Автор: Хермандер Л.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ математика
ISBN: 5-03-001204-4
Год: 1988
Похожие
Текст
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 275
Lars Hormander
The Analysis of Linear Partial
Differential Operators IV
Fourier Integral Operators
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo 1985
Л.Хёрмандер
Анализ линейных
дифференциальных
операторов
с частными
производными
В четырех томах
Том 4
Интегральные операторы
Фурье
Перевод с английского подлледякцией
М. А. Шубина
Москва «Мир» 1988
ББК 22.162
Х39
УДК 517.9
Хёрмандер Л.
Х39 Анализ линейных дифференциальных операторов с част-
частными производными: В 4-х т. Т. 4. Интегральные операторы
Фурье. Пер. с англ.—М.: Мир, 1988.—448 с.
ISBN 5-03-001204-4
Завершающий том фундаментальной четырехтомной монографии известного
шведского математика (тт. 1 и 2 вышли в свет в 1986 г., т. 3 — в 1987 г.). В книге
излагается та часть теории, которая бурно развивается в последние два десяти-
десятилетия и называется микролокальным анализом. Много места уделено наиболее
существенным приложениям — в теории краевых задач и в спектральной теории.
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов универ-
университетов.
1702050000-228 2188чЛ ББК 22.162
041@1)—88
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001204-4 (русск.) © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985
ICD,. o -.- <о«лл « / ч All rights reserved. Authorized transla-
ISBN 3-540-13829-3 (англ.) tion from EngHsh language edition
published by Springer-Verlag Berlin Hei-
Heidelberg New York
© перевод на русский язык, «Мир», 1988
Предисловие редактора перевода
к томам 3 и 4
Завершающие два тома фундаментальной монографии Хёрман-
дера 1) содержат изложение той части теории линейных диффе-
дифференциальных уравнений с частными производными, которая
была создана и бурно развивалась в последние два десятилетия
и называется микролокальным анализом, хотя автор не прене-
пренебрегает и параллельным изложением классических вопросов.
В этих томах нашли достаточно полное отражение наиболее
существенные приложения микролокального анализа во всех
разделах теории уравнений с частными производными, в том
числе в теории краевых задач и в спектральной теории.
Подзаголовки томов 3 и 4 «Псевдодифференциальные опе-
операторы» и «Интегральные операторы Фурье» отражают не столь-
столько основное содержание. томо?> сколько отношение автора к
роли объектов, указанных ..в заих подзаголовках (непосред-
(непосредственно этим объектам посвящено лишь по одной главе в каж-
каждом томе). Современная теория уравнений с частными произ-
производными немыслима без псевдодифференциальных операторов
и интегральных операторов Фурье, эффективно заменивших и
многократно усиливших аппарат функций Грина, а также дав-
давших возможность геометризовать и глобализовать коротковол-
коротковолновые асимптотики содержательными и в то же время изящ-
изящными идеями симплектической геометрии.
Эффективность развитого аппарата микролокального ана-
анализа автор демонстрирует огромным количеством приложений
к задачам, формулируемым на абсолютно классическом языке
и в то же время неприступным при их изучении классическими
средствами. Таковы, например, изложенные в книге результаты
о субэллиптических операторах, о единственности решения за-
задачи Коши, о спектральных асимптотиках. Однако и ряд клас-
классических сюжетов с помощью этого аппарата удается изложить
1) Перевод на русский язык первых двух томов опубликован издатель-
издательством «Мир» в 1986 г., а третьего — в 1987 г.
6 Предисловие редактора перевода к томам 3 и 4
намного проще и более законченно. Это продемонстрировано в
книге, в частности, на примерах теории эллиптических краевых
задач и теории рассеяния.
В последнее время появилось несколько книг по микро-
микролокальному анализу1). Однако книга Хёрмандера с ними уди-
удивительным образом почти не пересекается. Это связано прежде
всего с тем, что Хёрмандер выбирает свои пути изложения почти
всех вопросов и, даже следуя каким-то образцам, вносит сущест-
существенные усовершенствования, ведущие, как правило, к проясне-
прояснению и максимально возможной содержательности.
Нет сомнения, что долго ожидавшаяся специалистами моно-
монография Хёрмандера будет служить настольной книгой для спе-
специалистов по уравнениям с частными производными, а также
учебником повышенного типа для всех, кто собирается серьезно
изучить этот предмет, занимающий одно из центральных мест
в современной математике.
Перевод тома 4 осуществлен А. И. Комечем.
М. А. Шубин
1) Например, Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных опе-
операторов и интегральных операторов Фурье. Пер. с англ. Т. 1, 2.— М.: Мир,.
1984; Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. Пер. с англ. — М.: Мир,.
1985; Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа.—
М.: Наука, 1984.
Предисловие к томам 3 и 4
Первые два тома этой монографии можно рассматривать как
расширенный и модернизированный вариант моей книги «Ли-
«Линейные дифференциальные операторы с частными производны-
производными», вышедшей в серии Grundlehren der mathematischen Wissen-
schaften в 1963 г.1). Тома же 3 и 4 — почти совершенно новые.
Они посвящены в основном тем разделам теории линейных диф-
дифференциальных операторов, которые сложились после 1963 г.
Главные темы здесь — псевдодифференциальные операторы и
интегральные операторы Фурье и необходимая для их понима-
понимания симплектическая геометрия. Содержание томов будет по-
подробнее обсуждено во введении.
Я хочу выразить здесь свою признательность многим
друзьям и коллегам, различными способами внесшим свой вклад
в эту книгу. Прежде всего я хотел бы назвать Ричарда Мел-
роуза. Одно время мы планировали написать эти тома сов-
совместно и в декабре 1980 г. в течение недели обсуждали, что
должно было бы в них войти. Хотя от идеи совместного написа-
написания мы потом отказались и содержание этих томов несколько
видоизменилось и сократилось по сравнению с задуманным
тогда, многое от тех наших обсуждений осталось. С. Агмон во
время своего пребывания в Лунде (осенний семестр 1981 г.)
не пожалел времени и объясни^ мне во всех подробностях свои
результаты по дальнодействуйщему рассеянию, изложенные в
общих чертах в трудах семинара Гулауика — Шварца за
1978/79 гг. Его идеи играют решающую роль в гл. 30. Когда
объем работы, необходимой для завершения книги, начал ка-
казаться мне непосильным, мой упавший дух поддержал Андерс
Мелин, предложив прочитать всю рукопись. Его конкретная и
конструктивная критика была неоценимой; я и читатели этой
книги очень многим ему обязаны. Богдан Земян тщательно
') Русский перевод опубликован издательством «Мир» в 1965 г. — Прим.
ред.
8 Предисловие к томам 3 и 4
прочитал все корректуры и выловил большое число опечаток.
Помогали мне в работе и многие другие, я благодарен им всем.
Часть материала, который должен был войти в эти тома,
уже публиковалась ранее в различных моих статьях. Обычно
все приходилось заново переписывать, но некоторые куски ста-
статей я включил в книгу в неизмененном виде. Мне хочется по-
поблагодарить следующие издательства, любезно разрешившие
это сделать:
Marcel Dekker, Inc. (куски из статьи [41], включенные в-
§ 17.2);
Princeton University Press (куски из статьи [38], включен-
включенные в гл. 27);
D. Reidel Publishing Company (куски из статьи [40], вклю-
включенные в § 26.4);
John Wiley & Sons Inc. (куски из статьи [39], включенные
в гл. 18).
(Здесь [п] отсылает к работе Hormander [n] из помещенного
в конце тома списка литературы.)
Наконец, хочу поблагодарить издательство «Шпрингер» за
всю ту поддержку, которую оно оказывало мне во время работы
над монографией.
Юрсхольм, ноябрь 1984 г. Ларе Хёрмандер
Примечание при корректуре. Автор благодарит Ю. Г. Са-
фарова за указание на то, что теорема 29.1.4 была некорректно
сформулирована в английском издании; в переводе эта форму-
формулировка исправлена.
декабрь 1987 г. Л. Хёрмандер
Введение к томам 3 и 4
За долгую историю теории линейных дифференциальных урав-
уравнений с переменными коэффициентами в ней было развито боль-
большое количество различных методов. В этой книге мы сосредо-
сосредоточим внимание на тех из них, которые играли главенствующую
роль на позднейшей фазе развития теории. Однако и другие,
более ранние методы бывают иногда применимы, а порой ока-
оказываются и более предпочтительными; поэтому мы посвятили
вводную главу 17 описанию таких методов для случая диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка. За исключением этой
главы, содержание томов 3 и 4 можно охарактеризовать как
систематическое изложение трех основных средств, используе-
используемых в современной теории, с указанием типичных приложений.
Это псевдодифференциальные операторы (гл. 18), интегральные
операторы Фурье и лагранжевы распределения (гл. 25) и, на-
наконец, лежащая в основе аналитических рассмотрений симплек-
тическая геометрия (гл. 21). При выборе приложений мы руко-
руководствовались главным образом соображениями исторического
плана. Кроме того, много места и внимания уделено вопросам,
в которых эти средства в полной мере продемонстрировали свою
мощь, поскольку с их помощью удалось получить достаточно
полные ответы.
Теория псевдодифференциальных операторов развилась из
теории сингулярных интегральных операторов. Последние, не-
несмотря на свою давнюю традицию, играли весьма скромную
роль в теории дифференциальных уравнений, до тех пор пока
не появились теорема Кальдерона о единственности (в конце
50-х годов) и теоремы Атьи — Зингера — Ботта об индексе
(в начале 50-х). Соответственно мы посвящаем этим темам
гл. 28 и 19—20. Предвестником теории псевдодифференциальных
операторов можно считать ранние результаты И. Г. Петровского
по гиперболическим операторам. В гл. 23 мы рассматриваем
задачу Коши, используя усовершенствованный вариант даже
еще более старого метода интеграла энергии, доставляемый ис-
исчислением псевдодифференциальных операторов.
Использование связей между геометрической и волновой
оптикой, классической и квантовой механикой, иногда в виде
различных эвристических соображений, — давняя традиция.
В 60-х и начале 70-х годов эти идеи более систематически были
10 Введение к томам 3 и 4
развиты рядом авторов. Родившейся из этих исследований тео-
теории интегральных операторов Фурье посвящена гл. 25. Одним
из ее первых приложений было изучение асимптотических,
свойств собственных значений (и собственных функций) эллип-
эллиптических операторов высших порядков. Соответственно мы об-
обсуждаем этот вопрос в гл. 29 вместе с рядом более поздних
результатов, ярко демонстрирующих мощь теории. Одним из ее
предшественников было проведенное Лаксом исследование рас-
распространения особенностей решений задачи Коши. В гл. 23 мы
доказываем такого рода результаты, используя лишь псевдо-
псевдодифференциальные операторы. В гл. 26 весьма обстоятельно
обсуждается задача о распространении особенностей для опера-
операторов главного типа. Для таких операторов подход с привлече-
привлечением интегральных операторов Фурье — это единственный из-
известный подход, позволяющий устанавливать общие теоремы
существования. Одной из причин для включения в книгу этой
главы, а также следующей главы о субэллиптических операто-
операторах послужила полнота полученных здесь результатов. Помимо
теории интегральных операторов Фурье тут требуется еще до-
довольно много симплектической геометрии. Этот предмет, обсуж-
обсуждаемый в гл. 21, имеет глубокие корни в классической механике,,
но теперь он в равной мере необходим и в теории линейных
дифференциальных операторов. Дополнительные сведения и&
симплектической геометрии сообщаются и используются при
обсуждении смешанной задачи в гл. 24, которое в остальном
основано лишь на теории псевдодифференциальных операторов.
То же верно и в отношении гл. 30, посвященной дальнодейст-
вующей теории рассеяния. И здесь геометрия оказывается пре-
превосходным советчиком при выборе аналитических конструкций.
Что касается материала, не вошедшего в эти тома, то, по-
пожалуй, больше всего бросается в глаза отсутствие теории ана-
аналитических особенностей и теории существования решений-ги-
решений-гиперфункций. Заполнение этого пробела потребовало бы еще
одного тома — и другого автора. Если не считать обсуждения
свойства гипоэллиптичности, проведенного в гл. 22, очень мало
сказано об операторах с двойными характеристиками. При-
Причина— отчасти нехватка места, отчасти то обстоятельство, что
на некоторые вопросы, касающиеся таких операторов, до сих
пор не получено окончательных ответов, хотя суммарный объем
результатов в этой области весьма велик. Наконец, мы рассма-
рассматривали в основном скалярные операторы, действующие на ска-
скалярные функции, и лишь иногда определенные системы операто-
операторов. Обширные результаты, полученные, например, для систем:
векторных полей первого порядка, не отражены здесь совсем !)fc
]) По этому поводу см., например, Treves [9], т. 2. — Прим. ред.
25
Лагранжевы распределения
и интегральные операторы Фурье
Краткое содержание главы
В § 18.2 мы ввели пространство конормальных распределений,
ассоциированных с подмногообразием Y многообразия X, кото-
которые естественно обобщают классическое понятие кратного слоя
на Y. Волновые фронты всех этих распределений содержатся
в нормальном расслоении к У, которое является коническим
.лагранжевым многообразием. В § 25.1 мы обобщаем понятие
конормального распределения, вводя пространство лагранжевых
распределений, ассоциированных с произвольным кониче-
коническим лагранжевым многообразием Леи Т*(Х)\0. Это простран-
пространство состоит из таких распределений и, что порядок распреде-
распределения Pi ... PNu ограничен для произвольной последователь-
последовательности псевдодифференциальных операторов Pi, ..., PN первого
лорядка, главные символы которых обращаются в нуль на Л.
Отсюда вытекает, что WF(u)cz Л. Символ для лагранжевых рас-
распределений определяется почти так же, как для конормальных
распределений. Единственное существенное отличие состоит в
том, что возникающие при этом символы являются плотностями
порядка 1/2 на лагранжевом многообразии, тензорно умножен-
умноженном на расслоение Маслова из § 21.6.
В § 25.2 вводятся интегральные операторы Фурье; это опе-
операторы, которые имеют лагранжевы обобщенные ядра. Как и
при обсуждении волновых фронтов в § 8.2 (см. также § 21.2),
удобнее ассоциировать интегральный оператор Фурье с кано-
каноническим отношением с (Г*(Х)\0)Х(^*(У)\0), полученным
отражением лагранжева многообразия в нулевом сечении рас-
расслоения Г*(У). Доказывается, что сопряженный к интеграль-
интегральному оператору Фурье, ассоциированному с каноническим отно-
отношением С, ассоциирован с обратным к С отношением, а компо-
композиция операторов, ассоциированных с Ci и С2, ассоциирована
с композицией С\ о С2, если соответствующие композиции опре-
определены. Точные результаты о непрерывности в пространствах ЯE)
доказаны в § 25.3 для случая, когда каноническое отношение
12 25. Лагранжевы распределения
является графиком канонического преобразования. Мы об-
обсуждаем также более подробно случай, когда при проектиро-
проектировании канонического отношения в Т*(X) и Г*(К) возникают
лишь особенности типа складки.
Вещественные С°°-функции, обращающиеся в нуль на ла-
гранжевом многообразии аТ*(Х)\0, образуют идеал, имею-
имеющий dimX образующих и замкнутый относительно взятия
скобок Пуассона. Мы определяем общие лагранжевые идеалы»,
рассматривая комплекснозначные функции. В подходящих ло-
локальных координатах на X такие идеалы всегда имеют локаль-
локальную систему образующих вида
xf-dH(l)/dlj9 /=1, ..., л,
точно так же, как и в вещественном случае. Этот идеал назы-
называется положительным, если Im H ^ 0. Это условие является
решающим при исследовании и, как оказывается, имеет инва-
инвариантный смысл. Распределения, ассоциированные с положи-
положительными лагранжевыми идеалами, изучаются в § 25.4. Соот-
Соответствующие интегральные операторы Фурье рассматриваются в
§ 25.5. Результаты оказываются аналогичными соответствующим
результатам § 25.1—25.3, за исключением того, что ради крат-
краткости изложения мы не обобщаем понятие главного символа.
25.1. Лагранжевы распределения
В соответствии с определением 18.2.6 пространство Im(X, У; Е)
конормальных сечений-распределений векторного расслоения Е
есть наибольшее подпространство в °°Hl{^m_n/4)(X, E)9 n = dimXv
инвариантное относительно всех дифференциальных операторов
первого порядка, касательных к подмногообразию У. Из тео-
теоремы 18.2.12 следует, что это пространство инвариантно также
относительно всех псевдодифференциальных операторов пер-
первого порядка из ? в ? с главными символами, обращающимися
в нуль на конормальном расслоении к У. Таким образом, данное
определение можно естественно перенести на любые лагран-
лагранжевы многообразия:
Определение 25.1.1. Пусть X есть С°°-многообразие, Леи Т*(Х)\_
0 — замкнутое коническое лагранжево С°°-подмногообразие и Е —
векторное расслоение над X. Тогда пространство Im(X} Л; Е)
лагранжевых сечений-распределений порядка m расслоения Е
определяется как множество всех и ^ 35'(Х, Е), для которых:
B5.1.1) I, ...LNu<=-H?m_m(X,E)
при каждом N и любых собственных операторах Lj^W^X; Ey ?)*
главный символ которых L? обращается в нуль на Л.
25.1. Лагранжевы распределения 13
Следующая лемма позволяет локализовать изучение распре-
распределений из 1т(Х, Л; Е).
Лемма 25.1.2. Если и(=1т(Х, Л; ?), то WF(u)czA и Аи(=
Im(X, Л; Е) для любого 4g?°(J; ?, Е). Обратно, если для
каждой точки (х0, ?о)е Т*(Х)\0 существует такой собственный
оператор Ле?°A; Е, Е), нехарактеристический в (хОу |0), что
Au<=Im(X, Л; Е), то u^Im(Xy Л; Е).
Доказательство. Если (х0, ?0)^Л, то в B5.1.1) можно выбрать
операторы Lb ..., Ln нехарактеристическими в некоторой кони-
конической окрестности Г точки (хо> ?о) и заключить, что и е Я|°с
в Г при s < N — m — /г/4. Следовательно, WF(u)[\Y = 0. Что-
Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что
Lv ... LNAu = L{ ... LN__{ALNu — L{ ... L^.^ [Л, LN] u.
Здесь [Л, L^leY0^; ?, ?") и LNu^Im(Xy Л; ?) по определе-
определению 25.1.1. Индукцией по N получаем, что
L{...LNAu<=~H^m_nli){X,E)
для всех собственных операторов A ^4?°(X; E, Е) и всех опера-
операторов L/gVIX; E, Е), главные символы которых обращаются
в нуль на Л. Чтобы доказать обратное, выберем в соответствии
с леммой 18.1.24 такой оператор В, что (х0, lo)^WF(BA — /).
Тогда также (я0, ^о)^ WF(ВАи — и), и поскольку ВАи е
Im(X, Л; ?), то
Lx...LNue= °°H\™m_m в точке (х0, g0),
если Li, ..., Lyv удовлетворяют условиям определения 25.1.1.
Итак, B5.1.1) выполнено, откуда u^Im{X, Л; Е).
Замечание. До сих пор мы не использовали лагранжевость Л.
Однако если B5.1.1) выполнено, то [Ly, Lk\N ^е°°ЯAо4_п/4)(^ Я)
для любого N. Поэтому WF(u) содержится в характеристиче-
характеристическом множестве оператора [L/, Lk], как видно из первой части
доказательства. Следовательно, WF(u) не может содержать
произвольную точку из Л, если только Л не инволютивно. Ла-
Лагранжевость Л означает, что Л — минимальное многообразие с
таким свойством. Иначе говоря, условия B5.1.1) образуют мак-
максимальную совокупность условий, из которых еще не вытекает
гладкость и.
Лемма 25.1.2 сводит изучение распределений u^Im(X, Л; Е)
к случаю, когда WF(u) содержится в малой замкнутой кониче-
конической окрестности Го некоторой точки (лг0, |о)^Л и supp и бли-
близок к х0. В этом случае определение 25.1.1 имеет смысл, даже
если многообразие Л определено только в открытой конической
14 25. Лагранжевы распределения
окрестности Fi множества Го- Нужно лишь, чтобы были опреде-
определены сужения главных символов Lj на Гь Более общим образом,
пусть имеется коническое лагранжево подмногообразие Л от-
открытого конического множества Fi cz T*(X)\0. Будем говорить,
что MG/m(J,A;f) в точке (х0, |o)^Ti, если существует такая
открытая коническая окрестность ГоспГ1! точки (х0, go), что
Аи^ Im(X, Л; Е) для всех собственных операторов A G?0, для
которых WF(A)cz Го; достаточно знать это лишь для одного опе-
оператора Л, нехарактеристического в точке (х0, |о).
Ввиду теоремы 21.2.16 можно начиная с этого места считать,
что Х= Rnn Л ={(#'(?), g); ?e=Rn\0}, где Я —веществен-
нозначная функция, Я(-),е C°°(Rrt\0), однородная степени 1.
Будем также предполагать, что Е — тривиальное расслоение, и
опускать Е в обозначениях.
Предложение 25.1.3. Если u<=I?om»(Rny Л), где Л = {(#'(?), 6);
?e=Rn\0}, то u{l) = e~iH{l)v{l\ |?|>1, где v z= Sm~n/i(Rn).
В другую сторону: обратное преобразование Фурье от e~iHv
принадлежит /w(Rnf Л), если уеГп/4(К").
Доказательство. Выберем x^Co°(Rrt) Равным 1 в некоторой
окрестности точки 0 и определим /г, полагая Н = %ЙОу где Яо =
A—%)Н'. Тогда Яо — Йе?' (см. доказательство теоремы
7.1.22), откуда Яо — йе^, Поэтому h^S1 имеет главный сим-
символ Я, так что достаточно доказать утверждение с /i вместо Я.
Положим /i/(|) = (9/i(|)/(9|/. Оператор hj(D) есть оператор
свертки с обратным преобразованием Фурье от h,-. Следователь-
Следовательно, он является собственным. Поэтому
B5.1.2) Dp П (*/ - hj (D))ai и е °°Н{.-т-пЦ) при | р | = | а |,
поскольку [л;/ — hj(D), Dk] = iSjk, так что, переставляя множи-
множители D^, мы получаем сумму произведений операторов вида
(х, — hj(D))Dk, к которым можно применить B5.1.1). Вспоми-
Вспоминая определение °°Я(_т_^/4), мы получаем, что
R/2<\l\<2R
R>U |p| = |a|.
Используя обозначение u(Q = e-ih&)v(Q, можно записать по-
последнее неравенство в виде
J \Z\na]\Dav ®\2 dnl)
Rj2<\l\<2R
25.1. Лагранжевы распределения 15
Положим vR(l) = v(Rl)/Rm~n/\ Тогда
Г/2<1Б1<2
что, согласно лемме 7.6.3, дает нам равномерные оценки для
DavR при |g|=l, т. е. для \Dav(Q | A +1 g |) iai-m+*/4. Эти рас-
рассуждения можно обратить и тем самым доказать последнее
утверждение предложения. При этом переход от операторов
(xj — hj(D))Dk к общим операторам L/ в B5.1.1) можно обосно-
обосновать при помощи соображений, приведенных перед теоремой
18.2.7.
Небольшая модификация приведенного доказательства дает
точную информацию о гладкости распределений из 1т. Сформу-
Сформулируем результат сразу в глобальном виде.
Теорема 25.1.4. Если U^Im(X, А) и U <= #(So) в точке (х0, go)^
Л, то U е 1»(Х, Л) в (лг0, go) при \х + s0 + л/4 > 0.
Доказательство. Возьмем собственный оператор ^g?°(X), не-
нехарактеристический в точке (х0, go), для которого AU е ЯEо).
По лемме 25.1.2, Л[/е/т. Можно так выбрать Л, чтобы
И?Т(Л?/) лежал в малой конической окрестности точки (х0, g0).
Обозначая а = Л[/, мы видим, что достаточно проверить вклю-
включение и е /»* в случае, когда a e H(So) и ^ удовлетворяет усло-
условиям предложения 25.1.3. Используя введенные выше обозначе-
обозначения, имеем
J I DavR (Б) |2 rfg < Ca, J | иЛ (g) |2
l/2<|g|<2 l/2<|g|<2
Возьмем |g|=l и положим VR * (t)) = vR(l + t)/R6) R~nm, где
6>0. Тогда
Воспользуемся теперь неравенством Соболева
V|a|=
где 5 > /г/2. Это неравенство немного обобщает G.6.6), но до-
доказывается точно так же. Выбирая s настолько большим, что
sS > s0 + m + /г/4, мы получаем
16 25. Лагранжевы распределения
Следовательно,
Для каждого р можно так выбрать б, чтобы показатель был
меньше |х — п/4 — |р|. Поэтому ogS^4 и, следовательно,
we/»*.
Теперь мы докажем, что распределения из 1т(Х, А) могут
быть представлены с помощью произвольной фазовой функции ф,
параметризующей лагранжево многообразие Л в смысле опре-
определения 21.2.15. Сначала мы предположим, что ср невырожденна.
Предложение 25.1.5. Пусть ф(х, 0) — невырожденная фазовая
функция в открытой конической окрестности точки (jc0, 6o)^
КлХ(К^\0), параметризующая лагранжево многообразие А
в окрестности точки (хОу |0); ?о = Ф*(*о» ео)> Фе (хо> 8о) = о- Если
fle5m+("-2iV)/4(RttX RN) имеет носитель, лежащий внутри до-
достаточно малой конической окрестности Г точки (х0, 60), то
осцилляторный интеграл
B5.1.3) и (х) = Bnr{n+2N)li J е/ф(* % (х, 6) rf6
задает распределение иеСпр!^, Л). ?слгг Л = {(Я/(^), I)} как
в предложении 25.1.3, то (для \1\> 1)
B5.1.4) еШ{1)й (I) - Bя)п/4а (*, 6) еШ(А)&ёПф \ det Ф |~1/2 е Sm-rt/4-1.
Здесь точка (х, 6) определяется соотношениями ф^ (х, G) = О,
<f'(x, 8)=S, а
Ф
\Фв*
p этож а(х, 8) дго определению равняется 0, вела такой точки
(х, 6) яет в Г. Функция еш^йA) полиоднородна (т.е. допускает
асимптотическое разложение по однородным функциям от |),
если этим свойством обладает а(х, 8) (по 8). Обратно, если
u^Im(Xy Л) u flPF(H) лежит в малой конической окрестности
точки (xq9 Но), то распределение и по модулю С°° может быть
записано в виде B5.1.3).
Для доказательства нам понадобится следующее обобщение
леммы 18.1.18:
Лемма 25.1.6. Пусть Г, с: Rni X (RNj \ О), /=1, 2, — открытые
конические множества, и пусть -ф: Г1->Г2—собственное С°°-ото-
25.1. Лагранжевы распределения 17
бражение, коммутирующее с умножением второй переменной на
положительные числа. Если aGSm(Rtt2X R^2) имеет носитель
внутри конического множества cz Г2 с компактной базой, то
aoty e Sm (RrtlX R^1)» где композиция определена вне Т\ как 0.
Доказательство. Носитель ao\|) лежит в коническом множестве
d Fi с компактной базой, поэтому в этом носителе соотношение
<ф(х, ?) = (*/, ц) влечет оценку |g|/C<|r]|<C|||. Условие на
а означает, что
Поскольку ao\|)(x, tQ = a(-, ^-)°г|)(х, g) в силу однородности
tf>, то, используя правило Лейбница, получаем
Это доказывает лемму.
Доказательство предложения 25.1.5. По предположению
Ф^ (xQ, ВЛ = |0 =^= 0, поэтому осцилляторный интеграл B5.1.3)
определен. Если Г имеет компактную базу, то supp и — компакт.
Применим метод стационарной фазы для вычисления осцилля-
торного интеграла
B5.1.5) *1Я<«й(Б) = BяГ(я+^^ Q)dxdQ.
Точка стационарной фазы удовлетворяет уравнениям
ф' {х 9) = g, ф' (х, 8) = О,
которые по условию означают, что (х, 5)еА и, следовательно,
х = //'(|). Стационарная точка невырождеына. Действительно,
отображения
являются диффеоморфизмами. Следовательно, Сэ(*, 8)«—>
Ф^ — диффеоморфизм, поэтому из d<p'x = dq>Q = O следует dx = 0,
dJd = O. Отсюда вытекает, что матрица ф невырожденна. Если
мы разделим (умножим) первые п (последние N) строк (столб-
(столбцов) на 161, то увидим, что detф — однородная функция от 8
степени п — N. Следовательно, а(х, 8) | det Ф|~1/2 принадлежит
Sm-niA B конической окрестности множества С. По лемме 25.1.6
то же справедливо и для ограничения этой функции на С, рас-
рассматриваемого как функция от %.
18 25. Лагранжевы распределения
Из теоремы 7.7.1 следует, что для некоторой константы С
при всех N
B5.1.6) \\
если |6|>С|&| или |||>С|в|.
Действительно, семейство функций (ср(х, 9)—<, S»/(|S|4
\B\) = f(x) однородно по (|, 9) степени 0 и ограничено в С°°.
Если (х, 8)esuppa, то
\ff(x)\>{\l\-Cl\Q\)/(\l\ + \Q\)>l/29 если |8|/|?| мало,
1П*Ж(С2|8|-Ш)/(Ш + |8|)>С2/2, если Ш/|8| мало.
Следовательно, мы можем применить теорему 7.7.1 с со=| S |+| 8 |.
Возьмем функцию % е Со° (R'v \0), равную 1 при 1/С<
|8|<С. Ввиду B5.1.6) разность между еш®йA) и
U ® = B^)-(rt+2;v)/4 J J е' <*<*• в)+я(б)-<«. Ь)х (е/| g |) а (Xf в) rfx rf9
быстро убывает при |^|->оо. Положим |g| = /, g// = rj и заме-
заменим 9 на /9. Получим
(x, t%)tNdxd%.
Здесь фазовая функция имеет только одну критическую точку
в носителе подынтегральной функции, определяемую системой
уравнений q^C*, 9) = 0, q?(Jt, 8) = т|. В этой точке
Ф (х, 9) = (9, ф^ (х, 9)) = 0, (х, г]) = <#' (т,), л) = Н (Л),
так что критическое значение равно 0. Используя G.7.13), мы
получаем асимптотическое разложение для U. Поскольку в кри-
критической точке х= 1, главный член равен
Bя)"/4 а (х, /в) t{N-n)l2e(nmsgn Ф | det Ф Гт,
что совпадает с главным членом, указанным в B5.1.4), ввиду
упоминавшейся однородности det Ф. Производя дальнейшее
асимптотическое разложение, мы видим, что k-и член будет со-
содержать дополнительный множитель t~k и линейную комбина-
комбинацию производных от а(х, Щ по (х, 8). Поэтому k-и член при-
принадлежит Sm-n/4~k. Из предложения 18.1.4 вытекает, что мы по-
получили асимптотическое разложение в смысле предложения
18.1.3. Таким образом, мы доказали первую часть предложения.
Чтобы доказать обратное, достаточно ввиду предложения
25.1.3 рассмотреть лишь распределения u^Im(X} Л), у кото-
которых v = ueiH e Sm~n/4 имеет носитель в малой конической
окрестности точки ?о- Выберем С°°-отображение (х,
25.1. Лагранжевы распределения 19
тр (jc, 0)е И?л\0 в конической окрестности точки (лг0, 8о), одно-
однородное степени 1, так чтобы г|э(х, 8) = дср/дх при dcp/dQ = 0.
Положим
а0(х, 6) = BпГп/4vo^(Xt 0)е~ш/4)*ёпф\ det Ф |1/2 е s*"-2^4
вблизи С и зададим распределение и0 формулой B5.1.3) с а0
вместо а. Тогда из первой части предложения вытекает, что
и — ио^[т~{. Повторяя приведенные выше рассуждения, мы
получаем такую последовательность а/ е Sm+(n-2Ny>/A-J\ что
и — и0— ... —м/е/-'-1, где щ определяется формулой
B5.1.3) с uj вместо а. Следовательно, если а—асимптотическая
сумма ряда Yu Я/> то B5.1.3) выполняется по модулю С°°. Пред-
Предложение доказано.
Теперь посмотрим, что нужно изменить в предыдущих рас-
рассуждениях в случае, когда ф — чистая фазовая функция. При
этом B5.1.6) по-прежнему выполнено, так что остается рас-
рассмотреть U(l). Однако ф(л:, 0) + #(т|)—<лг, у} может не удов-
удовлетворять условиям теоремы 7.7.6. Мы знаем, что (локально)
с = {(*,в); <эФ(*, еу<эе = о}
есть многообразие размерности е + п, где е — эксцесс, и ком-
композиция С-> A->R": (jc, 8)н->(jc, ф^) н-> Ф^ имеет сюръективныи
дифференциал. Следовательно, С — расслоение со слоем Сц раз-
размерности е над точкой г), где х = Н'(ц). Критические точки фазы
<р(лг, 8) + Н(ц)—(х,у} определяются соотношениями ф^ = 0,
<р^. = г|, т. е. (a:, 8)gC и йф^ = 0, ^ф^ = 0 в точности вдоль
касательного пространства к Сц. Отметим, что |8| ограничен
сверху и отграничен от нуля снизу на С-n, поскольку 1ф'|=1.
I х |
Можно разбить переменные 8 на две группы 8' и 0" так, чтобы
число переменных 0" равнялось е, а дифференциал проекции
С^ з (я, 8)»—> 8" был изоморфизмом. Тогда из d(p'Q = 0, dtfx = 0,
dQ" = Q вытекает dx = 0> rf8=0. Таким образом, определитель
гессиана фазы <р(х, 8) + Я(г])—(х, ц} по переменным (х, 80 не
равен 0, т. е. критические точки на Сл при фиксированном 0"
невырожденны. Заменим определение ф на
U-, Фе-eJ"
Тогда, применяя теорему 7.7.6 к такому же интегралу, как ин-
интеграл, задающий ?/(?), но взятому по n-^-N — е переменным
20 25. Лагранжевы распределения
х9 0', мы получаем после интегрирования по 0", что
еш®й{1)-{2п)п1А-ф \ t{N+e-n)/2a(x, /9)^/4)sgnO| det Ф f1*2dB" s
«»n+e/2-n/4-l
Отметим, что порядок увеличился на е/2, поскольку метод ста-
стационарной фазы применяется по переменным, количество кото-
которых на е меньше. По той же причине показатель степени у 2я
уменьшился на е/2. Принимая /0 за новую переменную и учи-
учитывая, что теперь detO — однородная функция степени п—N-\-ey
мы получаем
Предложение 25.1.5'. Пусть qp(jt, 0)—чистая фазовая функция
с эксцессом е в открытой конической окрестности точки (хОу 0О) е
R"X (R^NO), параметризующая лагранжево многообразие А
в окрестности точки (х0, go); % = 4>'х(хо> 9о)> Фе(Л> 90) = °- Если
а е Sm+(n-2N-2e)/4( Rn X RN) имеет носитель, лежащий внутри до-
достаточно малой конической окрестности Г точки (х0, 80), то
осцилляторный интеграл
B5.1.3/ и (х) = Bn)-{n+2N~2e)/4 J е'фи \ (х, 0) rf0
задает распределение и е /^,mp(RAZ, Л). Если Л^ {(Н'(%), Е)},
в предложении 25.1.3, то
B5.1.4)' е'ЯF)Л(?)-Bя)я/4 Ja(x, 0) е(ш'/4)згпФ| det Ф
Здесь С^ = {{х9 0); ср'0 {х, 0) = 0, ср^ (х, 0) = Щ; 0 = @', 8") — раз-
разбиение переменных 0 на две такие группы, что дифференциал
отображения С| э (х, 0)ь->8" является изоморфизмом. При этом
Обратно, любое распределение u^Im(X, Л) с волновым фрон-
фронтом WF(u), лежащим в малой конической окрестности точки
(*<ь ?о), может быть по модулю С°° записано в виде B5.1.3)'.
Замечание. Если f^C°°(Y) имеет критическую точку в у0 е УУ
то |det/"((/o) |1/2 преобразуется как плотность в точке у0. Именно
поэтому в обычной формуле стационарной фазы плотность в
подынтегральном выражении переходит в скаляр в асимптоти-
асимптотическом разложении. Другой пример: пусть f стационарна на
подмногообразии Zc У и невырожденна в трансверсальных
25.1. Лагранжевы распределения 21
направлениях. Тогда квадратный корень из определителя гес-
гессиана в трансверсальной плоскости задает плотность на нор-
нормальном расслоении. Деля на нее плотность на У, получаем
плотность на Z. Это подтверждает инвариантный смысл подын-
подынтегрального выражения в B5.1.4)'.
Замена локальных координат х в представлении B5.1.3) эле-
элемента из 1т(Х, А) не составляет труда, так что предложение
25.1.3 содержит все необходимое для определения главного сим-
символа для элементов из /т, в обобщение теоремы 18.2.11. Однако*
для начала полезно установить следующее предложение о схо-
сходимости элементов из /т, которое укажет связи между конструк-
конструкциями данного параграфа и соответствующими понятиями, вве-
введенными для линейного случая в § 21.6.
Предложение 25.1.7. Пусть i/g/Lp(R",A), Л = {(//'(?), g);
^gR40} и обозначим ешй = Bл)п/4 v, v e= sm~nj\ Если
яр е С°° ( Rn) — вещественная функция, г|) (х0) = О, t|/ (x0) = 1о?=О>
(хо, go) e Л, то при t -> + оо
B5.1.7) Г2"-^-"*)^^ в Я/>
где
B5 1 8) ^ Ь {Х) = BЯ)ЗП
Qth(x, Ъ) = (х, l)
Отметим, что множитель t~n/2 в левой части B5.1.7) озна-
означает, что uerlt** переносится обратно подобно плотности порядка
1/2 при отображении хь->хо + x/t. Другой множитель t~2m от-
отражает тот факт, что мы рассматриваем распределение и по-
порядка m вблизи частоты /2|0-
Доказательство предложения 25.1.7. По формуле обращения
Фурье
Заменяя I на t2t0 + /g, мы для %^С™ получаем
B5.1.9) Г*—/2<(«в-"'*)(*о+-А).Х>
= BлГ3пН \ \ elEt «*• «0 (/2|0 + /|) г^+^х (х) dx
где
?< (х, I) = (дг0 + x/t, Пъ + tl) - t2^ (хо + x/t) - /2tf (lo + I/O.
Поскольку ЯAо) = <Я/(|0), |o> = <*o, lo>, Я'Aо) = д:о,
?) = lo, то
22 25. Лагранжевы распределения
равномерно на компактных множествах. Следовательно,
B5.1.10) J eiEt <*• *>х (х) dx — J ехр (/<$,. 6о (*, ?)) х (*) d*
равномерно по | на компактных множествах. Если х е supp%, то
при |?|>2С+ 1. Отсюда по теореме 7.7.1 получаем, что левая
яасть B5.1.10) имеет мажоранту Cw(l + UI )~~^> не зависящую
от /, где N произвольно. Поэтому
BяГ3"/4 ] \ eiE< *»х (х) dx dl - (at ь, %У
Отсюда будет следовать B5.1.7), если мы покажем, что при
больших N
Здесь подынтегральное выражение допускает мажоранту
при ||| </|io|/2, так что эта часть интеграла равна 0A//).
При |||>f||o|/2 подынтегральное выражение, очевидно, мажо-
мажорируется функцией A+|?|L1т1+я/2-ЛГ, что завершает доказа-
доказательство.
Замечание. Если ие2)'(Кя), (jc0, lo)&WF{u) и О Ф Ъ =
/ то
/^ (ив-*) (jc0 + x/t) -> 0 в 2У
при любом TV. Действительно, заменяя и на %^> где %<=Со°>
supp х лежит в достаточно малой окрестности точки хо и % = 1
в некоторой окрестности хо, мы можем считать, что «е^' и й
быстро убывает в конической окрестности точки |0. Можно так-
также считать, что ф(х) = Ос, ?о>, так как если р имеет нуль вто-
второго порядка в точке хо, то t2p(xo + x/t)-+-(p"(xo)x, x}/2yt-+-oo.
Тогда преобразование Фурье от tN+l (ue~it2^) (xo-\- x/t) равно
.tN+n+lu(t2lo + tl)eit{Xo>b\ т. е. является ограниченной функцией
при малых |?|Л> и всюду равномерно ограничено некоторой сте-
степенью 1 +\Ц.
Для OGSjJrgn/l из B5.1.7) получаем, что
B5.1.7)' Г2т-ф{ие-и2*){х0 + х1г)^ю,{10)и1лАх) в Ф\
где Уо — главный символ и. На первый взгляд кажется, что эта
сходимость тесно связана со специальным выбором локальных
координат х. Однако на самом деле это не так:
25.1. Лагранжевы распределения 2?
Лемма 25.1.8. Пусть щ — распределения в некоторой окрест-
окрестности точки 0 в Rn, для которых M*ut->U в SDf при t-*~O, где-
Mt(x) = tx. Если 8 — локальный диффеоморфизм в окрестности:
точки О и 9@) = 0, то
M*fi*ut->%U при /->0,
где 90 (х) = Q'(O)x — дифференциал 9 в 0.
Доказательство. Поскольку M*fi*ut = M*Q*M\,tM*tut и
М\ц oQ оMt(x) = Г*9(tx)-*90(х)
в С°° при /-^0, то M*fi*ut->%U.
Таким образом, сходимость М*ш не зависит от выбора ко-
координат. Если рассматривать щ как распределения на много-
многообразии, то предельное распределение U оказывается распреде-
распределением на касательном пространстве в 0. Если распределение
ut преобразуется при заменах переменных как обобщенная по-
полуплотность, то U соответственно приобретает множитель.
| det9'@) |1/2, так что предел U оказывается полуплотностью на
касательном пространстве.
Вернемся теперь к B5.1.7)', где v e S?hgn/4 имеет главный
символ у0. Если и рассматривается как полуплотность
u(x)\dx\l/2 на многообразии X, выраженная в локальных коор-
координатах х, то предел yo(^o)w?oio является полуплотностью на
касательном пространстве ТХо(Х). В касательном пространстве
S = TXq,iAT*(X)) касательные плоскости Х\ и Я к графику г|/ и
к Л задаются в локальных координатах уравнениями |==\|)//(jc0)x
и jt = #"(!o)| соответственно. Касательное пространство к слою
х = 0 является выделенной лагранжевой плоскостью %0 в S.
Сравнение B5.1.8) с B1.6.5) и B1.6.6) показывает, что>
и (?0)t/Jo ?о ^ / (Я, А,,) определяет элемент в /(Я), не зависящий
от выбора г|), и, следовательно, элемент тензорного произведения
Мх ® QJ^2. Здесь Мх — слой над X расслоения Маслова, опреде-
определяемого над Т*(Х) касательными плоскостями к слоям, a Q^2 —
слой расслоения полуплотностей над X. В тривиализации рас-
расслоения Маслова, задаваемой лагранжевыми плоскостями | = 0
в локальных координатах, использованных в предложениях:
25.1.5 и 25.1.7, указанная полуплотность в касательном простран-
пространстве в точке (Я'(go), §о)еЛ есть v(go) \dl\1/2, где g — параме-
параметризация Л при помощи уравнения л: = #'(?). Таким образом^
мы получаем инвариантно определенное сечение расслоения
МА ® й]B, которое оказывается однородным степени m + п/4^
-24 25. Лагранжевы распределения
(Понятие однородности обсуждалось перед определением
18.2.10.) Оно называется главным символом распределения и.
Предыдущие рассуждения мотивируют определение главного
символа для общего распределения и^.1т(Х, Л), однако на
самом деле оно будет опираться лишь на предложение 25.1.5.
Прежде чем дать это определение, мы должны обобщить опре-
определение 18.2.10 на символы на коническом многообразии. На
произвольном коническом многообразии V определено умноже-
умножение Mt на вещественные числа t > 0, удовлетворяющее усло-
условиям определения 21.1.8. Пусть Sm(V) есть множество всех
аеС°°A/), для которых функции t~mM*ta равномерно ограни-
ограничены в C°°(V) при t ^ I. Если для некоторого компактного мно-
множества К с: V носитель а содержится в |J MtK и V — открытое
подмножество в R" X(R^\0), в котором Mt действует как ум-
умножение второй компоненты на /, то, как видно из доказатель-
доказательства леммы 25.1.6, наше определение Sm(V) согласуется с преж-
прежними. Преимущество нового определения в том, что оно приме-
применимо и тогда, когда, скажем, а — полуплотность на V. Пусть
а0 — фиксированная положительная полуплотность на V, одно-
однородная степени ^, т. е. M]a^ = fa^ Например, если V = R/2X
(R^\0) с координатами х, 8, то \dx\ 1/2|^8|1/2 — полуплотность,
однородная степени ^, = N/2. Мы можем теперь записать любое
распределение a<=Sm(v, Qi/2) в виде a=aob, где 6<=Sm-^(l/) —
«скалярный символ, и обратно, любое такое произведение при-
принадлежит Sm(K, Ql/2).
Вернемся теперь к определению главного символа для об-
общего случая и^1т(Х, Л), где X—многообразие класса С°°, а
ЛаТ*(Х)\0 — коническое лагранжево С°°-многообразие. Для
любой точки (х0, |0)^Л можно выбрать локальные координаты
х вблизи х0 так, чтобы коническая окрестность Г точки (х0, |о)
в Л задавалась в локальных координатах уравнением *=#'(?),
как в предложении 25.1.3. Если конус Ti с: Г компактно порож-
порожден, то лемма 25.1.2 позволяет разбить и в сумму U\-\-ii2, где
и/е=/т(Х,Л) и WF{ux)aT, a WF(u2)(]Ti = 0. Можно выбрать
п\ с компактным носителем в рассматриваемой координатной
окрестности. Для преобразования Фурье в выбранных локаль-
локальных координатах имеем, согласно предложению 25.1.3,
B5.1.11) еш{1)й{ F) = BяГ/4 v (I) e= Sm~n/\
Если u = u\-\-U2 — другое разложение с такими свойствами, то
WF(ui — u{)r\Ti = 0. Поскольку WF(ui — ux)cz Г и Г{ =
{(#'(?), |); g^Yi}, где 7i cz R"\0 — некоторый замкнутый ко-
конус, то преобразование Фурье от п\ — п\ быстро убывает в неко-
25.1. Лагранжевы распределения 2&
торой конической окрестности конуса у{. Следовательно, класс
смежности v в Sm~n/AG1) /50G1) не зависит от разложения и,
и мы можем рассматривать u|d?|1/2 как элемент из
5т+л/4(Гь Q^)/S~°°(rb Qj/f) благодаря изоморфизму 71=э?н-^
(#'(?), g)e Гь Теперь рассмотрим, насколько этот класс смеж-
смежности modSm+n/4-1 зависит от выбора локальных координат. Эта
удобно сделать, анализируя данное только что определение сим-
символа, когда и представлено в виде B5.1.3) при помощи невырож-
невырожденной фазовой функции, но в фиксированных локальных коор-
координатах. Отметим, что ввиду B5.1.11) распределение щ допу-
допускает представление
B5.1.11)' и, (х) = BяГ3"/4 \ еЦ{х- 5>-Я(|)) v (I) dl,
которое является частным случаем B5.1.3) с <р(х, ?) = (*, ?)—
ЯA) и N = n.
Из B5.1.4) вытекает, что если и е= /?тР {X, А) и eiHu=Bnf4v, to
B5.1.12) о(|) \dl\ll2-a(x, 9
где (xf 8) определяется соотношениями Фе(х, Э) = 0, q>'x(xf 9) = ?
как функция от |. Выражения в B5.1.12), стоящие за множите-
множителем Маслова exp((my4)sgn(D), допускают следующую интер-
интерпретацию. (Сравните с B1.6.if)'.) Обозначим, как и выше,
С = {(х9 6); ф/в(*эв) = О}.
Прообраз ^с = б(фз] дельта-функции б в R^ при отображении
(х, 8) ь->ф^ е R^ задается плотностью на С вида
где %=Aи ..., Ял)—произвольные локальные координаты на
многообразии С, продолженные до С°°-функций в некоторой его
окрестности, и \d%\ — мера Лебега. Это вытекает из F.1.1).
В частности, можно взять А, = ф^, когда Л параметризовано при
помощи ?. Тогда dc = \dl\ • |det Ф]-1 и, следовательно,
^zo.i.io; и {Су)| ug | = а\л
где С отождествлено с Л при помощи отображения (х, 8)
Если мы теперь введем новые координаты х и преобразуем
и как полуплотность, т. е. u(x) — \Dx/Dx\l/2u(x), то B5.1.3)
26 25. Лагранжевы распределения
даст
и (х) = Bn)-{n+2N)I* \ет*' % (х, 9) rf8f
ф (je, в) = ф (х, 9), a (*, 9) = | Dx/Dx |1/2 а (х, 9).
Идентифицируя очевидным образом многообразия С и Су опре-
определяемые пофИф соответственно, мы получаем dc—\ Dx/Dx \dg9
откуда
Таким образом, полуплотность t;(|)Jd||1/2 инвариантна относи-
относительно замен локальных координат с точностью до множителя
Маслова, равного по модулю 1. Сигнатура любой невырожден-
невырожденной (п + #)Х(я + А0-матрицы ф сравнима с (п + N) mod2.
Следовательно, если Ф — матрица, заменяющая ф в новой си-
системе координат, то B5.1.13) в новых координатах приобретает
дополнительно множитель eWWsgno-sgnd^ который является
целой степенью мнимой единицы /. Это означает, что для эле-
элемента и^1т вида B5.1.3) формула B5.1.13) задает главный
символ, принадлежащий S+n/4(A, Qa2)> который однозначно
определен modSm+rt/4~1 (Л, Qa2)h домножается на целую степень
i при замене локальных координат. Итак, для каждого и е
1т(Х, Л) главный символ принадлежит
sm+nli(A, мк ® uf)lsm+nli-x (л, мА ® of).
где Мл — локально постоянное линейное расслоение. Оно опре-
определяется покрытием Л = иГ/ многообразия Л открытыми кону-
конусами и функциями перехода, тождественно равными целым сте-
степеням /. Проведенное выше обсуждение полиоднородного случая
или просто сравнение B5.1.13) с B1.6.17)/ позволяет отожде-
отождествить Мл с расслоением Маслова, определенным более геоме-
трично в § 21.6. В частности, из B1.6.18) следует, что если
имеется другое локальное представление
помимо B5.1.3), то
adf _ e(nmsadf e= S^"'4 (Л, QJf)
1/9 1/9
в общей области определения символов adg и ad^ на Л. Здесь
5 = sgn q?e (x9 9) ~ sgn ф^ (Х> §),
причем <р'(х, Q) = y'(xf 6) = 0 и ф^(х, 9) = ф^(х, e) = S. Целое
число 5 локально постоянно, и теперь л: — произвольные
25.1. Лагранжевы распределения 27
координаты. Таким образом, мы нашли связь с определением
расслоения Маслова, намеченным после B1.6.17).
В итоге мы получаем следующее обобщение теоремы 18.2.11„
включающее случай общих векторных расслоений:
Теорема 25.1.9. Пусть X — произвольное С°°-многообразие, Леи
Т*(Х)\0 — коническое лагранжево С°°-подмногообразие и Е —
комплексное векторное С°°-расслоение на X. Тогда определен
изоморфизм
Г{ХУ Л; uf®E)llm-x (X, Л; Qf ® E)
-^Sm+*/4(A, МА ® пТ ® E)/Sm+m-1 (Л, МА® uf ® Е\
где ё — поднятие на Л расслоения Е. Образ распределения при
этом изоморфизме называется главным символом этого
распределения.
Доказательство. Ввиду леммы 25.1.2 достаточно проверить эта
утверждение локально. Для подходящих фиксированных локаль-
локальных координат утверждение следует из предложения 25.1.3. Рас-
Расслоение Маслова было определено не зависящим от выбора ко-
координат способом. Мы часто будем писать Е вместо В в тех
случаях, когда это не приводит к недоразумениям.
При условиях предложения 25.1.5' главный символ распре-
распределения и, выраженный в соответствующих локальных коорди-
координатах, равен
Это вытекает из B5.1.4)'; С$ и ф были определены в предложе-
предложении 25.1.5'. Интересно провести сравнение с определением
§ 21.6. Для любой точки (хи 8i)eQ гессиан Q фазовой функ-
функции ф/2 в (х\, 0i) определяет
U = a(xu Ql)Bn
где R — радикал матрицы QXuQl по переменным б1), X —каса-
—касательная плоскость к Л в (#'(?), I), a A,i — горизонтальная ла-
гранжева плоскость, задаваемая соотношением d\ =0. По пред-
предположению отображение #э8к->8" биективно, и символ рас-
распределения U, определенный в § 21.6 в локальных координатах
х, |, равен
| dE ||/2 a (jclf 90 ^я?/4) ввпФ | det Ф Г1/21 d9^ |.
') То есть R — подпространство в R", состоящее из векторов 9", для ко-
которых QXx QjB" = 0. — Прим. перев.
28 25. Лагранжевы распределения
Поскольку отображение Q3(jf, Q)*—>Q" биективно, то ||
положительная плотность на С$. Таким образом, в соответствии
с § 21.6 символ распределения и определен как интеграл по С%
от плотности на С$ со значениями в (Мл®Qa2)(#'U).d-
Фазовая функция —ф определяет лагранжево многообразие
Л = /Л, где отображение /: Г*(Х)->Г*(Х) задается формулой
i(x, ?) = (х, —I). Из B5.1.4) следует, что главный символ рас-
распределения п определен на Л формулой
B5.1.15) а(ху 9) е~{лЩ) sgn Ф | det Ф |
-П2
т. е. равен прообразу комплексно сопряженного к главному сим-
символу распределения и при отображении [. Далее, комплексно
сопряженное к сечению расслоения Мл® йл2является сечением
расслоения Мл1®^2 и ГМа.1 = Мл. ввиду B1.6.5), поскольку
1*о = —а. (Это просто другое описание комплексного сопряже-
сопряжения множителя Маслова в B5.1.15).) Итак, прообраз сечения
расслоения МХ1®*^2 можно отождествить с сечением расслое-
расслоения М^ ®Q^2. В итоге доказана
Теорема 25.1.10. Пусть выполнены предположения тео-
теоремы 25.1.9, и пусть /: E-^F — антилинейное отображение рас-
расслоений. Если ие=Г(Х, Л; Q*2®?), то ju<z=Im(Xy Л; Q^2®/7),
где Л = /Л^ i(x, 6) = (х, —6); при этом С\а е= Sm+nl4{X, Л;
М% ® Q]?<8)F) является глазным символом juf если?ае=8т+п14(Х, Л;
ЛГл®^2®^) — главный символ распределения и.
Как и в § 18.1, мы могли бы рассматривать в предыдущих
конструкциях гораздо более общие символы. Лемма 25.1.6
остается справедливой для символов классов S^ = S^i-p. Более
общим образом, мы можем определить SJT (V) для конического
многообразия V как множество функций аеС°°A/), для кото-
которых семейство функций
равномерно ограничено в Ck(V) при каждом k ^ 0. Мы отка-
откажемся теперь от внутреннего определения 25.1.1 и определим
/Ц1 при р > 1/2 как множество распределений, которые микро-
микролокально имеют вид B5.1.11)' с v^S%~nl\ На такие распре-
распределения легко обобщается предложение 25.1.5. При этом дока-
доказательство по существу останется прежним. Таким способом мы
25.2. Исчисление интегральных операторов Фурье 29
получим изоморфизм, задающий главный символ
1?(Х, Л; п? ®?)//pm+I-2p(*, A; uf <8> E)
(Л, МЛ ® Qf <8> ?)/Spm+/!/2+|-2° (Л, Мл ® Qf ® ?)•
Можно было бы также определить 7™ условием B5.1.1) из
определения 25.1.1, взяв L/ е Ч^0 (X; ?, ?) с главными симво-
символами, обращающимися в нуль на Л. Однако доказательство
аналога предложения 25.1.3 для таких операторов потребует
больше усилий. Дело в том, что нужно рассмотреть операторы
с символами вида 1?|рх((* — А'(Е)) \Ъ\ 1~~9) (*/ — МБ)) и, кроме
того, операторы с символами вида |?|2р~10—%{{х — h'(Q) X
XUI 1~р)). Здесь % е С^°, jj = 1 в некоторой окрестности начала
координат. Восполнить детали мы предоставляем заинтересо-
заинтересованному и энергичному читателю.
25.2. Исчисление интегральных
операторов Фурье
Пусть X и Y — два С°°-многообразия и ?, F — два комплексных
векторных расслоения на X, Y. Тогда любое распределение
А<=2)' (XXY, Qx2x y ® Horn (Z7, ?)) определяет непрерывное
отображение
a: Co°° (Г, Qf ® F) -> 3b' (X, Qf ® f),
и наоборот. (См. § 5.2, а также § 18.1, где разъясняется роль
полуплотностей.) Здесь слой векторного расслоения Hom(/% E)
в точке (х, у) состоит из всех линейных отображений Fy-*-Ex.
В частности, если Л — замкнутое коническое лагранжево под-
подмногообразие в Г*(ХХУ)\0, то мы можем отождествить
Im(XX^Y, Л; Q1x2xy ® Hom(f, E)) с соответствующим простран-
пространством таких отображений s&. Предположим, что
B5.2.1) Ас(Г (X) \ 0) X (Г (Y) \ 0).
Тогда из теоремы 8.2.13 и леммы 25.1.2 следует, что оператор зФ
на самом деле является непрерывным отображением из С™ (Y)
в С°°(Х) и может быть продолжен до непрерывного отображе-
отображения из &'{Y) в 2)'{Х). При этом
B5.2.2) WF {s4>u) cz С (WF (и)), иеГ (Г, Qy/2 ® F),
где
С = Л7 = {(х, I, у9-г\)е (Г (X) \ 0) X (Г (Г) \ 0); (х9 t У, ч)^А}
есть каноническое отношение из T*(Y)\0 в Т*(Х)\0. (См.
определение 21.2.12.) Как и в § 21.2, мы называем Л = С
30 25. Лагранжевы распределения
скрученным каноническим отношением. Расслоение Маслова М\
можно рассматривать как расслоение Мс на С, определенное по
С и по симплектической форме произведения вх — err.
Определение 25.2.1. Пусть С — однородное каноническое отно-
отношение из T*(Y)\0 в Т*(Х)\0, замкнутое в T*(XXY)\0, и
пусть Е9 F — векторные расслоения на X, Y. Тогда операторы
с ядрами, принадлежащими Im(XXY> С; ЙлРху ® Нот (F, ?)),
называются интегральными операторами Фурье порядка m из
пространства сечений расслоения F в пространство сечений рас-
расслоения Е, ассоциированными с каноническим отношением С.
Пусть Е* — векторное расслоение со слоем Е*х в точке jcgI,
антидуальным к слою Ех расслоения Е. Тогда имеется спари-
спаривание
и, v ь^ J (Uf v) (х), и €= Со (X, Qf ® Е), ие ЗУ (Х, uf ® ?*),
и аналогично для расслоения F на Y. Если Ле5);AХ^
й]/2х y ® Нот (F, ?)), то сопряженное к отображению Co°(F,
Qy2 ® F) -> ЗУ(Х, Qlx2 ® ?), заданному распределением Л,
соответствует распределению Л*еiZ/(УX^> йУхх®Нот(Я*, Т7*)).
Если 5: Y XX-+XXY — отображение, переставляющее множи-
множители, то Л* получается применением к s*A антилинейного ото-
отображения расслоений Нот(,Р, Е) -> Нот (Е*> F*), задаваемого
переходом к сопряженным. Пусть
Л е= Г (Z X У, Сл, Qfх у ® Horn (F, ?));
тогда
5*Л еГ(ГХ ^, 5#СЛ, Q}/2x j ® Horn (F9 ?)).
Если а — главный символ распределения Л, то s*a — главный
символ распределения s*A. Это очевидно ввиду инвариантности
наших конструкций. Обозначим отражение в кокасательном рас-
расслоении по-прежнему через i9 как в теореме 25.1.10; имеем
i*s*C = (С~1)/, где С-1 — обратное каноническое отношение, по-
полученное перестановкой Г*(Х) и T*(Y). Таким образом, ввиду
теоремы 25.1.10 имеет место
Теорема 25.2.2. Пусть С — однородное каноническое отношение
из Г (У) \ 0 в Г (X) \ 0, замкнутое в Г(ХХУ)\0, и пусть ?,
F — векторные расслоения на X, Y. Если распределение А е
Im {X X У у С'\ пТху ® Horn (F, Е)) отождествлено с соответ-
соответствующим линейным оператором, то Л* е /т (К XX, (С~1)';
QlA х ® Нот (Е\ F*)). Если a<z=Sm+nl* (С; Мс ® Qc/2 ® Нот (F9 E))—
главный символ распределения Л, то sVg1
25.2. Исчисление интегральных операторов Фурье 31
Qc 1 ® Нот (?*, У7*)) — главный символ распределения А*. Здесь
п = dim(XXY), a s — перестановка YXX-+XXY.
Отметим, что мы предпочли здесь рассматривать главный
символ как функцию на С, а не на С. Это обычно удобнее при
работе с интегральными операторами Фурье и не приводит к
недоразумениям.
Перейдем к обсуждению композиции операторов. Пусть С\ —
однородное каноническое отношение из T*(Y)\0 в Г*(Х)\0,
а С2— другое каноническое отношение из T*(Z)\0 в Г*(К)\0,
где Ху К, Z — три многообразия с векторными расслоениями
?, F, G на них. Пусть
А{ е= Г (X X Y, C[\ Qf х y ® Horn (F, ?)),
Л2е/Ш2(ГХ2, С* Ql/2Xz®Hom(G, F))>
причем оба соответствующих оператора являются собственными,
так что определена композиция AiA2. Мы покажем, что компо-
композиция А\А2 ассоциирована с композицией С канонических отно-
отношений Ci и С2, если эта композиция С является чистой, соб-
собственной и связной. Смысл этих терминов мы сейчас уточним.
Еще после формулировки теоремы 21.2.14 мы назвали компози-
композицию отношений чистой, если С\ X С2 пересекается с Г*(Х)Х
А(Г*(Г))Х T*(Z) чисто, т. е. по многообразию С, касательная
плоскость которого всюду совпадает с пересечением касательных
плоскостей пересекающихся многообразий. Композиция назы-
называется собственной, если отображение
является собственным. (Если Y компактно, то это выполняется
автоматически, поскольку С\ и С2 замкнуты в РAХ^)\0 и
T*(YXZ)\0 соответственно, хотя они содержатся в (Т*(Х)\0)Х
(T*(Y)\0) и {T*(Y)\0)X{T*{Z)\0).) Тогда его образ С есть
замкнутое подмножество в T*(XXZ)\0, лежащее в (Т* (Х)\
0)X{T*(Z)\0). Прообраз СУ в С точки уЕС есть компактное
многообразие, размерность которого равна эксцессу е чистого
пересечения. Чтобы избежать самопересечений многообразия С,
мы предполагаем, что композиция связна в том смысле, что CY
связно при каждом у е С. Тогда из теоремы 21.2.14 следует, что
С также является каноническим отношением. Мы покажем, что
B5.2.3) АгА2 €= /m'+m2+e/2 (X X Z, С; Qfx z ® Horn (G, E)\
и вычислим главный символ. Отметим, что, когда композиция
трансверсальна (т. е. эксцесс е = 0), Л,Л2е /mi+/. Нормировки
порядков, введенные в § 25.1, были подсказаны в основном
32 25. Лагранжевы распределения
нашим желанием сохранить это естественное свойство порядка
дифференциальных и псевдодифференциальных операторов.
Разбиение единицы позволяет свести доказательство B5.2.3)
к локальному случаю, когда X a Rnx, Y c= Rny, Z e R"z, рас-
расслоения Е, Fy G тривиальны и
(х, у) = B7i)-(nx+nY+2N>V4 J e*p<*. у. в)Д1 (х, у, 9) d9,
>%2(У, z, r)dr.
Здесь ф — невырожденная фазовая функция в некоторой ко-
конической окрестности точки (х0, у0, 90) е X X Y X (R^1 \0)f па-
параметризующая Q в конической окрестности точки (лго, 1о>
уо, цо), так что
Фе = о, Ф; = 6О> Ф; = - л0 в (*0> у0, е0).
Аналогично, яр — невырожденная фазовая функция в некоторой
конической окрестности точки (yQ, z0, • т0) е Y X 2 X (R^2 \0),
параметризующая С2 в конической окрестности точки (у0, у\0,
г0, So), так что
=~и в
0, г0, т0).
Амплитуды аи а2 имеют носители в малых конических окрест-
окрестностях точек (х0, уо, 9о) и (у0, ?о, то) соответственно, и
B5.2.4) ах е 5m^(^+ny-2^»)/4, a2 e Sm2+
Если а/ е S0, то А =А\А2 задается распределением
B5.2.5) А (х, г) = J Л, (х, у) А2 {уу z) dy =
Bny(nx+nz+2(nY+N>+N>WA J J 5 ^'Фи'г'^е'г)а(х, г, у, 9, x)dydQd<x,
где
Ф U, 2:, У> 9, т) = ф (х, у, 9) + ^ (У, 2, т),
а(х, 2:, У у 9, т) = а1(л:> у, 9)а2(г/, г, т).
Из предложения 21.2.19 следует, что Ф — чистая фазовая функ-
функция, задающая С в некоторой конической окрестности точки
(хо, го, уо, 90, то). Это позволит нам доказать B5.2.3), если мы
покажем, что интегрирование в B5.2.5) можно ограничить об-
областью, где |9| и |т| имеют одинаковый порядок, и поэтому
символ а обладает нужными свойствами. В области произволь-
произвольных 9 и т символ а не обладает нужными свойствами. Так, на-
например, при дифференцировании по 0 оценки символа а улуч-
25.2. Исчисление интегральных операторов Фурье 33
шаются лишь умножением на 1/A +|6|), а не на 1/A +|6| +
|т|).
Будем предполагать, что а,\ и а2 имеют носители в компактно
порожденных конусах Г\ и Г2, в которых дср(х, у, Q),/dy и
д^(ху z, т)/ду нигде не обращаются в нуль. Тогда можно так
подобрать константы С\ и С2, чтобы
Сх\х\<\е\<С2\х\у если (х, у, 8)еГ1( (у, г, т)еГ2,
и
ду(х, у, в)/ду + д^(х, z, г)/ду = 0.
Действительно, при |9|= 1, например, ограничена величина
\д<р(х, у,в)/ду\ = \д^(У,г, *)/ду\
и, следовательно, величина |т|. Выберем однородную функцию
Х(9, т) степени 0 равной 1 при d |т|/2 < |6| < 2С2|т| и 0 вне
конуса Ci|t|/3 < |6| < ЗС2|т|. Тогда для функций
b(x, z, у, 6, т) = х(Э, т)а(х, z, у, в, т),
r(x, zf у, 9, т)вA — хF, т))а(х, z, у, в, т)
мы получаем
B5.2.6) \Ъ\ + \т\<С\дФ(х, z, у, Э, х)/ду\ на suppr,
B5.2.7) d | т |/3 < 19 |< ЗС21 т | на supp b.
Из B5.2.4) и B5.2.6) следует, что повторный интеграл
R (х, z) = Bя)"п J J d6dx J е'ф<*.z' ^ e' ^r (д:, z, у, 8, т) dy,
где л = (nx + nz + 2 (Air + N\ + Л^2)) /4, существует и является
С°°-функцией на 1X2, непрерывно зависящей от а\ и а2. Дей-
Действительно, из теоремы 7.7.1 и B5.2.6) вытекает, что внутренний
интеграл можно оценить произвольной степенью A + |6| + Ы )-1>
и то же справедливо для любых его производных по х и z.
Из B5.2.4) и B5.2.7) следует, что
B5.2.8) ft e S ((* X У X Z) X *"*"%\
Мы хотим рассматривать у как один из параметров; для этого
введем новую переменную
Тогда
откуда
B5.2.8)' b(x, z, у, 6, x)D(y, 0,
34 25. Лагранжевы распределения
где у, 6, т рассматриваются как функции от со. Из предложения
25.1.5' вытекает, что
B5.2.9) В (х, г) = Bя)~п J е1Ф (х'2'у'е'т) b (х, г, у, 9, т) dy dQ dx e=
]mi+m2+e/2(XXZ, С),
где в — эксцесс пересечения, и В непрерывно зависит от а,\ и а2,
когда они меняются в пространстве символов B5.2.4). По-
Поскольку
AA
когда dj имеют порядок —оо, мы заключаем, что это равенство
выполнено всегда. Отсюда вытекает B5.2.3).
Чтобы вычислить главный символ оператора А\А2, восполь-
воспользуемся формулой B5.1.4)'. Она означает, что если переменные
9 разбиты на две группы 6' и 9" таким образом, что Ф — невы-
невырожденная фазовая функция при любом фиксированном 9", а
е — число переменных 9", то искомый главный символ равен
интегралу по 9" от символов, полученных интегрированием при
фиксированном 9". На самом деле мы будем применять эту фор-
формулу в переменных со, что возможно ввиду инвариантности
B5.1.4)' относительно замен переменных. Далее, из предложе-
предложения 21.2.19 вытекает, что функция Ф из B5.2.9) является чистой
фазовой функцией, параметризующей многообразие С. Пусть Ф
невырожденна по (у', 9', т'), a e переменных (у", 9", т") пара-
параметризуют множества CY, y = (x, |, г, 9gC. Обозначим через
By», е", %" ядро, полученное интегрированием в B5.2.9) по пере-
переменным у\ 9', т'.
Заметим далее, что, например, главный символ оператора А\
в точке (х, ф^, у, —ф^еСр соответствующей точке с <Pq = O,
и касательная плоскость к С\ в этой точке зависят от гессиана
функции ф, так же как в линейном случае, обсуждавшемся в
§ 21.6. То же относится к А2 и кй^е",^ Поэтому произведение
главных символов операторов А{ и Л2, определенное в теореме
21.6.7, равно плотности dy"d§"d%", умноженной на главный сим-
символ распределения By»t e", %»и Интегрируя по у", 9", т", мы полу-
получаем теперь вторую основную теорему исчисления интегральных
операторов Фурье (см. комментарии после теоремы 25.1.5'):
Теорема 25.2.3. Пусть С\ — однородное каноническое С°°-отно-
шение из T*(Y)\0 в Т*(Х)\09 и пусть С2 — другое такое отно-
отношение из r*(Z)\0 в Г*(У),\0, где X, У, Z — три С°°-многообра-
С°°-многообразия, а Е, F, G — три векторных С°°-расслоения на них. Пусть
А, €= /mi {X X Y, Сг, п?х у ® Нот (F, ?)),
А2 е Г7 (Y X Z, C'2\ Qr/2x z ® Нот (G, F))9
25.2. Исчисление интегральных операторов Фурье 35
и предположим, что Ах и А2— собственные. Допустим, что ком-
композиция С = С\ о С2 является чистой с эксцессом е, собственной
и связной. Для у е С обозначим через Су компактный е-мерный
слой над у в пересечении С{ХС2 с Г*(Х)Х Д(Г*(У))Х T*(Z).
Тогда
A{A2^n+m'+el2(XXZy С; QfXz®Hom(G, ?)),
и главные символы а\у а2, а операторов Ль Л2, АХА2 связаны
соотношением
B5.2.10) а=
Здесь а\ X а2 — плотность на Су со значениями в слоях расслое-
расслоения Me ® Qj/x z ® Horn (G, ?), определенная в теореме 21.6.7, но
с дополнительным тензорным умножением на расслоения
Hom(G, F) и Hom(f, E).
Напомним, что по теореме 21.6.7 полуплотность, ассоцииро-
ассоциированная с а, получается умножением на Bя)~е/2 из полуплот-
полуплотности, определенной чисто геометрически по а\ и а2 формулами
B1.6.21) и B1.6.22). Некоторые авторы предпочитают не вклю-
включать этот множитель в определение произведения, а писать его
в правой части формулы B5.2.10). Конечно, единственно разум-
разумного способа действий нет, но нужно следить, чтобы этот мно-
множитель учитывался правильно, ровно в одном месте.
Теорема 25.2.3 охватывает целый ряд различных на вид слу-
случаев. Например, если X=Y = Z, а Сх = С2 = id, то мы полу-
получаем теорему 18.1.23. Если X=Yy Z — одна точка, С\ = id, a
С2 — конормальное расслоение некоторого подмногообразия в
X, то получается теорема 18.2.12. Для более общих лагранжевых
многообразий С2 мы получаем утверждение, впервые встретив-
встретившееся в лемме 25.1.2. Некоторые другие ситуации будут рас-
рассмотрены в § 25.3.
Однако теорема 25.2.3 становится бесполезной для некото-
некоторых многообразий С/, когда оказывается, что главный символ
тождественно равен нулю. Тогда А{А2^ Imi+m2~l+el29 и нужно
вычислять главный символ оператора А\А2 как оператора такого
(более низкого) порядка. В принципе это всегда можно сделать
исходя из B5.2.9). Чтобы избежать громоздких геометрических
построений, мы рассмотрим сейчас простой пример, важный для
дальнейшего. Однако и в этом случае нам придется сначала об-
обсудить, как действуют векторные поля на плотности.
Пусть М — многообразие и v — вещественное векторное поле
класса С°° на М. Тогда v порождает локальную однопараметри-
ческую группу С°°-отображений ф' в Af, определяемую
36 25. Лагранжевы распределения
уравнениями
dtf (x)/dt = v (Ф< (x))t ф° (х) = х, х <= М.
Если fl? ?2К(М), то производная Ли 9?va вдоль v определяется
формулой
4
Пусть хи •--, xn — локальные координаты на М и а = u\dx\K.
Тогда (qp')*a = u^dx^, где
Производная стоящего в скобках якобиана по t при ? = 0 равна
Tr (dvj/dXk) = div v, откуда
B5.2.11) Sv{u\dx Г) = (Z vi ди/dXj + к (div v) и) \ dx |*.
Для комплексных векторных полей мы примем эту формулу за
определение производной Ли; ясно, что такое определение ин-
инвариантно относительно выбора локальных координат, посколь-
поскольку это верно для вещественных v.
Теперь мы можем сформулировать теорему о композиции в
случае, когда теорема 25.2.3 допускает уточнение.
Теорема 25.2.4. Пусть Р е Wjhg (X) — собственный оператор
с главным символом р и субглавным символом с. Предположим,
что С — некоторое однородное каноническое отношение из
Т* (У) \ 0 в Т*(Х)\0 и р обращается в нуль на проекции С
в Г(Х)\0. Если Af=Im'(XXY, C'\ Q(XXY)m) и я ge
sm'+(nx+nY)/4(c^ Mc®^2)-главный символ А, то главный
символ РА €= Г+т'-х (х X Y, C'\ Q(XX YI'2) равен
B5.2.12) Гх?на + са.
р
Здесь Нр — векторное поле гамильтоновой системы с гамильто-
гамильтонианом р, поднятым до функции на (T*(X)\0)X{T*(Y)\0)y
так что Нр — касательное векторное поле к С.
Отметим, что, поскольку расслоение Маслова локально по-
постоянно, при вычислении производной Ли присутствие множите-
множителей Маслова можно игнорировать.
При доказательстве теоремы 25.2.4 мы будем пользоваться
локальными координатами на X и У, в которых С локально
представляется в виде {(дН/д\,%у дН/дг\,ц)}, где Я(|,г]) —
однородная функция порядка 1 по (|, ц). (Так же можно было
бы действовать и при доказательстве теоремы 25.2.3, но это не
дало бы особых упрощений, и мы предпочли иметь дело с об-
общими фазовыми функциями.) Чтобы доказать, что такие коор-
25.2. Исчисление интегральных операторов Фурье 37
динаты существуют, несмотря на то что произвольные замены
координат на XXY, как в теореме 21.2.16, здесь невозможны,
нам понадобится следующая
Лемма 25.2.5. Если XczT*(RN) — лагранжева плоскость, то она
трансверсальна к лагранжевой плоскости lka={(x, |); |/=
= cijXj} при почти всех а е RN.
Доказательство. Выберем ах так, чтобы A, 0, ..., О, аи О, ...,
0)^^. Пусть V—прямая, порожденная этим вектором, и V° —
пространство, а-ортогональное к V, задаваемое уравнением \\ =
а,\Х\. Тогда пространство V°/V изоморфно T*RN~l и Xf = K(]Va
является там лагранжевой плоскостью согласно предложению
21.2.13. Если лемма уже доказана для меньших размерностей,
то можно так выбрать а2, ..., aN, чтобы А/ была трансверсаль-
ной к плоскости |/ = a/jc/, / > 1. Поскольку
в этом пересечении х2= ... =|/г = 0, а следовательно, и хх =
?i=0.
Доказательство теоремы 25.2.4, Как и при доказательстве тео-
теоремы 25.2.3, можно рассуждать локально. По теореме 21.2.16 и
лемме 25.2.5 можно так выбрать локальные координаты в X, У,
чтобы
А(х, у) = BпГ3
где ae5m'""Ctx+"y)/4(R"x+"y) имеет носитель, лежащий в
конической окрестности точки (|0) г\0), в которой Н^С°°.
Если we Со", то преобразование Фурье от Аи равно
откуда
3(n + n)/' J J ^(и6>ЯFт,)) g> т,) ^ (—
где Р(ху I)—полный символ оператора Р. Следовательно, ядро
оператора РА равно
Поскольку р(лс, |) = 0 на С, то существует представление
Р (х, S) = Z Р/ (*, ^ Л) (^/ -
в котором /7/ однородны порядка m no (g, r]). Можно считать,
что а обращается в нуль в некоторой окрестности точки 0. Тогда,
38 25. Лагранжевы распределения
записывая Р = р-\-г и интегрируя по частям, получаем
(РА)(х, у) =
Bя)-3 (пх+пгУ* \ \ е1 «*'1)+ш- ^«•ч)) (га - ? D
Главный символ оператора А равен а(?, ц) \d^\ {/2\d/r\\1/2, а для
РА главный символ имеет вид
если (|, т]) считать координатами на С. Далее, векторное поле
касается С. Функции на С можно рассматривать как сужения
на С функций вида F(l, ц)у поэтому на таких функциях действие
векторного поля Нр совпадает с действием поля
Следовательно, главный символ оператора РА равен
(' )(|dilI/2|^|1/2), где
Y = г - Е DljPj + -i I DljPl (дН/dl, I)
вычисляется в точке х = дН/д^. Здесь последнее слагаемое воз-
возникает из-за дивергентного члена в B5.2.11). Итак, у равно зна-
значению при х=дН/д1 выражения
-Z V/ (х, Е) + у Е DljPj (х, I) +
Отсюда следует, что B5.2.12) является главным символом РАУ
поскольку при х = дН/д%
Е д*р/дхк dlk = ? дРк/д1к - Z (др}/дхк) dZH/dtj dlk.
В приложениях развитое выше исчисление интегральных опе-
операторов Фурье часто применяется в микролокальном варианте»
Легко сформулировать соответствующие микролокальные вер-
версии теорем 25.2.2—25.2.4; фактически именно такие утверждения
и проверялись при доказательстве этих теорем.
Результаты данного параграфа легко переносятся с 1т на
/?\ р>1/2, однако при этом порядок соответствующих оста-
остаточных членов лишь на 2р—1 меньше, чем порядок главного
символа.
25.3. Специальные случаи исчисления 39
25.3. Специальные случаи исчисления
и /^-непрерывность
Ядра псевдодифференциальных операторов принадлежат
1т(ХХХ, С), где С —диагональ А* в (Т*(Х)\0)Х(Т*(Х)\0).
Простейшие после них среди интегральных операторов Фурье
задаются ядрами
А^Г{Х X Г, С; Qfx у ® Нот (F, ?)),
где С — график канонического преобразования из Г*(У)\0 в
Т*(Х)\0. В этом случае С — симплектическое многообразие с
симплектической формой
где оху Oy — симплектические формы на Т*(Х)9 Г*(У), а я*, яу—
проекции С на Т*(Х), T*(Y). При этом X и Y должны иметь
одинаковую размерность п. Можно вынести из символа А мно-
множитель Ос2 — каноническую симплектическую полуплотность;
она имеет порядок я/2, так что порядок m + (п-\- я)/4 главного
символа (со значениями в полуплотностях) уменьшится до т.
Таким образом, сейчас мы рассматриваем главный символ а как
элемент из Sm(C, Mc®Hom(F, ?)). (То, что порядок стал рав-
равным т, конечно, не случайное совпадение; мы специально так
нормализовали порядок, чтобы это было верно для псевдодиф-
псевдодифференциальных операторов.) Из замечаний после теоремы
21.6.7 следует, что если В е= Г'(Y X 2, С'2\ Q|/2X z ® Horn (G, F))
и Л, В оба собственные, то АВ <= Г + т'(X X Zy (CoC2)'; ufxZ
=®Hom(G, ?)).При этом главный символ равен произведению
главного символа В на а, если С отождествить с T*(Y) и соот-
соответственно С2 с С о С2.
При помощи развитого выше исчисления легко доказывается
/^-непрерывность. Мы ограничимся формулировкой утвержде-
утверждения лишь для скалярного случая, однако он ничем не отличается
от общего случая векторных расслоений.
Теорема 25.3.1. Пусть A^I°(XXY, С; Qj/xy), где С локально
является графиком канонического преобразования из T*(Y)\0
в Т*(Х)\0. Тогда А определяет непрерывное отображение из
L2COmp (Y, Qy2) в Lioc (Xy Qj/2). Это отображение компактно, если
главный символ распределения {или оператора) А стремится
к 0 на сю над любым компактным подмножеством из XXY1).
!) Это означает, что а (х, у\ %, г\) -> 0 при
| ч\ | -> с». — Прим. перев.
40 25. Лагранжевы распределения
Доказательство. Если носитель символа А лежит в достаточно
малом конусе, то носитель А— компакт в XX У и А*А^
I°(YXYy Д*; Qy/2Xy) согласно теоремам 25.2.2 и 25.2.3. Таким
образом, А*А — псевдодифференциальный оператор порядка 0.
Следовательно, он непрерывен в L2 по теореме 18.1.29, т. е.
(Аи, Аи) = (А*Аиу и) < С (и, и), u<=L2 (У, Q}/2).
Если а — главный символ Л, то главный символ А*А равен \а\2,
где \а\2 рассматривается как функция на Г*(У). При а->0 на
оо оператор А*А компактен. Но тогда и А компактен, так как
если последовательность щ ограничена в L2 иА*Аи; сходится, то
IIА (и}- - uk) ||2 = (А*А (и, - uk\ и, - uk) -> 0,
т. е. Auf тоже сходится.
Следствие 25.3.2. Пусть As=Im(XXY, С; Q*/2Xу), где С локально
является графиком канонического преобразования из Г*(У)\0
в Т*(Х)\0. Тогда А определяет непрерывное отображение из
Я(?)тр (У, Qy/2) в Hlsim) (X, Q]/2) при любом вещественном s.
Доказательство. Пусть В — некоторый собственный псевдодиф-
псевдодифференциальный оператор порядка s—m в X, и пусть Ви В2 —
такие же операторы порядков s и —s в У, причем В2В\—/
имеет порядок —оо. Тогда
В А = (ВАВ2) В{ +ВАA — В2В{).
Здесь последнее слагаемое непрерывно действует из <%' в С°°, В\
непрерывен из H{s) в L2, а ВАВ2 непрерывен из L2 в L2. Поэтому
ВА непрерывен из ЯE) в L2, что и требовалось.
Развитое исчисление всегда позволяет переходить от /Лне-
прерывности к ЯE)-непрерывности, как в доказанном следствии.
Поэтому в дальнейшем мы будем обычно обсуждать лишь
^-непрерывность.
Для интегральных операторов Фурье, ассоциированных с ка-
каноническими преобразованиями, бывает удобно пользоваться
представлением
B5.3.1) Аи(х) = BяГп\е(*{х'%(ху r\)u(r\)dy]y «eff(R'),
близким к обычному представлению псевдодифференциальных
операторов. При этом ядро имеет вид
B5.3.2) А(х9 у) = Bпуп $ в'^^^'^^а^, i\)di\.
25.3. Специальные случаи исчисления 41
Эта формула в самом деле задает распределение ЛеГ (R2n, С),
если аЕ^и
<25.з.з) с = {(х, Ф;Ф;, Л)}.
Такое С является (локально) графиком канонического преобра-
преобразования тогда и только тогда, когда det(d2q>/dxdi(})=?0. Действи-
Действительно, это условие эквивалентно тому, что отображения
{х, т)) н->(х, ф^) и (ху г))»—^(ф^,, л) являются локальными диф-
диффеоморфизмами. Локально график любого канонического пре-
преобразования допускает представление B5.3.3):
Предложение 25.3.3. Пусть С — график локального однородного
канонического преобразования из окрестности точки (у0, Ло)^
T*(Y)\0 в окрестность точки (х0, ?о)^ Т*(Х)\0. Тогда можно
так выбрать локальные координаты у вблизи уОу что С в некото-
некоторой окрестности точки (хоУ go, уо, Ло) имеет вид B5.3.3), причем
det(d2y/dxdr])=?O в (хОу уо). Функция ф называется произво-
производящей функцией канонического преобразования С.
Доказательство. Можно выбрать координаты у так, чтобы ото-
отображение
С=э(*, 6, у, Ц)^(х, ц)
было локальным диффеоморфизмом в окрестности точки (х0, ?о,
.Уоу Ло). Действительно, С отображает лагранжев слой Г*о из
7*(Х)\0 в коническое лагранжево многообразие, проходящее
через (уОу цо). По теореме 21.2.16 можно так выбрать локальные
координаты, чтобы это коническое многообразие было транс-
версальным к плоскости т]=т]0. Тогда отображение С^
(х> I, У у ц)\—>{х> Л) будет иметь инъективный дифференциал. По
теореме 21.2.18 в окрестности точки (хОу —щ) существует такая
однородная функция S(x, ц), что
С = {(х, -dS(x, r\)/dx, dS(xy ц)/дц, ц)}.
Остается положить ф(х, ц)==—S(x, —л)> и предложение до-
доказано.
Пусть Ле/тAХ^, С') и WF'(A) лежит в достаточно ма-
малой конической окрестности точки (хОу |0, уОу г|0). Тогда, согласно
предложению 25.1.5, по модулю С°° можно представить А в виде
B5.3.2)' A = Bn)-n\eii^x^)-<y^))a(xy yy x\)dr\,
где a^Sm. На поверхности {(х, у, т\); ф^(х, ц) — У = 0} в каче-
качестве координат можно выбрать (ху ц). Тогда плотность
b(jj — ф^) равна |dx|-|dT]|. Следовательно, главный символ А
в координатах (ху ц) на С имеет вид а[ху ф^(л:, л)» ЛI dx |1/2| dx\ |1/2>
42 25. Лагранжевы распределения
а расслоение Маслова тривиализуется, если в качестве фазовой
функции взять ф(д:, к\)—<y, ri>. Мы получим тот же главный
символ, если заменим а(ху у, ц) на ао(ху ц) = а(х, дср/дг\у г\)^
Таким образом,
Л, = Bя)-« \ eiWx' ">-<* *\а (х, у, ц) - а0 (х, ц)) йц е= Г.
Аналогичное построение можно проделать для А{ вместо Л.
Повторяя эти рассуждения, мы получаем последовательно а/ е
Sm-/, для которых
а (х, у, л) -
Полагая & ^^ X а\ ^ ^т» находим, что
о
а,
о
А _ Bя)-л J е'Ы*- *-<у- ч»ь (у,
Таким образом, любой оператор Л е /т с WF'(A)t близким к
(•^о, So, «/о, Ло)| можно записать в виде B5.3.2), B5.3.1) па
модулю С°°.
Чтобы вычислить главный символ оператора Л, в котором
указанная полуплотность убрана, нужно использовать симплек-
тические координаты (х, ?) = (*, ф^(^, л))- Поскольку
то деление на |dx|1/2|dS|1/2 Да^т главный символ оператора
B5.3.2)' в виде
а(х, Ф;(л:, л), j\)\det^(x9 r\)\~l/2.
При этом расслоение Маслова тривиализуется фазовой функ-
функцией из B5.3.2)'.
С интегральными операторами Фурье, ассоциированными с
каноническими преобразованиями, можно работать почти так
же свободно, как с псевдодифференциальными операторами.
Например, для них корректно определено понятие эллиптиче-
эллиптического оператора:
Определение 25.3.4. Пусть Ле/тAХ^, С7; Qfx у ® Нот (F, ?)),
где С — график однородного канонического преобразования из
T*(Y)\0 в Г*(Х)\0; тогда А называется нехарактеристическим
в точке (х0, So, уо, Цо)^С, если главный символ в малой кони-
конической окрестности имеет обратный е S~m{C> Me1® Hom(?, Z7));
А называется эллиптическим, если он нехарактеристический в
каждой точке из С.
25.3. Специальные случаи исчисления 43
Модифицируя доказательство теоремы 18.1.24, можно пока-
показать, что если С-1 также является графиком и А собственный и
{всюду) эллиптический, то А имеет параметрикс В е l~m {YXX,
(С~1)'; Qy/2X х ® Нот (?, F)). Это означает, что ВА — I и АВ — I
имеют С°°-ядра. Такие операторы мы имеем в виду, формулируя
следующую теорему Егорова:
Теорема 25.3.5. Пусть А е= Г(Х XY, C';QfXy)> аВе=Гт(Г
XX, (С~1)'; Оу2хх)>где С — график однородной канонической
биекции х из T*(Y)\0 в Т*(Х)\0, причем А и В собственные.
Если Р — собственный псевдодифференциальный оператор на X,
то Q = ВРА является собственным псевдодифференциальным
оператором на Y. Пусть с — главный символ ВА, а р — главный
символ Р\ тогда главный символ Q равен с(р°%).
Доказательство. Если P^W^(X), то PA e /m+^(XX У, С), от-
откуда ВРА ^W^(Y). Главный символ оператора РА получается
умножением главного символа оператора А на символ р, под-
поднятый на С при помощи проекции С->Т*(Х)\0. Это эквива-
эквивалентно умножению на функцию р о %, поднятую на С при по-
помощи проекции С->Г*(У)\0. Следовательно, РА — AR ^
/m+ii-i^ если Я^Ч^К) имеет главный символ ро^. Значит,
ВРА — BAR e^, что и доказывает утверждение.
Разумеется, локальные варианты приведенных результатов
также справедливы. Например, можно применить теорему 25.3.5
к операторам В и Л, для которых (у0, r\0)^WF(BA—/); при
этом отображение % должно быть определено лишь вблизи
(Уо, Ло). Тогда получаем, что псевдодифференциальные опера-
операторы с главными символами ро% и р микролокально сопряжены
друг с другом. В сочетании с результатами § 21.3 и соображе-
соображениями, позволяющими избавиться от членов младшего порядка,
это будет существенно при изучении псевдодифференциальных
операторов в гл. 26. В дальнейшем мы будем также пользо-
пользоваться аналогичными соображениями для операторов А е
Irn(XXY, С) с общим каноническим отношением С, а именно
тем, что микролокальное изучение таких операторов можно
упростить, домножая А слева и справа на эллиптические инте-
интегральные операторы Фурье, связанные с каноническими преоб-
преобразованиями. Это позволяет заменить С на CioC°C2, где Сх и
€2 — графики канонических преобразований. Иначе говоря,
можно упрощать С, производя любые однородные канонические
замены переменных в Т*(Х)\0 и T*(Y)\0. Чтобы понять, о ка-
каких упрощениях идет речь, начнем, как обычно, с линейного
случая.
44 25. Лагранжевы распределения
Лемма 25.3.6. Пусть S\ и S2— симплектические векторные про-
пространства с симплектическими формами о\, а2, и пусть G cz S\ Ф5
S2 — лагранжево подпространство относительно формы oi — о2-
Тогда S\ и S2 допускают такие симплектически ортогональные-
разложения
*^2 == *^21 Ш *^22»
что G = Х\ Ф E Ф Х2, где X/ — лагранжево подпространство в S/;v
а E — график некоторого линейного симплектического преобра-
преобразования S2\-^S\2.
Доказательство. Положим Х\ = {у е Si; (v, 0)gG}, Л2= {y<= S2f.
(О, y)^G}. Это изотропные подпространства и G с= А,^0 А,?, по>
скольку G лагранжево. Если
то Si2 = A?/Ai является симплектическим и Si=Sn©Si2, при-
причем симплектически ортогональное дополнение 5ц к Si2 содер-
содержит Ль Аналогично определяются S2i и S22 и при этом G = Х\ Ф
5ФЛ2, где Ecz:Si2©S21 биективно проектируется на Si2 и S2u
Поскольку dim S// = 2dim Л/, то X/ — лагранжево подпростран-
подпространство в Sjj.
Пусть Gg — форма <п, поднятая на G, или, что то же самое,,
форма а2, поднятая на G. Она равна о$ на G и обращается в-
нуль на Xi и Л2, которые к тому же aG-ортогональны к G. Сле-
Следовательно, ранг формы oG равен dimSi2,
B5.3.4) corank oQ = dim X{ + dim Я2.
Это число будет фигурировать ниже в /Лоценках. Однако преж-
прежде мы воспользуемся леммой 25.3.6 для приведения общего ка-
канонического отношения к более удобному виду:
Предложение 25.3.7. Пусть S\ и S2 — конические симплектиче-
симплектические многообразия и С — однородное каноническое отношение-
в окрестности точки (уи Y2)^SiXS2. Предположим, что ра-
радиальное направление S/ в точке у/ не касается С, /=1, 2.
Тогда можно так выбрать однородные симплектические коорди-
координаты (х, I) в Si вблизи у! и (у9 т]) в S2 вблизи у2, чтобы * =
у = 0, g = т| = A, 0, ..., 0) в точке (уи у2) и касательная пло-
плоскость к С задавалась уравнениями
где (х\ х") = х, ..., r\='(r)\ ц") — разбиение каждой группы:,
переменных х, |, уу г\ на две группы; ранг Ос в (уи у2) равен:.
2/г, где п — число переменных в первой группе.
25.3. Специальные случаи исчисления 45
Доказательство. Применим лемму 25.3.6 к касательному про-
пространству G = r(Yl, Y2) (С), содержащемуся в ТУ{ (SJ © 7\2 (S2).
По предположению радиальный вектор pf^Ty.(S}) не лежит
в Xj. Однако (рь p2)gG, поскольку С — коническое отношение>
так что
а/(Р/> */) = ° ПРИ h^kh
и вообще
'2) при (/i,/2)eC
Положим dimS/ = 2/i/ и dimS12 = dimS21 = 2az, где S12 и S21—
подпространства, введенные в лемме 25.3.6. Тогда Л/ имеет раз-
размерность щ — /г, так что можно выбрать базис en+i, ..., еП{ в
Aj и базис 2n+i, ..., ё„2 в Я2. Поскольку рь еп+1, ..., ertiлинейно
независимы, то, как в начале доказательства теоремы 21.1.9,
можно найти в\, ..., еп и е2, ..., еЛ , удовлетворяющие указан-
указанным там условиям (i)', (iv), (ii), (iii) c bk = &\k. Полагая ei=pi,
мы получаем симплектический базис. Поскольку ей • • •» en,
еь ..., еп а-ортогональны к Хь можно выбрать ?1? ..., ёп,
б!, ..., ёп так, чтобы (еи ё{), ...,(е„, en) лежали в G. Тогда эти
новые векторы удовлетворяют тем же коммутационным соотно-
соотношениям, что и е\, ..., ?л, еь ..., ея, включая и симплектические
произведения с р2, соотв. рь Все они ортогональны еп+1, ..., еП2.
Можно взять б1 = р2. Отбрасывая бь можно прежде всего снова
воспользоваться процедурой расширения из начала доказатель-
доказательства теоремы 21.1.9 и пополнить симплектический базис
ёи ..., ё„2. Последний выбранный вектор ё обязан совпадать
с вектором р2, отброшенным первоначально. Таким образом, G
порождено векторами (e]yej)y (е/,б;), /=1, ..., п, и векторами
(еь ?/)> / > п- Да^ее, как в конце доказательства теоремы 21.1.9,
можно выбрать однородные симплектические координаты (х, |)
в Т*(Х)\0, равные @; A, 0, ..., 0)) в уи так, чтобы в этой
точке Нх. = — Ef и Hi =е}. Координаты (у, ц) нужно выбрать
аналогичным образом. В построенных координатах многообра-
многообразие С имеет требуемый вид.
Если касательная плоскость к С имеет указанное в предло-
предложении 25.3.7 направление, то в качестве локальных координат
на С можно, например, взять (хг, х", ц\ у"). Применяя теорему
21.2.18, как при доказательстве предложения 25.3.3, мы видим,
что в конической окрестности точки г]' = (—1, 0, ..., 0), х' = 0,
х" = 0, у" = 0
С = {(*', *", -dS/dx', -dS/дх"; dS/di\'9 у\ л'>
46 25. Лагранжевы распределения
где S(x', х", у'\ ц') — некоторая однородная функция. Если обо-
обозначить ф(л/, х", у", к\') = —S(x\ х", у'\ —т]'), то
С = {(*', х", дфх\ дфх»)\ д<р/дц', у", л', -дфуГ),
откуда видно, что С локально параметризуется фазовой функ-
функцией
Ф(*',*", У", Ц')~{У', Л'Х
Следовательно, если Ле/^Г'Х^.С) и WF'{A) лежит
в малой конической окрестности точки @, 8ц, 0, ё^, где ех =
A, 0, .... 0)e=R"' и е, = A, 0, .... 0) е= R, то А по модулю С°°
можно представить в виде
х"'у"^')-{у''ц'))а{х', х", у', у", r\')dr\'.
Зависимость а от у' здесь можно исключить так же, как выше
при обсуждении B5.3.2)'; получаем
B5.3.5)
{++2т J \ ('*''*'W)a(x', *", у", i\')u(j\', y")di\'dy",
где й(г\\ у") — преобразование Фурье от aeCo°(Rrt2) по п
переменным у\ а а ^ Sm+{ni+n2~2n)IA имеет носитель в малой ко-
конической окрестности точки @, 0, ei). В самой этой точке раз-
разность ф(х/, х'\ у'\ х\') — (х\ г/) имеет нуль третьего порядка,
так что А довольно близок к псевдодифференциальному опера-
оператору по х\ зависящему от параметров х'\ у". Ниже мы этим
воспользуемся. Пока заметим только, что при малых х", у" мы
получаем интегральный оператор Фурье, ассоциированный с ка-
каноническим преобразованием, определяемым производящей
функцией ф при фиксированных х" и у". Порядок его равен
m + (П[ + п2 — 2п) /4 = m + (corank oc) /4. Следовательно, из
теоремы 25.3.1 при m ^—(corank ос) /4 вытекает /^-непрерыв-
/^-непрерывность.
Теорема 25.3.8. Пусть Ae=Im(XXY, C'\ Q]/2Xy), где С — одно-
однородное каноническое отношение, нигде не касающееся радиаль-
радиальных векторов Т*(Х)\0 и Г*(К)\0. Тогда А определяет непре-
непрерывный оператор из Lcomp(F, Qy2) в L2\OC(X, Q^2), если m<
— (corank ас)/4. Здесь через ос обозначена 2-форма на С, пору-
порученная поднятием симплектической формы с Т* (X) или Т* (Y)
с использованием проекции С на Т*(X) или T'*(Y).
Доказательство. Распределение А можно микролокализовать и
считать, что WFr{A) лежит в малой конической окрестности
точки (уи у2) е С. Если п\ = dim X и п2 = dim Г, то существуют
25.3. Специальные случаи исчисления 47
однородное каноническое преобразование из конической окрест-
окрестности точки @, gj) е Т* (R*2) в коническую окрестность точки у2
с графиком С2 и другое однородное каноническое преобразова-
преобразование с графиком Сх из конической окрестности точки yi в кониче-
коническую окрестность точки @, в{)^Т* (Rni), при которых С\°СоСг
имеет вид, указанный в предложении 25.3.7. Пусть F\ и F%— ин-
интегральные операторы Фурье порядка 0, связанные с Ci и С2,
эллиптические в @, еь yi) и (?2; 0, е^) соответственно. Тогда
FXAF2 ^ Im (R*1 X R*2; (C\ °CoC2Y) имеет указанный выше вид
и, следовательно, является непрерывным в L2. Можно выбрать
G\ и G2 порядка 0, связанные с С[1 и С^1, так, чтобы
(Yi, Yi) & WF' (Gfi - /), (Y2> Y2) Ф WF' (F2G2 - /).
Тогда оператор G\FiAF2G2 непрерывен в L2 и i
A e C°°, если WF'(A) достаточно близок к (уи у2). Доказатель-
Доказательство завершено.
Результат, полученный в теореме 25.3.8, является оптималь-
оптимальным, если ос имеет постоянный ранг 2п. Действительно, в этом
случае проекция С-+Т*(Х)\0 по лемме 25.3.6 имеет постоянный
ранг, равный n + dimZ. Следовательно, образ С локально яв-
является подмногообразием Si этой размерности (предложение
С.3.3), а по лемме 25.3.6 многообразие 2i является инволютив-
ным и его касательная плоскость не ортогональна к радиаль-
радиальным векторам. Отсюда по теореме 21.2.4 вытекает, что сущест-
существуют однородные симплектические координаты, в которых Si
задается уравнением |" = 0, и аналогично, проекция С в
Г*(У)\0 задается уравнением г]// = 0. Поэтому построенная
выше производящая функция ф не зависит от х" и у", так что
мы получаем операторы Л, не зависящие от х" и у'\ если ампли-
амплитуда а выбрана соответствующим образом. В этом случае оче-
очевидно, что теорему 25.3.8 нельзя усилить. Однако в общем слу-
случае ранг ос может отклоняться от своего максимального зна-
значения на некотором достаточно узком множестве; поэтому сле-
следующее обращение теоремы 25.3.8 содержит в общем случае
некоторый зазор.
Теорема 25.3.9. Предположим, что любое распределение А е
Im(Xy(Y, С; Qx2xy) определяет непрерывный оператор из
L^omp (Y, Q{/2) в L]oz (X, Qjjp) и что радиальные векторы из
Т*(Х)\Ъ и Г*(У)\0 нигде не касаются однородного канониче-
канонического отношения С. Тогда согапкстс ^ —12т.
Доказательство. Ввиду предложения 25.3.7 и рассуждения из
доказательства теоремы 25.3.8 достаточно проверить, что п"х +
48 25. Лагранжевы распределения
+ п"^.— 12т, где п"х и л" обозначают число переменных л:" и
у". По предположению оператор B5.3.5) непрерывен в L2, если
а (*', х", у», пО = A + I Л' l2f 2> И = m + К + О/4'
в конической окрестности точки л/ = 0, #" = #" = 0, т]' = 0 =
A, 0, ..., 0), в которой
B5.3.6) \<p(x'tx",y"f i\')-(x'9 л01
<C((|x/|3 + U//P + |y//l3)h/l + (l42l3+ ... +h»P)/hT).
Применим такой оператор Л к функции
ut(y) = u(ty',t*y")eit'"'-*>, х = 2/3,
где и еС?° (R)« При больших t носитель функции щ близок к 0,
а ее спектр сосредоточен вблизи t2d. Норма щ в L2 равна
f-(n+xnY)/21| w||^2^ a преобразование Фурье по у' имеет вид
л'^г^Сл'А-^,/V).
Следовательно, Ащ (х) = f((txf, tHx"), где
^ (д.) _ ^-""У Bn)"("'+fl2+2fl)/4 ( ^ ei<f(x'lt, x»lt*. y"lt*. t4+tr{)
Xa(x'/t, *"//*, /'Ди, г28 + ^')й(л', y")di\'dy".
Поскольку х = 2/3, из B5.3.6) получаем
11\ (x'/t, x"/t*, у"/г, е + ti'/o - /2(x'A, e + л'Д2) I
<lC(\x'?/t + \x"? + \y"? + \r\'№ при IV |< //2.
Подынтегральное выражение можно оценить через
если рассмотреть отдельно случаи, когда \r\f\<t/2 и | ц' \ > t/2.
Следовательно, при t -> оо
ft (x) Г
'> е>
где Q — многочлен третьей степени по (xf'y у") из разложения
Тейлора ф в точке @, 0, 0, Э). Можно подобрать и так, чтобы
этот интеграл был отличен от нуля. Тогда
25.3. Специальные случаи исчисления 49
Следовательно, ввиду непрерывности Л,
2ц < к {п"х + л?)/2 = (п"х + л?)/3,
откуда т^(п'х + п")A/6— 1/4) = — (я? +/г")/12, что и дока-
доказывает теорему.
Замечание. Используя неоднородные канонические преобразова-
преобразования, можно избавиться от требований на радиальные векторы
в теоремах 25.3.8 и 25.3.9.
Обсудим теперь канонические отношения со складками из
теоремы 21.4.11. В этой ситуации, как мы увидим, в неравен-
неравенстве, доказанном в теореме 25.3.9, может достигаться равенство.
Применение теоремы 21.4.11 вместо предложения 25.3.7 в дока-
доказательстве теоремы 25.3.8 позволяет ограничиться каноническим
отношением С cz Г*(К"\0)Х Т*( R"\0), задаваемым фазовой
функцией
Ф (х, у у sy ?) = (* — у, g)
Напомним, что (P| = q/ = O эквивалентно тому, что
xl—yl + s = 0; хп — уп — 53/3 = 0;
Xj = yh 1</</г, lx = s2ln,
т. е. ф определяет каноническое отношение
С = {(х, s4n, ?, x, + sy хъ ..., хп_ь xn-s3/3, s%n> Г); Б„>0}.
Здесь х, V = (|2, ... > In) и 5GR- координаты на С, 1п>0.
В этих координатах б (<р^, y's) = \ dx \ • \ d&' \ • \ ds |, поскольку
D(x, Г, 5, Ф(, v'8)/D(x, у, I, s) = ± 1.
Чтобы получить однородную систему координат, нужно заме-
заменить, скажем, s на %ns. Это важно иметь в виду, поскольку это
влияет на порядок соответствующих интегральных операторов
Фурье. Если A<=Fm(RnX R"> С') и WF'(A) содержится в ком-
компактно порожденном конусе cz С, то, согласно предложению
25.1.5, по модулю С°°
B5.3.7) А(х9 у) = BпГ{*+2{п+1т\\еЫ*-У'*-*Щх, уу 5, l)dsdl,
где а е Sm+1+<2'I('I+1))/4 = 5m+1/2. Здесь мы учли, что при за-
замене s на однородную координату порядок уменьшается на еди-
единицу, как в доказательстве теоремы 25.2.3. Главный символ А
имеет вид
B5.3.8) а0 (х, 5, Г) I dx p | dV \xl21 ds \№,
«о(х, 5, I') = а(х, хх + 5, хъ ..., хп_и хп — 53/3, 5, s%ni l')e=Sm+lf2>
где ху s, V — координаты на С, а расслоение Маслова тривиали-
50 25. Лагранжевы распределения
зовано посредством ф. Тот же главный символ получится, если а
заменить на а0. Следовательно, как и выше при рассмотрении
B5.3.2)', мы заключаем, что по модулю С°° можно представить
А в виде B5.3.7) с амплитудой а(х, s, g')eSm+1/2, не зависящей
от у и |ь так что
B5.3.7/ Аи (х) = Bjt)-*~1/2 \ \ el (*• &+*i-*W3> а (х> 5, g') й (g) d\ ds.
Применяя теорему 7.7.18, можно было бы показать, что интегри-
интегрирование по s приводит оператор А по модулю операторов с
С°°-ядром к виду
B5.3.9) Аи (х) = Bл)~п+{/2 J е* <*• *>а (х, ?) й (I) d?,
B5.3.10) й(х, l) = M(-lll~^)b0(xi I) + АГ (- tfcl*)bx (х, I).
Здесь Ai —функция Эйри G.6.16), a b0
Ь{ е 5m-1/6(RrtX R") и bj имеют носители в области |?|< С\1п
при некотором Сь Однако мы не будем идти по этому пути, по-
поскольку это потребует некоторой модификации теоремы 7.7.18.
Вместо этого мы покажем, во-первых, что из B5.3.9) и B5.3.10)
с учетом ограничений на носители bj вытекает, что А е
/m(R"XR'\ С'), во-вторых, что операторы такого вида могут
иметь любые главные символы, удовлетворяющие указанному
условию на носители. Как и выше при преобразовании B5.3.2)\
это позволяет последовательной редукцией степени доказать,
что всякий элемент из 1т с достаточно малым волновым фрон-
фронтом представим в виде B5.3.9), B5.3.10).
Подставляя определение функции Эйри в B5.3.10), мы по-
получаем осцилляторный интеграл
B5.3.11) а (х, I) = Bл)-1 \ е1 (*/з-^/) ^ {х> g) + isb{ {x> g)) ds
— oo
+00
= Bяг' \ Д
По предположению \%\\ < С\%п на supp 6/. Следовательно,
\ti-s4n\>s4n/2 при 52>2С1.
Возьмем функцию x^C(R) равной 1 на (—
Тогда по теореме 7.7.1 интеграл, полученный добавлением мно-
множителя 1 —%(s) под интеграл в последнем члене B5.3.11), опре-
определяет функцию из 5~°°. (На самом деле несущественно, что
интеграл берется по некомпактному множеству, так как уже
после первого интегрирования по частям возникает интегрируе-
25.3. Специальные случаи исчисления 51
мый множитель <C/(s2^).) Следовательно, по модулю С°°
ядро B5.3.9) равно
А (х, у) = Bя)— \ \ е' <«*-"• Ь+^
— isbx{x,l)lf)dsdl,
а главный символ, согласно B5.3.8), имеет вид
<25.3.12) а (х, s, Г) \ dx Г | dlr | \ ds р,
а(х, s, Ъ') = Ь0(х, s4n, l^lf-isb^x, s\, V)lf.
Здесь множитель %(s) опущен, поскольку %(s)=l на носителе
другого множителя. Правая часть принадлежит 5т+1/2, и каж-
каждая функция а е 5т+1/2 с подходящим носителем может быть
записана таким образом. В самом деле, разлагая а в сумму
четной и нечетной функций по s, мы получаем
а (х, 5, Г) = а0 (х, s2, Г) + sa{ (x, s2, Г),
где а0 и а{ — символы того же порядка. (См. теорему С.4.4 в до-
добавлении.) Теперь можно взять
Ь0(х, 1) = ГпШа0(х, !,/?„, Г), Ьх{х, t) = itf\(x, yin, Г),
н эти символы будут обладать нужными свойствами.
Символ а обладает не слишком хорошими свойствами. В са-
самом деле, из G.6.20) вытекает, что | A\^(t) \ < Ck(l + \t\ )k/*-v\
и это наилучшая оценка такого вида. Следовательно, дифферен-
дифференцирование по | не улучшает поведение символа на бесконеч-
бесконечности. Однако если т + 1/6 ^ 0, то при любом а
По теореме 18.1.11' отсюда вытекает непрерывность в L2, если а
обращается в нуль, когда х лежит вне некоторого компактного
множества. В результате доказана следующая
Теорема25.3.10.Если ftoeS^f^X Rn) ub\ e= S)
имеют носители в области |||<;Ci|/z, то формулы B5.3.9),
B5.3.10) определяют элемент ЛЕ/т(КпХК", С'), где С — ка-
каноническое отношение B1.4.20), B1.4.20)'. Главный символ
имеет вид B5.3.12), при условии что расслоение Маслова три-
виализовано фазовой функцией B1.4.19). Любой элемент А^
/m(R"XRn, С") с волновым фронтом, лежащим в области
]?|<C2?a2, допускает такое представление, и А непрерывен в
L2, если m ^ —1/6.
Из теорем 25.3.10 и 21.4.11 при помощи рассуждений из до-
доказательства следствия 25.3.2 выводится следующая
52 25. Лагранжевы распределения
Теорема 25.3.11. Пусть С <z:(T* (X)\0)X(T*(Y)\0) —однород-
—однородное каноническое отношение, замкнутое в Т*(ХХ К)\0, для ко-
которого проекции С^Т*(Х)\0 и C->T*(Y)\0 имеют особен-
особенности лишь типа складки. Предположим, что ни в одной точке
из С канонические I-формы в Г*(^)\0 и Г*(У)\0 не обра-
обращаются одновременно в нуль на касательном пространстве к С.
Тогда любое распределение A^Im(X\Y, С; Qx2xy) определяет
непрерывное отображение
rrcomp/у глЧЛ^тт^ос (у
Ji(s) {У, Uy ;-> ПE-т-1/б){Л,
1/2\
х )
Отметим, в частности, что, как видно из теоремы 25.3.11,
утверждение теоремы 25.3.9 нельзя усилить.
25.4. Распределения,
связанные с положительными
лагранжевыми идеалами
Пусть S — симплектическое С°°-многообразие, dimS = 2Az, и
AcS — лагранжево С°°-подмногообразие в S. Тогда множество
/ = {ae=C°°(S, R); и = 0 на Л}
является идеалом в C°°(S, R) и обладает следующими тремя
свойствами:
(i) / замкнут относительно скобок Пуассона, т. е.
B5.4.1) {и, о}е/, если и, не/.
(и) Для каждой точки в S существуют такая окрестность
1/cSh такие функции и{, ..., ип^ /, что du\, ..., dun линейно
независимы в каждой точке К и «i, ..., м„ порождают / в V.
Последнее означает, что любую функцию u^J с supp ua:V
можно записать в виде
(iii) Если fu<=J при всех f eC?\ то ug/.
Обратно, предположим, что /—некоторый идеал в C°°(S, R),
обладающий свойствами (i) — (iii), и пусть Л—множество об-
общих нулей функций из /. Из (Н) следует, что Л — многообразие
размерности п\ из (i) вытекает, что Л инволютивно и, следова-
следовательно, лагранжево. Из (iii) при помощи разбиения единицы вы-
выводится, что/состоит из всех функций и е C°°(S, R), обращаю-
обращающихся в нуль на Л. Отождествляя лагранжевы многообразия с
соответствующими идеалами, мы можем теперь определить
25.4. Распределения и положительные лагранжевы идеалы 5$
комплексные лагранжевы многообразия, просто отказываясь от
требования вещественности функций.
Определение 25.4.1. Пусть S—симплектическое С°°-многообра-
зие. Идеал /g C°°(Sy С), удовлетворяющий сформулированным
выше условиям (i) — (Hi), где теперь du\, ..., dun линейно неза-
висимы над С, называется комплексным лагранжевым идеа-
идеалом. Если S является коническим, то / также называется кони-
коническим, когда в условии (и) можно выбрать V коническим, а
образующие щ однородными.
Множество нулей идеала /
/r = {yg S; и (у) = 0 при всех u<=J}
необязательно является многообразием. Однако можно опре-
определить касательную плоскость Ty(J) в комплексификации про-
пространства Ty(S) для каждой точки у е /r как пересечение пло-
плоскостей duj = 0, где mi, ..., ип — локальные образующие идеала
/. Ясно, что это определение не зависит от выбора образующих,,
a Ty(J) — лагранжева плоскость, так как {м/, Uk) =0 в у при
/, k=lt ..., п, так что вещественные точки в Ty(J) образуют
изотропную плоскость. Следующее предложение аналогично тео-
теореме 21.2.16.
Предложение 25.4.2. Пусть X есть С°°-многообразие и J — комп-
комплексный конический лагранжев идеал в С°°(Т*(Х)\0). Для лю-
любой точки Yo ^ /r с проекцией х0 е X можно так выбрать ло-
локальные координаты хи ..., хп на X в окрестности *0, что &
соответствующих координатах (х, |) в Т* (X) лагранжева пло-
плоскость, определенная в комплексификации пространства
ТУо(Т*(Х)) уравнениями rfg/ = 0, трансверсальна к 7\0(/). Если
у0 = (х0> g0), то в малой конической окрестности точки ?0 суще-
существует такая однородная степени 0 функция Н ^ С°°, что J по-
порождается функциями X} — dH/dlf в конической окрестности
точки у0. Обратно, такие функции всегда порождают комплекс-
комплексный конический лагранжев идеал. Если Я — другая функция с
тем же свойством, то для любого N > 0 в конической окрест-
окрестности точки go
I Н' (I) - Н%) |<С„| Im#'(g) Г, | Я (g) - Я (Б) \<CN\ 11| lmH'd) Г
Доказательство. Если % — лагранжева плоскость в Т*(Сп)> то
из комплексного аналога следствия 21.2.11 вытекает, что су-
существует комплексная лагранжева плоскость, трансверсальная
к X и к плоскости х = 0, и потому имеющая вид
354 25. Лагранжевы распределения
где В — комплексная симметричная матрица. Трансверсаль-
Трансверсальность этой плоскости к К означает, что некоторый определитель,
содержащий элементы матрицы В, отличен от нуля. Однако
многочлен не может обращаться в нуль при всех вещественных
аргументах если только он не равен тождественно нулю. По-
Поэтому можно выбрать матрицу В вещественной. Но тогда из
доказательства теоремы 21.2.16 видно, что локальные коорди-
координаты действительно можно выбрать так, чтобы указанная транс-
трансверсальность имела место.
В таких координатах для Я = 7\0 (/) пусть м/ (лс, g), / = 1, . - -,
п, — локальные образующие идеала / в точке у0, однородные
•степени 0. Трансверсальность означает, что из уравнений diij = Oy
dlt = 0, / = 1, ..., я, вытекает dx = 0, так что det (duf/dxk) ф 0.
Следовательно, в окрестности точки ^о по лемме 7.5.9 можно вы-
выбрать образующие для / вида х\— А/(?), /=1, •••, п. Ограни-
Ограничивая hj на единичную сферу и продолжая их затем по одно-
однородности, мы видим, что hj можно считать однородными сте-
степени 0. Ввиду B5.4.1)
{х} - hj (?), xk - hk (I)} = dhk/dlf - дЦ&Ьь e= /.
Положим H (l)= Yj ljhf(l). Поскольку hk — однородная функ-
функция степени 0, имеем
dHldlk -hk=Z I, (dhjIdU - dhk/dlf) e /,
так что Xk — дН/d\k ^ /. Следовательно, функции xk — /
k=l, ..., n, по лемме 7.5.8 порождают /. Чтобы доказать по-
последнее утверждение, воспользуемся тождеством
H(l)-H (I) =Zh (дНЩ, - дН/dl,),
вытекающим из однородности. Поскольку дН/д^ — дЯ/д^- е /,
то по лемме 7.5.10
| дН/дЪ - дН/дЪ | < CN | д Im
для любого .V, что и завершает доказательство.
Предложение 25.1.3 наводит на мысль определить Im(X, J)
микролокально как множество обратных преобразований Фурье
ют функций вида e~iHvi где v ^ Sm~nfA{Rn). Однако эти распре-
распределения, вообще говоря, не являются умеренными, если не вы-
выполнено условие Im H ^ 0. Если же это условие выполнено, то
7*r совпадает с множеством
в окрестности точки у0, поскольку из Im H = 0 вытекает
Im H' = 0, так как Im H ^ 0, а из Im H' = 0 вытекает Im H = 0,
25.4. Распределения и положительные лагранжевы идеалы 55
поскольку Н однородна степени 1. По лемме 7.7.2 в конической
окрестности точки ?о
поскольку обе части — однородные функции степени 0. Если
Я — другая функция, задающая /, то, согласно предложению»
25.4.2,
в конической окрестности точки |0, так как Im#(?0) = 0. По-
Поэтому 1т Я ^ 0. Знак также сохраняется при замене локальных
координат. Чтобы это доказать, рассмотрим более общий во-
вопрос, как можно задать / с помощью фазовых функций. Сле-
Следующее определение заменяет определение 21.2.15. Для про-
простоты мы ограничимся невырожденным случаем.
Определение 25.4.3. Пусть X есть С°°-многообразие, х0 ^ X к
ф(х, 6) — функция класса С°° в открытой конической окрест-
окрестности TczXX(R^\0) точки (хо9 6о), однородная по 8 степени L
Тогда ф называется невырожденной фазовой функцией положи-
положительного типа в точке (х0, 9о), если ц>$(х0, 9Л = 0 и
(и) дифференциалы d(dq)/dQ{),..., d(dy/dQN) в точке (х0, Qo}
линейно независимы над С;
(iii) 1тФ(х, 9)^0 в Г.
Фазовые функции положительного типа всегда параметри-
параметризуют лагранжевы идеалы:
Предложение 25.4.4. Если ф — невырожденная фазовая функция
положительного типа в точке (х0, 0о)е1Х(К^\0), та
Ух(хо> %) = ^oG T*xQч °* Пусть х\, ..., хп — локальные коорди-
координаты на X и \\, ..., ?>п — соответствующие координаты в Т*(Х);
тогда не зависящие от 9 функции из идеала 7, порожденного-
функциями
B5.4.2) 5Ф(х, в)/»,, /=1, ...,#; d<f/dxk-lk, k = l,...,nr
образуют конический лагранжев идеал ] в конической окрест-
окрестности точки (хОу 1о). Идеал /, рассматриваемый как коническое
множество в T*(X)\0t не зависит от выбора локальных коор-
координат, и Ty(J) — положительная лагранжева плоскость в каждой
точке у?/. Если координаты выбраны как в предложении
25.4.2, то идеал порожден функциями xj — дН/dlj, /=1, ..., пу
где Н е С°° положительно однородна и lmH^.0 в конической
окрестности точки g0. Кроме того,
56 25. Лагранжевы распределения
Доказательство. Поскольку ф(*0, 60) = ((Ре (х0> 0О)> 60) = 0 и
Im ф ^ 0, имеем Im ф^ (лг0, 80) = 0, откуда ?0 = ф^ (х0, в0) gT*o\0
ввиду (i). Дифференциалы образующих B5.4.2) линейно неза-
независимы в точке (х0, 80, go), так как если
Z ajd ду/Щ + ? bkd (дфхк - 1к) = О,
то bk = O, поскольку 1к — независимые переменные, а тогда и
д;==0, поскольку ф невырожденна. Пусть 7 — идеал, порожден-
порожденный функциями B5.4.2) в окрестности точки (х0, во, go), и пусть
J — множество функций из 7, не зависящих от в. Ясно, что /
инвариантно определено на Т*(Х) в окрестности точки (xOf go).
Для изучения / удобно пользоваться локальными координатами,
в которых det(p=?0 в (хо, во), где
B5.4.3) Ф =
Небольшая модификация доказательства предложения 25.1.5
позволяет убедиться, что это верно тогда и только тогда, когда
плоскость d? = 0 в комплексификации пространства ТХо, и(Т* (X))
трансверсальна комплексной лагранжевой плоскости X — образу
при отображении d(x, Ф^(х, 6)) подпространства комплексифи-
комплексификации касательной плоскости к XX(R^\0) в точке (лг0, во), на
котором ^фд = 0. При доказательстве предложения 25.4.2 мы
видели, что этой трансверсальности можно добиться при под-
подходящем выборе локальных координат в окрестности точки хо
на X. Далее, условие detO=^=0 означает ввиду теоремы 7.5.9,
что образующие идеала 7 можно выбрать в виде
<25.4.2)/ Xj-Xjd), 6/-e/(g).
При этом можно выбрать функции Xj и в/ однородными степени
соответственно 0 и 1 и тем самым определенными в конической
окрестности точки g0.
Поскольку образующие B5.4.2) являются производными от
/ (х, 8, g) = ф (х, 8) — (х, I)
по х и в, то из леммы 7.7.8 следует существование такой функ-
функции /°(g), что f(x, 8, g)— /°(g)e 72 и
<25.4.4) Im /° (g) > С (| Im X (I) |2 + | Im 0 (g) |2)
в окрестности точки g0. Ограничим /° на сферу |g| = |go| и про-
продолжим /° как однородную функцию степени 1. Поскольку
Лэ д (/ (х} 8, g) - f° (t))/d$f = -Xj~ df° (g)/5g/f
25.4. Распределения и положительные лагранжевы идеалы 57
в B5.4.2)' можно заменить х\ — Jf/(g) на */ + d/°(g)/dg/. Каж-
Каждую С°°-функцию g(x, g) в окрестности точки (х0, g0) можно
записать в виде
g (х, 6) = Z 9/ (*, 6) (*/ + б/° (g)/dg,) + г (g).
Если ^g/, то и re/, так что в окрестности точки ?0 для каж-
каждого N
IME)l<C^(|Im^(g)| + |Ime(g)|)^
по лемме 7.5.10. Поскольку
| Im /° (g) | = | Im <б/° (g)/dg, g> I < С | g I • I Im C/° (g)/dg I,
то ввиду B5.4.4) при каждом N
Отсюда по теореме 7.5.12 следует, что г принадлежит идеалу,,
порожденному функциями х\ + d/°(g)/dg/, / = 1, . • •, п. Если
положить #(|) =—/°(g), то Im#^0 и / порожден функциями
х,-дНA)/д1,,}=1 п.
Комплексная лагранжева плоскость X, построенная в начале
доказательства, является образом ковекторбв (dx, dg), удовле-
удовлетворяющих условиям d(ik — dq>/dxk) = 0, /г = 1, ..., az, и
d(dcp/dBj) = Oy /=1, ..., N. Эти условия эквивалентны усло-
условиям d(xk-dH/dlk) = 0 и d(e, —в/F)) = 0, k = l, ...,/г;
/= 1, ..., Л/". Следовательно, ЯеГ^Д/), так что условие транс-
трансверсальности в нашем доказательстве совпадает с таким же
условием из предложения 25.4.2. Положительность ТХо, $0(/) сле-
следует из того, что Im#"(go)^O (ср. с доказательством пред-
предложения 21.5.9). Доказательство закончено.
Иногда бывает полезно уменьшить число 8-переменных:
Следствие 25.4.5. Предположим, что выполнены условия предло-
предложения 25.4.4 и что переменные 8 разбиты на две группы 8' и 6",
причем det Фе',/0// ф 0 в точке (jc0, во). Тогда 8^ Ф 0 и существует
такая однородная степени 1 функция q/(x, в'), определенная в
конической окрестности точки (лг0, 8?), ^го ф'(а:, вг)—ф(х, в)
принадлежит квадрату идеала, порожденного компонентами
д(р(х, 8)/д8". При этом tp'(x, вг)—фазовая функция положитель-
положительного типа в точке (хо, в0), определяющая тот же идеал /, что
и ф.
Доказательство. Из однородности ф следует, что Фе///еб = О.
Поэтому если % = 0, то 6^=0, что невозможно. Существова-
Существование фг доказывается рассуждениями, предшествующими лемме
7.7.8. Однородность фг получается ограничением на сферу
|6'|=|0о| и последующим продолжением по однородности. Из
58 25. Лагранжевы распределения
леммы 7.7.8 следует, что Imq/ ^ 0. Поскольку q/ — фЕЯ
(в обозначениях предложения 25.4.4), то
dy'/dxf - I. е= /, ду'1Щ е= /.
•Следовательно, лагранжев идеал /', определенный по <р', со-
содержится в /. Поскольку идеалы / и /' имеют одинаковое число
образующих, равное dim А', то по лемме 7.5.8 эти идеалы сов-
совпадают. Это завершает доказательство.
Замечание. Из следствия 25.4.5 легко вывести обобщение тео-
теоремы 21.2.18. Действительно, пусть переменные х разделены на
х' и *" и Ф(х, 6, у", rf) = ф(*', у\ 6)+ <*" — у'\ ц">. Из усло-
условий предложения 25.4.4 легко выводится, что Ф — невырожден-
невырожденная фазовая функция положительного типа в точке (х0, 8Qj
¦х'о* ?")> которая также задает идеал /. (Мы можем «гомогени-
«гомогенизировать» переменные (у", 8, х\") как в доказательстве тео-
теоремы 25.2.2, т. е. фазовую функцию ф можно считать однород-
однородной по этим переменным.) Функция ф имеет невырожденную
критическую точку в (х0, 80, х%9 ?") как функция от (у"9 8),
если из dx = 0, dy'tix', у'\ Э) = 0, dy'y,,(x', У", в) = 0, dr\" = O
вытекает, что df/// = d6=0, т. е. отображение ГХо.бо(Лэ (dx,
dt>)*—*>(dxf9 dl") инъективно. Поэтому, как видно из следствия
25.4.5, можно исключить переменные (у'\ 8) и получить новую
невырожденную фазовую фукцию положительного типа, имею-
имеющую вид qpi(x', л")+<*", л"). Предложение 25.4.4 относится к
частному случаю, когда нет переменных ?'.
Определение 25.4.6. Конический лагранжев идеал / называется
положительным в точке (х0, ?0) е ^R» если в некоторой окрест-
окрестности этой точки он допускает параметризацию при помощи
невырожденной однородной фазовой функции положительного
типа.
По предложению 25.4.4 эквивалентное определение состоит
в том, что в некоторых локальных координатах идеал / ло-
локально порождается функциями
где Н — однородная функция и 1тЯ^0. Тогда то же верно и
в любых других локальных координатах, в которых плоскость
dl = 0 в точке (*o, go) трансверсальна к !Г*о, &<>(/)•
Теперь докажем аналог предложения 25.1.5, который позво-
позволит нам определить класс Im{X, J) для положительного кони-
конического лагранжева идеала /.
Теорема 25.4.7. Пусть ф, / и Н такие же, как в предложении
25.4.4, и пусть а е Sm+^n-2N^4(RnX 'R") имеет носитель в малой
25.4. Распределения и положительные лагранжевы идеалы 5$
конической окрестности Г точки (лг0, Во). Тогда распределение
B5.4.5) и (х) = BяГ(Аг+2А0/4 $ е'ф(* 0)а (*, 9) dS e (Г7 (R")
определено как осцилляторный интеграл и
B5.4.6) WT(и) <={(*, Ф;(х, 9)); (х, 6)еГ, <р'в(х, 9) = 0}c=/R.
Существуют такие v, Vo^ Sm~n/4(Rn) с носителями в малой
конической окрестности точки g0, что v — v0 <= Sm-n/4-1 (R") „
(jc0, go)^WT(w— Mi), где их определяется формулой
B5.4.7) щ (х) = BпГп
B5.4.8) y0 (g) - Bя)п/4а (х, 6) (det Ф//)
п/4а (х 6) (det Ф//)~1/2
в окрестности точки (xOi 90, go). 3Cec6 7 — идеал, порожденный
функциями B5.4.2), а Ф — матрица B5.4.3). Обратно, если и\
определяется формулой B5.4.7), где v ^ Sm-n/4(Rn)> то суще-
существует такая функция а е Sm+("-2JV)/4, что (xo,lo)^WF(u — щ)
для распределения и, определенного посредством B5.4.5).
Прежде чем приступить к доказательству, проанализируем
условие B5.4.8).
Лемма 25.4.8. Для любой aeS^(R"X RN) можно найти такую
функцию yeS^R"), что
B5.4.9) v (I) - а {х, 9)е/
на бесконечности в не зависящей от а конической окрестности
точки (х0, 8<ь go). Обратно, для любой yeS^ существует функ-
функция а е S»9 при которой условие B5.4.9) выполняется в таком
множестве.
Доказательство. Условие ae S^ означает, что семейство функ-
функций
(х, 9)H->a(jc, /9)Г^
ограничено в С°° при t> 1. Немного поразмыслив над доказа-
доказательством леммы 7.5.7, мы увидим, что в некоторой фиксиро-
фиксированной окрестности V точки (х0, 0О, g0) справедливо представ-
представление
а (х, Ю) Г» = Е Ь, (х, 9, g, t) (xj - Х} (g))
+ Zcf (x, e, g, t) (в7 - e7 (g)) + v (g. o,
где Xj(l) и 6/(g)— функции, определенные как в доказательстве
предложения 25.4.4, а Ъ\, с}- и v ограничены в C°°(V). Если функ-
60 25. Лагранжевы распределения
ция %(?)еС°° имеет носитель в малой окрестности точки go, то
произведения обеих частей последнего равенства на % совпа-
совпадают в конической окрестности точки (х0, во, ?о)', следовательно,
при t > 1 имеем в этой окрестности
¦% (I/O а (х, 9) = fx Ш (I b, (x, Q/t, lit, t) (x, - X, (?))
Можно так выбрать %, чтобы в конической окрестности точки ?0
было
оо
\ %(l/t)dt/t=\,
0
так как этот интеграл — однородная функция от | степени 0
(ср. § 3.2). Поэтому при достаточно больших ||| и при (х, 8, |),
лежащих в достаточно малой конической окрестности точки
(*о, во, Ы» интегрирование предпоследнего равенства по
от 1 до оо дает
а(х, в) = Z ВДх, 6, g)(jf7 - *,(?)) + 2 С;(х, 6,1) (ву - 0y(g)) +
где В/ gS»1, C/gSH HtiGS^. Тем самым первое утверждение
доказано. Для доказательства второго нужно точно так же раз-
разделить v{t%)t-v на дф/дб — | с остатком в виде функции от
(х, 0), умножить на функцию от (лс, 8), сделать замену перемен-
переменных и проинтегрировать. Повторять детали нет смысла.
Замечание. Если v eSf|/, то по лемме 7.5.10 функцию |Z)aa(g) |
для любого а при |?|>1 можно оценить через
\l\»-w-N\lmff(l)\N с произвольным N. Поскольку \lmH\NelmH
— ограниченная функция, соответствующее распределение
«B5.4.7) принадлежит С°°. Таким образом, выбор vo в B5.4.8)
несуществен mod C°°.
Доказательство теоремы 25.4.7. Распределение B5.4.5) было
определено в теореме 7.8.2, а B5.4.6) вытекает из теоремы
8.1.9. Остальная часть доказательства производится параллель-
параллельно доказательству предложения 25.1.5, начиная с представления
B5.1.5) для #(?), которое нужно разделить на функцию еш, по-
поскольку она имеет экспоненциальный рост. Как и выше, в неко-
некоторой конической окрестности точки ?0 справедливо разложение
u{l)=U0{l)+ Ui(l), где Uo быстро убывает, а
B5.4.10) и{а) = BпГ{п+т14^ eit{(p{x'e)-{x^))%(Q)a(xt tB)tNdxdB,
где t = \l\, r\ = tjt, % €= С" (R^ \ 0). Предположим, что |go|=l.
При ц = |0 экспонента имеет единственную критическую точку
25.4. Распределения и положительные лагранжевы идеалы 61
(х0, 8о) в носителе подынтегрального выражения. Поэтому для
ц, близких к g0, по теореме 7.7.1 можно выбрать % с носителем,
лежащим в сколь угодно малой окрестности точки 8о. Ввиду
B5.4.6) функция U\ быстро убывает вне любой заданной кони-
конической окрестности точки ?0, если носитель а лежит в доста-
достаточно малой конической окрестности точки (х0, 0о). Таким об-
образом, можно считать, что вектор ц близок к |0. Но тогда можно
применить теорему 7.7.12 с со = t, замечая, что остаточный член
оценивается равномерно по и, когда и и возникающие классы
вычетов ограничены в С°°. Показатель ф(х, 8)—<Х ц} сравним
с —Н (r\)modJ2. Коэффициенты оператора Lf,j из G.7.23) одно-
однородны по 8 степени —j и, следовательно, сравнимы mod 7 с
однородными функциями от ц степени —/. Заменяя в G.7.23)
вектор г\ на g/f и умножая на t~i, мы получаем однородные
функции от | степени —/. По лемме 25.4.8 функция #$j(*, б)
сравнима mod 7 с функцией aap(|)s S^-'-Pi в конической окрест-
окрестности точки (х0, во, ?о)> гДе \х = т-\-(п — 2N)/4. Следовательно,
функция a((PJ(x, tQ) сравнима с aa^(tr\) по модулю идеала, по-
порожденного производными от <р(я, 8) — (х, г\У по х, 8, так что
дахд§а(х, tQ)^P]aa
по модулю этого идеала. Поскольку ЦрР'ДазШ^ ^^ т0 /~
в сумме G.7.23) принадлежит S^-i; поэтому если взять сумму
первых v членов, то остаточный член оценивается через
v-V-(rc + A0/2v!l+N p jtn-n/4-v
Пусть Д(|) — однородная функция степени п — N, сравнимая
с det(O//) по модулю 7; тогда определитель, входящий множи-
множителем в G.7.23), эквивалентен
(t/2ny{N+n)l2 (А (Л)Г1/2 = Bn){N+n)f2 А AГ112 Г",
где /-^сократится с множителем tN из B5.4.10). Таким обра-
образом, мы получаем из G.7.23) последовательность функций v\ e
?W)/2-f — Sm-n/i-!9 для кОТОрЫХ
/i (Б) — Z оу(Б)
оо
Следовательно, если v ~ 2 0/ ^ 5m~w/4, то функция
о
быстро убывает в конической окрестности точки |0, так что
(jco, %o)qkWF(u2), если U2=U2. Это завершает доказательство
первого утверждения теоремы.
62 25. Лагранжевы распределения
Чтобы доказать обратное, заметим, что при некотором а\
20/4
B5.4.11) va)-Bnf4al(xy 6)(det(O(jc,
Если и определяется формулой B5.4.5) с а = аи то и2 = Щ — и
имеет mod С°° вид B5.4.7) с у, совпадающим с некоторым Ri &
gm-n/4-i в конической окрестности точки ?0. Этот процесс можно
итерировать и получить последовательно функции а/е
?m+(n-2N)/4+i-j9 ПрИ которых для функции и, определенной фор-
формулой B5.4.5) с а = п\-{- ... + а/> разность Wi — w имеет вид
B5.4.7), где v равняется некоторой функции Rj e Sm~/z/4~/ в фик-
фиксированной конической окрестности точки g0. Поэтому символ
#~ X а\ обладает нужными свойствами.
Определение 25.4.9. Пусть J — положительный конический ла-
гранжев идеал в Т*(Х)\0, где X — некоторое С°°-многообразие.
Если Е — векторное расслоение над X, то через Im(X, J\ E)
обозначается пространство обобщенных сечений U расслоения
Е над X, которые микролокально допускают представление
B5.4.5) в следующем смысле: для каждой точки (х0, |0) е /j?
существуют однородная фазовая функция ф(лс, 6) положитель-
положительного типа, параметризующая J вблизи (xOi ?0)> локальная три-
виализация Е и распределение и вида B5.4.5) в окрестности
точки хо с aGSm^-W для которого (xo,lo)<?WF(U — u).
Здесь n = din\X, а N — число переменных 0.
По теореме 25.4.7 равносильно было бы потребовать выпол-
выполнения этого условия для любой фазовой функции ф положи-
положительного типа. Исходя из B5.4.8), можно было бы также ввести
понятие главного символа. Однако для этого пришлось бы не
только обобщить построения § 21.6, но также изучить роль
«подавляющего» множителя е~ш в B5.4.8). Поэтому мы ограни-
ограничимся отсылкой интересующегося читателя к литературе, ука-
указанной в примечаниях в конце данной главы.
Условие на U в определении 25.4.9 является микролокаль-
микролокальным. Поэтому, если бы идеал J был определен лишь в открытом
коническом множестве с=Г*(Х)\0, высказывание U^Im(X, J\E)
имело бы вполне ясный смысл.
25.5. Интегральные операторы Фурье
с комплексной фазой
В этом параграфе изложение совсем сжатое, поскольку оно, по
существу, повторяет конструкции § 25.2 с использованием ре-
результатов § 25.4 вместо § 25.1. Пусть X и Y — два С°°-многооб-
разия. Если J — положительный конический лагранжев идеал
25.5. Интегральные операторы Фурье с комплексной фазой 63
в С»(Р(ХХУ)\0), то
У = {/; Г/ €= /}, i (х, |, г/, л) = (х, 6, у, - л)
называется положительным коническим каноническим (или
скрученным лагранжевым) идеалом. Очевидно, что J = (J')'.
Определение 25.5.1. Пусть J с С°°(Г*(XX У)\0) — положитель-
положительный конический канонический идеал с /r с (Г* (X) \ 0) X G1* (Y) \
0), и пусть Е, F — векторные расслоения на X, У. Тогда опера*
торы с ядрами из Г (l X ^» У\ йх2х у ® Нот (У7, Е)) называются
интегральными операторами Фурье порядка т из пространства
сечений расслоения Qy2®F в пространство сечений расслоения
й5/2®?\ ассоциированными с каноническим идеалом J.
В следующей теореме через /-1 обозначен идеал на
Т*(УХ^)\0, полученный перестановкой множителей Г*(У) и
Т*(Х), а через /-1 — комплексно сопряженный к нему.
Теорема 25.5.2. Если А<=Г(ХХУ, /'; Qfx y ® Horn (F, ?)), то
Доказательство. Достаточно рассмотреть локальную ситуацию,
когда Е, F — тривиальные расслоения, а X, Y—подмножества
евклидова пространства. Тогда
A (jc, у) = J а (*, #, 9) в'ф (*• ^ 0) dB,
где flGSm+(/l-2Af)/4, /г — размерность Xy<Y, a N — число пере-
переменных 0, и
А* (у, х)= jja(x, у, 9)*в-'ф^
Идеал 7 состоит из функций, не зависящих от 6 и принадлежа-
принадлежащих идеалу с образующими
, у, Q)/dXj - gy, Eф (х, yf Q)/dyk + Ль dqp (л:, у, 9)/E9ь
в то время как оператор Л* ассоциирован с идеалом, порожден-
порожденным образующими
— дер (х, уу Q)/dyk - ль - <?ф (х, у, Q)/dxf + gy, - дер (х, у, в)/ав,.
Этот идеал совпадает с J, а если его рассматривать как идеал
в пространстве функций на Г*(УХ^0, то он совпадает с J-1.
Теорема доказана.
Композицию операторов мы рассмотрим только для транс-
версального случая. Пусть X, У, Z — гладкие многообразия, и
64 25. Лагранжевы распределения
пусть
(*о, So. Уо, По) s (Г (X) \ 0) X (Г (У) \ 0),
( ' (й>, Ло. «о, Со) е (Г (У) \ 0) X (Г (Z) \ 0)
суть точки из /ir, соотв. /2R, где /i и/2 — положительные кони-
конические канонические идеалы, определенные в некоторых кони-
конических окрестностях. Обозначим через TXo,io комплексифициро-
ванное касательное пространство к Т* (X) в точке (х0, |0) и
аналогично определим TyGi^, Г2о, ?0. Тогда касательные простран-
пространства T(J{) и Т(]2) в точках B5.5.1) являются линейными под-
подпространствами в ТХо, ?0 X Туй, по и ТУо, по X Tzo, to соответственно.
Композиция называется трансверсальной в рассматриваемой
точке, если T(J{)\T (J2) трансверсально пересекается с Г*0,$0Х
Д (TVo. -по) X Tz0, to» гДе л (TV* no) — диагональ произведения
Ту0, Т1о X ^о, Т1о-
Предложение 25.5.3. Пусть J{ и J2 — положительные конические
канонические идеалы, определенные соответственно на
Г*(ХХУ)\0 и T*(y><Z)\0, и пусть композиция трансвер-
сальна в точке B5.5.1). Тогда функции, определенные в окрест-
окрестности точки (лг0, ?о, Zo, So) в Г*(Х)Х^*(^) ^ имеющие подня-
поднятия на
которые являются ограничениями на Д элементов идеала, по-
порожденного J\ ® I w I <S> /2, образуют локальный положитель-
положительный конический канонический идеал /i°/2.
Доказательство. Лемма 25.2.5 справедлива и для комплекс-
комплексных X. Следовательно, ввиду предложения 25.4.2 можно так
выбрать локальные координаты на Xf Y и Z в окрестности х0, уо
и го, чтобы идеал /i задавался фазовой функцией
<Pi (*, У> S, Л) = <^, ё> — <У, Л) — Нх (g, л),
а идеал /г — функцией
ф2 (У> z, Л, ?) = (У, Л> — <г, ?> — #2 (Л, ?)•
Обе эти функции положительного типа. При этом функции
xt - дн{ (t ч)№1у yk + днх (Е
локально порождают /ь а
локально порождают /2. Касательные пространства T(J{) и
Г(/2) получаются приравниванием к нулю дифференциалов этих
функций. Поскольку r(/i)X Г(^2) — лагранжево подпростран-
подпространство, а Г(Д) инволютивно, то в силу трансверсальности в точке
25.5. Интегральные операторы Фурье с комплексной фазой 65
B5.5.1) пространство r(/i)X ^(-Ы не содержит ненулевых эле-
элементов с нулевыми компонентами в касательных пространствах
к Т*(Х) и T*(Z) и с равными компонентами в касательном про-
пространстве к T*(Y). Поэтому из равенств
dxj = dlj = О, dzt = dZi = 0, d (xj - дНх (g, т|)/<Э|7) = 0,
d (z, + дН2 (л, »/<%) = 0, d (дН{ (g, ц)/дцк + дН2 (л, Е)/*Ъ) = 0
вытекает, что dx\ = 0. Это в точности означает, что из равенств
{PHJdl дх\) л' = 0, (д2НМ дц) л' = 0, (д2 (Н, + Н2)/дц2) V = 0
следует, что т]' = 0, или, иными словами, что
B5.5.2) дифференциалы d (д (Нх (|, т]) + Я2 (л, ?>))/дць) линейно
независимы.
Далее, идеал, порожденный элементами Jx ® 1 и 1 ® /2, по-
порожден функциями
где (у', лО — координаты во втором экземпляре расслоения
Г*(У). Ограничение на диагональ не изменится, если добавить
к образующим функции yk — yrk и л^ — Л^- Таким образом по-
получается идеал, порожденный функциями
xj - дНх (g, T|)/dg/f 5Я, (g, Т|)/Л|Л + 5Я2 (л,
zl + <ЭЯ2 (л, С)/^ и ук — у'к, цк - i\'k.
Итак, ограничение на Д в координатах х9 g, у, л» г> S порож-
порождается этими функциями без участия yk — yrk и л^ — Л^ Таким
образом, J\o]2 состоит из функций этого идеала, не зависящих
от уу л-
Обозначим 6 = (у, g, л, л'> ?) и положим
B5.5.3) Ф {х, z, 9) = ф1 (х, 0, gf л) + Ф2 (У, г, ц', Q
= (х, g> - <у, л) - Я! (g, л) + <У, Ч') - (z, 0 - Я2 (лг, S).
Как и при доказательстве теоремы 25.2.3, можно считать у, g, л>
Л', 5 однородными функциями степени 0, 1, ..., 1 от некоторой
новой переменной ю. Тогда ф также можно считать однородной
функцией от о. Однако удобнее не прибегать к явному исполь-
использованию этих переменных. Ясно, что 1тФ^0, и остается
66 25. Лагранжевы распределения
проверить невырожденность Ф. Но
дФ/дук = х(к - %у дФ/д?, = xf- дН{
= -yk- дН{ (g,
a jc/, yk, zt — независимые переменные. Поэтому линейная неза-
независимость дифференциалов всех этих функций будет доказана,
если мы покажем, что в точке B5.5.1) из равенства
I ак (ёц'к - d%) + ? М (дн> №. П)/д% + дН2 (л', Q/dr\'k) = О
вытекает, что а^==&^ = 0. Заменяя dr\' на dr]-(-^'П/ — ^Л во
второй сумме, получаем в силу B5.5.2), что bk = O, а отсюда
немедленно вытекает, что и пк = 0.
Положительный конический канонический идеал 7, задавае-
задаваемый фазовой функцией Ф, в соответствии с предложением
25.4.4 состоит из функций от х, ?, г, ?, входящих в идеал, по-
порожденный функциями дФ/dlj, дф/дук, дф/дх\к, дФ/дц'к, дФ/д?,1л
Поскольку дФ/дук = r\fk — x\k, некоторая функция содержится в
этом идеале тогда и только тогда, когда то же верно для ее
ограничения на множество т\' = х\. Но это означает, что J сов-
совпадает с ]\ о/2, и доказательство завершено.
В доказательстве предложения 25.5.3 мы задавали Jx и ]<z
при помощи весьма специальных фазовых функций. Однако фа-
фазовую функцию, определяющую /i°/2, можно очень просто по-
получить из произвольных фазовых функций, задающих J{ и /5.
Предложение 25.5.4. Пусть выполнены условия предложения
25.5.3 и ф(лг, у, 6), if(#, г, т) — однородные фазовые функции по-
положительного типа в точках (хо, г/о, 9о) и (#о, %о, то) соответ-
соответственно, задающие JY и J2 вблизи B5.5.1). Тогда
B5.5.3)' Ф {х, z, у, 9, т) = ф (х, у, 9) + ф (у, г, т)
является фазовой функцией положительного типа, задающей
Здесь Ф — однородная функция от некоторого параметра,
скажем
(о = ((|0р + |т|2I/2^е(т).
Однако в доказательстве удобнее использовать параметры
(У, 9, т).
Доказательство. Прежде всего отметим, что число образующих
канонического идеала в P(IXZ)\0 всегда совпадает с
dim(XX Z). Поэтому из леммы 7.5.8 вытекает, что если один
25.5. Интегральные операторы Фурье с комплексной фазой 67
такой идеал содержится в другом, то эти идеалы совпадают.
Следовательно, достаточно показать, что J\°J2 содержится в
каноническом идеале, определяемом функцией ф. Но ]\ состоит
из не зависящих от 6 функций идеала, порожденного образую-
образующими
дф {х, У, fy/dxj — gy, dqp (х, у, Q)/dyk + цк, dtp (х, у, 8)/59v,
a ]<i — из не зависящих от т функций идеала, порожденного
элементами
<?Ф (у, г, т)/дук - л*, дЦ (у, г, т)/йг, + ?/, <?г|) {у, г, т)/дт^
Поэтому ограничения 1 ® ]2 и ]\ ® 1 на диагональ содержатся
в идеале, порожденном этими функциями. Если f(x, |, г, g)e
]\ о ]ъ то локально справедливо представление
f = 5>/ (дфх! - gy) + Z 6* (йр/ду* + л*) + Z
где a/, ..., /^—функции от х, |, г, g, y, 6, т, т|. Все коэффи-
коэффициенты, кроме bk, можно сделать не зависящими от х\9 приводя
их по модулю идеала, порожденного функциями ду/дуи + r\k,
k=l, ..., dim У, и включая частные в bk. При этом, поскольку
функция R=Yjbk {dq>/dyk + Цн) не зависит от tj, по лемме 7.5.10
для каждого N
B5.5.4) | R (х, |, г, ?, г/, 9, т) | < CN \ Im Лр/^ Г.
По лемме 7.5.11 те же оценки справедливы и для производных
функции R. Локально можно оценить |д1тф/ду|2 через Imqp,
а поскольку Im ф = <д Im ф/EЭ, Э>, то в B5.5.4) можно заменить
ду/ду на 5ф/E6. Но тогда из теоремы 7.5.12 вытекает, что R
содержится в идеале, порожденном dq>/dQv. Поэтому можно от-
отбросить целиком сумму Z ^k (dty/dyk + 4k)> так что / содер-
содержится в каноническом идеале, задаваемом функцией ф.
Теперь нетрудно рассмотреть композицию интегральных опе-
операторов Фурье. Действительно, в доказательстве теоремы 25.2.3
ничего не нужно менять, поскольку теорема 7.7.1 равным об-
образом справедлива для фазовых функций положительного типа.
Кроме того, предложение 25.5.4 показывает, что возникающая
при этом фазовая функция ф соответствует композиции идеалов.
Следовательно, справедлива
Теорема 25.5.5. Пусть Jx и 12 — положительные конические ка-
канонические идеалы соответственно в Г*(ХХУ)\0 и Г*(УХ^)\0,
для которых
(i) 71К
68 25. Лагранжевы распределения
(И) композиция трансверсальна в каждой точке пересечения
множеств
(iii) отображение
(/ir X J2R) П (Г (X) X А (Г (Г)) X Г (Z)) - Г (X X Z) \ О
является инъективным и собственным.
Тогда идеал ]х о /2j определенный локально в предложении
25.5.3, является положительным коническим каноническим идеа-
идеалом в Г*AХ2)\0. Пусть операторы
А{ €= Г1 (X X Y, /I; Q# х у ® Нот (F, Я)),
Л2еГ(ГХ^, U Qy/2xz®Hom(G, F))
являются собственными (Е, Fy G — векторные расслоения на X,
У, Z). Тогда
Л!Л2 е= Г1+т2 (X X Z, G, о /2)'; Qfx z ® Нот (G, ?)).
Наконец, докажем аналог теоремы 25.3.1:
Теорема 25.5.6. Пусть J а С°° (Т* (X X У) \0) — положительный
конический канонический идеал, причем J$ а (Т* (X) \ 0) X
(Г(Г)\0). Тогда любое распределение A<==I°(XXY, /'; Йхху)
определяет непрерывное отображение из L2comp(Yy Qy2) e
Lioc (X, Qx2) в том и только в том случае, когда ни при каком
Yg/r пространство Ту (J) не содержит вещественного элемента,
только одна компонента которого в Т (Т* (X)) или в Т (Г* (Y))
равна 0.
Доказательство необходимости. Пусть y = (•% ?о> Уо> Ло) е ^R
и локальные координаты в окрестностях хов X и уов Y выбраны
так, что J задается фазовой функцией вида
в конической окрестности точки Y- Тогда в этой окрестности
1тЯ^0, и если координаты выбраны так, что хо = О и #0 = 0,
то Н[ (|0, т]0) = 0, Н^ (g0, л0) = 0. Положим п = пх + му, где
% = dimX, пу = dim Г. Если aGS("-2n)/4(Rrt) имеет носитель
в малой конической окрестности точки (?0, т]0), то осциллятор-
ный интеграл
Л (х, у) = J J e'(u.s>-a/.4>-wF.Ti))a(|> т|) rfg rfri
принадлежит пространству /°AХ^, /') в некоторой окрестно-
окрестности точки (х0, Уо) и С°° вне некоторой другой окрестности. По-
Поэтому можно считать А ядром непрерывного оператора из
25.5. Интегральные операторы Фурье с комплексной фазой 69
Llmp(R"Y) в LL(R"X). Возьмем а&, i\) = (l + (\lf + | т, |2)/(| g012+
I Ло I2)) "'8 на бесконечности в конической окрестности точки
Aо, Ло). Для ueC(R') и оеСИ положим
щ (у) = ew<y- л°>и (ty) f^\ vt (х) = е"'<* Е»> о (fx) /"*/*.
Поскольку ||и/|| = ||и||, ||у/|| = ||у||, где ||-|| — норма в L2, а но-
носители и/ и о< стремятся к {0}, то из ^-непрерывности вытекает,
что для некоторого М
Ш\(Аии о*)|<Л^||ы||||о||.
Прямое вычисление дает
щ (ч) = ГпП2й ((л - /Ч)/0. ^ (|) = Г-^в ((I -
(л) ща (^о+/
Модуль экспоненты не превосходит 1, и
t2H (g0 + 6//, Ло + ц/t) — Q F, л) при / -> оо,
где Q — квадратичная часть ряда Тейлора для Н в точке (go, rjo).
(Напомним, что dH = 0 в (g0, Ло), откуда по однородности также
и //(go, т)о) = О.) Оценка
I /я/2а (/2ёо + /Б, ^2Ло + /л) - 11 < С A + | Б | + | л I )in+2)l2/t
при малых (|^| + |л|)А вытекает из теоремы о среднем, а при
больших — из ограниченности а. Поэтому, устремляя /->оо,
получаем
| J J
Это означает, что ||Л011 ^ Af,' где Ло — оператор с ядром
(Отметим, что до этого момента доказательство повторяет рас-
рассуждения из доказательства предложения 25.1.7.) Касательное
пространство T(J) совпадает с линейным каноническим отно-
отношением
B5.5.5) {(dQ/dl, Б, - dQ/дц, л)} <= Г (Спх) X Г (СЯу).
Пусть теперь (х, g; 0, 0) — вещественная точка, принадлежащая
каноническому отношению B5.5.5). Тогда она симплектически
ортогональна B5.5.5), т. е.
I) - (х, Б> = 0 для всех (g, л).
70 25. Лагранжевы распределения
Отсюда получаем, обозначая ф(х, g, у, ц) = (х, ?>— <#, т]> —
Q(l, л), что
«г, Д) - (х, I» Ло (*, У)=\\ ((х, I) - (х9
Возьмем MGCo°°(R"y), для которого Л0и=И=0. Поскольку распре-
распределение AqU e L2 не может быть сосредоточено на гиперпло-
гиперплоскости и
«*, Dx)-(x,
то g = 0 при х = 0. Если Jc ф 0, а ф — вещественнозначное реше-
решение уравнения <х, dty/дх} = (х9 |>, то функция е~^Ло^ постоян-
постоянна в направлении х, что противоречит предположению 0фА0и е
ZA Следовательно, jc = |=O. Рассматривая сопряженный опе-
оператор к Ло, мы видим, что отношение B5.5.5) не может содер-
содержать вещественных точек вида @, 0; у, ц), что завершает до-
доказательство необходимости.
Доказательство достаточности. Рассуждения можно локализо-
локализовать, умножив А слева и справа на функции из разбиения еди-
единицы на X и Y соответственно. Более общо, доказательство
можно микролокализовать, используя псевдодифференциальные
разбиения единицы. Таким образом, можно считать, что носи-
носитель А содержится вблизи точки (х0) у0) е Rnx+rlY и в то же
время WF'(A) содержится в малой конической окрестности
луча, проходящего через y = (jco, go, yo, Ло). Мы покажем, что
А*А является псевдодифференциальным оператором типа 1/2,
1/2, что позволит использовать рассуждения из доказательства
теоремы 25.3.1.
Пусть ф(х, у, 6)—невырожденная фазовая функция поло-
положительного типа в точке (хо, уОу 6о), задающая / в точке у.
Тогда по модулю С°° ядро А имеет вид
А (х, у) = J *'*<*• у> е>а (х, уу 9) d6,
где а е sin~2N)/4(Rn X R^), n = пх + nYi носитель а лежит в ма-
малой конической окрестности точки (дс0> у0, 80) и
Фе = °> Ф^ = %>> 4>'у = -\в точке К» Уо» 9о)-
По теореме 25.5.2 ядро сопряженного оператора
Л* (у, х) = Л (*, г/) = J е-(ч>(х>У>Ч(х, у, 9)
25.5. Интегральные операторы Фурье с комплексной фазой 71
принадлежит /°(УХХ, 7), где J~l задается фазовой функцией
—ф(-^, У у 8). Композиция J-{ о ] трансверсальна, поскольку для
t e Ty(J)[)Ty(J) из того, что компонента ty вектора t по
Туо Щ(Т*(Y))c равна 0, вытекает, что и ^ = 0. Следовательно.
Л*Л е /°(У X У, (J °-0')» ядро ^*^ сосредоточено вблизи точки
({/о, #о), a tt7F'(A*A)— в малой конической окрестности точки
({/о, Ло, #о, Ло). В этой окрестности композиция определяется не-
невырожденной фазовой функцией положительного типа
B5.5.6) ф(*, */, 8)-Ф(х, z, т),
где через г обозначена переменная в левом экземпляре много-
многообразия У.
Можно также построить фазовую функцию вида ф (г, ц) —
(Уу т]) с 1тф^0. Ввиду замечания, сделанного после следствия
25.4.5, для доказательства достаточно проверить, что отобра-
отображение
Ту0. по у*, tic G о /) =э (rfz, rf?, rfy
инъективно. Если вектор (^, ty) содержится в ядре этого ото-
отображения, то о (t'Y, ^y) = or(/y, fy) = O, поскольку г- и г]-компо-
г]-компоненты равны 0. Можно найти tx^TXo ^(T* (Х))с, для которого
Тогда в силу положительности ТХо, gOf ^0, т,, (/}
i (о (ix, tx) - о (t», %)) > 0, i (a (tx, tx) - a (t'Y, fY)) < 0.
Следовательно, также и о (tx, tx) = 0, откуда
(tx,iy)^Ty(J), (tXit'Y)z=Ty(J)
в силу предложения 21.5.10. Поэтому @, Re (t'Y — ty)) e Ty (J)
и @, lm(ty — ty)) e Г (/), откуда t'Y = ty. Поскольку г-компо-
ненты вектора ^ и ^-компоненты вектора tY равны 0, то
ty = ty =0, что и требовалось доказать.
Положим
B5.5.7) Ф(г, л, х9 у, 8, т) = ф(х, f/, 8) - ф (х, 2, т) + (г/, л),
и пусть / — идеал, порожденный производыми ф по х, у, 8, т.
Тогда ф — Og/2 в силу следствия 25.4.5 и замечания после
него. Идеал / порожден также образующими
X; — X; (z, л), уг — У/ B, л), 8; — 07 (г, л), т7 — Гу B, т]),
72 25. Лагранжевы распределения
где Xh Yjy в/, Tj — однородные функции степени 0, 0, 1, 1 соот-
соответственно, причем Х = хо9 Y = у0, в = Г = 90 в точке (у0, Ло)-
По лемме 7.7.8 вблизи точки (у0, щ)
B5.5.8) | Im {X, У, 0, Т) (г, ц) |2 < С Im ф (г, л).
Поскольку ф-ФеЯ, для Xr = Re X, ..., Гг= Re T имеем
Im Ф (г, л, *' (г, Л), • •.> Тг (г, т|)) < С{ Im ф (г, л),
так как образующие идеала 1 не превосходят C|Im(X, У, в, Г) |
в точке (г, л, ^г> • • • > ^г)« Если Ф = ф1 + /фг, то левая часть по-
последнего неравенства равна
ф2(Г, Х\ 0Г) + Ф2(^Г, г, П,
откуда ввиду леммы 7.7.2 вблизи точки (у0, Ло)
B5.5.9) | Ф^ {Х\ Y\ @r) | + | ф^ (Х^, г, Г) | < С2 (Im ф (г, л)I/2.
Введем обозначение
/ (х, у, 0) = ((9ф1 (х, г/, 9)/(9 (х, 0), (9ф2 (х, г/, Q)/d (х, у, 9)).
Тогда в окрестности точки (у0, г\0)
B5.5.10) | / (Xr (z, ц), Г (z, i\), вг (г, г,)) - / (Хг {г, ц), z, Г (z, л)) I
<С3Aтф(г, л))'/2.
Для компонент отображения /, содержащих ф2, это вытекает из
B5.5.9). По определению 7 имеем дФ/дх^1, дФ/дд—дФ/dx^J,
откуда
| Ф; (Хг, Г, 6') - ф; (Хг, г, Г) | + | Ф; (Г, Г, 60 - q>; (Xr, г, Г) |
Отсюда получается оценка B5.5.10) для компонент, содержа-
содержащих фь поскольку оценка для компонент, содержащих ф2, уже
доказана.
Матрица Якоби df(х, у, д)/д(у, 9) инъективна в точке
(*о, Уо> 9о). В самом деле, если кх = 0 и df = O, тойфд = 0, так
что (dx, dg, dy, dr\) e Ty(J) при | = ф^ и л = — ф^. Если dy и dQ
вещественны, то dr\ также вещественно, поскольку f содержит
ду2/ду- Итак, dx = Q, d^ = 0 и dy, dr\ вещественны, поэтому
dy = dx\ = 0 ввиду наших предположений относительно /. Это
доказывает требуемую инъективность, поскольку f — вещест-
вещественная функция. Следовательно, из разложения Тейлора полу-
получаем, что в окрестности точки (*0, г/о, во)
25.5. Интегральные операторы Фурье с комплексной фазой 73
Из этой оценки в сочетании с B5.5.10) вытекает, что
B5.5.11) | Г (г, г)) ~ г | + | 0Г (г, л) - Г (г, г)Ж С5 (Im ф (г, ri)I/2.
Положим i|)B, т))=ф (г, г|) — <г, г)>. Чтобы оценить произ-
производные от \f>, мы опять воспользуемся тем, что
ф (г, г|) + (г, л) - Ф (г, Л, *> У, 9, т) е 72.
Первые производные от if» содержатся в 7 и потому оцениваются
через СAтф(г, г|)I/2 в точке (Xr, У, 6r, Г). Далее,
-J^«z, ц) —Ф(г, ть х, у, 9, т))
= л + ф; (^, у, в) + (q?(*. г, т) - Ф; (х, у, е)),
-§^((г, Ц} — Ф{г, Л, х, у, 9, т)) = г — г/.
Здесь г) + ф^ (^, #, 6) е /.Полагая л: = Хг, ..., т = Гг, мы полу-
получаем теперь ввиду B5.5.9) и B5.5.11), что
| дф (г, -n)/fe I + I <Эф (г, т,)/^л I < С (Im ф (г, л)I'2
в окрестности точки (у0, Ло). Но тогда, в силу однородности,
B5.5.12) | <Эф (z, т|)/аг |2/| т, I + I Зф (г, л)/^ М л К С Im ф (г, л)
в конической окрестности этой же точки.
Из B5.5.12) вытекает важное следствие: в конической
окрестности точки (уо, Ло)
^ |< 1 « 1~1'^ I )/2 — 11П-ф(г/, TD/2 I i^i
Л1 ^ (Л!^1
В частности, е1'* е SJ,2f 1/2. Для доказательства B5.5.13) заметим,
что DayD\e^ является линейной комбинацией выражений вида
При |<Ху+Ру|^2 достаточно воспользоваться оценкой
|0Х^|<СарИ1Г1р/1<Са|гЦAа^/|-2|Р/1)/2; |Л
а при |ау+Ру|=1 нужно учесть, что ввиду B5.5.12)
Поскольку функция (\m^)Ne-lm^f2 ограничена при любом N,
отсюда вытекает оценка B5.5.13). (Обратно, как легко видеть,
из B5.5.13) вытекает B5.5.12).)
Итак, мы доказали, что ЛМ е Op (S}^ j/2). Следовательно,
оператор А*А ограничен в L2 по теореме 18.6.3, откуда вытекает
непрерывность А в L2 (см. также доказательство теоремы
25.3.1).
74 25. Лагранжевы распределения
Примечания
Операторы описанного здесь вида, называемые теперь инте-
интегральными операторами Фурье, впервые были введены Лаксом
(Lax [3]) при изучении особенностей решений гиперболических
дифференциальных уравнений. Его рассмотрения были чисто
локальными, но некоторые глобальные рассмотрения были до-
добавлены затем Людвигом (Ludwig [1]). Конструкция Лакса
была повторно использована Хёрмандером (Hormander [22])
для доказательства асимптотики спектральной функции эллип-
эллиптических операторов высокого порядка той же степени точ-
точности, что и соответствующие результаты гл. 27, полученные на
основе конструкции Адамара. Систематическое обсуждение гло-
глобальной теории было проведено Хёрмандером (Hormander
[26]) после анонса в [26а]1). Как подчеркивал Маслов, эта тео-
теория имеет много общего с его теорией канонического оператора.
Интересующийся этими вопросами читатель может обратиться
к книге Маслова [1], чтобы выявить имеющиеся связи.
Определение лагранжевых распределений в работе Horman-
Hormander [26], которые там назывались интегральными распределе-
распределениями Фурье, было основано на использовании невырожденных
фазовых функций. Опираясь на предложение Мелроуза (Melrose
[1]), мы избрали здесь другое определение, которое очевидным
образом глобально и инвариантно. Оно, разумеется, эквива-
эквивалентно определению при помощи фазовых функций. Следуя
Дёйстермаату и Гийемину (Duistermaat, Guillemin [1]), мы
пользуемся здесь также чистыми фазовыми функциями. Изло-
Изложение в § 25.2 следует работе Hormander [26], и то же отно-
относится в основном к § 25.3, за исключением теоремы 25.3.10,
взятой из работы Taylor [3].
Положительные лагранжевы идеалы и соответствующие рас-
распределения были введены Мелином и Шёстрандом (Melin,
Sjostrand [1]). Мы воспользовались их работой в § 25.4, не-
несколько изменив определения: мы рассматриваем лагранжевы
идеалы вместо почти аналитических продолжений. В § 25.5 из-
излагаются результаты об ^-непрерывности Мелина и Шёстранда
(Melin, Sjostrand [2]) с некоторыми усовершенствованиями из
работы Hormander [43], где приводятся также точные оценки
норм операторов.
]) Глобальная теория интегральных операторов Фурье изложена в рабо-
работах В. П. Маслова 1965—1967 гг. Ряд авторов (см., например, предисловие
к книге F. Treves [9]) считает, что правильнее было бы называть эти опера-
операторы операторами Маслова. — Прим. ред.
26
Псевдодифференциальные
операторы главного типа
Краткое содержание главы
В § 10.4 мы видели, что сила дифференциального оператора с
постоянными коэффициентами в Rn тогда и только тогда опре-
определяется его главной частью р, когда из равенства р = 0 в
R"\0 следует, что dp?=0. Такие операторы мы назвали опера-
операторами главного типа. Цель данной главы заключается в изуче-
изучении общих операторов Р е W%g(X) на многообразии X, удовле-
удовлетворяющих аналогичному условию, но в усиленной форме, так
чтобы свойства оператора Р не зависели от младших членов.
Сначала предположим, что главный символ р вещественно-
значен. Тогда в случае постоянных коэффициентов, как было
показано в § 8.3, особенности решений уравнения Pu = f рас-
распространяются по бихарактеристикам (т. е. по интегральным
кривым гамильтонова поля НР) соответствующего гамильто-
гамильтониану р, на которых р = 0), пока они не наткнутся на особен-
особенности Д В теореме 23.2.9 и в замечаниях, сделанных в начале
§ 24.2, этот результат был распространен на дифференциаль-
дифференциальные операторы второго порядка; в § 26.1 он будет доказан
также для псевдодифференциальных операторов. После приве-
приведения оператора Р к оператору первого порядка умножением
на эллиптический оператор порядка 1—га, мы воспользуемся
однородной теоремой Дарбу из гл. 21 и локально приведем р
к координате ^ при помощи однородного канонического пре-
преобразования 1- Исчисление итегральных операторов Фурье, раз-
развитое в гл. 25, показывает, что преобразование оператора Р при
помощи интегрального оператора Фурье, ассоциированного с %,
приводит р микролокально к оператору Db для которого распро-
распространение особенностей описывается очевидным образом. Так
мы получаем желанное обобщение теоремы о распространении
особенностей. Это обобщение нетривиально, если векторное поле
Нр не является радиальным в характеристических точках, что
также требуется для применимости однородной теоремы Дар-
Дарбу. Теоремы существования для сопряженного оператора на
76 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
компактном подмножестве К в X получаются, когда К не яв-
является ловушкой для бихарактеристик символа р, т. е. никакая
бихарактеристика не остается над К навсегда. Если это верно
для любого компакта К в X, то мы говорим, что Р — оператор
главного типа в Х\ локально это в точности означает, что диф-
дифференциал dp не пропорционален канонической 1-форме <?, dx}
в характеристических точках. При подходящих условиях выпук-
выпуклости X относительно потока бихарактеристик, аналогичных
условиям из § 10.8, можно также построить глобальный двусто-
двусторонний параметрикс для оператора Р.
Для комплекснозначных символов р ситуация значительно
сложнее. Эта сложность отражается уже в геометрии характе-
характеристического множества р~1@), которое, во-первых, может не
быть многообразием и, во-вторых, может быть сложно устроен-
устроенным с симплектической точки зрения, так как ранг ограничения
симплектической формы на характеристическое множество мо-
может быть переменным. Сначала мы рассматриваем два простых
крайних случая. В § 26.2 предполагается, что р~1{0)—инволю-
тивное многообразие коразмерности 2, т. е. {Rep, Imp} =0 при
р = 0. Как и в вещественном случае, тогда Р микролокально
приводится к оператору Коши — Римана D\ + iD2. Он коммути-
коммутирует с операторами, у которых символы аналитичны по хг + ix2.
Исходя из этого удается доказать, что если Ри^С°°, то функ-
функция регулярности
s*u(x, Q = sup{s; u<=H{s) в точке (х, Щ
является супергармонической в слоях слоения на инволютивном
многообразии р-{@). (В этих слоях имеется естественная ана-
аналитическая структура, определяемая комплексным касательным
векторным полем Нр: аналитические функции — это решения
уравнения Hpw = 0.)
В § 26.3 мы изучаем противоположный крайний случай,
когда {Rep, 1тр}Ф0, откуда вытекает, что р~{{0) — симплек-
тическое многообразие коразмерности 2. Знаменитым примером
такого оператора является оператор Леви
P = D{ + iD2 + i (хг + lx2) Дз
в R3. Он возникает как касательный оператор Коши — Римана
на границе строго псевдовыпуклой области
Q - {(гь г2) €= С2; \zl\2 + 2lmz2< 0}.
Действительно, д/дг\ + ad/dz2 касается dQ тогда и только
тогда, когда на dQ
0 = (d/dz{ + ad/dz2) (zxzx — iz2 + iz2) ==zx+ at.
Краткое содержание главы 77
Записывая z\=X\-\-ix2i z1=xb-\-ix\ и рассматривая х\9 x2i хг
как координаты на dQ, мы получаем оператор Леви, умножен-
умноженный на i/2. Из строгой псевдовыпуклости Q следует, что для
любой точки на dQ найдется функция U, аналитическая всюду
в Q, кроме данной точки. В самом деле, для ае.С.
Re faa + z2/i - | a |2/2) < Re fas - | zx \2/2 - | a |2/2)
причем неравенство строгое всюду, кроме случая, когда z\ = a
и \mz2 =— |а|2/2. Следовательно, для 6gR функция
U(z) = l/(z{a + z2/i -|а|2/2 + ib)
аналитична всюду в й, кроме точки z\=a9 z2 = b— i\a\2/2.
Граничное значение и функции U удовлетворяет уравнению
Ри = 0 и имеет особенность, которая не распространяется. Если
(х, g)e WF(u), то очевидно, что р(х, ?) = lx + ih + i(xx +
1x2) lz = 0, т. е. |i = х2Ъ и |2 = —х\%& Поскольку и является гра-
граничным значением функции, аналитической по z2 в нижней по-
полуплоскости, то ?3 < 0. Замечая, что
{Re p, Im р} = {?! — х2%ъ 12 + ххЪъ) = 2g3 < 0,
мы приходим к результату, доказанному в § 26.3: для всякого
псевдодифференциального оператора Р и характеристической
точки (л:, ?), в которой {Rep, Imp} (л:, |) < 0, найдется такое
распределение и, что Ри^С°° и WF(u) представляет собой луч,
проведенный через (х, I). Двойственный факт, впервые обнару-
обнаруженный Г. Леви, состоит в том, что в случае оператора Леви Р
уравнение Ри = f не имеет решений для большинства /, если
в некоторой характеристической точке {Rep, Imp} > 0. На са-
самом деле в таком случае, как правило, уравнение неразрешимо
в точке (jc, g) даже микролокально. При доказательстве этих
фактов мы воспользуемся интегральными операторами Фурье
для сведения к модельному оператору D\ + ixxD2, который назы-
называют иногда оператором Мидзохаты и который несколько про-
проще оператора Леви. Существование и регулярность решений
уравнения (D{ + ix\D2)u = f исследуется непосредственно при
помощи явных формул. Точно так же исследуется уравнение
(Dj + ix\D2) и = f при любом целом положительном k. При чет-
четных k свойства этого уравнения аналогичны свойствам опера-
оператора Коши — Римана (& = 0), а при нечетных k — свойствам
оператора Леви.
Результаты § 26.3 наводят на мысль, что для разрешимости
неоднородного уравнения Pu=f необходимо, чтобы функция
Imp не меняла знака с «—» на «+» вдоль бихарактеристик,
соответствующих символу Rep. Это условие впервые было пред-
предложено в качестве гипотезы Ниренбергом и Тревом и названо
78 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
ими условием (W). В § 26.4 эта гипотеза доказывается с по-
помощью одной идеи Р. Мойерса. Для этого предварительно про-
проводится развернутое обсуждение функционально-аналитических
аспектов различных понятий разрешимости и условию (Ч?) при-
придается удобная глобальная форма, инвариантная относительно
умножения на функцию, всюду отличные от нуля.
До сих пор неизвестно, является ли условие (Ч*) достаточ-
достаточным для разрешимости. Поэтому начиная с § 26.5 мы налагаем
более сильное условие (Р), которое запрещает любые перемены
знака функции Imp на бихарактеристиках символа Rep. (Для
дифференциальных операторов это эквивалентно условию (*?).)
Условие (Р) обеспечивает намного более простое устройство ха-
характеристического множества, как показано в § 26.5. Суть в
том, что перенос вдоль Нлер и Н\тр множества характеристиче-
характеристических точек, в которых dRep и dlmp линейно независимы, дает
инволютивное многообразие N1 коразмерности 2. Таким обра-
образом, N1 является слоением с двумерными слоями, на которых
гамильтоново поле Нр определяет вырожденный оператор Ко-
ши — Римана. В § 26.6 обсуждается распространение особен-
особенностей вдоль бихарактеристик символа Rep, покидающих в
какой-то момент характеристическое множество. При этом ис-
используются интегральные энергетические оценки. На аналогич-
аналогичных оценках основано изучение в § 26.7 вырожденных уравне-
уравнений Коши — Римана
(Dl + ia(x)D2)u = f,
где а ^ 0, что обеспечивает выполнение условия (Р). Из полу-
полученных результатов вытекает, в частности, наличие комплексной
структуры на слоях В слоения N% или, точнее, в множествах 5,
полученных стягиванием в точку каждой вложенной одномерной
бихарактеристики, т. е. каждой кривой, на которой касательная
пропорциональна Нр. В § 26.9 показано, что для этой структуры
в Nl остается справедливой супергармоничность функции регу-
регулярности 5*, доказанная в § 26.2 для невырожденного случая.
Важную роль в доказательстве играет некоторая модификация
интегральной энергетической оценки, принадлежащая Нирен-
бергу и Треву и установленная в § 26.8. Эта оценка в сочета-
сочетании с продвинутым исчислением псевдодифференциальных опе-
операторов, развитым в § 18.5, используется в приведенном в
§ 26.10 доказательстве того, что если Ри^С°°, то функция s^
квазивогнута на каждой одномерной бихарактеристике, т. е. ее
минимум на каждом интервале достигается в концевых точках.
Все установленные в § 26.6—26.10 результаты об особенно-
особенностях объединяются в § 26.11 в теорему существования для псев-
псевдодифференциального оператора Р, удовлетворяющего условию
26.1. Операторы с вещественными главными символами 79
(Р). Она утверждает, что если никакая полная одномерная или
двумерная бихарактеристика не застревает над компактным
множеством /С, то уравнение Ри = f разрешимо в окрестности К
для всякого /, ортогонального конечномерному пространству
решений и еСо°(/0 уравнения P*v=O. Если никакая бихарак-
бихарактеристика не застревает над компактным подмножеством в X,
то мы говорим, что оператор Р — главного типа в X, и тогда
для него справедливы полуглобальные теоремы существования
при любых членах младшего порядка.
26.1. Операторы с вещественными главными
символами
В § 8.3 мы доказали, что особенности решений дифференциаль-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и вещественной
главной частью распространяются вдоль бихарактеристик. По-
Покажем теперь, как с помощью симплектической геометрии и тео-
теории операторов, развитых в гл. 21 и 25, можно перенести эти
результаты на уравнения с переменными коэффициентами. При
этом «начнем с нуля», не опираясь на результаты § 8.3.
Теорема 26.1.1. Пусть X — некоторое С*-многообразие и Р е
^?т(Х)—собственный оператор с вещественным однородным
степени m главным символом р. Если и^2)'(Х) и Pu = fy то
WF(u)\WF(f) содержится в Char(P) = p-[ @) и является инва-
инвариантным относительно потока, соответствующего гамильтонову
векторному полю Нр.
По теореме 18.1.28
WF (и) aWF(f)[) Char (Р),
так что остается доказать лишь инвариантность относительно
гамильтонова потока. В точках, где Нр = 0 или Нр имеет ра-
радиальное направление, эта инвариантность очевидна. Поэтому
будем далее предполагать, что Нр и радиальный вектор ли-
линейно независимы. Для доказательства мы сведем все к част-
частному случаю, когда P = D{ в Rn, в котором нужный результат
получается при помощи явного решения уравнения Ри = /.
Изучение этого частного случая, как и сведение к нему, служит
одновременно подготовкой к построению параметрикса ниже
в этом параграфе. Поэтому мы излагаем параллельно еще не-
некоторые конструкции, необходимые в дальнейшем.
Обозначим через Е? и ЕГ опережающее и запаздываю-
запаздывающее фундаментальные решения оператора D\\ им соответствуют
ядра
?+ = ш (хх - У]) ® б (*' - у'), Е; = - Ш (у{ - х{) ® б (х'-/).
80 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Здесь Я — функция Хевисайда: H(t)=\ при ? >0 и H(t) = 0
при ?<0; х' = (х2, ..., хп) и у' = (у2у ..., уп). Отметим, что
Е\~ — ЕГ = Н>(х' — у'), или в разложении Фурье
B6.1.1) (Е? -ЕГ)(х, y) =
Это есть конормальное распределение по отношению к подмно-
подмногообразию {(х, у); х' = у'}\ его порядок равен —1/2, поскольку
мы имеем п — 1 фазовых переменных и Bп — 2(п—1))/4 =
1/2. Итак, Et -Er^rm(RnXR\ Cl), где
B6.1.2) Сх = {(х, I, у, л); х' = У\ V = п' Ф 0, 1{ = ц{ = 0}
есть соответствующее каноническое отношение. Отсюда выте-
вытекает, 4TOX?i±e=/-1/2(RnXR'\ С[), если х е С°° (RnX Rn) и х
обращается в нуль в окрестности диагонали (так как при хфу
либо Et', либо ?Г обращается в нуль в окрестности точки
(х,у)). Отсюда, в частности, следует, что множество WF'(Ef)
содержится в Сь исключая точки, лежащие над диагональю в
R"XR". Поскольку (DXf + Dy.)Ef = 0 для / = 1, ..., /г, то
1 = ц на WF'iE?) (см. также (8.2.15)) и
WF' (E?) Z) Н?Т' (DXl?f) - 1ГГ F (х - ^/)).
Здесь правая часть есть диагональ в G1*(R")\0)XG1*(
(теорема 8.1.5). Таким образом, доказано
Предложение 26.1.2. Пусть Et и ЕГ — опережающее и запазды-
запаздывающее фундаментальные решения оператора Dx = —id/dxx в
Rn. Тогда
(i) WF'(E?) есть объединение диагонали в (Г*(Кл)\0)Х
(r*(Rn)\0) и части канонического отношения С\ из B6.1.2),
в которой х\ ^ у и
(ii) Et - ЕГ е= Гщ (Rn X R\ С\) и%Ег^ Г42 (Rn X R", С[),
если % е С°° (Rrt X R") и X обращается в нуль вблизи диагонали.
Утверждение (i) является аналогом теоремы 8.3.7 для про-
простейшего оператора P = Dl. Остается лишь доказать теорему
26.1.1 для P = D\ простым повторением доказательства теоремы
8.3.3; мы предоставляем читателю это проделать.
При доказательстве теоремы 26.1.1 мы можем предполагать,
что Р — оператор первого порядка. Действительно, пусть Q —
эллиптический псевдодифференциальный оператор с однородной
степени 1 — m положительной главной частью. Тогда из Pu = f
следует, что (QP)u = Qf, причем QP имеет ге же характери-
характеристики и бихарактеристики, что и Р, и WF(Qf)= WF(f). Как уже
26.1. Операторы с вещественными главными символами S1
указывалось, достаточно также рассматривать характеристики
U'o, So) оператора Р, в которых направление Нр не совпадает с
радиальным. Поэтому можно применить теорему 21.3.1, согласно
которой найдется однородное каноническое преобразование %,
переводящее открытую коническую окрестность точки @, гп)\^
r*(R")\0 в открытую коническую окрестность точки (хОу ?0) и
такое, что %*Р = Si. Эту геометрическую конструкцию можно
поднять до уровня операторов:
Предложение 26.1.3. Пусть РеЧ^Х) имеет вещественную и
однородную главную часть р, р(х0, ?о) = О и гамильтоново поле
Нр в точке (х0, ?о) линейно независимо с радиальным направле-
направлением. Пусть х — произвольное однородное каноническое преоб-
преобразование открытой конической окрестности точки @, еп)^
Г*(КЛ)\0 в коническую окрестность точки (х0, ?0)> для которого
X*p = gb Тогда для любого \х е R существуют такие собствен-
собственные интегральные операторы Фурье А е /^(ХХ Rn, Г') и Б ^
/~^(RrtX^, (Г-1)')* где Г — график отображения %, что
(i) WF (А) и WF'(B) лежат в малой конической окрест-
окрестности точки (*о, |о, 0> е«) ^ (О, 8П, х0, 1о) соответственно]
(ii) (х0, go, х0, у ^ H7F' (АВ - /); @, ея> 0, ея) ^ 1ГГ (ВЛ - /);
(iii) (jc0, So, *<ъ У^^/7' (ЛО,В-Р); @, ея, 0, eJ^lFF^flP^-DO.
Таким образом, D\ и Р микролокально сопряжены друг с дру-
другом.
Доказательство. Возьмем оператор А\^ I* (Xy(Rn9 Г'), неха-
нехарактеристический в точке (х0, So, 0> е«), для которого WF'(A{)
близок к этой точке. Тогда, как отмечалось после определения
25.3.4, можно найти В\ е {-»(Rn X X, (Г)^, для которого вы-
выполнено (ii). Поэтому из теоремы 25.3.5 следует, что
(О, bu)&WF{B{PAx-D{-Q)
при некотором Qg1F°(R/i). Чуть ниже мы докажем существо-
существование эллиптических псевдодифференциальных операторов Л2,
Rn), для которых
B6.1.3) В2А2 - I €= V "°°, В2 (D{ + Q)A2-Dlz= W~°°.
Допустим, что это уже доказано. Тогда для А = А\А2 и В =
В2ВХ
(О, ея) ф WF (В2 (В{А{ - /) А2) = WF (ВА - /),
(О, ея) ф WF (B2 (B{PA{ — Di — Q) A2) = WF (BPA - D{),
откуда вытекает вторая часть утверждений (ii) и (iii). Первая
часть этих утверждений получается отсюда простым домноже-
нием слева и справа на Л и В.
82 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Чтобы доказать существование операторов Л2, В2у удовлетво-
удовлетворяющих B6.1.3), заметим, что по теореме 18.1.24 для любого
эллиптического оператора Л2 порядка 0 найдется В2^Чг0, для
которого В2Л2 — / <= Ч^00 и А2В2 — I €= Чг~0°. Поэтому B6.1.3)
эквивалентно условию (D\ + Q)A2 — Л^е^Р-00 для некото-
некоторого эллиптического Л2, т. е.
B6.1.3)' [D,, A2]
Если q° — главный символ Q, а а0 — главный символ Л2, то ра-
равенство нулю главного символа B6.1.3)/ означает, что
т. е. да°/дх\ =—iq°a°. Этому уравнению удовлетворяет функция
а°(х9 I) = ехр (- i J qG (t, x', I) dt\,
которая принадлежит S° по лемме 18.1.10. Выбирая оператор
Л° с главным символом а0, мы можем найти последовательно
Л'егР-'(Кл) так, чтобы при каждом /
Действительно, для этого нужно лишь, чтобы главный символ
а'* оператора At удовлетворял уравнению
где r9_j — главный символ оператора Rf_v Решение
аНх, i) = fl°(JC, l)\ (-«>?_, U, х', l)/efi(xf, t, \))dt
о
принадлежит S~}\ поскольку r/_i/a°e S~f. Тогда B6.1.3O будет
справедливо для оператора Л2, символ которого равен асимпто-
асимптотической сумме символов операторов Л°, Л1, ... .
Доказательство теоремы 26.1.1. Напомним прежде всего, что мы
свели доказательство к случаю га = 1 и что для оператора D\
теорема уже доказана. Поэтому предположим, что га = 1, и
пусть (*о, g0)^ WF(u)\WF(f), откуда р(х0, Ы = 0. Как уже
отмечалось, можно считать, что вектор Нр(хо, go) линейно не-
независим с радиальным направлением. Поэтому можно выбрать
А и В в соответствии с предложением 26.1.3. Положим v = Bu^
2)'{Rn). Поскольку
D,v = (D, - ВРА) Ви + ВР (АВ — I)u + Bf,
26.1. Операторы с вещественными главными символами 83
то @, ъп)\Ф WF(D\v) согласно утверждениям (и) и (iii) пред-
предложения 26.1.3. С другой стороны, @, en)^WF(v), так как
( ) и
и = (I - АВ) и + Av, (х0, 10) ф WF ((/ - АВ) и).
Поэтому (х\, 0, е„)е WF(v) при малых |jci|, а поскольку
WF(v) cz x~lWF(и), то WF(u) содержит образ этой кривой при
отображении %. Отсюда вытекает, поскольку определение га-
мильтонова поля симплектически инвариантно, что WF(u) со-
содержит окрестность точки (х0, go) на бихарактеристике, прохо-
проходящей через (xOi g0). Это завершает доказательство.
Теорему 26.1.1 можно уточнить, рассматривая классы #(s)
функций и и f. Напомним прежде всего, что по определению
/ е H(s) в точке (х0, |0)> если Af e Lioc для некоторого опера-
оператора Ле?5, нехарактеристического в (х0, go). Если при этом
f = Puy то u<=H{°s%m) в (*о, |о), когда (хо, go) Ф Char (P). Ока-
Оказывается, #E)-регулярность в характеристическом множестве
распространяется по бихарактеристикам:
Теорема 26.1.4. Пусть Р удовлетворяет условиям теоремы 26.1.1,
и пусть f = Pu принадлежит Н(°) в точках некоторого интер-
интервала /, лежащего на бихарактеристике. Если «g H\s+m-i) в не-
некоторой точке интервала /, то это же верно и для всех его точек.
Доказательство. Непрерывность в классах #(s) псевдодифферен-
псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье позво-
позволяет свести доказательство к случаю т = 1. Тогда, применяя,
как и выше, предложение 26.1.3 с ji = —5, можно свести доказа-
доказательство к случаю P = DU s = 0 и (xOf go) = (O, e^). Поскольку
Ef отображает Lcomp в L?oc, доказательство проводится по той
же схеме, что и доказательство теоремы 26.1.1, если волновой
фронт распределения всюду заменить на множество точек в
Г*(К")\0, в которых оно не принадлежит /А
Покажем теперь, что бихарактеристики, проекции которых
на расслоение косфер не замыкаются, действительно несут осо-
особенности некоторых решений.
Теорема 26.1.5. Предположим, что Р е Л?т (X) — собственный
оператор с вещественной однородной степени m главной частью.
Пусть I — компактный интервал на бихарактеристике символа
р, который инъективно проектируется в расслоение косфер к X,
Г — конус, порожденный I в Т* (X) \0, и Г7 — конус, порожден-
порожденный концевыми точками интервала I. Тогда для любого sgR
существует такое распределение u^S)r (X), что и е H\t) (X) при
84 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
каждом t < s и
WF (Ри) = Г, WF (и) = Г, и ф Н$ в точках (х9 I) е= /.
Если X = Rn, P = Dl9 I = {(xl9 О, еЛ); хх е R}, то можно взять
Поскольку мера множества {л/€Е? R"; 1*2 + ... -\-х2п-\ —
ixn\^.t) равна Ct{n~2)/2+[ = Ct по соображениям однородности,
1
a w~ad (/п/2) < оо тогда и только тогда, когда a < я/2, то
о
w^Lfoc тогда и только тогда, когда р < 2. Поэтому из тео-
теоремы 7.1.13 следует, что (<ри) е L* при любом q > 2, если
Ф €= С~, так что и €= Я(ос при / < 0. Ясно, что D^ = 0, а Г/7 (и)с
{(х, /е„); х/ = 0, t > 0} по теореме 8.1.6. Поскольку проекция
singsuppw множества WF(u) на Rn совпадает с осью хь то
последнее вложение является равенством и и не принадле-
принадлежит L2 ни в какой точке из /.
Если, как в теореме 26.1.5, мы имеем дело с конечным ин-
интервалом /= {(jci, 0, ел); a^Xi^b}, то нужно обрезать функ-
функцию и в точках а и Ьу соблюдая осторожность, чтобы не уве-
увеличивать волновой фронт. Для этого выберем функции if>/ e
+ ОО
С™ ((a, b)y^Rn~l) так, чтобы ^ tyj= l в окрестности множе-
— со
ства (а, 6)Х {0} в (а, 6)Х ^п~1 и supp я|)/-> {а}, соотв. {6}, при
/-*—оо, соотв. +°°- Можно выбрать такие регуляризации v\ рас-
распределений щ = -фуи, что для ?// = и/ — у/ имеем supp f//-> {«},
соотв. {6}, при /-)—оо, соотв. +°°> ||[//||(_i/i /D^ 2-I/I и
|t7/(g)|<(l + |g|)"l/l при 1^1+ ... +l^-il>UI/|.
Действительно, положим 0,A) = uy(g)(l — ^(бу|)), где х^С(Г,
^@)=1. Очевидно, что
uy(?)l2(l+I5l)'dl<«> при /<0
и | й/(|) | A +1|| )!/!-> 0 на оо вне любой конической окрест-
окрестности точки еп. Поэтому нужно просто взять б/ достаточно ма-
малыми. Тогда U=YjUj^H{t) при любом t < 0, WF(U)aI и
?/ — и^С°° в (*ь 0) при a < х{ < 6. Поэтому [/ не принадле-
принадлежит Я@) ни в одной точке из /. Поскольку D\U имеет особен-
особенности лишь в (а, 0) и F, 0) и WF(D\U)a WF(U) = /, то U
обладает всеми требуемыми в теореме 26.1.5 свойствами.
26.1. Операторы с вещественными главными символами 85
Для доказательства теоремы 26.1.5 в общем случае нам
нужны глобальные варианты теоремы 21.3.1 и предложения
26.1.3, чтобы привести оператор Р к Dx.
Предложение 26.1.6. Пусть X — некоторое С°°-многообразие и
р — вещественнозначная С°°-функция на Т*(Х)\0, однородная
степени 1. Пусть I — компактный интервал на R и у: I-+-
Т*(Х)\0—бихарактеристика, так что
Предположим, что композиция у с проекцией п: Т*(Х)\0->-
S*(X)na расслоение косфер инъективна. Тогда в некоторой ко-
конической окрестности V кривой {(xi, 0, е^); Х\ е /} найдется
однородное каноническое С00-преобразование %, переводящее V в
открытую коническую окрестность %(l/)cz T*(X)\0 кривой уA),
для которого х(*ь 0, гп) = у(х1) и х*р = |ь
Доказательство. Для упрощения обозначений будем считать, что
Ое/, По теореме 21.3.1 найдется однородное каноническое пре-
преобразование х выпуклой конической окрестности Vo точки @, гп)
в коническую окрестность точки у@), для которого %*р = 1\ и
х@, е„) = y@). Тогда х* переводит гамильтоново поле д/дх\
символа gj в Яр, т. е.
B6.1.4) д%(х, 1Iдхх = Нр{х{хЛ)).
При х' = 0 и | = гп это уравнение имеет также решение y(xi)>
ji'i g /, с тем же начальным значением при х\=0. Следова-
Следовательно, можно единственным образом продолжить % на кониче-
коническую окрестность V кривой /Х{@, е^)}, выпуклую по направ-
направлению оси х\у так, чтобы в ней соотношение B6.1.4) оставалось
справедливым. Спроектированные кривые Х\\—>л%(х, |) явля-
являются интегральными кривыми векторного поля на S*(X)9 индуци-
индуцированного полем Нр. (Функции на S*(X) можно отождествить
с однородными степени 0 функциями на Т*(Х)\0, и тогда
Hpf={p, /}—также однородная функция степени О1).) По-
Поскольку % также является однородным, из предположения отно-
относительно я°7 вытекает, что % является диффеоморфизмом, если
окрестность V достаточно мала. Введем обозначения
%~l==(Xi, •••> Хп, Зь ..., SJ;
равенство %~1Н =д/дх1 означает, что
НРХХ = 19 НрХ; = 0 при />1, Hp3k = 0 при всех k.
]) Которую в свою очередь можно отождествить с функцией на S*(X).
Таким образом, Нр отождествлятся с некоторым векторным полем на
S*(X). — Прим. перев.
86 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Следовательно, скобки Пуассона {Xif Jy}, {J/, Ek}> {Eki S/} по-
постоянны вдоль орбит гамильтонова поля Нр ввиду тождества
Якоби. Эти скобки Пуассона в некоторой точке обращаются в
нуль, поскольку мы начинали с канонического преобразования.
Следовательно, они тождественно обращаются в нуль, откуда
вытекает, что продолжение преобразования % также является
каноническим.
Следующее обобщение предложения 26.1.3 доказывается со-
совершенно аналогично:
Предложение 26.1.3/. Пусть Pg?1^) имеет вещественную и
однородную главную часть р, и пусть у: I -+Т*(Х)\0 — биха-
бихарактеристика со свойствами, указанными в предложении 26.1.6.
Пусть Г — график канонического преобразования % конической
окрестности кривой ] = / X @, гп) в коническую окрестность
кривой y(/), обладающего свойствами из предложения 26.1.6.
Тогда для любого \х е R найдутся такие собственные инте-
интегральные операторы Фурье Ле/^AХК", Г) «Bg I~^(RnXXy
(Г-1)'), что
(i) WF'(A) и WF'{B) лежат в малых конических окрестно-
окрестностях графиков ограничения % на J и обратного к нему соответ-
соответственно;
(ii) y(I){)WF(AB — I) = 0, J(]WF(BA-I) = 0-
(iii) v(/)fl WF(ADXB — P) = 0, J []WF(BPA—Dl) = 0.
Доказательство теоремы 26.1.5. При доказательстве мы можем,
как и выше, ограничиться случаем га = 1. Изменим обозначе-
обозначения теоремы 26.1.5, заменяя / на y(I), /czR. Тогда мы попадаем
в точности в ситуацию, описанную в предложении 26.КЗ7. Выбе-
Выберем А и В согласно предложению 26.1.3' с [i = —5. Мы уже по-
построили распределение U в Rn, для которого WF(LJ) порожден
кривой /, WF(D\U) порожден концевыми точками /, (/еЯ(/°)С
при любом /<0 и U фН§) во всех точках (х, ?)^7. Обозна-
Обозначим u = AU\ тогда U = BumodC00, Pu = PAU = ABPAU =
ADiUmod C°°, так что и обладает требуемыми свойствами.
Обсудим теперь результаты о существовании решений урав-
уравнения Pu = fy которые можно получить применением теорем
26.1.4 и 26.1.5 к сопряженному оператору F* в сочетании с ме-
методами абстрактного функционального анализа. Для начала
будем рассматривать проблему разрешимости лишь на ком-
компактных множествах. Мы всюду мысленно предполагаем, что
все операторы действуют на полуплотности, так что сопряжен-
сопряженные операторы корректно определены и действуют там же.
Теорема 26.1.7. Пусть Ре?т(Х) — собственный оператор с ве-
щественой главной частью р, однородной степени пг. Пусть К —
26.1. Операторы с вещественными главными символами 87
компактное подмножество в X, не содержащее целиком никакой
бихарактеристики. Тогда множество
является конечномерным подпространством в С™ (/С), ортого-
ортогональным к РЗ)'(Х). Если f ^ H(s)(X) при некотором seR
(соотв. fGC°°(X)) и f ортогонально к N(K), то существует
и е Hl?+m-.\)(X) (соотв. и е С°°(Х))у являющееся решением урав-
уравнения Pu — f в окрестности К.
Доказательство. Главная часть оператора F* также равна р.
Следовательно, N(K)aC°° по теореме 26.1.1. Действительно,
если v^N(K) и (х, l)^WF(v), то бихарактеристика, выходя-
выходящая из (х, |), должна будет остаться над К. По теореме о зам-
замкнутом графике /Атопология на N(K) эквивалентна С°°-тополо-
гии, откуда вытекает, что единичный шар пространства N(K)
компактен в /Атопологии. Следовательно, dimN(K) < оо.
Условия теоремы будут выполнены, если заменить компакт
К на его достаточно малую компактную окрестность К'. При
доказательстве мы можем считать, что га = 1. Поэтому можно
рассматривать бихарактеристики как кривые в расслоении ко-
сфер. Поскольку такое расслоение над К' компактно, можно
найти бихарактеристику, остающуюся над К при всех значе-
значениях параметра, если подобная бихарактеристика имеется над
любой компактной окрестностью К' компакта К. Тем самым
утверждение доказано. Поскольку &\mN(Kf) убывает вместе с
К' и является конечной, ясно также, что N(K') = N(K), если
компакт К' достаточно близок к К.
Пусть ||*|1(о обозначает норму, определяющую Я(о-тополо-
гию в пространстве распределений с носителями в произвольном
фиксированном компактном подмножестве в X. Из условий
v^S"(K) и P*v^H(t) по теореме 26.1.4 вытекает, что v^
H(t+m-\). Следовательно, по теореме о замкнутом графике
B6.1.5) ||t,||(<+m_1)<C(||P't>||@ + ||t,||(<+m_2)), oe=C~(/O.
Пусть V — дополнительное пространство к N(K) в Н^+т-\)
<%'(К). Тогда при некоторой константе С\
B6.1.6) || v ||(/+m_u < С, || P*v ||@, tieVnC (К).
Действительно, в противном случае нашлась бы такая последо-
последовательность vj& Vy что
Но тогда слабо сходящаяся подпоследовательность должна
сильно сходиться в Hit+m-2) к пределу v e V, для которого
88 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
0 и 1 ^ C|M|(*+m-2) ввиду B6.1.5). Следовательно, v —
ненулевой элемент из N(K), что противоречит условию уеК.
Если распределение f^H(°?(X) ортогонально к N(K), то,
полагая t = \—т — s, мы из B6.1.6) получаем
B6.1.7) | (/, v) |<С||P*v||(/), v е= Со°° (К).
Действительно, это верно для у е V Л Со° (/С) и ни одна из частей
не меняется при добавлении к v элементов из N(K). Следова-
Следовательно, по теореме Хана — Банаха, антилинейная форма Р*1>ь->
(/, [;),ueCo° (/С), допускает продолжение до антилинейной фор-
формы на Я(Т)Шр, непрерывной по норме ||-Ц@- Следовательно, су-
существует распределение и е #(°co==#(°+m-i)> для которого
откуда Pu = f внутри К. Если применить это рассуждение к
подходящей окрестности К' компакта К, то мы получим, что
Pu = f в окрестности К.
Чтобы доказать эту теорему для С°°-случая, обозначим через
С°°(К) факторпространство, полученное из С°°(Х) факториза-
факторизацией по подпространству функций, имеющих нуль бесконечного
порядка на К. Двойственное к этому пространству Фреше сов-
совпадает с <?'(К) (теорема 2.3.3). Нужно доказать, что образ
отображения С°°{Х)-+- С°°(/(), определяемого Р, является орто-
ортогональным дополнением к N(K). Для этого покажем, что
P*S"(К) слабо замкнуто в <g'(X). Это в свою очередь эквива-
эквивалентно тому, что пересечение Р*<о'{К) с единичным шаром в
H{t)[\<§"(К\) является слабо замкнутым для каждого вещест-
вещественного t и каждого компакта К\ cz X. (См. леммы 16.5.8 и
16.5.9.) Но если v<=<of(K) и P*v<=H(t)y то v<=H(t+m-i) по тео-
теореме 26.1.4, а из B6.1.6) вытекает, что v = v\ + v2, где v{ e
N(K) и ||1;2||(/+т-1) ^ С. Поскольку множество таких v<i^.<§f[К)
слабо компактно и P*v = P*^2, то утверждение доказано.
Замечание 1. В случае когда К состоит из одной точки х0, мы
получаем, что если направление Нр не совпадает с радиальным
ни в какой характеристической точке (дс0, |), то для любой
функции feC00 найдется решение и е С°° уравнения Ри = f в
окрестности точки х0.
Замечание 2. Предположение относительно бихарактеристик в
теореме 26.1.7 является достаточным, но ни в коей мере не не-
необходимым для справедливости ее заключения. Например, если
Р — дифференциальный оператор с постоянными коэффициен-
коэффициентами, то наше предположение означает просто, что Р — глав-
главного типа (определение 10.4.11). Однако заключение справед-
26.1. Операторы с вещественными главными символами 89
ливо всегда в С°°-случае, а также в #E)-пространствах, если, на-
например, Р — оператор теплопроводности, который имеет крат-
кратные характеристики. Даже в случае простых характеристик
условие не является необходимым для операторов с перемен-
переменными коэффициентами. Например, заключение теоремы 26.1.7
справедливо для
Р = х2д/дх{ — х{д/дх2 + с
в кольце Х = {(х{, х2у, 1 < х\ + х\<2}> если сФО — веществен-
вещественная константа, хотя окружности х\ + х\ = г2 являются проек-
проекциями замкнутых бихарактеристик. Таким образом, члены млад-
младшего порядка, вообще говоря, могут оказаться важными. Од-
Однако они несущественны, когда выполяются условия теоремы
26.1.7. Поэтому точно так же, как в определении 10.4.11, мы
введем терминологию, опирающуюся неявно на это обстоя-
обстоятельство:
Определение 26.1.8. Пусть Р ^х?т(Х)— собственный псевдодиф-
псевдодифференциальный оператор. Будем говорить, что Р — оператор ве-
вещественного главного типа в X, если Р имеет вещественную
главную часть р, однородную степени га, и никакая полная би-
бихарактеристика оператора Р не лежит целиком над компактным
множеством в X.
Обсудим теперь вопрос о глобальной разрешимости уравне-
уравнения Pu = f по модулю С°°. В качестве образца мы будем ориен-
ориентироваться на результаты § 10.6 и 10.7, относящиеся к случаю
постоянных коэффициентов.
Теорема 26.1.9. Пусть Р — оператор вещественного главного
типа на многообразии X. Тогда следующие условия равно-
равносильны:
(а) Р определяет сюръективное отображение 3)'(X) на
Ф'Щ/С(Х
(b) для любого компактного множества К с= X существует
другое компактное множество К' cz X, такое что
u<=L&r (X), sing supp Р*и с= /С => sing supp и cz K'\
(c) для любого компактного множества К аХ существует
другое компактное множество К' cz X, такое что любой интервал
бихарактеристики оператора Р с концами над К целиком лежит
над К'.
Доказательство. (Ь)=^(с) с тем же К' по теореме 26.1.5. Импли-
Импликацию (с)=^(Ь) выведем из теоремы 26.1.1. При этом можно
считать, что порядок Р равен 1, поскольку можно домножить Р
на эллиптический оператор порядка 1—га, не нарушая свойств
90 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
(Ь) и (с). Но если порядок равен 1, то бихарактеристики можно
рассматривать как интегральные кривые векторного поля на
расслоении косфер, что удобно ввиду компактности слоев.
Предположим, что выполнено условие (с), и^&" (Х)у
singsupp P*ucz К, (х, g)e WF(u)\ покажем, что предположение
хфК' ведет к противоречию. По теореме 26.1.1 бихарактери-
бихарактеристика, проходящая через (х, |), остается в WF(u) до тех пор,
пока не достигнет точки, лежащей над К. Но ввиду (с) из
предположения хфК' следует, что по крайней мере одна из
половин у бихарактеристики, выходящей из (х, |), не содержит
точек, лежащих над /С, так что yczWF(u). Выберем точку
(*о, So) так, чтобы ее проекция на расслоение косфер была пре-
предельной точкой для у на бесконечности. Это возможно, по-
поскольку у лежит над компактом supp и. Но тогда вся бихарак-
бихарактеристика, выходящая из (х0, go), должна оставаться над supp и,
а это противоречит тому, что Р — оператор главного типа.
Поскольку Р главного типа, из и^<§' и Ри^С°° вытекает,
что и е С°°. В сочетании с чисто функционально-аналитическими
соображениями из доказательства теоремы 10.7.8 это доказы-
доказывает импликацию (Ь)=Ф-(а).
Остается доказать импликацию (а)=^(с). Допустим, что (с)
не выполняется. Тогда для некоторого компакта К cz X най-
найдется последовательность компактных интервалов /ь /2, ... на
бихарактеристиках с концами над К и точек (х/, ?/)е//, для
которых Xf-^oo в X. Последнее означает, что в каждом ком-
компакте содержится лишь конечное число точек х\. Можно считать,
что интервалы // не пересекаются даже в расслоении косфер.
Пусть (t//, r\j) — один из концов интервала // и Г/ — конус в
Т*(Х)\09 порожденный бихарактеристикой между точками
(*//> Л/) и (xf, ?/)» а Гу состоит из лучей, проходящих через эти
точки. По теореме 26.1.5 найдутся распределения щ ^&' (Х)у
для которых
WF (и.) = Гу, WF {Puj) = Г;, uj ф Н{4) во всех точках из Гу
Тогда Puj = fj + gj, где WF(f,) и WF(gj) — лучи, проходящие
через (х/, |/) и (t//, г\}) соответственно. При этом можно носи-
носители fj выбрать настолько близкими к X/, чтобы это семейство
носителей было локально конечным. Тогда можно определить
Покажем теперь, что Ри — f не принадлежит С°° ни для какого
u^2)J (X), т. е. условие (а) не выполняется. Для этого возьмем
достаточно большое по абсолютной величине отрицательное 5,
при котором и е Н^ в окрестности компакта /С. Тогда
и — Uj ф. Нх^ при —i^sb точках на //, близких к (#;, т|/), в то
26.1. Операторы с вещественными главными символами 91
время как и — и^ #[°с в других концевых точках интервалов
//. Но тогда из теоремы 26.1.4 вытекает, поскольку т = \, что
Р(и — Uj) не принадлежит #(s) ни в одной внутренней точке
интервала //. Однако
P(u-ut) = Pu-f+ I fk-gh
k ф j
и внутренность // не пересекается ни с волновым фронтом сум-
суммы, ни с волновым фронтом gj. Следовательно, Ри — / не при-
принадлежит #(s> ни в одной точке интервала //, что завершает до-
доказательство.
Когда выполнены условия выпуклости, аналогичные усло-
условиям из § 10.6, теорему 26.1.9 можно уточнить и доказать су-
существование настоящих решений. Однако это уточнение не
слишком сильно отличается от рассуждений § 10.6. Поэтому мы
предоставим читателю самому восполнить недостающие детали
или ознакомиться с литературой, указанной в конце главы.
Вместо этих уточнений мы рассмотрим вопрос о построении
глобальных параметриксов для операторов, удовлетворяющих
условиям теоремы 26.1.9. Удобно ввести специальный термин:
Определение 26.1.10. Если Р — оператор вещественного главного
типа на X и выполнено условие (с) теоремы 26.1.9, то X назы-
называется псевдовыпуклым относительно Р.
Чтобы осветить геометрические свойства гамильтоновых
полей на характеристическом множестве, докажем две леммы о
векторных полях, удовлетворяющих условиям типа (с) из тео-
теоремы 26.1.9.
Лемма 26.1.11. Пусть М — некоторое С°°-многообразие и v — век-
векторное поле на нем класса С°°. Тогда следующие условия равно-
равносильны:
(a) Никакая полная интегральная кривая поля v не является
относительно компактной, и для каждого компактного множе-
множества К в М найдется другой компакт /(', содержащий любой
компактный интервал интегральной кривой с концевыми точ-
точками в К.
(b) Поле v не имеет периодических интегральных кривых,
и отношение R, состоящее из всех (уи у2)^Му^М с у{ и у2,
лежащими на одной и той же интегральной кривой поля v, яв-
является замкнутым С°°-подмногообразием в Му^М.
(c) Существуют многообразие Мо, открытая окрестность М\
подмножества М0Х0 в AfoXR, выпуклая в ^-направлении, и
диффеоморфизм М-+-М\, переводящий v в векторное поле d/dt,
если точки из M0XR обозначать через (уОу t).
92 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Доказательство. Сначала покажем, что из первой части (а) вы-
вытекает
(а') Никакая интегральная кривая поля v> определенная для
всех положительных или для всех отрицательных значений па-
параметра, не является относительно компактной.
Действительно, предположим, что R+з t^-^y(t)— интеграль-
интегральная кривая с компактным замыканием /С. Тогда для некоторой
последовательности tj-+оо существует предел х = limy(t}). По-
Поскольку tb—>y(tj-\-t)—интегральная кривая при t^(—th oo),
то К содержит полную относительно компактную интегральную
кривую, выходящую из х, что противоречит первой части (а).
(Это рассуждение уже использовалось для доказательства им-
импликации (с)=^(Ь) в теореме 26.1.9.)
Теперь докажем импликацию (а)=^(Ь). Обозначим и-поток
через ф, так что t*—><p(y, t) — решение уравнения dx/dt= v(x)
с начальным условием х@) = у, определенное на максимальном
открытом интервале в R. Если Dq> — область определения ф, то
R = {(<P(y,t)9y); (у, /)еОф}.
Отображение (у, t)v—>((p(y, 0>#) инъективно, поскольку нет
замкнутых интегральных кривых. Ясно, что и дифференциал
этого отображения инъективен. Следовательно, чтобы доказать,
что R — замкнутое С°°-подмногообразие, достаточно проверить,
что это отображение собственное. Предположим, что (у/, tj)^D«
и У/-*У, ф(#/> tj)^x ПРИ /-*0. Нужно показать, что последо-
последовательность (t//, tj) имеет предельную точку в D^. При этом
можно предполагать, что //-)-Ге[—оо, оо]. Из второй части
условия (а) вытекает существование компактного множества
К', для которого ф(у/, t)^K' при ^[0, tj]. Если Г = ±оо, то
Ф (у, s) е К' при 5^0 или при 5 ^ 0. Но это противоречит (ar),
так что Т конечно и (у/, tj)^(yy Г)е Дф.
(Ь)=4-(с). Из (Ь) вытекает, что факторпространство Мо =
M/R является хаусдорфовым пространством. Отождествляя
окрестность класса эквивалентности элемента у с каким-нибудь
многообразием, трансверсальным к v в точке у, мы получаем
структуру С°°- многообразия на Мо. Отображение М^М0 имеет
С°°-сечение М0^М 1). Такие сечения, очевидно, существуют ло-
локально. Используя разбиение единицы на Af0, можно соединить
эти локальные сечения в глобальное, поскольку для усреднения
требуется лишь аффинная структура. Теперь положим
М{ = {(у, t); у е Мо, (у, t) €= ?)ф}
х) Здесь сечение — правое обратное отображение к отображению М->М0.-
Прим. перев.
26.1. Операторы с вещественными главными символами 93
и определим отображение М\-^М при помощи ф. Поскольку
импликация (с)=^(а) тривиальна, доказательство закончено.
В приложениях леммы 26.1.11 мы встретимся со случаем ко-
конического многообразия М и векторного поля v, коммутирую-
коммутирующего с умножением на положительные скаляры. Например, этим
свойством обладает гамильтоново поле однородной функции
степени 1. При этом vu однородна степени т, если и обладает
этим свойством. В частности, если Ms является факторпростран-
ством М по умножению на положительные числа, то v индуци-
индуцирует векторное поле vs на М5, как уже отмечалось при доказа-
доказательстве предложения 26.1.6.
Лемма 26.1.12. Пусть М — коническое многообразие и v — глад-
гладкое векторное поле на М, коммутирующее с умножением на по-
положительные скаляры. Пусть индуцированное векторное поле
vs на Ms обладает свойствами из леммы 26.1.11. Тогда сущест-
существуют С°°-многообразие М'о, открытая окрестность Мг подмноже-
подмножества М'о X 0 # М'о X R, выпуклая в направлении R, и диффео-
диффеоморфизм М-* М'*Х R+» коммутирующий с умножением на
положительные скаляры (действующим как тождественное пре-
преобразование наМг и обычное умножение на R+) и переводящий^
в векторное поле d/dt на многообразии М'о X R X R+ с «коор-
«координатами» (у0, t, г).
Доказательство. Прежде всего заметим, что при помощи раз-
разбиения единицы на М можно построить положительную
С°°-функцию г (у) степени однородности 1. Если я — проекция М
на М5, то мы получаем диффеоморфизм
коммутирующий с умножением на R+. Из условия (с) леммы
26.1.11 в применении к vs мы получаем диффеоморфизм М->
М' X R+ W' определяется в той же лемме), который переводит
v в векторное поле вида
Vl=d/dt + a(y(h t)rd/drt
поскольку v\ совпадает с d/dt для функций, не зависящих от г.
Решим теперь уравнение
дЬ(у09 t)/dt + a(yOi 0 = 0
с начальным условием 6=0 при ^ = 0, например. Тогда Ь е
С°°(МГ) и и1/? = 0 для /? = rexp6(y0, t). Выберем R в качестве
новой радиальной переменной вместо г. Тогда в новом выра-
выражении для v не будет члена с d/dRy что доказывает лемму.
94 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Замечание 1. При условиях леммы 26.1.12 векторное поле (v> 0)
па МУ^М определяет векторное поле v на многообразии-отно-
многообразии-отношении R (см. лемму 26.1.11 (Ь)), удовлетворяющее тем же усло-
условиям. Когда векторное поле представлено в виде, указанном в
лемме 26.1.12, это очевидно.
Замечание 2. Пусть v удовлетворяет условиям леммы 26.1.12,
и пусть с^С°°(М) — однородная функция порядка 0. Тогда
уравнение (v + c)u = f имеет решение u^Sm(M) при любом
f^Sm(M). Действительно, если с = 0, то нужно просто проин-
проинтегрировать f (no t) от 0 до t в координатах, построенных в
лемме 26.1.12. В общем случае нужно сначала построить таким
же образом однородную функцию С, удовлетворяющую уравне-
уравнению vC = c, и свести задачу к случаю с = 0 при помощи умно-
умножения на ес.
Вернемся теперь к оператору Р ^у?т(Х) вещественного
главного типа с главным символом р, и пусть X псевдовыпукло
относительно Р. Обозначим через N множество нулей символа
р на Т*(Х)\0. Это коническое многообразие, и гамильтоново
поле Нр касается N. Интегральные кривые поля Нр на N яв-
являются бихарактеристиками оператора Р. Определим бихарак-
теристическое отношение С оператора Р формулой
B6.1.8) С ={((*, I), (yt t]))gJVX N; (x, I) и (у, ц)
лежат на одной бихарактеристике}.
Эта конструкция инвариантна относительно действия кано-
канонических преобразований на р, поскольку инвариантно опреде-
определение гамильтонова поля. Умножение р на функцию, не обра-
обращающуюся в нуль, меняет параметризацию бихарактеристик,
но не изменяет С. Отметим, что множество С{ из B6.1.2)
является бихарактеристическим отношением для оператора D\.
В силу предшествующих замечаний при изучении С можно
считать, что порядок Р равен 1. По предположению векторное
поле, индуцированное полем Нр на Ns, удовлетворяет условию
(а) леммы 26.1.11. Поэтому можно применить лемму 26.1.12.
При этом, как легко видеть, С является замкнутым коническим
подмногообразием в iVXJV, а поскольку положительная одно-
однородная функция г постоянна вдоль бихарактеристик, то ясно,
что С также замкнуто в РAХ^)\0. Поскольку С\ является
каноническим отношением, т. е. симплектическая форма произ-
произведения обращается в нуль на С\, то С является каноническим
отношением в силу предложения 26.1.6. Действительно, если
((*> ?)> (Уу 'П))^^' то в окрестности отрезка бихарактеристики,
соединяющего (х, ?) с (у, г]), можно каноническим преобразова-
преобразованием перевести р в |ь Таким образом, доказано
26.1. Операторы с вещественными главными символами 95
Предложение 26.1.13. Предположим, что оператор Р — вещест-
вещественного главного типа на Х,а X псевдовыпукло относительно Р.
Тогда бихарактеристическое отношение С оператора Р является
однородным каноническим отношением из Т*{Х)\0 в Т*{Х)\0,
замкнутым в Г*(Х^\
Если An — диагональ в yVXAf, то C\Ajv является дизъюнкт-
дизъюнктным объединением С+[]С~ опережающего и запаздывающего
бихарактеристических отношений С+ и С", определяемых как
множества всех {{ху ?), (у, ц))^ NX N, для которых (х, ?) ле-
лежит на бихарактеристике после (соотв. перед) (у, ц). Эти мно-
множества открыты в С и в обратном отношении. Определение С±
инвариантно относительно умножения р на положительную
функцию, а при умножении р на отрицательную функцию С+ и
С~ меняются местами. Важное значение этих множеств подска-
подсказывается предложением 26.1.2, которое мы можем теперь обоб-
обобщить следующим образом:
Теорема 26.1.14. Пусть Р <= у?тп {X) — оператор вещественного
главного типа на X, и пусть X псевдовыпукло относительно Р.
Тогда оператор Р имеет параметриксы Е+ и Е~~, для которых
B6.1.9)
где А* — диагональ в {Т*{Х)\0)Х{Т* {Х)\0). Любой левый
или правый параметрикс Е, у которого WF'(E) содержится в
A* U С+ {соотв. в A*UC~), должен равняться Е+ {соотв. Е~) по
модулю С°°. При любом s <= R параметриксы Е+ и Е~~опреде-
Е~~определяют непрерывные отображения из Я(?>тр(X) в н1°+т-\)(Х). На-
Наконец,
B6.1.10) Е+-Е~еЕ11/2-т{ХХХ, СО,
и Е+—Е~ нехарактеристичен в каждой точке из С.
Прежде чем доказывать эту теорему, напомним, что непре-
непрерывный оператор Е: С™' (X) -> 3)'' (X) называется правым пара-
метриксом оператора Р, если
PE = I + R,
где / — тождественный оператор, a R имеет С°°-ядро. Если вме-
вместо этого ЕР = I + R\ где R'^C°°, то Е называется левым па-
раметриксом. Будем называть Е параметриксом, если Е явля-
является как левым, так и правым параметриксом. Отметим, что тео-
теорема 26.1.14 обобщает также теорему 8.3.7.
Доказательство теоремы 26.1.14. Начнем с доказательства
единственности. Предположим, например, что Е\ — правый, а
96 26. Псевдо дифференциальные операторы 1лавного типа
Е2— левый параметриксы, у которых WF' (?/) cz A* (J C+. Тогда
Е{ и Е2 отображают Со° в С°°. Для доказательства того, что
Е\ — Е2 ^ С°°, мы хотели бы воспользоваться тем, что Е2РЕ\
сравнимо mod C°° как с Е\, так и с Е2 (ср. с доказательством
теоремы 18.1.9). Однако это никоим образом не очевидно, по-
поскольку ни Еь ни Е2 не являются собственными. Впрочем, мы
знаем, что композиция E2BEi определена, если В— псевдодиф-
псевдодифференциальный оператор, у которого ядро сосредоточено на ком-
компакте в ХУ^Х, поскольку тогда В отображает ?)'(X) в <о'(Х).
Пусть (х, |, у, i))€=WF'(E2BEi), но обе точки (х, I) и (у, ц)
лежат в дополнении к WF(B). Тогда (х, |, г, ?)^С+ и
(г, ?, у, t|)gC+, где (г, ?)—некоторая точка из WF(B). Сле-
Следовательно, (х, |), (у, т]) и (г, ?) лежат на одной и той же би-
бихарактеристике, причем (г, ?) лежит между двумя другими точ-
точками. Пусть К и К' удовлетворяют условию (с) теоремы 26.1.9.
Если WF(B) не содержит точек, лежащих над К', то WF' (Е2ВЕ\)
не содержит точек, лежащих над КХК. Выберем функцию
феС0°°A), равную 1 вблизи К', и рассмотрим оператор
E2q>PEl — Е2РуЕх = Е2 (<рР — Рф) fp
Волновой фронт правой части не содержит точек, лежащих над
/СХ^С. Поэтому то же справедливо для оператора ?2ф — ф?\-
Следовательно, ?2 — Ei^C°° ввиду произвольности К.
Равенство РЕ = I + R эквивалентно соотношению Е*Р* =
I -f- R*y и Р* имеет тот же главный символ, что и Р. Поэтому
существование левых параметриксов с указанными в теореме
свойствами вытекает из существования правых параметриксов
для Р*. Итак, для доказательства теоремы остается построить
правый параметрикс с нужными свойствами регулярности. При
этом мы можем считать, что порядок Р равен 1: для этого до-
достаточно домножить Р на эллиптический оператор Q порядка
1 —тс положительным однородным главным символом; по тео-
теореме 18.1.24 оператор Q имеет псевдодифференциальный пара-
параметрикс. Сначала параметрикс строится локально в кокасатель-
ном расслоении вблизи диагонали.
Лемма 26.1.15. Пусть P<=Wl(X) удовлетворяет условиям тео-
теоремы 26.1.14 и (х0, 1о)<^Т*(Х)\Оу р(х0, go),= O. Выберем А и В
в соответствии с предложением 26.1.3 с \х = 0 и положим Ft =
•фЕГ, где if> e C°°(R2n)* равняется 1 в окрестности диагонали.
Если \f> обращается в нуль вне достаточно малой окрестности
диагонали и волновой фронт оператора Ге?0^) лежит в до-
достаточно малой конической окрестности точки (хоУ |0), то для
оператора F± = AFfBT
(i)
26.1. Операторы с вещественными главными символами 97
(Ц) PF± = T + R±i где R* е= Гщ (XXX, С) и WF'iR^czC*,
(iii) F+-F~ ее Гт (X X X, С).
Доказательство. Утверждения (i) и (iii) немедленно вытекают
из соответствующих утверждений предложения 26.1.2. Чтобы
доказать (ii), рассмотрим
B6.1.11) PF± = PAFfBT = (PA - ADi) FfBT + ADxFfBT.
Согласно п. (iii) предложения 26.1.3,
(*o> Eo, 0, ея) ф WFr (PA - AD{) с Г.
Следовательно, для некоторой конической окрестности V точки
@, 8/г) из условия WF(v)cz V вытекает, что (РА—AD\)v ^ С°°.
Но WF' (Ft) можно сделать сколь угодно близким к диагонали
в (r*(R/z)\0)XG"*(R/z)\0), выбирая носитель функции \f> до-
достаточно близким к диагонали в R^XR"- Поэтому можно так
выбрать \f> и коническую окрестность W точки @, ел), чтобы
WF(Ffv)czV при WF(v)czW. Следовательно, если WF(T)cz
%(W)y то первое слагаемое в правой части B6.1.11) принадле-
принадлежит С°°. Остается рассмотреть второе слагаемое в правой части
B6.1.11). Заметим, что D{Ff = I + RT, где
Rf = (ад (х, у)) Ef €= /Г1/2 (R" X R", С[), WF' {Rt) с: С?.
Но АВТ — Т = (АВ — 1)Т ееС°°у если WF(T) достаточно близок
к (*Of go). Поэтому PF± = T + R±i где R± - ARfBTeE С°°, что и
доказывает (ii).
Окончание доказательства теоремы 26.1.14. Если (лс0, go)'^
Г*(Х)\0 и р(хо, Ео)=7^О, то теорема 18.1.24' дает более точный
результат, чем лемма 26.1.15: существует псевдодифференциаль-
псевдодифференциальный оператор F, для которого PF = T -\- R, где R е С°° и
ИР/?(^т)=\^7/'G). Выберем локально конечное покрытие Т*(Х)\0
открытыми коническими множествами Vt так, чтобы при
WF(T)a Vi были применимы либо лемма 26.1.15, либо преды-
предыдущее замечание. При этом можно выбрать Vi так, чтобы их
проекции Wi на X также образовывали локально конечное по-
покрытие. Тогда существует разбиение единицы /=2]7*/, где
WF(Ti)cz Vi и носитель ядра каждого Г/ содержится в UP;X Wi.
Для каждого / выберем Ffi) в соответствии с леммой 26.1.15 или
как описано выше с supp Ffi) cz Wi X Wi. Тогда операторы
определены, удовлетворяют условиям B6.1.9) и B6.1.10) и ото-
отображают H(s)mp(X) непрерывно в #(°)С (X) при всех s. Действи-
98 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
тельно, это верно для /7jt = i|)?1f, если if) зависит лишь от х — у,
поскольку тогда Ff — операторы свертки с мерами, имеющими
компактные носители. Все остальные сомножители1) непрерыв-
непрерывны в #(S) согласно следствию 25.3.2.
Пока что мы доказали соотношения
рр±^[ + R±y Где д± <= /f1/2(X х X, С), WF'(lf) с С*.
Однако по приведенной ниже лемме 26.1.16 можно так выбрать
G±e=I-l'2(XXX, С), чтобы
PG± - /?* еГAХ X), WF' (G*) с С±
Поскольку corank ас = 2, то по теореме 25.3.8 операторы G± не-
непрерывно действуют из Н™)тр (X) в н\°)(Х) при всех s. Поэтому
E± = F±—G± является правым параметриксом, с тем же свой-
свойством непрерывности. Из конструкции видно, что F4*— F~, а сле-
следовательно, и Е +—?~нехарактеристичны в точках диагонали
в NXN (см. B6.1.1)). Поскольку Р(Е + — ?~)<= С°°, по теореме
25.2.4 главный символ оператора Е+ — Е~~ удовлетворяет одно-
однородному дифференциальному уравнению первого порядка вдоль
бихарактеристик, выходящих из этих точек. Следовательно,
Е+ — Е" всюду нехарактеристичен. (Используя предложение
26.1.3/ вместо предложения 26.1.3, можно было бы непосред-
непосредственно вычислить главный символ в каждой точке из С.) По-
Поэтому WF'(E+—ET) = C, а так как WF'(E±)<=:b*\}C±, то
WF'iE^iDC*. Поскольку
д* = WF' (/) = WF' (Р?±) с WF' (?*),
то доказательство теоремы 26.1.14 завершает следующая
Лемма 26.1.16. Если F<=IS(XXX, Cf) и WF'^czC*, to най-
найдется ЛеЛAХ^ С), для которого
PA-Fz= C°°, WF' (А) с С* о WF' (F) cz С*.
Доказательство. Если а0 и f — главные символы операторов Ло
и F, то по теореме 25.2.4 получаем, что РА0 — F ^Is~\ если
i-l3?Hpao + cao = f,
где с е 5°. Пусть со — не обращающееся в нуль сечение расслое-
расслоения Мс ® Qjp, однородное степени п/2 (Мс ® Q}/2 как комплекс-
комплексное векторное расслоение тривиально). Если ввести обозначения
ао = сди и f = cog", то уравнение принимает вид
1) А, В и Т, входящие в Рщ. — Прим. перев.
26.2. Комплексный инволютивный случай 99
где с' — однородная функция степени нуль, а и и g — скалярные
символы порядка s. Из замечаний после леммы 26.1.12 вытекает,
что это уравнение имеет единственное решение и е 5s, обра-
обращающееся в нуль на диагонали в N, а его носитель лежит в
С±о WF'(F). Те же рассуждения можно применить и к РА0 — F.
В итоге мы получаем последовательность операторов Л,-е
/нAХ^, С'), для которых
Р(Л0+ ... +Aj)-F^Is-1'-l(XXX,C).
Выберем А так, чтобы А—Ао— ... —А\ е /s-/-i для каждого
/; лемма доказана.
Теорему 26.1.14 можно обобщить на случай, когда характе-
характеристическое множество /V несвязно. Действительно, пусть N =
N+\JN-y где N+ и N- открытые и непересекающиеся. Тогда
можно найти Е+ и Е~ такие же, как в теореме 26.1.14, но вместо
B6.1.9) удовлетворяющие условию
B6.1.9)' WF' (?*) = A* U (С* П Ш+ XN+))[) (Ст П (#- X #_)).
Совсем небольшие изменения в доказательстве, которые потре-
потребуются для этого обобщения, мы предоставим читателю проде-
проделать в качестве упражнения. Важный пример такой ситуации
дают опережающее и запаздывающее фундаментальные реше-
решения волнового уравнения.
В связи с теоремой 26.1.14 наибольшего внимания заслужи-
заслуживает тот факт, что она дает двусторонний параметрикс. В сле-
следующих параграфах мы получим далеко идущие обобщения тео-
теоремы 26.1.4, касающиеся распространения особенностей, и это
позволит нам получить теоремы существования, аналогичные
теореме 26.1.7. Однако у нас нет никаких общих методов, позво-
позволяющих строить двусторонние параметриксы.
26.2, Комплексный инволютивный случай
Изучение псевдодифференциальных операторов Р^Ч?т(Х) с од-
однородным главным символом р— гораздо более сложная задача
в случае комплекснозначного р, чем в вещественном случае, рас-
рассмотренном в § 26.1. Уже геометрия характеристического мно-
множества N = p~l@) может быть намного сложнее даже при
dp=?0. Сначала в комплексном случае мы будем рассматривать
только подмножество
B6.2.1) N2 = {(x, 9еГ№\0; р(х9 |) = 0, dRep(x, |)
и dlmp(x, g) линейно независимы},
1G0 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
которое является коническим многообразием коразмерности 2.
Параграф 26.3 посвящен анализу его открытого подмножества
B6.2.2) N2s = {(*, I) €= Г (X) \ 0; р (х, I) = 0,
{Rep, 1тр}(х, Ъ)фО),
которое является симплектическим многообразием. Цель дан-
данного параграфа— изучение внутренности N2i множества N2\N2Sy
которая является инволютивным многообразием. Как было по-
показано в § 21.2, инволютивное многообразие N2i является слое-
слоением с двумерными слоями Г. По аналогии с вещественным слу-
случаем будем называть эти слои бихарактеристиками оператора Р.
Гамильтоново векторное поле
Нр = #Re р + iHim p
касается каждого слоя Г и имеет линейно независимые вещест-
вещественную и мнимую части. Поэтому оно определяет на Г анали-
аналитическую структуру: аналитическими функциями являются ре-
решения уравнения Нри = 0. По теореме 21.2.7 либо слой Г яв-
является коническим, либо радиальные направления нигде не
касаются Г. Мы отложим обсуждение первого случая до § 26.7.
Здесь мы рассмотрим только открытое подмножество N^t в N21,
в котором
B6.2.3)
#Rep, H\mp и радиальное направление линейно независимы.
Теорема 26.1.4 отражает тот факт, что решение уравнения
Hpii — 0 в вещественном случае постоянно на каждой бихарак-
бихарактеристике. Однако теперь мы должны учесть, что в комплексном
случае это уравнение на двумерной бихарактеристике Г имеет
большое пространство решений. Чтобы сформулировать аналог
теоремы 26.1.4, напомним, что регулярность распределения и<^
3) (X) в точке (х, ?) можно измерять функцией (см. § 18.1)
s*u (х, I) = sup {t; и €= H{t) в (х, Щ, (х, I) e= Г (X) \ 0,
которая полунепрерывна снизу и положительно однородна сте-
степени 0. В силу A8.1.38)
B6.2.4) s*Au>s'u-\l,
если А — псевдодифференциальный оператор порядка \х. При
этом, согласно A8.1.39), для нехарактеристических относитель-
относительно А точек (х, |) в B6.2.4) достигается равенство. Если, более
общим образом, А — интегральный оператор Фурье порядка \i,
связанный с каноническим преобразованием %, то B6.2.4) нужно
26.2. Комплексный инволютивный случай 101
просто заменить на
<26.2.4)' x's*Au>stu-\i,
лричем в нехарактеристических точках достигается равенство.
Теперь мы можем сформулировать аналог теоремы 26.1.4:
Теорема 26.2.1. Пусть и^З)'(Х), Pu = f и Гс= Т*(Х)\0 — от-
открытое подмножество одного из слоев слоения на #°г Если s—
супергармоническая функция на Г, для которой s*f ^ 5, то
функция
min(s*, s + m— 1)
также является супергармонической на Г.
При T[}WF(f) = 0 можно взять 5 = +сх> и заключить, что
функция 5* супергармоническая. Супергармоническая функция
тождественно равна +00 в открытом связном множестве, если
она равна -f-°° B открытом подмножестве. Поэтому, применяя
теорему 26.2.1 к слоям, близким к фиксированному, получаем
Следствие 26.2.2. Если и^З)' (X) и Pu = ft то множество
{№2if]WF(u))\WF(f)
инвариантно относительно бихарактеристического слоения на
№2i\WF(f).
Доказательство теоремы 26.2.1. Выберем однородную степени
1 — тп функцию а, для которой а (хОу |0) Ф 0 в данной точке из
N2t> и однородное каноническое преобразование %, как в теореме
21.3.2, так чтобы
X* (ар) = li + i%2
в конической окрестности точки @, гп). Если Q^y?l~m имеет
главный символ а, то, повторяя доказательство предложения
26.1.3, можно построить интегральные операторы Фурье А и В
порядка 0, обладающие свойствами (i), (ii), а также A11) с
D\ + Ю2 вместо D{ и QP вместо Р. Единственное отличие заклю-
заключается в том, что для построения^ А2 нужно на каждом этапе
решать уравнение Коши — Римана. Для этого можно использо-
использовать интегральную формулу Коши. Если v=Bu и (Di+^2)^=g>
то, применяя B6.2.4)', как в доказательстве теоремы 26.1.1, или
B6.1.4), получаем, что
в окрестности точки @, е^). Это позволяет свести доказатель-
доказательство к частному случаю оператора P = D\ -\-iD2 и слоя, прохо-
проходящего через @, 8/г). Проведем его в три этапа.
102 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
a) Если u<=&'(Rn) и (?>i + iD2)u = f бД то и е= /А Это
весьма специальный частный случай теоремы 10.3.2. Прямое до-
доказательство получается из формулы u = E*f, где фундамен-
фундаментальное решение Е — Bя) -1 (xi + ix2) -1б (х3, ..., хп) является
мерой.
b) (Локализация.) Пусть и <= ^'(R"), (?>! +'ДО** = f и для
некоторого компактного множества /С с: R2
и €= L2 на а/С X {0} X ея> / е= L2 на /С X {0} X вп,
где через 0 обозначено начало координат в R"-2. Тогда u^L2
на /СХ{0} X ел. Для доказательства положим
где XleC0°°(R2) равняется 1 в ТС, %2 е Со°° (R*~2) и %2@)=U
X3eS°(R'1) и Хз(^я)=1 при^>1. Тогда (Dl + iD2)v = g, где
(Dai + iD2Xi) Из (D) и.
Если supp Xi достаточно близок к /С, supp хг достаточно близок
к 0 и supp%3 лежит в достаточно малой конической окрест-
окрестности точки ея, то g^L2. Но тогда oeL2 в силу а), что завер-
завершает доказательство.
с) Пусть «s2)'(Rn), (#i + iD2)u = f, и пусть для компакт-
компактного множества /CciR2 и некоторой целой функции ф от г =
хх + ix2
min«, s)>Recp на 5i(X{0}Xen и 5;>s на /С X {0} X ея>
где 5(^1, х2) — супергармоническая функция в окрестности ком-
компакта К. Тогда 5 > Re ф в /С, и из предложения 16.1.4 будет сле-
следовать супергармоничность функции min(s*, s), если показать,
4TOS*^Reqp на /СХ {0}Хел. Выберем функцию % e C™(Rn)> рав<
ную 1 в окрестности множества /СХ{0}, и положим U =
а(х, D) (хи), где
Если Re9 < (J, в точке xjoaGS^B некоторой окрестности, по-
поскольку при дифференцировании по z могут возникнуть лишь
множители log(l+|?|2). При этом (D\ -j- iD2) U = F, где
F = a(x, D)xf + [Dx + iD2, a(x, D)%] u.
Здесь коммутатор имеет порядок —оо в окрестности множества
/СХ {0}, поскольку там ](=1 и qp — аналитическая функция.
Следовательно,
U €= L2 на дК X {0} X гп и F e L2 на К X {0} X ея.
26.2. Комплексный инволютивный случай 103
Но тогда U <= L2 на КХ {0} X е„ в силу Ь). Положим
Тогда
где с <= 58 для любого е > 0 в окрестности множества /СХ{0},
в которой % = 1. Поскольку там оператор %3 + с(х, D) нехарак-
нехарактеристичен, то s*u = s*v, откуда
s*u > Re Ф - 6 на К X @) X еп
при всех б > 0. Это завершает доказательство.
Для оператора D\ + iD2 в R" при п ^ 3 мы теперь можем
доказать аналог теоремы 26.1.5, показывающий, что супергар-
супергармоничность в теореме 26.2.1 является в точности нужным усло-
условием. Этот результат локально легко переносится на слои слое-
слоения Л^2? для общего оператора Р при помощи рассуждений, ис-
использованных при доказательстве теоремы 26.1.5. При этом
вместо предложения 26.1.3/ нужно применять модификацию
предложения 26.1.3, данную в начале доказательства теоремы
26.2.1. Глобальный вариант этого результата можно получить
за счет более прямого изучения оператора Р. По этому поводу
мы отсылаем читателя к литературе, указанной в конце главы.
Теорема 26.2.3. Пусть Q — открытое связное подмножество в R2
с границей дп и Г = Q X {0} X К+е„, V = dQX {0} X R+e«, где
О — начало координат в Rn~2. Пусть s — полунепрерывная снизу
функция на R2 со значениями в (—оо, +оо], равная +°о в CQ,
супергармоническая и не равная тождественно -f-°° в Q. Тогда
существует распределение u^g)'(Rn), для которого WF(u) = T,
WF((Dl + iD2)u)czr и
B6.2.5) s*u = ns в Г\Г, 5;>я*5 в V.
Здесь я — проекция T-+Q.
Доказательство этой теоремы похоже на доказательство тео-
теоремы 8.3.8, хотя и более техническое, так что читатель, воз-
возможно, захочет сначала вспомнить то доказательство. При по-
помощи функционально-аналитических соображений мы построим
распределение и, для которого s*u^ri*s, причем равенство до-
достигается на счетном подмножестве Е си Г. Отсюда мы получим
B6.2.5) при подходящем выборе Е:
Лемма 26.2.4. Для любой полунепрерывной снизу функции s в
открытом множестве QczRN существует счетное подмножество
E обладающее следующим свойством: для всякой полу не-
104 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
прерывной снизу функции s' в Q< из неравенства s' ^ s в Е вы-
вытекает, что s' ^ 5 в Q.
Доказательство. Пусть Vj— занумерованные замкнутые шары с
рациональными центрами и радиусами, содержащиеся в Q. Вы-
Выберем ^-'G Vj так, чтобы s(Xj) = mins, что возможно ввиду по-
полунепрерывности 5 снизу, и положим Е={Х;}. Если теперь sr
полунепрерывна снизу и s'(x)>s(x) для некоторого j^gQ, то
можно выбрать К/Зх так, чтобы s'(y)> s(x) при всех yG Vj.
Но тогда s'(xj)> s(x)^ s(Xj). Это противоречие доказывает
лемму.
Замечание. Выбор Е может оказаться вполне однозначным. На-
Например, если N=1 и s(x) = 0 для иррациональных х, а
s(p/4) =—1/Ы Для несократимых дробей p/q, то s/2^s во
всех иррациональных точках, а в рациональных точках это не
так. Как легко видеть, в этом случае Е действительно должно
содержать все рациональные точки.
Нам потребуется также аналог теоремы 15.1.1 для откры-
открытых подмножеств в С. (В § 15.1 мы рассматривали лишь случай
всего пространства Сл, чтобы избежать технических трудностей,
иначе возникающих при п > 1.)
Лемма 26.2.5. Пусть со — открытое множество eC«(pG С2 (со) —
строго субгармоническая функция, т. е. Aqp > 0. Если f e
?2( ^ДI^), где dk — мера Лебега, то найдется функция
удовлетворяющая уравнению du/dz=f и
оценке
B6.2.6) J | и fe-vdX < 4 J | f \2e-*(bq>yl dl.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 15.1.1, по-
положим
(и, v)9 = \ uve~* dX, и, v^L% = L2 @, в"ф
Равенство ди/dz = f означает, что
(f, w\ = -{u, вш)ф| шеС0°°(со),
= dw/dz — wdy/dz.
Далее,
|| 6w ||ф = — (d/dz6w, ш)ф = {{d\/dzdz) w, w) + || dw/dz f
> 4 ((АФ) w, w)t w e Co°° (©)•
2 4 J | / |2 ?>"
26.2. Комплексный инволютивный случай 105
Следовательно,
| (f, w\ | < М || 6w ||ф, шеС, М2 = 4
так что лемма вытекает из теоремы Хана — Банаха, позволяю-
позволяющей продолжить отображение 6ш«—->(/, иу)ф до антилинейного
функционала на L% без увеличения нормы.
Точно так же, как в § 15.1, мы можем при помощи леммы
26.2.5 строить аналитические функции, удовлетворяющие под-
подходящим оценкам:
Лемма 26.2.6. Пусть ф и со— такие же, как в лемме 26.2.5, и
г0 е со0 <е= со. Тогда для достаточно больших положительных t
можно найти такую аналитическую функцию ft в со, что
B6.2.7) U (г0) = fBо), | П (г) | < 2f {z\ z е со0.
Для каждого целого а ^ 0 существует такая константа Са, что
<26.2.8) | Da2ft (z) | < Са (log О1 а| f {z\ z e coo-
Доказательство. По формуле Тейлора
Ф (г) = Reg (z) + (<?2ф (го)/дгдг) \ z - zQ \2 + о (\z - zQ f),
где g — аналитический многочлен
g (z) = Ф (z0) + 2 (г - г0) ^Ф (го)/дг + (г - 20J 52Ф (zQ)/dz2.
Если 6 и 6 —достаточно малые положительные числа, то
y(z)^Reg(z) + b\z-zof, |z-zo|<6.
Выберем теперь функцию % е С~({,г; |г — «го| < б}), такую что
^ (г) = 1 при \z — z01 < 6/2, и положим
Эта функция аналитична, если
{26.2.9) ди/дг = tg {z) {z — zQ)~l d%/dz = ht.
Обозначая г = Ь62/4> 0, мы получаем
Сокращая со, если понадобится, можно считать, что функция Аф
в со ограничена снизу. Тогда, применяя лемму 26.2.5 с функ-
функцией 2ф log / вместо ф, мы получаем, что уравнение B6.2.9)
имеет решение и, для которого
106 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Применяя лемму 15.1.8 с г = I/log/, заключаем отсюда, что
где соо <е= о/<е= со. Отсюда вытекает справедливость B6.2.7) при
больших t для zeco'. Тогда из неравенства Коши в круге ра-
радиуса I/log t с центром в соо получаем B6.2.8).
Доказательство теоремы 26.2.3. Пусть F— пространство Фреше,
состоящее из всех u^3)f(Rn), для которых WF(и) а Г и
5*^л*5 на Г; выберем в F слабейшую топологию, в которой
непрерывны все отображения
F э и н-> Ви е Lioc
для любого собственного оператора В е W, у которого jli < n*s
на WF(B)[]T. (Достаточно использовать счетное множество опе-
операторов 5, так что топология метризуема; проверка полноты
проводится стандартным образом.) По лемме 26.2.4 можно
найти такое счетное подмножество Е си Г\Г', что для wGf из
неравенства 5* ^я*5 на Е вытекает равенство s*u = k*s в Г\Г".
Подмножество Fo функций u^F, для которых WF((D\ +
Ю2)и)аТ'у также является пространством Фреше в слабей-
слабейшей топологии, в которой непрерывны вложение F0-*F и ото-
отображение
Fo з и н-> (D, + iD2) meC°°(QXR *-2).
Покажем, что для у^Е и собственного оператора Ге?5^
у которого однородный главный символ не равен нулю в у, мно-
множество
B6.2.10) {и gF0; 7>€=lL}
является множеством первой категории. Используя этот факт
для счетного набора операторов Г, для которых WF(T) стяги-
стягивается к у, получаем, что множество
B6.2.11) {u^Fo; s*u(y)>s(ny)}
также является множеством первой категории. Тогда s*u^.Kms
на Е при всех и е Fo, кроме множества первой категории, откуда
вытекает теорема 26.2.3.
Предположим теперь, что B6.2.10) не является множеством
первой категории. Тогда по теореме о замкнутом графике ото*
бражение
Fo з и *—> Ти е Lioc
непрерывно. Пусть х0 =(rcv> 0)— проекция у на Rn, и пусть К —
компактная окрестность точки х0. Тогда
B6.2.12) \\Tu\\L2{K)
26.2. Комплексный инволютивный случай 107
где xeC0°°(QX Rn~2)> M — большое целое число, Bi e= Ч^7 —
собственные операторы, щ < я*5 на Г/ = WF(Bf)(] Г и сумма
конечна. Обозначим через К& объединение ку с проекцией
suppx на Q. Выберем и вблизи Kq, позаботившись о том, чтобы
первое слагаемое в правой части неравенства B6.2.12) пропало.
Возьмем открытые множества со и соо в 'R2, для которых
а затем выберем функцию qpeC2(co), для которой Aqp > 0 и
B6.2.13) ф>—5 на со, ф < — [Lf на соПяГу.
Для построения ф можно, например, как в доказательстве тео-
теоремы 15.1.6, регуляризовать —5 и добавить х\-{- х\с малым мно-
множителем, поскольку —5 <С —\ij в яГ/ и —5 полунепрерывна
сверху. Возьмем функцию %0 е Со° (со0)> равную 1 в окрестности
множества Kq, и ФеСо°°(^~2) с Ф@)=1 и положим
B6.2.14) at (хг, х29 Г) = X, (xl9 x2) ft (z) &-W Ф ((Ъ''/t - ej) log /).
Здесь g" = (g3, ..., gn), z = x\ + ix2, а // — функция, построен-
построенная в лемме 26.2.6, с 20 = яу. Тогда ||"/f — е^| < C/logt в supp a^
и дифференцирование по |" дает лишь множители log t/t. По-
Поэтому в силу B6.2.8)
B6.2.15)
I (*,, х2| Г) | <CaP(log B + 111)I a+p >A + | Г |)'<*>+<2-^-'a.
Если t = 2V, где v — целое, большее некоторого достаточно боль-
большого целого числа Л^о, то носители получающихся функций щ не
пересекаются, так что
N
An = Zj a2v
yV0
также удовлетворяет неравенствам вида B6.2.15). Отметим, что
любая коническая окрестность множества supp%0Xe^ содержит
носители всех слагаемых, кроме конечного числа. Поэтому An
вне такой окрестности имеет для каждого jli порядок —jli равно-
равномерно по N.
Покажем, что B6.2.12) не может выполняться для соответ-
соответствующих конормальных (по отношению к плоскости х\9 х2)
распределений
uN (х) = J AN (xlf x29 I") e* <*"- Г> dt"
при N-^oo. Прежде всего %(D\ + iD2)uN = 0, поскольку %о=1
на supp%. Это означает, что первое слагаемое в правой части
108 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
B6.2.12) обращается в нуль для и = иы. В силу B6.2.13) в
со П ЯГ/ выполняется неравенство ср + М-/ < —е/ < 0. Поэтому из
B6.2.15) вытекает, что последовательность AN ограничена в
?-ey-n/+B-n)/2 в окрестности множества suppxofl^r/. Тогда из
A8.2.16) мы получаем, что
BfuN = J BiN (хь х2у &") е
где Bjn — ограниченная последовательность в t5~8/+B~n)/2 при
N-+oo. Поэтому BjUn также ограничена в /~e/~n/4(Rn, Л), где
Л — конормальное расслоение к плоскости х\, х% (предложение
25.1.5). Следовательно, Bjun ограничены в °°Н1^у откуда выте-
вытекает ограниченность ||BfuN\\L2(K y Но тогда из B6.2.12) следует
ограниченность TuN в L2(K), так что TUoo^L2 в окрестности
точки хо. Но TUoo можно также вычислить по формуле A8.2.16).
Если t(x, I) — главный символ оператора Г, однородный сте-
степени s(ny), то символ для Tuoo равен
плюс члены младшего порядка. Таким образом, символ в точке
(яу> 2ve^) асимптотически равен
t (v) BV)S (JIY)+(p (яу)+B-п)/2в
Однако Тпоо е °°//@) в окрестности точки х0. Поэтому из тео-
теоремы 25.1.4 вытекает, что символ принадлежит SeM2~n)/2 при
каждом е > 0 в окрестности точки ку. Но это противоречит
тому, что ф + 5>0 (см. B6.2.13)). Полученное противоречие
завершает доказательство.
26.3. Симплектический случай
В этом параграфе мы рассматриваем псевдодифференциальные
операторы Р с главным символом р на симплектическом харак-
характеристическом многообразии A^s, определенном в B6.2.2). По»
теореме 21.3.3 можно локально на N2s привести р к виду gi +
ix\\n при помощи умножения на ненулевой множитель и после-
последующего канонического преобразования. В теореме 21.3.5 мы
привели также инвариантное описание более общей ситуации,,
когда р приводится к виду %{ +*"*??„> где k — положительное це-
целое число. Как и в предложении 26.1.3, эти преобразования
можно поднять до операторного уровня; при этом для простоты
мы ограничимся лишь рассмотрением однородных (и полиодно*
родных) символов.
26.3. Симплектический случай 109
Предложение 26.3.1. Пусть Р G?JhgW имеет главный символ
/?, для которого р(х°, g°) = 0, и пусть существуют однородная
степени 1 — m функция а в конической окрестности точки
(х°, |°), а(х°, ?°)=^=0, и однородное каноническое преобразова-
преобразование % конической окрестности точки @, +еп)^ 7*(Rn)\0 в ко-
коническую окрестность точки (х°у 1°)^Т*(Х)\0, для которых
%*(ap) = ll + ix*?n. Тогда найдутся собственные интегральные
операторы Фурье А е= /{** (Х X R", Г')иВе /°Phg (Rn X X, (Г)')'
где Г — график х, для которых
(i) 1#Т'(Л) a WF'(B) лежат в малых конических окрест-
окрестностях точек (х°у ?°, 0, ±ел) и @, ±ел, x°, ?°) соответственно;
(И) 5Л ^4rl-m(R/z) нехарактеристичен в @, ±ел);
(iii) @, ± ея) ?Ё Г^ (ВРЛ - D, - /*fDJ.
Доказательство, Выберем сначала любые А\ е /рь^" (XX R"» Г')
и Bj e /phg (Rn X -X", (Г)') так> чтобы главный символ опера-
оператора А\ВХ равнялся а в окрестности точки (л:0, g°). Тогда глав-
главный символ оператора BiiMj равен ^ + ^f^ B окрестности
точки @, ±e/i). Заменяя Р на В\РА\, достаточно, как и в дока-
доказательстве предложения 26.1.3, доказать теорему для случая,
когда X = Rn, m = 1 и главный символ Р равен ^ -f *"*??„. Тогда
полный символ имеет вид ^ + ix^ln + Р0(х9 ?) + P_j (^, S) +
Мы хотим найти такие псевдодифференциальные операторы А
и С порядка 0, нехарактеристические в точке @, ±вл), чтобы
символ оператора
B6.3.1) PA — C(DX + ixkxDn)
имел порядок —оо в конической окрестности точки @, ±ел).
Если определить В так, чтобы символ ВС — / также имел поря-
порядок —оо в другой такой окрестности, то все утверждения пред-
предложения будут доказаны.
Пусть символы Л и С равны а0 + я-i + • • • и с0 -f- c-i + ... .
Главный символ B6.3.1) обращается в нуль, если взять а0 = с0.
Следующий член равен нулю, если
B6.3.2) - i {|, + ix\ln, a0) + роао + (|, + ***?„) (а_, - с_,) = 0,
т. е.
B6.3.2)' - i (д/дх, + ix\dldxn - ikx\-\dld%x) aQ + роао
Достаточно решить это уравнение при gn = 1 и продолжить ре-
решение по однородности, срезав его вне окрестности начала
110 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
координат. Для этого выберем а0 так, чтобы символ
B6.3.3) - i (д/дх, + ix\d\dxn - ikx>{-%dldtx) a0 + pQa0
имел нуль бесконечного порядка при л;1=0, где ао=1. Это
означает, что символ B6.3.3) и все его производные по х{ при
х\ = 0 равны нулю, что позволяет определить последовательно
все производные д^^дх{ при х\ = 0 для всех у. По теореме 1.2.6
существует символ а0 с такими производными. Частное г от де-
деления B6.3.3) на gj + ixi%n является тогда С°°-функцией, одно-
однородной степени —1, и B6.3.2) выполняется, если взять а-\—
с-\ = —г. Используя это равенство для исключения с-\ из сле-
следующего уравнения, мы получаем неоднородное уравнение вида
B6.3.2)', которое решается тем же приемом. Повторяя эти рас-
рассуждения, мы получаем решение задачи B6.3.1), что и завер-
завершает доказательство.
Из предложения 26.3.1 следует, как при доказательстве тео-
теорем 26.1.4 и 26.2.1, что любое микролокальное утверждение об
особенностях решений уравнения
B6.3.4) (Dl + ix*Dn)u = f
в точке @, ±ел) переносится на решения уравнения Pu = f в
точке (л:0, |°). Поэтому есть смысл подвергнуть уравнение
B6.3.4) детальному анализу, чем мы сейчас и займемся. Оказы-
Оказывается, при нечетных значениях k свойства этого уравнения за-
заметно отличаются от случая операторов с постоянными коэф-
коэффициентами, которые служили нам в качестве модели в § 26.1
и 26.2. Преобразование Фурье по хп переводит B6.3.4) в обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение, которое мы и рассмот-
рассмотрим в первую очередь.
Лемма 26.3.2. Если u<=C^(R) и k — целое, k > 0, то
B6.3.5) J (| и' Г + A + х™) \и |2) dx < Ck J | и' - хЧ Г dx.
Доказательство. Можно считать, что и вещественнозначна. По-
Положим / = и! — xku\ тогда
/2 = и'2 + Х2ки2 __ Xk (Х2)'в
Следовательно, интегрируя по R, получаем
/2 dx = J (и'2 _|_ (X*k
Если k нечетно, то все слагаемые под интегралом в правой
части положительны. Интегрирование того же тождества по
26.3. Симплектический случай 111
области |л:|>> 1 приводит к неравенству
f*dx.
\х\>\
Интегрируя по частям, получаем, что
1
2 + и ( IJ
и2 dx = и (if + и (- IJ - 2 \ xuuf dx
-l
Следовательно,
1
и2dx^2(u{\f + и{— 1J) + 4 jj u'2dx^6^ f2dx.
•Отсюда вытекает, что B6.3.5) выполняется при Ck =:= 7. Если k
четно, то прежде всего нужно заметить, что
P dx >
1 1
Положим ue-xk+lhk+u = v, fe-*k+l'ik+» = g. Тогда и' = g, откуда
1 1 1
J o2rf^ = J t;2d (jc + 3) = 4v (IJ - v (- 2J - 2 J ot;' (x + 3) dx
-2 -2 -2
1 1
-1 -2
Это дает
-2 -?
Поскольку функция | x\k+l/(k + 1) ограничена в интервале (—2,
1), мы доказали, что
оо оо
S2 •> ' Г р2
и ах + и (— 2)" <; Ck \ f dx.
-2 -2
Заметим теперь, что
-9 -2
— оо
112 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
и что x2k + kxk~x ^x2k(l — k/2k+x) ^ 3x2V4 при х < —2. От-
Отсюда вытекает оценка B6.3.5).
Если заменить в B6.3.5) х на 0х, то получим
B6.3.5)' J (| и' |2 + | Bk+lx*u f + \Qu |2)dx
u' - 9*+I х*и |2 dxy u<=C™ (R).
Здесь Qk+l может быть любым вещественным числом при чет-
четном k и только положительным — при нечетном k. Это сущест-
существенно, поскольку при нечетном k оценка вида B6.3.5) при за-
замене и' — xku на и' + xku не имеет места. Действительно, в этом
случае уравнение и' + xku = 0 имеет решение и(х) =
= e~~*k+l/(k + l)e^, и, срезая и при больших \х\9 легко дока-
доказать, что такая оценка неверна. Это различие между четными
и нечетными значениями k оказывается в дальнейшем решаю-
решающим обстоятельством; на самом деле мы уже сталкивались с
ним ранее в геометрическом контексте в теореме 21.3.5. Из
B6.3.5)' получаем следующую оценку:
Предложение 26.3.3. Пусть a(l)\^ C°°(Rn) — однородный символ
степени 1/(&+1) и |||</С5л на suppa при некотором К > 0.
Тогда в Ь2-нормах
B6.3.6) || a (D) и || < С| (А + ixiDn) и |, и е= Со°° (R*)-
Доказательство. Если (А + ix\Dn) u — f, то
( r\ | ; ^ ^? \ Г 7 ?Г
IL/1 "|~ 1Х\ън,) U — * >
где U и F — преобразования Фурье от и и / по переменной хп.
При ^п > 0 из B6.3.5O с 8 = |^Л+1) получаем, что
Обозначая через й и f преобразования Фурье по всем перемен-
переменным, получаем отсюда, что
$ №
Отсюда вытекает оценка B6.3.6), поскольку функция a
ограничена на suppa.
Из оценки B6.3.6) непосредственно получается результат о
гипоэллиптичности:
26.3. Симплектический случай 113
Предложение 26.3.4. Оператор D\ + ix\Dn микрогипоэллиптичен
в области 1п > 0 (а также в области 1п < 0 при четном k). Точ-
Точнее, если в B6.3.4) f e H(S) в точке (х°, |°), то и <= Н{3+щк+\)) в
(*°. 1°) при 1°п > 0 (или /гргг 6° < О и четном k)-
Доказательство. Сначала предположим, что и е LcOmP и / е Lcomp-
Выберем %еСо°, Х^О и \х*/х=1, и рассмотрим усреднения
Тогда ||ме|К||м|| и функции
(А + lxkiDn) ue = f*%e+i \xkxDn, x (eD)] и
также ограничены в L2 при е->-0, поскольку символ коммута-
коммутатора
- Z е/
ограничен в 5?ос (предложение 18.1.2). Но тогда B6.3.6)
показывает, что функции a(D)ue ограничены в L2 при е->-0, и,
следовательно, a(D)u e L2, если а удовлетворяет условиям
предложения 26.3.3. Отсюда вытекает, что и е ЯA/(л+1» в об-
области |я > 0; заменяя х на —х, мы получаем тот же результат
и для |я <С 0 при четных /?.
Теперь докажем утверждение в общем виде. Допустим, уже
известно, что и е Я@ в точке (х°, 1°) при некотором / ^ s. Если
q(x, D) имеет порядок t9 q имеет компактный носитель по х и
WF(q) лежит в достаточно малой конической окрестности точки
(х°, |°), то v = q(x9 D)u<=L2comv и
(Di + te*D«) и = ^ (х, D) f + [Di + /х*D«, q (x, D)] и е L2,
поскольку коммутатор также имеет порядок t. Следовательно,
v e ЯA/(*+1)), как показано в первой части доказательства. Если
выбрать ^ нехарактеристическим в точке (х°, |°), то получим,
что ибЯ(/+1/(*+|)) в (х°, |°). Повторяя эти рассуждения не-
несколько раз, мы получаем, что и е ЯE+1/(^+1)) в (л:0, |°), что за-
завершает доказательство.
Из предложений 26.3.1 и 26.3.4, ввиду теорем 21.3.3 и 21.3.5,
вытекает
Теорема 26.3.5. Пусть оператор Р е ^jThg (X) имеет главную часть
р, для которой в точке (х°, |°)
Р (х°9 1°) = 0, {Re p, Im р) {х\ 1°) > 0.
114 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Если Pu = f<= ЯE) в (х°, ?°), то и<= H(s+m-i/2) в (л:0, ?°). Более
общим образом, пусть р(х°, g°) = 0, HRep(x°, ?,°)Ф0 и вблизи
(х°, |°) на любой бихарактеристике символа Rep, проходящей
вблизи (х°, 6°), Imp имеет нуль ровно k-го порядка и меняет
знак с «—» на «+» или совсем его не меняет. Тогда если Ри =
/е=ЯE) в (л:0, 6°), то ыеЯ(х+^/(ж)) в (х°, 6°). В частности, Р
микрогипоэллиптичен в (л:0, |°).
В нехарактеристической точке мы получаем, как и должна
быть, «эллиптический» результат: если / е ЯE), то и е ЯE+т).
Таким образом, в теореме 26.3.5 теряется k/(k + 1) производных
по сравнению с эллиптическим случаем. Такой оператор Р на-
называется субэллиптическим с потерей k/(k+l)<l производ-
производных. Развернутому обсуждению субэллиптичности посвящена
гл. 27. В частности, там будет показано, что константу k/(k-\- 1)
в теореме 26.3.5 нельзя уменьшить, что легко также проверить,,
прослеживая в обратном направлении изложенное выше дока-
доказательство предложения 26.3.4.
Если знак Imp меняется с «+» на «—»,так что условия тео-
теоремы 26.3.5 нарушаются, то микрогипоэллиптичность Р в точке
(х°, |°) также отсутствует. Более того, при этом могут появиться
нераспространяющиеся особенности.
Теорема 26.3.6. Пусть Р е ^JThg (X) имеет главную часть р, для
которой
Предположим, что вблизи (х°, |°) на каждой бихарактеристике
символа Rep, проходящей вблизи (х°, g°), Imp имеет нуль
ровно k-го порядка и меняет знак с «+» на «—»• Тогда для
каждого sgR найдется распределение и е 2D'(X), для которого
Рие=С°°(Х), WF(u) порожден точкой (х°, 1°) и и€=н\?)С тогда
и только тогда, когда t < 5.
Доказательство. Ввиду предложения 26.3.1 достаточно доказать
теорему в случае, когда Р = A-f ix\Dn> (*°, 6°)~@, —еп) и k
нечетно. Возьмем функцию tfeCO0(R), равную 1 на B, оо) и
О на (—оо, 1), и положим для вещественных а
где х" = (х2, ..., хп-\). По теореме 8.1.9
WF(ua)c{@,-Ben); в > 0}.
Интегрирование по частям показывает, что функция иа и все ее
производные быстро убывают при |jt|-voo, так что ua^H{t) в
точке @, —8п) тогда и только тогда, когда адеЯ(о(Кл). Более
26.3. Симплектический случай 115
того, йа быстро убывает вне конической окрестности точки
(О,—8П). Обозначим через Ф преобразование Фурье от
ехр (— x\+l/(k + 1)); очевидно, что ФеУ, Если обозначить е =
1/(& + 1),то преобразование Фурье от иа по хи х" можно запи-
записать в виде
\ е~т"Ф fo/S6) 8-^-' *"|2/40 (я/8)(Аг-2)/29аг1) (8)
Это означает, что
й (Бь ..., 1п-и - U) = 2л"/2Ф Ш) еЧ l* m» Ц—<-
Произведение й на A +|^|2)//2 квадратично интегрируемо в об-
области |Si| < In, ||"| < In тогда и только тогда, когда
Выберем а так, чтобы
2а - е — (п — 2)/2 + 25 = — 1,
и теорема доказана.
В § 26.4 мы докажем обобщение теоремы 26.3.6, в котором
условия накладываются лишь на одну бихарактеристику сим-
символа Rep. В то же время мы покажем, что имеется самая тес-
тесная связь между нераспространяющимися особенностями, та-
такими, как в теореме 26.3.6, и неразрешимостью уравнений для
сопряженного оператора.
Как в § 26.1, мы в заключение опишем конструкции пара-
метриксов, в частности для модельного уравнения B6.3.4). Сна-
Сначала рассмотрим случай, когда k четно. Тогда легко строится
двустороннее фундаментальное решение, поскольку B6.3.4) при-
приводится к уравнению Коши — Римана, если вместо х\ ввести
новую переменную Jtf+1/(& + 1). Чтобы упростить обозначения,
рассмотрим сначала случай п = 2 и положим для х, !/gR2
B6.3.7) Е(х, У) = 4г(xi+l№ + 1) + **2 ~ У1+1/(к + !) ~ ^Г1 •
Это непрерывная функция от х (или у) со значениями в L}oc.
и небольшая модификация доказательства соотношения C.1.12)
показывает, что
B6.3.8)
(А* + ix\Dx) E(x,y) = {- Dyx - iykxDy) Е (х, у) = б (х - у).
116 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Действительно, если tteCo°(Rrt), то
J Е(х9 у) (- Diu (у) - iykxD2u (у)) dy
\х~у |>е
\х-у|=е
где контур интегрирования пробегается в положительном на-
направлении. Изменение аргумента функции y^+l/(k + l)+iy2 —
x^l/(k +1) — ix9 при обходе окружности равно 2л, что доказы-
доказывает второе равенство в B6.3.8). Первое равенство вытекает из
того, что Е(х, у) = —Е(у, х). Для оператора Е с ядром Е(х, у)
мы получаем
B6.3.9) (Di + ixiD2) Еи = Е (Д + ixiD2) u = u, и е= С" (R2)-
Из B6.3.7) видно, что singsupp? лежит на диагонали в
R2XR2. Если (х, I, у, r))<=WF'(E) и (х9 1)ф(у9 ц), то из
B6.3.9) вытекает, что ^ = т]! = 0, откуда |2 = 'П2:7^0, поскольку
(DX2 + Dy2)E(x, у) = 0 и, стало быть, 12 = Ц2. Таким образом,
WF'{E) совпадает с диагональю в G*(R2)\0)XG1*(R2)\0).
При п > 2 мы получаем фундаментальное решение
B6.3.7/
Е(х> y) = i (*?+1Л* + О + ixn-y\+1/(* + П- iynyx ® б (x»-iT)9
где х" = (х2, ..., хл-0 и у" = (у2, ..., #„-1). Ясно, что
B6.3.9O (Di + /jcfz>«) ?гг = ? (D2 + fx?Dn) a = и, и<=С'о (R№)-
Из теоремы 8.2.9 вытекает, что
B6.3.10) Г Г (Е) = {(х, I; у, ц) е= (Г (Rn) \ 0) X (Г (R№) \ 0);
(^ 6) = (У, Л) или х" = 0", S = 4,ti = 6Я = 0}.
Из предложения 26.3.4 следует, что Е отображает Я(С5°)тр в
микролокально в области, где ?л?=0.
Описанные результаты в основном знакомы в связи с урав-
уравнением Коши — Римана. Однако, как мы сейчас увидим, поло-
положение резко изменяется в случае нечетных k. Для начала опять
рассмотрим случай /2 = 2. Ядро Е(х, у), определенное по фор-
формуле B6.3.7), имеет теперь особенности как при х = (уи уъ)у
так и при х = (—уи у2). Вместо B6.3.8) мы теперь получаем,
например,
(- DVx - lDy2) Е (х, у) = 6(х-(\ ух |, у2)) - й (* - (- I #! I, у2%
так что нужно определение Е изменить.
26.3. Симплектический случай 117
Попытаемся сначала решить уравнение
вводя преобразования Фурье U и F от функций и f по лг2. Это
приводит уравнение к виду(О,+ /xfg2) ?/(*,, I2) = p(xv g2), или
(^(С/^, у ехр(-х*+^/(Л + 1)) = /F(xIf S2)exp(-jf*+V(A+l))^
Поскольку экспонента стремится к 0 при л^-^оо, как только
%2 > 0, то уравнение может иметь решение, принадлежащее 9*у
только если интеграл по х\ от правой части обращается в нуль.
Для произвольной функции F введем ^-ортогональную проек-
проекцию на подпространство таких функций
B6.3.11) F(xv t2)-c(i2)exp(-Xk+%/(k+l)),
где с(|2) определяется по формуле
с (?,) / (|2) = \ F (ух, Ц ехр (- y'+yik + 1)) dyv |2 > 0.
— с»
Здесь
(разумеется, /A) можно выразить через ГA/(&+1))). Обо-
Обозначим через Q+f обратное преобразование Фурье от вычитае-
вычитаемого в B6.3.11):
B6.3.12) Q+f(x) =
где ф (х, у) = х2 — у2 + / (*i+1 + y\+x)j{k + !)• Это есть ортого-
ортогональная проекция в L2 на пространство решений однородного
уравнения Dxu — ix\D2u = 0. Элементарная выкладка показы-
показывает, что оператор Q+ имеет интегральное ядро
B6.3.12/
Обратное преобразование Фурье от решения рассматриваемого
дифференциального уравнения с правой частью B6.3.11) вместо
F при ^ ^ 0 и с правой частью 0 при ?2 < 0 имеет вид
B6.3.13)
оо
EJ (х) = JL \ dt2 J *<&¦<*¦ у) (Н (jc, -yx)~G (*„ Е2)) f (r/) dy,
О
118 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
где Н — функция Хевисайда, ф (х, у) = х2 — у2 + i
**+')/(*+1) и
{26.3.14) С(х„ у= J e-2^+1^H)d///(i2) = G(A;1gf"\ l).
— оо
Из элементарных оценок, справедливых при ?2 > 0:
fe+i
{26.3.15) ' ( " §2)|<Се ft+i ' *1<0'
| 1 — G (х„ У1<Се-2л' |2/(*+1), х,>0,
интегрированием по частям по ^2 получаем, что внутренний ин-
интеграл в B6.3.13) быстро убывает при ?2-^°°. При этом ис-
лользуется, что при |*i|<|f/i| мы имеем Imif>^0, а при
lxi|>l^/i| очевидным образом Н(х{—У\) = 0 для хх < 0 и
Н(х\—^i) ===== 1 для х\ > 0. Поэтому формула B6.3.13) опреде-
определяет непрерывное отображение из С™ в С. Из приведенных
определений вытекает, что
<26.3.16) E+(Dl + i
<26.3.17) (Di + /xf/J) ?+f = Я (ДО f - Q+f, / e Co°°.
Переходя к сопряженным в B6.3.16) и B6.3.17), мы по-
получаем
(Di-ixkiD2)Em+f = H(D2)f9
Е\ (Di - /jc?D2) f = H (D2) f - Q*f f, f e С
Замена знака jc2i—> —x2 приводит сопряженные операторы
-Q+ и Е+ к виду
B6.3.18) Q_(x, у)
B6.3.19)
Е_ (х, у) = -± \ е**ъ »(Н(yx-Xl)-G(уь - У)d\2.
Обозначим ? = ?++?_ и заметим, что H(D2)+ H(—D2) — тож-
тождественный оператор. Тогда получаем, что
B6.3.20) (Di + /jc?D2) Ef = f- Q+f, f e C2°,
B6.3.21) E{Di + ixklD2)f = f-Q-f9 .feC
Волновые фронты ядер этих операторов легко определяются.
Во-первых,
<26.3.22)
/Q±) = {(a:, g, », Л); xx=yx = li = t\i = 0, x2=y2, ^2 = Л2^0}.
26.3. Симплектический случай 11^
Действительно, WF'(Q±) содержится в правой части ввиду
B6.3.12), B6.3.18) и теоремы 8.1.9, и Q± имеет особенности &
точке (х, у) при x1=f/i=O, x2 = y2 ввиду B6.3.12)' и анало-
аналогичного представления для Q_. Соотношения B6.3.20), B6.3.21)
в терминах ядер выражаются следующим образом:
(DXx + ixkxDX2)E(x, y) = 6(x-y)-Q+(x9 у),
(- Dyi - iy*Dyi) E (x, y) = b(x-y)-Q_ (х9 у),
а трансляционная инвариантность по х2 дает, к тому же,
(DX2 + Dy2)E(x, y) = 0.
Общие характеристики этих операторов задаются уравнениями
gi ===== T|i == 0, ?2 = —Л2 Ф 0, Х\ = у{ = 0, и в этих точках один из
операторов является микрогипоэллиптическим согласно предло-
предложению 26.3.4. Следовательно, множество WF'(E) содержится в
диагонали, а поскольку WF'(Q+)\J WF'(QJ) нигде не плотно на
диагонали, то WF'(E) на самом деле должно совпадать с диа-
диагональю. Теперь мы в состоянии доказать
Предложение 26.3.7. Пусть Е, Q+ и Q-—определенные выше-
операторы. Тогда равенства B6.3.20) и B6.3.21) выполняются
для f€=?", WF'(E) совпадает с диагональю в (Г*(К2)\0)Х
(T*(R2)\0), a WF'(Q±) совпадает с подмножеством, задавае-
задаваемым B6.3.22). Если fs=H{s) в (х°,1°), то Q±f<=H(s) и Ef <=
H(s+\/(k+i)) в (х°> ^°)> так чт0 эти операторы отображают #(Cs°)mpl
в H{s) и H(s%\((k+i)) соответственно.
Доказательство. Нам остается доказать только утверждения о-
непрерывности. Операторы Q+ ограничены в L2 как ортогональ-
ортогональные проекторы. Обозначим через / положительный канониче-
канонический идеал, определяемый фазовой функцией ?2ф(*, у) в об-
области ?2 > 0. Он порожден функциями ф(лг, у), gi — 1^2х\г
rjj — Щ2у\ и ?2 — ^2. Поэтому Q+e/1/(fe+1)~1/2(R4, /') не харак-
характеристичен в точках вещественного множества /r. Следова-
Следовательно, любое распределение Q e /1/<*+1>-1/2(R4, ]') определяет
непрерывный оператор из ^отр в L?lQ^ поскольку такой оператор*
можно записать в виде QA mod C°°, где А — псевдодифферен-
псевдодифференциальный оператор порядка 0. (Отметим, что при k=\ это
вытекает также из теоремы 25.5.6 в отличие от случая k > 1.)
Отсюда мы сразу получаем #E)-непрерывность оператора Q+
(см., например, доказательство следствия 25.3.2). Следователь-
Следовательно, Q+ и, стало быть Q_ также ЯE)-непрерывны. Поэтому если
то
(Di + /:
120 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
так что Ef e #(s+i/(*+i)) в (х°, ?°) в силу предложения 26.3.4,
если только точка (х0, |°) не является характеристической с
•1г < 0. Для Е* мы получаем тот же результат, за исключением
характеристических точек с ?<> > 0, что и завершает доказа-
доказательство.
Операторы Q+ и Q_ эрмитово симметричны и
<26.3.23) (D, - ix\D2) Q+ = 0, (D, + ix\D2) Q_ = 0.
Они являются проекторами на коядро и ядро оператора
D{ + ix\Dr Отсюда мы выведем важные следствия, когда введем
дополнительные параметры, возникающие в л-мерном случае.
С этого момента переопределим ядра ?, Q+ и Q_, заменяя в них
х2 и у2 на хп и уп и домножая их тензорно на &(х" — у"), х" =
(Х2, • • • , Хп— l) .
Предложение гб.З.?7. Для распределений Е, Q+, Q-^^
хг соответствующих операторов справедливы соотношения
{26.3.20)' (D, + f jc*Drt) ?/ = f - Q+f, f e ^,
{26.3.21Г E (ZI + /xf Dn) f = f- QJ, f 6= ^,
<26.3.22r Г^' (Q±) = {(x, ?, г/, л) е (Г (Rrt) \ 0) X (Г (R№) \ 0);
(x, Q = (y, r\)9 x{ = l{ = 0, gft^0
{26.3.23/ (Dxn)J ({ ^)
{26.3.24) ГГ (Я) = {(x, g, y, r\) e (Г (Rrt) \ 0) X (Г (Rrt) \ 0);
(x, l) = (y, Ц) или x" = y\ l = r\9 1х = 1п = 0}.
Если f€=g'(Rn), f<=H{8) в (x\ f) и fn?=0, то Q±fs=H{s)
и Ef e His+i/ik+D) в (х\ 1°).
Доказательство. Соотношения B6.3.22)' и B6.3.24) вытекают
непосредственно из предложения 26.3.7 и теоремы 8.2.9. Из этих
соотношений следует непрерывность Е и Q± как операторов из
<Sr в 3)'. Поэтому B6.3.20O, B6.3.21)' также выполняются, по-
поскольку они верны для f e Со° ввиду B6.3.20) и B6.3.21), и
(*°, t°)&WF(Ef){]WF(Q±f), если (х°, $°)<? WF(f) и &Ф0.
Следовательно, при доказательстве последнего утверждения мы
можем предполагать, что /еЯE> и WF(f) лежит в малой кони-
конической окрестности точки (х°, |°), так что
u{Dn)f<=L\
26.3. Симплектический случай 12?
если ае|" и 5gSs(R). Однако оператор a(Dn) коммутирует
с Е и Q±, поэтому из предложения 26.3.7 вытекает, чта
й {Dn) Q±f e Lioc, а (/)„) ?/ е н1щк+1)). Для окончания доказа-
доказательства достаточно применить оператор 6(Z))%(x), где %eCST
и 6gS° выбран таким образом, что отношение |?|/|?«| огра-
ограничено на suppfe. Действительно, тогда b(D)%{x)u(Dn) является
псевдодифференциальным оператором, который можно сделать
нехарактеристическим в точке (х°, |°).
Из предложения 26.3.7', в частности, легко, наоборот, вы-
вывести предложение 26.3.4. Действительно, если и е &' и:
(Dx + ix\D2)u = f, то
u = Ef + Q_u.
Отсюда следует, что если / е ЯE) в (л:0, |°) и ?° > О, то
u<=H{s+\i{k+\)) в (х°, |°), поскольку (х°, |°) ^ Г/7 (Q_m). Можна
также вывести теорему 26.3.6 для случая модельного оператора,
если заметить, что (Dj + ix\ZJ) u = 0 для u = Q-f. Возьмем рас-
распределение / е^7, для которого W/7(/) совпадает с лучом в 2_^
где
Тогда ^^(гг) содержится в том же луче в силу B6.3.22)'. Мож-
Можно выбрать / так, чтобы и ф С°°, и затем сделать и достаточна
регулярным, применяя подходящий оператор усреднения по хп-
Л1ожно также найти точные условия микролокальной разреши-
разрешимости уравнения B6.3.4) в точке (х°, |°) в случае, когда |° Ф 0.
Возьмем f ^L<Sr и предположим, что
B6.3.25) (х°, I") ф WF ((Dx + ix\Dn) u-f)
при некотором и^З)'. Разумеется, можно считать, что u^S*'-
Поскольку Q+ (Dj + iXiDn) = 0 ввиду B6.3.23)' и эрмитовой сим-
симметричности Q+, из B6.3.25) вытекает, что
B6.3.26) (х°, l°)<?WF(Q+f).
Обратно, если условие B6.3.26) выполняется, то B6.3.25) также
выполняется с u = Ef ввиду B6.3.20)'. Таким образом, доказано^
Предложение 26.3.8. Если f^&f и ^пфО, то решение «g2)',.
удовлетворяющее B6.3.25), существует тогда и только тогда,,
когда выполняется условие B6.3.26).
Условие B6.3.26) автоматически выполняется, если (х°, |°) ф.
S+. Однако если (х°, |°)-eS+, то, как и в случае оператора Q_,
рассмотренном выше, можно построить распределение / так,
чтобы WF(Q+f) был порожден точкой (х°, ?°) и распределение
122 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Q+f имело любую заданную регулярность. Используя предложе-
предложение 26.3.1, можно легко перенести этот результат на операторы,
удовлетворяющие условиям этой теоремы. При этом, в част-
частности, для k = 1 получается
Теорема 26.3.9. Для любой точки (х°, 1°)^Т*(Х)\0, в которой
р = 0 и {Rep, Imp} > О, можно для любого заданного s найти
распределение f ^ Н\°) (X), для которого WF(f) порождается
точкой (х°, 1°) и (х°, g°)GE WF(Pu-f) при всех u^2)f{X).
Можно также легко распространить предложение 26.3.7/
микролокально на операторы, удовлетворяющие условиям пред-
предложения 26.3.1. В случае когда множество N2s, определенное в
B6.2.2), совпадает со всем характеристическим многообразием,
можно также сформулировать глобальный вариант предложения
26.3.7/. Для этого нужно домножить эти локальные конструкции
справа (слева) на псевдодифференциальное разбиение единицы
вне окрестности множества 2_B+), где
{26.3.27)
0; р(х, g) = 0, (Rep, Im p} (x, g) ^ 0}.
Вне 2_ U 2+ мы получим при этом одно и то же, поскольку там
Е определен однозначно mod C°°. Мы оставляем читателю са-
самому восполнить детали или ознакомиться с работами, назван-
названными в конце главы, в которых показано, что Q± и Е опреде-
определяются однозначно mod C°°, если потребовать эрмитовой сим-
симметричности операторов Q±.
26.4, Разрешимость и условие (чг)
Пусть Р — собственный псевдодифференциальный оператор на
С°°-многообразии X размерности п и К — компактное подмно-
подмножество в X. В этом параграфе мы найдем условие, необходимое
для разрешимости уравнения Ри = / в К в некотором очень сла-
слабом смысле, подсказанном теоремой 26.1.7.
Определение 26.4.1. Будем говорить, что оператор Р разрешим
в К, если для всех f, принадлежащих подпространству конечной
коразмерности в С°°(Х), существует распределение и^З)'(Х)у
удовлетворяющее уравнению
B6.4.1) Pu = f
в окрестности К.
В этом определении не требуется, чтобы окрестность, в ко-
которой выполняется B6.4.1), или порядок распределения и можно
было выбрать не зависящими от f. Однако сейчас мы покажем,
используя теорему Бэра, что это всегда возможно. Одновремен-
26.4. Разрешимость и условие (?*) 12$
но мы покажем, что разрешимость эквивалентна условию раз-
разрешимости mod C°°.
Теорема 26.4.2. Следующие условия на собственный псевдодиф-
псевдодифференциальный оператор Р на многообразии X и компактное
множество К а X равносильны:
(i) P разрешим в К.
(и) Существуют целое число N и открытая окрестность-
YczX компакта К, такие что при любом f e Н\щ найдется
распределение и<= н\°-м)(Х),для которого Ри — /еС°°(У).
(Hi) Существует целое число N, такое что при любом
f ^ H(n)(K) найдется распределение и на X, для которого Ри —
/ е С°° в окрестности компакта К.
(iv) Существует целое число N> такое что при любом /<=
Щм) (К) найдется распределение и<=3)' (X), для которого
Pu — f^L #(jv+i) в некоторой окрестности компакта К.
(v) Существуют целое N и открытая окрестность YczX ком-
компакта К, такие что при любом f из некоторого подпространства
W cz #Ev) (X) конечной коразмерности найдется распределение
и <= H{°-n){X), удовлетворяющее уравнению B6.4.1) в Y.
Доказательство. Импликации (ii) =^(iii) =*-(iv) и (v)=^(i) оче-
очевидны. Докажем импликацию (i)=^(ii). Обозначим через ||-|l(s>
норму в Я(с5°)тр(X), задающую топологию в Н°8)(М) = Hl{0S) П %' (М
для любого компактного множества М czX. Выберем убываю-
убывающую фундаментальную систему открытых окрестностей ком-
компакта К:
Km ...mY.mY.mX.
Поскольку оператор Р собственный, найдется такой компакт
ZmX, что Ри = 0 на Уь если и = О на Z. Возьмем функцию
у^С™(Х), равную 1 на Z. Тогда Ри = Р(уи) на У! для
u^l?D'{X) и supp ори cz М = supp <p.
Согласно условию (i), можно так выбрать /ь ..., fre
С°°(Х), чтобы при любом f^C°°(X)
г
B6.4.2) Ри = f + X Я/f/ 'на YN
для некоторых положительного целого N, а\ е С и и^З)'(Х).
Поскольку а можно заменить на ц>и, можно считать, что и е
^>/(М) и, стало быть, «еЯн)(А1) при некотором N. Поэтому
объединение множеств
FN = {f e C°° (J); B6.4.2) имеет место с некоторым
и е Я(С_,у) (М), || а ||_лг + 2 Iа/1 ^ М)
совпадает с С°°(Х). Множества FN выпуклы, центрально-сим-
124 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
метричны и замкнуты, поскольку множества допустимых
(и, аи • • •, #г) в определении FN выпуклы, центрально-симмет-
центрально-симметричны и слабо компактны. Следовательно, по теореме Бэра
точка 0 является внутренней для множеств Fn при достаточно
больших N. Поэтому можно найти такие х^Со°(Х) и N', что
f(=C°°(X),
Используя те же соображения компактности, можно вывести,
что уравнение B6.4.2) для любого / <= #(лп с ||x/IU') ^ 1 имеет
решение и <= HC{..N) (Af), au •••> аГу для которого || и \-N) +
+ И |я/1^ N. Это доказывает (и) с тах(Л/г, N') вместо N.
Остается доказать импликацию (iv)=^(v). Для этого обозна-
обозначим через Gv множество всех f <= Н[м)(У\) — Н, для которых
при некоторых g^ H{N+i)(Y\) и и е Я(С_У)(Л1), удовлетворяющих
неравенству
<26.4.3) Nllf_v)
Как и выше, по теореме Бэра, Gv при больших v содержит еди-
единичный шар в Я. Левая часть B6.4.3) достигает минимума в
точности на (uf g)> ортогональных (в L2) всем (и\ g'), для ко-
которых Ри' = g' в yv. Поэтому g является линейной функцией Tf
от f. (Все рассматриваемые нормы считаются гильбертовыми.)
Отображение Т: #->#(V+o (У\) имеет норму ^v. Поэтому
Т определяет компактный оператор в Я, откуда следует, что
образ оператора /+Г имеет конечную коразмерность. Уравне-
Уравнение Ри = h в yv имеет решение а е Я<С-У)(М) при всех йеЯиз
образа оператора 1-\-Т. Этим доказано (v) с max(Af, v) вме-
вместо yv.
Замечания, а) Если Р удовлетворяет условию (v) и оператор Q
имеет порядок —2N — 1, то очевидно, что P + Q удовлетворяет
условию (iv). Таким образом, разрешимость в К не нарушается
при возмущении Р операторами достаточно низкого порядка.
b) Ввиду (Hi) из теоремы 26.3.9 вытекает, что Р не является
разрешимым в {л:}, если х лежит в проекции на X множества
2+, определенного в B6.3.27).
c) При доказательстве импликации (i)=^(ii) достаточно ока-
оказалось проверить, что U Fn является множеством второй катего-
категории. Поэтому если Р не является разрешимым в /С, то для лю-
любого конечномерного подпространства W в С°°(Х) множество
{/ + ё> f ^ С°° (X) и Pu = f в окрестности компакта К
при некоторых u^2Ef(X), g^W)
26.4. Разрешимость и условие (Т) 125
имеет первую категорию в С°°(Х). Поэтому для любой последо-
последовательности таких /С/, Wj можно построить такую функцию
/еС°°(Х), чтобы уравнение Pu = f не было разрешимым по
модулю Wj в окрестности К, при всех /. В частности, можно
найти функцию f^Coc(X)> при которой уравнение Pu = f не
разрешимо в окрестности любой точки из проекции 2+ на X,
Такой пример дает оператор Леви Р = D\ + ^2 + i(x\ + ix2)D^
в R3. Поскольку для него множество
проектируется на R3 сюръективно, существует функция / е
C°°(R3), при которой уравнение Ри = f не имеет обобщенного
решения ни в каком открытом множестве.
Условие (iii) из теоремы 26.4.2 подсказывает целесообраз-
целесообразность определения разрешимости на множестве из расслоения
косфер:
Определение 26.4.3. Пусть К—компактно-коническое множество
(т. е. коническое множество с компактной базой) в Т*(Х)\0;
тогда Р называется разрешимым в /С, если при некотором це-
целом N для любого f^H\°N)(X) существует uG^fl), такое
что
Разрешимость в компактном множестве М а X эквивалентна
разрешимости в Г*(Х)|м\0, как видно из условия (iii) тео-
теоремы 26.4.2. Отметим, что из разрешимости в /Сс:Г*(Х)\0
вытекает разрешимость в любом меньшем замкнутом кониче-
коническом множестве и что разрешимость в К зависит лишь от сим-
символа оператора Р в конической окрестности множества К. Это
позволяет устанавливать необходимость условий разрешимости
локально, опираясь на следующее предложение:
Предложение 26.4.4. Пусть КаТ* (X)\0 и Кг а Г* (У) \0 — ком-
компактно-конические множества, и пусть % — однородный симплек-
томорфизм конической окрестности множества К! в окрестность
множества /С, для которого %(К') = К. Пусть А^1т'{ХУ,У, V)
и В (= Im"(YXX, (Т~1)'), где Г —график отображения %.
Предположим, что А и В являются собственными и нехаракте-
нехарактеристическими на графиках ограничений % и %~1 на К' и К соот-
соответственно, и в то же время WF'(A) и WF'(B) содержатся в
малых конических окрестностях. Тогда псевдодифференциаль-
псевдодифференциальный оператор Р на X разрешим в К в том и только том случае,
?сли псевдодифференциальный оператор ВРА на Y разрешим
s К'.
126 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Доказательство. Выберем собственные операторы А\^
I-m" (XXY, Г) и В! €=/-"*'.( УХ*, (Г-1O) так, чтобы
K'(}WF(BAl-I)=0, K(}WF(AiB-I) = 0,
Кг П WF (B{A -I)=0, K[)WF (AB{ - /) = 0.
Предположим, что Р является разрешимым в /С, и выберем Л/~
как в определении 26.4.3. Возьмем g ^ H\°N-m»)(Y) и обозначим
/ = Axg e H\°n)(X). Тогда найдется распределение u^
для которого K[\WF{Pu — f) = 0. Обозначим v =
SDf(Ra). Тогда множество
WF (Av -u) = WF {{ABX - I) и)
не пересекается с К и, следовательно, К[\ WF(PAv — f) = 0. Но»
тогда и
Kf(]WF(BPAv-Bf)=0.
Следовательно, также
K'()WF(BPAv-g)=^0,
поскольку Kf [\WF({BA\ — /)g-) = 0. Отсюда вытекает, что
ВРА является разрешимым в К'. Обратно, если ВРА разрешим
в К\ то А[ВРАВ1 разрешим в К. Следовательно, Р разрешим в
К, поскольку /СП WF(A\BPAB[ — Я) = 0, что и завершает дока-
доказательство.
В качестве последнего аналитического подготовительного
шага к установлению необходимых условий разрешимости по-
покажем, что из разрешимости Р вытекает априорная оценка для
сопряженного оператора Р*.
Лемма 26.4.5. Пусть К—компактно порожденное коническое
множество аТ*(Х)\0, в котором Р разрешим, и KczT*(Y)r
где Y шХ. Если N — целое число из определения 26.4.3, то для
некоторого целого v найдется такой собственный псевдодиффе-
псевдодифференциальный оператор Л, что WF(A)[\K = 0 и
B6.4.4) || v ||(_ло < С (|| P*v ||(V) + || v ||(_м-п) + || Av ||@)), v е= Со°° (Y).
Доказательство. Пусть У <ш Z ш X. Покажем, что для любой
фиксированной функции / из гильбертова пространства H(N)(Z)
при некоторых С, v и А (с указанными в лемме свойствами)
B6.4.5) | (/, v) |< С (|| Pmv ||(V) +1| v ||(_лг-„) + II Av ||@>), v e= Co (Y).
Действительно, по предположению можно найти и, g^&"(X)>
для которых f = Pu + g и K(]WF(g) = 0. Тогда
(/, v) = (и, P*v) + (g, v), v e С? (Г).
26.4. Разрешимость и условие (Ч?) 127
Выберем собственные псевдодифференциальные операторы В\
и В2 порядка 0 так, чтобы I = Bi + B2 и WF(BX){\ WF(g) = 0,
WF(B2)[}K = 0. Это возможно, поскольку WF{g)[\K = 0.
Тогда B\g <= С°°, так что (B{gt v) можно оценить через
¦C\\v\\(-M-n). Для некоторого jut
I (B2g, v) | < || Blv IU < С (|| BBlv ||@) + || v \\{-N-n)),
если В — эллиптический собственный оператор порядка (я. От-
Отсюда вытекает B6.4.5) с А = BBl.
Пусть V — пространство Со°(У), снабженное топологией,
определяемой полунормами |М1(-лг-л), ll^^llcv), v = l, 2, ..., и
1|Лу||(о), где А — собственный псевдодифферециальный оператор,
для которого K[\WF(A) = 0. Можно ограничиться счетной по-
последовательностью Ль А2, ... операторов А, где Л-у являются
операторами порядка v, нехарактеристическими на множествах,
возрастающих до (Т*(Х)\0)\К при v-^oo. Поэтому V—ме-
тризуемое пространство. Полуторалинейная форма (f, v) на
произведении гильбертова пространства H(N)(Z) и метризуемого
пространства V, очевидно, непрерывна по f при фиксированном
v, а в силу B6.4.5) она также непрерывна по v при фиксиро-
фиксированном /. Следовательно, она непрерывна, так что для некото-
некоторых v и С
I (/, V) | < С || / |U) ( || P'V ||(v) + || AVV ||@) + || V \\{-N-n)\
fe=Hc{N)(Z), ve^Co(Y).
Отсюда вытекает B6.4.4).
Предложение 26.3.8 наводит на мысль, что оператор
PsfphgC главным символом р не является разрешимым в ха-
характеристической точке, в которой Imp меняет знак с «—» на
«+» на ориентированной бихарактеристике символа Rep. Од-
Однако предложение 26.4.4 показывает, что любое необходимое
условие разрешимости, выраженное в терминах главного сим-
символа р, должно быть инвариантно относительно умножения на
однородную функцию, не обращающуюся в нуль. Это приводит
нас к следующему несколько более сложному на вид условию:
Определение 26.4.6. Положительно однородная функция р ^
С°°(Т*(Х)\0) удовлетворяет условию (W) в открытом множе-
множестве YaX, если ни при какой положительно однородной комп-
лекснозначной функции q e C°°(T*(Y)\0) функция Im qp не
меняет знак с «—» на «+» при движении в положительном на-
направлении по бихарактеристике символа Reqp над У, на кото-
которой q^O. (Иногда говорят при этом, что р удовлетворяет усло-
условию >
128 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Напомним, что бихарактеристикой символа г называется ин-
интегральная кривая гамильтонова поля Яг, на которой г = 0.
Бихарактеристику символа Reqp, на которой q^O, будем на-
называть полубихарактеристикой символа р. Главная цель дан-
данного параграфа состоит в доказательстве следующей теоремы.
Теорема 26.4.7. Предположим, что существует положительно
однородная С°°-функция q на Т*(Х)\0 и такой интервал
y(t), a^Z.t^b, бихарактеристики символа Reqp, что
при а ^ t ^ Ъ и
Im qp (у (а)) < 0 < Im qp (у F)).
Тогда оператор Р не является разрешимым в коническом мно-
множестве, порожденном кривой у ([а, Ь]).
Следствие 26.4.8. Если оператор Р разрешим в компактном мно-
множестве К а X, то существует открытая окрестность У компакта
К в X, в которой р удовлетворяет условию (Ч?).
Доказательство. Из условия (v) теоремы 26.4.2 вытекает суще-
существование такой окрестности У компакта /С, что оператор Р раз-
разрешим в любом компактно порожденном коническом множестве
М с: Г*(У). Поэтому нужное утверждение вытекает из теоремы
26.4.7.
Пользуясь только доказанными выше результатами и не ссы-
ссылаясь на теорему 26.4.7, можно доказать, что Im qp не может
менять знак с «—» на «+» на бихарактеристике символа Reqp>
проходящей через точку (х°, |°)еГ*(У)\0, в которой Im qp
имеет нуль конечного порядка. Действительно, если Q — псевдо-
псевдодифференциальный оператор с главным символом q, то, со-
согласно предложению 26.4.4, оператор QP должен быть разре-
разрешимым в окрестности точки (х°, |°). На каждой близкой би-
бихарактеристике символа Regp, проходящей через эту окрест-
окрестность, символ Im qp в некоторой точке (х1, g1) должен иметь
нуль с тем же чередованием знаков; выберем эту точку (х1, g1)
так, что в ней Im qp имеет нуль наименьшего порядка. Тогда
символ qp в этой точке (jc1, I1) удовлетворяет условиям теоремы
21.3.5. Следовательно, используя предложение 26.3.1, можно
микролокально преобразовать оператор QP в точке (jc1, I1)
в оператор D{-\- ix\Dn в точке @, ел), где он неразрешим по
предложению 26.3.8. Ввиду предложения 26.4.4 мы получаем
противоречие, которое доказывает необходимость указанной
выше ослабленной формы условия (Y)
Прежде чем доказывать теорему 26.4.7 в полной общности,
рассмотрим подробнее ее геометрические аспекты; это позволит
нам придать условию (W) более простой вид. Предположим, что
26.4. Разрешимость и условие (W) 129
условия теоремы 26.4.7 выполнены, и пусть Q — псевдодиффе-
псевдодифференциальный оператор с главным символом q. Тогда Pi = QP
имеет главный символ рх = qpy так что Im p{ вдоль бихаракте-
бихарактеристики символа Re р\ меняет знак с «—» на «+». Положим
тогда P2 = Q\P\, где Q\ имеет порядок A—порядок Pi) и по-
положительный однородный главный символ. Если р2 — главный
символ оператора Р2, то Impi и Imp2 имеют одинаковые знаки
и символы Repi и Rep2 имеют одни и те же бихарактеристики
с одинаковой ориентацией. Поэтому, ввиду предложения 26.4.4,
достаточно доказать теорему 26.4.7 для случая, когда q= I, a p
имеет порядок 1. Тогда бихарактеристики символа Rep можно
рассматривать как кривые на расслоении косфер. Если кривая,
на которой Imp меняет знак, замкнута на 5*(Х), то всегда
можно выбрать незамкнутую дугу, на которой знак тоже ме-
меняется, и мы будем ниже предполагать, что это уже сделано.
Тогда можно использовать предложения 26.1.6 и 26.4.4 и свести
доказательство к случаю, когда X=Rn9 Rep = gi и рассматри-
рассматриваемая бихарактеристика символа Rep имеет вид
B6.4.6) а < jq < 6, х' = (х2, ..., хп) = О, 1 = гп.
При больших b — а наша конструкция может столкнуться с
глобальными препятствиями. Обсудим, насколько малым можно
считать интервал, содержащий рассматриваемую в теореме
26.4.7 перемену знака. Для этого обозначим
L{x't l') = inl{t — s; a<s<t<by
ImpE, x\ О, Г)<0<1тр(/, *', 0, ?')}
для (x', ?'), близких к @, e^), и пусть Lo— нижний предел
L(x\ I') при (х\ g')—>-@, е'г). При малых б > 0 можно найти та-
такую открытую окрестность V6 точки @, г'\ в R2n~2 диаметра
<б, что L (V, I') > Lo — 6/2 при (*', l')^Vb. Поэтому суще-
существуют такие (лг?, %'6) е V6 и 5Й, /в, что а < s6 < /б < Ь и
t6 - s6 < Lo + 6/2, Im p E6> x'b, 0, %) < 0 < Im p (t6> x'» 0, Q.
Отсюда следует, что символ Imp(/, x\ 0, g7) и все его производ-
производные по х\ I" обращаются в нуль в точках (t, х'ь, 0, Q, в кото-
которых s6 + 6 < t < tb — 6. Действительно, иначе нашлась бы точ-
точка (х\ i')^ V6, близкая к (*g, Q, в которой
Im р (/, х\ 0, Г) ^ 0, Imp Eб, ^, 0, g7) < 0 < Imp (/e> х\ 0, Г).
Но тогда требуемая перемена знака имелась бы обязательно
в одном из интервалов (s6, /) или (ty t6), что невозможно, по-
поскольку их длина меньше Lo—6/2.
130 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Выберем последовательность б/-^0, для которой существуют
пределы Hms6. = a0 и lim/6. = 60. Тогда 60 — ао = Ьо и Im p|gj (t,
0, гп) = 0 при всех а, р с ai = 0, если а0 < t < bQ. Отсюда при
ао <С 6о вытекает, в частности, наличие одномерной бихаракте-
бихарактеристики в следующем смысле:
Определение 26.4.9. Одномерной бихарактеристикой псевдодиф-
псевдодифференциального оператора с однородным главным символом р
называется такое С!-отображение у: 1-+Т*(Х)\0, где /—ин-
/—интервал в R, что
(i) p(y(t)) = O9 <e/,
(ii)O?*y'(t) = c{t)Hp(y(t)) при /е/.
Чтобы привести символ р вблизи одномерной бихарактери-
бихарактеристики к наиболее простому виду, как в теореме 21.3.6, покажем,
что произвол в выборе функции q в определении 26.4.6 не яв-
является существенным.
Лемма 26.4.10. Пусть у: 1-+Т*(Х)\0 — вложение характеристи-
характеристической точки символа р или компактного интервала одномерной
бихарактеристики. Предположим, что для некоторого q e С°°
(i)^OaRe Hqp Ф 0 на у (/),
(и) существует окрестность U компакта уA), в которой
Im qp нигде не меняет знака с «—» на «+» вдоль бихарактери-
бихарактеристик символа Re qp.
Тогда (ii) выполняется для любой функции q, удовлетворяю-
удовлетворяющей условию (i).
Отметим, что здесь не требуется никакой однородности, по-
поэтому на самом деле можно с таким же успехом рассматривать
случай произвольного симплектического многообразия. Такой
случай как раз рассматривается в следующем более общем
утверждении, которое на самом деле легче доказывать.
Лемма 26.4.10'. Пусть I — точка или компактный интервал на
R, и у: I-+M — вложение I в симплектическое многообразие М
в качестве одномерной бихарактеристики символа р = рх + Ф2>
если I не сводится к точке, или характеристической точки в про-
противном случае. Положим
2
где det(a/ft)>0 на уA). Предположим, что НР1Ф0 и Н^ФО
на уA), и в некоторой окрестности U множества уA) вдоль
каждой бихарактеристики символа р\ символ р^ не меняет знака
26.4. Разрешимость и условие (Ч?) 131
с «—» на «+». Тогда можно так выбрать U, чтобы функция f2
не меняла знака с «—» на «+» вдоль бихарактеристик символа
h в и.
Доказательство. Отметим сначала, что если /? = 0 в точке из (/,
то в ней
Следовательно, в той же точке
{/ь /г) = {аиР\ + а\2р2, а2\Р\
Поэтому доказательство проводится в два этапа, первый из ко-
которых тривиален.
(i) Пусть сначала а\2 = 0. Тогда аца22>0, так что ац и
а22 либо оба положительны, либо оба отрицательны. Поэтому
бихарактеристики символов f\ = a\\p\ и р{ совпадают и имеют
одинаковую или противоположную ориентацию соответственно,
и f2 = d22p2 при р\ = 0, так что f2 имеет тот же или противо-
противоположный знак, что и р2 соответственно. Следовательно, в этом
случае лемма доказана.
(и) Предложение 26.1.6 имеет очевидный аналог в случае
общего симплектического многообразия, для формулировки ко-
которого нужно просто опустить всюду упоминание о мультипли-
мультипликативной структуре на 7*(Х)\0. Доказательство проводится
точно так же: нужно лишь исходить из теоремы 21.1.6 вместо
теоремы 21.3.1. После канонического преобразования перемен-
переменных можно считать, что М= R2n, P\ = ?,\ и Г = уA) является
интервалом оси х\. Пусть Т—вектор eR2", для которого
(Т, dpx)=l, (Г, dfx)?*O на Г.
Поскольку dp\ и df\ не обращаются в нуль на Г, то существо-
существование Т очевидно в случае, когда Г состоит из одной точки.
В противном случае форма dp2 пропорциональна dpi на Г, так
что и df\ пропорциональна dp\. Тогда можно в качестве Т взять
любой вектор с координатой |ь равной 1.
Положим
так что q2 = p2 при gi =0 и q2 постоянна вдоль направления Г.
Тогда при некоторой С°°-функции ф
так что из первого шага доказательства следует справедливость
условий леммы для р\ + iq2- Поскольку
/l = fall — Я12Ф) Pi +
132 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
ТО
Следовательно, в окрестности кривой Г можно разделить f{ на
an — ^12ф и положить
ОФ(Т, dfl) = (an-al&) на Г.
в окрестности кривой Г можно
ожить
Ц\ = /l/fall — «12Ф) = Pi + «12 («11 — «12ФГ1 Q2-
Тогда
2
fj=lLbjkqk, /=1, 2,
где йц = ац — Я12ф, ^12 = 0 и det 6 = det а > 0. Поэтому, как
вытекает из первого шага доказательства, достаточно для
(Яи Я%) проверить предположения, сделанные в лемме относи-
относительно (рь р2). Трудность состоит в том, что поверхности pi =0
и ^i=0 не совпадают. Отождествим их при помощи проекти-
проектирования в направлении Т.
Пусть U — окрестность кривой Г, в которой q2 не меняет
знака с «—» на «+» вдоль бихарактеристик символа рь Вектор
Т трансверсален к поверхности fi = qi=0. Поэтому если
окрестность U достаточно мала, то поверхность
Y = {(x, g)€=?/; q{(x9 |) = 0}
отображается проекцией я вдоль Т диффеоморфно на
Когда ^i = ^2 = 0 и, стало быть, р1=р2 = 0, мы имеем Н q2 =
= #рр2<:0. Поскольку <Г, dq2y=0', то dq2 = 0 в точке из У,
в которой ^2 = 0, и dq2 равняется нулю на касательном про-
пространстве к У. Следовательно, там w = HQl = НРхУ так что
nja) = H1h. Если применить следующую лемму к f = Я2 = л?Я2
и векторным полям v = (я~1)!|с HPl и w = HQl в У, то мы получим,
что q2 не может менять знак с «—» на «+» вдоль бихарактери-
бихарактеристики символа qx в У, что доказывает лемму 26.4.10'.
Лемма 26.4.11. Пусть f^Cl(Y)y где У является ^-многообра-
^-многообразием, и пусть v — липшицево векторное поле на У, для любой
интегральной кривой ti—>y(t) которого
B6.4.7) / (у @)) <0=>f(y @) < 0 при t>0.
Пусть w — другое липшицево векторное поле, для которого
B6.4.8) (w, grad/)<0 при / = 0,
B6.4.9) w = v при f = df = O.
Тогда B6.4.7) выполняется также для интегральных кривых
y(t) поля w.
26.4. Разрешимость и условие (Ч**) 133
Отметим, что условие B6.4.8) при f=df = Q выполняется
автоматически. Поэтому естественно, что в этом случае накла-
накладывается дополнительное ограничение.
Доказательство, Пусть F— замыкание объединения всех поло-
положительных полуорбит векторного поля и, выходящих из точек,
в которых /(*/)< 0. В силу B6.4.7) в F выполняется неравен-
неравенство / ^ 0 и F содержит замыкание множества, в котором
,/ <С 0. Орбиты поля и, начинающиеся в F, должны постоянно
оставаться в F. Если теперь (у, y))^Ne(F) (определение 8.5.7),
то у лежит на границе множества F, так что f{y) = O. Если
df(y)?=O, то в окрестности точки у множество F ограничено по-
поверхностью f = 0. Поэтому т] = cdf(y), где с > 0, и (w(y), т]>^0
в силу B6.4.8). Если df(y) = O, то (w(y), v\} = (v(y), т}> в силу
B6.4.9), и (v(y), т]> ^ 0 согласно условию (ii) теоремы 8.5.11.
Следовательно, w удовлетворяет условию (ii) теоремы 8.5.11, а
значит, и условию (i) этой же теоремы. Лемма доказана.
Прежде чем переходить к доказательству теоремы 26.4.7, мы
сделаем отступление, чтобы дать две альтернативные формули-
формулировки условия (W).
Теорема 26.4.12. Каждое из следующих условий необходимо и
достаточно для того, чтобы однородная С°°-функция р на
Г*(У)\0 удовлетворяла условию Dя):
(Wi) Ни при какой комплекснозначной С°°-функции q на
Т*(У)\0 функция Imqp не меняет знака с «—» на «+» при
движении в положительном направлении по бихарактеристикам
-символа Re qp, на которых q?=0.
(Ч^) Пусть Г— характеристическая точка, в которой Нр ф 0,
или компактный интервал одномерной бихарактеристики, кото-
который инъективно и регулярно проектируется на S*(y). Тогда
найдется такая С°°-функция q в окрестности Q множества Г,
в которой ReHqp Ф0 в Q и Imqp не меняет знака с «—» на «+»
при движении в положительном направлении по бихарактери-
бихарактеристикам символа Reqp в Я.
Доказательство. Импликация Dfi)=>-Df) очевидна, поскольку
в (Ч^) просто не требуется однородность q\ в этом и состоит
все отличие. Чтобы доказать импликацию (Ч?) => (Ч^), нужно
лишь показать, что Retf^^O на Г при некоторой однородной
функции q. Это ясно в случае, когда Г является точкой. Если
Г — одномерная бихарактеристика, то на Г имеется такая па-
параметризация th-^T(t), что Г'@= c(t)Hp(T(t)). При подходя-
подходящей нормализации параметра c(t) и T(t) — гладкие функции.
Если я: r*(y)\0-^S*G)—проекция, то i*—>nT(t) — вложение
134 26. Псевдо дифференциальные операторы главного типа
на некотором интервале. Поэтому c(t) = qs(riT(t)), где qs— не-
некоторая С°°-функция на S*(X). Следовательно, q = n*qs— одно-
однородная функция степени 0 и Re Hqp Ф О на Г.
Остается проверить импликацию (Ч^г) =^ (^i), или иначе:
если (Ч^) не выполняется, то и (Ч^) также. Итак, пусть q — не-
некоторая функция из С°°(Г*(У)\0) и lm qp меняет знак с «—»
на «+» на бихарактеристике символа Reqp, на которой q?=0~
Как и выше, можно найти компактный интервал Г одномерной
бихарактеристики у или точку Геу так, чтобы такая перемена
знака встречалась на бихарактеристиках символа Reqp сколь
угодно близко к Г. По лемме 26.4.10 это будет справедлива
также при любом другом выборе q, если Hj{eqp?=0 на Г. Поэто-
Поэтому (Ч^г) не может выполняться, если, как мы покажем, проек-
проекция я на Г инъективна и имеет инъективный дифференциал^
когда Г — интервал одномерной бихарактеристики. Если Нр в
некоторой точке на Г имеет радиальное направление, то вся
орбита векторного поля #Re?p, выходящая из Г, и в частности
у, должна быть просто лучом, на котором тождественно р = 0.
Это противоречит нашим предположениям, и ограничение
я на Г должно иметь инъективный дифференциал. Если яГ—
замкнутая гладкая кривая, то символ р также должен тождест-
тождественно обращаться в нуль на у, что опять ведет к противоречию.
Наконец, я ° Г не может вернуться в ту же точку с другой ори-
ориентацией, так как одномерная бихарактеристика однозначно
определяется начальной точкой и выбором ориентации в ней.
Пусть яо Г(^) = яо Г(/2), t\<.t2 и ориентации не совпадают.
Тогда для любого t[ > t\, близкого к t\, можно найти t'2^ if и ^)>
для которого я о Г (t[) = я о Г (/2). Верхняя грань t таких t[
должна совпадать с нижней гранью соответствующих /?. Но это
противоречит тому, что я°Г имеет ненулевую производную в
я°Г(?). Поэтому условие (Ч'г) не выполняется, и теорема до-
доказана.
Преимущество условия (Ч1^), очевидно, в том, что для его
проверки не нужно перебирать все возможные функции q.
В случае когда Г состоит из одной точки, достаточно проверить
это условие для q = 1 и q = L
Следующий глобальный вариант теоремы 21.3.6 потребуется
нам для упрощения главного символа вблизи одномерной би-
бихарактеристики.
Предложение 26.4.13. Пусть р — однородная С°°~функция на
Т*(Х)\0, I — компактный интервал на -R, отличный от точки, и
/3/h->7(t)eP(I)\0 — одномерная бихарактеристика, у<=С°°.
Предположим также, что композиция у и проекции Т*(Х)\0-^
S*(X) является инъективной, так что, в частности, Hp{y(t))
нигде не имеет радиального направления. Тогда существует
26.4. Разрешимость и условие (Ч**) 135
однородное каноническое С°°-преобразование % конической
окрестности множества {(х,еп), ^е/, х' = 0}с: Г*(РЛ)\0 в
коническую окрестность множества уA)а Г*(Х)\0 и такая
С°°'функция а, однородная степени 1 — /л, не обращающаяся в
нуль на у (/), что % (хи 0, еп) = у (хх), *i e /, и
<26.4.10) x>p) = Si + tf(x, ЕО,
где f — вещественная функция, однородная степени 1 и не за-
зависящая от gi.
Доказательство. По существу нам нужно просто проследить
конструкции доказательства теоремы 21.3.6 и убедиться, что их
можно проделать также глобально. Во-первых, как в доказа-
доказательстве теоремы 26.4.12, выберем С°°-функцию q, однородную
степени 1—/л, для которой q{y(t)) = c(t), где с — функция из
определения 26.4.9. Тогда
Y' @ = ЯКе ЯР (у Ш dlmqp = 0 в точке у (/), / е /.
Из предложения 26.1.6 вытекает существование канонического
лреобразования %, обладающего указанными в теореме свойст-
свойствами, за исключением того, что в представлении
про функцию g известно лишь, что dg = 0 на /Х@> ея). Ис-
Используя подготовительную теорему Мальгранжа, можно найти
О-функции Я и г в окрестности множества /Х@, е«), однород-
однородные степени 0 и 1 соответственно, для которых
l)) + r(x, I').
Действительно, это достаточно доказать при \п = 1 и затем про-
продолжить все функции по однородности. Как и при доказатель-
доказательстве теоремы 21.3.6, подготовительная теорема дает решения
локально вблизи каждой точки из /Х@, ел). Эти локальные
решения можно сшить при помощи разбиения единицы по х\ и
получить решение в окрестности множества /Х@, гп). Отме-
Отметим, что на множестве /Х@, гп) очевидно h = 1 и dr = 0. Запи-
Записывая г в виде r\ + ir2y введем новые канонические координаты
У\=хи *h = Si — П (*, SO-
Положим
п продолжим эти канонические координаты как постоянные
вдоль орбит поля #т,,. Одна из них содержит множество /X
@, гп)у так что у2, т]2, .•• определены в его окрестности. Ком-
Коммутационные соотношения выполняются в силу тождества Яко-
би, поскольку они справедливы при х{=0. Следовательно, мы
136 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
получаем каноническое преобразование %i» оставляющее /X
(О, гп) неподвижным, для которого композиция h(x, Q(h +
ig(x, D) с xi Равна i\i + if{y, Л), где f(y, ц) = —г2(ху ?')• По~
скольку
т0 %°Ъ и q{x~l)*h обладают требуемыми свойствами.
Используем рассуждения, предшествующие определению»
26.4.9, в сочетании с предложением 24.4.13 или теоремой 21.3.6.
Тогда ввиду леммы 26.4.10 мы можем заключить, что теорема
26.4.7 вытекает из следующего утверждения:
Теорема 26.4.7/. Предположим, что в некоторой конической,
окрестности множества
Г = {(*!, 0, 0, ?°); ао
главный символ оператора Р имеет вид
Р(х, l) = h +if (х, &').
где функция f вещественнозначна и имеет нуль бесконечного
порядка на Г, если Ьо > До. Предположим, что в любой окрест-
окрестности множества Г найдется интервал, параллельный оси х\у
на котором функция f меняет знак с «—» на «+» при увеличе-
увеличении х\. Тогда оператор Р не является разрешимым на Г.
При доказательстве теоремы 26.4.7х можно считать, что
младшие члены р0, р_ь ... символа оператора Р не зависят от
|2 вблизи Г. Действительно, из подготовительной теоремы Маль-
гранжа вытекает, что
po(xf l) = q(x9 Dfo + ifix, l')) + r(x, Г),
где q — однородная функция степени —1, а г — степени 0. (См.
доказательство предложения 26.4.13.) Член порядка 0 в символе
оператора (/ — q{x, D))P равен г(ху |7)- Повторяя эти рассуж-
рассуждения, можно последовательно сделать все младшие члены не
зависящими от ?ь
Теорему 26.4.7х мы выведем из леммы 26.4.5, которая пока-
показывает, что достаточно построить приближенные решения урав-
уравнения P*v = 0, сосредоточенные настолько близко к Г, чтобы
оценка B6.4.4) не могла выполняться. Сначала покажем, как
это можно сделать в простейшем случае, когда Г = {@, гп)} ^
r*(R") и Р = D\ + ix\Dn. (Разумеется, в этом случае мы уже
знаем из предложения 26.3.8, что разрешимости нет.) Положим
B6.4.12) vx(x) = y
26.4. Разрешимость и условие (Т) 137
где функция ф <= Со°(|?л) равна 1 в некоторой окрестности точ-
точки 0, а
w(x) = xn + i(x* + xl+...+ х\_х + (хп + ixy2f)/2
удовлетворяет уравнению P*w = 0. Если supp ф достаточно мал,
то
Im w {x) > | х |2/4 при лг
Поэтому vx -> 0 в С°° (R" \ 0) и tVtit = т" (Я\р)е'™ ->0вС0°° (R")
лри каждом iV. Очевидно, vx(x) = etxXflVx(x VT)> гДе УтС*)-*
У (л:) = в-1^М/2 в д> при т-^оо. Поскольку бт (|) = x"n/2Vx ({I —
чеп)/^х), то ясно, что бт(|)A+111)^-^0 для каждого N рав-
равномерно вне любой конической окрестности точки еп и на лю-
<5ом компактном множестве. Поэтому Avx-+0 равномерно для
любого собственного псевдодифференциального оператора А,
•если @, еп) ф WF (Л). С другой стороны,
IMV-2S+"/2->imii2 При Т->оо.
Поэтому из сказанного вытекает, что оценка B6.4.4) не может
выполняться.
Используя теорему 21.3.3 и предложение 26.3.1, можно при-
приспособить предыдущую конструкцию для доказательства того,
что оценка B6.4.4) не выполняется, если имеется точка (х, |)е
•(T*(Y)\0)\WF(A), в которой р(*,|) = 0 и {Rep, Imp} (x, I) >
О. Поэтому при доказательстве теоремы 26.4.1' можно предпо-
предполагать, что
<26.4.13) f(x, Z') = O=>df(x, Г)/^<0
в некоторой окрестности множества Г. Это соображение приго-
пригодится нам ниже при применении леммы 26.4.11.
Для доказательства теоремы 26.4.7х в общем случае мы по-
построим функцию vx вида
м
{26А. 14) vx(х) = eixw {x) Z Ф/ (x)t-!,
о
где imw^O, равенство достигается в некоторой точке, а вне
компактного множества неравенство строгое, и поэтому там vx
очень мала (независимо от выбора ф;) при т-^оо. Главный сим-
символ оператора Р* вблизи Г равен |i — if(x, %'). Поэтому, чтобы
сделать функцию P*vx малой, в качестве первого шага нужно
построить фазовую функцию w, удовлетворяющую приближенно
уравнению эйконала
{26А. 15) dw/dx{ - if (x9 dw/dx') = 0.
138 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Когда эта главная проблема будет решена, нужно будет после-
последовательно выбрать подходящие амплитудные функции фО„
Фь ••• . (Грубо говоря, эти шаги соответствуют применению*
соответственно теоремы 21.3.3 и предложения 26.3.1 при описан-
описанном выше выводе B6.4.13).)
Чтобы упростить обозначения, мы будем ниже писать t
вместо Х\ и х вместо х', так что B6.4.15) запишется в виде
B6.4.15)' dw/dt-if(t, x, dw/dx) = 0.
Чтобы сохранить, насколько возможно, качественные свойства
функции B6.4.12), выберем w так, чтобы Imw была строга
выпуклой по х при фиксированных t и достигала минимума на
некоторой гладкой вещественной кривой x = y(t). Тогда мы
имеем
Im dw(t, х)/дх = 0 при x = y(t).
Это наводит на мысль искать решение уравнения B6.4.15)' в.
виде
B6.4.16)
w (/, х) = w0 (t) + (x~y @, Л @> + ? Wa @ (х-у (t))a/\ а | L
2<|а'<М
Здесь М — достаточно большое целое число, и используется
обозначение а = (аь ..., as) для последовательности s=|cc|
индексов 1, ..., п — 1 переменных х, приспособленное специ-
специально для использования только в данном рассуждении. При:
этом wa симметрично по этим индексам. Если нам удастся по-
построить решение, для которого матрица (Imai/л) положительна
определена, то Im w будет иметь по х строгий минимум при
x = y(t), поскольку функция y](t) будет вещественнозначной^
На кривой x = y(t) уравнение B6.4.15)/ принимает вид
@) w'o (t) = (у' (t)9 ц (t)) + if (/, у (t)9 Ц @).
Это единственное уравнение, в котором участвует w0. Поэтому
из него можно будет найти wq, после того как будут определены
у и ц. В частности,
@)' dlmwo(t)/dt = f(t,y(t),r](t)).
Если f(t, y(t), r\(t)) меняет знак с «—» на «+», то функция
lmwo(t) сначала убывает, а затем возрастает, так что ее мини-
минимум достигается во внутренней точке. Можно сделать мини-
минимальное значение равным нулю, и тогда на некотором подходя-
подходящем интервале переменной t в концевых точках 1тоУо>О, а
в некоторой внутренней точке 1тйУ0 = 0. Таким образом,
imw^O всюду, и вне компактного подынтервала на кривой:
неравенство является строгим, хотя в некоторых точках дости-
достигается равенство.
26.4. Разрешимость и условие (Ч**) 139
Наша цель — добиться выполнения равенства B6.4.15)' с
точностью до членов порядка М + 1 по х — y(tI). Функция
/(/, х, |) на самом деле не определена при комплексных g. Од-
Однако, поскольку
dw (t, х)/дх, - т>/ @ = ? о\х, / @ (* - У @O1 а |!,
то выражению f(t, х, dw/dx) можно придать смысл, заменяя его
конечным отрезком ряда Тейлора
? /ф) (t, х, г] @) (da; (*, х)/дх - ц (t))*/\ Р |!.
IPKAI
Заметим, что для вычисления коэффицента при (х — y(t))a
нужно рассматривать лишь слагаемые с |Р|^|а|. Очевидно,
что
dw/dt = w'o- (у\ ц) + (х~ у, г]'> + Z w* (t) (x - yfl\ а |!
-? ? Wa,k(t)(x-y)a(dyk/dt)/\a\\.
к 1<|а1<М-1
Поэтому члены первого порядка в уравнении B6.4.15)' дают
соотношение
<D
dy]ifdt~Zwik(t)dyk/dt = i(/(/)(/, у, r\)+Zfk)(t, у, л)а»/*@).
к к
Поскольку у и ц вещественны, A) представляет собой систему
2м уравнений
<1)' dt\,/dt - Z Re wlh (t) dyk/dt =.- ? Im wjk (t) fk) (t9 yy л),
k k
{{)" Z Im wlk (t) dyk/dt = - fin(t, у, л) - I Re w,k (t) fk) (t, y, tj).
к к
Если матрица \mw\k положительно определена, то мы можем
разрешить эти уравнения относительно dy/dt и dr[/dt. При этом
dy/dt = dx\jdt = 0 в тех точках, где / = df = 0.
При 2^|а|^М мы из B6.4.15)' получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение
<а) dwJdt—y?iwU9kdyk/dt = Fa(t9 у, г], Ц^}),
где Fa — линейная комбинация производных f порядка
2|р||+
||,
(при
||
умноженных на полиномы от w$ с 2^|р|^|а
|a| = M суммы в левой части (а), разумеется, нет и р|||
Уравнения (I)', A)" и (а) вместе образуют квазилинейную си-
систему дифференциальных уравнений с числом уравнений,
1) То есть с ошибкой О((х — y(t))M+l). — Прим. перев.
140 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
равным числу неизвестных. Поэтому ясно, что эта система локаль-
локально имеет решелия с заданными начальными значениями. Как
было показано выше, Fa(t, 0, g°, -) = 0 при а0 < t < bOy так что
при а0 < t < b0 мы имеем решение у = 0, г] = 1° = @, ..., 0, 1) f
Wet = const. Следовательно, при некотором с > 0 уравнения A)>.
(а) с начальными условиями
B6.4.17) wJk = i6Jk9 wa = 0 при 2<|а|<М, t = (ao + bo)/2,
B6.4.18) у = х, т> = 1 при / = (ао + &о)/2,
имеют единственное решение в (ао — с, &о + с) при всех х, ^
для которых |х| + ||— ?°|<с. Более того,
(i) матрица (\mwjk — 6/^/2) положительно определена,
(ii) отображение (jc, |, /) i—>- («/, y], t) в области |jc|+-
|Е—?°|<с> ^о — с</<6о-т-^ является диффеоморфизмом.
Обозначим через v образ векторного поля d/dt при отобра-
отображении (ii) в образе Хс этого отображения. Тогда v касается
интегральных кривых. Отметим, что v = d/dt при f = df = 0..
Поскольку мы выше предположили, что из / = 0 вытекает
df/dt ^ 0 в Хс (ср. B6.4.13)), если с достаточно мало, то можно*
применить лемму 26.4.11 к только что определенному вектор-
векторному полю v и w = d/dt. Тогда получаем, что функция / долж-
должна менять знак с «—» на «+» вдоль интегральных кривых поля
v в Хс. Действительно, иначе такие перемены знака не могли бы
происходить при возрастании t и фиксированных (х, |), а эта
противоречит предположениям теоремы 26.4.7х. Учитывая прове-
проведенный выше анализ уравнения @), мы таким образом полу-
получаем следующую лемму:
Лемма 26.4.14. Предположим, что выполняются предположения
теоремы 26.4.7х и что в некоторой окрестности множества Г из
f = о вытекает df/dt ^ 0 (теперь переменные мы обозначаем
через (t, x)). Тогда для любого заданного М существуют такие
(i) кривая t>->(t, y(t), 0, y\(t))^R2n, a'^tz^b', сколь-
угодно близкая к Г,
(ii) С°°-функции Wa(t), 2^|a|^M, с положительно опре-
определенной матрицей (Im w\k — 6/^/2) при ar ^ t ^ Ь\
(Hi) функция Wo с lmwo(t)^O при а' ^ t ^ b' и
Im wo(a') > 0, Im wo(b') > 0 и Im wq(c') = 0 при некотором cf e
(а', Ь'),
что ряд B6.4.16) является формальным решением уравнения
B6.4.15)' с ошибкой порядка О(\х — y(t) \M+l).
Перед тем как переходить к нахождению функций ф/ из
B6.4.14), сделаем несколько общих замечаний о том, как мы
26.4. Разрешимость и условие (Ч1*) 141
будем проверять, что оценка B6.4.4) не выполняется. Для этого
вернемся к симметричным обозначениям из B6.4.14), где х обо-
обозначает все переменные в Rn.
Лемма 26.4.15. Пусть vx — функция, определенная согласно
B6.4.14), где w €= С°°(Х), ф7 е С W, imw^O в X и ёКетфО.
Здесь X — некоторое открытое множество в Rn. Тогда для лю-
любого целого положительного N
B6.4.19) К1|(-
Если Imw(xQ) = 0 и ц>0(х0)Ф0 для некоторого xogJ, to
B6.4.20) WvJi-n^cx-»!2-*, т> 1,
при некотором с > 0. Если Г — коническое множество, порож-
порожденное множеством
B6.4.21) {(х, w'{x))\ х е= U supp<ру> Ima;(x) = 0},
то т*ат->0 в 2)р при т-^оо для любого вещественного k. Сле-
Следовательно, тМит-^0 в C°°{Rn), если А — произвольный псевдо-
псевдодифференциальный оператор, для которого WF(A)(]T = 0.
Доказательство. Для любой окрестности U проекции множества
B6.4.21) на вторую компоненту е Rn и любого положительного
целого v
B6.4.22) |tft(?)l<Cv(l+|g| + |T|rv, если т>1, ЦхфЦ.
Это вытекает из теоремы 7.7.1, поскольку семейство функций
хь->(тйУ—(х, |»/(т + |?|) принадлежит компактному множе-
множеству функций с неотрицательной мнимой частью и дифферен-
дифференциалом ^=0 в вещественных точках. Если выбрать окрестность
U ограниченной и так, чтобы 0 ф. О, то
U
поскольку vx ограничены в L2. С учетом B6.4.22) отсюда выте-
вытекает B6.4.19). Если х^С то оценку B6.4.22) с таким же
успехом можно применить и к yvx. При этом получаем, что
IГРХ (S) I < Cv A + 111 + | т \)~\ т > 1, tz=Vt
если V — любое замкнутое коническое множество, для которого
f n(suppxX V) = 0. Следовательно, %kvT-*0 в &L при любом
k. Чтобы закончить доказательство B6.4.20), возьмем х0 = 0 и
142 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
заметим, что для-феСо* при w@) = 0
хп (v%9 <ф (т •)) = jj eixw l*Mq> (x) ^Г фу (х/х) x-f dx
и этот предел не равен 0 при подходящем выборе if». Поскольку
то xN+nl2\\vx\\{_N)^c>0, что и доказывает B6.4.20).
Как уже говорилось выше, для доказательства теоремы
26.4.7/ достаточно показать, что неверна оценка B6.4.4). Чтобы
это сделать, выберем для начала при помощи леммы 26.4.14
функцию w, в некоторой окрестности У множества {(*i,0);
До ^ *i ^ &о} с: R", такую что Im w > 0 всюду "в У, за исключе-
исключением непустого компактного подмножества К кривой х' = у(х\).
Отметим также, что
'
лежит в малой конической окрестности множества Г, не пере-
пересекающейся с WF(A), в которой символ оператора Р* имеет вид
?i + ^F(*, ?')> причем главный символ F совпадает с —/. При
меним B6.4.4) к функции вида B6.4.14), где фо?=О в некоторой
точке из К. По лемме 26.4.15 левая часть оценивается снизу
через cx~n/2-N, а два последних слагаемых правой части оцени-
оцениваются сверху через меньшую величину. Если мы покажем, что
B6.4.23) I|P4II(v)=O(t-"-«*+i>«),
то отсюда будет следовать, что оценка B6.4.4) не выполняется.
Если В — псевдодифференциальный оператор порядка 0 с
символом, равным 1 в некоторой конической окрестности мно-
множества Го, то (/ — B)P*xkvx-*0 в С°° при любом k. Можно
взять В с таким малым WF(B), что ^0 и символ оператора
Р* равен \\ + iF(x,\') в некоторой конической окрестности
множества WF(B). Тогда по теореме 18.1.35 произведение
В (Р* — DXl — IF (x, D')) является псевдодифференциальным опе-
оператором, волновой фронт которого не пересекается с Го. Здесь
F(xy Dr) — псевдодифференциальный оператор от п—1 пере-
переменных, зависящий от параметра х\. Поэтому для доказатель-
доказательства B6.4.23) достаточно проверить, что
B6.4.24) || (DXl + IF (x, D')) vx ||(v) = О {х^-^т^
Поскольку F(x, D') является псевдодифференциальным опе-
оператором по переменным (х2, ..., хп), то удобно опять сменить
26.4. Разрешимость и условие (W) 143
обозначения х\ на / и х! на х. Тогда B6.4.24) запишется в виде
B6.4.24)' \\(Dt + iF(t, х, D))vJ{v)
На самом деле мы докажем оценку
B6.4.24)" I (Dt + iF (t, x, D)) vx |
а затем убедимся, что одновременно получается оценка
B6.4.24)'.
Чтобы оценить сверху левую часть неравенства B6.4.24)',
нам потребуется формула для действия оператора F(t,xyD) на
функции вида B6.4.14). Ее можно вывести из рассуждений
§ 25.3, но мы предпочитаем дать элементарное прямое доказа-
доказательство. Для упрощения записи мы в доказательстве опускаем
обозначение параметра t.
Лемма 26.4.16. Пусть q(x, I) e= S*{Rn~l X R*), Ф^Со^^),
w e Coo(Raz~1). Предположим, что 1тш>0 всюду, кроме точки
у, где wf (у) = т) е R" \0и матрица Im w" положительно опре-
определена. Тогда
B6.4.25) q (х, D) (<ре<™) - У q(a) (x, тт|) (D - тЛ)а (<pe'™)/a! I
<С^-^2, т> 1, Л=1, 2, ....
Доказательство. Заметим прежде всего, что
B6.4.26) | (D - хц)а (yeixw) \ = \Da (q>eix {w~{'' л>)) 1 < Ст1 а 1/2.
В самом деле, если /из |<х| дифференцирований падают на
экспоненту, то появляется множитель т;, но также появляется /
множителей dw/dxi — т),-, обращающихся в нуль в точке у. Если
/>|<х|/2, то остальные |а| — / дифференцирований могут пони-
понизить порядок нуля до / — (|а| — /) = 2/ —|а|. Поэтому рассма-
рассматриваемый член допускает оценку сверху через
Отметим, что B6.4.26) проясняет происхождение показателя
степени т в правой части B6.4.25).
Для доказательства B6.4.25) положим их(х) = q>(x)eixww и
рассмотрим
йхA)=
Как и при доказательстве B6.4.22), ясно, что для любого v
B6.4.27) 1М
144 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
если, скажем, |?/т — г\ \^\г\\/2. С другой стороны, если
UA — л|<|л|/2, то можно применить теорему 7.7.1 к f(x) =
w(x) — <jc, ?/т>. Отметим, что
поскольку /' (х) = wr (х) — g/x = г] — 1/т + О (| х — у |). Поэтому
по указанной теореме
B6.4.28) | йх (I) | < Ckx~k | л - S/т \~2k = CkTk | тт| -
Вклад в интеграл
q (x, D) (q>e^) = Bя)"Л J el {x' l)q (х, I) йх (I
области | l/т — ЛI > | Л
В области ||/т — ti|<
/2 быстро убывает в силу B6.4.27).
tjI/2 можно заменить q разложением
Тейлора в точке тг| до порядка k. При этом получается сумма
Bя)"я \ el ^ lWa) (х, тЧ) (g - тЛ)аЙт (g) йЦа\.
Распространение интегрирования на все пространство ввиду все
той же оценки B6.4.27) равносильно добавлению быстро убы-
убывающей функции. При этом сумма становится равной B6.4.25).
Остаточный член в формуле Тейлора оценивается через
Cx^~fe|TT| — ?|*. Используя B6.4.28) с k/2 вместо k, мы видим,
что вклад остаточного члена в интеграл по области |?/т — л|<
1л 1/2 есть 0(%v+n-k/2y это дает оценку вида B6.4.25) с лиш-
лишним множителем %п в правой части. Однако, используя эту бо-
более слабую оценку с k + 2n вместо k и учитывая B6.4.26), мы
получаем B6.4.25).
Если q — однородный символ порядка ц, то сумма в B6.4.25)
состоит из членов, однородных по т степеней (ut, (ut— 1, ..., умно-
умноженных на eixw. Члены степени (щ составляют сумму
имеющую вид разложения Тейлора с центром в точке тг| фор-
формальной функции q(x, xa/)> которая может быть и не опреде-
определена, так же как выражение в B6.4.15)', обсуждавшееся выше.
Члены степени (i—1 (содержащие производные от ф) состав-
составляют, аналогично, сумму
n-i
Z q{k){xy %w'(x))Dkq>y
где под qW подразумеваются конечные разложения Тейлора
с центром в тг|, взятые в точке xw'(x).
26.4. Разрешимость и условие (W) 145
Окончание доказательства теоремы 26.4.7'. Итак, для функции
vXf определенной в B6.4.14), мы доказали формулу
/ м
(Dt + iF (t, x, D)) vx = e*« (^ Z
где
n
B6.4.29) ф7 = Dtq>f + Z ck (U x
Здесь /J0 = 0, а /?7 при />0 определяются по <p0, ..., ф7-1;
ck—частичные суммы рядов Тейлора функций —ifW-(t9 x, w'x(t, л:))
с центром в точке r\(t) (впрочем, явный вид ck не имеет значе-
значения). Положим
|о|<М
где y(t)— функция из леммы 26.4.14. Тогда
= О ((х - ^ (/))м),
если фОа удовлетворяют некоторой линейной системе обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
+
IP
Можно найти решение этих уравнений, для которого фо(О) = 1
в заданной точке из К. Таким же образом можно последова-
последовательно найти ф/, при которых
= О((х-у (t)f-2i) для / < М/2.
Выбирая теперь М так, чтобы A — М) /2 ^ —N— (п + 1)/2 — v,
мы получаем оценку B6.4.24)".
Асимптотические ряды в B6.4.25) можно дифференцировать
по х или по параметру ty хотя при этом в оценке может прои-
произойти потеря множителя т. При доказательстве B6.4.24)" мы
также пользовались тем, что функцию вида %(?, x)eixw можно
оценить через т~к/29 если % имеет нуль порядка ^ k при x=y(t).
Дифференцирование приводит либо к уменьшению на единицу
порядка нуля функции %, либо к появлению множителя т, если
дифференцирование падает на экспоненту. Поэтому оценка мо-
может ухудшиться на дополнительный множитель т. Ясно, во
всяком случае, что, вычисляя производные порядков ^v, мы
действительно получим B6.4.24)', так что оценка B6.4.4) не
может выполняться. Это завершает доказательство теоремы
26.4.7'.
146 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
26.5. Геометрические аспекты условия (Р)
К сожалению, до сих пор неизвестно, справедливо ли обратное
утверждение к следствию 26.4.8. Однако если Р — дифференци-
дифференциальный оператор, то для него условие (W) влечет дополнитель-
дополнительные следствия. Дело в том, что тогда главный символ р(х, ?)
обладает симметрией
р(х, -l) = (-l)mp(x,l).
Следовательно, если t*—>(x(t), ?@)—бихарактеристика для
Rep (л:, g), то tt->(x(t), —?@)— также бихарактеристика с
правильной (обратной) ориентацией в случае нечетного (чет-
(четного) т. Следовательно, если для р в X выполняется условие
(х?)у то Imp (я, |) не может принимать значения разных знаков
на одной и той же бихарактеристике символа Rep(x, g). По-
Поэтому р(х, ?) также удовлетворяет условию {V).
Определение 26.5.1. Однородная С°°-функция р на Т*(Х)\0
удовлетворяет условию (Я), если обе функции р и р удовлетво-
удовлетворяют условию (W). Иными словами, ни при какой комплексно-
значной С°°-функции q на Т*(Х)\0 функция \rnqp не может
принимать как положительные, так и отрицательные значения
на какой-либо бихарактеристике символа Re^p, на которой
ЧФО.
Здесь мы использовали одну из эквивалентных форм (Wi)
условия (W) из теоремы 26.4.12, которая применима к любому
симплектическому многообразию. Разумеется, можно было бы
с равным успехом использовать (Ч^) или (V).
Таким образом, условие (Р) необходимо для разрешимости
в случае дифференциальных операторов, хотя и не для общих
псевдодифференциальных операторов. В конце данной главы
мы покажем, что, напротив, аналог теоремы 26.1.7 справедлив
для любого псевдодифференциал»ьного оператора Р, удовлетво-
удовлетворяющего условию (Р). В доказательстве будут использованы
результаты о распространении особенностей, обобщающие тео-
теоремы 26.1.4 и 26.2.1. Они составляют основное содержание по-
последующих параграфов. В качестве подготовки мы обсудим в
этом параграфе некоторые геометрические свойства характери-
характеристического множества
# = {(*, g)e Г (*)\0; р(х,1) = 0),
вытекающие из условия (Я), которое мы всюду в дальнейшем
считаем выполненным.
Как и в § 26.2, обозначим
#2={(лс, ^)eiV; #Rep и H\mp линейно независимы
в точке (х, I)}.
26.5. Геометрические аспекты условия (Р) 147
Это коническое многообразие коразмерности 2. В силу условия
(Р) оно инволютивно, т. е.
{Re р, Im р) (х, I) = О при (х, I) e N2.
Действительно, функция {Rep, Imp} =//Rep Imp должна обра-
обращаться в нуль на бихарактеристике символа Rep в точках, в
которых Imp = 0, так как иначе Imp меняла бы знак. Таким
образом, Нъер и //imp касаются N2.
В § 26.4 мы ввели термин «полубихарактеристика сим-
символа р» для бихарактеристики символа Reqp, на которой q=?0.
Удобство этого понятия заключается в том, что через каждую
точку множества N, в которой йрфЪ, проходит по крайней
мере одна полубихарактеристическая кривая. Обсудим, в какой
мере полубихарактеристики являются одномерными бихаракте-
бихарактеристиками в смысле определения 26.4.9. Для этого мы восполь-
воспользуемся следующей леммой, которая доказывается применением
к символу Regp неоднородного варианта предложения 26.1.6.
(Такой вариант уже был использован в доказательстве леммы
26.4.107.)
Лемма 26.5.2. Пусть / = [а, Ь] — компактный интервал в R, от-
отличный от точки, и пусть I ^ tb-^y(t) — дуга бихарактеристики
символа Re qp, на которой О ф q e С°°. Тогда существует симп-
лектоморфизм % окрестности V интервала / = {(л:1, 0, ..., 0);
х\ е /} с= r*(Rrt) в окрестность дуги у{1)а Г*(Х)\0, для кото-
которого х(хи 0, ..., 0) = y(*i) и
где f вещественнозначна.
Предположим теперь, что y(a)^N2. В окрестности точки
а0 =(а, 0, ..., 0)^r*(Rrt) многообразие х^ инвариантно
относительно векторного поля д/дхх. Поэтому оно задается
уравнениями ?i = 0, g(x'y Z') = f(a, x\ 0, %') = 0, где xf =
(х2, ..., Хп), g/ = (g2, ..., Ы- Поскольку df/dxi={luf}=0
в точке ао, то dg ф 0 в точке 0. Прямые, параллельные оси х\ в
плоскости \\ = 0, являются полубихарактеристиками. Поэтому
из условия (Р) вытекает, что в окрестности интервала / выпол-
выполняются неравенства f(x9 g) ^ 0 (соотв. f(x, I) ^ 0) при gi=0
и g(*'> 50 > 0 (соотв. g(x', 50 <0)- Следовательно, /(х, 5) = 0
при li =0 и g(x'9 l') = 0 и для некоторого г > 0
f(x, 0, l') = g{x\ l')h(x,V)
при а — е < х{ < Ъ + е, | хг | + | 5' I < е.
Здесь А>0, А(а, х/, 50 > ° ПРИ Kl + I5'l<e, g(°) = 0 и
^, 50^=0 ПРИ 1^Ц-|5'|<е. Итак, [ = 0 на/и
на
148 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Поэтому форма df пропорциональна d%\ всюду, кроме точек,
в которых кфО] эти точки лежат в Л^. Следовательно, полуби-
полубихарактеристика, начинающаяся в N2j является одномерной би-
бихарактеристикой, если она не лежит в N2. (Если изолированная
точка не лежит в N2, то касательная в ней тем не менее про-
пропорциональна Нр.) Отметим также, что если f(xy О, 1') = 0 и
g(x', 1')фО, то h(x, Ъ') = 0, откуда dh(x, ?') = (), поскольку
h ^ О, так что df = (df/dli\)dl)\. Если полубихарактеристика,
начинающаяся в N2, содержит некоторую точку ^(х, g) с
(х, I) e V, где
V = {(*,?); 6i = 0, а-г<хх<Ь + г, |*'| + 1П<в},
и g(x\ %')фО, то она должна идти в направлении оси х{ как
одномерная бихарактеристика, пока она не покинет V. Продол-
Продолжая ее (если нужно), чтобы она содержала точку, в которой
Х\ = а, мы получаем противоречие, поскольку f(a, х\ %')ФО
при g(x\ ?,')фО. Следовательно, в %(V) объединение всех полу-
полубихарактеристик, выходящих из произвольных точек множества
N2i задается уравнением ?i=g"(A;', ?') = 0, а потому является
инволютивным многообразием коразмерности 2. Таким образом,
мы доказали
Предложение 26.5.3. Объединение Ne2 всех полубихарактеристик
символа р, пересекающих N2, является локально замкнутым ко-
коническим инволютивным подмногообразием в Т*(Х)\0 кораз-
коразмерности 2, на котором р = 0. Таким образом, Нцер и Н\тр ка-
касаются Ne2y и N2 является открытым подмножеством в N2.
Из теоремы 21.2.7 и последующих замечаний мы знаем, что
N2 как инволютивное многообразие является слоением с двумер-
двумерными слоями, касательные плоскости к которым являются
симплектически ортогональными дополнениями к касательным
плоскостям многообразия N2. Естественно следующим образом
обобщить терминологию § 26.2:
Определение 26.5.4. Слои естественного слоения в N2 назы-
называются двумерными бихарактеристиками.
Напомним, что по теореме 21.2.7 слой В либо является кони-
коническим, либо радиальное векторное поле нигде его не касается.
В любом случае Нр является комплексным касательным вектор-
векторным полем к В. В § 26.2 мы использовали Нр при определении
комплексной структуры на слоях слоения в N2: аналитические
функции — это решения уравнения Hpw = 0. Из этого уравнения
на слое В слоения N2 вытекает, что функция w постоянна на
одномерных бихарактеристиках, которые могут быть вложены
26.5. Геометрические аспекты условия (Р) 14$
в В. Обозначим через Во подмножество в В, состоящее из полу-
полубихарактеристик, оба конца которых лежат в N2, а через Во —
редуцированную двумерную бихарактеристику, полученную
отождествлением точек из Во, которые можно соединить одно-
одномерной бихарактеристикой. В § 26.7 будет показано, что Во
имеет естественную структуру римановой поверхности, при ко-
которой аналитические функции, поднятые на ВОу — это в точности
решения уравнения Hpw =0. В § 26.9 мы покажем, что теорему
26.2.1 можно распространить на N1, если супергармоничность
определить в терминах этой аналитической структуры. При до-
доказательстве этих результатов мы будем пользоваться следую-
следующим добавлением к предложению 26.4.13, позволяющим при-
привести главный символ к более простому виду.
Предложение 26.5.5. Предположим, что в обозначениях предло-
предложения 26.4.13 дуга уA) является одномерной бихарактеристи-
бихарактеристикой, лежащей в Ne2> которую нельзя продолжить за обе конце-
концевые точки как одномерную бихарактеристику. Тогда применимо*
предложение 26.4.13, и в окрестности отрезка /Х{0}Х{е«}
где h ^ 0, dg=^=0, оба множителя e C°°, h — однородная функ-
функция степени 0, a g — степени 1.
Доказательство. Касательная к уA) не может иметь радиаль-
радиального направления, и проекция уA) на S*(X) не может быть
замкнутой кривой, поскольку у (/) является максимальной в
одном из концов. (При доказательстве импликации (Ч^) ^(ЧЛ)
в теореме 26.4.12 мы видели, что проекция не может вернуться
в ту же точку с противоположной ориентацией.) Следовательно,
предложение 26.4.13 здесь применимо. Кроме того, f(xu0, en)=0
при х\, лежащих в окрестности интервала /, и с?/=й=О в некото-
некоторых точках того же вида. Поэтому существование нужной фак-
факторизации вытекает из анализа свойств N1, следующего за1
леммой 26.5.2.
Замечание. Предложение 26.5.5 и его доказательство остаются
справедливыми и в случае, когда / есть точка и у (I) ^ Nl, но>
Y (/) не принадлежит никакой одномерной бихарактеристике.
Нужно лишь вместо предложения 26.4.13 использовать теорему
21.3.6.
Положим Nx = N \ N2. Рассмотрим теперь полубихаракте-
полубихарактеристики /0 э / i—>y@> для кот°рых y(to)^Nx при некотором
to^Io. Из определения Ne2 вытекает, что y(A)) не может пере-
пересекаться с N2, так что HRep и Ншр линейно зависимы во всех:
150 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
точках из y (Л>) П N. Следовательно, если y (Л)) с= W, то y явля-
является одномерной бихарактеристикой. Пусть / — наибольший
подынтервал в /0, содержащий t0, для которого y(I)czN. Если
концевая точка интервала / лежит внутри /0, то очевидно, что
уA) нельзя продолжать за эту точку как одномерную бихарак-
бихарактеристику, так как иначе уA) должна была бы совпадать
¦с (A)
Предложение 26.5.6. В обозначениях из предложения 26.4.13
пусть y(I)[}N2= 0, и пусть уA) не допускает продолжения в
обоих направлениях как одномерная бихарактеристика. Тогда
применимо предложение 26.4.13, и f ^ 0 либо f ^ 0 в некоторой
окрестности множества /X {0} X {&п}.
Доказательство. Из максимальности дуги уA), как и при до-
доказательстве предложения 26.5.5, вытекает применимость пред-
предложения 26.4.13. Если f(xu 0, гп) = 0 при всех х\ из некоторой
окрестности интервала /, то df = 0, так как y (/) П N\ = 0. Тогда
мы получили бы одномерную бихарактеристику, содержащую
внутри себя уA). Это противоречие показывает, что f(xu 0,
&п)?=0 при некоторых х\. В силу непрерывности / и условия
(Р) знак f (в широком смысле) сохраняется в окрестности мно-
множества /X {0} X {?п}, поскольку / не зависит от gi.
Будем обозначать через N\\ множество всех точек из N\, ле-
лежащих на полубихарактеристиках с одной нехарактеристиче-
нехарактеристической концевой точкой. В § 26.6 мы покажем, что теорему 26.1.4
можно модифицировать для исследования особенностей б N\\.
При этом, однако, регулярность распространяется лишь в одном
направлении, задаваемом знаком f, который определяется в
предложении 26.5.6.
Полубихарактеристика, выходящая из точки в N\\Niu
всегда является одномерной бихарактеристикой, так как она не
выходит из характеристического множества в силу определения
JVn и не входит в N2 по определению Nl> Таким образом, в мно-
множестве N\\N\\ одномерные бихарактеристики продолжаются
неограниченно.
Рассмотрим теперь предложение 26.4.13 для случая, когда
у(/)с N\\N\\. Из условия (Р) тогда вытекает, что знак f не
зависит от х\ и / = df = 0 на /X{0}X{ert}. Однако фактори-
факторизация / в произведение неотрицательной функции и функции,
не зависящей от х\> как в предложении 26.5.5, возможна не
всегда. (Это можно сделать в вещественно аналитическом слу-
случае.) Тем не менее это почти верно в случае, когда / обра-
обращается в нуль в точности до второго порядка:
26.5. Геометрические аспекты условия (Р) 151
Предложение 26.5.7. Предположим, что в условиях и обозначе-
обозначениях предложения 26.4.13 для некоторого to^I и комплексного*
числа с отношение dp/с вещественно и гессиан функции \т(р/с)
в плоскости dp = О не является тождественным нулем. Тогда
вблизи / X {0} X Ы
f(x, l') = g(x'9l')h(x9 l') + r(x, I'),
где g(x\ l') = f(t0, x', ?'), h и r — функции класса C°°, г одно-
однородна степени 1, A ^ 0. Более того, г == 0, если только гессиан g
не является положительно {соотв. неотрицательно) полуопреде-
полуопределенным в точке 0. В этом же последнем случае функция г
должна все же обращаться в нуль в области, где g < 0 (соотв..
?>0).
Если / сохраняет постоянный знак вблизи /Х{0}Х{вп}, ТО
можно просто взять г = /, так что в этом случае утверждение
тривиально. Заметим, что гессиан функции lm(p/c) инвариант-
инвариантно определен, поскольку lm(p/c) обращается в нуль до второго
порядка в у (to). Если р умножить на функцию q\ + 'Щч, которая,
в у (to) вещественна, то \ш(р/с) заменяется на qilm(p/c) +
q2Re(p/c), и гессиан второго слагаемого равен нулю на пло-
плоскости dp =0. Таким образом, условие инвариантно относи-
относительно замен координат, а также относительно умножения на
функцию, не обращающуюся в нуль.
Доказательство предложения 26.5.7. Разложение достаточно по-
построить при |я= 1 и затем распространить его по однородности
на In > 0. Обозначим t = х{ и у = (х2у ..., хп, ?г, • • • > ln-i). По-
Поскольку уA) является одномерной бихарактеристикой, то / =
df = O на /X {0}. По предположению гессиан функции g(y) =
f(to, у, 1) по у не равен нулю при у = 0, так как вторые произ-
производные, включающие дифференцирование по t или ?„, равны
нулю. Допустим, например, что d2g@)/dy2{ Ф 0. По подготови-
подготовительной теореме Мальгранжа (теорема 7.5.5)
g (У) = * (У) {У\ + ах (у') ух + а0 (/)),
где к@)Ф0 и у' = (у2, ...). Выбрав yi + а^(у')/2 в качестве
новой переменной и разделив g на k(y), мы сведем дело к слу-
случаю, когда
g(y) = y\ + a>(y')> где а=--а0 — а]/4.
Поэтому из подготовительной теоремы Мальгранжа (теорема
7.5.6) мы получаем, что вблизи /X {0}
f(t, у, \) = h(U y)g(y) + r(t, у), r(t, y) = b(t9 у')уг + сЦ9 у%
где A, ft, ceC°°. Если а(у')<09 то имеется два простых нуля
У\ = ±(—п(у')У*2 и тогда b(t,y') = c(t,y') = O в силу условия
152 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
(Р). Следовательно, r(t,y) = O в области, где g < 0. Это
завершает доказательство в случае, когда гессиан функции g
является полуопределенным. В противном случае можно при
помощи тех же рассуждений доказать, что f(t,y, l)/g(y) также
является С°°-функцией при g(y)^0. При g(y) = O оба частных
должны иметь одинаковые разложения Тейлора, так что / де-
делится на g.
Точная факторизация не всегда возможна даже в случае
п = 2. В качестве примера можно рассмотреть
М_И&2 *iexp( l/x2)J при *2>0,
' {Хи 4i h) ~\l (h ~ ехр A/х)) при х2 < 0;
!, 0, 12) = Ш-
.Доказательство можно найти в литературе или провести само-
самостоятельно.
Будем обозначать через Л^2 множество точек из N\\Nu,
для которых при некотором комплексном с отношение dp/c
вещественно и гессиан функции \т(р/с) не равен тождественно
нулю в плоскости dp = 0, а через N\2 — подмножество, на ко-
котором гессиан не является полуопределенным. Через N\2 и N[1
обозначим объединение одномерных бихарактеристик, пересе-
пересекающих множества iVJ2 и N\2. Предложение 26.5.7 дает простое
представление главного символа, особенно в множестве NU.
В оставшейся части yVi3 характеристического множества можно
применить предложение 26.4.13 и получить функцию /, обра-
обращающуюся в нуль до третьего порядка на /X {0} X {e«}«
Для всех одномерных бихарактеристик мы докажем резуль-
результат об особенностях, гораздо более слабый, чем теорема 26.1.4.
Грубо говоря, мы докажем, что если Ри^С°°у то показатель su
или является монотонным, или монотонно возрастает до неко-
некоторого максимального значения, а затем опять монотонно убы-
убывает. В качестве побочного результата изучения Af2e мы получим
более сильное утверждение для N\l\ там на одномерных биха-
бихарактеристиках показатель su является вогнутой функцией отно-
относительно аффинной структуры, которую мы сейчас определим.
При условиях предложения 26.5.7 она определяется дифферен-
дифференциалом h(xu 0, En)dx{ на уA). Мы докажем, что она определена
инвариантно с точностью до постоянного множителя. Это озна-
означает, что мы получаем единственную аффинную структуру, отож-
отождествляя точки подынтервала, на котором тождественно h = 0.
Прежде всего отметим, что если символ р веществен, а у и
у' — две точки на одной и той же интегральной кривой поля Нр
на поверхности р = 0, то гамильтонов поток дает симплектиче-
26.5. Геометрические аспекты условия (Р) 15&
ское отображение касательного пространства к р = 0 по мо-
модулю Нр в точке у на такое же факторпространство в точке у'.
(Это очевидно, если в качестве р взять, например, симплекти-
ческую координату \\.) Это замечание остается верным также
в случае комплексного символа р, если у и у' лежат на одной
одномерной бихарактеристике и рассматриваются комплекси-
фицированные касательные плоскости. Это доказывается теми
же выкладками, что и вещественный вариант. Когда р имеет
специальный вид, как в предложении 26.5.7, и обе точки лежат
на уA), отображение получается из уравнений Гамильтона с
гамильтонианом
lx + ih(xv О, e'n)Q{x', ?),
где Q— члены второго порядка из разложения Тейлора функ-
функции g в точке @, ел). Эти уравнения
dxjdt = 1, dx'/dt = ih (xv О, г'п) dQ/д?,
легко интегрируются, однако нам нужен лишь очевидный факт
постоянства Q(x\ g') вдоль орбит. Это позволяет дать следую-
следующее общее определение. Пусть y(t) — одномерная бихарактери-
бихарактеристика символа р,
()) = c(t)dy/dt9
и Qt — гессиан функции 1т (р/с (t)) на плоскости dp = 0 по мо-
модулю Нр в точке y(t). Отметим, что если р заменить на qpy где
9=7^=0, то c(t) заменится на q{y(t))c(t), a Qt останется неизмен-
неизменным. Если р имеет специальную форму, как в предложении
26.5.7, то, как мы только что видели, поднятие функции Qt =
h (tj 0, eMQ в касательное пространство в точке to дает
В общем случае, если y(to)^Ni2 hQ^^O, to поднятие Qt в ка-
касательное пространство в точке t0 имеет вид /io(OQo. Дифферен-
Дифференциал ho(t)dt однозначно определен на бихарактеристике и при-
приобретает лишь постоянный множитель при изменении началь-
начальной точки /о-Предположим теперь, что мы ввели новый параметр
5 на бихарактеристике. Тогда
Hp(y(t)) = c(t)(ds/dt)(dy/ds).
Поэтому Qt умножается на dt/ds, что приводит к инвариант-
инвариантности дифференциала с точностью до множителя, зависящего*
от выбора начальной точки. Таким образом, доказано
154 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Предложение 26.5.8. На каждой бихарактеристике в #?2 возни-
возникает естественная аффинная структура, если отождествить точки
каждого подынтервала, не пересекающегося с Af12.
Приведем общий список введенных в данном параграфе обо-
обозначений, которые будут постоянно использоваться в оставшейся
части этой главы:
N — характеристическое множество, состоящее из всех нулей
символа р;
N2— подмножество, на котором Нцер и Н\тр линейно неза-
независимы;
N* — объединение полубихарактеристик, начинающихся в N%\
это инволютивное многообразие, полученное присоединением
одномерных бихарактеристик к Л/;
N\\ — множество точек из N, которые можно соединить полу-
полубихарактеристикой с нехарактеристической точкой;
W12 — множество точек из N \ (Л/IU Nn), для которых при
некотором комплексном с отношение dp/с является веществен-
вещественным и гессиан функции 1т (р/с) не равен тождественно нулю
на плоскости dp = Q\
N12—подмножество Af12, где гессиан не является полуопре-
полуопределенным;
Ne\2 и N\l—объединения одномерных бихарактеристик, пе-
пересекающих N\2 и N\2 соответственно;
Af 1з = N\ {Ne2U #и UNevi) —- остальная часть характеристиче-
характеристического множества.
Нужно иметь в виду, что эта классификация характеристиче-
характеристических точек проведена в предположении, что р удовлетворяет
условию (Р).
26.6. Особенности на Nn
Мы начнем с изучения оператора, главный символ которого
имеет специальный вид, к которому, согласно предложению
26.5.6, его можно привести при помощи однородного канониче-
канонического преобразования на любой одномерной бихарактеристике
(или точке) из Nn. После этого мы сформулируем результат
в общей инвариантной форме.
Доказательство может показаться несколько техническим,
поэтому будет полезно продемонстрировать его простую идею
сначала для обыкновенного дифференциального уравнения
du/dt + fu = g
26.6. Особенности на Nu 155
на (а, Ь). Если / ^ О, то, умножив на пе~ш, проинтегрировав
по частям и взяв вещественную часть, мы получим
ь ь ь
Re jj gue~m dt = jj e~2U d \ и |2/2 + jj /1 и |2 е~ш Л
a a a
b
> Я \ | и |2 в~2Я^ dt — \u (a) |2 e-2?lfl/2.
a
Применяя неравенство Коши — Шварца, получаем
Если X > 1/2, то /Лнорму и можно оценить через /Лнорму g
и и (а).
Предложение 26.6.1. Пусть Р ^Wlpgh(Rn)— собственный опера-
оператор с главным символом р, удовлетворяющим соотношению
B6.6.1) р(х9 6) = 61+//(х> 6), г5в f{x9 6)<0,
б некоторой конической окрестности отрезка Г = {(л^, 0, еЛ);
a<X!<6}czr(Rn)\0. ?сл^ «s^fR11) и Ри<= Н{8) на Г, а
и е ЯE) б rowe (a, 0, ея) Aipw некотором s gR, го we #(S) яа Г.
?ол^в того, если Г П й^/7 (Р^) = 0 и (а, 0, ея) ^ tt^F (и), та
T(]WF(u)=0.
Доказательство. Достаточно доказать первое утверждение, так
как, применяя его ко всем бихарактеристикам символа ?i
вблизи Г и всем sgR, мы получаем требуемый результат отно-
относительно волновых фронтов. При доказательстве можно также
дополнительно предположить, что и е ЯE_1/2) на Г. Допустим:
на время, что при таком предположении теорема доказана.
Тогда, поскольку и е H(S-k/2) на Г при некотором целом поло-
положительном k, мы последовательно получаем, что и е H(S-ik-i)/2>
на Г, ..., we #(S) на Г. Можно даже предположить, что
B6.6.2) и е= tf(cs°-i*2) и и s Я^
в окрестности множества {х\ х{=а}.
В самом деле, можно выбрать оператор Те4го, символ кото-
которого равен 0 вне столь малой конической окрестности отрезка
Г, что распределение Ти обладает свойствами B6.6.2), но при
этом WF(I — Г)ПГ = 0, а значит, РТи^Н{8) на Г, так как
РТи — Ри^С00 на Г. Тогда, применив к Ти предложение 26.6.U
мы получим, что Ти е ЯE) на Г и, следовательно, и е #(s) на Г.
156 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Перейдем теперь к главной части доказательства. Выберем
компактно порожденную коническую окрестность V отрезка Г
в r*(Rn)\0, в окрестности которой справедливо B6.6.1) и Ри^.
B(s) на V. Выберем %^C™(R) и такую вещественнозначную
-функцию С(х\ l)EESs(Rn-lX R"), что
(О Х= 1 на [а> Ь] и символ С не характеристичен в @, гп)\
(ii) %'(xl) = %-(xl) — %+(x{), где 0<х+> 0<х~"> ^<а на
supp х", *i ^ Ь на supp х+ и
(ш) x(*i)C(*', 6) = 0 вне У.
Для X, б > 0 обозначим
Тогда QXNgSs-2 и Qx, 6 равномерно ограничено в 55 при 6->0
для фиксированных Я. Обозначая для краткости Q = Qx, 6(x, /)),
мы получаем
{QPu, Qu) = (PQu, Qu) + ([Q, P]u, Qu).
Здесь все выражения определены, поскольку Qu e ЯA) и QPu^
//(о). Запишем Я в виде A-\-iB, где Л и В — самосопряженные
операторы; очевидно, в некоторой окрестности множества V
главные символы А и В равны ^и| соответственно. Тогда, беря
мнимую часть, мы получаем
<26.6.3) Im (QPu, Qu) = (BQu, Qu) + Re ([Q, В] и, Qu) +
, A\u[Qu).
Рассмотрим эти слагаемые по порядку справа налево.
Символ коммутатора [Q, А] равен символу idQXj6/dx{ ком-
коммутатора [Q, DXl] с точностью до слагаемого, ограниченного в
Ss~l при фиксированном X. Поскольку
K б + e~"xY {хг) С (х', 1)A+\Ы \Т1
и %%'^%%~ (так как %^0), то
<26.6.4) Im ([Q, А] и, Qu) < - Я || Qu\\2 + \\ Q~u \\ • || Qu \\ +
+ KJu\\{s_l)\\Qu\\y
где Q~ = Q^ б (л:, ?)), a Q^6 определяется аналогично Qx б с %~
вместо х-
Символ оператора Q*[Q,B] равен — iQx,t>{Qh, б» f} с точно-
точностью до слагаемого, ограниченного в 525. Поэтому символ
самосопряженной части
26.6. Особенности на Nn 157
ограничен в S25 при 6->0. Следовательно,
<26.6.5) I Re ([Q, В] и, Q«)|</CJI«||fs_iy2).
Возьмем символ d ge S°(RnX Rrt) равным 1 в {(х, ?)^F;
|6| > 1} и 0 вне достаточно малой конической окрестности мно-
множества Vy в которой 0^/7 = С1/^51. Тогда по теореме 18.1.14
B6.6.6) Re (F (х, D)v,v)^K\\v ||2, v e= ЯA).
Если bo — член порядка 0 в символе оператора В, то символ
оператора (В — F(x, D) — (Сфо) (х, D))Q ограничен в Ss~l при
фиксированном X. Поскольку оператор (C\b0) (x, D) ограничен
в L2, то при некотором К', не зависящем от X,
B6.6.7) (BQu, Qu)<К'IIQu||2 + КьIIQu\\-\\u\\{s_{).
Объединяя B6.6.3), B6.6.4), B6.6.5) и B6.6.7), мы полу-
получаем:
(к - Г) IIQu||2 < ||Qu || A Q~u| +1| QPu || +/С* II и ll(s_u)+^ II" fc.I/2).
Из неравенства Коши — Шварца получаем
B6.6.3)' (Я - К' - 1) II Qu ||2 <| Q-и |f + II QPu ||2 + К[ II и С_,/2).
Символ оператора
Qk.*(x9D)- Z Op (agA + бIБ j2))Op (— />5Qx.о (^, Б))
la|<l
ограничен в Ss~2 при 6->0, и Op (— Z)SQa,, o) Pw e L2, так как
Pu^H(s) на V. Следовательно, IIQa,, 6^11 ограничена при 6->0.
То же верно для Qx,6U, поскольку %~ (хх)и е ЯE). Если г B6.6.3)Л
взять Я = /С/ + 2, то при б—>0 мы получаем тогда, что
Qji.q(#, D)u^L2. Следовательно, u^H(S) на Г и предложение
доказано.
Главная идея предыдущего доказательства — это полуогра-
полуограниченность B6.6.6). Из теоремы 18.6.8 вытекает, что B6.6.6)
имеет место также при 0<FGS[_ee, если 0<е^1/4. Это
позволяет сформулировать обобщение предложения 26.6.1, ко-
которое пригодится нам в § 26.9.
Предложение 26.6.Г. Пусть Р e=*Fphg(R") и deSUelR").
Предположим, что С{(х, ?) = 0 при больших \х\ и что главный
символ р оператора Р имеет вид
B6.6.1)' р(х, I) = 1Х +if {х, 6), f(x, 6)<0 «a suppQ.
Пусть х <= C~ (R) равняется 1 на [a, 6] и %' (t) = x~ @ — X+ W>
5 x~ w x+ — неотрицательные функции с носителями,
158 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
лежащими слева и справа от а и b соответственно. Наконец»
пусть С (х\ I) e Si-e, e, причем
B6.6.8) С{(х, ?)=1 в окрестности множества supp%(xl)C(x/9 ?).
Тогда при 0 ^ е ^ 1/4 из условий
B6.6.9) и<=
вытекает, что
B6.6.10) x(*i)C(*', D)u<==L2.
Доказательство, Мы просто должны просмотреть заново дока-
доказательство предложения 26.6.1. Тождество B6.6.3), очевидно,,
остается без изменений. В B6.6.4) нужно просто заменить
||а||E_1) на 11^11E-1+6), где 5—1+8 < s + Ce—1)/2. Самосопря-
Самосопряженная часть оператора Q* [Q, В] теперь является ограничен-
ограниченным оператором порядка 2s—1+Зе, так что в правой части
B6.6.5) должна стоять норма IMI<s+<3e-i)/2). В B6.6.7) ничего»
менять не нужно, нр для доказательства теперь нужно исполь-
использовать теорему 18.6.8. Заканчивается доказательство так же,
как выше.
Важной деталью предложения 26.6.Г является то, что функ-
функция / не обязана сохранять постоянный знак в некоторой
конической окрестности множества supp %(xi)C(x\ g). Действи-
Действительно, мы можем взять символ С\ е S?_8, s> удовлетворяющий
условиям B6.6.8) и B6.6.1)', если f ^ 0 во всех точках, находя-
находящихся на фиксированном расстоянии от supp%(x\)C(x\ g) в
метрике
l2
(см. § 18.4). Однако мы не будем развивать дальше эти сообра-
соображения, а вместо этого придадим более инвариантный вид пред-
предложению 26.6.1.
Теорема 26.6.2. Пусть Р е Ч^д (X) — собственный оператор»
главный символ р которого удовлетворяет условию (Р), и
[а, б]э*.-*у@, а<Ь,
есть бихарактеристика символа Re qp, на которой q Ф0 и
Im (qp) (у (а)) < 0. Если ие=2)' (X) и Ри<== H{s) на у ([а, Ь]), то
u<=H(S+m-\) на у([а9 Ь]).
Доказательство. Если y(to)q?N, то u^H{s+m) в y(t0). Поэтому
достаточно доказать, что и е H(S+m-i) в у (to), если y(to)^N.
Пусть /—максимальный интервал <и[а, Ь], содержащий to, для
26.6. Особенности на Nu 159
которого y(I)czN. Выберем интервал [а\ Ь'], такой что / cz
[а\ b']cz[a, b] и y(a')^N, и настолько близкий к /, чтобы
можно было применить предложение 26.4.13. Тогда можно найти
С°°-функцию q, однородную степени 1 — т, и однородное кано-
каноническое преобразование %, для которых %* (qp) = ^ -f- if(x, g')
в окрестности отрезка [а\ 6']Х {0} X {&п}. Тогда %(хи 0, еп) =
у(х{) при хх е[а', &'], и на этой дуге q=q. Действительно, эти
свойства становятся очевидными после первого шага доказа-
доказательства предложения 26.4.13 и не нарушаются на втором шаге
доказательства. Далее, lm(qp) (y(t))^ZQ при t e [a, b] в силу
условия (Р), так как lm(qp) (у(а)) <0. Следовательно,
f(x, S') ^ 0 в некоторой окрестности отрезка [а\ Ь'] X {0} X {^п).
Если мы теперь преобразуем оператор Р как в предложении
26.4.4 при помощи интегральных операторов Фурье Л и В, свя-
связанных с графиками преобразований % и %~1 соответственно,
для которых главный символ произведения АВ вблизи уA) ра-
равен q, то теорему можно вывести из предложения 26.6.1, так как
и е ЯE+т) в точке у (а').
Исследуем теперь распространение особенностей вдоль дуги
ГснУУц одномерной бихарактеристики. Продолжим Г как одно-
одномерную бихарактеристику, так чтобы она была максимальной
в одной из концевых точек Го, и выберем q e С°° так, чтобы
^0и НледрфО на Г. Тогда lmqp не должна обращаться в
нуль в некоторых точках, сколь угодно близких к Го, на биха-
бихарактеристике символа Reqp, продолжающей Г. Из условия (Р)
вытекает, что либо Im qp ^ 0, либо Im qp ^ 0 в некоторой
окрестности кривой Г на поверхности Re^p = 0. Если q — дру-
другая функция с такими же свойствами, как у q, и H^qP на Г
имеет то же направление, что Нледр, то можно аналогично за-
заключить, что при каждом fe[0, 1] мнимая часть символа
(^ + A — t)q)p имеет постоянный знак и не равна тождест-
тождественно 0 в некоторой окрестности кривой Г на поверхности
Re(fy + A — t)q)p = 0. Ясно, что при этом знак не зависит от t.
Иными словами, если выбрать q так, чтобы \mqp ^ 0 в окрест-
окрестности кривой Г на поверхности Re^p = 0, то H^eqp задает на Г
ориентацию, не зависящую от выбора q.
Определение 26.6.3. Если символ р удовлетворяет условию (Р)
и Г — дуга одномерной бихарактеристики, ГсгМц, максималь-
максимальная в одном из концов, то ориентация на Г задается векторным
полем Нледр, где q выбрано так, что ^=т^=0, HReqp Ф0 на Г и
Im qp ^ 0 в некоторой окрестности кривой Г (на поверхности
4eqp = 0).
Так же как в доказательстве теоремы 26.6.2, из предложения
26.6.1 получается теперь
160 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Теорема 26.6.4. Пусть Р е Ч^д (X) — собственный оператор,
главный символ которого удовлетворяет условию (Р). Если Г —
компактный интервал одномерной бихарактеристики, TaNn и
и^З)'(Х), Pu^lH(S) на Г, ^еЯE+т_1) в начальной точке Г, то
и е #(s+m-o на Г.
Отличие этого результата от теоремы 26.1.4 заключается в
том, что регулярность распространяется только в направлении
ориентации, которое совпадает, разумеется, с направлением, в
котором регулярность входит из нехарактеристического множе-
множества согласно теореме 26.6.2. Вообще говоря, нельзя надеяться
на распространение регулярности также и в обратном направ-
направлении. Приведем пример.
Пример 26.6.5. Пусть Р = D\Dn + iQ{D"), где Q — веществен-
вещественная квадратичная форма от D" = (D2y ..., Dn-\), не являю-
являющаяся отрицательно полуопределенной. Тогда существует реше-
решение и уравнения Ри = 0, для которого
WF{u) = {(xl909 sen); s > 0, хг c= R}
и s*u(x{, 0, О = /г(х1), где h может быть любой убывающей
вогнутой функцией на R. Если Q принимает как положитель-
положительные, так и отрицательные значения, то h можно сделать любой
вогнутой функцией. Поскольку каждая (убывающая) вогнутая
функция является нижней гранью счетного множества (убываю-
(убывающих) линейных функций, эти утверждения можно вывести из
стандартных категорных соображений (см. доказательство тео-
теоремы 26.2.3), если доказать их для линейной функции h.
Преобразование Фурье уравнения Ри = 0 по хг = (х2,..., хп)
приводит формально к уравнению
(lnd/dxx-Q(l"))u(xu E") = 0,
имеющему решение й(хь l") = c(l')exp(x{Q(l")/ln). Возьмем
вектор 9 е= R"~~2, для которого Q (9) > 0, функцию г|> е= С~ (R"~2)
с -ф@)= 1 и функцию ф е C°°(R), равную 0 на (—оо, 1) и 1 на
B, оо). Определим для некоторого 6gR
й (xv Г) = ?М> (Л") Ф (У exp (xfi (Г)/у,
где
/
Заметим, что
q (t")/tn = Q (e dog у1/2 + л" dog IJ-)
= (log In) QV) + L (л") + Q (л'0/log
26.6. Особенности наЛГц 161
где L — линейная функция от ц". Поскольку | т\" \ < С,
ll"-e(^logirtI/2|<C(in/logU1/2Ha suppu, и
= bik ((log IMnf'2 при Kj,k<n,
то очевидно, что
B6.6.11) | D\>u (xu Г) | < Ca A + I V \)b+XlQ F)"P 'a'
при фиксированном ре@, 1/2). Легко проверить, что й дей-
действительно является частичным преобразованием Фурье от
обобщенного решения и уравнения Ри = 0. Из B6.6.11) выте-
вытекает, что х'аи(х) имеет N ограниченных производных, где
Следовательно, хг = 0 на sing supp и. Если % е Со° (R), то пре-
преобразование Фурье от х{хх)и имеет вид
Q) (D=i^ (л") Ф (|„) i (I, + /q (i")/in).
На носителе этой функции ?,п > 1 и |^/| = o(^J. Поскольку
на нем Q (D/L = О (log?„), то \%Aг + iQ (&")/1п) I можно оценить
через С#?„A +|^|)^ ПРИ любом iV, где /С не зависит от N.
Отсюда следует, что %и быстро убывает в любом конусе вида
?rt<CUil. Поэтому %и быстро убывает вне любой конической
окрестности точки ert = @, ..., О, 1). Следовательно, мы дока-
доказали, что
WF(u)cz{(xu 0, 5вя); 5>0, ^gR}.
Функция и и все ее производные быстро убывают при x'-^oo.
Поэтому для определения микролокального ЯE)-класса распре-
распределения и нужно просто определить, когда %{x{)u e ЯE), т. е.
Поскольку yju, быстро убывает в области |?i|>|?/|, то доста-
достаточно показать, что
Заменяя интегрирование по \х при помощи формулы Парсеваля
интегрированием по х\, мы получаем эквивалентное условие
S 5 11»Ф (Л") Ф (к) exp (xtQ A")Цп) X (х,) f A +1Г I2)s dxx dl'<oo.
162 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Здесь экспоненту можно заменить на ?*lQ(9), а |^|2 —на |* .
Тогда интеграл по |" берется, и мы получаем более простое
эквивалентное условие
<26.6.12) \\ (у log lnf~W ?b+XlQ <е>+.> | х (jCl) |« ^ «я < оо.
Отсюда следует, что л + 4F + *iQF) + s) < 0 при %(х\)фО;
обратно, если это выполняется на supp%, то B6.6.12) верно.
Следовательно,
s*u (*i> °> °> *п) = ~ xiQ (в) - 6 - л/4,
т. е. левая часть может быть произвольной убывающей линейной
функцией. Если взять 0, для которого Q@) = O или Q(9)<0, то
мы получаем константу или возрастающую линейную функцию,
что и завершает проверку.
Отметим, что убывание функции s*(*p 0, 0, ел) при Q^O
вытекает из теоремы 26.6.4. Позже мы увидим (теорема 26.9.6),
что вогнутость является также и необходимым условием, так
что приведенная конструкция оптимальна.
26.7. Вырожденные операторы Коши-Римана
Предложение 26.5.5 показывает, что главный символ оператора,
удовлетворяющего условию (Р), можно привести к виду. ?i +
ig(x\ I')M*> ?') в некоторой окрестности любой одномерной
бихарактеристики (или единственной точки), вложенной в дву-
двумерную бихарактеристику. Здесь h ^ 0 и dg^O. При помощи
канонического преобразования (быть может, неоднородного)
функцию g можно превратить в координату g2. Тогда двумер-
двумерные бихарактеристики являются слоями слоения плоскости
g1 = g2 = 0, совпадающими с плоскостями, параллельными пло-
плоскости Х\Х2, а гамильтоново поле имеет вид
B6.7.1) d/dx{ + ih(xt Z')d/dx2.
Цель данного параграфа как раз и заключается в исследовании
таких дифференциальных операторов первого порядка. (Приме-
(Примером таких операторов является модельный оператор D\ -f- ix\D
при четных kj изученный в § 26.3.) Это приведет к рассмотрению
комплексной структуры в редуцированных двумерных бихарак-
бихарактеристиках, как отмечалось в § 26.5, и поможет нам в следую-
следующем параграфе обобщить теорему 26.2.1. Для изучения особен-
особенностей в jVi3 нам потребуется информация о решениях семейств
операторов вида B6.7.1), для которых можно равномерно кон-
контролировать лишь производные от ft, не содержащие дифферен-
26.7. Вырожденные операторы Коши — Римана 163
цирования по х\. Поэтому мы сейчас сформулируем результаты
в той общности, которая для этого необходима. Особая роль
переменной х{ наводит на мысль обозначить ее через t, а все
остальные переменные — через х.
Пусть В00^^*)—множество непрерывных функций u(t, x)
от / е R и х = (хи •••> xk)^Rk, имеющих ограниченные не-
непрерывные производные любого порядка по х. Это простран-
пространство Фреше с полунормами
и »-> sup | Dxu (/, х)\.
Мы будем рассматривать дифференциальные операторы первого
порядка вида
B6.7.2) Р = Dt + la (/, х) DXl + ib (/, x),
где a, b <= B°°. Возьмем сначала i=l и докажем лемму, близ-
близкую к предложению 26.6.К. Нормы всюду обозначают /Анорму,
если нет других указаний.
Лемма 26.7.1. Для всякого ограниченного подмножества В а
B°°(R2) оператор Р вида B6.7.2) с коэффициентами a, b e В,
где а ^ 0, допускает оценку
B6.7.3) Hall + llfl^A^I^CdlPall + lA-^I),
если и<=9> и и = 0 при \t\> 1. Здесь Asu = A + \Dx\2)s'2u и
С = С(В)< оо.
Доказательство. Возьмем убывающую функцию /i^C
равную 1 на (—оо, —2) и 0 на (—1, оо). Применим тождество
B6.6.3), т. е.
Im (QPu, Qu) = Re ((aDx + b) Quy Qu) + Im ([Q, P] u, Qu)
с Q = e~xth(Dx). Коммутатор здесь имеет вид
[Q, P] = - iXQ + ie-м [h (Dx), aDx + b].
Здесь aDx + b можно рассматривать как псевдодифференциаль-
псевдодифференциальный оператор по х, зависящий от параметра t, с символом, огра-
ограниченным в S!(RX R). Поэтому, согласно теореме о компози-
композиции, символ коммутатора [h(Dx)y aDx + b] равномерно ограни-
ограничен в S~l (и даже в S~N при любом Лт). Следовательно,
Сравним Re((aDx + b)Qu, Qu) с положительной величиной
и ц2 =
Главный символ оператора Л1/2аЛ1/2 + aDx + b равен а(||| +
|) = 0 при g < 0. Поэтому полный символ является суммой
164 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
слагаемых, одно из которых равномерно ограничено в S0, а дру-
другое равномерно ограничено в S1 и сосредоточено в области g > О,
так что его произведение с h(Dx) ограничено в S~K Следова-
Следовательно,
Re ((aDx + b) Qu, Qu) + II e-^a^A^h (Dx) и ||2
где К не зависит от Л. Поэтому
(X - К) II Qu ||2 + II e~ua{i2Axl2h (Dx) и ||2
<\\Qu\\(\\qpu\\ + кЛ^~х4) + кА^~х42-
Возьмем теперь X = К + 2. Тогда получим
|| Qu \? + |<Г W2/* (Dx) и f <|| QPu \f + Кх \ A~lu f.
Те же рассуждения можно применить также к Q = elth(—Dx),
что сводится просто к замене знаков t на х. Поскольку Ло(|) =
1 —й(|) — h(—g) имеет компактный носитель, то
\\hQ(D)u\\^C\\A-lul || а1/2Л1/2/г0 (/)) а || < С |j Л~ !а Ц.
Поэтому из неравенства треугольника вытекает B6.7.3).
Если носитель функции и по переменным х достаточно мал,
то второе слагаемое в правой части B6.7.3) можно отбросить:
Лемма 26.7.2. При условиях леммы 26.7.1 можно найти такие
положительные константы с и С, что
B6.7.3Г IIи||<С||Ри|| при us=C~({(t9x); |/|<1, |*|<с}).
Доказательство. Если
есть частичное преобразование Фурье от и по х, то
в силу неравенства Коши — Шварца. Следовательно,
BЯ) J A + I Б I2)"'! й (t, Б) Г dl < (с/2) J \и (/, х) Г dx,
т. е. ИЛ^иН^^/гI/2!!^!!. Если воспользоваться этой оценкой
в B6.7.3) и выбрать с настолько малым, чтобы С(с/2)!/2< 1/2,
то мы получим B6.7.3)' с удвоенной константой по сравнению
с B6.7.3).
Из леммы 26.7.2 непосредственно вытекает теорема о ло-
локальной разрешимости для сопряженного оператора. (Благо-
26.7. Вырожденные операторы Коши — Римана 165
даря наличию в B6.7.2) члена младшего порядка класс рас-
рассматриваемых операторов не меняется при переходе к сопря-
сопряженным и одновременной замене знака у х\.) Однако мы хотим
строить О-решения, поэтому должны уметь оценивать ЯE)-нор-
мы при больших по модулю отрицательных s. При этом должны
участвовать переменные х2, ..., xk, так что теперь нужно счи-
считать размерность 1 -f- k опять произвольной. Множество функ-
функций из B°°(R2), полученных замораживанием переменных
х2, ..., xk в функциях, принадлежащих ограниченному множе-
множеству в BOO(R1+A;), очевидно, ограничено. Поэтому оценка B6.7.3)'
верна также в нормах L2(Rk+l).
На самом деле мы будем работать с ЯE)-нормами только по
переменным х:
<26.7.4) || и \{s) = (Bя)" * J I й (/, I) ? A + I ? \2У dl dt)l'\ u^9>,
где u(t, I)—частичное преобразование Фурье по переменным
х. По техническим причинам нам будет удобно пользоваться
следующими эквивалентными нормами. Пусть ei > е2 > ••• —
убывающая последовательность положительных чисел, и
Тогда норма
III и |Ц w = (Bя)-й \ | й (t, I) |21EN (I) |2 dl dt
эквивалентна ||#||(__2yv). Ниже будет показано, что если е/ после-
последовательно выбраны достаточно малыми, то оценка B6.7.3)'
остается верной в нормах |||«|||лг со слегка измененными констан-
константами. Главная трудность, разумеется, состоит в том, что Р не
коммутирует с оператором Em{Dx). Чтобы оценить коммутатор,
нужно воспользоваться дополнительно вторым слагаемым в ле-
левой части B6.7.3). Для этого обозначим
В этих обозначениях
= 1 FeN+lu \IN = IEN (Dx) FZn+xu ||.
Лемма 26.7.3. Пусть Р — оператор вида B6.7.2), причем а и b
принадлежат произвольному фиксированному ограниченному
подмножеству в B°°(Rl+k) и а ^ 0, тогда
<26.7.5) || [Р, Fe] v || < Се1'2 (|| PFev \\ + || Fev ||), 0
если УбУ(К^) и v = 0 при |/|> 1.
166 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Доказательство. Если а обозначает также оператор умножения
на функцию а, то
[а, 1 + I bDx |2] = е2 (- Аха + 2/ Z
Умножая слева и справа на Fg, получаем (ср. с выводом тож-
тождества Гильберта для резольвенты)
B6.7.6) [a, Fe] = s2Fe Г(Лха) - 2/ Z Djda/дхА Fz.
Поскольку а^О и а"х равномерно ограничены, то по лемме
7.7.2 ' '
B6.7.7) y
Обозначая Л1/2 == A + Z)|j) , мы получаем из леммы 26.7.1,
что
[aDu Fe] = - 2is2Fe Z DjD{A~l/2da/dxjAll2Fe + b2FbD{ (Дха) Fe
- e2 Fe ((D^.a) + 2/ ? D7 [йа/Зл:,, DtA/2] Л1/2) Fe.
Здесь операторы B3l2FeDjDiA~112 ограничены по /Анорме, как и F&y
eFeDf и коммутатор [(Эа/(Эху, DtA~I/2] Л1/2. Следовательно, при-
применяя B6.7.3) к Fev и учитывая B6.7.7), мы получаем, что
|| [aDu Fe] v || < Се1/2 (|| PFev \\ + || Fev ||).
Аналогичная оценка для [by Fe]v вытекает из B6.7.6) с Ь вме-
вместо а. Лемма доказана.
В следующей лемме собраны оценки некоторых других нуж-
нужных коммутаторов. Мы обозначаем EN(DX) просто через EN,
Лемма 26.7.4. Для фиксированного оператора EN и ф, if) из фик-
фиксированного произвольного ограниченного подмножества в В°°
при 0<е<1 и и^9* имеем
(i) \\ENFe<vu\\^C\\ENFeul
(ii) \\EN[<V,Fe]u\\<CB\\ENFeul
(iii) \\EN[Df<V,Fe]u\\^C\\ENFeul
(iv) ||EN [Dycp, M>, Fe]] u\\^CbIIENFeu||,
(v) ||[Д/Ф, ?^]^IKC||?^eM|L
(vi) || [Fe, [Д/Ф, EN]] и || < Се || ?^еи ||,
ф и i|) обозначают операторы умножения на у и ty соответ-
соответственно, индекс j меняется от 1 до k и Dj можно опустить.
26.7. Вырожденные операторы Коши — Римана 167
Доказательство. Для доказательства (и) заменим в B6.7.6) функ-
функцию а на ф и домножим слева на ?#, а справа — на Ей En- Сим-
Символы операторов En{^x^) Е^1 и ?# (dqp/djc/) f/v1 равномерно огра-
ограничены в S0. Поэтому /Лнормы этих операторов также рав-
равномерно ограничены. Отсюда вытекает (ii), поскольку опера-
операторы eFbDj и Fe имеют нормы ^ 1. Если ф домножить слева на
Dj, то мы просто приобретаем лишний множитель Dj слева, и
отсюда вытекает (Hi), так как норма оператора E2FeDjDi не
превосходит 1. Оценка (i) вытекает из (ii), поскольку
|| EN<pFeti || = || ЕкуЕ'п lEvFe и J < С || ENFZ и || •
Для доказательства (iv) заметим, что коммутатор D/ф с функ-
функцией B6.7.6) при а = if> состоит из трех слагаемых
[Яуф, [*, F*]]=**FBAlFBBlFz + *2FeB2Fe + B*F&B{FeA2Fe,
где А] — дифференциальные операторы второго порядка, а В\ —
первого с коэффициентами из ограниченного подмножества в
В°°. Отсюда можно получить оценку (iv), умножая слева на EN
и вставляя E~n1En в подходящие места, поскольку операторы
^FbEmAiEn1 и eF&EmBjEm1 имеют равномерно ограниченные
нормы (так как дифференцирования можно перебросить с EN
на Fe). Оценка (v) вытекает из тождества
поскольку оператор [D/ф, En] E~nX ограничен. Действительно,
[Fe, [D/ф, EN]\ F^El} = Fe [[D/ф, EN], F^1] ENl
где Ло, ..., Ak равномерно ограничены в L2. Следовательно,
норма оператора в левой части есть О(е), что и завершает до-
доказательство.
Проделаем теперь главный индуктивный шаг для перехода
в B6.7.3O к нормам |||-!;|лг.
Лемма 26.7.5. Предположим, что для семейства операторов вида
B6.7.2) с коэффициентами из некоторого ограниченного подмно-
подмножества в В°° выполняется оценка
<26.7.8) ||| u\U<CN HI PuIII n при и^9>(R*+>),
если и = 0 при | /1 > 1 или \ х{ \ > cN.
Если Слг+i >С аО< cN+x < cN, то B6.7.8) будет выполняться
с N-\-l вместо N, при условии что sn+i достаточно мало.
168 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Доказательство. Возьмем функцию -феСо°(—См, Cn), равную t
на (— Cn+\>Cn±i). Для доказательства B6.7.8) с (N + 1)-й нор-
нормой применим B6.7.8) к v = ^Feui где и = 0 при "г|/|> 1 или
\хх\> cpf+i. Поскольку и = $и, то
Поэтому из оценки (ii) леммы 26.7.4 получаем в силу B6.7.8)„
что
III Рги ||| N < III v III N + Ce HI Feu HI „ < CN III Pt> III N + Ce ||| Реи
Очевидно, что
py = p^FeU = PFeu + P [ф, ,Fe] «
= FePu + [P, Fe] и + ft, Fe] Ри + [Р, [ф, fe]] и.
Из оценок (ii) и (iv) леммы 26.7.4 вытекает, что
III №, Fe] Pu III ^ + III [P, [Ф, ^в]] и \\\N < Ce (III FBPu III ^ + III Fbu I
Используя тождество Якоби и лемму 26.7.3, получаем
III [Я, Fe] u\\\N=--1| EN [Р, Fe) и || < || [EN> [Р, Fe]] и || + II [Р,
< II [Fв, [Я, ?w]] «II + е1/2 (II ЯЯе^д,« || + || FeENu ||).
Первое слагаемое не превосходит Се Hl/v^llljv сорласно неравен-
неравенству (vi) из леммы 26.7.4, а
PFeEN = ?WPFE + [Р, EN] Fe = ?^FeP + EN [P, Fe] + [Р, EN] Fe.
Поэтому в силу оценок (iii) и (v) из леммы 26.7.4
|| PFRENu || < С (HI FePu \\\N + HI Feu \\\N).
В итоге получаем оценку
III Fzu tN < CN A
Выбирая е настолько малым, чтобы CN{1 + Се!/2)/A — Ce1/2) <
Слг+i, мы получаем отсюда оценку B6.7.8) с Л^+1 вместо Ny
если только e^+i < e#. Доказательство завершено.
Теперь мы можем доказать теорему о разрешимости, исполь-
используя стандартные соображения двойственности.
Теорема 26.7.6. Пусть М — множество операторов вида B6.7.2)
с коэффициентами из некоторого ограниченного подмножества
в B°°(Rl+k), причем а^О. Тогда существует такое с\ > 0, что
для каждой функции f из данного ограниченного подмножества
FczB°°(Rl+k) найдется такое и, что и, du/dt принадлежат огра-
26.7. Вырожденные операторы Коши—Римана 169
миченному подможеству U в B°°(Rl+k)9 а и удовлетворяет урав-
уравнению Pu=f в области {{ty х)\ |f| <1, ||}
Доказательство. Применяя лемму 26.7.2 к сопряженному опе-
оператору Р* после замены х2 на —хъ получаем, что при некото-
некоторых С и с
ilMI<C||P'i>|| Для Ps=M, если vsC^({(tfx)9\t\<l9\xx\<c}).
Предположим на время, что все / е F имеют носители в неко-
некотором множестве фиксированной меры. Тогда найдется такая
константа С, что
ИЛКС при /gF.
Пусть О <С Со <С с. Тогда можно выбрать такую последователь-
последовательность Е\> г2> ... > 0, что при каждом N = 0, 1, ...
<26.7.9) ||| v \\\N < C(BN + l)/(N + 1)) III P*v \\\N для PeAf,
если v €= Co ({(t, x);\t\<\f \x{\< (Nc0 + c)/(N + 1)});
•B6.7.10) ||^1/||<C/ByV+1)/(Л^+1) при fGF.
Это верно, как мы знаем, при N = 0, а по лемме 26.7.5 если
оценка B6.7.9) выполняется при некотором N, то она верна и
для N-\-I вместо N, когда e^+i достаточно мало. То же отно-
относится и к оценке B6.7.10), поскольку
где последнее слагаемое стремится к 0 равномерно по / е F
при 8jv+i->0. Если
yeCo°°(Q), где Q = {(*,*); |/|< 1, \хх\<с0},
;и f e Z7, то
| (f, v) | = \(EJilf, ENv) | < 4CC' 1 Pv \\N - 4CC'||| Pv L
при N-^oo. Следовательно, по теореме Хана — Банаха сущест-
существует такое g, что
Bя)-п \ \g (tЛ) I2 П A +
Положим
Тогда Pu = f в Q, и норма ||о5м| равномерно ограничена при
жаждом а. Поскольку Dtu = f — iaDXxu — ibu в Q, равномерная
170 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
оценка имеется также для ||Д^2«[^(Й). Следовательно, Daxu
непрерывна и равномерно ограничена в Q при всех а, как и
DtDxU. Поэтому, умножая и на функцию греСо°(—с0, с0) от
х{, равную 1 в несколько меньшем интервале (—с1у с{), мы мо-
можем продолжить и до функции из B°°(Rfe+1) с фиксированными:
оценками производных по х каждого порядка.
Чтобы отказаться от ограничения на suppf, возьмем функ-
функцию %<=C™{Rk~l), для которой Yj%(x' — g?=l B й> гДе g
пробегает решетку в пространстве переменных хг = (х2,..., xk)~
Построив решение уравнения
указанным выше методом, можно получить искомое решение
уравнения Pu = f, положив u(t, х) = ? %(х' — g) ug(t, x)y по-
поскольку можно считать, что |?|<2 и |xi|<2C0 на supp/.
Замечание. Последовательно дифференцируя уравнение Ри = /,
мы получаем, что «еС°° в любом открытом множестве, где
а, Н[е С°°. Константы в оценках для производных от и выра-
выражаются через соответствующие константы в оценках для про-
производных от a, ft и /.
Замена u = vewy где w — решение уравнения Dtw + iaDXlw +•
/6 = 0, приводит уравнение Pu = f к виду DtV + iaDXlv = fe~w*
Сейчас мы покажем, как можно строить нетривиальные реше-
решения соответствующего однородного уравнения.
Следствие 26.7.7. Пусть A cz B°°( Rk+{) — ограниченное множе-
множество неотрицательных функций. Тогда существуют константа
С\ > 0 и ограниченное подмножество U cz Boo(Rfe+1), такие что
при любом а^А уравнение
B6.7.11) Dtu + iaDXlu = 0 eQ = {(t,x); |/|<1, \х{\<с{)
имеет такое решение и, что и, du/dt^Uy du/dx{=ew в Q и w»
dw/dt e U.
Доказательство. Если и — решение уравнения B6.7.11) и v =
ди/дхи то уравнение
B6.7.12) Dtv + iaDXlv + (да/дх{) v = 0
получается дифференцированием из B6.7.11). Построим решения:
этого уравнения в виде v = ew: подставляя в B6.7.12), получаем-
неоднородное уравнение
B6.7.13) Dtw + iaDXxw + да/дх{ = 0.
26.7. Вырожденные операторы Коши — Римана 171
По теореме 26.7.6 это уравнение в области |/|<1, ||
имеет решение, для которого w и Dtw принадлежат ограничен-
ограниченному подмножеству в В°°. Но тогда функция
u(t, x)=^v (t, s, х') ds — щ (t, х')9 х' = (х29 ..., хп)9
о
удовлетворяет уравнению B6.7.11), если
tyx/) = (av)(t90f x').
Положим
t
их (/, х') = I J (av) (s, 0, х') ds.
о
Тогда очевидно, что функции и и du/dt после срезания при
больших |?| + |#i| принадлежат ограниченному подмножеству
в В°°, и тем самым следствие доказано.
В § 26.10 нам потребуются решения, которые малы вблизи
границы рассматриваемой области в х-направлении:
Следствие 26.7.8. Пусть А а В°°{ Rk+l)— ограниченное множе-
множество неотрицательных функций. Тогда для каждого е > 0 можно
найти такие произвольно малые окрестности Vo Ш V\ Ш V2 нуля
в Rk и Т > 0, что уравнение DtU -f- iaDXlU = 0 при любом as A
имеет на (—Г, Г)Х V2 решение U, удовлетворяющее равномер-
равномерным оценкам
B6.7.14) |?>*?/(/, x)|<Ca npu\t\<T, xz=V2,
еде Са не зависит от а,
<26.7.15) Re U (f, х) > 0 при \t \ < Т, х е= К2,
B6.7.16) ReU(t9x)> 1 при |/1< Г, xe=V2\Vu
B6.7.17) ReU(t,x)<B при \t\<T, x<z=V0.
Доказательство. Начнем построение с решения и из следствия
26.7.7. Домножая и на константу, можно добиться того, чтобы
w@) = 0. Тогда можно считать, что \w@y Х\,0, ..., 0) | < я/4
при |^i|^Ci, уменьшая, если понадобится, С\. Следовательно,
кривая
Y = {u(o9xl9o9 ..., 0); I^KcJ
имеет наклон < я/4 и элемент длины дуги ^ е~л/41 dxx \. Зна-
Значит, расстояние между ее концами z± = u@, ztc\9 0, ..., 0) не
меньше, чем 2{/2С\е~л/А. Функция
F6(z) = 26 (F +z-z-r] + (d + z+-z)-1)
172 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
является аналитической в б-окрестности кривой Г, и в ней
Re F6 > 0, так как | arg (z — z~) \ < я/4 и | arg (z+ — z)\ < я/4 на
Г. Если 6 мало, то ReF6(z) < е/2 вблизи {и @t хи 0, ..., 0);
I^K^/2}, и Re F6(z)> 4/3 при | г — Z- |< 6/2 и при \z — z+\
< 6/2. Поскольку и равномерно липшицево, функция
обладает всеми требуемыми свойствами при малых 6, если;
взять
V0 = {x;\xl\<cl/29 |*"|<62e/2},
V{ = {x\\xx\<Cl-b\ l^|<62},
У2 = {х;\х{\<с,\х"\<2{Р}.
В последующих результатах мы не стремимся к равномер-
равномерности относительно коэффициентов и потому рассматриваем.'
один фиксированный оператор.
Следствие 26.7.9. Пусть 0<аЕ В°° { Rl+k), и пусть ио — решение-
уравнения
в области | /1 < 1, | х{ | < си причем и0 и дщ/dt е В°° (R2). Тогда
уравнение B6.7.11) имеет решение «eB°°(RH1), для которого*
ди/dt е= В°° (Rk+l) и
u(t, x{9 O) = uQ(t, xx).
Доказательство. Поскольку / (/, х) = DtUo + ia (/, х) DXlu0 e В00"
обращается в нуль в Q при х" = 09 то
/ (*, *)=t *ifj (t,x)(l+\ x» \2)~Щ в Q
при некоторых // е В°°( Rl+k) (можно определить функции f/
сначала в й, а затем продолжить их на все пространство). По»
теореме 26.7.6 существует такое v}- e В°°, что dvj/dt e В°° и
DtVj + iaDXlVj = fi в Q.
Теперь нужно просто положить
Для упрощения записи будем опускать обозначение коор-
динат х", так что с этого момента х обозначает просто вещест-
вещественную переменную. Характеристики оператора
Dt + la (/, х) Dxy
26.7. Вырожденные операторы Коши — Римана 173
где предполагается, что 0 ^ fle B°°(R2), задаются уравнения-
уравнениями a(t, х) = 0у т = 0. Поскольку из а = 0 вытекает, что da=0,
соответствующее гамильтоново поле направлено вдоль оси t, так
что проекции одномерных бихарактеристик на базу совпадают
с интервалами /X {*о}> параллельными оси t, на которых а=0.
Очевидно, что любое решение однородного уравнения
B6.7.11)' Dtu + ia (t, х) Dxu = О
постоянно на /X {*о}. Дифференцирование по х (ср. с B6.7.12))
показывает, что ди/дх{ также постоянна на /X {*о}. Для реше-
решения, построенного в следствии 26.7.7, функция w также постоян-
постоянна на /Х{х0}. Предположим теперь, что /cz(—1, 1)—макси-
1)—максимальный компактный интервал, для которого а обращается в
нуль на /X {xq}. Возьмем содержащий /X {*о} замкнутый пря-
прямоугольник R d Q со сторонами, параллельными координатным
осям, такой что а =? 0 на сторонах /?, параллельных оси х. Вы-
Выберем R настолько малым, чтобы изменение w на R было мень-
меньше я/4. Тогда очевидно, что интервалы в /?, параллельные осям
t или х, отображаются функцией и в С1-кривые с направлениями
касательных, отличающимися менее чем на я/4 от значений
Imw — я/2, соотв. 1тш, в точках из /Х{*о}« Следовательно,
соединив две точки в R ломаной, состоящей из двух отрезков,
параллельных координатным осям, мы убедимся, что эти точки
имеют раяные образы при отображении и, если только они не
лежат на прямой х = const, причем между ними а = 0. В част-
частности, граница R отображается в жорданову кривую Г, содер-
содержащую внутри себя значение и на /X {*о}. Если z лежит внутри
(снаружи) кривой Г, то число вращения функции u(t, х) — г,
когда (t, х) прибегает Г, равно 1 (соотв. 0). Следовательно,
u(R) содержит внутренность кривой Г, но не содержит ее внеш-
внешних точек, так как иначе там регулярные значения принимались
бы четное число раз, а мы знаем, что они могут приниматься
лишь один раз. Следовательно, и осуществляет гомеоморфизм
между /? и и (R), где /? получается из R отождествлением точек
из R, лежащих на сегменте х = const, на котором а = 0.
Предположим теперь, что v — любое другое решение урав-
уравнения B6.7.11)' в некоторой окрестности прямоугольника R.
Тогда v = f(u), где / — непрерывное отображение из u(R) в
v(R). Проверим, что /—аналитическая функция на внутрен-
внутренности u(R). Это очевидно, если афЪ всюду, так как тогда и
является С*-диффеоморфизмом, который переводит B6.7.11)'
в уравнение Коши — Римана. В общем случае можно получить
тот же результат, продолжая и до решения U(t, x, е) уравнения
DtU + i (a (t, x) + е2) DJU = 0
174 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
с условием U(t, х, O) = u(t, x) при помощи следствия 26.7.9.
Аналогично можно продолжить v до решения V. При этом
где /е — непрерывное отображение U(R, е) в V{R> е), аналити-
аналитическое внутри U(R, e). В частности, функции fe равномерно
ограничены. Поэтому существует равномерный предел f0 функ-
функций fe на внутренности множества u(R). Таким образом, /0 ана-
литична и fo(u) = v, т. е. /о— функция, аналитичность которой
мы хотели доказать. Тем самым доказана
Теорема 26.7.10. Пусть 0^a^B°°(R2) и и— решение уравне-
уравнения B6.7.11)', построенное в следствии 26.7.7. Обозначим
Qo = {(/, х) <= Q; a (t{, x)a(t2, х) Ф 0 при некоторых tb t2,
таких что — 1 < t{ < t < t2 < 1},
и пусть й0— факторпространство, полученное из Qo отождест-
отождествлением точек (t9 x) и (t\ x), для которых a(s, x) = 0 при se
[/, t']. Тогда и определяет локальный гомеоморфизм Qq-^C,
задающий на &0 аналитическую структуру, в которой аналити-
аналитические функции, перенесенные на Qo, в точности совпадают с
решениями уравнения B6.7.ИO.
Теорему 26.7.10 можно применить к гамильтонову полю на
двумерной бихарактеристике оператора, удовлетворяющего
условию (Р), поскольку в координатах, используемых в пред-
предложении 26.5.5, он имеет вид
д/дх{ + ihHe,
где h ^ 0. Двумерная бихарактеристика порождается осью х\
и бихарактеристикой символа g в переменных х\ g'. Таким об-
образом, мы получаем естественную аналитическую структуру на
редуцированной двумерной бихарактеристике, введенную после
определения 26.5.4. Особый случай конической двумерной би-
бихарактеристики заслуживает специального обсуждения. В тех
же координатах из предложения 26.5.5 бихарактеристика, про-
проходящая через /X {0} X {е«}» является произведением оси х{ и
положительной части оси ?„, а гамильтоново поле имеет вид
Здесь Ъ (jtj) = — df (jcp 0, s/n)ldxn отлично от 0 в некоторых точ-
точках, близких к концевым точкам интервала /. Следовательно,
функция
\l +i\ogln
26.8. Оценки Ниренберга — Трева 175
является решением уравнения Нри =0 в В, для которого
const вдоль радиального направления. Любое другое такое ре-
решение можно представить в виде аи-{-с при некотором ceR.
В самом деле, аналитическая функция /, у которой Re f(z) зави-
зависит лишь от Rez, должна иметь вид аг -+¦ с, где а^ R, так как
гармоническая функция Re/(г) должна быть линейной функ-
функцией от Rez. Таким образом, нами доказана
Теорема 26.7.11. Пусть р удовлетворяет условию (Р), В— дву-
двумерная бихарактеристика и Во — соответствующая редуцирован-
редуцированная бихарактеристика. Тогда на Во имеется естественная анали-
аналитическая структура, в которой (локально) аналитические функ-
функции на fi0, поднятые на В, в точности являются (локальными)
решениями уравнения Нри = 0. Если В — коническая двумерная
бихарактеристика, то множество Во, полученное отождествле-
отождествлением точек из Во, лежащих на одном луче, имеет естественную
аффинную структуру, в которой линейные функции, поднятые на
В, в точности являются вещественными частями решений урав-
уравнения Нри = 0, постоянных вдоль радиального направления.
268, Оценки Ниренберга—Трева
В этом параграфе доказывается обобщение леммы 26.7.1 на слу-
случай обыкновенного дифференциального уравнения в гильберто-
гильбертовом пространстве Я
B6.8.1) du/dt — A(t)Bu = f
вместо уравнения B6.7.2). Мы будем предполагать, что
(i) A(t)—ограниченный неотрицательный самосопряжен-
самосопряженный оператор, равномерно непрерывный как функция от /.
(и) В — ограниченный самосопряженный оператор.
Второе предположение можно было бы и не делать, однако
с ним удобнее формулировать и доказывать следующую тео-
теорему, а в интересующих нас приложениях оно не мешает.
Теорема 26.8.1. Допустим, что выполнены сформулированные
выше предположения (i), (ii) и при \t\<C T
B6.8.2) lO\\A(t)f4\\[B,A(t)]\\li2\\[B, [B,A(t)]]\\44<M.
Пусть и — непрерывно дифференцируемая функция от t со зна-
значениями в Н, удовлетворяющая уравнению B6.8.1), равная
нулю при \t\>T, где ТМ < 2. Тогда
B6.8.3) J || и (t) ||2 dt < D7УA - 2TM)f \ \\ f (t) \f dt.
176 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Доказательство. Пусть Е\ — спектральное разложение единицы
для оператора В, ?- = Ео и Е+ = 1 — Ео—проекторы, соответ-
соответствующие полуосям. Они играют ту же роль, что и операторы
h{±Dx) из доказательства предложения 26.7.1. Обозначим
и± = Е±и. Тогда из ортогональности du+/dt и и- вытекает, что
Re (и_, /_) = Re (и_, /) = Re (и_, du/dt) - Re (и_, А (/) Ви)
= ±d\\u_tf/dt-Re(u_,A(t)(B+u+-B_u_)),
где В+ = Е+В и В- = —Е-В — положительные операторы.
Далее,
Re(a_, Л(/)Я-И-) = 1?е(и-, [A(t)9 BxL2]Bxl2uJ)
+ (Bl*u-, A{t)Bl*u-)>(u-9 [[A(t)9 B«]> *!?]и-)/2,
поскольку сопряженный к [A (t), Bli2] Bll2 оператор есть
-Bll2[A(t),Bll2]. Аналогично,
Re(H_, A(t)B+u+) = Re(u-, [A(t), Bf]Bfu+)
= Re{u-,\lA(V,Bf],Bf}u+).
поскольку 5+2и_ = 0. В лемме 26.8.2 будет показано, что нормы
этих коммутаторов ^ М/3 при условии B6.8.2). Поэтому,
умножая на Г — /и интегрируя, мы получаем, что
^ (И ^- И Н /- И И" ^ (И ^- IIV2
Аналогично, рассматривая скалярные произведения с и+ вме-
вместо U- и умножая их на —Т — /, мы получаем, что
Ц || и+ ||2 dt < 2Г \ (|| и+ || || f+ || + -j- (II и ||2/2 + || и_ || || и+ ||)) dt.
Следовательно, по неравенству Коши — Буняковского
Отсюда после деления на f\||w||2dM получается B6.8.3).
Лемма 26.8.2. Пусть А и В — ограниченные операторы в гиль-
гильбертовом пространстве Я, причем В — самосопряженный. Тогда
для В± = {\В\±В)/2
B6.8.4) \[в?, [Bf, Л]]||< тЧ| А\\114\\[В, Л]||1/2||[В, [В, Л]Щ
1/4.
26.8. Оценки Ниренберга — Трева 177
Доказательство. Пусть R(z) = (B — z)~l — резольвента опера-
оператора В. Тогда для е > О
too
B6.8.5) A + e\B\)~l BT = Bni)~~l jj z{l2{\ + ez)~l R (z)dz l).
-too
Действительно,
-/ос ^ ПРИ ^^0-
Поэтому B6.8.5) вытекает из спектрального представления
д(г)= \ (Я — z)~l dEK. Интеграл в B6.8.5) абсолютно сходится,
поскольку ||/?(г)|| ^ 1/|1тг|. Умножая равенство [В — г, А] =
[В, А] слева и справа на /?(г), мы получаем, что
[A,R(z)] = R(z)[B,A]R(z),
откуда вытекает оценка
|| [A, R (г)] || < min B \\А || | Im г Г1, || [В, А] \\.\ Im z f2)-
Отсюда для любого Т > 0
Г оо
и ^, Л] || Л
Минимизируя последнее выражение по Г > 0 и устремляя е-^0,
мы получаем оценку
<26.8.6) || [Л, SV2]|<D УЗД И ||1| [В, Л]||1/2-
Для доказательства B6.8.4) получим сначала оценку для
\[[А, S+2], В\\- Поскольку В и R(z) коммутируют, то
[[A, R (z)], B] = R (г) [[В, А], В] R (z);
Поэтому || [[Л, R(z)], Б] || можно оценить через
min B1| [В, А] || • | Imz \'\ \\ [[В, Л], В] \\\1тпг |)-
Следовательно, из B6.8.5), действуя тем же методом, что и при
доказательстве B6.8.6), мы получаем оценку
B6.8.7) И [[Л, Bf], Я] ||< D У2/л)||[Б, Л]||1/2||[Б, [В, Л]]||1/2.
1) Здесь г1/2 определяется с разрезом вдоль луча z < 0.—Прим. перев.
178 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Такие же оценки, разумеется, справедливы и для В_ вместо
В+. Применяя теперь оценку B6.8.6) для [Л, В1±] вместо Л, мы
получаем ввиду B6.8.7), что
||[[Л, Bf], б^]|2<C2/я2)|| [Л, ВТ] || DУЗД || [В, А] ||1/21| [В, [В, А]] ||
< C2/л2J1| А ||1/21| [В, А] || || [В, [В, А]} ||1/2-
Отсюда вытекает оценка B6.8.4), поскольку 32/я2 = 3.24 ...
<!•
Мы будем применять теорему 26.8.1 к псевдодифференци-
псевдодифференциальным операторам Л и В, символы которых ограничены в 5а
и S1 соответственно. Поэтому для них оценка B6.8.2) будет вы-
выполняться при некоторой константе М, которую можно легка
оценить. При этом в доказательстве теоремы 26.8.1 можно была
бы обойтись без абстрактной теории операторов, используя ин-
интегральные операторы Фурье, соответствующие неоднородным
каноническим преобразованиям, для приведения оператора В
к виду Dx,. Тогда можно воспользоваться теорией псевдодиффе-
псевдодифференциальных операторов, как при доказательстве леммы 26.7.1.
Однако теорема 26.8.1 показывает, что абстрактная теория опе-
операторов иногда может быть более эффективной, чем теория
псевдодифференциальных операторов; операторы Вх± не явля-
являются псевдодифференциальными, если только В не имеет весьма
специальную структуру.
В доказательстве теоремы 26.8.1 мы не воспользовались при-
присутствием положительного члена, подобный которому привел
ранее к появлению второго слагаемого в левой части оценки
B6.7.3), сыгравшего важную роль при оценке коммутатора
в лемме 26.7.3. Сейчас мы в абстрактном контексте теоремы
26.8.1 докажем аналогичную оценку, которая позволит нам по-
подобным образом оценить ряд коммутаторов в § 26.9 и 26.10.
Теорема 26.8.3. Пусть A(t) и В удовлетворяют условиям (i),
(ii) и B6.8.2). Тогда если «eC^R, Я) равняется нулю при
\t\ > Т и удовлетворяет уравнению B6.8.1), то
B6.8.8) $ \
Доказательство. Используя обозначения из доказательства тео-
теоремы 26.8.1, мы получаем
Re (B_u_, f) = Re {B_u_, du/dt - Л (/) Ви)
= ±d\\Bl^u-f/dt + (B-U-y A(t)B-U-)-RQ(B-U-, A(t) B+u+)
Поскольку В+2В- = 0, последнее слагаемое можно оценить через
\(В_и_,[\А{1), Bf],
26.9. Особенности в N% и в N\2 179
(здесь мы использовали B6.8.4) и B6.8.2)). Умножая на 2Г — t
и интегрируя, получаем, что
Y J | Bll2u- f dt + T^ (Я-и_, A (t) В-и-) dt
< Т \ C1| В-и- || || /_ || + М || В-и- || || и+ ||) d/.
Аналогичная оценка выполняется для В1+2и+- Поскольку Ви =
Б+а+ — B-U-, то
(Яи, Л (/) Яи) < 2 (В+и+, Л (/) i5+a+) + 2 (В_и_, Л (/) В_и_)
ввиду положительности A(t). Складывая полученные оценки,
получаем, что
^\\\B\l/2u(dt+T\(Bu, A(t)Bu)dt^T^F\\Bu\\\\f\\+2M\\Bu\\\\u\\)dt.
Поскольку ||Ям|| ^ ЦЯ1/2-1| |Я|1/2м||, правую часть последнего не-
неравенства можно оценить через
Следовательно,
откуда вытекает B6.8.8).
26.9. Особенности в Nl и в nU
Теперь мы все подготовили для того, чтобы обобщить теорему
26.2.1 на общий случай двумерной бихарактеристики В, т. е.
слоя слоения инволютивного многообразия Nl. Более точно, мы
будем рассматривать соответствующую редуцированную биха-
бихарактеристику Во. (См. предложение 26.5.3, определение 26.5.4 и
последующее обсуждение, а также теоремы 26.7.10 и 26.7.11.)
Для и^З)'(Х) определим su(y) приу^^о как infs*(x, g) no
всем (х, I) из прообраза у точки у в В; у является компактной
максимальной одномерной бихарактеристикой, вложенной в В.
Поскольку s*u полунепрерывна снизу, то очевидно, что §и(у)
есть верхняя грань всех seR, для которых u^H(s) в каждой
точке на у. Главным результатом данного параграфа является
следующая
Теорема 26.9.1. Пусть Р е W^hg (X) — собственный оператору
удовлетворяющий условию (Р). Пусть «е2)'(Х), В — двумер-
180 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
нал бихарактеристика оператора Р, и s — супергармоническая
функция в некотором открытом подмножестве со соответствую-
соответствующей редуцированной бихарактеристики Во, причем s ^ sPu в со.
Тогда функция
B6.9.1) minEB, s + m- 1)
является супергармонической в со. В случае когда В — кониче-
коническое множество, это означает, что функция B6.9.1) является
вогнутой на Ёо> если s является вогнутой; здесь Во получается
из Во отождествлением точек, лежащих на одном луче.
Супергармоничность — это локальное свойство, поэтому тео-
теорему 26.9.1 достаточно доказать для случая малой окрестности
о произвольной точки из Во. Тогда, используя предложение
26.4.13 и предложение 26.5.5 вместе с замечанием, следующим
за его доказательством, можно преобразовать оператор Р так
же, как в предложении 26.4.4 (см. также доказательство тео-
теоремы 26.6.2). Итак, можно считать, что Р <= Wphg (R") и его
главный символ имеет вид
B6.9.2) р (х} ?) = !, + ig (*', V) h (x, ?'),
% =z (^2» •••> Xn)i S =z (b2> •••» Ъп)>
в некоторой конической окрестности отрезка /' = /Х {0} Хелс
Г*(Кп)\0. Здесь h ^ 0 — однородная функция степени 0, g —
однородная степени 1 и g @, е^) = 0, dg @, е^) =^=0. Интервал / —
компакт в R, h[xv 0, е^) = 0 при хх е /, но это неверно на
любом большем интервале. В качестве первого шага доказа-
доказательства выведем некоторые оценки из теорем 26.8.1 и 26.8.3.
Лемма 26.9.2. Пусть функция \f> e Co° (R2n~2) равна 1 в некото-
некоторой окрестности точки 0, 0 ^ г|? ^ 1 всюду в R2"-2; определим
функцию
%. к (х'> 60 = * К/в, («' - <)/в), Я, 6 > 0;
/в = {/ + /'; /е/, | /' | < 6}. Тогда при некотором О 0
B6.9.3) || v || < С || Dxv + i (Г6, Kgh) (x, DO v \\,
B6.9.4) iaZi=iV^\\(r6,Kh{$g)(x,D')v\\
<C№\Dtv + i(ibltjgh)(x9 D')v\\
для v e C~ (/б X R)' есл" S достаточно мало и 0 < Я < А,б.
Здесь ||-|| — нормы в L2.
Доказательство. Умножая g и /г на срезающую функцию, рав-
равную 1 в некоторой конической окрестности точки @, е^) в
26.9. Особенности в Щ и в N\2 181
^(R"-1) при |?'|>1/2, можно считать, что функции g^
S^R^XR"-1) и 0^h<=S°(RnX R") являются однородны-
однородными степеней 1 и 0 при |?'|> 1/2. Применим теоремы 26.8.1 и:
26.8.3 к следующим самосопряженным операторам в L2(Rn~l):
А(хх) = Ъ6л(х'9 IYT(h(x9 lY) + h(x, Dj)^K{x\ DO/2 + СоЯ,
fl = *ef x (*'> D'T (g (*', D') + g (X\ D')*) г|>в> x (*', D')/2,
где константа Со выбрана так, чтобы А(х\)^0. По теореме-
18.1.13
Л{х\ D')v, ^л(х\ D')v)
> С0Х || v ||2 - С || A + | D' \ТЩ %, х (*', 1У) v ||2.
Если 6 достаточно мало, то 1/2 < | g'A, | < 2 на носителе сим-
символа оператора A+1^/12)/4<Ф^л(*/» ?>0> произведение этого
символа на Я,~1/2 равномерно ограничено в S0 при фиксирован-
фиксированном 6 и его максимум оценивается не зависящей от 6 посто-
постоянной при малых К. Следовательно, по теореме 18.1.15
А {х{) ^CQX-X (d + C6W2) > 0
при малых А,, если С\ < Со. Из теоремы 18.1.15 вытекает также,,
что
\\[В,
\\[В, [В,
поскольку носители всех этих символов лежат в области 1/2 <
||/Я|<;2. Максимум-нормы в правых частях этих оценок не-
независят от к. Поскольку g и h обращаются в нуль на /X {0} X
{е^} до второго порядка, то Da(i(?6, А/б2, g/8) = OFHai) на
/6XsuppiE6, так что эти максимум-нормы оцениваются соответ-
соответственно через О(б2), 0F) и 0A) при jc,e/6. Следовательно,,
при х\ е /6 и 0 < к < к6 имеем ||5|| ^ С/Х и
|| А (х{) || < С62, || [В, Л fa)] || < Св, || [fi, [fi, A (*,
Из B6.8.3) и B6.8.8) при достаточно малых 6 вытекает, что
B6.9.5) || о II < С || Dxv + iABv ||, ueC0°° (/e X R"),
B6.9.6) J (А (х,) Bv, Bv) dxx < (С/Л) (|| D{v + iABv ||2 + || v ||2),
Символ оператора А(х{)В равен
182 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
где R6, х ограничен в S~l при фиксированном 6, а 5б, ^—конеч-
^—конечная линейная комбинация членов, полученных из i|Lg/i диффе-
дифференцированием по g/ и Xj двух разных множителей или одного
и того же. Поэтому символ 56, х ограничен в S0 при фиксирован-
фиксированном 6 и |S6, х|оо ^ Сб, где С не зависит от X, как видно из при-
приведенных соображений. Следовательно, по теореме 18.1.15
И (*0 5 - №
*если Я достаточно мало. Поэтому из B6.9.5) находим, что
|| v || < С || До + tABv || < С | D^ + / (я|? ^А) (х, D') v \ + С'61
Отсюда при достаточно малых б вытекает B6.9.3) и, кроме того,
отсюда видно, что в правой части B6.9.6) можно заменить ABv
на (я|э? kgfy (x, D') v. Для доказательства B6.9.4) заметим преж-
прежде всего, что по лемме 7.7.2
Следовательно, по теореме 18.1.14
<26.9.7) Zll%)(*, D')v\\2+Z\\(l+\D'\2){l2hU)(xy D')vf
<CRe(A(*, DO v, v) + Cl\\v\\l_l/2y
Чтобы применить здесь оценку B6.9.6), в которой главный член
символа оператора ВАВ равен г|^ дД2А, заменим в B6.9.7) v на
'С^б х§)(х'> Df)v- Символ оператора
(¦в. ?) (**, DJ h (x, DO (-фз kg) (x'9 DO - В А (хг) В
равномерно ограничен в 5° при фиксированном 6, и, как и выше,
отсюда вытекает, что максимум символа допускает оценку, не
зависящую от б при малых X. Следовательно, норма допускает
не зависящую от 6 оценку при X < Х6 в силу все той же тео-
теоремы 18.1.15. Поэтому, комбинируя B6.9.6) и B6.9.7), мы по-
получаем оценку irf: ,~<4
< С (||Djv + / (^ Kgh) {xy DO v \] + || v ||2), v «= С; (/б х Rn-[),
если б достаточно мало и X <С.Х6. Символ оператора
ограничен в 5° при фиксированном 6, и его максимум оцени-
оценивается постоянной, не зависящей от 6 при X < Хб. Поэтому из
теоремы 18.1.13' вытекают соответствующие равномерные оцен-
26.9. Особенности в N\ и в NeX2 18?
ки для норм, и, следовательно, мы получаем оценку B6.9.4) для:
слагаемых с а = 0 и |Р|= 1. Оценку для остальных слагаемых
можно вывести тем же способом, используя вторую сумму в
B6.9.7). Отсюда ввиду B6.9.3) получается нужная оценка.
При доказательстве теоремы 26.9.1 нам потребуется также-
описание в терминах /Анорм функции регулярности s*, введен-
введенной в A8.1.41).
Лемма 26.9.3. Пусть х,феС0°° (Г (R") \ 0) и
B6.9.8) qk(x9 Ъ) = х(х, М)^{хЛ1).
Если wg^(R") и s*>Re(p на suppx, то норма \qK{x, D)u\l
ограничена при Я->0. Обратно, если норма \\q^(xf D)u\\L2 огра-
ограничена при Я -> О, то
s*u (х, I) > Re Ф (х, I) при х (х, I) Ф 0.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если Кеф<|ы на:
suppx, то символ qx ограничен в S^ при Я->0, т. е.
B6.9.9) \DlDlq^{xy I) \ < С*ъ(\ + \ I \ f "la|, Ж 1.
Действительно, |Я?| находится между двумя положительными
постоянными, когда (л:, X|)^suppx, и
dqjdx = ((дх/дх - х log Л дфх) Л"ф) (х, Щ;
аналогично выглядит формула для dqjd^f в которой имеется,,
правда, еще один множитель Л. Отсюда вытекает B6.9.9), и,,
следовательно, норма Wq^ix, D)u\\L, ограничена при А->0, если
5*>|ы>Неф на suppx. Если известно лишь, что s^ > Неф
на suppx, то из полунепрерывности снизу s* вытекает, что-
Rey < \if < s*u на suppx7 при некоторых [if и %jt для которых.
Хх/ = Х- Это доказывает первую часть леммы»
Остается доказать вторую часть. Пусть х(у, ц)?=0. Для за-
заданного |ы<КефA/, т]) выберем такую неотрицательную функ-
функцию хо е Со°, что Re ф > |ы и % ф 0 на supp хо, Хо (У> ц) > 0. Возь-
Возьмем и е //"aI). Можно найти символы а^ ограниченные в 5°, к
Rx, ограниченные в 5~м, для которых
B6.9.10) Хо(*, H)l~ll = ax(xi D)qk(x, D) + Rx(x, D).
В качестве первого приближения для ак возьмем символ
al(x, 1) =
184 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
который дает остаток нужного класса, за исключением конеч-
конечного числа членов ряда
афО
Эти слагаемые можно обработать таким же образом, и после
конечного числа итераций мы получаем искомую функцию п\.
Из B6.9.10) следует, что
Если умножить на №~\ где е > 0, и проинтегрировать от 0 до 1,
то мы получаем || г (я, D)w||L2<oo, где
1
г(х, 1)=
о
Если ||| достаточно велико, то верхний предел интегрирования
можно заменить на оо, откуда видно, что г(х, I)—однородная
функция степени [i — е на оо. Ясно, что г положительна в на-
направлении (у, ц). Следовательно,s*u (у, цO^\х — е, что и завер-
завершает доказательство.
Доказательство теоремы 26.9.1. Как было показано выше, мож-
можно считать, что Р е Yphg (R")> что главный символ р имеет вид
B6.9.2) в некоторой конической окрестности прообраза /' =
/X {0} X {&п} cz Г*(КЛ)\О точки из Во, и что В — слой, содер-
содержащий @, ел), порожденный векторными полями д/дхх и Нё.
Можно считать также, что член р0 порядка 0 в р обращается в
нуль на /'. Действительно, из уравнения Pu = f вытекает, что
SPS~l(Su) — Sf^C°° для любого эллиптического оператора
5 е ?°phg с параметриксом S~l. Но 5^ = 5^ц) 5*~5зр и член по-
порядка 0 в символе оператора SPS~l обращается в нуль на /',
если главный символ So оператора 5 удовлетворяет уравнению
SoD{Sol + ро = О, т. е. tdSoldxx + Sopo = O на /'.
Это обыкновенное дифференциальное уравнение легко решается,
и So можно продолжить до эллиптического символа порядка 0.
Таким образом, заменяя Р на SPS~\ мы можем считать, что ро
обращается в нуль на V. Следовательно, в силу теоремы 18.1.15,
можно выбрать R e S0 так, чтобы символ р0—R имел порядок
—оо в некоторой конической окрестности V отрезка Г в
7*(R*)\0 и C\\R(x, D)||<l/2, где С—константа из леммы
26.9.2.
26.9. Особенности в^ ив Nf2 18S
Можно выбрать окрестность V^czV отрезка /' и функции wr
w0^ C°°(V0) так, чтобы
B6.9.11) (d/dxl + ihHg)w = (d/dxl + ifiHg)wo = O и Hgw=?0 в VQr
B6.9.12) CxdB (х, IJ < Re w0 (x9 t) < C2 dB (x9 ?J, (x, 1) e= Vo>
где dfl — расстояние до В. Отметим, что из B6.9.11) вытекают
равенства Hpw = Hpw0 = О при g = Q. Для проверки можна
ограничиться случаем g = |2, поскольку этого всегда можно до-
добиться при помощи канонического преобразования (возможно,
неоднородного). При этом уравнения B6.9.11) приобретают вид,
(д/дх{ + ih д/дх2) w = (д/дхх + ih д/дх2) w0 = 0.
Поэтому существование w немедленно вытекает из следствия
26.7.7. Учитывая, что со должна быть постоянной на /', мы мо-
можем считать, что w =0 на /', и положить
wo(x, 1) = {х*+ ••• +^ + 1?+ ...+1*_1+(&„-1J)ехри;(*,|).
Теперь вернемся к исходным переменным. Пусть К—ком-
К—компактное подмножество в со, прообраз К которого в В содержится
в Vo, х\ е /6/2 на К и функция г|N, х из леммы 26.9.2 равна 1 в
некоторой окрестности множества /С. Тогда при некотором 6 > 0
выполняются оценки B6.9.3) и B6.9.4). Зафиксируем это значе-
значение 6. Пусть Н—гармонический многочлен в С, для которого
Н (w) < min (s*, s) на границе множества К в Во,
где 5 — поднятие s на В. Для доказательства теоремы доста-
достаточно проверить, что то же неравенство выполняется в /С, по-
поскольку ограничение w па В является поднятием на В локаль-
локальной аналитической координаты в 50. Поскольку H(w)—гармо-
H(w)—гармоническая функция в Ло, а §—супергармоническая, то H(w)<.s
на К. Более того, граница дК множества К в В лежит в прооб-
прообразе границы множества К в Во, так как прообраз внутренности
К является открытым множеством. Следовательно, если f = Puy
то
B6.9.13) H(w)<s*u на <Э/С,
B6.9.14) H(w)<s* на К.
Можно также считать, что ией" и что
B6.9.15) H(w)-Ks*u на К.
Действительно, если утверждение при этом дополнительном
предположении доказано, то, начав с неравенства s* > Н (w) — k
при некотором целом i^O и последовательно уменьшая k до-
k = 0, мы докажем теорему.
186 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Выберем функцию % е Co°(Vo), равную 1 в некоторой окрест-
окрестности множества /С, для которой suppx настолько близок к К,
что xjG/j, ^,1 = 1 на suppx и из B6.9.13) —B6.9.15) выте-
вытекают неравенства
s*u> H (w) на В П supp rfx,
s)>#(a>) и s*u>H(w)— 1 на Bf] supp х.
Очевидно, что # = Re/7, где F — аналитический многочлен на
С. Ввиду B6.9.12) при достаточно большой константе т функ-
функция
ф = F (w) —
удовлетворяет неравенствам
«B6.9.16) s*>Req> на suppdx,
B6.9.17) 5*>Иеф на suppx,
B6.9.18) s*u>Req>— 1 на suppx.
Отметим, что Req> = H(w) на К и (д/дх{ + ihHg)ф = 0.
Из B6.9.3) и неравенства С||/?||< 1/2 вытекает, что
<26.9.3)' || v ||< 2С | Djt; + / (я|)*§ xgA) (x, D')v + R (x, D) v |,
•если v e ^ и a:2 e /б на supp и. Применим B6.9.3)' к
и = qK (х, D) a, qK (х, t) = % (х, Щ Л"ф {х' ™.
Чтобы оценить
М = | (Dj + / (ф* ^А) (х, DO + R(x, D)) q^ (x, D) a |,
нужно прокоммутировать q^(xy D) со стоящим впереди опера-
оператором. Возьмем [i так, чтобы и е Я(_м<). Поскольку
и аналогичная формула имеет место для dqx(x> |)/d|, то символ
коммутатора [?(*, D), q\(x, D)] с точностью до слагаемых,
ограниченных в S~*\ равен конечной сумме функций того же
вида, что и q%, но с ф, замененным на ф — /, где /— положитель-
положительное целое число, и умноженным на некоторую степень log к.
Следовательно, из B6.9.18) и леммы 26.9.3 вытекает, что
\\[R(x, D), qx{x, D)]
Символ коммутатора
26.9. Особенности в N% и в Nf2 187
выглядит аналогично, за исключением первого члена, имеющего-
вид
(Здесь мы учли, что г|)б, х=1 на supp q%.) В силу дифференци-
дифференциального уравнения (д/дх\ + ihHg)q> = 0 получаем
B6.9.19) - I (д/дх{ + igHh + /Atf g) qK
= Qx (*> I) + i log Ag {А, ф} (*, Л|) ^
Здесь символ
q% (*. 6) = - /X (*, Л|) Л"ф (х'w, x = ^pX,
имеет тот же вид, что и ^, но supp %cz supp d%. Поэтому и^
B6.9.16) по лемме 26.9.3 вытекает, что норма \\q\(xy D)u\\ огра-
ограничена при X-+-Q. Главная часть символа оператора
B6.9.20) I log X ( Z Ф(/) (х, AD) (г|K ^)g) (x, D') qK (x, D)
- К I Ф<0 (х, ID) (г|K хЛ(/увг) (х, DO qx (x,
равна последнему слагаемому в B6.9.19), а остальные имеют
аналогичный вид, ,но при этом меньше главной части по край-
крайней мере на один множитель A, log А,. Оценивая B6.9.20) с по-
помощью B6.9.4), мы ввиду B6.9.16) получаем
М < || qk (x9 D) (D, + / (¦i ^Л) (х, DO + R (x, D)) и |
log Я \М + Си.
Когда X настолько мало, что CA,1/2|log.A/| < 1/2, среднее слагае-
слагаемое правой части можно сократить с половиной левой части.
Символ оператора
qx (х, D) (D, + / (г|L ^А) (х, DO + R (x, D) - Р)
ограничен в 5^°°, поскольку г|)б>х=1 на supp q^ и полный символ
оператора Р равен %\ + igh(x, \') + R(x, I) на V. Поэтому при
малых К
, D)Pu\\ + Cu.
В силу B6.9.17) здесь правая часть ограничена при Х-+-0. По-
Поэтому из B6.9.3)/ при v = q%(xy D)u мы получаем, что норма
\\q%{x, D)u\\ ограничена при i-^О. Следовательно, из леммы
26.9.3 вытекает, что <^^ф на К. Ввиду теоремы 26.7.11 это за-
завершает доказательство.
Применяя метод спуска к оператору в пространстве боль-
большей размерности, можно из теоремы 26.9.1 получить аналогич-
аналогичный результат об особенностях в N\e2 (см. конец § 26.5).
188 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Теорема 26.9.4. Пусть Р е YjThg (X) — собственный оператор,
удовлетворяющий условию (Р), / — компактный интервал на
одномерной бихарактеристике с концевыми точками в N\2, a
7 — аффинный интервал, определенный в предложении 26.5.8
(при этом подынтервалы, не пересекающиеся с Nl\2, склеивают-
склеиваются в точки). Если ме^(Х), 5 — вогнутая функция на 7 и
spu ^ 5 на /, то функция
min(su, s + m — 1)
является вогнутой на 7.
Здесь §и и sPu на 7 определяются совершенно так же, как в
•теореме 26.9.1.
Доказательство. Можно считать, что m = 1 и главный символ р
имеет вид gj + igh, как в предложениях 26.4.13 и 26.5.7, причем
h > О в концевых точках интервала /. Пусть Н(х, g)—однород-
g)—однородная функция степени 0, равная h(x, ?') в некоторой окрестности
интервала /. Если рассматривать и и f как распределения U и F
в R"*1, не зависящие от хп+\, то
<26.9.21) (р + ш(х, D)Dn+l)U = F.
Строго говоря, оператор из B6.9.21) не является псевдодиффе-
псевдодифференциальным, однако становится таковым при домножении на
оператор с символом
а Fя+1/| 6 I), где % е= Со°° (R), х @) = 1 и | g |2 = f{ + ... + ?2„+1.
Поскольку Drt+i^ = 0, то очевидно, что ?„+1 = 0 на WT(?/). По
теореме 8.2.9
WF(U) = {(x9 хп+и ?, 0); (х, l)^WF{u)}>
и то же очевидное доказательство приводит к более точному
утверждению
smu(x,l) = s*u(x, xn+v Б, 0).
Главный символ оператора из B6.9.21) имеет вид
h + ih(x9l')<&n+i + e(x',l')).
Вблизи /X(R X {0}) этот символ удовлетворяет условию (Р)
и определяет двумерную бихарактеристику, равную произведе-
произведению оси хи оси Хп+\ и еп = @, ..., 0, 1, 0), поскольку Hg = 0
на /. Соответствующее гамильтоново поле имеет вид
djdx\ + ih{xv 0, в'п)д/дхп+{.
Поэтому, выбирая \ h[xv 0, г'\ dxx в качестве новой коорди-
координаты на 7, мы получаем стандартный оператор Коши — Римана
26.9. Особенности в N\ и в NeX2 189
на 7XR. Тогда супергармоническая функция, не зависящая от
хп+\, — это не что иное, как вогнутая функция на 7. Поэтому
теорема 26.9.4 вытекает из теоремы 26.9.1.
Предыдущие рассуждения не полностью используют условие,
что концевые точки интервала / лежат в Nl\2. Заключение тео-
теоремы справедливо всегда в тех случаях, когда имеется факто-
факторизация с А^О, причем А>0 в концевых точках интервала
/ и g не зависит от Х\. В частности, это так в аналитическом
«случае в силу подготовительной теоремы Вейерштрасса, если
концевые точки лежат в Л^2. Однако, по-видимому, в общем
случае нужно ослабить понятие вогнутости. Обсудим здесь два
таких ослабленных свойства; более слабое из них найдет при-
применение в § 26.10.
Определение 26.9.5. Функция 5, определенная на интервале
/cR со значениями в (—оо, +оо], называется полувогнутой,
если она полунепрерывна снизу и для любого компактного ин-
интервала /с/ и любой линейной убывающей функции L из не-
неравенства 5 ^ L на д] следует, что s ^ L на /. Функция 5 назы-
называется квазивогнутой, если это условие выполняется для любой
константы L.
Понятие полувогнутости имеет смысл на полубихарактери-
полубихарактеристике / с концевыми точками в Ni2 \ N\2. Действительно, при-
приводя главный символ к стандартному виду %\"\-ig(x\ %')h(x, ?') +
r(x, g'), где r(x, g') имеет нуль бесконечного порядка на /,
Hess g ^ 0 и ft ^ 0, мы получаем естественную ориентацию, со-
согласованную с ориентацией оси х\\ формаЛ^, 0, ^/n)dxl опре-
определяет естественно ориентированную аффинную структуру на 7.
Полувогнутость, очевидно, инвариантна относительно линей-
линейных возрастающих замен переменных, а квазивогнутость — от-
относительно строго монотонных замен переменных. Таким обра-
образом, для определения полувогнутости нужна аффинная струк-
структура и ориентация. Смысл введенных условий более подробно
раскрывает следующее
Предложение 26.9.6. Функция s на интервале / cz R полувогнута
тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих
условий:
(i) 5 возрастает и непрерывна слева, или
(ii) s убывает и вогнута, или
(Hi) существует такая точка а<=1, что s удовлетворяет усло-
условию (i) слева от а, условию (И) справа от а и s(a) = s(a — 0) ^
<s(a+0).
190 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Функция s квазивогнута тогда и только тогда, когда выпол-
выполняется условие (i), или
(И)' s убывает и непрерывна справа, или
(Hi)' существует такая точка о?/, что s удовлетворяет
условию (i) слева от а, условию (и) справа от а и s(a) =
0), s(a — 0)).
Доказательство. Предположим сначала, что функция 5 квази-
квазивогнута. Если 5 монотонна, то она, разумеется, удовлетворяет
условиям (i) или (и)'. В противном случае 5 не является убы-
убывающей, т. е. s(ti) < s(t2) при некоторых t\ < t2. Тогда s(t)^
s(ti) при t<tx, поскольку неравенства s(t)\> s(t{) < s(t2) про-
противоречат определению. Более того, если /'^ /^ t\, то s(t')^.
s(t), так как иначе неравенства s(t') > s(t) ^ s(t\) < s(t2)
также противоречат определению. Если а — верхняя грань всех
/iE/, для которых s(t\) < s(t2) при некотором t2>t\ из /, то
s возрастает слева от а и убывает справа от а. Из полунепре-
полунепрерывности снизу вытекает, что
s(a)<min(s(a + 0), s(a — 0)).
Если здесь неравенство строгое, то s(a) <C s(t\) и s(a)<s(t2)
при некоторых t\ < а и t2> а, что также невозможно. Это до-
доказывает справедливость (Hi)'. Если функция 5 к тому же полу-
полувогнутая, то очевидно, что s вогнутая справа от а, поскольку
линейная интерполяция между двумя значениями дает там убы-
убывающую функцию. Если s(a — 0)>s(a + 0), то при а < t e /
и малых е > 0
откуда s(a) = s(a — 0), что вытекает также из (Hi)' приг
s(a — 0)^s(a + 0). Это доказывает необходимость условий
(i), (ii) или (iii) в полувогнутом случае. Обратно, предполо-
предположим, что s удовлетворяет условию (iii), и пусть L — линейная
убывающая функция, / — компактный интервал с / и L ^ s на
д]. Тогда функция s — L возрастает слева от а, так что L(t)^
s(t) при a ^ te /. Если ае/, то s(a + 0) ^ L(a) в силу (iii).
Из вогнутости следует также, что s ^ L при a <t^ I. Доста-
Достаточность всех остальных условий предложения 26.9.6 очевидна.
Теперь мы можем сформулировать точный аналог теоремы
26.9.4.
Теорема 26.9.7. Пусть Р е Y^g (X) — собственный оператор,
удовлетворяющий условию (Р), / — компактный интервал на
одномерной бихарактеристике с концевыми точками в N\2 \ N*2*
а 7 — аффинный интервал, определенный в предложении 26.5.8
(при этом подынтервалы, не пересекающиеся с N\2, склеиваются
26.9. Особенности в Ne2 и в NeX2 191
е точки) с указанной выше ориентацией. Если u^S)'(X), s —
полувогнутая функция на 7 и sPu ^ s на 7, то функция
min(su, s + m— 1)
является полувогнутой на 7. Здесь su и sPu определяются так
же, как в теореме 26.9.1.
Доказательство. Можно считать, что Р ее Yphg {Rn)> х'=0> ?=ед
на I и
22) P(*>V = h + if(x,n
.zz) f (^ V) = g {x^ g/) h {^ g/) + r {^ V)
в окрестности отрезка /. Здесь Hessg <0в точке @, е^), h ^ О
и г = 0 при g >> 0 в силу предложения 26.5.7. Поскольку g
строго вогнута относительно некоторой переменной, то множе-
множество точек, где g ^ 0, является замыканием множества, где
? < 0. Поэтому из неравенства g{x\ I') ^ 0 вытекает, что
/(л:, ?') ^ 0 при всех лп в силу условия (Р), поскольку ?(.*;', ^/) =
/(л:, |') при некотором лгь Пусть L — линейная убывающая функ-
функция отхА^л:,, 0, B/n)dxl и / — компактный подынтервал в / с
концевыми точками в N\2, причем
<26.9.23) L < min (smu, s) на dj.
(Здесь 5 обозначает также поднятие функции s с 7 на /.) Для
доказательства теоремы достаточно проверить, что такое же
неравенство выполняется на /. Поскольку функция 5 полувог-
пута, L < 5 на /. Следовательно,
<26.9.24) L < s*Pu на /.
Если g < 0, то и f ^ 0 в некоторой окрестности отрезка /,
так что мы можем применить предложение 26.6.1. Пусть ^о — на-
начальная точка /, а у — произвольная точка на /. Тогда
*pu>L(y) на [y0, Y]c=/ и s;(yo)>L(yo)>^(y). Поэтому s*u(y)
> L(y) в силу предложения 26.6.1, и утверждение доказано.
Предположим теперь, что g может менять знак. Для дока-
доказательства теоремы в этом случае мы сначала воспользуемся
предложением 26.6.V, чтобы изучить поведение и в области, где
g < 0. Тогда можно считать известным, что
B6.9.25) L- 1/8 < s* на /.
Выберем е g @, 1/4] и неотрицательные символы X» Xi ^
S°\-e,e(Rn~l X Кгг~1)»такиечтох1 = 1 Hasuppx, Xi =0(соотв.х = 1)
192 26. Псевд о дифференциальные операторы главного типа
во всех точках некоторой конической окрестности точки @, 8^),
удаленных на расстояние < 1 (соотв. > 2) от множества
{ '> Е')>0} в метрике
B6.9.26) A + | Г I2)8 ( I dx' |2 + A + I Г I2)1 dt |2).
Это возможно в силу следствия 1.4.11 (можно также воспользо-
воспользоваться разбиениями единицы из § 18.4). Возьмем неотрицатель-
неотрицательные символы i|), i|)i е5°(КЛХ Кя), такие что -фi == 1 на suppif>
и if>=l на бесконечности в конической окрестности точки @, гп).
Тогда символы
Cs{x\ 1) = A+Ш2У12Ц(х'
удовлетворяют условиям предложения 26.6.Г на [у0, у], если
supp if) содержится в достаточно малой конической окрестности
точки @, в») и s = L(y) в некоторой точке у?/. (Отметим, что
(Зе — 1)/2^—1/8, так что первое условие в B6.6.9) вытекает
из условия B6.9.25) на [у0, у].) Следовательно,
Cs (x\ D)u^ Я@) в у, если у е / и s = L (у).
Поскольку Cs(x', D) — A+ |D|2)S/2C°(^, D) имеет порядок
s + е — 1 и е — 1 < —1/8, то из B6.9.25) вытекает, что
||2/2С°, С)иеЯ(о) в у, если s = L(y), т. е.
B6.9.27) С0 (х\ D)ut= Н(Ц на /.
Положим теперь v = u — C°(x', D)u. Из B6.9.23) и B6.9.27)
следует, что
v e H{l (y)h если у е dJ.
Очевидно, что
pv = pu- с0 (х'у D) Ри - [Р, С0 (*', D)] и.
Символ коммутатора [Р, С°{х'9 D)] лежит в S2!.^ за исключе-
исключением члена
принадлежащего Sf-e. Поэтому
[Р, С°(х'9 D)] = Qx(x9 D)Cx(x9 D) + Q2(x, D),
где Qj e 5?-e, e и Q2 e SfilJe. Аналогично B6.9.27) доказывается,
что
С! (*', D) и е Я(?) на /,
и, таким образом,
Р Н) на /.
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 193
Поскольку г = 0в области g > 0, то r(x, ?')/|?'l можно оце-
оценить любой степенью расстояния до этого множества в метрике
B6.9.26) с 8 = 0. Следовательно, г(х, ?) = О(\l\l~Ne) на
supp(l — С0) в некоторой конической окрестности отрезка / при
любом N, и все производные символа г там также быстро убы-
убывают. Следовательно, символ оператора r(x, D') A —С°(х', D})
в некоторой конической окрестности подынтервала / имеет по-
порядок —оо. Если оператор Р\ получается из Р приведением
главного символа к виду gi + igh в некоторой конической
окрестности интервала /, то P\V ^ Н^-г) на /. Для оператора
Pi можно провести все рассуждения из доказательства теоремы
26.9.4, поскольку он допускает точную факторизацию. Поэтому
мы можем заключить, что v e ЯA_е) на /, поскольку это верно
на dj. Следовательно,
и е H(L-e) на /
при всех е > 0 и L, удовлетворяющих B6.9.23), что завершает
доказательство.
26.10. Особенности на одномерных
бихарактеристиках
В общем случае на одномерной бихарактеристике мы не имеем
аффинной структуры, которая позволила бы определить (полу)-
вогнутость. Однако понятие квазивогнутости сохраняет смысл
(см. определение 26.9.5) и справедлива
Теорема 26.10.1. Пусть Р ^^^(Х) — собственный оператор,
удовлетворяющий условию (Р), а I — интервал одномерной би-
бихарактеристики. Если и^2)'(Х)у s — квазивогнутая функция на
I и s*Pu^s на /, то функция
min(s*, s + m— 1)
также является квазивогнутой на I.
Мы сформулировали здесь утверждение, аналогичное теоре-
теоремам 26.9.1, 26.9.4 и 26.9.7. Однако полезно будет переформули-
переформулировать этот результат. Более явно он означает, что если / —
компактный интервал ел / и min (s*, s + m — l)^/ + m — IgR
на д/, то это верно также на /. Поскольку 5 квазивогнута, то
s*pu ^s^t Ha J, и> следовательно, утверждение состоит в том,
что s*u^t-\-m— 1 на /. Таким образом, теорема 26.10.1 эквива-
эквивалентна следующему утверждению, на вид более слабому:
Теорема 26.ЮЛ7. Пусть Р еЧ^вШ — собственный оператор,
удовлетворяющий условию (Р), а I — компактный интервал
194 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
одномерной бихарактеристики. Если и^2
s*Pu^s на /, 5* ^5 + m — 1 на д/, то s*u^s + m— l на I.
При доказательстве мы можем, согласно предложению
26.4.13, считать, что Р<= Wphg (Rn), х'= {х2, ...,*„) = О и ? =
{О, ..., О, 1) = е„ на /, и что
B6.10.1) р(х, 6) = 6,+ //(*, V)
в некоторой конической окрестности отрезка /, где / не меняет
знака при фиксированных (х', ?'). Теорема 26.10.И вытекает из
теоремы 26.6.4, если IczNn. Если /eft то теорема 26.10.Г
вытекает из теорем 26.9.4 и 26.9.7. Действительно, пусть Г —
одномерная бихарактеристика, содержащая /, и е > 0. Тогда
можно выбрать символ ф е 5°, равный 1 на бесконечности в не-
некоторой конической окрестности отрезка / и равный нулю вне
другой окрестности, настолько малой, что
Ар (х, D)u = y (x, D) Ри + [Р, Ф (х9 D)] и е= H{s-e) на Г
и ф(х, D)u^ ЯE_е+т_1) в любой точке из Г\/. Если Г\/ со-
содержит точки из N\2, лежащие с разных сторон от /, то из тео-
теоремы 26.9.4 или 26.9.7 вытекает, что ф(х, D)u e H{s-e+m-i) на /,
и, следовательно, и е ЯE-е+т-1) на /. В противном случае мож-
можно так изменить символ р вне \^/7(ф(х, D)), чтобы такие точки
появились. Например, можно заменить главный символ на
р(у\(х\), х', g), где у\{х\) = хх в некоторой окрестности отрезка
/, но (#i(xi),0, en)^Nl2 при больших |xi|. Это не нарушает ни
условия (Р), ни условия Ар(х, D)u^ H(s-e) на Г.
Если I с Nl, то / имеет нуль третьего порядка на /, по-
поскольку f = gfiHg = h = O на I, й^Ов некоторой окрестности
отрезка /. Следовательно, при доказательстве теоремы 26.10.V
мы всегда можем считать, что
B6.10.2) / имеет нуль третьего порядка на /.
Как и при доказательстве теоремы 26.4.7Г, можно считать так-
также, что член порядка 0 в символе оператора Р имеет вид
г(х, I'), и рассуждения в начале доказательства теоремы 26.9.1
показывают, что сопряжение эллиптическим оператором позво-
позволяет добиться выполнения соотношения
B6.10.3) г = 0 на /.
Как и в лемме 26.9.2, срежем f и г вне малой окрестности точки
jc' = O, ?' = е^/Л, заменяя их функциями
f6 k (х, Г) = ф (*'/*, (*Г - г'пЩ f (х, Г),
B6Л0'4) г(Х г)=ф(х//6 (лгв;)/в)г(х, г),
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 195
где яре С~. Обозначим / = /Х{0}Х{е^} и /6 = {/ + /'; / е=/,
'^}. Для Я>0 и малых 6>0 при ^еД
B6.10.5) | D$I&h. я (*, Г) | V62 + | А°А?"-«. я (*, Г) |
В силу однородности достаточно доказать B6.10.5) при к=1>
а тогда эта оценка следует из того, что по формуле Тейлора
при | х' |2 + | Г — е^ |2 < Св2 и *,e/6.
Для упрощения обозначений будем писать F и R вместо /б, л
и rfi, х, и введем переменные x'j^Jx и V^?' вместо я', ?'. Тогда
правая часть B6.10.5) заменится на СарбаМ+'Р', где а2 = К/82.
(Отметим, что наша замена переменных является симплектиче-
ской заменой переменных в r*(R^-1), индуцированной заменой
переменных х\) Опуская штрихи и обозначая х\ через /, мы
сводим задачу к изучению оператора
x, D) + R(t9x,D),
где все производные от F и R по х, g непрерывны по t, x, g, и
(i) F вещественнозначна и F(t, x, l)F(s, x, 1)^0,
(И) а2|ЯД(/, jc, 6)| + |/?<Д(/, х, 1)|<вСуа', / = 0, 1, 2, ....
На самом деле F и /? определены лишь на интервале, например
при |/|^Г. Однако, поскольку нам не нужна дифференцируе-
мость по /, то F и R можно определить для всех t e R так,
чтобы они не зависели от ^ при t^T или / ^ —Г. Введем
также новую переменную f = 6/ вместо t. При этом наш опера-
оператор принимает вид
интервал |/|<7" переходит в интервал |/'|<СбГ и коэффи-
коэффициенты оператора удовлетворяют оценкам (и) с 6 = 1. Иссле-
Исследованием такого оператора мы сейчас и займемся. Без ограни-
ограничения общности можно считать, что С/ = 1 при / ^ 2. В сле-
следующей лемме для краткости применяется обозначение X —
(х, I).
Лемма 26.10.2. Пусть F(t, X) — вещественнозначная функция в
R1+*, для которой F(t, X)F(s, Х)^0 при всех /, s, X, все про-
производные по X непрерывны и
B6.10.6) \т*>Щ<С,с!-\ / = 0,1,...,
196 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
Для 1 ^ р ^ 1/а введем обозначение
B6.10.7) а(ХГ2 = тах(р2, sup|F(f, X)\, sup|F;(/, X)\2).
Тогда
{26.10.8) а < а (Х)< 1/р, а (X + У)< 2а (X) npu\Y\a (X) < 1/2,
B6.10.9) а (X) < а (X + У) A + | У | а (X)),
B6.10.10) |ЛУ)(/, Л^С/а^/-2, / = 0, 1, ...;(/, I)eRw,
« при любом X осуществляется одна из следующих возможностей:
I) а(Х)= 1/р; тогда 1/2<ра(Х + У)< 1 и |Я/>(/, Х + У)| <
4С/р2-' при / = 0, 1, ..., если а(*)|УК1/2;
11+) а(ХГ2 = supF(t, X); тогда F(s, Х+У)>0при а (X)| У |< 1/2;
<
F(s,X + K)<0 при
) () p(
а (Я) I Г К 1/2:
III) а (ЛГ) = sup | ^ (/, ЛГ) |; тогда F(t, Y) = G (У) Я (/, У) прм
а (X) | У - X |< 1/2, и потому Я > 0, \Gf {Х)\= 1/с (X),
B6.10.11) | G(/> (У) | < С/а (УO, | #У} (/, У) | < С,'а (УO,
константы С'{ зависят лишь от Со, ..., С;+1.
Доказательство. Неравенства а^а(Х)^1/р вытекают непо-
непосредственно из условий и определения а(Х). Поскольку
\F(t, X + Y)-F(t, X)\^\Y\\F'x(x, Х)| + |У|2/2<
|У|/й(Х) + |У|2/2,
\F'(t,X + Y)-F'(t,X)\^\Y\,
то при й(Х)|У|<1/2
\F(t, X + Y)\>\F{t, Х)\-За(ХГ2/4,
\F'{t,X + Y)\2*\F'(t, X)\-a(ХГ1/2,
откуда вытекает второе неравенство из B6.10.8). Отсюда же
вытекает и B6.10.9), поскольку
\F(t9 X + Y)\^a(X)~2(l+\Y\a(X))\
\F'{t, X + Y)\^a(X)-l(\+\Y\a(X)).
Оценка B6.10.10) при j ^2 вытекает из B6.10.6), поскольку
а ^ а, а при / = 0 или /=1 — из определения а. В случае I)
при а (X) | У К 1 из B6.10.9) вытекает, что 1 /2 < ра (X + Y) <^ 1,
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 197
и, следовательно, а(Х + У)'-2 ^ 4р2-' при /^0. В случае 11+)
F(t9X + Y)^z F (t, х) - За (Ху2/4 > 0 при a(X)\Y\< 1/2,
если только F{t, X)> 3d(X)~2/4. Поэтому из условия вытекает,
что F(s, X -f- У) ^ 0 при всех s. Случай Н_) разбирается совер-
совершенно аналогично.
В случае III) можно выбрать // так, чтобы \Fx(tj, Х)\-+
а(Х)~1 и F(tj,Y)->G(Y). Тогда первая оценка в B6.10.11) вы-
вытекает из B6.10.6), и \G'(X)\=a(X)-K Следовательно, в'(У)фО
при \Х—Y\a(X)< 1. Поскольку отсюда следует, что нули G
простые, то они являются пределами простых нулей функции
F(tj, Y). В таких нулях F{s, Y) = 0 при всех s, поскольку У
лежит в замыкании множества, где F(t}-, -)>0, а также в за-
замыкании множества, где F(tj, -)<0. Следовательно, F = 0 при
G = 0, и отношение H(t, Y) = F(t, Y)/G(Y) является неотрица-
неотрицательной С°°-функцией в области d(X)\Y — Х\<С\. Чтобы оце-
оценить Я, предположим, например, что dG(X)/dX\ > 0,
dG (X) /dXf = 0, / > 1. Тогда
Y)/dY{>a(X)-l-\Yl
Если a(X)\Y\< 1/2 и G(X+Y + sei)?*0 при \s\<l/Ba(X)),
1/B5 (X))
где ei =A,0, ..., 0),тоС(Х + У)> $ 5^5= l/(8a(XJ)- По-
Поскольку \F(t, Х+У)|<а(Х)-2A + 1/2+1/8), то
У)|^13 и аналогичные оценки, разумеется, справедливы для
производных по У. С другой стороны, если G(X-{-Y-{-se\) = 0
при некотором s, для которого а(Х) \s\ < 1/2, то F(X-f y+sei),/s
и G(X-f-У + s?i)A совпадают со средними от d\F и ^iG по
интервалам между X-{- У и X-f- У + 5вь Поэтому их отношение
ограничено сверху величиной
Следовательно, |Я(?, X -f- У) | ^ 7, и аналогичные оценки спра-
справедливы для производных от Я, поскольку они верны для сред-
средних от d\G и diF. Доказательство закончено.
Как видно из доказательства последней леммы в случае III),
если G(y)=^0 при | У — Х\а(Х) < 1/2, то | G(X) |> |a(X)"- Но
тогда мы находимся, по существу, в условиях пункта II). Ана-
Аналогичные пограничные ситуации имеются и между другими слу-
случаями, но это неважно. Главное то, что лемма отчетливо разде-
разделяет три области: область, где F ограничена и, следовательно,
198 26. Псевд о дифференциальные операторы главного типа
контролируема, область, где F сохраняет знак, так что приме-
применимы методы § 26.6, и, наконец, область, где F допускает факто-
факторизацию, так что перед нами в основном ситуация, изученная в
§ 26.9.
Поскольку доказательство следующего предложения опира-
опирается на более высокую ступень исчисления псевдодифференци-
псевдодифференциальных операторов, развитую в § 18.5, 18.6, то мы уже в форму-
формулировке будем использовать символы Вейля. Отметим, что для
них выполнены условия B6.10.2) и B6.10.3).
Предложение 26.10.3. Пусть P = Dt + LFw{t, х, D) + Rw(t, x, D)y
где функция F вещественнозначна, F(t, x, ?)F(s, x, ?) ^ 0 при
всех (s, f, х, g)eiR2/l и
B6.10.12) (?\F]!\(t9 x^)\ + \№i(t, x9l)\<bCta'9 / = 0, 1, ....
Тогда если а и ЬТ не превосходят некоторых положительных
констант, зависящих лишь от Со, Сь ..., то
B6.10.13) - |МК1671Ри||, если u<EE9>(Rn) и
u{t,x) = 0 при \t\>T.
Доказательство. Как уже отмечалось выше, можно считать, что
6=1 и С/ = 1 при / ^ 2. Для начала предположим также, что
/? = 0. Согласно лемме 26.10.2, при некотором р, которое будет
выбрано ниже, метрика
g = ci(x,lf(\dx? + \dl?)
медленно меняется и является a-умеренной (ср. A8.5.11)') в силу
B6.10.8) и B6.10.9), поскольку i+|к|3(Х)< 1+|У|< 1 +
\Y\/a(X). Выберем точки Xv=(xy, ?v) так, чтобы шары
Bv(r) = {X;a(Xv)\X-Xv\<r)
покрывали ilR2*"-1) при г =1/5 и число шаров 5v(l/2) с непу-
непустым пересечением было ограничено. Возьмем вещественно-
значные функции ф^ е Со° (Bv A/4)) так, чтобы ^ Ф^ = 1 и после-
последовательность {qpv} была равномерно ограничена как символ из-
S(l, g) со значениями в Р. (См. лемму 18.4.4.) Тогда
Е I <Pvи||2 = Е (фУфУи, и) = {и,и) + (q>wH, и)>
где ф равномерно ограничена в SE2, g) и, следовательно, в
S(p~2, g). Следовательно, ||q>w|| ^ Ср~2. Теперь, фиксируя р =
(max(l, 2C)I/2, мы получаем, что
B6.10.14) 1|и||2<2 Elkv^||2<3||t/||2.
Выберем неотрицательные i|)v e CS°(Sv(l/2)), равные 1 в
5v(l/3), так, чтобы последовательность {i|)v} была равномерно
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 199
ограничена в 5A, g), и положим
Тогда Fv равномерно ограничены в S(d(Xv)-2y a(Xy,J(\dx\2+
|d?|2)). Если для X выполняются условия I) из леммы 26.10.2,
то a(Xv)~2 = р2. Поэтому, применяя теорему 26.8.1 к Л = В = 0,
мы получаем, что
|| и ||< AT || Dt u\ < AT || Дм + «Fv (*, *¦ Я) и I + СГр21| и ||.
Отсюда при СГр2 < 1/2 следует, что
<26.10.15) || и || < 8Т || (я* + IF у (U x,D))u \\-
В случае 11+) видно, что по теореме 18.6.7 (на самом деле по
теореме 18.1.14)
F™(tyx,D) + cI^0
с некоторой константой с. Применяя теорему 26.8.1 сВ = /и
A(t) = Fy(t,x9D) + cI, мы получаем, что
откуда B6.10.15) получается в случае АТс < 1/2. То же верно
и в случае II-); нужно лишь сменить знак у t. В случае III)
положим Gv = tyvG и Яv=/фvЯ, где F=GH — локальная фак-
факторизация из леммы 26.10.2. Применим теорему 26.8.1 к В =
G% (x, D) и A (t) = Hy(t9 x, D) + са (Xvf, где с выбрано настоль-
настолько большим, чтоЛ@>0. Тогда В ge 5(a(Xv)-2, d(XvJ(\dx\2 +
d?|2)) и i4@eS(l,S(XvJ(|djc|2 + |rfg|2)) равномерно, так что
|Л||, || [В, Л] || и || [В, [В, Л]] || равномерно ограничены; в даль-
дальнейшем нам потребуется также равномерная ограниченность
й(ХуJ||5||. Следовательно, из B6.8.3) при достаточно малом Т
вытекает, что
||и||<6Г||(Dt + 1А (t) В) a 1 <6Г1 (Dt + iFf (U x, D))u\\ + CT\\u||,
поскольку символ оператора A(t) В — F% равномерно ограничен
в 5A, g). Отсюда при СГ< 1/4 опять вытекает оценка
B6.10.15), которая теперь установлена во всех случаях.
Применяя теперь B6.10.15) к q%uf мы получаем ввиду
B6.10.14), что
*j:\(Dt + iFl(t9 xf
Рассматривая {Fv} и {yv} как символы со значениями в диаго-
диагональных матрицах из 3?{12, I2) и в /2 = «2?(С, /2), мы получаем
по теореме о композиции, что
(Dt + /F? (U х, D)) <$и = ф^ (Dt + iFw (/, х, D)) u + Kv (/, x, D) и,
200 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
где {/Су}—равномерно ограниченная последовательность
5A, g) (со значениями в Р). Поскольку
(*, D) (Dt + iFw(t, x,D))u|f <41|(Dt
согласно B6.10.14) и .
ZlKHttXttyuf^CWuf
то для малых Т
Отсюда вытекает оценка B6.10.13), если Т настолько мало, что
14T\\R"(t,x,D)u\\^\\u\\l8.
В случае III) оценка B6.10.15) аналогична оценке B6.9.3).
Нам потребуется также аналог оценки B6.9.4), получаемый
применением теоремы 26.8.3 к операторам А (/) = НУ (/, х, D) +
-\-ca{Xvf и B = Gv(x, D) в предыдущем доказательстве. Из
B6.10.15) при малых Т следует, что
J (Bwu, НУ (/, х, D) В™и) dt < СТа (Xv)~2 \\ Pvu ||2,
Pv = Dt + iF? (t, x, D).
Поскольку ffv^0 и вторые производные от a(Xy)~2Hv равно-
равномерно ограничены, то по лемме 7.7.2
где Hv = dHv/dXf или dHv/d^f при некотором /. Следовательно,
0 < Са (Xvf Яv - (Я;J €= S C (Х,)\ a (XvJ (| dxf + \ d\ f)\
Поэтому при некоторой константе С оператор Вейля с симво-
символом
Са (XvJ Hv - Н? + С a {Xvf
неотрицателен. Поскольку символ оператора {н'^У
принадлежит классу S{a {XvL, a(Xvf(\ dx f + | d\ |2)), то
1 tfCwt>|P< C3 (XvJ(H?v, v) + C'a(XvL(v, v).
Отсюда для v = G^ (x9 D) и вытекает оценка
I Н'^ОУ (x, D) и f < CT || Pvu ||2 + C\\u ||2
с некоторой другой константой С. Символ оператора HfvwGv —
(#vCv)w ограничен в S(l, a{Xv)*(\dx\* + |^|2))- Поэтому
ввиду B6.10.15) при малых Т существует еще одна постоянная
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 201
С, такая что
B6.10.16) |(//vGv)W(/, х, D)uf^CT\\Pvu\\2,
где и ^9*, и = 0 при \t\> Т.
Предложение 26.10.3 содержит все, что нужно для доказа-
доказательства локальных теорем существования. Однако для доказа-
доказательства теоремы 26.10. Г нужен еще следующий локализован-
локализованный вариант оценки B6.10.13):
Предложение 26.10.4. Предположим, что выполняются условия
предложения 26.10.3, символы %о и ^\ равномерно ограничены в
5A, a2{\dx\2-\-\dl\2)), причем %\ = \ на supp%0. Тогда для
любого е > 0 при достаточно малых а и ЬТ
B6.10.17) a*\\%Z(x,D)u
для всех функций и е9*(Rn), равных нулю при \t\> Т.
Доказательство, При доказательстве можно считать, что |xi|>
1/2 во всех точках, удаленных на расстояние ^ \/а от supp%o,
поскольку это верно на расстояниях ^ у/а при некотором фик-
фиксированном 7^@, 1), и за счет изменения констант в B6.10.12)
можно заменить в условии а на а/у. Как и при доказательстве
предложения 26.10.3, можно считать также, что 6 = 1 и соот-
соответственно а и Т достаточно малы. Теперь применим лемму
26.10.2 с р = а-1/2, определим qpv, i|)v и Fv как в доказательстве
предложения 26.10.3 и положим 7?v(^, x, ?) = ^v(*, lJR(t, х, g),
Pv = Dt + iFv (t, xy D) + Rv (t, x, D). При достаточно малых а вы-
выполняются оценки B6.10.14). Поэтому
B6.10.18) |Uow(*, ?>И2<2 2 ЦфЖ D)ytf(x, D)uf.
Применим предложение 26.10.3 к q>y(x,D)tx%(x,D)u и Pv:
1 У (x,D)u||.
Для оценки правой части заметим, что
Pv(PvWXow = [Pv, Фу] Xow + Ф? [Pv, 5Cow] + Ф" (Pv - Р) + Ф№.
При вычислении коммутатора [pv, ф^] = (iF% + R%) ф^ —
<р^ {iFv "Ь ^У) будем рассматривать правый множитель как сим-
символ со значениями в /2=«2?(С, I2), а левый — как символ со зна-
значениями в диагональных матрицах из 2?A2J2). (Все последую-
последующие вычисления проводятся таким же образом.) Обозначая g =
&(\dx\2 + |dg|2), мы получаем, что символ этого коммутатора
равен {Fv — iRVi фу} eS(l,g) (со значениями в /2), с точностью
до добавки из S(a2, g)czS(a, g). Следовательно,
202 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
В правую часть оценок можно без всякого ущерба включить
множитель Г2, поскольку в левой части присутствует Цх^иЦ2»
Символ оператора ф^ [Pv, %™] с точностью до слагаемого из
S(a2, g) есть 9V{/7V— iRv, хо}> так как {Fv — iRv} <=S(a-2, g) и
XoeS(l, g). Поскольк> /0^5A, а2( \dx\2 + |d||2)), то этот
символ ограничен в S(a/a, g)cz S(al/2, g"), если рассматривать
индексы v из множества Nu для которых Xv удовлетворяет усло-
условию I) леммы 26.10.2. Следовательно,
Символ оператора 9^X^(PV — Р) ограничен в 5(a, g"), так как
все члены в формуле композиции обращаются в нуль из-за того,,
что i|)v = 1 на supp фу. Следовательно, для этих членов справед-
справедлива даже более сильная оценка. Наконец, символ оператора
%% — ХУХГ принадлежит S(a\ a2{\dx\2 + |dg|2)), откуда
|X^Pu f < С (|yJPu P + a81| Pa ||2).
Следовательно, применяя еще раз B6.10.14), мы получаем
B6.10.19) ?K(*,fl)Xow(*,^)af
< СГ ([ %Y (х, D) Pu f + a81| Pu f + а \\ и |Р + || %- {x,D)u f).
В случаях П±) и III) коммутатор Pv с /^ слишком велик^
чтобы предшествующие оценки были полезны. Поэтому нет
смысла вводить срезающую функцию %^. Поскольку ф^Х^ =
Х^Ф^ + [ф^> Х^] и [ф^, х^] имеет векторнозначный символ со
значениями в 5(a3/2, g") (напомним, что а ^ ^1/2), то
B6.10.20) Е |Ф^
где iVn и Л^ш обозначают множества индексов v, при которых
Xv удовлетворяет условиям П±), соотв. III), леммы 26.10.2 и
фvXo:7^O. Напомним, что при этом |xi|>l/2 в Bv(l/2). (См.
начало доказательства.)
В случае veIVh воспользуемся методами из доказательств
предложения 26.6.1 и теоремы 26.8.1. А именно, для фиксирован-
фиксированного t имеем тождество
B6.10.21) Im (ф^Лг, Ф^г) = Im (Рсруи, ф» + Im ([фу, Р] а, <руи).
В случае П+)
2 Im (Рф^а, ф^а) = -4t\ ^u IP + 2 (Fw№ ^^)
+ 2 Im (/?^Ф^а, ф^а) > - -^-ЦФ^Ц2 - С| сруи 2>
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 203
поскольку функция Fw ограничена снизу, a /?w ограничена. Кро-
Кроме того,
2 Im ([ф^, Р] и, Фуи) = ([ф^, [Фу, Fw]] a, a)+2 Im (фу [ф*, /?w] а, а),
и символы операторов
ограничены в 5 (a2, g)czS{a, g). Умножая B6.10.21) на Т + t,
суммируя и интегрируя при этом по t, мы получаем для /Лнорм
по (/, х) оценку
^(Случай П_) сводится к П+) заменой знака у t.) Поскольку
СТ | q%Pu 11 щ%и || < {(?Т* | ФуРи ||2 +1| Фуи |2)/2,
то при малых Г и некоторой другой константе С
<26.10.22) S IФ?"f <СГ2 S ||Ч%Ри f + CTa\\u\\\
Nu Nu
Если Фv = Фv/Xl + {фv» l/Xi)/2f, то последовательность {я^Ке^п
ограничена в S(l, g), поскольку | Xi I > 1/2 на supp фv при v e Л^ц,
а символ оператора ф^ — ф^с^ ограничен в 5 (a3, g), поскольку
<Pv — Х1фу — (9v, Xi}/2/ = {{Фv, 1/Xib Xi>/4. Следовательно,
<26.10.23) S | Фури f < С (I t?Pu f + * IIP" II2).
В случае III) мы воспользуемся операторами, приближенно
коммутирующими с Р, аналогичными операторам с символом
B6.9.8), использованным при доказательстве теоремы 26.9.1.
Такие операторы строятся в следующей лемме, которая будет
доказана после окончания доказательства предложения 26.10.4.
Лемма 26.10.5. Для некоторого целого J при всех v^Nm и
/=1, ..., / существуют такие функции фу/, (pv/ ^ Co° (Bv A/3)),
vvi <= С~ (Bv A/2)), что при \t\<T для малых Т
(i) (фУ/}^л/п1, {фу/Ке^1П и {0v/}veA,in равномерно ограни-
ограничены в 5A, g-);
(ii) фv/==l «a suppq)v/, Ефг/=1 «л ^
204 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
(iii) dvvj/dt — iHv (yv/, Gv} = 0 на supp qpv/,
(iv) vvf > e/3 на suppqpv/, uv/< 2e/3 на supp(pv/,
vvj > 1 + e/3 на supp dqpv/.
Окончание доказательства предложения 26 JO А. Полагая
mv/ = <pv/a°v/
и применяя предложение 26.10.3 к оператору Pv и функции
т™., мы получаем оценку
B6.10.24) ||mu4|
Мы хотели бы здесь прокоммутировать оператор Pv с m^r Из.
первой части условия (iv) вытекает, что символы {mvj}v<E=Nm
ограничены в 5A, g"), поскольку степени log а, возникающие
при дифференцировании mv/, можно оценить через а~е/3. Сле-
Следовательно, символ коммутатора [mv/, Pv] принадлежит 5 (a, g)
(со значениями в Р), не считая добавки
B6.10.25) - /{mv/, т + iFv)
= - f {Vv/, т + /Fv} а^' + (log a) Gv {ov/> tf v} mv/.
Здесь при вычислении {yv/, t + Z^v} мы использовали условие
(iii). Поскольку {cpv/, t + *'К} лежит в 5A, g") со значениями в
/2, то из последней части условия (iv) вытекает, что символ
со значениями в Р является равномерно ограниченным. Второе
слагаемое в правой части B6.10.25) отличается от символа
оператора
log a ( Z ((dlkvvi)" (G A,tfv)w - (<VV/)
на символ из S(afg) со значениями в /2. Поскольку dikvv}- и
ограничены в 5(a1/2, g-), то из B6.10.16) вытекает, что
где символ {pv/} ограничен в 5 (a, g). (Отметим, что все члены в.
формуле композиции для m^[P — Pv) равны нулю.) Следова-
Следовательно,
|| PvmvfU || < 2 || mWP" II + 2 II PWW1'
если а настолько мало, что 2Ca1/2loga < 1. Поэтому, исполь-
используя B6.10.24), мы получаем
B6.10.26) I |ndmT<CT2(Z IImviPut + a\\u||2).
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 205
Доказательство B6.10.23) дает также оценку
B6.10.27) If m^Pu f < С (| %7Ри |f + a61| Ри ||2)-
Согласно утверждению (ii) леммы 26.10.5,
<Pv = X
и символ {ipvy} ограничен в S(\,g) согласно второй части (iv).
Следовательно, символ оператора а8ф™ — X ^!т^ со значе"
ниями в /2 ограничен в S(a,g)9 так что
X || cfif^u f < С A1 /пууиf + а2 || а ||2).
Отсюда ввиду оценок B6.10.26), B6.10.27) и из полученных ра-
ранее оценок B6.10.18) —B6.10.20), B6.10.22) и B6.10.23) полу-
получается, что
а2е | Xow (*, Д) и f < СГ (||хГ (^, О) Риf + а61| Ри ||2
f) + Са ||u |
Отсюда вытекает оценка B6.10.17), если Т столь мало, что
СТ2< 1/2.
Доказательство леммы 26.10.5. Главная идея доказательства —
использовать следствие 26.7.8 для построения решения урав-
уравнения
dvldt-iHv{v, Gv} = 0
при \t\<C.T для достаточно малых Т и для (jc, |) из окрест-
окрестности произвольной точки FgBvA/4) диаметра, пропорцио-
пропорционального l/av, где av = a(Xv). Для этого введем xv(#, т]) =
(xv-{-y/aVi lv + r]/ay) и преобразуем наше уравнение к виду
d.(xvv)/dt + iKvHv {a%Gv, x*vv) = 0.
(Отметим, что xv не является симплектическим преобразова-
преобразованием, но симплектическая форма при преобразовании xv просто
умножается на постоянный множитель.) Символы x*#v и ahC/Gv
имеют равномерно ограниченные производные по у, ц. При этом
величина а21 rfx*Gv @)| ограничена снизу фиксированной положи-
положительной постоянной. Следовательно, из теоремы 21.1.6 и из ее
доказательства вытекает существование такого канонического
преобразования xv некоторой фиксированной окрестности точки
0 на некоторую окрестность точки %~l(Y) с равномерно ограни*
ченными производными любого порядка от & и &, при кото-
206 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
ром
При этом мы получаем уравнение
-^ ((*v*vr v) + i (щп,У Hvd ((xvxv)* v)/dyx = 0,
которое решается при помощи следствия 26.7.8 с е/3 вместо е.
Поскольку xvxv@)=yGBv(l/4), то окрестности можно вы-
выбрать настолько малыми, чтобы ХуЯ^Уг с: Bv(l/3). Возьмем
функции Ф^С™ (V2), равную 1 в Vi9 и Ч? <= Со° (V2), равную 1
на suppO. Тогда функции
v = («7 V)* (т & + е/3))> Ф = (*v V)' ф
принадлежат Co°(Bv A/3)) и при малых Г удовлетворяют усло-
условиям (i), (iii) и (iv) для ф^у, vVJ\ Кроме того, ф = 1 и v < 2е/3
в {X; av|^— ^|< с) ПРИ некоторой фиксированной константе с.
Поскольку Bv(l/4) можно покрыть некоторым фиксированным
количеством / таких окрестностей, то существует подчиненное
разбиение единицы cpv/, равномерно ограниченное в S(l,a*(\dx\2
+ |rf||2)). Соответствующие функции v и ф будем обозначать
через vVf и фу/. Таким образом, лемма доказана.
Доказательство теоремы 26.10.Г\ Нужно проверить, что если
i/^<^'/(R/z), s*^s на C/ и 5ри^5.на /, то также и s*u^s на
/. При этом можно предполагать, что s*u ^ s — 1/4 на /: если
такой случай уже разобран, то, начиная с условия s*u^ s — kjA
на / при некотором целом &, мы последовательно получаем
5* ^5 — (k — 1)/4, ..., s*u^s на /. Условие s*Pu^s на / при
этом сохраняется, если изменить слагаемые порядка ^—1 в
символе оператора Р. Таким образом, можно считать, что сим-
символ Вейля оператора Р равен &+ *"/(*, |') + /'(*> I') B некото-
некоторой конической окрестности V отрезка / при |||>1. Можно
взять окрестность V настолько малой, чтобы s% > s — 1/4 — &
и Spu > s — е на I/, где е — произвольно малое положительное
число, фиксированное во всех последующих рассуждениях.
Предполагается также, что выполнены условия B6.10.2) и
B6.10.3). Выберем Хо, %и Ф е= С(R2n~2) так, что
Хо(О)=1> 5Ci = l на suppxo, *ф = 1 на supp^.
Определим /бд и гбд по формулам B6.10.4) и аналогично
X/. в. ^ П = х, (*7Ч^'-
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 207
Используя симплектическую дилатацию, мы можем, как отме-
отмечалось после B6.10.5), применить предложение 26.10.4 с а2 =
Я/б2 и получить при достаточно малых б и X
B6.10.28) (Уб^ЦХо^.^'.Д'Н!
< С (|*7. а, х(*'> D') рь. »*| + (V62K/2|| ^ ^ || + (Л/62I/4II v ||),
если се?1 и и = 0 при х\ ф /. (Напомним, что / = /Х{0}Х
{е„}.) Здесь
Р6, k = Di + ifl я (*• D') + Т. х (*• D').
Возьмем компактный подынтервал /0 внутри / так, чтобы
5*>5 —е на /\/0, и такую функцию x^C~(V), что л^е/
на supp % и 5С=1 в некоторой окрестности интервала /0. При-
Применим оценку B6.10.28) к v = ql(xi D)u, где
(В этом месте мы предпочитаем не пользоваться исчислением
Вейля, чтобы быть уверенными, что Х\ е / на supp у.) По лемме
26.9.3 величина \\Xx^q%{x, D)u\\ ограничена при А,-*0. Поскольку
XD\q% является суммой двух операторов того же вида с |i%(Jt, |)
или XDi%(x, I) вместо %(х, I) и поскольку операторX (/? к(х, /У)+
гу ^(jc, DO) равномерно ограничен, то Я3/2||Р6, x^x^li ~^0 ПРИ
Х^0.
При вычислении символа оператора
мы отмечали, что символ оператора Р6, х совпадает с символом
оператора Р в пересечении supp qx и supp %i, б, ^. Следовательно,
по теореме 18.5.4 символ оператора
равен Я8~5х(^, А|) + рв,ь где
и Рб. х равномерно ограничен в Ss~l при А,->0, поскольку ^^
равномерно ограничен в Ss~e. Следовательно, .норма ||рб, хи\\
ограничена при 1-^0. При малых б очевидно, что s^ > s — е на
supp x.cisupp xi, б П supp d%, поскольку s*u > 5 + 1 — е при %г ф 0,
так как там оператор Р нехарактеристичен, и s*u > s — е на
supprfx ПРИ ^ = 0, 1 = гп в силу выбора х- Следовательно,
норма
II*,'-**(*, ЩиII
208 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
ограничена при Х-+0. То же верно для ||*7х(*> D)Pu\\. Поэтому
из B6.10.28) вытекает, что норма
ограничена при Х-+0. Символ оператора %™б ^(*, D) совпадет
с хоб хдк с точностью до слагаемого, ограниченного в Ss~~l. По-
Поэтому норма
ограничена при Х-*~0. Следовательно, s*u^s — Зе/2 на /0 по
лемме 26.9.3. Это доказывает теорему, поскольку е — произволь-
произвольно малое положительное число.
26.11. Полуглобальная теорема о разрешимости
Для произвольных операторов, удовлетворяющих условию (Р),
мы доказали результаты, заменяющие теорему 26.1.4. Это по-
позволит нам доказать соответствующий аналог теоремы 26.1.7,
по существу не меняя ее доказательства. Перед формулировкой
этого аналога обсудим возникающие здесь геометрические усло-
условия, используя обозначения, введенные в конце § 26.5.
Теорема 26.11.1. Пусть Р — псевдодифференциальный оператор
из W^hgCX), удовлетворяющий условию (Р), и К — компактное
подмножество в X. Тогда следующие два условия эквивалентны:
(i) Каждая характеристическая точка над К лежит на не-
некотором компактном интервале полубихарактеристики, не имею-
имеющем концевых характеристических точек над К.
(ii) Никакая двумерная бихарактеристика и никакая полная
одномерная бихарактеристика в N\(N\\\J Nl) не лежат цели-
целиком над К.
Доказательство. Импликация (i)=^(ii) очевидна. Пусть теперь
выполняется условие (ii). Можно также считать, что порядок
оператора Р равен 1. Гамильтоново поле Нр главного символа р
можно рассматривать как векторное поле v на расслоении ко-
сфер S*(X). Из (ii) следует, что v не может обращаться в нуль
нигде над К в точках характеристического множества, так как
иначе существовала бы радиальная бихарактеристическая кри-
кривая, что противоречит (ii). Если yQ^ N\N%, то полубихарак-
полубихарактеристика, проходящая через 70, является одномерной бихарак-
бихарактеристикой до тех пор, пока она не покинет характеристического
множества. Если условие (i) нарушается в некоторой точке
Yo ^ N \ N\, то существует С1-отображение R+ ^ /»—> у (/) е
26.11. Полуглобальная теорема о разрешимости 209
5* (X) \к, для которого
Р(У@) = 0, v'(t) = c(t)v (у(*)), \c(t)\=l, у @) = яУо,
где jt — проекция T*(X)\0-+S*(X). Выберем последователь-
последовательность //->оо, для которой точки y('/) сходятся. Тогда при каж-
каждом /gR существует предел
y(t)=limy(t + t,)
и y(t)—полная одномерная бихарактеристическая кривая, что
противоречит (ii). Предположим теперь, что yo^Ne2, и пусть
В — двумерная бихарактеристика, содержащая у0. Можно счи-
считать, что В содержит некоторую точку у е А/г, лежащую над
дополнением к /С Действительно, ввиду предложения 26.5.5
можно, не нарушая условия (Р), так изменить символ в произ-
произвольной точке из Ne2\N2, чтобы она попала в #2. Если уо^Во
(см. обсуждение после определения 26.5.4), то условие (i) вы-
выполняется, поскольку на римановой поверхности 50, очевидно,
можно найти гладкую кривую, проходящую через класс точки
7о и оканчивающуюся вблизи у. Если уо<= В\В0, то в силу
определения Ne2 можно все-таки найти полубихарактеристику,
идущую из у в yo. Но тогда условие (i) также выполняется,
потому что иначе эта полубихарактеристика неограниченно про-
продолжается в обратном направлении как одномерная бихаракте-
бихарактеристика над К. Однако, как мы видели в первой части доказа-
доказательства, это противоречит условию (ii), что и завершает до-
доказательство.
Из наших микролокальных теорем о регулярности вытекает
такое следствие:
Теорема 26.11.2. Пусть Р е W^hg (X) — псевдодифференциаль-
псевдодифференциальный оператор на многообразии X. Предположим, что Р удовле-
удовлетворяет условию (Р), и пусть К—компактное подмножество в
Аг, удовлетворяющее (эквивалентным) условиям теоремы 26.11.1.
Тогда если и^Ж'(К) и s*pu^s> г^е s — вещественное число или
+ оо, то s*u ^s + m — 1.
su
Доказательство. Допустим, что утверждение неверно, т. е.
B6.11.1) so = lnts*u<s + m- 1.
Покажем, что это ведет к противоречию. Поскольку функция
s*u полунепрерывна снизу, то so = s*u(y) для некоторого у ^
Г*(Х)\0, лежащего над К. Поскольку s* ^ s + m вне N, то
очевидно, что у ^ N. Возьмем интервал Г на полубихарактери-
210 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
стике, содержащий у, не имеющий концевых характеристических
точек над К. Тогда s*u^s -\- т в концевых точках Г. Если Г не
содержится в N, то s*^s + /n—1 на Г согласно теоремам
26.6.2 и 26.6.4, что противоречит B6.11.1). Поэтому TczN. Если
Г является одномерной бихарактеристикой, то также получается
противоречие ввиду теоремы 26.10.1'. Остается последний воз-
возможный вариант, что Г с: Щ. Но тогда так же, как в доказа-
доказательстве теоремы 26.11.1, можно, не нарушая условия (Я), так
изменить главный символ в концевых точках интервала Г, что-
бц\ они попали в множество N2. Это не нарушит условия s*Pu^sy
если изменение произвести в достаточно малом множестве, так
как ие^'(/(). Пусть В — слой слоения в Nev содержащий
точку у. Тогда у е Во и функция
S = min(§l/, s + m— 1)
супергармоническая по теореме 26.9.1, S ^ s0 на 50, S = s0 на
классе, соответствующем точке у. Следовательно, 5 тождествен-
тождественно совпадает с s0. Но это противоречит тому, что 5 = 5 + т — 1
на классах концевых точек Г. Это завершает доказательство.
Теперь мы в состоянии доказать несколько ослабленный ана-
аналог теоремы 26.1.7.
Теорема 26.11.3. Пусть Р <= ^[Thg (X) — собственный оператор,
удовлетворяющий условию (Я), и К—компактное подмножество
в X, удовлетворяющее (эквивалентным) условиям из теоремы
26.11.1. Тогда пространство
является конечномерным подпространством в С™ [К), ортогональ-
ортогональным к P2D'(X). Для любого распределения f e Н(°)(Х), ортого-
ортогонального к N(K) (т. е. такого, что (f, N(K)) = 0), и любого
t < s + m — 1 существует распределение и е н\?) (X), удовле-
удовлетворяющее уравнению Ри = f в некоторой окрестности компак-
компакта К. (Если s = оо, то можно взять t = 00.)
Доказательство. Конечномерность N (К) и включение N(K) в
С~(/С) вытекают из теоремы 26.11.2 точно так же, как в дока-
доказательстве теоремы 26.1.7. Согласно условию (i) теоремы
26.11.1, можно выбрать некоторую компактную окрестность Кг
компакта /С, для которой условие (i) еще выполняется и
N(K')= N(K). Поэтому достаточно проверить, что уравнение
Ри = f можно решить в множестве внутренних точек компакта
Л'. Последнее доказывается аналогично теореме 26.1.7, за
исключением того, что в B6.1.5) и B6.1.6) нужно теперь уве-
Примечания 211
личить t в ||Р*у||(о, что даст B6.1.7) для любого t> 1 — т — s.
Тогда существование решения получается так же, как выше.
Естественно теперь обобщить определение 26.1.8 и ввести,
наконец, термин, употребленный в названии данной главы:
Определение 26.11.4. Пусть Р <= WJThg (X) — собственный опера-
оператор, удовлетворяющий условию (Р) на X. Будем говорить, что
Р — оператор главного типа на X, если он удовлетворяет усло-
условиям (i) и (И) теоремы 26.11.1 на любом компакте К в X.
В этой главе мы показали, что для оператора Р главного
типа уравнение Pu = f может быть решено на любом компакте,
если f удовлетворяет на нем соответствующему конечному числу
условий совместности.
Примечания
Для операторов вещественного главного типа локальная тео-
теорема существования была доказана Хёрмандером (Hormander
[1]). Пример Di + iD2 + i(xi + ix2)Dsy принадлежащий Леви
(Lewy [1]), показал, что такой результат для случая комплекс-
комплексных коэффициентов, вообще говоря, не справедлив. Это привело
к доказательству в работе Hormander [11] необходимого усло-
условия разрешимости. Разрешимость была доказана Хёрмандером
в работе Hormander [10] при более сильных условиях, а полу-
полуглобальный результат о разрешимости был им получен в моно-
монографии «Линейные дифференциальные операторы с частными
производными». (См. также Calderon [2].) Мидзохата (Mizo-
hata [4]) заметил, что те же методы применимы и к некоторым
другим операторам, например к «операторам Мидзохаты»
Dx + ix*D2. Важность этого наблюдения выяснилась после того,
как Ниренберг и Трев (Nirenberg, Treves [1]) показали, что
доказательство локальной разрешимости для произвольных диф-
дифференциальных операторов первого порядка с аналитическими
коэффициентами можно свести к очень близким модельным слу-
случаям. Спустя несколько лет Ниренберг и Трев (Nirenberg, Tre-
Treves [2]) распространили свои результаты на операторы выс-
высшего порядка и даже на псевдодифференциальные операторы.
Они показали, что оператор Р не является локально разреши-
разрешимым, если Im qp в обозначениях теоремы 26.4.7 меняет знак
с «—» на «+» в нуле конечного порядка на бихарактеристике
символа Re qp. Для случая нулей первого порядка это было
известно из работ Hormander [11, 17]. То же самое необходи-
необходимое условие было найдено Егоровым [2]. Главную роль в этих
исследованиях играет теорема Егорова [1], которая позволяет
212 26. Псевдодифференциальные операторы главного типа
приводить главный символ к простейшему виду при помощи
преобразования подобия, осуществляемого интегральным опе-
оператором Фурье. Ниренберг и Трев (Nirenberg, Treves [2]) так-
также высказали гипотезу о необходимости условия (*?) для ло-
локальной разрешимости и доказали его инвариантность. Идея
изложенного здесь полного доказательства принадлежит
Мойеру (Моуег [1]). В качестве существенной компоненты оно
содержит доказательство инвариантности условия (W). Предва-
Предварительное изложение этого доказательства было дано в работе
Hormander [401.
Ниренберг и Трев (Nirenberg, Treves [2]) доказали доста-
достаточность условия (Р) для локальной разрешимости в аналити-
аналитическом случае. Предположение аналитичности было устранена
Билзом и Фефферманом (Beals, Fefferman [1]), однако их ре-
результат оставался локальным. На самом деле он не давал
даже существования С°°-решения при правой части из С°°*
Существование такого решения было доказано в работе Horman-
Hormander [37], где к этому добавлена также полуглобальная теория
разрешимости. Ключом к доказательству этих результатов яв-
являются теоремы о распространении особенностей. В случае ве-
вещественных постоянных коэффициентов такие результаты восхо-
восходят к Грушину [1] (см. примечания к гл. 8), а в общем случае
они доказаны Хёрмандером (Hormander [25]). Подробное об-
обсуждение свойств операторов вещественного главного типа в
§26.1 заимствовано из статьи Дёйстермаата — Хёрмандера
(Duistermaat, Hormander [1]), где эти свойства получены как
приложение теории интегральных операторов Фурье. Там же
выведены результаты для инволютивного случая, изложенные в
§ 26.2. Нормальные формы в симплектическом случае впервые
были найдены в статье Сато, Каваи и Касивары (Sato, Kawai,
Kashiwara [1]) в аналитическом классе (классе гиперфункций).
Результаты для С°°-случая из § 26.3 получены Дёйстермаатом и
Шёстрандом (Duistermaat, Sjostrand [1]). Геометрические рас-
рассуждения § 26.5 заимствованы из статьи Hormander [37]. Уси-
Усиление результатов этой статьи, принадлежащее Денкеру (Den-
cker [1]), излагается в § 26.7. Основные оценки § 26.8 принад-
принадлежат Ниренбергу и Треву (Nirenberg, Treves [2]). Они исполь-
используются сначала в § 26.9 для доказательства более сильного
варианта теоремы о супергармоничности Дёйстермаата —
Хёрмандера (Duistermaat, Hormander [1]), полученного Хёрман-
Хёрмандером (Hormander [37]), и они же играют важную роль в
§ 26.10. Главный результат § 26.10 принадлежит Денкеру
(Dencker [1]). Существенную роль в доказательстве этого ре-
результата играют также методы Билза — Феффермана (Beals,
Fefferman [1]). Стандартные выводы § 26.11 взяты из статьи
Хёрмандера (Hormander [37]).
27
Субэллиптические операторы
Краткое содержание главы
Если Р — эллиптический оператор порядка т на С°°-многообра-
зии X, то из условия Ри е h\s) вытекает, что и е Н{°+т) (тео-
(теорема 18.1.29). Этот результат допускает микролокализацию
(теорема 18.1.31): если Ри е Я/?)С в некоторой нехарактеристиче-
нехарактеристической для Р точке кокасательного расслоения, то в этой точке
и^Н\°+ту Это наиболее сильный возможный результат о (ми-
кро)гипоэллиптичности.
Цель данной главы состоит в полном изучении следующего
по простоте случая, когда из условия Ри е Н{°) вытекает, что
и е Ни+т-б) ПРИ н^к°тором фиксированном 6е@, 1). При этом
Р называется субэллиптическим с потерей б производных. Усло-
Условие б < 1 гарантирует, что субэллиптичность накладывает огра-
ограничения только на главный символ.
Как мы уже видели в § 26.4, условие Dя) необходимо для
гипоэллиптичности. В § 27.1 при помощи масштабных преобра-
преобразований получено другое необходимое для субэллиптичности
условие на главный символ. Эти условия в совокупности под-
подсказывают, как должно выглядеть необходимое и достаточное
условие субэллиптичности, представленное в теореме 27.1.1 L
Однако для полного доказательства необходимости нам потре-
потребуется исследование тейлоровского разложения символа с точ-
точки зрения симплектической структуры, проведенное в § 27.2.
Доказательство достаточности в общем случае длинно. Поэтому
сначала мы в § 27.3 приведем короткое доказательство для опе-
операторов, удовлетворяющих условию (Р). В § 27.4 подробно об-
обсуждаются локальные свойства общих субэллиптических сим-
символов. Доказательство теоремы 27.1.11 завершается в § 27.5 и
27.6 в несколько шагов при помощи локализации.
27.1. Определения и основные результаты
Пусть Р — собственный псевдодифференциальный оператор по-
порядка т на С°°-многообразии X, имеющий однородный главный
символ р. Пусть бе @, 1).
214 27. Субэллиптические операторы
Определение 27.1.1. Оператор Р называется микросубэллипти-
ческим в точке у^ Г*(Х)\0 с потерей б производных, если для
каждого 5 е R
<27.1.1) и е= ?>' (X), Ри е= я{?)С в Y => и е= Я{?те-б) в Y.
Часто бывает удобно представлять условие B7.1.1) в более
•слабой на вид форме.
Лемма 27.1.2. Если при некотором s ^ R
<27.1.1)' аеЯЙи-1)(Д Ри^ Н1^с(Х)=^и^ Hl{^m-6) в у,
то Р микрогипоэллиптичен в точке у с потерей б производных.
.Доказательство. Прежде всего распространим B7.1.1)' на все
5sR. Для этого возьмем собственный эллиптический оператор
А порядка |ы. Если
и ge Hl?v+m-i)(X)9 Pu e Hlr+^iX),
-то v = AutBH{r+m-i)(X), и
Pv = APu + [Pf A]uf=His)(X),
поскольку [Р, А]^^171^-^-1. Следовательно, из B7.1.1)' выте-
вытекает, что ЛиеЯ(?+т-в) в точке у, откуда следует, что и
Я1 Т б B711)' й
(+) у у у
1_б) в Y. Таким образом, B7.1.1)' верно с заменой 5 на
5 + ц, т. е. при всех 5, чем мы и будем дальше пользоваться.
Если и^2)'(Х), Ри<=н\°) в Y, to и е Н\°+т-\) при некото-
некотором /^5. Возьмем собственный и нехарактеристический в Y
оператор В g W0, для которого Ри^н{°) и и^Н\?+т-\) в
(В). Тогда 5меЯ(?+т-1)(Х), РВи<=н\°), что проверяется,
как в первой части доказательства. Следовательно, Ви^
¦Н(?+т-б) в У согласно расширенной версии условия B7.1.1)',
-откудам е//(?+т_в)В у. Итак, нам удалось заменить в условии
параметр t на min(s, tf+1—6). После конечного числа таких
шагов мы получаем t = sy так что меЯ(?+т_в)В Y. Доказатель-
Доказательство закончено.
Если Р микросубэллиптичен в каждой точке y^^WXO с
потерей б производных, то
427.1.2) и <= ЗУ (X), Ри е= Я^ (X) =^ м ее Я{5°;т_б) W-
Обратно, из B7.1.2) по лемме 27.1.2 вытекает микросубэллип-
тичность в каждой точке из Т*(Х)\0. Итак, чтобы получить всю
информацию о субэллиптичности в смысле B7.1.2),"достаточно
.проверить микросубэллиптичность. Начиная с этого момента мы
27.1. Определения и основные результаты 215»
будем интересоваться только этим последним свойством и для
краткости вместо термина микросубэллиптичность будем ис-
использовать термин субэллиптичность.
Лемма 27.1.3. Пусть оператор Р субэллиптичен в точке у с по-
потерей 6 производных; то же верно для любого оператора с глав-
главным символом ар в некоторой конической окрестности точки уу.
если а — однородный символ и а{у)=?=0.
Доказательство. Условие B7.1.1)' не меняется при изменении
младших членов в Р, а из определения 27.1.1 видно, что все за-
зависит только от ограничения символа на некоторую коническую-
окрестность точки у. Если А — псевдодифференциальный опера-
оператор с главным символом а, то из определения 27.1.1 по теореме
18.1.31 вытекает, что АР — субэллиптический оператор в точке у
с потерей б производных. Поскольку его главный символ равен;
ар, то это завершает доказательство.
Лемма 27.1.4. Пусть % — однородное каноническое преобразова-
преобразование некоторой конической окрестности точки (xOi ?o)^ r*(Rrt)\O
на коническую окрестность точки у е Г* (X) \0. Если Р субэл-
субэллиптичен в у с потерей б производных, то операторы с главным
символом р °% в некоторой конической окрестности точки (хОу |0)
также субэллиптичны с потерей б производных.
Доказательство. Как и в доказательстве предложения 26.1.3,.
выберем AeeI°(XXR\ Г') и В <= I°(Rn X X, (Г)')' гДе г~
график преобразования %, для которых соответствующие опе-
операторы являются собственными и (у, у) ф. WFf(AB — /),
(*о> 5о> хо> So) Ф WF' {ВА — /). Тогда Q = ВРА — псевдодифферен-
псевдодифференциальный оператор, главный символ которого равен ро^ в-
некоторой конической окрестности точки (х0, So)- Если v e
0'(R") и Qvz=H{°s? в (*o>So), т. е. BP(Av)^H\^ в (х0, So), то-
АВР (Av) е= Н\°) в y, откуда P(Av)<=H\°S) в у- Поэтому из.
B7.1.1) вытекает, что Лу g ЯE°+т-б) в v, откуда BAv ^ H(S+m-6y
в (*о> So) и о е Я(я+т-в) в (jc0, So)- Это завершает доказательство..
С этого места будем считать, что XaRn. Для доказатель-
доказательства необходимости условий субэллиптичности мы должны
записать условие B7.1.1) в виде некоторой оценки.
Лемма 27.1.5. Пусть КшХ — компактная окрестность точки л:0,.
и предположим, что Р субэллиптичен в точке (х0, |0) с потерей-
б производных. Тогда для некоторого символа а е 5°, нехарак-
нехарактеристического в точке (xq, go),
B7.1.3) || а (х, D) и ||(т_в) < С (ц Ри ц@) + || и \т_{)), и е Со~ (К).
216 27. Субэллиптические операторы
Обратно, из B7.1.3) вытекает, что Р — субэллиптический с по-
потерей б производных в каждой точке (х, ^)еГ*A)\0, если х
лежит во внутренности компакта К и символ а нехарактери-
нехарактеристичен в (х, ?).
Доказательство. Введем Н = {и е <Sr (К) Л #<т-о; Ри е Я(о)};
тогда Н — гильбертово пространство с нормой ||Ри||«» + IMI(m_i).
По условию если и е Я, то ие//{т_б)В точке (х0, go)- Следова-
Следовательно, а(х, Z))w ^ #(m_6), если символ a e 5° обращается в
нуль вне достаточно малой конической окрестности точки
(jt0, |o). Выберем символы fl/ES0, нехарактеристические в
(*о, |о)» так> чтобы любая коническая окрестность точки (х0, |о)
содержала supp a; при некотором / = 1, 2, ... . Тогда для каж-
каждого и^Н имеем ||a/(jc, D)u\\(m-^) < <х> при некотором /. Обо-
Обозначим
Ми N = {ue=H\\\ a/ (*, /)) я ||(m_6) < Л^}.
Это замкнутое выпуклое центрально-симметричное множество,
и U Mft n = H. Следовательно, по теореме Бэра некоторое мно-
множество MjtN содержит внутренние точки. При этом точка и = 0
должна быть внутренней, откуда
|| Р|| + ||и ||(m_0)
при некотором С. Этим доказано B7.1.3).
Предположим теперь, что условие B7.1.3) выполнено, и
пусть Y—внутренность компакта К. Тогда если и^&"'(У)П
Я(т_1) и Ри^Н@), то а(х, D)u^ #(т_б). Действительно, если
взять функцию х е Со°, для которой \%dx= 1 , и обозначить
ХеМ = хО*;/8)/8'\ т0 ие = и*%е-*и в Я(т_1). Поскольку
,u* Xe =/Xe(^))w и символы Хе{1) = х(г1) ограничены в S0, то
распределения
()P[
ограничены в Я(о> при e->0. Но тогда ввиду B7.1.3) распреде-
распределения а(х, D)ue ограничены в Я(т_б), откуда а(ху ) Я
\
) у ( ) )
Если известно лишь, что и<= Н\т-\){Х) и Pw е Я(о)С (X), то
для ф^С"(Г) имеем фие^-|)№ и Р(фи)еЯ|5)С(Д откуда
Я(т-б). Следовательно, «еЯ^ в каждой точ-
точке из Г*(К)\0, в которой а нехарактеристичен; отсюда по
лемме 27.1.2 вытекает субэллиптичность. Доказательство за-
закончено.
Из леммы 27.1.4 получаем важное следствие:
Теорема 27.1.6. Множество точек у еГA)\0, в которых опе-
оператор Р субэллиптичен с потерей б производных, является от-
открытым коническим множеством.
27.1. Определения и основные результаты 217
Предложение 27.1.7. Если р — главный символ оператора Р, и,
для некоторого нечетного целого k
B7.1.4) p(Y) = 0, Hkeplmp(y) = 0, j < ky HkReplmp(y)< 0r
то Р не является субэллиптическим в точке у с потерей 6 про-
производных ни при каком 8.
Доказательство. Условие означает, что Imp имеет нуль порядка
k на бихарактеристике символа Rep, проходящей через у, и
меняет на ней знак с «+» на «—». Пусть х— наименьшее не-
нечетное число, для которого в каждой окрестности точки у най-
найдется такая характеристическая точка у', в которой условие
B7Л.4) выполняется с х вместо k. Тогда ясно, что на любой
бихарактеристике символа Rep, начинающейся вблизи такой
точки у', функция Imp имеет нуль в точности порядка х. По-
Поэтому Р не является даже микрогипоэллиптическим в точке уг
по теореме 26.3.6. Следовательно, по теореме 27.1.6, Р не яв-
является субэллиптическим в у, что и требовалось доказать.
Сформулируем теперь необходимое условие субэллиптич-
субэллиптичности с потерей б производных, которое зависит от величины б.
Предложение 27.1.8. Пусть k — положительное целое число и
ти .. •, гпп, juti, ..., \in — положительные числа, для которых
B7.1.5) m/ + |i/ = *+l> /=1, ..., п.
Предположим, что Р субэллиптичен в точке (х0, g0) с потерей 6
производных и главный символ р обращается в нуль в (х0, Ы
с весом k, т. е.
B7.1.6) DlDlp (*о, Ы = 0 при (а, ц) + (Р, m) < k.
Тогда 6
Доказательство. Для упрощения обозначений будем считать, что
Хо = 0. По лемме 27.1.3 можно считать также, что порядок Р
равен 1 и Р = Р(Х> D), где PeS1 и Р(х, Q = p(x9 l) при
|?|>1. Тогда можно распространить B7.1.3) на все и ^9*.
Действительно, если % е С^° (К), то B7.1.3) можно применить к
уи при любом «gS7. Это дает
|| %а (х, D) и ||A_б) < С (|| Ри ||(о) + || и ||(о))
с некоторой другой константой С. Выбирая функцию %, для ко-
которой %(хъ)ф$, и заменяя уа на а, мы получаем оценку вида
B7.1.3), справедливую при всех и 6^.
Возьмем и, для которого й е С™ (Rn)t и положим для е е
(о, 1)
218 27. Субэллиптические операторы
Тогда
Р (х, D) (е1 <*• Ыги (Мё1х)) = е1 {х' ы/Е/е (М?х),
где
{27.1.7) U (*) = Bя)~" \ е1 «• ъ>р (Мех, We + M?l) й (I) dg.
По формуле Тейлора из условия B7.1.6) вытекает, что
<27.1.6)' | р (х, go + |) | < С ( Е | х; |*/т/ + 2 |
Следовательно,
ер (Л7е*, 1о/е + М^\) = р (Мел:, |0 + eAfe"'g)
иа supp й, откуда
При любом р аналогичная оценка для л:Р/е(л:) получается, если
умножить B7.1.7) на х& и проинтегрировать по частям, заменяя
jtP на (—Dt)$. Следовательно, при е-^0
Обозначим Ь (х, D) = (l + | D |2) a{xy D) и положим
6 (х, D) (е1 «• |0>/е« (Me"'х)) = е'<д:' ^е (МГ'х);
§г (х) = Bя)-п J е* «• В6 (Мех, We + Afe-'g) u (g) dg.
Главный символ оператора b равен |||1-вао(х, |), где ао—глав-
ао—главный символ оператора а. Поэтому
равномерно на любом компакте при е-^0. Но тогда, применяя
оценку B7.1.3) к функции е1<х'^1ги(Мг1х)> что возможно, как
показано в начале доказательства, мы получаем
II Мо,< С (||/.«№> +|| и у.
Следовательно, 8—1 ^—1/F+1), что и требовалось.
Следствие 27.1.9. Если Р — субэллиптический оператор с поте-
потерей б производных в характеристической точке у и с главным
-символом ру то Нр(у) не может иметь радиального направления.
Доказательство. Предположим, что y=@, ei)—характеристи-
ei)—характеристическая точка, в которой Нр имеет радиальное направление
д/д\\\ ei=(l, 0, ..., 0). Это означает, что форма dp в точке
27.1. Определения и основные результаты 21?
(О, 8i) пропорциональна dx\. Отсюда по однородности следует,,
что
Z)?Dgp(O,ei) = O при Pi = 0 и (Х2+ ... +а„ + р2+ ... +ря<1.
Следовательно, символ р удовлетворяет условиям предложения
27.1.8 с т\ = щ = (?+ 1)/2 для / > 1 и т\ = k, \х\ = 1, где k —
произвольное целое положительное число. Следовательно,.
6 ^ k/(k + 1), что при больших k невозможно, поскольку б <С 1..
Доказательство закончено.
Важность следствия 27.1.9 заключается в том, что ввиду
лемм 27.1.3 и 27.1.4 оно позволяет использовать теорему 21.3.6
для приведения главного символа к специальному виду gi +
if(x, ?')> где f не зависит от |1# После этого можно применять
симплектические редукции, которые составляют главный пред-
предмет наших исследований в § 27.2 и 27.4. Следующая простая
лемма позволяет дать инвариантную интерпретацию условий
предложения 27.1.8.
Лемма 27.1.10. Если символ p = pi + ip2 обращается в нуль с
весом k в точке (хо, ?0) как в предложении 27.1.8, то любая
скобка Пуассона
{ЛЛ })}
от j <C k + 1 сомножителей рь р2 обращается в нуль с весом
k + 1 — j в (jc0, go). Скобка с j = k + 1 в точке (х0, g0) зависит
лишь от производных DlDxp(Xo, lo) с (a, jli) + (P, m) = k.
Доказательство, Согласно определению скобки Пуассона,
{/, g) = Z
Следовательно, если fug обращаются в нуль с весами Wf и
wg соответственно, то каждое слагаемое обращается в нуль с
весом Wf + wg — m>j — М-/ = wf + wg — ^ — 1 • Если Wf = k9 то вес
равен wg— 1, так что лемма легко доказывается индукцией по /.
В § 27.2 мы покажем, что если все скобки Пуассона от Rep
и Imp длины ^ k равны нулю в точке (xOf go)> то условия пред-
предложения 27.1.8 выполняются в некоторых однородных симплек-
тических координатах при подходящих т\ и щ. Следовательно,.
6^6/F+1), т. е. k ^6/A—б). Если k — наибольшее воз-
возможное, то должна существовать по крайней мере одна не рав-
равная нулю скобка Пуассона длины ^: 1+8/A—б) =1/A—6).
В сочетании с предложением 27.1.7 это устанавливает необходи-
необходимость условия субэллиптичности в следующей основной теореме
данной главы.
220 27. Субэллиптические операторы
Теорема 27.1.11. Псевдодифференциальный оператор Р с глав-
главным символом р субэллиптичен в точке уо ^ Т*(Х)\0 с потерей
б < 1 производных тогда и только тогда, когда в некоторой
окрестности V точки у0
(i) для каждой точки уеК скобка Пуассона
B7.1.8) (HRezp)!lmzp(y)
отлична от нуля при некотором 2gC « некотором /^6/A—6);
(ii) выражение B7.1.8) неотрицательно, если j нечетно и
j— наименьшее целое число, для которого выражение B7.1.8)
не равно нулю при некотором г^ С.
В условии (i) достаточно взять v = Vo. В § 27.2 мы увидим,
что это условие выполняется тогда и только тогда, когда не-
некоторая скобка Пуассона от Rep, Imp длины ^ 1/A—б) от-
отлична от нуля в точке у0. Необходимость условия (ii) вытекает
из предложения 27.1.7. Условие (ii) выполняется, если условие
(W) из определения 26.4.6 выполняется в V. С другой стороны,
если условия (i) и (ii) выполнены, то из доказательства пред-
предложения 27'Л.7 видно, что Imzp.He может менять знак с «+»
на «—» вдоль бихарактеристик символа Rezp в V, если z удов-
удовлетворяет условию (i). Таким образом, из (i) и (ii) вытекает
условие (W).
27.2. Тейлоровское разложение символа
Пусть р = pi + ip2—главный символ оператора, субэллиптиче-
субэллиптического в точке y^7"*(^)\0. Тогда из предложения 27.1.7, в част-
частности, следует, что
B7.2.1) {р19 р2}>0 при Pl = p2 = 0
в окрестности точки у. Из следствия 27.1.9 вытекает также, что
<27.2.2) Нрф0 при р = 0.
В этом параграфе мы при таких предположениях изучим разло-
разложение Тейлора символа р в точке у. Вначале мы не будем ис-
использовать однородность символа р, так что р может быть лю-
любой С°°-функцией на симплектическом многообразии 5, удовле-
удовлетворяющей условиям B7.2.1) и B7.2.2).
Будем пользоваться обозначением / = (м, •••> */) Для п0'
следовательности из / = |/| элементов, равных 1 или 2, и обо-
обозначениями
W = Htx ... Hif9 (ad ЯO = ad Hi{ ... ad Hijy
27.2. Тейлоровское разложение символа 221
Здесь Hi — гамильтоново поле Нр. символа pi и, как обычно,
(ad v)w = [vy w]
есть коммутатор двух векторных полей v и w. В силу тождества
Якоби B1.1.3)'
Следовательно, поскольку {/, g}=Hfg, гамильтоново поле, со-
соответствующее кратной скобке Пуассона Н1р2, совпадает с крат-
кратным коммутатором {^АНIН2 гамильтоновых полей.
Перед тем как вводить специальные симплектические коор-
координаты, определим два важных целых числа, характеризующих
локальное поведение символа р:
<27.2.3) k (Y) = sup {/ <= Z; Pl (у) = 0 при | / | < /},
{27.2.4) s(v) = sup {/ gZ; j^k(y) и все коммутаторы Нх с Н2
длины ^/ линейно независимы в точке у}.
Здесь Н\ и Н2 рассматриваются как коммутаторы длины 1. Та-
Таким образом, &(y) = 0 означает, что р(у)фО, а &(y)=1 озна-
означает, что p(Y) = O, но {ри р2}(у)?20. Если k{y)=?O, то s(y) = Q
означает линейную независимость Н{(у) и Н2(у).
Эти определения, очевидно, инвариантны относительно кано-
канонических преобразований. Более того, если умножить р на не
имеющую нулей комплекснозначную функцию а, то скобки
Пуассона функций Reap и Imар длины ^/ являются линей-
линейными комбинациями таких же скобок рх и р2 с гладкими коэф-
коэффициентами, и наоборот. Отсюда следует, что числа k(y) и s(y)
не меняются при умножении р на функцию, не имеющую нулей.
Если &(y) = 0, то символ р можно локально привести к кон-
константе, равной 1, умножая его на р-{. Если k{y)= 1, то s(y) = 0
и в подходящих симплектических координатах можно умноже-
умножением на соответствующую ненулевую функцию привести символ
к виду ?i + urj (теорема 21.3.3). Поэтому в дальнейшем мы бу-
будем, как правило, предполагать, что k(y)> 1.
Заменяя символ р его произведением на некоторую ненуле-
ненулевую функцию, мы можем в силу неоднородного варианта тео-
теоремы 21.3.6 найти локальные симплектические координаты с на-
началом в точке у, в которых
B7.2.5) Р{хЛ) = 1х + 1Р2{хЛ'\
где ^ = (^2, ..., |л). Таким образом, р2 не зависит от \\. По-
Поскольку НР1 = д/дхи из определений B7.2.3) и B7.2.4) выте-
вытекает, что (d/djti)/p2@) = 0 при /<&@) и d(d/dxi)!p2@) = 0
при /<5@). Докажем, что в обратном направлении спра-
справедливо
222 27. Субэллиптические операторы
Предложение 27.2.1. Предположим, что р имеет вид B7.2.5),
причем
B7 2 6) @/дх1)'р2@) = 0 при j<k,
а(д/дх{)! р2@) = 0 при 2j<k.
Тогда р обращается в нуль с весом k в точке 0, если координаты
берутся с весами {см. предложение 27.1.8)
B7.2.7) \ix = k, ml = l, my = (i/= (*+1)/2 при />1.
Единственные члены веса k — это l{ + icx\jk\, где с = dkp2 @)/дх^
При этом k @) ^ k (со строгим неравенством в случае с = 0)„
s@)^k/2 и для произвольных /,, /2, gu g2^C°°
B7.2.8) (tfflPl+flPl)* (glPl + g2p2) @) = с (f{g2 - f2gi) ft1 @).
Доказательство. Если <<x, \i} + <P, m> ^ ^, то \a' + pr| ^ 1.
При ^ = ^' = 0 имеем p2 ^ k, а если | a^ + рЛ | = 1, то Pi <
(k—1)/2. Условие B7.2.6) означает, что DiDxp2@) обращается
в нуль, за исключением случая, когда Pi = k и a7 = рЛ = 0, так
что р — |j — icxkxjk\ обращается в нуль с весом k-\- 1/2. Поэтому
из леммы 27.1.10 вытекает, что k@)^ k (при с = 0 неравенства
строгое) и что можно заменить р2 на cx\jk\ и при проверке тож-
тождества B7.2.8) считать /ь ..., g2 постоянными. Так как
{fxPi + UPv пхРх + §2Р2) = {fi§2 - f2§i) cx*-l/(k - 1)!,
тождество B7.2.8) доказано. Скобки Пуассона длины /+1
обращаются в нуль с весом k — /+ 1/2 в точке 0 с точностью
до кратных X1*-!\ Следовательно, при k — /+1/2 >(fe+l)/2y
т. е. при / < k/2, разложение Тейлора не содержит членов пер-
первого порядка. Поэтому гамильтоново поле равно 0 в точке 0.
Отсюда s@)^k/2, что и требовалось.
Если сф- 0, то k(O)=k, и мы получаем информацию, необ-
необходимую для доказательства теоремы 27.1.11. Однако в общем
случае второе равенство в B7.2.6) может не выполняться для
значений k, намного меньших &@). Это может произойти лишь
в случае k@) > 2s@), так как если k < k@)< 2s@) и 2/ < ky
то / < k/2 ^5@), так что /+ 1 ^ s@). С другой стороны, если
*@)> А > 25@), то й(д/дх1)8р2@)ф0 при некотором s < k/2y
так как иначе мы по лемме 27.2.1 получили бы, что s@)^ A/2.
Этот случай мы сейчас и рассмотрим: пусть для некоторых це-
27.2. Тейлоровское разложение символа 223
ЛЫХ 5И^2
<27.2.9) k > 25,
<27.2.10) /?/@) = 0 при |/|<?,
B7.2.11) did/dxj р2@) = 0 при / < 5,
{27.2.12) d(d/dx{)sp2@) Ф 0.
Отметим, что (d/dx\)s+lp2{0) = 0t согласно B7.2.10), так как
s + 2^(k—l)/2 + 2=(k + 3)/2^k при k^3 и 5 = 0 при
k = 2. Следовательно, B7.2.12) на самом деле означает, что
дифференциал от (d/dx\)sp2 по х\ ?¦' в точке 0 не равен нулю.
Поэтому можно принять эту функцию с фиксированным значе-
значением лгх = 0 за координату в некоторой новой симплектической
системе координат. Ради простоты мы сохраним для новых ко-
координат старые обозначения, т. е. будем считать, что
<27.2.13) д*р2@,*', ?')/<?*? = ?2.
Предложение 27.2.2. Предположим, что р имеет вид B7.2.5) и
что условия B7.2.1), B7.2.9) —B7.2.11), B7.2.13) выполняются
при k^2. Тогда р обращается в нуль с весом k в точке 0, если
координаты ?, х имеют веса
{27.2.14) щ=&, ml = li \i>2 = k — 5, m2 = 5+l,
mf = \if = (k+ l)/2 при />2.
Единственные члены веса k — это l\ + i(b(xu х2)-{-x%2/s\)t где
Ь — многочлен от хи х2, все одночлены которого имеют вес k, и
В(х\, х2) = дЬ{хи х2) /дхх — sb(x{, x<i)lx>\ — неотрицательный по-
полином. При этом k@)^ k {при В = 0 неравенство строгое),
5@) = 5, все коммутаторы Н{ и Н2 длины <(fe+l)/2 б точке 0
являются линейными комбинациями векторов д/дх{ и д/дх2 и
для любых fu /2, gu g2^C°°
<27.2.15) (HhPl+hpf (glPl + g2P2) @)
= (fi82 - f&i) kl (k - s)~l B (fv WE + Щ
Для доказательства нам потребуется следующая элементар-
элементарная
Лемма 27.2.3. Если Y — открытое подмножество в Rl+Ny то мно-
множество всех вещественнозначных функций F^Cl(Y), для кото-
которых
<27.2.16)
замкнуто в Cl(Y). Если у' = (у{, ..., ум) и функция
224 27. Субэллиптические операторы
удовлетворяет условию B7.2.16), то d(Fj/Fk) /dt = 0 в области,
где Fk ФО, когда /, кфЪ.
Доказательство. Если F не удовлетворяет условию B7.2.16), то
F(tt у) = 0 и dF(t, y)/dt < 0 в некоторой точке (t, y)^ Y. Если
функция G достаточно близка kFb С1-топологии, то G(s, */) = 0,
dG(s, y)/ds<C0 при некотором 5, близком к t. Следовательно,
дополнение к множеству всех функций F, удовлетворяющих
B7.2.16), открыто. Для доказательства оставшегося утвержде-
утверждения заметим, что функции
должны быть линейно зависимыми, если выполнено условие
B7.2.16). Доказательство закончено.
Доказательство предложения 27.2.2. Сначала проверим, что
ь #2, 0) обращается в нуль с весом k в точке 0, т. е.
B7.2.17) (д/дх2У (д/дхх)' р2 @) = 0 при / + (s + 1) / < k.
Для этого заметим, что ввиду B7.2.10)
((ad #,)' H2)f Н\р2 @) = 0 при i + (s+l)j<k
и (adHi)sH2 — гамильтоново поле, соответствующее гамильто-
гамильтониану #i/?2. Его можно заменить на гамильтоново поле символа
Hs\p2@, x', ?/) = ?2, поскольку оба этих векторных поля можно
рассматривать как поля в плоскости х\ =0, отличающиеся лишь
на поле, кратное д/д^х. Таким образом, мы получаем B7.2.17).
(С этого момента мы можем больше не пользоваться условием
B7.2.10).)
Из B7.2.17) и B7.2.11) вытекает, что р2 обращается в нуль
с весом k в точке 0, если веса B7.2.14) заменить на
B7.2.14)' \ix=k, m{ = l, \i2 = k — s, m2 = s+l,
rtij = \if = x при / > 2
и взять х = k — s. Пусть х — наименьшее положительное число
^ &/2, для которого это верно, т. е.
(/,_5)a2+Pl + (s+l)p2 + x|a" + ri>^ при D??>5p2(O)=^O.
Здесь а" = (а3, ..., ал), р/7 = (Рз, • • •, Рп), и при х > k/2 долж-
должно выполняться равенство для некоторых аире |а" + $"\= 1,
откуда а2 = 0 и Pi^s ввиду B7.2.13). Поэтому B7.2.1) озна-
означает, что др2(х, 1')/дх\ ^ 0 при р2(х, Ъ') = 0. Отсюда по лемме
27.2. Тейлоровское разложение символа 225
27.2.3 вытекает, что
lime-kp2(exl9 ss+lx2, eV', ек~%, eKg") = 2 {д\д*хр2 @))ga*7<z! P!
обладает тем же свойством. Здесь сумма берется по всем аир,
для которых
поэтому она линейна по g2, x", ?". Коэффициент при g2 равен
jcf/s!, а коэффициенты при х'\ I" не содержат членов x\xf2 и,
следовательно, равны 0 по лемме 27.2.3. Это противоречие до-
доказывает, что к = k/2. Поэтому веса всех членов, содержащих
х'\ g" с весами B7.2.14), не меньше k-\-\/2. Следовательно,
р2(х9 б') — (b (jCp х2) + xs^2/s\) обращается в нуль с весом А+1/2
в точке 0 при некотором полиноме Ь, однородном с весом k. Из
леммы 27.2.3 вытекает, что
Ь (*,, х2) + x%/s\ = 0=>db {xv х2)/дхх + x*-%/(s - 1)! > 0,
т. е. функция В(хи x2) = db(xu х2)/дх\ — sb(xu хъ)/х\ неотри-
неотрицательна при х\ ф 0 и, следовательно, является также много-
многочленом по Х\. Если записать b в виде
b(xvx2)= Ц
ТО
Следовательно, 6^0, когда В ^ 0, поскольку 6 не содержит
членов с i = s. Из однородности
B(-xl9 (-l)s+lx2) = (-\)k-'B(xu x2)
вытекает, что k должно быть нечетным, если b не равен тож-
тождественно 0.
Лемма 27.1.10 показывает, что Н!р2 обращается в нуль с ве-
весом ^k —1/| в точке 0. Замена р2 на b(xv x2} +x^/sl меняет
Н!р2 на слагаемое, которое обращается в нуль в точке 0 с ве-
весом, не меньшим k —1/|+ 1/2. Поскольку все скобки Пуассона
1{ с *f|2/s! обращаются в нуль из-за множителя ?2» то k{O)>k,
если b ^ 0. С другой стороны, из B7.2.15) будет вытекать, что
k(O) = ky если ВФ0, и это эквивалентно тому, что ЬфО.
Прежде чем доказывать B7.2.15), заметим следующее: за вы-
вычетом членов, полученных заменой р2 на b (xv x2) + xfi2/s!,
скобка Пуассона Н1р2 обращается в нуль в точке 0 с весом
^А+1/2 —|/|>(А+1)/2, если |/|<Л/2. Но тогда форма
dHIp2@) не может содержать dx" и d|". Она не содержит и dxu
226 27. Субэллиптические операторы
поскольку вес 1 переменной Х\ не превосходит k/2, так как
k ^ 2. Аналогично, она не содержит и dx2, если только Ь не
зависит от л;2. Но если Ь зависит от х2> то из положительности
функции В вытекает, что Ь содержит х\у так что &:^2(s+l) + l,
т. е. &/2>5+1. Следовательно, дифференциалы от р\ и Н1р2
являются линейными комбинациями от d\\ и d\2 B точке 0, если
|/|<&/2. Если |/|<5, то Н!р2 обращается в нуль с весом
к —1/|>& — 5 в точке 0, так что d\>2 на самом деле также от-
отсутствует. Однако Hsp2 — ?2 — dsb/dxs{ обращается в нуль с весом
> k — 5 в точке 0, так что dti\p2 = d\2 в точке 0. Следовательно,
s@) = s.
Итак, при доказательстве B7.2.15) можно считать, что /ь /2,
gu g2 постоянны, ар2 = 6(л:1, х2}-\- xsfe2js\. Тогда
B7.2.18) (fxHx + /2Я2) (glPl + g2p2)
= (/ift - f&i) (db/dxi + хГ%/(з - П!),
fiHi + UH<i = Udld*x + U (№) д/дх2 ~ (db/dx2) д/д?2) mod djdlv
Интегральная кривая этого векторного поля, выходящая из точ-
точки 0, имеет вид
где f'2 = f2/(s + 1)! и bj-^db/dXj. На этой кривой правая часть
равенства B7.2.18) совпадает с
B7.2.19)
(te2 - te,) ^"' F, (/„ Ш - s (s +1) (Л - s)-1 f-%b2(flt
Для вычисления второй скобки заметим, что выражение
Ь\(хи х2) — 5E+ l)(k — s)~l x^lx2b2(xu х2)
= S (/ - 5 E + 1) //(Л - 5)) ЬИ
равно kB(x)/(k — 5), так как i(k — 5) — js(s+ l) = k(i — 5).
Поэтому правая часть B7.2.18) равняется
Отсюда дифференцированием k—1 раз по t получается
B7.2.15), что завершает доказательство.
Замечание. Легко проверить, что в условиях предложения
27.2.2 с необходимостью s^l и^ входит множителем в 6, если
s=^=0. Если символ р удовлетворяет условию Dя), то символ
27.2. Тейлоровское разложение символа 227
также удовлетворяет Dя) и, следовательно, 5 четно и
Ь(хр хЛ/х^— многочлен, возрастающий по Х\ и равный нулю
при Xi=0. Других ограничений на возникающие полиномы Ь
нет. Эти замечания нам не потребуются в дальнейшем, и по-
поэтому их доказательство мы оставляем читателю.
Из предложений 27.2.1, 27.2.2 вытекает упомянутое после
теоремы 27.1.11
Следствие 27.2.4. Если k — целое ^ 0 и р = рх + 1р2 удовлетво-
удовлетворяет B7.2.1), то следующие условия эквивалентны:
(i) k(y)>k\
(ii) (HRefp)}lmfp(y) = О, когда f<=C°° и /<&;
(Hi) (HzezpI Im zp (у) = 0, когда z<=C и /<&.
Доказательство. Все три условия не зависят от k, если Нр(у)=0,
так что мы можем считать выполненным условие B7.2.2). При
k=0 все условия означают, что p(v)=O, а при k= 1 они озна-
означают, что р(у) = {Rep, Imp} (у) = 0. Поскольку импликации
(i)=^(ii) =^(iii) очевидны, остается лишь проверить, что если
условия (i) — (Hi) выполнены при некотором k ^ 1 и к тому же
(Hi) выполняется с k-\- 1 вместо k, то k(y)>k-\- 1. Для этого
сначала выберем функцию а ^ С°°, для которой в подходящих
симплектических координатах
y Г).
Для этого символа условия (i) — (Hi) по-прежнему выполняются.
Следовательно, р удовлетворяет условиям предложения 27.2.1
или условиям предложения 27.2.2 после подходящей симплекти-
ческой замены переменных при некотором 5, с k + 1 вместо k.
В обоих случаях мы получаем, что если
+l Im zap (y)
обращается в нуль при всех ге'С, то все скобки Пуассона
длины ^ & + 2 от Rep, Imp равны нулю в точке у. Это озна-
означает, что k(y)>k-\- 1, что завершает доказательство.
Доказательство необходимости условий теоремы 27.1.11. Пред-
Предположим, что оператор Р является субэллиптическим в точке 7о
с потерей б < 1 производных и что
(#Re zpI Im zp (vo) = 0, / < 6/( 1-6).
По теореме 27.1.6 и предложению 27.1.7, в некоторой окрестности
точки у0 выполняется неравенство {Rep, Im р} ^ 0 при р = 0.
Поэтому из следствия 27.2.4 вытекает, что k\y^)^k, если k —
наибольшее целое ^ 1/A —б). Это условие инвариантно отно-
относительно умножения р на не обращающуюся в нуль однород-
228 27. Субэллиптические операторы
ную функцию, а также относительно однородных канонических
преобразований. Поэтому, ввиду следствия 27.1.9 и леммы
27.1.4, можно считать, что р = ^х-\- ip2{x, ?') и что 7о = @, е2).
Если условия предложения 27.2.1 выполняются, то из предло-
предложения 27.1.8 вытекает, что б ^ k/(k+ 1), т. е. k+ 1<1/A —б).
Но это противоречит определению k. Если условия предложения
27.2.1 не выполнены, то можно таким же образом использовать
предложение 27.2.2, при условии что можно взять ц2 =
=dsp2 (О, х\ V)ldx\ в качестве новой однородной симплектической
координаты, т. е. что гамильтоново поле в точке @, 82) не яв-
является радиальным. В этом случае для q(x, 1") = р2(х, I, g"),
где ?"=(?3, ..., In), имеем
did/dxrf q@) = 0 при / < s, d(d/dx{)s q@) = cdx2
при некотором с Ф 0. Поэтому
и, следовательно, как и в доказательстве предложения 27.2.2,
символ q(xy ?") обращается в нуль с весом k в точке 0, если
tnl = l, m2 = k — s, tn} = \ij==(k + 1)/2 при / > 2.
Итак, поскольку р2(х, ^) = ^2^(^> SV^)» то р обращается в нуль
с весом k в точке @, 82), если взять \ц = k и ^2 = 5 + 1. Исполь-
Используя опять предложение 27.1.8, получаем 8 ^ k/(k -{- 1). Это про-
противоречие завершает доказательство.
Последнее осложнение в доказательстве имеет несколько
искусственный характер. Его можно обойти, если сначала по-
показать, что задача допускает локализацию в окрестности точки
@, Еп), причем можно использовать любые симплектические за-
замены координат. Мы должны будем проделать это при доказа-
доказательстве достаточности условий теоремы 27.1.11 для общего
случая.
27.3, Субэллиптические операторы,
удовлетворяющие условию (р)
Доказательство достаточности условий теоремы 27.1.11 в общем
случае очень сложно. Поэтому в этом параграфе мы рассмотрим
гораздо более простой случай, когда символ р удовлетворяет
также условию (Р), а не только условию Dя). Тогда число
k(y), определенное в B7.2.3), должно быть четным в силу пред-
предложения 27.2.2, так что разложение Тейлора обязано иметь вид,
указанный в предложении 27.2.1. Следовательно, если k(y)?=O,
то s(y) ^ 1. Можно считать, что в некоторой конической окрест-
27.3. Субэллиптические операторы 229
бости точки @, 8я), еЛ=@, ..., О, 1), главный символ имеет
вид I] + ip2(x, l'). Тогда
{27.3.1) (д/дх{)кр2 (х, Г)ФО в точке @, ея),
•если k = k((O, en)). Действительно, поскольку Himp = 0 в точке
<0, ел), то
( lm zp@, гп) = 0 при Rez = 0,
и, как показывает B7.2.8), это выражение отлично от 0 при
ЯегфО. Поэтому из условия (Р) вытекает, что р2 сохраняет
знак в некоторой конической окрестности точки @, гп). Изме-
Изменяя, если нужно, знак хи можно считать, что рг ^ 0.
Пусть символ %(х, ?') однороден степени 0 с носителем в
малой конической окрестности точки @, гп) и равен 1 в другой
такой окрестности. Тогда функция
q (х, Г) = % (х, П р2 (х, Г) + A - % (х, Г)) | V I
неотрицательна на Rn X (R" \ О) и при некотором с>0
<27.3.2) Z \dIq(x1 l')/dx[\>c\?\.
Следующий результат, обобщающий предложение 26.3.3, помо-
поможет упростить доказательство субэллиптичности оператора Р.
Предложение 27.3.1. Пусть символ QeS'(RnXRn) имеет не-
неотрицательную главную часть q, удовлетворяющую условию
B7.3.2). Тогда для Ь2-норм имеет место оценка
<27.3.3) 1A+|^рI
Мы сведем доказательство B7.3.3) к оценкам для обыкно-
обыкновенных дифференциальных операторов. Сначала докажем эти
•оценки в несколько большей общности, чем это нужно здесь,
причем такими методами, которые мы сможем применить в
§ 27.5 в более сложной ситуации.
Лемма 27.3.2. Пусть G — вещественнозначная С°°-функция на
/ = (—1, 1), для которой
B7.3.4) |G(*+1)|<1 на /,
B7.3.5) max | G^ @)| = р.
Тогда при г = 2~k для достаточно больших р
<27.3.6) pe||
230 27. Субэллиптические операторы
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу B7.3.4) и
B7.3.5)
B7.3.5)/ p/<
/<*
если р > ?. Действительно, второе неравенство вытекает из фор-
формулы Тейлора, если р ^ 1. Если | G^(x) | ^ а при / ^ k для не-
некоторого х и а ^ 1, то р ^ еа и, следовательно, а ^ р/в, что
доказывает первое неравенство. Для проверки B7.3.6) мы ис-
используем схему доказательства леммы 22.2.3. А именно, заме-
заметим, что при 0 ^ / < k
<\\GV)u\\epB\\Du\\ + \\u\\).
Следовательно, по индукции, при O^.j
||<||Gu f4 (ep B1|Du\\
Поэтому из B7.3.5)/ вытекает, что
Отсюда при больших р получается оценка B7.3.6), что завер-
завершает доказательство.
Замечание. Показатель е в B7.3.6) можно заменить на /(
Это будет видно из доказательства леммы 27.3.4. Метод лока-
локализации, используемый в этом доказательстве, одинаково при-
пригоден в случае любого положительного показателя г в B7.3.6).
В следующей лемме мы попытаемся заменить \\Du\\ + \\Gu\\
в оценке B7.3.6) на \\Du + iGu\\.
Лемма 27.3.3. Предположим, в дополнение к условиям леммы
27.3.2, что G не меняет знака с «+» на «—» при возрастании х.
Тогда для г = 2~k и достаточно больших р выполнена оценка
1/2 /1 1
B7.3.8) р2е J \v\2dx^CW \\Dv + iGv\2dx+ \\v\2
-1/2 ^ -1 -1
где v^C°° (/).
Доказательство. Если 8е < 1, то из B7.3.5)' вытекает дискрет-
дискретность множества {х^/; |G| = 6p}, так как иначе в предельной
27.3. Субэллиптические операторы 231
точке G('>=0 при ]ФО и, следовательно, \G\e^p. Если v^
Со° (/) и / = Dv + iGx)y g = G/p, то
(I/I2/|?M*= $
— P 3 sgn gd\v\2.
g\>6
\g\>B
Последний интеграл можно вычислить. На границе интервала,
где |g"|<6 и где g- меняет знак с «—» на «+», мы получаем
два положительных слагаемых, которые можно отбросить. На
других интервалах мы получаем разность значений \v\2 в кон-
концевых точках. Сумма этих членов по абсолютной величине не
превосходит
2р J \vDv\dx^6~{ J \Dv\2dx + 6p2 J \v\2dx.
\g\<& \g\<6 Ul<6
Прибавляя интеграл по области |g|<6 от функции
мы получаем, что
\g\, 6))dx
Отсюда при б = р~2 при помощи B7.3.6) для больших р полу-
получаем оценку
<27.3.8)' р28 J | v |2 dx < С \ (| / |2/max (\g\, р~2)) dx9 v е= Со°° (/).
Для доказательства B7.3.8) заметим, что g мало отличается от
нормализованного полинома, поэтому |g-| оценивается снизу
фиксированной положительной постоянной на интервалах фик-
фиксированной длины с: (±1/2, ±1). Поэтому можно выбрать сре-
срезающую функцию ф е Со° (/), для которой 0 ^ ф ^ 1, ф = 1 на
(—1/2, 1/2) и \g\> 1/Ci на эиррф'. Поскольку
(D + ipg) (фо) = ф (D + /pfir) у + v Дф, о е С°° (/),
И |g"| > l/^i на эирр?)ф, то, применяя B7.3.8)' к фи, мы полу-
получаем B7.3.8). Доказательство завершено.
Лемма 27.3.4. Предположим, что G удовлетворяет условию
B7.3.4) на некотором интервале I длины ^ 1, что G не меняет
знака с «+» на «—» при возрастании х и что функция
232 27. Субэллиптические операторы
достаточно велика при всех х^1. Тогда
B7.3.9) || Мхи IK С || (D + IQ) и ||, . и <е Со°° (/),
С не зависит от G, и, I.
Доказательство. Пусть р — большое положительное число, кото-
которое будет фиксировано ниже в доказательстве; положим
М9(х) =
Предположим, что Мх(х)
Рассмотрим функции
Ну
где f = (D-\-
(D-
и, применяя
Р28 \\и{у)\2,
1х
) = п(Х+у/М
iG) и. Тогда
f iG (x + у/М9
лемму 27.3.3,
MQ(xfdy^C
:max|G^4^)/pr/(/+1)
7<*
> р при всех х ^
PW), h(y) = f(x-\
(x))/MQ (x)) v(y) = h
мы получаем, что
\(p2\f{y)\2 + Mp(x)
>х
•
I, т. е. М
-У/Мр(х)),
(У)/Мо(х),
I21 и (у) |2) Л
) MQ (х) dy.
Здесь Ix = {y;\x-y\MQ(x)<l/2}, Jx = {y; \x - у \MQ(x) < 1}
Применяя B7.3.5)/ к G (x + y/M9(x))/MQ(x)9 мы получаем, что
отношение Мр (х) /Мр (у) имеет определенные положительные
верхнюю и нижнюю границы при y^Jx. Поэтому М9(х) в
подынтегральных выражениях можно заменить на Мр(у). Если
С достаточно велико, то левая часть последнего неравенства
уменьшится при замене области интегрирования на множество
\х — y\MQ(y)<Z С, а правая часть увеличится при замене об-
области интегрирования на множество \х — у\Мр(у)<С С. Поэто-
Поэтому, проинтегрировав также и по х> мы получаем, что
Если взять р фиксированным и настолько большим, что р28 >
2С, то мы получаем отсюда B7.3.9). Доказательство закончено.
Доказательство предложения 27.3.1. Покажем прежде всего, что
при больших ||'|
B7.3.10) J | q (х, Г) v (хг) f dxx+\\ V |Ш+1) I v (xx) f dx{
< С \ | Dxv (хх) + iq (х, Г) v (x{) |2 dxu v ее Со°° (R).
27.3. Субэллиптические операторы 233
Для этого проделаем в B7.3.10) замену переменных t = X\/A\
B7.3.10)' \\Aq(tA, х\ V) v (/) f dt + $ | ГР+1I Av (t) f dt
< С J | ?>,u @ + /Лцг (M, *', &') о @ 12 Л, о e Co~ (R).
Применим лемму 27.3.4 с G(f) = 4#(u4, я', Ю» гДе А выбрано
так, что
CQAk+21 Г| = 1, где Со = sup | D?+lq (x, &') l/l Г |.
Тогда мы получаем B7.3.4), а из B7.3.2) вытекает, что
Мх (t) = max |
при l^l^l. Для больших Ц''! оценка B7.3.10O вытекает из
B7.3.9), поскольку |G|<Afi.
Чтобы локализовать оценку B7.3.3), мы прежде всего за-
заметим, что
<27.3.11) | dq (xf l')№ |211'\ + | dq (x, V)jdx |2/l V\ < Cq {x, ?)
по лемме 7.7.2 ввиду положительности q. (Мы часто пользова-
пользовались такой оценкой в гл. 22.) Возьмем ее@, 1/Bй + 2)) и по-
положим
<27.3.12) m{x,l') = {\+\l'\)U + q{x,l').
Относительно метрики типа 1/2 + е, 1/2 — е
g = |^'|2(i+iri)I~28 + |rfl'l2(i+irir1-28
вес т является равномерно g-непрерывным и а, ^-умеренным.
Действительно, если gX',^(у', г\') < 1, то \у'\ < A + ||'|)е-1/2,
h'|<(l +|i'|I/2+e- Поэтому из B7.3.11) при больших Ц'| мы
получаем по формуле Тейлора, что
\q(x, &')-<7(*„ х' + у', Г + т)')|
< (8Cq)mA + |Г |)е + СA + |Г |f <C"m(ж, 10,
и A + 1 Г+т)' |) < 2A+| |'|). Если^Д/, г)') > 1, то д°х,л,(у', V)>
A +11'1Lе» откуда с очевидностью вытекает A8.5.12).
Можно считать, что Q(x, %')=q(x, f) при ||'|>1. Тогда,
поскольку Q^S1, мы при больших ||'| ввиду B7.3.11) по-
получаем
B7.3.13) \D\DlQ{x, ГI<С„рA+Ц'|IНа|
<С;рA+||'|JЕ+|р|(|/2-8)-|а|<|/2+е), |а+р|>2;
<27.3.14) | D\DlQ (х, I') \ < С„р<? (х, Г) A + I ?\ f'Р'"'"')/2
Следовательно, Q^S(m, g).
234 27. Субэллиптические операторы
Выберем теперь стандартное разбиение единицы {%/} в ме-
метрике g и [xjy ^)esuppxy.. При этом X/ е Со°° (R2tt~2) вещест-
веннозначны, ?%/=1> последовательность {%,} равномерна
ограничена в 5A, g), число пересекающихся носителей и ^-рас-
^-расстояние от (%у, Ц^ до точек из supp%/ ограничены фиксирован-
фиксированной постоянной. Тогда {%/}—символ класса 5A, g) со значе-
значениями в /2. Для
f = (D[ + iQ(xy D'))u, и<=2>,
мы получаем
X, (*', D') / = (?», + iq (*„ х\, Ц)) Xj (xf, D') и + Я, (x, D') и.
Здесь {Rj) e 5( (I +|?/|)8m1/2, g), поскольку то же верно для
остаточного члена в формуле композиции, следующего после
главного члена, а также для остаточного члена i(Q(x, ?') —
— q(x{f x',f S/))Xy(^/, SO- Это вытекает из формулы Тейлора, так
как ввиду B7.3.13) и B7.3.14) производные от символа Q (хотя
и не он сам) удовлетворяют оценкам для символов указанного*
класса. Следовательно,
B7.3.15) Z || (Dj + iq (*,, *;, Ц)) %} {х'9 D') и f
< 2 ((х (*', D') /, /) + (R (x'9 DO и, и))у
где
X(*', D') =Z%1 (х'> D')*Х} (*', DO = 1 + 4(x^, DO, ФЕ51Дs, 1/2-e,
Л(^ ^) = E^/U, D0*/?y(x, DO.
Символ оператора R принадлежит классу 5(A +|^| J8^, g)-
(Здесь нужно суммировать только по тем /, для которых \Щ
достаточно велик, чтобы выполнялись предыдущие оценки.)
Благодаря B7.3.10) мы можем оценить левую часть нера-
неравенства B7.3.15) снизу и получить таким образом оценку
Z\\q(xv х'., 1))%1{х', D')uf+ S A +|!;|У*+1)||х/(*', D')u(
< С (|| /||2 + (#",«))-
Рассуждая так же, как при доказательстве B7.3.15), мы можем
в левой части опять вернуться к Q, так как
(X(x't D')Qu, Qu)K2(Z\q(xl, x], V,)x,(xf, D')u( + (Ru, и)).
Пользуясь логарифмической выпуклостью нормы ||g||(S) =¦
||A +|D'|2)s/2m|| по s, получаем
l!gl|2<(x(^, D')g, ff) + C||fir||,2_e)
<(%(xf, D')g,g) + ±.\\g f + C\\g!{_„.
27.3. Субэллиптические операторы 235
Следовательно,
|| Qu ||2 < 2 (х (*', D') Qu, Qu) + С" || и ||2.
Далее, R можно представить в виде
где r/ES(l, g). Это делается при помощи стандартной кон-
конструкции параметрикса, поскольку (Q + A + U'l2)8) e
S(\/m, g) при больших |?'| в силу леммы 18.4.3. Следовательно,
(Ru,
Суммируя предыдущие оценки, получаем
IIQ* II2 + II и ||21/(,+1)) < С (|| /1|2 + (|| Qu || +1| и ||Bе)) || и ||Bе))
< С || /1|2 + 4- II Qu ||2 + (С + 4 С2) || к ||22е).
Для доказательства B7.3.3) остается оценить последнее слагае-
слагаемое через j\\u>\f({l{k+X)) + C'\\u\f, и, таким образом, предложение
27.3.1 доказано.
Доказательство теоремы 27.1.11 для случая, когда оператор Р
удовлетворяет условию (Р). Как уже отмечалось в начале дан-
данного параграфа, можно считать, что yo = (O, гп)^ T*(Rn) и что
главный символ оператора Р равен i,\-\-iq(x, ?') в некоторой
конической окрестности точки у0, где q удовлетворяет условиям
предложения 27.3.1. Возьмем функцию %(?)е C°°(iRrt), однород-
однородную степени 0 при |||> 1, равную 0 при ||/|<||i| и равную
1,если |^| < ||'|/2 и ||| > 1. Тогда, применяя B7.3.3) kx(D)u,
мы по лемме 27.1.5 получаем, что оператор (D\ + iQ(x, D'))%(D)
является субэллиптическим с потерей k/(k-\-l) производных в
точке @, гп). Следовательно, по лемме 27J.3 то же верно и для
Р, что завершает доказательство.
Приведенное выше доказательство применимо также к бо-
более общим операторам, например удовлетворяющим условиям
предложения 26.3.4, для которых оценка B7.3.11) имеет подхо-
подходящий эквивалент. Однако в общем случае применявшаяся
выше локализация недостаточна, поскольку не удается оценить
возникающий при этой локализации остаточный член R из до-
доказательства предложения 27.3.1. Для общего случая требуется
'более тонкая локализация одновременно по х\у хг и ^. Этому
„посвящены три оставшиеся параграфа данной главы.
236 27. Субэллиптические операторы
27А Локальные свойства символа
Пусть р(х, l) = h + iP2(x, %'), |' = (|2, ..-, In), — однородный
символ, удовлетворяющий условиям (i), (ii) теоремы 27.1.11 в
характеристической точке (хОу %o)^T*{Rn)\0. Можно считать,
что б = k/(k + 1), где k — целое. Поскольку мы собираемся ис-
использовать канонические преобразования, как при доказатель-
доказательстве предложения 27.2.2, удобно заранее проделать некоторую
локализацию, уравнивая роли хг и %'. А именно, рассмотрим для
малых положительных X
(
х
0,
При помощи симплектической дилатации (xf, |')ь->(Хх\
мы получаем отсюда символ |i+ *'</(#, |г)
(дс,
q (х, Г) = Ъ-\ (д
Поскольку можно считать символ р2 при \х — хо|^2 и
1^— 1о|^1 гладким, то
B7.4.1) \D\D$q(x, Г)| <СаРЯ|а'+р/|-2, \хх\<\, \(х\ Г) К 1Д.
Здесь Саз — фиксированные константы, X мало, но q и % могут
меняться. Иногда мы будем применять обозначения q\ = \\ к
Q2 = Q, чтобы иметь возможность использовать симметричные
обозначения из § 27.2. Поскольку р удовлетворяет условию
OF), то
B7.4.2) q(x, %') не меняет знака с «+» на «—» при увеличении х^
Наконец, условие (i), согласно следствию 27.2.4, эквивалентна
неравенству
B7.4.3) Я2 I
< I \яЛ,)\
I/KH1
Хотелось бы, конечно, положить здесь ^ = 0, т. е. попросту от-
отбросить в правой части член ?ь Ниже мы рассмотрим функции,,
удовлетворяющие неравенствам B7.4.1) — B7.4.3) с фиксиро-
фиксированными константами, предполагая, что X достаточно мало, и He-
обращая внимания на происхождение q.
Определим точную меру величины коммутаторов, связанную*
с определением B7.2.3) для k(x, I):
B7 A A) Mp(x,l')= max \д,(х9 |)/р |'', ^ = 0.
I/KHI
Здесь р — большой параметр. Назначение р состоит в том, что-
чтобы ввести большую константу в левую часть оценки, что позво-
позволит убрать некоторые лишние слагаемые в правой части. (При-
27.4. Локальные свойства символа 237
мер подобных рассуждений см. в доказательстве леммы 27.3.4.)
В конце концов мы зафиксируем значение р достаточно боль-
большим, но не зависящим от %, так что нужные оценки будут верны
для малых X.
В силу B7.4.1) и B7.4.3), при Х2р ^ 1
B7.4.5) С, (Я~7рI/(*+1) < Л1р (х, ?') < С2Х'2/р.
Здесь, как и в дальнейшем, константы не зависят от К и р. Ввиду
B7.4.5) функция Мр не очень сильно изменится, если в B7.4.4)
увеличить k. Поэтому определение MQ слабо зависит от k, если
только k настолько велико, что выполняется условие B7.4.3).
Следующий аналог леммы 27.1.10 удобно использовать для
оценки повторных скобок Пуассона.
Лемма 27.4.1. Если символ q = q\-\- iq2 при некоторых положи-
положительных Ль ..., Л„, В\> ..., Вп удовлетворяет оценке
B7.4.6)
причем AjBjP ^ 1 при всех /, то
B7.4.7) k/(Y)l<
где каждая константа С/ зависит лишь от конечного числа кон-
констант Cap из B7.4.6). Члены в qh содержащие производные по
xh ih оцениваются через Л/В/рС/р/С'71.
Доказательство. Индукцией по |/| можно показать, что qi до-
допускает оценки вида B7.4.6) с /О7' вместо /С. Действительно,
и любое слагаемое после применения оператора D^Dx можно
оценить через С/а|зЛ/5/р2/С'7'+1ЛаВР. Поскольку Л/В/р^1, то
можно сделать индуктивный шаг, а также выделить множитель
ЛВ, как в последнем утверждении. Доказательство завершено.
Рассмотрим поведение q в произвольной точке. Для упроще-
упрощения записи будем считать эту точку началом координат. Из
определения М =М9@) вытекает, в частности, что
B7.4.8) | DfXlq @) | < рМ/+1, / < k.
В области, где выполняется неравенство B7.4.1), мы получаем
из B7.4.5) оценку
B7.4.9) \DfXlq\^C]VMk+\
которая при / > k гораздо сильнее.
Если бы функция q была неотрицательной, то можно было
238 27. Субэллиптические операторы
бы применить лемму 7.7.2 к q(x, ?') при фиксированном х\ е
(—1/М, \/М) и заключить, что \dx>% \*q{x\SS) |^C (pAfI/2, откуда
Это соответствует оценке B7.3.11) в наших теперешних обозна-
обозначениях. Однако мы можем, как и в § 27.2, разделить исследова-
исследование q на два важных случая. В первом из них эта оценка вы-
выполняется в несколько более слабой форме.
Пусть R — большое положительное число, для которого
B7.4.10) #2<Мр.
Ввиду B7.4.5) это неравенство выполняется с большим запасом
при малых X, если взять
B7.4.11) Я = Л~*, 0<х< 1/F + 1).
Именно такого выбора мы придерживаемся ниже при делении
на случаи I и II.
Случай I. Сначала рассмотрим случай, когда
B7.4.12) |^.6'Di1(/@)|<p/?Af/+1> /<Л/2.
Поскольку из B7.4.1) и B7.4.5) вытекает, что
B7.4.13) \dx>.t>DfXlq\ < С/(М*+1р)'/2
в области, где выполняется B7.4.1), то при / > k/2 выполняется
более сильная оценка. Из B7.4.8) — B7.4.13) по формуле Тей-
Тейлора получаем
B7.4.14) \DlDiq{x, V) | <C^pAfPl+1/?-|a'+p''
при I^AfKl, |(*', V)\<R.
Предложение 27.4.2. Из B7.4.12) вытекает B7.4.14), и при ма-
малых X
B7.4.15) МЛх, 60
если \xY\< 1/M, | (*', ?') | < /?. При достаточно малом \ (х'у ?') \/R
B7.4.16)
|^ \ии+1)9(хЛ'), \Мхх\<1.
Доказательство. Оценка Мр(х, ^)^.СМ вытекает из леммы
27.4.1 и из B7.4.14) при К = ЛГ, Ах = 1/АГр, В{ = ЛГ, А, = В, =
1/^? при \ф\. Скобки Пуассона, содержащие какие-либо про-
производные по JC/, |/ с /=тМ, меньше на множитель O(p/R2), по-
27.4. Локальные свойства символа 239
этому при малых X равенство в B7.4.15) также выполняется.
Итак,
||
при некотором / ^ k. Поэтому из B7.4.9) по формуле Тейлора
мы получаем (ср. B7.3.5) ')„ что
\j |/1, \xx\<l/M,
так как q(t/M, О, 0)/(рМ) в существенном является полиномом,
который нормализован в 0 и, следовательно, в существенном
нормализован в любой другой точке из (—1, 1). Теперь из
B7.4.14) вытекает, что при |#i|< \/M
С max | DjXxq (х, Г)/рМж | > 1 - С" \ (х', Г) \/R > |,
если | (xf, ?') \/R < С"/2. Доказательство закончено.
Возьмем функцию ф е Со° (—1, 1), равную 1 на (—3/4, 3/4),
0^ф^1 всюду, и положим
B7.4.17) Фо (х, Г) = Ф (Мх{) Ф ((| хг |2 + | Г |2)//?2),
где
B7.4.18) к{ = х-к\ 0<щ<к.
Тогда /?! <С R при малых Я, так что функция Мр{х, ?') экви-
эквивалентна MQ@) на множестве
B7.4.19) шо = {(х, Г); Uil<l/M, |х'|2 + |Г|2</?2}>
содержащем supp ф0. Мы используем функцию ф0 для построе-
построения разбиения единицы в конце этого параграфа. Отметим, что
размеры ©о только в х', ^-направлениях зависят от X. Таким
образом, мы здесь сталкиваемся с комбинацией свойств разбие-
разбиений единицы, использовавшихся в доказательстве предложения
27.3.1 и (неявно) в доказательстве леммы 27.ЗА. Однако в слу-
случае II возникают также новые препятствия. Перед тем как
вплотную заняться этим случаем, докажем лемму, заменяющую
в какой-то мере лемму 7.7.2 для функций, удовлетворяющих
условию B7.4.2).
Лемма 27.4.3. Пусть F(ty у) — вещественнозначная С2-функция
в области Q={(ty i/)gR1+jv; |?|<1, |*/|<1}. Предположим,
что | F"yy (U у) | < 1 в Q и | F (/, 0) | < 1 при \t \< 1, а также
B7.4.2)' F(syy)>0=>F(t,y)>0 при (s,
240 27. Субэллиптические операторы
Тогда существует единичный вектор йе^, для которого
\F'y(t9 0)-©</^(/, О), ©)|<3,
/97 4 20}
<;/Д.^ <F,'(f, 0), ©)>-3 при Ш<1.
Для доказательства нам потребуется элементарная геоме-
геометрическая
Лемма 27.4.4. Пусть Yu Y2 ^ RN и аи а2 ^ R. Предположим, что
не существует j/gR^, (Эля которого \у\<\ и {у, У/> > ау- я/ш
/=1, 2. ?с/ш |^i|>^/ при /=1, 2, го расстояние от У2 до
R-Yi не превосходит A + | У2|/| У! | )max(ab а2).
Доказательство. По предположению открытый единичный шар
и четверть пространства, задаваемая неравенствами (у> У/> > а}-,
/=1, 2, не пересекаются. Поэтому их разделяет некоторая ги-
гиперплоскость. Это означает, что при некоторых Х}- ^ 0, К\ +
А,2=1,
(г/, А^ + Я2У2) > Alfll
Поэтому | A,i]Ki + Я2У2| ^ A^iai + А,2а2 ^ max(ai, a2) = R. Если
/?^|У2|, то лемма очевидна. Пусть /?<|У2|. Поскольку отре-
отрезок, соединяющий Y\ с У2, пересекает шар {У; |У|^/?}, то пло-
площадь треугольника 0, Yu У2 не превосходит | Y\ — У2|^/2. По-
Поэтому расстояние от У2 до RY{ не превосходит R\ Y\—Y2\/\ Y\ \ ^
R{\ +| Y2\/\ Y\\). Отсюда вытекает доказываемое утверждение
в случае, когда <УЬ У2> ^ 0. Если же <УЬ У2> ^ 0, то рассма-
рассматриваемое расстояние равно |У2| и, следовательно, нужное нам
неравенство является линейным по \Y2\. Поэтому оно выпол-
выполняется для наименьшего возможного значения R, а также для
наибольшего возможного значения R на касательном кониче-
коническом множестве, выходящем из Уь Лемма доказана.
Доказательство леммы 27.4.3. Из B7.4.2)' при —1 < s < / < 1
по формуле Тейлора вытекает, что
(F'y (s, 0), у) > f, \y\<l ^(F'y (t, 0), у)>-\.
Поэтому можно применить лемму 27.4.4 к а. = 3/2, Yx =F' {s> 0)
и Y2 = -F'y(t, 0). Пусть, скажем, \F'y{s, 0) | > 3/2 и \F'y(s, 0) | >
I/7'!/, 0I; тогда B7.4.20) выполняется, если взять в качестве (о
единичный вектор с направлением F'y (sy 0). Поэтому B7.4.20)
выполняется, если взять в качестве о предел направляющих
векторов для F' (s, 0), когда \F'y(s9 0)j стремится к своей верх-
верхней грани М, причем М > 3/2. Если же \Fy(t, 0)|<3/2 при
всех t, то B7.4.20) очевидно. Доказательство закончено.
27.4. Локальные свойства символа 241
Выбор единичного вектора ш в B7.4.20) не является одно-
однозначным. Для оценки произвола в выборе ш нам потребуется
Лемма 27.4.5. Если о/— единичный вектор из RN, то из B7.4.20)
вытекает, что
B7.4.20)'
\F'y(t, 0)-<о'</^, 0), а>')|<3 + 4|/^(/, 0)|| ©'-©<©', ш)|.
Доказательство. Положим е = |о/ — (о<(о, о/>|. Заменяя в случае
необходимости <о' на —о/, можно считать, что <о/, со> ^ 0. Тогда
г2 = 1 — <о/, соJ ^ 1 — <о/, (о> ^ 0, откуда | со — о/1 ^ 2е и,
следовательно, неравенство B7.4.20)' доказано.
Замечание. Если <o' = F'y(s, 0)/|/^(s, 0)|, то из B7.4.20) выте-
вытекает, что |ю' — ю(ю', (o)K3/|F^E, 0)|. Поэтому правую часть
B7.4.20)' можно заменить на 3+12|/^(/, 0)|/|/^(s, 0)|. Таким
образом, увеличив соответствующим образом константу в оценке,
можно заменить о на направление вектора F'y(s, 0) при неко-
некотором 5, если только норма \F'(s, 0I не слишком мала.
Случай II. Пусть теперь B7.4.12) не выполняется, т. е.
B7.4.21) Л2 = тах |^TD^/
Обозначим через s значение j^.k/2, для которого этот макси-
максимум достигается. Тогда, обозначая q^) = diqjdxiv получаем
B7.4.22) | dx>i>q^ @) | = а, а = A2pMs+[ > Ms (pMI/2,
B7.4.23) | й*х*фп @) I < аМ*-*, j < k/2.
С аналогичной ситуацией мы встречались при доказательстве
предложения 27.2.2. Мы там принимали d5p2@, x\ V)jdx\ за
новую переменную g2» чтобы затем воспользоваться соображе-
соображениями типа леммы 27.4.3 для доказательства того, что некото-
некоторые веса обращаются в нуль. Действуя подобным образом, мы
сейчас докажем некоторые оценки вида B7.4.6). Однако, по-
поскольку нужное нам каноническое преобразование будет участ-
участвовать в выкладках аналитически, мы хотим выбрать его очень
специальным и очень явным образом. А именно, выберем его
так, чтобы ось х2 стала орбитой гамильтонова поля, соответ-
соответствующего символу #E)@, х', ?,'). Этого было достаточно и в
доказательстве предложения 27.2.2.
Обозначая Ц(х', ?') = ^)@, х\ |')> мы из B7.4.22) и B7.4.1)
получаем, что
/@ 0)| |/'1<С
242 27. Субэллиптические операторы
Для исследования орбиты гамильтонова поля, проходящей че-
через 0, удобно обозначить Т(у, ц) = ^(ау, аг\)/а2] (у, ц)^
Г* (R*-1). Тогда 1^@,0I=1 и |?"(у, т|) | < С в фиксирован-
фиксированном шаре с центром в начале координат. (Отметим, что аХ рав-
равномерно ограничено.) Пусть, например, ^^@, 0)/дг\2\ < я/2;
этого можно добиться изменением нумерации координат и, если
нужно, дополнительной симплектической заменой координат
(f/> rl)'~~>(rl> —У)- Тогда уравнения Гамильтона
у = ц = 0 при / = 0,
имеют решение при малых t и | (у, ц) | ^ R, если \dR/dt\= I -f~
CR и R@) = 0, т. е. R=(ec^\—1)/С Следовательно, при ма-
малых \t\ решение существует и l/Dn) < dy2/dt < 2. Поэтому у2
можно принять за новую переменную, и тогда орбита опреде-
определяется уравнениями
Уз = hЫ. -•> Уп = !пШ> Лг = й(У2)» • • •» ^ = ^м Ы»
где функции /з, • • • > ef/г принадлежат ограниченному множеству
в С°°([—с, с]) при некотором с > 0. Вернемся теперь к исход-
исходным переменным и обозначим
B7.4.24) % (*', Г) = (*2, *з + а/3 (х2/а\ ...,
g2 + ag2 (*a/a) + G (х/, Г), ..., 6Я + agn (x2/a))y
где добавка G, задаваемая формулой
B7.4.25) G (*', Г) = 2 (^ (х2/а) х;. - /J (дс2/а) ?,),
3
включена для того, чтобы сделать преобразование ^ симплекти-
ческим. Для % справедливы равномерные оценки
B7.4.26) \D*%(x\ ГI<Саа1-1а| при \(х>9 ъ')\<са.
Поскольку Нх? = ^ (у, ц) д/ду2 + . •.» где Y2 = дШ/дщ* т0
H) = aW2(x'/a, ?/а)д/дх2+ ....
Следовательно, гамильтоново поле символа г|)о% равно
axF2(x(^/, |') /а)д/дх2 на оси хг, которая является, таким обра-
образом, орбитой, поскольку 5С отображает ее в орбиту поля Н^,
Оценка вида B7.4.26) справедлива также и для обратного ото-
отображения к 5С«
Преобразуем теперь q при помощи %: положим
B7.4.27) Q(xtl') = q(xli%(x\t% \ Мхг \< 1, | (х', Г) К са.
Из симплектической инвариантности скобок Пуассона и из до-
доказательства равенств B7.2.17). вытекает, что
/fioX (C/C*,)'' Q @) = Я 4 (<Э/<Э*,)' ^7 @) = ((ad d/dx{)s Hq)! (d/dxtf q @).
27.4. Локальные свойства символа 243
В силу B7.4.4) и B7.4.5) правую часть здесь можно оценить
через CpAf(s+1)/+/+l. Если ввести обозначение c{(x2)=xY2(%(x2i 0)/a),
то Н^о% = ас{ (х2)д/дх2 + • • • и, следовательно, ад/дх2 =
с\ (Х2)~1 Н^ог, Поскольку функции (ад/дх2У с{ (х2)~1 при каждом /
допускают равномерные оценки, то
B7.4.28) | а' (д/дх2У (д/дхх)*Q@) |<СиМ*<s+1 W+1.
Следовательно, вводя обозначение
<27.4.29) В2 = М*+{/а = 1/рЛ2,
мы получаем, что
B7.4.28/ | (д/дх2У (д/дххI Q @) | < CtfiMi+lBf2.
Это есть главный итог, ради которого производилась замена пе-
переменных. Для удобства ссылок отметим также, что mod E/dgi
B7.4.30) HQ{S) @, xv 0) = acx (x2) д/дх2, С < | с, | < С,
откуда Q<*>@, л:2, 0) =
Рассмотрим теперь, в какой мере основные оценки B7.4.1)
сохранились после замены переменных. Покажем, что
B7.4.31) \D%DlQ{x, 601 <CapAfV"|a/+p/|,
если a' + Р' =7^=0 и | ххМ \ < 1, | (л/, Ю | < са. Для доказательства
заметим, что возникающие при действии оператора Di>Dx' на
функцию Q^l)(x, 10 = q$l)(x, %(x\ 60) члены, в которых д^1*
дифференцируется i ^2 раз, можно оценить через
согласно B7.4.1) и B7.4.26). Слагаемые с / = 1 можно оценить
через
C(\dxrq^)(xb Oll + ajtf-la'+p'i
поскольку вторые производные от д^'Ч*» 6') по (х'у 6х) ограни-
ограничены. В силу B7.4.23) и B7.4.13)
\dxrq^(xlt 0)\^aC^M^-s<ciC^M^ при |^|<1,
откуда вытекает B7.4.31). Более сильную оценку можно полу-
получить при больших рь если заметить, что а2 и adX'i'q®l) можно
оценить через С/Х2 ^ C\Mk+lp и, следовательно,
B7.4.32) \D\DlQ(x9 60|<C^ppAf*+1a"|a4P4
при | х\М | < 1, | (х\ I') | < са\ это верно также при а' + р7 = 0.
В частности, оценка B7.4.32) улучшает оценку B7.4.28) при
j(s-\-l) + i> k и ввиду B7.4.28)' показывает, что функция
244 27. Субэллиптические операторы
Q(x\/M, х2/В2у 0)/(pM) близка по своим свойствам к много-
многочлену с равномерно ограниченными коэффициентами и весом
^й при координатных весах B7.2.14). Покажем теперь, что
лемма 27.4.3 действительно позволяет существенно улучшить
предыдущие оценки. При этом мы будем пользоваться обозна-
обозначением x" = (x3, ..., хп).
Лемма 27.4.6. Существуют такие С'аа > 0, что при малых X
B7.4.33) \DlDUQ(x, t')-$2dQ(xb x2,
npu\xlM\<lu\ (x", 60 | < (pMI'2, \x2\< l/b2 =
Доказательство. Сначала предположим, что 1/Ь2 = (рМI/2, и для
у = (х\ I') положим
( F(/, у) = cQ(t/M, xr(pMI/2, V(9МУ12)(pAf), m<l,|//|<l.
Из B7.4.8) и B7.4.9) при достаточно малых с вытекает, что
\F(ty 0) | ^ 1, а из B7.4.31) — что |^|^1- Следовательно, для
некоторого единичного вектора со ^ R2n-2
\F'y(t, 0)-(o(^(/, 0), (о>|<3.
В силу B7.4.13) производные d!F'y(t, O)/dtj при любом j^k/2
допускают равномерную оценку. Поэтому F'y (t, 0) отличается на
ограниченную функцию от некоторого полинома степени k/2. По-
Поскольку из оценки для полинома вытекает оценка для его про-
производных, то
\ds+lF@, O)/dydts-(x>(ds+{F(Of O)/dydtsy co)|<C.
Здесь \ds+lF@,0)/dydt*\=caM-s(pM)-1'2 ввиду B7.4.22), и
из B7.4.23) и B7.4.13) следует, что \dF(t, 0)/ду\^
CaM~s(pM)~1/2. Следовательно, как и в замечании после леммы
27.4.5, мы заключаем, что со можно заменить на направление
д/д?2 вектора ds+lF@, O)/dydts. При этом мы получаем равно-
равномерные оценки для dG(t, у) /ду при у =0, если
G(tf y) = F(tf y)-l2dF{t, 0)/<Э62.
Поскольку d2G/dy2 = d2F/dy2 имеют норму ^ 1, мы получаем
равномерные оценки для dG(t, у)/ду при |/|< 1, \у\< 1, а сле-
следовательно, и для G(t, у), так как \G(t9 0)| = |f(^, 0)|^l.
Для производных от G или dGjdy no t порядка ^ k мы также
получаем равномерные оценки ввиду B7.4.9) и B7.4.13). Таким
образом, все производные от G и dG/ду по t допускают равно-
равномерные оценки. Для всех остальных производных от G равно-
равномерные оценки вытекают из B7.4.31), поскольку (Mp)l/2 ^ а.
27.4. Локальные свойства символа 245
Это завершает доказательство оценок B7.4.33) в случае, когда
1/62==(рМI/2.
Теперь предположим, что Ь2 = В2 < (рМ)-1/2, и обозначим
F(t9 x2, y) = cQ(t/M, х2/В2у ^(рМI/2, V (РМI/2)/(рМ);
И < 1 > I *21 < 1» М < 1; здесь у = (*", g'). Сначала будем рас-
рассматривать х2 как параметр. Определение F корректно, по-
поскольку
(рМI/2 < В2{ = a/Ms+{ < а.
Как уже говорилось, из B7.4.28)' и B7.4.32) вытекает, что*
F(t, x2, 0) мало отличается от многочлена веса k с равномерно
ограниченными коэффициентами. В частности, \F(t, x2i 0) | ^ 1
при |/|< 1, \х2\ < 1, если с достаточно мало, и поэтому в этом
случае также |^|<1 ПРИ И<1> |дс2|<1, |у|<1. Более-
того, из B7.4.23), B7.4.13) и B7.4.31) вытекает, что
\F'y(t,x29
поскольку 1/B2 = a/Ms+1. С другой стороны, при / =
dy dsF (/, х2, O)/dts = (асх (x2)/(Ms
в силу B7.4.30). Если применить леммы 27.4.3 и 27.4.5, как в
первой части доказательства, то мы получаем равномерные
оценки для
G(t9 x2y y) = F{t, хъ y)-l2dF{ty x2y 0)/дЪ2
при И<1, |х2|<1, \у\<1. Из B7.4.31) и B7.4.32) мы на-
находим равномерные оценки для всех производных достаточно*
высокого порядка. Поэтому все производные от G допускают
равномерные оценки. Это завершает доказательство оценок
B7.4.33).
Для коэффициента при ?2 в B7.4.33) мы из B7.4.22),.
B7.4.23) и B7.4.13) получаем, что
B7.4.34) \D!XldQ(xl9 0)/d|2| <СурМ/+1Л2, |^М|<1;
эта оценка неулучшаема при j = s и Х\ = 0, однако она допу-
допускает усиление при / > k/2. Таким образом, функция
(pMA2)~ldQ(xi/M, 0)/dg2 является в существенном нормализо-
нормализованным полиномом по х\ степени ^.k/2. Из B7.4.31) мы полу-
получаем
B7.4.35) \D*d(Q(xl9 0)-Q(xl9 x29 0))/5g2|
^l§ m)*\ \xxM\<l9\ x2b2 |<L
246 27. Субэллиптические операторы
Действительно, при р2 = 0 эта оценка вытекает из такой же
оценки для р2 === 1 с дополнительным множителем R/{pMI/2,
ограниченным некоторой положительной степенью X В силу
B3.4.21)
1/(рА2МЬ2) < max
откуда вытекает B7.4.35) при р2= 1- Поскольку b2R/(pM)l/2 ^
\/(рМА2)^ \/а, из B7.4.31) мы получаем также B7.4.35) при
$2>1. Следовательно, функция (dQ(x\/My x2/b2f 0)/д?J)/(рМА2)
почти не зависит от х2 при \х2\ < 1.
Из B7.4.33), B7.4.34) и B7.4.35) вытекает оценка
<27.4.36) | DlDlQ(x, Г) | < С^рA +| А2\2
при \ххМ\<\, |*2&2|<1, К*"» 6') 1< с(рМI/2. Она совпадает
по виду с оценкой B7.4.6) с К = М(\ +|Л252|), с Ь2 вместо В2
и Aj = Bf =(рЛ!)-1/2 при / > 2. В силу инвариантности скобок
Пуассона относительно симплектических преобразований функ-
функция Мр (х, 50» определенная по формуле B7.4.4) с Q вместо q,
совпадает с суперпозицией Мр(хи%(х?,%)), и по лемме 27.4.1
'B7.4.37) М$ (х, Г) < СМ A + | A2l2 \)
при тех же (л:, ^), что и в B7.4.36). При больших А2%2 легко
также получить аналогичную оценку снизу. Действительно, в
силу B7.4.33)
pMpq (х, б')ж > I Q(/) (*, Г) I > I e2EQ(/) (^i, ^2, o)/ag21 - cpm/+1
при / ^ k. Отсюда вытекает, что
B7.4.38) max | (g2/p) dQU) (xlf хъ 0)/д%211/(/+1) < M% (x, V) + СМ.
При некотором j^.k/2
!<5Q(/)(*i, x2f 0)/dl2\/p> c{M!+lA2.
Поэтому левая часть неравенства B7.4.38) ограничена снизу
величиной
2с2М\А?2\т+2) при \А?2\>1.
Следовательно, при некотором N
.B7.4.39) c2M\A2t2\mk+2)^max\(yp)dQ«)(x{y хъ 0)/д12\Щ!+1)
Л') при \A2l2\>N
в области, где |^М|<1, |*262|<1, \{х"Л')\<с{9М)т. Если
Мр (х, 1')^.М/2У то имеется оценка для |Л2^2| и, следовательно,
точка (х\, %{х\ |')) относится к случаю II, когда \(х", g/r) | <С
М1/2
27.4. Локальные свойства символа 247
Из B7.4.39) легко выводится, что точка (хи %(х', g')) отно-
относится к случаю I, если l^l^/? и А, мало. Действительно, из
B7.4.33), B7.4.31) и B7.4.39) вытекает, поскольку RA2 > 1 в
силу B7.4.21), что
(х, V) |<|я?'>(*„ х2, 0)/ag21
+162 <52Q(/) (*i, *2> 0)/а|2 Eх21 + с mi'
< MPQ (*, Г)/+1р/1 h I + QM'' (РМI/2 < М^ (х, Г)/+7/?,
если l^l^^?. Поскольку производные первого порядка от х~х
равномерно ограничены, то же верно и для дифференциала or
qU\ Поскольку M«MPQ (x, Ю и
из предложения 27.4.2 вытекает, что с некоторой другой кон-
стантой С
B4.4.40) М?(
если | ^М |< 1, | хф21< 1, | (х^, Г) | < (рМI/2 и 1121 » ^.
Для доказательства оценки снизу для функции Мр(х, |%
когда \A2h\ не является большим, нам потребуется следующая
Лемма 27.4.7. Пусть гп\ и ш2 — фиксированные положительные-
целые числа, m2 ^ гп\, и Fo(x\, x2), Go(x{) — вещественнозначные
полиномы весов, меньших тп\ и ш2 соответственно, если перемен-
переменные х\ и х2 имеют веса 1 и т2. Положим Li = ^i, L2 = Fo(x)-\-
u определим LI = {Ltl, {Li2, ...}}. Тогда L/ = 0 при
!. Предположим, что для некоторого фиксированного С
B7.4.41)
и для некоторого s
B7.4.42)
Если Eo^GodFo/dx.-FodGo/dx, и H0(x2) = (dsF0@, JC2)/E4)M5)@)r.
то при некоторых Сх и N
B7.4.43) СТ[ A + I *i \)~N (I h + Но (х2) | + Ео (х)) < max | L7 (*, I) I
< Сх A + \*i \f (I ?2 + Но (х2) | + Ео (х)) при I, = 0.
B7.4.43)' СГ1 A + I хх \rN Ео (х) < Z I ^ (/'о (*) - Go (^t) Яо (х2)) [
<Cl(i+\xl\fE0(x),
где E,{x)=Yu
248 27. Субэллиптические операторы
Доказательство. Скобки Пуассона {Lb {Lb ..., {Lu L2}} ...}
имеют вид
B7.4.44) F^ + Go\,
где /7о) = dJF0/dx{. Они равны нулю при ]^тх. Скобка Пуас-
Пуассона с L2 равняется
.B7.4.45) G0dFi(j)/dx2 - G
Дальнейшее взятие скобки Пуассона с L2 равносильно примене-
применению оператора G^d/dx2. Вес функции B7.4.45) меньше т\ —
1—/. Каждое взятие скобки Пуассона как с L\y так и с L2
уменьшает вес. Поэтому вес L/ не превосходит тп\—1/|, так
что L/ =0 при |/| > пг\.
Замена |2 на новую переменную |2 + Н0(х2) дает канониче-
каноническую замену переменных и переводит Fo в функцию F0(x) —
Go(x\)Hq(x2) порядка ^ гп\ + тп2. Таким образом, при доказа-
доказательстве B7.4.43) и B7.4.43)' можно считать, что dsF0@, х2)/дх1
и Н(у(х2) тождественно равны нулю.
Поскольку
^о= Go {Z^i, L2) — GqL2
и гамильтоново поле символа Hjl,L2 совпадает modE/E| с
^]д/дх2, то
{G\IT (д/dxf Ео = ((adHj HL)^Hl\ (G0HLlL2 - G'0L2).
Здесь правая часть является линейной комбинацией скобок
Пуассона L/ с коэффициентами, которые являются многочле-
многочленами от х\\ коэффициенты этих многочленов ограничены фикси-
фиксированной константой. Из B7.4.42) по формуле Тейлора мы по-
получаем, что (ср. A0.1.8))
Отсюда вытекает оценка
Кроме того,
<Cx(l+\Xi \Г Z \F{i\x) + G
что завершает доказательство первого неравенства из B7.4.43).
Для доказательства второго неравенства достаточно прове-
проверить второе неравенство из B7.4.43)', так как все скобки Пуас-
«сона линейны по Fo и g2. Пусть V — конечномерное векторное
27.4. Локальные свойства символа 249
пространство многочленов / степени < тх от одной переменной
t, для которых /(s>@) = 0, и положим Tf = w, где w(t) =
Go(t)df(t)/dt — f(t)dGo(t)/dt. Это линейное инъективное пре-
преобразование со значениями в векторном пространстве W много-
многочленов степени < т\ + тп2—1. Действительно, если w = 0y то-
f= cG0 при некоторой константе с и, следовательно, 0 = /(s)@) =
=cGos)@), откуда с = 0 и f = 0. Поэтому отношение ||/||/||Г/||
ограничено. Его максимум является непрерывной функцией or
Go, и поэтому оценивается постоянной, не зависящей от Go, если
условия B7.4.41), B7.4.42) выполняются с фиксированной кон-
константой С. Полагая f = F0{-, х2), мы получаем, что
Z | D}XlF0 @, х2) | < С I | D}X[E0 @, х2) |,
откуда вытекает второе неравенство из B7.4.43)' (сначала при
хх = 0 и затем по формуле Тейлора при всех х\ (ср. A0.1.8))).
Первое неравенство из B7.4.43)' очевидно. Доказательство за-
закончено.
Перед тем как окончательно подытожить локальные свойства
функций М^, введем новое расстояние
B7.4.46) R2 = Х~"\ к<щ< l/(k + 1).
При этом R\ <C R <С #2 <C(pAfI/2, где <С, как всегда, обозна-
обозначает, что отношение ограничено некоторой положительной сте-
степенью X. Положим
\/В2 = max A/Я2, R2) < max (l/B2, (pMI/2) = l/b2.
Предложение 27.4.8. При некоторой положительной константе Т
B7.4.47) М$ (х, б7) > TAf при\ххМ\<1, \ х2В21 < 1,
I (^, Г01 < R2,
или, напротив, для S = Q{s)@)/{dQ{s)@)/dl2)
B7.4.48) М^ (х, 60 < Af/2 при 62 = -2,
a| < 1. |(*", ПК #2-
| S |<С/Л2<С/? < /?2.
Доказательство. Согласно B7.4.39), если N достаточно велико,.
то М® ^М при |Л2|2|^Л^. В дальнейшем предполагается, что»
. Из B7.4.33) по формуле Тейлора получаем, что
, х2/В2, 12В2, х", l»)jM-F{xu x2)-G(xu x2)l2
250 27. Субэллиптические операторы
•есть О (к6) при некотором 6>0 в области | лгх | <С 1,
1121<Р^, К*", 6")|</?2, где
F(xu x2) = Q(xJM, х2\Въ 0)/M,
G(xb x2) = B2M~ldQ(xJMf x2/B2i 0)/d|2.
To же самое верно для производных и в силу B7.4.32) и
B7.4.35) остается верным, если заменить F и G разложе-
разложениями Тейлора Fo и Go функций F(xu x2) и G(xu 0) до поряд-
порядков k и k/2 соответственно. Следовательно, Fo и Go удовлетворя-
удовлетворяют условиям леммы 27А.7 с постоянным #0 = Н/?2 = рЛ2Е в
силу замечаний, сделанных после B7.4.30). При малых X
max|L7@,
Следовательно, при тех же обозначениях, что в B7.4.43),
Далее нужно различать два случая:
(i) Если ?о(О)<ер, то из B7.4.43) вытекает, что
1М*> 6)|/р<С3в при g2=-tf0 и \хх\<1, \х2\<1.
Отсюда при С3е ^ 1/4 получаем, что
\Qi(x, П/РК(Л//3I71 при |/|<Л + 1
в области \ххМ\<1, \х2В2\<1, \(х", 1")\<R2 при ?2=-3.
Если 52 < В2, то ?2=1//?2, и поскольку /?2 <С (рМI/2, то из
B7.4.36) и из доказательства леммы 27.4.1 видно, что
\Qi(x, t')/p\<(M/2)ln при |
l, |jc2B2|<1, -?2 = 3 и |
так как R2\dQi(x, I')/д%2\/М^ = О (/?262) < 1. Отсюда вытекает
B7.4.48).
(и) Пусть теперь Е0@) ^ р/(ЗС3). Тогда из B7.4.43) вы-
вытекает, что
max|L7(x, g)|/p>C4, I^|<1, |jc2|<1,
поскольку при этом отношение Е^@)/Е0(х) ограничено. Возвра-
Возвращаясь обратно кЛ1р, как при доказательстве B7.4.48), мы по-
получаем B7.4.47). Доказательство завершено.
Точки, в которых осуществляется B7.4.48), нужно исклю-
исключить в процессе локализации. Поэтому введем
27.4. Локальные свойства символа 25t
Определение 27.4.9. Если выполняется условие B7.4.47), то бу-
будем называть множество
B7.4.49) Qo = {(*!, %(х', 6')); \х{М\<1, \ х2в'2\ < 1, \12\<R*
\(х", 1")\<R*
допустимой окрестностью типа II с центром @, 0).
Каждая точка типа II близка к центру некоторой допусти-
допустимой окрестности типа II:
Предложение 27.4.10. При некоторой константе Са для любой
точки (х9 ?') типа II с \хх\ < 1/2, | (*', g') | < К-1 /2 можно ука-
указать точку (у\ т]') с \(х' — у\ ?'— ц') | ^ CaR, для которой
(хи у'у Л') является центром допустимой окрестности типа II.
Доказательство. Пусть Са больше, чем константа С из предло-
предложения 27.4.8. Если точка (х, ?') сама не является центром до-
допустимой окрестности, то, согласно предложению 27.4.8, мини-
минимумам функции Мр(хи у'9 ?') по области \(х' — у\ ?'— ц') \ ^
CaR меньше, чем М9(х, %)/2. Возьмем точку (у\ ц'), для кото-
которой М9(хъ у\ ц') = М. Из замечаний, сделанных после B7.4.39),
видно, что (хи у\ т]0 также является точкой типа II. Для упро-
упрощения обозначений предположим, что (хи у\ ц) является на-
началом координат и что уже проделана указанная выше замена
переменных. Поскольку точка @, х', ?') относится к типу II, та
^2-координата б точки %-* (х', ?,') ограничена величиной C'R> что-
вытекает из тех же замечаний, сделанных после B7.4.39). Если
условие B7.4.47) не выполняется с М вместо М, то из B7.4.48)
и определения М вытекает, что расстояние |б+ Н| от %-1 (л/, ^)
до плоскости g2 = —S не меньше, чем CaR/C'\ где С — кон-
константа Липшица функции %. Поскольку |S|^ CR, то при Са >
(С + С')С" мы получаем противоречие, которое и завершает до-
доказательство.
Для допустимой окрестности Q^ вида B7.4.49) определим
функцию Фо е Со° (Qo) по формуле
B7.4.50) Ф0(хи Х(д/, Г))
= Ф (Мхх) Ф (В'2х2) Ф A2/R2) Ф ((| хГ |2 + I ?" \2)/Rt)r
где ф — функция B7.4.17), использованная при рассмотрении
случая I. Оценки, которые мы получили для области Qo, спра-
справедливы также с некоторыми другими константами в «дубле»
области Яо или, более общим образом, в окрестности, получен-
полученной умножением В'2~1 и /?2 в определении Qo на фиксированные
константы. Следовательно, для любой точки (л:, ^)eQ0 ми-
252 27. Субэллиптические операторы
нимум функции М9 (хи у\ г\') по области | у' — х' |2 + I ч' — V f <
CRt ограничен сверху и снизу величинами, пропорциональными
Л4р@), и достигается только в точках, попадающих при отобра-
отображении %-] в множество, где |^2Tl2|<A^ при некотором фиксиро-
фиксированном N. Типичные допустимые окрестности получаются,
если провести через каждую такую точку дугу длины «1
орбиты гамильтонова поля символа q(s)(xu x\ %')/Ms+l при
фиксированном х\, где 5 берется таким, чтобы дифференциал
не был слишком малым, и затем взять /?2-окрестность по пере-
переменным х\ \г и \/М-окрестность по х\. Из B7.4.33) следует, что
переменные (х", |") на таких орбитах меняются очень мало.
Следовательно, если две допустимые окрестности пересекаются,
то значения Мр в их центрах ограничены фиксированной кон-
константой и одна из них содержится в другой, растянутой в опре-
определенное число раз.
Теперь стандартным образом можно построить подходящее
покрытие множества
Q = {(x, Г); l*i К 1/2, К*', 1')\<Ь-1/2}.
(Напомним, что в B7.4.1) мы начинали с вдвое большего мно-
множества.) Сначала возьмем некоторую максимальную последова-
последовательность допустимых окрестностей Qb ?22, . •• типа II с центра-
центрами в Q-, для которых центр Qk не лежит во внутренней половине
Q/ при /< k. Такая последовательность обязательно конечна.
Для каждой окрестности Q/ возьмем функцию Фу е Со° (Qy) типа
функции ф0 из B7.4.50). Поскольку пересекающиеся окрест-
окрестности имеют почти одинаковую форму и перестают пересекаться
при сокращении в определенное число раз, то очевидно, что су-
существует фиксированная верхняя граница для числа окрестно-
окрестностей Q/, имеющих общую точку (ср. доказательство леммы
1.4.9). Нам понадобятся также в дальнейшем функции -фу е Со°
с носителями в множестве, где Ф/ = 1. Например, можно взять
<27.4.51) to (*„ X (*', Г» = Фо Dдс,/3, % D*73, 4Г/3)),
если центр находится в 0 и % — соответствующее каноническое
преобразование. Тогда г|)/ = 1 во всех точках, находящихся на
расстоянии < cR2 по переменным х'%' от внутренней половины
окрестности Q/f поскольку 9/16 > 1/2. Следовательно, множе-
множество
со={(х, %')^Q; fy(x, %')< 1 при каждом /}
содержит лишь точки типа I, поскольку любая точка типа II
находится на расстоянии O(R) по переменным х'\' от центра
некоторой допустимой окрестности типа II. Следовательно, мож-
можно так покрыть со стандартными окрестностями со/ типа I с со-
27.4. Локальные свойства символа 253
ответствующими функциями -фу е= Со° (coy) типа B7.4.17), что
только ограниченное число соу- может иметь непустое пересече-
пересечение и
со cz {(jc, ?'); ф/(*> 60 =1 ПРИ некотором /}.
Если положить
<27.4.52) Ч?,(х, Г) = ¦/(*• 1')ЦA-Ъ(х, Г)),
то suppV/ содержится в множестве, где ф/ = 1, и функция
<27.4.53) W (х, Г) = Z V/ (х, ?') = 1 - П A - */ (х, I'))
равняется 1 в ?2\со. Пересечение Q с носителем сР? содержится
в объединении множеств, где Ф/ = 1, а также множеств, где
<р? = 1. Это позволит нам использовать функцию W в § 27.6 для
отделения анализа случая I от анализа случая II. Для этого нам
потребуется некоторая информация о свойствах функций фу и
Ч1"/ как символов относительно метрики
<27.4.54) g2 = (\dx'\2 + \d\
Будем обозначать через МР] или просто через М-} значение М9
в центре» окрестности 4я/.
Лемма 27.4.11. Символы Фу, ?,-, MJx (DXl + Hq) Фу и Mf](DXl +
Ч-Я^I?/ ограничены в 5A, g) равномерно по у, jcx t/ p я/ш
Доказательство. Для упрощения записи будем считать, что / = 0
и Фо, % заданы формулами B7.4.50), B7.4.51). Поскольку
а > M/R ^> R2, то из B7.4.26) и аналогичных оценок для %-{
вытекает, что достаточно доказать это утверждение для компо-
композиции с 1 в переменных (х\ |г). Поскольку B2^.l/R2i то оче-
очевидно, что Фо(хь х(*'»&')) и ^о(^ь x(^» SO) ограничены в
,5A, ^2). Прообраз оператора MqX (DXl + Нд)Ф0 при отображе-
отображении х Равен М~[ (DXl + Hо)Ф0(хь %{х\ Г)), где М=Мр@, 0),
как и выше. Очевидно, символ М-1ОХ1Ф0(хи %(х\ I')) ограни-
ограничен в 5A, g2). Для символа
М {Q(xy l) — l2oQ(xu x2, 0)/dl2, Фо(^1, %(х , ? ))}
из B7.4.33) вытекает, что он ограничен даже в S(p/R2(Mp)^2i g2).
Остается изучить разность
—M~l(dQ(xu x2, 0)/д12)дФ0(х{, %(х', 1'))/дх2
, хъ 0)/ag2, фо(^, %(х', Г))}.
254 27. Субэллиптические операторы
Первый член ограничен в S(pA2B2, g2)> а второй — в
S(R2pA2b2/R2, g2) ввиду B7.4.34) и B7.4.35). Поскольку 62<
В2^В2 и рА2В2 = 1, то мы получаем отсюда ограниченность в
5A, g2). To же самое справедливо для i|)o(#i, %(x', !'))•
Для того чтобы перейти от -фу к 4*7, заметим, что в B7.4.52)
все множители 1—г|?/, кроме некоторого фиксированного их
числа, равны 1 в некоторой окрестности supp гр/. Следовательно,
W} ограничены в 5A, g2), как и все -фу. Имеем
MJl (DXl + Hq) Y, = MJX (DXl + Hq)^t П 0 - Ф* (x, Г))
- Z Wk/MtH, П (i-ФЛ^, nw'^ +
Поскольку Mk/M} равномерно ограничены при supp -фл П s^pp t/
=т^= 0, то это завершает доказательство.
Для фу аналогичный результат справедлив в метрике
B7.4.55) ?, = A^'|2 + №'|2)/Я?.
Обозначим через т\ значение М9 в центре о)у.
Лемма 27АЛ2. Символы фу и' mjx {DXx + Я7)фу ограничены в
5A, gi) равномерно по /, *i w р др^ малых %.
Доказательство. Это вытекает непосредственно из B7.4.14), по-
поскольку р < R/R\ при малых X.
Леммы 27.4.11 и 27.4.12 содержат всю необходимую информа-
информацию, которая потребуется нам в § 27.6 для локализации дока-
доказываемых там оценок для оператора Di-\-iq(x, D'). Для изуче-
изучения локализованных операторов в случае II нужно извлечь из
B7.4.2) дополнительную информацию об аппроксимирующем
дифференциальном операторе
x2i 0) + dQ(xb x2i
Для этого потребуется следующее уточнение леммы 27.4.3.
Лемма 27.4.13. Пусть FeC°°(Q.), Q={(t, #)e=R2; |*|<1,
|г/|<1} и предположим, что для некоторого фиксированного
целого положительного k
B7.4.56) |d2/7<V|<l, \d3F/dtdy2\^l в Q,
B7.4.57) | Fo (t) | < 1, | dkFx (t)/dtk | < 1, -1< t < 1,
где Fj(t) =dfF(t, O)/dyt. Предположим дополнительно, что вы-
выполняется условие B7.4.2)'. Если N = sup Fx (t) — достаточно
|И<1
27.4. Локальные свойства символа 255
большое положительное число, то при некоторых константах С}>
зависящих только от k>
<27.4.58) | Fo (s) | < CXFX (s)/N + C\lw\ \s\< 1/2,
<27.4.59) Fo(t)/F{ (t) - Fo(s)/Fx (s)<C2(l/Fx (s) + l/Fx (t))/N2
при -l/2<t<s< 1/2 и N min (Fx (s), Fx (t)) > Co,
<27.4.60) Fx (s) d (Fo (s)/F{ (s))/ds > -C2 A + | F[ (s)/Fx (s) \ )/N2
при \s\< 1/2 и NFX (s) > Co.
Если G(s) = Fx(s) + CJN, то G(s)>0 при |s|<l/2 и
{27AMY Fo (t)/G (t) - Fo (s)JG (s) < C3 A/G (s) + 1/G (t))/N*
при -1/2 < / < s < 1/2 и N min (G E), G (/)) >C0 + 2Clf
<27.4.60)^ G (s) d (Fo E)/G E))/ds > -C3 A + I G' (s)/G (s) \)/N2
при \s\< 1/2 и NG(s) > Co + 2C\.
Доказательство. Из леммы 27.4.3 мы уже знаем, что F\(t) ^ —3.
Для многочлена Тейлора Т порядка k— 1 функции Fx в точке О,
очевидно, \Т — fi|^ \/k\. Следовательно, максимум многочлена
Т на (—1, 1) не меньше, чем N/2, если N^\. Поэтому при не-
некоторой положительной константе c(k)
max \T(t)\^2c(k)N>3,
~\<t<\/2
если также N > 3/Bc(k)). Поэтому можно выбрать <е(—1,
—1/2), для которого F\(t)(> c{k)N. По формуле Тейлора
\F(t, у) — Fo(t) — Fx(t)y\^\/2 и, следовательно, знак F(t, у)
совпадает со знаком уу если c{k)N\y\ > 3/2. Аналогичным об-
образом можно выбрать /еA/2, 1), обладающее тем же свойст-
свойством. Тогда из B7.4.2)' вытекает, что знак F(s, у) совпадает со
знаком у при |s|< 1/2 и \у\> 3/BNc(k)). Отсюда получается
B7.4.58) с Ci=3/Bc(*)). В частности, Fx(s) > — CX/2N, и
\F0(s)\^2C,Fl(s),/N при Fx(s)>Cx/N.
Если |5|<1/2 и К = F\(s)N > 2Ci, то решение у линеари-
линеаризованного уравнения Fo(s) + Fx(s)y = 0 удовлетворяет неравен-
неравенствам \y\<2C{/N < 1/2 при N> 4СЬ Если |г|<|г/|,то
F(s, y + z) = Fx(s)(z + R),
где
I R I<(У + гJ/2Л (s) < 2y*N/K <*Cx\y |//С.
Итак, z + R имеет противоположные знаки при z = ±4С\у/К.
Следовательно, если К > 4СХ = Со, то можно так выбрать г,
что |z|<4Ci|y|//C-<|y| и F(s, y + z)<0. Тогда из B7.4.2)/
вытекает, что F(t, у + z)^ 0 при t ^ 5, откуда
^о (t) + Л @ (-Fo (№ E) + г) < (у + zf/2 < 8С?/ЛГ2
256 27. Субэллиптические операторы
и \z\<4Cx\y\/K<8C2/NK. Отсюда вытекает B7.4.59) с С2 =
8Сь В предыдущих рассуждениях можно также выбрать г, для
которого \г\<4С1\у\/К и F(s9 y + z) = 0. Тогда из B7.4.2)'
мы получаем, что
О < OF (s, у + z)Jds < Fo (s) + F\ (s) (y + z) + 2y\
откуда
Fo (s) - F\ (s) Fo (s)/Fx (s) > - | F[ (s) 11 z | - 2y2
>-4Cx\F[(s)/Fx (sI1 Fo(s) ЦК - 8C]/N2.
Таким образом, мы доказали B7.4.60).
Мы уже отмечали, что G ^ 0. Для вывода B7.4.59)' из
B7.4.59) заметим прежде всего, что из неравенства NG(t)^
Со + 2Ci вытекает, что NF{ (t) ^ Со+С{ и
| Fo (I) A/G (/) - 1/Л (/)) | < С, | Fo (/) iA^VFj (/) G (/)) < 2C?/(G (/) W2),
G @/Л @ < 1 + Q/^f j (/)) < 1 + CJ(C0 + d).
Отсюда получается B7.4.59)' cC3 = 2C? + 2(C0 + 2C1)C2/(C0 + Q).
Поскольку
I Fo (/) G' @ A/Fi (/) - 1/G @) I < Cx I G' (/)/G @ 11 Fo (t)/NFx (t) \
то аналогичным образом мы получаем B7.4.60)', что и завер-
завершает доказательство.
Мы можем применить лемму 27.4.13 к функции
F(t, уУ x2) = c0QBt/M, х2, 0, у(9М)ч\ 0)/РМ,
где х2 рассматривается как параметр, |лг2Ь2|< 1- При подходя-
подходящей положительной константе с0 из B7.4.33) вытекает B7.4.56),
а из B7.4.32) и B7.4.33) вытекает B7.4.57). Параметр N из
леммы 27.4.13 эквивалентен А2(рМI^2 при д;2 = 0 в силу фор-
формулы Тейлора и определения А2. Поскольку R <С (рЛ1I/2, из
B7.4.35) вытекает, что это верно также при |x2fr2|< 1. Теперь
изменим нормировки в лемме 27.4.13, полагая при |xi|<l и
\x2b2\<B2
Fo(xx, x2) = pF(x{/2, 0, x2/B2)/co = Q(xJM, х^Въ 0)/М,
Fx(xx, x2) = dF(xJ2, 0, х^В
= (B2/M)dQ(xJM,
Это означает, что при |*iAf|< 1 и \х2В2\<. 1
B7.4.61) Q(xu x2i 0) + l2dQ(xb хъ 0)/d|2
= M(F0(Mxx, В2х2) + (УВ2)Рх(Мхь В2х2)).
27.4. Локальные свойства символа 257
Символ li + iM{FQ(Mxu В2х2) + A2/В2)F\(Mxb B2x2)) переходит
в M(l{ + i(FQ(xly x2) + ?2^i(*i» *2^ ПРИ симплектической дила-
тации, которая в точности соответствует замене масштаба по
переменной хх в соответствующем дифференциальном операторе
первого порядка. Полагая
B7.4.62) G (хи х2) = F{ (хь х2)
мы получаем, что G ^ О при подходящей константе С, а при
|*i|<1, \x2b2\<B2
B7.4.63) . |DaF0|<pCa,
B7.4.64) |DaG|<Ca/p при щ > k или а2=^0,
B7.4.65) 1/2 < max | djG (х)/дх{ | < 2,
B7.4.66) F0(xu x2)/G(x{i x2)-F0(yu x2)/G(yl9 x2)>-l,
если — \ <yx<xx<\ и min(G(xb x2), G(yb x2))>p~~k~1,
B7.4.67) d(FJG)ldxx>—\ при G(x) > p"*.
Действительно, если min(G(jc1, x2)» G(^/1} x2)) ^ C/(Л2РМ), то мы
можем применить оценки B7.4.59)', B7.4.60)/ и получить оценку
снизу через О (\/(GAiM)). 3tofo более чем достаточно для до-
доказательства B7.4.66), B7.4.67), поскольку 1/(а1м) </?2/М.< 1
при малых I. Оценка B7.4.63) вытекает из B7.4.33), а B7.4.64),
B7.4.65) получаютея с учетом B7.4.35).
Предположим теперь, что @, 0) — центр допустимой окрест-
окрестности, и обозначим L\ = lu L2=F0(xu x2)+G(xu x2)l2. Тогда
можно применить рассуждения из п. (ii) доказательства пред-
предложения 27.4.8. При этом ввиду инвариантности скобок Пуас-
Пуассона относительно симплектических преобразований мы полу-
получаем, что
B7.4.68) max \Lt {х, ?)/р |>с>0 при | х{ \< 1, | х2в'2 \ < В2.
\i\<k+\
Действительно, при l^l^p нужно просто воспользоваться го-
готовыми результатами для скобок Пуассона вида F^ + l2G{iK
а если отношение |^/р| ограничено, то слагаемым С/(А2рМ)г
входящим в G, можно пренебречь, поскольку оно <С 1.
Полученные выше оценки справедивы в прямоугольнике на
плоскости R2, у которого стороны ^ 1. При доказательстве оце-
оценок для обратного оператора к L\(D)-\- iL2(x, D) в § 27.5 мы
сначала будем рассматривать eFo только на квадрате в R2, так
что для перехода к прямоугольнику общего вида нам потре-
потребуется просто дополнительное разбиение единицы по х2.
258 27. Субэллиптические операторы '
27.5. Локальные субэллиптические оценки
В § 27.4 мы обнаружили, что субэллиптический оператор микро-
микролокально хорошо аппроксимируется дифференциальным опера-
оператором от одной или двух переменных (случаи I и II соответ-
соответственно). Для анализа возникающих при этом обыкновенных
дифференциальных операторов мы можем пользоваться леммой
27.3.4. В этом параграфе мы получим аналогичный результат
для второго случая. Через ||-|| мы обозначаем ?2-норму.
Предложение 27.5.1. Предположим, что F, GeC°°(Q), Q =
{x^R2\ |*i | < 1, |x2|< 1}, что F — вещественнозначная функ-
функция, a G — неотрицательная и для некоторых фиксированных Са
B7.5.1) |DV|<CaP Va,
B7.5.2) | DaG |<Ca/p при щ > k или
B7.5.3)
где k — фиксированное положительное число. Предположим так-
также, что для L\ = |i и L2 = F(x) + iG (x) I2
B7.5.4) max | L, (x, |)/p |I/|;I > 1 npoEQ,^eR,
B7.5.5) д (F/G)/dx{ > -1 при G (x) > p"^,
B7.5.6) F {xl9 x2)/G (xu x2) - F (yl9 x2)/G (yu x2) > -1,
если —1<у1<х1<1 и min(G(x1, x2), G(yif x2)) > p"*.
Тогда для произвольного компактного подмножества К в Q при
больших р
B7.5.7)
< С к II (А + I (F (х) + G (х) D2)) «||, и е= Со (К).
Разумеется, достаточно потребовать выполнения условий
B7.5.1), B7.5.2) лишь для конечного количества мультииндек-
сов а, однако наше доказательство не позволяет указать про-
простые границы для необходимого количества этих мультииндек-
сов. Условия B7.5.5), B7.5.6), разумеется, унаследованы от
условия (*?). Для доказательства предложения 27.5.1 нам по-
потребуется серия лемм. Первая из них, тесно связанная с предло-
предложением 27.3.1, поможет нам оценить составляющую функции и,
высокочастотную по л:2.
27.5. Локальные субэллиптические оценки 259
и что при
Лемма 27.5.2.
всех а
B7.5.8)
B7.5.9)
Предположим, что 0
|DaG(x)|<Ca,
тах| DiG(x)|>l,
л:
G е
ЕЙ,
где &—также фиксированное число. Тогда для произвольного
компактного подмножества К в Q
B7.5.10) ||D{v || + II GD2v \\ + \\\ D2 \v \\
<Ск (IIФх + IG(х)D2) v\\ + \\v|
Доказательство. Можно изменить G вне К так, чтобы условия
выполнялись всюду в R2. Тогда нам нет необходимости ограни-
чивать носитель по переменной х2, но пусть на нем |x1|<L
Повторяя доказательство неравенства B7.3.10), читатель может
удостовериться, что
B7.5.11) ||Ao|| + !||g
+ «?(*„ *2)|2)t>||, osC?(-l,
если l2 e R и ||2| достаточно велик. Заметим далее, что и»
леммы 7.7.2 вытекает оценка
B7.5.12) \dG/dx2f^CG.
Выберем теперь е е @, 1/B? + 2)) и Х/^С™ (R) так, чтобы
не более двух носителей уу пересекались и 112 — tt |< С*//2+в
для некоторого // при ?2 е supp X/. Тогда
(Dl + iG/;) X/ (Dj) v = %l (D2) f + й; [G, Xi (D2)) v
+ i it, - D2) x, (D2) Gv + Xi (D2) (dG/dx2) v.
Здесь / = (Д + ш'(х) D2) v. Обозначая || g \\{s) = I A + D22)mg |, мы
получаем, что
IIIX, (D2) f IP = || / II2, Z II Xi (D2) (d2G) v ||2 < С || t> ||2,
S II (^/ - D2) Xi (D2) Gv |f < С || G« ||21/2+e).
Более того, /;[G, Х/ф2)] = itix'i{D2)d2G + ^/(x, D2), где Ш—
символ класса Si/2+е, 1/2-е со значениями в I2, равномерно огра-
ограниченный по Х\. Следовательно,
S II t, [G, xi (D2)] v ||2 < С (|| (d2G) v ||?,/2_e> + II v ||2).
260 27. Субэллиптические операторы
Из теоремы о композиции псевдодифференциальных операторов
типа 1, 0 вытекает, что
v, (d2G)v)
-((d2GfD2v, D2(l
Поэтому, используя B7.5.12), мы получаем оценку
? || (D{ + iGt,) х, (А>) v ||2 < С (|| /1|2 +1| Gv ||2/2+е +1| v ||2 +1| GD2v || || v ||).
Применяя B7.5.11) ко всем членам с большими /, мы получаем
неравенство
II D{v ||2 + || o|fi,(ik+i,, +1| Gv \\2{l)
2 II V If + || GV )
поскольку iGD2v = f — Z>iu и iD2Gv = iGD2v + (d2(?) у. Здесь
правую часть можно оценить через
откуда после сокращения -yllG^llo) получается B7.5.10).
Докажем теперь лемму, заменяющую здесь лемму 27.3.2, ог-
ограничиваясь лишь полиномиальным случаем.
Лемма 27.5.3. Пусть гп\ и пг2 — фиксированные положительные
числа, пг2 ^ ni\, и пусть /^(^ь х2), Gq(x\)— вещественнозначные
многочлены весов, меньших гп\ и гп2 соответственно, если веса
переменных х\ и х2 равны 1 и т2. Тогда для L\ = ^ и L2 =
F0(x)-\- G0(xi)l2 скобки Пуассона Li равны нулю при |/|>mi.
Если
B7.5.13) max |G^ @)| = 1,
B7.5.14) minmaxIMO, Б) I — р,
и р достаточно велико, то при г = 21-mi
B7.5.15) 9e\\u\\<C(\\Diu\\ + \\(Fo(x) + Go(xl)D2)u\\)i usC$°(Q).
Доказательство. Из B7.4.43) и B7.4.43)' следует, что коэффи-
коэффициенты многочлена F0(x)—Go(xi)Ho(x2) не превосходят Ср для
некоторого подходящего многочлена Но, для которого вес этой
разности ^ гп\ + т2. Замена и(х) на м(#)ехр Г—I \ H0(x2)dx2j
в B7.5.15) приводит к замене F0(x) на F0(x)—G0{xi)H0(x2).
Скобки Пуассона L/ не меняют своего вида, если принять g2+#o
за новую симплектическую координату вместо |2. Поэтому при
27.5. Локальные субэллиптические оценки 261
доказательстве можно предполагать, что F0@)^Cp. В силу
B7.5.14) в обозначениях леммы 27.4.7
B7.5.16) р<С?0@) <№(*), x<=2Q.
Возьмем функции %^C™(R), равную 1 на (—1, 1), и поло-
положим P{=DU Р2 =%(x2) (Fo(x)-\- Go{x\)D2). Символ оператора
Р2 равномерно ограничен в 5(р + 1Ы»?) при |*i|< 1, если
Рассматривая х\ как параметр и обозначая
мы покажем, следуя идеям лемм 22.2.3 и 27.3.2, что для комму-
коммутаторов Pj = [Pil9 [Pi2, ...]] е= Op S(p +1121, g) если | xx |< 1 на
supp и, то
B7.5.17) ||P/ii||Bi-i/|_1)<C(||P1a|| + ||Paii|| + ||ii|D.
Это очевидно для |/|= 1, а для общего случая B7.5.17) дока-
доказывается индукцией по |/|. А именно, предполагая справедли-
справедливость B7.5.17), получим оценку для [P]f P{] щ j = 1, 2. Для этого
введем обозначения б = 2-|71 и
А = (р2 + DtN~l [P/f PF] e Op S ((p + 1121J6, g).
Тогда
fl Я7]«, Аи)
9 [P/\ Л]а)±(р;«, ^P/W)±(P/4 [P7, Л]и)
< С (|| PjU Исав—1> (II P,M || + || U ||) + || PyU || (|| Р7И ||B6-1) + II « 11B6-1))),
что и завершает индуктивное доказательство оценки B7.5.17).
Из B7.5.16) вытекает, что
Здесь функция ?оа)/р ограничена в С°°, и ?оа) является линей-
линейной комбинацией коммутаторов Р/ с ограниченными в С°° коэф-
коэффициентами, как видно из доказательства леммы 27.4.7. Сле-
Следовательно,
B7.5.18) P=Zcr
где С/ принадлежит ограниченному множеству в С и сумми-
суммирование ведется по таким /, что |/|^ т\. Из B7.5.13) вытекает
оценка для первого множителя в
262 27. Субэллиптические операторы
а поскольку Fo* + Go)D2 содержится среди наших Р1у то ввиду
B7.5.18) также
D2=IidI(x)Pi9 xgQ,
где каждый коэффициент d\ ограничен в Со°. Следовательно, из
B7.5.17) вытекает оценка
I! и ||(8) < || щ ||(е-1) + || D2u ||(e-i) < С (|| Dxu || +1| (Fo + G0D2) u\\ + \\u ||)
для wgCo° (Q). Поскольку р81| и || ^ || и ||(с), то лемма доказана.
Доказательство следующей леммы мало отличается от дока-
доказательства леммы 27.3.3, однако она дает удовлетворительный
результат только для функций с малой высокочастотной ком-
компонентой по переменной х2.
Лемма 27.5.4. В дополнение к условиям леммы 27.5.3 предпо-
предположим, что функция Go неотрицательна и отношение Fo/Go яв-
является почти возрастающим в том смысле, что
B7.5.19) d(F0(xx, x2)/G0(xx))/dxx>-\ при G0(
Uil<l, I*2I<1,
B7.5.20) Fo (xx> x2)JG0 (xx) - Fo (yl9 x2)/G0 (yx) > -1,
если — 1 < yx < xx < 1, | x21< 1 и min (Go (xx), Go (yx)) > p.
Тогда при достаточно больших р
B7.5.21) р2е J | v \2dx + J | Dxv fdx
< С (\ | (Lx + iL2) v |2/max (Go, p~2) dx
+ p~2 <1+1^2> J | DxD2v f dx), v<= Co (K),
где K = {xz=R2; I^Ke/9, |*2|<1} и е = 21-^.
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 27.5.3, можно
предполагать, что отношение F @)/р ограничено. Будем во всем
следовать схеме доказательства леммы 27.3.3. Для этого отме-
отметим сразу, что, вводя обозначения б = р~2 и Qo = Fo/Gq, мы
получаем
B7.5.22) $ ((\LiV\2 + \L2v\2)/G0)dx
Go>6
Go>6
27.5. Локальные субэллиптические оценки 263
где
B7.5.23) ?'1 = 2Re jj (dv/dxx)T>tf)dx = ~2Re \ (dv/dxx)Opdxf
Go<6
B7.5.24) ?2 = 2Re $
Go>6
= - J \v\2(dQ0/dxx)dx- \ \v?Q0dx2.
Go>6 Go=6
Здесь множество Go = 6 рассматривается как граница множе-
множества Go < б. Если компонента границы этого множества задает-
задается неравенствами а < хх < Ьу то нам нужно получить оценку
для
v (а, х2) |2 Qo (а, х2) dx2-\\v (b, х2) |2 Qo F,
v (а, jca) |2 dx2 +\(\v (а, х2) |2 - | v
где мы использовали B7.5.20). Из B7.5.13) следует, что в каж-
каждом из интервалов (±8/9, ±1) найдется точка х\, в которой
Go больше некоторой фиксированной константы. Следовательно,
там |Fo(a:)/Go(a:i) | < Ср, и поэтому из монотонности B7.5.20)
вытекает, что
B7.5.25) | Qo (x) \ < Ср, если x e= К и Go (jc^ ;
Следовательно, второй член в правой части последнего нера-
неравенства можно оценить через
2Ср \ \vDxv\dx.
а<хх<Ь
Поскольку множество {хх\ Go(xi)<6} имеет не более т2 ком-
компонент и первый член в Е2 можно оценить при помощи B7.5.19),
то
B7.5.26) J ((| Lxv |2 + | L2v |2)/G0) dx
Oe>6
J + iL2)v\2/Go)dx + 2 J \Dxv\\D2v\dx
Go>6 Go<6
+ 2Cp ^ \vDxv\dx+ ^ \v\2dx + m2max J \v\2dx2.
Go<6 Go>6 Oo=6
На максимальном интервале, где |G0|<26, очевидно, что
\F0\ < 2Сбр при б < Go < 26 ввиду B7.5.25). Изменяя масштаб
таким образом, чтобы этот интервал превратился, например,
264 27. Субэллиптические операторы
в интервал @, 1), и учитывая, что Fo и Go — многочлены фикси-
фиксированных степеней, мы получаем, что |/o|<Ci6p при |G0|<
26, т. е.
B7.5.25)' IFoMKQpmaxfGo, P~2) при хе=К.
Следовательно,
B7.5.27) \ (\Lxv\2 + \L2v\2)dx
Go<6
<2 J \(Lx + iL2)v\2dx + 3 J \L2v\2dx
G0<6 Go<6
<2 J \(Lx+iL2)v\4x + C62 \
0o<6 G0<6
Разделим все члены на б и прибавим B7.5.26), где интегралы
от |aZ)ii>| и \D\v\ \D2v\ оценим при помощи неравенства Ко-
ши — Шварца. При этом мы получаем
B7.5.28) J ((| Lxv |2 + | L2v |2)/max (Go, 6)) dx
о |2/max (Go, 6))d^ + J (| Dxv |2/26 + C6| D2y \2)dx
G0<6
Интеграл от |Z)it>|2/26 в правой части можно опять сократить
с куском левой части. Поэтому, используя лемму 27.5.3, мы по-
получаем оценку
B7.5.29) р2е J | v |2 dx + J | Dxv |2 йл:
+ iL2) v |2/max (Go, 6))dx
+ C6 J |D2y|2^ + c5|y|2^ + Cmax J \vfdx2.
Go<6 Go=6
Используем опять неравенство Коши—Шварца:
/, x2)\dt
v (/, х2) |2 + р"е | Dxv (/, х2) |2) Л.
Интегрируя здесь по х2, мы находим, что последний член в
B7.5.29) при больших р во много раз меньше левой части.
Меру множества {хх ^(—1, 1); G(*i)j«< 6} можно оценить через
27.5. Локальные субэллиптические оценки 265
C6l/m2, поскольку оно состоит не более чем из т2 интервалов
длины < С61/т\ что легко выводится из B7.5.13) с помощью
любой интерполяционной формулы. Поскольку
при любом х\, оценка B7.5.21) доказана.
Следующая лемма вполне аналогична лемме 27.3.3, и хотя
наши предположения могут показаться искусственными, они на
самом деле навязаны нам доказательством предложения 27.5.1,
использующим масштабные преобразования. Настроенный скеп-
скептически читатель может при желании сначала прочитать то до-
доказательство.
Лемма 27.5.5. Пусть F, GgC°°(Q), F— вещественнозначная
функция, G^O и для Li = |i, L2 = F(x) + G(x)g2 при фикси-
фиксированных целых гп2^т\ и больших р, t
B7.5.13/ max |d{G@)|=1,
/<m2
B7.5.14/ min max |L7@, %)\ = t9
B7.5.30) | DaF | < Г6, если \a\^mx и тх^щ + m2a2,
B7.5.31) [DaG\ <p~* < Г8, если |a|<m, и а{^т2 или
B7.5.32) | DaF | < pA6 при ax + m2a2 < mu
B7.5.19/ d(F(xl9 x2)/G(xu xJ)/dxx>-l/2 при G(xl9 x2)>t2/2f
B7.5.20/ F(xl9 x2)/G(xu x2)-F(yu x2)/G(y{, л:2)>—1/2,
если —\<ух<хх<\9\х2\< 1, umin(G(xb x2), G(yl9 x2)) > /~2/2.
Предположим также, что G принадлежит фиксированному огра-
ограниченному подмножеству в C°°(Q). Тогда для произвольного
компактного подмножества К в 8Q/9 при больших t
B7.5.33)
< С J (| (L{ + iL2) v |2/max (G, Г2)) dx9 v s С? (К),
где e = 21""mi. Кроме того,
B7.5.34) C-^min max|L7(jcf 6)A
Доказательство. Из B7.5.31) видно, что р > ts и р может быть
намного больше, чем ts. Поэтому B7.5.32) дает на самом деле
очень слабую информацию, которую для начала желательно
266 27. Субэллиптические операторы
улучшить. Для этого заметим, что если минимум в B7.5.14)'
достигается при 1 = г\, то
|F(/)(O) + G(/)(O)rfcl<', j<m2.
Возьмем /, для которого |GW@) |= 1. Тогда из B7.5.32) можно
вывести, что |г]2|<2р//6. Теперь проделаем предварительную
симплектическую замену переменных, заменяя g2 на §2 + Л2- При
этом F заменяется на F + Gx\2y и все условия на F и G сохра-
сохраняются, если только ввести дополнительный постоянный мно-
множитель в правую часть B7.5.32); в оценке B7.5.33) нужно за-
заменить v на и ехр (/х2тJ). Таким образом, с этого момента будем
считать, что минимум в B7.5.14)' достигается при g = 0.
Пусть F0(xi, х2) и Go(x\)—разложения Тейлора функций
F(x) и G(xuO) в точке 0, содержащие члены веса <т\ и <га2
соответственно. Тогда Go удовлетворяет условию B7.5.13) и,
как мы покажем, выполнено условие вида B7.5.14), в котором
нужно р заменить на t и немного изменить правую часть, в то
время как в левой части нужно поставить скобки Пуассона сим-
символов L°\ = L{ и L,2 = F0(x) + G0(*i)?2- При помощи индукции
легко проверяется, что все Lh кроме Lb имеют вид
А(хь х2) + В(хи х2I2,
где В — многочлен от функции G и ее производных, а А явля-
является линейной комбинацией функции F и ее производных с та-
такими коэффициентами. При |/|^/ni в них могут входить лишь
производные порядков < гп\. Поэтому из B7.5.30—32) и фор-
формулы Тейлора вытекает, что
|L7@, 0)-L?@, 0)|<C//6.
Следовательно, |L?@, 0)| < 2/, и поэтому, согласно лемме
27.4.7, существует такой многочлен Н0{х2) с коэффициентами
O(p/t6), что Fo{x)—Go(x\)Ho{x2) имеет вес <.т\ и коэффи-
коэффициенты O(t). Если принять 12 + Н0(х2) за новую каноническую
координату вместо ?2 и в B7.5.33) заменить v на
иехр (\ —iH0(x2)dx2)t то F в L2 заменится на F—GH0, a FQ в
l\ — на Fo — G0H0. Это не нарушает ни условий нашей леммы,
ни ее заключения, кроме условия B7.5.32), которое удается при
этом заменить более слабым требованием:
B7.5.32)' | DaF | < Ct при щ + а2т2 < тх.
Теперь мы можем применить лемму 27.5.4 к Fo, Go, заменяя р
на t, поскольку условия B7.5.30), B7.5.31) позволяют из
B7.5.19)' и B7.5.20)' при больших t вывести B7.5.19) и
B7.5.20). Читатель легко может это проверить самостоятельно.
27.5. Локальные субэллиптические оценки 267
Мы можем также применить лемму 27.5.2 и доказать B7.5.33)
разложением v на две компоненты, соответствующие низким и
высоким частотам по переменной х2. Неравенство B7.5.34) вы-
вытекает из B7.4.43), если заменить L7 на L/, что меняет скобки
Пуассона не более чем на О(/~6). Таким образом, неравенство
B7.5.34) доказано.
Возьмем функцию ф е Со°(~"8/9, 8/9), для которой г|)(л:2) = 1
в некоторой окрестности компакта /С, и %s=C™{R), равную 1
на (—1, 1). Зафиксируем хе@, 1/т2) и положим
Мы применим ниже лемму 27.5.2 к ty{tl)(x2, D2)v и лемму 27.5.4
к ^?)(x2t D2)v. Однако сначала нам нужно проверить, что
B7.5.35) J (| (L{ + iL2) г|42) (х2, D2) v |2/max (G, Г2)) dx
(Ц + iL2) v |7max (G, Г2)) dx + C\\v ||2, v e Co°° (#C).
Для этого оценим коммутатор [L2, V^fe» ^2)]» используя ис-
исчисление псевдодифференциальных операторов, в метрике
Поскольку L2e=S(V+x + l?2l, g) и i|)i2)^S(l, g), то, за исклю-
исключением главного члена — скобки Пуассона
-/{!,(*, 6,), ¦?>(*„ 5,)}.
символ коммутатора ограничен в (( |g|), g)
S(H~X, g) и его норма есть О(Н-Х). Член, содержащий произ-
производную от tf> (лг2), также является суммой оператора такого клас-
класса и оператора, в котором д$/дх2 стоит множителем непосред-
непосредственно перед v и, следовательно, аннулирует v l). Таким обра-
образом, нам нужно исследовать лишь символ
Поскольку \дО/дх2\< l/t, то норма оператора
Л|> (х2) (dG/dx2)
1) Поскольку ф (х2) = 1 в некоторой окрестности компакта /С, a v *
~ (/С). — Прим. перев.
268 27. Субэллиптические операторы
есть 0A//). Поэтому нам остается рассмотреть символ
Согласно B7.5.25/,
I ^о(х) I<Ct max(Goto), /~2), xgQ,
а поскольку Fo — многочлен по х2, то аналогичная оценка спра-
справедлива также для dFo/dx2. Таким образом,
\dF/dx2\^Ct(G(x)+l/t>),
что и завершает доказательство оценки B7.5.35).
В левой части оценки B7.5.35) можно L/ заменить на L%
поскольку
\\(L2- LD^pfix,, D2)v\\^C\\v\\/t6-
Если в B7.5.21) заменить v на ty? (x2, ?Ь) v, то последнее сла-
слагаемое (с t вместо р) превращается в квадрат выражения
г1'1""- |-№о|42) fa, d2) v | < ax-1/m21 dxv |.
Поскольку >c<l/m2 и ||?>it;|| входит в левую часть оценки
B7.5.33), то этот член при больших t можно убрать.
Применяя B7.5.10) к V\ = ty{tl)(x2> D2)v, мы получаем, что
B7.5.36) il GD2v, || + || Д01II + 11 D2 \llm vx \\
Отсюда в силу теоремы о композиции псевдодифференциальных
операторов
^d^J )
Для оценки \\Fv\\\ возьмем функцию /i^C°°(R), равную 0 вбли-
вблизи точки 0 и равную 1Д2 при |?2| > 1. Если обозначить /i,(g2) =
h(h/tl+yi) и взять функцию Чг^Со°(— 1, 1), равную 1 на suppif,
то символ оператора
Ф?} (х2, АО - Г1 ? (х2) ht (D2) D2^P (х2, D2)
принадлежит классу S((tl+yi-{-\l2\)~\ g), так что его норма
есть Oit-1-*). Поскольку |F|^C(GO/+1) и оператор
Л*ф2)?J/Н-Х равномерно ограничен, то, рассматривая отдель-
отдельно множества, где Go < l/t и Go ^ l/t, мы получаем, что
поскольку в последнем множестве Go можно оценить через G.
Первое слагаемое правой части последнего неравенства входит
также в левую часть оценки B7.5.36) с большим коэффициен-
коэффициентом, так что его можно опустить. В итоге мы получаем нера-
27.5. Локальные субэллиптические оценки 269
венство
G, t~2))dx+ \\v\\2),
что доказывает B7.5.33) при больших t. Доказательство закон-
закончено
чено.
Доказательство предложения 27.5.1. Мы будем следовать в ос-
основном схеме доказательства леммы 27.3.4. Пусть 1 < /<р,
где число t позже будет фиксировано. Применим лемму 27.5.5
с m\=k2 + k+\ и m2 = k+l. Для этого обозначим
M(x) = min max |L7 (*,?)/* |1/m,
I I / К mi
1/fi (x) = max | дШ (х)/дх[ \/М (x)/+1.
При больших р из B7.5.1) — B7.5.4) ввиду B7.3.5)' вытекает,
что
B7.5.37)
М (х)/3 < В (х) < ЗМ (х)*+1.
Изменим теперь масштаб вблизи точки х, деля его на М(х),
В(х). Для упрощения обозначений рассмотрим сначала случай
jc = O и будем писать М и В вместо М@) и В@). После изме-
изменения масштаба и деления на М символ нашего оператора при-
принимает вид
B7.5.38) б! + / (F (xx/M, x2IB)IM + G (xJM, x^B) 12B/M).
Этот символ удовлетворяет условию B7.5.14)' леммы 27.5.5 в
силу определения М, так как симплектические дилатации не ме-
меняют скобок Пуассона, а также и условию B7.5.13)' в силу
определения В. Поскольку
| DaF (хг/М, xJB)/M | < CpM~ai~lB-a2 < CpM~'a l~1
то при \а\> k для фиксированного t при больших р выпол-
выполняется оценка вида B7.5.30). Это доказывает B7.5.30), по-
поскольку из неравенства т\ ^ cti + тга2 вытекает, что k2 + k <
(&+l)lal и, следовательно, |a|>^. Оценка B7.5.31) вытекает
из B7.5.2), так как B/Mk+l < 3, а оценка B7.5.32) очевидна.
Если GB/M > *-2/2, то
G > M/2t2 В > l/Ft2Mk) > р-к~{
при больших р. Поскольку \/ВМ <С \/В <С 1, то условия
B7.5.19)' и B7.5.20)/ вытекают из B7.5.5) и B7.5.6). В силу
всего сказанного для оператора с символом B7.5.38) справедлива
270 27. Субэллиптические операторы
оценка B7.5.33). Как и при доказательстве леммы 27.3.3,
модифицируем оценку B7.5.33), заменяя в ней v на -фи, где
функция i|)eC~(/() равняется 1 на множестве co={jt; |*i|<
1/2, |*2|< 1/2} и функция G равномерно ограничена снизу на
d/d!. Следовательно,
B7.5.33/ J (| Dxv |2 + /2е1 у |2) rfx < С J (/21 (D, + i(F(xJM, xJB)IM
, *2/B) (B/M) D2)) v
|2
Из B7.5.34) и B7.3.5)' видно, что М и В могут измениться
лишь в ограниченное число раз при | jciAf [ < 1 и \х2В\ < 1. Сле-
Следовательно, мы можем вернуться к исходным переменным в
B7.5.33)', умножить на коэффициент М3В, где М и В вычислены
в переменной точке у, подразумевая, что все указанные построе-
построения выполнены в этой точке, и проинтегрировать по у. При этом
получается оценка
|| Dxu ||2 + t2e || Ma ||2 < С (t21| (A + / (F (x) + G (x) D2)) u \f + || Mu ||2).
Зафиксируем теперь t настолько большим, чтобы 2С < t2&.
Тогда последнее слагаемое можно опустить. Ввиду первого не-
неравенства из B7.5.37) это завершает доказательство оценки
B7.5.7) и предложения 27.5.1.
27.6. Глобальные субэллиптические оценки
Как было отмечено в начале § 27.4, достаточность условий тео-
теоремы 27.1.11 легко вытекает из следующего предложения.
Предложение 27.6.1. Пусть q еС°°(РяХ R"")"" вещественно-
значная функция, причем
B7.6.1)
B7.6.2) q{x,%') не меняет знака с « + » на « — » при
возрастании х{ при \х{\< I и \ (*', ?') | < 1/Я;
B7.6.3) Я < С Е \йЛхЛ)\при\хх\<\,\ (*', Г) К 1 А.
|/|<А+1
Пусть также ftGC0°° (R2^1), причем \ хх \ < 1/2, | (*', V) \ < 1/2 при
(л:, \') е supp Л. Тогда при некотором С", зависящем только от
Л, и некоторых С, Сар при КС" < 1
B7.6.4) X'mk+l)\\h(xl9 W, XD')u\\
(||D,a + iq(x, D')u\\ + \\u|
27.6. Глобальные субэллиптические оценки 271
Большая часть этого параграфа посвящена доказательству
предложения 27.6.1. После доказательства этого предложения
мы выведем из него теорему 27.1.11.
Для MG^(Rn) положим
B7.6.5) U = h(xu Xx\ XD')u.
Если P = DX + iq (х, DO, то
B7.6.6) PU = h(xu Xx\ МУ)Ри + [Р, h(xu
Из теоремы о композиции псевдодифференциальных операторов
с постоянной метрикой ^(Idx'l2+ И?'12) вытекает, что символ
коммутатора равномерно ограничен с весом 1, и поэтому его
норма также равномерно ограничена. Следовательно,
B7.6.7) II/II<С(IIDxu + iq(x, D')и\\ + \\и||).
Разобьем функцию U на два слагаемых, используя функцию Ч**,
построенную в B7.4.53): U = Ux + ^2, где
B7.6.8) Ux = ( 1 - Т (х, D')) U, U2 = W (x, D') U.
Обозначая g = [Я, W (дс, D')\ (/, мы получаем
B7.6.9) PUx = (l-4 (х, D')) f-g, PU2 = W (x9 DO / + g.
Лемма 27.6.2. В обозначениях лемм 27.4.11 и 27.4.12
B7.6.10) || g ||2 < С (? || туф, (х, DO Ux \f
+ ZllAfyO/(*fZ>')?/2 II2 + 11 и ||2),
B7.6.11) || Ux ||2 < С (? || Фу (x, DO Ux \f + V\\u ||2),
B7.6.12) || U21|2 < С ( E IIФ/ (x, /)') f/2 II2 + *2 II и II2)'
Доказательство. Сначала докажем, что
B7.6. ЮГ \\g\?<C(Z\\Mfl>,(x,iy)U\t + \\U\f).
Для этого заметим, что оператор Y ограничен в 5A, #г) по
лемме 27.4.11, где g2 определяется согласно B7.4.54), и что сим-
символ q ограничен в 5(Я~2, g2), а его вторые производные ограни-
ограничены даже в S(l, ^г). Следовательно, символ оператора
[Р, ^(л:, DO] ограничен в 5(/?^, g2) c=S (l, g-2), за исключением
слагаемого с символом (DXl-{- Hq)W (х,^г). Очевидно, что
(DXl + Hq) W (х, Г) = ? г/ (х, Г) Af/Ф/ (х, Г),
г, (х, Г) = Af,-1 (DXl + Я,) Т, (х, Г),
поскольку Ф/= 1 на supply. По лемме 27.4.11 последователь-
последовательность {г;} является символом класса 5A, g2) со значениями в
272 27. Субэллиптические операторы
/2 = j?(/2, С) и, следовательно,
Отсюда при Vj = MjOj(x, D')U получается B7.6.10)'. (Напом-
(Напомним, что Ф/ = 1 в некоторой окрестности supp 4*7, так что ряд
формулы композиции для г/(х, Ь')Ф](х, D') состоит только из
одного члена.) Подставив U = U\ + U2 в B7.6.10)', мы получим
B7.6.10), если докажем оценку
B7.6.13) Z II AfУФ/ (х, DO СЛ ||2 < С ( Z || т,Ф, (х, D') Ux \f + || и Ц2).
Поскольку Mj^C'mk при supp Фу f| supp фд, #= 0, то достаточ-
достаточно проверить, что
B7.6.14) Фу (х, D') UX = X ajk (x, D') щ (х, D') Ux + Sy (x, DO a,
где supp ujk с: supp Ф/ f| supp ф^ и символ ajk ограничен в
5A, gi), а норму оператора 5/ можно оценить через любую
сколь угодно высокую степень %. Для доказательства B7.6.14)
заметим прежде всего, что
B7.6.15)( 1 = 1у*(*>Пф*(*,П в a> = Q
так как Ц A — ф2) = 0 в со. Ясно, что yk ограничены в 5A, g\).
В качестве первого приближения к ajk можно взять функции
которые удовлетворяют соотношению B7.6.14) с точностью до
слагаемого Ф/(#, D')Uu где supp Ф/ cz supp Ф/ и Ф/ ограничен
в S(R79, g\). Повторяя эту конструкцию для Ф/ вместо Ф/
и т. д., мы после конечного числа шагов получаем B7.6.14).
Отправляясь от B7.6.15), мы также можем найти ун, ограни-
ограниченные в 5(l,gi), для которых supp yk cz supp q>k и
Ui = I Ь (x, DO Ф* (x, DO Ux + Su,
где 5 ограничен в 5(A,, g\). Отсюда получается оценка B7.6.11).
Читателю предоставляется провести аналогичные рассуждения,
приводящие к оценке B7.6.12), что и завершает доказательство.
Из оценки B7.6.10) видно, что мы достигли разделения слу-
случаев I и II точно так же, как в доказательстве леммы 27.5.5.
Чтобы двигаться дальше, мы просто разложим U\ и ?/г, исполь-
используя функции ф? и ф/ соответственно.
27.6. Глобальные субэллиптические оценки 273
Лемма 27.6.3. В обозначениях из леммы 27.6.2
B7.6.16)
Z II P<Pk (х, D') Ux II2 < С (|| PU{ |f + I II ткщ (х, D') Ux f + II и ||2),
B7.6.17)
(x, D') U21|2 < С (|| PU21|2 + S II Af/Dy (x, D') U2 \f + || и \f).
Доказательство. Для доказательства B7.6.17) достаточно полу-
получить оценку для //=[Л Ф/(*, D')]U2, так как РФ/(х, D/)t/2 =
f + %(D')PU и
ввиду ^-непрерывности (векторнозначных) операторов с сим-
символами из 5A, йг). Но [Р, фу] можно представить в виде суммы
оператора с символом (DXl + Hq) Ф/ (х, |л) и оператора с /2-знач-
ным символом класса 5A, g2) и, следовательно, ^-непрерыв-
^-непрерывного. На supp^P справедливо тождество
где
а% = ((DXl + Hq) O,)Tk/Mk, Tk = Фк П A - Ф/).
Из леммы 27.4.11 вытекает равномерная ограниченность d}k в
5A, #2), так как отношение Mf/Mk ограничено, если suppO/fl
supp Ф^ ?= 0. Применяя метод итераций, использованный при
доказательстве B7.6.14), можно найти символы а/?, ограничен-
ограниченные в 5A, g2), с «главными членами а^», для которых
supp a.jk a supp Фу П supp Ф^ и
((DXl + Hq) Ф,) (х, D') = X а/* (^, ^) МкФк (ху Df) U2 + 5/ (*, Dx) а,
где нормы операторов 5/ можно оценить любой степенью X. Это
доказывает B7.6.17). Аналогичное и даже несколько более про-
простое доказательство оценки B7.6.16) мы оставляем читателю.
Это завершает доказательство.
Наша последняя лемма посвящена оценкам локализаций
оператора Р.
Лемма 27.6.4. Для достаточно больших р
B7.6.18)
p2«*+i> I || туфу (х, D') Ux ||2 < С (? || РФ/ (х, DO С/, ||2 + II и ||2),
B7.6.19)
p2/(*+i) ^ || Муфу (х, DO U21|2 < С (Z II ЯФу (х, DO C/2II2 + II и ||2).
274 27. Субэллиптические операторы
Доказательство. Мы начнем с вывода оценки для Ф/(х, D')U2.
Для упрощения обозначений будем считать, что / = 0, так что
Ф; —функция из B7.4.50), и Q(xy l') = q(xu X« 60). Обозна-
Обозначим
L (х, Г) =* Q {хи х29 0) + Ш (хи х2, 0)/д62,
Мы предполагаем здесь, что отображения % и ^~х определены
глобально. Это возможно потому, что % — отображение вида
B7.4.24), быть может, домноженное на линейное каноническое
преобразование, и нетрудно продолжить функции /3, ... > gn так,
чтобы оценки B7.4.26) оставались справедливыми равномерно
на T*(Rn~l). Чтобы получить оценку для го(х, D')<D0(x, D')U2,
введем другую срезающую функцию
Фо (* (X (х'9 60) = Фо (*i, X (х'/2, Г/2))
с носителем в дубле области Qo, равную 1 в suppOo. Грубая
оценка показывает, что символ Lojj-i ограничен в S(%-2, g2) и,
следовательно, символ оператора A—Фо(х, D'))rQ(x, ?)')Ф0(х,
D') ограничен в S(W, ?2) при любом N, поскольку ряд в фор-
формуле композиции равен 0. Если
Яо(х, Г) = г0(х{, %{х\ Г)) = Q (х, 60 - ? (*, Г),
то в силу B7.4.33) по формуле Тейлора
R0(x, t) = RQ(x, l')-R0(xb x2, 0)=
где
Поскольку |x//| + ||/|<2^2<(Af/pI/2 на supp^0(xb %(х'Л'))>
то R2Tj/M и R2Sj/M ограничены в S(l, #2) на том же множе-
множестве. Следовательно, символ оператора Фо(х, D/)r0(xy D') огра-
ограничен в S(M0, g2). Поскольку это верно для каждого /, то
B7.6.20)
? || г, (х, D0 Фу (х, DO J72II2 < С (Z II М,Ф, (х, DO J721|2 + II и ||2).
Символ оператора Р — /го(х, D0 в композиции с % дает
|i + /L. Сейчас мы докажем, что Р — /го(я, D') в существенном
унитарно эквивалентен оператору Di + iL(x, DO, но сначала
мы выведем оценки для Dx +iL(x, D'). Для операторов Fo, Fi
и G, определенных в B7.4.61), B7.4.62), в силу предложения
27.5.1
B7.6.21)
27.6. Глобальные субэллиптические оценки 275
если |xi|<c, \x2\<.c на. supp v при некотором фиксированном
с <. 1. Действительно, условия предложения 27.5.1 выполняются
ввиду B7.4.63) — B7.4.67). При помощи сдвига мы получаем, что
те же оценки справедливы, если | х\ | <с, \х2 — у2 | < с на supp v
при некотором у2 с \у2\< В2/Ь2. Разлагая v в сумму при по-
помощи разбиения единицы по х2у мы получаем, что оценка
B7.6.21) справедлива при достаточно больших р, если |xi|<c,
\х2\<. B2/b2 на supp и. Следовательно, ввиду B7.4.61), B7.4.62)
B7.6.22) р1/(*+1)||Mv||<С(|Div + IL(х, D')v\ + \A
если \x\M\<c9 \x2b2\<. 1 на supp v. Здесь v — функция на R2,
а нормы берутся в L2(R2). Однако можно считать без увеличе-
увеличения констант, что v зависит от дополнительных параметров
х3, ..., хп, а нормы берутся в L2(Rn). Теперь нам остается рас-
рассмотреть, как можно получить оценки в случае, когда L и D2
заменяются их композициями с х-
i) Сначала предположим, что % определяется формулами
B7.4.24), B7.4.25). Пусть каноническое преобразование xi B
^(R^-1) индуцируется сохраняющим меру преобразованием
R^s/h^^G R"-1, задаваемым формулами
B7.6.23) у2 = х2, yf = xf- aft (x2/a), / > 2,
тогда xi (х'9 I') = (у\ V)» если Е Л/ dyf = Z 6/ dxf, т. е.
B7.6.24) л2 = l2 + t lit] (Vfl)> 4, = Б, при / > 2.
з
Простое вычисление показывает, что %{ о % = %2, где
%2 (xf, Г) = (хг, Г + ая (до/ао,
п /г
я (х/)=Zag>/ (x2/a)x/+Sag>2 (x2/a^dx2+Z S a2?/ (x^a^d^/ (x2/a^
3 3
Для перехода от B7.6.22) к такой же оценке для символов L
и D2, замененных их композицией с х = %:Г1 °%р мы заменим
сначала v на ve~tH, что равносильно композиции с %21> а затем
у' на л/, что равносильно композиции с хь Отметим, что каж-
каждая из этих замен означает применение к v унитарного преобра-
преобразования. Таким образом, мы получаем оценку
B7.6.25) pW*+i> || М0Ф0 (х, D') U21| < С (|| (Р - ir0 (х, D')) Фо (х, D') U2 \\
+ \\A2lr\2(x, D')O0(x, D')U2\\$.
Здесь % обозначает композицию ?2 с X1- Поскольку R2/A2<
R2/R<*M0, символ оператора Мо1А21г\2(х1 Df)Oo(x9 D') ограни-
ограничен в 5A, #2)-
276 27. Субэллиптические операторы
и) Пусть теперь х = ^о°Ь гДе ^о — каноническое преобра-
преобразование (л/, ?') !—>(?', — хО, а х — отображение того же вида,
что и рассмотренное в п. i). С точностью до нумерации пар ко-
координат это условие всегда выполняется, когда % не удовлетво-
удовлетворяет условиям п. i). При этом
Согласно доказанному в п. i),
B7.6.26)
р1/(*+1)|| Mov || < С (|| Dxv + il (х, D') v\\ + \ A2xx\2 (x, DO v |)>
где t|2 — композиция ^2' с %~l. Как мы вскоре увидим, удобно
заменить L в B7.6.22) на оператор Lr, в котором коэффициент
при D2 перемещен в право от D2. Это возможно, поскольку их
разность является просто ограниченной функцией, умноженной
на Af0, и она «поглощается» левой частью при больших р. Те-
Теперь применим B7.6.26) к преобразованию Фурье от v по хг.
При этом Lr(x, D') переходит в l<>Tol(xy D') = Lo%~{(х, /У),
так что B7.6.26) принимает вид
B7.6.27)
р1/(*+1) II Mov || < С (| (А + / (I о х) (х, DO) v | + ||U2-1rl2 (x, DO v I).
К сожалению, оценка B7.6.22) доказана нами лишь для
случая, когда \х{М\<с и \x2b2\< 1 на suppu, и соответствен-
соответственно B7.6.27) — когда | ххМ \ < с и | l2b21 < 1 на носителе преоб-
преобразования Фурье от v(xu x') по х'. Но это условие не выпол-
выполняется для v = Фо(х, D')U2- Однако можно выбрать h еСо°(—1, 1)
так, чтобы h{В2х2) = 1 на suppOoo/. Это означает, что h(B'<?>2)
= 1 на supp Фо и, следовательно, символ оператора (h(B2D2)
— 1)Ф0(х, DO ограничен в S(XN,g2) при любом N. Следова-
Следовательно, к v = h {B2D2) Фо (х, D') U2 можно применить оценку
B7.6.27), что приводит к неравенству
B7.6.25/ р^+1) || М0Ф0 (х, DO U21|
< С (|| (Р - /г0 (х, DO) Фо (х, DO U21|
+ || А2\2 (х, DO Фо (х, DO f/21 + bN I! и ||).
Если возвести в квадрат оценки, соответствующие B7.6.25),
B7.6.25)' при различных /, сложить их и воспользоваться
B7.6.20), то мы получим, что
(р2/(*+1) - с) Z IIМ/Ф/ (*, DO ?/2 II2 < С ( ? || РФУ (х, DO ?/2 II2 + II и ||2),
откуда при больших р вытекает B7.6.19).
27.6. Глобальные субэллиптические оценки 277
Оценка B7.6.18) доказывается аналогично. При этом вместо
предложения 27.5.1 нужно воспользоваться леммой 27.ЗА, и не
возникает никаких осложнений, связанных с каноническими пре-
преобразованиями. Мы предоставляем читателю самостоятельно за-
завершить доказательство этой леммы.
Доказательство предложения 27.6.1. Используя обозначение
* М = ? II т/ру (х, D') Ux ||2 + Е II МуФу (х, D') U21|2,
мы из B7.6.16) —B7.6.19) получаем, что
рШ+о N < d (|| PC/, ||2 + || PU2 f + || и \f + N).
Но ввиду B7.6.9) и B7.6.10)
|| PUX ||2 + IIPU21|2 < C2 (II /1|2 + N + \\u ||2)
и, следовательно,
(p2/(* + n _ Q) ^ < Сз ( || Л|2 + || и ||2).
Наконец, зафиксируем теперь р настолько большим, чтобы
p2/(*+i) > 2С3. Тогда мы получаем
Поскольку Mj и /п/ можно оценить снизу через X~2/(k+1) согласно
B7.6.3), то ввиду B7.6.11) и B7.6.12) мы получаем, что
Отсюда, используя B7.6.7), мы получаем B7.6.4), что и завер-
завершает доказательство.
Доказательство достаточности условий теоремы 27.1.11. Мы мо-
можем считать, что X = Rn и р(х, g) = li + ф2(*, ?') при |?7|> 1
в конической окрестности У точки 70 = @, g0) из условия тео-
теоремы и рг^^^^Х^)' Координаты можно выбрать так,
чтобы V содержала область {(х, g); |x|<3, |g — go|<2}. Возь-
Возьмем функции ф/ е CJT (К2/г~2), / = 0, 1, 2, так, чтобы
|х/| + 1Г-6о|<21-/ при (Jc'fr)esuppcp,;
Фу(^,Г)=1 при |х/| + |Г-Й|<2-/.
Тогда мы можем применить предложение 27.6.1 к символу
q (Xt g') = я~2 (Фор2) (xlf Ях', ЯГ + 6о)
(см. начало §27.4). Положим Л (х, ?0 = Фа (*'» ?'+ ??) ПРИ
|| 1/3. Тогда, согласно B7.6.4), если «gJ' и а(х) = 0 при
278 27. Субэллиптические операторы
1/3, то
)|ф2(хь Хх', XD' + Й)и 1 <С-(||D{u + iq(x, D')и\\ + \\и||
при 0 < % <; А,о. При помощи изменения масштаба и сдвига
мы получаем, что
Х~т+1) || ф2 (х, X2D') и || < С" (|| Да + Л (Фор2) (*, Л2?К) а | + II а ||)
Здесь мы заменили и на cpi(x', №D')u. Чтобы оценить
B7.6.28)
Я (Фор2) (х, Я2й0 ф1 (jc', X2D') и - ф1 (jc', Я2/У) р2 (х, DO a,
можно воспользоваться исчислением псевдодифференциальных
операторов типа 1, 0. Отметим, что k~2Nq>j(x'9 №%') — символ
класса SJ% со значениями в # = L2(@, A,o); dX/X)y поскольку
Со < |Я,2^| < С{ на его носителе (ср. пример 18.1.2). Главный
член в формуле композиции пропадает, поскольку
Ъ~2 (ФоР2) (х, кЧ') Ф, (х', Я2|') - ф1 {хг, к%') р2 (х, Г) = 0.
Следовательно, по теореме о композиции символ оператора в
B7.6.28) принадлежит классу S?, о со значениями в Я. Значит,
B7.6.29) . ! : ,.
ф2(х', Я2О/)^|2Я-Ш+1)^Д<С3(||Dxu+ip2(x, 1У)и\?+\\и\?).
Применяя еще раз векторнозначную теорему о композиции, мы
видим, что левая часть равна (Ф(х/, D')u, а), где O
имеет главный символ
о
который положителен в точке @, ?о). Возьмем символ fa e
Si.ol^XR")» нехарактеристический в точке Yo> так что *i =
/2(ReOI/2e=Si((o+1), и применим B7.6.29) к fa(x, D)u. (Мы
считаем, что fa = 0 при |xi|>l/3.) Тогда, учитывая, что опе-
операторы (Di + ip2 (x, D')) fa (x, D) — fa (x, D)P и fa (xy D) *Ф (*',
D')fa{x, D)—ti(x, D)*t[(x9 D) принадлежат классу 4го, мы по-
получаем
B7.6.30) || tx (х, D) и ||2 < С (|| Ри ||2 + II и ||2), и Is 9 (R*)-
Следовательно, из леммы 27.1.5 вытекает, что Р — субэллипти-
субэллиптический оператор с потерей k/(k+l) производных в точке vo-
Доказательство закончено.
Примечания 279
Примечания
Термин «субэллиптический оператор» был введен Хёрмандером
(Hormander [17]) для случая, когда потеря производных со-
составляет 1/2. Было обнаружено, что такие операторы характе-
характеризуются тем, что {Rep, Imp} > 0 в нулях главного символа.
Было показано также, что из субэллиптичности с потерей б про-
производных в общепринятой терминологии обязательно вытекает,
что {Rep, Imp}^0 при ,р = 0. Необходимость условия (*?)
была доказана Ниренбергом и Тревом (Nirenberg, Treves [2])
и независимо Егоровым [2], который анонсировал полную ха-
рактеризацию субэллиптических операторов. Для операторов,
удовлетворяющих условию (Р), полное доказательство дал Трев
(Treves [8]). Однако первое изложение общего результата было
дано Егоровым [3], хотя его доказательство достаточности пред-
представляется неадекватным1). Для уточнения недостающих дета-
деталей Хёрмандер (Hormander [38]) провел более детальный ана-
анализ локальных свойств и процедуры локализации субэллиптич-
субэллиптичности, и здесь мы следуем этой работе лишь с небольшими
модификациями. Фефферман (Fefferman [1]) анонсировал не-
некоторые упрощения процедур локализации, однако они не были
еще опубликованы в момент написания этой главы.
Субэллиптичность с потерей 1/2 производных подробно
изучена также для систем (см. Hormander [17, 44]). Субэллип-
Субэллиптичность с потерей 6еA/2, 1) производных для систем — явле-
явление гораздо более сложное, как показывают последние резуль-
результаты Катлина (Catlin [1]) о d-задаче Неймана. В частности,
при этом могут возникать произвольные б, а не только такие,
как в скалярном случае.
]) Необходимые уточнения были даны Ю. В. Егоровым в его моногра-
монографии «Линейные дифференциальные уравнения главного типа». — М.: Наука,
1984. — Прим. ред.
28
Единственность решения
задачи Коши
Краткое содержание главы
В этой главе мы возобновим изучение единственности решения
задачи Коши для дифференциальных операторов с неаналити-
неаналитическими коэффициентами, начатое в § 17.2. В § 28.1 приводится
теорема единственности Кальдерона, которая в своем первона-
первоначальном виде утверждает, что теорема 17.2.1 остается верной
и в случае, когда имеются вещественные характеристики. До-
Доказательство здесь излагается с самого начала и основывается
на факторизации на псевдодифференциальные операторы пер-
первого порядка. Детальное исследование этих сомножителей при-
приводит к более общим формам теоремы единственности Каль-
Кальдерона.
Как и в § 17.2, главную роль в доказательстве играют нера-
неравенства Карлемана. Систематическому обсуждению этих нера-
неравенств посвящен § 28.2, где, в частности, рассмотрены операторы
вещественного главного типа и, более общим образом, операто-
операторы, удовлетворяющие условию (Р) в несколько более сильной
форме (операторы, нормальные в главном). В окончательном
виде теоремы единственности, включающие некоторые условия
выпуклости начальной поверхности, представлены в § 28.3. Бо-
Более точные результаты для случая операторов второго порядка
обсуждаются в § 28.4.
28.1. Теорема единственности Кальдерона
Пусть X — открытое множество в Rn и
p(x,D)= ? aa(x)Da
1 a l=»m
есть дифференциальный оператор, удовлетворяющий условиям
(i) aa<=C°°, \а\ = т;
(и) множество {(х, ^)g7*(I)\0; p(x, g) = 0} является
С°°-гиперповерхностью.
28.1. Теорема единственности Кальдерона 281
Обозначим через 2 замкнутое коническое множество (ср.
с A7.2.1))
B8.1.1) S = {(jc, N)e=T*(X)\0; при некотором ^gR" поли-
полином т н-> р (х, | + тЛ/") имеет такой нуль кратности
>2, что те С и g + tN^O}.
Замкнутость 2 вытекает из того, что p-^OJciZ и достаточно
брать в качестве g единичные векторы, ортогональные к W, если
р(х, tf)?=0.
Теорема 28.1.1. Предположим, что символ р удовлетворяет сфор-
сформулированным выше условиям (i) и (и). Пусть «g Н\т-\){Х)>
р (х, D) н е L\oc (X) и для любого компактного множества КаХ
справедливо дифференциальное неравенство
B8.1.2) |p(x,D)a|<C/c ? \Dau\ в К.
la \<тп
Тогда Af (suppu)c:2, где 2 — множество B8.1.1).
Следовательно, из предложения 8.5.8 вытекает, что сущест-
существует единственное продолжение через любую (^-поверхность с
нормалью, не принадлежащей S. Главное отличие этого резуль-
результата от теоремы 17.2.1 заключается в том, что вместо условия
эллиптичности введено условие (п). Как и в теореме 17.2.1,
было бы достаточно предположить, что коэффициенты аа удов-
удовлетворяют условию Липшица, однако мы требуем выполнения
условия (i), чтобы пользоваться исчислением псевдодифферен-
псевдодифференциальных операторов. При уточнении результатов ниже в этом
параграфе совершенно не ясно, какими должны быть наилучшие
условия регулярности.
Как и в гл. 23, мы докажем теорему 28.1.1, используя факто-
факторизацию р(х, D) на множители, которые являются дифферен-
дифференциальными операторами первого порядка по х\ и псевдодиффе-
псевдодифференциальными операторами по х' = (х2у ..., хп). Сначала мы
изучим эллиптические множители (ср. с предложением 17.2.3).
Положим
Ф(х) = х{ + jc?/2, Хо = {х €= Rn; |'*i \"<Щ.
Предложение 28.1.2. Если a gS1 (R* X R") и
B8.1.3) | Г1 < С (| Im a @, x', Г) I + 1), (*', V) e К2",
то при малых положительных е и 1/т для и^С™ (Хо)
B8.1.4)
^2 J — a(ex, f
282 28. Единственность решения задачи Коши
Доказательство. Обозначим А = а(ех, D'). Поскольку D\U =
(D\—А) и-{-Аи и А непрерывно действует из ЯA)(Ргг-1) в
L2(Rn~l) при фиксированных х\ и е, причем норма А ограничена
равномерно по хх и е, то при суммировании в B8.1.4) можно
ограничиться слагаемыми с ai=0. Тогда для v = иеХ(* оценка
B8.1.4) принимает вид
B8.1.4)'
т\\v ||2 + ? II D,v tf/% < С || Dxv + /тф'о - Av ||2, v е Со°° (*<>)•
2
Для сравнения оператора Рт = О1+/тф/ — А с его сопряжен-
сопряженным Р*х = D\ — /rq/ — Л* заметим, что
B8.1.5) |Х Pt] = 2тФ- + В, В = [А\ А] + [D{, Л* - Л].
Таким образом,
B8.1.5)' 2т || v ||2 + (fio, v) + \\ P\v f = || Pxv f.
Далее, символ оператора В/г равномерно ограничен в 51, по-
поскольку а(гх, |7) равномерно ограничен в
и, следовательно,
B8.1.6) 2т || v ||2 < || Ptx> |f + Се || о ||@ „ || о ||,
где II-||(о,1) — норма в пространстве Н(о,\), определенная в
(В. 1.10), Аналогично получается оценка
^ II2 + Се [| г; ||@, о || о ||
и, следовательно,
|| (Л* - Л) о || < I P\v - Pxv I + 2т || ф'о ||
< 21| Pxv || + Зт || v || + (Се || v ||@> Х) || v ||I/2.
Символ оператора Л* — Л равен —2/Im a@, ел:', gO + e/?e(jc, g7),
где /?g равномерно ограничен в S1, так что по теореме 18.1.9
IIv "(о, i)<C, (|| (Л* - Л) v \\ + \\и \\) <С2 (||Pto || + т|| и || + е ||»||@> 1}/т).
Следовательно, при С2е/т < 1/2
B8.1.7) 1М|№1)<2
Используя эту оценку в последнем слагаемом в B8.1.6), мы по-
получаем, что
2т || v ||2 < С3 (II Pxv II2 +1| о ||2 A + вт)).
28.1. Теорема единственности Кальдерона 283
откуда
при е+1/т<1/С3. Поэтому, используя опять B8.1.7), полу-
получаем оценку
(
что завершает доказательство предложения.
При доказательстве теоремы 28.1.1 нам придется также
иметь дело с самосопряженными множителями. Однако, имея
в виду последующие уточнения, мы докажем несколько более
общий результат (ср. с леммой 23.1.1).
Предложение 28.1.3. Если aeS^R^X'R") и Irna ограничена
сверху, то при больших тиО<е<1
B8.1.8)
и |2 е** dx < 16 $ | (Dx - а (гх, D')) и |2 е^ dx, ut=C~ {Xo).
Доказательство. В обозначениях из доказательства предложе-
предложения 28.1.2
lm(Pxv, 1>) = т(<р'и, v)— 1т(Ло, v).
Поскольку q/^1/2 на supp v, то в силу точного неравенства
Гординга (теорема 18.1.14)
Отсюда при т > 2С вытекает оценка B8.1.8).
Доказательство теоремы 28.1.1. Доказать вложение N (supp и) а
2 — значит показать, что если для некоторого xQ^X и г|) е
С°°(Х, R) с $'(хо)ФО, (хо, ур'(хо))^2, мы имеем и = 0 при
я|) (х) > г|? (xq) , то и = 0 в некоторой окрестности точки х0. По-
Поскольку наши предположения инвариантны относительно замен
координат, мы можем считать, что л:0 = 0 и г|э (#) = х\ +
1^172, т. е.
B8.1.9) и = 0 при^>-| х' |2/2.
По условию уравнение р@, т, &0 = 0 имеет простые корни
п, ..., Хт при O^^gR"-1, и, согласно (И), число веществен-
вещественных корней не зависит от |'. Предположим сначала, что пфЗ»
Тогда единичная сфера в Rn~l односвязна, и, следовательно,
можно выбрать п, ..., тт непрерывными и даже С°°-функциями
от ?' так, чтобы ть • • • > тг были вещественными, а ту+ь ..., тт—
невещественными при каждом |'. Можно предполагать, что
p(jc, 1,0)=1 в некоторой окрестности точки 0, и тогда
284 28. Единственность решения задачи Коши
по теореме о неявной функции
где U — некоторая окрестность точки 0, т/ — положительно одно-
однородные функции от I' степени 1, принадлежащие классу
Coo(?/X(Rn~1\0)), Ti, ..., %г вещественны, а тг+1, ..., хт всюду
невещественны. Возьмем функцию % е С™ (R")> равную 1 в не-
некоторой окрестности точки 0, и положим
а°,(х, V) = %(x/6)xf(x, t') + (l-%(x/6))xf(O, &').
Если б достаточно мало, то a°f обладают только что перечислен-
перечисленными свойствами функции т/, причем с§ определены глобально.
Возьмем символ а} eSl(RrtX R"), равный а« при |6'|>1.
Тогда
если |g'| > 1 их лежит в окрестности ?/0 точки 0, в которой
%(х/8)= 1. Пусть 0^ Ui m Uo. Применив B8.1.4) при / > г и
B8.1.8) при / < г, для малых е и 1/т и для 1 ^ k < m получим
()
тП Д (A— ajiex, D'))u 2e2^dx^C^ \ р(ех, D)ufe2^dx + М,
i *k
М=
|a|<m
Действительно, если функция i|)eCo°(?/o) равна 1 в U\, то и =
tyu и отображение
и н-» \JI (D, - af (ex, D')) - p (ex, D)J ^u
является оператором порядка т — 1 при произвольном порядке
сомножителей в произведении. Используя интерполяционную
формулу, как при доказательстве леммы 23.2.1, мы для |<х| =
т — 1 получаем, что
Da = I gk (x, D') П (А - af (ex, D')) + Re (x, D),
! Фк
где gk имеет порядок 0, а /?8 — порядок т — 2. (Мы берем
Yj ek(x, D') = 0 или 1 при си < т—1 илиа1=т—1 соответ-
28.1. Теорема единственности Кальдерона 285
ственно.) Следовательно,
| a \<m
|a \<m
так как ввиду B8.1.8) левую часть можно оценить через кон-
константу, умноженную на сумму только по |a| = m—1. Отсюда
при достаточно больших т вытекает оценка
B8.1.10) ? TUm-ia»-l\\Dau\2e2x<fdx
\а\<т
< С [ | р (ex, D) и ? e2xvdx, u<=C" (Ui).
При п = 3 эту оценку можно доказать, проводя локализацию
также по переменным ?', например для ±?2 < |?з|« Это мы оста-
оставим читателю в качестве легкого упражнения.
По лемме Фридрихса (лемма 17.1.5) оценка B8.1.10) оста-
остается верной также в случае, когда и е #(Ст™Ро и р{гху D)u^L2.
Повторяя теперь без всяких изменений доказательство теоремы
17.2.1, мы выводим из B8.1.9) и B8.1.2), что и = 0 в некоторой
окрестности точки 0. Это повторение мы оставляем читателю.
Теорема 28.1.1 допускает уточнение по нескольким направле-
направлениям. Во-первых, нетрудно ослабить требование простоты комп-
комплексных характеристик. Действительно, если а,\ и а2 удовлетво-
удовлетворяют условиям предложения 28.1.2, то при малых е и \/% мы
получаем, что
B8.1.11)
т2 A4 a b \ \Dau |2 е2тф dx < Сх \ | (Dx - a2 (гх, /У)) и Г е2тф dx
< С \ | фх-ах {гх, DO) Ф1 - а2 (вх, D')) и |2 е^ dx,
если aeCS°(X0). Хотя эта оценка слабее, чем B8.1.4), при ее
помощи можно доказать теорему единственности для случая,
когда р(х, 1 + xN) имеет двойные невещественные корни, если
только они гладко зависят от |. Однако это условие является
слишком суровым, ибо, как мы сейчас покажем, оценка вида
B8.1.11) выполняется для эллиптических операторов второго
порядка, не допускающих гладкой факторизации.
Предложение 28.1.4. Пусть aeS1(R/lX К"), q^S2(RnX R"),
и в дополнение к B8.1.3) выполняется условие эллиптичности
B8.1.12)
(g1 — а(д:, Г)J —^7(^, Г) | + 0, (x,t)^R2n>
286 28. Единственность решения задачи Коши
а также неравенство
B8.1.13)
\dq(x, l')ldlr f + | dq (x, Г)/дх' |2/( 1 +1 Г f) < С (| q (x, Г) 1+1 ?' 1+1 )•
Тогда при малых е и 1/т для и е Со° (Хо)
B8.1.14) J] T2A-|al)J|Da«|2e2T4)dx
|о|<1
< С \\ ((?>, - a (ex, D')f - <7 (ex, D')) и |2 e2ttp dx-
Прежде чем приступать к доказательству, заметим, что
B8.1.3) представляет собой условие эллиптичности оператора
D\ — a(x, D'). Если символ q является однородным, то ввиду
B8.1.13) характеристические корни lx = a(x, l')dzq{x, |7I/2
удовлетворяют равномерному условию Липшица там, где q?=0r
и |g/|=i. Разумеется, это условие гораздо слабее, чем глад-
гладкость корней, и даже не требует возможности их непрерывного
выбора. В качестве примера укажем символ
q (х, Г) = (хх + ix2) {х\ + xl)m | Г 17A + I х I2)-
Условие B8.1.12) достаточно требовать при х\=0, а B8.1.13) —
A) б
лишь при малых
няться при малых
()
тогда условие B8.1.12) будет выпол-
выполи условия B8.1.12), B8.1.13) будут вы-
вый
р у ( () уу
полняться при всех Хи если проделать ретракцию по переменной
хь как в лемме 19.2.11.
При <7 = 0 оценка B8.1.14) вытекает из B8.1.11). Для об-
общего случая мы будем проводить доказательство примерно по
той же схеме и покажем, что присутствие q лишь приводит к
возникновению новых членов, малых в некотором смысле. Как
и в доказательстве предложения 28.1.2, мы обозначим Л =
а(гх, D') и Q = q(ex, D') и положим
Лемма 28.1.5. Из B8.1.12) вытекает, что для tiGCo°°(Io)
B8.1.15) ? ^^iD^^^^COlP^I^^ + T
| a | ^ 2
B8.1.16) И t; ||A) < С (f (| Z) |2 + t2)~ I/2 ^^ II + т || t» II).
Доказательство. В силу предложения 20.1.11
II и lip, < С (|| Рои ||+ || и у, us Со".
Следовательно,
|| и ||B) < С, (|| Рхи || + т21| и || + т |
28.1. Теорема единственности Кальдерона 287
и поскольку С{т\\и\\{1)^\\и\{2)/2 + {CsfWuW/2, то
B8.1.17) | (| D |2 + т2) и | < С2 (\\.Рхи || + т21| и ||), и е Со°° (*<>).
Эта оценка остается верной также для me?', если |*il< 1/2
на supp а, так что можно взять и = (|?>'|2 + т2)-1/2а, где
г; е= CS°(Хо). Коммутатор Рт с (|?>'|2 + Т2)-1'2 имеет /Анорму
О(т), так как коэффициент при т2 коммутирует с оператором
(|?>'|2 + т2)-1/2 и коммутаторы с А и Q имеют порядки —1 и О
соответственно. Следовательно,
B8.1.18)
lOflf + TWltff + T»)^
Этого достаточно для доказательства B8.1.15) в области частот
||'|>т, однако при |?'|<т нужно рассматривать Рх как воз-
возмущение оператора (?>i + rap'J, а не Ро. Из доказательства
предложения 28.1.3 вытекает, что
т||и||<21|(А + /тер')и||, «s С
Следовательно,
II Аи || + т || и || < || (А + /тф') и || + 5т || м ||/2 < 61| (А + шр') и ||,
откуда итерацией получаем, что
| D\u || + 2т || Dim || + (т2 - 6т) |,' м || < 361| (Di + /тф7J м ||, а е Со°° (Хо).
Отсюда, заменяя и на A -\-\D'\2)-{/2v, находим, что при боль-
больших т
Z т2-' || D[v ||го> _u < 401 (А + /тФ'J1» Цо> _„
< 40||Pto ||@( _„ + С|(| Z) |2 + т2) v ¦
Последний член можно оценить при помощи B8.1.18), что дает
B8.1.19) \\(D\ + x2)(l +\D'\YU2 vW^CiWPivU^^ + TUvW)-
Оценка B8.1.15) вытекает из B8.1.18) и B8.1.19), поскольку
Для доказательства оценки B8.1.16) возьмем функцию %е
С~ (R) с носителем в (—1, 1), равную 1 на (—1/2, 1/2). Оценка
B8.1.17) остается справедливой при некоторой константе С2,
если J-^i| <d 1 на supp и, так что можно взять u = %(xi) (|D|2 +
288 28. Единственность решения задачи Коши
т2)~1/2у, где v ^С™ (Хо). Тогда получаем, что
(| D f + т») и - (| D |2 + т*) о = (| D |2 + т») [х, (I О f + т2)"'/2] D.
Из исчисления псевдодифференциальных операторов с метрикой
|djc|2+ |dg|2/(UI2 + ^2) вытекает ограниченность оператора
в правой части. Более того, для %\{х\) = %(х\/2)
Р.и - х, (I D |2 + т*Г1/2 /> == 3d !>* (I D |2 + т*Г1/2] о.
Норма коммутатора равномерно ограничена, поскольку
[D, + /тФ', (| D f + т*Г1/2] = xD, (I D |2 + тГ3'2'
и символ коммутатора [Q, (|/)|2+т2)~1/2] равномерно ограничен
в классе символов 5A, \dx\2 + \d%\2/(l +\Ъ'\2)). Следова-
Следовательно, B8.1.16) вытекает из B8.1.17), и доказательство за-
закончено.
Доказательство предложения 28.1.4. Мы будем в значительной
степени следовать схеме доказательства предложения 28.1.2.
Во-первых, заметим, что неравенство B8.1.14) эквивалентно
оценке
B8.1.14)' Z T2A-|a|)||Dat;|2<C||P^|2, v^Co(Xo).
Вводя оператор Т = D\-\- hq>' — Л, обладающий всеми свойст-
свойствами оператора Рх из доказательства предложения 28.1.2, мы
получаем, что
B8.1.20) [Pt, Рх] = 2Г [Г, Т]Т + 2Т[Г, Т]Г + [Г, [Г, [Г, Т]]]
-[Г2, Q]-[Q\r] + [Q\Q].
Действительно, сумма первых трех членов равна [Г*2, Г2], по-
поскольку
= 2Г [Г, Г] Г + [[Г, Г], Г] Т + ГГГ71,
7ТГГ = 2Т [Т, Г] Г* + Т [Г, [Г, Г]] + ТГТ'Т.
Сначала мы воспользуемся только первыми двумя членами в
правой части B8.1.20), а затем оценим вклад остальных членов.
Из B8.1.5) вытекает, что \Т*, Г] = 2т + В, причем оператор
В/в равномерно ограничен в S1. Следовательно,
B8.1.21) 2т (|| Tv ||2 + || Г v II2)
<2((Г*[Г, Т]Т + Т [Г, Г]Г)v, v)
+ Се (|| Tv ||@> „ || Го || +1| Г о ||@> Х) || Г о ||).
28.1. Теорема единственности Кальдерона 289
Применяя B8.1.16) к Tv, мы получаем, что
так как оператор (| ?) |2 -f- т2)—1/2Т равномерно ограничен и
где последнее неравенство вытекает из предложения 28.1.2.
С другой стороны, применяя B8.1.16) к T*v, мы получаем, что
|| Го ||@, „ < С (|| Pxv || + т || T'v || + т'/21| Tv ||),
так как
[Рх, Г] = [- Q, Г] + 2 [Г, Г] Т + [Т, [Т, Г]],
и, следовательно, опять в силу B8.1.4),
||(| D f + т2)~'/2 [Рх, Г] v | < С3 (|| v ||A) +1| Tv ||) < С4хЧ"-1| Tv ||.
Применяя предыдущие оценки для ||74>||(о,1) и ||Г*у||(о, d в
B8.1.21), мы получаем при малых е, что
B8.1.22) т(||Tv||2 + ||Tv||2)<2((Г [Г, Т]Т + Т[Г, Т]Т)v, v)
+ Ct-'||/vII2-
Как уже отмечалось, в силу предложения 28.1.2
B8.1.23) x'Wvf + WvWlf
Таким образом, остается лишь показать, что последние четыре
члена в B8.1.20) не портят оценку.
Сначала докажем, что
B8.1.24)
(([Q*, Q] - [Г2, Q] - [Q\ H) v, v) > - Се (|| Pxv ||2 + т || Го ||2),
если УбС0°°(Хо). Для этого воспользуемся неравенством Феф-
фермана — Фонга (теорема 18.6.8) с метрикой
g = \dxf + V\dt\2, /Г2=1+1Г|2-
Если 0<cgS((|^| + tL, g), из теоремы 18.6.8 можно вывести,
что
Действительно, это эквивалентно неравенству
(д (D) с* (х, D) q (D) v, v) > - С || v f,
где <7E) = (U'|2+1I/2(|1|2 + т2)-1, и символ Вейля оператора
q(D)cvl(x, D)q(D) равен q(\L(x, 1) с точностью до слагаемого
290 28. Единственность решения задачи Коши
из S(l, g), поскольку {q, c}q + q{c, q) = 0. Следовательно, нуж-
нужно найти нижнюю границу для символа Вейля оператора
B8.1.25) е-' ([Q\ Q] - [Г2, Q] - [Q*, Г2]) + Р*ХРХ-
Если /т, е — символ Вейля оператора Г, а ^е — оператора Q, то
символ Вейля оператора B8.1.25) равен
B8.1.26) е-Ч{<7в, <7е}Д-41т/х,е{/т,е, ft})
по модулю членов веса (\l\2 + %2Jh2. (Отметим, что [Г*2, Q] =
Г* [Г*, Q] + [^*» Q]?*> причем символ оператора [Г*, Q]/e огра-
ограничен в S(l +|?'|2, g).) Ясно, что условие B8.1.13) верно также
для qe с dqz/dx', деленным на г. Следовательно,
I (<7в, <7e}/e I < С (| q& \ A + | Г|) + A + I Г |2)),
Поэтому символ B8.1.26) можно оценить снизу через
Поскольку оператор 2Г*(т2+ |?)/|2I/2Г имеет главный символ
^ Ut, e|2(T + |i'|), то» применяя неравенство Феффермана —
Фонга к сумме оператора B8.1.25) с оператором
2С,Г (т2 + | D' |2I/2 Т + /С (т2 + | D' |2)
при некотором достаточно большом К, мы получаем, что левая
часть неравенства B8.1.24) ограничена снизу произведением
г на
- [[ Pxv ||2 - 2СХ ((| D' |2 + т2I/2 Ги,
Поскольку \\{\D'\2 + x2)x/2Tv\\^C{\\Pxv\\+%\\Tv\\), как было
показано выше, мы получаем B8.1.24), оценивая последнее сла-
слагаемое при помощи B8.1.15) и используя B8.1.23).
Наконец, коммутатор [Г, [71*, [Г*, Т]]] имеет символ, огра-
ограниченный в 5(е3A+|^|), g). В итоге из B8.1.20), B8.1.22),
28.1. Теорема единственности Кальдерона 291
B8.1.24) мы получаем, что при малых е
> i- т (|| Tv ||2 + || Г v ||2) - е31| v \\11} > 11| Tv ||2,
где в последнем неравенстве использована оценка B8.1.23). Эта
оценка вместе с B8.1.23) завершает доказательство предложе-
предложения 28.1.4.
В предложении 28.1.3 не требуется, чтобы главный символ
оператора а был вещественным. Тем не менее это само по себе
еще не улучшает теорему 28.1.1. Действительно, если t/(jc, ?')—
один из корней, то —t/(jc, —?¦') также является корнем, и если
они оба имеют неотрицательные мнимые части, то т; веществен.
Однако мы получим полезный результат, если вместо этого
—Tj(x, ?¦') удовлетворяет условию следующего предложения.
(Отметим, что оно содержит в себе предложение 28.1.2, но его
доказательство гораздо менее элементарно, и поэтому мы пред-
предпочли доказать предложение 28.1.2 отдельно.)
Предложение 28.1.6. Пусть а е S1 (Rn X Rn~l) и для скобки
Пуассона
B8.1.27) b(x,l') = {li-a, Ъх - a}/i = 2 {Re a, Ima) - 2д 1та/дхг
либо
B8.1.28) \Ь(х, Г)КС0|1та(х, Z')\ + Cb
либо
B8.1.29) b (х, I') > - Со 1т а (х, Г) - Сх
при некоторых константах Со, С{. Тогда при малых е, 1/г
B8.1.30)
т J | и |2 е2хф dx < 3 J | (D! - а (ex, D7)) и |2 е2тф rfx, а s С (Хо).
Доказательство. Вначале мы будем следовать схеме доказа-
доказательства предложения 28.1.2 и принятым там обозначениям. Что-
Чтобы воспользоваться тождеством B8.КбO, нам нужно оценить
снизу (Bv, v). Главный символ оператора В равен гЬ(гх, I').
Если выполнено условие B8.1.29), то главный символ оператора
В + гС0(А—A*)/2i ограничен снизу и, следовательно,
B8.1.31) (Bv, v) + eColm(Av, v)^ — C\\v\\2
согласно точному неравенству Гординга (теорема 18.1.14). По-
Положим
M2 = max@, —(Bv, v)).
292 28. Единственность решения задачи Коши
Из B8.1.5)' и B8.1.31) мы получаем, что
B8.1.32) | P\v | < \\Pxv\\ + M,
B8.1.33) М2 < j еС0 || (Л* - A)v\\\\v\\ +C\\v ||2.
Следовательно, учитывая неравенство
\\(А* - A)v\\^\\Pxv - Pxv\\ + 2%\\y'v\\^2\\P%v\\ + M + 3r\\v\\,
мы получаем, что при больших т
Поэтому
М2<2еС0(||Р^|| + 2т \\v\\)\\v\\.
Используя эту оценку в B8.1.5)', мы получаем, что
2т || v ||2 < || Pxv ||2 + 2еС0 (|| Pxv || + 2т || о ||) || о ||.
Следовательно, при 2еС0 < 1/2
т II v ||2 < || Pti> ||2 + т[И ^ IIII о II < 21| Pxv ||2 + || v ||2,
что и доказывает B8.1.30).
Теперь предположим, что выполняется условие B8.1.28).
Тогда вещественная часть символа оператора
B8.1.34) В*В + е2С2 (Л - Л*J/2
равномерно ограничена сверху. Действительно, символы Вейля
операторов В и (Л—A*)/2i равны еЬ(ех, %')\-\-Ье(х, ?') и
1та(гх, %')-\-ае{х9 g') соответственно, где аг и Ьъ ограничены
в S0. Следовательно, с точностью до слагаемого, равномерно
ограниченного в S0, символ Вейля оператора B8.1.34) равен
(еЬ(х, ?) + Ьв(х, Г)J-2е2С2Aта(ех, ?) + ав(х, Г)J
и ограничен сверху ввиду B8.1.28). Поэтому из неравенства
Феффермана—Фонга (теорема 18.6.8) вытекает, что
v ] || Bv ||2 - 82С21| (Л - Л*) v ||2/2 < С || с ||2.
Таким образом,
- (Bv, v) < еС01| (Л - Л*) v || || v || + С1/21| v ||2,
откуда вытекает B8.1.33) с 2е вместо е. Окончание доказатель-
доказательства проводится так же, как в первом случае, без всяких изме-
изменений. Доказательство закончено.
Теперь довольно ясно, что теорему 28.1.1 можно улучшить
таким образом, что единственность будет иметь место всякий
раз, когда р разлагается в произведение операторов, к которым
28.1. Теорема единственности Кальдерона 293
применимо одно из предложений 28.1.3, 28.1.4 или 28.1.6. Это
дает нам основание для введения некоторого множества, мень-
меньшего чем B8.1.1). Немного легче определить его дополнение, что
мы и сделаем сейчас.
Определение 28.1.7. Пусть X — некоторое О-многообразие и
р^Ссо(Тт(Х)) — однородный многочлен степени m в каждом
слое. Тогда Г(р)—множество всех (х, N)^T*(X)\0, для ко-
которых
(i) р(х,М)Ф0;
(ii) при всех 6 е Г* \ RN вещественные нули т многочлена
р(ху ^-\-%N) являются простыми, а комплексные нули имеют
кратность ^ 2;
(iii) у всякого ^ g Г* \ 0, для которого р(х, g) = 0, сущест-
существует окрестность U в Т*(Х), в которой либо
<28.1.35) {р, p)/i>-C\p\ в U
при некоторой константе С, либо р является микрогиперболиче-
микрогиперболическим относительно N в U\
(iv) у всякого I = I + %N, где 6 е Г^, 1тт^=0 и />(*, ?) = 0,
существует такая окрестность [/ в комплексификации кокаса-
тельного расслоения, что в некоторых локальных координатах
<28.1.36) \p'yt1i(y, Л)|<С|(Р;(г/, л), N)\9 если
(г/, т|)е1/, р(у, Ч) = 0.
Следующие замечания об условиях (iii) и (iv) могут ока-
оказаться полезными в дальнейшем. Заменив | на —g в (iii), мы
получаем, что
<28.1.35)' \{р, р}\^С\р\ в U,
если только р не является микрогиперболическим относительно
—N в U. Неравенство B8.1.35)' представляет собой очень силь-
сильный вариант условия (Р), так как при этом на бихарактери-
бихарактеристике символа Rep выполняется неравенство |^RejoImp|^
C|Imp| и, следовательно, Imp не может обращаться в нуль, не
•будучи тождественным нулем. В микрогиперболическом случае,
разумеется, условие (Р) также выполняется. Это не удивитель-
удивительно, поскольку из карлемановских оценок вытекает локальная
разрешимость. Однако условие (Р) не является достаточным
для справедливости предложения 28.1.6. Отметим, что условие
(iii) не инвариантно относительно изменения знака перед N.
Условие (iv) выполняется автоматически, если т — простой
нуль. В противном случае оно означает, что проекция в комп-
лексифицированное касательное пространство к X нормирован-
нормированного гамильтонова векторного поля в простом нуле, близком к
294 28. Единственность решения задачи Коши
g-f xN, не может быть почти ортогональной к N. Это условие —
естественная замена для условия простоты нулей. Отметим, что
оно всегда выполняется, если нули остаются двойными при из-
изменении (х, g) или, более общо, если комплексные нули функ-
функции р(у, т| + т#) являются ^-функциями от (у, г]). Очевидно,
что Г(р) — открытое множество, так как нули функции р(х, g +
xN) непрерывно зависят от х, |, N, и условия (i), (Hi), (iv)
очевидным образом выполняются в открытых множествах.
В следующей теореме единственности мы рассмотрим реше-
решения дифференциального уравнения с младшими коэффициен-
коэффициентами из L°°, которое очевидным образом эквивалентно диффе-
дифференциальному неравенству B8.1.2).
Теорема 28.1.8. Пусть Р — дифференциальный оператор порядка
m с С°°-главным символом р и все его коэффициенты е L^o
Тогда если и е= H\m-i) и Ри = О, то Ne (supp и) П Г (р) = 0.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 28.1.1, мы
можем считать, что оператор Р определен в некоторой окрест-
окрестности точки 0^ Rn и что @, N)^T(p), где N = A, 0, ..., 0);
мы должны показать, что 0 ф supp и, если Ри = 0 и и удовле-
удовлетворяет условию B8.1.9). Для этого сначала проанализируем
условие @, N)^T(p).
Пусть 0 Ф go^ R"~\ и пусть р@, т0, |о) = 0. Тогда могут
представиться следующие возможности:
(а) то ^ R. В этом случае то—простой нуль согласно опре-
определению 28.1.7 (ii). Следовательно, в некоторой окрестности U
точки @, IJ) существует единственное С°°-решение т(х, |') урав-
уравнения р(ху т, 1') = 0, удовлетворяющее условию т@, ?о) = то.
Итак,
р (х, |) = F, - т (х, б')) Р. (х, I), (х, 60 е U,
где р\ — полином от \х степени m— 1.
(а^ Если символ р микрогиперболический относительно Ny
то Im т ^ 0 в некоторой окрестности Ux точки @, ^), что явля-
является микролокальной формой условия из предложения 28.1.3.
(а") Если р не является микрогиперболическим относи-
относительно N, то, поскольку р{ @, т0, Q Ф 0, мы получаем из
B8.1.35), что
{6,-т, 61-т}//>-С|Б,-т|
в некоторой окрестности точки @, т0, ^). Левая часть этого не-
неравенства не зависит от \Хш Беря gi = Rer(A:, |'), мы заклю-
заключаем, что
28.1. Теорема единственности Кальдерона 295
в некоторой окрестности точки @, g^). Если р микрогиперболи-
микрогиперболичен относительно —N, то Imr^O в некоторой окрестности ?/2,
откуда
{?, — т, g, — т}// > - С Im т (*, Г), (*, Г) е 1/2>
что является микролокальной формой условия B8.1.29) из пред-
предложения 28.1.6. С другой стороны, если р не является микро-
микрогиперболическим относительно —N, то мы можем применить
B8.1.35) также к корню —т(х, —g'). Тогда мы получаем, что в
некоторой окрестности [/3 точки @, g^)
тт(^, |')|, (*, Г) е= 1/3,
что является микролокальной формой условия B8.1.28) из пред-
предложения 28.1.6.
(b) то — простой корень ф R. Тогда р содержит эллиптиче-
эллиптический множитель 1г — т(х, ?'), где теС°° в некоторой кониче-
конической окрестности точки @, g^) и т@, ?о) = то* Это есть МИКР°-
локальная версия условия предложения 28.1.2.
(c) то — двойной корень и, следовательно, ф. R. Тогда р со-
содержит полиномиальный множитель второго порядка:
р (х, I) = (?? - 2а (д:, Г) Ъ{ + Ь (х, Г)) Pt (х, 5),
где а, &gC°° в некоторой окрестности точки (О, Q, а @, 1'0)=
т0, 6@, ^о)==то» a ^i— многочлен от ^ степени т — 2. Это вы-
вытекает из подготовительной теоремы Вейерштрасса в окрест-
окрестности точки @, т0, ?q) или, скорее, из ее доказательства, по-
поскольку символ р аналитичен по gi. Обозначая q = а2 — Ь, мы
можем записать множитель второго порядка в виде
(li-a{x, Z')J-q(x, Г).
Поскольку р{ ф 0 в @, т0, g0), то. условие B8.1.36) означает, что
\^C\l{-a\ при (^-aJ = q
в некоторой окрестности точки @, т0, |^) теперь уже в
Таким образом,
В силу однородности мы отсюда получаем B8.1.13) микро-
микролокально; при этом эллиптичность символов (|i — аJ—q и
gi — а также очевидна.
Подводя итоги, мы для (jc, g') из некоторой конической
окрестности точки @, g?) можем записать
Р (х, I) = П (Ei - т7 (д:, Б0) П «Ei - fly (х, Г)J - <7/ (х, Г)),
296 28. Единственность решения задачи Коши
где т/ удовлетворяют некоторым условиям предложения 28.1.3
или 28.1.6, а множители второго, порядка удовлетворяют усло-
условиям предложения 28.1.4, причем различные множители не
имеют общих нулей.
Предположим сначала, что такая факторизация существует
в R2n при достаточно малых \xi\ и что р(х, g) не зависит от х
при больших \х\. Тогда при достаточно малых 8
B8.1.37)
Т2 (m-1-f а |) Jj | Dau |2 ^тф dx <^ ? J | p (eJC> ?)) и |2 ^тф rfjCf
I a|<m
если mgCo°(Хо), где Хо = {х е R"; | jc11 < l}. Доказательство
этого факта почти не отличается от доказательства B8.1.10), и
поэтому мы дадим только краткий его набросок. Заменяя
tj(x, ?'), uj(xt g') и <7/(я, g7) при |?'|<1 некоторыми гладкими
функциями, обозначим через p/(ex, D), /=1, ..., k + /, опера-
операторы ?>! — т/(ex, D') и операторы (D{ — a/(ex, D')J — qj(ex9 Df)>
взятые в некотором произвольном порядке. Тогда
J | р (ex, D) и - Д Pj (ex, D) и |2 е2^ dx < Ce2N,
где Л^ обозначает левую часть B8.1.37). Переставляя pk на пер-
первое место, мы получаем в силу предложений 28.1.3, 28.1.4, 28.1.6,
что
r+\a \<mk
где rrij — порядок оператора р/. При помощи разложения на
простейшие дроби мы при |^|> 1 и \а\==т—1 находим, что
, I) П Р/ (ex, I),
где ^й — однородный символ степени nik — 1 по |, являющийся
многочленом по gi степени < nik. Используя B8.1.8) еще и
при |а| < т— 1, мы получаем так же, как при доказательстве
B8.1.10), что
откуда при малых г вытекает B8.1.37).
Полученная нами выше локальная факторизация приводит
к аналогичному результату. Если носитель функции я|)(л:', ^S0
28.1. Теорема единственности Кальдерона 297
лежит в достаточно малой конической окрестности точки @, |?),
то
B8.1.38) ? т2(т-На|M|^(е/, D')u\2e2x*dx
\а\<т
< С ( J | * (гх\ D') р (в*, D) и |2 е** dx
+ е2
I a\<m
{Мы можем считать, что коэффициенты оператора р принадле-
принадлежат С?° (Rn).) Для доказательства нужно просто получить микро-
микролокальные версии предложений 28.1.3, 28.1.4, 28.1.6. Для такой
модификации предложений 28.1.3 и 28.1.4 нужно продолжить
символы глобально таким образом, чтобы они удовлетворяли
всем условиям этих предложений; в предложении 28.1.4 нужно
просто умножить q на квадрат срезающей функции и «сшить»
•символ а с ±/|?'|. Микролокальную версию предложения 28.1.6
можно получить, прослеживая все этапы его доказательства.
Выберем теперь функции г|)ь ..., i|)#, такие что для каждой
из них справедлива оценка вида B8.1.38) и i|)i + ... +1|)# = 1
в f/X R" для некоторой окрестности U точки 0. Тогда при
малых е мы получаем оценку B8.1.37) для f/eC^Xj), если Х{аХ0
является ограниченной окрестностью точки 0. В силу леммы
Фридрихса оценка B8.1.37) остается справедливой также для
2
и 6= #(?% №) и р (ex, D)ug L2.
Вернемся теперь к функции и из начала доказательства. Она
обращается в нуль при х\ >—1^|2/2 и удовлетворяет урав-
уравнению
p(x,D)u+ Z aa(x)Dau = 0
I a)<m
в некоторой окрестности Х\ точки 0, где все аа ограничены. То-
Тогда функция иг(х) = и(гх) удовлетворяет уравнению
р (ex, D)ue+ 2 аа (ex) em~l a f Daue = 0.
|a \<m
в области Х\/г и ие = 0 при х\ >—e|jt'|2/2. Возьмем функцию
ЭСеСо°(Я'1), равную 1 в некоторой окрестности точки 0, и при-
применим B8.1.37) к ve = %ue, учитывая, что (p(#i)<!—с при неко-
некотором с > 0 в supp иг П supp d%. Тогда мы получим, что
|a|<m
| a|<m ф<-ес
298 28. Единственность решения задачи Коши
Отсюда при г<С\112 и т-^-оо мы получаем, что ve = 0 при
ф > —се. Следовательно, и = О в некоторой окрестности точки
О, что и завершает доказательство.
28.2. Общие карлемановские оценки
В § 28.1 мы с самого начала рассматривали карлемановские
оценки только для операторов, которые разлагаются в произве-
произведение операторов первого или не более чем второго порядка
по некоторой выделенной переменной. Однако для теорем един-
единственности с условиями выпуклости, изложенных в § 28.3, этого
недостаточно. Поэтому нам придется проанализировать карле-
карлемановские оценки с совершенно новой точки зрения. Начнем
с вывода некоторых необходимых условий для справедливости
оценок вида B8.1.10).
Теорема 28.2.1. Пусть X — открытое множество в Rn, qp ^
С°° (X, R), и пусть Р — дифференциальный оператор порядка m
в X с С°°"главным символом р и все коэффициенты Р принадле-
принадлежат L~c (X). Предположим, что
B8.2.1)
|a|<m
при т > то. Тогда
B8.2.2) Z 2(m
Z |( ()|
|a|<m
^К{( g-mp'(jt)), p(x,
если (х, S)eP(^), т >0 и р(х, g + rap'(x)) = 0. Более того,
р нигде в Т*(Х)\6 не имеет нулей порядка ^ 2.
Перед доказательством заметим, что для ? = g-f- rap'(x)
B8.2.3) {р (х, I - шр' (*)), р(хЛ + 'тер' (х))}/п
Следовательно, если ф'(х) фиксировано, то условие B8.2.2) яв-
является некоторым условием выпуклости для ф. Для доказатель-
доказательства теоремы 28.2.1 нам необходима следующая
28.2. Общие карлемановские оценки 299
п п
Лемма 28.2.2. Если символ L (х, I) = ? Afxf + ? в/?/ имеет
комплексные коэффициенты Af, Bh то оценка
<28.2.4) х ||<ф ||2 < || L (*, D) ^ ||2, ^ е= Со (Rn),
эквивалентна условию
<28.2.5) x<max({Z, !}/*, 0).
Доказательство. Из симплектической инвариантности, доказан-
доказанной в теореме 18.5.9, вытекает, что оба условия B8.2.4) и
B8.2.5) не нарушаются при замене L на L°%, где %— вещест-
вещественное линейное симплектическое отображение. Записывая L в
виде L=Li-\-iL2y где L\ и L2 вещественны, мы получаем, что
{?, L}/i =2{Lb L2}. Если {LbL2}=0, то, согласно предложе-
предложению 21.1.3 и теореме 18.5.9, можно считать, что L = A\X\ + А2х2.
При этом из B8.2.4) видно, если носитель г|) взять близким к
точке 0, что х ^ 0. Таким образом, в этом случае лемма дока-
доказана. Если же {L\, L2} Ф 0, то мы можем считать, что L\ = \х и
12 = ахи где а= {Lu L2). Тогда B8.2.4) принимает вид
2 /
Если а < 0, то можно взять г|) близким к е^1/2 в топологии 9*.
Тогда из B8.2.4) видно, что х ^ 0, и это согласуется с B8.2.5).
Если же а > 0, то неравенство B8.2.4) интегрированием по ча-
частям приводится к эквивалентной ему оценке
(х - 2а) || г|) ||2 < || (Д - iax{) г|> ||2, ч|> е= С
которая имеет место тогда и только тогда, когда х — 2а^0, что
и завершает доказательство.
Доказательство теоремы 28.2.1. Мы можем считать в доказа-
доказательстве, что х = 0, а также что т = 1 в B8.2.2), поскольку не-
неравенство однородно. Без ограничения общности можно считать,
что ф@) = 0, и тогда
где А — квадратичная форма. Пусть ^gR" и р@,
откуда р@, т^ + /тЛ^) = 0 при любом т. Положим
(хт1'2), ф е Со00 (Rrt).
300 28. Единственность решения задачи Коши
Тогда и^Со'(Х) при больших т, и для ? = | + iN
е-'<х-^Р(х, D)u(x)
= р (х, т» * (хт1'2) + Е Р(/) (х, т?) Dtf (jct'/2) + О (х-')
+ Е Р(/)@, ?) (Dfl) (ххч*)) + О (т"-«).
Разделим B8.2.1) на T2m-i-/z/2 и возьмем л;т1/2 в качестве новой
переменной. Тогда при т-^сх> мы получим, что
Е к"I2IIАII2</с IIИ(Е А,-,(о, ох, + Z ^(о, с)/>,)¦ Р.
| а\<т
Отсюда при замене -ф на e~Aty мы получаем, что
Е к" ГII ф и2 < к 1 (Е а/) (о, о х; + Е р(/) (о, о (?>/ - фи») * Р.
|а|<т
Поэтому, применяя лемму 28.2.2, мы ввиду B8.2.3) получаем
B8.2.2).
Теперь предположим, что ^ g R" \ 0 и что р((р}@, 6) = 0 при
1а + Р|^ 1- Применим B8.2.1) прямо к функции
и (х) = ei%2 (х' S4 (tjc), г|) е= С~ (R").
На ее носителе | ф (л:) — Ф @) | = О (| jc |) = 0A /т) и
| р (х, D) и(х)\ = т2- | р (у/т, I + Я/т) г|) (у) | = О (т2—2), у = т*.
Правая часть B8.2.1) есть O(T4m~4~n), а сумма в левой части па
|а| = т—1 растет как Ti+4(m-i)-ne Это противоречие и завер-
завершает доказательство.
Замечание. Доказательство теоремы 28.2.1 дает также информа-
информацию о более слабых оценках карлемановского типа. Действи-
Действительно, предположим, что правая часть B8.2.2) отрицательна
при jc = O и некоторых | и т, для которых р@, ! + WV) = 0..
Возьмем в качестве -ф функцию из ^, использованную в дока-
доказательстве леммы 28.2.2 и умноженную на %(дс/т1/2), где функция
XgC0°°(I) фиксирована и равна 1 в некоторой окрестности
точки 0. Тогда мы видим, что оценка B8.2.1) не выполняется
даже с множителем о(т) в правой части. Таким образом, для
справедливости карлемановских оценок даже в очень слабой
форме необходимо, чтобы при р(ху g + пу'(х)) = 0 правая часть
B8.2.2) была неотрицательной.
Теперь мы докажем некоторое обращение теоремы 28.2.U
принимая в качестве условия неравенство B8.2.2). При этом
28.2. Общие карлемановские оценки 301
мы требуем выполнения этого условия не только на характери-
характеристическом множестве.
Теорема 28.2.3. Пусть X — открытое множество в Rn, фб
С°°(Х, R), и пусть функция реС°°(Г*A)) — полином степени
m в каждом слое. Если при (х, ?)е Т*(Х) и т > то
B8.2.6) Z r2{m-\a])-l\a + hq>'(x))a\2
\a\<m
<К(\р(х, t + ixq>'(x))?+{p(x, ?-шр'(х)), р(х, I + ixy'
то для любого Y ш X при некоторой константе С
B8.2.7)
|a|<m
\, D)ufe2xvdx, «
Доказательство. Обозначая v = ueX(f, мы можем переписать
B8.2.7) в виде
B8.2.7)'
Возьмем функцию %еСо°(А'), равную 1 в Y. Тогда для
можно заменить v на %у, в результате чего все коэффициенты
будут иметь компактный носитель. Символ Вейля оператора
Dj -f- hdq>/dxj9 разумеется, равен |/ + ixdy/dXj, так что р(х, D -\-
/тф^х отличается от оператора Рх с символом Вейля р(х, ^ +
ix<p'(x))% только членами порядка m — 1 по D и т. Символ
Вейля оператора
|a|<m
равен произведению ^2 на разность между правой частью и ле-
левой частью B8.2.6) с точностью до слагаемого из
S((\t\ + rfm-\ g), g = \dxf + \dtf!(r* + \tf).
Следовательно, применяя неравенство Феффермана — Фонга
(теорема 18.6.8) к оператору
мы получаем, что
302 28. Единственность решения задачи Коши
Поэтому, обозначая через М левую часть B8.2.7)', находим,
что
(М A - CJx)f2 < КХ1АII Pv || < Кш II р(х, D + гтср') v || + С2х~ 1BМ1/2,
что и доказывает B8.2.7).
Оценку, аналогичную B8.2.6), дает также доказательство
28.2.1, однако нам важнее здесь обсудить возможность перехода
от B8.2.2) к B8.2.6). Для этого мы потребуем выполнения уси-
усиленного варианта условия (Р), «двусторонней» оценки типа
B8.1.35).
Определение 28.2.4. Дифференциальный оператор Р порядка т
в открытом множестве X a Rn с (^-главным символом р назы-
называется нормальным в главном, если для любого компактного
множества К а X
B8.2.8) | {р, р) (х, 1)\<Ск\р(х,1)\\1 Г~\ х s К, g e Rn.
Это определение, очевидно, инвариантно, и поэтому оно
имеет смысл также для дифференциальных операторов на мно-
многообразии X. Важность этого условия заключается в том, что
оно позволяет контролировать вторую сумму в B8.2.3) при т-^0.
Лемма 2'8.2.5. Если оператор р нормальный в главном на X, то
для каждого компактного множества К а X при х е К и т > 0
B8.2.9) | Im I p(/)(x, g + ixN) р№(х, l + txN)/x
-ReZNk{p(x,Z),Pik)(x, Б)} |
<C* (t| N |21 g + ixN f'n-3 + | p(x,l + ixN)\\l + ixN \m~l/x
+ I S PU)(x, I + lxN)Nf\\ I + ixN Г).
Доказательство. По формуле Тейлора
2Im Zpu)(*> Z + irN)p«Hx, l + frN)-{p(x, g), p(x,
-2xRe E (pj;^, l)pU)(x,l)-pa)(x,
Отсюда следует B8.2.9), поскольку по формуле Тейлора из
условия вытекает оценка
\{р(х, g)> p(x, g)}KC|p(j:, g)||gr"!
<С(\р(х, l + ixN)\ + \ ]
Доказательство закончено.
28.3. Единственность при условиях выпуклости 303
Лемма 28.2.5 позволяет получить дополнение к теореме 28.2.1
для случая вещественных характеристик.
Теорема 28.2.Г. Если оператор Р нормальный в главном и вы-
выполняется оценка B8.2.1), причем у'(х)фОу то
B8.2.2)' S 16а Г < 2/С Re {р, {р, Ф}} (х, 6),
когда (*, йеГ(Д р(х, g) = 0 и {р, Ф}(*, 6) = 0.
Доказательство. Заметим прежде всего, что {р, ф} = 2
и
B8.2.10) {р, {р, ф}} = /Е1(
Если га= 1, то р(л:, | +wp'(*)) = 0 при всех х. Следовательно,
B8.2.2)' вытекает из B8.2.2), B8.2.3) и B8.2.9). При m > 1
достаточно доказать B8.2.2)' для |=й=0. Если преобразовать
B8.2.2), используя B8.2.3), то из леммы 28.2.5 вытекает, что
B8.2.2)' выполняется, когда (я, |) лежит в замыкании мно-
множества
Мы можем считать, что ф — линейная функция, т. е. ф' = А/" —
постоянный вектор. Если (а:, ?) не лежит в замыкании этого мно-
множества, то р(г/, ц) является микрогиперболическим относительно
@, N) в точке (х, |). Поскольку р^6(х, ?) ^= 0 по теореме 28.2.1,
то из леммы 8.7.2 вытекает, что/рь(л:, ?), N\ ф 0. (В лемме 8.7.2
требуется вещественная аналитичность, однако достаточно было
бы аналитичности лишь по направлению 0, как это имеет место
в данном случае.) Это противоречие завершает доказательство.
28.3. Единственность
при условиях выпуклости
Воспользуемся результатами § 28.2 для доказательства некото-
некоторых теорем о единственности продолжения через поверхность,
задаваемую уравнением вида
B8.3.1) Ф(*) = я|>(*о),
где г|) — вещественнозначная С2-функция, определенная в неко-
некоторой окрестности точки хо, причем г|/(лго)=7^О. Тогда B8.3.1) в
некоторой окрестности точки лг0 определяет ориентированную
С2-гиперповерхность. Наша цель — показать, что решения диф-
дифференциального уравнения Рм = 0, равные нулю с положитель-
положительной стороны {л:; ty(x) > ^(a:0)}, должны обращаться в нуль в
304 28. Единственность решения задачи Коши
некоторой полной окрестности точки х0, если выполняются не-
некоторые условия выпуклости. Эти условия должны относиться
только к поверхности B8.3.1), а не к задающей ее функции ф.
Если ф — другая такая функция, то ф'(хо) = aty'(xo) при неко-
некотором а > 0, и
? (C2ф (хо)/дх, dxk) ttik = а ? (д^ (xj/дх, dxk) ljik,
если </, ty'(x0)} = 0, но не для всех fE,C". Именно по этой при-
причине в следующее определение включена только часть необхо-
необходимых для карлемановских оценок условий, содержащихся в
теоремах 28.2.1 и 28.2.Г.
Определение 28.3.1. Пусть оператор Р с главным символом р
является нормальным в главном в области XaRn9 и пусть
ф еС2(Х), <$>'(хо)фО. Тогда ориентированная гиперповерхность,
задаваемая уравнением B8.3.1), называется строго псевдовы-
псевдовыпуклой в точке х0 относительно оператора Р, если
B&3.2) Re{p, {р, ф}}(*0, 6) > 0;
^R"\0, р (хОу g) = <р( (*0, g), г|/ (*0)> = 0;
B8.3.3) {р (х, I - ntf (х)), р(хЛ + htf (х))}/21т > 0,
если х = xQ, l^Rn, x > 0
и р (х, g + m|/ (*)) = <Р^ (^, g
Пусть Л! — множество всех (W, x, g, т, Л^), где 4я — веще-
вещественная симметричная /гХ/г-матрица, х^Х, ?еК", т^0, TVe
R»\0, причем р(х, 1 + лМ) = 0,(р'г(х, 1 + ixN), N) = 0 и|^|2 +
т2= 1. По лемме 28.2.5 функция Z7, заданная на Af формулами
х, g, т, yV)= Z Чщ^Чх, l + hN)p{k)(x, 1 — hN)
+ Im Z A/) (*, 6 + /t^V) p</> (x, g - /т^)/т, t > 0;
*, g, 0, tf)= S ^^(jc, g)p<*)(x, g)
Yt g), p^)(x, g)},
является непрерывной. Ввиду B8.2.3) и B8.2.10) определение
28.3.1 означает, что F > 0 на компактном подмножестве в М,
на котором ур = ^"(х0), N = ty'(x0), x = x0. Следовательно,
F>0 и в некоторой окрестности, откуда вытекает устойчивость
строгой псевдовыпуклости:
Предложение 28.3.2. Предположим, что поверхность уровня
функции -ф, проходящая через х0, строго псевдовыпукла в точке
х^ относительно оператора Р. Тогда при некотором е>0 « не-
некоторой окрестности U точки х0 для любой функции фЕС2([/),
28.3. Единственность при условиях выпуклости 305
для которой |Da(qp — ф) | < е в U при |а|^2, поверхности
уровня функции ф строго псевдовыпуклы в каждой точке из U.
Покажем теперь, что строгая псевдовыпуклость не очень
сильно отличается от условий теоремы 28.2.3.
Предложение 28.3.3. Пусть Р — оператор, нормальный в глав-
главном в открытом множестве X cz Rny и предположим, что поверх-
поверхности уровня функции ур^С°°(Х, R) строго псевдовыпуклы в
каждой точке из X. ЕслиУ <Ш X и К, К — большие положитель-
положительные константы, то условие B8.2.6) выполняется для функции
<р = gM> при jcgF.
Доказательство. Скобка Пуассона, входящая в B8.2.6), в раз-
развернутом виде выражается формулой B8.2.3), где
X (д\/дх, dxk) р<» р<*> = ЛФ (? (дЦ/дх,- dxk) p^pw + X | (р{, ц>') f).
Следовательно, поскольку ф' = А,фг|/, условие B8.2.6) эквива-
эквивалентно неравенству
B8.3.4) т (| Б |2 + хТ
+ Im Z a/) (x, I + ix
возможно, с другой константой.
Из условия B8.3.2) вытекает, что при некоторых с > 0 и С
|2m~2 < ? ((Э2#Э* 0х) р(/> (х Б) р<*) (х, Б)
+ Re Z (Р(х, Б), Р<*>(^, 6
+ С|<р^(дс, Б), Ф')||БГ~\ ^Г, ^^R".
Действительно, можно так выбрать ^ > 0, чтобы эта оценка вы-
выполнялась, когда |Б|=1 и два последних члена равны нулю.
Тогда эта оценка будет справедлива и в некоторой окрестности
при некотором меньшем с, и, следовательно, С можно выбрать
так, чтобы эта оценка выполнялась всюду. Если т<С|?|, то в
любом из указанных членов можно заменить Б на ?-Ьт|/(л:),
поскольку возникающая при этом погрешность есть О(т|?|2т~3),
и ее можно погасить, скажем, за счет половины левой части.
Следовательно, при ^еУи малых т/|Б| мы получаем, исполь-
используя B8.2.9), что
с (| Б I2 + гТ~1 < S (д2фх, dxk) р(/) (х, I + /тг|/) р<*> (х, I - ixtf)
+ Im Z P(/) (x, I + /тг|)О рИ) {ху I - т|/)/т +С(\р(хЛ + /тф') |/т
306 28. Единственность решения задачи Коши
Последние два члена можно оценить через
\p(x,l + irV) \2/r + X | (р{ (*, g + т|/), г|/> |
2
Отсюда получается оценка B8.3.4) при достаточно больших
X и т и, скажем, т/|?|<б.
Предположим теперь, что |?|^1бт при некотором фиксиро-
фиксированном б > 0. Тогда оценка B8.3.4) выполняется даже при
X = о и без первого члена в правой части в некоторой кониче-
конической окрестности точки (х, |, т), если
Р(х, 1 + пЪ'(х)) = (р'г(хЛ + пЪ'(х))9 !>'(*)> = 0.
При достаточно больших X она, очевидно, выполняется на беско-
бесконечности в некоторой конической окрестности любой другой
точки с хфО. Доказательство завершено.
Теперь мы подготовлены к доказательству главной теоремы
этого параграфа.
Теорема 28.3.4. Пусть Р — нормальный в главном дифференци-
дифференциальный оператор порядка m в открытом множестве X cz Rn, все
коэффициенты которого <= LbC (X), с С°°-главным символом р.
Пусть i|)gC2(I, R), г|/(*о)=й=О, и пусть поверхность уровня
функции г|) строго псевдовыпукла в точке хо <= У. Тогда суще-
существует такая открытая окрестность Y а X точки хо, что если
и «=#{?-!> (У), Ри = 0 в Y и и = 0 в {x(=Y; ф(*)> ф(*0)}, то
и = 0 в У.
Доказательство. Можно считать, что хо = 0 и что \|)@) = 0. Если
е > 0, то по формуле Тейлора
Фв() Е
|а|<2
где ХешХ — некоторая окрестность точки 0. По предложению
28.3.2 можно выбрать бй1е настолько малыми, чтобы поверх-
поверхности уровня функции г|)8 были_строго псевдовыпуклыми в неко-
некоторой окрестности множества Хъ. Возьмем б > 0 настолько ма-
малым, чтобы \|)е (л:) ^ ур (х) — б при х^дХеу и положим
Тогда tye(x) ^ \р(х) ^ 0 в yflsuppw, и множество
B8.3.5) вирриП{*е=У; ^Ах)>-*}
является компактным при t < б, так как на этом множестве
28.4. Операторы второго порядка 307
и, следовательно, ty(x)i—г|)е(#)^^<6, так что его замыкание
не может содержать точек из дХв в силу определения б.
Согласно предложению 28.3.3 и теореме .28.2.3, при доста-
достаточно больших положительных К для функции ф = е№г выполня-
выполняется карлемановская оценка
B8.3.6)
|a|<m
По лемме Фридрихса оценка B8.3.6) остается справедливой
также в случае, когда v e //(С?™ЧH0 и Pv^L2. Если и удовле-
удовлетворяет условиям теоремы, то мы можем применить B8.3.6) к
v = %uy где функция %^C™(Y) равна 1 на множестве B8.3.5).
Тогда, как в доказательстве теоремы 17.2.1, мы сразу получаем
при т->-оо, что « = 0 в У при \ре(х)>—t. Доказательство за-
завершено.
Условие строгой псевдовыпуклости выполняется для всех
функций г|э, для которых ty'(xo) = Ny тогда и только тогда, когда
р(хо, JV)=^O и уравнение р(х0, ?-|-t^V) = O имеет только про-
простые корни т при l^T*Xo\RN. Таким образом, теорема 28.3.4
включает в себя теорему 28.1.1, но не покрывает ее уточнение
в теореме 28.1.8, основанное на более слабых карлемановских
оценках.
28.4. Операторы второго порядка
вещественного главного типа
В этом частном случае условие строгой псевдовыпуклости из
определения 28.3.1 допускает очень простую геометрическую ин-
интерпретацию. А именно, если поверхность уровня функции ур
в точке хо не является характеристической, то все невеществен-
невещественные нули т многочлена т«—>р(#, | + *тг|/(я)) являются просты-
простыми, поскольку они встречаются только комплексно сопряженны-
сопряженными парами, и, следовательно, условие B8.3.3) выполняется три-
тривиальным образом. Условие B8.3.2) принимает вид
Я2р*(*о'*)>О, если р(% Б) = яр*(д:0,Б) = 0.
Это означает, что ограничение г|э на бихарактеристическую кри-
кривую является строго выпуклой функцией в точке хОу если кри-
кривая касается в ней поверхности уровня функции г|э. Следствие
13.6.7 показывает, что условие выпуклости является вполне есте-
естественным и что единственность может нарушаться, если на не-
некоторой бихарактеристической кривой имеет место вогнутость.
308 28. Единственность решения задачи Коши
Из условия выпуклости вытекает, в частности, что я|э(л:)>
ур(хо) при хфх0 в некоторой окрестности точки х0 на бихарак-
теристической кривой. Для характеристической аналитиче-
аналитической задачи Коши из теоремы 8.5.9 вытекал результат о един-
единственности в случае, когда только это более слабое условие
выполняется на бихарактеристиках, проходящих через характе-
характеристические конормальные векторы. Цель данного параграфа —
доказать аналогичный, хотя и более слабый результат в неха-
нехарактеристическом С°°-случае.
Пусть Р — дифференциальный оператор второго порядка,
определенный в некоторой окрестности точки OeR", с вещест-
вещественным С°°-главным символом р главного типа в следующем
строгом смысле:
B8.4.1) р'г{0,1)Ф0 при ?€=R"\0.
Согласно следствию С.5.3, можно выбрать локальные коорди-
координаты, в которых
B8.4.2) р (х, 1) = Щ-г (х, Г), Г = (?2 1„),
и плоскость х\=0 совпадает с произвольной заданной неха-
нехарактеристической поверхностью. Тогда условие B8.4.1) озна-
означает, что
B8.4.1)' <Эг(О, 1')/д1'ф0 при Ге^'Чо.
Главная аналитическая задача состоит в доказательстве сле-
следующей карлемановской оценки. Обозначим
X={xs=Rn; -1/2 <*!<(), |*'|<1},
и пусть ф (х) = х{ + x2j2, как и в § 28.1.
Предложение 28.4.1. Пусть г(х, ?')—вещественная квадратич-
квадратичная форма от %' е R"-1 с С°°-коэффициентами, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию B8.4.1 )л и условию
B8.4.3) дг (*, ?)/дхх > 0, если хе=гХ и r(x, l') = 0,
при некотором г > 0. Тогда при достаточно малых г
B8.4.4) Ц т31 и |2 + т | Dxu |2 + J] | Dtu |2 J
< С \ | (D2 - г («, D')) и |2 в2хф dx, и е Со°° (X).
Доказательство. Полагая v = uexv, мы видим, что B8.4.4) вы-
вытекает из
<28.4.5) т31| v ||2 +.Т21| D,o ||2 + Е || D,v |р < С || Рто ||2, v е Со°°
28.4. Операторы второго порядка 309*
где Р = (D{-{- шр'J — г (ел:, D'). Для сокращения записи обозна-
обозначим Т = D{ + rcq/ и R = г(еху Dr). Поскольку имеют место ком-
коммутационные соотношения
[Г, Т] = 2т, [Г2, Г2] = 4т (ГГ + ТГ)
(см. доказательство предложения 28.1.4), то
B8.4.6) [р;, рх] = [Г2 - я\ т2 - /?]
= 4т (ГГ + ТГ) + [R\ R] - [Г2, Я] - [#*, Г2].
Здесь [/?*, У?] = [Я* — /?, R]— оператор второго порядка с ко-
коэффициентами О(е), а
[Г2, ЯГ] - [Г2, /?] = [Г2, /?*-«] + [4iVA, Л],
поскольку
Г2 - Г2 = (Т - Г) (Т + Г) + [Г, Т] = 4*тср'А + 2т.
Очевидно, что
[Г2, /?• - /?] = Г [Dlf /?*-/?] + [Dlf R* - R] Г,
поскольку [Г, R* — R] = [DU R* — R]; последний коммутатор»
есть оператор первого порядка с коэффициентами О(е2). Сле-
Следовательно,
B8.4.7) | P*xv f + 4 Re т (q>VA) (ex, Dr) и, у) + 4т (|| Tv ||2 + || T*v ||2)
< II Pxv ||2 + С (е || v ||20> 1} + е31| Tv ||2 + е31| Tv ||2).
Главная трудность заключается в том, чтобы получить оцен-
оценку снизу для входящего сюда скалярного произведения, исполь-
используя B8.4.3). Однако сначала для этого посмотрим, какие вели-
величины можно оценить сверху через нормы от P%vy P*%vt Tv и Г*а„
Во-первых, отметим, что поскольку (Т — T*)v = 2ix<$'v и q/ ^
1/2 на X, то
B8.4.8) т || о || < || Го ||+ || Го ||.
Из полученного выше выражения для Т2 — Г*2 вытекает, что
Pzv - P*%v = D/тср'А + 2т) v + (ЯГ - R) v7
и поскольку R* — R есть оператор первого порядка с коэффи-
коэффициентами О(е), то, следовательно,
B8.4.9) 2т || До || < | PTi> | + [ P\v || + 2т || v \\ + Се || v ||@> 1Г
С другой стороны,
Рх + Р\ = Щ - 2тУ2 - (Я + Я*),
310 28. Единственность решения задачи Коши
откуда
{28.4.10) 2\\D>v-Rv\\<:\\Pxv\\ + \\P*xv\\ {0fly
Если условие B8.4.3) выполняется в 28Х, то для некоторого
символа аеС°°(Р№Х(Кы\0)), однородного порядка 0 по вто-
второй переменной,
<28.4.11) дг (х, 1'Iдх{ - а (х, Г) г (х, Г) > 0, * ^ ЬХ.
Действительно, в некоторой окрестности нуля (я0, ?>'о) функции
г, в которой, скажем, дг/д1пФ0, уравнение г = 0 задает |Л как
функцию вида g* = f(*, g"), где g" = (g2, .••> 6*-i). В этой
окрестности символ
а(*. Г) = (гA)(дс, l')-r{l)(x, Г, /(^, Г)))/г(д:, Г)
является С°°-функцией и
rA)(jc, Г)-а(х, Г)г(*, Г) = гA) (jc, Г, /(^, П)>0.
Там, где г=^=0, мы можем положить а = Г(\)/г. Сшивая вместе
эти локальные конструкции при помощи разбиения единицы на
R^XS"--2, мы получаем символ а с требуемыми свойствами,
равный нулю при больших |л:|. Возьмем символ А^С°°, рав-
равный а при ||'|^ 1, и выберем функцию %^Со* (Rn~l), равную
1 при \х'\ < 1 и равную 0 при \х'\ > 2. Если 2е < б, то
а(х>A)(ех, П>х(*'М(ех, Г)г(ех, Г)
при ^(-ij), 1П>1.
Вещественная часть символа Вейля оператора гц)(ех, D')%
(соотв. Л (ел:, D/)r(ex, D')%) равна левой части этого неравен-
неравенства (соотв. правой части) с точностью до оператора порядка 0
с коэффициентами О(е). Поэтому из точного неравенства Гор-
динга (теорема 18.1.14) вытекает, что
Re(rA)(ex, D')v, v)^Re(A(ex, D')Rv, о)-С||о||||о||@§1).
(Отметим, что \\v\\2{0 1/2) ^ || v \\ || v ||@ 1}.) Поскольку А имеет по-
порядок 0, то
](А(ех, D')B[v, о)|<|(Л(ех, IY)Dxv, Dxv)\
+ \([А(гх, D% Dx]Dxv, v) |<C(|| До ||2 + || v ||2).
Поэтому, используя B8.4.10) и B8.4.7), мы получаем, что при
больших т
+ (|| ?J | + I P*xv I + 2x2II v || + Ce II v ||(Of 1}) t || c; |
28.4. Операторы второго порядка 311
|2 + ЦГу||2) в силу B8.4.8), a \\D{v\l
можно оценить при помощи B8.4.9), то при малых е
B8.4.12) |P\v f + 2т (|| Tv ||2 + II Го ||2) < 21|Pxv f + Ce\\v \\^ l)u
Наконец, получим оценку для ||а||(о, о при помощи обычных
соображений, связанных с интегралом энергии. Для этого по-
положим Q = —Xj-г^'Цех, Dr) при некотором / = 2, ..., п и обра-
образуем
((Рхо, QTv)-(Qv, p;v))/i = ([Q, Px]v, v)/i.
Поскольку
[Q, T2] = [Q, T]T + T[Q, T] = [Q, DX]T + T[Q, D,],
TO
I([Q, T2]v, v)\^(
Наконец, главный символ коммутатора [Q, —R]/i равен
ги){гХу iy-Xj{rU)(uc9 Г), г(ех, Г)}.
Здесь второй член — квадратичная форма от ?' с коэффициен-
коэффициентами О(е). Однако из B8.4.1)' вытекает, что при малых е
Поэтому, учитывая полученный выше результат для / =
2, ..., /г, мы получаем, что
|| v ||20> {) < С ((| Pxv || +1| P\v I + II Tv || + II Vv ||) || v ||(Oi 1} + e || v |
Отсюда при малых е вытекает оценка
B8.4.13) ||o||@i
||20>
Если подставить эту оценку в правую часть B8.4.12), то мы
получаем, что при малых е
1 Pmxv ||2 + 2т (|| Tv ||2 + II Го ||2) < 31| Pxv |f.
Таким образом, из B8.4.13) вытекает оценка вида B8.4.5) для
1М1(о,п; Для ||о|| эта же оценка получается из B8.4.8), а тогда
из B8.4.9) получается также оценка для ||?>ia||. Доказатель-
Доказательство завершено.
Комбинируя теперь оценку B8.4.4) с окончанием доказатель-
доказательства теоремы 28.1.8, можно доказать следующую теорему един-
единственности: Если Ри = 0 в некоторой окрестности точки 0, глав-
главный символ оператора Р равен р и все коэффициенты оператора
Р ограничены, то и = 0 в некоторой окрестности точки 0, когда
{л: е гХ П supp u\ X\ ^ 0} является компактным подмножеством
в 5 = {л:; Х\=0}. Для того чтобы придать этому результату
312 28. Единственность решения задачи Коши
инвариантный вид, необходимо глубже проанализировать усло-
условие B8.4.3). Поскольку
{Р> *i} = 26i, {p, {p, xl}} = 2dr/dxl,
то это условие состоит в том, что в гХ
<28.4.14) Я2х,>0, если р = Нрхх = 0.
Недостаток этого условия состоит в том, что оно зависит не
только от ориентированной поверхности S, но также и от функ-
функции х\, выбранной для ее представления. Действительно, функ-
функция ц)(х) = у\)(х)х1 задает ту же самую ориентированную поверх-
поверхность, если ф > 0, и
ЯрФ = ^Нрхх + ххНрЪ Я2рФ = ^Щх, + 2 (Ярф) Нрхх +
так что из B8.4.14) вытекает
B8.4.15) Я^ф>0, если р = ф = #рф = о.
Обратно, из B8.4.15) вытекает B8.4.14) при х{=0. Можно вос-
воспользоваться отсутствием инвариантности B8.4.14) вне 5:
Лемма 28.4.2. Пусть символ р удовлетворяет условиям B8.4.1),
B8.4.2), и пусть для некоторого е > О
<28.4.16) дг(х, E')/d*i>0, если х<=гХ, хх = 0 и г(х,1') = 0.
Положим у(х) = х\A—Л!^!2). Тогда для достаточно больших
А при малых б > О
<28.4.17) Я2ф(л:, Б)>0, если х е= 6Х, ф(а:)<0 и
Доказательство. Положим ^(а:/)= 1 —Л^'!2. Тогда условие
{Р. Ф) = {Щ - г, Цхх) = 2Б^ - хх (г, ф} = О
означает, что
<28.4.18) Ei = *i Z г«Ч*, 1'
2
Простые вычисления дают
{р, {р, ф}} = {Щ - г, 2|,г|) - х, {г,
= 2гA)г|> - 4|, {г, -ф} + хх ({г, {г, -ф}} - 2%х {г(„, -ф}).
Из условия B8.4.16) по формуле Тейлора вытекает ввиду
{28.4.1)', что
гA) (х. Г) > С (ж, | Г|2 -1 г (ж, Г) I), * е 6Х,
28.4. Операторы второго порядка
при достаточно малых б. Если р = {/?, ф} = 0, то, используя
B8.4.18), мы получаем, что
гк(х, Г) = Щ < (СЛ | Г1А | х' | J < - хх | Г |2,
ГA)(х, Г)>2СХ,|Г|2 При JCG6I.
Кроме того,
41{ } 2{
откуда вытекает, что
{/>, (Р. Ф» > *i DС | ГР + {г, {г,! а|>}} - 2|, {гA), г|>}).
Опять при б < бл из B8.4.1)' вытекает, что
{г, {г, *}} = -2A(ZrV)(x, ГJ+ Цх,{г,
Из B8.4.18) мы видим, что при малых б
Следовательно,
(р, (р, Ф}} (х, 6) > -^ (ЛС^ - АС) | Г |2,
если р (х, |) = {р, ф} (х, 6) = 0 и х е 6Х Поэтому при Л С2 > 8С
мы получаем B8.4.17). Доказательство закончено.
Можно выбрать новые локальные координаты у, в которых
ф(*) = #1 и Р(х» ^приводится к виду с{г^ — г (у, т|/)). Для этого
нужно просто проинтегрировать векторное поле t, заданное урав-
уравнением
Р(х; l,4>'(*))
гдер(х; •, •) — поляризованная форма, соответствующая р(х, •)>
Если взять у2, ..., уп постоянными на его орбитах и р — глав-
главный символ в новых координатах, то
р(У> Ч> е\) = 0 при iil = 0,
т. е. р имеет указанный вид. (Эти рассуждения, очевидно, яв-
являются альтернативным доказательством леммы С.5.3.) Теперь
из предложения 28.4.1 и леммы 28.4.2 вытекает
Теорема 28.4.3. Пусть Р — дифференциальный оператор второго
порядка в открытом множестве X cz Rn с вещественным С°°-глав-
ным символом р и все коэффициенты оператора Р принадлежат
L?c(X). Пусть хое1, фе=С°°(Х, R), р(х0, г|/(хо))=^О, и пусть
B8.4.19) #2г|; (х, I) > 0, если х е= X, ф (х) = $ (х0),
р{х, 1) = НрЪ(х,1) = 0.
Тогда если Y — достаточно малая окрестность точки xq и функ-
функция и е н{°) (У) удовлетворяет уравнению Ри = 0, то и = 0 &
314 28. Единственность решения задачи Коши
некоторой окрестности точки х0, при условии что
на supp и и множество
{х е Y П supp щ ф (х) = ф (х0)}
является компактом.
По поводу геометрического смысла условия B8.4.19) см.
•определения дифрактивных и скользящих точек, введенные в
§ 24.3.
Примечания
В примечаниях к гл. 17 мы упоминали о более ранних исследо-
исследованиях по единственности решения задачи Коши, включая фун-
фундаментальную работу Кальдерона (Calderon [1]), где была
установлена теорема 28.1.1. То, что можно рассматривать двой-
двойные комплексные характеристические корни, было открыто Пе-
дерсоном (Pederson [1]) и Мидзохатой (Mizohata [1]) (см.
также Hormander [8]), которые рассматривали произведения
эллиптических множителей с простыми комплексными корнями.
Через несколько лет Кальдерон (Calderon [2]) (как и ранее
Педерсон (Pederson [1])) рассмотрел двойные комплексные
корни постоянной кратности, и это же ограничение сохранилось
в работе Ниренберга (Nirenberg [5]), который доказал часть
предложения 28.1.6, соответствующую условию B8.1.29). В даль-
дальнейших публикациях условия на двойные комплексные корни
последовательно ослаблялись. Педерсон (Pederson [2]) доказал
единственность для эллиптических операторов в случае, когда
двойные комплексные корни локально являются С!-функциями.
При доказательстве предложения 28.1.4 мы воспользовались
оценками Феффермана — Фонга. Условия этого предложения
геометрически более естественны (см B8.1.36)) и не требуют
возможности даже локального различения корней. Для случая
почти вещественных характеристик предложение 28.1.6 дает
другое усовершенствование, основанное на неравенстве Феффер-
Феффермана— Фонга. Этот же аппарат используется в § 28.2 для уточ-
уточнения результатов гл. 8 из книги — предшественницы данной
монографии.
Там оператор с главным символом р назывался нормальным
в главном, если скобка Пуассона {/?, р) содержалась в идеале,
порожденном символами р и р над полиномами от |. Лернер
(Lerner [1]) показал, что вместо этого можно использовать коль-
кольцо С°°-символов. Первоначальной причиной появления такого ус-
условия было то, что 20 лет назад такая сильная форма условия
(Р) требовалась при доказательстве локальной разрешимости.
Уже приведенное в работе Hormander [17] доказательство точ-
Примечания 315
ного неравенства Гординга позволяло доказать локальную раз-
разрешимость в случае локально ограниченного частного | {р, р}/р\.
Здесь мы используем это условие для расширения класса нор-
нормальных в главном операторов. За исключением этого усовер-
усовершенствования, все результаты § 28.2 и 28.3 были доказаны еще
в предшественнице данной монографии с несколько более сла-
слабыми требованиями гладкости, поскольку там использовалась
техника, развитая в § 17.2 настоящей монографии. Не ясно, на-
насколько гладкими должны быть коэффициенты для справедли-
справедливости доказанных в § 28.3 теорем. Кроме того, неизвестно точно,,
насколько в этих результатах нужно усилить условие (Р); по-
видимому, это связано с открытым вопросом о достаточности
условия (*?).
Более точные результаты о единственности для операторов
второго порядка вещественного главного типа, изложенные в
§ 28.4, в основном принадлежат Лернеру и Роббиано (Lerner,
Robbiano [1]). Дальнейшие ссылки и теоремы неединственности,
показывающие важность наложенных условий, читатель найдет
у Алинака (Alinhac [3]), Зуили (Zuily [1]), а также в работах,
на которые мы ссылались в аналогичном контексте в гл. 13.
29
Спектральные асимптотики
Краткое содержание главы
Эта глава посвящена асимптотическим свойствам собственных
значений и спектральной функции самосопряженных эллиптиче-
эллиптических операторов. В § 29.1 и 29.2 изучаются операторы на ком-
компактном многообразии без края. Если Р — положительный опе-
оператор порядка т, то Рх/т является псевдодифференциальным
оператором, собственная функция которого, соответствующая
собственному значению А,, является также собственной функ-
функцией для Р, соответствующей Хт. Поэтому мы обобщим задачу,
если будем рассматривать псевдодифференциальные операторы
первого порядка. Это на самом деле упрощение как с геометри-
геометрической, так и с аналитической точки зрения. Действительно, как
подчеркивалось в гл. 26, гамильтонов поток, определяемый глав-
главным символом, в случае оператора первого порядка является
потоком на расслоении единичных косфер. Кроме того, когда
порядок оператора Р равен единице, соответствующая унитар-
унитарная группа t\—*e~itp является разрешающим оператором ги-
гиперболического уравнения (Dt-\-P)u = 0. Эта группа изучалась
в § 23.1 при помощи энергетических оценок. Здесь мы будем
рассматривать операторы этой группы как интегральные опера-
операторы Фурье, которые мы уже изучали в гл. 26. Это прекрасно
заменяет конструкцию Адамара, использованную в § 17.5, и
позволяет определить особенности ядра оператора e~itp при
всех t. В результате мы не только получаем аналог асимптоти-
асимптотических формул, доказанных там для операторов второго по-
порядка, но и улучшенную формулу со вторым членом, если мно-
множество замкнутых орбит гамильтонова поля имеет меру 0.
В § 29.3 мы получим аналогичное уточнение для задачи Ди-
Дирихле для эллиптического оператора второго порядка на много-
многообразии с краем.
В § 29.2 исследуется противоположный случай, когда все би-
бихарактеристики замкнуты и имеют один и тот же период П.
Тогда собственные значения стремятся собраться в кластеры
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 317
вблизи арифметической прогрессии, имеющей разность 2я/П и
определяемой классом Маслова, и их размазывание опреде-
определяется субглавным символом. Эти результаты проливают свет
на пример, разобранный в § 17.5, где мы пользовались сфери-
сферическими гармониками при изучении оператора Лапласа на еди-
единичной сфере.
29.1. Спектральная мера
и преобразование Фурье
В соответствии с только что сказанным мы начнем с изучения
псевдодифференциального оператора первого порядка Р на ком-
компактном связном С°°-многообразии X без края. Точнее, мы пред-
предположим, что P^W^X; Q1/2, fi1/2), где fi1/2 — расслоение полу-
полуплотностей, и Р симметричен:
<29.1.1) (Ри, v) = (и, Pv), и, vs=C°° (X\ й1/2).
Будет удобно также считать, что символ оператора Р полиодно-
полиоднороден. Отметим, что для полуплотностей корректно определено
скалярное произведение в смысле L2, поскольку произведение
полуплотностей является плотностью. Если, как в § 17.5, у нас
имеется некоторый оператор QeY1^) в пространстве скаляр-
скалярных функций и положительная плотность р, причем Q симметри-
симметричен относительно соответствующего скалярного произведения,
то формула
Ри = pi/2Q(ap-i/2)f «еГ (X, Q1'2),
•определяет оператор Р^ХР{(Х; Ql/2, Q1/2), удовлетворяющий
B9.1.1), имеющий те же собственные значения, что и Q, а его
собственные функции получаются из собственных функций опе-
оператора Q умножением на р1/2. Таким образом, ситуация, разоб-
разобранная в § 17.5, включается в нашу теперешнюю схему.
Предположим теперь, что Р эллиптический, и пусть & — опе-
оператор в L2(X, ?21/2), полученный ограничением Р на те ue
L2(X, О1/2), для которых Pu^L2(X, Q1/2). Это самосопряженный
оператор. Действительно, в силу теоремы 18.1.29 любая функция
и из этой области определения принадлежит #(d, а С°° плотно
в ЯA). Поэтому тождество B9.1.1) распространяется по непре-
непрерывности на все и, v из области определения оператора 9*.
С другой стороны, тождество B9.1.1) остается справедливым
для v е 2)' и, следовательно, сопряженный оператор к Ф содер-
содержится в ^, что и доказывает утверждение.
Мы будем всегда предполагать, что размерность п не меньше
двух, и поэтому из эллиптичности вытекает, что главный символ
р(х, I) имеет определенный знак при (х, ?)<= Г*(Х)\0, скажем,
318 29. Спектральные асимптотики
положителен. Пусть ||-||(s) — гильбертова норма, задающая то-
топологию в H{S)(X, й1/2). Тогда
B9.1.2) ||и||21/2)<Сх(Ри, и) + С2\\и||2, и €= Я>„
так как если оператор Qe4rl/2(X; й1/2, й1/2) имеет главный
символ р1/2, то оператор Q*Q — Р имеет порядок 0 и
II и ||2,2) < С{ (|| Qu ||2 + || и ||2) < С, (Ра, а) + С21| а ||2.
Следовательно, оператор 3> имеет дискретный спектр (ср.
§ 17.5). Пусть Xi ^ %2 ^ ••• — его собственные значения, а
Фь ф2> ••• — соответствующие собственные функции. Спектраль-
Спектральную функцию определим как ядро спектрального проектора ?\:
е(х, у,к)=
Из доказательства теоремы 17.5.3 видно, что для любого диф-
дифференциального оператора Q порядка |ы в С°°(ХХ^ й1/2)
B9.1.3) |Qe(-, ., X)|<CQr+l\
Нужно просто заметить, что если u — Eyii, то
и применить лемму 17.5.2 для простого случая многообразия без
края. Следовательно, если
\, х, Я)
— функция распределения собственных значений, то N(X) =
О(Хп). Наша цель заключается в уточнении этого результата.
В § 17.5 мы изучали косинус-преобразование спектральной
функции, в которой произведена замена X на Я2, пользуясь тем,
что оно удовлетворяет волновому уравнению. Здесь мы рас-
рассмотрим просто преобразование Фурье от спектральной меры
т. е. унитарную группу, порожденную оператором &у и восполь-
воспользуемся тем, что оно удовлетворяет уравнению (Dt + Р)ё = 0.
Отметим, что E(t) определяет сильно непрерывное семейства
ограниченных операторов в #(S> при любом s, так как 9>~s яв-
является изоморфизмом L2 на #(s) и ^SE (t) 9>~s = Ё (t) при s ^ 0.
В силу B9.1.3) и положительности dE^ ядро е(х,у,1) опера-
оператора Ех является равномерно умеренной мерой, и его преобра-
преобразование Фурье—непрерывная функция от (х, у) со значениями
0'(IR)®Q^2 .Следующее описание особенностей соответствую-
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 319
щего обобщенного ядра e=S)'(RX*X*; Ql/2(XXX)) отобра-
отображения
С°° (X; Q1'2 (X)) 3^?(/)/eC°°(RXI; Q1/2 (X))
является глобальным аналогом теоремы 17.5.5 (см. также тео-
теорему 26.1.14).
Теорема 29.1.1. Ядро оператора ё принадлежит /~1/4(R
С; Й(ХХ^I/2), где С — каноническое отношение
B9 Л А) С={(/, х, у; т, ?, Ч); г + р(хУ1) = 0 и
(у9 г])}.
Последнее условие означает, что траектория поля Нр, выходя-
выходящая из (уу г\) при / = 0, проходит через (х, ?) в момент вре-
времени t.
Доказательство. Поскольку С является бихарактеристическим
•отношением, соответствующим символу х-\-р(х, |), определен-
определенным в P(RX^) при фиксированной второй компоненте из R,
равной 0, то С является каноническим отношением согласно
предложению 26.1.13. Оно совпадает с образом множества
{(О, х, х\ —р(х, ?), |, I)} под действием потока гамильтонова
поля символа т-\-р(х, |), поднятого на Г(КХ^Х^) при по-
помощи проекции, убивающей второй множитель X. Ввиду одно-
однородности отображение %t{x9 Q = exp(tHp) (x, g) является одно-
однородным симплектическим отображением, определенным на
Т*(Х)\0 при малых t (см. F.4.12)). Мы можем продолжить %t
на все t при помощи группового свойства, в силу которого %t =
-%t/№ ... °%t/N при сколь угодно большом числе множителей
N. Для (х, i) = %t(y, г)) мы имеем |5|^вс^|т]| при некотором
с в нормах, соответствующих некоторой римановой метрике, от-
откуда вытекает замкнутость С в P(RX^X^)\0; лагранже-
вость немедленно вытекает из того, что %t — каноническое пре-
преобразование при каждом t и вектор d/dt + Нр ортогонален к ка-
касательной плоскости, поскольку т-\-р(х, g) = 0 на С.
Если Ut=I~m(RXXXX, С; Q(XXX)m) и /^-вложение
ХХХ=э(х, y)*->(t, х, y)s=RXXXXy то
rtUe=P(XXX9 C't; Q(IX^I/2),
где Ct — график отображения %t. Это вытекает из теоремы 25.2.2
и того факта, что ядро 8(s — t)8(x — х'N(у — у'), где (х, у, s,
х\ у')<=ХХХХ RX^X^, является конормальным распреде-
распределением из Z1/4 относительно поверхности коразмерности 2п+1
в Dя+ 1)-мерном пространстве IX^X RX^X^, задавае-
задаваемой соотношениями s = t, х = х'9 у = у'. (Отметим, что 4^+1 —
12Bп-\- 1) = —1.) В частности, i*Jj является псевдодифференци-
320 29. Спектральные асимптотики
альным оператором и его главный символ определяет главный
символ U при / = 0.
Далее, из теоремы 25.2.4 вытекает, что главный символ рас-
распределения i(Dt + Px)U(t, xy у) получается применением опе-
оператора 3?Hx+p + i>ps к главному символу распределения U. Это
было бы очевидно, если бы Рх был псевдодифференциальным
оператором в произведении RX^XX Для доказательства в
общем случае заметим, что в силу теорем 18.1.35 и 18.1.36 для
любого б > 0 существует разложение Р = Р\ + Рг, где Pi —
псевдодифференциальный оператор в R X Xи
(t,x, т, Б; /',*', т', l')c
Из теоремы 8.2.14 вытекает, что Р20 U е С°°, если только б до-
достаточно мало, и Pi о U можно вычислить, используя теорему
25.2.4.
Решая уравнение переноса (<2?я^+« + ips)a = 0 в Ct, можно
определить главный символ а распределения ?/o^/~1/4(RX^X^>
С) так, чтобы главный символ распределения i*U равнялся 1 и
(Dt + Рх) Uo = Л е /~5/4 (R X А" X X, С),
Определим далее (/iG/^f'R X^X^, Сг) так, чтобы главные
символы распределений (Dt-\- PX){U\ и F\ совпадали, а главный
символ t*Ux равнялся главному символу ядра единичного опера-
оператора минус i*0U0. Продолжая таким образом и определяя
U~ YuUh мы получаем [/еН4(КХ^Х^, С'; О(*Х*)|/2Ь
для которого
B9.1.5) (Dt + Рх) U = R ее С00 (R X X X X; Q (X X *И.
Можно считать, что i*U является ядром единичного оператора,
поскольку их разность принадлежит С°° по построению и может
быть продолжена до С°°-функции.
Оператор E{t) является точным решением задачи Коши
= 0, E@) =
Равенство B9.1.5)-означает, что для /
где U(s) — оператор с ядром /*f/, и аналогично для /?. Кроме
того, U(O)f = f. Умножим на B(t — s) и проинтегрируем от 0
до 5, используя равенство
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 321
Гогда, учитывая, что PE(t — s) = Е (I — s)P> мы получаем
t
= i\E{t-s)R(s)fds.
Здесь правая часть определяет непрерывное отображение из SD'
в С°°, поскольку Ё непрерывно действует из С°° в С°°. Следова-
Следовательно, ?/(•) — Ё(-) имеет С°°-ядро (теорема 5.2.6), что и завер-
завершает доказательство.
Из приведенного доказательства видно, что каждая точка из
С является нехарактеристической для U. Следовательно, мы,
в частности, доказали, что
B9.1.6) WFf{E) = C.
(Включение WF'(E)cz С вытекает в основном из теоремы 23.1.4.)
В качественном отношении этот результат вполне удовлетво-
удовлетворителен и пригодится нам в дальнейшем. Однако нам нужно
также провести некоторые более конкретные вычисления, кото-
которые дадут нам два первых члена, подобные соответствующим
членам из теоремы 17.5.5. Для этого нам на самом деле при-
придется привести другой вывод теоремы 29.1.1 при малых /; тогда
глобальный по t результат немедленно вытекает из группового
свойства E(t + s) = E(t)E(s)H теоремы 25.2.3.
Поскольку переменная х, двойственная к t, нигде на С не
обращается в нуль, то Ё ввиду B9.1.6) имеет ограничение на
любой слой расслоения R Х^Х^ над ХУ^Х к это ограничение
принадлежит ?D'(R, Q(XXX)lJ2y). Это ограничение принадлежит
С°° в точке t, если никакая орбита поля Нр не проходит от
Т*Х{Х) \ 0 до Т*у(Х) \ 0 за время t. В частности, это ограничение
гладкое в некоторой проколотой окрестности точки OgR, если
х = у. Обозначим А = {(х, х); xgI}XX^
Предложение 29.1.2. Пусть оператор В е xF?hg (X; Q1/2, QI/2) имеет
главный символ Ь и субглавный символ bsf а оператор Р имеет
главный и субглавный символы р и ps. Тогда ограничение К
ядра оператора ё(-)В на RXA является конормальным рас-
распределением по отношению к {0} X А в некоторой окрестности
этого подмногообразия\ при малых \t\
K(t,y)= \(дА(у,
322 29. Спектральные асимптотики
где Ле5"(ДХК; Q(A)) и А (у, 0) = 0,
Л (г/, Х)-BлГп( <
д_
дХ
Здесь интегралы являются С°°-плотностями, однородными по-
порядка п по X, определенными так, что их скалярное произведе-
произведение с феС(Х) является интегралом от произведения с ф по
симплектической мере dydr\.
Доказательство. Можно считать, что ядро оператора В имеет
компактный носитель в КХ^, где Y — координатная окрест-
окрестность, которую мы отождествим с открытым множеством в Rn.
Тогда операторы Р и В можно представить в виде Р(х, D) и
В(х, D), где Р(х, l)~p(x, l) + Po(x, l) + P-Ax, D+ ••• и
В(х, t)~b(x, t)+b-{(x, l)+ ...,
Ps = P0 + ±iZ^ b* = b_l + iiZb<u-
Нам будет удобно проводить доказательство для В* вместо В;
поскольку символ Вейля оператора В равен fe + fesmodS~2, то
это влечет применение комплексного сопряжения к Ь и bs.
Проекция
С'еэ(/, х, у, х, g, tj)h->(/, х, tj)
является диффеоморфизмом в некоторой окрестности множества
{0} Х^ХК Следовательно, из теоремы 21.2.18 вытекает, что
С определяется фазовой функцией вида <(/, ц) — S(ty x, ц):
С = {(/, х, dS/дц, - dS/dt, - dS/dxy tj)}
где -ф(/, х, г)) = —S(/, х, —т]). Таким образом, каноническое от-
отношение задается фазовой функцией г|)(/, х, г])—<(/, т]>. По-
Поскольку т + р(х, ?) = 0 в С, то
B9.1.7) dq/dt + р (х, д^/дх) = 0.
Ограничение' С при / = 0 совпадает с диагональю, так что
d\|)@, х, T]) = d<x, т]> и, следовательно, г|)@, х, т]) = <а:, т]>, по-
поскольку г|) — однородная функция степени 1. Следовательно, а|)
является в точности решением задачи Коши для уравнения
B9.1.7) с начальным значением <х, т]>, так что мы могли бы
начать с решения этой задачи. При / = 0 в силу B9.1.7) мы
получаем, что ch|)/d?=—р(х, ц) и, следовательно,
=_ ^ p(k) {Х) 4)d2q/dXkdt==? pik){Xf r\)P{k){Xy Г]).
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 32&
Следовательно, для некоторой С°°-функции ji
•ф(*, У, Ч) — {У> Л> = — tv.(t, у, т|),
B9.1.8) ц@, у
d,|i @, у, т|) = — -i-(
и [л — однородная функция по ц степени 1.
При малых t9 как мы знаем, на любом компактном подмно-
подмножестве в УХ У ядро U оператора E(t) допускает представление
U(t9 х, у) = {2п)~п J *'<*('.*.4>-<y.n>)fl(f, х, r\)dr\9
где а е Sphg. (To, что а можно взять не зависящим от у, доказы-
доказывается точно так же, как в замечаниях, следующих за предло-
предложением 25.3.3, из которых это на самом деле вытекает при фик-
фиксированном t.) Подставляя / = 0, мы получаем, что а @, х, г))=1.
Уравнения (D^+1 + PDfy U = 0 при t = 0 дают рекуррентные
формулы для нахождения производных от а по t при / = 0; при
k = 0 мы получаем, что
-idta@, х, т])-р(х, т]) + Р(х, ч) = 0,
т. е. по модулю членов порядка ^—1
B9.1.9) - iда@, у, Л)/д/ = - ps(у, т,) + |(Е Р§(У, л).
Для v s Со°
t/ @ о (х) = BяГ" J е'*(/'х- % (/, х, л) 0 (г,) dn.
Заменим здесь v на Б*и. Рассматривая Б(л:, D) как композицию
вида р^" интегрального оператора |3 и преобразования Фурье У>
мы по формуле обращения Фурье получаем, что !FB* = Bл)п$*
и, следовательно,
U (/) В*у (х) = Bя)"п J J в1 <¦<'• *• ч)-<у. n»fl (/, jc, т)) В ((/, ц) v (у) йч\ dy.
Даже без интегрирования по у осцилляторный интеграл сущест-
существует и определяет распределение на R, поскольку d^/dt =
—р(д^/дх)Ф0 (см. § 7.8). В частности, ограничение K(t, у) из
данного предложения при малых t задается формулой
B9.1.10) K(U у) = BпТп\е-«МмЩи у, ц)В(у,
Для дальнейшего нам нужна
Лемма 29.1.3. Если f(t, yy ц) е= Sphg(Rrt+1 X Rn) обращается в
нуль при | т] | < 1 и при у у лежащих вне компактного подмно-
324 29. Спектральные асимптотики
жества в У, то
B9.1.11) F(t9y9 X)= [ /(/,</,
при малых ty а при t = О
B9.1.12) F =
Доказательство. Из B9.1.8) вытекает, что F(t, yy Х) = 0 при ма-
малых \Х\ и что \F(tf у> X) | ^ СХп. Записывая
F(t9 у, X)=J/(/, г/, п)Я(Я,-|х(/, у9 r\))dr\,
где Я — функция Хевисайда, мы получаем
dF/dt = (df/dty H(X — (i)> - (f d\i/dt9 Ь(Х — (i))..
При / = 0 второй член ввиду B9.1.8) и теоремы 6.1.5 принимает
вид
Т
в силу формулы Гаусса — Грина, что доказывает B9.1.12). При
произвольных малых t мы получаем, используя полярные коор-
координаты и записывая
что второй член равен
t9 у,
и, следовательно, принадлежит Sphg, поскольку /5^ принадле-
принадлежит Sphg. Любая производная D?, yF является суммой одного
слагаемого такого типа и члена
(Daf, Я(й,-|х)>,
очевидно, не превосходящего СаХп. Ясно, что
dF(t9 у, X)/dX = (f, 6(Я,-|х)>, (
и этот символ принадлежит Sphg1 в силу приведенных выше сооб-
соображений. Этим завершается доказательство того, что F e Sphg.
Окончание доказательства предложения 29.1.2. Возьмем функ-
функцию /Б Co°(R), равную 1 в некоторой окрестности точки 0, так
что B9.1.10) выполняется на suppx- Можно также считать, что
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 325
В (у, т)) = 0 при |т]|< 1. Тогда, полагая
f(t, У> i\) = X(t)a{t, у, ц)В(у, т])/BлГ,
мы получаем из B9.1.10) и B9.1.11), что
%(t)K(t, y)=\ e-«b(dF(t, у, X)/dX)dX.
Отсюда по лемме 18.2.1
% @ К (t, у) = \ е-"* (дА (у, Х)/дХ) dX,
А(у, X) = ew*DbF(t, у, X)\t=0 ~ E r'(dtdx)!F(t, у, Я,)//! По-
Последовательно,
А (у, K)-F @, у, Я) + idtd%F @, у, X) е= Sn~2
и по лемме 29.1.3
Bn)a{F{0,y, r])-idAF@,y, Я))
Здесь
B = b + bs + ±
и —idta дается формулой B9.1.9). По формуле Гаусса — Грина
Следовательно,
Bп)пА(уу Я)-
Замена Л (у, X) на Л(#, X) — А (у, 0) завершает доказательство.
Если отождествить А с Ху то ограничение /С ядра оператора
ЁВ на Д является его обратным образом при отображении
R XX^>(t, x)*->(t, xy x). Поэтому из B9.1.6), теоремы 25.2.3 и
теоремы 8.2.4 вытекает, что
B9.1.13) WF (К) <= {(/, х, т, g - л); (/, ^jc,t,U)gC
и (м)е^(В)}.
Условие (^, х, х, т, ?, ^)^С означает, что траектория поля Нру
выходящая из (х, т]), приходит через время t в точку (jc, ^)
326 29. Спектральные асимптотики
и т = —р(х, ?)= — р(х, г)). Для интеграла k плотности К по X
из теоремы 8.2.12 следует, что
B9.1.13)' WF{k)a{{t, т), (*, х, х, т, Е, g)e=C, (*, Е)
Введем теперь
B9.1.14) П* (х, I) = inf {/ > 0; (/, х9 х, - р (х9 Е), Е, g) €= С},
(М)еГA)\0,
П (*) = inf {/ > 0; (t, х, х, т, Е, Л) €= С,
где П* и П по определению равны +оо, если такого t нет. Эти
функции полунепрерывны снизу; П* однородна степени 0, а
нижнюю грань в определении П можно брать только по рас-
расслоению единичных сфер.
Теорема 29.1.4. Если Р е= Wphg (X; Q1/2, Q1/2) — положительный
эллиптический самосопряженный оператор и е — его спектраль-
спектральная функция, то
B9.1.15) Urn
e(xf х, Х) — {2л)~п( J dr\
< СП (лг)"
где С зависит только от размерности п многообразия X. (Оце-
(Оцениваемая величина является отношением двух плотностей, т. е.
скаляром.)
Доказательство. Если хое1иП< Щх0), то И(х) > П при всех
х из некоторой окрестности У точки х0. Возьмем функцию
%еСо°ОО, равную 1 в некоторой окрестности точки хо, и приме-
применим предложение 29.1.2 с В=%(х). Тогда мы получаем, что
преобразование Фурье от %(x)de(x, xy X) по X на множестве
{t; \t\<ti) при некоторой положительной константе б равно
преобразованию Фурье от дА (х, Х)/дХ и обе эти функции е С°°
при 0<|^|<П. Применим лемму 17.5.6, в которой, напомним,
> 0<Фе^, феС0°°(-1, 1),
Возьмем ii(X) = e(x, х, X) и v(X) = A(x, X). Если положить в
локальных координатах
= 1» т0
| Vх (Я) | = пМ0Хп~х + О {Хп-2) < пМ0 {I + ао)п~1
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 327
при некотором а0, откуда получается первое условие из A7.5.13).
Для а = 1/П мы имеем (d\i— dv)* фае &> откуда вытекает вто-
второе условие из A7.5.13) с х = 0. Следовательно, согласно
A7.5.14),
iim Л1"* | A (к) — v (Я) |
что и доказывает оценку B9.1.15) с константой, равной кон-
константе из леммы 17.5.6, умноженной на п/Bп)п. Доказатель-
Доказательство завершено.
Оценка B9.1.15) равномерна по х в том смысле, что если
П — некоторая непрерывная функция, для которой П(л:)<П(л:)
при каждом х (напомним, что П полунепрерывна снизу и, сле-
следовательно, является верхней гранью таких функций), то
Хх~п\[е{ху ху Х) — {2п)~п[ \ dx\
к )
р<\
при X, превосходящем некоторое число, не зависящее от х. Сле-
Следовательно, мы можем проинтегрировать B9.1.15) по х, чтобы
получить оценку для количества собственных значений. Однако
можно получить лучший результат, используя микролокальные
методы и функцию микролокальных периодов П*.
Теорема 29.1.5. Если Р е= 4;J,hff (X; Й1/2, Q1/2) — положительный
эллиптический самосопряженный оператор и N(X) — количество
его собственных значений < X, то
N(X)-Bn)~ni
1 j j _
B9.1.15)' Iim
где dxd\ — симплектический элемент объема, а С зависит только
от размерности п многообразия X.
Доказательство. Пусть Гь ..., Глг — покрытие Т*(Х)\0 малыми
открытыми конусами, и пусть Пу < П* на Г/. Можно выбрать
fl/eVphgU; ^1/2, Q1/2), Д^я которых WF{Bi)czYi и
1ВД + Л,
1
где ^gT0. Для построения таких операторов сначала нужно
328 29. Спектральные асимптотики
взять операторы В} с главными символами Ъи удовлетворяю-
удовлетворяющими тождеству ?|&/|2=1, Для которых supply<s=Tj. Тогда
можно найти такой оператор Q с главным символом 1, что Q*Q
является параметриксом для ? Я/5/ (см. доказательство тео-
теоремы 18.1.11 или предложения 29.1.9). Тогда
так что нужно просто заменить Bj на QBj. Далее,
N (Я) = Тг Ек = Е Тг ЕьВ,В) - Tr
1
Здесь оператор Е^Д при каждом 5 равномерно ограничен как
оператор из #(_s) в #(S), так что его ядро и след равномерно
ограничены. Если и^С°°(Х)у то
ЕхВ}В*и= Z <МЯ/5/Ы, q>v)= ? ФЖ 5/5/<pv)
и, следовательно,
— возрастающая функция. Положим \х (Л) = Тг (EKBfB*"j, v(X) =
\ А (х, X)dxy где А построена в предложении 29.1.2. Из B9.1.13)'
с B = BjB} вытекает, что преобразования Фурье — Стилтьеса
функций \i(k) и v(X) гладки при 0<|/|<П/. Следовательно,
применяя лемму 17.5.6 са= 1/П/, мы получаем
Tr (ExBjB*) - BпГп ( J J 0/ + bsi) dx dt
\р<\
\\btdxdl,
lim
где b/ и bj — главный и субглавный символы оператора
Их суммы сходятся к 1 и 0, поскольку X Я/Я/ — / е W°°9 так
что мы получаем неравенство вида B9.1.15)', в котором инте-
интеграл в правой части заменен на
1 dx dt.
Здесь O^fey и ?&/= 1, так что мы получаем верхнюю рима-
римановскую сумму для интеграла от полунепрерывной сверху функ-
функции, стоящего в правой части B9.1 Л5)'. Измельчая разбиение,
мы получаем таким образом оценку B9.1.15)'.
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 329
Следствие 29.1.6. Если замкнутые орбиты поля Нр образуют мно-
множество меры О в Т*(Х)\0, то
B9.1.15)"
М(Х)-BлГп( [ \dxdl-dk [ [ psdxd%\ = o (Xn~l), Я-^oo.
\p<\ p<\ /
Замечание. Мы всюду предполагали, что Р имеет положитель-
положительную нижнюю границу. Однако, поскольку заключения в теоре-
теоремах 29.1.4, 5 и следствии 29.1.6 остаются инвариантными при
замене Р на Р + с при положительной константе с, то это верно
также и при отрицательной с. Таким образом, нужно лишь тре-
требовать, чтобы Р имел нижнюю границу, что вытекает из эллип-
эллиптичности и положительности главного символа.
Предыдущие результаты наводят на мысль, что в первом
приближении оператор Р действует как умножение на р ступен-
ступенчатых функций в кокасательном расслоении, разбитом на
ячейки объема Bя)п. Эти эвристические соображения приводят
к следующей теореме «типа Сегё» о контракции других псевдо-
псевдодифференциальных операторов на те же собственные подпро-
подпространства.
Теорема 29.1.7. Пусть Р ^ч\^{Х\ Q1/2, пщ) — положительный
эллиптический самосопряженный оператор с главным символом
р и ?\—спектральная мера интервала (—оо, X). Пусть В^
^Fphg (Х; й1/2, Ql/2) — самосопряженный оператор с главным сим-
символом Ъ и рх — считающая мера контракции EhBEx оператора В
на пространстве EXL2(X, Q1/2), т. е. сумма мер Дирака, сосредо-
сосредоточенных в собственных значениях. Тогда р^/Хп при Я,->оо
слабо сходится к образу р меры Bn)-ndxd'g на множестве
{(ху %)^Т*(Х); р(ху g) < 1} при отображении Ь этого множе-
множества в R, т. е.
B9.1.16) 9(f) = Bn)~n \\ f(b(x9l))dxdl, f€=C(R).
Р(х, 1)<\
Доказательство. Меры рх положительны и сосредоточены на ко-
конечном интервале (—||В||, ||В||). Поэтому достаточно доказать,
что рх(И Ал->р(/) для каждого многочлена /, т. е.
B9.1.17) Тт(ЕьВЕьУ/Хп-+BпГп J J Ь(х, l)fdxd?, / = 0,1, ....
р(х,Ъ)<\
При / = 0 это есть ослабленный вариант теоремы 29.1.5. Теперь
докажем B9.1.17) при /= 1, т. е.
B9.1.17Г Тг (ЕКВЕК)/Хп -> Bn)~n \\ Ъ{х, I) dxdt
330 29. Спектральные асимптотики
След конечномерного оператора ?\В?\ равен
В силу предложения 19.1.13 оператор ЕХВ имеет такой же след,
так как он индуцирует тот же оператор в EXL2 и нулевой опера-
оператор в L2/EXL2. Из рассуждений, следующих после формулировки
теоремы 19.3.1, вытекает, что \х(Х) равняется интегралу от ядра
оператора Е%В по диагонали. Следовательно, преобразование
Фурье от d\i{X) при малых t равно \ K{t, x)dx в обозначениях
предложения 29.1.2. Если символ А определен как в том пред-
предложении и
v (X) = $ А (х, X) dxf
то преобразование Фурье от d\x — dv при |/| < min U(x) при-
принадлежит С°°, если П(х) определено формулой B9.1.14). Функ-
Функция ju возрастает, если оператор В положителен. Следовательно,
мы можем воспользоваться леммой 17.5.5 с 1/а< minll(jt), что
дает
ti(X)-v(X) = O(Xn-1).
Это более сильный результат, чем B9.1.17)'. Если В не является
положительным, то, заменяя В на В + ||5||, мы во всяком случае
получаем B9.1.17)', поскольку B9.1.17) выполняется при / = 0.
Можно заменить В на В/ и ft на bJ в B9.1.17)'. Это показы-
показывает, что B9.1.17) эквивалентно
B9.1.18) Тг ((ЕкВЕьУ - ЕкВ!Ек)/Хп -* 0 при X -> <х>.
Обозначим через Е'к = I — Ек проектор, ортогональный к Ек.
Тогда
ЕКВ'ЕХ = ЕХВ (?А + Е[) В ... (?х + Е[) BE,.
Если мы развернем это разложение, то, за исключением члена
(ExBEx)i\ все слагаемые будут содержать по крайней мере один
множитель E'KBEV Поэтому доказательство завершается при по-
помощи следующей леммы:
Лемма 29.1.8. В условиях теоремы 29.1.7 следовая норма опера-
оператора Е{ВЕк есть О(Хп~42).
Доказательство. Если Л > X, то Е'х = Е'х-\- ЕА — Ек. Обозначая
через || -Ц! следовую норму (см. определение 19.1.12), мы по-
получаем
|| (Ех - Ек) ВЕК ||, < || Ех - Ех ||, || В \\ || Ех \\ = \\В \\ (Тг Ел - Тг Ек)
<СЛПA + А-Я),
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 331
где последняя оценка вытекает из теоремы 29.1.5. Но
где || -Ih — норма Гильберта — Шмидта. Очевидно, что ||.Ej2 =
(Тг ?,)'/* и
: 1 Е
Поскольку
и [Р, В] <= 4го — ограниченный оператор в L2, то
\Е'АВЕХB^(А- ХГ2?J[P, B]qpvf<C2(A-X)-2Tr.
Следовательно,
|?'В?\ II <С(Л"~' A + Л - к) + (Л - А,) Л").
Здесь правая часть при Л = Х + ^1/2 есть O(A,"~I/2), что завер-
завершает доказательство леммы 29.1.8 и теоремы 29.1.7.
До сих пор мы предполагали, что порядок оператора Р ра-
равен единице. Следующее предложение показывает, что переход
к произвольному положительному порядку не вызывает затруд-
затруднений.
Предложение 29.1.9. Пусть Ре?^(^; й1/2, Q42) — положи-
положительный эллиптический симметрический оператор. Тогда Р опре-
определяет положительный самосопряженный оператор 3> в
L2(X, Q1/2). Если m > 0 и а е R, то 3>а также определяется не-
некоторым псевдодифференциальным оператором класса W^giX
Q]/2, Q1/2) с главным и субглавным символами ра и apa~lps, где
р и ps — соответствующие символы оператора Р.
Доказательство. Если га ^ 0, то оператор & ограничен и, следо-
следовательно, самосопряжен. Если га > 0, то 3* является ограниче-
ограничением Р на пространство всех и е L2, для которых Ри е L2. По-
Поскольку при этом и е Я(т) по теореме 18.1.29 и С°° плотно в Я(т),
то & — самосопряженный оператор. Резольвента R(z) =
(& — z)~l определена и аналитична по z всюду, кроме собствен-
собственных значений оператора &> лежащих в R+, и ее операторную
?2-норму можно оценить через обратную к расстоянию до соб-
собственных значений величину. Если а < 0, то из спектральной
теоремы вытекает, что в смысле абсолютной сходимости в L2
too
zaR(z)udz, ue=L2,
332 29. Спектральные асимптотики
где га — аналитическая ветвь в правой полуплоскости, равная 1
при г = 1. Поскольку <ра+]и = &>а&>и для и, лежащих в области
определения оператора ^, при Rea^O, то обобщенное ядро
оператора &>а является целой аналитической функцией от а. Ап-
Аппроксимируя резольвенту R(z) параметриксом оператора Р — г,
мы определим особенности этого ядра при а < 0, а затем при
помощи аналитического продолжения также и при а ^ 0.
Пусть Y а X — координатная окрестность, отождествленная
с открытым подмножеством в Rn. В этих локальных координа-
координатах символ оператора Р — z равномерно по z ограничен в
Обратный к этому символу равномерно ограничен в 5(A +
|г| + |§|т)~1, g) ПРИ Re? = 0, что мы и будем дальше предпо-
предполагать. (Без ограничения общности можно считать, что
ReP(x, ?)>0 всюду, поскольку р > 0.) Следовательно,
(Р (х, D) - z)(P-Zyl(x, D) = I- Q2 (xt D),
где Q2 равномерно ограничен в 5((l+UI)m~1(l+Ulm +
1г1 )~~1> ?)• (Отметим, что здесь к оператору умножения на г не
требуется применять исчисление псевдодифференциальных опе-
операторов, и он не вносит вклада в остаточный член!) При этом
0,(х, Ю~ Z PW(x> l)D
0
Обозначим через Е2 асимптотическую сумму символов операто-
операторов
(P-z)-[(x,D)(Qz(x, D)f, N = 0, 1,....
Тогда
B9.1.19) (Р(х9 D)-z)Ez{x, D) = I—Wz(x, D),
где Wz равномерно ограничен в S((l +|z|)-1(l +UI)~jV> g) при
каждом N.
Для полной строгости заметим, что до сих пор мы работали
только в координатной окрестности Y. Возьмем функции if,
Ч^СоЧГ), и пусть 4^ = 1 на supp if. Тогда yVEz{x, D)^u^S)f{X)
при любом u?^?D'(X) и
(Р - z) ЧЕг (х, D) Ци = Ци — Wz (xy D) и
при некотором другом Wz, для которого A+ I^D^z равномерно
ограничен в у?~°°. Выбирая покрытие X координатными окрест-
окрестностями У/ и соответствующие i?/, Wj е С^° (К/), где W/ = 1 на
supply и 5^ *ф/ = 1, мы суммированием по / получаем пара-
метрике Е2, удовлетворяющий соотношению вида B9.1.19) гло-
глобально на X.
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье 333
Умножая B9.1.19) на R(z)t мы получаем
= Ez + R(z)Wz.
Здесь A + 1г1) ^ равномерно ограничен как оператор из #(s) в
H(t) при любых s, ty a R(z) имеет норму ^C/(l-f-|z|) как опе-
оператор в Я(о, поскольку норма ||и||(о эквивалентна \\&*/ти\\(о), по
крайней мере если / — положительное кратное т. Поэтому при
а<0
zaEzdz + T(a)u9
где Т(а) — оператор с ядром, аналитическим по а при Rea< 1,
со значениями в С°°(^Х^; Й1/2(^Х X)). Каждое слагаемое в
символе Ez имеет вид —(z — P)-k~{q, где ^ESmfe-x при неко-
некотором х ^ 0. Легко видеть, что
ioo
— Bл/) \ za(z-Prk~lqdz = a(a- 1) ... (a-k+ \)Pa~kqlk\
-ioo
является символом класса Sam~K и аналитически зависит от а.
Для фиксированного х имеется только конечное таких слагае-
слагаемых. Если мы оборвем ряд, определяющий Ez, достаточно да-
далеко, то погрешность, заменяющая Г(а), будет иметь сколько
угодно производных при Rea< 1. Следовательно, 3*а является
псевдодифференциальным оператором при а< 1. Вычисляя сла-
слагаемые с х = 0 или х= 1, рассмотренные выше, мы видим, что
modSam-2 символ равен
Поскольку Р конгруэнтен р + ps—ji 2 p^mod Sm~2, то Ра
конгруэнтен
Чтобы получить сумму главного и субглавного символов опера-
оператора 3>а, мы должны прибавить -^i 2 d2pa/dxj d?y к символу опе-
оператора 3>а, что доказывает утверждение о субглавном символе
при а< 1. Теперь из вейлевского исчисления немедленно сле-
следует, что если 2Ра задается псевдодифференциальным операто-
оператором, то это же верно для ^2а, и главный и субглавный символы
этого оператора получаются умножением соответствующих сим-
символов оператора <?а на (удвоенный) главный символ оператора
&а. Это позволяет распространить наши результаты с множе-
множества всех а < 1 на все оеКи завершить доказательство.
334 29. Спектральные асимптотики
Если е(х, уу X) — спектральная функция оператора SP, то
е(х,уугкт)— спектральная функция оператора ^1/т. Для того
чтобы распространить теоремы 29.1.4, 5 и следствие 29.1.6 на
эллиптические операторы произвольного положительного поряд-
порядка т, мы прежде всего заметим, что в случае т = 1
Если 53 имеет порядок т > О, то, применяя B9.1.15) к &х1т, мы
для спектральной функции е оператора & получаем, что
B9.1.15)m Urn kl~n\(e(x9 x, Ят)
Я-»оо
- Bя)-я \ (Я (Ят - р) - Ь {Хт - р) ps) rft)) / J dt) | < СП (я),
/ P<1
где П — функция периодов для рх>т. Действительно,
по теореме 6.1.5, где dS — элемент объема на поверхности р=кт
в некоторой евклидовой метрике на Т*х. Асимптотические фор-
формулы типа B9.1.15)' и B9.1.15)" для тф\ могут быть записаны
аналогичным образом, и теорема 29.1.7 остается справедливой
для считающей меры оператора Е^тВЕ^т.
В случае дифференциальных операторов порядок т должен
быть четным. Следовательно, ps — нечетная функция, и поэтому
она выпадает при интегрировании в B9.1.15)т и в формулах,
соответствующих B9.1.15)' и B9.1.15)".
29.2. Случай периодического
гамильтонова потока
Как и в большей части § 29.1, будем через Р обозначать поло-
положительный эллиптический оператор класса xF^hg(Ar; Q1'2, й1/2)
с главным и субглавным символами р и ps. Однако теперь
будем считать, что все орбиты поля Нр являются замкнутыми и
имеют один и тот же период П, т. е. что функция П*(х, g) из
B9.1.14) тождественно равна П. Примером такого оператора
является (—А + сI/2 на сфере Sn, с > 0, в стандартной метрике.
Как было найдено в § 17.5, его собственные значения равны
(k2 + k(n— l)+c)l/2 = k + (n— 1)/2, если с={п— 1J/4, k =
О, 1, ..., а их кратности задаются полиномом от k. При других
значениях с собственные значения просто сдвигаются на O(\/k).
29.2. Случай периодического гамильтонова потока 335
В обозначениях E(t)= е~и^ из § 29.1 по теореме 29.1.1 ядро
оператора ?(-+П) принадлежит /-^(RX^X*, С; Q(XXX)l/2)y
так как С имеет период П по /. (Для этого заключения нужно
только, чтобы П был периодом всех орбит поля #р, а не мини-
минимальным периодом.) Перед тем как рассматривать главный сим-
символ оператора ?(П), нам нужно сделать несколько замечаний о
расслоении Маслова Мс отношения С, введенном в § 25.2.
Расслоение Мс является тривиальным как /4-расслоение.
Действительно, его ограничение на / = 0 является тривиальным
расслоением на диагонали А* в {Т*(Х)\0)Х(Т*(Х)\0). Кроме
того, отображения
Сэ(/, exptHp(y, Л), У у лI-^^, expstHp(y, r]), у, ц)<=С
при 0 ^ s ^ 1 определяют ретракцию С на А*, так что наше
утверждение вытекает из теоремы о поднятии гомотопии. Одна-
Однако расслоение Маслова над каноническим отношением в кокаса-
тельном расслоении к (R/ZI1)X^X^, определяемое отноше-
отношением С, вообще говоря, не является тривиальным. Пусть \х —
локально постоянное сечение расслоения Маслова над С, рав-
равное 1 при / = 0. Обратный образ сечения ^ при переносе
/ и->/ + П в С можно рассматривать как сечение расслоения Мс,
и оно должно равняться eniai2[if где индекс Маслова ogZ —
значение класса Маслова B1.6.10) на некоторой периодической
орбите.
Вернемся теперь к обсуждению главного символа оператора
?(П), предполагая, что субглавный символ ps тождественно ра-
равен 0. При доказательстве теоремы 29.1.1 мы видели, что тогда
главный символ является локально постоянным вдоль орбит
поля Нр. Следовательно, символ оператора ?(П) как псевдодиф-
псевдодифференциального оператора равен enia/2. Если теперь перейти от
нашего предположения о ps к
B9.2.1) р8 = ла/2П,
то главный символ оператора Ё(И) тождественно равен единице
и Ё(Щ— унитарный оператор. Поскольку Е(П) — I есть ком-
компактный оператор, его собственные значения etU%k стремятся к 1
при &-> оо.
Лемма 29.2.1. Если ехр ПНР есть тождественное отображение и
выполняется условие B9.2.1), то можно найти самосопряженный
оператор Q e 4Vhg (Х\ й1/2, ?21/2), коммутирующий с Р, для кото-
которого e-m^=^eiu^{).
!) Здесь Q — оператор в L2(X, Q]/2), определяемый оператором Q.—
Прим. ред.
336 29. Спектральные асимптотики
Доказательство. Оператор А = е~т* — I коммутирует с & и
А е W^hg (Х'> й1/2, ?21/2), поскольку его главный символ нулевого
порядка равен 0. Мы должны определить iUQ как логарифм от
I + А. Для этого возьмем круг ГсС с центром в 0 радиуса
< 1, граница которого не содержит собственных значений
e"tUXk— 1 оператора Л, и положим
B9.2.2) mQ1 = -Bm)-1 \ R{z)\og{\ + z)dz,
дГ
где R(z) = (А—zI)-{ — резольвента и log(l+^) задается сте-
степенным рядом. По формуле Коши
~'m*)q>*, если e~im>k— 1еГ,
и Q\q>k = 0 в противном случае. Здесь <Рук = ^/еф/е. Если опре-
определить
QY А(и,
где суммирование проводится по конечному множеству значений
kf для которых e~tUlk ф. Г, то очевидно, что оператор Q=Qi+Q2
является самосопряженным и eiUQ = e~inP. Оператор Q2 имеет
С°°-ядро, так что остается лишь убедиться, что Q\ e Wphg.
Для этого выберем параметрикс Ez оператора А—г/, ограни-
ограниченный в 4го (Х\ Q1/2, Ql/2) при гЕЙГ; нужно просто взять ?г ^
оо
2 Л7*. Тогда
где Н^2 ограничен в ^-^(Х; Q1/2, Q1/2). Умножая на У?(г), мы
получаем, что
{) {
где оператор R(z)Wz имеет ядро, равномерно ограниченное в
С°°(ХУ^Х\ Q1/2), поскольку оператор R(z) равномерно ограни-
ограничен в ЯE)-топологии при любом s. Следовательно, оператор
/nQ1 + Bm)~1 J Ez\og{\+z)dz
дТ
имеет С°°-ядро. Здесь интеграл является псевдодифференциаль-
псевдодифференциальным оператором, символ которого асимптотически задается сим-
символами ряда J]—(—А)п/п1, что и завершает доказательство.
Коммутирующие операторы ЗР и 3>-\-С1 имеют одни и те же
собственные функции, а поскольку ein^+^) = /, то собственные
значения оператора & + Q являются целыми кратными 2л/П.
29.2. Случай периодического гамильтонова потока 337
Поскольку Q е ^-^ оператор 3>XI2Q&XI2 ограничен. Если М —
его норма, то
11
Следовательно, если % — собственное значение оператора 53, то
2kn/Yl^(X— М/%, X + М/X) при некотором целом k. Если X
велико, то и k велико и
B9.2.3) |Л —2йя/П|<С/А.
Таким образом, собственные числа близки к арифметической
прогрессии Bn/ri)Z, и при больших k количество собственных
чисел оператора ЗР в интервале B9.2.3) равно кратности числа
2&л;/П как собственного числа оператора <p-\-Q.
Теорема 29.2.2. Пусть Р <= 4?lphg {X\ Q1/2, Й1'2) — положительный
эллиптический самосопряженный оператор с главным символом
р и субглавным символом ps. Предположим, что все орбиты
поля Нр имеют один и тот же минимальный период П и что суб-
главный символ ps задается формулой B9.2.1), где а — индекс
Маслова отношения С на этих замкнутых орбитах. Тогда при
некоторых константах С, k0 и полиноме ^ степени п — 1 опера-
оператор <? имеет [i(k) собственных значений, удовлетворяющих
B9.2.3) при каждом целом k > k0, и лишь конечное множество
других собственных значений. При этом
B9.2.4) ii(k) = n(k-Ups/2n)n~lU-n J J dx dl + О (kn'3).
Доказательство. Если заменить Р на Р + Q, где Q — оператор,
построенный в лемме 29.2.1, то главный и субглавный символы
не изменятся. Следовательно, в силу замечаний, сделанных пе-
перед формулировкой теоремы, достаточно доказать, что кратность
2&я/П как собственного значения оператора 53 является полино-
полиномом от k при больших положительных k, если e~ingi = I. По-
Поскольку преобразование Фурье e~itgi спектральной меры яв-
является тогда периодическим с периодом П, то, как известно,
обратное преобразование Фурье dEx является мерой, сосредото-
сосредоточенной в точках множества 2jtZ/n, спектральные массы кото-
которых равны коэффициентам Фурье
?({2я*/П}) =
Здесь функция феС0%(- ГТ, П) выбрана так, чтобы
X ф(/ + /П)= 1 (см. § 7.2). Беря след, мы для кратности \x(k)
собственного значения 2л&/П получаем, что
338 29. Спектральные асимптотики
Далее, ограничение ядра оператора ?(t) на диагональ совпа-
совпадает с ядром К из предложения 29.1.2 при В = \. Оно равно
преобразованию Фурье от дА/дХ при малых t и принадлежит
С°° при 0<|/|<П. Следовательно, из формулы обращения
Фурье вытекает, что \i(k) — v(k) быстро убывает при &->оо,
если
v (A) = J J {дА (х, Х)/дк) ф Bл?/П - Я) Bя/П) dX dx.
Поскольку dA/dk^Slhgf то v(k) = vQ(k) + O (l/k), где v0 —мно-
—многочлен. Из следующей леммы выводится, что [i(k) = vo(k) при
больших k. Это завершает доказательство, поскольку первые
два члена в vo получаются из первых двух членов в Л, найден-
найденных в предложении 29.1.2.
Лемма 29.2.3. Пусть g(k)— многочлен от k и дробная часть от
g(k) стремится к О при целых &->оо, т. е. e2ziig^k)->¦ 1. Тогда
g\k)— целое число при каждом целом k.
Доказательство. Если g — константа, то она целая в силу усло-
условия. Предположим теперь, что g имеет степень N и что лемма
уже доказана для многочленов степени iV—1. Тогда h(k) =
g(k) — g{k—1)—многочлен, принимающий только целые зна-
значения при целых ky и g(k) = h(k)-{- ... -{- h(\)-{- g@), откуда
e2nig@) _ i Следовательно, g@)—целое число, что и завершает
доказательство.
До сих пор мы изучали просто количество собственных зна-
значений в интервале B9.2.3), но не их распределение. Следующий
более точный аналог теоремы 29.1.7 «типа Сегё» позволяет легко
получать информацию о том, как эти |ы(&) собственных чисел
распределены.
Теорема 29.2.4. Пусть Р удовлетворяет условиям теоремы 29.2.2
и, кроме того, е~1п^ = /. Пусть оператор Bs=Wlhg(X; Q]l\ Q1'2)
коммутирует с Р и pk — считающая мера для собственных зна-
значений ограничения оператора В на собственное подпространство
E({2nk/Il})L2 оператора <Р. Тогда pk/\^{k) слабо сходится к
мере р, определяемой по формуле
B9.2.5) р (/) = J \ f (b) dx dlj \\dxdl, f<=C (R),
/ 1
где b — главный символ оператора В.
Доказательство. Меры р^ положительны и сосредоточены в ко-
конечном интервале (—||В||, ||В||), поэтому достаточно проверить,
что Pk(f)/\i(k)-*p(f) Для любого многочлена /. Поскольку
29.2. Случай периодического гамильтонова потока 339
р*A) = №{k) и рA)= 1, это утверждение эквивалентно тому, что
B9.2.6) Тг (В11 Е ({2л?/П}) L2)j\i (k) -> J J ft' dx d? / JJ dx dl
для /=1,2, ... . Если это проверено для / = 1, то для доказа-
доказательства общего утверждения нужно просто заменить В на BL
Итак, достаточно проверить B9.2.6) для /=1.
Преобразование Фурье операторнозначной меры BdEx яв-
является периодической функцией e~itPB. Поэтому преобразование
Фурье меры на R
является периодическим распределением lve~itPB. При малых
|/| ограничение ядра К оператора e~itPB на диагональ описано
в предложении 29.1.2 и принадлежит С°° при 0<|/|<П. Если
функция ф^Со°(—П, П) выбрана как в доказательстве теоре-
теоремы 29.2.2, то по обычной формуле для коэффициентов Фурье
Тг (В | E({2nk/U}) L2) = \ \ e2nik'lny (t) К (x, t) dx dt/U,
что совпадает с
Bя/П)
с точностью до быстро убывающего слагаемого. Это показывает,
что
п Bл)~п ^bdxdl + O (kn~2).
(Предложение 29.1.2, разумеется, дает полное асимптотическое
разложение и явную формулу для коэффициента при kn~2.) Де-
Деление на B9.2.4) приводит к B9.2.6) с /=1, что и завершает
доказательство.
Теорема 29.2.5. Пусть оператор Р удовлетворяет условиям тео-
теоремы 29.2.2, и пусть A(k) — множество собственных значений
оператора Р, лежащих в интервале B9.2.3), \x(k) — количество
точек в A(k). Выберем оператор Q как в лемме 29.2.1, и пусть
b — главный символ оператора —PQ. Тогда
B9.2.7) ? / Bя?ГГ{(X - 2kn/n))/\i (k)
lEF.A(k)
-> \ \f{b)dxdl/\ \dxdl, ?^оо,
р<\ I p<\
если feC(R),
340 29. Спектральные асимптотики
Доказательство. Положим Л = Я+Ф- Тогда Л удовлетворяет
условиям теоремы 29.2.4, Р = А — Q и Q коммутирует с А. Соб-
Собственные значения оператора Я, входящие в A(k), имеют вид
X = 2nk/Yl + 8> где 6 — собственное значение ограничения опе-
оператора —Q на собственное подпространство Vk оператора Л,
соответствующее собственному значению 2я&/П, а ^л&ГНе —
собственные значения оператора В = —AQ на этом подпро-
подпространстве. Таким образом, левая часть в B9.2.7)—интеграл по
нормированной считающей мере для собственных значений огра-
ограничения оператора В на Vk, и, следовательно, B9.2.7) вытекает
из B9.2.5). Доказательство закончено.
Соотношение B9.2.7) не дает описания тонкой структуры
собственных значений в кластере A(k)y если мера в правой ча-
части является мерой Дирака, т. е. Ь — константа. Это означает,
что Q + схА~х е Wphg при некоторой константе с\. Более общо,
предположим, что для некоторого целого N > 0
B9.2.8) f=HZ^Q,
где оператор Q е Ч1"^1 коммутирует с Л. Положим В = A +lQ.
Тогда из доказательства теоремы 29.2.5 видно, что
B9.2.9) ? / (Bnk/uf+llX - 2лк/П - ?су Bлк/п)~! J J /ц (k)
^ ^ 1 Л
'Л
где Ь — главный символ оператора В. Если здесь функционал
в правой части есть мера Дирака, то мы имеем разложение
B9.2.8) с iV + 1 вместо N. Таким образом, мы получаем две
альтернативы: либо при некотором jV предел в B9.2.9) есть
мера с носителем, равным интервалу положительной длины,
либо для некоторой последовательности с}- при каждом jV
к
sup
X — 2яй/П - 2 Cj Bnk/n)'
при
До сих пор мы всегда предполагали, что субглавный символ
ps оператора Р имеет вид B9.2.1). Другое постоянное значение
приводит к аналогичному результату, не считая того, что ариф-
арифметическая прогрессия 2jiZ/I1, вблизи которой концентрирова-
концентрировались собственные значения, переходит в сдвинутую прогрессию
ps — шх/2П + 2jiZ/I1. Однако в случае переменного ps возни-
возникают новые трудности.
29.2. Случай периодического гамильтонова потока 341
Удобно представить исследуемый оператор в виде Р + Q, где
Р удовлетворяет всем требованиям теоремы 29.2.4, а
Q e 4го h (X; ?21/2, й1/2). Хотелось бы найти унитарно эквивалент-
эквивалентный оператор вида Р-{~В, где 6е?он и В коммутирует, хотя
бы приближенно, с Р. Для этого заметим сначала, что в силу
теорем 29.2.1 и 25.2.3
есть самосопряженный псевдодифференциальный оператор по-
порядка 0, который является С°°-функцией от t. Действительно,
ядро оператора e-is^Qe~itg> принадлежит /~!/2( R X X X R X X,
С'), где С — полное бихарактеристическое отношение, a Qt по-
получается замораживанием двух переменных из R. Следователь-
Следовательно, среднее значение
п
B9.2.10) В= J QtdtlYl
о
принадлежит ^hg(Z; й1/2, Q1/2). Поскольку [В, e~is*] = 0 при
всех s, то и [В, 5Р] = 0. Таким образом, теорема 29.2.4 содержит
очень точную информацию о собственных значениях оператора
Р + В.
По формуле Тейлора
п t
-Q=\ dt\(dQs/ds)ds/U.
Но dQs/ds = [IP, Qs], так что
B-Q = [iS, Я],
где
B9.2.11) S=
есть самосопряженный оператор. Таким образом, 5 непрерывен
во всех соболевских пространствах H{s). Следовательно, eits не-
непрерывен в #(S) при всех s и t и является унитарным оператором
в ЩХ, Й}/2)#
Если А е^, то eiSAe~iS является псевдодифференциальным
оператором и его символ есть асимптотическая сумма символов
членов формального ряда
о
где (adiS)A = [iS,А]. Действительно, если A{t) = eitsAe~its, то
А' (/) = eits [iS, A] e~its, Л<» (/) = eits ((ad iS)' A) e~its.
342 29. Спектральные асимптотики
Следовательно, Аи) @) = (ad ISI A e Ч^~7 и Л(/) (/) непрерывно
действует из #<Sl) в #(*,), если s2^:sl-{- j — \х. Поэтому ядро
оператора
N
АA)— Z(ad/S)M//!
о
принадлежит Cv(Xy^X) при любом v, если N > NVi что и дока-
доказывает требуемое утверждение.
Оператор eiS (Р + Q) e~is унитарно эквивалентен P + Q, и по-
поскольку
Q + [iS, P] = B,
то
B9.2.12) eiS(P + Q)e~iS - (Р + В) е= Y'hg.
Если главный символ оператора В равен константе, то собствен-
собственные значения оператора Р + В допускают очень подробное опи-
описание, найденное в теореме 29.2.5 и в B9.2.9). В противном слу-
случае мы просто воспользуемся тем, что
B9.2.13) Р + В - CP~l < eiS (Р + Q) e~~iS < Р + В + СР~~Х
при некоторой константе С. (Здесь операторы интерпретируются
как самосопряженные операторы в L2.) Применим теорему 29.2.4
для оценки собственных значений операторов в левой и правой
частях.
Пусть Qk и 6 — возрастающие первообразные от мер pk/n(k)
и р из теоремы 29.2.4, равные нулю на —оо, так что р^ =
[\(k)dQk и p = dQ. Функция распределения собственных значе-
значений для ограничения оператора Р + В + СР~1 на пространство
E({2nk/U})L2 равна Qk(X — 2nk/U — CU/2nk)[i{k) при k > k0.
Следовательно, если N(k)—количество собственных значений
^ X для оператора Р + Q> то
B9.2.14) No+ 2 6Л(А, - 2я&/П - CU/2nk) \i (k)
k>ko
S k(X - 2nk/U + Cn/2nk)\i(k),
где No — размерность пространства E({2nko/U})L2. Чтобы вос-
воспользоваться этими оценками, нам нужна одна простая лемма.
Лемма 29.2.6. Для любого г > 0 при некотором kz > 0
B9.2.15) 6(Я —е) —8<е^(Я)<е(Л + б) + е, если k > &е, Ле=К.
Доказательство. Носители мер pk содержатся в интервале
(—11ВII, ||5||), так что Qk(X) = Q(J,) = Q при X < —1|5|| и Qk(l) =
в(X) = 1 при К > ||В||. Поэтому при \Х\ > ||В|| утверждение оче-
29.2. Случай периодического гамильтонова потока 343
видно, и можно считать, что |Я]^||В||. Возьмем функцию
\р е С°°, для которой 0 ^ г|) ^ 1, г|) = О на (—оо, —е) и г|) = 1
на @, оо). Тогда
J e, k>ke,
поскольку свертки сходятся в С°° и, следовательно, локально
равномерно. Правая часть не превосходит 6(Х + е)+е, что до-
доказывает второе неравенство в B9.2.15). Первое неравенство
получается аналогично, если заменить г|) на г|)(- —е), что и за-
завершает доказательство.
Из B9.2.14) с учетом B9.2.15) вытекает, что для любого
б >0
B9.2.16) Пт Xl~n(N(X) -Na(X + г))< О
< Пт Xl~n(N(I) -Na(h~ *)),
где
B9.2.17) Na(X)= ? Q(X-2nkjn)n(k~Ups/2n)n~l U~
k>ko
Мы использовали здесь также B9.2.4). Заметим, что
Na (Х + г)- Na (X - е) < СХп~l Z (в (Я + 8 - 2яЛ/П)
где сумма на самом деле конечна, поскольку функция 6 по-
постоянна вне интервала (—||В||, ||В||). Если 6 непрерывна, то
kl-n(Na(h-\- е) — Na(X — e))->0 при е->0 равномерно при боль-
больших X, и тогда можно заменить B9.2.16) на
B9.2.18) lim Xl~n(N(X) - Na(X)) = 0.
С учетом всего сказанного мы доказали следующую теорему:
Теорема 29.2.7. Пусть Р удовлетворяет условиям теоремы 29.2.4,
и пусть Q e 4^lig {X\ Q1'2, Q}12) — самосопряженный оператор с
главным символом q. Положим
п
Ь(х, |) = J q((exp(Hp)(x,l))dt/U,
О
и пусть р — положительная мера, определенная в B9.2.5). По-
Положим р = d6, где 6 — возрастающая функция, равная 0 на
— оо. Тогда функция распределения N(X) для количества
собственных значений оператора Р + Q удовлетворяет
344 29. Спектральные асимптотики
неравенствам B9.2.16), где Na — функция B9.2.17). Если р —
непрерывная мера, то выполняется соотношение B9.2.18).
Таким образом, мы получили результат такой же степени
точности, как и следствие 29.1.6, но асимптотическая аппрокси-
аппроксимация Na(h) функции N(X) теперь значительно сложнее.
29.3. Формула Вейля для задачи Дирихле
Пусть Р — положительный самосопряженный эллиптический
дифференциальный оператор второго порядка, действующий на
полуплотности на С°°-многообразии X с краем дХ. Обозначим
его главный символ через р, и пусть N(k)—количество собствен-
собственных значений ^Х для задачи Дирихле. Наша цель — доказать
аналоги теоремы 29.1.5 и следствия 29.1.6. Доказательство в ос-
основном состоит в повторении тех же соображений в сочетании
со следствием 17.5.11 и результатами гл. 24 о распространении
особенностей для оператора D\ — Р. Мы начнем с обзора кон-
конструкций § 29.1 применительно к данному контексту.
По аналогии с B9.1.4) введем
B9.3.1) С = {(/, *, у, т, g, T|)€=r(RX*X*)\0; t = ±p(jc, l)m
и точки (/, ху т, ?), @, у, т, у]) лежат на
обобщенной бихарактеристике символа т2 — р(х, Щ.
Лемма 29.3.1. Множество С замкнуто в Г*(КХ^Х^)\0, так
же как и множество
Сд = {(/, *, *, т, g, ^gC; /^=0}.
Доказательство. Замкнутость С вытекает из предложения 24.3.12
и предшествующих ему замечаний. Для доказательства второго
утверждения предположим, что имеется последовательность
замкнутых обобщенных бихарактеристик, идущих из @, yv,
Р(Уч, 4v)l/2. 4v) в (/v, yvi p(yv, T)v)l/2> 4v), причем /v->0. Если
изменить масштаб, как в предложении 17.4.4, в отношении tv
к 1, то, переходя к некоторой подпоследовательности, мы при
v->oo получаем, что для волнового уравнения в полупростран-
полупространстве в Rn имеется обобщенная бихарактеристика, идущая из
@, у, \г\\9 л) в A» У> l^l» л) ПРИ некотором к) ф 0. Однако здесь
заключено противоречие, так как бихарактеристика, возвращаю-
возвращающаяся в исходную точку, должна была бы отразиться ортого-
ортогонально и, значит, должна вернуться с противоположной к ц ча-
частотой. Поэтому множество СА замкнуто и лемма доказана.
Из леммы 29.3.1 вытекает, что функция
B9.3.2) IT (jc, g) = inf {/ > 0; (/, jc, т, g) c= CA}
29.3. Формула Вейля для задачи Дирихле 345
является строго положительной, полунепрерывной снизу и одно-
однородной степени 0 на Т*(Х)\0. Поэтому П* имеет положитель-
положительную нижнюю границу. Если определить обобщенные геодезиче-
геодезические как проекции на Т*(Х)\0 обобщенных бихарактеристик
оператора D\ — Р, то П* есть минимальная длина замкнутой
обобщенной геодезической, проходящей через (х, g).
Теперь докажем предложение, заменяющее B9.1.6).
Предложение 29.3.2. Если F(t, x, у)—ограничение ядра коси-
косинус-преобразования cos (/ V^3) на внутренность множества
RX*X*, то
B9.3.3) . WF'(F)czC.
Доказательство. Предположим, что (/0> jt0, yo, т0, So, Цо)^С и
что Хо, уо лежат в Х° = Х\дХ. По лемме 29.3.1 можно найти
такие открытые конические окрестности Fi точки (у0, щ) и Гг
ТОЧКИ (to, Хо, То, go), ЧТО
B9.3.4) (/, х, у, т, g, т|)^С, если (/, х, т, gj <= Г2 и (у, к\)<=Гх.
(Можно считать, что то, So, Цо все отличны от нуля, так как из
уравнений {d\ — PX)F = O, (d\ — Py)F=0 вытекает, что т2 =
р(х, S) = P(y, л) на волновом фронте распределения F.) Возь-
Возьмем такие А е 4го (Х°; Q1/2, Q1/2) и Y ш X, что ядро А имеет ком-
компактный носитель в Y X Y, WF(A)czT\ и оператор А нехарак-
нехарактеристичен в точке (у0, г]о). Возьмем также оператор Бе
Х?°(Х°Х R; Й1/2, Й1/2), Для которого WF(В)сГ2, В нехаракте-
нехарактеристичен в точке (fo, х0, то, So) и его ядро имеет компактный но-
носитель в ГХКХГХК. Если /еС0°°(Г) и ||/||(_2Л0< 1 при
некотором фиксированном целом N > 0, то функция cos (t^/fl ) /
равномерно ограничена в Н(%м) (Х°). Действительно, легко полу-
получить, что f = PNg + h, где g и h имеют компактные носители в
Х° и равномерно ограничены в L2. Например, можно просто
взять g = Ef, где Е — некоторый собственный параметрикс опе-
оператора PN на Х°. Тогда
cos (/ л]~?) f = @N cos (/ л/?) g + cos (/ л/?) h,
где cos(t<y/tP)g и cos(/ л/<?) h равномерно ограничены в
L2(X), что и доказывает нужное утверждение. Следовательно,
отображение
Т: fv-
можно продолжить с С°°(Х, Q1/2) до непрерывного отображения
из H\°-%N)(Y, Q1/2) в C(R, Н1?т(Х°, Q1/2)). Тогда (D2t-P)Tf = 0
на RX^°, Tf = O на RXdX, DtTf = 0 и Г/ = Л/ при / = 0.
346 29. Спектральные асимптотики
Следовательно, из B9.3.4) и теорем 23.2.9, 24.5.3 вытекает, что
WF (Tf) (]Г2 = 0. Поэтому композиция
ВТ: H\?2N)(YKf
всюду определена и, очевидно, замкнута, а стало быть, непре-
непрерывна. Следовательно, ядро
?(/, х, Dt, Dx)fA(y, Dy)F(t, x, у)
принадлежит С°°. Если умножить на псевдодифференциальный
оператор по (/, х, у) с символом, равным 0 в некоторой кониче-
конической окрестности подпространств, где г\ = 0 или (т, ?) = 0, то
по теореме 18.1.35 получим, что (/0, *о, Уо, то, &о, —Ло)^ WF(F),
откуда и вытекает предложение.
Замечание. Включение WF'(e)czC, содержащееся в B9.1.6),
можно подобным образом вывести из теоремы 23.1.4.
Теперь мы можем сформулировать и доказать аналог тео-
теоремы 29.1.5.
Теорема 29.3.3. Если N(X)— количество собственных значений
< X для задачи Дирихле в X, то
B9.3.5) Пт ЯA~п)/21N (Я) - {2п)~п Сп Vol (X) Хп/2
P(x.l)<\
Здесь dxd\ — симплектический элемент объема и С зависит
только от размерности п многообразия Х\ Cv — объем евклидова
единичного шара в Rv, a Vol(X), Vol(dX) — римановы объемы.
Доказательство. Возьмем функцию г|) е С°°(Х), равную 1 в неко-
некоторой окрестности края дХ, и пусть Гь ..., IV — покрытие рас-
расслоения Г*(Х)\0 на supp(l —-ф) малыми открытыми конусами.
Пусть П/ положительны и П/ < П* в Г/. Можно выбрать такой
оператор В, е W°vh:y(Xo'> Ql/2, й1/2) с ядром, имеющим компакт-
компактный носитель в XSXX°, что WF(Bj)а Г/ и
где i^G1?0. Если взять г|з так, чтобы A—\рI/2 ^ С°°, то это
доказывается точно теми же методами, что были использованы
в доказательстве теоремы 29.1.5. Как и там, ясно, что
TvEKB.B*f — возрастающая функция, и из предложения 29.3.2
вытекает, что косинус-преобразование Tr cos (/ л/?Р ) В}в] явля-
является гладким при О <С 11\ < П/. Его особенность при / = 0 такая
Примечания 347
же, как у четной части преобразования Фурье, рассмотренного
в предложении 29.1.2. Следовательно, из леммы 17.5.6 сумми-
суммированием по / получаем, что
{1~пI2
Тг (Ек У BjB*) - Bя
где ^[,bj=l —1|) и supply с: iy Действительно, символ опера-
оператора Yj BjB*i равен 1 — ф mod5~°°. Если учесть A7.5.21), то мы
получим, что B9.3.5) выполняется при замене правой части на
С ^ К-1T rfx + С \\ ^bjlii'dxdl,
х р<\
где С — константа из следствия 17.5.11. При измельчении по-
покрытия последний интеграл стремится к интегралу от
A—я|)(л:))/П*(л:, !•), и тогда B9.3.5) получается при стягива-
стягивании supptj) к дХ. Доказательство закончено.
Следствие 29.3.4. Если замкнутые обобщенные геодезические
образуют множество меры 0 в Т*(Х)\0, то
N (I) — Bя)~п Сп Vol (X) Хф + BкI~п Сп_х Vol (дХ) Я(п~1)/2/4
= о(х(п)/2) при Л->оо.
Примечания
В примечаниях к гл. 17 мы уже комментировали некоторые ра-
работы, посвященные асимптотическим свойствам собственных
значений и собственных функций. Интегральные операторы
Фурье были введены Хёрмандером (Hormander [22]) для дока-
доказательства оценки B9.1.15)" с O(^b~!) в правой части; такая
оценка была ранее доказана В. Авакумовичем и Б. М. Левита-
Левитаном в случае операторов второго порядка. В этом контексте
требовалась только локальная версия интегральных операто-
операторов Фурье. Лишь Шазарен (Chazarain [2]) и Дёйстермаат —
Гийемин (Duistermaat, Guillemin [1]) впервые воспользовались
тем фактом, что глобальная теория интегральных операторов
Фурье, развитая в статье Hormander [26] *), позволяет контро-
контролировать все особенности преобразования Фурье спектральной
меры. Следствие 29.1.6 было доказано в работе Duistermaat,
Guillemin [1], но его изложение здесь ближе к рассуждениям
') Ив работах В. П. Маслова 60-х годов.— Прим. ред.
348 29. Спектральные асимптотики
Иврия [3]. На самом деле теорема 29.1.5 и аналогичная теорема
29.3.3 неявно содержатся в принадлежащем Иврию доказатель-
доказательстве следствия 29.3.4. Теорема 29.1.7 аналогична классической
теореме Сегё (Szego [1]) о контракции оператора умножения
на пространство тригонометрических многочленов фиксирован-
фиксированного высокого порядка. Она была доказана Гийемингсш (Guille-
min [2]) с использованием леммы 29.1.8, восходящей к Уидому
(Widom [1]). Сили (Seeley [5]) доказал значительно более об-
общие результаты, чем предложение 29.1.9, о соотношении между
стандартным функциональным исчислением г; исчислением
псевдодифференциальных операторов. (См. также Taylor [4].)
В работах Chazarain [2] и Duistermaat, Guillemin [1] были
изучены вклады в спектральную асимптотику, которые дают
замкнутые орбиты поля Яр, расположенные различными регу-
регулярными способами. В последней статье имеются ослабленные
варианты теоремы 29.2.2. В приведенной формулировке теорема
29.2.2 принадлежит Колену де Вердьеру (Colin de Verdiere [1]),
определившему вклады замкнутых орбит с наименьшим пе-
периодом. Формулы для многочлена \х из теоремы 29.2.2, связан-
связанные с формулой индекса Атьи — Зингера, были найдены Буте
де Монвелем и Гийемином (Boutet de Monvel, Guillemin [1]).
Теорема 29.2.5 в своей основе принадлежит Уэйнстейну (Wein-
stein [2]), который рассмотрел возмущения оператора Лапласа
на сфере посредством потенциала. (См. также Guillemin [3].)
Здесь мы пользовались методами Колена де Вердьера (Colin
de Verdiere [1]). Однако в доказательстве теоремы 29.2.7 мы,
напротив, следовали идеям Уэйнстейна (Weinstein [2]). В ра-
работе Guillemin [1] указана конструкция римановых метрик на
сфере, таких что все их геодезические замкнуты и имеют оди-
одинаковый период.
30
Дальнодействующая теория
рассеяния
Краткое содержание главы
В гл. 14 мы изучали спектральные свойства короткодействую-
короткодействующих возмущений достаточно общих дифференциальных операто-
операторов Pq(D) с постоянными коэффициентами в Rn. Условие ко-
роткодействия, наложенное там на возмущающий оператор
1/(х, D), было предназначено для того, чтобы иметь возмож-
возможность изучать резольвенту возмущенного оператора методами
компактности. Грубо говоря, там требовалось, чтобы коэффи-
коэффициенты оператора V убывали как интегрируемая функция от
\х\ и чтобы для х, замороженного в точке х0, оператор V(xo, D)
был компакте*! относительно Po(D) в том смысле, что
V (х0, |)/ЯоA)-*О пРи 111"^°°. В этой главе мы ослабим тре-
требования на поведение V(x, ?) как при больших х, так и при
больших |. Однако для того, чтобы наиболее выпукло изложить
основные идеи, мы будем предполагать, что Ро — эллиптический
оператор некоторого порядка т. Тогда наше первое предполо-
предположение относительно V заключается в том, что V имеет порядок
га, что его коэффициенты при производных порядка m непре-
непрерывны и что весь оператор P0(D)-\- V(x, D) также эллиптичен.
Кроме того, мы будем считать, что V = Vs (х, ?)+ VL(X> ?)> гДе>
как и в гл. 14, коэффициенты короткодействующего члена Vs
убывают быстро, как интегрируемая функция от \х\, в то время
как дальнодействующий член VL допускает оценку
C0.1) \DaxVL(x, ?)I<CA+Uirlal~e(l+I?l)m, Ia|<2,
при некотором г > 0. Более детальное обсуждение этих условий
проводится в § 30.1. Для выполнения условия C0.1), разумеется,
достаточно, чтобы функция VL была однородной по х степени
—8 при |х|>1; например, кулоновский потенциал удовлетво-
удовлетворяет оценке C0.1) с 8 = 1. Однако условие C0.1) допускает
также осциллирующее поведение VL как функции от х, если оно
компенсируется ее более быстрым убыванием.
350 30. Дальнодействующая теория рассеяния
В §30.2 мы будем требовать выполнения условия C0.1) лишь
при |сх|^ 1. Это требование совсем немного сильнее, чем нужно
для того, чтобы переменная ? имела предел на бесконечности на
орбитах гамильтонова поля символа Ро(?) + VL(x, ?)• Этого
свойства достаточно для доказательства того, что оператор
P0(D)-\- V(x, D) с областью определения Со° имеет самосопря-
самосопряженное замыкание Н и что его резольвента R(z) = (H — z)~l
имеет пределы при г-^Я + ДО, за исключением счетного мно-
множества значений Я, дискретного всюду, кроме множества Z(Po)
критических значений символа Ро. Спектр оператора Р абсо-
абсолютно непрерывен вне этого счетного множества. Главную
роль в доказательстве этих результатов играет априорная
оценка, доказываемая применением тех же методов, что и в
§ 26.7, к оператору Ро(/)) + VL(x, D) — z. Это удается сделать
благодаря тому, что мнимая часть оператора Po{D) +
Vх (х, D) — z имеет определенный знак при Imz=^=0. (В этом
рассуждении необходимо выбрать разбиение V на Vs и VL таким
образом, чтобы VL(x, D) был самосопряженным. Ниже мы бу-
будем использовать разбиение, в котором оператор Vх веществен.)
Для исследования спектральных свойств оператора Н нам
потребуется подробная информация о свойствах гамильтонова
потока символа P0(g),+ VL(xf g) при выполнении условия C0.1)
в полном объеме, которая позволит нам построить подходящее
лагранжево многообразие
C0.2) Л с: {{х, g); Po (g) + VL (x, I) = 1}
и решить уравнение Гамильтона — Якоби
C0.3) dW (g, t)/dt = Ро (g) + VL (dW/dl, g).
Как показано в § 30.1, можно выбрать VL таким образом, чтобы
все производные допускали оценку вида C0.1). В § 30.3 пока-
показано, как эти оценки отражаются на свойствах многообразий Л
из C0.2) и решений W уравнения C0.3).
В § 30.4 мы используем решения уравнения C0.3) для до-
доказательства существования модифицированных волновых опе-
операторов
C0.4) W±u= lim eitHe-iw^^uy u<=L2(Rn).
t->±oo
При /->-оо справедлива асимптотика Щ?, t) = tPo(l)-{-O(tl~e)t
где е — то же, что и в C0.1). Однако, вообще говоря, W(D, t)
нельзя заменить на tPo{D), как в определении волнового опера-
оператора в § 14.4. Уже в случае кулоновского потенциала это при-
приводит к логарифмической расходимости. Тем не менее Й?±
всегда является изометрическим оператором, сплетающим Н и
30.1. Допустимые возмущения 351
Ho = Po(D):
C0.5) eisHW± = W±eisH\ sgR.
В § 30.5 доказывается асимптотическая полнота, т. е. тот
факт, что образ каждого из операторов W± совпадает с ортого-
ортогональным дополнением к линейной оболочке собственных век-
векторов. Как и в § 14.6, ключевую роль в доказательстве играют
искаженные преобразования Фурье F±. Напомним, что по опре-
определению F±f(l) = h±i0(l) на Мк = {1\ Р0A) = Х}, где/еВ и
/х±/о выбираются так, что
(Н-Х + /О) f = (Яо - ^ /0)-' fk ± .0.
Отсюда по теореме 14.2.2 вытекает, что
C0.6) lim [\x(D)R{l±iO)f\2y(x/R)dx/R
J <?(tP'0)dt)dS/\P'0\.
Для дальнодействующих возмущений аналогично изучение
асимптотических свойств функций R(kdziO)f приводит к функ-
функциям F±f e L2(MX), удовлетворяющим соотношениям C0.6). Од-
Однако в этом контексте естественно связать асимптотические
свойства не с конормальным расслоением к Мъ как в коротко-
короткодействующем случае, а с лагранжевым многообразием Л из
C0.2).
30 1. Допустимые возмущения
Как указывалось во введении, мы будем рассматривать возму-
возмущения вида
V{xy D) = Vs(x, D) + VL(x, D)
эллиптического оператора Po(D) порядка т с постоянными
коэффициентами, где Vs— короткодействующее возмущение, а
VL — дальнодействующее. Точное определение условия коротко-
действия будет дано ниже (определение 30.1.3). Однако отме-
отметим уже сейчас, что короткодействующим возмущением является
любой оператор порядка т, который имеет коэффициенты
О(\х\-1~г) при |jc|-^oo для некоторого г > 0. Будем предпола-
предполагать, что коэффициенты / дальнодействующей части принадле-
принадлежат С* при некотором целом х > 0, причем
CX1.1) |Da/(jc)|<C(l+|jc|)-|a|-e, xzeR", I a
при некотором 8g@, 1). Если бы выполнение условия C0.1.1)
требовалось лишь при |а| = х, то функция f(x) разлагалась бы
352 30. Дальнодействующая теория рассеяния
в сумму многочлена и функции, удовлетворяющей C0.1.1). Тогда
C0.1.1) выполнялось бы также при всех |а|^х, если бы
f(x)->0 при х-^оо. При помощи регуляризации можно также
получить некоторые оценки для производных высших порядков
функции /:
Лемма 30.1.1. Пусть функция f<=CK удовлетворяет условию
C0.1.1), и пусть 0 < б < 6. Тогда существует разложение / =
fs + /L, где
C0.1.2) |/5(х)|<СA+|*1Г1+б~8, *e=R",
так что fs — короткодействующего типа, и при всех а
C0.1.3) \DafL(x)\<Ca(l+\x\rm{lal), xe=Rn,
где m(j) — вогнутая последовательность вида
{б + / при j <; х,
1+F + х — 1)//х при />х.
Доказательство. Возьмем функцию г|) е С^° {{х\ \х\< 2}), для ко-
которой ф(д:)= 1 при |х| < 1, и положим
/о(*) = *(*)/(*), /vW = (ipB-vx)-i|)B1-vx))/W, если
Тогда /=Z/v> 2v~1<|jc|<2v+1 на supp/v, если v =^ 0, и
|DaM*)l<C2-v(|a|+e), |a|<x.
Пусть х ^ С~, ^%dy=l и J ypx (^) d# = 0 при 0 < | р |< х, и по-
положим xAy) = lB-VQy)/2nv9, где р = (и- 1 +б)/х< 1. Тогда
2V~2 < I х |< 2V+2 на supp Xv * /v.
если v достаточно велико, и
Действительно, мы можем применить х дифференцирований к fv,
а остальные —к Xv- Поэтому оценка C0.1.3) верна для fL =
2 Xv * /v» поскольку jc попадает в носители не более 4 членов,
если \х\ достаточно велик. Если разложить fv(x — 2vPy) по фор-
формуле Тейлора до членов порядка ^ х— 1, то мы получаем, что
ЗОЛ. Допустимые возмущения 353
Но х + 6 — хр = х + е — х+1 — 6=1+6 — б. Поэтому /s =
/ — fL удовлетворяет оценке C0.1.2). Доказательство закончено.
Замечание. Если е>1/(х+1), то т(х+1)>х+1 для б,
близких к 6, так как A/(х+1) + х—1)(х+1)/х = х. Следо-
Следовательно, fL удовлетворяет C0.1.1) с х+1 вместо к. Поэтому
мы будем обычно предполагать, что е^1/(х+1) и соответ-
соответственно что в лемме 30.1.1 б<1/(х+1). Тогда т(/)>/ при
/ ^ к и т (/) < / при / > х.
Точное определение короткодействия, которое мы будем ис-
использовать, подсказано примером, обсуждавшимся после леммы
14.4.3, где на самом деле была доказана следующая
Лемма 30.1.2. Если V—измеримая функция и 0^|а|<т, то
C0.1.5) \\VDau\\{0) <С|| V \\Lp\\u\mY и <= Со({х; \х-у\<1})>
если либо р = п/(гп — |а|) > 2, либо р = 2 и п <. 2(tn — \a\)>
либо р >2 и п = 2(т — |а|).
Разумеется, Lp-HopMy достаточно брать лишь по единичному
шару с центром в у. Для упрощения некоторых доказательств
мы включим в определение короткодействующего возмущения
более ограничительное условие на бесконечности, чем в гл. 14.
Определение 30.1.3. Дифференциальный оператор
V(x, D)= ? Va(x)Da
с измеримыми коэффициентами, непрерывными при |<х| = т„
будем называть короткодействующим, если при некотором б > О
C0.1.6)
J a\<mr
\у\<1 )
при всех *е Rn. Здесь р зависит от а; р = п/(т — |а|), если
это отношение > 2, р = 2, если п<2(т — |а|), и р — любое
число >2, если п = 2(т — |а|). Оператор V(xy D) называется
к-допустимым возмущением, если V симметричен, т. е.
(V(x, D)uy v) = (u, V(x, D)v) при и, v<=C™,
Pq(D) + V (x, D) является эллиптическим и V = Vs + VL, где Vs
короткодействующий, коэффициенты Va оператора V вещест-
вещественны и при некотором е > 0
C0.1.7) \D*Va(x)\<C(l+\x\rl*{-\ IPKx.
354 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Используя лемму 30.1.1, можно изменить разложение Vs+ V7'
таким образом, чтобы к?еС°° и при всех Р
C0.1.7/ [D^W|<Cp(l+Uirw(lpl),
где m(j) определяются формулами C0.1.4) с некоторым бе
@, 1). В частности, отсюда вытекает, что оператор VL(x, D) —
VL(x, D)* является короткодействующим. Поэтому формула
V(x, D) = (VL(x, D) + VL{x, D)m)/2
+ ((VL (x, D) - VL (x, D)*)/2 + Vs (x, D))
дает разложение V(xf D) на симметрические слагаемые, удов-
удовлетворяющие условиям C0.1.6) и C0.1.7)' соответственно, но
коэффициенты дальнодействующей части, вообще говоря, яв-
являются комплексными. Это разложение мы используем в
§ 30.2. (Можно было бы также в качестве дальнодействующей
части использовать вейлевский оператор VLv/(x, D)).
В § 30.3 нам придется постоянно иметь дело с функциями,
удовлетворяющими оценкам типа C0.1.3). Следующие аналити-
аналитические леммы пригодятся нам для вывода различных следствий
из таких условий.
Лемма 30.1.4 Пусть /, jeC^jR'1), и пусть для некоторого
х е Rn и некоторого t > 1 при всех мультииндексах аир
Hwl<c/, |dV(*)!<c/.
Тогда для любых выпуклых последовательностей а и b
\&{!8){х)\«%?{Ы\
где Cy = 2iy1 max CaC$ и
|+1Р1||
с (k) = max (а (k) + b @), а @) + b (k))
= a@) + b @) + max (a (k) — a @), b(k) — b @)).
Доказательство. Очевидно, что D^(fg) (x) есть сумма 2iYl членов,
каждый из которых является произведением производной от /
порядка / на производную от g порядка \у\ — /. В силу выпук-
выпуклости показатель степени #(/) + &(|yI — /) ПРИ основании t в
оценке такого члена должен достигать своего максимума при
0^/^|yI b концевой точке. Отсюда и вытекает указанная
выше формула для c(|y|).
Теперь рассмотрим суперпозицию функций.
Лемма 30.1.5. Пусть ip: R -> Rn? — гладкое отображение, опре-
определенное в некоторой окрестности точки х е R, для которого
C0.1.8) |яЧ
ЗОЛ. Допустимые возмущения 355
ide а— выпуклая последовательность и t>\. Если функция f
бесконечно дифференцируема в точке ф(л:), to
Оу (/ о ф) (х) = Z (ЯР/) (ф (х)) V р (х), | Y I > О,
0<|PKlYl
C0.1.9) l^pW^^
а константы С'у определяются по Са, |а|^|у1- Если для дру-
другой выпуклой последовательности b(k)
то
C0.1.10) \D4f
где
с(Л) = тахF(А) + *аA), b(l) + a(k))9 k>0.
Доказательство. Каждый член, входящий в УР?, р, является про-
произведением / = |Р| производных от компонент функции ф по-
порядков ku . • • > Л/, каждый из которых ^1 и /ji + ... + kj =
|y|. Его можно оценить через произведение константы на t в
степени
a(k{)+ ... +a{kt).
В выпуклом множестве всех (k\, ..., ^eR^^^I, ..., k\^\
и /si + ... -{• kj = k крайними точками являются наборы, в ко-
которых /—1 координат равны 1, а одна оставшаяся равна
k — /+ 1. В самом деле, если две координаты > 1, то можно
одну из них уменьшить, а другую увеличить на одно и то же
небольшое число. Но последовательность а можно посредством
интерполяции продолжить до кусочно линейной выпуклой функ-
функции. Поэтому рассматриваемый максимум достигается в край-
крайней точке и, следовательно, равен (/—\)а{\)-\- a(k — / + 1)-
Это доказывает C0.1.9). Наконец, и выпуклая последователь-
последовательность &(/)+(/— 1)аA)+а(|у| — /+1) при 1^/^lvl также
достигает своего максимума 6 крайней точке. Поэтому этот мак-
максимум равен c(|y|)> что доказывает C0.1.10).
Заслуживает специального упоминания следующий частный
случай:
C0.1.11) c(k)^b(k), если a(?)<&(?)-6A), a(l)<0.
При a = b мы получаем, в частности, что оценки вида C0.1.8)
сохраняются при суперпозиции, если аA) = 0. Следовательно,
если отображение ф удовлетворяет оценкам C0.1.8) и диффе-
дифференциал фх(х) обратим, то обратное отображение <р = ф-1 удов-
удовлетворяет оценкам вида C0.1.8) в точке y = ty(x) с констан-
856 30. Дальнодействующая теория рассеяния '
тами, зависящими лишь от С$ и от величины нормы ^'(л:)-1.
Действительно, дифференцируя тождество it>°<p (*/) = */ и исполь-
используя C0.1.9) для оценки членов, в которых -ф дифференцируется
по крайней мере дважды, мы получаем, что
если уже получены оценки для производных от ф младшего по-
порядка. Следовательно, по индукции утверждение доказано.
Часто встречается также другой частный случай, когда усло-
условия C0.1.11) тоже выполняются: когда b(k) — выпуклая и воз-
возрастающая последовательность, 6A)^0 и a(&)=max@, b(k)).
Действительно, поскольку b(k)^b{k) — 6A) и O^b(k) — 6A)
при k^ 1, то условия C0.1.11), очевидно, выполняются. Отме-
Отметим также, что условия C0.1.11) остаются справедливыми при
добавлении константы к последовательности Ь.
30.2. Граничные значения резольвенты
и точечный спектр
Пусть Po(D) — формально самосопряженный дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами в IRn, эллиптический
порядка т. Цель данной главы—показать, что результаты ко-
короткодействующей теории рассеяния из гл. 14 можно распро-
распространить с некоторыми модификациями на операторы Р =
Po(D)+ V(x, D), если V является 2-допустимым возмущением.
Однако в этом параграфе нам необходимо только, чтобы опера-
оператор V был 1-допустимым, а для первого результата нам потре-
потребуется еще меньше:
Теорема 30.2.1. Пусть V (х, D) = 2 Va (x) Da — симметриче-
\а\ <т
ский дифференциальный оператор порядка т, коэффициенты Va
непрерывны при |а| = т, измеримы при всех а и
lim Va (x) = 0 при | а | = т,
*->оо
C0'2Л) lim \ \Va{x + y)\pdy = 0 при |а|<т,
где р — показатель из определения 30.1.3. Пусть также оператор
P0(D)+ V(x, D) является эллиптическим. Тогда P0(D) + V(x, D),
заданный на области определения Я(т), является самосопряжен-
самосопряженным оператором Н в L2{Rn).
Доказательство. Возьмем вещественнозначную функцию % е
Co°({jc; \х | < 1}), равную 1 при |x|<l/2. Если применить
30.2. Граничные значения резольвенты 357
C0.1.5) к зс(- —У) и, то ввиду C0.2.1) получаем, что
$ \V(X, D)u\*dx^C(y)\\x(- -У)и\?{т)9 U€E&,
\x~y\<\/2
где С (#)->-0 при у-*-оо. Интегрируя по у, получаем, что
C0.2.2) || V (х, D) и || < С || и ||(т), и е= <?,
а поскольку 9 плотно в Я(т>, то Р непрерывно действует из Я(Ш)
в L2. Следовательно, оператор Н корректно определен и симме-
симметричен. Если мы покажем, что Я + it сюръективен при больших
\t\y /gR, to отсюда будет следовать самосопряженность опе-
оператора Я.
Для любого е > 0 мы можем выбрать разложение
V (х, D) = Vo (x, D) + V{ {x, D), Vj (x, D) = ? VJa (x) Da,
|aT<m
где оператор Уо(^, D) симметричен и его коэффициенты
и в то же время
IWK ||
J
\y\<\
где р выбирается так же, как и выше. Действительно, если
Ь то оператор
удовлетворяет условиям C0.2.1)' с е/2 вместо е, когда б доста-
достаточно мало. Оператор Хб^Хб симметричен, так же как и его
сдвиги. Коэффициент при Da принадлежит L?OmP. Следователь-
Следовательно, мы получим C0.2.1 )г, если возьмем в качестве Vo опе-
оператор, полученный регуляризацией коэффициентов оператора
%&V(x, ?>)Хб как в теореме 4.1.4. В дальнейшем мы предполагаем
б настолько малым, чтобы оператор Po(D) + Vo(x, D) был эллип-
эллиптическим.
Оператор Яо с областью определения Я(т), задаваемый вы-
выражением P0(D)+ Vq(x, D), является самосопряженным. Дей-
Действительно, если и^ L2 и Яо и = f e L2, то
(PO(D) + Vo(x, D))u = f
в смысле теории распределений. Следовательно, и е Н\т), по-
поскольку оператор Ро+У0 является эллиптическим. Поэтому
Po(D)mgL2, так как коэффициенты оператора Vo принадлежат
С?°. Но отсюда следует, что и е Я(ш).
358 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Поскольку
(Н + it) (Но + it)-1 =I + V{ (х, D) (Но + ity\
то для доказательства сюръективности оператора Н + it доста-
достаточно получить оценку
C0.2.3) \ух(х, D)(H0 + itrl\\<l
при малых 6 и больших |/|. Для этого возьмем ^gL2 и поло-
положим (Но + it)~lg = og #(m). Тогда
\Vx(x, D)(Ho + itrlg\ = \\Vl(x9 D)v\\^Ce\\v\\{m)
в силу C0.2.1 )г и рассуждений, использованных для доказатель-
доказательства C0.2.2). Очевидно, что ||о|| ^ ||g||/|f|. Чтобы понять, как
IMI зависит от 6, заметим, что
(Po(D) + Vo(x, D) + it)v=g.
Положим
Et(x,l) = (l+\l \Т12 (Ро (Б) + Vo (*. 6) + «Г1.
Символ Et ограничен в 5° при /->-оо, хотя оценки для него за-
зависят от 8. Умножая на Et(xy D)y мы получаем
C0.2.4) A + | D \2)ml2v = Et (x, D)g + Rt (x, D) v,
где Rt ограничен в 5м-1 при t-*~oo. При больших t
|| Et (х9 D) || < 2 sup 11 \ml\ po (I) + v0 (x, I) |,
где p0 и v0 — главные символы операторов Ро и Vo. Это вытекает
из теоремы 18.1.15, если применить ее к Et(x, D) A—%(8D)) и
заметить, что норма оператора Et(xy D)%FD) стремится к 0 при
|f|-*oo и фиксированном 6. Следовательно, из C0.2.4) выте-
вытекает, что при больших \t\
где С не „зависит от е и t, а Се не зависит от t. Поскольку
II v \\{т_1} < || v Ig»"» || v fm < BСе)-' || v ||{ш) + С'ъ || v ||,
то после сокращения слагаемых |Н|(т)-2, мы получаем, что
при больших |^|. Следовательно,
при больших \t\, откуда при еС < 1 вытекает C0.2.3). Доказа-
Доказательство завершено.
30.2. Граничные значения резольвенты 359
Пусть R(z) = (H — г)-1, 1тгф0, — резольвента оператора
Я и
— конечное множество критических значений символа Ро. Зай-
Займемся изучением резольвенты в случае, когда z приближается
к точке i^R\Z(P0) со стороны одной из полуплоскостей, и
докажем справедливость результатов, аналогичных теоремам
14.5.2, 14.5.4 и 14.5.5. Для этого нам придется усилить условия
теоремы 30.2.1 и потребовать, чтобы оператор V(x, D) был
1-допустимым в смысле определения 30.1.3. Как мы помним, это
означает, что ]/= Vх + Vs, где VL имеет вещественные коэффи-
коэффициенты, удовлетворяющие оценкам
C0.2.5) |^^(х)|<СрA+|х|)"т(|Р|)
с m@) = 6, m(k)=\ + k8, k>0. Оператор Pq+Vl является
эллиптическим, если VL выбран равным 0 в достаточно боль-
большом множестве. Заменяя VL на (VL + Vх*)/2, мы можем счи-
считать, что оператор VL(x, D) симметричен, но не обязательно с
вещественными коэффициентами.
Из C0.2.5) следует, что символ
является символом веса A +|л:|)-бA +1 ? I)w относительно
а-умеренной метрики
C0.2.6) G6 = | dx p A + \х I2) + | dl f A + 1112)
и что DxDi V при р ф 0 допускает такие же оценки, как в слу-
случае, если бы VL был символом веса A +|л:|)A +|g|)m. (Здесь
мы, естественно, используем терминологию продвинутого исчис-
исчисления псевдодифференциальных операторов из § 18.5.) Перед
тем как двигаться дальше, нужно сделать несколько замечаний
о пространствах с весами A +|#|2)'/2A +|i|2)s/2, которые при
/=0 совпадают с пространствами #(s), а при 5=0 — с про-
пространствами L2t из § 7.9.
Определение 30.2.2. Через H(S),t(Rn) обозначим пространство
распределений ttG/(Rrt), для которых A + |*|2г/2A_+<
|D|2M/2ue=L2, с нормой
Ясно, что A+|#|2)*/2 и (l+|5|2)s/2 являются символами
одинакового веса даже относительно метрики G\. Следователь-
Следовательно, оператор
A +1D |2)s/2 A +1 х |2) A + | D I2)"*2 A + I х |2Г
360 30. Дальнодействующая теория рассеяния
имеет вес 1. Поэтому он непрерывен в L2. Таким образом, мы
получим более слабую норму, если в определении 30.2.2 поме-
поменяем местами множители A +|#|2)'/2 и A +\D\2)sf2. На самом
деле эти нормы эквивалентны, поскольку порядок сомножителей
в предыдущих рассуждениях не играет роли. Следовательно,
как и в доказательстве теоремы 18.1.13, пользуясь теоремой ком-
композиции и /^-непрерывностью операторов с символами
eS(l, G6), мы заключаем, что операторы с символами
eS((l +|x|)T(l +|S|)»\ Gb) непрерывно отображают H{s)ft в
Уже из условий теоремы 30.2.1 вытекает, что
C0.2.7) || и ||(т)), < Ct (|| Ри ||@)>, + II и ||@)>,), если и <= 2>н.
При / = 0 это утверждение составляет часть теоремы 30.2.1. Для
доказательства C0.2.7) при t^0 положим
v = FB(x)fu, Fe(x) = (l+\x\*)l/2(l+e\x\2rl/2.
ЯСНО, ЧТО V е Н(т) И
Pv = Р {F{u) = FfePu + [Р, Fl~] F?v.
Здесь [Pt Ffe] Fe* — оператор порядка т—1, а поскольку Fe
ограничен в 5(^8, G\), то его коэффициенты можно оценить
через коэффициенты старшего порядка оператора Р. Следова-
Следовательно, из C0.1.5) вытекает, что
Применяя C0.2.7) с t = 0 к v вместо и, мы получаем
IIv 1Ц < с (| г?* || + II о IU- .0 < с II р1Г» I+IIv IU)/2 + с' IIv
Следовательно,
откуда при б~>-0 получается C0.2.7).
Теперь займемся выводом оценки для u=R(z)f при f^L2
и 1тг#0. Эта функция является единственным решением
и е #(т) уравнения
C0.2.8) (Ро (D) +V{xyD)-z)u = f.
Чтобы иметь возможность применять исчисление псевдодиффе-
псевдодифференциальных операторов, мы сначала вместо этого рассмотрим
уравнение
C0.2.8/ (Ро(D) + VL(x, D)-z)u = f.
30.2. Граничные значения резольвенты 361
Зафиксируем X^Z(P0) и выберем некоторую компактную
окрестность U множества
Символ Р0(Ъ)+ VL(x, I) — z отличен от 0 при больших |*|, если
g^= ?/ и \z— Я|<^?/. Его модуль допускает также оценку снизу
через с(\ +|i|)m при всех х для больших |||, поскольку символ
Л>A) + VL(xy ?) является эллиптическим. Следовательно, если
функция /о s Co° (R*) равна 1 в ?/, то функция
C0.2.9) ег(х, l) = (l
корректно определена при больших |*| + |?|. Домножая ez на
подходящую срезающую функцию, можно определить ег на всем
пространстве R2n. Поскольку pQ(g) + VL(x, g) — z<= S((l +|||)w,
G6), то по лемме 18.4.3
e,(x,l)eS((l+\l\rm9 G6)
равномерно по z. Следовательно,
еж (ху D) (P0(D) + vL(xyD)-z) = I-K> (D) - гг (х, D),
где символ rz ограничен в S((l + | х |)~бA + Ш), G6). Если
функция х^Со° равна 1 на supp/o, а Ег — асимптотическая
сумма символов операторов A —%(D))rz(x, DI ег(х, D), принад-
принадлежащих классам 5(A + | л: |)~/бA + | i |)~7, G6), то
Еж(х, D)(P0(D) + VL(x, D)-z)u = (I-%(D))u + R2(x, D)u.
При этом для каждого Л^
так что оператор Rz(x, D) имеет ядро класса ^(R2rt). (Для
определения асимптотической суммы здесь нужно воспользо-
воспользоваться очевидным обобщением предложения 18.1.3, в котором
нужно ввести также срезающие функции по х.) Итак, мы до-
доказали
Предложение 30.2.3. Пусть IeR и функция %eCo°(R/l) равна
1 в некоторой окрестности множества Afх = {|; Р0(|) = А,}.
Тогда, если и ^9" — решение уравнения C0.2.8)' с / ^ #(S), *, то
u — %(D)u^H(S+m)tt при \z — K\<. гг. Для любых s', f при
некоторой константе С
C0.2.10) || и - % (D) и ||(s+m)> t
Приведенные выше рассуждения, разумеется, вполне отве-
отвечают стандартной теории эллиптических операторов и отнюдь
не используют в полной мере условия C0.2.5). Сейчас мы зай-
362 30. Дальнодействующая теория рассеяния
мемся выводом оценки для %{D)u при помощи методов, исполь-
использованных в § 26.6 для изучения распространения особенностей
для операторов главного типа в случае, когда мнимая часть
главного символа сохраняет знак. Мнимая часть оператора
Po{D)+ VL(xy D) — z равна, очевидно, —ilmz, так что мы имеем
дело в точности с таким случаем. При этом взамен предложения
30.2.3 мы получаем следующую оценку:
Предложение 30.2.4. Если и е Н{т) — решение уравнения
C0.2.8)' с feEB uImz = 0 и x€=C~({g; р'0(Ъ)ф0}\ то
C0.2.11) \\x(D)u\\в. < Сх(||х(D) f \\в + ||и||@)> _A+б)/2).
Доказательство. Обозначая через Р оператор Po(D)+ VL(x, D)t
самосопряженный согласно нашим предположениям, запишем
тождество (ср. B6.6.3))
C0.2.12) lm(Q(P-z)u, Qu)=lm([Q, P]u, Qu) - lmz\\Qufy
где оператор Q e OpS(l, G\) нам еще предстоит выбрать. Мож-
Можно считать, что Imz > 0, так как иначе можно просто поменять
знаки у Р и z. Тогда
C0.2.12/ Im([P, Q]u9 Qm)< — lm(Q(P - z)u, Qu).
При больших \х\ главный член символа оператора Q*[P, Q]/i
равен у
C0.2.13) - q (xy I) (дР0 (g)/ag, dq (x, Ъ)/дх),
если q(x, ?) — символ оператора Q, причем q — вещественно-
значная функция. Функцию q возьмем такой, чтобы величина
C0.2.13) была неотрицательной.
Пусть р^Со°(—1/2, 1/2)— некоторая убывающая функция
от t2 и р@)=1. Положим р(х, у) = рA — <х, у>/\х\\у\), х, i/e
Rn\0. Тогда <*, у)/\х\\у\^1/2 на suppp, т. е. угол между
х и у не превосходит я/3, p(x + ty, у),— возрастающая функция
от t и
в силу однородности. Возьмем функцию о|) s Co° ({x s Rn;
1/2 < | х |< 5/2}), для которой всюду 0 < -ф < 1, ^(х)=1 при
1 ^ I x I ^ 2, и положим
Тогда ^?(х, у) — однородная функция от у степени 0 и
У (х9 у) > 0, Ф (х, у) = (у, дЧ> (х, у)/дх) > 0,
30.2. Граничные значения резольвенты 363
причем при г|)(х)>0 неравенства являются строгими, а равен-
равенство является определением. Следовательно, можно так выбрать
функцию феС чтобы ф(д;) равнялась константе ^=0 при
1 ^|л;|^2 и
C0.2.14) |<р(*I2 <?'(*, У)Ч{х, уI\у\.
Отметим также, что
C0.2.15) \DaxD№(x, г/|||
поскольку при |л:|<3 можно считать, что все производные по
х применяются к ф.
Применим неравенство C0.2.12)/ к Q = qR(xt D), где
Здесь R !> 1 и % s Со° ({?; Ро (?) ф О}) — вещественнозначная
функция. Символ qR ограничен в 5A, Gi) при R ^ 1 (см.
C0.2.6)) и
l)
Следовательно, в силу C0.2.14), если, как мы можем предпола-
предполагать, |Pq(?)|>1 на suppx, то
C0.2.16)
SR(x, l) = -qR(x, t)(Po®,dqR(x,t)/dx)-R-l\q>(x/R)%(t)\2^O.
Поскольку символ Sr(x, I) равномерно ограничен в 5(A +
IjcI)™1, Gi), to в силу точного неравенства Гординга (теорема
18.1.14)
C0.2.17) Re(S*(x, D)u, м)> - С||м||^ _г
Строго говоря, теорему 18.1.14 здесь нужно применять к сопря-
сопряженному оператору к двойственному по Фурье к Sr(x, D). Мож-
Можно было бы также сослаться на теорему 18.6.7.
Символ оператора Q*[Po9 Q]/i ограничен в 5(A + |л:|)-2, Gj),
если исключить из него только что рассмотренный главный член
— q (P'o, dqRjdx\. Символ оператора Q*[VL, Q]/i ограничен в
5@ +\х\)~1~6> G6), так как VL — символ веса A +|g|)m(l +
IjcI)-6, в то время как его производные по х являются симво-
символами веса A+U|)m(l+|^|)~1~б- Таким образом, символ опе-
оператора
Q' [P, QVi ~ SR (x, D) - /Г'х(D) Ф (x/Rf x(D)
364 30. Дальнодействующая теория рассеяния
ограничен в S((l + \х\)-1~6, G6). Поэтому из C0.2.12)' и
C0.2.17) вытекает, что
C0.2.18) /Г1 IIФ (x/R) % (D) и ||2 < || Qf \\в \\ Qu \\в. + С\\и ||20)> _A+б)/2.
Здесь Q = Q'%(D)t где оператор Q' определяется аналогично Q,
но с другой функцией x'eCo°(U; Ро{1)Ф О}) (вместо %), рав-
равной 1 на supp%. Из теоремы 14.1.4 вытекает, что оператор Q'
непрерывно действует в Б и в В*. Следовательно, беря в
C0.2.18) верхнюю грань по R > 1, мы получаем
IIX(D) и ||2В, < С || х (D) f \\в || %(D) и ||в. + С\\и ||2о), -A4б)/2,
что и доказывает C0.2.11).
При объединении оценок, полученных в предложениях 30.2.3
и 30.2.4, мы учтем также вклад от короткодействующего возму-
возмущения Vs. Рассуждая, как при доказательстве C0.2.2), и учи-
учитывая C0.1.6), мы получаем
C0.2.19) \\Vs(x, D)u\\{0)tt+l+6^C\\u\\{mhV u^H{n).u * е= R.
Поскольку Vs — симметрический оператор, для и, уеУ
\(Vs(x, D)u, v)\ = \(u9 Vs (х, D)v)\^\\u\\{0lt\\Vs(x, D)v\\{0)_t
Следовательно,
C0.2.20) || Vs (x, D) и ||(_m)i <+1+6 < С || и ||@)_ t, u<=9>.
Поэтому из плотности 9* в //(о), t вытекает, что Vs (х, D) допу-
допускает единственное продолжение до непрерывного отображения
//(о), t -*- #(-m), й-1+б, и оценка C0.2.20) для этого продолжения
также справедлива.
Теорема 30.2.5. Пусть оператор V(x, D) является {-допустимым
возмущением самосопряженного эллиптического оператора
Po{D), и обозначим через Н самосопряженный оператор в L2,
определяемый оператором P0(D)+ V(x, D). Тогда для любого
^g R\Z(Po) существует такое г > 0, что
C0.2.21) Z WD^l^CtWfWs + UuU^^),
I а | ^m
если u = (H — z)~lf, где /еВ и \z — k\<r, Imz^O.
Доказательство. Возьмем функцию %^С|Г({?; Р'оA) ф О}), рав-
равную 1 в некоторой окрестности множества Мх. Применяя C0.2.10)
к уравнению (PQ(D)+ VL(x, D) — z)u = f—Vs(x, D)u, мы по-
30.2. Граничные значения резольвенты 365
лучаем, что
Здесь мы использовали сначала C0.2.19), а затем C0.2.7). Сле-
Следовательно,
C0.2.22) ? [| Оа A — 5С (О))« L. ^ С (|| f ||s + || и || _,).
I а | ^.т
С другой стороны,
так как если %' е= С~ и %' = 1 на supp %, то D\(D) = Da%'(D)%(D)
и оператор Da%' (D) непрерывен в L2S при любом s и, следова-
следовательно, также в В*. Поэтому из C0.2.11) вытекает, что
C0.2.23) \\Dax(D)ulB^C(\\x(D)(f- Vs (х, D)u)\B + ||«||@),
Если \х > 1/2, то при некоторых зависящих от \х константах
C0.2.24) || % (D) Vs (х, D) и \\в < С \\ % (D) Vs (х, D) и ||@)> ц
Vs (х, D) и ||(_т)> ц < С || и ||@)> ^
Выбирая |я = A+б)/2 и суммируя оценки C0.2.22) —(^0.2.24),
мы получаем, что
Отсюда вытекает оценка C0.2.21), поскольку
2С И «И@),-.,2-6/4 < И" Ив-< Z !^а«|В.
I а | ^ т
при некотором с > 0, и
С||и||@)> _A+б)/2< с \\и||@)) _1/2_б/4 + С||и||@)> _,.
Чтобы перейти от теоремы 30.2.5 к доказательству существо-
существования и оценкам граничных значений резольвенты, нам потре-
потребуется аналог теоремы 14.3.4 для пределов графиков операто-
о
ров Н — z при z-+hdzi0. Напомним, что В*—пространство
всех и е L?Oc, для которых
/Г1 J \u\2dx-+0, R->oo.
\x\<R
Поскольку псевдодифференциальные операторы веса 1 непре-
непрерывны в В* и в 9>, они также непрерывны в замыкании В* про-
пространства <? в Б*.
366 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Теорема 30.2.6. Пусть Imz/>0, zj-+Kе= R\Z(Po и (Я —
Zj)u}=fl^B. Предположим, что fj-+-f no норме пространства
В и что Datij-+Dau в слабой* топологии пространства В* при
/->оо и \а\ ^ т. Пусть a gS(A + |Шт> Gi). Тогда а(х9 D)u^
В*, если а{х, g) = 0 на положительном нормальном расслоении
M к Мх, задаваемом соотношением
Доказательство. Поскольку щ ограничены в Н^ь-ц при \х >
1/2, из C0.2.19) вытекает, что тогда Vs (х, D)uj ограничены в
Я@), 1+в-ц. Кроме того, /у ограничены в Я@>, i/2. Поэтому из пред-
предложения 30.2.3 вытекает (во введенных там обозначениях), что
A—%(DJ)Uf ограничены в //<«), i/2. Следовательно, A —
х(ОJ)«бЯ(тМ/2, так что
a(x,D)(\-x(DJ) и <= Я@), щ а В\
Для изучения а(х, D)%(DJu нам придется модифицировать до-
доказательство предложения 30.2.4, выбирая символ qR равным
нулю при малых \x\/R.
Кроме функции р е С^° (R) из доказательства предложения
30.2.4 возьмем также четные функции plf p2eCo°(R) со значе-
значениями в [0,1], такие что pi = 1 в некоторой окрестности supp р,
р2 = 1 в некоторой окрестности supp pi и носитель р2 достаточно
близок к нулю. Выбирая ру- и ф, как в доказательстве предло-
предложения 30.2.4, положим
, У)=\ Ы*-г, У)9(г, y)dz.
Поскольку i|)i(a:, y) = 0 при х, лежащих в некоторой окрестности
конуса —suppp(-, у), то очевидно, что ?(*, у)=0 при |^|<с,
где с — некоторая положительная константа. Предположим, что
функция ф в доказательстве предложения 30.2.4 выбрана так,
что г|) > 0 на supp cp, и положим
Тогда i|)i(x, y)>0 при xesupp9i(-, у) и, следовательно, при
достаточно малой константе k
C0.2.14)' |ф1(*, у)\2<ь4'(х, y)W(x, y)l\y\.
Ясно, что оценка C0.2.15) остается справедливой. Если опреде-
определить qR(x91) так же, как выше, и положить
ф (x9l) = vx(x/R9 — P^
30.2. Граничные значения резольвенты 367
то предполагая, что |Р?(?)|^1 на supp% (чего всегда можно
добиться), мы получаем, что
C0.2.16)'
SR(x, t)=-qR(x, Ъ)(Ро(Ъ), dqR(x, Ъ)/дх)-R~l\<t>R(x, g)|2>0.
Как и выше, символы SR равномерно ограничены в S((l +
l^l), Gi). Однако, поскольку Sr(x, ?) = 0 при \x\<cR, от-
отсюда вытекает, что символы R2ySR также ограничены в S((l +
I*!J*", G\) при /?->оо, если 7^0- Следовательно,
C0.2.17)' R2yRe(SR(x, D)u, u)>-C\\uf{ohy_v
Аналогично можно опустить множитель R2v, но зато увеличить
порядок в последующих оценках, приводящих к C0.2.18). При
этом мы получаем
C0.2.18)' R'l\\OR(x9 D)u\\2^lm(-(qR(x, D)f0) qR(x, D)u))
+ CR~2y\\ U ||(b),
если и*=Н{т) и fo = (Po(D)+ VL(x, D) — z)u, Imz>0. Зафик-
Зафиксируем v<6/2, возьмем u = Ujy z—z}- и устремим /->оо. Тогда
Uj-*u по норме пространства/ H(m-i)ilx при |i <—1/2, и
<7я(л:, D) Vs(x, D)iij-+qR(x, D) Vs{x, D)u по норме пространства
#@)>|Х+1+б согласно C0.2.19). Если ц,+ 1+6>1/2, то отсюда
вытекает сходимость в В и, следовательно, оценка C0.2.18)'
остается справедливой также и для предельной функции и из
нашей теоремы с fo = f— Vs (х, Ь)ц^В. При R-^oo
\\4r(x, D)fo\\B->O,
так как qR(x, D)fo-*O в 9> при fo^^7, образующих плотное под-
подпространство в В, и нормы qR в В и в В* равномерно ограни-
ограничены. Следовательно,
C0.2.25) R~l\\<bR(x, D)u\\2->0, /?->oo.
Пусть с — постоянное значение функции ср(л;, у) при 1<
|л:|<2 и р2(л:, —у) = 0. Если а(х, i) = 0 в некоторой кониче-
конической окрестности расслоения N+(M\), то, полагая Ь = а%/с> мы
получаем, что 6eSA, G\) и
а(%, 1)%{1J = Ь(х, 6)Ф*(*. I) при R<\x\<2Ry
если только supp p2 достаточно близок к 0 и supp% достаточно
близок к jWx. Рассматривая ROR как символ, ограниченный в
S((l +|^|), Gi), мы получаем, что
а(х, D)%(DJ=b(x, D)OR(x, D) + TR(xy D), R<\x\<2R,
368 30. Дальнодействующая теория рассеяния
где RTR(x, l) ограничен в 5A, Gi). Из C0.2.25), ограничен-
ограниченности Ь(х, D) в L2 и равномерной ограниченности RFR(xt D)u в
В* вытекает, что
/Г1 J \a(x, D)%{DJu\1dx->0, /?->оо.
R<\x\<2R
Если а равен 0 в точности на N+Щх), то а можно предста-
представить в виде а = ао + аь где а0 обладает указанными выше
свойствами, a sup|ai(A:, ?)%(?JI сколь угодно мал. Верхний пре-
предел при R-+oo норм операторов ty(x/R)fli(x9 D)%(DJ в L\
в силу теоремы 18.1.15 не превосходит sup|\|)|sup|ai%2|. По тео-
теореме 14.1.4 нормы в В* допускают аналогичную оценку. Следо-
Следовательно,
\ IM*, D)x(DJu\2dx^Csup\ai(x,
R<\x\<2R
где правую часть можно сделать сколь угодно малой. Отсюда
о
а(ху D)%(DJu^ В*, что и завершает доказательство.
о
Теорема 30.2.6 означает, что и принадлежит классу В* всюду,
кроме N+(Mx)9 если В* микролокализовать таким же образом,
как это было сделано в § 18.1 для пространств H(S) (при этом
нужно поменять роли переменных х и g). Однако мы не будем
дальше развивать эту точку зрения, несмотря на ее хорошую
связь с интуицией, поскольку мы смогли бы здесь ею восполь-
воспользоваться лишь в очень немногих случаях.
Теперь докажем утверждение, заменяющее в данном кон-
контексте следствие 14.3.10.
Теорема 30.2.7. Пусть Dau eB*, \a\^m, и пусть
(P0(D)+V(x, D)-k)u = feEB,
где ^е R\Z(P0). Предположим, что а(х, D)u^B*, если а?
(( +|!|)m, GO и а = 0 на N+(MX). Тогда
C0.2.26) Игл /Г1 [ \а(х, D)u\2dx = 2lm(u, /),
если а — символ того же класса, но
C0.2.27) \а(х, 1)\2 = (х/\х\, Р'0(Щ
при (х, I) е Л^+ (М)) и большом \ х |.
Доказательство. Поскольку (и, Vsu) = (Vsu, и) (ср. A4.4.7)'),
правая часть C0.2.26) равна 21т(м, {P0{D)+VL(x9 D)—X)u).
Пусть a|) e C~ (R) — вещественнозначная функция, равная 1 в не-
30.2. Граничные значения резольвенты 369
которой окрестности точки 0; положим ^r(x) = ty(\x\/R). Тогда
2ilm(u, f)
= lim №Ru,(Po(D) + VL(x, D)-l)u)-((PQ(D)+VL(x, D)-k)u,
R->°o
= lim ([P0(D) + VL(x, D), *R(x)]u, и).
Символ оператора
[Po (D) + VL (x, D), ypR (x)]/i +Zf(U № (xj/R \x\) P{P (D)
ограничен в S (A +1 g||)m-1 A +| *|) '-a-1/?-*, G6), если с > 0, так
как г|)я можно заменить на функцию ф^—1, ограниченную в
S((l +|л:|)с^-с, Gi). Выберем с>0 и р,>1/2 так, чтобы
с + М'<б + 1/2. Тогда, поскольку иеЯ(т-1),-№, функция
Rc([Po(D) + VL(х, D)9 tyR(x)]/i + *'(\x \/R) ? (х,/\ Rx \
ограничена в Я@), e+i-c-^ и, следовательно, в Б, так как 6+1 —
с — \х > 1/2. Поэтому
21т(и, /)= lim (-Z(?(\x\/R)(xJ/R\x\)P\l)(D)ut и)).
R->oo
Из C0.2.27) и наших предположений вытекает, что если а?
SA, Gi) (a можно считать, что это так), то
? (*//1 ^ I)^оЛ(D)u-a (х, D)ma(x, D)uee В*.
Следовательно, по неравенству Коши — Шварца
2 1т (и, f)= lim (~W(\x\/R)a(x, D)*a(x, D)u, u)/R)
#-»oo
= lim (-\tf(\x\IR)\a(x,%D)u\2dx/R).
R->oo V J /
Последнее равенство вытекает из того, что символ коммутатора
оператора ty'(\x\/R)/R с а(х, D)* ограничен в
при любом с; мы возьмем cg@, 1). Для любого е >0 можно
так подобрать ф, чтобы
0 < - г|/ < A + е) Ф или <р/( 1 + в) < - ^,
где ф — характеристическая функция интервала A, 2). Это до-
доказывает утверждение вида C0.2.26), в котором интегрирование
проводится по множеству R <Z\x\<C 2R. Отсюда, разбивая ин-
интеграл по шару |л:|<;/? в сумму интегралов по слоям между
сферами радиусов /?, R/2, /?/4, ..., мы немедленно получаем
C0.2.26).
370 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Функции, удовлетворяющие условию C0.2.27), существуют,
так как (х/\х\, Р'0(Щ= \Р'0(Щ > 0 на множестве N+(MX). От-
Отсюда вытекает
Следствие 30.2.8. Если выполнены условия теоремы 30.2.7 и,
кроме того, Im {и, /) = 0, то Dau е В* при | а | ^ га.
о о
Доказательство. Если а(х, О)«еВ,то6(х, D)a(x, D)u^B*
при &gSA, Gi). Используя символы из условия и из идеала,
порожденного символом, удовлетворяющим C0.2.27), мы полу-
о
чаем таким образом, что а(х, D)u^B* при любом flGS((l +
|?|)m> ^i)> поскольку это верно при всех операторах меньшего
порядка по х и g.
Если предел графиков операторов R(Zj), рассмотренный в
теореме 30.2.6, не является графиком, т. е. содержит пару вида
(и, f), где и Ф 0, a f = 0, то Dau е В* при | а | ^ га. Наша бли-
ближайшая цель — обобщить теорему 14.5.2 и показать, что we
#(m), * при всех ?. Этот результат, в частности, применим к соб-
собственным функциям оператора Н с собственными значениями
X^Z(Po) и локально равномерен, откуда можно вывести, что
собственные значения образуют дискретное множество и имеют
конечную кратность. Необходимые для этого оценки, по су-
существу, содержатся в доказательстве теоремы 30.2.6, но нам
придется подвергнуть пересмотру некоторые детали.
Теорема 30.2.9. Пусть К—компактное подмножество в R\Z(P0),
A,e=tf, D«ue=B* при \а\^т и
(P0(D) + V(x, D)-k)u = f.
Обозначим Х(х) = A +|*|2I/2> и пусть Xyf(=B при некотором
7^0. Тогда ХЮ^и е= В* при \а| < m и
C0.2.28) ? \\X*Dau\\B^Cy(\\x4\\B+ Z \\Dau\\BX
Доказательство. Достаточно доказать этот результат для неко-
некоторой компактной окрестности К произвольной точки Ко е R\
Z(Po). Выбирая функцию %, как указано в предложении 30.2.3,
мы получаем
( Z<m UyDa A - %(D)) и ||в, < С|| A - х(?»)) и ||(m), Y
<C(\\f-Vs(x, D)u||@)_y +1|«||@)>_,).
Согласно C0.2.19),
I a | ^
30.2. Граничные значения резольвенты 371
Отсюда вытекает, что если утверждение уже доказано для
7— 1/2 вместо v» то A —%(D))u обладает сформулированными
свойствами.
Чтобы получить оценку для x(D)ut вернемся к неравенству
C0.2.18)'. На самом деле мы доказали, что при А,, близких к Яо,
*-!||Ф*(*, D)utf^\(qR(x, D)(f-VS(xt D)u\ qR(x, D)u)\
+ CR Ци|1
В силу C0.2.19)
\\qR(x, D)Vs(xy О)и\{
а поскольку R4qR e 5(A + |*lJv> Gi), to
*2y || qR (x, D) и ||@)> _Y_A+6)/2 < С || и ||(т)§
Следовательно,
C0.2.18)" Я~1\\Фя(х, D)uf^\\qR(x, D)f\\B\\qR(x, D)u\\B.
о
Оценка C0.2.18)/yr остается справедливой, если Dau^B* при
|a|^m, как предполагается в теореме. Действительно, пусть
функция t>^C™({x; |jc|<2}) равна 1 в единичном шаре. Обо-
Обозначим ?>t(x) = Z>(x/t), применим C0.2.18)/х к %tu и устремим
t-^oo. Символ оператора [P0(D)-{- V(x,D), ^] равен
Здесь \DiZt\^C/t, и на носителе этого символа /<|
Поэтому, как видно из доказательства оценки C0.2.2),
*
О
для рассматриваемой в теореме функции и, так как Dau e В
Поэтому, учитывая, что t>tu-+u в В* и t,tf-+f в В при tf->oo,
мы заключаем, что C0.2.18)" выполняется и для и.
Возьмем 6 > 0 и умножим C0.2.18)" на возрастающую функ-
функцию /?2v(l -f- e/?)-2v. (Впоследствии мы устремим е к 0.) Оче-
Очевидно, что
\\\
поскольку оператор R^qR(xy D)X~vограничен в OpS(l, Gj), так
как символ RyqR(x, g) ограничен в S(AX Gi). Докажем, что
\\Ry(l+eR)-yqR(x, D)u\\B^C\\Xy(\ + eX)~y%(D)u
372 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Для этого определим q'R аналогично qRi заменив % на функцию
Х\ ^ Со°, равную 1 на supp %, но имеющую лишь немного боль-
больший носитель. Тогда
Ry(l+eRryqR(x, D)u
= Ry(l+eRryq'R(xf D)X~y (I+гХ)у (Ху (I+гХ)~у %(D)u).
Здесь символ Ry(l+eR)~y q'R(x, l) ограничен в sUY(l+e*)~Y, G{),
так как /Y(l+e0~Y— возрастающая функция от /. Следова-
Следовательно, оператор Ry(l +e/?)~Y^(jc, D)X~y(l + eX)Y ограничен
в OpS(l, G{). Поэтому
C0.2.29) R-l\\Ry(l + eR)-yOR(xi D)uf
^C(\\xyf\\JXy(l +eX)-yX(D)u\\B»+ \\u\\2{m)ty_{l+m).
Применяя C0.2.29) к —P и —X вместо Р и к, мы получаем
C0.2.29) с Ф! (*//?, Я?F))ХF) вместо Ф^. Поскольку 0 *=? р2 ^ 1
и suppp2Ci(—1/2, 1/2), то р2A + /)+ Р2A—0^1 и> следова-
следовательно,
*> y) + Vi(x, —у).
Поэтому, учитывая, что <р(х)Ф0 при 1 ^|х|^2, мы получаем,
что
C0.2.19/ R~llRy(l +eR)-yq>(x/R)%(D)uf
< С (I Xyf \\B \\Xy(l+ sX)-y x (D) и I + || и |fm)§ Y_A+6)/2)-
Здесь R экивалентно Х на supp<p(x//?). Поэтому, беря верхнюю
грань по R > 1, мы получаем, вводя обозначение Ne = \Xy(I +
eXryx(D)u\\B*9 что
Поскольку Afe < оо, можно оценить С||-Yv/ИдЛ^в через C2||^Y/|||/2 +
Л^е/2, что дает
Теперь воспользуемся произволом в выборе е: устремляя е->0,
мы получаем, что X^xi^ti^B* и (разумеется, с новой констан-
константой С)
| и t < С (| Xyf \\в + || и \\{mh
если здесь правая часть конечна. Аналогичная оценка справед-
справедлива и для Dax(D)u, так как если функция Х\ ^Со° равна 1 на
30.2. Граничные значения резольвенты 373
SUppx, TO
XyDa% (D) и = X"D\ (D) Х~УХУ% (D) и
и XvDa%i(D)X-v^OpS(l, Gi). В итоге мы получаем, что
|| х% \\в. < cY, Y (I xv I +
|a J ^m
если 0^ у' < y < 77 + 6/2; таким образом, XvDau^B* при
|a|^m, если XyDauе В* при |a|^m. Увеличивая y последо-
последовательно на порции <б/2, начиная от 0, мы получаем доказы-
доказываемую теорему.
Суммируя предыдущие результаты, мы приходим к одному
из вариантов принципа предельного поглощения, обобщающему
результаты § 14.5:
Теорема 30.2.10. Пусть оператор V(x, D) является 1-допустимым
возмущением эллиптического самосопряженного оператора
Po(D) порядка пг с постоянными коэффициентами. Пусть
Z(Po) — множество критических значений символа Яо, и пусть
Н — самосопряженный оператор с областью определения Я(т),
задаваемый выражением P0(D)+V(xy D). Тогда собственные
значения ie R\Z(B§) имеют конечную кратность и образуют
множество Л, дискретное в R\Z(Po). Собственные функции
принадлежат Я(т)> t при каждом t. У любого компактного под-
множества К в R\(A[)Z(P0)) существует такая окрестность
К'а С, что
C0.2.30) S ||Z)a"||B*<C||/||B,
|а|<т
если [ей, zee/C, Imz=^0 и и = {Н— z)-lf = R(z)f. Если
2->^е/(, причем Imz^ 0, то R(z)f имеет слабый* предел
RCK±iO)f в В*; более того, DaR (z) f -> DaR (X ± Ю) / в слабой*
топологии в В* при |а|^т. Решение u=R(k±iO)f уравнения
(P0(D)+V(x, D)—'k)u = f выделяется тем, что Dau^B* при
|а|< т и а(х, D)u<=B* для всех aeS((l +|Шт, G0» Рав~
ных нулю на
Решение и слабо непрерывно зависит от %. Если %^0(\
Z(P)UA)) и dE% — спектральное семейство оператора Н, то
C0.2.31) \%(b)d(EJ, f) = (±l/n)[%(K)lm(R(X±iO)f, f)dX, f(=B.
Доказательство, (а) Если U\,U2, ... — ортонормированное се-
семейство собственных функций оператора Н с собственными зна-
значениями Д4Д2, ... е/С, то и/ и Huj ограничены в L2 и, следо-
374 30. Дальнодействующая теория рассеяния
вательно, щ ограничены в Я(т). Поэтому из теоремы 30.2.9 при
и = Uj, к = kj и / = 0 вытекает, что последовательность щ пред-
компактна в L2. Это невозможно, если ортонормированная по-
последовательность Uj бесконечна. Таким образом, мы уже дока-
доказали сформулированные свойства собственных значений и соб-
собственных функций.
(Ь) Пусть кф. A\]Z(Pq) и оценка C0.2.30) не выполняется
ни для какой окрестности точки к. Тогда можно построить такие
последовательности Zj-^k и fj¦? В, что lmzj=?0 и ||//||в < 1//,
причем
? || D\ Цд. = 1, если Uj = R (zf) fj.
Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно счи-
считать, что DaUj стремится слабо* к пределу Dau в В* при |a| ^m.
Тогда Uj-^u по норме пространства #(o),-i и, следовательно,
иФО в силу C0.2.21). Если, как мы можем считать, Im г/> 0
при всех /, то условия теоремы 30.2.6 выполняются при / = 0.
Но тогда из теоремы 30,2.6 и следствия 30.2.8 вытекает, что
о
Dau е В* при |а| ^ т. Следовательно, и е #(m), t при всех t по
теореме 30.2.9, откуда ^еА, в противоречие с нашим предпо-
предположением. Это доказывает, что любая точка k^A[)Z(Po) об-
обладает окрестностью, для которой выполняется оценка C0.2.30).
Если /еВ, то последовательность Uj = R(Zj)f является относи-
относительно слабо компактной в В* для любой последовательности
Zj-^k + iO (или X—Ю) и любой предел и ее подпоследователь-
подпоследовательности удовлетворяет уравнению
(PQ(D)+V(x, D)-k)u = f,
/)аие=В*при|аКтиа(х, D)ae=S* при всех ae=S;((l +|?|)m,G1),
обращающихся в нуль на N±(Mx). В силу следствия 30.2.8 и
теоремы 30.2.9 эти условия однозначно определяют и, поскольку
кфК. Поэтому функция z\-^DaR(z)f имеет слабый предел в
В* при |a|^m и z-+k±i0. В частности, это доказывает, что
граничные значения R(k±iO)f являются слабо непрерывными
функциями от к.
(с) Формула C0.2.31) вытекает непосредственно из леммы
14.6.1 и непрерывности функции (R(z)if, f) в C±\(A[)Z(Po)).
Это завершает доказательство.
Замечание. Если к является собственным значением, то из при-
приведенного выше доказательства видно, что R(z)f имеет предел
при z—^kdzlO, когда f^B и / ортогональна к соответствую-
соответствующему пространству собственных функций Z%. Этот предел также
ортогонален к Z*,. Следовательно, предел графиков, обсуждав-
30.3. Гамильтонов поток 375
шийся в теореме 30.2.6, является суммой пространства ZxX {0}
и графика этого предела, определенного на ортогональном до-
дополнении к Zy,
30.3. Гамильтонов поток
В этом параграфе мы будем предполагать, что дальнодействую-
щая часть VL возмущения удовлетворяет условиям определения
30.1.3 при некотором х ^ 2. На самом деле полученные резуль-
результаты мы будем применять здесь лишь в случае х = 2, однако
большая общность не приводит к заметному удлинению доказа-
доказательств. Как было отмечено во введении, нам нужно будет по-
построить лагранжево многообразие Л, удовлетворяющее C0.2),
и решение уравнения Гамильтона — Якоби C0.3). И для того
и для другого необходимо проинтегрировать уравнения Гамиль-
Гамильтона
C0.3.1) dx/dt = д (Ро (I) + VL (х, Q)№> dl/dt = - dVL (x, Ъ)/дх.
Поэтому мы начнем с исследования задачи Коши для C0.3.1).
Напомним, что для |, лежащих в компактном подмножестве в
R*, согласно C0.1.7)',
C0.3.2) \d\D*Vl {x, g)l<CGp(l + Uirm(m)>
где т — вогнутая последовательность
C0.3.3)
6 + j /< (I + F + 1)// при
Как было замечено после доказательства леммы 30.1.1, можно
считать, что 6 < 1/(х+ 1) и соответственно m(j) < / при / > х.
Мы всегда будем считать это условие выполненным, чтобы из-
избежать отдельного рассмотрения случаев, в которых оценки со-
содержат логарифмы.
Если VL = 0, то решения C0.3.1) имеют вид | = const и
х — /Pq(?) = const. Для удобства сравнения с невозмущенным
случаем введем новую координату z:
x = t(P'o (I) + г), U (t, г, I) = VL (t (P'o (I) + г), l)jt.
Тогда
/ dz/dt = dx/dt - PJ (g) - z - tP% (g) dl/dt
= dVL/dl + t?l A) dVL/dx -z = tdU(t, z, g)/dg - z,
так что уравнения C0.3.1) принимают вид
C0.3.1)' dz/dt =-z/t + dU (t, z, Q/dl, dl/dt = — dU (t, z, l)/dz.
376 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Если | лежит в компактном множестве К, в котором | P'0(l) I > с
и \г\<с/2, то
C0.3.4) \DlzU(t, г, g)|<Ca^|a|-m(|a|)-1
при больших t. Действительно, DitZU является линейной ком-
комбинацией с ограниченными коэффициентами выражений вида
/'a' lDax'D?'VL (x, Q/t9 x = t(Po (I) + z), | a' | + I a"l < I a I-
Отсюда вытекают оценки C0.3.4), поскольку |a'| — m(|a'|)^:
|a| — m(|a|).
Лемма 30.3.1. Пусть ш — открытое подмножество в R2n, для ко-
которого (г, yew =^(А,г, ?)е о, 0^Я^1, и пусть при больших
t выполняется условие C0.3.4). Тогда для о/с^ю уравнения
C0.3.1O с начальным условием
C0.3.5) (z, I) = (w, ц) <еоо' при t = T
при достаточно большом Т имеют единственное решение
(z(t, w, tj), l(t, wy г]))ео) на полупрямой t^T. Справедливы
оценки
CQ.3.6) \Daw^(z(tt w, л), lit, w,
C0.3.7) \DlMUt, w, т|)-лI<СГ(|а|), |а|<х,
C0.3.8) \Dl.nZ(t9 w, г])|<|^>Т1ш|ГА + С^(|а|), |o|<xf
где [i(k) = k+ 1 — mi(k+ 1) и все константы не зависят от Т.
Доказательство. До тех пор пока решение системы C0.3.1)' с
начальным условием C0.3.5) существует и лежит в о, выпол-
выполняются оценки
11 dz/dt + z | <a1"mA), | dl/dt | <CrmA).
Отсюда вытекает, что
так как гаA)=1+6<2. Из первой оценки находим, что
(с другой константой С)
| г - (Tit) w | <Ctl~m w < CP~m<o, / > Т.
Отсюда при достаточно большом Т получаем, что (г, ?) при
t > Г остается в некотором компактном подмножестве в со, так
что решение существует при всех t > Т. Из предыдущих оценок
вытекают также оценки C0.3.7), C0.3.8) при а=0.
30.3. Гамильтонов поток 377
Теперь продифференцируем C0.3.1)' по w или ц и обозначим
(za, la) = Dl,tr\(z, I). Тогда для |а|=1 мы получаем
dza/dt = — za/t + (d2U/dl дЪ) 1а + (d2U/dl дг) za,
C0.3.9) d^di = __ 02ц1дг щ ?« __ @2и/дг дг) га.
Домножая скалярно на za и ga и суммируя, мы получаем от-
отсюда, что
NdN/dt^CN2tl-m{2\ N2 = I (|za|2 + UaD.
|a| = l
Таким образом, поскольку mB)>2,
s)
l/\
csl-m{2) ds) < оо, t^T, N(T) = Bn)
так что Af(/) ограничена. Следовательно, в силу C0.3.9)
\d(tza)/dt | < Cf~m v\ | dla/dt | < Ctl'm B).
Интегрируя эти неравенства, мы получаем, поскольку 2 <
тB)<3, что
12a@ \t <| га (Г) |Т + C't*~mB), 11« (t) - &а (Г) |<CT2-W w.
Отсюда вытекают оценки C0.3.7), C0.3.8) при |а|=1.
Предположим теперь, что k — целое число ^2 и что оценки
C0.3.6) —C0.3.8) при |а|<& уже доказаны. Дифференцируя
C0.3.1)', мы получаем, что
dza/dt = -za/t + (д2и/д1 д$) l« + (d2U/dl дг) za + Za,
C0.3.9) ^^ = __(д2ц/д:г qq ga _ (tfu/dz dz) za + Sa, | a | = *,
где через Za и Sa обозначены суммы членов, входящих в
Dw, t\Ur (t, z (t, w, ц), I (t, w, т])), в которых U в совокупности
дифференцируется не менее трех раз. По предположению
| DJ. „ ((z (t9 w, л), I (t, w, л)) I < Cata (l a h, | a |< ky
где а(/) = тах(ц(/), 0), а в силу C0.3.4)
где b(k) = [i(k)—l. Поскольку |ыA)<0 и (ы возрастает, усло-
условие C0.1.11) выполняется согласно замечаниям, сделанным в.
конце § ЗОЛ. Следовательно,
\Za\ + \Ea\^CtMk)-\ \a\ = k.
Пусть N(t)—функция, определенная по той же формуле, что и
выше, но с суммированием по \a\ = k. Тогда, умножая C0.3.9)А
378 30. Дальнодействующая теория рассеяния
скалярно на za и ?а и суммируя, мы получаем оценку
N' (t) < CN (t) tl~m B) + Cktk'm {k+{).
Умножая это неравенство на интегрирующий множитель E(t) =
ехр(—С/2-тB)/B — тB))), мы получаем, что
(Е @ N (t))F < CkE (t) tk~m {k+l) < C/"m {k+l).
Поскольку N(T) = 0 и E(t)~l ограничена при t> 1, отсюда вы-
вытекает, что
при А<х, Л^(/)<СИ(Л) при ?>к,
так как |ы(^) < 0 при k < к и |ы(&) > 0 при & ^ и. Если k<%,
то, возвращаясь к уравнениям C0.3.9)', мы получаем, анало-
аналогично случаю k=\j что
Поскольку га = 0 и ?а = 0 при / = Г, отсюда следуют оценки
I^KC/'-Va-S), |Еа|<СГ-б/б при />Г,
из которых вытекают C0.3.7), C0.3.8).
Для изучения многообразия C0.2) нам потребуются также
оценки производных по t от (z(t, до, tj), l(t, до, tj)). Достаточно
их получить для w = 0.
Лемма 30.3.2. Для т > 0 справедливы оценки
C.3.10) \D$Dxt(z(t, 0, л), 6(/, 0, л)I<Сат/|а1-т(|а1+х), />Г,
г^ (г, g) — функции, определенные в лемме 30.3.1.
Доказательство. Выбирая 5 = log t в качестве новой перемен-
переменной, мы получаем, что
txD\ = (tDt + (т - 1) I) ... (tDt + i) (tDt).
ьно, поскольку |а| + т — га
ункцией от т, оценка C0.3
C0.3.10)' \D$(tDt)x(z(t, 0, т|), l(t, 0,
Следовательно, поскольку |а| + т — га(|а| + т) является возра-
возрастающей функцией от т, оценка C0.3.10) эквивалентна оценке
Эта оценка симметрична относительно производных по т] и log/,
и поэтому мы можем воспользоваться аналитическими леммами
из § 30.1. Итак,
C0.3.1)" tdz/dt = —z + tdUjdl, tdl/dt = —tdU/dz,
30.3. Гамильтонов поток 379
и нам нужно доказать, что
/О А О 1 1 \ г№ D- Т\ \f D-1 /\ I ^-** /"* ^| Ct I+T — ОТ (| (X |+Т)
(оО.о.П) \ Dz, i(tDf) (ш)|^Сатг
Это доказывается аналогично C0.3.4). Производная, которую
нам нужно оценить, является линейной комбинацией членов
вида
где |а'| + |а ^ |а| и |Р'|^т, поскольку т — \$'\ дифферен-
дифференцирований по /, которые не падают на Vх, уменьшают показа-
показатель степени t. Согласно C0.3.2), такой член можно оценить че-
через t в степени
|a'| + |P'|-m(|a'| + IP'l),
откуда вытекает C0.3.11), поскольку k — m(k) возрастает. По
лемме 30.3.1 при w = 0
0, ц) | <Ca^(|a|), | Dll{t, 0,
Отсюда вытекает требуемая оценка для члена z в C0.3.1 )г/ при
т = 1, поскольку ц(|а|) = |а| + 1— ra(|a| + l). Оценка C0.3.10)'
при т^1 получается, если применить лемму 30.1.5 с a{k) =
max([x(k)y 0) и b(k) = k+ I — m(k+ l) = \i(k). Это можно сде-
сделать, поскольку выполнено условие C0.1.11) (см. конец § ЗОЛ).
Предположим теперь, что т^2 и что оценка C0.3.10) уже до-
доказана для меньших значений т. Применим D^(tDt)x~l к
C0.3.1)" и используем, что
по индуктивному предположению. Учтем, что
tf 0, ц), l(t, 0, r!))|
для т'<тс тем же а, что и выше, и что
е'
где опять Ь = [х. Тогда, применяя лемму 30.1.5 по переменным
т] и log ty мы получаем оценку
\D$(tDt)x-l(tDt)(z(t9 0, Ч), Б(/, 0, т!)))^^^^1^-0,
что и завершает доказательство C0.3.10).
Сейчас мы построим решение зависящего от времени урав-
уравнения Гамильтона — Якоби C0.3), используя лишь лемму 30.3.1.
Теорема 30.3.3. Предположим, что VL{xy g)= ? Va\x)la — по-
лином от g произвольной степени с вещественными коэффициен-
коэффициентами, удовлетворяющий оценкам C0.1.7)' при х = 2 и некото-
380 30. Дальнодействующая теория рассеяния
ром 6g@, 1/3). Пусть Яо(?) — некоторый вещественный непо-
непостоянный полином. Тогда существует такая вещественнозначная
С°°-функция №(?, t)> что при всех g из некоторого компактного
подмножества К в Q = {g; РоA)фО) и некотором tK
C0.3.12) dW/dt = P0(l) + VL(dW/dt g),
если l^K и \t\>tKf
C0.3.13)
при всех а, если % е /С.
Доказательство. Пусть Q0<^Q1^Q2(^ ... (Шй- открытые мно-
множества, причем объединение всех О/ равно Q. Сначала решим
задачу Коши для C0.3.12) с условием
C0.3.14) W(l,t) = tP0{l), ge=Q2, t = tu
где /, достаточно велико. Это означает, что мы решаем уравне-
уравнения Гамильтона C0.3.1) при начальных условиях Е = т)>
x = tlPo(r\), t|gQ2) или, что то же самое, уравнения C0.3.1)'
при начальных условиях
C0.3.15) | = Tj, z = 0 при t = tx.
Если t\ достаточно велико, то по лемме 30.3.1 решение сущест-
существует при всех f > t\. Следовательно, согласно C0.3.7), отобра-
отображение
(;, о, т|)
имеет обратное, определенное на йь если t>t\ и t\ достаточно
велико. Поскольку
\D\UU 0, t|)|<Cafe(|a|), a(j) = max(ii(j), 0),
то для обратного отображения справедлива оценка того же
вида. Далее,
\4t, 0, Ti)|<
Поэтому, применяя опять лемму 30.1.5, но теперь с b = \i, мы
получаем, что z{t, 0, i\) = Z(l(t, 0, ц), t), где
Таким образом, решение задачи C0,3.12), C0.3.14), существует
по крайней мере на Q{ X 1Уь °°)> и поскольку dW (g, t)/dl =
+ Z(t t)), то
C0.3.16) \Dl(W&y t)-tP0&)\^C'atl+[iUa]-l)
r"A+\a\-m(\a\)
— La»
30.3. Гамильтонов поток 381
если аФО. Из уравнения C0.3.12) вытекает, что
Следовательно, используя C0.3.14), мы получаем C0.3.13) так-
также при а = 0.
Предположим теперь, что мы уже построили решение Wj
уравнения C0.3.12) в области Q/X[f/, °°)> удовлетворяющее
там неравенству C0.3.13). Для функции % е С~ (Q7), равной 1
в некоторой окрестности множества О/_ь мы сейчас построим
решение задачи Коши для уравнения Гамильтона — Якоби
C0.3.12) с начальным условием
C0.3.14)' W(t t) = x{l)WJ{l9 t)
где tf+x выберем достаточно большим. Для этого нужно решить
уравнения C0.3.1)' при начальных условиях
C0.3.15)' Б = ЧеО/+2,
* = ¦ (Л) = Г1д (х(л) (W, (л, t) -* tP0
Обозначая через Са различные константы, входящие в различ-
различные оценки, мы получаем, согласно C0.3.13),
C0.3.16) |/ЛИлI<са^а|),
поскольку |ы возрастает. В обозначениях леммы 30.3.1 искомое
решение системы (ЗО.ЗЛ)' записывается в виде A((,^(ц), ц),
z(t, 'Ф('П), Л))> и оно существует при t^tj+u если f/+1 доста-
достаточно велико. Мы утверждаем, что при t ^ tj+\
C0.3.17) \D^l(U *(Л), лI<Са/а(|а|), a(*) = max(|i(*), 0),
C0.3.18) \D^z(U 1>(т|), л)|<
Поскольку
\Daw,r>(z(ty w, л), lit, w,
то эти оценки вытекают из леммы 30.1.5 и C0.3.16), за исклю-
исключением оценки C0.3.18) при |а|<1. В силу C0.3.8)
\z(t, i\
и ^°,)+1</ll@>+1, поскольку ц@)+1 =2 — m(l)>0. Отсюда
вытекает C0.3.18) при а = 0. Аналогично можно оценить
382 30. Дальнодействующая теория рассеяния
используя оценки C0.3.8) и C0.3.16), через
поскольку jj,A)+1=3 — mB)>0. Это завершает доказатель-
доказательство C0.3.18). Отметим также, что
C0.3.19) \W&, t)-tP0(l)\ = \%(l)\\Wi(h t)-tPoa)\
Применяя без всяких изменений рассуждения, приведенные
в первой части доказательства, мы получаем, что при доста-
достаточно большом //+1 на ?2/+iX[*/+i, °°) существует решение
Wj+i уравнения C0.3.12), равное Wj на ?2/_iXU/+b °°) и удов-
удовлетворяющее оценкам C0.3.13) на Q/+iX['/+i, oo) при некото-
некоторых новых константах. Функции Wj, определенные на Q/_i X
[tj, oo), задают в совокупности решение W уравнения C0.3.12)
в объединении U0^/-iX[f/, °°)). Можно продолжить W до
С°°-функции, равной нулю вне QX R, так, чтобы В7(?, f) = 0>
если t < 1 или t < tj/2 и ^ Qy_j при некотором /. Эту кон-
конструкцию можно соединить с аналогичной конструкцией для
больших отрицательных t. Это завершает доказательство тео-
теоремы 30.3.3.
Теперь займемся построением лагранжева многообразия Л>
содержащегося в множестве, где
C0.3.20) po(g) + I/L(x, Б) = Л.
При этом будем предполагать, что X не является критическим
значением символа Pq и что |Ро|^°° на оо. Тогда
является компактным С°°-многообразием. Если V1 = 0, то нор-
нормальные расслоения
N± {My) = {(tp'o (Б), Б); / ^ о, б е м%) .
являются лагранжевыми, однородными по х, и обладают требуе-
требуемыми свойствами. Мы хотим выбрать Л настолько близким на
бесконечности к N±{M%)y насколько это возможно. При этом до-
достаточно ограничиться рассмотрением N+(MX), поскольку за-
замена Pq и X на —Р.о и —X меняет местами N+ и N_. Мы пред-
предполагаем, что возмущение V1 является и-допустимым при неко-
некотором к ^ 2.
Для достаточно большого положительного Т определим
2х,г = {(*. Б); х = ТР'оA)9 Poa) + VL(x, Б) = Я).
30.3. Гамильтонов поток 383
Это есть та часть лагранжева графика отображения Б
на которой Б e Мху ту
MKT = {l\ Po® + VL(TPo(Z), Б) = 4
Лемма 30.3.4. Если Т достаточно велико, то М%, т является
С°°-гиперповерхностью. Если g°eMx и dPo(?Q)j/d?i Ф0, то в не-
некоторой окрестности точки ?° поверхности М^ и М%у т задаются
уравнениями вида
6i = SF'), соотв. ^ =
Здесь g' = (g2, • ••> Б«), функции Е и Ет принадлежат С°° и
C0.3.21) |/
Доказательство. Достаточно проверить последнее утверждение,
которое, разумеется, справедливо, если заменить |i любой ко-
координатой Б/, Для которой dPo(?°)/d?/?=0. Из теоремы о неяв-
неявной функции вытекает, что М% можно задать вблизи Б° уравне-
уравнением вида |i=H(|/). Если умножить уравнение, задающее
А!*,, г, на С°°-функцию (gi — S (gr)) / (Ро (S) — А,), то оно прини-
принимает вид
?,-3 (Г) = />(?),
где FT e C°° в некоторой окрестности точки Б°, не зависящей от
7, и удовлетворяет оценкам
C0.3.22) \DaFT(l)\^CaT]a]~m{W\
Здесь мы опять воспользовались тем, что k — m(k) возрастает,
так что наибольшие члены в DaFT(Q получаются, когда все
дифференцирования падают на х-переменные, входящие в VL.
Правая часть мала при больших 7, если |а| ^ 2. Следовательно,
по теореме о неявной функции в некоторой фиксированной
окрестности точки Б° уравнение gi — S(g/) = /77'(g) можно раз-
разрешить относительно Бь Таким образом, g1 = Sr(?')> и оценка
C0.3.21) выполняется при а=0. Дифференцируя тождество
Ет — S =Fr(Sr, Б0> мы получаем:
Здесь правая часть является суммой выражений вида
{dFTld%x) Dg'Sr и членов, в которых Ет дифференцируется менее
чем |а| раз. Их можно оценить, если, как мы можем предпола-
предполагать, оценки C0.3.21) для производных меньшего порядка уже
доказаны. Положим а(/) = тах@, / — rn(j)) и b(j) = j — m(j).
Поскольку ввиду C0.3.21)
384 30. Дальнодействующая теория рассеяния
и оценки C0.1.11) справедливы согласно замечаниям, сделан-
сделанным в конце § 30.1, из леммы 30.1.5 по индуктивному предполо-
предположению следует, что при больших Т
Здесь мы использовали, что | (dFT/dl{) D^E\ < СГ*A)<СГИ|а|).
Это завершает доказательство.
Из леммы 30.3.4 немедленно вытекает, что Sx, г — изотропное
многообразие размерности п—1. Гамильтоново поле
(д (Ро A) + VL (*, ?))/<Э6) д/дх - (dVL (x9 Ъ)/дх) д/dt
трансверсально к нему, если Т достаточно велико, и поэтому
объединение орбит этого поля, выходящих из 2Х, г, является
локально лагранжевым. На самом деле это остается справедли-
справедливым также и в будущем по t:
Теорема 30.3.5. Пусть оценки C0.3.2) и C0.3.3) выполняются
при некотором к ^ 2. Если Т достаточно велико, то объединение
Ат^ уходящих в будущее интегральных кривых гамильтонова
поля символа РоE)+ VL(x, g), выходящих из 2Х, г, является
лагранжевым многообразием, остающимся над любой заданной
окрестностью многообразия Мх. Если g° — точка из М^ в кото-
которой дР0A)/д1г > 0, то Ат при |, лежащих в некоторой окрест-
окрестности точки |°, определяется уравнениями
C0.3.23) lx = dG (хь ?)/дхи х' = -dQ (xl9 ?)№',
где G является С°°-функцией при больших х\ и для ?', близких
к 1°\ причем
C0.3.24) \D%Dax\{G{xb Г) —Go(jclf Г))|<Сах!+|а/1-ш(|а|).
Здесь Gq(xu %')= Х\ЕA'), если Мк задается уравнением 1\ =
3A') вблизи |°, так что Go локально определяет N+(Mx) со-
согласно формулам C0.3.23).
Доказательство. Сначала проверим последнее утверждение. По-
Поскольку Ро(Е(Г), Г) — Я = 0, то
Р
Следовательно,
') е N+ (Afx).
По определению, Ат является объединением орбит
G\ оо)э
30.3. Гамильтонов поток 385
где (х,@, ?(/))—решение системы C0.3.1), выходящее из не-
некоторой точки ^ 2Х, т при t = T. Как обычно, мы полагаем
x(t) = ?(Л)(|') + z{t)). При этом начальные условия имеют вид
z(T) = 0 и 1(Т)^М^,т. Согласно лемме 30.3.4, мы можем пара-
параметризовать начальные значения ?(Г) вблизи ?° отображением
Из C0.3.7), C0.3.8) немедленно вытекает, что на соответствую-
соответствующей орбите \l(t)— 5гСп')К СТ-ь и |z@|<CH>. Для доказа-
доказательства теоремы нам необходимо изучить отображение
,0 = 2(*, 0. Sr(nO), i(^. Л') = ?(/, 0, I
когда ^ Г, а т|; близко к ?0/. Мы получим оценки для производ-
производных и покажем, что отображение (t, ti') i—>- (j^j (/, т)'), |'(/, г]'))
обратимо. Отсюда будет вытекать, что наше лагранжево много-
многообразие глобально задается параметрами х\, ?' и, следователь-
следовательно, существует функция G(x\, |х), для которой
dG(?l9 i') = i{dx{-(x', 40,
так как дифференциал правой части является симплектической
формой, обращающейся в нуль на образе 2х, т под действием
гамильтонова потока.
Из лемм 30.3.1 и 30.3.2 следует, что
И/, 0, Л), Б(*. 0, Ч)
где ji+(/) = max@, /+ 1 — m(j + 1)), и ввиду C0.3.21)
I DSfo (V) I < Caia (/), а (/) = max @, / - m (/)).
Если применить лемму 30.1.5 с Ъ = [х+, то, замечая, что 6A) +
, мы получаем
Поскольку
лж (/, пОА = КиA(/, VW + ziC, л')
мало отличается от Р{I)E0)>0 при V, близком к gQ/, и боль-
больших Г, то отношение jq/^ также ограничено снизу, и в силу
леммы 30.1.4
/, V), ^(/, т,')Д,(/, п0+
386 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Для исследования свойств отображения (/, л') h~>C*i(f> л')>
V (t* л')) удобно использовать логарифмические переменные
5 = log и Х = log хх (/, лО = 5 + log (Ро° (| (/, л')) + &i (t, ЛО).
При этом d/ds = td/dt и d(|(f, л'), *{U v\')),/ds = O(t^) со-
согласно C0.3.1)', C0.3.4), поскольку z = O(t~6) ввиду C0.3.7).
Учитывая, что d(l(t, ц') — (Нг(л', i\'))/dr\' = О(Т-*) ввиду
C0.3.7) и dz(f, ц')/дч)'=О(г-й) ввиду C0.3.8), мы получаем,
что разность между матрицами Якоби д(Х, i')/d(s, л') и d(s +
logPol)(E(i\')9 r\'), v\')/d(s, Л0 есть О (Г~6) и, стало быть, детер-
детерминант первой есть 1 + О(Т~6). Поэтому при больших Т отобра-
отображение (s, л') •—*• (^> I') можно обратить. Поскольку
по лемме 30.1.5 оценка того же вида справедлива и для обрат-
обратного отображения. Таким образом,^ и %х — функции от х{ и |',
удовлетворяющие оценкам
Это означает, что C0.3.23) выполняется для некоторой функции
Gt> определенной с точностью до постоянного слагаемого, и что
| 1% (XlDXl)x (x7ldG/dt', dG/dx{) |
Отсюда вытекает C0.3.24) при |а|>н; в этом случае
l'vXlUQ(xly s
поскольку Go—однородная функция от х{ порядка 1 и m(|a|)<
|a| при |а| > х. Остается доказать C0.3.24) при |а|^н; при
этом происходит сокращение некоторых слагаемых.
Оценка C0.3.24) при а = 0 означает, что
i, l')-G0(xl9 Г
и она получается интегрированием неравенства
| dG (хи Г)/дхх - dG0 (хь ?)/дхх
соответствующего а' = 0 и оы = 1. Далее,
где |j и х' — функции от хх и |', задающие Лг. Следователь-
Следовательно, оставшиеся недоказанными оценки C0.3.24) эквивалентны
30.3. Гамильтонов поток 387
неравенствам
C0.3.24)' | Dl\Df> (Е, - S (Г)) | + | Dl\Dt' (*' + JC,dE/d|O |/*,
<Сх,76~р1 при*1а'| + р! <к.
Поскольку отображение (/, -п') i—э- (jcu (/, ti'), i'(i, лО) обратимо и
D\\Dp | <а'~р1, | DSlDj'Vl < СГр1, если |а'| + р, < и,
оценки C0.3.24)' можно записать эквивалентным образом в тер-
терминах производных по t, т]':
C0.3.24)"
|DW(t,(/, V?)-S(i'(t, л0)) I <Cre"Pl,
| d?i< (*' (/, лО + je,aa d' (/, л'))М01 < a1", I a' | + p, < x.
Из лемм 30.3.2 и 30.3.4 вытекает, что
IZMJtftfZ^'ia, л'I<СГ'-л при |а'| + р,<х.
Следовательно, \(t, r\') стремится к пределу! (°°, ц') в Ск~1 при
^^-оо, и если записать
|(/, л0 = 1(~, лО + р(Л лО,
то
C0.3.25) | D?D?'p (/, V) I < С/-*-, | о' | + Pi < х.
Аналогично, из лемм 30.3.2 и 30.3.4 вытекает, что
C0.3.26) | d?d?';S(/, tH|< СГвн\ |а'| + р,<х.
Далее,
Ясно, что для членов, содержащих z, оценки вида C0.3.24)"
справедливы. Но P{f)(|) + Pi1)(?)S(/)(EO = O на Мх, по-
поскольку Po(S, ?0 = 0. Следовательно, для завершения доказа-
доказательства оценок C0.3.24)" остается лишь показать, что если
F е= С°° и F = 0 на Мх, то
C0.3.27) | DW F (| а, Л0)|< СГ6-р', |a'| + Pi<x.
Очевидно, что F(g + р) —^(|) = рЯ(|, р), где Н<=С°°. Следо-
Следовательно, поскольку |(оо, Ti')eAfj,, то
388 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Производные от |(^, т)'), p(t, ц') порядка < к по ц' и log* рав-
равномерно ограничены, и то же верно для производных от ?бр. Это
доказывает C0.3.27) и завершает доказательство теоремы.
Следующая теорема показывает, как изменяется функция G
при переходе к другой выделенной переменной вместо х\.
Теорема 30.3.6. Существует единственная функция г|э е С°° (Лг )>
для которой
C0.3.28) Л|э= Е*/^/ ™ Лг, f =—TVL на 1>кт.
В обозначениях теоремы 30.3.5 для нормированной подходящим
образом функции G
C0.3.29) G = x{l{-it> на Лг~,
если х\ велико, а I близко к ?°.
Доказательство. Форма 2 */<^?/ на Лг замкнута, поскольку
многообразие Лг лагранжево. Ее ограничение на 2х, т равно
Поэтому существует единственная функция -ф, удовлетворяющая
C0.3.28) и такая, что
= (x, -dVL(x, l)/dx)
вдоль гамильтоновых орбит на Лг. Далее,
dG = lldxl-(x\ dl') = d{xlll-ty) на Лг,
откуда вытекает C0.3.29), если неопределенная константа в G
выбрана должным образом. Доказательство завершено.
Если VL обращается в нуль при больших |*|, то г|) постоянна
в далеких точках на гамильтоновых орбитах символа Ро +VL
— x = pQ — x в Лг". Поскольку эти орбиты остаются неподвиж-
неподвижными над М\, то на М% существует С°°-функция яроо, для которой
i|)(x, |) = ^оо(|) при (х, ^)еЛг и больших |*|. Кроме того,
|1 = 2(g/) на Лг при больших |л:| для ?, близких к |°, поэтому,
согласно C0.3.29),
G(xu Ъ') = х1ЕA')-Ъ„(В(?)9 Г).
Следовательно, если хг велико, а I близко к g°, то Лг можно
представить в виде
{(*„ -х.дЕ/дГ + д-^ЕЦ'), Г№', 3(Г), Ш-
30.4. Модифицированные волновые операторы 389
Но A, —дЕ/д%)—нормальное направление к М^ в точке
(S(g'), ?'), а отображение
C0.3.30) T*(Rn)Ml->T*(Mx),
полученное ограничением ковекторов на Г(МХ), аннулирует нор-
нормальное направление и переводит Лг в график дифференциала
функции -фоо. Таким образом, справедлива
Теорема 30.3.7. Если VL обращается в нуль при больших \х\, то
функция из теоремы 30.3.6 при больших \х\ задается функцией
-фоо на Мх. При этом Л г совпадает с частью прообраза лагран-
жева многообразия
{(*ЫБ), 6), БеЛ^сГДОО
при естественном отображении C0.3.30), выходящей в направ-
направлении N+(MX). В обозначениях теоремы 30.3.5
G(xlt Г) = *,2(Г)-яЫЗ(Г), Г).
Таким образом, итогом действия возмущения VL с компакт-
компактным носителем является сдвиг лагранжева многообразия
(M) при помощи графика дифференциала функции -фоо.
30.4. Модифицированные волновые
операторы
Как отмечалось в конце § 14.4, нет оснований думать, что вол-
волновые операторы
W±= lim eitHe-im
из теоремы 14.4.6 существуют также для дальнодействующих
возмущений. Однако в данном параграфе мы докажем сущест-
существование такого предела, в котором e~ttHo заменяется на унитар-
унитарный оператор, свертки rIIF(i)|/), где W — функция, построенная в
теореме 30.3.3. В таком контексте эллиптичность невозмущен-
невозмущенного и возмущенного оператора совершенно несущественна, по-
поэтому мы перечислим сейчас ослабленные условия допусти-
допустимости, которые нам будут нужны.
(i) Po(l)—вещественнозначный непостоянный многочлен
степени т.
(ii) Оператор V(x, D)= 2 Va(x)Da имеет измеримые ко-
|a|<ii
эффициенты,
390 30. Дальнодействующая теория рассеяния
при некотором М, откуда вытекает непрерывность оператора
V(x, D) из 9> в L2.
(ш) Оператор V(x, D) симметричен, т. е.
(V(x, D)u, v) = (u, V(x, D)v), и, ve^9>.
(iv) V(x,D)= VL(x, D)+ Vs(x, D), где VL имеет веществен-
вещественные коэффициенты, удовлетворяющие оценкам C0.1.7)' с к =2,
и для почти всех ?, для которых РоОО^О» существует такая ко-
коническая окрестность Г вектора Ро(?)> что
)mdt <oo.
(v) Симметрический оператор P0(D)-\- V(x, D) с областью
определения ЭР имеет самосопряженное расширение Н в L2(Rn).
По теореме 30.2.1 эти условия выполняются для допустимых
возмущений эллиптических операторов. Однако если позволить
коэффициентам Va быть очень большими в некоторых направ-
направлениях, то существование самосопряженных расширений стано-
становится, вообще говоря, проблематичным.
Теорема 30.4.1. Предположим, что предыдущие условия (i) — (v)
выполняются, и пусть Щ?, t) обладает свойствами, указанными
в теореме 30.3.3. Тогда пределы
C0.4.1) W±u= lim e"
существуют в Ь2-норме. Модифицированные волновые операто-
операторы ИР± изометричны и сплетают самосопряженный оператор Яо,
задаваемый оператором P0(D), и Н:
C0.4.2) eisti W± = W±eisH\ s e= R.
Доказательство. Если предположить существование указанных
пределов, то W±, очевидно, изометричны, и
etsliW±e-tsH'u= lim
t->±oo
= lim e
Преобразование Фурье от e'(V(D> '»-w<d. <-*»е-<8и.ц равно
C0.4.3) exp i (Г (g, 0 - Г (|, / - s) - sP0 (l)) й (|).
Если \ лежит в компактном подмножестве из
30.4. Модифицированные волновые операторы 391
и t велико, то
согласно C0.3.12), так как
I dW (g, t)/dl - tPo (I) I < Cf~m A) = С/1
согласно C0.3.13). Дополнение к Q имеет меру 0, так что функ-
функция C0.4.3) сходится к u(g) почти всюду и по модулю не пре-
превосходит \й\. Следовательно,
&i (W (D, t)-W (D, t-s))e-isHou _^ ц
в L2, что и доказывает C0.4.2).
Для доказательства существования пределов C0.4.1) нам
нужна следующая лемма:
Лемма 30.4.2. Пусть й е С^° (Q), и пусть со — некоторая окрест-
окрестность множества {р'о (?); g e supp й}. Тогда ut = e~tW{Dit)u со-
сосредоточена в t(& в том смысле, что
C0.4.4) IM*)KQv(M + mr"> #=1,2, ..., если хЦфъ.
Доказательство. По определению,
Обозначая R(l, t)=W(l, t)—tPo(l)y мы получаем, согласно
C0.3.13), что
C0.4.5)
Напомним, что
где с = A—б)/2 < 1/2. Возьмем /с? за новую переменную ин-
интегрирования, чтобы сделать производные от R порядка ^ 2
ограниченными. Однако, поскольку носитель функции u(l/tc)
возрастает, его нужно разложить при помощи разбиения еди-
единицы
выбранного как в теореме 1.4.6. При этом g пробегает все
точки целочисленной решетки, Xq^C™ и XgE) = XoE~ g). Вве-
Введем функции
392 30. Дальнодействующая теория рассеяния
которые становятся равномерно ограниченными в Со° после пе-
переноса на g. Тогда
C0.4.6) щ (х) = BяГп ? \ ei<f {х'1' % (?) dl/tnc,
g
где
Ф(х, g, /) = <*, t/tc)-W(t/tc, t).
Число слагаемых с йёф0 не превосходит С<лс. Кроме того,
t%{xy g, О = аг —^F//с, t) = x-tPf0(ytc)R$tc, t)
и |/?g(i, Ol^C/1"*, если gesuppu. Если x/t&a>f то
и, следовательно,
|х| + иК2ас|фб(х, g, t)\, g
при достаточно больших t. Кроме того, все производные по ? от
^ф(*, I» 0/A*1 + И) равномерно ограничены. Следовательно,
по теореме 7.7.1 для любого Л^
откуда вытекает C0.4.4), так как
при t = 1 и, следовательно, по однородности, при всех t.
Продолжение доказательства теоремы 30.4.1. Пусть Qi — мно-
множество всех ^ей, для которых Vs удовлетворяет условию (iv)
в некоторой конической окрестности Г вектора РоA). Это, оче-
очевидно, открытое множество, и по условию его дополнение имеет
меру 0. Достаточно доказать существование предела C0.4.1)
дляйеСо°@1) (при этом иеУ), поскольку это подмножество
плотно в L2. Тогда
где щ определяется как в лемме 30.4.2. Таким образом, щ яв-
является С°°-функцией от / со значениями в &9 что доказывает
существование производной
J_ (ettHe-iVHD. t)u) = е,Ш {Шщ _ дщт
= ieiW(P0(D) + V(x, D)-Wt(D, t))ut.
30.4. Модифицированные волновые операторы 393
Следовательно, существование пределов C0.4.1) будет доказа-
доказано, если проверить конечность интегралов
C0.4.7) J \\Vs(x, D)ut\\dt <oo,
— оо
оо
C0.4.8) J l(VL(x, D)-VL(W{(D, t), b))ut\dt<co.
Здесь мы использовали справедливость C0.3.12) на supp й при
больших \t\.
Доказательство оценки C0.4.7) почти не отличается от до-
доказательства теоремы 14.4.6. Выберем такую окрестность
(fldRn\0 множества {Р'О(?>У, 5^ supp й}, чтобы условие (iv)
выполнялось в коническом множестве Г, порожденном со. Ввиду
условия (и) и леммы 30.4.2, примененной к Dau, при \t\^ 1
если N ^ М + 2. Пусть Вх — единичный шар с центром в х.
Тогда из (iv) вытекает, что
J \v\Uv<cntf ? suP|zL|2,
где I(t)—интегрируемая функция от /. Пусть 2ВХ — шар ра-
радиуса 2 с центром в х\ по лемме 7.6.3
\\Dautfdy,
В
\
В2Х
если 5 — целое число > я/2. Интеграл от правой части по х
является конечной константой, поскольку ||Da^/|| = \\Dau\\ при
всех /. Следовательно,
\\Vs(x, D)utt<C(l(t) + r2), Ш>1,
и поскольку Vs (х, D)ut — непрерывная функция от t со значе-
значениями в L2, это доказывает C0.4.7).
Теперь мы подошли к главному пункту — доказательству
C0.44.8). Обозначая иа = Dauy получаем
C0.4.9) (VL(x, D)-VL(Wt(D, t), D))e~iW{D'f)u
394 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Для оценки правой части воспользуемся тождеством
C0.4.10) (xf-W'^D, П)е-ш^1)иа = е-ш^г)(Х1иа),
которое означает попросту, что символ коммутатора умножения
на JC/ и оператора e-iwiDti) равен Wif{Dt t)e~iw{Dit). Преобра-
Преобразование Фурье от XjUa равно —D\ua, так что его носитель содер-
содержится в supp й. Предположим, что supp й настолько близок к
точке lQi для которой хо = Р0A0)Ф0, что
I РоA) - *оI < I *о 1/3, I е= supp xo,
для некоторой функции %оеСо°, равной 1 на suppu. Выберем
функцию xeC~(R"), равную 1 при \х — хо\ < |*0|/3, так, что-
чтобы \х — jc0|.<|jco|/2 при jcesuppx- Ввиду леммы 30.4.2 доста-
достаточно оценить произведение C0.4.9) на %(x/t), поскольку про-
произведение на 1—%(x/t) можно оценить через (|/| + |*|)~v при
любом N.
Пусть / е С°° (Rn) — произвольная функция типа Va , для
которой
C0.4.П) |zOwl<ca(i+UI)"w(|a|)
при всех а. Очевидно, что
f(x)-f(y)=Z(xi-yi)fI(x9 У),
fl(x, y)=\
о
Поэтому, дифференцируя под знаком интеграла, мы получаем,
что при t > 1
C0 4 12) ' xy'i ^ ' У'' ^ a
если |*//-*<>|< |*о 1/2, \у1* — х*\<\х№.
Напомним, что
m (| а | + 1)=1 +A +6)(|a|+ l)/2, если a=^0, m(l)=l +6.
Введем теперь символ
G,t(x, $) = %(x/t)xo®f,(x, dW(h t)ldl).
Если / достаточно велико, то \dW(l,t)/dl — txo\<L t\xo\/2 при
I «= supp xo и
C0.4.13) Z G,t(x, l)(Xj - dW (I, t)/d$j)
= X (x/t) (f (x) - f (dW(l, t)№
30.4. Модифицированные волновые операторы 395
Если мы найдем, что символ Gjt обладает достаточно хорошими
свойствами, то, используя это совместно с C0.4.10), мы сможем
получить оценки для суммы в C0.4.9).
Лемма 30.4.3. Если t достаточно велико, то при всех а и $
C0.4.14) \
Доказательство. Поскольку |а| +1Р| — m(|a| + |p|+l) возра-
возрастает при увеличении |а| и |р|, достаточно доказать такие оцен-
оценки для производных от fj(x,dW(l9t)/dQ при x/^esuppx и
| е supp хо- При а = 0 они получаются непосредственно из
C0.4.12). В силу C0.3.13) на suppxo
а(?)=1+тах@, k + 1 - m(k + 1)),
и для fj выполняются оценки C0.4.12). Чтобы оценить
D%D>ifi(x,dW(lf t)/dQ, можно применить лемму 30.1.5 с b(k) =
-m(A+l+|P|) и
с (k) = max (b A) + a (k), b(k) + ka{l))
= maxFA) + a(k), b{k) + k).
Ho c(l) = b(l)+lf и при k> 1
a (k) + b A) - b (k) - k = k + 2 - m (k + 1) - m B + | p |)
= -6,
поскольку все аргументы входят в линейную часть т. Следова-
Следовательно,
k = k — m{k+\+\$\) при k > 1,
откуда и вытекает C0.4.14).
Окончание доказательства теоремы 30.4.1. Двойная последова-
последовательность k — m(j'¦ + k+l) является выпуклой и имеет наклон
^A—б)/2 по k и ^—A+6)/2 по /. Следовательно,
k — m(/ + *+l)<— m(l)+k{l— в)/2 — /A+б)/2, откуда
вытекает, что
Поскольку отношение \x\/t ограничено сверху и снизу на носи-
носителе, то в последнем множителе можно заменить t на A + |я|).
При этом мы получаем, что функция Gjttl+6 равномерно ограни-
ограничена в пространстве символов S(\+6)/2, u-6)/2> если переменные х
и | поменять местами. Это означает, что этот оператор сопряжен
по Фурье с сопряженным к псевдодифференциальному оператору
396 30. Дальнодействующая теория рассеяния
одного из стандартных классов, введенных перед теоремой
18.1.35. Следовательно,
C0.4.15) \\Gjt(x, D)||^СГ{~\
(Мы могли бы получить тот же результат при помощи продви-
продвинутого исчисления из § 18.6.) В силу C0.4.13)
-WiJ(D, t)) = %(x/t)(f(x)-f(wi(D, t)))xo(D)
- i Z Gftb (x, D).
i i
Поскольку 1—mB) = —1—б, то в силу C0.4.14)
I DlDlDt.Gtt(x, I) | <Car'-V1-6''al/2-(I+6)'p.
Следовательно, норма соответствующего оператора ^ Ct~l~6.
Если /о = 1 на supp v, то
h(x/t)(f(x)-f(w't(D,
Применяя этот результат к f(x) = Va(x) и v — Daut, мы
ввиду C0.4.10) и леммы 30.4.2 получаем C0.4.8). Это завершает
доказательство теоремы 30.4.1.
30.5. Искаженное преобразование Фурье
и асимптотическая полнота
В этом параграфе мы модифицируем определение искаженного
преобразования Фурье из § 14.6 и установим его связь с мо-
модифицированными волновыми операторами, аналогичную тео-
теореме 14.6.5. Для мотивировки рассматриваемых конструкций
полезно напомнить определения различных понятий, введенных
в § 14.6 для случая короткодействующих возмущений, и при-
придать им форму, наиболее удобную в данном контексте.
Итак, пусть V—возмущение, которое для простоты пусть
равно нулю вне компактного множества. Если X не принадле-
принадлежит множеству Z(P0) критических значений символа Ро и мно-
множеству Л собственных значений оператора Роф)+ V(x9 Z)), то
определим для feB функцию fo^B уравнением
и положим
F+f (Ю = h (I) при g е= Мк = {6; Ро E) = Я}.
Здесь Ro — резольвента невозмущенного оператора. Таким об-
образом,
(P0(D) + V(x, D)-X)u = f, (P0(D)-k)u = f-V(x, D)u = f0.
30.5. Искаженное преобразование Фурье 397
Следовательно, если f имеет компактный носитель, то f0 также
имеет компактный носитель и
а F) = (р0 F)-а,-юг 7o(S)
является конормальным распределением по отношению к Мх.
Ограничение fo на Мх определяется асимптотическим поведе-
поведением решения и на бесконечности. Действительно, пусть
X е Со°, и предположим, что М% задается уравнением gi = S (?')
на suppx, причем dP0(Q/dli>0 на supp%. Тогда для преоб-
преобразования Фурье от %(D)u по х' = (х2, , хп) в силу леммы
14.2.1 по норме пространства /^(R*-1) при ;ti->-oo
C0.5.1)
Мы покажем, что для дальнодействующих возмущений левая
часть C0.5.1) по-прежнему будет сходиться в L2(R/I), если
jtiS(i') заменить на функцию G, задающую искаженное нор-
нормальное расслоение Лг к М\ (из теоремы 30.3.5). Для V,
имеющих компактный носитель, это вытекает из теоремы 30.3.7,
так как G=JtiS(g') — ф«>B(|'), |') при больших лп и, следова-
следовательно, при
C0.5.1 Г г'^ь^(Хр ^^/(ХШ/П0^))^/^), 5, = 2(Г),
если
C0.5.2) F+f = e{^F+f на Afv
Предполагая с данного момента, что V является лишь 2-допу-
стимым, мы используем C0.5.1)' для определения модифициро-
модифицированного искаженного преобразования Фурье F+, в то время как
C0.5.2) при этом, вообще говоря, более не имеет смысла. Фор-
Формула Парсеваля будет вытекать из C0.2.31), и асимптотическая
полнота получается из нее как простое следствие.
Для доказательства существования предела C0.5.1)' при
fEfl и u = R(K + iO)f напомним прежде всего, что, согласно
теореме 30.2.6, для любого Т
C0.5.3) J \x(D)u\2dx/R-+0, #->oo.
\x\<R, Хх<Т
Воспользуемся этим свойством для отождествления %(D)u с ре-
решением уравнения, полученного факторизацией уравнения
(P0(D) + VL(xy D)-X)u = f-Vs(x, D)ueeB
на дифференциальные уравнения первого порядка по х\. При
построении такой факторизации мы можем считать, что V1
обращается в нуль при \x\<R для некоторого большого R и,
398 30. Дальнодействующая теория рассеяния
следовательно, возмущение VL всюду мало, так как можно при-
прибавить к Vs произведение VL на срезающую функцию. Можно
также считать, что VL удовлетворяет оценкам C0.1.7)' с фикси-
фиксированными константами С$.
Лемма 30.5.1. Пусть К—компактная окрестность некоторой точки
1° е М\, причем Р{01) (?) > 0 в /С, и отображение Мк П К => I
"
<= R" биективно с образом К', так что gi = S(g') на М^
в некоторой окрестности множества МК(]К. Пусть VL удовле-
удовлетворяет оценкам C0.1.7)' и обращается в нуль при \x\<.R для
некоторого достаточно большого R. Тогда уравнение Ро{1) +
VL (x, g) — X = 0 при ?' из некоторой окрестности множества К!
имеет единственное решение Ъ)Х=а(х, g'), близкое к S(g'),
причем
C0.5.4) |?&$(а(^Г)-3(П)|<С«рA+|*1ГтAЭ|), ГеГ.
Доказательство. При ?', близких к К\ мы хотели бы найти ма-
малое решение gi (x, g') уравнения
Ро Цх + S (Г), Г) + VL (ху 1{+Е (Г), Г) = Я.
Отношение l\/(Po(h + S (?'), ?') — Я,) является С°°-функцией
вблизи /СГХ {0}, и после умножения на нее наше уравнение при-
принимает вид
C0.5.5) 6i=F (*,&),
где F(x, Z) = -(, Б + (Г), EOE/^Ui + (g
Из C0.1.7)' мы получаем для |, близких к /С'Х {0},
C0.5.6) \DlDlF{x, &)|<Cap(l+UI)~mAPI).
Отсюда вытекает, в частности, если VL достаточно мало, что для
|', близких к /С', уравнение C0.5.5) имеет единственное малое
решение и
Предположим, для некоторого положительного целого k уже до-
доказано, что
C0.5.7) iDSDfofr, Г)|<СарA+|*|ГтAР1), |а+р|<&.
Тогда при |а + р| = &, дифференцируя C0.5.5), мы получаем,
что
A - dF/дЫ D*xD%lx = DlD$F (jc, I) - (dF/dh) D\dI<1{.
Можно считать, что, например, 1 —dF/д^у > 1/2. В правой ча-
части в одном из членов |i не дифференцируется, а во всех осталь-
остальных членах производные от F порядка р0 по х умножаются на
/^2 производных от gi порядков рь ..., Р/ по х. Поскольку
30.5. Искаженное преобразование Фурье 399
порядок этих скрытых дифференцирований <|а + Р| и р =
Ро + ... + Р/, то в силу C0.5.6) и предположения индукции мы
получаем для таких членов мажоранту вида
Поскольку крайние точки симплекса
— это точки, у которых одна координата равна |р|, а осталь-
остальные 0, то ввиду выпуклости мажорантой является также функ-
функция СA+|л:|)"тAР1)"/т@)- Это завершает индуктивное дока-
доказательство оценок C0.5.7), эквивалентных C0.5.4).
Отношение
QoF) = (PoF)-A,)/Fi-S(r))
является многочленом степени т—1 от gj с коэффициентами
класса С°° в некоторой окрестности множества К'. Ясно, что
Qo ф о в /С, поскольку нули многочлена Ро — % в К были вклю-
включены в делитель.
Лемма 30.5.2. Отношение
Q (х, I) = (Ро U) + VL (х, I) - Я,)/F, - а (х, Г))
является многочленом от ^ степени m — \ и
Доказательство. Согласно определению функции Qo,
Ро F) + VL (x, g) — Л — Qo E) (h - а (х, Г))
m
= VL (x, I) + Qo (I) (a (x, ?) - S (Г)) = Z l[r, (x, Г),
и из C0.1.7)'л C0.5.4) вытекает, что
№?/¦,(*, Г)|<СарA+|хГГтAР1), Ге/С.
Если записать
о
то qm-\ = rm и 9/-1 — aQi = О ПРИ 0 < / < т. Если ^/ удовле-
удовлетворяет оценке вида C0.5.8), то аналогичная оценка справед-
справедлива также для 3^/, а (а— 3)^/ допускает даже лучшую оценку
в силу леммы 30.1.4 и C0.5.4). Индукцией по убывающим / мы
получаем C0.5.8).
400 30. Дальнодеиствующая теория рассеяния
Лемма 30.5.3. Если V1 обращается в нуль при \x\<CR для до-
достаточно большого R, то
C0.5.9) |D^(l/Q^l/Q0)|<Cap(l+|jc|rm(IPI), g e К.
Доказательство. Поскольку \Q — Qo | < С A + | jc |) -m(°), то
\Q — Qo| < Qo/2, если VL обращается в нуль в достаточно боль-
большом множестве, и тогда
11/Q — l/Qo КIQ — Qo I/I QQo К 2СA + UI)"m@)/| Qo |2.
Таким образом, для f=l/Q—1/QO имеет место требуемая
оценка. Поскольку
то ввиду C0.5.8)
Если оценки C0.5.9) доказаны для производных порядков
<|<х| + |Р|> то ввиду леммы 30.1.4
что завершает доказательство.
Напомним теперь, что мы собирались заняться исследова-
исследованием u = R(X + iO)f при /<=Б и Яе R\(Z(P0)LJA). При этом
(P0(D) + VL(x, D)-X)u = f-Vs(x, D)u.
Умножая на (Q~l%)(x, D), где х^Со'(К), мы получаем, что
C0.5.10) (A-a(*, D'))%(D)u = fx,
где
C0.5.11) /х = (Q-'x) (х, D) (f - Vs (х, D)u) + R (x, D) и,
C0.5.12) R(x, D) = (D1-a(x, D')) % (D)
- (Q- 'X) (x, Я) (Ро Ф) + VL (x, D)\ - Я).
Определяя G6 согласно C0.2.6), мы получаем
C0.5.13) ^eS((I+|x|)"M, G6),
поскольку главные члены асимптотических рядов для символов
сокращаются, и в разложении символа оператора
-(Q-lx)(x, D)VL(x,D)
все остальные члены принадлежат указанному классу символов
в силу C0.5.8) и C0.1.7)'. Следовательно, ^бВ, а поскольку
30.5. Искаженное преобразование Фурье 401
— (Q~l%) (х, D)VS + R(x, D) является компактным оператором
из
{и; DaueEB\ |a|<m}
в В, то из равномерности по Я, и теоремы 30.2.10 вытекает, что
fx является непрерывной функцией от К со значениями в В, если
supple близок к |°, Ко = Ро(|0)^ Z(P0)\JA и К мало отличается
от i0. Таким образом,
II Us < с и/и*.
Напомним также, что %{D)u удовлетворяет C0.5.3). Теперь вер-
вернемся к рассмотрению C0.5.10). Возьмем функцию я|) е Со° (R")
так, чтобы г|)(?')=1 в некоторой окрестности множества К' и
чтобы a, H были определены вблизи supp гр. Тогда функции
а = г|щ, В =г|)Н определены на всем пространстве R2"-1, оцен-
оценки C0.5.4) выполняются для а — Нив C0.5.10) можно заме-
заменить а на а, если только suppx настолько мал, что на нем
г|) = 1.
Лемма 30.5.4. Если оеВ*, g e В, причем
C0.5.14) D{v-a(x, D')v=g,
C0.5.15) ^ | v |2 dx = о (R) при всех Т,
I x\<R,Xl<T
ТО
Х\
C0.5.16) \\v(Xl, -)\\„<С J \\g(t, -)\\„<и.
Для любой функции geL'fR, ^(R")) существует единствен-
единственное решение v уравнения C0.5.14), удовлетворяющее оценке
C0.5.16).
Доказательство. Напомним, что, по теореме 14.1.2, BaLl(R,
L2(Rn~1)) и, следовательно, B*=dL°°(R, L2(Rn~1)). Поэтому
C0.5.15) вытекает из C0.5.16), так что единственность в послед-
последнем утверждении можно вывести, если показать, что из C0.5.14),
C0.5.15) следует C0.5.16), и взять g" = 0. Для этого предполо-
предположим сначала, что v имеет компактный носитель и является
С^-функцией от х{ со значениями в L2(Rn~l). Тогда
v, v) = 2Re(ig, v) + 2Re(ia(xy D')v, v)
402 30. Дальнодействующая теория рассеяния
где, например, v(x{) обозначает v(xu -)^L2{Rn~l). Действи-
Действительно, разность
а (х, D') - а (х, D')* ее Ор 5 (A + \х | )"m(I), G6)
czOpS((l+l*iirmA), G6),
и поэтому ее норма как оператора в L2(Rn~l) при фиксирован-
фиксированном х\ не превосходит 2СA+|xi|)-mA). Следовательно,
Умножая на е~СЕ^\ где
и интегрируя, мы получаем, что
Х\
Отсюда вытекает C0.5.16), поскольку функция Е ограничена.
Если предположить только, что v имеет компактный носи-
носитель, то тем не менее из C0.5.14) вытекает, что D\V^L2, так
что v — непрерывная функция от хх со значениями в L2. По-
Положим
8
Vb(x)=\v(xi-*> x')dt/e.
о
Применяя уже доказанную часть леммы, мы получаем, что
J \\g(t, -)\\dt+ J \\a(x,D')(ve-v)\\dtY
— oo — oo /
Последний интеграл стремится к 0 при е-+0, поскольку ve-+v
в L2 и a(x, ?)') является ^-непрерывным. Следовательно, оценка
C0.5.16) в этом случае также остается справедливой.
Наконец, откажемся от требования компактности носителя
функции v и будем исходить только из C0.5.15). Возьмем функ-
функцию W e CJT, равную 1 на единичном шаре, и положим
Тогда
C0.5.17) {Dx-a{x, D')) v* (x) - W (x/R) g
= R~lv (x) (d{W) (x/R) - [a (x, D'\ V (x/R)] v.
30.5. Искаженное преобразование Фурье 403
Символ оператора
RU2([a(x, D% 4r(x/R)-l]+iR-1 ? 2<'>(*,
ограничен в S((l +\x\ )~3/2, G6) при /?-^оо, поскольку
RWWix/R)— 1) и R-l'2(d№)(x/R) ограничены в S((l +
||12
р (
||)±1/2, Gi) соответственно. Поэтому, применяя этот оператор
к v e В*, мы получаем функции, ограниченные в В и, следова-
следовательно, в L1^2). Но R-l(di4T)(x/R)v-+0 в L!((—оо, Г),
L^R"-1)) в силу неравенства Коши — Шварца и C0.5.15), так
что правая часть равенства C0.5.17) стремится к 0 в этом про-
пространстве. Следовательно, применяя C0.5.16) к vR, мы при
R-+oo получаем C0.5.16). Это завершает доказательство оцен-
оценки C0.5.16).
Для сопряженного к L = D{—а(ху D') оператора L* из пер-
первой части доказательства вытекает, что
оо
C0.5.16)' ||Ф(х,)||<С \ ||(L>) {t)||dt, Ф е= Со (R") •
Чтобы построить решение уравнения Lv=g^Lx{R, L2(Rn~l)I
нам нужно найти функцию vy удовлетворяющую тождеству
(v, Гф) = («г, Ф), феСо°°(Г).
Из оценки C0.5.16)х вытекает, что
К«Г.Ф) КС J $
Следовательно, антилинейное отображение 1*фь->(g, ф) можно
продолжить с L*Co° до антилинейной формы на L?OmP с той же
оценкой. Отсюда следует существование такой функции v ?
что Lv = g и
К», Ф) КС
Но это означает, что
t
II о (О IK С
при почти всех /, и таким образом доказательство леммы за-
завершено.
Замечание. Результаты § 30.2 можно вывести, используя в ка-
качестве отправного момента лемму 30.5.4 вместо предложения
404 30. Дальнодействующая теория рассеяния
30.2.4. Однако доказательства, представленные в § 30.2, имеют
то преимущество, что они проводятся в полной окрестности
множества Мх и допускают более прозрачную геометрическую
интерпретацию. Кроме того, развитие подхода, основанного на
использовании леммы 30.5.4, требует также факторизации сим-
символа Ро + VL — z при Im z ф 0.
Если число Т в теореме 30.3.5 выбрано достаточно большим,
то построенная в ней функция G будет определена при g'e
suppг|5 и, скажем, *,>*?. Поскольку P0(l) + VL(x, g) —Я = 0
на Л^т, то на этом множестве
C0.5.18) dG(xu l')ldxx-a{xx, -dG/dl', Г) = 0.
Положим G(xl9 10 = $(l')G (xx, I'), G = 0 вне supp\|). Тогда
функция G определена при хх^х\ и G = G при -ф = 1. Со-
Согласно C0.3.24),
C0.5.19) \D$D%(G(xl9 &
Введем теперь функции
C0.5.20) Ы*.1) = 1,-
А,(х91) = х, +
которые обращаются в нуль на лагранжевом многообразии Лг
над К при хх > х[ Их скобки Пуассона равны нулю и, следова-
следовательно, поскольку операторы с символами, зависящими только
от х\ и |х, коммутируют,
C0.5.21) [At(x9 D)9 Ak(x, D)] = 09 /, k = 1, ..., п.
Выведем оценку для
C0.5.22) vi = Ai(x9 D)v
сначала для \ф 1, а затем и для /= 1, в случае когда v яв-
является решением некоторого уравнения, тесно связанного с
C0.5.14). Символ оператора из C0.5.14) равен
6, — Я (jc, Г) = А{(х, l) + G{n(xl9 ?)-a(x9 Г)
при ¦ф(|/)=1. Следовательно, согласно C0.5.18), функция
G(n(*i, V) — а(х> I') обращается в нуль, если Af{x, 1'У=0 при
/4^1. Воспользуемся этим для того, чтобы профакторизовать
символ. Для формулировки результата удобно ввести метрику
где х\ играет роль параметра. Разумеется, это та же самая
метрика, что и в доказательстве теоремы 30.4.1, хотя она не
30.5. Искаженное преобразование Фурье 405
содержит 1Х и роль параметра теперь играет х\. Однако оче-
очевидно, что эта метрика является равномерно сг-умеренной.
Лемма 30.5.5. Производные Di'Dx'Aj(x, 6) равномерно ограни-
ограничены в 5(A +|х|IР1, g6) при />1, |а+р|<1 и хх>х\.
Существуют такие функции Bj(x, 60, что D^D^Bj ограничены
в s{xx\\+\x\Yx-^\ g6) при |а+р|<1, хх>хЧ и
C0.5.23) GA, (xl9 60 - а (х, Г) = ? ^ (*, Г) Л, (*, Г)
при г|)(Г)=1-
Доказательство. Утверждение относительно Л/ очевидно при
|Р|= 1. При Р =0 оно вытекает из того, что, согласно C0.5.19),
C0.5.24) \D%Ah(x, Г)|<СахГхB+1а1"тA+|а|)>1),
поскольку здесь показатель степени ^ 1 + A — б) (| а \ — 1) /2
при |а|^5 1. Существование функций В/, удовлетворяющих нуж-
нужным оценкам и тождеству C0.5.23), достаточно доказать для
Iх е supp г|), так как при умножении их на г|) все эти свойства
сохраняются.
Ввиду C0.5.18) можно в C0.5.23) заменить G(o(*i, |') на
а(хи dG/di',%'). Тогда по формуле Тейлора мы получаем, что
a(xu -dG/dl', ?)-a(x, 60= L c,(x, t)A,(x, I'),
2
где
l
C0.5.25) сi(x, 60 = — \ <*</> fa, x2 — sA2(x, 60,
о
Решение В/ = С/ уравнения C0.5.23) мы будем использовать в
области Yj А\ < 4xi. При ? Л1 > х\ мы будем использовать
также решение
dj(x, 60 = (G(i)(^i, 60— а(х, 60)^4/(^1 60/5] ^aj(^> 602-
/ 2
Чтобы сшить эти два решения, возьмем функцию ф е Со° ({/;
\х'\<2})> равную 1 в единичном шаре, и положим
Сначала получим оценку для с}- на suppcp. Дифференцируя
C0.5.25), находим, что
1
Dx'Cj (х, 60 = — \ A — 5I р 'а(/, з) fa, х2 — sA2, ..., л:д — 5ЛД, 60 ds.
о
406 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Ввиду C0.5.4)
так что можно применить лемму 30.1.5 с х{ = t и a(i) =
max(l, 2 + i — m(i+ 1)), b{i) = — m(t + |p| + 1), учитывая, что
при f> 1
6(/) + шA) — ft A) — а(/) = — m(/ + | р | + 1) + * + m( | р | + 2)
>mB)-2>0.
Тогда в обозначениях леммы 30.1.5 имеем c(i) = b(i) + i, и по
этой лемме
\DavD%c,{x, Г)\<С^х[а{-1~Ца^ШН1+т, |а+р|>0,
на suppO, если а(/) не зависит от ?'; в противном случае мы
получаем члены, содержащие производные по ?', для которых
справедлива еще более сильная оценка. Очевидно также, что
на supp<D
Поскольку символ Aj/xi ограничен в S(l, g6) на supp<D, то оче-
очевидно, что ф ограничен в S(l, g6). Если продифференцировать
один раз и воспользоваться уже доказанным утверждением об
Aj в лемме, то мы получим, что символ D\'D%Q> ограничен в
5(A + |*|)~1р|, §"б) ПРИ 1а + Р|=1- Следовательно, символы
Фс/ удовлетворяют оценкам, которым согласно лемме должны
удовлетворять В/.
Теперь получим оценки для d/ на supp(l—Ф). Записывая
— a = G<i)--S + S — a,
мы получаем ввиду C0.3.24) и C0.5.4), что
так как |хГт@)<хГт@)<^+|а1"т(|а1+1)-Далее, в силу C0.5.4)
|D\'Dl'(Gm - а) | <С„еA +1 х |Гт(|Р|), р ф 0.
Таким образом, символ D|'Dx'(G(i> — а) ограничен в S(*I~6
1» g&)> если la + PI^1- Чтобы получить для
б
A—<D)d/ требуемые оценки, достаточно теперь показать, что
символ
/#/&((! -Ф) (Е 4) ) ограничен в S((l +1 л:I)"31, ge),
30.5. Искаженное преобразование Фурье 407
если |а + Р|^ 1. Но это немедленно вытекает из свойств сим-
символов Ak, перечисленных в теореме, что и завершает доказа-
доказательство.
Если г|) = 1 на supp й, то в силу C0.5.14) и C0.5.23)
C0.5.26) Ах (х, D)v + YiBi (х, D') A, (x, D')v = g + T (x, ?>') и,
Yi
C0.5.27) Т (х, D') = 2а {В, (х, D') A, (x, D') - (В.А/) (х, D')).
2
Следующая лемма дает оценку для Т и для операторов
D'), B,(x, D%
C0.5.28) ^ {Xi ^ = ^ {Xi д} Aj {Xf д} А _ {Xi ^ в {Xi jy)m
Лемма 30.5.6. При х\^х[ для операторной нормы в L2(Rn~l)
C0.5.29) ||Т(х, DOII+ t \\Rkl(x, D')\\
Доказательство. Из леммы 30.5.5 вытекает, что символы опера-
операторов Г, Rkj, Bf и Rf = — Ru + А. (Ву. — В*) ограничены в
S(xT6(l +\x\)~\ g6) и, следовательно, в5(л:Г1~б, ^б)- Отсюда
по теореме 18.6.3 вытекает C0.5.29).
Для построенного нами решения v=%(D)u уравнения
C0.5.10), как показано в лемме 30.5.4, yeL°°(R, /^(R"-1)), а из
C0.5.29) вытекает, что v удовлетворяет уравнению C0.5.26),
у которого правая часть h = fx + Т (х, D'jtiGL1^?, oo),
^(R")). Ниже мы рассмотрим уравнение C0.5.26) в предпо-
предположении, что правая часть h и v (х°Л малы на бесконечности.
Следующая лемма позволит нам использовать соображения
плотности для перехода к произвольной функции AL^R
L2(Rn~1)) и v0L2R1)
Лемма 30.5.7. Для любых A€=/JOc([*i, °o),
vQ^ L2{Rn~l) задача Коши
п
Lv = Л, (х, D)v+Z, Bt (x, D') A, (x, D')v = h
C0.5.30) 2 при хх>х*,
v = v0 при х, = х°{
408 30. Дальнодействующая теория рассеяния
имеет единственное решение оеС(К, оо), L2(Rn~1)). При этом
справедлива оценка
Доказательство. При доказательстве существования в лемме
30.5.4 использовался лишь тот факт, что
\\\а{х, D')-a{x, D'y\\dxx <oo,
где норма обозначает операторную норму в L2(Rn~l). Поскольку
оператор СгA)(*, D') является самосопряженным и
|Д,(*, ЕГ)А,(х, D')-(Bf(x, D')Af(x, d')I=|| */(*' Df)\<Cx^
в силу C0.5.29), для произвольной функции ^ е LcomP( [х?, оо),
/^(R*")) уравнение L*cp = ip имеет единственное решение при
хх > jcj, для которого
оо
\
U @11 Л.
Тогда qp(#i) = O при больших х\. Если v удовлетворяет C0.5.30),
то
оо оо
C0.5.31 у \ (v(t), ty(t))dt = \ (h(t), y{t))dt — i(v Ф (*?)).
xo xo
Здесь правая часть линейно зависит от гр, и ее можно оценить
через
Х\ Ч оо
(t)\\dt + \\vo\\ \С \ ИШdt, если -ф = 0 на (х{, оо).
I
х°\ ) х°\
Поэтому C0,5,31)' определяет функцию v e L?c( [л:?, оо),
L2(Rn~1)), удовлетворяющую оценке C0.5.31). Беря \|) = L*qp,
где фЕСо°°((хь oo)xRn~!), мы получаем, что Lv = h. Следо-
Следовательно, v — непрерывная функция со значениями в L2(Rn~l).
Беря ф е Со°, мы получаем, что v (x°\) = v0.
Из леммы 30.5.7 вытекает, что любое решение v уравнения
C0.5.30) при h^Ll(L2) можно равномерно приблизить реше-
решением уравнения C0.5.30) при h и и0, имеющих компактные но-
носители. Это позволяет получить оценку роста v при л/->оо:
30.5. Искаженное преобразование Фурье 409
Лемма 30.5.8. Если в дополнение к условиям леммы 30.5.7 пред-
предположить, что \x'\h e Ll(L2) и |x'|uo^?2, то
(\\x'\2\v{xbx')?dx')m
<С \ dt (\ (\х' |2 + (хх - О2)I Л(/, х') |2dx'Y
Доказательство. Пусть 1 < / ^ п и \f»e(x) = х/A + |8xr|2)-1/2.
При фиксированном е эта функция ограничена, и dtye(x)/d
равномерно ограничена в S(l, ^б). Очевидно, что
L (гМ) = *еЛ + [Л„ г|)е] о + Z (Я/ И/, г|)е] + [Ву, г|)
В силу леммы 30.5.5 при ]'Ф1 символ коммутатора [Л/, г|эе]
ограничен в 5(A+|х|), ^б), а символ коммутатора [Bh -фе]
ограничен в5(д:Г A +1#|)~\ ё"б)' так что символ суммы огра-
ограничен в 5(xf6, ?б). Кроме того, [Аи г|)е] ограничен в 5A, g6).
Поэтому из C0.5.31) вытекает, что
|| v (t) \\)dt
При 8-^0, опять используя C0.5.31), мы получаем оценку
U
\ \\x,h(t)\ldt
Это завершает доказательство леммы.
Теперь мы уже подготовлены к нахождению асимптотиче-
асимптотического поведения решений задачи C0.5.30).
Лемма 30.5.9. Пусть v — решение задачи C0.5.30), | х \ h
s=Ll((x°u oo), ^(R^1)) " (l+\x'\)vo<=L2(Rn-{). Тогда
C0.5.32) 11 Al (x, DO v ]l2 (r,_1} < CM, xx > x9l9
410 30. Дальнодействующая теория рассеяния
где
оо П
C0.5.33) Al-J ?>,(*, DO
Кроме того,
C0.5.34) \\Al(x,D)l4Rn_l)^C(\\h(xl)\\ + .
Предел
C0.5.35) ^оо=: lim e~iG {Xl' D)v {x\, •
существует в L2(Rn~l) и
C0.5.36)
+\x\)h\\Ll{Lt) + \\(l+\x'\)v0\\).
Доказательство. Полагая vk = Ak(xf D)v, как в C0.5.22), мы
получаем при kФ 1
Ах (х9 D)vk + t В; (*, 1У) Aj (x, DO vk
+ t Rki (x, DO vt = Л, (x, DO /г = /г,,
где Rkj определяется формулой C0.5.28), поскольку Af коммути-
коммутирует с Ak. Как и при доказательстве леммы 30.5.7, мы здесь
имеем дело, по существу, все с тем же уравнением C0.5.14),
подвергнутым совершенно безобидному возмущению. Однако
чтобы сделать это обстоятельство более выпуклым, мы повто-
повторим первую часть доказательства леммы 30.5.4. Из леммы 30.5.8
вытекает, что vu — локально ограниченная функция со значе-
п
ниями в L2. Полагая V (л^J = J] | vk (л^) ||2, мы получаем, что
dV(xlJ/dxl = 2ReZ(iDlvk, vk)
= 2 Re (Е (lhh, vk) ~ S (iRki (x, D') vh vk)) - / Z (Rj {x, D') vk, vk).
30.5. Искаженное преобразование Фурье 411
Обозначая Я(х1J= 2 ll^(^i)ll2 и используя C0.5.29), имеем
2
откуда после интегрирования находим, что
?
Отсюда следует C0.5.32). Используя уравнение
п
А{ (Ху D) v = h - Z Bj (х, D') Af (*, D') v
и оценку C0.5.29) для ||В/||, мы получаем C0.5.34).
Положим, наконец,
Тогда оценки C0.5.32) и C0.5.34) можно переписать в виде
Отсюда немедленно вытекает, что w имеет предел Uoo при xi->oo,
удовлетворяющий оценке C0.5.36). Доказательство закончено.
Учитывая оценку C0.5.31), мы немедленно получаем, что
предел C0.5.35) существует в L2 при любом v0^ L2(Rn~{) и лю-
любом AeL!((jc?, oo), L2(Rn~1)). Вернемся теперь к уравнению
C0.5.10). Из доказанного вытекает, что если и = /?(Х + Ю)/, где
f<=B h^gR\(Z (Po) U Л), то e~iG ^ D\ (D) и стремится к пре-
пределу в L2 при xi—>~оо. Делая преобразование Фурье по х\ мы
получаем отсюда существование предела в C0.5.1)'. (Необходи-
(Необходимость замены уравнения C0.5.14) на C0.5.26) в приведенных
выше рассуждениях связана с тем, что мы не смогли найти
более простого способа описания класса правых частей C0.5.14),
для которых пределы существуют в сильном смысле, как в лем-
лемме 30.5.9; коммутирование с Ак приводит к некоторым лишним
слагаемым, которые не так просто оценить.)
Чтобы воспользоваться сходимостью C0.5.1)' для определе-
определения F+f, нужно показать, что пределы, полученные при выборе
различных локальных представлений для Лг и различных сре-
срезающих функций х, совместимы со сходимостью C0.5.1)'. Нуж-
Нужно также найти связь между F+, модифицированным волновым
оператором Й^+, и преобразованием Фурье, аналогичную теореме
412 30. Дальнодействующая теория рассеяния
14.6.5. Все это мы получим предельным переходом от случая
возмущений с компактным носителем.
-Возьмем вещественнозначную функцию р е Со° (Rn), равную
1 в единичном шаре, и для больших / положим
Vj(xy D)u = p(x/j)V(x, D)p(x/j)u.
Оператор Vj является симметрическим и допускает разложение
Vf = Vf-\-Vj, где символ
т/Z» /у ? \ г\ ( у 11 \2 \/ L ( y 1~\
о
удовлетворяет оценкам C0.1.7)г равномерно по /, а V/ удов-
удовлетворяет оценкам C0.1.6) также равномерно по /. Поэтому
теорема 30.2.5 выполняется равномерно по / для Я/ = P0(D) +
Vj(x, D) при больших /. Эти операторы являются самосопря-
самосопряженными на области определения Я(т). Зафиксируем компакт-
компактный интервал / с: R\(Z(P0)U Л). Из соображений компакт-
компактности, использованных в доказательстве теоремы 30.2.10, видно,
что для больших / граничные значения Rj(XztiO) резольвенты
оператора Я/ существуют при Х^1 и что
Е \\DaRf(X±i0)f\\B*^C\\f\\B, если /ей, X <= /.
I a I <m
Поскольку DaRi(X±i0)f-+DaR(Xiki0)f слабо в В* при /-*«>,
то в обозначениях из C0.5.11)
(Q-l%) (x, D) (f - Vs (х, D) Rf (X + /0) f) + R (x, D) R, (X + Ю) /.-> fx
в В при /->-оо равномерно по ^. Прослеживая доказательство
этой сходимости от леммы 30.5.4 и до леммы 30.5.9, мы видим,
что если G/ — функция, заменяющая G, когда оператор VL за-
заменен на Vf9 то
C0.5.37) lim lim
Здесь число Т из теоремы 30.3.5 выбирается достаточно боль-
большим, чтобы оно обслуживало операторы vf при всех у и всех
Х^1. Мы предоставляем читателю восстановить недостающие
детали доказательства.
В начале этого параграфа мы указали, что F+f можно
определить при помощи соотношения C0.5.2), так что в смысле
30.5. Искаженное преобразование Фурье 413
сходимости в L2(Rn~x) равномерно по X
lim e~iai(*ltl'h(D)Rf(X + iO)f (xx, 60
= I(%a)/Po]F))F+f F), если PoF) = Л е /.
Следовательно, из C0.5.37) вытекает, что последовательность
%Ff+f сходится в L2(Mx) для любого к^1 при /->оо. При до-
достаточно больших Г тот же результат, разумеется, верен для
любого члена фиксированного достаточно мелкого разбиения
единицы Sxv^Ihs компактном множестве Pq1 (/). Итак, пре-
предел
C0.5.38) WmF!+f=F+f
существует в L2{M^) при всех Л е /, если [еВ,и f+/ характе-
характеризуется соотношением вида C0.5.1)' для каждого члена раз-
разбиения единицы на Ро (/), причем G заменяется фазовой функ-
функцией, локально определяющей Л г", зависящей от xv->=fcoo и 6*
при кфч для некоторего v=l, ..., az. Поскольку F+f e
L2(Po(I)), то F+f^L2(Pol(I)).
Покажем теперь, что
C0.5.39) 2Im(#(A + /0)f, f)
^ F) |, f e В, Ag/.
Ввиду C0.5.38) для этого достаточно показать, что
C0.5.39)' 2 1
Ввиду C0.5.2) здесь в правой части можно ?+ заменить на
Положим
Тогда
(Ро Ф) - Л) и = f - 7, (*, D) а = fo, Z^'+f F) = h F), Б е= Afx.
Отсюда м =/?0 (А +/0) f0, а из теоремы 14.3.8 с v_ = 0 и
t>+= 2juf 0/| Pq | вытекает C0.5.39)х (см. также доказательство
равенства A4.6.1) 0 •
Если доопределить функцию F+f равенством F+f(Q = O при
Ро(Б)^Л то из C0.2.31) и C0.5.39) мы получаем, что
C0.5.40) || Е (/) /1|2 = Bя)-п \\F+f\*dt f s В.
414 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Здесь ЕA)— спектральный проектор оператора Я, соответствую-
соответствующий интервалу /. Следовательно, отображение fv—>F+f можно
расширить на все пространство L2 так, чтобы равенство C0.5.40)
оставалось справедливым. Это означает, что Р+ обращается в
нуль на E(R\I)L2 и является изометрией на E(I)L2.
Теперь рассмотрим более подробно модифицированный волно-
волновой оператор ffl, соответствующий оператору Я/. Доказатель-
Доказательство теоремы 30.3.3 применимо к фиксированным компактным
множествам, срезающим функциям и т. д. и позволяет построить
функции Wi(l, t)y удовлетворяющие C0.3.12) с Vf вместо VL,
равномерно удовлетворяющие оценкам C0.3.13). Кроме того,
Wi{\, t)= W(%y t) при больших / на любом компактном подмно-
подмножестве в QoX R, где
Если | принадлежит компактному подмножеству в Qo, то
dW* (%> t)/dt = Po(l)у когда t больше некоторого числа, завися-
зависящего от /, так что
где Ф/(^)е C°°(Q-o). Следовательно, для модифицированного вол-
волнового оператора W+, соответствующего Н} и определенного в
C0.4.1),
C0.5.41) W!+ = WI+e-i"iiD\
где W^ — волновой оператор из гл. 14. Но WiJr = F'1^F согласно
теореме 14.6.5. Поэтому для й е Со° (Ро (/)) и уе[2
(#U v) = (Fi;Fe-^i^Uy v) = (e-i*i{l)FuJ FLv)
где ф/ — функция типа функции \|)оо из C0.5.2), соответствую-
соответствующая оператору V^. Следовательно, полагая Л1/(?) = ехр *'(г|)/(?)
— Ф/(|)), мы получаем
C0.5.42) (Wf+u, v) = (MfFuy F!+v),
если ue=C"(Pol(I)) и ugL2.
Прежде чем перейти к пределу при /->-оо в C0.5.42), нужно
показать, что
C0.5.43) Wf+u -> W+u в L2, если йеСом (Qo).
По теореме 30.4.1
W+u= \imfeitHD
30.5. Искаженное преобразование Фурье 415
и из ее доказательства видно, что
t->oo
равномерно по /. Для доказательства C0.5.43) достаточно про-
проверить, что
eitHJe-iWJ (D, t)u ^ eitH
для любого фиксированного t при /->-оо. Но е tW iDft)u =
e~tW{D'f)u при больших /, так что это будет доказано, если по-
показать, что
C0.5.44) eitHfv -> Л, v <= Со°° (Qo).
Области определения операторов Я/ и Н равны Я(т) и
(Hj— H)f—>0 в L2 для любого / G Я(т).
Следовательно, эта сходимость равномерна по /, если / принад-
принадлежит компактному множеству в Я(т). Поэтому
(Ht-H)e-itHf-+0 в L2
равномерно по t на произвольном ограниченном интервале, по-
поскольку / k-^e~itHf является непрерывной функцией со значе-
значениями в области определения Я(т) оператора Н. Следователь-
Следовательно, производная от eiiHie~tiHf равномерно стремится к 0 на лю-
любом компактном множестве, и поэтому ettHie~ttHf -+f при всех
t. Полагая f = eitHv> мы получаем отсюда C0.5.44).
Теперь возьмем в C0.5.42) функцию ugB и устремим
/->-оо, используя C0.5.43) и C0.5.38). Поскольку |М/|=1, су-
существует слабый предел М в L°°, [Af|^l, и, следовательно,
C0.5.42)' (W+u, v) = (MFu, F+v),
если u<=Co(Pol(I)) и ogB'
(Здесь в правой части берется скалярное произведение в
L2(dl/Bл)п), а в левой — в L2(dx)f как в диаграмме A4.6.8).)
Беря верхнюю грань от модуля по \\v\\ ^ 1, мы получаем, что
|| W+и || < || MFu ||, если ugC0°° (Po (/)).
Но оператор \F+ изометричен и, следовательно,
|| Мй || = || й ||, если fle С? (Ро"! (/)),
откуда |Л1|=1 почти всюду в Р^1 (/). Из C0.5.42^ вытекает,
что
C0.5.42)" #+a = F+AfFa, если mgL2 и suppu c= Ро1 (I).
416 30. Дальнодействующая теория рассеяния
Если vt=E(I)L2, то в силу C0.5.40)
v = F*+F+v = F*+MFu, если u = F*MF+v,
поскольку |Af|2 = l на suppf+y. Следовательно,
согласно C0.5.42)", так что v принадлежит образу оператора
$^+. Поскольку / является произвольным интервалом си R \
(Z(Po)UA), то мы получаем таким образом центральный ре-
результат данного параграфа:
Теорема 30.5.10. Пусть оператор V{x, D) является 2-допустимым
возмущением эллиптического самосопряженного оператора
Po(D) порядка т. Тогда образ модифицированного волнового
оператора W± из теоремы 30.4.1 равен ортогональному дополне-
дополнению к пространству, порожденному собственными векторами,
обсуждавшимися в теореме 30.2.10. Любой другой модифициро-
модифицированный волновой оператор имеет вид W±M±(D), где М± — из-
измеримая функция, модуль которой равен 1 почти всюду. Опера-
Оператор рассеяния S =W + W- является унитарным и коммутирует
с оператором #0, определяемым по P0(D).
Доказательство. Мы доказали выше все утверждения, относя-
относящиеся к знаку плюс. В случае знака минус те же утверждения
получаются из соответствующих утверждений для комплексно
сопряженного оператора к P^(D)-\- V(x, D). Доказательство за-
закончено.
Теперь мы можем принять в качестве нового определения
оператора Р± равенство
C0.5.45) W± = F±F или, что эквивалентно, F± = W±F\
которое делает диаграмму вида A4.6.8) коммутативной также
и для введенных в данной главе операторов. Из C0.5.42)" вы-
вытекает, что в Ро (/) новые определения для Р±и отличаются от
старых умножением на функцию, модуль которой равен 1.
Примечания
Как показал Доллард (Dollard [1, 2]), для оператора Шре-
дингера с кулоновским потенциалом волновых операторов W± в
смысле, указанном в теореме 14.4.6, не существует, однако су-
существуют модифицированные операторы, которые в значитель-
значительной степени их заменяют и служат тем же целям. Его доказа-
доказательства основаны на явных разложениях по собственным функ-
функциям этого оператора. Этот результат был обобщен на опера-
Примечания 417
торы Шредингера со все более общими потенциалами различ-
различными авторами: Amrein, Martin, Misra [1], Буслаев, Матвеев
[1], AJsholm, Kato [1] и Alsholm [1]. Хёрмандер (Hormander
[34]) доказал существование модифицированных волновых опе-
операторов для возмущений произвольного оператора Po(D), у ко-
которого detP^^) ф 0, при несколько более сильных условиях на
возмущение, чем условие допустимости из определения 30.1.3.
(Серьезным недостатком при этом было то, что рассмотренный
класс возмущений не являлся линейным многообразием.) Та-
Таким образом, в § 30.4 существование модифицированных волно-
волновых операторов доказано при наиболее слабых достаточных
условиях из всех, известных в настоящее время.
Для уравнения Шредингера с дальнодействующим потенциа-
потенциалом «принцип предельной амплитуды» был установлен в работе
Ikebe, Saito [1]. Агмон (Agmon [7]) распространил этот резуль-
результат на эллиптические операторы произвольного порядка, и изло-
изложение в § 30.2 опирается, в основном, на его работу. Некоторое
техническое отличие заключается в том, что мы применяем ме-
метод интеграла энергии непосредственно к оператору, не подвер-
подвергая его предварительно факторизации. Однако факторизация,
использованная в работе Агмона, выступает на сцену в § 30.5
при изучении асимптотического поведения уходящих (приходя-
(приходящих) решений.
Исследование гамильтонова потока в § 30.3 является некото-
некоторым уточнением результатов работы Hormander [34], использо-
использованных там для построения решения уравнения
dW (|, t)/dt = P0(l) + VL (dW F, O/dg, 6),
где VL — дальнодействующая составляющая возмущения. Функ-
Функция W используется в § 30.4 для построения модифицированных
волновых операторов. (Большинство работ, посвященных таким
операторам, носят ограниченный характер, поскольку они ис-
используют приближенные решения этого уравнения, полученные
итерационным методом.) Если и — уходящее (приходящее) ре-
решение уравнения Шредингера
то, как показано в работах Saito [1, 2] и Kitada [1], при более
сильных, чем у нас, условиях на 1/, функция
г(/1-1^2м(г(о)ехр(— гф± (г, со))
сходится к пределу в L2(Sn~l) при r-^оо при подходящем вы-
выборе фазовой функции г|)±. Китада получил г|)± как преобразова-
преобразование Лежандра функции W, построенной в работе Horman-
Hormander [34]. Анализ его конструкции показывает, что она на
418 30. Дальнодействующая теория рассеяния
самом деле позволяет построить лагранжево многообразие,
содержащееся в поверхности уровня энергии
которое аппроксимирует нормальное расслоение к поверхности
уровня Мх'. Po(l) = i настолько точно, насколько это возможно,
на далеких расстояниях. В этой конструкции используется тот
же гамильтонов поток, что и выше при построении функ-
функции W. (Координаты х нельзя использовать как параметры
на этом лагранжевом многообразии, если только поверхность
М^ не является строго выпуклой. Поэтому мы локально пара-
параметризуем его одной из координат х,- и координатами Е-л с k?=j.)
Это позволяет в § 30.5 найти асимптотическое поведение уходя-
уходящих и приходящих решений и соответственно определить моди-
модифицированные искаженные преобразования Фурье и доказать
асимптотическую полноту. Более ранние результаты, начиная с
работы Amrein, Martin, Misra [1] и до работы Kitada [1], ис-
используют более сильные ограничения на потенциал, и то же отно-
относится к работе Enss [2], опирающейся исключительно на неста-
нестационарную теорию рассеяния. (Мы отсылаем к работе Kitada
[1] за дальнейшими ссылками.) Неопубликованная работа Аг-
мона послужила основным источником вдохновения также при
написании § 30.5. В ней используются чуть более сильные усло-
условия на возмущение, но, с другой стороны, в ней получены также
и более сильные результаты об операторе рассеяния.
Литература
Агранович М. С. [1] Об уравнениях в частных производных с постоянными
коэффициентами. — УМН, 1961, т. 16, № 2, с. 27—93.
Арнольд В. И. [1] О характеристическом классе, входящем в условия
квантования. — Функц. анализ и прил., 1967, т. 1, № 1, с. 1 —14.
Аткинсон Ф. В. [1] Нормальная разрешимость линейных уравнений в нор-
нормированных пространствах. — Матем. сб., 1951, т. 28 G0), с. 3—14.
Бернштейн И. Н. [1] Модули над кольцом дифференциальных операторов.
Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными ко-
коэффициентами.— Функц. анализ и прил., 1971, т. 5, № 2, с. 1—16.
Бернштейн И. Н., Гельфанд С. И. [1] Мероморфность функции Р .—
Функц. анализ и прил., 1969, т. 3, № 1, с. 84—85.
Буслаев В. С, Матвеев В. Б. [1] Волновые операторы для уравнения Шрё-
дингера с медленно убывающим потенциалом. — ЖЭТФ, 1970, т. 2,
с, 266—274.
Векуа И. Н. [1] Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung vom
elliptischen Typus und Randwertaufgaben mit einer Anwendung in der
Theorie der Schalen. — Berlin 1956. [Перевод статьи: Системы дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные
задачи с применением к теории оболочек. — Матем. сб., 1952, т. 31,
№ 2, с. 217—314.]
Вишик М. И. [1] Об общих краевых задачах для эллиптических диффе-
дифференциальных уравнений. — Труды ММО, 1952, т. 1, с. 187—246.
Вишик М. И., Эскин Г. И. [1] Уравнения в свертках в ограниченной об-
области.—УМН, 1965, т. 20, № 3, с. 89—152.
[2] Уравнения в свертках в ограниченной области в пространствах с
весовыми нормами. — Матем. сб., 1966, т. 69, № 1, с. 65—110.
[3] Эллиптические уравнения в свертках в ограниченной области и их
приложения. — УМН, 1967, т. 22, № 1, с. 15—76.
[4] Уравнения в свертках переменного порядка. — Труды ММО, 1967,
т. 16, с. 25—50.
[5] Нормально разрешимые задачи для эллиптических систем уравнений
в свертках.— Матем. сб., 1967, т. 74, № 3, с. 326—356.
Габриэлов А. М. [1] Об одной теореме Хёрмандера. — Функц. анализ и
прил., 1970, т. 4, № 2, с. 18—22.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. [1] Преобразование Фурье быстро растущих
функций и вопросы единственности решения задачи Коши. — УМН, 1953,
т. 8, № 6, с. 3—54.
[2] Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над
ними. 2-е изд. — М.: физматгиз, 1959. Вып. 2. Пространства основных и
обобщенных функций. — М.: Физматгиз, 1958.
27*
420 Литература
Горин Е. А. |] Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраиче-
алгебраических функций от нескольких переменных. — УМН, 1961, т. 16 N<> 1
с. 91 — 118.
Грушин В. В. [1] Распространение гладкости решений дифференциальных
уравнений главного типа. —ДАН СССР, 1963, т. 148, № 6, с. 1241 — 1244.
[2] Об одном классе гипоэллиптических операторов. — Матем. сб., 1970,
т. 83, № 3, с. 456—473.
Гуревич Д. И. [1] Контрпримеры к проблеме Л. Шварца. — Функц. анализ
и прил., 1975, т. 9, № 2, с. 29—35.
Дейч В. Г., Коротаев Е. Л., Яфаев Д. Р. [1] Теория потенциального рас-
рассеяния при учете пространственной анизотропии.— Записки научн. сем.
ЛОМИ, 1977, т. 73, с. 35—51.
Егоров Ю. В. [1] О канонических преобразованиях псевдодифференциаль-
псевдодифференциальных операторов. — УМН, 1969, т. 24, № 5, с. 235—236.
[2] О субэллиптических псевдодифференциальных операторах. — ДАН
СССР, 1969, т. 188, № 1, с. 20—22.
[3] О субэллиптических операторах. — УМН, 1975, т. 30, № 2, с. 57—114;
№ 3, с. 57—104.
Иврий В. Я- [1] Достаточные условия регулярной и вполне регулярной
гиперболичности. — Труды ММО, 1976, т. 33, с. 3—65.
[2] Волновые фронты решений краевых задач для одного класса сим-
симметрических гиперболических систем. — Сиб. матем. ж., 1980, т. 21,
№ 4, с. 62—71.
[3] О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа —
Бельтрами на многообразиях с краем. — Функц. анализ и прил., 1980,
т. 14, № 2, с. 25—34.
Иврий В. Я-, Петков В. [1] Необходимые условия корректности задачи
Коши для нестрого гиперболических уравнений. — УМН, 1974, т. 29,
№ 5, с. 3—70.
Колмогоров А. Н. [1] Zufallige Bewegungen. — Ann. of Math. 35 A934),
116—117.
Левитан Б. М. [1] Об асимптотическом поведении спектральной функции
самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. —
ИАН СССР, сер. матем., 1952, т. 16, с. 325—352.
[2] Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложе-
разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального
уравнения второго порядка. II. — ИАН СССР, сер. матем., 1955, т. 19,
с. 33—58.
Лопатинский Я. Б. [1] Об одном способе приведения граничных задач для
системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регуляр-
регулярным интегральным уравнениям. — Укр. матем. ж., 1953, т. 5, с. 123—151.
Маслов В. П. [1] Теория возмущений и асимптотические методы. — М.:
МГУ, 1965.
Михлин С. Г. [1] О мультипликаторах интегралов Фурье. — ДАН СССР,
1956, т. 109, с. 701—703.
Олейник О. А. [1] On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 569—586.
Олейник О. А., Радкевич Е. В. [1] Уравнения второго порядка с неотрица-
неотрицательной характеристической формой. В сб.: Матем. анализ 1969 (Итоги
науки). —М.: ВИНИТИ, 1971, с. 7—252.
Паламодов В. П. fl] Линейные дифференциальные операторы с постоянными
коэффициентами. — М.: Наука, 1967.
Петровский И. Г. [1] Uber das Cauchysche Problem fur Systeme von partiel-
len Differentialgleicbungen. —Матем, сб., 1937, т. 2 D4), с. 815—870.
[2] О проблеме Cauchy для системы линейных уравнений с частными
производными в области неаналитических функций. — Бюлл. Моск. ун-та
(А), 1938, № 7, с. 1—72.
Литература 421
[3] Sur l'analyticite des solutions des systemes d'equations differentiel-
les. —Матем. сб., 1937, т. 5 D7), с. 39—70.
[4] On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations. —
Матем. сб., 1945, т. 17 E9), с. 289—370.
[5] Некоторые замечания к моим работам о задаче Коши. — Матем. сб.,
1956, т. 39 (81), с. 267—272.
ТТовзнер А. Я- [1] О разложении произвольных функций по собственным
характеристическим функциям оператора — Ды + си.— Матем. сб., 1953,
т. 32 G4), с. 109—156.
Радкевич Е. В. [1] Априорные оценки и гипоэллиптические операторы с
кратными характеристиками. — ДАН СССР, 1969, т. 187, с. 274—277.
'Соболев С. Л. [1] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour
les equations lineaires hyperboliques normales. — Матем. сб., 1936, т. 1
D3), с. 39—72.
[2] Об одной теореме функционального анализа. — Матем. сб., 1938,
т. 4D6), с. 471—498.
Федосов Б. В. [1] Непосредственное доказательство формулы для индекса
эллиптической системы в евклидовом пространстве. — Фуикц. анализ и
прил., 1970, т. 4, № 4, с. 83—84.
Agmon S. [1] The coerciveness problem for integro-differential forms. — J.
Analyse Math. 6 A958), 183—223.
[2] Spectral properties of Schrodinger operators. — Actes Congr. Int. Math.
Nice 2 A970), 679—683.
[3] Spectral properties of Schrodinger operators and scattering theory. —
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa D) 2, A975), 151—218.
[4] Unicite et convexite dans les problemes differentiels. — Sem. Math.
Sup. No 13, Les Presses de l'Univ. de Montreal, 1966.
[5] Lectures on elliptic boundary value problems. — Van Nostrand Math.
Studies 2, Princeton, N. J., 1965.
[6] Problemes mixtes pour les equations hyperboliques d'ordre superieur. —
Coll. Int. CNRS 117, Paris 1962, 13—18.
[7] Some new results in spectral and scattering theory of differential
operators on R". —Sem. Goulaouic — Schwartz 1978—1979, Exp. II, 1 — 11.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. [1] Estimates near the boundary for
solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boun-
boundary conditions. I. — Comm. Pure Appl. Math 12 A959), 623—727; II.-
Comm. Pure Appl. Math. 17 A964), 35—92. [Имеется перевод части I:
Агмон С, Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических урав-
уравнений вблизи границы.—М.: ИЛ, 1962.]
Agmon S., Hormander L. [1] Asymptotic properties of solutions of differen-
differential equations with simple characteristics. — J. Analyse Math. 30 A976),
1—38.
Ahlfors L., Heins M. [1] Questions of regularity connected with the Phrag-
men-Lindelof principle. — Ann. of Math. 50 A949), 341—346.
Airy G. B. [1] On the intensity of light in a neighborhood of a caustic.—
Trans. Cambr. Phil. Soc. 6 A838), 379—402.
Alinhac S. [1] Non-unicite du probleme de Cauchy. — Ann. of Math. 117
A983), 77—108.
[2] Non-unicite pour des operateurs differentiels a caracteristiques com-
complexes simples.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 13 A980), 385—393.
[3] Uniqueness and non-uniqueness in the Cauchy problem. — Contempo-
Contemporary Mathematics (to appear).
Alinhac S., Baouendi M. S. [1] Uniqueness for the characteristic Cauchy
rpoblem and strong unique continuation for higher order partial differen-
differential inequalities. — Amer. J. Math. 102 A980), 179—217.
422 Литература
Alinhac S., Zuily С. [1] Unicite et non-unicite du probleme de Cauchy pour
des operateurs hyperboliques a caracteristiques doubles. — Comm. Partial
Differential Equations 6 A981), 799—828.
Alsholm P. K. [1] Wave operators for long range scattering. — Mimeogra-
Mimeographed report, Danmarks Tekniske Hojskole 1975.
Alsholm P. K., Kato T. [1] Scattering with long range potentials. In: Partial
Diff. Eq. —Proc. of Symp. in Pure Math. 23, pp. 393—399. Amer. Math.
Soc. Providence, R. I., 1973.
Amrein W. O., Martin Ph. A., Misra P. [1] On the asymptotic condition of
scattering theory. — Helv. Phys. Acta 43 A970), 313—344.
Andersson K. G. [1] Propagation of analyticity of solutions of partial dif-
differential equations with constant coefficients. — Ark. Mat. 8 A971), 277—
302.
Andersson K. G., Melrose R. B. [1] The propagation of singularities along:
gliding rays. — Invent. Math. 41 A977), 197—232.
Aronszajn N. [1] Boundary values of functions with a finite Dirichlet in-
integral. — Conference on Partial Differential Equations 1954, University of
Kansas, pp. 77—94.
[2] A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differen-
differential equations or inequalities of second order. — J. Math. Pures Appl. 35
A957), 235—249.
Aronszajn N., Krzywicki A., Szarski J. [1] A unique continuation theorem for
exterior differential forms on Riemannian manifolds. — Ark. Mat. 4 A962),
417—453.
Asgeirsson L. [1] Uber eine Mittelwerteigenschaft von Losungen homogener
linearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koef-
fizienten. —Math. Ann. 113 A937), 321—346.
Atiyah M. F. [1] Resolution of singularities and division of distributions.—
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 145—150.
Atiyah M. F., Bott R. [1] The index theorem for manifolds with boundary.—
Proc. Symp. on Differential Analysis, Oxford, 1964, pp. 175—186.
[2] A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I. — Ann. of
Math. 86 A967), 374—407.
Atiyah M. F., Bott R., Garding L. [1] Lacunas for hyperbolic differential
operators with constant coefficients. I. —Acta Math. 124 A970), 109—189.
[Имеется перевод: Атья М-, Ботт Р., Гординг Л. Лакуны для гиперболи-
гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.
I. —УМН, 1971, т. 26, № 2, с. 25—100.]
[2] Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients.
II. —Acta Math. 131 A973), 145—206. [Имеется перевод: Атья М.>
Ботт. Р., Гординг Л. Лакуны для гиперболических дифференциальных
операторов с постоянными коэффициентами. II. — УМН, 1984, т. 39, № 3„
с. 171—224.]
Atiyah M. F., Bott R., Patodi V. К. [1] On the heat equation and the index
theorem. — Invent. Math. 19 A973), 279—330. [Имеется перевод: Атья М.>
Ботт Р., Патоди В. Уравнение теплопроводности и теорема об индексе. —
Математика, 1973, т. 17, № 6, с. 3—48.]
Atiyah M. F., Singer I. M. [1] The index of elliptic operators on compact
manifolds.— Bull. Amer. Math. Soc. 69 A963), 422—433. [Имеется пере-
перевод: Атья М., Зингер И. Индекс эллиптических операторов на компакт-
компактных многообразиях. — Математика, 1966, т. 10, № 3, с. 29—38.]
[2] The index of elliptic operators. I, III. —Ann. of Math. 87 A968),
484—530, 546—604. [Имеется перевод: Атья М., Зингер И. Индекс эл-
эллиптических операторов. I, III. —УМН, 1968, т. 23, № 5, с. 99—142;
1969, т. 24, № 1, с. 127—182.]
Avakumovic V. G. [1] Ober die Eigenfunktionen auf geschlossenen Riemann-
schen Mannigfaltigkeiten. — Math. Z. 65 A956), 327—344.
Литература 423
Bang Т. [1] От quasi-analytiske funktioner. Thesis, Copenhagen 1946.
Baouendi M. S., Goulaouic Ch. [1] Nonanalytic-hypoellipticity for some
degenerate elliptic operators. — Bull. Amer. Math. Soc. 78 A972), 483—486.
Beals R. [1] A general calculus of pseudo-differential operators. — Duke Math.
J. 42 A975), 1—42.
Beals R., Fefferman C. [1] On local solvability of linear partial differential
equations. —Ann. of Math. 97 A973), 482—498.
[2] Spatially inhomogeneous pseudo-differential operators I. — Comm. Pure
Appl. Math. 27 A974), 1-24.
Beckner W. [1] Inequalities in Fourier analysis. — Ann. of Math. 102 A975),
159—182.
Berenstein C. A., Dostal M. A. [1] On convolution equations I. In: L'anal.
harm, dans le domain complexe. — Springer Lecture Notes in Math. 336
A973), 79—94.
Bernstein S. [1] Sur la nature analytique des solutions des equations aux
derivees partielles du second ordre. — Math. Ann. 59 A904), 20—76.
Beurling A. [1] Quasi-analyticity and general distributions. Lectures 4 and 5,
Amer. Math. Soc. Summer Inst. Stanford 1961 (Mimeographed).
[2] Sur les spectres des fonctions. — Anal. Harm. Nancy 1947, Coll.
Int. XV pp. 9—29.
[3] Analytic continuation across a linear boundary. — Acta Math. 128
A972), 153—182.
Bjorck G. [1] Linear partial differential operators and generalized distri-
distributions. — Ark. Mat. 6 A966), 351—407.
Bjork J. E. [1] Rings of differential operators. — North-Holland Publ. Co.
Math. Library series 21 A979).
Bochner S. [1] Vorlesungen fiber Fouriersche Integrate. — Leipzig 1932.
[Имеется перевод: Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. — М.: Физ-
матгиз, 1962.]
Boman J. [1] On the intersection of classes of infinitely differentiable
functions. —Ark. Mat. 5 A963), 301—309.
Bonnesen Т., Fenchel W. [1] Theorie der konvexen Korper. — Erg. der Math.
und ihrer Grenzgeb. 3, Springer-Verlag, 1934.
Bony J. M. [1] Une extension du theoreme de Holmgren sur l'unicite du
probleme de Cauchy. — C. R. Acad. Sci. Paris 268 A969), 1103—1106.
[2] Extensions du theoreme de Holmgren. — Sem. Goulaouic — Schwartz
1975—1976, Expose no. XVII.
[3] Equivalence des diverses notions de spectre singulier analytique. —
Sem. Goulaouic — Schwartz 1976—1977, Expose no. III.
Bony J. M., Schapira P. [1] Existence et prolongement des solutions holo-
morphes des equations aux derivees partielles. — Invent. Math. 17 A972),
95—105. [Имеется перевод: Бони Ж.-М., Шапира П. Существование и
продолжение голоморфных решений уравнений с частными производны-
производными.—Математика, 1973, т. 17, № 1, с. 162—171.]
Borel E. [1] Sur quelques points de la theorie des fonctions. — Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. 12 C) A895), 9—55.
Boutet de Monvel L. [1] Comportement d'un operateur pseudo-differentiel
sur une variete a bord. —J. Analyse Math. 17 A966), 241—304.
[2] Boundary problems for pseudo-differential operators. — Acta Math. 126
A971), 11—51.
[3] On the index of Toeplitz operators of several complex variables. —
Invent. Math. 50 A979), 249—272.
[4] Hypoelliptic operators with double characteristics and related pseudo-
differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 27 A974), 585—639.
Boutet de Monvel L., Guillemin V. [1] The spectral theory of Toeplitz opera-
operators.—Ann. of Math. Studies 99 A981).
424 Литература
Boutet de Monvel L., Grigis A., Helffer B. [1] Parametrixes d'operateurs
pseudo-differentiels a caracteristiques multiples. — Asterisque 34—35 A976)
93—121.
Brezis H. [1] On a characterization of flow-invariant sets. — Comm. Pure
Appl. Math. 23 A970), 261—263.
Brodda B. [1] On uniqueness theorems for differential equations with constant
coefficients. —Math. Scand. 9 A961), 55—68.
Browder F. [1] Estimates and existence theorems for elliptic boundary value
problems. — Proc. Nat. Acad. Sci. 45 A959), 365—372.
Calderon A. P. [1] Uniqueness in the Cauchy problem for partial differential
equations. —Amer. J. Math. 80 A958), 16—36.
[2] Existence and uniqueness theorems for systems of partial differentia!
equations. Fluid Dynamics and Applied Mathematics (Proc. Symp. Univ.
of Maryland 1961). —New York 1962, pp. 147—195.
[3] Boundary value problems for elliptic equations. Outlines of the joint
Soviet-American Symposium on partial differential equations, Novosibirsk
1963, pp. 303—304.
Calderon A. P., Vaillancourt R. [1] On the boundedness of pseudo-differential
operators. —J. Math. Soc. Japan 23 A972), 374—378.
[2] A class of bounded pseudo-differential operators. — Proc. Nat. Acad.
Sci. USA 69 A972), 1185—1187.
Calderon A. P. Zygmund A. [1] On the existence of certain singular inte-
integrals. — Acta Math. 88 A952), 85—139.
Caratheodory C. [1] Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen
Erster Ordnung. — Berlin: Teubner, 1935.
Carleman T. [1] Sur un probleme d'unicite pour les systemes d'equations aux
derivees partielles a deux variables independentes.— Ark. Mat. Astr. Fys.
26B No 17 A939), 1—9.
[2] L'integrale de Fourier et les questions qui s'y rattachent. — Publ. Sci.
Inst. Mittag-Leffler, Uppsala 1944.
[3] Proprietes asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes
vibrantes. — C. R. Congr. des Math. Scand. Stockholm 1934 (Lund 1935),
pp. 34—44
Catlin D. [1] Necessary conditions for subellipticity and hypoellipticity for
the д Neumann problem on pseudoconvex domains. In: Recent developments
in several complex variables.— Ann. of Math. Studies 100 A981), 93—100.
Cauchy A. \l] Memoire sur l'integration des equations lineaires. — C. R. Acad.
Sci. Paris 8 A839). In: CEuvres IV, pp 369—426. — Paris: Gauthier-Vil-
lars, 1884.
Cerezo A., Chazarain J., Piriou A. [1] Introduction aux hyperfonctions.—
Springer Lecture Notes in Math. 449 A975), 1—53.
Chaillou J. [1] Hyperbolic differential polynomials and their singular per-
perturbations. — D. Reidel Publ. Co. Dordrecht, Boston, London 1979.
Chazarain J. [1] Construction de la parametrix du probleme mixte hyperbolique
pour l'equation des ondes. — С R. Acad. Sci. Paris 276 A973), 1213—1215.
[2] Formules de Poisson pour les varietes riemanniennes. — Invent. Math.
24 A974), 65—82
Chazarain J., Piriou A. [1] Introduction a la theorie des equations aux
derivees partielles lineaires. — Gauthier-Villars, 1981.
Chester C, Friedman В., Ursell F. [1] An extension of the method of steepest
descent. —Proc. Cambr. Phil. Soc. 53 A957), 599—611.
Cohen P. [1] The non-uniqueness of the Cauchy problem. — O. N. R. Techa
Report 93, Stanford 1960.
[2] A simple proof of the Denjoy — Carleman theorem. — Amer. Math.
Monthly 75 A968), 26—31.
[3] A simple proof of Tarski's theorem on elementary algebra. Mimeogra-
Mimeographed manuscript. — Stanford University 1967.
Литература 425
Colin de Verdiere Y. [1] Sur le spectre des operateurs elliptiques a bicaracte-
ristiques toutes periodiques.— Comment. Math. Helv. 54 A979), 508—522.
Cook J. [1] Convergence to the Moller wave matrix. — J. Mathematical
Physics 36 A957), 82—87.
•Cordes H. O. [1] Ober die eindeutige Bestimmheit der Losungen elliptischer
Differentialgleichungen durch Anfangsvorgaben. — Nachr. Akad. Wiss.
Gottingen Math.-Phys. Kl. Ha, No. 11 A956), 239—258.
•Cotlar M. [1] A combinatorial inequality and its applications to L2 spaces.—
Rev. Math. Cuyana 1 A955), 41—55.
Courant R., Hilbert D. [1] Methoden der Mathematischen Physik II.— Berlin,
1937. [Имеется перевод: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической
физики. Т. 2. —М.: ГТТИ, 1951.]
Courant R., Lax P. D. [1] The propagation of discontinuities in wave
motion. — Proc. Nat. Acad. Sci. 42 A956), 872—876.
De Giorgi E. [1] Un esempio di non-unicita della soluzione del problema di
Cauchy relativo ad una equazione differenziale lineare a derivate parziali
di tipo parabolico. — Rend. Mat. 14 A955), 382—287.
[2] Solutions analytiques des equations aux derivees partielles a coef-
coefficients constants. — Sem. Goulaouic —Schwartz 1971 —1972, Expose 29.
Dencker N. [1] On the propagation of singularities for pseudo-differential
operators of principal type. — Ark. Mat. 20 A982), 23—60.
[2] The Weyl calculus with locally temperate metrics and weights. —
Ark. Mat. 24 A986), 59—79.
Dieudonne J. [1] Sur les fonctions continus numeriques definies dans un
produit de deux espaces compacts. — C. R. Acad. Sci. Paris 205 A937),
593—595.
Dieudonne J., Schwartz L. [1] La dualite dans les espaces (&~) et {3?^).—
Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1 A949), 61—101. [Имеется перевод: Дьё-
донне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (9~) и C?&~).—
Математика, 1958, т. 2, № 2, с. 77—117.]
Dollard J. D. [1] Asymptotic convergence and the Coulomb interaction. — J.
Math. Phys. 5 A964), 729—738.
[2] Quantum mechanical scattering theory for short-range and Coulomb
interactions. — Rocky Mountain J. Math. 1 A971), 5—88.
Douglis A., Nirenberg L. [1] Interior esimates for elliptic systems of partial
equations. — Comm. Pure Appl. Math. 8 A955), 503—538.
Duistermaat J. J. [1] Oscillatory integrals, Lagrange immersions and un-
unfolding of singularities.— Comm. Pure Appl. Math. 27 A974), 207—281.
Duistermaat J. J., Guillemin V. W. [1] The spectrum of positive elliptic
operators and periodic bicharacteristics. — Invent. Math. 29 A975), 39—79.
Duistermaat J. J., Hormander L. [1] Fourier integral operators II. — Acta
Math. 128 A972), 183—269.
Duistermaat J. J., Sjostrand J. [1] A global construction for pseudo-diffe-
pseudo-differential operators with non-involutive characteristics. — Invent. Math. 20
A973), 209—225.
DuPlessis N. [1] Some theorems about the Riesz fractional integral. — Trans.
Amer. Math. Soc. 80 A955), 124—134.
Tihrenpreis L. [1] Solutions of some problems of division I. — Amer. J. Math,
76 A954), 883—903.
[2] Solutions of some problems of division III. — Amer. J. Math. 78
A956), 685—715.
[3] Solutions of some problems of division IV. — Amer. J. Math. 82
A960), 522—588.
[4] On the theory of kernels of Schwartz. — Proc. Amer. Math. Soc. 7
A956)", 713—718.
[5] A fundamental principle for systems of linear differential equations
with constant coefficients, and some of its applications. — Proc. Intern.
Symp. on Linear Spaces, Jerusalem 1961, pp. 161 —174.
426 Литература
[6] Fourier analysis in several complex variables. — Wiley-Interscience
Publ., New York, London, Sydney, Toronto 1970.
[7] Analytically uniform spaces and some applications. — Trans. Amer.
Math. Soc. 101 A961), 52—74.
[8] Solutions of some problems of division V. Hyperbolic operators. —
Amer. J. Math. 84 A962), 324—348.
Enqvist A. [1] On fundamental solutions supported by a convex cone.—
Ark. Mat. 12 A974), 1—40.
Enss V. [1] Asymptotic completeness for quantum-mechanical potential scat-
scattering. I. Short range potentials. — Comm. Math. Phys. 61 A978), 285—
291.
[2] Geometric methods in spectral and scattering theory of Schrodinger
operators. In: Rigorous Atomic and Molecular Physics, G. Velo and
A. Wightman ed. — Plenum, New York, 1980—1981 (Proc. Erice School
of Mathematical Physics 1980).
Eskin G. I. (Эскин Г. И.) [1] Краевые задачи для эллиптических псевдо-
псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1973.
[2] Parametrix and propagation of sinqularities for the interior mixed ¦
hyperbolic problem. —J. Analyse Math. 32 A977), 17—62.
[3] General initial-boundary problems for second order hyperbolic equations.
In: Sing, in Boundary Value Problems. — D. Reidel Publ. Co., Dordrecht,.
Boston, London 1981, pp. 19—54.
[4] Initial boundary value problem for second order hyperbolic equations.
with general boundary conditions I. — J. Analyse Math. 40 A981), 43—89.
Fefferman C. L. [1] The uncertainty principle. — Bull. Amer. Math. Soc. 9*
A983), 129—206.
Fefferman C, Phong D. H. [1] On positivity of pseudo-differential opera-
operators. — Proc. Nat. Acad. Sci. 75 A978), 4673—4674.
[2] The uncertainty principle and sharp Garding inequalities. — Comm.
Pure Appl. Math. 34 A981), 285—331.
Fredholm I. [1] Sur l'integrale fondamentale d'une equation differentielle
elliptique a coefficients constants. — Rend. Circ. Mat. Palermo 25 A908),.
346—351.
Friedlander F. G. [1] The wave front set of the solution of a simple initial-
boundary value problem with glancing rays. — Math. Proc. Cambridge-
Philos. Soc. 70 A976), 145—159.
Friedlander F. G., Melrose R. B. [1] The wave front set of the solution of
a simple initial-boundary value problem with glancing rays. — II. — Math.
Proc. Cambridge Philos. Soc. 81 A977), 97—120.
Friedrichs K. [1] On differential operators in Hilbert space* —Amer. J.
Math. 61 A939), 523—544.
[2] The identity of weak and strong extensions of differential operators.—
Trans. Amer. Math. Soc. 55 A944), 132—151.
[3] On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential
equations. —Comm. Pure Appl. Math. 6 A953), 299—326.
[4] On the perturbation of continuous spectra. — Comm. Pure Appl. Math.
1 A948), 361—406.
Friedrichs K., Lewy H. [1] Ober die Eindeutigkeit und das Abhangigkeitsgebiet
der Losungen beim Anfangswertproblem linearer hyperbolischer Differen-
tialgleichungen. —Math. Ann. 98 A928), 192—204.
Froman N., Froman P. O. [1] JWKB approximation. Contributions to the
theory.— North-Holland Publ. Co. Amsterdam 1965.
Fuglede B. [1] A priori inequalities connected with systems of partial dif-
differential equations.— Acta Math. 105 A961), 177—195.
Garding L. [1] Linear hyperbolic partial differential equations with constant
coefficients. —Acta Math. 85 A951), 1—62.
[2] Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations.—
Math. Scand. 1 A953), 55—72.
Литература 427
{3] Solution directe du probleme de Cauchy pour les equations hyper-
boliques. — Coll. Int. CNRS, Nancy 1956, pp. 71—90. [Имеется перевод:
Гординг Л. Прямое решение задачи Коши для гиперболических урав-
уравнений.— Математика, 1958, т. 2, № 1, с. 81—96.]
[4] Transformation de Fourier des distributions homogenes. — Bull Soc
Math. France 89 A961), 381—428.
[5] Local hyperbolicity. — Israel J. Math. 13 A972), 65—81.
[6] Le probleme de la derivee oblique pour l'equation des ondes. —
С R. Acad. Sci. Paris 285 A977), 773—775. Rectification C. R. Acad.
Sci. Paris 286 A978), 1199.
[7] On the asymptotic distribution of the eigenvalues and eigenfunctions
of elliptic differential operators. — Math. Scand. 1 A953), 237—255.
<3arding L, Lions J. L. [1] Functional analysis. — Nuovo Cimento N. 1 del
Suppl. al Vol. A0) 14 A959), 9—66.
Warding L., Malgrange B. [1] Operateurs differentiels partiellement hypo-
elliptiques et partiellement elliptiques. — Math. Scand. 9 A961), 5—21.
!Gask H. [1] A proof of Schwartz' kernel theorem. — Math. Scand. 8 A960),
327—332.
Gevrey M. [1] Demonstration du theoreme de Picard — Bernstein par la
methode des contours successifs; prolongement analytique. — Bull. Sci.
Math. 50 A936), 113—128.
Glaeser G. [1] Etude de quelques algebres Tayloriennes. — J. Analyse Math.
6 A958), 1 — 124.
*Godin P. [1] Propagation des singularites pour les operateurs pseudo-dif-
ferentiels de type principal a partie principal analytique verifiant la con-
condition (P), en dimension 2. — C. R. Acad. Sci. Paris 284 A977), 1137—1138.
<}rubb G. [1] Boundary problems for systems of partial differential operators
of mixed order.— J. Functional Analysis 26 A977), 131—165.
[2] Problemes aux limites pseudo-differentiels dependant d'un parametre. —
C. R. Acad. Sci. Paris 292 A981), 581—583.
Gudmundsdottir G. [1] Global properties of differential operators of constant
strength. — Ark. Mat. 15 A977), 169—198.
<juillemin V. [1] The Radon transform on Zoll surfaces. — Adv. in Math. 22
A976), 85—119.
[2] Some classical theorems in spectral theory revisited. Sem. on sing.
of sol. of diff. eq. — Princeton University Press, Princeton, N. J., 1979,
pp. 219—259.
[3] Some spectral results for the Laplace operator with potential on the
м-sphere. — Adv. in Math. 27 A978), 273—286.
Guillemin V., Schaeffer D. [1] Remarks on a paper of D. Ludwig. — Bull.
Amer. Math. Soc. 79 A973), 382—385.
'Guillemin V., Sternberg S. [1] Geometrical asymptotics. — Amer. Math. Soc.
Surveys 14, Providence, R. I. 1977. [Имеется перевод: Гийемин В., Стерн-
берг С. Геометрические асимптотики. — М.: Мир, 1980.]
Hack М. N. [1] On convergence to the M0ller wave operators. — Nuovo Ci-
Cimento A0) 13 A959), 231—236.
Hadamard J. [1] Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partiel-
les lineaires hyperboliques. — Paris 1932.
Haefliger A. [1] Varietes feuilletees. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 16
A962), 367—397.
Hanges N. [1] Propagation of singularities for a class of operators with
double characteristics. Sem. on sing, of sol. of linear partial diff. eq. —
Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 113—126.
Hardy G. H., Littlewood J. E. [1] Some properties of fractional integrals.
(I) Math. Z. 27 A928), 565—606; (II) Math. Z. 34 A931—32), 403—439.
Hausdorff F. [1] Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes uber Fourier-
reihen. — Math. Z. 16 A923), 163—169.
428 Литература
Hayman W. К., Kennedy P. В. [1] Subharmonic functions I. —Academic
Press, London, New York, San Francisco 1976. [Имеется перевод: Хей-
ман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980.]
Hedberg L. I. [1] On certain convolution inequalities. — Proc. Amer. Math.
Soc. 36 A972), 505—510.
Heinz E. [1] Uber die Eindeutigkeit beim Cauchyschen Anfangswertproblem
einer eiliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung. — Nachr. Akad.
Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. Ha No. 1 A955), 1—12.
Helffer B. [1] Addition de variables et applications a la regularite. — Ann.
Inst. Fourier (Grenoble) 28:2 A978), 221—231.
Helffer В., Nourrigat J. [1] Caracterisation des operateurs hypoelliptiques
homogenes invariants a gauche sur un groupe de Lie nilpotent gradue. —
Comm. Partial Differential Equations 4:8 A979), 899—958.
Herglotz G. [1] Uber die Integration linearer partieller Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten I—III. — Berichte Sachs. Akad. d. Wiss. 7&
A926), 93—126, 287—318; 80 A928), 69—114.
Hersh R. [1] Boundary conditions for equations of evolution. — Arch. Rational
Mech. Anal. 16 A964), 242—264.
[2] On surface waves with finite and infinite speed of propagation. —
Arch. Rational Mech. Anal. 19 A965), 308—316.
Hirzebruch F. [1] Neue Topologische Methoden in der algebraischen Geomet-
rie. — Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1956. [Имеется пе-
перевод (англ. изд. 1966 г.): Хирцебрух Ф. Топологические методы в ал-
алгебраической геометрии.—М.: Мир, 1973.]
Hlawka Е. [1] Uber Integrate auf konvexen Korpern. I. — Monatsh. Math. 54
A950), 1—36.
Holmgren E. [1] Uber Systeme von linearen partiellen Differentialgleichun-
Differentialgleichungen. — Ofversigt af Kongl. Vetenskaps-Akad. Forh. 58 A901), 91 — 103.
[2] Sur Textension de la methode d'integration de Riemann. — Ark. Mat.
Astr. Fys. 1. No 22 A904), 317—326.
Hormander L. [1] On the theory of general partial differential operators.—
Acta Math. 94 A955), 161—248. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. К тео-
теории общих дифференциальных операторов в частных производных. — М.:
ИЛ, 1959.]
[2] Local and global properties of fundamental solutions. — Math. Scand.
5 A957), 27—39.
[3] On the regularity of the solutions of boundary problems. — Acta Math.
99 A958), 225—264. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О регулярности
решений граничных задач. — Математика, 1960, т. 4, № 4, с. 37—73.]
[4] On interior regularity of the solutions of partial differential equa-
equations. — Comm. Pure Appl. Math. 11 A958), 197—218.
[5] On the division of distributions by polynomials. — Ark. Mat. 3 A958),.
555—568. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О делении обобщенных функ-
функций на полиномы. — Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 117—130.]
[6] Differentiability properties of solutions of systems of differential
equations.— Ark. Mat. 3 A958), 527—535.
{7] Definitions of maximal differential operators. — Ark. Mat. 3 A958),
501—504.
[8] On the uniqueness of the Cauchy problem I, II. —Math. Scand. 6
A958), 213—225-/7 A959), 177—190.
[9] Null solutions of partial differential equations. — Arch. Rational Mech.
Anal. 4 (I960), 255—261.
[10] Differential operators of principal type. — Math. Ann. 140 A960),
124—146. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Дифференциальные операто-
операторы главного типа.— Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 89—114.]
[11] Differential equations without solutions. — Math. Ann. 140 A960),
169—173. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Дифференциальные уравнения
без решений.—Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 115—120.]
Литература 429
[12] Hypoelliptic differential operators. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
11 A961), 477—492. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Гипоэллиптические
дифференциальные операторы. — Математика, 1963, т. 7, № 1, с. 66—78.]
[13] Estimates for translation invariant operators in LP spaces. — Act? Math.
104 A960), 93—140. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Оценки для опе-
операторов, инвариантных относительно сдвига.—М.: ИЛ, 1962.]
[14] On the range of convolution operators. — Ann. of Math. 76 A962),
148—170. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Об области значений диф-
дифференциальных операторов и операторов свертки. — Математика, 1962,
т. 6, № 3, с. 37—66.]
[15] Supports and singular supports of convolutions. — Acta Math. 110
A963), 279—302.
[16] Pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 18 A965),
501—517. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Псевдодифференциальные
операторы. В сб.: Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир, 1967,
с. 63—87.]
[17] Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problems.—
Ann. of Math. 83 A966), 129—209. [Имеется перевод: Хёрмандер Л.
Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи.
В том же сб., с 166—296.]
[18] Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations. — Amer.
Math. Soc. Symp. on Singular Integrals, 1966, pp. 138—183. [Имеется
перевод: Хёрмандер Л. Псевдодифференциальные операторы и гипоэл-
гипоэллиптические уравнения. В том же сб., с. 297—367.]
[19] An introduction to complex analysis in several variables. — D. van No-
strand Publ. Co., Princeton, N. J. 1966. [Имеется перевод: Хёрмандер Л.
Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.:
Мир, 1968.]
[20] Hypoelliptic second order differential equations. — Acta Math. 119
A967), 147—171. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Гипоэллиптические
дифференциальные уравнения второго порядка.—Математика, 1968,
т. 12, № 2, с. 88—109.]
[21] On the characteristic Cauchy problem. — Ann. of Math. 88 A968),
341—370. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О характеристической задаче
Коши. — Математика, 1969, т. 13, № 1, с. 83—110.]
[22] The spectral function of an elliptic operator. — Acta Math. 121 A968),
193—218. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Спектральная функция эл-
эллиптического оператора. — Математика, 1969, т. 13, № 6, с. 114—137.]
[23] Convolution equations in convex domains. — Invent. Math. 4 A968),
306-317.
[24] On the singularities of solutions of partial differential equations. —
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 329—358. [Имеется перевод: Хёрман-
Хёрмандер Л. Об особенностях решений дифференциальных уравнений в част-
частных производных.— Математика, 1972, т. 16, № 6, с. 33—59.]
[25] Linear differential operators. — Actes Congr. Int. Math. Nice 1970,
1, pp. 121 — 133.
[26a] The calculus of Fourier integral operators. — Prospects in math.
Ann. of Math. Studies 70 A971), 33—57.
[26b] Fourier integral operators I. —Acta Math. 127 A971), 79—183.
[Имеется перевод: Хёрмандер Л. Интегральные операторы Фурье. I. —
Математика, 1972, т. 16, № 1, с. 17—61.]
[27] Uniqueness theorems and wave front sets for solutions of linear
differential equations with analytic coefficients. — Comm. Pure Appl. Math.
24 A971), 671—704. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Теоремы един-
единственности и волновые фронты для решений линейных дифференциальных
уравнений с аналитическими коэффициентами. — Математика, 1973, т. 17,
№ 6, с. 82—110.]
430 Литература
[28] A remark on Holmgren's uniqueness theorem. — J. Diff. Geom. 6
A971), 129—134.
[29] On the existence and the regularity of solutions of linear pseudo-
differential equations. — Ens. Math. 17 A971), 99—163. [Имеется перевод:
Хёрмандер Л. О существовании и регулярности решений линейных псев-
псевдодифференциальных уравнений. — УМН, 1973, т. 28, № 6, с. 109—164.]
[32] Lower bounds at infinity for solutions of differential equations with
constant coefficients. — Israel J. Math. 13 A972), 82—105.
[31] On the existence of real analytic solutions of partial differential
equations with constant coefficients. — Invent. Math. 21 A973), 151 — 182.
[32] Lower bounds at infinity for solutions of differential equations with
constant coefficients. — Israel J. Math. 16 A973), 103—116.
[33] Non-uniqueness for the Cauchy problem. — Springer Lecture Notes in
Math. 459 A975), 36—72.
[34] The existence of wave operators in scattering theory. — Math. Z. 146
A976), 69—91.
[35] A class of hypoelliptic pseudo-differential operators with double
characteristics. — Math. Ann. 217 A975), 165—188.
[36] The Cauchy problem for differential equations with double characteri-
characteristics.—J. Analyse Math. 32 A977), 118—196.
[37] Propagation of singularities and semiglobal existence theorems for
(pseudo-) differential operators of principal type. — Ann. of Math. 108
A978), 569—609.
[38] Subelliptic operators. Seminar on sing, of sol. of diff. eq. — Princeton
Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 127—208.
[39] The Weyl calculus of pseudo-differential operators. — Comm. Pure
Appl. Math. 32 A979), 359—443.
[40] Pseudo-differential operators of principal type. Nato Adv. Study
Inst. on Sing, in Bound. Value Problems. — Reidel Publ. Co. Dordrecht
1981. pp. 69—96.
[41] Uniqueness theorems for second order elliptic differential equations.—
Comm. Partial Differential Equations 8 A983), 21—64.
[42] On the index of pseudo-differential operators. In: Elliptische Diffe-
rentialgleichungen, Band II. — Akademie-Verlag, Berlin 1971, S. 127—146.
[Имеется перевод: Хёрмандер Л. Об индексе псевдодифференциальных
операторов. — Математика, 1970, т. 14, № 4, с. 78—97.]
[43] L2 estimates for Fourier integral operators with complex phase. —
Ark. Mat. 21 A983), 297—313.
[44] On the subelliptic test estimates. Comm. Pure Appl. Math. 33 A980),
339—363.
Hurwitz A. [1] Uber die Nullstellen der Bessel'schen Funktion. — Math. Ann.
33 A889), 246—266.
Iagolnitzer D. [1] Microlocal essential support of a distribution and decom-
decomposition theorems — an introduction. In: Hyperfunctions and theoretical
physics. — Springer Lecture Notes in Math. 449 A975), 121 — 132.
Ikebe T. [1] Eigenfunction expansions associated with the Schrodinger ope-
operator and their applications to scattering theory. — Arch. Rational Mech.
Anal. 5 A960), 1—34.
Ikebe Т., Saito Y. [1] Limiting absorption method and absolute continuity for
the Schrodinger operator. — J. Math. Kyoto Univ. 12 A972), 513—542.
Iwasaki N. [1] The Cauchy problem for effectively hyperbolic equations
(a special case). —J. Math. Kyoto Univ. 23 A983), 503—562; (a standart
type). —Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20 A984), 543—584.
Jauch J. M. Zinnes I. I. [1] The asymptotic condition for simple scattering
systems. — Nuovo Cimento A0) 11 A959), 553—567.
Jerison D.v Kenig С. Е. [1] Unique continuation and absence of positive
eigenvalues for Schrodinger operators. — Univ. of Minnesota Math. Report
83—160.
Литература 431
John F. [1] On linear differential equations with analytic coefficients. Unique
continuation of data. — Comm. Pure Appl. Math. 2 A949), 209—253.
[2] Plane waves and spherical means applied to partial differential
equations. — New York 1955. [Имеется перевод: Йон Ф. Плоские волны
и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям
с частными производными. — М.: ИЛ, 1958.]
[3] Non-admissible data for differential equations with constant coeffi-
coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 10 A957), 391—398.
[4] Continuous dependence on data for solutions of partial differential
equations with a prescribed bound. — Comm. Pure Appl. Math. 13 (I960),
551—585.
[5] Linear partial differential equations with analytic coefficients. — Proc.
Nat. Acad. Sci. 29 A943), 98—104.
Jorgens K., Weidmann J. [1] Zur Existenz der Wellenoperatoren. — Math. Z.
131 A973), 141—151.
Kashiwara M. [1] Introduction to the theory of hyperfunctions. In: Sem. on
microlocal analysis. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 3—
38.
Kashiwara M., Kawai T. [1] Microhyperbolic pseudo-differential operators. I.—
J. Math. Soc. Japan 27 A975), 359—404.
Kato T. [1] Growth properties of the reduced wave equation with a variable
coefficient. —Comm. Pure Appl. Math. 12 A959), 403—425.
Keller J. B. [1] Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for nonsepa-
rable systems. — Ann. Phys. 4 A958), 180—188.
Kitada H. [1] Scattering theory for Schrodinger operators with long-range
potentials. I: Abstract theory. — J. Math. Soc. Japan 29 A977), 665—691;
II: Spectral and scattering theory. — J. Math. Soc. Japan 30 A978), 603—
632.
Knapp A. W., Stein E. M. [1] Singular integrals and the principal series.—
Proc. Nat. Acad. Sci. USA 63 A969), 281—284.
Kohn J. J. [1] Harmonic integrals on strongly pseudo-convex manifolds I,
II. —Ann. of Math. 78 A963), 112—148; 79 A964), 450—472.
[2] Pseudo-diTlerential operators and non-elliptic problems. In: Pseudo-
differential operators. CIME conference, Stresa 1968. — Edizione Cremonese,
Roma 1969, pp. 157—165.
Kohn J. J., Nirenberg L. [1] On the algebra of pseudo-differential operators.—
Comm. Pure Appl. Math. 18 A965), 269—305. [Имеется перевод: Кон Дж.,
Ниренберг Л. Алгебра псевдодифференциальных операторов. В сб.: Псев-
Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир, 1967, с. 9—62.]
[2] Non-coercive boundary value problems. — Comm. Pure Appl. Math. 18
A965), 443—492.
Komatsu H. [1] A local version of Bochner's tube theorem. — J. Fac. Sci.
Tokyo Sect. I-A Math. 19 A972), 201—214.
[2] Boundary values for solutions of elliptic equations. Proc. Int. Conf.
Funct. Anal. Rel. Topics. — Univ. of Tokyo Press, Tokyo 1970, pp. 107—121.
Kreiss H. O. [1] Initial boundary value problems for hyperbolic systems.—
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 277—298. [Имеется перевод: Крайс Х.-О.
Смешанная задача для гиперболических систем.—Математика, 1970, т. 14,
№ 4, с. 98—111.]
Krzyzanski М., Schauder J. [1] Quasilineare Differentialgleichungen zweiter
Ordnung vom hyperbolischen Typus. Gemischte Randwertaufgaben. — Studia
Math. 6 A936), 162—189.
Kumano-go H. [1] Factorizations and fundamental solutions for differential
operators of elliptic-hyperbolic type. — Proc. Japan Acad. 52 A976), 480—
483.
Kuroda S. T. [1] On the existence and the unitary property of the scattering
operator. — Nuovo Cimento A0) 12 A959), 431—454.
432 Литература
Lascar В., Lascar R. [1J Propagation des singularites pour des equations
hyperboliques a caracteristiques de multiplieite аи plus double et singula-
singularites Masloviennes II. —J. Analyse Math. 41 A982), 1—38.
Lax A. [1] On Cauchy's problem for partial differential equations with multiple
characteristics. — Comm. Pure Appl. Math. 9 A956), 135—169.
Lax P. D. [2] On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the dif-
differentiability of solutions of elliptic equations. — Comm. Pure Appl. Math 8
A955), 615—633.
[3] Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems. — Duke
Math. J. 24 A957), 627—646.
Lax P. D., Nirenberg L. [1] On stability for difference schemes: a sharp form
of Garding's inequality. — Comm. Pure Appl. Math. 19 A966), 473—492.
[Имеется перевод: Лаке П., Ниренберг Л. Об устойчивости разностных
схем; точная форма неравенства Гординга. — Математика, 1967, т. 11,
№ 6, с. 3—20.]
Lebeau G. [1] Fonctions harmoniques et spectre singulier. — Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. D) 13 A980), 269—291.
Lelong P. [1] Plurisubharmonic functions and positive differential forms.—
Gordon and Breach, New York, London, Paris 1969.
[2] Proprietes metriques des varietes definies par une equation. — Ann.
Sci. Ecole Norm. Sup. 67 A950), 22—40.
Leray J. [1] Hyperbolic differential equations. — The Institute for Advanced
Study, Princeton, N. J., 1953. [Имеется перевод: Лере Ж. Гиперболиче-
Гиперболические дифференциальные уравнения.—М.: Наука, 1984.]
[2] Uniformisation de la solution du probleme lineaire analytique de
Cauchy pres de la variete qui porte les donnees de ¦ Cauchy.— Bull. Soc.
Math. France 85 A957), 389—429. [Имеется перевод: Лере Ж. Унифор-
мизация решений линейной аналитической задачи Коши в окрестности
многообразия, несущего начальные данные. — Математика, 1959, т. 3,
№ 5, с. 57—89.]
Lerner N. [1] Unicite du probleme de Cauchy pour des operateurs elliptiques.—
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ser. 4, 17 A984), 469—505.
Lerner N., Robbiano L. [1] Unicite de Cauchy pour des operateurs de type
principal. —J. Analyse Math. 44 A984/85), 32—66.
Levi E. E. [1] Caratterische multiple e problema di Cauchy. — Ann. Mat.
Рига Appl. C) 16 A909), 161—201.
Levinson N. [1] Transformation of analytic function of several variables to
a canonical form. — Duke Math. J. 28 A961), 345—353.
Lewy H. [1] An example of a smooth linear partial differential equation
without solution. —Ann. of Math. 66 A957), 155—158.
[2] Extension of Huyghen's principle to the ultrahyperbolic equation. —
Ann. Mat. Рига Appl. D) 39 A955), 63—64.
Lions J. L. [1] Supports dans la transformation de Laplace. — J. Analyse
Math. 2 A952—53), 369—380.
Lions J. L., Magenes E. [1] Problemes aux limites non homogenes et ap-
applications I—III. — Dunod, Paris, 1968—1970. [Имееется перевод:
Лионе Ж--Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при-
приложения.— М.: Мир, 1971.]
Lojasiewicz S. [1] Sur le probleme de division. — Studia Math. 18 A959),
87—136.
Ludwig D. [1] Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem. —
Comm. Pure Appl. Math. 13 A960), 473—508.
[2] Uniform asymptotic expansions at a caustic. — Comm. Pure Appl.
Math. 19 A966), 215—250.
Luke G [1] Pseudodifferential operators on Hilbert bundles. — J. Differential
Equations 12 A972), 566—589.
Литература 433
Malgrange В. [1] Existence et approximation des solutions des equations aux
derivees partielles et des equations de convolution. — Ann. Inst Fourier
(Grenoble) 6 A955—56), 271—355.
[2] Sur une class d'operateurs differentiels hypoelliptiques. — Bull. Math.
France 85 A957), 283—306.
[3] Sur la propagation de la regularite des solutions des equations a
coefficients constants. — Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie
3 E3) A959), 433—440.
[4] Sur les ouverts convexes par rapport a une operateur differentieh —
C. R. Acad. Sci. Paris 254 A962), 614—615.
[5] Sur les systemes differentiels a coefficients constants. — Coll. CNRS.
Paris 1963, pp. 113—122.
[6] Ideals of differetiable Functions. — Tata Institute, Bombay, and Oxford
University Press 1966. [Имеется перевод: Мальгранж Б. Идеалы диф-
дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.]
Mandelbrojt S. [1] Analytic functions and classes of infinitely differentiable
functions.— Rice Inst. Pamphlet 29 A942), 1 — 142.
[2] Series adherentes, regularisations des suites, applications. — Coll. Borel,
Gauthier-Villars, Paris 1952.
Martineau A. fl] Les hyperfonctions de M. Sato. — Sem. Bourbaki 1960—1961,
Expose No 214.
[2] Le «edge of the wedge theorem» en theorie des hyperfonctions de Sato.
Proc. Int. Conf. Funct. Anal. Rel. Topics. — Univ. of Tokyo Press, Tokyo
1970, pp. 95—106.
Mather J. [1] Stability of C°° mappings: I. The division theorem. — Ann. of
Math. 87 A968), 89—104.
Melin A. [1] Lower bounds for pseudo-differential operators. — Ark. Mat. 9
A971), 117—140.
[2] Parametrix constructions for right invariant differential operators on
nilpotent groups. — Ann. Global Analysis and Geometry 1 A983), 79—130.
Melin A., Sjostrand J. [1] Fourier integral operators with complex-valued
phase functions.— Springer Lecture Notes in Math. 459 A974), 120—223.
[2] Fourier integral operators with complex phase functions and para-
parametrix for an interior boundary value problem. — Comm. Partial Differential
Equations 1 :4 A976), 313—400.
Melrose R. B. [1] Transformation of boundary problems. — Acta Math. 147
A981), 149—236.
[2] Equivalence of glancing hypersurfaces.— Invent. Math. 37 A976),
165—191.
[3] Microlocal parametrices for diffractive boundary value problems. — Duke
Math. J. 42 A975), 605—635.
[4] Local Fourier — Airy integral operators. — Duke Math. J. 42 A975),
583—604.
[5] Airy operators. — Comm. Partial Differential Equations 3:1 A978),
1—76.
[6] The Cauchy problem for effectively hyperbolic operators. — Hokkaido
Math. J. 12 A983), 371—391.
[7] The trace of the wave group. — Contemporary Math., AMS, 27 A984),
127—167.
Melrose R. В., Sjostrand J. [1] Singularities of boundary value problems I,
II. —Comm. Pure Appl. Math. 31 A978), 593—617; 35 A982), 129—168.
Mikusinski J. [1] Une simple demonstration du theoreme de Titchmarsh sur la
convolution. —Bull. Acad. Pol. Sci. 7 A959), 715—717.
[2] The Bochner integral. — Birkhauser-Verlag, Basel, Stuttgart 1978.
Minakshisundaran S., Pleijel A. [1] Some properties of the eigenfunctions of
the Laplace operator on Riemannian manifolds. — Canad. J. Math. 1 A949)>
242—256.
434 Литература
Mizohata S. [1] Unicite du prolongement des solutions des equations elliptiques
du quatrieme ordre. — Proc. Jap. Acad. 34 A958), 687—692.
[2] Systemes hyperboliques. — J. Math. Soc. Japan 11 A959), 205—233.
[3] Note sur le traitement par les operateurs d'integrale singuliere du
probleme de Cauchy. — J. Math. Soc. Japan 11 A959), 234—240.
[4] Solutions nulles et solutions non analytiques. — J. Math. Kyoto Univ. 1
A962), 271—302.
[5] Some remarks on the Cauchy problem. — J. Math. Kyoto Univ. I
A961), 109—127.
Moller С [1] General properties of the characteristic matrix in the theory
of elementary particles. I. — Kongl. Dansk. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd.
23 A945), 2—48.
Morrey С. В. [1] The analytic embedding of abstract real-analytic mani-
manifolds.—Ann. of Math. 68 A958), 159—201.
Morrey С. В., Nirenberg L. [1] On the analyticity of the solutions of linear
elliptic systems of partial differential equations. — Comm. Pure Appl. Math.
10 A957), 271—290.
Moyer R. D. [1] Local solvability in two dimensions: Necessary conditions
for the principal-type case. Mimeographed manuscript. — Univ. of Kansas
1978.
Muller C. [1] On the behaviour of the solutions of the differential equation
AU = F(XyU) in the neighborhood of a point. — Comm. Pure Appl. Math.
7 A954), 505—515.
Munster M. [1] On A. Lax's condition of hyperbolicity.— Rocky Mountain
J. Math. 8 A978), 443—446.
[2] On hyperbolic polynomials with constant coefficients. — Rocky Moun-
Mountain J. Math. 8 A978), 653—673.
von Neumann J., Wigner E. [1] Uber merkwurdige diskrete Eigenwerte.—
Phys. Z. 30 A929), 465—467.
Nirenberg L. [1] Remarks on strongly elliptic partial differential equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 8 A955), 648—675.
[2] Uniqueness in Cauchy problems for differential equations with constant
coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 10 A957), 89—105.
[3] A proof of the Malgrange preparation theorem. Liverpool singularities
I. —Springer Lecture Notes in Math. 192 A971), 97—105.
[4] On elliptic partial differential equations. — Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa C) 13 A959), 115—162.
[5] Lectures on linear partial differential equations. —Amer. Math. Soc.
Regional Conf. in Math. 17 A972), 1—58. [Имеется перевод: Ниренберг Л.
Лекции о линейных дифференциальных уравнениях в частных производ-
производных.— УМН, 1975, т. 30, № 4, с. 147—204.]
Nirenberg L., Treves F. [1] Solvability of a first order linear partial dif-
differential equation. —Comm. Pure Appl. Math. 16 A963), 331—351.
[2] On local solvability of linear partial differential equations. I. Neces-
Necessary conditions. II. Sufficient conditions. Correction. — Comm. Pure Appl.
Math. 23 A970), 1—38, 459—509; 24 A971), 279—288. [Имеется перевод:
Ниренберг Л., Трев Ф. О локальной разрешимости линейных дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных. I. Необходимые условия.
II. Достаточные условия. Поправка к статье «О локальной разрешимо-
разрешимости...». — Математика, 1971, т. 15, № 3, с. 142—172; № 4, с. 68—110; 1972,
т. 16, № 4, с. 149—152.]
Nishitani Т. [1] Local energy integrals for effectively hyperbolic operators I.—
J. Math. Kyoto Univ. 24 A984), 623—658.
Noether F. [1] Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen. — Math. Ann.
82 A921), 42—63.
Oshima T. [1] On analytic equivalence of glancing hypersurfaces. — Sci.
Papers College Gen. Ed. Univ. Tokyo 28 A978), 51—57.
Литература 435
Paley R. E. A. C, Wiener N. [1] Fourier transforms in the complex domain.—
Amer. Math. Soc. Coll. Publ. XIX, New York 1934. [Имеется перевод:
Винер К, Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. — М.:
Наука, 1964.]
Pederson R. [1] On the unique continuation theorem for certain second and
forth order elliptic equations. — Comm. Pure Appl. Math. 11 A958), 67—80.
[2] Uniqueness in the Cauchy problem for elliptic equations with double
characteristics. —Ark. Mat. 6 A966), 535—549.
Peetre J. [1] Theoremes de regularite pour quelques classes d'operateurs
differentiels. Thesis. —Lund 1959.
[2] Rectification a l'article «Une caracterisation abstraite des operateurs
differentiels».— Math. Scand. 8 A960), 116—120.
[3] Another approach to elliptic boundary problems. — Comm. Pure Appl.
Math. 14 A961), 711—731.
[4] New thoughts on Besov spaces. Duke Univ. Math. Series I. — Durham,
N. C, 1976.
Persson J. [1] The wave operator and P-convexity. — Boll. Un. Mat. Ital.
E) 18-B A981), 591—604.
Pham The Lai [1] Meilleurs estimations asymptotiques des restes de la fonction
spectrale et des valeurs propres relatifs au laplacien. — Math. Scand. 48
A981), 5—31.
Piccinini L. С [1] Non surjectivity of the Cauchy — Riemann operator on the
space of the analytic functions on Rn. Generalization to the parabolic
operators. —Bull. Un. Mat. Ital. D) 7 A973), 12—28.
Plis A. [1] A smooth linear elliptic differential equation without any solution
in a sphere. — Comm. Pure Appl. Math. 14 A961), 599—617.
[2] The problem of uniqueness for the solution of a system of partial
differential equations. — Bull. Acad. Pol. Sci. 2 A954), 55—57.
[3] On non-uniqueness in Cauchy problem for an elliptic second order
differential equation. — Bull. Acad. Pol. Sci. 11 A963), 95—100.
Poincare H. [1] Sur les proprietes du potentiel et les fonctions abeliennes.—
Acta Math. 22 A899), 89—178.
Ralston J. [1] Solutions of the wave equation with localized energy. — Comm.
Pure Appl. Math. 22 A969), 807—823.
[2] Gaussian beams and the propagation of singularities. — MAA Studies
in Math. 23 A983), 206—248.
Reed M., Simon B. [1] Methods of modern mathematical physics. III. Scatte-
Scattering theory. — Academic Press 1979. [Имеется перевод: Рид M., Саймон Б.
Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. —
М.: Мир, 1982.]
Rempel S., Schulze B.-W. [1] Index theory of elliptic boundary problems.—
Akademie-Verlag, Berlin 1982. [Имеется перевод: Ремпель III., Шуль-
це Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач.—М.: Мир, 1986.]
de Rnam G. [1] Varietes differentiables.— Hermann, Paris 1955. [Имеется
перевод: Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия.—М.: ИЛ, 1956.]
Riesz F. [1] Sur l'existence de la derivee des fonctions d'une variable reelle
et des fonctions d'intervalle. — Verh. Int. Math. Kongr. Zurich 1932, I.
S. 258—269.
Riesz M. [1] L'integrale de Riemann — Liouville et le probleme de Cauchy.—
Acta Math. 81 A949), 1—223.
[2] Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionnelles lineai-
res. — Acta Math. 49 A926), 465—497.
[4] Problems related to characteristic surfaces. — Proc. Conf. Diff. Eq.
Univ. Maryland 1955, pp. 57—71.
Rothschild L. P. [1] A criterion for hypoellipticity of operators constructed
from vector fields. — Comm. Partial Diff. Equations 4:6 A979), 645—699.
436 Литература
Saito Y. [1] On the asymptotic behavior of the solutions of the Schrodinger
equation (—A + Q (y)— k2) V = F. — Osaka J. Math. 14 A977), 11—35.
[2] Eigenfunction expansions for the Schrodinger operators with long-range
potentials Q(y) = O(|#|-e), e > 0. — Osaka J. Math. 14 A977), 37—53.
Sakamoto R. [1] ?-well posedness for hyperbolic mixed problems with con-
constant coefficients. —J. Math. Kyoto Univ. 14 A974), 93—118.
[2] Mixed-problems for hyperbolic equations I. — J. Math. Kyoto Univ. 10
A970), 375—401; II ibid. 403—417.
Sato M. [1] Theory of hyperfunctions I. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8
A959), 139—193.
[2] Theory of hyperfunctions II. —J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8 (I960),
387—437.
[3] Hyperfunctions and partial differential equations. — Proc. Int. ConL
on Funct. Anal, and Rel. Topics, Tokyo Univ. Press, Tokyo 1969, pp. 91 —
94.
[4] Regularity of hyperfunction solutions of partial differential equations.—
Actes Congr. Int. Math. Nice 1970, 2, pp. 785—794.
Sato M., Kawai Т., Kashiwara M. [1] Hyperfunctions and pseudodifferential
equations.— Springer Lecture Notes in Math. 287 A973), 265—529.
Schaefer H. H. [1] Topological vector spaces. — Springer-Verlag, New York,
Heidelberg, Berlin 1970. [Имеется перевод: Шефер X. Топологические
векторные пространства. — М.: Мир, 1971.]
Schapira P. [1] Hyperfonctions et problemes aux limites elliptiques. — Bull.
Soc. Math. France 99 A971), 113—141.
[2] Propagation at the boundary of analytic singularities. — Nato Adv.
Study Inst. on Sing, in Bound. Value Pioblems. Reidel Publ. Co., Dord-
Dordrecht 1981, pp. 185—212.
[3] Propagation at the boundary and reflection of analytic singularities
of solutions of linear partial differential equations. — Publ. RIMS, Kyoto
Univ., 12 Suppl. 1977, pp. 441—453.
Schechter M. [1] Various types of boundary conditions for elliptic equations. —
Comm. Pure Appl. Math. 13 A960), 407—425.
[2] A generalization of the problem of transmission. — Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa 14 A960), 207—236.
Schwartz L. [1] Theorie des distributions I, II. — Hermann, Paris, 1950—51.
[2] Theorie des noyaux. — Proc. Int. Congr. Math. Cambridge 1950. I,
pp. 220—230.
[3] Sur rimpossibilite de la multiplication des distributions. — С R. Acad.
Sci. Paris 239 A954), 847—848.
[4] Theorie des distributions a valeurs vectorielles I. — Ann. Inst. Fourier
(Grenoble) 7 A957), 1—141.
[5] Transformation de Laplace des distributions. — Comm. Sem. Math.
Univ.- Lund, Tome suppl. dedie a Marcel Riesz, 1952, pp. 196—206.
[6] Theorie generate des fonctions moyenne-periodiques.— Ann. of Math.
48 A947), 857—929.
Seeley R. T. [1] Singular integrals and boundary problems. — Amer. J. Math.
88 A966), 781—809.
[2] Extensions of C°° functions defined in a half space. — Proc. Amer.
Math. Soc. 15 A964), 625—626.
[3] A sharp asymptotic remainder estimate for the eigenvalues of the
Laplacian in a domain of R3. — Advances in Math. 29 A978), 244—269.
[4] An estimate near the boundary for the spectral function of the La-
Laplace operator.—Amer. J. Math. 102 A980), 869—902.
[5] Elliptic singular integral equations, —Amer. Math. Soc. Symp. on
Singular Integrals, 1966, pp. 308—315.
Seidenberg A. [1] A new decision method for elementary algebra. — Ann. of
Math. 60 A954), 365—374.
Литература 437
Shibata Y. [1] ?-well posedness of mixed initial-boundary value problems^
with constant coefficients in a quarter space. — J. Analyse Math. 37 A980)
32—45.
Siegel С L. [1] Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass.
In: Abhandl. aus Zahlenth. u. Anal. — Plenum Press, New York 1968
pp. 299—306.
Sjostrand J. [1] Singularites analytiques microlocales. — Prepublications Uni-
versite de Paris-Sud 82—03.
[2] Analytic singularities of solutions of boundary value problems. — Nato
Adv. Study Inst. on Sing, in Bound. Value Prob., Reidel Publ. Co., Dord-
Dordrecht 1981, pp. 235—269.
[3] Parametricies for pseudodifferential operators with multiple characte-
characteristics. — Ark. Mat. 12 A974), 85—130.
[4] Propagation of analytic singularities for second order Dirichlet pro-
problems I, II, III. —Comm. Partial Differential Equations 5:1 A980), 41 —
94; 5:2 A980), 187—207; 6:5 A981), 499—567.
[5] Operators of principal type with interior boundary conditions. — Acta
Math. 130 A973), 1—51.
Sommerfeld A. [1] Optics. Lectures on theoretical physics IV.— Academic
Press, New York 1969. [Имеется перевод: Зоммерфельд А. Оптика. — M.:
ИЛ, 1953.]
Stein Е. М. [1] Singular integrals and differentiability properties of fun-
functions.— Princeton Univ. Press 1970. [Имеется перевод: Стейн И. Сингу-
Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир,
1973.]
Sternberg S. [1] Lectures on differential geometry. — Prentice-Hall Inc.,
Englewood Cliffs, N. J., 1964. [Имеется перевод: Стернберг С. Лекции
по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1964.]
Stokes G. В. [1] On the numerical calculation of a class of definite integrals
and infinite series. — Trans. Cambridge Philos. Soc. 9 A850), 166—187.
Svensson L. [1] Necessary and sufficient conditions for the hyperbolicity of
polynomials with hyperbolic principal part. — Ark. Mat. 8 A968), 145—162..
Sweeney W. J. [1] The D-Neumann problem. —Acta Math. 120 A968), 223—
277.
Szego G. [1] Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen. — Math. Z. 6
A920), 167—202.
Tacklind S. [1] Sur les classes quasianalytiques des solutions des equations
aux derivees partielles du type parabolique. — Nova Acta Soc. Sci. Upsa-
liensis D) 10 A936), 1—57.
Tarski A. [1] A decision method for elementary algebra and geometry. Manu-
Manuscript, Berkeley 1951, 63 pp.
Taylor M. [I] Gelfand theory of pseudodifferential operators and hypoel-
liptic operators. — Trans. Amer. Math. Soc. 153 A971), 495—510.
[2] Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave
equations. —Comm. Pure Appl. Math. 29 A976), 1—38.
[3] Diffraction effects in the scattering of waves. In: Sing, in Bound.
Value Problems. —Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 271—316.
[4] Pseudodifferential operators. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J.,
1981. [Имеется перевод: Тейлор М. Псевдодифференциальные операто-
операторы.—М.: Мир, 1985.]
Thorin О. [1] An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. — Kungl.
Fys. Sallsk. Lund. Forh. 8 A939), No 14.
Titchmarsh E. C. [1] The zeros of certain integral functions. — Proc. London
Math. Soc. 25 A926), 283—302.
Treves F. [1] Solution elementaire d'equations aux derivees partielles depen-
dependent d'un parametre. — С R. Acad. Sci. Paris 242 A956), 1250—1252-
[2]. These d'Hormander II. — Sem. Bourbaki 135, 2e ed. (Mai 1956).
438 Литература
[3] Relations de domination entre operateurs differentials. — Acta Math.
101 A959), 1 — 139.
[4] Operateurs differentiels hypoelliptiques. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
9 A959), 1—73.
[5] Local solvability in L2 of first order linear PDEs.— Amer. J. Math.
92 A970), 369—380.
[6] Fundamental solutions of linear partial differential equations with
constant coefficients depending on parameters. — Amer. J. Math. 84 A962),
561—577.
[7] Un theoreme sur les equations aux derivees partielles a coefficients
constants dependant de parametres.— Bull. Soc. Math. France 90 A962),
473—486.
[8] A new method of proof of the subelliptic estimates. — Comm. Pure
Appl. Math. 24 A971), 71 — 115.
[9] Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators.
Volume 1: Pseudodifferential operators. Volume 2: Fourier integral opera-
operators. — Plenum Press, New York and London 1980. [Имеется перевод:
Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и ин-
интегральных операторов Фурье. В 2-х томах. — М.: Мир, 1984.]
Tsuji M. [1] Singularities of elementary solutions of hyperbolic equations
with constant coefficients. — Nato Adv. Study Inst. on Sing, in Bound»
Value Problems. Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 317—326.
Vauthier J. [1] Corrmortement asymptotique des fonctions entieres de type
exponentiel dans C" et bornees dans le domaine reel.—J. Funct. Analysis
12 A973), 290—306.
Veselic K., Weidmann J. [1] Existenz der Wellenoperatoren fur eine allgemeine
Klasse von Operatoren. — Math. Z. 134 A973), 255—274.
[2] Asymptotic estimates of wave functions and the existence of wave
operators. — J. Funct. Analysis 17 A974), 61—77.
van der Waerden B. L. [1] Einfuhrung in die algebraische Geometrie. — Berlin
1939.
[2] Algebra I—II. 4. Aufl. — Springer Verlag. Berlin — Gottingen — Heidel-
Heidelberg 1959. [Имеется перевод: Ван дер Варден Б. Алгебра. 2-е изд. — М.:
Наука, 1979.]
Wang Rou-hwai, Tsui Chih-yung [1] Generalized Leray formula on positive
complex Lagrange — Grassmann manifolds. — Res. Report, Inst. of Math.,
Jilin Univ. 8209, 1982.
Warner F. W. [1] Foundations of differentiable manifolds and Lie Groups.—
Scott, Foresman and Co., Glenview, 111., London 1971.
Weinstein A. [1] The order and symbol of a distribution. — Trans. Amer.
Math. Soc. 241 A978), 1—54.
[2] Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a poten-
potential.—Duke Math. J. 44 A977), 883—892.
[3] On Maslov's quantization condition. In: Fourier integral operators and
partial differential equations. — Springer Lecture Notes in Math. 459 A974),
341—372.
Weyl H. [1] The method of orthogonal projection in potential theory. — Duke
Math. J. 7 A940), 411—444. [Имеется перевод: Вейль Г. Метод ортого-
ортогональной проекции в теории потенциала. В кн.: Вейль Г. Избранные тру-
труды. Математика. Теоретическая физика. —М.: Наука, 1984, с. 275—307.]
[21 Die Idee der Riemannschen Flache. 3. Auf 1. — Teubner, Stuttgart 1955.
[3] Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen. — Math. Ann. 68
A910), 220—269.
[4] Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller
Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohl-
raumstrahlung). — Math. Ann. 71 A912), 441—479.
Литература 439»
Whitney H. [I] Analytic extensions of differentiable functions defined in
closed sets. —Trans. Amer. Math. Soc. 36 A934), 63—89.
Widom H. [1] Eigenvalue distribution in certain homogeneous spaces.—
J. Funct. Analysis 32 A979), 139—147.
Yamamoto K. [1] On the reduction of certain pseudo-differential operators
with non-involution characteristics.—J. Differential Equations 26 A977),.
435—442.
Zeilon N. fl] Das Fundamentalintegral der allgemeinen linearen Differential-
gleichung mit konstanten Koeffizienten. — Ark. Mat. Astr. Fys. 6 A911)^.
No 38, 1—32.
Zerner M. [1] Solutions de l'equation des ondes presentant des singularites
sur une droite. —С R. Acad. Sci. Paris 250 (I960), 2980—2982.
[2] Solutions singulieres d'equations aux derivees partielles. — Bull. Soc.
Math. France 91 A963), 203—226.
[3] Domaine d'holomorphie des fonctions verifiant une equation aux derivees
partielles. —С R. Acad. Sci. Paris 272 A971), 1646—1648.
Zuily C. [1] Uniqueness and non-uniqueness in the Cauchy problem. — Pro-
Progress in Math. 33. Birkhauser, Boston, Basel, Stutgart 1983.
Zygmund A. fl] On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of
operators. —J. Math. Pures Appl. 35 A956), 223—248.
Именной указатель
Авакумович (V. G. Avakumovic) 347
Агмон (S. Agmon) 7, 417, 418
Адамар (J. Hadamard) 74
Алинак (S. Alinhac) 315
Альсхольм (Р. К. Alsholm) 417
Амрейн (W. О. Amrein) 417, 418
Атья (М. F. Aiiyah) 9
Билз (R. Beals) 212
Ботт (R. Bott) 9
Буслаев В. С. 417
Буте де Монвель (L. Boutet de Mon-
vel) 348
Вейнстейн (A. Weinstein) 348
Каваи (Т. Kawai) 212
Кальдерон (А. Р. Calderon) 9, 211,
314
Касивара (М. Kashiwara) 212
Катлин (D. Katlin) 279
Като (Т. Kato) 417
Китада (Н. Kitada) 417, 418
Колен де Вардьер (Y. Colin de Ver-
diere) 348
Комеч А. И. 6
Лаке (Р. D. Lax) 10, 74
Леви (Н. Lewy) 77, 211
Левитан Б. М. 347
Лернер (N. Lerner) 314, 315
Людвиг (D. Ludwig) 74
Гийемин (V. W. Guillemin) 74, 347,
348
Грушин В. В. 212
Дейстермаат (J. J. Duistermaat) 74,
212, 347
Денкер (N. Dencker) 212
Доллард (J. D. Dollard) 416
Мартин (Ph. A. Martin) 417, 418
Маслов В. П. 74, 347
Матвеев В. Б. 417
Мелин (A. Melin) 7, 74
Мелроуз (R. Melrose) 74
Мидзохата (S. Mizohata) 77, 211, 314
Мизра (P. Misra) 417, 418
Мойер (R. D. Моуег) 78, 212
Егоров Ю. В. 6, 211, 279
Земян (В. Ziemian) 7
Зингер (I. M. Singer) 9
Зуили (С. Zuily) 315
Ниренберг (L. Nirenberg) 77, 78, 211,
212, 279, 314
Педерсон (R. Pederson) 314
Петровский И. Г. 9
Иврий В. Я. 348
Нкебе (Т. Ikebe) 417
Роббиано (L. Robbiano) 315
Саито (Y. Saito) 417
Сато (М. Sato) 212
Сегё (G. Szego) 348
Сили (R. Т. Seeley) 348
Тейлор (М. Е. Taylor) 6, 74, 348
Трев (F. Treves) 6, 77, 78, 211, 212,
279
Уидом (Н. Widom) 348
Фефферман (Ch. Fefferman) 212, 279,
314
Именной указатель 44f
Фонг (D. H. Phong) 314
Хёрмандер (L. Hormander) 74, 211,
212, 279, 314, 347, 417
Шазарен (J. Chazarain) 347, 348
Шёстранд (J. Sjostrand) 74, 212
Шубин М. А. 6
Энсс (V. Enss) 418
Предметный указатель
{См. также предметный указатель к т. 3.)
Асимптотическая полнота (asympto-
(asymptotic completeness) 351
Бихарактеристика (bicharacteristic)
100, 128
Бихарактеристическое отношение (bi-
(bicharacteristic relation) 94
— слоение (foliation) 100, 101
Главный символ (principal symbol)
24, 27
— тип (type) 211
вещественный (real) 89
Двумерные бихарактеристики (two
dimensional bicharacteristics) 148
Допустимая окрестность (admissible
neighborhood) 251
Допустимое возмущение (admissible
perturbation) 353
Егорова теорема 43
Искаженное преобразование Фурье
(distorted Fourier transform) 351
Контракция (contraction) 329
Короткодействующий оператор (of
short range) 353
Лагранжев идеал (Lagrangian ideal)
53
Лагранжево распределение (Lagran-
(Lagrangian distribution) 12
Леей оператор (Lewy operator) 77,
125
Ли производная (Lie derivative) 36
Маслова операторы 74
— расслоение (bundle) 30, 335
Метод интеграла энергии (energy in-
integral method) 155, 362
Мидзохаты оператор (Mizohata ope-
operator) 77, 211
Микросубэллиптический оператор
(microsubelliptic operator) 214
Модифицированное искаженное пре-
преобразование Фурье (modified dis-
distorted Fourier transform) 397, 413,
415
Модифицированный волновой опера-
оператор (modified wave operator) 390
Кальдерона теорема единственности
(Calderon's uniqueness theorem) 280
Квазивогнутая функция (quasi-conca-
(quasi-concave function) 189
Компактно-коническое множество
(compactly based cone) 125
Композиция интегральных операторов
Фурье 34, 67
Конический лагранжев идеал (conic
Lagrangian ideal) 53
Невырожденная фазовая функция по-
положительного типа (non-degenerate
phase function of positive type) 55
Нехарактеристический оператор (non-
characteristic operator) 42
Ниренберга — Трева оценка (Niren-
berg — Treves estimate) 175
Нормальный в главном оператор
(principally normal operator) 302,
314
Предметный указатель 44$
Обобщенные геодезические (generali-
(generalized geodesies) 345
Одномерная бихарактеристика (one
dimensional bicharacteristic) 130
Ориентация (orientation) 159
Параметрикс (parametrix) 95
Положительный конический канони-
канонический идеал (positive conic cano-
canonical ideal) 63
— лагранжев идеал (Lagrangian
ideal) 58
Полубихарактеристика (semi-bichara-
cteristic) 128
Полувогнутая функция (semi-concave
function) 189
Производящая функция (generating
function) 41
Псевдовыпуклый оператор (pseudo-
convex operator) 91
Разрешимость (solvability) 122, 125
Разрешимый оператор (solvable ope-
operator) 122, 125
Строго псевдовыпуклая гиперповерх-
гиперповерхность (strongly pseudo-convex hy-
persurface) 304
Субэллиптический оператор (subellip-
tic operator) 114, 215, 279
Субэллиптичность (subellipticity) 21S
Трансверсальная композиция (trans-
(transversal composition) 31, 64
Уравнение эйконала (eiconal equa-
equation) 137
Условие (Р) 78, 146
— (W) 78, 127
— D") 127
Фурье интегральные распределения
(Fourier integral distributions) 74
— интегральный оператор (integral,
operator) 30, 63
/^-непрерывность 38, 68
Связная композиция (connected сопь
position) 81
Скрученное каноническое отношение
(twisted canonical relation) 30
Скрученный лагранжев идеал (twi-
(twisted Lagrangian ideal) 63
Собственная композиция (proper com-
composition) 31
Чистая композиция (clean composi-
composition) 31
Эллиптический оператор (elliptic ope-
operator) 42
Указатель обозначений
'(См. также указатель обозначений к т. 3.)
Пространства функций и рас-
распределений и их нормы
H{s) v || • ||(s) t 359
/p 28
Im(x, A;E) 12
Г (X, /; E) 62
Пространства символов
¦S% (V) 28
Некоторые специальные обо-
обозначения
Ai (функция Эйри) 50
3!va (производная Ли) 36
/к 53
/ 63
JV 99, 146, 154
JV, 149
N2 99, 146, 154
Nt 148, 154
/V,, 150, 154
N12, N\2, N12, N\e2 152, 154
N.. 152, 154
N± (Mx) 382
/ 220
*(Y) 221
s(y) 221
s*u 100
F± 351
F+ 397
ЛЛ Qfl
Afx 382
Мът 383
Мел: 217
Ail 236
Af 237
Afc 335
Г (р) 293
Qo 251
S 281
2± 121, 122
Sx,r 382
П,' П* 326
< 249
Оглавление
Предисловие редактора перевода к томам 3 и 4 . 5
Предисловие к томам 3 и 4 • • • . . 7
Введение к томам Зи4 9
25. Лагранжевы распределения и интегральные операторы
Фурье П
Краткое содержание главы 11
25.1. Лагранжевы распределения .......... 12
25.2. Исчисление интегральных операторов Фурье ... 29
25.3. Специальные случаи исчисления и ^-непрерыв-
^-непрерывность 39
25.4. Распределения, связанные с положительными лаг-
ранжевыми идеалами • 52
25.5. Интегральные операторы Фурье с комплексной
фазой . . 62
Примечания 74
26. Псевдодифференциальные операторы главного типа . . 75
Краткое содержание главы . • -75
26.1. Операторы с вещественными главными символами 79
26.2. Комплексный инволютивный случай ..... 99
26.3- Симплектический случай 108
26.4. Разрешимость и условие Dя) 122
26.5. Геометрические аспекты условия (Р) • 146
26.6. Особенности на JVu • ... 154
26.7. Вырожденные операторы Коши — Римана • • . 162
26-8. Оценки Ниренберга — Трева • . • • 175
26.9. Особенности в Ne2 и в Nel2 ........... 179
26.10. Особенности на одномерных бихарактеристиках 193
26.11. Полуглобальная теорема о разрешимости ¦ • • 208
446 Оглавление
Примечания • • • • • 211
27. Субэллиптические операторы • 213
Краткое содержание главы . • • 213
27.1. Определения и основные результаты ...... 213
27.2. Тейлоровское разложение символа ...... 220
27.3. Субэллиптические операторы, удовлетворяющие
условию (Р) • ... 228
27.4. Локальные свойства символа 236
27.5. Локальные субэллиптические оценки ..... 258
27.6. Глобальные субэллиптические оценки ...... 270
Примечания 279
28. Единственность решения задачи Коши • 280
Краткое содержание главы . • • 280
28.1. Теорема единственности Кальдерона 280
28.2. Общие карлемановские оценки 298
283. Единственность при условиях выпуклости . . . . 303
28.4. Операторы второго порядка вещественного главно-
главного типа ...... 307
Примечания ........ 314
29. Спектральные асимптотики . ... 316
Краткое содержание главы .316
29.1. Спектральная мера и преобразование Фурье . • • 317
29.2. Случай периодического гамильтонова потока • • 334
29.3- Формула Вейля для задачи Дирихле ...... 344
Примечания 347
30. Дальнодействующая теория рассеяния 349
Краткое содержание главы . • • 349
30.1. Допустимые возмущения 351
30.2. Граничные значения резольвенты и точечный спектр 356
30-3. Гамильтонов поток • . • 375
30.4. Модифицированные волновые операторы ... 389
30.5. Искаженное преобразование Фурье и асимптоти-
асимптотическая полнота 396
Примечания • • 416
Литература • • . • 419
Именной указатель 440
Предметный указатель 442
Указатель обозначений 444
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформле-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж-
Рижский пер., 2, издательство «Мир».