Текст
pfy Серии некий
О ИШЕМИИ
УРАВНЕНИЙ
В ЦЕЛЫХ
ЧИСЛАХ
WACLAW SIERPINSKI
О ROZWIAZYWANIU
ROWNAN
W LICZBACH
CAEKOWITYCH
WARSZAWA 1956
В. СЕРПИНСКИЙ
РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Перевод с польского
И. Г. МЕЛЬНИКОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961
АННОТАЦИЯ
В книге рассматривается решение уравнений
в натуральных, целых или рациональных числах.
Имея в виду широкий круг читателей, автор
подобрал такие уравнения, решение которых
удается получить, не прибегая к средствам
теории чисел. Впрочем, иногда, чтобы обеспе-
чить систематичность изложения, автор дает
краткую информацию о результатах исследова-
ний, выполненных при помощи аппарата теории
чисел. Наряду с классическими задачами в книгу
вошли многие задачи, рассмотренные за послед-
ние 20—30 лет.
Книга может быть использована учащимися
старших классов средней школы, имеющими
склонность к математике, студентами и учителями.
Последние найдут в этой книге большой мате-
риал для занятий математического кружка.
Вацлав CepnuHCKu.il
О решении уравнений в целых числах
Редактор Г. П. Акилов
Техи. редактор А. А. Лукьянов Корректор В. С. Иванова
Сдано в набор 28/IV 1961 г. Подписано к печати 1/VII 1961 г. Бумага 84 х 1087м*
Физ. печ. л. 2,75 Усл. печ. л. 4,51 Уч. изд. л. 3,10
Тираж 30 000 эка. Цена книги 9 коп. Заказ № 2488
Государственное издательство физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Лсисовнархоза
Ленинград. Измайловский пр., 29
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика'’....................................................... 7
§ 1. Уравнения любой степени с одним неизвестным .... 9
§ 2. Линейные уравнения с любым числом неизвестных ... 10
§ 3. Китайская теорема об остатках................................ 16
§ 4. Уравнения второй степени с двумя неизвестными ... 17
§ 5. Уравнение x2-f~x— 2у2 = 0.................................... 21
§ 6. Уравнение х2 х -f- 1 = Зу2 . . . . •......................... 25
§ 7. Уравнение х2 — Dy2 =1............................................... 29
§ 8. Уравнения второй степени с более чем двумя неизвест-
ными 34
§ 9. Система уравнений х2 + ky2 = z2, х2 — ky2 = t2.... 39
§ 10 - Система уравнений х2 + k = г2, х2 — k = t2. Согласные
числа...............................„.................... 44
§ 11. Некоторые другие уравнения второй степени или системы
уравнений................................................ 46
§ 12. Об уравнении х2 + У2 + 1 = хУг........................................... 51
§ 13. Уравнения высших степеней................................................ 56
§ 14. Показательные уравнения.................................................. 74
§ 15. Решение уравнений в рациональных числах.................................. 77
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
В этой книге выдающегося польского математика Вацлава
Серпинского рассматриваются уравнения и системы уравнений
с целыми коэффициентами, которые нужно решить в нату-
ральных, целых или рациональных числах. Некоторые про-
стейшие виды таких уравнений были рассмотрены знамени-
тыми математиками древности Пифагором (VI в. до н. э.) и
Диофантом (III в. н. э.). В память о последнем эти уравне-
ния называются диофантовыми. Диофантовы уравнения во все
времена привлекали внимание математиков. Ими занимались
классики математики: П. Ферма (1601 —1665), Л. Эйлер
(1707—1783), Ж. Л. Лагранж (1736—1813). К. Ф. Гаусс
(1777—1855), П. Л. Чебышев (1821 — 1894) и др. Им уде-
ляют внимание и многие выдающиеся математики современ-
ности. Большой и важный вклад в теорию диофантовых
уравнений внесли советские математики.
Систематическое изучение диофантовых уравнений („дио-
фантов анализ") требует от читателя весьма серьезной под-
готовки в области теории чисел. Уравнения, рассматриваемые
в данной книге, как правило, решаются элементарно, т. е. не
предполагают у читателя специальных знаний по теории чисел.
Такой элементарный диофантов анализ, выражаясь словами
Л. Эйлера, „немало служит к изощрению разума начинающих
и большое проворство в исчислении приносит". Воспитатель-
ное значение его бесспорно. Задачи из этой области обычно тре-
буют от читателя большой изобретательности и способствуют
приобретению навыков самостоятельной работы в математике.
Следует заметить, что вообще диофантов анализ имеет
большое теоретическое значение, поскольку многие его задачи
тесно связаны с важнейшими вопросами теории чисел,
а в последнее время он получает и прикладное значение,
поскольку некоторые проблемы физики и механики приводят
к диофантовым уравнениям.
7
Книга В. Серпинского довольно широко охватывает
вопрос о решении диофантовых уравнений. В ней подобраны
такие уравнения и системы уравнений, решение которых
удается получить, не прибегая к средствам теории чисел.
Впрочем, чтобы обеспечить систематичность изложения,
автор довольно часто дает информацию о результатах иссле-
дований, выполненных при помощи аппарата теории чисел.
В таких случаях изложение, естественно, принимает рефе-
ративный характер. Наряду с классическими задачами в книгу
вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20—30
лет. Эта книга по существу является популярной моногра-
фией по диофантову анализу. С интересом и пользой ее
будут читать учащиеся старших классов средней школы,
имеющие склонность к математике, студенты и учителя. По-
следние найдут в этой книге большой материал для заня-
тий математического кружка.
Книга В. Серпинского вышла в Варшаве в 1956 г. Неко-
торые из сообщаемых в ней сведений немного устарели, иные
же можно было бы несколько дополнить. Автор проявил
большую заботу о настоящем издании, прислав мне все
необходимые изменения и дополнения к тексту книги. Все
они в этой книге учтены.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить
благодарность члену-корреспонденту Академии наук СССР
Ю. В. Линнику, поддержавшему мое предложение о пере-
воде книги В. Серпинского на русский язык. Я благодарен
также редактору книги Г. П. Акилову, пенные указания
которого были учтены мною при окончательной подготовке
рукописи перевода к печати.
И. Мельников
§ 1. Уравнения любой степени с одним
неизвестным
Решение уравнений в целых числах является одним из
важнейших разделов теории чисел.
Начнем с уравнения с одним неизвестным. Пусть дано
уравнение
aoxm + °ix'n"1+ • • • +am-ix + am = 0- (О
где т — натуральное число, а0, а{, .... ат — целые числа,
причем ат #= 0. Если целое число х удовлетворяет уравне-
нию (1), то имеем:
(a0xm-14-aIxm-24- ... 4-am_!)x = — ат,
откуда следует, что число х должно быть делителем числа ат.
Так как целое число ат=£0 имеет конечное число делителей,
то все решения уравнения (1) в целых числах х можно найти
при помощи конечного числа проб, а именно, подставляя
в уравнение (1) поочередно все делители числа ат (как по-
ложительные, так и отрицательные) и выбирая среди них те,
которые удовлетворяют нашему уравнению.
Если бы ат — 0, то, очевидно, одним из решений нашего
уравнения было бы х = 0, а для отыскания других его
решений имели бы уравнение
eoxm"1 + Gix'n’2+ ••• + am-2x+am-i = 0’
с которым в случае ат_1 ф 0 мы поступили бы так же, как
прежде с уравнением (1), в случае же ат_}= 0 получили бы
уравнение степени т — 2 пт. д.
Примеры. Найдем в целых числах все решения
уравнения
х5_5л.4__3хз+ 15х24-2х— 10 = 0.
Так как число —10 имеет делителями только числа 1, 2,
5, 10, а также —1, —2, —5, —10, то мы должны вместо х
9
подставлять в наше уравнение поочередно каждое из этих
восьми чисел. Нетрудно убедиться, что из них только
числа 1, 5, —1 удовлетворяют уравнению; следовательно,
они дают все решения нашего уравнения в целых числах.
В качестве второго примера возьмем уравнение
х8 -f- х1 4- х 1 = 0.
Здесь мы должны вместо х подставлять в уравнение только
делители числа 1, т. е. числа 1 и —1. Таким образом, уста-
навливаем, что только число —1 является решением нашего
уравнения в целых числах.
Итак, нахождение всех целых чисел, являющихся корнями
данного многочлена с целыми коэффициентами, даже для
многочленов высших степеней не представляет трудностей,
за исключением разве технических; здесь дело обстоит зна-
чительно проще, чем в алгебре, где решается задача нахо-
ждения всех корней данного многочлена.
§ 2. Линейные уравнения с любым числом
неизвестных
Перейдем теперь к уравнению с более чем одним неиз-
вестным и начнем с так называемых линейных уравнений,
т. е. уравнений вида
Mi 4- а2х2 4- ... 4- атхт = Ь, (2)
где т — натуральное число, большее 1, ор а2..... ат и
b—данные целые числа. Прежде всего заметим, что в урав-
нении (2) все коэффициенты «р а2, .... ат можно предпо-
лагать натуральными, так как члены с коэффициентами,
равными нулю, можно отбросить, а отрицательный коэффи-
циент можно заменить равным ему по абсолютной величине
положительным коэффициентом, изменив при этом знак
у неизвестного. Если бы два из коэффициентов ар а2, .ат
были равны, например ах — а2, то, положив х1-\-х2 — х.
мы вместо уравнения (2) получили бы уравнение
а1х4-йзх34-аЛ4- ... -}-атхт = Ь. (3)
Если примем х = х14*х2’ то из каждого решения
уравнения (2) в целых числах хр х2, .... хт получим реше-
ние уравнения (3) в целых числах х, х3, х4, ..., х ,
а из каждого решения уравнения (3) в целых числах
10
х, х3, х4, .... хт, приняв за х, любое целое число и поло-
жив х2 = х— хр получим решение уравнения (2) в целых
числах Xj, х2, хт.
Итак, задача нахождения всех решений в целых числах
уравнения (2) сводится к задаче нахождения всех решений
в целых числах уравнения (3) с меньшим числом неизвест-
ных. Если бы здесь еще было «j = а3, или если бы какие-
нибудь другие два коэффициента при неизвестных были
равны, то уравнение (2) можно было бы свести к уравнению
с менее чем т — 1 неизвестными.
Таким образом, далее можно предполагать, что коэффи-
циенты ар а2......ат уравнения (2) суть числа натуральные
и все различные. Одно из них, например ах, есть наиболь-
шее, в частности о, > а2. Предположим, что число ах при
делении на а2 дает в частном целое число k и в остатке а'2,
так что a1 = a2k-\-a'Q, где k есть натуральное число,
а'—такое целое число, что 0 < а'2 < а2. Примем х' = &Xj-|-x2,
х' = хр а\ = а2. Тогда aix1-\-a2x2 — a2(kxx-irx^-\-a2xl —
= а'х'Д-а'х' и уравнение (2) перейдет в уравнение
«X + а2Х2 + °зхз + • • • + атхт = Ь-
Если примем x' = ftx1-j-x2, х' = хр то из каждого
решения уравнения (2) в целых числах хр х2, х3.........хт
получим решение в целых числах х', х', х3, ..., хт урав-
нения (4). Обратно, если положим Xj = х', х2 = х' — &хр
то из каждого решения в целых числах хр х', х3, .... хт
уравнения (4) получим решение в целых числах хр х2,
х3, .... хт уравнения (2).
Таким образом, решение уравнения (2) в целых числах
сводится к решению в целых числах уравнения (4), в кото-
ром наибольший из коэффициентов при неизвестных (учиты-
вая, что а' = а„ < Oj) меньше, чем наибольший из коэффи-
циентов при неизвестных в уравнении (2). Далее, аналогич-
ным образом из уравнения (4) можно получить уравнение,
в котором наибольший из коэффициентов будет меньше, чем
наибольший из коэффициентов уравнения (4) и т. д.
Так как последовательность убывающих натуральных
чисел не может быть бесконечной, то, пользуясь указанным
приемом, придем либо к уравнению с одним неизвестным,
решение которого не вызывает затруднений, либо к уравнению,
11
в котором все коэффициенты при неизвестных равны, на-
пример к уравнению
О>1-НУ2+ •••+ cyk = b.
Из этого уравнения следует, что свободный член b будет де-
литься на с * **)). Если бы это условие не выполнялось, то тогда
уравнение это, а, следовательно, и уравнение (2) не имело бы
решений в целых числах. Если b при делении на с дает
в частном целое d, то получаем уравнение -ф- у2 .. .
. .. -ф- yk = d, все решения которого в целых числах нахо-
дим, полагая у2, у3....yk равными любым целым числам
и принимая y-L — d — у2 — у3— ... —У***)-
Пример. Указанным выше способом найдем в целых
числах х. у, г все решения уравнения
6х-ф-10у — 7z = 11. (5)
Принимая z' — — z, получаем уравнение 6х -ф-1 Оу -ф- 7z' — 11.
Учитывая, что 10 = 7 -ф- 3, получаем 6х -ф- 7 (у -ф-Зу — 11
и, полагая у -ф-z' = t, получаем уравнение 6х -ф- 7t -ф- Зу = 11.
Теперь, учитывая, что 7 — 6 —ф-1, получаем 6 (х-ф-/)-ф-/-ф
-ф- Зу = 11 и, полагая x-\-t = u, получаем уравнение
6и-ф-^-ф-Зу— 11. Все решения в целых числах и, t, у этого
уравнения получаем, если для у и и будем назначать любые
целые числа и примем t = 11 — Зу — 6«. А так как х -ф-1 = и,
то имеем х = и — t = Зу-\-7и — 11 и далее, так как z' — — z
и y-\-z' = t, то находим 2 = у— t = 4у-ф-6и—И.
Все решения уравнения (5) в целых числах х, у, z
содержатся в формулах
х = 3у + 7м—И, г = 4у-ф-6«—11,
где у и и — любые целые числа. Действительно,
6(3у-ф-7й—11)-ф-10у — 7(4у-ф-6а—11) = 11.
*) Здесь автор молчаливо предполагает, что уравнение (2),
а, значит, и уравнение + су2 ~ф ... -ф сУк = b разрешимо в целых
числах. (Прим, перев.)
**) Это рассуждение имеет в основном теоретическое значение.
На практике, при отыскании целочисленных решений уравнения (2),
указанный прием применяется до тех пор, пока не получится урав-
нение, в котором хотя бы при одном неизвестном будет коэффи-
циент, равный единице. Предлагаемое автором ниже решение урав-
нения (5) может служить иллюстрацией к этому замечанию. (Прим.
12
Легко также доказать, что если уравнение (2) имеет
решение в целых числах, то таких решений (в случае т > 1)
оно имеет бесконечное множество. Действительно, если
существуют целые числа ур у.,, .... ут такие, что
«1У1 + а2У2 + ... + атУт = Ь,
то, полагая xi = yl-\-amti для 1=1, 2, .... т—1,
а Хт — Ут ••• где ^1» ^2.^т-1
произвольные целые числа, получаем, как легко проверить,
целые числа хр х2, .. , хт, удовлетворяющие уравнению (2).
Необходимое условие разрешимости уравнения (2) в целых
числах состоит в том, чтобы свободный член b делился на
наибольший общий делитель d коэффициентов av а2, .... ат
при неизвестных. Действительно, если некоторые целые
числа хр х2, .... хт удовлетворяют уравнению (2), то d
будет делителем каждого произведения а1х1, а2х2.....атхт
и, следовательно, делителем их суммы Ь.
Докажем теперь, что это условие является также и
достаточным, т. е. если b делится на наибольший общий
делитель чисел av а2........ ат, то существуют целые
числа Хр х2, .... хт, удовлетворяющие уравнению (2).
ГДсть Ср а2, .. , ат — целые числа, среди которых по
крайней мере одно, например ар отлично от нуля. Обозначим
через D множество натуральных чисел, определяемое следую-
щим образом. Натуральное число п относим к множеству D
тогда и только тогда, когда существуют целые числа
Хр х2, .... хт такие, что
п = йЛ Н-а2х2 + .... 4-атхт. (6)
Множество D непустое (т. е. оно содержит по крайней мере
одно число), так как Cj = ах 1 -j-°2 • 0 + • • • + ат ' ® и
— Oj = tZj (—1) + а2 • 0 -|- • • • + • О и одно из этих чисел,
именно то, которое является натуральным, принадлежит
множеству D. Обозначим через d наименьшее натуральное
число, принадлежащее множеству D. (Такое число сущест-
вует, так как в каждом непустом множестве натуральных
чисел существует наименьшее число.) Так как число d при-
надлежит множеству D, то из определения этого множества
вытекает, что существуют целые числа tv t2......tm такие,
что
J = (Z]f14-a2^24- •••
2 Зак. 2488. В. Серпинский 13
Ho d есть наименьшее число множества D, поэтому для
каждого натурального числа п вида (6) имеет место нера-
венство n '^ d. Покажем, что число агхх а2х2 -|-атхт
при всяких целых хр х2.......хт делится на d.
Допустим противное, т. е. что при некоторых целых
У1. У2, •••. Ут число 0^ + 0^+ ... + атут при делении
на d дает в частном целое k и положительный остаток г.
Тогда имеем -|- а2у2 -|- ... -\-amym — kd-\-r, откуда
в силу (7), г = а2у2 + ... + атут—k (a1t1 -|- a2t2 + ...
••• — clxl+С2Х2 + • • • + атхт' где Х1 — У1
для /=1, 2, ..., т суть целые числа. Натуральное число г
имеет форму (6) и поэтому мы заключаем, что оно принад-
лежит множеству D. Но г, как остаток от деления на d,
меньше d\ таким образом, возникает противоречие, так как d
есть наименьшее число множества D.
Итак, доказано, что число а1х1 + а2х2 + ... -\-атхт
при любых целых хр х2........хт делится на d, а отсюда,
в частности, для й=1, 2, .... т, xk—l, Х/ — 0 для i^k
следует, что число ak делится на d. Таким образом, d есть
общий делитель чисел ар а2......ат.
Пусть теперь 8 обозначает любой общий делитель чисел
а2, ..., ат. Тогда существуют целые числа 2Р г2....гт
такие, что at = 8zz для i = 1, 2, ..., т. Отсюда, согласно (7),
d = axtx a2t2 + ... +am^m = ... +
и, значит, о есть делитель числа d. Итак, общий делитель d
чисел ар а2, ... ат делится на каждый общий делитель
этих чисел, следовательно, это их наибольший общий дели-
тель.
Таким образом, мы доказали, что если d есть наибольший
общий делитель целых чисел ар а2, .... ат, из которых
по крайней мере одно отлично от нуля, то существуют целые
числа tx, t2...tm, удовлетворяющие соотношению (7).
Предположим теперь, что ар а2, ат и b — целые
числа, причем среди чисел ар а2, .... ат по крайней мере
одно отлично от нуля, предположим также, что число b
делится на наибольший общий делитель чисел ар а2......ат,
так что b — kd, где k есть целое число. Пусть xt = ktt
для Z= 1, 2......т; так как kd—b, то на основании (7)
получаем (2).
Итак, доказано, что если ор а2........ат и Ь — целые
числа, причем среди чисел ар а2......ат по крайней мере
одно отлично от нуля, то для разрешимости уравнения (2)
в целых числах лр х2, ..., хт, необходимо и достаточно,
14
чтобы свободный член b делился на наибольший общий
делитель чисел аг, а2, ат.
Пусть теперь даны натуральные числа а, Ь, с и допустим,
что уравнение
ах — Ьу = с (8)
разрешимо в целых числах х, у и, следовательно, что с
делится на наибольший общий делитель d чисел а и Ь.
Если х0, у0 есть решение нашего уравнения в целых
числах, то при любом целом k имеем
а (хо + — Ь (у0 + kd) == с.
Поскольку а и Ь натуральные числа, то для достаточно
больших k
х = х0 + kb и у = у0 ka
являются натуральными числами, причем ах—by —с.
Таким образом, доказано, что если уравнение (8), где а,
Ь, с — натуральные числа, разрешимо в целых числах х, у,
то оно имеет бесконечное множество решений в натуральных
числах х, у.
Иначе обстоит дело с уравнением
ах-\-Ьу — с, (9)
где а, Ь, с — натуральные числа. Допустим, что это уравне-
ние разрешимо в целых числах х, у и, значит, с делится на
наибольший общий делитель d чисел а и Ь.
Разделив числа а, b и с на d, получим из уравнения (9)
новое уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных
будут взаимно простыми. Допустим теперь, что в уравне-
нии (9) коэффициенты а и b взаимно простые.
Если с = ab, то уравнение (9) не имеет решений в нату-
ральных числах х, у, так как в противном случае было бы
ax-j-by — ab и, значит, ах — Ь(а—у), а так как числа а
и b взаимно простые, то отсюда следовало бы, что х делится
на b и, значит, х'^-b, откуда ах -|- by > ах ab, вопреки
тому, что ax-\-by = ab.
Докажем, что уравнение (9) разрешимо в натуральных
числах х, у для каждого натурального с > ab.
Допустим, что а и b — натуральные взаимно простые
числа и пусть с — натуральное число > ab. Как было уже
доказано выше, существуют натуральные числа и и v такие,
2*
15
, , M V - ,
что au— bv~c> ab. откуда-^---------— > 1 и поэтому суще-
, V . , . и I
ствует такое целое число t, что — < t < (таковым является
наибольшее целое число t, меньшее чем u j Пусть х = и—Ы,
y = at—v, эти числа целые, причем х > 0, у > 0. Следо-
вательно, х и у — натуральные числа и имеем
ах by = а (и — bt)-\-b (at — v) — au — bv^=c.
что и требовалось доказать.
Одновременно мы доказали, что если а и b — натураль-
ные взаимно простые числа, то каждое натуральное число,
большее ab, может быть представлено в форме ах-}-by.
где х и у — натуральные числа.
Вообще можно доказать, что если ар а2, .... ат и
b — натуральные числа и число Ъ делится на наибольший
общий делитель чисел ах, а2...... ат, то для достаточно
больших b уравнение (2) разрешимо в натуральных числах
хи х2.....хт (число решений этого уравнения в натуральных
числах хр х.2, .... хт, очевидно, для каждого натураль-
ного b конечно (^ 0), так как должно быть хх <1 b для
г=1, 2.......т).
Отсюда, в частности, следует, что если ах, а2..ат—
натуральные числа, не имеющие общего делителя, большего
единицы, то каждое достаточно большое натуральное число
можно представить в форме аххх -|- а2х2 -ф ... -ф- атхт,
где Хр х2> .... хт—натуральные числа.
§ 3. Китайская теорема об остатках
Если т — натуральное число ^2 и ах, а2, .... ат—
натуральные числа, каждые два из которых взаимно
просты, гх, г2, гт—произвольные целые числа, то
существуют целые числа хр х2, .... хт, удовлетворяю-
щие системе уравнений
а1х1-фг1 = о2х2-ф-г2 =
— атхтЛ~гт- (10)
Доказательство. Для т — 2 теорема верна, так как
уравнение ахх— а2у — г2 — гх, если числа ах и а2 взаимно
просты, разрешимо в целых числах х и у.
Предположим теперь, что теорема верпа для некоторого
натурального т^2. Пусть ах, а2, .... ат, ат+х— нату-
16
ральные числа, из которых каждые два взаимно просты, гр
г2, .... rm, гт+1—произвольные целые числа. Из предполо-
жения, что теорема верна для числа т, следует, что суще-
ствуют целые числа хр х2.....хт такие, что имеют место
равенства (10). Так как каждое из чисел ах, а2.....ат
взаимно просто с ат+р то их произведение а}а2... ат
взаимно просто с от+1, и поэтому существуют целые числа t
и и, удовлетворяющие уравнению
"1«2 — ат+1и = rm+l ~ alxl ~ rf
Примем теперь
xi = а‘Й2 :ai f + xi ....."0, <+i = "-
Числа x', x'.....x'm+i— Целые, причем легко проверить,
что
йХ + ^1 = «2-К2-|-Г2= ••• =am + lX'm + l+rm+r
Итак, доказательство нашей теоремы получается посредством
индукции.
Из доказанной теоремы следует, что если каждые два
из m 2 натуральных чисел ар а2, ..., ат взаимно просты,
то существует целое число, которое при делении на эти
числа даег любые заданные остатки гр г2, .... гт. Послед-
ним обстоятельством объясняется название теоремы *). Так
как это целое число можно увеличить на любое кратное
числа ага2 ... ат, то существует бесконечное множество
натуральных чисел, дающих при делении на av а2, .... ат
соответственно остатки гр г2, ..., гт.
§ 4. Уравнения второй степени с двумя
неизвестными
Перейдем теперь к уравнениям с двумя неизвестными.
Можно легко указать примеры уравнений второй степени
с двумя неизвестными и с целыми коэффициентами, которые
не имеют никакого решения в целых числах, например
*) Заметим, что уже не позднее III в. китайцы, по существу,
владели этой теоремой. См. А. П. Юшкевич, О достижениях
китайских ученых в области математики. Историко-математические
исследования, вып. 8, стр. 556, Гостехиздат, 1955. (Прим, перге.)
17
уравнение х2Ч~у2— 3 = 0. Легко также указать пример
уравнения, имеющего конечное число решений в целых чис-
лах. Например, уравнение
*2 + У2 —65 = 0
имеет только шестнадцать решений в целых числах, именно:
(1, 8), (-1, 8), (1, -8), (-1, —8),
(8, 1), (8, -1), (-8, 1), (-8, -1),
(4, 7), (-4, 7), (4, -7), (-4, —7),
(7, 4), (7, -4), (—7, 4), (—7, -4).
Легко исследовать, для каких целых чисел k уравнение
х2 — у2 —k
имеет решение в целых числах х, у. Оказывается, для того,
чтобы это уравнение имело по крайней мере одно решение
в целых числах х, у, необходимо и достаточно, чтобы число /г
при делении на 4 не давало в остатке 2.
В самом деле, если существуют целые числа х, у такие,
что х2— y2 — k и если оба числа х и у — четные, то, оче-
видно, числа х2 и у2 делятся на 4 и, следовательно, их раз-
ность k делится на 4.
Если какое-нибудь одно из чисел х и у четное, а другое
нечетное, то число х2— у2, а значит и число k нечетное.
Наконец, если оба числа х и у — нечетные, то, поскольку
квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1,
заключаем, что число х2 — у2, а значит и число k делится
на 4. Итак, ни в одном случае (когда наше уравнение раз-
решимо в целых числах х, у) число k при делении на 4 не
дает в остатке 2. Таким образом, условие наше является
необходимым.
Предположим теперь, что целое число k при делении
на 4 не дает в остатке 2. Тогда, если k — четное число,
k
то оно делится на 4 и число есть целое. Таким образом,
k , , k .
числа х = ~ 1 и у = — 1 суть целые и, как легко про-
верить, удовлетворяют нашему уравнению.
Если же число k нечетное, то имеем & = 2/-|-1, где
I — целое число. Числа x = l-\~. 1, у = 1, стало быть, целые
и, как легко проверить, удовлетворяют нашему jравнению.
Итак, условие наше является достаточным.
18
Легко доказать, что для каждого целого k уравнение
х2 — у2 — ft имеет лишь конечное (^> 0) число решений
в целых числах х, у.
Очевидно, достаточно это доказать для натуральных ft и
для решений в натуральных числах х и у. Если натураль-
ные числа х, у удовлетворяют уравнению х2— y^ — k, где
ft — натуральное число, то х > у, откуда х — у^-1 и имеем
(л* — у) (х -|- у) — k, что дает x-j-y^ft и, следовательно,
х < ft и у < ft; но чисто систем натуральных чисел х, у,
удовлетворяющих двум последним неравенствам, равно, оче-
видно, (ft—I)2 и, следовательно, является конечным.
Однако же для любого натурального числа т существуют
такие натуральные числа ft, для которых уравнение х2—у2 = ft
имеет не менее чем т различных решений в натуральных
числах х, у.
Например, для ft = 22m+2 числа
xl^=22m~i-Jr2l, yi — 22m~l — 2i (i = 0, 1.........т — 1)
суть натуральные и удовлетворяют уравнению х2 — у2 = k,
причем числа хг (г —0, 1, .... т—1) все различные.
Труднее исследовать вопрос, для каких натуральных ft
уравнение
х2-|-у2 == ft
имеет хотя бы одно решение в целых числах х, у. Отметим
без доказательства, что уравнение х2-|-у2 —ft имеет по
меньшей мере одно решение в целых числах х, у тогда и
только тогда, когда частное от деления натурального числа ft
на наибольший квадрат не имеет ни одного натурального
делителя, который при делении на 4 давал бы в остатке 3.
Поэтому, например, уравнение x2-|-y2 = ft разрешимо
в целых числах х, у для А=1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, но не-
разрешимо для ft = 3, 7.
Разумеется, для каждого целого числа ft уравнение
x2-\-y2—k имеет конечное Q>0) число решений в целых
числах х, у.
Еще труднее установить необходимое и достато«ное усло-
вие того, чтобы для данного натурального числа ft уравне-
ние х2 -1--у2 = ft имело бы по меньшей мере одно решение
в натуральных числах х, у. Это условие состоит в том,
чтобы уравнение x2-|-y2 = ft было разрешимо в целых
числах х, у (для чего должно выполняться условие, указан-
ное выше) и чтобы либо число А имело хотя бы один
19
простой делитель, лающий при делении на 4 в остатке 1,
либо чтобы показатель наивысшей степени числа 2, делящей
число k, был нечетный.
Например, это уравнение разрешимо в натуральных
числах х, у для k — 2, 5, 8, 10. но неразрешимо в этих
числах для й=1, 3, 4, 6, 7, 9.
Отсюда легко следует, что для того чтобы уравнение
х2-|-у2 = &2, где k—натуральное число, имело хотя бы
одно решение в натуральных числах х, у, необходимо и
достаточно, чтобы число k имело по меньшей мере один
простой делитель вида 4Z —1, где t—целое число. В этом
состоит необходимое и достаточное условие существования
(хотя бы одного) пифагорова треугольника с гипотенузой k.
Можно доказать, что уравнение
(х-|-у— 2)(х-|-у— 1) + 2у — 2k
имеет для каждого натурального k одно и только одно ре-
шение в натуральных числах х и у.
Если уравнение /(х, у) — 0, где /(х, у) — многочлен
с целыми коэффициентами, имеет решение в целых числах
х, у, то, очевидно, для каждого натурального числа т
существуют целые числа х, у, при которых число f (х, у)
делится на т. Отсюда следует, что если существует на-
туральное число т такое, что ни для одной системы
чисел х, у, где х — 0, 1, 2..т— 1, у — 0, 1, 2....т — 1
число /(х, у) не делится на т, то уравнение /(х, у) —0
не имеет решений в целых числах.
Например, доказательство того, что для натурального п
уравнение
х24-1—Зу« = 0
не имеет решений в целых числах, можно провести посред-
ством проверки, показав, что для х = 0, 1, 2 и для любого
целого у число х2 —|— 1—Зу” или, что то же самое, число
х2 -|-1 не делится на 3 (действительно: О2 1 — 1, I2 -|- 1 — 2,
22-Н = 5).
Однако не для каждого многочлена с целыми коэффи-
циентами, для которого уравнение /(х, у) = 0 не разрешимо
в целых числах х, у, существует натуральное число т такое,
что ни для какой системы целых чисел х, у число /(х, у)
не делится па т.
В самом деле, уравнение
(2х — 1)(3у - 1) = 0,
20
очевидно, не имеет решений в целых числах х, у. С дрд гой
стороны, если т есть натуральное число, то, как известно.
т можно представить в форме т = 2fc_| (2х—1), где /г и
х — натуральные числа. Число 22ft+1 -ф- 1 делится на 2 1 = 3,
поэтому существует такое натуральное число у, что 22* 1 -ф
1 = Зу. Итак, имеем (2х—1)(3у—1) = 2* 2т, откуда
видно, что число (2х—1)(3у—1) делится на т.
А. Шницель обнаружил, что для каждого натурального
числа т существует целое число х из последовательности
О, 1, 2, .... т—1 такое, что число (2х— 1)(3х—1) де-
лится на т, хотя уравнение (2х — 1)(3х— 1) = 0 и не имеет
ни одного целого корпя.
§ 5. Уравнение х2-)-х— 2у2 = 0
Докажем, что уравнение х2-ф-х— 2у2 —О имеет беско-
нечное множество решений в натуральных числах х, у.
Для этой цели достаточно заметить, что х=1, у=1
есть решение этого уравнения и, что если (х, у) — его ре-
шение, то (и, г')- где и — Зх-ф- 4у-ф- 1, V — 2х-ф-3у4~ 1,
также есть решение этого уравнения. Потому что, как легко
подсчитать, имеем
и2 и — 2г>2 = (Зх -ф- 4 у -ф-1) (Зх Д- 4у -ф 2) —
— 2(2х-ф-3у-ф- 1)2 = х2-ф-х — 2у2.
Предположим, что (х, у) есть решение уравнения
х24-х —2у2=0 (11)
в натуральных числах, причем х > 1 и, следовательно, как
это вытекает из (11), у> 1.
Покажем, что тогда
3X_4V_|_1>O, Зу —2х—1>0, 2х —4уД-1 <0. (12)
Если бы было 4у ЗхД- 1, то мы имели бы 16у2^9х2Д-
Д-бх-ф1, а так как, в силу (11), 1 бу2 = 8х2-ф-8х, то
было бы 2х^х2-ф-1, что дает (х—-1)2^0 и, следова-
тельно, х = 1, а это противоречит предположению. Итак,
первое из неравенств (12) доказано.
Если бы было Зу^2х-ф 1, то мы имели бы 9у2 4 4х2-|-
-4-4х-ф-1, а так как. в силу (11), 4х2-ф-4х = 8у2. то
было быу2< 1, что исключено, так как у > 1. Итак, доказано
21
и второе из неравенств (12), из которого уже непосредст
пенно вытекает третье.
Таким образом, неравенства (12) верны (при условии,
что (х, у) есть решение уравнения (И) в натуральных числах
и, что х > 1).
Положим теперь
J —Зх —4у-|-1, ц = 3у —2х—1; (13)
на основании (12) заключаем, что £ и ц суть натуральные
числа, причем 5 — х = 2х — 4у-4~1<0 и, следовательно,
£ < х. Принимая во внимание (13), получаем равенство
£2-|-5 —2т)2 = (3х —4y-|-l)(3x —4y-f-2) —
— 2 (Зу — 2х — I)2 = х2 Ч- х — 2у2,
следовательно, учитывая (И), имеем £2-|-£ — 2ц2 — 0, а это
означает, что система (£, ц) есть решение уравнения (И).
Положим далее
g(x, у)—(3х— 4y—f—1, Зу — 2х—1), (14)
т. е. каждой точке плоскости с координатами х, у приведем
в соответствие точку той же плоскости с координатами
Зх — 4у 4~ 1. Зу — 2х — 1.
Итак, если (х, у) есть решение уравнения (11) в нату-
ральных числах х, у, где х> 1, то (с, i]) = g'(x, у) также
есть решение уравнения (11) в натуральных числах ij, tq,
где В < х. Если £>1, то подобным же образом, исходя
из решения (Е, ij), получим новое решение (Вр Ц]) = g(E, ?]) —
= АГ(АГ(х, У) ) = g2 У) в натуральных числах Ер т;р где
£j < В и т. д. Введя обозначение gft+1(x, у) = g(gk(x, у)),
мы получим таким образом последовательность решений
g(x, У). g2(x> У). ёз(х' У)> ••• уравнения (11) во все мень-
ших натуральных числах. А так как последовательность
убывающих натуральных чисел > 1 не может быть беско-
нечной, то при некотором натуральном п получим решение
(и, ‘u) = gn(x, у), в котором и= 1, т. е. дойдем до реше-
ния (и, v) — (1, 1).
Итак, если (х, у) есть произвольное решение уравне-
ния (11) в натуральных числах, где х> 1, то существует
натуральное число п такое, что
£ЛХ. У) = (Ь О-
(15)
22
Примем
f(x. у) = (3*4-4у4-1, 2x4-3y4-l); (16)
легко проверить, что
f(g(x, у)) — (3 (Зх — 4у 4~ 1)4~4 (Зу — 2х — 1)-|-1,
2(3х — 4у-}-1)4-3(Зу — 2х — 1)-|-1) = (х, у),
откуда при помощи индукции легко находим, что
fngAx> У) —(х. У) (»= 1, 2, ...).
Следовательно, на основании (15) получим
(*. У) = /„(1. 1)-
С другой стороны, если примем
и — 3х -ф- 4 у -|- 1, т — 2х 4~ Зу 1 >
то, как мы уже видели, и2-\-и— 2v2 = х2 -ф- х— 2у2, откуда
следует, что если (х, у) — решение уравнения (11) в нату-
ральных числах, то (и, т') = /(х, у) также — решение урав-
нения (11) в натуральных числах (ввиду (16) соответственно
больших, чем х и у).
Учитывая полученные выше результаты, заключаем, что
все решения (11) в натуральных числах х, у и только такие
решения этого уравнения содержатся в бесконечной после-
довательности
(1, 1), /(1, 1), //(1, 1), ///(1. 1), ...
Примем х,=у1=1, (х„, у„) = /П-1(Ь О Для п = 2,
3, тогда (хп+1, у„+1) = /(хя, ул) для п=1, 2, ... и,
согласно (16), имеем формулы
хп+] — Зх„ -|- 4у„ 4- 1,
У„+1 = 2хп 4- Зу„ -|- 1
(«= 1. 2, ...).
(17)
Итак, доказано, что все решения уравнения (11) в нату-
ральных числах содержатся в бесконечной последователь-
ности {хп, уп} для к—1, 2.......где Xj = y!=l и где для
к—1, 2, ... имеют место формулы (17). Эти формулы
позволяют легко вычислять последовательно решения уравне-
ния (11).
Например, для и=1 формулы (17) дают х2 = 3-ф-4-ф-
4-1=8. у2 = 2 4-3 4-1 — 6; откуда далее для и = 2:
л3^3 84-4 • 6 4- 1 =49, у3 = 2 • 84-3 6 4-135,
23
откуда для п = 3: х4 = 3 • 49 4~ 4 • 351 — 288, у4 =
= 2 • 49 3 • 36 4- 1 = 204 и т. д.
.. п(«+1)
Число •---% - ' • где п — натуральное число, называется
п-м треугольным числом и обозначается через tn.
Уравнение (11) можно записать в форме:
Следовательно, оно определяет все квадратные числа у2,
которые одновременно являются треугольными. Указанные
выше формулы позволяют последовательно находить все
такие числа. Исключая хп и хя+] из формул (17) и выте-
кающей из них формулы уп+2 = 2хл+1-|-3yn+14~ 1. получим
формулу
У«+2 = 6Ул+1— Уп («=1. 2, ...),
при ПОМОЩИ которой, зная у, = 1 и у2 — 6, можно вычислять
последовательно числа уп для п — 3, 4, ...
Таким образом, все квадратные числа, являющиеся одно-
временно треугольными, получаем как квадраты чисел после-
довательности {ул} для п=1, 2....... где y1=zl, у2 = 6,
ул42 = 6ул+1—уп для п—1, 2, ... Так что здесь имеем:
у3 = 6 • 6 — 1 — 35, у4 — 6 • 35 — 6 = 204, у- = 6 • 204 —
— 35 = 1189 и т. д. Итак, существует бесконечное мно-
жество квадратных чисел, являющихся одновременно тре-
угольными. Однако же не существует ни одного треуголь-
ного числа > 1, которое было бы биквадратом, т. е. урав-
нение х24_-’с— 2у4 —0 не имеет решений в натуральных
числах > 1. Но это уравнение имеет решения в рациональ-
32 6
ных положительных числах, например х~-^-, у = -у.
В § 15 мы докажем, что таких решений имеется бесконеч-
ное множество.
Исследуем теперь, какие натуральные числа х и у удо-
влетворяют уравнению
х2 4- х — у2 — 0.
Для натуральных х числа х и х4~1. как известно,
взаимно простые (т. е. не имеют общего делителя, большего
единицы; если бы такой делитель оказался, то он был бы
делителем их разности, т. е. числа 1, что невозможно).
Если бы существовали натуральные числа х и у такие, что
х24~х— У2 = 0, то мы имели бы х(х4~1) — У2 11 квадрат-
24
ное число у2 было бы произведением двух взаимно простых
чисел х и х —|—1 • Но, как известно из арифметики, если
квадратное число есть произведение двух натуральных,
взаимно простых чисел, то каждый из этих сомножителей
должен быть квадратом натурального числа. Поэтому, если бы
существовали натуральные числа k и I такие, что х = /г2,
х4-1=/2, то отсюда 1—Р — — — k), что для
натуральных чисел k и I невозможно (так как первый сомно-
житель правой части ^>2).
Итак, предположение, что уравнение x24~*— у2 = 0
имеет решения в натуральных числах х, у приводит к про-
тиворечию. Следовательно, это уравнение не имеет решений
в натуральных числах; другими словами, произведение двух
последовательных натуральных чисел никогда не является
квааратом натурального числа.
Заметим, однако, что уравнение х2-|-х —у2 = 0 имеет
решения в рациональных положительных числах, например
12 13
Х=3’ -v=3 ИЛИ Х ~8’ У=8-
Подобным же образом можно легко доказать, что для
натуральных т > 1 уравнение х2-|-х—у,п — 0 не имеет
решений в натуральных числах х и у.
§ 6. Уравнение х2 4- х Ц- 1 = Зу2
Займемся теперь уравнением х2 Ц- х -|- 1 = Зу2. Оно уже
имеет свою историю. В 1950 г. Р. Облат высказал предпо-
ложение, что, кроме решения х = у=1, оно не имеет иных
решений в натуральных числах х, у, где х есть нечетное
число. В том же году Т. Нагель указал решение х = 313,
у =181. Метод, аналогичный изложенному выше для урав-
нения х2-|-х — 2у2 = 0, позволит нам определить все реше-
ния уравнения
х2 4-х-|-1 = Зу2 (18)
в натуральных числах х, у.
Предположим, что (х, у) есть решение уравнения (18)
в натуральных числах, причем х>1. Можно легко убе-
диться, что уравнение (18) не имеет решений в натуральных
числах х, у, где х = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; поэтому должно
быть х > 10.
Покажем, что
12у< 7x4-3, 7у> 4x 4-2, 4у> 2x4-1. (19)
25
Если бы было 12у^ 7x4*3, мы имели бы 144у24>
^>49x2-f-42x-|-9, а так как, ввиду (18), 144у2=48х24~
-|-48х-|-48, то было бы х2 < 6х 4-39, откуда (х — 3)2<48
и, значит, учитывая, что х^> 10, 72<^48, что невозможно.
Итак, первое из неравенств (19) доказано.
Если бы было 7у4х 4~ 2, мы имели бы 49у2г^16х24*
16x4*4, а так как, ввиду (18), 16х24* 16x4* 16 = 48у2,
то было бы 49у2 <4 48у2—12, что невозможно. Таким обра-
зом, доказано второе из неравенств (19), из которого уже
непосредственно вытекает третье. Итак, неравенства (19)
верны.
Положим теперь
£ = 7х—12у4-3, т] = — 4х + 7у — 2. (20)
На основании (19), найдем, что В > 0, т; > 0 и х — В = ЗХ
X (4у— 2х—1)>0 и, значит, $ < х. Согласно (20), имеем
4+^4*1—Зт2 =
(7х—12у 4*3) (7х — 12у4-4)4- 1 —3(—4х4-7у—2)2 =
= х2 4~ х 4* 1 — Зу2,
откуда, ввиду (18),
£24-£4-1 = Зт]2.
Примем
g(x, у) = (7х — 12у4~3, —4х |-7у — 2).
Итак, можно сказать, что, исходя из любого решения
(х, у) уравнения (18) в натуральных числах, где х> 1, мы
получаем новое решение (?, т])— g(x, у) уравнения (18)
в натуральных числах £, т), где $ < х (и значит, решение
в меньших натуральных числах). Отсюда, действуя как выше,
найдем, что для каждого решения уравнения (18) в нату-
ральных числах х, у, где х>1, существует натуральное
число п такое, что gn(x, у) —(1, 1).
Приняв же
/(х, у) = (7х4- 12у4-3, 4х4-7у4-2), (21)
легко найдем, что f(g(x, у)) = (х, у) и, следовательно,
(-V. У) = /„(1. О-
С другой стороны, легко проверить, что если (х, у) есть
решение уравнения (18) в натуральных числах, то /(х, у)
также есть решение уравнения (18) в натуральных числах
(соответственно больших, чем х и у).
26
Приняв x^y^l, (x„, yn) = /n_, (1, 1) для n = 2,
3, ...» получим последовательность {хп, уп} для n — 1, 2.
содержащую все решения уравнения (18) в натуральных
числах и только такие решения.
Здесь мы имеем (х„+1, yn+i) = /„(l,l) =/(*„. у„),
следовательно, в силу (21), получаем
х„+1 = 7хя-Ь12у„ + 3, y„+I = 4x„-j-7y„4-2 (22)
(я=1, 2, ...)
— формулы, позволяющие последовательно определять все
решения (х, у) уравнения (18) в натуральных числах.
Таким путем легко получаем решения
(1,1), (22,13), (313,181), (4366,2521), (60817,35113), ...
Этих решений имеется, очевидно, бесконечное множество.
Из равенств xl — yj = 1 и (21) при помощи индукции
легко находим, что числа хп с нечетными индексами суть
нечетные, с четными же — четные, а числа ул суть нечетные
для п — 1, 2, ... Для получения всех решений уравнения (18)
в целых числах х, у, как нетрудно доказать, следовало бы
к уже полученным решениям (хп, уп) присоединить (хя, —у„)
и (— х„ — 1, ± ул) для п — 1, 2, ...
Так что здесь мы имеем, например, еще такие решения:
(—2,1) (—23,13), (—314,181).
А. Роткевич заметил, что из всех решений уравнения (18)
в натуральных числах х > 1 и у можно получить все реше-
ния уравнения
(2_|_ 1)3_^з = у2 (23)
в натуральных числах z, у.
В самом деле, допустим, что натуральные числа г, у
удовлетворяют уравнению (23). Положив х — 3z -|- 1, полу-
чим, как легко проверить, натуральные числа х > 1 и у,
удовлетворяющие уравнению (18).
С другой стороны, если натуральные числа х > 1 и у
удовлетворяют уравнению (18), то имеем, как легко прове-
рить, (х— 1)2 = 3(у2— х), откуда следует, что число (нату-
ральное) х—1 делится на 3, следовательно х—1=32,
где z есть натуральное число, причем имеет место равенство
3z2 = y2 — х = у2—3z—1, которое доказывает, что числа
z и у удовлетворяют уравнению (23).
27
Таким образом, исходя из решений
(22,13), (313,181), (4366,2521)
уравнения (18), получаем решения
(7,13), (104,181), (1455,2521)
уравнения (23).
Заметим здесь еще, что если натуральные числа z, у
удовлетворяют уравнению (23), то доказано, что у есть
сумма двух последовательных квадратов, например
13 = 224-32, 181 =924- 102, 2521 =352+362.
Подобным образом, как прежде для уравнения (18), мы
могли бы найти все решения уравнения
х2 + (х -|- I)2 = у2 (24)
в натуральных числах х, у, приняв для х > 3
g(x, у) — (Зх— 2у4~1. Зу — 4х— 2)
и для х 1
f(x, у) = (Зх-{-2у4-1, 4х-|-Зу-|-2),
что приводит к формуле (х, у) = /„ (3, 5) и к выводу, что
все решения уравнения (24) в натуральных числах х, у
содержатся в последовательности {хп, у„} для zz = 1, 2, ...,
где х4 — 3, у4 = 5, а
хп+] = Зхп-}-2у„-|-1, у„+1 = 4х„-|-Зуп-|-2 (п=1,2, ...).
Например, х2 — 3 • 3 4~ 2 • 5 4~ 1 — 20, у2 = 4-3-|-ЗХ
Х5-}-2 = 29; х3=119, у3=169; х4 = 696, у4 = 985;
х5=4059, у5 = 5741.
Геометрический смысл рассмотренного уравнения состоит
в том, что оно дает все пифагоровы треугольники (прямо-
угольные с натуральными сторонами), катеты которых выра-
жаются последовательными натуральными числами. Таких
треугольников имеется бесконечное множество*).
Уравнение же
х2-}-(х-|- I)2 = у3,
как доказано, не имеет решений в натуральных числах х, у,
но 1192-|- 1202= 134, причем можно доказать, что это един-
ственное решение в натуральных числах уравнения
х2 (х 4- 1 У = У4-
*) Подробности относительно уравнения (24) см. в книге
В. Серпинского, „Пифагоровы треугольники", стр. 15, Учпед-
гиз, 1959. (Прим, перев.)
28
§ 7. Уравнение х2— Dy2 = 1
Найдем теперь все решения уравнения
х2 — 2у2 == 1 (25)
в натуральных числах х, у.
Здесь следует для х>3 принять g(x, у) = (3х— 4у,
Зу—2х), а (для натуральных х и у) /(х, у) — (Зх-]-4у,
2х-)-Зу), что приводит к формуле (х, у) = /„(3, 2) и тео-
реме, что все решения уравнения (25) в натуральных числах
х, у содержатся в последовательности {хл, _ул} для в=1,
2, где Xj — 3, У] = 2, а
*:«+i = 3jfn+43'«. Ул+1 = 2х„Н-Зул (п=1,2, ...)
Например, х2=17, у2=12; х3= 99,гу3 = 70; х4 = 577,
у4 —408.
Перейдем теперь к общему уравнению
х2 —£у2=1, (26)
где D есть данное целое число. Если бы было D = 0, то
все решения уравнения (26) в целых числах были бы:
х=±1, у — любое целое. Если бы было D =—1, мы
имели бы четыре решения уравнения (26) в целых числах:
х - ± 1, у = 0 или х = 0, у — _ 1. Если бы было D<— 1,
мы имели бы, как легко сообразить, только два решения:
х=+1, у = 0. Поэтому далее будем предполагать, что D
есть натуральное число.
Если бы D было квадратом натурального числа, D — n2,
то уравнение (26) можно было бы написать в виде
(х — »у) (х 4- пу) = 1.
Таким образом, число x-j-ny было бы делителем еди-
ницы, откуда следует, что числа х и у не могли бы быть
натуральными. Отсюда легко заключаем, что в целых числах
х, у уравнение (26) имело бы в рассматриваемом случае
только два решения х— ±1, у = 0.
Итак, остается исследовать случай, в котором D — нату-
ральное число, не являющееся квадратом натурального числа
или, что то же самое, случай, в котором У D есть иррацио-
нальное число.
Поставим здесь вопрос, имеет ли уравнение (26), кроме
тривиальных решений х=+1, у = 0, еще какие-нибудь
3 Зак. 2488. В. берлинский 29
решения в целых числах X, у или, что то же самое, имеет ли
уравнение (26) решение в натуральных числах. Если бы
существовало такое решение, то, очевидно, существовало бы
также решение в наименьших натуральных числах хь ур
Легко доказать, что в случае, когда уравнение (26) имеет
хотя бы одно решение в натуральных числах х, у, оно имеет
таких решений бесконечное множество. Ибо если натураль-
ные числа х, у удовлетворяют уравнению (26), то числа
и = х2-]-£)у2 и ® = 2ху
также натуральные и, в силу тождества
(х2 4- Dy2)2 — D (2ху)2 = (х2 — Dy2)2
и уравнения (2), также удовлетворяют этому уравнению.
Используя метод, который мы применили ранее в случае
0 = 2, можно доказать, что все решения уравнения (26)
в натуральных числах х, у содержатся в бесконечной после-
довательности {хп, уя) для п—1, 2......... где хр yY есть
решение в наименьших натуральных числах, a xn+1 — XjX„4-
+ + («=1.2, ...).
Для доказательства следовало бы здесь для х > Xj при-
нять g(x, у) = (х,х— Оу]У, —у,х -х(у), а для натураль-
ных х, у принять / (х, у) = (XjX Ц- Dyxy, y^ + Xjy).
Можно доказать, что если У D есть иррациональное число,
то существует решение уравнения (26) в натуральных числах.
Но как можно найти такое решение? Дело это отнюдь не
простое. Казалось бы, что для нахождения решения уравне-
ния (26) в натуральных числах х, у и к тому же в наимень-
ших натуральных числах, достаточно подставлять вместо у
поочередно натуральные числа и испытывать, не будет ли
число £>у2Ц-1 квадратом натурального числа. Если у будет
наименьшим натуральным числом, для которого Оу2Д-1
есть квадрат, скажем, натурального числа х, то (х, у) будет
решением уравнения (26) в наименьших натуральных числах.
Таким путем легко было бы найти, что, для £) = 2, 3, 5,
6, 7, 8, 10, 11, 12 решениями уравнения (26) в наименьших
натуральных числах являются соответственно (3,2), (2,1),
(9,4), (5,2), (8,3), (3,1), (19,6), (10,3), (7,2).
Труднее было бы таким путем найти решение уравнения
(26) в наименьших натуральных числах для £)=13, потому
что таковым является система (649,180), или для £>=29,
где такой системой является (4901,1820). И уж совершенно
30
непригоден был бы этот путь для нахождения решения урав-
нения (20) в наименьших натуральных числах для £) = 991, где
х = 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080,
у = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767.
Каким же путем можно было найти решение, выраженное
столь большими числами?
Укажем прием, который в случае, когда Уо есть ирра-
циональное число, всегда приводит к нахождению решения
уравнения (26) в наименьших натуральных числах *).
Пусть будет наибольшее целое число <У D; имеем
здесь с0^>1, а ввиду определения числа а0 и иррациональ-
ности числа УD, а0 < Уо < я04~ 1. Примем Уо = а0У
4~—; тогда (ввиду иррациональности числа УD) число хх
Х' 1
иррациональное, 0<—<1 и, значит, Xj > 1. Пусть ах
Х' 1
будет наибольшее целое число < х, и примем х1 = о1-|---•,
Поступая как выше, найдем х2> 1. С числом х2 можем по-
ступить так же, как с числом X; и т. д. Таким путем мы
получим последовательность равенств:
VD = a0-\--^-, = + х2 = а2^--~, ....
где aG, ах, а2, ... —натуральные числа, а х1( х2, х3, ... —
иррациональные > 1.
Так вот, можно доказать, что (для каждого натураль-
ного числа D, для которого УD есть иррациональное число)*
существует наименьшее натуральное число s, зависящее
от D, такое, что xs+1 — xv
Если s есть четное число, то числитель х и знаменатель у
несократимой дроби, представляющей значение числа
или числа
со4“~~ 1
“2 Т •
*) Теорию вопроса см. в книге А. О. Гельфонда, .Реше-
ние уравнений в целых числах", Гостехиздат, 1952. [Прим, перво.}
31
дает решение уравнения (26) в наименьших натуральных
числах. Если же s есть нечетное число, то следует взять
числитель и знаменатель несократимой дроби, представляю-
щей значение числа
а i JJ._1_J.L4_ । LLi J_Lj_ _i__LL_*y
°-т- |аЛ 1«2 4«»-i ' “ ''
где, как легко доказать, имеем для /=1, 2, ...
Воспользуемся этим указанием для нахождения решения
уравнения (26) в наименьших натуральных числах для
£>=13.
Наибольшее натуральное число < /^13 есть 3; поэтому
о । 1 1 /13 + 3
примем 1/13 = 3—1---, а отсюда х, — -==— = —.
н ' Xi’ V13 — 3 4
Наибольшее натуральное число < х} есть, как легко про-
верить, 1. Приняв поэтому
. . 1 4 /13 + 1
Х1 = 1+—, откуда х2 = у^_1-=—з-----------.
далее имеем
_ 3 /13 + 2
Xs~ /ТЗ —2 ““' 3
v 3 /13+1
4 /13—1 4
х5 = 3 + /13 = 6 + -1-,
° 1 r xs’
1
--— X, .
ь /13 — 3 1
Ц-—.
X,
1+—.
XS
Таким образом, здесь имеем s = 5, а так как здесь s не-
четное, то, в силу сделанного выше указания, для получе-
ния решения уравнения х2—13у2— 1 в наименьших нату-
ральных числах нужно подсчитать числитель и знаменатель
несократимой дроби для числа
3+
11 . Н+Ч , Ч , 2JJ4 , Ч , Ч . 21
|1 +|1 J1 +|1 +|6+|1 +|1 +|1 +|Г
*) Доказательства этих теорем можно найти, например, в книге
А. 3. Вальфиша. „Уравнение Пелля,“ Тбилиси, Изд. АН Гру-
зинской ССР, 1952. (Прим, перев.).
32
n « н к 649
Легко найдем, что это число равно несократимой дроби
Следовательно, числа х=649 иу = 180 дают решение урав-
нения х2—1 Зу2 = 1 в наименьших натуральных числах.
Для числа 0 = 991 было бы s = 60 и (ввиду четности
числа $) мы должны были бы найти несократимую дробь
для числа
где я0=31, числа же аг, а2.....п59 имеют соответственно
значения: 2, 12, 10, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 3, 1,
8, 4, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4. 1, 20, 6, 4, 31, 4, 6, 20, 1, 4,
1, 3, 2, 1, 2, 1, 4, 8, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 1, 2, 2,
2, 10, 12, 2. Вычисления здесь были бы длинные, но, во вся-
ком случае, выполнимые и таким путем мы дошли бы до
указанного выше решения уравнения х2— 991у2=1 в наи-
меньших натуральных числах,
К уравнениям вида (26) приводятся некоторые другие
уравнения второй степени с двумя неизвестными, например,
уравнение
Зи2 — 2г/2 -- 1.
Приняв х = Зи — 2г/, у = г/ — и, получим х2 — бу2 =
= Зи2— 2г/2 = 1. С другой стороны, если х и у суть целые
числа, удовлетворяющие уравнению х2 — бу2 = 1, то, приняв
и = х 4- 2у, г? - х 4- Зу, получим Зн2 — 2г/2 — х2 — бу2 = 1,
Таким образом, изучение решений в целых числах урав-
нения Зн2 — 2г/2 — 1 приводится к изучению таких решений
уравнения (26) для Z) = 6.
К уравнению же Зи2— 2г/2 =1 сводится изучение урав-
нения
(г/ — 1)24-г/24-(г/4-1)2^=224-(2 4-1)2. (27)
Действительно, если целые числа г/ и z удовлетворяют
уравнению (27), то имеем
6г/2 4-3 = (22+1)2,
откуда следует что число 2г +1 делится на 3, так что
2г +1 — Зи, где и есть целое число и, значит, Зи2 — 2г/2 = 1.
С другой стороны, если целые числа и и г/ удовлетворяют
последнему уравнению, то и, а равным образом Зи, должно
быть нечетным числом и можно положить Зи = 2г + 1, где z
33
есть целое число, откуда (2z-}-l)2 — 9и2—3(2г>2—l)=6v2-]-3
и, значит, числа v и z удовлетворяют уравнению (27).
Итак, мы умеем находить все решения уравнения (27)
в целых числах. Наименьшее решение этого уравнения в на-
туральных числах есть t»=ll, z = 13, что дает равенство
102+ 112-|- 122= 132—142, следующее — есть v=109,
z— 133, что дает равенство 1082-}~10924-1102— 13324-1342.
Легко доказать, что если числа v и z дают решение
уравнения (27), то числа 5u4”4v4-2 и 6«-|-5» Ц-2 также
дают решение.
§ 8. Уравнения второй степени
с более чем двумя неизвестными
Перейдем теперь к уравнениям второй степени с более
чем двумя неизвестными.
Прежде всего здесь представляет интерес уравнение
х24-у2 —г2.
(28)
Натуральные числа х, у, z, удовлетворяющие этому уравне-
нию, составляют так называемый пифагоров треугольник.
Так как пифагоровым треугольникам посвящена специальная
книга *), ограничимся здесь только указанием, что все реше-
ния уравнения (28) в натуральных числах х, у, z получаются
из формул
х = (т2— п2)/, y = 2mnl, z = (m2-[-n2)l,
где т, п, I—натуральные числа, п < т и присоединением
решений с переставленными числами х и у.
Можно найти также все решения уравнения
х24-у2 = 2д2
в натуральных числах. Это уравнение легко приводится
к уравнению вида (28).
В самом деле, если целые числа х и у удовлетворяют
уравнению х24~у2 = 2д2, то числа х и у должны быть
одновременно либо оба четные, либо оба нечетные. Поэтому
числа % + у и х—у оба четные Пусть х-|-у = 2«, х—y = 2v.
В Серп и некий, „Пифагоровы треугольники", Учпедгиз,
34
Тогда
4«2 4- 4-п2 — (х + у)2 4- (х — у)2 = 2 (х2 - у2) = 4г2
и, следовательно, u2-{-v2 ~ z2.
С другой стороны, если и2 ~\~v2—z2, то, приняв x—u-}-v,
у — и — v, получим х2 4-у2 = 2г2.
Уравнение же х2 4- У2 = 3z2 не имеет решений в целых
числах, отличных от нуля; последнее можно очень легко
проверить, исходя из замечания, что квадрат целого числа,
не делящегося на 3, дает при делении на 3 в остатке 1.
Обобщением уравнения (28) является уравнение
ах2 4- У2 = 22,
где а — любое заданное натуральное число. Легко доказать,
что оно имеет бесконечное множество решений в натураль-
ных числах х, у, z таких, что числа х и у взаимно просты.
В самом деле, если а—нечетное число, то примем
где т — любое натуральное нечетное число. Легко проверить,
что ах2 4-У2 = z2. Числа х, у, z здесь натуральные, причем
числа х и у взаимно просты, так как из уравнения ax2-{-y2—z2
вытекает, что их общий делитель является делителем числа z,
следовательно, является также делителем числа z— у=1.
Если же а есть четное число, то приняв
х — 2т, у — ат2 — 1, z — ат2 4- 1,
где т— произвольное натуральное число, получим натураль-
ные числа х, у, z такие, что ах2 -^-у2 — z2, причем числа у
и z нечетные. А так как каждый общий делитель чисел у и z
является делителем числа z — у —2, то, как число нечетное,
он будет делителем числа 1. Отсюда следует, что числа у и z,
а, значит, также и числа х и у взаимно просты.
Уравнение
х24-у2 = £24-1
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах х,
у, г, что вытекает непосредственно из тождества
(п24-п—1)24-(2«4-1)2 = (л24-«+’)24-1
для п=1, 2, ... Например, 524~52 = 724~ 1. П24~72 =
= 1324-1, 1924-92 = 2124- 1.
35
Имеем также тождество
[2п(4п-Ь 1)]24-(16п3 — 1)2 = (16п34-2п)2-|-1,
откуда, например, 102 4-152 = 182 4-1, 3624-1272=13224-1.
Более трудным делом является задача решения систем
двух или более уравнений второй степени в натуральных
числах, например, доказательство теоремы, что система двух
уравнений
х2 4- у2 = z2, х2 — у2 = t2
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t.
Было известно, что система двух уравнений
x(x+l)+y(y4-l) = 2(M-l), х(х-Н)-у(у-Н)=/(Н-1)
имеет решения в натуральных числах х, у, z, t, например,
х = 6, у = 5, 2 = 8, 7 = 3 или х — 44, у = 39, 2 = 59,
7 = 20. Но лишь совсем недавно Ю. Бровкину удалось дока-
зать, что таких решений существует бесконечное множество.
Другими словами, существует бесконечное множество пар
треугольных чисел, сумма и разность которых являются
треугольными числами. Ю. Бровкин дал также способ на-
хождения всех таких пар*). Для у<х<^100 такие пары
х(х4-1) у(у+1) , . с.
чисел — g—' и ту—' получаем только для (х, у) = (6, 5),
(18, 14), (37, 27), (44, 39), (86, 65), (91, 54).
Доказано, что существует бесконечное множество решений
системы трех уравнений
х2 4~ У2 — ^2> х2 4- 22 = и2, у2 4- 22 = чР
в натуральных числах х, у, 2, 7, и, v (например, х = 44,
у = 117, 2 = 240, 7= 125, и = 244, v = 267). Однако не-
известно, существует ли хотя бы одно решение системы
четырех уравнений
х24-у2 = 72, x24-22 = w2,
у2 4- z2 = V2, х2 4- у2 4~zP — w2
в натуральных числах х, у, г, 7, и, v, чг>, иначе говоря,
неизвестно, существует ли прямоугольный параллелепипед,
у которого ребра, диагонали граней и диагональ выража-
лись бы натуральными числами.
*) J. В г о w k i n, Wiadomoscl Matematyczne, т. 2, стр. 253—255,
1959. См. также W. Sierpinski, Teoria liczb, т. 2, стр. 134—135,
Варшава, 1959. (Прим, перев.)
36
Мы не знаем, имеет ли хотя бы одно решение в целых
числах х, у. z, t, и, v, w, 1де t -4= 0, система четырех
уравнений
X2 у2 _ 22_ (х _|_ fp у2 — и2_
^-Hy + O2^®2. (x+Z)L’+(y + C2=-®?.
Эта задача имеет следующую геометрическую трактовку.
На плоскости дан квадрат, сторона которого равна 1.
Найдется ли на плоскости точка, отстоящая от каждой
из вершин заданного квадрата па расстояния, выражаемые
рациональными числами? Последняя проблема была недавно
поставлена Г. Штейнгаузом.
Дадим еще два примера уравнений второй степени с более
чем двумя неизвестными.
Определим все решения уравнения
ху = zt (29)
в натуральных числах х, у, z, t.
Предположим, что натуральные числа х, у, z, t удовле-
творяют уравнению (29). Обозначим через а наибольший
общий делитель чисел х и z. Тогда будем иметь х — ас,
z — ad, где с и d — натуральные взаимно простые числа.
Отсюда acy — adt и, значит, cy = dt. А так как числа с
и d взаимно простые, то из последнего равенства, в силу
так называемой основной теоремы арифметики, вытекает, что
число у должно делиться на d, следовательно, y = bd,
где b— натуральное число. Отсюда cbd — dt и, значит, t = bc.
С другой стороны, если a, b, с, d — натуральные числа
и х = ас, у — bd, z — ad, t — be, то ху = zt.
Итак, мы доказали, что все решения уравнения (29) в на-
туральных числах х, у, z, t содержатся в формулах
х -- ас, y = bd, z — ad, t — be,
где a, b, c, d — произвольные натуральные числа, причем
можно предполагать, что числа с и d являются взаимно
простыми.
Здесь мы имеем четыре так называемых произвольных
параметра: a, b, с, d. Однако все решения уравнения (29)
можно получить при помощи только трех произвольных
параметров, именно, при помощи формул
иг . их
У^'а'
37
где х, г, и — произвольные натуральные числа, a d — наи-
больший общий делитель чисел х и у.
Все решения уравнения
ху - t2
в натуральных числах х, у, t получаем из формул
х = а2с, у — b2c, t — abc,
где а, Ь, с — любые натуральные числа, причем можно пред-
полагать, что числа а и b являются взаимно простыми.
Уравнение
X2 — Dy2 = Z2
имеет для каждого целого числа D бесконечное множество
решений в натуральных числах х, у, z, что вытекает
из тождества
(/№ 4- £>п2)2 — D — (т2 — Dn2)2.
Случается иногда, что легче найти все решения в целых
числах уравнения третьей степени с тремя неизвестными,
чем аналогичного уравнения второй степени. Так, например,
легко найти все решения в целых числах х, у, z уравнения
(х + У 4~ 2)3 = х3 4- у3 + г3.
В самом деле, на основании тождества
(х 4- у 4- z)3 — (х3 4- у3 4- z3) = 3 (х 4- у) (у 4- z) (Z 4- х)
заключаем, что уравнение наше равносильно уравнению
(* 4- У) (У 4- z) (2 4- х) = О,
откуда следует, что все решения нашего уравнения в целых
числах х, у, z мы получим, если из этих трех чисел два
возьмем произвольно, а в качестве третьего возьмем одно
из этих двух уже выбранных с противоположным знаком
(например, х и у произвольные целые числа, z = — х).
Труднее найти все решения в целых числах уравнения
(х 4-у 4-2)2 = х2 4-у2 4- z2,
которое, как легко видеть, равносильно уравнению
ху 4~ уг 4- zx — О-
38
Можно доказать, что все решения нашего уравнения в целых
числах х, у, z заключаются в формулах
х — k (т -ф- п) т, у — k(mп) п, г —— kmn,
где k, т и п — произвольные целые числа.
Легко найти все решения в целых числах х, у, г, t
системы трех уравнений
X-+-y-j-Z=t, X2 + у2 4-22 — ^2, х3 4~ У3 ~Ь я3 = Р.
В самом деле, из этих уравнений легко вытекает, что
ху4-уг4-гх = 0 и (х4-у)(у4-2)(г4-х) = 0.
Итак, по крайней мере одно из чисел хф-у, y4-2> z-}-x
должно равняться нулю. Если, например, х-\-у~ 0, то
из ху 4~Уг 4~zx — 0 получаем ху —0 и, так как у =— х,
находим х — у = 0. Отсюда заключаем, что два из чисел х,
у, z должны быть равны нулю, а третье должно равняться t,
где t— произвольное целое число. Таким образом, наша
система уравнений не имеет в целых числах других решений,
кроме тривиальных.
Интересно отметить, что иногда простые системы урав-
нений имеют решение в целых положительных числах, но
очень больших и трудно находимых. Так, например, система
двух уравнений с пятью неизвестными х, у, z, t, и
xy-{-yz-\-zx — t2, xyz — и3
имеет решения в целых положительных числах, но реше-
ние в наименьших таких числах получаем только для
х=1 633 780 814 400, у = 252 782 198 228,
z = 3 474 741 085 973 *).
§ 9. Система уравнений x2~\-ky2 = z2, X2 — ky2 — t2
Пусть дана система двух уравнений
х2 4~ ky2 — z2, х2 — ky2 — t2
(30)
с неизвестными х, у, z, t, причем k — заданное натуральное
число >1, не делящееся ни на один квадрат натурального
*) Ср. В. Литцман, «Великаны и карлики в мире чисел”,
стр. 52, Физматгиз, 1959.
39
числа > 1. Докажем, что если система (30) имеет решение
в натуральных числах х, у, z, t, то она имеет бесконечное
множество решений в натуральных числах х, у, z, t, где
числа х и у взаимно простые.
Предположим, что натуральные числа х, у, z, t удовле-
творяют уравнению (30). Если бы числа х, у имели наиболь-
ший общий делитель d>l, то, как известно, было бы
x = dx1, y — dy^ где натуральные числа xt и ух взаимно
просты и, в силу (30), мы имели бы
г2 = d2 {х\ 4~ Лу|), t2 — dP (х2 — /гу|),
откуда следует, что числа z2 и t2 делятся на d2, и, следова-
тельно, числа z и t делятся на d, т. е. z = dzx, t — dtx,
где Zj и tr — натуральные числа. Отсюда следовало бы, что
= 4 x^_ky2 = t2,
а это означает, что система уравнений (30) имеет решение
в натуральных числах xt, уь zu где числа xt и у,
взаимно простые.
Предположим, что оба числа хг и yj нечетные. Если бы k
было нечетным числом, дающим при делении на 4 в остатке 1,
то, учитывая, что квадрат нечетного числа при делении
на 4 дает в остатке 1, мы заключили бы, что число х24~^У?
при делении на 4 давало бы в остатке 2 и, следовательно, не
могло бы быть квадратом числа zv Если же k при деле-
нии на 4 давало бы в остатке 3, то, как легко видеть,
число х2-—ky2 при делении на 4 давало бы в остатке 2 и,
значит, не могло бы быть квадратом числа tv
Если бы k было четным числом, то, на основании пред-
положения, мы заключили бы, что число k не может делиться
на 4 = 22, следовательно, число k при делении на 4 дает
в остатке 2 и, в случае нечетности чисел Xj и ур число
xf-|-A:y2 при делении на 4 дает в остатке 3, что невозможно,
так как оно является квадратом числа zx.
Итак, мы доказали, что если система уравнений (30) имеет
решение в натуральных числах х, у, z, t, то она имеет
также решение в натуральных числах х,, у,, zlt где
числа Xj и У; взаимно простые и одно из них четное.
Предположим теперь, что (х, у, z, t) есть решение си-
стемы уравнений (30) в натуральных числах, причем числа х
40
и у взаимно простые и одно из них четное. Примем
X — х4 4- А2у4, Y — 2xyzt,
(31)
Z — х4 2/гх2у2—k2y4, Т— | х4 — 2kx2y2— й2у4|.
Легко проверить тождество
(х4 4- /е2у4)2 ± 4/гх2у2 (х4 — А2у4) — (х4 ± 2/гх2у2 — k2y4)2.
которое, ввиду (30) и (31). сразу дает
X2-\-kY2 = Z2 и X2 — kY2=T2, (32)
а это доказывает, что числа X, Y, Z, Т удовлетворяют си-
стеме уравнений (30).
Из формул (31) следует, что X и Y натуральные числа,
а из формул (31) и (30) следует, что Z = z2t2 4~ 2Ах2у2,
следовательно, Z также есть натуральное число. Чтобы дока-
зать, что и Т—натуральное число, достаточно показать,
что Тт^О. Если бы было T—G, то, на основании -(32),
мы имели бы X2 = kY2, откуда, учитывая, что число k
не делится ни на один квадрат натурального числа >1, мы
получили бы А=1, вопреки предположению, что k > 1.
Итак, X, Y, Z, Т — числа натуральные.
Покажем, что числа X и У' взаимно простые.
Предположим, что числа X и Y имеют общим делителем
простое число р. Покажем, что р не может быть делителем
числа k, а также не есть число 2. Если бы число р было
делителем числа k, то, являясь делителем числа X = х4 №у4,
р должно было бы быть делителем числа х, следовательно,
на основании (30), также делителем числа z и число
ky2 — z2 — х2 делилось бы на р2, а так как число k не имеет
квадратного делителя > 1, то р должно было бы быть
делителем числа у, что невозможно, поскольку числа х и у
взаимно просты.
Итак, число р не является делителем числа А, следова-
тельно, в случае, когда k четное число, оно не может быть
числом 2. Если же k—нечетное число, то заметив, что
из чисел х и у одно четное (а другое нечетное), на основа-
нии равенства X~x4-\-k2y4, заключаем, что число X нечетное.
Если бы р было делителем числа х, то учитывая, что
k2y4 — X—х4 и имея в виду, что р является делителем
числа X, мы заключили бы, что р является делителем
числа k2y4, и, следовательно, не будучи делителем числа /г2.
есть делитель числа у, а последнее невозможно, так как
числа х и у взаимно простые. Таким образом, р не является
41
делителем числа х. Число р также не является делителем
числа у, так как х4 — X — k2y', а р, будучи делителем
числа X, не является делителем числа х. Но р — делитель
числа Y = 2xyzt; так как р=£2 и так как р не является
делителем ни числа х, ни числа у, то р должно быть де-
лителем либо числа z, либо числа t. Поэтому при соответ-
ствующем знаке -ф- или — число р является делителем числа
х2 ± А у2, следовательно, делителем числа (х2 ± А у2)2 — х4 -|-
-ф- /г2у4 ± 2/гх2у2, и, будучи делителем числа X — х4 -f- /г2у4,
должно быть делителем числа 2Ах2у2, что невозможно, так
как р не является делителем ни одного из чисел 2, k, х, у.
Итак, мы доказали, что числа X и Y взаимно просты. Имеем
здесь очевидные неравенства: X > х, Y > у.
Таким образом, доказано, что если числа х и у взаимно
просты и одно из них четное и если натуральные числа х,
у, z, t удовлетворяют уравнению (30), то, определив числа X,
Y, Z, Т из формул (31), получим натуральные числа, удовле-
творяющие уравнениям X2 -ф- kY2 = Z2, X2— kY2=T2, где
числа X и Y взаимно просты, Y четное и X > х, Y > у.
Тем самым доказано, что если система уравнений (30)
разрешима в натуральных числах х, у, z, t, то она имеет
бесконечное множество решений в натуральных числах х, у,
z, t, где х и у взаимно простые числа.
Вот решения системы уравнений (30) для некоторых k~.
k X У Z t
5 41 12 49 31
6 5 2 7 1
7 337 120 463 113
13 106 921 19 380 127 729 80 929
15 17 4 23 7
30 13 2 17 7
Положим теперь для каждого решения уравнения (30)
в натуральных числах х у, z, t. где х 4 у взаимно про-
стые числа, — = У -г; это — - рациональное число, выражаемое
X несократимой дробью — . Разным решениям системы (30)
42
в натуральных числах х, у, г, t, где числа х и у взаимно
просты, соответствуют, очевидно, разные числа г. Со-
гласно (30), имеем /-24~A = ^yj , г- — A —, следова-
тельно, числа г2 k иг2 — k являются квадратами рацио-
нальных чисел. Поэтому, если для данного натурального
числа k уравнение (30) имеет решение в натуральных чис-
лах, то таких рациональных чисел г имеется бесконечное
множество.
Докажем, что для натурального числа k существует ра-
циональное число г такое, что числа г24~А и г2 — k яв-
ляются квадратами рациональных чисел, тогда и только тогда,
когда существует прямоугольный треугольник с рациональ-
ными сторонами и с площадью k.
Действительно, с одной стороны, если r2-J-A = g2,
г2 — k = h2, где г, g, h — рациональные числа, то (g 4- h)2 4*
-)-(§—Л)2 — 2 (g2 h2) — (2г)2, т. е. имеем прямоугольный
треугольник с рациональными сторонами g-\-h, g — h, 2r,
g^ — h2 ,
площадь которого равна ——g— — k-
С другой же стороны, если прямоугольный треугольник с
рациональными сторонами а, Ь, с имеет площадь k, то ab — 2k,
<> . . 9 9 с2 / а 4- Ь \2 с2 , /а — b \2
а2-{-Ь2 = с2, откуда Т4-А=( —I— J , -у —А = ^—g—J
с
и достаточно принять г —
Отсюда, так как уравнение (30) имеет для k = 5 реше-
ние в натуральных числах х — 41, у— 12, z=49, / — 31,
следует, что существует бесконечное множество различных
рациональных чисел г, для которых числа г2 4~5 и г2 — 5
являются квадратами рациональных чисел. Задача нахожде-
ния таких рациональных чисел была поставлена около
1220 г. и тогда же Леонардо Пизанским было найдено ре-
41
шение г — •
Пусть
Xj —41, у1==12, zx — 49, Zj —31
и для п— 1, 2, ...
*п+1 = <+254- *п+1=4 +1044 - 254,
У п+1 = 2*nVA* 4+1 = I Хп — 1044 — 254 |.
(33)
43
Легко проверить, что
*1"|-5У? = 4 X2 —5y2 = f2, |
а, на основании формул (33) и доказанного выше, посред-
ством индукции сразу же получаем: ।
х1, + 5Уп = 2п’ xn — 5y2n = t2n (п=1. 2, ...). 1
Отсюда, приняв гп — — для п=1, 2...........получим
Уп
Таким образом, числа гп(п — 1, 2, ...) рациональные, причем
числа г2-)-5 и г2—5 являются квадратами рациональных
чисел.
41
Для п— 1 найдем указанное ранее число 12 .
Для п— 2 найдем
х2 = 414Н-25 • 124=3344 161,
у2 = 2 • 41 • 12 • 49 • 31 = 1 494 696,
г2 = 414-]-10 • 412 • 122 —25- 124 = 4 728 001,
А> = |414— 10-412- 122 — 25 - 124| = 113 279,
3344161
что дает число г9= для которого
149469b г I
2_1_5 (4728001 V 2 5 / 113279 \2 I
Г2 + ° 1494696 ) ’ г2 ° ~ V 1494696 ) '
Это число нашел в 1931 г. Ю. Д. Хилл*). >
Число х3 имело бы уже двадцать семь цифр.
Можно доказать, что для А=1, 2, 3, 4 не существуют
рациональные положительные числа г, для которых числа
r2~\-k и г2 — k были бы квадратами рациональных чисел.
§ 10. Система уравнений х2 k = г2, х2— k — t2.
Согласные числа
Исследуем также натуральные числа k, для которых си-
стема уравнений
х2 -f- k = z2, х2 — k — t2 (34)
*) Ю. Д. Хилл, Amer. Math. Monthly, 38 299, 1931. (Прим. перев).
44 >
имеет по меньшей мере одно решение в натуральных чис-
лах х, z, t. Такие числа k называются согласными чи-
слами *).
Дело здесь обстоит иначе, чем в случае уравнений (30),
именно, для каждого заданного натурального k уравнения (34)
имеют конечное (^>0) число решений в натуральных числах
х, z, t. Действительно, если данные натуральные числа х, z, t
удовлетворяют уравнениям (34), то имеем
k = z2 — х2 — (z -|- х) (z — х) = х2 — t2 = (x-j-t)(x — t),
откуда видно, что числа z-\-x и х-Ц-f являются делителями
числа k и, следовательно, <1 А; поэтому х < k, z < k
и t < k, а таких систем натуральных чисел х, z, t есть
лишь конечное число.
Предположим, что натуральное число k является соглас-
ным. Тогда существуют натуральные числа х, z, t, для ко-
торых имеют место формулы (34). Следовательно, z > t
и 2х2 = z2 -ф-t2, откуда заключаем, что числа z и t или оба
четные, или оба нечетные. Поэтому числа z-\-t и z-—t оба
четные, так что z-\-t — 2а, z — t = 2b, где а и b — нату-
ральные числа. Отсюда z — a-}-b, t — a — b, следовательно,
учитывая (34),
2х2 = z2 +t2 = {а+Ь)2 + (а — Ь)2 = 2 (а2 -ф- Ь2),
откуда х2 — а2 Ь2, причем, ввиду (34), имеем 2k = z2 — t2 —
= (а b)2 — (а — b)2 = 4ab, т. e. k = 2ab. Итак, если k —
согласное число, то существует решение уравнения a2 -j-b2 = с2
в натуральных числах а, Ь, с таких, что 2ab — k.
Обратно, если натуральные числа а, Ь, с удовлетворяют
уравнению а2 -ф- Ь2 — с2, то, как легко проверить, с2 ± 2аЬ —
— (а ± Ь)2 и значит, 2аЬ есть согласное число.
Итак, каждое решение в натуральных числах а, Ь, с урав-
нения а2-\-Ь2 — с2 определяет согласное число k = 2ab, при-
чем таким путем могут быть получены все согласные числа.
Некоторые же согласные числа могут быть получены из
двух или более различных решений уравнения а2-\-Ь2 = с2,
например, согласное число 840 получаем из .решений 202-|-
-|-212= 292 и 122352 = 372 (здесь имеем 292 + 840 = 412,
292 — 840= I2, а также 372 840 = 472, 372 — 840 = 232),
согласное число 3360 = 4-840 получаем из трех разных
*) Автор эти числа называет „liczby kongruentne*. (Прим,
персе.).
45
решений: 402 -ф- 422 = 582, 242-ф-702 = 742 и 152+ 1122 =
= 1132.
Ясно, что если k есть согласное число, то число kd2,
YB.e. d — 1, 2, 3, ..., также есть согласное число. Однако,
если kd2 является согласным числом, то число k может и не
быть согласным. Так, например, число 6 • 22 согласное, между
тем как 6 не является согласным числом. Теперь мы легко
заключаем, что для того чтобы для числа k система уравне-
ний (30) была разрешима в натуральных числах х, у, z, t,
необходимо и достаточно, чтобы существовало натуральное
число d такое, чтобы число kd2 было согласным.
Исходя из указанной выше связи между согласными чи-
слами и решениями пифагорова уравнения и используя из-
вестные выражения для этих решений, можно легко уста-
новить, что число k является согласным тогда и только
тогда, когда оно имеет вид
k — 4тп (т2 — п2) Р, (35)
где т, п, I — натуральные числа, причем по крайней мере
одно из чисел тип четное.
Для такого числа k, как легко проверить, имеем
[(т2 -ф- л2) I]2 ± k — I(/n2 — п2 ± 2тп) 1\2. (36)
При т — 42, п = З2, /=1 получаем согласное число
k = 4 • 42 • З2 (44 — З4) — 7 (3 • 5 • 8)2 и, в соответствии с фор-
мулой (36), имеем (44ф-34)2 ± 7(3 • 5 • 8)2 = [44 — З4 ±
± 2 • 42 • З2]2, что дает решение системы уравнений (30) для
k ~ 7, указанное прежде:
х = 44-]-34 = 337,
у = 3 • 5 - 8 — 120,
z = 44 — 34-|-2 - 42 - 32 = 1754-288 = 463,
£ = ] 175 — 288| = 113,
§ 11. Некоторые другие уравнения второй степени
или системы уравнений
К системе шести уравнений второй степени с девятью
неизвестными приводит задача нахождения трех натураль-
ных чисел х, у, z, для которых каждое из шести чисел
х ± у, х ± z, у + z является квадратом натурального числа.
46
Эйлер, который занимался этой задачей, определял такие
числа при помощи натуральных чисел t, f, k, g, h, удов-
летворяющих уравнению
,2 = (/4-А4)(^-й4). (37)
Имея такие числа t, f, k, g, h, примем
2x = (/4 -b A4) (g4 + Л4), 2 у = f- + {2fghk)2,
2z = t? — {2fghk?.
Как легко проверить, имеем
x + y = (/2g2 + AW.
х 4- z = {f2g2 — k2h2)2,
у4-2 = /2,
x — у = (/2Л2 — g2A:2)2,
х — z = {ph2 4- g2k2)2,
y — z = (Zfghk)2.
Если бы числа х, у, г, полученные из выражений для
2х, 2у, 2z, не были бы натуральными, то их следовало бы
заменить числами 4х, 4у, 4д.
Таким путем, исходя из равенства
5202 = (З4 — 24) (94 — 74),
Эйлер получил числа
х = 434657, у = 420968, z = 150568,
а на основании равенства
9752 = (З4 — 24) (114 — 24)
получил числа
4х = 2843458, 4у = 2040642, 4д= 1761858.
Другие решения указал А. Жерардин, исходя из следую-
щих равенств:
20402 = (24 — 14) (234 — 74),
35672 = (54 — 44) (214 — 204),
78002 = (94 — 74) (1 14 — 24),
139202 = (74 — З4) (174 — I4),
62 9 852 = (144 — 54)(184— I4),
2308802 = (174 — 94) (294 — 114).
Существует бесконечное множество решений уравнения (37)
в натуральных числах t, f, k, g, h, например, f = 520n4,
f— 2>n, k — ‘2n, g — 9n, h = 7n, где n=l,2,
47
Легко доказать, что для каждого натурального числа
А: 4=1, k 4= 3 уравнение
имеет по крайней мере одно решение в натуральных чис-
лах х, у, z (что равносильно утверждению, что каждое тре-
угольное положительное число, отличное от 1 и 6 равно
сумме трех треугольных положительных чисел).
Для доказательства достаточно различить три случая:
когда число k при делении на 3 дает остатки 0, 1 или 2,
и сослаться на тождества:
3/ (3/4- 1) = 2/(2/ 4- 1) + 2/ (2/ + 2) + (/ —1)/,
(3/ 4-1) (3/ 4- 2) = 2/ (2/ 4-1) 4- (2/ 4-1) (2/ 4- 2) 4-1 (t 4-1).
(3/ 4- 2) (3/ 4- 3) = (2/ 4-1) (2/ 4- 2) 4- (2/ 4- 1) (2/ + 2)4-
+ (/+!)(/4-2).
Значительно труднее доказать, что для каждого целого
числа k 0 существуют целые неотрицательные числа х, у, z
такие, что
* (* + l) + y(v+l)+ ?(.?+ 1) = 2А
(иными словами, что каждое натуральное число *) есть сумма
трех треугольных чисел ^>0).
Легко доказать, что для каждого натурального числа k
уравнение
х2 + у2 — z2 — k
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
лах х, у, z\ это вытекает непосредственно из тождества
2/—1 =(2п)24-(2п2 —/)2 —(2п2—/ + 1)2,
2/ == (2п + I)2 + (2ы2 + 2и — /)2 — (2п2 4~ 2п — t — I)2.
Отсюда видно, что каждое натуральное число есть алгебраи-
ческая сумма трех квадратов.
Но существует бесконечное множество натуральных чи-
сел k, для которых уравнение
х3+у3— z3 = k
*) По существу, каждое целое неотрицательное число. {Прим,
перев.).
48
не имеет ни одного решения в целых числах х, у, z. Осно-
вываясь на замечании, что куб каждого целого числа при
делении на 9 дает в остатке 0, 1 или 8, можно доказать,
что это уравнение не имеет решений в целых числах х, у, г
для каждого целого числа k, которое при делении на 9 дает
в остатке 4 или 5.
Также существует бесконечное множество натуральных
чисел k, для которых уравнение
х4 4~ у4 — z4 — k
не имеет ни одного решения в целых числах х, у, z. Та-
кими, например, являются все числа k, которые при деле-
нии на 5 дают в остатке 3 (что можно доказать, основы-
ваясь на том, что четвертая степень целого числа при де-
лении на 5 дает в остатке 0 или 1).
Можно доказать (хотя это и трудное дело), что для на-
турального числа k уравнение
х2 у2 г2 = А
имеет по крайней мере одно решение в целых числах х, у, z
тогда и только тогда, когда число k не будет вида 4й (8/ Ц- 7),
где h и t — целые числа 0.
Легче доказывается теорема о том, что для каждого на-
турального числа k уравнение
имеет по меньшей мере одно решение в целых числах х, у, z, t.
Согласно теореме А. Гурвица (доказательство которой не-
легкое), единственными натуральными числами k, для кото-
рых уравнение
х2 4- У2 4- z2 = k2
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, являются
числа /г = 2й и & = 2Й5, где h — Q, 1,2, ...
Можно также доказать, что для каждого натурального
числа k > 3 уравнение
x2 + y2-\-z2+t2 = k2
имеет по меньшей мере одно решение в натуральных чис-
лах х, у, z, t. Весьма сложным является необходимое и до-
статочное условие того, чтобы для натурального числа k
уравнение
x2 + y2-{-z2+t2 = k
49
имело по крайней мере одно решение в натуральных чис-
лах X, у, z, t.
Как уже предполагал Декарт и доказал в 1933 г.
Г. Полл, это условие состоит в том, чтобы k не было нн
одним из чисел 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41. 4й • 2, 4й • 6, 4й • 14,
где h — 0, 1, 2, ...
Можно доказать, что единственными натуральными чис-
лами k, для которых уравнение
х2 -4- у2+z2+^2 4- “2 — *
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t, и, яв-
ляются числа 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33.
Займемся теперь решениями системы уравнений
х — у2 4- z2, х + 1 = I2 + и2, х 2 — v2 w2
в натуральных числах х, у, z, t, и, v, чю. Таких решений
существует бесконечное множество. Это вытекает из того,
что числа
(n24-n)24-(n24-n)2, [n(n4-2)]24-(n2 — I)2,
(«24-п4- 1)24-(п24-п— I)2,
где п = 2, 3. ..., являются последовательными натураль-
ными числами.
Существует также бесконечное множество решений си-
стемы уравнений
x2 = y2-}-z2, (x4-l)2=:f24-n2, (x4-2)2 — w24-w2
в натуральных числах х, у, z, t, и, v, w, что непосред-
ственно вытекает из тождеств:
(2665А 4- 39)2 = (1025А 4- 15)2 4- (2460А 4- 36)2,
(2665А 4- 40)2 = (1599/г 4~ 24)2 4- (2132А 4- 32)2,
(2665А 4- 41)2 = (585/г 4- 9)2 4-(2600А 4- 40)2
для k = 0, 1, 2, ...
Можно доказать (хотя доказательство трудное), что си-
стема уравнений
х^=у24-(у4-1)2, х2 = г24-(г4-1)2
имеет в натуральных числах х, у, z только одно решение
х — 5, у — 1, 2 — 3.
50
Также нелегко доказать теорему (известную уже Ферма)
о том, что система уравнений
х = 2у2—1, x2 = 2z2 —1
имеет в натуральных числах х, у, z только два решения
x—y—z— 1 и х~ 7, у —2, z — 5.
§ 12. Об уравнении х2 4-У2 4~1 = хуг
Займемся теперь определением всех решений уравнения
X2 4- у2 4- 1 — хуг (38)
в натуральных числах х, у, z. Докажем прежде всего, что
если натуральные числа х, у, z удовлетворяют этому урав-
нению, то должно быть z = 3.
В самом деле, предположим, что при некотором нату-
ральном z 4 3 уравнение (38) имеет решение в натуральных
числах х, у. Если бы здесь было у — х, то, согласно (38),
мы имели бы 2х24~ 1 — x2z и натуральное число х было бы
делителем числа 1, следовательно, было бы х=1, откуда
также у — 1 и, ввиду (38), z — З, вопреки предположению
относительно числа г. Итак, числа х и у различные, значит
можно предположить, например, что х < у. Среди всех си-
стем натуральных чисел х, у, где х < у, удовлетворяющих
(при определенном натуральном z 4= 3) уравнению (38), су-
ществует, очевидно, такая, в которой у есть наименьшее
число*). Примем теперь
Xj — xz — у, уг = х; (39)
х2 4-1
согласно (38) и неравенству х < у, имеем xz — у =—<
<х4—-<х4-1, откуда на основании (39), заключаем,
что хх есть натуральное число х = yj и что х2 4~ 1 = хху,
a Xj 4~ у — угг. Отсюда имеем
х\ 4- У1 + 1 = х2 4- х2 4- 1 — х2 4- Х1у=х1 (хх 4- у) = Xxyxz,
а это означает, что система натуральных чисел хр yj удов-
летворяет уравнению (38).
Мы видели, что (ввиду z 4= 3) равенство х} = yj невоз-
можно, а так как Xj ур то имеем х} < уг — х < у, от-
*) Далее автор молчаливо предполагает, что (х, у) является
именно такой системой. (Прим, иерее.).
51
куда < у, вопреки предположению относительно си-
стемы х, у.
Итак, предположение, что существуют натуральные
числа х, у, г, удовлетворяющие уравнению (38), где z 4= 3.
приводит к противоречию.
Следовательно, решение уравнения (38) в натуральных
числах х, у, г сводится к решению уравнения
х2 + №+1=Зху (40)
в натуральных числах х, у.
Если бы здесь было х —у. то мы имели бы х=у—1.
Предположим, что х. у — решение уравнения (40) в нату-
ральных числах х, у, причем х ф у, например, х < у
и пусть
Xj — Зх — у.
Как ранее для чисел (39), заключаем, что хг—-натураль-
ное число <^хи что имеем xj-|-x2-|- 1 — 3XjX. Если xt <х,
то подобным образом найдем натуральное число х2 — Зх, — х
такое, что х9^Х] и х|-}-х2-}-1—3x9Xj. Если бы было
х2 < Xj, мы нашли бы натуральное число х3 х2 такое, чго
х3 — Зх2 — Xj и х2 х‘ 4“ 1 = Зх3х2.
Так как последовательность убывающих натуральных чи-
сел не может быть бесконечной, то при некотором нату-
ральном н мы дойдем до натурального числа хп — хп_1 та-
кого, что
х24-х2 4-1—Зхх
откуда вытекает, что хп = xn_t = 1, следовательно, ввиду
Хп~ 3x„_j Хп-2— Зхп_] — Х„ — 2, Хл_3 —Зхл_2
—х„_,—5.......х, — Зх2 — х3, х = 3х,— х2, у —Зх— хР
Итак, мы доказали, что если натуральные числа х и у х
удовлетворяют уравнению (40), то они должны быть двумя
последовательными членами бесконечной последовательности
«р "2. «з...
определенной условиями
"1 — «2=1. «я-и = 3«я —«я-i (« = 2,3, ...), (41)
т. е. последовательности
1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, ...
52
С другой стороны, легко доказать посредством индук-
ции, что каждые два последовательных члена этой последо-
вательности дают решение уравнения (40) в натуральных
числах. В самом деле, если при некотором натуральном п
имеем
и2 4- и2 ,1 4- 1 — Зи и = 0
п ' п 4-1 1 п п + 1
(что верно для п — 1, так как и1=и2=1), то, так как
согласно (41) ип+2 = Зил+1 — ип и ип+2 — Зил+1 = — и„.
найдем
"л+1 + и^2+1—3"п1iun>2 =
= “л+1 +“п . 2 «+2 — Ч. 1) + 1 =
= “п+1 — (3“«+1 - "л) “п + 1 =
з«„«л+1=о.
Таким образом, мы доказали, что всеми решениями в нату-
ральных числах х, у уравнения (40), где х у, являются
системы (ил, ил+1) для л=1, 2............... где числа ип
(п—1,2, ...) определены условиями (41). Следовательно,
таких решений имеется бесконечное множество. Отсюда
также следует, что всеми решениями в натуральных чис-
лах х, у, z уравнения (38), где х у, являются системы
(ил, ил+1, 3), где п = 1, 2, ...
Относительно бесконечной последовательности uv и2,_____
заметим еше следующее. Обозначим через vn n-Vt член по-
следовательности Фибоначчи, т. е. бесконечной последова-
тельности, определенной условиями
^=^=1, vn+1 = vn+-v„^ (п = 2,3, ...).
Отсюда для п — 2, 3, ... имеем
^л+1 = V2n 4- v2n _ 1, «2я = V2n -1 + V2n -2-
V2n-1 ~ ’V2n~2 + V2n-3’
откуда
v2n + l = 3г*2л-1 ~~ V2n-3 (tl = 2, 3, ...). (42)
Имеем u2—l=??i, u3 —2 = ц3. Допустим, что при некото-
ром натуральном п'^-2 имеют место соотношения un = v2n_^
и ип+х— v2ri-i (чт0 верно для п — 2). Согласно (41) и (42)
получаем
Нл+2 — 3ил + 1 Нл — 3г,2л-1 V2n-3 — V2n + V
53
Таким образом, при помощи индукции мы доказали, что
для натуральных п^>2 выполняется равенство
Un = ^2n-3-
Отсюда следует, что числа и2, и3, и4, ... являются членами
последовательности Фибоначчи
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ....
находящимися на нечетных местах.
Легко найти все решения уравнения
х + У + 1 — хУг (43)
в натуральных числах х, у, г, где х у.
Если бы было у — х, то мы имели бы 2х 4~ 1 = х22
и х было бы делителем числа 1, откуда х= 1 и у=1,
2 — 3. В случае же х < у имеем, согласно (43), хуг —
— х 4~ У + 1 < 2у 4- 1, следовательно, хуг 2у, что
дает Х2<^2, откуда х=1 или х = 2. Если х=1, то,
ввиду (43), у 4- 2 = уг и у является делителем числа 2,
а так как уг>х—1, то заключаем, что у^>2, следова-
тельно, у = 2, что дает г—2. Если же х — 2, то, ввиду
(43), у4~3 = 2у2, следовательно, у — делитель числа 3,
а так как у>х = 2, то у —3 и, значит, 2—1.
Таким образом, существуют только три системы нату-
ральных чисел х, у, 2, где х у, удовлетворяющие урав-
нению (43), а именно:
(1, 1, 3), (1, 2, 2), (2, 3, 1).
Основываясь на том, что уравнение (38) не имеет реше-
ний в натуральных числах х, у, г, где г 4= 3, А. Шницель
установил, что уравнение
и2—(д2— 4)т/2 = — 4 (44)
не имеет решений в натуральных числах и, V, г, где г 4= 3.
В самом деле, предположим, что натуральные числа и,
•и, г удовлетворяют уравнению (44). Отсюда следует, что
числа и и zv должны быть одновременно четными или не-
и-4-zv
четными и, значит, х — ——- есть натуральное число.
Положим еще v = y. Тогда имеем и = 2х — гу, откуда,
согласно (44),
(2х — гу)2 — (г2 — 4) у2 = — 4,
или
4х2 — 4хуг 4~ 4у2 = — 4,
54
что дает уравнение (38), которое, как известно, не имеет
решений в натуральных числах х, у, г, где z =# 3.
Отсюда следует, что и уравнение
х2 — (z2 — 4) у2 - —1
не имеет решений в натуральных числах х, у, г, где z =/= 3,
так как, если бы натуральные числа х, у, z удовлетво-
ряли этому уравнению, то, приняв и — Чх, v—Чу, мы по-
лучили бы натуральные числа и, V, г, удовлетворяющие
уравнению (44).
Следовательно, уравнение
х2— Dy2 ——1
не имеет решений в натуральных числах х, у, когда
D = ri2 — 4, где п — натуральное число 3, в частности,
для следующих D: 12, 21, 32, 45, 60, 77, 96. (Но для
7) = 5 решение существует, например, х = 38, у =17.)
Найдем теперь все решения системы двух уравнений
х24-1=уа, у2—[—1 =хг> (45)
в натуральных числах х, у, и, v.
Предположим, что натуральные числа х, у, и, v удов-
летворяют уравнениям (45). Из (45) вытекает, что уи — х2 = 1;
каждый общий делитель чисел х и у является делителем
числа 1, следовательно, числа х и у взаимно простые. Со-
гласно (45), имеем
х2 + У2+1 =х(х-|-т/) = у(у4-«). (46)
Таким образом, число х2 + у2+1 делится на каждое из
взаимно простых чисел х и у, следовательно, также на их
произведение ху. Значит, существует натуральное число z,
для которого имеет место равенство (38). А отсюда, как
известно, следует, что z=3. Поэтому налицо равенство (40),
которое, согласно (46) дает х-}-т/ = Зу, у-|-п = Зх, откуда
•V - Зу—х, а = 3х — у.
Итак, доказано, что если натуральные числа х, у, и, v
удовлетворяют системе уравнений (46), то числа х и у удов-
летворяют уравнению (40) и а —Зх — у, г> = 3у — х. Со-
гласно найденным ранее формулам для решений уравне-
ния (40), заключаем отсюда, что все решения в натураль-
ных числах х, у, и, v системы уравнений (45), где х <1 у,
содержатся в формулах
у = «я+1. « = 3ия — u„+v v = 3un+l — tin.
55
где {ал| для п—1, 2, ... есть бесконечная последователь-
ность. определенная условиями (41).
Отсюда непосредственно следует, что все системы на-
туральных чисел х и у х такие, что х2 1 делится на у,
а у2-|-1 делится на х, определяются формулами х = ип,
у — ип+1, где n~ 1, 2, ... Этот результат другим путем
был установлен В. Г. Миллсом в 1953 г.
§ 13. Уравнения высших степеней
13.1. Перейдем теперь к уравнениям третьей степени.
Здесь уже в случае уравнений с двумя неизвестными мы
наталкиваемся на большие препятствия.
Возьмем, например, одно из простейших таких уравнений
х2 — у3=1. (47)
Уже давно известно, что оно не имеет других решений
в натуральных числах, кроме х = 3, у — 2, однако все до-
казательства этого факта были неэлементарные. Лишь не-
давно А. Вакулич нашел элементарное доказательство, впро-
чем, довольно длинное.
Можно доказать, что теорема о том, что уравнение (47) не
имеет других решений в натуральных числах х, у, кроме
х = 3, у — 2, равносильна теореме, по которой ни одно
треугольное число > 1 не является кубом натурального
числа, а также равносильна теореме о том, что ни одно
из уравнений
а3 — 2и3 = 1, и3 — 2®3 ---= —1
не имеет решений в натуральных числах и и v, где v> 1.
Из теоремы Эйлера о том, что ни одно треугольное
число > 1 не является кубом натурального числа, легко
вытекает, что для n > 1 число l3-f-234- ... -f-w3 не
может быть кубом натурального числа. Действительно,
так как
13 + 23 + + „3 = [-^±1)-J2 = t2n,
то если бы число /2 было
число tn было бы кубом
вестно, что если квадрат
кубом натурального числа, то и
натурального числа (так как из-
натурального числа т является
56
кубом натурального числа, то и число т есть куб нату-
рального числа), а это противоречит теореме Эйлера.
13.2. Нелегко доказать, что уравнение
х24~2 = у3
не имеет иных решений в натуральных числах х, у, кроме
х = 5, у = 3, о чем знал уже П. Ферма (XVII в.). Но
легко доказать, что уравнение х2 4~ 2 = у3 имеет другие
решения в рациональных числах. Так, на основании тож-
дества
(27у°-36.у + 8х«у у3 _ Х2 = у,
из каждого решения нашего уравнения в рациональных
числах х, у мы можем получить другое.
Например, таким путем, исходя из решения х — 5,
383 129
у = 3. мы получаем решение х — • У — 1ро~ •
Трудным является доказательство того, что уравнение
х2—2 = у3 не имеет решений в натуральных числах х, у.
Но можно доказать и притом элементарным путем, что
ни одно из уравнений х2 -f- 3 = у3 и х2 — 1 — у3 не имеет ре-
шений в целых числах х, у. Однако доказательство, если
не основываться на известной из теории чисел теореме, что
число вида х2 —1 не имеет ни одного делителя вида 4/г 3,
не было бы коротким.
Уравнение же x2-f-7 = y3 имеет решения в натуральных
числах, например, х=1, у = 2 или х— 181, у =32.
Доказано также, что уравнение х2 4-44 = у3 имеет
в целых числах только решения х=± 9, у = 5.
Для целых чисел k, где —100 С/г < О, известны все
решения в целых числах х, у уравнения х24-& = У3- Урав-
нение х2 — 9 — у3 имеет в целых числах х, у решения:
(± 1, —2), (± 3, 0), (± 6, 3), (± 15, 6), (± 253, 40).
Л. Ю. Морделл доказал, что для каждого целого числа k
уравнение х24~^ = У3 имеет конечное >0 число решений
в целых числах х, у.
В 1930 г. Т. Нагель доказал, что уравнение х2—17 = у3
имеет решения в целых числах х, у только для ± х = 3,
4. 5, 9, 23, 282, 375, 378 661.
57
13.3. Доказано, что уравнение
х3 4~ У3 = 23 (48)
не имеет решений в натуральных числах х, у, z\ однако
доказательство является трудным и длинным. Значительно
легче доказывается, что уравнение
х44~У4 = 24 (49)
не имеет решений в натуральных числах х, у, г.
Однако существуют решения уравнения
(х2 — 1 )2 4- (у2 — 1 )2 = (г2 — 1 У2
в натуральных числах х, у, г, например,
х=10, у =13, 14;
х = 265, у = 287, 2 = 329.
Неизвестно, имеются ли здесь еще другие решения.
Существуют также решения уравнения
x4'4-y4 = 244-Z4
в различных натуральных числах х, у, z, t, например,
1ЗЗ4 4- 1344 = 594 4- 1584, 1 ОЗ4 4- 5424 = 3594 4- 5144.
Доказано также, что уравнения!
х4 ± у4 = г2 (50)
не имеют решений в натуральных числах х, у, г. Отсюда
непосредственно следует, что уравнение
х44-у4=222 (51)
не имеет в натуральных числах х, у, z других решений,
кроме у = х, 2 = х2, где х — произвольное натуральное
число. Действительно, если бы было у ¥= х, мы имели бы
|х2—у2| > 0 и, согласно (51):
(х2 4- у2)4 — (х2 — у2)4 = (4хуг)2
вопреки тому, что уравнение (50) не имеет решений в нату-
ральных числах х, у, 2.
Легко доказать, что уравнение
х44~у4 = З22,
и даже уравнение х2 4- У2 — З22, не имеет решений в нату-
ральных числах х, у, 2.
58
Уравнение
х4 + у4 = 4z2,
или уравнение х4 4~ У4 — (2д)2, также не имеет решений
в натуральных числах х, у, z, что следует непосредственно
из уравнения (50).
Легко доказать, что уравнение
х4 -|- У4 = 5г2
не имеет решений в натуральных числах х, у, z. Действи-
тельно, нетрудно заметить, что числа х и у здесь можно
предполагать взаимно простыми, следовательно, они не мо-
гут одновременно делиться на 5, четвертая же степень на-
турального числа при делении на 5 дает в остатке 0
или 1.
Можно также доказать, что уравнение х4 — у4 = 5г4
имеет в натуральных числах х, у, z одно единственное ре-
шение х = 3, у—1, 2 = 2.
Уравнения (48) и (49) являются частными случаями урав-
нения
xn-\-yn = za, (52)
о котором уже в XVII в. П. Ферма утверждал, что оно не
имеет решений в натуральных числах х, у, z, когда п —-
натуральное число > 2. Эту так называемую последнюю
или великую теорему Ферма не удавалось на протяжении
нескольких столетий и до сих пор доказать, несмотря на
усилия многих выдающихся математиков. Она доказана
только для некоторых, впрочем, достаточно многочисленных,
показателей п. Согласно полученным в последнее время
Д. Г. и Е. Лемерами и Г. С. Вандивером результатам,
теорема Ферма доказана для всех натуральных показа-
телей п таких, что 2 < п < 4002 и, значит, также для
всех натуральных чисел п, имеющих хотя бы один простой
нечетный делитель, меньший, чем 4002. Она доказана также
и для некоторых других натуральных показателей п.
Несколько десятков лет назад великой теоремой Ферма
заинтересовалась широкая публика и то в связи с учрежден-
ной в 1909 г. в Германии большой денежной премией, ко-
торая должна была быть выплачена тому, кто докажет великую
теорему Ферма или хотя бы на одном примере обнаружит ее
ложность. После первой мировой войны эта премия подверг-
лась девальвации. Так как в условия награждения входило
59
требование, чтобы доказательство было опубликовано, а на-
учные издательства не желали принимать ложных доказа-
тельств, то авторы печатали свои доказательства на соб-
ственный счет. Так во многих странах, а также в Польше,
появилось много печатных неправильных доказательств ве-
ликой теоремы Ферма. Общим свойством этих доказательств
является то, что они ошибочны уже для наименьшего пока-
зателя в теореме Ферма, а именно, для показателя п — 3.
Авторы этих доказательств, преимущественно нематематики,
оперировали только элементарными средствами. Между тем,
известное правильное доказательство уже для показателя 3
является неэлементарным.
Вопрос о том, верна ли великая теорема Ферма или нет,
сам по себе не имеет большого значения для математики.
Однако он сыграл важную роль в математике, потому что
попытки его решения привели к открытию новых методов,
оказавшихся полезными для других проблем. В частности,
он способствовал развитию теории алгебраических чисел и
теории идеалов.
13.4. Эйлер высказал предположение, что уравнение
x44-y4+z4 = /4
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t. В 1945 г.
М. Уорд доказал, что оно не имеет таких решений
для t < 108.
Весьма трудной задачей, как полагает Л. Ю. Морделл,
является вопрос, имеет ли уравнение
х3 у3 z3 = 3
другие решения в целых числах х, у, г, кроме решений
(1, 1, 1) (4, 4, —5), (4, —5, 4), (—5, 4, 4).
Легко доказать, что уравнение
х3 4-у3 4-23= 1
имеет бесконечное множество решений в целых числах х,
у. г; это следует, например, из тождества
(9nV 4- (1 — 9»3)3 4- (Зп — 9«4)3 = 1
для «==1,2, ...
60
Также и уравнение х34~У3 + 23 —2 имеет бесконечное
множество решений в целых числах х, у, z, что вытекает
из тождества
(1 + 6л3)3 + (1 — 6п3)3 + (—6п2)3 = 2.
Недавно были найдены все решения уравнения х34-у34~
4-а3 = Л для целых k, с абсолютной величиной < 100,
в целых числах х, у, z, с абсолютной величиной <3164*).
Мы не знаем, имеет ли уравнение
х3 4~ У3+23 = 30
хотя бы одно решение в целых числах х, у, z.
Нетрудно доказать, что уравнение
х3 у3 + а3 — t2
имеет бесконечное множество решений в различных нату-
ральных числах х, у, a, t. Доказательство вытекает из
тождества
[и {и2 + 2)]3 + (2п3 + 1 )3 + (За2)3 = («6 + 7«3 + 1 )2.
Например, для и = 2 получаем 2034~ 173 —123— 1212 — 114.
Таким образом, здесь имеем также решение уравнения х34"
4-y34~a3 = 'W4 в натуральных числах х, у, a, w.
Имеем также общее тождество
[и (и3 + 2г,3)]3 + [г, (2«3+г,3)]3 + (3«W = («®+7и3г,34- Vе)2,
и
которое получаем из предыдущего заменой и числом —
н умножением затем обеих частей на г,12. Отсюда для и = 5,
г, = 2 получаем 7053—]— 5163—|— 3003= 226892.
Имеет место также тождество Раманужана
(3w2 + 5uv — 5-и2)3 + (4и2 — 4uv Ц-- 6г,2)3 4~
4- (5w2 — 5uv — Зг,2)3 — (би2 — 4«г>+ 4г,2)3.
Таким образом, например, для и=1, г, = 0 имеем З3-]-
4-43Ц-53 = 63.
Имеем также тождество
(75г,5 — и5)5 + (и5 + 25г,5)5 + (и3 — 25г,5)5 +
(10«3г,2)5 4- (50пг,4)5 = (п5 4- 75г,5)5.
*) Ю. Ц. П. Миллер и М. Ф. Ц. В у л л е т т, Journal of
London Math. Soc., 30, стр. 101—ПО, 1955.
€1
Если 0 < 25гг’ < «5 < 75v5, например, и = 2, v — 1, то
все слагаемые здесь >0. Имеем, например, 75—|—435—|—
575 + 805+ 1005 = 1075.
13.5. Опираясь на тождество
[и (и2 — Зчз2)]2 + (За2 — v2)]2 = (и2 и2)3,
легко доказать, что уравнение
х2 + у2 = гз,
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
лах х, у, z, где числа х и у взаимно простые. Чтобы по-
лучить такое решение из указанного тождества, достаточно
за и и v принять натуральные взаимно простые числа, из
которых одно четное, а другое нечетное.
Уже Эйлер знал, что если п — натуральное число > 1,
то все решения уравнения
х2 -| - у2 = zn
в натуральных числах х, у, z, где числа х и у взаимно
простые, можно получить из тождества
[ (г + is)" + (г — is)n J2 । [ + (г + is)n —jr — is)n j2 _
= (r2+s2)n.
где г и s — натуральные взаимно простые числа, из которых
одно четное, a i означает число ]/— 1. Эту формулу, оче-
видно, можно написать не прибегая к числу /, так как
(Г + is)n + (,- iSy =rn_fy rn-2s2 ) rn-4g4 _ ...
(£+Zs)n(r Zs)n^ „ yn_is .
Решения в натуральных числах х, у, z уравнения
х2 — у2 =
можно получать из тождества
[w (и2 -ф- 3v2)]2 — [г’ (Зы2 -ф- v2)]2 — (и2 — г/2)3.
А. Шинцель доказал элементарно, что все решения урав-
нения
х2-ф-2у2—д:3
62
в натуральных числах х, у, z, где х и у взаимно простые
числа, можно получить из тождества
[г (г2 — 6s2) ]2 + 2 Is (Зг2 — 2s2) J2 — (г2 + 2s2)3,
в котором г и 2s взаимно просты.
13.6. Уравнение
Z- + X3 = у4
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
лах х, у, z. Как было доказано ранее, уравнение (11)
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
лах х, у. Если же натуральные числа х и у удовлетворяют
уравнению (11), то, согласно тождеству
|~ х(х — 1) Jхз — х(х+!) у ,
для z — ~ > получаем z2-|-х3 = _у4.
Таким путем, исходя из последовательных треугольных
чисел, являющихся одновременно квадратами, поЛучаем
например, решения
282 + 83 = 64, 1 1762 + 493 — 354, 4132824-2883 = 2044.
Однако здесь имеются и другие решения, например,
272 + 183 = 94, 632 4- 363= 154.
Заметим здесь еще, что уравнение
х2 +.У3 + г4 = t2,
как легко доказать, имеет бесконечное множество решений
в натуральных числах х, у, z, t. Это следует из тождества
(а2 — Час2 — 4c2d4)2 -f- (2пс)3 + (2nd)4 = (с2 + 2йс3 + 4«2(74)2.
13.7. Исследуем также уравнение
х3 + у3 = kz2, (53)
где k данное натуральное число. При k = 1 получаем урав-
нение (48), которое не имеет решений в целых числах, от-
личных от нуля. Для /г = 2 доказано, что уравнение (53)
имеет в целых числах, отличных от нуля, только решение
х = у == г, где z — произвольное целое число, отличное от
пуля. Отсюда непосредственно следует, что для k = Чп2,
63
где п — натуральное число, уравнение (53) имеет в целых
числах, отличных от нуля, только решение х — у — nz, где
z—произвольное целое число, отличное от нуля. Таким
образом, далее мы можем предполагать, что k есть нату-
ральное число, не имеющее вида k = 2/г3, где п — натураль-
ное число.
Для натуральных чисел А, где 2 < k < 10, уравнение (53)
имеет решения в целых числах х, у, г, отличных от нуля,
только для k — 6 (например, х — 17, у — 37, z — 21), k = 7
(например, х ——17, у —73, z = 38) и А —9 (например,
х — 2, у = z — 1).
Если уравнение (53) имеет решение в целых числах, от-
личных от нуля, то таких решений оно, очевидно, имеет
бесконечное множество. Эти решения мы получаем из дан-
ного решения (х, у, z), умножая числа х, у, z на произ-
вольное целое число, отличное от нуля. Можно, однако,
доказать, что если А есть натуральное число, не имеющее
вида 2п3, где п— натуральное число, то из каждого реше-
ния уравнения (53) в целых числах х, у, z, отличных от
нуля, можно получить другие решения в целых числах хг,
ур zp отличных от нуля, причем такие, что числа хр ур
Z] не будут пропорциональны числам х, у, г. Это вытекает
из тождества
[х (х3 Д- 2у3) ]3 Д- [—у (2х3 Д- у3) ]3 — (х34-у3) (х3 — у3)3.
Если мы примем
Xj = х (х3 Д-2у3), У| — —у(2х3-]-у3).
z, — z (х3 — у3), (54)
то, согласно (53) и (54), будем иметь
з.з ,з
*1 + У1 —kzi.
причем числа (54) отличны от нуля. Действительно, если
бы было х, — 0 то, учитывая, что х + 0, мы имели бы
х3-|-2у3 = 0 или х3 = —2у3, что. ввиду у =£ 0, невозможно.
Подобным образом доказываем, что невозможно и равенство
у1 — 0. И, наконец, если бы было zt — 0, то, учитывая,
что z #= 0, мы имели бы х3 — у3 = 0 или х3 = у3 и, значит,
ввиду (53), 2х3 = Az3, что, как легко доказать, дает А — 2п\
где п — натуральное число, а это противоречит предполо-
жению. Наконец, легко видеть, что числа (54) не пропор-
циональны числам х, у, z.
64
Так, например, из решения х = 2, _у=1, 2 = 1 уравне-
ния х3 + у3 — 9г3 получаем новое решение хт — 20, уг ——-17,
2j = 7 этого уравнения.
Легко доказать, что для того чтобы уравнение (53) имело
решение в целых числах х, у, г, отличных от нуля, необ-
, , , ab(a-{-b)
ходимо и достаточно, чтобы число к было вида —?—-,
сл
где а, Ь, с — целые числа, отличные от нуля.
В самом деле, это условие необходимое, так как если
целые числа х, у, г, отличные от нуля, удовлетворяют урав-
нению (53), то приняв а — х3, b — у3, с = xyz, мы получим
целые числа, отличные от нуля, причем, согласно (53), имеем
ab (a-[-b) — kc3.
Из тождества же
(С3 _ /,3 Сй2й Зй/,2)3 (/)3 _ дЗ _|_ Qab1 3^)3 =
— ab (а b) З3 (с2 -\-ab Л2)3
получаем доказательство того, что это условие достаточное.
Еели бы было а3 — й3-|-6а2й-|-За Ь2~ 0, то, обозначив че-
рез d наибольший общий делитель чисел а и Ь, мы имели
бы a = dav b~db}, где at и b,—целые числа, отличные
от нуля, и притом взаимно простые. Тогда мы получили бы
«1 — b\ + G(iib1 ЗахЬ\ = 0, откуда вытекает, что а\ делится
на Ь\ и b\ на ар учитывая же, что числа ах и Ьх взаимно
простые, мы заключили бы, что ах — +1 и b} = ± 1 и,
следовательно, а—±Ь. В случае а =—b мы имели бы
, ab (а 4- Ь) „ ,
k =----—- = 0, вопреки предположению, что k есть на-
туральное число. В случае же а — b имели бы k = 2/>3/с3,
откуда легко следует, что было бы k = 2п3, где п — нату-
ральное число, а тогда существует решение уравнения (53)
в натуральных числах х=_у = и, 2=1. Подобным образом
дело обстоит в случае Ь3— a3-\-Gab~-\-3d2b = 0.
Наконец, невозможно, чтобы а2 ab + Ь2 = 0, так как
4(а2+а(> + (>2) = (2а + й)2+3(>2>3(>2>0. где b #= 0.
Итак, числа
а3 — Ь3 -f- 6a2fc + Zab2
У =
ft3 — fls + 6afc2 + 3a2fr
с
£^3(a2 + ai>4-ft2)
65
отличны от нуля и, согласно нашему тождеству и тому, что
k — . удовлетворяют уравнению (53). Таким обра-
зом, достаточность условия доказана.
13.8. Доказано, что уравнение
Л3 + (х+ 1)3 = у2
имеет в целых числах х, у только два решения: х — О,
у = 1 и х— 1, у —3.
Уравнение
х3 -|- у3 = Z2
имеет бесконечное множество решений в целых числах х,
у, z, ибо I3—23= З2, а если же числа х, у, z удовлетво-
ряют уравнению x3-|-y3 = z2, то имеем также
(xd2)3-|- (yd2)3 = (zd3)2
для целых d.
Однако из данного решения здесь могут быть получены
также и другие при помощи тождества
(х3 4- 4у3)3 — (Зх2у)3 — (х3 Ц- у3) (х3 — 8у3)2.
Если мы примем
Xj = x3-|-4y3, у1 = — Зх2у, z1=(x3—8y3)z,
то будем иметь х) -|-у? — Zj.
Так, например, из решения х=1, у = 2, z — 3 мы по-
лучаем решение 333-|-(—6)3 = (—З3 7)2.
13.9. П. Эрдеш высказал предположение,
дого натурального числа k > 1 существуют
числа х, у, z, удовлетворяющие уравнению
что для каж-
натуральные
Р. Облат заметил, что это предположение было бы дока-
зано, если бы удалось доказать его для всех простых k, и
доказал, что предположение Эрдеша верно для k < 106129,
Л. А. Розати же доказал, что оно верно для 106129 k <
< 141649,
66
13.10. Предположим, что натуральные числа х, у, z
удовлетворяют уравнению
х4 - Ау4 = 22, (55)
где k—данное натуральное число. Имеем, как легко про-
верить, тождество
k (2xyz)4 = [(х4 -|- ky4)2 4- 4/гх4у4 — (х4 — Ay4)2] 24,
а так как, согласно (55),
г4 = х8 4- 2Ах4у4 4- А2у8 — 4Ах4у4 4- (х4 — ky4)2,
то
k (2xyz)4 =
— [z4 4~ 4Ах4у4 — (х4 — Ay4)2] ]z4 + 4Ах4у4 4~(х4 — Ау4)2],
или
A (2хуг)4 = (4 4- 4Ах4у4)2 — (х4 — Ау4)4,
что дает
(х4 — Ау4)4 4- А (2xyz)4 = (4 4- 4Ах4у4)2. (56)
Примем
х, = | х4 — Ау4|, yj = 2хуг, zx = | г4 4- 4Ах4у41. (57)
Если бы было А=+с4, где а — натуральное число, то
уравнение (55) дало бы х4 ± (су)4 — 4, что, как известно,
для натуральных х, у, z невозможно (ср. стр. 58). Следо-
вательно, ни число А, ни число —А не является четвертой
степенью натурального числа. Поэтому, на основании фор-
мул (57), заключаем, что х} и уг—натуральные числа.
Согласно (56), числа (57) удовлетворяют уравнению
Xi4~Ayi=Z], а так как Xj и ух натуральные числа, число
же — А не является четвертой степенью натурального числа,
то число zx не может быть нулем и поэтому есть натураль-
ное число.
Предположим далее, что число А четное. Докажем, сле-
дуя А. Шинцелю, что если уравнение (55) имеет решение
в натуральных числах х, у, z, где х и Ау — взаимно про-
стые числа, то таких решений оно имеет бесконечное мно-
жество.
Итак, положим, что х, у, z — натуральные числа, удо-
влетворяющие уравнению (55) и, что числа х и Ау взаимно
простые. Как известно, числа хр ур 2Р определяемые по
формулам (57), натуральные и удовлетворяют уравнению (55).
67
Если числа хг и /гу, не были бы взаимно простыми,
имели бы общим делителем простое число р, то, вследствии
формул (57), р было бы делителем числа х4— /гу4 и /гу, =
— 2kxyz. Таким образом, р должно было бы быть делите-
лем по крайней мере одного из чисел х, 2ky, z. Если бы
р было делителем числа х, то, будучи делителем числа
х4— /гу4, оно было бы делителем числа /гу4 и, следовательно,
числа /гу, вопреки предположению, что числа х и ky взаимно
простые. Если р было бы делителем числа 2/гу, то, ввиду
четности числа k, оно было бы делителем числа ky и, сле-
довательно, также и числа /гу4. Будучи же делителем числа
х4—/гу4, р было бы делителем числа х4, а, значит, также
и числа х, что противоречит предположению о том, что х
и ky взаимно простые числа. Если, наконец, р было бы де-
лителем числа z, то, ввиду (55), оно было бы делителем
числа х4-|-Ау4. Следовательно, будучи делителем числа
х4 — /гу4, р было бы делителем чисел 2х4 и 2&у4. Учитывая
же, что х, будучи взаимно просто с ky, должно быть не-
четным, заключаем, что число х4—/гу4 также было бы не-
четным и поэтому р было бы делителем чисел х и /гу, во-
преки предположению.
Итак, числа х, и kyx взаимно простые.
Таким образом, из каждого решения уравнения (55) в на-
туральных числах х, у, z, где х и ky взаимно простые, по-
лучаем, согласно формулам (56) и (57), новое решение
в натуральных числах хр ур zJf где числа Х; и ky2 взаимно
просты и где у, > у. Отсюда вытекает, что таких решений
имеется бесконечное множество, что и требовалось доказать.
Примем, в частности, k — 8. Уравнение
х4 Ц- 8у4 = z2
имеет очевидное решение х = у — 1, z = 3, где числа х и
ky = 8у взаимно простые. Следовательно, оно имеет беско-
нечное множество решений в натуральных числах х, у, z,
где числа х и 8у взаимно простые.
Из решения х — у— 1, 2 — 3, на основании формул (57),
получаем новое решение х1 — 1, У| — 6, zx — 113, откуда
далее получаем: х2 = 7967, у2 = 9492, 22 — 262 621 633. Но
имеются и иные решения уравнения х4-|-8у4 = 22, например,
х = 239, у — 13, 2 = 57123 = 2392 —2, из которого ука-
занным выше способом можно также получить бесконечное
множество других.
68
Решения уравнения x44-8y4 = z2 будут использованы
В § 15.
Примем теперь k — —2. Уравнение
х4—2у4 = 22
имеет решение х = 3, у — 2, Z — 7, где числа х и ky ——2у
взаимно простые. Следовательно, оно имеет бесконечное
множество решений в натуральных числах х, у, г, где
числа х и 2у взаимно простые. Из решения х = 3, у = 2,
2 = 7, на основании формул (57), получаем решение Х; = 113,
У] = 84, Zj = 7967 и т. д.
Заметим здесь еще, что если
х4 — 2у4 — ± z2,
то
24 -ф- 8 (ху)4 — (х4 — 2у4)2 4- 8х4у4 = (х4 -ф- 2у4)2.
Таким образом, из каждого решения уравнения х4— 2у4 =
= ±22 мы получаем решение уравнения x4-|-8y4 = z2. На-
пример, из решения х = 3, у = 2, z — 7 уравнения х4 —
^-2у4 = 22 получаем решение (7, 6, 113) уравнения х4 ф-
-ф 8у4 = 22.
С другой стороны, легко доказать, что из каждого ре-
шения уравнения х44~8у4 = 22 мы получаем решение урав-
нения х4 — 2у4 = 22, что вытекает непосредственно из
тождества
(х4 4- 8 у4)2 — 2 (2ху)4 = (х4 — 8у4)2.
Таким образом, если x44-8y4=z2, то, приняв u — z,
V — 2ху, w = |x4 —8у4|, мы имели бы «4 — 2-y4 = w2. На-
пример, из решения х = 7, у = 6, z —113 уравнения
х4Ц-8у4 = 22 мы получаем решение и = 113, v = 84,
но — 7967 уравнения «4 — 2f4 = то'2.
Труднее было бы доказать, что из решения уравнения
x44-8y4 = z2 мы получим решение уравнения 2«4—v4 = w2,
полагая и = | zx 2х2у зр 8у3|, V = | zx зр 4х2у ± 8у3|,
id = | 48zxy3 ± х6 q: 24х4у2 зр 8х2у4 зр 64у« |. Так что, на-
пример, из решения х = 7, у = 6, 2=113 уравнения
x44~By4 = z2 получаем при верхних знаках решение и — 1525,
V— 1343, w — 2 750 257 уравнения 2и4 — u4 = w2.
13.11. Легко дать пример уравнения третьей степени
с двумя неизвестными, имеющего бесконечное множество
69
решений в натуральных числах. Например, таковым яв-
ляется уравнение
х2 — у3 — О,
всеми решениями которого в натуральных числах х, у яв-
ляются x — t3, у = t2, где t — произвольное натуральное
число.
Однако вообще трудно ответить на вопрос, имеет ли
данное уравнение (хотя бы даже третьей степени с двумя
неизвестными) конечное или же бесконечное число решений
в натуральных числах.
Легко доказать, что уравнение
х1 -ф- у4 = 2z3
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
лах х, у, z, другими словами, что существует бесконечное
множество систем натуральных чисел х, у, г, для которых
числа х2, z3, у4 образуют арифметическую прогрессию. Так
как имеем 132 -ф- З4 = 2 • 53, то отсюда следует, что при всяком
натуральном п числа х=13п6, у = Зп3, z —5и4 удовлетво-
ряют нашему уравнению. Имеются также и другие решения,
например х=352, у —8, z = 40 или х = 46 211 481,
у —5681, z— 116681.
А. Шницель заметил, что определяя числа х, у, z из
формул
где а и b — натуральные нечетные числа, мы получаем
натуральные числа, удовлетворяющие уравнению х2-]~у4—2г3,
причем, если а < А то имеем х2 < z3 < у4, если же а > Ь,
то х2 > z3 > у4. Например, для а=1, Ь = 3 получим
х = 54 • З3, у — 52 • З2, z — 53 • З2, для а = 3, b = 1 найдем
х = 3 • 54, у — 52, z - 53.
Решением уравнения x24~y4=2z3 в рациональных чи-
слах мы займемся в § 15.
Доказано, что уравнение 2х4 — 1 — z2 имеет только два
решения в натуральных числах х, z, именно x — z=l и
х= 13, z —239.
Но уравнение
2х4 — у4 = z2
70
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах
х, у, z, где числа х и у взаимно простые. Следующим (по
величине числа х) после решений х—у=2=1 и х— 13,
у=1, г = 239 является здесь решение х= 1525, у = 1343,
2=2 750 257, а следующим после него—решение х= 2165017,
у=2372 159, 2=3 503 833 734 241. Способ нахождения
последовательных решений этого уравнения является весьма
сложным *).
Поиски треугольных чисел, квадраты которых также
являются треугольными числами, приводят к следующему
уравнению:
(х24_х)2 = 2(у2 + у).
Доказано, что это уравнение не имеет в натуральных чис-
лах других решений, кроме х = у=1 и х = 3, у = 8.
13.12. Система двух уравнений с четырьмя неизвест-
ными х, у, и, v
х2-|-у2 = к4, x-\-y = v2
имеет бесконечное множество решений в натуральных чис-
лах х, у, и, v, из которых решением в наименьших нату-
ральных числах является решение, найденное Ферма **).
х = 4 565 486 027 761, у = 1 061 652 293 520,
« = 2 165017, ^ = 2372 159.
13.13. Рассмотрим уравнение
хт — у".
Пусть т и п—данные натуральные числа. Постараемся
найти все решения уравнения хт = уп в натуральных чи-
слах х, у. Пусть d означает наибольший общий делитель
чисел т и «; тогда т = m^d, п = nxd, где т1 и пг — нату-
ральные взаимно простые числа. Уравнение xm = yn или
(xm')d = (yn,)d Для натуральных х и у равносильно уравне-
нию хт’ = уп>, где показатели степени взаимно простые.
Поэтому можно предполагать, что числа т и п являются
взаимно простыми. Но тогда, как было доказано в § 2,
*) Подробное изложение этого способа имеется в книге
В. Серп и некого „Пифагоровы треугольники" § 12, Учпедгиз,
1959. (Прим, перев ) ч
-<*) там же (Прим, перев.)
71
существуют натуральные числа uiiv такие, что ти — nv = 1.
Предположим, что х и у такие натуральные числа,что хт—уп.
Тогда имеем
Г Vй
Пусть у означает несократимую дробь, равную числу
итак, числа г и s взаимно простые и xsn = гп, что возможно
только, когда s=l. Таким образом, число является на-
туральным; положим — k, тогда х — kn, уп - хт — kmn
и, значит, у — km.
Отсюда легко следует, что все решения уравнения хт — уп
(где т и п— взаимно простые числа) в натуральных чи-
слах х, у содержатся в формулах
х — kn, у = km,
где k — произвольное натуральное число.
13.14. Е. Т. Белл занимался (1947) решением уравнения
xyz w = t2
(58)
в натуральных числах х, у, z, -w, t.
Предположим, что натуральные числа х, у, г, t удов-
летворяют уравнению (58). Пусть a2v а^, а2, а2 будут соот-
ветственно наибольшими квадратами, делящими числа х, у,
z, w; положим х — a2xv у — a2yv z = a2zv w — a2iwv
Числа хр ур zp будут натуральными и, как легко видеть,
не будут делиться ни на один квадрат натурального числа > 1,
произведение же их х^а,®, будет квадратом натурального
числа (так как (ala2a3a4yxiylz1'Wt — /2). Простые множители
произведения xlylzlzvl могут, таким образом, быть делителями
либо двух, либо всех четырех из чисел хр ур zp wp
Обозначим соответственно через а5, а6, а7, а6, as, aw, аи
произведения всех тех простых чисел, которые являются
делителями только чисел хр ур хр zp хр ур zp ур wl;
2Р и, наконец, хр ур zp wP Тогда
Xi = fl5«6o7e1P у, = а5«8й9«ц.
иЪаЁа1Оа11' ^7сЭ^10^Ц1
72
следовательно,
х = а\ам;а7ап, у = а\а-аАа ,а
2 = fl3«6fl6C10«lP ®'^«>7C9«10air
откуда
/ = аха2аАа^а-оайа1аьа3аюа\г
Обратно, легко проверить, что, определяя числа х, у, г,
w,t из этих формул при любых натуральных д1( а2, . . .,ан,
мы получаем решение уравнения (58) в натуральных х, у.
z, t, is>. Таким образом, эти формулы, содержащие одинна-
дцать произвольных натуральных параметров, дают все реше-
ния уравнения (58).
Число произвольных параметров может быть здесь умень-
шено на единицу, если принять а^ап = а', и «10ан = а'16.
Тогда формулы для х, у, z. w, t будут содержать десять
произвольных натуральных параметров av а2, а., а'-, аь,
а7, а*, а9, а'ю и будут совпадать с формулами, которые сооб-
щил (без доказательства) Е. Т. Белл.
Ю. Бровкин поставил задачу нахождения всех решений
уравнения
ху = I3
в натуральных числах х, у, t. Можно доказать, что все ре-
шения этого уравнения содержатся в формулах
X — uv~z3, у — U2VW3, t — uvzw,
где и, V, z, w— произвольные натуральные числа.
А. Шницель указал формулы, дающие все решения
уравнения
*1*2 ... xn — tk
в натуральных числах xv х2......хп, t, где п^.2и k—дан-
ные натуральные числа. Эти формулы содержат
/п4-Л—1\ (п + й — l)(n-|-fc — 2) ... п
\ k )— 1-2-3...А
произвольных натуральных параметров.
Например, для п — 2, А = 3 имеем четыре параметра,
как в формулах, найденных ранее для уравнения xy—t3,
а для п = 4, k = 2 десять параметров, как в формулах
Белла. Для п — 5, k = 2 пятнадцать параметров, для п — k — 3
имеем десять параметров.
73
§ 14. Показательные уравнения
К простым показательным уравнениям с двумя неизвест-
ными приводит вопрос о рациональности или иррациональ-
ности логарифмов натуральных чисел, например, при осно-
вании 10. Предположим, что стоит вопрос о логарифме
числа 2 при основании 10. Если бы этот логарифм, который,
как известно, положителен, был бы рациональным числом,
т. е. имел бы вид -у-, где х и у натуральные числа, то, на
основании определения логарифмов, мы имели бы
10 у =2, откуда 10-v = 2y.
Это уравнение, как легко видеть, не имеет решений в нату-
ральных числах. Действительно, левая часть его для каждого
натурального числа х делится на 5, правая же часть, как
степень числа 2 с натуральным показателем, делиться на 5
не может. Отсюда заключаем, что логарифм числа 2 при
основании 10 является числом иррациональным.
Вообще можно было бы доказать, что только числа 10*,
где k—целое число, суть те рациональные положительные
числа, логарифмы которых при основании 10 являются
рациональными.
В связи с известным равенством З2 -j- 42 = 52 поставим
вопрос, каковы решения уравнения
3*-|-4У = 5г
в натуральных числах х, у, г. Можно доказать элементарно,
что единственным решением этого уравнения в натуральных
числах х, у, z является х — у — z = 2. Л. Юшманович до-
казал, что аналогичным свойством обладают уравнения
5V-|-12у — 13z, 7л4~24у = 25*,
9*-|- 40^ = 41^, 1Р-]-60^ = 61*,
и поставил вопрос, до сих пор не решенный, существуют ли
натуральные числа а, 1>, с такие, что а2-\-Ь2=с2 и для к<\-
торых уравнение av-irby = cz имело бы решение в натураль-
ных числах х, у, z, отличное от х = у = z — 2.
Доказано, что уравнение
ах-\-ЬУ^сг,
74
где а, b, с—данные целые числа, отличные от нуля и сте-
пени двойки, имеет всегда конечное (в частности, равное
нулю) число решений в целых числах х, у, z.
А. Шницель доказал, что уравнение
2-v-h 3* = 5*
имеет в натуральных числах к, у, z только два решения:
х = 4, у —z—2 и x=y=z— 1.
А. Вакулич доказал, что уравнение
5-г + 3 = 2>
имеет в натуральных числах х. у только два решения:
х— 1, у = 3 и х = 3, у — 7. Отсюда следует, что дробь
-- \ „ не является конечной десятичной для натуральных п,
п (п + 3)
отличных от 1,2, 5, 125.
Нахождение чисел ЛТерсепна (вида 2"—1), являющихся
одновременно треугольными, приводит к уравнению
2V —7 + у2,
для которого мы знаем пять решений в натуральных числах х, у
(3, 1), (4, 3), (5, 5), (7, И), (15, 181).
Ю. Бровкин и А. Шинцель доказали, что других решений
это уравнение не имеет.
До 1950 г. не было известно, имеет ли уравнение
22*-i — 1 = ху (59)
в натуральных числах х, у другие решения, кроме х—у— 1.
Впервые такое решение нашел Д. Г. Лемер, именно х— 80519
(и соответствующее натуральное у из формулы (59)). С. Ма-
циаг заметил, что другим решением является х = 80519 • 2089,
а Н. Г. Беегер нашел решение х— 107 663 и доказал, что
уравнение (59) имеет бесконечное множество решений в на-
туральных числах х, у. Арифметический смысл этого состоит
в том, что существует бесконечное множество четных чисел п,
для которых число 2" — 2 делится на п.
Можно доказать, что уравнение
хУ = ух
имеет только одно решение в натуральных числах х, у,
где х =£ у, именно х — 2, у = 4 (см. § 15).
75
Уравнение
ххуУ = zz
имеет бесконечное множество решений в натуральных чи-
слах х, у, г, отличных от единицы. В 1940 г. китайский
математик Хао Ко нашел для натуральных п числа
х — 22п + 1 (2п-п-1)+2п (2п 1)2(2”-О,
у = 22"+112Л“я-,)(2л 1)2(2П-1) + 1,
z — 22п + 1 (2я —л —1) +л + 1 (2я 1)2 (2я-1)4-1
удовлетворяют этому уравнению. Например, для п = 2 по-
лучаем числа х = 212 • З6 — 2 985 984, у = 28 • З7 = 559 872,
z = 2й З7 — 4 478 976. Хао Ко доказал, что уравне-
ние хлуУ — zz не имеет решений в натуральных числах х,
у, г, больших единицы, когда числа х и у взаимно простые.
Мы не знаем, существуют ли нечетные числа х > 1, у > 1
и z, для которых ххуУ — гг.
Все еще не решена задача столетней давности, имеет ли
уравнение
хг — у'=1 (60)
решение в целых числах х, у, z, t, больших единицы, от-
личное от х = 3, у —2, z—2, t— Ъ. Предположение, что
таких решений нет, известно под названием теоремы Ката-
лана. Недавно Р. Гампель доказал, что, кроме указанного
решения, других решений в целых числах х, у, z, t, боль-
ших единицы, где х—у— + 1, не существует.
Но легко доказать, что если целые числа х, у, z, t,
большие 1, удовлетворяют уравнению (60) и не составляют
систему: х —3, у — 2, z = 2, t— 3, то числа х и у не
могут быть степенями числа 2 с натуральными показателями.
В самом деле, предположим, что х = 2г. Тогда имеем
2rZ = y; |1. Так как 1, то число у нечетное и поэтому
его степень с четным показателем при делении на 8 дает
в остатке 1. Следовательно, если t — четное число, то
число J7-}- 1 при делении на 8 дает в остатке 2 и стало
быть не может быть числом 2rz, где z > 1, что находится
в противоречии с равенством 2rz — yf 1. Если же t число
нечетное, то
/+ 1 =(У + ОС?'1 -У'-2+ -У+1).
причем второй сомножитель правой части последнего равен-
ства является алгебраической суммой нечетного числа нечет-
76
ных слагаемых и, следовательно, является нечетным числом.
На основании равенства у‘ -}-1 = 2гг второй сомножитель
должен быть равен 1, так что у‘ -ф- 1 — у -ф- 1, откуда i — 1,
что противоречит предположению. Итак, предположение,
что х = 2Г приводит в каждом случае к противоречию.
Предположим теперь, что у —2s. Тогда имеем 2st = хг—1.
Если бы было st —2, мы имели бы хг = 5, что для z> 1
невозможно, если же было бы st — 3, мы имели бы xz — 9,
что, ввиду z > 1, дает х= 3, z — 2, вопреки предположению,
что система х, у, z, t не является системой (3, 2, 2, 3). Итак,
st > 3. Число х, таким образом, нечетное > 1. Если число z чет-
ное, z=2l, то, так как число х нечетное > 1, имеем
х1 = 2k -ф- 1, где k — натуральное число, следовательно,
2^ = х2'— 1 =(2/г-ф- I)2 — 1 =4Л(Л-|-1).
Среди чисел k и &-ф1 одно является нечетным и, как
делитель числа 2st, должно быть равно единице. Равенство
k -1 = 1 исключается, так как k — натуральное число.
Итак, А=1, откуда 2^ = 8, следовательно, si = 3, вопреки
тому, что st > 3. Таким образом, предположение, что у — 2s,
приводит к противоречию.
Итак, мы доказали, что уравнение
2г — у< = 1
не имеет ни одного решения в натуральных числах z, у, i,
больших единицы, уравнение же
xz — 2* = 1
в натуральных числах х, z, i, больших единицы, имеет
только одно решение х = 3, г— 2, i = 3.
§ 15. Решение уравнений в рациональных числах
Нахождение всех решений в рациональных числах урав-
нения любой степени с одним неизвестным с рациональными
коэффициентами не представляет трудности.
В самом деле, предположим, что рациональное число w
удовлетворяет уравнению
аохт + aixm~l ... 4-<zm_Ix4-flm = 0
с целыми коэффициентами а0, ах, ... , ат. Мы можем здесь
предположить, что а0 =£ 0, и сверх того, ат =£ 0, исключив
77
тем самым возможный здесь корень х — 0. Рациональное
число w представим в виде несократимой дроби у с нату-
ральным знаменателем s и с целым числителем г.
Из нашего уравнения получаем
а^т — — (a1rm~1-j-a2rm~2s-[- ... -\-am_.lrsm~2-}-amsm~l')s,
amsm = — («<f m’1 + «Irm-2s + ... + r.
Первое из этих равенств доказывает, что число логт де-
лится на s. А так как числа г и $, а, значит, также
и числа гт и s взаимно простые, то отсюда следует, что
число s является делителем числа а0. Второе же из получен-
ных равенств доказывает, что число amsm делится на г, от-
куда, учитывая, что числа sm и г взаимно простые, заклю-
чаем, что г является делителем числа ат.
Все рациональные корни нашего уравнения мы можем,
таким образом, найти при помощи конечного числа проб,
подставляя вместо х несократимые дроби у, где г есть ка-
кой-либо целый делитель числа ат, a s —какой-либо нату-
ральный делитель числа а0.
Также не представляет трудности нахождение всех реше-
ний в рациональных числах уравнения первой степени с т
неизвестными с целыми коэффициентами.
Если рациональные числа xlt х2, ,хт удовлетворяют
уравнению
«1^1+«2^ + ••• + атХт = Ь<
где alt а2, ... , ат, b — целые числа, то приведя числа
х2.....хт к общему натуральному знаменателю ут+р пред-
ай
ставим их в виде хь — —-—, где уь— целые числа для
Ут+1
А=1, 2, .... т, и получим уравнение первой степени
с т 1 неизвестными
О1У1+О2У2+ +атУт— ^т+1 = °-
которое мы сумеем решить в целых числах ур у2, .... ут+Р
С другой стороны, если ур у2...........ут, ут+1 —
произвольное решение последнего уравнения в целых числах
ур у2, ... , ут+Р где ут+1 — натуральное число, то числа
у
xk — ——, где k = 1, 2, ... , т, дают решение в рациональ-
Ут+\
ных числах уравнения GjXj-j-a2x2-|- ... -\-amxm — b.
78
Что же касается уравнений высших степеней с более чем
одним неизвестным, то иногда нахождение решений в рацио-
нальных числах здесь оказывается делом более легким, чем
нахождение решений в целых числах.
Например, нахождение решений в целых числах, отлич-
ных от нуля, уравнения
х2 — Dy2 = 1,
где D—данное натуральное число, не являющееся квадра-
том натурального числа (а, следовательно, и рационального
числа) иногда бывает затруднительно (например, для D= 991),
однако все решения этого уравнения в рациональных числах,
отличных от нуля, определяются легко.
В самом деле, предположим, что рациональные числа х и у,
отличные от нуля, удовлетворяют нашему уравнению. Тогда
здесь имеем х#=1, так как в случае х — 1 мы имели бы
£)у2 — 0 и, следовательно, вопреки предположению, у = 0.
_ 1 — х
Пусть г = —-— ; это рациональное число, отличное от нуля.
Так как отсюда х — 1 — гу, то на основании нашего урав-
нения получаем (1 —гу)2—Dy2 — 1, откуда —2гу-|-г2у2—
— Dy2 = 0, что ввиду у =/= 0, дает — 2г -|-(г2 — D) у = 0,
а так как г2 — D =/= 0 (потому что D не является квадратом
. 2г
рационального числа), то у = f2__& , откуда
С другой стороны, если для произвольного рациональ-
ного числа г, отличного от нуля, примем
г2 + D 2г
х~ г2 —D’ У ~ г2 —D ’
то получим рациональные числа х и у, отличные от нуля,
удовлетворяющие уравнению х2 — Dy2 = 1. Это следует не-
посредственно из тождества
(г2 4- D)2 — D (2г)2 = (г2 — О)2.
Итак, все решения уравнения х2—Dy2—1 (где D — на-
туральное число, не являющееся квадратом) в рациональных
числах, отличных от нуля, мы получаем из формул
г2 4- D 2г
Х D — r2 ’ г2— D'
79
где г — рациональное число ф 0. Одним из этих решений
является
Докажем, что уравнение
х(х-|-1) = 2у4 (61)
имеет бесконечное множество решений в рациональных поло-
жительных числах х, у.
В § 13 мы доказали, что уравнение
«4-j-8tr4 = /z (62)
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах
и, v, t, где и и v взаимно простые. Примем для такого ре-
шения
замечаем, что х и у— рациональные положительные числа
(так как, ввиду (62), f2 > и4), что у выражено несократимой
дробью и, наконец, что числа х и у, согласно (63) и (62),
удовлетворяют уравнению (61).
Следовательно, так как уравнение (62), как доказано
в § 13, имеет бесконечное множество решений в натураль-
ных числах и, V, t, где числа и и v взаимно простые, то
уравнение (61) имеет бесконечное множество решений в ра-
циональных числах.
Например, из решений в натуральных числах и, v, t
(7, 6, 113), (239, 13, 57123), (7967, 9492, 262621633) ура-
внения (62), найденных в § 13, мы получаем следующие
решения в рациональных числах х, у:
/32 6 \ / 1 13 \ / 99574272 9492 \
\ 72 ’ 7)’ \2392 ’ 239/’ 79672 ’ 7967/
Доказано, что все решения уравнения
2 и4 — 1 = чР
в рациональных числах и, v можно получить при помощи
рекуррентной формулы
_ Ц?(2^+1)2 + (Ц1±у1)2
(2«i + I)2 —2«i(Uj ± Vj)2 ’
80
исходя из решения «1=т»1=1. Таким путем получаем ре-
шения
«=13, ^ = 239; « =
1040
_ 2750257
V~ (1343)2
Легко доказать, что система уравнений
х2 4~ У = А х -|- у2 - -t2
(64)
не имеет решений в натуральных числах х, у, z, t. Дей-
ствительно, если х2—|—у = 22, где х, у, z—натуральные
числа, то z > х, следовательно, z^>x-\-l, откуда д2 х2 4-
-4—2х—j—1, так что y — z2— х22х-|-1 > 2х > х и ана-
логичным образом, найдем, что х > у, т. е. придем к про-
тиворечию.
Однако система уравнений (64) имеет бесконечное мно-
жество решений в рациональных положительных числах.
Действительно, если для натурального п > 8 примем
п2 — 8п
Х—~16 (и+1)'’
(л 4-4)2
16(п4-1) ’
п24-8
У— 8(«4-1) ’
t _ n2-f-2n — 8
8(п4-1)
то х, у, z, t будут рациональными положительными числами,
удовлетворяющими уравнению (64).
Уравнение
х3 4- = х2 4- У2
имеет, как легко видеть, только одно решение в натураль-
ных числах: х = у=1. Так как в случае х>1 имеем
х3 > х2, следовательно, х3 4~У3 > •*24_У2 и подобным же
образом дело обстоит в случае у> 1. Однако в рациональ-
ных положительных числах х, у это уравнение имеет бес-
конечное множество решений, которые легко могут быть
все найдены.
В самом деле, предположим, что рациональные положи-
тельные числа х, у удовлетворяют нашему уравнению. Пусть
j- = w; это число рациональное положительное. На основа-
нии нашего уравнения имеем х3(1 4~®'3) = х2 (1 + w2), от-
куда
1 4- w2 1 4-
х = тЧ—г. следовательно, у = -г—|—5-
1 4- w3 1 4- ™3
С другой стороны, легко проверить, что, определяя при
произвольном рациональном положительном w числа х и у
81
из последних формул, мы получаем решение нашего уравне-
ния в рациональных положительных числах х и у. Легко
также видеть, что различным рациональным числам w соот-
ветствуют различные решения нашего уравнения, так как
различными будут отношения
Для w = 1 получаем решение в натуральных числах
< о 5 10
х = у — 1; для w — 2 — решение х — -д, у — -g-; для
1 10 5
— решение х =-g-, у = —; для w = 3— решение
5 15 2 39 26
х ~ . У = -]4 ; для wz=_ — решение х = , у - .
Можно доказать (хотя это и нелегкое дело), что уравне-
ние х34~У3—Z3 не имеет решений в рациональных числах,
отличных от нуля. Напротив, нетрудным делом является на-
хождение всех решений уравнения
х3 -|- уЗ — 23 4- W3 (65)
в рациональных числах х, у, z, w.
Пусть
х4-у = $, х — у — /, г-\-чи) = а, z — w — v. (66)
Согласно (65), имеем
s ($2 4- З/2) = и (и2 4- Зя2). (67)
Таким образом, если рациональные числа х, у, z, iv
удовлетворяют уравнению (65), то числа s, t, и, v, опреде-
ляемые из формул (66), являются рациональными и удовле-
творяют уравнению (67). Обратно, как легко проверить,
если числа s, t, и, v — рациональные и удовлетворяют урав-
нению (67), то числа х, у, z, w, определяемые из формул (66)
(т. е. числа х=-^($4-/), у= (s — Z), z = -1 (и 4- v),
w = (и — г») 1, являются рациональными и удовлетворяют
уравнению (65).
Следовательно, решение уравнения (65) в рациональных
числах х, у, z, -w равносильно решению уравнения (67)
в рациональных числах s, t, и, v. Займемся теперь решением
уравнения (67) в рациональных числах.
Легко проверить тождество
(о2 4- 3ft2) (с2 4- 3d2) = (ас 4- 3ftd)2 4- 3 (be — ad)2. (68)
82
Предположим, что рациональные числа s, t, и, v удо-
влетворяют уравнению (67). Если бы было « = 0 (или s = 0),
то, согласно (67), мы имели бы $ = 0 (или // = 0), с дру-
гой же стороны, для и — s = 0 и произвольных /иг» урав-
нение (67) удовлетворяется. Таким образом, далее мы можем
полагать, что и =£ 0 и s
Пусть
¥=0.
s
и
-=У, - = Z;
и и
это рациональные числа,
X =/= 0 и, согласно (67), имеем
Х(Л24~ЗУ2) = 1 4-3Z2.
(69)
Но на основании тождества (68):
(X2 Н- ЗУ2) (1 -|- 3Z2) = (Х-Н 3KZ)2 + 3 (У — XZ)2,
откуда, учитывая, что X2 -|~ ЗУ2 X2 > 0, согласно (69),
получаем
<"»
Пусть
x+3_yz (71)
~ Х« + ЗУ2 Х2 + ЗУ2’ 1 '
это рациональные числа и, как легко проверить, имеем
7ИХ4-ЗЛ/У=1, MY — NX=Z. (72)
На основании (70) и (71) получаем
Л=Л42 + 32У2.
(73)
Так как X #= 0, то по крайней мере одно из чисел М и N
отлично от нуля. Если бы было N = 0, то, согласно (72),
мы имели бы МХ= 1 и Л1У — Z, согласно же (73): Х=М2,
следовательно Л13=1, откуда 714=1 и X=l, y = Z.
С другой стороны, легко проверить, что при произвольном Z
числа Х=1, У == Z и Z удовлетворяют уравнению (69).
Итак, далее мы можем допустить, что N ¥= 0- Тогда фор-
мулы (72) и (73) дают
,У=/И24-3№,
1— MX 1— Л1 (Af2 + 3N2)
Y — 3N —' ЗА'
_ MY M-(M* + 3N*?
Z=MY — NX=---------
83
другой стороны, легко проверить, что из этих формул
при произвольных рациональных М =/= 0 и N =# 0 мы полу-
чаем рациональные числа X, Y, Z, удовлетворяющие урав-
нению (69).
Таким путем мы сумеем определить все решения уравне-
ния (69) в рациональных числах X, Y, Z при помощи двух
произвольных параметров, рациональных М и N. Из каждого
же решения в рациональных числах X, Y, Z уравнения (69)
мы получим решение уравнения (67) в рациональных числах
s = uX, t — uY, v — uZ при произвольном рациональном и.
Таким образом мы сумеем определить и все решения в раци-
ональных числах уравнения (65). Отсюда можно также по-
лучить формулы, выражающие все решения уравнения (65)
при помощи трех произвольных параметров, рациональных а,
р, 7, именно, формулы:
х==[1__(а_3р)(а2 + зр2)]7>
У = (—1 Ч-(аЧ-3₽)(а2-|-3₽2)]т,
z = [а Н-3₽ -(а2 Ч-3₽2)2] 7>
w = [— (а — 3₽) + (а2 + 3₽2)2) 7,
предложенные Л. Эйлером и Бине.
Заметим здесь еще, что в 1923 г. В. Ричмонд доказал
элементарным путем, что каждое рациональное положитель-
ное число является суммой трех кубов рациональных поло-
жительных чисел. Однако доказательство того, что число 1
не есть сумма двух кубов рациональных положительных чи-
сел, было бы нелегким делом (так как эта теорема равно-
сильна великой теореме Ферма для показателя 3).
Зато легко доказать, что каждое рациональное число
равно сумме трех кубов рациональных чисел. Подставив
в тождество
(а — b)3 4~(fc — с)3 Ц- с3 = 362 (а — с) —|— [а3 — ЗЬ (а2 — с2)]
значения
а= i2t(t-j-l). Ь = (<4-1)3, c=12t(t — 1),
получим
72/(/-|-1)6 = (а — 6)3 + (£ — с)3-F с3. (74)
Если рациональное число w =/=—72, то для t = -^ имеем
t =А—1 и из формулы (74) следует, что w есть сумма
84
трех кубов рациональных чисел. Если же w — — 72, то
w = —72 = (—4)3 4- (—2)3 4- О3.
Докажем теперь, что все решения уравнения
х2-|-/ = 2г3 (75)
в рациональных положительных числах х, у, z и только
такие решения содержатся в формулах
д Za24-62V 1 /д2 + 62\2
Х=-^НМ’ )' (7б)
1 /д2 + 62У
z~ Ьг\ 2 ) ’
где а и b—произвольные рациональные положительные числа.
В самом деле, допустим, что рациональные положитель-
ные числа х, у, z удовлетворяют уравнению (75). Примем
а = , b = : это рациональные положительные числа.
Отсюда, согласно (75):
д2 + Ь2 у2х2 _ у2 (Л.2 _ у2.2z3 _ у2
2 ~ 2z4 ~ 2z4 — 2z4 ~ г
и, учитывая формулы для а и Ь, легко проверяем, что имеют
место формулы (76). Итак, для каждой системы рациональных
положительных чисел, удовлетворяющих уравнению (75),
существуют рациональные положительные числа а и Ь, при
которых имеют место формулы (76).
С другой стороны, легко проверить, что если а и b —
произвольные рациональные положительные числа, то, опре-
деляя х, у и z из формул (76), мы получим рациональные
положительные числа, удовлетворяющие уравнению (75).
Таким образом, теорема доказана. Эта теорема является
частным случаем следующей общей теоремы:
Уравнение
ахх"' 4- «2х"’ 4- ... 4- akxnkk = 0, (77)
где k — натуральное число ^>2, a alt а2, ... , ak — целые
числа, О] 4= 0, а2 4-«34~ • • • =/= 0, Пр гег- • •> nk —
такие натуральные числа, что пх и п2л3 ... nk взаимно
простые, имеет бесконечное множество решений в целых
числах х2......xk, а в случае, когда ах >0,
4- 4-о4<<0, имеет бесконечное множество решений
в натуральных числах хр х2, .... xk.
Доказательство. Предположим, что условия теоремы
выполнены. Ввиду того, что натуральные числа пх и . пк
являются взаимно простыми, существует, как известно.
85
бесконечное множество систем натуральных чисел г, s таких,
что
— (п2«3 ... пк) s — 1. (78)
Пусть
/= (а2-|~а34~ ••• +ай)а"1-1, (79)
*1 = а1* - nk-xtr, (80)
х. = а™ - (Z = 2, 3....k).
Числа хр х2........хк будут целыми; в случае же когда
ах > 0, а24-а3-|- ... -\-ак < 0, будут натуральными, при-
том, различным системам чисел г, s будут соответствовать
различные системы чисел (80).
Наконец, легко проверить, что числа (80) будут удовле-
творять уравнению (77). Действительно, согласно (80) и учи-
тывая, что ввиду (78) /-«j = s«2«3 ... иЛ-|-1, а также
принимая во внимание (79), имеем:
п, Я1Яг... fU-n,/»- „ „«-«2 ••• пь-п, sn^:. nk
k t = «1«1 K tt =
= -(«2Ч-а3+ ... +«,)«> ktsn2na...nki
а согласно (80):
n, п,пг ••• nk sn,n3 ••• П.
a.Xj = a, a Rt R.
Таким образом, наша теорема доказана.
Начиная с Л. Эйлера многие математики занимались на-
хождением всех решений уравнения
ху = ух
(81)
в рациональных положительных числах х и у. Имеем здесь
очевидное решение, если х— произвольное рациональное
положительное число, а у = х. В других решениях х у,
например, у > х.
Итак, предположим, что рациональные положительные
х, у, где у > х, удовлетворяют уравнению (81). Тогда число
к»
— рациональное > 0.
и
Вместе с этим у
, а так как ху — ух, то х
поэтому ху —
х = ух, что дает
86
хп^ = у=(1 4-^) X, откуда
тельно,
следова-
(82)
Пусть ~~ и ------несократимые дроби, равные соответ-
п
»т /оп\ (т п\т Г
ственно числам w и х. На основании (82), имеем I——I — —»
(т п)п гт ,,
откуда -—!—— — — . Числа т и п взаимно простые, сле-
пп sm
довательно, и числа т 4- п и п, а также (т «)" и пп вза-
имно простые. Равным образом, числа г и $. а значит, также
и числа гт и sm являются взаимно простыми. Таким образом,
обе части последнего равенства представляют собой несокра-
тимые дроби, следовательно, (т-\-п)п = гт и nn = sm. На
основании этих равенств заключаем (см. § 13.13), что суще-
ствуют натуральные числа k и I такие, что т -|- п = km,
г = kn и n = lm, s — l". Следовательно, tn-\-lm = km, откуда
k I + 1. Если бы было т > 1, мы имели бы km (I -j- 1)т
1тт1т~х1 > следовательно, km>lm-\-rn,
что невозможно. Итак, т—1, откуда w = — = п.
Таким образом, формулы (82) дают
х=(>+±)". Н'+Т' <83>
где п — натуральное число.
Обратно, легко проверить, что определенные таким об-
разом числа х и у удовлетворяют уравнению (81). Следова-
тельно, все решения уравнения (81) в рациональных числах
х, у, где у > х > 0, содержатся в формулах (83), где п —
произвольное натуральное число.
Из этих формул непосредственно вытекает, что только
для п—\ мы получаем решение в натуральных числах,
именно х==2, у = 4. Итак, уравнение (81) имеет лишь одно
решение в натуральных числах х, у, где у > х. Но в ра-
циональных числах х и у, где у > х > 0, уравнение (81)
имеет бесконечное множество решений, именно
(2.4). (54). (£,
44 \
34’
/5^ 5=\
\44 • 4S ) • • • •
87
Так, например,
27 9
(4Г= №
Заметим еще, что уравнение (81) имеет лишь одно решение
в целых отрицательных числах, где у > х, именно, х — — 4,
у = —2.
В заключение сформулируем, по всей вероятности, труд-
ную задачу, поставленную В. Мнихом: существуют ли три
рациональных числа, сумма и произведение которых равны
единице? *)
Подробные доказательства теорем, приведенных в этой
книге, а также библиографические указания к ним читатель
найдет в книге автора „Teorla liczbu, т. 2, Варшава, 1959.
*) Отрицательный ответ на этот вопрос дал в 1960 г. Дж. В.
С. Касселе. См. Acta Arithmetica, 6, стр. 41—52, 1960. Легко доказать,
что не существует двух рациональных чисел, сумма и произведе-
ние которых равны единице Однако, как доказал А. Шинцель, для
всякого натурального числа k > 3 существует бесконечное множе-
ство систем из k рациональных чисел, сумма и произведение кото-
рых равны единице. {Прим, перев.)