/
Автор: Берестова С.А. Ламоткин А.Е. Романовская Е.М. Савина Е.А.
Теги: кинематика математическо-механическая геометрия движения механика физика инженерная механика
ISBN: 978-5-7996-4123-8
Год: 2026
Текст
Контекстное
обучение инженеров
ИНЖЕНЕРНАЯ
МЕХАНИКА.
КИНЕМАТИКА
9 785799 641238
Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
Контекстное обучение инженеров
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА.
КИНЕМАТИКА
Учебное пособие
Под общей редакцией доктора
физико-математических наук,
профессора С. А. Берестовой
Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 — Строительство
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2026
УДК 531.1(075.8)
ББК 22.212я73
И62
Серия учреждена в 2024 году
Редакционная коллегия серии:
д-р хим. наук, проф. О. И. Ребрин (председатель редакционной коллегии)
канд. техн. наук, доц. А. И. Голоднов;
канд. техн. наук, доц. А. А. Маркина;
руководитель образовательной программы «Системная инженерия» А. Н. Кулемин;
д-р техн. наук, проф. Л. В. Плотников
Авторы:
С. А. Берестова, Е. М. Романовская, Е. А. Савина, А. Е. Ламоткин
Рецензенты:
В. В. Башуров, канд. физ.-мат. наук, доц., декан электротехнического факультета
Уральского государственного университета путей сообщения;
Е. Ю. Просвиряков, д-р физ.-мат. наук, доц., гл. науч. сотр. Института машиноведения УрО РАН
Дизайн обложки и иллюстрации книги, отмеченные звездочками, подготовлены
А. С. Ларюшкиным.
Инженерная механика. Кинематика : учеб. пособие / С. А. Берестова, Е. М. РоИ62 мановская, Е. А. Савина, А. Е. Ламоткин ; под общ. ред. д-ра физ.-мат. наук, проф.
С. А. Берестовой ; М-во науки и высшего образования РФ, Уральский федеральный
университет. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2026. — 100 с. — (Контекстное
обучение инженеров). — ISBN 978-5-7996-4123-8. — Текст : непосредственный.
ISBN 978-5-7996-4123-8
В пособии рассмотрено движение материальной точки, твердого тела и системы тел без
учета сил, его вызывающих. Особое внимание уделено не только простейшим понятиям о траектории, скорости и ускорении точки, но и анализу сложных движений твердых тел в реальных инженерных системах. Помимо теории, приведены примеры решения технических задач, возникающих в процессе инженерной деятельности.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки в области образования «Инженерное дело, технологии и технические науки» и изучающих дисциплины «Инженерная механика», «Теоретическая механика».
Библиогр.: 7 назв. Рис. 98.
ISBN 978-5-7996-4123-8
УДК 531.1(075.8)
ББК 22.212я73
© Уральский федеральный
университет, 2026
Оглавление
Предисловие........................................................................................ 4
1. Основные понятия........................................................................... 5
2. Скорость и ускорение точки......................................................... 15
3. Простейшие движения твердого тела........................................... 28
4. Сложное движение материальной точки...................................... 45
5. Плоское движение твердого тела.................................................. 60
6. Ускорение точек твердого тела при его плоском движении........ 71
7. Сложение вращений вокруг параллельных осей.......................... 80
8. Сферическое и свободное движения твердого тела..................... 85
Послесловие...................................................................................... 97
Библиографический список............................................................. 99
3
Предисловие
П
еред вами не просто учебное пособие, а шаг в занимательный мир скоростей, ускорений и траекторий. Пособие «Инженерная механика. Кинематика» — ключевое звено в подготовке будущих инженеров. Чтобы по-настоящему понять инженерную
механику, ее нужно увидеть и «пощупать». Нельзя научиться описывать движение, глядя лишь на абстрактные точки, фигуры и формулы.
Механика оживает, когда понимаешь, что эти уравнения — это расчет
хода поршня в двигателе автомобиля, траектория детали, перемещаемой роботом-манипулятором, или путь режущего инструмента, создающего деталь сложной формы. Именно на этих принципах — наглядности и связи теории с практикой — и основано данное учебное пособие.
Кинематика — это язык, на котором инженеры всего мира описывают
любое движение: от наночастиц до небесных тел.
Авторы постарались сделать учебный материал максимально наглядным. Вместо абстрактных примеров вы найдете здесь задачи о реальных инженерных объектах, таких как передачи в редукторах, механизм стеклоподъемника, антенна для слежения за объектами и т. д.
Каждая тема сопровождается краткой теорией, иллюстрациями, помогающими визуализировать процессы, пошаговыми решениями типовых примеров и практическими заданиями. Наша цель — не заставить
вас заучить набор формул, а научить вас видеть механику в окружающем мире и применять ее аппарат для решения прикладных задач.
Умение грамотно провести кинематический анализ — это признак
высокой инженерной культуры. Уверены, что работа с этим пособием позволит вам заложить прочную основу для дальнейшего становления в качестве высококлассных, мыслящих инженеров.
Кинематика — это не просто раздел механики, это инструмент,
который поможет вам создавать будущее. Добро пожаловать в увлекательный мир движения!
4
1. Основные понятия
К
инематика — раздел курса «Инженерная механика», в котором изучается движение материальной точки, твердого тела
или системы твердых тел с геометрической точки зрения,
то есть без учета действующих сил.
Основные задачи кинематики материальной точки:
1) описание способов задания движения точки;
2) определение кинематических характеристик движения точки
(скорости, ускорения) по заданному закону движения.
Механическое движение — изменение положения одного тела относительно другого (тела отсчета), с которым связана система координат, называемая системой отсчета.
Геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета — это траектория точки.
Задать движение — значит дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета.
Рассмотрим три способа задания движения точки в заданной системе отсчета.
1. Векторный способ задания движения предполагает, что выбирается тело отсчета. Телом отсчета для парусника, например, может
служить маяк (рис. 1.1).
Положение точки определяется радиус-вектором, проведенным
из неподвижной точки, связанной с телом отсчета. Векторное уравнение движения точки:
r r t .
Траектория точки при векторном способе задания движения —
это годограф радиус-вектора (кривая, соединяющая концы радиус-
вектора переменной величины, отложенного в разные моменты времени от одной точки).
5
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
а
б
M
O
Тело отсчета
Рис. 1.1. Положение парусника 1 (а) и схема с радиус-вектором,
однозначно задающим положение точки относительно тела отсчета (б)
2. Координатный способ задания движения предполагает, что с телом отсчета связывают систему координат. Например, при технологическом сверлении отверстия телом отсчета выбирают заготовку и декартову систему координат связывают с ней (рис. 1.2).
а
б
Рис. 1.2. Положение сверла (а) и схема
координатного способа задания движения точки (б)
Уравнения движения точки в координатной форме — это координаты точки как функции времени:
x x t ,
y y t ,
z z t .
1
6
Маяк и судно. URL: https://clck.ru/3QC7SN (дата обращения: 26.08.2025).
1. Основные понятия
Кроме того, это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать уравнение траектории в явной форме, надо исключить из них t.
В случае пространственной траектории, исключив t, получим
F1 ( x, y, z ) 0,
F2 ( x, y, z ) 0.
В случае плоской траектории
x x(t ),
y y(t ),
исключив t, получим
F ( x, y) = 0 или y f x .
Для задания движения точки могут быть использованы другие системы координат — полярная, цилиндрическая, сферическая и т. д. При
ориентировании на местности пользуются полярной системой координат (рис. 1.3, а). При обработке торцевой стороны или боковой поверхности металлической заготовки на станках при программировании
наряду с декартовой системой координат используют и цилиндрическую (рис. 1.3, б). При геолокации положение объекта задают в сферических координатах (рис. 1.3, в). Екатеринбург находится в центральной части Евразии, географические координаты: 56°50′ северной
широты, 60°35′ восточной долготы, 270 м над уровнем моря.
а
б
в
Рис. 1.3. Системы координат:
полярная (а); цилиндрическая (б); сферическая (в)
7
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
3. Естественный способ задания движения удобен, когда траектория точки заранее известна. В этом случае задаются: траектория точки,
начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета и закон изменения дуговой координаты (рис. 1.4):
s s t .
Рис. 1.4. Дуговая координата,
задающая движение точки
Примером использования естественного способа задания движения,
в частности, может служить позиционирование транспортных средств
на федеральных автодорогах Российской Федерации (рис. 1.5, в), при
этом нулевая точка расположена на Красной площади (рис. 1.5, а, б).
а
б
в
Рис. 1.5. Нулевая точка на Красной площади (а, б) и карта автодорог РФ 2 (в)
Система координат при естественном способе задания движения подвижная, перемещается вместе с подвижной точкой и состоит из трех осей: касательной оси τ, нормальной оси n, бинормальной
оси b (рис. 1.6).
Федеральные трассы : карта // ЗАО «Геоцентр-Консалтинг» : сайт. URL: https://
clck.ru/3QC7y5 (дата обращения: 26.08.2025).
2
8
1. Основные понятия
Рис. 1.6. Система координат
при естественном способе задания движения
Кривизна пространственной траектории в данной точке M — это
предел отношения угла ϕ между касательными в двух соседних точках
кривой M и M1 к длине дуги, соединяющей эти точки, при стремлении
d
k
lim
,
kn (формула Френе).
M к M1, то есть
при этом
s 0 s
ds
Кривизна траектории при векторном способе задания движения
r r
k 3 .
r
Аналитический способ определения кривизны пространственной
и плоской кривой соответственно по уравнениям движения точки, заданным координатным способом:
z y y z x z z x y x x y
2
k
x
2
2
y z
2
3
2 2
2
, k
yx xy
x
2
y
3
2 2
.
Ориентированная кривизна плоской кривой позволяет дополнительно находить, в каком направлении отклоняется траектория
движения точки. Если ориентированная кривизна положительна,
то движущаяся точка отклоняется при своем движении влево (вектор скорости поворачивается против хода часовой стрелки), а если
отрицательна, то вправо (вектор скорости поворачивается по ходу
часовой стрелки).
9
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Радиус кривизны ρ в данной точке траектории движения — величина, обратная ее кривизне:
1
.
k
Пример 1. Найти уравнения движения точки обода колеса мотоцикла (рис. 1.7, а) диаметром D, катящегося без скольжения по прямолинейному пути со скоростью vС.
а
б
Рис. 1.7. Движение точки обода колеса мотоцикла:
эскиз* (а); схема (б)
Решение. При равномерном движении мотоцикла координаты точки M (рис. 1.7, б) определяются равенствами
x OA MC sin ,
y AC MC cos .
Поскольку OA
MA
2v t
D
и OA = vC t , то C и уравнения дви2
D
жения имеют вид
2v t
D
sin C ,
D
2
2v t
D D
y cos C .
2 2
D
x vC t
Линия, описываемая этими уравнениями, называется циклоидой.
10
1. Основные понятия
Пример 2. Найти траекторию точки M шатуна кривошипно-
l
ползунного механизма (рис. 1.8), если OA = l, AB = l, MB = ,
3
ϕ = ωt. Эта схема соответствует и механизму двигателя внутреннего
сгорания, и «циркулю» для вычерчивания идеальных эллипсов — эллипсографу.
Рис. 1.8. Кривошипно-ползунный механизм в произвольном положении
Решение. Зададим движение точки M координатным способом:
5
x l cos t,
x OA cos AM cos ,
3
или
y MB sin
1
y l sin t .
3
Исключая время t, получим
2
2
3x 3 y
5l l 1.
Траекторией движения точки M является эллипс с центром в на5l
l
чале координат и полуосями
и .
3
3
Пример 3. В центробежном насосе перемещение жидкости осуществляется под действием центробежных сил от центра рабочего колеса
к его периферии (рис. 1.9). При этом в центре образуется разряжение,
благодаря которому за счет атмосферного давления в насос поступают
новые порции жидкости. Жидкость движется по лопатке от отверстия
для подвода жидкости согласно закону s = 5(t2 + t) см, время t измеряется в секундах. Определить время прохода частички жидкости 10 см
11
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
по поверхности лопатки от отверстия для подвода жидкости до момента вылета частички жидкости с рабочего колеса.
Рис. 1.9. Схема центробежного насоса
с односторонним подводом жидкости на рабочее колесо:
1 — патрубок для отвода жидкости; 2 — корпус; 3 — рабочее колесо;
4 — отверстие для подвода жидкости; 5 — лопатка
Решение. Движение частицы жидкости задано естественным способом. В момент времени t, когда частица жидкости достигнет края
лопатки, дуговая координата будет равна 10 см. Составим уравнение:
5 t 2 t 10.
Следовательно, частичке жидкости достаточно 1 секунды, чтобы по поверхности лопатки от отверстия для подвода жидкости продвинуться
до момента вылета с рабочего колеса.
Задания к главе 1
Тест 1. Выбрать вариант ответа, в котором представлена траектория движения точки при векторном способе задания ее движения:
r t e 2t i 6e t j ,
а)
б)
в)
г)
д)
12
ветвь параболы;
отрезок прямой;
эллипс;
окружность;
циклоида.
1. Основные понятия
Тест 2. Выбрать вариант ответа, в котором представлена траектория движения точки при координатном способе задания ее движения:
x 2 3 cos(t ),
y 5 3 sin(t ),
а) ветвь параболы;
б) отрезок прямой;
в) эллипс;
г) окружность;
д) циклоида.
Тест 3. Какова траектория точки A кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.8):
а) ветвь параболы;
б) отрезок прямой;
в) эллипс;
г) окружность;
д) циклоида?
Тест 4. Какова траектория точки B кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.8):
а) ветвь параболы;
б) отрезок прямой;
в) эллипс;
г) окружность;
д) циклоида?
Задание 1. Плоский механизм манипулятора (рис. 1.10), сконструированный на принципах работы руки человека, переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата:
rС rС t , С С t .
Найти законы изменения углов ϕ1 и ϕ2, отрабатываемые соответствующими приводами, которые обеспечивают выполнение заданной
программы. Длины звеньев — l1 и l2.
Задание 2. Для плоского механизма манипулятора (рис. 1.10) найти законы изменения углов ϕ1 и ϕ2, если груз перемещается по закону
y = s(t) по прямой, параллельной оси Aу, отстоящей от оси Aу на расстоянии a. Длины звеньев — l1 и l2.
13
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
а
б
Рис. 1.10. Робот-манипулятор:
эскиз* (а) и схема (б)
Задание 3. В условиях примера 2 определить радиус кривизны траектории точки M шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.8)
при достижении ею крайнего верхнего и крайнего правого положения.
Задание 4. Определить кривизну траектории точки в начальный
момент времени, если ее движение задано уравнением
r t cos(2t )i 3 sin(t ) j .
14
2. Скорость и ускорение точки
Р
ассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt (рис. 2.1). Средняя скорость точки за этот промежуток времени
r
vср
.
t
Рис. 2.1. Перемещение по траектории
и средняя скорость точки
Средняя скорость улитки, например, составляет 5 см/мин; поезда
метро — 40 км/ч; крейсерская скорость самолета — 800 км/ч. Средняя
скорость не дает информации о скорости входа в поворот, максимальной скорости движения и т. д. На спидометре автомобиля (рис. 2.2) мы
наблюдаем не среднюю скорость, а скорость в данный момент времени.
Скорость точки в данный момент времени находится как предел
средней скорости при Δt → 0:
r dr
v lim
.
t 0 t
dt
Скорость точки — кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета:
dr
v= .
dt
15
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Рис. 2.2. Спидометр
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки
в сторону движения.
Среднее ускорение
v
aср
t
характеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δt (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Среднее ускорение точки
К примеру, среднее ускорение поезда метро составляет 1 м/с2; ударного молота копра — 300 м/с2; поршень двигателя внутреннего сгорания движется с ускорением 3 км/с2. Ускорение точки в данный момент времени находится как предел среднего ускорения при Δt → 0:
16
2. Скорость и ускорение точки
v dv
a lim
.
t 0 t
dt
Ускорение точки — мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной
от радиус-вектора точки по времени:
dv d 2 r
=
a =
.
dt dt 2
Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории.
Например, при раскрытии парашюта возникает мгновенное ускорение торможения, равное 3g. Коэффициент при ускорении свободного движения определяет так называемую перегрузку.
Рассмотрим скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения. Связь векторного способа задания движения
и координатного задается соотношением
r xi yj zk .
По определению скорости
dx dy dz
dr d
v
xi yj zk i
j k.
dt dt
dt
dt
dt
Следовательно, проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени:
=
vx x=
, v y y, vz = z.
Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени, то есть
yj
zk
.
v xi
Модуль и направление скорости определяются выражениями
v v x 2 v y 2 vz 2 ,
v
v
v
cos v
, i x , cos v
, j y , cos v , k z .
v
v
v
17
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Из определения ускорения
dv d
yj
zk
xi
a
xi
yj
zk .
dt dt
Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным
соответствующих координат по времени:
=
ax x=
, ay
y, az =
z.
Модуль и направление ускорения определяются выражениями
a ax 2 ay 2 az 2 ,
ay
a
ax
cos a
, i , cos a
, j , cos a, k z .
a
a
a
При естественном способе задания движения (рис. 2.4) скорость
направлена по касательной оси и определяется равенством
v s .
Ускорение точки раскладывается на две составляющие:
a a an ,
v2
s — касательное ускорение; an n — нормальное ускорение.
где a
Рис. 2.4. Скорость и ускорение точки
Касательное и нормальное ускорения являются инвариантными
(независимыми от выбора системы координат) мерами изменения
скорости. Касательное ускорение характеризует изменение скорости
по величине, а нормальное — изменение скорости по направлению.
18
2. Скорость и ускорение точки
При координатном способе задания движения касательное ускорение можно найти как проекцию вектора ускорения на направление вектора скорости (рис. 2.4). С учетом определения скалярного произведения
v
xx
yy
zz
av a cos , a v a v cos , a av a
.
v
x 2 y 2 z 2
Нормальное ускорение находится как проекция вектора ускорения
на направление нормали (рис. 2.4). С учетом определения векторного
произведения для нормального ускорения могут быть получены формулы
an a sin , a v a v sin ,
an
a v
v
zy
yz xz
zx
yx xy
2
2
x 2 y 2 z 2
2
.
Для плоской траектории
a
xx
yy
x 2 y 2
, an
yx xy
x 2 y 2
.
Рассмотрим частные случаи движения точки по траектории. По закону движения точки определяется характер ее движения: равномерное,
равнопеременное, ускоренное (рис. 2.5, а) или замедленное (рис. 2.5, б).
а
б
Рис. 2.5. Ускоренное (а) и замедленное (б)
движение в естественных осях
19
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Закон равномерного движения при vτ = const: s s0 v t . Закон равt2
нопеременного движения при aτ = const: v v 0 a t ; s s0 v 0t a .
2
Пример 1. При высокоточном изготовлении технологических отверстий позиционирование инструмента происходит по установлению начальной точки отсчета и начального положения инструмента
(рис. 2.6). Найти скорость и ускорение режущего инструмента в момент времени 1 с.
а
б
Рис. 2.6. Движение режущего инструмента из точки
с координатами (500; 300) против хода часовой стрелки (а);
по контуру отверстия в виде круга с центром
в точке (400; 300) диаметром 200 мм (б)
Решение. Уравнения движения режущего инструмента:
x 100 cos t 400 мм; y 100 sin t 300 мм. Инструмент начинает двигаться из точки с координатами (500; 300) против хода часовой стрелки.
Скорость режущего инструмента постоянна и определяется ее проекциями:
vx x 100 sin t; v y y 100 cos t .
Ускорение режущего инструмента постоянно и определяется проекциями:
ax vx x 100 2 cos t; ay vy
y 100 2 sin t .
2
В момент времени t 1 c r 300i 300 j ; v 100 j ; a 100 i .
Режущий инструмент находится в точке с координатами (300; 300), его
20
2. Скорость и ускорение точки
скорость составляет 314 мм/с и направлена вертикально вниз, а ускорение направлено по горизонтали вправо. При равномерном движении по окружности касательное ускорение отсутствует, а нормальное
ускорение совпадает с полным ускорением и составляет 987 мм/с2.
Пример 2. Найти скорость, касательное ускорение, нормальное
ускорение, кривизну и радиус кривизны траектории точки обода колеса диаметром D, катящегося без скольжения по прямолинейному
пути со скоростью vC, в произвольный момент движения.
Решение. При равномерном движении колеса (см. рис. 1.7) точка
на ободе движется по циклоиде:
2v t
D
sin C ,
D
2
2v t
D D
y cos C .
2 2
D
Найдем скорость и ускорение точки М по проекциям их на оси координат.
Модуль и направление вектора скорости определяются равенствами
x vC t
2vC t
vC 1 cos ,
D
2vC t
vC sin
v y y vC sin
D
vx x vC vC cos
2
2
v vx2 v y2 2vC sin 2 2vC sin cos 2vС sin .
2
2
2
2
Направляющие косинусы вектора скорости
vy
vx
sin ,
cos .
2
2
v
v
Следовательно, вектор скорости направлен вдоль отрезка MB, который также составляет с вертикальным диаметром AB угол ϕ/2.
Модуль и направление вектора ускорения определяются равенствами
2vC2
2v t 2v 2
sin C C sin ,
2vС2
D
D
D
2
2
.
⇒
a
a
a
x
y
D
2vC2
2vC t 2vC2
ay
y
cos
cos
D
D
D
ax x
21
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Направляющие косинусы вектора ускорения
a
ax
sin , y cos .
a
a
Следовательно, вектор ускорения направлен к точке С.
Касательное ускорение найдем как проекцию ускорения на на
v
правление вектора скорости, задаваемое единичным вектором :
v
v a v ay v y
a a x x
v
v
2vС2
2v 2
sin 2vС sin 2 С cos 2vС sin cos
2
2
2 D
D
2vС sin
2
3
cos sin cos3 sin 3 cos
2 2 sin
2
2vС
2 2vС
2
2
2
2
2
cos .
2
D
D
sin
2
Касательное ускорение направлено вдоль отрезка MB.
Нормальное ускорение перпендикулярно вектору скорости, а значит, направлено к точке A и равно
2
2
2v 2 2v 2
2v 2
an a a С С cos 2 С sin .
2
2
D
D D
2
2
Нормальное ускорение направлено перпендикулярно отрезку MB.
Из определения кривизны
k
yx xy
x
2
y
3
2 2
2vC2
2v 2
cos vС 1 cos C sin vC sin
D
k D
3
v 1 cos v sin
2
С
22
2 2
C
1
2D sin
2
.
2. Скорость и ускорение точки
Ориентированная кривизна отрицательна, следовательно, вектор
скорости поворачивается по ходу часовой стрелки.
Радиус кривизны
1
2 D sin 2 MA.
k
2
Пример 3. Точка движется по окружности радиусом r = 1 м по закону s = t2 – t (s — в метрах, t — в секундах). Определить момент времени, когда касательное ускорение точки равно ее нормальному
ускорению.
Решение. Движение точки задано естественным способом. Скорость точки определяется как производная дуговой координаты:
v s 2t 1 м/с,
касательное ускорение — как производная скорости:
a v 2 м/с2,
а нормальное ускорение — по формуле
an
v2
2
2t 1 м/с2.
r
Учитывая, что параметр t — время — положительный, из условия
равенства касательного и нормального ускорений
2 2t 1
2
⇒ t ≈ 1,2 с.
Задания к главе 2
Тест 1. Какова скорость точки в момент времени
t = 10 c при век
торном способе задания движения: r t 10 cos(t ) i 10 sin(t ) j
а)
б)
в)
г)
4;
10;
16;
24?
23
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Тест 2. Каково ускорение точки при координатном способе задания движения:
x 16 cos(t ),
y 16 sin(t ),
а) 4;
б) 10;
в) 16;
г) 24?
Тест 3. Автомобиль разгоняется, двигаясь по треку в форме окружности (рис. 2.7) согласно закону s = 3t2 м.
Рис. 2.7. Трек в форме окружности*
Каково ускорение автомобиля (м/с2) в момент времени 6 с:
а) 16,2;
б) 17,3;
в) 6;
г) 36?
Тест 4. Автомобиль движется с постоянной скоростью по впадине
радиусом 100 м (рис. 2.8). В точке A ускорение центра тяжести авто
мобиля составляет 5 м/с2.
Какова скорость движения автомобиля (км/ч):
а) 80,5;
б) 22,3;
в) 80,3;
г) 500?
24
2. Скорость и ускорение точки
Рис. 2.8. Движение автомобиля по впадине*
Задание 1. Найти скорость, ускорение и радиус кривизны траектории
точки M шатуна механизма (см. рис. 1.8) в момент времени, когда ϕ = 0.
Задание 2. Башенный кран (рис. 2.9) снимает плиту перекрытия со штабеля и перемещает ее из точки A в точку B. Груз при этом движется соглас
но закону r t (25 18 cos kt ) i (2 35 sin kt ) j , где k = π/10 мин–1.
Определить скорость (м/мин) поднимаемой плиты в момент времени,
равный 2 минутам. Является ли найденная скорость движения допустимой в соответствии с правилами техники безопасности?
Рис. 2.9. Подъем плиты перекрытия башенным краном*
Задание 3. Определить ускорение автомобиля (м/с2) в момент входа
в мертвую петлю радиусом R = 6 м и в наивысшей точке мертвой петли
25
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
s
(рис. 2.10). Закон изменения скорости: v t 2 g H R R cos .
R
Отсчет дуговой координаты ведется от самой нижней точки трассы,
H = 18 м, ускорение свободного падения принять равным 9,81 м/с2.
Рис. 2.10. Трюк «мертвая петля» на автомобиле*
Задание 4. При выполнении фигуры высшего пилотажа «штопор»
центр тяжести самолета ЯК‑18Т движется по спиральной траектории
(рис. 2.11) согласно уравнениям
x t 5 sin 2 t м,
y t 5 cos t м,
2
z t 50t м.
Определить радиус кривизны траектории спуска. Определить также перегрузку, испытываемую пилотом (положение пилота принять
совпадающим с положением центра тяжести самолета).
26
2. Скорость и ускорение точки
Рис. 2.11. Фигура высшего пилотажа «штопор»*
27
3. Простейшие движения твердого тела
Р
ассмотрим кинематику твердого тела в случае простейших
движений — поступательного и вращательного — на примере движения типовых машин и механизмов.
Основные задачи кинематики твердого тела:
1) описание способов задания движения твердого тела;
2) определение кинематических характеристик движения тела;
3) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.
Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему
начальному положению.
Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории,
скорости и ускорения точек тела одинаковы.
Для задания поступательного движения твердого тела достаточно
задать движение одной из его точек, например в декартовой системе
координат:
x A x A (t ),
y A y A (t ), — уравнения поступательного движения твердого тела.
z z (t )
A
A
Вращательным называется движение твердого тела, имеющего две
неподвижные точки. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол между плоскостями π1 и π2 (рис. 3.1), одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.
Уравнение вращательного движения твердого тела: (t ).
С положительным направлением отсчета угла ϕ связывают положительное направление оси вращения Oz. Она направлена в ту сторону, откуда положительный отсчет угла ϕ виден происходящим против
хода часовой стрелки.
28
3. Простейшие движения твердого тела
Рис. 3.1. Задание вращательного движения твердого тела
Для характеристики изменения угла поворота вводится величина,
которая называется угловой скоростью (обозначается ω). Она определяется как предел средней угловой скорости:
— алгебраическая угловая скорость.
t o
t o t
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в ту сторону,
откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки,
с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости:
k,
где k — единичный вектор оси вращения (рис. 3.1).
Угловое ускорение — мера изменения угловой скорости (обозначается ε). Она определяется как предел среднего углового ускорения:
lim ср lim
lim ср
t o
— алгебраическое значение углового ускорения.
lim
t o t
Вектор углового ускорения — производная вектора угловой скорости по времени:
d
k.
( k )
dt
29
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Если вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости (рис. 3.2, а), то вращение тела ускоренное.
Если вектор углового ускорения направлен противоположно вектору
угловой скорости (рис. 3.2, б), то вращение тела замедленное.
а
б
Рис. 3.2. Векторы угловой скорости и углового ускорения
при ускоренном движении (а) и при замедленном движении (б)
Рассмотрим частные случаи вращения твердого тела. По уравнению вращательного движения твердого тела определяется характер его
движения: равномерное, равнопеременное, ускоренное (рис. 3.2, а) или
замедленное (рис. 3.2, б). Закон равномерного вращения при ω = const:
0 t . Закон равнопеременного движения при ε = const:
t2
.
2
Поскольку траектории точек вращающегося тела — окружности,
при определении скорости и ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения.
Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом поворота (рис. 3.3) равенством
0 t; 0 0t
s R,
откуда
v s R R ⇒ v R.
30
3. Простейшие движения твердого тела
Рис. 3.3. Траектория точки вращающегося тела
Ускорение определяется как сумма
a a an ,
an
v 2 2 R 2
2 R ⇒ an 2 R.
R
R
R R ⇒ a R.
a
s
Модуль и направление ускорения точки вращающегося тела
(рис. 3.4) определяются равенствами
a R 2 4 , tg
a
an
R
2 R
2
.
Рис. 3.4. Векторы скорости и ускорения
точки вращающегося тела
Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении
твердого тела называют также вращательным и центростремительным
(или осестремительным):
a a вр , an a ц a ос .
31
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося тела (рис. 3.5):
v r — формула Эйлера,
нормальное и касательное ускорения (рис. 3.5):
a r , an v .
Рис. 3.5. Иллюстрация формулы Эйлера
Эти формулы справедливы и при движении тела с одной неподвижной точкой (сферическом движении).
Пример 1. Маховое колесо диаметром 0,6 м начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя. Через 10 минут после начала
движения оно имеет угловую скорость, равную 4π рад/с. Определить
угловое ускорение колеса, скорость и ускорение точки на ободе колеса, а также число оборотов махового колеса через 10 мин после начала вращения.
Решение. Колесо вращается равноускоренно, то есть его угловое
ускорение ε постоянно. При этом угловая скорость и угол поворота
колеса изменяются по законам
t2
,
2
где ϕ0 = 0, ω0 = 0, так как движение начинается из состояния покоя.
0 t; 0 0t
32
3. Простейшие движения твердого тела
Через 10 минут, или 600 секунд, после начала движения оно имеет
угловую скорость, равную 4π рад/с, следовательно, угловое ускорение:
4 600
0, 02 рад/с2.
150
Угол поворота
t2
600 2
1200 рад.
2
150 2
Число оборотов n махового колеса связано с углом поворота: 2 n.
Следовательно, n
1200
600 оборотов сделает маховое коле2
2
со за 10 минут.
Скорость точки на ободе колеса
D
4 0,3 1, 2 3, 77 м/с.
2
Скорость направлена по касательной к окружности радиусом R, перпендикулярно радиусу.
Модуль ускорения точки на ободе махового колеса
v R
2
4
4 47,37 м/с2.
a R 2 4 0,3
150
Пример 2. Зубчатые колеса 1 и 2 радиусами r1 и r2 соответственно
находятся во внешнем зацеплении (рис. 3.6, а). Колесо 1 имеет в данный момент угловую скорость ω1 и угловое ускорение ε1. Найти угловую скорость и угловое ускорение колеса 2, а также касательные и нормальные ускорения находящихся в соприкосновении точек колес.
Решение. Скорости точек соприкосновения колес, находящихся
в зацеплении, равны:
v 1r1 2 r2 ,
откуда
2
1r1
r2
в любой момент времени.
33
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Угловое ускорение колеса 2
2
r
d 2 r1 d 1
или 2 1 1 .
dt
r2 dt
r2
Отсюда следует, что угловые ускорения колес связаны такой же зависимостью, как и угловые скорости, а касательные ускорения точек
соприкосновения колес равны между собой:
a 1 a 2 1r1 2 r2 .
Нормальные ускорения точек соприкосновения колес определяются формулами
an r1 12 , an r2 22
1
2
r12 2
1 .
r2
Направления векторов v , aτ, an1, an2 показаны на рис. 3.6, б.
а
б
Рис. 3.6. Внешнее зацепление
Пример 3. Редуктор скорости (рис. 3.7), служащий для замедления
вращения и передающий вращение вала I валу II, состоит из четырех
шестерен с соответствующим числом зубцов: z1 = 10, z2 = 60, z3 = 12,
z4 = 70. Определить передаточное отношение механизма.
Решение. Для определения передаточного отношения механизма
(отношение угловой скорости ведущего вала и ведомого) рассмотрим
скорость точки A — точки зацепления шестерен 1 и 2:
v A 1r1, v A 23 r2 ,
где ω23 — угловая скорость промежуточного вала.
34
3. Простейшие движения твердого тела
а
б
Рис. 3.7. Редуктор коробки передач: фото 3 (а) и схема (б)
Радиусы участвующих в передаче шестерен пропорциональны количеству их зубьев, откуда
1 r2 z2
.
23 r1 z1
Аналогично скорость точки B, точки зацепления шестерен 3 и 4,
vB 23 r3 , vB 4 r4 ,
откуда
23 r4 z4
.
4 r3 z3
Тогда передаточное отношение механизма, показывающее замедление вращения при передаче вращения от ведущего вала I к ведомому валу II, определяется равенством
i
I 1 z4 z2 70 60
35.
II 4 z1 z3 10 12
Пример 4. Толкатель газораспределительного механизма двигателя
совершает возвратно-поступательное движение (рис. 3.8). Найти закон движения и построить графики возвратно-поступательного движения толкателя, его скорости и ускорения. Кулачок равномерно вращается с частотой 20 об/мин, уравнение его профиля:
2 sin 4 u см, 0 u ,
r u
2 см, u 2.
Редуктор в разрезе // АвтоКАМ : сайт. URL: https://everest-autokam.ru/wp-content/
uploads/2024/06/icheskie-dvuhstupenchatye-c2u_7.jpg (дата обращения: 05.08.2025).
3
35
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Рис. 3.8. Такты возвратно-поступательного движения
толкателя газораспределительного механизма*
Решение. Кулачок вращается равномерно (рис. 3.9), следовательно, угол поворота изменяется по закону t , ω = 20 об/мин, то есть
2
2
рад/с и t рад.
3
30 3
2
Посчитаем время полного оборота: так как 0 2 , то 0 t 2
3
и 0 < t < 3 . Время полного оборота составляет 3 секунды.
угловая скорость вращения кулачка 20
Рис. 3.9. Профиль кулака*
36
3. Простейшие движения твердого тела
Закон поступательного движения толкателя, которому передается движение кулачка: y A t r t , то есть
4 2
2 sin t см, 0 t 1,5 c,
yA t
3
2 см, 1,5 c t 3 c,
после этого движение повторяется с периодом t = 3 с. График движения показан на рис. 3.10.
Рис. 3.10. График возвратно-поступательного движения толкателя
Скорость возвратно-поступательного движения толкателя определяется дифференцированием:
8 3 2
2
sin t cos t см/с, 0 t 1,5 c,
v Ay t y A t 3
3
3
0, 1,5 c t 3 c.
График скорости возвратно-поступательного движения толкателя показан на рис. 3.11.
Рис. 3.11. Скорость возвратно-поступательного движения толкателя
37
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Ускорение возвратно-поступательного движения толкателя определяется дифференцированием еще один раз:
162 3 2 4
2
sin t sin 4 t см
м/с2 , 0 t 1,5 c,
aAy t
yA t 9 4
3
3
0, 1,5 c t 3 c.
График ускорения возвратно-поступательного движения толкателя показан на рис. 3.12.
Рис. 3.12. Ускорение возвратно-поступательного движения толкателя
Пример 5. Написать уравнение контура кулака, у которого полный
ход стержня h = 20 см соответствовал бы одной трети оборота, причем перемещения стержня должны быть в это время пропорциональны углу поворота (рис. 3.13). В течение следующей трети оборота стержень должен оставаться неподвижным, и, наконец, на протяжении
последней трети он должен совершать обратный ход при тех же условиях, что и на первой трети. Наименьшее расстояние конца стержня
от центра кулака равно 70 см.
Рис. 3.13. Схема передачи вращательного движения кулака
поступательному движению стержня
38
3. Простейшие движения твердого тела
Решение. Уравнение контура кулака совпадает с законом движения точки A стержня:
r x A .
Из условия задачи построим график возвратно-поступательного
движения стержня (рис. 3.14).
Рис. 3.14. График возвратно-поступательного движения стержня
Перемещения стержня пропорциональны углу поворота, следовательно,
x A k C.
Рассмотрим первую треть оборота:
0
20
30
2
, C = 70.
, k tg
2 3
3
В течение следующей трети оборота стержень остается неподвижным:
2
4
, k = 0, C = 90.
3
3
На протяжении последней трети оборота кулака стержень совершает обратный ход при тех же условиях, что и на первой трети:
x A = const ⇒
4
20
30
2 , k tg
, C = 130.
2 3
3
39
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
На первой и последней трети оборота кулака (рис. 3.15) его контур совпадает с участками спиралей Архимеда (красная, синяя и зеленая линии соответственно):
2
30
70, 0 3 ,
2
4
r 90,
,
3
3
4
30
130, 3 2 .
Рис. 3.15. Линии, задающие контур кулака
Задания к главе 3
Тест 1. Рукоять лебедки (рис. 3.16) вращают с частотой 10 об/мин,
число зубьев шестерни составляет z2 = 16, зубчатого колеса — z3 = 28.
Радиус бухты на барабане лебедки (расстояние от оси вращения барабана до точки схода троса) 0,1 м.
Какова скорость (м/мин) груза:
а) 13,59;
б) 11,57;
в) 3,59;
г) 1,75;
д) 0,57?
40
3. Простейшие движения твердого тела
а
б
Рис. 3.16. Лебедка:
фото 4 (а) и схема* (б)
Тест 2. Колесо спортивного роллерного велотренажера (рис. 3.17, а)
вращается при указанной передаче (рис. 3.17, б) в его трансмиссии. Частота вращения шатунов (каденс) составляет 60 об/мин, количество
зубьев у передних (ведущих) звездочек — 22, 32, 42, а у задних (ведомых) — 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 30.
а
б
Рис. 3.17. Спортивный роллерный велотренажер:
фото 5 (а) и схема ременной передачи* (б)
Какова угловая скорость (рад/с) вращения колеса:
а) 35,6;
б) 17,6;
в) 13,4;
г) 10,6;
д) 9,6?
4
5
Лебедка. URL: https://clck.ru/3QFhqD (дата обращения: 01.08.2025).
Велотренажер. URL: https://clck.ru/3QFhsH (дата обращения: 05.08.2025).
41
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Примечание. В названии детали велосипеда используется термин
«шатун». Строгое техническое наименование этого звена — кривошип.
Тест 3. Колесо роллерного спортивного велотренажера (рис. 3.17, а)
вращается при указанной передаче (рис. 3.18) в его трансмиссии, при
этом частота вращения шатунов (каденс) составляет 60 об/мин, количество зубьев у передних (ведущих) звездочек — 22, 32, 42, а у задних
(ведомых) — 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 30.
Рис. 3.18. Схема ременной передачи
роллерного спортивного велотренажера*
Какова угловая скорость (рад/с) вращения колеса:
а) 35,6;
б) 17,6;
в) 13,4;
г) 10,6;
д) 9,6?
Задание 1. DVD-проигрыватель читает диск с постоянной скоростью. При чтении на внешнем крае диск делает 630 об/мин. Внешняя
дорожка расположена на расстоянии 58 мм от центра. Какова частота
(об/мин) вращения DVD-диска при чтении дорожки на расстоянии
44 мм от центра? Ответ округлить до ближайшего целого.
Задание 2. Угловое ускорение ротора двигателя изменяется по закону ε = 0,7t – 0,6 рад/с2, в начальный момент времени угловая скорость составляет 6 рад/с. Определить частоту (об/мин) вращения ротора в момент времени 13 c.
Задание 3. Угловая скорость вращения шатунов велотренажера
(рис. 3.19) в тренажерном зале равна ω1 = 7 рад/с. Определить угловую скорость (рад/с) маховика 5, если количество зубьев звездочек
z1 = 32, z2 = 20, z3 = 42, z4 = 14.
42
3. Простейшие движения твердого тела
Рис. 3.19. Схема механизма велотренажера*
Задание 4. Двухступенчатый редуктор (рис. 3.20) состоит из конической и цилиндрической зубчатых передач с числом зубьев колес
z1 = 18, z2 = 26, z3 = 28, z4 = 40. Вал I вращается с угловой скоростью
ωI = 39 рад/с. Все зубчатые колеса жестко закреплены на валах. Определить частоту вращения вала II и передаточное число редуктора.
Рис. 3.20. Схема двухступенчатого редуктора
Задание 5. При въезде на территорию общежития УрФУ установлен антивандальный шлагбаум (рис. 3.21, а). Найдите частоту вращения шестерни двигателя (рис. 3.21, б) диаметром 80 мм при скорости
открывания 10 м/мин.
43
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
а
б
в
Рис. 3.21. Антивандальный шлагбаум около общежития УрФУ:
фото (а), схема двигателя (б) и схема зубчатой передачи (в)
44
4. Сложное движение материальной точки
Р
ассмотрим преобразование кинематических величин при
переходе от одной системы отсчета к другой. Оно позволяет исследовать движение отдельных элементов типовых машин и механизмов как в подвижной, так и в неподвижной системах
отсчета.
Сложным называется движение точки (или тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета. К примеру, за движением дозаправщика ведется наблюдение как с земли, так и из кабины истребителя (рис. 4.1).
а
б
Рис. 4.1. Дозаправка в воздухе: фото 6 (а) и схема* (б)
Дадим основные определения теории сложного движения точки.
На рисунке 4.2 O1x′y′z′ — основная система координат, Oxyz — подвижная система координат, M — движущаяся точка.
Движение точки M (или тела) по отношению косновной системе
координат называется абсолютным движением; r — радиус-вектор
точки M в основной системе отсчета; rO — радиус-вектор точки O в основной системе отсчета.
Дозаправка в воздухе // Военное обозрение : сайт. URL: https://inlnk.ru/84kOAM
(дата обращения: 26.08.2025).
6
45
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Движение точки M (или тела) по отношению к подвижной системе
координат называется относительным движением; ρ — радиус-вектор
точки M в подвижной системе отсчета.
Переносным называется движение подвижной системы координат
относительно основной.
Рис. 4.2. Основная и подвижная системы отсчета
Абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки — это скорость
и ускорение точки в основной системе координат:
dr dv d 2 r
=
v =
, a
=
.
dt
dt dt 2
Относительная скорость и относительное ускорение точки (обозна
чаются vr и ar ) — это скорость и ускорение точки в подвижной системе координат:
xi yj zk,
d
zk
yj
,
vr
xi
dt i , j ,k const
dvr
ar
xi
yj
zk .
dt i , j ,k const
46
4. Сложное движение материальной точки
Переносная скорость и переносное ускорение точки (обозначаются
ve и ae) — это скорость и ускорение того места подвижной системы координат, с которым в данный момент совпадает движущаяся точка:
dr
ve =
,
dt x, y,z = const
d
r O xi yj zk ,
ve
rO xi yj zk
x, y, z const
dt
dve
r O xi yj zk .
ae
dt x, y, z const
Теорема 1 (о сложении скоростей). При сложном движении точки абсолютная скорость равна сумме ее относительной и переносной
скоростей:
v vr ve .
Модуль абсолютной скорости находится геометрически (рис. 4.3):
v vr2 ve2 2vr ve cos .
Скорость можно найти аналитически
по проекциям на выбранные оси.
Для установления взаимного влияРис. 4.3. Вектор
ния относительного и переносного двискорости при абсолютном
жений найдем связь между ускорениями
движении
точек в подвижной и неподвижной системах отсчета.
Теорема 2. При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки находится как сумма трех ускорений: относительного, переносного и кориолисова:
a ar ae ac , ac 2 e vr ,
где ωe — угловая скорость переносного вращения.
Замечание. В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение точки находится как сумма ее относительного и переносного ускорений.
47
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Ускорение Кориолиса учитывает изменение относительной скорости, вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вызванное относительным движением.
Вычислить ускорение Кориолиса можно тремя способами: по правилу векторного произведения, по проекциям векторов ускорений,
по правилу Жуковского.
1. По правилу векторного произведения
ac 2 e vr 2 e vr sin ,
где α — угол между векторами угловой скорости переносного вращения и относительной скорости. Направление вектора ускорения Кориолиса определяется правой тройкой (рис. 4.4, а) или по правилу правой руки (рис. 4.4, б).
а
б
Рис. 4.4. Направление вектора ускорения Кориолиса*:
правая тройка векторов (а); правило правой руки (б)
2. По проекциям векторов ускорений: при вращательном относительном или переносном движении векторы ускорений раскладываются
на нормальное и касательное ускорения, а векторное равенство, определяющее абсолютное ускорение, проецируется на выбранные оси.
3. Для определения направления ускорения Кориолиса по правилу Жуковского надо вектор относительной скорости (рис. 4.5) спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси вращения, и повернуть в сторону вращения на угол 90°.
Пример 1. Ускорительный механизм строгального станка состоит
из двух параллельных валов O и O1, OO1 = h, кривошипа 1 длиной O1A = r,
который вращается с постоянной угловой скоростью ω1, и кулисы 3
(рис. 4.6). Конец кривошипа 1 соединен шарнирно с ползуном 2,
скользящим вдоль прорези в кулисе 3. Найти скорость относитель48
4. Сложное движение материальной точки
ного движения ползуна 2 в прорези кулисы 3 и угловую скорость вращения самой кулисы 3 в указанном на рис. 4.6 положении.
Рис. 4.5. Ускорение Кориолиса для точки модуля вооружения*
Решение. Скорость ползуна 2 в абсолютном движении
v2 vr ve .
В данном положении механизма скорость ползуна 2 в абсолютном
движении направлена вдоль кулисы и составляет
v2 1 r .
Рис. 4.6. Ускорительный механизм строгального станка*
49
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
В данный момент времени скорость относительного движения
ползуна 2 в прорези кулисы 3 совпадает с абсолютной скоростью ползуна 2. Следовательно, переносная скорость ползуна 2 в данный момент времени и угловая скорость вращения самой кулисы 3 в указанном на рис. 4.6 положении равны нулю.
Пример 2. Кривошипы 3 длиной 180 мм стеклоподъемного
кривошипно-кулисного механизма «Гранат» (рис. 4.7) равномерно
вращаются с угловой скоростью ω = 0,2 рад/с. Кулиса 1 стеклоподъемника приводится в движение ползунами 2, соединенными с кривошипами. Найти ускорение (мм/с2) прямолинейной кулисы, совершающей возвратно-поступательное движение, в моменты времени, когда
кулиса занимает крайнее верхнее положение и ϕ = 30°.
а
б
Рис. 4.7. Механизм стеклоподъемника «Гранат»:
фото 7 (а) и эскиз* (б)
Решение. Схема симметрична, поэтому достаточно рассмотреть
только часть механизма. Ползун 2 совершает сложное движение. За относительное движение принимаем движение ползуна 2 по кулисе 1.
Поступательное движение кулисы 1 — переносное движение. В абсолютном движении ползун 2 движется по окружности радиусом, равным длине кривошипа 3.
Поскольку ускорение кулисы 1 совпадает с переносным ускорением ползуна 2, то для его определения воспользуемся теоремой об определении абсолютного ускорения, которая в данном случае при поступательном переносном движении записывается в виде
a2 ar ae .
Механизм стеклоподъемника «Гранат». URL: https://cache3.youla.io/files/imag
es/780_780/59/8d/598dc686bedcc5751a2ed042.jpg (дата обращения: 09.08.2025).
7
50
4. Сложное движение материальной точки
В абсолютном движении ускорение ползуна 2 при равномерном
вращении кривошипа — осестремительное:
a2 a2 ос 2 r .
Ускорение кулисы 1 совпадает с переносным ускорением ползуна 2 и является проекцией абсолютного ускорения ползуна 2 на вертикальную ось (рис. 4.8):
ae a2 cos 2 r cos t .
Рис. 4.8. Ускорение ползуна механизма стеклоподъемника «Гранат»*
Ускорение кулисы, когда она занимает крайнее верхнее положение, составляет 7,2 мм/с2. Ускорение кулисы, совершающей возвратно-
поступательное движение, в моменты времени, когда ϕ = 30°, равно
6,24 мм/с2.
Пример 3. Лопатка AB (рис. 4.9) рабочего колеса турбины (см.
рис. 1.9), вращающегося по ходу часовой стрелки замедленно с угловым
ускорением 3 рад/с2, имеет в точке M радиус кривизны 0,2 м и центр
кривизны в точке C, причем OC = 0,2 м. Частица воды в точке M, отстоящая от оси O турбины на расстоянии 0,2 м, движется по лопатке наружу и имеет скорость 0,25 м/с и касательное ускорение 0,5 м/с2
по отношению к лопатке. Определить абсолютные скорость и ускорение частицы воды, находящейся в точке M в указанном положении.
В данный момент времени угловая скорость турбины равна 2 рад/с.
Решение. Подвижную систему координат Mxy свяжем с рабочим
колесом турбины (см. рис. 1.9). Частицы воды совершают сложное
движение. Относительной траекторией частицы воды в точке M является кривая AB — лопатка турбины. За переносное движение при51
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
нимаем вращение рабочего колеса, за относительное — течение воды
по каналу AB.
Заметим, что при данных геометрических характеристиках треугольник OCM является равносторонним, следовательно, все отмеченные на рис. 4.9 углы составляют 30°.
Рис. 4.9. Скорости и ускорения частицы жидкости
в точке М лопатки центробежного насоса
По теореме о сложении скоростей
v vr ve ,
где переносная скорость определяется равенством
ve OM .
Абсолютную скорость частицы жидкости найдем по проекциям
на выбранные оси (рис. 4.9):
vx ve cos 30 OM cos 30 , v y vr ve sin 30 vr OM sin 30 ,
v vx2 v y2
OM cos 30 vr OM sin 30
2
2
.
По теореме о сложении ускорений
a ar ae ac .
Относительное ускорение частицы воды, движущейся по криволинейной траектории с радиусом кривизны 0,2 м и центром кривизны в точке C, определяется равенством
52
4. Сложное движение материальной точки
ar ar arn ,
τ
где касательное ускорение ar = 0,5 м/с2 по отношению к лопатке; норvr2
n
a
=
мальное ускорение в относительном движении r
.
CM
Переносное ускорение частицы воды при вращательном движении рабочего колеса
ae ae aen ,
n
2
где касательное ускорение ae OM ; нормальное ускорение ae OM .
В силу перпендикулярности векторов переносного вращения рабочего колеса и скорости частицы воды по отношению к лопатке, ускорение Кориолиса определяется равенством
ac 2 vr sin
2 vr .
2
n n
Тогда проекции абсолютного ускорения a ar ar ae ae ac
на оси координат Mx и My (рис. 4.9):
ax axr arxn aex aexn acx , ay ary aryn aey aeyn acy;
ax
vr2
OM cos 30 2 OM sin 30 2vr ,
CM
ay 0,5 OM sin 30 2 OM cos 30 ;
2
vr2
OM cos 30 2 OM sin 30 2vr
a CM
.
0,5 OM sin 30 2 OM cos 30
2
Абсолютные скорость и ускорение частицы воды, находящейся
в точке M, составляют 0,35 м/с и 0,26 м/с2.
53
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Задания к главе 4
Тест 1. Кривошип 1 кривошипно-кулисного механизма строгального станка (рис. 4.10) вращается с постоянной угловой скоростью
ω = 10 рад/с. В указанном на рисунке положении α = 30°.
Рис. 4.10. Кривошипно-кулисный механизм
строгального станка*
Выбрать вариант ответа, в котором представлено значение угловой
скорости (рад/с) кулисы 3 в заданном положении механизма:
а) 10;
б) 2,5;
в) 7,5;
г) 5;
д) не хватает данных.
Тест 2. Телескопическая лестница пожарной машины (рис. 4.11)
приводится гидроцилиндром во вращательное движение, при этом
за счет перемещения подвижной части лестницы происходит увеличение ее длины.
Если рассматривать движение точки А как сложное и связать основную систему координат с пожарной машиной, то как будет правильно называться движение подвижной части лестницы:
а) абсолютное;
б) относительное;
в) переносное?
54
4. Сложное движение материальной точки
Рис. 4.11. Системы координат*: основная O1x′y′, связанная с пожарной машиной,
и подвижная Oxy, связанная с телескопической лестницей
Тест 3. По равномерно вращающейся стреле башенного крана
(рис. 4.12) ускоренно движется тележка, при этом груз поднимается
равномерно.
Рис. 4.12. Ускорения сложного движения груза, перемещаемого на тележке
башенного крана*: относительное, переносное и ускорение Кориолиса
55
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Рассматривая движение груза как сложное и связывая основную
систему координат с краном, найти абсолютное ускорение груза, пренебрегая его размерами;
а) a ar ae ac;
2
2
2
б) a ar ae ac ;
в) a
ar ae
г) a
ar ae
2
2
ac 2 ;
ac 2 .
Тест 4. Найти отношение ускорений a1/a2 участников аттракциона
«Чаепитие» (рис. 4.13), изображенных на схеме, если D = 4d, а угловая
скорость платформы и угловая скорость чашки в относительном движении равны и постоянны:
а) 1;
б) 3;
в) 5;
г) 7;
д) 9.
а
б
Рис. 4.13. Аттракцион «Чаепитие»:
фото 8 (а) и схема (б)
Задание 1. Неплотно закрытая дверца автомобиля (рис. 4.14) при
его движении задним ходом со скоростью 5 км/ч в некоторый момент времени открылась на угол ϕ = 10°. Найдите абсолютную скорость точки A.
Аттракцион «Безумное чаепитие». URL: https://clck.ru/3QHyCE (дата обращения: 09.08.2025).
8
56
4. Сложное движение материальной точки
Рис. 4.14. Автомобиль с приоткрытой дверцей*
Задание 2. Модуль вооружения (рис. 4.15) снабжен системой стабилизации и наведения в двух плоскостях. Геометрические параметры:
R = 800 мм, a = 1000 мм, θ = 32°. Угловые скорости поворота башни
и ствола орудия в заданном положении ωϕ = 0,9 рад/с, ωθ = 0,5 рад/с.
Определить скорость (м/с) центра тяжести ствола.
Рис. 4.15. Поворот башни и вращение ствола
орудия модуля вооружения*
Задание 3. Телескопическая стрела автокрана «Ивановец»
(рис. 4.16) вращается в вертикальной плоскости и вокруг вертикальной оси, при этом подвижная часть стрелы выдвигается. Определить
абсолютную скорость (м/мин) точки A стрелы в момент времени, когда длина стрелы l = 15 м, угловая скорость вращения в вертикальной
плоскости 0,6 рад/мин, частота вращения стрелы вокруг вертикальной оси составляет 3 об/мин, скорость выдвижения стрелы 4,5 м/мин.
57
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Рис. 4.16. Выдвижение подвижной части
телескопической стрелы автокрана «Ивановец»*
Задание 4. Кривошип 1 длиной l = 220 мм кривошипно-кулисного
механизма вращается с постоянной угловой скоростью. Определить
ускорение Кориолиса (м/с2) ползуна 2, пренебрегая его размерами,
и угловое ускорение (рад/с2) кулисы 3 строгального станка с качающейся кулисой в заданных характерных положениях кулисы (рис. 4.17),
если частота вращения кривошипа n = 120 об/мин, h = 360 мм.
а
б
Рис. 4.17. Два характерных положения
кривошипно-кулисного механизма строгального станка*
58
4. Сложное движение материальной точки
Задание 5. Резьбонакатный станок (рис. 4.18) обрабатывает заготовку диаметром 50 мм. Частота вращения резцовой головки 500 об/мин,
а ее скорость в горизонтальном направлении составляет u = 40 м/мин.
Определить скорость точки M резца.
а
б
в
Рис. 4.18. Резьбонакатный станок:
фото 9 (а), эскиз* (б) и схема* (в)
Резьбонакатный станок // Промышленность и технологии : сайт. URL:
https://promiteh.ru/userfls/shop/large/7661_rezbonareznoy-stanok-metr.png (дата обращения: 09.08.2025).
9
59
5. Плоское движение твердого тела
П
лоскопараллельное (плоское) движение твердого тела — это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости π (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Твердое тело,
совершающее плоскопараллельное движение
Из определения следует, что перпендикуляр MA остается параллелен своему начальному положению. По теореме о поступательном
движении траектории, скорости и ускорения точек M и A совпадают.
Таким образом, исследование плоского движения твердого тела можно свести к рассмотрению движения плоской фигуры S в ее плоскости (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Плоская фигура наблюдения
при плоскопараллельном движении твердого тела
60
5. Плоское движение твердого тела
Примеры плоскопараллельного движения — скольжение стержня
(рис. 5.3, а) и качение цилиндра (рис. 5.3, б).
а
б
Рис. 5.3. Примеры плоского движения*:
скольжение стержня (а), качение колеса (б)
Для задания движения плоской фигуры введем подвижную систему
координат, совершающую поступательное движение с точкой A. Движение плоской фигуры рассмотрим как сложное. Переносное движение — это поступательное движение подвижной системы координат
вместе с точкой A (полюсом). Относительное движение — это вращение вокруг полюса.
Положение плоской фигуры можно задать двумя координатами
полюса и одним углом между отрезком, жестко связанным с телом,
и направлением одной из неподвижных осей (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Отрезок, жестко связанный
с твердым телом
61
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Уравнения плоского движения тела — это законы изменения координат одной из его точек (полюс) и угла поворота:
x A = x A (t ), y A = y A (t ), (t ).
При задании плоского движения за полюс может приниматься любая точка тела. Следовательно, вид первых двух уравнений движения
зависит от выбора полюса. Закон изменения угла поворота не зависит от выбора полюса.
Для характеристики изменения угла поворота плоской фигуры вводится, как и при вращательном движении, угловая скорость z . Изz
.
менение угловой скорости характеризует угловое ускорение z
Угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры также не зависят от выбора полюса.
Теорема 1. Скорость любой точки тела при плоском движении находится как сумма скорости полюса и скорости данной точки во вращательном движении вокруг полюса (рис. 5.5):
vB v A vBA или vB v A AB .
Рис. 5.5. Скорость тела при его плоском движении*
Следствие. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой
(рис. 5.6):
v = пр v .
пр AB
A
AB B
62
5. Плоское движение твердого тела
Рис. 5.6. Скорости двух точек плоской фигуры
Теорема 2. При непоступательном движении плоской фигуры существует жестко связанная с ней точка, скорость которой в данный момент движения равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей.
Если за полюс выбирать мгновенный центр скоростей, то скорость
любой точки плоской фигуры находится как скорость во вращательном движении вокруг этого центра.
Скорости пропорциональны расстояниям до мгновенного центра
скоростей (рис. 5.7):
vC CP
=
.
vB BP
Через мгновенный центр скоростей проходит мгновенная ось вращения тела. Угловая скорость может быть найдена путем деления скорости произвольной точки плоской фигуры на расстояние от этой точки до мгновенного центра скоростей (рис. 5.7):
vC
v
B .
CP BP
Рис. 5.7. Мгновенный центр скоростей*
63
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра скоростей.
При известном направлении скоростей двух точек тела, если эти
направления не параллельны, мгновенный центр скоростей лежит
на пересечении перпендикуляров к скоростям (рис. 5.8, а).
а
б
в
Рис. 5.8. Способы определения положения мгновенного центра скоростей*
Если известны направления скоростей двух точек тела и они параллельны (рис. 5.8, б, в), то мгновенный центр скоростей находится из условия пропорциональности скоростей расстояниям до этого
центра. Если мгновенный центр скоростей не существует (рис. 5.9, а),
то тело совершает мгновенно-поступательное движение. При этом
скорости всех точек тела в рассматриваемый момент времени равны,
а угловая скорость равна нулю: vA = vB; ω = 0.
а
б
Рис. 5.9. Положение мгновенного центра скоростей
в частных случаях плоского движения*
При качении без скольжения по неподвижной поверхности, когда
нет проскальзывания (рис. 5.9, б), мгновенный центр скоростей находится в точке касания тела с неподвижной поверхностью.
64
5. Плоское движение твердого тела
На основании теоремы о скоростях точек тела при его плоском
движении и следствия из теоремы можно прописать аналитические
соотношения, связывающие координаты точек плоской фигуры, проекции их скоростей на оси координат и алгебраическую угловую скорость плоской фигуры.
Из полученных трех уравнений для скоростей два независимые:
vBx v Ax z yB y A ,
vBy v Ay z xB x A ,
vBx xB x A vBy yB y A v Ax xB x A v Ay yB y A .
Пример 1. Подвижное лезвие 3 ножниц для резки пруткового материала (рис. 5.10) приводится в движение шарнирно-рычажным механизмом. Кривошип 1 через шатун 2 приводит в движение коромысло 3, на котором располагается верхний нож 4. Нижний нож 5
неподвижно закреплен. Определить величину скорости точки D касания подвижного ножа и прутка в положении, при котором шарниры
в точках О и В лежат на прямой, перпендикулярной отрезку ОС. Угловая скорость кривошипа 4 рад/с; ОА = 0,5 м; CD = 0,5 м; 30 ,
45 , 60 .
а
б
Рис. 5.10. Ножницы для резки пруткового материала:
модель (а) и схема (б)
Решение. Поскольку кривошип 1 совершает вращательное движение, то скорость точки A определяется равенством
v A OA 1, v A ⊥ OA.
65
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Шатун AB совершает плоскопараллельное движение. Лезвие 3
ножниц совершает вращательное движение, следовательно, vB ⊥ СB .
По следствию из теоремы о скоростях точек при плоскопараллельном движении
v A vB cos 30 .
Угловая скорость лезвия ножниц определяется равенством
3
vB
.
BC
Скорость точки D коромысла
vD 3CD,
откуда
vD
OA 1 CD
0,5 4 0,5
1 м/с.
; vD
1
BC cos 30
Пример 2. Две параллельные рейки 1 и 3 суммирующего механизма (рис. 5.11, а) движутся в одну сторону с постоянными скоростями
v1 и v3. Между рейками зажат диск 2 диаметром d, катящийся по рейкам без скольжения. Найти скорость средней рейки 4, присоединенной к оси диска, а также угловую скорость диска.
Решение. Диск совершает плоскопараллельное движение. Скорости
точек A и B диска, соприкасающиеся с рейками, равны скоростям реек.
а
б
Рис. 5.11. Суммирующий механизм* (а) и скорости его точек (б)
66
5. Плоское движение твердого тела
Мгновенный центр скоростей диска находим по известным направлениям скоростей двух точек диска (рис. 5.11, б). Из рисунка видно,
что скорость точки C находится как средняя линия трапеции, основаниями которой служат скорости точек A и B. Следовательно,
vС
v A vB v1 v3
.
2
2
Для определения угловой скорости диска воспользуемся аналитическим алгоритмом ее определения:
vBx v Ax z yB y A ,
vB v A z d .
Угловая скорость диска 2
v1 v3
.
d
Задания к главе 5
Тест 1. Найти скорость точки A электрической пилы (рис. 5.12),
если ω = 10 рад/с; ϕ = 60°; ∠ABO = 90°; AB = 50 см; OB = 10 см:
а) 1;
б) 1,15;
в) 2;
г) 2,3;
д) 3.
Тест 2. Определить скорость точки B колеса велосипеда диаметром
600 мм (рис. 5.13), если он движется со скоростью 3 м/с:
а) 4,24;
б) 3;
в) 2,12;
г) 0,9;
д) 10.
67
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
а
б
в
Рис. 5.12. Электрическая пила:
фото пилы (а); фото механизма (б); эскиз* (в)
Рис. 5.13. Мгновенный центр скоростей Р,
скорость оси колеса и скорость точки
на ободе колеса велосипеда*
Тест 3. Точка B лестницы (рис. 5.14) скользит по горизонтальному
полу со скоростью 1 см/с. С какой скоростью (см/с) будет опускаться
точка A вдоль стены, если α = 30°:
68
5. Плоское движение твердого тела
а)
б)
в)
г)
д)
0,58;
1;
1,73;
2;
3,46?
Рис. 5.14. Скольжение лестницы*
Тест 4. Скорость поршня кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания (рис. 5.15) в данном положении равна
1,4 м/с. Углы, которые составляют кривошип и шатун с горизонтом:
α = 12°, β = 24°.
Какова частота вращения (об/мин) кривошипа длиной 28 мм в данном положении (ответ округлить до ближайшего целого числа):
а) 80;
б) 124;
в) 373;
г) 794;
д) 8100?
а
б
Рис. 5.15. Кривошипно-шатунный механизм двигателя внутреннего сгорания:
модель (а) и эскиз* (б)
69
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Задание 1. Найти угловую скорость (рад/с) зубчатого колеса 2 (диаметром 20 мм) суммирующего механизма (рис. 5.11), скорость зубчатой рейки 4. При условии:
1) две параллельные зубчатые рейки 1 и 3 движутся в разные стороны с постоянными скоростями 4 и 2 см/с;
2) зубчатые рейки 1 и 3 движутся в одну сторону с постоянными
скоростями 3 см/с;
3) зубчатые рейки 1 и 3 движутся в разные стороны с постоянными скоростями 5 см/с;
4) зубчатая рейка 1 неподвижна, зубчатая рейка 3 движется с постоянной скоростью 2 см/с.
Задание 2. Определить частоту вращения (об/мин) колеса с маркировкой 175/70 R15 (рис. 5.16), если автомобиль движется со скоростью 55 км/ч по прямолинейному участку пути.
Рис. 5.16. Угловая скорость колеса автомобиля
с маркировкой 175/70 R15*
Задание 3. На колесо мотоцикла, двигающегося со скоростью
80 км/ч по прямолинейному участку пути, в точке A прикрепился камень с дороги (рис. 5.17), и некоторое время он двигался по циклоиде вместе с точкой обода колеса диаметром 15′′. Определить дальнейшую траекторию камня и его скорость, если камень сошел с колеса
мотоцикла в момент времени, когда α = 120°. Начало отсчета связать
с точкой прикрепления камня к колесу.
Рис. 5.17. Камень на колесе мотоцикла*
70
6. Ускорение точек твердого тела
при его плоском движении
У
скорение точек твердого тела при его плоском движении
находится по теории сложного движения. Переносное движение — это поступательное движение подвижной системы
координат вместе с полюсом, следовательно, ускорение Кориолиса
в случае плоского движения отсутствует. Относительное движение —
это вращение вокруг полюса.
Теорема 1. Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении
вокруг полюса:
вр ос
aB aA aBA
aBA или aB aA AB 2z AB .
Следствие. Проекции ускорений двух точек плоской фигуры на направлении вектора, соединяющего эти точки, связаны равенством
2
a пр a AB .
пр AB
z
B
AB A
Теорема 2. При любом непоступательном движении плоской фигуры существует жестко связанная с ней точка, ускорение которой
в данный момент движения равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений.
Выбирая мгновенный центр ускорений за полюс при плоско
параллельном движении, ускорение любой точки можно найти как
ускорение во вращательном движении вокруг этого центра. В отличие от мгновенного центра скоростей, наглядных способов определения положения мгновенного центра ускорений нет.
На основании теоремы об ускорениях точек твердого тела при его
плоском движении и следствия из теоремы можно прописать аналитические соотношения, связывающие координаты точек плоской фигуры, проекции их ускорений на оси координат и алгебраические угловую скорость, угловое ускорение плоской фигуры.
71
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Из полученных трех уравнений для ускорений два независимые:
aBx aAx z yB y A 2z xB x A ,
aBy aAy z xB x A 2z yB y A ,
aBx xB x A aBy yB y A aAx xB x A aAy yB y A 2z AB 2 .
Эти уравнения могут быть использованы для определения неизвестных величин. При этом возможны два случая.
1. Если направление ускорения точки B известно (или известны
направления его составляющих), то из системы уравнений находится ускорение этой точки, а также ε z . При этом если знак ε z совпадает
со знаком ωz , то вращение плоской фигуры ускоренное.
2. Если расстояние от какой‑либо точки (например, точки A) плоской фигуры до мгновенного центра скоростей постоянно, то используется другой алгоритм решения. Сначала определяются скорость
и ускорение точки A, и эта точка принимается за полюс. Далее находится угловое ускорение по формуле
a
v A aA
z
A .
2 или
z AP
AP
Затем из равенств алгоритма получаем проекции вектора ускорения
произвольной точки B плоской фигуры на оси координат.
Пример 1. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна
длиной l кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего
сгорания (см. рис. 5.15, б) в его произвольном положении как функции угла поворота кривошипа β. Найти также ускорение поршня двигателя внутреннего сгорания. При этом кривошип длиной r вращается с постоянной угловой скоростью ω.
Решение. Шатун совершает плоскопараллельное движение с угло . Из геометричевой скоростью 1 и угловым ускорением 1
ских соображений угол α, который составляет с горизонтом шатун,
и угол β, который составляет с горизонтом кривошип, связаны равенством
r sin l sin .
72
6. Ускорение точек твердого тела при его плоском движении
Угловая скорость и угловое ускорение могут быть получены дифференцированием по времени данного равенства. При первом дифференцировании
r cos l cos ,
где . Следовательно, угловая скорость шатуна
1
r cos
.
l cos
При повторном дифференцировании с учетом постоянства угло 0, находим
вой скорости кривошипа, то есть
cos .
r 2 sin l 2 sin l
Следовательно, угловое ускорение шатуна
1
l 2 sin r 2 sin
.
l cos
Для определения ускорения поршня двигателя внутреннего сгорания воспользуемся равенством аналитических алгоритмов с учетом того, что кривошип вращается с постоянной угловой скоростью:
ax 2 r cos 1z r sin 12l cos .
Пример 2. Кривошип 1 шарнирного четырехзвенника вращается
с постоянной угловой скоростью ω (рис. 6.1, а). Определить угловую
скорость, угловое ускорение стержня 2, а также ускорение точки B
=
AB l ,=
OA a.
в положении, указанном на рисунке, если
Решение. Определим скорость точки A (рис. 6.1, б) кривошипа 1
из равенства
v A a, v A ⊥ OA.
Определим скорость точки B. Поскольку кривошип 3 совершает
вращательное движение, то
vB ⊥ O1B.
73
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
а
б
Рис. 6.1. Четырехзвенник:
общая схема (а) и указанные кинематические характеристики (б)
Скорости vB и v A параллельны, следовательно, стержень 2 совершает мгновенно-поступательное движение:
2 z 0 и v B v A a.
Определим угловое ускорение стержня 2 и ускорение точки B. Известны направления составляющих ускорения точки B (рис. 6.1, б), совершающей движение по окружности, поэтому предварительно определим ускорение точки A и примем ее за полюс.
Поскольку кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью, то
aA = aAц, aAц 2 a.
С учетом введенной системы координат (рис. 6.1, б) равенства аналитических алгоритмов принимают вид
вр
aBx
0 2 z l sin 0 0 l cos 0 ,
ц
ц
aB aA 2 z l cos 0 0 l sin 0 ,
ц
при этом aB
vB2
2 a 2
.
O1B a l sin
Из полученной системы уравнений находим
2 z 2
74
a
al tg sin
вр
2
.
tg , aBx
a l sin
a l sin
6. Ускорение точек твердого тела при его плоском движении
Отсюда
2 a
2
l tg sin a2 .
a l sin
Пример 3. Шестеренка радиусом R = 12 см приводится в движение кривошипом OA, вращающимся вокруг оси O неподвижной шестеренки с тем же радиусом (рис. 6.2, а); кривошип вращается с угловым ускорением ε1 = 8 рад/с2, имея в данный момент угловую скорость
ω1 = 2 рад/с. Определить:
1) ускорение той точки подвижной шестеренки, которая в данный момент совпадает с мгновенным центром скоростей;
2) ускорение диаметрально противоположной точки N;
3) положение мгновенного центра ускорений Q.
aB
aBвр
а
2
aBц
2
б
Рис. 6.2. Механизм с внешним зацеплением зубчатых колес:
общая схема (а) и указанные кинематические характеристики (б)
Решение. Кривошип OA совершает вращательное движение, поэтому скорость точки A (рис. 6.2, б) определяется равенством
v A OA OA или v A 2 24 48 см/с.
Шестеренка 2 совершает плоскопараллельное движение, при этом
точка M — мгновенный центр скоростей шестеренки. Тогда
2
vA
v
48
A или 2
4 рад/с.
12
AM R
75
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Для определения ускорения точек шестеренки 2 предварительно
определим ускорение точки A. Поскольку кривошип OA совершает вращательное движение, то ускорение точки A определяется равенством
aA aAвр aAц ,
вр
ц
вр
ц
2
2
где aA OA OA , aA OA OA или aA 8 24 192 см/с 2, aA 2 24
= 96 см/с2.
Угловое ускорение шестеренки 2 найдем как производную угловой скорости, учитывая при этом, что расстояние от точки A до мгновенного центра скоростей шестеренки остается постоянным во все время движения,
vA aAвр
192
16 рад/с2.
или 2
R
R
12
Принимая точку A за полюс, по теореме об ускорениях точек при
плоскопараллельном движении имеем
вр ц
aM aA aMA
aMA ,
2
2
вр
ц
вр
2
2
где aMA 2 MA 2 R , aMA 2 MA 2 R или aMA 16 12 192 см/с2,
ц
aMA
42 12 192 см/с2. Тогда
вр ц
aM aAвр aAц aMA
aMA .
Проектируя данное соотношение на оси Mx и My (рис. 6.2, б), получаем
вр
ц
ц
aMx aAвр aMA
, aMy aA aMA
или
aMx 192 192 0, aMy 96 192 96 см/с2.
Тогда
2
2
aM aMx
aMy
96 см/с2.
Аналогично определим ускорение точки N. По теореме об ускорениях точек при плоскопараллельном движении, принимая точку
A за полюс, имеем
76
6. Ускорение точек твердого тела при его плоском движении
вр ц
aN aA aNA
aNA ,
вр
ц
вр
2
2
где aNA 2 NA 2 R , aNA 2 NA 2 R или aNA 16 12 192 см/с 2,
ц
aNA
42 12 192 см/с2. Тогда
вр ц
aN aAвр aAц aNA
aNA .
Проектируя данное соотношение на оси Mx и My (рис. 6.2, б), получаем
вр
ц
ц
aNx aAвр aNA
, aNy aA aNA
или
aNx 192 192 384 см/с2, aNy 96 192 288 см/с2.
Тогда
2
2
aN aNx
aNy
384 288
2
2
480 см/с2.
Положение мгновенного центра ускорений Q шестеренки 2 с учетом направления ускорения точки M определяется следующими равенствами:
tg
2 16
1 , тогда AMQ 45 ,
22 42
MQ
aM
22 42
96
162 44
4, 24 см.
Мгновенный центр ускорений Q изображен на рис. 6.2, б.
Задания к главе 6
Тест 1. Кривошип кривошипно-ползунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью 90 рад/с.
77
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Рис. 6.3. Кривошипно-ползунный механизм
при вертикальном положении кривошипа
Каковы угловая скорость (рад/с) и угловое ускорение (рад/с2) шатуна АВ в указанном положении (рис. 6.3):
а) 0;
б) 329;
в) 4 677;
г) 8 100?
Тест 2. Кривошип длиной 20 мм кривошипно-ползунного механизма вращается с постоянной частотой 1 000 об/мин. Длина шатуна
в два раза больше длины кривошипа.
Рис. 6.4. Кривошипно-ползунный механизм
при крайнем правом положении ползуна
Каково ускорение точки B (м/с2) кривошипно-ползунного механизма в указанном положении (рис. 6.4):
а) 0;
б) 329;
в) 4 677;
г) 8 100?
Задание 1. Найти угловое ускорение шатуна кривошипно-
шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания (см. рис. 5.15, б)
и ускорение поршня в указанном на рисунке положении, если длина
кривошипа 27 мм, вращается кривошип с постоянной угловой скоростью 80 рад/с, α = 13°, β = 25°.
78
6. Ускорение точек твердого тела при его плоском движении
Задание 2. Кривошип OA гипоциклического механизма (рис. 6.5)
движется согласно закону
sin t рад. Определить скорость
6
2
и ускорение точки подвижного зубчатого колеса 2, диаметрально противоположной точке его касания с неподвижным колесом 1 в моменты времени 1 с, 5 с, если диаметры колес составляют 400 мм и 80 мм.
Рис. 6.5. Гипоциклический механизм
79
7. Сложение вращений
вокруг параллельных осей
Р
ассмотрим сложение вращений вокруг параллельных осей.
Если тело участвует в двух вращениях, происходящих в одинаковых направлениях, результирующее движение является
плоскопараллельным, то существует мгновенная ось вращения, параллельная осям составных вращений.
Результирующее движение есть вращение вокруг мгновенной оси
с угловой скоростью ω, равной сумме угловых скоростей составляющих
вращений: ω1 + ω2 = ω. При сложении вращений вокруг параллельных осей, происходящих в противоположных направлениях с разными
по модулю угловыми скоростями, ω1 < ω2, результирующее движение
есть вращение вокруг мгновенной оси в направлении составляющего вращения с большей угловой скоростью. Угловая скорость результирующего вращения ω определяется разностью ω2 — ω1 = ω. Когда
ω2 = ω1, имеем так называемую пару вращений. Результирующее движение тела в этом случае поступательное. Мгновенная ось делит расстояние между заданными осями внутренним или внешним образом
на части, обратно пропорциональные заданным угловым скоростям.
При исследовании движения механизмов, состоящих из системы
зубчатых колес, в которых происходит сложение вращений вокруг параллельных осей, удобно использовать метод обращенного движения
(метод Виллиса). При этом всему механизму мысленно сообщается
такое вращение, при котором оси вращающихся колес становятся неподвижными. В этом случае связь между угловыми скоростями пары
колес, находящихся в зацеплении, определяется формулой Виллиса:
r
1
2,
r1
2
где ω1, ω2 — алгебраические угловые скорости первого и второго колес,
— алгебраическая угловая скорость задаваемого всему механизму доω
80
7. Сложение вращений вокруг параллельных осей
полнительного вращения; r1, r2 — радиусы колес. Знак «плюс» в формуле относится к внутреннему зацеплению колес (рис. 7.1, б), а знак
«минус» — к внешнему (рис. 7.1, а).
а
б
Рис. 7.1. Внешнее (а) и внутреннее (б) зацепление зубчатых колес
Пример 1. Планетарный редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес (рис. 7.2). Первое колесо (число зубцов z1 = 20) насажено
на ведущий вал I, делающий n1 = 4 500 об/мин, второе (z2 = 25) свободно
насажено на ось, жестко связанную с ведомым валом II, третье колесо
(z3 = 70) с внутренним зацеплением неподвижно. Найти частоты вращения (об/мин) ведомого вала и бегающего колеса.
а
б
Рис. 7.2. Планетарный редуктор:
модель (а) и схема (б)
Решение. Угловая скорость (рад/с) вращающегося тела ω связана
с частотой вращения (об/мин) равенством
n
,
30
81
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
поэтому в формуле Виллиса в силу пропорциональности ω и n угловая
скорость может быть заменена числом оборотов в минуту.
Мысленно придадим всему механизму вращение с угловой скоростью, численно равной угловой скорости ведомого вала II, в сторону,
противоположную его вращению.
Колеса 1 и 2 имеют внешнее зацепление, следовательно, с учетом
пропорциональности радиуса колеса и количества зубцов имеем
n1 nII
z
2.
n2 nII
z1
Колеса 3 и 2 имеют внутреннее зацепление, следовательно,
n3 nII z2
,
n2 nII z3
при этом, так как колесо 3 неподвижно, n3 = 0.
Решая полученную систему уравнений, находим
nII
z2 z3 z1n1
z1n1
, n2
z1 z3
z2 z1 z3
или nII = 1 000 об/мин, n2 = –1 800 об/мин. Знак «минус» означает, что
колесо 2 вращается в противоположную валу I сторону.
Пример 2. Редуктор скоростей с дифференциальной передачей состоит из четырех зубчатых колес (рис. 7.3), из которых первое — с внутренним зацеплением — делает 160 об/мин; второе и третье спарены
между собой и сидят на оси, вращающейся вокруг оси ведущего вала I
вместе с последним, делая 1 200 об/мин; четвертое — с внутренним зацеплением и заклинено на ведомом валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если вал I и колесо 1 вращаются в противоположных направлениях. Числа зубцов: z1 = 70, z2 = 20, z3 = 30, z4 = 80.
Решение. Для определения числа оборотов в минуту ведомого вала
воспользуемся формулой Виллиса. Мысленно придадим всему механизму вращение с угловой скоростью, численно равной угловой скорости ведущего вала I, в сторону, противоположную его вращению.
Колеса 1 и 2 имеют внутреннее зацепление, следовательно,
n1 nI z2
.
n2 nI z1
82
7. Сложение вращений вокруг параллельных осей
Рис. 7.3. Редуктор скоростей
Колеса 3 и 4 с внутренним зацеплением, следовательно,
n3 nI z4
,
n4 nI z3
при этом второе и третье спарены между собой, т. е. n2 = n3, а четвертое заклинено на ведомом валу, т. е. n4 = nII. Из полученных уравнений находим
nII
z1 z3
n1 nI nI
z2 z4
70 30
160 1200 1200 585 об/мин.
20 80
Знак «минус» означает, что вал II вращается в противоположную
валу I сторону.
или nII
Задания к главе 7
Тест 1. Зубчатое колесо 1 диаметром 0,8 м, вращаясь с угловой скоростью 10 рад/с, находится во внешнем зацеплении (см. рис. 7.1, а) с зубчатым колесом 2 диаметром 0,4 м. Кривошип 3 вращается с угловой
скоростью 20 рад/с. Какова угловая скорость (рад/с) зубчатого колеса 2:
а) 10;
б) 20;
в) 30;
г) 40?
83
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Тест 2. Для тех же условий задачи (см. тест 1, рис. 7.1, а) вычислить, на каком расстоянии (см) от центра колеса 1 находится мгновенный центр скоростей зубчатого колеса 2:
а) 10;
б) 20;
в) 30;
г) 40.
Тест 3. Зубчатое колесо 1 радиусом 0,4 м, вращаясь с угловой скоростью 5 рад/с, находится во внутреннем зацеплении (рис. 7.1, б) с зубчатым колесом 2 радиусом 0,2 м. Кривошип 3 вращается с угловой скоростью 20 рад/с. Какова угловая скорость (рад/с) зубчатого колеса 2:
а) 10;
б) 20;
в) 30;
г) 40?
Задание. Заднее колесо А механизма дифференциала автомобиля
(рис. 7.4) приподняли и вращают со скоростью 210 об/мин (мотор
не работает), при этом колесо В стоит на земле. Сколько оборотов
в минуту будет делать карданный вал I, если r1= r2= r3= r4= 6 см,
r5 = 10 см, r6 = 8 см.
Рис. 7.4. Схема механизма дифференциала автомобиля
84
8. Сферическое и свободное движения
твердого тела
С
ферическим называется движение твердого тела, при котором одна из точек тела (или жестко связанная с ним точка)
за все время движения остается неподвижной: например,
движение волчка (рис. 8.1, а), качение подвижного конуса по неподвижному (рис. 8.1, б).
а
б
Рис. 8.1. Примеры сферического движения:
вращение волчка (а) и качение подвижного конуса по неподвижному (б)
Для описания сферического движения твердого тела введем две системы координат: неподвижную Oxyz и подвижную Oξηζ, жестко связанную с телом (рис. 8.2, а).
Положение подвижной системы координат по отношению к неподвижной можно определить с помощью трех углов Эйлера: ψ — угол
прецессии, θ — угол нутации, ϕ — угол собственного вращения.
Построение подвижной системы координат по трем углам Эйлера
начинается с изображения линии узлов ОK — линии пересечения плоскости Oxy неподвижной и плоскости Oξη подвижной систем координат. Для этого необходимо повернуть ось Ox на угол ψ вокруг оси Oz.
Положение оси Oζ подвижной системы координат находится поворотом оси Oz на угол θ вокруг линии узлов, а положение оси Oξ определяется поворотом линии узлов вокруг оси Oζ на угол ϕ.
85
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
а
б
y
ξ
Рис. 8.2. Неподвижная и подвижная системы отсчета
при сферическом движении:
общая схема (а) и схема с указанием
угловых скоростей составляющих вращений (б)
Подвижная система координат построена, и если задан закон изменения углов Эйлера во времени, то заданы уравнения сферического движения твердого тела:
f1 (t ), f2 (t ), f3 (t ).
Помимо углов Эйлера, возможно задание сферического движения
твердого тела и при помощи других параметров: используют, например, кватернионы, самолетные углы, корабельные углы и др.
Сферическое движение можно рассматривать как три одновременно происходящих вращения вокруг оси Oz, линии узлов и оси Oζ
(рис. 8.2, б). Мерами изменения углов Эйлера являются соответствующие угловые скорости:
1 , 2 , 3 .
Рассмотрим скорости точек твердого тела при сферическом движении.
Теорема 1. Скорость любой точки тела при его сферическом движении находится как вращательная вокруг мгновенной оси вращения
с угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных вращений:
86
8. Сферическое и свободное движения твердого тела
v r ,
где 1 2 3; r — радиус-вектор соответствующей точки, проведенный из неподвижной точки, жестко связанной с телом.
Мгновенная ось вращения — геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.
Существование мгновенной оси можно проиллюстрировать на примере качения без проскальзывания подвижного конуса по неподвижному: очевидно, что мгновенной осью является линия контакта между конусами (рис. 8.3).
Рассмотрим сначала сложение двух вращательных движений
(угол θ, например, будем считать фиксированным) и определим скорость произвольной точки тела по теореме сложения скоростей, при
нимая вращение с угловой скоростью ω1 за переносное, а вращение
с угловой скоростью ω3 — за относительное движение (рис. 8.3). По теореме сложения скоростей
v vr ve .
По формуле Эйлера
vr 3 OM , ve 1 OM и v ( 1 3 ) OM .
Вектор 1 3 есть абсолютная угловая скорость в случае сложения двух вращательных движений.
Рис. 8.3. Качение подвижного конуса по неподвижному
87
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
В общем случае сферического движения, принимая результат предыдущего сложения двух вращательных движений за переносное дви
жение, а вращение с угловой скоростью ω2 — за относительное, находим
v ( 1 3 ) OM 2 OM r ,
1 2 3 .
Скорость любой точки тела (рис. 8.4), совершающего сферическое
движение, находится по формуле Эйлера:
v OM ,
вектор ω называется мгновенной угловой скоростью.
Рис. 8.4. Скорость точки твердого тела
при сферическом движении
Из определения
векторного произведения следует, что если векто
ры ω и OM направлены по одной прямой, то v = 0. Это доказывает существование мгновенной оси вращения, положение которой совпада
ет с направлением вектора ω. При известном положении мгновенной
оси вращения модули скоростей точек тела определяются формулой
v h,
где h — расстояние от точки до мгновенной оси вращения.
Аналитически скорость может быть найдена по проекциям на оси
подвижной или неподвижной систем координат.
88
8. Сферическое и свободное движения твердого тела
Следствие. Проекции скоростей двух точек тела при его сферическом движении на направление вектора, соединяющего эти точки,
равны между собой.
Свободным называется движение твердого тела, на которое не наложены связи. Положение свободного твердого тела в пространстве
можно задать тремя координатами некоторой точки тела, принятой
за полюс, и тремя углами Эйлера, определяющими поворот тела вокруг этого полюса, т. е. уравнения свободного движения твердого тела
имеют следующий вид (рис. 8.5):
x A = f1 (t ), y A = f2 (t ), z A = f3 (t ),
f4 (t ), f5 (t ), f6 (t ).
Рис. 8.5. Система отсчета для тела, совершающего свободное движение
Теорема 2. Скорость любой точки свободного твердого тела
(рис. 8.6) равна геометрической сумме скорости полюса и скорости
этой точки в сферическом движении тела вокруг полюса:
vM v A AM , 1 2 3.
89
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
O
Рис. 8.6. Свободное движение (A — полюс)
Следствие. Проекции скоростей двух точек тела при его свободном движении на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой.
Пример 1. Коническое зубчатое колесо, свободно насаженное
на кривошип, обкатывается по неподвижному коническому зубчатому основанию (рис. 8.7). Определить угловую скорость катящегося колеса, если ω0 — модуль угловой скорости кривошипа OA, вращающегося вокруг неподвижной оси O1O, при этом ∠AOC = α.
а
б
Рис. 8.7. Зубчатая коническая передача заземлителя:
фото 10 (а) и схема (б)
Передача коническая для заземлителя // Монтажные системы : сайт. URL:
https://montagesystems.ru/images/product/l/19287c6b.jpg (дата обращения: 07.08.2025).
10
90
8. Сферическое и свободное движения твердого тела
Решение. Коническое зубчатое колесо совершает сферическое движение с угловой скоростью ω, направленной по мгновенной оси вращения, проходящей через точку C касания с неподвижной шестеренкой и точку O пересечения осей переносного и относительного
вращений (рис. 8.7, б). Поскольку
r e , то e 0 .
sin sin
Пример 2. Антенна радиотелескопа массой 3,8 т диаметром 64 м
для управления группировками космических аппаратов научного
и социально-экономического назначения (рис. 8.8, а) является полноповоротным параболическим рефлектором. Определить скорость точки A в указанном положении, если ϕ = 70°; θ = 22°; d = OA = 30 м.
Вращение радиоантенны происходит с постоянными частотами:
0,004 об/ч вокруг горизонтальной оси и 0,002 об/ч вокруг вертикальной оси.
а
б
Рис. 8.8. Радиотелескоп РТ-64 в Медвежьих озерах:
фото (а) 11 и схема (б)
Решение. Радиоантенна совершает сферическое движение относительно точки O (рис. 8.8, б). Составные вращения осуществляются
с угловыми скоростями:
Радиотелескоп. URL: https://a.d-cd.net/WwAAAgKo6eA-1920.jpg (дата обращения: 07.08.2025).
11
91
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
0
1 0 , 2 0, 3 0 .
0
Вектор угловой скорости 1 2 3, следовательно, 0 .
Радиус-вектор точки A в указанном положении:
0
rA d cos .
d sin
Найдем скорость точки A по формуле Эйлера:
d cos
i
j
k
0
d sin .
v A rA
0 d cos d sin d cos
Модуль скорости точки A
vA
d cos d .
2
2
Подставляя числовые значения, получим скорость точки A радиоантенны, совершающей сферическое движение относительно точки O:
2
2
v A 0, 002 30 cos 70 0, 004 30 1, 27 см/мин.
30
30
Пример 3. X-ray камера мобильного рентгенодиагностического хирургического аппарата (рис. 8.9, а) расположена в точке C. Рамка аппарата вращается вокруг вертикальной оси с частотой 36 об/мин, вокруг горизонтальной оси — с частотой 30 об/мин, а вокруг собственной
оси ее симметрии — с частотой 20 об/мин. Определить скорость камеры в указанном положении (рис. 8.9, б) при условии, что тумбу перемещают вдоль оси Ay с постоянной скоростью 0,1 м/с; a = 0,5 м,
b = 1,5 м, c = 0,7 м.
92
8. Сферическое и свободное движения твердого тела
а
б
Рис. 8.9. Мобильный рентгенодиагностический хирургический аппарат:
фото 12 (а) и схема (б)
Решение. X-ray камера мобильного рентгенодиагностического хирургического аппарата находится в свободном движении (рис. 8.9, б).
За полюс возьмем точку B, система отсчета, связанная с ней, совершает поступательное движение. Камера совершает сферическое движение относительно точки B.
Вектор угловой скорости в сферическом движении точки C
1 2 3 ,
следовательно,
3
2 ,
1
6
2
3, 77 рад/с; 2 20
2, 09 рад/с; 3 30
где 1 36
30 5
30 3
30
3,14 рад/с.
Радиус-вектор точки C в подвижной системе отсчета, связанной
с точкой B,
0
rC b .
c
Мобильный рентгенодиагностический хирургический аппарат // Министерство молодежной политики Тверской области : сайт. URL: https://clck.ru/3QHnDW
(дата обращения: 07.08.2025).
12
93
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Найдем скорость точки C как геометрическую сумму скорости полюса — точки B — и относительной скорости точки C в ее сферическом движении вокруг точки B, воспользовавшись формулой Эйлера:
vBx 1 0 vBx 2 c 3b
vC vB rC vBy 2 b vBy 1c .
v c v b
1
Bz
Bz 3
Скорость точки C в абсолютном движении
vС
vBx 2c 3b vBy 1c vBz 1b
2
2
2
.
Подставляя числовые значения, получим скорость камеры
2
2
2
2
6 6
vС 0, 7 1,5 0,1 0, 7 1,5 7 м/с.
3
5
5
Задания к главе 8
Тест 1. Твердое тело совершает сферическое движение вокруг точки O. В данный момент времени мгновенная ось вращения совпадает
с осью Ox. Определить угол между вектором скорости точки M (1; 7; 4)
и осью Oy:
а) π;
б) π/2;
в) π/3;
г) π/4.
Тест 2. При сферическом движении тела в некоторый момент вре
мени его мгновенная угловая скорость ω (2; 3; 5). Какова скорость точки M (0; 0; 0,5) в этот момент времени:
а) 1,2;
б) 1,8;
в) 2,1;
г) 3,2?
94
8. Сферическое и свободное движения твердого тела
Тест 3. Твердое тело совершает сферическое движение, заданное
углами Эйлера: рад, t 8 sin 2t cos 2t рад, t t 8 рад.
Какова начальная скорость точки M (1; 7; 4):
а) 87,57;
б) 9,21;
в) 107,57;
г) 82,75?
Задание 1. Велосипедист движется по круговому участку дорожки
трека (рис. 8.10) с постоянной скоростью. Какова при этом угловая
скорость колеса велосипеда? Решить задание с допущением о том, что
во время движения плоскость колеса остается вертикальной и оно катится без проскальзывания. Найдите модуль угловой скорости колеса
велосипеда при условии, что велосипедист крутит педали с частотой
100 об/мин, диаметр дорожки кругового трека составляет 50 м, а диаметр колеса велосипеда 26''.
Рис. 8.10. Круговой велотрек 13
Задание 2. Учебный самолет со скоростью v совершает свободный
полет (рис. 8.11) с угловой скоростью крена ωx, рыскания ωz и тангажа ωy.
London, The Olympic Velodrome // Wikimedia Commons : сайт. URL: https://
clck.ru/3RWyUD (дата обращения: 26.08.2025).
13
95
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Рис. 8.11. Самолетные углы: крен, рыскание и тангаж 14
Определить скорость пилота, находящегося в системе координат,
связанной с центром тяжести самолета, в координатах (x, y, z).
Крен, рысканье, тангаж. URL: https://ts4.mm.bing.net/th?id=OIP.
B1lgowEcgrYGgFcR-Xy_WgHaCE&pid=15.1 (дата обращения: 26.08.2025).
14
96
Послесловие
П
одошло к концу наше изучение фундаментального раздела
инженерной механики — кинематики. Кинематика — это основа для понимания работы механизмов, машин и сложных
технических систем. Знания, полученные вами, станут фундаментом
для дальнейшего изучения динамики, сопротивления материалов, теории механизмов и машин, а также многих других дисциплин, без которых невозможно представить современную инженерную деятельность.
Мы с вами прошли путь от простейших понятий о траектории,
скорости и ускорении точки до анализа сложных движений твердых
тел в реальных инженерных системах. Время подвести итоги, окинуть
взглядом пройденный путь и оценить, какой инструментарий теперь
есть в вашем распоряжении.
Главный итог этой работы заключается в том, что вы теперь не просто видите движущиеся объекты, а понимаете их «язык». Вы способны
мысленно расчленить любой механизм на составные элементы, выделить виды движений (поступательное, вращательное, плоское, сферическое, свободное) и описать их строгим математическим языком.
Абстрактные формулы обрели для вас практический смысл: вы знаете, что производная — это не просто предел, а мгновенная скорость
изменения состояния системы, а кривизна траектории — важный параметр для расчетов при криволинейном движении.
Особенность этого пособия заключается в постоянной связке теории с практикой. Расчеты кинематических характеристик частей
кривошипно-шатунного механизма, определение положений звеньев робота, анализ скоростей в зубчатых зацеплениях — все эти задачи были направлены на одну цель: сформировать у вас инженерное
кинематическое мышление. Вы не просто решали задачи — вы проводили виртуальный инженерный анализ.
Каждый инженер когда‑то начинал с изучения основ. Кинематика — это фундамент, на котором будет строиться вся последующая
97
Послесловие
механика. Знания, полученные вами в процессе работы с этим пособием, станут надежным инструментом в вашей будущей профессиональной деятельности.
С уважением и уверенностью
в ваших будущих успехах, авторы.
98
Библиографический список
1. Инженерная механика : [курс]. — Изображение (движущееся ; двухмерное) : видео + Текст : электронный // Открытое образование :
сайт. URL: https://clck.ru/3QHo2v (дата обращения: 27.06.2024).
2. Митюшов, Е. А. Теоретическая механика: Статика. Кинематика. Динамика : [конспект лекций] / Е. А. Митюшов,
С. А. Берестова. — Москва ; Ижевск : ИКИ, 2006. — 176 с. —
ISBN 5‑93972‑067‑6. — Текст : непосредственный.
3. Денисов, Ю. В. Теоретическая механика : учебник / Ю. В. Денисов, Н. А. Клинских. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2013. —
474 с. — ISBN 978‑5‑321‑02306‑8. — Текст : непосредственный.
4. Савина, Е. А. Теоретическая механика / Е. А. Савина. — Текст :
электронный // Портал информационных образовательных ресурсов : сайт. — URL: http://study.ustu.ru/view/aid_view.aspx?
AidId=9485 (дата обращения: 18.10.2023).
5. Теоретическая механика в примерах и задачах : учебное пособие / З. В. Беляева, С. А. Берестова, Ю. В. Денисов [и др.]. —
Москва : Академия, 2012. — 175 с. — ISBN 978‑5‑7695‑4629‑7. —
Текст: непосредственный.
6. Берестова, С. А. Введение в инженерную деятельность : учебное пособие / С. А. Берестова, Е. М. Романовская, Е. А. Савина ; М-во науки и высшего образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та,
2022. — 102 с. — ISBN 978‑5‑7996‑3595‑4. — Текст : электронный //
Электронный научный архив УрФУ : сайт. — URL: http://hdl.
handle.net/10995/119577 (дата обращения: 27.06.2024).
7. Берестова, С. А. Основы инженерных расчетов : учебное пособие
/ С. А. Берестова, Е. М. Романовская, Е. А. Савина ; М-во науки
и высшего образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та,
2023. — 98 с. — ISBN 978‑5‑7996‑3696‑8. — Текст : электронный //
Электронный научный архив УрФУ : сайт. — URL: https://elar.urfu.
ru/handle/10995/127885 (дата обращения: 27.06.2024).
Учебное издание
Контекстное обучение инженеров
Берестова Светлана Александровна
Романовская Елена Мироновна
Савина Елена Александровна
Ламоткин Алексей Евгеньевич
ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Редактор Т. Е. Мерц
Верстка Ю. В. Ершовой
Подписано в печать 22.04.2026. Формат 70×100/16.
Бумага офсетная. Цифровая печать. Усл. печ. л. 8,06.
Уч.-изд. л. 6,0. Тираж 32 экз. Заказ 23.
Издательство Уральского университета
Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ ЦСД
620062, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: 8 (343) 375‑48‑25, 375‑46‑85, 374‑19‑41
E-mail: rio@urfu.ru
Отпечатано в ИПЦ УрФУ ЦСД
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Тел.: 8 (343) 358‑93‑06, 350‑58‑20, 350‑90‑13
http://print.urfu.ru
Контекстное
обучение инженеров
ИНЖЕНЕРНАЯ
МЕХАНИКА.
КИНЕМАТИКА
9 785799 641238