$. Серп и некий
О РЕШЕНИИ
УРАВНЕНИЙ
& ЦЕЛЫХ
ЧИСЛАХ

WACLAW SIERPINSKI
О ROZWI4ZYWANIU
ROWNAN
W LICZBACH
CAbKOWITYCH
WARSZAWA 1956

В СЕРПИНСКИЙ
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ
В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Перевод с польского
И. Г. МЕЛЬНИКОВА
К -ф-
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961

АННОТАЦИЯ
В книге рассматривается решение уравнений
в натуральных, целых или рациональных числах.
Имея в виду широкий круг читателей, автор
подобрал такие уравнения, решение которых
удается получить, не прибегая к средствам
теории чисел. Впрочем, иногда, чтобы обеспе-
обеспечить систематичность изложения, автор дает
краткую информацию о результатах исследова-
исследований, выполненных при помощи аппарата теории
чисел. Наряду с классическими задачами в книгу
вошли многие задачи, рассмотренные за послед-
последние 20—30 лет.
Книга может быть использована учащимися
старших классов средней школы, имеющими
склонность к математике, студентами и учителями.
Последние найдут в этой книге большой мате-
материал для занятий математического кружка.
Вацлав Серпинский
О решении уравнений в целых числах
Редактор Г. П. Акилов
Техн. редактор А. А. Лукьянов Корректор В. С. Иванова
Сдано в набор 28/IV 1961 г. Подписано к печати 1/VI1 1961 г. Бумага 84Х1087-2*
Фнэ. печ. л. 2,75 Усл. печ. л. 4,51 Уч. изд. л. 3,10
Тираж 30 000 экз. Цена книги 9 коп. Заказ N& 2488
Государственное издательство физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Леисовнархоза
Ленинград, Измайловский пр., 29

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика" 7
§ 1. Уравнения любой степени с одним неизвестным .... 9
§ 2. Линейные уравнения с любым числом неизвестных ... 10
§ 3. Китайская теорема об остатках 16
§ 4. Уравнения второй степени с двумя неизвестными ... 17
§ 5. Уравнение х2 + х~2у2 = 0 21
§ 6. Уравнение х2 + х + 1 = Зу2 . . . • 25
§ 7. Уравнение х2 — Dy2 = 1 29
§ 8. Уравнения второй степени с более чем двумя неизвест-
неизвестными • 34
§ 9. Система уравнений х2 + ky2 = г2, х2 — ky2 = t2 39
§ 10. Система уравнений х2 + k = г2, xl — k = t2. Согласные
числа 44
§ 11. Некоторые другие уравнения второй степени или системы
уравнений 46
§ 12. Об уравнении х2 + у2 + 1 = хуг 51
§ 13. Уравнения высших степеней 56
§ 14. Показательные уравнения 74
§ 15. Решение уравнений в рациональных числах 77

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
В этой книге выдающегося польского математика Вацлава
Серпинского рассматриваются уравнения и системы уравнений
с целыми коэффициентами, которые нужно решить в нату-
натуральных, целых или рациональных числах. Некоторые про-
простейшие виды таких уравнений были рассмотрены знамени-
знаменитыми математиками древности Пифагором (VI в. до н. э.) и
Диофантом (III в. н. э.)- В память о последнем эти уравне-
уравнения называются диофантовыми. Диофантовы уравнения во все
времена привлекали внимание математиков. Ими занимались
классики математики: П. Ферма A601—1665), Л. Эйлер
A707—1783), Ж. Л. Лагранж A736—1813). К. Ф. Гаусс
A777—1855), П. Л. Чебышев A821—1894) и др. Им уде-
уделяют внимание и многие выдающиеся математики современ-
современности. Большой и важный вклад в теорию диофантовых
уравнений внесли советские математики.
Систематическое изучение диофантовых уравнений („Дио-
(„Диофантов анализ") требует от читателя весьма серьезной под-
подготовки в области теории чисел. Уравнения, рассматриваемые
в данной книге, как правило, решаются элементарно, т. е. не
предполагают у читателя специальных знаний по теории чисел.
Такой элементарный диофантов анализ, выражаясь словами
Л. Эйлера, „немало служит к изощрению разума начинающих
и большое проворство в исчислении приносит". Воспитатель-
Воспитательное значение его бесспорно. Задачи из этой области обычно тре-
требуют от читателя большой изобретательности и способствуют
приобретению навыков самостоятельной работы в математике.
Следует заметить, что вообще диофантов анализ имеет
большое теоретическое значение, поскольку многие его задачи
тесно связаны с важнейшими вопросами теории чисел,
а в последнее время он получает и прикладное значение,
поскольку некоторые проблемы физики и механики приводят
к диофантовым уравнениям.

Книга В. Серпинского довольно широко охватывает
вопрос о решении диофантовых уравнений. В ней подобраны
такие уравнения и системы уравнений, решение которых
удается получить, не прибегая к средствам теории чисел.
Впрочем, чтобы обеспечить систематичность изложения,
автор довольно часто дает информацию о результатах иссле-
исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел.
В таких случаях изложение, естественно, принимает рефе-
реферативный характер. Наряду с классическими задачами в книгу
вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20—30
лет. Эта книга по существу является популярной моногра-
монографией по диофантову' анализу. С интересом и пользой ее
будут читать учащиеся старших классов средней школы,
имеющие склонность к математике, студенты и учителя. По-
Последние найдут в этой книге большой материал для заня-
занятий математического кружка.
Книга В. Серпинского вышла в Варшаве в 1956 г. Неко-
Некоторые из сообщаемых в ней сведений немного устарели, иные
же можно было бы несколько дополнить. Автор проявил
большую заботу о настоящем издании, прислав мне все
необходимые изменения и дополнения к тексту книги. Все
они в этой книге учтены.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить
благодарность члену-корреспонденту Академии наук СССР
Ю. В. Линнику, поддержавшему мое предложение о пере-
переводе книги В. Серпинского на русский язык. Я благодарен
также редактору книги Г. П. Акилову, ценные указания
которого были учтены мною при окончательной подготовке
рукописи перевода к печати.
И. Мельников

§ 1. Уравнения любой степени с одним
неизвестным
Решение уравнений в целых числах является одним из
важнейших разделов теории чисел.
Начнем с уравнения с одним неизвестным. Пусть дано
уравнение
аохт-\-а1хт-1-\- .. ±am_lX + am = 0, A)
где т—натуральное число, а0, а,, ..., ат — целые числа,
причем ат Ф 0. Если целое число х удовлетворяет уравне-
уравнению A), то имеем:
откуда следует, что число х должно быть делителем числа ат.
Так как целое число атф0 имеет конечное число делителей,
то все решения уравнения A) в целых числах х можно найти
при помощи конечного числа проб, а именно, подставляя
в уравнение A) поочередно все делители числа ат (как по-
положительные, так и отрицательные) и выбирая среди них те,
которые удовлетворяют нашему уравнению.
Если бы ат = 0, то, очевидно, одним из решений нашего
уравнения было бы х = 0, а для отыскания других его
решений имели бы уравнение
а0х--Ч-а1х'«-2+ ... -\-ат_2х-\-ат_1 = 0,
с которым в случае ат_1 ф 0 мы поступили бы так же, как
прежде с уравнением A), в случае же ат_1 = 0 получили бы
уравнение степени т — 2 и т. д.
Примеры. Найдем в целых числах все решения
уравнения
х5— 5х4 — Зх3-Ь 15x2-f-2x — 10 = 0.
Так как число —10 имеет делителями только числа 1, 2,
5, 10, а также —1, —2, —5, —10, то мы должны вместо х

подставлять в наше уравнение поочередно каждое из этих
восьми чисел. Нетрудно убедиться, что из них только
числа 1, 5, —1 удовлетворяют уравнению; следовательно,
они дают все решения нашего уравнения в целых числах.
В качестве второго примера возьмем уравнение
x8+x7-f-x-f-l=0.
Здесь мы должны вместо х подставлять в уравнение только
делители числа 1, т. е. числа 1 и —1. Таким образом, уста-
устанавливаем, что только число —1 является решением нашего
уравнения в целых числах.
Итак, нахождение всех целых чисел, являющихся корнями
данного многочлена с целыми коэффициентами, даже для
многочленов высших степеней не представляет трудностей,
за исключением разве технических; здесь дело обстоит зна-
значительно проще, чем в алгебре, где решается задача нахо-
нахождения всех корней данного многочлена.
§ 2. Линейные уравнения с любым числом
неизвестных
Перейдем теперь к уравнению с более чем одним неиз-
неизвестным и начнем с так называемых линейных уравнений,
т. е. уравнений вида
в,jc, + а2х2 + •.. + атхт = Ь, B)
где т — натуральное число, большее 1, av а2, ..., ат и
b—данные целые числа. Прежде всего заметим, что в урав-
уравнении B) все коэффициенты ах, а2 ат можно предпо-
предполагать натуральными, так как члены с коэффициентами,
равными нулю, можно отбросить, а отрицательный коэффи-
коэффициент можно заменить равным ему по абсолютной величине
положительным коэффициентом, изменив при этом знак
у неизвестного! Если бы два из коэффициентов ах, а2, . . ., ат
были равны, например ах = а2, то, положив x,-j-x2=x,
мы вместо уравнения B) получили бы уравнение
а,х-|-о3х34-а4х4-|- ... -\-amxm = b. C)
Если примем х = xl-\- х2, то из каждого решения
уравнения B) в целых числах хи х2 хт получим реше-
решение уравнения C) в целых числах х, х3, х4 хт,
а из каждого решения уравнения C) в целых числах
10

x, x3, x4 xm, приняв за хх любое целое число и поло-
положив х2 = х — xv получим решение уравнения B) в целых
числах jcj, х2, ..., хт.
Итак, задача нахождения всех решений в целых числах
уравнения B) сводится к задаче нахождения всех решений
в целых числах уравнения C) с меньшим числом неизвест-
неизвестных. Если бы здесь еще было ах == а3. или если бы какие-
нибудь другие два коэффициента при неизвестных были
равны, то уравнение B) можно было бы свести к уравнению
с менее чем т—- 1 неизвестными.
Таким образом, далее можно предполагать, что коэффи-
коэффициенты а,, а2, .... ат уравнения B) суть числа натуральные
и все различные. Одно из них, например ах, есть наиболь-
наибольшее, в частности ах > а2. Предположим, что число ах при
делении на а2 дает в частном целое число ft и в остатке а'2,
так что a,= a2k-\-a'2, где k есть натуральное число,
а'.2— такое целое число, что 0 < а'2 < а2. Примем х'х = kxx -f- x2,
x'2 = xv a'I = a2. Тогда axxx-\-a2x2 = a2{kxx-\-x2^-\-a'%xx=^
= а'хх'х -\- а'2х'2 и уравнение B) перейдет в уравнение
Если примем x\ = kxx-{-x2, x'2 = xv то из каждого
решения уравнения B) в целых числах хх, х2, х3, ..., хт
получим решение в целых числах x'v x'2, х3, ..., хт урав-
уравнения D). Обратно, если положим хх = х'2, х2 = х'х — kx,,
то из каждого решения в целых числах х[, х'2, хъ, ..., хт
уравнения D) получим решение в целых числах хх, х2,
хъ хт уравнения B).
Таким образом, решение уравнения B) в целых числах
сводится к решению в целых числах уравнения D), в кото-
котором наибольший из коэффициентов при неизвестных (учиты-
(учитывая, что а', = а2 < аЛ меньше, чем наибольший из коэффи-
коэффициентов при неизвестных в уравнении B). Далее, аналогич-
аналогичным образом из уравнения D) можно получить уравнение,
в котором наибольший из коэффициентов будет меньше, чем
наибольший из коэффициентов уравнения D) и т. д.
Так как последовательность убывающих натуральных
чисел не может быть бесконечной, то, пользуясь указанным
приемом, придем либо к уравнению с одним неизвестным,
решение которого не вызывает затруднений, либо к уравнению,
11

в котором все коэффициенты при неизвестных равны, на-
например к уравнению
Из этого уравнения следует, что свободный член b будет де-
делиться на с *). Если бы это условие не выполнялось, то тогда
уравнение это, а, следовательно, и уравнение B) не имело бы
решений в целых числах. Если b при делении на с дает
в частном целое d, то получаем уравнение уг-{- У2~\- ■ ■ ■
. .. -\-yk = d, все решения которого в целых числах нахо-
находим, полагая у2, у3, . .., yk равными любым целым числам
и принимая yl = d — у2 — у3 — ... — yk **).
Пример. Указанным выше способом найдем в целых
числах х, у, z все решения уравнения
у — 72=11. E)
Принимая z' = — z, получаем уравнение 6х-|- 10у-|-7,г' =11.
Учитывая, что 10 = 7 -\- 3, получаем 6х + 7 (у -\- z')-\- Зу = 11
и, полагая у -)- z' = t, получаем уравнение 6х -f- It -\- Зу = 11.
Теперь, учитывая, что 7 = 6+1, получаем 6 (х-)-1)-\-1 -\-
-\- Зу = 11 и, полагая х -\-1 = и, получаем уравнение
6и-|-£-|-Зу = 11. Все решения в целых числах и, t, у этого
уравнения получаем, если для у и и будем назначать любые
целые числа и примем t = 11 — Зу — 6м. А так как х -\-1 = и,
то имеем х = и — £ = Зу-|-7и — 11 и далее, так как z' — — z
и y-\-z' — t, то находим z = y — ^ = 4у-)-6и—11.
Все решения уравнения E) в целых числах х, у, z
содержатся в формулах
и—11,
где у и и — любые целые числа. Действительно,
6Cу+7и— Ц)_|_юу —7Dу + 6и—П)=П.
*) Здесь автор молчаливо предполагает, что уравнение B),
а, значит, и уравнение су + СУ2 + ■ • • + сУь = ^ разрешимо в целых
числах. (Прим. перев.)
**) Это рассуждение имеет в основном теоретическое значение.
На практике, при отыскании целочисленных решений уравнения B),
указанный прием применяется до тех пор, пока не получится урав-
уравнение, в котором хотя бы при одном неизвестном будет коэффи-
коэффициент, равный единице. Предлагаемое автором ниже решение урав-
уравнения E) может служить иллюстрацией к этому замечанию. (Прим.
перев.)
12

Легко также доказать, что если уравнение B) имеет
решение в целых числах, то таких решений (в случае т > 1)
оно имеет бесконечное множество. Действительно, если
существуют целые числа ух, у2, ..., ут такие, что
то, полагая xi = yl-\-anfi для i=l, 2, .... т—1,
а Хт = Ут— аА— ■■■ —ат-\*т-\. ™е *v *2 *т-х ~
произвольные целые числа, получаем, как легко проверить,
целые числа хх, х2 хт, удовлетворяющие уравнению B).
Необходимое условие разрешимости уравнения B) в целых
числах состоит в том, чтобы свободный член b делился на
наибольший общий делитель й коэффициентов ах, а2, ..., ат
при неизвестных. Действительно, если некоторые целые
числа хх, х2, ..., хт удовлетворяют уравнению B), то й
будет делителем каждого произведения аххх, а2х2, ..., атхт
и, следовательно, делителем их суммы Ь.
Докажем теперь, что это условие является также и
достаточным, т. е. если Ь делится на наибольший общий
делитель чисел c]t a2, ..., ат, то существуют целые
числа Xj, x2 хт, удовлетворяющие уравнению B).
Пусть alt а2 ат — целые числа, среди которых по
крайней мере одно, например ах, отлично от нуля. Обозначим
через D множество натуральных чисел, определяемое следую-
следующим образом. Натуральное число п относим к множеству D
тогда и только тогда, когда существуют целые числа
хх, х2, .... хт такие, что
п = alx1 + a2x2 -|-...-f атхт. F)
Множество D непустое (т. е. оно содержит по крайней мере
одно число), так как ах = ах ■ 1 -f- а2 ■ 0 + ... -f- cm ■ 0 и
•— ах — ах ■ (—l)-f-«2 • 0-f-... -\-ат • 0 и одно из этих чисел,
именно то, которое является натуральным, принадлежит
множеству D. Обозначим через d наименьшее натуральное
число, принадлежащее множеству D. (Такое число сущест-
существует, так как в каждом непустом множестве натуральных
чисел существует наименьшее число.) Так как число d при-
принадлежит множеству D, то из определения этого множества
вытекает, что существуют целые числа tx, t2 tm такие,
что
d = axtx + a2t2-\- ... +ajm. G)
2 Зак. 2488. В. Серпииский 13

m
Ho d есть наименьшее число множества D, поэтому для
каждого натурального числа п вида F) имеет место нера-
неравенство п !> й. Покажем, что число axxt-\- а2х2 -}-...-[- атхт
при всяких целых хх, х2, .... хт делится на d.
Допустим противное, т. е. что при некоторых целых
yv У2 Ут ЧИСЛ0 а\У\ + а2У2+ ••■ ^ГатУт ПРИ Делении
на d дает в частном целое k и положительный остаток г.
Тогда имеем aly1-\-а2у2-\- ... -f-amym = kd-|-r, откуда
в силу G), г = ахух -f- «2У2 + • • • + атУт—^ («А + «А + • ■ •
••• -\-aJJ = a1x1-\-a2x2-\- ■■•+flA. гДе xl = yi — ktl
для i= 1, 2 m суть целые числа. Натуральное число г
имеет форму F) и поэтому мы заключаем, что оно принад-
принадлежит множеству D. Но г, как остаток от деления на d,
меньше d; таким образом, возникает противоречие, так как d
есть наименьшее число множества D.
Итак, доказано, что число аххх -\- а2х2 -f- ... -|- атх
при любых целых хх, х2, .... хт делится на d, а отсюда,
в частности, для ft=l, 2 т, xk=l, х{~0 для i^k
следует, что число ak делится на d. Таким образом, d есть
общий делитель чисел а,, а2, .... ат.
Пусть теперь 8 обозначает любой общий делитель чисел
ах, а2, .... ат. Тогда существуют целые числа гх, г2 гт
такие, что а(- = bzt для I = 1, 2, ..., т. Отсюда, согласно G),
d = a1tx + a2t2-\- ... -f-aJm = (tlzl-\-t2z2+ ...-\-tmzJ&
и, значит, о есть делитель числа d. Итак, общий делитель d
чисел ах, а2, ... ат делится на каждый общий делитель
этих чисел, следовательно, это их наибольший общий дели-
делитель.
Таким образом, мы доказали, что если d есть наибольший
общий делитель целых чисел ах, а2, .... ат, из которых
по крайней мере одно отлично от нуля, то существуют целые
числа tx, t2, .... tm, удовлетворяющие соотношению G).
Предположим теперь, что ах, а2, ..., ат и b — целые
числа, причем среди чисел ах, а2, .... ат по крайней мере
одно отлично от нуля, предположим также, что число b
делится на наибольший общий делитель чисел а,, а2 ат,
так что b = kd, где k есть целое число. Пусть х( — ktt
для i=l, 2 т; так как kd = b, то на основании G)
получаем B).
Итак, доказано, что если а,, а2 ат и b — целые
числа, причем среди чисел а,, а2 ат по крайней мере
одно отлично от нуля, то для разрешимости уравнения B)
в целых числах х1% х2 хт, необходимо и достаточно,
14

чтобы свободный член Ъ делился на наибольший общий
делитель чисел av а2 ат.
Пусть теперь даны натуральные числа а, Ъ, с а допустим,
что уравнение
ах — by = с (8)
разрешимо в целых числах х, у и, следовательно, что с
делится на наибольший общий делитель d чисел а и Ь.
Если х0, у0 есть решение нашего уравнения в целых
числах, то при любом целом k имеем
а (х0 + Щ — b Cy0 -f ka) = с.
Поскольку а и Ь натуральные числа, то для достаточно
больших k
x = xo-\-kb и y — yo-\-ka
являются натуральными числами, причем ах — Ьу = с.
Таким образом, доказано, что если уравнение (8), где а,
Ъ. с — натуральные числа, разрешимо в целых числах х, у,
то оно имеет бесконечное множество решений в натуральных
числах х, у.
Иначе обстоит дело с уравнением
ах+Ьу = с, (9)
где а, Ь, с — натуральные числа. Допустим, что это уравне-
уравнение разрешимо в целых числах х, у и, значит, с делится на
наибольший общий делитель d чисел а и Ь.
Разделив числа a, b и с на d, получим из уравнения (9)
новое уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных
будут взаимно простыми. Допустим теперь, что в уравне-
уравнении (9) коэффициенты а и b взаимно простые.
Если с = ab, то уравнение (9) не имеет решений в нату-
натуральных числах х, у, так как в противном случае было бы
ax-\-by = ab и, значит, ах = Ь(а — у), а так как числа а
и b взаимно простые, то отсюда следовало бы, что х делится
на b и, значит, х^Ь, откуда ax-\-by > ax^-ab, вопреки
тому, что ax-\-by = ab.
Докажем, что уравнение (9) разрешимо в натуральных
числах х, у для каждого натурального с > ab.
Допустим, что а и b — натуральные взаимно простые
числа и пусть с — натуральное число > ab. Как было уже
доказано выше, существуют натуральные числа и и v такие,
2* 15

что аи—bv=c>ab, откуда-т- >1 и поэтому суще-
и
ствует такое целое число t, что — <^t <Стг (таковым является
наибольшее целое число t, меньшее чем -^]. Пусть д; = и—Ы,
y = at—v; эти числа целые, причем д; > 0, у > 0. Следо-
Следовательно, хну — натуральные числа и имеем
ах-{-by — а (и— bt)-\-b(at — v) — au —bv = c,
что и требовалось доказать.
Одновременно мы доказали, что если а и b — натураль-
натуральные взаимно простые числа, то каждое натуральное число,
большее ab, может быть представлено в форме ах-\-Ьу,
где х к у — натуральные числа.
Вообще можно доказать, что если ах, а2, .... ат и
Ъ — натуральные числа и число b делится на наибольший
общий делитель чисел ах, а2 ат, то для достаточно
больших b уравнение B) разрешимо в натуральных числах
хх, х2, ..., хт (число решений этого уравнения в натуральных
числах хх, x2 хт, очевидно, для каждого натураль-
натурального b конечно (^> 0), так как должно быть xt^Lb для
i=l, 2 га).
Отсюда, в частности, следует, что если ах, а2, .... ат —
натуральные числа, не имеющие общего делителя, большего
единицы, то каждое достаточно большое натуральное число
можно представить в форме а1х1-{-а2х2-^- ... -\-атхт,
где хх, х2, .... хт — натуральные числа.
§ 3. Китайская теорема об остатках
Если т — натуральное число ^>2 и ах, а2, .... ат —
натуральные числа, каждые два из которых взаимно
просты. Г], г2 гт — произвольные целые числа, то
существуют целые числа хх, х2 хт, удовлетворяю-
удовлетворяющие системе уравнений
аххх + гх = а2х2-\-г2= ... ^атхт-\-гт. A0)
Доказательство. Для т = 2 теорема верна, так как
уравнение ахх — a2y = r2 — rx, если числа ах и а2 взаимно
просты, разрешимо в целых числах д; и у.
Предположим теперь, что теорема верна для некоторого
натурального m^s-2. Пусть ах, а2, .,., ат, ат+1 — нату-
16

ральные числа, из которых каждые два взаимно просты, г,,
г2 гт, гт+1 — произвольные целые числа. Из предполо-
предположения, что теорема верна для числа га, следует, что суще-
существуют целые числа л:,, х2, ..., хт такие, что имеют место
равенства A0). Так как каждое из чисел аг, а2 ат
взаимно просто с ат+1, то их произведение аха2 ... ат
взаимно просто с ат+х, и поэтому существуют целые числа t
и и, удовлетворяющие уравнению
а\а2 ■••amt — ат+\и = rm+\ ~ a\X\ ~ rV
Примем теперь
( + 1 (§>.1)
Числа x'v x'2 х'т+\ — Цель'е. причем легко проверить,
что
Итак, доказательство нашей теоремы получается посредством
индукции.
Из доказанной теоремы следует, что если каждые два
из т^-2 натуральных чисел ах, а2 ат взаимно просты,
то существует целое число, которое при делении на эти
числа дает любые заданные остатки гх, г2 гт. Послед-
Последним обстоятельством объясняется название теоремы *). Так
как это целое число можно увеличить на любое кратное
числа ага2 ... ат, то существует бесконечное множество
натуральных чисел, дающих при делении на ах, а2 ат
соответственно остатки гх, г2, .... гт.
§ 4. Уравнения второй степени с двумя
неизвестными
Перейдем теперь к уравнениям с двумя неизвестными.
Можно легко указать примеры уравнений второй степени
с двумя неизвестными и с целыми коэффициентами, которые
не имеют никакого решения в целых числах, например
*) Заметим, что уже не позднее III в. китайцы, по существу,
владели этой теоремой. См. А. П. Юшкевич, О достижениях
китайских ученых в области математики. Историко-математические
исследования, вып. 8, стр.556, Гостехиздат, 1955. (Прим. перев.)
17

уравнение л;2-}-у2 — 3 = 0. Легко также указать пример
уравнения, имеющего конечное число решений в целых чис-
числах. Например, уравнение
х2-+-у2 — 65 = 0
имеет только шестнадцать решений в целых числах, именно:
A, 8), (—1, 8), A, —8), (—1, —8),
(8, 1), (8, —1), (—8, 1), (—8, —1),
D, 7), (—4, 7), D, —7), (—4, —7),
G, 4), G, —4), (—7, 4), (—7, —4).
Легко исследовать, для каких целых чисел k уравнение
имеет решение в целых числах л;, у. Оказывается, для того,
чтобы это уравнение имело по крайней мере одно решение
в целых числах х, у, необходимо и достаточно, чтобы число k
при делении на 4 не давало в остатке 2.
В самом деле, если существуют целые числа х, у такие,
что х2 — у2 = k и если оба числа х и у — четные, то, оче-
очевидно, числа х2 и у2 делятся на 4 и, следовательно, их раз-
разность k делится на 4.
Если какое-нибудь одно из чисел х и у четное, а другое
нечетное, то число х2 — у2, а значит и число k нечетное.
Наконец, если оба числа х и у — нечетные, то, поскольку
квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке I,
заключаем, что число х2 — у2, а значит и число k делится
на 4. Итак, ни в одном случае (когда наше уравнение раз-
разрешимо в целых числах х, у) число k при делении на 4 не
дает в остатке 2. Таким образом, условие наше является
необходимым.
Предположим теперь, что целое число k при делении
на 4 не дает в остатке 2. Тогда, если k — четное число,
то оно делится на 4 и число -г есть целое. Таким образом,
числа х = -т-\-\ и у = -j- — 1 суть целые и, как легко про-
проверить, удовлетворяют нашему уравнению.
Если же число k нечетное, то имеем k=2l-\-l, где
/ — целое число. Числа jc == / —|— 1. у = /, стало быть, целые
и, как легко проверить, удовлетворяют нашему уравнению.
Итак, условие наше является достаточным.
18

Легко доказать, что для каждого целого k уравнение
х2 — у2 = k имеет лишь конечное Q> 0) число решений
в целых числах х, у.
Очевидно, достаточно это доказать для натуральных k и
для решений в натуральных числах х и у. Если натураль-
натуральные числа л;, у удовлетворяют уравнению х2— у2 = &, где
k — натуральное число, то х > у, откуда д; — у ]> 1 и имеем
(х — y)(x-f-y) = ft, что дает х + у<;& и, следовательно,
х < k и у < k\ но число систем натуральных чисел л;, у,
удовлетворяющих двум последним неравенствам, равно, оче-
очевидно, (k—IJ и, следовательно, является конечным.
Однако же для любого натурального числа т существуют
такие натуральные числа k, для которых уравнение х2—у2==й
имеет не менее чем т различных решений в натуральных
числах х, у.
Например, для k = 22т+2 числа
У 2Ш~1 21 (i = 0lга1)
суть натуральные и удовлетворяют уравнению х2 — у2 = й,
причем числа xt (i = 0, I, .... т—1) все различные.
Труднее исследовать вопрос, для каких натуральных k
уравнение
2 2
имеет хотя бы одно решение в целых числах х, у. Отметим
без доказательства, что уравнение x2-\-y2 — k имеет по
меньшей мере одно решение в целых числах х, у тогда и
только тогда, когда частное от деления натурального числа k
на наибольший квадрат не имеет ни одного натурального
делителя, который при делении на 4 давал бы в остатке 3.
Поэтому, например, уравнение x2-\-y2 — k разрешимо
в целых числах х, у для k=\, 2, 4, 5, 8, 9, 10, но не-
неразрешимо для й = 3, 7.
Разумеется, для каждого целого числа k уравнение
x2-\-y2 = k имеет конечное (^-0) число решений в целых
числах х, у.
Еще труднее установить необходимое и достаточное усло-
условие того, чтобы для данного натурального числа k уравне-
уравнение x2-\-y2 = k имело бы по меньшей мере одно решение
в натуральных числах л;, у. Это условие состоит в том,
чтобы уравнение x2-\-y2 = k было разрешимо в целых
числах х, у (для чего должно выполняться условие, указан-
указанное выше) и чтобы либо число k имело хотя бы один
19

простой делитель, дающий при делении на 4 в остатке 1,
либо чтобы показатель наивысшей степени числа 2, делящей
число k, был нечетный.
Например, это уравнение разрешимо в натуральных
числах х, у для й = 2, 5, 8, 10, но неразрешимо в этих
числах для ft=l, 3, 4, 6, 7, 9.
Отсюда легко следует, что для того чтобы уравнение
Х2 _)- у2 __ /j2> где £ — натуральное число, имело хотя бы
одно решение в натуральных числах х, у, необходимо и
достаточно, чтобы число k имело по меньшей мере один
простой делитель вида 4t -\- 1, где t — целое число. В этом
состоит необходимое и достаточное условие существования
(хотя бы одного) пифагорова треугольника с гипотенузой к.
Можно доказать, что уравнение
Имеет для каждого натурального k одно и только одно ре-
решение в натуральных числах х и у.
Если уравнение f(x, y) = 0, где f(x, у) — многочлен
с целыми коэффициентами, имеет решение в целых числах
х, у, то, очевидно, для каждого натурального числа т
существуют целые числа х, у, при которых число f(x, у)
делится на т. Отсюда следует, что если существует на-
натуральное число т такое, что ни для одной системы
чисел х, у, где х = 0, 1, 2, .... т— 1, у = 0, 1, 2, .... т— 1
число f(x, у) не делится на т, то уравнение f(x, y) = 0
не имеет решений в целых числах.
Например, доказательство того, что для натурального п
уравнение
х2+1_3ул = о
не имеет решений в целых числах, можно провести посред-
посредством проверки, показав, что для х = 0, 1. 2 и для любого
целого у число x2-f-l—:3у" или, что то же самое, число
х2 -f-1 не делится на 3 (действительно: 02-f-l = l, 12 —|— 1 == 2,
22 + 1=5).
Однако не для каждого многочлена с целыми коэффи-
коэффициентами, для которого уравнение f(x, у) —0 не разрешимо
в целых числах х, у, существует натуральное число т такое,
что ни для какой системы целых чисел х, у число f{x, у)
не делится на т.
В самом деле, уравнение
B* —1)Cу- 1)^=0.
20

очевидно, не имеет решений в целых числах х, у. С другой
стороны, если т есть натуральное число, то, как известно,
т можно представить в форме т—2п~1Bх—1), где к и
х — натуральные числа. Число 22k+l -f-1 делится на 2 -\- 1 = 3.
поэтому существует такое натуральное число у, что o"ftll-|-
-и 1 = Зу. Итак, имеем Bх — 1) (Зу — 1) = 2*+2/ге, откуда
видно, что число Bл:—1)Cу—1) делится на т.
А. Шинцель обнаружил, что для каждого натурального
числа т существует целое число х из последовательности
О, 1, 2, .... т—1 такое, что число Bх—1)Cлг-—1) де-
делится на т, хотя уравнение Bх—1)Cлг—1) = 0 и не имеет
ни одного целого корня.
§ 5. Уравнение х2 + * — %У2 — ©
Докажем, что уравнение х2-\-х — 2у2 = 0 имеет беско-
бесконечное множество решений в натуральных числах х, у.
Для этой цели достаточно заметить, что х=1, у=1
есть решение этого уравнения и, что если (х, у)— его ре-
решение, то (и, v), где и = Зх-f-4у'+ 1, v = 2х-\-Зу + 1.
также есть решение этого уравнения. Потому что, как легко
подсчитать, имеем
и2 4- и — 2v2 = (Зх + 4у 4- 1) C^4- 4У 4- 2) —
— 2 Bл: 4- Зу 4- 1 J = Л + х — 2у2.
Предположим, что (л:, у) есть решение уравнения
л:24-* — 2у2 = 0 A1)
в натуральных числах, причем х > 1 и, следовательно, как
это вытекает из A1), у > 1.
Покажем, что тогда
Зх —4у4-1>0. Зу — 2х— 1>0. 2л: —4у4-» <0. A2)
Если бы было 4у ^- Зл: 4- 1, то мы имели бы 16у2 ^ 9л:24~
4-6л: 4-1. а так как, в силу A1), 16у2 = 8л:2 4-8л:. то
было бы 2*;>л:24-1. что дает (х—1J<0 и, следова-
следовательно, л-—1, а это противоречит предположению. Итак,
первое из неравенств A2) доказано.
Если бы было Зу<12л:4-1. то мы имели бы 9у2 <4x24-
-4-4x4-1, а так как, в силу A1), 4л;2 4~ 4л: == 8у2, то
было бы у2 <; 1, что исключено, так как у > 1. Итак, доказано
21

и второе из неравенств A2), из которого уже непосредст.
веино вытекает третье.
Таким образом, неравенства A2) верны (при условии,
что (х, у) есть решение уравнения A1) в натуральных числах
и, что х > 1).
Положим теперь
£ = 3л: — 4у+1. т] = 3у — 2лг— 1; A3)
на основании A2) заключаем, что \ и т\ суть натуральные
числа, причем \ — х = 2х — 4у -f-1 < 0 и, следовательно,
% <С х. Принимая во внимание A3), получаем равенство
— 2 (Зу — 2х — IJ = х2 -\-х — 2у2,
следовательно, учитывая A1), имеем £2-|-£— 2irj2 = 0, а это
означает, что система (£, tj) есть решение уравнения A1).
Положим далее
£(*,у) = C* —4у + 1. Зу —2*—1). A4)
т. е. каждой точке плоскости с координатами х, у приведем
в соответствие точку той же плоскости с координатами
Злг — 4у+1. Зу —2л;—1.
Итак, если (х, у) есть решение уравнения A1) в нату-
натуральных числах Зс, у, где л: > 1, то (£, ■>}) = §• (а:, у) также
есть решение уравнения A1) в натуральных числах с, tj,
где £ < х. Если £>1, то подобным же образом, исходя
из решения (£, tj), получим новое решение (^, t]j) = g"(S, ^) =
z=g(g(x, y)) = g2(x, У) в натуральных числах t,, 7jlf где
?i < % и т. д. Введя обозначение g-ft+1(A\ y) = gI(gIft(^, v)),
мы получим таким образом последовательность решений
g(x> У), g2(x, у), gz(x, у), ... уравнения A1) во все мень-
меньших натуральных числах. А так как последовательность
убывающих натуральных чисел > 1 не может быть беско-
бесконечной, то при некотором натуральном п получим решение
(и, v) = gn (х, у), в котором и = 1, т. е. дойдем до реше-
решения (и, v) = (l, 1).
Итак, если (х, у) есть произвольное решение уравне-
уравнения A1) в натуральных числах, где х > 1, то существует
натуральное число п такое, что
g«(*. У) = A. О- 05)
22

Примем
/С*. у) =
легко проверить, что
/(£(•*. У)) = CC* —4у+1)+4(Зу —2*
2C* — 4у+1)+3(Зу — 2х — 1)+!)==(*,
откуда при помоши индукции легко находим, что
/«£»(*. У) = (*. У) (л=Ь 2. ...)■
Следовательно, на основании A5), получим
(*. У) = /я0. !)■
С другой стороны, если примем
то, как мы уже видели, u2-\-u — 2г>2 = х2 -f- *— 2у2, откуда
следует, что если (л:, у)— решение уравнения A1) в нату-
натуральных числах, то (и, v) — f(x, у) также — решение урав-
уравнения A1) в натуральных числах (ввиду A6) соответственно
больших, чем х и у).
Учитывая полученные выше результаты, заключаем, что
все решения A1) в натуральных числах х, у и только такие
решения этого уравнения содержатся в бесконечной после-
последовательности
A. 1). /A, О, //A, 1). ///A, 1), ...
Примем лг, = у, = 1, (хп, yn) = /n_j(l, 1) для п — 2,
3, ...; тогда (хп+1, yn+1) = f(xn, уп) для п = 1, 2, ... и,
согласно A6), имеем формулы
^, = 2^ + 3^+1 С^-2....). 07)
Итак, доказано, что все решения уравнения A1) в нату-
натуральных числах содержатся в бесконечной последователь-
последовательности {хп, уп} для /г=1, 2 где Arj=.yj=l и где для
«=1, 2, ... имеют место формулы A7). Эти формулы
позволяют легко вычислять последовательно решения уравне-
уравнения A1).
Например, для п±=1 формулы A7) дают д:2 = 3-|-4-)-
-j-l=8, у2 — 2 Ц- 3 -\- 1 = 6; откуда далее для п = 2:
jk3 = 3 • 8 + 4 • 6 + 1 = 49, у3 — 2 • 8 + 3 • 6 -J- 1 = 35.
23

откуда для п = 3: х4 = 3 • 49 -f- 4 • 35 + 1 = 288, у4 =
= 2-49 + 3. 35+1=204 и т. д.
Число п у . где п — натуральное число, называется
п-м треугольным числом и обозначается через tn.
Уравнение A1) можно записать в форме:
Следовательно, оно определяет все квадратные числа у2,
которые одновременно являются треугольными. Указанные
выше формулы позволяют последовательно находить все
такие числа. Исключая хп и хп+1 из формул A7) и выте-
каюшей из них формулы У,,+2==2л:п+1 + Зуп+1 + 1, получим
формулу
Ул+2 = 6У«+1 — Уп (» = 1. 2. ...).
при помощи которой, зная yt = I и у2 = 6, можно вычислять
последовательно числа уп для п = 3, 4, ...
Таким образом, все квадратные числа, являющиеся одно-
одновременно треугольными, получаем как квадраты чисел после-
последовательности \уп} для п=1, 2 где у, = 1, у2 = 6,
уп+2 = 6у„+1 — у„ для я=1, 2, ... Так что здесь имеем:
Уз==6-6—1 =35, у4=6- 35 — 6 = 204, у3 = 6-204 —
— 35=1189 и т. д. Итак, существует бесконечное мно-
множество квадратных чисел, являющихся одновременно тре-
треугольными. Однако же не существует ни одного треуголь-
треугольного числа > 1, которое было бы биквадратом, т. е. урав-
уравнение х2-\-х — 2у4 = 0 не имеет решений в натуральных
числах > 1. Но это уравнение имеет решения в рациональ-
32 6
ных положительных числах, например х = -щ, у = у.
В § 15 мы докажем, что таких решений имеется бесконеч-
бесконечное множество.
Исследуем теперь, какие натуральные числа хну удо-
удовлетворяют уравнению
х*-\-х — у2 = 0.
Для натуральных х числа х и х + 1, как известно,
взаимно простые (т. е. не имеют общего делителя, большего
единицы; если бы такой делитель оказался, то он был бы
делителем их разности, т. е. числа 1, что невозможно).
Если бы существовали натуральные числа х м у такие, что
х2-\-х — у2 = 0,. то мы имели бы л;(л:+1) = у2 и квадрат-
24

ное число у2 было бы произведением двух взаимно простых
чисел х и х-\-\. Но, как известно из арифметики, если
квадратное число есть произведение двух натуральных,
взаимно простых чисел, то каждый из этих сомножителей
должен быть квадратом натурального числа. Поэтому, если бы
существовали натуральные числа k и / такие, что x~k2,
х -\- 1 = Р, то отсюда 1 = Р — k2 = (/ -f- k) (I — k), что для
натуральных чисел Аи/ невозможно (так как первый сомно-
сомножитель правой части ^>2).
Итак, предположение, что уравнение х7-\-х — у2 = 0
имеет решения в натуральных числах х, у приводит к про-
противоречию. Следовательно, это уравнение не имеет решений
в натуральных числах; другими словами, произведение двух
последовательных натуральных чисел никогда не является
квадратом натурального числа.
Заметим, однако, что уравнение х2-\-х— у2 = 0 имеет
решения в рациональных положительных числах, например
12 13
*=3". У^з или х = т. у = т.
Подобным же образом можно легко доказать, что для
натуральных т > 1 уравнение х2-\~х — у'" = 0 не имеет
решений в натуральных числах х и у.
§ 6. Уравнение х2 -f- х + 1 = Зу2
Займемся теперь уравнением х2 -f- x -f- 1 = Зу2. Оно уже
имеет свою историю. В 1950 г. Р. Облат высказал предпо-
предположение, что, кроме решения дг = у = 1. оно не имеет иных
решений в натуральных числах х, у, где х есть нечетное
число. В том же году Т. Нагель указал решение л: = 313,
у =181. Метод, аналогичный изложенному выше для урав-
уравнения х2-\~х — 2у2 = 0, позволит нам определить все реше-
решения уравнения
л:2+х+1=3у2 A8)
в натуральных числах л:, у.
Предположим, что (х. у) есть решение уравнения A8)
в натуральных числах, причем х > 1. Можно легко убе-
убедиться, что уравнение A8) не имеет решений в натуральных
числах л:, у, где х = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9; поэтому должно
быть х^- 10.
Покажем, что
12у<7лг-г-3, 7у>4л- + 2. 4у> 2*4-1. A9)
25

Если бы было 12y!>7x-|-3, мы имели бы 144у2>-
^. 49л:2 Н-42л:+9. а так как- ВВИДУ A8), 144у2 = 48л:2-f-
_|_ 48л: + 48, то было бы х2 < 6л: -j- 39, откуда (х — ЗJ < 48
и, значит, учитывая, что л:^>10, 72<148, что невозможно.
Итак, первое из неравенств A9) доказано.
Если бы было 7у <; 4л:-}-2, мы имели бы 49у2<] 16л:2 +
+ 16л:-}-4, а так как, ввиду A8), 16л:2+ 16лг + 16 = 48у2,
то было бы 49у2 <; 48у2— 12, что невозможно. Таким обра-
образом, доказано второе из неравенств A9), из которого уже
непосредственно вытекает третье. Итак, неравенства A9)
верны.
Положим теперь
£ = 7х — 12у+3, т) = — 4л: + 7у~2. B0)
На основании A9), найдем, что £ > 0, tj > 0 и х — £
X D.У—2л:—1) > 0 и, значит, %<С_х. Согласно B0), имеем
откуда, ввиду A8),
Примем
g(x, у) = Gх— 12у + 3, _4л: + 7у —2).
Итак, можно сказать, что, исходя из любого решения
(х, у) уравнения A8) в натуральных числах, где х > 1, мы
получаем новое решение (к, fi) = g{x, у) уравнения A8)
в натуральных числах Е, tj, где ? < х (и значит, решение
в меньших натуральных числах). Отсюда, действуя как выше,
найдем, что для каждого решения уравнения A8) в нату-
натуральных числах х, у, где х > 1, существует натуральное
число п такое, что gn(x, y) = (l, 1).
Приняв же
f(x, у) = Gл-+12у + 3, 4л- + 7у + 2), B1)
легко найдем, что f(g(x, y)) = (x, у) и, следовательно,
(*. У) = /„A. О-
С другой стороны, легко проверить, что если (х, у) есть
решение уравнения A8) в натуральных числах, то /(л\ у)
также есть решение уравнения A8) в натуральных числах
(соответственно больших, чем х и у).
26

Приняв xl=y1—\, (xn, yn) = fn_1 A, 1) для п~2,
3 получим последовательность {х„, уп\ для п= 1, 2
содержащую все решения уравнения A8) в натуральных
числах и только такие решения.
Здесь мы имеем {ха+и у„+1) = /лA,1) ==/(*„. У„),
следовательно, в силу B1), получаем
■»»+1 = 7*я+12Уя + 3. уя+1 = 4*я + 7уя + 2 B2)
(п=1. 2, ...)
— формулы, позволяющие последовательно определять все
решения (х, у) уравнения A8) в натуральных числах.
Таким путем легко получаем решения
A.1). B2,13). C13,181), D366.2521), F0817,35113), ...
Этих решений имеется, очевидно, бесконечное множество.
Из равенств хх = у1 = 1 и B1) при помощи индукции
легко находим, что числа хп с нечетными индексами суть
нечетные, с четными же — четные, а числа уп суть нечетные
для п = 1, 2, ... Для получения всех решений уравнения A8)
в целых числах х, у, как нетрудно доказать, следовало бы
к уже полученным решениям (хп, уп) присоединить (хп, —уп)
и \—х„— 1, ± у„) для п=1, 2, ...
Так что здесь мы имеем, например, еще такие решения:
(—2,1) (—23,13), (—314,181).
А. Роткевич заметил, что из всех решений уравнения A8)
в натуральных числах х > 1 и у можно получить все реше-
решения уравнения
(z+1K — zr3 = y2 B3)
в натуральных числах z, у.
В самом деле, допустим, что натуральные числа г, у
удовлетворяют уравнению B3). Положив x=3z-}-l, полу-
получим, как легко проверить, натуральные числа х > 1 и у,
удовлетворяющие уравнению A8).
С другой стороны, если натуральные числа х > 1 и у
удовлетворяют уравнению A8), то имеем, как легко прове-
проверить, (х— 1J = 3(у2 — х), откуда следует, что число (нату-
(натуральное) х—1 делится на 3, следовательно х—1 — 3z,
где z есть натуральное число, причем имеет место равенство
3z2 = y2 — л: —у2—Ъг—1, которое доказывает, что числа
г и у удовлетворяют уравнению B3).
27

Таким образом, исходя из решений
B2.13), C13,181), D366,2521)
уравнения A8), получаем решения
G,13), A04,181), A455,2521)
уравнения B3).
Заметим здесь еще, что если натуральные числа z, у
удовлетворяют уравнению B3), то доказано, что у есть
сумма двух последовательных квадратов, например
13 = 22+32, 181=924-Ю2, 2521=352 + 362.
Подобным образом, как прежде для уравнения A8), мы
могли бы найти все решения уравнения
л;2 + (л:+1J = у2 B4)
в натуральных числах х, у, приняв для х > 3
gix. у) = Cх —2у-М. Ъу — 4х — 2)
и для л: ^> 1
f(x, y) = C* + 2y+l. 4х + Зу + 2),
что приводит к формуле (х, у) —/пC, 5) и к выводу, что
все решения уравнения B4) в натуральных числах х, у
содержатся в последовательности \хп, у„\ для п= 1, 2
где х1 = 3, у1 — 5, а
*я+1 = 3<я+2уя+1. Уп+1 = 4х„+Зуй+2 (я=1, 2. ...).
Например, х2 = 3 • 3 + 2 • 5+ 1 = 20, у2 = 4-3-|-ЗХ
Х5 + 2 = 29; лг3=П9, у3=169: л:4=69б, у4 = 985;
л:5=4059, у5=5741.
Геометрический смысл рассмотренного уравнения состоит
в том, что оно дает все пифагоровы треугольники (прямо-
(прямоугольные с натуральными сторонами), катеты которых выра-
выражаются последовательными натуральными числами. Таких
треугольников имеется бесконечное множество *).
Уравнение же
как доказано, не имеет решений в натуральных числах х, у,
но 1192 -)- 1202 = 134, причем можно доказать, что это един-
единственное решение в натуральных числах уравнения
*) Подробности относительно уравнения B4) см. в книге
В. Серпинского, „Пифагоровы треугольники", стр. 15, Учпед-
Учпедгиз, 1959. (Прим. персе.)
28

§ 7. Уравнение X2
Найдем теперь все решения уравнения
х2 — 2у2 = 1 B5)
в натуральных числах х, у.
Здесь следует для х > 3 принять g(x, у) = Cл:— 4у,
Зу—2л:), а (для натуральных л: и у) f(x, у) = (Зл: -\- 4у,
2x-f-3y), что приводит к формуле (л:, у) = /пC, 2) и тео-
теореме, что все решения уравнения B5) в натуральных числах
х, у содержатся в последовательности {хп, уп) для л=1,
2, .... где Xj = 3, yj = 2, a
(»= 1. 2. .. .)-
Например, x2=17, у2 = 12; х3 = 99,^ = 70; х4 = 577,
у4=408.
Перейдем теперь к общему уравнению
X* — Dy2=l, B6)
где D есть данное целое число. Если бы было D = 0, то
все решения уравнения B6) в целых числах были бы:
х=±1, у—любое целое. Если бы было D = —1, мы
имели бы четыре решения уравнения B6) в целых числах:
х=+1, у = 0 или х = 0, у=±1. Если бы было £><—1,
мы имели бы, как легко сообразить, только два решения:
х = + 1, у = 0. Поэтому далее будем предполагать, что D
есть натуральное число.
Если бы D было квадратом натурального числа, D — п2,
то уравнение B6) можно было бы написать в виде
Таким образом, число х-\-пу было бы делителем еди-
единицы, откуда следует, что числа х и у не могли бы быть
натуральными. Отсюда легко заключаем, что в целых числах
х, у уравнение B6) имело бы в рассматриваемом случае
только два решения х=±1, у = 0.
Итак, остается исследовать случай, в котором D — нату-
натуральное число, не являющееся квадратом натурального числа
или, что то же самое, случай, в котором |/ D есть иррацио-
иррациональное число.
Поставим здесь вопрос, имеет ли уравнение B6), кроме
тривиальных решений jc=±1, y = 0, еще какие-нибудь
3 Зак. 2488. В. Серпинский 29

решения в целых числах х, у или, что то же самое, имеет ли
уравнение B6) решение в натуральных числах. Если бы
существовало такое решение, то, очевидно, существовало бы
также решение в наименьших натуральных числах xlt у,.
Легко доказать, что в случае, когда уравнение B6) имеет
хотя бы одно решение в натуральных числах х, у, оно имеет
таких решений бесконечное множество. Ибо если натураль-
натуральные числа х, у удовлетворяют уравнению B6), то числа
и v =
также натуральные и, в силу тождества
(X2 _|_ Dy2f — D BлгуJ = (х2 — Dy'lf
и уравнения B), также удовлетворяют этому уравнению.
Используя метод, который мы применили ранее в случае
D=2, можно доказать, что все решения уравнения BЬ)
в натуральных числах х, у содержатся в бесконечной после-
последовательности {хп, у„} для ге=1, 2 где х,, у, есть
решение в наименьших натуральных числах, а хп+1 — х-^х^-
+ Dy^y,,, уп+1 = Уххп + х,у„ (п = 1, 2, ...).
Для доказательства следовало бы здесь для х у> х1 при-
принять g(х, у) — {хгх — £>.У1У, — уух -f-XjV), а для натураль-
натуральных х, у принять f(x, y) — (xxx-\-Dyly, угх-\-хху).
Можно доказать, что если \' D есть иррациональное число,
то существует решение уравнения B6) в натуральных числах.
Но как можно найти такое решение? Дело это отнюдь не
простое. Казалось бы, что для нахождения решения уравне-
уравнения B6) в натуральных числах х, у и к тому же в наимень-
наименьших натуральных числах, достаточно подставлять вместо у
поочередно натуральные числа и испытывать, не будет ли
число Dy2 -f- 1 квадратом натурального числа. Если у будет
наименьшим натуральным числом, для которого Ъу2-\-\
есть квадрат, скажем, натурального числа х, то (х, у) будет
решением уравнения B6) в наименьших натуральных числах.
Таким путем легко было бы найти, что, для D — 2, 3, 5,
6, 7, 8, 10, 11, 12 решениями уравнения B6) в наименьших
натуральных числах являются соответственно C,2), B,1),
(9,4), E,2), (8,3), C,1), A9,6), A0.3) G,2).
Труднее было бы таким путем найти решение уравнения
B6) в наименьших натуральных числах для D— 13, потому
что таковым является система F49,180), или для D —29,
где такой системой является D901,1820). И уж совершенно
30

непригоден был бы этот путь для нахождения решения урав-
уравнения B0) в наименьших натуральных числах для D = 991, где
х == 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080,
у— 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767.
Каким же путем можно было найти решение, выраженное
столь большими числами?
Укажем прием, который в случае, когда yD есть ирра-
иррациональное число, всегда приводит к нахождению решения
уравнения B6) в наименьших натуральных числах *).
Пусть с0 будет наибольшее целое число < у D; имеем
здесь со;>1, а ввиду определения числа а0 и иррациональ-
иррациональности числа \^D, а0 <[ у D <[ а0 -j-1. Примем у D = ао-\-
; тогда (ввиду иррациональности числа Vd) число х.
)
1
иррациональное, 0<—<1 и, значит, х, > 1. Пусть а,
"*' 1
будет наибольшее целое число < х, и примем xl = a1-\ .
Поступая как выше, найдем х2 > 1. С числом х2 можем по-
поступить так же, как с числом х1 и т. д. Таким путем мы
получим последовательность равенств:
где а0, Cj, а2, ... —натуральные числа, а хъ дг2, х3, ... —
иррациональные > 1.
Так вот, можно доказать, что (для каждого натураль-
натурального числа D, для которого у D есть иррациональное число),
существует наименьшее натуральное число s, зависящее
от D, такое, что xs+1 = x1.
Если s есть четное число, то числитель х и знаменатель у
несократимой дроби представляющей значение числа
или числа
«1 +
*) Теорию вопроса см. в книге А. О. Гельфонда, „Реше-
„Решение уравнений в целых числах", Гостехиздат, 1952. (Прим. перее.)
31

дает решение уравнения B6") в наименьших натуральных
числах. Если же s есть нечетное число, то следует взять
числитель и знаменатель несократимой дроби, представляю-
представляющей значение числа
где, как легко доказать, имеем с5+(- = сг для t=l, 2, ...
Воспользуемся этим указанием для нахождения решения
уравнения B6) в наименьших натуральных числах для
D — 13.
Наибольшее натуральное число <[ j/13 есть 3; поэтому
лГТЪ о , 1 l V"l3 + 3
примем V 13==3-| , а отсюда xl = -~= = -—~— .
х\ у 13 — 3 *
Наибольшее натуральное число <[ х1 есть, как легко про-
вгрить, 1. Приняв поэтому
, , 1 4 1/"Тз -+-1
Xi = l+-T2> откуда ъ^ущ^т^—э—•
далее имеем
хз
l^ + S, . 1
а'
Таким образом, здесь имеем s = 5, а так как здесь s не-
нечетное, то. в силу сделанного выше указания, для получе-
получения решения уравнения х'1—13у2= 1 в наименьших нату-
натуральных числах нужно подсчитать числитель и знаменатель
несократимой дроби для числа
*) Доказательства этих теорем можно найти, например, в книге
А. 3. Вальфиша, „Уравнение Пелля," Тбилиси, Изд. АН Гру-
Грузинской ССР, 1952. (Прим. перев.).
32

649
Легко найдем, что это число равно несократимой дроби ^^.
1оО
Следовательно, числа х = 649 иу= 180 дают решение урав-
уравнения х2—1 Зу2 = 1 в наименьших натуральных числах.
Для числа D —991 было бы s = 60 и (ввиду четности
числа s) мы должны были бы найти несократимую дробь
для числа
I а, | а, | а59
где йо=31, числа же аи а^, .... с59 имеют соответственно
значения: 2, 12, 10, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 3, 1,
8, 4, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 20, 6, 4, 31, 4, 6, 20, 1, 4,
1, 3, 2, 1, 2, 1, 4, 8, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 1, 2, 2,
2, 10, 12, 2. Вычисления здесь были бы длинные, но, во вся-
всяком случае, выполнимые и таким путем мы дошли бы до
указанного выше решения уравнения х2— 991_у2 = 1 в наи-
наименьших натуральных числах.
К уравнениям вида B6) приводятся некоторые другие
уравнения второй степени с двумя неизвестными, например,
уравнение
Зи2 — 2t>2=l.
Приняв х = Зи — 2v, y = v — и, получим х2 — 6у2 =
= Зи2— 2v2 = 1. С другой стороны, если х и у суть целые
числа, удовлетворяющие уравнению х2 — 6у2 = 1, то, приняв
и = х4~2у, v = x-\-?>y, получим Зи2 — 2v2 = x2— 6у2=1.
Таким образом, изучение решений в целых числах урав-
уравнения Зи2 — 2v2 = 1 приводится к изучению таких решений
уравнения B6) для D —6.
К уравнению же Зи2 — 2v2 = 1 сводится изучение урав-
уравнения
2. B7)
Действительно, если целые числа v и z удовлетворяют
уравнению B7), то имеем
откуда следует что число 2z -f-1 делится на 3, так что
2z-\- 1 = Зи, где и есть целое число и, значит, Зи2 — 2г>2 == 1.
' С другой стороны, если целые числа и и v удовлетворяют
пбследнему уравнению, то и, а равным образом Зи, должно
быть нечетным числом и можно положить Зи = 2z -\- 1, где г
33

есть целое число, откуда Bz-(-lJ = 9«2=3B©2-f-l)=6t£-f 3
и, значит, числа v и г удовлетворяют уравнению B7).
Итак, мы умеем находить все решения уравнения B7)
в целых числах. Наименьшее решение этого уравнения в на-
натуральных числах есть г» =11, 2=13, что дает равенство
Ю2 4-112+122=132 + 142, следующее — есть г» = 109,
2= 133, что дает равенство 1082+1092+1 Ю2= 1332+1342.
Легко доказать, что если числа v и z дают решение
уравнения B7), то числа bu-\-4v-\-2 и 6u-\-5v-\-2 также
дают решение.
§ 8. Уравнения второй степени
с более чем двумя неизвестными
Перейдем теперь к уравнениям второй степени с более
чем двумя неизвестными.
Прежде всего здесь представляет интерес уравнение
*2 + y2 = 22. B8)
Натуральные числа х, у, г, удовлетворяющие этому уравне-
уравнению, составляют так называемый пифагоров треугольник.
Так как пифагоровым треугольникам посвящена специальная
книга *), ограничимся здесь только указанием, что все реше-
решения уравнения B8) в натуральных числах х, у, z получаются
из формул
х = (т2 — п2) I, у = 2mnl, z = (m2-\- n2) I,
где т, п, I — натуральные числа, п < т и присоединением
решений с переставленными числами х и у.
Можно найти также все решения уравнения
в натуральных числах. Это уравнение легко приводится
к уравнению вида B8).
В самом деле, если целые числа х и у удовлетворяют
уравнению л:2-)-у2 = 2г2, то числа х и у должны быть
одновременно либо оба четные, либо оба нечетные. Поэтому
числа х-\~у и х—у оба четные. Пусть х-\-у = 2и, х—у = 2г>.
*) В. С е р п и it с к н й, „Пифагоровы треугольники", Учпедгиз,
1959.
34

Тогда
4и2 + № = (х + уJ -j- (л: — уJ = 2 (л:2 -j- у2) = 4г2
и, следовательно, u2-\-v2~z'z.
С другой стороны, если u2-\-v2—z2, то, приняв x = u-\-v,
у == и — г;, получим л:2 -|- у2 = 2z2.
Уравнение же x2-{-y2 — 3z2 не имеет решений в целых
числах, отличных от нуля; последнее можно очень легко
проверить, исходя из замечания, что квадрат целого числа,
не делящегося на 3, дает при делении на 3 в остатке 1.
Обобщением уравнения B8) является уравнение
где а—любое заданное натуральное число. Легко доказать,
что оно имеет бесконечное множество решений в натураль-
натуральных числах х, у, z таких, что числа х и у взаимно просты.
В самом деле, если а — нечетное число, то примем
am2 — 1 am2 4- 1
х — т, у = g > *— Y—'
где т — любое натуральное нечетное число. Легко проверить,
что ах* -\- у2 = z2. Числа х, у, z здесь натуральные, причем
числа х к у взаимно просты, так как из уравнения сл:2-}-у2=22
вытекает, что их общий делитель является делителем числа z,
следовательно, является также делителем числа z — у=1.
Если же а есть четное число, то приняв
х = 2т, у = am2 — 1, z — am2 -\- 1.
где т — произвольное натуральное число, получим натураль-
натуральные числа х, у, z такие, что ax2-\-y2 = z2, причем числа у
и z нечетные. А так как каждый общий делитель чисел у и z
является делителем числа z — у = 2, то, как число нечетное,
он будет делителем числа 1. Отсюда следует, что числа у и z,
а, значит, также и числа х и у взаимно просты.
Уравнение
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах х,
у, г, что вытекает непосредственно из тождества
для п=\, 2,... Например, 52 + 52=72 + 1, 112-|-72 =
2 2 2 2
35

Имеем также тождество
[2п Dл + I )]2 + A6ft3 — 1 ? = A6«3 -4- 2п? +■ 1.
откуда, например, 102+152= 182+1, 362+1272=1322+1.
Более трудным делом является задача решения систем
двух или более уравнений второй степени в натуральных
числах, например, доказательство теоремы, что система двух
уравнений
2 2 \ 2 2 2
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t.
Было известно, что система двух уравнений
имеет решения в натуральных числах х, у, z, t, например,
х = 6, у = 5, 2=8, £=3 или х = 44', у = 39, z = 59.
£=20. Но лишь совсем недавно Ю. Бровкину удалось дока-
доказать, что таких решений существует бесконечное множестио.
Другими словами, существует бесконечное множество пар
треугольных чисел, сумма и разность которых являются
треугольными числами. Ю. Бровкин дал также способ па-
хождения всех таких пар*). Для у<л:^100 такие пары
чисел — -*т~ ■ и п~ получаем только для (х, у) = (fi, 5),
A8, 14), C7, 27), D4, 39), (86, 65), (91, 54).
Доказано, что существует бесконечное множество решений
системы трех уравнений
в натуральных числах х, V, г, t, и, v (например, х = 44,
у =117, 2=240, £=125', и = 244, г; = 267). Однако не-
неизвестно, существует ли хотя бы одно решение системы
четырех уравнений
в натуральных числах х, у, z, t, и, v, w, иначе говоря,
неизвестно, существует ли прямоугольный параллелепипед,
у которого ребра, диагонали граней и диагональ выража-
выражались бы натуральными числами.
*) J. В г о w k J n, WiadomoscI Matematyczne, т. 2, стр. 253—255,
1959. См. также W. Slerplriskl, Teorla liczb, т. 2, стр. 134—135,
Варшава, 1959. (Прим. пе'рев.)
36

Мы не знаем, имеет ли хотя бы одно решение в целых
числах х, у, z, t, и, v, w, где t -4= О, система четырех
уравнений
Эта задача имеет следующую геометрическую трактовку.
На плоскости дан квадрат, сторона которого равна 1.
Найдется ли на плоскости точка, отстоящая от каждой
из вершин заданного квадрата на расстояния, выражаемые
рациональными числами? Последняя проблема была недавно
поставлена Г. Штейнгаузом.
Дадим еще два примера уравнений второй степени с более
чем двумя неизвестными.
Определим все решения уравнения
ху = zt B9)
в натуральных числах х, у, z, t.
Предположим, что натуральные числа х, у, z, t удовле-
удовлетворяют уравнению B9). Обозначим через а наибольший
общий делитель чисел х и z. Тогда будем иметь х = ас,
z = ad, где с и d — натуральные взаимно простые числа.
Отсюда acy = adt и, значит, cy = dt. А так как числа с
и d взаимно простые, то из последнего равенства, в силу
так называемой основной теоремы арифметики, вытекает, что
число у должно делиться на d, следовательно, у = bd,
где b — натуральное число. Отсюда cbd = dt и, значит, t = bc.
С другой стороны, если а, Ь, с, d — натуральные числа
и х~ас, y~bd, z — ad, t = bc, то xy = zt.
Итак, мы доказали, что все решения уравнения B9) в на-
натуральных числах х, у, z, t содержатся в формулах
х — ас, y — bd, z = ad, t — bc,
где a, b, с, d — произвольные натуральные числа, причем
можно предполагать, что числа с и d являются взаимно
простыми.
Здесь мы имеем четыре так называемых произвольных
параметра: а, Ь, с, d. Однако все решения уравнения B9)
можно получить при помощи только трех произвольных
параметров, именно, при помощи формул
UX
37

где х, z, и — произвольные натуральные числа, a d — наи-
наибольший общий делитель чисел хну.
Все решения уравнения
в натуральных числах х, у, t получаем из формул
х = dlc, у = Ь2с, t — abc,
где а, Ь, с — любые натуральные числа, причем можно пред-
предполагать, что числа а и Ь являются взаимно простыми.
Уравнение
x2 — Dy2 = z2
имеет для каждого целого числа D бесконечное множество
решений в натуральных числах х, у, z, что вытекает
из тождества
(т2 + О/г2J — D BтпJ = (т? — Dn2f.
Случается иногда, что легче найти все решения в целых
числах уравнения третьей степени с тремя неизвестными,
чем аналогичного уравнения второй степени. Так, например,
легко найти все решения в целых числах х, у, z уравнения
(Х + у + zf = xz + У3 + 23.
В самом деле, на основании тождества
заключаем, что уравнение наше равносильно уравнению
откуда следует, что все решения нашего уравнения в целых
числах х, у, z мы получим, если из этих трех чисел два
возьмем произвольно, а в качестве третьего возьмем одно
из этих двух уже выбранных с противоположным знаком
(например, х и у произвольные целые числа, z = — х).
Труднее найти все решения в целых числах уравнения
которое, как легко видеть, равносильно уравнению
38

Можно доказать, что все решения нашего уравнения в целых
числах х, у, z заключаются в формулах
х = k (m -f- n) m, y — k{m-\-n)n, z~ — kmn,
где k, т и п — произвольные целые числа.
Легко найти все решения в целых числах х, у, z, t
системы трех уравнений
В самом деле, из этих уравнений легко вытекает, что
xy-\-yz-\-zx = O и (x-{-y)(y-{-z){z-\-x)=:O.
Итак, по крайней мере одно из чисел х-\-у, у-\- г, z-\-x
должно равняться нулю. Если, например, л:-|-у = О, то
из ху -f- yz -f- zx = 0 получаем ху = О и, так как у = — х,
находим х = у —0. Отсюда заключаем, что два из чисел х,
у, z должны быть равны нулю, а третье должно равняться t,
где t — произвольное целое число. Таким образом, наша
система уравнений не имеет в целых числах других решений,
кроме тривиальных.
Интересно отметить, что иногда простые системы урав-
уравнений имеют решение в целых положительных числах, но
очень больших и трудно находимых. Так, например, система
двух уравнений с пятью неизвестными х, у, z, t, и
ху -J- yz -f- zx =■ t2, xyz — и3
имеет решения в целых положительных числах, но реше-
решение в наименьших таких числах получаем только для
х=1 633 780 814 400, у = 252 782 198 228,
2 = 3 474 741085 973*).
§ 9. Система уравнений х2-f-ky2 = z2, л2 — ky2~fi
Пусть дана система двух уравнений
= 22, x2 — ky2 = P C0)
с неизвестными л:, у, z, t, причем k — заданное натуральное
число > 1, не делящееся ни на один квадрат натурального
*) Ср. В. Литцман, «Великаны и карлики в мире чисел",
стр. 52, Физматгиз, 1959.
39

числа > 1. Докажем, что если система C0) имеет решение
в натуральных числах х, у, г, t, то она имеет бесконечное
множество решений в натуральных числах х, у, z, t, где
числа х и у взаимно простые.
Предположим, что натуральные числа х, у, z, t удовле-
удовлетворяют уравнению C0). Если бы числа х, у имели наиболь-
наибольший общий делитель d > 1, то, как известно, было бы
x = dxv y = dyv где натуральные числа х1 и ух взаимно
просты и, в силу C0), мы имели бы
откуда следует, что числа г2 и £2 делятся на d2, и, следова-
следовательно, числа z и t делятся на d, т. е. z = dzlt t=^dt{,
где zx и tx — натуральные числа. Отсюда следовало бы, что
x\ + ky\ = z\, x\-ky\ = t\,
а это означает, что система уравнений C0) имеет решение
в натуральных числах х,, уг, zx, tu где числа х1 и у}
взаимно простые.
Предположим, что оба числа хх и у, нечетные. Если бы k
было нечетным числом, дающим при делении на 4 в остатке 1,
то, учитывая, что квадрат нечетного числа при делении
на 4 дает в остатке 1, мы заключили бы, что число x\-\-ky2x
при делении на 4 давало бы в остатке 2 и, следовательно, не
могло бы быть квадратом числа zv Если же к при деле-
делении на 4 давало бы в остатке 3, то, как легко видеть,
число х2г ■—ky1* при делении на 4 давало бы в остатке 2 и,
значит, не могло бы быть квадратом числа tv
Если бы к было четным числом, то, на основании пред-
предположения, мы заключили бы, что число k не может делиться
на 4 = 22, следовательно, число к при делении на 4 дает
в остатке 2 и, в случае нечетности чисел хх и у,, число
x2-{-ky* при делении на 4 дает в остатке 3, что невозможно,
так как оно является квадратом числа zv
Итак, мы доказали, что если система уравнений C0) имеет
решение в натуральных числах х, у, z, t, то она имеет
также решение в натуральных числах хх, уи zv tv где
числа х1 и у, взаимно простые и одно из них четное.
■ Предположим теперь, что {х, у, z, t) есть решение си-
системы уравнений C0) в натуральных числах, причем числа х
40

и у взаимно простые и одно из них четное. Примем
k2yi\
Z = xi-\-2kx2y2 — k2y\ T=\xi —
Легко проверить тождество
(X4 _|_ А2у4J + 4/гл;2у2 (л;4 — /г2/) = (*4 ± 2Л*У — А2/J,
которое, ввиду C0) и C1), сразу дает
X2-\-kY2 = Zi и X2 — kY2=.T2, C2)
а это доказывает, что числа X, Y, Z, Т удовлетворяют си-
системе уравнений C0).
Из формул C1) следует, что X и К натуральные числа,
а из формул C1) и C0) следует, что Z = z2t2 -f- 2kx2y'1,
следовательно, Z также есть натуральное число. Чтобы дока-
доказать, что и Т—натуральное число, достаточно показать,
что ТфО. Если бы было 7=0, то, на основании -C2),
мы имели бы X2 = kY2, откуда, учитывая, что число k
не делится ни на один квадрат натурального числа > 1, мы
получили бы k=l, вопреки предположению, что k > 1.
Итак, X, Y, Z, Т— числа натуральные.
Покажем, что числа X и К взаимно простые.
Предположим, что числа X и Y имеют общим делителем
простое число р. Покажем, что р не может быть делителем
числа k, а также не есть число 2. Если бы число р было
делителем числа k, то, являясь делителем числа Х= x^-^-f&y4,
р должно было бы быть делителем числа х, следовательно,
на основании C0), также делителем числа z и число
ky2 = z2 — х2 делилось бы на р2, а так как число k не имеет
квадратного делителя >1, то р должно было бы быть
делителем числа у, что невозможно, поскольку числа хну
взаимно просты.
Итак, число р не является делителем числа k, следова-
следовательно, в случае, когда k четное число, оно не может быть
числом 2. Если же k — нечетное число, то заметив, что
из чисел хну одно четное (а другое нечетное), на основа-
основании равенства Х=х*-\-1г2у*, заключаем, что число А" нечетное.
Если бы р было делителем числа х, то учитывая, что
^2y4__^Y — xi и имея в виду, что р является делителем
числа X, мы заключили бы, что р является делителем
числа k2y4, и, следовательно, не будучи делителем числа к2,
есть делитель числа у, а последнее невозможно, так как
числа х и у взаимно простые. Таким образом, р не является
41

делителем числа х. Число р также не является делителем
числа у, так как х4 = Л"—&2у, а р, будучи делителем
числа X, не является делителем числа х. Но р—делитель
числа Y = Ixyzt; так как рФ1 и |так как р не является
делителем ни числа х, ни числа у, то р должно быть де-
делителем либо числа z, либо числа t. Поэтому при соответ-
соответствующем знаке -\- или — число р является делителем числа
х2 + ky2, следовательно, делителем числа (х2 + ky2J = xi-\-
4- k2y4 + 2kx2y2, и, будучи делителем числа Х= х*-\-/г2у4,
должно быть делителем числа 1kx2y2, что невозможно, так
как р не является делителем ни одного из чисел 2, k, x, у.
Итак, мы доказали, что числа X п Y взаимно просты. Имеем
здесь очевидные неравенства: X > х, Y > у.
Таким образом, доказано, что если числа хну взаимно
просты и одно из них четное и если натуральные числа х,
у, z, t удовлетворяют уравнению C0), то, определив числа X,
Y, Z, Т из формул C1), получим натуральные числа, удовле-
удовлетворяющие уравнениям X2-4-kY2 — Z2, X2 — А>К2=72, где
числа X и У взаимно просты, Y четное и X > х, Y > у.
Тем самым доказано, что если система уравнений C0)
разрешима в натуральных числах х, у, z, t, то она имеет
бесконечное множество решений в натуральных числах х, у,
z, t, где х и у взаимно простые числа.
Вот решения системы уравнений C0) для некоторых k:
k
5
6
7
13
15
30
X
41
5
337
106 921
17
13
У
12
2
120
19 380
4
2
z
49
7
463
127 729
23
17
t
31
1
113
80 929
7
7
Положим теперь для каждого решения уравнения C0)
в натуральных числах х, у, z, t, где х и у взаимно про-
простые числа, — = г; это — рациональное число, выражаемое
несократимой дробью —. Разным решениям системы C0)
42

в натуральных числах х, у, z, t, где числа х и у взаимно
просты, соответствуют, очевидно, разные числа г. Со-
Согласно C0), имеем r2-\-k = (—) , г2— А = ( —) , следова-
следовательно, числа r2-\-k иг2 — k являются квадратами рацио-
рациональных чисел. Поэтому, если для данного натурального
числа k уравнение C0) имеет решение в натуральных чис-
числах, то таких рациональных чисел г имеется бесконечное
множество.
Докажем, что для натурального числа k существует ра-
рациональное число г такое, что числа r2-\-k и г2-—k яв-
являются квадратами рациональных чисел, тогда и только тогда,
когда существует прямоугольный треугольник с рациональ-
рациональными сторонами и с площадью k.
Действительно, с одной стороны, если г2 -f- k = g2,
г2 — k — h2, где г, g, h — рациональные числа, то (g -\- hf -\-
4- (g — hJ = 2 (g2 -\- h2) = BrJ, т. е. имеем прямоугольный
треугольник с рациональными сторонами g-\-h, g — h, 2r,
g2 — h2
площадь которого равна ——=— = к.
С другой же стороны, если прямоугольный треугольник с
рациональными сторонами а, Ь, с имеет площадь k, то ab = Ik,
= <?, откуда Ci+k=±)\ £•
с
и достаточно принять г = -^ .
Отсюда, так как уравнение C0) имеет для k — 5 реше-
решение в натуральных числах х = 41, у =12, 2 = 49, £ = 31,
следует, что существует бесконечное множество различных
рациональных чисел г, для которых числа г2-\-Ь и л2 —5
являются квадратами рациональных чисел. Задача нахожде-
нахождения таких рациональных чисел была поставлена около
1220 г. и тогда же Леонардо Пизанским было найдено ре-
41
шение г = -гн-.
Пусть
Xj = 41, yj = 12, z1 = 49, ^==31
и для п = 1, 2, .,«
43

Легко проверить, что
а, на основании формул C3) и доказанного выше, посред-
посредством индукции сразу же получаем:
= *«- *2Я-5У2„ = '2„ (»=1. 2. ...)•
Отсюда, приняв гп = — для л=1, 2, ..., получим
Уп
Уп
Таким образом, числа/•„(»== 1, 2, ...) рациональные, причем
числа г2п-\-Ь и г2— 5 являются квадратами рациональных
чисел.
41
Для п= 1 найдем указанное ранее число -^ .
Для и = 2 найдем
х2==414 + 25. 124=3 344 161.
у2 = 2-41 • 12-49.31 = 1 494 696,
22 = 4144-Ю-412- 122 —25- 124= 4 728 001.
ц= |414— 10-412- 122 — 25 • 124| = 113 279,
3344161
что дает число г2 = 1404^05 ■ для КОТОРОГО
4728001
2 е_/ 4728001 \2 2 r_/ 113279 \2
Л2 "Г О — { 1494696 / ' Л2 ° — \ 1494696 J "
Это число нашел в 1931 г. Ю. Д. Хилл *).
Число дг3 имело бы уже двадцать семь цифр.
Можно доказать, что для А=1, 2, 3, 4 не существуют
рациональные положительные числа г, для которых числа
r2-\-k и г2 — k были бы квадратами рациональных чисел.
§ 10. Система уравнений x2-\-k = z2, х2 — k = l2.
Согласные числа
Исследуем также натуральные числа k, для которых си-
система уравнений
z2, x2 — k = t2 C4)
*) Ю. Д. Хилл, Amer. Math.Monthly,38299,1931.(Прим.перев).
44

имеет по меньшей мере одно решение в натуральных чис-
числах х, z, t. Такие числа k называются согласными чи-
числами *).
Дело здесь обстоит иначе, чем в случае уравнений C0),
именно, для каждого заданного натурального k уравнения C4)
имеют конечное (^ 0) число решений в натуральных числах
х, z, t. Действительно, если данные натуральные числа х, z, t
удовлетворяют уравнениям C4), то имеем
k = z2 — х2 = (z 4- х) (z — х) = х2 — t2 = (х +1) {х — t),
откуда видно, что числа г-fi и x-\-t являются делителями
числа k и, следовательно, ^ k; поэтому х < k, z < k
и t < k, а таких систем натуральных чисел х, z, t есть
лишь конечное число.
Предположим, что натуральное число k является соглас-
согласным. Тогда существуют натуральные числа х, z, t, для ко-
которых имеют место формулы C4). Следовательно, z > t
и 2х2 = z2A-t2, откуда заключаем, что числа z и t или оба
четные, или оба нечетные. Поэтому числа z-\-t и z — t оба
четные, так что z -\~ t = la, z — t = 1b, где а и b — нату-
натуральные числа. Отсюда z — a-\-b, t = a — b, следовательно,
учитывая C4),
2x2 = z2A-t2 = (aA-bJ-\-(a — bJ = 1(a2A-b2),
откуда х2 = а2 4- b2, причем, ввиду C4), имеем 2k = z2 —12 =
= (a -f- bJ — (a — bJ = Aab, т. e. k = lab. Итак, если k —
согласное число, то существует решение уравнения а2 -\- Ъ2 = с2
в натуральных числах а, Ь, с таких, что lab = k.
Обратно, если натуральные числа а, Ь, с удовлетворяют
уравнению а2-\~Ь2 = с2, то, как легко проверить, с2 + 2ab —
= (а ± bf и значит, 2ab есть согласное число.
Итак, каждое решение в натуральных числах а, Ь, с урав-
уравнения а2Л-Ь2 = с2 определяет согласное число k = 1ab, при-
причем таким путем могут быть получены все согласные числа.
Некоторые же согласные числа могут быть получены из
двух или более различных решений уравнения а2-{-Ь2=с2,
например, согласное число 840 получаем из решений 202-4-
+ 212 = 292 и 122 + 352=372 (здесь имеем 292 + 840 = 412,
292 — 840= I2, а также 372 + 840 = 472, 372 — 840 = 232),
согласное число 3360 = 4-840 получаем из трех разных
*) Автор эти числа называет „liczby kongruentne". {Прим.
перев.). ■ ■
45

решений: 402 + 422 = 582, 242-f702 = 742
= 1132.
Ясно, что если k есть согласное число, то число kcP,
где d=l, 2, 3 также есть согласное число. Однако,
если kcP является согласным числом, то число k может и не
быть согласным. Так, например, число 6 • 22 согласное, между
тем как 6 не является согласным числом. Теперь мы легко
заключаем, что для того чтобы для числа k система уравне-
уравнений C0) была разрешима в натуральных числах х, у, z, t,
необходимо и достаточно, чтобы существовало натуральное
число d такое, чтобы число kd2 было согласным.
Исходя из указанной выше связи между согласными чи-
числами и решениями пифагорова уравнения и используя из-
известные выражения для этих решений, можно легко уста-
установить, что число k является согласным тогда и только
тогда, когда оно имеет вид
— n2)P, C5)
где т, п, I — натуральные числа, причем по крайней мере
одно из чисел тип четное.
Для такого числа k, как легко проверить, имеем
и2) If ± k = [(m2 — ft2 ± 2тп) If. C6)
При т = 42, п — З2, I = 1 получаем согласное число
k = 4 • 42 - З2 D4 — З4) = 7 C • 5 • 8J и, в соответствии с фор-
формулой C6), имеем D4 + З4J ± 7 C • 5 . 8J = [44 — З4 ±
± 2 - 42 • З2]2, что дает решение системы уравнений C0) для
ft —7, указанное прежде:
_у = 3-5. 8=120,
2 = 44 — 34 + 2-42
f=|175 — 288j =
§ 11. Некоторые другие уравнения второй степени
или системы уравнений
К системе шести уравнений второй степени с девятью
неизвестными приводит задача нахождения трех натураль-
натуральных чисел х, у, z, для которых каждое из шести чисел
х ± у, х ± z, у ± z является квадратом натурального числа.
46

Эйлер, который занимался этой задачей, определял такие
числа при помощи натуральных чисел t, /, k, g, h, удов-
удовлетворяющих уравнению
t2 = (P — £4)(£4 — Л4). C7)
Имея такие числа t, f, k, g, h, примем
2x = (/4 + k*) (g* + h% 2y = fi + Bfghkf,
Как легко проверить, имеем
х — у
х + 2 == (/2g-2 — Дг2Л2J8 * — 2 = (/2Л2
Если бы числа х, у, z, полученные из выражений для
2х, 2у, 2z, не были бы натуральными, то их следовало бы
заменить числами 4х, 4у, 4г.
Таким путем, исходя из равенства
5202 = (З4 — 24) (94 — 74),
Эйлер получил числа
х = 434657, у = 420968, z = 150568,
а на основании равенства
9752 = C4 —24)A14 —24)
получил числа
4х = 2843458, 4^=2040642, 42=1761858.
Другие решения указал А. Жерардин, исходя из следую-
следующих равенств:
20402 = B4 — I4) B34 — 74),
35672 = E4 — 44) B14 — 204),
78002 = (94 —74)A14 —24),
139202 = G4 —34)A74—I4),
629852 = A44 —54)A84— I4),
2308802 = A74 — 94) B94 — 114).
Существует бесконечное множество решений уравнения C7)
в натуральных числах t, f, k, g, h, например, £ = 520я4,
/ = 3«, k = 2n, g — 9n, h — 7n, где w=l,2, ...
47

Легко доказать, что для каждого натурального числа
k Ф 1, k Ф 3 уравнение
О
имеет по крайней мере одно решение в натуральных чис-
числах х, у, z (что равносильно утверждению, что каждое тре-
треугольное положительное число, отличное от 1 и 6 равно
сумме трех треугольных положительных чисел).
Для доказательства достаточно различить три случая:
когда число k при делении на 3 даег остатки 0, 1 или 2,
и сослаться на тождества:
= B^ + 1) B* + 2)+ B* + 1) B/+ 2) +
Значительно труднее доказать, что для каждого целого
числа k^-О существуют целые неотрицательные числа х, у, z
такие, что
(иными словами, что каждое натуральное число *) есть сумма
трех треугольных чисел ;> 0).
Легко доказать, что для каждого натурального числа k
уравнение
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
числах х, у, z; это вытекает непосредственно из тождества
2t— 1=BнJ + B«2 — О2 — B«2 — *+1J.
2м— tf — Bн2 + 2и— t— IJ.
Отсюда видно, что каждое натуральное число есть алгебраи-
алгебраическая сумма трех квадратов.
Но существует бесконечное множество натуральных чи-
чисел k, для которых уравнение
*) По существу, каждое целое неотрицательное число. (Прим.
перев.).
48

не имеет ни одного решений в целых числах х, у, г. Осно-
Основываясь на замечании, что куб каждого целого числа при
делении на 9 дает в остатке 0, 1 или 8, можно доказать,
что это уравнение не имеет решений в целых числах х, у, z
для каждого целого числа А; которое при делении на 9 дает
в остатке 4 или 5.
Также существует бесконечное множество натуральных
чисел k, для которых уравнение
не имеет ни одного решения в целых числах х, у, z. Та-
Такими, например, являются все числа k, которые при деле-
делении на 5 дают в остатке 3 (что можно доказать, основы-
основываясь на том, что четвертая степень целого числа при де-
делении на 5 дает в остатке 0 или 1).
Можно доказать (хотя это и трудное дело), что для на-
натурального числа k уравнение
имеет по крайней мере одно решение в целых числах х, у, z
тогда и только тогда, когда число k не будет вида 4й (8t -\- 7),
где hut— целые числа ^> 0.
Легче доказывается теорема о том, что для каждого на-
натурального числа k уравнение
имеет по меньшей мере одно решение в целых числах х, у, z, t.
Согласно теореме А. Гурвица (доказательство которой не-
нелегкое), единственными натуральными числами k, для кото-
которых уравнение
22 #&
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, являются
числа /е = 2й и ^ = 2Й5, где й = 0, 1,2, ...
Можно также доказать, что для каждого натурального
числа k > 3 уравнение
имеет по меньшей мере одно решение в натуральных чис-
числах х, у, z, t. Весьма сложным является необходимое и до-
достаточное условие того, чтобы для натурального числа к
уравнение
222
49

имело по крайней мере одно решение в натуральных чис-
числах х, у, z, t.
Как уже предполагал Декарт и доказал в 1933 г.
Г. Полл, это условие состоит в том, чтобы k не было ни
одним из чисел 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41, 4й • 2, 4й • 6, 4й • 14.
где Л = 0, 1, 2, ...
Можно доказать, что единственными натуральными чис-
числами k, для которых уравнение
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t, и, яв-
являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33.
Займемся теперь решениями системы уравнений
x = y24-22, х+1=/2 + ы2> х + 2 = v2 4- w2
в натуральных числах х, у, z, t, и, v, w. Таких решений
существует бесконечное множество. Это вытекает из того,
что числа
(„2 + nf 4- (ft2 + ИJ, \П {П + 2)]2 + (Я2 _ 1 J,
где и = 2, 3. ...., являются последовательными натураль-
натуральными числами.
Существует также бесконечное множество решений си-
системы уравнений
в натуральных числах х, у, г, t, и, v, w, что непосред-
непосредственно вытекает из тождеств:
B665А: + ЗЭJ = (Ю25£ + 15J +B460/г + 36J,
B665/г + 40J = A599А: -|_ 24J -+- B132Л -|- 32J,
B665/г + 41 J = E85/г + 9J + B600/г -4- 40J
для ife = 0, 1, 2, ...
Можно доказать (хотя доказательство трудное), что си-
система уравнений
имеет в натуральных числах х, у, г только одно решение
х = 5, з»= 1, 0 = 3.
50

Также нелегко доказать теорему (известную уже Ферма)
о том, что система уравнений
имеет в натуральных числах х, у, z только два решения
x=y—z=\ и х — 7, у —2, z—5.
§ 12. Об уравнении х2 -\-у2 -f-1 = xyz
Займемся теперь определением всех решений уравнения
2 C8)
в натуральных числах х, у, z. Докажем прежде всего, что
если натуральные числа х, у, z удовлетворяют этому урав-
уравнению, то должно быть 2 = 3.
В самом деле, предположим, что при некотором нату-
натуральном z Ф 3 уравнение C8) имеет решение в натуральных
числах х, у. Если бы здесь было у = х, то, согласно C8),
мы имели бы 2х2 -\- 1 = x2z и натуральное число х было бы
делителем числа 1, следовательно, было бы х = 1, откуда
также у=1 и, ввиду C8), z = 3, вопреки предположению
относительно числа г. Итак, числа хну различные, значит
можно предположить, например, что х <С у. Среди всех си-
систем натуральных чисел х, у, где х < у, удовлетворяющих
(при определенном натуральном z ф 3) уравнению C8), су-
существует, очевидно, такая, в которой у есть наименьшее
число*). Примем теперь
Xj = xz — у, yj = x; C9)
согласно C8) и неравенству х < у, имеем xz — у — —!—<
<х-| <^х-\-\, откуда на основании C9), заключаем,
что ATj есть натуральное число ^ х = ух и что х2 -\- 1 = хгу,
а хг-\-у = y\z. Отсюда имеем
х\ + У] + 1 = х\ + х2 + 1 = х\ + *,у=ж, (*i + у) = х ,у,г,
а это означает, что система натуральных чисел xv yl удов-
удовлетворяет уравнению C8).
Мы видели, что (ввиду z ф 3) равенство хг — уг невоз-
невозможно, а так как хг -^ ylt то имеем aTj <; у1 = х < у, от-
*) Далее автор молчаливо предполагает, что (х, у) является
именно такой системой. (Прим. перев.).
51

куда уг < у, вопреки предположению относительно си-
системы х, у.
Итак, предположение, что существуют натуральные
числа х, у, z, удовлетворяющие уравнению C8), где z Ф 3,
приводит к противоречию.
Следовательно, решение уравнения C8) в натуральных
числах х, у, z сводится к решению уравнения
х2 + у2+\=Ъху D0)
в натуральных числах х, у.
Если бы здесь было х = у, то мы имели бы д:= у— 1.
Предположим, что х, у —решение уравнения D0) в нату-
натуральных числах х, у, причем х ф у, например, х < у
и пусть
д-j = 3х — у.
Как ранее для чисел C9), заключаем, что хх — натураль-
натуральное число <;х и что имеем х2-\--х2-\--1 = Зл^х. Если х^ <дг,
то подобным образом найдем натуральное число х2 = Зл^ •— х
такое, что je, -^ х1 и х2-\--х2^-\- 1 = Зх2ху Если бы было
х2 < xv мы нашли бы натуральное число л;3^лг2 такое, что
х3 = 3х2 — х1 и х\ + х\ + 1 = Зл;3д:2.
Так как последовательность убывающих натуральных чи-
чисел не может быть бесконечной, то при некотором нату-
натуральном я мы дойдем до натурального числа хп = хп_г та-
такого, что
откуда вытекает, что хп = хп_1= 1, следовательно, ввиду
хп = 3хп_1 хп_2, хп_2 = Ъхп_х хп = 2, хп_3 = Зхп_2—
—ДГП1=5 дг, = ЗДГ2 — ДГ3, Ar=^3ATj — ДГ2, у=;ЗДГ — Ху.
Итак, мы доказали, что если натуральные числа х и у ^ х
удовлетворяют уравнению D0), то они должны быть двумя
последовательными членами бесконечной последовательности
«1. «2- «3
определенной условиями
в1 = в2=1. и„+1 = Зи„ —«„_! (я = 2.3. ...). D1)
т. е. последовательности
1, 1. 2, 5, ,13. 34, 89, 233, 610
52 ■■

С другой стороны, легко доказать посредством индук-
индукции, что каждые два последовательных члена этой последо-
последовательности дают решение уравнения D0) в натуральных
числах. В самом деле, если при некотором натуральном п
имеем
«S + «S+i + » — 3«„«и+1 = 0
(что верно для п=\, так как ul = u2^^ 1), то, так как
согласно D1) и„+2 = Зи„+1 — и„ и и„+2 — Зм„+1 = — ип,
найдем
r,2
п+1 —C«» + 1 —«„)«„+1 =
Таким образом, мы доказали, что всеми решениями в нату-
натуральных числах х, у уравнения D0), где х <; у, являются
системы (ип, «я+1) для п=1, 2, .... где числа н„
(я —1, 2, ...) определены условиями D1). Следовательно,
таких решений имеется бесконечное множество. Отсюда
также следует, что всеми решениями в натуральных чис-
числах х, у, z уравнения C8), где х ^ у, являются системы
<««• ««и- 3), где п =1, 2, ...
Относительно бесконечной последовательности и,, н2, ...
заметим еще следующее. Обозначим через vn n-tt член по-
последовательности Фибоначчи, т. е. бесконечной последова-
последовательности, определенной условиями
vl = v2=l. «B+i = «„+«„_! (« = 2,3,...).
Отсюда для и =2, 3, ... имеем
откуда
Зч!в-1-«2|1-а (« = 2,3....). D2)
Имеем «2=1=^, u3—2 = v3. Допустим, что при некото-
некотором натуральном и^>2 имеют место соотношения un = v2n_3
и кя+1 = «2п-1 (что верно для w —2). Согласно D1) и D2)
получаем
53

Таким образом, при помощи индукции мы доказали, что
для натуральных п ^-2 выполняется равенство
Отсюда следует, что числа и2, и3, и4, ... являются членами
последовательности Фибоначчи
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ....
находящимися на нечетных местах.
Легко найти все решения уравнения
x + y+\ = xyz D3)
в натуральных числах х, у, 2, где х ^ у.
Если бы было у = х, то мы имели бы 2х -f-1 = x2z
и х было бы делителем числа 1, откуда х=\ и у=1.
2 = 3. В случае же х <С у имеем, согласно D3), xyz =
= х-\-у-\-\ < 2у -}~ 1, следовательно, д;у2 -^ 2у, что
дает xz ^ 2, откуда д: = 1 или д: = 2. Если л* = 1, то,
ввиду D3), у-\-2 = yz и у является делителем числа 2,
а так как у2>д;=1, то заключаем, что у^>2, следова-
следовательно, у = 2, что дает 2 = 2. Если же л* = 2, то, ввиду
D3), y-{-3 — 2yz, следовательно, у — делитель числа 3,
а так как у>дг = 2, то у —3 и, значит, 2=1.
Таким образом, существуют только три системы нату-
натуральных чисел х, у, 2, где х <; у, удовлетворяющие урав-
уравнению D3), а именно:
A, 1, 3), A, 2, 2), B, 3, 1).
Основываясь на том, что уравнение C8) не имеет реше-
решений в натуральных числах х, у, z, где z ФЪ, А. Шинцель
установил, что уравнение
и2 — B2— 4)v2 = — 4 D4)
не имеет решений в натуральных числах и, v, z, где z ф 3.
В самом деле, предположим, что натуральные числа н,
■у, 2 удовлетворяют уравнению D4). Отсюда следует, что
числа и и zv должны быть одновременно четными или ие-
четными и, значит, х = —'-^—■ есть натуральное число.
Положим еще v = у. Тогда имеем и = 2х — zy, откуда,
согласно D4),
Bх — zyf — B2 — 4) у2 = — 4,
или
Ах2 — Ахуг -\- 4у2 = — 4,
54

что дает уравнение C8), которое, как известно, не имеет
решений в натуральных числах х, у, z, где z ф'6.
Отсюда следует, что и уравнение
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, где z Ф 3,
так как, если бы натуральные числа х, у, z удовлетво-
удовлетворяли этому уравнению, то, приняв н = 2дг, v = 2y, мы по-
получили бы натуральные числа и, v, z, удовлетворяющие
уравнению D4).
Следовательно, уравнение
не имеет решений в натуральных числах х, у, когда
D = ti2 — 4, где п — натуральное число =5^3, в частности,
для следующих D: 12, 21, 32, 45, 60, 77, 96. (Но для
D = 5 решение существует, например. д-:=38, у =17.)
Найдем теперь все решения системы двух уравнений
х2-\-'1=уи, /+1= от D5)
в натуральных числах х, у, и, v.
Предположим, что натуральные числа х, у, и, v удов-
удовлетворяют уравнениям D5). Из D5) вытекает, что уи —х2—!;
каждый общий делитель чисел х и у является делителем
числа 1, следовательно, числа хну взаимно простые. Со-
Согласно D5), имеем
*2 + у2+1=*(* + «')=:У(У + «)- D6)
Таким образом, число л:2 —|— у2 —J--1 делится на каждое из
взаимно простых чисел х и у, следовательно, также на их
произведение ху. Значит, существует натуральное число z,
для которого имеет место равенство C8). А отсюда, как
известно, следует, что 2=3. Поэтому налицо равенство D0),
которое, согласно D6) дает х-\-v = 3y, y-f-a = 3x, откуда
гг=3у — х, и~3х — у.
Итак, доказано, что если натуральные числа х, у, и, v
удовлетворяют системе уравнений D6), то числа х и у удов-
удовлетворяют уравнению D0) и и = 2>х — у, v = 3y — х. Со-
Согласно найденным ранее формулам для решений уравне-
уравнения D0), заключаем отсюда, что все решения в натураль-
натуральных числах х, у, и, v системы уравнений D5), где х^у.
содержатся в формулах
* = «/!. У = «ii+i. й = 3«„ — ип+1, »=Зил+1 — в„.
55

где \ип) для п=1, 2, ... есть бесконечная последователь-
последовательность, определенная условиями D1).
Отсюда непосредственно следует, что все системы на-
натуральных чисел х и у~^-х такие, что л:2 —j— 1 делится на у,
а у2+1 делится на х, определяются формулами х = ип,
У = ия+1, где п==1, 2, ... Этот результат другим путем
был установлен В. Г. Миллсом в 1953 г.
§ 13. Уравнения высших степеней
13.1. Перейдем теперь к уравнениям третьей степени.
Здесь уже в случае уравнений с двумя неизвестными мы
наталкиваемся на большие препятствия.
Возьмем, например, одно из простейших таких уравнений
Х2 — уЗ=1. D7)
Уже давно известно, что оно не имеет других решений
в натуральных числах, кроме х = 3, у = 2, однако все до-
доказательства этого факта были неэлементарные. Лишь не-
недавно "А. Вакулич нашел элементарное доказательство, впро-
впрочем, довольно длинное.
Можно доказать, что теорема о том, что уравнение D7) не
имеет других решений в натуральных числах х, у, кроме
л; = 3, з» =2, равносильна теореме, по которой ни одно
треугольное число > 1 не является кубом натурального
числа, а также равносильна теореме о том, что ни одно
из уравнений
не имеет решений в натуральных числах и и v, где г;> 1.
Из теоремы Эйлера о том, что ни одно треугольное
число > 1 не является кубом натурального числа, легко
вытекает, что для п > 1 число 13 ■—|— 23 ■—|— ... + и3 не
может быть кубом натурального числа. Действительно,
так как
то если бы число t2n было кубом натурального числа, то и
число tn было бы кубом натурального числа (так как из-
известно, что если квадрат натурального числа tn является
56

кубом натурального числа, то и число т есть куб нату-
натурального числа), а это противоречит теореме Эйлера.
13.2. Нелегко доказать, что уравнение
не имеет иных решений в натуральных числах х, у, кроме
л; = 5, у = 3, о чем знал уже П. Ферма (XVII в.)- Но
легко доказать, что уравнение л;2-|-2 = у3 имеет другие
решения в рациональных числах. Так, на основании тож-
тождества
v2 _ / V -
[
из каждого решения нашего уравнения в рациональных
числах х, у мы можем получить другое.
Например, таким путем, исходя из решения х = 5,
„ 383 129
у = 3, мы получаем решение х~- У
Трудным является доказательство того, что уравнение
х2 — 2 = у3 не имеет решений в натуральных числах х, у.
Но можно доказать и притом элементарным путем, что
ни одно из уравнений х2 -}- 3 = у3 и х2— 7 = у3 не имеет ре-
решений в целых числах х, у. Однако доказательство, если
не основываться на известной из теории чисел теореме, что
число вида лг2 —J— 1 не имеет ни одного делителя вида 4Л —j— 3.
ье было бы коротким.
Уравнение же х2 -\- 7 = у3 имеет решения в натуральных
числах, например, х=1, у —2 или л;=181, у = 32.
Доказано также, что уравнение д:2-|--44==у3 имеет
в целых числах только решения х — + 9, у — 5.
Для целых чисел к, где —100<;&<0, известны все
решения в целых числах х, у уравнения х2-\--/г = у3. Урав-
Уравнение х2 — 9 = у3 имеет в целых числах х, у решения:
(± 1. —2), (± 3, 0), (± 6. 3), (± 15, 6). (± 253. 40).
Л. Ю. Морделл доказал, что для каждого целого числа k
уравнение x2-\-k — ys имеет конечное ^-0 число решений
в целых числах х, у.
В 1930 г. Т. Нагель доказал, что уравнение х2— 17 = у3
имеет решения в целых числах х, у только для ±л; = 3,
4, 5, 9, 23, 282. 375, 378 661.
57

13.3. Доказано, что уравнение
= 23 D8)
не имеет решений в натуральных числах х, у, z; однако
доказательство является трудным и длинным. Значительно
легче доказывается, что уравнение
Х4_|_у4=~4 D9)
не имеет решений в натуральных числах х, у, z.
Однако существуют решения уравнения
в натуральных числах х, у, z, например,
дг=1О, у=13. z= 14;
х =265, у =287, 2 = 329.
Неизвестно, имеются ли здесь еще другие решения.
Существуют также решения уравнения
в различных натуральных числах х, у, z, t, например,
Доказано также, что уравнения 1
X4±y4 = z2 E0)
не имеют решений в натуральных числах х, у, z. Отсюда
непосредственно следует, что уравнение
=2# E1)
не имеет в натуральных числах х, у, z других решений,
кроме у = х, z~x2, где х — произвольное натуральное
число. Действительно, если бы было у ф х, мы имели бы
\х2 — у2\ > 0 и, согласно E1):
у2L — (х2 — у2L = Dxyzf
вопреки тому, что уравнение E0) не имеет решений в нату-
натуральных числах х, у, z.
Легко доказать, что уравнение
и даже уравнение х2 -\- у2 = Зг2, не имеет решений в нату-
натуральных числах х, у, z.
58

Уравнение
или уравнение х4 -(- у4 = BzJ, также не имеет решений
в натуральных числах х, у, z, что следует непосредственно
из уравнения E0).
Легко доказать, что уравнение
не имеет решений в натуральных числах х, у, z. Действи-
Действительно, нетрудно заметить, что числа х и у здесь можно
предполагать взаимно простыми, следовательно, они не мо-
могут одновременно делиться на 5, четвертая же степень на-
натурального числа при делении на 5 дает в остатке 0
или 1.
Можно также доказать, что уравнение х4— у4 = 52:4
имеет в натуральных числах х, у, z одно единственное ре-
решение д: = 3, у=1, z = 2.
Уравнения D8) и D9) являются частными случаями урав-
уравнения
хп -{- У" = zn, E2)
о котором уже в XVII в. П. Ферма утверждал, что оно не
имеет решений в натуральных числах х, у, z, когда п —
натуральное число > 2. Эту так называемую последнюю
или великую теорему Ферма не удавалось на протяжении
нескольких столетий и до сих пор доказать, несмотря на
усилия многих выдающихся математиков. Она доказана
только для некоторых, впрочем, достаточно многочисленных,
показателей п. Согласно полученным в последнее время
Д. Г. и Е. Лемерами и Г. С. Вандивером результатам,
теорема Ферма доказана для всех натуральных показа-
показателей п таких, что 2 < п <С 4002 и, значит, также для
всех натуральных чисел п, имеющих хотя бы один простой
нечетный делитель, меньший, чем 4002. Она доказана также
и для некоторых других натуральных показателей п.
Несколько десятков лет назад великой теоремой Ферма
заинтересовалась широкая публика и то в связи с учрежден-
учрежденной в 1909 г. в Германии большой денежной премией, ко-
которая должна была быть выплачена тому, кто докажет великую
теорему Ферма или хотя бы на одном примере обнаружит ее
ложность. После первой мировой войны эта премия подверг-
подверглась девальвации. Так как в условия награждения входило
59

требование, чтобы доказательство было опубликовано, а на-
научные издательства не желали принимать ложных доказа-
доказательств, то авторы печатали свои доказательства на соб-
собственный счет. Так во многих странах, а также в Польше,
появилось много печатных неправильных доказательств ве-
великой теоремы Ферма. Общим свойством этих доказательств
является то, что они ошибочны уже для наименьшего пока-
показателя в теореме Ферма, а именно, для показателя п = 3.
Авторы этих доказательств, преимущественно нематематики,
оперировали только элементарными средствами. Между тем,
известное правильное доказательство уже для показателя 3
является неэлементарным.
Вопрос о том, верна ли великая теорема Ферма или нет,
сам по себе не имеет большого значения для математики.
Однако он сыграл важную роль в математике, потому что
попытки его решения привели к открытию новых методов,
оказавшихся полезными для других проблем. В частности,
он способствовал развитию теории алгебраических чисел и
теории идеалов.
13.4. Эйлер высказал предположение, что уравнение
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t. В 1945 г.
М. Уорд доказал, что оно не имеет таких решений
для t< 108.
Весьма трудной задачей, как полагает Л. Ю. Морделл,
является вопрос, имеет ли уравнение
д;3_|_уЗ_|_~3=3
другие решения в целых числах х, у, z, кроме решений
A, 1, 1) D, 4, —5), D, —5. 4), (—5. 4, 4).
Легко доказать, что уравнение
имеет бесконечное множество решений в целых числах х,
у, z; это следует, например, из тождества
(9/г4K + A — 9w3K+(Зи — 9я4K = 1
для »= 1, 2, ...
60

Также и уравнение х3 -f- у3 -\-z3 = 2 имеет бесконечное
множество решений в целых числах х, у, z, что вытекает
из тождества
A ■+- 6и3K + A — 6я3K + (—6я2K = 2.
Недавно были найдены все решения уравнения je3-f-y3-|-
-\-z3 — k для целых к, с абсолютной величиной <[ 100,
в целых числах х, у, z, с абсолютной величиной ^ 3164 *).
Мы не знаем, имеет ли уравнение
хотя бы одно решение в целых числах х, у, г.
Нетрудно доказать, что уравнение
д;3_|_уЗ_|_ 23 — ^2
имеет бесконечное множество решений в различных нату-
натуральных числах х, у, z, t. Доказательство вытекает из
тождества
[ и (и3 + 2)]3 + Bи3 ■+-1 K + (Зк2K = (и6 + 7и3 + 1 J.
Например, для н = 2 получаем 203+ 173+ 123 = 1212= И4.
Таким образом, здесь имеем также решение уравнения х3-|-
-\- у3-\--z3 = wi в натуральных числах х, у, z, w.
Имеем также общее тождество
[и (и3 + 2г>3)]3 + [v Bн3+г^3)]3 + C«VK = («6+7hV+ г^6J,
которое получаем из предыдущего заменой и числом —
и умножением затем обеих частей на г>12. Отсюда для и — 5,
г> = 2 получаем 7053 + 5163 + 3003 = 226892.
Имеет место также тождество Раманужана
(Зи2 + 5uv — ov2K + D«2 — 4кг; + 6г>2)
+ Eк2 — 5uv — Зг»2K = F«2 —
Таким образом, например, для и=1, г" = 0 имеем 33-|-
3 + 53 = 63.
Имеем также тождество
— и6M + (и5 + 25г>5M + (и5 — 25г;5M +
+ A Ои VM + E0нг^M = (и5 + 75г>5M.
*) Ю. Ц. П. Миллер и М. Ф. Ц. В у л л е т т, Journal of
London Math. Soc, 30, стр. 101—110, 1955.
61

Если 0 < 25г>5 < и5 < 75ii5, например, и = 2, гг = 1, то
все слагаемые здесь > 0. Имеем, например, 75-|-435-|-
57s-f-805+1005= 1О75.
13.5. Опираясь на тождество
[и(и2 — З©2)]2 + [v (Зи2 — v7)]2 = (к2 + V2K.
легко доказать, что уравнение
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
числах х, у, z, где числа х и у взаимно простые. Чтобы по-
получить такое решение из указанного тождества, достаточно
за и и v принять натуральные взаимно простые числа, из
которых одно четное, а другое нечетное.
Уже Эйлер знал, что если п — натуральное число > 1.
то все решения уравнения
в натуральных числах х, у, z, где числа хну взаимно
простые, можно получить из тождества
J +L+ ш J
где г и s — натуральные взаимно простые числа, из которых
одно четное, а / означает число у-—1. Эту формулу, оче-
очевидно, можно написать не прибегая к числу i, так как
Решения в натуральных числах х, у, z уравнения
х2 — у2 = гъ
можно получать из тождества
[и (и2 + З^)]2 — [v (Зи2 + г>2)]2 = («2 — г>2K.
А. Шинцель доказал элементарно, что все решения урав-
уравнения
62

в натуральных числах л\ у, г, где лг и у взаимно простые
числа, можно получить из тождества
[г (г2 — 6s2) ]2 + 2 [s (Зг2 — 2s2) I2 = (г2 + 2s2K,
в котором г и 2s взаимно просты.
13.6. Уравнение
.г2 + х3 = /
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
числах х, у, z. Как было доказано ранее, уравнение A1)
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
числах х, у. Если же натуральные числа х и у удовлетворяют
уравнению (И), то, согласно тождеству
для z = —^—g—-, получаем z2 -\- х3 = _у4.
Таким путем, исходя из последовательных треугольных
чисел, являющихся одновременно квадратами, получаем
например, решения
282 + 83=64, 11762 + 493 = 354, 413282 + 2883 = 2044.
Однако здесь имеются и другие решения, например,
272+183 = 94, 632 + 363=154..
Заметим здесь еще, что уравнение
как легко доказать, имеет бесконечное множество решений
в натуральных числах х, у, z, t. Это следует из тождества
(с2 — 2йс3 — 4a2d4J + B«сK + B«йL = (а2
13.7. Исследуем также уравнение
>з + У3 = Аг3. E3)
где k данное натуральное число. При k= 1 получаем урав-
уравнение D8), которое не имеет решений в целых числах, от-
отличных от нуля. Для k — 2 доказано, что уравнение E3)
имеет в целых числах, отличных от нуля, только решение
лг = у = z, где z — произвольное целое число, отличное от
нуля. Отсюда непосредственно следует, что для k = 2л3,
63

где п — натуральное число, з'равнение E3) имеет в целых
числах, отличных от нуля, только решение х —y — nz. где
z—произвольное целое число, отличное от нуля. Таким
образом, далее мы можем предполагать, что k есть нату-
натуральное число, не имеющее вида k = 2n3, где п — натураль-
натуральное число.
Для натуральных чисел It, где 2 < k <C Ю, уравнение E3)
имеет решения в целых числах х, у, z, отличных от нуля,
только для £ = 6 (например. х= 17, _у = 37, г = 21), k=7
(например, х = —17, _у = 73, .г = 38) и £ = 9 (например,
х = 2, _у = 2= 1).
Если уравнение E3) имеет решение в целых числах, от-
отличных от нуля, то таких решений оно, очевидно, имеет
бесконечное множество. Эти решения мы получаем из дан-
данного решения (х, у, z), умножая числа х, у, z на произ-
произвольное целое число, отличное от нуля. Можно, однако,
доказать, что если k есть натуральное число, не имеющее
вида 2/г3, где п — натуральное число, то из каждого реше-
решения уравнения E3) в целых числах х, у, г, отличных от
нуля, можно получить другие решения в целых числах х,,
yv zv отличных от нуля, причем такие, что числа х,, ух.
zx не будут пропорциональны числам х, у, г. Это вытекает
из тождества
[X (Х3 _|_ 2уЗ) ]3 _|_ [_ у BХ3 + уЗ) р = (дсЗ _|_ уЗ) {Х3 _ уЗ)К
Если мы примем
х, ==х(х3 + 2д;3), У| = — ^Bx3 + y3).
2, = 2(хЗ_д;3), E4)
то, согласно E3) и E4), будем иметь
причем числа E4) отличны от нуля. Действительно, если
бы было х, = 0 то, учитывая, что х Ф 0, мы имели бы
х3-|-2_у3=0 или х3 = — 2у3, что, ввиду у Ф 0, невозможно.
Подобным образом доказываем, что невозможно и равенство
ух = 0. И, наконец, если бы было zx — 0, то, учитывая,
что z Ф 0, мы имели бы х3 — у3=0 или х3 = у3 и, значит,
ввиду E3), 2х3 = kz3, что, как легко доказать, дает А = 2и3,
где п — натуральное число, а это противоречит предполо-
предположению. Наконец, легко видеть, что числа E4) не пропор-
пропорциональны числам х, у, z,
64

Так, например, из решения х = 2, _у= 1, 2=1 уравне-
уравнения хл -\- у3 = 9z3 получаем новое решение хх = 20, ух = —17,
2j = 7 этого уравнения.
Легко доказать, что для того чтобы уравнение E3) имело
решение в целых числах х, у, z, отличных от нуля, необ-
* . ,- ab(a-\-b)
ходимо и достаточно, чтобы число k было вида —5—з— •
где а, Ъ, с — целые числа, отличные от нуля.
В самом деле, это условие необходимое, так как если
целые числа х, у, z, отличные от нуля, удовлетворяют урав-
уравнению E3), то приняв а = х3, Ъ = у3, с = xyz, мы получим
целые числа, отличные от нуля, причем, согласно E3), имеем
ab(a-\-b)~kc3.
Из тождества же
= ab{a-+- b) 33 (с2 + ab -\- b7f
получаем доказательство того, что это условие достаточное.
Если бы было а3 — b3 -\~ %a2b -\- 2>а Ь2 = 0, то, обозначив че-
через й наибольший общий делитель чисел а и Ь, мы имели
бы а = йах, b = dblt где ах и Ъх~—целые числа, отличные
от нуля, и притом взаимно простые. Тогда мы получили бы
а[ — Ь\ -f- Qa\bl -j- Safii = 0, откуда вытекает, что ах делится
на Ъх и &i на ах, учитывая же, что числа ах и Ьх взаимно
простые, мы заключили бы, что ах = ± 1 и Ьх = + 1 и,
следовательно, а=+Ь. В случае а = — b мы имели бы
k ~ з = 0. вопреки предположению, что /е есть на-
натуральное число. В случае же а = Ь имели бы k = 2b3jc3,
откуда легко следует, что было бы k = 2п3, где п — нату-
натуральное число, а тогда существует решение уравнения E3)
в натуральных числах х=у = п, 2=1. Подобным образом
дело обстоит в случае Ь3 — а3-\-ЪаЬ2-{-?>а2Ь~0.
Наконец, невозможно, чтобы а2-\- ab -f-b2 = 0, так как
4(й2 + й6-|-62) = Bа + 6J + 362>3#!>0, Где ъ Ф 0.
Итак, числа
_ б3 — а3 + 6ab2
у.
65

отличны от нуля и, согласно нашему тождеству и тому, что
, ab(a-\-b) ._„. „ ,
к = —^-д-1—-, удовлетворяют уравнению E3). 1 аким обра-
образом, достаточность условия доказана.
13.8. Доказано, что уравнение
имеет в целых числах х, у только два решения: х — О,
у= 1 и jc = 1, _у= 3.
Уравнение
х3 + У3 = 22
имеет бесконечное множество решений в целых числах х,
у, z, ибо 13-|-23=32, а если же числа х, у, z удовлетво-
удовлетворяют уравнению хъ-\-у3 = г2, то имеем также
для целых d.
Однако из данного решения здесь могут быть получены
также и другие при помощи тождества
(х3 + 4д/3K — (Зх2уK = (х3 + f) (х3 — 8у3J.
Если мы примем
•х1 = х3 + 4у3, у, = —Зх2у, 21==(х3— SyP)z,
О О Q
то будем иметь Хх-\-ух — Z\.
Так, например, из решения х=1, v=^2, 2 = 3 мы по-
получаем решение 333-f-(—6K = (— З3 • 7J.
13.9. П. Эрдеш высказал. предположение, что для каж-
каждого натурального числа k > 1 существуют натуральные
числа х, у, z, удовлетворяющие уравнению
Р. Облат заметил, что это предположение было бы дока-
доказано, если бы удалось доказать его для всех простых k, и
доказал, что предположение Эрдеша верно для k < 106129,
Л. А. Розати же доказал, что оно верно для 106129^ k <
< 141649.
66

13.10. Предположим, что натуральные числа х, у, z
удовлетворяют уравнению
x44-ft/ = 22. E5)
где ft— данное натуральное число. Имеем, как легко про-
проверить, тождество
ft Bxyzf = [(х4 + ft/J -f- 4ftx Y — (x4 — ky*f] 2z\
а так как, согласно E5),
24 = x8 + 2ftx Y + ft2/ = 4ftx4/ + (*4 — kytf,
TO
= [z* -f- 4ftx4/ — (x4 — ft/J] [z4 + 4ftx4/ + (лг4 —
или
A {2xyzf = B4 + 4Ax4y4J — (x4 — Ay4L,
что дает
(x4 — Ay4L 4- k Bxyz)i = B4 4- 4ft* Y J2. E6)
Примем
x, = |x4 — fty41, У1 = 2хуг, 2, = |244-4ftxY|. E7)
Если бы было ft=+«4, где с — натуральное число, то
уравнение E5) дало бы х4 + (суL = z2, что, как известно,
для натуральных х, у, z невозможно (ср. стр. 58). Следо-
Следовательно, ни число ft, ни число —ft не является четвертой
степенью натурального числа. Поэтому, на основании фор-
формул E7), заключаем, что хх и ух—натуральные числа.
Согласно E6), числа E7) удовлетворяют уравнению
4 4 2
X] 4~ЯУ1 — ■£]> а так как Xj и yt натуральные числа, число
же — ft не является четвертой степенью натурального числа,
то число г, не может быть нулем и поэтому есть натураль-
натуральное число.
Предположим далее, что число ft четное. Докажем, сле-
следуя А. Шинцелю, что если уравнение E5) имеет решение
в натуральных числах х, у, z, где х и ky—взаимно про-
простые числа, то таких решений оно имеет бесконечное мно-
множество.
Итак, положим, что лг, у, z — натуральные числа, удо-
удовлетворяющие уравнению E5) и, что числа х и ky взаимно
простые. Как известно, числа Xj, yx, zx, определяемые по
формулам E7), натуральные и удовлетворяют уравнению E5).
67

Если числа х, и /еу, не были бы взаимно простыми,
имели бы общим делителем простое число р, то, вследствии
формул E7), р было бы делителем числа х4— ky4 и kyx —
= 2kxyz. Таким образом, р должно было бы быть делите-
делителем по крайней мере одного из чисел х. Iky, z. Если бы
р было делителем числа х, то, будучи делителем числа
х4 — ky4. оно было бы делителем числа /еу4 и, следовательно,
числа ky, вопреки предположению, что числа х и ky взаимно
простые. Если р было бы делителем числа 2&у. то, ввиду
четности числа k, оно было бы делителем числа ky и, сле-
следовательно, также и числа /еу4. Будучи же делителем числа
х4 — /еу4, р было бы делителем числа х4, а, значит, также
и числа х, что противоречит предположению о том, что х
и ky взаимно простые числа. Если, наконец, р было бы де-
делителем числа z, то, ввиду E5), оно было бы делителем
числа x4-f-/ey4. Следовательно, будучи делителем числа
х4 — ky4, p было бы делителем чисел 2х4 и 2/еу4. Учитывая
же, что х, будучи взаимно просто с ky, должно быть не-
нечетным, заключаем, что число х4—■ ky4 также было бы не-
нечетным и поэтому р было бы делителем чисел х и ky, во-
вопреки предположению.
Итак, числа х, и kyx взаимно простые.
Таким образом, из каждого решения уравнения E5) в на-
натуральных числах х, у, z, где х и ky взаимно простые, по-
получаем, согласно формулам E6) и E7), новое решение
в натуральных числах хх, ух, zx, где числа хх и kyx взаимно
просты и где у, > у. Отсюда вытекает, что таких решений
имеется бесконечное множество, что и требовалось доказать.
Примем, ь частности, k = 8. Уравнение
имеет очевидное решение х = у = 1, z — 3, где числа х и
/гу=8у взаимно простые. Следовательно, оно имеет беско-
бесконечное множество решений в натуральных числах х, у, z,
где числа х и 8у взаимно простые.
Из решения х = у= 1, 2 = 3, на основании формул E7),
получаем новое решение х, —7, yj = 6, 2,= 113, откуда
далее получаем: х2 = 7967, у2 = 9492, z2 = 262 621 633. Но
имеются и иные решения уравнения x4-f-8y4 = z2, например.
х = 239, у—13, 2 = 57123 = 23924-2. из которого ука-
указанным выше способом можно также получить бесконечное
множество других. ... ; , .
68

Решения уравнения х4 -\- 8у4 = г1 будут использованы
в § 15.
Примем теперь k = —2. Уравнение
имеет решение х = 3, у = 2, z = 7, где числа х и ky — —2у
взаимно простые. Следовательно, оно имеет бесконечное
множество решений в натуральных числах х, у, z, где
числа х и 2у взаимно простые. Из решения х = 3, у = 2,
2 = 7, на основании формул E7), получаем решение хг = 113,
у, = 84, 2, = 7967 и т. д.
Заметим здесь еще, что если
х4 — 2у4 = ±z2.
то
24 + 8 (хуL = (х4 — 2у4J -f 8лг4у4 = (х4 + 2У4J.
Таким образом, из каждого решения уравнения х4 — 2у4 —
= +z2 мы получаем решение уравнения xi-\-8yi — z2. На-
Например, из решения х = 3, у = 2, 2 = 7 уравнения х4 —
-— 2у4 = z2 получаем решение G, 6, 113) уравнения х4 -)-
+ 8/ = ^.
С другой стороны, легко доказать, что из каждого ре-
решения уравнения x4-f-8y4 = 22 мы получаем решение урав-
уравнения х4 — 2у4 = z2, что вытекает непосредственно из
тождества
(х4 -f ву4J — 2 BхуL = (х4 — 8у4J.
Таким образом, если х4 -\~ 8у4 = z2, то, приняв u = z,
■у = 2ху, w=\x4 — 8у4|, мы имели бы и4 — 2^=^1!}2. На-
Например, из решения х = 7, у = 6, 2=113 уравнения
x4-f-8y4 = 22 мы получаем решение и = 113, v =84,
w = 7967 уравнения и4—2г>4 = и>2.
Труднее было бы доказать, что из решения уравнения
х4-f-8у4 = .г2 мы получим решение уравнения 2«4—vi^=w2,
полагая и = | zx + 2х2у + 8у31, v = \ zx qp 4x2y + 8у31,
w = | 482ху3 ± х6 q: 24х4у2 + 8х2у4 + 64у61. Так что, на-
например, из решения х = 7, у = 6, 2=113 уравнения
х4 -|~ 8у4 = z2 получаем при верхних знаках решение и = 1525,
11=1343, «> = 2 750 257 уравнения 2«4 — •у4 — w2.
13.11. Легко дать пример уравнения третьей степени
с двумя неизвестными, имеющего бесконечное множество
69

решений в натуральных числах. Например, таковым яв-
является уравнение
2 3
всеми решениями которого в натуральных числах х, у яв-
являются х = t3, у = t2, где t — произвольное натуральное
число.
Однако вообще трудно ответить на вопрос, имеет ли
данное уравнение (хотя бы даже третьей степени с двумя
неизвестными) конечное или же бесконечное число решений
в натуральных числах.
Легко доказать, что уравнение
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
числах х, у, z, другими словами, что существует бесконечное
множество систем натуральных чисел х, у, z, для которых
числа х2, z3, у4 образуют арифметическую прогрессию. Так
как имеем 132 -)- З4 = 2 • 53, то отсюда следует, что при всяком
натуральном п числа х=13л6, у = 3я3, z — 5w4 удовлетво-
удовлетворяют нашему уравнению. Имеются также и другие решения,
например х = 352, у = 8, z — 40 или х = 46 211481,
у = 5681, 2=116681.
А. Шинцель заметил, что определяя числа х, у, z из
формул
(а2А-Ь2 V ,, / а2 + b2 Y
х == а (—f—) b3, у = (—jp—J
}
где а и Ъ — натуральные нечетные числа, мы получаем
натуральные числа, удовлетворяющие уравнению хг~\-у4=2г3,
причем, если а <^Ь, то имеем х2 < z3 < yi, если же а > Ь,
то х2 > z3 > у4. Например, для а = 1, & = 3 получим
х = 54 ■ З3, у = 52 - З2. 2 = 53 • З2, для а = 3, £ = 1 найдем
х = 3-54, у = 52, 2 = 53.
Решением уравнения х2 -|- у4 = 2^3 в рациональных чи-
числах мы займемся в § 15.
Доказано, что уравнение 2х4—1 = z2 имеет только два
решения в натуральных числах лг, z, именно x = 2=l и
л: =13, г = 239.
Но уравнение
70

имеет бесконечное множество решений в натуральных числах
х, у, z, где числа х и у взаимно простые. Следующим (по
величине числа х) после решений х = у = z== 1 и х—13,
у= 1, 2 = 239 является здесь решение х = 1525, у= 1343,
2 = 2 750257, а следующим после него—решение х = 2165017,
у= 2 372159, 2 = 3 503 833 734 241. Способ нахождения
последовательных решений этого уравнения является весьма
сложным *).
Поиски треугольных чисел, квадраты которых также
являются треугольными числами, приводят к следующему
уравнению:
Доказано, что это уравнение не имеет в натуральных чис-
числах других решений, кроме х = у = 1 и х = 3, у— 8.
13.12. Система двух уравнений с четырьмя неизвест-
неизвестными х, у, и, v
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
числах х, у, и, v, из которых решением в наименьших нату-
натуральных числах является решение, найденное Ферма **).
х = 4 565 486 027 761, у= 1061 652 293 520,
« = 2 165017, г; = 2372 159.
13.13. Рассмотрим уравнение
хт _ упш
Пусть т и п — данные натуральные числа. Постараемся
найти все решения уравнения хт = у" в натуральных чи-
числах х, у. Пусть й означает наибольший общий делитель
чисел тип; тогда т — тхй, п = nxd, где га, и пх — нату-
натуральные взаимно простые числа. Уравнение хт = у" или
(xm<)d = (y"')d Для натуральных х и у равносильно уравне-
уравнению xmi = yni, где показатели степени взаимно простые.
Поэтому можно предполагать, что числа т и п являются
взаимно простыми. Но тогда, как было доказано в § 2,
*) Подробное изложение этого способа имеется в книге
В. Серп и некого „Пифагоровы треугольники" § 12, Учпедгиз,
1959. (Прим. перев.)
**) См. там же. (Прим. перев.)
71

существуют натуральные числа и и v такие, что ти — rw= 1.
Предположим, что хиу такие натуральные числа,что хт = у".
Тогда имеем
хти I vu \п
)
Пусть — означает несократимую дробь, равную числу -~;
итак, числа г и s взаимно простые и xs" = г", что возможно
только, когда s=l. Таким образом, число -—-является на-
vu
туральным; положим ~ — k, тогда х = kn, у" = хт = km"
и, значит, у = km.
Отсюда легко следует, что все решения уравнения хт = уп
(где т и п — взаимно простые числа) в натуральных чи-
числах х, у содержатся в формулах
х = kn, у = km,
где k — произвольное натуральное число.
13.14. Е. Т. Белл занимался A947) решением уравнения
xyzw = t2 E8)
в натуральных числах х, у, z, w, t.
Предположим, что натуральные числа х, у, z, w, t удов-
удовлетворяют уравнению E8). Пусть a2v a'~, а*. а2А будут соот-
соответственно наибольшими квадратами, делящими числа х, у,
z, w, положим x = a\xv y = a2yv z = cfizv w = a2w}.
Числа Xj, yp zx, wl будут натуральными и, как легко видеть,
не будут делиться ни на один квадрат натурального числа > 1,
произведение же их xly1zlwl будет квадратом натурального
числа (так как (ala^,3ai)zxly1z1wl = t2). Простые множители
произведения xlylzlwl могут, таким образом, быть делителями
либо двух, либо всех четырех из чисел xv yu zx, wv
Обозначим соответственно через а5, а6, а7, а&, а9, а10, ап
произведения всех тех простых чисел, которые являются
делителями только чисел хл, yt; xv zx; xx, wt; yv zj yv wl;
2j, w1 и, наконец, xv yv zx, wv Тогда
гх — a6aBa10an, wl =
72

следовательно,
х = а]а,айа7ап, у == а\амнаУ1аи,
2 = йаабй8йшап- «' = в4а7выа Ни-
Ниоткуда
Обратно, легко проверить, что, определяя числа х, у, г,
w, I из этих формул при любых натуральных ах, а2 аи.
мы получаем решение уравнения E8) в натуральных х, у,
z, t, it>. Таким образом, эти формулы, содержащие одинна-
одиннадцать произвольных натуральных параметров, дают все реше-
решения уравнения E8).
Число произвольных параметров может быть здесь умень-
уменьшено на единицу, если принять о5ап = а', и 0юап = aiu-
Тогда формулы для х, у, z, w, t будут содержать десять
произвольных натуральных параметров av a.2, а.л, а,, а'., а&,
av a&, а3, a'lQ и будут совпадать с формулами, которые сооб-
сообщил (без доказательства) Е. Т. Белл.
1О. Бровкин поставил задачу нахождения всех решений
уравнения
xy = t3
в натуральных числах х, у, t. Можно доказать, что все ре-
решения этого уравнения содержатся в формулах
х ~ uv2zz. у = ifivxii3, t = uvzw,
где и, v, z, w — произвольные натуральные числа.
А. Шинцель указал формулы, дающие все решения
уравнения
в натуральных числах хр х2, .... хп, t. где п^.2и k—дан-
k—данные натуральные числа. Эти формулы содержат
— l)(n + k~2) ... п
in + k — \\__
1-2-3... k
произвольных натуральных параметров.
Например, для а ~ 2, k = 3 имеем четыре параметра,
как в формулах, найденных ранее для уравнения ху — t3,
а для л = 4, k = 2 десять параметров, как в формулах
Белла. Для п = 5, k — 2 пятнадцать параметров, для п — k — 3
имеем десять параметров.
73

§ 14. Показательные уравнения
К простым показательным уравнениям с двумя неизвест-
неизвестными приводит вопрос о рациональности или иррациональ-
иррациональности логарифмов натуральных чисел, например, при осно-
основании 10. Предположим, что стоит вопрос о логарифме
числа 2 при основании 10. Если бы этот логарифм, который,
как известно, положителен, был бы рациональным числом,
т. е. имел бы вид —■, где х и у натуральные числа, то, на
основании определения логарифмов, мы имели бы
X
10Т = 2, откуда 10* = 2у.
Это уравнение, как легко видеть, не имеет решений в нату-
натуральных числах. Действительно, левая часть его для каждого
натурального числа х делится на 5, правая же часть, как
степень числа 2 с натуральным показателем, делиться на 5
не может. Отсюда заключаем, что логарифм числа 2 при
основании 10 является числом иррациональным.
Вообще можно было бы доказать, что только числа 10*,
где k—целое число, суть те рациональные положительные
числа, логарифмы которых при основании 10 являются
рациональными.
В связи с известным равенством 32-|-42 = 52 поставим
вопрос, каковы решения уравнения
в натуральных числах х, у, z. Можно доказать элементарно,
что единственным решением этого уравнения в натуральных
числах х, у, z является х = у — z = 2. Л. Юшмановнч до-
доказал, что аналогичным свойством обладают уравнения
5*+12У= 13г,
и поставил вопрос, до сих пор не решенный, существуют ли
натуральные числа а, Ь, с такие, что а2 -\- Ь2 =; с2 и для ко-
которых уравнение ах-\-Ьу — сг имело бы решение в натураль-
натуральных числах х, у, z, отличное от х —y = z = 2.
Доказано, что уравнение
74

где а, Ь, с—данные целые числа, отличные от нуля и сте-
степени двойки, имеет всегда конечное (в частности, равное
нулю) число решений в целых числах лг, у, z.
А. Шинцель доказал, что уравнение
имеет в натуральных числах х, у, z только два решения:
А'= 4, у = z = 2 и x = y = z=l.
А. Вакулич доказал, что уравнение
имеет в натуральных числах х, у только два решения:
х=\, з> = 3их = 3, у=7. Отсюда следует, что дробь
•—-.—х~гГ не является конечной десятичной для натуральных п,
отличных от 1,2, 5, 125.
Нахождение чисел Мерсенна (вида 2"—1), являющихся
одновременно треугольными, приводит к уравнению
для которого мы знаем пять решений в натуральных числах х, у
C, 1), D, 3), E, 5), G, 11), A5, 181).
10. Бровкин и А. Шинцель доказали, что других решений
это уравнение не имеет.
До 1950 г. не было известно, имеет ли уравнение
22*-1 — \=ху E9)
в натуральных числах х, у другие решения, кроме х = у=1.
Впервые такое решение нашел Д. Г. Лемер, именно х = 80519
(и соответствующее натуральное у из формулы E9)). С. Ма-
ииаг заметил, что другим решением является х = 80519 • 2089,
а Н. Г. Беегер нашел решение х= 107 663 и доказал, что
уравнение E9) имеет бесконечное множество решений в на-
натуральных числах х, у. Арифметический смысл этого состоит
в том, что существует бесконечное множество четных чисел п,
для которых число 2" — 2 делится на п.
..Можно доказать, что уравнение
имеет только одно решение в натуральных числах х, у,
1"де х Ф у, именно х ~ 2, у = 4 (см. § 15).
75

Уравнение
ххуУ = гг
имеет бесконечное множество решений в натуральных чи-
числах х, у, z, отличных от единицы. В 1940 г. китайский
математик Хао Ко нашел для натуральных п числа
X = 22" + 1 B"-я-1)+2п Л?" 1JB"- l)f
у = 22" + 1B"~
Z = 22" + 1 Bл-л-1)+в + 1
удовлетворяют этому уравнению. Например, для и = 2 по-
получаем числа х = 212 ■ 3« = 2 985 984, у = 28 • З7 = 559 872,
2 = 2П • 37 = 4 478 976. Хао Ко доказал, что уравне-
уравнение х-^уУ = zz не имеет решений в натуральных числах х,
у, z, больших единицы, когда числа х и у взаимно простые.
Мы не знаем, существуют ли нечетные числа х> 1, у > 1
и z, для которых ххуУ = гг.
Все еще не решена задача столетней давности, имеет ли
уравнение
xz__yt=l F0)
решение в целых числах х, у, z, t, больших единицы, от-
отличное от х —3, у = 2, 2 = 2, £ = 3.- Предположение, что
таких решений нет, известно под названием теоремы Ката-
лана. Недавно Р. Гампель доказал, что, кроме указанного
решения, других решений в целых числах х, у, z, t, боль-
больших единицы, где х—у= + 1, не существует.
Но легко доказать, что если целые числа х, у, z, t,
большие 1, удовлетворяют уравнению F0) и не составляют
систему: х = 3, у = 2, 2 = 2, £ = 3, то числа х и у не
могут быть степенями числа 2 с натуральными показателями.
В самом деле, предположим, что х = 2Г. Тогда имеем
2rz = у1 -)- 1. Так как z > 1, то число у нечетное и поэтому
его степень с четным показателем при делении на 8 дает
в остатке 1. Следовательно, если t — четное число, то
число yl-\- 1 при делении на 8 дает в остатке 2 и стало
быть не может быть числом 2гг, где z > 1, что находится
в противоречии с равенством 2rz = у* -\- 1. Если же t число
нечетное, то
причем второй сомножитель правой части последнего равен-
равенства является алгебраической суммой нечетного числа нечет-
76

них слагаемых и, следовательно, является нечетным числом.
На основании равенства у1 -\-\ =2гг второй сомножитель
должен быть равен 1, так что у1 -\- 1 = у -\- 1, откуда t = 1,
что противоречит предположению. Итак, предположение,
что х = 2Л приводит в каждом случае к противоречию.
Предположим теперь, что у = 2s. Тогда имеем 2st = хг— 1.
Если бы было st = 2, мы имели бы xz = 5, что для z > 1
невозможно, если же было бы st = S, мы имели бы xz = 9,
что, ввиду z > 1, дает х = 3, z = 2, вопреки предположению,
что система х, у, z, £ не является системой C, 2, 2, 3). Итак,
sty> 3. Число х, таким образом, нечетное > 1. Если число z чет-
четное, z ==2/, то, так как число х нечетное > 1, имеем
xl = 2k-\-\, где k — натуральное число, следовательно,
2st = X2i __ i = Bй + 1 J — 1 = 4k (k 4-1).
Среди чисел й и k -f-1 одно является нечетным и, как
делитель числа 2st, должно быть равно единице. Равенство
k -f- I = 1 исключается, так как й — натуральное число.
Итак, k = 1, откуда 2s' = 8, следовательно, st = 3, вопреки
тому, что s£ > 3. Таким образом, предположение, что у = 25,
приводит к противоречию.
Итак, мы доказали, что уравнение
2* —у= 1
не имеет ни одного решения в натуральных числах z, у, t,
больших единицы, уравнение же
в натуральных числах х, z, t, больших единицы, имеет
только одно решение х = 3, z = 2, t = 3.
§ 15. Решение уравнений в рациональных числах
Нахождение всех решений в рациональных числах урав-
уравнения любой степени с одним неизвестным с рациональными
коэффициентами не представляет трудности.
В самом деле, предположим, что рациональное число w
удовлетворяет уравнению
с целыми коэффициентами а0, ах ат. Мы можем здесь
предположить, что а0 Ф 0, и сверх того, ат Ф 0, исключив
77

тем самым возможный здесь корень х = 0. Рациональное
число w представим в виде несократимой дроби — с нату-
ральным знаменателем sue целым числителем г.
Из нашего уравнения получаем
aorm = — («1rm 2
Первое из этих равенств доказывает, что число аогт де-
делится на s. А так как числа г и s, а, значит, также
и числа гт и s взаимно простые, то отсюда следует, что
число s является делителем числа а0. Второе же из получен-
полученных равенств доказывает, что число amsm делится на г, от-
откуда, учитывая, что числа sm и г взаимно простые, заклю-
заключаем, что г является делителем числа ат.
Все рациональные корни нашего уравнения мы можем,
таким образом, найти при помощи конечного числа проб,
подставляя вместо х несократимые дроби —, где г есть ка-
какой-либо целый делитель числа ат, a s — какой-либо нату-
натуральный делитель числа а0.
Также не представляет трудности нахождение всех реше-
решений в рациональных числах уравнения первой степени с т
неизвестными с целыми коэффициентами.
Если рациональные числа хх, х2 хт удовлетворяют
уравнению
«1*1 4" «2*2 + ••• -bflm*m = *.
где ах, а2 ат, b — целые числа, то приведя числа хх,
х2, ... , хт к общему натуральному знаменателю уга+1, пред-
Уъ
ставим их в виде хъ = —-—, где \ь — целые числа для
* Ут+i й
А= 1, 2 т, и получим уравнение первой степени
с т-\-\ неизвестными
которое мы сумеем решить в целых числах уг, у2, . . . т+у
С другой стороны, если у,, у2 ут, ут+1 —
произвольное решение последнего уравнения в целых числах
ур у2 Ут+i- где Ут+i—натуральное число, то числа
у
xk = —— , где k = 1, 2 т, дают решение в рациональ-
Ут+1
ных числах уравнения а1х1-\-а2х2-\- ... -\-amxm = b.
78

Что же касается уравнений высших степеней с более чем
одним неизвестным, то иногда нахождение решений в рацио-
рациональных числах здесь оказывается делом более легким, чем
нахождение решений в целых числах.
Например, нахождение решений в целых числах, отлич-
отличных от нуля, уравнения
где D—данное натуральное число, не являющееся квадра-
квадратом натурального числа (а, следовательно, и рационального
числа) иногда бывает затруднительно (например, для D = 991),
однако все решения этого уравнения в рациональных числах,
отличных от нуля, определяются легко.
В самом деле, предположим, что рациональные числа х и у,
отличные от нуля, удовлетворяют нашему уравнению. Тогда
здесь имеем х Ф 1, так как в случае л:= 1 мы имели бы
Цу2 = о и_ следовательно, вопреки предположению, у=0.
1 —JC
Пусть г == ; это рациональное число, отличное от нуля.
Так как отсюда х = 1—гу, то на основании нашего урав-
уравнения получаем A — гуJ — Dy2 = 1, откуда — 2гу -\- г2у2 —
— Dy2 = 0, что ввиду у ф 0, дает — 2r + (r2 — D)y = 0,
а так как г2 — D Ф 0 (потому что D не является квадратом
2г
рационального числа), то у = 2 д , откуда
x=\—ry = — -p
■D •
С другой стороны, если для произвольного рациональ-
рационального числа г, отличного от нуля, примем
_
то получим рациональные числа х и у, отличные от нуля,
удовлетворяющие уравнению х2 — Dy2=l. Это следует не-
непосредственно из тождества
(г2 -i~DJ — D {2rf = (r2 — Df.
Итак, все решения уравнения х2 — Dy2=l (где D — на-
натуральное число, не являющееся квадратом) в рациональных
числах, отличных от нуля, мы получаем из формул
_ г2 + Р __ 2г
Х~ D — r2 ' У~ r2 — D'
79

где г — рациональное число Ф 0. Одним из этих решений
является
1+D 2
D—1 ' у~ 1 —D '
Докажем, что уравнение
лг(х-)-1) = 2у4 F1)
имеет бесконечное множество решений в рациональных поло-
положительных числах х, у.
В § 13 мы доказали, что уравнение
Н4 _|_ g^ = р F2)
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах
и, v, t, где и a v взаимно простые. Примем для такого ре-
решения
* = -Ц^. у = $; F3)
замечаем, что х и у — рациональные положительные числа
(так как, ввиду F2), t2 > и4), что у выражено несократимой
дробью и, наконец, что числа х и у, согласно F3) и F2),
удовлетворяют уравнению F1).
Следовательно, так как уравнение F2), как доказано
в § 13, имеет бесконечное множество решений в натураль-
натуральных числах и, v, t, где числа и и v взаимно простые, то
уравнение F1) имеет бесконечное множество решений в ра-
рациональных числах.
Например, из решений в натуральных числах и, v, t
G, 6, 113), B39, 13, 57123), G967, 9492, 262621633) ура-
уравнения F2), найденных в § 13, мы получаем следующие
решения в рациональных числах х, у:
32_ _6\ /1_ J3\ / 99574272 9492 \
7s' 7}' 1л2392' 239/' { 7Э672 ' 7967 j'
Доказано, что все решения уравнения
2и4— 1 =v2
в рациональных числах и, v можно получить при помощи
рекуррентной формулы
+ и = /у2 ]
80

исходя из решения и, =vl=l. Таким путем получаем ре-
решения
„_1о _. 9oq. „ 1525 _. 2750257.
Легко доказать, что система уравнений
x2-\-y = z2, x-\-y2 = t2 F4)
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t. Дей-
Действительно, если х2-\- у~ z2, где х, у, z — натуральные
числа, то z У> х, следовательно, z~^> jc —(— 1, откуда z2~^-x2 -+-
-\-2x-\-l, так что у = 22— х2 > 2х -+- 1 > 2х > х и ана-
аналогичным образом, найдем, что х > у, т. е. придем к про-
противоречию.
Однако система уравнений F4) имеет бесконечное мно-
множество решений в рациональных положительных числах.
Действительно, если для натурального п > 8 примем
п2 — 8я п2 4- 8
8 (и
V
"— 16 (Л+1) ' "~ 8G2+1) '
то л:, у, z, t будут рациональными положительными числами,
удовлетворяющими уравнению F4).
Уравнение
х3 ■+ у3 = х2 -+ у2
имеет, как легко видеть, только одно решение в натураль-
натуральных числах: jc = y=l. Так как в случае х > 1 имеем
jc3 > х2, следовательно, л;3 -+- у3 > х2 -\- у2 и подобным же
образом дело обстоит в случае у> 1. Однако в рациональ-
рациональных положительных числах х, у это уравнение имеет бес-
бесконечное множество решений, которые легко могут быть
все найдены.
В самом деле, предположим, что рациональные положи-
положительные числа х, у удовлетворяют нашему уравнению. Пусть
■i- — w; это число рациональное положительное. На основа-
основании нашего уравнения имеем jc3 A -\- w3) = х2 A -+- w2), от-
откуда
1 + w2 1 + w2
х = -Tj-i—г i следовательно, у = ~—r w,
1 + w3 1 + W3
С другой стороны, легко проверить, что, определяя при
произвольном рациональном положительном w числа х и у
81

из последних формул, мы получаем решение нашего уравне-
уравнения в рациональных положительных числах х и у. Легко
также видеть, что различным рациональным числам w соот-
соответствуют различные решения нашего уравнения, так как
различными будут отношения —.
Для w — 1 получаем решение в натуральных числах
х = }'=1; для w =2 — решение x — -q, }'=:-q-; для
1 10 5 о
w=-k — решение х = -q~> y = -q~; для w—o — решение
5 15 2 39 26
x = j4> У = Т4; для «»= -д- —решение лг=д|г-, у = gg.
Можно доказать (хотя это и нелегкое дело), что уравне-
уравнение jc3-|-у3 — z3 не имеет решений в рациональных числах,
отличных от нуля. Напротив, нетрудным делом является на-
нахождение всех решений уравнения
хЪ + У3 — г3 + w3 F5)
в рациональных числах х, у, z, w.
Пусть
x-{-y = s, х — y = f, z-\-w = u, z — w = v. F6)
Согласно F5), имеем
s(s2-{-3t2) = u(u2-\-3v2). F7)
Таким образом, если рациональные числа х, у, z, w
удовлетворяют уравнению F5), то числа s, /, и, v, опреде-
определяемые из формул F6), являются рациональными и удовле-
удовлетворяют уравнению F7). Обратно, как легко проверить,
если числа s, t, и, v — рациональные и удовлетворяют урав-
уравнению F7), то числа х, у, г, w, определяемые из формул F6)
(т. е. числа х= ~(S-\-t), y= j(s — t), z~ ~{u-\-v),
= -2 (и — v) j, являются рациональными и удовлетворяют
уравнению F5).
Следовательно, решение уравнения F5) в рациональных
числах х, у, z, w равносильно решению уравнения F7)
в рациональных числах s, /, и, v. Займемся теперь решением
уравнения F7) в рациональных числах.
Легко проверить тождество
(a2 -j- ЪЬ2) (с2 + 3d2) = (ас + Sbdf + 3 (be — adf. F8)
82
w

Предположим, что рациональные числа s, t, и, v удо-
удовлетворяют уравнению F7). Если бы было и — О (или s = 0),
то, согласно F7), мы имели бы s = 0 (или и = 0), с дру-
другой же стороны, для и = s = 0 и произвольных /иг» урав-
уравнение F7) удовлетворяется. Таким образом, далее мы можем
полагать, что и Ф 0 и s Ф 0.
Цусть
± = Х, ±=Y. ^ = Z;
и 'и и
это рациональные числа, ХфО и, согласно F7), имеем
F9)
Но на основании тождества F8):
(X2 + ЗК2) A + 3Z2) = (Х-{- ZYZf -f- 3 (К
откуда, учитывая, что ^-(-ЗК2^-^2 > 0, согласно F9),
получаем
X3YZV Y—XZ \* n
j G0)
Пусть
М= X+3YZ
это рациональные числа и, как легко проверить, имеем
MX+WY=\, MY — NX=Z. G2)
На основании G0) и G1) получаем
G3)
Так как XФ 0, то по крайней мере одно из чисел М и /V
отлично от нуля. Если бы было N — 0, то, согласно G2),
мы имели бы МХ= 1 и MY — Z, согласно же G3): Х—М2,
следовательно ЛГ3=1, откуда М = 1 и ^=1, К == Z.
С другой стороны, легко проверить, что при произвольном Z
числа X=l, Y — Z н Z удовлетворяют уравнению F9).
Итак, далее мы можем допустить, что N ф 0. Тогда фор-
формулы G2) и G3) дают
83

С другой стороны, легко проверить, что из этих формул
при произвольных рациональных М ф О и N ф О мы полу-
получаем рациональные числа X, Y, Z, удовлетворяющие урав-
уравнению F9).
Таким путем мы сумеем определить все решения уравне-
уравнения F9) в рациональных числах X, Y, Z при помощи двух
произвольных параметров, рациональных М и N. Из каждого
же решения в рациональных числах X, Y, Z уравнения F9)
мы получим решение уравнения F7) в рациональных числах
s = иХ, t = uY, v — uZ при произвольном рациональном и.
Таким образом мы сумеем определить и все решения в раци-
рациональных числах уравнения F5). Отсюда можно также по-
получить формулы, выражающие все решения уравнения F5)
при помощи трех произвольных параметров, рациональных а,
р, -\, именно, формулы:
w = \— (а —
предложенные Л. Эйлером и Бине.
Заметим здесь еще, что в 1923 г. В. Ричмонд доказал
элементарным путем, что каждое рациональное положитель-
положительное число является суммой трех кубов рациональных поло-
положительных чисел. Однако доказательство того, что число 1
не есть сумма двух кубов рациональных положительных чи-
чисел, было бы нелегким делом (так как эта теорема равно-
равносильна великой теореме Ферма для показателя 3).
Зато легко доказать, что каждое рациональное число
равно сумме трех кубов рациональных чисел. Подставив
в тождество
(а — bf + ф — сK -f- с3 = 3£2 (а — с) + [а3 — ЪЬ (с2 — с2)]
значения
а= 12*0+0. b = (t-\-\f, c= 12*0—1),
получим
72*0+1)в = (а— йK + 0> — сK-(-с3. G4)
Если рациональное число w Ф — 72, то для * = -==- имеем
* ф —1 и из формулы G4) следует, что w есть сумма
84

трех кубов рациональных чисел. Если же w = — 72, то
и, = — 72 = (_4K + (—2K -|-03.
Докажем теперь, что все решения уравнения
х2 + у4=22з G5)
в рациональных положительных числах х, у, z и только
такие решения содержатся в формулах
) '
2
где fl и Ъ — произвольные рациональные положительные числа.
В самом деле, допустим, что рациональные положитель-
положительные числа х, у, z удовлетворяют уравнению G5). Примем
ух , у3
а=*~2, 0 —^2~: это рациональные положительные числа.
Отсюда, согласно G5):
а2 + 62 _ у2х2 + у6 _ у2 (Х2 + У4) _ У2 ■ 2г3 _ у2
2 ~~ 2г4 "^ 2i^ "' 2zi !Г
и, учитывая формулы для с и #, легко проверяем, что имеют
место формулы G6). Итак, для каждой системы рациональных
положительных чисел, удовлетворяющих уравнению G5),
существуют рациональные положительные числа а и Ь, при
которых имеют место формулы G6).
С другой стороны, легко проверить, что если а и b —
произвольные рациональные положительные числа, то, опре-
определяя х, у и z из формул G6), мы получим рациональные
положительные числа, удовлетворяющие уравнению G5).
Таким образом, теорема доказана. Эта теорема является
частным случаем следующей общей теоремы:
Уравнение
где k—натуральное число ~^> 2, a av а2 ак — целые
числа, ахфЬ, с2 + йз+ ■■■ +й* + 0, щ, п2 nk —
такие натуральные числа, что пх и >цпъ ... nk взаимно
простые, имеет бесконечное множество решений в целых
числах х,, х2 xk, а в случае, когда ах > 0, a2-\-az-\-
-\- ... -\- ak < 0, имеет бесконечное множество решений
в натуральных числах хх, х2, .... xk.
Доказательство. Предположим, что условия теоремы
выполнены. Ввиду того, что натуральные числа и, и п2... nk
являются взаимно простыми, существует, как известно,
85

бесконечное множество систем натуральных чисел г, s таких,
что
я,г —(ftjiig ... «ft)s=l. G8)
Пусть
t = — («2 + «з+ •■• +«ft)«,"', G9)
Х^ап2щ...„к-Чг> (g0)
х. = ej.«. ■ • • V»( Г2'" ■ V"< (/ = 2, 3 A).
Числа лГр х2 xft будут целыми; в случае же когда
й, > 0, в2 + йз+ • • • Ч~й£ < 0, будут натуральными, при-
притом, различным системам чисел г, s будут соответствовать
различные системы чисел (80).
Наконец, легко проверить, что числа (80) будут удовле-
удовлетворять уравнению G7). Действительно, согласно (80) и учи-
учитывая, что ввиду G8) /7t, = sn2n3 ... nk -{- 1, а также
принимая во внимание G9), имеем:
23+ ••• +«*) о?*'*"»"•-"ft.
а согласно (80):
aixil= fl/fl, ^ .
Таким образом, наша теорема доказана.
Начиная с Л. Эйлера многие математики занимались на-
нахождением всех решений уравнения
хУ^-f (81)
в рациональных положительных числах х и у. Имеем здесь
очевидное решение, если х — произвольное рациональное
положительное число, а у = х. В других решениях х Ф у,
например, у > а;.
Итак, предположим, что рациональные положительные
х, у, где у > х, удовлетворяют уравнению (81). Тогда число
w = —— рациональное > 0.
Вместе с этим y = M~j \ х и поэтому х^ =
(>+—)* О--)*
= хк w ' , а так как х? = у*, то jc4 ш/ = у*, что дает

-4 i,i
с, откуда xw = 1 +-^г-
цельно,
jc = fl+-^r, y = (l-irJ-\Wl~ . (82)
Пусть — и несократимые дроби, равные соответ-
п
ственно числам w и х. На основании (82), имеем I—^-\т — —,
\ п } s
(т + rif rm „
откуда -—п ~—-j^- Числа тип взаимно простые, сле-
следовательно, и числа т-\-п и п, а также {т-\-п)п и п" вза-
взаимно простые. Равным образом, числа г и s, а значит, также
и числа г и sm являются взаимно простыми. Таким образом,
обе части последнего равенства представляют собой несокра-
несократимые дроби, следовательно, (m-\-nf = rm и n" = sm. На
основании этих равенств заключаем (см. § 13.13), что суще-
существуют натуральные числа k и I такие, что m-\-n — km,
r = kn и « = Zm, s = ln. Следовательно, m-\-lm = km, откуда
1. Если бы было т > 1, мы имели бы km ^> (/ -|- 1 )т ~^-
\~ylm~\-m, следовательно, km>lm-{-m,
что невозможно. Итак, /и=1, откуда «» = — = «.
J от
Таким образом, формулы (82) дают
+ 7г)" + 1 ' (83)
где п — натуральное число.
Обратно, легко проверить, что определенные таким об-
образом числа х и у удовлетворяют уравнению (81). Следова-
Следовательно, все решения уравнения (81) в рациональных числах
х, у, где у > х > 0, содержатся в формулах (83), где п —
произвольное натуральное число.
Из этих формул непосредственно вытекает, что только
для я=1 мы получаем решение в натуральных числах,
именно х ==2, у = 4. Итак, уравнение (81) имеет лишь одно
решение в натуральных числах х, у, где у > х. Но в ра-
рациональных числах х а у, где у > х > 0, уравнение (81)
Имеет бесконечное множество решений, именно
23 у ^ У U )
87

Так, например,
27
Заметим еще, что уравнение (81) имеет лишь одно решение
в целых отрицательных числах, где у > х, именно, х = — 4,
у==_2.
В заключение сформулируем, пе всей вероятности, труд-
трудную задачу, поставленную В. Мнихом: существуют ли три
рациональных числа, сумма и произведение которых равны
единице? *)
Подробные доказательства теорем, приведенных в этой
книге, а также библиографические указания к ним читатель
найдет в книге автора „Teoria liczb", т. 2, Варшава, 1959.
*) Отрицательный ответ на этот вопрос дал в 1960 г. Дж. В.
С. Касселс. См. Acta Arithmetica, 6, стр. 41—52, 1960. Легко доказать,
что не существует двух рациональных чисел, сумма и произведе-
произведение которых равны единице Однако, как доказал А. Шинцель, для
всякого натурального числа k > 3 существует бесконечное множе-
множество систем из k рациональных чисел, сумма и произведение кото-
которых равны единице. (Прим. перев.)