = 0.
Режим сильной связи отвечает пренебрежимо малому второму, потен-

3.3. Калибровочные симметрии 53
циальному члену в C.34). Общее решение C.37) в таком приближении
имеет вид
Ф = exp(i ^ пу,аАу,а),
Уа C.38)
причем целые числа пу^а удовлетворяют условию сохранения
^{пу,а - п„-а<а) = 0. C.39)
Вакуумное решение описывается набором пуа = 0. Возбужденные со-
состояния сопоставляются замкнутым путям на решетке с условием со-
сохранения Пу^а в каждой вершине. Получился тот же набор путей, что
при описании модели с глобальной 0B)-симметрией, но на этот раз ин-
интерпретация совершенно иная. Теперь каждый путь описывает кванто-
квантовое состояние. В пределе сильной связи энергия этого состояния дает-
дается формулой C.38) и пропорциональна длине пути. Рассматривая рас-
распространение таких петель во времени, мы получим мировые поверх-
поверхности, встретившиеся нам в евклидовом описании теории. С физичес-
физической точки зрения петли образованы фарадеевскими силовыми линиями
(из C.38) видно, что пу^а — это собственное значение электрического
поля ЕУуО). Условие C.39) выражает сохранение электрического потока
(так и должно быть, поскольку мы рассматриваем теорию без заря-
зарядов). Из-за угловой природы векторного потенциала поток квантуется.
В нулевом приближении форма петли не меняется со временем. При
включении второго члена в C.34) возникают два различных эффекта.
Прежде всего, наша замкнутая линия потока начинает двигаться по
решетке. Это совершенно аналогично случаю глобальной симметрии,
только там элементарные возбуждения были точечными. Второй эф-
эффект менее тривиален. Если возбудить данное состояние косинусным
членом из C.34), форма этого состояния может измениться (например,
может родиться новый квадратик, образованный линиями потока). По-
Поэтому настоящее квантовое состояние является суперпозицией замкну-
замкнутых линий потока, имеющих различные конфигурации. В следующих
главах мы будем развивать теорию струн, предназначенную для описа-
описания непрерывного предела такой модели. Непрерывный предел сущест-
существует в том случае, если отсутствует фазовый переход по е.
Поясним связь этой картины с конфайнментом зарядов. Эта связь
очень проста. Предположим, что мы вводим в нашу систему два стати-
статических противоположных заряда. Тогда должна образоваться линия по-

54 Глава 3
тока, начинающаяся на одном заряде и кончающаяся на другом. Энер-
Энергия такого состояния пропорциональна расстоянию между зарядами.
Если нет фазового перехода, то эта же картина сохранится для малых
констант связи. В следующей главе будет показано, что при D = 3 это
действительно так, но при D = 4 возникает фазовый переход, ведущий
к конденсации струн. После конденсации вместо закона конфайнмента
оказывается справедливым закон Кулона.
Не представляет трудностей обобщение всего рассуждения на не-
абелев случай. Основными переменными в этом случае являются мат-
матрицы из SU(N), помещенные на ребрах (D — 1)-мерной решетки, Ву а.
В абелевом случае имелся оператор электрического поля Е с коммута-
коммутационными соотношениями
[iEv,a,e
iA
>'-f>] =
C.40)
Неабелево обобщение C.40) выглядит следующим образом. Имеются
два разных электрических поля, отвечающие левым и правым инвари-
инвариантным формам, построенным по Вх а. Точнее,
т т> R~l Л R~l R
^у,а — ^s.a^j,^! л2/,а — ^у^ "y^at
Ry,a = B~aLyaBya, C-41)
Операторы L и R удовлетворяют коммутационным соотношениям
о'"' У' У У а У а' C.42)
Здесь {Аа} — набор генераторов SU(N), a iL = XaLa; iR = XaRa .
Если задана какая-то параметризация группы, например, углами
Эйлера в случае SUB), La и Ra легко выразить в виде дифференциаль-
дифференциальных операторов. Однако нам такие явные выражения не понадобятся.
Гамильтониан в неабелевом случае имеет вид (ср. с C.34)):
_ё± V
2 2-
C.43)

3.3. Калибровочные симметрии 55
Можно ввести операторы Г", которые коммутируют с Н и порождают
калибровочные преобразования:
Ту = IX Ту = 2_^(Ly,a — Ry-a,a) =
гра рЬ ] с rabc-pc ^ ' '
L И' У') ~ У>У' J У
(fabc — структурные константы группы). Последнее уравнение легко
вывести с помощью C.42) и тождества Якоби. В непрерывном пределе
оператор C.44) превращается в ковариантную производную электри-
электрического поля:
^у,а — ^у,ау
Ву,а~1+Ау,а, C.46)
Ту ~даЕа + [Аа,Еа].
В отсутствие внешних зарядов спектр нашей системы описывается
уравнением Шредингера с дополнительными условиями:
ЯФ[В] = ?ЩВ], Г?Ф[В] = 0. C.47)
Поскольку Г* является генератором калибровочного преобразования,
последнее условие означает, что из всех возможных решений уравне-
уравнения Шредингера надлежит выбрать калибровочно-инвариантную Ф[В].
В режиме сильной связи мы пренебрегаем последним членом в C.43) и
получаем набор независимых волчков (для группы SUB), которую мы
рассматриваем как пример, обладающий всеми характерными свойст-
свойствами). Снова простейшее калибровочно-инвариантное возбуждение со-
сопоставляется квадрату, образованному линиями потока:
?=mt
_ ^_ C.48)
'=У2
Точно так же, как и в абелевом случае, это элементарное возбуждение
в старших порядках превратится в суперпозицию различных конфигу-
конфигураций. Единственное физическое отличие от абелева случая возникает,

56 Глава 3
когда мы рассматриваем взаимодействие внешних зарядов. Опишем не-
необходимый для этого формализм. В этой процедуре есть одна хитрость:
хотя бесконечно тяжелые заряды являются классическими в том, что
касается свойств их орбитального движения, их изотопические спины
должны рассматриваться квантовым образом. Поэтому не вполне ра-
разумно просто добавлять члены типа J^A^ к лагранжиану для описа-
описания таких зарядов. Правильнее описывать заряд квантовым полем \ с
изотопическим спином / и лагранжианом
С = гХ+ (jjj + V) X - MX+X- C.49)
Отсутствие кинетической энергии у \ означает, что положение заряда
фиксировано. Переходя к гамильтониану и используя условие Х+Х = 1>
мы получаем следующее естественное предписание для включения в
теорию статических зарядов с изотопическими спинами Ii,Ii,... ,/jv,
расположенных в точках Х\,... , Жлг- Рассмотрим решение уравнений
mi, хг;... ;IN,mN, xN) = ?jlimiiiBl;...;iN,mN,xN^(- • •),
т1,хц... ]IN,mN,xN) =
C.50)
(H снова дается выражением C.43)).
Тогда ?(...) — это просто энергия сектора с N внешними заряда-
зарядами. Второе условие C.50) означает, что вместо калибровочно-инвари-
антной Ф в вакуумном секторе теперь надо рассматривать Ф, которая
меняется при калибровочных преобразованиях по правилу
где 1>^т, (П) — стандартные матрицы представления группы SUB).
Правила C.50) и C.51) имеют вполне наглядный смысл. Они означают,

3.3. Калибровочные симметрии 57
что статический заряд с изотопическим спином / и его проекцией т
является источником неабелева электрического потока.
Используя эти правила, мы можем пояснить упомянутую выше
специфику неабелева случая. Рассмотрим для начала взаимодействие
двух зарядов с изотопическими спинами У2, находящихся на расстоя-
расстоянии R друг от друга. В пределе сильной связи волновая функция имеет
вид:
1
(здесь взято произведение В-матриц вдоль прямой линии ЬЖ1,Ж2, со-
соединяющей заряды). Поскольку волчки, расположенные на этой линии,
возбуждены (имеют / = У2), получаем:
?у2(ж1, ж2) ~ \хг - х2\, C.53)
т. е. то же, что и в абелевом случае. Теперь рассмотрим два заряда
с / = 1. Одна возможная волновая функция описывается той же фор-
формулой C.52), только Т>Ь следует сменить на V1. Однако на этот раз
имеется состояние с гораздо более низкой энергией. Чтобы увидеть,
как оно образуется, сравним первый вариант, который можно изобра-
изобразить следующим рисунком: ^^ ^^
ФA) = C.54)
(здесь нарисована линия знатока, соединяющая Х\ и жг), с другим:
ФB)= =Фт1Фт2, C.55)
где линии потока замыкаются. Явное выражение, скажем, для левого
квадратика выглядит так:
т
±1
= т1 ± ir2; т° = т3
C.56)
(т1'2'3 — матрицы Паули).
Легко проверить, что под действием калибровочных преобразова-
преобразований функция C.55) преобразуется в соответствии с C.51). В то же вре-
время энергия этого состояния не зависит от \х\ — Жг|, и потому для до-
достаточно больших расстояний состояние C.55) выгоднее, чем C.54),
и конфайнмента зарядов с / = 1 нет. Отметим, что для / = У2 вари-
вариант C.55) невозможен, и это является причиной конфайнмента. Нетруд-
Нетрудно понять, что, собственно, произошло. Неабелево калибровочное поле

58 Глава 3
описывает глюоны с / = 1. При введении источника с / = 1 оказывает-
оказывается энергетически выгодным заэкранировать этот источник соседними
глюонами (этот процесс изображен на рисунке C.55)). Если источник
имеет / = У2, то в режиме сильной связи подобное экранирование не-
невозможно и происходит конфайнмент цвета. В принципе может сущест-
существовать другая фаза, в которой даже источник с / = х/2 экранируется
(/ = 1)-глюонами. Чтобы это случилось, нужно облако из бесконеч-
бесконечного числа глюонов, которые могли бы статистически экранировать
заряд. Но такое облако может иметь конечную энергию, только когда
образующие его глюоны безмассовые. Следовательно, мы ожидаем, что
если имеется энергетическая щель в калибровочной теории, эффектив-
эффективное облако состоит из конечного числа глюонов и полуцелые спины не
экранируются. Любопытное следствие этой картины состоит в том, что
натяжение струны между источниками, например, спина / = 7/2 точно
такое же, как между источниками спина / = У2, поскольку три еди-
единицы /-спина будут экранированы глюонами, и только У2 останется.
Это проявление того, что электрический поток сохраняется только по
модулю 1.
Вопрос о том, действительно ли имеется массовая щель в непре-
непрерывном пределе (eg —> 0), не может быть решен разложением сильной
связи, поскольку присутствие щели в любом порядке по 1/вд ничего
не доказывает. Нужны более тонкие методы. Мы опишем некоторые из
них в следующей главе.

Глава 4
Инстантоны в абелевых системах
В предыдущей главе мы поняли, что наличие массовой щели —
важнейшее свойство калибровочных и спиновых систем. В этой гла-
главе мы обсудим особый механизм образования щели, который особенно
важен в абелевых системах, но будет играть определенную роль и в
неабелевом случае.
4.1. Инстантоны в квантовой механике и в модели
Изинга
Опишем свойства симметрии квантовомеханической системы, за-
заданной действием (в мнимом времени)
при A <S ц2. Эта модель интересна нам только тем, что на ее приме-
примере проще всего продемонстрировать одно явление, встречающееся и в
более сложных системах. В этой модели в любом конечном порядке те-
теории возмущений симметрия явно нарушена, тогда как на самом деле
симметрия восстанавливается. Чтобы убедиться в этом, напишем
p = ±JL+x D.2)
А '2
и разложим действие вблизи, например, левого минимума:
S « J' dt{\X2+^X2 + O(AVV/i)x3}. D.3)
При малых А мы имеем почти гармонические колебания вблизи дна ле-
левой ямы. Лево-правая симметрия <р —у —<р нарушена, и это нарушение
сохраняется в любом конечном порядке по А. В то же время из кван-
квантовой механики мы знаем, что основное состояние этой теории опи-
описывается четной ¦(/'-функцией и потому невырожденно и симметрично.

60 Глава 4
Понятно, что восстановление симметрии связано с тем, что частица,
помещенная в левую яму, будет с конечной вероятностью туннелиро-
вать в правую и обратно. Поэтому, подождав достаточно долго, мы с
равной вероятностью обнаружим частицу в любой из двух ям. Есть ин-
интересный способ описания туннелирования, и мы его сейчас обсудим.
Легко убедиться (сделав замену <р —ь \~^ip), что при малых А дейст-
действие S очень велико — порядка А. Это означает, что континуальный
интеграл
Z = fvtpe-s[v] D.4)
можно вычислить в приближении седловой точки. Существенно, что
классические уравнения движения в мнимом времени
SS =ф + ц2<р- А^3 = 0, D.5)
имеют наряду с тривиальными минимумами ip = ±/x/\/A нетривиаль-
нетривиальное решение
(to — произвольная константа). Это решение (будучи локальным ми-
минимумом Б[ф\) связывает левую яму при t = —оо с правой при t = +оо.
Подставляя D.6) в D.1), найдем величину классического действия
Scl =
D.
На первый взгляд вклад траектории D.6) в континуальный интеграл
подавлен множителем
e-Scl = e-2W
и пренебрежимо мал. Однако это не так. Причина состоит в том, что
имеется не единственное классическое решение, а целое непрерывное
семейство, параметризованное величиной t$. Поэтому следует ожидать,
что вклад в Z имеет вид
f dt0.
D.9)
Это значит, что для сравнительно коротких отрезков времени t <
/ЗА вклад нашей траектории действительно несуществен, но на

4-1. Инстантоны в квантовой механике и в модели Изинга 61
больших временах он становится очень большим. Это находится в пол-
полном согласии с интерпретацией нашего решения как процесса туннели-
рования. Упомянутое характерное время совпадает со временем тунне-
лирования и, следовательно, временем восстановления симметрии.
Перейдем теперь к количественному анализу.
Разложим наше поле вблизи классического решения <pc\(t — to):
<p(t) = <pd{t -to)+ ^2 СпфпЦ - t0). D.10)
Введенные в D.10) функции фп — нормальные моды осцилляции вбли-
вблизи <рс\. Их следует искать, решая уравнение
,,^n{tl) = и?чЬп{€) D.11)
или
Фп + Ц2~Фп
В полный набор функций фп входит функция фо ~ фс\, для кото-
которой Шц = 0. Этот факт, связанный с трансляционной инвариантностью,
легко проверить непосредственно, дифференцируя уравнение D.5) по t.
В разложении D.10) мы опустили вклад фо в сумму, введя вместо это-
этого параметр to- Дело в том, что флуктуации Св с п / 0 малы из-за
быстрого роста действия S, но это действие не зависит от to, и со-
соответствующую степень свободы следует рассмотреть отдельно. Для
этого перейдем от интегрирования по полям tp(t) к интегрированию
по Сп и to. Соответствующий якобиан проще всего извлечь из нормы в
функциональном пространстве
= /'dtF<p(t)J*Ft0J I dt<p2cl+
U 12)
+ ^2(SCnf + O{(St0K).
пфО
Поэтому
V<p{t) = А Д dCndt0,
% D.13)

62 Глава 4
Теперь можно вычислить вклад одного кинка в корреляционную функ-
функцию:
2/\ + Be~s* I dt0 <
l
t2 - t0
2
1 + Be Scl / dt0
/ dto (<pci(ti — to)(pc\(t2 — to) — ц2/A), D-14)
— oo
_ A J -L±
(o;rajo — собственные частоты флуктуации около тривиального мини-
минимума (р2{ = /I2/Л). Подставляя D.6) в D.14), получим:
(j — _д I л„ I +v, i^lif. _ ^. +v, ^^ ^-'u _ *_i _ i I ^ D-15)
к 2В при |*i -t2\ >A«.
Как и ожидалось, на больших временах кинковое решение D.6) дает
большой вклад. Более того, понятно, что необходимо учесть также мно-
гокинковые конфигурации, которые на языке «туннелиртйания» отве-
отвечают траекториям, неоднократно переходящим из левой ямы в правую
и обратно. Соответствующее июле <p(t) имеет слёдуюп^ю_|ЦТ{>уктуру:
Точного классического решения такого типа, вообще говоря, не сущест-
существует, потому что кинк и антикинк стремятся аннигилировать. Нетруд-
Нетрудно оценить силу притяжения между ними: поскольку хвосты кинков
экспоненциально мало отличаются от ±///\/Х,
|t|»l, D.16)

4-1. Инстантоны в квантовой механике и в модели Изинга 63
простая суперпозиция кинка и антикинка будет иметь действие
g(k,k) _ g(k) + g(k) + q /e-2M|ii2|/V2\ _
D-17)
где t\2 — расстояние между кинком и антикинком. Этот результат по-
показывает, что взаимодействие между кинками экспоненциально слабо.
Поскольку для малых Л средняя временная дистанция между этими
объектами составляет по порядку величины C~1e2v^M /ЗЛ 3> Ц~г, этим
взаимодействием можно пренебречь. Другое упрощение, возникающее
по той же причине, связано с возможностью пренебречь шириной кин-
кинка. Полную конфигурацию можно аппроксимировать функцией
j=1
D.19)
Tl ^ Г2 ^ • • • ^ TN.
Полная корреляционная функция выглядит так:
fe-^ JdTl...
r2 < ••• < rjv < max(ibt2), A =
f J.dTN = ?
D.20)
Мы обнаружили, что траектории туннелирования (их еще называют ин-
стантонами) устраняют вырождение основного состояния, имеющееся
на пертурбативном уровне. Симметрия tp —> —tp восстанавливается, и
возникает конечная, хотя и большая, корреляционная длина rc ~ Д.
Как обсуждалось в главе 1, в пределе большой корреляционной дли-
длины квантовая теория D.1) должна быть эквивалентной D = 1 модели
Изинга. Эта эквивалентность совершенно очевидна из нашего рассуж-
рассуждения: в тот момент, когда мы заменили поле ip ступенчатыми функ-
функциями D.18), мы фактически перешли к перечислению конфигураций
модели Изинга, вроде изображенной на рисунке:

64 Глава 4
и перечисление кинков в D.20) равнозначно перечислению точек пере-
переворота спинов в A.18).
4.2. Инстантоны в модели с
глобальной ОB)-симметрией
Эта модель описывается статистической суммой
z=
Мы рассмотрим ее свойства в пределе больших /3 (слабой связи). Естес-
Естественно разложить косинус в D.21) и написать
S = | Z>» - Vx+5J « f / d2z (V^J. D.22)
x,5 ^
Однако это разложение не совсем правильно. Оно требует, чтобы <рх
было очень близко к соседнему <?>х+б- Это физически разумно, посколь-
поскольку при больших fi соседние спины должны быть почти параллельны.
Но параллельность спинов не обязательно означает, что <рх ~ <рх+б- С
равным успехом можно положить
Шх ~ 7Г — 6,
^Х ' е«1. D.23)
7Г ?
Конфигурация D.23), для которой (рх — <рх+5 = 2е — 2тг, должна быть
столь же важна, как и конфигурация с <рх — ipx+6 = 2e, но в разло-
разложении D.22), в котором потеряна периодичность косинуса, конфигура-
конфигурация D.23) оказалась сильно подавлена. Мы должны найти выход из этой
нефизической ситуации. Есть несколько способов. Самый элегантный
состоит в том, чтобы рассмотреть непрерывный предел D.22), но с усло-
условием, что <р разрешено быть многозначной функцией и иметь скачки
на 2тг в некоторых точках ветвления. Мы еще вернемся к этому под-
подходу, но сначала полезно поработать с теорией на решетке и увидеть,
откуда берется это многозначное поле.
Наша цель состоит в том, чтобы сохранить гармоническое прибли-
приближение для поля <р, но при этом не потерять конфигураций типа D.23).
Этого можно добиться, заменив D.21) на
Z= E /П1^ ехр(-|Е(^-^+5 + 27гпх,5J), D.24)

4-2. Инстантоны в модели с глобальной ОB)-симметрией 65
где п — произвольные целые числа. Формально мы заменили функцию
exp(/3(cos<?> — 1)) на
/Я \
%>)= Е ехр(-|^-2тгпJ). D.25)
+ OO
В пределе больших /3, когда единственное важное свойство действия
— его периодичность, а ангармонические члены ~ <р4 несущественны
в соответствии со сказанным в главе 1, замена D.21) на D.24) вполне
законна. Оперируя с периодическим выражением в D.24), мы правильно
учитываем формально разрывные конфигурации D.23).
Статистическую сумму D.24) можно преобразовать к физически
более осмысленному виду. Для этого возьмем случай D = 2 и перей-
перейдем от набора {nXjg} к целым числам {qx,} (ж* — центры плакетов),
определенным по правилу
I \. л (л c\q\
Иными словами, qXt — «напряженность поля», создаваемого «векторным
потенциалом» пХ;5- Любой набор пХ;<5 может быть представлен в виде
пх,д = тх - mx+s + ах - ax+s + е§-у{фх, ~ Фх.-~<), D.27)
где е<57 — стандартный антисимметричный тензор, тх — целые чис-
числа, 0 ^ ах < 1, а фХг удовлетворяет уравнениям
Фх, - Фх.--, - Фх,+-у) = Чх,- D.28)
Разложение D.27) расщепляет пХув на продольную и поперечную части.
Решеточное уравнение Лапласа D.28) получается подстановкой D.27)
в «напряженность поля» D.26), в которую дает вклад только ф. Взяв
решеточную дивергенцию пх,$, можно написать уравнение, определя-
определяющее тх и ах по {пХ)<5}-
Суммирование по nXjs можно заменить суммированием по {тх}
и {?х«}. Подставляя D.27) в D.24) и заменяя переменные
<Рх ->• Vx - 2тг(тх + ах), D.29)

66 Глава
получаем1
+ ОО
{в..}-Ъо Х
х.,6
D-30)
{8..}
+ СЮ
auSS = n / ^
При выводе D.30) мы воспользовались тем, что замена D.29)
я- ж+2ж(т+а)
/ dip —> / d(p
-ж -тг+2тг(т+а)
с последующим суммированием по т эквивалентна замене
+ ОО
/dip f dip
2^^ J 2P
— 7Г —OO
Формула D.30) имеет интересную физическую интерпретацию. Она по-
показывает, что для учета периодичности действия в пределе больших /3
надо ввести в систему набор вихрей, взаимодействующих друг с дру-
другом по двумерному закону Кулона (обратный лапласиан в D.30)). Об-
Обсудим соответствие между распределением переменных {qx«} и кон-
конфигурацией углов {ipx}- Возьмем всего один вихрь, расположенный
при х = 0, Qo = 1- Возьмем большую замкнутую петлю L на решетке,
окружающую точку ж = 0, и рассмотрим Bx,s = <Рх — Vx+5 на этой
петле. Из определения ясно, что
Вх,5 = 0 D.31)
L
1Рассуждения, ведущие к D.30), впервые появились полностью в кандидатской
диссертации В. Г. Березинского.

4-2. Инстантоны в модели с глобальной ОB)-симметрией 67
(через §L обозначена сумма Bxg вдоль петли; в непрерывном пределе
она превращается в обычный контурный интеграл). Как мы отмечали в
начале этого раздела, |-Вх,б| "С 1 (mod 2тг) при больших /3 . Введенный
нами набор целых чисел {пХув} определен так, что
5 < К,
и для больших /3 имеем \АХ^\ <С 1. Величина Ах^, однозначно опре-
определяемая конфигурацией {<рх}, имеет ненулевую циркуляцию, равную
вихревому числу
qo = -L / Ахд. D.32)
27Г Jl
Простой пример набора {nXjs}, приводящего к единичному вихрю, мож-
можно построить с помощью рисунка
D.33)
Все ребра, не пересекающиеся с пунктирной линией, имеют пХув = 0.
Пересекающиеся с ней ребра имеют пХу§ = 1. Эта картинка описывает
конфигурацию углов рх со скачком на 2тг на пунктирной линии, удовле-
удовлетворяющую условию D.32). Точная форма этой линии не существенна,
поскольку ее изменение равносильно калибровочному преобразованию
набора {nXjg}. В непрерывном пределе эта пунктирная линия превра-
превращается в разрез на комплексной плоскости с точкой ветвления в точке
расположения вихря.
В пределе больших /3 в двух измерениях из-за дальнодействующе-
го характера двумерной кулоновской силы вихри образуют нейтраль-
нейтральные диполи, и система D.30) оказывается диэлектриком. Такие дипо-
диполи очень слабо сказываются на поведении корреляционных функций
и несущественны при больших /3. При некотором критическом зна-
значении /3 диполи диссоциируют, и получается плазма вихрей. Мы не
будем здесь обсуждать это явление. Вместо этого мы объясним, как
получить D.30) непосредственно из непрерывной теории, что концеп-
концептуально важно. Оказывается, что D.30) — это в точности инстантонное
приближение для D.21).
Как уже говорилось, действие в непрерывном пределе имеет вид
5=| [(дЙ<рJA2х. D.34)
Классический минимум этого действия дается решением уравнения
д2(р(х) = 0. D.35)

68 Глава 4
Если (р(х) —> 0, уравнение D.35) имеет только нулевые непрерывные
X—ЮО
решения. Предположим теперь, что мы ввели набор вихрей, расположив
их в точках {ха}, силы вихрей равны {qa}. Это означает, что мы ин-
интегрируем по многозначным полям <р, меняющимся на 2irqa при обходе
вокруг точки ха. В этом секторе имеется нетривиальное классическое
решение уравнения D.35):
JV
У = '^2<laT-m\0g(z- Za),
а=1 D.36)
z = xi + ix2-
На формулу D.36) можно смотреть как на непрерывный предел клас-
классического решения, доставляющего минимум действия
S = Y,<4>* ~ 4>*+б) D-37)
х,д
с любой периодической и((р),
и((р + 2тг) = и((р),
D-38)
Вдали от сингулярности решение универсально и описывается форму-
формулой D.36). Структура вблизи ха («кор» вихря) зависит от конкретного
вида и, но, к счастью, оказывается несущественной.
Подставляя D.36) в D.34), получаем:
Sci = f { Y, Ча% 2тг log R + const Y, Ql} D-39)
афЬ \Ха-Щ а >
(R — размер системы; второй член описывает собственную энергию
вихря). Замечая, что A/27Т) log(_R/|а;|) — это как раз обратный лапла-
лапласиан или двумерная кулоновская энергия, мы видим, что учет инстан-
тонов в D.22) приводит к непрерывному аналогу формулы D.30). Мы
видим также, что странные преобразования, нужные для вывода D.30),
служат простой цели — они учитывают вихри.
Однако в этом случае из-за «конфайнмента» вихрей они не приводят
ни к каким качественным эффектам (при больших /3). В следующем

4-2. Инстантоны в модели с глобальной ОB)-симметрией 69
разделе мы рассмотрим ситуацию, в которой такие эффекты имеют
место.
Упомянем еще, что происходит при D = 3. В этом случае вместо
точечных сингулярностей имеются сингулярные линии. Поле <р пре-
претерпевает скачок на 2тг при обходе вокруг вихревой линии. Вихревые
линии несут энергию и непосредственно наблюдаются в 4Не.
В завершение этого раздела мы дадим непрерывное описание 0B)-
системы. Она определяется лагранжианом
С = |дд0|2 + у(\ф\2), D.40)
причем, как объяснялось в главе 1, без потери общности можно считать,
что
"A01 ) = ~~\— А*о101 ~^~ о" 101 ¦ D-41)
Соотношение между этой теорией и моделью D.21) такое же, как между
квантовомеханической задачей с двумя ямами и D = 1 моделью Изин-
га. Их свойства на больших масштабах совпадают. Легче всего увидеть
это, введя новые переменные:
ф(х) = и(х)еЩх\
/¦ ,2 , 2, 2,о ^ D-42)
S= / {(ади) + v(u ) + и (д^в) } dx.
Для малых значений А имеем
D.43)
и видно, что флуктуации модуля и(х) малы и быстро затухают с рас-
расстоянием (они имеют массу ц0). В то же время поле в(х) остается без-
безмассовым, и только оно вносит вклад на больших расстояниях. Полезно
увидеть, как возникают вихревые вклады непосредственно из D.40).
Как и раньше, вихрь появляется как нетривиальный классический ми-
минимум действия D.40). В двух измерениях уравнения выглядят так:
д ф — Иоф + А|0| ф = 0 D.44)
ИЛИ 9

70 Глава 4
где 01,2 — компоненты ф = (ф\ + г0г)/\/2-
Это уравнение обладает 0B) х ОB)-инвариантностью: одна ком-
компонента 0B) отвечает поворотам в пространстве х, а другая — в про-
пространстве ф. Будем искать решение, нарушающее эту 0B) х 0B)-сим-
метрию, но сохраняющее одну ОB)-инвариантность по отношению к
одновременным поворотам пространств х и ф. Наиболее общий анзатц
с таким свойством имеет вид
фа = u(r)^jr или ф = и(г)е11р,
D.45)
г2 = х\ + х\, ip = arctg(a;2/a;i).
Из соображений симметрии он должен быть совместен с D.44), и это
подтверждается прямой подстановкой. Мы получаем уравнение на и:
и" - ulu - 4м + A«3 = 0- D-46)
г
Имеется решение уравнения D.46), удовлетворяющее условиям
и(г)—>0, и(г) —>¦ no/V\. D.47)
г—>0 г—юс
Причина существования и устойчивости такого решения состоит в сле-
следующем. Подстановка D.45) в D.42) дает
D.48)
Чтобы избежать квадратичной расходимости действия на бесконечнос-
бесконечности, нужно положить v (и2(ос)) = 0, т. е. и2(ос) = /Iq/X. Далее, из-за
последнего члена в действии желательно иметь и@) = 0. Интерполяция
между нулем и //д/А не должна быть слишком резкой из-за первого чле-
члена в действии, но не может быть и слишком медленной из-за второго.
Поэтому надо ожидать, что имеется единственная функция и(г), отве-
отвечающая минимуму S. Можно строго показать, что дело обстоит именно
так, но мы удовольствуемся этим эвристическим обсуждением.
Надо еще рассмотреть вопрос об устойчивости по отношению к ва-
вариациям фазы 9. Из D.42) ясно, что, если бы удалось непрерывно дефор-
деформировать в(х) от в(х) = <р к в(х) = 0, то действие D.42) уменьшилось
бы. Однако такая деформация невозможна. Из условия однозначности ф
следует, что 9{ф) должна удовлетворять условию
0Bтг) - 0@) = 2тгд D.49)

4-2. Инстантоны в модели с глобальной ОB)-симметрией 71
с целым q. Решение D.45) отвечает q = 1, и его нельзя непрерывно
деформировать с сохранением однозначности ф к решению с q = 0.
Это гарантирует фазовую устойчивость решения D.45). Отметим,
что сходные топологические аргументы могли бы быть использованы
для доказательства устойчивости кинка, обсуждавшегося в предыду-
предыдущем разделе; можно убедиться также, что в случае комплексного поля
кинковое решение неустойчиво, поскольку тогда кинк может быть де-
деформирован в ничто непрерывным вращением фазы.
Действие для одиночного вихря логарифмически расходится на
больших расстояниях из-за последнего члена в D.48). Однако, если
взять нейтральную суперпозицию вихрей и антивихрей, полное дейст-
действие будет конечным, и в пределе, когда все относительные расстояния
намного превышают Hq1, оно совпадает с D.39), где /3 следует заменить
на 2/Xq/A.
Наш вывод состоит в том, что в инфракрасном пределе имеется
три эквивалентных описания ОB)-системы с помощью функционалов
действия D.21), D.24) и D.42).
Замечание 1. Аналогия между D = 1 моделью Изинга и двухъямной
квантовой механикой была впервые отмечена Баксом и Ларкиным. Те-
Теория вихрей в плоском О{2)-магнетике и эффективное описание с по-
помощью в-функций было предложено В. Л. Березинским в его диссерта-
диссертации A970) и переоткрыто Костерлицем и Таулессом.
Замечание 2. ОB)-моделъ возникает при решении нескольких физичес-
физических задач. Прежде всего, по самому определению она описывает магнит-
магнитные системы с ОB)-симметриями. Во-вторых, из-за того, что дейст-
действие D-40) является вторично квантованным гамильтонианом взаимо-
взаимодействующего бозе-газа, модель описывает двумерные пленки 4Не при
ненулевой температуре (статистические свойства на больших рас-
расстояниях). Она также полезна для исследования двумерных кристаллов.
Это происходит по следующей причине. Если обозначить через иа{х)
смещение атома, расположенного в точке х кристалла, то в инфра-
инфракрасном пределе имеем (в соответствии с теорией упругости):
Е = J Vj(daUf) + дриаJ + ^(dxuxJXd2x D.50)
(\,ц — так называемые постоянные Ламе). Чтобы найти статичес-
статическую сумму, надо вычислить интеграл
Z = fvua(x)e-PE[u]. D.51)

72 Глава 4
Это был бы простой гауссов интеграл, если бы поля были однозначными.
Однако, подобно тому, как фазы {ipx} были определены по модулю 2ж,
смещения иа(х) определены по модулю решеточных векторов Ъа, по-
поскольку на решетке энергия должна быть периодической функцией сме-
смещений. Поэтому необходимо учесть скачки иа{х). Если имеется ветв-
ветвление в точке Жо, а петля L окружает эту точку, то
dpua(x)dx/ =ba. D.52)
Про такое поле иа(х) говорят, что оно описывает дислокацию, рас-
расположенную в точке Жо. Мы видим, что свойства дислокаций практи-
практически совпадают со свойствами вихрей. В частности, при некотором
значении fi происходит конденсация дислокаций, что может быть ин-
интерпретировано как плавление.
4.3. Компактная КЭД (ОB)-калибровочная модель)
В этом разделе мы исследуем абелевы калибровочные теории. Они
нетривиальны, несмотря на то, что наивно в непрерывном пределе дей-
действие превращается в
=-^ I dD
4e0 J
x @^Av - dvArf D.53)
и описывает свободные фотоны. Вся нетривиальность, как и в преды-
предыдущих разделах, связана с определенными угловыми свойствами век-
векторного потенциала, которые заставляют учитывать аналоги вихрей и
дислокаций в континуальном интеграле.
Прежде чем заняться этим, объясним, почему векторный потенци-
потенциал следует считать угловой переменной.
A priori на решетке можно определить две разные модели. Первая
модель совпадает с A.49) и описывается действием
x,a/3
D.54)
AXjCC < ж.

4-3. Компактная КЭД @B)-калибровочная модель) 73
Вторая модель имеет вид
S = ~\ ? Fx,cx0\ -°° < Ах,а < +00- D-55)
е° х,а0
В наивном непрерывном пределе оба действия превращаются в D.53),
но модели обладают разными физическими свойствами. Аналогично об-
обстоит дело в квантовой механике с действием
=1 Г ±2dt. D.56)
Это действие может описывать свободную частицу на прямой или сво-
свободную частицу на окружности. В первом случае спектр непрерывный,
а во втором — дискретный. Различие возникает из-за того, что в пер-
первом случае мы интегрируем по непрерывным x(t), а во втором разре-
разрешены скачки на 2тг.
Исходя из физических оснований нужно решить, какая из версий
КЭД реализуется в природе. Основная причина, заставляющая нас ве-
верить в периодический (компактный) вариант КЭД, — это эмпиричес-
эмпирический факт квантования заряда. Известно, что отношение любых двух
электрических зарядов — рациональное число. Покажем, что это необ-
необходимое следствие компактности КЭД, тогда как в некомпактном ва-
варианте это было бы необъяснимым чудом.
Качественные аргументы состоят в том, что, как мы видели в гла-
главе 3, электрический поток (являющийся аналогом углового момента)
квантуется. Поскольку заряженные частицы служат источниками элек-
электрического потока, который, по теореме Гаусса, равен их зарядам, то
разрешенные значения зарядов тоже квантованы.
Более явно, рассмотрим два заряженных поля, фх с единичным
зарядом и Хх с зарядом е. Лагранжиан этих полей имеет вид
(^+*l+e) с с. D.57)
х,6
Форма D.57) диктуется калибровочной инвариантностью
D.58)
Из D.57) видно, что С хорошо определен в нашем фазовом пространст-
пространстве лишь при условии, что е целое: это необходимо для периодичнос-
периодичности по AXyg. Отметим также, что задание периода свободного дейст-
действия D.54) определяет естественную единицу заряда.

74 Глава 4
В некомпактной КЭД поток может принимать непрерывный ряд
значений, и нет никаких причин для квантования заряда. Еще одно
важное замечание о компактности состоит в том, что два указанных
выше варианта существуют лишь в абелевом случае. Для любой не-
абелевой группы компактность или некомпактность связана со свой-
свойствами ее алгебры Ли. Например, для калибровочной группы SUB)
вообще нельзя сформулировать некомпактную версию. Поэтому, ког-
когда КЭД возникает как подгруппа какой-то неабелевой калибровочной
теории, она обязательно является компактной версией КЭД.
После этих объяснений займемся теорией компактной КЭД, начи-
начиная с D = 3. Следуя той же стратегии, что и в предыдущем разделе,
рассмотрим статистическую сумму
Z= Y. /П^ехр^^^^-З™,^J}, D.59)
в которой учтена периодичность действия. Для данного набора {nX;Qyg}
введем числа qz (z относятся к центрам кубов решетки), определенные
как потоки п через поверхности кубов az,
/
Jtr.
D.60)
(В левой части D.60) подразумевается сумма пх,а/з, отвечающих ори-
ориентированным плакетам, образующим куб с центром в z. Непрерыв-
Непрерывным аналогом был бы интеграл поля nQyg по замкнутой поверхности.)
Разлагая nX;Qyg в сумму
пх,а0 = тХ}СХ + тх+а}/3 - тх-ьз,с< - rnXti3 +
+ Ах,а + Ax_|_Q;yg ~ ^X+f3,a ~ ^Х,/3 + ?aP~yD>z ~ 4>z—у):
получим из D.60)
Azz<0z< = Qz> D.62)
(Azzi — решеточный оператор Лапласа). Подстановка D.61) и D.62)
в D.59) дает
Z = ZGauss Y, exp(--^ Y, 9*Аи'9*' 8?г2) >
U,} 4б° z,z-
D.63)
+
= /

4-3. Компактная КЭД @B)-калибровочная модель) 75
Таким образом, мы получили ту же кулоновскую систему, что и
в D.30), но в трех измерениях. Как мы увидим ниже, это приводит
к совсем другой физике. Прежде чем обсуждать эту физику, объясним
смысл «зарядов», появившихся в D.63). Их можно связать с инстантон-
ными решениями для действия D.54). В инфракрасном пределе класси-
классические уравнения имеют вид:
дцРц* = ~ rot Н = 0,
D.64)
div Н = 0, Н = rot A = ^eapjFpj.
У них нет никаких несингулярных решений, кроме Н = 0. Однако, как
обычно, из-за того, что D.64) получилось из периодического действия,
можно разрешить Н иметь ^-функциональные особенности силы 2irq.
Легко найти решение такого типа (оно аналогично D.36)):
2
х
- 2wq6lt36(x1N(x2N(x3) D.65)
(в — ступенчатая функция).
Это решение описывает магнитный заряд, помещенный в нача-
начало координат. Его магнитный поток, выражаемый первым слагаемым,
компенсируется уходящим потоком вдоль третьей оси. В двух измере-
измерениях аналогом D.65) было бы
Ад = д^ = qe^(xvlx2) - 2пдв(х2)ё(Х1), D.66)
где второй член возникает из-за разрыва фазы. Из-за периодичности
действия вторые слагаемые в D.66) и D.65) не дают вклада в физи-
физические величины. Поэтому общая инстантонная кофигурация в нашем
случае является набором магнитных зарядов с кулоновским взаимодей-
взаимодействием между ними и ее действие равно
q 1 \ л чачо "" COnst
<3lNST — —^
Этот результат совпадает с D.63), когда заряды удалены друг от друга.
Покажем теперь, что разупорядочивающее влияние инстантонов приво-
приводит к конечной корреляционной длине (фотон становится массивным).
Используем следующее функциональное представление для инстантон-

76 Глава
ного вклада в Z:
Z = ZGauss
= ? i
N
X E E
Здесь
В формуле D.68) использовано общее свойство гауссовых интегралов
( (Л -у
D.69)
Мы также ограничились значениями qa = ±1. Последнее приближение
будет оправдано, когда мы проверим, что при малых е2 монополи нахо-
находятся далеко друг от друга (подобно кинкам в разделе 4.1), и поэтому
монополи с \q\ > 1 стремятся диссоциировать на монополи с \q\ = 1.
Учет вкладов с \q\ > 1 привел бы к возникновению членов ~ cos(q%)
в D.68). Континуальный интеграл D.68) дает нам диаграммное раз-
разложение для плазмы монополей. Однако эффективная нелинейность
в D.68) экспоненциально мала, так как коэффициент g при %4 в D.68)
по порядку величины равен
|fJ~e— ^o«l. D.70)
Этот результат можно было предвидеть, так как он отвечает условию
применимости дебаевского приближения или приближения среднего по-
поля. Чтобы оно было справедливым, нужно, чтобы в дебаевском объеме

4-3. Компактная КЭД @B)-калибровочная модель) 77
М~г ~ ехр(—Sconst/eg) было много частиц, что позволило бы пренеб-
пренебречь флуктуациями суммы их индивидуальных полей. Но по формуле
Больцмана плотность частиц равна
n~e-const/e», D.71)
и критерий применимости приближения среднего поля гласит:
пМ~3 ~ econst/eo ^ i5 D.72)
что совпадает с D.70).
Вычислим теперь некоторые корреляционные функции. Будем ин-
интересоваться лишь калибровочно-инвариантными величинами. На про-
промежуточном этапе удобно иметь выражение для производящего функ-
функционала зарядовой плотности плазмы. Повторяя вывод D.68), найдем
exp (i I p(x)r,(x) dx^j } = ^М, D.73)
где
р(х) =^2
D.74)
X exp{- (gJ j [(V(x - V)f ~ M2 cosX] dx).
Проще всего в нашем случае вычислить корреляционные функции опе-
оператора
На{х) = ±eaPjFPj. D.75)
На больших расстояниях это просто напряженность электромагнитного
поля.
В квазиклассическом приближении НЙ(х) связано с зарядовой
плотностью так:
D.76)

78 Глава 4
Используя формулу D.74), получаем
(р(к)р(-к)) = (gJ к2 - к\Х{к)х{-к))
(p(k1)...p(kN))=
Теперь корреляционная функция поля Н равна
(-к)). D.78)
Первый член в D.78) — свободная (т. е. в отсутствие монополей) функ-
функция Грина поля Н. Она имеет вид
(V ^) D.79)
Сингулярность при к = 0 означает, что фотон в этом приближении име-
имеет нулевую массу. Используя D.77) и предыдущее замечание о слабости
связи поля х, получаем
Из формул D.78)-D.80) находим
D.81)
Это значит, что в теории нет безмассовых частиц, а есть массивная
скалярная частица с маленькой массой М. Аналогично получаем:
опп = е?к1й1 ... kNll 1
N Д
. kj + М
D.82)

4-3. Компактная КЭД @B)-калибровочная модель) 79
Качественно этот результат можно объяснить так. В нашей систе-
системе имеется конечная плотность псевдочастиц, взаимодействующих на
больших расстояниях, и их случайные поля портят корреляционные
свойства. Из разложения сильной связи мы знаем, что обратная кор-
корреляционная длина отлична от нуля и при е§ 3> 1. Разумно предполо-
предположить поэтому, что в данной системе нет фазового перехода, и режим
конфайнмента сохраняется в пределе слабой связи. В следующей гла-
главе мы покажем, что это действительно так. Здесь же обсудим другие
следствия наших результатов.
Прежде всего заметим, что коль скоро мы показали разупорядочен-
ность (наличие массовой щели) для 0B)-системы при D = 3, это долж-
должно быть справедливым и для неабелевых систем. В самом деле, возьмем
случай SUB) и ограничим ВХуОС так, чтобы они лежали в 0B) С SUB).
Следует ожидать, что такое ограничение только увеличивает упорядо-
упорядоченность системы, и что если даже при таком ограничении система раз-
упорядочена, то при снятии ограничения беспорядок лишь возрастет, и
массовая щель только увеличится. Нет никаких сомнений в справедли-
справедливости этого утверждения, но строгое доказательство пока отсутствует.
При переходе к D = 4 описанная выше картина изменяется. Трех-
Трехмерные кубы, помещенные в четырехмерное пространство, имеют че-
четыре различные ориентации (по аналогии с тремя различными ори-
ентациями квадратов в трехмерном пространстве). Следовательно, мы
ожидаем, что числа q из D.60) при D = 4 будут иметь значок а, ука-
указывающий направление: q = </x,Q- Чтобы убедиться в этом, напишем
разложение, аналогичное D.61), для чисел Л^х,«/з в случае D = 4
Nx,ap = дат0 - д0та + да\/з - др\а + еа0^вд^фд. D.83)
Здесь мы обозначили решеточные производные через да, например,
датр = тх^ - тх-а?. D.84)
Взяв интеграл по поверхности куба ориентации -у, получаем вмес-
вместо D.62)
-д2ф1 + д1д6фб = Ч-1- D.85)
Мы используем непрерывные обозначения, и надеемся, что после всех
проведенных рассуждений они не введут в заблуждение. Формулы с
явными решеточными обозначениями при D = 4 были бы очень гро-
громоздкими.
Из D.85) видно, что q7 подчиняются связи
'Т - Qx-7,7) = °- D-86)

80 Глава 4
Инстантонный вклад в статистическую сумму имеет вид
Объясним теперь смысл этих результатов, которые можно было пред-
предвидеть без явных вычислений. Инстантон при D = 3 описывался мо-
монопольным решением D.65). Предположим, что мы добавили еще од-
одно измерение («время»). Тогда это решение, которое было точечным
при D = 3, при D = 4 становится линией (мировой линией точеч-
точечного объекта). На решетке можно выбрать эту линию сколь угодно
искривленной. Тогда для каждой формы линии будет получаться свое
классическое решение, локально минимизирующее действие D.54). По-
Поскольку магнитный поток сохраняется, эти линии должны быть замк-
замкнутыми или бесконечными. Вклад в статистическую сумму выглядит
как сумма по всевозможным линиям магнитного потока с кулоновским
притяжением между ними. Количественное описание этой картины да-
дается формулами D.83), D.86), D.87).
Легко убедиться, что при больших е^~2 эти линии потока оказыва-
оказывают пренебрежимо малое влияние на систему в инфракрасном пределе.
Причина состоит в том, что линия длины L имеет действие ~ L, и ее
вклад в D.87) имеет порядок
Zi1' ~ e-ci/e»(c')L. D.88)
(Здесь (c')L — число петель длины L). Мы приходим к выводу, что для
достаточно больших е^ магнитные петли короткие, и разупорядоче-
ния системы не происходит; в этом случае она состоит из свободных
безмассовых фотонов. Однако имеется критическое значение е2, при
котором происходит конденсация магнитных линий. Следует думать,
что при е\ > е2 мы попадаем в фазу сильной связи с конфайнментом
зарядов, тогда как при е2 < е2 мы живем в фотонной фазе.
Описанная выше картина может быть понята еще одним способом.
Магнитные монополи, которые были инстантонами при D = 3, ста-
становятся частицами при D = 4, являясь минимумами потенциальной
энергии для гамильтониана C.34). Это будет подробно обсуждаться в
главе 6. Сейчас достаточно понять, что всякое не зависящее от време-
времени классическое решение конечной энергии (солитон) в пределе слабой
связи описывает стабильную частицу. При переходе к D = 4 то, что
было действием при D = 3, становится энергией.
Замкнутые петли, которые мы рассматривали выше, являются ми-
мировыми линиями пар монополь-антимонополь. Мы видим, что при не-
некотором значении заряда вакуум наполняется конденсатом монополей.

4-3. Компактная КЭД (О{2)-калибровочная модель) 81
Такая среда связывает электрические заряды, что можно увидеть из
следующей физической аналогии. Возьмем сверхпроводник, в основ-
основном состоянии которого имеется конденсат электрически заряженных
полей (куперовских пар). Известно, что внешнее магнитное поле может
проникать внутрь сверхпроводника только за счет образования нитей,
несущих квантованный магнитный поток. Если вообразить два маг-
магнитных заряда, помещенных в сверхпроводник, то из уравнений Гинз-
Гинзбурга-Ландау будет следовать, что их магнитные потоки заключены
внутри такой нити, натянутой между ними. Энергия взаимодействия
будет пропорциональна расстоянию между зарядами. Если поменять
местами в этом описании слова «электрический» и «магнитный», то по-
получится, что два электрических заряда в среде, заполненной конденса-
конденсатом монополей, связаны, т. е. имеется конфайнмент.
Может ли существовать абелева теория с конфайнментом даже
при D = 4 при всех значениях заряда? Мы видим, что этот вопрос
эквивалентен нахождению системы с точечными инстантонами, имею-
имеющими конечное действие. Нетрудно привести пример такой системы.
Рассмотрим «калибровочное поле третьего ранга», именно, рассмотрим
в качестве первичных переменных не векторные потенциалы Ахос, а
тензоры Fx,ap, сопоставляемые плакетам. Образуем напряженности по-
полей, отвечающие кубам
D.89)
и рассмотрим действие
^5>). D.90)
е0 х,а
Буквальное повторение приведенных выше рассуждений приведет к

82 Глава 4
следующему выражению для инстантонной части статистической сум-
суммы:
2ш1т = $>xp(--^5>AraWB7rJ). D.91)
{q,} ° х,х'
В этом случае имеется D = 4 плазма точечных инстантонов. Из-за
дебаевского экранирования возникает массовая щель.
Следуя традиции предыдущих разделов, поясним, как обсуждавши-
обсуждавшиеся системы выглядят в непрерывной формулировке. Как уже говори-
говорилось, компактная КЭД может быть получена из неабелевой калибровоч-
калибровочной теории. Для примера рассмотрим SUB) теорию, содержащую три
калибровочных бозона, и нарушим SUB) так, чтобы два из этих бозо-
бозонов стали массивными. Это так называемая модель Джорджи-Глэшоу
объединения слабых и электромагнитных взаимодействий. Во всех бо-
более сложных моделях объединения возникает та же схема, что и здесь.
Действие равно
где <f = (уьуг^Уз) — триплет изотопических векторных полей,
Рц,и = дйА„ — dvA^ + A^ x Av — напряженность поля Янга-Миллса,
VM<?> = <9Д + Ад х (р. Если рассмотреть разложение полей вблизи абсо-
абсолютного минимума потенциальной энергии, (pi}2 = 0, (рз = Mo/V% по-
получится такой состав частиц: тяжелые заряженные W^ бозоны
W± = (Al т %А1)/у/2 D.93)
с массами т^ = е2/Хд/А, скалярное поле а = <рз — /хо/л/А с мас-
массой то2 = 2/Xq и электромагнитное поле Ад, которое остается безмас-
безмассовым. В инфракрасном пределе эта теория описывает свободные фо-
фотоны. Все тяжелые поля могут рассматриваться в этом пределе как
регуляторы для этой фотонной теории, заменяющие решеточную ре-
регуляризацию. То, что таким способом получается компактная версия
теории фотонов, проявляется в существовании нетривиальных инстан-
инстантонов для действия D.92). Они имеют вид (для D = 3)
u@) = 0, u(oo) = мо
а@) = 0, а(г) ~ — 1/г, г —> оо.

4-3. Компактная КЭД (О{2)-калибровочная модель) 83
Анализ, который будет приведен в главе 6, показывает, что это ре-
решение имеет конечное действие и описывает магнитный заряд. Сейчас
достаточно заметить, что Аа^ ~ 1/г и F*v ~ 1/г2 при г —v ос, и пото-
потому взаимодействие двух подобных объектов / F^vd3x ~ r3/r4 ~ 1/г
имеет вид кулоновского потенциала. Таким образом, весь наш анализ
компактной электродинамики в трех измерениях прекрасно работает
для модели Джорджи-Глэшоу. В частности, в режиме слабой связи в
этой модели происходит конфайнмент электрических зарядов линей-
линейным потенциалом при D = 3, а при D = 4 остается обычный закон
Кулона для электрических сил.
Было бы очень интересно построить непрерывную формулировку
компактной теории с тензорами третьего ранга. К сожалению, она не-
неизвестна, главным образом из-за того, что в этом случае трудно найти
непрерывное неабелево обобщение теории.

Глава 5
Конфайнмент кварков, сверхтекучесть,
упругость. Критерии и аналогии
В предыдущей главе мы, в основном, интересовались влиянием ин-
стантонов на массовую щель. Здесь мы приведем более прямые крите-
критерии конфайнмента, вычислив электрическую силу между зарядами и
диэлектрическую проницаемость вакуума. Мы обсудим также анало-
аналогии с некоторыми явлениями в физике твердого тела.
Начнем с общего выражения для статического потенциала, приме-
применимого и в абелевом и в неабелевом случае. Основная идея состоит в
следующем. В главе 3 мы видели, что собственные состояния гамиль-
гамильтониана могут быть разделены на секторы, содержащие статические
заряды в точках Xi,... , ждг с цветовыми спинами (в качестве приме-
примера рассматриваем группу SUB)) Ii, ... , /jy- Мы покажем теперь, как
выразить статистическую сумму
гAиХ1, ... , IN, xN) =Y,e~0Enih'Xl'-'lN'XN) E-1)
п
через континуальный интеграл. Здесь En(Ii, х\, ... , In, Xn) — энер-
энергетические уровни в соответствующем секторе, а /3 — обратная фи-
физическая температура (а не обратная константа связи). Нам кажется
удобным начать с ненулевой температуры и по физическим и по техни-
техническим причинам. Статический потенциал (зависящий от 0) определя-
определяется как разность свободных энергий в данном секторе и в вакуумном
секторе
с-8УAг,хг 1к,хк;в) = Z(Jb Ъ., ... , IN, XN) ^ ^^
Нашей первой целью будет выразить эту величину через континуаль-
континуальный интеграл по калибровочным полям. Вывод основан на следующей
квантовомеханической формуле:
Z{x, х, р) = ^,
П
E.3)
{/3
- / <
I
- I dT(x2 + v(x)) }.

85
Обобщение ее на калибровочную систему выглядит так:1
E-4)
Здесь точками обозначены производные по времени, индексы относят-
относятся к пространственным направлениям, F^ — магнитная часть напря-
напряженности Янга-Миллса, и в сумму включены все состояния системы.
Вычислим сначала статистическую сумму, отвечающую вакуумному
сектору. Чтобы выделить его вклад из E.4), используем следующее за-
замечание. В соответствии с C.37)
для вакуумного сектора и
Ф„(АП) = ТТ 2>JJ (u(xj)) Ф„(А) E.5)
з
для сектора со статическими зарядами в точках {xj} (здесь V — матри-
матрица представления для группы SUB)). Функции V обладают следующим
свойством:
fduVI(u)=0 для 1фЪ E.6)
(интеграл берется по групповой мере для SUB)). Используя E.5)
и E.6), заключаем, что
z/o = > е =
= I Vu(x) l Т>А^(х, т) x
J Ja,,(x,0)=A^(x,O)
dxdr\ =
E.7)
1Выбрана калибровка Aq(x) = 0.

86 Глава 5
Мы видим, что для выделения калибровочно-инвариантных состояний
(вакуумного сектора) надо интегрировать по калибровочным полям,
подкрученным на калибровочное преобразование п. Полное Z опреде-
определяется интегралом по строго периодическим А^ .
Чтобы выделить вклад сектора с определенным числом статичес-
статических зарядов, нужно рассмотреть интеграл
Z(h, яц,... ,/дг, xN)= IVU(x) XiA
E.8)
где Х/(П) — характер представления спина I,
+1
m=-I
Эту формулу легко проверить с помощью закона преобразования C.51)
и стандартных условий ортонормальности для матрицы представле-
представления V1. Для любой другой группы G формула остается такой же, толь-
только / надо заменить на набор чисел, определяющий представление.
Окончательно получаем
причем усреднение производится с помощью «подкрученной» статисти-
статистической суммы Z[il] в качестве веса. Из этого представления вытекает,
что одиночный статический заряд / будет иметь бесконечную энергию,
если
{Xi(u(x))) = 0. E.11)
Линейный потенциал между двумя зарядами соответствует
Покажем теперь, что в калибровочных системах есть симметрия, ко-
которая, если она не нарушена, ведет к условию E.11) для полуцелых I,
и, следовательно, к конфайнменту зарядов. Это симметрия описыва-
описывается центром калибровочной группы. В случае SUB) центр состоит
из элемента —I (I — единичная матрица), а в случае SU(N) — из
элементов e27nn/Nj_ Умножение на центральный элемент порождает в
случае SUB) отражение $7 —у — $7, а в случае SU(N) — преобразования
П -»• e2ni/Nn. E.13)

87
Из определения Z[fl],
Z[U] = fvAp{x,
E.14)
!, /3) = u~1Afl(a
видно, что Z[il] действительно инвариантно относительно описанных
преобразований. В то же время (для SUB))
/-целое,
/-полуцелое.
Мы приходим к выводу, что при ненарушенной симметрии форму-
формула E.11) справедлива для полуцелых I, и нет никаких причин для вы-
выполнения этого же соотношения при целых I. Мы уже встречались с
такой ситуацией в главе 3 и объяснили ее экранированием целых спи-
спинов I глюонами с I = 1.
Полуцелые спины не могут быть экранированы, если симмет-
симметрия $7 —у —$7 не нарушена. Но в фазе с нарушенной симметрией они
тоже экранируются, и (xi) ф 0. Вопрос о том, какая фаза реализуется
в теории, — это вопрос конкретной динамики.
Ниже мы увидим, как этот вопрос решается в случаях, разбирав-
разбиравшихся в предыдущих главах. Но прежде приведем другой критерий
конфайнмента, который иногда бывает удобнее. Он применим, однако,
только при нулевой температуре.
Рассмотрим замкнутую петлю С и свяжем с нею фазовый множи-
множитель
Ф(С) = Р ехр / Ад dx11. E.16)
Jc
Здесь Р ехр обозначает упорядоченную экспоненту
Рехр/ Арйх? = lim TTA + Ад(ж,-)Д<) E.17)
JC Axj-Ю1-^ J
(напомним, что Ад — матрица, лежащая в алгебре Ли нашей группы,
и сомножители в E.17) не коммутируют друг с другом). Свойства ка-
калибровочных систем могут быть охарактеризованы поведением корре-
корреляционной функции
E.18)

88 Глава 5
Покажем, что в случае, когда
»• exp(-constAnin(C)) E.19)
(^min(C) — минимальная площадь поверхности, натянутой на С) для
достаточно больших петель, статический потенциал между заряда-
зарядами линеен. Для доказательства рассмотрим прямоугольник в плоскос-
плоскости x3,t и выберем калибровку Ао = 0. Тогда имеем
о R
JA3(x3,T)dx3-Pexp f A3(x3,0) dx
R 0
О R
о
= @\VImm,(pexpJA3(x3,0)dx3y
где
я
I). E.20)
Был использован стандартный прием суммирования по полному набо-
набору состояний; через И обозначен гамильтониан системы. Критическую
роль в этом вычислении играет то, что вакуум |0) принадлежит калиб-
ровочно-инвариантному сектору, а состояния \п) — сектору с двумя
статическими зарядами, несущими цветовые спины I. Это происходит
из-за того, что Р-экспонента в E.20) не калибровочно-инвариантна, а
преобразуется как
R R
A^dx3 =fi-1@)(Pexp / A3dx3m(R). E.21)
V J J

89
Поэтому состояния
преобразуются по правилу, которое согласно C.51) отвечает сектору с
двумя зарядами.
Переходя в E.20) к пределу Т —> ос, находим
W!(CRT) -). е-Ео^т, E.22)
Т->оо
где Eq (R) — минимальная энергия в двухзарядном секторе. Отсюда
видно, что «закон площадей» E.19) отвечает
Ei0I)(R)^R. E.23)
На основе всего изложенного мы ожидаем, что закон площадей будет
справедлив в фазе конфайнмента для полуцелых I, тогда как для це-
целых I закон убывания Wi(C) будет гораздо медленнее. Интуитивно
этот критерий можно понять так. Возьмем заряд I и пронесем его
вдоль замкнутой петли С в пространстве-времени. Амплитуда, отве-
отвечающая такому процессу, равна Wj(C). С другой стороны, эту петлю
можно интерпретировать как образование пары кварк-антикварк, рас-
распространение ее в течение длительного времени Т и аннигиляцию пары.
Зависимость этой амплитуды от Т должна определяться множителем
ехр{—iE(R)(—г'Т)} = ехр(—E(R)T), где E(R) — энергия взаимодейст-
взаимодействия пары, а (—г'Т) — время ее существования. Отсюда мы снова полу-
получаем E.22).
Проверим теперь, имеет ли место конфайнмент в моделях, кото-
которые мы описали в предыдущей главе, и вычислим силу, связывающую
заряды. Мы покажем, что инстантонные вклады в фазовый множитель
в случае ОB)-калибровочной теории при D = 3 приводят к закону пло-
площадей.
Это очень простое вычисление, так как
F(C) = /ехр (г I A\ dxA \ и /ехр (г Г Яд dsA \ , E.24)
и мы знаем из D.76), что этот коррелятор равен
F(C) = /ехр (i j r1(x)p{x) dx\ \ , E.25)

90 Глава 5
где
Поскольку поле т](х) достаточно сильное, нельзя пренебречь нелиней-
ностями в D.74). Поэтому правильнее записать F(C) в виде
F(C) = exp |- (^J I [(V(xci - г,)? ~ М2 cosxci] d3x J , E.26)
где Xci определяется из нелинейного уравнения Дебая
22 E.27)
Флуктуационные поправки к этой формуле экспоненциально малы.
Предположим, что контур С расположен в плоскости ху. Тогда
уравнение E.27) принимает вид
п i \ f 1? если х,у е S:
0s(x,y) = { q]
E.28)
в противном случае.
Вдали от контура уравнение E.28) становится, в сущности, одно-
одномерным (xci зависит только от z), и у него есть решение
[ 4arctg(e-Mz), z > 0;
Xd(z) = \ Л ) ' ' E-29)
[ -4arctg(eMz), z < 0.
Подставляя E.29) в E.26), получаем
e-^s, E(R)=-yR,
E.30)
7= ?= М / dy(bca-v")(x-v)
Этот результат E.30) показывает, что между двумя фиксированными
зарядами натянута электрическая струна с плотностью энергии j.

91
Сделаем теперь несколько замечаний. Во-первых, полезно понять
полученные результаты с помощью специальной диаграммной техники.
А именно, можно написать
+ + +
+ +... . [ ' '
Здесь коррелятор свободных полей Н обозначен сплошной линией, псев-
псевдочастицы — светлыми кружками, а кулоновское взаимодействие псев-
псевдочастиц — пунктирными линиями. Можно нарисовать более сложные
диаграммы, содержащие сплошные и пунктирные линии, но все их вкла-
вклады малы для малых импульсов и зарядов.
Из E.31) и D.78) видна критическая разница между вкладами
псевдочастиц и инстантонов в корреляционные функции. Инстантон-
ные вклады поперечные, а псевдочастичные — продольные, поскольку
величина дйНй измеряет плотность топологического заряда. Существо-
Существование двух этих вкладов делает возможным сокращение сингулярнос-
тей при нулевом импульсе.
Мы показали, что потенциал между двумя зарядами растет ли-
линейно. Понятно,что в нашей теории должен существовать бесконечный
набор резонансов, и хочется найти их спектр прямо из корреляционных
функций операторов высших спинов. К сожалению, в нашем приближе-
приближении эти корреляционные функции содержат только пороги, связанные
со скалярными частицами, и резонансы появляются лишь в старших по-
порядках, так что проблема резонансов остается нерешенной даже в этой
модели.
Интересное свойство наших формул состоит в том, что они описы-
описывают конфайнмент полуцелых зарядов, для которых справедливо усло-
условие квантования Дирака
ео • g = 2тг
(здесь g — минимальный заряд магнитного монополя). Если удвоить
заряд пробных частиц, то, как легко проверить, вклад монополей в
ехр{г J Нй dS1*} становится пренебрежимо мал, и удержания таких за-
зарядов не происходит. С точки зрения модели Джорджи-Глэшоу, опи-
описанной в главе 4, это очень естественно, поскольку целые заряды могут
экранироваться W^ бозонами, что невозможно для полуцелых зарядов.
Однако в случае решеточной ОB)-модели это заключение довольно не-
неожиданно. Таким образом, мы доказали ожидавшийся ранее конфайн-
конфайнмент полуцелых зарядов в калибровочных ОB)-теориях при D = 3.
При D = 4 это уже не так для eg <S 1, поскольку короткие инстантон-
ные петли дают малый вклад в фазовые множители. Это легко прове-
проверить с помощью аналогичных вычислений.

92 Глава 5
Опишем теперь еще один подход к конфайнменту, который пред-
представляет определенный интерес из-за аналогий с физикой твердого
тела. Именно, покажем, что в фазе конфайнмента диэлектрическая
постоянная^диэлектрическая проницаемость вакуума равна нулю. Что-
Чтобы ввести эту величину для абелевых систем, рассмотрим антисим-
антисимметричное внешнее поле /дг/(ж), взаимодействующее с нашей системой
следующим образом:
= f
E.32)
(здесь _Рд„ = дцАи — д„Ай; мы пользуемся непрерывными обозначени-
обозначениями, хотя имеем в виду решеточную полевую модель). Из этого опре-
определения ясно, что W[f] инвариантно по отношению к калибровочным
преобразованиям «третьего ранга»
fnv -»¦ fnv + d^\v - dv\, E.33)
так как в E.32) их можно скомпенсировать сдвигом Ай —>¦ Ай + Ад.
Поэтому W должно зависеть от тензоров /д„ только через
Фц»\ = дд/г/А + dvh» + d\f,j,v. E.34)
На первый взгляд, отсюда следует, что постоянное внешнее поле /дг/ не
оказывает влияния на систему. Это действительно так, если мы нахо-
находимся в фазе с конечной корреляционной длиной. Однако в присутствии
безмассовых фотонов для постоянного /дг/ имеем (пренебрегая для на-
начала инстантонными эффектами)
e-w[f] =
VA pvnl—— / F2 (Ут1руп1-— If2
iy^Mexpi 2 i ^^(JJ. exp 2 i )^
\ e0 J / \ e0 J
W[f]-W[0] = ± I fcdx
e0 J
E.35)
(так как / F^f^dx = /дг/ / F^vdx = 0). Учитывая слабые
(при D = 4) инстантонные эффекты, получим
E.36)

ны типа
93
где к, — некоторая постоянная, которую естественно интерпретиро-
интерпретировать как диэлектрическую постоянную вакуума. Очевидное противо-
противоречие между E.34) и E.36) легко разрешается, если заметить, что из-за
безмассовости фотона в эффективном действии могут появляться чле-
/ Ф^к\д~2ф1М/х dx dx' (где д~2 — обратный лапласиан). Такие
члены не обращаются в нуль при постоянном /д„ и приводят к ре-
результату E.36). Заметим, что постоянное поле /дг/ можно устранить
преобразованием
А11^А„ + /„„ж", E.37)
которое изменяет граничное условие, которое до преобразования име-
имело вид AM|inf = 0. Если в системе имеются длинномасштабные корре-
корреляции, такое изменение граничных условий сказывается на статисти-
статистической сумме, которая приобретает зависимость от /д„. Как мы знаем,
при е2 > eocr в D = 4 появляется массовая щель, что отвечает фазе
конфайнмента. Из приведенных аргументов следует, что в этой точке
диэлектрическая постоянная к обращается в нуль и остается нулевой
во всей области конфайнмента:
к(е20) = 0 для е2 > е2Ос1. E.38)
В случае D = 3 проницаемость к равна нулю при любых значениях
константы связи. Из этого мы заключаем, что отклик на однородное
внешнее антисимметричное поле, описываемый диэлектрической по-
постоянной, может служить критерием конфайнмента:
Г const в кулоновской фазе;
. 1 E.о9)
в фазе конфайнмента.
Г
1^
Имеется интересная аналогия между к, в калибровочной системе и опре-
определенными величинами в системах с глобальными симметриями. Рас-
Рассмотрим отклик системы с глобальной ОB)-симметрией на внешнее
векторное поле г>д:
W[uM] тоже калибровочно-инвариантно,
Ифд + 5ДА] = \?[уц]. E.41)
Если пренебречь вихрями, то для постоянного г>д имеем
в У 9
W = Tcps(P) / V dx E.42)

94 Глава 5
с какой-то функцией ps@)- Постоянное поле г>д может быть устранено
преобразованием
?>-»¦ уЧ-г^ж", E.43)
но тогда изменятся граничные условия. Формула E.42) не противоре-
противоречит калибровочной инвариантности, поскольку из-за наличия в системе
безмассовых возбуждений г>д(ж) появляется в комбинациях типа
/" 17„ (V" - ^Л 17
W ~ / 17„ (V" - ^Л 17„ da;. E.44)
После фазового перехода, когда в системе появляется корреляционная
длина, должно быть
Ps(P) = 0 для р < 0СТ. E.45)
Аналогия между р$ и к очевидна. Интересно, что в случае, когда
наша ОB)-система применяется для описания 4Не, функция psifi) ин-
интерпретируется как сверхтекучая плотность. Поэтому нормальная фа-
фаза 4Не соответствует фазе конфайнмента в калибровочной системе, а
сверхтекучая фаза — кулоновской фазе. Покажем теперь, что р$ дейст-
действительно имеет смысл сверхтекучей плотности. Для этого рассмотрим
вторично-квантованный гамильтониан, описывающий бозе-жидкость:
/
dy) dx.
E.46)
Здесь и — короткодействующее межатомное взаимодействие. Предпо-
Предположим, что стенки сосуда, в котором находится жидкость, движутся
со скоростью v. Вопрос состоит в том, будет ли жидкость двигаться с
той же скоростью (из-за трения о стенки), или же останется в покое
(в случае сверхтекучести). Перейдем к системе координат, в которой
стенки покоятся. Это достигается преобразованием Галилея
Ф(ж) -»• е"™"хФ(ж), E.47)
после которого
\(да ~ imva)V\2 dx + --A= (Ho) - vP0 + Nmv2/2.
E.48)
Здесь

95
— полный импульс. Видно, что если до преобразования жидкость по-
покоилась (Ро = 0, {Но) = Eq), to после преобразования E.47) следует
ожидать появления в гамильтониане члена v2. Если жидкость до пре-
преобразования двигалась, то (Но) = Eq + Nmv2/2, Ро = Nmv, и подста-
подстановка E.47) дает (Но) = Ео- Если вспомнить теперь, что единственной
существенной в инфракрасной области величиной в 4Не является фа-
фаза (р(х) функции Ф(ж), мы придем к заключению, что сверхтекучесть
проявляется в отклике системы на преобразование фазы
<р(х) —У <р(х) ~~ rnvx. E.49)
Нормальная жидкость нечувствительна к такому преобразованию, тог-
тогда как сверхтекучая дает отклик. Мы видели, что такой отклик возмо-
возможен исключительно из-за полюсных членов в E.44).
Мы показали, что диэлектрическая постоянная в калибровочной
системе является точным аналогом сверхтекучей плотности ps- Эта
аналогия может быть распространена и дальше, чтобы охватить крис-
кристаллические системы, которые, как мы видели, описываются теми же
типами действий, зависящих от иа(х). В этом случае потребуется из-
изучить отклик системы на симметричные бесследовые поля,
иа(х) -^ иа(х) + ha0x0. E.50)
Снова неисчезающий отклик на постоянное поле ha$ (которое имеет
смысл внешнего гравитационного поля, так же как г>д могло рассмат-
рассматриваться как внешнее электромагнитное поле) может возникать в фазе
с дальними корреляциями и описывается формулой
W = \h2a?. E.51)
После плавления /х = 0. Нетривиальные константы к, ps, /x и т. п. мож-
можно, следуя В. Л.Березинскому, называть поперечными коэффициентами
жесткости. Их можно формально определить как вычеты в безмассовых
полюсах соответствующих поляризационных операторов, и потому они
существуют только в фазах с нарушенной симметрией. Эти величины
важны потому, что (как уже говорилось в главе 1) в случае калибровоч-
калибровочных систем и двумерных систем с глобальной симметрией параметры
порядка равны нулю, и полюсы в функциях Грина отсутствуют. Одна-
Однако полюсы имеются в соответствующих поляризационных операторах
и именно эти полюсы и вычеты в них определяют физику системы.
В неабелевом случае с глобальной симметрией легко определить
прямой аналог сверхтекучей плотности. Если взять, например, слу-
случай п-поля, то можно изучить его отклик на включение следующего

96 Глава 5
внешнего триплетного векторного поля:
= [Vn(x) exp|-| ({d^n+v^ x n)
E.52)
Снова мы видим, что W[v] должно быть инвариантным по отношению
к неабелевым калибровочным преобразованиям и зависеть от инвари-
инвариантных комбинаций
W[vll]=W\fllu],
E.53)
/Дг/ = dtlvv - dvvt,. + »,, х vv.
«Сверхтекучая плотность» может быть определена как вычет
vjjf^dx. E.54)
В неабелевых калибровочных теориях появляются трудности.
Здесь необходимо вводить калибровочное поле третьего ранга, /дг/, вза-
взаимодействующее с полем Янга-Миллса калибровочно-инвариантным
образом. Я не знаю, как это можно сделать в непрерывной теории, хо-
хотя на решетке есть некоторые возможности. Мы по-прежнему можем
ввести чисто статическую диэлектрическую постоянную, интегрируя
по полям Ад с граничными условиями
и определяя к как коэффициент перед (/д„J в эффективном действии.
Обращение такого к в нуль должно служить сигналом о конфайнменте
кварков.
Завершая этот раздел, подчеркнем, что введенные выше диэлектри-
диэлектрические постоянные;диэлектрическая проницаемость вакуума не имеют
прямого отношения к статическим потенциалам. Дело в том, что они
определяют отклик на бесконечно слабые поля, а статические заряды,
будучи квантованными, по необходимости конечны.

Глава 6
Топология калибровочных полей и близкие
вопросы
Мы уже видели в предыдущих главах, что в абелевых системах
проблема конфайнмента зарядов решается инстантонами.
В неабелевых теориях тоже имеются инстантонные решения. Одна-
Однако из-за больших пертурбативных флуктуации, обсуждавшихся в гла-
главе 2, трудно утверждать, играют ли они решающую роль в образовании
массовой щели и режима конфайнмента. В таких теориях имеется что-
то вроде инстантонной жидкости, с которой трудно работать. Вполне
возможно, что благодаря каким-то скрытым симметриям, имеющимся
в этих системах, инстантоны могут доставлять удобное семейство пе-
переменных для точного описания системы, но это пока что открытый
вопрос.
Тем не менее, поскольку инстантоны несут нетривиальную топо-
топологию (они описывают конфигурации полей, которые не могут быть
«распутаны»), некоторые проявления инстантонов не смешиваются с
пертурбативными флуктуациями.
В этой главе мы проанализируем топологические свойства неабе-
неабелевых инстантонов и солитонов и обсудим ряд связанных с ними ха-
характерных явлений.
6.1. Инстантоны для D = 2, N = 3 «.-полей
Давайте найдем минимум классического действия n-поля в слу-
случае N = 3. Чтобы это действие было конечным, наложим граничные
условия
п(х) —>¦ щ. F.1)
х—^оо
Так как бесконечность может рассматриваться как одна точка, на-
наше ж-пространство топологически является сферой. Каждая конфигу-
конфигурация п(х) определяет отображение такой ж-сферы на сферу п2 = 1,
которое в случае N = 3 есть отображение S2 —у S2. Известно, что
такие отображения классифицируются целыми q, которые определяют,

98 Глава 6
сколько раз вторая сфера накрывается первой. Простейший пример та-
такого ^-отображения дается формулами
¦д = в, <f = q<p (mod 2тг). F.2)
Здесь ($, ф) и (&,ф) — полярный и азимутальный углы для первой и
второй сфер. В этой формуле q должно быть целым, так как в противном
случае это отображение было бы разрывным. В общем случае число
накрытий (или топологический заряд) дается формулой
2тг я-
(д(ё, ф)/д(&, (р) = (дё/дд)(дф/д(р) - (дё/д(р)(дф/д&) — якобиан рас-
рассматриваемого отображения). F.3) можно легко переписать в более ин-
инвариантном виде. Для отображения п = п(х), п2 = 1 имеем
q=-^ I d2x п[д^п х д„п]е'"'. F.4)
Здесь бдг/ — стандартный антисимметричный тензор. Эта формула про-
проверяется прямой подстановкой п = (cos??, sini?cosф, sinёsinф) в F.4),
после чего получаем F.3). Теперь мы хотим найти минимум классичес-
классического действия в секторе с данным q. Эта задача упрощается с помощью
следующего трюка. Рассмотрим тождество
\ I (д»п + ?дг/[п х dvn\J d2x =
F.5)
= 2 / EдпJ ^х ~ 2 / ?д^п[5дп х й/П] d2x.
Из F.5) заключаем, что
S = -^ [(дйпJ d2x=^ + -^ [(дйп + е^п х dvn\f d2x. F.6)
2е0 J е0 4е0 J
Как следует из F.6), чтобы найти абсолютный минимум для полей п с
топологическим зарядом q, не обязательно решать классические урав-
уравнения движения, которые суть дифференциальные уравнения второго

6.1. Инстантоны для D = 2, N = 3 п-полей 99
порядка. Вместо этого можно рассмотреть уравнение первого поряд-
порядка, которое оказывается в каком-то смысле «квадратным корнем» клас-
классических уравнений движения. Мы имеем так называемое уравнение
дуальности
9дп = -?д„[п * д„п]. F.7)
Если уравнение F.7) удовлетворяется, действие имеет благодаря F.6)
абсолютный минимум, равный Anq/eg.
Уравнение F.7) легко решить. Введем комплексное поле w с помо-
помощью стереографической проекции
п\ + гп2 = 2w/(l + \w\2),
F.8)
2 2 2
Подстановка F.8) в F.7) преобразует это уравнение в
d-zw = (дг + id2)w = 0. F.9)
Следовательно, F.7) дает в точности уравнение Коши-Римана для
функции w. Эта функция должна быть не только аналитической, но
также и мероморфной, иначе поле п имело бы ветвления. Следователь-
Следовательно, самое общее решение имеет вид
w(z) = ТТ т1, F.10)
-L-L Z — 04
3 = 1 3
где w нормировано условием го(оо) = 1, отвечающим п(ос), направ-
направленному по оси ж1. Целое число q в F.10) есть в точности топологи-
топологическое число. Это можно увидеть без вычислений, так как из F.10)
следует, что обратная функция z = z(w) ^-значна. Отсюда следует,
что w-сфера ^-кратно накрывается ^-сферой. Конечно, нетрудно под-
подставить F.10) в F.4) и вычислить q явно.
Замечательное свойство инстантонов F.10) состоит в том, что они
не взаимодействуют классически. Имеются, однако, антиинстантоны
я - _
w = ]]_^—^, F.11)
3=1 Z 3
несущие отрицательный топологический заряд. Инстантон-антиинстан-
тонная конфигурация не является точным решением классического
уравнения (так же, как это было для кинков и антикинков в главе 4),

100 Глава 6
и имеет место взаимодействие диполь-дипольного типа. В самом деле,
инстантоны F.10) имеют естественную структуру диполей с полюсами
в точках aj и bj.
Если мы перейдем от этой приятной и ясной математики к кон-
континуальному интегралу, мы столкнемся с одной трудностью. Действи-
Действительно, в то время как в нулевом порядке теории возмущений одноин-
стантонный вклад пропорционален e~Scl = е~4я"/е°, ясно, что квантовые
флуктуации должны перенормировать константу связи eg. Окончатель-
Окончательный вклад может быть найден без явных вычислений с помощью сле-
следующего рассуждения. Как видно из F.10), эффективный размер ин-
стантона с параметрами а и Ь равен \а — Ъ\. Естественно ожидать, что eg
в полученном выше выражении следует заменить на
е2(|а-6|) ~ 2?r/log(A|a — bl), F.12)
что следует из B.49) для N = 3. Инстантонный вклад Z^ должен
содержать интегрирование по параметрам а и Ь. Мера интегрирования
должна быть инвариантна относительно трансляций и растяжений (так
как при умножении всех aj и bj на общий множитель классическое
решение переходит в классическое решение).
Итак мы ожидаем, что
¦*/
F-13)
<Pa<Pb „ л2т, dp
(V — объем системы, р = \а — Ь\). Мы видим, что этот интеграл
расходится при больших значениях \а — Ь\, но как отмечалось в гла-
главе 2, для \а — Ь\ ^ Л формула F.12) неприменима, так как величина
е2(\а — Ь\) уже не мала. По этой же причине мы не можем доверять F.13)
в этой области, так как квазиклассическое приближение, используемое
при выводе F.13), применимо только при малых значениях константы
связи.
Тем не менее, имеет смысл поинтересоваться, что происходит при
учете многоинстантонного решения. Для этого нужно рассмотреть ма-
малые флуктуации вблизи такого решения. После взятия гауссова интег-
интеграла, мы получим детерминант соответствующей квадратичной фор-
формы, зависящей от {а,} и {Ь{\. Логарифм этого детерминанта может
рассматриваться как энергия взаимодействия инстантонов, возникаю-
возникающая в результате квантовых флуктуации. Наконец, мы должны про-
проинтегрировать по параметрам {а,} и {&;}. Эта программа может быть

6.1. Инстантоны для D = 2, N = 3 п-полей 101
выполнена явно, так как ядро упоминавшейся выше квадратичной фор-
формы сильно упрощается в случае самодуального фонового поля. Чтобы
увидеть это, напомним, что квадратичная часть действия описывает-
описывается формулой B.47). В случае группы 0C) удобно ввести комплексные
обозначения
FЛ4)
где мы воспользовались уравнением самодуальности F.7) в виде
и следствием соотношений B.45)
F^ = {(В;В„ - В„В1). F.15)
Ядро квадратичной формы F.14) совпадает с квадратом оператора Ди-
Дирака
1 (
о -
Хорошо известно (и будет обсуждаться в главе 8), что детерминант
оператора F.16) легко вычислить. Он равен
^^ d2x. F.17)
Чтобы вычислить многоинстантонные вклады, нужно еще проделать
большую работу. Нужно ввести коллективные координаты и вычис-
вычислить интеграл F.17). Я не знаю никакого простого способа сделать это
(хотя он, я уверен, существует). Поэтому, отсылая читателя за даль-
дальнейшими деталями к оригинальным статьям, я приведу окончательный
результат:

102
Глава 6
(,18)
Или после суммирования по q
9=о
log |b€ -
«; - bj\2j.
F.19)
Это совершенно неожиданный результат. Мы видим, что каждый ин-
стантон ведет себя так, как если бы он состоял из пары противопо-
противоположных кулоновских зарядов, помещенных в a,j и bj. Так как двумер-
двумерная кулоновская энергия дается формулой A/4тг) log |a — b\2, выраже-
выражение F.19) совпадает со статистической суммой плазмы с обратной тем-
температурой C = 4тг. Как обсуждалось в главе 4, такая плазма имеет две
различные фазы. При больших /3 заряды образуют диполи, система ней-
нейтральна и имеет большую корреляционную длину (массовая щель от-
отсутствует). При некотором критическом значении /3 (которое известно
и равно 8тг) происходит диссоциация диполей и при /3 < /Зсг = 8тг име-
имеет место фаза плазмы с дебаевским экранированием, и, следовательно,
появляется массовая щель. Мы заключаем, что благодаря квантовым
эффектам инстантоны «расплавляются» и рождают массовую щель.
Прежде чем обсуждать законность сделанного приближения, дадим
очень полезное представление для F.19). Оно основано на так называ-
называемых формулах бозонизации. Рассмотрим свободное безмассовое дира-
ковское поле ф = I L
для V = 2 и введем два оператора <т+ =
и а- = ф^фь- Можно показать, что
... a+{aN)a-(b1)... a-(bN)) =
= JJ I a» - aj\2\bt - bj\2 Д \щ - bj\~25N,M-

6.1. Инстантоны для D = 2, N = 3 п-полей 103
Из этой формулы следует:
= / Vxl){x) Vtp(x) exp I - [(ф г^д^ф + Хфф) d2x 1 F.21)
(где фф = a+ + а- дает массовый член). Мы видим, что в этом пред-
представлении разложение вблизи инстантонных решений становится раз-
разложением по массе. Из F.21) очевидно следует
JL^TrlogG'4 + A). F.22)
Bтг)
Разложение по Л приводит к все более и более сингулярным членам,
содержащим Jd2p/pn, но сумма F.22) хорошо определена.
Из приведенных выше вычислений мы можем вывести важные
следствия, но насколько эти результаты надежны? Есть два источ-
источника ошибок. Прежде всего, мы должны включить антиинстантоны и
принять во внимание их (классическое) взаимодействие с инстанто-
нами. Это взаимодействие диполь-дипольного типа. Можно предполо-
предположить, что нужно ввести два типа массивных фермионов ф\ и ф%, опи-
описывающих инстантоны и антиинстантоны, и рассмотреть некоторый
вид взаимодействия для ф\ и ф%. Этот подход1 приводит к некоторой
вполне интегрируемой модели, содержащей только что описанные фер-
мионы. Здесь возникает проблема: инстантон-антиинстантонная кон-
конфигурация может быть корректно определена только для достаточно
удаленных объектов, потому что в противном случае их трудно отли-
отличить от других флуктуации с нулевым топологическим зарядом. Эта
неоднозначность тесно связана с другим источником ошибок — од-
нопетлевым приближением для квантовых флуктуации. Для каждого
отдельного д-инстантонного вклада имеется опасность того, что кван-
квантовые флуктуации инфракрасно расходятся, и эффективный заряд е2
становится чрезмерно большим. Понятно, однако, что после суммиро-
суммирования по q эти расходимости обрезаются на масштабах порядка дебаев-
ской длины А. На таких масштабах е2 ~ 1 и высшие поправки вряд ли
меняют результат. Это оставляет надежду, что, по крайней мере на ка-
качественном уровне, эта система правильно описывается в рассмотрен-
рассмотренном выше приближении. Более того, в интегрируемых системах часто
случается, что однопетлевое приближение оказывается точным реше-
решением. Поэтому оптимистический взгляд состоит в следующем. Необ-
Необходимо ввести инстантоны, описывающиеся массивным дираковским
полем ф\, и антиинстантоны, описывающиеся полем ф^. Затем нужно
¦'¦Предложенный Бухвостовым и Липатовым A980).

104 Глава 6
найти некоторую экстраполяцию инстантон-антиинстантонного взаи-
взаимодействия на малые расстояния. Можно надеяться, что такая экстра-
экстраполяция существует, и что получающаяся в результате система описы-
описывает тг-поле не только в однопетлевом приближении, но и точно. Яв-
Является ли эта картина правильной, можно, в принципе, проверить с
помощью точных решений, но это до сих пор не сделано.
Итак, в настоящее время неизвестно, можно ли переформулиро-
переформулировать точные свойства тг-полей в терминах инстантонов, но такая воз-
возможность, видимо, остается.
Подобная и даже более трудная проблема имеется в случае неабеле-
вых калибровочных теорий. Она будет обсуждаться в следующем раз-
разделе. А пока мы кратко обсудим, какого типа инстантонная структура
имеется в других версиях киральных моделей. Прежде всего, тг-поля с
группой O(N), N ^ 4 имеют тривиальную топологию. В самом деле,
любое отображение S2 —>¦ SN-1 для N ^ 4 стягиваемо. Почему это про-
происходит, легко понять, если рассмотреть случай отображения S1 —>¦ S2,
то есть когда окружность отображается на сферу, скажем, на ее эква-
экватор. Очевидно, что сдвигая эту окружность к северному полюсу, можно
стянуть ее в точку. Аналогично, любое отображение S2 —>¦ SN-1 мо-
может быть деформировано в тривиальное. Несколько более сложное рас-
рассуждение показывает, что отображение S2 на любую неабелеву группу
Ли G, описываемое главным киральным полем g(x), тоже стягивае-
стягиваемо. В этих теориях нет устойчивых инстантонов. Киральные теории,
которые обладают инстантонными решениями, описываются фактор-
пространствами G/H, где Н содержит ?/A) в качестве прямого со-
сомножителя. Объясним, как это происходит. Поля в указанных теориях
могут быть представлены в виде
4>а(х) = gMfP, xGS2, F.23)
где gab € G и (рь — постоянное поле, инвариантное относительно Н:
habfT = <Р{°] Для h?H. F.24)
Матрица gab в F.23) не обязана быть непрерывной по х. Рассмот-
Рассмотрим множество матриц g^N\x), определенных на северной полусфере,
и g(s\x), определенных на южной полусфере. Предположим, что на эк-
экваторе имеет место соотношение:
g(N)(x) = g(s)(x) ¦ h(x), x ? экватору = S1, h? Я. F.25)
Из F.23) и F.24) видно, что несмотря на разрывность g(x), поле (ра(х)
непрерывно и определяет отображение S2 —>¦ G/H. Из F.25) заключа-
заключаем, что эти отображения можно классифицировать как отображения

6.2. Инстантоны в неабелевых калибровочных теориях 105
экватора в Н: S1 —>¦ Н. Если Н = U(l), это будут как раз отображе-
отображения S1 —>¦ S1, характеризуемое числом намотки одной окружности на
другую. Если Н = U(l) х (нечто), то можно отобразить S1 на первый
множитель в Н. Доказанное утверждение записывается математически
так:
7Г2(С/Я) ~7п(Я), если 7Г2(С) = О F.26)
(где тгк(М) — fc-ая гомотопическая группа, элементы которой состав-
составляют классы нетривиальных отображений Sk —>¦ М).
Наиболее известным примером киральной теории с инстантонами
является так называемая СР -1-модель, в которой поле принадлежит
комплексному проективному пространству:
-i SU(N)
SU(N-l)xU(l)
(при N = 2 это в точности 0C) тг-поле). У этой модели интересная
динамика. Мы обсудим ее в главе 8.
6.2. Инстантоны в неабелевых калибровочных
теориях
Неабелевы калибровочные теории с группой симметрии G облада-
обладают топологически нетривиальными полями. Это можно увидеть сле-
следующим образом. Чтобы действие Янга-Миллса было конечно, нужно
потребовать
A/х2). F.28)
Из этого условия заключаем:
А (г) i. n-~1(r)f) р(т) 4- п{\ /т) (U2Q)
ж->-оо
где g(x) e G.
Если ограничить наше четырехмерное евклидово пространство
большой трехмерной сферой S3, то в силу F.29) получим отображе-
отображение g(x): S3 —>¦ G. Легко видеть, что все такие отображения классифи-
классифицируются целыми числами для произвольной простой группы G. Дока-
Докажем это для G = SUB). Любая матрица g в этом случае может быть
записана в виде
g= n4+inr, F.30)
п\ + п2 = 1 «¦ g+g = I F.31)

106 Глава 6
(здесь т — матрицы Паули). Следовательно, элементы группы SUB)
находятся во взаимно однозначном соответствии с точками сферы S3,
определенной уравнением F.31). Отображение сферы S3, ограничи-
ограничивающей ж-пространство, на SUB), есть, следовательно, отображе-
отображение S3 —>¦ S3. В этом случае имеют силу те же рассуждения, что и для
отображения S2 —>¦ S2 в разделе 6.1. Есть целое число q, равное числу
накрытий, даваемое интегралом от якобиана. Аналог формулы F.4) в
этом случае имеет вид
q = т^ [ d3xeabcd?lluX{nadllnbduncdxnd) =
J F.32)
с
Легко проверить, что комбинация из п в первом равенстве дает в
точности элемент площади на S3 и, следовательно, подынтеграль-
подынтегральное выражение в F.32) представляет собой якобиан преобразования
из ж-пространства (образующего S3) в гг-пространство. Второе равенст-
равенство проверяется прямым вычислением или из того, что подынтегральное
выражение в этой формуле представляет собой единственное выраже-
выражение размерности 3, инвариантное относительно G x G:
g(x) -»¦ ugix)v-\ F.33)
Следовательно, оно должно быть пропорциональным элементу группо-
группового объема.
Мы получили следующую классификацию А^. Возьмем асимпто-
асимптотику данного поля А^ при ж —>¦ ос и определим g{x) из F.29). Затем
вычислим q по F.32). Калибровочные поля с различными q нельзя не-
непрерывно деформировать одно в другое.
Есть более удобное, чем F.32), выражение для q. Оно имеет вид
I?. \ л4
x = -^ [ Tr F A F. F.34)
бтг Jx
Во втором равенстве мы использовали удобное обозначение, употребля-
употребляемое в математике. Для каждого кососимметрического тензора Tfi-MP
ранга р можно определить р-форму:
тр = It-"" dx^ л • • • л dXlip,

6.2. Инстантоны в неабелевых калибровочных теориях 107
где внешнее произведение Л — кососимметрическая билинейная опера-
операция,
dxi A dxj = —dxj A dxi (т. е. dxi A dxi = 0).
В общем случае
Элемент объема n-мерного пространства тоже можно представить п-
формой:
dV = dx1 Л • • • Л dxn = —,еил „ dx»1 Л • • • Л dx»".
Ниже мы будем пользоваться операторной один-формой
которая преобразует р-формы в (р + 1)-формы:
dTp = -х(диТ^...^р) dxv Л dx^1 Л • • • Л dx»*.
Из этого определения следует важное свойство d2Tp = 0, справедли-
справедливое для произвольной формы Тр. Главное удобство таких обозначений
состоит в возможности избавиться от тензорных индексов, что много
экономнее. Операция d называется внешним дифференциалом.
Докажем теперь, что F.34) эквивалентно F.32). Для этого покажем
сначала, что подынтегральное выражение в F.34) есть полная дивер-
дивергенция. Рассмотрим вариацию подынтегрального выражения по полю.
Имеем
p(x)=Tv(FAF),
5р(х) =2Tr(F ASF),
, F.35)
F = dA + AAA= jrF^ dx» А дх"',
SF = dSA + AASA + SAAA = VSA
(F — 2-форма). В педагогических целях перепишем F.35) также в
обыкновенных обозначениях:
р(х) = ^„„
Р(Х) = 7j?»v\pTr(F»vSF\p) д4х, F.36)
гfiv = O\iAv — OvAfl + [Ар, Av\,
SF^ = d^SAv + [A,,, SAV] - (/x о v) = VpSAv - VvSAp.

108 Глава 6
Из этих тождеств получаем
5р(х) = 2TrF Л (д5А + А Л 5А + 5А Л А) =
= 2 Tr F A дбА + 2 Tr(F AA-AAF)ASA =
= 2TrF AdSA + 2TrdF ASA = 2d(TrF ASA) =
Mp) d4x,
где мы воспользовались тождеством Бьянки
[V, F] = dF + A A F - F А А =
= \{dvFXp + [Av,FXp]) dxv А дхх A dx? = 0. (б-38)
Итак, имеем
5p(x) = (dll5W(x))dix,
Теперь мы хотим получить выражение для самого тока /См. Введем для
этого параметр т :0^ т ^ 1 и рассмотрим семейство калибровочных
полей Ац(х,т) = тАц(х). Согласно F.39), имеем
(*,т)
дт ~? ^y^'T) дт )- F.40)
= е^Тг{(т(д„Ах-дхА„)+т2[А„,Ах])Ар}.
Интегрируя F.40) по т, получим
„АА - dxAv + |[А„,А)
F.41)
F.42)
( *FfJ,l/ = lyEfivXpF p\ .
Конечно, после того как ответ F.41)-F.42) уже известен, его можно
проверить прямым вычислением.
Подстановка F.42) в F.34) дает
А / ^д(т^ (б-43)
О7Г J

6.2. Инстантоны в неабелевых калибровочных теориях 109
где интегрирование проводится по большой сфере S3. На больших рас-
расстояниях Fllv = 0, и F.41) можно заменить на
Ар)
F.44)
Это доказывает эквивалентность F.32) и F.34).
Теперь нам нужно найти инстантонное решение с q = 1. Как и в
случае тг-поля мы можем не решать сами уравнения Янга-Миллса, а
рассмотреть «корень квадратный» из них. Воспользуемся тождеством
F.45)
Мы видим, что решение уравнения «дуальности»
F»v = *F^V F.46)
с фиксированным q доставляет минимум действия. В самом деле, не-
нетрудно проверить, что если выполняются уравнения F.46), выполня-
выполняются и уравнения Янга-Миллса
V^F^ = 0 F.47)
(обратное не верно). В самом деле, продифференцируем F.46):
V^F"" = VM %„ = 0. F.48)
Последнее равенство является следствием тождества Бьянки
VaFfr + VpFja + V7Fa/3 = 0,
если Fa/3 = даАр - дрАа + [Аа, Ар].

110 Глава 6
Заметим, что для постоянных Аа оно редуцируется к тождеству Якоби:
[Аа, [Ар, А,}} + [Ар, [Ау, Аа]] + [А,, [Аа, Ар}} = 0. F.50)
Мы видим, что уравнение «дуальности» F.46) является в опре-
определенном смысле четырехмерным аналогом уравнений Коши-Рима-
на F.9). Наличие многоинстантонных решений — самое удивительное
свойство этих уравнений. Опишем вначале решение с q = 1. Вид этого
решения можно найти с помощью следующего трюка.
Рассмотрим вместо калибровочной группы SUB) группу SUB) x
xSUB) ~ 0D). Тогда группой симметрии уравнений F.46) будет
группа 0D) х 0D), где первый множитель отвечает за пространст-
пространственные вращения, а второй — за изотопические. Будем искать реше-
решение, нарушающее 0D) х 0D), но сохраняющее одну 0D), порожден-
порожденную одновременными вращениями в изотопическом пространстве и х-
пространстве. Затем мы вернемся к SU{2).
Генераторы 0D) описываются кососимметричными матрицами
1аР = —1^а, порождающими вращения в плоскостях (а, /3). Следова-
Следовательно, калибровочные поля для группы 0D) тоже несут индексы а, C:
A»={Af{x)). F.51)
Наиболее общий 0D)-симметричный анзатц дается формулой
Af(x) = a(r2)(xaS^ - xpSpa), r2 = х^. F.52)
Из соображений симметрии он должен быть совместен с уравнениями
Янга-Миллса и дуальности. Шесть полей A^f можно разбить на два
набора по три поля Аа^ и _В* в каждом. Каждый набор отвечает груп-
группе SUB). Это разбиение имеет вид
К = I Uf + \еаЬсАьЛ = haf
:; : { Л F-53)
тза _ 1 / 40а , 1 аЪс дЬс\ — к„ а Л»Р
v ~ 2 \ V 2 v- ) ~ 4^а/3а м
(здесь г]аъс = ?аЬс; Vabo = $а,ь и т. д.). Смысл этого разложения состоит
в том, что коммутационные соотношения
F.54)

6.2. Инстантоны в неабелевых калибровочных теориях 111
записываются в виде
[Xt, Х±] = eabcXf, [Х+,Хъ] = О,
где
Ха = й ( 2?аЬс1ьс ± 1аО ) •
Из F.52) и F.53) мы заключаем, что анзатц
A% = -\riailvxva{ri) F-55)
совместен с уравнениями дуальности. Подстановка F.55) в F.46) дает
после простых вычислений
F.56)
((х-аJ +р
,2\2
с произвольным масштабным параметром р и координатами инстанто-
на «д.
На этот неабелев инстантон можно смотреть как на магнитный ди-
диполь размера р. Если мы теперь рассмотрим одноинстантонный вклад
в статистическую сумму Z, мы обнаружим, как и в случае тг-поля, что
подынтегральное выражение распадается на несколько множителей.
Прежде всего, у нас есть множитель e~Scl = е~Ьж /е°, который мы за-
заменим с учетом однопетлевой поправки на е~8ж Iе (р\ где (для SU(N))
- log(Ap)
F-57)
— эффективная константа связи на масштабе р. Этот вклад нужно про-
проинтегрировать по р и а. Мера должна быть как масштабно-, так и транс-
ляционно-инвариантна. Единственная комбинация с этими свойствами
имеет вид d4Rdp р~5. Отсюда находим
[ Це-^1^^ = V [ Цр11^ F.58)
J P
(V — 4-объем).

112 Глава 6
Так же как в случае тг-поля, инстантонный вклад имеет инфракрас-
инфракрасную расходимость. Отсюда следует, что в многоинстантонной картине
индивидуальные инстантоны стремятся расти и перекрываться. Поэ-
Поэтому наивная аппроксимация разреженного газа не применима, и мы
должны ожидать чего-то вроде диссоциации диполеподобных инстанто-
нов на элементарные компоненты, как это получается в случае тг-поля.
Однако пока еще не проведено даже однопетлевого вычисления в мно-
гоинстантонном поле и не открыто ничего вроде кулоновской плазмы
из предыдущей главы. Это частично связано с отсутствием явной па-
параметризации многоинстантонных решений. Я полагаю, что уже на од-
нопетлевом уровне нас ожидает много интересных сюрпризов.
Есть интересное феноменологическое описание инстантонной жид-
жидкости, которое описывает ряд качественных свойств адронов. Этот под-
подход не будет обсуждаться в этой книге1.
Итак, мы заключаем, что на нынешнем уровне понимания инстан-
инстантонной динамики мы не можем получить никаких точных динамичес-
динамических характеристик в неабелевой теории поля. В случае тг-полей ситуа-
ситуация несколько лучше, так как мы в состоянии на качественном уров-
уровне продемонстрировать наличие массовой щели в этой теории. Даже в
этом случае хотелось бы иметь более глубокое понимание ситуации.
Есть основания верить, что в ближайшем будущем в этом вопросе бу-
будет достигнут значительный прогресс. В случае калибровочных полей
остается только слабая надежда на удачу.
В то же время существование полей с топологическим зарядом ока-
оказывает глубокое качественное воздействие на динамическую структу-
структуру теории. Некоторые явления мы опишем в следующем разделе.
6.3. Качественные эффекты инстантонов
Наиболее драматическое проявление топологических эффектов
имеет место, когда мы принимаем во внимание взаимодействие безмас-
безмассовых дираковских фермионов с инстантонами. В этом разделе будет
показано, что инстантоны приводят к нарушению некоторых очевид-
очевидных законов сохранения. Качественно этот эффект можно описать так.
Исследуем изоспинорное дираковское поле ф во внешнем неабелевом
калибровочном поле А^. Оно описывается действием
= j
F.59)
хСм. Дашен, Каллан и Гросс A979).

6.3. Качественные эффекты инстантонов 113
На классическом уровне это действие сохраняет аксиальный ток
#/.(*^75^)=0. F.60)
Однако, если мы рассматриваем аксиальный ток, возникающий в ва-
вакууме во внешнем поле Ац, уравнение F.60) оказывается неверным в
силу так называемой квантовой аномалии. Покажем, как это получает-
получается. Производящая функция фермионов во внешнем поле имеет вид
Z[A] = iv^V^ exp (- f фi7"(Зм + А^фdAx\ . F.61)
Индуцированный аксиальный ток записывается как
^(х,А) = Z~l[A] [щщ ехр(-[ф^(дЙ+
+ + +...
F.62)
где G(x,x';A) — функция Грина оператора Дирака в поле Ац. Выраже-
Выражение F.62) расходится из-за сингулярности функции Грина в совпадаю-
совпадающих точках. Необходимо, следовательно, ввести обрезание и отделить
расходящиеся члены в J^.
Чтобы выполнить эту программу, выразим G(x,x';A) через собст-
собственные функции фп{х) оператора Дирака:
*7"(^ + А?)Фп(х) = Епфп(х). F.63)
Согласно стандартным формулам, функция Грина записывается как
G(x, x ) = ^ . F.64)
Чтобы регуляризовать F.64), подставим в сумму по собственным зна-
значениям множители е~еЕ", где ? порядка А~2, А — импульс обрезания.
Мотивировка этой процедуры такова. Расходимостей при больших им-
импульсах или при больших п в F.64) не возникает в теории на решетке.
Низколежащие Еп в непрерывной и решеточной теориях совпадают, в
то время как высоколежащие Еп в решеточной теории вообще отсут-
отсутствуют, так как имеется лишь конечное число степеней свободы на
единицу объема. Если мы ожидаем, что ультрафиолетовая область про-
производит только локальный эффект, исключаемый перенормировкой, мы

114 Глава 6
можем имитировать решетку путем естественного обрезания — сгла-
сглаживающего множителя е~еЕп. Мы пишем здесь Е\, так как Еп в F.62)
может быть как положительным, так и отрицательным.
После этих пояснений вычислим величину
?ей™, F.65)
которая и есть регуляризованный аксиальный ток. Имеем:
o^Jfib — > р е » —
п
= -2 Y, Фп1ьфпе-ЕЕ" = 2 Тг(Ж|75е-еР|ж>, F-66)
П
Здесь мы воспользовались тождеством, следующим прямо из F.63),
Последнее выражение в F.66) легко вычисляется при ? —>¦ 0. Имеем
V = (ij^Vf,J = -{д» + А^J - ^iV; a^ = |[7д,7.]- F-67)
Наиболее сингулярный член в е~еТ> происходит из д2^ в F.67). Если
пренебречь всеми полями, то
[ ^2 \ F.68)
BтгL 16тг2е2
Разложения по А^ и F^ дадут менее сингулярные члены. Эти члены
важны, так как при А^ = 0
^ Тг75 = 0. F.69)
Раскладывать (д^+А^J по А^ бесполезно, так как множитель TV75 = 0
будет оставаться во всех членах. Разложение до первой степени a^F^

6.3. Качественные эффекты инстантонов 115
тоже не помогает в силу Тг у^сг^ = 0. Первый ненулевой вклад возни-
возникает во втором порядке по F:
FXp). F.70)
Если заметить, что
и сравнить F.70) с F.66), получится
д уга /у /ayrae-E?;n = -1 Tr(F „ F „). F.71)
- ¦- м -Е-п 8тг2 м" Д!/
п
Это «аномальное» соотношение и другие подобные ему имеют удиви-
удивительно много следствий. Прежде чем переходить к ним, повторим еще
раз, как возникает F.71).
Мы исходим из лагранжиана, который сохраняет аксиальный ток
или, другими словами, сохраняет отдельно число левых и правых фер-
мионов if>RtL = оA±75)'</'- Так как эта теория расходится, мы рассмат-
риваем ее регуляризованную версию и устремляем параметр обрезания
к бесконечности. Затем находим конечный вклад (который не зависит
от способа обрезания) в дивергенцию аксиального тока F.71). Это зна-
значит, что при регуляризации теории мы вынуждены нарушить закон
сохранения аксиального тока и что в пределе Л —>¦ сю конечная часть
этого нарушения остается. Приведем пример такого явления. Возьмем
нерелятивистский одномерный ферми-газ в основном состоянии. Это
состояние образуется частицами с импульсами — рр < р < рр, где рр —
импульс Ферми. В спектре этой системы нет массовой щели (если нет
сверхтекучести). Возбуждения, имеющие сколь угодно малую энергию,
отвечают частицам и дыркам с импульсами, лежащими вблизи ±рр.
Энергия возбуждения пары частица-дырка дается формулой
„ (рр+КгУ (рр-К2У
где pp+Ki — импульс частицы, а рр —К2 — импульс дырки. Следова-
Следовательно, все низколежащие возбуждения описываются двумя полями —
полем фя(к), отвечающим частицам с р ~ рр + к (их античастица-
античастицами являются дырки с р = рр — к) и полем фь{к) отвечающим части-
частицам ср~ — рр — к. Эти поля имеют линейный спектр (в соответствии

116 Глава 6
с F.72)) и удовлетворяют безмассовым уравнениям Дирака
(ш - к)фь = О,
Вроде бы аксиальный ток сохраняется. Однако фь{к) и 1рЕ,(к) не со-
совсем независимы: они смешиваются при к ~ pp. Следовательно, учет
области вблизи радиуса обрезания (в данном случае радиус обрезания
совпадает с импульсом Ферми) приводит к несохранению числа левых
и правых частиц по отдельности. Приводит ли это к конечному эффек-
эффекту после исключения обрезания, это отдельный вопрос. Это зависит от
того, компенсируется ли малость амплитуд, описывающих частицы с
импульсами р ~ рр, большим числом частиц в море Дирака.
Наше вычисление, приводящее к F.71), показывает, что в слу-
случае V = 4 такая компенсация происходит. Хотя вычисления были вы-
выполнены для специальной регуляризации теории, можно показать, что
окончательный результат F.71) конечен и не зависит от способа регу-
регуляризации. В размерности больше единицы релятивистские фермионы
обязательно обладают спином ст. В этом случае ш = сгК. Бесспиновые
фермионы не могут быть релятивистскими по теореме о связи спина и
статистики.
В правой части F.71) мы узнаем плотность топологического заря-
заряда. Как было показано в разделе 6.2, она может быть записана в виде
дивергенции от некоторого тока /См(ж). Следовательно, можно было бы
думать, что эта аномалия F.71) не нарушает сохранение аксиального
заряда, а только переопределяет аксиальный ток: J^ —>¦ J^b — 4тг2/См.
Однако это не так. Если мы рассмотрим поле А^ с топологическим за-
зарядом q и проинтегрируем уравнение F.71) по 4-мерному объему, мы
получим
I^5д4х = 2д. F.74)
Здесь
Яъ= J
и через AQ5 обозначено общее изменение Q5 за бесконечное время под
воздействием А^. Уравнение F.74) показывает, что оно равно удвоен-
удвоенному топологическому заряду А^.
Этот удивительный результат означает, что происходит «прину-
«принудительное» производство фермионов и антифермионов в топологически
нетривиальных полях и что число левых и правых частиц Nl и Nr с
необходимостью изменяется.

6.3. Качественные эффекты инстантонов 117
Наш вывод использовал евклидов формализм, но понять это явле-
явление нетрудно и в пространстве Минковского. Напомним интерпретацию
инстантонов в пространстве Минковского. Как мы уже видели в главе 4,
инстантоны описывают туннельный переход между двумя состояния-
состояниями, разделенными барьером (напомним пример двухъямного потенциа-
потенциала). В формулировке вещественного времени имеется много различных
траекторий, соединяющих эти два состояния. Однако, так как класси-
классическое действие не имеет соответствующего экстремума (в классике
этот переход запрещен), интерференция между траекториями сильно
деструктивна и амплитуда экспоненциально мала. Инстантон является
классическим решением в мнимом времени, которое объясняет малость
этих амплитуд, как было описано в главе 4.
После этого напоминания объясним, какие состояния связывают
инстантоны в неабелевых калибровочных теориях. Удобно перейти в
калибровку Ао = 0 в инстантонном решении. Тогда ненулевые компо-
компоненты An(x,t) удовлетворяют условиям
An(x,t) —> О,
'"~°° ! F-75)
An(x,t) —>g (x)dng(x).
t—>-\-oo
Здесь g(x) — матрица, удовлетворяющая условию g(oo) = I. Следо-
Следовательно, она отображает трехмерное ж-пространство, которое может
рассматриваться как S3 (в силу последнего условия) на группу G. Это
в точности то же топологически нетривиальное отображение, что и в
разделе 6.2, но записанное в калибровке Ао = 0.
Теперь янг-миллсовские инстантоны можно интерпретировать сле-
следующим образом. Конфигурационное пространство калибровочной тео-
теории состоит из всех возможных полей {Ап(х)}. Рассмотрим некоторый
переход в вещественном времени от нулевого Ап при t = — оо к g~1dng
с топологически нетривиальным g(x) при t = +oc. В силу топологи-
топологической нетривиальности поля g(x) при таком переходе с необходимос-
необходимостью возникают области ненулевой напряженности (в противном случае
поле g(x, t) в Ап(х, t) = g~x{x, t)dng{x, t) давало бы непрерывную де-
деформацию g(x) в /).
Интерпретация F.74) в пространстве Минковского состоит в том,
что ненулевая напряженность поля приводит к принудительному рож-
рождению пар. Слово «принудительное» здесь означает, что амплитуда пе-
перехода без рождения пар тождественно равна нулю.
Интересно проследить как это происходит в явных выражениях
для амплитуд.
Амплитуда перехода вакуум-вакуум, которая, как мы объяснили,

118 Глава 6
должна зануляться, дается интегралом (см. F.61))
Z[A] =
(В силу того, что ф — антикоммутирующая переменная, мы получи-
получили первую, а не минус первую степень детерминанта, или, другими
словами, фермионные петли появляются с отрицательным знаком).
Амплитуда F.76) равна нулю, так как оператор Дирака, как будет
показано ниже, имеет нулевые собственные значения в топологичес-
топологически нетривиальных полях. Поэтому детерминант, будучи произведением
собственных значений, равен нулю.
Доказательство того, что оператор Дирака имеет нулевые собст-
собственные значения, основывается на теореме Атьи-Зингера об индексе.
Мы дадим вывод этой теоремы в специальном случае, достаточном для
наших целей. Заметим, что в силу F.71)
д4х lim V^ Фп(х)'Уъ'Фп(х)е~еЕ" = — п. F.77)
п
Теорема об индексе следует из F.77) и наблюдения, что все ненуле-
ненулевые моды дают нулевой вклад в F.77). Это происходит из-за того, что
ненулевые собственные значения появляются парами, симметричны-
симметричными относительно отражения Еп —>¦ — Еп, фп —>¦ ^ъфп- (Проверьте это с
помощью уравнения F.63).) Величина фп'уьфп меняет знак при таком
отражении. Это доказывает сокращение.
Что касается нулевых мод, то они могут быть асимметричны. Это
и в самом деле так. Так как уравнение
7mVmV@) = 0 F.78)
75-инвариантно, функции ф^ можно выбрать чисто левыми и чисто
правыми:
, @) | , @) /„ »пч
IsVl r = Vlr' (о.79)
Если мы обозначим через пд^ числа соответствующих нулевых мод,
мы получим замечательную теорему
nR-nL = q. F.80)
Это показывает, что при q ф 0 и в самом деле имеются нулевые моды, и,
следовательно, амплитуда перехода вакуум-вакуум равна нулю. Более

6.3. Качественные эффекты инстантонов 119
того, нетрудно вычислить ненулевые матричные элементы, для кото-
которых выполнено правило отбора F.74). Рассмотрим вместо Z функции
Грина
G{xu уг) = Z~l Г Ъф Ъф e~s* (ф(Х1)... ф(хм)ф(У1)... ф{ум))- F.81)
Очевидно, это выражение плохо определено в поле инстантонов, так
как Z = 0. Обычно функция Грина представляет собой амплитуду пере-
перехода, деленную на амплитуду, отвечающую переходу вакуум-вакуум.
В поле инстантона это невозможно и нужно рассматривать абсолютное
значение амплитуды рождения частицы:
Z ¦ G(xt, т) = F(xi, yi) =
/
Так как действие квадратично, эта амплитуда может быть вычислена
разложением по нормальным модам
ф{х) = Y, СОафОа(х) + Y, Спфп{х). F.83)
Здесь {фоа} — нулевые моды оператора Дирака, а второй член пред-
представляет собой вклад ненулевых мод. В основе вычисления интегра-
интеграла F.82) лежит правило Березина
fdC = O и fcdC = l F.84)
для антикоммутирующих переменных. Так как
Coa dCOa Д dCn dCn F.85)
ty, ф) = Y, ЕпСпСп, F.86)
нужно тщательно собрать в подынтегральном выражении F.82) чле-
члены, содержащие произведение всех СоаСоа- Все остальные члены в
силу F.84) дадут нуль. Так как каждый левый фермион фОа порож-
порождает правый фоа, амплитуда будет ненулевой, только когда выполня-
выполняется правило отбора F.74). В этом случае амплитуда пропорциональ-
пропорциональна произведению соответствующих нулевых мод собственных функ-
функций фОа(х).

120 Глава 6
Выше мы рассматривали А^(х) как внешнее поле. Вполне очевидно,
однако, что если взять континуальный интеграл по всем полям Ай, в
том числе топологически нетривиальным, аксиальный ток не будет со-
сохраняться (дивергенция будет пропорциональна е~8ж /е°). Этот эффект
приводит к важным физическим следствиям в теории сильных и сла-
слабых взаимодействий, кратко описанным ниже. Здесь отметим другое
следствие правила отбора. Именно, это правило означает, что безмассо-
безмассовые кварки стремятся подавить инстантонный вклад, так как Z(A) = 0
в поле инстантонов. Однако инстантон-антиинстантонные конфигура-
конфигурации дают ненулевой вклад, если общий топологический заряд равен
нулю. Следовательно, эффективное действие [/(-R12), где Ri2 — рассто-
расстояние между инстантоном и антиинстантоном, обладает свойством
U(R12) —> ос. F.87)
R12—><х>
Мы видим, что обмен парой безмассовых фермионов приводит к даль-
нодействующим силам между инстантонами и антиинстантонами. Это
может вести к одному из следующих сценариев. Первый состоит в том,
что в силу F.87) в присутствии безмассовых фермионов происходит
подавление больших флуктуации, система теряет свойство конфайн-
мента, и мы остаемся с безмассовыми калибровочными полями, взаи-
взаимодействующими с фермионами. На основании некоторых аналогий и
модельных рассмотрений такая ситуация кажется мне крайне неправ-
неправдоподобной. Однако я не располагаю никакими строгими утверждени-
утверждениями, позволяющими отвергнуть такую возможность.
Имеется другая возможность, реализующаяся, по моему мнению,
в этой теории. Из-за сильного взаимодействия между фермионами,
киральная симметрия спонтанно нарушается и фермионы становятся
массивными. Дальнодействующая сила между инстантонами и антиин-
антиинстантонами отсутствует, будучи экранированной фермионным массо-
массовым членом в эффективном лагранжиане. Единственным результатом
аномального несохранения киральности будет ненулевая масса соответ-
соответствующего голдстоуновского бозона.
Есть также третий, маловероятный сценарий, а именно, конфайн-
мент инстантонов имеет место, но большие флуктуации другого типа,
не подавляемые фермионами, разупорядочивают систему.
К сожалению, пока мы не в состоянии сделать окончательный вы-
выбор между этими возможностями.
Обсудим еще одно качественное явление, связанное с инстантона-
инстантонами. Плотность лагранжиана для полей Янга-Миллса обычно берется
в виде (l/4eg) Tr(FpV). Стандартное объяснение такого выбора состо-
состоит в том, что это единственное инвариантное выражение размернос-
размерности 4. Любой высший инвариантный член типа Тг(УаР^иJ несуществен

6.3. Качественные эффекты инстантонов 121
в инфракрасной области и может быть опущен. Другое инвариантное
выражение Tr(Flil, *Fц„) опускается из-за того, что оно является пол-
полной производной и не влияет на уравнения движения. Но, как мы уже
знаем, инстантоны оживляют эту полную производную. Следовательно
наиболее общий вид лагранжиана в размерности 4 имеет вид
^^ *FIIV F.88)
для теории Янга-Миллса, и, аналогично, для модели п-поля
С = ^(д^пJ + ^е^п[д^пхдип}. F.89)
2е0 бтг
В обоих случаях в — новая константа связи. Из-за наличия инстан-
инстантонов в теории, физические амплитуды перехода будут зависеть от в.
Например, амплитуда перехода вакуум-вакуум равна
z=
где через Zq обозначен континуальный интеграл по полям с фиксиро-
фиксированным значением q.
Дополнительные члены в указанных выше лагранжианах чисто
мнимые в евклидовом пространстве по следующим причинам. Мы
должны иметь вещественное действие в пространстве Минковского.
При замене t —>¦ —it необходимо сделать замену Ап —>¦ Ап и Aq —>¦ гАо,
так как Aq преобразуется как d/dt. Следовательно электрическое и
магнитное поля меняются по правилу
и _>. тт
Два члена в F.88) меняются следующим образом:
TrF* =Е2-Н2 -». -(Я2 + Е2),
"" V ; F.92)
Tr F^ "F^ = -2НЕ -+ -2ШЕ.
Поэтому при переходе от евклидова действия F.88) к вещественному
действию в пространстве Минковского во втором члене появится мни-
мнимая единица.

122 Глава 6
Топологический «#-член» в действии порождает одну трудность,
когда мы пытаемся применить эту теорию к описанию сильных вза-
взаимодействий. Если #-член действительно вносит вклад в физические
амплитуды, полная теория не инвариантна относительно обращения
времени (так как НЕ является Г-нечетным). Отсюда следует, что по
каким-то причинам константа связи равна нулю или очень мала.
Конечно, отношение к этой проблеме отчасти зависит от личной
философии. Можно принять точку зрения, что в области обрезания, то
есть на планковской длине имеется сохраняющий Г-инвариантность
калибровочный лагранжиан. Тогда в = 0 с самого начала, и пробле-
проблемы с сильным нарушением Г-инвариантности нет. Интересно, однако,
рассмотреть другую точку зрения, согласно которой на планковском
масштабе нет никаких специальных симметрии, и они возникают в
низкоэнергетической области только по динамическим причинам, кон-
конкретно, из-за того, что только перенормируемые взаимодействия игра-
играют существенную роль на больших расстояниях. Если мы принимаем
эту точку зрения, мы должны включать в лагранжиан все возможные
члены размерности не больше четырех с коэффициентами, имеющи-
имеющими естественный порядок величины. В этом случае мы будем иметь
проблему сильного Г-нарушения. Попытка разрешить эту проблему
приводит к интересному предположению. Можно показать, что если
в системе присутствуют безмассовые фермионы с нарушенной кираль-
ной симметрией, то из-за инстантонных эффектов голдстоуновские без-
безмассовые частицы приобретают массу (в силу приближенного сохране-
сохранения «Тдб); и, одновременно, #-член можно убрать, переопределяя голд-
стоуновское поле.
Упомянем кратко другие интересные инстантонные эффекты в те-
теории с ^-членом. Оказывается, они приводят к возникновению у маг-
магнитного монополя малого электрического заряда ~ в, а оператор элек-
электрического заряда отличается от генератора калибровочной группы на
малую константу.
Возможно, что теория имеет богатую фазовую структуру как
функция в. В случае n-полей периодическая зависимость от в, види-
видимо, имеет важные следствия, объясняющие квантовый эффект Холла в
металлах.
Подчеркнем, что обсуждавшуюся выше зависимость физических
величин от в нельзя принимать безусловно. Вполне возможно, что из-за
динамических эффектов вклады cg/Ов пределе бесконечного объема
отсутствуют. Пример такого явления наблюдается в случае плазмы, где
в термодинамическом пределе вносят вклад только состояния с нуле-
нулевым полным зарядом (из-за огромной Кулоновской энергии других со-

6.3. Качественные эффекты инстантонов 123
стояний). Однако эта возможность в неабелевой калибровочной теории
кажется маловероятной.
Другое предупреждение относится к предполагаемой периодичнос-
периодичности по в. Может случиться, что из-за диссоциации инстантонов, состо-
состояния с нецелым топологическим зарядом дадут конечный вклад в ста-
статистическую сумму. Эти конфигурации, конечно, имеют бесконечное
действие, но это может компенсироваться энтропией. В результате фор-
формальное разложение F.90) будет неверным, и периодической зависи-
зависимости от в не будет.
Все это чисто динамические вопросы и их решение требует каких-
то новых концепций. В следующих главах мы обсудим, что сделано в
этом направлении.

Глава 7
Аналогии между калибровочными и
киральными полями. Динамика петель
В предыдущих главах мы отмечали определенное сходство между
киральными и калибровочными полями. Мы видели, что обе теории,
одна при D = 2 и другая при D = 4, обладают свойством асимптоти-
асимптотической свободы. Их разложения сильной связи тоже похожи, причем
частицеподобным возбуждениям в случае киральных полей отвечают
замкнутые силовые линии в случае калибровочных полей. Напомним
также сходство инстантонных структур для n-полей и полей Янга-
Миллса.
В этой главе мы изучим причины этой аналогии. Грубо говоря,
оказывается, что малые отрезки силовых линий в калибровочном слу-
случае двигаются так, как если бы они были точечными возбуждениями
киральных полей. С другой стороны, сами калибровочные поля могут
рассматриваться как киральные поля, определенные на пространстве
всех петель.
Эти идеи недостаточно хорошо разработаны, но они дают возмож-
возможность навести мосты между калибровочными теориями, киральными
полями и теорией струн (обсуждаемой в главе 9). Они также могут по-
помочь в изучении скрытых симметрии в многомерных системах. Трудно
отделаться от ощущения, что в пространстве петель таится множество
удивительных секретов. Это пространство и является основным объек-
объектом изучения в этой главе.
7.1. Неабелев фазовый множитель
В главе 5 мы уже имели дело с полем
1 2тг
Ф(С) = Р ехр ф А^ dx11 = Р ехр I / ds A^{x(t
Jc \ J

7.1. Неабелев фазовый множитель 125
2тг si s2 «n-i
/ ds\ i d.S2 I d.S3... / dsn x
J J J { G.i)
(здесь P — оператор упорядочения Дайсона, С — петля, параметризо-
параметризованная как жм = Хц(з), О ^ s ^ 2тг; Лм — матрицы, принадлежащие
алгебре Ли калибровочной группы). Для абелевых Ай подынтегральное
выражение можно симметризовать, сведя все к и-кратному интегралу
от 0 до 2тг. В этом случае Ф будет обычной экспонентой. В неабелевом
случае упорядочение очень важно.
Самое важное свойство величины G.1) — это простое поведение
по отношению к калибровочному преобразованию Ай. Имеем
мм м /^2)
где ж@) = жBтг) — начало петли). Для открытого пути Сху, соединяю-
соединяющего точки х и у, закон преобразования имеет вид:
Ф(Сжг/) =Рехр / A^dx",
Jcxy G.3)
Решеточная версия Ф дается формулой:
где П(с ) — упорядоченное произведение матриц BZyOl на ребрах, об-
образующих контур Сху.
Формулы G.2) и G.3) проще всего проверить в решеточной вер-
версии G.4), так как относительно калибровочного преобразования
Bz,a -»¦ П;1В,,аП,+а G.5)
множители п в G.4) взаимно сокращаются, за исключением концов
пути. Фазовые множители Ф(Сжг/) можно рассматривать как матрицы
«параллельного переноса» различных величин. Это означает вот что.

126 Глава 7
Пусть у нас есть поле <р(у) в точке у, преобразующееся по фундамен-
фундаментальному представлению калибровочной группы
?»(»)-> fi-^ffMff). G.6)
В отсутствие калибровочных полей величину <р(у) невозможно срав-
сравнить с величиной <р(х), имеющей другой закон преобразования (с мат-
матрицей п~1(х)). Однако, если есть калибровочное поле, мы можем сде-
сделать «параллельный перенос» <р(у) в точку х, определив перенесенное
поле так:
иф)п = ЩСхуЫу). G.7)
Теперь поле и<р(х)п имеет тот же закон преобразования, что и <р(х), и
мы можем рассмотреть ковариантное изменение поля <р при перемеще-
перемещении из точки х в точку у вдоль пути Сху:
Sb°y = ф) - "ф)" = ф) - ЩСх„Ыу). G.8)
Для бесконечно малого пути Сху это изменение не зависит от формы
пути:
«Г°> = ф)- [1 + А^(х)(у^-х^Ыу) и @м + Ац)ф)¦ (х„-У11), G.9)
и определяет ковариантную производную.
Роль калибровочного поля на этом геометрическом языке состоит
в возможности сравнивать поля в различных точках. По этой причи-
причине математики называют калибровочное поле «связностью». Напряжен-
Напряженность калибровочного поля F^ может быть определена как изменение
поля <р при переносе вдоль маленькой замкнутой петли:
ф) - «ф)п и ^(т^ф) G.10)
(о"/"/ — площадь петли), где
Математическое название для F^ — «кривизна».
Мы видим, что фазовый множитель Ф(С) оказывается важным
дифференциально-геометрическим объектом. С другой стороны, он
имеет ясный физический смысл. Рассмотрим квантовую частицу, дви-
движущуюся во внешнем калибровочном поле Ац. Для Ай = 0 амплитуда
перехода от х к у дается интегралом по траекториям, соединяющим х
и у. Каждая траектория входит в амплитуду с весом elS° (So — класси-
классическое действие свободной частицы на данной траектории). Нетрудно

7.1. Неабелев фазовый множитель 127
показать, что при включении АЙ эта амплитуда имеет вид интеграла
от ег5°Ф(Сжг/) по всем траекториям Сху. Если частица движется вдоль
классической траектории в пространстве-времени (но имеет кванто-
квантованный цвет), Ф(Сжг/) определяет амплитуду перехода в цветовом про-
пространстве. Об этом уже говорилось в главе 5.
Фазовый множитель важен как с математической, так и с физичес-
физической точек зрения, и потому было бы естественно попытаться сформу-
сформулировать калибровочную теорию так, чтобы фундаментальными объ-
объектами были фазовые множители.
Для начала выведем классические уравнения движения. В реше-
решеточной версии с действием
S = 3 Tr E К cBx+a,fiB-l0taB-^) G.11)
0 х,а,/3
классические уравнения движения можно получить, записывая вариа-
вариацию в виде
G.12)
(здесь шх,а — произвольный элемент алгебры Ли группы G, в то вре-
время как ВХуа принадлежит самой группе G). Классические уравнения
движения
-^— = О G.13)
можно записать явно с помощью одного полезного графического пред-
представления. Рассмотрим сперва вариацию первого множителя Вха
в G.11). Имеем
1^
а GЛ4)
х,а,0
где мы нарисовали плакет (х, а, /3), начинающийся в точке ж, каж-
каждое ребро которого отвечает матрице ВХ}О. Произведение начинается с
ребра (ж, а) и продолжается против часовой стрелки.
Во втором члене
(B*,aux+a,0Bx+Ch0B-l0aB-^ G.15)
х, а,/3

128 Глава 7
сделаем замены ж + а —>¦ ж, а ^/)и используем циклическую инва-
инвариантность следа, чтобы поместить ш на первое место. Сделаем по-
подобные преобразования в других членах. Вспоминая, что для груп-
группы SU(N) to — произвольная антиэрмитова матрица, получаем гра-
графические уравнения Р х —а
( х а -в 1
Y,\ - -Ь.сЛ=0 G.16)
(h.c. обозначает эрмитово сопряженные члены). Эти уравнения можно
переписать в виде
l " -h.c.}=0 G.17)
или в аналитических обозначениях
x-0,0F*-0,ol(iBx-(),fi)-ii.c.} = o,
G.18)
Форма G.18) удобна при переходе к непрерывному пределу: поло-
положив Вха ~ 1 + Аа с медленно меняющимся потенциалом Аа, мы по-
получим
dpFaP + [Ар, Fap] = 0. G.19)
Перепишем уравнения на ВХу№ в уравнения на фазовый множи-
множитель Ф(СЖу). Для этого введем «ток»
^„E,С) = Ф(С + П8„)Ф-1(С), G.20)
где через C+Hsa обозначен контур, получающийся из С заменой ребра s
сегментом, имеющим вид буквы П в направлении а. Предполагается,
что а ортогонально направлению ребра s. Графически
X X
Из рисунка видно, что Т есть не что иное, как напряженность, пере-
перенесенная вдоль С в начальную точку петли х. Теперь легко убедиться,
что уравнения G.17) переписываются в виде
^«(я, С) - Ta{s, С - П.а)) - h.c. = 0. G.21)

7.1. Неабелев фазовый множитель 129
Прежде чем обсуждать смысл этих соотношений, выведем их непрерыв-
непрерывный аналог. Его вид можно извлечь из предыдущих формул. Именно,
поле Ф(С) = Ф[ж(з)] есть функционал, зависящий от формы контура,
но не от его параметризации. Следовательно,
Щх(з)] = Щх(а(з))] G.22)
и
= 0. G.23)
ds Sx^(s)
Соотношение G.23) следует из G.22), если положить a(s) = s + e(s)
с бесконечно малым е(з). По определению, вариационная производная
любого функционала / удовлетворяет соотношению:
G'24)
Вычислим ёЧ>/ёхЙ из определения G.1). Воспользуемся для этого сле-
следующими общими соотношениями для произвольной матрицы М(т):
S
t t
Mdr= (Рехр / MdT)M(t);
о о
2тг 2тг t
( f \ Г ( I' \
(Рехр / М(т)Aт) = / <Й(Рехр / М(п) dn )SM(t)x
о oo
2тг 2тг 2тг
х (Рехр f M(T2)dT2] = Idtp(sM(t) exp jМ{т)йт\,
to о
2тг 2тг 2тг
( f \ I' f ( f \
f P exp / M(t) dr\ = dh dt2 P ( SM(h) SM(t2) exp / М(т) dr j.
о о
С помощью этих формул получаем
2тг 2тг
f ( f \ ¦
J \ J J

130 Глава 7
где F^ — янг-миллсовская напряженность. Мы видим, что непрерыв-
непрерывный аналог величины G.20) имеет вид
(S S \
Рехр / А^х^ dt F^(x(s))P ещ>( - / A^x^dt) I.
о V о ' J
G.26)
По определению, J-^(s, С) удовлетворяет уравнениям
iMs, С) = 0,
^>_^С) G.27,
Второе уравнение означает, что калибровочное поле, имеющее ненуле-
ненулевую напряженность в обычном пространстве, в пространстве петель
имеет уже нулевую кривизну и оказывается, таким образом, кираль-
ным полем. Возьмем функциональную производную от G.26):
6F(s, С)
= <5@)Рехр
S
J А^,
„ G-28)
( f \
x {duFnv + [An,Fnt,]) (s)Pexp - / А„ж„ (ft ж„(з).
V У /
о
Отсюда заключаем, что уравнения Янга-Миллса записываются через
фазовые множители в виде
^ф-Л=0. G.29)
Добавим, что G.29) оказывается непрерывной версией решеточных
уравнений G.18) и G.21). Эти формулы проявляют замечательное сход-
сходство с уравнениями движения киральных полей. Действительно, реше-
решеточное действие
с1 1 \ л TV (гг~1 гг Л G ЧГ^
^ — 2 2-~i \&<в Sx + S) [<.6V)
е° х,6

7.1. Неабелев фазовый множитель 131
ведет к уравнениям движения (при вариации Sgx = wxgx)
V (Ax,s ~ Ax-SyS) - h.c. = 0,
s G.31)
Ax,S = gx+Sgx1
или в непрерывном случае
Л = (d,g)g-\
дЙА„ - д„А„ + [АЙ,А„] = 0, G.32)
д„АЙ = 0.
Остается сравнить эти уравнения с G.27) и G.29).
Хотя мы и вывели эту аналогию для классических уравнений дви-
движения, она сохраняется и на квантовом уровне. В квантовой теории
классические уравнения движения превращаются в уравнения на кор-
корреляционные функции. Стандартный способ получения таких уравне-
уравнений основан на неизменности континуального интеграла при инфините-
зимальной замене переменных интегрирования (в виде G.12) в нашем
случае). Таким способом легко получается цепочка уравнений Швинге-
ра в петлевом пространстве. Это мы проделаем в следующем разделе.
А пока подытожим то, что мы узнали о связи калибровочных и ки-
ральных полей. Мы уже выяснили, что калибровочные поля являются
киральными полями, определенными на пространстве петель. К сожа-
сожалению, до сих пор не удалось извлечь какой-либо практической дина-
динамической информации из этого факта. Это главным образом связано с
трудностями, возникающими при рассмотрении уравнений в простран-
пространстве петель или, что более или менее то же самое, при рассмотрении
струнной динамики. Мы обсудим эти проблемы в главе 9. Я надеюсь
на существенное продвижение в этой области в ближайшем будущем.
С другой стороны, у обсуждаемых теорий есть несколько более
важных с точки зрения приложений сходных черт. Асимптотическая
свобода, инстантоны, а также поведение при больших N (см. главу 8)
и «киральная» форма уравнений движения (см. главу 6) делают ки-
ральные теории прекрасной теоретической лабораторией для изучения
калибровочных полей.
В следующем разделе мы опишем то немногое, что известно на
сегодняшний день о динамике петель. Тем не менее, это будет важно
для разложений в пределе больших N, рассматриваемых в главе 8.
Есть несколько очевидных, но так и не решенных вопросов, касаю-
касающихся обсуждаемой теории. К примеру, следует ли из сходства уравне-
уравнений G.31) и G.21) какое-либо сходство разложений сильной связи для

132 Глава 7
этих теорий? В частности, кажется вероятным, что рассеяние малень-
маленьких фрагментов струны (которые, как мы видели в главе 3, играют роль
элементарных возбуждений в калибровочном случае) в точности такое
же, как и рассеяние точечноподобных возбуждений киральных полей.
Это можно было бы проверить в рамках разложения сильной связи,
однако это пока не сделано. Другая задача состоит в том, чтобы вывес-
вывести асимптотическую свободу непосредственно в пространстве петель,
подобно тому, как это было сделано для киральных полей в главе 2.
Есть и другой круг вопросов. Мы выводили петлевое представле-
представление, исходя из локальных калибровочных полей. Однако возможна и
другая точка зрения (кажущаяся мне даже более естественной). Пред-
Предположим, что первичными величинами являются поля в пространст-
пространстве петель. Тогда мы можем рассматривать калибровочные поля как
нечто похожее на голдстоуновские поля на пространстве петель, эф-
эффективно описываемые киральными уравнениями движения G.29). С
этой точки зрения есть много новых возможностей. К примеру, вмес-
вместо полей, принадлежащих калибровочной группе, можно рассматривать
поля, принадлежащие различным факторпространством. Они представ-
представляются интересными объектами, хотя я не знаю ни их локального пред-
представления, ни их роли (если таковая вообще имеется) в Природе.
7.2. Квантовая теория петель
Оказывается более удобным использовать уравнения, несколько
отличные от G.29). Мы воспользуемся тем, что относительно преоб-
преобразований G.2) только величина ф(С) = ТгФ(С) калибровочно-инвари-
антна. Следовательно, в квантовой теории имеют смысл только средние
вида
W(C,C) = (ф(С)ф(С)) G.33)
и т. д. Пользуясь формулами G.24), G.25), получаем

7.2. Квантовая теория петель 133
S2W(C)
Г м
ехр у м
\
+ S(s - s')xl/(s)
G.34)
Введем теперь локальную производную
S2
которая отбирает <5-образные члены во второй функциональной произ-
производной. Если квантовая теория регуляризована, первый член в G.34)
не имеет особенностей при s —>¦ s'. Отсюда мы заключаем, что
= /ТгР (VMi^(z(s))exp f АЙх„dtj xv(s)\ . G.36)
d2w(c)
dx2(s) \
Для классических полей правая часть G.36) должна равняться нулю. В
квантовом случае она конечна и может быть вычислена. Чтобы найти
ее, рассмотрим (неинвариантный) континуальный интеграл
2тг
^ JTvF^d'x) \Р exp j АЙ dxA G.37)
и сделаем замену переменных Ай —>¦ Ай + 6АЙ. При такой замене воз-
возникает два слагаемых, которые должны взаимно сократится. Первое
слагаемое отвечает вариации действия и пропорционально VM-FM1/ , a
второе — вариации фазового множителя. Требование их взаимного со-
сокращения приводит к равенствам
с, х)) = <р dyv 8{z - з/)(Ф(ж, 2/)АаФ(г/, х)),
I Jc
= Ф dyv8(z - ?/)(ТгЛаФ(ж, у)\аЧ>(у, х)).
G.38)

134 Глава 7
Здесь индекс а нумерует генераторы Л° нашей алгебры Ли, а Ф(ж, у) —
фазовый множитель для части контура С, соединяющей точки х и у
(х,у ? С). Для группы SU(N) равенства G.38) можно упростить с
помощью тождества
Е А«/зА7« = <^т " ^<W V G-39)
а
Имеем
= I dyv S(z -у) I (ТгФ(ж, y)TrV(y, х)) - ^(ТгФ(ж, г/)Ф(г/, ж)) 1.
G.40)
Подставляя G.40) в G.36) (и рассматривая С как начинающийся в точ-
точке у), получаем уравнение
= -el ф S(x(s) - у) { W(C, С) - -^W(C) \ x^s) dy^, G.41)
dx2(s)
которое является первым уравнением в цепочке Швингера.
Это уравнение требует некоторых пояснений. Прежде всего, С, С
и С определяются так. Петля Схх начинается и оканчивается в точ-
точке х = ж@) Если эта петля не имеет самопересечений в точке x(s), пра-
правая часть уравнения G.41) буде^^авна нулю из-за S -функции. Если
есть самопересечение в точщт, эта точка делит петлю на два замкну-
замкнутых контура С и С: _
С С . G.42)
Очень важный момент, о котором нельзя забывать, состоит в том,
что уравнение G.41) было выведено в неперенормированной, но регу-
ляризованной версии теории. Поэтому <5-функция в G.41) должна быть
как-то сглажена и е, входящее в G.35), должно быть выбрано много
меньшим длины, на которой произведено сглаживание. Само уравне-
уравнение отвечает некоторому конкретному обрезанию калибровочной тео-
теории. Оно может быть неверно для другого обрезания. Все это крайне
неприятно, и было бы гораздо лучше иметь уравнения для конечной,
перенормированной W(C). К сожалению, такое уравнение неизвестно,
и мы не можем исключить регуляризацию из нашей конструкции.

7.2. Квантовая теория петель 135
Тем не менее, уравнение G.41) содержательно. Оно воспроизводит
теорию возмущений и в пределе больших N представляет собой замкну-
замкнутое уравнение, суммирующее все пленарные феинмановские диаграм-
диаграммы (см. следующую главу). Здесь мы покажем, как из уравнения G.41)
получить первый порядок теории возмущений.
Для этого будем искать W(C) в виде
S1<S2 G.43)
W{C) = 1 + ф ф Т^(хх, х2) dx» dxv2 +
ГМ1/л(^1, х2, хз) dxi dx2
'8l<82<»3
Этот анзатц справедлив для любой величины W(C), которую можно
представить в виде среднего от фазового множителя G.1). Можно по-
показать, что этот анзатц, будучи аналогом разложения Тэйлора в про-
пространстве петель, справедлив более или менее для любого функциона-
функционала W(C). Для W(C) из G.33) имеем
r^x...{xi,x2,x3,...) = (TvA^x1)Au{x2)Ax(x3)...}. ^ G.44)
Чтобы увидеть, как возникает теория возмущений, найдем ^—,
где W2 — второй член в G.43). Имеем ®х (s)
= ds1ds2Xp(s2){xx{si)di,llTxp(xi{si),x2(s2)N(s-s1)
охц(з) J
+ Sxn8(s! - s)Txp(x(s1), x(s2))} =
= xx{s) / ds2Xp(s2){di,llTxp{xi{s), x2(s2)) -
G.45)
Затем нужно взять производную S/Sx^s') и отобрать члены, содержа-
содержащие S(s — s'). Это дает
х f , м = f {д^Гхр - дихд^Т^) 6(8 - s')xx(s)xp(S2) ds2 +
-\- члены, не содержащие S(s — sf).
G.46)
Таким образом,
|^- = / {dfTxpixis), x(t)) - dltXdltarap(x(s), x(t))}xx(s)xp(t) dt.
ox (s) J
G.47)

136 Глава 7
Нужно подставить этот результат в левую часть G.41), заменяя W(C)
в правой части единицей. Это дает уравнение на Гдг/ и новую функ-
функцию фх(х, х'):
д2ГХр(х, х') - dlixdli<TT<Tp(x, х') = -elSXpS(x - х') + — фх(х, х').
охр
G.48)
Функцию ф можно добавить, так как
Без члена с ф уравнение G.48) было бы неразрешимо. Решение уравне-
уравнения G.48) имеет вид
где hp — произвольная функция. Несмотря на этот произвол функцио-
функционал И^г однозначен и имеет вид
е2, f dxu dx'n
W2(C) = -SLf -^^
8 J \
^ с G.50)
\x — x
Формула G.50) дает первый нетривиальный вклад по теории возму-
возмущений в W(C). Чтобы получить высшие поправки, нужно подставить
этот вклад в правую часть G.41). После сложных комбинаторных вы-
вычислений (которые можно найти у А. А. Мигдала), можно в каждом по-
порядке найти стандартные фейнмановские диаграммы, дающие вклады
в W(C). Следует отметить, что в этом подходе нет необходимости с
самого начала фиксировать калибровку, так как G.41) является урав-
уравнением на калибровочно-инвариантные величины. Духовые диаграммы
в высших порядках появляются автоматически в процессе рекурсии
(А.А.Мигдал A977)).
Итак, мы заключаем, что, несмотря на некоторые сомнительные
манипуляции при выводе G.41), (например, выделение из производной
<52/feM(s)faM(s') части, содержащей только S(s-s'), которую мы обозна-
обозначили через d2/dx2(s)), информация не была потеряна. Отсюда следует,
что в рамках разложения G.43) знания d2W/dx2(s) достаточно для вос-
восстановления W(C). Вновь необходимо предостеречь читателя, что это
верно только в неперенормированной, но регуляризованной формули-
формулировке теории, в которой коэффициенты в G.43) не имеют особенностей

7.2. Квантовая теория петель 137
в совпадающих точках. Перенормированные величины, вообще говоря,
конечные, имеют особенности в совпадающих точках, что делает наше
определение д2/dx2(s) неприменимым. Я думаю, что должны сущест-
существовать какие-то перенормированные уравнения, но они до сих пор не
найдены.
Какова же польза от петлевых уравнений типа G.41)? Их основная
цель состоит в том, что они доставляют нам описание калибровочных
полей в естественных терминах элементарных возбуждений. Мы уже
видели в главе 3, что в фазе конфайнмента эти возбуждения являются
замкнутыми струнами. В общем случае эти струны взаимодействуют
между собой. В некоторых случаях, в частности, в пределе больших N,
они должны, как будет видно в главе 8, становиться свободными.
Петлевое уравнение G.41) предназначено для того, чтобы из воз-
возможных свободных струнных теорий выбрать ту, которая описывает
калибровочные поля. Этот вопрос еще не решен окончательно, хотя в
этом направлении и сделаны важные шаги.
Наш следующий шаг будет состоять в том, что мы рассмотрим
приближение больших N и докажем, что в этом пределе частицы в ки-
ральных теориях и струны в калибровочных теориях становятся сво-
свободными.

Глава 8
Разложение при больших N
Единственным свободным параметром и в киральных, и в калибро-
калибровочных теориях оказывается число N, так как константа связи исчеза-
исчезает в непрерывном пределе вследствие размерной трансмутации (напом-
(напомним, что разложение сильной связи относилось к решеточной теории,
и ни в каком конечном порядке оно не дает непрерывной теории). Поэ-
Поэтому очень соблазнительно попытаться построить разложение по 1/N.
Мы построим l/TV-разложение в этой главе. С помощью такого прибли-
приближения мы, как и прежде, будем стремиться совершенствовать наши
качественные представления о динамике полей.
8.1. О(]У)-симметричная сг-модель
Это самый простой случай. Рассмотрим континуальный интеграл
следующего вида:
г , \ / 1 /" \
7: — I Т)п(г\ II \ 1)(п(г\2 — 111 PYT1 — I (В п\2 d2T\
C+ioo ,
= [ V\(x) I Vn(x) expf—i- / ((dunJ + A(n2
J J \ Ы J V
(8.1)
Здесь функциональную E-функцию мы заменили ее интегральным
представлением с множителем Лагранжа А(ж):
С+гоо
Y[S(n(xf -1) = Д I d\(x) ехр{А(ж)(п(жJ -1)}
х c-ioo (8.2)
= fv\(x) expj Г \(х)(п(хJ -l)d2x\.
Функции \(х) в (8.2) и в (8.1) отличаются несущественным множите-
множителем l/2g^. Поле Х(х) мы назвали «множителем Лагранжа», потому что

8.1. O(N)-симметричная а-моделъ 139
в классическом пределе, когда мы ищем минимум ОGУ)-действия со
связью п2 = 1, это поле действительно играет роль множителя Лагран-
жа.
Представление (8.1) удобно тем, что в нем интеграл по п стано-
становится гауссовым и его можно взять стандартным способом. Имеем
C+ioo
Z= Г VX(x) expj-L f X(x)d2x-^-\ogdet\\-d2+X(x)\\\, (8.3)
C — ioo
где N — число компонент поля п. Появление множителя N в (8.3)
объясняется тем, что каждая компонента входит в (8.1) независимо.
Второе слагаемое в (8.3) имеет следующее диаграммное представление:
logdet||-d2+AOc)||= + + + +..., (8.4)
где волнистые линии отвечают внешнему полю А(ж), а пропагаторы од-
одной компоненты n-поля, изображенные непрерывными линиями, рав-
равны 1/р2. Это — формальное разложение, так как при D — 2 оно расхо-
расходится и в инфракрасной, и в ультрафиолетовой областях. Ультрафиоле-
Ультрафиолетовую расходимость приходится обрезать руками (точнее, с помощью
решетки), а об инфракрасной расходимости теория позаботится сама.
Так как N входит в показатель экспоненты в (8.3), можно ожидать,
что при больших N применим метод перевала (приближение седловой
точки). Это и в самом деле так. Чтобы показать это, прежде всего най-
найдем минимум действия в (8.3). Получаем, варьируя по А:
^ f ^d2+AB0|| = fG(^;A). (8.5)
Здесь мы ввели функцию Грина
G(x,x'; А) = (х'\(-д2+Х)-1\х).
Последнее равенство следует из соотношения
Slogdet A = 5TrlogA = Tr A'15A. (8.6)
Его можно также проверить с помощью (8.4). Смысл уравнения (8.5)

140 Глава 8
станет прозрачнее, если мы заметим, что, согласно (8.1),
dnf + Л(п2 - 1))
S^ewG{x,y;X)
rVXew '
w = А /" f
2
(8.7)
Если мы рассмотрим интеграл по Л в приближении седловой точки, мы
получим
Ых)п,{у)) = dSijG(x, у; K(z)), (8.8)
где Л* — значение Л, отвечающее седловой точке. Отсюда мы видим,
что (8.5) есть не что иное, как условие (п2) = 1.
Решим теперь уравнение (8.5). Мы можем предположить, что ре-
решение однородно в ж-пространстве, и проверить это предположение,
перейдя к импульсному представлению в (8.5):
G{x,x,X)-J {^)D p2+x,
Как и следовало ожидать, это соотношение отражает качественную раз-
разницу между случаями D = 2 и D > 2. При D = 2 имеем
(8.10)
где Л — обрезание по импульсу, а \/Л оказывается физической мас-
массой или обратной корреляционной длиной, как видно из (8.9) и (8.8).
Эта формула согласуется с B.49), с той только разницей, что N — 2
в «точной» формуле B.49) заменяется на N в (8.10). Таким образом,
мы видим, что при всех значениях g^ система находится в одной и
той же фазе с конечной корреляционной длиной. Нетрудно повторить

8.1. O(N)-симметричная а-моделъ 141
этот вывод в решеточной версии теории и увидеть явно, как разложе-
разложение сильной связи сшивается без фазового перехода с режимом слабой
связи, давая (8.10).
Ситуация при D > 2 иная. Имеется критическое значение g^cr,
определяемое соотношением
Если gf, > gj^cr, уравнение (8.9) имеет решение с Л > 0 и мы нахо-
находимся в фазе сильной связи. Теория имеет непрерывный предел при
So ~* So cr + 0; в чем легко убедиться, переписав соотношение (8.9) с
помощью (8.11) в виде
(8.12)
При 2 < D < 4 интеграл в (8.12) сходится и пропорционален XDI2~1.
Поэтому
2/(Г>-2)
т2 = Л = const • Л2 Г° 9^'сг . (8.13)
V
Непрерывный предел соответствует g\ —> gjtr и Л ->¦ оо при фик-
фиксированном т2 = А. Мы видим также, что, в то время как значе-
значение g\ cr зависит от обрезания и совсем не универсально, «критический
индекс» 2/(D — 2) в (8.13) не зависит от динамики на малых масштабах.
Как мы объясняли в главе 1, это очень распространенная ситуация.
Если g\ < g\ cr, в уравнении (8.9) что-то не так: оно больше не
имеет решений. Это означает, что мы лишились седловой точки. Чтобы
разобраться, что происходит в этом случае, надо вспомнить, что мы
начали с интеграла по А. Если рассмотреть разложение Фурье
\{х) = V Xqelqx, (8.14)
то
VX[x) =(Ц dAe

142 Глава 8
В пределе больших N все интегрирования с q ф О несущественны (мы
докажем это чуть ниже) и интеграл по Л имеет вид
С+гоо ,
Z= \ dAoexp<V ^-=? / -^-1оф2+\о))}, (8.16)
J 1 \2g$ 2 у|р|<л Bn)D
C—ioo
что получается подстановкой Д(ж) = До = const в (8.3); здесь V —
объем системы. При g\ > g\ cr в комплексной плоскости переменной До
имеется разрез, отвечающий логарифму в (8.16) и идущий от —оо до ну-
нуля, а так же седловая точка. При g2, < g2, С1 эта седловая точка исчезает
под разрезом. Чтобы получить основной вклад в интеграл при g\ > g\ cr,
надо взять контур, проходящий через седловую точку. Тогда подынтег-
подынтегральное выражение сосредоточено возле этой седловой точки. Такую
ситуацию мы проанализировали выше.
При g\ < g2, контур можно так продеформировать, чтобы он об-
обходил вокруг разреза. В пределе бесконечного объема основной вклад
дает начало разреза До = 0. Чтобы оценить область наиболее важных
значений До, заметим, что сингулярная часть интеграла (8.16) имеет
вид
/ dDp log(p2 + А) = const Ао + регулярные члены. (8-17)
Отсюда мы заключаем, что существенные значения До определяются
соотношением
NV\°/2 ~ 1,
(8.18)
До ~ {NV)-2'D —> 0.
Мы приходим к выводу, что при g\ < gj^cr величина До должна равнять-
равняться нулю в пределе бесконечного объема и что в нашей системе имеются
безмассовые частицы. Это означает, что при переходе к g\ < g\ cr про-
происходит нарушение симметрии, а эти безмассовые частицы суть голд-
стоуновские бозоны. Отложим прямую проверку этого факта, а пока
рассмотрим поправки к наивному приближению седловой точки.
Важно учесть, что в фазе с ненарушенной ОGУ)-симметрией (это
единственная фаза при D ^ 2) поле \(х) имеет ненулевое вакуум-
вакуумное среднее. В главном порядке оно дается выражением (8.10). По-
Последовательные приближения будут изменять это значение на величи-
величину ~ 1/7V. Чтобы развить общий формализм, следует, вместо того, что-
чтобы с самого начала фиксировать (Х(х)) = Д, считать А(ж) произвольным

8.1. O(N)-симметричная а-моделъ 143
и проинтегрировать по {А^о}- Мы получим эффективное действие, за-
зависящее от постоянной До- Наконец, надо будет взять минимум по Ао,
или, что то же самое, наложить условие {п2(х)) = 1.
Попробуем реализовать эту программу. Действие для {А^о} да-
дается выражением:
А(ж) = ц2 + ia(x), aq=0 = О,
W(X) = -^ Trlog[-a2 + у? + га(х)} =
I
d2q1d2q2d2q3
Н
- ¦ -w
-1/2
(8.19)
Здесь
(8-20)
93
И Т. Д.
Мы видим, что эффективная нелинейность в (8.19) содержит множи-
множитель JV/2 и что теория возмущений для поля /3 имеет хороший малый
параметр l/%/2V. Значение ц2 должно быть фиксировано в самом конце
вычисления. Например, с точностью до l/%/2V эффективное действие
для [г имеет вид

144 Глава
jV~1W2
Второй член в (8.21) происходит от флуктуации множителя Лагранжа.
В этом месте мы сталкиваемся с одной трудностью. Из (8.19), (8.20)
видно, что пропагатор поля /3 равен
Такой рост пропагатора порождает степенные расходимости в диаграм-
диаграммах Фейнмана, что, очевидно, физически бессмысленно. Давайте ис-
исследуем происхождение этой трудности и объясним, как ее избежать.
Прежде всего, мы видим, что эти расходимости остаются и в слу-
случае D = 1, который отвечает квантовой механике n-поля. Квантовая
механика — конечная теория, и, значит, мы сделали что-то неправиль-
неправильно.
Чтобы выяснить, в каком месте возникает трудность, рассмотрим
вместо теории с п2 = 1 теорию с лагранжианом
L=i(dMnJ + f(n2-lJ, (8.23)
которая в пределе g = oo переходит в теорию n-поля. Можно ввести
поле А, заменив лагранжиан (8.23) на
L=hdllnJ + \\(n2 -!)-?• (8.24)
Мы получим такое же, как и раньше, разложение по большим N, за
исключением того, что V(q2) следует заменить на

8.1. O(N)-симметричная а-моделъ 145
Так как П((/2) ~ \og(q2 /fi2)/q2, этот пропагатор не растет при q2 —>¦ оо,
и у нас не будет степенных расходимостей. В частности, квантовая
механика будет, как и полагается, конечной.
Чтобы понять происхождение степенных расходимостей, обратим-
обратимся к случаю квантовой механики (D = 1). Потенциал
V = |(п2 - IJ (8.26)
при g —>¦ оо удерживает нашу частицу на поверхности сферы. Вследст-
Вследствие принципа неопределенности, однако, такая локализация приводит
к большой кинетической энергии. Поэтому уровни энергии частицы
сдвигаются на бесконечность, то есть мы получаем энергию нулевых
колебаний порядка ^fg и того же порядка радиальные возбуждения. Но
над этой бесконечной вакуумной энергией мы имеем конечные угловые
возбуждения, занумерованные угловым моментом. В пределе g —>¦ оо
из энергии вакуума мы должны вычесть константу, после чего теория
станет конечной.
Возвращаясь к нашей исходной задаче, мы ожидаем, что степенные
расходимости, возникающие из-за (8.22), исчезнут, если мы перенорми-
перенормируем массу элементарных возбуждений. Удобная процедура состоит в
следующем. Введем величину
т2 =G-1(p = 0) (8.27)
и рассмотрим собственно-энергетическую часть
, ч («) («) («) («)
Е(р) = + +•••• (8.28)
Функция Грина определяется соотношением
В то время как ?(р2) содержит степенные расходимости, легко видеть,
что в Е(р2) — Е@) их нет. Для примера оценим первое слагаемое в (8.28)
(при р > т):

146 Глава
d2k
*- [ -
N J 2
2irlog(k2/m2) \
Ч
!) \(P-
(
P2\
7 I + конечные члены =
р log(A/m)
= — log —-—h конечная часть.
ЛГ lB/P )
р2 log(A/m2
log —
- lOg(m2/P
(8.30)
Мы получили странную дважды логарифмическую расходимость. Что-
Чтобы ее интерпретировать, вспомним, что корреляционная функция
(п(О)п(Д)) не обязана быть конечной после одной только перенорми-
перенормировки заряда, так как, согласно главе 2, мы должны перенормировать
и само n-поле. В главе 2 мы получили такое выражение для корреля-
корреляционной функции:
/ /V-9 Ч (iV-l)/(iV-2)
<п@)п(Д)>= (^l-^^logfj , (8.31)
тогда как в главном порядке по 1/7V
^log^U
2тг mR
Сравним эти выражения. Так как
= ехр(—^-), (8.33)
имеем
Мы видим, что ведущее приближение (8.32) согласуется с (8.31) бла-
благодаря тому, что «аномальная размерность» (N — 1)/(N — 2) —у 1

8.1. O(N)-симметричная а-моделъ 147
при TV —>¦ оо. Если разложить (8.31) по 1/-/V, то в следующем поряд-
порядке мы получим
1ДЛГ-2)
<n@)n(i2)>=(l-^gglog?)(l-'"
, N~b iog(l/mo) '
(8.35)
Уравнение (8.35) показывает, как двойные логарифмы возникают
в 1/TV-разложении «точной» формулы (8.31). Мы видим, что это те са-
самые двойные логарифмы, которые возникали в (8.30).
Все сказанное означает, что после перенормировки массы (8.29)
(которая, в сущности, есть перенормировка заряда) и перенормировки
поля п все члены l/JV-разложения будут конечны. Это можно доказать
с помощью стандартных методов теории поля.
Могло показаться странным, что нам понадобилось перенормиро-
перенормировать поле п, масштаб которого определен соотношением п2 = 1. Как
мы видим из (8.31) и (8.32), это происходит потому, что корреля-
коррелятор (n(O)n(-R)) должен удовлетворять этой связи только при R < а
(где а — параметр решетки), а конечный изотропный коррелятор су-
существует только при R 3> а. Поэтому связь нельзя использовать непо-
непосредственно в непрерывном пределе. Как видно из (8.32), коррелятор
исходного поля п содержит в этом пределе зависящий от обрезания
множитель
Nd 1
2тг log(l/ma)
То же самое можно сказать и по-другому, заметив, что после интегри-
интегрирования по высокочастотным модам нашего поля мы получаем эффек-
эффективное действие для блок-спинов, нормированных иначе, чем исходные
переменные.
Подводя итог, отметим, что после подходящих перенормировок
l/JV-разложение хорошо определено. Его главное достоинство состоит в
том, что оно явно описывает непрерывную теорию в правильной фазе.
В принципе, возможен фазовый переход при уменьшении N, но в слу-
случае n-поля этого не происходит. В пределе большого N при D = 2 те-
теория п-поля оказывается теорией свободных безмассовых частиц. Ам-
Амплитуды рассеяния, которые можно легко вычислить (см. следующую
главу), будут порядка 1/7V.
Эта простая картина, к сожалению, неверна в случае главного ки-
рального поля или калибровочной теории при D = 4. Первые указания

148 Глава 8
на возможные затруднения дает формула B.35) для корреляционных
функций кирального поля. В пределе N —>¦ оо это выражение имеет вид
2(JV2-l)/iV2 + l
(8.36)
тогда как функция Грина свободного поля должна вести себя
как log(l/rnR). Мы видим, что в отличие от n-поля, поле g(x) не ста-
становится свободным в пределе большого N. В следующем разделе мы
попытаемся понять, почему.
8.2. Главное киральное поле для SU(N)
Начнем с попытки использовать тот же трюк с множителем Ла-
гранжа. В случае 5С/(-/У)-кирального поля наши переменные — комп-
комплексные матрицы gab(x). Статистическую сумму можно представить в
виде
Z = I П VSab Vg*ab П S (? gacg*bc ~ Sab) X
a,b a,b с
XeXp{"^E / д^аьд^*аЬA2х] =
e0 a,b J
c+ioo
= П / ЯАоЬ2>А:ьехр(^ [Y,X*ad2x) [vgabVg*a
exp[—- ^ / \д^аЬ\2 d2x- — Kbgacgtcd2x\.
e0 a,b J e0J
x ep[
e0 a,b
Мы ввели здесь множитель Лагранжа, который в этом случае является
эрмитовой матрицей (т. к. матрица g*g — эрмитова). Он обеспечивает
интегрирование в (8.37) только по унитарным матрицам. Таким обра-
образом, модель (8.37) описывает, строго говоря, группу U(N), а не SU(N).
Легко видеть, однако, что в произведении U(N) = U(l) x SU(N) поле,
отвечающее множителю С/A), не взаимодействует с другими полями и
его можно игнорировать.

8.2. Главное киралъное поле для SU(N) 149
Как и раньше, гауссов интеграл в (8.37) можно представить в виде
функционального детерминанта. Имеем
"*Ь 4 а (8.38)
Тт>2\ , ewM
(множитель JV возникает здесь из суммирования по с в (8.37)).
Теперь представляется вполне естественным следовать той же
стратегии, что и в случае n-поля. Однако здесь она приводит к труд-
трудностям. Покажем это и обсудим возможности выйти из положения (в
настоящее время единственный способ обойти эти трудности заключа-
заключается в разложении точного решения модели по 1/7V — путь, не допус-
допускающий обобщений).
Естественно ожидать, что Хаь приобретает конечное вакуумное
среднее
(АаЬ) = ii2Sab. (8.39)
Поэтому мы рассмотрим разложение
b, ^ / ""«
U а
/el -N
^ -NTvlog(-d2 )
e0 q
H з ? Tab\cd\efVabik1)vcd(k2)vef(kZ) H .
(8.40)
Значение ju2 следует находить из условия минимума эффективного дей-
действия или же из условия унитарности
= TV.
До сих пор мы просто повторяли рассуждения раздела 8.1. Теперь мы
подходим к решающему отличию от случая n-поля. Именно, несмотря

150 Глава 8
на множители TV/2 перед старшими степенями по v, нелинейность
в (8.40) оказывается крайне важной, потому что эти малые множи-
множители компенсируются суммированием по изотопическим индексам в
диаграммах Фейнмана. Докажем это и одновременно выделим соответ-
соответствующий класс диаграмм. Согласно (8.40), имеем
1
2тгJ (к2 + ц2)((к + qJ + ц2) (841)
X 2 (fiacSbd + SadSbc) = К (q2)-^(8 ac8bd + SadSbc)-
Это следует из матричного равенства
+
TVlog(l
где Тг означает след как по координатным, так и по изотопическим
индексам.
Пропагатор поля v дается выражением
{Vab{q)Vcd{-q)) = 7j(SacSbd + SadSbc) —^7- (8-43)
2 7Г(Г)
Изотопическую структуру (8.43)&удо(Йю гфедс^авить графически:
(vabvcd) = a c+a С, (8.44)
где каждая линия отвечает <$-символу. Рассмотрим теперь нелинейные
поправки к этому пропагатору, происходящие из кубических членов
в (8.40). Структура функции Г, получаемая из (8.42), такова:
ГаЬ|с<г|е/ = N~x'2 ( / + перестановки) (8.45)
(здесь каждая простая линия — это обычный пропагатор Заь/(к2 +ц2)).
Поэтому первая поправка к (vabVcd) содержит член вида
{vabvcd){1) = N-1 х а d . (8.46)

8.2. Главное киралъное поле для SU(N) 151
Мы видим, что вследствие суммирования по е диаграмма в (8.46) при-
приобретает множитель N, который сокращает множитель JV, стоящий
перед ней.
Легко проверить, что такое сокращение имеет место в любой пле-
пленарной диаграмме (т. е. в диаграмме, не содержащей пересекающихся
линий). Рассмотрим, например, диаграмму
(8.47)
Она содержит четыре тройных и одну четверную вершину. Соглас-
Согласно (8.42), эта диаграмма входит с множителем (N~1^2LN~1 = N~3.
В то же время в (8.47) есть три окна, и каждое несет свободный (не-
(немой) изотопический индекс, что дает множитель JV3. Таким образом,
диаграмма не содержит малого при N —>¦ оо множителя.
Непланарные диаграммы малы. Например,
2. (8.48)
Это легко проверить, воспользовавшись, как раньше, представлением в
двойных линиях.
Мы пришли к заключению, что для аккуратного построения пре-
предела больших N в теории главных киральных полей необходимо про-
просуммировать все планарные диаграммы для множителя Лагранжа.
Почему, несмотря на большую величину действия W в (8.40), при-
приближение седловой точки оказывается несправедливым? Причина со-
состоит в следующем. Величина действия W имеет порядок 7V2. (Одно N
стоит перед следом Тг, а второе N возникает потому, что сам след
порядка N). С другой стороны, число переменных Хаь также ~ 7V2.
Поэтому поправки к эффективному действию за счет флуктуации Хаь
будут ~ 7V2, то есть того же порядка, что и главный член. В случае п-
поля эффективное действие было ~ N, но число переменных равнялось
единице. Это объясняет, почему мы имеем хорошее приближение седло-
вой точки для n-поля и ничего подобного для киральных полей. Вмес-
Вместе с приведенным выше обсуждением пленарных диаграмм это объяс-
объясняет также, почему пропагатор (8.36) имеет дополнительный множи-
множитель \og2(l/mR) при mR <C 1. Можно думать, что такой вклад дают
экспоненты от членов вида loglog(l/mi?), которые, согласно (8.30), при-
присутствуют в пленарных диаграммах.
Хотя пропагаторы и не являются свободными и в них дает вклад
бесконечно много диаграмм, тем не менее в пределе N —> оо теория
описывает свободные частицы. Чтобы в этом убедиться, оценим ам-

152 Глава 8
плитуду рассеяния F:
F~ + н -^. (8.49)
Это важное наблюдение. Оно означает, что в пределе больших N по-
поле g(x) является сложной, но почти локальной функцией некоторых
свободных полей и что в действительности мы имеем дело с замаски-
замаскированной свободной теорией. Если бы мы смогли описать эту функцию
явно, теория возмущений по 1/-/V, возможно, имела бы практический
смысл.
Эта задача пока не решена, хотя существует точное реше-
решение St/(JV)-KHpaflbHoro поля. Пока мы в состоянии сделать лишь не-
несколько шагов в правильном, как кажется, направлении. Поскольку
выяснилось, что трудность заключается в большом числе переменных
интегрирования, воспользуемся разложением
(8.50)
Подстановка разложения (8.50) в (8.38) дает после некоторого калибро-
калибровочного преобразования выражение
JV
W 1 V^ д
а=1
Мы должны заменить интеграл по \аь интегралом по Ла, и>:
a,b a, a,b,fj, a,b,(j,,i^
Д
(Fff — напряженность поля Янга-Миллса).
Предположим теперь, что нам как-то удалось проинтегрировать
по АаЬ (именно в этом и заключается реальная трудность). Тогда мы по-
получаем эффективное действие, зависящее от Ло. Теперь действие имеет
величину порядка 7V2, а число переменных — порядка N. Следователь-
Следовательно, достаточно найти минимум по полям Ло, а об их флуктуациях мож-
можно не беспокоиться.
Интегрирование по АаЬ совсем не тривиально, и мы не знаем,
как его выполнить. В этом отношении полезно заметить, что при рав-
равных Ла = Л действие W калибровочно-инвариантно и зависит только

8.3. а-Моделъ на СРЛ1 153
от Fpv, а так как F^ = 0, оно вообще не зависит от Ац. Таким образом,
если мы предположим, что в вакууме имеется не зависящий от а кон-
конденсат {Ла}, мы можем сделать вывод, что мы действительно имеем
дело со свободной теорией поля. В то же время функции Грина для g{x)
зависят от А^ и нетривиальны. Итак, мы пришли с помощью качест-
качественных рассуждений к ожидаемой картине. Количественная проверка
этих догадок пока не сделана. Однако нет сомнений, что загадка предела
больших N для киральных полей будет скоро разгадана.
8.3. а-Модель на СР^
Не имея возможности продолжать далее обсуждение главных
киральных полей, в этом разделе мы рассмотрим другую инте-
интересную модель, а именно поле, принадлежащее факторпространст-
ву СР^ = SU(N)/SU(N - 1) х Е/A). Оно похоже на n-поле в том
отношении, что в этом случае имеется простое разложение при боль-
больших N без суммирования по пленарным диаграммам. С другой сторо-
стороны, эта модель оказывается топологически нетривиальной и содержит
инстантоны. Это позволяет количественно проанализировать эффекты,
связанные с топологическим зарядом. Другой примечательной особен-
особенностью этой модели является, как мы увидим, динамическая генерация
калибровочных полей.
Комплексное проективное пространство СР^ получается, по
определению, из TV-мерного комплексного пространства С^ отож-
отождествлением точек (zi,... ,zn) и {Xz\, ... , Xz^) для всех комплекс-
комплексных А ф 0. Выбирая А подходящим образом, многообразие СР^ мож-
можно параметризовать точками единичной сферы
\zf = \Zlf + ... + \ZNf = 1 (8.53)
с отождествлением
z ~ eijz. (8.54)
Комплексная размерность получившегося пространства равна N — 1.
Лагранжиан поля z (x) должен быть инвариантен относительно ка-
калибровочной группы
z(x) -»• e^x)z{x). (8.55)
Только в этом случае он будет описывать поле, принадлежащее СР^,
а не TV-мерной комплексной сфере (8.53) (что было бы то же самое,
что 27V-MepHoe n-поле). Такой лагранжиан можно записать в виде
S=lJd2x\(dtl-iAtl)z\2, (8.56)

154 Глава 8
где Ац — новое независимое поле, которое преобразуется по правилу
(8.57)
Совершенно очевидно, что лагранжиан (8.56) инвариантен относитель-
относительно одновременных преобразований (8.55) и (8.57). Кроме того, так
как (8.56) не содержит кинетического члена для поля Ац, последнее
может быть удалено (по крайней мере на классике) минимизацией S.
Имеем
оАц оАц
Из (8.58) находим
= -±{z*dllz-{dllz*)z). (8.59)
Можно подставить это значение А^ обратно в (8.56) и получить нели-
нелинейный лагранжиан, зависящий только от поля z. В случае N = 2 эти
лагранжианы описывают (Э(З)-симметричное n-поле, так как простран-
пространство СР1 эквивалентно двумерной сфере. Увидеть это проще всего с
помощью соотношения
„ = (z+az), z = (*?j (8.60)
(и — матрицы Паули).
Если z+z = 1, то вектор п удовлетворяет условию
п2 = 1. (8.61)
Эти формулы задают интересную с точки зрения топологии проекцию
сферы S3 в ^-пространстве на сферу S2, определяемую вектором п.
В математике это называется расслоением Хопфа. Для нас интересно
сейчас то, что лагранжиан (8.56) со связью (8.59) может быть записан
как лагранжиан n-поля, где п дается проекцией Хопфа (8.60). Это мож-
можно проверить с помощью прямого вычисления или заметив, что (д^пJ,
выраженное через z, дает нелинейный лагранжиан, содержащий только
две производные и инвариантный относительно калибровочных преоб-
преобразований (8.55) (так как п вообще не меняется при этих преобразо-

8.3. а-Моделъ на СРЛ1 155
ваниях). Существует единственное выражение с такими свойствами и,
следовательно,
= z+az,
(8.62)
Другое полезное соотношение касается плотности топологического за-
заряда. Имеем
уЩО^п х ovn\ = дцА„ - о„Ац, (8.63)
что опять-таки можно ожидать из подсчета производных, тензорных
свойств и калибровочной инвариантности (а потом проверить прямым
вычислением).
Еще раз подчеркнем, что возможность ввести локальное, калибро-
вочно-инвариантное поле п имеется только в случае СР1. Для СР ~г
с N > 2 это невозможно, и нам приходится работать с «заряженными»
полями z. Теперь мы исследуем предел больших N, обнаруживающий
некоторые интересные явления.
Запишем статистическую сумму в виде
V2zVAu 5(z*z - 1) ехр( --^ / \(ди - iAu)z\2d2x) =
V e2J I
= [v\V2zVAtle*p{\ f\d2x - \ j{\{d» - iAtl)z\2+\\z\2)d2x} =
Г f 1 /" 9 9 1
= VXVA^expl ^ / Xd2x-Nlogdet[-(du - iAuY +Mf-
J M Ugy M M J
(8.64)
В этом случае приближение седловой точки в пределе больших N пре-
прекрасно работает. В вакууме
(А) = т2, (А^) =0,
d2p (8.65)
J Bтт
"Jye°7 BкJ(р2+т2У
Здесь возникает новое явление. Поле А^ первоначально не имело ки-
кинетической энергии, и его можно было удалить из лагранжиана. Если,
однако, мы рассматриваем поправки по 1/-/V, то используя разложение

156 Глава 8
детерминанта в (8.64) вблизи седловой точки (8.65), мы получаем в
квадратичном приближении
W2 = f Y1 (ЩЧНЧИ-Ч) +nitv(q)Alt(q)Av(-q)), (8.66)
q
где
2тгJ (k2 + m2)((k + qJ + m2)'
U/ Fv ^ ¦ a / f* \ • u. /" л г I IJi Fv -L
BтгJ (fc2 + m2)((k + qJ + m2) ~ ""У BтгJ fc2 + m2 '
(8.67)
Как можно было ожидать из калибровочной инвариантности, П^,, удов-
удовлетворяет соотношению
О?) = О,
const/„2j „ „ \ (8.68)
Подставляя это в (8.66), мы обнаруживаем, что для больших длин волн
эффективное действие содержит член вида
^2~Дг Id2xF2 +.... (8.69)
Это показывает, что вследствие квантовых эффектов в системе возни-
возникает настоящее электромагнитное поле, которого не было в исходном
лагранжиане. Поле z имеет заряд, пропорциональный m2/N. Так как
кулоновская энергия при D = 2 инфракрасно бесконечна, можно ожи-
ожидать, что для квантов поля z будет иметь место конфайнмент с об-
образованием нейтральных пар типа z*Zj. Можно исследовать спектр с
помощью уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом, но мы
не будем на этом останавливаться. Мы лучше изучим топологические
эффекты в пределе больших N. Рассмотрим прежде всего усредненные
флуктуации топологического заряда:
(8.70)

8.3. а-Моделъ на СРЛ1 157
Как говорилось выше, для решения С/A)-проблемы в КХД необходимо
вычислить именно такое среднее. Кроме того, (8.70) означает, что энер-
энергия основного состояния зависит от в в случае лагранжиана S$ = S+i9q.
Именно, имеем
S = (Я2) Ф 0- (8-71)
Ои
Это означает, что в модели имеется сильное нарушение СР-инвари-
антности, вызванное ^-членом. Чтобы это показать, заметим, что в-
член присутствует в феинмановских диаграммах для перехода фотон-
вакуум с амплитудой #?д„&„ |ft_>o- Так как пропагатор фотона имеет
полюс при к2 = 0, этот процесс дает вклад в вакуумную энергию, что и
демонстрирует соотношение (8.70). Если рассмотреть функцию Грина
для нейтральных объектов, педваяЭД-пфпрзвка будет иметь вид
P2 P2
,ч 1^, , (8-72)
Волнистые линии здесь отвечают каким-нибудь нейтральным операто-
операторам, вроде z*Zj. Вершина излучения фотона Гд(р1, Р2',к) должна удов-
удовлетворять соотношению
klirll(p1,p2;k)=0. (8.73)
Из (8.72) мы видим, что поправка будет отлична от нуля, только ес-
если Гд(р1, Р2',к) содержит члены, по крайней мере линейные по к. Их
нетрудно построить:
ГДръ Р2\ к) ~ {еарр1ар2р)е^К = Рг^Ык) - P2^{pik). (8.74)
Если подставить это в (8.72), получится
ь Р2) ~ в{еарр1ар2р)-^е^хк\е^К = веарр1ар2р. (8.75)
Наличие в двухточечной функции членов, содержащих ?м„, указывает
на нарушение СР-инвариантности. Как обсуждалось выше, аналогич-
аналогичное явление в КХД создает некоторые нерешенные проблемы.
В заключение обсудим, до какой степени описанные выше тополо-
топологические эффекты могут быть приписаны инстантонам. Наивная оцен-
оценка инстантонного вклада в Z дает вклад порядка e~N. Так получается
потому, что действие инстантона для СРлг~1-модели конечно и не за-
зависит от N. В то же время константа связи е\ ведет себя как 1/JV.

158 Глава 8
Мы получаем, следовательно, экспоненциально малый вклад. Эти наив-
наивные аргументы, однако, неверны. Однопетлевое вычисление детерми-
детерминанта около многоинстантоннои конфигурации сводит статистическую
сумму СР -1-модели к статистической сумме некоторой обобщенной
плазмы так же, как и в случае СР1 (см. главу 6). Корреляционная
длина, которая устанавливается в этой плазме, такова, что энтропия,
идущая от флуктуации, компенсирует малость классического вклада.
Грубо говоря, происходит следующее. Одноинстантонный вклад в ста-
статистическую сумму имеет вид
& ехр (-ML logM) = I ^/. (8.76)
Эта формула точна только при fip <C 1, показывая, таким образом, опи-
описанное выше экспоненциальное подавление. Если, однако, мы рассмат-
рассматриваем плазму, а не приближение идеального газа, то инфракрасная
расходимость в (8.76) обрезается при р ~ /л- Однако в этой точке,
когда инстантоны диссоциируют (точно так же, как и в случае 0C),
рассмотренном в главе 6), однопетлевое приближение неприменимо, и
мы сталкиваемся с проблемой сильной связи. Подсчитывая степени N,
легко показать, что многопетлевые поправки к (8.76) привели бы к за-
замене
/*(/(«.))
с некоторой неизвестной функцией /, которую можно вычислить петля
за петлей для малых цр. Использование приближения f(x) ~ х при х ~ 1
оправдано только качественно.
Итак, окончательный вывод состоит в следующем. При всех N
мы имеем топологически нетривиальные флуктуации полей.
l/JV-приближение дает их эффективное описание. Может сущест-
существовать и другое, дополнительное описание, в котором они пред-
представляются системой расплавленных инстантонов. К сожалению,
строгие количественные методы для второго описания в настоящее
время неизвестны. Однопетлевое (квазиклассическое) приближение
представляется качественно осмысленным. Но до тех пор, пока не
развиты количественные методы, вопрос о возможности описания
топологических возбуждений в терминах инстантонов остается чисто
лингвистическим вопросом.

8-4- Неабелева калибровочная теория 159
8.4. Неабелева калибровочная теория
Этот случай представляет наибольший интерес. Его свойства в
пределе N —>¦ оо до некоторой степени напоминают свойства глав-
главных киральных полей. Удобно рассматривать не случай SU(N), а слу-
случай U(N) = SU(N) x C/(l). Здесь опять С/A)-часть тривиально отщеп-
отщепляется. Поле описывается антиэрмитовыми матрицами:
(А»)'=-(A;)); i,j = l,...,N,
\з _ я лз _ я аз _ дк A3 _i_ 4* А3
(8 77)
Мы изменили здесь нормировку затравочной константы связи (по срав-
сравнению с предыдущими главами) так, чтобы действие имело естествен-
естественный масштаб 7V2 (один из множителей N идет от следа). Такая нор-
нормировка естественна, так как лагранжиан (8.77) описывает взаимодей-
взаимодействие 7V2 глюонов. Их вакуумные флуктуации дают энергию или эф-
эффективное действие порядка 7V2, то есть того же масштаба, что и клас-
классическое действие (8.77). Другую проверку дает формула B.68), выра-
выражающая асимптотическую свободу. Для переопределенной константы
связи она не зависит от N.
Как и раньше, несмотря на большой множитель перед действием,
наивное приближение седловой точки не работает, потому что имеет-
имеется большое число полей, и нужно просуммировать все пленарные диа-
диаграммы. Чтобы в этом убедиться, надо воспользоваться представлени-
представлением двойных линий, как в разделе 8.2: , .
({А^АЛъ) = б\б3^и{х -у)= з к = 3 к,
В определенном смысле калибровочное поле представлено «кварком» с
индексом г и «антикварком» с индексом j. Каждая «кварковая» линия
в (8.78) отвечает <$-символу. Здесь слово «кварк» есть, конечно, способ
выразить то, что присоединенное представление может быть представ-
представлено в виде произведения двух сопряженных фундаментальных пред-
представлений. Мы не вводили кварки как физические частицы.
В этих обозначениях логарифм статистической суммы изобража-
изображается пленарными фейнмановскими диегреммеми:
log Z = + + +... =
(8-79)

160 Глава 8
Проверим это. Первая диаграмма содержит суммирование 8\8\ = N2.
Вторая диаграмма имеет три замкнутых пути и, следовательно, содер-
содержит множитель 7V3, но она пропорциональна также константе связи,
которая в наших обозначениях дает множитель e^/N. Таким же об-
образом проверяется, что любая планарная диаграмма имеет такой же
порядок величины, а любая непланарная диаграмма подавлена множи-
множителем 1/7V. Этот факт имеет важную топологическую интерпретацию.
Возьмем первую диаграмму в (8.79) и представим себе, что она из-
изображает два диска, лежащих один над другим. Ориентация каждого
диска определяется соответствующей стрелкой на его границе. Склеим
теперь «кварковую» и «антикварковую» линии. В результате топологи-
топологически мы получим сферу. Любая планарная диаграмма обладает этим
свойством: после склеивания всех разрезов получается сфера. Далее, со-
согласно (8.77) каждая вершина диаграммы несет множитель N, каждый
пропагатор (или ребро, место склейки нашей поверхности) дает TV, и
каждая свободная грань содержит замкнутую петлю, которая дает N.
Общий вклад, следовательно, равен
NV-E+F = NX^ (8щ
где V, Е и F — числа вершин, ребер и граней, а \ — эйлерова харак-
характеристика. Для сферы х = 2, что подтверждает (8.79). Еще интересней,
что каждый непланарный глюон отвечает ручке, присоединенной к сфе-
сфере. Например:
~ Nx = №. (8.81)
Здесь мы использовали то, что сфера с одной ручкой — это топологи-
топологически тор, и для него х = 0. Тривиально, конечно, проверить (8.81)
непосредственно и доказать, что все диаграммы с одним непланарным
глюоном имеют величину порядка 7V0. Это было бы в точности доказа-
доказательством топологической инвариантности эйлеровой характеристики.
Ниже мы увидим, что это представление пленарных диаграмм как
поверхностей с краями является чем-то большим, нежели только удоб-
удобным трюком. Именно эти поверхности можно интерпретировать как
мировые поверхности цветоэлектрических струн. Но прежде, чем по-
погрузиться в эту трудную динамическую проблему, давайте еще не-
немного продолжим кинематический подсчет степеней, который в этой
задаче дает на удивление много.
Предположим, что чисто глюонная теория обладает свойством кон-
файнмента. Это означает, что ее спектр состоит только из цветовых
синглетов. Из этого предположения следует, что в пределе N = оо все
амплитуды теории имеют только полюсы в импульсном пространстве,
а все разрезы содержат дополнительный множитель 1/JV. Кроме того,

8-4- Неабелева калибровочная теория 161
число этих полюсов бесконечно. Важный физический вывод заключа-
заключается в том, что сумма пленарных диаграмм в предположении конфайн-
мента описывает бесконечное число стабильных частиц растущих масс.
Следующие поправки по 1/7V превратили бы эти частицы в узкие резо-
нансы.
Чтобы доказать эти утверждения, рассмотрим корреляционные
функции каких-нибудь синглетных операторов, скажем,
F(T\ — _Lrpr('/<1 (т\\ (R R2)
C. \iJb I — _ _ 11 II .. „Ill/ III \(Jt(jA}
С помощью представления двойных линий мы можем найти старшую
степень N в корреляторах:
(ee)=N~2 ~ 7V7V2 ~ 7V0,
(???>= TV ~ 7V7V2 ~ TV и т. д. (8'83)
Предположим теперь, что в корреляционной функции (ее) имеется по-
полюс. Он описывает некоторое одночастичное состояние |г). Согласно
первому из уравнений (8.83), имеем
(??> = т + №,
п (8-84)
@|?|r)~7V°.
В тоже время второе из уравнений (8.83) дает
(???)= + + TV. (8.85)
Отсюда мы заключаем, что г
r3 ' 8.86
g= -TV.
Эти оценки показывают, что корреляционные функции при N = сю
не имеют порогов и что ширина резонансных состояний имеет поря-
порядок g2 ~ N. Такой же масштаб и у амплитуд двухчастичного рассея-
рассеяния.
Совершенно ясно, что число частиц в теории должно быть бесконеч-
бесконечным и что их массы должны возрастать. Это следует из представления
(е(р)е(-р)) =

162 Глава 8
Если рассмотреть предел р2 —>• сю, то при конечном числе резонан-
сов мы получили бы из (8.87) поведение ~ р~2. Но, как мы знаем, в
случае асимптотической свободы правильный ответ содержит степени
логарифма log~1(p/m). Это совместно с (8.87) только при бесконечном
числе полюсов.
Это совершенно естественный с точки зрения струнных представ-
представлений результат. Действительно, как мы видели в главе 3, в фазе
конфайнмента элементарные возбуждения образуются из замкнутых
струн электрического потока. Такие замкнутые струны имеют беско-
бесконечно много колебательных мод (мы изучим их в главе 9), каждая из
которых отвечает частице и создает полюс в (8.87). Легко дать гру-
грубую оценку числа таких состояний с данной массой. Для струны дли-
длины L число ее конфигураций растет как ecL (с — некоторая константа).
Масса каждой конфигурации пропорциональна L. Следовательно, чис-
число N(M) частиц массы М порядка
N(M) ~ есМ. (8.88)
В главе 9 мы обсудим это подробнее.
Другое важное свойство предела больших N относится к фазовому
множителю ф(С). Покажем, что поле
ф(С) = jz TV I P exp * A^dx») (8.89)
обладает следующим свойством факторизации:1
Это опять-таки можно немедленно увидеть из представления «двойных
линий». Имеем
МС)> = 1 + 1 с +... = ! + ! +...~JV°, (8.91)
) - (ф(С1))(ф(С2)) =
= -LCl С2 +... = ^ Cl c2 +...-ЛГ1. (8'92)
Из уравнения (8.90) следует, что поле ф(С) можно рассматривать
как классическое поле в пространстве петель, так как его флуктуация-
ми ((ф(С) — (ф(С))J) можно пренебречь. Это, однако, не означает, что
поле Ац само становится классическим в пределе больших N.
1Это свойство было открыто А. А. Мигдалом A977).

8-4- Неабелева калибровочная теория 163
Классическое поле W(C) = {ф(С)) удовлетворяет некоторому за-
замкнутому нелинейному уравнению в пространстве петель, которое сле-
следует из G.41). Имеем
d2W(C)
dx2(s)
= -ej S(x(s) - y)x^(s) dVll W(C)W(C). (8.93)
Используя рассуждения главы 7, можно показать, что пертурбативное
решение (8.93) дает, как это и должно быть, все пленарные диаграм-
диаграммы в неперенормированном виде. Однако настоящее назначение этого
уравнения состоит в том, что оно могло бы помочь выбрать из всех
возможных теорий струн ту, которая описывает предел больших N ка-
калибровочной теории. Этот важнейший вопрос, к сожалению, пока не
решен. Главная трудность заключается в неадекватности нашего пони-
понимания теории струн. Это будет обсуждаться в главе 10. Другая пробле-
проблема связана со следующим неприятным свойством уравнения (8.93). Это
уравнение справедливо только при некоторой определенной регуляриза-
регуляризации калибровочной теории и теории струн. Поэтому может случиться,
что «правильная» струнная теория не будет удовлетворять (8.93), пото-
потому что она была регуляризована по-другому. Это затрудняет попытки
решить (8.93) с помощью струнного анзатца. Быть может, было бы лег-
легче непосредственно сравнить ультрафиолетовое поведение в случае те-
теории струн и в случае асимптотически свободных глюонов. Описанная
ситуация с петлевым уравнением напоминает ситуацию с уравнениями
Шредингера для теории поля. Хотя эти функциональные уравнения, в
принципе, справедливы в регуляризованной теории, и с некоторым тру-
трудом их можно перенормировать, их практическое использование было
до сих пор весьма ограниченным. Более удобным оказывается изучать
их решения в виде континуальных интегралов. В следующей главе мы
опишем подобный подход к теории струн.

Глава 9
Квантовые струны и случайные
поверхности
В предыдущих главах мы видели, что, в то время как киральные
поля в пределе большого N описывают свободные частицы, калибро-
калибровочные теории описывают невзаимодействующие струны (или описы-
описываются ими). Понятие «свободной струны» совсем не тривиально, и до
сих пор мы пользовались этим термином довольно небрежно. Цель этой
главы — сформулировать теорию струн. К сожалению, построение этой
теории еще не завершено. Поэтому ниже мы дадим обзор имеющихся
результатов и наметим возможные направления общего развития.
Мы начнем с очень простого специального случая бесконечно ко-
коротких струн или, что то же самое, точечных частиц. После этой раз-
разминки мы перейдем к нашей главной цели — общей теории струн.
9.1. Предварительные математические сведения:
суммирование по случайным путям
Положение точечной частицы описывается 4-вектором жр. Задача
состоит в вычислении амплитуды G(x, ж') перехода частицы из точ-
точки ж в точку ж'. Как обычно, эта амплитуда дается суммой по всем
возможным траекториям, соединяющим точки ж и ж'. В евклидовом
пространстве она равна
(^4) (9.1)
Здесь Pxxi обозначает путь, соединяющий ж и ж', и S[PXX'} — классичес-
классическое действие для данного пути. В качестве S выбирается простейшая
инвариантная характеристика пути — его длина. Таким образом, мы
имеем следующее выражение для действия:
S[PXX>] = m0L(Pxx,), (9.2)
где too — некоторый параметр (связанный с массой частицы), a L —
длина пути Pxxi.

9.1. Предварительные математические сведения 165
Теперь наша цель состоит в том, чтобы правильно определить
сумму в (9.1) и вычислить ее. Если бы у нас была решетка в х-
пространстве, это было бы легко сделать, так как на решетке имеется
лишь конечное число путей Рхх/ заданной длины. Таким образом, один
из приемлемых путей решения задачи состоит в том, чтобы, начав с ре-
решетки, вычислить сумму (9.1) и устремить затем шаг решетки а —>• О,
одновременно подбирая тоо(а) так, чтобы сделать амплитуду G(x, ж')
конечной. Поскольку задача о случайном блуждании на решетке реша-
решается точно, это приведет к желаемому ответу. Единственный недоста-
недостаток этого способа состоит в том, что его нельзя обобщить на случай
поверхностей. Поэтому мы не будем применять этот стандартный при-
прием и постараемся развить непрерывную теорию ah initio.
В непрерывной теории действие принимает вид
1
= mo / (
(9.3)
где мы параметризовали путь функцией жДт), причем ж ДО) =
жр, жД1) = ж' . Это действие инвариантно относительно «калибровоч-
«калибровочных преобразований», или «диффеоморфизмов», или «репараметриза-
ций», даваемых заменами
х„(т) ->¦ жД/(т)) (9.4)
с функцией /(т), удовлетворяющей условиям
/@) = 0, /A) = 1, ^>0- (9.5)
Здесь мы встречаемся с двумя трудностями. Во-первых, нам нужно вы-
вычислить интеграл с действием (9.3), содержащим квадратный корень.
Во-вторых, мера интегрирования должна быть определена так, чтобы
учитывать жДт) по модулю репараметризаций (9.4), (очевидно, что
функции жДт) и жр(/(т)) описывают один и тот же путь). Сейчас мы
покажем, как преодолеть эти трудности, которые в некоторой степени
компенсируют друг друга.
Мы хотим вычислить интеграл
G(x, х') = Д |^) exp^-m0j(x2(T))^ dr) , (9.6)

166 Глава 9
где через Т>х(т)/Т>/(т) мы обозначили меру интегрирования по фактор-
пространству, полученному из пространства всех функций жр(т) отож-
отождествлением тех функций, которые связаны репараметризациями. Ины-
Иными словами, T>f(r) можно понимать как объем калибровочной группы.
Запишем (9.6) в виде
(9.7)
G(x, x') = / — exp I —mo / (h(r)) '2 dr I x
о
x fvx(T)S(x2(T)-h(T)),
где мы ввели «метрический тензор» Н(т) на пути и вставили функцио-
функциональную <5-функцию под интеграл. Мы начнем с вычисления второго
интеграла в (9.7) и для определения <5-функции введем множитель Ла-
гранжа:
К(х, x',h(r)) = I'vx(t) S(x2(t) - h(r)) =
c+ioo 1 1
= / V\(t) exp( I \(тЩт)<1т\ IVx(t) exp(- / \(т) х2 (т) dr\ .
c-ioo 0 0
(9.8)
Действие в (9.8) инвариантно при репараметризациях, если принять
следующие законы преобразования ж, h и А:
х(т) -»¦ x(f(r)),
Меры интегрирования и обрезание должны быть определены так, что-
чтобы сохранить (9.9). В частности, заведомо неправильно будет разделить
интервал 0 < т < 1 на равные маленькие куски, так как такая струк-
структура нарушает калибровочную инвариантность. Вместо этого размеры
кусков следует определить соотношением
J=?2, (9.10)
так как h(r) — метрический тензор.

9.1. Предварительные математические сведения 167
Удобно ввести вместо «тензора» Л(т) «скалярный» множитель Ла-
гранжа а(т):
¦ > ' (9.11)
а(т) -»¦ a(f(r)).
Таким образом,
К(х, x',h(r)) = / Т>а(т) ехр / а(т)(Ь,(т)) '2 drx
J J
° , (9-12)
Сейчас мы покажем, что в непрерывном пределе функцию а(т) в (9.12)
можно заменить на константу (а) аналогично тому, как это было в
главе 8 с сг-моделью в пределе большого N. Удобно сделать еще одну
(последнюю) замену переменных в (9.12), введя вместо т собственное
время t:
т
jWV (9.13)
i
К{х, х',Т) = / Va(t) exp / a(t) dtx
о
T
Vx(t) exp - / a(t)x2(t)dt
'ITJz:' V У
(9-14)
Согласно (9.10) континуальный интеграл в (9.14) определяется обыч-
обычным способом с помощью деления интервала [0, Т] на равные части
At, = г. (9.15)
С помощью регуляризации (9.15) нетрудно вычислить гауссов интеграл
в (9.14). Сделаем это, хотя, как мы объясним позже, конечный ответ

168
Глава 9
можно было бы предвидеть и без такого вычисления. Имеем
г
Г С 1
Vxit) ехр - a(t)x2(t)dt\
= /&'¦
J * — п
exP|-Z^ar
t=0
t=0
at
t=o
= constM|at lexp
at
Теперь нам нужно вычислить сложный на вид интеграл
с+гоо Т/е
К(х,х',Т)~ I ('j[datat"D/2eE
где
, a) = a~D/2 ехр(-Д2/а).
(9.16)
(9.17)
Основная идея, позволяющая вычислить (9.17) в пределе г —>• 0, основа-
основана на «законе больших чисел». Именно, интересный кусок Ф в интеграле
зависит только от ^а^1. Каждое at флуктуирует вблизи среднего зна-
t
чения (а) с величиной флуктуации ~ 1, причем среднее определяется
как

9.1. Предварительные математические сведения 169
с+гоо с+гоо
/(а)= I daa-Dl2eeaf{a)\ f
c—ioo c—ioo
e2JKaf =e(oP- (аJ)
(9.18)
В результате в пределе ? —>• 0 формула (9.17) дает
К{х, х', Т) = const T-D'2 exp I - ^ ~ ^ (a) + Г(а) J . (9.19)
В процессе вывода становится ясно, что, прибегая к тупой дискретиза-
дискретизации (9.16), мы действуем не лучшим образом. Внимательно посмотрев
на (9.14), можно обнаружить, что флуктуации ait) являются коротко-
короткодействующими. В самом деле, если мы представим
a(t) = (а) +/3(t), (9.20)
то билинейный по /3 член Wn в эффективном действии, полученный
после гауссова днтегрирования по ж, имеет вид
ч х ч
WU= ^ к --
где вершина /Зжж-взаимодействия определяется членом f 0(i)x2(t)dt в
лагранжиане. Это вычисление показывает, что поле /3 не приобретает
кинетической энергии и, следовательно, имеет корреляцию при t ~ е.
Иными словами, это означает, что во всех выражениях, содержащих
«большое число» переменных at, подобных Ja(t)x2(t)dt (при условии
гладкости x(t)), множитель a(t) можно смело заменять на среднее зна-
значение (а). Это важный урок.

170 Глава 9
Таким образом, мы решили первую часть задачи, и получили ответ
K(x,x',h(r))= I Vx(T)S(x2(r)-h(T)) =
= constT-°l2exp (- (Ж ~TX'J (a) + (а)т\ , (9-22)
<a}~±, T = JdT(h(T)I'*.
о
Теперь нужно завершить интегрирование в (9.7). Прежде всего заме-
заметим, что (9.22) зависит от h(r) только через Т. Это, конечно, не слу-
случайность, поскольку Т — единственный инвариант в одномерной ри-
мановой геометрии (такие величины, как скалярная кривизна и т. п.
в этом случае равны нулю). Естественно ожидать, что интегрирова-
интегрирование по Т>к(т)/Т>/(т) в (9.7) превратится в точности в интегрирование
по dT. Это и в самом деле так, однако для будущих обобщений полезно
вывести это подробно.
9.2. Меры в пространствах метрик и
диффеоморфизмов
Чтобы определить инвариантную меру интегрирования по h, мы
должны начать с определения метрики в пространстве метрик, и затем
использовать «метрический тензор» в этом функциональном простран-
пространстве для того, чтобы найти элемент объема. Единственное локальное
выражение для «расстояния» \\5h\\ между метриками h(r) и Л,(т) + <№(т)
имеет вид i
\\Sh\\2 = fdTFh(T)Jh-3/2(T). (9.23)
о
Совершенно очевидно, что (9.23) инвариантно по отношению к репара-
метризациям.
Заметим теперь, что любую метрику Н(т) можно сделать не зави-
зависящей от т с помощью соответствующим образом выбранного калибро-
калибровочного преобразования /(т). Согласно (9.9), это означает, что h можно
представить в виде
h(r) = Т' ^) (9.24)
при некоторых Т и /. Наша стратегия будет состоять в том, чтобы

9.2. Меры в пространствах метрик и диффеоморфизмов 171
перейти от интегрирования по Vh(r) к интегрированию по Т и /. Со-
Согласно общим правилам,
Vh(r) = dTVf(r) x (якобиан). (9.25)
Если мы сумеем найти якобиан, наша задача будет решена, так как
вместо Т>Ь(т)/Т>/(т) мы получим хорошо определенный интеграл по dT.
Простейший способ вычислить меру в (9.25) состоит в том, чтобы под-
подставить разложение (9.24) в (9.23) и выразить «расстояние» в новых
координатах.
Вычисление существенно упрощается, если пользоваться общей
геометрической формулой (полезной для будущих обобщений), кото-
которую мы сейчас выведем в общем случае п измерений. Предположим,
что у нас есть два метрических тензора gab(O и Наь(?), где ? — ко-
координаты на некотором n-мерном римановом многообразии. Пусть эти
метрики связаны преобразованием координат (или диффеоморфизмом)
g=hif), (9.26а)
или, в явном виде,
%^^^ (9-266)
Мы хотим доказать следующее соотношение, связывающее малые ва-
вариации g, h и /,
8 gab = [8hab + Vaujb + Vbo;a](/) =
dfcdfd (9-27)
где
иа(О=ЗГ(ГЧО)- (9-28)
Здесь под Va подразумевается стандартная ковариантная производная,
вычисленная в метрике h, а символ J означает обратную функцию.
Формулу (9.27) можно проверить прямым вычислением, но легче по-
понять ее без этого с помощью следующего рассуждения, основанного на
групповом свойстве диффеоморфизмов. Мы можем рассмотреть преоб-
преобразование f + Sf как результат последовательного применения преобра-
преобразования / и инфинитезимального преобразования 1+ш. Следовательно,
достаточно найти вариацию метрики при бесконечно малом преобразо-
преобразовании 1+ш, которая дается выражением в квадратных скобках в (9.27).

172 Глава 9
Заметим также, что аналогичные формулы для калибровочных полей
имеют вид
+ V^]/, (9.29)
; = dpOJ + [Вц, uj]
(здесь f(x) обозначает калибровочное преобразование и принимает зна-
значения в соответствующей группе).
Применим теперь эти общие геометрические формулы к нашему
специальному случаю. Подстановка (9.24) в (9.23) дает
if =
~W[JiJ - (9.30)
(STf ,
'•Jdf^tf)-
Здесь ih(f) = duj/df, и использовано соотношение шA) = ш@) = О,
вытекающее из граничных условий /A) = 1, /@) = 0.
На следующем шаге определим меру и метрику в пространстве
диффеоморфизмов. Так же, как и в случае обычных групп, существует
единственная метрика, инвариантная по отношению к левому и право-
правому умножению. Она дается следующей формулой
I I J II / '" •-u.uy^/— VS / — \"S/ ™ "S 7 /¦-. qh \
Эта формула — следствие двух условий инвариантности. Рассмотрим
сперва «правое умножение», а именно замену
J^/Oa' (932)
Тогда имеем
*№ -»¦ Sf(a(O), (9.33)

9.2. Меры в пространствах метрик и диффеоморфизмов 173
Таким образом, уже сама форма и>(?) инвариантна при «правом умно-
умножении» на диффеоморфизм. Если мы рассмотрим теперь «левое умно-
умножение», мы получим
яаа,а-и (9-34)
s.fa(.r40)^
В итоге и>а при умножении слева преобразуется как обычный (кон-
травариантный) вектор. Если одновременно преобразовывать метри-
метрику hab, то расстояние (9.31) не изменится. Формула (9.31) есть, оче-
очевидно, единственное локальное выражение с этими двумя свойствами
инвариантности. Оно обобщает хорошо известные двусторонне-инвари-
антные метрики Киллинга на конечномерных группах. В конечномер-
конечномерном случае, если / — элемент группы, метрика Киллинга дается выра-
выражением
\\Sf\\2 = Тг(^2), ш = 6/-Г1, (9.35)
которое инвариантно при заменах
f^/3-f-a; w^ /3-w/T1, (9.36)
где точки означают обычное умножение матриц.
Диффеоморфизмы, образуя бесконечномерную группу, ведут себя
аналогично конечномерным группам. Единственная существенная осо-
особенность состоит в том, что, как видно из (9.31), нам пришлось исполь-
использовать метрику hab исходного многообразия, чтобы определить аналог
следа в (9.35).
Разумеется, наши манипуляции с метриками в функциональных
пространствах имеют смысл только после того как произведена инва-
инвариантная регуляризация и перенормировка. Это будет сделано во всех
последующих приложениях.
Возвращаясь к нашей задаче, мы видим, что
(9.37)

174 Глава 9
После замены t = Т ¦ f, ш —>• Те наши формулы можно переписать в
виде
Из (9.38) мы заключаем, что
т о (9-38)
-Sf\\2= f dte2{t).
о
(9.39)
__ ,„, ,... , - ^
и, следовательно, мы нашли желаемый якобиан. Теперь пора регуля-
ризовать детерминант в (9.39) и вычислить его. Расходимость в (9.39)
отражает формальный характер наших манипуляций с бесконечномер-
бесконечномерными мерами. Однако мы знаем, что ультрафиолетовые расходимости,
согласно (9.15), следует обрезать, расщепляя интервал на малые части
равной длины, так как наш метрический тензор на интервале [О, Г] ра-
равен 1. Есть много других более удобных регуляризации, в сущности,
эквивалентных описанной. Мы воспользуемся следующим выражением:
(S.40)
где А„ = 7г2п2Г~2 — собственные значения оператора —cP/dt2.
Вклад (9.40) от тех п, при которых А„ <С е~2, равен log(l/An? ), в
то время как гармоники с тгпТ~1 3> е~х дают пренебрежимо малый
вклад. Но тгп/Т — это волновой вектор, соответствующий собственной
функции
фп ~ sin(wnt/T) (9.41)
оператора —d2/dt2. В итоге определение (9.40) правильно учитывает
моды, медленно меняющиеся на интервалах ~ е, и обрезает высшие
моды. Следовательно, е играет роль шага решетки. Немного позже мы
увидим, что после перенормировки мы можем устремить е к нулю и
конкретная форма обрезания несущественна.

9.2. Меры в пространствах метрик и диффеоморфизмов 175
Для практических вычислений представим сумму в (9.40) в виде
ОО +ОО
5>хр(-тг2п2т/Т2) = i ? ехР(-тг2п2т/Т2) - \ =
п=1 п= — оо
i-oo
= \ I dn ехр(-тг2п2т/Г2) - I + О(ехр(-с/т)) =
((/))
/тгт *
(9.42)
где экспоненциальная малость поправки следует из формулы суммиро-
суммирования Пуассона. Далее,
logdet Г-iU = у df ^exp(-.2n2r/T2) =
Е2 n=1
(е/гJ
(е/г)
^
^
2 п=1 ! п=1
(е/ТJ
(9.43)
Два последних члена в последней формуле не зависят от Т. Поэтому
di2 ' ^ "° F " (9-44)

176 Глава 9
Подставляя это выражение в (9.39), получаем
= const • ехр(-Т/2е^) dT.
Все расходимости содержатся в постоянном множителе и в члене
ехр(-Т/2?0г)-
Теперь мы готовы к вычислению (9.6). Собирая (9.45), (9.22)
и (9.7), находим
оо
G(x, ж') = const I dT exp {- (то0 -
(-(ж - х'J/еТ) =
= const I dT exp(-//?T)T-D/2 exp
= (9.46)
= const / — etq>(ip(x — x')),
J Р2+Ц
ц = e-\mo - mo,cr) = e (mo
Все наши выкладки имеют смысл, если характерные значения Т в ин-
интеграле (9.46) много больше обрезания (или «параметра решетки») е.
Следовательно, интеграл (9.6) имеет непрерывный предел только тог-
тогда, когда значение то выбрано близким к критическому, или, иными
словами, мы должны брать предел е —>• 0 для обрезания одновременно с
пределом тпо(е) —>• тоо,сг- В этом случае члены вида ет1е будут скомпен-
скомпенсированы, и мы получим непрерывную теорию. Этот результат легко
понять и с точки зрения решеточной регуляризации. На решетке имеем
G(x, x') =
x, x')e
-moL
(9.47)
L=0
где Nl(x, ж') — число путей длины L, соединяющих точки х и х'. Мы
знаем, Nl(x, ж') ~ cL что при больших L, где с зависит от вида ре-
решетки. Видно, что при too > log с в (9.47) существенны пути с длиной
порядка параметра решетки, и непрерывного предела нет. Но по ме-
мере приближения too к критическому значению тоо,сг = log с, типичные

9.3. Замкнутые пути 177
значения L ~ (то — Тоо^г) становятся много больше единицы, тео-
теория становится непрерывной и перестает зависеть от решетки. Наше
описание в точности соответствует этому пределу.
Из (9.46) видно, что корреляционная длина или физическая масса
имеют нетривиальный критический индекс
Trarr ~ TOphys = y/ji ~ (т0 - ТО0,сг) /з • (9.48)
Процедура перенормировки в этом случае состоит в том, чтобы
выразить все величины через физическую массу и выделить несущест-
несущественный постоянный множитель в (9.46). После этого мы получаем ко-
конечную амплитуду в пределе е —>• 0.
Для будущих обобщений полезно распространить развитый выше
формализм на замкнутые пути.
9.3. Замкнутые пути
В этом случае имеются некоторые технические отличия при интег-
интегрировании по метрикам. Начнем с интегрирования по х(т), предвари-
предварительно заменив множитель Лагранжа его средним значением, которое
мы положим равным 1/2- Мы всегда можем достичь этой нормировки
изменением масштаба. Имеем
K[h(r)] = I Vx(t) expf-i [х2ёт),
Jx@)=x(t) \ ZJ /
1
= fh^ (r) dr.
@)=x(r)
(9.49)
T =
Прежде всего мы должны устранить тривиальную расходимость
в (9.49), связанную с тем, что интеграл обладает трансляционной ин-
инвариантностью жр —>• жр + ср, и поэтому следует зафиксировать неко-
некоторую точку нашей петли. Это удобнее всего сделать, умножая меру
в (9.49) на «единицу»:
г
/dc \т15{х^ ~ с) dT) = ls (9l50)
о
и опуская / dc = V. После этого (выбрав с = 0) получаем
т т
i]= [vx(t)(^ [ 6(х(т))Aт)ехр(-± fx2dT). (9.51)
J К1 J / \ z J /

178 Глава 9
В этой формуле <5-функция позволяет исключить опасную нулевую мо-
моду оператора —cP/dt2. Если разложить
х(т) = (<ю + Y1 ап ехрBтггпт/Г)) -j=, (9.52)
то
4тг2п2
/ х2 dr = yj А„а^, Л„ =
О
Vx(t) =
Отсюда выводим
т , ч
/С[Л(т)]= /^ао^/Л-^+... dr
(9.53)
где det'2? определяется как произведение собственных значений опера-
оператора V. Используя представление предыдущего раздела, получаем
-log det' (-?) = /f ?exp(-WS/T2) =
00 ОО
= / f (Е ехр(-4тг2п25/Т2) - l) = / # (Е ехр(-47г Vx) - l) =
(е/ГJ
1 ОО
=/ f (E ехр(-4тг2п2Ж) - l) + I f (X) exp(-Wx) - l) =
П П
1
= / % { ^^ - 1 + О(ехр(-с/ж))} + const = -^= - 2 log ^ + const
(е/ТУ
(9.54)
Это дает следующий результат:
JC[h(r)] = TDI2T-D exp(cT/?) = T~DI2 ехр(сТ/?). (9.55)

9.3. Замкнутые пути 179
Теперь мы должны найти меру Vh(r)/V'_/'(т). Здесь опять нужно акку-
аккуратно учесть нулевые моды. Поскольку на этот раз параметризуемое
пространство представляет собой окружность, оно допускает изомет-
рию— преобразование координат, не меняющее метрики. Это обычные
сдвиги т —>• т + а, и их следует исключить из калибровочной группы.
Это можно сделать так же, как и в случае интегрирования по жр, ум-
умножая меру на «единицу»:
1 1
hi
т~у.,у , -a) = 1. (9.56)
о о
В результате мера интегрирования по dT оказывается такой же, как и
для незамкнутых путей, и мы получаем для числа замкнутых путей
длины Т:
Разумеется, этот результат можно было бы предвидеть из (9.46). Если
положить х = х' в (9.46), получится мера T~DI2 ехр(сГ/е). Дополни-
Дополнительный множитель 1/Г в (9.57) возникает потому, что мы должны
считать пути, различающиеся начальными точками, за один путь. По-
Поскольку на пути длины Т имеется Т различных возможностей для вы-
выбора начальной точки, меру надо разделить на Т.
Различные физические величины можно выразить через ампли-
амплитуду того, что путь проходит через заданный набор точек {ж,}. Эта
амплитуда дается вакуумным ожиданием следующего вида:
т
т (9.58)
-Рк-5у^*)ц/*,«.(„-Ч).
о •>' о
Для вычисления этих интегралов удобно перейти в импульсное пред-
представление:
F(qi, ... , qN)= J ^ JVx(t) expf-i/ x2 drj x
0 (9.59)
jY[dTje^
т
x
0

180 Глава 9
Интеграл по ж в (9.59) гауссов. Чтобы его взять, нужно, согласно общим
правилам, сперва решить классическое уравнение
)-т,-), (9.60)
j
а затем вычислить классическое действие. Имеем
тД (9-61)
где Т>(т\т') — функция Грина оператора —cP/dt2. Подстановка (9.61) в
классическое действие дает
j) = \ ^2 qiqjV{Ti\Tj). (9.62)
i,i
Функция Грина на окружности содержит вклад нулевой моды
(здесь Л„ = 4тг2п2/Г2, а С — произвольная константа, описываю-
описывающая вклад нулевой моды). Однако, если полный импульс сохраняется
(%2qj = 0), этот произвол исчезает из (9.62):
з
5>E>J=О. (9.64)
Необходимость сохранения импульса можно также увидеть из (9.60),
интегрируя его по т. Периодичность жу требует ^2 qj = 0.
j
Мы получили следующее выражение для амплитуды:
оо
F(qi,...,qN)= J <KT-D/2e-m*Tl2 х
о т (9.65)
/ IId
х
о

9.3. Замкнутые пути 181
Чтобы прояснить его смысл, рассмотрим случай двухточечной функции
с qi = — q<i = q. Прежде всего вычислим функцию V:
™^о (9.66)
(появление второго члена в правой части следует из условия п/0 в
определении функции V). Поскольку функция V на окружности зависит
только от s = \т — т'\, уравнение (9.66) легко решить:
s(T — s)
V(t\t') = ; + const для O^s^T. (9.67)
Таким образом,
F{q)= <KT-D/le-m*T/2 dT dT>e-*''(T-.)/2T =
Jo -L Jo Jo
/.схэ «Т
= dTT-Dl2e-m'T'2 dse-'?<T-sy2T =
\ J° (9-68)
/»1 /»OO
= dx dTT1
Jo Jo
I
-D/2e-rn2T/2e-g\(l-x)T/2
mz + gzx(l - x)\'
(здесь мы ввели новую переменную х = s/T = \т\ — тг|/Г). Любопытно,
что амплитуду (9.67) можно интерпретировать в терминах обычных
диаграмм Фейнман^даапример
=[
J
+ m2)((q-kJ
dDk
( + (l-x)(q-kJ
о
(to2

182 Глава 9
где мы использовали стандартное представление
dx
АВ J (Ах + В{1-х)J
о
Вывод, приведенный выше, служит проверкой того, что все нор-
нормировки, меры и т. п. в континуальных интегралах были определе-
определены правильно, поскольку в конечном ит&ге мы получили стандарт-
стандартный ответ (9.69) для амплитуды. Таким же способЬм можно показать,
что F(qi, ... , gjv), определенная в (9.59), сводится к стандартной диа-
грамме
F{gi, ... , qN)= . (9.70)
В этом разделе мы развили несколько необычный формализм, ис-
использующий интегралы по путям, но в конце концов оказалось, что
все ответы гораздо легче описать обычными диаграммами Фейнмана.
Однако имеются серьезные причины для того, чтобы работать непо-
непосредственно с геометрическими интегралами. Дело в том, что, когда
мы переходим от путей к поверхностям (или объектам большей раз-
размерности), геометрические континуальные интегралы остаются един-
единственным инструментом. В следующих разделах мы покажем, как он
работает в случае теории струн.
9.4. Общая теория случайных гиперповерхностей
В предыдущих разделах мы обсуждали одномерные кривые, слу-
случайным образом вложенные в .D-мерное евклидово пространство. Эта
задача эквивалентна задаче броуновского движения и (после аналити-
аналитического продолжения в пространство Минковского) квантовой теории
свободной релятивистской частицы. Вряд ли в этом направлении можно
было получить какие-либо новые результаты, так как все это за много
лет было полностью исследовано классической математикой и кванто-
квантовой физикой. Однако мы развили подход, который можно сразу обоб-
обобщить на случай и-мерных гиперповерхностей, вложенных в .D-мерное
пространство.
Эта проблема представляет большой интерес как для физики, так
и для математики. В то же время случай п > 1 несравненно труднее
случая п = 1. Для и = 2 имеются некоторые достижения, которые мы
обсудим в следующих разделах. Здесь же мы разовьем общий форма-
формализм для произвольного п до той степени, до которой это возможно в
настоящий момент.

9-4- Общая теория случайных гиперповерхностей
183
Рассмотрим вложение гиперповерхности с координатами ?а,
а = 1, ... , п в .D-мерное пространство, заданное функциями
х^\ ..., €n)=Xll{$), im = 1,...,D. (9.71)
Действие должно зависеть от жд(^) так, чтобы быть инвариантным при
заменах координат
или в явном виде
где функции /а должны удовлетворять условию
> 0.
(9.72)
(9.73)
Это требование вытекает из того, что ж(?) и ж(/(^)) представляют одну
и ту же гиперповерхность, по-разному параметризованную.
Если мы ищем непрерывную теорию поверхностей, следует начать
с выражений для действия, содержащих минимальное число производ-
производных. Если теория с таким действием перенормируема, все члены с выс-
высшими производными несущественны. Иногда для того, чтобы достичь
перенормируемости, приходится включать высшие члены. Эти вопросы
мы обсудим позже.
Ковариантным выражением с минимальным числом производных
оказывается гиперобъем А нашей гиперповерхности. Поэтому простей-
простейшее действие имеет вид
(9-74)
= дах11дьх11.
В принципе, можно добавить к нему некоторые члены с высшими про-
производными вида
Ь± = С\ I d ?Jxyhjh 2,
^2,1^ (9-75)
и т. д.

184 Глава 9
(здесь R(h) — скалярная кривизна, вычисленная по метрике hab,
a A(h) — соответствующий оператор Лапласа). В каждом случае для
того, чтобы определить, существенны эти члены или нет, требуется
специальный анализ. Разумно, однако, начать с простейшего дейст-
действия (9.74), отложив на потом вопрос о том, производит перенормировка
дополнительные члены или нет.
Амплитуду того, что поверхность имеет заданную границу, можно
записать в виде
G(c(s)) = / ———- exp I -TOq / (det \\dax <
_ , . ' (9-76)
Здесь граница поверхности а;(?) — (и—1)-мерная гиперповерхность, па-
параметризованная функциями cM(si, ... , sn_i). Чтобы аккуратно сфор-
сформулировать граничные условия для интеграла (9.76), нужно постулиро-
постулировать, что топология ^-пространства совпадает с топологией поверхнос-
поверхности, которую мы рассматриваем. Это необходимое условие того, что-
чтобы мы могли считать жд(?) гладкими функциями. Если граница ?-
пространства определяется уравнениями
€a=€a(s1,...,8n-1), (9.77)
то граничные условия в интеграле (9.76) имеют вид
х(?(в)) = c(s). (9.78)
обозначает, как и в случае путей, меру на пространстве,
полученном факторизацией пространства всех функций а;(?) по группе
диффеоморфизмов ? —> /(?). Другими словами, это инвариантная мера
на пространстве калибровочных орбит, причем калибровочные преоб-
преобразования в этом случае порождены заменами
?->!=/(?)• (9.79)
Чтобы интеграл (9.76) был репараметризационно-инвариантным, мы
должны ограничить возможные /(?) не только условиями (9.73), но
и тем условием, что граничные точки остаются неподвижными:
Ж*)) = ^)- (9.80)

9-4- Общая теория случайных гиперповерхностей 185
Тогда результат интегрирования G[c(s)] будет инвариантен по отноше-
отношению к репараметризациям границы
G[c(x)] = G[c(a(s))], (9.81)
где
— диффеоморфизм.
Действуя так же, как и раньше, начнем с вычисления величины
K[c(s),h(O] = fvx(OS(daxdbx-hab(O), (9.82)
равной числу вложений поверхности с заданной внутренней метрикой.
Использование представления множителя Лагранжа дает
A + ioO
/C[c, h]= Г V\ab ехр ( Г h^Xa
J \J
A — ioo
f ( f г,
J \ J
(9.83)
Нормы в функциональном пространстве, определяющие элемент объема
в этом интеграле, даются выражениями
\\5х(Ц)\\2 = J h/НЫОJ dnt,
\\6ХаЬ\\2 = ( h^(haa,hbb, + chabha,v) 6Xab6X
ab6Xa'b
'b'
(9.84)
где с ^ —У2 — константа. При выводе этих формул мы, кроме локаль-
локальности и общей ковариантности, использовали требование инвариант-
инвариантности расстояний в функциональном пространстве при сдвигах
"
где а(?) и саЬ(^) произвольны. Инвариантность меры относитель-
относительно (9.85) обеспечивает возможность использования уравнений движе-
движения для ж и А, которые выводятся путем подстановки (9.85) в действие.

186 Глава 9
Оказывается удобным разложить
АаЬ@ = a(Ohab + fab@ (9.86)
Къ(ОГ"(О = О-
Интеграл (9.83) принимает вид
/С[с, h] = [ Va(i) exp (n ja{$,
x fvfab(QVx{0 exp (- Г h
<m x
(9.87)
Чтобы продолжить вычисления, следует предположить (и позже про-
проверить), что корреляционные длины полей а(^) и fab(?,) малы по срав-
сравнению с размером рассматриваемой области. Если это так, то, как мы
уже видели в случае путей, эти величины можно заменить их средними
значениями. С учетом общей ковариантности имеем
где а — неизвестная постоянная порядка Л™, а Д(?) — скалярная кри-
кривизна, вычисленная по метрике hab(?,). Уравнение (9.88) отражает то
обстоятельство, что а(?,) — скаляр, a fab — симметричный бесследо-
вый тензор.
Нас будут интересовать метрики hab, медленно меняющиеся на
масштабе обрезания, или, другими словами, с R{?) <C Л2, и мы можем
пренебречь вторым членом в (9.88).
После этого мы получаем для K,[c,h] выражение
па / h^ dn?) х
J /
// f. \
Vx(C) exp I-a / h^habdaxdbxdnn .
Прежде чем двигаться дальше, следует проверить справедливость на-
наших предположений о «замораживании» множителей Лагранжа. Начнем
с флуктуации а. Разлагая
О = аA + iC@), (9.89)

9-4- Общая теория случайных гиперповерхностей 187
нетрудно найти квадратичный член в индуцированном действии для
поля р. Выбирая для простоты оценки Наь = 6аь, находим
Sn(f3) = \ I f3(q)f3(-q)B(q2)^, (9.90)
k+q
где
= 1 f dnk
2/ Bтг)и
(9-91)
Здесь мы учли, что взаимодействие полей /3 и х описывается лагран-
лагранжианом
Cint=ia2 Jm(daxJdna. (9.92)
Непосредственная оценка (9.91) дает
B(q2) = сЛпA + O(q2/A2)). (9.93)
Если константа с в (9.93) не обращается в нуль, корреляционная длина
поля /3, определяющаяся положением сингулярности в д-пространстве,
имеет порядок Л. Следовательно, в общем случае с ф 0 флуктуациями
поля Р можно пренебречь, так как
^ ° ' (W) k ~ (AM)/. « 1, (9.94)
где А — объем нашей гиперповерхности. В присутствии нетривиальной
метрики hah наше вычисление означает, что в индуцированном дейст-
действии имеется член
Sa(J3) = §Л" yV(?)ft1/a(?) d"?, (9.95a)
подавляющий флуктуации поля C. Обращаясь к случаю /-флуктуации,
мы с помощью аналогичных рассуждений находим наиболее сингуляр-
сингулярный член в эффективном действии
Sn[f] = d • Л™(а) / h^haa,hbb,fabfa'b' dn<e, (9.956)
который при d ф 0 указывает на несущественность флуктуации /.

188 Глава 9
Заметим здесь, что вопрос о том, должны ли си d выбираться в
общем положении или какое-либо из них (или оба) следует положить
равным нулю, совсем не тривиален. Могут существовать различные
непрерывные пределы теории струн, причем простейший получается
при отсутствии дополнительных условий на с и d, тогда как остальные
требуют тонкой подстройки этих констант. Нужно выяснить, какой
из возможных непрерывных пределов обладает нужными свойствами и
соответствует калибровочной теории. В настоящее время этот вопрос
не решен, и мы в основном будем исследовать случай общего положения,
не забывая, однако, о том, что есть и другие возможности.
В случае общего положения мы показали, что флуктуациями мно-
множителей Лагранжа можно пренебречь, и (после тривиальных переопре-
переопределений масштабов) остановились на следующем выражении:
/С[ф), hab@] = ехр (с jti'- dn
ехр ( - / h^habдахдьх
(ф)) ф) \ J
(9.96)
Функция Грина для контура c(s) получается отсюда интегрированием
по метрикам hab'.
G[c(s)] = / ab ехр [-Ц til'2 dnt; 1
Vx(O exp I - / tikhab дах дьх dn?, 1,
(9.97)
где ц — критический параметр.
Поскольку выражения вида (9.97) образуют основу нашего после-
последующего обсуждения, полезно вывести их другим способом. Рассмот-
Рассмотрим интеграл
/ Vhab ехр (-ц I til- dn?- I ti^ habgab dnA , (9.98)
где gab(O — симметричный тензор. Предполагается, что интеграл
в (9.98) регуляризован ковариантно. Это означает, что его можно вы-
вычислить следующим образом. Найдем сперва точку перевала дейст-
действия (9.98):

9.5. Двумерные поверхности. Геометрическое введение 189
(9.99)
(I1 I' ! \ 1 I' !
ц I h'2dn^+ / h '2 habgab dnt; I = k h '2 hab(ц Sha,
J J J * J
+ \f h% (hcdgcdhab6hab + gcdShcd) dn? = 0.
Это уравнение определяет положение точки перевала и величину дей-
действия
J/2dnt. (9.100)
Если рассмотреть малые флуктуации в окрестности точки перева-
перевала, можно заметить, что они не могут распространяться, поскольку
в (9.98) отсутствуют производные. Точнее, это означает, что их кор-
корреляционная длина пропорциональна обратному импульсу обрезания.
Следовательно, главная поправка от этих полей к эффективному дей-
действию должна быть локальной и, вследствие общей ковариантности,
должна иметь вид (9.100). Это еще одна демонстрация нашего общего
правила, что поля с малым радиусом корреляции можно заменять их
средними значениями. В нашем случае ковариантность диктует значе-
значения (9.100) этих средних.
Таким образом, интегрируя (9.98) по h, мы вновь получаем дей-
действие (9.74) при условии gab = дах дьх. Это доказывает эквивалент-
эквивалентность (9.97) и (9.76). Опять, как и в нашем первом выводе (9.97), мы
предположили, что находимся в случае общего положения, т. е. все рас-
расходящиеся константы не равны нулю. Является ли этот непрерывный
предел тем, что нас интересует, нужно изучать отдельно в каждом слу-
случае. В следующих разделах мы покажем, как вычислить (9.97) в слу-
случае п = 2 и какая физика описывается этим выражением.
9.5. Двумерные поверхности. Геометрическое
введение
При и = 2 можно продвинуться существенно дальше в анализе
формулы (9.97), явно вычислив континуальные интегралы.
Чтобы это сделать, мы сперва приведем необходимые геометричес-
геометрические свойства рассматриваемых функционалов.
Начнем с функционала
W = Ih^h^daxdbxd2^, (9.101)

190 Глава 9
где функция ж(?) удовлетворяет граничному условию
х(?(в)) = ф). (9.102)
Как мы видели в предыдущем разделе, вариация по отношению к hab
дает
SW = Г h^Tab(OShab(O d2i, (9.ЮЗ)
где Таь можно считать тензором энергии-импульса поля х:
ТаЬ = дах дьх - \habhcd дсх ddx. (9.104)
Метрика h^1, доставляющая минимум W, удовлетворяет условию
ТаЬ = 0, (9.105)
откуда
heafr = c(Odaxdbx, (9.106)
где функция с(?) не определяется соотношениями (9.105). Подставляя
это в (9.101), получаем
W
= (\det\\daxdbx\\)^d2^. (9.107)
"b = Kfr J
Мы заключаем, что проблема отыскания поверхности минимальной
площади, даваемой (9.107), может быть сведена к двум уравнениям:
da{h^habdbx) = 0,
1 , (9-Ю8)
ТаЬ = дах дьх - ±habhcddcx ddx = 0.
Следующий важный геометрический факт, которым мы будем актив-
активно пользоваться ниже, состоит в возможности выбрать конформную
калибровку, в которой метрический тензор hab принимает вид
habit) = e^Sat. (9.109)
Эта исключительно удобная калибровка имеет некоторые топологичес-
топологические ограничения. Сейчас мы обсудим вывод выражения (9.109) и этих
ограничений.

9.5. Двумерные поверхности. Геометрическое введение 191
Первый наивный аргумент в пользу (9.109) состоит в следующем.
Возможность выбрать калибровку (9.109) означает, что любая метри-
метрика hab может быть представлена в виде
^^ (9.110)
где {/а(?)} определяет необходимое преобразование координат. Та-
Таким образом, правая часть (9.110) зависит от 3 произвольных функ-
функций /1(^), /2(?), ?>(?)• Но hab(t;) тоже имеет 3 независимых компонен-
компоненты. Следовательно, числа независимых функций совпадают. Однако это-
этого не достаточно. Мы должны показать, что преобразование (9.110) не-
несингулярно, т. е. якобиан перехода к переменным (ip, fa) не равен нулю.
Для этого следует рассмотреть малую вариацию (9.110)
Shot = [6<p(Z)hab + VaOJb + VbOJa]f, (9.111)
где uja = Sfa(f~1(O)i и мы воспользовались уравнением (9.27). Не-
Несингулярная природа преобразования (9.110) будет доказана, если для
любого 5hab мы сможем найти 5<р и и)а, удовлетворяющие (9.111). Дру-
Другими словами, необходимо, чтобы уравнение
= -Jab (9.112)
или
(Luj)ab = Vawb + Vbwa - habVcu)c = 7ab - ^habjcc (9.113)
всегда имело решение. Уравнение (9.113) получено из (9.112) вычита-
вычитанием следа. Вопрос о том, всегда ли имеется конформная калибровка,
сводится теперь к вопросу о возможности решить уравнение (9.113),
которое мы символически перепишем в виде
Llj = 7. (9.114)
Здесь через L обозначен дифференциальный оператор, определенный
в (9.113), который переводит векторные поля в бесследовые симмет-
симметричные тензорные поля ранга 2 (заметим, что числа независимых ком-
компонент совпадают). Существует сопряженный оператор L+, который
действует в противоположном направлении — превращает тензорные
поля в векторные. Легко доказать, что уравнение (9.114) разрешимо

192 Глава 9
тогда и только тогда, когда сопряженный оператор не имеет нулевых
мод. В самом деле, умножим (9.114) на произвольное тензорное поле /:
(L+f, ш) = (/, Llo) = (/, 7), (9.115)
где
(L+f)b = -Va/a6; f\ = 0 (9.116)
и скалярные произведения определяются ковариантным способом. Мы
видим, что если / — нулевая мода, т. е.
L+f = О, (9.117)
то для таких *у, что (/,7) Ф О, уравнение (9.114) неразрешимо. Если же
нулевые моды отсутствуют, то из
L+Llo = L+1 (9.118)
следует
Llo = 7, (9.119)
так как в противном случае Llo — 7 будет нулевой модой оператора L+.
Оператор L+L — самосопряженный, и (9.118) имеет решение
ф (9.120)
при условии, что у L тоже нет нулевых мод. Если же L имеет нуле-
нулевые моды, решение уравнения (9.118) существует, но не единственно.
Именно, в этом случае функцию Грина (L+L)~1 следует определить
как сумму по ненулевым модам
- ' (9-121)
L+Lu;n = Епи;„,
и общее решение (9.119) имеет вид
^ «^о, (9.122)
где набор {wajo} образует базис в пространстве нулевых мод,
Lu)a$ = 0, (9.123)

9.5. Двумерные поверхности. Геометрическое введение 193
а са — произвольные константы.
Мы заключаем, что существование нулевых мод у оператора L+
означает невозможность выбора конформной калибровки, а существо-
существование нулевых мод у оператора L — неоднозначность этого выбора.
Число нулевых мод управляется теоремой об индексе, упомянутой
в главе 6, и тесно связано с топологией нашего многообразия. Мы пока-
покажем это в случае замкнутых многообразий. Доказательство основано
на тождестве
N0(L) - N0(L+) = Tr {e~tL+L - e~tLL^ (9.124)
(где Nq обозначает число нулевых мод), которое вытекает из совпа-
совпадения ненулевых собственных значений операторов L+L и LL+. Из
уравнений первого порядка
Lip = ex,
I Л' (9.125)
L х = ?<Р
следует
L+Lift=eL+x = e2(ft,
У , ' (9.126)
Следовательно, ненулевой вклад в (9.124) происходит только от нуле-
нулевых мод. Правую часть (9.124) можно вычислить в пределе t —> 0. В
этом пределе она оказывается локальным инвариантным выражением,
зависящим от метрики \гаъ. Если бы метрика была евклидова, было бы
(L+LLj)a = -Vb(Vao;b + Vba;a - habVcu;c) = -д2иа, (9.127)
(hab = fiab)
2 = J_, (9.128)
где коэффициент 2 происходит от интегрирования по компонентам и).
При t —> 0 внешнее гравитационное поле не имеет времени повлиять
на (9.128). Как видно из этой формулы, характерные интервалы дви-
движения «частицы», описываемой волновым уравнением (9.127), имеют
порядок Д? ~ 1/р ~ л/i, что соответствует обычному закону диффу-
диффузии. Кривизна Д(?) дает существенный вклад только в случае
tR(?) ~ 1. (9.129)

194 Глава 9
Это рассуждение делает правдоподобным предположение, что при t —> О
параметром разложения в (?,\e~tL L\?,) служит произведение t ¦ R. Мы
ожидаем, что
/си-«-+Ь|?) = _1_{1 + О1Ш@ + O(t2)},
(9.130)
2\
-O(t2)}.
Позже мы явно выведем эти формулы и вычислим а\у2- Сейчас, под-
подставляя (9.130) в (9.124), получаем
N0(L)-N0(L+)=c-X, (9.131)
где постоянную с = 2{а\ — аг) еще предстоит определить, а
X
= -^ I RVhd2^ (9.132)
— эйлерова характеристика многообразия. Чтобы найти с, достаточно
рассмотреть сферу как пример, в котором числа N0(L) и N0(L+) мо-
могут быть найдены явно. Пользуясь формулами римановой геометрии,
получаем при \гаь = ev5ab
Vawb = дашъ ~ Гаь^с,
1 (9.133)
Га6 = 2 (^ Sbc + dW Sac ~ дс^ Sab">-
Подставляя это в уравнение (9.123), приводим его к виду
d-ze = 0. (9.134)
Здесь мы ввели обозначения
е = иI + iu>2 = е~ч>(ю\ + iioi)-,
На первый взгляд, уравнение (9.134) имеет континуум решений
? = ф). (9.136)
Однако мы должны рассматривать только нормируемые решения
||Wa||2 = / Vhhabu;au;b d2$, = I e2lfi\e\2 d2z < oo. (9.137)

9.5. Двумерные поверхности. Геометрическое введение 195
Стандартная метрика на сфере в стереографических координатах име-
имеет вид
Поэтому функции (9.136) с конечной нормой имеют вид
ф) = a + f3z + -yz2. (9.139)
Таким образом, Nq(L) = 6 (так как а, /3 и 7 комплексные). Геометри-
Геометрический смысл этих решений ясен — это те преобразования, которые
не меняют конформного вида исходной метрики. Эти преобразования
образуют двумерную конформную группу 0B,1).
Что касается L+, то те же рассуждения приводят к уравнению
Va7ab = 7aa = 0 ИЛИ дцф = О,
(9.140)
ф = е vGii - 722 + 2*712),
причем норма определена как
||7||2 = I Vhhaa'hbb'labla,b, d2Z = I е-*\ф\2 d2z.
Поскольку e~v ~г->оо N4> мы заключаем, что оператор L+ не имеет
нормируемых нулевых мод.
Вспоминая, наконец, что сфера имеет эйлерову характеристи-
характеристику х = 2, получаем
N0(L) - N0(L+) = 3*. (9.141)
На самом деле этот результат можно усилить. Можно показать, что
для х < 0 (сфера с более чем одной ручкой) N0(L) = 0. Для этого
вычислим
{L+Luj)a = -Vb(VaLjb + Уьша - habVcLJc)
= -V2iva - [Vb, Va]a;b (9Л42)
= -(V2 + \Щша.
Для поверхностей с % < 0 можно рассмотреть метрику со всюду посто-
постоянной кривизной R < 0. Для такой метрики имеем
(Lu, Llj) = (Vba;a, Vba;a) - ±R{ua, ша) > 0 (9.143)

196 Глава 9
(где скалярные произведения понимаются в том же смысле, что и вы-
выше). Из этого неравенства заключаем, что N0(L) = 0. Это означает,
что
N0(L+) = -3* = 6g - 6 (для g^2), (9.144)
где g — число ручек. Легко проверить непосредственно, что на торе
(g=l,x = 0) N0{L) = N0{L+) = 2 в согласии с (9.141).
В итоге мы нашли, что на сфере мы всегда можем ввести
конформную калибровку, которая определена по модулю SLB, C)-
преобразований (9.139). Это требует дополнительного фиксирования ка-
калибровки. В случае многообразий с более сложной топологией имеются
топологические препятствия к выбору конформной калибровки. Луч-
Лучшее, что можно сделать, — это выбрать калибровку в виде
habit) = e^ft^ten, ... , т6^_6), (9.145)
где halj — некоторая метрика (например, можно выбрать метрику по-
постоянной отрицательной кривизны), зависящая от 6^—6 параметров.
Интегрирование по всем метрикам включает в себя не только интег-
интегрирование по <р(?), но также и Fg — 6)-мерный интеграл по парамет-
параметрам {т,}. Теория таких интегралов развита еще недостаточно хорошо,
и мы лишь поясним здесь качественный смысл этих дополнительных
параметров.
Рассмотрим для простоты тор. Он может быть представлен как
параллелограмм в ^-плоскости, у которого противоположные стороны
отождествлены. В общем случае эта фигура может быть переведена
конформным преобразованием в любую другую, скажем в квадрат,
однако отождествление противоположных сторон будет потеряно. Ес-
Если мы будем пытаться сохранить отождествления, то единственными
конформными преобразованиями, переводящими наш параллелограмм
в другой будут повороты и растяжения. В итоге каждый параллело-
параллелограмм, представляющий тор, можно охарактеризовать двумя конформ-
конформными инвариантами: отношением сторон и углом между ними. Это как
раз те добавочные параметры, о которых говорилось выше. Один из них
можно интерпретировать как «длину» тора, а другой — как угол, зада-
задающий на торе некоторое каноническое направление.
Закончим этот раздел кратким обсуждением того, что происходит
в случае поверхностей с границей, выбрав в качестве примера тополо-
топологию диска. Анализ вновь основывается на уравнении (9.114), но в этом
случае следует подумать о граничных условиях. Если мы попытаем-
попытаемся ограничиться преобразованиями ? —>¦ /(?), не меняющими границы,
КШ)=Ш (9-146)

9.5. Двумерные поверхности. Геометрическое введение 197
(где ? = ?o(s) — уравнение границы), мы получим граничное условие
o;a(?(S)) = 0. (9.147)
Однако в случае общего 7 уравнение (9.114) не имеет решений, так как
оно является дифференциальным уравнением первого порядка. Урав-
Уравнение (9.118) можно решить с условиями (9.147), поскольку это стан-
стандартная задача Дирихле, но его решение (9.120) не будет удовлетво-
удовлетворять (9.114). Это означает, что мы не можем достичь конформной кали-
калибровки путем преобразований, удовлетворяющих (9.146), и это условие
следует ослабить.
Это можно сделать, допустив преобразования, репараметризующие
границу
ЛШ) =№(*)), (9.148)
но оставляющие форму диска неизменной. В терминах ш это означает,
что
wl(&>(*)) = па(з)и;а(Ш) = 0,
u;||(fo(s)) = ta(s)uja({;0(s)) произвольно,
где п и t — нормальный и касательный векторы к границе.
В этом случае нетрудно решить уравнение (9.114) явно. Соглас-
Согласно (9.135), его можно переписать в виде
dzS = j(z, z),
. (9.150)
?_l = Re(e-"e(e")) =0, У '
где мы параметризовали границу диска так:
zo(s) = eis, 0 ^ s < 2тг.
Общее решение уравнения (9.150) имеет вид
ф, z)=dz I G(z, w)-y(w) d2w + f(z), (9.151)
где f(z) подбирается так, чтобы удовлетворить граничным условиям,
a G(z,w) — функция Грина оператора Лапласа.
Решение этой задачи всегда существует, но однозначно ли оно? Для
ответа на этот вопрос рассмотрим однородные уравнения
dze = 0,
. . (9.152)
е± = Re(e-lse(els)) =0.

198 Глава 9
Легко проверить, что они имеют три линейно независимых решения
?W=iz, s^=l-z2, e^=i(l + z2), (9.153)
которые можно добавить к (9.151). Эти решения суть инфинитезималь-
ные конформные преобразования группы SLB,H), отображающей еди-
единичный диск на себя. Общее преобразование этой группы имеет вид
z^z = eiaf^, (9.154)
где а — вещественная фаза, а а — комплексное число.
Отметим, что после того как решение (9.150) найдено, шц(?о(в))
определено однозначно (с точностью до SLB, К)-преобразований).
Итак, в случае единичного диска мы делаем следующий вывод.
Конформная калибровка достижима, но следует включить в рассмотре-
рассмотрение диффеоморфизмы, репараметризующие границу. Эта репараметри-
зация с точностью до SLB, К)-преобразования определяется исходной
метрикой /1оь(?). Поскольку в исходной формулировке континуального
интеграла (9.76) мы факторизовали по диффеоморфизмам, тождествен-
тождественным на границе, следует ожидать, что интегрирование сведется к
a) x (якобиан). (9.155)
Этот якобиан мы вычислим позже, а сейчас важно понять, что интег-
интегрирование по всем метрикам должно включать не только интегриро-
интегрирование по <р, но и интегрирование по всем возможным репараметриза-
циям a(s). В определенном смысле {«(•»)} заменяет конечный набор
параметров {т{\ в случае замкнутых поверхностей сложной топологии.
9.6. Вычисление континуальных интегралов
Целью этого раздела является вычисление интеграла
, ч (9Л56)
ехр (- / h^h^daxdbxd2^) ,
к которому мы свели проблему случайных поверхностей.

9.6. Вычисление континуальных интегралов 199
Начнем с интегрирования по х. Легко понять, почему его можно
выполнить. Если подставить в (9.156) hab = е^ёф, зависимость от ip
исчезнет, что указывает на конформную инвариантность действия. Но
так как мы имеем дело с квантовой теорией, имеется конформная ано-
аномалия, приводящая к тому, что интеграл зависит от ip. Эта аномалия
связана с регуляризацией (9.156) на малых расстояниях, которая не-
необходима, чтобы избежать расходимостей, и нарушает конформную
инвариантность. Это важный момент, и мы получим эту аномалию
несколькими разными способами. Рассмотрим сперва случай слабого
гравитационного поля
hab = Sab + h{^. (9.157)
В случае бесконечной системы индуцированное действие в квадратич-
квадратичном приближении дается выражением
tab(k,q)tcd(k,q) (9.158)
_. ч О 79/7 \9 '
Ъ-к) к (к + q)
tab(k, q) = ка(к + q)b + kb(k + q)a - Sabk(k + q)
(вершина tab легко читается по (9.104)).
Интеграл в (9.158) расходится и его нужно регуляризовать. Это
означает, что интеграл сам по себе определяет только ту часть П(д),
которая имеет сингулярности по q или, другими словами, распростра-
распространяется в ^-пространстве, тогда как регуляризация добавляет к этому
выражению произвольный (a priori) полином по q или локальное выра-
выражение в ^-пространстве. Условие, однозначно фиксирующее эту локаль-
локальную часть — это условие калибровочной инвариантности эффективного
действия.
Для практических вычислений удобно ввести комплексные обозна-
обозначения
к± =kx±ik2 = \k\e±ia,
*> = м- (9Л59)
и рассмотреть сначала компоненту
n++,++-f j 4ii-k
J " " ' "' (9.160)
D [ d2k

200 Глава 9
с неизвестной пока функцией C(q2); мы воспользовались 0B)-
инвариантностью интеграла и тем, что 1/к- преобразуется так же
как к+. Можно попытаться разбить интеграл (9.160) на (+)- и (—)-
множители, поскольку 2тгг d2k = dk+dk-. Это почти возможно, но тре-
требует большой осторожности. Забавно, что для этого следует перейти в
пространство Минковского. Пропагаторы и импульсы заменяются по
правилам
к± —> ко ± fci,
к2 к2 + ie (9.161)
J
к- к2 + ie к- + ie sign k+'
так что наш интеграл принимает вид
оо
=
J
D
(9-162)
dk-
(к- + issignk+)(q- + к- + i?sign(g+ + fc+))'
— СХЭ
Если мы возьмем q+ < 0, сингулярности в к--пространстве будут ле-
лежать по разные стороны вещественной оси только при 0 < к+ < —q+.
В других случаях интеграл по dk- обратится в нуль. Имеем
-ч+ з
± J' dk+ k+(q+ + k+) = 4^^. (9.163)
Это и есть искомый ответ.
Конечность интеграла (9.160) позволяет использовать и другой
трюк для его вычисления:

9.6. Вычисление континуальных интегралов
201
d2k
k,
2
л
2g- У BтгJ'
D_ f d2k „s
1- J
?->0
f J^
J Bтг)
k-,J (fc ~
4- J BтгJ
fc-
?->0
d2k -e
_D_ f jf,
2g- У BтгJ
-J (tJ"
JL
2g
133 fc4 1 3 2,
Очевидно, отсюда также следует
П -
Рассмотрим теперь оставшуюся компоненту
П =D f (Pk к+(д
++'" 2 У B7ГJ
(9.164)
2 У BтгJ 24тг '
(9.165)
где А — квадратично расходящаяся константа, которую мы сейчас за-
зафиксируем. Итак, индуцированное действие имеет вид
о
Aq2h++(q)h—(-q)
(9.166)
Bq2h+-(q)h+-(-q) + C[h+-q2_h
++

202 Глава 9
где мы добавили другие возможные локальные контрчлены с некото-
некоторыми коэффициентами В и С. Постоянные А, В и С могут быть опре-
определены из условия общей ковариантности индуцированного действия.
Закон преобразования для Ь,аь
hab ->• Kb + VaLOb + VbOJa (9.167)
в линейном приближении принимает вид
h++ ->• h++ +2q+uj+(q),
h— ->• h— + 2g_w_(g), (9.168)
h+- ->• h+- + q+0J-(q) + q-W+(q).
Важное обстоятельство состоит в том, что, хотя нелокальная часть дей-
действия (9.166) калибровочно не инвариантна, ее калибровочная вариация
оказывается локальной и, следовательно, может быть компенсирована
калибровочным преобразованием локальной части. У нас есть единст-
единственное калибровочно-инвариантное выражение
где в множителе
ВД = \
,Q 1 _..
нетрудно узнать линеаризованную скалярную кривизну, построенную
по метрике hab.
В конформной калибровке
h++ = h— = 0, h+- и 2ip, (9.171)
(9Л72)
Зависимость от <р, которая изначально отсутствовала в действии, по-
появилась здесь за счет следующего механизма. Индуцированное дей-
действие содержало не зависящие от ip нелокальные члены, которые не
были калибровочно-инвариантны. Это заставило нас добавить некото-
некоторую комбинацию локальных членов, восстанавливающих калибровоч-
калибровочную инвариантность. Эти члены зависели от ip. Очевидно, что в высших

9.6. Вычисление континуальных интегралов
203
порядках нелокальная часть индуцированного действия тоже не будет
зависеть от ip. Отсюда следует важный вывод: в конформной калибров-
калибровке индуцированное действие локально. Это может рассматриваться как
проявление того, что исходное действие конформно-инвариантно и кон-
конформная аномалия возникает лишь вследствие обрезания на малых рас-
расстояниях, влияние которого должно быть локальным.
Локальность действия вместе со свойствами инвариантности поз-
позволяет определить его точную форму. Для этого заметим, что кон-
конформно-евклидова метрика
ds2 = ev(z~z) dz dz
сохраняет свой вид при аналитических заменах координат
z^w(z),
z —> w(z),
(9.173)
ds2 =
dzdz=e>p{z{w)'z{w))
dz
dw
(9.174)
dw dw.
Таким образом, в конформной калибровке индуцированное действие
должно быть локальным функционалом <р, инвариантным при преобра-
преобразованиях
(p(z, z) —} (p(z, z) = (p(w(z), w(z)) + log
dw
dz
(9.175)
где w(z) — произвольная аналитическая функция. Инвариантность
имеет место только с точностью до граничных членов, поскольку фор-
форма области неизбежно меняется при аналитических отображениях w.
Мы отложим обсуждение граничных эффектов. Что же касается «объ-
«объемной» части действия, то единственное выражение, совместное с вы-
вышеперечисленными требованиями, имеет вид
S[ip] = A I d2z B dz
(9.176)
где А — некоторая постоянная. Мы будем называть S действием Лиу-
вилля.
Инвариантность (9.176) по отношению к (9.175) очевидна, посколь-
поскольку
dw
dzdE log
dz
= 0.

204 Глава 9
Любое другое инвариантное выражение будет иметь большее число про-
производных и несущественно в непрерывном пределе.
Сравнивая (9.176) с приближенным выражением (9.172), получаем
А = -М_. (9.177)
Теперь нам остается вычислить якобиан в (9.155), и проблема рас-
распределения случайных поверхностей по внутренним геометриям будет
решена. Простейший способ найти якобиан состоит в том, чтобы в вы-
выражение для нормы в пространстве метрик
\\Sh\\2 = Гh/2(haa'hbb' + chabha'b')8hab8ha,b, d2^ (9.178)
подставить
hab = e-VSab^ h% = eV^
8hab = (Sip + Vcec)hab + (Le)ab
(где L было определено в (9.113)). Получаем
\\Sh\\2= I ev(Sip + VaeaJB + 4c)d2^ + (Le,Le). (9.179)
Отсюда следует
Vh^VetefriL+L),
(L+Lw)a = Vb(Vawb + Vbcoa - habVcwc).
Теперь мы произведем вычисление det(L+L) способом, аналогичным
тому, который мы применили для обычного лапласиана. Именно, рас-
рассмотрим опять случай слабого гравитационного поля. Формальная квад-
квадратичная форма, ядром которой является оператор L+L, может быть
записана следующим образом:
J (9.181)
ФаЬ = ^а^Ь + ^Ь^а ~ habVCOJc).
Теперь мы вычислим поляризационный оператор П , как в (9.164).
Для этого hab достаточно выбрать в виде
IIMI = (К2+ о) (9.182)

9.6. Вычисление континуальных интегралов 205
с малым h++. Как мы видели в случае скаляров, общий детерминант
можно восстановить из предела малого поля h. Стандартные формулы
для ковариантных производных дают
ф и д-Ш-.
(9.183)
Отсюда
W = j[{д+и>+){д-и>.) + \{d-h++)(u+d-u>-) -
\ \(д-и-) - (9.184)
Третий и четвертый члены не дают вклада, так как только пропагатор
-) отличен от нуля, и мы имеем
det~1/2(L+L) = fvuj±exp\- fс12?[д+ш+д-Ш- +
J J (9.185)
Отсюда легко получить квадратичный член в эффективном действии
для h++:
Sn = ~f
n!h_;__(g)= k +д- k +д- k д- =
= f d2k A
J B7rJU
kl(k + g)- 2fc_(fc
q~ q
(9.186)
Вычисление, аналогичное (9.160-9.163), дает результат
+ ) = J^. (9л87)
4тг 4тг/ 48тг 1+ у

206 Глава 9
Подставляя его в (9.186) и сравнивая с (9.164), мы заключаем, что
роль D играет теперь число 26, и в калибровке (9.180) имеем
det1/2 (L+L) = ехр { - ^ / d2z B dz<p d-z<p + /i V) j. (9.188)
Собирая (9.176), (9.177), (9.180) и (9.188), мы получаем окончательное
выражение для распределения поверхностей по внутренним метрикам
в (9.156)
7closed surf.
_ (9189)
9.7. Амплитуды рассеяния
В случае путей мы продемонстрировали, как вычислять функции
Грина, т. е. амплитуды того, что путь пройдет через заданный набор
точек. Ответ, как и должно было быть, давался диаграммами Фейнмана.
Что же мы получим в случае поверхностей, после того как мы узнали,
как вычислять континуальный интеграл?
Рассмотрим поверхность, проходящую через данные точки
Соответствующая амплитуда дается выражением
G(xu ... , xN) = /Д f tf'i
(9.190)
где среднее берется по случайным поверхностям с помощью меры, вве-
введенной в предыдущих разделах. Переходя к импульсному представле-
представлению, запишем (9.190) в виде
G(Pl, ...,Pn)=(J[J hb(?i)eip'xi^ d2Ci\ . (9.191)
Эта формула замечательна тем, что интеграл по ж останется гауссовым
и его легко взять. Именно, нам нужно вычислить величину
G(pi, ...,
/ I 1 f
I I 16тг /
(9.192)

9.7. Амплитуды рассеяния 207
(коэффициент 1/16тг отвечает удобной нормировке поля ж). Переходя к
конформной калибровке и представляя ж = хс\ + у, где хс\ удовлетво-
удовлетворяет уравнению
(9.193)
жс1 = X)x>(?|&) Х)l ^ ^'2
(здесь 2?(?|?') — функция Грина оператора Лапласа), получим
G(Pl, ... , pN) = jVipig) exp \-±
x / П *?> eM<p(Zj) ~ \р2)ЧШз)) x exp{^ 2piPj log fa - ^-
(9.194)
Величина V(?\?) сингулярна, и ее смысл мы объясним немного позже.
Перед этим перепишем (9.194) в виде
= [ Д
G(Pl, ... , PN) =
•' з
(9.195)
где F дается интегралом Лиувилля по полю <р. Мы ожидаем, что F име-
имеет полюсы по р2, отвечающие физическому спектру состояний струны.
Амплитуды рассеяния на массовой поверхности будут даваться выче-
вычетами в этих полюсах. Обозначив
(9.196)
(где т2 — положение предполагаемого полюса, а пространственно-вре-
пространственно-временная сигнатура выбрана так, что р2 = р2 — р^ = —т2), получаем
следующее выражение для амплитуды рассеяния:
Л(Р1, ... , pN) = Г П d2^ П |6 - Ъ\2**ф{&, ... , Ы)- (9.197)
J j i<3
Даже не зная ф, из этой формулы можно извлечь информацию, так как ф
зависит от меньшего числа переменных, чем Л- Но каков смысл ф!
Ясно, что это некоторая корреляционная функция в квантовой теории

208 Глава 9
поля Лиувилля (поля (р), и, таким образом, в принципе, мы свели проб-
проблему вычисления _О-мерных амплитуд рассеяния к двумерной теории.
Чтобы понять, какого рода корреляторы нам нужны, вернемся назад
к (9.195) и постараемся раскрыть смысл Т>(^\^) в нем. Ясно, что в этом
выражении мы должны сделать обрезание, причем так, чтобы не нару-
нарушить общую ковариантность. Удобно выбрать
4^е~еА"' (9Л98)
К
где фп@ и А„ — собственные функции и соответствующие собствен-
собственные значения лапласиана. Это та же регуляризация, которую мы ис-
использовали выше для определения детерминантов (т. е. регуляризация
с помощью швингеровского обрезания собственного времени); она эк-
эквивалентна регуляризации Паули-Вилларса. Есть простой и наивный
способ вычислить (9.198). Заметим, что
2>(?IO = -log(AOL,5 (9-199)
где (A?)^in — обрезание в ^-пространстве. Однако величина этого об-
обрезания зависит от ?, поскольку нужно зафиксировать минимальный
инвариантный интервал (As)^in. Имеем
?«. (9.2„„)
и, подставляя это в (9.199), находим
| (9-201)
Эта формула выглядит подозрительно, поскольку левая часть должна
вести себя как скаляр при конформных преобразованиях
Однако
,л 2
<Р(О ->V(/(O)+ log ^ , (9-203)
и (9.202) не выполняется. Мы можем даже усилить расхождение, заме-
заметив, что в несовпадающих точках функция Грина
6) = " log |?i- 612 (9-204)

9.7. Амплитуды рассеяния 209
тоже не является скаляром, так как она меняется, например, при рас-
растяжениях ? —> Л?. Происхождение этой неприятности кроется в том,
что оператор Лапласа на любом компактном многообразии имеет нуле-
нулевую моду — постоянную функцию. Эта нулевая мода, проявляющаяся в
трансляционной инвариантности ж —> ж + а действия в (9.192), должна
быть аккуратно выделена из функции Грина. Функция Грина без нуле-
нулевой моды T>'(^i\^2) хорошо определена и не возрастает логарифмически
подобно (9.204). Легко показать, что
2>'(&|6) =P(?i|6) +F&) +ПЫ, (9-205)
где F(?) определяется из условий сокращения логарифмического роста
на бесконечности и постоянства лапласиана. Нетрудно выписать явные
формулы для F(?), но этого не требуется. Действительно,
i,j i 3 i,3
(9.206)
где мы использовали сохранение импульса. По построению V имеет
правильные трансформационные свойства, но в предыдущих форму-
формулах V на V можно не заменять.
В итоге мы получили следующее выражение для функции ф
в (9.197):
«яа, ...,ы) = (^д(а) • ..фа(ы)),
Д = 1+т2/2. [ }
Среднее в этой формуле вычисляется по полю (р с действием Лиу-
вилля (9.189). Значение Д определяется из того условия, что функ-
функция F(pl, ... , р%;?\, ... , ?jv) в (9.196) имеет полюс при р? = -т2.
Эту корреляционную функцию можно также представить как статис-
статистическую сумму выколотой сферы, на которой поле Лиувилля <p(z) име-
имеет параболические особенности
log2 |^-
Следующий естественный вопрос, к которому мы переходим, касает-
касается свойств корреляционных функций (9.207) и их связи со свойствами
струнных амплитуд рассеяния (9.197).

210 Глава 9
9.8. Амплитуды рассеяния и операторное
разложение
Результаты предыдущего раздела можно суммировать следующим
образом. Амплитуда дается выражением
Г N
A(pi, ¦ . ¦ , Pn) ~ / П <??№„(Ы ...VPN(Ы>, (9.208a)
Vp@ = фА(О:еМ*Рх(ОУ~ (9-2086)
Здесь мы ввели новое обозначение :ехр(грж(^)):. Его смысл состоит
в том, что при вычислении средних от произведений различных экс-
экспонент свободного бозонного поля х(?) с помощью теоремы Вика не
следует спаривать поля ж внутри символа : :. Следовательно,
(9.209)
и мы воспроизводим (9.197). (Полезное замечание: для вычисления та-
таких средних удобно рассмотреть малые pi и записать
(9.210)
поскольку мы заранее знаем, что результат имеет гауссов вид относи-
относительно р^.)
Корреляционные функции (9.209) обладают замечательным свой-
свойством. Они ковариантны при проективных преобразованиях из груп-
группы SLB, С). Введем комплексные переменные z = ?,1+i?,2 и z = ^ — if;2
и посмотрим, что произойдет с произведением (9.209), если заменить
z^az+f3 =w^zy a8-1fi=\. (9.211)
jz + д
= 1 - 'YjPiuPjAvpi&XviZj)) + О(р1)

9.8. Амплитуды рассеяния и операторное разложение
211
Имеем
откуда
z\ -
п
(9.212)
Первый множитель имеет структуру, которая нам уже встречалась
в (9.206), и мы перепишем его следующим образом:
п
dw
dz
(Zi)
dw
dz
(Zj]
=n
dw,
dz{
-Pi
(9.213)
(где мы использовали сохранение импульса ^ . pj = 0). Этот результат
можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим оператор
Up(z, z) = :е
~\ — .pipx(z,z).
(9.214)
Мы доказали, что его корреляционные функции инвариантны при пре-
преобразованиях
где
dw\ I dw
dz J \dz
, _az + fi
Up(w(z),w(z)),
(9.215)
В такой ситуации мы будем говорить, что оператор имеет аномальную
размерность р2, и что мы имеем дело с конформной квантовой теорией
поля.
Как могло получиться, что, начав с поля ж размерности нуль, мы
экспоненциированием получили поле ненулевой размерности? «Избы-
«Избыток» размерности появился вследствие того, что мы исключили ульт-
ультрафиолетовое обрезание с помощью нормального упорядочения : :. В

212 Глава 9
2
противном случае мы получили бы коэффициенты, содержащие е~р
(где е — малое расстояние, на котором происходит обрезание), и кор-
корреляционные функции формально были бы безразмерными при условии,
что мы меняем масштаб обрезания ? вместе со всеми масштабами. Но
такое масштабное преобразование не представляет интереса. Физичес-
Физическое изменение масштаба не меняет обрезания. Вообще говоря, в этой
ситуации масштабной инвариантности могло бы и не быть вовсе. Од-
Однако во многих важных случаях, подобных рассмотренному выше, она
тем не менее имеется, хотя трансформационные свойства полей пере-
перенормируются.
Обратимся теперь к первому множителю в (9.208&). По построению
он инвариантен при преобразованиях (см. (9.203))
(9.216)
Эта конформная инвариантность, как мы уже отмечали, представляет
собой остаток общей ковариантности в нашей калибровке. Аномаль-
Аномальная размерность Д в (9.207) такова, что вершинный оператор (9.2086)
имеет размерность 2(Д + р2/2) = 2. Таким образом, масса основного
состояния струны определяется аномальной размерностью поля iI>a(z),
причем последняя полностью определена в рамках теории поля Лиу-
вилля. Подынтегральное выражение в (9.208а) тоже инвариантно при
SLB, С)-преобразованиях, поэтому, чтобы избежать интегрирования
по бесконечному объему SLB, С), следует выделить этот объем из ин-
интеграла. На практике для этого достаточно с помощью SLB, С) помес-
поместить три точки ?i, ?2 и ^з: например, в 0, 1 и оо. По-разному фикси-
фиксируя SLB, С)-калибровку, мы получим различные по виду, но факти-
фактически совпадающие амплитуды Л. Это совершенно тривиально, подобно
фиксированию координат центра масс.
Теперь мы докажем одну крайне важную вещь. Именно, ампли-
амплитуда Л как функция s^...^ = (р^ + ... + PikJ имеет бесконечное
число полюсов с факторизованными вычетами. Под этим подразуме-
подразумевается следующее соотношение, которому удовлетворяет набор ампли-
амплитуд *2AN(pi, ¦¦¦ , Pn)-
P
(9-217)
iN)
^ (ph + ... + pikJ + m2r
Здесь через тг обозначены массы резонансов, среди которых должно

9.8. Амплитуды рассеяния и операторное разложение 213
присутствовать и основное состояние с квадратом массы m,Q = 2(Д —1).
л? — амплитуды рассеяния к частиц основного состояния и одного ре-
резонанса. Таким образом, мы допустили небольшую неточность, говоря
о наборе {An}- В действительности требование факторизации должно
быть наложено на более широкий набор амплитуд, содержащих про-
произвольное число возбужденных частиц. Для них мы еще не приводили
формулы вроде (9.208), но это будет сделано в процессе доказательства.
Условие факторизации (9.217) представляется необходимым и со-
совершенно очевидным с физической точки зрения. Оно отражает то об-
обстоятельство, что благодаря короткодействию всех сил, отдельные вза-
взаимодействия независимы. Оно также очевидно и с геометрической точ-
точки зрения. Резонанс представляется тонкой трубкой, заметаемой в про-
пространстве-времени распространяющейся замкнутой струной в соответ-
соответствующем состоянии. Амплитуда получается из поверхностей, имею-
имеющих топологию сферы с выколотыми точками. В кинематической облас-
области, соответствующей (9.217), существенные конфигурации этой сферы
имеют вид:
представляя слияние двух (или более) замкнутых струн в одну и после-
последующий распад. Это и есть полюсная диаграмма (9.217). Диаграммы с
несвязными разрезами, имеющими вид нескольких замкнутых струн,
соответствуют более сложным топологиям: сферам с ручками. Одна-
Однако с алгебраической точки зрения факторизация представляет собой
столь сложное условие, что ее доказательство должно либо быть очень
простым, либо отсутствовать вовсе. К счастью, осуществляется пер-
первая возможность. Мы сейчас покажем, что условие факторизации эк-
эквивалентно операторному разложению в двумерной теории поля, и что
имеется соответствие между двумерными операторами и резонансами.
Операторное разложение является фундаментальным свойством,
присущим любой разумной теории поля. Оно утверждает, что два ло-
локальных оператора, помещенные достаточно близко друг к другу, мо-
могут рассматриваться как линейная комбинация локальных операторов.
«Достаточно близко» означает, что мы рассматриваем некоторую много-
многоточечную корреляционную функцию, включающую наряду с прочими
и нашу пару операторов, расстояние между которыми много меньше
всех остальных расстояний. Грубо говоря, если смотреть с большого
расстояния, наши две точки сливаются в одну. Формально, если теория

214 Глава 9
поля обладает набором локальных операторов {On(t;)}, то выполняется
следующее соотношение
О„(?)От@) до ? Clnm(OOi@), (9.218)
которое следует понимать как соотношение между корреляционными
функциями, скажем,
(On(t)Om@)O1(Z1)...ON(tN)) = T/Clnm(t)(Ol@)O1(t1)...ON(?N)).
I
(9.219)
Мы также предположим, что можно найти полный набор операто-
операторов {Оп}, так что любое квантовое состояние порождается действи-
действием на вакуум их линейной комбинации. Это означает, что соотноше-
соотношение (9.218) становится точным, если мы учтем все операторы полно-
полного набора. Что же можно сказать о «структурных функциях» С^т(^)?
Предположим, что мы имеем дело с конформной теорией поля, инва-
инвариантной относительно SLB, С)-преобразований. Тогда любой опера-
оператор Оп характеризуется своей аномальной размерностью Ап. Это озна-
означает, что корреляционные функции не меняются при заменах
(9-220)
Чтобы с этим согласовывалось (9.218), нужно потребовать
С'пт(Ч) = Ад<-д"-д"<т@. (9.221)
Для скалярных операторов это просто означает, что
С'пт@ ~ |е|Д'-Д"-Д"% (9.222)
в то время как в общем случае появляются некоторые тензорные
структуры. Все это уже напоминает свойство факторизации, но чтобы
установить точное соответствие, нужно сделать еще несколько шагов.
Прежде всего, давайте проделаем все явно для операторов
Up@ = :eipx^:.
Имеем
.g«j>izD). .е«Р2ж@). ^ \t\(Pl+P2J-Pi-P2 .е*(Р1+Р2)я@). _|_
" " " (9.223)
+ менее сингулярные члены.

9.8. Амплитуды рассеяния и операторное разложение 215
Здесь мы использовали то, что размерность Up(?) равна р2. Форму-
Формула (9.223) следует из того, что экспоненциальные операторы несут со-
сохраняющийся импульс р. Это легко проверить с помощью выражения
для корреляционной функции (9.209), сливая точки ?l и ^2 и сравни-
сравнивая с корреляционной функцией, содержащей UPl +Р2 (^2) • Это хорошее
упражнение для первого знакомства с операторными разложениями.
Обратимся теперь к амплитуде рассеяния и рассмотрим сперва слу-
случай D = 26, когда поле Лиувилля отсутствует. Основное утверждение
состоит в том, что особенности амплитуды Л как функции pj проис-
происходят от интегрирования по тем областям ^-пространства, в которых
некоторые точки, скажем ?i и ^2, сливаются. В этом случае возникает
полюсная особенность. В самом деле,
AN(Pl, ... , pN) = I П d4j (UP1 F) • • • UPN Fv)> =
d2ri I d2
ri I d2b ... d26v (UP1 F + ri)UP2 F) ••• UPN Fv)> и
d2j]\ri\(pi+P2J-p*-p*x
d2b ... d2?N (UPl+P2 F) ...UPN Fv)> =
= 7 ^ n An-i(Pi +Р2,Рз, ••• ,Pn) +
\(Pi+P2J -2)
+ члены, регулярные при (pi + P2J = 2
(9.224)
(имеются также и другие полюсы по (pi + P2J, и они будут рассмот-
рассмотрены ниже). Мы использовали здесь операторное разложение (9.223)
и то, что аномальная размерность UPj (?) должна равняться 2 (чтобы
обеспечить проективную инвариантность без поля Лиувилля), что при-
приводит к массе основного состояния т§ = — р2 = —2 (хорошо известный
тахион стандартной дуальной модели). Мы видим из (9.224), что два
тахиона сливаются в один, и амплитуда этого процесса удовлетворя-
удовлетворяет условию факторизации. Вывод (9.224) иллюстрирует простой меха-
механизм, преобразующий операторное разложение двумерной теории поля
(теории поля на мировом листе струны) в D-мерную факторизацию
полюсов. Пока мы рассмотрели только простейший пример, чтобы про-
продемонстрировать основную идею, а теперь нужно двигаться дальше.
При D = 26 можно изучить остальные полюсы амплитуды. Они

216 Глава 9
будут отвечать высшим операторам в операторном разложении. С по-
помощью точной версии формулы (9.223),
.gipiaKO. :e«P2«(o). _ 111 (pi +P2J —р? —р|. e*pi !в (С) +*Р2 !в (о). (9.225)
находим следующие члены разложения:
¦ (f
f
(9.226)
Подставляя это выражение в (9.224), мы приходим к общему правилу,
которое можно сформулировать следующим образом.
Любой оператор, появляющийся в разложении (9.225), имеет вид
iniknk;1iit z Hi z Нкг i z i
(9.227)
Он имеет размерность
Полюс, отвечающий его вкладу в (9.224), появляется при
Д = 2, (9.228)
или
т2 = -р2 = V nij + V щ - 2. (9.229)
3 i
Удобны следующие обозначения. Введем два набора гармонических ос-
осцилляторов {а^,д' ®n,v} c обычными коммутационными соотношения-
соотношениями [яп,д: am,v] = [^п,д: «+_„] = гк5птEду; [а, а] = 0 и сопоставим опера-
тору (9.227) вектор в фоковском пространстве:
eipa;o 10, р),
О ol+ а+ ~а+ ~а+ 10 р) (9'230)
Видно, что с помощью этих обозначений т2 можно представить как
собственное значение оператора
т2 =
а^фатф + a^vam^v) - 2. (9.231)

9.8. Амплитуды рассеяния и операторное разложение 217
Различные состояния этих осцилляторов, таким образом, можно ин-
интерпретировать как колебательные возбуждения струны. Иногда такое
представление очень полезно.
Важное обстоятельство заключается в том, что не все операто-
операторы (9.227) дают вклад в амплитуду. Вычеты в полюсах, отвечаю-
отвечающих некоторым операторам, обращаются в нуль. Например ясно, что
операторы, меняющие знак при замене ориентации z <—> z (такие,
как (<Эгжд dzxv — дгХЙ dzxv)eipx), не дадут вклада, так как вычет
resAN(pi, ... ,
~ J d2z d2z3 ... d2zN <OE+?.. ;nm...(*, z)UP3 (z3, z3)... UPN (zN, zN),
(9.232)
обратится в нуль, поскольку все {Up} четны по отношению к этому
преобразованию.
Кроме того, операторы должны иметь конформный спин нуль, т. е.
должны вести себя как скаляры при поворотах z —> elaz по той же при-
причине. Таким образом, первое возбужденное состояние струны отвечает
оператору
Од„ = (дгжд dsxv + dzxv dzXfl)eipx (9.233)
и имеет
т2 = -2 + 1 + 1 = 0.
Его спиновый состав мы проанализируем позже.
Есть и другая причина сокращения вычетов. Рассмотрим оператор
грЙ0Й„ = грЙ(д2хЙ dzxv + dzxv д2хЙ)е1рх =
= dz(d-zxv eipx) + d-z{dzxv eipx), { '
где мы использовали то, что dzdzx = 0, так как ж — свободное по-
поле. Этот же факт был неявно использован в (9.227). Так как опера-
оператор (9.234) — полная производная, его вклад в вычет (9.232) равен ну-
нулю1, или, другими словами, амплитуда излучения безмассового тензор-
тензорного состояния (9.233) чисто поперечна. Это очень приятно, так как в
противном случае при продолжении нашей теории в пространство Мин-
ковского мы неизбежно имели бы состояния с отрицательной нормой —
времениподобные гравитоны.
На самом деле сокращений гораздо больше. Чтобы найти их, нужно
использовать конформные свойства двумерной теории поля на мировом
листе струны.
1 Поскольку все интегралы являются аналитическими функциями PiPj, и в про-
пространстве импульсов Pj всегда имеется область, в которой все граничные члены
исчезают.

218 Глава 9
9.9. Тензор энергии-импульса в конформной
квантовой теории поля
Есть замечательный механизм, преобразующий конформные тож-
тождества Уорда двумерной теории поля на струне в определенные условия
поперечности, обобщающий механизм отщепления состояний (9.234).
Этот механизм будет важен при всех D, а не только при D = 26, и по
этой причине мы исследуем его детально.
Начнем с вывода тождеств Уорда в случае, когда имеется толь-
только свободное поле х (D = 26). Тензор энергии-импульса такого поля
дается выражением
ЗДО = дах дрх - \5а13{дххJ (9.235)
и, в силу уравнений движения, сохраняется
ЗТ
-^ = 0. (9.236)
Очень удобно воспользоваться комплексными обозначениями, введя
T(z, z) = Гц - Г22 + 2гГ12 = dzx dzx. (9.237)
Закон сохранения теперь имеет вид
dET(z,z) = 2dzx dzdzx = 0, (9.238)
откуда следует, что Т — аналитическая функция z. При выводе (9.238)
мы использовали не только (9.236), но и следующее важное свойство
тензора (9.235):
Таа = 0. (9.239)
Это свойство выражает конформную инвариантность теории в любом
числе измерений. Действительно, для любой системы тензор энергии-
импульса определяет вариацию действия S при заменах переменных
SS =
Следовательно, бесследовость (9.239) означает, что действие не меня-
меняется для таких еа, что
~ 6а/3, (9.241)

9.9. Тензор энергии-импульса в конформной квантовой теории поля 219
или
да?р + dpSa - щ8ард\е\ = 0 (9.242)
(п — размерность ^-пространства).
Для п = 2 эти условия совпадают с условиями Коши-Римана, ко-
которым удовлетворяет любая аналитическая функция. Таким образом,
в этом случае мы имеем бесконечномерную конформную группу. В то
же время для п > 2 группа конечномерна и состоит из обычных транс-
трансляций и поворотов плюс растяжения и инверсии. Мы видим, что фор-
формула (9.238) выражает в сжатом виде конформную инвариантность те-
теории. Это не просто сохранение Тар, поскольку в общем случае в (9.238)
имелись бы члены, содержащие <Эг-производные. Их отсутствие будет
важно в дальнейшем.
Покажем теперь, что корреляционные функции, содержащие опе-
оператор Т, явно определяются тождествами Уорда.
Сперва мы дадим формальный вывод этих тождеств, а затем, что-
чтобы почувствовать, как они возникают, проанализируем специальный
случай свободных полей.
Удобно считать переменные z и z независимыми и сконцентри-
сконцентрировать внимание на изменении z. Предположим, что мы имеем набор
операторов {О„}, преобразующихся как
0»(*)-m/) °»(/(*)) (9.243a)
или
SsOn(z) = e(z)dz0n(z) + Ane'(z)On(z), (9.243b)
где мы перешли к инфинитезимальным преобразованиям z —> f(z) =
= z +e(z). При тех же преобразованиях действие приобретает вариа-
вариацию (9.240), которую можно переписать в виде
SES = I d2zT(z)dEe. (9.244)
Как это обычно бывает в теории поля, тождество Уорда возникает, ког-
когда мы делаем замену переменных в континуальном интеграле и требу-
требуем, чтобы значение интеграла не изменилось. Это означает, что
(ses оП1 ы ...оп„ Ы> = X)<°»i Ы • • • seoni (zj) ...onk
(9.245)

220 Глава 9
где левая часть представляет вариацию множителя e~s в евклидовом
континуальном интеграле при преобразовании (9.244), в то время как
правая часть порождена вариацией самих операторов Оп.
Требуя выполнения (9.245) для любого ? и интегрируя по частям,
получаем
dz(T(z)Oni(Zl)...Onk(zk)) =
+ bd8{z Zj)}(O(z) • ..Onk(zk))
(здесь 8{z) — двумерная J-функция).
Структура, подобная (9.246), типична для всех тождеств Уор-
да, встречающихся в теории поля. Необычно лишь то, что уравне-
уравнение (9.246) можно однозначно проинтегрировать. Для этого восполь-
воспользуемся простым соотношением
dzd-z logflz - z'\2) = dzdz[\og{z - z') + log(f - z')]
Изменив (начиная с этого момента и до конца главы) нормировку Т
на тг, получаем отсюда
(T(z)Oni(Zl)...Onk(zk)) =
{Z-Ztf Z-ZjdZj)
Причина, по которой корреляционные функции, включающие T(z),
вычисляются явно, состоит в том, что вследствие бесследовости Тар
закон сохранения энергии-импульса содержит только dz и не содер-
содержит dz. Говоря менее техническим языком, T(z) порождает конформ-
конформное преобразование, и вследствие инвариантности теории его резуль-
результат может быть выражен через вариации {Onj}. Нам также потребу-
потребуются тождества Уорда, содержащие несколько T(z). Чтобы найти их,
нужно выяснить, как T(z) преобразуется под действием конформной
группы. Поскольку Тар является симметрическим бесследовым тензо-
тензором второго ранга относительно SLB,C), мы ожидаем, что его закон
преобразования согласуется с этими свойствами. Так как параметром
конформного преобразования служит векторное поле e(z) (напомним,

9.9. Тензор энергии-импульса в конформной квантовой теории поля 221
что мы используем комплексные обозначения), наиболее общий вид ва-
вариации T(z) таков
8ET(z) = e{z)dzT + 2(dze)T + ^д\е (9.249)
(поскольку под действием SLB, C)T(z) преобразуется как (dz)~2,
a e{z) как dz).
Постоянная с, появившаяся в (9.249), является динамической ха-
характеристикой теории и играет важную роль. Мы сейчас вычислим ее
для свободных полей, но сначала стоит обсудить ее смысл.
Ее появление в (9.249) означает, что под действием конформной
группы T(z) не преобразуется как первичное поле с вариацией ви-
вида (9.243). Вероятно, настало время сказать, что первичные операто-
операторы — не единственные операторы в полном наборе. Действительно,
вместе с некоторым первичным On(z) нужно рассматривать его произ-
производную Ап = dz0n. Ее закон преобразования получается дифференци-
дифференцированием (9.243):
6еАп = е dzAn + (Д„ + 1)(дяе)Ап + An(d2ze)On,
Ап = dz0n. [
Ясно, что высшие производные Оп будут содержать высшие производ-
производные е в своих конформных вариациях. Перспективы использования опе-
операторной алгебры (9.218) с таким огромным множеством операторов
кажутся довольно безнадежными.
Тем не менее, операторная алгебра оказывается обозримой. Мы по-
покажем, что структура теории вполне определяется первичными опера-
операторами, а все остальные операторы получаются по простым правилам.
Тензор энергии-импульса играет существенную роль в отыскании этих
правил, и мы возвращаемся к (9.249).
С помощью (9.244) и (9.245) получаем
2идпе(и) (T(u)T(z)) = (SeT(z)) = ^d3zs(z),
iZ (9.251)
или
(T(z)T(u)) = -f^dl (^_) = \{z - u)-\ (9.252)
Мы видим, что, если бы в (9.249) не было с-члена, двухточечная функ-
функция тензора энергии-импульса обращалась в нуль, что несовместно с

222 Глава 9
положительностью нормы в пространстве состояний. В случае свобод-
свободного поля ж, когда T(z) = — -^(dzxJ, элементарное вычисление двухто-
чечной функции показывает, что с = D, где D — число компонент ж.
Есть, однако, и другая, геометрическая интерпретация констан-
константы с и ее роли в тождествах Уорда. Умножим (9.248) на некоторую
мероморфную функцию e(z) и проинтегрируем по контуру С, который
окружает все точки zj и внутри которого функция e(z) голоморфна.
Тогда уравнение (9.248) принимает вид
(TeOni(z1)...Onh(zk)}=5e(Oni(z1)...Onh(zk)},
^e{z)T{z), (9.253)
5?Onj(Zj) = e(Zj) dZj0nj(Zj) + Anje'(Zj)Onj(Zj),
так что T? порождает конформные преобразования в пространстве раз-
различных корреляционных функций. Рассмотрим коммутатор двух таких
преобразований. Какого сорта алгебру нам следует ожидать? С геомет-
геометрической точки зрения конформные преобразования порождаются опе-
операторами
которые образуют алгебру Ли, поскольку
[?l,?2] =
Поэтому можно было бы думать, что если мы рассмотрим корреляци-
корреляционную функцию
(T?lTE2Oni(Zi)...Onk(Zk)),
где контур С\ окружает все особые точки функции е2 и точки zj, и
вычтем то же выражение с переставленными индексами 1 и 2, то по-
получится корреляционная функция
Это не так из-за с-члена. Правильную формулу можно вывести
из (9.249). Прежде всего имеем
[ТЕ, T{z)] = sdzT + 2(dzs)T + j^s'"(Z). (9.255)

9.9. Тензор энергии-импульса в конформной квантовой теории поля 223
Смысл коммутатора в (9.255), как объяснялось выше, дается равенст-
равенством
([Te,T(z)]Oni(zi)...Onk(zk))d^
C\ J С 2
(9.256)
где внутренность С\ содержит точку z, лежащую вне Сг- Кроме то-
того, е(и) голоморфна внутри обоих контуров, и все zj лежат внутри
них. Это определение коммутатора в евклидовой теории поля, разуме-
разумеется, эквивалентно обычному определению в гамильтоновом формализ-
формализме в пространстве Минковского. В нашей формулировке оно, однако,
не зависит от выбора направления оси времени. Если мы проинтегри-
проинтегрируем (9.255) с некоторой функцией е2 по замкнутому контуру Сг, то
получим
[ТЕ1, Г?2] = Т[?1,?2] + fA ? gj(?i"?2 - e'2"?l), (9.257)
где контур С отделяет точки zj от особых точек функций е\ и ei.
Алгебра (9.257), называемая алгеброй Вирасоро, является расшире-
расширением алгебры (9.254). Легко проверить, что последний член в (9.257) —
единственный функционал, совместный с тождеством Якоби.
Мы видим, что благодаря (9.249) корреляционные функции, содер-
содержащие любое число Т, легко вычисляются. Например,
(T(z)T(u)Oni(Zl) ¦ ¦ ¦ OnkЫ> = §(z - и)-4(ОП1 Ы ... Onk(zk)) +
x(T(u)Oni(Zl)...Onk(zk)).
(9.258)
Формулы такого рода всегда можно вывести несколькими способами,
так как, например, при выводе тождеств Уорда можно было начать не
с T(z), а с Т(и). Можно проверить, что условие независимости резуль-
результата от последовательности вывода оказывается в точности тождест-
тождеством Якоби для алгебры (9.257). Тождества Уорда (9.258) дают важную
информацию об операторной алгебре (9.218). Именно, операторная ал-
алгебра должна быть устроена так, чтобы после слияния двух Оп в левой
части (9.258) мы получили бы результат, совместный с соответствую-
соответствующим слиянием двух точек в правой части (которая явно зависит от zj).

224 Глава 9
Другими словами, операторная алгебра должна быть конформно инва-
инвариантной.
Чтобы классифицировать возможные операторы, рассмотрим опе-
операторное разложение произведения T(z) и некоторого первичного опе-
оператора ip@) размерности Д. Имеем
T(z + CH(z) = ^ф(г) + ±dzip(z) + М*) + СФз(г) + ... . (9.259)
Первые два члена в этой формуле немедленно получаются из сравнения
с (9.248), в то время как операторы фи{г) с к ^ 2 должны определяться
из более тщательного анализа того же уравнения. Например, поле ^(z)
определяется через свои корреляционные функции с любыми другими
полями следующим образом. Запишем (9.248) в виде
(T{z + CI>{z)Oni{z1)...Onk(zk)) =
х (i/>(z)Oni(z1)...Onh(zk)).
Полагая (->0и сравнивая (9.260) и (9.259), получаем
- Az~ ZjJ
j \\ 3)
(9.261)
Итак, мы видим, что имеется бесконечное число полей ipk(z), ассоции-
ассоциированных с первичным полем ip(z), с однозначно определенными кор-
корреляционными функциями (для к > 2 мы раскладываем правую часть
до соответствующей степени Q.
Удобно представить поля ipk(z) в виде
Это обозначение подсказывает нам, что ipk не составляют множества
всех вторичных операторов, появляющихся из одного первичного по-
поля ip(z). Это следует из того, что имеются другие тождества Уорда

9.9. Тензор энергии-импульса в конформной квантовой теории поля 225
вроде (9.258), но содержащие много операторов Т. Все конформное се-
семейство ip(z, z) состоит из операторов
A1...kl;h...kn=T-k1...T-klf_-ki...f_-kn^(z,z) (9.263)
(где Т комплексно сопряжено Т). Все корреляционные функции этих
операторов опять-таки выражаются через корреляционные функции
оператора ip(z). Более того, если в разложении произведения двух опе-
операторов встречается некоторый оператор ¦ф, то вместе с ним появляется
и все семейство ip{k] {Ц с коэффициентами, которые можно вычислить
из тождеств Уорда. Есть простые алгебраические методы, позволяющие
это сделать, но для наших целей они не понадобятся.
В общем случае поле ^{/г},{*;} преобразуется при конформных пре-
преобразованиях по сложным неоднородным правилам, включающим вто-
вторичные поля на более низких уровнях (вспомним (9.250) и заме-
заметим, что dz0n = T_iOn). Случается, однако, так, что некоторое вто-
вторичное поле 1рщ {Ц оказывается первичным. Это имеет место, если
Тпф{к} {ц = Тп1р{к} {ц = 0 для любого п > 0. Эти условия можно
проверять, пользуясь алгеброй Вирасоро, записанной в виде
[Тп, Тт] = (п- т)Тп+т + ^п(п2 - 1Mп+т,0 (9.264)
(то же самое и для Т), что следует из (9.255), (9.262). В таком случае
закон преобразования становится однородным и поле ^{А},{й} можно
исключить из операторной алгебры, не нарушая конформной инвари-
инвариантности (коэффициенты при таких полях в операторных разложениях
становятся неопределенными). В следующем разделе такое вырождение
поможет нам уменьшить число состояний.
Приведем простейший пример этого явления. Если мы возьмем
оператор Т_10д, где </>д — первичный оператор размерности Д, вы-
вышеприведенное условие вырождения примет вид
Мы говорим, что конформное семейство с Д = 0 вырождено на первом
уровне. Менее тривиальный пример — вырождение на втором уровне.
Возьмем оператор
X = (аТ-2 + ЬТ\)ф (9.266)
и наложим условия вырождения
TiX = Т2Х = 0. (9.267)

226 Глава 9
Условий (9.267) всегда достаточно, так как, согласно коммутационным
соотношениям алгебры Вирасоро (9.264), любое Тп, п > 0, может быть
получено комбинацией 7\ и Т2. Применяя первое из этих условий и
используя тождества
[Ti, Г_2] = ЗГ_Ь
[Ti, Tli] = 2(Т0Г_! + Г_!Г0) = 2T_iBT0 + 1),
получаем
0 = О. (9.268)
Иными словами, вырожденный оператор должен иметь вид
(d^)*- (9-269)
Оператор такого вида, удовлетворяющий (9.268) для любого Д, есть
не что иное, как проективно-инвариантный оператор, который мож-
можно построить из любого первичного поля. Нетривиальным условием,
обеспечивающим ковариантность относительно бесконечномерной кон-
конформной группы, оказывается второе уравнение (9.267). Применяя его
к (9.266) и используя соотношения
[Т2, Г_2] = 4Г0 + с/2,
[Т2, Т\] = [Т2, Т.^Т.г + T-ifc, T_i] =
= 3(TiT_i + T_iTi) = 6Г0 + 6T_iTi,
мы получаем (вместе с (9.268))
2BД + 1)&=0,
бД&=0. К '
Условие вырождения имеет вид
3 2BД
4Д + с/2 6Д ~ °'
8Д2 + (с-5)Д + с/2 = 0, (9.271)
5-с±у/(с-25)(с-1)
16
Это показывает, что при фиксированном значении центрального за-
заряда с операторное семейство вырождено на втором уровне тогда и

9.10. Физические состояния теории струн в критической размерности 227
только тогда, когда размерность Д исходного оператора дается форму-
формулой (9.271). Возникает естественный вопрос: каковы условия вырожде-
вырождения на уровне N? Простой ответ на этот вопрос дает так называемая
формула Каца. Именно, имеется набор размерностей Апт, которые ха-
характеризуются двумя целыми числами питой приводят к вырожде-
вырождению на уровне N = пт. Они имеют вид
12 ) \ 12
(9'272>
В случаях п = 1, то = 2 и п = 2, то=1 формула (9.272) дает (9.271).
Вырожденные конформные семейства очень важны. Дело в том, что
их операторный состав в некотором смысле минимален, так как мно-
много операторов можно положить равными нулю. В теории струн, как
мы увидим ниже, это ведет к отщеплению нежелательных духовых со-
состояний, а в статистической физике фазовых переходов все известные
системы выбирают «минимальные» теории или их комбинации.
Вооруженные этими результатами, мы готовы к обсуждению свой-
свойства «бездуховости» критических струн. Под «бездуховостью» мы под-
подразумеваем положительность нормы струнных состояний. На самом де-
деле при D ^ 26 это гарантировано нашей конструкцией теории поля Ли-
увилля. Тем не менее, явная проверка для D = 26 весьма поучительна.
9.10. Физические состояния теории струн в
критической размерности
В разделе 9.9 мы представили набор операторов, составленных из
свободного поля x(z, z), которые соответствуют частицам — состоя-
состояниям струны. Мы также показали явным вычислением, что некото-
некоторые из этих частиц отщепляются. Теперь мы проделаем общий анализа
спектра. Первым (и самым важным) результатом будет отщепление
всех вторичных операторов. Иными словами, частицы соответствуют
не всевозможным операторам, а всевозможным конформным семейст-
семействам.
Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим следующее тождество
Уорда:

228 Глава 9
I
d2Zl... d2zN (T(z)UPl (zi) ...UPN (zN))
(9.273)
(где мы использовали условие р? = 2, необходимое для конформ-
конформной симметрии амплитуд). Из этого тождества следует, что опера-
операторы, появляющиеся в произведении T(z)Up(z'), отщепляются от ам-
амплитуды. Иными словами, вторичные операторы вида T_nUp(z) не
соответствуют физическим частицам. То же рассуждение примени-
применимо для Т-П1 .. .T-nkUp. Если вспомнить аналогию с осциллятора-
осцилляторами (9.230), можно сказать, что, грубо говоря, из D цепочек осцилля-
осцилляторов {а+ р} D — 1 соответствуют физическим состояниям, а одна це-
цепочка отщепляется. Если нам повезет, это может означать отщепление
состояний с отрицательной нормой, порождаемых {а^0}. По крайней
мере, число необходимых отщеплений то же самое.
Чтобы увидеть, что же происходит на самом деле, следует проана-
проанализировать несколько примеров. Для простоты мы будем работать с
теорией «открытых струн», которая получится, если мы забудем о зави-
зависимости от z и будем рассматривать только операторы, зависящие от z.
Теория замкнутых струн получается простым «удвоением» набора опе-
операторов за счет полей, зависящих от z, так как x(z, z) = xl{z) + xr(z).
Примеры такого удвоения будут приведены ниже.
Посмотрим на векторную («фотонную») вершину
UpX = •ЛСдгХр eipx: О C<JO, p) (9.274)
(где ?р — вектор поляризации «фотона»). Потребуем, чтобы Up^ был
первичным оператором:
TnUpX = 0, п > 0. (9.275)
Чтобы проверить это условие, воспользуемся разложением
T(z)UpX@) = :-hdzxJ(z): :г^дгх^х^: =
1 . z^° (9.276)
= z~3C^pu:etpx: + менее сингулярные члены.
z-s-0

9.10. Физические состояния теории струн в критической размерности 229
Вспоминая определение Тп, находим
TnUpX=0, п>1. [
Мы видим, что условием первичности UPj^ является соотношение
р"См = 0- (9-278)
Эквивалентный способ вывести (9.278) основан на осцилляторном пред-
представлении
п=1
n
Tn=p»an +Уа+ an+m +±Yaklian-k n > О ^Ш)
m=l k=l
T — T+
±-n — Jn ¦>
oo
T — — 2 -4- \^ +
10 — ijP ' 7 j m,iiam,ti-
m=l
Действуя оператором Т\ на состояния ^а^"р|0,р), получаем (9.278). Это
полезная иллюстрация полной эквивалентности формализма оператор-
операторных разложений и формализма гармонических осцилляторов.
Возвращаясь к (9.278), заметим, что оператор Up^ имеет размер-
размерность 1, только если р2 = 0. В этом случае число рассеивающихся со-
состояний будет не D — 1, как следует из (9.278), a D — 2. Чтобы показать
это, заметим, что среди физических операторов i^dzX^ exp(ipx(z))
с р^(^ = 0 имеется один одновременно физический и вторичный. Мы
уже видели, что семейство, порожденное :егрх: с р2 = 0, вырождено, и
оператор
T_i:eipx: = :ip'J'dzx eipx: (9.280)
является физическим при р2 = 0 согласно (9.265). Это же видно из того,
что ?р = р^ удовлетворяет условию
р»^ = р2 = 0. (9.281)

230 Глава 9
Это стандартная черта фотона: его поляризация на массовой поверхнос-
поверхности может быть изменена калибровочным преобразованием
<„ -К„ + Ар„- (9.282)
С помощью этого преобразования можно добиться Со = 0, и тогда
Р%.=р'6 = 0. (9.283)
Итак, мы находим, что фотон может иметь D — 2 возможные поля-
поляризации. В нашем формализме это происходит по двум причинам. Во-
первых, имеется условие того, что вершинный оператор правильно пре-
преобразуется под действием конформной группы: TnUVyc, = 0, п > 0. Это
условие оставляет D — 1 допустимое состояние. Во-вторых, одно из этих
состояний оказалось вторичным оператором, порожденным Up = :егрх:
с р2 = 0. Как было показано в начале этого раздела, все вторичные
операторы отщепляются. Так мы получили D — 2.
Замечательно, что аналогичный механизм работает и на высших
уровнях. Рассмотрим второй уровень. Наиболее общая вершина имеет
вид
UP(S, С) = :(Vid^ id-^ + <л i&tx^e'**:
*> (V<X, + Ср4р)|0,Р>, (9.284)
р2 = -2.
Посмотрим, какого вида S^ и (^ остаются после применения условий
конформной ковариантности
TnUp(S, C) = 0, и>0. (9.285)
Проще работать в осцилляторном представлении. Применяя (9.279), на-
находим
TiiS^af a+v + <„<»+ )|0,р> = 2(р„Б^ + <„)<„|0,р> = 0,
. . . (y.z8o)
IMV<X" + Cp<P)|0,P> = №»(» + Sxx)\0,p) =0.
Таким образом, условия на физические поляризации имеют вид
Рл-V + С = 0, р2 = -2.
Среди этих физических состояний некоторые опять оказываются вто-
вторичными. Это значит, что имеется калибровочная инвариантность вто-
второго уровня в (9.287). Чтобы найти ее, применим формулы (9.269)

9.10. Физические состояния теории струн в критической размерности 231
и (9.271) в случае Д = —1 (тогда вторичный оператор будет иметь
Д = 1). Заключаем, что состояния
\а) = (Т_2 + 1^I0, р), р2 = -2, (9.288)
\b)=T.1Xlialli\0,p),
являются физическими при с = D = 26. Состояние |Ь) отвечает кали-
калибровочному преобразованию
С* ->• Сс
PjiK), ,g
Легко видеть, что условия (9.287) не меняются при (9.289), если
р2 = —2. Эта калибровочная инвариантность работает для всех D. Вто-
Вторая, связанная с состоянием \а), имеется только при D = 26. После
некоторых вычислений находим
e(Sa/3 + Зрарр), 2
(а ->• (а + Ьер
В обоих случаях калибровочные преобразования порождают состояния
нулевой нормы, так же, как это было в случае фотонов (напомним,
что состояние рма+ |0,р) с р2 = 0 имеет нулевую норму). Причина
зануления нормы проста. Если некоторое состояние |/) является одно-
одновременно физическим,
Tn|/)=0, Vn>0,
и вторичным,
то
\f)=T-m\g); Tn(T-m\g)) = 0,
(f\f) = (g\TmT.m\g) = 0. (9.291)
Смысл этого результата состоит в том, что на каждом уровне имеется
определенное калибровочное преобразование, которое не меняет физи-
физики, но порождает состояния нулевой нормы. Ясно также, что такая ин-
инвариантность влечет за собой существенное сокращение физического
спектра. Подсчитаем теперь число оставшихся состояний. Рассмотрим

232 Глава 9
состояния с р2 = —то2 = 2A — п). В осцилляторном представлении они
имеют вид
i/-> = (cx,, + W_,x, + ...)|o,p>, (9292)
Полное число таких состояний выражается через число способов раз-
разбить п в сумму положительных целых чисел. В самом деле, если бы не
было пространственно-временных индексов /х, общее состояние имело
бы вид
' ~a'i"""a'*l 'Р'' (9.293)
/i + ... + lk = n, lj > 0.
Число таких состояний равно
N(n) = ^-. f -%¦ Д —^- (9-294)
¦> х k=i x
Чтобы вывести это, представим (9.293) как
^2 крк = п.
k=i
Тогда
хкрк =
_ J_
Ясно, что в случае .D измерений число состояний Njj(n) на уровне п
дается производящей функцией
^~fc) • (9.295)
л=о Vfc=i i ~ x )

9.10. Физические состояния теории струн в критической размерности 233
Однако не все состояния (9.292) физические. Мы должны наложить
условие Tn\f) = 0. Это приводит к уравнениям на ?р, S^ и т. д., анало-
аналогичным (9.287). Число таких состояний будет порождаться функцией
О-1 оо
(9.296)
так как Тга-условия удаляют эффективно по одной компоненте у каждо-
каждого осциллятора. Но это еще не все, так как среди физических состояний
некоторые имеют нулевую норму. Предположим сперва, что D ф 26.
Единственный набор состояний нулевой нормы производится операто-
оператором T_i:
\f) = Т_1(\1,а+_1ф + х^а+_2фа1„ + .. .)\0, р), р2/2 = 1-п. (9.297)
Это состояние физическое, когда T_i действует на физическое состоя-
состояние нулевой размерности. Следовательно, число г/?>(п) физических со-
состояний с ненулевой нормой равно
vD(n) = iVD_i(n) - iVj3_i(n - 1),
D-l
(9.298)
В критической размерности D = 26 нулевую норму имеет гораздо
больше состояний. Мы уже наблюдали это на втором уровне. В общем
случае нужно воспользоваться формулой Каца. Выясним сперва, ког-
когда конформное семейство при с = D = 26 имеет на некотором уровне
физический вторичный оператор размерности I. С помощью (9.272) по-
получаем
пт= ^ + ^(па+ + та-J =
(9.299)
Мы видим, что вырождение (или состояние нулевой нормы) возможно
при
Зп = 2т ± I (9.300)
на уровне
N = nm= inCn±l). (9.301)

234 Глава 9
Найденное ранее состояние с N = 2 имеет п = 1, т = 2. Ясно, что
теперь вместо (9.298) мы имеем
„(ж) = A _ ж _ Ж2 _ ...) Д _L_ . (9.302)
Однако мы не должны просто вычитать все уровни, даваемые (9.301).
Это приведет к избыточному учету по следующей причине. Среди со-
состояний с нулевой нормой на втором уровне, которые, как мы уже го-
говорили, имеют вид
|/> = (Г_2 + |г?1)|Д = -1>, (9.303)
имеются такие, для которых само состояние |Д = —1) вторично. Эти
случаи опять можно найти с помощью формулы Каца
Зп - 2т = ±7,
которая выполняется, скажем, на третьем уровне при п = 3, т = 1.
Таким образом, некоторые из состояний (9.303) имеют вид
|/) = (Т_2 + \Т\)(Т-3 + ... )|Д = -4). (9.305)
Это можно рассматривать, как вырожденное состояние на уровне 5. Та-
Таким образом, это состояние не следует учитывать, когда мы подходим
к уровню 5, полагая п = 2 в (9.301). Другим состоянием, которое не
следует учитывать, является
|/)=Т-1|А = 0)' (9 306)
|Д = 0) = {Г_4 + ...}|Д = -4), (y-3Ubj
так как, согласно формуле Каца,
м + 24 ~ 24 ^ ^ "
Формула Каца предсказывает только одно вторичное состояние на уров-
уровне 5, а мы уже насчитали два. Вывод состоит в том, что эти два со-
состояния на самом деле являются одним и тем же состоянием, которое

9.10. Физические состояния теории струн в критической размерности 235
мы учли дважды. Поэтому, чтобы исправить ситуацию, следует вмес-
вместо (9.302) написать
25
\fc=l - ¦" /
Последовательно пользуясь формулой Каца, нетрудно проделать такую
же комбинаторику для каждого уровня. Результат этого подсчета та-
таков:
(9.308)
где для первого множителя мы использовали тождество Гаусса. Это в
высшей степени замечательный результат. Он показывает, что из 25
цепочек осцилляторов одна образует состояния нулевой нормы и от-
отщепляется. Отсюда вытекает, что все оставшиеся осцилляторы имеют
положительные нормы и в нашей теории нет духов. Причина, грубо
говоря, состоит в том, что все компоненты с отрицательной нормой
участвуют в формировании состояний с нулевой нормой. В самом деле,
любое состояние \z) с нулевой нормой можно представить как сумму
\z) = \п) + \р), (9.309)
где
(п\п) = -1, (р\р) = 1.
Любое физическое состояние |/) обладает свойством
Ш = 0, (9.310)
откуда (с точностью до нормировки)
(р\р) = 1-
Но поскольку \р) и \р) лежат в гильбертовом пространстве состояний с
положительной нормой, неравенство Коши влечет
(р\р) > (р\р) = 1.

236 Глава 9
Следовательно,
= (Р\Р) + (п\п) > 0. (9.312)
Когда имеется много состояний с отрицательной нормой, для выпол-
выполнения теоремы об отсутствии духов достаточно, чтобы их число на
каждом уровне было равно числу состояний с нулевой нормой, что в
свою очередь имеет место согласно (9.308).
Мы пришли к заключению, что при D = 26 имеется 24 цепочки ос-
осцилляторов с положительными нормами. Этот результат можно было
ожидать, так как в этом случае поле Лиувилля отщепляется и един-
единственными физическими полями являются координаты жм(?) струны.
Они описывают D = 26 цепочек осцилляторов, но, благодаря общим
преобразованиям координат ? —>¦ /(?), включающим две произвольные
функции, две цепочки оказываются нефизическими. Именно это мы
и увидели путем явного вычисления. При D > 26 поле Лиувилля бу-
будет иметь неправильный знак кинетической энергии, что имеет две
интерпретации. Первая состоит в том, что становятся существенными
большие градиенты поля <р и поверхность теряет непрерывный предел.
Вторая, более формальная интерпретация состоит в том, что неправиль-
неправильный знак пропагатора поля <р приводит к состояниям с отрицательной
нормой. Это подтверждается изучением норм физических состояний
при D > 26: одна цепочка осцилляторов превращается в духи.
Основной результат нашего анализа состоит в том, что при D = 26
простая амплитуда Кобы-Нильсена имеет единственный недостаток —
тахион. В следующих разделах мы покажем, как этот недостаток ис-
исправляется в случае фермионных струн при D = 10. После этого мы
вернемся к некритическим струнам и обсудим различные интересные
возможности, которые в этом случае возникают.
Дополнение к 9.10
Здесь мы кратко опишем комбинаторику, необходимую при выво-
выводе (9.308). Наша задача состоит в том, чтобы вычесть вклад состояний
нулевой нормы из функции распределения Nph физических состояний
Nph(z) =
71=0 71=1
Здесь Nph(n) — число физических состояний (первичных полей) на
уровне п, и мы полагаем D = с = 26. Физическое состояние имеет
нулевую норму в двух случаях. Первый случай:
N = nm, An

9.11. Ферми-частицы 237
где Дп>т = B5 - Bп + ЗтJ)/24, что следует из (9.272) для с = 26.
Из (*) мы получаем Bп — ЗтоJ = 1 или
ЖбЛН = ||то(Зто+1), m?2Z + l}.
Второй случай:
N = пт + kl, Ara,m + пт = Ak,i, Afc,; + kl = 1. (**)
Из второго равенства следует
ДП)_т = Д/г;; или к = п + 3(/, / = —то — 2q, q 6 Z.
Третье соотношение дает Bfc—3/J = Bп+Зто+12(/J = 1, и мы находим
N = пт+Ы = -Здто - 2qn - 6q2 = -6q2 + qA2q ± 1) = qFq ± 1)
или
9.11. Ферми-частицы
Есть красивое обобщение бозонной струны — струна Неве-Швар-
ца-Рамона (NSR), которая представляет собой струнный аналог дира-
ковских частиц. В этом разделе мы опишем интеграл по путям для
дираковских частиц, а потом обобщим его на случай струн.
Есть много различных подходов к описанию фермионов. Мы вос-
воспользуемся одним из них, который состоит в том, чтобы заменить
обычный путь жр = Xf,(t) на «суперпуть». Именно, рассмотрим функ-
функцию
Хц = x^t, в) = x^t) + вфц{Ь),
= 0.
2 „ (9-313)
Суперпространство (t, в) обладает симметрией
<М = -еО,
2 (9.314)
5ев = е, е2 = 0, ев + ве = 0.
Коммутатор двух таких преобразований дает обычный сдвиг по t:
[SEJE1 - SElSE2]t = -5Е2(?1в) + 5Е1(е2в) =
_ _ | _ _ Q_ _ f(\ Q1 С\
— —cic2 ~г c2ci — —^^1с25 ^y.oloj
[5Е2, 5Е1]в = 0.

238 Глава 9
Генератор такого преобразования Q можно определить как
Ковариантная производная V определяется из условия антикоммута-
антикоммутации с Q:
{V, Q}=VQ + QV = О,
т>- д ,йд V2_ д (9-316)
v-de + 9dt> v ~df
Суперковариантное действие имеет вид
fy \) (9.317)
Скоро мы увидим, что поля ipf,(t) играют роль 7-матРиЧ в обычном
подходе. Действие (9.317) инвариантно относительно преобразований
суперсимметрии
5х„ = еф,,,
. * Г 9.318
dip,, = ex ^.
Эти преобразования глобальные, тогда как правильное действие должно
быть инвариантно относительно общих суперкоординатных преобразо-
преобразований. Этого можно достичь введением «реперного» поля e(t) = \/h{t)
и его суперпартнера — поля «гравитино» x(t). В то время как источни-
источником поля e(t) является тензор энергии-импульса, в нашем случае рав-
равный — „ж^ + у'ф'ф, источником поля x(t) служит суперток. Из (9.318)
ясно, что суперсимметрия связана с сохраняющимся током
s(t) = ipftXft; s = 0. (9.319)
Поэтому можно ожидать, что ковариантное действие будет иметь вид
S — {-(е^т2 - ih i'b ) + —Yib r \ dt (Ч 320")
Это и в самом деле так. Легко проверить, что (9.320) не меняется при
преобразовании
^ (9.321)
5e(t) = a(t)X(t),
5X(t) = -2a(t).

9.11. Ферми-частицы 239
Теперь мы почти готовы выписать полный аналог бозонного интеграла
по путям. Имеется, однако, небольшая проблема. Именно, «космологи-
«космологический» член J e(t) dt, который мы добавляли в бозонном случае, не ин-
инвариантен при преобразованиях (9.321). Более того, никакое локальное
выражение, составленное из % и е, не будет инвариантным. Инвариант-
Инвариантная «супердлина» имеет вид
1 1
L = / е(т) dr — д / dri dr2 sign(n - т2) x(ti)x(t2). (9.322a)
о о
Нелокальность в (9.322а) можно устранить ценой введения дополни-
дополнительного поля ф$. Полагаем
L = [ е(т) dr - [ фьф\ dr+ f фъХ dr, (9.322&)
J J J
о
8фъ{?) = -a(t). (9.321a)
Интегрирование по ф$ в континуальном интеграле возвращает нас
к (9.322а).
Теперь континуальный интеграл для суперсимметричных путей
имеет вид
J
(9.323)
m2e
drj.
Для свободной частицы, которую мы рассматриваем, этот интеграл лег-
легко вычисляется в калибровке
ё = 0, е = Т, Х = 0, Х = 0 (9.324)
(по Т и в нужно еще будет интегрировать, так как калибровочной свобо-
свободы недостаточно для их исключения). Для открытого пути от (жм, ¦ф^)
до (ж^, фц) (величина ф^ не должна меняться, поскольку ф^ удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка по f в отличие
от х^) имеем в импульсном представлении (заменяя A/Т)жм —> ip^)
оо
G(p) = IdTe~m2T I deee{ip"i!"-m^)e-p2T =
о (9.325)

240 Глава 9
Если заменить ф^ на 7р и ф§ на 75: получится пропагатор дираковской
частицы.
Формулу вроде (9.65) для замкнутых петель тоже можно написать.
Мы не будем ее здесь выводить, приведем лишь ответ
оо
/2 f
dT т-°12е~т Т I dr2 d02... drN d0N x
0 0 = Tl <Г2<...<Г;у <.T
x ез
V(s) = <T ~ *)
(9.65a)
где §ij — суперинвариантное расстояние
Sij = \т{ — Tj\ — 9i9j sign(ri — Tj). (9.326)
Легко проверить, что, во-первых, s,j инвариантно относительно (9.314),
и, во-вторых, вычисление по (9.65а) эквивалентно взятию следа от
произведения матриц Дирака. Таким образом, (9.65а) дает пригод-
пригодное для фермионов суперсимметричное расширение параметризации
Фейнмана-Швингера. Заметим также, что (9.65а) в точности совпадает
со средним от произведения вершинных операторов
Vp{t, в) = eip*(T'V = eip{x+e^ = [1 + ie(pij>)]eipx. (9.327)
Прежде чем переходить к струнам, полезно обсудить еще несколько
моментов.
Прежде всего, геометрические свойства фермионного пути сильно
отличаются от бозонного. Например, в то время как для бозонов раз-
размер R и длина L пути связаны законом диффузии R2 ~ L, что отвечает
броуновскому движению, в ферми-случае R2 ~ L2. Чтобы это пока-
показать, вспомним наши игры с множителем Лагранжа. Обсуждая (9.12),
мы показали, что X(t) в действии бозона J X(t)(x2/е — е) dt можно заме-
заменить некоторой постоянной, так как X(t) имеет постоянное вакуумное
ожидание. Грубый аргумент в пользу этого был основан на том, что
эффективное действие для А содержит член
W[\(t)] = \ I e(t) dt log X(t) - I X(t)e(t) dt, (9.328)

9.11. Ферми-частицы 241
где а — решеточное обрезание. Наличие первого члена приводит
к (Л) ~ 1/а. Для суперсимметричного действия ситуация отличается.
Первый член в (9.328), отвечающий энергии нулевых колебаний поля ж,
сокращается вкладом полей ф. В результате расходящийся вклад в W[\]
отсутствует. Можно показать, что коэффициент 1/а в первом члене эф-
эффективно заменяется на 1/L. Поэтому для фермионных путей имеем
Д2 _ J_L ^ L2 (9.329)
W
Это соотношение ответственно за другое критическое поведение фер-
фермионных частиц.
Действие (9.320) можно также представить в другой интересной
форме. Именно, проинтегрируем по полю \, используя (9.322а) для вы-
вычисления его пропагатора
(X(r)x(r')} = ^S(r - т'). (9.330)
Получаем вместо (9.323)
т т
Z= I VxpVx exp \- Ux\ - фЙф„) dt+± [(il>pXpYil>vxv dt\. (9.331)
о о
Последний множитель имеет замечательную интерпретацию. Если за-
заменить ф^ на 7д (в чем на самом деле и состоит роль интегрирования
по ф), этот множитель ф можно преобразовать к виду
т
ф[С] = Pexpi Jа;д„[ж(т)][7д, 1,\ йт, (9.332)
о
где С — контур, параметризуемый ж(т), а шЙ1>[ж(т)] — угловая скорость
касательного вектора к траектории:
^иЛх(т)] = 2~(V" ~ ?„?,,), (ж2 = 1). (9.333)
Это дает нам новое понимание интеграла по путям для фермионов. В
частности, в двух измерениях множитель (9.332) сводится к (—l)v,
где 2тгг/ — полный угол поворота касательного вектора, для замкнутых
путей равный, как известно, алгебраическому числу самопересечений.

242 Глава 9
Из-за этого осциллирующего множителя сложные траектории подавля-
подавляются, что и приводит к закону (9.329).
Для полного понимания фермионов, обсудим другое представление,
соединяющее бозе- и ферми-частицы вместе. Именно, можно построить
континуальный интеграл, суперсимметричный не только во «внутрен-
«внутреннем» пространстве (в, t), но и во «внешнем» пространстве жд. D-мер-
ная суперсимметрия описывается следующими преобразованиями: ес-
если определить суперпространство как пространство с координатами хй
и (рА, где <р — D-мерный спинор, то
8х,. = ё'УиЮ,
/ д 9.334
dip = e.
Теперь мы можем определить пропагатор в суперпространстве как ам-
амплитуду {хф\х<р). Он описывает распространение суперполя ф(х, <р), со-
содержащего как ферми-, так и бозе-поля. Наша цель — построить дей-
действие, инвариантное относительно (9.334). Это нетрудно. Рассмотрим
выражение
S =
= J'(И±(Х11-фЪфJ. (9.335а)
о
Инвариантность относительно (9.334) очевидна, так что мы постули-
постулируем, что континуальный интеграл по х и ср дает нужный пропагатор.
Что менее очевидно, так это связь нового представления с предыду-
предыдущими, скажем (9.331). Детально эта связь никогда не прослеживалась.
Здесь я дам лишь общую идею. Начнем с (9.332). Легко видеть, что
справедлива формула
lim P ехр ( i / 7д(т)жд(т) dr ) e~L/a = ф[С]. (9.335b)
a->o \w Jc J
Ее можно проверить из определения упорядоченного произведения. Те-
Теперь упорядоченное произведение можно заменить (по модулю расхо-
расходящегося множителя) континуальным интегралом
(if 1 У
Рехр i - / iJt)xJt) йт) = I Vx exp
= / Vx exp
/ {Х1цХ Хц + ахх) ^
(9.336)

9.12. Фермионные струны 243
Если мы введем поле (р соотношением \ = y/d/d/np, мы обнаружим, что
спинорный множитель (9.335&) можно рассматривать в пределе а —>• О
как амплитуду распространения D-мерного фермиона, путешествую-
путешествующего по пути:
ф[С] = f Vip exp (Г <Р1цфхц dr\ . (9.337)
Это почти что (9.335а). Четырехфермионный член заведомо необходим
для правильной регуляризации. Но как суперсимметричное выраже-
выражение (9.335а), описывающее вместе бозоны и фермионы, получается из
чисто фермионного интеграла по путям? Ответ на этот вопрос прост.
Мы уже говорили, что интеграл (9.337) описывает вторично кванто-
квантованную дираковскую частицу, живущую на пути. Чтобы воспроизвес-
воспроизвести фермионный ответ, мы неявно предположили в (9.336), что число
заполнения для этой частицы равно 1. Если мы снимем это условие
и проинтегрируем по всем возможным полям (р, то к этому сектору
прибавится сектор с числом заполнения нуль. В этом секторе фермион
отсутствует, и мы получаем бозон.
В нашем выводе есть очевидные пробелы, но я полагаю, что их
можно заполнить без ущерба для намеченных выше общих идей. Это
могло бы быть темой интересного исследования.
9.12. Фермионные струны
Теперь мы опишем струнный аналог дираковской частицы. Так же
как в случае частиц у нас были распределенные по траектории поля фЙ,
которые в конечном счете играли роль матриц Дирака, в случае струн
следует рассмотреть поле фц(?) на мировом листе, которое должно быть
суперсимметричным партнером поля хЙ(?). Как и прежде, удобно на-
начать с суперпространства, которое теперь должно иметь два фермион-
ных направления. Если описывать ^-пространство комплексными коор-
координатами z и z, то каждая из них будет иметь ферми-партнера вив.
Преобразования суперсимметрии имеют вид
Sz = —ев, Sz = —ев,
(9.338)
60 = е, бв = ё.
Мы видим, что это прямое произведение одномерных супергрупп. Со-
Соответствующие ковариантные производные имеют вид
2?=^+6'i?-' V=A + e-§z. (9.339)
дв dz дв dz

244 Глава 9
Поле жд(?) следует заменить на суперполе хй(г,г,в,в), имеющее разло-
разложение
Xfl(z, z, в, в) = жд(?) + вф^ + вф^ + 00/д. (9.340)
Мы видим, что здесь есть два типа ферми-полей: фй и ф^ (в евклидовом
пространстве фй = ф*^, тогда как в пространстве Минковского это два
вещественных независимых поля, так же как координаты z и z превра-
превращаются в М-пространстве в ?° ±?х). Эти два поля образуют спинор в
двумерном пространстве и вектор во внешнем пространстве. Есть так-
также новый двумерный скаляр /д. Из этого материала нетрудно собрать
суперсимметричное действие
1 / ~- - - 2
¦' (9.341)
2
У этого действия имеются следующие сохраняющиеся величины, свя-
связанные с суперсимметрией:
J + 0T = -\VxV2x,
(
J = ~^ФцдгХй,
J = -^ФцдгХц-,
дЕТ = dzf = d-zJ = dzj = 0.
Это тензор энергии-импульса Т = Т++ конформного спина 2 и супер-
ток J = J+ спина 3/2 (так как фермион ф = фь имеет спин 1/2). Напом-
Напомним, что под «конформным спином» мы подразумеваем закон преобра-
преобразования при поворотах z —>• elaz. Если некоторая величина умножается
на е~*8а, мы говорим, что она имеет конформный спин s. Чтобы до-
достичь локальной суперсимметрии, следует, очевидно, добавить в (9.341)
два калибровочных поля, одно — спина 2, связанное с Т (Т), которое мы
назовем «гравитоном», и второе — спина 3/2, связанное с J (J), которое
мы назовем «гравитино».

9.12. Фермионные струны 245
Действие, обладающее локальной суперсимметрией, имеет следу-
следующий вид:
S = \ f d2tgH^bdax дьх + феаЧО^даФ +
•> (9.343)
Хотелось бы уметь выводить (9.343) непосредственно из суперпро-
суперпространственного формализма, но, к сожалению, это довольно сложно.
Гораздо легче проверить, что (9.343) обладает желаемой ковариантнос-
ковариантностью. В этой формуле а1 — обычные матрицы Паули, еа1(?) — реперное
поле, связанное с gab соотношением gab(O = еа(?)еь(?)' Ха — поле гра-
витино с векторным индексом а и опущенным спинорным индексом.
В пределе слабого гравитонного и гравитинного полей действие (9.343)
переходите (9.341) плюс члены (гравитон) хТ(Т) и (гравитино)хс7'A7).
Последний член в (9.343) представляет собой поправку к супертоку от
поля х- Мы использовали обычные (нековариантные) производные, дей-
действующие на поле фЙ во втором члене, так как для майорановских спи-
спиноров спиновая связность дает нулевой вклад.
Симметрия действия (9.343), кроме обычной общей ковариантнос-
ковариантности, включает преобразования
Mt) = *[дахЛО ~ \{ХаФ»)Ш), (g 344)
ёХа = 2Vae(<e),
где е(?) — майорановский спинор.
Как и в случае бозонов, теория сильно упрощается в конформной
калибровке. Эта калибровка дается соотношениями
gab@ = ебаЬ,
Ха(О = Х@
Давайте обсудим, можно ли достичь конформной калибровки с помо-
помощью общей суперковариантности. Прежде всего сосчитаем число неза-
независимых функций в калибровке (9.345). Это даст нам грубую ориента-
ориентацию в ситуации. Мы имеем 3 компоненты gab и два спинора Ха или,
другими словами, 3 бозонные и 4 фермионные функции. Мы заменяем
их одной бозонной функцией ip и двумя фермионными функциями х-

246 Глава 9
Это возможно, поскольку имеется две дополнительные бозонные функ-
функции, описывающие общее преобразование координат и две фермионные
функции, входящие в (9.344). Так или иначе, число независимых функ-
функций совпадает.
Теперь следует произвести более подробный анализ, подобный то-
тому, который мы проделали в бозонном случае.
Чтобы решить вопрос о достижимости калибровки (9.345), рас-
рассмотрим произвольную вариацию \а и выясним, можно ли ее пред-
представить комбинацией вариации поля х и суперковариантного преобра-
преобразования. Имеем
ёХа = (tJx + 2Vae = аа(ёХ + (ть4ъе) + 2(Vae - \(TaabWbe). (9.346)
Последнее слагаемое представляет собой «бесследовую» часть 2Va? в
том смысле, что, будучи умножено на аа, оно обращается в нуль. Все
это вполне аналогично бозонному случаю (9.113). Допустимость кали-
калибровки зависит от разрешимости уравнения
{LFe)=Vae-\aaabVbe = Va, (9.347)
где (ра — произвольное поле спина 3/2, такое, что <та<ра = 0. К этому
уравнению нужно добавить бозонную часть — уравнение (9.113):
(LBw) = Vawb + VboJa - gabVcwc = hab (9.348)
с произвольным бесследовым hab. Как мы сейчас покажем, духовые де-
детерминанты как раз и являются детерминантами операторов LB и Lp.
В чисто бозонном случае мы уже вывели этот результат (вспомним
множитель detb^LB в континуальном интеграле). Почти очевидно, что
в фермионном случае нужно добавить det~1(L~^Lp). Здесь мы выведем
этот результат другим (по сравнению с бозонным случаем) методом,
который тоже полезно знать.
Возьмем суперметрику (gab,Xa) B суперконформной калибровке
gab = P6ab
Ха,а = {VaX)a
(а — спинорный индекс) и рассмотрим равенство Фаддеева-Попова
1 = e-wis'Xa) I Vu) Ve S(g - LBuj)8(xa - LFe), (9.350)

9.12. Фермионные струны 247
служащее определением W. Подставляя его в континуальный интеграл
для статистической суммы, получаем
/j = I up iy\ иц)^ ихд в 'е н н , ^y.ooij
где мы опустили интегрирование по суперконформной группе Vw Ve.
Теперь удобно ввести духовые поля явно с помощью представления
— W ( fT Л/ \ 1 I Т Л 1—1 Т
р vv \Ь'л.а) —- /Чр4- Л j-. Нот // р —
= (Т>шТ>1г)(~\Т>еТ>^+) exp{-(/i, LBw) - (/, Lpe)}.
(9.352)
Здесь знаки (—) и (+) означают, что мы интегрируем по полям с не-
неправильной статистикой: и> и h — фермионы, в то время как / и е —
бозоны.
Теперь мы хотим выразить наши детерминанты через поля х И Р
из (9.349). В бозонном случае мы уже сделали это. Тем не менее, удобно
повторить все вновь, используя несколько другой метод, чтобы увидеть
тесную связь между бозонами и фермионами.
Прежде всего перепишем операторы (9.348) и (9.347) в конформной
калибровке. Для (9.348) стандартные формулы римановой геометрии
VaWb = дашь - ГдЬо;с,
2, \ У«оОо)
= 2 (да<Р sbc + дЬ(р Sac - дс(р Sab) (ip = log p)
дают
¦>а - SabdcU3c -
¦Ja)+8abdc(p0Jc= ,
Для действия сопряженного оператора имеем
(L+h) = Vahab = ^с(дсКь - Tecaheb - Tecbhae) = e-*(dahab). (9.355)
Ситуация с фермионами аналогична. Согласно общим правилам,
Va? = дае + Ы*с][(гь, ас]е, (9.356)

248 Глава 9
где спиновая связность ?1ас' определяется уравнениями
{
gab = есаесь.
В конформной калибровке
рь — п%х ,
ка — г "об;
и мы находим
«Iй = " \ (дыр Sac - dctp Sab). (9.358)
Отсюда
V e - ±(т (т
V ас су иаи
Для сопряженного поля /а спина 3/2 имеем
Va/b = dafb - Tcabfc + \^Р"\а", a"]fb. (9.359)
В конформной калибровке находим
Va/a = P^dafa- (9.360)
Нет необходимости так часто пользоваться общими формулами. Отве-
Ответы (9.354), (9.355), (9.359) и (9.360) мы могли бы предвидеть с помо-
помощью следующего рассуждения. Ковариантные производные в конформ-
конформной калибровке можно определить так. Пусть у нас есть поле А(?+, ?~)
(^ = (} ± г?2), преобразующееся при аналитических заменах коорди-
координат
по закону
А(^+, ?~) = I —— I I —— I A(f+, /~), (9.361)
то есть имеющее конформный вес (Д, Д). Метрика р(?+, ?~) преобра-
преобразуется при этих заменах так:

9.12. Фермионные струны 249
Попробуем определить ковариантные производные величины А. Это
легко сделать:
V+A = [д+ - А(д+<р))А = рАд+(р-АА). (9.362)
Тривиально проверить, что если поле А преобразуется по закону (9.361)
с некоторым весом (Д, А), то V+^4 преобразуется по тому же зако-
закону с весом (Д + 1, А). Теперь становятся яснее результаты предыду-
предыдущих вычислений. Действительно, поле ша является ковекторным по-
полем (ш+, Ш-) с весами компонент A,0) и @,1) соответственно. Отсюда
У+ш+=рд+(р-1ш+), (9.363)
что дает (9.354). Поле h++ имеет вес B,0), поэтому
Vaha+ = p~1d-h++ (сравните с (9.355)).
Спинорные поля е± имеют веса (У2,0) и @,У2), тогда как поля /?
и jR _ C/2;о) и @, 3/2). Это дает (9.359) и (9.360). Заметим также,
что бесследовость Ь,аь означает, что Ь,л = 0 и имеются только две
компоненты h++ и /i__, а условие aafa = 0 означает, что у нас есть
лишь компоненты /? и /^ спин-вектора /", которые отвечают спи-
спину 3/2, компоненты же спина У2 отсутствуют. Следует помнить, что
все наши вычисления ковариантных производных выполнены на фоне
ненулевой метрики р, но в нулевом поле гравитино \- В окончатель-
окончательных формулах мы сможем восстановить зависимость от \ с помощью
суперсимметрии. На самом деле, не так уж трудно работать и в слу-
случае х Ф 0- Все, что нужно сделать — это обобщить формулы (9.361)
и (9.362) на суперпространство.
Собирая все вместе, мы видим, что духовый вклад в континуаль-
континуальный интеграл определяется детерминантами, возникающими из задач
на собственные значения
рд+(р Шл_) - __,_,
\. " (9.364)
&+н++ = е+-д-к++ = Р-Лп '
для бозонов и
(9.365)

250 Глава 9
для фермионов. Применяя д- к первому уравнению в каждой паре,
получаем
—р~2д-(рд+п) = Е2п,
(9.366)
= р~1/2е+.
В общем случае оператор, действующий на поле конформного веса @, j),
имеет вид
Cj=pj-1d-{p-jd+). (9.367)
Для j = 0 это — скалярный лапласиан, для j = — xj2 и — 1 — только что
полученные духовые операторы. Нам понадобится еще случай j = У2,
отвечающий дираковским фермионам. В самом деле, дираковские фер-
мионы преобразуются как
и, следовательно, дираковская задача на собственные значения имеет
вид
\f (9.369)
р~'2д+ф- = гЕф+.
Разумеется, это же уравнение можно было бы получить и длинным пу-
путем, начав со стандартного уравнения Дирака со спиновой связностью
aaVaip = iEip. (9.370)
Мы уже описали этот путь выше для случая духов и не будем повторять
его.
Теперь нужно вычислить детерминанты. Все они должны быть ло-
локальными функционалами р, поскольку при наивных манипуляциях за-
зависимость от р выпадает из всех выражений. Действительно, действие
для поля и в (9.366) и (9.367), которое ведет к правильной задаче на
собственные значения, имеет вид
Sj = f p-jd+ud-ud2t,
¦' (9.371)
Nj = / p^-iuud1^

9.12. Фермионные струны 251
где Nj — норма ^^пространстве. Если попробовать использовать те-
теорию возмущений, полагая р = 1 + ш, то получится
ч ч
W = к ^
-я) I
-я) j
(9-372)
Это выражение плохо определено. Это значит, что мы не смогли вычис-
вычислить эффективное действие и продемонстрировали только то, что оно
не имеет мнимой части в (/-пространстве, будучи локальным функцио-
функционалом поля (р. То же справедливо во всех порядках по <р.
Есть несколько способов решить эту проблему. Один из них состо-
состоит в том, чтобы во всех петлях пользоваться регуляризацией Паули-
Вилларса. Это достигается добавлением к действию Sj действия Sj
полей-регуляторов й:
Sj= f(p-jd+ud-u + M2p1-juu)d2^ (9.373)
причем петли полей й входят с отрицательными знаками и сокра-
сокращают расходимости и-петель. Построение действия Sj обеспечивает
конформную симметрию регуляризованной теории. Зависимость от <р
легко выделить из петель поля п, и тогда общие соображения кон-
конформной инвариантности приведут нас к действию Лиувилля с фик-
фиксированной константой взаимодействия (это единственное конформно-
инвариантное выражение требуемой размерности).
Однако мы выберем другой подход к проблеме, который кажется
более содержательным. Давайте обобщим выражение (9.352) для духо-
духового действия. Бозонная часть действия в отсутствие внешнего поля
имеет вид
S{i] = J(h++d-u>+ + h—d+ш-) d2?; ш± = р" V- (9-374)
Здесь поля ш и h имеют конформные веса
w+~(-l,0), ш~ ~ @,-1),
В общем случае можно рассмотреть действие
Sj = I\b+d-a+ + b~d+a-) d2? (9.375)

252 Глава 9
с весами
a+~(j,O), a_~(O,j),
b+~d-i,o), b-~(o,i-i). (9-376)
Наша тактика состоит в том, чтобы ввести в (9.375) внешнее гравитаци-
гравитационное поле, но не в конформной калибровке, где эффективное действие
расходится, а в калибровке, в которой имеется только одна компонен-
компонента метрики, скажем, g++. Как мы видели, это приводит к конечному
выражению, содержащему g++, которое можно обобщить до ковариант-
ного.
Прежде всего, нужно найти выражение для ковариантной произ-
производной в этой калибровке. Метрика имеет вид
ds2 = dfd?- + g++{d?+J = dt(dC + g++d?). (9.377)
Легко найти взаимодействие поля g++ с полями а и Ь, или, иными слова-
словами, тензор энергии-импульса (а, Ь)-системы. Идея состоит в том, чтобы
найти изменение действия при заменах координат
?+ _^?+
_' + (9.378)
При этих заменах поля преобразуются как
'дГ
дГ

9.12. Фермионные струны 253
Действие (или, лучше сказать, его «минус»-часть) преобразуется в
(9-38°)
Теперь положим
Г= С+?+(?+,Г) (9-381)
с бесконечно малым е+. Получаем
S-S= f(bd-a-jd-(ba))d+s+.
Отсюда можно извлечь компоненту тензора энергии-импульса, связан-
связанную с g++,
Т__ = bd-a-jd-(ba) = A - j)bd-a + jad-b. (9.382)
q+k
Теперь мы можем вычислить отклик второго порядка на поле g++. Он
описывается диаграммюйа ь
eff 2 J !!__,__
d2q
B7Г)
2'
2тгJ (к+ + ie sign fc_) (k+ + q+ + iesign(fc + q)_)
24?r Q+
(9.383)

254 Глава 9
(мы здесь использовали корреляторы
Аргументы, тождественные использованным в разделе 9.6, приводят к
следующему результату для детерминантов:
(9-384)
24тг
Этот результат равнозначен вычислению центрального заряда алгебры
Вирасоро тензора энергии-импульса (9.382), который равен в точности
Cj = ±(l + 6j(j-l))-2, (9.385)
где знаки ± относятся к коммутирующим или антикоммутирующим
полям (напомним, что фермионные петли берутся со знаком минус).
Действительно, центральный заряд — это просто вакуумное среднее
двух тензоров энергии-импульса (Т++Т++), которое мы и вычисляли.
До физического ответа остается еще один шаг. Мы вычислили все
детерминанты при условии \ = 0. Теперь мы должны восстановить
зависимость от х в detCj. Это можно сделать без каких-либо допол-
дополнительных вычислений, поскольку существует только одно суперсим-
суперсимметричное расширение действия Лиувилля (9.384). Чтобы найти его,
рассмотрим суперполе
в-Х-+в+в-1 (9-386)
и явно суперсимметричное действие
S =

9.12. Фермионные струны 255
Простое вычисление дает
еФ/2 _ е<р/
\в+х+ + \o-x- + \e+o-tf - \х+х-)),
- \х+д-Х+ ~ \х-д+Х- + \f
Складывая оба члена и исключая поле / (находя минимум действия по
отношению к нему) получаем
S = I {\(ду? + \Хрх + \l*vl2XX + №} d2t (9.389)
Это действие должно заменить действие Лиувилля при ненулевом х-
Его можно было бы получить и явно, связывая гравитино с супертока-
супертоками и вычисляя суперконформные аномалии. Но, как мы видим, этого не
требуется, так как суперконформное расширение бозонной части дей-
действия единственно.
Теперь мы готовы выписать эффективное действие суперструны.
Для этого найдем значение константы связи в действии супер-Лиу-
вилля, или, что то же самое, центральный заряд с. Имеем
(j = 0) CM=D, (j = -l) c^} = -26,
\ W J = ~\) c^ = 11, (9.390)
(здесь значения с для ф и х равны половине приведенных в (9.385), так
как (9.385) написано для комплексных полей). Итак, наш окончатель-
окончательный ответ для эффективного действия фермионной струны, получен-
полученного интегрированием по полям х и ф, дается формулой
Ю — D I (\ro..\2 , 1 - -n~ , 1...Ш/2-... , ..2 _ш\ i2i- /q 09I4)
Как и в бозонном случае, это действие описывает продольные колебания
струны. В критической размерности DCI = 10 они отсутствуют.

256 Глава 9
До сих пор мы имели дело с поверхностями сферической топологии
без внешних линий. Как и в бозонном случае, чтобы получить амплиту-
амплитуды рассеяния, нужно сделать проколы в сфере, а чтобы найти поправки
к древесным амплитудам, нужно просуммировать по топологиям. Мы
займемся первой задачей, которая в фермионном случае имеет некото-
некоторые особенности.
9.13. Вершинные операторы
В случае бозонной струны мы прокалывали ее мировой лист, встав-
вставляя множители
(9-392)
под континуальный интеграл. Теперь наша задача — найти суперсим-
суперсимметричное обобщение этих формул.
Начнем со свойств поля х. Функция Грина суперсимметричного
лапласиана VV равна
<?„(&, 01)^F, 02)> = "^ l0g(*l -Z2- 0102) (*l -Z2- 0102). (9-393)
Эту формулу легко проверить покомпонентно. Она эквивалентна равен-
равенствам
(9.394)
Легко понять, почему именно комбинация z\2 = z\ — Z2 — 6162 появилась
в (9.393): она инвариантна относительно суперпреобразований,
Sz12 = 5Zl - Sz2 - 8вгв2 + 8в2в1 = О
= -ев!, 8z2 = -?02, ^01 = S92 = e).

9.13. Вершинные операторы 257
Найдем теперь выражение для суперсимметричного вершинного опера-
оператора, начав с простейшего случая критической размерности D = 10.
В этом случае, согласно предыдущему разделу, мы ожидаем, что тео-
теория конформно-инвариантна, т. е. поля ри^на массовой поверхности
не участвуют в амплитудах. Естественным кандидатом на роль V(p)
является
V(p)= I' d2^d26:eipx{^); =
= I d2^ f d29:eipx{l-ip^Le-ipxj}Re- (9'395)
Полагая / = 0 и интегрируя по 9, получаем
V(p) = J d2H:(p^L)MVR)eipx^:. (9.396)
Как мы уже отмечали, размерность :е1ря>: равна р2. Поскольку свобод-
свободные фермионы фц!, и ^;дд имеют размерности г/2, мы получаем следу-
следующее условие массовой поверхности:
А = р2 + 1 = 2, р2 = 1, (9.397)
Таким образом, вершина (9.396) все еще описывает тахион, но «луч-
«лучший» по сравнению с бозонным (имевшим р2 = 2). В случае открытых
струн нужно оставить только левую часть всех полей и координат, и
мы получаем
КРе„(р)=
= fdz:p^(z)eipxiz):, p2 = \. (9.398)
Мы можем быть уверены, что «старый» бозонный тахион не родится
при столкновениях новых, поскольку выражение :е1рх: не суперсиммет-
суперсимметрично. Тем не менее, полезно проверить это явно. Рассмотрим опера-
операторное разложение
••PMZ)J**{Z)- ¦кЖ@)ешх{0): = (pk)z2*k-1:e«p+kW>: + .... (9.399)
На первый взгляд кажется, что бозонный тахион появился, так как
в правой части (9.399) присутствует его вершинный оператор :егрх:.
Однако его появление иллюзорно. Действительно, слияние двух тахио-
тахионов фермионных струн (9.398) с р2 = г/2 производит бозонный тахион

258 Глава 9
с р2 = 1 согласно (9.399), если р2 = к2 = У2 и (р + кJ = 1. Это влечет
за собой рк = О, и вычет в тахионном полюсе во всех амплитудах обра-
обращается в нуль. Таким образом, настоящее основное состояние открытой
фермионной струны имеет р2 = х/2.
Даже этот тахион можно последовательно исключить. Будем раз-
различать вершинные операторы по их четности при фй —>• — фй (для прос-
простоты мы говорим об открытых струнах). Тахионное состояние (9.398)
нечетно. Слияние двух тахионов дает только четные состояния. Чтобы
найти их, мы должны исследовать следующие члены в (9.399). Прос-
Простейшим будет суперсимметричное обобщение оператора :idzxIJ,elpx: те-
теории бозонных струн, описывающего безмассовое векторное состояние
открытой струны. Это обобщение легко построить с помощью суперпо-
лей. Рассмотрим выражение
Гд(р) = /'
= [ёгёв-л(фй +вдгХрУрхA-грфву. (9.400)
= / dz:{idzXtl+p^^v)eipx:.
Этот вершинный оператор тоже описывает безмассовое векторное со-
состояние, поскольку размерность интеграла дается формулой
Д = р2 + 1 = 1; р2 = 0. (9.401)
По построению наша вершина суперсимметрична и четна относительно
отражения фй —>• — фй. При слиянии двух таких частиц тахион (9.398)
не может появиться, так как он нечетный, а «бозонный» тахион :егрх:
не может родиться, так как он не суперсимметричен. Точнее, в опера-
операторном разложении произведения двух вершин (9.400) оператор :ё1рх:
действительно появляется, но на массовой поверхности коэффициент
перед ним обращается в нуль, так же как это случилось в (9.399).
Мы приходим к заключению, что открытая фермионная струна, бу-
будучи ограничена четным относительно ^-отражения сектором, не име-
имеет тахионов при D = 10 и ее основное состояние отвечает векторной
частице нулевой массы.
В случае замкнутых струн вершинный оператор дается прямым
произведением двух Гд из (9.400), причем одно зависит от z, а дру-
другое — от z. Он описывает безмассовую тензорную частицу, которую
мы обсудим немного позже.
Безмассовые векторные или тензорные частицы могут взаимодей-
взаимодействовать без рождения духов (и мы знаем, что духи отсутствуют

9.13. Вершинные операторы 259
при D ^ 10 из (9.391) или из прямого подсчета числа состояний, анало-
аналогичного проделанному в бозонном случае) только в том случае, когда
их действие калибровочно-инвариантно, т. е. это действие Янга-Миллса
для векторов и Эйнштейна для тензоров. Мы отложим явное вычисле-
вычисление этого эффективного действия и укажем здесь только на одно про-
проявление калибровочной структуры. В операторном произведении
Г„(р,г)Г„(к,0) ~ г2рк~Н^х(р, к)Гх(р + к,0), (9.402)
как показывает явное вычисление, величина tlil/\(p,k) совпадает с ку-
кубической янг-миллсовской вершиной. Это важное наблюдение, так как
мы уже знаем, что структурные константы в операторных разложениях
совпадают с вычетами в полюсах амплитуд рассеяния. Немного позже
мы опишем эффективный метод их вычисления.
До сих пор, хотя мы и говорили о фермионной струне, у нас не бы-
было пространственно-временных фермионов. Очевидно, что все частицы,
полученные из вершинных операторов (9.400) — бозоны.
Очень важно, что кроме них спектр теории содержит фермионы,
возникающие как солитонные возбуждения струны. На языке конти-
континуальных интегралов солитоны возникают при специальных гранич-
граничных условиях на поля. В нашем случае аномальные граничные условия
имеют следующий смысл. Мировой лист представляет собой сферу с
выколотыми точками, которые отвечают внешним частицам. На такой
проколотой сфере можно выбрать различные спинорные структуры для
полей фц, то есть можно рассматривать двузначные поля, меняющие
знак при обходе вокруг выколотой точки.
Чтобы понять, почему нетривиальные спинорные структуры свя-
связаны с пространственно-временными фермионами, нужно сделать шаг
назад и вернуться к случаю частицы. Напомним, что мы описывали
спиноры антикоммутирующими полями ф^ с действием
= /
S = / ф^ф\ dr. (9.403)
Почему это действие описывает пространственно-временной спинор, в
то время как переменные ф^ — векторные? Для ответа на этот вопрос
перейдем к гамильтонову формализму. Предполагая, что размерность
пространства-времени четная, можно считать одну половину фй коор-
координатами, а другую — сопряженными импульсами. Введем комплекс-
комплексные поля
Фа = Фа+ гфа+Г1/2, О = 1, . . . , D/2.

260 Глава 9
Действие принимает вид
S = J Ф! ft<Padt, (9.404)
описывающий D/2 гармонических осцилляторов. Гамильтониан в этом
случае равен нулю, а пространство состояний состоит из «вакуума» |0),
фа\0) = 0, (9.405)
и «возбужденных» состояний
Поскольку наши операторы антикоммутируют
[фа, ф+]+ = ёаЬ, [фа, фЬ]+ = [Ф+,Ф?]+ = 0, (
число независимых состояний вида (9.406) равно 2?>/2 (каждое а может
быть занято или свободно). Все эти состояния обладают нулевой энер-
энергией и описывают одну частицу с 2?>/2 поляризациями. Это в точности
совпадает с размерностью спинорного представления группы O(D), и
мы фактически описали процедуру его явного построения. Конечно, для
завершения этого построения следует выразить генераторы O(D) через
операторы фа и показать, что представление невырождено. Это нетруд-
нетрудно, но мы остановимся здесь, так как наша задача состояла только в
том, чтобы увидеть связь между фй и спинорами.
Возвращаясь к струнам, посмотрим на ^>д-часть действия струны
на цилиндре:
s =
(9.408)
тг + г'тг" ) ФиЛ) dr da.
от да) )
Две спинорные структуры отвечают периодическим или антипериоди-
антипериодическим фй при обходе вокруг цилиндра. В периодическом случае (ко-
(который называется сектором Рамона) ф^ имеет постоянную по а ком-
компоненту, так что действие (9.408) сводится (для киральной компонен-
компоненты Фц.,ь или Фц.,в) к (9.403). Мы видим, что при интегрировании по
полям фй с периодическими граничными условиями основное состоя-
состояние струны описывается пространственно-временным спинором. В ан-
антипериодическом случае (сектор Неве-Шварца) мы все еще можем ис-
использовать базис (9.406), но теперь нет постоянной по а компоненты,

9.13. Вершинные операторы 261
гамильтониан не равен нулю (из-за члена г-фда-ф), и эти состояния не-
невырождены. Можно проверить, что основное состояние в этом случае
описывается пространственно-временным бозоном.
Перейдем теперь к нашей проколотой сфере и операторной алгебре.
Этот переход достигается конформным преобразованием, превращаю-
превращающим цилиндр в кольцо. Тогда предел бесконечно длинного цилиндра
будет соответствовать пределу, когда внутренняя окружность кольца
сжимается в точку, в то время как радиус внешней окружности стре-
стремится к бесконечности. То есть мы получили сферу с двумя удаленны-
удаленными точками. Выясним теперь, что происходит с различными спинор-
спинорными структурами при этом преобразовании.
Для этого заметим, что конформное отображение, о котором мы
говорим, это в точности
w = log z = т + га,
^'iV v >h (9.409)
(здесь z принадлежит проколотой сфере, aw — цилиндру; напомним,
что конформный спин ф^ равен 1/2).
Квадратный корень в (9.409) очень важен. Он означает, что поле ф^,
периодическое на цилиндре (сектор Рамона), становится антипериоди-
антипериодическим при переходе в ^-плоскость. Обратно, поля фЙ, антипериодичес-
антипериодические на цилиндре (сектор Неве-Шварца), переходят в поля, однозначные
на z плоскости.
Итак, мы получаем следующее правило. Когда мы интегрируем по
полям, однозначным в ^-плоскости, мы получаем бозонные состояния
струны, которые образуют сектор Неве-Шварца. Допуская поля ф^,
меняющие знак при обходе выколотой точки, мы получаем простран-
пространственно-временной фермион.
Есть ли эффективная техника вычисления континуальных интег-
интегралов с нетривиальными спинорными структурами? В случае обсужда-
обсуждаемых нами точечных особенностей такая техника использует так на-
называемые спиновые операторы.
Мы знаем, что основное состояние в секторе Рамона является про-
пространственно-временным спинором, и можно ожидать, что ему соот-
соответствует оператор Sa{z,z), где а = 1, ... , D/2 — спинорный индекс.
Операторное произведение Sa и ф^ должно иметь вид
^Ы-гШО) = Bz)-1/-(lfl)abSb@) +..., (9.410)

262 Глава 9
где множитель z~ ^ дает нетривиальную спинорную структуру при z =
О, индуцированную Sa@), а коэффициенты Gд)аб — просто D-мерные
матрицы Дирака. Фермионное состояние \а) струны (а — спинорный
индекс) дается
|о> = 5в@)|0>. (9.411)
Эти спиновые операторы имеют наглядный физический смысл. Вспом-
Вспомним, что свободные майорановские фермионы в двух измерениях экви-
эквивалентны двумерной модели Изинга в том смысле, что их статистичес-
статистические суммы совпадают. NSR-струну можно представлять себе как обыч-
обычную бозонную струну, каждый кусочек которой несет D-мерный спи-
спиновый оператор. Теперь преобразование Йордана-Вигнера превращает
эту систему в обычные майорановские фермионы на мировом листе.
С другой стороны, поскольку каждый участок струны несет спин У2,
есть два сектора по четности полного числа спинов. Это и есть секторы
Неве-Шварца и Рамона.
Спиновый оператор, переводящий эти секторы друг в друга, мо-
может быть выражен с помощью преобразования Йордана-Вигнера через
фермионные поля ф^. Это представление, включающее экспоненты от
билинейных по ф^ форм, довольно громоздко, и, к счастью, нам не
потребуется. Мы покажем, как вычислить корреляции Sa непосредст-
непосредственно.
Рассмотрим сперва одно фермионное поле ф и вычислим корреля-
корреляционную функцию
/С = M*i)lK*2№).%)> (9-412)
(это в точности модель Изинга).
Оказывается, что аналитических свойств /С достаточно для ее вы-
вычисления. Из (9.410) мы знаем, что /С — аналитическая функция z\ и z2
с корневыми точками ветвления z\$. = х,у. Кроме того, вследствие со-
соотношения
ф{г1)ф(г2)~г^11+..., (9.413)
функция /С должна иметь простой полюс при z\ = z2. Следовательно,
можно написать
К =Р(*иъ,х,у)
(
- z2){(zi - x)(zi - y)(z2 - x)(z2 - J/)}/2
где Р — полином по z\ и z2. Этот полином должен быть устроен так,
чтобы вычет /С в полюсе z\ = z2 не зависел от z\ (из-за единичного
оператора в (9.413)). Следовательно,
P(Zl, zu х, у) = Q(x, y)(Zl - x)(Zl - у). (9.415)

9.13. Вершинные операторы 263
Далее, вследствие
S(x)S(y)~\x-y\-4AI+... (9.416)
мы имеем требование
P(zt, z2, х, у) = (zt - x)(z2 -x)\x- у\~4А-
Следовательно, единственное допустимое выражение для корреляцион-
корреляционной функции имеет вид
41 1 I I ^> л I I I ^> _ iVt \ -в
. (9.417)
2 (zi - z2){(Zl - x)(Zl - y)(z2 - x)(z2 - у)}Ъ \х - y\4A
Теперь мы готовы найти Д. Идея вычисления следующая. Сначала вос-
воспользуемся операторным разложением
ФЫх1>{г2) ~ z^I + fz12T(z2) + ..., (9.418)
где постоянная / может быть выражена через размерность поля ф (рав-
(равную У2). Для этого можно подставить (9.418) в
U-V Z-V.
Первый член представляет собой вклад единичного оператора, тогда
как второй — вклад тензора энергии-импульса. Конформное тождество
Уорда фиксирует нормировку Т:
ф(у)) = ±±f?± (9.420)
Мы видим, что в (9.418) / = 2. Конечно, этот ответ можно было бы
получить сразу, так как для свободных фермионов, с которыми мы
имеем дело,
Т{?) = -\фдяф (9.421)
и весь наш предыдущий вывод есть не что иное, как проверка этой фор-
формулы. Однако область применимости метода операторных разложений
очень широка и не ограничивается случаями свободных полей.

264 Глава 9
Второй шаг в вычислении Д состоит в том, чтобы подста-
подставить (9.418) в (ipipSS). Разлагая (9.417) по z\2, получаем
к = 1 1 . . *12 (х- УJ 1 (QAOO\
*12-Ю *12 |ж _ j,|4A + + 8 (Z2-X)*(Z2-yJ |Ж-г/|4Л' ^ '
Первый член снова происходит от единичного оператора, тогда как
второй представляет собой вклад тензора энергии-импульса. Сопостав-
Сопоставляя (9.418) и (9.422), получаем
(T(z)S(x)S(y)) = -L fr-yJ I (9.423)
Lb(z-xJ(z-yy \х-у\2Л
Это совместно с конформным тождеством Уорда (которое, в частнос-
частности, говорит, что вычет в полюсе второго порядка при z —>¦ х равен Д),
только если Д = У16. Мы видим, что конформная алгебра действи-
действительно определяет размерность спинового оператора, так же как и его
корреляционные функции.
Для коррелятора (9.412) имеется важное представление. Возьмем
его предел при у —>¦ оо, х —>¦ 0, которого можно достичь проективным
преобразованием. Мы получим
\"+Z z \z ¦ (9-424)
Zl Z2
Эта формула имеет интересную интерпретацию. Именно, поскольку
мы вставили спины в 0 и оо, поле ip(z) стало двузначным в ^-плос-
^-плоскости с разрезом от 0 до оо. Можно ожидать, что имеется следующее
разложение по модам:
b+z11)) , (9.425)
и из соответствующих антикоммутаторов полей ф вытекают соотно-
соотношения
2
2ф 1,
vo , (9.426)
{Ьп,Ьт} = дпт,-
Вычислив теперь коррелятор

9.13. Вершинные операторы 265
мы видим, что он в точности совпадает с тем, что мы получили
из (9.412). Когда спиновые операторы и разрез отсутствуют, разложе-
разложение по модам будет иметь вид
как и должно быть.
Мы видим, что роль спиновых операторов состоит в том, чтобы
сдвинуть полуцелые моды в (9.428) на х/2 и превратить их в целые
в (9.425). Более того, размерность спинового оператора Д = У16 имеет
естественную интерпретацию, как изменение энергии нулевых колеба-
колебаний в присутствии спина. Действительно, справедливо соотношение
ОО
(
n=l „=i/2
где мы использовали следующую формулу для регуляризованных сумм
п=о п=о (9.430)
def ,.
h
Edef ,.
и)п = hm
П
n
В случае D измерений единственное отличие, которое нам встретится,
состоит в том, что размерность спина будет
Д = D/16, (9.431)
так как все ф^ меняют энергию своих нулевых колебаний, и, кроме
того, вместо (9.425) мы будем иметь
( ) \(9-432)
где 7д и 7г>+1 — обычные матрицы Дирака.

266 Глава 9
Используя эти формулы, легко вычислить корреляционные функ-
функции, включающие два спиновых оператора. Разумеется, метод разло-
разложения по модам неприменим, когда число спинов больше двух. В этом
случае нужно использовать методы, основанные на операторной алгеб-
алгебре. С их помощью нетрудно построить коррелятор любого числа спинов.
Подведем итоги. Мы начали с суперсимметричного (на мировом
листе) действия, содержащего поля жд и ф^. Грубо говоря, мы име-
имели 7-матрицы (фц), распределенные по мировому листу. Было показано,
что кроме обычного, бозонного сектора, у такой струны имеется дру-
другой, «солитонный» сектор, задаваемый антипериодическими граничны-
граничными условиями на ф^ при обходе вокруг выколотых точек. В результате
каждая такая точка, в которой концентрируется «солитон», описывается
спиновым оператором, который является пространственно-временным
спинором. Отсюда вытекает, что эта струна имеет спинорные возбуж-
возбуждения помимо обычных бозонных.
В принципе, можно описывать эту струну не полями ф^, а спино-
спиновыми полями Sa на мировом листе. В случае частиц это соответствует
переходу от действия (9.317) к (9.335). К несчастью, Sa не являются
свободными полями, поскольку имеют аномальную размерность D/16,
и пригодная на практике формулировка до сих пор не найдена. Однако я
уверен, что она существует. Для D = 10 ситуация несколько проще, так
как в калибровке светового конуса эффективная размерность спинового
оператора становится равной (D — 2)/16 = У2. В этом случае спиновые
поля, как и ожидается, становятся свободными и фермионная струна
может быть описана нековариантным действием Грина-Шварца.
В ковариантном формализме мы должны построить вершинный
оператор излучения пространственно-временного фермиона. Он должен
быть чем-то вроде
Vp^-SaiOe'**®, (9.433)
где а — спинорный индекс. Однако (9.433) сам по себе не годится, так
как не имеет требуемой размерности 1. Причина состоит в том, что,
так как Sa изменили граничные условия на поля ф, необходимо из-
изменить граничные условия для гравитино и полей духов, входящих в
континуальный интеграл. Есть формальные конструкции, доводящие
эту задачу до конца, но последовательный вывод из первых принципов
до сих пор отсутствует. Тем не менее, мы можем, если захотим, вычис-
вычислить амплитуды, содержащие два фермиона. Для этого мы используем
вершину излучения бозона
Vpfl = :(idzXfl +р„ф,гфи)е*рх:
и будем считать, что ф^ имеет разложение по модам как в (9.432).
Это означает, что в 0 и оо находятся спиновые операторы, и мы из-

9.13. Вершинные операторы 267
учаем рассеяние (произвольного числа) бозонов одним фермионом. Для
нескольких фермионов необходимо либо использовать алгебраическую
конструкцию фермионной вершины, о которой говорилось выше, либо
переходить в калибровку светового конуса. Возможно, ситуация скоро
исправится.
Таким образом, в критической размерности D = 10 фермионная
струна обладает следующими свойствами. Ее основное состояние явля-
является безмассовым и суперсимметричным в пространственно-временном
смысле, поскольку числа состояний в секторах Рамона и Неве-Шварца
совпадают.
Последнее утверждение нуждается в пояснении, так как для его
выполнения требуется сделать некоторые проекции в обоих секторах.
Мы уже упоминали о них по ходу дела, а теперь обсудим их смысл.
Пока мы работали в бозонном секторе без спиновых операторов, мы
рассматривали только вершины с четным числом фЙ, или, другими сло-
словами, мы проектировали на сектор, четный относительно ф^ —>¦ — ф^.
Это, очевидно, самосогласованная проекция, исключающая тахион с
вершиной :р^ф^егрх:. Каково ее действительное происхождение?
Обсудим сперва, как выполнить эту проекцию на языке контину-
континуальных интегралов. Если интересоваться статистической суммой
Z = Тг e~0HNS = ZF -ZB = fv-ф ехр {--фр-ф da dr) • ZB (9.434)
(где i?NS — гамильтониан Неве-Шварца), то интеграл в (9.434) должен
быть определен на торе с периодом по времени /3 и пространственным
периодом 2тг. Обычные граничные условия будут антипериодическими
в обоих направлениях; мы уже объяснили, что пространственная ан-
антипериодичность подразумевает рассмотрение NS-возбуждений, тогда
как временная отвечает статистической сумме фермионов. Мы можем
записать символически ~
ZF = . (9.435)
Рассмотрим теперь проекцию. Легко проверить, что периодичес-
периодические по времени граничные условия равнозначны взятию следа
Тг (—1)F ехр(—(ЗН), где F — оператор числа фермионов. Следовательно,
проекция на четные F отвечает~сумме ~
Z= + . (9.436)
Добавляя рамоновский сектор, мы приходим к простому правилу. Что-
Чтобы описать модель NSR с проекцией, нужно просуммировать по всем

268 Глава 9
возможным спиновым структурам. Это дает суперсимметричную тео-
теорию струн. По-видимому, для поверхностей высшего рода рецепт дол-
должен быть тот же.
У нас нет хорошего вывода этого рецепта. Однако ему можно дать
некоторое объяснение. Покажем, что только при этом предписании сис-
систему можно рассматривать на основе спиновых операторов. Для этого
рассмотрим модель Изинга на поверхности высшего рода. Мы знаем,
что обычно (на сфере) эту модель можно заменить свободными ферми-
онами. Так ли это на поверхностях высших родов? При фермионизации
изинговских спинов существенную роль играет дуальность Крамерса-
Ваннье (см. следующую главу). Фермионные пути, по существу, яв-
являются границами капель, содержащих перевернутые спины. Однако,
если поверхность гомологически нетривиальна, существуют замкну-
замкнутые пути, которые ничего не ограничивают. Мы должны обеспечить,
чтобы фермионные траектории, соответствующие этим путям, не дава-
давали вклада. Суммирование по всем спиновым структурам как раз и есть
тот способ, которым этого можно добиться, поскольку тогда вдоль каж-
каждого гомологически нетривиального пути вклады от противоположных
спиновых структур взаимно сокращаются.
Мы заключаем, что глобальное существование спиновых операто-
операторов требует суммирования по спиновым структурам. Пространственно-
временную суперсимметрию тоже должно быть возможно объяснить на
этом языке, однако до сих пор не ясно, как это сделать.

Глава 10
Попытка синтеза
Как использовать теорию струн? Какова ее связь с физическими
проблемами, описанными в других главах? Окончательного ответа на
эти вопросы нет. В этой главе я объясню, почему я верю, что струнные
теории важны и, возможно, дают нам ключ к решению самых фунда-
фундаментальных проблем.
В центре нашего внимания будет три группы вопросов. Мы начнем
с проекта великого объединения на основе струн, затем опишем трех-
трехмерную модель Изинга и закончим четырехмерной хромодинамикой.
10.1. Длинноволновые колебания струн в
критической размерности
В предыдущей главе мы видели, что спектр струнных теорий в
критической размерности содержит безмассовые частицы спина 2 (и
их суперпартнеры для суперструн). Поскольку единственным самосо-
самосогласованным взаимодействием таких частиц является гравитация, эти
теории должны содержать в себе теорию гравитации. Таким образом,
эти теории с необходимостью дают в низкоэнергетическом пределе эйн-
эйнштейновскую теорию. С другой стороны, при высоких энергиях эти
теории будут иметь хорошее регулярное поведение, так как струны —
протяженные объекты.
Основное предположение струнных теорий великого объединения
состоит в том, что весь наш низкоэнергетический мир, включая супер-
супергравитоны, калибровочные поля и поля материи, возникает из безмас-
безмассовых возбуждений струны. Все массивные моды струн предполагают-
предполагаются очень тяжелыми (порядка планковской массы) и, вследствие этого,
практически ненаблюдаемыми.
Объясним теперь, как можно использовать эту идею.
Прежде всего, когда и почему в теории струн возникают безмас-
безмассовые возбуждения? Чтобы найти частичный ответ на этот вопрос, на-
напомним, что обычная струна описывается действием
S = Jgbgabdaxdbxd2^ A0.1)

270 Глава 10
которое получается из действия Намбу
f V
S = (det(c^ дьх)) '2 d ? =
' A0.2)
Г^+АаЬ(9аж9ьж-ЯаЬ)}й2е
в предположении конденсации множителя Лагранжа \аЬ:
(ХаЬ) = const g^gab. A0.3)
Следовательно, в фазе, описываемой A0.3), тензор gab в A0.1) нужно
интерпретировать как индуцированную метрику дахдьх. Рассмотрим
масштабное преобразование пространства-времени: ж —>¦ Аж . Оно экви-
эквивалентно вейлевскому преобразованию на мировом листе
gabiO ->¦ \2gab(?). (Ю.4)
В предыдущей главе мы показали, что если размерность D критическая
(D = 26 в бозонном случае и D = 10 в фермионном), то лиувиллевская
мода отщепляется, и теория становится вейлевски-инвариантной. Мас-
Масштабная инвариантность в пространстве-времени требует безмассово-
безмассового дилатона в спектре струнной теории. Дилатон действительно при-
присутствует в спектре критической струны. Вероятно, сходным образом
можно объяснить и гравитон. После того как мы нашли все безмассо-
безмассовые моды, мы должны научиться вычислять их эффективное действие
в низкоэнергетическом приближении. В принципе, поскольку мы знаем
правила вычисления ^-матрицы через средние от вершинных операто-
операторов, мы можем непосредственно перейти к низкоэнергетическому пре-
пределу в соответствующих формулах. Это прямой, но весьма громоздкий
и мало что проясняющий путь. Есть интересная альтернатива, кото-
которую мы сейчас опишем. Рассмотрим теорию струн на искривленном
пространственно-временном фоне:
S = 7j I lu,v{x{?>))g''igab(?,) даХ^дъх" d2^, A0.5)
J
где jltv(x) — некоторый фиксированный метрический тензор в D-мер-
ном пространстве. Мы хотим показать, что условие конформной инва-
инвариантности для действия A0.5) дает уравнения для 7дг/ (и некоторых
других полей), в точности совпадающие с теми, которые получаются
из ^-матрицы. Таким образом, проблема низкоэнергетического преде-
предела сводится к вычислению /3-функции для действия A0.5), рассматри-

10.1. Длинноволновые колебания струн в критической размерности 271
ваемого как действие нелинейной сг-модели. Предположим сперва, что
мировой лист плоский, gab = 6аь- Тогда действие
S =\ I'iia,{x{?))8abdaxltdbxv d2i A0.6)
перенормируемо в следующем смысле. Предположим, что мы интегри-
интегрируем по быстрым составляющим поля х с волновыми векторами меж-
между Л и Л . Как мы сейчас покажем, результат вновь будет действием
вида A0.6), но с перенормированным метрическим тензором ^^(х).
Таким образом, ^^{х) играет ту же роль, что и константы связи в
обычных теориях. В частности, нелинейные сг-модели, рассмотренные
в начале книги, соответствуют специальному случаю, когда метри-
метрика 7дг/(ж) имеет постоянную кривизну (это условие воспроизводится
при перенормировке). Константы связи, которые мы вводили раньше,
суть ни что иное, как значения этой кривизны. Вычисление начинает-
начинается, как обычно, с разложения поля на быструю часть у и медленную жц:
(Ю.7)
Подставляя A0.7) в A0.6), получаем
где Su(xq, у) квадратично по у. Линейные члены отсутствуют, так как
они записываются в виде
Jj^-^, A0.9)
где SS/Sxo содержит волновые векторы ^ А, в то время как волно-
волновые векторы у лежат в области между Ли А. Следовательно, с нашей
точностью интеграл A0.9) равен нулю. Что касается Sn, то оно имеет
вид:
Sn= J{l'yv>(*o(O)dv'tW +
adayv+ (Ю.Ю)
В принципе, нетрудно вычислить логарифмические поправки непосред-
непосредственно из A0.10). Однако, поскольку ожидаемый ответ должен быть
ковариантным в ж-пространстве, имеет смысл привести A0.10) к явно

272 Глава 10
ковариантному виду. Опять-таки, можно действовать методом «грубой
силы», однако полезнее предварительно несколько изменить обозначе-
обозначения. Заметим сперва, что мы можем ввести свертку
{А, в) = J ^^(жЮ^ИО^ИО)- (ю.п)
Ее вариация при ж(?) —>¦ ж(?) + у(?) дается выражением
) = (yyA,B) + (A,VyB), A0.12)
где мы ввели ковариантную производную в направлении у:
Используя эти обозначения, вычислим сперва первую вариацию S\ дей-
действия S:
Si = {va,Vyva),
< = дах». A0Л4)
В силу симметричности Гд (или отсутствия кручения) имеем
(VBt»o)" = (ЧаУГ = даУ» + Г*рдаХХ У". A0.15)
Варьируя еще раз, находим
Sn = S(va,Vay) =
= {VaV,VaV) + К, Vj,VaJ/) =
= (Vaj/, Vay) + (va, [Vy, Va}y),
где мы положили равным нулю Vava в силу классических уравнений
движения. Коммутатор двух ковариантных производных есть по опре-
определению тензор кривизны R:
(ua,[Vj,,Va]j/) = (va,R(y,va)y) =
Возвращаясь к обычным обозначениям, находим
Su=

10.1. Длинноволновые колебания струн в критической размерности 273
(мы вновь ввели опущенный метрический тензор на мировом листе).
Заметим, что если 7/л- описывает сферу, A0.17) в точности совпа-
совпадает с действием п-поля B.46).
Теперь не представляет труда вычислить зависимость однопетле-
вой статистической суммы от обрезания. Прежде всего, логарифмичес-
логарифмическая поправка к эффективному действию возникает от второго члена
в A0.17):
A0.18)
Это значит, что /у1М/(х) перенормируется:
Если бы мировой лист был плоским, других однопетлевых поправок не
было бы. Контрчлены, зависящие от и)а, не возникали бы, поскольку
они могут появиться только в комбинации
ф2аЬ = {даи}Ь - дь^а + [wa,wb]J,
которая имеет размерность 4.
Однако в случае искривленного мирового листа, как заметили
Фрадкин и Цейтлин, имеется другой тип контрчленов, которые сле-
следует учесть. Ясно, что имеется объект размерности 2, построенный из
поля gab — кривизна мирового листа R(?). Таким образом, мы можем
ожидать появления контрчленов, которые не зависят от производных х
и имеют вид
S= ф(х@)ЯШ/2<1Ч- (Ю.20)
J
Этот вид логарифмической расходимости появляется уже в плоском
пространстве 7^ш = 8^, поскольку детерминант оператора Лапласа со-
содержит член
Trlog Д ~ log Д / Rg'2 A2?. A0.21)
При включении 7дг/ коэффициент в A0.21) модифицируется. Поправки
появляются на двухпетлевом уровне и для их вычисления нужно найти
следующие члены разложения действия A0.17).

274 Глава 10
Чтобы представить себе, что при этом получится, взглянем на один
из членов четвертого порядка:
Stv ~ J g%gabRaflpAMO)yay0day^dby1' d2^. A0.22)
Усредняя его по у и используя формулы
(уауР) = 7а/3(жь(С)) (ту- log Л + конечная часть! ,
(даУ^аУ0) = ГЧМО)[кхА2 + к2е-*д\{?,)} A0-23)
(gab = evSab),
мы получаем логарифмически расходящийся член в эффективном дей-
действии
W ~ \ogAjR(xo@)(g@I/2 d4- (Ю.24)
Квадратичная расходимость перенормирует космологическую постоян-
нуюбезмассовый сектор.
В результате этих вычислений мы получаем уравнение ренорм-
группы для поля ф. Мы обязаны добавить это уравнение к A0.19), по-
поскольку, как мы показали, член A0.20) необходим для перенормируе-
перенормируемости модели. В низшем порядке имеем (при D = 26)
h^ = о^ log 4 (iW7] + cVMV^),
A0.25)
4
5ф = (ClR(x) + с2(Ъаф(х)J + с^2ф{х)) log 4.
Л
Члены, зависящие от ф, имеют простое происхождение: разлагая A0.20)
по у, получаем
Su = I 1(ЪаЪ0ф(хо(О)Ш)уаУ0Я1/2 d2i +
A0.26)
у (
Используя A0.23) и учитывая второе слагаемое во втором порядке, мы
получаем структуру A0.25).

10.1. Длинноволновые колебания струн в критической размерности 275
Все коэффициенты легко вычисляются, после чего уравнения ре-
нормгруппы принимают вид
A0.27)
Эти уравнения можно представить в виде
ST
TV = 8тге87Г1?
су—
Ф=^% (ю-28)
Г =
Замечательный факт, который мы сейчас хотим обсудить, состоит в
том, что эффективное действие Г в точности совпадает с действием
безмассовых частиц, которое получается в низкоэнергетическом пре-
пределе из ^-матрицы струны. Более того, если перейти к высшим членам
в /3-функциях, то они будут соответствовать следующим членам низ-
низкоэнергетического разложения.
Чтобы прояснить эту удивительную связь между свойствами ми-
мирового листа струны и пространства-времени, в которое он вложен,
рассмотрим эту проблему несколько иначе.
Пусть у нас есть струна, на мировом листе которой «живет» неко-
некоторая конформная теория поля. Предположим также, что в наборе всех
операторов этой конформной теории имеются операторы ип(?) размер-
размерности 2. Если после добавления вкладов координат струны, духов и
других конформных полей теория имеет нулевой полный центральный
заряд, то вершинные операторы вида
Ур(«) = „в(?)ечя(« A0.29)
описывают безмассовые скалярные частицы. Мы намерены продемон-
продемонстрировать, что эффективное действие этих частиц связано с /3-функ-
циями.
Рассмотрим возмущенный лагранжиан
nun@- (ю.зо)

276
Глава 10
Предполагается, что операторы ип удовлетворяют операторным разло-
разложениям
и„(Оит@) = jjrfl + —jj/nm/M/@) + менее сингулярные члены,
A0.31)
гДе fnmi — симметричные структурные константы операторной алгеб-
алгебры, которые определяют нормировку трехточечных функций
nml
A0-32)
Изучим теперь ряд теорий возмущений для статистической суммы
Z= /ехр
(Ю-33)
Разлагая это выражение по Л, мы получим различные произведения
операторов ип, проинтегрированные по ^-пространству. Эти интегралы
расходятся из-за сингулярностей в разложении A0.31). Следовательно,
нужно ввести обрезание. Ренормгруппа указывает нам, как должны ме-
меняться Ап при заданном изменении обрезания, так чтобы величина Z
оставалась прежней. Чтобы найти уравнения ренормгруппы, прежде
всего следует выбросить все квадратичные расходимости, происходя-
происходящие из первого члена в A0.31). Формальное оправдание этого шага за-
заключается в том, что эти расходимости отсутствуют при использова-
использовании схемы размерной регуляризации. Истинная же причина состоит в
том, что эти расходимости целиком связаны с малыми расстояниями и,
меняя Z, не дают вклада ни в какую связную функцию Грина. В отли-
отличие от них, логарифмические расходимости, происходящие из второго
члена в A0.31), физически существенны, и мы их сейчас проанализи-
проанализируем. Рассмотрим N-ый член в разложении Z:
= Г
<uBl
A0.34)
В пределе, скажем,
зуя A0.31), находим
?2 этот интеграл расходится. Исполь-
ИспольZ{N)
12
J
В1 ХП2 ... XnN 2тг log |
(Ю.35)
+ конечные члены,

10.1. Длинноволновые колебания струн в критической размерности 277
где а ~ Л — ультрафиолетовое обрезание. Из A0.35) мы выводим,
что изменение а (а —>¦ а) может быть компенсировано изменением Лп:
А„ ->¦ Л„ = Л„ + fnm,XmX, ¦ 27rlog §. A0.36)
Другими словами, мы вычислили (приближенно), как \п должны зави-
зависеть от а, чтобы Z от а не зависело. Ответ можно переписать в виде
уравнения Гелл-Манна-Лоу:
dXn = /?„(*) = -fnmiXmXi + О(Х3). A0.37)
dBirlog(l/a))
Из этой формулы видно, что /3-функция выражается через структурные
константы операторной алгебры. В высших порядках по Л нам понадо-
понадобятся структурные константы операторных произведений, содержащих
несколько операторов ип.
Теперь вернемся к теории струн. Амплитуды рассеяния в кри-
критической размерности строятся из простых вершинных операторов.
Если некоторые струнные резонансы описываются оператором Vp(?),
где р — импульс, то на массовой поверхности этот оператор имеет
размерность 2, и амплитуда рассеяния дается интегралом
А(Р1,... ,pN)= Jd2t1...d2tN(VPl(t1)...VPN(tN))- (Ю.38)
Это выражение выглядит почти так же, как A0.34). Основное отличие
состоит в том, что сингулярности на малых расстояниях, управляемые
операторным разложением, проявляются в виде полюсов, а не логариф-
логарифмических расходимостей. Вычеты в этих полюсах являются в точности
теми же структурными константами, которые определяют /3 -функции.
Рассмотрим эффективное действие Г(</>1,... , фп) этих безмассовых час-
частиц, где фк — соответствующие им поля в пространстве-времени. Пред-
Предположим, что поля {фк} не зависят от координат, так что частицы несут
нулевой импульс. Разложение Г по полям ф начинается с кубического
члена (поскольку квадратичные массовые члены равны нулю):
-Щф}) ~ ^
= 1пт1ФпФтФ1
При выводе этой формулы мы вспомнили, что в интегралах Кобы-
Нильсена три интеграла всегда поглощаются при выделении объема

278 Глава 10
группы SLB, С). Таким образом, в трехточечных амплитудах интег-
интегрирование вовсе отсутствует. Из A0.39) мы видим, что в этом поряд-
порядке /3-функция связана с эффективным действием1
Ш) = If,
Офп
и, следовательно, условие экстремальности дГ/дфп = 0 совпадает с
условием конформной инвариантности 13п(ф) = 0.
Что происходит в следующем порядке? Эффективное действие име-
имеет вид
+ ФпФтф1Фк jf.p. /d2e<«B@)«m(l)«,(oo)«fc@>| +0{ф5),
A0.40)
где символ f.p. обозначает конечную часть логарифмически расходя-
расходящегося интеграла. Почему ее следует выделять? Дело в том, что четы-
четырехточечная функция содержит полюсной член (который приводит к
логарифмической расходимости в A0.40)) и контактный член, возника-
возникающий за счет обмена массивными состояниями. В эффективном дейст-
действии полюсной член должен быть, по определению, опущен (и появиться
снова при решении уравнений движения). Так мы получаем A0.40) и
аналогичные формулы во всех порядках по ф .
В четвертом порядке нетрудно проверить, что условие конформ-
конформной инвариантности f3n = 0 вновь совпадает с уравнениями движе-
движения дГ/дфп = 0. Кажется вполне вероятным, что это справедливо во
всех порядках. Действительно, /3-функция определяется как коэффи-
коэффициент перед первой степенью логарифма в разложении перенормиро-
перенормированных фп . Как видно из предыдущего обсуждения, перенормировка
в TV-ом порядке получается путем замены N операторов м(?) в A0.34)
одним с помощью операторной алгебры
«П1 F) •••«»„ @) « <??...„„(&,...,6v-i)«m@). A0.41)
Перенормировка фт дается интегралом
2Ci.. • d2CN-iCZ...nN F, • • • , Ы-1)ФП1 ...фп". (Ю.42)
1Дальнейшие соображения возникли при обсуждении с А. Б. Замолодчиковым и
используют его результаты.

10.1. Длинноволновые колебания струн в критической размерности 279
Он содержит многократные логарифмические расходимости, возникаю-
возникающие вследствие того, что слияние любых двух ^а и ^ порождает множи-
множитель |^аь|~2- Если вычесть все эти члены, единственная расходимость
будет возникать при интегрировании по общему масштабу. Эта расхо-
расходимость и описывается /3-функцией (в размерной регуляризации мы
должны исключить из A0.42) полюс первого порядка). Теперь сравним
это выражение с дТ/дфт:
х ипз (&) • • • un
A0.43)
В этом интеграле мы можем для начала положить все |?,-| <S R- Тогда
можно применить операторное разложение A0.41):
(um(R)uni @)... unN (&v)> d2b ¦ • ¦ A2Ы ~
A0.44)
- J С1П1...ПКAЛЬ,--- ,Ы)A2Ь---A2Ы(ит(я)щ@))е{1.
Первый множитель в правой части этой формулы в точности равен
коэффициенту при первой степени логарифма в A0.42), то есть /3-
функции. Второй множитель был бы пропорционален Smi, если бы не
вклад от ?j ~ R в A0.44). Этот вклад приводит к соотношению
(um(R)Ul@))eH = -Mgm/@) + Ат1(ф) log J^l +...}. A0.45)
\rt\
Выделяя конечную часть, получаем желаемое соотношение
дЦф) =
дфт g
A0.46)
из которого следует, что уравнения движения эквивалентны условиям
конформной инвариантности. Мы не привели здесь законченного дока-
доказательства этих формул (поскольку оно никогда не было закончено), но
кажется, что его не очень трудно получить, следуя намеченной выше
линии рассуждений.
Эти результаты имеют простой и наглядный смысл. Они означа-
означают, что если конформная теория поля, которая «живет» на мировом

280 Глава 10
листе, неустойчива относительно возмущений, то соответствующая те-
теория струн неустойчива по отношению к конденсации полей, соответ-
соответствующих этим возмущениям. Если двумерная теория стремится к не-
некоторой фиксированной точке, определяемой уравнениями (Зп(ф) = 0,
исходная теория струн стремится (после конденсации полей) к новой
теории струн со спектром, который определяется размерностями опе-
операторов в фиксированной точке. Устойчивость в смысле ренормгруппы
оказывается устойчивостью в смысле спектра масс. В частности, мас-
массовая матрица, даваемая, согласно A0.46), вторыми производными Г,
совпадает с матрицей аномальных размерностей, которая дается, как и
должно быть, производными /3.
Единственный вопрос, который нам осталось решить — это вопрос
о центральном заряде получающейся теории.
Для исследования этой проблемы введем оператор следа тензора
энергии-импульса S(?) и рассмотрим парную корреляционную функ-
функцию в импульсном пространстве (S(fc)S(-fc)). Она определяет отклик
системы на слабое внешнее гравитационное поле в конформной кали-
калибровке. В чисто конформной теории этот отклик дается действием Ли-
увилля, тогда как в перенормируемой теории поля мы имеем
(S(k)S(-k)) = С{ф1{к),... ,фп(к))к2 = С{к)к2, A0.47)
где мы ввели бегущие (вдоль траектории ренормгруппы) константы
связи. С другой стороны, так как изменение обрезания связано с S(?) и,
благодаря перенормируемости, это изменение можно компенсировать
изменением констант связи, имеем известное тождество
^ (Ф)и™- A0-48)
т
Если мы вспомним, что
?пт(Ф)
(um@)un(R)) =
(um(k)un(-k)) = ётп(ф)± I log
\щ4
A0.49)
то найдем, что член в С (к), пропорциональный первой степени лога-
логарифма, имеет вид
фJп1ое?-. A0.50)
\к\

10.1. Длинноволновые колебания струн в критической размерности 281
С другой стороны, из A0.47) следует:
A0.51)
В итоге получаем
= 0. A0.52)
Из этого уравнения следует, что вдоль траекторий ренормгруппы
" (Ю.53)
Из этой формулы видно, что если возмущение переводит систему в
новую фиксированную точку, то центральный заряд С(к2) стремится
к некоторому новому постоянному значению. Кроме того, поскольку
система релаксирует в направлении уменьшения эффективного дейст-
действия Г, этот новый центральный заряд будет меньше исходного (теорема
Замолодчикова). Ситуация довольно забавная. Предположим, что мы
начали с теории струн в критической размерности. Предположим так-
также, что имеются безмассовые моды, которые конденсируются, приводя
к новой теории струн. Мы видим, что в общем случае эта новая теория
будет иметь некритический центральный заряд. Следовательно, поле
Лиувилля, отсутствовавшее в исходной теории, должно каким-то обра-
образом появиться. Единственным исключением из этого правила является
случай, когда все /3-функции тождественно равны нулю.
Кстати, что плохого в том, чтобы формально рассматривать дуаль-
дуальные амплитуды для некритического центрального заряда без лиувил-
левской моды? На древесном уровне все будет в порядке (при условии,
что С меньше критического значения, так как в противном случае поя-
появятся духи). Однако при рассмотрении унитарных поправок к амплиту-
амплитудам, т. е. высших топологий, нам встретятся нефизические особенности
в импульсном пространстве.
Таким образом, мы проследили связь между /3-функциями и эф-
эффективным действием для безмассовых мод струн. Применяя эти вы-
выводы к модели с метрикой 7/«/ и дилатоном ф(х), мы видим, что низ-
низкоэнергетическое разложение элементов б'-матрицы можно получить

282 Глава 10
разложением /3-функций по петлям. Более того, мы видели, что сум-
суммарный центральный заряд (материи и духов) дается выражением
S =
= J Г(ъ„(х), 0(a;))(det 7I/2 dDx
(где S — действие, которое порождает б'-матрицу) и, согласно преды-
предыдущим формулам, поля, минимизирующие S, обладают свойством
Г(-ус^(х),фгтс1(х)) = const ^ 0.
Объясним теперь происхождение этих результатов качественно. Мы
рассматривали струну во внешних полях и затем минимизировали ее
эффективное действие. Эта процедура кажется весьма странной. Ее ис-
истинный смысл состоит в следующем. Струна содержит взаимодейству-
взаимодействующие безмассовые моды. Предположим, что они стремятся образовать
ненулевые конденсаты. Тогда случайная мировая поверхность может
выглядеть как что-то вроде сферы, из которой растут ветвящиеся по-
полимеры, состоящие из пропагаторов этих безмассовых мод. На самом
деле, мы занимались тем, что приписывали каждому такому «расте-
«растению» некоторую амплитуду и определяли ее самосогласованным обра-
образом. Можно сказать, что струна плавает в собственном конденсате. В
принципе, имеются поправки к эффективному действию, происходя-
происходящие из высших топологий мирового листа. Их структура к настоящему
моменту не исследована.
10.2. Возможные приложения критических струн
Уникальная особенность критических струн состоит в том, что они
описывают гравитоны. Обсудим возможные пути использования этого
факта. Прежде всего, теория бозонных струн, которую мы обсужда-
обсуждали в предыдущем разделе, не является полностью самосогласованной,
поскольку содержит тахион. Этот недостаток отсутствует в случае фер-
мионных струн, после суммирования по спиновым структурам на ми-
мировом листе (означающего, как мы показали в предыдущей главе, что
мы включаем в спектр пространственно-временные фермионы). Соглас-
Согласно идее Шерка и Шварца, десятимерные ферми-струны могут описы-
описывать наш мир, если мы каким-то образом компактифицируем шесть из
десяти измерений.
В этом разделе мы кратко опишем возникающую картину мира.
Начнем с D = 10 струны Неве-Шварца-Рамона. Как мы уже зна-
знаем, она не содержит тахиона и ее основные состояния безмассовые.

10.2. Возможные приложения критических струн 283
Они содержат гравитон, дилатон, антисимметричное тензорное поле и
их суперпартнеры (строящиеся из спиновых операторов). Предположим
теперь, что гравитоны конденсируются таким образом, что вакуумное
ожидание метрики ^^„(х) имеет вид:
(lmn(x)) = 6тп, т,га = 1, ... , 4,
(ЪЛ*)) = G^Ax5, • • • , ж10), /л, v = 5, ... , 10,
где G^v определяются динамикой. Геометрически эта формула озна-
означает, что десятимерное пространство имеет структуру М4 х К6,
где М4 — евклидово пространство, а К6 — некоторое искривленное
и, предположительно, компактное многообразие. В настоящий момент
мы не знаем, какова была причина этой конденсации, и, в частности,
что или кто зафиксировал для нашего пространства значение D = 4.
Но при условии, что это произошло, мы легко можем вывести усло-
условия самосогласованности для G^v. Изменим слегка наши обозначения
и заменим хт, т = 5, ... , 10, на ут, т = 1, ... , 6, считая что те-
теперь /л, v = 1, ... , 4. Действие струны принимает вид
S = j g4tf\dax»dbx» + Gmn(y)daymdbyn) +
+ ?аЬВтп(у)даутдьуп] d2^ + фермионная часть.
В этой формуле мы добавили антисимметричное тензорное поле Втп,
забытое нами раньше. В принципе, его нужно учитывать при вычисле-
вычислении /3-функций. Однако вследствие сохранения четности _В-моды мож-
можно исключить из теории на древесном уровне, поэтому наши вычис-
вычисления были правильными. В другом варианте теории струн их можно
включить в рассмотрение. Легко понять, что эти две возможности со-
соответствуют выбору: включать в рассмотрение неориентируемые по-
поверхности или нет. В первом случае мы исключаем _В-моды, поскольку
они взаимодействуют через тензор еаЪ, который на неориентируемой
поверхности не определен.
Первый вопрос, который следует поставить: при каких условиях
это действие, среди прочего, описывает четырехмерную гравитацию?
Как мы видели выше, эти условия могут быть получены из требования,
что такая теория должна быть конформно-инвариантной с равным ну-
нулю центральным зарядом. Прежде всего, это означает, что а -модель,
ассоциированная с у-пространством, должна быть конформно-инвари-
конформно-инвариантной, т. е. обладать нулевой /3-функцией. Это дает уравнение на мет-
метрику компактного пространства К и поле В на нем. Когда характерный
размер К больше струнного параметра М, мы можем использовать

284 Глава 10
низкоэнергетическое разложение, которое, по-существу, дает уравне-
уравнения Эйнштейна для Gmn(y).
Если настаивать на том, что мы начали с десятимерной струны,
то для того, чтобы сохранить центральный заряд неизменным, эффек-
эффективное действие не должно меняться вдоль траекторий ренормгруппы,
или, другими словами, должна существовать последовательность мет-
метрик Gmn(y), связывающих плоское у-пространство с пространством К,
такая, что на ней /3-функция равна нулю. Для доказательства необхо-
необходимости этого условия достаточно заметить, что, согласно A0.52),
Таким образом, если /Зп ф 0 вдоль траекторий, но система достига-
достигает фиксированной точки, то центральный заряд в этой фиксированной
точке будет меньше исходного (теорема Замолодчикова).
Условию конформной инвариантности было бы невозможно удов-
удовлетворить без суперсимметрии, поскольку аргументы главы 2 показы-
показывают, что в любой компактной бозонной ст-модели в пределе сильной
связи корреляционная длина должна быть конечна. При включении су-
суперпартнеров вопрос становится более сложным, и ответ в общем слу-
случае не известен. Имеются, однако, соображения в пользу того, что ес-
если if — кэлерово риччи-плоское многообразие, то суперсимметричная
(Т-модель имеет нулевую /3-функцию в рамках теории возмущений. Ес-
Если это так, у нас есть точное решение струнных уравнений в древесном
приближении и можно начать строить струнную теорию возмущений.
В противном случае нужно либо надеяться на то, что струнные петле-
петлевые поправки исправят эффективное действие таким образом, что К
случайно будет доставлять его минимум, либо искать какие-нибудь
другие решения.
Здесь полезно заметить, что влияние компактифицированных из-
измерений описывается конформной теорией поля на мировом листе, при-
причем такой, что суммарный центральный заряд равен нулю. В принципе,
не обязательно настаивать на том, что эта теория поля является а-
моделью шестимерного многообразия. Подойдет любая суперконформ-
суперконформная теория, имеющая нужный центральный заряд, устойчивая и не на-
нарушающая суперсимметрию на мировом листе (под устойчивостью мы
понимаем отсутствие операторов размерности меньше 2, т. е. устойчи-
устойчивость в смысле ренормгруппы). Считать же все эти дополнительные по-
поля, живущие на мировом листе, дополнительными размерностями или
нет — на самом деле вопрос соглашения.
Свойств, которые мы перечислили, достаточно для согласованной
четырехмерной теории гравитации с полями материи, включая фермио-

10.2. Возможные приложения критических струн 285
ны. Кроме того, следует потребовать, чтобы в теории были киральные
фермионы и поля Янга-Миллса. Один из путей получить поля Янга-
Миллса — использовать старую идею Калуцы и Клейна о том, что К
обладает дополнительной группой симметрии, описываемой деформа-
деформациями Киллинга кт, сохраняющими метрический тензор Ттп. Векто-
Векторы к,т(у) удовлетворяют уравнению
где А нумерует генераторы группы симметрии. В подходе Калуцы-
Клейна векторные поля, по существу, являлись смешанными (т,/х) ком-
компонентами метрического тензора. В струнном контексте это соответ-
соответствует вершинному оператору янг-миллсовской частицы
ax, дьут кЦу®)^® + фермионная часть.
Можно показать, что вследствие условий Киллинга эти вершины опи-
описывают безмассовые векторы.
При попытке применить этой идеи к реальному миру мы встреча-
встречаемся с двумя проблемами. Во-первых, минимальная группа симметрии
должна быть SUC) x SUB) x ?/A), чтобы включать все известные
взаимодействия. Такая группа может действовать только на многооб-
многообразии достаточно большой размерности. Именно, мы должны иметь од-
одно измерение для Е/A), два для SUB) (которая может действовать на
двумерной сфере S2) и четыре для SUC) (естественно действующей
на СР2). Прибавляя 4 пространственно-временных измерения, мы по-
получаем, что минимальное число измерений равно 11 (это число полу-
получено Виттеном) и превышает критическую размерность фермионной
струны.
Возможным выходом из этого противоречия была бы ст-модель,
/3-функция которой имеет изолированный нуль. Тогда, как мы виде-
видели, центральный заряд в устойчивой точке был бы меньше числа у-
измерений. Следовательно, можно начать и с D > 10 (возможно, вы-
выбор D = 11 — наилучший) и спуститься оттуда к D = 4. Пример
изолированных нулей дает ст-модель Весса-Зумино, имеющая ненуле-
ненулевой ??тп-фон. Однако в этом случае трудно сохранить D = 4 суперсим-
суперсимметрию. Другим примером служат ст-модели с ^-членом при 9 = тг, но
они к настоящему моменту изучены плохо.
Другая проблема в подходе Калуцы-Клейна состоит в том, что
трудно получить киральные фермионы (наблюдаемые в природе), по-
поскольку, грубо говоря, поле Gmn(y) имеет положительную зарядовую
четность и не различает противоположные киральности. Возможно,

286 Глава 10
здесь снова поможет Втп, но никакого конкретного решения пока не
найдено.
Другой подход к вопросу о векторных мезонах и киральных фер-
мионах основан на гетеротическом варианте фермионной струны (раз-
(разработанном Гроссом, Мартинеком, Харвеем и Ромом), который мы сей-
сейчас кратко опишем. Основная идея конструкции состоит в том, чтобы
суперсимметрией обладали только левые частицы на мировом листе.
Лагранжиан с таким свойством имеет вид:
Здесь ф^+ — левые суперпартнеры х^, Х- — правое гравитино;
член С- мы обсудим чуть позже. Различие между гетеротическим ла-
лагранжианом и лагранжианом NSR состоит в том, что в последнем име-
имеются также поля ip^- и %+, так что он СР-симметричен. Основным
свойством гетеротического лагранжиана является СР-асимметрия на
мировом листе. Его можно формально получить из NSR-струны, поло-
положив х+ = Фц- = 0 •
Теперь, повторяя анализ предыдущей главы, мы найдем, что, во-
вообще говоря, эта теория аномальна. Полагая gab ~ 5аъ + hab, получаем,
что эффективное действие для Ьаь имеет вид
о о
1+2 1-2
W ~ c+—h__ + C-—h++ + возможные локальные члены,
где с+ и С- — центральные заряды левого и правого секторов теории.
В предыдущей главе мы видели, что если с+ = с_, то локальные члены
можно подобрать так, чтобы действие было калибровочно-инвариант-
ным. Но для с+ ф С- это невозможно. Следовательно, если мы хотим
сохранить общую ковариантность, мы должны уравнять с+ и с_. Для
этого вспомним, что у нас есть духи с с\ = —15 для суперсимметрич-
суперсимметричного сектора ис? = —26 для бозонного. Следовательно,
tot _ 3
+ ~ 2
ctot =?)_26+C_.
Мы заключаем, что С- должно описывать теорию поля на мировом
листе с левой суперсимметрией и с_ — с+ = .D/2 + 11. Критическое зна-
чение с+ равно с+сг = #A0 — D). Простейший вариант D = 10, с+ = 0,

10.2. Возможные приложения критических струн 287
с_ = 16 получается добавлением на мировой лист 32 правых фермио-
нов. Тогда
32
А=1
Векторные поля естественно описываются векторными вершинами
Правые токи х^Х- образуют алгебру токов группы SOC2). В прин-
принципе, эту симметрию можно уменьшить, выбирая разные спинорные
структуры для разных значений А. В этом случае невозможно будет
построить сохраняющиеся заряды, интегрируя токи по струне. Однако
свобода выбора сильно ограничена важным условием инвариантности
относительно «больших» диффеоморфизмов или, что то же самое, отно-
относительно модулярной группы.
Давайте опишем эти большие диффеоморфизмы и покажем, что от-
отсутствие инвариантности относительно них на мировом листе проявля-
проявляется в виде гравитационной и калибровочной аномалий в пространстве-
времени. Обратно, условие модулярной инвариантности эквивалентно
условию сокращения этих аномалий.
В случае тора мы видели, что конформной калибровки можно до-
достичь, если представить тор в виде параллелограмма, заданного векто-
векторами и>\ = A,0) и и>2 = (Re т, Im г), где г — комплексный параметр. Ин-
Интегрирование по всем метрикам сводилось к интегрированию по полю
Лиувилля (отсутствующему в критической размерности) и интегралу
по d2T. Мера интегрирования как функция г должна быть инвариантна
относительно некоторой дискретной группы, которую мы сейчас опи-
опишем. Следовательно, чтобы избежать повторений, следует интегриро-
интегрировать только по фундаментальной области в г -пространстве. Возьмем
тор и разрежем его по окружности, превратив его в цилиндр. Затем
повернем на угол 2тг один край этого цилиндра относительно другого и
переклеим обратно, вновь получив тор. Ясно, что этот диффеоморфизм
тора не гомотопен тождественному. Например, большая окружность то-
тора обернется один раз вокруг него после такого преобразования.
Если описывать тор параллелограммом (wi,u;2), то две возможные
операции даются заменами
(Ш!,Ш2) -> (wi,Wi +Ш2),
Первое преобразование является просто сдвигом г —>• г + 1. Чтобы по-
получить действие второго преобразования, надо предварительно пере-
переставить образующие. Это дает: 1/т —>• 1/т + 1. Эти преобразования

288 Глава 10
порождают модулярную группу. Эта группа состоит из преобразова-
преобразований
Qi=Aikojk, i, к =1,2,
где ||А^|| — матрица с целыми коэффициентами и det||Ajfc|| = 1. Сле-
Следовательно, мы имеем группу SLB,Z). Аналогичные рассуждения для
произвольной топологии приводят к целочисленной симплектической
группе, но она нам здесь не понадобится. Наша цель — показать, что
отсутствие модулярной инвариантности на мировом листе должно при-
привести к пространственно-временным аномалиям.
Основная идея состоит в том, чтобы проверить, что шпурионные
состояния не распространяются по тору. В безмассовом секторе, как мы
видели, шпурионные состояния даются продольными векторами и гра-
гравитонами. Следовательно, отсутствие калибровочной и гравитационной
аномалий эквивалентно тому, что шпурионы не распространяются. На
древесном уровне мы проверили это свойство, показав, что благодаря
тождеству Уорда (T(z)) на мировом листе равно нулю. В случае тора
тождества Уорда хитрее, и в игру вступает модулярная инвариант-
инвариантность. Выведем тождество Уорда в случае тора. Вспомним, что если
сделать бесконечно малое преобразование координат e(z,z), действие
изменится на величину
SS = I' T(z)dze(z,z)d2z,
в то время как поля преобразуются по правилу
5ф =
Если выбрать е так, чтобы
то мы получим желаемое тождество Уорда. Основная тонкость в случае
тора состоит в том, что функция е не строго периодическая и может
менять фундаментальную область. Именно, решение последнего урав-
уравнения дается ^-функцией Вейерштрасса
где L обозначает решетку, порожденную (wi, шг), иц = uij + iui2. Хорошо
известно, что
Ф + Шп)=ф) + Ла, а =1,2

10.2. Возможные приложения критических струн 289
и что константы г\а удовлетворяют условию
T]\U>2 — Г]2Ш1 = 2/7ГЬ
Легко проверить, используя эти соотношения, что наше конформное
преобразование вызывает изменение г = u>2/wi- Соответствующее тож-
тождество Уорда имеет вид
| ... <f>{zN)) +
Следует подчеркнуть, что в этой формуле средние понимаются без де-
деления на статистическую сумму, которая сама зависит от т.
Роль модулярной инвариантности теперь очевидна. При проверке
отцепления продольных состояний мы должны проинтегрировать тож-
тождество Уорда и по zj и по т, ограничивая последний интеграл фунда-
фундаментальной областью группы. Если статистическая сумма не облада-
обладает модулярной инвариантностью, то член 4г- даст ненулевой вклад,
от
происходящий от границы фундаментальной области. Эта модулярная
аномалия на мировом листе проявится в виде гравитационной и кали-
калибровочной аномалий в пространстве-времени.
Мы заключаем, что в гетеротических теориях струн необходимо
проверять модулярную инвариантность, которая существенно ограни-
ограничивает возможности. С другой стороны, в обычных замкнутых струнах
модулярная инвариантность возникает автоматически, поскольку не-
киральные детерминанты можно регуляризовать явно ковариантным
образом. Такие теории свободны от аномалии, даже когда они содер-
содержат киральные фермионы в пространстве-времени.
Подведем итоги. Мы видим, что теперь мы получили согласованное
описание квантовой гравитации и супергравитации, и у нас есть воз-
возможности для включения киральных фермионов и других частиц в эту
схему. Этот подход объясняет загадку поколений — странное повторе-
повторение, которое началось с мюона. Число поколений теперь определяется
числом нулевых мод обобщенных операторов Дирака и фиксируется
топологией компактного многообразия. На самом деле в этом подходе
трудно получить достаточно малое число поколений.
В настоящий момент мы не можем объяснить, почему происходит
компактификация, и, самое главное, почему размерность нашего мира
равна 4. До тех пор, пока эти проблемы не будут решены, мы не можем
быть совершенно уверены, что находимся на правильном пути. Тем не
менее, на это имеется много указаний.

290 Глава 10
10.3. Трехмерная модель Изинга1
Хорошо известно, что большая часть фазовых переходов второго
рода, встречающихся в Природе, эквивалентна в смысле критическо-
критического поведения трехмерной модели Изинга. После замечательного успеха
Онзагера в решении двумерной версии этой модели многие пытались
найти ее решение в трех измерениях (частные сообщения). Однако та-
такое решение не было найдено, и есть сильное подозрение, что модель не
является точно решаемой. На самом деле полного решения и не требует-
требуется, поскольку только критическое поведение этой модели представляет
универсальный интерес. Имеется в виду, что критическими свойства-
свойствами модели Изинга (такими, как особенность в поведении теплоемкости)
наделены многие статистические системы в Природе. Однако, если мы
находимся далеко от точки фазового перехода, мы не можем извлечь
никаких уроков для других систем.
В этом разделе мы попытаемся показать, что в непрерывном преде-
пределе (то есть в окрестности точки фазового перехода) трехмерная модель
Изинга может быть сведена к точно решаемой системе — суперсиммет-
суперсимметричной струне. Этот результат, в принципе, должен позволить найти
критическое поведение, но пока эта проблема еще не решена.
Чтобы объяснить наши идеи, нужно напомнить ситуацию в дву-
двумерной модели Изинга, решенной Онзагером. В этой модели имеет-
имеется два сорта основных переменных. Во-первых, есть спиновые пере-
переменные <тх (или параметры порядка), принимающие значения ±1. Во-
вторых, есть параметры беспорядка /хх, впервые введенные Кадановым
и Чевой, которые определяются как концы «дислокационных» линий.
Эти два набора переменных дуальны друг другу так же, как электри-
электрический и магнитный заряды. Замечательно, что, хотя уравнения дви-
движения для <тх и fj,x по отдельности очень сложны, произведение ф = afj,
удовлетворяет линейному уравнению. Более того, в непрерывном пре-
пределе (возле точки фазового перехода) это линейное уравнение сводится
к двумерному евклидову уравнению Дирака, вследствие чего перемен-
переменная ф описывает фермионное возбуждение. Таким образом, можно ска-
сказать, что двумерная модель Изинга эквивалентна системе релятивист-
релятивистских невзаимодействующих ферми-частиц.
Вернемся теперь к трехмерному случаю. Основное отличие здесь
связано с природой переменных беспорядка. Дислокационные линии
(окружающие области перевернутых спинов) двумерной модели теперь
заменяются дислокационными поверхностями. Граница такой поверх-
поверхности теперь становится аргументом, от которого зависит перемен-
1 Некоторые результаты этого раздела были получены вместе с Вл. Доценко
A978).

10.3. Трехмерная модель Изинга 291
ная ц. Таким образом, вместо переменных /хх двумерной модели, мы
имеем контурную переменную /л(С) (где С — замкнутая петля). Что-
Чтобы получить простые уравнения, нужно образовать произведение /х(С)
и Ylt a(xi), где Ж; — соседние с контуром С точки. Если нарисовать ма-
маленькие нормали к петле С, соединяющие ее с точками ж^, то получится
струна с псевдоспинами, живущими на ней — объект, который напоми-
напоминает колючую проволоку. Эти переменные «колючей проволоки» удов-
удовлетворяют линейному уравнению в пространстве петель. Смысл этого
уравнения состоит в том, что каждый малый участок колючей прово-
проволоки распространяется в точности так же, как изинговский фермион
двумерной модели, если рассмотреть плоскость, ортогональную к рас-
рассматриваемому куску. Подобно тому, как пропагатор ферми-частицы,
которую мы опишем в разделе 10.3.1, можно представить суммой по
всем возможным путям с некоторой фермионной структурой на них,
решение петлевого уравнения оказывается равным сумме по поверх-
поверхностям с дополнительной фермионной структурой. Это мы опишем в
разделе 10.3.2. Последующая стратегия состоит в том, чтобы найти не-
непрерывную модель струны, кусочки которой двигались бы как свобод-
свободные дираковские фермионы. Естественным кандидатом является стру-
струна Неве-Шварца-Рамона.
10.3.1. Уравнение Дирака в двумерной модели
Изинга
Двумерная модель Изинга описывается статистической суммой
{ат} A0.54)
x,S
Здесь /3 — обратная температура, точки {ж} принадлежат двумерной
квадратной решетке, ах = ±1, а {6} — два единичных образующих
вектора решетки. Важная физическая информация содержится в кор-
корреляционных функциях
Слг(ж1,... ,жлг) = (a(x1)...a(xN)), A0.55)
определяемых очевидным способом. Для Gn(xi,... ,Xn) можно полу-
получить цепочку уравнений Швингера-Дайсона. Однако этот подход затем-
затемняет точную решаемость модели. Правильный путь состоит во введе-
введении так называемых переменных беспорядка. Они определяются следу-
следующим образом. Рассмотрим точку ж* дуальной решетки (образованной

292 Глава 10
центрами клеток исходной решетки) и проведем некоторый путь Р по
дуальной решетке, ведущей из ж* в бесконечность. Изменим знак /3 на
всех ребрах, которые пересек Р. Определим возмущенную статистичес-
статистическую сумму Z(x*,P). Тогда переменная беспорядка /х(ж*) (определяемая
своими функциями Грина) дается выражением
</,(**)> = ^^1. A0.56)
Аналогично определяются
). A0.57)
Теперь простое рассуждение показывает, что A0.57) не зависит от вы-
выбора путей, ведущих из бесконечности в Хк*, а только от самих Хк*-
Действительно, рассмотрим замкнутый путь, окружающий некоторую
двумерную область («каплю»), и изменим знаки взаимодействия на всех
ребрах, которые он пересекает. Рассмотрим модифицированную ста-
статистическую сумму Z(P). Очевидно, что Z(P) = Z, поскольку каждой
данной конфигурации, дающей вклад в Z(P), соответствует конфигу-
конфигурация такой же энергии, дающая вклад в Z. Последняя получается из
первой отражением всех спинов, находящихся внутри капли. Из этого
соотношения следует, что два различных пути в A0.56) или A0.57)
дают одинаковый результат. Заметим в скобках, что такое простое
определение переменной беспорядка справедливо только для решетки с
простой топологией (такой, что каждая замкнутая петля ограничивает
каплю). В противном случае имеются различные переменные, класси-
классифицирующиеся первой группой гомологии.
Для получения линейных уравнений рассмотрим переменную ф,
образованную произведением параметра порядка, ах и соседнего пара-
параметра беспорядка. У каждой точки х исходной решетки имеется 4 со-
седних*?очки дуальной решетки: ж* = ж + ео, где 4 вектора еа имеют
длину 1/^2 и направлены по диагонали к исходной решетке.
Рассмотрим четырехкомпонентный объект
фа(х) = а(х)/л(х + еа), а = 1,2,3,4. A0.58)
Предполагается, что хвост, необходимый для определения /л, идет

10.3. Трехмерная модель Изинга 293
горизонтально от х + еа налево до бесконечности. Теперь мы получаем
простое тождество
)) = (а{х)
п=0
ОО
= (а{х) Д exp{-2f3(ax-nSlax-nSl+s2)}exp{-2Caxax+s2}^ =
п=1
= (а(х)^(х + e2)(chB/3) - shB/3) (axax+s2))) =
= (ф2(х)) chB/3) - (ф3(х + S2)) shB/3).
A0.59)
Все, чем мы воспользовались при выводе этого уравнения — это опре-
оо
деление /л (произведение YI представляет замену /3 на —/3 на ребрах,
п=0
пересекающихся с контуром Р), тождество ах = 1 и, наконец, возмож-
возможность повернуть хвост /х(ж*), если он не пересекает спиновую перемен-
переменную. Продолжая в том же духе, получаем
(фа{х)) = ChB/J) (Фа+1(Х)) - ShB/J) (Фа+2(Х + ёа+1)), A0.60)
где а = 1,2,3,4. Ясно, что {^a+i) и (^а) являются, по-существу, одним и
тем же объектом, но они не тождественны. Именно, (фа+4) получается
поворотом стрелки еа на угол 2тг. Однако мы должны помнить про
горизонтальный хвост прикрепленный к концу стрелки. При повороте
он один раз пересекает точку х, в которой находится ах. В результате
объект ф меняет знак (вспомним, что мы доказали независимость от
формы хвоста чистого /х-коррелятора, однако, если присутствуют а и
хвост пересекает а, то коррелятор меняет знак). Мы заключаем, что
уравнение A0.60) нужно дополнить граничным условием
Фа+4(Х) = -фа(х). A0.61)
Точка фазового перехода определяется из A0.60) условием существова-
существования не зависящего от х решения. Подставляя фа в виде
фа ~ e±ina'\ A0.62)
чтобы обеспечить A0.61), мы получаем из A0.60):
shB/3c) = 1, chB/3c) = >/2. (Ю.63)
Другое решение
фа ~ e±3«W4 A0.64),

294 Глава 10
приводит к нефизическому j3c . Два решения A0.62) и A0.64) соответ-
соответствуют частям волновой функции спина 1/2 и спина 3/2. Вблизи точ-
точки A0.63) мода спина 1/2 становится мягкой, а мода спина 3/2 остается
жесткой. Уравнение A0.60) инвариантно при повороте на угол тг/2 с од-
одновременным изменением спинового индекса а:
фа(х) -)¦ фа+1(Тх) A0.65)
(Г — поворот на тг/2). Можно ожидать, таким образом, что в непре-
непрерывном пределе, когда распространяется только спин 1/2, мы получим
уравнение Дирака. В самом деле, это видно из разложения
фа(х) = и+(ж)е™(а+1/2)/4 + и-(х)е-™(а+112)/А+
A066)
u+ -
U- =
- imu-,
- imu+,
Подставляя A0.66) в A0.60) и пренебрегая «-членами, получим (исполь-
(используя тождество и+(х) = \ ?а е"™^
A0.67)
Уравнение A0.67) — это в точности двумерное уравнение Дирака, при-
причем спинор и(х) преобразуется при вращениях по правилу
и(х) -> eiv/2u(T(ip)x), A0.68)
( Г(^>) — поворот на угол ip ). Эта формула является непрерывным
аналогом A0.65). До сих пор мы имели дело со средним от одного поля
(фа(х)) . Если же нам нужны более сложные функции Грина
FOl...Ol(a>!,... ,х1) = (фа1(х1)...фа1(х1)), A0.69)
то мы найдем, что по каждому аргументу они удовлетворяют одному и
тому же уравнению A0.60) с условием A0.61), но в правой части этого
уравнения, как обычно, должны стоять контактные члены. В непре-
непрерывном пределе эти члены сводятся к стандартным S -функциям. Про-

10.3. Трехмерная модель Изинга 295
демонстрируем, наконец, как найти критическую особенность в тепло-
теплоемкости. Средняя плотность энергии равна
(Е) = -2{axax+Sl) = -2<^1
= <«(яв)«(яв)> = Тг /
4|«i BттJ m + ip (ю.70)
7^~Т^^~^—2 ~mloS^'
BтгJ р2 + m2 m
где мы используем стандартный дираковский пропагатор. Для тепло-
теплоемкости получаем
13с
что совпадает со знаменитым результатом Онзагера.
10.3.2. Трехмерный случай. Петлевое уравнение
Трехмерная модель Изинга вновь определяется уравнением A0.54)
только теперь х принадлежит трехмерной кубической решетке. Пере-
Переменная порядка а(х) определяется так же, как и раньше. Небольшая
модификация требуется для переменных /х, поскольку теперь «капли»
перевернутых спинов трехмерны и их границы являются двумерными
поверхностями. Введем дуальную решетку, узлы которой лежат в цент-
центрах кубов исходной. Рассмотрим на ней замкнутую петлю С и прове-
проведем произвольную поверхность (на этой решетке), ограниченную этой
петлей. Определим возмущенную статистическую сумму Z(C,Sc), из-
изменив знак взаимодействия на всех ребрах исходной решетки, пересе-
пересекающих Sc-
Тогда /х(С) определяется как
МС)) = ~Щ*±. A0.71)
Это определение является прямым обобщением A0.56). Здесь опять ока-
оказывается, что (fj,(C)) не зависит от выбора поверхности Sc, поскольку
замкнутая поверхность дислокации не меняет Z (можно перевернуть
спины в капле, ограниченной S). Следовательно, мы можем образовать
петлевые функции Грина вида
. A0.72)

296 Глава 10
Если а(х) тоже присутствует, эти функции определены с точностью до
знака, который физически несуществен.
Как и в двумерном случае, мы получим простые уравнения не для
(fj,(C)) или (а(х)), а для некоторого смешанного объекта, который бу-
будет называться «фермионной струной» или «колючей проволокой». Снаб-
Снабдим середину каждого ребра s контура С вектором еад (as = 1,2,3,4) ,
лежащим в плоскости, ортогональной ребру (см. рисунок перед A0.58)).
Рассмотрим следующий объект:
Д *(*• + е«»)> A0-73)
8 = 1
где L — длина петли, a xs — середина ребра s. Чтобы получить уравне-
уравнение, как можно больше похожее на A0.67), полезно заметить, что сред-
среднее (ФО1...о1,(Сь)) можно вычислить двумя способами. Первый исполь-
использует определение среднего согласно A0.54) и определение /х , данное вы-
выше. Второй, дуальный способ вычисления состоит в следующем. Мы мо-
можем определить дуальную модель Изинга, введя переменные /xXjQ, = ±1
на ребрах дуальной решетки и рассматривая статистическую сумму
Z= Y, ехр(/35>(дР)). (Ю.74)
Здесь Р обозначает плакет дуальной решетки, а /л(дР) — произведе-
произведение переменных /х по ребрам вокруг плакета. Дуальная температура /3
дается выражением
e-2/3 = th/3. A0.75)
Дуальность Крамерса-Ваннье обеспечивает равенство статистических
сумм A0.74) и A0.54). Средние переменных а(х) (которые являются
переменными беспорядка по отношению к A0.74)) определяются следу-
следующим образом. Присоединим к точке х бесконечный путь и изменим
знаки /3 на всех плакетах, которые он пересекает. Тогда
И*)> = ^^. A0.76)
После небольшого размышления заключаем, что A0.76), так же
как A0.56), не зависит от выбора пути Рх . В самом деле, рассмотрим
короткий замкнутый путь, пересекающий пучок из четырех плакетов,

10.3. Трехмерная модель Изинга 297
имеющих одно общее ребро. Изменяя знак спина /х на этом ребре мы по-
получаем новую конфигурацию, которая эквивалентна исходной в модели
без пути. Таким образом, для этого маленького замкнутого пути моди-
модифицированная статистическая сумма совпадает с исходной. Поскольку
любой большой путь можно составить из малых, мы заключаем, что
замкнутая петля дислокации не меняет статистической суммы.
Теперь мы готовы получить желаемое уравнение для ^а1...аь(Сь) •
Используем тождества
Ы = chB/3) - shB/3) ц,{дР),
1
и вообразим хвост S, присоединенный к a(xs + eag), который дает вклад
где произведение берется по всем плакетам, пересекающим хвост. С
помощью тождеств A0.77) (аналогичных A0.59)) находим
Фо1...оь(С) = chB/3)*Oll...lO.+i)O,+1)...)Ob(C) -
A0л а)
— shB/?)\I>Ol)... ,а.,-1,а'а,а.,+2,а'а+3,аа + 1,... ,aL(C + IIOa)Oa + i).
Здесь петля C + IIasjas+i получается из исходной петли изъятием реб-
ребра s и приделыванием вместо него буквы П, ориентированной в на-
направлении между as и as + 1. Петля С + IIasjas+i имеет длину L + 2,
и на двух дополнительных ребрах мы поместили индексы a's и a's + 3
так, что этим ребрам соответствует одна и-переменная в центре пла-
кета П. Поскольку а2 = 1 , это не влияет на наши соотношения. Теперь
мы наблюдаем замечательную аналогию между уравнениями A0.78)
и A0.60). Действительно, A0.78) означает, что если сконцентрировать
внимание на некотором ребре s, то оно распространяется в ортогональ-
ортогональной ему плоскости точно так же, как фермионное возбуждение дву-
двумерной модели Изинга. Это, разумеется, не означает, что трехмерная
изинговская струна может рассматриваться как набор невзаимодейст-
невзаимодействующих двумерных изинговских частиц. Различие связано с тем, что
в процессе движения струна не может разорваться (вследствие кали-
калибровочной инвариантности), и, следовательно, когда какое-либо ребро
движется, оно рождает дополнительные участки струны, необходимые
для неразрывности. Но эта неразрывность является единственным ис-
источником взаимодействия. Такая система будет называться свободной
струной.

298 Глава 10
Суммируем теперь наши заключения. Мы доказали, что двумер-
двумерная модель Изинга эквивалентна задаче о распространении свободной
частицы. Эта частица несет внутренний индекс а или, более геометри-
геометрически, стрелку еа , которая в конце концов отождествляется со спином.
В процессе распространения частицы спин вращается за счет спин-ор-
спин-орбитального взаимодействия, но полный угловой момент сохраняется.
Классический вектор еа на решетке не соответствует никакому опре-
определенному значению спина, но, согласно A0.66) и A0.67), только часть
волновой функции спина г/2 имеет дальние корреляции в критической
области. Таким образом, не удивительно, что в результате мы получи-
получили уравнение Дирака.
Что касается трехмерного случая, то мы нашли, что модель Изинга
описывается распространением замкнутой струны с внутренними сте-
степенями свободы, распределенными по ребрам. Эти степени свободы в
точности те же, что и в двумерном случае, так что мы можем сказать,
что у нас есть спиновая плотность, распределенная вдоль струны. На-
Нашим основным результатом было заключение, что кусочки струны дви-
движутся так же, как двумерные изинговские частицы, и имеется только
неявное взаимодействие, являющееся следствием неразрывности стру-
струны.
Самая сложная проблема — найти непрерывный предел уравне-
уравнения A0.78). В случае двух измерений эта проблема тривиально реша-
решалась с помощью решеточного уравнения A0.60) в пределе /3 —> /Зст. К
сожалению, уравнение A0.78) на решетке абсолютно безнадежно. Луч-
Лучшее, что можно сделать — это угадать на основе физических сообра-
соображений, какого рода систему оно описывает в критической области. Мы
сделаем это, посмотрев на вещи с другой стороны. Именно, мы обсудим
непрерывную модель струны, кусочки которой ведут себя как свобод-
свободные дираковские частицы, и которая, поэтому, имеет весьма хорошие
шансы описывать критическую область уравнения A0.78).
Рассмотрим NSR-струну, волновой функционал которой обращает-
обращается в нуль при действии супертока и тензора энергии-импульса. Первое
условие может быть представлено в виде:
Если заменить жд на (l/i)E/feM и ввести
то получится уравнение

0.^. Внешняя геометрия струн 299
где
Если мы теперь рассмотрим очень короткий фрагмент струны, для ко-
которого \dx/ds\As = e, то мы сможем заменить А.зFф/6хц(з)) на обыч-
обычную производную:
/ хл. \ ял.
As
Jx^{s)J
a 7^ (s) на обычную j -матрицу. Член
антикоммутирует с
и в пределе «короткой струны» его можно заменить на М75 с некото-
некоторым М. В результате A0.79) превращается в обычное уравнение Дира-
Дирака:
К тому же выводу можно было бы прийти и с помощью разложения
по модам в секторе Рамона, заметив, что в пределе короткой струны
существенны только нулевые моды (поскольку остальные собственные
значения стремятся к бесконечности). Мы заключаем, что NSR-струна
движется кусочно, как набор дираковских частиц, связанных только
неразрывностью струны. Это та же картина распространения струны,
что и в трехмерной модели Изинга. Таким образом, возможно, эти две
струны совпадают. Разумеется, мы не доказали этого. Но интуитив-
интуитивные аргументы, приведенные выше, делают весьма актуальной зада-
задачу вычисления критических индексов в NSR-струне и сравнения их с
изинговскими. Эта проблема еще не решена. В следующем разделе мы
опишем общий подход к ней вместе с предварительной классификацией
струн.
10.4. Внешняя геометрия струн
В этом разделе мы обсудим критические индексы струн, предмет,
тесно связанный с их внешней геометрией. Эта проблема тоже не ре-
решена и мы можем только сформулировать общий подход и описать не-
несколько встречающихся в теории струн ситуаций.

300 Глава 10
Самый интересный критический индекс определяется так. Начнем
с действия Намбу-Гото (или его фермионного расширения)
"«¦ A0.81)
gab = дахдЬХ,
и постараемся выбрать затравочное поверхностное натяжение /хо так,
чтобы физическое поверхностное натяжение /л, определяющееся соот-
соотношением
( / ? A0.82)
было мало (здесь С — контур, а Ат\и(С) — площадь минимальной
поверхности, ограниченной этим контуром). Величина /х(/хо) есть, по
определению, физическое поверхностное натяжение. При значениях /хо,
близких к критическому /хосп мы ожидаем, что
где 7 — критический индекс, который следует определить. Через него
можно выразить много интересных величин.
Чем определяется 7? Ответы различны для бозонных и фермион-
ных струн. Мы рассмотрим бозонный случай. Мы должны, в первую
очередь, спросить себя, является ли член Намбу в действии, представ-
представляющий собой разновидность космологического члена, единственным
существенным в непрерывном пределе. Можно было бы ожидать, что
эйнштейновский член может быть так же важен, поскольку постоянная
Ньютона безразмерна в двух измерениях. Однако общеизвестно, что в
этом случае эйнштейновский член совпадает с эйлеровой характерис-
характеристикой многообразия, которая предполагается фиксированной. Тем не
менее безразмерный член в действии действительно существует. Он
строится из внешней кривизны поверхности и определяется следую-
следующим образом. Введем вторую фундаментальную форму К1аЬ поверхнос-
поверхности, даваемую уравнением
Sij; щ дах = 0, A0.83)
t = l, ...,?>-2,
где ГдЬ — обычный символ Кристоффеля, щ — векторы нормалей. Тог-
Тогда внутренняя кривизна R связана с К соотношением
R = (КГJ - К?К* A0.84)

Внешняя геометрия струн 301
и действительно является полной производной. Однако для отдельных
членов в этом выражении это не так. Таким образом, мы можем напи-
написать следующее обобщение действия Намбу-Гото:
А = мо I g1'2 d^+^l KtKibg1/2 *?. (Ю.85)
Остается только проверить, что последний член является единствен-
единственным (с точностью до полных производных) выражением, инвариант-
инвариантным при масштабном преобразовании ж —> Аж. Добавление его в дей-
действие — не каприз. Его поведение в инфракрасной области определя-
определяет фазовую структуру теории струн. Таким образом, если мы хотим
вычислить критическое поведение случайных поверхностей и их физи-
физические и геометрические характеристики, абсолютно необходимо вклю-
включить этот член в действие.
Нашей первой целью будет исследовать существенность внешней
кривизны в непрерывном пределе. Заметим, что A0.85) можно перепи-
переписать по-другому (по модулю полных производных):
A0.86)
Здесь
A(g)x = -^dag^2 gabdbx,
IT1'* у.
f — U еаЬЙ T ВиТ
о
Va7l; = даТЦ + ЛакЩ = -KibdbX.
Последняя строчка в A0.86) особенно интересна. Она показывает, что
мы имеем дело с и-моделью на грассманиане, ассоциированной с по-
поверхностью. Параметр порядка лежит в однородном пространстве
SO(D)
G A°87)
G^D SOB)xSO(D-2Y A°-87)
Это необычная ст-модель, потому что не каждое поле в Gi,d образует
касательные плоскости к некоторой поверхности. Должно быть выпол-
выполнено определенное условие интегрируемости. Тем не менее, аналогия

302 Глава 10
с (Т-моделью полезна. Именно, она позволяет рассчитать /3-функцию для
константы связи а, которая определяет зависимость этой константы от
масштаба. Мы не будем приводить это вычисление, а лишь обсудим его
результат и его следствия.
Именно, для зависимости а(р) от импульса находим
а(р) = -^ -. A0.88)
2 2тг 8 Р
Из этой формулы ясно, что наша ст-модель на грассманиане обладает
необычными свойствами. В случае обычной ст-модели коэффициент пе-
перед логарифмом был бы равен D — 2 (вспомним n-поле), а не D/2. Это
различие происходит из условия интегрируемости грассмановых по-
полей — они должны образовывать касательные плоскости к некоторой
поверхности. Конечно, поведение A0.88) справедливо только до тех пор,
пока а(р) не станет большим. Что тогда произойдет? Есть несколько
возможностей. Прежде всего, если /3-функция не имеет нулей, то а{р)
продолжает возрастать по мере движения в инфракрасную область. Это
означает, что член
A/а) / K2g/2d2f; становится несущественным, по-
поскольку а —> оо. Для описания этого же явления на другом языке вве-
введем множитель Лагранжа:
S = ^ I K2g'*#Z + J(\ab(daX дЬХ - gab) + /iog/a) d2i.
Мы видели в предыдущих главах, что асимптотическая свобода в а-
моделях приводит к конденсации множителя Лагранжа или, что то же
самое, к появлению массы у n-полей. В нашем случае это означает
следующее. Эффективное действие для АаЬ имеет минимум, так что
(АаЬ> = AW", A0-89)
где зависимость от ^ь фиксируется общей ковариантностью, а А —
это просто положение логарифмического полюса в A0.88) (так как А
представляет собой инфракрасное обрезание):
А~Ле-47г/г>ао. A0.90)
Если нет специальной точной подстройки параметров, то а0 ~ 1 и ^ ~ Л,
поэтому в непрерывном пределе мы имеем эффективное действие
S = XJigb^daX дьх + fiog%) d2t, A0.91)

Внешняя геометрия струн 303
которое мы обсуждали в предыдущих главах.
Мы видим, что в этом случае критический индекс 7 = 0 поскольку
изменение fj,0 не оказывает влияния на А. Попытка сделать поверхност-
поверхностное натяжение малым в этом случае будет обречена на неудачу из-за
сильных инфракрасных флуктуации, описываемых действием A0.91).
С геометрической точки зрения множитель Лагранжа А играет роль
обратной корреляционной длины для нормалей к поверхности. В опи-
описанном режиме эта корреляционная длина порядка масштаба обрезания.
Поверхность чудовищно сморщена. Возможно, с этим связано сущест-
существование бозонного тахиона.
Для КХД и модели Изинга сморщенные струны с необращающимся
в нуль поверхностным натяжением неприемлемы. Как можно избежать
этого нежелательного свойства?
Ясно, что в чисто бозонном случае мы должны найти версию тео-
теории с /3-функцией, имеющей нуль в некоторой точке а*. Если мы преус-
преуспеем, то затравочная а0 притянется к а*, корреляционная длина будет
бесконечной (без члена Намбу в действии), и у нас будет конформно-
инвариантная теория с аномальными размерностями, одна из которых
определяет критический индекс. В этом случае мы избежим образова-
образования складок на поверхности.
В четырех измерениях есть хороший кандидат на роль такой те-
теории. В этой размерности существует специфический #-член, который
может быть добавлен к действию. При 9 = тг есть причины ожидать
масштабно-инвариантной теории. Член, о котором мы говорим, — это
алгебраическое число самопересечений v{S) нашей двумерной поверх-
поверхности S, вложенной в четырехмерное пространство. Аналитически он
дается выражением
d2i. A0.92)
Статистическая сумма имеет вид:
Z = Y,e~tloA(S){-lY(S)- A0.93)
(s)
Возможно, эта струна лежит в одном классе универсальности со стру-
струной КХД при больших N. Это — задача на будущее.
В случае ферми-струн зависимость от внешней геометрии возни-
возникает из фермионных вкладов на мировом листе, которые, возможно,
важнее А^-члена. Если это так, то вычислить критические индексы
будет легче. Это тоже задача на будущее.

Предметный указатель
1 /TV-разложение 138, 163
D-мерная суперсимметрия 242
0B)-калибровочная модель 72, 83
0B)-калибровочная симметрия
23, 25
0B)-калибровочная теория 89
0B)-модель 71
ОB)-система 69
ОB)-теория 51
0GУ)-симметричная ст-модель 138,
148
^-матрица 270
С/A)-проблема в КХД 157
/3-функция 32, 34, 270, 275, 278,
279, 284, 302, 303
7-функция 34, 37
4Не 69, 71
ст-модель Весса-Зумино 285
— на грассманиане 301
— на СР^1 153, 158
<9-член 122, 157, 285, 303
р-форма 106
СРлг~1-модель 105
NSR-струна 262, 298, 299
Абелева калибровочная группа 12
Абелевы калибровочные теории
72, 81, 92
Аксиальный заряд 116
— ток 113, 116, 120
Алгебра Вирасоро 223, 225
Амплитуда Кобы-Нильсена 236
— рассеяния 277
Амплитуды рассеяния 206, 217
Аномальная размерность 146, 211,
212, 214, 303
Аномальные соотношения 115
Антивихрь 71
Антикинк 62
Асимптотическая свобода 35, 39,
41, 162, 302
Бегущая константа связи 280
Бездуховость критических струн
227
Безмассовая тензорная частица
258
Безмассовые возбуждения струны
269
Бесщелевые возбуждения 19
Блок-спины 17, 147
Бозонизация 102
Бозонная струна 237, 258, 262, 282,
300
Большие диффеоморфизмы 287
Вакуумный сектор 84, 86
Вейлевская инвариантность 270
Вейлевское преобразование 270
Векторная вершина 228
Векторный потенциал 22, 72, 81
Вершинные операторы 275
Вершинный оператор 212, 240, 256,
268
— янг-миллсовской частицы 285
Вихревая линия 69
Вихрь 66, 71
Внешнее произведение 107
Внешние заряды 56
Внешний дифференциал 107

Предметный указатель
305
Внешняя кривизна 300
Возбуждения 8, 11
Волновая функция 28, 50, 57
— основного состояния 17, 45
Волновой функционал 298
Вторая фундаментальная форма
300
Вторичные поля 225
Вторичный оператор 224, 227, 228,
230
Вырождение конформного семей-
семейства 225, 233
Вырожденное конформное семей-
семейство 227
Гамильтонова формулировка ка-
калибровочных теорий 51, 58
Гамильтонова формулировка мо-
модели Изинга 17, 18, 44
Генератор калибровочного преоб-
преобразования 55
Генераторы калибровочных преоб-
преобразований 52
Гетеротическая струна 286, 289
Главное киральное поле 104
Глобальная ОB)-симметрия 64, 93
Глобальные симметрии 11, 12, 35,
44, 93
Глюоны 58
Голый заряд 33
Гравитационная аномалия 287, 289
Гравитационное поле 12
Гравитация 269
Гравитино 238, 244, 245, 266
Гравитон 244, 245, 270, 282, 283
Граница фундаментальной облас-
области 289
Духовый детерминант 39
Дальние корреляции 298
Дважды логарифмическая расхо-
расходимость 146
Двузначные поля 259
Двумерная модель Изинга 262,
290, 291, 295
Двумерный закон Кулона 66
Дебаевское приближение 76
— экранирование 102
Действие Лиувилля 203, 251, 255
— Намбу-Гото 270, 300, 301
— Эйнштейна 259
— Янга-Миллса 25, 259
— супер-Лиувилля 255
Детерминант 100, 101
Деформации Киллинга 285
Диаграммное разложение 44
Диамагнетизм Ландау 39
Дилатон 270, 283
Динамическая генерация калибро-
калибровочных полей 153, 156
Дискретные глобальные симмет-
симметрии 12
Дискретные калибровочные сим-
симметрии 22
Дислокация 72
Диффеоморфизмы 165
Диэлектрическая проницаемость
вакуума 84
Дуальная модель Изинга 296
— решетка 291, 295
— температура 296
Дуальность Крамерса-Ваннье 268,
296
Духи 266, 286
Духовые детерминанты 246
— поля 247
Жесткая мода 294
Закон больших чисел 168
— площадей 89
Замкнутая струна 213, 228, 258,
289, 298
Затравочное поверхностное натя-
натяжение 300

306
Предметный указатель
Изинговский фермион 291
Изометрия 179
Изотопические спины, квантовое
рассмотрение 56
Инвариантная мера 184
— супердлина 239
Индуцированное действие 201, 202
Инстантонная жидкость 97, 112
— плазма 102
Инстантонное приближение 67
Инстантонные эффекты 92, 122
Инстантоны 59, 83, 89, 91, 97, 123,
153, 157
Интеграл Лиувилля 207
Интегралы Кобы-Нильсена 277
Исключение тахиона 258
КХД 157, 269, 303
Калибровка Aq{x) = 0 85
— Ао = 0 88
— светового конуса 266
Калибровочная аномалия 287, 289
— инвариантность 22, 24, 37, 51,
55, 94, 199
Калибровочное поле 12
— поле третьего ранга 81, 96
— преобразование 230
Калибровочные поля 172
— преобразования 55, 96, 125, 165,
184, 231
— преобразования третьего ранга
92
— симметрии 50, 58
Квадратичные расходимости 276
Квантование заряда 73
Квантованный цвет 127
Квантовая аномалия 113
— электродинамика 12
Квантовые струны 164, 268
Квантовый эффект Холла 122
Кинк 62, 64
Киральное поле 130
Киральные компоненты 260
— модели 104
— поля 131
— фермионы 285
Класс универсальности 19
Ковариантная производная 55,
126, 171, 205, 238, 243, 248, 249,
252, 272
Коллективные координаты 101
Компактификация 282, 284, 286,
289
Компактная квантовая электроди-
электродинамика 72, 83
Комплексное проективное про-
пространство 153
Конденсат возбуждений 46
— монополей 80
Конденсация гравитонов 283
— дислокаций 72
— магнитный линий 80
— множителя Лагранжа 270, 302
— струн 54, 282
Константа связи 255, 271
Контактные члены 294
Континуальный интеграл 9
Контурные переменные 291
Конфайнмент 53, 57, 79-81, 83, 84,
86, 87, 89, 91-94, 96, 120, 156,
160
Конформная алгебра 264
— аномалия 199
— группа 219
— инвариантность 199, 212, 218,
270
— калибровка 190, 202, 245
— квантовая теория поля 211, 218,
227
— теория поля 214, 275, 284
— теория поля, устойчивость 284
— теория поля, устойчивость от-
относительно возмущений 280

Предметный указатель
307
Конформно-евклидова метрика
203
Конформное семейство 225
Конформные преобразования 220,
222
— тождества Уорда 218, 224, 263,
264
Конформный вес 248
— спин 244
Кор вихря 68
Корреляционная длина 13-15, 63,
75, 79, 92, 94, 102, 140, 158, 177,
284, 303
— функция 207
Корреляционные функции 13, 15,
16, 23, 33, 34, 37, 43, 44, 47, 62,
77, 79, 87, 91, 146, 147, 209, 213,
219, 222, 224, 225, 262, 265, 280,
291
Космологический член 239, 300
Кривизна 126, 130
Кристаллы 95
Критическая область 16, 24, 298
— особенность в теплоемкости
295
— размерность 20, 233, 255, 257,
267, 269, 270, 282
— точка 16
Критические индексы 141, 177,
299, 300, 303
— струны 282, 289
Критическое значение константы
связи 141
— поведение 241
Кулоновская плазма 112
Левый сектор 286
Логарифмические расходимости
276, 279
Локальная суперсимметрия 244
Локальные симметрии 11, 12
Лоренцева калибровка 38
Магнитный заряд 75, 81
— монополь 80, 91, 122
— поток 75, 81
Массивные возбуждения 44, 48
Массивный фотон 75
Массовая матрица 280
— щель 44, 58, 79, 82, 115
Масштабная инвариантность 212,
270, 303
Масштабное преобразование 212,
270, 301
Матрица аномальных размернос-
размерностей 280
Мера в пространстве диффеомор-
диффеоморфизмов 172
Метод перевала 139
Метрика в пространстве диффео-
диффеоморфизмов 172
Мнимое время 10, 60
Многозначное поле 64, 68
Множитель Лагранжа 138, 139,
148, 166, 240, 302
Модель п-поля 35, 95, 97, 105, 121,
122, 154, 155, 273
— п-поля с группой O(N) 104
— п-поля 37
— Джорджи-Глэшоу 82, 83
— Изинга 12, 18, 23, 44, 46, 262,
268, 290, 303
— главного кирального поля 27,
35, 148, 153
Модулярная аномалия 289
— группа 287, 288
— инвариантность 287, 289
Монополь 76, 80
Мягкая мода 294
Напряженность поля 22, 65, 81,
126, 152
Нарушение СР-инвариантности
157

308
Предметный указатель
— закона сохранения аксиального
тока 115
— симметрии 17, 23, 24
Неабелева калибровочная теория
159
Неабелевы глобальные симметрии
20, 21, 95
— калибровочные симметрии 25,
26
— калибровочные теории 25, 26,
38, 42, 54, 74, 96, 105, 123, 163
— теории 79
Некомпактная квантовая электро-
электродинамика 74
Нелинейные ст-модели 271
Неориентируемые поверхности
283
Непертурбативные методы 43
Непрерывная формулировка 82
Непрерывные абелевы глобальные
симметрии 18, 20
— глобальные симметрии 47, 50
— симметрии 20
Непрерывный предел 14,16, 20, 23,
25, 26, 64, 67, 72, 128, 138, 141,
290, 294, 298, 301, 302
Неустойчивость теории струн по
отношению к конденсации по-
полей 280
Низкоэнергетические возбужде-
возбуждения 12
Низкоэнергетическое разложение
275
— эффективное действие 270
Норма в пространстве метрик 204
— в функциональном пространст-
пространстве 61
Нулевая мода 178, 209
Нулевые моды 192, 289, 299
Общая ковариантность 208, 212,
286, 302
— теория относительности 12
Общие суперкоординатные преоб-
преобразования 238
Объем калибровочной группы 166
Одноинстантонный вклад 100, 111,
157
Оператор упорядочения Дайсона
125
Операторная алгебра 223, 261, 278
Операторное разложение 276
Операторное разложение 213, 217,
257, 263
Осцилляторное представление 216,
229, 232
Открытая струна 228, 257, 258
Отщепление духовых состояний
228, 237
Параллельный перенос 125
Парамагнетизм Паули 39
Параметры беспорядка 290
— порядка 290
Первичное поле 221, 224, 226, 236
Первичный оператор 221, 224, 228
Переменные беспорядка 291, 296
— колючей проволоки 291
— порядка 295
Перенормированная константа
связи 29
Перенормировка 16, 177, 278
— заряда 41, 146
— константы связи 40, 100
— массы 145, 147
— метрического тензора 271
— полей 146
— трансформационных свойств
полей 212
Перенормируемость 30, 31, 271
Петлевые уравнения 134, 137,163
Петли 124, 137
Петля 291, 295
Плазма вихрей 67
— инстантонов 158

Предметный указатель
309
— монополей 76
Пленарные диаграммы 151
Пленарные диаграммы 159, 160
Поверхность высшего рода 268
Подход Калуцы-Клейна 284, 286
Поколения 289
Поле Янга-Миллса 12
Полный набор операторов 214
— полей 221
Поперечные коэффициенты жест-
жесткости 95
Правый сектор 286
Преобразование Йордана-Вигнера
262
Преобразования суперсимметрии
238, 243
Приближение седловой точки 60,
139, 151
— сильной связи 43, 58
— среднего поля 76
Принудительное рождение пар
116, 119
Проективно-ковариантный опера-
оператор 226
Проекция в NSR-струне 267
Пропагатор 15, 20, 139, 144, 145,
150, 151, 157, 160, 200, 205, 236,
240-242, 282, 291, 295
Пространственно-временная су-
суперсимметрия 267
Пространственно-временной бозон
261
Пространственно-временные фер-
мионы 259
Пространство диффеоморфизмов
170, 177
— метрик 170, 177
— петель 130, 163, 291
Псевдочастицы 79, 91
Равенство Фаддеева-Попова 246
Разложение по модам 264
Размерная трансмутация 31, 50
Расслоение Хопфа 154
Регуляризация Паули-Вилларса
251
Регуляризованный детерминант
174
Ренормализационная группа 30,
35, 36
Ренормгруппа 280, 281, 284
Ренормгруппы 280
Репараметризации 165
Реперное поле 238, 245
Решеточная дивергенция 65
Решеточное уравнение Лапласа 65
Сверхпроводимость 81
Сверхтекучая плотность 94-96
Сверхтекучесть 94, 95
Свободной струной 297
Связность 126
Сектор Неве-Шварца 260, 261
— Рамона 260, 261
— со статическими зарядами 85
Силовые линии 53
Сильные взаимодействия 12, 26
Слабые взаимодействия 12, 82
Случайные гиперповерхности 182,
189
Собственно-энергетическая функ-
функция 15
— часть 145
Собственное время 167
Сокращение аномалий 287
Солитон 80, 259,266
Солитоны 97
Спиновые операторы 261, 268
Спиновые переменные 290
Спинорное представление 260
Спинорные структуры 259, 268
Спонтанное нарушение киральной
симметрии 120
Спонтанное нарушение симметрии
14, 21

310
Предметный указатель
Статические заряды 53, 56, 57, 84
Статический потенциал 84
Степенные расходимости 144
Структурные константы 29, 259
операторной алгебры 276,
277
— функции 214
Струна 291, 297
Струна Неве-Шварца-Рамона 237,
282, 291
Струны 58, 269, 303
Суперинвариантное расстояние
240
Суперковариантное действие 238
Суперконформная группа 247
— калибровка 246
— теория 284
Суперпартнер 238
Суперполе 244
Суперпространство 237, 243
Суперсимметричная ст-модель 284
— струна 290
Суперсимметрия 284
Суперток 298
Тахион 215, 236, 257, 303
Температура фазового перехода 15
Тензор энергии-импульса 190, 218,
227, 244, 254, 263, 264, 280, 298
Теорема Атьи-Зингера об индексе
118
— Голдстоуна 19
— Замолодчикова 281, 284
— об индексе 193
— об отсутствии духов 236
Теорию струн на искривленном
фоне 275
Теория возмущений 135, 136
— поля Лиувилля 208
— струн на искривленном фоне
270
Тождества Уорда 19, 227, 288, 289
Тождество Бьянки 108, 109
— Гаусса 235
Топологические эффекты 112, 156,
158
Топологический заряд 98, 99, 103,
116, 120, 123, 156
Топологическое число 99
Точка фазового перехода 46, 290,
293
Трансляционная инвариантность
61, 177
Трансфер-матрица 17
Трехмерная модель Изинга 23,
290, 295, 299
Трехточечные корреляционные
функции 276
Универсальность 14, 141
Унитарные поправки к амплиту-
амплитудам 281
Уравнение Гелл-Манна-Лоу 32, 277
— Дайсона 15
— дуальности 99, 109, 110
— самодуальности 101
Уравнения Янга-Миллса 130
Уравнения ренормгруппы 274, 275
Условие квантования Дирака 91
Условие конформной инвариант-
инвариантности 278, 284
Устойчивость решения 70
Фазовый множитель 89, 124, 137,
162
— переход 14, 20, 21, 23-26, 43, 44,
49, 54, 79, 94, 141
второго рода 14, 23, 290
первого рода 25, 26
Факторизация вычетов амплитуд
212, 215
Фейнмановская калибровка 38
Фермионная струна 243, 256, 258
Физическая константа связи 43
— масса 16, 140, 177

Предметный указатель
311
Физические состояния 227, 237
Физический вторичный оператор
229, 231, 233
Физическое поверхностное натя-
натяжение 300
Фиксация калибровки 136
Фиксированная точка 280, 281, 284
Формула Каца 227, 233
Фотон 82
Фотоны как голдстоуновские бозо-
бозоны 24
Фундаментальная область 287-289
Фундаментальное представление
29,33
Функции Грина 16, 41, 78, 95, 113,
119, 139, 145, 148, 153, 157, 180,
188, 192, 197, 206, 208, 209, 256,
276, 292, 294, 295
Функциональная ^-функция 138,
166
Функциональный детерминант 149
Функция Грина оператора Лапласа
207
Центр калибровочной группы 86
Центральный заряд 226, 254, 255,
280-282
Цепочка уравнений Швингера 134
Четырехмерная гравитация 283
Шпурионные состояния 288
Щель 46
— в спектре 18, 19, 49
Эйлерова характеристика 160,194,
300
Электрический поток 53, 57, 73
Электрическое поле 53, 54
Электромагнитные взаимодейст-
взаимодействия 82
Элементарные возбуждения 46,
137
Энергетическая щель 20, 26, 45, 58
Эфир 11
Эффект «нулевого заряда» 39
Эффективное действие 27, 29, 143,
149, 156, 169, 199, 205, 240, 255,
273-275, 278, 286, 302
суперструны 255
Эффективный заряд 30, 103
— лагранжиан 11, 25, 27
Якобиан 61, 171

Новые книги
Редакция журнала «Регулярная и Хаотическая Динамика» совмест-
совместно с издательским домом «Удмуртский университет» и Московским не-
независимым университетом выпускает новые книги по физике и мате-
математике. Вашему вниманию представляется широкий выбор книг, от
учебной литературы и трудов классиков, ставших библиографической
редкостью, до современных научных исследований российских и за-
зарубежных ученых. Издаваемые книги рассчитаны на самый широкий
спектр читателей от студентов и аспирантов физико-математических
специальностей до преподавателей вузов и научных работников.
Книги уже изданные и планируемые к изданию в начале 1999 года:
Арнольд В. И.
Геометрические методы в
теории дифференциальных
уравнений
Арнольд В. И.
Обыкновенные дифференци-
дифференциальные уравнения
Арнольд В.И., Авец А.
Эргодические проблемы клас-
классической механики
Блашке В.
Дифференциальная геометрия
Болсинов А.В., Фоменко А.Т.
Интегрируемые гамильтоновы
системы. Геометрия, тополо-
топология, классификация (т. 1, 2)
Ван-дер-Варден Б.Л.
Метод теории групп в кванто-
квантовой механике
Вейлъ Г.
Симметрия
Громов М.
Знак и геометрический смысл
кривизны
Дирак П.A.M.
Лекции по квантовой механи-
механике
Козлов В. В.
Методы качественного анали-
анализа в динамике твердого тела
Козлов В. В.
Общая теория вихрей
Лейбниц И.Г.
Избранные труды по механике
Маркеев А.П.
Теоретическая механика
Мах Э.
Механика. Историко-крити-
ческий очерк ее развития
Мозер Ю.
Избранные труды - 70

313
Одэн М.
Вращающиеся волчки. Курс
интегрируемых систем
Олыианецкий М.А., Шапиро И.С.
Лекции по топологии для фи-
физиков
Уиттекер Э.
Аналитическая динамика
Ферми Э.
Квантовая механика
Ферми Э.
Термодинамика
Харди Г.
Апология математика
Шредингер Э.
Что такое жизнь с точки зре-
зрения физики
Шредер М.
Фракталы, хаос, степенные за-
законы
Сборник статей.
Квантовый компьютер и кван-
квантовые вычисления
Наши книги Вы можете приобрести в магазинах Москвы или за-
заказать наложенным платежом. По вопросам сотрудничества, издания и
приобретения1 книг обращайтесь по адресу:
Россия, 426034, г. Ижевск,
ул. Университетская, 1, УдГУ,
Лаборатория динамического хаоса и нелинейности
тел. C412) 43-04-98 факс: C412) 25-85-22
e-mail: subscribe@uni.udm.ru
http://www.uni.udm.ru/rcd
1Заявки на приобретение книг наложенным платежом просьба присылать
по e-mail'y-

Журнал
«Регулярная и Хаотическая Динамика»
Журнал «Регулярная и Хаотическая Динамика» (РХД), выпускается с
1996 года. В нем публикуются результаты анализа регулярного и хаотичес-
хаотического поведения детерминированных динамических систем. Поддерживаемый
Московским государственным университетом им. М. В. Ломоносова, журнал
следует традициям русской школы математики и механики.
РХД выходит четыре раза в год. Все выпуски журнала имели большой
успех. С 1998 года РХД печатается на английском языке. В РХД совмещаются
строгие аналитические вычисления и результаты численных экспериментов.
Читатели найдут в нем естественное сочетание строгого математического
анализа, теории дифференциальных уравнений и топологии с наглядными
геометрическими и механическими интерпретациями, которые обеспечива-
обеспечивают более глубокое понимание поведения динамических систем.
РХД приветствует публикации, содержащие новые результаты в следу-
следующих областях:
• интегрируемость и неинтегриру- • симметрия, алгебры Ли и
емость динамических систем; гамильтонов формализм;
• детерминированный хаос; • теория самоорганизации и
• фрактальная динамика; синергетика.
Основной круг читателей РХД — это ученые, занимающиеся классичес-
классической и прикладной математикой, физикой, специализирующиеся по нелиней-
нелинейным системам, классической механике, математической физике, дифферен-
дифференциальным уравнениям и синергетике.
Условия подписки
Стоимость подписки по России и в странах СНГ
Для учреждений Для физических лиц
Один номер журнала: Один номер журнала:
80 руб. 60 руб.
Годовая подписка: Годовая подписка:
300 руб. 220 руб.
Для подписки на журнал перечислите указанную сумму на счет:
Р/С №40702810168170101897 в Октябрьском ОСБ 8265
К/С 30301810768000606817, АКСБ РФ ОАО Удмуртский банк, г. Ижевск
К/С 30101810400000000601 БИК 049401601
и перешлите копию платежного поручения с указанием обратного адреса и
заказа в редакцию журнала по вышеуказанному адресу.

Поляков Александр Маркович
Калибровочные поля и струны
Дизайнер С. А. Кузнецов
Компьютерная подготовка И. В. Рылова
А. В. Широбоков
А. В. Антонов
А. А. Кадейшвили
С. В. Крюков
М. Ю. Лашкевич
С. Е. Пархоменко
Корректор Ю. В. Саяпина
Лицензия ЛР №020411 от 16.02.97. Подписано к печати ??
Формат 60 х 84У16. Печать офсетная. Усл.печ.л. ??. Уч. изд. л. ??.
Заказ № ?? Тираж 1000 экз.
Издательский дом «Удмуртский университет»,
426011, г. Ижевск, ул. Майская, 23.