Индивидуальные задания по высшей математике. Часть 4. Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика - Рябушко А.П.

Автор: Рябушко А.П.
Теги: анализ учебные пособия и учебники по математике математика теория вероятностей операционное исчисление задачи по математике высшая математика математическая статистика
ISBN: 978-985-06-1312-7
Год: 2007
Похожие
Индивидуальные задания по высшей математике: Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика
Сборник индивидуальных заданий по ВМ. Часть 4
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2
Текст
                    А.П. РЯБУШКО
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ
ЗАДАНИЯ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
В четырех частях
Часть 4
Операционное исчисление.
Элементы теории устойчивости.
Теория вероятностей.
Математическая статистика
Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов
технических специальностей учреждений,
обеспечивающих получение
высшего образования
2-е издание, исправленное
Минск
«Вышэйшая школа»
2007
УДК 517(076.1X075.8}
ББК22.1Я73
Р98
Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Белорусского нацио-
нального технического университета; доктор физико-математических наук,
профессор кафедры математического моделирования и анализа данных Бело-
русского государственного университета Е.Е. Жук
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой
ее части не может быть осуществлено 6tразрешения издательства.
Рябушко, А. П.
Р98 Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч.
Ч. 4. Операционное исчисление. Элементы теории устойчиво-
сти. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб,
пособие / А. П. Рябушко. — 2-е изд., испр. — Минск : Выш. шк.,
2007.-336с.: ил.
ISBN 978-985-06-1312-7.
Это четвертая, заключительная, книга комплекса учебных посо-
бий по курсу высшей математики, направленных на развитие и акти-
визацию самостоятельной работы студентов технических вузов. Со-
держатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных и
индивидуальных заданий.
Предыдущее издание вышло в 2006 г.
Для студентов технических специальностей вузов. Будет полезно
студентам экономических специальностей, а также преподавателям
вузов, колледжей и техникумов.
УДК 517(076.1)(075.8)
ББК22.1я73
Учебное издание
Рябушко Антон Петрович
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В четырех частях
Часть 4
Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости.
Теория вероятностей. Математическая статистика
Учебное пособие
Редактор М.С. Молчанова. Художественный редактор В.А. Ярошевич. Техни-
ческий редактор Н.А. Лебедевич. Корректор В.И. Аверкина. Набор и компью-
терная верстка Ю.Л. Шибаевой.
Подписано в печать 29.08.2007. Формат 84х 108/32. Бумага типографская № 2. Гарнитура
«Ньютон». Усл. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 17,02. Тираж 3000 экз. Заказ 2209.
Республиканское унитарное предприятие «Издательство “Вышэйшая школа”».
ЛИ № 02330/0131768 от 06.03.2006. 220048, Минск, проспект Победителей, 11.
www.vshph.com
Республиканское унитарное предприятие «Издательство “Белорусский Дом печати”».
220013. Минск, проспект Независимости, 79.
ISBN 978-985-06-1312-7 (ч. 4)	© Рябушко А.П., 2006
ISBN 978-985-06-1337-0	Рябушко А.П., 2007, с изменениями
© Издательство «Вышэйшая школа», 2007
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга завершает комп-
лекс учебных пособий под общим названием «Индивидуаль-
ные задания по высшей математике». Он написан в соответ-
ствии с действующими программами курса высшей математи-
ки в объеме 380—450 часов для инженерно-технических спе-
циальностей вузов. Комплекс может быть использован также
в вузах других профилей, в которых количество часов, отве-
денное на изучение высшей математики, значительно мень-
ше. (В последнем случае из предлагаемого материала рекомен-
дуется сделать необходимую выборку.) Кроме того, он вполне
доступен для студентов вечерних и заочных отделений вузов.
Данный комплекс пособий адресован преподавателям и
студентам и предназначен для проведения практических ауди-
торных занятий, самостоятельных (мини-контрольных) работ
и выдачи индивидуальных домашних заданий по всем разде-
лам курса высшей математики.
С целью минимизации затрат времени при изучении пред-
мета перед аудиторными и индивидуальными домашними за-
даниями приводятся необходимые определения, формулы,
примеры с решениями, а после каждого индивидуального за-
дания — решение типового варианта. К большинству предла-
гаемых задач даны ответы.
В четвертой книге комплекса содержится материал по
операционному исчислению, элементам теории устойчивос-
ти, теории вероятностей, математической статистике. Ее
структура аналогична структуре первых трех книг, а нумера-
ция глав, параграфов и рисунков продолжает соответствую-
щую нумерацию. В приложениях приведены таблицы ориги-
налов и их изображений, значений функций распределения,
используемых в теории вероятностей и математической ста-
тистике, а также двухчасовая контрольная работа для блоч-
ных экзаменов.
Главы 18 и 19 данного пособия содержат исправленный и
дополненный материал учебного пособия «Сборник индиви-
дуальных заданий по теории вероятностей и математиче-
ской статистике» авторов А.П. Рябушко, В.В. Бархатова,
3
В.В. Державен,, И.Е. Юрутя под общей редакцией профессора
А.П. Рябушко, выпущенного издательством «Вышэйшая шко-
ла» в 1992 г.
Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам —
коллективу кафедры высшей математики № 1 Белорусского
национального технического университета, возглавляемому
доктором технических наук, профессором Н.А. Микуликом, и
доктору физико-математических наук, профессору кафедры
математического моделирования и анализа данных Белорус-
ского государственного университета Е.Е. Жуку - за ценные
замечания и советы, способствовавшие улучшению книги.
Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу:
220048, Минск, проспект Победителей, 11, издательство «Вы-
шэйшая школа».
Автор
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Охарактеризуем структуру пособия, методику его исполь-
зования, организацию проверки и оценки знаний, навыков и
умений студентов.
Весь практический материал по курсу высшей математики
разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые
теоретические сведения (основные определения, формули-
ровки теорем, формулы), используемые при решении задач и
выполнении упражнений. Изложение этих сведений иллюст-
рируется решенными примерами. (Начало решения примеров
обозначается символом ►, а конец — <.) Затем даются подбор-
ки задач с ответами для всех практических аудиторных заня-
тий (АЗ) и для самостоятельных (мини-контрольных) работ на
10-15 минут во время этих занятий. И, наконец, приводятся
недельные индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое
из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решени-
ем типового варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами.
В конце каждой главы приводятся дополнительные задачи по-
вышенной трудности и прикладного характера.
Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел: первое из
них указывает на главу, а второе - на порядковый номер АЗ в
этой главе. Например, шифр АЗ-16.1 означает, что АЗ отно-
сится к шестнадцатой главе и является первым по счету. В дан-
ной книге комплекса содержится 23 АЗ и 9 ИДЗ.
Для ИДЗ также принята нумерация по главам. Например,
шифр ИДЗ-16.2 означает, что ИДЗ относится к шестнадцатой
главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следу-
ющая нумерация: первое число означает номер задачи в дан-
ном задании, а второе - номер варианта. Таким образом,
шифр ИДЗ-16.2: 16 означает, что студент должен выполнять
16-йвариант из ИДЗ-16.2, который содержит задачи 1.16, 2.16,
3.16 и т.д.
При выдаче ИДЗ студентам номера выполняемых вариан-
тов можно менять от задания к заданию по какой-либо систе-
ме или случайным образом. Более того, можно при выдаче
ИДЗ любому студенту составить его вариант, комбинируя од-
нотипные задачи из разных вариантов. Например, шифр
5
ИДЗ-16.1: 1.2; 2.4; 3.6; 4.1; 5.15 означает, что студенту следует
решать в ИДЗ-16.1 первую задачу из варианта 2, вторую -- Из
варианта 4, третью - из варианта 6, четвертую - из варианта 1
и пятую - из варианта 15. Такой комбинированный метод вы-
дачи ИДЗ позволяет из 30 вариантов получить большое коли-
чество новых вариантов.
Внедрение ИДЗ в учебный процесс показало, что целесо-
образнее выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых, как
правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее
основной материал двух АЗ этой недели.
Дадим некоторые общие рекомендации по организации
работы студентов в соответствии с настоящим пособием.
1. В вузе студенческие группы по 25 человек, проводятся два
АЗ в неделю, планируются еженедельные не обязательные для
посещения студентами консультации, выдаются недельные
ИДЗ. При этих условиях для систематического контроля с вы-
ставлением оценок, указанием ошибок и путей их исправле-
ния могут быть использованы выдаваемые каждому препода-
вателю матрицы ответов и банк листов решений, которые ка-
федра заготавливает для ИДЗ (студентам они не выдаются).
Если матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то
листы решений разрабатываются только для тех задач и вари-
антов, где важно проверить правильность выбора метода, по-
следовательности действий, навыков и умений при вычислени-
ях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны листы реше-
ний. Листы решений (один вариант располагается на одном
листе) используются при самоконтроле правильности 'выпол-
нения заданий студентами, при взаимном студенческом кон-
троле, а чаще всего при комбинированном контроле: препода-
ватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студент
по листу решений - свои вычисления. Это позволяет прове-
рить ИДЗ 25 студентов за 15-20 минут с выставлением оценок
в журнал.
2. В вузе студенческие группы по 15 человек, проводятся два
АЗ в неделю, в расписание для каждой группы включены обя-
зательные два часа в неделю самоподготовки под контролем
преподавателя. При этих условиях организация индивидуаль-
ной, самостоятельной, творческой работы студентов, опера-
тивного контроля за качеством этой работы значительно улуч-
шается. Рекомендованные выше методы пригодны и в данном
случае, однако появляются новые возможности. На АЗ быст-
рее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время обязательной
6
самоподготовки можно проконтролировать проработку тео-
рии и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов, при-
нять задолженности по ИДЗ у отстающих.
Накопление большого количества оценок за ИДЗ, само-
стоятельные и контрольные работы в аудитории позволяет
контролировать учебный процесс, управлять им, оценивать
качество усвоения изучаемого материала.
Все это дает возможность отказаться от традиционного
итогового семестрового (годового) экзамена по материалу се-
местра (учебного года) и ввести так называемую рейтинг-
блок-модульную систему (РБМС) оценки знаний и навыков
студентов, состоящую в следующем. Материал семестра (учеб-
ного года) разбивается на блоки (модули), по каждому из бло-
ков (модулей) выполняются АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла -
двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная работа, в
которую входят 2—3 теоретических вопроса и 5—6 задач. Учет
оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной позволяет
вывести объективную общую оценку за каждый блок (модуль)
и итоговую оценку по всем блокам (модулям) семестра (учеб-
ного года). Положение о РБМС см. в ч. 1 данного комплекса
учебных пособий (прил. 5).
В заключение отметим, что усвоение содержащегося в по-
собии материала гарантирует хорошие знания студентов по
соответствующим разделам курса высшей математики. Для
отлично успевающих студентов необходима подготовка зада-
ний повышенной сложности (индивидуальный подход в обу-
чении!) с перспективными поощрительными мерами. Напри-
мер, можно разработать для таких студентов специальные за-
дания на весь семестр, включающие задачи настоящего посо-
бия и дополнительные более сложные задачи и теоретические
упражнения (для этой цели, в частности, предназначены до-
полнительные задачи в конце некоторых глав). Преподаватель
может выдать эти задания в начале семестра, установить гра-
фик их выполнения под своим контролем, разрешить свобод-
ное посещение лекционных или практических занятий по
высшей математике и в случае успешной работы выставить
отличную оценку до экзаменационной сессии.
16. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
16.1. ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО ЛАПЛАСУ
Начальной функцией или оригиналом называют функцию/(г) действитель-
ной переменной Г, удовлетворяющую следующим условиям:
1)/(0 ~ 0 при К 0;
2) если М> 0 и 5 - некоторые вещественные числа, то
|/(0l Me3’ при t> 0;	(16.1)
3)/(0 - кусочно-непрерЫвная и интегрируемая на любом конечном от-
резке изменения t.
Точная нижняя грань s(l всех чисел s, для которых выполняется неравен-
ство (16.1), называется показателем роста функции fit).
Если существует несобственный интеграл
+ со
F(p) = $f(t)e~p'dt,	(16.2)
о
где р — а + bi, Re р — а > 0, Imp = b, то функцию F(p) комплексной перемен-
ной р называют изображением функции f (Г) по Лапласу, или ее Лапласовым изоб-
ражением, или просто изображением.
Правило (16.2) получения по заданному оригиналу/(/) изображения F(p)
называется преобразованием Лапласа.
Если Rep = a>s>soH выполняется условие (16.1), то можно доказать, что
несобственный интеграл (16.2) абсолютно сходится и определяет аналитиче-
скую функцию в полуплоскости а> (рис. 16.1); при этом
8
Если F(j>) - лапласово изображение/(/), то кратко это записывается в ви-
де F(p) ф /(Г) или F(р) = £{/(/)}•
Можно доказать, что всякому изображению F(p), удовлетворяющему условию
(16.3), соответствует единственная начальная функция (оригинал). Принятые
обозначения: /(/) = F(p) или/(/) = L~ 1 {FIp)}.
Пример 1. Найти изображение единичной функции Хевисайда
[О При t< О,
оп(/) = 3
°	[1 при г>0.
График функции oq (Г) приведен на рис. 16.2.
► Очевидно, что ац (/) удовлетворяет всем условиям оригинала и л0 = 0. По
формуле (16.2) имеем:
+ оО
Х{<т0(Г)} = J ер’dt = -V^'lo
о
так как lim е р1 = 0. Следовательно, L{<тп(Г)} = - , т.е. <т„(Г) = - . <
Re/»^ +«	и Р и ' Р
Пример 2. Найти изображение F(p) функции е“', где aeR.
► Имеем:
+ "	+ °° ' ,	-(p-a)t+x
r , az, f -pt at ( -(p a)i,_ e	1
Lie } = lee at = e dt ------------------------------ ---,
J	J	p-a p-a
0	0
если Re p > a = 5ц.
Следовательно, eat i —-— . <
• p-a
Замечание. Из определения оригинала следует, что не всякая функ-
ция/(Г) является оригиналом. Например, при невыполнении условия (16.1)
нет гарантии сходимости интеграла (16.2). Если интеграл (16.2) расходится, то
говорят, что функция/(/) не является оригиналом. Нетрудно показать, напри-
9
мер, что функции/(/) = | ,/(Г) = е , f(f) = е^ не являются оригиналами,
так как интеграл (16.2) для них расходится.
Перечислим основные свойства оригиналов и изображений.
1 (свойство линейности). Если Fk (р) =, fk (г), к = 1,2.л, то
л	п
ХсЛ(о= 5>л(р),	(1б-4)
к-- 1	к-1
где ск - любые действительные или комплексные числа.
2	(теорема смещения). Если f(t) = F(p), то для любого комплексно-
го числа а имеем:
ea‘f(t) = Др-а), Re p>s0 + Re а.	(16.5)
3	(теорема подобия). Если f(t) = F(p)n л>0, то
лм	(16.6)
4	(теорема о дифференцировании и з о б р аже н ия). Если
f(t) = F(р), то
(_1)«^1Й	(16.7)
dp”
5 (теорема о дифференцировании о р и г и н а л а). Если/(г) =
= F(p), то
f'(J) = pF(p)-f(0y, 1
f"(t) = р2Г(р)-р/(0)-/’(0), I
............................................ ( (16.8)
/Л)(1) =рлГ(р)-рл_1/(0)-ри'2/'(0)-...-7"_1)(0). J
• Если ДО) =/'(0) = ... =/"‘1)(0) = 0,то./л)(0 = p"f(p).
6 (теорема запаздывания). Если f(t) = F (р), то для /0 > 0
=e~P'°F(p).	(16.9)
Сверткой двух функций (J) и Д (0> обозначаемой Д (Г) * Д (0> называется
функция, определяемая равенством
+ со
Л(0*/г(0= {Д(г)/2(г-т)л.
— со
Если Д (/), /2 (X) - оригиналы, т.е. Д (т) = 0 при т > /, то их свертка пред-
ставима в следующем виде:
t	t
f\ (0 *fi |/](t)/2(i-t)A = pj(l-ttf2(t)ift.	(16.10)
0	0
10
Свертка двух оригиналов является оригиналом. Для нее справедливы сле-
дующие свойства:
l)/l */2 -fa * ft (коммутативность);
2) (fl *Л)*/з = /1 * (fl */з) (ассоциативность);
3) (с/, + с/2) */з = С1 (fi */з) + с2 (fl*Л) (линейность).
7(теорема Б о р е л я, или т е о р е ма с в е рты в а н и я). Если/] (?) =
Ф Fi(P)Ji(t) = F2(p), то
fl(t)*fi(t) = fi(p)Fi(p)-	(16-11)
Формула (16.11) называется формулой умножения изображений. Она часто
применяется для восстановления оригинала по его изображению.
8 (теорема об интегрировании оригинала). Если
/(/) = F(p),to
/
|/(т)Л =	.	(16.12)
О
9 (теорема об интегрировании изображения). Если
+ со
/(О =f F(p) и интеграл J Дz) dz сходится, то
Р
+ оо
= ]>(<)*.	(16.13)
р
10(теорема об изображении периодической функции).
Пусть/(/) - периодическая функция периода Г и f(f) = F(p). Если Fo (р) -
Т
изображение функции f(t)(a0(t)- aQ(r- Т)), т.е. Fq(j>) = J/(r)e P'dt,yo
О
AjW
F(P) =	_ j., Rep>0.	(16.14)
1	- e p
С целью проверки правильности вычислений в операционном исчисле-
нии часто используют предельные соотношения.
11	(теорема о предельных с о отн о ш е н иях). Если/(?),/'(0 -
оригиналы и/(?) = F(p), то
lim pF(p) ~ lim f(t),	(16.15)
p —> 0	t —> 00
lim pF(p) ~ lim f(t) = /(0).	(16.16)
Re p -> +°o	/-> 0 +
Соотношения (16.15) и (16.16) называются предельными соотношениями
связи между изображением и оригиналом.
11
12	. При решении ряда практических задач используется формула Дюамеля
t
pF}(p)F2(p) =/j(0/2(0)+ j/j (т)/; (Г-т)сГт ,	(16.17)
О
где/1(0 - непрерывная функция; /2 (г). имеет непрерывную производную;
Л (р) Ф /1 (0; /з (р) Ф fi (0-
Пример 3. Найти изображения оригиналов/(/) = sin t Mf (t) = cos t.
it -it	it -it
e ~ e	e + e
►	Известно, что sin t = ——:— и cos t - ----------. Тогда из свойства 1
2/	2
следует, что
sin Z =	_±fj	i_> = 1 2f = i '2,<p-z p+i) 2ip2+l p2 + l
cos Z :	= ir_l	L') = 1_2£_ = 1 2 vp - i p + / /	2 2	. 2	' r	r	p + 1	p+1
Итак, sin t == —!— , cos t == —-— . 4
2	2
p +1	p +1
Пример 4. Записать изображения указанных функций-оригиналов: sin pi;
cos pz; sh pz; ch pz.
►	Так как известны изображения для sin t и cos t, то изображения sin pz и
cos pz могут быть найдены с помощью теоремы подобия (см. формулу (16.6)):
2
sin pz = i——
Pp(p/p)+i V + P Р + Р
cos в, = 1__£4!____= ± ..ё.У. = ....
СОЬ ’ В 2	222	22'
Рр(р/р) +1 рр+р2 р +р
Далее:
Тогда из примера 2 и свойства линейности следует, что
Пример 5. Найти изображения оригиналов ea,sin(!z и ea,cospz.
► Так как sin 0/ =	, cos 0/ = -у—- , то из теоремы смещения сле-
р" + 3"	р~ + [Г
дует, что
at .	. р	at ,.л. р + а .
е sin рг =-------, е cos 0/ =-----------—-------- . <
(р + а) +3	О + а) +Р'
Пример 6. Найти изображения указанных оригиналов: Г; /"; /леа'; / sin 0/;
/ cos 0/.
► Известно, что оп(/) = - . Тогда по правилу дифференцирования изобра-
и р
жения находим:
Из теоремы смещения следует, что t"ё1'  -1--.
, ,п + 1
(р-“)
Зная изображения sin 0/ и cos 0/, из теоремы о дифференцировании изо-
бражения получаем:
7 sin 0/
20Р
1	2 2 ’
(р + Р )
2	7	7
. о* •	( р А р + Р~ - 2р
/ cos 0/== - —	К—I = -С-------Ь!---£_
dp\ 2 „27	2	2 2
Р + Р (Р + Р )
2 „2
Р ~Р 4
2	2 2
(р +Р )
Пример 7. Найти изображения оригиналов:
a)	e”5,sin л/; б) ch2/cos 3/; в) sin 5/cos It.
► а) Так как sin nt =	, то по свойству смещения
р + л
-5/ ... л
е sin л/ =-----------
(р+5) +л'
б)	Так как ch It cos 3t = | (e2/ + e"2/) cos 3/, то из свойства линейности и
теоремы смещения следует, что
ch 2/ cos 31 = 1(—— + —£±?—J.
2VO-2)- + 9 0 + 2) +/
в)	Так как sin St cos It =	(sin 7/ + sin 3/), то из свойства линейности сле-
дует, что
13
sin 5icos It
2	2 J
p +49 p + 9
Пример 8. Найти изображения оригиналов:
t	t
a)	|(e 5zch 2z + e3zsin 4z)</z; 6) |(z5 - 4z* + 2>Z - 2z)e2zdz .
0	0
► а) Найдем изображение оригинала f(f) = <?5zch It + <?3zsin 4 Г. Из свой-
ства линейности и теорем подобия и смещения получаем:
е~ 5' ch It + <?3z sin 4/ ф —-у--1----.
(р + 5) -4 (р-3) +16
Тогда, согласно правилу интегрирования оригинала, имеем:
е 5zch 1z + e3zsin 4z)dz
И P+5	+	4
p<(p + 5)2-4 O~3)2 + 16'
б)	Найдем изображение оригинала:
Тогда по теореме смещения
,,5 л 4 ,	2 It .	5!	4-4!	6	2
(/ _4z +3t ~2t)e =------------------ +-------------
(p-2), (p-2)3 (p-2)	(p-2)2
Использовав теорему об интегрироваНии оригинала, получим:
t
Г. 5 .42 - . 2z
J(z -4z + 3z -2z)e dz
0
1 ( 120 _ 96 +	6_______2
^^(p-2)6 (p-2)5 (p-2)3 (p-2)'
Пример 9. Найти оригиналы следующих изображений:
, 1 1 ,1
а) —-—; б) ——; в)-------------.
р(р +9) р (р +9) (р + 2)
1	13	1
► а) Так как —- =	---- == - sin 31, то по теореме об интегрировании
р +9	Зр +9	3
оригинала
t	,
---у-- == Г | sin "Szdz = - j cos 3z| = 5(1 -cos 3i) .
p(p2 + 9)	3 3	3 IO 3
б) На основании формулы (16.12) с учетом результатов, полученных в
п. «а», имеем:
14
_1_ 1
р~ р~ +9
7
в) Так как t
J ^(1 - cos 3z)rfz =	1 sin3zj

-j , to — = -. На основании теоремы смещения получаем:
Р
(р + 2)3
Пример 10. Найти изображение функции f(t) = -—C0S	5/
► Так как функция/(Г) непрерывна при всех t> 0 и
, ЛЛ	l-cos2r —5/	.. .sin t . „ -5/
iim f(t) - lim-----------e = iim 2--------- sin t- e = 0,
t-->+0	t->+0	1	z->+0 t
то она является оригиналом. Очевидно, что 1 - cos 2t = - —— . Из прави-
р />2 + 4
ла интегрирования изображения следует, что
1 = In 1 + In	.
)	Р
= lim j In Р - In
л/р2 + 4	7/>2 + 4
Применив теорему смещения, получим:
I-cos2f e-5i ± Jn 7(р + 5)2 + 4 =	7р2+ 10^+29 <
t	’	р + 5	р + 5
Пример 11. Найти изображение оригинала cos (2г-л) , t> л/2 .
► Известно, что cos' 2t =5=	— (см. пример 4). Тогда из теоремы запазды-
р + 4
вания получаем:
cos (2г-л) = cos 2^1-= е 'кР/^—£—
р + 4
15
Пример 12. Найти свертку оригиналов cos 3/ и sin / и изображение свертки.
► Согласно определению свертки имеем:
г	t
cos3/*sin/ = jcos Зт sin(Z-т) dr = | j(sin(/ + 2т) + sin(/-4r))A =
О	О
= i(-|cos(/+2T)|'+|cos(/-4r)|') =
xf- Л Cos3z+ х cos / + 7 cos 31- i cos t
2k 2	2	4	4 . >
1 ,, 1
-- cos3/ + - cos/.
о	0
Следовательно, cos 3/*sin t = cos3/ + - cos/. Изображение получен-
8	8
ного оригинала находим с учетом свойства линейности и теоремы подобия:
cOS3/.sin/=-|1£- + i1£- =
р + 9 р + 1
3	3
_ 1-р -р + р +9р _ р
8(/ + 9)(/+1)	(/ + 9)(/+1)'
Тот же результат можно получить другим путем. Известно, что
cos3/ = —у?—, sin 1 = -у^— (см. пример 4). На основании теоремы Бореля
р + 9	р + 1
имеем:
cos 31 * sin t = —---. 4
(p +9)(p-+ 1)
Пример 13. Найти оригинал /(/), соответствующий изображению
► Представим изображение в виде F(p) = -у-----------. Так- как
р~ + 4 р +4
—i— = |sin2/,~-— = cos 2/, то на основании формулы (16.11)
р2 + 4	2	р2 + 4
-------у^— = cos 2/ * i sin 2/ =
р2 + 4 р + 4	2
(	t
= j jcos 2т sin(2/~ 2т)Л = | j(sin 2/+sin(2f-4т))Л =
' О	О,
= ifт sin 2/1^ + 7 cos(2Z- 4t)|!J = 7/ sin 2/ + 7 cos 21-7 cos 2t =
10 4	Ю7 4	4	4
= sin 2/ - f(t) . 4
16
Пример 14. Найти изображение оригинала f(t) = 1	’ перио-
[2 - t, 1 < t <2,
дически продолженного на интервал [0, +<ю) с периодом Т= 2 (рис. 16.3).

Рис. 16.3
► Так как оригинал периодический, то, согласно формуле (16.14),
Л/0 =
2	1	2
где Т=2,а	=	^f{t)e~P'dt= $te~P'dt+ J (2 - t)e~p‘dt.
0	0	1
Интегрируя по частям, находим интегралы:
1 1
J(2-r)e p> dt = - (2 - r)-e p> j j - J- e P> dt =
1 1
le~p
P
I —2p	1 -p
~e —2е
P P
Следовательно,
г. , ,	1	— p	, 1	1	— p ,	1	— p ,	1	—2p	1	— p
W = -/ P + -~-.e +pe +~e	~~e-
P P	P P
1	2 -p 1 -2p
—-------e н----e
2	2	2
P P P
Изображением для f (t) будет функция
„ 4	\-2e~p+e~2p
= (1-e P)
P2(l-e~2p)
1 l-e-p
.21
17
Пример 15. Найти изображение периодической системы импульсов, изо-
браженных на рис. 16.4.
К Заданную графически периодическую функцию f(t') (-периодом /"можно
с помощью единичной функции Хевисайда о0 (г) представить аналитически:
 И°о(О при O-z</o>
ЯО = 1
(.	0 при t0 < t < Т.
Поэтому
Р
I,.	~Р'о
V» - jm'-"*-
О	о
Тогда из формулы (16.14) следует, что
г, з	А	_ ~р,\ = А(1'е
fi1)  -рТ е ) -рТ
Р(У ~ е Р )	Р(1-е Р )
Пример 16. Найти оригинал f(t) по его изображению F(p)
...
(р2 + 4)2
► Представим F (р) в виде произведения 5р -------у— • Так как
р + 4 р +4
— = cos 2 /,
р +4
1
ч
р" + 4
sin 2 /, то по формуле Дюамеля (16.17) получим:
2
, р 1
2	2
р + 4 р +4
= 5-r-fcos2/* | sin 2t
dt\ 2	>
= jcos 2т  sin 2(/-t)rfr
'0
I	I
= 5 Jcos 2т • cos 2(r-r)rfr = | J(cos 2t-cos(2/-4r))rfr =
0	0
18
5<	1 • n, 1 •
= - It cos 2t - - sin 2t — sin
2<	4	4
0
= ^(rcos 2r-| sin 2/) = -M 
Пример 17. Записать изображение дифференциального выражения
2/"(/)-3/'(0+Л0,если ед =/(/) и ДО) = 1 ,/’(0) = -1 .
► По формулам (16.8) имеем:
2
/'(0 =ред-1,/"« =р ед-p+i.
Тогда из свойства линейности следует, что
2
2/ "(0 - з/ -(/) + д /) = 2/ ед - 2р + 2 - Зр ед + з + F(p) =
 = (2р2 -Зр+l)F(p)-2p + 5 .4
Основные свойства изображений Лапласа перечислены вприл. 1. Наибо-
лее часто встречающиеся при решении задач оригиналы и их изображения
приведены в прил. 2.
В математике и различных ее приложениях, например в механике, элек-
тротехнике, теории автоматического регулирования, широко используются
так называемые импульсные функции и их изображения. Рассмотрим функцию
= ^(°о(О-со('-А)) =
0 при /<0,
1/й при 0 < / < й,
0 при h < t < +оо,
график которой приведен на рис. 16.5.
Если данную функцию интерпретировать как силу, действующую в про-
межуток времени от 0 до Л, а в остальное время равную нулю, то очевидно, что
+ сО
импульс этой силы равен J О] (/, ‘й) dt = 1.
— СО
Так как изображение функции Хевисайда а (0 известно, то, пользуясь
свойством линейности изображения, получаем:
19
В механике часто рассматривают силы, действующие в очень короткий
промежуток времени, или, как говорят, «мгновенно», и имеющие конечный
импульс. Поэтому была введена функция 3(f) = lim с, (Г, h) , которая назы-
А.-»0 1
вается единичной импульсной функцией или дельта-функцией Дирака.
+ оо
Изложенное выше позволяет считать, что по определению J 8(f)df = 1 .
О
Последнее равенство можно записать также в виде J 8(f)df = 1. Тогда
О
, 1 -рй	, —ph
„... .	11-е	..	1 ре .
8(f) = hm у -------- = lim -	;— = 1 .
А->оЛ Р h->0P	1
Здесь при нахождении предела было применено правило Лопиталя.
Рассмотрим 8(f) как силу, действующую на материальную точку единич-
ной массы. Для этого найдем решение дифференциального уравнения
s"(f) = 8(f) , удовлетворяющее начальным условиям ,v(0) = 0 , s'(0) = 0 .
2	1
Его операторное уравнение р s(t) = 1 , откуда s(f) = — , .v(f) = f, v(f) = 1 .
P
Таким образом, функцию 3(f) можно трактовать как силу, сообщающую ма-
териальной точке единичной массы в момент времени f = О скорость, равную
единице.
—рь.
Функцию 8(1- /0) == е можно считать импульсной силой, действую-
щей в момент времени f0.
Рассмотрим уравнение s"(f) = f(t) + 3(f) с начальными условиями
5(0) = г'(0) = 0 . Его операторное уравнение
р2з(р) = F(p') + 1 , i(p) =	+ _L ,
Р~ Р
откуда 5(f) = J /(т)(г- г) А + f. Очевидно, что к такому же результату придем,
0
решив уравнение x"(t) = f(t) при других начальных условиях: ,v(0) = 0 ,
5'(0) = 1 .
Из определения 8(f) следует, что
j 3(т)А =
— со
О при - со < t < 0,
1 при 0 < f < +со,
20
t
т.е. ст0(г) = J 8(t)dr - единичная функция Хевисайда. Дифференцируя обе
— СО
части последнего равенства, получаем: 6(0 =
Введем функцию
SljA(0 = (5й('-а))' =
Д; ПрИ 0 < / < Л,
л2
- при h < /< 2Л,
h
О при -<ю < t <0, 2Л </<+«>,
изображенную на рис. 16.6. Для нее определим импульсную функцию второго
порядка 6,(0 по формуле 8,(0 = lim 6, ,(0 . Функция 8,(/) удовлетворя-
1	1	Л->0 1,п
ет следующим условиям:
1)	б^/) = 0 при г/ 0;
2)	51(-0) = -°о , 8j(+0) = +оо;
t	+оо	+со
3)	|б1(т)Л = 5(0, J 6j(0^ = о, J dt J 5j(t)A = 1.
— СО	—СО	—СО —СО
Изображение 8](0 находим как предел при Л --> 0 изображения функции
8( Л(0 , которое определяется формулой
5i,AW
~ph	~2ph .	9
Р Р J	h2p
21
т.е. £{8j(Z)} = lim -y-(l-e ph) = p, 8,(0 = />.
а-*0л2₽
Найдем, например, решение дифференциального уравнения
s"(0 = Sj(O при нулевых начальных условиях. Имеем соответствующее опе-
2	1
раторное уравнение р s(p) = р . Далее, s(p) = - , s(f) = 1(Г> 0) . Это озна-
чает, что импульсная сила второго порядка 8] (0 сообщает материальной точ-
ке единичной массы мгновенное перемещение на единицу длины без даль-
нейшего движения.
АЗ-16.1
Найти изображение оригинала.
5t	-2t
1. Зе -2sin3(+4.	2.е (sin t + cos 3Z).
3. L3-7? + 3/+1 .	4. -U5 + |/4-t.
2	20	4
2
5.	sin4Zcos2z.	6. sin 3t.
-3t	2
7.	e cos It.	8. ch2Zsin3(.
9.	shzcos4z.	10. e 2?cos 3t cos 6t.	11. ?e
-2t
12.	ez sin (Z-2)<j0(1 -2), t>2. (Ответ:-------—----.)
(P-1) +1
2
13.	sin (Z-2)cr0(Z). (Ответ: (cos 2-p sin 2)/(p +1).)
A3-16.2
Использовав теорему об интегрировании изображений,
найти изображение указанной функции.
1.	sin t/t. (Ответ: - arctg р .)
2
- sin 7 (sin 31 . п 1 . р + 100 .
2.		. (Ответ: - In -----------.)
f	4 р +16
22
3.	sin2 t/t. (Ответ: In +- .)
2 p
at pz	_ „
4.	-— (Ответ: In .)
eZ-1	p
5.	—-— . (Ответ: In .)
6.	^5S-L—1 (Ответ: In .)
NP + 1
7.	eat . (Ответ: - arctg(p + a) .)
2	/~2
о sin t	.2 p . ijp + 4 .
8.	—— . (Ответ: arctg - -In—— •)
9.	e 11—cos {. (Ответ: In f 1 +---—-1.)
z	2 4	(Р+1Г
10.	—. (Ответ: In + ; .)
t	2 p — I
A3-16.3
Найти свертку оригиналов и соответствующее ей изобра-
жение.
1.	t, sin t. (Ответ: t — sin t, -у-.)
p(p -1)
2.	ez, e-z. (Ответ: sh t, — .)
P +1
3.	t, cos t. (Ответ: 1 — cos t,--у-.)
P(P +1)
4.	t, ef. (Ответ: ef — t — 1, —-— -.)
P(P-1)
5.	1 —St, е^. (Ответ: t, .)
P
23
6.	Найти изображение F(p) оригинала f(f), являющегося
периодической функцией с периодом Т= 2л, если
/(О =
Г 2t п _
1 - — при 0 <1 <тг,
п
2t
— - 3 при л < t< 2л.
I л
(Ответ: F(p) = -	.)
Р пр
7.	Найти изображение дифференциального выражения
у'" + 5у" -Зу' + 2у-3 , если у (0) = - 3, у'(0) = 7 > У"(0) =~Ъ
где y(t),	У"(Р), У'" (t) - оригиналы. (Ответ:
Р3У(р) + 5р2у(р) - Зру(р) + 2у(р) -1 + Зр2 + 8р - 43.)
8.	Найти изображение оригинала с периодом Т= 4, задан-
1 е 2р 2 Г4р
ного на рис. 16.7. (Ответ: —---------- .)
Р (1 -е р )
Самостоятельная работа
4	~~t
1. 1) Найти изображение оригинала /(/) = / -е cos 3t +
+ 5 sin t.
2) Найти свертку оригиналов cos 2? и sin /и ее изображе-
ние. (Ответ: |(cos /-cos 2/), —--—------.)
3	(/ + 4)(/+1)
2. 1) Найти изображение оригинала /(/) = 3-e5rsin7/ +
+ Зе
24
2) Найти свертку оригиналов sin 2/, cos t и ее изображе-
ние. (Ответ: -(cos /-cos 2/) , —--—---.)
О +4)(/+1)
2
3. 1) Найти изображение оригинала /(/) = cos 6t~
2t .	4
- e sin э t -1 .
2)	Найти свертку оригиналов cos t, cos t и ее изображе-
j	2
ние. (Ответ: -(sin t+ t cos t), —-- .)
(An
16.2.	НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛОВ
ПО ИЗОБРАЖЕНИЯМ
В предыдущем параграфе описана методика получения изображений
многих элементарных функций, т.е. установлено соответствие оригиналов и
их изображений, а также на простейших примерах показано, как по изображе-
нию найти оригинал. Следующей важной задачей операционного исчисления
является нахождение функций-оригиналов по их изображениям. В общем
случае эта задача является достаточно сложной.
Как известно, для того чтобы функция F(p) была изображением f(t), до-
статочно выполнения следующих условий:
1)	F(p) - аналитическая функция в полуплоскости Re р = а > s0;
2)	lim F(p) = 0 , если Re р > s0:
|д| ->оо
+ оо
3)	интеграл J \F(a + bi)\db сходится.
— СО
При выполнении указанных условий справедливы формулы:
+ оо
F(p) =	(16.18)
О
a + bi
ЯО = A- lim [ Ffj^dp,	(16.19)
2я/ со J
а - Ы
где р = а + Ы , / = лЛ1 .
Формулы (16.18) и (16.19) называются соответственно прямым и обратным
преобразованиями Лапласа. Для практических целей формула (16.19) малопри-
годна, так как требует знания методов нахождения интегралов от известных
25
аналитических функций комплексной переменной р= а + Ы, где
-со < Ь < + оо . Поэтому чаще используют вторую теорему о разложении, кото-
рая приведена ниже.
Теорема. Если F(p) =	, где Рт (р) и Q. (р) являются многочленами
комплексной переменной р степеней т и п (т <п);pi,P2, корни многочле-
на Q„ (р) кратностей I/, 12,	4 соответственно (li + 12 + ... 4 = п), то
k	'r~l	I
м = X (Th),rf<p^'} 
r = ! r	rdp
(16.20)
В частности, если все корни р2, р2, ..., рп многочлена Q„ (р) простые, то
ЯО = X 7FTV(16 21)
Q п(Рг>
г= 1
Замечание. В случае, когда число корней целой функции бесконечно
велико, суммы (16.20) и (16.21) становятся бесконечными, т.е. функциональ-
ными рядами (к = со, п = со).
Пример 1. Найти оригинал f(f) по изображению F(p) = ——77-7—— .
/>(/>- 1)(р + 2)
► Корни многочлена Q2 (р) =р(р - 1)(р + 2) - простые и pj = 0, р2 = 1,
Рз = -2. Находим:
е'зО») =(р-1Хр + 2)+Лр + 2)+р(р-1), б'з(О) =-2, е'3(1) =3, е'3(-2) =6.
Тогда из формулы (16.21) следует, что
„Л 1 01 2 t 1 -21	1 2 1 1 -2t .
М = --е	+-е--е	=	+ je --е .<
Пример 2. Найти оригинал f(t) по изображению F(p) = —-— -.
р(р'+1)
► Знаменатель (р) — р2(р2 + 1) имеет один действительный корень
Pi = 0 кратности /[ = 2 и два простых комплексных корня: р2 = i, pj — - /. На-
ходим:
г d I 2	1
lim Т\Р
P^Pidp{ (р2+1)	>
lim Г-----1 = t .
р_>'0^ 0>2 + 1)’	Р~+{
Так как 2'4(р) =2р(р2+ 1) + 2р3, то из формулы (16.20) следует, что
26
= t +1/(cos t + /' sin /) - |/(cos t- / sin t) =
sin t . <
Пример 3. Найти оригинал f (t) по изображению F(p) =
► Целая функция Q (p) = p sh p имеет один действительный корень
Ро = 0 кратности 1 = 2 и счетное число мнимых корней = +ктй,
к = 1, 2, ... . Тогда находим: Q'(p) = sh р + р ch ри б'(/>р = ±ктм chlkiti) =
к
= ±kni cos кя = ±Ал/(-1) . Поэтому из формулы (16.21) следует, что
мнимым корням знаменателя изображения соответствуют в оригинале
слагаемые
у [ (-1/	+ (-1/ е-^'
^^/(-1/	-bt/(-l/
СО
со	со
Ер-2 sin Ап/ = - 'V | sin kitt .
kit	n к
A=1	k = I
Слагаемое оригинала, соответствующее корнюр0 = 0 кратности / = 2, равно
lim df 2_cLLZh = Iim rchpZ/_Z/_L_	=
p^odp\ pshp J	sh p J
= lim (-£-ch pte»' + /'^pshp-p> =
P^fMhp	sh2p J
= t Iim ch P + lim c-h/-+sh2if~1 = I+ Iim ?.AT+.l 7 । = t.
p->0	p-»0 2 sh p ch p p 2 sh p ch p
Для раскрытия неопределенностей было использовано правило Лопиталя.
Таким образом, искомый оригинал /(/) = / +
У | sin Ал /. <
На практике вместо формул (16.20) и (16.21) часто пользуются теоремой о
Ли Ср)
разложении правильных рациональных дробей F(p) = ---- в сумму про-
G„(P)
стейших рациональных дробей, как это делали при интегрировании рацио-
нальных дробей. Изображение в данном случае можно разложить в сумму
простейших рациональных дробей следующих типов:
27
II.	Д>2;
(p-а/
III.	~ Вр~С , а~
Р~ + а}р + а2
Вр+ С
2
(р +а\р + а2)
Для нахождения оригиналов, соответствующих дробям I - III типа, ис-
пользуют следующие формулы:
---- =ЛеаГ (для дроби типа I);
А	А к~\ at
------- ----------f р
(р - а)	’
Яр+ С
2
р +ахр^а2
(16.22)
(16.23)
(16.24)
(для дроби типа II);
(для дроби типа III).
Оригинал, соответствующий дроби типа IV, весьма громоздкий, поэтому
мы его не приводим. В некоторых случаях он может быть получен более прос-
тым путем, с использованием свойств оригиналов и их изображений.
Пример 4. Найти оригинал/(Г) по изображению F(p) =---------г •
р(р- 1)(р+3)
►	Функция F(p) разложима в сумму простейших дробей вида F(p) =
= 4 + ^_ + _^.
р р-1 р+3
Дроби в правой части последнего равенства приводим к общему знамена-
телю. Числитель полученной дроби приравниваем к Зр - 2:
Зр —2 = А(р-1)(р + 3)+ Вр(р + 3)+ Ср(р- 1).
При р = 0 имеем уравнение -2 = -ЗА, А = 2/3, при р = 1 - уравнение
1 = АВ, В = 1/4, а при р = -3 - уравнение -11 = 12С, С = -11/12. Следова-
тельно,
.	2/3	1/4 11/2
По формуле (16.22) находим оригинал:
,,,. 2 1/ 11-3/ л
f(t) = т + ~.е ~-^е	 <
' ’	3 4	12
Пример 5. Найти оригинал по изображению F (р) —	— ----
р + 5р~ + 4
►	Данное изображение представим в виде
28
p + 3	_ Ap + В Cp + D
4	2	~ 2	2
p + 5p + 4	p+4	p+1
Приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в правой части последне-
го равенства, и приравняв числители, получим тождество
р + 3 = (Ар + В)(р2 + 1) + (Ср + D)(p2 + 4).
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р в обеих частях
тождества. Получим систему уравнений:
р3 |о = А + С,
р~|о - В+ D,
р| 1 = А + 4С,
р°|з = B + 4D.
откуда
Таким образом,
= (-i/3)p-i (i/3)p+1 =	___12	1 р 1
w 2	2	л > э ? л т 2
р+4	р+1	р +4 р +4 р +1 р +1
Используя формулы из прил. 2, находим:
ДО = cos 2/-1 sin 2/ +1 cos Г+ sin Г . <
Пример 6. Найти оригинал/И) по изображению
?(р) =	.
(р- 1)"(р +2р + 5)
► Вначале находим оригинал изображения
‘ 1	2 2
(р-1/(р2 + 2р + 5)
разложение которого на простейшие дроби имеет вид
5р + 4	= Л1 + л2 + Вр+С
(р- 1)2(р2 + 2р + 5)	(р-1)2 Р-1 р2 + 2р + 5
Приведя правую часть этого равенства к общему знаменателю и приравняв
числители в правой и левой частях, получим тождество
5р + 4 — А^(р2 + 2р + 5) + А2(р-1)(р2 + 2р + 5) + (Bp + Q(p-I)2.
Полагая в нем р = 1, находим, что 9 = 8/1, А = 9/8.
Теперь приравняем в полученном тождестве коэффициенты при р3, р2 и
Р°. В результате имеем систему уравнений:
О = А2 + В, 0 = At + А2 + С - 2В, 4 = 5АХ - 5/12 + С.
Ее решение: А \ = 9/8, Л2 = 1/16, 5 = -1/16, С = -21/16. Таким образом,
29
5/> + 4	= 9	1	+ J____1___1_ р + 21
(р-\Т(р- + 2р + 5)	\p-\Y	16/’~1	16р2 + 2р+ 5
9 I + £ 1 1_ (р + 1) + 20
8,	, 2 16р-1 16,	,.2Х .
Ср- 1) и (/>+1) +4
9, ' 1 ' 1 -t _	5 -/ . ,
-te + — е ~—е cos 2/ ~е sm2r.
8	16	16	8
Согласно свойству запаздывания искомый оригинал
/(0 = (|(/-3)e'-3 + -^e'"J--^e“('^)cos2(r-3)-
о	10	1о
-~е	3)sm2(/-3))o0(/-3) .4
Пример 7. Найти оригинал f (г) изображения F(p) = cos - ,
Р~ Р
► Используем разложение cos 1 в степенной ряд:
Р
cosr 1-Н + Н + --- + <-1)"_’‘ + ^-2(Ь-) + --- 
р р	' р
Получим:
1	1	_ 1	1 1 М 1	1	1
2 cos р 2	2! 4 4! 6	- ( )	(2л-2)!	2»	’
Р	Р Р Р	' Р
Тогда формально искомый оригинал можно записать в виде
, 3 , , 5	,	,	2л- 1
Г/А = ,_J_L . J.L .	. > ъ»'1	1	'___
‘ 2!3! 4'5! " ( )	(2л-2)!(2л-1)!
Пример 8. Найти оригинал /(г) изображения F(p) =
1
(р-2)(р + 3)
ис-
пользуя теорему свертывания.
к О	г/ \	1 I _	1.2/1. -3/
► Запишем F(p) в виде-- . Так как-- == е ,-- == е , то по
р-2 р + 3	Р~2	р + 3
теореме свертывания имеем;
12/1-
5е 5е
ч 1,2/ -Зл ,
/(0 = т(е -е ) , <
30
АЗ-16.4
Найти оригинал по заданному изображению.
1.	F(p) = ———-— . (Ответ: e~2r cos 2t + 3e-2/sin It.)
p + 4p + 8
"У \	3 P + 5	1 1 2 Z .	\
2.	r(p) = ——L. (Ответ: эе cosjt+—e sin3/.)
p -4p+13	J
4.	F(p) = —-—.	(Ответ:	-^-e2/--±-e *(cos Jbt +
p -8	12	12
+ */3 sinV3t).)
5.	F(p) = —-. (Ответ: | - ^ch t+ sh It.)
/-5p +4p	4 J 2
6.	F(p) = —-----------.(Ответ: z?-| + e 2z.)
P (/>+1)0 + 2)	24	4
7	_ ______6p2e~2p	f 8 -2(z-2) ,
7.	r(p)--------c-----------. (Ответ: I—e +
(p + 2)(p-l)(p2+ 1)	4 5
+ e 2 + |(cos(z-2) + 3 sin(/-2))^o0(Z-2).)
A3-16.5
Используя теорему Бореля, найти оригинал, соответствую-
щий указанному изображению.
1'(Р-1)1СР + 2)'(О"”е”;3(е'-^') 3
2-	<р+ 1>1Ср + 2)-<°'"<'етГ е”~С‘2' >
31
3.	—----. (Ответ: |(cos Г-cos 2f) .)
(/+!)(/+ 4)
2
4.	— ----—-—•— . (Ответ: -(3sin 3/-2 sin2/).)
(/+4)0+9)	5
5.	—-— . (Ответ: ~(ch /-cos /).)
P -1	2
Применив теорему Дюамеля, найти оригинал, соответству-
ющий данному изображению.
1	t1
6.	—— ----. (Ответ: — + cos /- 1 .)
pV+1)	2
3 -2р .
7.	Р е
7	2’.
о + 2)
(Ответ: (cos3(/-2)- 1,5(t-2)sin 3(t~ 2))ст0(/-2) .)
8.	Используя теорему о разложении, найти оригинал по
2 +
изображению F(p) = —--------- . (Ответ: t-2 ch t+ / ch /.)
2	12
p Ср - О
з
9.	Найти оригинал по изображению F(p) = —р.
. (/ + 1)
1 2	3
(Ответ: -t cos /+ -/ sin /.)
О	о
10.	Найти оригинал в виде степенного ряда по изображению
оо	->
FO) = 2= sin -у . (Ответ: V (-1)"----- .)
VP 7р	С2п\)
11.	Найти оригинал в виде степенного ряда по изображению
00 п
1 1 / 2	Z2"
Л,)--» +(От,,е»:
п = О
32
Самостоятельная работа
Найти оригинал по заданному изображению.
2	1	,
1.	F(p) = --------- . (Ответ: -t cos 2t+ - sin 2/.)
С?2 + 4)
2.	F(p) - -----—- . (Ответ: ^7 sin / .)
(Л1)	2
3.	F(jp) = ——. (Ответ:	sin 3t.)
P (p +9)	3	27
16.3.	ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Решение дифференциальных уравнений и их систем. Пусть дано линейное
дифференциальное уравнение л-го порядка с постоянными коэффициентами
а0/Л) + О1/'''|) + ... + алу =/(0	(16.25)
и начальные условия
НО) = у0 , у'(0) = у0 , У(п~ !)(0) =	(16.26)
Будем считать, что функция f(t) и решение у (t) уравнения (16.25) вместе
с производными до л-го порядка включительно являются оригиналами и
У(0 =? Y(P), f(t) = F (р). Тогда, согласно правилу дифференцирования ори-
гинала и свойству линейности, дифференциальному уравнению (16.25) с на-
чальными условиями (16.26) будет соответствовать операторное (изображаю-
щее) уравнение
(аор" + О]/'1 + ... + aJYlp) = Л>) + Фл | (р) ,	(16.27)
_	, ч z w-1	п-2 ,	(/г-lY , п-2	п-3 , ,
где Фя_,(/>) = а0О у0+р /о + - + Уо ') + а{(р	yQ +р	у 0 +
(п -
+ ... + Ур ") + ... +ол _ 2(ру0+у'о) + ол _ ]У0 - многочлен степени не выше
,	т-	е	/ ,	п , п ~ 1 J-
п - 1 относительно р. Если ввести обозначение фл(р) = а^р + а,р +... + ап,
то изображающее уравнение (16.27) примет вид
<РЛ(Р)ВД = ад + Ф„_,(Р) 	(16-28)
Из уравнения (16.28) определим изображение решения дифференциаль-
ного уравнения (16.25), удовлетворяющего начальным условиям (16.26):
2 Зак. 2209
33
Решением уравнения (16,25) при условиях (16.26) будет оригинал у (г),
найденный по изображению (16.29).
В случае нулевых начальных условий у(0) = у'(0) = у"(0) =
= ... = у(" '\о) = 0 уравнение (16.28) примет упрощенный вид
<Р„(Р) Ир) = Лр) , как и изображение решения У(р) = Лр)/ф„(р) 
Замечание. Для того чтобы найти общее решение дифференциального
уравнения (16.25) указанным выше методом, достаточно задать начальные
условия в виде у(0) = Cj , у'(0) = С-, , ..., у'" '\о) =	, где Ск
(k = 1, 2,..., п) - произвольные постоянные.
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения у" - Зу' + 2у = 0 ,
если у(0) = 0 , у'(0) = I 
2
► Находим соответствующее операторное уравнение: р Y(p) - 1 -
- Зр У(р) + 2 Y(p) = 0 . Отсюда
(p2-3p + 2) Y(p) = 1, У(р) = ——!----, Пр) =	+ “
(Р -Зр + 2)	Р 1 Р 2
Тогда из тождества 1 = А(р - 2) + В(р- 1) при р = 1 имеем: 1 = -А, А = -1, а
при р = 2 получаем: 1 = В. Поэтому Y(p) = —н—Ц;. По формулам из
р-I Р-2
прил. 2 находим частное решение дифференциального уравнения: у(/) =
= -АЛ<
Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения у" - 2у' +
2
+ 10у = Юг + 18Г+6 , удовлетворяющее условиям у(0) = 1 , у'(0) = 3,2 .
► Составляем изображающее уравнение, пользуясь операторными ра-
венствами:
7	?	7
У(О = Г(р),.у'(О =рНр)-1 ,У"(О =р-Цр)-р-3,2; Г
Р
1 > 1
1= -
2 р
Р
В результате получаем операторное уравнение для данного дифференци-
ального уравнения:
’	?0 18 6
/ГУ(р)-р-3,2-2рГ(р) + 2+10Г(/>) = 3 + ^ + 2 
PJ Р Р
Отсюда
34
(р - 2р + 10) Y(p) =	+ - + р + 1,2 ,
э 2 п
Р Р
у, . р4 + 1,2р3 + 6р~ + 18р + 20
3	2
р(р~2р+10)
Разложим Y(p) на простейшие дроби стандартным методом. Имеем:
/ р р р - 2р - 10
р4 + 1,2р3 + 6р2 + 18р + 20 = Л(р2-2р + 10) + Вр(р2 -2р + 10) +
2 2	3
+ Ср (р - 2р + 10) + (Dp + Е)р .
Из последнего тождества при р = 0 находим, что 20 = ЮЛ, А = 2. Для
определения остальных коэффициентов разложения приравняем коэффици-
енты этого равенства, стоящие при одинаковых степенях р:
р4| 1 = С+й,
р3|1,2 = В-2С+5,
р2|б = Л-2В+ ЮС,
р| 18 = -2Л + ЮЛ
Решив систему, найдем: Я = 2,2, С = 0,84,£'=0,68,2)=0,16. Это означа-
ет, что
v. ч 2	2,2 0,84 0,16р + 0,68
ПР) = -х + -у +	т ,
Р Р Р (р-У)+<)
Ир) = Л +	+ — + 0,16 —£2-1— + 0,28-----——-.
Р Р Р	(Р-1) +9	(Р-1) +9
Отсюда на основании прил. 1 и 2 имеем:
y(t) = f2 + 2,2/ + 0,84 + 0,16 е' cos Зг + 0,28eZ sin 3/ .4
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения у" + 2у' + 5у =
= cos t, если у(0) = у'(0) = 0 .
► Запишем соответствующее операторное уравнение и изображение ре-
шения:
р2 Г(р) + 2р Г(р) + 5 Пр) =	, Y(p) = —----р-------,
р- + 1	(р +2р + 5)(р- + 1)
которое разложимо на простейшие дроби, т.е.
Пр) = ^ + у^^.
р +1 р +2р + 5
35
Находим коэффициенты А, В, С, I), пользуясь стандартным методом.
2	2
Имеем: р^(Ар + В)(р + 2р + 5) + (Ср + В)(р +1). Приравняв коэффициен-
ты при одинаковых степенях р в обеих частях последнего тождества, получим
систему уравнений:
31
р |0 = А+ С,
р2|о = В + 2А + D,
р\\ = 2В + 5Л + С,
р°|о = 5B+D.
Ее решение: А = 1/5, В= 1/10, С = -1/5, Р = -1/2. Тогда
, = (1/5)р + 1/10 (~1/5)р~ 1/2 = 1 р J 1 1	р+1	_
2	7	52	10 257
р+1	р' + 2р + 5 р +1 р +1	(р+1)’+4
3	2
20 (р + 1)2 + 4
С помощью прил. 2 находим искомое решение:
у(7) = j cos t+ sin t- ' cos 2t--^e ' sin 2t. <
Алгоритм решения систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами состоит в следующем. Для каждого уравне-
ния системы находим операторное уравнение, а затем решаем полученную
систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений ре-
шений исходной системы. Для найденных изображений определяем оригина-
лы, дающие решение исходной системы.
Пример 4. Найти решение системы уравнений операторным методом:
Гх’-2х-3у = 5/,
х (0) = 0, у (0) = 1.
1у' - Зх- 2у = 8е ,
► Пусть x(z) ф X(p),y(f) = Y(p)- Тогда операторным изображением дан-
ной системы будет система
рХ(р)-2Х(р)-2У(р) =	(р-2)Лр)-ЗГ(р) = ^,
Р  или	р
рГ(р)-1-зх(р)-2У(р) = ^7	-з%(р) + (р-2)Г(р) =
Решив последнюю систему уравнений относительно X(р) и У(р), по-
лучим:
.	3р2 + 26р2 - 15р + 10	. р4 + 5р2 - 14р“ + 15р-15
Х(Р) =	= С-----.
(р -1)(р-5)р"	(р -1)(р-5)р
36
Разложим найденные изображения в сумму простейших рациональных
дробей:
Х(р)
А1 А2 В1	г*
= — + — +--- +-— + —— ,
р2 Р Р-1 Р +1 Р-5
2	2	2	2
Зр +26р -15р + IOeMjC/T- 1)(р-5) + Л2р(р - 1)(р-5) +
+ В\р\р + 1 )(р — 5) + Ср\р2- 1) + В2р2(р- 1)(р — 5).
Из последнего тождества имеем: 10 = 5А^ , А^ = 2 при р = 0;
24 = -82?! , 5] = -3 при р = 1 ; 48 = 12Л2 , Т?2 = 4 при р = -1 ;
960 = 600С, С - 8/5 при р = 5. Так как коэффициент при р4
Л2 +	+ В2 + С = 0, то А2 = -13/5. Поэтому
2
Х(Р) = -2
Р
Из разложения
13 1 , 1	. 1	8 1
-----3-----+ д------------
5 р р-1	р+1	5 р-5
Y(P) =
аналогично тому, как это было сделано в разложении для Х(р), находим, что
Л = -3, Я= 12/5, С= 1, D = -4, Е = 8/5. Поэтому
Г(Р) =
3 12 1 , 1	. 1	8 1
—।----1-----ь 4---1----
р2 5р р-1 р+1 5р-5
Из выражений для Х(р) и К(р) с помощью прил. 2 находим решение ис-
ходной системы:
э, 13 и.9 ' ,1	3 51
х(/) = 2/-— +-е +-е --е
у (7) = - 3/ + -у + е - 4е 1 + |е51 .4
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
У’" -у" + 4у'-4у = (г-2)е~2' .
► Составим операторное уравнение при произвольных значениях у(0) ,
у'(0), у"(0):
р3 Г(р) - у (0)р2 - у'(О)Д - у" (0) - р2 И» + У (0)р + у' (0) + 4р Г(р) - 4у (0) -
Решив его относительно К(р), получим:
37
Y(P) = l2^0)+ (/(0) ~ИО))Р +У"(0) ~ y'(0) + 4y(0) +
p3-p2 + 4p-4
,	-2p-3
2	?
(p + 2) (p- l)(p +4)
Так как знаменатель первого слагаемого разложим на множители р- 1 и
р~ + 4, а в числитель входят любые значения у(0) , У(0) , у"(0) > то это сла~
гаемое можно представить в виде
с [ С?Р + с з
где С], с2, с3 - произвольные постоянные. Второе слагаемое разложим в сумму
простейших рациональных дробей:
_____- 2р- 3_____ _ А + В + С Dp + Е
(р + 2)2(р-1)(р2 + 4) (р + 2)2 Р + 2 Р-1 р2 + Ь
Искомые коэффициенты А, В, С, D, Е найдем известными методами.
Имеем:
2	2	2 2
-2р-3 = А{р- 1)(р + 4) + В(р + 2)(р-1)(р~ + 4)+С(р + 2) (р +4) +
+ (Ор+£)(р + 2)2(р-1).
При р = -2 находим: 1 = -24/1, А = -1/24, при р = 1 получаем: 5 = -45С,
С = -1/9.
Приравняв коэффициенты при р4, р3 и р\ получим систему уравнений для
нахождения остальных неизвестных:
В+ С+ D = 0,
A+B+AC+3D+E — 0, 
-А + 2В+ 8С + ЗЕ = 0,
откудаД= =
Таким образом,
Р-1 р2 + 4	^24(р + 2)2 144^ + 2 9^-’
! -(27/144)р+ 1/12
р2 + 4
Используя прил. 1 и 2, находим оригинал
/А	, I • э. 1 . -2^ 43 -2/ 1 I
y(t) = cte +c2cos2/+-c3sm2/--/e	+—е	--е -
27	1
c°s 2/+— мп 2/,
144	24
являющийся общим решением данного дифференциального уравнения, где
с1> с2’ сз “ произвольные постоянные. 4
38
Пример 6. Найти решение системы уравнений
t >
х" + у' + X = е , I
х' + у" = 1 J
удовлетворяющее начальным условиям х(0) = 1 , х'(0) = 0 , у(0) = -1 ,
/(0) = 2 .
► Составим систему операторных уравнений:
/ад-/> + />ад+1 + ад = Д-Д
рХ(р) - I + р2 Y(p) +р-2 = k
Выполнив простые преобразования, получим систему
(р2 + 1W) + р Y(p) = р ДД1,
рХ(р)+р2 ад = р-
из которой найдем, чтр
Х(р) = А/’ДЛ?/’!.!
р (р-1)
= -р5 + 3р4-рл+р2 + 2р- 1 = X. /(/>-!)	р5	,2+2+2__1_. 4	3	2 р-1 Р Р Р И
Воспользовавшись свойством линейности и прил. 2, получим решение
системы:
х(/) = -|?-|г2-т + е , y(f) = Д4-Д+ /2 + ЗГ-е'. <
Решение интегральных и интегрально-дифференциальных уравнений. Опе-
рационный метод Лапласа можно применять для решения многих интеграль-
ных уравнений типа свертки, т.е. уравнений вида
/
Я О = /(0 + ]ЯЯЯУ-	(16.30)
о
где? О) - искомая неизвестная функция;/(Г) - свободный член; А(Г-т) - яд-
ро уравнения.
Пусть у(г) ф И» , /(/) = F(p) и k(t) ф К(р). Тогда на основании теоре-
мы Бореля о свертке оригиналов получаем, что Y(p) = F(p) - Y(p)K(p) . От-
сюда Y(p') = ffi-- - изображение искомого решения интегрального урав-
39
нения (16.30). Решение у (t) является оригиналом, соответствующим найден-
ному изображению У(р).
Пример 7. Решить интегральное уравнение у(г) + 2 Jy(r)cos (г-т)Л = е
0
► Обозначим у (/) = У(р). Так как е ' =	, cos t
——— , то соот-
р~ +1
ветствующее исходному операторное уравнение примет вид
Отсюда легко получим решение интегрального уравнения:
Ир) = -^-^4 =	-----+	/2/L’2
(р+1)	(р+1)’ (р+1) р 1
= (Г-2/ + 1)е"' = (t-	= y(t) . 4
Пример 8. Найти решение интегрально-дифференциального уравнения
t
у" + у' = sin/ + Jy(x)sin(r-т)Л при начальных условиях у(0) = 0,
0
/(0) = 1.
► Положим у (г) = У (р). Поскольку
у"(0 = р2 Y(j>) - 1 , sin t = —— ,
Р + 1
то данное интегрально-дифференциальное уравнение в операторной форме
примет вид
(р2+1)У(р)-1 = -г~ + ^£)->
р~ + 1 р + 1
откуда Y(p) =	, y(f) = t. 4
Р
Вычисление несобственных интегралов. Один из способов вычисления не-
собственных интегралов вида Jf(f)dt основан на связи «конечного» значе-
0
ния оригинала и «начального» значения изображения.
Пусть /(Г) = F(p) и существует lim /(г) = /(+«>) = lim pF(p) (см.
t~> +<о	р -» 0
формулу (16.15)). Так как по теореме об интегрировании оригинала
40
|/(т)(7т	-К(р)(см. формулу (16,12)), то при условии сходимости несоб-
0
+ со
ственного интеграла J f( t)dt справедливо соотношение
О
+ сО
]7(/)Л = £(0).	(16.31)
О
Оно во многих случаях дает возможность вычислить несобственный интеграл
с бесконечным верхним пределом.
Пример 9. Вычислить интеграл
sin 2 г
------at.
► Так как sin It == —-, то по теореме об интегрировании изображения
р +4
(см. формулу (16.13)) имеем:
+со	,
, + сО
<Zu	. и л . р . р
—----- = arctg -	= - - arctg = arcctg .
и~ + 4	^'р
Р
Тогда из равенства (16.31) следует, что
+ сО
rsin2/,, л . . л .
j ——dt = --arctg 0 =	4
О
+ сО
Пример 10. Вычислить интеграл J е \cos 3r cos t)dt .
о
► Найдем изображение подынтегральной функции:
Дг) = е \cos 3r cos /) = \cos 4/ + cos 2/) ==
. If р + 1______р + 1 Л
~ 2k ‘ 2	2 J ‘
z (р+ 1) + 16 (р + 1) +4
Тогда из равенства (16.31) следует, что
+ сО
г ~t.	..	1 с i - п п.
е (cos3/cosr)<// = - - + - = — . 4
J	x 1 / J/	О J
0
41
Способ вычисления несобственных интегралов с помощью операционно-
го исчисления дает также
Теорема (Парсеваля). Если Ц (?) = Г](р), /->(?) = F1(p') и функции F^(p) ,
f2(/>) ~ аналитические при Rep > О, то
4-со	4-со
\f^u)F2(u)du = | F \(y)f2(y) dv.	(16.32)
О	О
Из сходимости одного из интегралов (16.32) следует сходимость другого.
—и.1	. Р
Пример 11. Вычислить интеграл j --------^1П ^rdt.
О
► Имеем:
/](?) = e~al, sin р? =------------ = F]O) ,
(р + а) + р
Г2<Р) = “ =? ст0<0 =	
Тогда из равенства Парсеваля (16.32) следует, что
4-<х>	4-со	 4-а>
f е а"и sin = f-------------------3°0<v)dv = ₽ f---------7----2dv =
0	0(v + a)- + P“	flJ(v+a)- + p
4-со
4,v4-a я „ а *
= arctg—10 =rarctgp-
+ке~3'2 - е~2'2
Пример 12. Вычислить интеграл	---dt.
о f
> Предварительно выполним замену переменной, положив t2, — z. Тогда
t = Jz , dt = —dz и 0 < z < + да . Отсюда
27г
С помощью прил. 2 найдем изображение оригинала:
/|(г) =
-Зг -2г
е - е
Z
4= 'п
£+2
р + 3
42
В качестве изображения функции /2 U) возьмем F\(p) = \/Jp. Из
прил. 2, п.17, следует, что/2(г) = 1/-/тг?.
На основании формулы (16.32) получим:
r” —3z -2z
f e - e
J zJz
0
, и + 2 1	,	1 t ,
in—— -—du = - In
u + 3 JnU 2 J
0
-2vdv =
2
, v + 2 ,	1
ln“----dv = — v
v~ + з
2v“
0 4',‘ + 2)(v“ + 3
2v2
2v“ | ,
----\dv
2
  i v +2	_
так как lim v In—----- = 0 .
v->+«> v- + 3
Вычисляем последний интеграл:

О
, v" + 2
In -7----
О
О
J V + 2
0
dv ,
Искомый интеграл равен -Jn(Ji - Ji) . <
Операционное исчисление в электротехнике и механике. В настоящее время
в курсе электротехники методы операционного исчисления широко исполь-
зуются при расчете электрических цепей. Эти методы удобны с математиче-
ской точки зрения. Физической основой расчета электрической цепи являют-
ся правила Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа (правило узлов). Алгебраическая сумма токов ik,
сходящихся в точке разветвления проводников (узле), равна нулю:
п
22 '* = о ,	(16.33)
*= 1
где п > 3 - число проводников, сходящихся в узле. Положительными считаются
токи, подходящие к узлу, отрицательными - токи, отходящие от него.
Второе правило Кирхгофа (правило контуров). В любом замкнутом контуре,
произвольно выбранном в разветвленной цепи проводников, алгебраическая сумма
43
падений напряжений на отдельных участках контура равна алгебраической сум-
ме ЭДС в том же контуре:
«I	«2	"3	«4
IVIVZV Xej> (1634)
7=1	7=1	7=1	7=1
где UR , Ur , Ur - падения напряжений на участках цепи, содержащих резис-
тивный, индуктивный и емкостный элементы соответственно; Ej - ЭДС вклю-
ченных в контур источников электрического тока.
Падения напряжений на соответствующих участках цепи определяются
следующим образом:
UR=Ri, UL=LJt’ tfc= £р(т)А.	(16.35)
О
При использовании правила контуров выбирается определенное направ-
ление обхода контура: токи ik, совпадающие по направлению с направлением
обхода, считаются положительными; ЭДС Ej источников тока считаются по-
ложительными, если они создают токи, проходящие в направлении обхода
контура.
Пример 13. Контур (рис. 16.8) подключен к постоянной ЭДС Ео. Опреде-
лить силу переходного тока i (Г) в контуре при отключенном рубильнике К.
► В контуре узлов нет, и необходимость в применении первого правила
Кирхгофа (16.33) отпадает. Использование второго правила Кирхгофа (16.34)
И формул (16.35) приводиткравенству UL+ UR = Ео ,т.е.к дифференциаль-
ному уравнению с начальным условием:
Д^+(Я]+Я2)/= EQ, ; (0) = 0.	(1)
44
Обозначим изображение силы тока i (?) через 1(р) и воспользуемся
свойствами изображений по Лапласу (см. прил. 1,2). Тогда для уравнения (1)
получим операторное уравнение
Lpl(p) + (А, + ЯД Др) = Е0/р ,
решение которого относительно 1(р) можно представить в виде
,	_ ____£о__ = Е0 1 Е0______1
/ Я, + R2\ Ri + R2 р А] + Я2 Я^ + Я2
Цр+—-	р+~т~
Отсюда, воспользовавшись п. 1 прил. 1 и п. 1,2 прил. 2, легко находим реше-
ние задачи Коши (1):
/(О =
Пример 14. В контуре, рассмотренном в примере 13, при установившемся
режиме в некоторый момент времени, принимаемый за начальный (/ = 0),
включается рубильник. Определить силу переходного тока / (г).
► Режим в контуре, описываемый формулой (2) из примера 13, будет уста-
новившимся после достаточно большого промежутка времени г, т.е. при
г-> оо :
Получаем другую задачу Коши:
£
Д;.<i>
операторное уравнение для которой имеет вид
'( Ео У	Ео
lIp^-r^rJ + r^ = 7-
Решая его относительно изображения J(p), находим:
- ,	Е(№] + R2 + Lp) _ Ед __________ЕаЕ2_________
Р P(Ri + Rt)(Lp + R}) R}p R\(R\ + R2)(p + R^/L)
Воспользовавшись теми же пунктами прил. 1, 2, что и при получении ре-
шения (2) задачи Коши из примера 13, приходим к решению задачи Коши,
рассмотренной в данном примере (см. формулу (1)):
»(0 = тН 1-т-
ЯД Е\+)
45
Пример 15. Цепь (рис. 16.9) рубильником /(включается на постоянное на-
пряжение U. Определить силу переходного тока (г), z'2(z‘), z'3(z‘) при усло-
вии, что U = 60 В, А| = 10 Ом, Я, = 30 Ом, L = 0,3 Гн.
► Направление обхода по контурам цепи выберем по ходу часовой стрел-
ки. Согласно первому и второму привилам Кирхгофа получим систему урав-
нений:
'1-'2-'з = °-
z/z3
R^L-L—- = 0,
22 dt
di,
R, z. + L—- = U,
11 dt
'V0) = '2(°> =	'з(О) = °-
1\ j "г
Первое уравнение системы определяем по правилу узлов (16.33) для узла
А (см. рис. 16.9), второе и третье уравнения - по правилу контуров (16.34) для
контуров ALBA и UALBU соответственно с учетом формул (16.35).
Если /] (р), /9(р), /3(р) - изображения токов z'j (0 , z'2(z), z'3(z‘), то соот-
ветствующая найденной системе операторная система запишется в виде
А2/2(р)-£р/3(р) = 0,
Л171(р) + 1р73(/>) = ^.
Решаем данную систему по формулам Крамера. Ее определитель
1 -1
0 я,
А, 0
-1
А =
-Lp — R-)Lp + R^(Lp + /?2) — Z,(A| + R,)p + R}R, —
Lp
46
Далее,
L(Rx + R2-)\p +
*1*2 "I
ДЯ] + A,)J
UR-.
UL + —-
P
Последовательно находим:
(	*1*2
л	в
p	R\R1
p *(M*2)
ULp -r UR2 { AjA2
i(A] + r2) л v + l(rx+r2)} + Bp
Из данного тождества при р — 0 получаем:
*1*2	«*2	U_
L(Rx + R2) L(RX + R2y Rx '
Приравниваем коэффициенты при р в левой и правой частях тождества:
UL	^*2
I(A, + A2)	’ R}(RX + R2y
, , , = _U 1 _ UR1______________1________
>W Rx~p RX(RX + R2) p + RxR2/L(Rx + R2) ’
По прил. 2 находим оригинал:
4(0 =
R? ~URt + A,)'
At + R2
Аналогично получаем:
/2(а) =
Г *1*7
^+RA?+L(R^}
47
U ~L(Rt + R2)‘
Я, + 7?/
A, U
(	-^1 ^9
^+^p[p+L(Rl+-R^
л	Л!Л2
ц\ ~L(R,^R2y
‘^ = *у-е
Подставив числовые значения U, /?ь Л2, Л в выражения для/[(/), /,(/) ,
z’3(/), получим:
/](г) = 6-4,5е“2’5', /2(Г) = 1,5е’2,5', /3(г) = 6(1 - е'2’5') . Ч
Пример 16. Электрическая цепь, состоящая из последовательно соеди-
ненных конденсатора емкостью С, катушки с индуктивностью L и электри-
ческого сопротивления R, подсоединена к ЭДС Е (рис. 16.10). Найти диффе-
ренциальные уравнения, описывающие законы изменения электрического
заряда q (t) на обкладках конденсатора и силы тока i (t) в цепи.
► Цепь не содержит узлов, поэтому используем только второе правило
Кирхгофа (16.34) и формулы (16.35):
t
Lj' + A/+ip(T)rfT = Е.	(1)
о
тл	dq	di d q
Из электротехники известно, что i = —. Следовательно, — --------* и
dt	dt ,2
dt
с учетом уравнения (1) имеем:
48
L^+R^ + j, = -E.	(2)
rf/2 dt c
Дифференцируя обе части уравнения (1), приходим к уравнению для силы
тока:
+ = <3)
Полученные дифференциальные уравнения (1)-(3) для q (t) и i (Г) легко
решаются операторным методом, но дают качественно разные решения в за-
висимости от значений L, R, С и Е. Эти случаи достаточно подробно описаны
во многих учебниках, например в [1], и здесь мы их рассматривать не будем.
Отметим только, что решения могут быть периодическими, затухающими пе-
риодическими, апериодическими и резонансными.
Замечание. Колебания ряда механических упругих систем с одной сте-
пенью свободы описываются дифференциальными уравнениями вида (2), (3).
Например, колебания материальной точки массой т задаются уравнением
т^+к^ + кх =М,	(16.36)
dr dt
где х (t) - отклонение точки от положения равновесия; X. и к связаны с коэф-
фициентом трения и частотой свободных колебаний системы; f (t) - внешняя
возмущающая систему сила.
Уравнение (16.36) может описывать также крутильные колебания махови-
ка на упругом валу, если х (f) - угол поворота маховика, коэффициент к свя-
зан с крутильной жесткостью вала, a f (г) - момент внешних сил относительно
оси вращения.
Таким образом, различные физические процессы описываются однотип-
ными дифференциальными уравнениями (2), (3) и (16.36), которые могут
быть приведены к виду (16.25) и решены с помощью операторного уравнения
(16.29).
Применение импульсных функций. В § 16.1 настоящего пособия рассмотре-
ны импульсные функции первого и второго порядка 3(f) и 8](f) соответст-
венно. Эти функции можно встретить при решении задач из области механи-
ки, электротехники, гравитации, где они выступают как внешние силы, мгно-
венно действующие на физическую систему.
Пример 17. Методами операционного исчисления решить задачу Коши:
у" + 2у' + 5у = а8(Г- ?0), у(0) = у0 , у'(0) = y'Q .	(1)
► Составим операторное уравнение (а = const):
(р- + 2р + 5) Y(p) = {p + 2)yQ + y'Q + аеР‘°
инайдем изображение решения Y (р):
49
-р/0	~PtQ
(p + 2)yQ+y'0 + ae	, y0 + yQ + ae
Y(.P} = ------г----------- = Уо------5--+---------------
. р + 2р + >	(р+1) +4	(р+1) +4
По изображению Yip) с помощью прил. 1, 2 находим оригинал у (/), т.е.
решение поставленной задачи Коши:
-tf	У<у+У’ь > a
y(t) = е ^y0cos2r +-----—sin 2rJ+-o0(r-r0)e	sm2(f-/0).
Движение до момента t = z(1 описано первым слагаемым. В момент време-
ни t = Zq под действием импульсной силы первого порядка aS(z-rQ) материаль-
ная точка мгновенно получает дополнительную скорость а, так как
'0>е (* Qsin2(i-?0)) i=Iq = а.<
Пример 18. Решить задачу Коши:
у" + 2у' + 5у = bb^t-t^), у(0) = у0, у’(0) = Уо.	(1)
► Данная задача отличается от задачи Коши из примера 17 только тем, что
импульсная сила первого порядка a5(t- /()) заменена в ней импульсной силой
второго порядка bby(t- zQ). Поэтому имеем другое операторное уравнение
(b = const):
(р2 + 2р + 5)Г(р) = (p + 2)yQ+y'Q + Ьре Р'°,
из которого находим изображение:
(p + 2)yQ + y’Q+bpeP'a /	-р/„\	+]
У(р) = -------------------- = [yQ + bpe I-----------+
р +2р + 5	(р + 1) + 4
, ~Р'о
! Ур + У Q+bPe
(р+1)2 + 4
а затем и соответствующий ему оригинал:
-tf	Уо + У'о \
у(/) ~ е [Ур cos ~2f + j— S’n 2/ +
+ <т0('~ V '°\b cos 2(Г- Го) - ^sin 2(t- rQ)} .
Здесь первое слагаемое представляет собой общее решение однородного
уравнения, а второе состоит из двух частей, появившихся из-за воздействия
импульсной силы второго порядка Z»5t(/-z0). Первая из них описывает
мгновенное смещение материальной точки на расстояние b в момент времени
50
z =/(), а вторая - мгновенный скачок скорости на величину-Ь вэтотже мо-
мент г = г0. ◄
Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффици-
ентами. Пусть коэффициентами исходного линейного дифференциального
уравнения будут многочлены относительно аргумента t и правая часть f (/) яв-
ляется оригиналом. Тогда, использовав теоремы о дифференцировании ори-
гинала и изображения (см. формулы (16.7) и (16.8)), получим соответствую-
щее операторное уравнение, которое снова будет линейным дифференциаль-
ным уравнением (аргументом является р) порядка, равного высшей степени t
в многочленах исходного уравнения относительно искомого изображения
Y(p) .Таким образом, если порядок исходного уравнения п относительно у (Г),
а высшая степень многочленов равна т. то операторное уравнение будет ли-
нейным дифференциальным уравнением порядка т относительно Y(p). Если
т«п , то решение уравнения более высокого порядка п сводится к решению
уравнения более низкого порядка т и отысканию у (?) по найденному изобра-
жению Y(p). Но в общем случае использование этого метода предполагает
значительные трудности.
Простейшим является случай линейного дифференциального уравнения Эй-
лера
X (0*/+z,^(” м =ж’	(16-37)
к = О
где ак, Ьк - постоянные;/(/) - оригинал. Это уравнение любого порядка п
имеет соответствующее операторное уравнение, являющееся линейным диф-
ференциальным первого порядка, решение которого всегда выражается через
интегралы, что приводит к элементарным или специальным функциям для
Y(p). Если для Y(р) удается найти оригинал у (/). то он и является решением
уравнения (16.37).
Замечание. Постоянные интегрирования операторного уравнения в
общем случае и в случае уравнения Эйлера, когда имеется только одна посто-
янная интегрирования, легко находятся по начальным условиям для исходно-
го уравнения с помощью теоремы'о связи начального значения оригинала с
конечным значением изображения (см. формулу (16.16)). 4
Пример 19. Найти решение дифференциального уравнения
(/+1)у"-(3/ + 4)у' + (2/ + 4)у = О
при произвольных начальных условиях у(0) = у0 , у'(0) = у'о , т.с. найти его
общее решение.
► Составим операторное уравнение. Исходные соотношения:
J'(l) = W, /(0 = Р И» ~ > /'(') = Р2^(Р)-РУо~У'о  Перепишем дан-
51
ное уравнение в виде t(y" - Зу' + 2у) + (у" - 4у’ + 4у) = О и найдем изобра-
жения выражений в скобках:
У" _ 4у' + 4у ± (р2 _ 4р + 4) Y(p) -(р- 4)у0 - у'о ,
у" - Зу' + 2у = (/ - Зр + 2) У(р) - (р - 3)у0 -у'о .
Применяя к последнему операторному соотношению теорему о диффе-
ренцировании изображения (16.7), находим:
t(y"-3y' + 2y) = -±((p2-3p + 2)Y(p)-(p-3)yo-y'o) =
= - (р2 - Зр + 2) У(р) - (2р - 3) Г(р) + у0 .
Следовательно, операторное уравнение имеет вид
(р2-3p + 2)Y(p)-(p2-6p + T)Y(p) = -yap + 5yQ-y'Q .
Общее решение линейного дифференциального уравнения первого по-
рядка находим стандартным образом:
w . _ С/ . и/НУр-'%)/’+ У0
Пр) ->	2
(р-\)~(р — 2)	(р-1)(р-2)
Здесь С - произвольная постоянная интегрирования, значение которой вы-
числяется с помощью формулы (16.16), для данного примера имеющей вид
lim р Y(p) = у(0) = у0 . Легко определяем, что последняя формула выпол-
р —> +со
няется при С = 0. Найденное изображение У(р) разложимо в сумму простей-
ших дробей:
v, ч УОР2 + (У'о-4Уо)Р + Уа Л1 ,	А3
Y(P) = ----------5------- = п—Г ------5	
(р-\)~(р-2)	Р (р-1)2 р
Вычисляем значения А2, Л3 и записываем оригинал: .
Г(р) =у(0 = (2У0-Зу0)е2' + (2у0-У0)е'(/+2).
Введем две произвольные постоянные С] и С2 по формулам:
С] = 2у'0-Зу0, С2 = 2уо-у'о.
Тогда найденное общее решение исходного уравнения запишется в виде
y(t) = C}e2'+C2e'(t + 2).<
Пример 20. Операторным методом решить задачу Коши:
ty" + у' + ty = 0 , у(0) = 1 , у'(0) = 0 .
► Опираясь на опыт решения предыдущего уравнения, легко находим
операторное уравнение и его решение:
52
Г~2
(р- + 1) Г(р) +р Y(p) = Ъ , Y(p) = С/4р + 1 .
Постоянная интегрирования С определяется с помощью формулы (16.16):
lim pY(p) =
р —» +со
lim
Р +со
(pC/Jj + 'i) = у(0) =
1, С = 1 .
Окончательно имеем:
, wn(t\ln
• У(р)=ХО = /о(П= £	.
я = о<и!>
т.е. решение задачи Коши (см. прил. 2, п. 23). <
АЗ-16.6
С помощью операционного исчисления найти решение
дифференциального уравнения.
1.	у" + Зу' + 2у = 0, у(0) = 1 , У(0) = 2. (Ответ: y(t) =
= 4е — эе .)
2.	у"-4у = г-1,	у(0) = У(0) = 0. (Ответ: y(i) =
11	1 2г 3 -2г ч
J-J'-ie' W >
3.	у" +у' = ? + 2Г, у(0) = 4, у'(0) = -2. (Ответ: y(i) =
4.	у"-Зу' + бу = sin t, у(0) = У(0) = 0- (Ответ: y(t) =
- 7	5  , 1 '  1 6' х
__cosZ+_sm,__e+_е .)
5.	ЗУ” + бу' + / + 2у = е~‘,	у(0) = /(0) = у"(0) = 2.
Л 1	-t 7	-2/ 63	л/з	5л/з	. л/з	.
(Ответ: y(t) = -е + — е + — cos ^Г+sin .)
4	13 Э2	3	32	□
6.	у'" +у" = 0 , у(0) = 1 , У(0) = 1 , У'(0) = -2 . (Ответ:
y(t) = | cos t— | sin t+2t-3 .)
53
АЗ-16.7
С помощью операционного исчисления найти решение
системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее
указанным начальным условиям.
1.	5	х(0) = 1 , у(0) = 0 . (Ответ: х = е* cos t,
= х + у,
у = е‘ sin t.)
~ fx' = у-7х,
2.	х(0) = 2 , у(0) = 0 . (Ответ: х =
[у' = - 2х - 5,
= 2е 6\cos Г-sin t) , у = -4е 6z sin t.)
r	It
„ lx' + 2x+ 2y = lOe ,
3.	<	x(0) = 1 , y(0) = 3 . (Ответ:
ly' -2x + у = 7 e2t,
2t „ 2t .
x = e , у = je .)
t fx" -3x-4y + 3 = 0,
4.	;	x(0) = x'(0) = 0,y(0) = y'(0) =
[y" + x + y + 5 = 0,
7
= 0 . (Ответ: x = 71 sh t- 17 ch t+ 17, у = 12 ch t— -t sh t-
-12.)
x' = -x + y + z,
5.	<y' = x-y + z, x(0) = 1 , y(0) = 0, z(0) = 0. (Om-
z' = x + y+z,
eem: x
1 -t ,1 2t
-e +-e
1 -2t	1 -t, 1 2t	1 -2t	1 2t
-e , у	=	-e + -e -	-e ,	z =	-e -
2	э О	2	3
2
54
х’ = -х + у + Z,.
6. (у' = x-y + z,
х(0) = 2, у(0) = 2 , z(0) = -1 . (От-
Z' = x + y-z,
вет: х
t , -2t	t , -2t	t _ -2t .
e + e , у = e + e , z = e - 2e .)
A3-16.8
Методами операционного исчисления найти общее реше-
ние указанного дифференциального уравнения.
1.	у" - 4у' + Зу = /(? - Зг + 1). (Ответ: y(f) = с^е1 +
it 5 3 t 9 2 t 11 t .
+ c2e
2.	y'" -3y’ +2y = (4? +4f-10)« f. (Ответ: y(f) = cle> +
+ c2tef + c3e 2t + (t2 + t- l)e (.)
3.	+ j/3) = cos t. (Ответ: y(f) = c{+c2t+c3t2 +
+ |(cos f~ sin f).)
4.	Ветвь, имеющая сопротивление Я3 (рис. 16.11), подклю-
чена к цепи. Используя правила Кирхгофа, составить систему
дифференциальных уравнений и найти операторным мето-
дом силы переходных токов ц, i2, ij, если известно, что U =
= 30 В, 7?] = 10 Ом, R2 = 5 Ом, L- 2 Гн. (Ответ: i}(f) = 2,1 -
- 0,15е-6,25/,	i2(t) = 1,8 + 0,2е-6’25',	i3(t) = 0,3 -
-0,05 е~6’25'.)
5.	Найти решение интегрального уравнения
t
|у(г) s>n ((~~ i)dx = sin21. (Ответ: y(t) = ^(1 + 3 cos 2t).)
0
55
6.	Найти решение интегрального уравнения y(f) =
t
= sin 2t~ ; J у(т) sh 3(7-t)A . (Ответ: y(f) = ^(13 sin 2t-
o
-16shz).)
+ 00
7.	Вычислить несобственный интеграл xe cos xdx.
0
(Ответ: 5/169.)
+ 00
o D	,	г sin осх — sin Вх ,
8.	Вычислить несобственный интеграл ----------—’—dx,
J Хл/х
о
а, р > 0. (Ответ: j2Tt(Ja. - Ур).)
+ со
9.	Вычислить несобственный интеграл j х2е axdx, а > 0 .
о
(Ответ: 2/а3.)
56
Самостоятельная работа
1.	Операторным методом найти решение дифференциаль-
ного уравнения у" + 2у' +у = cos t, если у(0) = У(0) = 0.
(Ответ: y(t) = sin /-^/sin / .)
2.	Операторным методом найти общее решение дифферен-
циального уравнения у"~4у = е~*. (Ответ: у(Г) = схе~11 +
. It 1 -t .
+ С2е +Пе )
3.	Операторным методом найти решение системы уравне-
Гх' = _у-4х,
нии <	удовлетворяющее условиям х(0) = 2,
= х + у,
у(0) = 3 . (Ответ: х = е 2? + е у = 2е 2? + е 3?.)
16.4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ
ЗАДАНИЯ К ГЛ. 16
ИДЗ-16.1
1.	По заданному оригиналу найти изображение по Лапласу:
0 при t < 0,
Мо + М [ t + At21 + Мj / +
+ еа,((Л/+ Z?)sin соt + (Ct+ D)cos co/) +
+ Eeato0(f) + Fb(t) + G8](Z) при />0.
Значения параметров a, co, M; (i =0, 1,2, 3), А, В, C, D, E, F, G
приведены в табл. 16.1.
57
Таблица 16.1
Номер вари- анта	а	о	Мо	М|	М2	м3	А	в	с	D	Е	F	G
1.1	0	1	0	2	0	0	2	1	0	0	3	0	0
1.2	0	1	1	0	0	0	0	1	2	0	0	4	0
1.3	0	0	1	0	2	1	0	0	1	0	0	0	5
1.4	1	2	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0
1.5	-2	1	2	1	0	1	0	2	0	1	0	2	0
1.6	0	2	0	0	-1	2	0	-1	1	0	0	0	3
1.7	1	1	2	1	-1	1	0	1	0	0	0	0	0
1.8	-1	0	3	-1	2	0	0	0	-1	0	0	-2	0
1.9	0	1	2	0	-1	0	1	2	0	1	0	0	0
1.10	1	2	0	0	2	0	1	-1	0	0	0	0	0
1.11	0	1	2	-1	1	2	0	1	0	2	0	0	0
1.12	2	0	1	0	0	1	0	0	2	1	0	3	0
1.13	-3	1	2	1	-1	1	0	2	0	0	0	0	0
1.14	0	2	0	0	0	0	1	0	0	2	0	0	5
1.15	1	3	0	0	2	0	-1	0	1	0	0	1	0
1.16	3	1	2	3	-1	1	0	2	0	-1	0	0	0
1.17	 0	2	0	0	2	2	1	-2	0	1	0	0	0
1.18	i	0	3	1	i	1	1	0	2	0	0	0	0
1.19	-1	2	0	2	-1	1	2	0	0	1	0	0	0
1.20	2	1	1	1	1	1	2	0	0	0	0	0	0
1.21	0	3	0	0	2	0	1	-2	0	1	0	-1	2
1.22	0	1	1	0	0	-1	0	1	1	0	0	3	0
1.23	-2	0	2	0	1	0	0	0	1	2	4	0	0
1.24	1	2	2	1	-1	0	1	0	0	-1	2	0	1
1.25	0	0	0	2	0	-1	0	0	2	-1	0	1	0
1.26	-1	4	5	-3	0	0	0	1	0	0	2	2	0
1.27	1	0	3	0	0	5	2	0	0	0	0	0	4
1.28	2	0	0	0	, 3	0	0	0	2	-1	0	3	0
1.29	-5	3	1	0	0	2	0	-3	0	0	2	0	-Г
1.30	2	0	0	2	0	-1	0	0	2	-1	0	1	0
2.	Найти изображение функции
/,(0 при 0 < t<tv
f(f) = ПРИ 'i z</2’
О при t < 0 и t > /2.
58
Функции/)(t),f2(t) и числовые значения параметров ty t2 при-
ведены в табл. 16.2.
Таблица 16.2
Номер варианта	Л(0		0	0
2.1	/	2-r	1	2
2.2	0	COS /	л/2	ТС
2.3	//л	-г/л	ТС	2л
2.4	2/	-2(/-4)	2	4
2.5	t	sin t	л/2	ТС
2.6	3	-3	l	2
2.7	2г	-2л	l/2	I
2.8	2 г/л	2(л-0/л	л/2	ТС
2.9	COS t	-I	ТС	2л
2.10	ТС	— TC	тс	2л
2.11	2r	2(2-0	I	2
2.12	sin f	cos t	л/2	ТС
2.13	t	-t	I	2
2.14	0	—sin t	л/2	ТС
2.15	t	2 л—/	ТС	 2л
2.16	(1/Л)/	1	тс	2л
2.17	sin t	-cos t	л/2	тс
2.18	t	4-r	2	4
2.19	1	sin t	л/2	ТС
2.20	t	t—2	I	2
2.21	cos t	sin t	л/2	ТС
2.22	t		л/2	тс
2.23	//2	-t/2	2	4
2.24	-sin t	-1	л/2	ТС
2.25	It	2(2л-0 	ТС	2тс
2.26	i—2//tc	-3 + 2//л	тс	2тс
2.27	1	'/2	2	3
2.28	r-2	3	5	6
2.29	exp(—2(r—1))	1	I	2
2.30	exp /	-1	I	. 2
3.	По заданному изображению
Ар^ + Вр + С
О + а)(р2 + Ьр + с)
59
найти оригинал. Значения коэффициентов А, В, С, а, Ь, с при-
ведены в табл. 16.3.
Таблица 16.3
Номер ва- рианта	А	В	С	а	b	- с
3.1	3	-9	16	-2	-6	13
3.2	2	16	9	-1	4	4
3.3	1	15	20	-2	2	10
3.4	9	-21	-6	1	-5	6
3.5	0	-6	12	1	— 4	13
3.6	—4	-3	-3	0	2	1
3.7	0	3	13	-1	2	5
3.8	2	-10	24	-2	-2	-3
3.9	1	3	-6	1	6	13
3.10	0	—4	1	0	—2	1
3.11	1	13	3	-3	2	2
3.12	2	5	5	2	2	-3
3.13	0	0	13 '	2	-2	10
3.14	2	-13	39	1	—4	4
3.15	1	-6	8	2	—2	4
3.16	4	0	1	1	1	0
3.17	1	9	44	-1	4	13
3.18	0	—4	5 '	-1	0	-1
3.19	1	-3	12	1	—2	5
3.20	7	12	—7	3	1	—2
3.21	2	—7	11	1	— 2	2
3.22	3	2	11	3	-2	1
3.23	1	3	2	-1	1	1
3.24	3	8	17	—2	2	1
3.25	5	5	-58	— 4	2	-3
3.26	1	5	9	10	4	20
3.27	2	4	8	8	-4	5
3.28	3	3	7	6	4	-5
3.29	4	2	6	4	6	-7
3.30	5	1	5	2	-8	25
Решение типового варианта
1.	По заданному оригиналу f(t) найти изображение по Лап-
ласу F(p).Общий вид функции f(t) взять из табл. 16.1, вари-
ант 1.30.
60
► Коэффициенты а = 2, ш = О, Л/о = О, М\ = 2, М2 - О, =
= -1, Е = G = О, F = 1, А = В = О, С = 2, D = -1 берем из по-
следней строки табл. 16.1. Подставляя их в выражение для
функцииf (t), получаем:
f(f) = It - t3 + e2t(lt - I) + д(/).
Для отыскания изображения F(p) находим оригиналы всех
функций-слагаемых, используя прил. 2:
/
1	3 3'	2/	1 2г
р р	(р-2)
-^,5(0 = 1.
р-2
На основании свойства линейности получаем:
.	26,	2	1 , . .
Р Р (Р-2) р
2.	Найти изображение функции
2t
при 0 < t < л,
f(f) = 1 2(2л - I) при л < t< 2л,
0
при /<0 и />2л.
► С помощью единичной функции Хевисайда представим
функцию/!/) в следующем виде:
f(t) = (^о(О - п0('~ *))  2/+ (а0(/- л) - а0(/- 2л)) х
х2(2л-/) = 2ег0(/)7-2сг0(/-л)/+2ег0(7-л)(2л -/)-
-2о0(/-2л)(2л-t) = 2сг0(<И-4сг0(7-л)(Г-л) +
+ 2сг0(7-2л)(7-2л).
Так как ег0(/) = - и а0(/)/ =	, то на основании теоремы
Р	Р
запаздывания имеем:
ст0(/-л)(Г-л) =	, а0(/-2л)(/-2л) = £’~2’tP4;.
Р	Р
Следовательно,
f(t)=2\-4e^p^ + 2e~2ltp^ = ^(1 -2е~*р + е~2пр) =
Р Р	Р Р
= ^-ГР)-<
Р
61
3.	Найти оригинал функции fit) по заданному изображе-
нию
2
г, ч 5р + 5/7-58
F(p) = -------7е-------
(/>-4)(/ + 2/7-3)
► Разложим знаменатель дроби на линейные множители и
представим данную дробь в виде суммы простейших рацио-
нальных дробей:
2	2
5/7+5/7 — 58	=	5/7 + 5/7— 58	=
(/7-4)(/72 + 2/7-3)	0-4)0-1)0 + 3)
/7-4 /7-1 /7 + 3
Приведя сумму дробей в правой части равенства к общему
знаменателю, приравняем числители дробей:
5/72 + 5/7 - 58 = Я(/7- 1)(/7+ 3) + Z?(/7~4)(/7 + 3) +
+ С(^-4)(^-1).
Подставив в левую и правую части последнего соотноше-
ния корни знаменателя, получим систему уравнений для
определения коэффициентов А, В, С:
42 = 21 Л, А = 2,
-48 = -125, 5 = 4,
-28 = -28С, С = 1.
Следовательно,
г, ч 2,4^1
+0) = ------------------ + --- + ---- .
р-4 /7—1 р + D
Воспользовавшись прил. 2, найдем оригинал:
f(J) = 2е4'+ 4е + е"3'. 4
ИДЗ-16.2
1. Решить операторным методом линейное дифференци-
альное уравнение
ах+ 0х + ух = /(0 , х(Г0) = А , х(г0) = 5.
Функцию /(г) и значения коэффициентов а, Р, у, to, х(?0),
х(/0) взять из табл. 16.4.
/7 = 4
/7 = 1
/7 = -3
62
Таблица 16.4
Номер варианта	а	Э	Y	/(0	'0	x (?o)	*('o)
1.1	0	1	1	cos г	0	0,5	-1
1.2	0	1	2	5 cos t	0	2	-3
1.3	0	1	-2	1е-‘	0	1	—2
1.4	0	1	2	sin t	0	0	—4
1.5	1	-2	2	1	0	0	0
1.6	1	-6	9	2	0	1	2
1.7	1	0	-9	2-(	0	0	1
1.8	1	0	1	0	7Г	1	0
1.9	1	1	. 0	-2/	2	2	—2
1.10	1	1	-6	6	0	-1	5
1.11	1	0	9	18е3'	0	0	0
1.12	1	0	1	- 2 sin /	n/2	0	1
1.13	1	0	-4	41	0	1	0
1.14	1	6	5	12?	0	0	0
1.15	1	6	13	4е“3'	0	0	0
1.16	1	0	1	е~* + 2	0	0	0
1.17	1	2	1		1	1	-1
1.18	1	1	0	2Г	1	1	-1
1.19	1	-1	0	- 21	2	8	6
1.20	1	-6	5 .	Зе2'	0	0	0
1.21	1	4	4	9?	0	0	0
1.22	1	2	I	I + cos 2t	0	0	0
1.23	1	-2.	I	1 - sin t	0	0	0
1.24	1	-1	0	ter	0	0	-1
1.25	1	-1	0	t2	0	0	-1
1.26	2	8	-10	re'	0	1	1
1.27	2	0	8	2 cos2/	0	-1	2
1.28	1	-2	1	1-e'	0	1	2
1.29	3	6	-9	2?- e“3'	0	3	-1
1.30	1	-4	5	e2 'cos t	n/2	-1	1
2. Решить операторным методом систему линейных диф-
ференциальных уравнений
<М+ ь\У+ схх+ Л\У = Л(0, х(0) = А,
а2х + b2y+ с2х + d2y = /2(/), у(0) = В.
Функции/^/), f2(t) и значения ак, bk, ск, dk, (к = 1, 2), А, В,
х(0), у(0) взять из табл. 16.5.
63
Таблица 16.5
Номер вари- анта	“1	*1	С1	dl	/1(0	a2	*2	c2	dl	/2(0	Ц0)	Ц0)
2.1	1	0	0	1 -	0	0	1	-2	-2	0	1	1
2.2	0	1	-1	-2	cos /	1	0	2	1	sin t	0	0
2.3	1	0	-2	—4	cos t	0	1	1	2	sin t	0	0
2.4	1	0	7	-1	0	0	1	2	5	0	1	1
2.5	1	1	0	-1	e'	2	1	0	2	0	0	0
2.6	1	0	-1	1	(3/2)!2	0	1	4	2	41+1	0	0
2.7	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1	-1
2.8	1	0	1	1	er	0	1	-1	1	e{	1	1
2.9	1	2	2	0	cos t	1	1	-1	0	0	0	0
2.10	1	1	0	-1	0	2	1	0	2	cos t	0	0
2.11	3	J	2	0	1	1	4	0	3	0	0	0
2.12	11	0	2	2	10<r'	0	1	-2	1	7e2'	1	3
2.13	1	0	1	-3	0	0	1	-1	-1	e	1	1
2.14	1	0	1	-3	0	0	1	-1	-1	e*	0	0
2.15	1	0	-1	-1	e'	0	1	-3	1	0	0	0
2.16	1	0	-1	-1	e'	0	1	-3	1	0	1	1
2.17	1	0	5	2	0	0	1	-1	7	0	1	1
2.18	1	2	2	0	0	1	1	-1	0	e1	0	0
2.19	1	0	1	-3	0	0	1	-1	-1	e’	1	1
2.20	1	0	-1	-2	t	0	1	-2	-1	. t	4	2
2.21	1	0	2	4	4/+1	0	1	1	-1	(3/2)!2	0	0
2.22	1	0	-1	-1	e~'	0	1	1	-3	0	0	1
2.23	1	0	-2	-2	0	0	1	1	0	0	1	1
2.24	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0	-1	1
2.25	4	1	3	0	0	1	3	0	2	1 '	0	0
2.26	1	5	-1	0	sin t	2	1	-1	0	er	0	-1
2.27	2	4	-2	-1	e!	0	-2	1	0	cos t	1	0
2.28	3	3	-3	0	212	3	0	2	1	sin t	0	-2
2.29	4	2	— 4	-2	1-1	0	-1	0	2	\-t	2	0
2.30	5	1	-5	Li.	cos It	4	0	—2	0	e1'	0	3
Решение типового варианта
/. Решить операторным методом дифференциальное урав-
нение х-х = ? при заданных начальных условиях х(0) = О,
х(0) = 1 .
64
► Из прил. 1, 2 находим изображения по Лапласу.
7	7'	3
х(0 =рХ{р), х(0 =р Х(р)- 1, Х(р)=х(0;/- =2/р .
2	3
Получаем операторное уравнение (р -р)Х(р) = 1 + 2/р .
Решаем его относительно Х(ру.
Раскладываем полученную рациональную дробь в сумму
простейших дробей с неопределенными коэффициентами:
Приведем сумму дробей в правой части равенства к общему
знаменателю и приравняем числители дробей:
р3 + 2 = Л](р- 1) + Л2р(р- 1) + Л3р2(р- 1) +
+ Алр\р - V) + Вр1 .
Подставив в левую и правую части последнего соотноше-
ния корни знаменателя pj = 0, р2 = 1 и приравняв в обеих час-
тях коэффициенты при степенях р4, р3, р2, получим систему
линейных уравнений. Решив ее, найдем значения искомых
коэффициентов:
Л) = -2,
в = з,
р = о
р = 1
2 = -Лр Л) = -2,
3 = В, В = 3,
о = л4 + в, л4 = -3,
1 = Ат, -А^, Л3 = -2,
О ~ Л2—Л3, Л2 ~ Л3 ~ —2.
Подставив вычисленные коэффициенты в выражение для
/(р), получим:
Используя прил. 1 и 2, находим оригинал:
x(f) = 3e-3-2t-?-t3/3 .
Это и есть искомое.решение дифференциального уравнения. 4
) Зак 2209
2. Решить операторным методом систему дифференциаль-
ных уравнений
4х + у + Зх = 0,1
х’+ 3 у+ 2у = 1 J
при заданных начальных условиях х(0) = 0, у(0) ~ 0-
► По прил. 1 находим изображения по Лапласу:
*(0 = рХ(р), y(t) = pY(p),
где Х(р) =х(0; Y(p) = y(Z); 1 4= 1/р . Получаем систему опера-
торных уравнений:
(4р + 3)X+pY = 0, 1
pX+(3p + 2)Y = 1/p.j
Решив ее относительно Хи Y, будем иметь:
ВД = -----, Y(p) = ------------4/ + 3	.
11р^+17р + 6	р(Пр+17р + 6)
Разложим знаменатели дробей на простые множители и
представим рациональные дроби в выражениях для X (р), Y(р)
в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэф-
фициентами:
1	Ai
X(J>^ ~ 11(р + 6/11)(р+ 1) ” />4-6/11 +р+1’
1	Л2 В2	с2
\\р(р +6/\\)(р + 1)	/>4-6/11 р+\ р
Вычислим неопределенные коэффициенты:
w з - If 1	1 А
5 v/> ч-1 Р + 6/И/
Пр) = ± + --!_______”_____.
w 6р 5(p+V) 60 + 6/11)
Использовав прил. 1 и 2, найдем оригиналы:
66
f _______A
/А 1	11
x(t) = - e -e
>
_—f
11 -t 11	11'
y^ = 6 + ~5e-~6e
Это и есть искомое решение системы. <
3. Найти общее решение уравнения
х"'-6х" + \1х'-6х = 12?V'-e2'.
► Перейдем к изображениям:
х' = рХ— х(0) , х" = р2 X— рх(0) - х'(0),
3	2
х"' =р Х-р х(0) -рх'(0) - х"(0) ,
Запишем операторное уравнение:
р3%-р2х(0) -рх'(О) -х"(0) - 6p2JT+ 6рх(0) + 6х'(0) +
24	1
+ ПрХ- 11х(0) - 6Х =	Ц,
(р-з)3 Р-2
или после простых преобразований
Х(р3 - 6р2 + 1 \р - 6) = р2х(0) + рх'(О) + х"(0) - 6рх(0) -
-бх'(0) +11 х(0) +	~3-£-21.
(р-3)3(р-2)
Отсюда, воспользовавшись разложением р3-6р2+11р-6 =
= (р-1)(р-2)(р-3), получаем:
2
Х(п\ = Р х(0)+Рх'(0) + х''(0)-6/?х(0)-6х'(0)+ 11х(0)
W	О-1)О-2)О-3)
г -Р3 + 9р2 - Зр-21
О-з)4о-2)2о- 1)’
Полагаем Х(р) = А^О) + ^{р), где
67
„	р2х(0) + рх'(О) + х"(0) ~ 6рх(0) - 6х'(0) + 11х(0)
(р-1)(р-2)(р-3)
-р3 + 9р;-3р-21 .
G>-3)’g>-2/q,-1)
Разложим ^(р) и Х2(р) на элементарные дроби. Имеем:
у _ М , N , К
ХЛр)------“ + --- + --- ,
1 р-1 р-2 р-3’
+	+	1 + -Г-3+~Л~2+ '
(Р-З)4 (р-З)	(р-З)2 Р-3 (р-2)2
р-2	р-1
-р3 +9р2 -Зр-21 = А(р-2)2(р - 1) +
+ В(р-3)(р-2)2(р- 1)+ С(р — 3)2(р—2)2(р — 1) +
+ D(p - 3)3(р - 2)2(р - 1) + Е(р - 3)4(р - 1) +
+ F(p - 3)4(р - 2)(р - 1) + G(p - 3)4(р - 2)2 .
Из этого тождества находим: А = 12, В = -18, С = 21,
D = -23 , Е = 1 , F = 24, G = -1 . Тогда
-р3 + 9р2-Зр-21 =	12	18	,21	23 !
(р-3)4(р-2)2(р-1)	(р-3)4 (р-З)3 (р-3)2
।	1	, 24	1
(р-2)2 Р~2 Р~Х
Следовательно,
ад = А+
р—1 р — 2 р — э
12 18 + 21
^4	,	,ч3	,	^2
-3) (р-З)	(р-э)
_ 23 +	1	+ 24 _ _J_
Р~3 (р-2)2 Р-2 Р-['
Введя обозначения С] = М- 1 , С2 = N+ 24 , С3 = К-23,
получим:
68
С] с2 С, |2 1й
Х(р) = -----7 +---z +---т +------------------
р-1 р-2 р-3	(/,_3)4 ^ ^3
2J_ + _L_.
-З)2 (р-2)2
Переходим от изображения %(р) к оригиналу х(Г) по фор-
мулам:
1	/1 2t 1 3t
--7 + е ,-z + е , -- = е
р-1	р-2	р-3
1	, 2t 12
------2 - te ’ ------4
(р-2)	(р-3)
12? 3/
3! в
„3 3t
2t е ,
-18	. 18? 3t
(р-з)3 ' 2! е
3t 21	21t 3t t 3t
-9r e ,------3^~iTe = 21?e
(p-3)2 L
Общее решение дифференциального уравнения будет
иметь вид
t It	%t It ч ?	"\t
x(t) = Це + c2e + c3e + te +(2t -9t +21 t)e . ◄
4. Найти частное решение системы
х" + х' + у" - у = е’,
х' + 2х- у' + у - е ’
при начальных условиях х(0) = у(0) = У(0) = 0, х'(0) = 1 .
► Переходим к изображениям:
х(1)=Х(р),х'({)=рХ(р), х"(0=А(р)~1,
У(0 =? Y(p), y'(t) =Р Y(p), y"(f) =р2 Y(p),	== —J— .
р+ 1
Запишем систему операторных уравнений:
р2Х- 1 + рХ+ p2Y-Y= —,'
р- 1
PX+2X-pY+ Y = -L-,
р+1 J
или
69
р(р+1)%+(/-Г)У = -±-х,
>
(p + 2)X-(p-\)Y = —
р+ 1 J
Решив эту систему, получим:
ад = —-2, Y{p) = —-
2(р-\)(р+\)2	2(р2-\)
Разложим на простейшие дроби выражение для Х(р) :
____________ _А_ + _А_ + _с_;
G>-W+D2 р~х О+i)2 р+х’
2р-\ = ЛО+1)2 + В(р-\)+С(р -1),
А = 1в=1,С = -±;
4	2	4
Х(р) = 1_Ь + з!-----1_1_ =	+
*р-' 4(^ + i)2 8^+1 V-i 4(/>+1)2
2(^-1)
Переходим к оригиналам:
По теореме о дифференцировании изображений находим:
( 1 V t -t ( 1 у t ,	
----г = -te и —---- = -t sh t,
у,+ 17
или
----—- = te Z и ——- = t sh t.
(P+l)	(/-1)
Частное решение системы будет иметь вид
х(0 = I sh t + ~.te 1,
4	4 М
ХО = 2/sh /.
70
ИДЗ-16.3
1. Найти изображение по графику оригинала.
(Ответ:
F(p) =
1 + е ?-2е 2j
Р
1.2.
(Ответ:
п ч (1-е )
F(p) = 1-------
Р
(Ответ:
п а (1 -е~?)2
F(p) = 1--^-z-
Р
(Ответ:
F(p) =
1-е-ар
2
Р
71
1.5.
{Ответ:
-ар _ -bp
F(P) = ----y~
P
f(x)> >
0	1	2	3	4	x
1 - e
{Ответ: F{p) = —------.)
p\l+e~P)
72
1.9.

2	1
(Ответ: F(p) = ~ +--------—
1.10.

Синусоидальные с пропусками
импульсы, период Г
1	1 + е"П?
(Ответ: F(p) = —--------— .)
/+1
(Ответ: F(p) = -~(1 - е р)( 1 - е Зр)( 1 - е^р) .)
Р
73
1.13.
1.15.
W|
(Ответ: F(p) = -(1 +e 2p)(l ~e~4p).)
P
1.16.
(Ответ: F(p) = —Ц(1-е 5/,) + -(l-2e 5₽).)
5P2	p
14
1.17.
Ь--1-->--r--1--.--1---
I	II II	II
I	II II	II
I	I III	I I
____t--	1	I--i__t - 1	~	>
О	a	T	T+a	2T2T+a 3T	t
(Ответ: F(p) =	1 J •)
pO-e~P )
1.20.
(Ответ:
F(P)
75
1.21.
(Ответ: F(p) = ^(1 + е р)(1 - е 2р) .)
1.23.
еда
1-------------------п
	...".................|------Г''	"	»
О	4	5{ 6j t
i ।
-1-----------------------1-----1
(Ответ: F(p) = -(е 2р-е ~3/>) .)
Р
1.24.
(Ответ: F(p) = Д-(1 - е 2р) + -(1 -2е 2р).)
Р2	Р
76
1.25.
2(1 -е р/4}(1 -е Зр/4)
(Ответ: F(p) = —------—----------- )
р(\-е~р)
1.27.

F(p) =
(Ответ:
8-8е-р/4-2Ре-р/2
Л1-^р)
1.28.
4(1 - е р/2}
(Ответ: F(p) =	---—у-.)
/(1+^/2)
77
1.29.
a a a 2a 5a
6 3 2 3 6
(Ответ: F(p) = -ch(ap/12)/ch(ap/4).)
P
2. Вычислить несобственный интеграл с помощью пре-
дельных теорем.
+ оо -at -Ы	,
2.1. |	—dt, a > 0 , Ь > 0 . (Ответ: In - .)
о
+® -at .	,	,
2.2. f ~--——dt, а> 0 , b > 0 . (Ответ: arctg- .)
it	а
О
+ <ю -at -В/
— е
----------sin mtdt, а>0, Р>0, т>0. (Ответ:
О
. В . a .
arctg1- - arctg—.)
т т
78
2.4.
о
__	+ г sin at sin bt ,	, n	1. a + b \
2.5.	-----------dt, a > 0 , b > 0 . (Ответ: -In -—- .)
J t	+ a-b
0
2.6.	f e ax sin bxdx, a >0, b > 0 . (Ответ:	—- .)
J	a + b
о
4-co
Г “4x	63
2.7.	j e sin 3x cos 2xdx. (Ответ: .)
о
+ co
2.8.	f e ax cos bxdx. (Ответ:	—- .)
J
a+b
о
+ » -ax .	1
2.9.	[ ---Sin Xdx. (Ответ: arctg- .)
J x	a
0
+cc з	51
2.10.	|e x cos 3x cos 4xdx. (Ответ: .)
о
Вычислить несобственный интеграл, используя формулу
Парсеваля.
2.11.
j х	а
о
+ 00
- ,, г sin ах-а sin х , , „	.	.
2.12.	1-------------dx. (Ответ: - а In а .)
J х
о
2.13.	J —- dx. (Ответ: .)
79
4-оо .	. 2
~ лл г sin ах sin х г л о	па/л \ \
2.14.		----------ах, 0 < а <2 . (Ответ: — (4- а).)
J ->	о
2.15. J
2
Sin X
2.16.
j cos х dx. (Ответ:	.)
о
4- oo
2.17.	j -—-p-^dx. (Ответ: .)
0 x
+ “ . з	_
2.18.	f SirL -dx. (Ответ: — ln3 .)
J 2	16
~	WA.J.	. z	7,	sy i \
- re sin bx ,	If. _ b t io\
2.19.	j --------dx. (Ответ: -(^3arctg - - arctg —J .
о
+ °o .3	_
2.20.	f Sin *Jx. (Ответ: -я .)
J 3	3
+ «> -ax -bx.2	x2a,-,.2b
2.21.	f (-------—-) dx. (Ответ: ln^-^—77~TTj )
JV x J	(a + b)2(a + b)
- -- r sin x cos x ,	, _ it .
2.22.	---------dx. (Ответ: - .)
J x	4
2.23.
4-00	3
f —-—-dx, a ^0 . (Ответ:
1 (х + аУ
0
+ со -ах2 -bx2
2.24.	J----------dx. (Ответ:	Указа-
x
0
2
н и e. Сделать замену x = t.)
+ 00
т t- r sin x cos 2x ,
2.25.	J ---------dx. (Ответ: 0.)
0
+ C° 1 e~a2^	1
2.26.	Г-----—dx. (Ответ: -ln(a + 1).Указание. Сде-
J x2	2
0 xe
2
латьзамену x = /.)
Вычислить несобственный интеграл, предварительно най-
дя его изображение с помощью интеграла Лапласа.
4-со
2.27.	Г -—C-°S atdt. (Ответ: ^а.)
J /	2
О
4-оо
г /sin at .	п -ab .
2.28.	—-----dt. (Ответ: -е .)
J г +ь	2
о
4-оо
_ г cos at . , „ Л -ab .
2.29.	—-----dt. (Ответ: — е	.)
} t2 + b2	2Ь
О
4- со
2.30. Г S^n at dt. (Ответ: ~Л:(1 -е °Ь) .)
tU+b2)	2о
Решение типового варианта
1.	Найти изображение функции, заданной графически
(рис. 16.12).
81
f(x),<
О	2	4[	6; ,x
_-i-------------------!--------J
Рис. 16.12
► Как видно из графика функции, приведенного на
рис. 16.12,
/(*) =
О при х < 2,
1 при2<х<4,
-I при 4 <х< 6,
О прих>6.
Следовательно, преобразование Лапласа оригинала /(.х)
имеет вид
+ оо	4	б
F(p) = J PXf{x)dx = Je pxdx- |е рх dx =
О	2	4
_	1	-pxl4	1	-pxl6	_	1	-4р	1	-lp 1	-бр 1	-4р
----е	+ -е	.---е	+-е	+--е	-~е	=
Р 12	Р 14 Р Р Р Р
_ \-4р , -брч (е р-е Зр) . ,
= -(е	-2е +е ) = i<
Р	Р
2.	Пользуясь предельными теоремами, вычислить несобст-
+ оо
„	t sin х ,
венный интеграл ------dx.
J х
о
4-ос	+ос
► Воспользовавшись формулой	= J F(p)dp у с
О	о
1
учетом того, что sin х = —-, получим:
Р +1
82
+ оо	+ со	р
Гааз* . г . lim . lim arotsrf -
J х о + 1 ’* V +1
71
= lim arctg р = - . ◄
р —> со	2
3.	Найти изображение F(p) оригинала /(Г) с периодом
Г= 2, если f (Г) задан графически (рис. 16.13).
► Оригинал /(г) можно аналитически изобразить на интер-
вале-периоде следующим образом:
О
при -оо < t < 0,
ЛО = t
при 0 < t < 1,
1 - t при 1 < t < 2.
Поэтому изображение данного периодического оригинала в
соответствии с п. 6 прил. 1 найдем по формуле
т
F(p) = --X—T\Me~ptdt =
1 е о
1
l-e-2₽
ре p>dt+ j(l - t)e ptdt
% 1 '
Последние интегралы вычислим с помощью формулы ин-
тегрирования по частям:
83
f(l -t)e ptdt = --((! -t)e pt--e =
J	P J .
1 1
1 -ip 1 -ip 1 -p
= -e	+ — e	—-e .
n	2	2
P P P
Подстановка найденных интегралов в выражение для F (р)
приводит к ответу:
W = —Ц-Д (1 - 2е~Р + е~2р) - ~(е~Р- е~2р)\ =
\~е~2р"р2	Р	}
1	(1 - е р е .
4. Вычислить несобственный интеграл, предварительно
найдя его изображение с помощью интеграла Лапласа и при-
няв за переменную интегрирования параметр а\
/(«) = f
о + 4>
4-оо
► Так как Г е ра sin atda = —--- , то изображениеданно-
J	Г +р
о	г
го несобственного интеграла по переменной а можно предста-
вить в следующем виде:
F(P) = f е~ра
о
Г -^Ldt da =
I о +4> )
е ра sin atda dt =
о  v ’ о
84
-boo	4*ао
= f_________iL_____=	-------Ол =
0J (/2 + 4)(?+p2) /-4oJY + 4 ?+/
= 1
8\p p + 2)'
Найденному изображению соответствует оригинал
/(«) = H(i-e-2fl).<
О
16.5.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 16
Найти изображение оригинала.
2	2	3
1.	t sin 2t. (Ответ: (12р -\6)/(р +4) .)
2	2	2
2.	t cos (Z/2) . (Ответ: (16р -4)/(4р +1) .)
3.	(?/2)sh t. (Ответ: (Зр2 + 1)/(р2 - 1) .)
-2t	2	2
4.	te sin 3t. (Ответ: (6р + 12)/((р + 2) +9) .
5.	(/2/2)ef cos t. (Ответ: (j? - Зр + 2)/(р2 - 2р + 2) .)
t
6.	Г-—— dx. (Ответ: - In f 1 + -'j .)
J x	p \ p2
0
t
7.	. (Ответ: In + * .)
J x	2p p — 1
0
8.	f-*-—-dx. (Ответ:	In * + In * .)
J x2	2p p-i p
0
Найти оригинал указанного изображения.
9-	р/((р2 + 1 )(р2 + 2р + 2)). (Ответ: (l/5)(cos t+ 2 sin t-
- e ’(cos t+3 sin 0)-)
2	2	2
10.	(p -\)/(p(p + 4) ) .(Ответ: (\/\6) (cos 2t+ 5t sin 2t— 1).)
85
П.(р2+р+])/((р-\)3(р2+1)).(Ответ: (1/4)((3/2-1)е +
+ sin t + cos f) .)
12.	p/(p4 - 1). (Ответ: (l/2)(ch /-cos /) .)
4-1
13.	(p(p -1)) . (Ответ: (l/2)(ch / + cos /-2).)
2_1	t
14.	((/> - 1 )(/> +1)) . (Ответ: (l/2)(e - sin t- cos f) .)
2	-1	t
15.	p((p- l)(p +0) - (Ответ: (l/2)(e + sin /-cos /).)
2	“1	-t
16.	((p+l)(p +2p + 2)) . (Ответ: e (1-cosf).)
Решить задачу, используя методы операционного исчис-
ления.
17.	Найти частное решение дифференциального уравнения при
заданных начальных условиях: х" - 9х = sh / , х0 = -1 , х'о = 3
при /= 0. (Ответ: х = (25/24)sh 3/-ch 31-(1 /8)sh /.)
18.	Найти общее решение дифференциального уравне-
ния x" + 9x=cos3/. (Ответ: х = cos 3/+ С2 sin 3/ +
+ (1/6)/sin 3/.)
19.	Найти частное решение системы дифференциальных
уравнений при заданных начальных условиях:
х" + у' = sh /- sin /- /,
у" + х' = ch /- cos /,
•О = 0, х'о = 2 , у0 = 1, у'о = О
2
при t— 0. (Ответ: х = sh / + /, у = cos / - / /2 .)
20.	Найти общее решение системы дифференциальных
уравнений:
r"_v' = 1 1	х = С, + C,sh /+ C4(ch /- 1),
(Ответ:	)
у" -х' = 0. j	у = Cj + C2ch /+ С3 + C4sh /- /.
21.	Найти общее решение дифференциального уравнения
Эйлера:
а)	(1-2/)х" + 2х' + (2/-3)х = 0;
б)	/х"-(2/ + 1)х' + (/+ 1)х = 0.
(Ответ: а) х = C^et + C2te 1; б) х - С^е* + С^е .)
22.	Решить интегральное уравнение:
86
a)	jch(r-т) • x(t)Jt = ch r—cos Г;
0
6)	jch(/-r) • x(-r)Jr = rcosr;
0
t
в)	x(t) = e + Тх(т)</т ;
о
t
r)	A‘(0 = 1 - cos t + Jsin (J-t)x(t)</t .
0
2t
(Ответ: a) x(t) = 2 sin t; 6) x(t) = 2 cos t- 1 ; в) x(t) = e ;
7
r)x(r) =7/2.)
23.	Вычислить несобственный интеграл:
+ o° -ax -bx
.re - e cos ex, n , n
a)	j -------------dx, a >0 , b > 0;
0
+ oo
6)	[ xe ax cos bxdx, a>0;
+ oo
в)	J cos (ax2)dx;
0
x sin ax .
—-----—dx
2 , l2
+ ”	2
д)	j e ax dx, a > 0;
0
+ 00 -ax -bx
e)	f  --z——dx, a > 0 , b > 0;
J Jx
о
87
+ со
. г sin ах - sin bx ,	_ , „
ж)	--------------dx, а>0 , b>0.
о
(Ответ: а) 1п(лД2 + с2/а); б) (а2 - Ь2)/(а2 + Ь2) ;
в) (1/2)7тс/(2а); г) (п/2)е^аЬ ; д) (л/2)/ Ja \
е) jTt/(ab)(Jb-Ja)-, ж)	Jb).)
17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
17.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Работа многих механизмов, электротехнических устройств, электромаг-
нитных цепей и их звеньев, различных приборов для автоматического регули-
рования описывается системами дифференциальных уравнений. Рассмотрим
следующую систему:
dx-	____
~ = Х;(х1,х2, ... ,xn,f),i= 1,л.	(17.1)
Предположим, что правые части системы (17.1), т.е. функции Хр непре-
рывны в некоторой открытой области D , которая может совпадать со всем
(п +1)-мерным пространством переменных Г, хь х2, ..., х„. Кроме того, будем
считать, что для системы (17.1) в области D выполнены условия существова-
ния и единственности решения
х,. = Х;.(Г,Х°,Х°,... ,х°),1= М,	(17.2)
удовлетворяющего начальным условиям
х,.(Г0,х",х",...,х°я) = х",	(17.3)
где t0, xi - некоторые числа из области D. Предположим, что решение (17.2)
определено для любого значения Г, в этом случае оно называется продол-
жаемым.
Правые части системы (17.1) можно рассматривать как проекции пере-
менного вектора скорости X = (Xj, Х2, ... , _Тл), а величину t - как время.
Тогда система (17.1) описывает закон движения начальной точки
, ° °	0.
lW0(Xj, х2, ... , хя) л-мерного фазового пространства по траектории
.. 0 0 > о. .	:—
xi х,(>,	х2, ... , хя) , Z	1 ,л .
Запишем систему (17.1) в векторной форме:
£ = Х(х,0,
где х =
- вектор-столбец размерности л х 1 ;

89
/X] (x, Д,
Х,(х, t)
(17.4)
Ц,(х. t)J
является вектором скорости.
Решением системы (17.1) называется векторная функция
Х(Г) =
= (^1(0,	’ хл<0)Г,

где Т- знак транспонирования.
Через |xfl обозначим норму вектора, которую будем считать совпадаю-
щей с евклидовой длиной вектора'.
Ы = Y
(17.5)
17.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ.
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(17.6)
Выделим некоторое решение у = Д/) системы (17.6) и назовем его невоз-
мущенным движением.
Движение у = fit) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
е > 0 существуетб > 0 такое, что нз неравенства ||у(/0) -Д ?0)|| < 6 следует нера-
венство 1Х0-Л01 <е при любых t> Го . Здесьчерез у = у(1) обозначено лю-
бое другое решение системы (17.6), определяемое начальными условиями
Х'о) = Jo (рис- 17л>-
Рис. 17.1
90
Движение у = Д/) называется неустойчивым, если существует е > 0 и ре-
шение у = у(г) такие, что для любого 5>0 при -A<q)| <5 найдется
T>t0 такое, что ||у( Т)-Д 7)|| >в (рис. 17.2).
Движение у = j[f) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову,
если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое положительное число h,
что при ||у(?0)-Д/0)|| < й будем иметь (рис. 17.3):
lim |>(/)-А')П = 0 .	(17.7)
Если движение у = Д/) устойчиво по Ляпунову и соотношение (17.7)
справедливо для решений y(t) , определяемых любыми начальными условия-
ми, то говорят, что движение у = f\t) асимптотически устойчиво при любых
начальных данных (или асимптотически устойчиво в целом', рис. 17.4).
91
Произведем в системе (17.6) замену искомой функции у функцией х по
формуле х = y-f(f). Новая система будет иметь вид
Г(х+Л0,0-W),/).
Введя обозначение X(x,t) = Y(x+f{t), t)- Y(f(t), t), получим систему
£ = X(x,0 ,	(17.8)
at
где ЛГ(О, Г) = 0 при t> t(j .
Система (17.8) определяет дифференциальные уравнения возмущенного дви-
жения. Движение у = f(t) переходит при рассматриваемой замене перемен-
ных в состояние равновесия х = 0 новой системы, а задача устойчивости дви-
жения у = f[t) - в задачу устойчивости нулевого решения х = 0 системы (17.8).
Решение х = 0 системы (17.8) называется устойчивым по Ляпунову,,если
для любого £>0 можно указать число 6>0 такое, что из неравенства
||х(г0)|| < 6 при любых t > t0 следует неравенство ||х(г)|| < с . Если, кроме того,
существует h > 0 такое, что всякое решение х = x(t) , начальные данные ко-
торого подчиняются условию || jc( )|| < h < обладает свойством
lim ||х(Г)|| = 0 , то нулевое решение называется асимптотически устойчи-
t —> +оо
вым по Ляпунову. Область ||х(Г)|| < h называется областью притяжения нулево-
го решения. Если эта область охватывает все фазовое пространство й = +°о,
то нулевое решение системы (17.8) называется асимптотически устойчивым
в целом.
На рис. 17.5, 17.6 дается геометрическая интерпретация данных опреде-
лений устойчивости в случае двумерных векторов х = х(х1(Г), х2(/)) , т.е.
описывается поведение траекторий движения х = х(г) на фазовой плоскости.
92
Геометрическая интерпретация неустойчивости нулевого решения систе-
мы (17.8) в двумерном случае дана на рис. 17.7.
17.3. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА И ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим функцию v(X],x2, ..., хп) , которая определена в фазовом
пространстве переменных хь х2, ..., хп, непрерывна, имеет непрерывные част-
ные производные в некоторой области Do, включающей начало координат, и
удовлетворяет условию v(0, 0, ..., 0) = 0.
Т
Функция v (хь х2,..., хп) = v(x), где х = (Ху, х2, ..., хп) , называется опре-
деленно положительной или положительно определенной в области Dq, если
v(x) > 0 для любых х е DQ , х * 0 . Если же v(x) < 0 для любых хе DQ , х * 0 ,
то функция v(x) называется определенно отрицательной или отрицательно
определенной. В обоих случаях v(x) называется также знакоопределенной.
Если же для любых х е DQ v(x) > 0 или v(x) < 0 , то функция v называет-
ся знакопостоянной, причем в первом случае она знакоположительная, а во
втором - знакоотрицательная.
Если в области Do функция v(x) принимает как положительные, таки от-
рицательные значения, то в этом случае v(x) называется знакопеременной
функцией.
2	2
Функция v = Х[ -х7 - знакопеременная в пространстве переменных Х[,
2	2	2
х2, a v = Х[ + х-, - определенно положительная; функция v = (%[ - х2) -
93
знакоположительная в этом пространстве, так как v = 0 при Xj = х2 (см.
рис. 17.8-17.10).
Рис. 17.8	Рис. 17.9
Очень часто в качестве функций Ляпунова (см. определение на с. 96) для
дифференциальных систем берут квадратичные формы, поэтому укажем при-
знаки знакоопределенности квадратичных форм.
Рассмотрим квадратичную форму
п
v= Z
(17.9)
где
aij = aji> '-J = !’«
(17.10)
94
Матрица
'"11 а12 - а1/?
Ц21 а22 ... ц2я
л =
,а , а , ... а ,
4 л 1 л2 ли'
коэффициентов квадратичной формы (17.9) является симметрической, т.е.
Т
А = А , что следует из условий (17.10). Рассмотрим ее диагональные опреде-
лители:
Теорема 1 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма
(17.9), (17.10) была определенно положительной, необходимо и достаточно вы-
полнения условий 0 , k— 1, л. Для того чтобы квадратичная форма (17.9),
(17.10) была определенно отрицательной, необходимо и достаточно выполнения
...
условий (-1) Д^>0,Л=1,л.
Рассмотрим автономную (правые части системы не зависят от времени Г)
систему дифференциальных уравнений
^ = *(*).	(17.12)
Т
где х = (Х|,х7, ..., хи) - вектор-столбец размерности лх 1 ; _¥(х) =
Т
= (A'j(x), ¥0(х), ..., ¥„(») - вектор-функция размерности л х 1 ; JV(O) = 0.
Предположим, что правые части системы (17.12) непрерывны и удовлет-
воряют условиям существования и единственности решения в некоторой об-
ласти Do фазового пространства, включающей точку О (0, 0,..., 0) вместе с не-
которой окрестностью. Условие .¥(0) = 0 означает, что точка О - положение
равновесия системы (17.12).
Полной производной функции v(x) в силу системы (17.12) будем называть
производную
л ,	«
V =	= у = у ^ХЛх) = grad v-X(x)\
i = 1	i = 1
grad v направлен по нормали к поверхности уровня v = const функции v(x) ,
а вектор Х(х) - по касательной к траектории х = х(г) .
95
Знакоопределенная в окрестности точки О функция v(x) называется
функцией Ляпунова для системы (17.12), если .ее полная производная
dv\
v = — является знакоопределеннои, знакопостоянной или тождест-
>(17-12)
венно равной нулю в этой окрестности.
Теорема 2 (Ляпунова об устойчивости). Если для системы (17.12) существу-
ет в области Dq знакоопределенная функция v(x) , полная производная которой
по времени v, вычисленная в силу системы (17.12), является знакопостоянной
функцией, знак которой противоположен знаку функции v(x) , или vhO , то по-
ложение равновесия устойчиво по Ляпунову.
Теорема 3 (Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если существу-
ет знакоопределенная функция v(x), полная производная которой по времени,
найденная в силу системы (17.12), будет также знакоопределенной со знаком,
противоположным знаку v(x), то положение равновесия асимптотически
устойчиво.
Теорема 4 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости). Если в окрестнос-
ти начала координат О существует функция Ляпунова v(x) такая, что ее пол-
ная производная v - ^1 является знакоопределенной функцией в окрест-
'(17.12)
ности О того же знака, что и v(.r) , то нулевое решение системы (17.12) не-
устойчиво.
Теорема 5 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости). Если существует
,	->	. • dv . ,	,
функция v такая, что ее производная по времени имеет вид v = — = Kv+ w ,гое
7. = const > 0 , а функция w тождественно равна нулю или знакопостоянна и
если в последнем случае функция v не является в любой окрестности точки О зна-
копостоянной, причем знак ее противоположен знаку w, то нулевое решение
системы (17.12) неустойчиво.
Пример 1. Исследовать на устойчивость при различных значениях а, Ь, с,
d нулевое решение системы
dx	, 2п+ I	1
— = -ay-hx при целых т,п,
‘	(О
dy , 2m + I	„ „	„ .
= сх-ау при т > 0, п > 0.
► Выберем функцию Ляпунова вида v = сх + ау . Легко находим, что
rfvl	, 2л + 2 2m + 2
—	= — 2(bcx	+ ady ),
‘"'(1)
Исследуем правую часть последнего равенства.
96
1.	Пусть а > 0 , с > О или а < О , с < О , тогда ас > 0 . Если при этом b > 0 ,
d>0 , то будут выполнены все условия теоремы Ляпунова об асимптотиче-
ской устойчивости и нулевое решение (1) асимптотически устойчиво.
2	2
2.	Пусть b = d = Q , ас> Q , сх + ay = const. Все условия теоремы Ля-
пунова об устойчивости выполнены, т.е. нулевое решение (1) устойчиво.
3.	Пусть ас < 0 , bd < 0 , sign be = sign ad (sign - знак числа) или ас > 0 ,
b < 0 , d < 0 . Тогда выполнены все условия первой теоремы Ляпунова о не-
устойчивости, и нулевое решение (1) неустойчиво. <
17.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И УСТОЙЧИВОСТЬ ИХ РЕШЕНИЙ
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с посто-
янными коэффициентами
(л)	(п - 1)	(п - 2) / J +	1 + а^х	' + Составим характеристическое уравнение:	... +апх = 0.	(17.13)
. л ,	. л	- 1 ,	. л	- 2 , А +	Q । А	+	К,	+	...	. + = ° •	(17.14)
Определим корни уравнения (17.14) и запишем фундаментальную, систе-
му решений для уравнения (17.13): х(, х2,..., хп. Тогда его общее решение име-
ет вид
х = с^х^ + сух^ + ... +сцхп.	(17.15)
Произвольные постоянные сь с2, с„ определим по начальным условиям:
।	п ,	('>- 1)1	("-1)
х = х„ х = х „ , ..., х	= х„
Ь = /о О’	О’ ’	1/=/0 О
Данная процедура стандартная: составляется система п линейных урав-
нений относительно с;, включающая уравнение (17.15) и еще п - 1 уравне-
ний, полученных из выражения (17.15) почленным дифференцированием
л-1 раз с последующей заменой х, х , х , ..., х	на
х0, х 0, х 0, ..., х()	, взятые из начальных условии. В результате найдем:
°	/	,	(л-1). .	-—
с;. = с,.(х0, х 0, ..., х()	) , i = 1 ,п . Получим частное решение
ООО
х= С]Х] + с2х9 + ... + спхп .	(17.16)
Фундаментальная система решений находится в зависимости от корней 
характеристического уравнения (17.14).
4 Зак. 2209	97
Простому действительному корню К соответствует одно решение
/',	(17.17)
к-кратному действительному корню к - к линейно независимых решений:
kt kt к- 1 kt	•
е , te , t е .	(17.18)
Простой паре комплексно-сопряженных корней к = а + р/ соответству-
ют два решения:
ea,cospz, ea'sinpz,	(17.19)
I-кратной паре комплексно-сопряженных корней а ± z'P = к - 2к линейно
независимых решений:
at о* а1 • п. . at	. at . п.
е cosp/,e sinpz,ze cospr,ze smpz,...
1 az	1-1 al
... , t e cospz,z e cospz.	(17.20)
Рассмотрим поведение решений (17.17) - (17.20) при z-> + со .
Пусть в решениях (17.17), (17.18) к 0 . Тогда
к kt (0 при 1<0,
пт t е = <
;->+оо	[ + со при Х>0.
Далее, пусть в решениях (17.19), (17.20) а * 0 . Тогда
,.	к kt ,•	.	к kt . п _	„
lim	t е cos pz	= 0 , lim	t e sin pz	= 0	, если a < 0 .
t —> +oo	[ —> +oo
rb.	к at „ к at . „
Функции Z e cospz, z e sin р/ неограниченны при z->+<», если
a > 0 .
к kt к
Теперь пусть в решениях (17.17), (17.18) к = 0 . Тогда z е = z иреше-
ние (17.17) приводит к = 1 , т.е. к ограниченной функции, а решение
(17.18), так как fc> 1, - к неограниченным при г->+°о функциям.
Будем называть корни характеристического уравнения (17.14) характе-
ристическими числами уравнения (17.13).
Теорема 1. Если все характеристические числа уравнения (17.13) имеют от-
рицательные действительные части, то нулевое решение (17.13) асимптотиче-
ски устойчиво по Ляпунову (при t -> + со ).
Теорема 2. Если хоть одно из характеристических чисел уравнения (17.13)
имеет положительную действительную часть, то нулевое решение (17.13) не-
устойчиво.
Теорема 3. Если среди корней характеристического уравнения (17.14) нет
таких, у которых действительная часть положительна, но имеются корни с ну-
левой действительной частью, причем каждому такому корню соответствуют
только решения вида (17.17) при к = 0 и (17.19) при а - 0 , то нулевое решение
уравнения (17.13) устойчиво; если же хотя бы одному нулевому корню к = 0
98
соответствует хотя бы одно решение вида (17.18) при к>2 илихотя бы одному
корню с нулевой действительной частью а = 0 соответствует хотя бы
одно решение вида (17.20) при к>2 , то нулевое решение уравнения (17.13)
неустойчиво.
Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
х" + Зх' + 2х = 0 .
►	Характеристические числа данного уравнения X] = -1 , Х2 = -2 , т.е.
отрицательны. Следовательно, согласно теореме 1, нулевое решение уравне-
ния устойчиво асимптотически. Более того, оно устойчиво асимптотически в
целом, так как областью притяжения нулевого решения является все фазовое
пространство (h - +оо). <
Пример 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
х'" - 2х" + 4х' - 8х = 0 .
►	Среди характеристических чисел данного уравнения есть положитель-
ное: X = 2 . По теореме 2 нулевое решение этого уравнения неустойчиво. <
Пример 3. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
х”’ + Зх" + х' + Зх = 0 .
►	Находим характеристические числа данного уравнения: X] = -3 ,
Х2 = / , Х3 =	. Корню X] соответствует решение Xj = е 3/, а корням
Х2 д- х2 = cos Z, х3 = sin t. Поэтому, согласно теореме 3, нулевое решение
данного уравнения устойчиво неасимптотически. <
Пример 4. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
х(4) + х'" +х" = О .
►	Среди характеристических чисел данного уравнения есть нулевое дву-
кратное: X] 2 = 0 . Ему соответствует решение вида (17.20) при к = 2 . Сле-
довательно, согласно теореме 3, нулевое решение неустойчиво. 4
99
17.5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И УСТОЙЧИВОСТЬ ИХ РЕШЕНИЙ
Рассмотрим систему
^1. dt	п - Xj = у aikxk , ajk = const ,1 = 2, ..., n, k = 1 ,n.	(17.21) k = 1
По аналогии с однородным дифференциальным уравнением с постоян-
ными коэффициентами будем искать частное решение (17.21) в виде
хк = уА. = const .	(17.22)
Подставим хк и хк - удАе^' в систему (17.21) и сократим полученное
равенство на е^' * 0 . В результате придем к алгебраической системе, линей-
ной относительно ук:
п
X с/Л + (а,7-^, = °-	(17.23)
4=1,
к*1
Система (17.23) однородная, и существуетее решение, отличное от триви-
ального только тогда, когда определитель этой системы Д(Х) = 0 , т.е.
A(A) =	aU	°12		- al„ - a2n	= 0 .	(17.24)
	a21	a22			
	an\	an2 -	ann~X		
Уравнение (17.24) называется характеристическим уравнением системы
(17.21), его корни - характеристические числа системы (17.21).
Для того чтобы хк из формулы (17.22) являлось решением уравнения
(17.21), отличным от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы А. было
характеристическим числом системы (17.21).
Алгебраическое уравнение (17.24) имеет ровно п корней. В зависимости
от вида характеристических чисел можно построить фундаментальную систе-
му решений системы (17.21) и найти общее решение системы (17.21) как ли-
нейную комбинацию решений, входящих в фундаментальную систему реше-
ний по аналогии с однородными линейными уравнениями.
Теорема 1. Если все характеристические числа системы (17.21) имеют от-
рицательные действительные части, то нулевое решение этой системы асимп-
тотически устойчиво.
100
Теорема 2, Если хоть одно из характеристических чисел системы (17.21)
имеет положительную действительную часть, то нулевое решение этой систе-
мы неустойчиво.
Теорема 3. Если среди характеристических чисел системы (17.21) нет та-
сих, у которых действительная часть положительна, но имеются характерис-
тические числа с нулевой действительной частью, то нулевое решение системы
(17.21) может быть устойчивым неасимптотически или неустойчивым.
Для исследования устойчивости нулевого решения линейной системы с
постоянными коэффициентами не обязательно решать характеристическое
уравнение, а достаточно установить, какие знаки имеют действительные
части характеристических чисел.
Приведем один из критериев, который позволяет по коэффициентам сис-
темы сразу установить, когда все ее характеристические числа имеют отрица-
тельные действительные части и, следовательно, нулевое решение данной
системы асимптотически устойчиво. Для этого запишем характеристическое
уравнение (17.24) в виде (17.14):
	Р„(М =	А п ,	. И - Л, + £7| Л,	i	п - 2 + + •		. + а„ = ° .	(17.25)
Из коэффициентов многочлена Р„(А.)				составим матрицу:		
	/					
	а1 1	0	0	0	0	0	0	
	°3 а2	°1 1	0	0	0	0	
	а5 а4	а3 а2	°1	1	0	0	(17.26)
	< 0	0	0	0	0	0	0 ап >	
В этой матрице полагаем ап	= ° , е	ели т	> л	. Рассмотрим диагональные
определители матрицы (17.26) а. 1		а1 1	0	
Д1 “ °1 > Д2 “ °3 °2	, д3 =	°3 а2 а5 а4	а1 а3		 Дл = алДл-1'
Теорема 4 (Гурвица). Для того чтобы все корни уравнения (17.25) имели от-
рицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лись неравенства
&k>0,k=l,n.	(17.27)
Условия (17.27) называются условиями Рауса - Гурвица.
Пусть л = 2, т.е. X2 + Л|А.+ а2 = 0 . Тогда условие (17.27) принимает вид
> 0 , откуда а2>0 .
О а2
Таким образом, при л = 2 условия Рауса - Гурвица запишутся так:
арО, а2>0.	(17.28)
101
3	2
При л = 3 имеем: к + Я|к + я2к + яз = 0, и условия (17.27) приобретут
вид
1
а2
>0 ,
откуда я3 > 0 .
Условия Рауса - Гурвица в случае п — 3 имеют следующий вид:
Д[ > 0 ,	> 0 , Я] а2- Яп > 0 .	(17.29)
Аналогично находим условия Рауса -Гурвица в случаях п = 4, п = 5 ит.д.
Пример 1. Выяснить, при каких а и 0 (в какой области плоскости пара-
метров а, 0) устойчиво нулевое решение системы
j = -(P + 4)y,	1
у = (2а + 0)х + (2 - а)у. j
► Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
-X -(₽ + 4) =0
2а + р 2 - а - X
или
7." + ял + я-, — 0 ,
где Я] = 2 - а ; я, = (Р + 4)(2а + Р) .
Устойчивость или неустойчивость нулевого решения системы (1) зависит
от знаков коэффициентов яь я2. Так как Я] и я2 являются непрерывными
функциями от а и р, то знаки яь я2 могут изменяться лишь там, где Я] или я2
обращается в нуль, т.е. на линиях а-2 = О, Р + 4 = 0,2а + р = 0. Эти ли-
нии пересекаются в одной точке Л (2, -4) и разбивают плоскость на шесть об-
ластей (рис. 17.И), в каждой из которых знаки коэффициентов яь я2 неиз-
менны. Поэтому, взяв в каждой из этих областей произвольную точку, можно
определить знаки коэффициентов в соответствующей области:
I	- Л](3,0): Я| = 1 >0 , я2 = 24 > 0 ;
II	- Л2 (1,0): Я[ = -1 <0 , я2 = 8>0 ;
III	- Л3 (-1, 0): Я] = -3 < 0 , я2 = -8 < 0 ;
IV	- Л4 (0, -5): Я( = -2 < 0 , я2 = 5 > 0 ;
V	- Л5 (3, -7): Я] = 1 > 0 , я2 = 3 > 6 ;
VI	-Л6 (3,-5): Я] = 1 >0 , я2 = -1 <0.
Характеристические числа системы (1) выражаются через яь я2 по формуле
_ -я|±^-4я2
а1,2	2
102
Рис. 17.11
Если <j| < 0 , то или a~j - 4 а, > 0 (тогда одно из характеристических чисел
2
положительно), или	- 4 а, < 0 (характеристические числа - комплексно-со-
пряженные с положительной действительной частью). Если а2 < 0 , то
-4 а, - О] > 0 и одно из характеристических чисел положительно. Следова-
тельно, в областях II, III, IV, VI нулевое решение системы (1) неустойчиво (см.
теорему 2). При > 0 , а2 > 0 (условия Рауса - Гурвица) имеем: X] 2 < 0 . По-
этому в областях I и V движение устойчиво асимптотически (см. теорему 1). 4
Пример 2. Найти область асимптотической устойчивости нулевого реше-
ния системы
dx
dt
-х- ay,
dy
= рх-у + аг,
a, P - действительные числа.
dz
dt
Py-z,
► Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
о а а । । । 1 со. 1	= о,
0 р -1-х	
или (Х+1)(Х + 2Х+1-2аР) = 0. Корнями последнего уравнения будут
X] = — 1,Х, з = -1±лЛ - (1 - 2аР) .Корни X, 3 будут отрицательными, если
1 - 2ар > 0 , т.е. ар < 1/2 . Согласно теореме 1 в области ap < 1 /2 нулевое
решение устойчиво асимптотически. Если 1 -2ар<0 , то появляется один
положительный корень и, согласно теореме 2, нулевое решение неустойчиво.
103
При 1 -2оф = 0 имеем два отрицательных корня и один нулевой, т.е. по
теореме 3 нулевое решение устойчиво (рис. 17.12). 4
17.6. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Рассмотрим нелинейную систему
” __________________________
^7= Е +	,)>'= 1-л,	(17.30)
к = 1
и соответствующую ей линейную систему
dx. п	__
= s а'Л’/= 1’'’-	(17-31)
к = 1
Предположим, что
п	п
Х,.(0, О, ..., 0) = 0 , £Л7(х1,х2,...>хп)<Л£(х;)’+“, (17.32)
/=1	/ = 1
где а > 0 ; А - положительная постоянная.
Система (17.31) называется системой первого приближения для системы
(17.30).
Теорема 1 (об устойчивости по первому приближению). Если все характе-
ристические числа системы первого приближения (17.31) имеют отрицательные
действительные части, то нулевое решение нелинейной системы (17.30) устой-
чиво асимптотически.
Теорема 2 ( о неустойчивости по первому приближению). Если среди харак-
теристических чисел системы первого приближения (17.31) имеется хотя бы од-
но с положительной действительной частью, то нулевое решение нелинейной
системы (17.30) неустойчиво.
104
Теорема 3. Если среди характеристических чисел системы первого прибли-
жения нет таких, действительные части которых положительны, но имеются
характеристические числа с нулевыми действительными частями, так что ну-
левое решение системы (17.31) или неасимптотически устойчиво, или неустой-
чиво, то нулевое решение нелинейной системы (17.30) может быть как устой-
чиво, так и неустойчиво, в зависимости от выбора нелинейных частей
ХЗх,, х?, ..., х ) , i= 1,и.
Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
dx
— = -sin(x + y),
dy  , ч
= sin(x-y).
► Используя разложение функции sin а в ряд Маклорена:
3	5
а , а ,
Slna = а__ + _ + ..„
получаем, что система первого приближения данной системы имеет вид
dx _
dt
dy =
dt
Ее характеристическое уравнение:
-Л.-1 -1
Характеристические числа X
тельные части. По теореме 1 нулевое решение данной системы асимптотиче-
ски устойчиво. <
= -1 + i имеют отрицательные действи-
Пример 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
dx Зх + 4у ,
— = е - 1,
dt
dy „22
= -х-2у+х +у .
► Воспользовавшись разложением в степенной ряд функции е“:
получим систему первого приближения для данной системы:
105
Ее характеристическое уравнение:
3-Х	4
-1 -2-Х
= X2 - X - 2 = 0.
Характеристические числа Xj = 2 , X, = -1 . Поскольку одно из харак-
теристичсских чисел системы положительно, то на основании теоремы 2 ну-
левое решение данной системы неустойчиво. 4
Пример 3. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
dx	3
И = ау~Х ’
а>0, Ь>0.
dy ,	3
(1)
► Нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво, так какфунк-
2	2
ция Ляпунова v = bx + ау удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об
асимптотической устойчивости:
^1	=-2(/>х4 + ау4) < 0 . 4
Л1(1)
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя с координатами
х = 0 , у = 0 системы
dx , 3
-dt = ау + Х >
а > 0, b > 0. •
J = -ix + y3,
► Данная система имеет такую же линейную часть, что и система (1) из
примера 3. Согласно первой теореме Ляпунова о неустойчивости нулевое ре-
шение данной системы неустойчиво, так как
v = Ьх~ + ау2 ,	= 2(/>х4 + ау4) > 0 г <
J'l(l)
Замечание. Рассмотрим более подробно системы уравнений из приме-
ров 3 и 4, для которых система первого приближения одна и та же:
dx
-di = ay'
dy ,
-f- = -bx.
dt
(17.33)
Характеристическое уравнение системы (17.33) X2 + aZ> = 0 имеет чисто
миимые корни: X] 2 = +Jab  i, т.е. действительные части характеристиче-
ских чисел - нулевые. Добавление к линейной части нелинейных членов при-
водит в окрестности начала координат к малому изменению определенного
системой (17.33) поля направлений касательных к интегральным кривым. Од-
106
нако это малое изменение поля направлений приводит к тому, что замкнутые
( 2	2	\
интегральные кривые р- + %- - const (рис. 17.13, а) системы (17.33) пре-
V b	J
вращаются в спирали, которые в случае примера 3 с увеличением t прибли-
жаются к началу координат (рис. 17.13, б), а в случае примера 4 удаляются от
него (рис. 17.13, в), т.е. нелинейные части уравнений систем могут влиять на
устойчивость точки покоя (см. теорему 3).
АЗ-17.1
1. Исследовать на устойчивость решение у = ср(х) данно-
го дифференциального уравнения у' = f(x,y), удовлетворяю-
щего начальному условию <р(х0) = у0 , с помощью определе-
ний устойчивости и неустойчивости по Ляпунову:
2
а) у' + со у = 0 , со е R, <р(х0) = у0 , х0, у0 е R;
б)у' + ^ = х, <р(1) = -1 ;
,,, , т У _ Sin X
в) У + ~ —— , <Р(2) = 1 ;
3 3
г) у' + ху = х у , <р(0) = 1 .
(Ответ: а) устойчиво асимптотически в целом; б) неустойчи-
во; в) устойчиво; г) устойчиво асимптотически.)
2. С помощью теорем Ляпунова выяснить, при каких зна-
чениях параметров а, Р е R нулевое решение однородного
линейного дифференциального уравнения у" + ау' + Ру = 0 :
а) устойчиво асимптотически; б) устойчиво; в) неустойчиво.
107
(Ответ: а)а>0, р>0; б) а = 0 , р>0; а>0, Р = 0;
B)a>O,P<O;a<O,PeR;ct = 0 , р < О.)
3.	Используя значения характеристических чисел и соот-			
ветствующие теоремы Ляпунова, исследовать на устойчивость нулевое решение линейной однородной системы дифферен- циальных уравнений с постоянными коэффициентами:				
		'dx		f dx
		л = 2х+л		
а)	«	£ -	6)	
				dt dx -dt = ~x+y’
				
		г dx		
		= 2х-8у,		
в)	«	dt Q = -2у + х; dt	г) 	5:15- II	II to	to X 1	1 +
		dx	, у — = -x + i,		dx	, у — = — x+.
		dt	2’		dt	3’
д)		dy	, Z dt	z 2	e)	dy _ x , Z dt 2 y 3’
		dz [dt = y~Z’		dt 2
(Ответ: а) неустойчиво; б) устойчиво асимптотически;
в) устойчиво; г) неустойчиво; д) устойчиво; е) устойчиво
ас имптотичес ки.)
Самостоятельная работа
При любых начальных условиях у(хо) = Уо ’ У'(хо) = /о
исследовать на устойчивость решение указанного дифферен-
циального уравнения.
—2х
1.	у" + бу' + 5у = Зе . (Ответ: устойчиво асимптотиче-
ски в целом.)
2.	у" + бу' - \6у = sin х. (Ответ: неустойчиво.)
3.	у" + 4у = cos 2х. (Ответ: устойчиво).
108
АЗ-17.2
1.	Показать, что для системы
Jx
- = апх+апу,
а;; = const .
dy _	J
а2\х+а21У’
2	2
функция v = (а22х-а[2у) + (ана22 - а[2о21)х является
функцией Ляпунова. Пользуясь теоремой Гурвица, указать
условия асимптотической устойчивости нулевого решения.
(Ответ-. ап + а22 < 0 ,	_ ai2°21 > ® •)
2.	Исследовать нулевое решение системы на устойчивость:
в первом приближении; с помощью функции Ляпунова v.
(dx , _ з 2	.5
— = у + Зх у + 4х
dt	х
dy	3	4
= -х + у +х у,
(dt х х
(dx	3 3 2
ТГ-у~Х ~2ХУ’
б) <
dy	1	3 2
-± = - Зу + х у--ху
I dt	2
Ь 2 , 2,
v = +у );
1	2	2
v = i(3xz-2xy + /);
dy „ з
dt = -х + 2у’
2-2
v = х + Зу ;
2	2
V = X +у .
(Ответ: а) устойчиво; неустойчиво; б) устойчиво; устойчиво
асимптотически; в) устойчиво; неустойчиво; г) устойчиво;
устойчиво.)
109
3.	Дифференциальное уравнение
х + ах + Ьх + сх = 0 , a, b, с е R,	(1)
эквивалентно системе (х = Х])
*1	х2’
х2 = — ах2 + х3, -
Х3 = - СХ] - 6х2.
(2)
Доказать, что в качестве функции Ляпунова для системы (2)
можно выбрать функцию v = асху + 2cxjX2 + bx2 + х3. С по-
мощью критерия Сильвестра указать условия: 1) асимптоти-
ческой устойчивости нулевого решения уравнения (1); 2) не-
устойчивости нулевого решения уравнения (1). (Ответ:
1) а> 0 , с > 0 , ab> с; 2) а <0, с <0 , ab <с.)
Самостоятельная работа
1.	Исследовать на устойчивость нулевое решение у = О
2
дифференциального уравнения у" + ку' + <о sin у = 0, где
к > 0; со е R. (Ответ: асимптотически устойчиво, если <о 0;
устойчиво, если а> = 0.)
2.	Исследовать на устойчивость нулевое решение у = 0
2
уравнения Зу" + 2А:у'-(0 siny=0, где к> 0; <о е R. (От-
вет: неустойчиво, если <о 0; устойчиво, если <о = 0 .)
3.	Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
dx	2 2.5}
— =у-ху-4х,
dt х х
>
dy	3	3
dt = ~X~y +ХУ J
а) в первом приближении; б) с помощью функции Ляпунова
2	2
v = х +у . (Ответ: а) устойчиво; б) устойчиво асимптоти-
чески.)
ПО
17.7.	ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ
ЗАДАНИЯ К ГЛ. 17
ИДЗ-17.1
1.	Исследовать на устойчивость решение у - ф(х) уравне-
ния у' = f(x, у), удовлетворяющее начальному условию
ф(х0) =	> используя определения устойчивости и неустой-
чивости по Ляпунову.
1 -2х
1.1.	у' = —— , <р(0) = 1 . (Ответ: асимптотически
У
устойчиво в целом.)
1.2.	у' = (l+y)ctgx, <р(тг/6) = 0. (Ответ: устойчиво.)
1.3.	у' = ^1п^,ф(1) = е2. (Ответ: неустойчиво.)
1.4.	у' =	+х’ ФО) = (Ответ: устойчиво.)
2
1.5.	у' = хе -2ху, <р(0) = 3. (Ответ: асимптотически
устойчиво в целом.)
1.6.	у' = ^ХУ +х2 + 1 , <р(—1) = 2 . (Ответ:неустойчиво.)
1 +х
2% — 1
1.7.	у' = 1 + —-—у, <р(1) = 1 + е. (Ответ: неустойчиво.)
х
1.8.	у' = у21Д2?_У <р(1) = 1. (Ответ: асимптотически
х х
устойчиво в целом.)
2	2
1.9.	у' =	<р(2) = 1 . (Ответ: устойчиво.)
х х
1.10.	у' - In , ф(1) = 1 . (Ответ: устойчиво асимпто-
тически.)
Исследовать на устойчивость частное решение у = ф(х)
уравнения у" = f(x, у, у'), удовлетворяющее начальным
111
условиям ф(х0) = у0, ф'(х0) = у'0, используя определения
устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.
1.11.	у" = In , ф( 1) = -2 , ф'( 1) = 1 . (Ответ: устой-
чиво.)
1.12.	у" = у'+х, ф(0) - 0, ф'(0) = 0. (Ответ: неустой-
чиво.)
? '2
1.13.	у'’	ф(-1) = 0, ф'(-1)=-0,5. (Ответ:
устойчиво асимптотически.)
1.14.	у" = In , ф(-1) = -2, ф'(-1) = -1 . (Ответ:не-
устоичиво.)
,2
1.15.	у" = %—, ф(0) = 1 , ф'(0) = -1 • (Ответ: устойчиво
асимптотически.)
1.16.	у" =	+ । ~ . ф(0) = е 1 , ф'(0) = “• (Ответ:
устойчиво асимптотически.)
,2
1.17.	У" = у, ф(0) = 1 ,
чиво.)
,	,2
1.18.	у" =У~^Г, Ф(О =
чиво.)
1 - '2
1.19.	у" =	, ф(2) = -
чиво.)
,2
1.20.	у" =	, ф(5) = 3 ,
чиво.)
ф'(0) = 1 . (Ответ: неустой-
Я
ф'(1) = 2. (Ответ: устой-
1 , ф'(2) = 0 . (Ответ: устой-
ф'(5) = 2. (Ответ: неустой-
Даны однородное (неоднородное) линейное дифференци-
альное уравнение второго порядка и частное решение одно-
родного уравнения у1 = уДх). Исследовать на устойчивость
112
решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям <р(л?0) =. у0 , ф'(х0) = У'о > используя определения
устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.
1.21.	(1 - х2)у" - 2ху' + 2у = 0 , у1 = х, <р(0) = —2 ,
<р'(0) = 4. (Ответ: неустойчиво.)
, ~~ „ , 2 , , л sin х (it\ 2 ,fii\ n
1.22.	у +-y +y = 0, y{ = ——, (pl - = -, <p I-J = 0.
A	-A.	x ^x	/ L	V
(Ответ: устойчиво асимптотически в целом.)
1.23.	(2х —х2)у" + (х2 - 2)у' + 2(1 — х)у = 0, у^ = ех, ф(1) = 0,
<р'(1) = 1 . (Ответ: неустойчиво.)
1.24.	(1 -х2)у" -ху' + 9у = 0 , У] = 4х3 -Зх, (р(0) = -1 ,
<р'(0) = 2. (Ответ: неустойчиво.)
1.25.	у" - у' tg х + 2у = 0 , yj = sin х , ф(0) = 1 , ф'(0) = 2 .
(Ответ: неустойчиво.)
При любых начальных условиях у(х0) = у0, у'(х0) = у'о
исследовать на устойчивость решение данного дифференци-
ального уравнения, используя определения устойчивости и
неустойчивости по Ляпунову.
1.26.	2у" + 5у' = cos2x. (Ответ: устойчиво.)
1.27.	у" + 2у' + 5у = sin 2х. (Ответ.’устойчиво асимптоти-
чески в целом.)
1.28.	2у"+у'-у = 12е*. (Ответ: неустойчиво.)
1.29.	4у" + 16у'+ 15у =	(Ответ:устойчиво асимп-
тотически в целом.)
2
1.30.	у" + у + ctg х = 0. (Ответ:устойчиво.)
2.	Исследовать на устойчивость нулевое решение диффе-
ренциального уравнения или системы дифференциальных
уравнений, используя соответствующие теоремы Ляпунова об
Устойчивости и неустойчивости, характеристические числа и
условия Рауса — Гурвица.
113
2.1.	у'" + 2у" + у' +у = 0. {Ответ: устойчиво асимптоти-
чески.)
2.2.	5у"' - 15у" +у' -2у = 0 . {Ответ: неустойчиво.)
2.3.	Зу'" + 2у" + бу’ + Зу = 0. {Ответ:устойчиво асимпто-
тически.)
2.4.	у'"-2у" + у'-у = 0. (Ответ: неустойчиво.)
2.5.
у'2 =
у'з = У1^-Уз-
{Ответ: устойчиво асимпто-
тически.)
2.6.
У'г
Уз
= У2 + >’3’
= У1+Уз, (Ответе.-неустойчиво.)
= Ух+У2-
2.7.
у\
У'2
Уз = ~2У1- Уз-
= -У1-У2-
=	-у2(Отлети: неустойчиво.)
У'1 = ~3^i +2у2 + 4у3,
У'2 = ~У2-2у3,	{Ответ: устойчиво асимп-
Уз = '2Уз-
тотически.)
(4)
2.9.	Зу + 10у"-8у = 0. {Ответ: неустойчиво.)
2.10.	Зу(4) + 11у'" + 27у" + 29у' + 10у = 0. {Ответ: устой-
чиво асимптотически.)
Исследовать нулевое решение указанной системы диффе-
ренциальных уравнений на устойчивость: в первом прибли-
жении; с помощью функции Ляпунова v.
dx _
dt	4	2	1 2	„
v = х +2х +-у . {Ответ:
dy	л ,	3 . 3	2
-Д = -4х + 2у -4х ,
Idt	.
устойчиво; неустойчиво.)
2.8.
2.11.
114
2.12.	=У’ V = dy п . 3 „ 5 -у- = —2х - 4х -2у , . a t	4,2,12 х +х +-у . (Ответ
устойчиво; устойчиво.)		
2.13.	rdx	,	3	12' -dt =-У + хУ~х-~2ХУ ’ п	, 2	12 “Г = -эу + ху + х у-~ху , Vat	2	2	2 v = Зх — 2ху + у .
(Ответ: устойчиво; устойчиво асимптотически.)
2.14.
г dx	2
~dt = У~ХУ ’
dy =
. dt
устойчиво асимптотически.)
4 , _ 2
v = х +2у .
(Ответ: неустойчиво;
з
2.15. •	rdx	_	5 — = -2х-3у , dt	2,6 V = X + у . = X [dt ’	(Ответ: устойчиво;
устойчиво асимптотически.)		
2.16.	dx _	3 dt	У ’	2	4 v = 2х + у . dy	2 игх~ху’	(Ответ: устойчиво;
устойчиво асимптотически.)		
2.17.	(dx	.	5 — = -4у-х , dt	2 , . 2 v = эх + 4у . dy „	3 [dt = JX~y’	(Ответ: устойчиво;
устойчиво асимптотически.)		
2.18.	г dx	.	„3.3 — = ~4у - 2х - 4у , dt	л	х ’	12 41 = х	2 (dt ’	2	4 + 2у +у . (Ответ:
устойчиво; неустойчиво.)		
115
ах , . 2	4.
— = y + x(x +y ),
dy , / 2 , 4ч
= -x + y(x + y ),
2	2
x +y . (Ответ: устой-
чиво; неустойчиво.)
2	2
x - Ixy + Зу .
(Ответ: устойчиво; устойчиво асимптотически.)
Исследовать на устойчивость нулевое решение указанной
системы дифференциальных уравнений.
2.21. -	dx	, • ч — = х(э + sin у), (Ответ: неустойчиво.) = -у(1 + cos 2х). dt
2.22. 	rdx	,	ч — = —х( 1 + cos у), dt	_ (Ответ: неустойчиво.) $ = y(2 + sinx). at
2.23.	(dx 1, х . * Л "	-1)’3к (Ответ: устойчиво асимптоти- ку -г = х- sin у. (dt
чески.)	
2.24.	(dx . , — = 4х + у cos у, dt	Л	„ (Ответ: неустойчиво.) = Зх + 2у + у2 еу. 1 dt
2.25.	(dx . z.	-Эх.. — = In (4у + е ), (Ответ: устойчиво асимпто- = Vl -6х + 2у- 1. 1 at
тически.)
116
2.26. •	dx _ dt dy = dt	x+ 2y	n e	- cos jx, 74 + 8х-2еЛ	1 (Ответ: неустойчиво.)
	dx ~dt ~	7x + 2 sin y,	
2.27. •	dy = dt	(Ответ: неустойчиво.) x n	i e -3y- 1.	
2.28.	dx _ dt 41 = . dt	ln(4x+ e 3y), 2x- 1 +371 -6y.	(Ответ: неустойчиво.)
	dx T. -	-3x+	-1,	•
2.29.	li з	(Ответ: устойчиво асимптоти- 2 sin x - 5y.	
чески.)			
2.30.	Гг/х _ dt dX = .dt	2x - 1 + Vl - 6y, ln(4x+ e~iy).	(Ответ: устойчиво асимпто-
тически.)			
Решение типового варианта
1. Исследовать на устойчивость частное решение у = <р(х)
дифференциального уравнения у' = fix, у), удовлетворяю-
щее начальному условию <р(х0) = у0 , используя определения
устойчивости и неустойчивости по Ляпунову:
1)	у' + = 1 + 2 In х, <р(1) = 1 ;
2х
2)	У' =	<р(0) = 2;
1 +е
117
3	Z X
,, ,	♦	X	У	ПН	1
3)	У = у ctg x +	, Ф - = - .
sin x	\2J	2
► 1. Решая данное линейное уравнение стандартным мето-
дом, находим его общее решение: у = х In х + С/х. Исполь-
зуя начальное условие, вычисляем значение произвольной
постоянной: С= 1. Следовательно, частное решение имеет
вид у = ф(х) = х In х + 1 /х. Для того чтобы исследовать его
на устойчивость, возьмем любое другое решение у = /(х) дан-
ного дифференциального уравнения при начальных данных
(х0, Уо), достаточно мало отличающихся от начальных данных
(1, 1). Тогда С будет достаточно мало отличаться от 1 и
/(х) = х In х + С/х. Далее,
1
х
[/(х)-ф(х)| =
->0
при х—> +оо , т.е. модуль указанной разности можно сделать
меньшим любого наперед заданного е > 0 , что и означает, со-
гласно определению, устойчивость данного частного реше-
ния. Более того, так как модуль этой разности стремится к ну-
лю при любом С, то данное частное решение устойчиво асимп-
тотически в целом.
2. Находим общее решение дифференциального уравне-
ния с разделяющимися переменными:
У = Лх) =	1 + е2х.
Приданном начальном условии С = 2 и ф(х) = 2 а/1 +е ,
поэтому
|/(х) - ф(х)| = | С — 2| л/1 + s2x 
Если х —> + ое , то модуль этой разности стремится к беско-
нечности и превосходит любое наперед заданное е > 0 , каково
бы ни было 8 > 0. Это и означает, что данное решение не-
устойчиво.
3. Общее решение данного уравнения Бернулли имеет
вид
118
У = f(x) = sin */ -72 cos х + С.
Выделяем из него частное решение при С = 4, удовлетворя-
ющее указанному начальному условию:
у = <р(х) = sin х/л/2 cos х + 4 .
Далее находим, что
1/(х) - <р(х)| = |sin х||л/2 cos 2х + 4 - cos х + с| х
х | «/2 cos х + Cj2 cos х + 4| 1 ,
При значениях С, достаточно близких к 4 (достаточно ма-
лых 8 > 0), это выражение можно сделать меньшим любого
наперед заданного е > 0 при любых х> л/2 , т.е. данное част-
ное решение устойчиво (неасимптотически). 4
2. Исследовать на устойчивость частное решение у - ф(х)
уравнения у" = /(х, у, у'), удовлетворяющее начальным
условиям <р(х0) = у0, <р'(х0) = у'о, используя определения
устойчивости и неустойчивости по Ляпунову:
1) У" =	, Ф(2) = 1 , q>'(2) = -1 ;
х
7 '2
2) У" = у^\ ’ <Р(°) = 2 ’	= -2 •
► 1. Подстановка у' = yz приводит к уравнению у" =
2	2	2
= y'z + yz’ = yz +yz' или z' + z/x ~ 1/x -z .Отсюданахо-
дим z, а затем, решая уравнение у' = yz, получаем общее ре-
шение данного уравнения:
у = Дх) = С{х+ С2/х.
С помощью начальных условий вычисляем произвольные
постоянные С) и С2: С] *= -1/4, С2 = 3 . Искомое частное
решение
f ,	13
у = ф(х) = -4Х + -.
119
Тогда
2
оо
т.е., как бы мало ни отличалась постоянная С] от -1 /4, а С2 -
от 3 (т.е. как бы ни было мало 5 > 0), модуль указанной раз-
ности решений не может быть меньше любого наперед задан-
ного s > 0 . Следовательно, найденное частное решение не-
устойчиво.
2.	Общее решение данного уравнения:
Частное решение, удовлетворяющее указанным началь-
ным условиям, имеет вид
Тогда
Wx)~<|,wl  •
Каковы бы ни были Ci * 0 и С2 7 0, последнее выражение
стремится к нулю при х -> +<х>. Отсюда следует, что частное
решение исходного уравнения устойчиво асимптотически в
целом. <
3.	Исследовать на устойчивость нулевое решение:
1) 6у(4) + 19у"' + 46у" + 39у' + 10у = 0 ;
ГУ'1 = -У1 + 2у2,
2)Ь'2 = 5У\-У2 + 2Уз>
Уз = 5у2-у3.
4	3
► 1. Запишем характеристическое уравнение 6Х + 19Х +
2
+ 46Х + 39Х+10 = 0 и перепишем его в виде (17.25):
4	3	2
X +atX + a2X +a3X+a4 = 0, где = 19/6, а2 = 23/3,
а3 = 13/2, а4 = 5/3. Составим матрицу (17.26):
120
' 19/6	1	0	0
13/2	23/3	19/6	1
0	5/3	13/2	23/3
1 0	0	0	5/3 )
и выясним, выполняются ли условия Рауса - Гурвица (17.27):
А, = 19/6 > 0 . А. =		19/6	1	_ 437 13 _ 160 п
		13/2 23/3	18	2	9
	19/6	1	0	
			10 675 п
лз	13/2	23/3 19/6	~ 108 >0-
	0	5/3 13/2	
Л	. _ 53 375 п
А4 а4 А3	>0-
Условия Рауса - Гурвица выполнены. Следовательно, дей-
ствительные части всех корней характеристического уравне-
ния имеют отрицательные значения и, согласно соответству-
ющей теореме Ляпунова, нулевое решение данного уравнения
устойчиво асимптотически.
2. Данная система линейна, ее характеристическое урав-
нение
-1-Л	2	О
5	-1-Л	2
О 5	-1-Л
= -(1 + Л)3+20(1 + Л) = (1 +Л)(19-2Л-Л2) = 0
имеет два отрицательных и один положительный корень. По
теореме Ляпунова о неустойчивости нулевое решение не-
устойчиво. <
4.	Исследовать нулевое решение данной системы на устой-
чивость в первом приближении; с помощью функции Ляпуно-
ва V.
ах	.4	2.
— = -у + х{х + у ),
dy .4	2.
= х + у(х +у ),
2 ; 2
v = х +у ;
121
v = 4х
„ 2
+ ^>У -
► 1. Запишем данную систему в первом приближении и ее
характеристическое уравнение:
Характеристические числа (корни) 2 = +1, поэтому об-
щее решение линейной системы по известному правилу выра-
жается линейной комбинацией функций sin t и cos t. Отсюда
следует устойчивость (неасимптотическая) нулевого решения
системы в первом приближении.
Воспользуемся функцией Ляпунова. Найдем v = dv/dt в
силу данной системы
v = 2хх + 2уу = 2(х6 + х4у2 + х у' + у4) > 0 ,
которая, как и функция Ляпунова г, является положительно
определенной. Согласно первой теореме Ляпунова о неустой-
чивости нулевое решение данной системы неустойчиво.
2. Запишем данную систему в первом приближении и ее
характеристическое уравнение:
dx _
dt
-X 3
-4 -к
2
= X + 12 = 0.
Поскольку X] 2 = ±2</з i, то, как и в случае 1, общее ре-
шение является линейной комбинацией sin 2-/3? и cos 2^3t
и нулевое решение линейной системы устойчиво (неасимпто-
тически).
Полная производная функции Ляпунова v > 0 в силу сис-
темы имеет вид
4	6
v = 8хх + 6уу = -2(4х + Зу )<0.
122
Она отрицательно определенная и, согласно теореме Ляпуно-
ва об асимптотической устойчивости, нулевое решение дан-
ной системы устойчиво асимптотически. <
17.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 17
С помощью функции Ляпунова у исследовать на устойчи-
вость нулевое решение системы дифференциальных уравне-
ний:
ш	2	2
1.	у(х,у) = х + у . (Ответ: устойчиво.)
dy _ з
dx
dt
dy
. dt
2	2
= -y + x(x +y ),
2	2
= x + y(x + y ),
2	2
v(x, y) = x +y . (Ответ: не-
устойчиво.)
dx
dt
dy
dt.
4
= x-xy ,
2 3
= У-Х у ,
2	2
v(x,y) = x — у . (Отвem: неустойчиво.)
4.
2
= -y-3z-x(y-'2z) ,
2	2	2	2
= -1x+3z-y(x + z) , v(x, y, j) = X +y +z 
dx
dt
dt
dz n
л 2x ~y-z’
(Ответ: устойчиво.)
5. С помощью условий Рауса — Гурвица исследовать на
устойчивость нулевое решение дифференциального уравне-
(4)
ния: у + 2у"' + 9у" + у' + 4у = 0 . (Ответ:устойчиво асимпто-
тически.)
Исследовать на устойчивость по первому приближению
нулевое решение системы дифференциальных уравнений.
123
ах	„22
dt	7
dv	л. 2
dt-X-y + y-
чески.)
(dx , -> •	,4
— = /х + 2 sin у + у ,
7. Г
= ех-3у - 1 + Зх2.
I dt
(Ответ: устойчиво асимптоти-
(Ответ: неустойчиво.)
18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
18.1. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ.
СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
Дано конечное число л объектов произвольной природы, которые назо-
вем элементами. Из них по определенному правилу можно образовать некото-
рые группы. Подсчетом числа таких возможных групп и занимается комбина-
торика.
Конечное множество элементов, в котором установлен порядок, называ-
ют перестановкой. Число возможных перестановок из п элементов
Р„ = п (л-1)(л-2)... 3  2  1 = л!
(читается «л-факториал»). Например, Р6 = 1  2  3  4  5 - 6 = 720.
Множество, для которого указан порядок расположения элементов, назы-
вается упорядоченным.
Упорядоченные конечные подмножества некоторого множества называ-
ются размещениями. Число Л™ всех возможных размещений, содержащих по
т элементов из множества, состоящего из л элементов (т < л ), определяется
по формуле
Л™ = л (л- 1)... (п-т+1).
Например, л| = 6 • 5  4 = 120.
Всякое конечное подмножество, состоящее из т элементов данного мно-
жества из л элементов, называется сочетанием т элементов из л, если каждое
подмножество из т элементов отличается одно от другого хотя бы одним эле-
ментом. Число всех возможных сочетаний обозначается С7” :
п
Лт
„т _ лл л(л- 1).., (п-т + 1) _ л!
« Рт	ml	т!(п-т)!'
Для сочетаний верны формулы:
_ _л - m ji дл +1 _ _Л1 + 1
и сл ’ си сл сл +1 '
Например, = с|0 =	= 1225 .
Равенство
п
f , ,п	п-т т т	/1О 1Ч
(р + ?х) = 2. <-яР 4 х	(18.1)
т = 0
называется формулой бинома Ньютона. Отсюда при р = 1, qx= 1 следует ра-
венство
125
£ <^п-
т = О
Основными понятиями теории вероятностей являются случайные события
и случайные величины. Событием называется любое явление, о котором можно
сказать «произошло», «не произошло», «появилось», «не появилось» и т.п.
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступает при
некоторых данных условиях. Если при данных условиях событие никогда не
наступает, оно называется невозможным. Случайным называют такое событие,
которое в результате опыта может появиться (произойти) или не появиться
(не произойти). Случайные события обозначают прописными буквами латин-
ского алфавита: А, В, С, ... . Достоверное событие обозначают буквой Е, а не-
возможное - символом 0.
Если появление одного события исключает появление другого, то они на-
зываются несовместными', в противном случае два события называются со-
вместными. Например, появление решетки и герба при бросании одной моне-
ты - события несовместные, а выпадение решетки и герба при бросании двух
монет - совместные события.
Группа событий А], А2, ..., А„ называется группой несовместных событий,
если совместное появление любой пары этих событий невозможно.
Если хотя бы одно событие из группы А}, А2, ..., А„ обязательно происхо-
дит, то говорят, что эти события образуют полную группу событий. На практике
часто рассматриваются полные группы несовместных событий. Например,
при пяти выстрелах по мишени события Aq, А}, А2, А2, А^, А$, означающие, что
число попаданий в мишень равно 0,1,2, 3, 4, 5 соответственно, образуют пол-
ную группу несовместных событий.
Два события, образующих полную группу несовместных событий, назы-
ваются противоположными. Для любого события А противоположное событие
обозначается А (читается «не А»),
События называют равновозможными, если ни одно из них не является бо-
лее возможным, чем другое.
Рассмотрим п событий Ау, А2, .... А„. Суммой (объединением) этих событий
п
называется событие В = /Г, заключающееся в появлении хотя бы одного
1
из событий А], А2, ..., А„.
Произведением (совмещением) событий А), А2, ..., А„ называется событие
п
В = At, означающее появление всех перемножаемых событий.
i = I
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает наступ-
ление события А и ненаступление события В. Разность событий А и В обозна-
чается А - В или А\В.
126
Очевидно, что АА = 0, А + 0 = А , А  0 = 0 , А + Е = Е, АЕ = А .
Если с наступлением события А появляется и событие В (А влечет за собой
появление В), то это записывается в виде А с В .
Относительной частотой события А или просто частотой, обозначаемой
W(А), называется отношение числа опытов т, в которых произошло событие
А, к числу всех проведенных опытов п, т.е. W (А) = т / п.
Перечислим свойства частоты событий.
1.	Частота достоверного события £ равна единице: W (Е) — 1.
2.	Частота невозможного события 0 равна нулю: W (0) = 0.
3.	Для любого случайного события А справедливо 0 < W(A) < I .
4.	Частота суммы двух несовместных событий равна сумме их частот, т.е.
W(A + В) = W(A) + И^В) .
5.	Частота произведения двух событий равна произведению частоты одно-
го из них и условной частоты другого:
W(AB) = W(A) W(B/A) = W(B)W(A/B).
Здесь через W(A/B) обозначена частота появления события А в тех опытах, в
которых наблюдалось появление события В: W(A/В) называется условной
частотой события А, вычисленной при условии появления события В. Анало-
гично определяется условная частота события В: W(B/A) .
Вероятностью случайного события А называется постоянное число Р(А),
около которого группируются частоты W (А) события А по мере увеличения
числа опытов (свойство устойчивости частоты). Это определение называется
статистическим определением вероятности события.
Испытанием называется обеспечение совокупности условий, при которых
может появиться некоторое событие. Каждое событие, которое может насту-
пить в испытании, называется элементарным исходом испытания. Если в ре-
зультате испытания наступает единственное событие, то говорят, что осу-
ществляется единственно возможный элементарный исход испытания.
Пусть Aj, А2, ..., А„ - полная группа равновозможных элементарных исхо-
дов испытания. При некоторых исходах событие А происходит, при других -
нет. Исходы, при которых событие А происходит, называются благоприят-
ствующими событию А.
Вероятностью события А называется отношение числа т элементарных
исходов испытания, благоприятствующих событию А, к числу п всех един-
. ственно возможных и равновозможных, образующих полную группу элемен-
тарных исходов. Вероятность события А обозначается Р (А). Тогда, по опреде-
лению, Р(А) = т / п - классическое определение вероятности.
Пример 1. В ящике 30 деталей, среди которых 5 бракованных. Найти веро-
ятность того, что наугад взятая из ящика деталь окажется бракованной.
>	Так как каждая из имеющихся деталей может быть взята из ящика, то
число всех равновозможных элементарных исходов п = 30. Число исходов,
благоприятствующих появлению бракованной детали, т = 5. Если событие А
означает, что взятая деталь - бракованная, то Р (А) = 5/30 = 1/6. 4
Пример 2. На склад поступило //изделий, среди которых Мбракованных.
Определить вероятность того, что среди п наугад взятых со склада изделий
окажется т бракованных.
127
►	Так как возможности появления любой комбинации п изделий из //оди-
наковы, то число всех равновозможных случаев с”^. Число способов получе-
ния т бракованных изделий из Мравно с'^, причем каждый набор из т бра-
кованных изделий может быть дополнен группой из п - т стандартных изде-
лии из общего числа стандартных изделии N - л? ровно С способами.
Следовательно, число случаев, которые благоприятствуют событию А,
означающему, что среди отобранных п изделий будет т бракованных, равно
произведению СМСNИскомая вероятность
Р(Л) = CmMCnN!nM/(fN,	(18.2)
где М < N; т < п . <
Пусть число элементарных исходов, которые равновозможны и образуют
полную группу событий, бесконечно. Тогда классическое определение вероят-
ности события А, которое может произойти в данной системе исходов также бес-
конечное число раз, неприменимо. В этих случаях каждому из возможных исхо-
дов ставится в соответствие точка пространства, а системе всех возможных исхо-
дов - некоторая область D данного пространства. Поскольку все исходы равно-
возможны, то попадание в любую точку области D также равновозможно. Всем
благоприятствующим исходам соответствует некоторая область d е D.
Если Sd и SD - метрические характеристики (длина, площадь, объем) об-
ластей d и D, то полагаем, что вероятность Р{А) = S^/S.
Пример 3. Два человека договорились встретиться в некоторый промежу-
ток времени длительностью Т мин, причем каждый из пришедших к месту
встречи должен ждать другого не более т мин. Найти вероятность встречи.
►	Пусть х и у - моменты прихода каждого из встречающихся. Тогда
SD = Т\ D: {0 <х< Т, 0 < у < Г) (рис. 18.1). Встреча состоится в случае, когда
|у-х|<т. Последнее неравенство определяет множество точек плоскости,
расположенных между прямыми у = х-т и у = х + т и на этих прямых.
->	2
Площадь области d Sd= 1~ -(Т-т) . Тогда искомая вероятность встречи
Р = Sd/SD =	-(Т-т)2)/?2 = 1 - (1 - т/7)2 . <
128
АЗ-18.1
1.	При перевозке ящика, в котором содержалось 21 стан-
дартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь. Де-
таль, наугад извлеченная из ящика после перевозки, оказа-
лась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна:
а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь. (Ответ: а) 2/3;
б) 1/3.)
2.	В коробке шесть одинаковых пронумерованных куби-
ков. Найти вероятность того, что при извлечении по одному
всех шести кубиков их номера появятся в возрастающем по-
рядке. (Ответ: 1/720.)
3.	1) В соревнованиях участвуют 10 равных по силе шахма-
тистов. Сколько существует вариантов распределения мест
между ними? 2) Сколько бригад по 6 человек в каждой можно
составить из 12 человек? 3) Сколькими способами можно рас-
ставить 5 поездов на 8 запасных путях? (Ответ: 1) 3 628 800;
2) 924; 3) 6720.)
4.	В ящике имеется 15 деталей, из них 10 окрашенных.
Сборщик наугад извлекает из ящика 3 детали. Найти вероят-
ность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
(Ответ: 24/91.)
5.	Внутрь круга радиусом R наугад брошена точка. Найти ве-
роятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а)
квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шести-
угольника. (Ответ: а) 2/л; б) 3л/3/(4л); в) Зл/з/(2тт).)
6.	Наугад взятый телефонный номер состоит из 5 цифр.
Найти вероятность того, что в нем все цифры: а) различные;
б) нечетные. (Ответ: а) 0,3024; б) 0,0312.)
7.	Найти вероятность того, что в декабре наугад взятого го-
да 4 воскресенья. (Ответ: 0,5714.)
8.	Пусть Nчеловек размещены случайным образом за круг-
лым столом. Какова вероятность того, что два определенных
человека окажутся рядом? (Ответ: 2/(JV-l)!.)
9.	Пусть А, В, С - три случайных события. Используя опе-
рации сложения, умножения и отрицания событий, найти вы-
ражсния для следующих событий: а) произошло только А;
б) произошло только одно событие; в) произошло два собы-
тия; г) произошли все события; д) произошло не более двух со-
бытий.
5 Зак. 2209
129
10.	На отрезке ОА длиной / поставлены наугад две точки В
и С. Найти вероятность того, что из трех получившихся отрез-
ков можно составить треугольник. (Ответ: 1/4.)
Самостоятельная работа
1. 1. Сколькими способами можно распределить первую,
вторую и третью премии на конкурсе, в котором принимали
участие 20 человек? (Ответ: 6840.)
2. Наугад взятый телефонный номер состоит из пяти
цифр. Найти вероятность того, что все цифры этого номера
кратны 3.
2. 1. Даны три произвольных события А, В, С. С помощью
операций над событиями найти выражение для события D,
означающего появление не менее двух событий.
2. На складе хранится в нерассортированном виде 20 из-
делий первого сорта и 10 — второго. Найти вероятность того,
что среди взятых наугад пяти изделий два будут второго сорта.
(Ответ: 0,36.)
3. 1. В книге 500 страниц. Найти частоту появления стра-
нице номерами, кратными 7.
2. Внутрь равностороннего треугольника со стороной а
наугад брошена точка. Найти вероятность того, что она попа-
дет в круг, вписанный в треугольник. (Предполагается, что по-
падание’в любую точку треугольника равновозможно.) (От-
вет: п/Зл/з .)
18.2. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ
Так как вероятности событий - числа, к которым стремятся частоты со-
бытий по мере увеличения количества испытаний, то вероятности событий
обладают всеми свойствами частот. Эти свойства можно сформулировать в
виде аксиом.
Аксиома 1. Вероятность достоверного события равна единице, т.е.
Р (Е) = \.
Аксиома 2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р (0) = 0.
Аксиома J. Вероятность любого случайного события удовлетворяет услови-
ям 0 < Р(А) < 1 .
Аксиома 4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их
вероятностей, т.е. если A r B - (S, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) .
130
Вероятность наступления события А, вычисленная при условии наступле-
ния события В, называется условной вероятностью события А по отношению к
событию В и обозначается Р (A/В). Аналогично определяется условная вероят-
ность события В по отношению к событию А.
Аксиома 5. Вероятность произведения (совместного наступления) двух собы-
тий равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности дру-
гого, т.е.
Р(АВ) = Р(А)Р{В/А) = Р(В)Р{А/В).
Пример 1. В урне 7 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Найти вероятность
того, что извлеченный наугад шар - цветной.
►	Пусть событие А означает появление красного шара, а В - синего. Тогда
событие С= А + В означает появление цветного шара. Так как А и В - несов-
местные события, то Р( С) = Р(Л) + Р(В) . Имеем: Р(А) = 8/25, Р(В) = 10/25.
Тогда Р(С) = 8/25 + 10/25 = 0,72. Ч
Пример 2. Из 20 изделий первого сорта и 10 второго сорта, имеющихся на
складе, наугад взято 2 изделия. Найти вероятность того, что оба они - первого
сорта.
►	Пусть Л] - появление одного изделия первого сорта, Л2 - появление
другого изделия первого сорта. Тогда А = Л|Л2 означает появление двух изде-
лий первого сорта.
Из аксиомы 5 следует, что Р (Л) = Р (А\)Р (А2/А1). Но Р (Л]) = 20/30,
/>(Л2/Л1) = 19/29. Следовательно,
20 19
Р(Л} =	И^0’4368'"
Пример 3. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из кото-
рых не превышает 2. Найти вероятность того, что их произведение нс меньше
2, а сумма не больше 3.
►	Так как числа х и у удовлетворяют условиям 0 < х < 2 и 0 < у < 2 , то точ-
ки М(х, у), удовлетворяющие этим условиям, образуют квадрат со стороной 2
и площадью SD = 4 (рис. 18.2).
131
Найдем множество точек М (х, у), для которых ху>2 и х + у < 3 . Эти точ-
ки, удовлетворяющие указанной системе неравенств, образуют область d,
ограниченную гиперболой ху = 2 и прямой х + у - 3 (см. рис. 18.2). Находим
площадь 5^ области </:
2	3-х	2
dy = J(3-х-2/х)<£х =
Л	1	2/х	1
2
= (Зх-х /2-2 In |x|)j = 1,5-ln 4«0,1137 .
Искомая вероятность Р = Sd/SD = 0,1137/4 «0,0284 . 4
АЗ-18.2
1.	В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад выни-
мают 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары разного
цвета. (Ответ: 15/28.)
2.	Из ящика, в котором находится 31 стандартная и 6
нестандартных деталей, взято наугад 3 детали. Какова вероят-
ность следующих событий: а) все три детали стандартные;
б) по крайней мере одна деталь стандартная? (Ответ: а) 0,579;
б) 0,9973.)
3.	Цифровой замок содержит на общей оси 4 диска, каж-
дый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных цифрами.
Замок может быть открыт только в том случае, когда диски за-
нимают определенное положение относительно его корпуса и,
следовательно, цифры образуют определенную комбинацию,
составляющую «секрет» замка. Какова вероятность открыть
замок, установив произвольную комбинацию цифр? (Ответ:
0,00077.)
4.	Наугад взяты два положительных числа хи у, каждое из
которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что
х + у < 1 , а ху > 0,09 . (Ответ: 0,2 .)
5.	В партии из 20 радиоприемников 5 неисправных. Для
' проверки наугад отбираются 3 радиоприемника. Найти веро-
ятность того, что в число выбранных войдут: а) только исправ-
ные радиоприемники; б) только неисправные радиоприемни-
ки; в) один неисправный и два исправных радиоприемника.
(0/иве/и: а) 91/228; б) 1/114; в) 35/76.)
6.	Цепь состоит из двух последовательно включенных эле-
ментов, работающих независимо друг от друга. Вероятность
132
безотказной работы первого элемента pj = 0,8, а второго —
Р2 = 0,9. Вычислить вероятность разрыва цепи.
7.	Группа состоит из 4 мужчин и 8 женщин. Найти вероят-
ность того, что при разбиении этой группы случайным обра-
зом на подгруппы по 3 человека в каждой из них будет хотя бы
один мужчина. (Ответ: 41/55.)
Самостоятельная работа
1. 1. В урне 10 белых и 15 красных шаров. Найти вероят-
ность того, что два наугад вынутых шара окажутся красными.
(Ответ: 7/20.)
2. Какова вероятность того, что произведение очков, вы-
павших на двух игральных костях, равно 2? (Ответ: 1/18.)
2. 1. В ящике 5 изделий первого сорта, 10 - второго и 15 -
третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое из-
делие - не третьего сорта. (Ответ: 0,5.)
2. Группа состоит из 4 мужчин и 8 женщин. Найти веро-
ятность того, что при разбиении этой группы случайным обра-
зом на подгруппы по 3 человека в каждой из них будет один
мужчина. (Ответ: 28/55.)
3. 1. В урне 4 белых и 5 красных шаров. Из урны наугад
последовательно извлекаются все шары и откладываются в
сторону. Найти вероятность того, что последний вынутый шар
будет белым. (Ответ: 0,4444.)
2. Вероятность попадания в любую часть плоской тре-
угольной пластинки пропорциональна ее площади. Найти ве-
роятность попадания наугад брошенной на пластинку точки в
треугольник, образованный средними линиями исходного
треугольника. (Ответ: 0,25.)
18.3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы конечного числа не-
совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Р	(18-3)
^'=1 J / =1
где AjAj = 0 при i*j.
133
Если события Aj, Л2, А„ образуют полную группу несовместных собы-
тий, то у P(At) = 1. В частности, события Л и Л образуют полную группу и
несовместны, поэтому Р{А)+Р(А) = 1. Если обозначить Р(А) = р, то
д^Р(А)= \-р.
Пример 1. При приемке партии из 80 изделий, среди которых 6 бракован-
ных, проверяются 40 наугад взятых изделий. Партия изделий принимается,
если среди проверяемых изделий не более двух бракованных. Определить ве-
роятность приемки партии изделий.
►	Пусть события Ао, Л] и Л2 означают, что среди 40 проверяемых изделий
соответственно нет бракованных, одно бракованное и два бракованных. Со-
бытия Ад, Л], А2 несовместны. Событие Л = Ад + А^ + А2 означает, что пар-
тия изделий будет принята. По теореме сложения (см. формулу (18.3))
Р(А) = Р(Ад) + Р(А]) + Р(А2) . По формуле (18.2) находим:
Р(Ад) =	W = <^4С6/С80- W = С?4С6/С80-
Следовательно,
Р(А) = (С^+С^с’ + С^)/С*°«0,337.<
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения конечного
числа событий равна произведению вероятности одного из них и условных вёроят-
ностей остальных событий, вычисленных при условии, что все предшествующие
события произошли, т.е.
Р{АхА2 ... Ап) = Р(А})Р(А2/А})Р(А3/А}А2) ... Р(ЛЯ/Л1Л2 ... Ля_]) . (18.4)
События Л и В называются независимыми, если Р{А/В) = Р{А) . Тогда
Р{В/А) = Р(В), т.е. независимость событий взаимная. События А{, Л2,..., А„
называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любые комби-
нации их совместной реализации являются независимыми событиями. Для
независимой в совокупности системы событий Л1; Л2, ..., Л„ справедливо ра-
венство
п
Если любые два события системы независимы, то система событий назы-
вается попарно независимой. Из независимости событий в совокупности следу-
ет их попарная независимость; обратное, вообще говоря, неверно.
Для любого события Л = у Л,. противоположное событие Л = у Л,-,
а это означает, что
fl
р ХА‘
= ул,- •
(18.5)
134
Если события Л|, Л2, ..., А„ - независимые в совокупности, то формула
(18.5) принимает вид
= i-fp(A).
1= 1
(18.6)
Теорема сложения для двух совместных событий записывается в виде
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) ,
а для трех событий - в виде
Р(А + В+С) = Р(А) + Р(В)+,Р(С)- Р(АВ)-Р(АС)- Р(ВС) + Р(АВС) .
Пример 2. Вероятности попадания в цель каждого из трех стрелков равны
соответственно 0,8; 0,7; 0,9. Стрелки произвели один залп. Найти вероят-
ность: а) только одного попадания; б) хотя бы одного попадания.
►	а) Пусть Ahi- 1,3,- события, означающие попадание в цель каждого
из трех стрелков. Тогда Р(Лр = 0,8,	Р(А2) = 0,7,	Р(А^) = 0,9,
Р(Л[) = 1-0,8 = 0,2, Р(А2) = 1-0,7 =0,3, Р(А3) = 1-0,9 = 0,1.
Событие А, означающее только одно попадание в мишень, записывается
в виде
А — А । Л2 Л3 А1 А7 А3 + А । А')А3 .
Так как Л,Л2Л3 > ^1^2^3> Л]Л2Л3 - несовместные события (стрелки
производят выстрелы независимо друг от друга), то из теорем сложения и
умножения вероятностей следует
Р(Л) = Р(Л])Р(Л2)Р(Л3) + Р(Л1)Р(Л2)Р(Л3) + Р(Л1)Р(Л2)Р(Л3) =
= 0,8  0,3 • 0,1 +0,2  0,7  0,1 +0,2 • 0,3 • 0,9 = 0,092 .
б) Так как попадания в цель каждого стрелка - независимые в совокуп-
ности события, то из формулы (18.6) следует, что
Р(Л]+Л2 + Л3) = 1 -Р(Л1)Р(Л2)Р(Л3) = I-0,2 • 0,3 • 0,1 = 0,994.Х
Пример 3. На складе 30 изделий первого сорта и 20 - второго сорта. Най-
ти вероятность того, что три взятых наугад изделия - первого сорта.
►	Пусть Л|, Л2, Л3 - события, состоящие в появлении изделия первого сор-
та соответственно при первом, втором и третьем взятии изделия со склада.
Тогда событие А = Л1Л2И3 означает появление трех изделий первого сорта.
Из формулы (18.4) следует, что Р(Л) = Р(Л])Р(Л2/Л])Р(Л3/Л] Л2) . Так как
Р(Л[) = 30/50, Р(А2/А\) = 29/49, Р(Л3/Л,Л2) = 28/48, то
Р(Л) =	2-’
 ’	50 49
-2^0,2071.4
Пример 4. Используя условия примера 3, найти вероятность появления
трех изделий первого сорта, если производится проверка качества каждого
взятого изделия и его возврат на склад.
135
►	В данном случае
РСЛР = Р(А2/А1) = Р(А3/А}А2) = 30/50 = 3/5 .
Тогда
Р(А}А2А3) = Р^А^Р^Р^) = (3/5)3 = 0,216 . <
Пусть события Н\, Н2, ..., Н„ образуют полную группу несовместных со-
И
бытии, т.е. Е н< =Е- HiHj = 0 , / * j. Событие А может наступить толь-
1=1
ко вместе с наступлением одного из событий Н2. ..., Н„, которые называ-
ются гипотезами. Тогда справедлива формула полной вероятности
п
Р(А) = £ Р(Я,.)Р(Л/Я,.) .	(18.7)
1= 1
Пример 5. В цехе 3 станка-автомата штампуют детали одного вида. Про-
изводительность первого станка в два раза больше, а третьего - в два раза
меньше производительности второго станка. Вероятность брака для первого
станка равна 0,05, для второго - 0,03, для третьего - 0,01. Изготовленные де-
тали складываются в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятая из
ящика деталь - бракованная.
►	Относительно каждой взятой из ящика детали можно утверждать следу-
ющее: Н]- деталь изготовлена первым станком; Ну - деталь изготовлена вто-
рым станком; Ну - деталь изготовлена третьим станком.
Так как третий станок штампует 1/7 всех деталей, второй - 2/7, то первый -
4/7 всех деталей. Поэтому Р{Н^) = 4/7 , Р(Я2) =	, Р(Н£ = 1/7. По
условию задачи Р(А/Н^) = 0,05 , Р(А/Н2) = 0,03 , Р(А/Ну) = 0,01 .Тог-
да из формулы (18.7) следует, что
4	2	1
Р(А) = ^ 0,05 + ^ 0,03 +± 0,01 = 0,0385. 4
Пример 6. Электрическая цепь MN сконструирована по схеме, представ-
ленной на рис. 18.3. Все элементы 7-5цепи работают независимо друг от дру-
га, и вероятности выхода их из строя за данный промежуток времени равны
соответственно = 0,1, р2 = 0,2, р3 = 0,5, р4 = 0,3, р5 = 0,1.Найтиве-
роятность нормальной работы цепи в данный промежуток времени.
136
► Пусть Ah i— 1,5,- событие, означающее нормальную работу /-го эле-
мента цепи в данный промежуток времени. Цепь исправна (событие А) в дан-
ный промежуток времени, если наступают события At и + А^А^ . Со-
гласно формуле (18.6) искомая вероятность
Г(А) = Р(А^\- Р(А2)Р(А^РСВ)) ,
где В = /Ц + Л4 ; Р(В) = 1 - Р(/1-)Р(Л4) . Следовательно,
Р(А) = Р(Л1)(1-Р(Л2)Р(Л5)(1-Р(Л3)Р(Л4))) =
= 0,9(1 -0,1 • 0,2 (1 -0,5 • 0,7)) = 0,8883. <
АЗ-18.3
1.	Вероятность безотказной работы блока, входящего в не-
которую систему, в течение заданного времени равна 0,8. Для
повышения надежности системы устанавливается такой же
резервный блок. Найти вероятность безотказной работы сис-
темы с резервным блоком в течение заданного времени. (От-
вет: 0,96.)
2.	Двадцать экзаменационных билетов содержат по два не-
повторяющихся вопроса. Экзаменуемый знает ответы на 35
вопросов. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, ес-
ли для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета
или на один вопрос билета и один дополнительный вопрос из
других билетов. (Ответ: 0,963.)
3.	Для разрушения моста достаточно попадания одной
авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет
разрушен, если на него будет сброшено четыре бомбы, вероят-
ности попадания которых равны соответственно 0,3; 0,4; 0,6;
0,7. (Ответ: 0,95.)
4.	В каждой из трех урн находится 6 черных и 4 белых шара.
Из первой урны наугад извлечен шар и переложен во вторую,
после чего из второй урны наугад извлечен шар и переложен в
третью. Найти вероятность того, что шар, наугад извлеченный
из третьей урны, окажется белым. (Ответ: 0,4.)
5.	В ящик, в котором находится п деталей, положена стан-
дартная деталь, после чего из него наугад извлечена одна де-
таль. Найти вероятность того, что извлеченная деталь — стан-
дартная, если все возможные предположения о первоначаль-
137
ном составе деталей в ящике равновозможны. {Ответ:
п + 2 .
2(л+1)'
6.	В электрическую цепь MNвключены элементы ocj-ag по
схеме, изображенной на рис. 18.4. Все элементы работают не-
зависимо друг от друга. Вероятности выхода из строя каждого
элемента в заданный промежуток времени приведены в следу-
ющей таблице:
а,-	«1	«2	«3	а4	«5	а6
Pi	0,3	0,1	0,4	0,5	0,2	0,6
Найти вероятность разрыва цепи за указанный промежуток
времени. {Ответ: 0,7973.)
7.	В трех урнах находятся белые и черные шары: в первой -
2 белых и 3 черных, во второй - 2 белых и 2 черных, в третьей -
3 белых и 1 черный. Из первой урны переложили шар во вто-
рую. После этого шар из второй урны переложили в третью.
И, наконец, шар из третьей урны переложили в первую. Найти
вероятность того, что состав шаров во всех урнах не изменил-
ся. {Ответ: 0,34.)
8.	Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное
число окажется кратным 2 или 5. {Ответ: 0,6.)
Самостоятельная работа
Участок электрической цепи MN состоит из элементов,
указанных на схеме (рис. 18.5-18.7). Вероятности выхода из
строя всех элементов цепи за некоторый промежуток времени
даны в таблице. Вычислить вероятность разрыва цепи за этот
промежуток времени.
138
1.
Рис. 18.7
139
18.4. ФОРМУЛЫ БАЙЕСА И БЕРНУЛЛИ.
ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ
МУ АВ РА - ЛАПЛАСА
Е	сли//], //2, ..., //„ образуют полную группу несовместных событий (ги-
потез) и событие А произошло, то
P(ffk)P(A/ffk) --------
Р(Нк/А) = -------------— , к = 1, п .	(18.8)
£ P(ffi)P(A/ffj)
i= 1
Формула (18.8) называется формулой Байеса. Она дает возможность нахо-
дить условные апостериорные (после опыта) вероятности гипотез Р(Нк/А)
по известным априорным (до опыта) вероятностям P(Hj) гипотез//;, //2, ...,
Нп и данным P(A/Hj) .
Пример 1. На склад поступает продукция с трех фабрик. Поступления с
первой фабрики составляют20 %, со второй - 46 %, стретьей - 34 %. Вероят-
ность брака для первой фабрики равна 0,03, для второй - 0,02, для третьей -
0,01. Найти вероятность того, что в случае, когда взятое наугад изделие
нестандартно, оно произведено на первой фабрике.
►	Известно, что любое изделие, находящееся на складе, произведено на
первой фабрике (//]), на второй фабрике (//2) или на третьей фабрике (//3).
Система гипотез Я1( //2, /Л, является полной группой несовместных событий.
По условию Р(Яр = 0,2, Р(Я2) = 0,46 , Р(Н->) - 0,34, Р(А/Н\) =
= 0,03, Р(А/Н^) = 0,02, Р(А/Н3) = 0,01. Необходимо найти вероятность
гипотезы при условии, что взятое наугад изделие (событие А) оказалось
нестандартным. Согласно формуле Байеса имеем:
Р(Я1)/’(Л/Я1)
P(//l)P(A/ffl) + Р(//2)Р(А//Б>) + P(Jf3)P(A/f/3)
= -----------0i2 0103----------~ о 322.4
0,2 0,03 + 0,46 0,02 + 0,34-0,01
Если вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от
исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми от-
носительно события А.
Пусть проводится п одинаковых независимых испытаний, в каждом из ко-
торых событие А появляется с вероятностью р. Тогда вероятность того, что оно
появится т раз (0 < т < л) , вычисляется по формуле
^„(т) = Спр q ,	(18.9)
где q = 1 -р . Формула (18.9) называется формулой Бернулли.
140
Пример 2. В каждом из пяти опытов событие А может появиться с
вероятностью р = 0,4. Найти вероятность того, что событие А появитсятри раза.
►	Согласно формуле Бернулли имеем:
3	3	2
Р5(3) = Cj-0,4 0,6 « 0,0922.4
Локальная теорема Муавра — Лапласа. Вероятность того, что в п незави-
симых испытаниях событие А наступит ровно т раз,
рп(т^-±=<р(х),	(18.10)
Jnpq
,	, .	1 -х/2 т-пр	'	,
гое <р(х) = ~р=е ; х =	; р - вероятность наступления события А
*/2л	‘Jnpq
в отдельном испытании; q = 1 - р. Равенство (18.10) тем точнее, чем больше п и
чем р ближе к 0,5.
Функция <р(х) - четная; ее значения для х > 0 приведены в прил. 3.
Пример 3. Найти вероятность того, что в 243 испытаниях событие А на-
ступит ровно 70 раз, если вероятность появления этого события в каждом ис-
пытании равна р = 0,25.
► По условию п = 243, т — 70, р — 0,25, q = 0,75. Тогда
у _ т-пр _ 70-243  0,25 ~ f
Jnpq 7243  0,25  0,75 ~ ’
Далее из прил. 3 находим ср(1,37) = 0,1561. Согласно формуле (18.10)
имеем:
Р243(70) =	0,1561 «0,0231 . 4
о,/5
Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Пусть вероятность появления
события А в каждом из п независимых испытаний равна р. Тогда вероятность
того, что в п независимых испытаниях оно появится от т^ до т2 раз (т2> т^),
выражается формулой
PJtn} </п<т2)«Ф(х2)-Ф(х1),	(18.11)
где
dt;
/п2 - пр
Jnpq
Функция Лапласа Ф(х) - нечетная; ее значения приведены в прил. 4. Для
значения х> 5 полагают Ф(х) = 0,5 .
Пример 4. Фабрика выпускает 70 % продукции первого сорта. Чему равна
вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий первого сорта
будет заключено между 652 и 760?
► По условию задачи п = 1000, р = 0,7, q = 0,3, тх = 652, т2 = 760.
Искомую вероятность вычислим по формуле (18.11):
Р1000<652 - т - 760) ~ ф(х2> “ ф(х1> 
141
Имеем:
_ 652- 1000-0,7	, ,,	760- 1000-0,7 л,л
. 71000 -0,7- 0,3	1	71000-0,7 -0,3
Из прил. 4 находим: Ф (4,14) = 0,49998, Ф (-3,31) =-0,49981. Следова-
тельно, искомая вероятность 7"1000(652 < т < 760) = 0,99979. 4
Замечание 1. Если в некоторой серии из п испытаний событие А на-
ступает т раз, то частота его появления IV(A) = т/п . Тогда неравенство
11И(Л) - />| < g равносильно неравенствам пр - ле < т < пр + ле , а из инте-
гральной теоремы Муавра - Лапласа следует
Р^-р|<е) =2ф(е^),	(18.12)
где р - вероятность появления события А в одном испытании; е > 0 - любое
действительное число.
Пример 5. Вероятность появления события А в каждом испытании равна
0,2. Найти наименьшее число испытаний л, при котором с вероятностью 0,97
можно утверждать, что относительная частота события IV(A) отклонится от
вероятности его появления р по абсолютной величине не более чем на 0,01.
► Имеем: р — 0,2, q = 0,8, е = 0,01, (| И^А) -р| < 0,01) = 0,97. Определим
л из формулы (18.12):
2фГе Ш = 0,97 , фГе © = 0,485 .
V	k *lpqJ
Из прил. 4 находим:
е /^ = 2,17, л	- 7534.4
Npq	I е2 )
Замечание 2.	Число /л0,	удовлетворяющее неравенствам
Р„(т0 - 1) - Р?п(т0 + О > называется наивероятнейшим числом появ-
ления события А в п независимых испытаниях. Это число удовлетворяет услови-
ям пр- q < т0 < пр +р . Например, если посеять 1000 семян, вероятность
всхода каждого из которых равна 0,83, то наиболее вероятно, что число
взошедших семян удовлетворяет неравенствам 830-0,17 < т;) < 830 + 0,83 ,
т.е. наивероятнейшее число взошедших семян mf| = 830 .
АЗ-18.4
1.	Вероятности попадания в цель при каждом выстреле для
трех стрелков равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. При одновре-
менном выстреле всех трех стрелков в мишени обнаружено од-
но попадание. Найти вероятность того, что в цель попал пер-
вый стрелок. {Ответ: 0,103.)
142
2.	В канцелярии работают 4 секретаря, которые обрабаты-
вают по 40, 10, 30 и 20 % исходящих документов за одно и то
же время. Вероятности неверной адресации документов сек-
ретарями равны соответственно 0,01; 0,04; 0,06; 0,01. Найти
вероятность того, что один из документов, оказавшийся не-
верно адресованным, отправлен третьим секретарем. (От-
вет: 0,643.)
3.	Вероятность брака изделия на некотором производстве
р = 0,3. Найти вероятность того, что среди 4 отобранных для
проверки изделий будет 2 бракованных. (Ответ: 0,2646.)
4.	По данным ОТК завода, 0,8 всего объема выпускаемых
изделий - первого сорта. Найти вероятность того, что среди
взятых наугад для проверки 400 изделий 80 будет не первого
сорта. (Ответ: 0,04986.)
5.	Вероятность появления события А в каждом из 2100 не-
зависимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что
событие А наступит: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не
менее 1470 раз; в) не более 1469 раз. (Ответ: а) 0,4236; б) 0,5;
в) 0,5.)
6.	Вероятность изготовления изделий первого сорта на
данном предприятии равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее
число изделий первого сорта в случайно отобранной партии из
150 изделий? (Ответ: 117.)
7.	Вероятность того, что деталь - нестандартная, равна
0,1. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью
0,9544 можно было утверждать, что относительная частота
появления нестандартных деталей отклонится от вероятно-
сти р = 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03?
(Ответ: 400.)
8.	Для человека, достигшего 20-летнего возраста, вероят-
ность смерти на 21-м году равна 0,006. В случае смерти страхо-
вое учреждение выплачивает 500 у.е. Застрахована группа в
10 000 человек 20-летнего возраста. Какую минимальную сум-
му страховых взносов следует установить, чтобы вероятность
того, что к концу года страховое учреждение окажется в убыт-
ке, была не больше 0,1? (Ответ: 3,5 у.е.)
Самостоятельная работа
1.	Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно,
что вероятность попадания для первого охотника равна 0,2, а
для второго - 0,6. В результате произошло одно попадание в
143
цель. Найти вероятность того, что первый охотник промах-
нулся. (Ответ: 0,857.)
2.	Вероятность изготовления детали первого сорта на дан-
ном станке равна 0,4. Найти вероятность того, что среди на-
угад взятых 26 деталей половина окажется первого сорта. (От-
вет: 0,093.)
3.	Вероятность появления события в каждом из 100 незави-
симых испытаний равна р = 0,8. Найти вероятность того, что
событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз. (Ответ:
0,8882.)
18.5.	СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Величина, принимающая заранее не известные случайные значения, на-
зывается случайной величиной (СВ). Условимся обозначать случайные величи-
ны прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, U,..., а значения, при-
нимаемые ими, - соответствующими строчными буквами х, у, z, и.
Случайная величина, которая имеет конечное или бесконечное счетное
множество значений, называется дискретной СВ. Например, СВ X, означаю-
щая число попаданий в цель при пяти выстрелах, может принимать значения
х = 0, 1,2, 3, 4, 5. Она является дискретной. Если СВ .¥принимает любые зна-
чения из некоторых интервалов или отрезков числовой оси, то она называется
непрерывной СВ (например, ошибка измерения, дальность полета снаряда,
время безотказной работы прибора ит.д.).
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значе-
ниями СВ и их вероятностями, называют законом распределения случайной ве-
личины.
Простейшей формой задания закона распределения дискретной СВ X яв-
ляется таблица, в которой перечислены возможные значения этой СВ и ука-
заны соответствующие им вероятности:
Xi	Х[	х2 ... х„	
Pi	Pl	Pl  Рп	Z м» II
Такая таблица называется рядом распределения СВ, если Xj < х2 < ... <хя .
Пример 1. Стрельба по мишени ведется до первого попадания. Записать
ряд распределения СВ X, означающей число выстрелов, если вероятность по-
падания при каждом выстреле равна р.
► Случайная величина X может принимать бесконечное число значений
х = 1,2, .... п, ... . Найдем их вероятности. По условию Р(Х= 1) = р. Стрельба
закончится на п-м выстреле, если результатами первых п - 1 выстрелов были
144
промахи, а л-го выстрела - попадание. Тогда событие А, означающее п ука-
занных выстрелов, представимо в виде А = А\А2 ... Лп }Ап . Его вероятность
Р(А) = Р(Х= п) = q"~ '/>, где q = 1 - р. Ряд распределения СВ X имеет следую-
щий вид:
' xi	1	2	3	k	k+\
Pi	р	qp	<гр	<f~'p	qkp
Рассмотренное в примере 1 распределение СВ называется геометриче-
ским.
Функция Fix) = Р(Х < х) , задающая вероятность неравенства Х<х , на-
зывается интегральной функцией распределения и обладает следующими свой-
ствами:
1)	0<F(x)< 1 ;
2)	F(x}) < F(x2) при %, <х2 ;
3)	Р(а<Х<Р) = Г(₽)-Г(а);
4)	lim F(x) = 0 , lim Fix) = 1 .
х —> —со	х —> + со
Справедливо следующее утверждение: всякая функция F (х), удовлетворя-
ющая условиям 1—4, является интегральной функцией распределения некоторой
свх.
Для дискретной СВ X, заданной рядом распределения, интегральная фун-
кция распределения имеет вид
Если возможные значения СВ принадлежат конечному отрезку [а; />], то
F(x) = 0 при х< а и F(х) = 1 при х>Ь. Величина b-а называется размахом
СВ X. Если Fix) и F'(x) - непрерывные функции, то СВ Xназывается непре-
рывной.
Очевидно, что для любой СВ Р(Х = xQ) = F(xQ + 0) - F(xQ- 0) . Для не-
прерывной СВ Р(Х= x(j) = 0 .
Пример 2. Дан ряд распределения дискретной СВ X.
xi	2	4	6	8
Pi	0,1	0,3	0,4	0,2
Построить график интегральной функции распределения для СВ X.
► По определению функции Fix) и аксиоме 3 вероятности суммы несо-
вместных событий
145
	г0	при	х<	2,
	0,1	при	2<	х < 4,
Т(х) = 	0,4	при	4<	х < 6,
	0,8	при	6<	х < 8,
	1,0	при	8 <	X.
График функции F(х) изображен на рис. 18.8. <
1 -
0,8 -
0,4 -
Рис. 18.8
Пример 3. Задана интегральная функция распределения непрерывной
СВ*
0
при X < 1 ,
/•(х) =
о(х- I)3 при 1 <х< 3,
1	при х > 3.
Найти коэффициент а, построить график функции F(x) и вычислить
Р(1 <х<2) :
► Из непрерывности функции F(x) . и свойства 4 следует, что
3
lim (о(х- 1) ) = 1 , откуда а = 1/8 . Тогда
Р(1<х<2) = Т(2)-*(1) = |(2- 1)3-|(1 - I)3 = 1/8.
О	о
График функции F(x) приведен на рис. 18.9. 4
146
Плотностью распределения вероятностей СВ X в точке х или дифференци-
альной функцией распределения f(x) называется предел
lim f<x<jr<* +Ах) = дх) .	(18.13)
Дх -> О Ах
Из свойства 3 интегральной функции распределения F(х) и формулы
(18.13) следует, что
/(х) = lim -А£^.±АУ).~./(^ = F(x)
Дх—>0	Ах
(предполагается, что F'(x) существует).
Для дискретной СВ интегральная функция распределения F(х) - кусоч-
но-постоянная, а плотность распределения вероятностей
i = 1
где 5 = 5(х) - функция Дирака, которая по определению равна 0 при х * 0 и
+ при х = 0 .
Перечислим свойства плотности распределения вероятностей'.
1) Дх) > 0 для любого х е R ;
Ь
2) P(a<X<b) = j/(x)rfx;
а
3)F(x)= ]7(/)Л;
-00
+ оО
4) j/(x)dx = 1 .
—00
Пример 4. Случайная величина X распределена с плотностью
Дх) = a sin 2х , 0 < х < тг/2 , и Дх) = 0 при х<0 и х > тг/2 . Найти коэффи-
циент а, функцию F(x), вычислить Р(0 < Л"<л/4) и построить графики
функций/(х) и Т-'(х) .
► Из свойства 4 плотности распределения вероятностей имеем:
л/2
J a sin 2xrfx = 1 ,
О
47	-> i7t/2	,	_ т>	_
откуда - -	cos 2х|0	= 1,	а = 1 . Из свойства 3	плотности распределения ве-
роятностей следует, что
147
О	при x< 0,
F(x) = J/(r)A =
—00
(l-cos2x)/2 при 0<х<л/2,
при х>л/2.
Из свойства 2 плотности распределения вероятностей находим, что
гс/4
Р(0 < Х< л/4) = J sin2x<& = - jcos2x|*/4 = j.
О
Графики функций /(х) и Л(х) приведены на рис. 18.10, а и б соответ-
ственно. 4
АЗ-18.5
1.	Построить ряд распределения дискретной СВ X, означа-
ющей число выпадений герба при пяти бросаниях монеты.
2.	В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наугад взято 2 де-
тали. Составить ряд распределения СВ X, означающей число
стандартных деталей среди выбранных.
3.	Дискретная СВ Xраспределена по закону
X	1	2	3	4
р	0,1	0,2	0,4	0,3
Найти функцйю распределения F(x) и построить ее график.
2
4.	Известно, что Д(х) = ах при х е [0; 2] и F(x) = 0 при
х < 0 . Найти коэффициент а, функцию/(х), вероятность по-
падания СВ X на отрезок [1; 2]. Построить графики функций
F (х) и/(х). (Ответ: Р(1 < Х< 2) = 0,75.)
148
2
5.	Плотность распределения вероятностей /(х) = с/(1 +х )
при х > 0 и Дх) = 0 при х < 0 . Найти коэффициент с, функ-
цию /Дх), значение Р(0 < Х< 1) и построить графики функ-
ций f (х) и Г(х). (Ответ: с = 2/л , Р(0 < Х< 1) = 0,5 .)
Самостоятельная работа
1. Ряд распределения дискретной СВ Xимеет вид
-ч	3	4	7	10
Pi	0,2	0,1	0,4	0,3
Найти функцию F (х) и построить ее график, вычислить
Р(3 < Х< 8). (Ответ: Р(3 < Х< 8) = 0,5 .)
2. Случайная величина X принимает значения х = п, п = 1,
2, с вероятностью Р(Х = л) = 2 ". Найти функцию F(x),
построить ее схематический график и вычислить Р(3 < Х< 6).
(Ответ: Р(3 <Х<6) = 0,2344.)
3. Случайная величина X имеет плотность распределения
вероятностей Дх) = с при хе [1; 5] и Дх) = 0 при
xg [1; 5]. Найти число с, функцию F(x) и вычислить
Р(2 < Х< 4). (Ответ: Р(2 < Х< 4) = 0,5 .)
18.6.	ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть дискретная СВ Xпринимает значения X], хг, ..., х„ с вероятностями
Pl, Р2, ..., р„ соответственно. Тогда математическим ожиданием или средним
значением СВ X называется число
М(Х) = тх = £ xjPj.
i= 1
В случае, когда «->+<», предполагается, что полученный числовой ряд
абсолютно сходится.
Если непрерывная СВ X имеет плотность распределения вероятностей
/(х), то
149
+ со
М(Х) = тх = ^xf(x)dx.
Перечислим основные свойства математического ожидания.
1.	Математическое ожидание числа появлений события А в одном испы-
тании равно вероятности р наступления этого события.
2.	М(С) = С , если С - постоянное (неслучайное) число.
3.	М(СХ) = СМ(Х), т.е. постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания.
4.	М(Х+ У) = М(Х) + М(У).
5.	М(ХУ) = М(Х)М( У) , если случайные величины X и /независимы.
Пример 1. Дан ряд распределения СВ X:
X/	2	4	7	9	И
Pi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1
Вычислить математическое ожидание М (X).
►	По определению имеем:
тх = 2 0,1+4-0,2 +7-0,4 + 9- 0,2 +11-0,1 =6,7 .4
Пример 2. В каждом из л независимых испытаний событие А появляется
с вероятностью р. Найти математическое ожидание СВ X- числа появлений
события Ав п испытаниях.
►	Пусть X- - число появлений события А в каждом из п независимых ис-
пытаний (z = 1, п ). Тогда
Х=	(18.14)
z = 1
Случайная величина X. принимает значения 1 и 0 с вероятностями соответ-
ственно р и q. Тогда М(Х^) = 1  р + 0  q = р . Так как испытания независимы,
то из равенства (18.14) на основании свойства 4 математического ожидания
получаем:
л	л
М(Л) = £ W,) = X Р = пр' <
i = 1	z = 1
Для любой СВ X случайная величина = X- тх называется центриро-
ванной СВ или отклонением.
Дисперсией или рассеянием D(X) СВ Xназывают математическое ожидание
2
квадрата отклонений, т.е. D(X) = М((Х- mj ) .
150
Величина <sx - J D(X) называется средним квадратичным отклонением
СВХ.
Для непрерывной СВ X
+ <30
Л(Л) = A/f(?)2J = J (x-mxYf(x)dx,
-со
для дискретной СВ X
D(X) =	= Y(xrmxyPr
i = 1
Перечислим основные свойства дисперсии'.
1)	D(X) = М(Х)-т2х,
2)	D(C) = 0 , если С - постоянная величина;
3)	D(CX) = C2D(X) , если С - постоянная величина;
4)	дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий, в частности D(X± Y) = D(X) + D(Y) .
Пример 3. Найти дисперсию числа Xпоявлений события А в п независи-
мых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании равна р.
► Если Xi, < = 1, п , - число появлений события А в каждом испытании,
п
то X - Xi, и, согласно свойству 4 дисперсии, получим:
/ - 1
п
D(X) = £ D(X.) .
/ = 1
В примере 2 установлено, что = р . Поэтому = 1  р + 0  q =
= р . Тогда по свойству 1 дисперсии находим:
/>(%,) = 1  р-р~ = pq , D(X) = npq.4
Пример 4. Найти значения М(Х) ,
функция распределения которой
D(X) и сг(Л) для СВ X, интегральная
О	при х < 0,
F(x) =
3 2 13
-х —х при 0 < х < 2,
4	4
1	при х>2.
► Находим плотность распределения вероятностей:
151
о
при х< 0 и х >2,
/(*) =
3	3 2
-х--х при 0<х^2.
Далее последовательно вычисляем:
М(Х) = |х/(х)Лс = Jx(|x-|x2)</x =	= 1 ,
4.
МУ?) = [х2Дх)</х = fx2f|x-;xjrfx = (Ix4-^*5) = 1,2.
J	J '•x,	' о	-c,v '
Согласно свойству 1 дисперсии получаем: D(X) = Л/GY2) - Л/(А)2 = 0,2.
По определению а(А) = JD(X) ® 0,447.4
Если математическое ожидание СВ А-является характеристикой ее поло-
жения, средним значением, около которого группируются значения случай-
ной величины, то дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются ха-
рактеристиками рассеяния СВ около математического ожидания. Для более
подробного описания свойств СВ X рассмотрим также некоторые другие ее
характеристики.
Модой Мо дискретной СВ X называется ее наиболее вероятное значение.
Модой непрерывной СВ X называется такое ее значение Мо, для которого
/(Мо) = тахДх).
Медианой СВ .¥называется такое ее значение Ме, для которого Р(Х< Ме) =
= Р(Х> Ме) .
В случае симметричного распределения СВ мода и медиана совпадают с ее
математическим ожиданием.
Числовыми характеристиками распределения СВ X являются также на-
чальные а.к -	и центральные	= М((Х- т^) момен-
ты порядка Л, Л = 1, 2, 3, ... . Очевидно, что ссj = М(Х) и ц2 = D(X) . Число
Ах = Рз/п3 называется коэффициентом асимметрии и характеризует асим-
метрию распределения СВ X', число Ех = ц4/а4- 3 называется эксцессом и
характеризует островершинность графика плотности распределения вероят-
ностей /(х) . Для нормального закона распределения СВ X(см. § 18.7) имеем
Ех = 0 . Графические иллюстрации моды, медианы, асимметрии и эксцесса
даны на рис. 18.11-18.14 соответственно. (На рис. 18.11, 18.12 площади за-
штрихованных областей S] =	= 0,5 кв. ед.)
152
АЗ-18.6
1.	В денежной лотерее на 200 выпущенных билетов преду-
сматривается 1 выигрыш в размере 200 у.е., 1 выигрыш -
50 у.е. и 5 - по 1 у.е. Найти среднюю величину выигрыша на
один купленный билет. (Ответ: 1,275 у.е.)
153
2.	Плотность распределения вероятностей СВ X
[О при х<0, х>4,
f(x) = 1
\х/8 при 0<х<4.
Вычислить М(X). (Ответ: 8/3.)
3.	Вероятность попадания в цель при каждом из выстрелов
равна р. Найти математическое ожидание, дисперсию и сред-
нее квадратичное отклонение для числа выстрелов по мишени
2
до первого попадания. (Ответ: тх = 1/р, D(X) = q/p .)
4.	Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, извле-
кают 3 шара. Пусть X- число вынутых черных шаров. По-
строить ряд распределения СВ X и найти ее математическое
ожидание. (Ответ: тх = 1,9.)
5.	Доказать, что математическое ожидание любой СВ за-
ключено между наименьшим и наибольшим ее возможными
значениями.
6.	Дан ряд распределения СВ X:
X,-	- 5	2	3	4
Pi	0,4	0,3	0,1	0,2
Вычислить математическое ожидание тх, дисперсию D (X) и
среднее квадратичное отклонение ст*. (Ответ: тх = -0,3,
D(X) = 15,21 , стх = 3,9.)
7.	Дискретная СВ Xпринимает два значения: Xi и х2, при-
чем Х[ <х2 • Вероятность того, что СВ X примет значение х1(
равна 0,2. Найти закон распределения СВ X, зная математи-
ческое ожидание М(Х) = 2,6 и среднее квадратичное откло-
нение ст(Х) = 0,8.
X	1	3
р	0,2	0,8
8.	Плотность распределения вероятностей СВ X Дх) =
= Л sin х при 0 < х < п и Дх) = 0 при х < 0 и х > л . Вычис-
лить значение А, математическое ожидание тх и дисперсию
D (X). (Ответ: А = 0,5, тх = л/2, D (X) = тг2/4—2.)
154
Самостоятельная работа
1. 1. Дан ряд распределения СВ X:
Xi	0	1	2	3	4	5
Pi	0,2373	0,3955	0,2637	0,0879	0,0146	0,0010
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение СВ X. (Ответ: тх= 1,25, D(X) =
= 0,938,	= 0,968.)
2. Дана плотность распределения вероятностей СВ X
/(х) = cos х при < л/2 и fix") = 0 при |Д > л/2. Вычис-
лить математическое ожидание и дисперсию СВ X. (Ответ:
тх= 0, D (X) = (п2—8)/4.)
2. 1. Дан ряд распределения СВ X:
Xi	2	4	8
Pi	0,1	0,5	0,4
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение СВ X. (Ответ: тх= 5,4, D(X) =
= 2,2,	= 1,5.)
2. Дана плотность распределения вероятностей СВ X:
f(x) = 2х при 0 < х < 1 и f(x) = 0 при х < 0 и х > 1 . Вычис-
лить математическое ожидание и дисперсию СВ X. (Ответ:
тх = 2/3, D(X) = 1/18.)
3. 1. Дан ряд распределения СВ X
xi	3	5	7	9
Pi	0,2	0,1	0,4	0,3
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение СВ X. (Ответ: тх= 6,6,
D (X) = 4,64.)
2. Дана плотность распределения вероятностей СВ X.
fix) = 0 при х < 1 и f(x) = 3/х при х > 1 . Вычислить мате-
матическое ожидание и дисперсию СВ X. (Ответ: тх = 1,5,
D (X) = 0,75.)
155
18.7.	ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Биномиальный закон распределения. Пусть в каждом из п независимых ис-
пытаний событие А появляется с вероятностью р. Тогда СВ X, означающая
число появлений события Л в л независимых испытаниях, может принимать
значения 0, 1, 2, л с вероятностями
Рп(Х^т) = dnnpmqn-m .	(18.15)
Такое распределение СВ X называется биномиальным. В этом случае тх = пр, а
О W = npq.
- Пример 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элемен-
тов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Записать закон распреде-
ления числа отказавших элементов устройства, иайти математическое ожида-
ние и дисперсию.
► Дискретная СВ Сможет принимать значения X] = 0 , х2 = 1 , х3 = 2,
х4 = 3 (соответственно все элементы работают, один элемент отказал, два
элемента отказали, отказали все три элемента). Так как л = 3, р = 0,1, q = 0,9,
то по формуле Бернулли находим:
3	I >	9
/>3(0) = q = 0,729 , Р3(1) = C3pq = 3 0,1 • 0,9" = 0,343 ,
7 9	2	3
/Т(2) = C3p~q = 3  0,1 0,9 = 0,027, />3(3) = (0,1) = 0,001 .
Искомый биномиальный закон распределения СВ Химеет вид:
X	0	1		2.	3
р	0,729	0,343	0,027	0,001
Математическое ожидание тх = пр = 3 • 0,1 = 0,3 , а дисперсия
D(x) = npq = 3 - 0,1 - 0,9 = 0,27. 4
Распределение Пуассона. Если число испытаний велико, а вероятность р
появления события Л мала, то используют приближенную формулу
. т -У
Рп^х^~П~’	(1816)
11	/П!
где т - число появлений события Л в п независимых испытаниях; X = пр . Та-
кое распределение случайной величины называется распределением Пуассона.
Для распределения Пуассона Л/(Х) = D(X) = X . Закону распределения
Пуассона обычно подчинена случайная величина, задающая простейший по-
ток событий (число вызовов скорой помощи, число вызовов на АТС, число
заказов на предприятии бытовых услуг и т.д.).
Если интенсивность потока X выражает число появлений события за еди-
ницу времени, то вероятность наступления к событий за время Г определяется
формулой Пуассона
156
.к -X/

Для упрощения вычислений по формуле (18.16) и формуле Пуассона име-
ется специальная таблица (см. прил. 5).
Пример 2. Станок изготавливает за смену 100 000 деталей. Вероятность
изготовления бракованной детали р = 0,0001. Найти вероятность того, что за
смену будет изготовлено 5 бракованных деталей.
► По условию п = 100 000, р = 0,0001, т = 5. Так как появления бракован-
ных деталей независимы, п велико, а вероятность риала, следует воспользоваться
распределением Пуассона (18.16), в котором X = пр = 100 000 • 0,0001 = 10 .
Искомая вероятность
105 “10
Р100 000<5> =	~ 10  0,000045/120 = 0,0378 . <
Равномерное распределение. Если СВ Xпринимает все значения х е [а; />]
с постоянной плотностью распределения вероятностей С = 1/(Ь- а) , то го-
ворят, что СВ X распределена равномерно на отрезке [а; />]. Плотность равно-
мерно распределенной СВ X
ду - [l/(^-fl) при а<х<Ь,
[О	при х< а, х> Ь.
Для равномерного распределения
2
= (а +/>)/2 , D(X) = (Ь-а) /12 .
Показательное распределение. Пусть плотность распределения вероятнос-
тей СВ X задана функцией
{0 при х < 0,
/W = )
IХе при х й 0, X > 0.
Тогда СВ X распределена по показательному (экспоненциальному) закону.
Для показательного закона распределения
М(Х) = 1/X, D(X) = 1/Х2 , а(Л) = 1/Х,
10	при х< 0,
F(x) = 1 -Хх
ll-е	при х > 0,
Р(а < Х< р) = F(p) - F(a) = e“Z“ - е .
В прил. 6 дана таблица для вычисления функций ех и е х.
Функция надежности. Если Т- время безотказной работы механизма, то
F(t) = Р( Т< г) выражает вероятность выхода из строя механизма за время /.
Тогда 7?(/) = P(T>t) =	- вероятность безотказной работы механиз-
ма за время /. Функция R (Г) называется функцией надежности.
157
Так как при показательном законе распределения вероятностей F(f) =
= 1 - е , то (?(/) = е Л/, где А - интенсивность отказов (число отказов в
единицу времени).
Пример 3. Время безотказной работы механизма подчинено показатель-
ному закону с плотностью распределения вероятностей /(/) - 0,02е 0,02/
при t > 0 (/ - время в часах). Найти вероятность того, что механизм прорабо-
тает безотказно 100 ч.
►	По условию А = 0,02 . Искомая вероятность
р = Л(100) = е~°’02 100 = е~~ ~ 0,1353 . <
Нормальный закон распределения. Если плотность распределения вероят-
ностей СВ X
/(х) =	тГ/(2ст ),	(18 17)
a
то такое распределение СВ X называется нормальным. Входящие в формулу
(18.17) величины т и а являются соответственно математическим ожидани-
ем и средним квадратичным отклонением распределенной нормально СВ X.
Для нормального распределения
?(a<jr^P) =	,	(18.18)
\ а / к а >
где Ф(х) = le dt - функция Лапласа, значения которой определя-
л/2л J
0
ются из прил. 4.
Для нормального распределения верна также формула
Р(|Х- т\ < 8) = 2Ф(8/а) .	(18.19)
Если, в частности, 8 = За , то Р(|А"- /и| < За) = 2Ф(3) = 0,9973 » 1, т.е.
нормально распределенная СВ Xотклоняется от своего математического ожи-
дания т, как правило, менее чем на За {правило трех сигм).
Пример 4. Производится измерение диаметра вала без систематических
ошибок. Случайные ошибки измерения Xподчинены нормальному закону со
средним квадратичным отклонением а = 10 мм. Найти вероятность того,
что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолют-
ной величине 15 мм.
►	Математическое ожидание случайных ошибок тх - 0 , поэтому из фор-
мулы (18.19) при а = 10 , 8 = 15 получаем:
Р(|А1 < 15) = 2Ф(15/10) = 2Ф(1,5).
Из прил. 4 находим Ф(1,5) = 0,4332 , тогда искомая вероятность
Р(|А1 < 15) = 2  0,4332 = 0,8664 . <
Закон распределения Вейбулла. Случайная величина X называется распреде-
ленной по закону Вейбулла, если ее интегральная функция распределения F(х)
имеет вид
158
о
при х< с,
F(.y) =
(18.20)
где о> 0 , Ь>0 , с - действительные числа, называемые соответственно па-
раметром масштаба, параметром формы, параметром сдвига.
Дифференциальная функция распределения, или плотность распределения
Вейбулла, находится по определению
0
при х < с,
/(х) = Г'(х) =
ббх- с\^
а\ а )
(18.21)
при х> с.
Графики интегральной функции F(x) при с = 0 и разных значениях пара-
метра формы Ь (0 <b< 1 , b = 1 , b > 1 ) изображены на рис. 18.15. Графики
плотности/(х) при о=1, с = 0 и значениях параметра формы b = 0,5 ,
b - 1, b = 2 , b = 3 приведены на рис. 18.16.
Замечание. В частном случае, когда параметр формы 6=1, распреде-
ление Вейбулла превращается в показательное (экспоненциальное) распреде-
ление, а параметр маштаба а становится равным математическому ожиданию
и среднему квадратичному отклонению (М(Л) = о; D(X) = а2', а(Х) = а ).
В общем случае I ) MIX) и D(X) для распределения Вейбулла вычис-
ляется по формулам:
+ оо
М(Х) = a J х1/4е xdx+c,
О
(18.22)
159
DiX) = a	j x'/be Xdx-
0
(18.23)
С целью упрощения вычислений вводится гамма-функция Г (х) =
+ со
= j х 'е (dt (см. прил. 7), с помощью которой формулы (18.22) и (18.23)
О
можно переписать в следующем виде:
М(Х) = аГ(_1 + l/Ь)+ с ,	(18.24)
~>	2
Р(А) = с'(Г(1 Ь2/А)-(Г(1 + !//>))) .	(18.25)
Из распределения (18.20) легко получаем формулу
-И
Р(а<Х<Р) = f(P)-f(a) = е “ -е “	.	(18.26)
Распределейие Вейбулла используется при анализе пределов упругости
и выносливости стали, при оценке времени безотказной работы приборов
(надежности электрических устройств, агрегатов машин, отдельных узлов
тракторов и т.д.). Оно зависит от трех параметров и является более сложным,
но и более универсальным по сравнению с рассмотренными выше распреде-
лениями.
Пример 5. Срок службы подшипника является случайной величиной X,
подчиненной закону распределения Вейбулла с параметром масштаба a = 10
лет, параметром формы b = 2 и параметром сдвига с = 0 . Вычислить сред-
ний срок службы, среднее квадратичное отклонение от него и вероятность то-
го, что подшипник прослужит не менее 9 лет.
► Пользуясь формулами (18.24)-(18.26) и прил. 6, 7, последовательно на-
ходим:
Х = М(Х) = 1ог(1 +£) = 10 0,8862 = 8,862, X = 8,862 года,
D(X) = Юо(г(1 + 1)-(г (1	= 100(1,0000 -(0,8862)2) =
= 100(1 -0,7854)= 100 0,2146 = 21,46,
<т(Л) = J~D(X) = 721,46 = 4,63 года,
Р(9<А'<+=о) = е 0’9 — е К
—О R1
е ’	= 0,4449 . 4
АЗ-18.7
1.	Проводят четыре независимых опыта, в каждом из ко-
торых событие А появляется с вероятностью р = 0,4. Случай-
ная величина X — число появлений события А в четырех испы-
таниях. Построить ряд и функцию распределения СВ X, вы-
160
числить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение. (Ответ: тх = 1,6, Е>(Х) = 0,96,
ох =0,98.)
2.	Устройство состоит из 1000 элементов, работающих не-
зависимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в
течение времени Травна 0,002. Найти вероятность того, что за
время Тоткажут ровно три элемента. (Ответ: 0,18.)
3.	Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность по-
вреждения изделия в пути р = 0,002. Найти вероятность того,
что в пути будет повреждено: а) ровно три йзделия; б) менее
трех изделий; в) более трех изделий; г) хотя бы одно изделие.
(Ответ: а) 0,0613; б) 0,9187; в) 0,019; г) 0,632.)
4.	Среднее число заказов такси, поступающих на диспет-
черский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность
того, что за 2 мин поступит: а) четыре вызова; б) менее четы-
рех вызовов; в) не менее четырех вызовов. (Ответ: а) 0,135;
6) 0,1525; в) 0,8475.)
5.	Случайная величина X распределена на отрезке [2; 8] с
постоянной плотностью. Вычислить математическое ожида-
ние и дисперсию СВ X, а также Р(3 < Х< 5). (Ответ: тх = 5,
Z>(X) = 3, Р(3<Х<5) = 0,333.)
6.	Если соблюдается график движения, то среднее время
ожидания пассажиром автобуса равно 3,5 мин. Известно, что
время ожидания имеет равномерный закон распределения.
Минимальное время ожидания равно 0 мин. Найти вероят-
ность того, что пассажир будет ожидать автобус от 2 до 5 мин.
(Ответ: 3/7.)
7.	Автомат изготавливает шарики. Шарик считается год-
ным, если отклонение X его диаметра от номинала по абсо-
лютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная
ошибка распределена нормально со средним квадратичным
отклонением о = 0,4 мм, найти среднее количество годных
шариков среди ста изготовленных. (Ответ: 92.)
8.	Случайная величина X распределена нормально с мате-
матическим ожиданием тх = 25. Вероятность попадания СВ X
на отрезок [10; 15] равна 0,2. Чему равна вероятность попада-
ния СВ Хна отрезок [35; 40]? (Ответ: 0,2.)
9.	Найти вероятность отклонения нормальной СВ Xот ма-
тематического ожидания тх на величину Зох. (Ответ:
0,9973.)
6 Зак. 2209
161
10.	Время ремонта и обслуживания автомобиля после од-
ной поездки случайно и имеет показательный закон распреде-
ления с математическим ожиданием 5 мин. Найти вероят-
ность того, что при очередной поездке это время не превысит
10 мин. (Ответ: 0,8647.)
Самостоятельная работа
1.	Случайная величина X распределена нормально с мате-
матическим ожиданием 30 и средним квадратичным отклоне-
нием 10. Найти вероятность попадания СВ X на отрезок [10;
50]. (Ответ: 0,9544.)
2.	Математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение нормально распределенной СВ X равны
соответственно 20 и 5. Найти вероятность того, что в результа-
те испытания СВ Апримет значение из отрезка [15; 25]. (От-
вет: 0,6826.)
3.	Среднее число вызовов, поступающих на станцию ско-
рой помощи за 1 мин, равно 2. Найти вероятность того, что за
2 мин поступит 3 вызова. (Ответ: 0,195.)
18.8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Совместное рассмотрение нескольких СВ приводит к системе случайных
величин. Условно систему СВ X, У,..., ^записывают в виде точки (X, Y, .... W)
пространства соответствующей размерности. Так, система двух СВ Хя Yизо-
бражается точкой (Т, Y) плоскости Оху, а система X, У, Z- точкой простран-
ства R3. Значения, принимаемые каждой из величин системы (X, У), будем
обозначать через х и у.
Распределение системы двух дискретных СВ (X, У) может быть задано сле-
дующей таблицей:
	X	Xj	Х1	хп
У1		Рн	Р21	Рп\
У2		Р\2	Р22	Рп2
Ут		Р\т	Р2т	\	Рпт
162
где P(X=xh Y=yj)=pj; i = 1 ,n ; j = 1 ,m ;	£ Pij = 1 ’ ^pij =
ij=i	;=i
=	Zp,j=P^yj)-
i- 1
Функция F(x, y) = P(X<x, Y<y) для любых x, ye R называется инте-
гральной функцией распределения системы СВ (X, Y). Геометрически она задает
вероятность попадания случайной точки (X, У) в бесконечный прямой угол с
вершиной в точке М (х, у) (рис. 18.17).
Перечислим основные свойства функции F(x, у):
1) 0 < F(x, у) < 1 для любых х, у е R ;
X) у) < /Тх,, у) при х\<х2, F(x, У]) < F(x, у2) при у]<у2,т.е.
F(x, у) - неубывающая функция по каждому из аргументов;
3)	lim F(x, у) = 1 ;
4)	lim F(x, у) = lim F(x, у) = lim F(x, у) = 0 ;
x —> — 00	у —> — со	х —> - СО
у —оо
5)	Т(х, +°о) = Fx(x) и Г(+°о, у) = F (у) , т.е. если одна из переменных
стремится к бесконечности, то получаем интегральную функцию распределе-
ния другой случайной величины;
6)	Р(а< Х< b , с< Y< d) = F(b, d)-F(a, d)~ F(b, c) + F(a, c) .
Плотностью распределения вероятностей системы двух СВ (X, Y) или со-
вместной плотностью распределения вероятностей называют предел
/(X, у) = lim Лх<Х<-у+Дх, у< Y<y + Xy)
&х -> 0	АхАу
Ду—> О
Этот предел существует, если существует смешанная производная F" . Тог-
да верно равенство /(х, у) = F"xy .
163
Приведем основные свойства плотности распределения вероятностей сис-
темы двух случайных величин:
1)	f(x, У) 0 для любых х, у е R ;
2)	Р((Х, Y) е D) = jj/(x, y)dxdy\
D
А у
3)	Ла.У) = J J/(u, v)dudv,
—00-00
+ o0 +oo
4)	J y)dxdy = 1 ;
-00 —00
X + СЛ	+ 00 у
5)	F^x) = Jrfu J/(u, v)dv, Fy(y) = J du j/(u, v)dv;
—X> —00	—00	— co
6) справедливы равенства:
+ co	+oo
fx(x) = j/(x, y)dy, fy(y) =
—co	—00
Функции F^(x) , Fy(y) называются маргинальными функциями распреде-
ления, a f y(x') , fyfy) - маргинальными плотностями распределения вероятнос-
тей СВ Хи У соответственно.
Пример 1. Распределение системы СВ (X, У) задано следующей таблицей:
У~~	X	Xj = 1	X} = 3	х3 = 4	х4 = 8
у, = 3		0,15	0,06	0,25	0,04
у2 = 6		0,30	0,10	0,03	0,07
Найти законы распределения составляющих системы.
► Сложив вероятности значений СВ X по столбцам, получим:
Xj	1	3	4	8
Pi	0,45	0,16	0,28	0,11
Аналогично, сложив вероятности возможных значений СВ Упо строкам,
найдем:
yj	3	6
Pi	0,5	0,5
164
Пример 2. Система СВ (X, У) имеет плотность распределения вероятностей
л ~(16 + х")(9 + у")
Найти: а) коэффициента; б) функцию распределения F(x, у) ; в) вероятность
попадания случайной точки (X, У) в прямоугольник П = {|х| < 4 , |у| < 3 };
г) маргинальные функции распределения Л^х) , F-fiy) ; д) маргинальные
плотности распределения вероятностей /у(х) , /у(у) .
► а) Для нахождения коэффициента а используем свойство 4 плотности
распределения вероятностей системы двух СВ, из которого следует, что
1	I ’	1
О	, ,	«1.x	1
-2-з у =	 5
л (х +16)(у +9)	л	'-СО
arctg^j
1 а :
12/
откуда о=12.
б)	На основании свойства 3 плотности распределения вероятностей сис-
темы СВ имеем:
Лх, у) = -Ц Г [-------------
* + “ )(9+’Л)
121 . «Г 1 . vl
= ~ZarCtg4 '3arCtg3 =
7t	I—со	l—oo
= Qarctg; + 9Garctg3 + 9-
в)	Из свойства 2 плотности распределения вероятностей системы СВ по-
лучаем:
Л(Х, У) е П) = JJ7(X, y)dxdy =
п
1	»	» уГ
-arctg-	arctg-
тГ	41-4	S1-3
1 л л
2 2 2
л
0,25 .
г)	По определению
f/x) =
f {/(“. y)dudy = -Ц J j
_____dudy____
2	2
(16+ и )(9 + y )
165
121 ul* 1 у l+”
= ~5arctg5 '3arcts3 =
7T	I—co	I—co
1 . * I
= -arctg- + - .
tl 4 2
Аналогично получаем:
Г , X 1	. У , 1
Fyly) = -arctg; + ; .
1 л 3 2
д) Функция
+ со	4-со
= ]7(*. y)dy	=	f--------------г
л' (16 + х')(9 + у )
— СО	—со
2	23	2 ’
TL 16+ Х J |-<®	Л(16+Х )
Аналогично находим:
3
//у) = ——-  <
л(9 + у )
Маргинальные плотности распределения вероятностей fx и /у можно
получить дифференцированием функций F^lx) и FJy) , т.е.
//*) = dF^x)/dx, f^y) = dFy(y)/dy.
Распределение одной случайной величины системы, найденное при усло-
вии, что другая случайная величина этой системы приняла определенное зна-
чение, называется условным законом распределения этой СВ.
Если через fix/у) обозначить плотность распределения вероятностей
СВ X, найденную при условии, что СВ У = у , а через f(y/x) - плотность рас-
пределения вероятностей СВ У, найденную при условии, что СВ X = х, то
справедливы следующие равенства:
Лх, у) =	= fy(y)f(x/y) .	(18.27)
Равенство (18.20) аналогично теореме умножения условных вероятностей
событий. Условные плотности распределения вероятностей /(х/у) и /(у/х)
можно вычислить по формулам:
4*СО	+ сО
/(х/у) =/(х, у)/ j/(x, y)dx, f(y/x) = f(x,y)/ ^f(x,y)dy. (18.28)
— CO	—co
Для условных плотностей распределения вероятностей справедливы ра-
венства:
+ со	+со
j/(x/y)rfx = 1 , J/(y/x)<Zy = 1 .
-со	-СО
166
Если fix/у) = f%(x) или fiy/x) = f j/y) , то СВ X и Y называются незави-
симыми. Для независимости СВ Хи У необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось равенство f(x/y) = fx(x)fy(y) .
Математическим ожиданием системы СВ(Х, У) называется точка
(М(Х), M(Y)) = (mx, ту),гц&тх, ту-математические ожидания СВ Хи /со-
ответственно. Математические ожидания системы непрерывных СВ (X, У)
определяются формулами:
+ со+со	+ со+оо
тх = J j x/(x, y)dxdy , ту = j j yftx, y)dxdy .	(18.29)
—00 —00	—со —со
Для дискретных СВ X и У с совместным законом распределения
ptj ='Р(Х= хр У=у) математические ожидания - соответственно
пт	пт
т*= Е Е w тУ = Е Е w • (18-30)
i = 1 j = 1	i = 1 j = 1
Дисперсии СВ Хи /системы определяются по формулам:
Р(Х) = M((X-mxY), D{Y) = M((Y-my)2).
Математическое ожидание одной СВ Xсистемы, найденное при условии,
что другая СВ У этой системы приняла определенное значение, называется
условным математическим ожиданием СВ Хи обозначается М(Х/ У) = гпх(у) .
Аналогично определяется и M(Y/X) = ту(х).
Условные математические ожидания вычисляются по следующим форму-
лам:
для непрерывных величин
+ со	+оо
тх(у) = jx/(x/y)rfx, my(x) = jyf(y/x)dy;
для дискретных случайных величин
'”//)= ^xiP(x/Y= yj) , ту(х) = ^yjP(yj/X= xt).
(=1	7=1
Ковариацией или корреляционным моментом системы СВ (X, Y) называется
величина
CTxv = cov<^ = M((X-mx)(Y-my)).	(18.31)
Формулу (18.24) можно преобразовать к виду
аху = ЩХУ)-тхту.
Для системы непрерывных случайных величин
167
+ со+со
ст_ч, = j j xyf(x, y)dxdy- тхту ,
а для системы дискретных случайных величин
= Z v-.-
/ = V = 1
Перечислим свойства корреляционного момента'.
’> ° ху= ° ух;
2>°ХХ= W0 = <SX, ^уу= D(Y)
3) если Хи У- независимые СВ, то
верно).
Число
= 0 (обратное, вообще говоря, не
называется коэффициентом корреляции СВ % и У.
Приведем свойства коэффициента корреляции'.
1) гхх = гуу =
3) гху = 0 , если СВ Хи У независимы;
4) jr^l = 1 тогда и только тогда, когда Y = аХ + Ь , где а, b - некоторые
постоянные числа (это говорит о том, что коэффициент корреляции характе-
ризует тесноту линейной связи между СВ Д' и У).
Если гху = 0 , то случайные величины называются некоррелированными.
Нормальным законом распределения на плоскости называется распределе-
ние вероятностей двухмерной СВ (X, У) в случае, когда
/(х, у) =	,
где
<р(х, у) =
1 (х-тх>
а;
(у~туУ .
----2---1ГХУ
тх, ту, <зх, ау, гху - соответственно математические ожидания, средние
квадратичные отклонения и коэффициент корреляции СВ Хи У. Для нор-
мального закона при гху = 0 СВ Д'и У будут независимыми, т.е. в этом случае
понятия независимости и некоррелированности СВ Хи У равносильны.
168
В случае г,_ = 0 вероятность попадания случайной точки нормально
распределенной системы (X, У) в прямоугольник D = {a<X<b, с< Y< d]
вычисляется по формуле
«/ (Ь-тХ (a-mXXf (d-m\	(с-т'
Р((Х, У) е D) ~ 4 Ф --- -Ф ----- Ф -------- -Ф -----
4l I J I °х )Л I \ "у
где Ф(х) = -Д= [е ' '' dt - интеграл вероятности, или функция Лапласа, зна-
72л J
О
чения которой приведены в прил, 4.
Пример 3. Закон распределения системы СВ (X, У) задан таблицей:
	Х1	1	3	5	7
-2		0,05	0,08	0,05	0,02
2		0,07	0,15	0,25	0,03
4		0,02	0,07	0,09	0,12
Найти: а) законы распределения СВ X и У, входящих в систему; б) условный
закон распределения составляющей Д'при условии У = у9 = 2 ; в) математи-
ческое ожидание, среднее квадратичное отклонение СВ Хи У, их коэффици-
ент корреляции.
► а) Найдем вероятности значений X при всевозможных значениях У пу-
тем суммирования вероятностей по столбцам. Получим закон распределения
СВ Хв виде ряда распределения:
xi	1	3	5	7	
Pi	0,14	0,30	0,39	0,17	II й
Аналогично, просуммировав вероятности во всех строках таблицы, полу-
чим ряд распределения для. СВ У:
У]	-2	2	4	
Pj	0,2	0,5	0,3	II й
б)	Для нахождения условного распределения составляющей X при усло-
вии, что составляющая У принимает значение у2 = 2 , воспользуемся форму-
лой Р(х/ур = Р(,х;, ур/Р(ур  Выше установлено, что У(у2) = 0,5 . Тогда
Р{хх/у2) = 0,07/0,5 = 0,14, Р(х2/у2) = 0,15/0,5 = 0,3,
/>(х3/у2) = 0,25/0,5 = 0,5, Р(х^/у2) = 0,03/0,5 = 0,06,
169
Найденный условный закон распределения Хи У = у? записываем в виде
таблицы:
X;	1	3	5	7	
р(х/уг)	0,14	0,30	0,50	0,06	^>(х/у2) = 1
в)	Для нахождения числовых характеристик случайных величин системы
воспользуемся указанными выше формулами. Имеем (п - 4 , т = 3 ):
пт	пт
= Е Е х>ру= 4121 ту= Е Е yjpij= *’8 ’
i = 1J = 1	i = и = 1
dm = Е ЕхХ-т^= 3>28’
<=и=1
п т
_________ _ Э	7
0<У) = Е ZyJp<rmy = 4’36’
/ = V = I
ах =	= 1,81 , а = JD(Y) = 2,09,
п т
°хУ = Е Е X:yJPij~mxmy = - 2’03’
I = 17=1
Гху =	= -°’54- 4
Пример 4, Плотность распределения вероятностей системы СВ (X, У)
_ Jasin(x+y) при 0<х<л/2, 0<у<тг/2,
[0 в других случаях.
Найти: а) коэффициент а; б) интегральную функцию распределения F(x, у)
системы СВ (X, У); в) плотность распределения каждой составляющей систе-
мы; г) математическое ожидание и дисперсию СВ X и У; д) корреляционный
момент СВ X и У.
► а) Из свойства 4 плотности распределения вероятностей имеем:
Tt/2 тг/2
J J a sin (x + y)dxdy = 1,
0	0
откуда
тг/2	71/2
J «(-cos (x + y))|^/2rfx = a J (cos х + sin x)dx =
0	0
170
= a(sin x-cos x)|Q = la = 1 , a = 1/2 .
б)	Функцию распределения F(x,y) системы находим, используя свойство 3:
X у
F(x, У) ~ Р(Х<х, Y<y) = Jc/u sin (u + v)dv =
0	0
=	J cos (u + v)|qC/u = J(cos u- cos (u + y))du =
0	0
= |(sin u-sin (u+ y))|* = |(sin x + sin y-sin (x + y))
для любых (x, у) e D : {0<х<л/2, 0 < у < л/2 }. Для точек плоскости, коор-
динаты которых х < 0 или у < 0 , F(x, у) = 0 , а для точек, координаты кото-
рых X > л/2 , у > л/2 , F(x, у) = 1 .
Из свойства 5 функции распределения системы СВ следует, что
F(x. л/2) = F%(x) = i(sin x-cos х + 1) ,
£(л/2,у) = F/y) = i(sin y-cos у+1) .
в)	Плотность распределения вероятностей СВ X находим согласно свой-
ству 6 функции распределения системы СВ по формуле
тг/2	л/2
//*) =	= J isin(x + y)^y = cos (х + у)|*/2 =
О	О
= |(cos х + sin х)
или F'у,(х) = f-^x) = ^(cos х + sin х) .
Аналогично
fy{y) = |(cos у + sin у).
г)	Математическое ожидание СВ X
л/2 л/2	л/2
М(Х) = | J	J х sin (х + у)dxdy = | J х(- cos (х + ~) + cos х) dx =
0	0	'	О
л/2
1 Г . .	.	. ,	1 ,	, .	Ч|Л/2
= - j x(sin х + cos x)dx = 2х'-- cos x + Sln x'lo -
0
tt/2
1 Г ,	,-xj л , 1 z .	, чл/2 л
-- J (- cos x+ sin x)ax = - + -(sin cos x)|0	= - .
0
171
Так как плотность распределения вероятностей сумметрична относитель-
но Xи У, то М{ Y) = л/4 .
Дисперсия СВ Xсистемы
я/2 я/2
В(Х) = | j j х2 sin (х + y)dxdy- =
О О
Г/2 2	2	2.
= - Г х (sin х+ cos x)dx-~- = 77 + 7-2 = 0,1865,
2 j	16	16 2
0
а согласно указанной симметрии D( У) ~ 0,1865 .
д) Корреляционный момент находим по формуле
+ сО + сО
Ъху = J J xyf(x, y)dxdy-mxmy =
—СО -СО
тг/2 я/2
= - j j ху sin (х + y)dxdy-л2/16 =
0	0
я/2
= | j х(-у cos (x + y) + sin (х + у))|д/2</х-л2/16 =
0
я/2
= 2 f Х^2 S*n х + C°S Х~ S*n Х) ^Х~	~
0
2
= л/2- 1-л /16»-0,0461.
Тогда
0,0461
0,1865
= - 0,2472.4
АЗ-18.8
1.	Распределение системы СВ (X, Y) задано таблицей:
у""'-'-.	X	0,01	0,02	0,03	0,04
0,02		0,01	0,02	0,04	0,04
0,04		0,03	0.24	0,15	0,06
0,06		0,04	0,10	0,08	0,08
0,08		0,02	0,04	0,03	0,02
172
Требуется найти: а) законы распределения каждой случай-
ной величины системы и условный закон распределения СВ
А"при условии, что Y = 0,06 ; б) математическое ожидание и
среднее квадратичное отклонение для каждой из СВ X и Y,
коэффициент корреляции системы; в) условное математи-
ческое ожидание М(Х/ Y= 0,04). (Ответ: б) тх = 0,026;
ту = 0,0482 , стх = 0,0092 , оу = 0,0165 , гху = - 0,072;
в) M(X/Y = 0,04) = 0,012.)
2.	Найти условное математическое ожидание M(Y/X = 0)
для системы случайных величин с совместной плотностью
распределения вероятностей
10е~<‘5х + 2у) при х>0,у>0,
0 в остальных случаях.
(Ответ: M(Y/X= 0) = 0,5 .)
3.	Плотности распределения вероятностей системы СВ (X, У)
2	3
,	-(х +у")	. п . п
4хуе	при х > 0, у > 0,
0 в остальных случаях.
Найти математическое ожидание и дисперсию составляю-
щих системы. (Ответ: тх = ту = л/л/2, D(X) = D(Y) =
= (4 —л)/4.)
4.	Плотность распределения вероятностей системы СВ (X, У)
, -(Зх + 2 у)	. _	. _
бе	при х > 0, у > 0,
0 в остальных случаях.
Найти математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение каждой СВ системы, их ковариацию (корреля-
ционный момент). (Ответ: тх = 1/3 , ту = 1/2 , стх = 1/3 ,
оу= 1/2,оху = 0.)
5.	Независимые случайные величины распределены нор-
мально с параметрами /и = 2 , т = -3 , о = 1, о = 2 .
Л	У	л	у
Вычислить вероятность того, что |JV| < 1 и |У| <2. (Ответ:
0,0119.)
f(x, У) =
f(x, У) =
f(x, У) =
173
6.	Система двух СВ (У, Y) равномерно распределена в тре-
угольнике, ограниченном линиями у = х, у = 0, х = 2.
Найти математические ожидания и средние квадратичные
отклонения составляющих системы. Вычислить коэффициент
корреляции системы. (Ответ: тх = 4/3, ту = 2/3,
г>х = 72/2, Оу = 72/2, гху = 0,5.)
7.	Заданы плотности распределения вероятностей незави-
симых составляющих X и Yсистемы случайных величин:
ГО	при х<0,	f0	при у<0,
А<*) = -5х .	-зг
15е	при х>0,	[Зе	при у>0.
Найти: а) плотность распределения вероятностей системы
СВ (X, У); б) интегральную функцию распределения систе-
мы; в) математическое ожидание, дисперсию составляющих
Хи У, коэффициент корреляции системы СВ (X, Y). (Ответ:
в)тх=1/5, ту = 1/3, D(X) = 1 /25 ,	7)(У)=1/9,
гху = 0 -)
8.	Совместное распределение СВ Xи Узадано таблицей:
	-1	0	1
0 2	1/12	1/2	1/12 1/12	1/6	1/12
Найти законы распределения составляющих, вычислить кор-
реляционный момент и выяснить, будут ли СВ Хи Унезависи-
мы. (Ответ: <зху = 0 ; СВ Хи ^зависимы.)
9.	Закон распределения системы двух СВ (X Y) имеет вид:
	X	0	1	2	3
-1		0,01	0,06	0,05	0,04
0		0,04	0,24	0,15	0,17
1		0,05	0,10	0,10	0,09
Найти одномерные законы распределения СВ Хи У, их мате-
матические ожидания и дисперсии, коэффициент корреляции
174
между X и У. (Ответ: тх = 1,6, ту = 0,18, D(X) = 0,84,
D(Y) = 0,45, rxy = -0,11.)
f(x) =
Самостоятельная работа
1. Плотность распределения вероятностей СВ X
(cosx)/2 при х е [-л/2; тг/2],
0	при х g [-л/2; л/2].
Найти корреляционный момент системы СВ Хи Y— X2. (От-
вет: <зху = 0.)
2. Закон распределения системы СВ (X, У) имеет вид:
	X	2	5	8
0,4		0,15	0,30	0,35
0,8		0,05	0,12	0,03
Найти: а) законы распределения составляющих; б) условный
закон распределения составляющей X при условии, что
составляющая У= 0,4; в) математические ожидания и дис-
персии составляющих. (Ответ: в) тх = 5,54, т = 0,46,
D(X) = 4,93, D(Y) = 0,026.)
3. Закон распределения системы СВ (X, У) имеет вид:
Г""-	X	3	10	12
4		0,17	0,13	0,25
5		0,10	0,30	0,05
Найти: а) закон распределения составляющих Хи У системы;
б) закон распределения составляющей X, если составляющая
У= 5; в) математические ожидания и дисперсии составляю-
щих Хи У. (Ответ: в) тх = 5,71, ту = 4,45, D(X) = 56,03,
D(Y) = 0,25.)
175
18.9. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ
ЗАДАНИЯ К ГЛ. 18
ИДЗ-18.1
Решить следующие задачи.
1
1.1.	На сельскохозяйственные работы из трех бригад выде-
ляют по одному человеку. Известно, что в первой бригаде
15 человек, во второй - 12, в третьей - 10 человек. Определить
число возможных групп по 3 человека, если известно, что на
сельскохозяйственные работы может быть отправлен каждый
рабочий. {Ответ: 1800.)
1.2.	Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий
из 10 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью
может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех
возможных вариантов размещения пассажиров в поезде.
{Ответ: 100 000.)
1.3.	Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В рас-
писание занятий каждый день включается по 3 предмета.
Сколькими способами может быть составлено расписание за-
нятий на каждый день? {Ответ: 1320.)
1.4.	Восемь человек договорились ехать в одном поезде, со-
стоящем из восьми вагонов. Сколькими способами можно
распределить этих людей по вагонам, если в каждый вагон ся-
дет по одному человеку? (Ответ: 40 320.)
1.5.	В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов,
каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько
всего сыграно партий? {Ответ: 91.)
1.6.	На конференцию из трех групп студентов одной спе-
циальности выбирают по одному делегату. Известно, что в
первой группе 25, во второй — 28 и в третьей — 20 человек.
Определить число возможных делегаций, если известно, что
каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью
может войти в состав делегации. {Ответ: 14 000.)
1.7.	Из девяти значащих цифр составляются трехзначные
числа. Сколько различных чисел может быть составлено?
{Ответ: 729.)
1.8.	Сколько различных четырехзначных чисел можно за-
писать с помощью девяти значащих цифр, из которых ни одна
не повторяется? {Ответ: 3024.)
176
1.9.	В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими спосо-
бами можно размещать вагоны, составляя этот поезд? (Ответ:
3 628 000.)
1.10.	Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должно
быть выбрано 3. Определить все возможные варианты резуль-
татов выборов. (Ответ: 120.)
1.11.	Бригадир должен отправить на работу звено из 5 чело-
век. Сколько таких звеньев можно составить из 12 человек
бригады? (Ответ: 792.)
1.12.	Сколько прямых линий можно провести через 8 то-
чек, если известно, что любые три из них не лежат на одной
прямой? (Ответ: 28.)
1.13.	Сколькими способами можно составить патруль из
трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офи-
цера? (Ответ: 246 480.)
1.14.	Сколькими способами можно распределить 6 различ-
ных книг между тремя учениками так, чтобы каждый получил
2 книги? (Ответ: 90.)
1.15.	Сколькими различными способами можно избрать из
15 человек делегацию в составе трех человек? (Ответ: 455.)
1.16.	Сколькими различными способами собрание, состо-
ящее из 40 человек, может выбрать председателя собрания, его
заместителя и секретаря? (Ответ: 59 280.)
1.17.	Сколькими способами можно выбрать два карандаша
и три ручки из пяти различных карандашей и пяти различных
ручек? (Ответ: 100.)
1.18.	Сколько различных пятизначных чисел можно запи-
сать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторений)?
(Ответ: 15 120.)
1.19.	Сколькими способами можно смоделировать флаг,
состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов,
если имеется материал пяти различных цветов? (Ответ: 60.)
1.20.	Сколькими способами можно расставить белые фигу-
ры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, 1 ферзь, 1 король) на первой ли-
нии шахматной доски? (Ответ: 5040.)
1.21.	При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями.
Сколько рукопожатий было при этом? (Ответ: 66.)
1.22.	Сколькими способами можно выставить на игру фут-
больную команду, состоящую из трех нападающих, трех полу-
защитников, четырех защитников и вратаря, если всего в ко-
манде 6 нападающих, 3 полузащитника, 6 защитников и 1 вра-
тарь? (Ответ: 300.)
177
1.23.	Пофсоюзное бюро факультета, состоящее из 9 чело-
век, на своем заседании должно избрать председателя, его за-
местителя и казначея. Сколько различных случаев при этом
может быть? (Ответ: 504.)
1.24.	Сколько перестановок можно сделать из букв слова
«ракета», чтобы все они начинались с буквы «р»? (Ответ: 60.)
1.25.	Автоколонна, состоящая из 30 автомобилей, должна
выделить на уборочные работы в колхозы 12 грузовиков. Сколь-
кими способами можно это сделать? (Ответ: 86 493 225.)
1.26.	На шахматном турнире было сыграно 45 партий, причем
каждый из шахматистов сыграл с остальными по одной партии.
Сколько шахматистов участвовало в турнире? (Ответ: 10.)
1.27.	На станции имеется 6 запасных путей. Сколькими
способами можно расставить на них 4 поезда? (Ответ: 360.)
1.28.	Из группы студентов инженерно-строительного фа-
культета в 16 человек формируются две строительные бригады
по 10 и 6 человек. Сколькими способами можно создать эти
бригады? (Ответ: 8008.)
1.29.	На диске телефонного аппарата имеется 10 цифр.
Каждый телефон АТС имеет номер, записываемый с по-
мощью пяти цифр, причем первая цифра у них одна и та же.
Найти наибольшее возможное число таких абонентов этой
станции, у которых 4 последние цифры номера телефона раз-
личны. (Ответ: 5040.)
1.30.	Из чисел 1, 2, 3, ..., 100 составлены все возможные
парные произведения. Сколько полученных чисел будет крат-
но трём? (Ответ: 2739.)
2
2.1.	Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «пес-
ня». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем
собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того; что
у него снова получилось слово «песня». (Ответ: 0,0083.)
2.2.	Куб, все грани которого окрашены, распилен на тыся-
чу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тща-
тельно перемешаны. Определить вероятность того, что наугад
извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани. (От-
вет: 0,096.)
2.3.	Из партии втулок, изготовленных за смену токарем,
случайным образом отбирается для контроля 10 шт. Найти ве-
роятность того, что среди отобранных втулок две — второго
178
сорта, если во всей партии 25 втулок первого сорта и 5 — вто-
рого. (Ответ: 0,3601.)
2.4.	В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли
3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью вый-
дет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероят-
ность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.
(Ответ: 0,008.)
2.5.	В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца.
Из нее случайным образом выделены три спортсмена. Найти
вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся
лыжниками. (Ответ: 0,29.)
2.6.	Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт».
Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают,
затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в по-
рядке извлечения. Какова вероятность получения при этом
слова «море»? (Ответ: 1/360.)
2.7.	Из восьми книг две художественные. Найти вероят-
ность того, что среди взятых наугад четырех книг хотя бы одна
художественная. (Ответ: 0,785.)
2.8.	На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Слу-
чайным образом отбираются две радиолампы. Какова вероят-
ность того, что они годны для использования? (Ответ: 0,4.)
2.9.	В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец,
три из них восстановленные. Определить вероятность того,
что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восста-
новленными? (Ответ: 0,3.)
2.10.	Десять студентов условились ехать определенным
рейсом электропоезда с 10 вагонами, но не договорились о но-
мере вагона. Какова вероятность того, что ни один из них не
встретится с другим, если возможности в размещении студен-
тов по вагонам равновероятны? (Ответ: 0,000363.)
2.11.	Билеты лотереи выпущены на общую сумму
10 000 у.е. Цена билета 0,5 у.е. Ценные выигрыши падают на
50 билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на
один билет. (Ответ: 0,0025.)
2.12.	В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта.
Найти вероятность того, что из двух случайным образом ото-
бранных спортсменов хотя бы один — мастер спорта. (Ответ:
0,9643.)
2.13.	Из партии деталей, среди которых 100 стандартных и
5 бракованных, для контроля наугад взято 12 шт. При контро-
ле выяснилось, что первые 10 из 12 деталей — стандартные.
179
Определить вероятность того, что следующая деталь будет
стандартной. (Ответ: 0,944.)
2.14.	Определить вероятность того, что серия наугад вы-
бранной облигации не содержит одинаковых цифр, если но-
мер серии может быть любым пятизначным числом начиная с
0,0001. (Ответ: 0,302.)
2.15.	Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков,
каждый из которых разделен на 6 секторов с различными на-
несенными на них буквами. Замок открывается только в том
случае, если каждый диск занимает одно определенное поло-
жение относительно корпуса замка. Определить вероятность
открытия замка, если установлена произвольная комбинация
букв. (Ответ: 0,00013.)
2.16.	Партия из 100 деталей проверяется контролером, ко-
торый наугад отбирает 10 деталей и определяет их качество.
Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной
бракованной, то вся партия принимается. В противном случае
ее посылают на дополнительную проверку. Какова вероят-
ность того, что партия деталей, содержащая 5 бракованных,
будет принята контролером? (Ответ: 0,5838.)
2.17.	На десяти одинаковых карточках написаны различ-
ные числа от 0 до 9. Определить вероятность того, что случай-
но составленное с помощью данных карточек двузначное чис-
ло делится на 18. (Ответ: 0,056.)
2.18.	На полке случайным образом расставляются 10 книг.
Определить вероятность того, что при этом три определенные
книги окажутся стоящими рядом. (Ответ: 0,067.)
2.19.	Из коробки, содержащей карточки с буквами «о», «н»,
«к», «ь», наугад вынимают одну карточку за другой и распола-
гают в порядке извлечения. Какова вероятность того, что в ре-
зультате получится слово «конь»? (Ответ: 0,0417.)
2.20.	Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук,
пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз вылови-
ли 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажутся только
две помеченные щуки? (Ответ: 0,246.)
2.21.	На шахматную доску из 64 клеток ставят наугад две
ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они не
будут «бить» друг друга? (Ответ: 0,78.)
2.22.	Из пяти карточек с буквами «а», «б», «в», «г», «д» на-
угад одну за другой выбирают две и располагают их в порядке
извлечения. Какова вероятность того, что получится слово
«да»? (Ответ: 0,0167.)
180
2.23.	В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность
того, что извлеченные наугад два шара окажутся черными?
(Ответ: 0,467.)
2.24.	Мальчик забыл две последние цифры номера телефо-
на одноклассника и набрал их наугад, помня только, что эти
цифры нечетны и различны. Найти вероятность того, что но-
мер набран правильно. (Ответ: 0,05.)
2.25.	Два человека условились встретиться в определенном
месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым
ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна
вероятность встречи этих людей, если приход каждого из них
в течение указанного часа может произойти в любое время?
(Ответ: 0,3056.)
2.26.	После бури на участке телефонной линии между 40-м
и 70-м километрами произошел обрыв провода. Какова веро-
ятность того, что он произошел между 50-м и 55-м километра-
ми линии? (Ответ: 0,167.)
2.27.	В мастерскую для ремонта поступило 20 телевизоров.
Известно, что 7 из них нуждаются в настройке. Мастер берет
любые 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них
нуждаются в настройке? (Ответ: 0,3874.)
2.28.	В шахматном турнире участвуют 20 человек, которых
по жребию распределяют в две группы по 10 человек. Найти
вероятность того, что два сильнейших шахматиста будут иг-
рать в разных группах. (Ответ: 0,5263.)
2.29.	В партии, состоящей из 20 радиоприемников, 5 неис-
правных. Наугад берут 3 радиоприемника. Какова вероятность
того, что в число выбранных войдут 1 неисправный и 2 ис-
правных радиоприемника? (Ответ: 0,4605.)
2.30.	В магазине из 100 пар зимних сапог одного фасона 10 -
коричневого цвета, а остальные - черного. Произвольно от-
бирают 8 пар сапог. Какова вероятность того, что все выбран-
ные сапоги - черного цвета? (Ответ: 0,3305.)
3
3.1.	В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности
того, что в данный момент камера включена, равны соответ-
ственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный мо-
мент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры;
в) три камеры. (Ответ: а) 0,398; б) 0,098; в) 0,504.)
3.2.	На заводе железобетонных изделий изготавливают па-
нели, 90 % из которых - высшего сорта. Какова вероятность
181
того, что из трех наугад выбранных панелей высшего сорта бу-
дут: а) три панели; б) хотя бы одна панель; в) не более одной
панели? (Ответ: а) 0,729; б) 0,999; в) 0,271.)
3.3.	В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из
строя в течение гарантийного срока для них равны соответ-
ственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение
гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее двух радио-
ламп; б) ни одной радиолампы; в) хотя бы одна радиолампа?
(Ответ: а) 0,212; б) 0,336; в) 0,664.)
3.4.	В первом ящике 20 деталей, 15 из них - стандартные,
во втором ящике 30 деталей, 25 из них - стандартные. Из
каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероят-
ность того, что: а) обе детали будут стандартными; б) хотя бы
одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные? (От-
вет: а) 0,625; б) 0,9583; в) 0,04266.)
3.5.	Вероятность поражения цели первым стрелком равна
0,9, вторым — 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу.
Какова вероятность того, что цель поражена: а) хотя бы один
раз; б) два раза; в) один раз? (Ответ: а) 0,97; б) 0,63; в) 0,34.)
3.6.	При одном цикле обзора трех радиолокационных стан-
ций, следящих за космическим кораблем, вероятности его об-
наружения равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероят-
ность того, что при одном цикле обзора корабль: а) будет об-
наружен тремя станциями; б) будет обнаружен не менее чем
двумя станциями; в) не будет обнаружен. (Ответ: а) 0,504;
б) 0,902; в) 0,006.)
3.7.	Вычислительная машина состоит из четырех блоков.
Вероятность безотказной работы в течение времени Тпервого
блока равна 0,4, второго — 0,5, третьего — 0,6, червертого — 0,4.
Найти вероятность того, что в течение времени Т проработа-
ют: а) все четыре блока; б) три блока; в) менее трех блоков.
(Ответ: а) 0,048; б) 0,224; в) 0,728.)
3.8.	Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность то-
го, что подшипник, собранный первым рабочим, - высшего
качества, равна 0,7, вторым — 0,8, третьим — 0,6. Для контроля
взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим.
Какова вероятность того, что высшего качества будут: а) все
подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшип-
ник? (Ответ: а) 0,336; б) 0,452; в) 0,976.)
3.9.	На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ.
Первый станок дает 20 %, второй - 30, третий - 50 % однотип-
ных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность то-
182
го, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков;
б) три с третьего станка; в) две с третьего станка. (Ответ:
а) 0,03; б) 0,125; в) 0,125.)
3.10.	Первый станок-автомат дает 1 % брака, второй - 1,5,
а третий - 2 %. Случайны^ образом отобрали по одной детали
с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными
окажутся: а) три детали; б) две детали; в) хотя бы одна деталь?
(Ответ: а) 0,9556; б) 0,0437; в) 0,999997.)
3.11.	В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для
каждого из них вероятность того, что в данный момент он
включен, равна соответственно 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероят-
ность того, что включены: а) два электродвигателя; б) хотя
бы один электродвигатель; в) три электродвигателя. (Ответ:
а) 0,092; б) 0,496; в) 0,006.)
3.12.	На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеет-
ся три препятствия. Вероятность успешного прохождения
первого препятствия равна 0,4, второго — 0,5, третьего — 0,6.
Найти вероятность успешного преодоления: а) трех препят-
ствий; б) не менее двух препятствий; в) двух препятствий.
(Ответ: а) 0,12; б) 0,5; в) 0,38.)
3.13.	Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен,
равна 0,9, второй - 0,7, третий - 0,6. Вычислить вероятность
того, что студент сдаст: а) два экзамена; б) не менее двух экза-
менов; в) не более двух экзаменов. (Ответ: а) 0,456; б) 0,834;
в) 0,622.)
3.14.	Самолет противника обнаруживается тремя радиоло-
каторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность
обнаружения самолета: а) одним радиолокатором; б) двумя
радиолокаторами; в) хотя бы одним радиолокатором? (Ответ:
а) 0,22; б) 0,47; в) 0,75.)
3.15.	Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Ве-
роятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, рав-
на 0,7, второй - 0,8. Найти вероятность: а) уничтожения одно-
го бомбардировщика; б) поражения двух бомбардировщиков;
в) промахов. (Ответ: а) 0,38; б) 0,56; в) 0,06.)
3.16.	Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся
от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале
стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на
0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена:
а) четыре раза; б) три раза; в) не менее трех раз. (Ответ:
а) 0,084; 6)0,302; в) 0,386.)
183
3.17.	Первый рабочий изготавливает 40 % изделий второ-
го сорта, а второй — 30 %. У каждого рабочего взято наугад по
два изделия. Какова вероятность того, что: al все четыре из-
делия — второго сорта; б) хотя бы три изделия - второго сор-
та; в) менее трех изделий - второго сорта. (Ответ: а) 0,0144;
б) 0,1248; в) 0,8752.)
3.18.	При некоторых определенных условиях вероятность
сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна
0,4, из второго - 0,5. Сделано по одному выстрелу. Найти ве-
роятность того, что: а) самолет уничтожен двумя снарядами;
б) самолет поражен хотя бы одним снарядом; в) ни один сна-
ряд не попал в цель. (Ответ: а) 0,2; б) 0,7; в) 0,3.)
3.19.	Вероятность выигрыша по лотерейному билету пер-
вого выпуска равна 0,2, второго — 0,3. Имеется по два билета
каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют:
а) три билета; б) не менее трех билетов; в) менее трех билетов.
(Ответ: а) 0,0456; б) 0,0492; в) 0,9508.)
3.20.	Три команды спортивного общества А состязаются
соответственно с тремя командами общества В. Вероятности
выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у
соответствующих команд из общества В равны 0,7; 0,6; 0,4.
Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того,
что команды общества А выиграют: а) две встречи; б) хотя бы
две встречи; в) три встречи? (Ответ: а) 0,436; 6) 0,604;
в) 0,168.)
3.21.	Вероятность поражения цели первым стрелком при
одном выстреле равна 0,7, вторым — 0,5. Найти вероятность
того, что цель будет поражена: а) двумя стрелками; б) хотя бы
одним стрелком; в) только одним стрелком. (Ответ: а) 0,35;
б) 0,85; в) 0,5.)
3.22.	В коробках находятся детали: в первой — 20, из них
13 стандартных; во второй - 30, из них 26 стандартных. Из
каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероят-
ность того, что: а) обе детали окажутся нестандартными;
б) одна деталь нестандартная; в) обе детали стандартные. (От-
вет: а) 0,4667; б) 0,39; в) 0,5633.)
3.23.	Три станка работают независимо друг от друга. Веро-
ятность того, что первый станок в течение смены выйдет из
строя, равна 0,1, второй - 0,2 и третий - 0,3. Найти вероят-
ность того, что в течение смены выйдут из строя: а) не менее
двух станков; б) два станка; в) три станка. (Ответ: а) 0,098;
6) 0,092; в) 0,006.)
184
3.24.	В ящике 50 % деталей, изготовленных на заводе № 1,
20 % - на заводе № 2 и 30 % - на заводе № 3. Наугад взято три
детали. Найти вероятность того, что: а) все три детали — с за-
вода № 1; б) две детали - с завода № 1; в) все три детали - с
разных заводов. (Ответ: а) 0,125; б) 0,125; в) 0,03.)
3.25.	Для аварийной сигнализации установлены два неза-
висимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что
при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, вто-
рой - 0,7. Найти вероятность того, что при аварии:
а) сработают оба сигнализатора; б) не сработает ни один сиг-
нализатор; в) сработает хотя бы один сигнализатор. (Ответ:
а) 0,63; б) 0,03; в) 0,97.)
3.26.	На двух станках обрабатываются однотипные детали.
Появление бракованной детали для станка № 1 составляет
3 %, для станка № 2 - 4 %. С каждого станка взяли по одной
детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали стандарт-
ные; б) одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные.
(Ответ: а) 0,9312; б) 0,0676; в) 0,0012.)
3.27.	Три автомата изготавливают детали. Вероятность то-
го, что деталь, изготовленная первым автоматом, - высшего
качества, равна 0,9, для второго - 0,7, для третьего - 0,6. На-
угад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероят-
ность того, что из взятых деталей: а) все высшего качества;
б) две высшего качества; в) хотя бы одна высшего качества.
(Ответ: а) 0,378; б) 0,456; в) 0,988.)
3.28.	Вычислительный центр, который должен произво-
дить непрерывную обработку поступающей информации, рас-
полагает двумя вычислительными устройствами. Известно,
что вероятность отказа за некоторое время Ту каждого из них
равна 0,2. Найти вероятность безотказной работы за время Т.
а) каждого устройства; б) хотя бы одного устройства; в) одного
устройства. (Ответ: а) 0,64; б) 0,96; в) 0,32.)
3.29.	Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя спра-
вочниками. Вероятности того, что интересующие его данные
находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны со-
ответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интере-
сующие инженера данные содержатся: а) только в одном спра-
вочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех спра-
вочниках. (Ответ: а) 0,188; б) 0,452; в) 0,336.)
3.30.	Вероятность безотказной работы за время Т блока,
входящего в прибор, равна 0,85. Для повышения надежности
устанавливается такой же резервный блок. Определить веро-
185
ятность безотказной работы прибора за время Т с учетом ре-
зервного блока. (Ответ: 0,9775.)
4
4.1.	20 % приборов монтируется с применением микромо-
дулей, остальные — с применением интегральных схем. На-
дежность прибора с применением микромодулей - 0,9, инте-
гральных схем - 0,8. Найти: а) вероятность надежной работы
наугад взятого прибора; б) вероятность того, что прибор - с
микромодулем, если он был исправен. (Ответ: а) 0,82;
6)0,22.)
4.2.	Детали попадают на обработку на один из трех станков
с вероятностями, равными соответственно 0,2; 0,3; 0,5. Веро-
ятность брака на первом станке равна 0,02, на втором - 0,03,
на третьем - 0,01. Найти: а) вероятность того, что случайно
взятая после обработки деталь — стандартная; б) вероятность
обработки наугад взятой детали на втором станке, если она
оказалась стандартной. (Ответ: а) 0,982; б) 0,2963.)
4.3.	Среди поступивших на сборку деталей 30 % - с завода
№ 1, остальные — с завода № 2. Вероятность брака для завода
№ 1 равна 0,02, для завода № 2 - 0,03. Найти: а) вероятность
того, что наугад взятая деталь стандартная; б) вероятность из-
готовления наугад взятой детали на заводе № 1, если она ока-
залась стандартной. (Ответ: а) 0,973; б) 0,302.)
4.4.	Три автомата изготавливают однотипные детали, ко-
торые поступают на общий конвейер. Производительности
первого, второго и третьего автоматов соотносятся как
2:3:5. Вероятность того, что деталь с первого автомата -
высшего качества, равна 0,8, со второго — 0,6, с третьего — 0,7.
Найти вероятность того, что: а) наугад взятая с конвейера де-
таль окажется высшего качества; б) наугад взятая деталь выс-
шего качества изготовлена первым автоматом. (Ответ:
а) 0,69; б) 0,2319.)
4.5.	Комплектовщик получает для сборки 30 % деталей с
завода № 1, 20 % - с завода № 2, остальные - с завода № 3. Ве-
роятность того, что деталь с завода № 1 — высшего качества,
равна 0,9, с завода № 2 - 0,8, с завода № 3 - 0,6. Найти веро-
ятность того, что: а) случайно взятая деталь — высшего ка-
чества; б) наугад взятая деталь высшего качества изготовлена
на заводе № 2. (Ответ: а) 0,73; б) 0,2192.)
4.6.	Заготовка может поступить для обработки на один из
двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При
186
обработке на первом станке вероятность брака составляет 2 %,
на втором - 3 %. Найти вероятность того, что: а) наугад взятое
после обработки изделие — стандартное; б) наугад взятое пос-
ле обработки стандартное изделие обработано на первом стан-
ке. {Ответ: а) 0,974; б) 0,402.)
4.7.	На двух станках обрабатываются однотипные детали.
Вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, для станка
№ 2 - 0,02. Обработанные детали складываются в одном мес-
те, причем деталей, обработанных на станке № 1, вдвое боль-
ше, чем на станке № 2. Найти вероятность того, что: а) взятая
наугад деталь будет стандартной; б) наугад взятая стандарт-
ная деталь изготовлена на первом станке. {Ответ: а) 0,0266;
б) 0,7518.)
4.8.	В дисплейном классе имеется 10 персональных ком-
пьютеров первого типа и 15 второго типа. Вероятность того,
что за время работы на компьютере первого типа не произой-
дет сбой, равна 0,9, а на компьютере второго типа - 0,7. Найти
вероятность того, что: а) на случайно выбранном компьютере
за время работы не произойдет сбой; б) компьютер, во время
работы на котором не произошел сбой, - первого типа. {От-
вет: а) 0,78; б) 0,4615.)
4.9.	В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по
5 красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в каж-
дом - по 4 красных шара. Найти вероятность того, что: а) из
наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным;
б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых
пяти ящиков. {Ответ: а) 0,1848; б) 0,4099.)
4.10.	По линии связи передано два сигнала типа А и В с ве-
роятностями соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимается
60 % сигналов типа А и 70 % типа В. Найти вероятность того,
что: а) посланный сигнал будет принят; б) принятый сигнал -
типа А {Ответ: а) 0,62; б) 0,7742.)
4.11.	Для сигнализации о том, что режим работы автомати-
ческой линии отклоняется от нормального, используются ин-
дикаторы двух типов. Вероятности того, что индикатор прина-
длежит к одному из двух типов, равны соответственно 0,4 и
0,6. При нарушении работы линии вероятность срабатывания
индикатора первого типа равна 0,9, второго - 0,7. а) Найти ве-
роятность того, что наугад выбранный индикатор сработает
при нарушении нормальной работы линии, б) Индикатор сра-
ботал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит? {От-
вет: а) 0,78; б) ко второму.)
187
4.12.	Резистор, поставленный в телевизор, может принад-
лежать к одной из двух партий с вероятностями 0,6 и 0,4. Ве-
роятности того, что резистор проработает гарантийное число
часов, для этих партий равны соответственно 0,8 и 0,7.
а) Найти вероятность того, что взятый наугад резистор прора-
ботает гарантийное число часов, б) Резистор проработал га-
рантийное число часов. К какой партии он вероятнее всего
принадлежит? (Ответ: а) 0,76; б) к первой.)
4.13.	При отклонении от штатного режима работы поточ-
ной линии срабатывают сигнализатор типа Т-1 с вероятнос-
тью 0,9 и сигнализатор типа Т-2 с вероятностью 0,8. Вероят-
ности того, что линия снабжена сигнализаторами типа Т-1 и
Т-2, равны соответственно 0,7 и 0,3. а) Найти вероятность то-
го, что при отклонении от штатного режима работы сигнали-
затор сработает, б) Сигнализатор сработал. К какому типу он
вероятнее всего принадлежит? (Ответ: а) 0,87; б) Т-1.)
4.14.	Для участия в студенческих спортивных соревновани-
ях выделено 10 человек из первой группы и 8 из второй. Веро-
ятность того, что студент первой группы попадет в сборную
института, равна 0,8, а для студента второй группы - 0,7.
а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент
попал в сборную института, б) Студент попал в сборную ин-
ститута. В какой группе он вероятнее всего учится? (Ответ:
а) 0,7555; б) в первой.)
4.15.	На сборку поступают детали с трех конвейеров. Пер-
вый дает 25 %, второй - 30 и третий - 45 % деталей, поступа-
ющих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2 %
брака, со второго — 3, с третьего — 1 %. Найти вероятность то-
го, что: а) на сборку поступила бракованная деталь;
б) поступившая на сборку бракованная деталь — со второго
конвейера. (Ответ: а) 0,0185; б) 0,4865.)
4.16.	В двух коробках имеются однотипные конденсаторы.
В первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй -
10, из них 3 неисправных, а) Найти вероятность того, что на-
угад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки го-
ден к использованию, б) Наугад взятый конденсатор оказался
годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят? (Ответ:
а) 0,8333; б) из первой.)
4.17.	В телевизионном ателье имеется 2 кинескопа перво-
го типа и 8 второго типа. Вероятность выдержать гарантий-
ный срок для кинескопов первого типа равна 0,9, а для вто-
рого типа — 0,6. Найти вероятность того, что: а) взятый на-
188
угад кинескоп выдержит гарантийный срок; б) взятый наугад
кинескоп, выдержавший гарантийный срок, первого типа.
(Ответ: а) 0,66; б) 0,2727.)
4.18.	У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе № 1,
и 10 деталей, изготовленных на заводе № 2. Вероятности того,
что детали выдержат гарантийный срок, для деталей с завода
№ 1 равны 0,8; с завода № 2 - 0,9. а) Найти вероятность того,
что взятая наугад деталь проработает гарантийный срок,
б) Взятая наугад деталь проработала гарантийный срок. На ка-
ком из заводов она вероятнее всего изготовлена? (Ответ:
а) 0,8384; б) на первом.)
4.19.	Телеграфное собщение состоит из сигналов «точка» и
«тире», они встречаются в передаваемых сообщениях в отно-
шении 5:3. Статические свойства помех таковы, что искажа-
ются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «ти-
ре». Найти вероятность того, что: а) передаваемый сигнал
принят; б) принятый сигнал - «тире». (Ответ: а) 0,5; б) 0,5.)
4.20.	Для поисков спускаемого аппарата космического ко-
рабля выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второ-
го типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находя-
щийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,6, второго
типа - с вероятностью 0,7. а) Найти вероятность того, что на-
угад выбранный вертолет обнаружит аппарат, б) К какому ти-
пу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнаруживший
спускаемый аппарат? (Ответ: а) 0,66; б) ко второму.)
4.21.	Прибор состоит из двух узлов одного типа и трех узлов
второго типа. Надежность работы в течение времени Тдля уз-
ла первого типа равна 0,8, а для узла второго типа - 0,7.
а) Найти вероятность того, что наугад выбранный узел прора-
ботает в течение времени Т. б) Узел проработал гарантийное
время Т. К какому типу он вероятнее всего относится? (От-
вет: а) 0,74; б) ко второму.)
4.22.	Пассажир может обратиться за получением билета в
одну из трех касс вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В.
Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассах
вокзала Л имеются в продаже билеты, равна 0,6, в кассах вок-
зала В — 0,5. а) Найти вероятность того, что в наугад выбран-
ной кассе имеется в продаже билет, б) Пассажир купил билет.
В кассе какого вокзала он вероятнее всего куплен? (Ответ:
а) 0,5375; б) в кассе вокзала В.)
4.23.	В вычислительной лаборатории 40 % микрокалькуля-
торов и 60 % дисплеев. Во время расчета 90 % микрокалькуля-
189
торов и 80 % дисплеев работают безотказно, а) Найти вероят-
ность того, что наугад взятая вычислительная машина прора-
ботает безотказно во время расчета, б) Выбранная машина
проработала безотказно во время расчета. К какому типу веро-
ятнее всего она принадлежит? (Ответ: а) 0,84; б) к дисплеям.)
4.24.	В состав блока входит 6 радиоламп первого типа и 10
второго. Гарантийный срок обычно выдерживает 80 % радио-
ламп первого типа и 90 % второго типа. Найти вероятность то-
го, что: а) наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный
срок; б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок, перво-
го типа. (Ответ: а.) 0,8625; б) 0,3478.)
4.25.	На сборку поступают детали с трех автоматов, причем
с первого 30 %, со второго 40 и с третьего 30 % всех деталей.
Вероятность брака для первого автомата равна 0,02, для второ-
го - 0,03, для третьего - 0,04. а) Найти вероятность того, что
взятая наугад деталь - бракованная, б) Взятая наугад деталь
оказалась бракованной. С какого автомата она вероятнее всего
поступила? (Ответ: а) 0,03; б) со второго или третьего.)
4.26.	Имеется 6 коробок диодов типа А и 8 коробок диодов
типа В. Вероятность безотказной работы диода типа А равна
0,8, типа В — 0,7. а) Найти вероятность того, что взятый наугад
диод проработает гарантийное число часов, б) Взятый наугад
диод проработал гарантийное число часов. К какому типу он
вероятнее всего относится? (Ответ: а) 0,7429; б) к типу В.)
4.27.	Для участия в студенческих спортивных соревновани-
ях выделено из первой группы 5 студентов, из второй и третьей —
соответственно 6 и 10 студентов. Вероятность выполнения
нормы мастера спорта для студентов первой группы равна 0,3,
второй - 0,4, третьей - 0,2. Найти вероятность того, что:
а) наугад выбранный студент выполнит норму мастера спорта;
б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во
второй группе. (Ответ: а) 0,28; б) 0,4.)
4.28.	На участке, где изготавливаются болты, первый ста-
нок производит 25 %, второй - 35, третий - 40 % всех изделий.
В продукции каждого из станков брак составляет соответ-
ственно 5, 4 и 2 %. Найти вероятность того, что: а) взятый на-
угад болт — с дефектом; б) случайно взятый болт с дефектом
изготовлен на третьем станке. (Ответ: а) 0,0345; б) 0,2319.)
4.29.	На сборку поступают детали с четырех автоматов.
Первый обрабатывает 40 %, второй - 30, третий - 20 и четвер-
тый - 10 % всех деталей, поступающих на сборку. Первый
автомат дает 0,1 % брака, второй - 0,2, третий - 0,25, четвер-
то
тый - 0,5 %. Найти вероятность того, что: а) на сборку посту-
пит стандартная деталь; б) поступившая на сборку стандарт-
ная деталь изготовлена первым автоматом. (Ответ: а) 0,9935;
б) 0,4022.) '
4.30.	Производится стрельба по мишеням трех типов, из ко-
торых 5 мишеней типа Л, 3 мишени типа В и 3 мишени типа С.
Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, в мишень
типа В - 0,1, в мишень типа С - 0,15. Найти вероятность того,
что: а) мишень будет поражена при одном выстреле, если неиз-
вестно, по мишени какого типа он был сделан; б) при одном
выстреле (если неизвестно, по мишени какого типа он сделан)
будет поражена мишень типа А. (Ответ: а) 0,25; б) 0,7273.)
5
5.1.	Всхожесть семян некоторого растения составляет
80 %. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян
взойдет: а) три; б) не менее трех; в) четыре. (Ответ:
а) 0,08192; б) 0,98324; в) 0,24588.)
5.2.	В семье четверо детей. Принимая равновероятным
рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что
мальчиков в семье: а) три; б) не менее трех; в) два. (Ответ:
а) 0,25; б) 0,3125; в) 0,375.)
5.3.	Среди заготовок, изготавливаемых рабочим, в среднем
4% не удовлетворяет требованиям стандарта. Найти вероят-
ность того, что среди 6 заготовок, взятых для контроля, требо-
ваниям стандарта не удовлетворяют: а) не менее пяти; б) не
более пяти; в) две. (Ответ: а) 0,9784; б) 0,2172; в) 0,0204.)
5.4.	Вероятность выигрыша по одной облигации трехпро-
центного займа равна 0,25. Найти вероятность того, что из
восьми купленных облигаций выигрышными окажутся:
а) три; б) две; в) не менее двух. (Ответ: а) 0,2076; б) 0,3115;
в) 0,6329.)
5.5.	Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пя-
ти экзаменов равна 0,7. Найти вероятность успешной сдачи:
а) трех экзаменов; б) двух экзаменов; в) не менее двух экзаме-
нов. (Ответ:?:) 0,3087; б) 0,1323; в) 0,9692.)
5.6.	Вероятность работы каждого из семи моторов в дан-
ный момент равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный
момент включены: а) хотя бы один мотор; б) два мотора;
в)три мотора. (Ответ:?:) 0,99998; 6)0,0043; в) 0,1435.)
5.7.	В телеателье имеется 7 телевизоров. Для каждого теле-
визора вероятность того, что в данный момент он включен,
191
равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент вклю-
чены:, а) четыре телевизора; б) хотя бы один телевизор; в) не
менее трех телевизоров. (Ответ: а) 0,2916; 6) 0,9999;
в) 0,9477.)
5.8.	При массовом производстве полупроводниковых дио-
дов вероятность брака при формовке равна 0,1. Найти вероят-
ность того, что из восьми диодов, проверяемых ОТК, брако-
ванных будет; а) два; б) не менее двух; в) не более двух. (От-
вет: а) 0,1488; б) 0,1871; в) 0,9617.)
5.9.	Вероятность поражения мишени для данного стрелка в
среднем составляет 80 %. Стрелок произвел 6 выстрелов по
мишени. Найти вероятность того, что мишень была поражена:
а) пять раз; б) не менее пяти раз; в) не более пяти раз. (Ответ:
а) 0,3932; б) 0,6554; в) 0,7379.)
5.10.	Вероятность сдачи экзамена для каждого из шести
студентов равна 0,8. Найти вероятность того, что экзамен сда-
дут: а) пять студентов; б) не менее пяти студентов; в) не более
пяти студентов. (Ответ: а) 0,3932; б) 0,6553; в) 0,7379.)
5.11.	Вероятность поражения в каждой шахматной партии
для игрока равна 0,5. Найти вероятность того, что он выиграл
в шести партиях: а) хотя бы один раз; б) два раза; в) не менее
двух раз. (Ответ: а) 0,9844; б) 0,2344; в) 0,8906.)
5.12.	Всхожесть семян лимона составляет 80 %. Найти ве-
роятность того, что из 9 посеянных семян взойдет: а) семь;
б) не более семи; в) более семи. (Ответ: а) 0,302; 6) 0,5638;
в) 0,4362.)
5.13.	При штамповке изделий бывает в среднем 20 % бра-
ка. Для контроля отобрано 8 изделий. Найти: а) вероятность
того, что два изделия окажутся бракованными; б) наивероят-
нейшее число бракованных изделий; в) вероятность наиве-
роятнейшего числа бракованных изделий. (Ответ: а) 0,2936;
б) 1; в) 0,3355.)
5.14.	Среди изделий, подвергавшихся термической обра-
ботке, в среднем 80 % высшего сорта. Найти вероятность того,
что среди пяти изделий: а) хотя бы четыре высшего сорта;
б) четыре высшего сорта; в) не более четырех высшего сорта.
(Ответ: а) 0,7373; б) 0,4096; в) 0,6723.)
5.15.	Оптовая база обслуживает 6 магазинов. Вероятность
получения заявки базой на данный день для каждого из мага-
зинов равна 0,6. Найти вероятность того, что в этот день будет:
а) пять заявок; б) не менее пяти заявок; в) не более пяти за-
явок. (Ответ: а) 0,1866; б) 0,2333; в) 0,9534.)
192
5.16.	После зубофрезеровки шестерен у рабочего в среднем
получается 20 % нестандартных шестерен. Найти вероятность
того, что среди взятых шести шестерен нестандартных будет:
а) три; б) не более трех; в) хотя бы одна. (Ответ: а) 0,0819;
6)0,7209; в) 0,7379.)
5.17.	При передаче сообщения вероятность искажения од-
ного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение
из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит три искаже-
ния; в) содержит не более трех искажений. (Ответ: а) 0,3487;
6) 0,0574; в) 0,9872.)
5.18.	Продукция, поступающая из цеха в ОТК, не удовле-
творяет условиям стандарта в среднем в 8 % случаев. Найти ве-
роятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовле-
творяют условиям стандарта: а) шесть изделий; б) не менее
шести изделий; в) менее шести изделий. (Ответ: а) 0,000002;
6)0,000002; в) 0,999998.)
5.19.	Вероятность поражения цели при одном выстреле
равна 0,4. Произведено 8 выстрелов. Найти вероятность пора-
жения цели: а) три раза; б) наивероятнейшее число раз; в) хотя
бы один раз. (Ответ: а) 0,2787; б) 0,2787; в) 0,9832.)
5.20.	Вероятность того, что изделие пройдет контроль, рав-
на 0,8. Найти вероятность того, что из шести изделий контроль
пройдут: а) пять изделий; б) не менее пяти изделий; в) не более
пяти изделий. (Ответ: а) 0,3932; б) 0,6553; в) 0,7379.)
5.21.	Среди деталей, изготавливаемых рабочим, в среднем
2 % нестандартных. Найти вероятность того, что среди взя-
тых на испытание пяти деталей: а) три нестандартные;
6) будет наивероятнейшее число нертандартных деталей (из
пяти); в) ни одной нестандартной детали. (Ответ: а) 0,00008;
6) 0,9039; в) 0,9039.)
5.22.	Вероятность перевыполнения годового плана для
каждого из восьми рабочих равна 0,8. Найти вероятность то-
го, что перевыполнят годовой план: а) хотя бы один рабочий;
6) двое рабочих; в) трое рабочих. (Ответ: а) 0,999997;
6) 0,001146; в) 0,00917.)
5.23.	Вероятность поражения цели при одном выстреле
равна 0,8. Произведено 7 выстрелов. Найти вероятность того,
что имело место: а) четыре поражения цели; б) шесть пораже-
ний; в) не более шести поражений. (Ответ:а.) 0,1147; б) 0,367;
в) 0,7903.)
5.24.	Вероятность поражения цели каждым из семи вы-
стрелов равна 0,8. Найти вероятность поражения цели:
7 Зак. 2209
193
а) двумя выстрелами; б) хотя бы одним выстрелом; в) не ме-
нее чем тремя выстрелами. {Ответ: а) 0,0043; 6) 0,99998;
в) 0,9953.)
5.25.	Вероятность потопить судно одной торпедой равна
0,2. Выпущено 5 торпед. Найти вероятность того, что имеет
место: а) три попадания в судно; б) не менее трех попаданий;
в) четыре попадания. {Ответ: а) 0,0512; б) 0,05792; в) 0,0064.)
5.26.	Вероятность попадания в цель при одном выстреле из
винтовки равна 0,3. Произведено 6 выстрелов. Найти вероят-
ность того, что произошло: а) три попадания в цель; б) пять
попаданий; в) не менее пяти попаданий. {Ответ: а) 0,1852;
6) 0,010206; в) 0,010935.)
5.27.	Вероятность поражения мишени при одном выстреле
равна 0,6. Произведено 5 выстрелов. Найти вероятность того,
что будет иметь место: а) четыре поражения цели; б) не менее
четырех поражений; в) три поражения. {Ответ: а) 0,2592;
б) 0,33696; в) 0,3456.)
5.28.	Вероятность попадания в цель равна 0,3. Одновре-
менно сбрасывается 6 бомб. Найти вероятность того, что в
цель попадают: а) четыре бомбы; б) не менее четырех бомб;
в) не более четырех бомб. {Ответ: а) 0,059535; 6)0,07047;
в) 0,9891.)
5.29.	Среди деталей, изготавливаемых рабочим, в среднем
4 % бракованных. Найти вероятность того, что среди взятых
на контроль пяти деталей: а) две бракованные; б) хотя бы одна
бракованная; в) не более одной бракованной. {Ответ:
а) 0,014156; б) 0,1846; в) 0,9852.)
5.30.	Вероятность выиграть по одной облигации государ-
ственного займа равна 1/3. Найти вероятность того, что, имея
6 облигаций этого займа, можно выиграть: а) по двум облига-
циям; б) по трем облигациям; в) не менее чем по двум облига-
циям. {Ответ: а) 0,3292; б) 0,2195; в) 0,6485.)
6
6.1.	Вероятность появления событий в каждом из незави-
симых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что со-
бытие наступит 50 раз в 243 испытаниях. (Ответ: 0,0167.)
6.2.	Вероятность появления события в каждом из незави-
симых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в
144 испытаниях событие наступит 120 раз. {Ответ: 0,0504.)
194
6.3.	Вероятность появления события в каждом из незави-
симых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что со-
бытие наступит 25 раз в 100 испытаниях. (Ответ: 0,0456.)
6.4.	Вероятность появления события в каждом из 2100 не-
зависимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что
событие наступит не менее 1470 раз и не более 1500 раз. (От-
вет: 0,4236.)
6.5.	Вероятность производства бракованной детали равна
0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000
деталей 10 бракованных. (Ответ: 0,0993.)
6.6.	Вероятность появления события в каждом из незави-
симых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что со-
бытие наступит 20 раз в 100 испытаниях. (Ответ: 0,0997.)
6.7.	Вероятность промаха при одном выстреле по мише-
ни равна 0,1. Сколько выстрелов необходимо произвести,
чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что
относительная частота промаха отклонится от постоянной
вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03?
(Ответ: 400.)
6.8.	Среднее число машин, прибывающих в автопарк за
1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 мин при-
будет не менее двух машин, если поток прибытия машин про-
стейший. (Ответ: 0,999505.)
6.9.	Вероятность нарушения стандарта при штамповке кар-
болитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что для
800 заготовок число бракованных колец заключено между 225
и 250. (Ответ: 0,6543.)
6.10.	Вероятность поражения мишени при одном выстреле
равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах ми-
шень будет поражена не менее 75 раз. (Ответ: 0,8944.)
6.11.	Вероятность появления события в каждом независи-
мом испытании равна 0,7. Найти вероятность того, что в 100
испытаниях событие наступит не более 70 раз. (Ответ: 0,5.)
6.12.	Найти вероятность одновременного останова 30 ма-
шин из 100 работающих, если вероятность останова для каж-
дой машины равна 0,2. (Ответ: 0,0044.)
6.13.	Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность
отказа одного элемента за время Травна 0,001 и не зависит от
работы других элементов. Найти вероятность отказа не менее
двух элементов. (Ответ: 0,264.)
195
6.14.	Найти вероятность поражения мишени 75 раз при
100 выстрелах, если вероятность поражения при одном вы-
стреле равна 0,8. (Ответ: 0,0456.)
6.15.	Станок состоит из 2000 независимо работающих уз-
лов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна
0,0005. Найти вероятность отказа в течение года двух узлов.
(Ответ: 0,1838.)
6.16.	Промышленная телевизионная установка содержит
2000 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из
транзисторов равна 0,0005. Найти вероятность выхода из
строя хотя бы одного транзистора. (Ответ: 0,632.)
6.17.	Вероятность отклонений от принятого стандарта при
штамповке клемм равна 0,02. Найти вероятность наличия в
партии из 200 клемм от 70 до 80 клемм, не соответствующих
стандарту. (Ответ: Q.)
6.18.	Вероятность появления события в каждом из 2000 не-
зависимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что
событие наступит не менее 1500 раз. (Ответ: 0,00003.)
6.19.	Вероятность появления события в каждом из 21 неза-
висимого испытания равна 0,7. Найти вероятность того, что
событие наступит не менее 11 раз. (Ответ: 0,93435.)
6.20.	Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность
обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004.
Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произой-
дет на шести веретенах. (Ответ: 0,1041.)
6.21.	Вероятность появления события в каждом из 900 не-
зависимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что
относительная частота появления события отклонится от его
вероятности не более чем на 0,02. (Ответ: 0,7698.)
6.22.	Вероятность того, что изделие — высшего сорта, равна
0,5. Найти вероятность того, что из 1000 изделий 500 - высше-
го сорта. (Ответ: 0,0252.)
6.23.	Вероятность появления события в каждом из незави-
симых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100
испытаниях событие наступит не менее 70 и не более 80 раз.
(Ответ: 0,4938.)
6.24.	Вероятность того, что изделие - высшего качества,
равна 0,5. Найти вероятность того, что из 400 изделий число
изделий высшего качества составит от 194 до 208. (Ответ:
0,5138.)
6.25.	Среднее число вызовов, поступающих на коммутатор
за 1 мин, равно 2. Найти вероятность того, что за 6 мин посту-
196
пит не менее трех вызовов, если поток вызовов предполагается
простейшим. (Ответ: 0,9995.)
6.26.	Найти вероятность того, что при 400 испытаниях со-
бытие появится не менее 104 раз, если вероятность его наступ-
ления в каждом независимом испытании равна 0,2. (Ответ:
0,00135.)
6.27.	Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт
за 1 мин, равно 2. Найти вероятность того, что за 6 мин прибу-
дет 5 самолетов, если поток прибытия самолетов простейший.
(Ответ: 0,0124.)
6.28.	Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти
вероятность того, что из 900 посаженных семян число про-
росших будет заключено между 790 и 830. (Ответ: 0,9736.)
6.29.	Средняя плотность болезнетворных бактерий в 1 м3
воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха. Найти веро-
ятность того, что в нем будет обнаружена хотя бы одна бакте-
рия. (Ответ: 0,1813.)
6.30.	Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти
вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков
будет не менее 500, но не более 550. (Ответ: 0,8157.)
Решение типового варианта
1.	В бригаде 25 человек. Сколькими способами можно из-
брать троих рабочих в три комиссии (по одному в каждую)?
► Одна комбинация отличается от другой либо хотя бы од-
ним человеком, либо порядком избрания в комиссии. Поэто-
му число способов избрания троих рабочих равно числу разме-
з
щений из 25 человек по 3, т.е. Л25 = 25  24  23 = 13 800 . 4
2.	В шахматном турнире участвуют 10 гроссмейстеров,
6 международных мастеров и 4 мастера. Шахматисты для пер-
вого тура и номер столика для каждой пары участников опре-
деляются путем жеребьевки. Найти вероятность того, что за
первым столиком встретятся шахматисты одной и той же ка-
тегории.
► Число всех равновозможных случаев определения двух
соперников из 20 участников равно числу сочетаний из 20 эле-
ментов по 2, т.е. С^о . Число групп по 2 человека, которые мо-
гут быть составлены из 10 гроссмейстеров, равно С^о . Число
1 07
групп, которые могут быть составлены из 6 международных
мастеров, равно . Из 4 мастеров может быть составлено
пар. Сумма С^() + С^+ Ц равна числу благоприятствующих
случаев для встречи за первым столиком шахматистов одной и
той же категории. Следовательно, искомая вероятность
р = (С210+С26+^)/С220 = 33/95. <
3.	В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Из-
вестно, что 6 из них нуждается в замене двигателя, а осталь-
ные - в замене отдельных узлов. Случайным образом отбира-
ют два трактора. Найти вероятность того, что замена двигате-
ля необходима: а) в двух тракторах; б) в одном тракторе;
в) хотя бы в одном тракторе.
► а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что вы-
бранный трактор требует замены двигателя. Согласно услови-
ям задачи вероятность того, что первым будет отобран трак-
тор, требующий замены двигателя, Р(А) = 6/15 = 0,4.
Вероятность того, что второй выбранный трактор также
потребует замены двигателя, Р(Л) = 5/14 . Тогда вероятность
события, состоящего в том, что первый и второй отобранные
2 5	1
тракторы потребуют замены двигателя, р =	= -.
б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что только
один из двух выбранных тракторов требует замены двигателя.
Это событие заключается в том, что первый трактор нуждается
в замене двигателя, а второй -. в замене лишь отдельных узлов
либо первый трактор требует замены отдельных узлов, а вто-
рой - замены двигателя:
514 1514
18.
35 ’
в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что ни
один трактор не потребует замены двигателя. Вероятность то-
го, что первый трактор не потребует замены двигателя, равна
9/15 = 3/5. Вероятность того, что второй трактор также не по-
требует замены двигателя, 8/14 = 4/7. Тогда вероятность того,
что оба трактора не потребуют замены двигателя,
3 4
Р(С) = 5 7
12
35 ‘
198
Вероятность того, что хотя бы для одного трактора потре-
буется замена двигателя,
р = 1 - Р(С) = 1 - 12/35 = 23/35 . <
4. При обследовании двух одинаковых групп мужчин и жен-
щин было установлено, что среди мужчин 5 % дальтоников, а
среди женщин - 0,25 %. Найти вероятность того, что наугад
выбранный человек: а) страдает дальтонизмом; б) является
мужчиной, если известно, что он страдает дальтонизмом.
► а) Пусть событие А состоит в том, что наугад выбранное
лицо страдает дальтонизмом. При этом возможны следующие
гипотезы: Hi - выбранное лицо является мужчиной; Я2 - вы-
бранное лицо является женщиной.
Из условия задачи находим:
Р(Я1) = Р(Я2) = 0,5, Р(Л/Я]) = 0,05, Р(Л/Я2) = 0,0025.
По формуле полной вероятности вычисляем вероятность
того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом:
Р(Л) = £ (Нк)Р(А/Нк) = 0,5-0,05 + 0,5-0,0025 =0,2625;
к = 1
б) Условная вероятность произошедшего события А при
осуществлении данной гипотезы Я;
Р(н ли - Лярлл/я,) _
V 1 ’	Р(Н{)Р(А/Н{) + Р(Н2)Р(А/Н2)
= 0,952388 ’ <
5. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности
в сентябре бывает 12 дождливых дней. Найти вероятность то-
го, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней
дождливыми окажутся: а) три дня; б) не менее трех дней; в) не
более трех дней.
► Наблюдения в условиях данной задачи являются незави-
симыми. Вероятность выпадения дождя в любой день сентяб-
ря р = 12/30 = 0,4, а вероятность того, что в любой день
сентября дождя не будет, <? = 1 -р = 1-0,4 = 0,6.
Вероятность Рп(т) того, что в п наблюдениях событие на-
ступит т раз, определяется формулой биномиального распре-
деления (формулой Бернулли):
199
т) / х	т п-т
Р„(т) = С„Р q
а)	По условию задачи п = 8, т = 3, р = 0,4, q = 0,6. Тогда
РИЗ) = d  0,44  0,65 = 0,278692 .
б)	Поскольку п = 8 , 3 <т <8 , р = 0,4 , q = 0,6 , то
Р8(3 < т < 8) = Р8(3) + Р8(4) + Р8(5) + Р8(6) + Р8(7) +
+ Р8(8) = l-Pg(0)-Pg(l)-Pg(2) = 10,68-
-8  0,4 • 0,67 -28  0,42  0,66 = 0,624893.
в)	Так как п = 8, 0 < /и < 3 , р = 0,4, q = 0,6 , то
Pg(0<m<8) = Pg(0)+ Р8(1) + Р8(2) + Р8(3) =
= 0,016796 + 0,149292 + 0,209019 + 0,278692 =
= 0,653309. ◄
6. На факультете 730 студентов. Вероятность дня рождения
каждого студента в данный день равна 1/365. Вычислить веро-
ятность того, что найдутся три студента, у которых дни рожде-
ния совпадают.
► В данном случае п = 730, т = 3 , р = 1/365 , q = 1 -
— 1/365 = 364/365 . Так как п велико, воспользуемся локаль-
ной теоремой Муавра - Лапласа:
Р„(т) ® —i=cp(x) ,
/npq
где х = (т - пр)/ Jnpq. Значение функции ср(х) находим из
прил. 3. Имеем:
3-730/365 = 0
<р(0,71) = 0,3101 , Р730(3) ® 0,2210 . ◄
ИДЗ-18.2
1.	Найти закон распределения указанной дискретной СВ X
и ее функцию распределения F(x). Вычислить математиче-
ское ожидание М (X), дисперсию D(X) и среднее квадратич-
200
ное отклонение ст(Л) . Построить график функции распреде-
ления F(x).
1.1.	Автомобиль должен проехать по улице, на которой
установлено четыре независимо работающих светофора. Каж-
дый светофор с интервалом в 2 мин подает красный и зеленый
сигналы; СВ X— число остановок автомобиля на этой улице.
(Ответ: М(Х) = 2, £> (Л) = 1.)
1.2.	Производят три выстрела по мишени. Вероятность по-
ражения мишени первым выстрелом равна 0,4, вторым — 0,5,
третьим — 0,6; СВ X — число поражений мишени. (Ответ:
М(Х) = 1,5, D(X) = 0,73.)
1.3.	Вероятность безотказной работы в течение гарантий-
ного срока для телевизоров первого типа равна 0,9, второго ти-
па — 0,7, третьего типа — 0,8; СВ X — число телевизоров, про-
работавших гарантийный срок, среди трех телевизоров разных
типов. (Ответ: М(Х) = 2,4, D (X) = 0,46.)
1.4.	Вероятность поражения цели при одном выстреле рав-
на 0,6; СВ X— число поражений цели при четырех выстрелах.
(Ответ: М (X) = 2,4, D (X) = 0,96.)
1.5.	Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего тре-
бованиям качества, равна 0,9. В контрольной партии - 3 при-
бора; СВ X— число приборов, удовлетворяющих требованиям
качества. (Ответ: М(Х) = 2,7, D (X) = 0,27.)
1.6.	Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна
0,9, для СУ-2 - 0,8, для СУ-3 - 0,7; СВ X- число СУ, перевы-
полнивших план. (Ответ: М (Х) = 2,4, D (X) = 0,46.)
1.7.	Вероятность попадания в цель при одном выстреле
равна 0,8; СВ X— число попаданий в цель при трех выстрелах.
(Ответ: М(Х) = 2,4, D (X) = 0,48.)
1.8.	Вероятность поступления вызова на АТС в течение
1 мин равна 0,4; СВ X- число вызовов, поступивших на АТС
за 4 мин. (Ответ: М(X) = 1,6, D (X) = 0,96.)
1.9.	Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из
четырех студентов равна 0,8; СВ X — число студентов, сдавших
экзамен. (Ответ: М(Х) — 3,2, D (X) = 0,64.)
.1.10. Вероятность успешной сдачи первого экзамена для
данного студента равна 0,9, второго экзамена - 0,8, третьего -
0,7; СВ X - число сданных экзаменов. (Ответ: М(X) = 2,4,
D (X) = 0,46.)
1.11.	При установившемся технологическом процессе
предприятие выпускает 2/3 своих изделий первым сортом и
201
1/3 вторым; СВ X - число изделий первого сорта из взятых
наугад четырех. {Ответ: М{Х) = 8/3, D{X) = 8/9.)
1.12.	Из партии в 20 изделий, среди которых имеется четы-
ре нестандартных, для проверки качества выбраны случайным
образом 3 изделия; СВ X- число нестандартных изделий сре-
ди проверяемых. {Ответ: М{X) = 0,6, D {X) = 0,48.)
1.13.	Вероятность приема каждого из четырех радиосигна-
лов равна 0,6; СВ X— число принятых радиосигналов. {Ответ:
М (Л) = 2,4, Л (Л) = 0,96.)
1.14.	В партии из 15 телефонных аппаратов 5 неисправных;
СВ X - число неисправных аппаратов среди трех случайным
образом отобранных. {Ответ: М{Х) = 1, D{X) — 2/3.)
1.15.	Двое рабочих, выпускающих однотипную продук-
цию, допускают производство изделий второго сорта с вероят-
ностями, равными соответственно 0,4 и 0,3. У каждого рабоче-
го взято по 2 изделия; СВ X— число изделий второго сорта сре-
ди них. {Ответ: М{Х) = 1,4, D {X) = 0,9.)
1.16.	90 % панелей, изготавливаемых на заводе железобе-
тонных изделий, — высшего сорта; СВ X — число панелей
высшего сорта из четырех, взятых наугад. {Ответ: М {X) = 3,6,
D {X) = 0,36.)
1.17.	Вероятность отказа прибора за время испытания на
надежность равна 0,2; СВ X - число приборов, отказавших
в работе, среди пяти испытываемых. {Ответ: М{Х)=1,
Д(Л) = 0,8.)
1.18.	В первой коробке 10 сальников, из них 2 бракован-
ных, во второй - 16, из них 4 бракованных, в третьей - 12 саль-
ников, из них 3 бракованных; СВ X- число бракованных саль-
ников при условии, что из каждой коробки взято наугад по од-
ному сальнику. {Ответ: М{Х) = 0,7, D (А) = 0,535.)
1.19.	Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность вы-
хода из строя в течение смены для первого станка равна 0,6,
для второго — 0,5, для третьего — 0,4, для четвертого — 0,5;
СВ X- число станков, вышедших из строя за смену. {Ответ:
М(Л) = 2, Л(Л) = 0,98.)
1.20.	Вероятность выигрыша по одному билету лотереи
равна 1/6; СВ X - число выигрышных билетов из четырех.
{Ответ: М{Х) = 2/3, D {X) = 5/9.)
1.21.	В первой студенческой группе из 24 человек 4 отлич-
ника, во второй из 22 - 3 отличника, в третьей из 24 - 6 отлич-
ников и в четвертой из 20 - 2 отличника; СВ X- число отлич-
ников, приглашенных на конференцию, при условии, что из
202
каждой группы выделили случайным образом по одному чело-
веку. (Ответ: М(X) = 0,65, D (X) = 0,53.)
1.22.	Вероятность выхода из строя каждого из трех блоков
прибора в течение гарантийного срока равна 0,3; СВ X- число
блоков, вышедших из строя в течение гарантийного срока.
(Ответ: М(Х) = 0,9, D (X) = 0,63.)
1.23.	Вероятность того, что деталь с первого автомата удов-
летворяет стандарту, равна 0,9, для второго автомата - 0,8, для
третьего - 0,7; СВ X- число деталей, удовлетворяющих стан-
дарту, при условии, что с каждого автомата взято наугад по од-
ной детали. (Ответ: М(Х) = 2,4, D(X) = 0,46.)
1.24.	Вероятности поражения цели каждым из трех стрел-
ков равны соответственно 0,7; 0,8; 0,6; СВ 26- число пораже-
ний цели при условии, что каждый из стрелков сделал по од-
ному выстрелу. (Ответ: М(X) = 2,1, D (X) = 0,61.)
1.25.	Вероятности выхода из строя в течение гарантийного
срока каждого из трех узлов прибора равны соответственно
0,2; 0,3; 0,1; СВ X- число узлов, вышедших из строя в течение
гарантийного срока. (Ответ: М(Х) = 0,6, D (X) = 0,46.)
1.26.	Вероятность попадания мячом в корзину при каж-
дом броске для данного баскетболиста равна 0,4; СВ X -
число попадания при четырех бросках. (Ответ: М(X) = 1,6,
D (X) = 0,96.)
1.27.	В партии из 25 изделий 6 бракованных. Для контроля
их качества случайным образом отбирают четыре изделия;
СВ X — число бракованных изделий среди отобранных. (От-
вет: М (X) =Q,96, 7) (Л) = 0,73.)
1.28.	Выход из строя коробки передач происходит по трем
основным причинам: поломка зубьев шестерен, недопустимо
большие контактные напряжения и излишняя жесткость
конструкции. Каждая из причин приводит к поломке коробки
передач с одной и той же вероятностью, равной 0,1; СВ X -
число причин, приведших к поломке в одном испытании.
(Ответ: М(X) = 0,3, D (X) = 0,27.)
1.29.	Из 39 приборов, испытываемых на надежность, 5 выс-
шей категории. Наугад взяли 4 прибора; СВ X- число прибо-
ров высшей категории среди отобранных. (Ответ: М(X) = 2/3,
7» (Л) = 5/9.)
1.30.	Проводятся три независимых измерения исследуе-
мого образца. Вероятность допустить ошибку в каждом изме-
рении равна 0,01; СВ X- число ошибок, допущенных в изме-
рениях. (Ответ: М(Х) = 0,03, D(X) = 0,0297.)
203
2.	Дана функция распределения F (х) СВ X. Найти плот-
ность распределения вероятностей f (х), математическое
ожидание М (X), дисперсию D (X) и вероятность попадания
СВ X на отрезок [а; />]. Построить графики функций F (х) и
f(x).
	0 при х<0,
2.1. Дх) = 	|х3 при 0<х<2, а = 0, 6=1. 8 И при х>2;
(Ответ: М(Х) = 1,5 , D(X) = 0,15 , P(Q<X< 1) = 0,125 .)
	0	при х< 0,
2.2. Дх) = •	1	2 — (2х + 5х) при 0<х<3,а = 1,6 = 2. -1	при х > 3;
(Ответ:М(Х) = 1,77, D(X) = 0,676, Р(1 <Х<Х) = 0,333.)
2.3. F(x) = 
г0
1 2
9Х
-1
при х < 0,
при 0<х<3,а = 0,6=1.
при х > 3;
(Ответ: М(Х) = 2, D(X) = 0,5, Р(0 < Х< 1) = 0,111 .)
г0	при х < 0,
2.4. Дх) =  ±(х2	+ 2х) при 0<х<4,а = 0,й=1.
-1	при х> 4;
(Ответ: М(Х) = 2,44, D(X) = 1,136, Р(0 < Х< 1) = 0,125.)
2.5. F(x) = 
0	при х < 0,
1	3
—(х + х) при 0 <х <2, а = 0, b = 1.
-1
при х > 2;
(Ответ: М(Х) =1,4, D(X) = 0,227, Д0<%<1) = 0,2.)
204
при х< О,
2.6.	F(x) = 
г°
-г-(х3+х) при 0 <х<4, а = О, b = 3.
68
-1
при х>4;
(Ответ: М(Х) = 2,94, О(Х) = 0,08, Р(0<Х<3) = 0,44.)
2.7.	F(x) = 
О	при
cos 2х при
1	при
х< Зл/4,
Зл/4 <х< л, а = Зл/4, b = 5л/6.
х> л;
(Ответ: М(Х) = 3,64, D(X)
= 0,5 .)
= 1,54, Р(Зл/4 <	5л/6) =
2.8.	F(x) = 
О	при
1 - cos х при
1	при
О <х<л/2, а = О, b = л/3.
х> л/2;
(Ответ: М(Х) = 1 , D(X) = 0,14, Р(0 <ЛГ<л/3) = 0,5.)
при
2.9.	F(x) = 
г°
1/3	_ .
—(х +8х) при
И	при
(Ответ: М(Х) = 2,667, D(X) =
О при
1/	,ч2
 -(х+ 1) при -
1
2.10.	F(x) = 
при
1,067, Р(0<А"<2) = 0,25.)
:<-1,
(Ответ: М(Х) = 1 , О(Х) = 0,5 , Р(1 <Х<2) = 0,556.)
О	при х<л/2,
2.	11. F(x) =  1 - sin х при л/2 <х< л, а = л/2, b = Зл/4.
1	при х > л;
(Ответ: М(Х) = 2,57, D(X) = 0,\4, Р(п/2 < Х< Зл/4) =
= 0,29.)
205
	0	при х<-1,
2.12. Г(х) = 	1	3 -(х + 1) при -1<х<2,а=1,Ь = 2. И	при х>2;
(Ответ: М(Л)=1,25, D(X) = 0,6375,	Р(1<Х<2) =
= 0,778.)	0	при х< 0,
2.13. Г(х) = •	1	2 —(Зх +2х) при 0 < х<3, а = 0, b = 2. L1	при х > 3;
(Ответ: М(Х) = 1,909 , D(X) = 0,583 ,	Р(С)<Х<2) =
= 0,485 .)	0 при х < Зл/2,
2.14. F(x) = •	cos х при Зл/2 < х< 2п, а = Зл/2, b = 7л/4. 1	при х>2л;
(Ответ: М(Х) = 5,28, D(X) = 0,14, Р(Зл/2 < Х< 7л/4) =
= 0,707.)
при х< 0,
2.15. F(x) = 
1	2
— (х +2х) при
при х>3;
(Ответ: М(Х) =1,8, D(X) = 0,66 , Р(0 < Х< 2) = 0,533 .)
	гО	при х<-1,
2.16. F(x) =	|(х+1)	при -1 <х<4, а = 0, Ь = 3
	-1	при х> 4;
(Ответ: М(Х) =1,5, D(X) = 2,083, Р(0 <Х<3) = 0,6.)
О при х < О,
2.17. F(x) = < sin х при 0 <х< л/2, а = О, b = л/6.
1 при х>л/2;
(Ответ: М(Х) = 0,57, D(X) = 0,14, Р(0<Х<п/6) = 0,5.)
206
	0	при х< 0,
2.18. F(x) = <	(х3 + Зх)/14 при 0 <х<2, а = 0, b = 1. 1	при х>2;
(Ответ: M(X) =	1,286, D(X) = 0,29, Р(0<Х< 1) = 0,286.) 0	при х < 1,
2.19. F(x) = -	2 (х - х)/2 при 1<х<2,о=1,5,6 = 2. 1	при х > 2;
(Ответ: М(Х) = 0,625.)	= 1,58,	£>(.¥) = 0,08,	Р(1,5 <Х<2) = 0	при х< 0,
2.20. F(x) = 	2 (х +х)/6 при 0 <х<2, а = 0, b = 1. 1	при х > 2;
(Ответ: М(Х) = 0,333.)	= 1,222, D(X) = 0,284,	JP(O<A'<1) = 0	при х<0,
2.21. F(x) = •	1	2 —(х + Зх) при 0<х<2, о = 0, 6=1. < 1	при х > 2;
(Ответ: М(Х) =	1,133, D(X) = 0,315, P(O<JT<1) = 0,4.)
	0	при х<2,
2.22. F(x) =	1 2 -(х - 2х) при 2 <х < 3, а = 2,2, b = 2,5. 1	при х>3;
(Ответ: М(Х) = 0,27.)	= 2,56, D(X) = 0,06, P(l,2 <JT< 1,5) = 0	при х<2,
2.23. F(x) =	“X - 1 при 2 < х < 4, о = 1, 6 = 3. 1	при х>4;
(Ответ: М(Х) =	3 , D(X) = 0,333 , Р(1 <2Г<3) = 1 .)
207
	'0 при х < 0,
2.24. F(x) = -	7% при 0 < х < 6, а = 2, b = 5. 6 1 при х>6;
(Ответ: M(X) =	3 , D(X) = 3 , Р(2<Х<5) = 0,5 .) '0	при х<-1,
2.25. F(x) = -	^х+ при -1 < х < 1, а = -1/2, b = 1/2. 1	при х > 1;
(Ответ: М(Х) = 0,5 .)	= 0, D(X) = 0,333, Р(-1/2<Х< 1/2) 0	при х<2,
2.26. F(x) = 	(х- 2)2 при 2 <х< 3, а = 2,5, Ь = 2,8. 1	при х> 3;
(Ответ: М(Х) = 0,39 .)	= 2,667, D(X) = 0,056, Р(2,5 <Х<2,8) -0	при х< 1,
2.27. F(x) =	1	2 -(х-х) при 1 <х<2, а = 1,5, b = 1,9. -1	при х>2;
(Ответ: М(Х) = 0,48 .)	= 1,589, D(X) = 0,076 , Р(1,5 <Х< 1,9) 0 .	при х < л/2,
2.28. F(x) =	- cos х при л/2 <х < л, а = л/2, b = 5л/6 1	при х>л;
(Ответ: М(Х) =	= 2,14, D(X) = 0,14, Р(п/2 < Х< 5л/6)
= 0,87.)	
208
г0	при X < 1 ,
2.29. Дх) = < |(х- 1)	II сч II о 'Г, VI X VI S а к
-1	при х > 5;
(Ответ: М(Х) = 3 , D(X) = 1,333 , Р(2 <2f<4) = 0,5 .)
Г°	при х < 0,
2.30. Дх) = < ^(1- cos х)	при 0 <х < л, а = л/3, Ь = л/2.
-1	при х>л;
(Ответ: М(Х) = 1,57, D(X) = 0,465, Дл/3 < Х< л/2) =
= 0,25.)
3
3.1.	Валик, изготовлений автоматом, считается стандарт-
ным, если отклонение его диаметра от проектного размера не
превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметров валиков
подчиняются нормальному закону со средним квадратичным
отклонением 1,6 мм и математическим ожиданием, равным 0.
Сколько стандартных валиков (в процентах) изготавливает
автомат? (Ответ: 78,9 %.)
3.2.	При определении расстояния радиолокатором слу-
чайные ошибки распределяются по нормальному закону. Ка-
кова вероятность того, что ошибка при определении рассто-
яния не превысит 20 м, если известно, что систематических
ошибок радиолокатор не допускает, а дисперсия ошибок
равна 1370 м2? (Ответ: 0,4108.)
3.3.	Все значения равномерно распределенной СВ А'лежат
на отрезке [2; 8]. Найти вероятность попадания СВ Хк проме-
жуток (3; 5). (Ответ: 0,3333.)
3.4.	СВ X подчинена закону Пуассона с математическим
ожиданием, равным 3. Найти вероятность того, что СВ Хпри-
мет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.
(Ответ: 0,423.)
3.5.	Цена деления шкалы измерительного прибора равна
0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого
деления. Считая, что ошибки измерения распределены равно-
мерно, найти вероятность того, что при отсчете будет сделана
ошибка, меньшая 0,04. (Ответ: 0,4.)
209
3.6.	Поток заявок, поступающих на телефонную станцию,
представляет собой простейший пуассоновский поток. Мате-
матическое ожидание числа вызовов за 1 ч равно 30. Найти ве-
роятность того, что за 1 мин поступит не менее двух вызовов.
(Ответ: 0,0902.)
3.7.	В лотерее разыгрываются мотоцикл, велосипед и одни
часы. Найти математическое ожидание выигрыша для лица,
имеющего один билет, если общее количество билетов равно
100. (Ответ: 3,4.)
3.8.	Считается, что изделие - высшего качества, если от-
клонение его размеров от номинальных не превосходит по аб-
солютной величине 3,6 мм. Случайные отклонения размера
изделия от номинального подчиняются нормальному закону
со средним квадратичным отклонением, равным 3 мм. Систе-
матические отклонения отсутствуют. Определить среднее чис-
ло изделий высшего качества среди 100 изготовленных. (От-
вет: 77.)
3.9.	Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, распре-
деленные по нормальному закону с математическим ожидани-
ем, равным 5 см, и дисперсией, равной 0,81 см2. Найти веро-
ятность того, что диаметр наугад взятой детали - от 4 до 7 см.
(Ответ: 0,8533.)
3.10.	СВ X подчинена нормальному закону с математиче-
ским ожиданием, равным 0. Вероятность попадания этой СВ
в интервал (-1; 1) равна 0,5. Найти среднее квадратичное от-
клонение и записать нормальный закон. (Ответ: 1,47.)
3.11.	Автобусы некоторого маршрута идут строго по распи-
санию. Интервал движения - 5 мин. Найти вероятность того,
что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать оче-
редной автобус менее 3 мин. (Ответ: 0,6.)
3.12.	Ребро куба х измерено приближенно: 1 <х<2. Рас-
сматривая ребро куба как СВ X, распределенную равномерно
в интервале (1; 2), найти математическое ожидание и диспер-
сию объема куба. (Ответ: М(Х) = 3,75 , D(X) = 4,08 .)
3.13.	Случайная величина подчинена закону Пуассона с ма-
тематическим ожиданием а = 3 . Найти вероятность того, что
данная СВ примет положительное значение. (Ответ: 0,95.)
3.14.	При работе ЭВМ время от времени возникают сбои.
Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев
за сутки равно 1,5. Найти вероятность того, что в течение су-
ток произойдет хотя бы один сбой. (Ответ: 0,7П.)
210
3.15.	Из пункта Сведется стрельба из орудия вдоль прямой
СК. Предполагается, что дальность полета распределена нор-
мально с математическим ожиданием 1 000 м и средним квад-
ратичным отклонением 5 м. Определить (в процентах), сколь-
ко снарядов упадет с перелетом от 5 до 70 м. (Ответ: 66 %.)
3.16.	СВ X распределена нормально с математическим
ожиданием 40 и дисперсией 100. Вычислить вероятность по-
падания СВ Xв интервал (30; 80). (Ответ: 0,8413.)
3.17.	Трамваи данного маршрута идут с интервалом в
5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некото-
рый момент времени. Какова вероятность появления пасса-
жира не ранее чем через 1 мин после ухода предыдущего трам-
вая, но не позднее чем за 2 мин до отхода следующего трам-
вая? (Ответ: 0,4.)
3.18.	Минутная стрелка часов перемещается скачком в
конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное
мгновение часы покажут время, которое отличается от истин-
ного не более чем на 20 с. (Ответ: 0,6667.)
3.19.	При заданном положении точки разрыва снаряда
цель оказывается накрытой пуассоновским полем осколков с
плотностью X = 2,5 осколков/м2. Площадь проекции цели
на плоскость, на которой наблюдается осколочное поле, равна
0,8 м2. Каждый осколок, попавший в цель, поражает ее с пол-
ной достоверностью. Найти вероятность того, что цель будет
поражена. (Ответ: 0,865.)
3.20.	Число атак истребителей, которым может подверг-
нуться бомбардировщик над территорией противника, есть
случайная величина, распределенная по закону Пуассона с
математическим ожиданием а = 3. Каждая атака с вероятно-
стью 0,4 заканчивается поражением бомбардировщика. Опре-
делить вероятность поражения бомбардировщика в результате
трех атак. (Ответ: 0,784.)
3.21.	Производят взвешивание вещества без систематиче-
ских ошибок. Случайная ошибка взвешивания распределена
нормально с математическим ожиданием 20 кг и средним
квадратичным отклонением 2 кг. Найти вероятность того, что
следующее взвешивание отличается от математического ожи-
дания не более чем на 100 г. (Ответ: 0,0398.)
3.22.	Диаметр подшипников, изготовленных на заводе,
представляет собой случайную величину, распределенную
нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним
211
квадратичным отклонением 0,04 см. Найти вероятность того,
что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1 до 2 см.
(Ответ: 1.)
3.23.	Цена деления шкалы амперметра равна ОДА. Показа-
ния округляют до ближайшего целого деления. Найти вероят-
ность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышаю-
щая 0,04 А. (Ответ: 0,6.)
3.24.	Найти дисперсию и среднее квадратичное отклоне-
ние СВ X, распределенной равномерно в интервале (2; 10).
(Ответ: D(X) = 5,33 , а(Х) = 2,31 .)
3.25.	Радиостанция ведет передачу информации в течение
10 мкс. Работа ее происходит при наличии хаотической им-
пульсной помехи, среднее число импульсов которой в секунду
составляет 104. Для срыва передачи достаточно попадания од-
ного импульса помехи в период работы станции. Считая, что
число импульсов помехи, попадающих в данный интервал
времени, распределено по закону Пуассона, найти вероят-
ность срыва передачи информации. (Ответ: 0,09516.)
3.26.	Найти математическое ожидание и дисперсию:
а) числа очков, выпавших при одном бросании игральной кос-
ти; б) суммы очков, выпавших при бросании двух игральных
костей. (Ответ: а) М(Х) = 3,5 , D(X) = 2,9167 ; б) М(Х) = 7 ,
D(X) = 5,83 .)
3.27.	Считается, что отклонение длины изготавливаемых
деталей от стандартных является случайной величиной, рас-
пределенной по нормальному закону. Зная, что длина стан-
дартной детали 40 см, а среднее квадратичное отклонение
0,4 см, определить, какую точность длины изделия можно га-
рантировать с вероятностью 0,8. (Ответ: 0,512 см.)
3.28.	Рост мужчины является случайной величиной, рас-
пределенной по нормальному закону с математическим ожи-
данием, равным 170 см, и дисперсией, равной 49 см2. Найти
вероятность того, что трое наугад выбранных мужчин будут
иметь рост от 170 до 175 см. (Ответ: 0,2611.)
3.29.	Найти математическое ожидание, дисперсию и сред-
нее квадратичное отклонение СВ X, распределенной равно-
мерно в интервале (8; 14). (Ответ: М(Х) = 11 , D(X) = 3,
<y(X) = j3.)
3.30.	Среди семян риса 0,4 % семян сорняков. Число сор-
няков в рисе распределено по закону Пуассона. Найти вероят-
212
ность того, что при случайном отборе 5000 семян будет обна-
ружено 5 семян сорняков. {Ответ: 0,000055.)
4
4.1.	Для определения качества производимой заводом про-
дукции отобрано наугад 2500 изделий. Среди них оказалось
50 с дефектами. Частота изготовления бракованных изделий
принята за приближенное значение вероятности изготовле-
ния бракованного изделия. Определить, с какой вероятностью
можно гарантировать, что допущенная при этом абсолютная
погрешность не будет превышать 0,02. (Ответ: не менее 0,98.)
4.2.	Дисперсия каждой из 4500 независимых и одинаково
распределенных случайных величин равна 5. Найти вероят-
ность того, что среднее арифметическое этих случайных вели-
чин отклонится от своего математического ожидания не более
чем на 0,04. (Ответ: 0,7659.)
4.3.	Случайная величина X является средней арифметиче-
ской 3200 независимых и одинаково распределенных случай-
ных величин с математическим ожиданием, равным 3, и дис-
персией, равной 2. Найти вероятность того, что СВ X примет
значение из промежутка (2,95; 3,075). (Ответ: 0,9759.)
4.4.	В разультате медицинского осмотра 900 призывников
установлено, что их средняя масса на 1,2 кг больше средней
массы призывников за один из предшествующих периодов.
Какова вероятность этого отклонения, если среднее квадра-
тичное отклонение массы призывников равно 8 кг? (Ответ:
0,000003.)
4.5.	СВ У является средним арифметическим независимых
и одинаково распределенных случайных величин, дисперсия
каждой из которых равна 5. Сколько нужно взять таких вели-
чин, чтобы СВ Ус вероятностью, не меньшей 0,9973, отклоня-
лась от своего математического ожидания не более чем на
0,01? (Ответ: 450 000.)
4.6.	СВ X является средним арифметическим 10 000 неза-
висимых одинаково распределенных случайных величин,
среднее квадратичное отклонение каждой из которых равно 2.
Какое максимальное отклонение СВ X от ее математического
ожидания можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9544?
(Ответ: 0,04.)
4.7.	Производится выборочный контроль партии электро-
лампочек для определения средней продолжительности их го-
рения. Каким должен быть объем выборки, чтобы с вероят-
213
ностью, не меньшей 0,9876, можно было утверждать, что сред-
няя продолжительность эксплуатации лампочки по всей пар-
тии отклонилась от средней, полученной в выборке, не более
чем на 10 ч, если среднее квадратичное отклонение продолжи-
тельности эксплуатации лампочки равно 80 ч? (Ответ: 4000.)
4.8.	Вероятность того, что наугад выбранная деталь ока-
жется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна
0,1. Партия изделий не принимается при обнаружении не ме-
нее 10 бракованных изделий. Сколько надо проверить дета-
лей, чтобы с вероятностью 0,6 можно было утверждать, что
партия, имеющая 10 % брака, не будет принята? (Ответ: 108.)
4.9.	Сколько надо произвести опытов, чтобы с вероятно-
стью 0,9 утверждать, что частота интересующего нас события
будет отличаться от вероятности появления этого события,
равной 0,4, не более чем на 0,1? (Ответ: 65.)
4.10.	Вероятность появления некоторого события в одном
опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие по-
явится в большинстве из 60 опытов? (Ответ: 0,966.)
4.11.	Вероятность появления события в одном опыте равна
0,5. Можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать, что
число появлений события в 1000 независимых опытах нахо-
дится в пределах от 400 до 600? (Ответ: 0,975.)
4.12.	Вероятность положительного исхода отдельного ис-
пытания равна 0,8. Оценить вероятность того, что при 100 не-
зависимых повторных испытаниях отклонение частоты поло-
жительных исходов от вероятности при отдельном испытании
по своей абсолютной величине будет меньше 0,05. (Ответ: бо-
лее 0,936.)
4.13.	Вероятность наличия зазубрин на металлических
брусках, изготовленных для обточки, равна 0,2. Оценить веро-
ятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа
пригодных брусков от 800 не превышает 5 %. (Ответ: более
0,936.)
4.14.	По данным ОТК, брак при выпуске деталей составля-
ет 2,5 %. Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность
того, что при просмотре партии из 8000 деталей будет установ-
лено отклонение от средней доли брака менее 0,005. (Ответ:
более 0,878125.)
4.15.	Вероятность появления события в отдельном испыта-
нии равна 0,6. Применив теорему Бернулли, определить число
независимых испытаний, начиная с которого вероятность от-
214
клонения частоты события от его вероятности по абсолютной
величине меньшего 0,1, больше 0,97. (Ответ: 801.)
4.16.	Суточный расход воды в населенном пункте является
случайной величиной, среднее квадратичное отклонение ко-
торой равно 10 000 л. Оценить вероятность того, что расход во-
ды в этом пункте в течение дня отклоняется от математиче-
ского ожидания по абсолютной величине более чем на 25 000 л.
(Ответ: не более 0,16.)
4.17.	Математическое ожидание количества выпадающих в
течение года в данной местности осадков составляет 60 см.
Определить вероятность того, что в этой местности осадков
выпадет не менее 180 см. (Ответ: не более 0,3333.)
4.18.	В результате 200 независимых опытов найдены значе-
ния СВ Х2, ..., А^оо, причем М(Х) = D(X) = 2 . Оценить
сверху вероятности того, что абсолютная величина разности
между средним арифметическим значений случайной величи-
! 200
ны — и математическим ожиданием меньше 0,2. (От-
п = 1
вет: 0,75.)
4.19.	Дисперсия каждой из 2500 независимых СВ не превы-
шает 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего
арифметического этих случайных величин от среднего ариф-
метического их математических ожиданий не превысит 0,4.
(Ответ: не менее 0,9875.)
4.20.	Для определения средней урожайности поля в 10 000 га
предполагается взять на выборку по одному квадратному метру
с каждого гектара площади и точно подсчитать урожайность с
этих квадратных метров. Оценить вероятность того, что сред-
няя выборочная урожайность будет отличаться от истинной
средней урожайности на всем массиве не более чем на 0,1 ц, ес-
ли предположить, что среднее квадратичное отклонение уро-
жайности не превышает 3 ц? (Ответ: не менее 0,91.)
4.21.	Число телевизоров с плоским экраном составляет в
среднем 40 % общего их выпуска. Пользуясь неравенством Че-
бышева, оценить вероятность того, что в партии из 500 телеви-
зоров доля телевизоров с плоским экраном отклоняется от
средней не более чем на 0,06. (Ответ: не менее 0,8667.)
4.22.	Принимая вероятность вызревания кукурузного стеб-
ля с тремя початками равной 0,75, оценить с помощью нера-
венства Чебышева вероятность того, что среди 3000 стеблей
215
опытного участка таких стеблей будет от 2190 до 2310 включи-
тельно. (Ответ: 0,84375.)
4.23.	Для определения средней урожайности на участке
площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара.
Известно, что дисперсия урожайности по всему участку не
превышает 4,5. Оценить вероятность того, что средняя выбо-
рочная урожайность будет отличаться от средней урожайности
по всему участку не более чем на 0,25 ц. (Ответ: более 0,96.)
4.24.	Среднее значение скорости ветра у земли в данном
пункте равно 16 км/ч. Оценить вероятность того, что в этом
пункте скорость ветра не будет превышать 80 км/ч. (Ответ: не
менее 0,8.)
4.25.	Среднее значение расхода воды в населенном пункте
составляет 50 000 л/дн. Оценить вероятность того, что в этом
населенном пункте расход воды не будет превышать
150 000 л/дн. (Ответ: не менее 0,667.)
. 4.26. Математическое ожидание количества выпадающих в
течение года в данной местности осадков составляет 55 см.
Оценить вероятность того, что в этой местности осадков вы-
падет более 175 см. (Ответ: не более 0,314.)
4.27.	Число солнечных дней в году для данной местности
является случайной величиной, математическое ожидание ко-
торой равно 7 5 дням. Оценить вероятность того, что в течение
года в этой местности будет более 200 солнечных дней. (От-
вет: не более 0,75.)
4.28.	Математическое ожидание отклонения от центра ми-
шени при стрельбе по ней составляет 6 см. Оценить вероят-
ность того, что при стрельбе по круговой мишени радиусом
15 см произойдет попадание в мишень. (Ответ: не менее 0,6.)
4.29.	Среднее квадратичное отклонение ошибки измере-
ния азимута равно 0,5° , а ее математическое ожидание - ну-
лю. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифме-
тического трех независимых измерений не превзойдет 1 °.
(Ответ: не менее 0,917.)
4.30.	Среднее квадратичное отклонение каждой из 2134 не-
зависимых СВ не превосходит 4. Оценить вероятность того,
что отклонение среднего арифметического этих СВ от средне-
го арифметического их математических ожиданий не превзой-
дет 0,5. (Ответ: не менее 0,97.)
216
Решение типового варианта
1.	При измерении окружности груди у 25 спортсменов
установлено, Что у троих этот объем равен 88 см, у четверых —
92, у пятерых - 96, у шестерых - 98 и у семи - 100 см. СВ X-
окружность груди спортсмена. Записать закон распределе-
ния СВ X. Вычислить математическое ожидание М(Х), дис-
персию D(X) и среднее квадратичное отклонение <тх. Найти
интегральную функцию распределения F(x) и построить ее
график.
► Вероятность обнаружения среди 25 спортсменов троих с
окружностью груди, равной 88 см, рх = 3/25 = 0,12. Анало-
гично вероятность обнаружения среди 25 спортсменов четве-
рых с окружностью груди 92 см р2 = 4/25 = 0,16 ит.д.Полу-
чаем закон распределения в виде следующей таблицы:
X	88	92	96	98	100
р	0,12	.0,16	0,20	0,24	0,28
Далее находим:
М(Х) = 88-0,12+ 92 0,16+ 96 0,20+ 98 0,24 +
+ 100• 0,28 = 96,
М(Х2) = 882 -0,12 + 922 -0,16 + 962 0,20 + 982 -0,24 +
+ 1002 0,28 = 9231,68,
D(X) = М(Х2)-(М(Х2))2 = 9231,68-962 = 15,68,
ах = JD(X) = 3,96;
0 при х< 88,
0,12 при 88<х<92,
_ ч 0,28 при 92<х<96,
F(x) =
0,48 при 96 <х < 98,
0,72 при 98 <х< 100,
-1 при 100 < х.
График функции f(x) приведен на рис. 18.18. 4
217
Рис. 18.18
2.	Дана функция распределения СВ X
Го
при х<0,
-^(х)	‘ х2/4 при 0 < х < 2,
.1
при х>2.
Найти плотность распределения вероятностей /(х), математи-
ческое ожидание М(Х) , дисперсию О(Х) и вероятность попа-
дания СВ Xна отрезок [0,5; 1,5]. Построить графики функций
F(x) nf(x).
► Так как 0 < х < 2 и f(x) = F(x), то
0
/(х) = 1х/2
при х < 0,
при 0 < х < 2,
1 при х > 2.
Далее вычисляем:
4- со	2	2
М(Х) = I xf(x)dx = ijx2<Zx =	= |,
—GO	0
D(X) = тИ(У)-(тИ(Т))2 = 2-16/9 = 2/9,
Р(0,5 < Х< 1,5) = F(l,5)-F(0,5) = (1,5)2/4-
-(0,5)2/4 = 0,5 .
218
Рис. 18.19
Графики функций F(x) и f(x) приведены на рис. 18.19, а, б. <
3.	Случайная величина X распределена нормально с мате-
матическим ожиданием, равным 12,5. Вероятность попадания
СВ Хъ интервал (10; 15) равна 0,2. Чему равна вероятность по-
падания СВ Xв интервал (35; 40)?
► Согласно формуле (18.18) и прил. 4 находим:
Р(10<%<15) = фР5 j-2’5) - ф(-° -"9 = °’2>
<2 55	/2 55	/2 55	/2 55
Ф-Ф = 0,2, 2Ф =^ = 0,2, Ф — = 0,1 ,
5 о У	\ <з J	< а/	со/
откуда 2,5/о = 0,25 , о = 2,5/0,25 = 10 .
Далее вычисляем:
Р(35<ЗГ<40) = С1Р~О^1'Ф^^7О^^ = '
= Ф(2,75)-Ф(2,25) = 0,4970-0,4878 = 0,0092 . <
4.	Вероятность некоторого события в каждом испытании
из серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя
неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота
этого события отклонится от его вероятности по абсолютной
величине не более чем на 0,01. Сравнить полученную оценку с
результатом применения интегральной теоремы Муавра -
Лапласа.
► Неравенство Чебышева для СВ Xимеет вид
Р(\Х- М(Х)\ < е) > 1 - Д(Л)/е2 .
Для данной задачи неравенство Чебышева записывается в
виде
219
Р(\т/п-р\ <0,01) = P(\m - np\<9Q) >]- D(X)/9Q2,
где X = tn; р = 1/3; п = 9000; М(Х) = пр = 9000-^ =
1 2
= 3000; D(X) = npq = 9000 • | | = 2000. Тогда
Р(\т/п-р\ <0,01)> 1 -2000/902 = 1 -20/81 =
= 61/81 «0,7531 .
Далее находим:
Р(\т/п-р\ < е) = Р(р- е < т/п <р + е) =
= Р(пр- пг < т < пр+ пе) = Р^т^ < т < т2).
Здесь приняты следующие обозначения: т} = пр-пг, т2 =
= пр + ле . Согласно интегральной формуле Муавра - Лапла-
са Р(т1 < т < т2) = Ф(х2)-Ф(Х]), где
х = П? = пр- пг- пр _ 9000  0,01 _
1 Jnpq Jnpq	Д2000
9
= - -^=«-2,01 .
720
Аналогично х2 = 2,01 .Тогда
Р(\т/п—р\ <0,01) = P(mi < т < т2) =
= /’(2910 < т < 3090) = Ф(2,01)-Ф(-2,01) =
= -2Ф(2,01) = 0,9545.
Таким образом, согласно неравенству Чебышева, имеем
оценку Р(\т/п - 1/3| < 0,01) > 0,7531, а по интегральной тео-
реме Муавра - Лапласа Р(\т/п - 1 /3| < 0,01) ® 0,9545 . ◄
18.10.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 18
1.	В круг радиусом R вписан правильный треугольник.
Внутрь круга наугад брошены 4 точки. Найти вероятности сле-
дующих событий: а) все 4 точки попадут внутрь треугольника;
б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке -
на каждый сегмент. (Предполагается, что вероятность попада-
ния точки внутрь любой фигуры пропорциональна ее площа-
220
ди и не зависит от расстояния от точки до фигуры.) (Ответ:
2.	В первой урне содержится 10 шаров, 8 из них - белые, во
второй - 20 шаров, 4 из них - белые. Из каждой урны наугад
извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад
взяли один шар. Найти вероятность того, что взятый шар — бе-
лый. (Ответ: 0,5.)
3.	Два из четырех независимо работающих элементов авто-
матического устройства отказали. Найти вероятность того, что
отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа
каждого элемента равны соответственно = 0,1 , р2 = 0,2 ,
= 0,3 , р4 = 0,4 . (Ответ: 0,039.)
4.	ОТК проверяет на стандартность 900 деталей. Вероят-
ность того, что каждая проверяемая деталь - стандартная, рав-
на 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет
заключено число т стандартных деталей среди проверяемых.
(Ответ: 792 < т < 828 .)
5.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной
на рис. 18.20. Вероятности выхода из строя каждого из ее эле-
Рис. 18.20
ментов сц, а2, ..., «6 в данный промежуток времени равны со-
ответственно /?[ = 0,2, р2 = 0,4, pi = 0,1, р4 = 0,3,
р5 = 0,6, р6 = 0,5 . Найти вероятность работы цепи в дан-
ный промежуток времени. (Ответ: 0,64768.)
6.	Прибор выйдет из строя, если перегорит не менее пяти
ламп первого типа или не менее двух ламп второго типа.
Определить вероятность выхода из строя прибора, если известно,
что перегорело 5 ламп. Вероятность того, что перегорит лампа
первого типа, равна 0,7, а второго типа — 0,3. (Ответ: 0,64.)
7.	Завод выпускает 96 % изделий первого сорта и 4 % изде-
лий второго сорта. Наугад выбирается 1000 изделий; СВ Люзна-
221
чает число изделий первого сорта среди отобранных. Записать
закон распределения СВ Хи вычислить ее математическое ожи-
дание и дисперсию. {Ответ: М(X) = 960, D(X) = 38,4.)
8.	Математическое ожидание числа отказов радиоаппара-
туры за 1000 ч равно 5. Определить вероятность отказа радио-
аппаратуры за 20 ч работы. (Ответ: 0,095.)
9.	Бросают п игральных костей. Найти математическое
ожидание суммы выпавших очков. (Ответ: 7и/2.)
10.	Доказать, что математическое ожидание дискретной
СВ заключено между наименьшим и наибольшим ее возмож-
ными значениями.
11.	Доказать, что если Хи У- независимые СВ, то О(ХУ) =
= D(X)D(Y) + m^D(X) + m^D(Y).
12.	Дискретная СВ X распределена по закону Пуассона, т.е.
она принимает значения 0, 1, 2, ..., п, ... с вероятностями
- п -А,
Л С
Р(п) = —г— для всех п = 0,1,2,.... Найти математическое ожи-
п\
дание и дисперсию СВ X. (Ответ: М(Х) = 1/X, D(X) = 1/Х.)
13.	Плотность распределения вероятностей СВ X f(x) =
= хпе х/(п1) при х>0 и/(х) = 0 при х<0. Найти матема-
тическое ожидание и дисперсию СВ X. (Ответ: М(Х) = п + 1,
D(X) = п + 1 .)
14.	Функция распределения СВ А"задана графиком (рис.
18.21). Найти плотность распределения вероятностей, ма-
тематическое ожидание и дисперсию СВ X. (Ответ:
М(Х) = (b + a)/2, D(X) = (Ь-ау/П.)
222
15.	Независимые СВ Хи Yраспределены по нормальному
закону с параметрами тх = 2 , ту = -3 ,	= 1, ст^ = 2. Вы-
числить вероятность того, что у < X- 5 . (Ответ: 0,5.)
16.	Непрерывная СВ X распределена в интервале (0; 1) с
плотностью
[2х при хе(0; 1),
f(x) = 5
[0 при х £ (0; 1).
Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Y= X2.
(Ответ: ту = 0,5 , D(Y) = 1/12 .)
17.	В урне а белых и b красных шаров. Из нее извлекают к
шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
ко
извлеченных белых шаров. (Ответ: М(Х) = -----D(X) =
а + о
- а + b-к .
(а + Ь)2а + Ь-Х'
18.	Задана плотность распределения вероятностей системы
СВ (X, Y)
г - 2- 2
/(х у) = J Х У при У^0,
10 в остальных случаях. .
Найти математические ожидания и дисперсии составляющих
Хи Y. (Ответ: тх = ту = л/л/2, D(X) = D(Y) = 1 -л/4.)
19.	Вероятность того, что станок не откажет за 5 ч работы,
равна 0,60653. Найти М(Х) и D(X), если СВ X- время безот-
казной работы станка - имеет экспоненциальное распределе-
ние. (Ответ: М(Х) = 10 , D(X) = 100 .)
20.	Заявки, рассылаемые фирмой, удовлетворяются пример-
но в 30 % случаев независимо одна от другой. Фирма разослала
200 заявок. Вычислить: а) математическое ожидание и диспер-
сию удовлетворенных заявок X, б) Р(Х = М(Х)). (Ответ:
а)М(Х) = 60 , D(X) = 42; б) Р({Х = 60) = Р200(60)» 0,06.)
21.	Станок-автомат изготавливает шарики. Контролирует-
ся их диаметр X, удовлетворительно описываемый гауссов-
ским законом распределения со средним значением 10 мм.
Каково среднее квадратичное отклонение диаметра шарика,
223
если диаметр с вероятностью 0,99 заключен в интервале (9,7;
10,3)? {Ответ: 0,1168.)
22.	Распределенная по закону Вейбулла СВ X имеет сред-
нее значение 2, параметр масштаба а = 1, параметр сдвига
с = 0. Вычислить параметр формы Ъ, дисперсию и вероятность
попадания СВ Хв интервал (1; 2). {Ответ: b — 0,5; D{X) = 20;
Р{\<Х<2) = 0,1238.)
23.	Рост взрослого мужчины удовлетворительно описыва-
ется нормальным законом распределения. По статистике
средний рост составляет 175 см, а среднее квадратичное от-
клонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад
взятого мужчины будет отличаться от среднего роста не более
чем на 7 см. {Ответ: 0,6826.)
24.	Три игральные кости подбросили 15 раз; СВ X - число
подбрасываний, при которых ровно на двух костях появилось
по одному очку. Определить закон распределения СВ X, ее ма-
тематическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
{Ответ: биномиальный с п = 15, р = 5/72; тх = 75/72 = 1,04;
ах = 0,98 .)
25.	У торгового агента имеется пять адресов потенциаль-
ных покупателей, к которым он обращается по списку с
предложением приобрести реализуемый фирмой товар. Ве-
роятность согласия покупателей оценивается как 0,5; 0,4;
0,4; 0,3 и 0,25. Покупатели принимают решение о приобрете-
нии товара независимо друг от друга. Агент обращается к ним
в указанном порядке до тех пор, пока кто-нибудь из них не
согласится приобрести товар. Составить ряд распределения
СВ X — числа покупателей, к которым обратится агент. Най-
ти математическое ожидание и дисперсию СВ X. {Ответ:
тх = 2,106; о* = 1,959.)
19. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
19.1. ВЫБОРКА. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
При исследовании количественного или качественного признака СВ Л'из
общего числа возможных его реализаций (генеральной совокупности возмож-
ных значений) извлекается случайным образом некоторое конечное число эле-
ментов (реализаций признака X). Эту совокупность элементов называют слу-
чайной выборкой или просто выборкой, а число п отобранных значений -
объемом выборки.
Задача математической статистики заключается в исследовании свойств
выборки и обобщении этих свойств на всю генеральную совокупность.
Результаты всякого эксперимента записывают в виде таблицы, в первой
строке которой указывают номер эксперимента, а во второй - значение на-
блюдаемого признака X, равное х и называемое вариантой признака X. Такая
таблица называется статистическим рядом. Статистический ряд, располо-
женный по возрастанию вариант, называется вариационным.
к
Если т,- число наблюдений значения х; признака X, п = у - общее
i= I
число наблюдений (объем выборки), то число т^п называется относитель-
ной частотой наблюдения х,:
l¥(x.) = mJn , i = 1, к.
Таблица, в которой даны значения вариант в возрастающем порядке, час-
тот т,- или относительных частот 1Х(х() , называется статистическим рядом
сгруппированных данных. Таковой является, например, таблица вида
Х1	1	3	4	6	7
mi	2	4	6	5	3
	2/20	4/20	6/20	5/20	3/20
Статистической (эмпирической) функцией распределения выборки называ-
ется функция F*(x), определяющая для всякого х е R относительную частоту
события (X < х), т.е.
п	т.
= -г = у _2,
п £—1 п
где пх - число вариант, меньших х; и - объем выборки.
Перечислим основные свойства статистической функции распределения
выборки F*(x):
8 Зак. 2209
225
1)	значения функции /*(х) принадлежат отрезку [0; 1].
2)	функция /'*(-') является неубывающей;
3)	F*(x) = 0 при х < X] и 7*(х) = 1 при х > хк , где хь хк - соответственно
наименьшее и наибольшее значения вариант.
Величина о = х^-х^ называется размахом выборки.
Пример 1. Построить эмпирическую функцию распределения по данным
статистического ряда:
X:	2	4	6	8
mi	4	6	7	3
► Из определения статистической функции распределения следует:
0 при х<2,
1/5 при 2 <х< 4,
F*(x) =
1 /2 при 4 < х < 6,
17/20 при 6<х<8,
1 при х> 8.
График функции />(х) изображен на рис. 19.1. 4
F*(x)i
1
17/20
1/2
1/5
х
Рис. 19.1
При больших объемах выборки интервал изменения всех ее вариант раз-
бивают на определенное число интервалов равной длины, которые называют-
ся интервалами группировки. Затем подсчитывают число вариант выборки, по-
павших в каждый из интервалов, вычисляют относительные частоты числа ва-
риант в каждом интервале. Таблица, в которой дана система интервалов, ука-
заны частоты или относительные частоты числа вариант в каждом интервале,
называется статистической совокупностью.
Например, статистическая совокупность ошибок 100 измерений дально-
сти с помощью некоторого прибора имеет следуюший вид:
226
Интер- вал, м	(-20; -15)	(-15; -10)	(-Ю; -5)	(-5; 0)	(0; 5)	(5; Ю)	(Ю; 15)	(15; 20)
Ж/	2	8	17	24	26	13	6	4
	0,02	0,08	0,17	0,24	0,26	0,13	0,06	0,04
Статистическую совокупность графически изображают с помощью гис-
тограммы. Гистограмму строят следующим образом: по оси абсцисс отклады-
вают интервалы, на каждом из них строят прямоугольники, площади которых
равны частотам или относительным частотам попадания вариант в соответст-
вующий интервал. Высоты этих прямоугольников равны т(./Л или mi/(nh) ,
где h - длина выбранных интервалов. Гистограмма относительных частот яв-
ляется статистическим аналогом плотности распределения вероятностей ге-
неральной совокупности.
Полигоном частот называют ломаную линию, состоящую из отрезков, со-
единяющих точки (х^ И|), (х-г, т-^), ..., (хх, тк). Полигон относительных час-
тот представляет собой ломаную, состоящую из отрезков, соединяющих точ-
ки (х,-; т7 п ), i = 1, к .
Пример 2. Дана некоторая выборка:
14	16	20	15	18	12	13	10	17	15	12
17	11	17	13	11	17	16	12	16	13	16
12	19	18	9	7	18	15	11	11	14	13
10	16	15	17	21	13	17	16	13	15	15
18	14	16	14	10	14	8	15	16	16	14
совокупность
выборки с семью интервалами и
Построить статистическую
гистограмму относительных частот.
► Размах выборки го = 21-7 = 14 , поэтому длина каждого интервала
h = 14:7 = 2. Результаты группировки приведены в табл. 19.1.
Таблица 19.1
Номер ин- тервала	Интервал	Частота т;	м	т-/п	Накоплен- ная относи- тельная частота
1	[7; 9)	2	2	0,0364	0,0364
2	[9; п)	4	6	0,0726	0,1091
3	[Н; 13)	8	14	0,1455	0,2546
4	[13; 15)	12	26	0,2182	0,4728
.5	[15; 17)	16	42	0,2909	0,7637
6	[17; 19)	10	52	0,1818	0,9455
7	[19; 21]	3	55	0,0545	1,0000
227
В системе координат строим все интервалы, а на них - прямоугольники с
высотами, равными mj/(nh'), где h = 2 (рис. 19.2). <
АЗ-19.1
1.	По данному распределению выборки
xi	1	3	6
	10	25	15
найти эмпирическую функцию и построить ее график.
2.	Дана выборка:
	2	4	5	7	10
	15	20	10	10	45
Найти эмпирическую функцию распределения, построить ее
график. Построить полигон относительных частот выборки.
3.	По данным выборки построить гистограмму относитель-
ных частот:
Номер интервала	Интервал	Число вариант в интервале
1	[1; 5)	10
2	[5; 9)	20
3	[9; 13)	50
4	[13; 17)	12
5	[17; 21]	8
Номер интервала	Интервал	Число вариант в интервале
1	[2; 5)	6
2	[5; 8)	10
3	[8; Н)	5
4	[Н; 14]	4
228
4. Дана выборка:
38	60	41	51	33	42	45	21	53	60
68	52	47	46	42	43	57	44	54	59
77	47	28	27	49	49	14	28	61	30
61	35	47	46	58	45	42	21	30	40
67	65	39	35	41	60	54	42	59	60
Построить гистограмму относительных частот.
5. Построить полигон относительных частот для следую-
щей выборки:
xi	4	6	10	12
	10	15	5	20
Самостоятельная работа
1.	Построить эмпирическую функцию распределения и ее
график для данной выборки:
xi	2	5	7	8
	13	4	2
2.	Построить эмпирическую функцию распределения и ее
график для выборки:
xi	2	5	7	10
mt	5	25	15	5
3.	Построить гистограмму относительных частот для вы-
борки:
i	Интервал	mi	i	Интервал	
1	[10; 15)	2	4	[25; 30)	4
2	[15; 20)	4	5	[30; 35]	2
3	[20; 25)	8			
229
19.2.	ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Любой параметр 6 , найденный по выборке, извлеченный из генеральной
совокупности X, является подходящей оценкой параметра 6 этой совокуп-
ности, если:
1)	М(&~) = 6 ;
2)	Р(|е-е| <Е) = 1 ;
3)	дисперсия -0(6) является минимальной.
Параметр 6 , удовлетворяющий условиям 1-3, называется соответствен-
но несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой параметра 6 генераль-
ной совокупности признака X.
Пусть X), х2, хп ~ выборка из генеральной совокупности. Средним зна-
чением выборки или выборочным средним называется число
xB = i = i£x/-.	(191>
/=1
Если х,- - варианты выборки, т. - частоты вариант х,-, г= 1, к,
к
п = у т: - объем выборки, то
/= 1
(19'2)
/ = 1
Выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и эффектив-
ной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности.
Выборочной статистической дисперсией СВ ^называется число
2	1”	7
± £ (х,--х)-
i = 1
ИЛИ
2	1 к	2
D*(X) = 5 = ± £ т^хгх) ,
/= 1
где х - выборочное среднее.
Так как M(s') = ^—~D(X) , то в качестве несмещенной оценки диспер-
сии генеральной совокупности принимается величина
230
Э 1	7
= s0 = гл Z (Х--Л)
или
-	?	1	?
D(X) = s0 = ~i1L mi(xi~*'> 
(19.3)
Величина sQ называется исправленным средним квадратичным отклонением.
При известном математическом ожидании тх несмещенная оценка дис-
персии
Если в каждом из наблюдений рассматриваются одновременно два при-
знака Хи Ус выборками:
х2 ... хк
mj т2 ... тк
И У1	Ук
mt т2 ... тк
соответственно, то для характеристики их связи вводится момент корреляции
s*y =
где х и у - выборочные средние признаков Хи У; п - объем выборки.
Коэффициентом корреляции называют величину
г = Х
sxsy
где sx ,	- выборочные средние квадратичные отклонения.
Замечание. При больших объемах выборок (и > 30) s и г0 принимают-
ся равными.
Непосредственно из определений следует, что
(19.4)
231
1 Д
п
п-1
(19.5)
Величина
Иг = ; £
называется центральным моментом порядка г. Асимметрией выборки называет-
3	4
ся число а3 = ц-j/s , эксцессом (крутизной) выборки - число е^ = p^/s -3 .
Асимметрия и эксцесс являются характеристиками отклонения эмпириче-
ского распределения от нормального.
Пример 1. По выборке признаках заданной следующей таблицей:
X/	45	50	55	60	65	70	75
т j	4	6	10	40	20	12	8
найти выборочное среднее, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
7
► Объем выборки л =	= 100 . По формуле (19.2) выборочное среднее
/ = 1
_	45 • 4 + 50 • 6 + 55  10 + 60 • 40 + 65 • 20 + 70  12 + 75 • 8	,, П
х = -----------------------—-------------------------- = 61,7.
Для вычисления дисперсии составляем таблицу квадратов значений СВ X:
X?	2025	2500	3025	3600	4225	4900	5625
	4	6	10	40	20	12	8
По формуле (19.4) имеем:
2	1 Д, 2	100.,. _.2	,,
50 = 99 S Х'”99" 6^’7 = 501 11 1
। = 1
откуда = -/50,11 -7,08.
Получили несмещенные оценки для дисперсии и среднего квадратичного
отклонения. Соответствующие смещенные оценки s" = 49,61 и s = 7, 04 . <
Пример 2. Проведено несколько измерений расстояния, Результаты из-
мерений в метрах представлены в виде ряда:
232
i	Х1	i	Xj	i	х.				i	Xj
1	1235,6	5	1238,5	9	1234,5	13	1234,3
2	1237,5	6	1234,2	10	1236,8	14	1237,5
3	1232,9	7	1235,9	И	1237,6	15	1235,4
4	1236,2	8	1233,3	12	1233,1	16	1234,7
Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадра-
тичного отклонения измеренного расстояния.
► Введем условные варианты и(. = х.- а , где в качестве а возьмем среднее
число 1235, т.е. а = 1235. В результате получим таблицу для условных вариант:
I	Щ	i	ui	i	“i	'		ui
1	o,6	5	3,5	9	-0,5	13	-0,7
2	2,5	6	-0,8	10	1,8	14	2,5
3	-2,1	7	0,9	11	2,6	15	0,4
4	1,2	8	-1,7	12	-1,9	16	-0,3
Выборочное среднее в данном случае вычисляется по формуле
х = а + - У тм. = 1235 +-^(16 - 8) = 1235,5.
П 1 1	16
J = 1
Исправленная дисперсия
к	к
2	1 V’ 2 п ._	.2	1 „	,	2
i=i	i=i
где и ~ среднее значение условных вариант. Отсюда
2	1
з0 = ^(0,01 + 4 + 6,76 + 0,49 + 9 + 1,69 + 0,16 +4,84 + 1 +
+ 1,69 + 4,41 +5,76+ 1,44 + 4 + 0,01 + 0,64) = 3,06,
s0 =	= ТзТОб» 1,75 м. 4
Пример 3. Найти выборочную дисперсию по данному распределению вы-
борки:
xi	0,01	0,04	0,08
mi	5	3	2
► Для того чтобы избежать действий над дробями, перейдем к условным
вариантам и( = 100х;. Получим следующее распределение:
Щ	1	4	8
	5	3	2
Выборочную дисперсию условных вариант находим по формуле
233
?(u) =
f 3
X m>ui
i= 1
3
n =	~ 10 .
;= 1
2. .	5 + 48+ 128 f5 + 12+ 16Л2	, ,,
i(") = io 1—io~) =7’21’
2	2
5 (x) = s(u)/100 = 7,21/10 000 = 0,00072 .
Исправленная выборочная дисперсия
sq = у?«0,0008.4
Пример 4. Сгруппированные значения выборки Xданы в табл. 19.2.
Таблица 19.2
Номер интервала |	Интервал	|	*< 1	m,
1	[27,5; 29,5)	28,5	3
2	[29,5; 31,5)	30,5	9
3	[31,5; 33,5)	32,5	23
4	[33,5; 35,5)	34,5	33
5	[35,5; 37,5)	36,5	38
6	[37,5; 39,5)	38,5	34
7	[39,5; 41,5)	40,5	21
8	[41,5;43,5)	42,5	8
9	[43,5; 45,5]	44,5	1
Вычислить среднее значение, среднее квадратичное отклонение, асимметрию
и эксцесс выборки X(х( - середины интервалов).
> Как следует из табл. 19.2, объем выборки равен 170. Возьмем в качестве
среднего значения варианты х0 = 36,5 и введем условные варианты:
хГх0 = х/~36.5
п	2
Результаты вычислений запишем в таблицу (табл. 19.3).
Таблица 19.3
i			Uj .	«/“i	5 miu7	miui	m,u,4
1	28,5	3	-4	-12	48	-192	. 768
2	30,5	9	-3	-27	81	-243	729
3	32,5	23	-2	-46	92	-184	368
4	34,5	33	-1	-33	33	-33	33
5	36,5	. 38	0	0	0	0	0
6	38,5	34	1	34	34	34	34
7	40,5	21	2	42	84	168	336
8	42,5	8	3	24	72	216	648
9	44,5	1	4	4	16	64	256
I I	-	170	-	-14	460	-170	3172
234
По результатам всех вычислений, приведенных в табл. 19.3, находим на-
чальные моменты v , г = 1,4:	.
9
= - У т,и, = й =	« 0,082,
л Zj ' '	170
v- 2
ZmiU>
v, = ----

v3 = —---------
170
170
v4
3172
Тто "18’6э8'
4
Определим центральные моменты р2> Из и Ш:
2
р2 = v2-V! = 2,706-(-0,082) = 2,699,
7
Ц3 - v3-3V]V2 + 2vj = - 1 - 3(-0,082)  2,706.+2(-0,082) = -0,355,
ц4 = V4-4V]V3 + 6V]V2-3vf = 18,658-4(-0,082)(-1)+
2	4
+ 6(-0,082)  2,706-3(—0,082) = 18,439.
Среднее значение выборки
х = х0 + uh = Xq + v^h = 36,5 + 2(-0,082) = 36,336,
а выборочная дисперсия
2	2	2	2
s = Л (V2-V|) = 4(2,706 —(0,082) ) = 9,824, s« 3,29 .
Асимметрия
a3 = ц3/Уй| = -0,355/7(2,699)3 = -0,026,
а эксцесс
2	3
e4 = ц4/ц2-3 =-0,355/(2,699) -3 =-0,48.4
Пример 5. Методом произведений найти выборочное среднее и выбороч-
ную дисперсию распределения выборки:
X/	' 12	14	16	18	20	22
ОТ;	5	15	50	16	10	4
235
► По определенному правилу составляем расчетную таблицу (табл. 19.4).
Таблица 19.4
Xi	1	1	Uj	miui		| m^Ui+X)1
12	5	-2	-10	20	5
14	15	-1	-15	15	0
16	150	0	1-25 |	0	50
18	16	1	16	16	64
20	10	2	20	40	90
22	4	3	12	36	64
-	-		1+48 1	-	-
i	л = 100	-	23	127	273
1.	В первый столбец записываем значения вариант х,-.
2.	Во второй столбец записываем частоты вариант.
3.	В качестве нуля выбираем число х0 = 16 - значение варианты с наи-
большей частотой. Так как шаг между вариантами h - 2, то условные вариан-
ты вводим согласно равенству и; = (х;-х0)/А и значения условных вариант
помещаем в третьем столбце.
4.	Произведение частот и значений условных вариант записываем в чет-
вертый столбец, указывая при этом сумму отрицательных и сумму положи-
тельных произведений (в таблице эти суммы взяты в рамки).
5.	В пятом столбце приводим произведения частот и квадратов условных
вариант.
6.	В шестой столбец записываем величины т,( м;+ I)2 и находим их сумму.
Для контроля вычислений пользуемся тождеством
6	й	6
(и(. + 1) m(. = miui +2 mjUj + n .
i=l	i= 1	i=1
Контроль:
£	1) = 273 ,
1=1
6	2	6
+2	m,«, +л = 127 + 2  23 + 100 = 273 .
1=1 1=1
Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычисле-
ний, приведенных в табл. 19.4.
Вычислим начальные моменты первого и второго порядка условных вариант:
236
Тогда
х = V]ft + x0 = 0,23-2 + 16 = 16,46,
2	2 2	2	2
s = (v2-v,) й = (l,27-(0,23) )-2 = 4,87,
2
откуда s0 = 4,92 , s0 = 2,22 , т.е. получили несмещенные оценки для диспер-
сии и среднего квадратичного отклонения. 4
Пример 6. Методом сумм вычислить выборочное среднее и выборочную
дисперсию по заданному распределению выборки объемом л = 100;
Xi	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
	2	4	6	8	12	30	18	8	7	5
► Так как выборка состоит из равноотстоящих вариант с шагом й = 4, то
2	2 2
х - Vjft + Xg, s = (v2-Vj)ft ,
где х0 - ложный нуль. При вычислении по методу сумм условные моменты
первого и второго порядка определяем по формулам;
Vj = </[/л, v2 = (S| + 2s2)/«,
где dl = aj - bj ;	= at + bj ; s2 = a2 + b2 . Числа a} , a2 , bj и b2 находим
следующим образом.
По определенному правилу составляем расчетную таблицу (табл. 19.5).
Таблица 19.5
Xi	Л1,-	bj = 72	b2= 70
48	2	2	2
52	4	6	8
56	6	12	20
60	8	20	40
64	12	32	0
68	30	0	0
72	18	38	0
76	8	20	37
80	7	12	17
84	5	5	5
-	л = 100	а1 = 75	а2=59
237
1.	В первый столбец записываем значения вариант.
2.	Во второй столбец помешаем частоты и их сумму.
3.	В качестве ложного нуля выбираем значение варианты наибольшей
частоты (xQ = 68); на пересечении третьего и четвертого столбцов и строки,
содержащей ложный нуль, ставим нули. В четвертом столбце над ложным ну-
лем и под ним также пишем нули.
4.	В оставшихся клетках третьего столбца, расположенных над нулем, за-
писываем накопления частот и находим их сумму: = 72. Аналогично в
клетках третьего столбца, расположенных под нулем, записываем
последовательные накопления частот и вычисляем их сумму: а, = 75.
5.	Аналогично заполняем четвертый столбец, где находятся числа Л2 ~ 70
и я2 = 59.
По результатам вычислений в табл. 19.5 имеем:
d} = ах-bt = 75-72 = 3 ,
+ />1 = 75 + 72 = 147 ,
т2 = я-, +/>2 = 59 + 70 = 129.
Тогда моменты условных вариант
Vj = dx/n = 3/100 = 0,03,
v2 = (j] +2т2)/л = (147 + 2  129)/100 = 4,05.
Так как h = 4 и х() = 68 , то
х = VjA + Xq = 0,03 4 + 68 = 68,12,
2	7	2
s = (v2-vx)h = (4,05-(0,03)-)-4 = 64,78.4
Пример 7. Сгруппированные данные выборки значений системы СВ (X,
Y) приведены в табл. 19.6. Найти статистические оценки для математических
ожиданий и дисперсий и коэффициент корреляции выборки.
Таблица 19.6
	X] = 8 х2=Ю х3 = 12 х4 = 14 х5 = 16 Хб = 18
_	Ф	чо и и 7 1Г if	2	3	-	-	-	1 1	5	4	3	1	— 1	10	2 1	18	8	2	3 1	3	7	10	5 1	-	-	-	3	5
► Объем выборки п = 100 . Возьмем в качестве ложного нуля точку
jWo(12,1O). Согласно табл. 19.6 hx = 2 , hy = 3 . Построим таблицу распреде-
ления условных вариант = (х,- 12)/2 , Vj = (у.- 10)/3 (табл. 19.7).
238
Таблица 19.7
\ ut vx	-2	-1 '	0	1	2	3	ту>	myv	2 Шу У	к £ У
-3	2	3	—			1	6	-18	54	12
-2	1	5	4	3	1	—	14	-28	56	4
-1	—	1	10	2	—	—	13	-13	13	-1
0	1	—	18	8	2	3	32	0	0	0
1	—	1	3	7	10	5	26	26	26	31
2	1	-	-	—	3	5	9	18	72	36
mXi	5	10	35	20	16	14	100	-15	221	82
тх и	-10	-10	0	20	32	48	80	•		
2 in и	20	10	0	20	64	144	258			
										
На основании полученных в табл. 19.7 результатов имеем:
6
Е туЛ
v --------
п
15
100
= -0,15,
80
100
0,8,
221
100
2,21,
228
100
= 2,28 ,
V- 2
2	2	2
•Sv = v -<У) = 2,21-0,0225 = 2,1875,
2	~~2	2
Su = и -(й) = 2,28-0,64 = 1,64 ,
sv = 72,187 = 1,479, su = Л?64= 1,281 ,
у = 12 + 2(-0,15) = 11,7,
х = 10+3-0,8 = 12,4,
sy = svhy = *>479'2 3 = 4 s‘437’ *Л = suhx = 1.281 -2 = 2,562 .
239
Коэффициент корреляции
где
6
'V m..u.v.
L lJ 1 J
откуда
0,82 - (-0,15) • 0,8	0,832 Л .
Г = —:------i---- /--2— = —----- « 0 439 4
*У 1,479- 1,281	1,894	’	‘
A3-19.2
1.	Найти выборочное среднее по заданному распределе-
нию выборки объемом п = 20:
xi	2560	2600	2620	2650	2700
	2	3	10	4	1
(Ответ: 2621.)
2.	Найти выборочную дисперсию по данному распределе-
нию выборки объемом п — 10:
X/	186	192	194
т\	2	5	3
(Ответ: 8,93.)
3.	Найти методом произведений выборочное среднее и вы-
борочную дисперсию по заданному распределению выборки
объемом п— 100:
X;	2	3	7	9	11	12,5	16	18	23	25	26
	3	5	10	6	10	4	12	13	8	20	9
2
(Ответ: х= 15,86,5 =45,14.)
240
4.	Методом произведений найти выборочные среднее, дис-
персию, асимметрию и эксцесс по заданному распределению
выборки объемом п = 100:
X,-	12	14	16	18	20	22
т,-	5	15	50	16	10	4
(Ответ: х = 16,46, D(x) = 4,87,	= 0,47, е4 = 0,36.)
5.	Найти выборочное среднее и выборочное среднее квад-
ратичное отклонение выборки объемом п = 20, распределение
которой задано таблицей (табл. 19.8).
Таблица 19.8
Номер интервала	Интервал	Частота mi	Номер интервала	Интервал	Частота т(
1	(-15; -0,13)	3	8	(-0,01; 0,01)	18
2	(-0,13; -0,11)	8	9	(0,01; 0,03)	17
3	(-0,11;-0,09)	11	10	(0,03; 0,05)	17
4	(-0,09; -0,07)	20	11	(0,05; 0,07)	8
5	(-0,07; -0,05)	27	12	(0,07; 0,09)	4
6	(-0,05; -0,03)	36	13	(0,09; 0,11)	1
7	(-0,03; -0,01)	29	14	(0,11;0,13)	1
(Ответ: х = -0,284, s = 0,0515.)
Самостоятельная работа
По данным выборкам найти выборочные средние и сред-
ние квадратичные отклонения.
1.
	1250	1275	1280	1300
	20	25	50	5
(Ответ: х = 1273,75 , s = 13,054 .)
2.
xi	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5
	0,1	0,2	0,4	0,2 .	0,1
(Ответ: х = 22,5 , з = 5,45 .)
241
3.
Интер- вал	(28; 30) (30; 32) (32; 34) (34; 36) (36; 38) (38; 40) (40; 42) (42; 44)
mi	8	15	15	12	15	20	10	5
(Ответ: х = 35,72,5 = 4,012.)
19.3. ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.
МЕТОД МОМЕНТОВ
Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров распределения.
Данный метод состоит в приравнивании эмпирических и теоретических мо-
ментов, соответствующих эмпирическим моментам того же порядка, напри-
мер М(Х) - х = V] . Если распределение определено двумя параметрами, то
приравниваются два теоретических и два эмпирических момента V] = М(Х) ,
2	э
ц2 ~ М(Х-х\ , т.е. М(Х) = х и D(X) = з~ .
Пример 1. Случайная величина А"распределена по закону Пуассона
-X
р (х ) = —-—
гт''Л1'	'
где т - число испытаний; х(. - число появлений события А в этих испытани-
ях. По выборке X], х2, ..., х„ найти точечную оценку неизвестного параметра
X , определяющего распределение Пуассона.
► Для оценки одного параметра запишем уравнение относительно этого
параметра:
Vj '= М(Х) = х.
Так как в распределении Пуассона М(Х) = X , то X = х . Точечной оцен-
кой параметра X распределения Пуассона служит выборочное среднее х . <
Метод наибольшего правдоподобия. Этот метод оценки неизвестных пара-
метров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции
одного или нескольких оцениваемых параметров.
Функцией правдоподобия дискретной СВ X, принимающей значения х(,
i = 1, л , с вероятностями Р(х^ 0), называют функцию
£(Х], х2, .... хл, 0) = /’(xj, 0)Р(х2, 0) ... Р(хд, 0) .
Если Дх) - плотность распределения вероятностей СВ X с неизвестным
параметром 0 , то функцию правдоподобия непрерывной СВ X записывают в
виде
£(хр х2, ..., х„, 0) =/(xf, 0)Дх2, 0) ,../(хл, 0).
242
При двух неизвестных параметрах распределения 0, и О, функция
правдоподобия имеет вид
£(%1,	> хп> ер 62) — /(-X], ор > еj, ©2)... f(xn, ер 02) 
Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию In L. Точки
экстремума функции In £ с одним неизвестным параметром 0 ищут по следу-
ющей схеме:
,,	d In L
1)	находят производную ——— ;
2)	определяют точки, в которых эта производная равна нулю, т.е. корни
, d In L п
уравнения правдоподобия ——— = 0 ;
J0
7
d~ In L •	~
3)	вычисляют вторую производную ----— в найденных точках; если в
d&
точке 0* вторая производная меньше нуля, то 0* - точка максимума; если же
вторая производная положительна при 0* , то 0* - точка минимума. Значе-
ние параметра 0* , при котором In L достигает максимума, принимается за ве-
личину оцениваемого параметра.
Пример 2. Методом наибольшего правдоподобия по выборке ..., хп
найти точечную оценку неизвестного параметра X показательного распреде-
ления
{-Xv
Хе ' при х> О,
О при х< 0.
► Составляем функцию правдоподобия:
L =/(х1,е)/(х2,е) ...Яхя,0).
Учитывая, что X = 0 , имеем:
п
Цху, х^, хп, X) = (Хе ')(Хе	2) ... (Хе ") = х"е '‘1 .
Находим логарифмическую функцию правдоподобия:
In £ = п In X— X у Xj.
/ = 1
d In X	1	Л
1аккак—-— = л-- X х., то уравнение правдоподобия имеет вид
ал.	Л. Z—< ‘
i- 1
243
4-f>- = 0-
/=i
Решив его, получим критическую точку
п
К = п/	х- = 1 /х.
i= 1
<Г £	2
Вторая производная ----— = -пк <0 при /. = 1/х. Это значит, что
йГ
А. = 1/х - точка максимума функции £. Следовательно, оцениваемый точеч-
ный параметр - /. = 1 /х. <
Интервальные оценки параметров. Интервал (0р 02) , в который оцени-
ваемый параметр 0 попадаете заданной вероятностью у , называется довери-
тельным, a у - доверительной вероятностью (надежностью) оцениваемого па-
раметра 0 :
Р(0]<0<02) = у.
Число а = 1 -у называется уровнем значимости. В практических задачах
обычно принимают а = 0,1 ; 0,05; 0,001. Если а = 0,05, то
(1 -0,05)- 100 = 95 из 100 значений оцениваемого параметра будут нахо-
диться внутри интервала (0t; 02).
Отыскание доверительного интервала для математического ожидания тх
нормально распределенного количественного признака X при известном
среднем квадратичном отклонении о проводится по приводимому ниже пра-
вилу.
Пусть Х|, х2,..., хп - выборка объемом ли у - доверительная вероятность,
п
х =	х(./л - выборочное среднее. Тогда
/= 1
x-t-—:<m <x + t^-,	(19.6)
Jn	.Jn
Tjye х = t - значение аргумента функции Лапласа Ф(г), при котором
Ф(Г) = у/2 .
Пример 3. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью
у - 0,99 неизвестного математического ожидания тх нормально распреде-
ленного признака Xгенеральной совокупности, если объем выборки п = 25 ,
х = 16,8 и среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности
о = 5 .
244
► Доверительный интервал определяется неравенствами (19.6). Находим t
из уравнения Ф(/) = у/2 = 0,495 , пользуясь прил. 4: t - 2,58 . Тогда из не-
равенств (19.6) следует, что
16,8	-2,58 -5/5 <тх< 16,8 + 2,58- 5/5 ,
14,2	2 <тх< 19,38 , тх е (14,22; 19,38)
с вероятностью у = 0,99 . 4
Доверительный интервал для математического ожидания при неизвест-
ном среднем квадратичном отклонении нормально распределенной СВ X
определяется из неравенств
^~t~<mx<x + t-~= >	(19-7)
' V л	' -Jn
где п - объем выборки; х - выборочное среднее; г - среднее квадратичное от-
клонение выборки; у - доверительная вероятность; значение параметра
определяется из равенства
'у
у = Js(t, n)dt,
в котором подынтегральная функция задает плотность Стьюдента распреде-
ления вероятностей случайной величины;
Т = u.Jn/v ,
где и и v - независимые СВ: и - нормально распределенная СВ с параметрами
тх = 0 , с = 1 , a v имеет распределение у2 с и степенями свободы. Число t
находится из прил. 8 по заданному уровню значимости а = 1 - у (надежно-
сти у) при числе степеней свободы к = п - 1 .
Пример 4. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом
п = -10 :
х/	-212345
mi	2	1	2	2	2	1
Найти доверительный интервал для математического ожидания тх с надеж-
ностью у = 0,95 .
► Вычисляем выборочное среднее:
-_-2-2+1-1+2-2 + 3- 2 + 4- 2 + 5-1
х _ . 2
и исправленное среднее квадратичное отклонение:
5 = I2 42 + 1 • 1 +2-0 + 2- 1 + 2 -22 + 32 = 2 .
А/	9
245
Из прил. 8 при у = 0,95 и п = 10 (к = 9) находим: Г = 2,26 . Довери-
тельным интервалом на основании неравенств (19.7) будет
2 4	2 4
2-2,26  <тх< 2 + 2,26 	, тх е (0,3; 3,7)
с надежностью у = 0,95 . 4
Доверительный интервал с заданной надежностью у для среднего квадра-
тичного отклонения о нормально распределенного признака X по исправ-
ленному среднему квадратичному отклонению 5 определяем по формулам:
5( 1 - д) < о < 5( 1 + q) при q < 1 ,
(19.8)
0 < о < г( 1 + q) при q > 1 ,
где параметр q находим из прил. 9.
Пример 5. Произведено 12 измерений некоторой величины одним при-
бором без систематической ошибки, причем исправленное среднее квадра-
тичное отклонение 5 случайных ошибок измерений оказалось равным 0,5.
Найти точность прибора с надежностью у = 0,99 , если результаты ошибок
измерений распределены нормально.
► Точностью прибора обычно называют среднее квадратичное его ошибок
измерения. Из неравенств (19.8) следует, что q определяется при п = 12 ,
у = 0,99 из прил. 9 и неравенства 1 > q = 0,9 . Значит,
0,5  0,1 < о < 0,5  1,9 . Таким образом, <т е (0,05; 0,95) с вероятностью
у = 0,99 . 4
АЗ-19.3
1.	Методом моментов по выборке х2, найти точеч-
ную оценку неизвестного параметра X распределения СВ X,
зная, что плотность распределения вероятностей
[О	при х<0,
/« = -Хх
[Хе	при х > 0.
(Ответ: 1/х.)
2.	Случайная величина X (число появлений события А в п
независимых испытаниях) подчинена биномиальному рас-
пределению с неизвестным параметром распределения р.
Проведено 10 опытов по 5 испытаний в каждом. В результате
получено эмпирическое распределение
246
X,	0	1	2	3	4	5
т{	4	2	1111
где Xj — число появлений события А в одном опыте; /и,- — коли-
чество опытов, в которых Л появилось Xj раз. Методом момен-
тов найти точечную оценку параметра р биномиального рас-
пределения. (Ответ: р = 0,32 .)
3.	Случайная величина X - ошибка измерения дальности
радиодальномера — подчинена равномерному распределению
с неизвестными параметрами а и Ь. Статистическое распреде-
ление СВ X имеет вид:
X/	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
	21	16	15	26	22	14	21	22	18	25
где Xj — средняя ошибка измерений; /и,- - количество измере-
ний, имеющих среднюю ошибку х,. Методом моментов найти
точечные оценки неизвестных параметров а и b равномерного
распределения. (Ответ: а = 2,24 , b = 2,38 .)
4.	Методом наибольшего правдоподобия найти по выборке
Xj, х2, ..., хп точечную оценку параметра р геометрического
распределения Р(Х = х;) = (1 - р) 'р, где р - вероятность по-
явления события в отдельном испытании. (Ответ: р = 1/х.)
5.	Найти минимальный объем выборки, при котором с на-
дежностью у = 0,975 точность оценки математического ожи-
дания тх генеральной совокупности по выборочному средне-
му равна 8 = 0,3 , если известно среднее квадратичное откло-
нение ст=1,2 генеральной совокупности, распределенной
нормально. (Ответ: п = 81 .)
6.	Дано: х = 2000 м, = 40 м, у = 0,95 . Найти довери-
тельный интервал для тх, если X- нормально распределенная
СВ. (Ответ: (1964,94; 2035,06).)
7.	Из генеральной совокупности извлечена выборка объе-
мом п = 12:
247
-ц	-0,5 -0,4 -0,2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5
mi	12	1111112	1
Найти доверительный интервал для математического ожида-
ния нормально распределенной генеральной совокупности,
если доверительная вероятность у = 0,95. (Ответ: (—0,04;
0,88).)
8.	Каково должно быть число опытов, чтобы с надежно-
стью у = 0,95 точность оценки математического ожидания
тх была равной 8 = 0,2 , если среднее квадратичное отклоне-
ние <5Х = 4 . (Ответ: п > 1537 .)
9.	По данным выборки объемом п, извлеченной из нор-
мально распределенной генеральной совокупности, найде-
но исправленное среднее квадратичное отклонение s. Опре-
делить доверительный интервал, покрывающий генеральное
среднее квадратичное отклонение ст с надежностью
у = 0,999 , если: а) п = 10, № 5,1; б) п = 50, 5= 14. (Ответ:
а) (0; 14,28); б) (7,98; 20,02).)
Самостоятельная работа
1.	Результаты четырех измерений однотипных деталей:
= 0,25 м, х2 = 0,24 м, х3 = 0,25 м, = 0,26 м. Считая
распределение длины X деталей нормальным, найти довери-
тельный интервал истинной длины детали с надежностью
у = 0,95 . (Ответ: (0,12; 0,38).)
2.	Произведено 5 независимых опытов над СВ X, нормаль-
но распределенной с неизвестным параметром тх и стх = 2.
Результаты опыта приведены в следующей таблице:
*1	-25	-20	10	21	34
"Ч	1	1	1	1	1
Найти доверительный интервал для тх с надежностью
у = 0,9 . (Ответ: (2,53; 5,47).)
248
3.	Из генеральной совокупности X с нормальным распре-
делением извлечена выборка объемом п = 10 и составлен ста-
тистический ряд:
Xj	-2	1	2	3	4	5
mi	0,2	0,1	0,2	0,2	0,2	0,1
Найти доверительный интервал для математического ожида-
ния тх с надежностью у = 0,95 . (Ответ: (0,28; 3,72).)
19.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ СВЯЗЬ
Пусть зависимость у от х выражается формулой
у =/(х, а0, а,...................ат),
где а0, ар ..., ат - неизвестные параметры, подлежащие определению.
В результате п независимых опытов по заданным значениям Хр х7, ..., х пе-
ременной х получены соответствующие значения функции ур у2, > У„  Бу-
дем считать, что наивероятнейшие значения для параметров а0, ар ..., а
дают минимум функции этих параметров 5(а0, Ир ..., aff() :
5 = £	“°’ар “т)) 
/= 1
Необходимые условия минимума функции 5 записываются в виде систе-
мы т + 1 уравнений:
= 0 ,	= 0 , ...,	= 0 .	(19.9)
5“о 5сс1	дат
Нахождение зависимости между У и X из опытных данных называют вы-
равниванием эмпирических данных вдоль кривой у = f(x, aQ, aj, ..., affl) .
На практике функция f(x, a(), ap ..., affl) обычно задается в таком виде,
что параметры aQ, Цр ..., аш входят в нее линейно. Поэтому
/(х, а0, Ир ..., а ) имеет непрерывные частные производные по всем пара-
метрам a(., i = 0, т . Например,
Дх, a0,ap...,am) = aQ + a]x + a2x2 + ... + amxm .
В данном случае система (19.9) принимает вид
249
«оп+«1£\+-+%£< =
/=1	/=1	t=i
а0£х/ + а1£х^... + ат£хГ1 = £Xiye
i = 1 i = I	i = 1	i = 1
n	n	n _ n
Zn .	/и +1	г—ч 2w	ч m
xi + “ 1 £ xi + - +	£ xi = Y y<X> '
i=I	/=1	i=l 1=1
В частности, по заданным опытным точкам М(Х/,	, i = 1, п , можно
найти оценки параметров линейной функции у = а0 + а,х. Система линей-
ных уравнений (19.10) в этом случае принимает вид
а0п + а1	= Yyi'
i = I	i = 1
я	n	n
Sx-+aiEx'= Ex-v
i = 1	i = 1 i = 1
(19.11)
Если по опытным точкам Л/(х;, y;.) ,
= 1, л , искать оценки для пара-
>
метров а0, а.!, а? зависимости у = a0 + ajX + a2x , то система (19.10) при-
мет вид
a0n + al EX'- + a2ZX' = £?'’
/= 1	i= 1	i= 1
п	п aoZx'+aiE i=i	;=1	«?+«=£ 1= 1	3 x/= Z x‘yr i= I
ao£-\+aiS		4 V’ 2 x(. = ^хг.у,..
<=1	i=i	1= 1	1=1
(19.12)
250
Пример 1. В результате опыта получены значения СВ Уно заданным зна-
чениям СВ X:
X;	0	4	10	15	21	29	36	51	68
Л7,	66,7	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1
Найти линейную зависимость у = сцх+ссц по методу наименьших квад-
ратов.
► По результатам эксперимента составляем таблицу (табл. 19.9).
Таблица 19.9
i	xi	У,	4	
1	0	66,7	0	0
2	4	71,0	16	284,0
3	10	76,3	100	763,0
4	15	80,6	225	1209,0
5	21	85,7	441	1799,7
6	29	92,9	841	2694,1
7	36	99,4	1296	3578,4
8	51	113,6	2601	5793,6
9	68	125,1	4624	8506,8
X i	234	811,3	10 144	24 628,6
Так как л = 9, то система (19.11) принимает вид
9а0 + 234а] = 811,3,
234а0+ 10 144а] = 24 628,6.
Умножив первое уравнение на -26 и сложив со вторым, получим:
4060а, = 3534,8 или О] = 0,87. Тогда 9а0 = 811,3 -203,58 = 607,72,
а0 = 67,5 .
Следовательно, зависимость у от х имеет вйд
у = 67,5 + 0,Six . 4
Пример 2. Значения некоторого признака Y по значениям признака X
характеризуются опытными данными:
X	1	2	3	4	5	6	7
Y	0,5	0,5	1,5	3,5	6,5	10,5	15,5
Выравнять зависимость Уот А' по параболе у = а9х~ + а ] х + а0 .
251
► Для составления системы уравнений (19.12) записываем расчетную таб-
лицу (табл. 19.10).
Таблица 19.10
i	xi	У/	х?	xi	xt	W	2 ЧУ1
1	1	0,5	1	1	1	0,5	0,5
2	2	0,5	4	8	16	1	2
3	3	1,5	9	27	81	4,5	13,5
4	4	3,5	16	64	256	14	56
5	5	6,5	25	125	625	32,5	162,5
6	6	10,5	36	216	1296	63	378
7	7	15,5	49	343	2401	108,5	759,5
Е /	28	38,5	140	784	4676	224	1372
По результатам вычислений составляем систему уравнений:
7а0 + 28 й] + 140«2 ~ 38,5, 
28а0 + 140(Х| + 784а2 = 224, .
	140а0 + 784а, + 4676а2 = 1372.
Определитель этой системы А = 8254 , а Аа0 = 12 385,5 , Да.] = -12 385,5,
Да2 = 4128,5 .Тогда а0 = 1,5 , а;- = -1,5 , а2 = 0,5 . Искомая зависимость
имеет вид
у = 1,5- 1,5х + 0,5х2 . 4
Если ух - условные средние, то выравнивание точек (х;.; у(.), 1 = 1, л ,
по методу наименьших квадратов вдоль кривой у = f(x, aQ, a,......am)
приводит к понятию линии регрессии у на х, а уравнение
у = f(x, a0, Op ..., ат) называется уравнение.» регрессии у нах. Если эта за-
висимость линейная, то получаем прямую у = ag + a^x регрессии у на х.
Уравнение прямой регрессии у на х имеет вид
У~У = Ру/х^-х)'	(19.13)
где х , у - средние значения признаков X и У; ру/х = rxysy/sx ; гху - коэф-
,	2
фициент корреляции; sx , sy - эмпирические дисперсии признаковой У.
Уравнение прямой регрессии х на у записывается в виде
х~х = РХ/У(У-У) 	(19.14)
Пример 3. Из генеральной совокупности, в которой признаки Xи Урас-
пределены нормально, извлечена выборка объемом п = 530. Результаты изме-
рения принаков О и У выборки приведены в корреляционной таблице
252
(табл. 19.11). Найти выборочный коэффициент корреляции и его среднее
квадратичное отклонение. Записать уравнение прямых регрессий у на х и х на у.
Таблица 19.11
	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	75-85	
200-300	19	5	-	-	-	-	-	24
300-400	23	116	11	-	-	-	-	150
400-500	1	41	98	9	-	-	-	149
500-600	-	4	32	65	7	-	-	108
600-700	-	1	4	21	36	3	-	65
700-800	-	-	1	2	11	13	1	28
800-900	-	-	-	-	1	3	2	6
	43	167	146	97	55	19	3	530
► Так как значения вариант признаков Л", /достаточно велики, а длина ин-
тервалов их значений соответственно hx = 100, h = 10 , то введем условные
варианты:
и = 0,01(^-550), v = 0,1(У-50) .
Находим середины интервалов изменения признаков X и У, вычисляем
для этих значений величины условных вариант и составляем корреляционную
таблицу (табл. 19.12), заполняем ее по указанной схеме. По результатам вы-
числений, сведенным в табл. 19.12, находим:
mxui
382
530
= -0,721,
507
'530
-0,957.
п
Тогда выборочные средние признаков X и У:
х = 500 + й/й* = 500-0,721/0,01 = 550-72,1 = 477,9 ,
у = 50 + v/hy = 500-0,957/0,1 = 50-9,57 = 40,43 .
Для вычисления дисперсий признаков Хи Унаходим дисперсии условных
вариант и и v по формулам:
2	_2 ,_ч2
su = и -(")
п
2
= 1196/530-(-0,721) = 2,257-0,520 = 1,737,
253
254
	V	-3	-2	-1	0	1	2
и	у Л.	20	30	40	50	60	70
-3	250	19	5	—	—	—	—
-2	350	23	116	11	—	—	—
-1	450	1	41	98	9		—
0	550	—	4	32 .	65	7	—
1	650	—	1	4	21	36	3
2	850	—	—	I	2	11	13
3	850	-	-	-	-	1	3
-	"'у,	43	167	146	97	55	19
-	myj.vj	-129	-334	-146	0	55	38
-	myjvJ	387	668	146	0	55	76
Таблица 19.12
. 3					
80	mY. Л1	тх.и,-	2		iij ЪтjVj
— .	24	-72	216	-67	201
—	150	-300	600	-312	624
—	149	-149	149	-187	183
—	108	0	0	-33	0
—	65	65	65	36	36
1	28	56	112	39	78
2	6	18	54	13	39
3	530	-382	1196		1161
9	-507				
27	1359				
2 Л ,2 XVJ (ХтУ^
S^V _(v) = —----------~ =
\	7
1359	">
= ^-(-0,957)" = 2,564 - 0,916 = 1,648.
Тогда su = 1,32 , 5V = 1,28 , a
5X = su/hx = 1,32/0,01 = 132, sy = sv/hy = 1,28/0,1 = 12,8.
Коэффициент корреляции признаков X, Y совпадает с коэффициентом
корреляции условных вариант и вычисляется по формуле
— --	. fv m-.u-v-	4
_ UV-UV 1 Zj 'J 'j lx-, 1^-,
V» аД и лХЛ,'"'лХЛ,Л
= МГМ8®-<-°’72,)<-°>958)) =
= МГм8(2-191-0’69) = Т^’°>Ш-
Следовательно,
Ру/х =	= 0,8880,0849,
sx	132
рх/7 = ^ = 0,888-^^9,16,
а уравнение прямой регрессии у на х запишется в виде
у-40,43 = 0,0849(х-477,9) .
Прямая регрессии х на у имеет вид
х-477,9 = 9,16(у-40,43) .
При нормальном распределении признаков X и Y среднее квадратичное
отклонение коэффициента корреляции
sr = (1 - г2)/7» = 0,009. 4
АЗ-19.4
1.	Вычислить выборочный коэффициент корреляции по
выборке системы СВ (X, Y), распределение которой задано
таблицей (табл. 19.13). Найти уравнение линейной регрессии
УнаХ. (Ответ: г = 0,603 , у = 0,659х + 12,34 .)
255
Таблица 19.13
	X	10	20	30	40	50	60	ту/
15		5	7		-	-	-	12
25		-	20	23	-	-	-	43
35			-	30	47	2	-	79
45		-	-	10	11	20	6	47
55		-	-	-	9	7	3	19
mY. xi		5	27	63	67	29	9	200
2.	По заданным значениям признака X получены соответ-
ствующие значения признака У:
X	0,30	0,91	1,50	2,00	2,20	2,62	3,00	3,30
Y	0,20	0,43	0,35	0,52	0,81	0,68	1,15	0,85
Выравнять зависимость Уот У по прямой у = а1х+ а0 . (От-
вет:	= 0,263 , а0 = 0,120.)
3.	Таблица значений признака У при данных значениях
признака Xимеет вид:
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	У
12,0	54	16,1	76	20,0	107	24,1	139	28,1	178
13,1	59	17,4	85	21,4	118	25,0	153	30,0	203
14,0	67	18,0	97	21,9	127	26,8	160		
Методом наименьших квадратов выравнять зависимость У от
2
Xпо кривой у = а0 + ос jх +	• (Ответ: у = 18,7+1,02х +
+ 0,168х2 .)
4.	Соответствующие значения признаков X и У приведены
в табл. 19.14.
256
Таблица 19.14
	0	1	2	3	4	5	6	7	
25	2	1	—		—	—	—	—	3
35	—	5	3		—		—	—	8
45	—	—	4	2	4			—	10
55	—	—	—	—	2	3	1	5	11
65	-	-	-	-	-	-	6	2	8
ту.	2	6	7	2	6	3	7	7	40
Найти коэффициент линейной корреляции и записать урав-
нения прямых регрессий у на х и х на у. (Ответ: г = 0,9,
у-3,9 = 0,17(х —48,2), х-48,2 = 4,8(у-3,9).)
5.	Значения признаков XhY заданы корреляционной
таблицей (табл. 19.15). Найти коэффициент линейной
корреляции и записать уравнения прямых регрессий у на х
и х на у. (Ответ: г = -0,899 , у- 185,3 = -1,78(х- 96,72),
х-96,72 = -0,454(у-185,3).)
Таблица 19.15
	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	myj
120-140	—	—	—	—	3	4	7
140-160	—	—	—	2	5	2	9
160-180	—	—	3	6.	3	—	12
180-200	—	5	4	4	—	—	13
200-220	7	4	2	—		—	13
220-240	5	2	—		—	—	7
240-260	3	-	-	-		-	3
mx.	15	11	9	 12	11	6	64
Самостоятельная работа
Методом наименьших квадратов выравнять по прямым
у = «о + сцх следующие эмпирические данные.
1. ____________________________________
X	1	4	9	16	25
Y	0,1	3	8,1	14,9	23,9
(Ответ: у = 0,922х-0,909.)
9 Зак. 2209
257
2.
19.5.	СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Основные понятия и определения. Всякое утверждение, высказанное отно-
сительно неизвестного закона генеральной совокупности или относительно
числовых характеристик этого закона (если известен закон распределения),
называется гипотезой.
Основной (нулевой) гипотезой называют выдвинутую гипотезу Hq, а конку-
рирующей (альтернативной) - гипотезу Н\, которая противоречит нулевой ги-
потезе Hq.
Например, если нулевая гипотеза Но состоит в предположении, что сред-
нее квадратичное отклонение нормального распределения а = 20 , то альтер-
нативная гипотеза Н\ заключается в предположении, что а л 20 . Коротко это
записывается так: На : а = 20 ; Н\. а * 20 .
Гипотеза, содержащая только одно предположение, называется простой,
а гипотеза, состоящая из некоторого числа предположений (простых гипо-
тез), - сложной.
Поскольку проверку справедливости гипотез производят статистически-
ми методами, то их называют статистическими. В ходе проверки могут быть
допущены следующие ошибки. Ошибка первого рода заключается в том, что
будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что
будет принята неправильная гипотеза.
Статистическим критерием (или просто критерием) называют СВ К, ко-
торая служит для проверки гипотезы Но.
Наблюдаемым значением критерия К называется значение критерия К}[,
вычисленное по выборкам.
Совокупность значений критерия К, при которых нулевую гипотезу от-
вергают, называется критической областью. Совокупность значений критерия
К, при которых гипотезу Нй принимают, называется областью допустимых
значений критерия или областью принятия гипотезы.
Принцип проверки статистических гипотез. Если наблюденное значение
критерия принадлежит критической области, то гипотезу Н() отвергают; если
же наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы,
то гипотезу Н() принимают.
Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы,
называют критическими и обозначают /скр.
258
Правосторонняя критическая область определяется из равенства
Р(К> А: ) = а, левосторонняя критическая область — из равенства
Р{К< Л ) = а , а двусторонняя критическая область - из равенства
P(K<ky) + Р(К> kJ = а ,
где вероятность а называется уровнем значимости; ку, к2~ соответственно ле-
вая и правая критические точки. На практике при проверке гипотез обычно за-
дается уровень значимости а = 0,05 ; 0,01; 0,001.
Мощностью критерия называется вероятность попадания критерия в кри-
тическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза Ну.
Точнее, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет
отклонена, если верна конкурирующая гипотеза Ну. Если р - вероятность
ошибки второго рода, то мощность критерия равна 1 - р. Это значит, что при
выбранном уровне значимости критическую область нужно строить так, что-
бы мощность критерия была максимальной.
Замечание. Величины аир равны вероятностям ошибок первого и
второго рода соответственно. Чем меньше эти величины, тем «лучше» крити-
ческая область. Однако их одновременное уменьшение при заданном объеме
выборки невозможно. Единственный способ сделать это состоит в увеличе-
нии объема выборки.
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с
помощью критерия Пирсона. Рассмотрим выборку
X	*1	х2	...	xs
т1	ту	т2	...	ms
с равноотстоящими значениями вариант. Требуется, используя критерий
Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность Xраспре-
делена нормально.
Правило 1. Для проверки гипотезы Нп о нормальном распределении генераль-
ной совокупности при заданном уровне значимости а необходимо:
1)	вычислить выборочные среднее х3 и среднее квадратичное отклонение ав ;
2)	вычислить теоретические частоты
I nh , .
mi = —>
где п - объем выборки; h - разность между соседними вариантами;
Х;—Х„	1	2/э
I В	, ч	1	-и /2
ui = —— , ф(«) = — е ;
ств	JXk
3)	сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия
7
X (Пирсона). Для этого:
259
а)	составить таблицу (табл. 19.16), по которой находится наблюдаемое зна-
чение критерия:
. , \2
2
~ Е ;
/
Таблица 19.16
/		m’i		, - \2	(mj-m'i) /mj
1	15	9,1	5,9	34,81	3,8
2	26	16,5	9,5	90,25	5,5
3	25	25,3	-0,3	0,09	0,0
4	30	32,0	-2,0	4,00	0,1
5	26	33,0	 -7,9	62,41	1,8
6	21	29,8	-8,8	77,44	2,6
7	24	22,0	2,0	4,00	0,2
8	20	13,5	6,5	42,25	3,1
9	13	7,0	6,0	36,00	5,1
Е /	200	-	-	-	22,2
б)	из прил. 10 при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы
2
k- s-1 (s - число групп выборки) найти критическую точку Хкр(“> £) право-
сторонней критической области.
2	2
Если Хд<Хкр> т0 нет оснований отвергнуть гипотезу Но о нормальном
распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и тео-
ретические частоты различаются незначимо.
2	2
Если X//> Хкр > т0 нулевую гипотезу отвергают, значит, различие эмпири-
ческих и теоретических частот значимо.
Замечание. Число степеней свободы критерия Пирсона k = s - г-
где г- число параметров, оцениваемых по выборке.
Пример 1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости а = 0,05
проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной
совокупности Xс эмпирическим распределением выборки объемом п = 200:
	X	5	7	9	11	13	15	17	19	21
	"Ч	15	26	25	30	26	21	24	20	13
► Для вычисления выборочного среднего х и выборочного среднего квад-
ратичного отклонения ов методом произведений составляем таблицу
(табл. 19.17), взяв в качестве условных вариант v; = (х- 13)/2 .
260
Таблица 19.17
xi		vi	mivi	2 mivi	m/(v;+l)2
5	15	-4	-60	240	135
7	26	-3	-78	234	104
9	25	-2	-50	100	25
11	30	-1	-30	30	0
13	26	0	0	0	26
15	21	1	21	21	84
17	24	2	48	96	216
19	20	3	60	180	320
21	13	4	52	208	325
I /	200	-	-37	1109	Контроль: 1235
По результатам вычислений, сведенным в табл. 19.17, находим:
v = -37/200 = -0,185, х = 13-0,185 -2 = 12,63 ,
2	2
<тв = (1109/200-(-0,185) ) - 4 = 22,044, ав = 4,695.
Вычислим теоретические частоты (учитывая, что п — 200, h = 2,
ав = 4,695 ) по формуле
, _ nh . .	200  2 . .	. .
где Uj = (х,-х)/ав . Значения функции <р(и) определяем из прил. 3. После-
довательность вычислений приведена в табл. 19.18.
Таблица 19.18
i	X,-	"/ = (*,-*)/%.	<₽(“,)	= 85,2<p(uz)
1	5	-1,62	0,1074	9,1
2	7	-1,20	0,1942	16,5
3	9	-0,77	0,2966	25,3
4	11	-0,35	0,3752	32,0
5	13	0,08	0,3977	33,9
6	15	0,51	0,3503	29,8
7	17	0,93	0,2589	22,0
8	19	1,36	0,1582	13,5
9	21	1,78	0,0818	7,0
Пользуясь табл. 19.16, сравниваем эмпирические и теоретические данные.
2	j
Так как	’ то *Я = 22’2 •
т .
261
Из таблицы критических точек распределения (см. прил. 10) по уров-
ню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = s-r-1 =
2
= 9-2-1 = 6 находим, что / (0,05; 6) = 12,6.
кр
~	2
Так как х#> хкр , то гипотезу о нормальном распределении генеральной
совокупности отвергаем. <
Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности
интервалов равной длины:
	(*i; *2)		(xs;xj+])
	т\	m2	ms
Для того чтобы проверить гипотезу Яд о нормальном распределении гене-
ральной совокупности X, используя критерий Пирсона, необходимо провести
все вычисления согласно приводимому ниже правилу.
Правило 2. 1. Методом произведений вычислить выборочное среднее х и вы-
борочное среднее квадратичное отклонение <тв . В качестве значений вариант в
интервале принять = (х. + х-.+ р/2 , i = l,s.
2.	Пронормировать СВ X, т.е. во всех интервалах перейти к величине
Z- (А'-х)/с>в и вычислить значения
Z-, = (х,.-х)/ав , Z,-+ ! = (х; + j - х)/ов .
Левый конец первого интервала устремить к - <*>, а правый конец последнего -
к +<» .
3.	Вычислить теоретические частоты
mi = n?i >
где п - объем выборки; Р- = Ф(г/ + ,) - Ф(г,) - вероятности попадания СВXв
интервалы (х(.; х(.+ |) ; Ф(х) - функция Лапласа.
4.	Вычислить наблюдаемое значение критерия Пирсона
/ = 1
2
По таблице из прил. 10 найти Хкр(а, к) , где а — уровень значимости; к - число
степеней свободы.
-22	,,	11
Вели Х//< Хкр > то гипотеза Щ принимается, если же Хд> Хкр “ отвер-
гается.
Пример 2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости
а = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении
262
генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объ-
емом л = 100, приведенной в таблице:
Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
Интервал	[3; 8)	[8; 13)	[13; 18)	[18; 23)	[23; 28)	[28; 33)	[33; 38]
Частота т;	6	8	15	40	16	8	7
► Методом произведений вычислим выборочное среднее х и выборочное
среднее квадратичное отклонение ов . Все вычисления проведем по схеме
(табл. 19.19).
Таблица 19.19
Номер интерва- ла	Интер- вал	Середи- на интер- вала х.	_ х-20,5 5	Часто- та т.	т,и,-	т,и}	/и,-(и, + I)2
1	[3;8)	5,5	-3	6	-18	54	24
2	[8; 13)	10,5	-2	8	-16	32	8
3	[13; 18)	15,5	-1	15	-15	15	0
4	[18; 23)	20,5	0	40	0	0	40
5	[23; 28)	25,5	1	16	16	16	64
6	[28; 33)	30,5	2	8	16	32	72
7	[33; 38]	35,5	3	7	21	63	112
Ко н -
100	4	212 троль:
320
Далее вычисляем:
и = —----- = 0,04, X = 20,5 + 0,04-5 = 20,7,
п
2
П(и) = - —- -(») = 2,12-0,0016 = 2,1184,
ав = 2,1184-25 = 52,96, ов = 7,28.
Найдем интервалы (z,-; + ]) , ' = 1,7, z(. = (х;-х)/ов , учитывая, что
х = 20,7 , ов = 7,28 , 1 /о = 0,137 . С целью систематизации вычислений
составим расчетную таблицу (табл. 19.20). Левый конец первого интервала
устремим к - оо , а правый конец последнего интервала - к + оо .
263
Таблица 19.20
i	Границы интервала х. + ])		х-х	X/ + 1 - X	Границы интервала (z;; Zi+ ])	
	*i	х/+1			г,- = (х,-х)/ав	= = (х/+ j -х)/ав
1	3	8	-	-12,7	-	-1,74
2	8	13	-12,7	-7,7	-1,74	-1,06
3	13	18	-7,7	-2,7	-1,06	-0,37
4	18	23	-2,7	2,3	-0,37	0,32
5	23	28	2,3	7,3	0,32	1,00
6	28	33	7,3	12,3	1,00	1,69
7	33	38	12,3	-	1,69	-
Значения теоретических вероятностей Р, определим из прил. 4 и вычис-
лим теоретические частоты по формуле /и'. - пР,= 100А. Результаты вы-
числений сведем в таблицу (табл. 19.21).
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле
7 ,	, ,2
2
Таблица 19.21
/	Границы интервала		Ф(г,)	ф(г,+ |)	Л = Ф(г,.+ 1)-Ф(г,.)	= nPj
	г,-	5/+i				
1	-	-1,74	-5,0000	-0,4591	0,0409	4,09
2	-1,74	-1,06	-0,4591	-0,3554	0,1037	10,37
3	-1,06	-0,37	-0,3554	-0,1443	0,2111	21,11
4	-0,37	0,32	-0,1443	0,1255	0,2698	26,98
5	0,32	1,00	0,1255	0,3413	0,2158	21,58
6	1,00	1,69	0,3413	0,4545	0,1132	11,32
7	1,69	-	0,4545	0,5000	0,0455	4,55
-м		-	-	-	1	100
264
Таблица 19.22
i	mi	m'i	m'-	2 ('«/-"!)	, ' ,2 (mi-mj) = т\
1	6	4,9	1,91	3,6481	0,8920
2	8	10,37	-2,37	5,6169	0,5416
3	15	21,11	-6,11	37,3321	1,7684
4	40	26,98	13,02	169,5204	6,2833
5	16	21,58	-5,58	31,1364 	1,4428
6	8	11,32	-3,32	11,0224	0,9737
7	7	4,55	2,45	6,0025	1,3192
I i	100	100	-	-	13,22
Последовательность вычислений указана в табл. 19.22.
2
Таким образом, Ху/ = 13,22 .
Из прил. 10 находим для а = 0,05 и числа степеней свободы
кр
к = s-r-1 = 7-2- 1 = 4 :
2
(0,05; 4) = 9,5.
кр
_	2	2
Так как ZKp , то гипотеза о нормальном распределении генераль-
ной совокупности СВ Xотвергается. 4
Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с по-
мощью критерия Колмогорова. Критерий Колмогорова проверки гипотезы о
виде закона распределения генеральной совокупности применяется в случае,
когда гипотетически (по предположению) известны сам этот закон F(x) и все
его параметры, а на основании опытных данных необходимо подтверждение
его справедливости. Сформулируем этот критерий.
Критерий Колмогорова. 1. По результатам п независимых опытов найти
статистическую функцию распределения F*(x) .
2.	Определить величину D критерия Колмогорова:
D = max |Т*(х) - Г(х)|
и вычислить \-)[]ыт = T)J~n  (Величина D определяется путем сравнения
|f*(x) - 7(x)i в заданных точках или по графикам функций F*(x) и F(x) .)
3.	Принять определенный уровень значимости q критерия Колмогорова.
4.	Зная Р(А.кр) = 1 - q, найти из прил. 11 соответствующее значение .
Если \-)ПЫТ <	, то гипотеза, утверждающая, что функция распределения ге-
неральной совокупности Xравна F(x) , принимается, а при \jnbn > ^Кр эта ги-
потеза отвергается.
265
Пример 3. Дана выборка объемом п = 10, извлеченная из генеральной со-
вокупности X.
xi	2	4	6	8	10	12
mi	1	2	2	2	2	1
Приуровне значимости q = 0,01 проверить с помощью критерия Колмогорова
гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности <¥в интер-
вале (2; 12).
► Гипотетическая функция распределения
Цх) = |Лх)<& =
0	при	х<2,
(х-2)/10 при 2<х<12,
1	при	х> 12.
По данным выборки найдем /*(х) и F(x) во всех точках х,- и оценим 
|f*(x)~ К(х)| . Результаты вычислеиийсведем в табл. 19.23.
Таблица 19.23
i	xi		K*(x;)		|/*(x,)-F(xz)|
1	2	1	0,0	0	0
2	4	2	0,1	0,2	0,1
3	6	2	0,3	0,4	o,l
4	8	. 2	0,5	0,6	0,1
5	10	2	0,7	0,8	0,1
6	12	1	0,9	1,0	0,1
Вычисляем:
D = max |К*(х) - /'(х)| = 0,1 , '-опыт = Djn = ZK/To =>-0,3162 .
Зная, что Д(\р) = 1 - q = 0,99 , из прил. 11 находим: Хкр » 1,63 .
Так как >-ог|ЫТ < >-кр , то предположение о равномерном распределении ге-
неральной совокупности не отвергается. <
АЗ-19.5
1.	Используя критерий Пирсона, при уровне значимости
а = 0,05 установить, случайно или значимо расхождение
между эмпирическими частотами т, и теоретическими часто-
266
тами w'- , которые вычислены исходя из гипотезы о нормаль-
ном распределении генеральной совокупности X, если:
а)	mi	5	10	'20	8	7
		6	14	18	7	5
						
б)	m-t	6	8	13	15	20	16	10	7	 5
	/»;	5	9	14	16	18	10	9	6	7
						
в)	т,-	14	18	32	70	20	36	10
		10	24	34	80	18	22	12
7	7	?	?
(Ответ: a) Xfl = 2,47 ,	= 6,0; б) = 1,52, ХкР = 12>6 ;
7	7
в) 4= 13,93 , Хкр = 9>5-)
2.	Используя критерий Пирсона, при уровне значимости
а = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном
распределении генеральной совокупности X с заданным эм-
пирическим распределением, если:
Номер интер- вала	1	2	3	4	5	6	7
Ин- тервал	[-20; -10)	[-10;0)	[0; 10)	[Ю; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50]
Часто- та т;	20	47	80	89	40	16	8
о
(Ответ: х = 10,4 , ст = 13,67 , к = 4 ,	= 1,52,
7
Хкр = 9,5.)
267
Номер интерва- ла	1	2	3	4	5	6	7	8
Интер-	[6; 16)	[16;	[26;	[36;	[46;	[56;	[66;	[76;
вал		26)	36)	46)	56)	66)	76)	86]
Частота	8	7	16	35	15	8	6	5
{Ответ: х = 42,5 , о = 17,17 , к = 5 ,	= М , х|р = И,1 )
3.	Проведено п = 100 опытов. Любой опыт состоял из / = 5
испытаний, в каждом из которых вероятность р появления со-
бытия А равна 0,3. В итоге получено следующее эмпирическое
распределение:
xi	0	1	2	3	4	5
	2	10	27	32	23	6
где Xj - число появлений события А в каждом опыте; т, - час-
тота числа появлений события А в z-м опыте. Требуется при
уровне значимости а = 0,05 проверить гипотезу о том, что
дискретная СВ X распределена по биномиальному закону.
?	2
(Ответ:	= 4,44 , %кр(0,05; 4) = 95 .)
4.	Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости
а = 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном
распределении генеральной совокупности с данными выбор-
ки объемом п = 200, если:
Х}	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3
m-	6	9	26	25	30	26	21	24	20	8	5
(Ответ: х = 1,26 , а = 0,491 ,	= 12,222 , %^р = 15,5 .)
5.	В ОТК были измерены диаметры 60 валиков из партии,
изготовленной одним станком-автоматом. Результаты изме-
рений заданы следующей таблицей:
268
Интервал, мм		Интервал, мм	
[13,94; 14,04)	1	[14,34; 14,44)	14
[14,04; 14,14)	1	[14,44; 14,54)	14
[14,14; 14,24)	4	[14,54; 14,64)	10
[14,24; 14,34)	10	[14,64; 14,74]	6
При уровне значимости q = 0,05 с помощью критерия Колмо-
горова проверить гипотезу о том, что выборка согласуется с
равномерным распределением генеральной совокупности в
интервале (13,94; 14,74). (Ответ: Хнабл = 2,12, Хкр = 1,355.)
Самостоятельная работа
При уровне значимости а = 0,05 проверить гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности, если
известны эмпирические и теоретические частоты.
1.
	6	12	16	40	13	8	5
	4	11	15	43	15	6	6
(Ответ:	= 2,5 ,	= 93 .)
2. _______________
	5	6	14	32	43	39	30	20	6	5
	4	7	12	29	48	35	34	18	7	6
(Ответ: хн = 3 , х|Р = 14,1 .)
3. ___________________
	5	13	12	44	8	12	6
	2	20	12	35	15	10	6
?	7
(Ответ: хн = 13,0, %кр = 9,5.)
269
19.6.	ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ
ЗАДАНИЯ К ГЛ. 19
ИДЗ-19.1
В результате эксперимента получены данные, записанные
в виде статистического ряда. Требуется:
а)	записать значения результатов эксперимента в виде ва-
риационного ряда;
б)	найти размах варьирования и разбить его на 9 интерва-
лов;
в)	построить полигон частот, гистограмму относительных
частот и график эмпирической функции распределения;
г)	найти числовые характеристики выборки х, DB;
д)	приняв в качестве нулевой гипотезу Нй: генеральная со-
вокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное
распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона
при уровне значимости а = 0,025;
е)	найти доверительные интервалы для математического
ожидания и среднего квадратичного отклонения при надеж-
ности у = 0,9.
1.1.
17,1	21,4	15,9	19,1	22,4	20,7	17,9	18,6	21,8	16,1
19,1	20,5	14,2	16,9	17,8	18,1	19,1	15,8	18,8	17,2
16,2	17,3	22,5	19,9	21,1	15,1	17,7	19,8	14,9	20,5
17,5	19,2	18,5	15,7	14,0	18,6	21,2	16,8	19,3	17,8
18,8	14,3	17,1	19,5	16,3	20,3	17,9	23,0	17,2	15,2
15,6	17,4	21,3	22,1	20,1	14,5	19,3	18,4	16,7	18,2
16,4	18,7	14,3	18,2	19,1	15,3	21,5	17,2	22,6	20,4
22,8	17,5	20,2	15,5	21,6	18,1	20,5	14,0	18,9	16,5
20,8	16,6	18,3	21,7	17,4	23,0	21,1	19,8	15,4	18,1
18,9	14,7	19,5	20,9	15,8	20,2	21,8	18,2	21,2	20,1
1.2.
16,8	17,9	21,4	14,1	19,1	18,1	15,1	18,2	20,3	16,7 .
19,5	18,5	22,5	18,4	16,2	18,3	19,1	21,4	14,5	16,1
21,5	14,9	18,6	20,4	15,2	18,5	17,1	22,4	20,8	19,8
270
17,2	19,7	16.3	18,7	14,4	18,8	19,5	21,6	15,3	17,3
22,8	17,4	22,2	16,5	21,7	15,4	21,3	14,3	20,5	16,4
20,6	15,5	19,4	17,5	20,9	23,0	18,9	15,9	18,2	20,7
17,9	21,8	14,2	21,2	16,1	18,4	17,5	19,3	22,7	19,6
22,1	17,6	16,7	20,4	15,7	18,1	16,6	18,3	15,5	17,7
19,2	14,8	19,7	17,7	16,5	17,8	18,5	14,0	21,9	16,9
15,8	20,8	17,1	20,1	22,6	18,9	15,6	21,1	20,2	15,1
1.3.
189	207	213	208	186	210	198	219	231	227
202	211	220	236	227	220	210	183	213	190
197	227	187	226	213	191	209	196	202	235
211	214	220	195	182	228	202	207	192	226
193	203	232	202	215	195	220	233	214	185
234	215	196	220	203	236	225	221	193	215
204	184	217	193	216	205	197	203	229	204
225	216	233	223	208	204	207	182	216	191
210	190	207	205	232	222	198	217	211	201
185	217	225	201	208	211	189	205	207	199
1.4.
9,4	7,9	0,3	6,8	4,2	11,9	7,8	1,7	5,1	8,8
8,7	11,1	7,7	1,8	5,5	10,5	4,3	3,8	1,4	Н,2
1,1	7,3	3,7	4,4	11,8	8,6	1,9	5,6	Ю,1	8,4
10,0	11,6	5,2	2,1	5,7	4,8	7,4	0,8	4,7	3,6
8,3	7,6	0,7	7,3	3,4	11,4	5,7	9,9	2,2	7,2
2,3	4,7	9,7	п,з	5,8	4,9	3,3	0,5	7,5	4,6
5,0	0,4	8,9	7,1	9,6	11,5	5,9	9,0	5,3	2,4
9,5	5,9	1,0	9,1	2,5	6,0	8,2	3,2	10,9	6,1
10,2	2,6	4,5	3,1	6,2	11,7	6,3	0,2	7,0	9,2
1,2	6,4	11,9	6,9	8,1	6,5	2,9	6,2	4,4	10,3
271
1.5.
1,6	4,4	10,9	6,4	4,0	2,8	5,2	1,2	7,6	3,4
2,9	5,3	1,7	 7,7	6,9	10,1	5,4	4,1	8,8	6,5
6,6	4,2	5,5	0,5	8,9	4,5	1,8	5,6	7,8	3,0
1,9	10,2	7,9	. 2,5	5,7	3,1	6,7	4,3	0,6	9,0
6,8	3,2	4,4	9,1	10,3	6,0	7,9	6,9	8,0	2,0
7,0	10,7	8,1	2,1	5,8	6,4	0,3	4,5	9,2	3,3
7,6	9,3	3,4	4,6	5,0	3,8	5,9	8,2	2,2	7,1
2,3	0,8	7,2	8,3	Н,1	6,5	3,5	9,4	10,8	4,7
4,8-	6,1	3,6	9,5	8,4	2,4	6,2	7,3	5,7	0,9
7,4	8,5	5,8	1,1	5,9	•4,9	3,7	9,6	2,6	6,1
1.6.
20	26	32	34	26	28	22	30	17	24
30	28	18	22	24	26	34	28	22	20
34	24	28	20	32	17	22	24	26	30
30	22	26	35	28	24	30	32	28	18
20	30	17	24	32	28	22	26	24	30
34	26	24	28	22	30	35	32	20	17
28	22	36	30	20	26	28	23	24	32
20	26	30	24	32	17	22	28	35	26
28	35	32	22	26	24	26	24	30	24
18	24	26	28	35	30	26	22	26	28
1.7.
57	46	33	49	29	50	38	41	27	34
37	49	51	26	55	42	59	43	46	30
31	43	58	41	35	47	33	45	49	37
47	34	54	39	60	49	25	50	31	53
38	41	30	51	37	55	47	43	35	42
35	46	27	45	41	34	50	29	51	39
42	59	43	31	38	58	54	37	26	43
29	42	33	41	24	39	53	45	33	51
45	25	54	50	37	30	41.	60	42	46
38	53	34	47	35	49	57	39	55	31
272
1.8.
37	49	43	.31	44	38	40	31	28	43
32	44	47	29	51	25	43	38	41	32
38	24	. 49	40	32	34	31	28	37	46
41	35	43	25	37	46	38	24	41	50
38	29	41	32	34	49	44	37	31	47
50	34	25	37	40	32	35	28	44	43
46	37	41	35	29	43	38	31	26	34
49	32	46	26	38	35	40	51	37	46
37	25	40	34	24	44	32	28	34	38
44	34	29	47	37	49	43	35	47	50
1.9.
70	95	75	85	60	77	55	63	80	67
90	78	57	76	84	82	75	68	73	62
62	81	77	72	97	68 '	85	56 '	92	71
73	78	98	63	83	85	70	90	66	91
86	68	55	93	71	96	77	81	86	72
82	62	70	78	67	87	91	99	78	87
91	58	81	97	75	83	71	66	' 61	76
73	85	65	90	86	61	54	75	78	93
87	58	72	92	66	98	65	81	76	63
95	83	65	57	80	87	61	92	56	71
1.10.
57,3	75,1	78,1	69,3	60,1	77,3	66,1	69,5	72,1	68,7
81,1	69,4	63,1	67,4	77,1	82,6	64,8	72,5	62,5	80,7
77,6	65,8	78,3	57,7	80,7	64,4	82,8	67,3	83,1	70,6
75,3	58,0	60,7	81,3	67,1	69,6	82,4	62,3	66,9	80,6
62,7	73,8	68,9	83,8	57,0	72,6	65,6	78,7	59,5	70,0
73,5	58,1	64,0	83,9	84,0	63,5	74,1	77,7	68,5	80,5
66,3	73,0	79,1	71,1	80,4	62,1	66,7	83,7	76,8	59,3
71,3	63,7	71,2	78,9	65,2	77,9	74,9	69,1	 70,8	74,8
71,6	72,9	61,9	71,5	75,4	71,7	59,9	74,3	76,1	70,9
61,3	71,4	71,8	65,0	67,8	75,5	71,9	64,9	74,7	62,9
10 Зак 2209
273
1.11.
181	141	162	103	136	124	41	117	69	153
101	24	67	154	172	НО	62	59	197	121
135	58	199	159	81	39	142	87	179	85
171	107	125	192	163	200	133	150	178	98
148	56	ИЗ	169	73	138	104	31	90	109
127	116	190	20	111	94	157	119	53	76
66	132	166	91	44	115	72	26	128	149
46	75	105	137	82	64	186	96	176	97
156	33	188	58	112	139	86	174	106	77
152	130	43	108	119	129	37	71	96	114
1.12.
32	105	48	80	144	128	64	112	18	81
66	129	113	17	94	78	90	51	104	34
НО	149	36	103	82	53	93	130	68	150
114	84	55	131	70	38	102	77	16	135
41	19	142	61	85	159	115	57	72	101
56	100	86	146	73	40	141	25	87	126
151	71	94	15	125	76	54	99	39	140
17	124	52	98	139	37	147	88	69	109
35	158	67	30	93	123	50	138	21	97
96	121	49	137	89	145	91	65	92	33
1.13.
0,053	0,026	0,037	0,056	0,041	0,035	0,031	0,046	0,021	0,054
0,035	0,039	0,043	0,031	0,038	0,023	0,045	0,026	0,037	0,042
0,030	0,041	0,021	0,047	0,026	0,046	0,033	0,038	0,053	0,035
0,049	0,054	0,039	0,034	0,051	0,029	0,046	0,023	0,038	0,043
0,026	0,039	0,033	0,020	0,042	0,050	0,025	0,037	0,041	о;о29
0,029	0,038	0,027	0,043	0,035	0,030	0,049	0,055	0,039	0,034
0,022	0,045	0,0 ’ 1	0,055	0,037	0,025	0,033	0,051	0,027	0,045
0,041	0,051	0,027	0,046	0,029	0,038	0,042	0,020	0,039	0,031
0,025	0,047	0,030	0,050	0,023	0,039	0,035	0,049	0,030	0,047
0,034	0,022	0,042	0,031	0,049	0,033	0,056	0,037	0,050	0,025
274
1.14.
0,026	0,034	0,028	0,036	0,030	0,038	0,041	0,038	0,030	0,028
0,028	0,030	0,034	0,038	0,040	0,036	0,034	0,023	0,032	0,026
0,034	0,032	0,024	0,036	0,032	0,026	0,030	0,028	0,038	0,034
0,038	0,041	0,028	0,026	0,030	0,034	0,032	0,040	0,036	0,032
0,030	0,036	0,034	0,032	0,023	0,032	0,028	0,032	0,026	0,038
0,026	0,032	0,028	0,040	0,038	0,030	0,032	0,024	0,036	0,030
0,024	0,032	0,030	0,036	0,028	0,041	0,032	0,038	0,034	0,026
0,041	0,034	0,023	0,038	0,026	0,030	0,028	0,036	0,040	0,028
0,030	0,026	0,034	0,028	0,024	0,036	0,032	0,030	0,038	0,034
0,028	0,034	0,040	0,036	0,030	0,038	0,023	0,034	0,032	0,026
1.15.
0,86	1,04	1,45	1,31	1,22	1,09	0,73	1,11	0,95	0,84
0,96	0,78	1,23	1,13	1,04	1,44	1,32	1,29	0,68	0,86
1,33	1,08	0,87	0,67	1,28	0,97	1,14	0,83	1,33	1,40
1,24	1,43	0,98	1,34	0,81	0,88	1,10	0,70	1,15	1,23
1,34	1,09	0,80	1,16	1,24	0,75	0,99	1,41	0,88	0,79
1,36	1,25'	0,89	1,26	1,42	1,35	0,80	1,17	0,90	1,00
1,Н	0,69	1,18	0,82	1,01	0,90	1,36	1,25	0,67	0,91
1,37	1,02	0,92	1,27	1,19	1,38	1,46	0,93	1,27	0,83
1,04	1,11	1,47	1,07	0,72	0,93	1,26	0,77	1,20	1,28
0,77	1,Ю	0,95	1,05	1,08	1,11	1,10	1,48	1,07	0,92
1.16.
0,76	0,82	0,70	0,86	0,78	0,96	0,68	0,83	0,92	0,86
0,86	0,84	0,66	0,92	0,76	0,95	0,84	1,91	0,78	0,70
0,78	0,70	0,82	0,99	0,83	0,86	0,67	0,91	0,75	0,86
0,83	0,75	0,95	0,79	0,65	0,84	0,78	0,88	0,70	0,95
0,87	0,71	0,92	1,00	0,75	0,87	0,80	0,79	0,66	0,90
0,79	0,82	0,65	0,83	0,88	0,96	0,75	0,91	0,71	0,87
0,76	0,90	0,71	0,87	0,74	0,94	0,80	1,00	0,95	0,79
0,96	0,98	0,84	0,79	0,91	0,71	0,65	0,90	0,88	0,74
0,74	0,67	0,94	0,72	1,01	0,82	0,80	0,83	0,99	0,83
0,88	0,80	0,72	0,91	0,84	0,74	0,94	0,72	0,83	0,87
275
1.17.
1,66	2,21	1,21	1,46	1,16	1,81	0,86	1,74	2,08	1,38
2,27	0,81	2,39	2,19	2,25	1,67	1,84	1,37	2,12	2,37
1,15	2,17	1,45	1,75	1,14	1,94	1,53	0,83	1,68	1,35
2,39	1,63	1,86	1,24	1,73	1,07	2,10	1,13	1,91	1,31
1,78	2,09	1,54	1,79	1,08	1,42	0,80	1,96	1,19	0,85
1,88	1,27	0,84	2,60	1,44	1,77	2,45	1,10	2,16	1,59
1,56	2,30	2,48	0,99	1,18	2,Н	1,64	2,28	1,29	1,93
2,15	1,72	1,83	1,47	1,87	1,17	2,29	1,90	1,71	2,55
2,31	1,39	1,85	2,38	1,65	2,51	1,48	1,28	2,18	1,49
2,14	1,76	1,51	1,82	0,91	2,51	2,34	2,59	1,69	2,13
1.18.
2,1	2,3	1,5	3,1	2,7	1,9	2,4	0,9	2,5	1,1
1,3	2,9	2,3	3,9	2,4	3,6	1,6	3,2	2,9	2,0
2,1	3,3	0,8	3,5	1,7	2,6	4,1	2,8	1,2	2,5
1,1	2,4	1,5	3,2	2,7	1,5	3,7	1,9	3,1	4,0
4,1	2,9	2,0	2,0	1,1	0,7	3,3	2,5	1,6	2,4
2,1	3,2	0,9	2,8	4,2	2,8	1,9	1,2	1,7	3,5
2,7	3,9	2,4	1,7	3,6	2,5	0,8	3,1	2,1	1,3
3,2	1,6	0,7	2,6	1,3	2,0	3,7	2,9	4,0	3,1
2,8	4,1	1,9	3,6	3,3	2,9	0,6	1,5	1,2	2,4
1,1	3,5	1,6	2,4	3,9	2,7	2,5	1,9	2,6	3,2
1.19.
19,3	44,5	49,9	26,9	50,2	51,1	18,6	72,7	35,4	25,4
42,7	17,5	51,7	49,3	26,2	47,1	71,4	27,1	75,7	43,2
25,5	27,2	80,4	50,4	70,2	14,9	52,4	62,3	41,7	49,5
40,6	14,5	62,8	34,5	53,4	26,1	69,3	52,5	27,3	80,3
25,3	43,1	27,4	80,1	68,4	63,3	13,4	55,4	39,5	33,1
38,4	19,7	63,8	40,4	80,8	56,4	66,1	27,5	79,1	24,6
28,6	47,9	78,4	57,4	66,5	37,3	23,4	67,6	Н,1	64,3
22,7	64,8	36,2	58,7	10,8	47,7	58,4	29,2	46,7	77,2
51,9	31,3	44,7	66,3	20,1	65,3	45,5	76,3	67,8	35,1
66,9	18,9	42,9	50,7	34,9	43,5	32,5	48,4	53,1	65,8
276
1.20.
56,5	47,3	23,1	38,6	92,5	50,9	74,9	65,7	47,5	83,9
11,8	70,1	57,1	39,9	54,7	70,9	47,4	28,1	39,1	76,2
32,3	92,1	20,7	48,6	87,1	66,3	45,8	41,4	56,9	22,6
45,8	58,4	53,4	51,4	11,6	30,9	31,4	37,4	65,8	19,3
45,3	74,4	21,2	25,7	56,7	20,3	48,3	60,1	46,2	64,1
15,1	47,7	12,7	92,6	29,5	52,0	60,2	32,1	74,5	54,2
36,1	47,2	26,1	65,3	42,0	50,1	72,1	56,4	25,1	75,1
83,8	38,7	81,2	65,1	87,4	35,3	92,4	85,6	83,5	20,5
76,3	69,4	41,6	35,9	29,7	80,9	49,9	59,5	83,4	76,5
24,4	55,9	74,2	27,3	76,7	29,9	69,1	30,1	65,4	18,4
1.21.
15,2	23,1	27,1	18,6	25,1	27,5	16,0	28,8	22,7	18,8
24,9	26,3	21,2	28,0	25,5	27,7	20,9	31,9	16,8	29,1
26,8	17,4	31,5	21,4	24,8	17,2	30,8	23,7	29,7	21,1
20,4	24,5	26,0	28,7	20,0	33,0	27,9	24,5	20,6	32,1
26,9	19,7	21,5	19,8	16,8	21,7	26,4	23,2	22,9	26,6
25,3	25,8	16,6	23,6	15,0	22,3	24,0	22,4	32,5	19,1
24,7	29,8	18,2	29,6	23,4	18,1	16,9	24,2	24,1	32,2
24,4	18,4	22,1	30,1	22,0	17,8	28,0	25,7	30,9	22,5
30,7	22,5	30,0	27,3	25,4	26,2	20,7	28,1	19,3	28,9
20,3	30,4	24,3	31,6	30,0	22,6	29,2	32,7	26,7	15,8
1.22.
19,1	23,5	19,6	27,5	33,3	31,2	27,7	21,4	27,3	20,5
21,9	20,7	15,2	27,3	23.0	31,7	18,9	23,7	33,1	27,9
23,9	18,5	24,1	28,1	22,0	16,4	30,8	27,1	19,9	30,4
20,5	30,9	31,9	26,9	19,8	28,3	22,7	15,6	22,4	18,3
28,5	16,2	22,5	18,1	28,4	33,9	30,8	19,6	26,7	32,5
21,1	24,3	26,5	15,4	24,5	26,4	28,7	17,9	30,6	23,1
32,1	23,2	17,7	28,9	22,9	20,1	30,4	26,3	16,0	25,4
26,1	15,8	30,2	19,4	25,1	25,3	17,5	24,7	21,7	29,1
21,2	21,8	17,3	33,5	29,3	24,9	30,0	15,0	25,2	25,8
33,7	24,5	25,6	23,3	29,8	17,2	25,1	22,4	29,6	19,3
277
1.23.
81	106	135	170	206	60	181	178	154	103
78	176	31	204	145	85	229	47	108	234
НО	207	241	168	133	68	174	143	89	182
203	153	172	93	48	228	255	134	112	58
144	235	114	77	208	183	59	170	95	154
104	202	39	164	247	226	110	67	121	193
123	91	164	57	209	30	185	162	250	225
201	160	239	211	131	142	101	153	76	125
137	54	127	87	66	190	158	241	33	221
100	195	156	146	231	220	129	83	151	56
1.24.
76	28	151	91 .	60	204	177	102	128	217
120	66	207	126	124	152	27	221	131	51
241	77	250	134	123	147	184	195	47	160
159	74	169	178	79	129	250	223	182	96
135	199	56	25	82	116	44	229	145	203
88	209	146	224	239	103	201	245	130	163
71	165	176	194	78	154	99	78	127	69
171	173	31	181	117	84	73	161	240	149
247	107	140	53	205	155	29	132	185	179
180	128	42	114	93	191	174	210	133	226
1.25.
157,2	137,1	136,0	131,1	142,1	152,0	150,2	125,7	146,6	141,6
138,5	' 143,4	147,3	144,2	158,3	146,0	140,8	135,8	150,9	156,4
145,1	122,-4	139,1	155,5	150,2	146,2	159,6	146,2	164,1	140,5
156,4	141,6	134,4	149,2	145,3	128,4	150,6	133,7	142,1	136,9
127,2	138,2	160,8	155,2	121,8	150,5	144,5	150,5	141,4	128,0
136,2	145,9	162,5	136,9	142,9	146,4	153,2	161,4	150,8	141,6
149,8	154,1	148,4	144,8	150,8	129,3	145,3	141,2	146,4	135,5
134,8	147,1	137,5	159,7	142,7	145,7	150,3	123,5	139,6	153,6
138,4	166,8	148,8	152,5	151,6	133,4	145,6	144,5	144,4	140,8
152,1	137,4	132,1	149,7	166,2	151,1	145,1	139,5	130,1	145,6
278
1.26.
2,85	5,92	3,06	2,47	6,28	3,86	2,19	5,81	3,88	3,01
3,91	з,н	1,46	4,67	3,95	5,76	3,08	3,99	6,38	1,51
2,34	4,19	5,72	4,14	3,03	4,08	6,47	4,05	5,96	4,01
4,23	2,16	6,55	3,14	4,26	4,31	1,48	4,45	2,71	5,69
6,60	4,69	2,93	7,68	0,65	6,68	3,18	5,64	4,56	3,36
2,64	3,23	6,75	4,57	5,61	3,29	7,08	2,91	4,59	2,59
4,61	1,98	6,21	3,39	4,62	2,28	4,64	3,45	5,56	4,07
3,58	4,73.	3,61	2,24	4,31	3,81	5,52	4,26	4,17	7,49
1,29	4,45	4,78	5,01	7,85	5,49	2,01	4,89	0,98	4,84
2,26	5,47	4,63	4,98	5,42	4,60	5,10	4,96	4,63	5,05
1.27.
76,23	45,29	92,41	35,48	56,81	45,67	54,01	45,88	25,56	65,91
48,11	6,32	26,31	74,27	27,82	88,04	36,12	56,97	4,97	46,31
55,78	46,85	57,31	37,28	66,41	28,53	72,48	29,34	38,34	62,35
46,82	39,47	81,04	54,06	48,64	61,22	40,56	30,11	78,45	48,53
86,24	47,51	66,92	42,74	4,83	47,83	64,02	57,84	41,63	53,75
65,21	43,82	58,31	33,71	44,95	68,91	32,84	45,21	84,47	31,27
49,29	83,09	55,11	94,75	49,85	58,86	55,30	69,44	50,41	35,07
67,24	41,78	50,56	34,05	37,91	71,25	17,84	14,51	18,23	51,93
50,89	9,41	16,31	51,33	70,58	15,91	51,84	59,31	25,01	60,31
85,52	59,77	75,26	52,22	95,73	19,04	60,85	22,91	53,84	15,02
1.28.
1,58	1,95	0,89	1,76	1,54	2,18	1,13	2,59	1,91	1,60
1,19	1,70	2,58	1,31	2,54	1,90	2,20	1,49	2,69	1,51
1,77	1,93	1,48	2,21	1,64	2,92	1,25	1,97	0,90	1,78
1,12	2,48	1,38	1,79	1,75	0,67	2,22	1,62	1,82	1,09
1,61	1,71	0,95	2,23	1,46	1,99	2,24	1,72	2,03	1,25
1,28	2,04	 1,83	1,69	1,81	1,22	2,05	1,07	1,74	1,88
1,80	0,69	2,07	1,29	2,27	2,75	1,41	2,08	2,30	2,15
1,34	1,84	1,73	2,31	1,86	1,40	2,46	0,73	2,33	1,85
1,02	2,13	1,66	2,84	1,16	2,34	1,44	2,89	2,09	2,90
1,87	1,43	2,11	0,84	1,91	2,44	2,10	1,75	2,60	1,68
279
1.29.
30,2	51,9	43,1	58,9	34,1	55,2	47,9	43,7	53,2	34,9
47,8	65,7	37,8	68,6	48,4	67,5	27,3	66,1	52,0	55,6
54,1	26,9	53,6	42,5	59,3	44,8	52,8	42,3	55,9	48,1
44,5	69,8	, 47,3	35,6	70,1	39,5	70,3	33,7	51,8	56,1
28,4	48,7	41,9	58,1	20,4	56,3	46,5	41,8	59,5	38,1
41,4	70,4	31,4	52,5	45,2	52,3	40,2	60,4	27,6	57,4
29,3	53,8	46,3	40,1	50,3	48,9	35,8	61,7	49,2	45,8
45,3	71,5	35,1	57,8	28,1	57,6	49,6	45,5	36,2	63,2
61,9	25,1	65,1	49,7	62,1	46,1	39,9	62,4	50,1	33,1
33,3	49,8	39,8	45,9	37,3	78,0	64,9	28,8	62,5	58,7
1.30.
88	72	100	60	116	74	36	143	. 114	70
56	75	30	76	89	53	117	90	135	103
35	128	71	86	43	76.	61	113	34	83
62	' 84	50	69	120	91	102	47	119	99
33	76	91	37	85	17	85	63	121	74
46	85	63	104	77	92	54	78	42	105
85	79	49	80	93	32	106	81	64	79
73	19	80	65	107	123	51	94	80	108
52	83	124	81	96	82	109	20	95	68
66	41	82	98	111	67	1-25	97	112	58
Решение типового варианта
В результате эксперимента получены данные, записанные
в виде статистического ряда:
44,8	46,2	45,6 ’	44,0	46,4	45,2	46,7	45,4	45,3	46,1
44,3	45,3	45,6	46,7	44,5	46,0	45,7	45,0	46,4	45,9
44,4	45,4	46,1	43,4	46,5	45,9	43,9	45,7	47,1	.44,9
43,8	45,6	45,2	46,4	44,2	46,5	45,7	44,7	46,0	45,8
44,3	45,5	46,7	44,9	46,2	46,7	44,6	46,0	45,4	45,0
280
45,4	45,3	44,1	46,6	44,8	45,6	43,7	46,8	45,2	46,1
44,5	45,4	45,1	46,2	44,2	46,4	45,7	43,9	47,2	45,0
43,9	45,6	44,9	44,5	46,2	46,7	44,3	46,1	47,7	45,8
45,6	45,2	44,2	46,0	44,7	46,5	43,5	45,4	47,1	44,0
46,2	44,2	45,5	46,0	45,7	46,4	44,6	47,0	45,2	46,9
Требуется:
а)	записать значения результатов эксперимента в виде ва-
риационного ряда;
б)	найти размах варьирования и разбить его на 9 интерва-
лов;
в)	построить полигон частот, гистограмму относительных
частот и график эмпирической функции распределения;
г)	найти числовые характеристики выборки х, DB;
д)	приняв в качестве нулевой гипотезу Hq. генеральная со-
вокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное
распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона
при уровне значимости а = 0,01;
е)	найти доверительные интервалы для математического
ожидания и среднего квадратичного отклонения при надеж-
ности у = 0,95 .
► а) Располагаем значения результатов эксперимента в по-
рядке возрастания, т.е. записываем вариационный ряд:
43,4	43,5	43,7	43,8	43,9	43,9	43,9	44,0	44,0	44,1
44,2	44,2	44,2	44,3	44,3	44,3	44,4	44,5	44,5	44,5
44,6	44,6	44,7	44,7	44,8	44,8	44,8	44,9	44,9	44,9
45,0	45,0	45,1	45,2	45,2	45,2	45,2	45,2	45,3	45,3
45,3	45,4	45,4	45,4	45,4	45,4	45,4	45,5	45,5	45,6
45,6	45,6	45,6	45,6	45,7	45,7	45,7	45,7	45,7	45,7
45,8	45,8	45,9	45,9	46,0	46,0	46,0	46,0	46,0	46,0
46,1	46,1	46,1	46,1	46,2	46,2	46,2	46,2	46,2	46,4
46,4	46,4	46,4	46,4	46,5	46,5	46,5	46,6	46,7	46,7
46,7	46,7	46,7	46,8	46,9	47,0	47,1	47,1	47,2	47,7
б)	Находим размах варьирования: ю = -xmi„ =
JI ld-Х пил
= 47,7-43,4 = 4,3. По формуле h = а>/1, где / - число
281
интервалов, вычисляем длину частичного интервала
h = 4,3/9 = 0,4(7) = 0,48 . В качестве границы первого ин-
тервала можно выбрать значение xmin . Тогда границы следую-
щих частичных интервалов вычисляем по формуле xmin + dh,
d = 1, I. Находим середины интервалов: х';- = (х( + х/ + 0/2.
Подсчитываем число значений результатов эксперимента, по-
павших в каждый интервал, т.е. находим частоты интервалов
п-. Далее вычисляем относительные частоты = п/п
(п = 100) и их плотности Й/-/Л. Все полученные результаты
помещаем в таблицу (табл. 19.24).
Таблица 19.24
Номер частич- ного ин- тервала //	Границы интервала х,-х/+1	Середина интервала х';. = (х,.+ + х, + 1)/2	Частота интер- вала Л;	Относитель- ная частота = л-/п	Плотность от- носительной частоты IF./A
1	43,40-43,88	43,64	4	0,04	0,083
2	43,88-44,36	44,12	12	0,12	0,25
3	44,36-44,84	44,60	11	о,и	0,23
•4	44,84-45,32	45,08	14	0,14	0,29
5	45,32-45,80	45,56	21	0,21	0,44
6	45,80-46,28	46,04	17	0,17	0,35
7	46,28-46,76	46,52	14	0,14	0,29
8	46,76 - 47,24	47,00	6	0,06	0,13
9	47,24-47,72	47,48	1	0,01	0,02
2 i	-		100	-	-
в)	Строим полигон частот и гистограмму относительных
частот (рис. 19.3, 19.4 соответственно; масштабы на осях берем
разные).
Находим значения эмпирической функции распределения
/*(х) = пх/п:	/*(43,40) = 0,	/*(43,88) = 0,04,
/*(44,36)= =0,16, /*(44,84) = 0,27, /*(45,32) = 0,41,
/*(45,80) = = 0,62, /*(46,28) = 0,79, /*(46,76) = 0,93,
/*(47,24) = = 0,99, /*(47,72) = 1.
282
0,44'
0,35
0,29
0,25
0,23
0,13
0,08
0,02
0 1143,40 43,88 44,36 44,84 45,32 45,80 46,28 46,76 47,24 47,72xt
Рис. 19.4
283
Строим график эмпирической функции распределения
(рис. 19.5).
г)	Находим выборочное среднее:
-	1 v '
/= 1
и выборочную дисперсию:
= «X (х'/-х)2"/ = ~п Е <х'А-*2-
i = 1	i = 1
Для этого составляем расчетную таблицу (табл. 19.25). Из
нее получаем:
х = 4545,92/100 = 45,46,
Дв = 206 738,7/100-45,462 = 0,85 , ов =	= 0,92.
Таблица 19.25
т,	Границы интерва- ла х;-; х. + ।	Середина интервала	Частота интер- вала Лу		О',)2	( • / «,(*,)
1	43,40-43,88	43,64	4	174,56	1904,45	7617,80
2	43,88-44,36'	44,12	12	529,44	1946,57	23 358,84
3	44,36-44,84	44,60	И	490,60	1989,16	21 880,76
4	44,84-45,32	45,08	14	631,12	2032,21	28 450,94
5	45,32-45,80	45,56	21	956,76	2075,71	43 589,91
6	45,80-46,28	46,04	17	782,68	2119,68	36 034,56
7	46,28-46,76	46,52	14	651,28	2164,11	30 297,54
8	46,76-47,24	47,00	6	282,00	2209,00	13 254,00
9	47,24-47,48	47,48	1	47,48	2254,35	2 254,35
	-	-	100	4545,92	-	206 738,7
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой гене-
ральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной
оценкой'.
284
D* =	• 0,85 = 0,867, oB = JFB = 0,93 .
д) Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эм-
пирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты
даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем
X, т.е. перейдем к СВ z = (х-х)/ств и вычислим концы ин-
тервалов: Zj = (х, -х)/ов, zi+ j = (х;+ j -х)/ств, причем наи-
меньшее значение г, т.е. Z\, положим стремящимся к -оо, а
наибольшее, т.е. zm + j, - к + <ю . Результаты занесем в таблицу
(табл. 19.26). Так как = 4 < 5 , то первый интервал объеди-
няем со вторым и получаем интервал (43,40; 44,36) с частотой
п1 = 16. Далее объединим восьмой и девятый интервалы и
получим интервал (46,76; 47,72) с частотой = 7 .
Таблица 19.26
i	Границы интервала х,-; х;+1		Х}-Х	х,.+ 1+х	Границы интервала (Zj; Zj+ р	
	х,	*7 + 1			г,- = (х,- -х)/ав	г, + 1 = -х)/ав
1	43,40	44,36	-	-1,10	-	-1,19
2	44,36	44,84	-1,10	-0,62	-1,19	-0,67 ‘
3	44,84	45,32	-0,62	-0,14	-0,67	-0,15
4	45,32	45,80	-0,14	0,34	-0,15	0,37
5	45,80 	46,28	0,34	0,82	0,37	0,89
6	46,28	46,76	0,82	1,30	0,89	1,40
7	46,76	47,72	1,30	-	1,40	-
Находим теоретические вероятности Р; и теоретические
частоты: и'- = nPt = 100Р;-. Составляем расчетную таблицу
(табл. 19.27).
285
Таблица 19.27
/	Границы интервала (г,-; г,+1)		Ф(г,)	Ф(г,+ 1)	Д = Ф(г, + 1)” -ФЦ)	= 1007Т
		г/+1				
1	-	-1,19	-0,5000	-0,3830	0,1170	11,70
2	-1,19	-0,67	-0,3830	-0,2486	0,1344	13,34
3	-0,67	-0,15	-0,2486	-0,0596	0,1890	18,90
4	-0,15	0,37	-0,0596	0,1443	0,2039	20,39
5	0,37	0,89	0,1443	0,3133	0,1690	16,90
6	0,89	1,40	0,3133	0,4192	0,1059	10,59
7	1,40	-	0,4192	0,5000	0,0808	8,08
S i	-	-	-	-	1	100
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для
этого составим расчетную таблицу (табл. 19.28). Последние
два столбца служат для контроля вычислений по формуле
2	1	2
Хнабл	„ Z
/= 1
Таблица 19.28
i	л,-	n'i			п'. 1	2 ni	2 11 n'i
1	16	11,70	4,30	18,49	1,5803	256	21,8803
2	11	13,44	-2,44	5,9536	0,4430	121	9,0030
3	14	18,90	-4,90	24,01	1,2704	196	10,3704
4	21	20,39	0,61	0,3721	0,0182	441	21,6282
5	17	16,90	0,10	0,010	0,0006	289	17,1006
6	14	10,59	3,41	11,6281	1,0980	196	18,5080
7	7	8,08	-1,08	1,1664	0,1444	49	6,0644
 м	100	100					2 '(наб л			104,5549
					= 4,5549		
286
Контроль:	= —--------- = 104,5549- 100 =
n j	n
2
= 4,5549. По таблице критических точек распределения х
(см. прил. 10), уровню значимости а = 0,01 и числу степеней
свободы к = 1-3 = 7-3 = 4 (/- число интервалов) нахо-
дим: хкр = 13,3 .
2	2
Так как ХНабл < Хкр > то гипотеза Но о нормальном распре-
делении генеральной совокупности принимается.
е) Если СВ Xгенеральной совокупности распределена нор-
мально, то с надежностью у можно утверждать, что математи-
ческое ожидание а СВ Xпокрывается доверительным интерва-
I - ств t ±	, 'l s ств .
лом х——t; х+— t , где б = — t - точность оценки.
у 7 -Jn 7	Jn 7
В нашем случае х = 45,46, ств = 0,93 , п - 100. Из прил. 4
для у = 0,95 находим: t = 1,984, 5 = 0,1843 . Доверитель-
ным интервалом для а будет (45,2757; 45,6443). Доверитель-
ный интервал, покрывающий среднее квадратичное отклоне-
ние ст с заданной надежностью у , (ств(1 - q); ств(1 + q)), где
qнаходится по данным у и л из прил. 9. При у = 0,95 и
п = 100 имеем: q = 0,143. Доверительным интервалом для
ст будет (0,7970; 1,0630). <
ИДЗ-19.2
Дана таблица распределения 100 заводов по производ-
ственным средствам X(тыс. ден. ед.) и по суточной выработке
Y(т). Известно, что между X и Yсуществует линейная корре-
ляционная зависимость. Требуется:
а)	найти уравнение прямой регрессии у на х;
б)	построить уравнение эмпирической линии регрессии и
случайные точки выборки (X, У).
287
1.1.
	Y	2,2	3,6	5,0	6,4	7,8	9,2	10,6	12	mx
200		5	3	4	—	—				12
360		—	7	8		—	—	—	—	15
520			—	9	10	14	—			33
680				-	8	7	6	—	—	21
840			—		—	2	3	2	—	7
1000		-				-	-	6	6	12
my		5	10	21	18	23	9	8	6	100
1.2.
	Y	2,3	3,8	5,3	6,8	7,3	8,8	10,3	11,8	mx
210		—	4	3	5	—	—	—	—	12
340		—	6	7	8 .	—	—		—	21
470		—	—	10	12	11	—	—	—	33
600		—		—		5	4	3		12
730			—		—	—	6	8	—	14
860		-	-	-	-	-	-	3	5	8
fny		-	10	20	25	16	10	14	5	100
1.3.
	Y	22,0	22,4	22,8	23,2	23,6	24,0	24,4	24,8	mx
1,00		3	2	1	—	—	—		—	6
1,20				4	5	—	—	—	—	9
1,40		—	—	10	7	6		—		23
1,60		—			12	9	5	—	—	26
1,80		—	—	—	—	7	4	3		14
2,00					-	-	5	9	8	22
my		3	2	15	24	22	14	12	8	100
1.4.
	Y	21,0	21,3	21,6	21,9	'22,2	22,5	22,8	23,1	mx
0,90		1	3	2	—	—				6
1,05			4	2	. 3	—				9
1,20		—	—	5	7	6				18
1,35				—	6	14	9	—	—	29
1,50				—	—	7	6	7	—	20
1,65		-				-	6	7	5	18
my		1	7	9	16	27	21	14	5	100
288
1.5.
	Y	64	72	80	88	96	104	112	120	
l.o		6	2	4	—	—	—	—	—	12
1,3		—	3	8	6	—	—	—	—	17
1,6		—	—	—	8	14	5	—	—	27
1,9		—	—	—	7	8	9	—	—	24
2,2		—	—	—	—	4	5	6	—	15
2,5		-	-	-	-	-	1	1	3	5
my		6	5	12	21	26	20	7	3	100
1.6.
	Y	56	68	80	92	104	116	128	140	mx
0,9		2	3	5	—	-	—	—	—	10
1,3		—	6	3	5	—	—	—	—	14
1,7		—	—	5	8	15	—	—	—	28
2,1		—	—	-	6	9	10	—	—	25
2,5		—	—	—	—	1	6	8	—	15
2,9		-	-	-	-	-	3	4	1	8
my		2	9	13	19	25	19	12	1	100
1.7.
	Y	20	40	60	80	100	120	140	160	
1000		2	7	3	—	—	—	—	—	12
2000		—	6	4	5	—	—	—	—	15
3000		—	—	8	9	7	—	—	—	24
4000		—	—	—	7	14	5	—	—	26
5000		—	—	—	—	5	7	4	—	16
6000		-	-	-	-	-	-	4	3	7
		2	13	15	21	26	12	8	3	100
1.8.
	Y	15	30	45	60	75	90	105	120	
750		2	4	2	—	—	—	—	—	8
1250			—	6	7	3	—	—	—	16
1750		—	—	—	6	13	9	—	—	28
2250		—	—	—	6	8	9	—	—	23
2750		—	—	—	—	7	8	1	—	16
3250		-	-	-	-	-	1	5	3	9
my		2	4	8	19	31	27	6	3	100
289
1.9.
	Y	0,2	0,4	о,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6	тх
250		3	4	5	-	—	—	—	—	12
450		—	6	2	8	-	—	—	—	16
650		—	—	—	5	14	9	—	—	28
850		—	—	—	6	8	6		—	20
1050		—	—	-	-	5	7	4	—	16
1250		-	-	-	-	-	-	5	3	8
Щу		3	10	7	19	27	22	9	3	100
1.10.
	У	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	тх
300		2	3	6	—	—	—	—	—	11
400		—	—	3	6	5	—	—	—	14
500		—	—	-	4	15	8	—	—	27
600		—	—	—	8	5	10	—	—	23
700			—			7	6	3	—	16
800			-	-	-	-	-	6	3	9
ту		2	3	9	18	32	24	9	3	100
1.11.
	У	160	200	240	280	320	360	400	440	тх
11,6		1	4	5	—	__	—	—	—	10
16,6		—	6	7	2	—	—	—	—	15
21,6		—	—	5	8	6	—		—	19
26,6		—	—	—	9	13	6	—	—	28
31,6		—	—	—	—	7	8	4	—	19
36,6		-	-	-	-	-	-	6	3	9
ту		1	10	17	19	26	14	10	3	100
1.12.
	У	по	130	150	170	190	210	230	250	тх
10		1	3	4	—	—	—	—	—	8
13		—	5	6	5	—	—	—	—	16
16		—	—	4	8	6	—	—	—	18
19				6	15	9	—	—	—	30
22		—	—	—	—	5	6	7	—	18
25		-	-	-	-	-	1	7	2	10
ту		1	8	20	28	20	7	14	2	100
290
1.13.
	У	16	18	20	22	24	26	28	30	тх
2,3		3	2	4	—	—	—	—	—	9
2,7		—	5	6	1	—	—	—	—	12
3,1		—	—	6	9	4	—	—	—	19
3,5		—	—	—	8	16	7	—	-	31
3,9		—	—	—	—	8	6	5	—	19
4,3		-		. -	-	-	4	5	1	10
		3	7	16	18	28	17	10	1	100
1.14.
	Y	14	17	20	23	26	29	32	35	Шх
1,8		2	4	6	—	—	—	—	—	12
2,4		—	2	7'	6	—	—	—	—	15
3,0		—	—	6	8	5	—	—	—	19
3,6		—	—	—	8	14	4	-	-	26
4,2		—	—	—		3	6	8	—	17
4,8		- -	-	-	-	-	-	5	6	И
Щу		2	6	19	22	22	10	13	6	100
1.15.
	Y	1200	2700	4200	6700	8200	9700	11 200	12 700	7ИХ
20		4	2	5	—	—	—	—	—	И
520		—	—	7	5	2	—	—	—	14
1020		—	—	—	9	14	6.	—	—	29
1520		—	—	—	7	8	6	—	-	21
2020		—	—	—	—	4	5	7	—	16
2520		-	-	-	-	-	33	2	4	9
Шу		4	2	12	21	28	20	9	4	100
1.16.
	Y	800	2200	3600	5000	6400	7800	9200	10 800	тх
40		3	5	2	—	—	—	—	—	10
200		—	5	4	5	—	—	—	—	14
360		—	—	7	5	15	—	—	—	27
520		— ’	—	—-	8	9	4	—	—	21
680		—	-	—	—	7	5	4	—	16
840		-	-	-	♦ 		-	5	4	3	12
ту		3	10	13	18	31	14	8	3	100
291
1.17.
	Y	12 000	12 570	13 140	13 710	14 280	14 850	15 420	15 990	тх
1500		1	6	4	—	—	—		—	и
1600		—	—	4	7	5	—		—	16
1700		—	-	—	6	15	6 •	—	—	27
1800		—	—	—	8	8	4	—.	—	20
1900		—	—	—	—	5	5	6	—	16
2000		-	-	-	-	-	5	2	3	10
ту		1	6	8	21	33	20	8	3	100
1.18.
	У	25 200	25 350	25 500	25 650 25 800		25 950 26 100		26 250	тх
3150		3	•' 4	2	—	—	—	—	—	9
3200		—	5	7	5	—	—	-	—	17
3250		-	—	—	8	14	6	—	. —	28
3300		—	—	—	—	8	9	—	—	23
3350		-	—	—	—	—	5	6	3	14
3400		-	-	-	-	-	-	5	4	9
tny		3	9	9	19	22	20	11	7	100
1.19.
	У	8,0	8,8	9,6	10,4	11,2	12,0	12,8	13,6	тх
120		5	6	—	—	—	—	—	—	11
130		—	3	4	6	—	—	—	—	13
140		—	—	4	5	6	—	—	—	15
150		—	—	—	6	13	7	—	—	26
160		—	—	—	—	—	6	9	5	20
170		-	-	-	-	-	-	7	8	15
fny		5	9	8	17	19	13	16	13	100
1.20.
	У	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5	10,0	10,5	11,0	тх
115		2	3	•4	—	—	—	—	—	9
120		—	—	7	8	—	—	—	—	15
125		—	—	4	7	8	—	—	—	19
130		—	—	—	3	15	7	—	—	25
135		—		—	—	8	9	2	—	19
140		-	-	-		-	8	4	1	13
tny		2	3	15	18	31	24	6	1	100
292
1.21.
	Y	300	500	700	900	1100	1300	1500	1700	mx
5		1	2	5	—	—	—	—	—	8
10		—	2	7	4	—	—	—	—	13
15		—		9	6	4	-	—	—	19
20		—	—	—	14	6	7	—	—	27
25		—	—	—	—	1	8	9	—	18
30		-	-		-	-	4	5	6	15
Шу		1	4	21	24	11	19	14	6	100
1.22.
л''-*.	Y	260	360	460	560	660	760	860	960	
3		2	7	—	—	—	—	—	—	9
7		—	8	7	—	—	—	—	—	15
11		—	—	9	5	15	—	—	—	29
15		—	—	—	7	6	6	—	—	19
19		—	—	—	—	2	9	5	—	16
23		-	-	-	-	-	6	4	2	12
ГПу		2	15	16	12	23	21	9	2	100
1.23.
	Y	1470	1540	1610	1680	1750	1820	1890	1960	
210		3	2	3	—	—	—	—	—	8
220		—	1	4	5	—	—	—	—	10
230		—	—	7	13	8	—	—	—	28
240		—	—	—	—	9	6	6	—	21
250		—	—	—	—	—	7	8	3	18
260		-	-	-	-	-	4	6	5	15
my		3	3	14	18	17	17	20	8	100
1.24.
	Y	2400	2440	2480	2520	2560	2600	2640	2680	
300		5	4	2	—	—	—	—	—	11
305		—	1	3	3	—	—	—	—	7
310		—	—	7	10	14	—	—	—	31
315		—	—	—	9	6	4	—	—	19
320		—	—	—	—	—	8	5	7	20
325		-	-	- 	-	-	-	6	6	12
™y		5	5	12	22	20	12	11	13	100
293
1.25.
Xх".	У	120	200	280	360	440	’520	600	680	mx
10,5		4	5	2	—	—	—	—	—	11
14,5		—	6	7	5	—	—	—	—	18
18,5		—	—	6	8	14	—	—	—	28
22,5		—		—	—	12	9	2	—	23
26,5		—	—	—	—	6	4	—	—	10
30,5		-	-	-	-	-	5	3	2	10
ту		4	11	15	13	32	18	5	2	100
1.26.
Х\	Y	350	400	450	500	550	600	650	700	тх
28		—	7	8	4	—	—	—	—	19
40		—	—	6	9	5	—	—	—	20
52		. —	—	-	—	12	8	6	—	26
64		—	—	— .	—	—	7	5	3	15
76		—	—	—	—	—	—	4	9	13
88		-	-	-	-	-	-	-	7	7
ту		-	7	14	13	17	15	15	19	100
1.27.
Xх"-	Y	36	56	76	96	116	136	156	176	тх
5,4		6	4	4	—	—	—	—	—	14
7,0		—	8	7	2	—	—	—	—	17
8,6		—	—	3	8	9	—	—	—	20
10,2		—	—	—	16	5	8	—	—	29
11,8		—	—	—	—	—.	6	5	—	11
13,4		-	-	-	-	-	4	3	2	9
ту		6	12	14	26	14	18	8	2	100
1.28.
Xх"	Y	18,5	19,7	20,9	22,1	23,3	24,5	25,7	26,9	тх
125		4 .	3	6	—	—	—	—	—	13
200		—	7	4	7	—	—	—	—	18
275		—	—	—	15	9	7	—	—	31
350		—	—	—	—	8	5	6	—	19
425		—	—	—	—	—	4	3	1	8
500		-	-	-	-	-	-	6	5	11
ту		4	10	10	22	17	16	15	6	100
294
1.29.
	5	12	19	26	33	40	47	54	тх
0,54	5	3	2	2	—	—	—	—	12
0,68	• —	4	8	9	4	—	—	—	25
0,82	—		—	—	17	9	6	—	32
0,96	—	—	—	—	1	6	5	—	12
1,10	—	—		—	—	6	3	2	И
1,24	-	-	-	-	-	-	4	4	8
ту	5	7	10	11	22	21	18	6	100
1.30.
	У	0,58	1,08	1,58	2,08	2,58	3,08	3,58	4,08	тх
50		3	3	4	6	—	—	—	—	16
74		—	.5	8	9	—	—	—	—	22
. 98		—	—	—	13	8	9	—	—	30
122		—	—	—	—	9	2	4	—	15
146		—		—	—	—	1	3	5	9
170		-	-	-		-	-	5	3	8
ту		3	8	12	28	17	12	12	8	100
Решение типового варианта
Дана таблица распределения 100 автомашин по затратам на
перевозки X(ден. ед.) и по протяженности маршрутов перево-
зок У(км) (табл. 19.29). Известно, что между Хи /существует
линейная корреляционная зависимость. Требуется:
а)	найти уравнение прямой регрессии у на х;
б)	построить уравнение эмпирической линии регрессии и
случайные точки выборки (X, Y).
Таблица 19.29
	У	4,5	6,0	7,5	9,0	10,5	12,0	13,5	15,0	
60		2	4	3	10	4	—	—	—	23
90			—	6	14	5	—	—	—	25
120		—	—	—	—	17	5	4	—	26
150		—	—	—	—	-	8	3	2	13
180		—	—	—	—	—	4	3	1	8
210		-	-	-	-	-	2	1	2	5
ту		2	4	9	24	26	19	11	5	100
295
► Для подсчета числовых характеристик (выборочных сред-
них хну, выборочных средних квадратичных отклонений sx
и sy и выборочного корреляционного момента j ) составля-
ем расчетную таблицу (табл. 19.30). При заполнении таблицы
осуществляем контроль по строкам и столбцам:
6	8
Е mxi = Е тУ]. = « = 100 ,
Z=1	j=l
6	8'	6
Е Е"1^= Е^л= 11190 >
i = 1 j = 1	i = 1
2 2 m<jyj= 2 myyi= 1042 ’
/=!>=!	j=l
б Г а	а Г б 4
E = E yjZm'jxi
i = A j = i ' у = A z = i '
124 245.
Вычисляем выборочные средние x и у, i = 1,6;/= 1,8:
_ = YLm<jx> = Е^Л = п 190
Х п	п 100
Выборочные дисперсии находим по формулам:
i=	=
=	431 9ОО^НК)(11 190)2) = 13 118’58’
- Ат(1Хл 
 А1'зб7"Тоо<|04|)2) “ 5’35'
296
Таблица 19.30
	J	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
i	\ Y X \	4,5	6,0	7,5	9,0	10,5	12,0	13,5	15,0	“x;	mx*i	f Vi 7=1	2 x- m	к x'Ymijyj j-1
1	60	1	2	4	3	10	4	—	—	—	23	1380	187,5	82 800	11 250
2	90	—	—	6	14	5		—	—	25	2250	223,5	202 500	20 115
3	120	—	—	—	—	17	5	4	—	26	3120	292,5	374 400	35 100
4	150	—	—	—	—	—	8	3	2	13	1950	166,5	292 500	24 975
5	180		—	—	—	—	4	3	1	8	1440	103,5	259 200	18 630
6	210	-	-	-	-	-	2	1	2	5	1050	67,5	220 500	14 175
7	ту.	2	4	9	24	26	19	11	5	100	11 190	1041	1 431 990	124 245
8	Vi.	9	24	67,5	216	273	228	148,5	75	1041	-	-	-	-
9	II	5 J J*	120	240	720	1860	2730	2940	1680	900	11 190	-	-	-	-
10	У?тУ	40,5	144	506,25	1944	2866,5	2736	2004,7	1125	11 367	-	-	-	-
И	m yizm‘jxi .'=1	540	1440	5400	16 740	28 665	35 280	22 680	3500	124 245	-	-	-	-
Корреляционный момент вычисляем по формуле
= ^(ЕЕ^^-^Е^л^Е^)=
= ±(124 245--±-(11 190 1041)) = 78,35.
77 х	1VU	/
Оценкой теоретической линии регрессии является эмпи-
рическая линия регрессии, уравнение которой имеет вид
У = У + гХу\х-х),
лх
где = 713118,58- 114,53; sy = TsjS ® 2,31 ;
г =	=	78,35	= 78,35
ХУ sx 114,53-2,31	264,56 ~ ’
Л у
Составляем уравнение эмпирической линии регрессии у на х:
у= 10,41 + 0,296 • ±±±(х-111,9),
у = 0,006х+9,74.
Строим линию регрессии и случайные точки (х(.; у^)
(рис. 19.6). 4
298
19.7.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 19
1.	Для определения среднего процента сырого белка в зер-
нах пшеницы отобрано 626 зерен, анализ которых показал, что
выборочное среднее равно 16,8, а выборочная дисперсия
2
s = 4. Чему равна вероятность того, что средний процент
сырого белка генеральной совокупности, распределенной
нормально, отличается от 16,8 по абсолютной величине не бо-
лее чем на 0,2 %? (Ответ: 0,9876.)
2.	По результатам десяти измерений определено среднее
квадратичное отклонение j = 3 м. Оценить надежность того,
что истинное значение генеральной совокупности нахо-
дится в интервале (2; 4). (Ответ: 0,8.)
3.	С целью исследования закона распределения ошибки
измерения дальности с помощью радиодальномера произве-
дено 400 измерений дальности. Результаты измерений пред-
ставлены в виде статистической совокупности:
(•> М		/,-, м	mi	/;, м	mi
950-960	5	990-1000	80	1020-1030	20
960-970	35	1000-1010	60	1030-1040	10
970-980	60	1010-1020	55	1040-1050	3
980-990	72				
Определить выборочное среднее и выборочное среднее квад-
ратичное отклонение. Построить гистограмму статистической
совокупности. (Ответ: х = 994,2 м, s = 18,68 м.)
4. Зависимость признака К от признака X характеризуется
следующимиэкспериментальными данными:
xi	-4	-3	-2	-1	0	1		2	3	4
У:	-5,1	-3,5	-2	-0,15	0,30	1,2	2,4	3,8	6
Методом наименьших квадратов найти коэффициенты зави-
2 з
симости у = осо + ос1х+а2х + а3х . (Ответ: у = 0,312 +
2	з
+ 0,927х + 0,002х + 0,029х .)
5.	Известно, что СВ Т(время работы элемента) имеет пока-
зательное распределение f(t) = ').е	, t>0. Эмпирическое
299
распределение среднего времени работы п = 200 элементов
имеет вид:
6-	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
	133	45	15	4	2	1
где tj - время работы /-го элемента (в часах); /и, - число эле-
ментов, проработавших tj ч. Методом моментов найти точеч-
ную оценку неизвестного параметра показательного распреде-
ления. (Ответ: 0,1.)
6.	Записать выборочное уравнение прямой линии регрес-
сии у нах по данным, приведенным в табл. 19.31.
Таблица 19.31
	X	20	25	30	35	40	myt
16		4	6	-	-	-	10
26		-	8	10	—	—	18
36		-	-	32	3	9	44
46		-	-	4	12	6	22
56		-	-	-	1	5	6
тх-		4	14	46	16	20	п = 100
(Ответ: у = 1,45х-10,36 .)
7.	Измерены отклонения внутренних диаметров шестерен,
обработанных на станке, от заданного размера:
Границы интервала, мк	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
Частота ж;	15	75	100	50	10
Проверить при уровне значимости а = 0,05 гипотезу о со-
гласии наблюдений с нормальным законом распределения
генеральной совокупности. (Ответ: гипотеза не опровер-
гается.)
8.	При сверлении отверстий сверлом определенного диа-
метра и последовательном измерении их диаметров получена
следующая таблица:
300
lj, мм		ММ	т,-	мм	/и,-
40,24-40,26	1	40,32-40,34	15	40,38-40,40	7
40,26-40,28	4	40,34-40,36	16	40,40-40,42	5
40,28-40,30	6	40,36-40,38	12	40,42-40,44	3
40,30-40,32	11				
С помощью критерия Колмогорова проверить следующую
гипотезу: выборка извлечена из нормально распределенной
генеральной совокупности с математическим ожиданием и
средним квадратичным отклонением, равным соответ-
ственно выборочному среднему и выборочной оценке сред-
него квадратичного отклонения. (Ответ: гипотеза согласу-
ется.)
9.	Методом моментов найти точечную оценку параметра р
вероятности геометрического распределения Р(Х = xf) =
х -1
= (1 -р) р, где х;. - число испытаний, проведенных до
появления события; р — вероятность появления события в од-
ном испытании. (Ответ: 1/х.)
10.	Методом моментов найти по выборке х1; х2, ..., хп то-
чечные оценки параметров а и b равномерного распределе-
ния, плотность которого /(х) = \/(Ь-а) при а<х<Ь и
Дх) = 0 при х g [a; Z>]. (Ответ: а = х- J3D, b = х + J3D.)
11.	По данным 16 независимых равноточных измерений
некоторой физической величины ^найдены среднее значение
х = 42,8 и исправленное среднее квадратичное отклонение
50 = 8 . С надежностью 0,999 оценить истинное значение из-
меряемой величины с помощью доверительного интервала.
(Ответ: 34,66 < тх < 50,94 .)
ПРИЛОЖЕНИЯ
1.	Таблица основных свойств изображений по Лапласу
№ п/п	Оригинал	Изображение			Номер формулы
	п		n		
1	ЕСЛ(1) 1=1		E c‘F'(p) i = I		(16.4)
2			F(p-a)		(16.5)
3	ЛМ		MS		(16.6)
4	Лг-/0)		“'oT'r/ x e F(j>)		(16.9)
			f	'o	>		
5	Л'+'о)	*oP e	F(P)~ ff(t)e~p'dr		
			0	?		
		T			
6	Л1+ Г) = /(/)	(Л	t)e p'df/(l -e~pT)		(16.14)
		0			
7	Л(0 V2(0		F^(J>)  F2(p)		(16.11)
8	j/(r) А		F(j>)/p		(16.12)
	0				
9	до t		\F(z)dz		(16.13)
			p		
10			pF(p)-f^)		(16.8)
И	/n\t)	n	fl P F(j>)-p -p/	“!Л0)-/“7'(0)~ ”“2)(0)-/”“!)(0)		(16.8)
12	Л(0/2(0) + t		pF{{p)  F2(p)		(16.17)
	+ ^)f2(t-z)dr				
	0				
302
2.	Таблица основных оригиналов /(0 и их изображений
+ со
по Лапласу Ftp) = ^f(t)e~ptdt
о
№		
п/п	Оригинал/(?)	Изображение F(p)
1	1	1
		p
2	еа/	1
		p - a
	sin р?	p
3		7	2 p + p
4	cos рг	p 2 n2
		p +p
5	е^‘ sh [1Z = ---?	2 „2
	2	P -P
6	pz^ -pz ch pz = e—	P 2 n2
	2	p -p
		1
7	t	2
		p
		л!
		
	t	я + 1
		P
		n!
9	n at	
	t e	
		O-a)
10	at . „ e sin p t	P ,	x2 n2
		O-a) +p
11	at e cos p/			 ,	2	2
		(p-а) +p
12	a/ . „ te sm pz	2(/>-a)P z,	2	„2 2
		((p-а) +p2)
303
Продолжение
№ п/п	Оригинал f(f)	Изображение F(p)
13		Л Л
	te cos р/	(Р~а) ~Р
		7	7 2
	-	((/’-а) +р )
	1	1/2	2
14	Sin CD t	Шр + со -р
	Jilt	J 2 и2
		у р + а
15	Л ~— COS CD Г	1 / 2 2 |*J р + CD + р
		J 2 2
		У р + а
16	sin yt	arctg
	t	Р
17	1	1
	a/tTz	Jp
18	Nt Xt e - e	1п^
	t	р-у
19	-4= sin 2.fkt	1 х/р ——е
	.fct	pjp
20	cos 2 JPt	
		Jp
21	Inf	1пр + у 	и—l , у _ постоянная Эйлера: Р
		у = 0,5772157 ... «0,58
22	a/, e In t	у + In (р- а) р - а
23	~ Функция Бесселя	1
	первого рода с нулевым	7р2+1
	индексом	
24	8(f) - функция Дирака, им-	1
	пульсная функция первого	
	порядка	
304
Окончание
№ п/п	Оригинал f(t)	Изображение F(p)
25	8(г-'о)	~Р*о е
26	3|(0 - импульсная функция	р
	второго порядка	
27	61	-р'о ре
3.	Таблица значений функции <р(х) =
л/2л
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3652	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	ЗОН	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1609	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	ОНО	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
11 Зак 2209
305
Окончание
	0	1	2	 3	4	5	6	7	8	9
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014 -	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	ООН	ООН	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0001
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001
2 /1
-г /2
’ dz
о
4.	Таблица значений функции Ф(х) = —— [е
72л J
X	Ф(х)	Л*	ФН)	X	ФН)	X	Ф(х)
0,00	0,0000	0,26	0,1026	0,52	0,1985	0,78	0,2823
0,01	0,0040	0,27	0,1064	0,53	0,2019	0,79	0,2852
0,02	0,0080	0,28	0,1103	0,54	0,2054	0,80	0,2881
0,03	0,0120	0,29	0,1141	0,55	0,2088	0,81	0,2910
0,04	0,0160	0,30	0,1179	0,56	0,2123	0,82	0,2939
0,05	0,0199	0,31	0,1217	0,57	0,2157	0,83	0,2967
0,06	0,0239	0,32	0,1255	0,58	0,2190	0,84	0,2995
0,07	0,0279	0,33	0,1293	0,59	0,2224	0,85	0,3023
0,08	0,0319	0,34	0,1331	0,60	0,2257	0,86	0,3051
0,09	0,0359	0,35	0,1368	0,61	0,2291	0,87	0,3078
0,10	0,0398	0,36	0,1406	0,62	0,2324	0,88	0,3106
0,11	0,0438	0,37	0,1443	0,63	0,2357	0,89	0,3133
0,12	0,0478	0,38	0,1480	0,64	0,2389	0,90	0,3159
0,13	0,0517	0,39	0,1517	0,65	0,2422	0,91	0,3186
0,14	0,0557	0,40	0,1554	0,66	0,2454	0,92	0,3212
0,15	0,0596	0,41	0,1591	0,67	0.2486	0,93	0,3238
0,16	0,0636	0,42	0,1628	0,68	0,2517	0,94	0,3264
0,17	0,0675	0,43	0,1664	0,69	0,2549	0,95	0,3289
0,18	0,0714	0,44	0,1700	0,70	0,2580	0,96	0,3315
0,19	0,0753	0,45	0,1736	0,71	0,2611	0,97	0,3340
0,20	0,0793	0,46	0,1772	0,72	0,2642	0,98	0,3365
0,21	0,0832	0,47	0,1808	0,73	0,2673	0,99	0,3389
0,22	0,0871	0,48	0,1844	0,74	0,2703	1,00	0,3413
0,23	0,0910	0,49	0,1879	0.75	0,2734	1,01	0,3438
0,24	0,0948	0,50	0,1915	0,76	0,2764	1,02	0,3461
0,25	0,0987	0.51	0,1950	0,77	0,2794	1,03	0,3485
306
Окончание
X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(л')	
1,04	0,3508	1,31	0,4049	1,58	0,4429	1,85	0,4678
1,05	0,3531	1,32	0,4066	1,59	0,4441	1,86	0,4686
1,06	0,3554	1,33	0,4082	1,60	0,4452	1,87	0,4693
1,07	0,3577	1,34	0,4099	1,61	0,4463	1,88	0,4699
1,08	0,3599	1,35	0,4115	1,62	0,4474	' 1,89	0,4706
1,09	0,3621	1,36	0,4131	1,63	0,4484	1,90	0,4713
1,10	0,3643	1,37	0,4147	1,64	0,4495	1,91	0,4719
1,4	0,3665	1,38	0,4162	1,65	0,4505	1,92	0,4726
1,12	0,3686	1,39	0,4177	1,66	0,4515	1,93	0,4732
1,13	0,3708	1,40	0,4192	1,67	0,4525	1,94	0,4738
1,14	0,3729	1,41	0,4207	1,68	0,4535	1,95	0,4744
1,15	0,3749	1,42	0,4222	1,69	0,4545	1,96	0,4750
1,16	0,3770	1,43	0,4236	1,70	0,4554	1,97	0,4756
1,17	0,3790	1,44	0,4251	1,71	0,4564	1,98	0,4761
1,18	0,3810	1,45	0,4265	1,72	0,4573	1,99	0,4767
1,19	0,3830	1,46	0,4279	1,73	0,4582	2,00	0,4772
1,20	0,3849	1,47	0,4292	1,74	0,4591	2,02	0,4783
1,21	0,3869	1,48	0,4306	1,75	0,4599	2,04	0,4793
1,22	0,3883	1,49	0,4319	1,76	0,4608	2,06	0,4803
1,23	0,3907	1,50	0,4332	1,77	0,4616	2,08	0,4812
1,24	0,3925	1,51	0,4345	1,78	0,4625	2,10	0,4821
1,25	0,3944	1,52	0,4357	1,79	0,4633	2,12	0,4830
1,26	0,3962	1,53	0,4370	1,80	0,4641	2,14	0,4838
1,27	0,3980	1,54	0,4382	1,81	0,4649	2,16	0,4846
1,28	0,3997	1,55	0,4394	1,82	0,4656	2,18	0,4854
1,29	0,4015	1,56	0,4406	1,83	0,4664	2,20	0,4861
1,30	0,4032	1,57	0,4418	1,84	0,4671	2,22	0,4868
2,24	0,4875	2,48	0,4934	2,72	0,4967	2,94	0,4984
2,26	0,4881	2,50	0,4938	2,74	0,4969	2,96	0,4985
2,28	0,4887	2,52	0,4941	2,76	0,4971	2,98	0,4986
2,30	0,4893	2,54	0,4945	2,78	0,4973	3,00	0,49865
2,32	0,4898	2,56	0,4948	2,80	0,4974	3,20	0,49931
2,34	0,4904	2,58	0,4951	2,82	0,4976	3,40	0,49966
2,36	0,4909	2,60	0,4953	2,84	0,4977	3,60	0,499841
2,38	0,4913	2,62	0,4956	2,86	0,4979	3,80	0,499928
2,40	0,4918	2,64	0,4959	2,88	0,4980	4,00	0,499968
2,42	0,4922	2,66	0,4961	2,90	0,4981	4,50	0,499997
2,44	0,4927	2,68	0,4963	2,92	0,4982	5,00	0,499997
2,46	0,4931	2,70	0,4965				
307
5.	Таблица значений функции — е
к!
к	к = 0,1	л = 0,2	х = о,з	Х = 0,4	X = 0,5	Х = 0,6	X = 0,7	Х = 0,8	Х = 0,9	
0	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066	
1	0,0905	0,1637	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3595	0,3659	
2	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647	
3	0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494	
4		0,0001	0,0003	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111	
5				0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020	
6							0,0001	0,0002	0,0003	
к	Х = 1	Х = 2	Х= 3	Х = 4	Х = 5	Л = 6	Х = 7	Х= 8	Х = 9	Х= 10
0	0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001	0,0000
1	0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011	0,0005
2	0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050	0,0023
3	0,0613	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150	0,0076
4	0,0153	0,0902	0,1680	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337	0,0189
5	0,0031	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607	0,0378
6	0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911	0,0631
7	0,0001	0,0034	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171	0,0901
8		0,0009	0,0081	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318	0,1126
9		0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1318	0,1251
10			0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186	0,1251
11			0,0002	0,0019	0,0082	0,0213	0,0452	0,0722	0,0970	0,1137
12			0,0001	0,0006	0,0034	0,0126	0,0263	0,0481	0,0728	0,0948
13				0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504	0,0729
14				0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324	0,0521
15					0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194	0,0347
16						0,0003	0,0014	0,0045	0,0109	0,0217
17						0,0001	0,0006	0,0021	0,0058	0,0128
18							0,0002	0,0009	0,0029	0,0071
19							0,0001	0,0004	0,0014	0,0037
20								0,0002	0,0006	0,0019
21								0,0001	0,0003	0,0009
22									0,0001	0,0004
23										0,0002
24										0,0001
308
6.	Таблица значений функций ех, е
	6х	е-х	X	е*	е х
0	1,0000	1,0000	0,52	1,6820	0,5945
0,01	1,0050	0,9900	0,53	1,6989	0,5836
0,02	1,0202	0,9802	0,54	1,7160	0,5827
0,03	1,0305	0,9704	0,55	1,7333	0,5769
0,04	1,0408	0,9608	0,56	1,7507	0,5712
0,05	1,0513	0,9512	0,57	1,7683	0,5655
0,06	1,0618	0,9418	0,58	1,7860	0,5599
0,07	1,0725	0,9324	0,59	1,8040	0,5543
0,08	1,0833	0,9231	0,60	1,8221	0,5488
0,09	1,0942	0,9139	0,61	1,8404	0,5434
0,10	1,1052	0,9048	0,62	1,8589	0,5379
0,11	1,1163	0,8958	0,63	1,8776	0,5326
0,12	1,1275	0,8869	0,64	1,8965	0,5273
0,13	1,1388	0,8781	0,65	1,9155	0,5220
0,14	1,1503	0,8694	0,66	1,9348	0,5169
0,15	1,1618	0,8601	0,67	1,9542	0,5117
0,16	1,1735	0,8521	0,68	1,9739	0,5066
0,17	1,1853	0,8437	0,69	1,9937	0,5016
0,18	1,1972	0,8353	0,70	2,0138	0,4966
0,19	1,2092	0,8270	0,71	2,040	0,4916
0,20	1,2214	0,8167	0,72	2,0544	0,4868
0,21	1,2337	0,8106	0,73	2,0751	0,4819
0,22	1,2461	0,8025	0,74	2,0959	0,4771
0,23	1,2586	0,7943	0,75	2,1170	0,4724
0,24	1,2712	0,7866	0,76	2,1383	0,4677
0,25	1,2840	0,7788	0,77	2,1598	0,4630
0,26	1,2969	0,7711	0,78	2,1815	0,4584
0,27	1,3100	0,7634	0,79	2,2034	0,4538
0,28	1,3231	0,7558	0,80	2,2255	0,4493
0,29	1,3364	0,7483	0,81	2,2479	0,4449
0,30	1,3499	0,7408	0,82	2,2705	0,4404
0,31	1,3634	0,7334	0,83	2,2933	0,4360
0,32	1,3771	0,7261	0,84	2,3164	0,4317
0,33	1,3910	0,7189	0,85	2,3396	0,4274
0,34	1,4049	0,7118	0,86	2,3632	0,4232
0,35	1,4191	0,7047	0,87	2,3869	0,4190
0,36	1,4333	0,6977	0,88	2,4109	0,4148
0,37	1,4477	0,6907	0,89	2,4351	0,4107
0,38	1,4623	0,6839	0,90	2,4596	0,4066
0,39	1,4770	0,6771	0,91	2,4843	0,4025
0,40	1,4918	0,6703	0,92	2,5093	0,3985
0,41	1,5068	0,6637	0,93	2,5345	0,3946
0,42	1,5220	0,6570	0,94	2,5600	0,3906
0,43	1,5379	0,6505	0,95	2,5857	0,3867
0,44	1,5527	0,6440	0,96	2,6117	0,3829
0,45	1,5683	0,6376	0,97	2,6379	0,3791
0,46	1,5841	0,6313	0,98	2,6645	0,3753
0,47	1,6000	0,6250	0,99	2,6912	0,3716
0,48	1,6161	0,6188	1,00	2,7183	0,3679
0,49	1,6323	0,6126	1,01	2,7456	0,3642
0,50	1,6487	0,6065	1,02	2,7732	0,3606
. 0,51	1,6653	0,6005	1,03	2,8011	0,3570
309
Продолжение
-X	ех	е~х	X	ех	е х
1,04	2,8292	0,3535	1,57	4,8066	0,2080
1,05	2,8577	0,3499	1,58	4,8550	0,2060
1,06	2,8864	0,3465	1,59	4,9037	0,2039
1,07	2,9154	0,3430	1,60	4,9530	0,2019
1,08	2,9447	0,3396	1,65	5,2070	0,1920
1,09	2,9743	0,3362	1,70	5,4739	0,1827
1,10	3,0042	0,3329	1,75	5,7546	0,1738
1,11	3,0344	0,3296	1,80	6,0496	0,1653
1,12	3,0649	0,3263	1,85	6,3598	0,1572
1,13	3,0957	0,3230	1,90	6,6859	0,1496
1,14	3,1268	0,3198	1,95	7,0287	0,1423
1,15	3,1582	0,3166	2,00	7,3891	0,1353 
1,16	3,1899	0,3185	2,05	7,7679	0,1287
1,17	3,2220	0,3140	2,10	8,1662	0,1226
1,18	3,2544	0,3073	2,15	8,5849	' 0,1165
1,19	3,2871	0,3042	2,20	9,0250	0,1108
1,20	3,3201	0,3012	2,25	9,4877	0,1054
1,21	3,3535	0,2982	2,30	9,9742	0,10026
1,22	3,3872	0,2952	2,35	10,4860	0,09537
1,23	3,4212	0,2923	2,40	11,0230	0,09072
1,24	3,4556	0,2894	2,45	11,588	0,08629
1,25	3,4903	0,2865	2,50	12,182	0,08208
1,26	3,5254	0,2837	2,55	12,807	0,07808
1,27	3,5609	0,2808	2,60	13,464	0,07427
1,28	3,5966	0,2780	2,65	14,154	0,07065
1,29	3,6328	0,2753	2,70	14,880	0,06721
1,30	3,6693	0,2725	2,75	15,643	0,06393
1,31	3,7062	0,2698	2,80	16,445	0,06081
1,32	3,7434	0,2671	2,85	17,288	0,05784
1,33	3,7810	0,2645	2,90	18,174	0,05502
1,34	3,8190	0,2618	2,95	19,106	0,05234
1,35	3,8574	0,2592	3,00	20,086	0,04979
1,36	3,8962	0,2567	3,05	21,115	0,04736
1,37	3,9354	0,2541	3,10	22,198	0,04505
1,38	3,9749	0,2516	3,15	23,336	0,04285
1,39	4,0149	0,2490	3,20	24,533	0,04076
1,40	4,0552	0,2466	3,25	25,790	0,03877
1,41	4,0960	0,2441	3,30	27,113	0,03688
1,42	4,1371	0,2417	3,35	28,503	0,03508
1,43	4,1787	0,2393	3,40	29,964	0,03337
1,44	4,2207	0,2369	3,45	31,500	0,03175
1,45	4,2631	0,2346	3,50	33,115	0,03020
1,46	4,3060	0,2322	3,55	34,813	0,02872
1,47	4,3492	0,2299	3,60	36,598	0,02732
1,48	4,3929	0,2276	3,65	38,475	0,02599
1,49	4,4371	0,2254	3,70	40,447	0,02472
1,50	4,4817	0,2231	3,75	42,521	0,02352
1,51	4,5267	0,2209	3,80	44,701	0,02237
1,52	4,5722	0,2187	3,85	46,993	0,00128
1,53	4,6182	0,2165	3,90	49,402	0,02024
1,54	4,6646	0,2144	3,95	51,935	0,01925
1,55	4,7115	0,2122	4,00	54,598	0,01832
1,56	4,7588	0,2101	4,50	90,017	0,01111
310
Окончание
Л-	Z	е А	Д'	е'	е х
5,00	148,410	0,00674	8,00	2981,000	0,000335
5,50	244,690	0,00409	8,50	4914,800	0,000203
6,00	403,430	0,002479	9,00	8103,100	0,000123
6,50	665,140	0,001503	9,50	13360,000	0,000075
7,00	1096,600	0,000912	10,00	22026,000	0,000045
7,50	1808,000	0,000558			
7.	Таблица значений гамма-функции Г(х) = le’dt
о
X	ГЫ	X	гы	X	гы
1,00	1,000	1,38	0,8885	1,76	0,9214
1,01	0,9943	1,39	0,8879	1,77	0,9238
1,02	0,9888	1,40	0,8873	1,78	0,9262
1,03	0,9835	1,41	0,8868	1,79	0,9288
1,04	0,9784	1,42	0,8864	1,80	0,9314
1,05	0,9735	1,43	0,8860	1,81	0,9341
1,06	0,9687	1,44	0,8858	1,82	0,9368
1,07	0,9642	1,45	0,8857	1,83	0,9397
1,08	0,9597	1,46	0,8856	1,84	0,9426
1,09	0,9555	1,47	0,8856	1,85	0,9456
1,10	0,9514	1,48	0,8857	1,86	0,9487
1,11 1,12	0,9474	1,49	0,8859	1,87	0,9518
	0,9436	1,50	0,8862	1,88	0,9551
1,13	0,9399	1,51	0,8866	1,89	0,9584
1,14	0,9364	1,52	0,8870	1,90	0,9618
1,15	0,9330	1,53	0,8876	1,91	0,9652
1,16	0,9298	1,54	0,8882	1,92	0,9688
1,17	0,9267	1,55	0,8889	1,93	0,9724
1,18	0,9237	1.56	0,8896	1,94	0,9761
1,19	0,9209	1,57	0,8905	1,95	0,9799
1,20	0,9182	1.58	0,8914	1,96	0,9837
1,21	0,9156	1,59	0,8924	1,97	0,9877
1,22	0,9131	1,60	0,8935	1,98	0,9917
1,23	0,9108	1,61	0,8947	1,99	0,9958
1,24	0,9085	1,62	0,8959	2,0	1,0000
1,25	0,9064	1,63	0,8972	2,5	1,3294
1,26	0,9044	1,64	0,8986	3,0	2,0000
1,27	0,9025	1,65	0,9001	3,5	3,3233
1,28	0,9007	1,66	0,9016	4,0	6,0000
1,29	0,8990	1,67	0,9033	4,5	11,632
1,30	0,8975	1,68	0,9050	5,0	24,000
1,31	0,8960	1,69	0,9068	5,5	52,342
1,32	0,8946	1,70	0,9086	6,0	120,000
1,33	0,8934	1,71	0,9106	6,6	287,88
1,34	0,8922	1,72	0,9126	7,0	270,00
1,35	0,8912	-1,73	0,9147	7,5	1871.20
1,36	0,8902	1,74	0,9168	8,0	5040,00
1,37	0,8893	1,75	0,9191		
311
8.	Критические точки распределения Стьюдента
Число сте- пеней сво- боды к	Уровень значимости а (двусторонняя критическая область)					
	0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	6,31	12,7	31,82	63,7	318,3	637,0
2	2,92	4,30	6,97	9,92	22,33	31,6
3	2,35	3,18	4,54	5,84	10,22	12,9
4	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17	8,61
5	2,01	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
6	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
7	1,89	2,36	3,00	3,50	4,79	5,40
8	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
9	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30.	4,78
10	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
11	1,80	2,20	2,72	3,11	4,03	4,44
12	1,78 -	2,18	2,68	3,05	3,93	4,32
13	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
14	1,76	2,14	2,62	2,98	3,79	4,14
15	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
16	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,01
17	1,74	2,11	2,57	2,90	3,65	3,96
18	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
19	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
20	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
21	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
22	1,72	2,07	2,51	2,82	3,51	3,79
23	1,71	2,07	2,50	2,81	3,49	3,77
24	1,71	2,06	2,49	2,80	3,47	3,74
25	1,71	2,06	2,49	2,79	3,45	3,72
26	1,71	2,06	2,48	2,78	3,44	3,71
27	1,71	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
28	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
29	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
30	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
40	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
60	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23	3,46
120	1,66	1,98	2,36	2,62	3,17	3,37
со	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29
-	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
-	Уровень значимости а (односторонняя критическая область)					
312
9.	Таблица значений q = q(y, и)
у л	0,95	0,99	0,999	У я	0,95	0,99	0,999
5	1,37	2,67	5,64	20	0,37	0,58	0,88
6	1,09	2,01	3,88	25	0,32	0,49	0,73
7	0,92	1,62	2,98	30	0,28	0,43	0,63
8	0,80	1,38	2,42	35	0,26	0,38	0,56
9	0,71	1,20	2,06	40	0,24	0,35	0,50
10	0,65	1,08	1,80	45	0,22	0,32	0,46
11	0,59	0,98	1,60	50	0,21	0,30	0,43
12	0,55	0,90	1,45	60	0,188	0,269	0,38
13	0,52	0,83 .	1,33	70	0,174	0,245	0,34
14	0,48	0,78	1,23	80	0,161	0,226	0,31
15	0,46	0,73	1,15	90	0,151	0,211	0,29
16	0,44	0,70	1,07	100	0,143	0,198	0,27
17	0,42	0,66	1,01	150	0,11.5	0,160	0,211
18	0,40	0,63	0,96	200	0,099	0,136	0,185
19	0,39	0,60	0,92	250	0,089	0,120	0,162
2
10.	Критические точки распределения Пирсона %
Число сте- пеней сво- боды к	Уровень значимости а					
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,89
1	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
2	9,2	 7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
3	15,1	12,8	И,1	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
16	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
20	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
22	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
23	41,6	38,1	35,2	13,1	И,7	10,2
24	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
27	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
30	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0
313
11.	Таблица значений функции Колмогорова
2*. 2
Р(Х) = £ (-i)V	~
к = -оо
Уровень значи- мости q	0,25	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,005	0,001
^кр) = 1-4	0,75	0,80	0,90	0,95	0,98	0,99	0,995	0,999
'"кр	1,02	1,07	1,22	1,36	1,52	1,63	1,73	1,95
12.	Контрольная работа «Теория вероятностей» (2 часа)
Решить следующие задачи.
1
1.1.	Из 20 билетов лотереи выигрышными являются 5. Найти ве-
роятность того, что взятые наудачу 4 билета — выигрышные.
1.2.	Из 25 билетов, пронумерованных числами от 1 до 25, наугад
вынимают один. Найти вероятность того, что номер извлеченного
билета есть число, не делящееся ни на 2, ни на 3, ни на 5.
1.3.	За выполнение контрольной работы 24 студента получили
следующие оценки: 8 студентов — «отлично», 6 — «хорошо», 6 —
«удовлетворительно», 4 — «неудовлетворительно». Найти вероят-
ность того, что работа наугад взятого студента оценена положи-
тельно.
1.4.	Подбросили 3 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы
один раз выпал герб.
1.5.	Шеститомное собрание сочинений расположено на полке в
случайном порядке. Найти вероятность того, что два определенных
тома окажутся поставленными рядом.
1.6.	В урне 5 шаров: красный, желтый, синий, зеленый и белый.
Случайным образом их вынимают из урны. Найти вероятность того,
что они будут извлечены в следующем порядке: белый, синий, жел-
тый, красный, зеленый.
1.7.	Карточки разрезной азбуки, состоящей из 33 букв русского
алфавита, тщательно перемешивают и случайным образом извлека-
ют 7 карточек. Найти вероятность того, что буквы на карточках, раз-
ложенных в порядке извлечения, образуют слово «техника».
314
1.8.	В автобусе 4 пассажира. Найти вероятность того, что на че-
тырех оставшихся до конечной остановках будет выходить по одно-
му человеку, если каждый из пассажиров с равной вероятностью
может выйти на любой остановке.
1.9.	Зенитная батарея, состоящая из трех орудий, ведет огонь по
двум самолетам. Каждое орудие выбирает цель случайно и незави-
симо от других. Найти вероятность того, что все орудия будут стре-
лять по одной и той же цели.
1.10.	Из 10 деталей, находящихся в ящике, 8 стандартных. Найти
вероятность того, что из 6 наугад взятых деталей 4 окажутся стан-
дартными.
1.11.	В шахматном турнире участвуют 18 человек, которых по
жребию распределяют в две группы по 9 человек. Найти вероят-
ность того, что два наиболее сильных шахматиста будут играть в.
разных группах.
1.12.	Для проверки шести магазинов случайным образом рас-
пределяют трех ревизоров. Найти вероятность того, что каждый ре-
визор будет проверять два магазина.
1.13.	В студенческой группе из 20 человек к практическому за-
нятию готовы 18 человек. Преподаватель вызвал четырех студентов.
Найти вероятность того, что они подготовлены к занятию.
1.14.	На семи одинаковых карточках записаны следующие чис-
ла: 2, 4, 7, 8, 12, 13, 15. Наугад берут две карточки. Найти вероят-
ность того, что образованная из двух полученных чисел дробь со-
кратима.
1.15.	В бригаде работают 10 мужчин и 6 женщин. По табельным
номерам наугад отобраны 8 человек. Найти вероятность того, что
среди них окажутся 2 женщины.
1.16.	В лотерее 1000 билетов. На один билет падает выигрыш
100 р., на 4 билета — 50 р., на 135 билетов —по 30 р., на 100 билетов —
по 10 р. и на 160 — по 5 р. Остальные билеты — без выигрыша. Найти
вероятность выигрыша по одному билету не менее 10 р.
1.17.	Подбросили две игральные кости. Найти вероятность того,
что сумма выпавших очков кратна 2.
1.18.	Даны целые числа от 11 до 19. Найти вероятность того, что
квадрат наугад взятого числа оканчивается цифрой 6.
1.19.	Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами
от 1 до 200. Найти вероятность того, что номер первого извлеченно-
го жетона не содержит цифру 7.
1.20.	Лифт отправляется с тремя пассажирами и останавливает-
ся на восьми этажах. Найти вероятность того, что никакие два пас-
сажира не выйдут на одном и том же этаже.
315
1.21.	В группе 15 студентов, среди которых 4 получают повы-
шенную стипендию. По списку наугад отобрано 6 человек. Найти
вероятность того, что трое среди них получают повышенную сти-
пендию.
1.22.	У сборщика 12 однотипных деталей. Из них 6 — первого
сорта, 4 — второго, 2 — третьего. Наугад отобрано 8 деталей. Найти
вероятность того, что среди отобранных деталей 4 — первого сорта,
3 — второго и одна — третьего.
1.23.	Из 30 карточек с буквами алфавита наугад выбирают 3 и
раскладывают их в порядке извлечения. Найти вероятность того,
что эти три карточки образуют слово « мир».
1.24.	В урне 24 шара, из них 18 красных и 6 черных. Наугад из-
влекли два шара. Найти вероятность того, что оба шара — черные.
1.25.	На складе имеется 18 запасных деталей, изготовленных на
заводе № 1, и 20 деталей, изготовленных на заводе № 2. Найти веро-
ятность того, что среди 6 взятых наугад деталей все окажутся изго-
товленными на заводе № 2.
1.26.	Из 8 книг, находящихся на полке, 6 учебников. Найти ве-
роятность того, что взятые наугад 3 книги будут учебниками.
1.27.	На шести одинаковых карточках записаны числа: 2, 4, 7, 8,
11, 12. Наугад берут две карточки. Найти вероятность того, что об-
разованная из двух полученных чисел дробь — сократимая.
1.28.	В урне 10 красных и 5 синих шаров. Найти вероятность то-
го, что из 6 взятых наугад шаров половина красных.
1.29.	12 волейбольных команд разбиты по жребию на две равные
подгруппы. Найти вероятность того, что две самые слабые команды
окажутся в одной группе.
1.30.	Колода из 36 карт произвольным образом делится попо-
лам. Найти вероятность того, что в каждой половине будет по 2 туза.
2
. 2.1. Двое рабочих изготавливают детали. Вероятность того, что
деталь, изготовленная первым рабочим, — высшего качества, равна
0,9, вторым рабочим — 0,8. У каждого рабочего взяли по две детали.
Найти вероятность того, что: а) хотя бы одна деталь — высшего ка-
чества; б) не менее трех деталей — высшего качества.
2.2.	На стрельбище 10 мишеней первого типа и 15 мишеней вто-
рого типа. Вероятность поражения мишени первого типа равна
0,75, а мишени второго типа — 0,9. Найти вероятность того, что:
а) будет поражена наугад выбранная мишень; б) если мишень пора-
жена, то выстрел производился по мишени второго типа.
316
2.3.	Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что пер-
вый станок в течение смены не потребует его внимания, равна 0,9, вто-
рой — 0,7, третий — 0,25. Найти вероятность того, что в течение сме-
ны внимания рабочего потребуют: а) хотя бы один станок; б) не бо-
лее двух станков.
2.4.	Два завода выпускают телевизоры. Первый из них делает
70 % все продукции, второй — 30 %, причем 90 % продукции перво-
го завода и 85 % второго — высшего качества, а) Найти вероятность
того, что наугад взятый телевизор — высшего качества,
б) Выбранный наугад телевизор оказался высшего качества. Какова
вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?
2.5.	По одной и той же мишени производят по одному выстре-
лу с дистанций в 1000, 800 и 500 м. Вероятности попадания с каж-
дой дистанции равны соответственно 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероят-
ность того, что произойдет: а) хотя бы одно попадание; б) не менее
двух попаданий.
2.6.	В первой бригаде 5 рабочих имеют стаж работы от одного го-
да до трех лет, 7 рабочих — от трех до пяти лет и 4 рабочих — свыше
5 лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют стаж от одного года до
трех лет, 3 рабочих — от трех до пяти лет и 5 рабочих — свыше пяти
лет. Из первой бригады во вторую переведен один рабочий. Найти
вероятность того, что наугад взятый из нового состава второй бри-
гады рабочий имеет стаж менее пяти лет.
2.7.	Надежность автомобиля, собранного из высококачествен-
ных деталей, равна 0,95. Если автомобиль собирают из деталей се-
рийного производства, его надежность равна 0,6. Высококачествен-
ные детали составляют 30 % общего числа деталей, а) Найти вероят-
ность того, что наугад взятый автомобиль безотказно проработает в
течение установленного времени, б) Автомобиль безотказно прора-
ботал в течение указанного времени. Найти вероятность того, что
он собран из высококачественных деталей.
2.8.	Вероятности пятилетней службы каждой из трех деталей
механизма равны соответственно 0,4; 0,6; 0,8. Найти вероятность
того, что пять лет прослужат: а) не менее двух деталей; б) хотя бы
одна деталь.
2.9.	В ящиках № 1 и № 2 лежат однородные детали двух сортов:
в первом имеется 10 деталей первого и 18 деталей второго сорта, а во
втором — 11 деталей первого и 13 деталей второго сорта. Из ящика
№ 1 переложили в ящик № 2 две детали. Найти вероятность того,
что две детали, взятые после этого наугад из ящика № 1, будут пер-
вого сорта.
317
2.10.	В группе из 20 студентов шестеро подготовлены к экзаме-
ну отлично, пятеро — хорошо, остальные — удовлетворительно.
Отлично подготовленный студент может ответить на все 30 вопро-
сов, хорошо подготовленный — на 24, удовлетворительно подго-
товленный — на 12. а) Найти вероятность того, что первый вызван-
ный студент ответит на любые 2 вопроса, б) Студент ответил на
2 вопроса. Найти вероятность того, что он подготовлен удовлетво-
рительно.
2.11.	Вероятности поломок на первой, второй и третьей соеди-
нительных линиях равны соответственно 0,09; 0,07; 0,1. Найти ве-
роятность того, что: а) хотя бы одна линия исправна; б) не более
двух линий исправны.
2.12.	В первой бригаде 8 рабочих имеют первый разряд, 6 рабо-
чих — второй. Во второй бригаде 5 рабочих имеют первый разряд и
5 рабочих — второй. Из первой бригады во вторую переведены двое
рабочих. Найти вероятность того, что двое рабочих, наугад взятых
из нового состава второй бригады, имеют первый разряд.
2.13.	Для сигнализации о том, что режим работы автоматиче-
ской линии отклоняется от нормального, используется индикатор.
Он принадлежит с вероятностями 0,5, 0,2 и 0,3 к одному из трех ти-
пов. Для каждого типа индикатора вероятности подачи сигнала при
нарушении нормальной работы линии равны соответственно 0,9;
0,8; 0,6. а) Найти вероятность получения сигнала от индикатора,
б) От йндикатора получен сигнал. Найти вероятность того, что ин-
дикатор — первого типа.
2.14.	Стрелок произвел 3 выстрела по удаляющейся от него ми-
шени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы
равна 0,9, а после каждого выстрела уменьшается на 0,2. Найти ве-
роятность попадания в мишень: а) хотя бы один раз; б) не менее
двух раз.
2.15.	В первом цехе 2 станка были к эксплуатации пять лет,
3 станка — четыре года и 5 станков — менее трех лет. Во втором цехе
3 станка проработали пять лет, 3 станка — четыре года и 6 станков —
менее трех лет. После реконструкции один из станков цеха № 2 ока-
зался в цехе № 1. Найти вероятность того, что каждый из двух стан-
ков, выбранных наугад в цехе № 1 после реконструкции, прорабо-
тал не менее трех лет.
2.16.	Вероятности подключения абонента к каждой из трех АТС
равны соответственно 0,2; 0,4; 0,4. Вероятность соединения абоне.н-
тов в случае подключения для первой АТС — 0,25, для второй — 0,4,
для третьей — 0,35. а) Найти вероятность соединения абонентов.
318
б) Соединение произошло. Найти вероятность того, что подключи-
лась третья АТС.
2.17.	Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероят-
ность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9, на вто-
рой — 0,85, на третий — 0,8. Найти вероятность того, что студент от-
ветит: а) хотя бы на два вопроса; б) не менее чем на два вопроса.
2.18.	В отделе А института работают 5 инженеров и 3 старших
инженера, а в отделе В — 8 инженеров и 2 старших инженера. Из от-
дела А в отдел В перевели одного сотрудника. Найти вероятность
того, что 3 сотрудника, наугад выбранных из нового состава отдела
А, являются старшими инженерами.
2.19.	На конвейер поступают одинаковые детали со станков А и
В. Вероятность брака для станка А равна 0,06, для станка В — 0,02.
Со станка А поступает в 4 раза больше деталей, чем со станка В.
а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет стандарт-
ной. б) Взятая наугад деталь оказалась стандартной. Найти вероят-
ность того, что она поступила со станка А.
2.20.	В первой коробке из 10 деталей 3 бракованные, а во второй
из 14 — 5 бракованных. Из второй коробки в первую переложили две
детали. Найти вероятность того, что две детали, взятые после этого
наугад из первой коробки, будут бракованными.
2.21.	Вероятность повреждения изделия при погрузке на авто-
машину равна 0,04, при транспортировке на машине — 0,02, а при
разгрузке — 0,01. Найти вероятность доставки изделия: а) с повреж-
дением хотя бы по одной из указанных причин; б) с повреждением
вследствие двух причин.
2.22.	Вероятность повреждения электролинии на участке С]
протяженностью 8 км равна 0,3, на участке С2 протяженностью
11 км — 0,2, на участке С3 протяженностью 6 км — 0,15. а) Найти ве-
роятность повреждения электролинии, б) Произошло повреждение
электролинии. Найти вероятность того, что это повреждение — на
участке С3.
2.23.	В первой бригаде токарей 2 рабочих имеют первый разряд,
2 рабочих — второй и 5 рабочих — четвертый. Во второй бригаде
один токарь имеет первый разряд, 4 токаря — третий и 2 токаря —
четвертый. Из первой бригады во вторую переведен один токарь.
Найти вероятность того, что рабочий, наугад выбранный из нового
состава второй бригады, имеет разряд не ниже второго.
2.24.	Три электрические лампочки, две из которых соединены
параллельно, а третья с первыми двумя — последовательно, включе-
ны в цепь. Вероятность того, что любая лампочка перегорит, если
319
напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,5. Найти веро-
ятность того, что при повышении напряжения: а) перегорит не ме-
нее двух лампочек; б) перегорит хотя бы одна лампочка.
2.25.	Имеется три одинаковые урны, в первой из которых 5 зе-
леных и 3 синих шара, во второй — 2 зеленых и 4 синих, в треть-
ей — 1 зеленый и 3 синих, а) Найти вероятность того, что шар,
взятый из наугад выбранной урны, будет зеленым, б) Наугад взя-
тый шар оказался зеленым. Найти вероятность того, что он из
первой урны.
2.26.	Из 20 радиоламп первой партии 12 имеют срок годности от
десяти месяцев до года, 5 — от года до полутора лет, а остальные —
от полутора до двух лет. Во второй партии из 18 радиоламп 10 имеют
срокгодности от десяти месяцевдо года, 5 — от года до полутора лет
и остальные — от полутора до двух лет. Из первой партии во вторую
переложена одна лампа. Найти вероятность того, что две лампы, на-
угад взятые после этого из первой партии, имеют срок годности
свыше года.
2.27.	Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попа-
дания в цель из первого орудия равна 0,7, из второго — 0,9 и из тре-
тьего — 0,8. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один снаряд по-
падет в цель; б) не менее двух снарядов попадут в цель.
2.28.	Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два
неповторяющихся вопроса. Студент может ответить только на
40 вопросов, а) Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, ес-
ли для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета
или на один вопрос из одного билета и на дополнительный вопрос
из другого билета, б) Студент сдал экзамен. Найти вероятность того,
что он ответил на оба вопроса билета.
2.29.	В первой лаборатории 2 лаборанта имеют стаж работы свы-
ше десяти лет, 4 лаборанта — от пяти до десяти лет и 4 лаборанта —
менее пяти лет. Во второй лаборатории один лаборант имеет стаж
менее пяти лет, 4 лаборанта — от пяти до десяти лет и 3 лаборанта —
свыше десяти лет. Из первой лаборатории во вторую переведен
один лаборант. Найти вероятность того, что лаборант, наугад вы-
бранный из нового состава второй лаборатории, имеет стаж не ме-
нее пяти лет.
2.30.	В одном из цехов завода имеется 3 телефона. Вероятности
занятости каждого из них равны соответственно 0,2; 0,1; 0,3. Найти
вероятность того, что: а) хотя бы один из телефонов свободен; б) не
менее двух телефонов заняты.
320
3
3.1.	Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 3 % бра-
кованных. Найти вероятность того, что среди взятых наугад шести
деталей: а) три бракованные; б) не более трех бракованных.
3.2.	Вероятность поражения мишени при каждом выстреле рав-
на 0,9. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах мишень будет
поражена.
3.3.	На каждые 25 приборов приходится в среднем 5 неточных.
Определить наивероятнейшее число точных приборов из наугад
взятых шести приборов.
3.4.	Машина-экзаменатор содержит 12 вопросов, на каждый из
которых предлагается 4 варианта ответов. Положительная оценка
выставляется машиной в том случае, если экзаменуемый правиль-
но ответит не менее чем на 10 вопросов. Найти вероятность того,
что студент, выбирая ответы наугад: а) ответит на 10 вопросов;
б) получит положительную оценку.
3.5.	В данной партии хлопка имеется 20 % коротких волокон.
Найти вероятность того, что в наугад взятом пучке из шести воло-
кон окажется не более трех коротких.
3.6.	Сколько раз следует стрелять из орудия, чтобы при вероят-
ности попадания, равной 0,9, наивероятнейшее число попаданий
оказалось равным 17?
3.7.	Вероятность ежедневного нормального расходования воды
в городе принимается равной 0,8. Найти: а) наиболее вероятное
число дней в течение недели, в которые расход воды будет нор-
мальным; б) вероятность того, что два дня в неделю расход воды
будет нормальным.
3.8.	Сколько скважин необходимо пробурить в нефтеносном
районе, чтобы вероятность открыть хотя бы одно месторождение
была не меньше 0,6, если вероятность вскрытия одной нефтеносной
скважины равна 0,03? Какова вероятность того, что из 5 пробурен-
ных скважин две нефтеносные?
3.9.	Вероятность поломки станка в течение одной смены равна
0,3. Определить вероятность поломки станка: а) в течение каждой
из трех смен; б) в течение одной из трех смен.
3.10.	Найти наивероятнейшее число появлений некоторого со-
бытия при 16 испытаниях, если вероятность появления его в отдель-
ном испытании равна 0,7.
3.11.	Вероятность изготовления первосортной детали на некото-
ром станке равна 0,75. Сколько необходимо изготовить деталей,
чтобы наивероятнейшее число первосортных деталей было
равно 21? Какова вероятность того, что из 5 изготовленных деталей
3 первосортные?
321
3.12.	Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух вы-
стрелах равна 0,91. Найти вероятность: а) трех попаданий при шес-
ти выстрелах; б) не менее двух попаданий при четырех выстрелах.
3.13.	Сколько изюма должны содержать в среднем сдобные бу-
лочки, чтобы вероятность попадания хотя бы одной изюминки в
булку была не менее 0,99?
3.14.	Монету подбрасывают 20 раз. Найти наивероятнейшее
число выпадения герба.
3.15.	Батарея сделала 14 выстрелов по военному объекту, веро-
ятность попадания в который равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее
число попаданий; б) вероятность разрушения объекта, если для это-
го требуется не менее четырех попаданий.
3.16.	Вероятность того, что хотя бы одна деталь из четырех будет
стандартной, равна 0,9999. Найти вероятность того, что из 5 дета-
лей: а) две бракованные; б) менее Двух стандартных.
3.17.	Вероятность того, что расход электроэнергии за сутки не
превышает нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что в бли-
жайшие 7 суток расход электроэнергии не превысит нормы: а) за
4 суток; б) не менее чем за 5 суток.
3.18.	В бригаде 9 человек. Вероятность невыхода на работу в слу-
чае болезни равна 0,1. Найти наиболее вероятное число работаю-
щих и вычислить соответствующую этому числу вероятность.
3.19.	Вероятность нормального расхода горючего в автоколонне
составляет 0,8. а) Определить вероятность того, что в ближайшие
7 дней расход горючего будет нормальным, б) Найти наиболее веро-
ятное число дней в течение недели, в которые расход горючего будет
нормальным.
3.20.	Вероятность попадания в цель равна 0,5. Сбрасывают по
одной 5 бомб. Определить вероятность того, что будет: а) не менее
одного попадания в цель; б) два попадания.
3.21.	Завод выпускает 75 % продукции первого сорта. Найти:
а) наиболее вероятное число изделий первого сорта среди 6 отоб-
ранных; б) вероятность того, что не менее трех изделий — первого
сорта.
3.22.	Сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью 0,721
можно было утверждать, что среди них не окажется бракованных,
если вероятность брака равна 0,01? Для найденного количества де-
талей вычислить вероятность того, что две детали будут бракован-
ными.
3.23.	Сколько раз следует выстрелить из орудия, чтобы при ве-
роятности попадания, равной 0,9, наивероятнейшее число попада-
ний оказалось равным 10? Определить вероятность пяти попаданий
при найденном числе выстрелов.
3.24.	Отделом технического контроля установлено, что из 100
велосипедов, изготовленных заводом, 10 с дефектом. Найти вероят-
322
ность того, что из 6 выбранных велосипедов будет: а) 3 с дефектом;
б) 5. удовлетворяющих требованиям качества.
3.25.	Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех вы-
стрелах равна 0,992. Найти вероятность четырех попаданий при пя-
ти выстрелах.
3.26.	Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна
1/7. Найти вероятность того, что, имея 5 лотерейных билетов,
можно выиграть: а) хотя бы по одному билету; б) по четырем би-
летам.
3.27.	Вероятность того, что наугад взятый рабочий бригады вы-
полнит норму выработки, равна 0,9. Найти: а) вероятность того, что
по крайней мере двое из пяти рабочих, входящих в бригаду, выпол-
нят норму выработки; б) наиболее вероятное число рабочих, вы-
полняющих норму выработки.
3.28.	Для разрушения военного объекта необходимо не менее
трех попаданий в него. По объекту произведено 15 выстрелов. Най-
ти вероятность разрушения объекта, если вероятность попадания в
него при каждом выстреле постоянна и равна 0,4.
3.29.	Изготовлена партия в 20 деталей. Вероятность изготовле-
ния детали, требующей дополнительной доводки, равна 0,1. Найти
наивероятнейшее число стандартных деталей в данной партии и ве-
роятность этого наивероятнейшего числа.
3.30.	Ожидается прибытие трех судов с овощами и фруктами.
Статистика показывает, что в 1 % случаев груз овощей и фруктов
частично портится в дороге. Найти вероятность того, что: а) только
одно судно придет с частично испорченным грузом; б) все три судна
придут с неиспорченным грузом.
4.	Для данной СВ X: а) описать пространство элементарных ис-
ходов £2 ; б) вычислить Р(Х= го(.) , го(. е £2 ; в) записать ряд ее распре-
деления; г) вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию
D(X)', д) найти функцию распределения.
4.1.	Вероятность того, что в библиотеке имеется необходимая
студенту книга, равна 0,4. В городе 5 библиотек; СВ X— число биб-
лиотек, которые посетит студент.
4.2.	Имеется 4 ключа, из которых только один подходит к замку;
СВ X— число попыток открыть замок каждым ключом при условии,
что опробованный ключ в последующих попытках не участвует.
4.3.	Среди шести изделий имеется одно бракованное. Чтобы его
обнаружить, отбирают наугад одно изделие за другим и каждое вы-
бранное изделие проверяют; СВ X— число проверенных изделий.
4.4.	В озере 3000 рыб, причем 2000 из них — меченые. Выловили
7 рыб; СВ X— число меченых рыб среди выловленных.
4.5.	Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в
цель при одном выстреле из первого, второго и третьего орудий ба-
323
тареи равны соответственно 0,6, 0,8 и 0,7. Каждое орудие стреляет
по некоторой цели один раз; СВ X— число попаданий в цель.
4.6.	Охотник, имеющий 6 патронов, стреляет в цель до первого
попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5;
СВ X— число израсходованных патронов.
4.7.	Испытуемый прибор состоит из четырех элементов. Вероят-
ности отказа элементов равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. От-
казы элементов независимы; СВ X— число отказавших элементов.
4.8.	Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске
равна 0,4; СВ X— число попаданий при трех бросках.
4.9.	В шестиламповом радиоприемнике, где все лампы различ-
ны, перегорела одна лампа. С целью устранения неисправности
наугад выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного
комплекта, после чего сразу проверяют работу приемника; СВ X —
число замен ламп.
4.10.	Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятности того, что пер-
вый, второй, третий и четвертый станки не потребуют внимания ра-
бочего в течение часа, равны соответственно 0,6; 0,9; 0,65; 0,8;
СВ X — число станков, которые не потребуют внимания рабочего в
течение часа.
4.11.	В партии хлопка 15 % коротких волокон; СВ X— число ко-
ротких волокон среди случайно отобранных четырех волокон.
4.12.	Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успе-
вает сделать не более четырех выстрелов. Вероятность попадания
при одном выстреле равна 0,6; СВ X— число выстрелов, производи-
мых охотником.
4.13.	В группе из десяти изделий два бракованных. Чтобы их об-
наружить, отбирают наугад одно изделие за другим и каждое вы-
бранное изделие проверяют; СВ X— число проверенных изделий.
4.14.	Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к зам-
ку; СВ X — число попыток открыть замок каждым ключом при
условии, что опробованный ключ в последующих попытках не
участвует.
4.15.	Вероятность поражения цели при одном выстреле равна
0,6; СВ X — число выстрелов, производимых до первого поражения
цели.
4.16.	Проводятся последовательные испытания десяти прибо-
ров на надежность. Каждый следующий прибор испытывается в том
случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдер-
жать испытание для каждого прибора равна 0,7; СВ X— число испы-
таний, на котором заканчивается проверка.
4.17.	Из ящика, содержащего 2 бракованные и 6 стандартных де-
талей, наугад извлекают 3 детали; СВ X— число извлеченных стан-
дартных деталей.
4.18.	На пути движения автомашины 4 светофора, разрешающих
либо запрещающих дальнейшее ее движение с вероятностью 0,5;
324
СВ X — число светофоров, мимо которых автомашина прошла до
первой остановки.
4.19.	Вероятность наступления некоторого события в каждом
испытании постоянна и равна 0,2. Испытания проводятся 5 раз;
СВ А"— число появлений события в пяти испытаниях.
4.20.	Вероятность попадания в цель при одном выстреле из ору-
дия равна 0,6. Производится 5 выстрелов; СВ X — число попаданий
в цель.
4.21.	Партия из 40 изделий содержит 8 бракованных. Из нее слу-
чайным образом отобрано 4 изделия; СВ X— число бракованных из-
делий, содержащихся в случайной выборке.
4.22.	Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,2.
Из партии изделий контролер берет одно и проверяет его качество.
Если изделие оказывается нестандартным, дальнейшие испыта-
ния прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие ока-
зывается стандартным, контролер берет следующее и т.д. Всего он
проверяет не более четырех изделий; СВ X — число проверяемых
изделий.
4.23.	Вероятность попадания в движущуюся цель при одном вы-
стреле постоянна и равна 0,1. Произведено 4 выстрела; СВ X — чис-
ло попаданий в движущуюся цель.
4.24.	В лотерее на 2000 билетов разыгрываются три вещи, стои-
мость которых 420, 120 и 60 у.е.; СВ X — сумма выигрыша для лица,
имеющего один билет.
4.25.	В некотором цехе брак составляет 6 % всех изделий; СВ X—
число бракованных изделий из пяти наугад взятых.
4.26.	Снайпер стреляет по замаскированному противнику до
первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле
равна 0,3; СВ X— число промахов, если у снайпера в запасе четыре
патрона.
4.27.	Вероятность промышленного содержания металла в каж-
дой пробе одинакова и равна0,8. Произведено 4 пробы; СВ X— чис-
ло проб с промышленным содержанием металла из четырех прове-
ренных.
4.28.	При штамповке металлических клемм для соединительных
пластин бывает в среднем 5 % брака; СВ X — число бракованных
клемм из четырех проверяемых.
4.29.	Вероятность положительного результата при химическом
анализе равна 0,8; СВ X — число положительных результатов хими-
ческого анализа среди пяти проведенных.
4.30.	При автоматической прессовке заготовок 2/3 от общего их
числа не имеют зазубрин; СВ X— число заготовок из трех, не имею-
щих зазубрин.
325
5.	Участок электрической цепи MNсостоит из элементов, соеди-
ненных по указанной схеме. Выход из строя за время Т различных
элементов системы — независимые события, имеющие вероятнос-
ти, приведенные в таблице. Вычислить вероятность отказа системы
за указанный промежуток времени.
	ot]	а2	аз	а4	а5	а^
Pi	0,2	0,3	0,6	0,4	0,1	0,5
5.2.
а,	а1	а2	а3	а4
Pi	0,3	0,2	0,1	0,4
5.3.
а,-	а!	а2	а3	а4	as
Pi	0,1	0,2	0,5	0,3	0,6
326
5.4.
327
-SZE
ns
ors
£‘O	Z‘O	I‘O	s‘o	t‘o	'd
s И		f»		1»	!X)
329
5.15.
а,-	<*1	<Х?	СС3	СС4	а5	а6
Pi	0,2	0,4	0,1	0,3	0,6	0,5
5.16.
«/	«1	аэ	а3	а4
Pi	0,3	0,2	0,1	0,5
5.17.
а/	а1	а2	а3	а4	а5
Pi	0,2	0,5	0,1	0,6	0,4
5.18.
330
	“1	a2	“3	a4	“5	“6
Pi	0,5	0,6	0,1	0,3	0,4	0,2
5.19.
	«1	“2	“3	ад	“5
Pi	0,2	0,5	0,1	0,6	0,4
5.20.
а,	aj	a2	аз	a4	a5
Pi	0,5	0,2	0,3	0,4	0,1
5.21.
	a j	a2	аз	a4	a$
Pi-	0,2	0,5	0,1	0,6 •	0,4
331
5.22.
az	eq	a.2	aj	а4	а$
Pi	0,4	0,5	0,6	0,3	0,1
5.23.
а,-	“1	“2	«3	“4	“5	«б
Pi	0,3	0,5	0,1	0,4	0,6	0,2
5.24.
а.	а1	а2	а3	а4	а5
Pi	0,1	'	0,3	0,5	0,4	0,2
332
5.25.
333
5.28.
	a i	a2	a3	v.$
Pi	0,3	0,2	0,5	0,1
5.29.
a/	«1	“2	«3	a4	“5	«6
Pi	0,5	0,6	0,1	o,3	0,4	0,2
5.30.
a;	“1	«2	“3	a4	“5	«6
Pi	0,2	0,3	0,6	0,4	0,1	0,5
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
1.	Березкина, Н.С. Математика для инженеров. В 2 ч. Ч. 2 /
Н.С. Березкина [и др.]; под ред Н.А. Микулика. Минск, 2006.
2.	Боровиков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровиков. М.,
1986.
3.	Герасимович, А.И. Математическая статистика /А.И. Герасимо-
вич. Минск, 1983.
4.	Гурский, Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и матема-
тической статистике / Е.И. Гурский. Минск, 1984.
5.	Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2 / А.А. Гусак. Минск,
2005.
6.	Жевняк, Р.М. Высшая математика. В 5 ч. Ч. 4, 5 / Р.М. Жевняк,
А.А. Карпук, Минск, 1987, 1988.
7.	Коваленко, И.Н. Теория вероятностей и математическая статис-
тика / И.Н. Коваленко, А.А. Филиппова. М., 1982.
8.	Краснов, М.Л. Функции комплексного переменного. Операци-
онное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения) /
М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М., 1981.
9.	Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения /
Д.Р. Меркин. М., 1987.
10.	Микулик, Н.А. Решение технических задач по теории вероят-
ностей и математической статистике / Н.А. Микулик, Г.Н. Рейзина.
Минск, 1991.
11.	Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле-
ние. В 2 ч. Ч. 2 / Н.С. Пискунов. М., 1985.
12.	Розанов, Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и
математическая статистика /Ю.А. Розанов. М., 1985.
13.	Сборник задач по математике для втузов. Теория вероятнос-
тей и математическая статистика. В.4 ч. Ч. 4 / под ред. А.В. Ефимова.
М., 1990.
14.	Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый
курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун [и др.]. М., 2002.
15.	Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения:
в 2 т. / В. Феллер. М., 1984.
16.	Чудесенко,- В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам
высшей математики. Типовые расчеты / В.ф. Чудесенко. М., 1983.
335
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................3
Методические рекомендации.........................................5
16.	ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...................................... 8
16.1.	Оригинал и изображение по Лапласу.....................  8
16.2.	Нахождение оригиналов по изображениям..................25
16.3.	Приложения операционного исчисления....................33
16.4.	Индивидуальные домашние задания к гл. 16...............57
16.5.	Дополнительные задачи к гл. 16.........................85
17.	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.................................89
17.1.	Постановка задачи......................................89
17.2.	Определение устойчивости. Уравнения возмущенного
движения.....................................................90
17.3.	Функции Ляпунова и теоремы Ляпунова об устойчивости
и неустойчивости решений дифференциальных уравнений..........93
17.4.	Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоян-
ными коэффициентами и устойчивость их решений................97
17.5.	Линейные однородные системы дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и устойчивость их
решений.................................................... 100
17.6.	Исследование решений систем на устойчивость по первому
приближению................................................ 104
17.7.	Индивидуальные домашние задания к гл. 17............. 111
17.8.	Дополнительные задачи к гл.	17....................... 123
18.	ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................................ 125
18.1.	Некоторые понятия комбинаторики. События и их вероятности. 125
18.2.	Основные аксиомы теории вероятностей. Непосредственное
вычисление вероятностей событий............................ 130
18.3.	Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности................................. 133
18.4.	Формулы Байеса и Бернулли. Локальная и интегральная теоремы
Муавра - Лапласа........................................... 140
18.5.	Случайные величины. Общие законы распределения случайных
величин.................................................... 144
18.6.	Числовые характеристики случайных величин............ 149
18.7.	Основные законы распределения случайных величин...... 156
18.8.	Системы случайных величин и их числовые характеристики.... 162
18.9.	Индивидуальные домашние задания к гл. 18............. 176
18.10.	Дополнительные задачи к гл. 18.......................220
19.	ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ..........................225
19.1.	Выборка. Эмпирические законы распределения...........'225
19.2.	Числовые характеристики статистического распределения.230
19.3.	Оценка числовых характеристик. Метод моментов.........242
19.4.	Метод наименьших квадратов. Корреляционная связь......249
19.5.	Статистическая проверка гипотез.......................258
19.6.	Индивидуальные домашние задания к гл. 19..............270
19.7.	Дополнительные задачи к гл. 19........................299
Приложения..........................-...........................302
Рекомендуемая литература....................................... 335
336