В. И. КУШНЫРЕВ, В. И. ЛЕБЕДЕВ, В. А. ПАВЛЕНКО
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ТЕРМОДИНАМИКА
И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
«Теплогазоснабжение и вентиляция»
МОСКВА
СТРОЙИЗДАТ
1986

ББК 31.31
К 96
УДК [621.1.016+536] @75.8)
Рецензенты: кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции Горь-
ковского инженерно-строительного института им. В. П. Чкалова
(зав. кафедрой канд. техн. наук, доц. В. И. Бодров) и д-р техн.
наук,, проф. М. Г. Маханько (Московский ин-т инженеров
транспорта).
Кушнырев В. И. и др.
К 96 Техническая термодинамика и теплопередача
Учеб. для вузов/В. И. Кушнырев, В. И. Лебедев,
В. А. Павленко. — М.: Стройиздат, 1986.—464 с: ил.
Рассмотрены первый и второй законы термодинамики с
детальным обоснованием понятия энтропии и элементами эксергетического
анализа, свойства реальных рабочих тел» термодинамика потока,
влажный воздух, а также холодильные установки и тепловые насосы.
Изложены вопросы теплопроводности, конвективного теплообмена и
излучения.* Рассмотрены элементы теории пограничного слоя,
современные методы расчета теплообменных аппаратов. \
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Теплогазо-
снабжение и вентиляция».
К 2=Е?23.-в7
УЧЕБНИК
ВАЛЕРИЙ ИОСИФОВИЧ КУШНЫРЕВ
ВИКТОР ИВАНОВИЧ ЛЕБЕДЕВ
ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ПАВЛЕНКО
Техническая термодинамика и теплопередача
Редакция литературы по инженерному оборудованию
Зав. редакцией И. В. Соболева
Редактор С. И. Погудина
Младший редактор Н. И. Романова
Внешнее оформление художника А. Г. Моисеева
Технический редактор Г. Н. Орлова
Корректор Е. А. Степанова
ИБ № 3490
Сдано в набор 21.02.86 Подписано в печать 26.09.86
-Формат 84X108V32. Бумага тип. № 2 Гарнитура «Литературная»
Печать высокая. Усл. печ. л. 24,36 Усл. кр.-отт. 24,36
Уч.-,изд. л. 23,27 Тираж Ц5Ш экз. Изд. № AI-762.
Заказ № 551508 Цена 1 р. 10 к.
Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская, 23а
Набрано в Московской типографии № із ПО «Периодика»
ВО .«Союзлолиграфгаром» Государственного комитета СССР \
по делам издательств, полиграфии и книжкой торговли
107005, Москва, Б-5, Денисовский пер., дом 30 ' .. -
Отпечатано в Подольском филиале ПО «Периодика» Союзполиграфщю-ма
при Государственном комитете СССР по Делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 1142110, г. Подольск, ул. Кирова, д. 25
© Стройиздат, J986

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основными направлениями экономического и
социального развития СССР на 1986—1990 годы и на период
до 2000 года предусматривается планомерное
проведение во всех отраслях и сферах народного хозяйства
целенаправленной энергосберегающей политики. Известно,
что для снабжения теплом народного хозяйства и
населения затрачивается примерно треть всех используемых
в стране топливно-энергетических ресурсов. Поэтому,,
обеспечение рационального теплового режима зданий,
оптимального использования теплоты в системах
отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха, в тепло-
генерирующих установках и системах теплоснабжения
имеет первостепенное значение.
Техническая термодинамика и теплопередача,
представляющие собой теоретические основы
теплотехнических дисциплин, играют важную роль в подготовке
инженера-строителя по специальности «Теплогазоснабже-
ние и вентиляция». Глубокое усвоение профилирующих
дисциплин специальности — отопления, вентиляции, кон*
диционирования воздуха, теплоснабжения, котельных
установок, газоснабжения и др.— базируется на
фундаменте теоретических (общетехнических) дисциплин,
среди которых ведущее место принадлежит
термодинамике, тепломассообмену, механике жидкости и газа. В
условиях интенсивного развития экономики, широкого
использования в народном хозяйстве новых методов,
направленных на экономию топливно-энергетических и
материальных ресурсов, роль фундаментальных наук
особенно велика. Успешное и быстрое решение
инженером конкретных задач в большой степени обусловлено
его умением творчески применять знания из области
фундаментальных наук.
При изложении материала данного учебника особое"
внимание обращалось на освещение физической
сущности явлений и процессов, логическое обоснование
рассматриваемых положений, использование
математических методов с целью обеспечения ясности и краткости.
Й Зт. -6Q8 . \ Я

повествования. Авторы по возможности старались
вначале сформулировать отдельные проблемы, а затем
показать процесс их решения, выводя его из основных
законов и уравнений. Такой подход способствует
творческому усвоению материала, с одной стороны, и
привитию навыков научно-исследовательской работы — с
другой.
Содержание двух разделов книги формировалось
в соответствии с программами дисциплин «Техническая
термодинамика» и «Тепломассообмен».
Предисловие, гл. 2—4, 7, 10, 12, 14, 15 и 18
написаны кандЛтехн. наук доц. В. И. Кушныревым, гл. 1, 5, 6,
11, 13, 16 и 19 — канд. техн. наук доц. В. И. Лебедевым,
гл. 8, 9 и 17 — канд. техн. наук доц. В. А. Павленко. .
Авторы приносят глубокую благодарность
коллективу кафедры Теплогазоснабжение и вентиляция Горъков-
ского инженерно-строительного института
им.В.П.Чкалова и проф. д-ру техн. наук М. Г. Маханько за
полезные советы и замечания, сделанные при рецензировании
рукописи.

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
ГЛАВА 1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
§ 1. Основные понятия и определения
Термодинамика изучает закономерности
превращения энергии в различных процессах и связанное с этим
изменение состояния физических тел.
Техническая термодинамика традиционно изучает
процессы взаимных превращений теплоты и
механической работы; в настоящее время, однако, в технической
термодинамике рассматривают и более сложные
процессы. Одной из главных задач технической
термодинамики является изучение условий наиболее эффективного
прохождения процессов преобразования энергии.
В термодинамике используется феноменологический
метод исследования, при котором не вводится никаких
предположений о молекулярном строении изучаемых
тел. Применяемый в других областях физики статисти-
ческий метод исходит из определенной молекулярной
структуры тел и использует теорию вероятностей и
математическую статистику для определения свойств
совокупности микрочастиц. Простейшим примером
взаимодействия обоих методов является определение
термодинамических величин (давление, температура) в
кинетической теории газов.
Термодинамика основывается на двух основных
законах. Первый закон термодинамики представляет
собой приложение к тепловым процессам всеобщего
закона природы — закона превращения и сохранения
энергии. Второй закон термодинамики характеризует
направление протекающих в природе тепловых процессов.
Применяя эти законы, техническая термодинамика
исследует большой круг явлений, наблюдаемых в
природе и технике. При термодинамическом изучении какого-
либо явления в качестве объекта исследования
выделяется группа тел, единичное тело или даже отдельные
его части. Такой объект изучения называется
термодинамической системой. Термодинамическая система — это
совокупность макроскопических тел, обменивающихся
энергией между собой и с окружающей средой.

В зависимости от условий взаимодействия с другими
системами различают открытую, закрытую, адиабатную
и изолированную термодинамические системы.
Открытой системой называется система, в которой
имеется обмен вещества с другими системами. Система,
в которой отсутствует обмен вещества с другими
системами, называется закрытой системой. Адиабатной
называется система, в которой отсутствует обмен теплотой
с другими системами. В изолированной системе
отсутствует обмен энергией и веществом.
Равновесным термодинамическим состоянием
называется состояние тела, которое не изменяется во
времени без внешнего энергетического воздействия.
Параметры равновесного состояния во всей массе тела
одинаковы и равны соответствующим параметрам внешней
среды. В состоянии термодинамического равновесия
исчезают всякие макроскопические изменения (диффузия,
теплообмен;, химические реакции), хотя тепловое
(микроскопическое) движение молекул не прекращается.
К термодинамическим параметрам относятся
физические величины, характеризующие макроскопическое
состояние тел: термодинамическое давление,
термодинамическая (абсолютная) температура и удельный объем.
Давление численно равно силе, действующей на
единицу площади поверхности тела перпендикулярно
последней. Давление измеряется в Паскалях; 1 Па равен
давлению силы 1 Н на площади 1 м2, т. е. 1 Па=1 Н/м2,
Внесистемными единицами давления являются
атмосфера A ат=1 кГ/см2) и бар A бар = 105 Н/м2). Давление
может измеряться высотой столба жидкости, т. е. в
миллиметрах ртутного или водяного столба.
Соотношение между единицами измерения давления: 1 бар=
= 105 Н/м2 = 1,01972 кГ/см2=750,06 мм рт. ст.= 10197
мм вод. ст.; 1 ат=1 кГ/см2=735,6 мм рт. ст.= 10 000
мм вод. ст.=98 066 Н/м2.
Атмосферное давление» измеряют барометром и оно
называется барометрическим рбар. Если давление среды
в резервуаре больше рбар, то измеряют избыточное (или
манометрическое) давление. Сумма барометрического и
манометрического давлений равна абсолютному
давлению р. Если давление в резервуаре меньше рбар,
образуется разрежение, т. е, вакуум, измеряющийся
величиной рвак. Таким образом, давление определяется по
показаниям приборов с учетом следующих соотношений:

Р>Рбар : Р==
Р<Рбар : Р—Рбар—Рвак.
Абсолютная температура рабочего тела является
мерой интенсивности теплового движения молекул. При
тепловом равновесии двух тел, когда теплообмен
между ними отсутствует, температура их одинакова.
Абсолютная температура всегда положительна, а нулевое
значение ее соответствует состоянию полного покоя
молекул. Шкала, в которой температура отсчитывается от
этого состояния, называется термодинамической
шкалой Кельвина.' Измеренная по этой шкале
температура обозначается Г К. В технике же принята
международная стоградусная шкала — шкала Цельсия, в
которой отсчет ведется от состояния тающего льда при
нормальном давлении (соответствующего абсолютной
температуре 7=273,15К). Измеренная по .этой шкале
температура обозначается °С. Величина градуса в
обеих шкалах одинакова, поэтому пересчет с одной шкалы
в другую производится по формуле 7=^+273,15.
Удельный объем вещества представляет собой
объем, занимаемый единицей массы вещества. Удельный
объем v связан с массой тела m и его объемом V
следующим соотношением: v = V/m. Единицей измерения
удельного объема вещества является ма/кг. Плотность
рабочего тела р=т/У, ее единицей измерения является
кг/м3.
Последовательное изменение состояния тела,
происходящее в результате энергетического взаимодействия
рабочего тела с окружающей средой, называется
термодинамическим процессом. В термодинамическом
процессе обязательно изменяется хотя бы один параметр
состояния. Если процесс протекает настолько медленно,
что в системе в каждый момент времени успевает
устанавливаться равновесное состояние, то он называется
равновесным. Процесс является неравновесным, если он
протекает с конечной скоростью и вызывает появление
конечных разностей давлений, температур,
плотности и т. д.
§ 2. Уравнение состояния
идеального газа
Равновесное состояние вещества (например, 1 кг
газа Ог) однозначно определяется заданием двух
параметров состояния, например, давления р и удельного

объема v. Температура Т в
этом случае является
функцией р и vt т.е. T=T(pt v).
Это уравнение, которое в
общем виде может быть
представлено как F(p, vt
Г)=0 и которое связывает
термодинамические
параметры системы в
равновесном состоянии, называется
уравнением состояния. В
Г пространственной системе
рис j j координат, на осях которой
откладываются величины р,
оТ, уравнению состояния
соответствует термодинамическая поверхность,
индивидуальная для данного вещества.
Для изображения термодинамических состояний и
процессов чаще всего используют плоские диаграммы,
координатные оси которых соответствуют двум
термодинамическим параметрам. Например, точки на р—v-
диаграмме изображают равновесные состояния: точки /,
У, /", ... на рис. 1.1. Равновесный процесс
изображается линией 1—2.
Основными процессами в технической
термодинамике являются: изохорный (при постоянном объеме),
изобарный (при постоянном давлении); изотермический
(при постоянной температуре), адиабатный (без
внешнего теплообмена).
При цизких давлениях и сравнительно высоких
температурах, когда расстояния между молекулами
реального газа значительны, а силы молекулярного
взаимодействия малы, свойства реальных газов близки к
свойствам так называемого идеального газа. Опытным
путем были установлены основные законы идеальных
газов. Согласно закону Бойля — Мариотта при постоянной
температуре произведение давления газа на его
удельный объем есть величина постоянная, т. е. при Г=
=const pv=const. Отсюда следует, что для двух
состояний газа, соответствующих постоянной температуре,
справедливо равенство P\Vi=p2v2 (см. рис. 1.1).
Согласно закону Гей-Люссака при постоянном давлении
отношение удельного объема газа к его абсолютной
температуре есть величина постоянная, т. е. при р=const
8 ~

/==:const. При этом все газы при нагревании на 1 К
обнаруживают относительное увеличение объема на
одну и ту же величину, равную ?o= 1/273,16, т. е. v=
Ml+?O
M+?O
Установим связь между параметрами двух
произвольных состояний идеального газа на основе
указанных законов. Из состояния 1 (см. рис. 1.1) можно
перевести газ в произвольное состояние 3 вдоль
изотермического процесса 1—4 и изобарного процесса 4—3;
выбирая подходящим образом изотерму и изобару, можно
соединить две любых точки на р—^-диаграмме. Для
указанных процессов имеем следующие соотношения:
процесс І—4: Гі = Г4; p\Vi=pAvA\
процесс 4—3: р4=Рз; Щ/П—03/Г3.
Исключая из приведенных уравнений параметры
точки 4, получим:
Pivl/Tl=p3v3/Ts. . (I.I)
Аналогичный переход из состояния 1 в состояние 5
с промежуточной точкой 6 даст соотношение:
PiVi/T^psVs/Ts. A.2)
Объединяя выражения A.1) и A.2), получим:
... A.3)
Поскольку все состояния являются произвольными,
вместо выражения A.3) можно записать pv/T=consi
или
pv=RT, A.4)
где R — газовая постоянная, характерная для каждого - газа,
кДж/(кг-К).
Газ, в точности подчиняющийся уравнению A.4) —
уравнению Клапейрона,— называется идеальным.
Согласно закону Авогадро, одинаковые объемы
различных идеальных газов при одинаковых р и Т
содержат одинаковое количество молекул. Поскольку 1 кмоль
любого вещества содержит одно и то же количество
молекул, то произведение молярной массы любого
идеального газа на его удельный объем есть величина
постоянная для определенных р и Г, т. е. \xu = const, где
\х — молярная масса, кг/кмоль. Умножив обе части
уравнения A.4) на [х, получим:
(L5)
_ ' 9

При заданных значениях
р\ И Гі ПрОИдВедёНИе \XV]
одинаково для всех газов.
Следовательно, в правой
части уравнения A.5) для
всех идеальных газов
должна быть одинакова
величина \iR. При переходе к
другому состоянию с
параметрами р2 и Гг величина [iR
не изменится, ибо
уравнение A.5) сохранило все
свойства уравнения
Клапейрона A.4) после умножения обеих частей нд число jx.
Таким образом, величина \iR не зависит ни от вида
идеального газа, ни от его состояния. Эта величина
носит название универсальной газовой постоянной, она
была введена Д. И. Менделеевым.
Для вычисления \xR используется стандартное
состояние— так называемые нормальные физические
условия: ро=Ю1325 Н/м2 и 70=273,15 К; при этом,
согласно измерениям, объем 1 кмоля различных
идеальных газов равен 22,4143 м3/кмолъ, а универсальная
газовая постоянная оказывается равной
|х/?= 101 325-22,4143/273,15=8314,2 Дж/кмоль=*
=8,3142 кДж/(кмоль-К).
Зная универсальную газовую постоянную jjuR, можно
подсчитать газовую постоянную jR:
Уравнение состояния идеального газа для 1 киломо-
ля носит название уравнения Менделеева —
Клапейрона:
р^=8314,2Г. A.6)
Для произвольной массы идеального газа m
уравнение состояния имеет вид: /
pV^mtZT, A.7)
где V — объем газа, м3.
Удельная теплоемкость газа — это количество
теплоты, расходуемое при нагревании или охлаждении
1 кг, 1 м3 или 1 кмоль газа на 1°, Теплоемкость,
отнесенная к 1 кг газа, называется массовой, обозначаемая
с и имеет единицу измерения кДж/(кг-К).
10

Так как„теплоемко?ть идеальнрго газа зависит, of
температуры, а реального и от давления, то в
термодинамике различают истинную и среднюю теплоемкости.
Истинной теплоемкостью называется отношение
элементарного количества теплоты, сообщаемой
термодинамической -системе в каком-либо процессе, к бесконечно
малой разности температур, т. e.'c=f(t) или dq=cdt
и q— \ cdt. Это соотношение показывает, что теплота
<7, затраченная на осуществление процесса нагрева огг
температуры t\ до температуры t2, графически (рис. 1.2)
изображается площадью /—2—3—4—/, лежащей под
кривой зависимости c—f(t). Эта зависимость может
быть выражена формулой: с==а+Ь<+^2+... . Однако
эту теплоемкость можно определить другим способом.
Из рис. 1.2 видно, что теплота q, затраченная на нагре-
вание газа от t\ до t2y q= I cdt и равная площади
V,
1~„2—3—4—1, может быть представлена в таком виде:
G=площадь 0—5—2—3—0 — площадь 0—5—/—4—О
или q —~с<?12 —"соіг.
В практических расчетах при определении
количества теплоты применяют так называемые средние
теплоемкости. Средней теплоемкостью данного процесса в
интервале температур от t\ до t2 называют отношение
количества теплоты к разности температур:
Теплоемкость зависит от характера процесса.
Особое значение имеет теплоемкость газа при постоянном
давлении (в изобарном процессе) ср и постоянном
объеме (в изохорном процессе) cv.
ГЛАВА 2. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 3. Работа и теплота процесса
Равновесное состояние термодинамической системы
(тела) зависит от внешних условий и температуры.
Понятие температуры в термодинамике считается
изначально ясным и используется для характеристики степе-
11

a)
6)
-It kCv4
/
Рис. 2.1
ви нагретости тела. Существование такого параметра
состояния, как температура, устанавливается на основа-:
нии опыта, а тот факт, что каждому равновесному
состоянию системы соответствует определенное значение
температуры, часто называют нулевым началом
термодинамики *. Это утверждение иллюстрируется
примером 2.1.
Внешние условия определяются окружающей средой
и воздействием внешних тел на термодинамическую
систему. Если при воздействии изменяется положение
внешних тел, то говорят, что над системой
производится работа. Изменение положения внешних тел приводит
к перемещению границы (оболочки) системы и, как
правило, к изменению ее объема. Кроме того,
взаимодействие между системой и внешними телами
проявляется как действие сил. Налицо, таким образом, оба
элемента, образующих понятие работы в механике:
сила и перемещение точки ее приложения.
Если термодинамическая система изменяет свой
объем при взаимодействии с окружающей средой, имеющей
* По аналогии с первым и вторым началами термодинамики,
каждое из которых (как это будет показано в последующем)
устанавливает существование определенной величины — функции
равновесного состояния термодинамической системы.
12

определенное давление, то совершается работа
изменения объема, которую определяют в полном соответствии
с правилами механики. Изнутри на границу
термодинамической системы действует давление р (рис. 2,1,а), на
ее участок Fi с внешней нормалью п — сила pFi. При
перемещении участка границы на расстояние dn эта
сила совершает работу pFidn=pdVu где dVi=Fidn—r
заштрихованный объем, соответствующий участку Fi.
Суммируя работу на всех участках границы системы,
получим элементарную работу изменения объема,
равную
і
Знак элементарной работы совпадает со знаком
дифференциалу объема: при увеличении объема работа
положительна (система совершает работу); при
уменьшении объема работа отрицательна (работа совершается
над системой).
Работа изменения объема — не единственный вид ра-.
боты, рассматриваемый в термодинамике. Например, на
грани элемента движущегося вязкого газа действуют
напряжения (рис. 2.1,6); вектор напряжения на одной
из граней Оу можно представить тремя компонентами:
нормальным напряжением ауу и касательными
напряжениями хух и Tj/z. Если умножить эти напряжения на
площадь грани, получим три силы, которые при
перемещении грани (деформация элемента и его движецие
в пространстве) совершают определенную работу. В
термодинамике сложных явлений рассматривается также
и работа немеханического характера: работа сил по*
верхностного натяжения, работа сил, действующих
в электрическом или магнитном поле, и т. д. В общем
случае элементарная работа может быть представлена
выражением
dL=pdV+dLk,
где dLh — работа, не связанная с изменением объема системы.
Работа dLh может быть представлена как сумма
отдельных видов работ:
к
где Xh —^ обобщенная координата (один из параметров внешних
условий); Pk — соответствующая обобщенной координате Хк аб-
общенная сила. , ***
13

Например, при образовании парового пузыря в
процессе кипения совершается работа сил поверхностного
натяжения, в этом случае поверхность раздела паровой
и жидкой фаз является обобщенной координатой, а
коэффициент поверхностного натяжения — обобщенной
силой.
Рассмотрим работу изменения объема
применительно к равновесному процессу расширения газа в
цилиндре с поршнем (рис. 2.1,?). В цилиндре находится 1 кг
газа, поэтому объем цилиндра, ограниченный поршнем,
представляет собой удельный объем газа. На стенки
цилиндра и на поршень площадью F изнутри действует
всюду одинаковое давление газа р, которое медленно
изменяется по мере того, как поршень редкими,
бесконечно малыми толчками перемещается вправо. Такое
перемещение поршня возможно в том случае^если извне
на него действует сила, почти уравновешивающая
давление р системы; в этом случае процесс можно считать
близким к равновесному (или квазистатическому,
представляющему последовательность статических
состояний).
Вычислим работу изменения объема для
равновесного процесса /—2. При перемещении поршня на
расстояние dx сила давления pF совершает элементарную
работу pFdx=pdv, ибо Fdx=dv. На р—и-диаграмме
элементарная работа выражается площадью
прямоугольника высотой р и шириной основания dv. Работа
расширения, произведенная системой в процессе /—2,
равна интегралу
1ъ-ъ = \ Pav ;
единица работы здесь Дж/кг.
Графическое представление этого интеграла в виде
площади между кривой процесса на р—и-диаграмме и
осью объема показывает, что
l pdv < l pdv < \ pdv.
Таким образом, работа изменения объема
термодинамической системы зависит от процесса перехода
системы из начального состояния в конечное или, короче,
является функцией процесса. Этот важный отличитель-
14

ный признак работы подчеркнут здесь для того, чтобы
сопоставить смысл числового значения величины /i_2 с
числовыми значениями величин Api_2=P2—Pi и Ді>і-2=
= U2—V\. Величины Дрі-2 и Л^і-2 совершенно не
зависят от вида процесса и одинаковы для процессов 1а2,
1Ь2 и 1с2, их значения определяются только
состояниями 1 и 2. В то время, как бессмысленно говорить о
значении работы для отдельно взятого состояния 1,
величины рип имеют для этого состояния вполне
определенные значения pi и v\. Величины р, и, Т являются,
следовательно, функциями состояния или
термодинамическими параметрами. Работа изменения объема не
является термодинамическим параметром.
Понятие работы в механике тесно связано с
понятием энергии: если система совершает работу, то ее
энергия уменьшается (при совершении работы внешним
источником над системой энергия последней увеличится).
Выше отмечалось, что производство работы связано
с изменением положения внешних тел, например,
поршня, ограничивающего объем газа. В отличие от
механической системы термодинамическая система способна
изменять свою энергию и в том случае, если
координаты внешних тел не изменяются и работа,
следовательно, не производится. Такое изменение энергии
происходит при термическом контакте (взаимодействие без
производства работы) системы с телом, температура
которого отличается от температуры системы. В этом
случае энергия поступает в систему или отводится из нее
в форме теплоты. Теплоту процесса считают
положительной, если она подводится к термодинамической
системе, и отрицательной, если она отводится. Для
теплоты, отнесенной к 1 кг вещества, принято обозначение qy
ее единица Дж/кг.
§ 4. Формулировка первого
закона термодинамики.
Внутренняя энергия
Первый закон термодинамики есть закон сохранения
и превращения энергии: при любых процессах,
происходящих в изолированной системе, ее полная энергия
не изменяется. Этот, по словам Ф. Энгельса,
абсолютный закон природы свидетельствует о том, что
движение, материи несотворимо и неуничтожаемо: оно может
лишь переходить из одних форм в другие. Различные
15

виды энергии могут взаимно превращаться в строго
одинаковых количествах. Первый закон термодинамики
отрицает возможность создания вечного двигателя
первого рода, который давал бы полезную работу без
затраты энергии извне.
Принципиальная возможность взаимных превращений теплоты
и работы была известна еще до начала нашей эры. М. В.
Ломоносов сформулировал закон сохранения материи * и движения в 1748 г.
в письме к Л. Эйлеру; при этом движение трактовалось М. В.
Ломоносовым в самом широком смысле этого слова, охватывая и
теплоту, как «внутреннее движение материи». М. В. Ломоносов
рассматривал сформулированный им закон как «всеобщий естественный
закон». Важным стимулом для развития научных исследований по
установлению точной количественной эквивалентности энергии
в различных ее формах явилось практическое использование
тепловых двигателей. В 1766 г. И. И. Ползуиовым была построена
паровая машина, в 1779 г. паровая машина была создана Д. Уаттом,
в первые годы XIX в. были построены паровоз и пароход;
паровые машины получили широкое распространение. Однако прошло
еще несколько десятков лет, прежде чем закон сохранения и
превращения энергии был сформулирован окончательно. Этот факт
связан с именами Р. Майера, Д. Джоуля и Г. Гельмгольца.
Двадцатишестилетний судовой врач Р. Майер обратил внимание на
физиологические изменения з организме, обусловленные, по его
мнению, снижением интенсивности теплообмена с окружающей средой
в условиях жаркого климата. Через 2 года A842 г.) им была
опубликована статья» посвященная закону сохранения и
превращения энергии.и содержавшая рассчитанный автором с погрешностью
примерно 14,5 % (по чужим опытным данным) механический
эквивалент теплоты **. Д. Джоуль проводил эксперименты по
тепловым эффектам при прохождении электрического тока A843 г.),
а также по измерению механического эквивалента теплоты A847—
1850 гг.). В опытах Д. Джоуля механическая работа совершалась
против сил трения (вращение мешалки или движение пористого
поршня в водяном калориметре), работу совершал опускающийся
груз, теплота трения определялась повышением температуры воды;
механический эквивалент теплоты был измерен Д. Джоулем с
погрешностью примерно 0,8 %. Г. Гельмгольц, один из крупнейших
немецких ученых, в 1847 г. дал математическую формулировку
закона сохранения энергии и указал на всеобщность этого закона;
после работы Г. Гельмгольца закон сохранения и превращения
энергии стал общепризнанным.
Уравнение первого закона термодинамики выражает
принцип сохранения и превращения энергии
применительно к термодинамической системе. Теплота и работа
* Экспериментальное доказательство закона сохранения
материи было сделано М. В. Ломоносовым в 1756 г. (за 17 лет до
А. Лавуазье),
** В 1878 г. былц опубликованы записи С. Карно A796—
1832 гг.), из которых стало известно, что им был указан
механический эквивалент теплоты примерно с такой же погрешностью.
16 .•...;. ;".Lt3t

суть формы энергии, обусловленные взаимодействием
системы с окружающей средой; пока идет процесс
взаимодействия, к системе, например, может поступать
энергия в форме теплоты, а система может отдавать
энергию в форме работы. Лишь в специальном частном
случае эквивалентность теплоты и работы выражается
в простом равенстве этих величин. В общем случае
требуется еще третья величина, непосредственно связанная
с энергетическим состоянием самой системы,
отражающая уровень ее собственной энергии. Такой величиной
является внутренняя энергия термодинамической
системы.
В общем случае подводимая к системе теплота
затрачивается на изменение внутренней энергии системы
и на совершение работы:
?-Ди+/, B.1)
где q — теплота процесса изменения состояния термодинамической
системы, Дж/кг; / — работа того же процесса,. Дж/кг;
Аи—-изменение внутренней энергии в рассматриваемом процессе, Дж/кг.
Все величины в уравнении B.1)—удельные, в
расчете на единицу массы системы, которая
предполагается неизменной и, кроме того, алгебраические, т. е. могут
принимать и отрицательные значения.
Как было ранее сказано, знак работы (в том числе
и немеханйческих видов работы) принимается
положительным, если сама система совершает работу; для
работы изменения объема этот знак совпадает со знаком
дифференциала объема dv. Знак изменения внутренней
энергии выбирается по общепринятому в математике
и физике правилу: приращение возрастающей величины
положительно. Знак теплоты определяется выбором
знаков двух предыдущих величин и первым законом
термодинамики, согласно которому подводимая в систему
теплота имеет положительный знак.
Для бесконечно короткого (элементарного)
процесса уравнение первого закона термодинамики
приобретает следующую дифференциальную форму:
dq=±du+dl=du+pdv. B.1а)
Между бесконечно малыми величинами dq, du adln
конечными величинами <7i-2> Аих-2 и 1^2 Для
термодинамического процесса с начальным состоянием / и ко-
17

нечным состоянием 2 существуют очевидные
соотношения:
2 2 2
01-2в і d9* ^1-2 A ] dtt» 'і-2ет \dL <2-2)
1 1 1
Начальное и конечное состояния могут совпадать —
тогда происходит круговой процесс (цикл); таков,
например, процесс 1Ь2с1 на рис. 2.1,в; этот процесс
начинается в состоянии 1 и заканчивается в этом же
состоянии. Для циклов используется специальное обозначение
интеграла *
Интеграл B.3) не равен нулю: как видно из
рис. 2.1,в, он выражается положительным числом,
поскольку положительная работа процесса 1Ь2
преобладает над отрицательной работой процесса 2с1, что
видно по соотношению между площадями для этих работ.
Это означает, что 1 кг вещества (рабочего тела)
совершает работу расширения, которая после окончания
цикла может быть использована внешними телами.
Согласно первому закону термодинамики, эта работа не
может возникнуть из ничего: вечный двигатель запрещен
первым законом. Поэтому внешняя среда, получив
определенное количество энергии ? dl за цикл, должна
отдать такое же количество энергии в форме теплоты:
f dl. B.4)
Сравнивая уравнение первого закона
термодинамики для цикла . ^
<? dq — ? du + ? dl
с выражением B.4), получаем следующий результат:
B.5)
?du «О,
который yKa3bmaef на то, что внутренняя энергия
является однозначной функцией состояния системы, т. е.
? * В дифференциальном и интегральном исчислении векторных
величин (векторный анализ) такое обозначение используют для
криволинейного интеграла по замкнутому контуру,
18

таким же термодинамическим параметром, как,
например, удельный объем, температура, давление. Сразу же
можно отметить, что теплота не является функцией
состояния, ибо по выражению B.1) представляет собой
сумму изменения функции состояния и и функции
процесса /.
Таким образом, величины, упоминавшиеся до сих
пор в связи с анализом энергетических взаимодействий
системы, отчетливо распадаются на две группы:
функции состояния (термодинамические параметры) и
функции процесса. Изменения в процессе 1—2 и тех и
других определяются интегралами вида B.2), однако мя
термодинамических параметров эти интегралы
вычисляются несравненно проще:
2 2
!-ttf-ttlf Jrfu-ut-u,; §dT-T%-Tt; B.6)
і і і
' 2 2
интегралы \ dq и \ dt не могут быть вычислены етоль-
1 "І
простым путем. Для вычисления интеграла
2 2
/« \4pdv
\ і
необходимо знать зависимость р=р(и), которая для
различных процессов имеет различный вид. Простой
способ вычисления интеграла \ da дается вторым
законом термрдинамики и будет рассмотрен позднее.
Указанное различие между термодинамическими
параметрами и функциями процесса можно выразить и по-
другому: говорят, что du, dv, dT, dp являются полными
дифференциалами, в то время как dq и dl таковыми
не являются и представляют собой лишь бесконечно
малые количества передаваемой системе (или системой
в окружающую среду) энергии в форме теплоты или
работы.
Тот факт, что внутренняя энергия связана
исключительно с конкретным состоянием термодинамической
системы, -весьма важен, и первый закон термодинамики
часто формулируют в виде утверждения о существова-
19

ний внутренней энергии как термодинамического,
параметра.
Внутренняя энергия — не единственный вид энергии,
которым может обладать термодинамическая система.
Рассмотрим небольшой объем жидкости (жидкую
частицу), движущейся вместе с окружающим ее потоком.
Такая жидкая частица обладает кинетической энергией,
равной половине произведения массы частицы на
квадрат скорости потока, потенциальной энергией в поле сил
тяжести и, наконец, внутренней энергией; сумма этих
трех энергий есть полная энергия системы. Закон
сохранения и превращения энергии можно
сформулировать так, что будут учтены все три указанных вида
энергии (этот вопрос рассматривается в гл. 7). Из
сказанного ясно, что к внутренней энергии относится та
часть полной энергии термодинамической системы,
которая не связана с движением системы как целого и с по-,
ложением системы в поле сил тяжести.
Поскольку термодинамическая система представляет
собой совокупность колоссального количества
микрочастиц (молекул, атомов и т. п.), внутренняя энергия с
точки зрения микроструктуры вещества представляет собой
сумму энергий отдельных микрочастиц системы.
Например, каждая молекула газа обладает кинетической
энергией поступательного, вращательного и
колебательного движений (взаимное колебательное движение
атомов молекулы связано и с потенциальной энергией);
потенциальной энергией межмолекулярного
взаимодействия; внутриатомной и внутриядерной энергией.
Просуммировав все виды энергии для одной молекулы и
умножив эту сумму на количество молекул в
термодинамической системе, получим внутреннюю энергию этой
системы. Разумеется, в рамках термодинамики такого
рода расчеты не производятся по причине, указанной
в гл. 1: термодинамика — наука феноменологическая и
ее основные положения не связаны с
микроструктурой тел.
Определение изменения внутренней энергии в
термодинамическом процессе основано на соотношении:
2
^1-2 ^ w*~ и**** \du> B.7)
і
т. е. необходимо иметь выражение для du. Состояние
простой системы определяется двумя параметрами, сле-
20

довательно, внутренняя энергия есть функция любой
пары термодинамических параметров из совокупности
р, v, Т\ например, u=u(v, T). Тогда в соответствии
с правилами дифференцирования функции двух
переменных полный дифференциал внутренней энергии
равен:
du — (ди/дТ) гДТ+ (ди/dv) Tdv. B.8)
Смысл производной (du/dT)v таков: это есть
приращение внутренней энергии 1 кг вещества в процессе
при v = const, соответствующее изменению температуры
на 1 К. Поскольку работа pdv при v=const равна
нулю, указанное приращение внутренней энергии по
первому закону равно количеству подведенной теплоты, т. е.
изохорной теплоемкости:
Тогда для полного дифференциала du имеем
выражение:
du=cvdT+ (du/dv)Tdv. B.9)
Приращение внутренней энергии в произвольном
процессе изменения состояния реального вещества в
одной фазе * определяется формулой
2
С ґди \
Да - а, - и, - cv (Т, - 7\) + j {^) /vt B.10)
С ґди
при этом
[cvdT = Fv їат = 7у{Т,
где Cv — средняя изохорная теплоемкость для интервала
температур от Ті до 7V
Формула B.10) может найти применение при
решении, например, следующего практического вопроса:
сколько теплоты нужно подвести к рабочему телу для
совершения заданной работы? Эту работу необходимо
сложить с приращением внутренней энергии, которое
* Т. е. вещество должно находиться или. в газообразном, или
в жидком, или в твердом состоянии.
21

Ш//////////Ш
Рис. 2.2
j вычисляется по
выражению B.10),
следовательно, вопрос сводится к
вычислению интеграла
dv. , B.11)
Несмотря на то, что
внутренняя энергия и —
параметр состояния, ее
нельзя непосредственно
измерить.
Непосредственное измерение допускают
параметры р, v, Т. Связь
между ними F{p, u, Т) =
=?0 представляет собой термическое уравнение
состояния, индивидуальное для каждого вещества. Вычислить
интеграл B.11), используя термическое уравнение
состояния, можно, но для этого необходимо использовать
второй закон термодинамики *.
Просто вопрос решается для идеального газа.
Опытами (Гей-Люссак, Джоуль) было установлено, что
внутренняя энергия идеального газа не зависит от
объема (закон Джоуля). Схема опыта изображена на
рис. 2.2. Вначале в левом сосуде находится 1 кг газа
при умеренном давлении (чтобы газ оставался
идеальным); объем сосуда есть, таким образом, удельный
объем. В правом сосуде ничего нет (вакуум). На трубке,
соединяющей сосуды, открывают вентиль. Газ
расширяется в пустоту (в вакуумированный правый сосуд),
работа pdv при этом равна нулю, ибо
противодействующее давление равно нулю. Температура среды в
теплоизолированной камере 1, как оказалось, имеет одно и
то же значение до опыта и после него; это показывает,
что обмена теплотой с окружающей сосуды средой нет.
Следовательно, по первому закону термодинамики
имеем: /=0; 9=0; Ди=0; u2=Ui, несмотря на то, что
объем увеличился практически вдвое. На этом основании
интеграл B.11) для идеального газа равен нулю.
Таким образом, приращение внутренней энергии в
* Другой способ определения величины B.11) связан с
необходимостью измерять в опытах количество теплоты (например,
мощность электрического нагревателя).
22

произвольном процессе изменения состояния идеального
газа определяете^ формулой ,
toi^ut-Ui^biTs—Гі). B.12)
Этот факт имеет простое объяснение с позиций кинетической
теории идеального газа: внутренняя энергия его представляет
собой , сумму кинетических энергий поступательного движения (для
одноатомных молекул) отдельных частиц, равную _N(mw2l2)t где
N — число частиц в системе; т — масса частицы; ш — ее средняя
квадратичная скорость. При расширении газа в пустоту число
частиц N в системе сохраняется, их средняя кинетическая энергия
mw/2 также не изменяется, поскольку, попадая в вакуумированный
правый сосуд, частицы не сталкиваются ни с какими объектами,
могущими изменить их кинетическую энергию. Правда, площадь
оболочки системы после расширения газа возросла вдвое из-за
добавления площади внутренней поверхности второго сосуда, однако
следствием этого является уменьшение количества частиц,
испытывающих упругие соударения с единицей поверхности, и снижение
2 N- mw*
давления р «= -дг -у—g— t где V — объем системы, который
увеличивается вдвое после открывания вентиля между сосудами.
Поскольку кинетическая энергия частицы не изменилась, сохраняет
свое значение и температура, которая при N—const связана с
внутренней энергией простой пропорциональной зависимостью,
учитывающей, по сути дела, различие в единицах измерения.
Для более полного уяснения сущности происходящих
процессов полезно проанализировать в рамках кинетической теории
случай, когда давление в правом сосуде перед открыванием вентиля
не равно нулю. Представляет интерес и такой вопрос: справедливо
ли утверждение «внутренняя энергия идеального газа не зависит от
объема» с точки зрений кинетической теории для процесса
изменения объема, изображенного на рис. 2.1,6, если стенка цилиндра
и поршень образуют адиабатную оболочку?
§ 5. Энтальпия
При расширении газа в цилиндре с поршнем лишь
часть совершаемой работы является полезной работой.
Пусть газ в цилиндре находится в равновесном
начальном состоянии (рис. 2.3). Поршень при этом
неподвижен, силы, действующие на него слева и справа,
взаимно уравновешиваются:
где р — давление газа в цилиндре; ро — давление окружающей
среды; F — площадь поршня; Ри — сила, совершающая полезную
работу — поднятие груза массой т.
При бесконечно медленном подводе теплоты к газу
в цилиндре сила pF будет совершать работу изменения
объема в равновесном процессе; эту работу можно раз-
. , . - -"' 23

/77
Рис. 2.3
Делить на две части: полезную работу против силы Рп
(поднятие груза) и работу против силы p0F — давления
окружающей среды. Последняя часть работы может
оказаться значительной, если давление окружающей
среды ро велико.
Для более детального выяснения смысла работы
против давления окружающей среды и значимости этой
работы в термодинамическом анализе рассмотрим три
равновесных процесса расширения (рис. 2.4). На дне
цилиндра (рис. 2.4,а) налито небольшое количество воды,
объемом которой можно пренебречь по сравнению с
объемом цилиндра. При подводе теплоты вода начинает
превращаться в пар, объем которого намного больше
объема воды *, и поршень поднимается, совершая
работу против давления окружающей среды р0. Эта работа
соответствует площади прямоугольника высотой р0 с
основанием vK (конечный объем) на р—^-диаграмме.
Объем ик можно принять сколь угодно большим, ибо
после превращения всей воды в пар последний будет
продолжать расширение при подводе теплоты.
В другом случае (рис. 2.4,6) на поршень действует
сумма двух сил: p0F на поверхности жидкости и вес
самой жидкости mg. Последняя сила медленно (в
соответствии с требованием равновесности процесса)
убывает по мере перелива воды в боковой резервуар при
* При атмосферном давлении объем насыщенного пара
примерно в 1600 раз больше объема воды, следовательно, можно
полагать начальный объем vB«0; пренебрегаем также массой поршня.
24

жжш
р.
:#:/;:#?.*
V« V
Рис. 2.4
поднятия поршня. Водяной пар совершает полезную
работу по поднятию жидкости (центр тяжести жидкости
в боковом резервуаре выше, чем в цилиндре) и работу
против давления окружающей среды. Последняя может
быть записана формально в виде интеграла:
"к
pQav.
Тогда полезная работа, равна:
Основываясь на геометрическом смысле
определенного интеграла, нетрудно понять, что заштрихованная
площадь на рис. 2.4,6 может быть найдена и в том
случае, если переменной интегрирования является
давление р:
j (Р— pQ)dv-*~ \ vdp.
О

Таким образом, работа изменения объема
выражается интегралом
2
а полезная работа — интегралом
2
/п= -- I vdp. B.13)
J
Наиболее общий случай совершения работы
термодинамической системой представлен на рис. 2.4,в. В этом
случае пар совершает полезную работу в два этапа:
поднимая воду до уровня перелива (площадь I) и
переливая ее в боковой резервуар (площадь II); на обоих
этапах паром совершается также работа против давления
окружающей среды, соответствующая незаштрихован-
ной площади. Полная работа, совершаемая паром
(работа изменения объема), равна
2
+ \
pdv.
Ї
Полезная работа определяется выражением-
2
/п = / — /?3г/3«[ I pdv — (ptVt — рх vt). B.14)
і
Каков физический смысл разности (приращения)
произведения pv? Значение p\V\ можно трактовать как
работу против окружающей среды с давлением ри
значение p2v2— как работу против окружающей среды
с давлением р2. При совершении работы такого рода
тело, имеющее заданный объем (например, vK),
вводится в окружающую среду с заданным давлением
(например, р0). Такую работу называют работой
проталкивания*. Работа проталкивчания определяется как
приращение величины pv, являющейся функцией состояния.
Поскольку формально можно записать
* 2 2
I d (pv) - і pdv + \ vdp,
Г 11
* Смысл этого термина будет дополнительно разъяснен в гл. 7.
26

то полезная работа может быть определена и по
выражению B.13):
2 2 2
/п - I pdv - d (pv) I vdp,
которое эквивалентно выражению B.14).
Подводя итог сказанному, можно констатировать,
что работа изменения объема / и полезная работа 1п
вычисляются путем интегрирования вдоль процесса
изменения состояния и, например, для кругового процесса
их значения совпадают; работа проталкивания может
быть вычислена как приращение величины pv и не.
зависит от конфигурации процесса.
Способ вычисления работы проталкивания весьма
прост и удобен и, разумеется, желателен и для других
видов работы. Например, в механике в общем случае
работа подсчитывает^ как скалярное произведение
вектора силы R на вектор перемещения ds:
dA=$ds=\$\ \ds\ cos(jR, ds). B.15)
Работу на конечном отрезке траектории находят
интегрированием вдоль пути перемещения материальной
точки (или точки приложения силы jR). Однако для
определения работы в поле сил тяжести имеем простое
выражение в виде приращения величины <p=mgz (где
т — масса перемещаемой материальной точки; g —
ускорение свободного падения; z — высота по отношению
к уровню отсчета):
{). B.16)
Можно рассчитать работу по формуле B.15) для
различных траекторий перехода материальной точки из,
положения / в положение 2, при этом будет получаться
одно и то же значение, определяемое формулой B.16).
Если траектория представляет собой замкнутый
контур, то работа равна нулю.
Скалярная величина ф называется потенциалом *
* Широко используется также второе название этой величины —
«потенциальная энергия», в частности, при формулировке принципа
сохранения механической энергии.
27

силы тяжести. Сила связана со своим потенциалом
выражением
Р=— gradqv
где grad ф — вектор с проекциями ду/дх, ду/ду и ду/дг на оси
координат.
Сила тяжести направлена вдоль вертикальной оси 2,
поэтому
р=рг=: —дф/dz=—mg.
Вообще, если для векторного поля существует
скалярная функция ф, обладающая свойством определять
работу вектора простым выражением типа^ B.16), то
такое поле называют потенциальным. Потенциальные
векторные поля находят весьма широкое применение при
решении различных проблем физики и техники.
Потенциальными являются векторное поле скорости в жидкой
среде (при определенных условиях), векторное поле
электростатических сил и поле центростремительных
сил; однако магнитное поле скалярным потенциалом
не обладает. Понятие потенциала в механике известно
давно, например, понятие потенциала скоростей было
введено Эйлером.
Изложенные выше соображения позволяют понять
целесообразность использования понятия потенциала и
в термодинамике. Строгий аналитический метод
термодинамических потенциалов, применимый практически
ко всем задачам термодинамики, был разработан
Дж. В. Гиббсом A875 г.); этот метод является
основным для современной термодинамики. Правильно
выбранные термодинамические потенциалы позволяют
простым способом определять работу в разнообразных
условиях, что особенно важно для немеханических видов
работы.
Определим работу изменения объема газа в
цилиндре (см. рис 2.1,в) в предположении, что теплообмен
с окружающей средой отсутствует (стенки цилиндра,
окружающие газ, и поршень представляют собой
адиабатную оболочку). Потенциалом для определения
работы в данном случае служит внутренняя энергия и.
Действительно, при dq=O, согласно первому закону
термодинамики, по формуле B.1,а) имеем:
или
28

Найдем выражение для потенциала полезной
работы, совершаемой газом в тех же условиях (отсутствие
теплообмена). С этой целью преобразуем выражение
первого закона термодинамики, прибавляя и вычитая
из правой части величину vdp:
dq=du+pdv+vdp—vdp. '
Это выражение можно представить в виде
dq=du+d (pv) —vdp
или
dq=d(u+pv)--vdp.
Если теплообмен с внешней средой отсутствует
(dG=0), то имеем:
dln = rr-vdp=—d (u+pv).
Полезная работа для конечного процесса
2
/п I Vdp - — [(иа + /W») — («і + A fi)].
Следовательно, газ, расширяющийся без
теплообмена с окружающей средой, совершает полезную работу,
равную взятому с обратным знаком приращению
величины u+pv. Эта величина является потенциалом
полезной работы. Она имеет специальное обозначение
h=u+pv B.I7)
и носит название энтальпии. С применением энтальпии
аналитическое выражение первого закона приобретает
следующий вид:
dq «= dh+dlu=dh—vdp. B.18)
По своей структуре и в соответствии со смыслом
понятия потенциала энтальпия представляет собой
функцию состояния (термодинамический параметр) и а/цг
простой системы определяется двумя любыми
параметрами, например, h=h(p, T). Полный дифференциал
энтальпии равен:
dh= (dhldT)pdT+{dhldp)Tdp.
¦ - • . 29

Смысл производной (dh/dT)p состоит в следующем:
она равна приращению энтальпии 1 кг вещества в
изобарном процессе, соответствующему изменению
температуры на LK. Полезная работа — vdp при p=const
равна нулю, поэтому, согласно выражению B.18),
указанное приращение энтальпии равно количеству
подведенной (или отведенной) теплоты, т. е. изобарной
теплоемкости:
(dh/dT)p=cp.
Тогда для полного дифференциала dh имеем
выражение:
dh=cPdT+ (dh/dp)Tdp. B.19)
Приращение энтальпии для любого процесса
изменения состояния реального вещества ^ пределах одной
фазы (газообразной, жидкой или твердой)
определяется формулой
2
Ah - к*-Н1-Гр(Тш — Т1)+ [ (dh/dp)rdpt B.20)
V
при этом
где ёр —•¦ средняя изобарная теплоемкость в интервале температур
от Ті до Т2.
Для идеального газа интеграл J (dh/dp)Tdp равен
і
нулю. Действительно, подставляя значение энтальпии
из выражения B.17) в подынтегральное выражение,
имеем:
, Оба последних слагаемых в формуле B,21) равны
нулю: первое по причине независимости внутренней
энергии идеального газа от объема, второе—-в силу
постоянства величины pv при Г^const. Кроме того,
равенство нулю рассматриваемого интеграла подтверж-
30

дается опытом по расширению газа в вакууме, так как
при этом изменяется не только объем газа, но и
давление, и, следовательно, (ди/др)т=0.
Таким образом, приращение энтальпии в
произвольном процессе изменения состояния идеального газа
определяется формулой
§ 6. Теплоемкость
Как известно, теплоемкость равна отношению
теплоты бесконечно малого процесса к изменению
температуры вещества в этом процессе:
Теплоемкость, следовательно, как и теплота,
является функцией процесса и не входит в число
термодинамических параметров. Однако первый закон
термодинамики позволяет установить связь теплоемкости с
термодинамическими параметрами вещества. В
последующем изложении чаще всего будет использоваться
удельная теплоемкость — теплоемкость единицы массы
вещества с, Дж/(кг-К); часто применяются также: мольная
теплоемкость \хс, Дж/(кмоль-К) и объемная
теплоемкость с', Дж/(м3-К), при этом для с' следует указывать
условия для единицы объема, чаще всего это
нормальные физические условия: О °С и 760 мм рт. ст.
Согласно первому закону термодинамики
c=(du+pdv)/dT.
Подставляя сюда выражение B.8) для du, получим:
dv. B.22)
Выражение B.22) пригодно для произвольных
процессов. Если u=const, то dv=0 и для изохорной
теплоемкости имеем
cv=(du/dT)v. B.23)
Если p=const, то, разделив равенство B.22) на dT,
имеем в правой части отношение dv к dT при
постоянном давлении, т. е. производную (dv/dT)p:
du"
31

Разность изобарной и изохорной теплоємкостей
равна:
cp-cv=z [(duldv)T+p] (Л/йГ)р. B.24)
Уравнения B.23) и B.24) связывают теплоемкости
ср и cv с термодинамическими параметрами р, и, 71 и и;
эти уравнения, полученные на основе первого закона
термодинамики, справедливы, разумеется, для любого
реального вещества, находящегося в любом агрегатном
состоянии — твердом, жидком или газообразном (но
однофазном). Практическая ценность уравнений типа
B.23) и B.24) состоит в том, что они позволяют
рассчитать все теплофизические свойства определенного
технически важного вещества по результатам
экспериментального определения лишь некоторых его свойств.
Сложность в данном случае состоит в том, что в правой
ч,асти, например уравнения B.24), находятся не только
уже упоминавшиеся термические параметры р, v, T, по
и параметр иного рода — внутренняя энергия и.
Зависимость u=u(v, Т) или F\(u, vy T)=0 также является
уравнением состояния данного вещества и в отличие от
«обычного» (термического) уравнения состояния носит
название калорического уравнения состояния.
Величины и, А, а также теплоемкости ср и cv называют
калорическими свойствами вещества.
Как термическое уравнение состояния F(p, v, T)=0,
так и калорическое уравнение состояния F\{u, v, T)=0
являются источниками разнообразной информации о
свойствах данного вещества. Например, производная
(dv/dT)p показывает, насколько расширяется данное
вещество при нагреве его на 1 К в условиях
постоянного давления; применительно к воздуху, например, это
позволяет рассчитать его циркуляцию в отапливаемом
помещении. Производная (dp/dT)v показывает,
насколько возрастает давление при нагреве вещества на 1 К
в условиях постоянного объема, что дает возможность
рассчитать прочность резервуара, в котором заключено
вещество. Калорическое уравнение состояния позволяет
по выражению B.23) найти cv, а по выражению, B.24)
в сочетании с термическим уравнением состояния — ср;
это, в свою очередь, дает возможность по уравнению
B.20) рассчитать приращение энтальпии и определить
таким образом полезную работу. Число подобных
примеров весьма велико.
Поскольку и термическое, и калорическое уравнения
32 --•'"'"

состояния отражают физическую структуру одного и
того же вещества, имеется объективная основа для
установления взаимной связи между термическими и
калорическими свойствами этого вещества. Такую связь
легко определить, например, для идеального газа в рамках
кинетической теории. Связь между термическими и
калорическими свойствами реального вещества без
учета особенностей его микроструктуры устанавливается
совместным применением первого и второго законов
термодинамики.
Найдем правую часть уравнения B.24) для
идеального газа. Первое слагаемое в квадратных скобках
равно нулю, так как внутренняя энергия идеального газа
не зависит от объема; величина p(dv/dT)p по
уравнению Клапейрона pv=RT равна газовой постоянной R.
Вместо уравнения B.24) имеем, следоЁательно,
известную формулу Майера:
ср—cv=Rf B.25)
из которой, в частности, следует, что изобарная
теплоемкость идеального газа всегда больше изохорной
теплоемкости. Соотношение cp>cv справедливо и для
реальных газов, а также для капельных жидкостей и
твердых тел. Из формулы B.24) видно, что различие
между ср и cv обусловлено двумя причинами: способностью
тела расширяться при изобарном повышении
температуры [(dv/dT)p=E0] и зависимостью внутренней
энергии от объема [{ди/ди)тф0]. Для газов главной
является первая причина, а для жидкостей и твердых тел —
вторая.
Идеальный газ как физическая модель вещества
в газообразном состоянии широко используется в
инженерной практике. Поэтому для ориентировочных
расчетов теплоемкости идеального газа полезно применить
результаты кинетической теории. Калорическое
уравнение состояния идеального газа имеет вид и=и(Т),
поскольку и не зависит от объема. Для 1 кмоль имеем:
где Na — число Авогадро.
Температура в кинетической теории определяется
соотношением:
2 -
-д-(т«ю
где к — постоянная Больдмана.

поэтому
\xu~-RpT, ' B.26)
где NAk^Rp. — универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль-К),
Выражение B.26) представляет собой калорическое
уравнение состояния идеального газа. Согласно
формуле B.23)
поэтому для изохорной теплоемкости имеем следующее
выражение
Формулу B.27) можно трактовать следующим
образом: изохорная теплоемкость идеального газа равна
утроенному значению величины 0,5/?^; саму величину
0,5/? чр,, умноженную на температуру Г, можно
рассматривать как энергию, приходящуюся на одно возможное
направление поступательного движения (на одну
степень свободы) одноатомных молекул для 1 кмоль
вещества. Одноатомная молекула имеет три степени свободы,
соответствующие трем координатным осям, поэтому
и скорость молекулы имеет три составляющих:
Внутреннюю энергию 1 кмель вещества можно
представить так:
*=з
-NA 2 в*0,Ш\
Коэффициенты пі должны удовлетворять условиям:
3
.^а/^З; о <; at < 3
і
и показывать неравномерность распределения средней
кинетической энергии по отдельным осям. В
кинетической теории газов принята гипотеза о равномерности
распределения кинетической энергии по степеням
свободы: а1=а2=а3=1. Таким образом, на каждукУ сте-
34 ,- '

пень свободы приходится энергия 0,5&Г, а на 1 кмоль:
О,5ЛГАіИГ=О,б/?|17\
Если выйти за рамки модели одноатомного
идеального газа и рассматривать многоатомные молекулы, то
следует принять, что каждый атом обладает тремя
степенями свободы (как материальная точка);
следовательно, в общем случае число степеней свободы для
молекулы, составленной из п атомов, равно Зп. Молекулу
теперь следует считать системой материальных точек
с центром масс, обладающим тремя степенями свободы
поступательного движения. Кроме того, система может
вращаться вокруг центра масс, а вектор угловой
скорости, произвольно расположенный в пространстве, будет
иметь три проекции на оси координат — три
вращательных степени свободы. Атомы в молекуле подвижны по
отношению одни к другим И' испытывают колебания
относительно положения равновесия. На колебательные
степени свободы приходится, таким образом, число,
равное в общем случае для многоатомной молекулы 2>п—6;
для линейных молекул (атомы расположены вдоль
прямой) это число равно 2>п—5, поскольку вращательная
степень свободы для линии, соединяющей атомы,
отсутствует. Каждая колебательная степень свободы требует
в среднем вдвое больше энергии, чем степень свободы
поступательного или вращательного движения. Так
происходит потому, что система из двух колеблющихся
атомов обладает не только кинетической, но и
потенциальной энергией колебания; расчеты показывают, что
на долю каждой приходится 0,5$^ Г, следовательно, на
одну колебательную степень свободы (пару атомов)
приходится Rp Т.
Пусть і — число степеней свободы поступательного
и вращательного движений многоатомной молекулы,
тогда число колебательных степеней свободы равно
2>п—і, а внутренняя энергия 1 кмоль вещества
определится формулой:
Для изохорной теплоемкости имеем формулу
lie.- (i+2C/1-0H,5/^
или
ЦсЛ5^«Ср/0,5/?=/+2(Зл-0. B.28)
2* Зак. 308 " 35

Рис, 2.5
V
Сравним расчеты по формуле B.28) с
экспериментальными данными для невысоких температур.
Количество атомов в молекуле я, величина 2cv/R, вычисленная
по формуле B.28), и экспериментальные значения
величины 2с JR связаны между собой следующим образом:
Значения 2cvjR по формуле B.28) ..
Экспериментальные значения 2cv/R .
1 2
3 7
3 5
3
12A3)
7
4
18A9)
7
Формула B.28), таким образом, дает хороший
результат для м==1 (гелий, неон, аргон и др.). В
двухатомных молекулах при низких температурах колебания
отсутствуют и 2cv/R=5, однако для высоких
температур 2cv/R-+7. Для п^З формула B.28) не годится;
для таких систем используются законы квантовой
механики.
Пример 2.1. Известно, что при высоких давлениях газы не
являются идеальными. Пусть три одинаковых (достаточно больших)
массы газа помещены в три жесткие металлические оболочки 1, 2
и 3, имеющие различные объемы (рис. 2.5); удельные объемы vu
v2 и и3 при этом будут различны, а благодаря большой массе
газа обеспечиваются высокое давление и' пригодность результатов
не только для идеальных газов. Будем проводить опыт, каждый
цикл которого состоит в следующем: термодинамические системы 1
и 3 помещают в два различных термостата (например, в
кипящую воду и тающий лед), а затем приводят в контакт с
системой 2 так, как это показано на рисунке. Через определенный,
36

достаточно продолжительный период времени составная система
1—2—3 придет в равновесие, тогда необходимо замерить давления
Ри Рг и Рз. Последующий цикл отличается от предыдущего тем,
что используются другие пары термостатов, например, кипящая
вода и кипящее масло, кипящее масло и тающий лед и т. д. При
каждом опыте удельные объемы систем остаются теми же, а
давления ри Р2 и рз будут другими. По результатам опытов можно
составить функциональные зависимости:
P2=fi(Pu vu v2) или Fi(pu »і, p2, o2)=0f (а)
а также
Р2=Гі(Рз, o3l v2) или Р2(Рг, Оз, Ръ v2)=0. (б)
Очевидно, что на основании зависимостей (а) и (б) можно
записать
fi(Pu vu о2)==Гі(Рз, oSf о2)
или
ф(Рь Vu Рз, os, о2)=0. (в)
С другой стороньь, поскольку существуют функции F\ и F2i то
обязательно должна существовать и функция F3:
Ръ(Ри vu Рз, Оз)8»0, (г)
ибо, если установилось равновесие между системами 2 и 1, и
одновременно между системами 2 и <?, то и системы 1 и 3 должны
находиться в этом случае в равновесии (транзитивность
термического равновесия). Это утверждение, которое здесь является
ключевым, требует, чтобы функции F3 и ф были идентичными, т. е.
при преобразовании fi и f'y в зависимость (в) удельный объем v2
должен сократиться. Тогда имеем
МРь од)-Гі(р8, о8).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что
/l(Pb Oi)=Fi(p2l 02) И Гі(Рз, f3)=/'l (Р2, Оя)
или, что то же самое, f
Составную систему можно расширить, добавив системы 4, 5
и т. д., тогда получим цепочку равенств
/і (Pi, »і) =Гі (Ра, Ъ) =f'і (Рз, оз) =Гі (Р4, о4) = ...
Необходимо отметить, что функции fi, f'i, f'i, /"Vh т. д. в
рассматриваемом частном случае одинаковы, поскольку в каждой из
оболочек находится один и тот же реальный газ, а конфигурация
оболочки и ее объем не оказывают влияния на р и v.
Ясно, однако, что состояние равновесия будет наступать
и в том случае, если в оболочках будут различные газы, тогда
указанные функции будут различными, но принимающими одно
и то же значение в состоянии равновесия.
То значение, которое принимают функции /ь /'i, f"b ... в
состоянии равновесия, и есть температура. Но как узнать это зиаче-
37

ниє? Ведь в опыте нам известны 'только рь Vu р2>- 02 и т. д. Ответ
прост: любая из этих величин может служить индикатором
температуры. Поместим составную систему ' /—2—3—4—5... в
термостат с хающим льдом; после установления равновесия будем иметь
характерный для тающего льда набор давлений рь~р2» р8 и т. д.
Отметим на каждом манометре полученное давление и назовем
эту отметку О °С. Аналогично можно получить вторую отметку
(вторую реперную точку) на всех манометрах, поместив
составную систему в термостат с кипящей водой; эту отметку назовем
100 °С. Разделив шкалу каждого манометра между отметками на
100 равных частей, получим для каждого элемента составной
системы (т. е. тел /, 2, 3 и т. д.) свою эмпирическую шкалу
температуры. Каждое тело может служить термометром, однако если
в оболочках находятся различные газы, то и эмпирические шкалы
температур, как правило, будут различными. Это означает, что
если изготовленные указанным выше способом термометры
использовать для измерения температуры внутри интервала * между 0
и 100 °С, то показания их будут различны: давление реального
газа возрастает по нелинейному закону, характерному для
каждого газа.
Можно уменьшить массу газа в каждой оболочке,
приблизившись тем самым к состоянию идеального газа. В пределе при
и-»-оо становится справедливым уравнение Клапейрона pv=RT
и давление в системе линейно зависит от температуры. В этом
случае имеем идеально-газовую шкалу температур. Эта шкала
температур воспроизводится с определенной погрешностью при
использовании достаточно разреженного газа, при этом индикатором
температуры обычно служит давление.
Реальное использование газового термометра в области
высоких и низких температур для установления универсальной
идеально-газовой шкалы невозможно: при высоких температурах
происходит диссоциация молекул, а затем — ионизация атомов,
уравнение Клапейрона становится несправедливым; при низких
температурах происходит конденсация.
Подлинной универсальностью обладает абсолютная
термодинамическая шкала температур, построенная на основе второго закона
термодинамики.
ГЛАВА 3. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 7. Основные положения
второго закона
Первый закон термодинамики предполагает
эквивалентность различных форм энергии: например, энергия
в форме теплоты, выделившаяся в результате
химической реакции или при высвобождении внутриядерной
энергии может быть превращена в энергию в форме
механической работы, а последняя — в электрическую
энергию (универсальная, наиболее удобная форма
энергии). Очевидно, при этом неизбежны некоторые потери
(теплота от горячих трубопроводов в окружающую

ду, трение в подшипниках, джоулеоо тепло в
электрически^ проводниках и т. п.), которые можно свести к
технически реальному минимуму, совершенствуя отдельные
узлы и агрегаты в системе преобразования энергии.
Однако известно, что КПД крупных срвременных тепловых
электростанций с весьма совершенным оборудованием
составляет примерно 40 %, т. е. более половины энергии
в форме теплоты не преобразуется в электрическую
энергию. Разумеется, такую потерю нельзя объяснить
указанными выше причинами.
Объяснение дает второй закон термодинамики, одна
из формулировок которого гласит: невозможно
построить периодически действующую машину, единственным
результатом работы которой было бы поднятие груза за
счет охлаждения теплового резервуара (М. Планк) *.
Следовательно, должны быть и другие «результаты» дей-^
ствия такой тепловой машины (потребляющей энергию
в форме теплоты и отдающей ее в форме механической
работы). И действительно, тепловая машина (паровая
турбина электростанции, поршневой двигатель
внутреннего сгорания автомобиля или трактора, газотурбинный
двигатель самолета и т. д.), получив теплоту в
количестве Qi, превращает часть ее в работу L, а оставшуюся
часть Q2=Qi—L отдает в окружающую среду. Именно
этот «результат» работы теплового двигателя — отдача
(?2 в окружающую среду — и является главной
причиной снижения его КПД. Если бы не это обстоятельство,
человечество получило бы в свое распоряжение
двигатель, способный превратить в работу, например,
внутреннюю энергию мирового океана; такой двигатель, пре-
* М. Планк дал эту формулировку в своем курсе
термодинамики, первое издание которого вышло в 1897 г.; всего в Германии
было 10 изданий, из них на русский язык переведено три: 1898,
1900 и 1925 года изданий. Близкую по смыслу формулировку дал
ранее A851 г.) В. Томсон (лорд Кельвин) — один из создателей
второго закона термодинамики. Вторым считают Р. Клаузиуса
A850 г.). Однако В. Томсон и Р. Клаузиус развили и обобщили
идеи С.ч Карно, изложенные им в его знаменитом сочинении
«Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных
развивать эту силу» A824 г.). С. Карно считал, что тепловая машина не
поглощает тепло, превращая его в работу, а передает его
холодному телу, подобно тому, как вода, падая из верхнего резервуара
в нижний, совершает на своем пути работу. Это и есть основная
идея второго закона. .
' 39

вращающий всю полученную теплоту Q\ в работу,
чил наименование вечного двигателя второго рода *.
Интересно отметить, что вечный двигатель второго
рода одноразового действия не запрещается вторым
законом. Подведем теплоту к газу в цилиндре с
неподвижно закрепленным поршнем, приращение внутренней
энергии газа равно подведенной теплоте, поскольку работа
не совершается (поршень неподвижен, du=0).
Поместим после этого цилиндр в адиабатную оболочку и
дадим газу расшириться: совершенная работа будет
равна Ди, ибо теплообмена в процессе расширения нет»
Если газ идеальный, то его температура в конце
расширения будет равна температуре перед подводом теплоты,
однако объем будет больше и повторение описанной
операции (периодически действующая машина)
невозможно.
Система, реализующая тепловой двигатель (рис. 3.1),
включает три элемента: горячий источник (теплоотдат-
чик) с температурой Гь отдающий теплоту qu рабочее
тело РТ (обычно газ), воспринимающее энергию в
форме теплоты и отдающее ее во внешнюю среду в форме
работы; холодный источник (теплоприемник) с
температурой 72, воспринимающий часть теплоты <7г> которая
не была преобразована в работу. Преобразование
теплоты в работу осуществляется рабочим телом в
круговом термодинамическом процессе изменения его
состояния (цикле). Совершаемая рабочим телом работа
расширения (положительная) должна быть больше работы
сжатия (отрицательной), их разность представляет
собой работу цикла 1Ц\ таким образом, цикл теплового
двигателя осуществляется по часовой стрелке.
Проведем анализ термодинамического цикла
теплового двигателя на основе первого закона. С этой целью
разобьем весь круговой процесс на бесконечно короткие
элементарные процессы, что можно сделать с помощью
координатной сетки (рис. 3.2). Криволинейный
непрерывный цикл можно приближенно заменить замкнутой
ломаной линией, составленной из горизонтальных
(изобар) и вертикальных (изохор) отрезков. При подсчете
работы, произведенной за цикл, встречаются отрезки
четырех видов, поскольку необходимо учитывать
направление процесса (см. рис. 3.2); элементарная работа А/г
* Вечный двигатель первого рода запрещен первым законом
термодинамики (см. гл. 2).
40

Рис. 3.1
ttl
ле;
°_J
ле,-о
Рис. 3.2
•
/
V-
4
г
=^=
4 r
а
b
1 ' P"*
Щ
с
/
г

на отрезках может быть положительной, отрицательной
или равной нулю. Положительная работа,
произведенная рабочим телом за цикл, равна
р
^ /+ - lim 2
n-*°° 1 = 1
где А//" — элементарная работа на отрезках изобар с увеличением
объема (работа на остальных отрезках в сумму не включается).
Отрицательная работа, произведенная рабочим
телом за цикл, равна
Р
2*1
Г"— lim 2 Г
2*1
где alf — элементарная работа на остальных отрезках изобар.
Результирующая работа, произведенная рабочим
телом за цикл и называемая работой цикла, равна
, C.1)
J
где прямые скобки есть знак модуля.
Аналогичным способом может быть подсчитана и
теплота. Знаки элементарной теплоты указаны для
четырех видов отрезков на рис. 3.2; при этом очевидно,
что если при постоянном давлении увеличивается объем
или при постоянном объеме увеличивается давление, то
причиной этого является подвод теплоты и Д^г=А9/
Теплота, полученная рабочим телом за цикл, равна
1=п
?+= lim 2A?/+-
Теплота, отданная рабочим телом за цикл, равна
q~ « lim 2 А?Г • ' *
я-*ввІ=і
Результирующая теплота за цикл, называемая
теплотой цикла, равна
. C.2)

Обращает на себя внимание то, что подсчет теплоты
цикла гораздо сложнее, чем подсчет работы цикла. Это
происходит потому, что идущие один за другим
элементарные процессы при обходе цикла могут иметь
чередующиеся знаки теплоты (например, на участке а2).
При этом нарушается связная последовательность Aqi
одного знака при суммировании и предел такой суммы
как будто не имеет смысла интеграла вдоль кривой
термодинамического процесса. Однако интеграл по всему
контуру цикла как предел алгебраической суммы
элементарных теплот существует:
lim 2 bQi - <(> ** - *++I f" I - 0д-' C.3)
Из сказанного следует, что р—u-диаграмма
неудобна для подсчета теплоты. Например, можно видеть, что
работа /+ есть площадь под отрезком цикла /а2, в то
время как для теплоты q+ аналогичного непрерывного
отрезка прямо указать нельзя, ибо отдельные части q+
согласно построению ломаной могут не находиться в
соседних точках.
Согласно первому закону термодинамики работа
цикла равна теплоте цикла:
/ц=<7ц, C.4)
что следует как из смысла этих величин, -так и
формально из уравнения первого закона для цикла:
ф dq — ф da -f ф dl,
поскольку (j) du=0, ибо и — термодинамический
параметр.
Работа цикла равна также полезной работе,
совершенной рабочим телом за цикл:
/ц = /п.ц, C.5)
так как эти работы определяются интегралами
выражающими одну и ту же площадь на р—u-диаграм-
ме: площадь, ограниченную линией цикла.
Термодинамическое совершенство теплового двигате-
43

М оценивается значением термического КПД, который
равен отношению работы цикла к подведенной теплоте:
Для подводимой и отводимой теплот обычно
принимают следующие обозначения:
тогда для термического КПД имеем
Ч Яг Яг Яг Яг' К°'°}
Другая широко известная формулировка второго
закона термодинамики звучит так: теплота не может
самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к
более нагретому (Р. Клаузиус, 1850 г.). Несмотря на
внешнее различие формулировок Томсона — Планка и
Клаузиуса, они эквивалентны. Эквивалентность
формулировок означает, что каждая из них является
следствием другой; эквивдлентность можно доказать и другим
путем: при нарушении одной формулировки должна
нарушаться и другая (и наоборот). Воспользуемся вторым
способом. Пусть имеется тепловой двигатель,
отбирающий <7i = 100 кДж/кг от горячего источника,
превращающий /ц=40 кДж/кг в работу и отдающий q2—
=60 кДж/кг холодному источнику. Нарушим
формулировку Клаузиуса, передав 60 кДж/кг от холодного
источника к горячему самопроизвольно (без помощи из
окружающей среды). После такой передачи
оказывается, что горячий источник отдал 100—60=40 кДж/кг,
которые тепловой двигатель полностью превратил в
работу. Это — нарушение формулировки Томсона — Планка.
Легко показать также, что при нарушении
формулировки о принципе устройства теплового двигателя
нарушается и формулировка о направлении
самопроизвольного теплового потока.
Несамопроизвольный переход теплоты от холодного
тела к горячему, конечно, возможен; для этого
необходимо лишь осуществить компенсацию. Таковая, например,
может выразиться в совершении работы посторонним
источником из окружающей среды. Для этого нужно
обратить тепловой двигатель, заставить его не
производить работу, а потреблять ее. Рабочее тело должно со-
44

РТ
Рис. 3.3
вершать цикл, в котором отрицательная работа по
модулю больше положительной:
Такой круговой процесс идет против часовой стрелки
(рис. 3.3); по обратному циклу работают холодильные
машины. Первый закон, разумеется, выполняется и
здесь: от охлаждаемого тела отбирается теплота #2»
складывается с работой цикла и отдается горячему
источнику (например, окружающей среде):
Термодинамическое совершенство холодильной машины
определяется малостью затраченной работы по
сравнению с переносимой теплотой (подробнее см. гл. 9).
Рассматривая различные самопроизвольные
процессы в природе и технических устройствах, можно
установить одну их общую черту: эти процессы
характеризуются определенной направленностью. Так, теплота
распространяется в направлении убывания температуры,
вещество в неподвижной среде распространяется в
направлении убывания концентрации, газ расширяется
в направлении убывания давления, движение
электрического тока происходит в направлении убывания
потенциала и т. п. Направленность самопроизвольных
процессов не является, конечно, буквально геометрической;
речь идет о направлении в широком смысле этого
слова. Например, работа, затрачиваемая на перемещение
вязкой жидкосіи, совершается, в частности, и против сил
трения. Эта часть работы переходит р теплоту, такое на-
- ' ." • . 45

правление перехода является самопроизвольным. В
опытах Джоуля по определению эквивалентности теплоты
и работы перемешивание воды осуществлялось
мешалкой, выделявшаяся теплота трения затрачивалась на
увеличение внутренней энергии воды. Однако
осуществить процесс самопроизвольного вращения мешалки за
счет использования внутренней энергии воды,
разумеется, невозможно. Таким образом, для процессов можно
указать прямое и обратное направления. Прямым
считается направление естественного хода
самопроизвольного процесса. Обратное направление всегда можно
реализовать, вводя некоторый дополнительный
компенсационный процесс, как в приведенном выше примере
с холодильной машиной.
Большое значение в термодинамике имеет понятие
обратимого термодинамического процесса: после такого
процесса термодинамическая система и окружающая
среда могут возвратиться в начальное состояние.
Возвращение в начальное состояние окружающей среды
означает, что для осуществления обратного процесса
не понадобилась компенсация. Более детально
обратимый процесс можно представить себе следующим
образом: а) система должна пройти в прямом и обратном
направлениях через одни и те же состояния; б) после
прямого и обратного процессов ни в системе, ни в
окружающей среде не должно быть остаточных изменений.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется,
процесс является необратимым.
Равновесный (квазистатический) процесс является
процессом обратимым. По определению равновесный
процесс представляет собой последовательность
равновесных (статических) состояний, в которых
соблюдается механическое (поле давлений однородно) и
термическое (поле температур однородно) равновесие. Переход
от одного состояния к другому неминуемо связан с
нарушением равновесия: движение поршня нарушает
однородное поле давлений, так как при сжатии газа у
поверхности поршня возникает область повышенного
давления: подвод теплоты вызывает нарушение
однородного поля температуры, так как в месте подвода
температура возрастает. В практическом смысле процесс
можно считать равновесным тогда, когда до начала
следующего перехода (элементарное перемещение поршня или
подвод элементарного количества теплоты) возмущения,
46

вызванные предыдущим переходом, успевают «рассо-_
саться» Силовые или термические воздействия внешней
среды должны быть достаточно малыми, а паузы
между ними — достаточно длительными. Процесс
представляется только равновесными состояниями,
неравновесные паузы можно не принимать во внимание. Но именно
эти неравновесные паузы и являются причиной
различия между прямым и обратным процессами: при сжатии
давление у поршня . повышается, а при расширении —
понижается; при подводе теплоты возникает область
повышенной температуры, а при отводе — пониженной.
Сами фиксированные равновесные состояния идентичны
для прямого и обратного процессов, следовательно,
если процесс можно трактовать как последовательность
состояний (т. е. как равновесный процесс), то он
одновременно является и обратимым процессом.
Реально вопрос о равновесности и обратимости
процесса решают путем сравнения скорости
распространения возмущений в термодинамической системе
со.скоростью изменения ее состояния. Например, сравнивают
скорость движения поршня, сжимающего газ, со
скоростью распространения малых возмущений в газе,
равной, как известно, скорости звука; чем меньше первая
скорость по сравнению со второй, тем ближе' процесс
сжатия к равновесному, обратимому.
Таким образом, идеально равновесным и обратимым
можно считать бесконечно медленный процесс. Если
говорить о процессе расширения или сжатия без
теплообмена (цилиндр с поршнем в адиабатной оболочке),
когда работа производится за счет внутренней энергии, то
при необратимом (быстром) изменении объема часть
внутренней энергии уйдет на работу против сил трения
в газе (завихрения) и внешняя работа поршня будет
меньше при расширении и больше при сжатии. Этот
эффект называют внутренней необратимостью или
диссипацией (рассеянием) энергии. Он обладает четко
выраженной направленностью: та часть механической
работы, которая совершается против сил трения,
переходит в теплоту, обратный самопроизвольный процесс
невозможен. Если бы не было внутреннего трения в
газе, не было бы и диссипации *.
* Любая механическая система (например, механизм, машина)
при отсутствии трения обратима. Существование трения приводит
К больше^ затрате работы и в прямом, и в обратном процессах.
' 41

Второй вид необратимости — внешняя необрити*
~мость— связан с подводом или отводом теплоты.
Обратимый (бесконечно медленный) подвод теплоты
возможен, если разность температур источника теплоты и
получающей теплоту термодинамической системы
стремится к нулю. Если же эта разность температур имеет
конечное значение, то процесс необратим, при этом
степень необратимости тем больше, чем больше разность
температур. В то время как внутренняя необратимость
приводит к простым «вредным» последствиям в виде
уменьшения работы, внешняя необратимость, связанная
с передачей энергии в форме теплоты, имеет более
сложную природу обусловленную самой сутью второго
закона термодинамики. Смысл и последствия
необратимости при передаче теплоты будут более подробно
рассмотрены в последующем (см. § 10).
Приведенные ранее две формулировки второго
закона термодинамики самым тесным образом связаны с
понятием необратимости. Действительно, формулировка
Томсона — Планка накладывает запрет на двигатель,
который полностью превращает в работу теплоту,
взятую от горячего источника. Нарушение такого запрета
равносильно существованию обратного процесса для
самопроизвольного прямого процесса превращения работы
в теплоту, т. е. обратимости последнего процесса.
Формулировка Клаузиуса накладывает запрет на обратный
процесс переноса теплоты, т. е. на обратимость
обычного прямого переноса теплоты — самопроизвольного
процесса. Таким образом, обе формулировки
запрещают обратимость для самопроизвольного процесса.
М. Планку принадлежит следующее высказывание:
«...при необратимых процессах конечное состояние, в
известном смысле, выделено по отношению к начальному
состоянию; природа, так сказать, отдает ему большее
«предпочтение».
Все реальные процессы протекают с конечными
скоростями, они сопровождаются трением и теплообменом
при конечной разности температур. Обобщение опыта
практической деятельности человека приводит к
заключению: любой реальный самопроизвольный процесс
макроскопического масштаба необратим. Такова третья
формулировка второго закона термодинамики, которую
считают наиболее общей.
Физическая природа необратимости, ее механизм up-
48

гут быть раскрыты, однако для этого необходимо выйти
за рдмки классической термодинамики и обратиться
к статистическим методам. ч
§ 8. Цикл Карно
Проходящий по часовой стрелке цикл произвольной
формы можно использовать для преобразования
теплоты в работу, при этом термодинамическое совершенство
такого преобразования оценивается по значению
термического КПД. Для осуществления замкнутого цикла
обязательны расширение и сжатие рабочего тела; если
эти процессы обратимы, то, благодаря отсутствию
потерь на трение, работа цикла будет максимальной.
Кроме расширения и сжатия, необходимо осуществлять
подвод теплоты к рабочему телу от горячего источника
и ютвод ее к холодному источнику; обратимость этих
процессов также способствует увеличению КПД, хотя
это пока и не очевидно. Стремление найти наилучшие
условия работы теплового двигателя привели С. Карно
к созданию эталонного цикла (рис. 3.4), носящего его
имя *.
Пусть имеется горячий источник с температурой Ти
которая не уменьшается, несмотря на отбор теплоты
для многократно повторяющихся циклов. Приведем
рабочее тело (газ в цилиндре с поршнем) в термический
контакт с горячим источником, через некоторое время
газ пример температуру Т\ и можно начать первый
процесс ab цикла: обратимый подвод теплоты к рабочему
телу. Сдвинем поршень на небольшое расстояние, дав
газу немного расшириться и понизить свою температуру
до значения Т\—dT. Под действием малой разности
температур к газу от горячего источника будет подведена
теплота dqx и его температура снова возрастет до Т\.
Возобновляя движение поршня малыми и.редкими
толчками, можно (в пределе) получить обратимый процесс
ab подвода теплоты к рабочему телу при температуре
Т{ (точнее — при температуре рабочего тела,
бесконечно близкой к температуре горячего источника Т\).
Окончание процесса подвода теплоты (значение объема ьь
* С. Карно интересовали машины, которые использовались в его
время для откачивания воды из угольных шахт. Желательно было,
чтобы такая машина потребляла меньше угля, чем его добывали из
шахты,
49

на рис. 3.4) определяется ходом поршня, т. е.
конструкцией данного теплового двигателя. При расширении газ
совершает работу -
ь
lab - I Pav
и получает теплоту
в Чаь :
После подвода теплоты q\ рабочее тело необходимо
обратимым способом перевести на температурный
уровень холодного источника T2<Ti с тем, чтобы отдать
ему теплоту q2. Переход be совершается без
теплообмена, по двум причинам: во-первых, имеется только два
температурных уровня (источника), на которых по
условию должен осуществляться обратимый теплообмен;
и, во-вторых, для предотвращения отвода теплоты и
получения большего количества работы за счет
уменьшения внутренней энергии. Таким образом, процесс be есть
процесс обратимого адиабатного расширения (без
трения), сопровождающийся охлаждением рабочего тела.
Охлаждение означает, что линия процесса be идет
круче линии ab и направлена в область более низких
температур. Вообще линия ab (изотерма) определена, если
известно уравнение состояния рабочего тела F(pyv, Г) =
=0; в этом случае уравнение изотермы ab имеет вид:
pz=p(v, Т\). Что касается адиабаты be, то ее уравнение
в р — и-диаграмме может
быть определено на
основе первого закона при
dq=0 и калорического
уравнения состояния
рабочего тела.
В точке с рабочее
тело имеет температуру 7V
Для отвода теплоты при
•const этой температуре
рабочее тело необходимо не-
— много сжать, тогда его
v* Vc v температура повысится
Рис. 3,4 до Tz+dT и теплота dq%
50
const

перейдет к холодному источнику, а температура
рабочего тела снизится до температуры холодного источника
Г2. Такой обратимый процесс изотермического отвода
теплоты продолжается до точки d, при этом значение
объема va определяется конструкцией двигателя.
Последний процесс, замыкающий цикл Карно,— обратимое
адиабатное сжатие рабочего тела da, в ходе которого
его температура повышается до Т\.
Таким образом, цикл Карно состоит из четырех
обратимых процессов, выбор которых, основанный на
приведенных выше рассуждениях, сделан рационально.
Окончательное суждение о термодинамическом совершенстве
цикла можно сделать на основе расчета его
термического КПД, определяемого формулой
ri*=l—ЯіІЙи C.7)
которая в данном случае предпочтительнее остальных
из-за меньшего объема расчетов (<7bC=<7da=O).
В качестве рабочего тела будем использовать
идеальный газ. Это упрощает формулы и, как будет
показано далее, не уменьшает общности результатов. Тер*
мическое уравнение состояния идеального газа имеет
вид: pv=RT, калорическое уравнение: u=cvT.
Подведенная вдоль изотермы ab теплота равна:
ь ь ь *ь
(du + pdv) - 1 pdv - j -~
а а г/л
qt~RTt\n^-, C.8)
поскольку du=cvdT=Q, ибо интегрирование ведется
при условии 71=const=r1.
Аналогичным образом определяется отведенная вдоль
изотермы cd теплота:
d | С СС
[ [[^ dv\
x і і
q*~ JRT* In^. C.9)
Покажем, что отношения объемов в формулах C.8)
и C.9) равны между собой:.
ИЛИ VbfVc l
fei

Каждая пара объемов, образующих отношение во
второй формуле, лежит на адиабате (d<7=0) и по
первому закону
Разделим первый член на RT, а второй —на pv:
dT_ dv
— *v т - v •
От обеих частей этого уравнения возьмем интегралы
вдоль каждой адиабаты:
fvc Td vd
dT__ Cdv_ f ?EL f ^L
T " J v '> ~C« J T ~] v •
тогда получим
что и доказывает равенство отношений объемов в
формулах C.8) и C.9).
Подставив выражения для qx и q2 в формулу C.7),
получим следующую зависимость для термического КПД
обратимого цикла Карно:
C.10)
По смыслу представленного вывода ясно, что
величина ть не зависит от свойств конкретного идеального
газа (R, cv), поскольку они не учтены в выражении
C.10). В действительности справедливо еще более
общее положение, известное как теорема Карно:
термический КПД обратимого цикла Карно определяется
только температурами Тх и Т2 и не зависит от природы
рабочего тела и устройства двигателя.
Предположим обратное. Пусть имеется другая
обратимая машина Карно, работающая в том же интервале
температур, но с другим рабочим телом (реальный газ
с уравнением состояния F(p, v, Г)=0) или другим
численным значением отношения Vbfva и по этой причине
с другим термическим коэффициентом полезного
действия tj'o. Поскольку обе машины — с идеальным газом и
с произвольным рабочим телом — обратимы, то любая
из них может работать как в прямом направлении
(тепловой двигатель), так и в обратном (холодильная
машина). При работе машин в различных направлениях
52 /

(рис. 3.5) вся система
(источник с температурой Tu
источник с температурой Т2
и обе машины) производит
работу |/ц—/'ц{ за счет
теплоты |<7i—<7'i| одного
горячего источника, что
противоречит второму закону
термодинамики в
формулировке Томсона — Планка.
Следовательно, предположение
неверно и г)О=г)'о. Знак
модуля для работы |/ц-—/'ц| и
теплоты |<7i—q'i\ учитывает
оба возможных случая:
гіо>т]'о и
г,
Яг
Рис. 3.5
Конечно, две рассматриваемые машины Карно
могут быть настолько различными, что ц2фцг2. В этом
случае сравнение необходимо производить'не для одного
цикла, а для одинакового количества теплоты Q2,
которое первая машина «нарабатывает» за m циклов, а
вторая—за т' циклов. Если, например, <72/<7'2=0,12345, то
т'= 12 345, а т= 100 000.
Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат
(см. рис. 3.4). Однако при доказательстве теоремы
Карно используется лишь факт наличия изотерм, связанных
с горячим и холодным источниками теплоты. Процессы
be и da, вообще говоря, не обязательно должны быть
адиабатными. Можно, например, отобрать часть
теплоты в процессе расширения Ьсу это позволяет уменьшить
максимальный объем цикла ис. Отобранную теплоту
можно подвести к рабочему телу в процессе сжатия da,
уменьшив т^м самым количество затрачиваемой на ежд-
тие работы. Такое внутреннее перераспределение
теплоты в цикле, не затрагивающее внешние источники,
называют регенерацией, а сам цикл — регенеративным.
Если неадиабатные процессы be и da обратимы, то
термический КПД регенеративного цикла равен КПД
цикла Карно и определяется по формуле (ЗЛО). Поэтому
теорему Карно формулируют и так: любой обратимый
тепловой двигатель, работающий с источниками
теплоты, имеющими температуры Тх и Т2у обладает
термическим КПД г)<)=1-(Г2/Г1).
Как уже отмечалось, цикл Карно появился как ре-
53

зультат поисков принципа действия наиболее
совершенного теплового двигателя. Одйако значение цикла
Карно значительно шире. Приведенные формулировки втог
рого закона термодинамики имеют сугубо качественный
характер и формула для т]о является первой
количественной зависимостью, связанной со вторым законом;
наиболее естественно сравнение формулы tjo=1—Т21Т\
с формулировкой Томсона — Планка: при T2—Ti имеем
T)g=o, что означает невозможность получения работы
от одного теплового источника; при Т2-+0 или /i--^oo
имеем Г1о=1, что означает полное превращение теплоты
в работу и также невозможно *. Последовательное
разбитие идей С. Карно в нанравлении количественного
описания второго закона позволило Р. Клаузиусу ввести
новую функцию состояния — энтропию и дать уравнение
второго закона термодинамики.
§ 9. Энтропия
Ранее указывались два случая необратимости:
трение при адиабатном расширении или сжатии и
теплообмен при конечной разности температур. Исключение этих
двух случаев необратимости позволяет получить
обратимый цикл Карно. Вообще, обратимый цикл — это цикл,
составленный из обратимых процессов. Любой
обратимый цикл можно заменить совокупностью элементарных
циклов Карно; для этого используется сетка изотерм
и адиабат.
Использовавшаяся ранее координатная сетка на
р—и-диаграмме удобна для подсчета работы (см.
рис. 3.2). Этот подсчет для цикла может быть
произведён двумя способами. Один из них представлен
формулой C.1) и состоит в суммировании элементарных работ
вдоль ломаной, приближенно представляющей кривую
цикла; удобство подсчета состоит в том, что на каждом
вертикальном отрезке ломаной (элементарной изохоре)
работа равна нулю. При бесконечном сгущении. сетки
работа цикла выражается криволинейным интегралом
вдоль цикла: /ц—(р dl. Второй способ подсчета
работы состоит в том, что интегрирование вдоль кривой
заменяют интегрированием - по площади. Термодинамиче-
* Случай Т2=*0 запрещен третьим законом термодинамики:
абсолютный нуль недостижим путем отвода теплоты; случай 7у->оо
йойросту нереален.
54 ч

Рис. 3.6
ский смысл последней операции состоит в замене
исследуемого цикла множеством элементарных циклов,
каждый из которых представляет собой просто клетку
координатной сетки со сторонами dp и dv.
Представленная на рис. 3.6 сетка адиабат и изотерм
удобна для подсчета теплоты. Действительно, кривую
цикла 1а2Ь можно приближенно заменить ломаной,
составленной из отрезков элементарных изотерм и
адиабат. При суммировании элементарных количеств
теплоты вдоль такой ломаной на всех элементарных
адиабатах эти количества теплоты равны нулю. Можно
использовать и второй способ: находить теплоту цикла
интегрированием по площади. Термодинамический смысл
такого интегрирования состоит в том, что
рассматриваемый цикл заменяется совокупностью элементарных
циклов Карно, представляющих собой клетки нанесенной
на плоскость сетки изотерм и адиабат. Три таких
клетки в увеличенном виде представлены на рис, 3.6. Легко
показать, что сумма теплоты трех элементарных циклов
а, Ъ и с равна теплоте окаймляющего цикла,
показанного пунктирной линией. Действительно, поскольку
то, суммируя три приведенных равенства, имеем
C.11)
Такой результат получается при разбиении любого
произвольного обратимого цикла на элементарные
циклы Карно, так как элементарные количества теплоты
на смежных изотермах (например, А^2а и А^іь) равны
по модулю и имеют противоположные знаки. Таким об-
55

разом, суммирование элементарных количеств теплоты
по изотермам окаймляющей ломаной (интегрирование
по контуру) и суммирование теплоты элементарных
циклов Карно (интегрирование по площади)
эквивалентны для произвольного обратимого цикла.
Координатная сетка р — u-диаграммы равномерна,
это значит, что 1 см2 на этой диаграмме соответствует
определенная работа Д/ц, кДж/кг, зависящая от
масштабов на оси давлений и на оси удельных объемов.
Можно ли сделать сетку изотерм и адиабат
равномерной? Как построить такую равномерную сетку в
окрестности точки А (см. рис. 3.6)? Ясно, что соседние
изотермы должны отличаться на одинаковое приращение
температуры AT. Равномерное распределение адиабат
можно установить из условия одинаковости теплоты
всех элементарных циклов Карно: Д^Ц|О=Д^ц>ь=
=Д<7ц|С=Д<7ц. В этом случае количества подводимой
теплоты для окаймляющего цикла (пунктирная линия
на рис. 3.6) равны:
Д?ц- ГЬДГ д aqn к Т
а ч количества отводимой теплоты определяются
выражением
ибо тіо,ь=т|о,с. Если просуммировать все элементарные
количества теплоты в соответствии с правой частью
уравнения C.11), то получим, как и следовало
ожидать, ЗД<?ц.
Если для элементарного цикла Карно известна
подводимая теплота, то по формуле C.8) можно
определить соотношение между значениями удельного объема
для крайних точек изотерм подвода теплоты;
аналогично по формуле C.9) определяется это соотношение для
крайних точек изотермы отвода. Возьмем, например,
изотерму со значением температуры Т (см. рис. 3.6),
для нее по формуле C.8) имеем:
Atfift- RT\n-^j -PT(\nvA — \n'vA,); Aaqlc~RT (in vAl,—\nvA).
Таким образом, точки пересечения адиабат с
изотермой Т расположены относительно точки А так, что
приращения натурального логарифма удельного б
56

одинаковы. Для построения равномерной сетки изотерм
и адиабат на р— и-диаграмме необходимо,
следовательно, вначале построить семейство изотерм,
отличающихся на одинаковое приращение температуры
(например, на 1°С). На каждой изотерме затем отмечаются
точки, расположенные через один и тот же интервал
изменения логарифма удельного объема Д(Ina). Через
полученные точки проводятся адиабаты. Каждая клетка
такой равномерной сетки есть элементарный цикл
Карно с теплотой
==А^1-.Aq2=RTA(\n і/)—#(Г—ДГ)ДAп v) =
=WA(lni/), C.12)
которая, как следует из формулы C.12), не зависит от
положения клетки на диаграмме.
Все эти довольно громоздкие операции, связанные с
построением равномерной сетки изотерм и адиабат на
р — и-диаграмме, приводят к неожиданно скромному
практическому результату. Во-первых, теплоту
произвольного обратимого цикла можно подсчитать только в
том случае, если рабочим телом является идеальный
газ, так как формулы C.8) и C.9) справедливы только
в этом случае. Во-вторых, остается открытым вопрос
о нахождении теплоты разомкнутого процесса (не
цикла).
Все сказанное выше, однако, наводит на мысль
решить проблему прямым путем: ввести наряду с p — v-
диаграммой новую систему координат, в которой сетка
изотерм и адиабат является обычной прямоугольной
координатной сеткой. Малый параллелограмм
элементарного цикла Карно нар — ^-диаграмме в новой
системе координат превратится в прямоугольник, а при
надлежащем выборе масштабов осей — в квадрат, т. е. в
элемент площади, выражающей теплоту. Разумеется,
новая система координат должна давать такие же
возможности для расчета теплоты замкнутого или
разомкнутого процесса, как и р — ^-диаграмма для расчета
работы в этих случаях. Это предполагает, что в новой
системе координат можно построить линию процесса —
совокупность точек, каждая из которых соответствует
определенному термодинамическому состоянию.
Для введения новой системы координат необходимо
знать величины, откладываемые по каждой оси.
Относительно температуры имеется следующая информация:
температура существует (нулевое начало термодинами-
. . 57

ки, см. пример 2.J), в определенном смысле
универсальной является шкала газового термометра, в качестве
единицы измерения можно принять 1 К=1 °С; неясно
пока только положение нуля, но можно принять в
качестве нуля точку, получаемую экстраполяцией
показаний термометра с идеальным газом в область низких
температур, хотя такая экстраполяция (т.е. расширение
действия определенной закономерности за пределы
эксперимента, из которого получена эта закономерность)
не имеет обоснования.
Что же касается второй величины для новой
системы координат, то относительно нее ничего не известно
(если не считать рассмотренной выше се^ки изотерм и
адиабат для идеального газа). Понятно, что эта
величина должна принимать определенное значение для
каждой адиабаты как температура-^-для изотермы,
давление — для изобары, объем—для изохоры.
Существует ли такая величина? Если да, то является ли она
термодинамическим параметром, чтобы вместе с
температурой определять термодинамическое состояние
в новой системе координат? Как вычислить или
измерить эту величину? Второй закон термодинамики дает
возможность получить положительный ответ на все эти
вопросы *.
Для обратимого цикла Карно справедливы
следующие соотношения (с учетом знака q2):
Яі = ЯцІЦо', . М =?1—?ц = 0цA/т|о—1).
Составим, следуя Р. Клаузиусу, отношение <7і/І92І:
і!_¦ і li.
1-Ъ ~ 1 —A—Л/Л) ~ 7V
или иначе:
При суммировании элементарных количеств
теплоты вдоль цикла следует учитывать знак теплоты; в пря-
* Вопрос о существовании термодинамического параметра,
принимающего определенное значение для каждой адиабаты, связан
с формулировкой второго закона термодинамики в виде принципа
адиабатической недостижимости (К. Каратеодори, 1909 г.). Идеи
.Каратеодори были развиты и уточнены Т. А. Афанасьевой-Эрен-
фест A928 г.). Еще ранее A900 г.) идеи, аналогичные
разработанным Каратеодори, были выдвинуты профессором Киевского
университета Н. Н. Шиллером. Более подробно данная проблема
рассматривается в примере 3.1.

мом цикле Карно теплота #2 имеет отрицательное
значение. С учетом этого получаем:
ЯііТі+^Ті^О. (ЗЛЗ>
В то время как алгебраическая сумма элементарных
количеств теплоты для цикла Карно равна теплоте
цикла, алгебраическая сумма элементарных количеств
приведенной теплоты (теплота, отнесенная к температуре
соответствующей изотермы) равна нулю. Поскольку
любой обратимый цикл эквивалентен совокупности
элементарных циклов Карно, соотношение C.13) можно
распространить на произвольный обратимый цикл.
Покроем обратимый цикл произвольной формы на
р — и-диаграмме сеткой адиабат и изотерм (см. рис.
3.6). Для элементарного цикла Карно имеем:
Если количество клеток, покрывающих
произвольный цикл, равно п, то справедливо и равенство:
С другой стороны, в сумме C.14) на всех смежных
(внутренних) изотермах, разделяющих два соседних
элементарных цикла, элементарные количества
приведенной теплоты будут взаимно уничтожаться как
равные по модулю, но противоположные по знакам;
останутся, следовательно, лишь элементарные количества
приведенной теплоты по внешней ломаной,
приближенно заменяющей линию цикла (они отмечены
индексом /):
I = п j=m
f
\ lt ,i ) j
i~\ j — 1
Совершая предельный переход путем сгущения
сетки, имеем
где интеграл- берется "вдоль кривой цикла.

Таким образом, интеграл Клаузиуса для
произвольного обратимого цикла равен нулю:
0. C.15)
Выражение C.15) означает, что стоящая под
интегралом величина dq/T представляет собой полный
дифференциал некоторой функции состояния
dq/T=ds. C.16)
Эта функция состояния s, кДж/(кг-К), названа
Клауз'иусом энтропией (в переводе с греческого —
эволюция, трансформация). Как и прочие функции
состояния, энтропия полностью определяется состоянием
термодинамической системы, а ее изменение не зависит от
процесса перехода системы из начального состояния
в конечное. Последнее утверждение прямо следует из
формулы C.15). Интеграл Клаузиуса можно
представить в виде суммы двух интегралов (см. рис. 3.6):
1а2
Поскольку
С dg Г dg
J т -"З і"
2Ы Ш
то имеем
1о2 1Ь2
т.е. приращение Asi-2 одинаково для любого пути
перехода.
При введении новой величины невольно возникают
два вопроса: во-первых, насколько эта величина важна
и необходима, какова ее практическая значимость; во-
вторых, как пользоваться этой величиной, как ее
рассчитывать. Отвечая на первый вопрос, отметим, что
энтропия— крайне важная в термодинамике величина,
позволяющая выраз.ить второй закон количественно.
Многочисленные примеры и иллюстрации этого
положения содержатся в последующих параграфах и главах.
60 ¦

Что касается второго вопроса, то рассмотрим его
подробнее.
Поскольку энтропия является параметром сдстоя-
ния, она может быть представлена как функция любых
двух других параметров:
s=*fi(v, Г); s=f2(p, Г); s=fz(pt v).
Дифференциал энтропии, как функции двух
переменных, определяется выражениями:
rdv' <ЗЛ7>
*« <ЗЛ8>
d'- (ЗЛ9)
С другой стороны, на основе первого закона и
определения энтропии по формуле C.16) имеем:
или с учетом выражения B.9) для дифференциала
внутренней энергии получим:
В примере 3.1 показано, что элемент р — u-диаграм-
мы dpdv имеет такую же площадь, что и элементарный
цикл Карно в интервале температур dT с изменением
объема dv в изотермическом процессе. На этом
основании устанавливается связь между калорическим
уравнением состояния u=u(v, T) и термическим
уравнением состояния F(p, u, 71)=0:
Подставляя выражение производной C.21) в
формулу C.20), получаем
ds-fydT +(jgr\dv. C.22)
Конечное приращение энтропии в произвольном
процессе изменения состояния вещества без фазовых прев-
61

ращений (кипение, конденсация) можно определить
путем интегрирования выражения C.22):
1
C'23)
Таким образом, для расчета приращения энтропии
необходимо иметь данные по изохорной теплоемкости
(cv — средняя в интервале от 7\ до Т2 изохорная
теплоемкость) и располагать термическим уравнением
состояния (или достаточно подробными таблицами
параметров р, и, Т данного вещества).
Сравнивая формулы C.22) и C.17), получаем
следующие выражения:
C.24)
(dsldv)T=*(dpldT)v, C.25)
которые имеют самостоятельное значение в
термодинамике, так как позволяют вместе с другими подобными
выражениями устанавливать связи между различными
термодинамическими свойствами вещества (подробнее
см. гл. 4).
На практике для расчета изменения энтропии
обычно используют соотношения, основанные на формуле
C.18). Если записать первый закон через энтальпию
dq=Tds=dh—vdp,
то с учетом выражения B.19) имеем:
ср 1 \(dh\ 1
dT + \[)\dp C.26)
— dT + —
Выражение для производной (dh/dp)T можно
получить из формулы C.21), если подставить в левую часть
u=h—pv. Тогда имеем:
\др)т \7h)r - v Шг ~р
или
62

Выражение C.27) можно упростить следующим
образом. На основе уравнения состояния вещества р==
=р(и, Т) имеем:
Формулу C.28) можно зацисать и в другом виде.
Пусть dp=0 (или p=const). Разделим выражение
C.28) на dT с учетом этого условия. Поскольку
отношение дифференциала удельного объема dv к
дифференциалу температуры dt при условии p=const есть
по смыслу частная производная (dv/dT)p, то получаем:
(др/дТ) v+ (др/dv) т (dv/dT) р=О
или
(dpldv)T(dvldT)p(dT/dp)v=—\. C.?9)
Обратим внимание на то, что соотношение C.29)
получено как следствие существования уравнения
состояния F(py_u, Г)=0. Не следует полагать, будто
выражение C.29) справедливо лишь при условии p=const;
это соотношение симметрично относительно всех трех
параметров и его можно получить также, исходя из
уравнения v=v(p, Т) или Т=Т(р, v). Разумеется*если
взять уравнения состояния в виде u=u(v, Т) или s=
=s(v, Г), то получатся соотношения типа C.29).
Совместное рассмотрение выражений C.29), C.27)
и C.26) дает:
(dhldp)T=v—T{dvIdT)p
и
ds= (cPIT)dT—(dv/dT)pdp. C.31)
Для конечного приращения энтропии имеем:
2 р,
С Т9 С fdv\
Asi_2 — St— st « | ^5 — Cp In jr — \ {lyFj dp. C.32)
і Pt
Аналогично выражениям C.24) и C.25) из
выражений C.31) и C.18) имеем:
C.33)
C.34)
Что касается формулы C.19), то производные
энтропии в ней также можно выразить через теплоемкости и
параметры р, и, Т. > ¦
\ .63

Расчет энтропии существенно упрощается, если речь
идет об идеальном газе. В этом случае производные в
формулах C.22) и C.31) определяют по уравнению
Клапейрона pv—RT и получают следующие
выражения:
dT dv ' dT dp
ds-cv-jr+ /?^-; C.35) ^«Ср-уг-— /?-y. C.36)
Используя уравнение Клапейрона в
дифференциальной форме
dplp+dvlo-dTf,
а также формулу Майера ср—cv±=R, можно получить
третье выражение для ds [аналог формулы C.19)]:
dv dp
ds **Cp — + Су — > C.37)
Конечное приращение энтропии в произвольном
процессе изменения состояния идеального газа может быть
найдено интегрированием выражений C.35) —C.37):
Т% v,
s9 ~- Si — cv 1п -уг- + R In —;
s9 — 5, — Cn In -яг- — R In -77 ;
y * 1 Pi
5,-5,« Ср\П -~- + Cv\n-^.
C.38)
Vt
Из формул C.35) — C.38) следует, что
существование энтропии для идеального газа можно доказать
весьма просто. Для этого нужно лишь непосредственной
проверкой убедиться в том, что величина
dq/T=(cvdT+pdv)/T
является полным дифференциалом *. Вводя
обозначения k=cp/cVy из формулы C.37) имеем:
/dp dv \
as -cv {-?•+ k—J=*cvd[In(pvk)\
или
S2—Si^=Cv(\Xl p2V*2— ІП P\Vk\).
* Бесконечно малая величина dz=P(x, y)dx+Q(x, y)dy
является полным дифференциалом при условии dP/dy=dQ/dxT так как
оно .выполняется при P=(dz/dx)y, Q=(dz/dy)x.

Рис. 3.7
Известно, что величина pvk имеет одно и то же
значение для всех точек адиабаты (см. гл. 5); из двух
последних формул видно, что энтропия идеального
газа обладает тем же свойством.
Вопрос о доказательстве существования энтропии
для вещества с произвольным уравнением состояния
рассматривается в примере 3.1.
Возвращаясь к вопросу о практической значимости
энтропии, рассмотрим применение ее для
геометрического представления некоторых важных положений
термодинамики; следует отметить, что широкое
применение диаграмм и графиков процессов в
термодинамическом анализе весьма плодотворно и способствует
ясности и наглядности исходных суждений и их
доказательств.
Существование энтропии позволяет ввести так
называемую тепловую диаграмму — Т — s-диаграмму
(рис. 3.7). На оси ординат наносят значения
термодинамической температуры от абсолютного нуля, на
уровне 7=0 К проводят ось абсцисс, которую снабжают
масштабом энтропии s, кДж/(кг-К). Вопрос о начале
отсчета энтропии решается третьим законом
термодинамики. В технической термодинамике в подавляющем
большинстве случаев представляет интерес приращение
энтропии, поэтому начало отсчета на оси энтропии
выбирают по,соглашению (например, на энтропийных
диаграммах для воды считают,. что s=0 при *=
=0,01 °С) или же такое начало отсутствует вообще.
Э Зак. 508 "" 65

Однако afo не мШ&ії tocftoAbaooafk главное свойстйо
Т — 5-диаграммы — теплота обратимого
термодинамического процесса на ней определяется' площадью под
кривой процесса. Теплота элементарного процесса в
окрестности точки М (рис. 3.7, а) равна dq=TMds.
Теплота процесса 2Ь1 определяется интегралом
- Ids, C.39)
который может быть вычислен, если известно уравнение
процесса в переменных Т, st т.е. функция вида Г=
= T{s).
Равновесное состояние на Т — s-диаграмме
изображается точкой аналогично тому, как это делается ffa
р — u-диаграмме; равновесный (обратимый) процесс
изображается линией. Особенно просто в Т —
s-диаграмме изображается изотермический (Т=const) и
адиабатный (s=const) процессы. Изобарный и изохор-
ный процессы изображаются кривыми линиями*.
Т — 5-диаграмма позволяет простым способом
оценить термодинамическую эффективность произвольного
цикла. Для этого его нужно сравнить с циклом Карно,
линии процессов которого являются касательными к
рассматриваемому циклу (рис. 3.7,6). Из рисунка
видно, что КПД цикла Карно, осуществляемого между
максимальной Гтах и минимальной Tmin температурами
произвольного цикла 1а2Ы, всегда больше КПД
последнего :
/aBFE
Таким образом, КПД цикла Карно в интервале
температур Гтах—Tmin ЄСТЬ ТОТ Предел, К КОТОрОМу СТре-
мится КПД произвольного цикла, охватываемого
циклом Карно; в этом смысле цикл Карно является
эталонным. Термодинамическое совершенство произвольного
* Напомним, что изотерме и адиабате на р—^-диаграмме
соответствуют степенные зависимости вида р ='const-і>и. Изохоре и
изобаре в Т—s-диаграмме соответствуют показательные функции
вида r=const-eas+b (подробнее см. гл. 5).
66

цикла тем выше, чем больше.так называемый
коэффициент заполнения k3:
C.41)
который для произвольного цикла меньше единицы, а
для цикла Карно k3=l.
Наконец, используя Т — s-диаграмму, можно
осуществлять термодинамический анализ циклов на базе так
называемых среднеинтегральных температур. Среднеин-
тегральная температура подвода теплоты Т\ для
произвольного цикла 1а2Ь1 определяется из соотношения
(рис. 3.7, в):
¦M$t—-Si),
а среднеинтегральная температура отвода теплоты
из соотношения:
Термический КПД цикла 1а2Ы можно рассчитать по
формуле
Л = Ь-?2/?1=:1--7У7'1. C.42)
Таким образом, термический КПД произвольного
цикла равен термическому КПД цикла Карно,
осуществляемого в интервале температур Т\—7V
§ 10. Аналитическое выражение
второго закона термодинамики.
Понятие об эксергии
Важные положения в точных науках выражают, как
правило, не только словами, но и в виде
математической формулы. Так, первый закон термодинамики
выражается формулой B.1). Второй закон
термодинамики, согласно которому все реальные самопроизвольные
процессы в макроскопических системах необратимы,
также имеет свое аналитическое выражение. Главной
величиной в этом выражении является энтропия *.
* Нулевое, первое и второе начала термодинамики можно
формулировать соответственно как утверждения о существовании
температуры (эмпирической), внутренней энергии и энтропии (см.
§ 3 и примеры 2.1 и 3.1)?
3* Зек. 5№ 67

rf Рассмотрим
подробнее понятие
необратимости. Проявления ее в
различных процессах
природі -^ 1С-Ц Tg ды и техники весьма
^ к! разнообразны. Поскольку
2 ^ здесь речь идет главным
образом о взаимных пре-
s вращениях теплоты и ра-
Рис* 3-8 боты (как форм энергии,
передаваемой от одного
тела к другому при их взаимодействии), необратимость
будем рассматривать в случаях:
адиабатного расширения и сжатия при совершении
работы против сил трения (внутренняя необратимость);
передачи теплоты при конечной разности
температур между телами, участвующими в теплообмене
(внешняя необратимость).
Термический КПД необратимого цикла Карно
меньше КПД аналогичного обратимого цикла. Будем
учитывать лишь внешнюю необратимость: при подводе
теплоты от горячего источника к рабочему телу и при
отводе .теплоты. Горячий источник с температурой Т\
передает теплоту <7Hi рабочему телу необратимо, т.е. под
действием конечной разности температур AT (рис. 3.8);
максимальная температура в цикле соответствует
необратимому изотермическому процессу, условно
показанному пунктирной линией ab, и равна ТХ—<АТ. С
конечной разностью температур проходит и процесс cd
отвода теплоты <7Н2. Таким образом, необратимый цикл
Карно осуществляется как бы в более узком диапазоне
температур по сравнению с обратимым циклом, полный
перепад температур между горячим и холодным
источниками используется лишь частично. Это приводит к
более низкому значению термического КПД:
Величину г]но можно выразить и через значения
теплоты необратимых процессов <7Hi и q*2\ тогда получим:
или с учетом знаков значений теплоты
{9*iITx) + {q*2lTz)<Q. C.43)

Таким образом, сумма значений приведенной
теплоты необратимого цикла Карно отрицательна.
Произвольный необратимый цикл может быть
представлен совокупностью необратимых элементарных
циклов Карно. Для этого произвольный цикл необходимо
покрыть сеткой изотерм и адиабат, причем в Т — s-диа-
грамме это прямоугольная координатная сетка. Каждая
клетка представляет собой элементарный цикл Карно,
а поскольку учитывается только внешняя необратимость
(только при теплообмене с внешними горячими и
холодными источниками, имеющими различную температуру
в различных точках произвольного необратимого
цикла), то внутренние клетки можно считать обратимыми
элементарными циклами Карно. В этом случае для
окаймляющих элементарных циклов Карно имеем,
а для внутренних элементарных циклов
0.
Производя суммирование значений приведенной
теплоты для всех элементарных циклов, получим
где индексом / помечены необратимые элементарные
циклы Карно на внешней ломаной, приближенно
представляющей произвольный необратимый цикл.
Пределом суммы при условии бесконечного сгущения сетки
изотерм и адиабат является интеграл Клаузиуса:
C.44)
где dqu — теплота элементарного необратимого процесса; Т —
температура источника теплоты (теплоприемника или теплоотдатчика).
Таким образом, интеграл Клаузиуса для
произвольного необратимого цикла отрицателен.
Ввиду важности полученного результата рассмотрим
данный вопрос с другой точки зрения, не связывая его
решение с понятием цикла Карно. Пусть термодинами-
69

ческая система (например, 1 кг газа) находится в
состоянии равновесия, имея контакт с источником
теплоты заданной температуры Т. Переведем' систему в
другое состояние равновесия, не нарушая контакта с
источником теплоты; такой переход можно совершить
двояким образом: обратимо (идеализированный бесконечно
медленный процесс) и необратимо (реальный процесс).
При обратимом переходе температура системы все
время равна температуре источника Т, процесс возможен
в прямом и в обратном направлениях. При необратимом
переходе между системой и источником возникает
конечная разность температур, процесс в обратном
направлении невозможен (ибо при этом AT меняет знак).
Для достаточно короткого процесса обратимого
перехода по первому закону термодинамики имеем
dq=*du+dl\ *
для необратимого перехода первый закон (закон
сохранения энергии), разумеется, также справедлив:
Поскольку начальное и конечное состояния для
обоих рассматриваемых процессов одинаковы, величину du
можно исключить из приведенных уравнений, так как
и — параметр состояния и от процесса изменение и не
зависит. В этом случае получаем:
dq*—dq=dl*—dl. C.45)
С математической точки зрения левая и правая
части выражения C.45) могут быть равны нулю,
положительны или отрицательны. В соответствии со вторым
законом термодинамики обе части выражения C.45)
могут принимать только отрицательные значения, т.е.
всегда
dq*<dq; dl*<dl. C.46)
Два оставшихся варианта невозможны: при dqK=dq
и dlK=dl исчезает различие между обратимым и
необратимым процессами, а при dq*>dq ndlH>dl
становится возможным получение работы за счет теплоты
только одного источника (вечный двигатель второго
рода). Действительно, рассмотрим цикл, составленный из
необратимого процесса, проходящего из состояния 1 в
состояние 2 (разрешенное направление для
необратимого процесса), и обратимого процесса в направлении
70

2—1 (для обра-ґимоґо йроцёсса оба напраблёййя йвля*
ются разрешенными). Если dlu>dl, то в результате
совершения указанного цикла производится
положительная работа (d/H—dl) за счет положительной теплоты
(dq^—dq) от одного источника *. Если бы
термодинамическая система не возвращалась в исходное состояние,
то противоречия со вторым законом не возникало бы:
например, при изотермическом расширении идеального
газа подводимая теплота полностью переходит в
работу. Однако вернуть систему в исходное состояние без
второго источника теплоты невозможно, ибо это
противоречит второму закону термодинамики. Поэтому и
неравенства dqu'>dq и dln>dl не выполняются.
Неравенства же C.46) возможны: в этом случае
окружающая среда совершает за цикл над системой работу
dl*—dl (отрицательную) и в результате этого система
отдает теплоту dqH—dq (также отрицательную). Такое
превращение энергии не противоречит второму закону
термодинамики — работу. можно превратить в теплоту
полностью.
Таким образом, теплота dqu элементарного
необратимого изотермического процесса при температуре Т
источника теплоты меньше теплоты dq идущего в том
же направлении обратимого изотермического процесса.
Разделив обе теплоты на температуру Т источника
теплоты, получим:
dq*IT<dq/T. C.47)
В правой части неравенства C.47) вместо
температуры источника можно использовать равную ей
температуру термодинамической системы (рабочего тела), в
левой части температура Т источника отличается от
температуры термодинамической системы на AT.
Неравенство C.47) легко сопоставить с
неравенством C.44), если в последнем заменить нуль интегралом
Клаузиуса для обратимого цикла:
Г. C.48)
* Этим источником может быть как теплоотдатчик, так и теп-
лоприемник. Неравенства C.46) следует понимать в
алгебраическом смысле —обе части их могут быть как больше, так и
меньше нуля; однако знак обеих частей одинаков, ибо необратимый и
обратимый процессы как бы параллельны.
71

Следовательно, теплота необратимого процесса,
разделенная на температуру источника теплоты, меньше
теплоты обратимого процесса не только по отношению
к циклу в целом, но и для каждой точки, в которой
отмечается внешняя необратимость.
Как было установлено ранее, величина dq/T для
обратимого процесса представляет собой дифференциал
энтропии ds. Объединяя равенство dq/T=ds и
неравенство C.47), получаем аналитическое выражение второго
закона термодинамики в форме:
дифференциальной
ds^dq/T, C.49)
интегральной
2
-Si> [Цг. C.5Q)
Выражение -C.49) эквивалентно выражениям:
для обратимых процессов
для необратимых процессов
ds>dqB/T.
Изменение энтропии в левой части выражения C.50),
разумеется, не зависит от процесса, для которого
вычисляется правая часть и который может быть обратимым
(произвольной формы) или необратимым. При
вычислении S2—S\ используется удобный для расчета
обратимый переход из состояния 1 в состояние 2,
составляемый из двух процессов [см. формулы C.22), C.31),
C.38)].
Аналитическое выражение второго закона получено
на основании анализа термодинамической системы,
обменивающейся с внешней средой энергией как в форме
теплоты, так и в форме работы. При этом именно
энергообмен в форме теплоты был источником так
называемой внешней необратимости. Но ведь существует и
внутренняя необратимость, которая в чистом виде
проявляется при отсутствии теплообмена с внешними
источниками. Приведенные выше обоснования неравенств
C.46) в этом случае теряют силу, так как левая часть
выражения C.45) исчезает: dqH=dq=O. Для такой
адиабатной системы энергообмен с внешней средой воз-
72

можен только в форме работы. Не приводит ли это
обстоятельство к нарушению универсальности выражений
C.49) и C.50), которые мы уже объявили
аналитическими выражениями второго закона термодинамики?
Быть может эти выражения пригодны лишь для систем
с внешней необратимостью? Рассмотрим этот вопрос
несколько подробнее.
Природа внутренней необратимости связана с уже
высказанным ранее положением: работа может быть
превращена в теплоту полностью, теплота в работу —
лишь частично. Например, работа, совершаемая протйВч
сил трения, полностью переходит в теплоту. В реальной
адиабатной системе, осуществляющей энергообмен с
внешней средой в форме работы, существует трение,
приводящее к возникновению внутренних тепловых
явлений. А там, где речь заходит о теплоте, неизменно
появляется и энтропия.
Еслц теплота поступает в систему из внешней среды
через границу, то говорят о переносе теплоты и об
одновременном переносе энтропии. В адиабатную систему
с непроницаемой для теплоты границей энтропия извне
не поступает и поэтому здесь говорят о производстве
энтропии. Производство энтропии в адиабатной системе
обусловлено двумя причинами: нарушением равновесия
и диссипативными эффектами *.
Если изменение состояния адиабатной системы
происходит бесконечно медленно (равновесно), то
изменения энтропии системы нет, производство энтропии
равно нулю. Из первого закона термодинамики следует:
dq=du+pdv=0; du=—pdv, . C.51)
т.е. изменение внутренней энергии равно работе, взятой
с обратным знаком. Равновесный процесс в адиабатной
системе можно представить в виде линии на и — и-диа-
грамме (рис. 3.9), дифференциальное уравнение этой
линии, согласно выражению C.51), таково:
(du/dv)s=*—p. C.52)
Постоянство энтропии в равновесном адиабатном
процессе следует из определения изменения энтропии
в равновесных ^обратимых) процессах (ds=dq/T=0;
* Такое разделение связано с удобством анализа процессов
при изучении вопроса. В реальных условиях обе причины
производства энтропии неразделимы,
73

Рис. 3.9
s=const) и отмечается
индексом s у,частной
производной в формуле C.52).
Таким образом линия AB
на рис. 3.9 соответствует
уравнению C.52) и
условию s=const.
Пусть теперь состояние
адиабатной системы
изменилось с нарушением ее
равновесия, например,
произошло резкое сжатие
некоторой части системы, при
этом оставшаяся часть этим
возмущением не была затронута. Температура сжатой
части повысилась до Г+Д7\ температура
невозмущенной части осталась равной Т. После возмущения
система устремится к новому состоянию равновесия с более
высоким значением внутренней энергии и. При этом
распределение внутренней энергии в системе будет
выравниваться за счет теплообмена между сжатой и
невозмущенной частями при конечной разности
температур А7\ Энтропия всей системы при таком необратимОхМ
процессе возрастет. Действительно, уменьшение
энтропии, отдающей теплоту сжатой части системы, равно
dq I (jT+ДГ), а увеличение энтропии, воспринимающей
теплоту невозмущенной части, равно dq/T.
Результирующее изменение энтропии всей системы
+% d C53)
является величиной положительной. Таким образом,
согласно выражению C.53), в результате внутреннего
перераспределения и путем теплообмена с конечной
разностью температур энтропия адиабатной системы
возрастает.
Сопоставим рассмотренный процесс с и — и-диа-
граммрй. Исходное состояние равновесия — точка /
(см. рис. 3.9); в результате сжатия объем уменьшается
и, согласно, уравнениям C.51), внутренняя энергия
возрастает. Если бы процесс сжатия был равновесным, то
все состояния такого процесса располагались бы на
линии AB и он мог бы окончиться, например, в точке а.
При этом была бы совершена работа /i_o—— (#а—#i),
энтропия не изменилась бы: sa=si. В результате нерав-
74

нооесйогб сжатий (йлй расшйрейий, гірй этом ds=z
AT , v
~Т(Т — АТ) ^ энтропия системы возрастает и,
следовательно, *ее конечное значение больше sa; в связи с этим
конечное состояние системы после неравновесного
процесса не совпадает с состоянием в точке a, но лежит на
вертикали, соответствующей объему va. Стало быть,
конечное состояние после неравновесного сжатия может
соответствовать либо точке ан, либо точке z.
Согласно второму закону термодинамики точка z
лежит в области абсолютной адиабатической
недостижимости и такое состояние для рассматриваемой
адиабатной системы невозможно.
Испытаем точку z на пригодность в качестве точки
конечного состояния процесса неравновесного сжатия.
Изменение энтропии в процессе /—z не зависит от
формы процесса перехода, а также от того, является ли он
равновесным или нет. Это изменение равно
Cdu+pdv Г du
а а
т.е. изменению энтропии в изохорном процессе а—z,
для которого ds=du/T<.0. Таким образом, если бы
процесс неравновесного сжатия заканчивался в точке г,
то энтропия системы уменьшилась бы. Однако,
согласно выражению C.53), энтропия должна возрастать;
названное выражение есть прямое следствие второго
закона— в его основе лежит формулировка Клаузиуса
(теплота распространяется в сторону уменьшения
температуры), оно учитывает факт существования
энтропии и принцип ее возрастания. Следовательно, по
второму закону состояние z адиабатически недостижимо.
Совокупность таких состояний образует область,
показанную на рис. 3.9 штриховкой.
Что касается точки ан, то она может быть конечным
состоянием неравновесного сжатия, ибо возрастание
энтропии Asa_oH не противоречит выражению C.53).
Точка ан лишь не может быть достигнута равновесным
(обратимым) путем, она обладает относительной
адиабатической недостижимостью.
Нетрудно показать, что энергетические превращения
типа работа — изменение внутренней энергии для
адиабатной системы 'выгоднее всего осуществлять равновес-
75

ным (обратимым) путем, т. е. без производства
энтропии. При этом необходимо учитывать, что, согласно
первому закону термодинамики, работа равна изменению
внутренней энергии с обратным знаком как Для
равновесного, так и для неравновесного процесса. Ниже
приведены соотношения для работы в обратимых и
необратимых процессах для адиабатной системы (обозначения
см. на рис. 3.9):
Процесс обратимый необратимый
Сжатие /—Ьщ
Расширение . . . /—-~Ди4-
Обусловленные необратимостью величины АиРа и Динь
считаются положительными, при вычислении Аи для
необратимых процессов использованы обратимые
переходы 1ааи и lbbu. Приведенные сротношения показывают,
что в любом случае работа обратимого (равновесного)
процесса больше: />К
Подводя итог, отметим, что, согласно второму
закону термодинамики, как теплота, так и работа
обратимого процесса всегда больше этих величин для
аналогичного необратимого процесса. Приведенный выше анализ
подтверждает этот вывод применительно к системе,
имеющей тепловое и механическое взаимодействие с
окружающей средой, а также к адиабатной системе,
взаимодействующей с окружающей средой только
механически. Сказанное справедливо и для изолированной
системы, а также для немеханических видов работы,
когда объем системы не изменяется.
Первый закон термодинамики применительно к
элементарному необратимому процессу выражается
соотношением
Второй закон термодинамики утверждает:
dq*<dq=Tds.
Объединяя оба соотношения, получаем основное тер
модинамическое неравенство:
Tds>du+dl*, C.54)
которое для обратимых процессов превращается в
равенство
Tds~du+dl. C.55)
76

Выражения C.54) и C.55) часто записывают
стно, получая объединенное аналитическое выражение
первого и второго законов термодинамики для
обратимых и необратимых процессов:
Tds^du+dl. C.56)
Для адиабатных систем, в которых совершаемая
работа равна взятому с обратным знаком приращению
внутренней энергии для любого процесса (обратимого
или необратимого), правая часть выражения C.56)
равна нулю; поскольку ТФО, имеем:
C.57)
или для конечного процесса
«2—51^0. C.58)
Таким образом, энтропия адиабатной (или
изолированной) системы не может убывать: при обратимых
процессах она сохраняет свое значение неизменным, в
реальных системах энтропия всегда возрастает.
С последним обстоятельством связано известное
высказывание Клаузиуса: «Энергия мира постоянна.
Энтропия мира стремится к максимуму» A856 г.),
выражающее мысль о стремлении Вселенной к
термодинамическому равновесию («тепловой смерти»). Ф. Энгельс
в «Диалектике природы» дал детальную и
убедительную критику этого ошибочного тезиса, основанного на
неправильной трактовке Вселенной как изолированной
системы. Современные исследования, посвященные
применению законов термодинамики к различным моделям
Вселенной и связанные, например, с общей теорией
относительности, также не подтверждают вывода о
стремлении Вселенной к термодинамическому равновесию.
Закон возрастания энтропии, выражаемый
неравенствами C.57) и C.58), позволяет использовать
энтропию для количественной оценки степени необратимости;
для неадиабатных систем используются неравенства
C.49) и C.50). На этом основаны методы анализа
термодинамической эффективности различных
устройств преобразования энергии. В последние
десятилетия получил распространение удобный метод анализа
технических систем, в основе которого лежит понятие
эксергии.
Пусть термодинамическая система (например, 1 кг
газа) с параметрами ри Т\ находится в окружающей
77

/77 -- VQr
Рис, ЗЛО
среде с параметрами ро, Tq\ для определенности будем
полагать, что рі>ро и T{j>T0 (хотя это не влияет на
общность результата). Позволим системе расширяться
и охлаждаться. Система будет, совершать работу до тех
пор, пока не придет в равновесие с окружающей средой:
р=р0, Г=Г0, где р, Т — изменяющиеся в процессе
параметры системы. Максимальная работа была бы
совершена в том случае, если бы переход совершался
обратимо. Реальная работа, согласно второму закону,
всегда меньше.
Определим максимальную работу. При этом
необходимо учесть, что не вся работа изменения объема
может быть использована, так как часть ее совершается
против давления окружающей среды. Необходимо
подсчитать, следовательно, полезную работу /п, которая
для элементарного обратимого процесса равна d/n=
=zdq—dh (см. § 5) или с учетом выражения C.55)
dlu=Tds—dh. Обратимый переход системы из
произвольного начального состояния в состояние равновесия
с окружающей средой можно совершить двумя
процессами: обратимым адиабатным расширением (сжатием)
до температуры То и последующим изотермическим
отводом (подводом) теплоты при бесконечно малой
разности температур Т *¦— То -*0; равновесность второго
процесса очевидна, в первом же процессе имеет место
конечная разность давлений р—ро. Для снятия этого
ограничения необходимо соединить с расширяющейся
системой устройство, воспринимающее полезную работу,
например груз переменной массы (рис. 3.10). В началь-
78 .

ный момент рі=ро+Рт/где рт — давление от действия
груза. Процесс расширения начинается сбрасыванием
бесконечно малой массы dm, так как р>ро+Рт—dpm>
и продолжается равновесно до конечного состояния,
которое определяется условием Т=Т0. В общем случае
в процессе адиабатного расширения роль dm может
изменяться, поскольку конечное давление адиабатного
расширения Ра может быть как больше, так и меньше
р0, Максимальная полезная работа равна:
ро* То ро* То
/п= Г dln= \ {Tds—dh).
PuTi pi, Ті
Приведенный в правой части интеграл равен сумме
четырех интегралов (а — промежуточное состояние):
л» sa« const
а а
: I Tds=*Q; —\dh^ht — ha\
о
Та - const: ( Tds - То (s0 — sa) - Го (s0 — st);
a
0
— [dh*= ha—h0.
После суммирования получаем следующее
выражение:
C.59Ї
Формула C.59) выражает максимальную полезную
работу через начальные параметры системы и
параметры окружающей среды. Для произвольного начального
состояния с параметрами р, Т или h—h(py T) и 5 =
=s(p, T) получаем функцию
е в (А—Ао) — То (s—so), C.60)
именуемую эксергией потока * и определяемую
параметрами состояния термодинамической системы и парамет-
* Идеализированный процесс обратимого перехода 1аО при
вычислении /д для потока может быть осуществлен беЗ использования
специального устройства с груаом переменной массы (см. гл. 7).
79

рами окружающей среды; единица измерения эксер-
гии — кДж/кг.
Для заданного состояния (/г, s) значение эксергии
равно максимальной полезной работе, которую
способна совершить система, переходя обратимым путем на
«нулевой уровень» (окружающая среда с параметрами
Ро, То). Этим объясняется прежнее название эксергии —
работоспособность. Эффективность технического
устройства с точки зрения обратимости протекающих в нем
процессов может быть определена сравнением
фактически произведенной полезной работы с максимально
возможной работой, рассчитываемой по изменению
эксергии. Количественной характеристикой эффективности
такого рода служит эксергетический КПД, который
определяется следующим образом:
Ъ- -11,1-2/(*¦-*)• ' С3-61)
где /нп, 1-2 — фактическая полезная работа с учетом необратимости;
в[ — эксергия потока на входе в техническое устройство; е% — эк-
сергия на выходе.
При обратимом протекании всех процессов т|е== 1.
Минус учитывает уменьшение (исчезновение) эксергии
по мере совершения работы.
Эксергетический анализ удобен при исследовании
сложных технических устройств, в которых
используется энергия в различных формах — работа, теплота,
электроэнергия, энергия химических превращений и т. д.
Обычно составляют эксергетический баланс, в котором
подсчитывают приход и расход эксергии потока
вещества, теплоты, работы (механической или электрической).
Важное значение, в частности, имеет эксергия теплового
потока eq.
Смысл эксергии теплового потока можно уяснить,
если рассмотреть описанную ранее термодинамическую
систему при начальных параметрах p=p0=const, Г>
>Г0. При переходе системы в состояние равновесия с
окружающей средой, который осуществляется при р=
=const, происходит как бы исключение механического
взаимодействия через границу системы, главным
становится тепловое взаимодействие, обусловленное
преобладанием температуры системы Т над температурой
окружающей среды (в действительности dv^O, среда
сжимает охлаждающуюся систему). Дифференциал эксер*

гии по выражению C.60) равен de=dh—Tods, кроме
того, Tds=dh—vdp, откуда
1 v
ds ж~ dh —-ттг dp
или
de-
- (і —-р") ah + у- vdp.
Поскольку p=const, то dp=O и второе слагаемое
равно нулю; по той же причине dh=dqp — теплота
изобарного процесса равна изменению энтальпии.
Следовательно,
de=(l-T0IT)dqp. C.62)
Выражение C.62) показывает, что если от системы
отвести теплоту dqv на уровне температуры Т, то эксер-
гия потока для системы уменьшится на de.
Температурный уровень, при котором отводится (или подводится)
теплота, определяет «ценность» этой теплоты: если
подвести теплоту при Г»Го, то увеличение эксергии (т.е.
работоспособности) будет значительным, если тепло-
подвод осуществляется при Т—ТОу то эксергия не
меняется: de=Q.
Выражение C.62), справедливое только для
процесса р=const, положено в основу понятия эксергии
теплового потока eq. Принято по определению, что
выражение C.62) по отношению к произвольному процессу
дает изменение eq, т. е.
C.63)
для изобарного процесса, таким образом, deq=de.
В отличие от эксергии потока е эксергия теплового
потока eq есть функция процесса, так как функцией
процесса является теплота:
2
* т \
q == д —то ^—Зг); C.64)
здесь использовано соотношение dq=Tds.
Таким образом, теплота <7і-2 не может быть
полностью превращена в полезную работу, равную в
лучшем случае eq (при обратимом превращении); для
получения eq от теплоты необходимо отбросить ее непре-
81

вращающуюся в работу часть To(s2—s\) — так
называемую анергию.
На величину еч можно взглянуть и с несколько иной
точки зрения. Если в пр@*еесе 1—2 температура Г=
=const, то, согласие формулам C.63) и C.64), имеем
*-(і-Г«/Г)?і-* C.65)
Выражение в скобках есть термический КПД
обратимого цикла Карно, осуществляемого между теплоот-
датчиком с температурой Т и окружающей средой с
температурой 70| которая играет роль теплоприемника;
в формуле C,65) это выражение называют фактором
Карно или эксергетической температурой.
Согласно формуле C.65), доля теплоты, подводимой
при температуре Т, которая может быть превращена в
максимальную полезную работу, определяется
термическим КПД цикла Карно*. Обратимый цикл Карно —
единственный способ ** обратимого переноса теплоты
с температурного уровня Т на «нулевой» уровень
окружающей среды То\ ири этом можно получить
максимальную работу.
В реальных технических устройствах процессы
переноса теплоты часто осуществляются изобарно (р=
=const). При этом нет необходимости подсчитывать
величину eq по формуле C.64), ибо на основании
формул C.62) и C.63) eq=e2—ex.
Если в анализируемом техническом устройстве (или
в отдельном элементе такого устройства) не
производится полезная работа, то эксергетический КПД
определяется выражением
C.66)
. При обратимом протекании процессов потеря эксер-
гии отсутствует и Є2=еи в этом случае т)е=1, в
реальных условиях т|е<1, так как имеется потеря эксергии.
При вычислении эксергетического КПД по формуле
C.61) или C.66) составляют баланс эксергии (см.
пример 3.2).
Пример 3.1. Исходя из второго закона термодинамики,
обосновать существование абсолютной температуры и энтропии.
* Для цикла полеаная работа 1п и работа и.змен$ния объема
/ равны между собой (см. § 5).
** Не считая обратимого регенеративного цикла, термический
КПД которого рааен термическому КПД цикла Карно (см. § 8).
82

Согласно нулевому началу термодинамики, каждому $
ному состоянию термодинамической системы соответствует
определенное значение температуры (см. пример 2.1). Численное
значение эмпирической температуры зависит не только от состояния
термодинамической системы, но и от свойств термометрического
вещества. Если, например, использовать для получения
эмпирической шкалы две реперных точки (франц. герёге— метка, исходная
точка), соответствующих состоянию таяния льда и состоянию
кипения воды, разбив промежуток между ними на 100 равных
частей, то некоторому промежуточному состоянию / будут соответ«
ствовать различные числовые значения эмпирических температур-
где tfpi и tc\ — температура соответственно по ртутному и
спиртовому термометрам; t™ и t*-c — температура, измеренная
соответственно термопарой и термометром сопротивления.
Второй закон термодинамики позволяет устранить фактор
произвола при определении температуры, исключив влияние свойств
термометрического вещества на результат измерения.
Действительно, выбрав состояние 2 с более низкой температурой и
реализовав между двумя указанными состояниями цикл Карно, согласно
теореме Карно, имеем:
/Р /Р\ т (+с *с\ ТЕ* /7ТП /
)
Вид каждой фунщии — f, ф, -ф, х» ... — зависит от свойств
термометрического вещества, но их числовые значения равны
между собой. Уже из этого равенства, по сути дела, интуитивно ясно,
что существует некая универсальная функция температуры,
обусловленная только состоянием термодинамической системы и не
зависящая от способа измерения температуры.
Рассмотрим вопрос более детально. Пусть имеются i, t'+l,
t+2, ... состояния термодинамической системы, характеризуемые
значениями эмпирической температуры
Между соседними температурными уровнями осуществляется
цикл Карно со значениями подводимой и отводимой теплоты qi,
qt+i и теплотой цикла Aq:
Чи 4i+i~4t-*&4t ^+2=B^+i—&4t •••
Термический КПД цикла Карно между температурами tB$ и
t°i+i определяется выражением
откуда
l
или
Чі+\ІЧі—Ч(Н Ы\)> C.67)
где ф = 1 —f, при этом вид функций ф или f определяется
конкретной эмпирической температурной шкалой.
83

Выражение (a.?f) справедливо для любых Двух
температурных уровней, в том числе и для таких, которые не являются
соседними:
ь *8<+а); C.68)
t*l+2). C.69)
Из тождества
с учетом выражений C.68) и C.69) следует:
«Первая часть приведенного соотношения не зависит от +2,
следовательно, и правая часть не должна зависеть от этой
величины:
где Фі определяется только, состоянием і, а Фг+і — только
состоянием і+1. С учетом выражения C.67) имеем:-
или
Фі+і = (ЯііЯі+і)Фі. C.70)
Выражение C.70) можно использовать в качестве рабочей
формулы для построения термодинамической шкалы температур,
ибо множитель qi/Qi+i:=(\—ЛЧї+і)" не зависит от свойств
термометрического вещества (рабочего тела цикла Карно). Однако
построенная таким образом шкала (если составлять ее из
положительных чисел) находилась бы в противоречии с исторически
сложившимся понятием температуры: теплота самопроизвольно
переходит от тела с большей температурой к телу с меньшей
температурой. Поэтому в качестве термодинамической температуры
принимаем величину Г==1/Ф и вместо выражения C.70) имеем
следующую формулу:
а,.,
C.71)
Рекуррентная формула* C.71) позволяет в принципе указать
простую процедуру получения термодинамической шкалы
температур: для некоторого теплового состояния і назначается
температура Ті jb виде положительного действительного числа,
снабженного наименованием единицы измерения; к 1 кг рабочего тела
обратимого двигателя Карно в изотермическом процессе при
температуре Ті подводится некоторое количество теплоты qi\ рабочее
* То есть формула для повторяющихся, «возвратных»
вычислений последующего значения величины по предыдущему.
84

тело адиабатно переводится в состояние t+1, которое
характеризуется более низким значением эмпирической температуры;
сохраняя эмпирическую температуру постоянной, от рабочего тела
отводят теплоту qt+\, значение которой определяется возможностью
замкнуть* цикл Карно и должно быть измерено; по формуле C.71)
рассчитывают значение термодинамической температуры 7\+1,
соответствующее состоянию 1+1. После этого рабочее тело переводится
в состояние t+1, что можно проконтролировать по значению
эмпирической температуры, и вся процедура повторяется.
Каждый опыт будет давать для термодинамической
температуры положительное значение, меньшее предыдущего, и в
результате получим убывающую последовательность:
Ни один из членов последовательности не может принять
отрицательное значение, поскольку коэффициент перехода от
предыдущего члена к последующему
всегда положителен. Естественным пределом этой
последовательности термодинамических температур является нуль — абсолютный
нуль термодинамической шкалы, в связи с чем термодинамическую
температуру назызают также абсолютной. Описанная выше
процедура построения термодинамической шкалы не позволяет получить
нулевое значение температуры, ибо для этого требуется TiVi+i = l,
что невозможно, согласно формулировке Томсона — Планка.
Для выяснения условия равномерности термодинамической
шкалы представим формулу C.71) в виде
Д7 Ад
Ті или Т7=77>
где ДГ — интервал на термодинамической шкале; Aq — теплота
обратимого цикла Карно, осуществляемого в интервале темпера-
Тур AT.
Равномерность шкалы, которая выражается
пропорциональностью между величинами AT и Aq, обеспечивается, если
коэффициент пропорциональности в формуле
AT=j^Aq, C.72)
т. е. величина Trfqi имеет одно и то же значение для состояний
і, і+1, і+2 и т. д. Для каждого отдельно взятого цикла Карно
это условие выполняется в силу соотношения C.13); для всей
последовательности циклов оно будет выполнено, если циклы будут
«смежными» (т. е. иметь общую изотерму) и будут иметь
одинаковую ширину (т. е. вся последовательность циклов должна
располагаться между двумя общими адиабатами). Осуществляя
последовательные, циклы Карно с одним и тем же значением теплоты
цикла Д^, можно получить равноотстоящие одно от другого
деления термодинамической шкалы, расстояния между которыми
соответствуют, например, единице измерения температуры.
Второй закон термодинамики позволяет установить связь
термодинамической температуры с произвольной эмпирической темпе-
' 85

ратурой. Формула C.72) Для бесконечно малого интервала
температур принимает вид:
' C.73)
Если термодинамическая температура Го и эмпирическая
температура tsQ соответствуют одному и тому же тепловому состоянию,
то интегрирование выражения C.73) приводит к выражению
или
Г-Г.ехр ((¦*?-). C.74)
>о
Под интегралом в формуле C.74) стоит некоторая функция
эмпирической температуры t9. Знаменатель представляет собой
теплоту q—qtf9) изотермического процесса с ta=const, а
числитель можно представить в виде dqn=*q'(t*)dt9t где q'(t*)-~произ«
водная q(td) по /э, показывающая изменение теплоты q(t9) при
переходе от изотермы с /8=const к изотерме с fB±le=BConst, где
Г— единица эмпирической температуры t9. Таким образом, имеем:
#• *э
С q'(t*)
Теплота элементарного процесса по первому закону
термодинамики равна:
гі<7ироц=<?і4Г+ [ (dufdv) ,+p] dv.
Для изотермического процесса с fe=const (одновременно,
конечно, и Т=const) имеем с?Г=О и
qp) = l(du/dv)ts+p]bvt 18.761
где Аи — приращение объема в рассматриваемом изотермическом
процессе, который необходимо взять достаточно коротким, чтобы
можно было пренебрегать переменностью выражения в квадратных
скобках.
Величина dqn=q'(ta)dt9 представляет собой теплоту
элементарного цикла Карно и равна, следовательно, работе этого цикла,
которая выражается заштрихованной площадью на
р—»-диаграмме (рис. 3.11). Ввиду малости заштрихованную фигуру можно
считать параллелограммом, пренебрегая кривизной изотерм и адиабат.
Как видно из рисунка, этот параллелограмм может быть получен
путем деформации исходного прямоугольника; деформация
осуществляется в два этапа, на каждом этапе высота и основание
86

Рис. 3.11
фигуры постоянны, а значит, сохраняется и площадь фигуры.
Следовательно, параллелограмм элементарного цикла Карно
равновелик прямоугольнику с площадью dpv&vt где индекс «о»
показывает, что приращение давления при переходе с одной изотермы
на другую подсчитывается вдоль изохоры (по вертикали). Получаем,
таким образом, соотношение
или
Ч'
¦(*•).
Ді/.
C.77)
Подставляя выражения C.76) и C.77) в выражение C.75),
а затем в C.74), приходим к следующему соотношению
'8
+ р
,dt3
C.78)
которое устанавливает связь между термодинамической
температурой и произрольной эмпирической температурой, Для вычисления
интеграла необходимо знать уравнение состояния (термическое)
рабочего вещества эмпирического термометра P(pt v, t9)=*Q и
измерить теплоту изотермического процесса с t9 =s const [или знать
87

также калорическое уравнение состояния термометрического
вещества u = u(u, t9)].
Пусть в качестве термометрического вещества используется
идеальный газ с эмпирической температурой tr, определяемой
законом Гей-Люссака:
fM)=P/Po=l+?o*r. C.79)
Поскольку температурный коэффициент объемного расширения
(и равный ему в данном случае температурный коэффициент
давления) одинаков для всех идеальных газов и равен ?o=
= 1/273,15 ^"^ естественно ввести температуру
7* =/'+273,15,
что позволяет записать выражение C.79) в виде
где 7го=273,15 К — реперная точка идеально-газовой шкалы
температур. В качестве нуля этой шкалы по соотношению.
можно принять температуру, соответствующую условию р=0
(условие v=0 не годится, ибо лри сколь угодно низкой температуре
1 *кг вещества занимает некоторый объем, не равный нулю).
Используем температуру Гг для градуирования
термодинамической шкалы по формуле C.78). По термическому уравнению
состояния pv=RTr имеем
по калорическому уравнению состояния и—uo=cv(TT—Гг0) имеем
{ди/ди)Тг~0. Подставляя эти результаты в формулу C.78),
получаем: . •
T=*(T0IT*q)T*. C.80)
Таким образом, термодинамическая шкала температур
совпадает с идеально-газовой шкалой с точностью до постоянного
множителя (т. е. с точностью до единицы, измерения). Это совпадение,
впрочем, следовало уже из идентичности формул C.13) и C.71),
ибо первая получена для идеального газа, а вторая принята в
качестве основного условия при создании термодинамической шкалы.
Важнейшим практическим следствием совпадения
термодинамической шкалы температур с идеально-газовой является возможность
использования последней при создании эталонного измерительного
прибора для температуры. В таком приборе — газовом термометре
в качестве термометрического вещества используется газ,
состояние которого позволяет считать его идеальным; индикатором
температуры служит давление, объем сохраняется постоянным.
Идеальный газ представляет собой физическую модель, а на практике
всегда приходится иметь дело с реальными газами, поэтому для
повышения точности измерений вводятся поправки, определяемые по
уравнению C.78).
По решению XI Генеральной конференции по мерам и весам
A960 г.) в настоящее время предусматривается применение:
термодинамической температурной шкалы с одной реперной
точкой 273,16 К [тройная точка воды (пар, жидкость и лед нахо-

дятся в равновесии при давлении 611 Па), реально
воспроизводимая в настоящее время с весьма малой погрешностью, примерно
равной Ю-4К];
международной практической температурной шкалы,
основанной на нескольких постоянных и воспроизводимых температурах
фазового равновесия химически чистых веществ.
На XIV Генеральной конференции по мерам и весам A971г.)
была объявлена обязательной Международная практическая
температурная шкала 1968 г. (МПТШ-68) с 11 основными реперными
точками и 27 вторичными точками отсчета. Промежуточные
температуры определяются специально аттестованными
интерполяционными приборами, для которых указаны формулы пересчета
величины, являющейся индикатором температуры (например,
электрического сопротивления платинового термометра сопротивления),
в значение температуры по МПТШ-68.
Обе шкалы — термодинамическая и МПТШ-68 могут
градуироваться и в Кельвинах, ,и в градусах Цельсия. Для МПТШ-68
температура тройной точки воды принята равной точно по определению
273,16 К или 0,01 °С; температура таяния льда равна 273,15 К или
0 °С (реально воспроизводится с погрешностью примерно 10~2К).
Находит применение также выражение температуры в градусах
Фаренгейта (°F) и градусах Ренкина (°R), которые равны A °F=*
= 1°R). Соотношения между различными единицами измерения
температуры даются формулами:
t =T — 273,15= (*°F — 32)/1,8-Г° R/1,8— 273,15; \
T = t +273,15 = t° F/l, 8 + 255,37 = Т° R/1,8. J( * '
Из формул C.81), в частности, следует, что абсолютный нуль
равен —273,15°С; OK; —459,67°F; 0°R, а температура таяния льда
при нормальном давлении равна 0°С; 273,15 К; 32 °F; 491,67 °R.
Рассмотрим вопрос о существовании энтропии. Положение о
существовании энтропии может быть сформулировано в виде
принципа адиабатической недостижимости: в окрестности -точки,
изображающей равновесное состояние термически однородной системы,
существуют точки, которые не могут быть достигнуты при
движении вдоль обратимой адиабаты *. Поскольку через любую точку
можно провести обратимую адиабату, то принцип недостижимости
означает, что соседние адиабаты не пересекаются. Этот факт
является следствием опыта, который можно легко представить себе,
взяв в качестве термодинамической системы, например, 1 кг газа
(идеального или реального), помещенного в теплоизолированный
цилиндр с поршнем. Естественно предположить, что каждая
адиабата из рассматриваемого семейства кривых характеризуется
определенным значением особого параметра и это значение одинаково
для каждой точки выбранной адиабаты. Таким особым
параметром и является энтропия.
Аналогичная трактовка допустима и для других процессов.
Понятно, например, что если 1 кг газа находится в цилиндре
с поршнем, а цилиндр помещен в термостат—-большой объем с по-.
* Принцип адиабатической недостижимости справедлив и для
необратимого адиабатного процесса, однако в этом случае
существует и область достижимых состояний (вне обратимой адиабаты).

Стойнной температурой 7\, to как бы ни изменилось состояние
газа при различных положениях поршня, температура Т2фТ{
не может быть достигнута. Следствием этого опытного факта
является непересекаемость изотерм. Еще более очевиден принцип
недостижимости применительно к изохорному или изобарному
процессу.. Каждый из упомянутых процессов характеризуется
термодинамическим параметром состояния, сохраняющим постоянное
значение для конкретного процесса.
Предположим, что таким параметром для адиабаты является
cs=zo(vt Т). Тогда а=const и da=0 или, более подробно,
da« (do/dT)vdT+(doldv)Tdvt=0. C.82)
С другой стороны, согласно определению адиабатного
процесса dq*=O или по первому закону термодинамики:
. C.83)
Поскольку dT и dv не равны нулю, одновременное выполнение
условий C.82) и C.83) возможно, если производные, являющиеся
множителями при dT и dvt попарно равны, пропорциональны или
в наиболее общем случае связаны зависимостями:
C.84)
где коэффициент пропорциональности Х=Ци, 7), т. е. является
функцией состояния (точки).
Найдем функцию Х=Х(и, Г). С этой целью используем
условие существования полного дифференциала, согласно которому
вторые смешанные производные для величины, обладающей полным
дифференциалом, равны, поскольку, последовательность
дифференцирования не имеет значения. Вторые смешанные производные для
а, согласно выражениям C.84), равны:
д2о / д2 и\ /дк\ ґдиЛ
dTdv M * V dTdv ) "І" \dv )т \ot)v '
\Шт) + К KWjv + \dTjr,
)+ р
Приравнивая вторые производные, получаем:
ди\ 'ґдр\ ґдХ\ /ди\ /ді\
WЛв % \dfjv + \W)v Wr+ pWh • C-85)
Введем упрощающее допущение: будем полагать, что К
зависит только от температуры— Х=Х(Г). Такое предположение
относит X к классу интенсивных величин; интенсивная величина для
термодинамической системы и любой ее части имеет одно и то же
значение (температура, давление). Но тогда величина а должна
быть экстенсивной; значение такой величины для системы равно
сумме ее значений для составных частей системы (объем, масса).
Действительно, теплота dQ, подводимая к составной системе,
равна сумме значений теплоты dQ\ и теплоты dQ2, подводимых к двум

частям этой системы. Будучи умноженной на интенсивную
величину Л, теплота передает свое качество экстенсивности параметру 2*:
или
d2i«MQ,; dBs»Xrf!Qf. C.86)
Справедливо и обратное утверждение: если а — величина
экстенсивная, то % зависит только от температуры. Действительно,
для адиабатной системы, состоящей из двух подсистем, могущих
обмениваться теплотой между собой, справедливы соотношения:
dQ^O; C.87)
S^O. C.88)
Подставляя выражение C.86) в формулу C.88), с учетом
выражения C.87) имеем:
или
Таким образом, величина Я для обеих подсистем имеет одно
и то же значение. В общем случае % есть функция температуры
и объема Л=А,(Т, V). Однако равенство %i=%2 обусловлено
только совпадением температуры обеих подсистем, относительно
объемов Vi и V2 никаких специальных допущений не вводится,
величины Vi и V2 могут принимать разнообразные значения. Пусть в
состоянии равновесия имеем определенные значения V'u У2 и 7'i =
*=Т'2~Т\ Нарушим равновесие внутри составной адиабатной
системы, изменив объем первой подсистемы до значения V//i = V/i+AV,
а второй —до значения V=V'2—AV. При этом будет Гі<Г2
и между подсистемами возникнет перенос теплоты, который будет
продолжаться до установления равновесия: 7"і=7=Г". Объем
составной системы не изменился: Vi+Va—Vi+V^i
следовательно, работа изменения объема L==L1+^2=0; теплота равна нулю
в силу адиабатности составной системы. В этом случае по первому
закону термодинамики и изменение внутренней энергии равно
нулю; последняя есть функция объема составной системы и ее
температуры U=U(V, 7). Так как V'=U" и У'=У", то и 7'=7".
Таким образом, при переходе из первого состояния равновесия во
второе температура осталась неизменной, а объемы подсистем
изменились. Разумеется, и в этом случае справедливы уравнения
C.87) и C.88), т. е.:
Ранее было
М7', V'O-W, V'»).
Взглянем на ситуацию с несколько иной точки зрения. Так как
/«7//=в=7, то в сущности имеются четыре значения величины %:
* Напомним, что прописными буквами Q, 2 обозначены
величины, отнесенные к системе в целом, а строчными q, а— удельные,
к I кг,
91

Ц, F'i), Я(Г, V2), 7,(Г, V"i) и ЯG\ F) для четырех состояний
(подсистем). Равенство первой и второй пары значений А,
доказано выше. Но можно сравнивать любые значения Я, например
Я (Г, V'i) и %(ТУ V'j), ибо основное требование (термическое
равновесие) выполнено. Следовательно, имеем
ЦТ, V'U-ЦТ, У'2)=Ц7\ V"i)=WiV"*)t C.89)
т..е. %=К(Т) и не зависит от объема.
Если %фк(и), то (d%/dv)T=0 и выражение C.85) можно
переписать следующим образом:
(?¦),+'(»).-• <••«»
Выражение производной (du/dv)T через термические параметры
р, и, Г имеет важное значение в термодинамике: оно
устанавливает связь между термическим и калорическим уравнениями
состояния. Найдем указанное выражение, анализируя процесс
деформации прямоугольной координатной сетки р—u-диаграммы в
косоугольную сетку изотерм и адиабат (см. рис. 3.11) в окрестности
точки М. Детальный анализ геометрического существа такой
деформации с использованием математического аппарата функциональных
определителей (якобианов) позволяет ввести Т—5-диаграмму без
использования цикла Карно или принципа адиабатической
недостижимости; рассмотрение этого вопроса, однако, выходит за рамки
данного учебника. Ниже дан нестрогий вывод выражения для
(ди/ди)т.
Как уже отмечалось выше, площадь прямоугольника 1 на
рис. 3.11 равна площади параллелограмма 2\ равенство площадей
обеспечивается сохранением длины основания и высоты фигуры при
деформации по направлению двойной стрелки. Площадь
прямоугольника 1 равна dpvdvp, площадь параллелограмма 2 есть площадь
элементарного цикла Карно и равна подведенной теплоте dqif
умноженной на термический КПД:
dpvdvp^dqx-~\ C.91)
здесь индексы указывают, вдоль какой линии — изобары или изохо-
ры рассматривается изменение величины.
По первому закону термодинамики теплота dqx равна:
dqi=duT+pdvTt
при этом, как видно из рис. 3.11, dvP=dvT. Следовательно,
dpvdvp = (duT+pdvr) (dTvjT). C.92)
Разделим обе части выражения C.92) на dvTdTv и
умножим на Т:
dpv диг_
Т +р
Применяя обычное обозначение частных производных,
получаем окончательно:
-р. C.93):
92

Подставляя выражение C.93) в выражение C.90), имеем
уравнение
которое после деления обеих частей на (dpldT)v превращается
в обыкновенное дифференциальное уравнение, служащее для
нахождения неизвестной функции Х(Т):
Разделяя переменные и проводя интегрирование, получаем:
=1пс; A,=const/7\
Таким образом, для неизвестного параметра а, сохраняющего
свое значение вдоль обратимой адиабаты, имеем следующее
выражение: -
const dq/T,
которое с точностью до постоянной совпадает с определением
энтропии по Клаузиусу. Постоянная произвольна и ее значение
можно выбрать равным единице:
da=dq/T=ds.
В процессе доказательства существования энтропии
существование термодинамической температуры предполагалось уже
доказанным. В частности, интегрирующий множитель* Я = 1/7\
превращающий теплоту элементарного процесса
dq=du+pdu
в полный дифференциал энтропии
dS« -jr(du + pdv),
предполагался универсальной функцией термодинамической
температуры Т. Возможна, однако, и другая последовательность дока-
* Интегрирующим множителем называют функцию \i(x,y), при
помощи которой осуществляется трансформация бесконечно малой
величины df=fi(x, y)dx+f2(x, y)dy (так называемой формы
Пфаффа), не являющейся полным дифференциалом
т.е.
в полный дифференциал. Таким образом, величина
.dF*=[L(x, y)df=*\i(x, y)fi(x, y)dx+\i(x, y)f2(x, y)dy
представляет собой полный дифференциал, т. е.
у,
93

ч
і Ч
1 1
f,
Чг
, . ! . .. . ^ ^ ,
| !—--С »
Рис. 3.12
зательства: вначале доказывается существование энтропии, а затем
(и на дхжове существования энтропии) доказывается существование
термодинамической температуры.
Пример 3.2. Провести эксергетический анализ системы
отопления. Рассмотрим два варианта Системы отопления (рис. 3.12).
I. От продуктов сгорания топлива с температурой ТГ теплота
qx поступает на отопление помещения, в котором поддерживается
температура Тп. Передача теплоты происходит в теплообменном
устройстве ТО (например, пучок труб, внутри которых протекает
нагреваемая вода, а в межтрубном пространстве —
высокотемпературные продукты сгорания). Поступающая в помещение теплота q\
меньше теплоты qu отбираемой от продуктов сгорания, из-за
неизбежных потерь в окружающую среду.
II. Теплота <7i при температуре Тт подводится к тепловому
двигателю ТД, который производит работу I и отдает холодному
источнику (отапливаемому помещению) теплоту q'2 при
температуре Гп. Работа V используется для привода теплового насоса
ТН, отбирающего теплоту ^2,о от окружающей среды с
температурой Го и передающего отапливаемому помещению теплоту /і,о при
температуре Ти. В принципе ТН аналогичен холодильной машине
и работает по обратному циклу, потребляя работу (подробнее см.
гл. 9). Любопытно, что этот вариант отопительной системы был
предложен еще Кельвином («динамическое отопление»).
Составим эксергетический баланс для обоих вариантов,
используя обозначение eq(q) для эксергии теплового потока q и
учитывая, что еA)=1 — механическая энергия (работа) равна эксергии.
Вариант I:
94
Ґ

Вариант И:
Предпочтительным будет тот вариант, для которого | Ае|
меньше, ибо всегда ё2<е\. Величины, помеченные штрихом, учитывают
потери, которые практически невозможно оценить, располагая лишь
принципиальной схемой, изображенной на рис. 3.12. Например,
понятно, что /'</, однако значение разности /—/' определяется
конструкцией механической или электрической передачи крутящего
момента с вала ТД на вал ТН. Величина qf2>42 в силу того, что
термический КПД ТД меньше, чем КПД обратимого цикла Карно
(работа при этом меньше /). С другой стороны, при передаче q\
от ТД в отапливаемое помещение используется теплообменник и
потери в окружающую среду уменьшают q\. Короче говоря,
подробный эксергетический анализ с учетом всех потерь эксергии
требует знания конструкции рассматриваемой технической системы и
ее эксплуатационных параметров.
Будем сравнивать поэтому идеализированные варианты / и //,
полагая, что q\=qXt /'=/, а ц'% и q\^ равны соответственно
значениям q2 и qUOi отвечающим работе ТД и ТН по циклу Карно.
В этом случае:
Величина eq(q2,o)ss=O — теплота на уровне температуры окру«»
жающей среды — обладает нулевой работоспособностью.
Для сопоставления вариантов. необходимо выразить q2 и quo
через qx. Термический КПД обратимого цикла Карно для ТД равен
отсюда q2==qi(TnlTF). Для ТН справедливо соотношение ^і.о*35
=<72,o+f. После деления на / получим
ЯиоП=1+Я*.оІІ=1+Я2.оІ(Яиг-Ям) = 1 +T0Asl(TnAs—TQAs),
где As — разность энтропии («ширина») для обратного обратимого
цикла Карно ТН.
Учитывая, что работа Z в цикле ТД равна
имеем
Подставляя q2 и qu0 в выражение для Ае11, получаем:
что указывает на предельно высокое термодинамическое
совершенство варианта И. Разумеется, в реальной отопительной системе по
варианту II будет Аеп<0, однако с точки зрения термодинамики
сдела#о все возможное: перенос теплоты при конечных разностях
температур выполнен с использованием циклов Карно.
95

В варианте I имеется потеря эксергии:
ибо Тп<Тт.
Если сравнивать варианты по эксергетическим КПД
то получим:
J - *7о/Гп - . ті j
^ - '1—Гд/Гр < ]> Ъ - *•
Например, при Гг= 1800 К= 1527 °С, 7П=295 К=22°С, Го=
=260 К=—13 °С эксергетический КПД
ї 1 —160/295
^ ™ Г—^бо/івоо^0'139*
При этом в отапливаемое помещение поступает теплота: по
арианту I — ?„ по варианту II—q4 f ^lj0 - q\j^ + 1^_y-"/^ ) A
Таким образом, в отопительной системе по варианту II в
помещение поступает в 7 с лишним раз больше теплоты, чем
получается при сгорании топлива. Нет ли здесь нарушения первого
закона термодинамики — закона сохранения энергии? Предлагаем
читателю дать обоснованный ответ на этот вопрос.
ГЛАВА 4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ И ПАРОВ
§11. Реальные газы
Практика использования реальных газообразных
рабочих тел показывает, что расчеты, проведенные на
основании уравнения Клапейрона pv=RTf далёко не
всегда дают достаточно точные результаты. Происходит это
оттого, что реальные газы и пары * обладают свойствами,
выходящими за рамки модели идеального газа.
Наиболее отчетливо различие между идеальным и
реальным газом проявляется при анализе зависимости
так называемого коэффициента сжимаемости.
от давления р (рис. 4.1). Коэффициент сжимаемости
всегда равен единице для идеального газа, отклонение
*Паром называют обычно газ, состояние которого близко к
области, в которой происходит изменение агрегатного" состояния
вещества (кипение, конденсация).

Рис 4.1
Z от единицы характеризует степень отличия реального
вещества от идеального газа. На рис. 4.1 представлены
изотермы реального газа (без соблюдения масштаба).
Видно, что изотермы для достаточно низких температур
имеют минимум, при этом с повышением температуры
минимум вначале смещается в область более высоких
давлений, а затем в область более низких. Пунктирная
линия, соединяющая точки минимумов различных
изотерм, носит название «кривой Бойля». Точка
пересечения кривой Бойля с осью ординат (р=0) является
точкой минимума для изотермы с определенной для
каждого газа температурой Тб (температура Бойля). У
изотерм с более высокой температурой минимум
отсутствует — при любом давлении коэффициент сжимаемости Z
больше единицы. Экспериментально установленный
закон Бойля — Мариотта для разреженных (Т; е.
имеющих исчезающе малую плотность р->0) газов именно
для температуры Г б выполняется при низких
давлениях:
dZ\ 1 га (|*01
= TB RT[ dp \т=тв
0 О
О
4@,5) Зак, 503

или
p««=const (при
Таким образом, задавшись определенной
погрешностью, определяющей отклонение Z от единицы, можно
установить интервал давлений О^р^р*, в котором газ
может считаться идеальным; понятно, что такой
интервал будет иметь максимальное значение для изотермы с
Т=Ть , поскольку эта изотерма касательна к линии
Z=l. Таким образом, закон. Бойля — Мариотта лучше
всего выполняется, если газ имеет температуру Гб.
Главной причиной отклонения изотерм реального
газа от линии Z=l является наличие сил взаимодействия
между молекулами. Модель идеального газа
представляет собой систему материальных точек, хаотически
движущихся в пространстве и обменивающихся между
собой количеством движения при соударениях; в
реальном газе между молекулами действуют силы
притяжения и силы отталкивания. Силы межмолекулярного
взаимодействия имеют электрическую природу, характер их
весьма сложен. С увеличением расстояния между
молекулами газа силы взаимодействия резко убывают. При
этом особенно резко уменьшаются силы отталкивания:
F0T~xrm, где х — расстояние между молекулами
(рис. 4.2), показатель m=9-f-15. Для сил притяжения
показатель т«7. Поскольку силы притяжения и
отталкивания действуют одновременно, результирующая сила
F=F(x) равна их алгебраической сумме. С этой силой
связан потенциал межмолекулярного взаимодействия,
т. е. потенциальная энергия, численно равная работе
результирующей силы dun(x)=—F(x)dx. Знак
«минус»устанавливается в соответствии с принятой моделью
потенциального взаимодействия: при #->оо потенциальная
энергия взаимодействия равна нулю, работа сил
притяжения приводит систему в «потенциальную яму» —
точка А на рис. 4.2, а; работа внешних сил против сил
отталкивания приводит к неограниченному возрастанию
потенциальной энергии системы — ветвь АС на рис. 4.2, а.
Силы взаимодействия могут быть рассчитаны для
пары молекул, если для данного газа известна кривая
ип=ип(х). Например, часто используется так
называемый потенциал Леннарда — Джонса

ГДе Xq — расстояние между молекулами, при котором
Потенциальная энергия равна нулю; є — «глубина потентіиальнои ямы»
(максимальная энергия притяжения).
б)
^тУ
X
Рис. 4.2
4*@,5) Зак, 608
99

Первое слагаемое в выражении D.1) cootoefcf?yet
силам отталкивания FOT, второе —силам притяжения
Fпр. Кроме потенциальной энергии взаимодействия
молекул следует учитывать и кинетическую энергию,
пропорциональную величине kT (k — постоянная Больц-
мана).
Проблемой исследования свойств макроскопических
систем, находящихся в состоянии равновесия, на
основании известных свойств образующих такие системы
частиц занимается статистическая физика. Основная
задача заключается в том, чтобы описать поведение
системы, содержащей весьма большое число частиц
(например, 1 кг или 1 кмоль реального газа), по свойствам и
законам движения отдельных молекул, которые
считается заданными. Поведение макроскопических систем
определяется закономерностями особого рода —
статистическими закономерностями. Общие равновесные
свойства системы (например, термодинамические параметры,
характеризующие ее состояние) сравнительно мало
зависят от конкретных свойств частиц и законов их
взаимодействия. Это обстоятельство позволяет установить
общие законы поведения систем и, в частности, законы
теплового поведения макроскопических тел в состоянии
равновесия; например, методами статистической физики
можно теоретическим путем получить уравнение
состояния (разумеется, в ограниченном числе случаев).
Следует отметить, что последовательное применение
статистических методов нельзя осуществить на основе
классической механики движения частиц. Даже для
описания движения сравнительно тяжелых частиц (молекул)
d объеме макроскопической системы, когда, казалось
бы, справедливы положения ньютоновской механики,
приходится использовать теорию движения
микрочастиц— квантовую механику. Таким образом, получение
уравнения состояния реальных газов теоретическим пу-
гем в принципе возможно, но для большинства
практически важных случаев связано с непреодолимыми
трудностями. Однако теория позволяет обосновать общий
вид уравнения состояния.
Термическое уравнение состояния реального газа
F(pt u, Т)=0 можно представить в виде p=p(v, T)
или, умножив обе части на удельный объем v, в виде:
pv=vp{v, 7}—/ofo, Г)«/(р, Т),
где р —плотность, p=l/t>. Разложим функцию /(р, Т)
100 ,

в степенной ряд по плотности р в окрестности точки
р=0; получим:
0 Р + Т"
dlf
Первый член разложения есть значение разлагаемой
в ряд функции в точке р=0; по физическому смыслу он
соответствует предельно разреженному, т. е.
идеальному газу, и равен:
Разделив обе части разложения на RT и введя
обозначения:
получим для коэффициента сжимаемости Z следующее
выражение:
D.2)
Уравнение D.2) называют уравнением состояния в
вириальной форме; коэффициенты В (Г), С(Т), D(T)
и т. д. — соответственно вторым, третьим, четвертым
и т. д. вириальными коэффициентами *. Вириальные
коэффициенты являются функциями только температуры
(ибо они получены при условии p=l/t;=O). Уравнение
в вириальной форме, предложенное Камерлинг-Оннесом,
было обосновано методами статистической физики Дж.
Майером и Н. Н. Боголюбовым A937—1946 гг.). Второй
вириальный коэффициент учитывает парные
взаимодействия частиц, третий — взаимодействия, в которых одно-
* Вириалом (по Клаузиусу) называют усредненную во времени
N
сумму 2j Kir і» где Кі — сила, действующая на t-ю молекулу;
1=1
г і — радиус-вектор (координата) молекулы; N — количество
молекул в системе. Нахождение вириальных коэффициентов связано с
вычислением вирйала.
101

временно участвуют три частицы, четвертый — четыре
частицы и т. д. Вероятность одновременного
столкновения четырех и более молекул весьма мдла, поэтому во
многих практически важных случаях достаточно
учитывать второй и третий вириальные коэффициенты.
Статистическая физика позволяет рассчитать вириальные
коэффициенты, если известна зависимость для
потенциала межмолекулярного взаимодействия; например, для
таких газов, как О2, Н2, СО2, обычно используется
потенциал Леннарда — Джонса D.1), однако для водяного
пара Н2О, SO2 потенциал описывается более сложной
функцией.
Для идеального газа учитываются только силы
отталкивания в виде размера жесткой молекулы, так что
зависимость ип(х) в этом случае можно представить
так, как это показано на рис. 4.2, в. Если учесть и силы
притяжения в соответствии с потенциалом на рис.
4.2,г, то получим газ Ван-дер-Ваальса (на рисунке d —
расстояние между сталкивающимися молекулами,
равное диаметру молекулы). Уравнение состояния для
такого газа легко вывести из уравнения Клапейрона,
если учесть силы отталкивания, обусловленные
собственным объемом молекул, и силы притяжения, которые
проявляются в виде некоторой добавки к давлению. Если
рассматривать только парные взаимодействия, то, как
видно из рис. 4.2, г, для каждой из двух
соударяющихся молекул объем сферы радиусом d (пунктирная
окружность) является недоступным; этот объем равен
учетверенному объему взаимодействующих молекул.
Следовательно, вместо объема v для 1 кг реального газа
имеем меньший объем (v—6), где Ь — учетверенный
суммарный объем молекул. В отличие от сил отталкивания,
которые проявляются лишь при взаимодействии, силы
притяжения являются дальнодействующими и
охватывают своим влиянием группу молекул. В целом это
приводит к некоторому ослаблению воздействия газа на
окружающую стенку:
Молекулы, заполняющие пристенную зону, в
отличие от внутренних групп молекул испытывают
несимметричное воздействие сил притяжения, увлекающих их
внутрь объема. Это воздействие пропорционально, во-
первых, концентрации молекул в пристенной зоне и, во-
вторых, концентрации молекул во внутренней части объ-
102

ема, т. е. величине р2, поэтому Др==ар2=а/і;2, где а —
вторая константа уравнения, определяемая характером
зависимости ип(х). Таким образом, уравнение Ван-дер-
Ваальса имеет вид:
U>+alb*)(v-b)*=RT. D.3)
Полученное из простых соображений уравнение D.3)
неплохо описывает реальный газ в качественном
смысле; расчеты по уравнению D.3) дают недостаточно
точные результаты. Так, например, из уравнения D.3)
следует существование минимумов на изотермах Z—р-диа-
граммы и тенденции смещения этих минимумов в
область низких давлений при приближении к температуре
Бойля Т б со стороны меньших температур (см.
рис. 4.1).
Изотермическое сжатие газа приводит одновременно
к росту давления и плотности, поэтому для удобства
будем искать минимум для зависимости Z(p) при Т=
= const, а не для Z(p). Используя указанные
переменные, уравнение Ван-дер-Ваальса D.3) можно
представить в виде:
\-{alRT)y + (ablRT)?
Приравняем нулю производную:
dZ\ Ь — a/RT + 2 (ablRT) р - (ab*/RT) р* Л (Р)
Ш)A°- D'5)
Знаменатель в выражениях D.4) и D.5) равен нулю
лишь для предельно плотных газов — при v=b.
Применительно к газам с меньшей плотностью условием
минимума-является fi(p)=O и в результате решения
квадратного уравнения относительно р получаем:
Рт-1/* —/Л77Д, D.6)
где рт — плотность газаэ соответствующая минимуму на изотерме.
Второй корень уравнения D.5) не имеет
физического смысла: получается v<Cb. Из выражения D.6)
видно, что с возрастанием температуры минимум на изо-
Чермах смещается в область низких плотностей (низких
давлений). Физически это означает увеличение сил
отталкивания, что происходит в связи с увеличением
частоты столкновений. В пределе при рт=0 получаем
значение Температуры Бойля:
103

Уравнение Ван-дер-Ваальса является наиболее
простым уравнением состояния реального газа. Существует
ли связь этого уравнения с наиболее общим уравнением
состояния — уравнением в вириальной форме? Такая
связь существует: если для разреженного газа
учитывать только второй вириальный коэффициент, то
уравнения D.2) и D.3) эквивалентны. Для уравнения
состояния в вириальной форме D.2) имеем:
(dZldp)T=B(T)+2C(T)9+3D(T)9*+ ...
Отсюда следует, что для разреженного газа /р->0/
D.8)
С другой стороны, уравнение Ван-дер-Ваалъса D.4),
согласно выражению D.5), дает следующее значение
для производной D.8):
Следовательно, уравнение D.2), в котором учтен
только второй вириалъный коэффициент, имеет вид:
Z**l+B(T)9=*l+(b-a)/RT)9.
После Некоторых преобразований имеем:
p+a/v*=*(RTIv)[(v+b)lv]. D.9)
Для разреженного газа собственный объем молекул
намного меньше объема, занимаемого газом: b<g.v; при
этом можно считать, что (v-^b)/v^v/(v—Ь). Тогда из
выражения D.9) получаем уравнение Ван-дер-Ваальса:
p+a/v*=*RTf(v—b).
Геометрический смысл величины В(Т) определяется
выражением D.8): второй вириалъный коэффициент
равен тангенсу угла наклона касательной к изотерме при
р-Я). Согласно рис. 4.1 для реального газа, тангенс
отрицателен при Г<Гб , равен нулю при Т=Тъ и
положителен при Т>Ть . Полученное из уравнения Ван-
дер-Ваальса выражение для В(Т) приводит к таким же
результатам: '
ВЮ—%> тт_Б ; D.10)
здесь использовано выражение D.7).
104 •

На основе уравнения D.3) можно рассчитать и
калорические свойства газа Ван-дер-Ваальса: и, h, s, cp и
cv. В основе такого расчета лежит уравнение C.21),
являющееся следствием первого и второго законов
термодинамики.
Надежность проектирования различных технических
объектов в большой степени связана с точностью
расчетов процессов изменения состояния рабочих веществ,
которые используются в этих объектах. Качественное
проектирование дает существенный экономический
эффект за счет снижения затрат топливно-энергетических
ресурсов и материалов, а также затрат на создание
опытно-промышленных образцов нового оборудования.
Различные газообразные рабочие вещества широко
используются в народном хозяйстве. В связи с этим
создание достаточно точного уравнения состояния
реальных газов представляет собой задачу первостепенной
важности. Уравнение Ван-дер-Ваальса было
опубликовано в 1873 г., теория уравнения обобщала опыт
исследований в этой области за предшествующий
многолетний период. В последующий период по мере развития
техники предпринимались многочисленные попытки
усовершенствования уравнения Ван-дер-Ваальса, а также
построения новых уравнений состояния *. В настоящее
время наибольшее внимание уделяется созданию так
называемых полуэмпирических уравнений состояния.
Основой в этом случае является уравнение в вириальной
форме D.2), но вириальные коэффициенты
рассматриваются как эмпирические и вычисляются по измеренным
термодинамическим свойствам веществ, а не по
зависимости ()
По рис. 4.1 и формуле D.10) видно, что с
понижением температуры второй вириальиый коэффициент
возрастает по модулю, следовательно, свойства реального
газа даже при умеренных плотностях все более
отклоняются от свойств идеального. Кривая Бойля при
низких температурах отклоняется в область пониженных
давлений. Минимумы на изотермах становятся все более
явно выраженными. Причиной всех этих изменений
является приближение к области фазовых превращений.
* По данным М. П. Вукаловича и И. И. Новикова к 1945 г.
было опубликовано более 150 уравнений состояния реальных газов.
105

§12. Фазовые переходы.
Термодинамические свойства
воды и водяного пара
Обычно различают три агрегатных состояния
вещества — твердое, жидкое и газообразное. Известно, что в
определенных условиях вещество может одновременно
находиться в двух и даже трех агрегатных состояниях
одновременно: вода и водяной пар; лед, вода и водяной
пар и т. д. Такую термодинамическую систему,
состоящую из различных по своим свойствам частей,
отделенных одна от другой поверхностями раздела, называют
гетерогенной. Каждая гомогенная (т. е. однородная,
сплошная) часть гетерогенной системы, ограниченная
поверхностью раздела и характеризующаяся одинаковыми
физическими свойствами во всех своих точках,
называется фазой; фаза может рассматриваться как
гомогенная термодинамическая система. Таким образом,
гетерогенная система состоит из отдельных гомогенных
подсистем. Фазовый переход есть переход вещества из
одной фазы'в другую через поверхность раздела фаз.
Рассмотрим особенности фазового перехода из
жидкого состояния в газообразное — переход жидкости в
пар. Можно привести два примера реализации такого
процесса применительно к теплоснабжению: внезапное
падение давления в водогрейном котле (рис. 4.3,а) и
изобарное превращение воды в пар в паровом котле
(рис. 4.3,6). Соответственно своему названию
водогрейный котел предназначен для нагрева воды до заданной,
достаточно высокой температуры, но вскипание при
этом не допускается; состояние воды изображается
точкой d на р—u-диаграмме (см. рис. 4.3,а). Если в
результате аварии происходит разгерметизация, а
температура по инерции сохраняет свое значение, то
развивается процесс изотермического расширения dabe. В
отличие от изотермы идеального газа, определяемой
уравнением p=const/u, линия изотермического процесса
dabe имеет ступенчатую форму с горизонтальным
участком ab. Опыт показывает, что при переходе к изотермам
с более высокими значениями температуры длина
участка ab уменьшается, для более низких температур
длина участка ab увеличивается.
Точка а означает начало вскипания, точка b — его
окончание. Пусть в р—и-координатах построено семей-
106

Sx S" S
Р>Р»
Р-Р*
Г* const
р»const
Рис. 4.3
ство изотерм, у каждой изотермы есть свой
горизонтальный участок ab. Соединив все точки а, получим
пограничную кривую жидкости; слева от этой кривой
вещество A кг Н2О) находится в жидкой фазе
—область ж. Соединив все точки Ь, получим пограничную
кривую пара; справа от этой кривой вещество
находится в паровой фазе — область п. Между пограничными
кривыми располагается двухфазная область —. область
ж+п, вещество здесь распределяется между двумя
фазами, например, в точке с 1 кг НгО состоит из 0,8 кг
пара и 0,2 кг воды.
Обе пограничные кривые соединяются вверху в
точке К — критической точке, термодинамические
параметры которой имеют характерные для каждого вещества
значения (табл. 4.1).
Расширение по изотерме с Г>Гкр происходит без
разделения вещества на две фазы, плотность
уменьшается монотонно.
В отличие от рассмотренной ситуации изобарное
превращение жидкости в пар является целенаправленным,
запланированным процессом. Он используется в
паровых котлах (парогенераторах) при получении пара для
теплоснабжения, проведения технологических процессов,
107

Таблица 4.1. Термодинамические параметры различных
веществ в критической точке
Вещество
Вода
Кислород
Азот
Углекислота
374,15
—118,8
—147,1
31,1
ркр, МПа
22,136
4,876
3,286
7,161
Ркр» кг/м"
315
430
311
460
выработки электроэнергии. Исходное состояние воды
изображается в Т—s-диаграмме точкой f (см. рис. 4.3,6).
При постоянном давлении к воде подводится теплота,
выделяющаяся в результате горения топлива, и
осуществляется изобарный процесс fabg. В отличие от
изобары идеального газа, изображаемой в Т—s-диаграмме
плавной кривой (показательная функция, см. гл. 5),
изобара fabg имеет ступенчатую форму с горизонтальным
участком ab. Как следует из сопоставления рис. 4.3,а и
рис. 4.3,6, на которых одни и те же состояния
обозначены одинаковыми буквами, в Т—s-диаграмме
присутствуют все упоминавшиеся ранее элементы,
характеризующие процесс парообразования.
Ознакомимся с некоторыми терминами, которые
следует четко усвоить для понимания последующего
материала и работы со справочными данными о свойствах
веществ. Приняты следующие названия характерных
состояний: точка а — кипящая жидкость; точка b —
сухой насыщенный пар (пар, находящийся в равновесии с
жидкостью, становится «сухим», если, не изменяя р и Г,
удалить из системы жидкую фазу механическим путем);
точка с — влажный пар (смесь кипящей жидкости и
сухого насыщенного пара, область ж-\-п)\ точка е (или
gr) — перегретый пар (газообразное состояние вещества,
область п\ поблизости от пограничной кривой пара
среда обладает свойствами реального газа — см. § 11, при
удалении точки, изображающей состояние вещества,
вправо и вверх имеем в пределе идеальный газ); точка
d (или f) — жидкость (жидкое состояние вещества,
область ж).
Приняты следующие названия процессов: ab —
парообразование (реализуется в двух формах: испарение —
на свободной поверхности жидкости; кипение — на
свободной поверхности и внутри жидкости путем образо-
108

вания паровых пузырей); Ьа — конденсация; fa —
изобарный нагрев жидкости; bg — перегрев пара.
Термодинамические параметры кипящей жидкости
(т. е. состояний на пограничной кривой жидкости)
обозначаются штрихом, например, и', s' и т. д.; параметры
сухого насыщенного пара (т. е. на пограничной кривой
пара) обозначаются двумя штрихами — v", s" и т. д.
Используем первый закон термодинамики для
анализа энергетических превращений в процессе
парообразования. Уравнение первого закона
с учетом специально принятых для фазового перехода
обозначений выглядит применительно к процессу ab так:
r=(u"-u')+Pu(v"-v% . D.11)
где г — теплота фазового перехода (парообразования или
конденсации), кДж/кг; рн — давление насыщенного пара, кПа.
Большая часть теплоты г расходуется на изменение
внутренней энергии и"—и'\ например, при давлении
1,37 МПа A4 кгс/см2) для воды эта часть равна 0,9г.
Увеличение внутренней энергии при парообразований
(и">и') связано с увеличением объема (v">v')b
расстояния между молекулами при этом увеличиваются ля
потенциальная энергия взаимодействия ип возрастает
(см. рис. 4.2,а, зависимость ип{х), ветвь AB).
С другой стороны, теплота г выражается площадью
под линией процесса ab в Т—s-диаграмме (см. рис.
4.3,6): -
r=7V(s"-s'), D.12)
где Гн — температура насыщенного пара, К.
Очевидно, что процесс парообразования, начавшийся
в точке а, можно остановить в любом промежуточном
положении, например, в точке с, прекратив подвод
теплоты. Как будет показано ниже, такое состояние
устойчиво и при отсутствии внешних воздействий может
сохраняться сколь угодно долго. Количество
образовавшегося пара m"A, кг, пропорционально, конечно,
количеству подведенной теплоты, которая равна площади под
линией ас:
109

Таким образом, йМеёМ зайисиМоеГЬ
т"х=const гх, D. ІЗ)
где const можно исключить, применив выражение D.13)
к точке b: /n=constr; здесь т=т'х-\-т"х=\ кг есть
масса вещества, для которой построена диаграмма.
После исключения const получим
m"xlm=rxlr. D.14)
Отношение
х=т\\т=т"х\ (т'х+т"х), D.15)
определяющее количество сухого насыщенного пара в
1 кг влажного пара, называется степенью сухости пара.
Для пограничной кривой жидкости х=0, для
пограничной кривой пара х=\. Применительно к
произвольному количеству вещества величина х есть массовая доля
сухого насыщенного пара во влажном паре.
Из выражения D.14) следует
или
sx=(\-x)s'+xs". D.16)
Поскольку для изобарного процесса теплота равна
изменению энтальпии, имеем
r=h"—h\ rx=hx—h'
и
hx=(\—x)h'+xh". D.17)
Объем термодинамической системы равен сумме
объемов ее составных частей; из этого свойства
аддитивности объема получаем:
ux=A—x)v'+xv". D.18)
Из определения энтальпии имеем: ux=hx—рпих.
Подставив в это соотношение выражения D.17) и D.18),
получим формулу для внутренней энергии влажного
пара:
и*=A-- х)и'+хи". D.19)
До сих пор мы сознательно не затрагивали вопрос о
термодинамическом равновесии отдельной фазы или
двухфазной системы в целом. Например, факт
устойчивого существования в точке d жидкой фазы считался
известным из опыта; однако стоит лишь изменить усло-
110

вия внешнего воздействия на систему, уменьшив давле*
ние окружающей среды до значения ре, как равновесие
в системе нарушается и она самопроизвольно
устремляется к новому состоянию равновесия, определяемому
точкой е. При этом ситуация в термодинамической
системе коренным образом меняется: иным становится не
только давление, но и ряд других термодинамических
параметров, вещество из жидкого превращается в
газообразное. Важно располагать расчетными методами,
позволяющими определить характеристики системы в
том или ином состоянии равновесия; важно уметь
предсказывать возможное состояние равновесия при том или
ином воздействии на систему. Для этого необходимо
уметь правильно формулировать условия
термодинамического равновесия в математической форме. Проблема
эта выходит за рамки изучения фазовых переходов, она
связана также с возможностью получения
максимальной полезной работы от стремящейся к равновесию
системы, с анализом хода химических реакций и вообще
является одной из важнейших проблем термодинамики.
Ранее рассматривалась адиабатная система (см.
§ 10), для которой было получено выражение C.57):
Это выражение означает для энтропии две
возможности: увеличиваться или оставаться постоянной. С другой
стороны, известно, что состояние термодинамического
равновесия должно соответствовать внешним условиям,
которые определяются окружающей средой. Если
внешние условия изменить (например, объем для адиабатной
системы), то равновесное состояние нарушится, система
начнет приспосабливаться к новым внешним условиям
(к новому объему). В системе пойдет необратимый
процесс перехода к новому состоянию равновесия, в ходе
этого процесса энтропия, согласно выражению C.57),
будет возрастать. С течением времени процесс
закончится, наступит новое состояние равновесия и энтропия
(так же, как и другие термодинамические параметры)
примет постоянное значение, которое будет
максимальным для данных внешних условий. Известно, что
достаточным условием максимума функции нескольких
переменных является равенство нулю ее полного
дифференциала и отрицательность второго дифференциала. Сле-
111

дoЁafeльнo, для адиабатной системы имеем следующие
условия термодинамического равновесия:
ds=0; d2s<0. D.20)
Можно показать, что условия D.20) определяют
состояние термодинамического равновесия и для
изолированной системы; такая система не обменивается с
окружающей средой ни теплотой, ни работой, ни
веществом. Используем объединенное выражение первого и
второго законов термодинамики C.56):
Tds^du+pdv
для анализа изолированной системы. Масса системы,
равная 1 кг, остается неизменной, работа dl=pdv=0,
теплота dq=Ot поэтому и du=dq—dl=0. Таким
образом, у изолированной системы внутренняя энергия и
объем постоянны: и=const, v=const. Поэтому из
выражения C.56) вытекает выражение C.57) и условия
D.20).
Из условий D.20) и свойства аддитивности
энтропии, внутренней энергии и объема следуют интуитивно
введенные ранее условия термического и механического
равновесия в системе. Пусть имеется изолированная
система произвольной массы т, имеющая объем V, вчут-
реннюю энергию U и энтропию 5. В состоянии
равновесия эти величины постоянны, причем все они
экстенсивные. Можно ли утверждать, что в состоянии
равновесия интенсивные- величины р и Т имеют одинаковые
значения во всех частях системы? Согласно выражению
C.56), в состоянии равновесия имеем:
dS ^-j-dU + -jrdV^O. D.21)
Проведем мысленное испытание системы на
равновесность. Для этого разделим ее произвольно на две
части и нарушим равновесие между этими частями. Если
такое нарушение относится к совокупности возмущений,
допускаемых условием D.21), то испытание позволяет
выявить другие условия равновесия. Для части первой
можно записать уравнение:
dSt =Y-dUt + J^dVi, D.22)
которое означает, что если бы внутренняя энергия
первой части изменилась на dUu а объем на dVu то ее
112

энтропия изменилась бы на dS\. To, что эти изменения
в действительности не происходят в равновесной
системе, принципиального значения не имеет *.
Для второй части справедливо аналогичное
уравнение:
dS> - ~г- dU, + |г- dV,. D.23)
Совокупность возмущений dUu dVu dU2y dV2
допускается в качестве возможной в том случае, если не
будет нарушено равновесие основной системы с
параметрами [), V и S. Для этого должно выполняться условие
D.21), а также условия изолированности системы:
dm=dU=dV=0. С учетом свойства аддитивности
величин S, U и V имеем S—Si+S2 и
01 D.24)
а также
dUl+dU2=0\ dVt + dVz^O. D.25)
Подставим выражения D.22) и D.23) в выражение
D.24); учитывая при этом условия D.25), получим
уравнение:
{\ITl-\IT2)dVl+i,plITl^-p2IT2)dVi=01 D.26)
которое удовлетворяется только при условиях
Гі=Г2; D.27)
Рі=Р2, D.28)
поскольку dU\ и dV\ произвольные малые величины, не
зависящие одна от другой и не равные нулю. В
качестве первой части можно брать окрестность V\
произвольной точки, в качестве второй — оставшийся объем
системы. Поэтому условие D.27) является условием
термического равновесия: температура во всех точках
системы одинакова. Условие D.28) есть условие
механического равновесия: давление во всех точках системы
одинаково.
* Идея такого подхода связана с принципом виртуальных
перемещений (т. е. возможных, допускаемых для данной системы) в
механике, который был сформулирован И. Берпулли и применен к
расчетам механических систем Лагранжем. Применение и
обобщение данного метода для исследования равновесия
термодинамических систем было сделано Гиббсом, разработавшим общую теорию
термодинамических потенциалов — основной метод современной
термодинамики.
5 Зак. 508 113

Анализ равновесия изолированной системы имеет
большое практическое значение, ибо в качестве
изолированной всегда можно рассматривать составную систему,
образованную любой изучаемой системой и
окружающей средой. Однако на практике часто встречаются и
неизолированные системы; примером здесь может
служить двухфазная система, находящаяся в условиях
постоянных давления и температуры.
Сформулируем условия равновесия двухфазной од-
нокомпонентной * системы массой т для р, T=const.
Объединенное выражение первого и второго законов
термодинамики в виде:
TdS^dU+pdV D.29)
можно трактовать как зависимость S=S(U, V) в
дифференциальной форме. Путем тождественных
преобразований выражения D.29) можно перейти от
аргументов ?/, V к аргументам р, Т; при этом, разумеется, смысл
выражения D.29) не будет нарушен — полученное
выражение останется объединенной формулой первого'и
второго законов. Однако вместо функции S мы получим
другую функцию. Преобразуем выражение D.29):
TdS+SdT^dU+pdV+Vdp—Vdp+SdT,
что можно записать также в следующем виде:
d(H—TS) ^—SdT+Vdp.
Функция G=H—TS называется энергией Гиббса
или изобарно-изотермическим потенциалом (кратко —
изобарный потенциал). С использованием энергии
Гиббса объединенное выражение первого и второго законов
термодинамики можно представить так:
dG^—SdT+Vdp. D.30)
Применительно к рассматриваемой системе, для
.которой р, T=const и, следовательно, dp, dT=0, имеем
следующее условие для обратимых и необратимых
процессов, вытекающее из первого и второго законов
термодинамики:
dG<0. D.31)
Самопроизвольный реальный процесс стремления изо-
барно-изотермической системы к равновесию необратим
* Здесь имеется в виду, что система содержит только одно
химически индивидуальное вещество, например, НгО. Подробное
определение понятия компонента будет дано в гл. 10.
114

и сопровождается уменьшением изобарного потенциала
(dG<0). При достижении системой состояния
термодинамического равновесия изобарный потенциал, таким
образом, получает минимальное значение для
определенных р и Т. Достаточные условия минимума функции
G = G(p, T) состоят в следующем:
dG=0; d*G>0. D.32)
Обратим внимание на то, что изобарный потенциал
G — экстенсивная величина, поскольку таковыми
являются величины Н и S. Это значит, в частности, что так
же, как имеются удельные параметры А, кДж/кг, и s,
кДж/(кг-К), существует и удельный изобарный
потенциал, который называют химическим потенциалом и
обозначают jx, кДж/кг. В рассматриваемой двухфазной
системе каждая фаза характеризуется своими
удельными параметрами: киїїящая жидкость массой т' имеет
параметры A', s\ \i' и др.; сухой насыщенный пар
массой т" имеет параметры h"', s", j/' и др. Энтропия и
энтальпия системы определяются формулами
S=s'm'+s"m"; D.33)
H=h'm'+h"m", D.34)
которые переходят в формулы D.16) и D.17)
соответственно, если масса системы m = m'+m// = l кг.
Изобарный потенциал системы связан с химическими
потенциалами фаз формулой
G = ix'm'+ix"m". D.35)
В условиях термодинамического равновесия,
согласно выражению D.32), получаем:
dG = \x'dm'+ \x"dm"=0, D.36)
где (я/=А/—7V и jj,"=A"—Ts" являются постоянными
величинами для заданных р и Т.
Масса двухфазной системы т может различным
образом распределяться между фазами, но всегда
сохраняет одно и то же значение: m = m/+An//=const, т. е.
dm = 0. Однако каждая фаза представляет собой
открытую подсистему, ибо через поверхность раздела фаз
поступает масса вещества, при этом dmr=—dm", т. е.,
например, уменьшение массы воды равно увеличению
5* Зак. 508 115

массы пара. С учетом этого из выражения D.36)
получаем:
Ц'-Ц", D.37)
т. е. химические потенциалы сосуществующих фаз в
условиях термодинамического равновесия равны между
собой. В силу предварительно принятого условия /?,
r=const термическое и механическое равновесия в
системе также соблюдаются:
Г—ГГ; D.38)
р'=р». D.39)
Равенства D.37) —D.39) представляют собой
условия термодинамического равновесия двухфазной одно-
компонентной системы.
Что произойдет при нарушении условия D.37)?
Начнется переход массы в фазу с меньшим химическим
потенциалом, поскольку именно такой процесс вызовет
«разрешенное» изменение изобарного потенциала G —
его уменьшение согласно выражению D.31). Если,
например, при определенных значениях р и Т имеем
|i/<|i//, то по формуле D.35) произвольное значение
G ВСеГДа ЛеЖИТ Между КраЙНИМИ: Gmm^G^Gmax, ҐДЄ
Gmin—|i'm» Gmax=M///rc. Система начнет изменять свое
состояние так, чтобы G->Gmin, и равновесие наступит
тогда, когда вся масса системы перейдет в жидкую фазу
(см. пример 4.1).
Условия равновесия D.37) — D.39) можно записать
в виде одного уравнения
ц'(Р. Г)-иЧР, Г), D.40)
из которого видно, что обе фазы имеют одни и те же
давление и температуру. Это — давление /?н и
температура Гн насыщенного пара, которые в условиях фазового
равновесия связаны между собой: если взять
произвольное значение /?н, то из уравнения D.40) найдется
соответствующее ему значение Гн. Таким способом можно
построить кривую парообразования — линию фазового
равновесия в р—Г-координатах. Найдем уравнение
кривой парообразования рн=ї(Тн). Пусть для
произвольного состояния равновесия выполняется условие D.40);
перейдем в близкое, также равновесное, состояние с
параметрами p+dp и T+dT. Следует отметить, что в
новом состоянии равновесия соотношение между массами
W ' . •

фаз* может стать другим. Например, изобарный
потенциал жидкой фазы изменится на величину
dQ'=a—S'dT+V'dp+ik'dm'. D.41)
По определению химический потенциал есть
удельный изобарный потенциал: G'=\x'm'f следовательно,
dG'=\i'dm'-{-m'd\x'. Сопоставляя это с приведенным
выше выражением D.41), получим:
dii'^—s'dT+v'dp. D.42)
Аналогичная формула справедлива, конечно, и для
второй фазы:
d ц,"=— s"dT+v"dp. D.43)
Как начальное, так и новое состояние равновесны,
следовательно, в обоих случаях должно соблюдаться
равенство [д,/=[х//. Но тогда и изменения химического
потенциала каждой фазы при переходе равны между
собой: d\i'=d\if. Используя выражения D.42) и D.43),
получим
—s'dT+v'dp=—s"dT+v"d p
или
dp/dT= (s"_s')/(i,"--i,').
Из выражения D.12) разность энтропии равна: s"—
—s'=rJTH. С учетом этого получаем уравнение
Клапейрона — Клаузиуса:
D.44)
связывающее давление насыщения с температурой
насыщения. Эта зависимость для Н2О изображена на рис. 4.4
(без соблюдения масштаба). Начало кривой
парообразования расположено в тройной точке, соответствующей
состоянию, в котором находятся в равновесии три фазы
вещества — твердая, жидкая и газообразная; для Н2О
параметры ро> То точки О приведены на рисунке.
Заканчивается кривая в критической точке К. Интегрируя
уравнение D.44) в интервале от тройной точки до точки
с текущими координатами рн, ТИ, получим следующее
выражение
т
г
і
117

22,14 МПа —
ПО! °С
374,15°C T
Рис. 4.4
Если интервал интегрирования относительно невелик,
можно не учитывать зависимость теплоты
парообразования г от температуры (эта зависимость показана на
рис. 4.4 пунктирной кривой) и пренебречь объемом
жидкой фазы. Для Н2О, например, следующие данные
иллюстрируют сказанное:
/, °С 0,0075 50 100
г, кДж/кг 2500,9 2382,4 2256,8
і/, м»/кг 0,00100 0,00101 0,00104
u", м8/кг 206,3 12,04 1,673
В предположении гфг(Тн) = const, u'<Cu", а также
считая пар идеальным газом, т. е. vli=RTli/pH, из
выражения D.44) получим:
dpH г ' N
~рГ-~^ГаТл- D-46)
Проинтегрировав уравнение D.46) в тех же
пределах, что и при получении выражения D.45), придем к
следующей расчетной формуле
Рп - Лехр
-^ Tu7o ),
D.47)
118

которая (с учетом ее простоты) дает умеренную
погрешность для небольших интервалов интегрирования.
Например, при расчетах процессов изменения состояния
влажного воздуха для систем вентиляции и
кондиционирования температура обычно не превышает нескольких
десятков градусов по шкале Цельсия. Приведенные
ниже результаты дают представление о погрешности
определения 6 давления насыщения рн по формуле D.47)
в сравнении с определением давления насыщения рн.т по
таблицам термодинамических свойств воды и водяного
пара:
U °С 50 100
/;н, кПа 12,234 96,041
/>нт. кПа 12,326 101,254
8, % 0,75 5,15
Формулу D.47) можно использовать для
ориентировочных расчетов давления рн не только на начальном
участке кривой парообразования; например, для
интервала 100—150 °С погрешность не превышает 5%. Во
всех случаях берется среднее арифметическое значение
теплоты парообразования г в интервале.
Формулу D.47) можно представить в следующем
виде:
1прн= —?—-4- b, D.48)
* Н
где постоянные равны: k=r/R; b = r/RT0-\-\n p0.
Выражение D.48) представляет собой уравнение'прямой в
координатах 1прн, 1/Тн и часто используется для
обобщения экспериментальных данных. Любопытно, что
опытные точки хорошо группируются вдоль прямой даже при
высоких значениях рн, когда предположения,
положенные в основу вывода формулы D.47), не выполняются;
это обстоятельство объясняется физическими
особенностями фазового перехода жидкость — пар, которые здесь
не рассматриваются. При экспериментальном
определении функции pH = f(Tn) постоянные k и b могут быть
определены по уравнению прямой D.48) и, конечно, не
равны приведенным выше выражениям. Область
использования формулы D.47) можно расширить также за счет
учета зависимости г=г(ТИ) (см. пример 4.2).
В основу вывода уравнения Клапейрона — Клаузиу-
са D.44) легли термодинамические положения, которые
справедливы и для фазовых переходов жидкость —
119

твердое тело и твердое тело — пар (см. рис. 4.4).
Следовательно, это уравнение справедливо в,указанных
случаях при замене г теплотой соответствующего фазового
перехода, а объемов жидкости и пара — объемами
соответствующих фаз. Каждый из трех фазовых переходов
является изобарным (и изотермическим), поэтому
значения теплоты равны разности энтальпий фаз и между
ними существует очевидное соотношение
¦ Лп-Лт= (Лп-Лж) + (Лж~Лт), D.49)
являющееся аналогом закона Гесса для фазовых
превращений.
Известен ряд технически важных газов и жидкостей.
В теплотехнических устройствах они используются
главным образом в качестве теплоносителей и рабочих тел.
Теплоносители служат для переноса теплоты; например,
в системе теплоснабжения вода получает теплоту в
водогрейном котле, перемещается по трубам тепловой сети
к потребителю и отдает там теплоту в систему
отопления. Рабочими телами являются газы, их внутреннюю
энергию увеличивают за счет подвода теплоты; работа
происходит при расширении газа. К теплоносителям и
рабочим телам предъявляются следующие требования:
они должны быть дешевыми и доступными, сохранять
свои свойства при длительной эксплуатации; они не
должны быть химически агрессивными по отношению к
металлу и токсичными (отравляющими, ядовитыми).
Желательно, чтобы они имели большие значения
теплоемкости и теплоты парообразования, — так как в этом
случае каждый килограмм теплоносителя или рабочего
тела используется с большей эффективностью.
Перечисленным требованиям удовлетворяют вода и
водяной пар, получившие самое широкое
распространение в энергетике, теплоснабжении, отоплении,
вентиляции и кондиционировании воздуха, металлургии,
машиностроении (как охлаждающая среда) и многих других
отраслях. Во всех случаях для проведения технических
расчетов требовалось знание термодинамических свойств
воды и водяного пара, которые могли быть получены в
результате исследований. В целях согласования
результатов исследований и использования наиболее
достоверных из них в 1919 г. состоялась I Международная
конференция по свойствам водяного пара. В работе V
конференции в 1956 г. приняла участие советская делега-
120

ция, с тех пор советские ученые активно участвуют в
международном сотрудничестве по данному вопросу.
Первые советские таблицы термодинамических
свойств водяного пара М. П. Вукаловича были изданы
Академией наук СССР в 1940 г. В 1963 г. на VI
конференции были утверждены Международные скелетные *
таблицы для воды и водяного пара. Исследования
термодинамических свойств водяного пара при высоких
давлениях и температурах проводились в основном в
Московском энергетическом институте и Всесоюзном
теплотехническом институте.
Для систем теплоснабжения, отопления, вентиляции
и кондиционирования воздуха представляют интерес
различные области состояний воды и водяного пара.
Относительно низкие параметры характерны для
отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха: вода и
насыщенный пар используются здесь как теплоносители;
в отопительных системах вода имеет температуру 65—
150 °С, насыщенный пар имеет давление 0,1—0,3 МПа.
Основной рабочей средой в системах вентиляции и
кондиционирования воздуха является влажный воздух, в
состав которого входит перегретый или насыщенный
водяной пар с температурой менее 100 °С. Что касается
теплоснабжения и котельных установок, то здесь
параметры выше: в котлах для централизованного
теплоснабжения вырабатывается насыщенный пар с давлением до
4 МПа, перегретый пар может достигать температуры
250 или 440 °С. Параметры пара перед паровыми
турбинами ТЭЦ** могут достигнуть 13 МПа и 565 °С и даже
быть закритическими: 24 МПа и 565 °С (оба параметра
выше критических значений). Широко используются
насыщенный пар с давлением около 1,4 МПа и вода с
температурой 150—180 °С (под соответствующим
давлением для предотвращения вскипания).
Основные задачи, которые приходится решать в
технических расчетах, связанных с водой и водяным паром,
* Скелетные таблицы — таблицы опорных точек для основных
термодинамических величин. По ним на ЭВМ рассчитываются
подробные таблицы, используемые инженерами н учеными. См.: Вука-
лович М. П., Ривкин С. Л., Александров А. А. Таблицы теплофизи-
ческих свойств воды и водяного пара. — М.: Изд-во стандартов,
1969. —408 с, ил.
** Теплоэлектроцентраль — тепловая электрическая станция, на
которой производится не только выработка электроэнергии, но и
отпуск теплоты для систем теплоснабжения.
121

сводятся к вычислению термодинамических параметров
в заданном состоянии, а также теплоты и работы
заданного процесса. Эти задачи могут быть решены тремя
путями: по уравнению состояния, по диаграммам, по
таблицам термодинамических свойств.
Вода используется в качестве теплоносителя,
поэтому необходимо определять теплоту в процессе изменения
ее состояния и необходимые для этого
термодинамические параметры. Согласно первому закону
термодинамики теплота произвольного элементарного процесса
определяется выражением dq=dh—vdp; подставляя сюда
величину dh7 согласно зависимости h = h(p, Г), получим:
dq = cpdT+[(dh/dp) T—v]dp.
Заменив производную (dh/dp)Ty согласно формуле
C.30), имеем:
dq = CpdT-T (dv/дТ) pdp. D.50)
В большинстве случаев процессы теплообмена
осуществляются изобарно (p = const); тогда dp=Of dq =
= CpdT и получаем следующую расчетную формулу
qi-2=cP(T2-T1I D.51)
где истинная теплоемкость в интервале 0—150 °С для
воды уменьшается на 0,9 % при 30—50 °С и возрастает
на 2,4 % при 150 °С. Для расчетов, не требующих
специальной точности, обычно принимают ср = 4,19
кДж/(кг-К).
Если процесс теплообмена происходит при
переменном давлении, то формула D.51) все равно может
использоваться, ибо второе слагаемое в формуле D.50)
для воды весьма мало. Производная (dv/дТ) р
характеризует изменение объема воды при нагреве (или
охлаждении) ее на 1 К и р = const; обычно используют
коэффициент объемного расширения
V=(l/v)(dvldT)p, D.52)
который характеризует относительное изменение
объема и играет важную роль в расчетах теплообмена при
свободном движении жидкости (см. гл. 15). Например,
для 70 °С ? = 5,70- Ю-4 1/К, тогда при t/« 0,001 м3/кг
имеем Т (ои/дГ)рА343-5,7-10-7АІ,96-10-4 м3/кг, что
примерно в 20 000 раз меньше коэффициента при
первом слагаемом формулы D.50).
122

Вода, как и все капельные жидкости, практически
несжимаема. Изменение объема воды под действием
сжатия характеризуется производной (dv/dp)T или
изотермическим коэффициентом сжатия
fa=-{Uv)(dvldp)T, D.53)
который, например, можно вычислить по уравнению
состояния v = v(p, T) для воды. Согласно одному из
эмпирических уравнений состояния,
(dv/dp)T=[—0,39C85—О'6] • 1,02-10~5,
что для 70°С дает значение ?T=4,00-10-7 1/кПа.
Величины ? и ?T нельзя сравнивать, ибо у них
разные единицы измерения. Однако с практической точки
зрения способность воды изменять свой объем под
воздействием температуры значительно сильнее, чем
способность сжиматься под воздействием
давления. Это приводит к тому, что вода в
замкнутом жестком сосуде (v = const) резко повышает
свое давление даже при незначительном нагреве.
Данное обстоятельство необходимо учитывать при
проектировании систем, поскольку при случайном создании
замкнутого объема и продолжающемся подводе
теплоты возможны разрушения трубопроводов или
резервуаров.
Действительно, согласно тождеству C.29) и
выражениям D.52) и D.53), имеем
ґдр\ ^_ (dvl р
\drjv {dvjdp)T = Jf
Для воды с температурой 70 °С получаем ?/?T =
= 1,43-103 кПа/К. Это значит, что при нагреве всего на
5 К давление воды при u = const возрастает на
величину Др, которая превышает атмосферное давление
примерно в 70 раз.
Именно относительно большое значение производной
(dp/dT)v является причиной различия между
теплоємкостями ср и cv для воды. Разделив уравнение D.50)
на dT при условии v = const, получим следующее
выражение для разности теплоємкостей:
cp-cv=Т (dv/дТ) р (др/дТ) 9; D.54)
для воды при 70 °С ср=4,19 и cv = 3,93 кДж/(кг-К).
123

Если при v=const нагревается влажный пар
(точки / на рис. 4Да и 4.4), то
(dpldT)v=dpa[dTBt
ибо в двухфазной области любая производная давления
по температуре равна dpH/dTH [любая прямая ab на
р—V- или Т—5-диаграмме соответствует точке на
кривой рн—ї(Тн)]. В точке А (см. рис. 4.3,а и 4.4) при
условии v<vKp в сосуде находится только жидкая фаза
(вода) и при дальнейшем повышении температуры ее
давление резко возрастает по изохоре vж на рис. 4.4
(ей соответствует линия А—2 на рис. 4.3,а). Если а>
>uKp, то возрастание давления идет вдоль изохоры vn
перегретого пара. При удалении от кривой
парообразования в область идеального газа (dp/dT)v—[d(RT/v)/
/dT]v=R/v\ вблизи от линии pH=fG1H) производная
больше, так как объем реального газа здесь меньше
объема идеального (см. рис. 4.1).
Для определения значений параметров и, h, s
необходимо условиться о точке отсчета. Она установлена
международным соглашением (VI конференция по воде
и водяному пару, 1963 г.): внутренняя энергия в
тройной точке равна нулю; энтальпия в этой точке равна
Л=«+р0?/'0=0,6108-0,0 010 002 ^0,00 061 кДж/кг
и энтропия в тройной точке принимается равной
нулю *. Напомним, что температура в тройной точке
равна to=O?l °С.
Таким образом, параметры воды могут быть
рассчитаны по формулам:
Т
h*=Cpt; и — h—pv\ 5«=Ср1п2уз» D.55)
которые представляют собой первые слагаемые формул
B.20) и C.32) и, следовательно, предполагается малость
величин v и (dvfdT)p. Для воды, не находящейся в
состоянии насыщения, обычно принимают v=v'\ впрочем,
само произведение pv для воды мало: при 10 °С Л=
=42,04 кДж/кг, ри/=0,101 кДж/кг; при 200 °С h—
= 852,5 и /и/=1,80 кДж/кг.
* В отличие от внутренней энергии и энтальпии, абсолютные
значения которых определить невозможно, абсолютная энтропия
простого или сложного вещества может быть вычислена на основе
третьего закона термодинамики (см. гл. 10).
124

Для точйьіх расчетоЁ следует йсгіользойать таблицы
термодинамических свойств воды (см. примечание на
с. 121).
Для определения термодинамических параметров и
расчета процессов изменения состояния влажного и
перегретого пара могут использоваться термодинамические
диаграммы. Точность результатов, полученных с
помощью диаграмм, зависит от масштаба последних.
Преимущества применения диаграмм обусловлены быстротой
и наглядностью производимых действий. При
построении диаграммы в определенной системе координат
строят семейства однотипных линий (изобар, изохор и т. д.)
с различными значениями определенного параметра
(давления, удельного объема и т. д.). Положение точки
на диаграмме определяется двумя параметрами,
которые не обязательно откладывать на координатных осях:
это могут быть параметры пересекающихся кривых
(например, давление и объем изобары и изохоры,
пересекающихся в данной точке).
Например, Т—s-диаграмма (см. рис. 4.3,6) с
изобарами, изохорами, линиями постоянной степени сухости
х=const в области влажного пара позволяет по двум
любым параметрам состояния определить остальные из
совокупности р, V, Ту 5, х. Кроме того,
планиметрированием площади под кривой процесса можно найти
теплоту; так, площадь под кривой fa (см. рис. 4.3,6)
соответствует в определенном масштабе теплоте нагрева
воды, площадь под прямой ab — теплоте
парообразования г, площадь под кривой bg — теплоте перегрева пара.
Аналогичным образом определяется теплота любого
процесса — изохорного, изотермического или процесса,
проходящего вдоль линии х=const. В последнем случае
участок линии приближенно заменяют прямой и
теплоту определяют как площадь трапеции:
На Т — 5-диаграмму наносятся faкжe линии
постоянной энтальпии, позволяющие найти /і, а также u=h—pv.
Основным неудобством тепловой диаграммы является
необходимость планиметрирования площадей.
В 1904 г. Молье предложил h—e-диаграмму, в
которой теплота наиболее распространенного процесса
теплообмена — изобарного — может быть измерена
линейным отрезком на оси координат. В /г—s-диаграмме
полезная работа /п, получаемая при расширении водяного
115

Рис. 4.5
пара, также измеряется линейно. Положение основных
линий в h—s-диаграмме определяет производная dhfds.
Выражение для нее можно получить из объединенной
формулы первого и второго законов термодинамики:
dh
dp
D.56)
Из выражения D.56) следует, что при dp=O, или
p=const, (dh/ds)p — T: тангенс угла наклона изобары
к оси s равен абсолютной температуре. В двухфазной
области (влажный пар) температура постоянна, значит
изобара изображается прямой (рис. 4.5). Изобарно-изо-
термический процесс парообразования заканчивается в
точке Ь, далее подвод теплоты обеспечивает перегрев
пара. Перегретый пар — реальный газ, его температура
при изобарном подводе теплоты растет, возрастает и
производная (dh/ds)p, поэтому изобары в области
перегретого пара обращены выпуклостью к оси s. В
критической, точке К производная (dh/ds)Kpv = TKP=?0 в
отличие от р—V- и Т—s-диаграмм, где на изотерме или изо-
126

баре в точке К имеется перегиб с горизонтальной
касательной. Необходимые условия существования перегиба:
(dp/dvfjP-O; (d2/V<^2)?p = 0, а также (дТ/ds)W-> Ъ*
выводятся из условия устойчивости равновесия
вещества в критическом состоянии и могут быть объяснены, в
частности, принципом Ле-Шателье.
Изохоры в h—5-диаграмме идут круче изобар (как
и в Т—5-диаграмме) для любого агрегатного состояния.
Это является следствием неравенства (dh/ds)v>
> (dh/ds)Vi где производная по изохоре
(dh/ds)v = T-\-v(dp/ds)v.
При этом v(dp/ds)v>0. Объем положителен по своей
физической сущности, а неравенство (dp/ds)v>0
выполняется вместе с равенством
(dplds)v=—(dTldv)s, D.57)
поскольку при адиабатном расширении температура
уменьшается.
Уравнение D.57) получается из сравнения двух выражений:
du=(du/ds)vds+(duldv)sdv и du — Tds—pdv
с учетом того, что значение второй смешанной производной
(d2u/dvd$) не зависит от последовательности дифференцирования.
Аналогичные преобразования для энтальпии h=h(s, p)
приводят к уравнению
(dTldp)s=(dulds)p. D.58)
Выражения C.25), C.34), D.57) и D.58) носят название
уравнений Максвелла. Вместе с уравнениями C.21), C.24), C.30)
и C.33) они входят в состав дифференциальных уравнений
термодинамики — математического аппарата исследований
термодинамических свойств веществ. Дифференциальные уравнения
термодинамики устанавливают связи между различными термическими (р, v, T)
и калорическими (и, h, s, сР, cv и др.) свойствами веществ на
основе первого и второго законов термодинамики. Благодаря таким
связям можно не измерять некоторые свойства, а рассчитать их; кроме
того, можно проверить, нет ли противоречии между различными
измеренными свойствами одного и того же вещества. В принципе
можно составить весьма большое число дифференциальных
уравнений термодинамики, формально используя математические связи
между величинами. Для шести величин р, а, Т, и, h, s можно
составить 120 производных типа (дх/ду)г, взяв любую четвертую ве-
* Изобарная теплоемкость Cp—dq-p/dT стремится к
бесконечности в двухфазной области (в том числе и в критической точке)
в силу изотермичности фазового перехода. С другой стороны,
согласно выражению C.33), {dT/ds)p = T/cp, отсюда (dT/ds) ?р -*0.
127

личину ш, всегда можно выразить одну .производную через три
других:
(дх/ду) w = (дх/ду)г+ (dx/dz) у (dz/ду) w. D.59)
Для шести упомянутых величин можно получить 8,215-106
уравнений типа D.59); в действительности используются и другие
термодинамические параметры (например, уже упоминавшийся
изобарный потенциал G), так что возможное количество уравнений
гораздо больше. Это многообразие позволяет решать многие
практически важные задачи по исследованию теплофизических свойств
веществ, исходя из объединенного выражения первого и второго
законов термодинамики.
Ход изотерм в h—s-диаграмме описывается
следующим выражением:
Второе слагаемое в этом выражении, согласно формуле
C.34), отрицательно:
так как коэффициент объемного расширения ?=(l/u)X
*X(dv/dT)p положителен (за исключением редких
случаев, например, аномалии воды при температуре от О
до 3,98 °С, когда объем ее при повышении температуры
уменьшается). В области ж\-п производная (dp/ds)T=
=0, так как она берется вдоль изотермы-изобары. При
выходе в область п (точка Ь на рис. 4.5) тангенс угла
наклона изотермы уменьшается на величину v(dp/ds)T.
Влияние этой величины усиливается по мере ухода от
пограничной кривой пара в область идеального газа, где
она становится равной
v (dp/ds)T=:—v (<?7/ou)p=— ри/Я=— T. D.60)
В выражении D.60) использовано уравнение
Клапейрона pv=RT. Таким образом, в области идеального
газа изотерма становится горизонтальной прямой. Этот
же результат следует и из закона Джоуля: dh=cvdT=
=0 при 7=const (см. гл. 2). Это совпадение есть
следствие идентичности абсолютной и идеально-газовой
температуры.
Обратимая адиабата (изоэнтропа) — вертикальная
прямая в h—s-диаграмме, соответствующая условию
s=const. Вдоль линии 1—2 (см. рис. 4.5) изменяется
состояние 1 кг водяного пара, совершающего работу
изменения объема (расширения) при условии отсутствия
теплообмена и без учета трения. Полезная работа а та-
128

ком процессе равна разности энтальпий: /n=fti—^2
(см. гл. 2).
Вопросы определения параметров водяного пара и
расчета процессов изменения его состояния с
использованием h—s-диаграммы рассматриваются в гл. 5.
Для точных расчетов используют таблицы
термодинамических свойств насыщенного и перегретого пара
(см. примечание на с. 121). Параметры влажного пара
рассчитывают по формулам D.16) — D.19).
Пример 4.1. Пользуясь таблицами термодинамических свойств
воды и водяного пара, представить зависимость химического
потенциала Н5О в области фазового перехода при давлении рн«
«1,4 МПа A4 кгс/см2) от температуры.
Для вычисления химического потенциала необходимо знать
энтальпию, температуру и энтропию. По таблице параметров пара
и воды в состоянии насыщения (по давлениям) для указанного
значения давления имеем: Гн = 194,13+273,15 = 467,28 К; h'=
=826,1 кДж/кг; h"=2789 кДж/кг; s'=2,275 кДжДкг.К); s"=
=6,476 кДж/(кг-К). На основании этих данных убеждаемся в том,
что химические потенциалы воды и водяного пара в состоянии
насыщения равны между собой:
^і'=/г'—Гн5'=826,1—467,3-2,275=—237,0 кДж/кг;
V" =a h"—Tns"=2789—467,3 • 6,476=—237,2 кДж/кг.
Таким образом, условие D.37) выполняется с небольшой
погрешностью, связанной с исходными данными и процессом
вычисления.
По таблице параметров перегретого пара и воды для указанного
давления и близких к Гн температур имеем следующие значения
температуры t, энтальпии h и энтропии s:
tt °С 150 180 190 200 210 240
h, кДж/кг ... 632,2 763,3 807,7 2805 2832 2904
5, кДж/(кг-К) . . 1,839 2,137 2,234 6,509 6,563 6,708
Для каждой из температур по формуле
fbi=A— (H-273,15)s
вычисляем значение химического потенциала:
t, °С 150 180 190 200 210 240
її, кДж/кг .... —146,0 —205,1 —227,0 —274,7 —338,9 -.538,2
Зависимость химического потенциала от температуры
представлена на рис. 4.6. Точка А соответствует состоянию равновесия
между насыщенным паром "и водой при рн и 7V, для точки А
*д/(Рн, Гн)=^//(рн, Гн)=—237 кДж/кг. Левее точки А химический
потенциал воды \1Ж меньше химического потенциала пара цп.
Например, если бы переохлажденный пар с температурой 170 °С
(точка В) находился в контакте с водой, имеющей ту же температуру
(давления фаз одинаковы по условию примера), то условия
теплового и механического равновесия соблюдались бы [см. формулы
129

-юо
200
дОО
400
500
160
-237 кДш/кг
180
^\
\
\
\
200
194,1 °С
Д
X
220
ч"
\
240 t,*C
Рис. 4.6
D.38) и D.39)]. Однако условие D.37) было бы нарушено, что
привело бы к переходу вещества в фазу с меньшим значением
химического потенциала, т. е. более устойчивую при данных условиях,
поэтому переохлажденный пар должен сконденсироваться.
Аналогичные рассуждения для точки С, в которой (.іц<М'Ж, приводят
к такому же по смыслу результату: перегретая вода должна
превратиться в пар, так как при температуре 220 °С и заданном
давлении более устойчивой является паровая фаза.
Пример 4.2. На основе формулы D.46) получить расчетную
зависимость для определения давления насыщения по температуре
для водяного пара, обладающую более высокой точностью, чем
формула D.47).
Применение расчетных зависимостей дает определенные
удобства по сравнению с использованием справочных таблиц прежде
всего, в случае расчетов на ЭВМ. В особенности это важно для
микроЭВМ индивидуального пользования, оперативная память
которых невелика и не предназначена для введения обширных таблиц.
Кроме того, для использования таблицы в ЭВМ нужна специальная
подпрограмма.
Существуют общие методы аппроксимации табличных данных
формулами; например, таблицу функции рн=/:G"н) можно было бы
аппроксимировать полиномом рн =
*н или зависимостью
130

Рн= ^j Q>k4k(Tu), где ф* — заданные функции. Однако в большин-
k =1
стве случаев аппроксимирующая формула дает более точные
результаты, если в основе ее лежат физические закономерности и только
подбор констант производится на основании табличных (обычно
экспериментальных) данных.
Формула D.47) имеет физическую основу и дает неплохие
результаты для низких значений Гн> но при 100 °С погрешность
составляет более 5 %. Повысить точность можно снятием некоторых
упрощающих допущений; в частности, можно снять допущение
о независимости теплоты парообразования г от температуры и
предположить простейшую форму зависимости — линейную:
г=аТв+Ь. D.61)
Константы а и Ь находят по условиям: при ГН = ГО величина
r=rOi при Тн = Тх величина г=Г\. Подставляя эти условия в
уравнение D.61), получим:
а=(г0-г1)/(Г0-Зпі); Ь=го-аТо. D.62)
Для интервала от 0 до 100 °С по таблицам свойств
насыщенного водяного пара имеем: при Г0=273,16К теплота
парообразования Го=25О1 кДж/кг, при Тх =373,16 К ^=2257 кДж/кг. Для
этих данных по формулам D.62): а =—2,4421 кДж/(кг-К); ?=*
=3168,1 кДж/кг.
Подставляя выражение D.61) в формулу D.46) и производя
интегрирование, получим формулу, которая по смыслу аналогична
выражению D.47), но учитывает линейную зависимость г от
температуры:
(/ТІ Д
Расчет по формуле D.63) дает погрешность 0,84 % для fH=ai
=50°С и 3,06%—для *н = 100°С (ро=61О,8 Па).
Следующий этап повышения точности состоит в замене
линейной зависимости D.61) квадратным трехчленом:
г=а'Рн+6Тн+с/, D.64)
для отыскания констант которого, кроме двух примененных ранее
условий, требуется еще одно. В качестве третьего условия можно
задать производную на правом конце интервала:
(drfdTH)T^=Ti =A^2a'T1 + Ь*. D.65)
Подставляя все три условия в уравнение D.64), получим
систему для определения констант а', Ь' и с'\
D.66)
131

Решение системы уравнений D.66) дает выражений дли
Констант:
т т (^гЧг
0— a'T% — b'T0.
b'-A-2a'Tt;
D57)
Производную А для ^ = 100 °С можно оценить по табличным
данным; точность такой оценки невысока, так как приращение Ar
есть разность близких чисел. Можно полагать, что Л =
=—2,51 кДж/(кг-К). Тогда расчет по уравнениям D.67) дает
следующие результаты: а'=—7-Ю-4 кДж/(кг-К2); 6'==—1,9896 кДж/
/(кг-К); с'=3096,7 кДж/кг.
Подставляя выражение D.64) в формулу D.46) и производя
интегрирование, получим третий вариант формулы D.47)•:
ри - р. ехр (~ (Гн - Г.) + ¦%¦ І» у) + -$• ^оГ° ) ¦ D.68)
Расчет по формуле D.68) дает погрешность 0,70 % для /н—
=50 °С и 2,83 % для fH = 100°C.
Следует отметить, что погрешность формулы D.68) обусловлена
не ее структурой, а нерациональным определением констант.
Расчетная зависимость именно такой структуры использовалась при
составлении справочных таблиц. Константы определялись по
таблице экспериментальной зависимости Рн^ДТ'н) методом наименьших
квадратов.
ГЛАВА 5. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
§13. Процессы изменения
состояния идеального газа
Основные цели изучения термодинамических
процессов следующие: установить уравнение процесса, т. е.
связь между термодинамическими параметрами,
определить работу, совершаемую газом, а также количество
теплоты, сообщаемое газу или отводимое от него в
процессе. При определении теплоты и работы процесса
следует исходить из уравнения первого закона
термодинамики.
Рассмотрим изохорный, изобарный, изотермический
и адиабатный процессы.
Изохорным называется равновесный процесс,
протекающий при постоянном объеме. Уравнение процесса:
u=sconst. График процесса на р—и-диаграмме
изображается отрезком вертикальной прямой (рис. 5.1,а); при
этом отрезок 1—2 соответствует подводу теплоты, а
отрезок 1—2' — ее отводу.
132

. л
s st s
Рис. 5.1
Из уравнения состояния pv—RT при u = const
следует, что p/T=const или р2Ірі = Т2/Ті. Таким образом,
при изохорном процессе давление газа изменяется прямо
пропорционально абсолютной температуре.
Аналитическое выражение первого закона
термодинамики dq=du+pdv для изохорного процесса, в котором
dv=0, принимает вид:
или в конечной форме
Tl) =cv(t2—ti).
Следовательно, в изохорном процессе вся подводимая
теплота расходуется на изменение внутренней энергии
газа, а работа расширения равна нулю.
Изменение энтропии в изохорном процессе можно
получить по любой из формул C.38); из них наиболее
удобна первая, согласно которой:
2 — Sj = Cv In — .
E.1)
Выражение E.1) показывает, что изохорный процесс
изображается на Т—s-диаграмме экспонентой (рис.
5.1,6):
E.2)
133

Рис. 5.2
Изобарным называется равновесный процесс,
протекающий при постоянном давлении. Его уравнение р=
=const. График процесса изображается отрезком
горизонтальной прямой 1—2 при подводе теплоты и
отрез/2' ( 52)
р р
ком /—2' — при ее отводе (рис. 5.2,а).
И ур ния pv=RT
дует, что u/3T=const или
Т б
м р д (р
Из уравнения состояния pv
/3Tt М
при p=const
сле, /
Таким образом, при изобарном процессе объем газа
изменяется прямо пропорционально абсолютной
температуре. Работа изменения объема выражается следующим
уравнением:
р (tr, — trt)
E.3)
Уравнение E.3) раскрывает физический смысл
газовой постоянной R — это работа 1 кг газа в изобарром
процессе при изменении температуры на 1 К.
Количество теплоты в изобарном процессе может
быть определено по уравнению первого закона с учетом
выражения E.3):
(cv+R) (T<r-Tx) -
E.4)
Таким образом, в изобарном процессе вся
подводимая теплота расходуется на изменение энтальпии газа.
Изменение энтропии в изобарном процессе можно
определить из второй формулы (о.38) при р=const:
т
А5р« S3 — St *=*Ср\П JT-. E.5)
134

Рис. 5.3
Как следует из выражения E.5), изобара на Т—s-
диаграмме представляет собой экспоненциальную
кривую, проходящую через точку 1:
Т - 7\ ехр,
<*?¦)¦
E.6)
Поскольку Cp>Ct>, одному и тому же изменению
температуры в изобарном процессе соответствует
большее изменение энтропии, чем в изохорном процессе.
Поэтому, как показано на рис. 5.2,6, изобара, построенная
по уравнению E.6), располагается более полого, чем
изохора.
Изотермическим называется равновесный процесс,
протекающий при постоянной температуре. Уравнение
процесса вытекает из уравнения состояния pv=RT.
При 7=const находим pu=const, т. е. объем газа
изменяется обратно пропорционально давлению.
График процесса на р—^-диаграмме изображается
равнобокой гиперболой (рис. 5.3,а); при этом отрезок
/—2 соответствует изотермическому расширению газа
(dv>0)y когда требуется подвод теплоты (dq>0)\
отрезок 1—2'— изотермическому сжатию (du<0), когда
требуется отвод теплоты (dq<.0).
В изотермическом процессе 7=const, поэтому и2—
—Ui = cv(T2—Гі) =0, т. е. внутренняя энергия не
изменяется, и аналитическое выражение первого закона
термодинамики принимает вид:
pdv.
E.7)
135

Таким образом, вся теплота, затрачиваемая на
процесе, расходуется на совершение работы изменения
объема газа.
Поскольку p—RT/v, интегрирование выражения
E.7) дает:
(' JRT
j v dv = RT j ^L~RT -In —-. E-8)
Выражение E.8) показывает, что в изотермическом
процессе вся подведенная теплота преобразуется в
работу расширения, а в случае сжатия идеального газа
вся затраченная работа преобразуется в теплоту,
отводимую от него. На Т—s-диаграмме изотермический
процесс изображается горизонтальной прямой 1—2 или
1—2' (рис. 5.3,6).
Изменение энтропии для изотермического процесса
удобно определять по двум первым формулам C.38):
Определить количество теплоты, подведенное к/
рабочему телу при изотермическом процессе, с
использованием удельной теплоемкости невозможно, так как с=
=dq/dTy а при изотермическом процессе dq=?^O, dT=0
и теплоемкость с=± оо.
Адиабатным называется ' процесс, протекающий
без теплообмена между термодинамической
системой и окружающей средой. К адиабатным
процессам относятся, например, процессы истечения газа из
сопла, процессы сжатия и расширения в двигателе
внутреннего сгорания и др. Скорости движения газа при
этом настолько велики, что обмен тепловой энергией
между газом и средой практически не успевает
произойти.
Уравнение связи параметров может быть получено
из уравнения первого закона термодинамики при
dq=O:
du+pdv=Qt
или с учетом du=cvdT имеем
CvdT+pdv=0. E.9)
136

Бесконечно малое изменение температуры можно
определить, продифференцировав уравнение pv = RT:pdv-\-
+vdp=RdT, откуда dT=(pdv+vdp)IR.
Подставив значение dT в формулу E.9), получим
(CvIR) (pdv+vdp)+pdv=Q. E.10)
Отметим, что в термодинамике идеального газа
широко используется отношение удельных теплоємкостей,
называемое показателем адиабаты:
k=cPlcv. ~ E.11)
Так как cp>cVt то
Величину cJR из выражения E.10) с учетом
соотношения E.11) и формулы Майера можно представить так:
cvIR=\j(k—1). Тогда выражение E.10) преобразуется
к следующему виду:
^+*V = °- <5Л2>
Интегрируя уравнение E.12), получим уравнение
адиабатного процесса
pvk=const. E.13)
На р—^-диаграмме адиабата изображается
степенной функцией р = const/t>fe (кривые 1—2 или 1—2Г на
рис. 5.4,а).
Из сравнения уравнений изотермы и адиабаты
видно, что при одинаковом изменении объема изменение
давления в адиабатном процессе будет больше, чем в
изотермическом, так как /е>1. На р—и-диаграмме
адиабата будет идти круче, чем изотерма (см. рис. 5.4,а).
Связь параметров р и и для адиабаты
устанавливается уравнением E.13), которое можно записать
следующим образом:
откуда
l(vilv2)k или
Связь параметров v и Т найдем, используя
уравнение состояния; подставляя выражение p=RT/v в
уравнение адиабаты E.13), получим
или ll22,
137

Рис. 5.4
откуда
Л/Л - (vjv,)*
или (T,jTx)
і
k—і
Аналогичным путем определится связь параметров
р и Т:
или
Из уравнения первого закона термодинамики для
адиабатного процесса (^ = 0) получаем выражение для
работы:
/=—Ам=—(и2—U\)=Ui—и2. E.14)
Из выражения E.14) видно, что работа расширения
газа в адиабатном процессе совершается в результате
убывания его внутренней энергии. Очевидно, что работа
при адиабатном сжатии газа равна увеличению его
внутренней энергии. Подставляя в уравнение E.14)
значение Au=cv(T2—Tx), получим
l=-cv{T2-T{)=cv(T{-T2).
E.15)
138

Так как cv=R/(k—1), то уравнение E.15) примет
вид:
EЛ5'>
Далее, учитывая уравнение состояния, имеем
' ()
В адиабатном процессе dq=O, поэтому энтропия
системы не изменяется:
ds=dqjT=0; s=const.
Следовательно, на Т—s-диаграмме адиабатный процесс
изображается вертикальной прямой 1—2 или 1—2' на
рис. 5.4,6, при этом падение температуры происходит
при расширении рабочего тела, а увеличение
температуры — при его сжатии.
Рассмотренные выше процессы не охватывают все
многообразие возможных изменений состояния
идеального газа. Между тем рабочее тело многих реальных
технических устройств, в том числе в системах теплога-
зоснабжения, отопления, вентиляции и
кондиционирования воздуха, можно условно считать идеальным газом,
получая при этом приемлемую точность расчетов.
Стремление описать разнообразные процессы единой простой
математической формулой приводит к понятию поли-
тропного процесса. Поставим следующую задачу:
получить уравнение произвольного процесса изменения
состояния идеального газа с одним параметром п\ вид
процесса должен определяться числовым значением п и
индивидуальными свойствами газа. Полученный процесс
назовем политропным.
В уравнении первого закона термодинамики dq =
=du-\-pdv представим теплоту процесса в виде dq=
= cdT, где с — теплоемкость политропного процесса,
равная
cdT = du+pdv=cvdT+pdv
или
(с—cv)dT=pdv.
Подставляя сюда dT= (pdv-\-vdp)/R и используя
формулу Майера, можем написать
f 0. E.16)
139

Обозначим
(с-Ср)І(с-с9)=п, E.17)
где п — показатель политропы. Тогда выражение E.16)
после деления на pv примет вид:
dv dp
п~ +^ = °- <518>
Дифференциальное уравнение политропы E.18)
просто интегрируется при п=const. Это условие, согласно
выражению E.17), влечет за собой три условия: с=
= const; Cu=const; cp = const. Два последних условия
частично использовались ранее: при выводе уравнения
адиабаты E.13) предполагалось, что k = cp/cv=const.
Из законов идеального газа, однако, не вытекает
требование о постоянстве теплоемкости: согласно закону
Джоуля (см. § 4), внутренняя энергия идеального газа
зависит только от температуры, при этом в принципе
допускается зависимость cv=cv(T)y т. е. калорическое
уравнение состояния может быть записано в виде du=
= cv(T)dT. Для учета зависимости теплоемкости от
температуры в расчетах используется средняя
теплоемкость cv или др (см. § 2). Таким образом, как условие
?=const, так и условие n=const являются
приближенными.
В результате интегрирования при п = const будем
иметь In (pvn) = const, откуда
pvn=const. E.19)
Выражение E.19) и есть уравнение политропы.
При некоторых частных значениях п уравнение
purt=const превращается в уравнения рассмотренных
выше четырех основных термодинамических процессов.
Действительно, представим уравнение E.19) в виде
pi/«t>=const. При n-*-ztoo уравнение политропы
принимает вид v = const, т. е. политропный процесс
становится изохорным. При п = 0 уравнение E.19) будет иметь
вид: p = const и политропный процесс становится
изобарным. Нетрудно показать, что при п=\ политропный
процесс будет изотермическим, а при n = k —
адиабатным.
Соотношения, вытекающие из уравнения политропы
pu'=const, с математической точки зрения аналогичны
соотношениям, вытекающим из уравнения адиабаты
pvh—const, так как они получаются путем замены по-
140

казателя адиабаты k показателем политропы п. Таким
образом, связь между параметрами газа в двух
состояниях при политропном процессе выражается
уравнениями:
Р2ІРі= (Vi/V2)n\
Выражения для работы изменения объема газа в
политропном процессе аналогичны формулам E.15') и
E.15") и имеют вид:
1—Х=Т<Тг-Т*)\ E.20)
/-¦JZT(AWi —A«.). E.21)
Теплота политропного процесса, согласно первому
закону термодинамики, определяется выражением
q - и, —и, + / = cv (Г,—^) + j^y (Тг — Т,).
Сравнивая полученное выражение с формулой q =
= с(Т2—Гі), находим зависимость
# ПСу — Ср
или, учитывая, что cp/cv=k, окончательно имеем
E.22)
Таким образом, теплоемкость газа в политропном
процессе зависит от показателя политропы п и
индивидуальных свойств газа k, cv.
Используя уравнение E.22), можно проследить за
изменением теплоемкости политропного процесса в
зависимости от показателя политропы п (рис. 5.5). В
частности, из этого рисунка видно, что c=cv для изохор-
ного процесса, когда п±оо; с = ср для изобарного
процесса, когда /г=0; с=0 для адиабатного процесса,
когда n=k\ c=±oo для изотермического процесса, когда
л = 1.
Из рис. 5.5 видно также, что теплоемкость с в
диапазоне изменения показателя политропы \<C.n<ik
оказывается отрицательной, Это объясняется тем, что в та-
І41

р» con et
сшатив —і 1—— расширение {
Рис. 5.6
ких процессах d^ и с?Г имеют различные знаки, т. е.
при подводе теплоты к рабочему телу температура
последнего снижается и при отводе теплоты
повышается.
Значение показателя политропы определяет
расположение процесса на р—и-диаграмме. На рис. 5.6
показаны рассмотренные выше частные случаи
термодинамических процессов. Из рисунка видно, что любая
политропа, расположенная правее изохоры, проходящей
через точку Л, соответствует расширению, а левее ее —
сжатию рабочего тела; любая политропа,
расположенная выше изотермы, проходящей через точку Л,
соответствует повышению температуры и увеличению
внутренней энергии, а расположенная ниже ее — понижению
температуры и уменьшению внутренней энергии. Любая
политропа, расположенная выше адиабаты, проходящей
через точку А, характеризуется подводом теплоты и
падением температуры, а расположенная ниже ее —
отводом теплоты и повышением температуры.
Все представленные на рис. 5.6 политропные
процессы условно выделяют на р—^-диаграмме шесть
областей:
I — процессы расширения (оо<п<1); теплота
подводится и внутренняя энергия увеличивается;
II — процессы сжатия (сю<п<1); теплота
отводится и внутренняя энергия уменьшается;
III — процессы расширения (\<Cn<ik)\ теплота
подводится, но внутренняя энергия уменьшается;
теплоемкость в этой области отрицательна;
142

IV — процессы сжатия т
{\<n<ik)\ теплота
отводится, но внутренняя
энергия увеличивается;
теплоемкость в этой области
отрицательна;
V—процессы расширения
(); теплота
отводится и внутренняя энергия
уменьшается;
VI— процессы сжатия
(&<п<оо); теплота
подводится и внутренняя энергия
увеличивается.
Для иолитропного процесса изменение энтропии
можно определить по формулам C.38) или на основании
равенства ds=dq/T=cdT/Ty что для постоянной
теплоемкости дает:
Kl
с c'^s
/ Щ
c=cv
N. Л
Рис. 5.7
Заменяя теплоемкость с выражением E.22), получим
5,-5, = С ^=4 1п^. E.23)
Политропный процесс на Т—s-диаграмме согласно
формуле E.23) изображается некоторой
экспоненциальной кривой, расположение которой зависит от
показателя п (рис. 5.7). Только для двух случаев изотермы и
адиабаты имеем прямые линии.
Следует отметить, что в / и /// четвертях dq и dT
имеют одинаковые знаки, поэтому теплоемкость с =
= dq/dT положительна, т. е. с>0; во II и IV четвертях
dq и dT имеют разные знаки, поэтому с<0.
§ 14. Термодинамические процессы
изменения состояния водяного пара
Расчеты процессов для водяного пара
осуществляются с помощью h—5-диаграммы (см. § 12) и таблиц
термодинамических свойств (см сноску на с. 121).
Рассмотрим изохорный процесс в области
перегретого пара. Если заданы значения pi и tu то точка 1
(рис. 5.8) лежит на пересечении изотермы, соответству-
143

A
}h
b'z
К
' 1 ^^ 1
//У
і
t4*
1
s;
si s,
Рис. 5.8
Рис. 5.9
ющей температуре tu с изобарой, соответствующей
давлению р\. Если заданы значения v\ и tu то точка 1
будет лежать на пересечении соответствующей изохоры с
изотермой ?i=const. Понятно, что могут быть заданы и
иные сочетания двух начальных параметров. Кроме
того, считается известным один из конечных параметров
процесса, например температура t2 (или давление р2).
Через точку 1 проходит изохора v = const. Точка
пересечения изохоры с изотермой ^2=const определяет
конечную точку 2 рассматриваемого процесса. По
точкам 1 и 2 определяются соответствующие значения h{
и h2 (а также р2 или s2).
На рис. 5.8 показана также изохора Ґ—2Г в области
влажного пара. В двухфазной области изотерма
совпадает с изобарой, поэтому параметры put уже не
являются независимыми. Дополнительной величиной,
определяющей состояние влажного пара, должна быть
степень сухости Х\. Точка Г процесса лежит па
пересечении изобары р\ (являющейся одновременно изотермой)
с кривой постоянной степени сухости пара хх. Из
параметров, соответствующих конечному состоянию
(точка 2'), известны или р2 или х2. Дальнейшие построения
понятны из рисунка.
Так как в изохорном процессе работа не
совершается, то вся теплота расходуется на изменение внутренней
энергии, поэтому
Если hi и h2 выражены в кДж/кг, v — в м3/кг, рх
и р2 — в кПа, то qv выразится в кДж/кг.
На рис. 5.9 показан изобарный процесс. Аналогично
изложенному по двум заданным начальным парамет-
144

рам и по одному конечному параметру определяют
точки / и 2 процесса, лежащие на изобаре. В результате
считаются известными все необходимые для расчета
параметры начала и конца процесса.
Следует отметить, что на h—s-диаграмме изохора и
изобара пересекаются под острым углом, это
затрудняет точное определение объемов V\ и u2. Поэтому
целесообразно определять объемы перегретого пара в
зависимости от р и t по таблице перегретого пара, а в
области влажных паров — по формуле D.18).
Теплота процесса определяется уравнением ?р =
= fl2—h\, Изменение Внутренней ЭНерГИИ раВНО U2—U\ =
= (h2—pv2)— (hi—pv\)y работа расширения равна / =
= p(v2—vi).
На h—s-диаграмме изотерма представлена линией
1—2 (рис. 5.10). Начальное состояние пара / находится
на пересечении изобары р\ и линии постоянной сухости
Хи конечное состояние 2 — на пересечении заданной
изотермы и изобары р2.
В процессе изотермического расширения пара часть
подводимой теплоты расходуется на изменение его
внутренней энергии и в этом состоит его отличие от того же
процесса для идеального газа.
Рис. 5.10
Рис. 5.11
h
. A
ц \ X
і
p і /
S, 5
6 Зак 508
145

Теплота процесса определяется по уравнению q=*
= T(S2—S\)y изменение внутренней энергии — по
уравнению Да=Д(/і—pv)9 а работа расширения — из
первого закона термодинамики l=q—Да.
В области значительного перегрева пара изотермы
располагаются на h—s-диаграмме практически
горизонтально. В этой области h\ = h2 и щ = п2. Это говорит о
том, что перегретый водяной пар приобретает свойства
идеального газа.
На рис. 5.11,а показан обратимый адиабатный
процесс расширения пара.
Дли адиабатного процесса dq=O и работа
расширения совершается за счет изменения внутренней энергии:
1=их—и2= (fti—Pi^)—(/i2—p2t>2).
Адиабатный процесс изменения состояния пара
может быть приближенно описан уравнением вида pvk* =
= const, где k* — эмпирический коэффициент. В
небольших пределах изменения давления коэффициент k*
принимается равным: для перегретого пара &* = 1,3; для
сухого насыщенного пара k* = 1,135; для влажного
насыщенного пара ?* = 1,035+0,1*, где х — начальная
степень сухости пара.
На h—s-диаграмме адиабата изображается линией
1—2, при этом начальное состояние пара, определяемое
точкой /, находится на пересечении изобары р\ и
изотермы t\. Опуская из точки 1 вертикальную линию 5=
= const до пересечения с изобарой р2, находим точку 2,
которая определяет конечное состояние пара. В точках
1 и 2 находят недостающие параметры пара,
необходимые для расчета. При адиабатном расширении 1—2
перегретого пара вначале уменьшается степень его
перегрева, а затем при давлении рп он переходит в
насыщенный пар. Дальнейшее расширение пара будет
сопровождаться увеличением его степени влажности.
Заметим, что с очень влажными парами при их
адиабатном расширении происходит обратное явление, а
именно — их степень сухости не уменьшается, а
увеличивается. Так, в процессах а и Ь (рис. 5.11,6) степень
сухости пара при адиабатном расширении
увеличивается, в процессах end — уменьшается.
146

ГЛАВА 6. ВЛАЖНЫЙ ВОЗДУХ
§ 15. Смеси идеальных газов
В технике часто приходится иметь дело с газовыми
смесями различного состава. Например, сухой воздух
представляет собой газовую смесь, состоящую в
основном из азота и кислорода. Продукты сгорания,
образующиеся при работе котельных установок и печных
устройств, также являются смесью отдельных газов.
Газовой смесью являются естественные и искусственные
горючие газы, используемые в качестве топлива в
различных топочных устройствах.
Под газовой смесью понимается смесь газов, не
вступающих между собой в химические реакции. Отдельные
составляющие смеси газов называются компонентами.
Каждый компонент смеси распространяется по всему
объему сосуда. Давление, которое имел бы компонент,
если бы он находился один в сосуде при той же
температуре, что и смесь, называется парциальным
давлением компонента (от partial — частичный).
По закону Дальтона смесь идеальных газов
оказывает на стенки сосуда давление рсм, равное сумме
парциальных давлений ее компонентов, т. е.
п
Рсм = А + Р9 f Рг + - • - + Рп = 2 Pi» F- *)
где pi — парциальное давление компонентов смеси.
Таким образом, каждый компонент смеси занимает
весь объем смеси и находится под своим парциальным
давлением рг. Но если этот компонент поместить под
давлением рсм при той же температуре смеси Гсм, то он
займет объем Vu который называется парциальным
объемом.
На основании закона Амага, полный объем смеси
газов Уем равен сумме парциальных объемов ее
компонентов:
где Vi — парциальный объем компонентов, приведенный к
параметрам рсм И 7см.
6* Зак. 508 147

Состав газовой смеси может быть задан различными
долями: массовыми, объемными и мольными. Если смесь
состоит из п компонентов, массы которых Ш\у ГП2, т$, ...,
тп, то массовой долей компонента называется
отношение его массы к массе всей смеси: ?г=#*гМсм. Ясно,
что
1
Объемной долей компонента называется отношение
парциального объема компонента Vi к объему смеси:
n=VilVсм, при этом
В каждом из рассмотренных выше случаев
температуры всех компонентов одинаковы, поэтому согласно
уравнению pV=const имеем: РіУСм=РсмУи откуда
Г|=^/Усм=Р//Ром. F.2)
Можно найти и мольный состав смеси газов. Вся
смесь газов содержит в себе Мсм молей, при этом
1 1
где (Лі — молярная масса компонента.
Мольной долей называется отношение »числа молей
компонента Мі к числу молей смеси: тг==Мг/МСм, при
п
ЭТОМ 2 /^г = 1-
1
Полезное во многих расчетах понятие кажущейся
молекулярной массы смеси |іСм можно определить
следующим образом:
п п п п
Нем = /Ясм/Мсм = 21 тЧ 2М' в 2 тЧ 2 mi/Fi-
1 1 11
Разделив числитель и знаменатель последней дроби
на тсщ имеем
п
148

Значение |ісм может быть вычислено также по
объемному составу смеси. Масса ?-го газа равна гпі=\цМіу
масса всей смеси — тСм = м-смЛ1см. Однако можно
записать \ЛсмМсы=\цМ\+\12М2+ ...+\1пМп, или, разделив
уравнение на Мсм, получить
Мх Лі, , мп
или
Уравнение Клапейрона A.7) справедливо как для
отдельного компонента так и для смеси в целом:
cM] F.5) Рсм^см=тсм/?смГсм. F.6)
Просуммируем уравнение F.5) по всем компонентам:
п п
V™ 2 Pi - 7см 2 miRi. F.7)
Согласно закону Дальтона F.1) левые части
уравнений F.7) и F.6) равны, следовательно, равны и пра-
иые. Поэтому получаем следующее выражение для
газовой постоянной смеси:
F.8)
где gi=mi/mCiA.
Уравнение F.5) можно записать так:
Вводя понятие парциальной плотности (концентра-
п
ции) компонента р^=тг/Усм (при этом 2 рг=рсм=
1
= тСм/Усм, ГДе Рем — плотность смеси), получим
уравнение состояния компонента в следующем виде:
F.9)
Для идеального газа Гг = Шг (см. ниже).

Уравнение F,9) является аналогом ураййейия A.4)
применительно к смеси идеальных газов.
Понятие универсальной газовой постоянной
распространяется и на смеси:
=8314 Дж/ (кмоль • К) F.10)
В частности, из уравнений F.9) и F.10) следует:
да</р*=8314Гсм. F.11)
Уравнение F.11) является аналогом уравнения
A.6) применительно к смеси. Умножив и разделив
левую часть его на рСм, получим с учетом
выражения F.2):
РсмН<^г=8314ГсМ, F.12)
где Vi — Vilnii — удельный парциальный объем компонента, м3/кг.
Из уравнения F.12) следует, что произведение \XiVi
одинаково для всех компонентов. Отметим, что Vi^l/pu
ХОТЯ ДЛЯ СМеСИ В ЦеЛОМ 1>см=1/рсм, ГДЄ ucM = VcM/mCM.
Массовая удельная теплоемкость смеси определяется
очевидным соотношением
где d — массовая теплоемкость компонента, кДж/(кг-К).
Формула типа F.13) справедлива для любого
экстенсивного (т. е. пропорционального массе системы)
термодинамического параметра.
В заключение отметим, что характеристики смеси
могут быть рассчитаны по формулам F.2) — F.4), F.8)
и F.13) при любом способе задания смеси. Например,
связь между мольными и объемными долями
устанавливается соотношениями:
п п
г і = VijVcu - vitnil ^ vi ті = vt іцМі / ^vt
і
1 і
n n
т. е. для смеси идеальных газов объемная доля равна
мольной доле.
150

Массовая доля связана с мольной и объемной
соотношениями:
§ 16. Термодинамические параметры
влажного воздуха
Окружающий нас воздух представляет собой смесь
сухого воздуха и водяного пара и называется влажным
воздухом. Если воздух не содержит водяного пара, то
его называют сухим.
Влажный воздух с достаточной точностью можно
рассматривать как смесь идеальных газов. Поэтому
к влажному воздуху можно применить закон Дальтона,
согласно которому давление влажного воздуха р равно:
Р==Рв+Рп, F.14)
где рв и рп — парциальные давления сухого воздуха и водяного
пара.
Содержание водяного пара во влажном воздухе
можно характеризовать массой пара, приходящейся на
1 м3 влажного воздуха. Эта величина называется
абсолютной влажностью воздуха и представляет собой
парциальную плотность водяного пара (т. е. его
концентрацию) во влажном воздухе pn=ran/Vr, где гап — масса
пара, кг; V — объем влажного воздуха, м3. Очевидно,
что плотность влажного воздуха р определяется
формулой р=рп+рв.
Рассмотрим на р—^-диаграмме состояния пара во
влажном воздухе с давлением р (рис. 6.1).
Предположим, что состояние пара характеризуется точкой 1.
В этом случае температура влажного воздуха t\
меньше, чем температура насыщения при давлении р, т. е.-
меньше, чем ?н(р), а парциальное давление пара в
воздухе рп меньше, чем давление насыщения рп.н при
151

V3 5
Рис. 6.1
температуре t\. Очевидно,
что водяной пар во
влажном воздухе в этом случае
будет перегретым; при этом
абсолютная влажность
воздуха pn=l/un, ГДЄ Un —
удельный объем пара,
показанный на диаграмме
(объем vn = Vfmn не следует
путать с объемом Vi в § 15).
Влажный воздух в таком
состоянии, когда
содержащийся в нем пар перегрет,
называется ненасыщенным,
потому что количество пара
в нем при заданной
температуре t\ может быть и больше, чем рп. В этом легко
убедиться, перемещая точку / вверх по изотерме t\.
Величина vn при этом будет уменьшаться, следовательно,
величина рп — увеличиваться.
Максимально возможное содержание водяного пара
в воздухе при температуре t\ будет в том случае, когда
парциальное давление пара рп равно рц.н (точка 2).
Очевидно, оно будет равно плотности сухого
насыщенного пара р"=1/и" с давлением рп.н и температурой t{.
В этом случае влажный воздух представляет собой
смесь воздуха и сухого насыщенного пара. Такой воздух
называется насыщенным. С повышением температуры
насыщенного влажного воздуха парциальное давление
пара в нем возрастает, и при /н(р) состояние
насыщения достигается в том случае, если сухого воздуха в
смеси не будет вообще. Например, влажный воздух,
находящийся при давлении ро=О,1 МПа и температуре іж
a 100 °С, при любом парциальном давлении пара рп<
<С0,1 МПа будет ненасыщенным.
Наконец, если влажный воздух имеет температуру
^(р) (точка 4), то пар в нем всегда перегрет.
В соответствии с изложенным высшим пределом
парциального давления пара во влажном воздухе
является давление насыщения при заданной температуре
воздуха. Это означает, что если воздух насыщен, то его
абсолютная влажность зависит только от температуры
и остается постоянной при любом давлении р>рп.н.
Например, если насыщенный влажный воздух сжать изо-
152

термически до пятикратного уменьшения объема (при
этом его давление также увеличится в 5 раз), то 80%
содержащегося в нем водяного пара сконденсируется,
а абсолютная влажность воздуха останется той же,
а именно р".
Отношение массы пара во влажном воздухе к
максимально возможному ее значению в том же объеме
влажного воздуха при той же температуре называется
относительной влажностью воздуха и обозначается ф.
Для V=\ м3 имеем: ф=рп/рп.н.
Величина рп.н представляет собой плотность сухого
насыщенного пара при данной температуре.
С достаточной для практики точностью можно
считать, что водяной пар во влажном воздухе подчиняется
законам идеальных газов, т. е. pnlpn=RnT (см.
уравнение F.9) в § 15). Для состояния насыщения при данной
температуре Т уравнение Клапейрона имеет вид:
Рп.н/рп.н=і?п2п. Из двух последних уравнений видно, что
рп/рп.н=Рп/Рп.н, поэтому для ф справедлива еще одна
формула:
ф=Рп/Рп.н. F.15)
Зависимость рп.н(^) рассматривалась в § 12 (см.
формулу D.47) и рис. 4.4). При увеличении Т растет
и Рп.н, поэтому при рп=const величина ф уменьшится.
Для сухого воздуха рп=0 и ф = 0, для насыщенного
воздуха рп=Рп.н и ф=1.
Одним из параметров влажного воздуха является его
влагосодержание: отношение массы водяного пара к
массе сухого воздуха или, что то же самое, отношение
парциальных плотностей пара и сухого воздуха:
^ = рп/рв. F.16)
По уравнению Клапейрона для компонентов рп =
=рпЩиТ и рв=рв/ЯвТ\ поэтому d=RBpn/RnpB=:
= 0,622(рп/Рв), или, с учетом выражения F.14), имеем:
de0'6227=AT' FЛ7)
При изменении состояния влажного воздуха
количество сухого воздуха в нем остается неизменным,
количество же водяного пара может уменьшаться при его
конденсации или увеличиваться при испарении воды.
Поэтому все расчеты целесообразно проводить
применительно к 1 кг сухого воздуха; влагосодержание d
153

с единицей измерения 1 кг влаги на 1 кг сухого
воздуха является, следовательно, весьма удобной
характеристикой влажного воздуха.
Из уравнения F.17) можно определить парциальные
давления водяного пара и сухого воздуха, если
известны влагосодержание и. давление смеси:
' Pn=pd/@,622+d); F.18)
Рш = 0,622p/ @,622+d). F.19)
Влагосодержание влажного воздуха равно нулю,
если в нем не содержится водяной пар. Максимальное
значение влагосодержания при данных температуре и
давлении влажного воздуха соответствует отношению
давления насыщения при данной температуре к
парциальному давлению воздуха в смеси. Если температура
влажного воздуха выше или равна температуре
насыщения водяного пара при давлении смеси, то
максимальное влагосодержание не ограничено.
Состав влажного воздуха можно задать объемными
долями воздуха и водяного пара: rB=pJp\ гп==рп/р.
Тогда кажущаяся молекулярная масса влажного
воздуха составит:
\л = |івг в+|іпгп=28,97 • рв/р+18,02рп/р=
=28,97— 10,95 (рп/р). F.20)
Эта формула показывает, что влажный воздух всегда
легче сухого воздуха при том же давлении и
температуре, так как молекулярная масса пара меньше
молекулярной массы сухого воздуха.
Газовая постоянная для влажного воздуха на
основании равенства F.10) определяется по формуле:
8314 2
R=s 28,97— 10,95(А,/Р) F'21)
Удельная теплоемкость влажного воздуха, как и
влагосодержание, относится к единице массы сухой части
воздуха
Cp=CpB+cpnd> F.22)
где срь — средняя теплоемкость сухого воздуха [для температур
в интервале 0—100 °С срв = 1,005 кДж/(кг-К)]; срТ1 — средняя
удельная теплоемкость водяного пара; сзэп = 1,97 кДж/(кг-К).
Энтальпия влажного воздуха // также относится
к 1 кг сухого воздуха и определяется выражением Я=
hhd
15'!

Удельная энтальпия сухого воздуха равна
h*=cp9t. F.23)
Энтальпия водяного пара, который в общем случае
находится в воздухе в перегретом состоянии, равна
hn ^Cpntu+r+Cpn (t—tn),
где Ср,ж — теплоемкость воды; ср,ж=4,19 кДж/(кг-К); ^ —
температура насыщения, соответствующая парциальному давлению
пара в смеси; г — теплота парообразования, которую с достаточной
степенью точности можно определить по формуле: г=2490—2,3?н.
Следовательно,
h п=4,19-*н+B490—2,3*н) + 1,97(*—*н).
Произведя сокращения, получим приближенно
h и=2490+1,97*. F.24)
Таким образом энтальпия влажного воздуха с
учетом формул F.23) и F.24) составит:
Я= 1,005*+ B490+1,97*) d. F.25)
Соотношение F.25) справедливо лишь при условии,
что влагосодержание равно или меньше влагосодержа-
ния насыщенного воздуха при той же температуре, d^.
^dH. Если же воздух содержит туман в виде частичек
жидкости, т. е. d>dH, то необходимо учитывать
энтальпию воды в жидкой фазе. При этом используется
следующее соотношение:
H=cvJ+hndn+(d-dK)c^tt F.26)
где Срж — теплоемкость воды.
Если влажный воздух содержит кристаллики льда,
то необходимо ввести в рассмотрение теплоту
плавления /-пл = 333 кДж/кг, а также теплоемкость льда сл =
= 2,095 кДж/(кг-°С).
Энтальпия льда — отрицательная величина, так как
энтальпия воды в жидкой фазе при 0°С считается
равной нулю. В этом случае энтальпия воздуха с туманом
из кристалликов льда
H=cpBt+hndn+(d-~dH) (—Гпл+СлО- F-27)
§17. Процессы изменения состояния
влажного воздуха. Я—d-диаграмма
Определение параметров, характеризующих
состояние влажного воздуха, и исследование процессов
изменения его состояния, легко . производятся с помощью
155

20 ЗО '40 d,r/*r
Рис. 6.2
Н—rf-диаграммы влажного воздуха, предложенной проф.
Л. К. Рамзиным в 1918 г. По оси абсцисс отложено вла-
госодержание влажного воздуха U, г/кг, а по оси
ординат— энтальпия Я, кДж/кг. Эти величины отнесены
к 1 кг сухого воздуха. Координатные оси проведены под
углом 135° и значения d снесены на горизонталь.
На И—rf-диаграмме (рис. 6.2) нанесены линии t =
= const и ф = const и в графической форме
представлена зависимость pn=f{d).
Введем понятие температуры точки росы и
температуры мокрого термометра. Температурой точки росы
называется такая температура влажного воздуха, до ко-
156

Рис. 6.3
точки росы (точка ? на
торой его нужно
охладить в условиях
постоянного влагосодержа-
ния, чтобы он стал
насыщенным. Таким
образом, если влажный
воздух, имеющий
температуру t (точка С на
рис. 6.3.), охладить по
линии постоянного вла-
госодержания d=const
до кривой насыщения,
то полученная при
этом температура tv
является температурой
рис. 6.3).
Температурой мокрого термометра tu называется
такая температура, которую принимает влажный воздух
в процессе его адиабатного увлажнения при условии
полного насыщения.
Исходными для определения параметров состояния
влажного воздуха по Н—d-диаграмме служат
показания мокрого и сухого термометров, которые в
комплекте образуют прибор, называемый психрометром. В
несколько упрощенном виде принцип действия
психрометра можно представить так. У поверхности жидкости,
куда опущена ткань, которой обернут шарик мокрого
термометра, в процессе испарения воды образуется
слой насыщенного воздуха, при этом ср=1. В воздухе
помещения ф<1, это и является причиной испарения
влаги. При стационарном процессе испарения
устанавливаются два равных, но противоположных потока
энтальпии: от воздуха помещения к мокрому термометру
(поступление теплоты, необходимой для испарения) и
от мокрого термометра в окружающий воздух (поток
пара). Если бы объем помещения был мал, то его
воздух быстро насыщался бы паром, при этом ф-^1 и
испарение прекратилось бы при рП=рп,и в воздухе.
Мокрый термометр при этом показывал бы неизменную
температуру tM, так как он находится в тепловом
равновесии. Таким образом, одновременно выполняются оба
условия: Н—const и tu = const. Это соответствует
процессу СК на рис. 6.3. В точке К температуры сухого
и мокрого термометра равны, t = tM, так как испарения
157

нет. Для определения tM точки С из нее проводят
линию //==const до пересечения, с линией ф=1 (ф =
= 100%), где получают точку К. Изотерма,
проходящая через эту точку, дает tM для точки С.
Допустим, что психрометр показывает ^М=28°С и /==54°С.
Необходимо определить параметры влажного воздуха. На линии
ф=Ю0% (см. рис. 6.3) соответственно ^М = 28°С находим точку К
и через нее проводим линию Я == const, которая при пересечении
с линией /=54 °С дает точку С, соответствующую состоянию
воздуха в помещении, где помещен психрометр. По этой точке
определяем все параметры влажного воздуха: ф = 15%; рп = 2,1 кПа;
d=\4 г/кг и Я=90 кДж/кг. Чтобы найти температуру точки росы,
проводим из точки С линию d = const, в месте ее пересечения с
линией ф = 100% (точка Е) /р = 20°С.
Процесс изменения состояния влажного воздуха
изображается на Н—of-диаграмме прямой линией,
проходящей через точки, соответствующие начальному и
конечному состояниям влажного воздуха. Если параметры
начального состояния воздуха Н\ и du а конечного Н2
и d2i то отношение (Н2—H\)/(d2—dl) = s называется
угловым коэффициентом луча, характеризующего
изменение состояния воздуха в косоугольной системе
координат. Угловой коэффициент є измеряется в кДж/кг
и показывает, какое количество теплоты получает или
отдает воздух на 1 кг воспринятой или отданной влаги.
Процессы изменения состояния влажного воздуха,
протекающие при одинаковых значениях угловых
коэффициентов, характеризуются параллельными лучами. Для
нанесения на поле диаграммы луча процесса
необходимо, чтобы были известны два параметра начального
или конечного состояния воздуха и угловой
коэффициент є. Нанесение луча процесса на Н—d-диаграмму по
существу сводится к проведению прямой в косоугольной
системе координат по заданной точке и угловому
коэффициенту.
Рассмотрим метод вычисления угловых
коэффициентов и способ нанесения лучей на поле Н—^-диаграммы.
Допустим, что к влажному воздуху в количестве m кг
с параметрами Н\ и d\ подмешали пгп кг водяного пара
с энтальпией hn. Требуется найти угловой коэффициент
процесса изменения состояния влажного воздуха.
Балансовые уравнения по теплоте и влаге с учетом
приближенного соотношения твжт можно записать в виде:
158

Из этих уравнений получим
Для нанесения луча данного процесса на Я—d-диа-
грамму воспользуемся следующим способом.
Представим значение углового коэффициента є в виде
отношения отрезков г = а/Ь1 где отрезки а и Ъ представляют
собой приращения энтальпии и влагосодержания
относительно точки 1 (рис. 6.4). Через точку 1 проходит
линия постоянного влагосодержания d\. Выбираем
произвольную величину h — ЬЛ и проводим линию постоянно-
159

го влагосодержания dm—di-\-b. Для выбранного
значения b найдем соответствующее значение а=6е.
Наносим линию постоянной энтальпии //m=//i+a и
находим точку пересечения т. Точка т лежит на луче
процесса, прямая 1—т характеризует рассматриваемый
процесс изменения состояния влажного воздуха.
Характерные случаи изменения состояния влажного
воздуха описаны ниже.
I. Влажный воздух с начальными параметрами Яо
и do нагревается при неизменном влагосодержании. Так
как процесс изменения состояния воздуха протекает при
d=const, то луч процесса должен быть параллелен
линии d=const. Угловой коэффициент
еі= (Ні—Но)/fa—d0) r+ +00.
Луч процесса проходит по линии 0—1 (рис. 6.5,а).
II. Влажный воздух поглощает одновременно
теплоту и влагу. Если начальное состояние воздуха
характеризуется параметрами Яо, d0, а конечное —
параметрами #2>#0, d2>d0, то направление искомого луча
процесса определяется угловым коэффициентом
Луч процесса изображается линией 0—2.
III. Влажный воздух получает влагу при неизменной
энтальпии. Луч процесса должен быть параллелен
линии #=const. При прежнем начальном состоянии
воздуха угловой коэффициент
еш= (#з-#о)/№—*) =0.
Луч процесса проходит по линии 0—3 при Н0=Нг=
= const. Такие процессы принято называть
адиабатными.
IV. Влажный воздух отдает теплоту при неизменном
влагосодержании, т. е. процесс характеризуется лучом,
параллельным линии d=const, но направленным вниз
по линии 0—4. Угловой коэффициент в этом случае
имеет вид:
Е1 у = (Ht-H0)l(dt-d0) ^ -оо.
V. Влажный воздух отдает теплоту и влагу (Я5<С
<//0, ds<d0), что соответствует процессу осушения
воздуха и одновременного его охлаждения. Угловой
коэффициент в этом случае имеет вид:
ev = (H5—HQ)/{d5—d0) =—AH/—Ad>0.
160

Луч процесса характеризуется линией 0—5.
Рассмотрим процесс уменьшения влагосодержания
путем охлаждения и последующего подогрева воздуха
(рис. 6.5,6). Если при охлаждении воздух достигнет
состояния насыщения, т. е. температуры точки росы tv
в точке 2, то это приведет к конденсации части
водяного пара в точке 2. Точка 3 характеризует смесь
насыщенного влажного воздуха состояния 3" и конденсата.
Если теперь насыщенный влажный воздух в точке 3"
нагреть до температуры t\ при постоянном влагосодер-
жании ^4, то его относительная влажность станет
равной ф2, что меньше, чем прежнее значение
относительной влажности фь Таким образом, охлаждением воздуха
до температуры ниже температуры точки росы tVy
отводом образовавшегося конденсата и последующим
нагреванием воздух можно осушить.
Рассматриваемые процессы происходят при
постоянном давлении влажного воздуха, поэтому количество
теплоты, отведенное при охлаждении, определяется
соотношением:
Qi-3=mB(#i—Я3);
количество теплоты, подведенное при нагревании,—
и количество сконденсировавшегося пара
Ати=тв {di—d4);
здесь mB и Дтп — масса сухого воздуха и конденсата.
Рассмотрим процесс смешения. Пусть смешиваются
два потока влажного воздуха — один с массой тА и
состоянием А на Н—^-диаграмме (рис. 6.5,в), другой —
с массой тБ и состоянием Б. Будем считать, что в
процессе смешения давление остается постоянным и
теплообмен с внешней средой отсутствует. Принимаем, что
тБ/тА = п9 т. е. на каждый 1 кг воздуха состояния А
приходится п кг воздуха, отвечающего состоянию Б.
Согласно условию баланса теплоты и влаги
энтальпия и влагосодержание смеси равны:
Нв(\ +п) = НА + пНБ;
dB (l + ?)= dA+ nd?
или
НА-Нв=п(Нв-НБ);
dA — dB n(uB—dB)
1000 e 1000
161

Разделив полученные уравнения почленно, получим
уравнение прямой, проходящей через точки Л, Б и В,
где точка В занимает промежуточное положение
(HA~HB)/(dA--dB)«. (Нв-НвI(ав-ав).
Таким образом, процесс смешения на Н—d-диаграм-
ме характеризуется прямой. Состояние смеси
определяется точкой, лежащей на этой прямой, при этом
положение точки определяется отношением
смешивающихся масс. Для доказательства этого рассмотрим два
треугольника АВГ и ВВЦ (см. рис. 6.5,б). Из подобия
треугольников следует
АВ/ВД^АГ/ВД^ {НА-НвI{Нв-НБ).
Учитывая, что (НА—НвI(Нв—НБ) = п=тБ1тА
получим
AB IB Б=п = гпб/гпа.
Последнее выражение показывает, что точка В
делит прямую АБ на отрезки, обратно пропорциональные
смешивающимся массам.
Определим, например, параметры смеси воздуха при смешении
массы тл = 1000 кг с параметрами ^=28°С, фл=50 %, НА =
=60 кДж/кг сухого воздуха и dA = l2 г/кг сухого воздуха и массы
тБ=3000 кг с параметрами г? = 10°С, фБ=55 °/о, #Б=20 кДж/кг
сухого воздуха и 0^ = 4,33 г/кг сухого воздуха.
На Н—rf-диаграмме находим точки А и Б, соответствующие
заданным состояниям воздуха. Соединяем точку А с точкой Б
прямой линией и измеряем ее длину, которая равна 25 мм. Составляем
пропорцию:
(тА+тБ)/АБ = тА1ВБ или ВБ=АБтА1(тА+тБ).
Подставляя в это выражение известные значения, находим
1000
^2562
Откладывая этот отрезок на прямой АБ от точки Б, получим
точку ?, параметры которой являются искомыми, а именно: tB =
= 14,6 °С, фв==60%, d?=6,25 г/кг сухого воздуха, #я=31,0кДж/кг
сухого воздуха.
ГЛАВА 7. ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКА
§ 18. Первый закон термодинамики
для потока
Энергетические превращения в потоках газов и
жидкостей имеют важное значение для систем теилознерго-
снабжения и вентиляции. В потоках воздуха и воды сис-
162

тем отопления, вентиляции и кондиционирования
воздуха, а также систем теплоснабжения, в потоках
продуктов сгорания,- а также газообразных и жидких топлив,
в потоках водяного пара в турбинах и т. д. происходит
перенос теплоты и затрачивается работа на
перемещение среды. Для рационального использования энергии
необходимо знание основных закономерностей, которым
подчиняются процессы энергетических превращений в
потоке.
Применение первого закона термодинамики для
потока имеет свою специфику. Состояние движущейся
среды, в которой происходит перенос теплоты и
совершается работа различных сил, в целом не является
равновесным. Поэтому термодинамический анализ
основывается на понятии локального термодинамического
равновесия: в качестве равновесных термодинамических
систем рассматриваются макроскопические элементы
среды — макрочастицы. Объем макрочастицы можно
считать бесконечно малым по отношению к объему
среды, но в то же время макрочастица содержит
достаточное количество молекул (или других микрочастиц),
чтобы характеризоваться определенными значениями
термодинамических параметров, /?, и, Т.
Рассмотрим закрытую термодинамическую систему:
движущуюся частицу среды массой Am и объемом AV=
= vAm. Согласно первому закону термодинамики
где dL — работа, совершаемая при взаимодействии системы с
окружающей средой.
В общем случае величина dL выражает суммарный
эффект следующих факторов: работы изменения объема;
работы сил давления по перемещению частицы;
изменения кинетической энергии частицы; работы сил тяжести
(или равного ей изменения потенциальной энергии
частицы в поле сил тяжести); так называемой технической
работы; работы против сил трения, обусловленных
вязкостью среды. Раскроем содержание каждого из этих
факторов.
Работа изменения объема в данном случае равна
pd(AV) = pd(vAm) = Ampdv, так как Am = const
(закрытая система).
Равнодействующую сил давления определим для
частицы в форме параллелепипеда с размерами Ал:, Ау, Аг
163

Г;
Рис. 7.1
(рис. 7.1,а). На грань, нормальную к оси Ох, действует
сила pAyAz, на противоположную грань — сила (р +
+ ТБс^^Ч ky^z> Результирующая сила равна-?~&xAyAz.
Производя суммирование по трем осям и учитывая, что
AV=AxAyAzf получим следующее выражение для
работы сил давления по перемещению частицы
/dp dp dp \
AV \Ша* + Ъау + o7 dz) = AVdp = tmvd'
где dx, dy, dz — проекции перемещения частицы.
Изменение кинетической энергии частицы равно
Amd(w2/2) = Amwdw1 где w — скорость движения
частицы. Работа сил тяжести равна Amgdz, где dz —
вертикальная проекция перемещения частицы.
Техническая работа flfLT обусловлена отводом или
подводом энергии в форме работы при прохождении
потока среды через техническое устройство типа турбины
(отвод энергии) или компрессора (подвод энергии).
Работа против сил трения dL® совершается в
любом потоке реальной (т. е. обладающей вязкостью)
среды. Таким образом, величина dL равна
dL=Am(pdv+vdp+wdw+gdz)+dL4+dL%p
и выражение первого закона термодинамики
приобретает следующий вид:
164

v+vdp+wdw+gdzp
Относя все величины к 1 кг среды, получим
следующее аналитическое выражение первого закона
термодинамики для потока
dq=du+pdv+vdp+wdw+gdz+dlT+dl$v. G.1)
Если рассматриваемая закрытая система проходит
в потоке некоторый путь конечной длины, то это
равносильно процессу изменения ее параметров от
состояния 1 до состояния 2. Уравнение первого закона для
такого процесса можно получить интегрированием
выражения G.1):
—PiVi) + (w22/2—w2i/2) +
_.2; G.2)
здесь учтено, что pdv-\-vdp = d(pv).
Рассмотрим другой способ получения выражения
G.1)*. Представим движущуюся среду в виде
отдельных струй — трубок тока. Массовый расход среды через
поперечное сечение f трубки тока G = pwf для любого
сечения одинаков при стационарном режиме движения.
Выделим участок трубки тока (рис. 7.1,6). Боковая
поверхность участка и сечения 1 и 2 образуют
неподвижную контрольную поверхность, ограничивающую
открытую термодинамическую систему. Взаимодействие этой
системы с окружающей средой осуществляется
следующим образом: через сечение / в систему поступает
масса из окружающей среды, через сечение 2 масса уходит
из системы, через боковую поверхность может
поступать только теплота — эта поверхность непроницаема и
неподвижна. За время dx через сечение / поступает
масса dmi = p\W\f\dx1 за то же время через сечение 2 из
системы уходит масса ^т2==р2^2/2^т, в силу
стационарности процесса dmi — dm2 — dm. Для введения в
систему массы dm окружающая среда должна совершить он-
* В гидромеханике используются два способа описания
движения среды: способ Лагранжа, в котором рассматривается движение
индивидуальной макрочастицы, и способ Эйлера, когда изучается
движение среды в окрестности неподвижной точки пространства.
Первый метод вывода выражения G.1) соответствует способу
Лагранжа, второй — способу Эйлера.
165

ределенную работу против давления системы. Эта
работа отрицательна, ибо совершается не системой, а
окружающей средой. Работа осуществляется в сечении /
силой pifi на пути wxd% и равна —piflwldx=
=—(Pi/pi)pi^iMt=—p\Vidm. Для вывода массы dm
в окружающую среду через сечение 2 система должна
совершить работу p2f2w2d% против давления
окружающей среды, эта работа положительна и равна p2V2dm
Суммарный эффект заключается в проталкивании
массы dm через участок трубки тока между сечениями 1
и 2, соответствующая этому эффекту работа
проталкивания равна (p<2v2—p\V\)dm (или A(pv) для 1 кг).
Работа проталкивания отражает взаимодействие
открытой термодинамической системы с силами давления
окружающей среды. Для бесконечно малого участка
трубки тока работа проталкивания равна d(pv). Видно,
что работу проталкивания можно представить в виде
суммы работы изменения объема pdv и работы сил
давления по перемещению среды vdp: d(pv) = pdv-\-vdp.
Важно подчеркнуть, что работа проталкивания может
быть рассчитана по параметрам р и v начального и
конечного состояний, независимо от того, какого вида
процесс осуществляется между этими состояниями. В этом
смысле величину рю можно считать потенциалом
работы проталкивания, при этом правильность знака
(работа равна изменению потенциала, взятому со знаком
«минус») обеспечивается, если считать, что «работает»
окружающая среда, а не система.
Масса dm является также носителем внутренней
энергии: через сечение 1 в систему вносится масса
с внутренней энергией щит (для идеального газа
cvT\dm), через сечение 2 из системы уходит масса
с внутренней энергией u2dm. Следовательно, за время
d% происходит изменение внутренней энергии системы
на величину (и2—U\)dm. Вместе с изменением скорости
от w\ до w2 меняется и кинетическая энергия системы
на величину 0,5(w22—w2i)dm. Если сечения 1 и 2
имеют различные вертикальные координаты гхФг2, то
совершается работа против сил тяжести g (z2—Z\)dm (где
г2>?і). Наконец, к массе dm могут быть подведены
теплота qi-odm и техническая работа lTdm, кроме того,
против сил трения совершается работа l^dm.
Сложив все перечисленные виды работы, которые
совершаются в открытой системе за время dxy учтя теп-
166

лоту и изменение внутренней энергии, а также разделив
все члены на dm, снова приходим к уравнению G.2),
которое для участка трубки тока бесконечно малой
длины превращается в уравнение G.1).
Проведенный анализ показывает, что работа
проталкивания, определяемая изменением термодинамического
параметра pv, органически связана с самим процессом
движения среды. Движение среды побуждается
воздействием внешних сил (например, движение воды в
трубопроводе возникает под воздействием силы давления
насоса), однако передача этого воздействия в объеме
среды осуществляется внутренними силами, совершающими
работу проталкивания. Эта работа, следовательно,
должна быть отделена от полезной работы потока, которую
можно вывести из системы и использовать по своему
усмотрению. Такое отделение осуществляется в
результате того, что внутреннюю энергию и объединяют с
величиной pv, получая энтальпию h = u-{-pu. В
определенном смысле энтальпия выполняет для потока ту же
роль, что внутренняя энергия для неподвижной системы.
При использовании понятия энтальпии уравнения
G.1) и G.2) принимают следующий вид:
dq=dh+wdw+gdz+dU+dl*p; G.3)
<7і-2= (Л*-Лі) + (о>У2-«>2і/2) +g(z2-Zl) +/т,і-2+ /T* f W2. G.4)
Следует подчеркнуть одно весьма важное
обстоятельство: уравнение G.1) отнюдь не следует рассматривать
лишь как расширенный вариант уравнения первого
закона термодинамики, с введением которого
применявшееся ранее уравнение B.1а): dq=du+pdv—
утрачивает свое значение. Уравнение B.1а) и применительно к
потоку является самостоятельным. Иными словами,
уравнения G.1) и B.1а) выражают два независимых
условия *, не вытекающих одно из другого; при решении
задач эти уравнения можно комбинировать (например,
складывать), но число используемых уравнений должно
оставаться равным двум.
* Независимых в том же смысле, и котором независимы
отдельные уравнения составляющие систему.
167

Рассмотрим это положение, отбросив для простоты
слагаемые технической работы и работы трения из
уравнения G.1); тогда получим:
dq^du+pdv+vdp+wdw+gdz. G.5)
Вычитая из уравнения G.5) уравнение B.1а), имеем
vdp+wdw+gdz=0, G.6)
или после интегрирования
2
ttf/>+(«?/2—ш,2/2)+ *(*. —*i)-0.
і
Перепишем полученное уравнение следующим
образом:
2
§vdp + w\l2 + gzt - w\\2 + gzt. G.7)
Уравнение G.7) называют обобщенным уравнением
Бернулли.
Таким образом, мы получили три уравнения,
которые (используя терминологию гидромеханики) назовем
так: уравнение полной энергии G.5), уравнение
внутренней энергии B.1а) и уравнение кинетической энергии
G.6). Любое из трех названных уравнений можно
получить комбинацией двух остальных, следовательно, лишь
два уравнения являются независимыми.
Можно указать такие условия, когда тепловые и
механические процессы обмена энергией полностью
разделены. Это происходит в потоке несжимаемой жидкости,
свойства которой не зависят от температуры. В этом
случае изменение внутренней энергии определяется только
притоком теплоты, так как при v = const из уравнения
B.1а) получаем du=dq. Механические процессы обмена
энергией подчиняются известному из гидравлики
уравнению Бернулли:
поскольку
2 2
і
in

Б общем случае движения сжимаемой жидкости
(т. е. раза) тепловые и механические процессы обмена
энергией взаимосвязаны. В явном виде этот факт
отражается в уравнении G.1), а также в упрощенном
уравнении G.5), а при использовании уравнений B.1а) и G.6)
без уравнения G.5) связь между тепловыми и
механическими процессами обеспечивается изменяющимся
объемом V.
Взаимосвязь между теплотой и внутренней энергией,
с одной стороны, и кинетической энергией и
различными видами работы, с другой, можно проиллюстрировать
следующим примером. Пусть в жестком замкнутом
резервуаре неизменного объема имеется газ, к которому
подводится теплота dq. Единственным результатом
этого будет увеличение внутренней энергии газа на
величину du. Предоставим теперь газу возможность
совершить работу расширения pdv, например откроем
вентиль, выпустив при этом часть 1 кг газа, находящегося
в резервуаре. При расширении газ придет в движение
с кинетической энергией wdWy внутренние силы
давления будут совершать работу проталкивания d(pv), без
которой движение не может существовать, возможно
совершение работы против сил тяжести gdz, технической
работы dlT и работы против сил трения dl%' Если бы
газу не была предоставлена возможность расширяться,
то перечисленные виды работы не совершились бы.
Понятно, таким образом, что все они совершаются за счет
работы расширения pdv. Формальное сопоставление
уравнений G.1) и B.1а) приводит к тому же выводу.
Таким образом, для потоков несжимаемой жидкости
(например, воды) расчеты по уравнению G.6) не
связаны с расчетами по уравнению B.1а) или G.5), а для
потоков сжимаемой жидкости (например, воздуха)
должна использоваться система двух уравнений,
включающая два любых уравнения из трех, упомянутых
выше. Поскольку во втором случае расчеты
значительно усложняются, возникает вопрос: всегда ли нужно
учитывать сжимаемость *? Оказывается, решающее
значение имеет не сама способность газа сжиматься или
расширяться, а то, насколько он сжат в
рассматриваемом потоке. Большие перепады давления свидетельству-
* Не путать с коэффициентом сжимаемости Z (см. § И),
характеризующим различие между идеальным и реальным газами.
169

ют о сильном сжатии газа, а высокие скорости — о
сильном расширении. Скорость потока газа и принята в
качестве критерия при учете сжимаемости: если скорость
газа w намного меньше скорости звука а в нем, то газ
можно рассматривать как несжимаемую жидкость.
Обычно считают, что для этого достаточно, чтобы
выполнялось условие: ау<0,За. Для идеального газа
скорость звука есть величина того же порядка, что и
скорость поступательного движения молекул: скорость
звука а=У kRT, где k—cp/cv, а скорость молекул шм=
=]/Л3/?7\ для воздуха различие составляет менее 32%.
Учет сжимаемости, следовательно, необходим для
высокоскоростных потоков. В системах вентиляции и
воздушного отопления, где скорости воздуха значительно
меньше скорости звука, можно полагать u=l/p=const.
Рассмотрим важный вопрос о полной работе *//пТр сил трения.
Для потока эта работа может быть представлена в виде суммы:
<р=!<Р + <. G-8)
где tfZ* — работа сил трения, связанная с изменением
кинетической энергии, работой против сил тяжести, работой сил давления
vdp по перемещению потока; ^тр —работа сил трения, связанная
с диссипацией (т. е. рассеянием) энергии.
Составляющая dl^ входит в уравнение, аналогичное
уравнению G.6):
vdp + wdw + gdz — dl^ = 0. G.9)
С другой стороны, теплоту в уравнении B.1а) можно
рассматривать как сумму
, G.10)
где dq?0 — теплота, поступающая в систему через ее границу,
вследствие теплообмена с окружающей средой, dq-rV — теплота,
выделяющаяся при диссипации энергии в результате работы сил
трения.
Уравнение B.1а) с учетом уравнения G.10) принимает вид:
G.11)
Для получения уравнения полной энергии с учетом трения
сложим уравнения G.9) и G.11):
- dl™p. G.12)
Какова связь между теплотой трения dqrp и работой трения
dl™, входящей в уравнение баланса механических видов
энергии G.9)? Раскроем эту связь, рассматривая несколько подробнее
смысл составляющих ^/т^ и cf/*p полной работы сил трения d /"p.
170

Трение в жидкости проявляется только при ее движений. Под
влиянием сил трения в потоке формируется определенный профиль
скорости, видом которого и определяется работа сил трения.
Расчеты показывают, что составляющая al^ отрицательна. Работа этого
вида связана с распространением внутрь потока тормозящего
действия неподвижной стенки, например, внутренней поверхности
воздуховода. В отличие от этого составляющая dlT^ всегда
положительна, она представляет собой остаток полной работы сил трения
^тр ^ ^тр — 0^рт' который не расходуется на передачу внутрь
потока сил, возникающих на стенке. Таким образом, величина al^
не участвует в формировании профиля скорости путем
перераспределения кинетической энергии потока между отдельными
макрочастицами или струйками. Эта работа характеризует рассеяние
механических видов энергии в потоке, ее значение непосредственно
связано с так называемой диссипативной функцией Ф, Дж/(м3-с).
Рассеянная механическая энергия переходит в теплоту dqT$, этот
процесс необратим и представляет собой одно из проявлений второго
закона термодинамики. Следовательно, величину Ф можно
рассматривать как мощность внутренних источников теплоты в вязкой
жидкости. Сравнивая единицы измерения Ф и </#Тр, имеем:
dqT9 = d/fp = ФшЧ>0. G.13)
Подставляя значение dqTV из формулы G.13) в уравнение
G.12), получаем
dqTo=du+pdv+vdp+wdw+gdz+al-c—
-(d/?p-! <р). G. 14)
С другой стороны, уравнение G.1) с учетом выражений G.10)
и G.13) принимает вид:
dqT0~du-\-pdu-\-vdp+wdw+gdz+dlT. G.15)
Уравнения G.14) и G.15) становятся одинаковыми, если
составляющие^/^ < О и а7*р > 0 взаимно компенсируются, т. е. равны
но модулю: dl™^ -f dl®T=Q. Именно такая взаимная компенсация
и происходит в потоке. Составляющие dl™p и dl®p можно
рассматривать как две стороны действия одних и тех же сил трения: с
одной стороны, эти силы (наряду с силами давления) как внутренние
силы осуществляют перераспределение механической энергии между
отдельными макрочастицами, с другой стороны, эта работа по
перераспределению переходит в теплоту. Такая взаимная компенсация
не происходит по отношению к каждой отдельно взятой частице,
но в среднем для поперечного сечения потока выполняется *.
Поэтому уравнение первого закона термодинамики для потока чаще
всего используется в форме G.1) или G.15). Обе эти формы эквива-
* Для турбулентных (см. гл. 14) потоков, наиболее
распространенных на практике, принимают, что указанная взаимная
компенсация выполняется и для каждой макрочастицы.
171

Лентны, так как от одной из них можно перейти к другой приоаь-
лением или вычитанием в обеих частях уравнения равных между
собой величин с?<7тр и rf/*p. Уравнение G.15), следовательно,
справедливо для потока как при учете сил трения, так и без учета их.
Расчет сил трения dl™ и dlT~ по известному профилю скорости
рассмотрен далее в примере 7.1.
Ранее (см. § 10) отмечалось, что производство энтропии в
адиабатной системе обусловлено, в частности, диссипативными
эффектами. В потоке вязкой среды это проявляется в
непосредственной форме. Полагая, что dq^^Tas*, где индексом «н» обозначен
необратимый переход работы сил трения в теплоту, из формулы
G.13) имеем
G.16)
где p(dsH/dx)—производство энтропии в 1 м3 адиабатного потока.
Для стационарного плоскопараллельного потока несжимаемой
жидкости диссипативная функция Ф равна [см. формулу G.60)
в примере 7.1]:
<D = V,{dwxldyJ. G.17)
Следовательно, производство энтропии в рассматриваемом
адиабатном потоке (т. е. при dq-ro — О) согласно выражениям G.16)
и G.17) равно:
p(ds*ldx)=iL(dwxldy)*IT. G.18)
Необходимо отметить, что в потоке с внешним теплообменом
(dq-ro^Q) производство энтропии возможно также в результате
необратимого процесса переноса теплоты. Различные процессы,
вызывающие производство энтропии, рассматриваются в
термодинамике необратимых процессов — науке, интенсивно развивающейся в
настоящее время.
Разнообразные задачи термодинамики потока для
систем теплоэнергоснабжения и вентиляции решают,
используя уравнения G.3) и G.4), которые с учетом
представленного выше анализа работы сил трения
могут быть записаны и в следующем виде:
G.19)
i-2. G.20)
Подчеркнем, что уравнения G.19), G.20) и G.15)
справедливы как для потоков с трением, так и без
трения.
Если из уравнения G.19) вычесть уравнение
первого закона в виде
dqT о = dh—vdp—dq^ G.21)
то получим уравнение кинетической энергии:
vdp+wdw+gdz+dU+dliv^ 0, G.22)
где положительная величина d/Tp равна:
172
G.23)

Уравнения G.19)—G.23) являются основными
расчетными соотношениями для потока, вытекающими из
первого закона термодинамики: следствием второго
закона термодинамики является положительность
величины dqTV. Рассмотрим некоторые случаи применения этих
уравнений.
Как уже отмечалось, потоки газа с относительно
невысокой скоростью можно считать несжимаемыми.
В этом случае из-за незначительного изменения объема
газа при подводе теплоты (при постоянном массовом
расходе и постоянном поперечном сечении потока)
скорость его, а следовательно, и кинетическая энергия
сохраняются постоянными. Если поток горизонтален (dz=
= 0) и техническая работа не совершается (Лт = 0), то,
согласно уравнению G.19), dqT0=dh, а, согласно
уравнению G.20), <7то, 1-2=^2—h\- Для массового расхода
среды G, кг/с, имеем:
Q = G (h2-hx) = Gcp {T2-T{), G.24)
где Q — количество теплоты, подводимое к потоку между
сечениями / и 2 в единицу времени, Дж/с или Вт.
Уравнение G.24), часто используемое при расчетах
теплообмена, справедливо для газа и капельной
жидкости без фазовых переходов. При наличии процессов
парообразования или конденсации уравнение G.24)
используется в виде Q = G(li2—Лі), если можно пренебречь
ИЗМеНеНИеМ СКОРОСТИ (Ші»Ш2 ИЛИ WttQ).
В рассматриваемом случае параллельно с процессом
теплообмена совершается работа против сил трения,
которая для элементарного процесса, согласно уравнению
G.22), равна <і/тр=—vdp, а для участка потока
конечной длины определяется формулой:
—^(P2—Pi) =l?v, 1-2. G.25)
Для объемного расхода среды V, м3/с, (он связан
с массовым расходом формулой V—vG=G/p) имеем
соотношение:
VAp = GlrP,i-2. G.26)
Согласно уравнению G.26), работа против сил
трения совершается за счет разности давлений в сечениях
1 и 2 потока, которая должна создаваться внешним по
отношению к потоку объектом. Только при наличии
Др=р2—р{ удается сохранить неизменной кинетическую
энергию потока w2/2 = const. Для нахождения необхо-
173

Цймой величины Ар нужно зйать /Tp,i-2. Обычно работу
против сил трения определяют как долю кинетической
энергии:
/tp=(a,(//?/)+C)»2/2, G.27)
где X — коэффициент сопротивления трения, учитывающий
взаимодействие потока со стенкой канала (например, трубопровода,
воздуховода) ; Х> — коэффициент местного сопротивления, учитывающий
диссипацию механической энергии при местных возмущениях по-
гока (повороты, сужения, расширения и т. д.); /, d — длина и
диаметр канала, внутри которого движется поток.
Коэффициенты К и ?; в большинстве случаев
определяют экспериментально, для простых случаев величину К
можно найти теоретически. Разность давлений Лр,
необходимую для совершения работы против сил трения,
обычно создают путем подвода к потоку технической
работы (см. далее пример 7.2).
При больших перепадах давления и высоких
скоростях потока необходимо учитывать сжимаемость газа,
рассматривая систему двух уравнений, например G.19)
и G.22).
§19. Истечение газов и паров
Основными проблемами для технической
термодинамики традиционно считают изучение закономерностей
превращения теплоты в работу. Типичный способ
такого превращения включает два этапа: подвод теплоты
к рабочему телу с целью увеличения его внутренней
энергии и расширение рабочего тела (чаще всего
адиабатное) с целью получения работы. Поскольку
превращение теплоты в работу осуществляется непрерывно
(циклически), имеются и другие этапы, которые
подробно рассмотрены в гл. 8. Расширение рабочего тела
(газа или пара) часто осуществляется при истечении из
сопла — канала, в котором происходит увеличение
скорости потока. Высокоскоростной поток газа
взаимодействует затем с лопатками турбины, в результате чего
от потока отводится техническая работа. Так работают
паровые и газовые турбины. Кинетическая энергия
выходящего из сопла потока может использоваться и для
других целей, например для создания направленного
движения воздуха в отапливаемой или вентилируемой
зоне, для дробления воды или жидкого топлива в
пневматических форсунках, для создания горючей смеси на
174

ЯЛІ
\
\ l'J
Рис. 7.2
выходе из газовой горелки Х7У^г^/.
и т. д. Рассмотрим
энергетические превращения в
газовом потоке, проходящем
через сопло.
Речь идет о
преобразовании внутренней энергии в
кинетическую, поэтому
представляет интерес
определение скорости истечения газа
из сопла по заданным
параметрам неподвижного газа.
Пусть в большом объеме
параметры газа имеют
значения pi, vu Ти из этого
объема происходит
истечение газа через сопло в среду с параметрами р2, и2, Т2
(рис. 7.2). Контрольное сечение 1 проведено в
некотором отдалении от сопла, что позволяет считать среду
неподвижной, т. с. W\ = 0. Контрольное сечение 2
проведено па выходе из сопла. Если параметры в сечениях
/ и 2 не изменяются во времени, то устанавливается
стационарный режим истечения из сопла с неизменным
во времени массовым расходом G = w fm/v2=p2wfmy где
w — w2 и fm — соответственно скорость и площадь
поперечного сечения на выходе из сопла. Относительно
закона изменения / вдоль оси-сопла пока не будем делать
никаких допущений, заметим лишь, что этот закон
имеет важное значение для процесса преобразования
внутренней энергии в кинетическую.
Используем уравнения G.19)—G.23) для
определения скорости истечения ад. Процесс истечения будем
считать изоэнтропным: dqTO = 0, <ідтр=^/тр=0. Ясно
также, что для рассматриваемого истечения газа можно
полагать gdz=0 и dlT = 0; если бы рассматривалось
истечение тяжелой жидкости (например, воды), то
gdz=?0. Из уравнений G.19) и G.22) имеем:
dh-{-wdw
из уравнений G.28) и G,29) получаем
dh—vdp=0.
G 28)
G.29)
G.30)
175

Эти уравнения, проинтегрированные для участка по-
гока между сечениями / и 2, принимают следующий
вид (ші=0):
Asr-Ai+tw8/2=0; G.31)
2
і
G.32)
2
Aa— tu— \vdp = 0. G.33)
і
2
Интеграл — vdp, равный полезной работе /п [см.
і
формулу B.13)], называют располагаемой работой.
Совершив эту работу, силы давления обеспечивают
повышение кинетической энергии потока от 0 до ш2/2,
которой можно располагать по своему усмотрению:
превратить в техническую работу турбины, использовать для
пневматического распыла воды с целью увлажнения
воздуха (см. гл. 6) и т. п. Эту работу можно рассчитать,
непосредственно вычислив интеграл [см. уравнение
G.32)] или определив уменьшение энтальпии [см.
уравнение G.33)].
Для обратимого адиабатного истечения идеального
газа
/п = - Jwrf/?— j vx (pxjp)llk dp—k (Л v,—Л tfi)/(*-l) G.34)
Jwrf/?— j v
ИЛИ
/и=—(A2—Л,) =-ср (Га—ГО, G.35)
где при интегрировании использовано уравнение
адиабаты pVk = piVki.
Из формулы G.34) следует, что располагаемая
работа /п при адиабатном расширении в k раз больше
работы изменения объема I (см. § 13). Для двухатомного
идеального газа, например воздуха, ^=1,4 и
кинетическая энергия потока при истечении примерно на 40 %
больше работы, затраченной на обратимое адиабатное
сжатие газа от давления р\ до давления р2- Нет ли
здесь нарушения первого закона термодинамики? На-
176

рушения нет, ибо при накоплении сжатого до давления
р2 газа в большом объеме, из которого происходит исте-
2
чение, совершалась не только работа сжатия ) pdv, но
і
и работа проталкивания—(P2V2—P\V\)> последняя как
раз и составляет упомянутые 40 %.
Скорость истечения w определяется из уравнения
G.31):
Д,—ft,), G.36)
при этом всегда hi>h2. Формула G.36) позволяет
рассчитать скорость обратимого адиабатного истечения не
только идеального, но и реального газа, например
водяного пара, при использовании таблиц или h—s-диа-
граммы.
Для идеального газа, кроме того, справедливы
формулы, которые можно получить из уравнений G.32),
G.34) и G.35) с использованием других уравнений
идеального газа: уравнения адиабаты, уравнения
Клапейрона и др.:
r7',); G.37)
w = VBk[(k— 1)) рх v, A — ${k-Vlk); G.38)
— 1)) /?M1—P(*-1)/ft). G.39)
где ?=p2/Pi; k =
В наиболее общей из формул G.36) — G.39)
—формуле G.36) никаких ограничений на значение разности
энтальпий hi—h2 не накладывается; например, для
современной паротурбинной установки при р1 = 24 МПа,
/1==565ОС имеем hi «3400 кДж/кг, после обратимого
адиабатного расширения до р2=0,005 МПа энтальпия
/i2a1920 кДж/кг. Формула G.36) дает для этих
условий скорость истечения примерно 1700 м/с.
Действительную скорость истечения можно найти по уравнению
расхода w = Gv2/f, где G определяется количеством
сконденсировавшегося пара, a v2 — по значениям р2 и Т2.
Найденная таким образом скорость (без учета потерь
и технических ограничений) была бы менее 600
м/с.Полученное расхождение — почти в 3 раза нельзя
обосновать погрешностями измерений. Это расхождение
важно и в практическом отношении: оно показывает, что
7 Зак. 6D8 177

в рассматриваемом процессе истечения пара удается
реализовать лишь 10 % располагаемой работы,
остальная часть безвозвратно теряется, не превращаясь в
кинетическую энергию.
Поставленную проблему рассмотрим, ограничившись
идеальным газом. При постоянных параметрах рь v\9 T\
расход G зависит только от р2 и v2. Действительно,
используя формулу G.38), имеем
G - (fmlv9) VBk/(k-])) pxvx{\ -
Внесем под радикал v2 и используем отношение
(v{/v2 J = (р2ІР\ J/k = ?2//\ вытекающее из уравнения
адиабаты. Тогда получим уравнение, связывающее
G и ?:
G = fm V{2kl(k~~\)){Pllvx) f'k A - рсл—1>/*)", G.40)
которое можно представить также в виде
G-HA.uO?^Kl-pf*-1)/*, G.41)
где ф (а, vt) = /m /
Исследуем функцию G.41). На интервале изменения
? от 0 до 1 эта функция непрерывна и принимает
нулевые значения на краях интервала, кроме того, она
всюду положительна. Это значит, что на интервале O^?^l
функция имеет нечетное число экстремумов, например
один максимум или два максимума и минимум между
ними и т. д. Стандартное исследование функции G.41)
на экстремум путем приравнивания нулю первой
производной dG/d?=O показывает, что на интервале
имеется только один максимум в точке с координатой ?:
). ' G.42)
Функция G.41) изображена в виде кривой ABC на
рис. 7.3. В точке А ? = l, т. є. р2=Рі и истечения нет.
В точке А{ ?<l и под влиянием возникшей разности
давлений устанавливается определенное значение
расхода G\. В точке А2 разность давлений больше и
соответственно G2>Gi. Под влиянием уменьшения р2
(напомним, что pi=const) устанавливаются режимы с
возрастающим расходом вплоть до GKp в точке В. Ветвь
кривой ВС явно не имеет физического смысла: с
уменьшением р2 расход должен по-прежнему увеличиваться.
Однако измерение G показывает, что такого увеличе-
178

ния нет и расход
изменяется вдоль прямой BD
при .?<?Kp.
Значению ?Kp
соответствует определенная
скорость истечения доКр,
которую можно найти,
подставив выражение G.42)
в уравнение G.38):
G.43)
I
?
Заменим произведение
P\V\ ПрОИЗВедеНИеМ Ркр^кр,
использовав для этого
уравнение- адиабаты и обозначение рКр=Ркр/рь при
этом имеем:
. G.44)
ІЬінч'тііо, что величина kpv = kRT для идеального
газа равна квадрату скорости звука а2. Следовательно,
о>кр = а. G.45)
Кратко сформулируем результаты проведенного
анализа. При увеличении разности давлений pi—р2,
которая играет в данном случае роль движущей силы,
массовый расход через сопло возрастает лишь до
определенного предела и затем остается постоянным вплоть до
режима истечения в вакуум (?=0). При ?^?Kp в
выходном сечении сопла устанавливается скорость потока,
равная скорости звука, определяемой
термодинамическими параметрами газа в этом сечении сопла (ее
называют местной скоростью звука).
Эти выводы (G^GKp, w^WkV=ci) справедливы и
для реального газа.
В результате анализа возникают по меньшей мере
два вопроса. Во-первых, вопрос о физической сущности
ограничения степени превращения внутренней энергии
в кинетическую; этот вопрос рассмотрим позднее. Во-
вторых, вопрос о правильности формулировки задачи
об истечении газа. Ведь формула G.36) выражает
первый закон термодинамики и вдруг оказывается, что
применение этого закона — закона сохранения энергии —
ограничено условием w^a. Сомнения, связанные со
7* Зак. Б08
179

вторым вопросом, действительно имеют основания. При
формулировке задачи об истечении газа не был учтен
второй фундаментальный закон — закон сохранения
массы.
Закон сохранения массы для сплошной среды
формулируется в виде уравнения неразрывности (его
называют также уравнением сплошности, см. гл. 12). Для
процесса истечения это уравнение имеет вид:
G = Wff/v=const, G.46)
где f — изменяющаяся вдоль оси потока площадь поперечного
сечения сопла; ш/ — скорость потока в данном сечении, O^Wf^w.
Запишем уравнение G.46) в дифференциальной
форме, прологарифмировав его и взяв дифференциал от
обеих частей:
dwfIwf+dflf—dv/v=O. G.47)
Уравнение G.29) с учетом обозначения скорости
через Wf можно переписать следующим образом:
Wfdwt=—v2(dpldv)sdvlv, G.48)
для чего его необходимо умножить на v/dv и учесть, что
оно записано для адиабатного процесса.
Положительная величина — v2t(dp/dv)s равна
квадрату скорости звука а2. В правильности этого
утверждения для идеального газа можно убедиться, определив
производную по уравнению адиабаты pvh=const, тогда
получим a2=kpv. Для реального газа, капельной жид*
кости или твердого тела выражение
а - /-і/2 {dpldv)s G.49)
можно получить, применяя основные уравнения
механики сплошной среды к процессу распространения
слабого возмущения (звуковой волны). Формула G.49)
показывает, что скорость звука можно считать
термодинамическим параметром.
Важной характеристикой потоков сжимаемого газа
является число Маха М=до/а, равное отношению
скорости потока к скорости звука. В данном случае
М=ш//а. G.50)
При М<1 поток называют дозвуковым, при М>1 —
сверхзвуковым. С учетом выражений G.49) и G.50)
уравнение G.48) можно записать так:
dvjv^JAHwflwf. G.51)
180

Из уравнения G.51) ясно видйа роль числа М как
критерия сжимаемости: чем меньше М, тем меньше
влияние изменения скорости [и связанного с ним по
уравнению G.29) изменения давления] на
относительное изменение объема dv/v. При этом по уравнению
G.29) dp и dwf имеют противоположные знаки, что
значит, что в направлении падения давления (dp<0)
скорость возрастает (dwf>0)y а по уравнению G.51)
возрастает и объем (du>0). Указанному ранее (см. § 18)
условию несжимаемости ш<0,За соответствует М<0,3
или М2<0,09, что, согласно уравнению G.51), следует
понимать так: если изменению скорости соответствует
примерно в 10 раз меньшее изменение объема, то поток
можно считать несжимаемым.
Подставив уравнение G.51) в уравнение G.47),
получим выражение, связывающее скорость потока в
данном сечении с площадью этого сечения:
dflf=(№— I) dwf/wt. G.52)
Назначение сопла состоит в разгоне потока,
поэтому всегда dwf>0. Согласно уравнению G.52)
возрастание скорости вдоль оси сопла обеспечивается
определенным законом изменения площади поперечного сечения/:
в дозвуковом потоке (М< 1) площадь поперечного
сечения должна уменьшаться (d/<0), при переходе через
скорость звука (М=1) она должна быть минимальной
(d/=0, f=fm) и в сверхзвуковом потоке (М>1)
площадь сечения должна увеличиваться (d/>0).
Сопло, для которого выполнены перечисленные
условия, носит название сопла Лаваля. Рассмотренное
ранее сопло с d/<0 называют простым соплом (а также
суживающимся, коноидальным).
Применение сопла Лаваля позволяет получить
скорость, определяемую формулой G.36). Для этого
площадь выходного сечения /г и площадь сечения
горловины fm должны быть рассчитаны в соответствии с
заданными параметрами истечения. Значение /2 определяется
заданным расходом G, скоростью истечения w и
удельным объемом U2, который находят по параметрам р2, Т2
среды за соплом. Площадь сечения горловины
определяют аналогично: /т=^иКр/шКр, где аКр.— удельный
объем газа при Wf=a. Величину акр для идеального
газа можно определить по уравнению адиабаты для ркр=
='РкрРь где для ? = 1,4 по формуле G.42) имеем ?Kp=
181

p,
ц
т,
р,
р
а
/
7
-л,
'¦*¦—-—
— .
'///////////У//////////
1
—-^-___
— .
_- ——:—
-—____/:
-—-—
¦—¦
~ -
//.
У/
А'
—' ч
швштттт
—¦ —
*!
л'
ь'
а
Рис 7.4
= 0,528. Для реальных газов критическое давление
может бЫТЬ НаЙДеНО ПО ТОЧКе Пересечения КРИВЫХ Wf =
=Wf(p) и а=а{р), первая из которых построена по
формуле G.36) с использованием, например, для
водяного пара таблиц или h—s-диаграммы, а вторая — с
использованием таблиц термодинамических свойств
вещества. Используются также приближенные расчеты по
формулам идеального газа со значением показателя
адиабаты k для данного реального газа (для водяного
пара см. § 14).
. Длина сопла Лаваля выбирается по следующим
рекомендациям: длина суживающейся части должна быть
минимальной, а профиль сопла — плавным с целью
уменьшения потерь на трение; длина расширяющейся
части должна обеспечивать угол раствора 11—12° для
безотрывного течения с минимальными потерями.
Физическую сущность явления «запирания» простого
сопла, возникающего и при нерасчетных режимах
работы сопла Лаваля, рассмотрим, пользуясь рис. 7.4.
Кривые изменения давления и" скорости, заканчивающиеся
182

в точке а, соответствуют нерасчетному режиму с мас-1
совым расходом ниже номинального; скорость потока,
всюду дозвуковая. Некоторое снижение давления рг
передается против течения со скоростью а—ш/>0 в виде
волны малого возмущения и вызывает изменение
режима работы сопла, а именно некоторое увеличение
скорости истечения w. Последовательные уменьшения р2
могут продолжаться до наступления режима,
обозначенного точкой Ь\ который является предельным дозвуковым
режимом. При дальнейшем снижении р2 наступает
расчетный режим (обозначен точкой &), при этом в
сечении устанавливается скорость потока, равная местной
скорости звука, а в сечении /2 — расчетная
сверхзвуковая скорость истечения w. Дальнейшее снижение р2
не приводит к повышению скорости истечения и расхода,
как и в простом сопле. В этом случае волна малого
возмущения не может распространяться против течения,
она сносится вниз по потоку со скоростью Wf—а>0.
Среда в потоке внутри сопла не воспринимает
изменений давления среды за соплом.
Необратимость при истечении можно учесть, если
записать уравнения G.28) — G.30) с учетом трения:
wdw=—vdp—dUv\ dh=vdp-hdqi^.
Из этих уравнений видно, что трение приводит к
уменьшению располагаемой работы, идущей на
увеличение кинетической энергии. При этом на такую же
величину снижается и приращение энтальпии, так что
соблюдается равенство dh=—wdw, которое
представляет собой уравнение G.28), в котором трение учтено.
Остается справедливой и основная расчетная формула
G.36). Процесс необратимого истечения (расширения)
рассмотрен в § 24. Здесь отметим лишь, что
действительная скорость истечения Дод ниже скорости
истечения, определяемой по формуле G.36), и это снижение
учитывается скоростным коэффициентом {T)=wJw=
=0,95-0,98.
§ 20. Дросселирование газов и паров
Процесс неравновесного расширения газа или
жидкости от большего давления к меньшему,
происходящий без отдачи работы, называется дросселированием.
На практике дросселирование представляет интерес
главным образом в двух аспектах: как нежелательный
183

6)
V)
Рис. 7.5
побочный, процесс диссипации энергии потока при про*
хождении местных сопротивлений и как намеренно
вводимый процесс регулирования или измерения.
Примерами целенаправленного применения процесса
дросселирования могут служить: регулирование расхода или
давления вентилями, задвижками и т. п., применение
дроссельных вентилей в холодильных установках (см. гл. 9),
применение измерительных диафрагм и проч.
Рассмотрим процесс адиабатного дросселирования
при прохождении потоком местного сопротивления
(рис. 7.5,а). В месте наибольшего сгущения линий тока
имеется максимум скорости в силу условия постоянства
массового расхода и минимум давления в силу
уравнения Бернулли; скорость затем полностью
восстанавливается, а давление восстанавливается лишь до уровня
p2=pi—|Др|, при этом величина Ар обусловлена
эффектом диссипации.
Контрольные сечения 1 и 2 располагаем на
достаточном удалении от местного сопротивления в
невозмущенном потоке. Основные уравнения G.19)—G.23),
записанные для элементарного процесса, нельзя
применять непосредственно к конечному необратимому
процессу, проходящему между сечениями 1 и 2. Однако
если допустить существование элементарного процесса
дросселирования, например при прохождении среды
сквозь препятствие из пористого материала, то для
горизонтального адиабатного потока без технической
работы и с пренебрежимо малым изменением кинетиче-
184

ской энергии из уравнения G.19) dh=0\ с учетом этого
из уравнения G.21) получаем — vdp = dqTV, а из
уравнения G.22), которое уже не является независимым, так
как оно вытекает из двух предыдущих, имеем — vdp=
= dlTV. В конечном виде применительно к случаю,
изображенному на рис. 7.5,а, получаем следующие
соотношения:
2
А. - a ,; - j
vdp - /п, !_2 - /тр, !_2 = ?тр, !_2. G.53)
тр, !_2 = ?тр, !_2
Уравнения G.53) выражают основные
закономерности процесса дросселирования: значение энтальпии
потока после процесса дросселирования сохраняется;
полезная работа /п,1~2 по перемещению потока
совершается против сил трения и восполняет энергию диссипации,
которая превращается в теплоту.
Первую закономерность иллюстрирует рис. 7.5,6.
Необратимый процесс дросселирования 3—5 (показан
условно — пунктиром) соответствует двум обратимым
процессам: обратимому адиабатному расширению 3—4,
в котором увеличивается кинетическая энергия, а
энтальпия снижается, и изобарному подводу теплоты 4—5,
в котором происходит восстановление энтальпии из-за
выделения теплоты трения.
Вторая закономерность указывает на то, что энергию
диссипации необходимо восполнять полезной работой,
подводимой извне. Обычно это — техническая работа,
совершаемая, например, насосом или вентилятором. Без
подвода работы нельзя поддержать на неизменном
уровне кинетическую энергию потока.
Уравнения G.53) справедливы и в том случае, если
причиной диссипации является трение при
взаимодействии вязкого потока со стенками канала, а не местное
сопротивление. Это обстоятельство подчеркивается
также формулой G.27).
Проведем сравнение различных процессов
расширения в потоке на основе эксергетического анализа. Эксер-
гетический КПД обратимого адиабатного истечения
3—а (см. рис. 7.5,6) согласно формулам C.61), а также
C.59) и C.60) равен единице, поскольку /ПK_а = Дез-а=
= —ААз-а. Процесс необратимого истечения 3—b
можно заменить изоэнтропным процессом 3—с и
необратимым процессом дросселирования с—Ь\ полезная работа
185

процесса 5—b равна /п,з-ь=—(Ас—А3)=—(Аь—А3), ибо
з процессе с—5 полезная работа не совершается. Тогда
имеем:
г\е, з- ь =—/п, з~ь
G.54)
где Го — температура окружающей среды.
Применяя формулу G.54) к процессам 3—4, 3—4*
3 — 4"у 3 — 5, получим: t[e% 3_4 = 1; ъ, з-*'< ъ, з-4' < 1
т{е, 3-5 = 0. Следовательно,! эксергетический КПД необра
тимого адиабатного расширения тем выше, чем меньше
отклонение процесса от изоэнтропного, т. е. чем меньше
степень необратимости, выражаемая величиной As (для
процесса 3—Ь приращение энтропии As=Sb—s3). Для
предельно необратимого процесса 3—5 с
максимальным значением As — процесса адиабатного
дросселирования— эксергетический КПД равен нулю.
В процессе дросселирования изменение агрегатного
состояния вещества может происходить только в
направлении увеличения энтропии. Состояние 1 (см.
рис. 7.5,6) соответствует жидкой фазе, состояние 7 —
перегретому пару; любое из промежуточных состояний
между точками 1 и 7 может быть как началом, так и
окончанием процесса дросселирования, но конечная
точка должна быть правее начальной. В процессе 5—9
оба крайних состояния лежат в области перегретого
пара, такой процесс возможен вблизи критической
точки К. Дросселирование как регулирующий процесс
приводит к уменьшению полезной работы: ААі2-із<АА10-іі;
такой случай наблюдается, например, при
регулировании расхода пара через турбину (см. § 24), при этом
процесс дросселирования 10—12 осуществляется в
регуляторе.
Одной из важных характеристик адиабатного
дросселирования, представляющей интерес, в частности, для
холодильной техники и исследований
термодинамических свойств веществ, является дроссельный эффект —
отношение изменения температуры газа, пара или
жидкости к изменению давления в процессе адиабатного
дросселирования. Различают дифференциальный
дроссельный эффект ah=(dT/dp)h и интегральный — для
конечного изменения давления Др<0.
Величину ah можно связать с параметрами р, и, Т
н изобарной теплоемкостью ср. Полагая; что Л=Л(р,Г)
183

и записывая для трех величин л, р и Т тождество іипа
C.29), получим
(dT/dp)h=:—(dh/dp)Tl(dhldT)p.
Учитывая, что (dh/dT)p=cPja (dh/dp)T определяется
по уравнению C.30), имеем следующее основное
соотношение для ак-
ah=^(dT/dp)h=(T(dvldT)p-v)lcp. G.55)
Поскольку всегда ср>0, то знак ,ак определяется
знаком числителя правой части уравнения G.55).
Числитель этот можно вычислить, если известно
термическое уравнение состояния вещества F(p, v, T) = 0. Из
уравнения Клапейрона, например, следует, что ал=0:
идеальный газ обладает нулевым дроссельным
эффектом. Для реальных газов а/^О и знак ак зависит от
конкретных значений р, и, Г, т. е. от состояния
вещества. Уравнение T(dv/dT)p—v=0 определяет состояния,
для которых ал=0; совокупность таких состояний на
р—7-диаграмме образует куполообразную кривую
инверсии, разделяющую области Ші>0 и аь<0. Для
различных веществ область под кривой, где ал>0
(охлаждение, ибо при дросселировании всегда др<0),
приблизительно определяется следующими координатами
основных точек: pWPkpa^H; TN/TKPtt l,6-=-2,l; Tp/Tkp^Q\
Тм1Ткр<1\ например, для воды Гм/^кр=0,628 (здесь
N — вершина кривой, Р и М — нижние концы правой и
левой ветвей).
Именно область а&>0 представляет интерес для
холодильной техники, где дросселирование используют для
снижения температуры рабочего тела, например процесс
2—5 на рис. 7.5,6. Следует отметить, что производная
температуры по давлению вдоль любой линии в
двухфазной области равна dTH/dpH и согласно рис. 4.4
положительна. Поэтому процесс 2—5 для любого вещества
сопровождается снижением температуры.
Для процесса дросселирования т]е=0, поэтому
предпочтительнее является обратимое адиабатное
расширение, для которого т]е=1. Легко убедиться в том, что
и снижение температуры для второго процесса больше:
(dT/dp)s>(dT/dp)h. Выражение для (дТ/др)8 можно
получить тем же методом, что и формулу G.55), но
вместо формулы C.30) необходимо использовать
выражения C.33) и C.34). Выполнив преобразования,
получим:
(дТ/др).—(дТ/др)н=v/cp>0.
187

Дроссельный эффект можно измерить относительно
просто — достаточно измерять температуру и давление
до и после дросселя. Поэтому уравнение G.55) можно
применять при исследовании термодинамических свойств
веществ, например измерения с^ и ср можно
использовать для составления уравнения состояния F(p, v, Г) = 0.
Пример 7.1. По заданному профилю скорости в потоке
вязкой жидкости рассчитать работу сил трения.
Поскольку работа совершается силами трения (или потоком
против сил трения), рассмотрим природу этих сил в вязкой
жидкости. Работа силы трения ая, производимая в единицу времени,
равна скалярному произведению этой силы на вектор скорости:
-»¦ -*•
(un'W). Вектор скорости w имеет три скалярных проекции и в ста-
->•
ционарном потоке зависит только от координат точки; до =
= w(x, г/, г). Вектор силы трения приложен к поверхности
макрочастицы (ибо силы трения, как и давление — поверхностные силы)
и зависит в отличие от скорости не только от координат точки,
но и от ориентации поверхности: ап=ап(л:, у, z, п), где п —
единичный вектор нормали к поверхности. Зависимость ап от п
существенно усложняет математическую форму представления сил
трения. В то время как скорость в произвольной системе координат
полностью определяется своими проекциями Wx, wy, wZy вектор
cTrt не может быть представлен столь просто. Рассматривая
равновесие жидкой частицы под действием приложенных к ней поверх-
постных сил, можно показать, что вектор оп в произвольной систе-
ме координат определяется тремя векторами: ох, оу, а2, каждый
из которых действует на площадке, нормальной к соответствующей
—>¦
оси координат. Например, на рис. 2.1 показан вектор о'у, который
отнесен к 1 м2 поверхности грани, нормальной к оси у\ его едини-
—>
ца измерения — Па. Вектор о'у называют напряжением, он имеет
три проекции: о'уу, ryx, ryz, при этом нормальная проекция
включает давление: о'уу——р+вуу (знак «минус» указывает, что
давление направлено внутрь частицы). Таким образом, вектор сил трения
стл, Па, можно представить девятью проекциями вида ст«, %ц, где
индексы /, /=1; 2; 3 и соответствуют координатным осям ху у, г.
Указанные девять величин образуют тензор напряжений трения —
—>
координатное представление вектора стп
—>.
Работа напряжения оу с проекциями оуу, гух, хуг, совершаемая
->• —>
в 1 с и отнесенная к 1 м3, равна d(Gy-w)ldy, т. е. определяется
-»¦
действием напряжения ау на противоположные грани
макрочастицы (примерно так же определяется работа сил давления — см
рис. 7.1, а). Известно, что скалярное произведение двух векторов
188

равно сумме произведении одноименных проекций этих векторов,
поэтому имеем:
(OyW) ^XyxWx+OyyWy+XyzWz. G.56)
Для вычисления работы вектора оу необходимо взять
производную от каждого слагаемого в правой части уравнения G.56)
и сложить их; например, производная от первого слагаемого равна
d(xVxWx)ldy==wx(dxyxldy) +ryx(dwxldy). G.57)
Таким образом, вектор дает шесть составляющих при
вычислении работы сил трения, всего же для тензора напряжений трения
получим 18 составляющих. Чтобы избежать громоздких формул,
будем рассматривать простейший стационарный плоскопараллельный
поток несжимаемой жидкости, при этом скорость имеет только одну
проекцию wx, а тензор напряжений трения — только один элемент
Тух. Работа сил трения в таком потоке определяется выражением
G.57), которое связано с формулой G.8) соотношениями:
р (dl^/dz) - wx (dzyxldy); p (dl%/dz) - zyx (dwxldy). G.58)
Формулы G.58) можно получить на основе уравнения движения
[см. формулу A2.25)].
Для расчета составляющих dl™p и dl®p работы сил трения по
заданному профилю скорости wx = wx(y) необходимо знать связь
между %ух и wx. Эта связь устанавливается законом Ньютона и
в данном случае имеет вид: Xyx^iiidwx/dy), где \i — динамическая
вязкость, Па-с. С учетом сказанного получаем следующие
выражения:
dl™v = vwx{d*wxldy*)d% G.59)
dl*p = 4(dwxldyydT, G.60)
где v — кинематическая вязкость, м2/с.
Профиль скорости в потоке вблизи от стенки обычно имеет
вид, представленный на рис. 14.5, и может быть описан параболой
Wx—ay*+by2-\-cy+d в пристенной области, где О^і/^б; в этой
области проявляется действие сил трения и ее называют
пограничным слоем (см. § 51). На стенке поток заторможен полностью
(согласно гипотезе «прилипания»), следовательно, при у==0 имеем
Wx=0, поэтому d=0; в тонком прилипшем слое профиль скорости
прямолинеен, поэтому (d2wx/dy2) у=0=0 и отсюда 6=0. С учетом
сказанного имеем параболу тх=ауъ+су. Подставляя выражение ее
производных в формулы G.59) и G.60), получаем:
dl™p = v Fа2 у4 + басу2) rfx; G.61)
dl*p = v (9л2 у* -f- басу2 + с2) rfx. G.62)
Приведенное в § 18 условие взаимной компенсации
составляющих работы сил трения dl^+dl^ =0 после подстановки
выражений G.61) и G.62) превращается в уравнение:
1 Ъа У +12асу*+с2=0. G.63)
189

Как показано в § 51 а=— 0,5шо/б3, с=1,5шо/б,
где Wo — скорость потока вне пограничного слоя при у^Ь.
Подставляя значения а и с в уравнение G.63), получаем:
5#4—12?2+3 = 0, G.64)
где д — относительное (безразмерное) расстояние от стенки в
пределах пограничного слоя; оно равно у = у/д и меняется в
интервале 0<#<1.
Биквадратное уравнение G.64) имеет четыре корня, но лишь
один из них #о=О,5324 обладает физическим смыслом: для
макрочастицы потока, движущейся на расстоянии г/0=0,5324б от стенки,
составляющие d /^ и dl*p взаимно компенсируются. Если
координата у?=Уо, то работы rf/^p и fl7*p взаимно не компенсируются,
их модули не равны, хотя знаки различны. Из уравнений G.59)
и G.60) видно, чтой^р<0,а rf^p>0. В этом можно также
убедиться, подставив значения а и с в уравнения G.61) и G.62) и
произведя необходимые вычисления.
Однако условие взаимной компенсации всегда выполняется для
пограничного слоя в целом. Это прямое следствие первого закона
термодинамики: стенка стремится затормозить поток вязкой
жидкости, что проявляется в виде работы сил трения, которая приводит
к некоторому уменьшению кинетической энергии потока. Поскольку
стенка неподвижна, то вся произведенная силами трения работа
переходит в теплоту. Указанные превращения можно выразить
формулой: . ^.;ъЩ
г
(dl^ + dl*p)dy = Q. G.65)
о
Применяя формулу G.65) к уравнению G.64), получим:
1
~ 0. G.66)
Легко убедиться в том, что выражение G.66) является
тождеством.
Пример 7.2. Путем непосредственного измерения для
работающего вентилятора были получены следующие величины: объемный
расход воздуха V=5000 м3/ч, манометрическое давление в
воздуховоде за вентилятором рМан = 300 Па, мощность электродвигателя
вентилятора N = 0,68 кВт. Параметры воздуха в помещении, из
которого вентилятор забирал воздух, составляли: ? = 25 °С,
атмосферное давление Рбар=745 мм рт. ст. Диаметр воздуховода за
вентилятором <2=450 мм. Проанализировать работу вентилятора на основе
термодинамики воздушного потока, проходящего через него.
При прохождении воздушного потока через вентилятор
изменяются давление и скорость воздуха, подводится техническая
работа. Ввиду небольшого повышения давления изменением температуры
можно пренебречь, также можно пренебречь работой против сил
тяжести. Параметры воздуха позволяют считать его идеальным га»
190

зом. Таким образом, имеем: fityTO=0, dh=cPdT=01 gdz=O.
Подводимая техническая работа расходуется на приведение воздуха
в движение и работу сил давления, оставшаяся часть* представляет
собой диссипацию механической энергии. По уравнению G.22)
имеем:
Проведем контрольные сечения следующим образом: сечение 1
в неподвижном воздухе перед вентилятором, сечение 2 поперек
воздуховода за вентилятором. Для участка потока 1—2 имеем:
і-2+/тР; 1-2 = 0. G.67)
Удельный объем в уравнении G.67) равен vR
=287-298/G45-133,3) =0,861 м3/кг; давление рі = рбар, а р2
=РбаР+300 Па. Скорость ку1=О, а йУ2== 4 У/3600ж/2== 4-5000/3600 X
ХЗ,14@,452) =8,74 м/с. Техническая работа /Tfl_2=-—Afa/V=— 680X
Х0,861/E000/3600)==—421 Дж/кг; знак «минус» означает, что
работа совершается над системой.
Подставляя полученные величины в уравнение G.67), найдем
/тр, i-2=—0,861-300—0,5(8,742)+421 = 124,5 Дж/кг.
Таким образом, значительная часть подведенной технической
работы B9,6%) теряется в виде энергии диссипации.
ГЛАВА 8. ЦИКЛЫ ТЕПЛОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
§ 21. Сжатие газов в компрессорах
Компрессорами называют машины, предназначенные
для сжатия воздуха, а также других газов и паров.
Широко применяемые в технике компрессоры делятся на
лопаточные и объемные. В лопаточных компрессорах
(центробежных и осевых) рабочее тело в результате
вращения ротора разгоняется до значительных
скоростей, а затем кинетическая энергия потока
превращается в потенциальную энергию давления. При этом
давление в вентиляторах возрастает до 0,01 МПа, в
воздуходувных машинах — до 0,3 МПа. В объемных
компрессорах (поршневых и ротационных) газ сжимается
за счет уменьшения замкнутого объема, в котором он
находится.
Хотя компрессоры различных типов отличаются
принципом сжатия газа и имеют значительные
конструктивные различия, сущность термодинамических процессов
в них одинакова.
Рассмотрим работу идеального поршневого
одноступенчатого компрессора и процессы, происходящие при
получении 1 кг сжатого газа с заданным давлением р2
191

2 З
Рис. 8.1
на р—^-диаграмме (рис. 8.1,а). Линия 6—1 изображает
процесс всасывания газа в цилиндр / в результате
перемещения поршня // вправо от крышки цилиндра ///,
в которой находятся впускной А и выпускной В
клапаны. Давление газа повышается при обратном ходе
поршня (линия 1—2) до значения р2в момент открытия
выпускного клапана В. Продолжая движение влево,
поршень выталкивает сжатый газ в резервуар (линия
2—5) и выпускной клапан закрывается. Затем
происходит открывание впускного клапана А. и заполнение
цилиндра новой порцией газа.
Процесс повышения давления от рх до р2 может
происходить по адиабате 1—3 при отсутствии теплообмена
между рабочим телом и окружающей средой.
Если отвести от рабочего тела количество теплоты,
эквивалентное работе, затраченной на повышение
давления, то температура останется постоянной и процесс
/—4 будет изотермическим. В реальных условиях вода,
циркулирующая в рубашке компрессора, охлаждает
сжимаемый газ, отводя лишь часть теплоты, и процесс
/—2 является политропным с показателем 1<п<?
(у реальных машин п= 1,15—1,25).
Полная теоретическая работа /*о, затрачиваемая на
получение 1 кг газа с давлением р2, складывается из
работ сжатия /сж, выталкивания 1ВЫТ и всасывания /Всас.'
/о=/СЖ~Т"'ВЫТ—'всас. (8*1)
* Эта работа равна полезной работе /п, которая может быть
получена при обратимом расширении газа (см. § 19).
192

Работа km изображается площадью 1—2—§—7—Jf,
ота /выт — площадью 2—5—0—8—2 и работа /ВСас —
площадью /—6—0—7—/. Работа всасывания /всас
имеет противоположный знак по отношению к работам km
и /Выт [см. уравнение (8.1)]. Суммирование указанных
площадей позволяет получить площадь 1—2—5—6—/,
эквивалентную полной теоретической работе
компрессора /о.
Работа сжатия в процессе /—2 в общем случае
fa
і
/еж = J Pdv. (8.2)
Величина /еж всегда отрицательна, так как работа
совершается над1* газом. Для адиабатного сжатия
идеального газа
11ж = ТИТ (A ft — А*>>); (8.3)
для изотермического сжатия
/L = A^iln-~-; (8.4)
для политропного сжатия
(8.5)
Работы всасывания /ВСас и выталкивания /ВЫт
вычисляются следующим образом:
/выт=— Р2^2. (8.6)
Подставляя в уравнение (8.1-) выражения (8.5) и
(8.6), окончательно получаем для политропного сжатия
1о = л_і (Pi vi — р9 v9) — p9v9 + pxvx -. ^тт
n—\
—^*-.[(?)*М
Количество отводимой теплоты при сжатии в ци-
1 индре определяется по формуле
= ^^zrr(^ —'Л). (8.8)
193

J
3'
9M
\ \
_i \ г>
\\ \
4
рт>п* const
Рис. 8.2
Рис. 8.3
Из рис. 8.1 видно, что при адиабатном сжатии
работа будет наибольшей, по мере увеличения количества
отводимой теплоты она уменьшается и при
изотермическом сжатии будет наименьшей. Отметим также, что
в конце адиабатного сжатия температура может
достигнуть высоких значений (рис. 8.1,6); это приводит к
ухудшению качества смазочного масла и даже к его
самовоспламенению. Указанные факторы и определяют
целесообразность водяного охлаждения стенок компрессора.
В реальных компрессорах поршень не доходит до
крышки цилиндра и между ними остается некоторый
объем и0, называемый вредным объемом (рис. 8.2)
В конце процесса выталкивания (линия 2—3) во вред
194

ном объеме остается часть сжатого воздуха с
давлением р2. При обратном ходе поршня всасывающий клапан
открывается лишь тогда, когда давление оставшегося
воздуха понизится до р\ по линии 3—4„ В связи с этим
объем поступившего воздуха будет ui—O4. что меньше
V\—u0, и производительность компрессора уменьшится.
При увеличении конечного давления р2 до значений р'г,
р'2 и т. д. производительность продолжает падать, так
как количество воздуха, остающегося в конце процесса
выталкивания, возрастает и для снижения давления до
Р\ поршень должен уходить все далее вправо {v'\<
<у/4<^4). При некотором конечном давлении, когда
объем сжатого воздуха будет равен uo>
производительность компрессора станет равна нулю.
Из изложенного выше видно, что получение
значительного давления сжатого газа в реальном
одноступенчатом компрессоре затруднительно. Для получения
высоких давлений применяют многоступенчатые
компрессоры, в которых после каждой ступени газ
поступает в промежуточный холодильник, где охлаждается
при постоянном давлении до исходной температуры.
В идеальном трехступенчатом компрессоре
осуществляются следующие процессы (рис. 8.3,а): всасывание
газа в первую, вторую и третью ступени — линии a—U
Ь—3 и с—5; сжатие в первой, второй и третьей
ступенях— линии /—2, 3—4 и 5—6\ выталкивание сжатого
газа из первой ступени во вторую, из второй в третью
и из третьей ступени в резервуар (каждый раз через
промежуточные холодильники — линии 2—Ь, 4—с и
6—d). Отрезки линий 2—3 и 4—5 определяют
изобарное охлаждение газа в холодильниках. Те же процессы
представлены на Т—s-диаграмме (рис. 8.3,6).
Если температуры газа после каждого холодильника
равны исходной G11==713=715), конечные температуры
на выходе из каждой ступени также одинаковы (Г2=
=zT^=T6) и все процессы сжатия идут с одним
показателем политропы я, то и степени повышения давления х
в каждой ступени будут одинаковы
(8.9)
(8.10)
195
НО р2 = Рз И р4 = Р5, ПОЭТОМУ
3

При числе ступеней z
^. (8Л1)
где ркон — конечное давление газа на выходе из последней
ступени; рнач — начальное давление газа на входе в первую ступень
компрессора.
Для определения общей работы, затрачиваемой
многоступенчатым компрессором, необходимо
просуммировать работы, расходуемые на сжатие газа в каждой
ступени. При соблюдении указанных выше условий
затраты работы на каждой ступени равны между собой и
определяются по формуле (8.7).
Для компрессора с числом ступеней z значение
общей затраченной работы равно
П — 1
Из р—^-диаграммы (см. рис. 8.3,а) хорошо видно,
что при промежуточном охлаждении газа существенно
уменьшаются затраты работы и общий процесс сжатия
приближается к изотермическому.
Количество теплоты, отводимой от газа в каждом
холодильнике, установленном между ступенями,
определяется по формуле
<7хол =CpGWi). (8.13)
Конечная температура сжатия в каждом цилиндре
определяется из уравнения политропы
я—1 л—1
Г,-7і, (А/Л) п -Г.лр п . (8.14)
Величины qn и ^хол для многоступенчатого
компрессора могут быть определены как площади под долитро-
пами и изобарами на Т—s-диаграмме (см. рис. 8.3,6).
§ 22. Циклы поршневых двигателей
внутреннего сгорания
Тепловые двигатели, рабочим телом которых
являются газообразные продукты сгорания топлива,
сжигаемого непосредственно внутри самого двигателя,
называются двигателями внутреннего сгорания (ДВС).
Поршневые ДВС делятся на двухтактные, у которых
один рабочий ход приходится на два хода поршня, и че-
196

6)
Рисі 8.4
тырехтактные с одним рабочим ходом на четыре хода
поршня. Кроме того, поршневые ДВС подразделяются
на двигатели с подводом теплоты при постоянном
объеме (быстрого сгорания), двигатели с подводом
теплоты при постоянном давлении (постепенного сгорания)
и двигатели, работающие по смешанному цийлу.
Идеализируя рабочий цикл как двухтактных, так
и четырехтактных карбюраторных двигателей, т. е.
двигателей быстрого сгорания, получают
термодинамический цикл, называемый часто циклом Отто (рис. 8.4,а).
В этом цикле процесс сжатия рабочей смеси происходит
по адиабате 1—2. Изохора 2—3 соответствует горению
топлива, воспламененного от электрической искры, и
подводу теплоты qx. Рабочий ход, осуществляемый при
адиабатном расширении продуктов сгорания, изображен
линией 3—4. Отвод теплоты #2 осуществляется по изо-
хоре 4—1> соответствующей в четырехтактных двигате-
197

лях выхлопу газов и всасыванию новой порции
рабочей смеси, а в двухтактных — выхлопу и продувке
цилиндра.
Термический КПД рассматриваемого цикла
вычисляется следующим образом:
,о 1
(8Л
1 Л
-1~" r./r,—і г,-
Сравнивая адиабаты І—2 и 3—4, можно показать,
что
Г4/Г1 = Гз/Г2, (8.16)
и, следовательно, получить.
г1, = 1_Г1/Г2. (8.17)
Отношение всего объема цилиндра v\ к объему
камеры сжатия U2 называется степенью сжатия г
(8.18)
и является основной характеристикой цикла Отто.
Учитывая, что для адиабаты 1—2 между v и Т
существует связь
=Ttv\-\ (8.19)
окончательно имеем
тц — 1—1/е*-1. (8.20)
Из выражения (8.20) видно, что термический КПД
двигателей, работающих по циклу Отто, зависит только
от степени сжатия є и с ее увеличением возрастает.
Понятно, что температура в конце сжатия Т2 не должна
достигать температуры самовоспламенения горючей
смеси. Поэтому степень сжатия в реальных двигателях
такого типа не превышает 10 и зависит от характеристик
применяемого топлива.
Степень сжатия в цикле может быть повышена,
если сжимать не горючую смесь, а воздух, и затем,
получив высокие давление и температуру, обеспечить
самовоспламенение распыленного в цилиндре топлива. В этом
случае процесс горения затягивается и двигатели такого
типа характеризуются постепенным (или медленным)
сгоранием топлива при постоянном давлении. Идеализи-
198

рованныи цикл такого двигателя внутреннего сгорания
называется циклом Дизеля и осуществляется
следующим образом (рис. 8.4,6). Рабочее тело (воздух)
сжимается по адиабате 1—-2, изобарный процесс 2—3
соответствует процессу горения топлива, т. е. подводу
теплоты qu а рабочий ход выражен адиабатным
расширением продуктов сгорания 3—4. Наконец, изохора 4—1
характеризует отвод теплоты q2, заменяя для
четырехтактных двигателей выхлоп продуктов сгорания и
всасывание новой порции воздуха, а для двухтактных —
выхлоп и продувку цилиндра.
Формула для расчета термического КПД в этом
случае принимает вид
_i ii-_i cv<T*—т*) і Л—Л
Кроме степени сжатия є, у цикла Дизеля имеется
еще одна характеристика — степень предварительного
расширения р
p = v3/v2. (8.22)
Для изобары 2—3 можно записать Vs/v2=T3/T2.
Рассматривая изохору 4—1 и учитывая, что Р4^Л4=Рз^з>
pxvh\=p2vh2 и v±=vu получаем
7\ Pi Pav\ P*vl
-уг- = -~- = г = г - Р • (8-23)
Окончательно с учетом соотношения (8.19) формула
для расчета термического КПД цикла Дизеля имеет
вид:
(8-24)
Выражение (8.24) показывает, что основным
фактором, определяющим экономичность двигателей,
работающих по циклу Дизеля, также является степень
сжатия е, с увеличением которой термический КПД цикла
возрастает. Как указывалось, нижний предел є
определен необходимостью получения в конце сжатия
температуры, значительно превышающей температуру
самовоспламенения топлива. Верхний предел є (до 20)
ограничен допустимым давлением в цилиндре, превышение
199

которого приводит к утяжелению конструкции и
увеличению потерь на трение. Повышение степени
предварительного расширения р вызывает снижение
термического КПД цикла с подводом теплоты при постоянном
давлении. Отсюда следует, что с увеличением нагрузки
и удлинением процесса горения топлива экономичность
двигателя уменьшается. Это следует учитывать наряду
с другими обстоятельствами при определении
оптимального режима работы двигателя.
Цикл Тринклера или цикл со смешанным подводом
теплоты, по которому работают современные
бескомпрессорные дизели (рис. 8.4,в), осуществляется по
следующей схеме. Адиабата 1—2 соответствует сжатию
в цилиндре воздуха до температуры, превышающей
температуру самовоспламенения топлива. Изохора 2—3
соответствует процессу горения топлива, впрыскиваемого
в цилиндр, а изобара 3—4 изображает процесс горения
остальной части топлива по мере поступления его из
форсунки. Расширение продуктов сгорания идет по
адиабате 4—5, а изохора 5—/ соответствует выхлопу
отработавших газов в атмосферу. Таким образом,
теплота Ц\ подводится в двух процессах 2—3 и 3—4
<7i=<7'i+<7'i. (8.25)
• Приведем без вывода выражение для термического
КПД цикла со смешанным подводом теплоты
ч 1 1) 1*1Г' <8-26>
Параметр Я называется степенью повышения давления
и рассчитывается так:
^ = Рз/р2. (8-27)
В двигателях, работающих по циклу Тринклера,
распыл топлива производится топливным насосом
высокого давления, а компрессор, применяемый при
пневматическом распыле топлива, отсутствует. Степень сжатия
в рассматриваемом цикле может достигать 18.
Легко показать, что выражение (8.26) является
общим для циклов поршневых ДВС и при А=1 и р=1
переходит в соответствующие формулы для термического
200

Рис. 8.5
- КПД циклов с
подводом теплоты при
постоянном давлении или
постоянном объеме.
Сравнение
эффективности рассмотренных
циклов проведем наТ—s-ди-
аграмме (рис. 8.5),
предположив, что в каждом из
них достигается
одинаковая максимальная
температура 7Y Одинаковы и
количества отведенной
теплоты q2 в каждом цикле (площадь 14ab). При
таких условиях теплота цикла <7ц> равная полезной
работе цикла /ц, будет наибольшей для цикла Дизеля
12Г34 и наименьшей для цикла Отто 1234. Цикл Трин-
клера Ыс34 занимает промежуточное положение.
Таким образом, термический КПД,
характеризующий степень термодинамического совершенства цикла,
будет наибольшим для цикла с подводом теплоты при
постоянном давлении и наименьшим для цикла с
подводом теплоты при постоянном объеме.
§ 23. Циклы газотурбинных установок
Газотурбинные установки (ГТУ) также относятся
к двигателям внутреннего сгорания. В них рабочим
телом служат газообразные продукты сгорания топлива,
а двигателем является газовая турбина. В
газотурбинных установках не применяют механизмы с возвратно-
поступательным движением, используемые в поршневых
ДВС, что позволяет иметь агрегат большей мощности.
Расширение рабочего тела в газовой турбине
происходит до давления окружающей среды, в результате чего
обеспечиваются более высокие КПД цикла, чем у
поршневых двигателей.
Газотурбинная установка с подводом теплоты при
постоянном давлении работает по следующей схеме
(рис. 8.6,а). Атмосферный воздух всасывается
компрессором 1 и адиабатно сжимается (линия /—2, рис. 8.6,6),
а затем поступает через регенератор 5 в камеру
сгорания 3. В регенераторе воздух подогревается за счет
теплоты газов, выходящих из турбины. В камеру
сгорания топливный насос 4 подает топливо, которое, его-
201

рая при постоянном давлении, повышает температуру
рабочего тела (линия 2—3). Отметим, что часть
воздуха, сжатого в компрессоре, служит для разбавления
продуктов сгорания и снижения их температуры до
такой, которую могут выдержать лопатки газовой
турбины. Линия 3—4 соответствует адиабатному расширению
продуктов сгорания до атмосферного давления в
газовой турбине. Далее газы, пройдя через регенератор и
охладившись, выбрасываются в атмосферу (линия 4—/)
и цикл возобновляется.
Анализируя цикл без учета регенерации части
теплоты отработавших в турбиние газов, определим
термический КПД идеализированного цикла ГТУ с подводом
теплоты при постоянном давлении
7*4 —7\
(8.28)
^итывая, что
= Г3/Г2, лолучаем
Пі-1-Tj/r,. (8.29)
Основной
характеристикой' рассматриваемого
цикла является степень
повышения давления в
процессе сжатия
(8.30)
б)
г
Га
5
С
-?
р
ш
J
б
і
(
і*
Рис. 8.6
Ю2

Поскольку для адиабаты 1—2
формулу для расчета термического КПД получаем в
следующем виде:
ъ = 1 — W? k • '
Таким образом, с ростом степени повышения
давления при сжатии в компрессоре термический КПД цикла
ГТУ с подводом теплоты при p=const увеличивается.
Рассмотрение цикла на Т—s-диаграмме (рис. 8.6,6)
показывает, что регенеративный подогрев сжатого
воздуха повышает эффективность анализируемого цикла,
увеличивая г)*. Отработавшие газы направляются в
регенеративный теплообменник, где охлаждаются до
температуры Tbi отдавая при этом теплоту <7рег=Ср(?4—Тъ)
воздуху, который нагревается до температуры Та,
получая теплоту q'veT=cv(Ta—Т2). Очевидно, что ^рег=9/рег-
Если ТЪ = Т2 и Та=Ть то регенерация теплоты
является полной, так как нагрев воздуха до температуры,
большей, чем Г4, не может быть осуществлен. В
случаях, если Га<Г4 и Тъ>Тъ регенерация теплоты
является неполной и характеризуется степенью регенерации о.
Степень регенерации есть отношение фактически
регенерированной теплоты 9рег==срG1а—Т2) к ее
максимально возможному значению q^7i=cl)(Ti—Г2), т. е.
о = ?рег /q™? = (Та — ТШ)ЦТА— Т,). (8.33)
При полной регенерации, когда 71а=Г4, а=1. В
противоположном случае, т. е. при отсутствии
регенерации, o=0. .. і
Термический КПД цикла ГТУ можно повысить,
применяя наряду с регенерацией ступенчатое сжатие
воздуха в компрессоре и ступенчатое сжигание топлива.
Помимо газотурбинных установок, работающие со
сжиганием топлива при p=const, существуют
установки, в которых подвод теплоты осуществляется при v=
= const. Однако несмотря на более высокий'
термический КПД цикла, двигатели такого типа не получили
широкого распространения из-за сложностей
конструкции, связанных, в первую очередь, с периодическим
характером процесса горения.
203

Рассмотренная выше схема ГТУ с подводом теплоты
при постоянном давлении является разомкнутой, так
как каждый следующий цикл осуществляется с новой
порцией рабочего тела. В случае если схема ГТУ
является замкнутой, продукты сгорания отдают теплоту
рабочему телу — специально подобранному газу — в
особом теплообменнике (газовом котле), а затем
выбрасываются в атмосферу. Нагретый газ поступает в
турбину, где, расширяясь, производит работу, а затем
направляется в регенератор, нагревая сжатый газ,
поступающий из компрессора. Далее отработавший газ
охлаждается водой, циркулирующей в поверхностном
охладителе, и подается компрессором обратно в газовый
котел.
В ГТУ, работающей по замкнутой схеме, продукты
сгорания не контактируют с рабочими лопатками
турбины, поэтому в них может использоваться топливо
любого вида и качества. Кроме того, при замкнутой схеме
низшее давление цикла может быть в несколько раз
выше атмосферного, что позволяет работать при
больших давлениях, а значит меньших объемах газа,
вследствие чего можно значительно уменьшить габариты
установки.
Термический КПД цикла с подводом теплоты при
постоянном давлении [см. формулу (8.32)] возрастает
при увеличении показателя адиабаты к. Применяя в ГТУ
с замкнутой схемой одноатомные газы (гелий, аргон),
у которых &=1,67, можно несколько повысить t)t цикла.
§ 24. Циклы паросиловых установок
Основой современной энергетики является
теплоэнергетика, ядро которой — паровая теплосиловая
установка, использующая в качестве рабочего тела водяной
пар. В такой установке в отличие от ДВС продукты
сгорания топлива в рабочем цикле не участвуют, а служат
источником теплоты для получения водяного пара
необходимых параметров.
Известно, что использование в качестве рабочего
тела насыщенного пара позволяет осуществить на
практике цикл Карно. Постоянство температуры в
изобарном процессе подвода или отвода теплоты
обеспечивается вследствие испарения или конденсации части
насыщенного пара. Цикл Карно для водяного пара
204

(рис. 8.7,а) состоит из изобарно-изотермического
процесса парообразования 4—1 в парогенераторе,
адиабатного расширения пара 1—2 в двигателе,
изобарно-изотермического процесса неполной конденсации пара 2—3
в конденсаторе и адиабатного сжатия пара 3—4 в
компрессоре до полного превращения его в воду.
Верхняя температура такого цикла Тх (рис. 8.7,6)
определяется критической температурой воды C74,14°С)
и, очевидно, может быть принята не выше 350 °С, при
этом давление рх составляет 16,5 МПа. Нижняя
температура Г2 цикла Карно определяется температурой
окружающей среды, которая принимается равной 25 °С, что
соответствует р2=0,003 МПа. Как видно, перепад
давлений довольно большой. Однако термический КПД
цикла Карно в этом диапазоне температур не слишком
велик и равен
г)т = 1—Т2ІТі = 1—B73+25)/B73+350) =0,52.
Главной проблемой при техническом осуществлении
цикла Карно является создание двигателя, в котором
обеспечивался бы процесс 1—2. Высокая конечная
влажность пара при адиабатном расширении создает крайне
неблагоприятные гидродинамические условия работы
такого двигателя. Кроме того, компрессор, сжимающий
насыщенный пар до его полного превращения в воду
(процесс 3—4), имел бы большие габариты из-за
больших объемов пара, работа, затрачиваемая на сжатие,
была бы слишком велика, а гидродинамические условия
работы компрессора были бы крайне тяжелы.
205

По изложенным соображениям цикл Карно на
практике (не применяется, а в паросиловых установках
используется цикл, в котором осуществляется полная
конденсация отработавшего пара, и вместо громоздкого
компрессора устанавливается питательный водяной
насос, подающий конденсат в парогенератор. В таком
цикле, называемом циклом Ренкина, возможно применение
перегретого пара, что также повышает экономичность
цикла.
Простейшая паросиловая установка (рис. 8.8,а)
включает в себя парогенератор 1, в котором
происходит сжигание топлива и теплота образующихся
газообразных продуктов сгорания используется для
превращения воды в перегретый пар (процесс 4—5—6—1 на
рис. 8.8,6 и 8.8,6). В качестве двигателя обычно
устанавливается паровая турбина 2, в которой протекает
процесс адиабатного расширения перегретого пара /—2,
сопровождающийся преоб-
а) ' * разованием его внутренней
энергии в полезную работу.
Турбина вращает
электрический генератор 5.
Отработавший пар поступает в
конденсатор 3, по трубам
которого циркулирует
охлаждающая вода,
отбирающая теплоту от пара и
конденсирующая его на
наружной поверхности труб
(процесс 2—3). Конденсат
т
3
в
\
\
2
7
1
\
\
Рис. 8.8
206

откачивается центробежным насосом 4, повышающим
его давление до необходимого значения и подающим его
обратно в парогенератор (процесс 3—4, на Г-5-диаграм-
ме не показан).
На р—^-диаграмме (см. рис. 8.8,6) площадь
/—2—8—7—1 изображает работу турбины /т, площадь
3—4—7—8—3 — работу /н, затраченную на привод
насоса, а площадь /—2—3—4—1 — их разность, т. е.
полезную работу цикла /ц. На Т—s-диаграмме (см. рис. 8.8,в)
площадь 4—5—6—1—7—8—4 изображает теплоту q\t
затраченную на получение перегретого пара, площадь
2—3—8—7—2 — теплоту q2t отданную в процессе
конденсации пара охлаждающей воде, площадь 1—2—3—
—4—5—6—1 — их разность q\—q2, т. е. полную теплоту
цикла, превращенную в работу /ц.
Работа /н, затраченная на привод насоса, весьма
незначительна по сравнению с полезной работой
цикла, ее обычно не учитывают и считают
/ц = /т = /і1_/і2. (8.34)
Теплота, затраченная на получение пара заданных
параметров в изобарном процессе, равна
q^h{-h4. (8.35)
Таким образом, термический КПД цикла Ренкина
подсчитывается по формуле
r\t = l*lq^(hx-h2)l(hx-hz) = (/ч-М/Єч-^), (8.36)
где hf2 — энтальпия кипящей воды при давлении Рг-
Термический КПД цикла Ренкина удобно
определять графо-аналитическим методом с помощью h—s-
диаграммы (рис. 8.9,а). Для этого по заданным
начальным параметрам пара рх и t\ на h—s-диаграмме
находится точка /. Вертикальная прямая, проведенная из
этой точки до пересечения с изобарой р2у в точке 2
соответствует обратимому адиабатному процессу
расширения пара в двигателе. Отрезок 1—2 определяет
располагаемый перепад энтальпий /ц=/іі—h2i т. е. числитель
в выражении (8.36). Знаменатель этого выражения
определяется как разность между энтальпией пара hx и
энтальпией кипящей воды h'2 при температуре i2 и
давлении р2 и равен %
Л'2=4,19*2. (8.37)
Удельные расходы пара и теплоты на производство
единицы работы (т. е. на 1 кДж работы /ц) также слу-
207

-
ч
A
u
X5 * \"
S S
Рис. 8.9
жат показателями эффективности теоретического цикла
Ренкина. Теоретический расход пара rf0, кг/кДж или
кг/(кВт-ч), определяется по формуле
doe»l/(Ar-A2) или с?о=3600/(А1—А2). (8.38)
Теоретический расход теплоты рассчитывается так:
¦\/r\t или
(8.39)
Действительный процесс расширения пара в турбине
вследствие трения и других внутренних потерь является
необратимым и сопровождается увеличением энтропии.
На А—s-диаграмме (см. рис. 8.9,а) действительный
необратимый процесс изображается линией /—2д, а
действительное использованное теплопадение 1Д подсчиты-
вается как разность Ai—чА2д-
Относительный внутренний КПД г]Ог,
характеризующий степень совершенства действительного цикла по
сравнению с теоретическим, подсчитывается как
отношение действительной работы пара в турбине 1Д к
теоретической /ц:
-h2). -, (8.40)
Теоретическая мощность паротурбинной установки
УУт, кВт, при расходе пара на турбину Do, кг/с,
выражается формулой
^T=D0/q=D0(/i1—Аг), (8.41)
где Ai и h2 взяты в кДж/кг.
208

Необратимость процесса расширения пара в турбине
снижает ее мощность, и действительной работе пара
соответствует внутренняя мощность турбины Ni, кВт,
подсчитываемая по формуле
Л^Д^-^д) =г]ог#т. (8.42)
Кроме того, в турбине имеются механические
потери, связанные с трением вала в подшипниках, затратой
работы на привод вспомогательных устройств и т. д.
Поэтому мощность, фактически снимаемая с вала
турбины и передаваемая генератору, которая называется
эффективной мощностью Ne, кВт, меньше внутренней
МОЩНОСТИ N{, Т. Є.
Ne = r)MexNu (8.43)
Наконец, в генераторе имеются механические и
электрические потери, поэтому электрическая мощность Л/э,
кВт, меньше, чем эффективная мощность турбины Л/е,
и равна
ЛГэ = г]генЛ/е. (8.44)
Действительная электрическая мощность NQy кВт,
с учетом указанных выше потерь определяется так
Л^ = Т]генТ1мехГ]ог#т. (8.45)
Расход пара Do, кг/с, может быть рассчитан по
формуле
D0=N3(hi—й2)т]генТімеХг]ог. (8.46)
В соответствии с последним равенством удельный
расход пара аЭу кг/кДж, на единицу выработанной
электроэнергии составляет
^э = Д)/^э==1/(йг--ІІ2)г)геиГ\мехГ\оі. (8.47)
Термический КПД цикла Ренкина зависит от
энтальпии пара до и после турбины и энтальпии воды,
входящей в парогенератор. Следовательно, на величину rj*
влияют три параметра: давление пара р\9 его
температура t\ и давление пара р2 в конце адиабатного
расширения. Анализ влияния каждого из параметров
показывает, что увеличение начального давления пара р\ перед
турбиной при неизменности tx и р2, хотя и приводит
к возрастанию rj*, однако вызывает увеличение
конечной влажности пара, что неблагоприятно сказывается
на работе последних ступеней Турбиным Термический
КПД растет более интенсивно, если повышать также
и начальную температуру пара />- В этом случае умень-
8 Зак. 508 ., 209

шается конечная влажность пара, а значит и
внутренние потери в турбине. Естественно, что при повышении
начальных параметров р\ и t\ к качеству металла для
изготовления парогенератора, турбины и трубопроводов
предъявляются особые требования.
Понижение* конечного давления пара р2 при
неизменных pi и t\ также позволяет повысить термический
КПД цикла паросиловой установки. Однако получение
глубокого вакуума в конденсаторе ограничивается
температурой охлаждающей воды, которая зависит от
времени года и района расположения установки. Обычно
в конденсаторе поддерживается давление р2 около
0,003—0,005 МПа, что соответствует температуре
насыщения 24—33 °С. Естественно, что температура
охлаждающей воды должна быть ниже, чтобы обеспечить
конденсацию пара и отвод теплоты.
Простой расчет показывает, что термический КПД
цикла' Ренкина при рі=30 МПа, ^ = 600°С и /?2=
=0,003 МПа равен 47,3%. Если принять во внимание
все тепловые, механические и электрические потери, то
общий КПД паросиловой установки, работающей по
циклу Ренкина, не превышает 35%. В связи с этим
продолжается поиск и других путей
усовершенствования двигателей такого типа.
Эффективным оказывается применение
промежуточного (вторичного) перегрева пара (рис. 8.9,6),
заключающегося в отводе частично расширившегося пара из
турбины во вторичный пароперегреватель
парогенератора для его нового перегрева и возврата в
последующие ступени турбины для дальнейшего расширения.
Такое видоизменение цикла Ренкина позволяет не
только несколько увеличить его термический КПД, но и
избежать в конечных ступенях турбины высокой влажности
пара, ухудшающей гидродинамический режим
проточной части турбины и вызывающей разрушение лопаток.
В цикле со вторичным перегревом пара теплота
подводится в двух изобарных процессах. Во-первых, при
получении перегретого пара из воды q\ и, во-вторых,
при вторичном перегреве пара в промежуточном
пароперегревателе q"\. На h—5-диаграмме (см. рис. 8.9,6)
видно, что
?і = <7'і+<Л = (hi-hU) + (hz-h2), (8.48)
где индексы соответствуют номерам точек, при этом
h\— энтальпия кипящей воды при р4. ,
210

Теплота, превращенная
в полезную работу,
складывается также из двух
слагаемых
-h4). (8.49)
Таким образом,
термический КПД цикла
паросиловой установки с
промежуточным перегревом пара
будет равен
__ /ц __ (hx — h*) h (/г3— Л,)
Я* (/*! — к'Л + (/?з— Л3) '
в 9
Рис. 8.10
(8.50)
Сопоставим формулу (8.50) с выражением для
термического КПД цикла Ренкина, соответствующего
таким же параметрам ри tx и р2:
hU). (8.51)
Изобары на h—s-диаграмме расходятся с
повышением температуры (см. § 12), поэтому числитель в
формуле (8.50) больше числителя в формуле (8.51).
Однако знаменатель в формуле (8.50) также возрастает
на величину Л3—h2. Поэтому для повышения
термического КПД нужно правильно подобрать давление и
температуру промежуточного перегрева пара.
Еще одним способом повышения экономичности
паросиловых установок является применение
регенеративного подогрева питательной воды за счет теплоты
конденсации пара, частично отбираемого из
промежуточных ступеней турбины.
Основной тепловой потерей паросиловой, установки,
работающей по циклу Ренкина, является теплота
отработавшего пара, отдаваемая охлаждающей воде в
конденсаторе и нигде не используемая. На Т—s-диаграм-
ме (рис. 8.10) этой потере для цикла Ренкина
/—2—3—4—5—/ соответствует площадь 2—3—8—10—2.
В реальных установках отдаваемая теплота, уносимая
охлаждающей водой и сбрасываемая в окружающую
среду, составляет до 60 % всей теплоты, сообщенной
пару в парогенераторе.
Температура воды, выходящей из конденсатора,
составляет обычно около 20 °С. Естественно, что воду со
столь низкой температурой невозможно использовать,
** Зак. 508
211

например, в системах отопления и горячего
водоснабжения. Устранить эту потерю можно путем повышения
давления пара после турбины.
Если расширение пара в турбине прекратить при
более высоком давлении (точка 6 на рис. 8.10), то
теплота, превращенная в работу /ц, будет измеряться
площадью 1—6—7—4—5—/, а теплота, полезно
используемая потребителями тепла — площадью 7—6—10—9—7.
Из рис. 8.10 видно, что работа 1 кг пара в этом случае
уменьшается по сравнению с работой расширения до
давления в конденсаторе /?2» и поэтому расход пара на
выработку электроэнергии увеличивается. Однако
теплота отработавшего пара уже не теряется, а полезно
используется.
Комбинированная выработка электрической энергии
и теплоты производится на электростанциях,
называемых теплоэлектроцентралями (ТЭЦ), в отличие от
конденсационных электростанций (КЭС), вырабатывающих
только электрическую энергию. Централизованный
способ снабжения потребителей электрической энергией
и теплотой называется теплофикацией.
Экономичность теплофикационных установок
оценивается с помощью коэффициента использования
теплоты k$ определяемого как отношение суммы полезной
работы цикла /ц и теплоты q2, отданной внешнему
потребителю, к теплоте, затраченной на получение пара в
парогенераторе <7i
k=(l*+qd)lqi. (8.52)
В теоретическом цикле величина k равна единице,
а для реальных теплофикационных установок
коэффициент использования теплоты меньше единицы из-за
тепловых, механических и электрических потерь на ТЭЦ.
Напомним, что для цикла Ренкина коэффициент k
равен термическому КПД цикла.
Для осуществления теплофикационного цикла и
снабжения потребителей паром или горячей водой на
ТЭЦ устанавливают теплофикационные турбины
различных типов. Наиболее распространены турбины с
регулируемыми отборами пара нужного давления. Такие
турбины работают по свободному электрическому
графику с одновременным свободным регулированием
тепловой нагрузки.
Возможно использование турбин с
противодавлением, которые не имеют конденсатора и после которых
212

пар выходит с давлением выше атмосферного и
направляется к потребителям тепла. Несмотря на простую
конструкцию, такие установки применяются редко, так как
выработка электроэнергии в них зависит от потребления
теплоты.
Турбины с ухудшенным вакуумом отличаются от кон-
енсационных турбин тем, что в их конденсаторах
поддерживается повышенное давление (например,
0,09 МПа), что позволяет нагревать циркулирующую
в конденсаторе воду до 70—90 °С и использовать ее
для бытовых нужд. При отсутствии потребления
теплоті,! такие установки работают как конденсационные.
Основным недостатком турбин с ухудшенным вакуумом
является зависимость выработки электроэнергии от
потребления теплоты.
§ 25. Циклы комбинированных и атомных установок
Стремление увеличить термический КПД и полнее
использовать температурный интервал цикла, в
котором могут работать реальные двигатели, привело к
созданию комбинированных установок. Использование
перегретого водяного пара в качестве рабочего тела
не позволяет повысить температуру свыше 600 °С,
нижняя температура цикла Ренкина составляет примерно
25 °С. В то же время верхние температуры
газотурбинных циклов значительно превосходят температуру
перегрева пара в цикле Ренкина, однако их нижние
температуры достигают 400—500 °С при расширении
продуктов сгорания до атмосферного давления.
В комбинированной парогазовой установке
используются два рабочих тела — газообразные продукты
сгорания топлива и водяной пар. Схема парогазовой
установки с раздельным использованием рабочих тел
представлена на рис. 8.11,а. Атмосферный воздух, сжатый
в компрессоре 1 (линия 1—2 на рис. 8.11,6), подается
в высоконапорный парогенератор 2, работающий на
жидком или газообразном топливе, сжигаемом под
давлением. Теплота, выделившаяся при сгорании топлива,
частично расходуется на получение перегретого
водяного пара и частично превращается в полезную работу
в газовой турбине 5, где происходит расширение
продуктов сгорания, поступивших из топки парогенератора
(линия 3—4). Расширившиеся до атмосферного давле-
213

ff)
т
Рис. 8.11
ния продукты сгорания направляются в регенеративный
теплообменник 4, где охлаждаются (линия 4—1) и
удаляются в атмосферу. Перегретый пар, полученный в
парогенераторе (линия 8—9—5), расширяется в паровой
турбине 5 (линия 5—6), а насыщенный пар поступает
в конденсатор б, где полностью конденсируется
(линия 6—7). Образовавшийся конденсат подается
насосом 7 в теплообменник 4У где нагревается за счет
теплоты отработавших в газовой турбине продуктов
сгорания (линия 7—8) и далее направляется в
парогенератор для превращения в перегретый пар.
Полный термодинамический цикл комбинированной
парогазовой установки (см. рис. 8.11,6) состоит из двух
циклов — газового /—2—3—4—1 и парового 5—6—7—
—8—9—5. Эти циклы были рассмотрены выше каждый
в отдельности.
Полезная работа парового цикла
/4.n=ft5_ft6. (8.53)
Если на каждый килограмм пара в газовом цикле
участвует m килограммов газа, то полезная работа
газового цикла
Цг = m[ (A3-A4) - (Лг-Лі) І- (8.54)
Величина т называется кратностью расхода газа и
может быть определена из уравнения теплового баланса
регенеративного теплообменника
mihr-hS^hr-he, (8.55)
откуда
214
(8.56)

Теплота, затраченная на осуществление всего
комбинированного цикла, также складывается из теплоты,
затраченной в паровом цикле,
qn = hb—ti8, (8.57)
и теплоты, затраченной в газовом цикле
qv = m(hz—h2). (8.58)
Таким образом, термический КПД
рассматриваемого парогазового цикла рассчитывается по формуле
_ /ц.п + /ц.г _ (fts-freH m[(ha-h,)~(h,-ht)]
Расчеты показывают, что термический КПД
комбинированного цикла увеличивается по сравнению с
отдельно взятыми КПД парового и газового циклов, так
как возрастает реализуемый перепад температур.
Кроме рассмотренной схемы, в настоящее время
разработаны и другие комбинированные циклы. Например,
в качестве рабочего тела используется парогазовая
смесь, которая создается путем впрыска нагретой воды
в газовый поток. Такой впрыск несколько снижает
температуру газов перед турбиной и одновременно
приводит к увеличению энтальпии рабочего газа, так как
удельная энтальпия воды больше, чем энтальпия
продуктов сгорания.
Комбинированные циклы используются в ртутно-во-
дяных бинарных установках. Ртутный пар, который
имеет высокую температуру насыщения при умеренных
давлениях, является рабочим телом в ртутном цикле.
Последний, располагаясь над циклом водяного пара,
позволяет поднять верхнюю температуру комбинированного
цикла, в результате чего увеличивается термический
КПД.
Анализ показывает, что наибольший эффект
комбинирование двух циклов дает в том случае, если вся
отводимая от верхнего цикла теплота используется в
нижнем цикле. При этом в идеальной комбинации теплота
должна подводиться только в верхнем цикле при
максимально возможной температуре, а отводиться —
только в нижнем цикле при температуре окружающей среды.
Известно, что при делении ядер расщепляющихся
элементов (атомного топлива) выделяется огромное
количество энергии, в основном тепловой. Промышленное
использование атомной энергии стало возможным после
215

открытия методов,
позволяющих искусственно
регулировать процесс расщепления
ядер.
Основой атомной
энергетической установки (АЭУ)
является ядерный реактор,
Рис 812 в тепловыделяющих
элементах которого происходит
управляемая и регулируемая
реакция деления ядер атомного топлива. Образующаяся
в реакторе теплота отводится циркулирующим
теплоносителем. АЭУ бывают одноконтурными, двухконтурны-
ми или трехконтурными. При одноконтурной схеме
теплота ядерной реакции передается непосредственно
рабочему телу, которое направляется в обычную
паросиловую или газотурбинную установку. Таким образом, при
одноконтурной схеме ядерный реактор выполняет
функцию камеры сгорания и парогенератора. При
двухконтурной схеме промежуточный теплоноситель
воспринимает теплоту в ядерном реакторе и отдает ее рабочему
телу в парогенераторе. Трехконтурная схема
предполагает наличие еще одного внутреннего контура между
контуром первичного теплоносителя и контуром, в
котором циркулирует рабочее тело.
Принципиальная схема двухконтурной атомной
энергетической установки с паровой турбиной (рис. 8.12)
состоит из ядерного реактора 7, где выделяется
теплота, отводимая промежуточным теплоносителем, которым
в зависимости от типа реактора может быть газ (гелий,
двуокись углерода), органический теплоноситель, вода
или жидкий металл (натрий). Циркуляция
промежуточного теплоносителя в контуре реактора осуществляется
насосом 3. В парогенераторе 2 промежуточный
теплоноситель отдает теплоту рабочему телу — водяному пару,
которое совершает цикл обычной паротурбинной
установки. Водяной пар расширяется в паровой турбине 4,
затем конденсируется в конденсаторе 5, а конденсат
направляется насосом 6 обратно в парогенератор.
Ядерный реактор, выполняющий роль источника
теплоты, не вносит никаких изменений в
термодинамический цикл, совершаемый рабочим телом, и термический
КПД атомных энергетических установок подсчитывает-
ся по обычным- формулам, рассмотренным выше. Одна-
216

ко наличие ядерного реактора в схеме теплосиловой
установки в значительной степени усложняет ее в
конструктивном и эксплуатационном отношении. Из-за
высокой радиоактивности промежуточного теплоносителя
возникает основная проблема — обеспечение
безопасности при сооружении и работе атомных энергетических
установок.
В настоящее время атомная энергетика играет
важную роль в народном хозяйстве страны и на ближайшие
годы предусмотрено ее ускоренное развитие. Особо
перспективным следует считать использование АЭУ для це-
лсіі теплофикации крупных городов и районов.
ГЛАВА 9. ЦИКЛЫ ХОЛОДИЛЬНЫХ УСТАНОВОК
И ТЕПЛОВЫХ НАСОСОВ
§ 26. Основные характеристики
холодильного цикла
Устройства, с помощью которых производятся
охлаждение тел ниже температуры окружающей среды и
непрерывное поддержание заданной низкой температуры,
называются холодильными установками.
Процессы понижения температуры и создания
искусственного холода широко применяются в различных
отраслях народного хозяйства. Замораживание грунтов
при строительстве различных сооружений, сжижение
газов, хранение продуктов в пищевой промышленности
и т. д.— все это требует производства искусственного
холода.
Холодильные машины являются наиболее важным
элементом систем кондиционирования воздуха в
производственных, общественных и бытовых помещениях.
Рабочее тело, которое воспринимает теплоту от
охлаждаемых тел и передает ее окружающей среде, называется
холодильным агентом или хладоагентом.
Перенос теплоты от охлаждаемого тела к более
нагретому телу не является самопроизвольным процессом
и, согласно второму закону термодинамики, должен
сопровождаться определенным компенсирующим процес1
сом, которым наиболее часто является процесс
превращения работы в теплоту.
Отвод теплоты от охлаждаемых тел основан на
совершении хладоагентом обратного' цикла, в котором ра-
217

бота сжатия превышает работу расширения. Поэтому
холодильная установка включает в себя устройство для
сжатия холодильного агента (компрессор) и
устройство, в котором происходит его адиабатное расширение
с понижением температуры. Последнее устройство
называется детандером и является поршневым двигателем
или турбиной, позволяющей преобразовать указанный
процесс расширения в полезную работу. Понижение
температуры хладоагента при расширении можно
осуществить также путем дросселирования (см. § 20).
Если 1ц—работа обратного цикла, #2—.теплота,
отбираемая от охлаждаемых тел, и Ц\ —теплота,
отдаваемая в окружающую среду, то, согласно первому закону
термодинамики,
<7і=/ц+</2. (9.1)
Основным показателем эффективности холодильного
цикла является холодильный коэффициент,
определяемый как отношение теоретического количества теплоты,
отводимой в цикле от охлаждаемых тел, к
теоретически затраченной работе 1Ц. Таким образом, с учетом
выражения (9.1)
<72). (9.2)
Известно, что наиболее экономичным циклом
холодильных установок является обратный цикл Карно
(рис. 9Л). При изотермическом расширении хладоагент
отбирает от охлаждаемых тел теплоту 92=^2E2—S\),
а при изотермическом сжатии — отдает окружающей
среде теплоту qi = Ti(ss—s4).
Выражение для холодильного коэффициента
обратного цикла Карно с учетом формулы (9.2) имеет вид:
Т 1
єо= Тг-Т, = Л/71,—1 * (9>3)
Из этого выражения следует, что экономичность
цикла Карно возрастает при уменьшении разницы
температур окружающей среды и охлаждаемых тел, так
как при этом снижается затраченная работа /ц при
данном количестве отобранной от охлаждаемых тел
теплоты qo.
Количество теплоты, отводимое в холодильной
установке от охлаждаемых тел в единицу времени,
называется холодопроизводительностью установки. Теплота
^2, отводимая от охлаждаемых тел 1 кг хладоагента,
называется удельной холодопроизводительностью.
218 -

ДЛЯ ОЦеНКИ ЭффеКТИВ- Т / iq^
ности работы холодиль- ^
ных установок,
действующих в результате затраты
не механической работы,
а теплоты, применяют
коэффициент использования 2
теплоты g. Последний
рассчитывается как
отношение количества тепло-
ты q2, отнимаемой от ох- ' s
лаждаемых тел, к затра- рис 91
ЧОППОЙ ЦП ЭТО ТОПЛОТС </з,
т. і\
По виду используемых хладоагентов холодильные
установки подразделяются на две основные группы:
воздушные, в которых холодильный агент — воздух
находится в состоянии, далеком от насыщения;
паровые, в которых используется пар различных
иизкокипящих веществ. Паровые холодильные машины
можно подразделить на парокомпрессионные, пароэжек-
торные и абсорбционные.
В настоящее время все более широкое
распространение получают холодильные установки, использующие
термоэлектрические и термомагнитные эффекты. В
аппаратах такого типа холодильный агент отсутствует.
§ 27. Цикл воздушной
холодильной установки
В первых промышленных холодильных установках
в качестве холодильного агента использовали воздух. На
рис. 9.2,а представлена , схема воздушной холодильной
установки, а идеализированный цикл ее работы показан
на рис. 9.2,6, в.
Принцип действия установки такого типа
заключается в следующем. Воздух, являющийся хладоагентом,
с давлением р\ поступает в детандер 1, где адиабатно
расширяется до давления р2, совершая при этом
полезную работу, которую потребляет, например, генератор
электрического тока. Адиабатное расширение воздуха
приводит к понижению его температуры от Т\ до Т2.
Охлажденный воздух проходит через камеру 2, в кото-
219

рои холодильная установка поддерживает низкую
пературу. Здесь происходит процесс нагрева
охлажденного воздуха от температуры Т2 до температуры Г3,
которая теоретически равна температуре в камере.
Процесс передачи теплоты происходит при постоянном
давлении воздуха (p2=const), затем воздух направляется
в компрессор 3, где адиабатно сжимается до давления
р4 с повышением температуры от Т3 до Г4. Замыкающий
процесс цикла происходит в охладителе 4, куда воздух
выталкивается компрессором и где его температура Г4
понижается до Тх в изобарном процессе 4—1 за счет
отдачи теплоты окружающей среде с температурой Т\.
Охлажденный воздух вновь направляется в детандер
и цикл возобновляется.
Таким образом, холодильная установка,
функционирующая по рассмотренному циклу, позволяет
непрерывно передавать
теплоту 92 из камеры, в
которой температура равна
Г3, в окружающую среду
с более высокой
температурой Т\. При этом,
естественно, затрачивается
внешняя работа на
сжатие воздуха в
компрессоре, часть этой работы
может быть возвращена при
расширении воздуха в
детандере.
2
-ч А А г-
v V V
J
ft
р
Рис. 9.2
220

Холодильный коэффйцйШ1 yctahooku ойреДелйё1*с#
по формуле (9.2). При постоянной теплоемкости
воздуха в изобарном процессе количество теплоты 92t
воспринятое воздухом в камере, и количество теплоты <7ь
отданное окружающей среде, могут быть рассчитаны
так:
(9.5)
Процессы адиабатного сжатия 3—4 и адиабатного
расширения /—2 протекают между одними и теми же
давлениями pi и /;2, что позволяет записать
Г4/Г3=71/Г2. , (9.6)
Подстановка равенств (9.5) в формулу (9.2) и
преобразования с учетом формулы (9.6) позволяют
получить следующее выражение
Т 1
е== 7,— Т, s 7\/7'а—1 * (9)
Как указывалось выше, цикл рассмотренной
воздушной холодильной установки идеализирован. В реальной
установке при осуществлении процессов 2—3 и 4—1
необходимо иметь конечные разности температур между
хладоагентом (воздухом) и средой, от которой
отбирается теплота и которой она отдается.
Таким образом, температура в охлаждаемой
камере не может быть ниже Г3, а температура' воды в
охладителе должна иметь температуру не выше Т\. Процесс
сжатия в компрессоре может проходить или по
адиабате, или по изотерме, или по политропе с показателем
l<n<fe Сравнение конечных температур этих трех
процессов, осуществляемых с одинаковым отношением
давлений pjpz, показывает, что наибольшая
температура получается в конце адиабатного сжатия. И хотя
в этом случае температурный перепад между воздухом
и окружающей средой возрастает, вследствие чего
улучшается теплоотдача, следует учитывать то, что
затраченная работа на адиабатное сжатие будет наибольшей.
Для выявления эффективности воздушной
холодильной установки рассмотрим обратный цикл Карно,
осуществляемый в тех же температурных пределах. Этот
циклона Т—s-диаграмме (см. рис. 9.2,0) изображается
221

прямоугольником l—2r—3—3—/ и имеет холодильный
коэффициент
пл. 2'-5-6-3-2' Т5 1
Е° ^ пл. 1-2'-3-3'-1 = 7\ — Тг ~ Ті/Тж—l ' ™'8'
Сравнение выражений для є и єо приводит к
выводу, что Єо>є, поскольку Т3>Т2. И действительно из
Т—5-диаграммы видно, что в обратном цикле Карно
теплоты отбирается больше (соответственно площади
5—2Г—3—6—5 и 5—2—3—6—5), а затрачиваемая
работа меньше, чем в цикле воздушной холодильной
установки (соответственно площади /—2Г—3—Зг—/ и
1—2—3—4—1).
Сравним эти два цикла в интервале температур от
/і = 20 °С до /3= — Ю °С, предполагая, что степень
повышения давления в компрессоре Рі//?2 = 4. В этом
случае для адиабатного процесса /—2 запишем
откуда
Т2=Т{(р2/р1)№-1)/А=293A/4)A-4-1)/1'4= 197 К.
Для этого случая холодильный коэффициент цикла
воздушной холодильной установки г = Т2/(Ті—Т2) =
= 197/B93—197) = 2,05, а холодильный коэффициент
обратного цикла Карно єо = 263/B93—263)^8,77, т. е.
в 4 с лишним раза выше.
В настоящее время для повышения эффективности
цикла воздушной холодильной установки
используется регенерация теплоты, что позволяет повысить ее
экономичность.
§ 28. Циклы парокомпрессионной
и пароэжекторной холодильных установок
Эффек'швность теоретического цикла воздушной
холодильной установки могла бы быть выше, если бы
процессы отбора теплоты из охлаждаемого объема и
отдачи теплоты воздухом в охладителе проводить не по
изобарам, а по изотермам. Такую перестройку цикла
удается осуществить, если в качестве холодильного агента
использовать влажный пар жидкости, температура
кипения которой при атмосферном давлении ниже 0°С.
В этом случае хладоагент используется в двух фазах —
222

газообразной и жидкой, что позволяет осуществить на
практике обратный цикл Карно.
Принципиальная схема иарокомирессионнои
установки изображена на рис. 9.3,а, а ее идеальный цикл
на Т—5-диаграмме — на рис. 9.3,6.
Компрессор 1 сжимает влажный пар хладоагента до
давления р\ по линии /—2. Затраченная на адиабатное
сжатие работа расходуется на повышение внутренней
энергии пара. В конце сжатия (точка 2) пар
становится сухим насыщенным. Нагнетаемый компрессором
пар проходит через охладитель 2У который является
в данном случае конденсатором, так как в нем пар
хладоагента превращается в жидкость вследствие
отдачи теплоты парообразования окружающей среде*.
Процесс 2—3 протекает при постоянных давлении и
температуре. Жидкость в состоянии насыщения
направляется в дроссельный (редукционный) вентиль 3, где
происходит ее дросселирование без отдачи внешней
работы (линия 3—4) с понижением давления от р\ до р2
и температуры от Т\ до Т2. Жидкость частично
испаряется, превращаясь во влажный насыщенный пар,
который направляется в испаритель, установленный в
камере 4, где находятся охлаждаемые тела, и отбирает
у них теплоту. Степень сухости влажного пара при
этом возрастает.
В парокомпрессионных установках для понижения
температуры пара не используется адиабатное
расширение хладоагента в детандере с получением внешней ра-
* На практике для снижения необратимых потерь при сжатии
вместо влажного пара .(процесс /—2) используют перегретый пар
(процесс 1"-2").
223

боты, так как детандер, работающий с насыщенной
жидкостью и паром высокой влажности, будет иметь
сложную конструкцию из-за крайне неблагоприятных
гидродинамических условий. Применение
дросселирования хладоагента является простым и удобным
способом его охлаждения; кроме того, изменяя степень
открытия дроссельного вентиля, можно плавно
регулировать давление, а следовательно, и температуру пара,
поступающего в испаритель.
Наличием именно этого элемента (дроссельного
вентиля) цикл парокомпрессионной холодильной установки
отличается от обратного цикла Карно: процесс
адиабатного расширения (линия 3—6) заменен
необратимым расширением в дроссельном вентиле (линия 3—4).
Необратимость дросселирования приводит к
уменьшению хладопроизводительности цикла этой установки по
сравнению с обратным циклом Карно. Из рис. 9.3 видно,
что теплота q2, отбираемая из охлаждаемого объема
в рассматриваемом цикле и изображаемая площадью
1—і'—4'—4щ—/, меньше, чем теплота ?2 цикла Карно,
изображаемая площадью 1—V—3'—6—1.
В цикле парокомпрессионной холодильной
установки работа, затраченная на сжатие пара хладоагента
в компрессоре, равна
/ц = Я2—h\.
Теплота, отобранная хладоагентом от охлаждаемых
тел, равна
Используя формулу (9.2), можно получить
следующее выражение для холодильного коэффициента паро-
компрессионного цикла:
Расчеты показывают, что холодильный коэффициент
є рассматриваемого цикла значительно выше
коэффициента є цикла воздушной холодильной установки. Так,
при /і = 30°С и /2=—15 °С для аммиака е=4,85, для
хладона-12 є=4,72, а для обратного цикла Карно ек=
= 5,74.
В пароэжекторных установках, как и в парокомпрес-
сионных, цикл осуществляется с хладоагентом в виде
влажного пара. Однако в рассматриваемом цикле для
сжатия пара холодильного агента используют не ком-
224

т
7,
. /
Bj
f Рз« const
\ рг~ const
/ . ь
3 б
К
5
2
ч
Рис. 9.4
прессор, а кинетическую энергию струи рабочего пара
самого хладоагента, только более высокого давления.
Для этой цели применяют паровой эжектор, а рабочий
пар получают в парогенераторе в результате 1 затрат
теплоты, выделившейся при сжигании топлива. |
Важным преимуществом пароэжекторных хоЛодиль-
ных установок является применение в них такого
доступного, дешевого и абсолютно безвредного
вещества, как вода. Пароэжекторная машина, используЬщая
в качестве хладоагента водяной пар, позволяет без
особых затрат понизить температуру до 1—3°С. Однако
при температуре 1 °С давление насыщения составляет
всего 0,000663 МПа, а удельный 'объем сухого
насыщенного пара равен 194 м3/кг. Естественно, что
компрессор, сжимающий пар такой малой плотности, был
бы весьма громоздким, а поддерживать столь низкое
давление в нем было бы достаточно сложно.
В пароэжекторной установке, работающей на
водяном паре, применяется паровой эжектор — компактцый
аппарат, имеющий простую конструкцию. ;
На рис. 9.4,а представлена схема простейшей
пароэжекторной установки, работающей следующим
образом. Водяной пар низкого давления р2 поступает из
испарителя, находящегося в охлажденном объеме У, в
смесительную камеру парового эжектора 2. В эту же
камеру подается рабочий пар более высокого давления Рь
получаемый в парогенераторе 3. Рабочий пар, проходя
через сопло эжектора, расширяется и разгоняется до
большой скорости. Струя смеси паров поступает в
диффузор эжектора, где ее кинетическая энергия
преобразуется в потенциальную энергию давления. Смесь паров
225

с давлением р3 поступает в конденсатор 4, где
конденсируется, отдавая теплоту парообразования
охлаждающей воде. Поток конденсата далее разделяется на две
части. Одна его часть дросселируется в редукционном
вентиле 5 до давления р2 и вновь поступает в
испаритель. Другую часть конденсата питательный насос 6 при
давлении р\ возвращает в парогенератор, где
вырабатывается пар с давлением рь который вновь
направляется к соплу эжектора.
Теоретический цикл пароэжекторной холодильной
установки на Т—s-диаграмме изображается следующим
образом (рис. 9.4,6). Лийия /—2 соответствует
испарению хладоагента в испарителе, линия 3—4 — процессу
адиабатного расширения рабочего пара в сопле
эжектора. Параметры паровой смеси после смешения
рабочего пара (точка 4) и пара холодильного агента
(точка 2) Определяются точкой 5, а линия 5—6
соответствует (повышению давления смеси паров в диффузоре.
Отвод Теплоты и конденсация паровой смеси в
конденсаторе изображены линией 6—7. Линия 7—/
соответствует дросселированию холодильного агента в
редукционном вентиле. Для части конденсата хладоагента,
поступившего в парогенератор, линии 7—8 и 8—3
соответствуют нагреву жидкости до температуры кипения
и превращения ее в пар.
Процессы, происходящие в эжекторе, изображены на
рисунке без учета их необратимости. Существенным
недостатком пароэжекторной установки является большая
потеря энергии в эжекторе, что, естественно, снижает ее
термодинамическое совершенство.
Количество теплоты #2, отбираемое 1 кг
холодильного агента в испарителе 7, измеряется площадью
/—2—2'—V—/. Теплота #з, затраченная в
парогенераторе и отнесенная к 1 кг пара, измеряется площадью
7—Н—3—3'—7'—7. В § 26 указывалось, что
эффективность установок такого типа оценивается
коэффициентом использования теплоты \ [см. формулу (9.4)].
Следует иметь в виду, что представленный цикл
рассчитан на 1 кг рабочего вещества и является несколько
условным, так как количество рабочего пара т2,
поступающего из парогенератора, всегда меньше количества
пара т\, отводящего теплоту из испарителя, т. е.
т2<ііщ. Поэтому все процессы на Т—s-диаграмме,
происходящие в парогенераторе, нужно рассчитывать для
226

массы пара менее 1 кг, а площадь, изображающую за-'
траченную теплоту на рис. 9.4,6, — уменьшить в т\1гп2
раз.
§ 29. Цикл абсорбционной
холодильной установки
Принцип переноса теплоты с более низкого
температурного уровня на более высокий в абсорбционной
холодильной установке основан на использовании ряда
свойств растворов. Повышение давления хладоагента
в установках такого типа достигается не механическим
путем, а термохимическим при использовании теплоты
с температурой более высокой, чем у окружающей
среды.
Одним из замечательных свойств растворов в
отличие от свойств чистых веществ является способность
абсорбировать (поглощать) пар раствора одного
состава жидким раствором другого состава даже в том
случае, если температура жидкости выше температуры
пара.
В качестве рабочего вещества в абсорбционных
установках используется бинарный раствор, т. е. смесь,
состоящая из двух полностью растворимых одно в
другом веществ, имеющих разные температуры кипения.
Вещество с меньшей температурой кипения (низкокипя-
щее) является холодильным агентом, а вещество с
более высокой температурой кипения — абсорбентом.
Примером такого рабочего вещества, широко применяемого
в холодильной технике, является водоаммиачный
раствор.
Температура кипения бинарного раствора при
постоянном давлении зависит от состава раствора. При
увеличении в растворе доли абсорбента повышается
температура кипения раствора. Концентрация
хладоагента в кипящем растворе всегда ниже, чем в
насыщенном паре этого раствора при том же давлении.
Таким образом, состав пара, получающегося при кипении
раствора, отличается от находящегося с ним в
равновесии жидкого раствора: в паре более высокая
концентрация низкокипящего вещества. На рис. 9.5,а изображена
фазовая диаграмма бинарного раствора, в которой
представлена зависимость температуры Т жидкой фазы
(кривая 1-а—2) и насыщенного пара (кривая 1—Ь—2)
227

сг с
с с; юо% с\\-
Рис. 9.5
от концентрации холодильного агента с при данном
давлении. Точки 1 и 2 соответствуют температурам
кипения чистого абсорбента и чистого холодильного
агента.
Если точка А на кривой 1—а—2 определяет
состояние кипящей жидкости, то состояние пара,
находящегося в равновесии с ней, характеризуется точкой В на
на кривой 1—Ь—2. Это значит,, что образующийся пар
имеет концентрацию низкокипящего компонента с',
более высокую, чем его же концентрация с в кипящем
растворе.
При температуре Т\ в равновесии с жидкостью,
имеющей концентрацию с\, находится пар с
концентрацией с\. Если этот пар привести в соприкосновение
с жидкостью, имеющей температуру Т2 и концентрацию
?2<Сь то очевидно, что пар будет конденсироваться
(абсорбироваться жидким раствором) при постоянном
давлении. При этом выделяющаяся теплота
парообразования будет отводиться при температуре Г2, более
высокой, чем температура пара Ті. Это обстоятельство
и определит перенос теплоты от менее нагретого тела
(пар высокой концентрации) к более нагретому
(жидкость низкой концентрации). Естественно, что, согласно
второму закону термодинамики, такой
несамопроизвольный процесс потребует затраты теплоты.
228

На рис. 9.5,6 представлена схема абсорбционной
холодильной установки, которая конструктивно
достаточно проста, так как в ней нет подвижных элементов.
Пар высокой концентрации образуется в результате
кипения жидкости низкой концентрации в генераторе
пара 1 при давлении pi, более высоком, чем давление
в испарителе и абсорбере. В генераторе пара для
испарения жидкости расходуется теплота q^ при
температуре Гь более высокой, чем температура кипения при
данных давлении и концентрации. Кроме того, темпе-,
ратура подводимой теплоты должна быть выше
температуры окружающей среды Го. Пар высокой
концентрации направляется в конденсатор 2, где он кондентси-
рустси, охлаждаемый водой с температурой То.
Полученная насыщенная жидкость дросселируется в
редукционном вентиле 3 от давления pi до давления р2.
В результате дросселирования температура жидкости
понижается до температуры более низкой, чем в
охлаждаемом объеме. В результате жидкость, поступившая
в испаритель 4, установленный в охлаждаемом объеме,
начинает испаряться, поглощая теплоту q2. Из
испарителя выходит пар, имеющий температуру Т2 и давление
р2, и направляется в абсорбер 5, где абсорбируется при
температуре Г0>712, отдавая теплоту q"u которая
отводится охлаждающей водой, имеющей температуру
окружающей среды.
В генераторе пара концентрация хладоагента
низка из-за его выпаривания, а в абсорбере вследствие
поглощения концентрированного пара она, наоборот,
повышается. Для выравнивания концентраций в обоих
аппаратах между ними осуществляется циркуляция
с помощью насоса 6. Дросселирование раствора в
редукционном вентиле 7 для снижения давления р\ до
давления р2 не вызывает заметного изменения
температуры, так как дросселируемый раствор имеет слабую
концентрацию хладоагента.
Анализ схемы установки показывает, что
абсорбционный узел, состоящий из генератора пара У,
абсорбера 5, редукционного вентиля 7 и насоса 6> служит в
основном для повышения давления от р2 до р\.
Затрата работы на привод насоса 6,
установленного в контуре с жидкостью, пренебрежимо мала по
сравнению, например, с затратой работы в компрессоре,
229

который повышает давление пара в парокомпрессионных
холодильных установках.
Эффективность работы абсорбционного
холодильного цикла оценивается коэффициентом использования
теплоты |, определяемым по формуле (9.4).
В контуре абсорбционной холодильной установки
общее количество воспринятой теплоты складывается из
теплоты, подведенной в генераторе пара #з, и из
теплоты, отобранной от охлаждаемых тел Цч. Отводится
теплота охлаждающей водой из конденсатора q\ и из
абсорбера q'\a Естественно, что соблюдается равенство
В заключение отметим, что хотя абсорбционные
холодильные установки вытесняются в настоящее время
парокомпрессионными, они еще распространены
достаточно широко. Наиболее целесообразно абсорбционное
охлаждение применять в случаях, когда в генераторе
пара можно использовать отработавший водяной пар
и другие теплоносители низкого потенциала.
§ 30. Основные характеристики хладоагентов
В качестве рабочих тел (хладоагентов) в
холодильных установках могут использоваться вещества с
технически допустимым давлением насыщенных паров во
всем диапазоне температур цикла. Естественно, что эти
вещества не должны быть токсичными и не должны
обладать корродирующими свойствами. Они не должны
также вступать в химическое взаимодействие со
смазкой, создавая соединения, которые нарушают
нормальную работу установки. Остановимся подробнее на
некоторых термодинамических свойствах, которыми должен
обладать хладоагент.
Вопрос об использовании воды в холодильных
установках уже рассматривался выше (§ 28). Основными
недостатками воды как холодильного агента являются
очень низкое давление кипения при низких
температурах и возможность использования воды только при
температуре выше температуры тройной точки @,01 °С),
так как ниже этой температуры вода представляет
собой двухфазную смесь, состоящую из пара и льда. В то
же время у воды высокая теплота парообразования,
которая определяет холодопроизводительность установок
230

на 1 кг хладоагента. Использование воды в пароэжек-
горных установках систем кондиционирования, где
требуется охлаждение воздуха до температур не ниже
О °С, находит применение, когда имеется источник
водяного пара необходимого давления.
Давление насыщенных паров хладоагента,
соответствующее требуемым температурам, должно быть
близким к атмосферному, чтобы противостоять присосам
воздуха или утечкам хладоагента. Например,
температура кипения аммиака при атмосферном давлении
равна минус 33,5 °С, сернистого ангидрида — минус 10 °С,
хладопа-12 — минус 30 °С, хладона-22 — минус 42 °С.
Абсолютные давления насыщенных паров холодильных
агентов при различных температурах даны в табл. 9Л.
Таблица 9.1. Давление насыщения различных холодильных
агентов

Температура, °С
—40
—30
20
—10
0
20
30
40
сернистый
ангидрид
0,216
0,38
0,636
1,01
1,55
3,3
4,6
6,3
Давление
аммиак
0,716
1,191
1,9
2,9
4,3
8,56
11,65
15,5
, МПа-10-1
двуокись
углерода
10,05
14,85
19,6
26,4
34,6
57,4
71,5
—
, холодильных агентов
хладон-12
0,642
1
1,51
2,2
3,09
5,66
7,44
9,6
хладон-22
1,06
1,64
2,46
3,55
4,98
9,16
12
15,45
хлористым
мстил
0,48
0,771
1,17
1,74
2,51
4,88
6,6
8,7
Для того, чтобы не утяжелять конструкцию
установки и избежать утечек хладоагента, давление паров при
температуре конденсации, т. е. при наивысшей
температуре цикла, также не должно быть слишком высоким.
Обычно верхняя температура цикла для всех
установок примерно одинакова, поскольку она определяется
температурой охлаждающей воды, поступающей в
конденсатор, и находится в пределах 0—30 °С. Нижняя
температура зависит от назначения установки и иногда
опускается ниже —120 °С.
Выбор хладоагента обычно осуществляется с учетом
изложенных выше факторов и диапазона его рабочих
температур. Естественно, что рабочее давление хладо-
231

агента должно быть ниже критического. Критическая
температура должна быть возможно более высокой. Так,
для двуокиси углерода /кр=31,1 °С, что исключает
возможность конденсации паров СОг, если температура
охлаждающей воды выше 31,1 °С.
Хорошим хладоагентом является аммиак NH3. При
температуре 20 °С давление насыщенных паров
аммиака составляет 0,857 МПа, а давлению 0,098 МПа
соответствует температура насыщения, равная —34 °С.
Таким образом, парокомпрессорная установка,
работающая на аммиаке и охлаждающая до температуры
—34 °С, не требует применения вакуума, что
значительно упрощает конструкцию. Кроме того, большая
теплота парообразования NH3 но сравнению с другими
хладоагентами обеспечивает большую удельную холо-
допроизводительность, вследствие чего снижается его
расход. Недостатком аммиака является его токсичность
и коррозионная активность даже по отношению к
цветным металлам.
Большое распространение в качестве хладоагеитов
получили хладоны (фреоны) — фторхлорпропзводные
простейших углеводородов. Достоинствами хладонов
являются их химическая стойкость, нетоксичность,
отсутствие взаимодействия с металлами, взрьтвобезопас-
ность. Температура кипения хладонов при атмосферном
давлении изменяется в широком интервале температур.
Основные параметры хладоагентов, в том числе
хладонов, с их химическими формулами, представлены в
табл. 9.2.
Степень термодинамического совершенства
холодильных установок принято оценивать отношением
холодильного коэффициента теоретического холодильного цикла е
к холодильному коэффициенту обратного цикла Карно
єо, осуществляемого в том же интервале температур.
В табл. 9.3 приведены результаты расчетов цикла паро-
компрессионной холодильной установки, работающей
в диапазоне температур плюс 30 — минус 15 °С п
обеспечивающей холодоироизводителыюсть 3,87 кВт.
Из табл. 9.3 видно, что значения є достаточно
высоки, за исключением цикла с парами СО2. Сравнительно
низкое значение є для СО2 объясняется тем, что
критическая температура двуокиси углерода C1,1 °С)
близка к расчетной максимальной температуре анали-
232

Таблица 9.2
Хладоагент
Аммиак
Сернистый
ангидрид
Хлористый
метил
Двуокись
углерод;,
Хлг.доп-М/
Хллдои-1'1'
Х.-і.чдоії-HL'
. Физические параметры основных хладоагентов
Химическая
формула
NH3
so9
СНзСІ
СО,
<:г,< Л,
С2Нз€1 2

Температура
кипения
(при р~
-.0,1 МПа),
оС
—33,7
—10,1
—23,7
- 78,9
- 30,6
—43,7
—10,1

Критическая

температура, °С
132,4
157,2
143,1
31,35
111,5
96
137
Температура
замерзания,
°С (при
/7=0,1 МПа)
-77,7
—75,2
-97,6
—56,6
—155
— UK)
—130,8

Критическое
давление
МПа
10,95
7,64
6,46
7,16
4
—
—.
Таблица 9.3. Расчетные параметры цикла для различных
холодильных агентов
Хладоагент
Любое вещество в
цикле Карі,о
Двуокись углерода
Аммиак
Хладон-12
Сернистый ангидрид
Хлористый метил
Пропан
Давление насыщенных
паров, МПа-10—1
при температуре, °С
—15
23,05
2,36
1,82
0,81
1,44
2,89
30
71,63
11,65
7,44
4,60
6,60
10,70

Холодильный
коэффициент
є
5,74
2,56
4,85
4,72
4,74
4,67
4,88
є
І
,0,447
ГО, 845
0,823
0,825
0,817
0,850
Расход
хладо-
а гейта,
кг/ч
96,0
11,2
106,8
38,4
38,6
44,9
зируемого цикла C0°С) и теплота конденсации очень
мала.
Аммиак обеспечивает высокий холодильный
коэффициент цикла при незначительных его расходах.
Установки с хладоном-12, наиболее распространенным
рабочим веществом, имеют значение е, близкое к значению
є для аммиачных установок, но требуют значительного
его расхода из-за малой теплоты парообразования.
В абсорбционных холодильных установках
используются два вещества — хладоагент и абсорбент, к
каждому из которых предъявляются определенные требова-
233

ния. В дополнение к изложенным выше требованиям
к абсорбенту предъявляется ряд специфических
требований. Так, абсорбент должен обеспечивать
максимально возможную растворимость по отношению к хладо-
агенту и отличаться высокой абсорбционной
способностью. Химические и физические свойства абсорбента
должны обеспечить большую разность концентраций
в абсорбере и генераторе пара. При низкой плотности
раствора снижаются затраты энергии на перемещение
раствора и потеря давления в трубопроводах.
Использование в качестве хладоагента аммиака,
а в качестве абсорбента воды получило широкое
распространение в абсорбционных холодильных установках.
Важным является то, что аммиак хорошо растворим
в воде, например, при О °С в одном объеме воды
растворяется около 1150 объемов паров аммиака. Вместе с тем
значительная теплота растворения (до 1220 кДж/кг),
выделяющаяся при поглощении аммиачных паров в
абсорбере, должна постоянно отводиться из последнего,
ибо в противном случае рост температуры в абсорбере
приводит к снижению растворимости аммиака в воде
и процесс абсорбции замедляется.
§31. Цикл теплового насоса
Принцип работы всякой холодильной установки
основан на том, что теплота отбирается из
охлаждаемого объема и сообщается среде с более высокой
температурой. Температурный уровень отдаваемой теплоты
низок и она, к сожалению, не может быть
использована, например, в системах отопления. Если диапазон
температур, в котором работает холодильная машина,
сместить в сторону их увеличения и отбирать теплоту
от какого-либо неограниченного источника с
температурой более 0 °С, то при затрате внешней энергии
можно повысить температуру до уровня, при котором
теплоноситель способен отдавать теплоту в отопительную
систему.
Идея о применении холодильного цикла для
«перекачивания» теплоты с низкого температурного уровня
на более высокий с последующим использованием этой
теплоты для отопления помещений была выдвинута еще
в середине прошлого века.
234

Рис. 9.6
Тепловой насос (рис. 9.6,а) работает следующим
образом. В испарителе 1 происходит испарение низкоки-
пящего теплоносителя (например, хладона) при
поступлении теплоты из внешней среды (вода больших
водоемов, почва, наружный воздух). Этот процесс
изображается линией 8—5 на Т—s-диаграмме (рис. 9.6,6).
Образовавшийся пар сжимается в компрессоре 2 по линии
5—6 с повышением температуры от Го до Т\. В
конденсаторе 3 пар конденсируется, отдавая теплоту в
систему отопления (линия 6—7). Образовавшаяся жидкость
направляется в дроссельный вентиль 4У в котором
происходит понижение давления до р0 и температуры до
То (линия 7—S), и цикл 8—5—6—7—8 повторяется. На
рис. 9.6,6 изображен также цикл 1—2—3—4—1
холодильной установки, отдающей теплоту в процессе 2—3
окружающей среде при температуре Го. Видно, что цикл
теплового насоса лежит выше изотермы Го, а цикл
холодильной установки — ниже этой линии. Холодильная
установка отдает теплоту в окружающую среду,
тепловой насос отбирает теплоту из этой среды для того,
чтобы повысить ее температурный уровень и передать
в систему отопления. Анализ двух циклов показывает,
что возможно создание установок для
совместного'получения холода и теплоты. В таких комбинированных
установках тепловой насос может повышать
температурный уровень теплоты, отводимой холодильной
машиной большой мощности, и направлять эту теплоту
в отопительные системы.
Тепловой насос отдает для отопления теплоту qu
равную сумме теплоты #2, отобранной из внешней сре-
235

ды, и работы /ц, затраченной для осуществления
цикла. Эффективность цикла теплового насоса оценивается
значением отопительного коэффициента
вот on = <7і//ц = (q2+lu) fin-
Нетрудно установить связь между отопительным
коэффициентом єотоп и холодильным коэффициентом є
[см. выражение (9.2)] того же цикла
8отоп = <72//ц+1=Є+1. (9.10)
Формула (9.10) подтверждает то, что всегда єОтоп>
>1, поскольку в цикле теплового насоса всегда
/
ц
Если в тепловом насосе осуществляется обратный
цикл Карно при Г0=275 К и температуре
теплоносителя в системе отопления Гі = 340К, то получаем
следующее значение отопительного коэффициента:
8отоп = Г,/(Г,—Го) =340/C40—275) =5,2.
Отопительные коэффициенты тепловых насосов,
использующих циклы термодинамически менее
совершенных холодильных установок, имеют меньшее значение,
чем установки, работающие по обратному циклу Карно.
Однако их значения достигают 4, а иногда и более.
Затраченное количество работы /ц может быть
превращено непосредственно в теплоту, например в
электронагревателе, и использовано для обогревания
помещений. Однако именно тепловой насос позволяет,
затратив заимствованную извне работу /ц, «перекачать»
в систему отопления примерно в 4 раза большее
количество теплоты, отобранной из окружающей среды,
имеющей практически неограниченный запас тепловой
энергии (см. также пример 3.2).
Тепловые насосы уже используются в народном
хозяйстве и следует ожидать их широкого
распространения в ближайшее время.
ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТЫ
ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 32. Первый закон термодинамики
и химические процессы
Еще до того, как первый закон термодинамики был
четко сформулирован и получил всеобщее признание,
русский химик академик Г. И. Гесс на основе экспери-
236

мента открыл основной закон термохимии — науки
0 тепловых эффектах химических реакций. Согласно
закону Гесса тепловой эффект химических реакций
зависит только от конечного и начального состояний
системы, но не зависит от пути перехода A840 г.). Хотя
здесь сказано только о теплоте — не упоминаются ни
работа, ни внутренняя энергия, ни энтальпия, т. е.
величины, входящие S аналитическое выражение первого
закона [см. формулы B.1), B.1а) и B.18)], легко
показать, что закон Гесса есть один из частных случаев
первого закона термодинамики.
Рассмотрим реакцию взаимодействия водорода и
кислорода, проходящую в цилиндре под невесомым
поршнем, через который реагирующие газы
воспринимают давление окружающей среды; цилиндр размещен
в термостате — окружающей среде с постоянной
температурой. В начальном состоянии в цилиндре имеется
1 кмоль Нг (т. е. 2 кг Н2) и 0,5 кмоль Ог (8 кг), смесь
газов имеет стандартное давление 101,325 кПа и
стандартную температуру 298,15К B5°С). Возбудим
реакцию с помощью электрической искры. Согласно
уравнению
Н2+0,5О2=:Н2О (Г),
после завершения реакции образуется 1 кмоль НгО (г)*.
Измерения показывают, что количество выделившейся
при горении водорода теплоты в данном случае равно
Qp=242 000 кДж. Кроме того, изменился объем cncfe-
мы: в начальном состоянии было 1,5 кмоль, в
конечном — 1 кмоль. Поскольку р и Т постоянны (в процессе
реакции температура газовой смеси возросла, но затем
снова вернулась к значению 298,15 К, что позволяет
считать 7=const), то по закону Авогадро объем системы
уменьшается в 1,5 раза; следовательно, окружающая
среда совершает над системой работу сжатия:
где 2«иг- — число киломолей исходных веществ; 2«пг —числе кил#-
молей продуктов реакции; V ^—объем 1 кмоль при стандартных
р и Т.
В раочет принимаются только газообразные
участники реакции. С учетом уравнения Менделеева — Кла-
* Здесь и далее обозначено (г) — газ, (ж) — жидкость, (т) —«
твердое тело.
* 237

пейрона выражение для работы против давления
окружающей среды принимает вид:
L=EXn— 2ли<А)р,Г. A0.1)
В данном случае имеем A,5—1) -8,314-298,15 =
=—1239 кДж.
Уравнение первого закона термодинамики со
значениями входящих в него величин можно представить
следующим образом:
—242 000 кДж=— 240 761 кДж—1239 кДж. A0.2)
Уравнение A0.2) можно записать и в таком виде:
где Уи=^ ^
С учетом определения энтальпии H=U-\-pV цмеем:
n=Qp=-A#, A0.3)
где Qp — тепловой эффект реакции (изобарный); для
экзотермической реакции Qj)>0, для эндотермической QP<0.
Уравнение A0.3) есть результат применения первого
закона термодинамики к химической реакции при р,
Т=const. Одновременно это уравнение выражает закон
Гесса — тепловой эффект реакции не зависит от пути
перехода; действительно, изменение энтальпии —
параметра состояния — определяется только ее значениями
в начальном и конечном состояниях. Например,
тепловые эффекты реакций горения углерода в одну стадию
(С-^СО2) и в две стадии (С-^СО-^СО2) равны
между собой.
Описанную выше реакцию взаимодействия водорода
с кислородом можно провести при постоянном объеме.
Измерения показывают, что если начальное состояние —
стандартное, то при прохождении реакции в условиях V,
7=const выделяется теплота Qy=240 761 кДж. Этот
результат согласуется с первым законом
термодинамики и с законом Гесса:
Qv=—№J. A0.4)
Изохорный тепловой эффект реакции Qv не зависит
от пути перехода от исходных веществ к продуктам
реакции, поскольку величина АС/ определяется только на-
238

чальным и конечным состояниями. Работа изменения
объема в данном случае равна нулю.
Конечное состояние изохорно-изотермической
реакции 2' в рассмотренном случае отличается от конечного
состояния 2 изобарно-изотермической реакции:
состояние 2' — р2, V\, Т; состояние 2 — р, У2, Т. Однако U2—
—Ui = U2,—Uu поскольку внутренняя энергия
идеального газа зависит только, от температуры, а химический
состав и масса системы в состояниях 2' и 2 одинаковы
[18 кг Н2О (г)]. Тогда из уравнений A0.2)—A0.4) и
A0.1) получим:
Q^Qv—ilnn—Zn^RpT. A0.5)
Нел и число киломолей при прохождении реакции не
изменяется, т. е. 2яПг—2/гИг=0, то уравнение A0.5)
принимает вид: QP = QV.
Практическое значение закона Гесса заключено в
возможности рассчитывать энтальпию реакции
ДЯ = BЯіЯг)п— BЯгЯг)и A0.6)
по относительно небольшому объему справочных
данных; величина At/, необходимость определения которой
возникает значительно реже, может быть рассчитана по
уравнениям A0.3)—A0.5).
Принцип накопления и использования
термохимических справочных данных основан на одном из следствий
закона Гесса, которое может быть выражено
следующим образом:
ДЯ1_2= (Я2~Я0)-(Я1-Я0). A0.7)
Согласно уравнению A0.7), разность энтальпий
реакций, идущих от одинаковых начальных состояний
к двум различным конечным состояниям, равна
энтальпии перехода от одного конечного состояния к другому.
Таким образом, энтальпия начального состояния
является уровнем отсчета и удобно полагать //0=0.
Энтальпия простых веществ (элементов) при стандартных
условиях (р=101,325 кПа, Г=298,15К) принята
равной нулю. Энтальпией образования Д#°Об сложного
вещества называют взятый с обратным знаком тепловой
эффект изобарно-изотермической реакции получения
данного вещества в .стандартных условиях из простых
239

веществ. Ниже приводятся энтальпии образования
некоторых веществ:
ЙЩеетво H9Q (г) Н,0 (ж)
IPfJe'lC-8, кДж/кмоль —241,999 —246,045
Продолжение
Вещество СО (г) СО9(г)
ДН^-10-3 кДж(кмоль . ., —110,603 —393,795
Продолжение
Вещество NO(r) СН4(г)
ДН°б.1О-3, ї.Дж/кмоль +90,439 —74,901
Продолжение
Вещество Fe3O3(T) СаО(т)
дН°б-Ю-3, кДж/кмоль . . : —822,746 —626,005
При вычислении энтальпии произвольной реакции
АН энтальпии образования исходных веществ и
продуктов можно считать обычными значениями энтальпии Ні
в том же смысле, в каком это понятие используется,для
воды и водяного пара (там уровень отсчета взят 0°С).
Тогда уравнение A0.6) становится конкретной
расчетной формулой
Д#=B/ггДЯ°об <)п— Bл<ДЯ°об «)и. A0.8)
В справочниках приводятся энтальпии образования
нескольких тысяч соединений, по этим данным можно
рассчитать энтальпию десятков тысяч различных
реакций. Приведем несколько примеров:
Н3 + 0,5Оа ~Н3О (г); Д# = —241999 кДж*;
^б0 0,5-0 —241999.
Н.О(ж)- » Н3О (г); АН - +44046 кДж B445 кДж/кг);
АН°об: —286045 —241999-
Fe9O, (т) + ЗСО (г) - 2Fe (т) + ЗСО, (г); АИ 26830 кДж;
Д//?б:—822746 (—110603).3 0-2 (—393795).3.
СН4 (г) + СО3 (г) - 2СО (г) + 2Н3 (г); АИ - +247490 кДж;
АИ°об: —74901 —393795 ( — 110603) -2 0-2.
Величина АН в приведенных выше реакциях
определена по формуле A0.8), единица энтальпии
образования Д//°об — кДж/кмоль.
* Термохимическая форма записи реакции: Н2+0,5О2 =
+241 999 кДж в настоящее время не рекомендуется.
240

Используется и другое следствие закона Гесса:
разность энтальпий реакций, идущих от различных началь*
ных состояний к одному конечному, равна энтальпии
перехода от одного начального состояния к другому. Это
следствие можно представить так: /
ДЯі-2= (Нп-Ніі—іНп-Нш), A0.9)
где Пи — энтальпия конечного состояния.
Уравнение A0.9) позволяет использовать для
расчета энтальпии произвольной реакции энтальпии сгорания
Д//и(.г веществ: энтальпии реакций взаимодействия ве-
іцсстпа с кислородом с образованием высших
стабильных (»кислой (Il^O, CU2 и т. п.). В этом случае
энтальпии реакции равна
АЯ = BЯіАЯ°сг і) и— BЛгДЯ°сг 0 п. A0.10)
Пользуясь формулой A0.10), вычислим энтальпию
последней из приведенных выше реакций:
СН4 (г) + СО, (г) - ZCO (г) 4- 2И9 (г); АН- +247490 кДж
АЯ°Г: — 802320 u (—282906).2 (—241999).2.
Энтальпии сгорания могут быть определены с
высокой точностью при сжигании вещества в
калориметрической бомбе. По энтальпиям сгорания рассчитывают
энтальпии образования органических веществ.
Указанные методы позволяют рассчитать энтальпию
реакции при стандартной температуре 25 °С. Для
определения ДЯ при любой температуре необходимо знать
зависимость АН=АН(Т). Для реакции
энтальпия равна
АЯ= (ла+ла)—(л^д+ЛаЯї), A0.11)
где Ні — энтальпия 1 кмоль і-го вещества, кДж/кмоль.
Продифференцируем обе части выражения A0.11)
по Т при p=const:
(дАН/дТ) р = (пг {дНг1дТ)р+пА (дН^/дТ) р) —
—("і (дНі/дТ) Р+п2(дН21дТ)р).
Учитывая, что (дН/дТ)р=С'р, кДж/(кмоль-К),
получим:
(дАН/дТ) р = (/13С'рз+я4С'р4) - (п іСрі+ЛаСи),
или в сокращенной форме
(дАН1дТ)р=&С'р. A0.12)
9 Зак. 508 241

Уравнение A0.12) выражает 'закон Кирхгофа: при
постоянном давлении температурный коэффициент
энтальпии реакции (dAH/dT)v равен разности между
теплоємкостями продуктов реакции и исходных веществ.
Для получения расчетной формулы необходимо
проинтегрировать выражение A0.12). В общем случае C'Vi =
= aoi+auT-\-a,2iT2+... . Эту зависимость можно
подставить в уравнение A0.12) и сгруппировать
коэффициенты для одинаковых степеней Т. Например, для
коэффициента при Т2 получим
= BПги2г)и— (І>ПіСі2і)и. A0.13)
Используя принцип, выраженный уравнением A0.13),
уравнение A0.12) можно записать следующим образом:
AH=Aa0dT+AalTdT+Aa2T2dT+.... A0.14)
Интегрируя уравнение A0.14), получим
ДЯ = Aao71+AaiT2/2+Aa2P/3+...+const. A0.15)
Константу интегрирования можно найти, рассчитав
298 для станДаРтн°й температуры Г=298,15К; для
этой цели можно использовать и известное значение
АНТ для любой температуры Т.
§ 33. Второй закон термодинамики
в применении к химическим реакциям.
Третий закон термодинамики
Второй закон термодинамики позволяет выяснить
направление химической реакции и положение
химического равновесия. Как известно, химическое равновесие
устанавливается в результате двусторонней химической
реакции
и описывается законом действующих масс: скорость
гомогенной реакции при r=const пропорциональна
произведению концентраций (или парциальных давлений)
реагирующих веществ, возведенных в степень их стехио-
242

метрических коэффициентов. В состоянии равновесия
скорости прямой и обратной реакций равны*:
«и Р\ F2 — ?n Рз РА »
г до pi—парциальные давления (см. § 15); kn и kn — скорости пря-
моїі її обратной реакций, отнесенные к единичным парциальным ДаВ-
.'К'ІІІЇИМ.
Количественная оценка положения равновесия
данной химической реакции при определенной температуре
ыстся константой равновесия КР, равной
Кр= Р%*РІЧРіЧР%. 00.16)
Основная практическая ценность выражения A0.16)
состоит и возможности рассчитать выход продуктов ре-
«чкщш при равновесии, если известны количества
исходных веществ, давление и значение Кр. Пусть, например,
для реакции 0,5/1Н-2/12=Л3, осуществляемой под
давлением р, количества исходных веществ равны: 2 кмоль
реагента Лі и 1 кмоль реагента А2. Требуется
определить количество х продукта Л3 в состоянии равновесия
при определенной температуре, если известно взятое из
справочника значение КР при этой температуре.
Для решения таких задач необходимо составить
уравнение вида Kp = f(x, p) на основе формулы A0.16) и
решить его относительно х\ во многих случаях для
решения такого уравнения приходится использовать
численные или графические методы, так как уравнение
оказывается высокой степени.
Парциальное давление компонента газовой смеси
определяется выражением (см. § 15): p% = p(NilN), где
Л^ — полное количество киломолей. В состоянии
равновесия N$=x и в соответствии с уравнением реакции
N{ = 2—0,5x; N2=\—2x. Величина #=2#г-=3—1,5*.
Определив парциальные давления рг- и подставив их
в выражение A0.16), получим
/Ср—jcC—1,5jc) 1'5/B_0,5л:H'5A— 2xJp1-5< A0.17)
Решив это уравнение, найдем объемную долю
продукта Л3 в равновесной смеси; в процентах она
составляет 100*/C—1,5*).
* В последующем будем рассматривать главным образом
наиболее распространенные изобарно-изотермические реакции в
газовой фазе.
9* Зак. Б08 243

Отметим, что величина др, согласно выражению
A0.16), зависит от соотношения парциальных
давлений, но не зависит от полного давления р; если
изменить объем реагирующей или равновесной газовой
смеси, не изменяя ее температуру и состав, то давление р
изменится, но это никак не отразится на значении Кр.
С другой стороны, в правую часть уравнения A0.17)
входит р-1'5, при этом для рассматриваемой реакции
Ап= Bя?;)п—B/іі)и=Лз—(яі+Л2) =—1.5. Для
идеально-газовой смеси в уравнение типа A0.17) всегда
входит множитель/?Ал, т. е. Kv=f(x) nan. Таким образом,
при изменении р величина f(x) должна измениться так,
чтобы сохранилось значение Kv.
Изменение ${х), а следовательно, и выхода
продукта реакции х происходит в соответствии с принципом
Ле Шателье — Брауна*: при воздействии на
равновесную систему в ней развиваются процессы, стремящиеся
как бы ослабить результат этого воздействия.
Рассматриваемая реакция идет с уменьшением объема (Ап<0),
поэтому при увеличении р происходит некоторое
увеличение выхода продукта х, объем системы при этом
уменьшается, вследствие чего результат повышения
давления ослабляется. Анализ уравнения A0.17) —
рекомендуем читателю пповести его — подтверждает этот
вывод. Принцип Ле Шателье — Брауна часто применяется
для качественного анализа равновесия химических
реакций и фазовых переходов, других равновесных
состояний при разнообразных воздействиях — механических,
тепловых и др.
Рассмотренные здесь положения, касающиеся
вопроса о химическом равновесии, не имеют никакой
видимой связи со вторым законом термодинамики. Между
тем общие принципы термодинамического равновесия,
о которых уже говорилось (см. § 12), применимы,
конечно, и к химическим реакциям. Условие максимума
энтропии D.20), справедливое для изолированной (или
даже закрытой адиабатной) системы, применяется не
только для простых (т. е. гомогенных
однокомпонентних) систем, его можно использовать и для анализа
систем с фазовыми и химическими превращениями.
Наиболее последовательный и простой путь такого исполь-
* Часто этот принцип называют также принципом
противодействия.
244

зования связан с уже упоминавшимся методом
термодинамических потенциалов Гиббса.
Понятие термодинамического потенциала поясним
на примере изменения внутренней энергии. Для простой
системы с произвольной массой m объединенное
выражение первого и второго законов термодинамики C.56)
можно записать так:
dU^TdS—pdV. A0.18)
Для адиабатной системы dS=0 и из выражения
A0.18) получаем:
pdV^—dU. A0.19)
luviii іфоікчт обратим, то pdV=dL=—dU, т. є. ра-
ґнпс'і |кшііа изменению внутренней энергии, взятому с
обратным знаком. По аналогии с механикой (см. § 5)
внутреннюю энергию называют термодинамическим
потенциалом. Если процесс необратим, то, согласно
выражению A0.19), dLH<dI, что подробно обсуждалось
в § 10. Таким образом, величина —dU равна
максимальной работе, реальная работа всегда меньше.
Термодинамический потенциал U может быть
использован в качестве критерия термодинамического
равновесия. По условию система является закрытой (т =
= const). Прекратив подвод к системе энергии в виде
теплоты (dS = 0) и в виде работы (dV=0), получим
изолированную систему. Для нее из выражения A0.18)
имеем
A0.20)
Следовательно, в изолированной (т. е.
предоставленной самой себе) системе по второму закону
термодинамики могут происходить необратимые процессы
с уменьшающейся внутренней энергией (dU<.0) или
в идеализированном варианте обратимые процессы
с постоянной внутренней энергией (dU=0). Реально
в изолированной системе внутренняя энергия будет
уменьшаться до минимума и затем сохранять
постоянное значение. Достаточные условия минимума функции
?/=[/(S, V) имеют вид:
dU=0\ d*U>0. A0.21)
Здесь также проявляется аналогия с механической
системой: известно, что условие равновесия в поле сил
тяжести в простейшем случае состоит в наиболее, низ-
245

ком расположении центра тяжести; при этом
потенциальная энергия системы имеет минимальное значение.
Понятие потенциала связано с работой, поэтому
имеет смысл рассмотреть процесс совершения работы не
только без подвода теплоты, как это сделано выше, но
и с подводом теплоты dQ=TdS от теплоотдатчика с
температурой Т. Тождественные преобразования
выражения A0.18) позволяют найти термодинамический
потенциал и для этого случая. Прибавим и вычтем в правой
части выражения A0.18) величину SdT и перенесем
d(TS) в левую; тогда получим
A0.22)
где Fs=[/ — TS —энергия Гельмгольца или изохорно-изотермиче-
ский потенциал (кратко — изохорный потенциал).
Из выражения A0.22) следует, что при dT=0
работа pdV=dL=—dF, т. е. величина F обладает
свойствами потенциала для изотермического процесса.
Таким образом, изохорный потенциал F позволяет
определить максимальную работу при T=const и
принимает минимальное значение при равновесии системы в
условиях T=const, V—const.
Наряду с работой изменения объема dL=pdV
важное значение имеет полезная работа dLn=—Vdpy
понятие о которой было введено в § 5. Термодинамическими
потенциалами для полезной работы являются уже
упоминавшиеся ранее энтальпия #(S, p) и изобарный
потенциал (энергия Гиббса) G(T, p), для которых
объединенное выражение первого и второго законов
термодинамики имеет вид:
dH^TdS+Vdp; A0.23)
dG^—SdT+Vdp. A0.24)
Термодинамические потенциалы U, F, Н и G, а также
энтропию S называют также характеристическими функциями *. Каждая
характеристическая функция связана с определенными
термодинамическими параметрами — ее «естественными» переменными: U=
= U(S, V)\ F=F(T, V)\ H=*H(S, p); G = GG\ p); S=S(U, V).
С помощью любой характеристической функции и ее производных
могут быть выражены все термодинамические свойства системы.
Пусть, например, задана функция U=U(S, V). Сравнивая
выражение полного дифференциала dU=(dUldS)vdS+(du/dV)sdV с урав-
* Энтропия не является термодинамическим потенциалом, так
как в состоянии равновесия она принимает не минимальное, а
максимальное значение.
246

нением dU^TdS—pdV, получаем 7={dC//dS)v=nS. V); р«*
— (<H//dV)s«p(S, V).
Исключив из двух последних уравнений энтропию 5, получим
термодинамическое уравнение состояния F(p, V, Г)«=0. Поскольку
(d2U/dS2)v:={dTldS)v, то с учетом уравнения C.24), имеем Сг =
= {dUldS)vl(d2UldS2)v = Cv(S, V). Зная Су и используя
уравнение состояния, можно по уравнению D.54) найти Ср. Легко найти
и остальные параметры: Я, Z7, Си др. Таким образом, для произ-
полыюго состояния, определяемого значениями 5 и У, по
выражению U = U(Sr V) могут быть рассчитаны все остальные
термодинамические параметры. Конкретный вид той или иной
характеристической функции для определенной системы методами
термодинамики определить, конечно, нельзя; это положение уже обсуждалось
ранее применительно к уравнению состояния. Нахождение
характеристических функций возможно, например, экспериментальным
путем.
Расширим понятие термодинамического потенциала,
вводя в рассмотрение более сложные системы, такие
как, например, системы с химическими или фазовыми
превращениями, а также открытые системы. Внутренняя
энергия двухфазной системы, состоящей из воды и
водяного пара, зависит от того, какая часть массы
системы приходится на жидкую фазу и какая — на паровую
(см. § 12). Каждая фаза представляет собой открытую
систему, внутренняя энергия которой/ зависит от массы.
Внутренняя энергия смеси газов зависит от состава этой
смеси. Термодинамические потенциалы Т7, Я и О связаны
с внутренней энергией, поэтому все сказанное
справедливо и для них. Действительно, F=U—TS, при этом
F называют также свободной энергией, a TS—
связанной энергией, их сумма равна внутренней энергии U\
энтальпия H=U+pV; изобарный потенциал О=G-}-
+pV—TS=H—TS. В последующем будем
рассматривать только изобарный потенциал, так как условия р=
=const, 7=const являются наиболее
распространенными.
В соответствии со сказанным изобарный потенциал
многокомпонентной системы зависит не только от
давления и температуры, но и от количества отдельных
компонентов:
G = G(p, 7\ ль п2, ..., пт), A0.25)
где Пі — количество киломолей і-го компонента, t=l, 2, ..., т.
Дифференциал изобарного потенциала равен
т
dG - (dOldT)Pt n dT + (дС/др)т, ndp + ^i (dGldni)p.Tn dnt
і
' 247

или t учетом выражения A0.24) имёеМ
т
dG <C—SdT + Vdp + 2 ^dtit, A0.26)
і
где \іі — химический потенциал /-го компонента, кДж/кмоль.
Выражение A0.26) есть объединенное выражение
первого и второго законов термодинамики для
многокомпонентной системы переменного состава. Такие
выражения можно получить и для трех других
термодинамических потенциалов, основываясь на формулах
A0.18), A0.22) и A0.23). Применительно к обратимым
процессам выражения типа A0.26) становятся
уравнениями, их называют основными термодинамическими
уравнениями Гиббса.
Изменение количества компонента ащ может
происходить как из-за процессов внутри системы (химические
превращения, фазовые переходы), так и в связи с
поступлением компонента і через границу системы. Для
химических превращений удобнее измерять уц в
кДж/кмоль, для фазовых превращений в однокомпо-
нентной системе — в кДж/кг; оба способа правильны.
Составим три остальных выражения по типу
выражения A0.26) для наиболее простого случая открытой
однокомпонентной системы с обратимыми процессами;
вместе с выражением A0.26) получим:
dU = TdS — paV + (dUldn)s,vdn\
dF = —SdT— pdV -f (dF/dn)TtV dn.
dH = TdS + Vdp + (dHldn)s,p dn;
dG - —SdT+ydp + (dG/dn)TtPdn.
A0.27)
Сравнивая уравнения A0.27) с выражением A0.26),
видим, что частные производные в правой части
уравнений A0.27) есть выражения химического
потенциала \i через различные независимые переменные. Это
подтверждается равенством всех производных между
собой:
A0.28)
которое легко доказать, если перенести два первых
члена правой части любого из уравнений A0.27) в левую
часть.
248

Зависимость A0.28) распространяется и на
многокомпонентную систему. Она вскрывает смысл
химического потенциала: он равен изменению
термодинамического потенциала системы при изменении щ на 1 кмоль
в условиях постоянства естественных переменных
данного термодинамического потенциала и количеств п^
ІФі всех остальных компонентов.
Произведение \ndtii можно трактовать так же, как
работу немеханического характера: ведь именно
вследствие совершения работы меняется термодинамический
потенциал системы. Величину щйщ применительно к
химическим превращениям называют химической работой.
Условие равновесия термодинамической системы при
р=const, 7'=const для простой системы определяется
выражением A0.24) и имеет вид
dG<0. A0.29)
Выражение A0.29) означает, что в состоянии
равновесия изобарный потенциал принимает минимальное
значение, т. е. dG=0, d2G>0. Для открытой
многокомпонентной системы (или многокомпонентной
системы переменного состава, но закрытой) в состоянии
равновесия при р, 7=const имеем
Установим связь термодинамического условия A0.30)
для равновесного состояния с условием A0.16)
химического равновесия. Убеждение в том, что такая связь
существует, основано на том, что два способа — закон
действующих масс и второй закон термодинамики —
используются для количественной характеристики одного
и того же факта — равновесия системы.
Для химической реакции ПіЛ1+п2Л2=аіз^з+^И4
определяют не элементарное изменение dG, а конечное
приращение изобарного потенциала AG = Gn—GH
аналогично тому, как это делалось для энтальпии реакции
ЛЯ [см. формулу A0.6)]. По уравнению A0.30) имеем:
A0.31)
Для расчетов по формуле A0.31) необходимо уметь
определять величину [а для каждого компонента.
Достаточно просто это можно сделать лишь для
реагирующей смеси идеальных газов. Определим вначале
химический потенциал для 1 кг отдельно взятого идеального
газа. Если dG=—SdT+Vdp, то dji=— sdT+vdp. Для
249

y=const имеем d\x=vdp = RT(dp/p) или после
интегрирования |i = /?7'lnp+const = /?7'lnp+/:G').
. Для определенного (стандартного) давления р=р°
имеем ix°(T) = RT In p°-\-f (T). Тогда вычитая это
уравнение из предыдущего, получим \х—\i°(T) = RT(ln р—
—1пр°). Если выбрать р°=1 МПа и выражать р
также в МПа, то lx=lx°(T)+RT In p.
Для реагирующей газовой смеси вместо р следует
брать парциальное давление компонента ри а так как
[Яг измеряется в кДж/кмоль, а не в кДж/кг, то вместо
газовой постоянной /?, кДж/(кг-К), следует брать
универсальную газовую постоянную R^ кДж/(кмоль-К).
С учетом сказанного получаем следующую формулу для
химического потенциала компонента реагирующей
смеси идеальных газов:
\n = \^i(T)+R^T\r\Pi. A0.32)
Подсчитаем AG по формуле A0.31):
ДО - (л4 \i°4 (Т) + nAR^T In a + пь (ig (Т) -{-ПгЯ^Т In ^8)~
° пх R^ Т In а + п> $LT) + я, ^ Т In а).
Сгруппировав подобные члены, получим более
компактную запись последнего выражения:
АО « ф (Т) + ^ Пп (ї3Пз Р?1/7>?1 й1), (Ю.ЗЗ)
где pi — парциальное давление t-ro компонента для системы,
которая еще не достигла состояния равновесия; ф(Г<) — сумма членов
вида Пі[і°і(Т).
В состоянии равновесия AG=0, а парциальные
давления pi принимают значения равновесных
парциальных давлений ри по которым определяется константа
равновесия КР в формуле A0.16). Применяя эти
условия к выражению A0.33), имеем:
<Р(Т)~ -RtTlnipfp^Ip^p?)- -/^Пп/Ср. A0.34)
Подставляя ф(Г) из уравнения A0.34) в уравнение
A0.33), получаем:
AG ~ R^T [\п$&п4>Грї>ї>?)--\пКР]. A0.35)
Уравнение A0.35) называется"уравнением изотермы
химической реакции, оно получецо Ванг-Гоффом. Это
250

5)
Рис. 10.1
уравнение устанавливает связь между
термодинамическим критерием равновесия и константой закона
действующих масс /Ср.
Если давления pi=pu т. е. принимают равновесные
значения, то AG=0 и реакция не идет. Если первое
слагаемое в квадратных скобках выражения (lu.oo)
больше второго, то AG>0. Это означает, что при
осуществлении прямой реакции (слева направо)
изобарный потенциал возрастал бы, что запрещается вторым
законом термодинамики —см. формулу A0.29),
следовательно, прямая реакция не идет, но зато может идти
обратная реакция (справа налево). И, наконец, если
первое слагаемое меньше второго, то AG<0 и идет
прямая реакция. Сказанное иллюстрируется рис. 10.1,а, на
7^
котором обозначено^ = р44Рз7р?г^23, при этом ,
как и КРу не принимает отрицательных значений;
видно, что при любом значении КР условие K<KV
приводит к отрицательному значению AG и прохождению
прямой реакции.
Значимость величины AG для химических реакции
не исчерпывается только ее знаком, оказывается, важ-
251

но и абсолютное значение величины |АС| изменения
изобарного потенциала в реакции. Чем больше
значение |AG|, тем с большей интенсивностью система
стремится к состоянию равновесия. Из рис. 10.1,а видим,
что шарик с исходным положением 1 стремится к
наинизшему положению — положению равновесия в
среднем с большей скоростью, чем шарик с исходным
положением Г'. Существует много других аналогичных
ситуаций: распространение теплоты происходит тем
интенсивнее, чем больше разность температур ДГ, движение
потока — чем больше разность давлений Ар, перенос
электрического заряда — чем больше разность
электрического потенциала. Сформулированное более строго
и облеченное в математическую форму
рассматриваемое положение является одним из главных в
термодинамике необратимых процессов.
Применительно к химическим реакциям величина AG
характеризует так называемое химическое сродство:
тенденцию исходных веществ вступать в реакцию. Чем
больше |AG| при AG<0, тем больше
термодинамическая возможность протекания прямой реакции, тем
большим химическим сродством обладают реагенты.
Величина —AG равна максимально возможной
полезной работе, которую совершает система при
обратимом переходе в состояние равновесия в
изотермических условиях: —AG=Ln, при этом Ln>LHn. Если
постоянно и давление, то dp=0 и dLn=— (Vdp-{-
+^\Хіапі)=аЬп.хшк, т. е. система совершает только
полезную химическую работу. При этом говорят, что
максимальная работа химической реакции есть мера
химического сродства.
Для практики важно уметь предсказывать
химическое сродство определенной реакции. Пусть, например,
необходимо установить, для какой из двух реакций — I
или II химическое сродство больше. С этой целью
сравнивают величины AGi и AGii. Сравнение нужно
производить, конечно, в сопоставимых условиях, т. е. при
вычислении AG по формуле A0.35) должно быть Гі=7и,
Кі=Кіь Для температуры принимают стандартное
значение 298,15 К, а при определении К все давления $ц
берут единичными; при этом К=1 и 1пК=0. Следует
помнить, однако, что единицы измерения у величин pi
и pi должны быть одинаковыми [см. вывод формулы
A0.32)]. В справочной литературе по расчетам хими-
252

ческих раэновесий Давления pi традиционно
измеряются в физических атмосферах A фаз.ат=760 ммрт.ст.=
= 101,325 кПа), поэтому единичные давления ?i равны
р°г = 1 физ. ат (для записанной ранее типовой реакции
с четырьмя веществами Л* общее давление равно
4 физ. ат).
Для принятых условий (Г = 298,15 К, ?°i —
= 101,325 кПа) стандартное изменение изобарного
потенциала реакции AG°298, кДж/кмоль, согласно
формуле A0.35), равно:
AG°298=— 8,314-298,15 In/Ср. A0.36)
Сравним, например, реакции окисления меди и
золота:
Си(т)+0,5О2=СиО (т); AG°298=—127,2 МДж/кцоль СиО;
2Аи (т) + 1,502=Аи203 (т); AG°2g8=+78,3 МДж/кмоль Аи2О3.
Видно, что если поместить медь в атмосферу
кислорода при давлении 1 физ. ат (так как только одно
газообразное вещество участвует в реакции) и температуре
298,15 К, то реакция окисления пойдет, ибо AG°298<0;
для золота AG°298>0 и оно в стандартных условиях
не окисляется.
Стандартное изменение изобарного потенциала AG0
для произвольной температуры, согласно уравнению
A0.35), равно
AG0«-;^ Лп/Ср. A0.37)
Из уравнения A0.37) получаем
). A0.38)
Ранее было показано, что знание константы Кр
позволяет решить основную практическую задачу: найти
выход продуктов реакции для заданных значений
температуры и давления; такие расчеты позволяют выбрать
оптимальные условия проведения реакции. Зная
величину AG0 при различных температурах, можно выбрать
температуру, для которой AG<0. Формулы A0.37) и
A0.38) позволяют легко найти любую из указанных
величин, если известна вторая.
Экспериментальное определение константы Кр
сложно и трудоемко. Прямое измерение равновесных
концентраций при высоких температурах затруднительно,
поэтому применяют «закаливание» реагирующей
газовой смеси — е§ резкое охлаждение, что приводит прак-
253

тически к прекращению реакции и сохранению
равновесного состава, который подвергается анализу. При
проведении подобных экспериментов используется
сложная герметичная аппаратура с автоматическим
поддержанием постоянной температуры. Для некоторых
реакций, которые можно осуществить в гальваническом
элементе, КР определяется по измерению ЭДС элемента.
Все эти сложности привели к необходимости решить
проблему путем нахождения AG° с последующим
расчетом КР по формуле A0.38). Расчет AG0 по
справочным данным, полученным в результате относительно
простых калориметрических экспериментов, оказался
возможным благодаря третьему закону термодинамики.
Для определения функции AG°=AG°(T)
необходимо составить дифференциальное уравнение. Поскольку
G = H—TS, то при 7=const имеем AG=AH—TAS.
Сравнивая полный дифференциал dG(T, р) с
уравнением A0.24), получаем S=—(dG/dT)p или AS=
= — (dAGjdT)v. Тогда
AG=AH+T(dAG/dT)p. A0.39)
Это уравнение называется уравнением Гиббса —
Гельмгольца. Учитывая отдельно условие p=const,
уравнение A0.39) можем записать в виде:
AGdT—TdAG=AHdT.
Разделив обе части этого уравнения на —Г2,
получим слева дифференциал частного AG/T:
d(AGjT) =—(Д Я/Л) d Т. A0.40)
Подставим в левую часть величину AG°/T из
уравнения A0.37)
Г2. A0.41)
Уравнение A0.41) называют уравнением изобары
реакции. Оно связывает константу /Ср с энтальпией
реакции ЛЯ и температурой. Выражение функции Д#=
= АН(Т) дается уравнением A0.15), полученным из
закона Кирхгофа A0.12), поэтому уравнение изобары
можно интегрировать:
In КР = Я J (AH(T)IT*)dT + /. A0.42)
• Интеграл в уравнении A0.42) берется просто,
поскольку АН(Т) является многочленом, однако постоян-
254

ная интегрирования / может быть найдена только по
известному значению Kv для определенной
температуры, т. е. вопрос сводится к измерению /Ср, что, как
отмечено выше, нежелательно. Интегрирование уравнения
A0.40) или подстановка в уравнение A0.42) значения
\пКр из формулы A0.37) дает следующее уравнение:
=— 7j (AH(T)IT*)dT—TI, A0.43)
в котором также имеется неопределенная постоянная
интегрирования.
Постоянная / в уравнении A0.43) может быть
определена на фенове третьего закона термодинамики,
однако вначале рассмотрим некоторые следствия из первых
двух законов. Поскольку AG=AH—TAS, то lim (AG—
го
= limTAS=0, так как limAS^oo, ибо энтропия
г->о г->о
5 имеет конечное значение. Следовательно, при Т-+0
имеем AG=A#. По уравнению A0.39) lim (AG—
—A#)/T=lim (dAG/dT), однако предел левой части,
Г0
согласно правилу Лопиталя, равен lim (dAG/dT—
Г0
0
—dAH/dT)=]\m (dAG/dT—Дср). Отсюда Аср=0 и, со-
г-»о
гласно закону Кирхгофа, dAH/dT=0. Таким образом,
для реакции, проходящей в условиях Т=const, р=
= const, вблизи абсолютного нуля кривая АН—АН(Т)
пересекает ось ординат в точке AH=AG и имеет
горизонтальную касательную (рис. 10.1,6).
Проводя экспериментальное исследование поведения
величин AG и АН при низких температурах, Нернст
пришел к выводу, что и кривая AG=AG(T) имеет при
Г-*0 горизонтальную касательную, т. е. (dAG/dT)—0.
Это утверждение составляет основное содержание
тепловой теоремы Нернста, которая справедлива для
конденсированных сред и исторически представляет собой
первую формулировку третьего закона термодинамики.
Из условия dAG/dT=0 следует, что AS—S2—Si = 0.
В связи с этим третий закон формулируется так: при
Г->-0 энтропия равновесной системы принимает одну
и ту же для всех" систем постоянную величину, которую
можно положить равной нулю.
Эквивалентной формулировкой является
утверждение о недостижимости абсолютного нуля, основанное на
что при 7->0 изотермический и адиабатный про-
255

цессы совпадают, поэтому невозможно как адиаоати-
ческое понижение температуры, так и изотермический
отвод теплоты.
Важнейшим практическим следствием третьего
закона является возможность рассчитывать химические
равновесия по калориметрическим данным. Из уравнения
A0.14) следует, что Дао=О, так как при Т-*~0 имеем
dAH/dT=0. С учетом этого подстановка АН(Т) в
уравнение A0.43) после несложных преобразований дает:
AG°=— AaJW—Да2Р/6+ДЯГ-*(г- ТІ; A0.44)
dAG0/dT=— AaJ—Аа2Т2І2—I. , A0.45)
Поскольку при 7і->0 имеем dAG0/rf71=0, то по
A0.45) /=0. Это дает возможность вычислять AG0 по
уравнению A0.44), если известны коэффициенты Ааь
Аа2 температурной зависимости теплоемкости и
энтальпия реакции АН при Г->-0.
Однако чаще всего для расчета AG0 используют
формулу AG°=A#°—TAS°, куда входят стандартные
термодинамические величины: энтальпия реакции,
определяемая законом Кирхгофа, и изменение энтропии
в реакции, определяемое формулой
ASo= BmS°i) п— Bяг5°і) и, A0.46)
где S°i — стандартные энтропии веществ.
Стандартные энтропии определяются
калориметрическим путем. Известно, что для вычисления изменения
энтропии между двумя заданными состояниями можно
использовать измерения теплоты любого обратимого
процесса, соединяющего эти состояния: S2—Si —
2
= I (dQ/T). Удобным с этой точки зрения является
2
изобарный процесс, для которого S2—Si= (cp/T)dT.
Стандартная энтропия вещества определяется для р =
298
= 101,325 кПа и Г=298,15К, т. е. S°298= f (cp/T)dT.
fU
В интервале температур от 0 до 298,15 К происходят
256

фазовые переходы, поэтому расчетное выражение
имеет вид:
Гпл
298
CplT)dT, A0.47)
H t°
1 H
где 7пл — температура плавления; /*Пл—теплота плавления;
7°н — температура насыщения при стандартном давлении.
Вычисление первого интеграла в уравнении A0.47)
производится на основе третьего закона
термодинамики, по которому при 7=0 принимается S==0.
Благодаря этому интеграл в нижнем пределе является
сходящимся, ибо при Г->0 и ср->0 (см. рис. 10.1,6).
Расчет химического равновесия, проводимый по
стандартным термодинамическим величинам, состоит в
следующем. По взятым из справочника значениям Д#°об
и S°298 рассчитывают изменение изобарного потенциала
для стандартной температуры AG°298, пользуясь
выражением AG=A#—7AS. Величины ДЯ и AS определяют
по формулам A0.8) и A0.46). Поскольку в справочных
таблицах приводятся и стандартные изобарные
потенциалы образования АС°Об, то для вычисления AG°298
можно воспользоваться формулой типа A0.8). Если
AG°298<0, то возможна прямая реакция, если AG0298^
^ДОдоп>0, то такая возможность сомнительна,
однако имеет смысл искать условия (отличающиеся от стан-
дартйых), при которых реакция осуществима.
Положительная величина ДСдоп назначается из практических
соображений, при AG0298>AGflOn реакция вряд ли
пойдет в удобных для практики условиях.
При AG°298<0 определяют величину AG0=f(T).
Первое, наиболее грубое приближение дает формула
AG°=AM°298—^А50298, в которой не учитывается
зависимость от температуры величин ДЯ и AS. Это равно-'
сильно условию АСр = 0, поскольку по закону Кирхгофа
dAH=ACvdT и по определению энтропии 6/AS =
=ACpdT/T. Второе приближение соответствует условию
ДС=соп8<;, а третье — условию ACp=fi(T). Расчеты
257

По второму и третьему приближениям трудоемки, при
их проведении используются таблицы вспомогательных
коэффициентов, приводимые в справочниках
физико-химических величин,
Все реакции и соотношения, относящиеся к
химическому равновесию, рассматривались здесь
применительно к гомогенным газовым системам. Условия
термодинамического равновесия гетерогенной системы с
одним компонентом рассматривались в § 12. Большое
практическое значение имеют многокомпонентные
гетерогенные системы, для которых условия
термодинамического равновесия устанавливаются с помощью
правила фаз Гиббса. Это правило позволяет определить
число произвольно изменяемых параметров (число
степеней свободы), исходя из числа компонентов и числа фаз
в системе. Число компонентов равно числу химически
индивидуальных веществ минус число химических
реакций между ними. Определение фазы было дано в § 12;
при невысоких давлениях возможна лишь одна газовая
фаза в системе, но количество твердых и жидких фаз
не ограничивается: существует, например, несколько
кристаллических модификаций твердых тел (льда,
серы, железа), в системе могут быть несмешивающиеся
жидкости, каждая из которых является фазой.
В основе правила фаз лежит известный принцип:
число произвольно выбираемых параметров равно
общему их числу минус число уравнений, связывающих
параметры между собой. Состояние каждой фазы
определяется температурой, давлением и составом. В общем
случае в каждую фазу входят все п компонентов,
поэтому состав задается п—1 мольными концентрациями
(последняя концентрация есть дополнение до единицы).
Для всех г фаз системы имеем параметры: г(п—1),
р, Г. Число уравнений определяется условием D.37):
химический потенциал любого компонента в каждой
фазе должен иметь одно и то же значение. При
невыполнении этого условия равновесие будет нарушено
переносом массы компонента в фазу с меньшим значением
химического потенциала. Число уравнений,
следовательно, равно п (г—1). Число степеней свободы
многокомпонентной многофазной системы равно: f=r(n—1)+2—
—п(г— \)=п—г+2. Подчеркнем, что / — число
произвольно изменяемых параметров, при изменении которых
сохраняется равновесие системы,
258

Равновесная система, включающая воду и её
насыщенный пар, обладает, согласно правилу фаз, одной
степенью свободы / = 1; произвольно изменяемым
параметром может быть давление насыщения рн (или
температура насыщения Тн). Для тройной точки воды
имеем /1=1, г=3 и /=0, т. е. система не имеет степеней
свободы, изменение любого параметра выводит ее из
равновесия.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ГЛАВА 11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 34. Виды теплообмена
Теплопередача — это учение о процессах переноса
теплоты. Самопроизвольный процесс переноса теплоты
в пространстве с неоднородным полем температуры
называют теплообменом. Существуют три вида
теплообмена: теплопроводность, конвективный теплообмен и
теплообмен излучением.
Теплопроводность — это перенос теплоты в среде *
посредством хаотического (теплового) движения
микрочастиц (молекул, атомов).
Конвективный теплообмен — это перенос теплоты,
осуществляемый движущимися макроскопическими
элементами среды с одновременной теплопроводностью.
Теплообмен излучением — перенос теплоты
посредством электромагнитного поля. ^
Большое практическое значение имеет конвективный
теплообмен между движущейся жидкостью и
поверхностью ее раздела с другой средой, например,
конвективный теплообмен между жидкостью и поверхностью
твердого тела, между газом и поверхностью капельной
жидкости и т. п. Такой конвективный теплообмен
называют теплоотдачей.
Различают два вида конвекции (т. е. движения
жидкости)— свободную и вынужденную. В конвекции
первого вида движущая сила обусловлена разностью
плотностей жидкости в месте ее контакта с поверхностью
* Среда — твердое тело или жидкость (капельная жидкость
или газ).
250

тела, имеющей другую температуру, и вдали от этой
поверхности. Из-за разности плотностей возникают
подъемные (архимедовы) силы. Такая конвекция
происходит, например, в сосуде с жидкостью, в которую
погружена нагревательная спираль.
Вынужденная конвекция происходит под действием
внешней движущей силы, здесь жидкость обтекает
поверхность, имеющую более высокую или более низкую
температуру, чем температура самой жидкости.
Скорость движения жидкости при вынужденной конвекции
больше, чем при свободной, поэтому в этом случае при
заданном перепаде температур может быть передано
больше теплоты. Возрастание теплового потока
связано с необходимостью расхода энергии, затрачиваемой
для приведения жидкости в движение.
Совокупность двух или трех видов теплообмена
называют сложным теплообменом. Изучение
закономерностей сложного теплообмена представляет собой
довольно трудную задачу. Поэтому каждый из трех видов
теплообмена изучают отдельно, после чего становится
возможным вести расчеты, относящиеся к сложному
теплообмену.
Многие процессы переноса теплоты сопровождаются
переносом вещества — массообменом. Совместное
протекание процессов теплообмена и массообмена
называется тепломассообменом.
§ 35. Температурное поле
Температурным полем называется совокупность
значений температуры в данный момент времени во всех
точках изучаемого пространства. В общем случае
уравнение температурного поля имеет вид
t = F{x, у, z, т), A1.1)
где t — температура среды; х, у, z — координаты точки среды;
т — время.
Температурное поле, изменяющееся во времени,
называется нестационарным, температурное поле, не
изменяющееся во времени,— стационарным. Стационарное
температурное поле описывается зависимостью
t—f(x,y,xz); dt/дт^О. A1.2)
Температурное поле, описываемое выражениями
A1.1) и A1.2), является трехмерным. Если температур-
260

ное поле изменяется только je
по двум координатам, то
оно называется двухмерным
и описывается
зависимостью:
t=*yb(x, у, т); dt[dz=O.
Температурное поле,
изменяющееся по одной
координате, называется
одномерным и имеет вид: Рис. 11.1
г = ф(лг, т); dtldy = dtldz = O.
Одномерное стационарное температурное поле
имеет вид:
Температурное поле можно охарактеризовать с
помощью изотермических поверхностей. Изотермической
поверхностью называется геометрическое место точек,
имеющих в данный момент времени одинаковую
температуру. Изотермические поверхности, соответствующие
разным температурам, не могут пересекаться между
собой. Они могут замыкаться сами на себя либо
оканчиваться на поверхности тела.
При пересечении изотермических поверхностей с
какой-либо плоскостью, например с плоскостью чертежа,
они оставляют на этой плоскости следы в виде семейства
кривых, называемых изотермами.
Рассмотрим две изотермы, температуры которых
отличаются на малую величину At (рис. 11.1). Наибольшее
изменение температуры будет происходить в направле-
нии нормали п к изотермической поверхности.
Градиент температуры есть вектор, направленный по
нормали к изотермической поверхности в сторону
возрастания температуры. Он определяется выражением
—>¦
grad t=no(dtldn)y
->
где По—единичный вектор, нормальный к изотермической
поверхности и направленный в сторону возрастания температуры.
Производная температуры по направлению dt/dl за-
->¦
висит от направления, задаваемого вектором /; например,
для направления m (см. рис. 11.1) она равна нулю, а
261

для направления п — максимальна. Именно $т&
максимальная производная dt/dn и определяет длину вектора
grad t. Эта длина (модуль вектора) равна:
| grad t\ ~ j/ dt/dx+dt/dy + dtjdz.
Направление вектора grad t дается единичным век-
тором п0.
§ 36. Закон Фурье. Теплопроводность
Связь между количеством теплоты dQy Дж, которое
за время dx проходит через элементарную площадку dF,
расположенную на изотермической поверхности, и
градиентом температуры dt/dn устанавливается законом
Фурье:
A1.3)
Множитель пропорциональности Я в выражении
A1.3) определяется физическими свойствами среды, в
которой происходит распространение теплоты, и
называется теплопроводностью*. Справедливость
выражаемого уравнением A1.3) закона подтверждают
полученные на его основе результаты расчетов,
согласующиеся с экспериментальными данными.
Количество теплоты, проходящее в единицу времени
через единицу площади изотермической поверхности <7,
Вт/м2, называется плотностью теплового потока:
'q^dQldFdx=—X grad t=—Xn(dtldn). A1.4)
Вектор q направлен по нормали к изотермической
поверхности. Его положительное направление совпадает с
направлением максимального убывания температуры,
так как теплота передается от более нагретой области
к менее нагретой в соответствии со вторым законом
-у
термодинамики. Следовательно, векторы q и grad t
лежат на одной прямой, но направлены в
противоположные стороны, поэтому в правой части уравнения A1.4)
стоит знак «минус».
* Прежнее название — коэффициент теплопроводности.
262

Ч?
\
.—л
ч
\
J
\
Рис. 11.2
Если в каждой точке
гемпературного поля
провести элементы нормалей
Д/г к изотермическим
поверхностям, то получится
семейство ломаных линий,
которые при беспредельном
уменьшении отрезков Дп
превратятся в кривые,
называемые линиями
теплового тока. Линии теплового
тока- ортогональны к
изотермическим поверхностям
(рис. 11.2).
Модуль вектора q равен
|7|— Цді/дп).
Количество теплоты, Вт, проходящей в единицу
времени через изотермическую поверхность площадью F,
называется тепловым потоком и определяется из
выражения:
Q« Г qdF-— ^X(dt/dn)dF.
F F
Полное количество теплоты, Дж, проходящей через
изотермическую поверхность площадью F за время т*
равно
= — X Г U
dtldn)dFd*.
О F
Из уравнения A1.4) следует, что теплопроводность
Следовательно, теплопроводность численно равна
количеству теплоты, которое проходит в единицу времени
через единицу изотермической поверхности при градиенте
температуры, равном 1 К/м. Единица
теплопроводности— Вт/ (м- К).
Чем больше значение X, тем большей способностью
проводить теплоту обладает тело. В общем случае
теплопроводность для данного тела не является величиной
постоянной: для твердых тел X зависит от температуры,
а для жидких а газообразных — еще и рт давления. Для
263

металлов (кроме алюминия) теплопроводность с
увеличением температуры несколько убывает: это означает,
что холодный металл проводит теплоту лучше, чем
нагретый. Теплопроводность металлов колеблется в
пределах 2,3—420 Вт/(м-К).
Для изоляционных и огнеупорных материалов X при
повышении температуры возрастает. Это объясняется
тем, что большинство изоляционных материалов H(v
представляет собой монолитной массы, а является
пористым телом — конгломератом отдельных частиц
с воздушными прослойками между ними,
вследствие чего теплопроводность уменьшается. Однако при
лучистом теплообмене, происходящем в этих прослойках,
эффективная теплопроводность (с учетом излучения)
увеличивается при повышении температуры пористого
тела.
Для таких материалов % зависит не только от свойств
материала, но и от степени его уплотненности, что в
свою очередь характеризуется плотностью. Кроме того,
на теплопроводность указанных материалов большое
влияние оказывает влажность, с увеличением которой
теплопроводность возрастает. Для влажного материала
Я выше, чем для сухого материала и воды, взятых в
отдельности. Например, для сухого кирпича Х=
= 0,35 Вт/(м-К), для воды Х = 0,58 Вт/(м-К), а для
влажного кирпича Я=1,05 Вт/(м-К). Это объясняется
тем, что адсорбированная в капиллярно-пористых телах
вода отличается по физическим свойствам от свободной
воды. Поэтому по отношению к таким материалам
правильнее величину X называть эффективной
теплопроводностью. Теплопроводность теплоизоляционных
материалов находится в пределах 0,02—3 Вт/(м-К).
Для газов с увеличением температуры
теплопроводность также возрастает, но от давления она
практически не зависит (кроме очень низкого <2,5 кПа и очень
высокого >200 МПа). Для газов теплопроводность
лежит в пределах 0,006—0,6 Вт/(м-К).
Для большинства капельных жидкостей
теплопроводность находится в пределах 0,09—0,7 Вт/(м-К) и с
повышением температуры уменьшается. Вода является
исключением: с ростом температуры от 0 до 150°С
теплопроводность возрастает, а при дальнейшем увеличении
температуры уменьшается.
264

ГЛАВА 12. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА
§ 37. Уравнение энергии
Уравнение энергии описывает процесс переноса
теплоты в материальной среде. При этом ее
распространение связано с превращением в другие формы энергии.
Закон сохранения энергии применительно к процессам
ее превращения формулируется в виде первого закона
термодинамики, который и является основой для вывода
уравнения энергии. Среда, в которой распространяется
теплота, предполагается сплошной; она может быть
неподвижной (например, массив твердого тела) или
движущейся (например, капельная жидкость или газ, в
дальнейшем для них будет использоваться общий
термин— жидкость). Поскольку случай движущейся среды
является более общим, используем выражение первого
закона термодинамики для потока (см. § 18):
dq=dh+wdw+gdz+dliP, A2.1)
где ц — подводимая теплота, Дж/кг; h — энтальпия, Дж/кг; w —
скорость среды в рассматриваемой точке, м/с; g — ускорение
свободного падения, м/с2; z — высота, на которой расположен
рассматриваемый элемент среды, м; /Тр — работа против сил внутреннего
трения (вязких сил), Дж/кг.
В соответствии с уравнением A2.1) подводимая
теплота затрачивается на увеличение энтальпии,
кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил
тяжести, а также на совершение работы против вязких сил.
Работа трения преобразуется в теплоту,
представляющую собой часть подводимой теплоты:
где dq-ro — теплота, подводимая в результате теплообмена со
средой, окружающей рассматриваемый элемент жидкости; dqTV —
теплота, выделяющаяся при работе сил внутреннего трения.
Следовательно, уравнение A2.1) можно представить
следующим образом:
. A2.2)
Значимость отдельных слагаемых уравнения A2.2)
зависит от конкретной обстановки, в которой происходит
процесс теплообмена. Если при некоторых условиях
какие-либо члены намного меньше остальных, то эти ма-
265

лые члены отбрасывают, что приводит к упрощению
уравнения. Поскольку dlrp~dqTv, то уравнение A2.2)
может быть представлено в следующей форме:
dqro = dh+wdw+gdzy A2.3)
которая справедлива как при учете трения, так и без его
учета. Оценка слагаемых wdw и gdz (см. далее пример
12.1) показывает, что первое из них мало при умеренных
скоростях потока, а второе должно учитываться в
специальных случаях, когда значительное изменение
высоты сочетается с малым изменением температуры потока.
Следовательно, в потоке с умеренной скоростью и
небольшим изменением потенциальной энергии внешнего
силового поля подведенная в процессе теплообмена
теплота равна изменению энтальпии:
dqT0 = dh. A2.4)
Однако в ряде случаев (например, высокоскоростные
потоки или точные расчеты) возникает необходимость
учета теплоты трения; при этом уравнение имеет более
сложный вид, чем уравнение A2.4). Учитывая, что
сумма изменений кинетической энергии, потенциальной
энергии и работы против сил трения равна внешней
полезной работе потока:
wdw+gdz+dlTV = —vdp,
где v — удельный объем, м3/кг; р— давление, Па,
из уравнения A2.2) имеем:
dqro=dh—vdp—dqtV. A2.5)
Для высокоскоростных газовых потоков и потоков
вязкой жидкости (например, жидкое топливо) член
dqrv имеет существенное значение (см. далее пример
12.2). Вместе с тем в высокоскоростных газовых потоках
значителен и член wdw, являющийся частью работы
vdp\ в таких случаях используют полное уравнение
A2.5), но все члены относят к единице объема и
единице времени:
»?->•$'¦+*+•. да-«»
здесь Ф — диссипативная функция, Дж/(м3-с), которую можно
рассматривать как мощность внутренних источников теплоты трения
(см. § 18).
Очевидно, что для потока с умеренной скоростью два
последних члена в правой части уравнения A2.6) могут
266

t
I
* і
•¦ПН
рис
быть отброшены, и в этом
случае снова приходим к
уравнению A2.4).
Важной отличительной
чертой проводимого здесь
анализа является то, что
процесс переноса теплоты
рассматривается
происходящим в пространстве и во
времени: в уравнении A2.1)
это обстоятельство не
учитывается. Подсчитаем
количество подводимой и отводимой теплоты в единицу
времени для элемента среды в виде прямоугольного
параллелепипеда, размеры которого достаточно малы для
того, чтобы в его пределах можно было бы
предположить линейное изменение плотности теплового потока
(рис. 12.1). По оси Ох в левую грань элемента за
единицу времени подводится количество теплоты bk
из правой грани отводится
дах
+
Ах Л у
их разность равна
Проводя аналогичную операцию для осей Оу и Oz,
получим соответственно разности:
dqy dqz
Каждая из разностей может быть положительной
или отрицательной, знак определяется производной.
Очевидно, что алгебраическая сумма трех разностей
даст результирующее количество теплоты, подводимое
(или отводимое) в элемент за единицу времени:
/ dqx дУу дУ* \
Для единицы объема среды получим величину
dz
равную первому слагаемому в правой части уравнения
A2.6).
зет

Ограничимся случаем потока с умеренной скоростью,
тогда количество подведенной теплоты равно изменению
энтальпии. Если предположить, что элементарный
параллелепипед неподвижно зафиксирован в
пространстве и его грани проницаемы для потока, то указанное
соотношение можно представить в виде:
Р "л^ = ~~ l л*- + л«' + лг J» (I2-7)
а/г f
где dh/дт — быстрота изменения энтальпии в неподвижной точке
пространства, охватываемой элементарным параллелепипедом; знак
«минус» введен для согласования переноса теплоты и изменения
энтальпии: результирующий приток теплоты \/^\ -¦* <С0) должен
вызывать увеличение энтальпии.
Установим связь уравнения A2.7) с температурным
полем t=t(x, у, г, т). Энтальпия есть функция двух
параметров состояния h=h(p, T) и ее дифференциал
равен
dh = cpdT+ (dh/др) Tdp. A2.8)
Для идеального газа второе слагаемое в правой
части уравнения A2.8) равно нулю, для других случаев
его значение также несущественно (см. далее пример
12.3). Поэтому можно считать, что
dh дТ dt
<129>
Вектор плотности теплового потока равен сумме двух
векторов: молекулярного переноса (теплопроводности) и
конвективного переноса
->¦ -> —>¦ ->
q = q(x, у, z, т)=<7тп+<7к. A2.10)
Первый из них определяется законом Фурье
7ТП=—XgracH, A2.11)
а второй — выражением
t A2.12)
смысл которого очевиден: pw — есть плотность потока
массы, a peptw — плотность потока энтальпии, переноси-
268

мой этой массой. Окончательно имеем следующее
выражение для вектора плотности теплового потока
q = —% grad t+pcptw. A2.13)
Вывод уравнения энергии завершается подстановкой
выражений A2.9) и A2.13) в уравнение A2.7).
Поскольку эта операция имеет формальный характер, проведем
преобразования только для оси Ох. Проекция вектора
плотности теплового потока на ось Ох равна:
qx=—K^ + ?cptwx. A2.14)
Будем считать физические свойства среды р, ср и X
постоянными пярп метрами, определяемыми видом
вещества среды. В действительности они зависят от
температуры и давления, а поскольку здесь идет речь о полях
температуры t(x. ц, z, т) и давления р(ху у, z, т), то фи-
яические параметры в общем случае являются
функциями координат и времени. Зависимостью от давления
можно пренебречь по двум причинам: во-первых,
физические параметры глабо зявисят от давления (за
исключением плотности газовой среды) и, во-вторых,
исходные допущения, при которых получены уравнение
A2.4) и являющееся его следствием уравнение A2.7),
в совокупности своей эквивалентны предположению об
изобарности процесса теплообмена. Учет переменности
плотности газовой среды зависит от изменения давления*
при движении газа с большой скоростью градиент
давления в потоке может быть весьма значительным и в
этом случае используется уравнение энергии в форме
A2.6) с учетом переменности плотности. Таким
образом, физические параметры среды зависят в основном от
температуры, которую приходится учитывать.
При постоянных физических параметрах среды
получаем следующее выражение для производной:
dqx d2t dwy л dt
Получив аналогичные выражения для &qy/dy и
dqz/dzy составим из них сумму, заключенную в скобки
в правой части уравнения A2.7). При этом выражение
дх ^ ду
ибо для несжимаемой жидкости сумма едадязврдных
вида dwifdxi равна нулю (см. § 38). Перенося члены ви-
269

да pCpWi(dt/dXi) в левую часть уравнения A2.7),
получим следующее уравнение энергии для несжимаемой
среды при умеренных скоростях течения
dt dt dt dt
Рассмотрим физический смысл отдельных членов
этого уравнения. Левая часть характеризует скорость
изменения температуры движущейся частицы жидкости,
например некоторого малого объема газа,
составленного из одних и тех же молекул; граница такой
индивидуальной жидкой частоты подвижна, однако она
непроницаема для потока среды. Положение
жидкой частицы в данный момент времени
определяется ее координатами: х = х (т); у = у (т); z =
=z(t). Температура движущейся жидкой частицы
изменяется по двум причинам: из-за нестационарности
температурного поля и из-за его неоднородности.
Нестационарность поля приводит к тому, что воображаемая
остановка жидкой частицы в какой-либо точке
пространства не означает прекращения изменения
температуры частицы: быстрота изменения температуры
характеризуется членом dt/dx. Температурное поле
неоднородно— и поэтому температура меняется при переходе
жидкой частицы из одной точки пространства в
другую; быстрота такого изменения температуры
характеризуется суммой членов вида Wi(dt/dxi). Таким
образом, с формальной точки зрения температура
движущейся жидкой частицы зависит от четырех
аргументов: трех координат и времени, при этом координаты
сами являются функциями времени. Согласно правилам
дифференцирования имеем:
dt d л -dt dt dx
dt dy dt dz
і ___ і. і _____ „____
^ dy dz ' dz dz
ИЛИ
dt dt dt dt dt
+ + +
ІЇГ dz d7 ydy dF <12Л7>
Определяемая выражением A2.17) полная
производная от температуры по времени называется субстан-
270

ционйльной (т. е. материальной) производной. Первый
член ее dt/dx называют локальной производной, она не
равна нулю лишь для нестационарного температурйого
поля; локальную производную можно измерить с
помощью неподвижного термодатчика, закрепленного в
данной точке пространства. Три оставшихся члена
называют конвективными, ибо они не равны нулю только
для движущейся среды и связаны с конвекцией
(переносом) частицы. Субстанциональная производная
может быть измерена термодатчиком, помещенным в
рассматриваемую индивидуальную жидкую частицу и
движущимся вместе с нею.
Правая часть уравнения A2.16) представляет собой
сумму производных вида dqTnildXi и определяет,
следовательно, результирующий подвод (или отвод) теплоты
зЪ счет теплопроводности. Это и понятно, ибо в
движущуюся жидкую частицу теплота может попасть только
путем теплопроводности; жидкость в окрестности
частицы движется вместе с нею, и конвективные токи не
пересекают границу частицы.
Таким образом, уравнение энергии в форме A2.16)
имеет ясный физический смысл: изменение температуры
движущейся индивидуальной частицы жидкости (левая
часть) определяется притоком теплоты в эту частицу от
окружающей ее жидкости за счет теплопроводности
(правая часть).
Для неподвижной среды конвективные члены
Wi(dtldXi) равны нулю, вследствие чего получаем
следующее уравнение теплопроводности:
dt / дН d2t дЧ\
( + + ) A218>
где а = Х/рСр — температуропроводность, комплексный теплофизиче-
ский параметр вещества среды, представляющий собой отношение
способности тела проводить теплоту X к его теплоаккумулирующей
способности рср, Дж/(м3-К).
Уравнение энергии A2.16) представляет собой
дифференциальное уравнение в частных производных
относительно температуры. Интегрирование такого
уравнения, вообще говоря, позволяет найти неизвестную
функцию, т. е. t=t(x, уу г, т). Однако в этом случае все
коэффициенты уравнения должны быть заранее
заданными постоянными величинами или функциями. В данном
случае это означает, что должны быть заданы величины
р, ср и А,, а также функции wx=wx(x, у, z, т); wy=
271

= Wy(x, yt z, т) и wz=wz(xi у, z, т), являющиеся компо-
нентами вектора скорости w=w(x, у, z, r). Короче, для
использования уравнения энергии необходимо знать
поле скорости в движущейся среде; для нахождения
последнего уравнение энергии дополняется уравнениями
гидродинамики.
§ 38. Уравнения гидродинамики
Основными уравнениями гидродинамики являются
уравнение движения и уравнение неразрывности
(сплошности).
Дифференциальное уравнение движения выражает
собой основной закон динамики (второй закон
Ньютона) применительно к движущейся сплошной среде.
Идею вывода уравнения движения рассмотрим на
элементарном примере движения жидкости между двумя
параллельными плоскостями (рис. 12.2). Как и в
случае уравнения энергии, ограничимся случаем
несжимаемой жидкости (капельная жидкость или газ при
умеренной скорости движения).
Движущимся объектом является элементарный
параллелепипед постоянной массы (и постоянного
объема, поскольку жидкость несжимаема). Согласно
второму закону Ньютона, его ускорение, умноженное на
массу, равне векторной сумме действующих на него сил:
dw vi '¦**
где w — скорость движущегося элемента среды, w = w(x, у, z, т);
-+¦
aV — объем элемента, AV=aA#Af/Az; Fk — векторы сил,
действующих на элемент.
Векторному уравнению A2.19) соответствуют три
его проекции на координатные оси; например, для оси
Ох имеем:
Р^-ДК -]>>*,*.] A2.20)
Будем учитывать три вида сил: силы тяжести, силы
давления и силы внутреннего трения. Поскольку в рас
сматриваемом случае элемент движется вдоль оси Ох
272

и движение прямолинейно,
достаточно одной проекции
уравнения движения; для
нестационарного процесса
ускорение не равно нулю.
Сила тяжести,
действующая на жидкую частицу,
равна
A2.21)
где gx— проекция ускорения
свободного падения на ось Ох.
Рис. 12.2
Силы давления
действуют на все шесть граней
элементарного параллелепипеда, однако на четырех
гранях (по осям Оу и Oz) они попарно
уравновешиваются, так как действие давления распространяется
только в направлении движения. Слева на элемент
действует сила давления p(x)AyAz, справа —
р (х + Дл:) Ду Lz
\р (х) + gj Lx
Ly
результирующая сила равна
др
A2.22)
Силы внутреннего трения возникают в жидкости
только при ее движении: взаимодействие частиц
жидкости, находящихся в покое или движущихся рядом с
одной и той же скоростью, определяется одним лишь
давлением. Трение возникает только в неоднородном поле
скорости, при этом оно тем больше, чем больше эта
неоднородность. В данном случае элемент находится в
точке А (см. рис. 12.2)', сверху он испытывает
воздействие более быстрого элемента, а снизу — более
медленного, следовательно, на гранях, параллельных
координатной плоскости Охг, будут действовать касательные
напряжения внутреннего трения. Своим возникновением
они обязаны неоднородности поля скорости в
направлении оси Оу. В других направлениях неоднородность
поля скорости отсутствует (течение считаем
стабилизированным), поэтому указанные напряжения трения —
единственные: Сила трения, действующая на нижнюю
10 Зак. Б06
273

грань, равна гухАхкг, на верхнюю грань действует сила
трения
dzyx
результирующая сила трения равна
F,,x = -dJ-bybxaz. A2.23)
Выражения для отдельных сил A2.21) — A2.23)
подставим в правую часть уравнения A2.20):
dWv od діуХ
Р ~^f- AK - 9gx W--?bx Лу Lz + -^- hy bx az. A2.24)
Знак «минус» перед силой давления введен в
соответствии с определением давления в гидродинамике как
положительного скаляра, вызывающего сжатие
жидкости (но не растяжение). Если отбросить силы тяжести и
трения в уравнении A2.24), то видно, что
положительное ускорение может быть получено только в
направлении убывания давления; образно выражаясь, частицу
можно «толкать» с помощью давления, но нельзя «тя^
нуть».
Отбросив объем элементарного параллелепипеда в
уравнении A2.24), получим уравнение движения в
следующем виде:
о».«»
единица измерения каждого члена этого уравнения Н/м3.
Как указывалось выше, последнее слагаемое в
правой части уравнения A2.25) связано с полем скорости.
Связь эта подчиняется закону вязкости Ньютона,
согласно которому сила внутреннего трения между
частицами жидкости пропорциональна относительной скорости
этих частиц и обратно пропорциональна расстоянию
между их центрами:
Aw dw
где [і — динамическая вязкость, Па-с.
При увеличении температуры динамическая вязкость
капельных жидкостей уменьшается а динамическая
вязкость газов несколько возрастает.
274

Применительно к рассматриваемому процессу
движения связь касательного напряжения с полем скорости
устанавливается выражением:
Подставляя выражение A2.27) в уравнение A2.25),
получим:
111 м мі і in* 11-і 11 if м;кч'ы па ускорение p{dwxldr) можно
игрічич in п праную часть уравнения A2.28) и рассмат-
^пп.щ. как одну из сил. Эта сила, направленная в сто-^
рому, противоположную ускорению, в соответствии с
принципом Даламбера называется силой инерции. В
каждый момент времени силы, приложенные к
частице, могут быть уравновешены силой инерции. Таким
обра.»ом, на- члены уравнения движения могут быть отне-
сччіьі к какчорпи сил.
В общем случае трехмерного движения жидкости
проекция уравнения движения на ось Ох имеет вид:
A2.29)
Производная в левой части уравнения A2.29)
представляет собой проекцию ускорения индивидуальной
жидкой частицы на ось Ох и выражается
субстанциональной производной от проекции скорости wx по
времени:
dwx dwx dwx dwx dwx
й?і|А + ^| JL A2.30)
где физический смысл отдельных членов аналогичен
физическому смыслу полной производной для
температурного поля. В рассмотренном выше примере
нестационарного стабилизированного течения между
параллельными плоскостями в направлении оси Ох не равен нулю
лишь первый член — локальное ускорение.
Две другие проекции уравнения движения —для wy
и Wz — могут быть представлены аналогично уравнению
Ю* Зак. 508 275

A2.29). В векторной форме дифференциальное
уравнение движения имеет вид:
-*- ь ¦
dw -*• -¦•
Р -J7 = Р g — gtadp + w* w A2.31)
и представляет собой уравнение Навье — Стокса для
несжимаемой жидкости, подчиняющейся закону трения
Ньютона.
Уравнение неразрывности (сплошности) выражает
закон сохранения массы; при движении жидкость
сплошным образом заполняет пространство и во время
движения не происходит ни потери вещества, ни его
возникновения (исключая специальные случаи
источников или стоков массы внутри жидкости).
Рассмотрим движение жидкости сквозь проницаемые
грани элементарного параллелепипеда, неподвижно
закрепленного в пространстве и сохраняющего
неизменными размеры и форму. Вдоль оси Ох через грань
параллелепипеда в единицу времени внутрь его входит масса
pwxAyAz9 из противоположной грани уходит масса:
дх №*) Ах\ Ау Az*
разность этих величин даст результирующий приток
(или убыль) массы по оси Ох:
()AxAyAz. A2.32)
Следует отметить, что в случае сжимаемой жидкости
поле плотности неоднородно p=p(jc, у, 2, т), и,
следовательно, при определении притока массы по формуле
A2,32) необходимо учитывать переменность обеих
величин — р и wx:
<12-33)
Результирующие притоки массы по двум остальным
осям получаем, как для оси Ох:
oj (?wy) Ay Аг Ах; 57 №*)'№ Ах АУ- A2-34>
В результате притока (убыли) массы по трем
координатным осям в единицу времени масса в неподвиж-
276"

ном элементарном параллелепипеде будет увеличиваться
(убывать) со скоростью:
^К, ' A2.35)
где AV=Ax&yAz — не изменяющийся во времени объем
параллелепипеда.
Таким образом, для каждого момента времени
существует баланс между притоком массы в точку и
возрастанием плотности в этой точке:
до \ д д д г У.
-gL ДИ \jf (vwx) + 0j (ршу) + -fo(9*>z
ОтЛрнсмнаи объем элемента, получим:
\ Й- -[Й <*»*> + of <Ршу> + 1Ї7 (Р
где знак «минус» поставлен потому, что положительное
значение суммы производных в квадратных скобках
соответствует уменьшению плотности.
Представляя каждый член вида d(pWi)/dXi в виде
двух слагаемых, согласно выражению A2.33), можно
выделить субстанциональную производную плотности по
времени, характеризующую изменение во времени
плотности индивидуальной частицы (т. е. движущейся с
потоком частицы постоянной массы) в результате
изменения ее объема:
Используя выражение A2.37), получим следующее
уравнение неразрывности (сплошности) для сжимаемой
среды при нестационарном режиме:
wx dwy dwz \
где единица каждого члена кг/(м3-с).
Для несжимаемой жидкости, плотность которой
постоянна, имеем dp/dt=0, поэтому получаем для нее
следующее уравнение сплошности:
dwx dwy
Сумма членов вида dw/дхі называется
расхождением (дивергенцией) вектора скорости, обозначается

div w и имеет простой физический смысл, который
можно раскрыть, положив в уравнении A2.38) р=1/и. Тогда
*/т ~~ v2 di* р г/т i> dt
-* 1 oto
и &ivw=— —, A2.40)
т. е. дивергенция вектора скорости равна быстроте
относительного объемного расширения частицы жидкости.
Такая деформация для несжимаемой жидкости,
очевидно, равна нулю.
§ 39. Начальные и граничные условия.
Математическая формулировка задач теплообмена
В приведенных выше уравнениях имеется пять
неизвестных функций координат и времени: температура t,
три проекции вектора скорости wx, wy и wZj давление р.
Вообще говоря, дифференциальные уравнения имеют
бесконечное множество решений, формально этот факт
отражается в наличии произвольных постоянных
интегрирования. Для решения конкретной инженерной
задачи к уравнениям следует добавить некоторые
дополнительные условия, связанные с существом и
отличительными признаками этой задачи.
Поля искомых функций — температуры, скорости и
давления — находят в определенной области, для
которой должны быть заданы форма и размеры, и в
определенном интервале времени. Для выделения
единственного решения задачи из множества возможных
необходимо задать значения искомых функций: в начальный
момент времени во всей рассматриваемой области; в
любой момент времени на границах рассматриваемой
области.
Первые условия называются начальными условиями,
вторые — граничными. Начальные и граничные условия
позволяют вычислить значения произвольных
постоянных интегрирования и получить конкретные выражения
для искомых функций. Часто используется общее
название начальных и граничных условий — краевые
условия. Более полную информацию об отличительных
признаках конкретной задачи, включающую геометрические,
физические, начальные и граничные условия, принято
называть условиями однозначности.
278

Отыскание температурного поля является основной
задачей теории теплообмена, поэтому сформулируем
начальные и граничные условия для функции t(x, у,
г, т). Температурное поле рассматривается в области D,
которая ограничивается поверхностью S. Связь
температуры с координатами и временем представим в виде
і/и* M(jc, у, z)—точка, которая может находиться внутри области
I) или на ее границе S.
Тогда начальные условия можно сформулировать
следующим образом:
т=0: * = ММ, 0), М{х, у, г) ? D, A2.41)
где tH(M, 0) —заданная функция координат.
Граничные условия для температурного поля могут
быть I, II, и III рода:
граничные условия I рода — задана температура на
границе области D как функция координат и времени:
т>0: /-/Гр(Л1, т); М(х, у, г) ? S; A2.42)
грлпмчпые условия II рода — задана плотность
теплового потока:
т>0: ^(ш^п^о"*^'*)' M(x,y,2)?S; A2.43)
граничные условия III рода * — заданы коэффициент
теплоотдачи и температура среды вне рассматриваемой
области:
т>0: -Я (д?-)я=0 -об(/—/«); а = а(М,т);
M(xty,z)€S; A2.44)
в формулах A2.43) и A2.44) п — нормаль к
поверхности S в точке М.
Наиболее простой вид граничные условия имеют в
том случае, когда вместо заданных функций используют
постоянные величины:
граничные условия I рода:
т>0: f = frp = const; A2.42')
граничные условия II рода:
: т > 0: — X [j? ) Q «^гр = const; A2.43')
* Сформулированы для задач теплопроводности (см. гл. 13; 18).
279

граничные условия III рода:
т>0: -Я (^г)й=0 — «(*—/ж); ««const. A2.44')
В простейшем виде начальные условия имеют
следующую форму:
т=0: *=*„«const. A2.4Г)
Для стационарного температурного поля задают
только граничные условия.
Краевые условия для уравнений гидродинамики
разделяются на кинематические условия, налагаемые на
скорость, и динамические условия, налагаемые на силы;
к последним относятся касательные напряжения и дав-
ление (в общем случае — нормальные напряжения,
куда давление входит составной частью), при
необходимости могут учитываться силы поверхностного
натяжения. Поток жидкости может быть ограничен
поверхностями твердых тел (стенкой) или поверхностью
раздела фаз: пар — жидкость, газ — жидкость.
Основное кинематическое условие для вязкой
жидкости на непроницаемой твердой неподвижной стенке
состоит в следующем:
w = 0 или Wx=Wy=Wz=Q, A2.45)
т. е. все три проекции скорости обращаются в нуль. Это
положение называют условием прилипания, оно
подтверждается многочисленными экспериментами и широ
кой практикой. Условие прилипания не выполняется
лишь для разреженных газов, когда имеется
скольжение среды на стенке.
Остальные условия для уравнений гидродинамики
имеет смысл рассматривать в конкретных случаях. В
местах входа и выхода жидкости в область,
ограниченную твердыми поверхностями, могут быть заданы
профили скорости и давления.
В общем случае математическая формулировка
задачи теплообмена включает уравнение энергии,
уравнение движения и уравнение неразрывности с заданными
коэффициентами (физическими параметрами среды),
необходимые для отыскания пяти неизвестных функций:
?, wXy wv, wz, p, а также начальные и граничные условия
для области с заданной геометрической конфигурацией и
размерами. В качестве примера рассмотрим математи-
280

ческую формулировку задачи теплообмена для условий,
принятых при выводе уравнения движения:
1. Дифференциальные уравнения:
dt „ о.
dw
2. Геометрическая форма и размеры области, в
которой требуется найти температурное поле,
определяемые условиями ( см. рис. 12.2):
облапь /): ()sgjc=
огрлничииающие поверхности — верхняя и нижняя
стенки (поверхность Sc): y=dta; O^St^l; —oo^z^ +
I oo; входное сечение (поверхность SBX): #=0; —a^.
^y^+a\ —оо^г^+оо; выходное сечение
(поверхность 5вых): x=l; —at
3. Начальные условия:
х шш 0; /и — (УИ, 0) *¦-- /0 const; ^
р = рн (М, 0) = pQ == const ;
4. Граничные условия:
т > 0: tf =^го (^» т) = ^с ^ const;
w ¦•
= С;
(М, т) = /?0 - const;
т>0: t
т>;0:
В соответствии с представленной выше
формулировкой задачи процесс теплообмена рассматривается в слое
среды толщиной 2а и длиной /, третий размер равеИ
бесконечности. В начальный момент времени среда
находится в состоянии покоя при температуре ^о и давлс-
2Л

ний ро. В последующие моменты времени (т>0)
температура ограничивающих стенок принимает значение tc,
отличающееся от U, что является причиной
возникновения переноса теплоты. Одновременно во входном
сечении возникает переменное во времени давление,
превышающее давление на выходе, что является причиной
возникновения движения среды; распределение
(профиль) скорости во входном сечении равномерное. В
выходном сечении поддерживается постоянное давление,
равное начальному. На достаточно большом расстоянии
от входного сечения (/—*оо) при заданных условиях
установится нестационарное стабилизированное (т. е.
неизменное вдоль оси Ох) течение, для которого и был
получен частный вид уравнения движения в § 38.
Пример 12.1. Сравнить отдельные слагаемые в правой части
уравнения A2.3) первого закона термодинамики для потока.
Согласно выражению A2.3) подводимая путем теплообмена
теплота идет на увеличение энтальпии, кинетической энергии и
потенциальной энергии в поле сил тяжести; для контрольного объема
потока между сечениями 1 н 2 в расчете на единицу массы имеем
уравнение:
<7то = (h2—hx) +0,5 (о; V- w\) +g (z2—zx).
, Разделив все члены на Ah=h2—hu получим:
j^ 0,5(«g-«j) g (*,-*,)
Ah * l + AA + AA
V '
Оценку второго и третьего слагаемых в уравнении A2.46)
произведем применительно к течению воздуха при атмосферном
давлении в трубе неизменного поперечного сечения. Если входное и
выходное сечение расположены на различных отметках, расстояние
между которыми равно Az = z2-—Zi, то последний член в правой
части уравнения A2.46) равен
АЛ ^СрЬТ- IG3 AT ~lu A|7' {UA/)
где A/i = СрЛГ, Аг — в метрах, AT — в Кельвинах.
Видно, что потенциальная энергия потока при подводе теплоты
изменяется мало; обычно для совершения работы против сил тяжести
используют источник технической работы (например, вентилятор).
В выражении A2.47) принято: ?Р=103 Дж/(кг-К).
Оценим член, учитывающий изменение кинетической энергии
при подводе теплоты, возрастающей вместе со скоростью, которая
в рассматриваемом случае увеличивается из-за расширения воздуха.
Используем условие сохранения массового расхода
pwF = const,
где F = const — площадь поперечного сечения трубы, а также
уравнение Клапейрона p=pRT. В результате имеем:

Используя соотношение A2.48), получим следующее выражение
для члена, учитывающего изменение кинетической энергии:
тг^-- ^if-^Tf-1! A2-49)
Из выражения A2.49) видно, что изменение кинетической
энергии зависит от отношений давлений pi/p2 и температур 7V7V При
низких скоростях движения потока /?i//?2«l и им в соотношении
A2.49) можно пренебречь; при высоких скоростях отбрасывание
мелнчины р\1р2 приводит к заметной погрешности. Таким образом,
для низких скоростей потока получим
0,5 {w\—w\) w[ f Л|^
Д/г
или
0,5 (wt2— w'f
где Т^0,5(Ті+Т2)—средняя температура потока воздухз.
Ниже приведены результаты расчета величины 0,5 (ш22—і)/
по формуле A2.50); температура в начальном сечении принята
равной 7^=300 К:
Температура Т„ К . 400 600
0,5 (о>2 — w\) пРи скорости wu м/с:
10 3,8-Ю-4 5-Ю-4
165 0,106 0,136
Расчет показывает, что для высоких скоростей потока
возрастание кинетической энергии может быть значительным.
Пример 12.2. Оценить теплоту трения в потоке.
Произведем оценку применительно к стационарному
стабилизированному потоку среды между параллельными плоскостями
(среда — несжимаемая вязкая жидкость); движение потока происходит
в направлении оси Ох.
Теплота трения выделяется в результате работы сил
внутреннего трения в жидкости, однако в общем случае лишь часть
работы сил трения переходит в теплоту. Оставшаяся часть
затрачивается на изменение кинетической энергии потока и на возмещение
работы сил тяжести; эта часть работы сил трения связана с
движением жидкой частицы как твердого тела.
Если в рассматриваемом случае расположить ось Ох горизон-
->
тально, то работа сил тяжести будет равна нулю: вектор g норма-
283

лен вектору w Изменение кинетической энергии для
стабилизированного стационарного течения в направлении оси Ох также равно
нулю. Для большей ясности запишем уравнение движения в
проекции на ось Ох:
здесь ддо*/дт=0, так как поток стационарен; dwx/dx=0, так как
поток стабилизирован (профиль скорости wx вдоль оси Ох не
изменяется); проекции скорости Wy==wz=0, поэтому два последних
члена в левой части уравнения равны нулю. Следовательно,
ускорение dwxldx равно нулю, а вместе с ним и изменение
кинетической энергии
d ( ?и>1 \
літ/
также равно нулю.
В правой части уіраевения движения проекции вектора сил
тяжести равна нулю 0#*=О и, кроме того, обращаются в нуль два
члена в скобках: д2тх/дх2 и d2wx/dz2. Таким образом, уравнение
движения в проекции на ось Ох имеет вид:
dp d2wr
Две других проекции уравнения движения дают: др!ду=0\
др/дг=0, т. е. в любом поперечном сечении потока давление не
изменяется, оно уменьшается лишь в направлении движения.
Уравнение A2.51) можно записать следующим образом:
-др/дх+дхух/ду=0. A2.52)
Если умножить уравнение A2.52) на скорость wx, то его члены
будут выражать работу, совершаемую в единицу времени силами
давления и силами трения:
= 0. A2.53)
Каждое слагаемое в выражении A2.53) представляет собой
работу, связанную с перемещением жидкой частицы как твердого
тела и является частью полной работы соответствующих сил:
О2'54)
A2'55)
Второе слагаемое в правой части уравнения A2.54) равно нулю
для рассматриваемого потока; в общем случае оно выражает рабо-
284
д dp

ту сил давления по изменению объема индивидуальной частицы
и для несжимаемой жидкости равно нулю.
Второе слагаемое в правой части уравнения A2.55) как раз
и представляет собой интересующую нас величину: оно равно той
части работы сил трения, которая подвергается рассеянию
(диссипации), т. е. необратимому переходу в теплоту.
Особенностью рассматриваемого простого случая течения
является то, что обе части работы сил трения равны между собой;
в этом нетрудно убедиться, определив каждое из слагаемых в
правой части уравнения A2.55) для параболического профиля
скорости, который можно получить из уравнения A2.51), и вычислив
интеграл по толщине слоя (или полутолщине). Обе части работы
сил трения одинаковы по модулю и имеют противоположные знаки,
при этом энергия диссипации всегда положительна.
Таким образом, силы трения играют здесь двоякую роль: их
механическое лойггшю состоит в совершении работы против сил
дпплепня, п тоилонос действие — в выделении энергии диссипации.
Но урн пиемию A2.53) работа сил трения равна работе сил
давлении, л ряпепство членов в правой части выражения A2.55)
свидетельствует о том, что выделяется теплота трения, количественно
эквивалентная каждой из указанных работ. Следовательно, работа
сил давления эквивалентна здесь теплоте трения.
Стабилизированное стационарное течение в круглой трубе
аналогично рассматриваемому плоскопараллельному течению; следо-
иптрлыю, к для течения п трубе работа сил давления может
служить мерой пыдсляющейся теплоты трения. Из уравнения движения
A2.51) штдпо, что др/дх постоянно вдоль оси Ох, ибо д2тх1ду2
от х не зависит. Тогда работа сил давления в единице объема равна
dp rPi—pi pAjP ГІЇ«. .
' 1 !?х А Г/Г 7i*
и измеряется в Вт/м3. Работа сил давления для трубы с
внутренним диаметром d и длиной / равна:
~-wxldF = hp ^wxdF = bpV - Д/>—• A2.56)
F F
где V — объемный расход среды, м3/с; G— массовый расход, кг/с;
Fd*!4
!
Количество теплоты, подводимое через боковую поверхность
трубы к жидкости вследствие теплообмена с окружающей средой,
определится выражением:
Q = G(h2—ft,) =Gcp(t2—1{) =Gcp&tt A2.57)
где индексы 1 и 2 относятся к входному и выходному сечениям.
Очевидно, отношение N/Q будет характеризовать долю теплоты
трения; используя выражения A2.56) и A2.57), получим:
N/Q=?±plpcpbt. A2.58)
Для перепада давлений Ар можно записать формулу Дарси:
-1Г--Г' A2.59)
где g — коэффициент сопротивления трения; w — средняя
скорость жидкости в трубе, определяемая соотношением
285

Из выражения для теплового потока
Q = рте; — Ср Ы =
получим изменение температуры жидкости на единицу длины трубы
d. A2.60)
Подставив выражения A2.59) и A2.60) в уравнение A2.58),
получим окончательную формулу для оценки теплоты трения:
NIQ = (HS)(pw4q). A2.61)
Коэффициент сопротивления трения с учетом приближенности
проводимой оценки можно взять для изотермического течения:
при ламинарном режиме
g=64/Re, Re ^2300;
при турбулентном режиме
g=0,316/Re0-25, 104<Re<105;
здесь Re=wc?p/|n — число Рейнольдса.
Расчет по формуле A2.61) производится следующим образом.
По заданному числу Рейнольдса находят величину |; выбрав
определенную жидкость и определив ее плотность и динамическую
вязкость, для заданного диаметра трубы получают значение
скорости w. Имея скорость и диаметр, можно оценить плотность
теплового потока q.
Ниже приведены результаты расчета величины N/Q для вязкой
жидкости (вязкие нефтепродукты), воды и воздуха для
ламинарного и турбулентного потоков:
Re 2000 108
NIQ для:
вязкой жидкости .... 3*10—4 —
воды 3-10-8 1,3.1С-4
воздуха - 0,8-10~4 0,115
Видно, что доля теплоты трения в подводимой теплоте
значительна для высокоскоростных газовых потоков; эта доля может
оказаться существенной и для потока вязкой жидкости, если
увеличить число Рейнольдса.
Пример 12.3. Оценить величину приращения энтальпии в
результате изменения давления.
При изменении температуры и давления дифференциал
энтальпии равен
dh = cpdT+ (dh/др) Tdp.
Второе слагаемое в правой части учитывает изменение
энтальпии в результате изменения давления. Используя
дифференциальные уравнения термодинамики (см. § 9), можно показать, что оно
равно:
где ?=(du/dr)p/u — коэффициент объемного расширения (относи-
286

тельное изменение объема среды при нагреве ее на 1 К при
постоянном давлении).
Выражение A2.62), следовательно, можно переписать
следующим образом:
арГ)
Это выражение равно нулю для идеального газа, ибо
определенная по уравнению Клапейрона величина ?=l/7\
Для капельной жидкости влияние второго слагаемого на
изменение энтальпии можно оценить, составив отношение двух
слагаемых:
rf ь 1 — ? Т dp'
Видно, что отношение зависит от температуры и давления.
Температуру можно менять произвольно, а давление при этом должно
быть таким, чтобы сохранялось жидкое состояние среды, т. е.
должно выполняться условие р^рв, где рп — давление насыщения.
Следовательно, производную dp/dT в формуле A2.63) можно брать по
кривой насыщения; по формуле Клапейрона — Клаузиуса имеем
dpBldT=rlTv"t A2.64)
где г — удельная теплота фазового перехода жидкость — пар;
удельным объемом жидкой фазы пренебрегаем, v' = 0; v" — удельный
объем сухого насыщенного пара.
При относительно низких давлениях для пара можно
использовать уравнение Клапейрона:
v"=RTIpB. A2.65)
Подставляя уравнения A2.64) и A2.65) в уравнение A2.63),
получим окончательно:
dh л , (\ — ЮРк г /1О есч
cpdT =l+ T*
Рассчитаем второе слагаемое в формуле A2.66) для
температуры 200 °С, средой является вода. Имеем следующий результат:
(\—ЮРн г A — 13,3» 10-4-473). 15,55-105-1940,7-10»
Т2 ' /?рср = D73L8314/18).863-4,51 • 10«
= 4,11 - 1С—3.
Эта величина существенно меньше единицы, поэтому влияние
давления на энтальпию капельной жидкости можно считать
несущественным.
287

ГЛАВА 13. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
§ 40. Теплопроводность в плоской стенке
(граничные условия I рода)
Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной
б (рис. 13.1). На наружных поверхностях стенки
поддерживаются постоянные во времени и вдоль
поверхности температуры tci и tC2. Теплопроводность материала
стенки постоянна и равна Я.
При стационарном режиме dt/dx=Oy кроме того,
температура изменяется только в направлении,
перпендикулярном плоскости стенки (ось Ох): d2t/dy2=d2t/dz2=0.
Поэтому уравнение теплопроводности A2.18) имеет вид
d2t/dx2=Q. A3.1)
Интегрируя уравнение A3.1), находим
дЦдх^Сь A3.2)
После второго интегрирования получаем
t=Cxx+C2. A3.3)
Постоянные Сі и С2 в уравнении A3.3) определим
из граничных условий I рода:
при х=0: t=tc\ и C2=tc\;
при *=o: t=tc2 и Ci=—(fei—*c2)/o.
Подставляя значения Сі и С2 в уравнение A3.3),
получим уравнение распределения температуры по
толщине стенки:
A3.4)
Определим плотность теплового потока через
плоскую стенку. В соответствии с законом Фурье с учетом
равенства A3.2) можно написать
Следовательно,
—tc2). A3.5)
Разность значений температуры в уравнении A3.5)
называется температурным напором. Из этого уравнения
видно, что плотность теплового потока q изменяется
прямо пропорционально теплопроводности X и
температурному напору At и обратно пропорционально
толщине стенки б.
288

Л;
Рис. 13.1
Рис. 13.2
Отношение k/o называется тепловой проводимостью
стенки, а обратная ему величина о/К — термическим
сопротивлением стенки. Зная плотность теплового потока,
легко вычислить общее количество теплоты, которое
передается через поверхность стенки площадью F за
промежуток времени т:
<Э=:^Т= (tyO) (tci—tC2)FT. A3.6)
Поскольку величина К зависит от температуры, в
уравнения A3.5) и A3.6) следует подставлять
теплопроводность, взятую при средней температуре стенки.
Рассмотрим процесс теплопроводности многослойной
плоской стенки, состоящей из трех однородных слоев
(рис. 13.2). Теплопроводность каждого слоя равна
соответственно К\, ^2, ^з, толщина слоев — 6ь ог, 63.
Принимаем, что контакт между слоями совершенный и
температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев
одинакова. При стационарном режиме количество
подведенной и отведенной от стенки теплоты должно быть
одинаково. Отсюда вытекает равенство тепловых
потоков, проходящих через каждый слой стенки. На
основании выражения A3.5) запишем для каждого слоя:
A3.7)
289

Из этих уравнений определяем температурные напоры:
A3.8)
Складывая левые и правые части, находим
^с1-^с4=9F1А1+б2А2+бзАз).
Отсюда плотность теплового потока
A3.9)
Для многослойной стенки, состоящей из п слоев,
можно написать:
1-п
S-17. A3Л0)
где і — номер слоя.
Зная величину qt с помощью равенства A3.8)
можно вычислить температуры tc\y ta, ..., tQni после чего
построить-графики их изменения в слоях.
Из рис. 13.2 видно, что распределение температур
внутри многослойной стенки представляет собой ломаную
линию, наклон отрезков которой различен. Это
объясняется тем, что для всех слоев q=—к (dt/dx) = const.
Поэтому слои с меньшей теплопроводностью имеют
больший температурный градиент и, следовательно,
больший наклон температурной линии.
Если теплопроводность не является постоянной
величиной, а зависит от температуры, то можно сделать
качественное заключение о распределении температуры в
плоской стенке. Разобьем стенку на большое число
слоев толщиной dx так, чтобы в пределах каждого слоя
теплопроводность можно было считать постоянной (см.
рис. 13.1). Тогда для материалов, у которых с
возрастанием температуры теплопроводность Я увеличивается
(теплоизоляционные материалы), абсолютная величина
dt/dx при 9=cohst будет больше в тех слоях, где
температура ниже. Поэтому с увеличением температуры
температурная линия 1 отвечает увеличению Я, а линия
2 — уменьшению К (такую зависимость к от t имеет
большинство металлов).
Для сравнения теплопроводящих свойств
многослойной плоской стенки со свойствами однородных материа-
290

лов вводят понятие эквивалентной теплопроводности.
Это — теплопроводность однослойной стенки, толщина
которой равна толщине рассматриваемой многослойной
стенки, т. е. 2 O* ПРИ условии, что разности темпера-
t=\
тур на поверхностях однослойной и многослойной
стенок и тепловые потоки одинаковы. Эквивалентная
теплопроводность определяется из следующего выражения:
/= п t=n
/
*-('С1-'с<1.+1>)/ 2 -^-^.('cr-wi,)/ 2
1 11
1=1 1=1
Отсюда имеем:
ТІ7
**/ 2 ТІ7- A3Л2)
*= 1 /= 1
Из уравнения A3.12) видно, что эквивалентная
теплопроводность зависит не только от термических
сопротивлений отдельных слоев, но и от толщины этих слоев.
При расчете плотности теплового потока в
многослойной стенке принималось условие идеального
теплового контакта между отдельными слоями. Термическое
сопротивление, которое возникает вследствие
недостаточной плотности между поверхностями твердых
материалов, называется контактным термическим
сопротивлением.
Контактное термическое сопротивление зависит от
шероховатости поверхностей, давления, прижимающего
две поверхности одна к другой, и свойств среды в зазот
pax с учетом температуры в зоне контакта. Механизм
передачи теплоты в зоне контакта довольно сложен.
В местах непосредственного контакта твердых
поверхностей теплота переносится путем теплопроводности, а в
зазорах, заполненных газом или жидкостью, — путем
конвекции и излучения. Если пренебречь излучением
между поверхностями, разделенными газовой
прослойкой, то термическое сопротивление в зоне контакта
равно сумме термических сопротивлений фактического
контакта /?ф и газовой прослойки Rr: #к=Іїф-{-Іїг.
Во многих задачах не учитывается термическое
сопротивление на поверхности раздела, хотя оно всегда
возникает прич механическом соединении твердых тел.
291

Поэтому следует иметь в виду существование этого
сопротивления и соответствующего ему скачка температур
в зоне контакта, который для сильно шероховатых
поверхностей и при небольших сжимающих усилиях может
быть значительным. Проблема контактного термического
сопротивления достаточно сложна, и пока нет единой
теории или экспериментальных данных, которые позволили
бы достаточно точно рассчитать это сопротивление в
инженерных задачах.
•- ----- ?
§41. Теплопроводность в цилиндрической
стенке (граничные условия I рода)
Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности
через однородную цилиндрическую стенку (трубу)
длиной I с внутренним радиусом г\ и наружным г2 (рис.
13.3). Теплопроводность материала стенки Я — величина
постоянная. На поверхности стенки заданы постоянные
температуры /сі и tz%
В случае A^>г) изотермические поверхности будут
цилиндрическими, а температурное поле одномерным,
т. е. t=f(r), где г — текущая координата
цилиндрической системы, гі^г^Г2. Тогда уравнение
теплопроводности A2.18), которое для плоской стенки имело вид
A3.1), для цилиндрической стенки (т. е. при переходе
к цилиндрической системе координат) примет
следующую форму:
Введение новой переменной u=dt/dr позволяет
привести уравнение A3.13) к виду
du/dr+u/r^O.
После разделения переменных и интегрирования
получим
In u+\nr=\n Сх.
Потенциируя это выражение и переходя к
первоначальным переменным, имеем:
dt=Cl(dr/r). A3.14)
После интегрирования получим:
f=Ci In r+C2. A3.15)
292

a)
Л, Л2 Л3
Рис. 13.3
Граничные условия I рода записываются
равенствами:
при r=rx: t=tc\\
при r=r2: t=tc2.
Подставляя эти выражения в равенство A3.15),
имеем:
C2=tc!— (tci—tc2) (In
Подставляя значения С\ и С2 в уравнение A3.15),
получим
или
где di и d2 — внутренний и наружный диаметры цилиндра; d —
переменный диаметр, di^d^d2.
Выражение A3.16) представляет собой уравнение
логарифмической кривой. Следовательно, внутри
однородной цилиндрической стенки при постоянном
значении теплопроводности температура изменяется по лога-
рифмическомузакону (рис. 13.3,а).
293

Для нахождения количества теплоты, проходящего
через цилиндрическую поверхность площадью F в
единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье:
dQ=—X (dt/dr) F=—X (dt/dr) 2nd.
Подставляя в уравнение закона Фурье значение
градиента температуры согласно уравнению A3.14),
получим
Из выражения A3.17) видно, что величина Q
зависит не от толщины стенки, а от отношения ее
наружного диаметра к внутреннему.
Если отнести тепловой поток к единице длины
цилиндрической стенки, то уравнение A3.17) можно записать
в виде
О «(*«—*сО
Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы,
измеряется в Вт/м и называется линейной плотностью
теплового потока. Величина A/2Х,) In (d2ld\) есть
термическое сопротивление теплопроводности
цилиндрической стенки.
Тепловой поток Q может быть отнесен к единице
внутренней или внешней поверхности трубы. При этом
расчетные формулы принимают вид:
; A3.19)
^ A3.20)
Величины qa\ и 9d2, Вт/м2, представляют собой
плотности теплового потока, отнесенные к площади
внутренней или внешней поверхности трубы.
Из выражений A3.18) — A3.20) можно установить
связь между величинами qu qa\ и q^
ql-^dxqdx^nd,qdti. A3.21)
Если d2/di<2, то кривизна стенки слабо влияет на
величину теплового потока. В этом случае (с точностью
до 4 %) при определении теплового потока можно
воспользоваться выражением для плоской стенки
ГДЄ С?ср — СреДНИЙ ДИамеТр ЦИЛИНДрИЧеСКОЙ СТеНКИ. С?ср==
=05№+rf)
294

В случае многослойной цилиндрической стенки
(рис. 13.3,6) линейная плотность теплового потока qt
одинакова для каждого слоя. Воспользовавшись
методом решения задачи теплопроводности через плоскую
многослойную стенку, находим
('сі *с(л+1))
Ь 2Х 1П
Величина A/2Яі) lndi+i/rfi представляет собой
термическое сопротивление теплопроводности отдельного
п
слоя, л величина ^ (l/2X«)lnd<+i/d< — полное термиче-
1
ское сопротивление теплопроводности многослойной
цилиндрической стенки. Температура на границе двух лю-
вых слоев равна:
-*c,- 4r(S кln
dt
і
)-
§ 42. Теплопроводность в шаровой стенке
(граничные условия I рода)
Пусть имеется шар с радиусами внутренней и
внешней поверхностей г\ и г2 (рис. 13.4), постоянной
теплопроводностью и с заданными равномерно
распределенными температурами поверхностей ?ci и tC2. При этих
условиях температура зависит только от радиуса г. По
закону Фурье тепловой поток сквозь шаровую стенку
равен:
Разделив переменные, получим
— (Q/4JTA.) (dr/r*) =dt. A3.24)
Интегрирование уравнения A3.24) дает следующее
распределение температуры в шаровом слое
t = Q/4n%r+C. A3.25)
Граничные условия:
при r = n: t = tn;\ }
при г - г,: t = fcl. J
295

При подстановке условий
A3.26) в уравнение A3.25)
имеем:
С; A3.27)
C. A3.28)
Вычитая из выражения
A3.27) выражение A3.28),
получим:
и, следовательно,
l/rf.—l/rf,
X
A3.29)
где б — толщина стенки, равная
(djr-di)/2.
Уравнения A3.29)
являются расчетными
формулами теплопроводности
шаровой стенки.
Решение уравнений A3.
27) и A3.28) относительно
величины С дает
r,). A3.30)
Рис. 13.4
Подставив выражение A3.30) в уравнение A3.25),
после преобразования получим выражение для
распределения температуры
^—^01—(/сі—^о2)A/Гі—1/Г)/A/Г!—1/Г2). A3.31)
Из уравнения A3.31) следует, что при постоянной
теплопроводности К температура в шаровой стенке
изменяется по закону гиперболы.
§ 43. Теплопроводность тел
с внутренними источниками теплоты
В рассмотренных ранее случаях внутренние источники теплоты
отсутствовали. Однако иногда в объектах исследования могут
протекать процессы, в результате которых будет выделяться или погло-
295

щаться теплота. Рассмотрим
температурное поле в телах
простейшей формы при объемном
тепловыделении, т. е. когда
внутренние источники теплоты
равномерно распределены по всему объему.
Пусть неограниченная
пластина толщиной 26 имеет мощность
внутренних источников теплоты
qv = const и теплопроводность X.
Температуры на поверхностях
пластины tc одинаковы (рис. 13.5).
Для стационарного режима
одномерное уравнение
теплопроводности ПрИ УСЛОВИИ С]г,фО ИМС-
ет вид:
и второе
интегрирование этого уравнения дают:
dt/dx=—qvx/'k+Cl; A3.32) Рис. 13.5
t=—qvX2/2%+ C{x+C2. A3.33)
Если начало координат разместить на оси симметрии пластины,
то в силу одинаковости температуры tc с обеих сторон
температурное поле будет иметь максимум при х=0 и, следовательно, dt/dx —
= 0. Из формулы A3.32) видно, что при этом Сі=0.
Так как при *=±б имеем t=tc, то из выражения A3.33)
получаем
При подстановке значения С2 в уравнение A3.33) имеем
следующее выражение, определяющее температурное поле пластины с
объемным тепловыделением:
A3.34)
Это температурное поле изображено на рис. 13.5.
Максимальная температура в центре стенки может быть
подсчитана по формуле
*тах = /с+^б2/2Х, О3-25)
которая получается из уравнения A3.34) при *=0.
Тепловой поток на наружных поверхностях стенки определяется
величиной qv: q=qv&.
Рассмотрим круглый сплошной цилиндр, радиус г0 которого
мал по сравнению с длиной и температура изменяется только вдоль
радиуса. Мощность внутренних источников теплоты qv и
теплопроводность материала Я заданы.
Через изотермическую поверхность с радиусом г, согласно
закону Фурье, пройдет тепловой поток с линейной плотностью:
A3.36)
Величина qi определяется мощностью внутренних источников
теплоты:
A3.37)
297

Подставив выражение A3.37) в уравнение A3.36) и разделив
переменные, получим
dt=—(qv/2X)rdr. A3.38)
Проинтегрировав равенство A3.38), имеем
t=—qvr*/4k+C. A3.39)
При r=r0 t=tc и из выражения A3.39) находим:
C=tc+qvr2ol^ A3.40)
Подставляя выражение A3.40) в уравнение A3.39), получаем
A3.41)
Выражение A3.41) описывает температурное поле в цилиндре.
На оси цилиндра при г=0, как видно из равенства A3.41),
температура максимальна:
§ 44. Теплопередача через плоскую стенку
(граничные условия III рода)
Передача теплоты от одной подвижной среды
(жидкости или газа) к другой через разделяющую их
твердую стенку любой формы называется теплопередачей.
Особенности протекания процесса на границах стенки
при теплопередаче характеризуются граничными
условиями III рода, которые задаются значениями
температуры жидкости с одной и другой стороны стенки, а
также соответствующими значениями коэффициентов
теплоотдачи (см. § 39, 48).
Рассмотрим стационарный процесс теплопередачи
через бесконечную однородную плоскую стенку
толщиной б (рис. 13.6). Задана теплопроводность стенки Я,
температуры окружающей среды іж{ и /ж2,
коэффициенты теплоотдачи ел и аг. Необходимо найти тепловой
поток от горячей жидкости к холодной и температуры на
поверхностях стенки tc\ и tC2. Плотность теплового
потока от горячей среды к стенке определится уравнением:
д=а\(іжі—tc\). Этот же тепловой поток передается
путем теплопроводности через твердую стенку: <7=М^сі—
—?с2)/6 и от второй поверхности стенки к холодной
среде: 9=а2(^с2—^жг).
Перепишем приведенные уравнения в виде:
*жг-*сі = <7/аі; fei—*с2=<7бД; tc2—t7K2=qlh- A3.42)
Складывая их почленно, получаем

Отсюда
где
A3.43)
K l/at + a/A,+ l/a,"
A3.44)
Величина k называется
коэффициентом
теплопередачи, числовое значение k
выражает количество
теплоты, проходящей через
единицу поверхности стенки в
единицу времени при
разности температур между
горячей и холодной средой
1 К и имеет ту же единицу
измерения, что и коэффициент теплоотдачи, Дж/(с-м2К)
или Вт/(м2-К).
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи,
называется термическим сопротивлением теплопередаче:
Рис. 13.6
— термические
со— термическое
сопроЕдиница измерения термического сопротивления
(м2.К)/Вт.
Величины /?ж1 = 1/аі и /?ж2
противления теплоотдаче, /?с =
тивление теплопроводности.
Значения температуры на поверхностях стенки
определяются из уравнений іс\ = іж\—qja\\ ?с2 = ^ж2+9/сс2-
В случае передачи теплоты через многослойную
стенку
Отсюда
A3.45)
299

Плотность теплового потока через многослойную
плоскую стенку, состоящую из п слоев, равна:
A3.46)
Выражение A3.46) для многослойной стенки подоб-,
но выражению A3.43) для однослойной плоской
стенки. Различие заключается в коэффициентах k, которые
отличаются термическими сопротивлениями теплопровод-
п
ности 6Д И2тг •
Тепловой поток Q, Вт, проходящий через плоскую
стенку с площадью поверхности F, равен:
Пользуясь равенствами A3.42), можно показать, что
Mi/At =A/(цI (l/k); A/c/A/
/ = A /eta) / A/A),
где А^=/Ж1—^ж2 — полный температурный напор:
Д^ = /ж1—fei; Atc=tci—tc2\ A^2=A^c2—^н<2 — частичные
температурные напоры.
Таким образом, отношение каждого из частичных
температурных напоров Д^, Д?с, At2 к полному напору
равно отношению соответствующего термического
сопротивления к полному термическому сопротивлению.
Из сопоставления выражений A3.10) и A3.46)
следует, что передача теплоты через многослойную стенку
при граничных условиях I рода является частным
случаем передачи теплоты при граничных условиях III рода.
Из изложенного выше видно, что температура на
границе любых двух слоев (k и &+1-го) при граничных
условиях III рода может быть определена по
уравнению
їт) :A3'47)
Наряду с выражением A3.47) для расчета
граничных температур применяются и графические методы.
Рассмотрим графический метод определения температур
на поверхности стенки. Пусть температуры наружных
300

поверхностей условной
стенки соответственно равны
*жі и tm2y тогда толщина
условной стенки А
определится из выражения: q—
(t (t
tm)/A, откуда
A3.48)
Величина Яси и Я/а2,
измеряемые в метрах,
определяют эквивалентные тол- Рис. 13.7
щины.
При графическом построении в определенном
масштаби изображается реальная стенка толщиной б.
Затем в том же масштабе по одну сторону стенки
откладывают значения К/аи а но другую — значения Х/аг (рис.
13.7). Из крайних точек А и В по вертикали вверх в
масштабе откладывают температуры жидкостей ?жі и гж2.
Полученные таким образом точки С и D соединяют
прямой линией. Точки пересечения этой прямой с
поверхностями действительной стенки дают значения искомых
температур поверхностей стенок tc\ и tc2.
Действительно, из подобия треугольников CFK и
CND имеем CF/CN=FK/ND или C77A*==(Vai)/(tyai+
+o+Vct2). Отсюда
Согласно выражению A3.42) д/аі = *жі—tcU
следовательно, CF=At\. Таким образом, FA=AC—FC=
= ^жі—Ati = tc\. Таким же путем можно показать, что
§ 45. Теплопередача через цилиндрическую
и шаровую стенки
(граничные условия III рода)
Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку
большой длины с внутренним диаметром du наружным
d2 и постоянной теплопроводностью (рис. 13.8,а).
Заданы значения температуры горячей ?жі и холодной іж2
среды и коэффициенты теплоотдачи ai и аг. Для
стационарного режима можно записать:
A3.49)
301

Рис. 13.8
Решая полученные уравнения относительно разности
температур, а затем складывая их, получим
где
Величина ki называется линейным коэффициентом
теплопередачи; он характеризует интенсивность
передачи теплоты от одной жидкости к другой через
разделяющую их стенку. Величина h численно равна количеству
теплоты, которое проходит от одной среды к другой
через стенку трубы длиной 1 м в единицу времени при
разности температур между ними 1 К; единица
измерения ki — Вт/(м-К).
Величина, обратная линейному коэффициенту
теплопередачи, называется линейным термическим
сопротивлением теплопередаче:
о+R
ж 2\
A3.50)
измеряется в (м-К)/Вт.
302

Линейное термическое сопротивление теплопередаче
складывается из линейных сопротивлений теплоотдаче
/?жі и #ж2 и линейного термического сопротивления
теплопроводности /?с. В случае многослойной
цилиндрической стенки
п v Li di+l
тогда
A3.51)
Линейное термическое сопротивление теплопередаче
через многослойную цилиндрическую стенку равно
л, J L,yiln^± і rl3S2v
l\l = Hl^ — ~3 ~T~ /і 00, 1П "j -J- ~ ~» . ^ id'OZ)
1
Зная плотность теплового потока qi, с помощью
равенств A3.49) определяют температуру стенок
цилиндрических поверхностей: ?с1 = ?ж1—qilna\dx\ *с2=?ж2+
В случае многослойной цилиндрической стенки
температуру tc, fc+i на границе между слоями к и (&+1)
определяют, из уравнения
t t ї±(
Для уменьшения тепловых потерь в окружающую
среду поверхность нагретого тела покрывают тепловой
изоляцией. Если увеличить толщину тепловой изоляции,
покрывающей плоскую стенку, то термическое
сопротивление возрастет, как это видно из выражения A3.45).
Иначе обстоит дело в случае, если тепловой изоляцией
покрывается труба. Ограничимся рассмотрением случая,
когда труба покрыта однослойной тепловой изоляцией
с наружным диаметром rf3 (рис. 13.8,6). Считая
заданными И ПОСТОЯННЫМИ КОЭффИЦИеНТЫ ТеПЛООТДаЧИ (Xi И (Х2,
температуры обеих жидкостей /жі и ?Ж2,
теплопроводности трубы Х\ и изоляции Я,2, рассмотрим, как будет из-
303

меняться полное термическое сопротивление Ri при
изменении диаметра изоляции d3.
Согласно уравнению A3.52), выражение для
линейного термического сопротивления теплопередаче через
двухслойную цилиндрическую стенку имеет вид:
\nd2/dl+(\l2X2) \nd3ld2+\/a2ds. A3.53)
При возрастании диаметра изоляции член
A/2Яг) In (ds/d2) будет возрастать, а член l/a2d3 —
уменьшаться. Иными словами, увеличение диаметра d3
влечет за собой увеличение термического сопротивления
теплопроводности изоляции и уменьшение термического
сопротивления теплоотдаче на ее наружной
поверхности. Последнее обусловлено увеличением площади
поверхности изоляции вследствие возрастания d3. Чтобы
выяснить, как будет изменяться величина Ri при
увеличении толщины изоляции, исследуем Ri как функцию d3
на экстремум. С этой целью возьмем производную от
Ri по ds и приравняем ее нулю: #'z=l/2A,2d3—1/а2С?2з=0.
Отсюда следует:
d*3=2X2/a2. A3.54)
Диаметр d*s из выражения A3.54), который
соответствует экстремальному значению Ri, называется
критическим диаметром и обозначается dKV. Величина dKVy
как видно из равенства A3.54), не зависит от значений
аь du di, h\ и определяется только значениями а2 и Я2.
Критический диаметр dKV служит показателем
пригодности материала к использованию его в качестве
тепловой изоляции для трубы с заданным наружным
диаметром d2 при заданном коэффициенте теплоотдачи а2.
Выбрав теплоизоляционный материал с
коэффициентом теплопроводности %2, следует по формуле A3.54)
вычислить dKp. Если dKV больше наружного диаметра
трубы d2, то применение выбранного материала в
качестве тепловой изоляции нецелесообразно.
Действительно, при увеличении толщины изоляции в области d2<
*<с?з<^кр будет наблюдаться увеличение тепловых
потерь qi (рис. 13.9), а затем при d3>dKP — их
уменьшение. И только при dz=d's>dKp тепловые
потери трубы, покрытой слоем изоляции, будут равными
тепловым потерям неизолированной трубы. Таким
образом, если dKV>d2y то во всей области d2<d3<rf/3
тепловые потери неизолированной трубы будут больше
тепловых потерь изолированной трубы. Следовательно,
304

слой тепловой изоляции
толщиной 0,5 (d'3—d2) не
оправдывает своего назначения.
Очевидно, целесообразно вьь
брать материал с меньшим
коэффициентом теплопро-
ИОДПОСТП А2 С ТЄМ, ЧТОбы
111 > 11 ладанных а2 и d2
величина (/кр была меньше или
раина A>2. В этом случае при-
мгиспиг п.юляцпи .любом
I (МИНИНЫ пГн'ЩГЧИТ УМ(Ч11.
ІЦГІІІН1 І ГІІ.'ІОШ.І \ ІІОІГрІ..
І 11»11111111111 .і р.ичсі .і теп-
./юіи'ргд.ічп чсрс\ч шаровую
стічіку ті» жі\ что и через
цилиндрическую. Пусть выу-
треіміпи диаметр шара ра-
1*141 (І\% ПІІСМІІ ІІІіГі - - A>, ТЄІІ./Ю
мрпнодносм. X, ісмисратура горячей жидкости внутри
111; 11 >.-1 ./ж і, іі'Мік'ратура холодной жидкости снаружи
шара tл,ъ коэффициенты теплоотдачи ai и п2.
При стационарном режиме количество теплоты,
переданное от горячей жидкости к холодной, равно: Q =
autdf (tm-tci); Q = 2nX(tcl-tc2)l(mi-lld2); Q =
Из этих уравнений получаем:
l/a, dl
A3.55)
Следовательно, коэффициент теплопередачи для
шаровой стенки определяется следующим соотношением:
ш l/a.d? + A/2Я) (l/d, — l/d,) + l/a, rf|
и измеряется в Вт/К.
Обратная величина l/km=Rm называется
термическим сопротивлением теплопередаче шаровой стенки:
и измеряется в К/Вт.
11 Зак. 508
305

§ 46. Теплопередача через
оребренную стенку
При теплопередаче через плоскую стенку
термические сопротивления теплоотдаче определяются только
значениями сы и а2 и равны l/щ и l/ct2. Иначе обстоит
дело в случае цилиндрической стенки. Термические
сопротивления \/a\di и 1/аг^2 здесь определяются
значениями не только ссі и аг, но и диаметрами й\ и d2. При
теплопередаче через шаровую стенку влияние
диаметров сказывается еще сильнее, здесь термические
сопротивления теплоотдаче соответственно равны \\а\й2\ и
1/сс2^22. Из этого следует, что если один из
коэффициентов теплоотдачи а мал, то термическое сопротивление
теплоотдаче может быть уменьшено путем увеличения
диаметра; на этом же принципе основано применение
оребренных поверхностей нагрева.
Рассмотрим оребренную стенку с толщиной б и
теплопроводностью І (рис. 13.10). С гладкой стороны
площадь поверхности равна F\, а с оребренной — F2 (она
состоит из площади поверхностей ребер и самой
стенки). Заданы постоянные во времени температуры ?жі и
^ж2, а также коэффициенты теплоотдачи cti и а2.
Обозначим температуру гладкой поверхности tc\.
Предположим, что температура поверхностей ребер и
самой стенки одинакова и равна tc2. Такое
предположение, вообще говоря, не соответствует действительности,
но упрощает расчеты и им часто пользуются.
При ?ж1>^к2 для теплового потока Q можно
написать следующие выражения:
Определим отсюда частные температурные напоры
*жі—*ci = Q/aiFi; tci—tc2=Qb /Wv, tC2—*m2 = Q/a2F2.
A3.56)
Складывая уравнения системы A3.56), получим
полный температурный напор:
Из этого равенства имеем:
где ?p — коэффициент теплопередачи оребренной стенки, равный
306

При расчете плотности
теплового потока на единицу неоребренной
поверхности стенки получим
at
Чх - О/Л- і/
= M*. A3.57)
где ki — коэффициент теплопередачи,
отнесенный к неоребренной поверхности
стенки.
Отношение площади оребренной
поверхности к площади гладкой
поверхности F2/F\ называется
коэффициентом оребрения.
Выражение A3.57) показывает,
что применение ребер
целесообразно, когда коэффициент а2
значительно меньше коэффициента сц.
В этом случае при повышении
коэффициента оребрения F2/Fi
увеличивается коэффициент теплопередачи k\, а следовательно,
и тепловой поток Q = k\MF\.
Необходимость установки ребер со стороны малого
коэффициента теплоотдачи особенно ясна в случае
б/Я^О; при этом
Рис. 13.10
1/а,+ 1/а, ~ 1+06,/а,
Если сы/агА'ЮО (примерное соотношение для
некоторых отопительных приборов), то &А?а2/1,0ІА(Х2.
Используя оребрение, имеем аг (F2IF\) вместо аг [см.
формулу A3.57)] и, следовательно, k^a2(F2/Fi).
Ребристые поверхности нашли широкое применение
в отопительной технике в виде ребристых труб,
радиаторов и конвекторов. Водяные экономайзеры некоторых
котлоатрегатов выполняются в виде ребристых труб с
плоскими или игольчатыми ребрами, расположенными со
стороны продуктов сгорания. Во всех перечисленных
примерах ребристые поверхности расположены на стороне
теплообменной поверхности с газовым теплоносителем,
где коэффициент теплоотдачи меньше. В тех случаях,
когда требуется уменьшить размеры теплообменника, а
значения <zi и ct2 малы, оребрение производится с обеих
сторон.
И* Зак. 508
307

§ 47. Теплопроводность в ребрах
постоянного поперечного сечения
Теплопередача через оребренную стенку
рассматривалась при условии постоянства температуры tC2 на
поверхности ребер. Однако если ребро отдает теплоту, то
температура его поверхности убывает по направлению
от основания ребра к его вершине. Если ребро
воспринимает теплоту от среды, то температура ребра
убывает по направлению от его вершины к основанию. В
обоих случаях количество теплоты неодинаково для
различных участков ребра: оно будет больше там, где
разность между температурой ребра и окружающей среды
выше. Следовательно, тепловой поток ребра в целом
зависит от распределения температуры вдоль ребра.
Эффективность ребра оценивают коэффициентом т]р=
= Q/Qmax, где Q — тепловой поток реального ребра;
Qmax — тепловой поток идеального ребра, вдоль
которого температура постоянна и равна температуре
основания. Интервал возможного изменения коэффициента:
0?1
Рассмотрим процесс распространения теплоты в
стержне с произвольным, но неизменным вдоль оси
профилем поперечного сечения, площадь которого равна /,
а периметр и. Стержень находится в среде с
постоянной температурой, которую для удобства дальнейших
выкладок будем считать равной нулю, т. е. будем иметь
дело с избыточной температурой b=t—tm.
На одном конце стержня поддерживается постоянная
температура Фі (рис. 13.11,а). Теплопроводность
стержня будем предполагать достаточно большой, а
поперечные размеры малыми по сравнению с его длиной. При
этих условиях температуру можно считать
распределенной равномерно в любом поперечном сечении стержня.
Следовательно, Ф изменяется только в направлении
координаты х вдоль оси стержня. Коэффициент
теплоотдачи от поверхности стержня к окружающей среде
постоянен для всей поверхности.
Выделим элемент стержня длиной dx,
расположенный между двумя поперечными сечениями, которые
находятся на расстояниях х и x+dx от начала координат.
Уравнение теплового баланса для рассматриваемого
элемента можно записать в виде:
Qx=Qx+dx+dQt A3.58)
где Qx — тепловой поток^через левую грань элемента; Qx+dx — теп-
308

t
*
1 X
; 0
X
1
dx
Рис. 13.11
ловой поток через правую грань; dQ — тепловой поток от
наружной поверхности элемента к окружающей среде.
Учитывая, что Qx+dx=Qx+dQx, перепишем
выражение A3.58) в виде:
dQx+dQ = 0. A3.59)
Согласно закону Фурье, [очевидно, d$=d(t—?ж)==
—dt] Qx==—%(dufdx)f, следовательно,
dQx=—If (d*Q/dx*) dx. A3.60)
Далее, в соответствии с граничными условиями III
рода имеем:
dQ = a$udx. A3.61)
Подставляя выражения A3.60) и A3.61) в
уравнение A3.59), получаем после преобразований
дифференциальное уравнение теплопроводности в тонком стержне:
A3.62)
Согласно уравнению A3.62), искомая функция д
должна обладать следующим свойством: ее вторая
производная должна быть равна самой О, умноженной на
постоянный множитель. Этому требованию, как
известно, удовлетворяет показательная функция вида:
A3.63)
где т и С — неизвестные пока постоянные.
309

Находим из уравнения A3.63):
d^/dx2=СтЧ™. A3.64)
Так как подстановка выражений A3.63) для •Ь и A3.64)
для d2iu/dx2 в дифференциальное уравнение A3.62)
должна обратить его в тождество, то должно быть: т=
= ±V au/Kf. Таким образом, мы получили два частных
решения уравнения A3.62), а именно: и = СіЄтх и Ф=
= С2е'-гшс. Здесь и в дальнейшем под т понимается его
абсолютное значение, т. е. т= Y^au/hf.
Сумма частных решений дает общее решение
дифференциального уравнения:
« A3.65)
Значения постоянных Сі и С2 будут, найдены из
граничных условий.
Рассмотрим стержень бесконечной длины. Как уже
говорилось, в начальном сечении стержня
поддерживается постоянная температура, т. е. при х=0 имеем
Так как боковая поверхность стержня отдает тепло
окружающей среде, то для поддержания в начальном
сечении температуры т&1 к этому сечению должен
поступать тепловой поток Qi, который будет определен ниже.
При бесконечной длине стержня Q\ уходит через его
боковую поверхность. Поэтому конец стержня должен
находиться при температуре окружающей среды: при
х->оо имеем Ф=0.
Подстановка этих граничных условий в уравнение
A3.65) дает:
ft1; C1e~=O. A3.66)
Последнее из равенств A3.66) может иметь место
только при Сі = О. В таком случае C2='&i. Подстановка
найденных значений Сі и С2 в уравнение A3.65)
приводит к следующему уравнению распределения
температур вдоль стержня бесконечной длины:
O^Oir"«, A3.67)
ИЛИ
Є=е-™*. A3.68)
где 6=$1'&1 — безразмерная температура.
Как видно из уравнения A3.68), величина 6 убывает
тем сильнее, чем больше множитель т. На рис. 13.11,6
310

представлена зависимость 0 от х для различных
значений т. При х->оо все кривые симптотически стремятся
к Є=*=0.
Величина т прямо пропорциональна V аи (фактор,
способствующий теплоотдаче с боковой поверхности) и
обратно пропорциональна V Ц (фактор,
способствующий теплопроводности вдоль стержня). При
постоянном отношении а/% величина т возрастает с
увеличением отношения uff. Так, если сравнить круглый стержень
со стержнями других профилей при одинаковой
площади поперечного сечения, то наименьший периметр и,
следовательно, наименьшее отношение u/f будет иметь
круглый стержень. Поэтому при одинаковом отношении аД
падение 6 у круглого стержня происходит менее
интенсивно, чем у стержней с иными профилями поперечного
сечения.
Обозначим тх=Х (безразмерная координата).
Тогда уравнение A3.68) перепишется в виде:
Є=<?-*. A3.69)
Кривая, описываемая уравнением A3.69), является
универсальной для всех бесконечно длинных стержней,
независимо от их формы (и, f), условий теплоотдачи
(а) и физических свойств (К).
Тепловой поток с боковой поверхности элемента
стержня определяется равенством A3.61). Тепловой
поток для участка стержня, расположенного между
начальным сечением и сечением, находящимся на
расстоянии х от начального, равен:
X X
С С
Q = аиЫх = аи Ых. A3.70)
J J
о о
Подставив в равенство A3.70) Ф из уравнения
A3.67), получим:
х
Q = аиЬх \ е-тх dx = Ьг /шГк} A — е~тх). A3.71)
о
При х->оо формула A3.71) дает:
О«, - *і /шпЗ. A3.72)
Формулу A3.72) можно получить также и
следующим путем. Так как стержень обладает бесконечной дли-
3U

нои, через боковую поверхность стержня отдается вся
теплота Qi, которая путем теплопроводности поступает в
его начальное сечение.
Для короткого толстого стержня необходимо
учитывать теплоотдачу с торца. Таким образом: Q\ =
=—K(d'd'/dx)x=of. Из уравнения A3.67) находим:
(d{Hdx)x=o=—Qim(e-™*) ==— {>{т=—р1 Vau/kf и,
следовательно, Qoo=hfQl V au/%f=?'i Vauhf.
Величина $dx=dQjau убывает вдоль ребра (см.
рис. 13.11,а). Это значит, что по мере увеличения х
тепловой поток dQ уменьшается, так как a, t/=const.
Элемент ребра одинаковой длины dx работает с различной
эффективностью, определяемой его расположением: при
малых значениях х эффективность высока, при
больших — низка. Но масса элемента не зависит от его
расположения, поэтому можно полагать, что на
изготовление удаленных элементов затрачен лишний материал.
Расход материала на 1 Вт отдаваемого теплового
потока возрастает по мере удаления участка ребра от
начального сечения.
Эти соображения необходимо учитывать при
конструировании ребристых теплообменных поверхностей.
Очевидно, что в целях экономного расхода материала
выгоднее применять поверхности с короткими и близко
расположенными ребрами, чем поверхности с
длинными и редко расположенными ребрами. Однако
чрезмерно близкое расположение ребер может вызвать
ухудшение их теплоотдачи.
Рассмотрим теплопроводность стержня конечной
длины. Дифференциальное уравнение A3.62),
описывающее температурное поле в стерйсне, сохраняет свою силу
и для стержня конечной длины. Отличие будет лишь б
граничном условии на свободном конце стержня.
Пренебрежем теплоотдачей на торце стержня. При этом
допущении граничное условие на свободном торце
стержня при х=1 примет вид: —% (d{}/dx)x=:i=0. Общее
решение, как и ранее, имеет вид A3.65). Тогда для х=1
имеем: Cieml—C2e-ml=0. Для указанного ранее
граничного условия при х=0 получим: С1+С2=(&і.
Определяем постоянные интегрирования Сі и С2:
')- A3.74)
312

Подставляя значений постоянных из выражений
A3.73) и A3.74) в уравнение A3.65), имеем уравнение
температурного поля
Ф = Ф, ch m A-х) /ch ml, A3.75)
где ch у=0,5(еУ+е-у)—гиперболический косинус.
Температура на конце стержня не равна
температуре окружающей среды и определяется выражением:
O/=Oi/chm/, ибо ch 0=1.
Тепловой поток ребра, отдаваемый в окружающую
среду, можно найти по градиенту температуры в
начальном сечении:
Q=-X(d®ldx)x=of. A3.76)
Согласно уравнению A3.75), имеем
(dftldx)x=o=®i(—m)sh ml/ch ml, A3.77)
так как производная от гиперболического косинуса
равна гиперболическому синусу: ch'y=ch у=0,5(е*>—e~v).
Подставив выражение A3.77) в формулу A3.76),
получим:
Q=Xmf'&lthml1 A3.78)
где th m/ = sh m//ch ml — гиперболический тангенс.
Если бы температура 6і не изменялась вдоль ребра,
т. е. О=01 = const, тепловой поток имел бы
максимально возможное значение Qmax, определяемое
выражением:
Qmax=aH/ftI=m2^/ftI. A3.79)
На основании выражений A3.78) и A3.79) получаем
следующую формулу для коэффициента эффективности
ребра:
T]p = Q/Qmax=th ml/ml. A3.80)
Пользуясь формулой A3.80), можно найти длину
ребра для заданного значения коэффициента
эффективности при определенных параметрах а, «Д и /. Это
позволяет рационально проектировать оребренные
поверхности теплообмена (см. § 63).
313

ГЛАВА 14. ОСНОВЫ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
§ 48. Исходные положения
Конвективный теплообмен обусловлен совместным
действием конвективного и молекулярного переносов
теплоты. В каждой точке движущейся среды можно
рассматривать вектор плотности теплового потока, равный
в соответствии с двумя указанными видами переноса
сумме двух векторов:
где <7тп==—^ grad / — вектор плотности молекулярного переноса
(теплопроводность), обусловленный неоднородностью поля темпе-
ратуры в рассматриваемой точке пространства; qK=pwh— вектор
плотности конвективного (молярного) переноса, обусловленный
существованием движения среды. В первом случае носителями
являются микрочастицы, во втором — макрочастицы (моли);
микрочастицы осуществляют хаотическое тепловое движение; движение
молей — «видимое» движение жидкости (т. е. доступное визуальному
наблюдению).
Во многих случаях поток среды частично или
полностью ограничен поверхностями твердых тел
(стенками). Чаще всего передачу теплоты от горячего
теплоносителя к холодному нельзя осуществлять путем их
непосредственного контакта (смешения), поэтому
приходится разделять теплоносители стенкой. Наличие
разделяющей теплоносители стенки вносит дополнительное
термическое сопротивление, которое зависит от
механизма теплового и динамического взаимодействия среды со
стенкой. Конвективный теплообмен между движущейся
средой и поверхностью ее раздела с другой средой
называют теплоотдачей. Именно процесс теплоотдачи и
является предметом изучения в данной главе.
Интенсивность процесса теплоотдачи принято
характеризовать коэффициентом теплоотдачи, который равен
-/с), A4.1)
где q — плотность теплового потока на стенке; tm — температура
жидкости (например, температура среды вдали от стенки, где
исчезает тепловое возмущение, обусловленное поверхностью
теплообмена); tc—температура стенки.
Коэффициент теплоотдачи численно равен плотности
теплового потока при температурном напоре 1 К, его
единица измерения Вт/(м2-К).
314

Исторически понятие коэффициента теплоотдачи
связано с законом Ньютона — Рихмана, выражением
которого является равенство A4.1). Однако следует иметь
в виду, что выражение A4.1) не является простой
физической закономерностью, выражающей сущность
процесса теплоотдачи. Роль коэффициента теплоотдачи а
отнюдь не аналогична роли, например,
теплопроводности X в законе Фурье. В то время как величина % есть
теплофизический параметр среды (вещества), который
может быть взят из справочных таблиц, коэффициент
теплоотдачи а представляет собой сложную, функцию
тепловых и динамических процессов, развивающихся в
среде в непосредственной близости от поверхности
теплообмена.
Коэффициент теплоотдачи а определяют три группы
факторов. Во-первых, геометрические факторы,
связанные с конфигурацией системы конвективного
теплообмена: течение жидкости вдоль плоской поверхности, поток
в трубе (или в продольных межтрубных каналах),
поперечное обтекание труб и трубных пучков и т. д. Во-
вторых, гидродинамические факторы, обусловленные
прежде всего наличием двух режимов течения —
ламинарного (при малых значениях числа Re) и
турбулентного (при больших значениях числа Re). Механизм
теплообмена в двух этих случаях существенно различен.
Кроме того, в пределах каждого режима течения
имеется связь коэффициента теплоотдачи а со скоростью
потока, качественно одинаковая для обоих режимов — при
возрастании скорости потока коэффициент а
увеличивается. Однако количественные характеристики для
ламинарного и турбулентного режимов различны.
Наконец, третью группу факторов составляют тепло-
физические свойства среды — плотность, изобарная
теплоемкость, вязкость и теплопроводность. Они сложным
образом влияют на коэффициент теплоотдачи. При
прочих равных условиях для среды с более высокой
теплопроводностью характерны более высокие значения
коэффициента теплоотдачи. Вязкость оказывает косвенное
влияние на интенсивность теплоотдачи: при меньшей
вязкости в потоке формируется более благоприятный
для повышения теплоотдачи профиль скорости.
Особый случай представляет собой так называемая
гравитационная свободная конвекция, которая
происходит под действием сил тяжести в среде с неоднородным
315

распределением плотности жидкости. Неоднородность
плотности может явиться следствием неоднородности
температурного, поля. В данном случае проявляется
существенное влияние теплообмена на поле скорости в
жидкости. Обычно поле скорости формируется под
влиянием внешних причин, вызывающих движение
среды, — работа насоса, вентилятора и т. п. В таких
случаях происходит вынужденная конвекция. Как правило,
при прочих равных условиях интенсивность
теплоотдачи при вынужденной конвекции выше, чем при
свободной.
Численные значения коэффициента теплоотдачи а,
Вт/(м2-К), изменяются в широких пределах: при
свободной конвекции воздуха — 5—25, воды — 20—100;
при вынужденной конвекции воздуха — 10—200, воды —
50—10 000; для кипящей воды — 3000—100 000; для
конденсирующего водяного пара — 5000—100 000.
Процессы конвективного теплообмена весьма часто
встречаются в технике, как составная часть они входят
также в природные процессы, происходящие в
результате воздействия технических устройств на окружающую
среду. Поэтому задача определения коэффициента
теплоотдачи очень важна. Особенности движения вязкой
жидкости в непосредственной близости от стенки
позволяют установить связь коэффициента теплоотдачи с
температурным полем в жидкости, которое, как было по
казано в гл. 12, может быть найдено в результате
решения уравнения энергии и уравнений гидромеханики.
На рис. 14.1 показано температурное поле вблизи
холодной стенки, вдоль которой течет нагретая
жидкость. Благодаря выполнению условия прилипания
частицы жидкости, находящиеся в непосредственной
близости к твердой поверхности тела, образуют тонкий
неподвижный слой. В неподвижной среде, как. известно,
перенос теплоты осуществляется только путем
теплопроводности, поэтому можно записать:
где индекс /г=0 означает, что берется значение градиента
температуры на стенке; к — теплопроводность жидкости.
С другой стороны, плотность теплового потока на
стенке может быть выражена по закону Ньютона —
Рихмана:
316

77777:
Рис. 14.1
Из двух приведенных выражений получаем
уравнение
a = —-
dt
A4.2)
которое устанавливает связь между коэффициентом
теплоотдачи и температурным полем в жидкости.
Уравнение A4.2) сводит задачу нахождения
коэффициента теплоотдачи к основной задаче теории
теплообмена — определению температурного поля.
§ 49. Система дифференциальных уравнений
конвективного теплообмена.
Безразмерные переменные
Рассмотрим задачу конвективного теплообмена для
простых геометрических условий: поток жидкости
движется в направлении оси Ох вдоль плоской поверхности
(рис. 14.2). Заданы скорость w0 и температура іж
невозмущенного потока, температура стенки tc на участке
длиной /0, а также теплофизические свойства
жидкости — р, Ср, X И |А.
В результате теплового и динамического
взаимодействия стенки с потоком температура и скорость
последнего в пристенной области меняются. Формируются по-
317

Рис. 14.2
ле температуры t (х,у) и поле скорости w (x, у)\ в
направлении оси Oz по условию задачи никаких
изменений не происходит. Рассматриваемый процесс является
стационарным.
Для данного случая запишем систему
дифференциальных уравнений конвективного теплообмена —
уравнения энергии, движения и сплошности; из уравнений
исключаются члены, связанные с изменением величин во
времени и по оси Oz. Уравнение энергии будет иметь
следующий вид:
ж& + wy ff)
(И.«
Две проекции уравнения движения могут быть
представлены следующим образом:
Уравнение сплошности имеет вид":
. A4.5)
A4.6)
318

Пространственная область, в которой paccMafpri?aef-
ся процесс конвективного теплообмена (область D, см.
§ 39) задана следующими геометрическими условиями:
. A4.7)
Поскольку процесс стационарен, начальные условия
отпадают. Граничные условия для искомых функций t,
яУа, wv и р могут быть записаны следующим образом:
на поверхности стенки (*/=0, 0^#^/0):
t = tc; wx=Wy=0; A4.8)
на бесконечном удалении от стенки
1)
f=f»; Wx=w0; wy=0. A4.9)
Давление следует задать в начальном сечении: #=0,
. Более детальное рассмотрение вопроса о
задании давлейия на других участках границы
рассматриваемой оОласти будет сделано ниже применительно к
конкретным случаям.
Система дифференциальных уравнений A4.3) — A4.6)
совместно с условиями однозначности A4.7) — A4.9)
представляет собой формулировку краевой задачи
конвективного теплообмена. Следует отметить, что
вследствие больших математических трудностей общее решение
системы дифференциальных уравнений конвективного
теплообмена получить не удается. Поэтому с целью
поиска возможных путей решения поставленной задачи
проанализируем структуру предполагаемой
функциональной зависимости для температурного поля. На
основе постановки краевой задачи можно утверждать, что
поле скорости и поле давления есть результат решения
уравнений гидродинамики — уравнений A4.4) — A4.6),
ибо рассматривается несжимаемая жидкость,
физические свойства которой не зависят от температуры.
Например, значение вектора скорости в какой-либо точке
рассматриваемой области определяется координатами
этой точки, коэффициентами дифференциальных
уравнений и параметрами, входящими в граничные условия:
w = w(x~, у\' р, |х, g, /о, wo). A4.10)
Давление можно отсчитывать от заданного значения
Ро в начальном сечении, т. е. в уравнениях движения
можно заменить производные др/дХі равными им про-
319

изводными д (р—po)foXi. Тогда для поля давления
имеем выражение:
Р—Ро=Р(х, у, р, [i, g, /о, Wo). A4.11)
Поскольку поле температуры зависит от функций wx
и wy, в правую часть функциональной зависимости для
температуры, кроме коэффициента а=Х/рср из
уравнения энергии и соответствующих параметров из условий
однозначности, войдут величины из правой части
уравнения A4.10). Температуру допустимо отсчитывать от
уровня температуры стенки tc, так как при замене
величины t в уравнении энергии A4.3) величиной t—tc оно
не изменяется. Для температурного поля имеем
следующую функциональную зависимость:
t—tc=t(x, у, а, р, |х, g, tm—tc, w0, /0). A4.12)
В уравнении A4.12) можно выделить три группы
величин:
координаты (аргументы функции t) x и у;
постоянные коэффициенты дифференциальных
уравнений — заданные величины, не относящиеся ни к ис-
->
комым функциям, ни к аргументам, — а, р, |Л и g, при
этом в данном случае можно использовать модуль
вектора ускорения свободного падения g*\
параметры условий однозначности, представляющие
собой значения искомых функций при определенных
значениях координат — tm—tc, w0 и /о.
Конкретный вид функциональной зависимости A4.12)
для температуры не известен, поэтому единственный
способ упрощения этой зависимости состоит в
уменьшении количества переменных, от которых зависит
температура. Произведем эту операцию, опираясь на
приведенную выше классификацию величин в правой части
уравнения A4.12). По понятным причинам количество
координат уменьшить нельзя. В уравнейии энергии
A4.3) имеем один постоянный коэффициент и эту
ситуацию также изменить невозможно. В уравнении движе-
* Строго говоря, вместо вектора g необходимо использовать
-> -*
две величины: его длину \g\ и косинус угла между векторами g
-*•
и w, однако в рамках данного анализа это не обязательно.
320

ния A4.4) или A4.5) имеем три постоянных
коэффициента; можно разделить уравнение движения на один
из них, тогда получим два коэффициента, что приведет
к уменьшению величин второй группы с четырех до
трех. Кроме того, параметры условий однозначности
можно выбрать в качестве масштабов измерения
искомых функций /, wx, wyy p и координат ху у. Эта
операция имеет наибольшую ценность: замена обычных
единиц измерения параметрами граничных условий
позволяет полностью исключить эти параметры из правой
части зависимости A4.12).
Таким образом, после указанных преобразований (так
называемых масштабных преобразований) число
переменных в правой части уравнения A4.12) должно
уменьшиться с девяти до пяти.
В качестве масштаба для координаты х выберем
величину /о. Тогда размерному значению координаты в
метрах соответствует безразмерное значение Х=хЦо\
в то время как размерное значение координаты
изменялось в интервале О^я^Г/о, безразмерное — в
интервале 0^X^:1. Масштабом для координаты у также
служит /0, для температуры —іж—tCy для скорости — wOy
для давления — динамическое давление pw20. С
использованием указанных масштабов имеем следующие
безразмерные величины:
I
Заменим размерные переменные в уравнениях
A4.3) — A4.6) безразмерными переменными, согласно
выражениям A4.13). При этом постоянные масштабы
необходимо выносить за знак производной. Например,
первое слагаемое в левой части уравнения энергии
преобразуется следующим образом:
W*-Tx~ w»w*—ЩТ)— e То w* Tx-
Первое слагаемое в правой части уравнения энергии
преобразуется так:
д
A.f^L\_ ( [(жс
дх \дх ) ~ а дA0Х) \ дA0Х)
(
321

Окончательно уравнение энергии в безразмерном
виде представляется следующим образом:
Безразмерный комплекс в левой части уравнения
составлен из величин, входящих в условия однозначности
и, следовательно, выражающих характерные
особенности рассматриваемого процесса. Физический смысл этого
комплекса можно раскрыть, если разделить
конвективный член уравнения энергии на член, учитывающий
перенос теплоты путем теплопроводности, и оценить
значения производных (см. пример 14.1):
рср wx (dt/dx) рср wx (At I Ax)
X (дН/дх2) ~
рСр Wx АХ рСр Wo l
Таким образом, этот комплекс дает сравнительную
оценку интенсивности конвективного переноса и
переноса путем теплопроводности. В последующем будет
показано, что существует ряд таких безразмерных
комплексов, позволяющих оценивать и сопоставлять
различные факторы одинаковой физической природы. Эти
безразмерные комплексы имеют важное значение для
теплообмена и гидродинамики и им присваивают имена
ученых, которые внесли значительный вклад в развитие
этих наук. Так, рассматриваемый комплекс называют
числом Пекле:
Ре =
Уравнение движения в проекции на ось Ох,
приведенное к безразмерной форме с использованием
соотношений A4.13), имеет следующий вид:
'2 ' OW у dWr\ 9wl дР
Л . -гут Л^ \ _. v |
+ Wy ду J =??х— /о дХнг
j jiw. ( d*Wx d*Wx\
+ /2 V дХ2 + OK2 )
ИЛИ
дГ2
322

В этом уравнении имеется известное из основ
гидродинамики число Рейнольдса
Re=ptuo/o/н- = о>о Vv,
выражающее соотношение между силами инерции и
силами вязкости в потоке:
pwx (дтх/дх) pwx{Awx/Ax) pwx Ax рЩІо Щ^о
\1(д2тх/дх2) \х(Атх/Ах2) ~ ? {Г"* A v '
здесь v — кинематическая вязкость; v = |x/p, м2/с.
Первое слагаемое в правой части приведенного выше
уравнения движения можно представить так:
[IWO ~ VW0 = V2 Wolo "
Левый сомножитель этого выражения представляет
собой число Галилея
Ga=g/3o/v2
и отражает соотношение сил тяжести и сил вязкого
трения для медленно текущих потоков. Действительно, в
общем случае соотношение указанных сил отражается
комплексом Ga/Re:
[і (Aw
gl\ gll v Ga
= \w0 ^ v2 w010 А Re»
однако в медленных потоках (например, пленка
жидкости, стекающая вниз по вертикальной стенке), когда
число Re мало и можно положить" Re~l, имеем:
Уравнение движения в проекции на ось Оу при
приведении его к безразмерному виду даст те же
безразмерные комплексы, уравнение сплошности никаких
комплексов не дает.
Система уравнений в безразмерном виде может быть
представлена следующим образом:
S! A4.30
323

dWxldX+dWvldY=*O. A4.6')
Граничные условия в безразмерном виде
запишутся так:
на поверхности стенки (У=0, О^.Х^.1):
6=0; Wx=Wv=0; A4.8')
на бесконечном удалении от стенки (У-^оо,
Х1)
6 = 1; №*=1; ^=0, A4.9')
В уравнениях движения A4.47) и A4.5') числа
Галилея равны:
Уравнения A4.3') — A4.6х) с граничными условиями
A4.87) и A4.97) представляют собой постановку
краевой задачи конвективного теплообмена в безразмерном
виде. Общий вид решения такой задачи для
температурного поля дается выражением:
Є=Є(Х, К, Ре, Re, Ga). A4.12')
В выражении A4.12') число величин в правой части
равно пяти вместо девяти в размерном выражении
A4.12): отпали один из коэффициентов уравнения
движения и три параметра из граничных условий как
масштабные величины, численно равные единице в
безразмерной формулировке.
В зависимости от динамических условий, в которых
протекает процесс конвективного теплообмена, одно из
чисел — Re или Ga имеет преобладающую значимость.
Так, если для определенной жидкости с плотностью р
и динамической вязкостью \i скорость потока велика,
то велико и число Re, а следовательно, комплекс Ga/Re
мал и может быть отброшен из уравнения движения,
324

Такая ситуация обычно наблюдается в процессах
вынужденной конвекции *. Для таких процессов имеем
следующую зависимость:
Є=Є(Х, К, Ре, Re).
Число Ре может быть представлено в виде двух
сомножителей:
Первый сомножитель называют чисЛом Прандтля
Рг
которое представляет собой безразмерный комплексный
теплофизический параметр вещества (капельной
жидкости или газа). Следует отметить, что ранее уже
вводились размерные комплексные физические параметры:
температуропроводность а=Я/рср и кинематическая
вязкость v=(x/p. С использованием числа Pr=v/a
безразмерная зависимость для температурного поля может'
быть записана в виде:
Є=Є(Х, К, PrRe, Re)
или Є=Є(Х, К, Re, Pr). A4.14)
Теперь следует получить общую функциональную
зависимость типа A4.14) для коэффициента теплоотдачи.
С этой целью приведем к безразмерному виду
выражение A4.2), устанавливающее связь коэффициента
теплоотдачи а с температурным полем t(x, у). Используя
масштабы [см. выражения A4.13)] для температуры и
координаты, вместо размерного выражения а=
=—[У(*ж—*с)] (jfr) _0 получим безразмерное
выражение:
0. A4.15)
Безразмерный комплекс в левой части выражения
A4.15) называют числом Нуссельта
Nu=a/(A,
которое представляет собой безразмерный коэффициент
теплоотдачи.
* В процессах свободной конвекции существенна не сила пгя-
жести сама по себе, а подъемная (архимедова) сила; динамика
таких процессов" будет специально рассмотрена далее.
325

Для получения правой части выражения A4.15)
необходимо взять частную производную от 8 из уравнения
A4.14) по У и подставить значение У=0; после такой
операции координата У из числа переменных выпадает
и для числа Nu имеем зависимость:
Nu=/(X, Re, Pr). A4.16)
Зависимость A4.16) указывает, что безразмерный
коэффициент теплоотдачи для определенного значения
X (так называемый местный, или локальный,
коэффициент теплоотдачи) может быть рассчитан по формуле,
содержащей всего три величины.
Часто представляет интерес средний по поверхности
теплообмена коэффициент теплоотдачи:
A4.17)
которому соответствует среднее по поверхности
теплоотдачи число Нуссельта
1
Nu« f Nurf*, A4.18)
о
в данном случае равное
і
Nu «rT/(A\Re, Pr)dX = F(RebPr).
V
Подводя итог проведенному анализу, следует
констатировать: в процессах вынужденной конвекции средний
безразмерный коэффициент теплоотдачи определяется
двумя безразмерными комплексами — числом Рей-
нольдса и числом Прандтля:
NUW(Re, Pr), A4.19)
которые отражают соответственно гидродинамические
особенности движущейся среды, и ее теплофизические
параметры.
326 '

§ SO. Подобие процессоЁ f
конвективного теплообмена
После получения для теплоотдачи общей
зависимости типа A4.19) необходимо установить конкретный вид
функции F (Re, Pr). Для решения этой задачи имеются
следующие пути:
1. Аналитическое решение задачи, т. е. расчет
теплоотдачи по формулам, полученным в результате
интегрирования системы уравнений конвективного теплообмена
и определения постоянных интегрирования из условий
однозначности. Интегрирование точных уравнений
конвективного теплообмена, возможное в весьма
немногочисленных случаях, используется в основном для
учебных целей или для грубой оценки теплоотдачи в более
сложных случаях. Достигнутые на этом пути успехи
связаны с упрощенной физической схематизацией процесса
(при которой сохраняются, однако, важные факторы) и
использованием приближенных уравнений; примером
может служить теория пограничного слоя.
2. Численные методы решения, которые находят все
большее применение в связи с развитием и широким
использованием вычислительной техники. По отношению к
рассматриваемой системе дифференциальных уравнений
наиболее универсальными являются конечно-разностные
методы, в соответствии с которыми дифференциальные
уравнения заменяются уравнениями в конечных
разностях. Область, в которой производится расчет
температурного поля (область D, см. § 39), представляется
множеством отдельных точек (сеткой) с заданным
шагом по осям Ох и Оу. Для каждой такой точки
уравнения в конечных разностях образуют систему аглебраиче-
ских уравнений, в которые входят и значения искомых
функций в соседних точках. В результате решения
алгебраических уравнений получают значения искомых
функций в узлах сетки, например, таблицу значений
температуры в рассматриваемой области D. Важно, чтобы
разностная схема задачи была устойчивой — при
измельчении шага сетки последовательно получаемые
таблицы решений должны сходиться к точному решению
задачи (т. е. образовывать сходящуюся
последовательность). При применении численных методов
значительно расширяется круг решаемых задач конвективного
теплообмена и появляется возможность осуществлеция
'¦'..' .327

так называемого численного эксперимента, основанного
на использовании многочисленных вариантов исходных
данных задачи. Эти методы имеют и неудобства:
результаты численных расчетов представляют обычно в виде
таблиц, по которым хотя и можно составить аппрокси-
мационные формулы, однако эти формулы, как
правило, имеют эмпирический характер и не отражают
глубокой физической сущности процесса.
3. Экспериментальное исследование процесса
конвективного теплообмена. Этот путь используется чаще
других, в особенности для сложных процессов. Проведение
эксперимента на реальных объектах связано с
трудностями организационного и экономического порядка.
Кроме того, в период проведения исследования реального
объекта может не быть вообще, поскольку именно
потребность спроектировать его и вызвала необходимость
проведения исследования. Поэтому в большинстве
случаев эксперимент проводится на лабораторных
установках. В процессе эксперимента выявляется влияние
отдельных величин на интенсивность теплоотдачи, при
этом измеряются температура, скорость, массовый
расход, давление и т. п.; в экспериментах по теплообмену
теплофизические свойства жидкости, как правило, не
измеряют, а используют опубликованные справочные
данные. Экспериментальный путь решения задач
конвективного теплообмена связан, с одной стороны, со сложно1-
стью, обусловленной большим количеством влияющих
на теплообмен факторов [см. зависимость A4.12)], а с
другой, — с узко специальным характером получаемых
результатов, справедливых только для данной
лабораторной установки в пределах изменения параметров
эксперимента. При этом следует иметь в виду, что
создание лабораторной установки, выбор моделирующей
среды, определение необходимых интервалов изменения
параметров эксперимента должны осуществляться в
соответствии с определенными правилами,
обеспечивающими достижение главной цели, — получить расчетную
зависимость для процесса на реальном объекте. Три
указанных проблемы — упрощение функциональной
зависимости для теплоотдачи, повышение ее
универсальности, создание правил моделирования — помогает решить
теория подобия.
Метод подобия эффективен не только при
проведении экспериментального исследования, но оказывается
328

ft
У
V
/
*
/
a,
є,
/
УЬі
Ъл
/
d2
Рис.
14.3
У У
' у"
У/
/
у
/
/
у
а2
плодотворным и при аналитическом или числецном
решении задач конвективного теплообмена. Существует
тесная связъ между формально-математическим
упрощением задачи, проведенным в § 49, и подобием
процессов конвективного теплообмена. Раскроем эту связъ, для
чего, во-первых, рассмотрим сущность понятия подобия
применительно к физическим процессам и, во-вторых,
укажем условия подобия процессов.
Понятие подобия физических процессов в качестве
составной части включает геометрическое подобие,
хорошо известное из элементарной геометрии: например,
преобразование подобия в пространстве переводит
прямые в прямые, плоскости в плоскости, сохраняет углы
между прямыми и плоскостями. Пусть физический
процесс происходит в области, представляющей собой
прямоугольный параллелепипед (тело /) с размерами а\9
Ъ\ и С\ (рис. 14.3). Подобный ему параллелепипед
(тело 2) с размерами а% Ь2 и с2 получим, если изменим
все три размера в одном и том же отношении
где ki — константа геометрического подобия.
Из факта подобия тел 1 и 2 вытекает ряд следствий
(или так называемых «необходимых условий»):
поскольку ортогональность ребер и граней в теле 2
сохранилась, то равны попарно любые плоские и двугранные
углы тела / и тела 2, если сравнение производится по
сходственным элементам; расстояние между двумя про-
329

изйольными точками тела 1 относится к расстоянию
между сходственными точками тела 2 как длины
сходственных ребер; объемы двух тел относятся как кубы
сходственных ребер и т. д. Между тем обратные
утверждения, взятые по отношению к отдельному конкретному
следствию, не являются верными. Иными словами,
каждое отдельно взятое следствие или даже некоторая их
совокупность не являются достаточными условиями
существования подобия двух рассматриваемых
геометрических тел. Установление достаточных условий подобия
требует специального анализа.
Для упрощения изложения воспользуемся
условными обозначениями, принятыми в логике: обозначим
буквой А условие: «геометрические тела 1 и 2 подобны».
Тогда имеем следствия («необходимые условия»),
вытекающие из Л:
Т. — В,;
r= ktdx ех—Вш\
cxi_ ax\ a2 _L A J. c9 ± a2 — Bn
A420)
где {Ві} — совокупность следствий Ви вытекающих из Л.
Описанные выше логические ^взаимосвязи,
касающиеся факта подобия геометрических тел 1 и 2, можно
выразить двумя формулами:
A-+{Bt), ' A4.21)
Bt +^ А, ш A4.22)
при этом выражение A4.22) означает, что из любого
отдельно взятого В і не следует Л.
Действительно, например, условие ?i не является
достаточным для существования подобия, поскольку
допустимо ЬчФкіЬ\, а значит А нарушено. Из В2 также не
следует Л, так как грань, содержащая угол 72, может быть
не перпендикулярной основанию. По условию Вз
требуется, чтобы между диагоналями тел 1 и 2 было такое
же соотношение, как между ребрами п\ и а2. Это
условие можно выполнить и не сохраняя подобие: в теле 2
сохраним ребро a,2^kiau а диагональ <і%Є2—к%й\Є\ по-
330

вернем вокруг точки d2 вверх как жесткий стержень, при
этом с2 уменьшится, а Ь2 возрастет, что и нарушает
подобие при выполнении условия Бз. Возьмем два
условия — В\ и /?4 и проверим их достаточность для
выполнения условия А. Результат будет отрицательным, ибо
Вх и В± выполняются и при отсутствии подобия: пусть
тогда отношение объемов равно требуемой величине
если hfi выбрать произвольно, a hf'i определить по
формуле
Как же решается вопрос о достаточных условиях
подобия в данном случае? Необходимо прежде всего
установить множество тех элементов, которые полностью
определяют данное геометрическое тело; множество это
должно быть минимальным. Здесь элементами
являются отрезки и углы; достаточно взять три отрезка аи Ъ\
и С\ и потребовать их взаимной ортогональности, чтобы
прямоугольный параллелепипед 1 был полностью
определен. Нетрудно видеть, что для соблюдения
геометрического подобия достаточно сохранить отношения а/с,
Ь/с и углы. Имеются три линейных размера, из них
определяющих подобие отношений только два, так как
один размер используется в качестве масштаба; углы
безразмерны, поэтому их число не изменяется. Таким
образом, в данном случае достаточными условиями
подобия являются Вт, Вп из множества {Bi}.
Совокупность достаточных условий обозначим {CJ.
В результате рассмотрения вопроса о геометрическом
подобии можно выделить следующие положения:
определение геометрического подобия заключается в
том, что в подобных телах сходственные отрезки должны
быть пропорциональны, а углы равны;
из факта геометрического подобия вытекает
совокупность следствий {Вг}: А-^{Вг}у Вг +>Л;
часть этих следствий {d} представляет собой
достаточные условия геометрического подобия, т. е.
{Сг}-+А. A4.23)
Вопрос о подобии физических процессов намного
сложнее вопроса подобия геометрических тел, однако
331

1
0
An
P . в,
la/ _
Ц \Г1) x
4
Рис. 14.4
логический ход рассуждений для обоих случаев имеет
много обіцего.
Процессы конвективного теплообмена называют
подобными, если у сравниваемых процессов подобны
соответственно поля температуры, скорости и давления *.
Два поля подобны, если переход от одного из них к
другому можно осуществить путем умножения на
константу подобия. Константа подобия не зависит от координат
и времени. Для полей различных физических величин
константы подобия различны; произвольный выбор
констант подобия недопустим.
Для примера рассмотрим процесс конвективного
теплообмена при течении жидкости в трубе круглого
поперечного сечения (рис. 14.4). Индексами 1 и 2
обозначены два подобных процесса. Сравним поля скорости и
температуры для этих процессов. Координатами точки
служат: радиальная координата О<т<;го и осевая
координата О^х^оо. Сравнение скоростей производится
следующим образом. В процессе ) выбирается произ-
* Речь идет, как и в большинстве случаев, рассматриваемых в
настоящей главе, о несжимаемой среде, физические свойства
которой не зависят от температуры.
332

вольная точка Ах с координатами гАХ и хАи скорость в
этой точке имеет значение wA\. В процессе 2
необходимо найти сходственную точку с координатами: га2=
=kirAi\ xA2=kiXA2, где ki — константа геометрического
подобия. Скорость в точке Л2 связана со скоростью в
точке А\ преобразованием подобия для полей скорости:
WA2='bwWAU A4.24)
где kw — константа подобия полей скорости.
Поскольку процессы 1 и 2 подобны, то такая же
ситуация наблюдается для любой пары сходственных
точек: В\ и ?2, С\ и С2 и т. д. Следовательно, два
профиля скорости w\(r{) и ш2(г2) подобны.
Область D (см. § 39), в которой развивается процесс
конвективного теплообмена, включает в себя и границу.
Сходственные точки, расположенные на границе,
связаны теми же соотношениями, что и прочие сходственные
точки. Основываясь на этом, можно определить
константу геометрического подобия:
величина гоі или г02 есть характерный размер, он всегда
задан в условиях. задачи. Существует и характерная
скорость — Дооі или Доо2. В качестве характерной
скорости при течении жидкости в трубе обычно используют
среднюю по сечению скорость
1 с
>=7^ J
где G — массовый расход жидкости через трубу, кг/с; /о=ЯАо—:
площадь поперечного сечения трубы.
Константа подобия полей скорости определяется
значениями характерной скорости для сравниваемых
процессов:
kw — wo2lwoi- A4.25)
Подобие полей Температуры устанавливается
аналогичным образом. Обычно используется избыточная
температура '&=i—tc, отсчитываемая от уровня
температуры стенки tc. Связь между температурными полями
процессов 1 и 2 дается выражением, аналогичным
выражению A4.24):
flA2=fcuflAi, A4.240
где /г„ —константа подобия полей температуры, определяемая зна-
333

чєнйями характерных температур по выражению, аналогичному
выражению A4.25): '
здесь #0=^0— tc — характерная избыточная температура; ^ —
избыточная температура жидкости на входе в трубу, где профиль
температуры постоянен.
Одно из важнейших свойств подобных процессов
связано с тем обстоятельством, что факт подобия можно
установить и без использования констант ki9 kw и fo.
Роль константы подобия можно представить себе
следующим образом: она порождает поля, подобные данному;
так. исходное поле температуры Оі(гі) под воздействием
константы къ деформируете^ в подобное поле (feto);
если взять константу k^ получим третье поле 'Оз(^з)
и т. д. Однако установить факт подобия совокупности
получаемых таким путем полей температуры можно без
осуществления описанных операций, т. е. можно и не
знать степень деформации данного температурного поля
по отношению к исходному. Здесь необходимо вспомнить
формальные операции масштабных преобразований в
§ 49. Согласно этому методу, каждое из упомянутых
температурных полей можно представить в
безразмерном виде, используя собственный масштаб. Полученные
таким путем безразмерные поля температуры у
подобных процессов тождественнй. Таким образом,
существует одно безразмерное температурное поле для всего
класса подобных процессов; то же самое можно сказать
и о безразмерном поле скорости. Это утверждение
можно непосредственно проверить:
Х% = лга/гоа = kixxjki rOi = Xi/a-qi = AY; >
Я* - ra/rea - ki rt/ki roi - rx r0i = Rx\
= kw[wtlkwwol = t»i/w01 = Wt;
A4.26)
Равенства A4.26) выражают следующее: для
подобных процессов в сходственных точках (они имеют
одинаковые безразмерные координаты) безразмерные
температуры и скорости соответственно равны *. Это
утверждение может служить определением подобия.
* Вопрос о давлении будет рассмотрен ниже. Если в качестве
масштаба для давления выбрать характерное значение ро, то
равенства A4.26) справедливы и для полей давления.
334

Перейдем, как это было сделано при описании
геометрического подобия, ко второму положению —
рассмотрим совокупность следствий (необходимых условий),
вытекающих из факта подобия и выраженных
формулами A4.21) и A4.22).
Наиболее важные из следствий В\ связаны с
искомыми величинами, главной из которых является
коэффициент теплоотдачи а. Для подобных процессов
конвективного теплообмена безразмерные коэффициенты
теплоотдачи— числа# Нуссельта равны, что выражается
формулой:
Nu = idem, A4.27)
где idem (лат.) означает «то же самое».
Наряду с количеством энергии, передаваемой в
виде теплоты, представляет практический интерес то
количество энергии, которое приходится затрачивать для
подачи теплоносителя. Применительно к теплообмену
жидкости в трубе это означает, что искомой величиной,
кроме а, является и перепад давления (потеря
давления) Др=р—р0 в трубе определенной длины при
заданном массовом расходе жидкости. Безразмерное давление
р/рдо20=Еи или Др/рдо2о==Еи называют числом Эйлера:
Физический смысл числа Ей состоит в том, что оно
отражает соотношение между силами давления и силами
инерции із потоке:
др/дх Ар/Ал: Ар . А/>
В инженерных задачах число Ей является искомым
и отражает безразмерную потерю давления (при
течении в трубе, поперек пучка труб и т. п.). Число
Эйлера— число гидродинамического подобия. Для подобных
гидродинамических процессов числа Эйлера равны:
Ей=idem. A4.28)
В зависимости от конкретной задачи искомыми могут
быть какие-либо значения температуры или скорости;
может оказаться, например, что по заданному
перепаду давления необходимо найти скорость жидкости и ее
расход. Такая искомая безразмерная скорость также
будет одинаковой для всех подобных процессов:
W*=idem. r A4.29)
335

Однако в такой задаче применительно к течению в
трубе отсутствует заданная характерная скорость Wo и
вопрос о масштабе скорости решается по-другому.
Если теплообмен жидкости, текущей пб трубе,
происходит при граничных условиях II рода (задана
плотность теплового потока на стенке), то искомой
величиной является температура жидкости на выходе из
трубы. Безразмерная температура на выходе из трубы
одинакова для подобных процессов:
e*=idem, A4.30)
при этом отсчет температуры можно производить от
начальной температуры жидкости (на входе), а в
качестве масштаба избыточной температуры использовать
величину qro/K, К.
Поля температуры, скорости и давления получены
в результате решения системы уравнений конвективного
теплообмена при определенных условиях однозначности.
Поскольку поля безразмерных величин для подобных
процессов тождественны, то должны быть тождественны
и системы безразмерных уравнений, из которых
получены указанные поля. Следовательно, класс подобных
явлений определяется одной и той'же системой
безразмерных уравнений. Коэффициенты уравнений имеют одно и
го же значение для всех подобных процессов. Если
ограничиться случаем вынужденного движения жидкости без
учета сил тяжести в потоке, то для подобных
процессов имеем:
Ре=idem; . A4.31)
Re=idem, A4.32)
так как именно эти числа фигурируют в качестве
коэффициентов безразмерных дифференциальных уравнений
энергии и движения.
Условия A4.27) — A4.32) представляют собой
совокупность следствий {?{} (необходимых условий),
вытекающих из факта подобия. Вопрос о следствиях Ві
рассмотрен здесь на простом частном случае. При общем
подходе эти положения формулируются в виде первой
и второй теорем подобия.
Первая теорема подобия: если физические процессы
подобны между собой, то одноименные числа подобия
попарно имеют одинаковые значения.
336

Числом подобия называют безразмерный комплекс,
составленный из величин, существенных для данного
процесса. Конкретные числовые значения координаты,
скорости, температуры, безразмерные числа в условиях
A4.27)—A4.32) —все это числа подобия; вместе с тем
координаты, скорость и температура в безразмерном
виде, безразмерное давление (число Эйлера)
одновременно являются безразмерными переменными
(аргументами и функциями).
Вторая теорема подобия: решения дифференциальных
уравнений, описывающих физический процесс, можно
представить в виде зависимости между числами подобия.
Такое безразмерное решение [см., например,
выражения A4.12'), A4.14), A4.16) и A4.19)] называют
уравнением подобия. В уравнении подобия различают
определяющие числа подобия, содержащие независимую
переменную (например, безразмерные координаты,
безразмерное время в нестационарных процессах), и
определяемое число подобия, содержащее зависимую переменную
(искомую величину); определяемые числа подобия—
Nu, Eu и т. д.
Наконец, перейдем к третьему положению —
рассмотрим совокупность достаточных условий {Сі},
выполнение которых влечет за собой подобие процессов [см.
формулу A4.23)].
Проведенный в § 49 анализ задачи конвективного
теплообмена методом подобия показывает, что
безразмерная система дифференциальных уравнений включает
следующие величины: координаты X, У; искомые
функции 0, W и Ей; постоянные коэффициенты уравнений Ре
и Re (Re и Pr).
Пусть имеются два процесса конвективного
теплообмена, о которых заранее неизвестно, подобны они или
нет. Система уравнений для первого процесса дает
решение:
Є, = Єі(Х, У, Reb Pr,). A4.33)
Система уравнений для второго процесса дает свое
решение:
Є2 = Є2(Х, У, Re2, Рг2). A4.34)
Чтобы процессы были подобными, их поля
безразмерной температуры должны быть идентичными, т. е.
12 Зак. 508 337

в сходственных точках безразмерные температуры
должны быть равными:
Є,(Х, ?)=В2(Х\ У).
Как видно из сопоставления выражений A4.33) и
A4.34), для этого достаточно выполнить условия:
Rei = Re2; Рг! = Рг2, A4.35)
которые и являются достаточными условиями подобия.
Для тождественности полей скорости и давления
достаточно выполнить условие: Rei = Re2.
В общем виде достаточные условия подобия
физических процессов формулируются в виде третьей теоремы
подобия (теорема М. В. Кирпичева и А. А. Гухмана):
чтобы физические процессы были подобны, достаточно
соблюсти равенство их одноименных критериев
подобия.
Критерий подобия — число подобия, составленное
только из заданных параметров дифференциальных
уравнений и условий однозначности. Таким образом,
критерии подобия не содержат ни переменных (#, у, до, t
и др.), ни искомых (а, Ар и др.) величин.
Особенно широко теория подобия используется при
проведении экспериментальных исследований. При этом
основной является здесь третья теорема подобия,
однако следует ¦ иметь в виду и другие факторы, которые
неявно учитываются в этой теореме. Более детально
условия подобия физических процессов заключаются в
следующем.
1. Подобные процессы должны иметь одинаковую
физическую природу и описываться одинаковыми по
форме дифференциальными уравнениями. Сходство
математической формы дифференциальных уравнений
особенно важно, так как в принципе исследовать физический
процесс можно, создав модель другой физической
природы (физическая аналогия), но при этом, уравнения
должны быть одинаковыми.
2. Подобные процессы должны осуществляться в
геометрически подобных системах. Следовательно, модель
должна быть копией реального объекта с сохранением
одного и того же масштабного преобразования для всех
размеров рассматриваемой области.
3. Поля физических величин (температуры, скорости,
давления и т. д.) должны быть заданы в начальный мо-
338

мент и на границах подобным образом. Таким образом,
условия однозначности подобных процессов должны
иметь одинаковую математическую форму.
4. Одноименные критерии подобия для подобных
процессов должны быть численно равны.
Рассмотренные условия должны выполняться при
создании моделей, на которых в лабораторных условиях
экспериментальным путем устанавливаются зависимости,
определяющие интенсивность теплоотдачи на реальных
объектах. Допустим, решено создать модель, которая
представляет собой уменьшенную в 10 раз копию
реального объекта. Для соблюдения гидродинамического
подобия необходимо выполнить условие Re=idem:
где индексом 1 обозначен реальный объект, индексом
2 — модель. Следовательно, константы подобия должны
удовлетворять условию kwkijk^ = 1.
Интервал изменения числа Rei на объекте Re^in<;
<^Rer<Re^ax должен воспроизводиться на модели.
Поскольку размер гО1 объекта известен, то пря
использовании в модели среды с такой же кинематической
вязкостью v2 = vx, k„ = 1 получаем следующее условие для
максимальной скорости в модели: ^ах = 10 'w%{*.
Если такую скорость по техническим причинам
создать в модели нельзя, то необходимо использовать для
моделирования среду с меньшей кинематической
вязкостью V2<vi, ?v <1. Однако для соблюдения теплового
подобия необходимо выполнить условие Ре=idem или
Pr=idem:
Рг2=г2/а2=? v'Vi/^aai = Prl, к v /ka= I,
т. е. моделирующая среда должна иметь во столько же
раз уменьшенную температуропроводность. Это
обстоятельство, в свою очередь, накладывает определенные
условия на другие свойства среды, так как а=%/()Ср.
Поскольку теплофизические свойства среды зависят
от темдературы, то ясно, что соблюдение всех условий
для моделирующей среды на практике — весьма
серьезная проблема. По этой причине, а также по ряду других
причин, возникающих в сложных задачах конвективного
12* Зак. 508 339

теплообмена, применяется приближенное моделирование.
Одним из принципов, который при этом используется,
является так называдмая автомодельность, при
возникновении которой в процессе моделирования можно
отбросить ограничения, налагаемые на константы подобия
одним из критериев подобия. Например, при
турбулентном движении несжимаемой жидкости в трубах, на
внутренней поверхности которых имеется шероховатость
со средней высотой выступов А, число Ей для трубы
длиной / и диаметром d=2r0 определяется выражением:
Eu=F0(Re, l/d, hid).
При постоянном продольном градиенте давления
вместо полной потери давления Ар можно использовать
ее отношение к безразмерной длине трубы l/d, т. е.
ввести коэффициент сопротивления трения:
В этом случае имеем зависимость для коэффициента
сопротивления шероховатой трубы:
При' увеличении числа Re его влияние на
коэффициент | ослабевает (происходит «вырождение»
критерия подобия Re) и в пределе при Re->oo имеем
автомодельность по этому критерию, т. е. l=^=f(Re) и
определяется только относительной шероховатостью. Чем
больше относительная шероховатость, тем шире область
автомодельное™ (она начинается при меньших
числах Re).
Метод масштабных преобразований, использованный
в § 49, не является единственно возможным способом
получения уравнения подобия. Для этой цели часто
используется анализ размерностей, методика применения
которого состоит в следующем. Составляют список
размерных физических величин, от которых зависит
искомая величина (например, коэффициент теплоотдачиI.
Путем анализа размерностей всех этих величин
устанавливают число величин с независимой размерностью;
каждая из k величин с независимой размерностью
такова, что любая комбинация размерностей k—1 величин
не позволяет получить размерность k-и величины. После
этого, используя все величины, составляют из них 6e?-
340

размерные комплексы. Количество безразмерных
комплексов определяется П-теоремой анализа размерностей:
связь между п размерными величинами, независимая от
выбора системы единиц измерения, содержит n—k
безразмерных комплексов.
Для правильного применения анализа размерностей
необходим известный опыт в области исследования
физических процессов. Обычно анализ размерностей
используется в тех случаях, когда невозможно составить
систему дифференциальных уравнений с условиями
однозначности или в этом нет необходимости. Пример
использования анализа размерностей показан в § 56.
§ 51. Пограничный слой
Пограничным слоем называют область течения
вязкой теплопроводной жидкости, характеризующуюся
малой толщиной и большим поперечным градиентом
скорости и температуры. Такая область возникает у
поверхности тела, вдоль которой движется жидкость с
температурой, отличающейся от температуры поверхности.
Различают динамический пограничный слой и тепловой
пограничный слой (рис. 14.5). По "толщине динамического
пограничного слоя б продольная скорость потока
изменяется от нулевого значения на стенке до значения w0
во внешнем потоке: при у=0 имеем ^=0; при у=6
имеем wx=Wq. По толщине теплового пограничного
слоя ot аналогичным образом изменяется температура
потока: при у=0 имеем t=tc\ при у=о* имеем t=tm.
Идея о разделении всей области, занятой потоком
среды, на две части — узкую пристенную область, в
которой главным образом проявляется действие сил
вязкости, и остальную часть, где силами вязкости можно
пренебречь,— высказывалась во второй половине XIX в.
Д. И. Мєндєлєєеьім, Н. Е. Жуковским. Однако начало
использования расчетных методов теории пограничного
слоя относят к 1904 г., когда Л. Прандтль установил
уравнения движения жидкости в пограничном слое.
Рассмотрим эти уравнения.
Запишем уравнения Навье — Стокса и уравнение
сплошности применительно к движению несжимаемой
среды вдоль плоской поверхности (см. рис. 14.5); силы
341

Рис. 14.5
тяжести учитывать не будем, а члены, учитывающие
силы давления, сохраним:
dwx dwx I dp
x dx ~*~У dy ~ p dx ~*~
*W* * A4.36)
dx
ЮУ dy
¦¦)¦¦
I dp (d2 wy d2 wy \
dwxldx+dwy/ду=0.
37)
A4.38)
В уравнениях A4.36) — A4.38) искомыми функциями
являются wx=Wx{x, у); wy=wy(xt у)\ р=р{х, у).
Согласно определению пограничного слоя,- величины Wx и
wy изменяются только в узкой пристенной области
толщиной б, поэтому имеем следующие граничные
условия для скорости:
на стенке: при 0^х^/0, */=0 имеем wx=wy—0\
на внешней границе пограничного слоя: при О
у=б имеем wx=w0.
Воспользуемся методом оценки порядка производных
в уравнениях A4.36) —A4.38) для сравнения отдельных
членов уравнений (см. пример 14.1). Первый член
уравнения сплошности A4.38) имеет порядок О (dwx/dx) =
= wollo. Сплошность — неотъемлемое свойство среды,
поэтому второй член выражения A4.38) должен иметь
такой же порядок, иначе уравнение перестанет
существовать: О (dld) ll
342

Поскольку основной геометрический признак
пограничного слоя состоит в том, что он имеет малую
толщину F«С'о), то отсюда следует, что должно
выполняться условие O(Wy)<^w0y ибо при О (у) =6 и O(Wy)=wy0
имеем: O(dwx/dx)=O(dWy/dy) или w0ll0ttwy0lo.
Таким образом, малость толщины пограничного слоя
б влечет за собой малость поперечной составляющей
скорости wy. Для анализа уравнений A4.36) и A4.37)
запишем вместо них эквивалентные символические
формулы, отражающие порядок отдельных членов:
wa / 1 dp \ wQ w0
-у ojJ + ^if+^-F-;*14-36')
Из этих формул видно, что порядок членов,
учитывающих вязкие силы, зависит от порядка
кинематической вязкости. Известно, что для газов и невязких
капельных жидкостей (например, для воды) величина v
мала, однако не известно, каков порядок этой малости?
Для ответа на этот вопрос следует обратиться к
сущности самой идеи о. пограничном слое: в качестве его
выделяется такая область потока, где силы вязкости
имеют тот же порядок, что и силы инерции. Видно, что
если O(v)=o2, то последний член уравнения A4.36) или
символической формулы A4.36х) имеет конечный
порядок, как и инерционные члены в его левой части
(например, если принять O(v)=o, то это условие выполнить
нельзя). В уравнении A4.37) или символической
формуле A4.37') при O(v)=o2 все члены, кроме сил
давления, бесконечно малы (точнее имеют порядок wOyy
6 или еще более высокий порядок малости).
Следовательно, из выражения A4.37) имеем dpfdy=Oy т. е.
давление в направлении поперек пограничного слоя не
изменяется. Оно равно давлению во внешнем потоке,
которое в общем случае может изменяться вдоль оси Ох,
например, при обтекании криволинейной поверхности
или в потоке на начальном участке трубы.
Предполагается, что во внешнем потоке отсутствует трение, это
приводит к простой зависимости между скоростью w0 и
давлением ро в этой области. Такая зависимость
получается из уравнения A4.36), если отбросить члены, учиты-
343

вающие вязкость, и принять во внимание, что во
внешнем потоке Wy=0. Тогда получаем
dw0 _
или
-т-^ + Ро = const, A4.39)
т. е. во внешнем потоке справедливо уравнение Бернул-
ли. При течении вдоль плоской поверхности wQ=const,
следовательно, p0=const и др/дх=0. Таким образом, из
уравнения A4.36) выпадают член, учитывающий силы
давления, и следующий за ним вязкостный член
v{d2Wxldx2), имеющий бесконечно малый порядок
v (wo/l2o) ~ б2 (wo/l2o). Символическая формула A4.36')
приобретает следующий вид:
?п?- + «Иг«*Т?-. A4.36")
Инерционные и вязкостный члены в области
пограничного слоя должны иметь одинаковый порядок
(должны быть сравнимы по своим значениям): Wo(wo/lo) ~
~v(t?>o/62); отсюда получаем оценку для толщины
-пограничного слоя
Для толщины в произвольном сечении на
расстоянии х от передней кромки имеем:
(I4.40)
где Rex /
Таким образом, предположению о малости толщины
пограничного слоя 6 соответствуют большие значения
числа Рейнольдса. Расчеты, проводимые по уравнениям
пограничного слоя, дают тем большую погрешность, чем
выше вязкость среды, чем ниже скорость, чем ближе
сечение х к передней кромке. На практике, однако,
оказывается, что эти ограничения невелики, поэтому
теория пограничного слоя находит весьма широкое
применение.
344

Окончательно имеем следующую систему
дифференциальных уравнений гидродинамики для пограничного
слоя:
A4.41)
Уравнение энергии для теплового пограничного слоя
получают, проведя аналогичный анализ.
Применительно к случаю теплообмена при течении жидкости вдоль
плоской поверхности (см. рис. 14.5) имеем следующее
уравнение энергии ($=t—tc):
дЬ дії f д\Ъ дЧ \
w* dl + »у дУ = а \Гд&- + ~W) A4'42)
с граничными условиями:
на стенке: при 0^х^/0, у=0 имеем <&=0;
на внешней поверхности пограничного слоя: при 0^
/о, у=Ы имеем О^Ож.
Эквивалентная символическая формула для оценки
порядка отдельных членов уравнения A4.42) имеет вид:
® % *ж 0ж
Поскольку тепловой. пограничный слой имеет
толщину того же порядка малости, что и динамический
[O(ot)=O(o)], то второй член в левой части
уравнения A4.42) или символической формулы A4.42') имеет
ТОТ ЖЄ ПОрЯДОК, ЧТО И ПерВЫЙ, Ибо О (Wolk) =0 (Wyo/bt).
Температуропроводность а должна иметь порядок
малости б2, т. е. О(а)=б2; если предположить,
например, что О (а) =6, то в правой части первый член
окажется бесконечно малым, а второй — бесконечно
большим; в сумме они дают бесконечно большую величину
порядка Ож/б, что нарушает смысл уравнения энергии
A4.42), в левой части которого стоит сумма конечных
величин.
В области теплового пограничного слоя конвективный
перенос теплоты и молекулярный перенос
(теплопроводность) имеют одинаковый порядок [см. формулу
A4.42'), в которой член а(Ож//2о) можно отбросить]:
345

Wo (#жмо) ~ а$ж1о2и что позволяет оценить толщину
теплового пограничного слоя:
&,//в~> V'alwoU = 1 УРё.
Для толщины 6t в произвольном сечении на
расстоянии х от передней кромки имеем:
bt/x a const/yPe^, A4.43)
где Pex=wox/a.
Сравнивая уравнение A4.43) с уравнением A4.40),
получаем следующее выражение:
btlb^l/ VW. A4.44)
Выражение A4.44) показывает, что отношение
толщин динамического и теплового пограничного слоя
определяется числом Прандтля. Если Рг«1, то эти
толщины совпадают. Это условие достаточно хорошо
выполняется для газов, у которых число Рг близко к единице.
Для жидкостей с высокой вязкостью число Прандтля
Pr = \iCp/K велико и тепловой пограничный слой
намного тоньше динамического. Для жидкометаллических
теплоносителей с высокой теплопроводностью наблюдается
обратная картина.
В результате введения понятия пограничного слоя
система дифференциальных уравнений может быть
упрощена, как это показано выше, и имеет следующий вид:
df <14-45>
dwx/dx+dwyldy=0.
Граничные условия:
на стенке @^л:^/0, У=0):
О = 0; Wx = Wy = 0; A4.46)
на внешней границе пограничного слоя (О^л:^/о,
y=o или y=ot):
wx = w0\ & = 0ж. A4.46')
Система дифференциальных уравнений A4.45) с
граничными условиями A4.46) представляет собой
математическую формулировку задачи конвективного
теплообмена в приближении пограничного слоя.
346

Рис. 14.6
Решение сформулированной таким образом задачи
не является простым, поскольку нелинейные члены в
левой части уравнений энергии и движения сохранились.
Кроме того, использовавшееся выше понятие толщины
пограничного слоя математически некорректно: в
действительности скорость wx и температура Ф
асимптотически приближаются к значениям w0 и Ьж при у-^оо.
Непосредственное интегрирование дифференциальных
уравнений пограничного слоя для области с бесконечно
удаленной границей (у->оо) связано со сложными
математическими операциями и здесь рассматриваться не
будет; воспользуемся для этого приближенным методом,
основанным на использовании интегральных
соотношений для переноса количества движения (импульса) и
теплоты в пограничном слое.
Составим баланс массы для пограничного слоя
(рис. 14.6). Если бы вязких сил в пограничном слое не
было, через сечение АА\ в единицу времени прошла бы
ь
г
масса жидкости \ pwody, кг/с (размер сечения в
направлении оси Ог равен їм). В действительности
вязкие силы существуют, поэтому часть массы оттесняется
пограничным слоем во внешний поток; эта вытесненная
ь
масса равна \ p{w0—wx)dy. Оставшаяся масса прохо-
дит через сечение АА\, в котором профиль, скорости
347

wx=wx(x, у); эта реально проходящая масса равна
pwxdy. Таким образом, получаем тривиальное соот-
ношение, описывающее баланс массы в пограничном
слое:
8 8 Ь
I $w9dy—\ р (w0 — wx) dy = \ $wxdy. A4.47)
J J J
Массовый поток жидкости является носителем
импульса и энтальпии. Поэтому по типу соотношения
A4.47) можно составить баланс импульса и баланс
энтальпии.
Импульс в потоке определяется как произведение
массы индивидуальной жидкой частицы на ее скорость
р (AxAf/Az) wx. Плотность потока в, направлении оси Ох
получим, если разделим указанную величину на
площадь поперечного сечения элементарного объема и на
интервал времени р(Ах, Ау, Д2:)оУзс/АуА2:Дт«р(Ад:/Ат)Х
Y^wx=pwxwx. Если бы трение в пограничном слое
отсутствовало, то через сечение АА\ проходил бы
следующий поток импульса:
8
о
Наличие сил трения приводит к вытеснению массы
во внешний поток, поэтому часть импульса внешнего
потока не проходит через поверхность ОА\ в область
пограничного слоя. Этот вытесненный импульс
определяется вытесненной массой и скоростью внешнего
потока w0. Таким образом, результирующий поток
импульса через внешнюю поверхность пограничного слоя ОА\
равен:
ь ъ
vwldy— p(wt—wx
о о
Этот вошедший в пограничный слой импульс
частично проходит через сечение АА\\
ь
п
І
348

a 4actH4oo урабйовешйбй^ся действием 1$бйия На
стенке О А: ,
Записывая баланс импульса аналогично балансу
массы A4.47), имеем
8 8 8 х
0 0 0 0
Объединив все интегралы с переменной
интегрирования у и произведя соответствующие упрощения,
получим следующее выражение:
8
I рте/д. (w. — wx)dy = rcdx.
о о
о
Если теперь взять производную по х от левой и
правой частей этого выражения, учитывая, что интервал в
левой части зависит только от толщины пограничного
слоя 6 = 6 (х), то имеем:
8
O
Поскольку рассматривается несжимаемая жидкость,
то плотность р== const можно перенести в правую часть:
8
4(jff)y=0 - A4.48)
Выражение A4.48) известно под названием
интегрального соотношения Т. Кармана.
Составим баланс энтальпии для пограничного слоя.
Если бы пограничного слоя не существовало, то в
сечении АА\ был бы прямолинейный профиль скорости и
обеспечивался бы следующий поток энтальпии:
1
349

В действительности с вытесняемой массой
вытесняется и энтальпия, которая не проходит через внешнюю
границу пограничного слоя АО\ на участке длиной х\
поток вытесняемой энтальпии равен:
Результирующий поток энтальпии равен разности
двух этих интегралов. Часть результирующего потока
направляется через сечение АА\ в правую область
пограничного слоя:
8,
j
оставшаяся часть компенсируется отводом теплоты в
стенку:
где знак минус соответствует отводу теплоты (а не ее
подводу).
Таким образом, имеем следующий баланс энтальпии:
h
1
X
idx.
\
Проводя преобразования, аналогичные предыдущим,
получим:
о
Учитывая соотношения
t^—t = Ъж — Ъ\ dt Іду = d(t — tc)ldy - дЬ/ду
р = const; Cp = const,
350

и постоянство р и Ср, получим выражение:
-^ . . 04.49)
которое называется интегральным соотношением
переноса теплоты в пограничном слое; оно установлено Г. Н.
Кружилиным.
Уравнения A4.47) — A4.49) в определенном смысле
эквивалентны уравнениям системы A4.45), поскольку
они выражают те же законы: сохранения энергии —¦
A4.49), импульса—A4.48) и массы—A4.47).
Уравнения A4.48) и A4.49)—интегральные уравнения, так как
неизвестные wx и Ф входят под знак интеграла. Для
расчетной практики важнейшим свойством этих двух
уравнений является удобство их использования при
приближенном расчете. Действительно, подставив под знак
интеграла приближенные выражения для профилей
скорости и температуры и вычислив интегралы в пределах
толщин пограничного слоя 6 и б*, можно получить
расчетные формулы для теплового потока и трения на
стенке. Приближенные выражения для профилей
температуры и скорости выбирают в виде полиномов (в этом
случае интегралы легко вычисляются), коэффициенты
которых определяются граничными условиями.
Профиль скорости будем аппроксимировать
кубической параболой с четырьмя подлежащими определению
коэффициентами:
wx = а уъ+Ь у+с у+d.
Для нахождения этих коэффициентов требуются
четыре условия, которым должен удовлетворять профиль
wx(y) (для произвольного значения х). Эти условия
формулируются для краев профиля на стенке и на
внешней границе пограничного слоя:
условие прилипания на стенке: при у=0 имеем
wx=0;
условие линейности профиля скорости на стенке:
(d2wx/dy2)y=0=0, (dwx/dy)y=o=const; оно является
следствием уравнения движения [см. систему A4.45)],
левая часть которого обращается на стенке в нуль в
силу условия прилипания;
условие равенства скорости на внешней границе
пограничного слоя wx скорости внешнего потока: при у =
=6 имеем wx=Wq\
351

условие плавного сопряжения профиля скорости на
внешней границе пограничного слоя: (дхюх/ду)у=ъ =0.
Из первого условия имеем: d=0; из второго: 26 =0;
из третьего: Шо=аб3+сб и из четвертого условия:
За62+с=0. Следовательно, для двух оставшихся
коэффициентов имеем выражения: а=—A/2) (шо/6з);
с= C/2) (шо/б), которые позволяют записать профиль
скорости в следующем виде:
i?--4-*+¦§¦*• <14-5о>
где т]л = ї//б, 0^т]л^1 — безразмерная координата в пределах
пограничного слоя.
Уравнение энергии в системе A4.45) сходно по
форме с уравнением движения, естественно поэтому
принять для профиля температуры также кубическую
параболу с четырьмя коэффициентами. Четыре условия,
приведенные выше для профиля скорости, формально
годятся и для профиля температуры. Этот профиль,
следовательно, будет представлен аналогичным
выражением:
?Ї+ A451>
где r\t=y/ou j
Подставим уравнения A4.50) и A4.51) в
интегральное соотношение переноса теплоты A4.49). Выполнив
интегрирование и введя обозначения ил=6*/6, получим:
При выполнении интегрирования предполагалось,
что профиль скорости A4.40) справедлив в области
изменения r\t или даже в более широкой области; это
означает, что постулировалось усдовие хл^1, которое с
достаточно хорошим приближением выполняется для
газов и капельных жидкостей (исключая жидкометалличе-
ские теплоносители). В этом случае второй член в
скобках существенно меньше первого и его можно отбросить:
Выражения для o(d6/dx) и б2 можно получить,
подставив уравнение A4.50) в интегральное соотношение
импульсов A4.48). Эти выражения равны:
352

После их подстановки получаем нелинейное
дифференциальное уравнение относительно величины ил:
140/ о аъл\ 1
TSoW + ^'-zfj-TF-
Введем дополнительное предположение: Кл?=ї{х).
Оно оправдывается формальной аналогией
дифференциальных уравнений энергии и движения, а также
одинаковостью приближенных приемов по аппроксимации
профилей температуры и скорости. Тогда dnJcix—O и,
полагая 14/13« 1, получаем следующее соотношение для
толщин теплового и динамического пограничных слоев*:
Из уравнения A4.52) имеем выражение для
толщины динамического пограничного слоя:
&/* = 4,64//Re^. A4.54)
Выражения A4.53) и A4.54) представляют собой
главные результаты применения интегральных
соотношений переноса импульса и теплоты для
приближенного решения системы A4.45). Зная закон изменения
толщин динамического и теплового пограничных слоев
вдоль оси Ох, можно достаточно просто получить
расчетные формулы для теплоотдачи и трения.
Заменим в выражении A4.15) для числа Нуссельта
линейный масштаб /о величиной о*:
Nu8 = —
где Nu« =ax6tlk.
Производную температуры на стенке найдем по
выражению A4.51), учитывая, что 9='о/о
Местное (локальное) число Нуссельта связано с
числом Nu» очевидным соотношением:
ах х Ь* bt
Nu5= —f -f = Nu,, —.
АХ X
Отбрасывая в уравнении A4.55) лишний для простых
граничных условий знак минус и используя уравнения
* Различие между уравнениями A4.53) и A4.44) связано с
приближенностью расчетного метода.
353

A4.53) и A4.54), "получаем следующее выражение для
местной теплоотдачи:
Nu* = CRe^5Pr0'33, A4.56)
где коэффициент С =1,5/4,64=0,323. Непосредственное
решение системы A4.45) дает С=0,332; в последующем
изложении принято С=0,33.
Если рассматривается теплоотдача вдоль
поверхности с заданной длиной /о, то наиболее удобной
является следующая запись выражения A4.56):
Nu=0,33Re0.5Pr0'33X70'5, A4.56')
где Re = ny0/o/v, Х=х/10. Видно, что Nu=a*/oA=
=const Х~0'5, при этом const не зависит от координа-
гы X: const=0,33 Re°>5Pr°>33.
Средняя теплоотдача определяется согласно
уравнению A4.18) и для данного случая равна:
і і
Nu = \ NudX - const Г ;r-°'5flfX-const2;
0. 0
или
Nu = 0,66Re°'5Pr0'33, A4.57)
где Nu=а/0Д
Так же просто по закону изменения б вдоль оси Ох
можно рассчитать трение на стенке. Зная трение на
стенке, можно определить усилие, с которым поток
воздействует на нее. Вместо трения
обычно используется безразмерный коэффициент
трения:
2 fdWx
Cf~ -Ke V дУ
~Ке=шо/оЛ>, Wx=wx/w09 Y=yll0.
Если вместо /о в качестве масштаба ввести б, то
получим:
где Re6 =/
Согласно равенству A4.50), производная по нормали
к стенке для скорости Wx=wx/wq равна (dWxldr\n)rjjimo=
=3/2, поэтому c/=3/Res
354

Используя очевидное соотношение Res =Rex(b/x) и
уравнение A4.54), получим для местного (локального)
коэффициента трения следующее выражение
^ = 0,646//!^. A4.58)
Усилие, с которым поток воздействует на стенку,
определяется выражением
(где F — площадь поверхности) и может быть
рассчитано с использованием уравнения A4.58).
Представляет интерес связь между теплоотдачей и
трением, которую можно проследить по зависимости
теплоотдачи и трения от толщины пограничного слоя. По
формулам A4.56) и A4.58) видно, что вдоль оси Ох —
по направлению возрастания толщины пограничного
слоя теплоотдача и трение уменьшаются. Такой же
результат дают и определения коэффициента теплоотдачи
и трения на стенке по следующем формулам:
~ii(wol6). A4.59)
В наиболее компактной форме связь теплоотдачи и
трения можно выразить следующим образом. Для
местной теплоотдачи преобразуем формулу A4.56), разделив
на ReaPr. Левая часть формулы будет иметь вид:
Nu*/Re*Pr==St=a/pcpoy0, A4.60)
где St — число Стентона, отражающее соотношение между интен-
сивностями теплоотдачи и переноса теплоты потоком.
Принимая во внимание выражение A4.58), получаем
следующее обобщенное соотношение между
теплоотдачей и трением:
St=(c//2)A/Pr°.67),
которое при Рг=1 (для газов) приобретает простой
вид:
Si=c//2. A4.61)
Формула A4.61) имеет глубокий физический смысл,
указывая на единство механизма переноса теплоты и
количества движения (импульса). В ламинарном потоке
(слоистый поток с гладкими линиями тока), примени-
355

к KofopoMy й ?>а6ШаїрйЕаЛо?ь fioHflftffe
ного слоя, носителями теплоты и импульса являются
отдельные молекулы. Каждый слой ламинарного потока
характеризуется определенным значением температуры и
скорости. В движущемся гит, наїример, хаотическое
тепловое движение молекул является причиной обмена
теплотой и импульсом между отдельными слоями
плоскопараллельного движения; в капельных жидкостях
механизм обмена сложнее, но общий принцип переноса
сохраняется. Поскольку перенос теплоты и импульса
осуществляется одними и теми же носителями,
интенсивность этих двух видов переноса связана простой
зависимостью A4.61).
§ 52. Турбулентный перенос теплоты
Полученные по формулам A4.56х), A4.57) и A4.58)
значения теплоотдачи и трения сравнивали с
экспериментальными данными. Оказалось, что они справедливы
лишь в некоторой ограниченной области на передней
части поверхности 0^x^ZxKV. Эта область может быть
определена из следующего опыта (рис. 14.7). На малом
расстоянии от стенки устанавливается напорная
трубка 1 для измерения динамического давления
манометром 3; на стенке расположено отверстие 2 для отбора
статического давления. Если передвигать трубку по
направлению оси Ох, сохраняя неизменным расстояние от
стенки, то при хжхкх> резко возрастет динамическое
давление. Это указывает на переход ламинарного
пограничного слоя в турбулентный. Структура
турбулентного пограничного слоя существенно отличается от
структуры ламинарного пограничного слоя: вместо
плавного изменения скорости по нормали к стенке
наблюдается значительное изменение скорости в узкой области
(вязкий подслой) и относительно малое ее изменение в
основной части турбулентного пограничного слоя.
Напорная трубка находится вне вязкого подслоя, толщина
которого составляет менее 1 % полной толщины бт
турбулентного пограничного слоя, поэтому трубка
воспринимает изменение скорости kwx, характеризующее
различие между ламинарным (л) и турбулентным (т)
профилем wx(y). Серия подобных опытов позволяет
установить, что л:Кр зависит от вязкости и плотности ере-
356

ды и от скорости вйвш-
него потока ау0. Эта
зависимость может быть
представлена в виде:
Рис. Ї4.7
где ReKO — критическое число
Рейнольдса.
Процесс перехода
ламинарного течения в
турбулентное весьма сложен
и в настоящее время еще
недостаточно изучен.
Критическое число Рейнольдса определяется
экспериментально и зависит от большого числа различных
факторов. Явление этого перехода изучалось Г. Ха-
геном A839 г.), Д. И. Менделеевым A880 г.),
однако систематические исследования возникновения
турбулентного течения с установлением критерия перехода
были проведены О. Рейнольдсом в 1883 г. для потока
в круглой трубе. Критерием перехода оказался
установленный анализом единиц измерения комплекс pwd/\iy
где w — осредненная по поперечному сечению скорость,
a d — диаметр трубы. Последующими многочисленными
исследованиями было установлено существование двух
чисел Рейнольдса — верхнего и нижнего. Нижнее
значение равно примерно 2300; если Re=pt^d/(x^2300, то
устойчивость ламинарного течения невозможно
нарушить никакими возмущениями. В качестве верхнего
числа Рейнольдса обычно принимают значение Re=10 000,
при котором в трубах с технической шероховатостью
устанавливается развитое турбулентное течение. Однако в
гладких трубах с плавным входом и отсутствием
возмущений удавалось «затягивать» ламинарный режим до
значительно больших значений Re.
Процесс перехода ламинарного пограничного слоя в
турбулентный имеет качественное сходство с процессом
перехода в тру0е. В частности, здесь также существует
некоторый интервал для ReKp : ReKp«3-105-i-4-106.
Ламинарный пограничный слой на поверхности
обтекаемого тела образуется и в том случае, если
набегающий поток — турбулентный. Степень турбулентности е
внешнего потока (относительная величина пульсаций
скорости) влияет на число ReKP; характер этого влияния
357

см. на рис. 14.8 (где
ReBKp и ReHKp — верхнее
и нижнее критическое
число Re): с увеличением
степени турбулентности е
число ReKp уменьшается,
т. е. критическое сечение
х=хКр сдвигается влево к
передней кромке. Само
е-—" понятие критического се-
рис 148 чения (точки перехода)
условно. Заштрихованная
область на рис. 14.8
отражает факт существования зоны перехода шириной
Дякр. По экспериментальным данным верхняя граница
заштрихованной области на рис. 14.8 отстоит от
нижней границы примерно на 30—60 % (меньшие значения
для больших чисел ReKP). В таком случае величина
зоны перехода по отношению к среднему для данных
условий числу ReKp (пунктирная линия на рис. 14.8)
может быть оценена соотношением: AReKp« @,26-~0,46)
ReKP.
Если требуются сравнительно точные данные по
явлению перехода ламинарного пограничного слоя в
турбулентный, то значения ReKP и Дл:Кр определяют путем
эксперимента для конкретной ситуации. Для
ориентировочных расчетов обычно принимают ReKp« (l-f-5) 105,
а зону перехода заменяют точкой с координатой х=хкр.
Опыты по изучению механизма перехода
ламинарного течения в турбулентное в трубах и в пограничном
слое обнаруживают много общего. Общность эта
находит свое отражение в одинаковости количественных
критериев перехода: число ReKP имеет примерно один и тот
же порядок для трубы и для пограничного слоя на
пластине, если производить сравнение в сопоставимых
категориях. При этом радиус трубы ro=d/2 соответствует
толщине пограничного слоя б, а скорость на оси трубы,
вдвое превышающая среднюю wmax=2w9 — скорости
внешнего потока w0. Для пограничного слоя
соответствующее число Рейнольдса определяется следующим
выражением:
358

.—1
ЧсіУ)
Рис. 14.9
Таким образом, все соотношения берутся для
ламинарного режима. Расчет по этим соотношениям
приводит к следующим результатам:
для пластины при Re^ = wox(v. Re™11— 3-Ю5; Re^px =>4.1G6; для
пластины при Res — wob(v. Не^жн=2541, Re^px = 9280; для трубы
при Re - wdh - «W ro/v: Re^H - 2300, Re^x - 10000.
Видно, что нижнее и верхнее критические числа Re s
для плоскопараллельного пограничного слоя имеют тот
же порядок, что и соответствующие критические числа
Re для трубы.
На рис. 14.9 представлена схема перехода
ламинарного пограничного слоя в турбулентный, там же
показано характерное для турбулентного пограничного слоя
увеличение степени заполнения профиля скорости [по
отношению к прямолинейному профилю шхфхй)х(у)].
Чем объясняется такой характер турбулентного
профиля? Главная причина — возрастание интенсивности
обмена количеством движения в направлении нормали к
стенке по сравнению с этим явлением при ламинарном
течении; возрастание интенсивности обмена связано, в
свою очередь, с изменением носителей, которые
обеспечивают хорошее перемешивание среды в турбулентном
пограничном слое и выравнивание скорости в попереч-
359

ном направлении. Движение в ламинарном пограничном
слое можно популярно представить как перемещение
пакета листов, нижний из которых прилип к стенке, а
верхний увлекается внешним потоком. Сцепление между
промежуточными слоями (листами) происходит в
результате хаотического теплового движения молекул,
обеспечивающего обмен импульсом между слоями. Это
явление находит свое выражение в вязкости, при этом в
соответствии со сказанным вязкость газов возрастает с
ростом температуры.
Механизм молекулярного переноса импульса в
капельных жидкостях сложнее, переход молекул из слоя
в слой как основной фактор, по-видимому, не
происходит; согласно' одной из гипотез, передача импульса
происходит вследствие временного объединения молекул на
границе слоев. Уменьшение, вязкости капельных
жидкостей с ростом температуры можно объяснить
увеличением объема жидкости и ослаблением взаимодействия
между молекулами из-за увеличения расстояния.
При турбулентном режиме носителями импульса
становятся жидкие макрочастицы (турбулентные моли),
совершающие хаотическое движение пульсационного
характера, которое накладывается на основное
направленное движение жидкости (так называемое осредненное
движение). Полуэмпирическая теория турбулентности
Л. Прандтля основана на определенном сходстве
хаотического движения турбулентных молей с хаотическим
движением молекул в газе. Если, основываясь на этой
простейшей теории турбулентности, сравнить перенос
импульса турбулентными молями с переносом импульса
молекулами, то окажется, что турбулентный поток им:
пульса во много раз больше молекулярного. Поскольку
поток импульса через единицу поверхности,
параллельной направлению осредненного движения, равен трению
на этой поверхности, то естественно ввести понятие
турбулентного трения и формально связанной с таким
трением турбулентной вязкости: хт = [1т(дтх/ду)9 где \іт —
турбулентная вязкость. Так же формально можно
ввести кинематический коэффициент турбулентной вязкости
(кинематическую Турбулентную ВЯЗКОСТЬ) Vt —[1т/р.
Следует подчеркнуть различие между ^ и \хт (и
между v и vT): если молекулярная вязкость \i
характеризует физические свойства определенного вещества, то
турбулентная вязкость |лт является специфической харак-
360

теристикои турбулентного ftofoKa и зависит от его
гидродинамических параметров и координат.
Турбулентные моли переносят не только импульс, но
и теплоту. На этом основании вводится турбулентная
теплопроводность (коэффициент турбулентного переноса
теплоты): qT=XT(dt/dy)y где qT — плотность
турбулентного теплового потока; Хт — турбулентная
теплопроводность. Аналогично кинематической турбулентной
вязкости вводится турбулентная температуропроводность: ат=
=Хт/рср.
Как и турбулентная вязкость, турбулентная
теплопроводность %т (и турбулентная
температуропроводность ат) зависит от гидродинамических характеристик
турбулентного потока и координат.
Как уже указывалось, турбулентный пограничный
слой можно разделить на две области: вязкий подслой
и область развитой турбулентности. При более
тщательном анализе между ними выделяют буферный слой с
переходными характеристиками. В вязком подслое
преобладает молекулярная вязкость |х>|хт, или v>vT, и
молекулярная теплопроводность Х^>Хт, или а»ат. В
буферном слое эти величины имеют примерно один
порядок: V—'vT и а~ат. В области развитой турбулентности
турбулентные характеристики переноса существенно
больше молекулярных: vT3>v и ат^>а. Таким образом,
для турбулентного пограничного слоя в целом следует
пользоваться параметрами переноса вида: (v+vT) и
{а+ат) с целью охватить одним выражением .все три
области — вязкий подслой, буферный слой и область
развитой турбулентности.
Запись уравнений пограничного слоя для
турбулентного режима после введения понятий турбулентной
вязкости и турбулентной теплопроводности можно
осуществить в форме, аналогичной системе дифференциальных
уравнений ламинарного пограничного слоя A4.45),
однако при этом необходимо сделать одну существенную
оговорку. Если в стационарном ламинарном потоке
рассматривается поле вектора скорости, касательного к
линии тока в данной точке пространства (при этом ни
длина, ни направление этого вектора не изменяются во
времени), то для турбулентного потока все значительно
усложняется. Вектор скорости нерегулярным, хаотическим
образом изменяется как по модулю, так и по
направлению. Конечно, и в этом случае можно сказать нечто
361

определенное о скорости, поскольку напорная трубка е
турбулентном потоке позволяет определить ее значение
выданной точке (см. рис. 14.7). Однако поле скорости в
турбулентном потоке описывается специфическим
способом: скорость в точке представляется в виде суммы
двух векторов — вектора_осредненной скорости и вектора
пульсации скорости w=w+w'. Пульсирующий
характер имеет и поле температуры*: t=t-\-f, где t — осред-
ненная температура; V — пульсация температуры.
Если при выводе дифференциальных уравнений
конвективного теплообмена для температуры и скорости
использовать приведенные выше двучленные выражения,
то получаются уравнения в обычной форме для осред-
ненных величин; эти уравнения, однако, содержат
дополнительные члены, обусловленные пульсациями
скорости и температуры. Эти члены можно отбросить, но
для компенсации нужно увеличить вязкость и
температуропроводность, заменив эти молекулярные
характеристики переноса турбулентными, или точнее —
коэффициентами вида (v+Vt) и (а+Ят).
Система дифференциальных уравнений
конвективного теплообмена в приближении пограничного слоя для
турбулентного режима движения с учетом сказанного
может быть записана следующим образом:
дЧ
A4.62)
Общие допущения здесь аналогичны принятым для
системы A4.45): величины o, wx и wy — осредненные,
но черточка осреднения опущена для сокращения
записи.
К системе дифференциальных уравнений A4.62)
необходимо добавить следующие условия однозначности
(граничные):
на стенке {хкр^х^.1о, #=0):
* А также поля других физических величин — давления,
плотности в сжимаемой среде и др.
362

на внешней границе пограничного слоя
Ь 6)
w*=wo\ -0 = 0«. A4.63')
В отличие от системы A4.45) система уравнений
турбулентного пограничного слоя A4.62) является
незамкнутой. Число уравнений равно трем, а число
неизвестных функций — пяти: Ф, wx, wy, aT и vT. Следовательно,
необходимо добавить еще два уравнения — для
определения величин ат и vT. Как и прочие уравнения, два
этих новых уравнения должны явиться результатом
выражения некоторых закономерностей в математической
форме. Основные физические законы сохранения
энергии, импульса и массы уже использованы для
уравнений энергии, движения и сплошности. Речь может идти,
таким образом, о некоторых теориях и гипотезах,
объясняющих механизм турбулентного переноса импульса и
теплоты.
Вопрос о дополнительном уравнении для
определения турбулентной вязкости vT можно решить путем
использования полуэмпирических теорий турбулентности,
простейшей из которых является теория пути смешения
Л. Прандтля; основные положения этой теории и метод
определения величины vT рассмотрены в примере 14.2.
Что касается дополнительного соотношения для
определения турбулентной температуропроводности ат, то
здесь используется постулат, известный под названием
аналогии Рейнольдса, устанавливающей условия
идентичности безрамерного поля температуры
безразмерному полю скорости в турбулентном пограничном слое. На
мысль об аналогии между процессами переноса теплоты
и импульса наводит анализ ламинарного пограничного
слоя. Если Рг=1, то толщина динамического и
теплового пограничных слоев совпадает F=6*), поля
безразмерной скорости Wx/w0 и безразмерной температуры
совпадают, т. є. и)х(у)ІЩ=и(у)Іиж и между
теплоотдачей и трением существует простая связь [см. формулу
A4.61)]: St=C//2.
Аналогия Рейнольдса распространяет эти
положения на турбулентный пограничный слой. Для этого
достаточно, чтобы турбулентное число Прандтля Ргт=
=vt/ot равнялось единице, т. е. aT=vT. При этом
безразмерные уравнения энергии и движения системы
A4.62) имеют одинаковые безразмерные коэффициенты:
363

Pe3C=ReA;; aT/a=vT/v и, следовательно, их решения
идентичны &{y)l&x=wx(y)/w0.
Взяв производную от левой и правой частей этого
выражения по у в точке у=0, заменив производные
выражениями qj% и тс/|ы и разделив обе части на pcvwOi
получаем при Рг=1 формулу A4.61), что и
представляет собой главный результат применения аналогии
Рейнольдса.
После замыкания систему A4.62) можно решить.
Воспользуемся для этой цели интегральным
соотношением Т. Кармана, которое, конечно, справедливо и для
турбулентного пограничного слоя:
d С тс
5J \ wx(?>*—wx) dy = —;
о
здесь бт — толщина турбулентного динамического пограничного
слоя; wx=Wx(y)—профиль скорости в турбулентном
пограничном слое; Тс — трение на стенке в заданном сечении х.
При расчете турбулентного пограничного слоя в
отличие от ламинарного в том или ином виде должны
использоваться результаты эксперимента; это
обусловлено сложностью механизма турбулентного переноса и
отсутствием его полного чисто теоретического описания.
Первые экспериментальные исследования трубулентного
движения относились к течению жидкости в круглой
трубе. Так, в 1913 г. путем обработки многочисленных
опытов для круглых гладких труб Г. Блазиус установил
следующую эмпирическую зависимость:
^0,3164/Re1/4,
где ?-—коэффициент сопротивления трения: g = 2 (Ар/рш2) с///;
Формула Г. Блазиуса справедлива до Re=105.
Несмотря на свое эмпирическое происхождение, формула
Блазиуса несет в себе достаточно информации для
расчета турбулентного пограничного слоя. Это является
следствием определенной структурной общности, которой
обладает турбулентный поток в трубе и в пограничном
слое. Для использования интегрального соотношения
Кармана необходимо знать профиль скорости в
турбулентном пограничном слое и трение на стенке. Получим
эти функции из формулы Блазиуса.
364

Связь между перепадом "давления по длине трубы и
трением на ее стенке устанавливается следующим
условием равновесия сил Ар (nd2/4) =xcndl, откуда Др=
=4tc(//d). Подставляя это в выражение для ?, имеем
(/8)*
c(E/)p
При использовании формулы Блазиуса для
пограничного слоя необходимо учесть, что вместо средней по
сечению скорости в трубе w следует брать скорость
внешнего потока wo, а вместо радиуса трубы 0,5 d —
толщину пограничного слоя бт; соотношение между
скоростями таково: w=O,8wmax=O,8wo, где Wmax — скорость на
оси трубы. С учетом всех этих замен имеем следующее
выражение для трения на стенке в плоском
турбулентном пограничном слое:
тс =0,0225ро>2о(уДіУобтI/4. A4.64)
Профиль скорости легко получить из выражения
A4.64). Для этого достаточно принять гипотезу о
постоянстве турбулентного трения по толщине
пограничного слоя: xT?=f(y) =const. Подчеркнем, что речь идет
о турбулентном трении, которое принимается
постоянным в интервале бв.п^У^бт, где бв.п — толщина
вязкого подслоя. В самом вязком подслое (см. рис. 14.9
область а) в связи с его малой толщиной [бв.п=A0''2-г-
-г-Ю-^от , см. пример 14.2] и преобладанием
молекулярной вязкости обычно принимается прямолинейный
профиль скорости, что по закону вязкого трения
Ньютона дает т=const и, следовательно, тс=тв.п, где
Тв.п — трение на границе между вязким подслоем и
турбулентным ядром. В силу сказанного трение
постоянно в интервале О^у^бт и равно трению на стенке тс.
В этом случае для произвольного значения у из
области турбулентного ядра бв.п^#^бт справедливо
соотношение:
тс
которое можно переписать так: const=wx7^y~l/ir при
этом в константу включены все величины, кроме w и у.
Из последнего выражения получаем степенной профиль
скорости wx=const i/1/7, известный под названием
«закон одной седьмой». Константу можно определить по
условию на внешней границе пограничного слоя: до=
=ге>о при #=бт;
177. О4-65)
365

Подставим уравнение A4.65) под знак интеграла в
интегральное соотношение Кармана и выполним
интегрирование в пределах 0—бт, пренебрегая толщиной
вязкого подслоя:
2 I f У V f - У N1/7
^0
Г ( у Y/7 Л у У
Тогда, подставив равенство A4.64) в правую часть
интегрального соотношения, получим:
7 2аьт 0,0225 p^v1/4 і
или
Ьт'25сГ5т = с0 tf*. где со= G2/7H,0225Qy0-0'25v0-25.
Возьмем от левой части интеграл в пределах 0—бт,
а от правой — от 0 до х\ в результате получим: бт1>25=
= 1,25с0л: или бт= A,25сол:)о>8. Это соотношение дает
закон изменения толщины турбулентного пограничного
слоя бт вдоль поверхности теплообмена, который можно
представить следующим образом:
BT/jt = 0,371Re70'2' . A4.66)
где Rex=woxlvy при этом расстояние х отсчитывается
от начала турбулентного пограничного слоя.
Формула A4.66) есть решение гидродинамической
части задачи о переносе теплоты в турбулентном
пограничном слое. Подставив бт из формулы A4.66) в
выражение A4.64), можно рассчитать трение на стенке, а
при использовании формулы A4.65)—поле скорости.
Для расчета коэффициента теплоотдачи необходимо
воспользоваться аналогией Рейнольдса, которая
выражается формулой A4.61), замыкающей, как указано выше,
систему уравнений A4.62). Из формулы A4.64) имеем:
ГДЄ Re6>T = ^o8t/v-
Используя очевидное соотношение ReSiT==ReAFT/A:)
и формулу A4.66), получим
cf = 0,0576 ReJ0'2. .A4.67)
366

Подставляя выражение
A4.67) в выражение
аналогии Рейнольдса St=r//2,
имеем
St = 0,0288 ReJ0'2 A4.68)
или
Укп
Ук
X
\
—-t- гч
АХ
Дх
лк+2
Рис. 14.10
При получении формулы
A4.68) использован
простейший вариант аналогии
Рейнольдса при Рг=Ргт = 1.
Кроме того, при
использовании интегрального
соотношения Кармана пренебрегали толщиной вязкого
подслоя. При учете допущений расчетная формула имеет
вид:
Niij- 0,0296 Re°'8 Pr°'43. «A4.69)
Пример 14.1. Оценка среднего значения производной.
Приближенно производную функции можно представить конеч-
норазностн-ым отношением (рис. 14.10):
где &yh~yk+i—yh — конечная разность первого порядка.
Конечная разность второго порядка определяется как разность
между разностями первого порядка:
А2уи=Ayh+1—Ауь=уи+2—Ук+1— (Ук+ і—У к) = yh+2—2 ун+ i+Ук.
Вторую производную можно приближенно представить как
отношение конечной разности второго порядка к квадрату
приращения аргумента:
Оценим возможный интервал изменения выражения
Д20А=0*+2—2yh+i—ук. A4.70)
Если функция y=f(x) близка к положению 1 (см. рис. 14.10),
то получаем минимально возможно§ значение выражения A4.70),
равное нулю; следует отметить, что в таких случаях вопрос об
оценке второй производной проєто не возникает, ибо ситуация
очевидна. Далее оценим значение второй нроизводной в двух
предельных случаях 2 и 3. В случае 2 получаем следующее значение
выражения A4.70):
где
= (Ук+2—Ук)/2.
367

Для случая І имеем следующую
Значит, абсолютное значение второй првадіедивй в
рассматриваемом интервале ограничивается следующими крайними
значениями:
Оценка среднего значения производных (определение порядка
величины производных) необходима при анализе дифференциальных
уравнений конвективного теплообмена, в которых встречаются
члены типа у(дуіІдхі), dyt/дхь д2уі1дх2і. Как правило, порядок
величины производной необходимо знать для того, чтобы сравнить между
собой отдельные члены и отбросить члены, малые по сравнению
с другими. При этом сама функция yi=f(Xi) не известна (она
является решением исследуемых уравнений), но интервалы изменения
Уі и Хі известны из граничных условий. Учитывая приближенность
оценки величины производной, можно считать интервалы изменения
величин у и х не малыми, а имеющими конечную величину,
например: и^я^гяо; О^у^уо. В этом случае оценку порядка
первой и второй производной можно записать следующим образом;
dy/dx « А #/Дл;~>0 (dy/dx) = yolxo; A4.71)
= yQ/x\ A4.72)
где обозначение О означает «порядок величины» (от латинского
ore о — порядок).
К формулам A4.71) и A4.72) можно прийти и другим путем.
Пусть имеется неизвестная функция y=f{x), при этом О^х^хо\
О^у^Уо. Заменим неизвестную функцию степенной зависимостью
yl==axn (рис. 14.11). Степень п выберем таким образом, чтобы
оцениваемая производная была постоянной величиной — это
значение и послужит искомой оценкой. Например, для оценки второй
производной можно принять уі=ахп, при этом а=уі1хп=уо1хпо.
Вторая производная равна d2yJdx2=2a—2{yQlx2o) или U(d2yldx2)=*
W2
o
Этим методом можно оценить порядок производных и более
высокого порядка: 0{dnyldxn)=yo/xno, однако необходимость в .этом
возникает редко.
Использование оценки порядка производных см., например,
в § 49 при выяснении физического смысла безразмерных чисел,
в § 51 при составлении уравнений пограничного слоя и т. д.
Пример 14.2. Сравнение молекулярной и турбулентной вязкости.
Напомним определение вязкости в кинетической теории газов
(рис. 14.12, а). Сквозь контрольную поверхность 5—s за единицу
»времени в каждом из направлений вдоль оси О у (положительном
«+» и отрицательном «—») в расчете на единицу площади
проходит я7/6 молекул, где п — число молекул в единице объема, с —
средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул.
Соответствующая плотность потока массы равна nmc/6=pc/6, где
т — масса молекулы, р — плотность газа. Молекулы являются но-
368

сителями импульса, потоки которого определяются выражениями:
вверх
?+ = — pcwx\
вниз
результирующего
1
L~—L+= -jn-
В соответствии с основным законом динамики результирующий
поток импульса равен силе трения на поверхности s—s. Полагая
Дш*= (dwx/dyJ%, где Я — средняя длина свободного пробега
молекул, лолучим
1 - dwx
где %ух — напряжение трения на поверхности s—s, Н/м2.
Сравнивая это выражение с,
законом вязкого трения Ньютона у
получаем следующие формулы для
вязкости:
динамической
кинематической
Рис. 14.11
У
/Л
0
У.
Рис. 14.12
13 Зак. 508
* 369

Полуэмпирическая теория* турбулентности Л. Прандтля (тео<
рия пути смешения) основана на аналогий между свободной длиной
пробега молекул и длиной пути смешения — этот путь проходит
турбулентный моль от своего зарождения до распада. Скорость
движения моля на пути ^смешения равна пульсации скорости потока
_>_>.,->_». .*.
в данной точке w'=w — w, где w — мгновенная скорость w—
скорость осредненного движения. Перенос массы вдоль оси Оу
(рис. 14.12,6) осуществляется г/-компонентной пульсацией вектора
скорости, плотность потока массы равна pw'y/2. Турбулентные моли
являются носителями импульса, плотность потока которого через
контрольную поверхность равна:
вверх
вниз
_ 1 , _ _
LT = — pwy (wx + Awx);
результирующего
Результирующий поток импульса приводит к возникновению
силы турбулентного трения на поверхности s—s. Принимая для
приращения осредненнои скорости выражение
где / — длина пути смешения, получаем следующее выражение для
напряжения турбулентного трения:
Оценка поперечной пульсация скорости w'y может быть
произведена, согласно Л. Прандтлю, на основании следующих
соображений. Пусть два турбулентных моля — сверху и снизу — приходят
на контрольную поверхность s—s; скорость моля, пришедшего
сверху, равна wx+Awx, а пришедшего снизу — wx. Следовательно, оба
моля нач_нут сближаться в плоскости 5—5 с относительной
скоростью &Wx. В силу сплошности жидкости с такой же скоростью
будет «выдавливаться» в поперечном направлении среда,
находящаяся между сближающимися молями. Движение этой среды и
порождает поперечную составляющую пульсации скорости jp'y,
которая должна, таким образом, быть величиной порядка &wx.
Случаю расхождения молей соответствует пульсация противоположного
знака. На основании сказанного имеем O(w'y)~kwxat (dwx/dyJt.
Подставляя значение wry в выражение напряжения турбулентного
трения Тух.т» включим неизвестный коэффициент
пропорциональности в величину /, предполагая определить длину пути смешения
* Полуэмпирические теории описывают явление уравнениями с
точностью до констант, определяемых из опыта (т. е. эмпирически).
370

по экспериментальным данным. Тогда получаем следующее
выражение дли напряжения турбулентного трения:
Тух,т=р12(дхпх1ду)*. A4.73)
Поскольку турбулентная вязкость вводится на основе
формального использования закона вязкого трения Ньютона для
турбулентного потока (см. § 52), имеем следующие формулы для
вязкости:
турбулентной
кинематической
где черта осреднения в обозначении продольной скорости wx
отброшена для упрощения записи.
Длину пути смешения / можно определить по профилю
скорости wx(y) для турбулентного потока вблизи стенки; отдельные
значения скорости находят по экспериментальным измерениям
динамического напора рш2«/2. Предварительно необходимо получить
формулу для профиля скорости с неизвестными константами.
Первая константа вводится на основе физического смысла пути
смешения. При приближении к стенке (#->0) пульсации уменьшаются
из-за возрастающего эффекта молекулярной вязкости, в пределе —
в вязком подслое — пульсации должны исчезнуть полностью,
следовательно, должно быть /~>0. При удалении от стенки наблюдается
обратная закономерность: возрастание / с увеличением у. В первом
приближении можно принять линейную зависимость 1=ку. Вторая
константа вводится на основе довольно сильного, на первый взгляд,
упрощения: турбулентное трение тух,т предполагается неизменным
вдоль у и равным своему значению на стенке: тУх,т=Тс = const.
Оказывается, что это предположение хорошо подтверждается
экспериментом.
Приняв две указанные гипотезы, можно записать выражение
A4.73) в безразмерном виде, использовав для скорости масштаб
w*x=V~ Тс/р, который называют динамической скоростью, а для
длины — масштаб l*=v/w*x, называемый динамической длиной.
Применив эти масштабы, имеем:
Тс=рх2г/2(о^/%J->^ф= A/и) (dr\li\)9 A4.74)
где q> = wx/w*x — безразмерная скорость; ц=у11* — безразмерная
координата.
Интегрирование выражения A4.74) дает выражение для
логарифмического профиля скорости:
ср=A/и) \пц+с, A4.75)
где константы 1/хи с следует определять из эксперимента,
например, как угловой коэффициент и постоянную прямой, проведенной
по опытным точкам в координатах ср и 1пт]. Согласно данным
И. Никурадзе, для турбулентного течения в прямых трубах с
гладкими стенками константы логарифмического профиля скорости
имеют следующие значения: и «0,4; с «5,5; эти же значения
практически пригодны и для турбулентного пограничного слоя на плоской
поверхности.
13* Зак. 608 371

Теперь можно сравнить турбулентную и молекулярную
вязкости; кстати, обращает на себя внимание сходство формулы
молекулярной вязкости v = cV3 с формулой турбулентной вязкости
V9=*l2(dwxldy)t если учесть аналогию между средней длиной
свободного пробега молекулы X и длиной пути смешения /, а также
между скоростью поступательного движения молекулы с и
скоростью движения турбулентного моля w'yttt(dwxldy).
Выражение для отношения vT/v получим как функцию
расстояния от стенки у и числа Рейнольдса потока Rex=Wox/v. Вводя
в формулу для vT безразмерную скорость ф и безразмерную
координату г), имеем:
v?=K2w*xl*r\2(d<p/dr\) или VT/v=K2(w*
Учтем, что составленное из масштабов число Рейнольдса
равно единице (w*xl*lv=\), а выражение r\2(dyldr\), согласно
формуле A4.74), равно ї]/х. Тогда получим:
Теперь следует заменить универсальную координату г\
естественной безразмерной координатой г)т=#/бт, где от — толщина
турбулентного пограничного слоя; для этого необходимо использовать
экспериментальные значения трения на стенке тс. Используем
закон сопротивления Блазиуса для труб E=0,3164Re-0»26, который
применительно к пограничному слою на плоской поверхности имеет
вид (см. § 52):
тс = Р«? - 0,0225Pwg Re^0'25, A4.76)
где Rea=a>oOT/v. Универсальная координата г) согласно своему
определению [см. формулу A4.74)] равна:
Поэтому, беря w*x из выражения A4.76), имеем:
S875^. A4.77)
Закон изменения толщины турбулентного пограничного слоя
вдоль плоской поверхности, полученный в § 52, имеет вид: бт/*=
=0,3707Re j0,тогда из очевидного соотношения Reg =RexFT/^)
получаем Reg =0,3707Re^8 и, подставляя это в формулу A4.77),
имеем формулу связи между универсальной и естественной
координатами по нормали в турбулентном пограничном слое:
4 = 0,06295Re?'7iiT. A4.78)
Для отношения турбулентной вязкости к молекулярной
получаем следующее окончательное выражение:
vT/v = 0,02518 Re^'7 %, A4.79)
где 0,02518=0,4-0,06295.
372

Ниже приведены результаты расчета по формуле A4.79) для
значения числа Рейнольдса Rex==107:
%• % 0,3 1 5 10 50
vT/v=2,00.10873T 6 20 100\200fc 1000
Видно, что при малых значениях г]т турбулентная и
молекулярная вязкости сравнимы по величине. Это происходит, очевидно,
вблизи вязкого подслоя, где пульсации скорости затухают. Толщину
вязкого подслоя нетрудно оценить.
Наиболее простое предположение о профиле скорости в вязком
подслое состоит в том, что профиль этот прямолинеен: wx=const у.
Константа должна удовлетворять краевым условиям: условие
прилипания на стенке выполняется автоматически, на границе
между вязким подслоем и областью развитой турбулентности должно
быть */=6в.п и Wx=wBM; тогда соп8І=аув.п/бв.п. Если перейти
к универсальным переменным ф и т), то профиль скорости в
области вязкого подслоя дается выражением (рис. 14.13):
WB.n I*
^в. п w*
X
Поскольку трение в вязком подслое равно трению на стенке
коэффициент оув.п/*/^*х6в.п тождественно равен единице и для
профиля скорости имеем простое выражение: ф = т).
Этот профиль сращивается в точке А (см. рис. 14.13) с
универсальным логарифмическим профилем A4.75). Из условия
сращивания ,
фв'п = Чв. п = — In т)в#;п + с
с учетом того, что х=0,4 и с=5,5, находим: rjB.n
Используя формулу A4.78),
получаем следующую оценку для
толщины вязкого подслоя
т?*п= И ,5/0,06295 ReJ»7 =
- 182,7/Re^'7.
Для условий представленного
выше расчета, т. е. для Re*=
= 107, вязкий подслой занимает
примерно 0,23 % толщины
турбулентного пограничного слоя.
Рис. 14.13
11,5.
373

ГЛАВА 15. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
§ 53. Теплоотдача при обтекании
плоской поверхности
Вынужденное движение жидкости вдоль плоской
поверхности как задача конвективного теплообмена
представляет интерес, во-первых, как классический
пример применения теории пограничного слоя (этот аспект
подробно рассмотрен в § 51 и 52) и, во-вторых, как
практически важный процесс, используемый, например,
при воздушном отоплении.
Связь местного коэффициента теплоотдачи а* со
скоростью невозмущенного потока до0, расстоянием х
от передней кромки плоской поверхности и теплофизи-
ческими параметрами жидкости выражается формулой
A4.56)—для ламинарного пограничного слоя и
формулой A4.69) —для турбулентного. Зависимость
теплоотдачи от скорости для ламинарного пограничного слоя
слабее, чем для турбулентного: а*~'О^ по формуле
A4.56) и a*~oyg'8 подформуле A4.69).. Изменение ах
вдоль плоской поверхности показано на рис. 15.1, а (см.
также рис. 14.9); для ламинарной области («л») ах~
~х-°'5, для турбулентной области («т») <хх~х-0>2.
Осреднение коэффициента теплоотдачи производится по
формуле A4.17):
для области «л»:
ал - A/*кР) f Лл х-*'*их - 2Ллх~0'5 - 2а, (хкр)\ A5.1)
для области «т»:
ат= (l/*T)f Атх~°>2 dx = 1,25 Лт*70'2 = 1,25а, (д:т), A5.2),
где *т=я-—*кр — координата, отсчитываемая от начала
турбулентного пограничного слоя; Лл и Лт — константы, определяемые
соответственно по формулам A4.56) и A4.69).
• При получении формул A4.56) и A4.69)
предполагалось, что теплофизические свойства жидкости р, ср, Я
и |л не зависят от температуры. В действительности
374

Рис. 15.І
такая зависимость существует, при этом в области
умеренных температур наиболее существенной оказывается
связь [i=[i(t) для капельных жидкостей. Известно, что
вязкость капельных жидкостей уменьшается при
повышении температуры. Применительно к пограничному слою
это означает, что толщина его у «горячей» стенки будет
меньше, чем у «холодной»/ при этом «горячей» условно
считается стенка с температурой fc^>tm, а «холодной»—
с температурой і"с<ііж. Указанное явление есть прямое
следствие формулы A4.40), согласно которой при
одинаковых скоростях величина б меньше для жидкости с
меньшей вязкостью: 6~|л0'5. Эта закономерность
сохраняется и для толщины теплового пограничного слоя:
согласно формуле A4.53), б*~іло'5/іл°>33=іл0'17, так как
Pr=[iCv/X. Таким образом, толщина пограничного слоя
зависит от знака разности температур іж—tc или, как
еще говорят, от направления теплового потока.
На рис. 15.1,6 показано, что при одном и том же
модуле величины фж=<ж—tc толщина «холодного»
пограничного слоя b"t (направление теплового потока от
жидкости к стенке) больше толщины «горячего» o't
(направление теплового потока от стенки к жидкости).
Понятно, что для коэффициента теплоотдачи
зависимость будет обратной [см. первую формулу t( 14.59)].
Сказанное распространяется и на турбулентный
пограничный слой. .
375

Для учета температурной зависимости вязкости
капельной жидкости в формулы для расчета теплоотдачи
вводят поправку (Ргж/РґсH'25, предложенную М. А. Ми-
хеевым; используются также поправки вида (\Хж1\Хс)п.
Расчетные формулы для средней теплоотдачи при
обтекании плоской поверхности имеют вид:
rcH»25, Re<ReKp; A5.3)
Nu = 0,037Re0'8 Рг^43(Ргж/РгсH'25, Re >./?eKp. A5.4)
Обычно принимают ReKP=^o*KP*Kp/v«5-lO5.
Определяющим размером в числах Nu и Re является длина
/о поверхности вдоль направления потока, измеряемая
от начала соответствующего пограничного слоя: для
формулы A5.3) О</о<хКр, для формулы A5.4) /0 =
=хт. Если турбулентный пограничный слой начинается
от передней кромки плоской поверхности, то для
формулы A5.4) 1о=х. Определяющей температурой, по
которой из таблиц выбираются величины Я, v и Ргж,
является іЖу величина Ргс берется по температуре tc.
Коэффициенты 0,66 й 0,037 взяты с учетом формул A5.1) и
A5.2). Поправка (Ргж/РгсH'25 используется только для
капельных жидкостей.
Если Рг=0/700 (воздух при 35 °С и атмосферном
давлении), то формулы для средней теплоотдачи
принимают вид:
N7==0,587Re0'5, Re^ReKP; A5.5)
L Re>ReKP. A5.6)
§ 54. Конвективный теплообмен
при течении жидкости в трубах
Теплообменные аппараты, основным конструктивным
элементом которых является труба, наиболее широко
распространены на практике. Трубные системы
используются также для транспорта теплоносителя (например,
при отоплении, вентиляции, теплоснабжении), в этих
случаях желательно сохранить энтальпию потока. При
этом для правильного использования тепловой изоляции
необходимо знать коэффициент теплоотдачи на
внутренней поверхности трубы (например, воздуховода с
нагретым воздухом).
Теплообмен при течении жидкости в трубах (так
называемая внутренняя задача) имеет ряд особенностей
376'

W,
777
A
¦5г-
Рис. 15.2
по сравнению с конвективным теплообменом на
внешней поверхности тела, обтекаемого потоком (внешняя
задача). Эти особенности обусловлены ограниченностью
потока и изменением его характеристик вдоль
направления течения.
Ламинарное течение в трубе происходит при Re=
= oy0d/v^2300, где wo = G/pf — средняя по сечению
трубы / скорость жидкости; d — внутренний диаметр
трубы; v — кинематическая вязкость. При невозмущенном
потоке на входе в трубу в начальном сечении при x=0
имеем однородное поле скорости (прямолинейный
профиль)— рис. 15.2. У стенки трубы формируется
пограничный слой, толщина его растет в направлении потока
и при х — 1п заполняет все поперечное сечение трубы,
при этом o=d/2. Оценить величину /н можно на основе
формулы A4.54) для плоского пограничного слоя,
которую можно представить так: x/o= A/4,64J^06/v; при
o = d/2 имеем x/d—Q,0116Re, т. е. величина U/d состав-
377

ляет примерно 1 % величины Re. Более точные расчёты
дают следующее значение длины гидродинамического
начального участка для ламинарного режима:
/H/d=0,065Re. A5.7)
Формируется и тепловой пограничный слой,
толщина которого по формуле A4.53) равна бе=б/улРг7
откуда видно, что длина теплового начального участка
будет тем больше, Ч€м больше Рг. Эта длина
определяется формулой:
/H>f/d=0,055Re Pr. A5.8)
Формулы A5.7) и A5.8) получены на основе
расчёта двухмерного поля скорости w=w(r, x) и
температуры t=t(r, х) в трубе (г — радиальная координата,
0^r^d/2). Поэтому при Рг=1 имеем /н=#=/м, хотя
теория пограничного слоя дает в этом случае 6=6* и
следует ожидать, что заполнение трубы динамическим и
тепловым пограничными слоями произойдет при одном
и том же значении х. По формулам A5.7) и. A5.8) это
происходит при Рг«1,18. Расхождение показывает, что
трактовка процессов на начальном участке трубы с
позиций модели плоского пограничного слоя является
приближенной.
Пр'и Re=2300 имеем /Н«15(И. Для трубы с
внутренним диаметром d=20 мм длина /н=3 м, а длина /н>*
при Рг=7 (вода при 20 °С) равна /н,* = 17,7 м. Числу
Re=2300 для рассматриваемой трубы соответствует
скорость t^o«O,12 м/с. Расчет, следовательно, показывает,
что длина начального участка может быть весьма
значительной и охватывать большую часть теплообменной
поверхности. і
Расчет теплоотдачи на начальном участке трубы
можно основывать на закономерностях для плоского
пограничного слоя. Например, беря за основу формулу
A4.56), получаем следующую зависимость для
местной теплоотдачи:
Ыих.тр^ЫиД^^ЧРгж/РгсH'25, A5.9)
где NujcfTp = aKx/X — местное число Нуссельта для трубы; Ntu —
число Нуссельта, определяемое по формуле A4.56); х — расстояние от
начального сечения трубы.
Сомножитель (x/d)°>x учитывает особенности
формирования пограничного слоя в трубе, из-за него ах~
~г-°'4 [вместо ах — *~0'5 по формуле A4.56)]. Форму-
378

ла A5.9) справедлива для постоянного теплового
потока на стенке <7c=const. Определяющая температура —
средняя по сечению х.
На основе тщательно выполненных экспериментов и
теоретических исследований Б. С. Петуховым/были раз-,
работаны надежные расчетные зависимости для
теплоотдачи при ламинарном режиме. Средний коэффициент
теплоотдачи в них представлен как функция
приведенной длины трубы. Формулу A5.8) можно записать
следующим образом: Pe~1/H,f/d=0,055 (где Pe=RePr), или
LH,*=0,055. Для трубы с длиной /</н>* можно ввести
понятие приведенной длины трубы Lt=Pe~ll/d; при этом
011
Среднее по длине трубы число Нуссельта
определяется выражением
Ш - l,55I7°'33e OWncH'14, A5.10)
где Nu=ctf//X (здесь а — средний коэффициент теплоотдачи); 8 —
поправка на гидродинамический начальный участок, рассчитываемая
по формуле: e=0,6(l+2,5L)Z,-0'14, где L=LtPr.
Условия применения формулы A5.10) таковы:
<0,05; 1<0,1; 0,07 < (цж/м^-^ібОО (капельные
жидкости— нефтепродукты, вода). Коэффициент а отнесен
к среднему логарифмическому температурному напору'
Аіл (рассматривается ниже в данном параграфе),
который при l^ln,t чаще всего можно заменить средним
арифметическим Аіа=0,5(і'ж+і"ж)— tCy где ґж, *"» —
температура жидкости на входе в трубу и выходе из
нее. Отнесение а к определенному температурному
напору означает, что при определении теплового потока
после расчета а по формуле A5.10) следует _использо-
вать именно этот температурный напор: Q=aA^Jtd/AJ
Дґгі/". Определяющая температура равна fOnp==
*), ГДЄ ?ж=*с±Д*л«*с±Д*а.
Расчет теплоотдачи по формуле A5.10) производится
для так называемого вязкостного течения —
разновидности ламинарного режима с преобладающим влиянием
сил вязкого трения и несущественным влиянием
свободной конвекции (подробнее см. § 56).
Расчетная формула A5.10), а также приближенная
формула A5.90 справедливы для теплового начального
379

участка. Как следует из этих формул и согласно
рис. 15.2 (где для простоты принято /н=/н,0» местный
коэффициент теплоотдачи ах уменьшается вдоль
потока по мере роста толщины пограничного слоя б.
Возникновение пограничного слоя и возрастание б являются
причиной деформации профиля скорости w—w(r) при
0^х^1к. Скорость wm на оси трубы при г=0
возрастает, компенсируя уменьшение w в области
пограничного слоя, т. е. при г0—б^г^го ro=O,5d. При этом
средняя по сечению скорость w=.GIpf сохраняется
постоянной, ибо G, f и р —постоянны( жидкость несжимаема).
При х=1н скорость wm принимает максимальное
значение wm=2wo=2w. Вправо от этого сечения при
х>1к располагается область стабилизированного
течения, в которой профиль скорости не изменяется вдоль
потока и описывается параболой Пуазейля №=2A—
—/?2), где W=w/w0; R=rlr0. Параболу Пуазейля
легко получить интегрированием уравнения движения
A2.29), если перейти к цилиндрическим координатам,
сохранить только силы вязкости и давления и учесть,
что скорость потока не изменяется вдоль оси трубы:
()ФЇ()
Вместе с деформацией профиля скорости
деформируется и профиль избыточной температуры '0=^—tc.
Температура на оси трубы От сохраняет постоянное
значение в пределах теплового начального участка (см.
график &m=&m(x) на рис. 15.2): при x^lH,t имеем Фт=
=ф'=і('ж—tc. Вправо от сечения x=lH,t располагается
область стабилизированного теплообмена, в которой
коэффициент теплоотдачи не изменяется: ах= const.
Для капельных жидкостей, у которых Рг>1 (исключая
жидкие металлы), область стабилизированного
теплообмена начинается гораздо позже области
стабилизированного течения, т. е. ln,t^>ln. Именно поэтому в
формуле A5.10) имеется поправка є. Если бы теплообмен
начинался в сечении при х=1я (т. е. при #</н было бы
,?ж=?с), то в формуле A5.10) можно было бы принять
8=1. Примерно такая ситуация возникает при нагреве
вязких нефтепродуктов (например, жидких топлив), для
которых число Рг при комнатной температуре
составляет несколько сотен или даже тысяч.
Из условия a^=const на участке
стабилизированного теплообмена следует, что средняя температура
жидкости убывает вдоль оси с такой же быстротой, как и
380

градиент температуры на стенке. Действительно, из
формулы A4.2), которая для трубы имеет вид:
r)r=r0, A5.11)
где ї=1(х)—средняя по сечению температура жидкости; ?с =
= t(r, х) — температура жидкости в точке с координатами гид:,
и изменения профиля температуры '0=^—tCt который
становится все более «плоским» вдоль потока на участке
стабилизированного теплообмена (см. рис. 15.2), видно,
что средняя температура Ф=?—tc и градиент, равный
tg?, должны сохранять постоянное отношение, тогда по
формуле A5.11) a3c=const. Следовательно, если
известно поле температуры t=t(ry x)y то по выражению
A5.11) можно рассчитать коэффициент теплоотдачи на
участке стабилизированного теплообмена.
Выбрав в качестве масштабов величины Ь'—і'ж—tc
и г0, выражение A5.11) запишем в безразмерном виде:
NuGr==-(<?e/^)B==1, A5.12)
где 0= (/—tc)l(t'm—tc)=ftlft' — безразмерная температура; /?==
=г/го— безразмерный радиус.
Для нахождения поля температуры обратимся к
уравнению энергии [см. уравнения A2.16), A4.3) или
A4.3')], которое в данном случае удобно представить
в цилиндрических координатах г, ср, х. Рассматриваемое
поле обладает осевой симметрией, поэтому t?f()
Уравнение энергии будет иметь вид:
dt dt\ Л f дЧ дЧ 1 д*\ /1С 1оч
Уравнение A5.13) можно упростить, отбросив член
wr(dt/dr)=0, так как при стабилизированном течении
Wr=0 и член %(дЧ/дх2)=0, поскольку ЦдЧ/дх2) =
=d{Xdt/dx)/dx=—dqx/dxi а изменением теплового
потока qx вдоль оси трубы, обусловленного
теплопроводностью, можно пренебречь (считаем, что перенос
теплоты вдоль оси происходит только конвекцией). С учетом
упрощений уравнение энергии принимает вид:
pcp[wx(dt/dx)]=Wd*tldr*+(\lr)dtldr]. A5.14)
Уравнение A5.14) можно переписать в
безразмерном виде
д2Є/с«2+і?-ідЄ/ді? = Ре WxddldX, A5.15)
где Ре=рСрОУо/*оА — число Пекле; Wx=Wxlwo — безразмерная
скорость; Wx=Wx{R); X=Xolro — безразмерная продольная
координата,
381

Скорость wx зависит только от радиуса и
определяется параболой Пуазейля. Обозначая скорость 1РЖ=
= №=2A—R2), подставим ее в правую часть
уравнения A5.15):
d*WR*+R-midR=2Pe(\-R*)dQldX. A5.16)
Уравнение A5.16) является уравнением в частных
производных и получить его решение довольно сложно.
Для упрощения будем полагать дд/дХ=const, что
достаточно хорошо выполняется в области
стабилизированного теплообмена при граничном условии qc=const
и может рассматриваться как приближенный прием при
граничном условии rfc=const. Обозначив 2PedQfdX=A,
получаем неоднородное обыкновенное
дифференциальное уравнение для нахождения функции 6=6 (#):
A(\-R*). A5.17)
Решение соответствующего уравнению A5.17)
однородного (т. е. не имеющего правой части) уравнения
имеет вид:
где Си Сч — постоянные интегрирования.
Решение неоднородного уравнения A5.17) будем
искать, полагая Ci = C\(R). Для определения C\(R) найдем
dQ/dR и d2Q/dR2 по выражению A5.18) и подставим их
в уравнение A5.17). Тогда получим
dc,=AR(l— R*)dR. A5.19)
Интегрируя уравнение A5.19) и учитывая, что
dQ/dR=C\/R, имеем:
dQldR=AR-i(R*l2-R44)+CzlR. A5.20)
Постоянную с3 в уравнении A5.20) определим по
условию симметрии поля температуры: при R=0 имеем
d6/di? = 0; из уравнения A5.20) получаем, что с3=0.
Интегрируя уравнение A5.20), имеем:
A5.21)
Постоянную Са в уравнении A5.21) определим по
граничному условию на стенке: при /? = 1 имеем 6=0.
Подставляя это условие в уравнение A5.21), получаем
с4=-^C/16)Л. Окончательно выражение для поля
температуры в поперечном сечении трубы имеет вид:
Є=Л(/?2/4—/?V16—3/16). A5.22)
382

Пользуясь выражением A5.22), можно найти
производную на стенке__(гіЄ/гі/?)н=і и среднемассовую
температуру жидкости 6, которая определяется размерным
Л)
г
выражением t=(pw0nr20)-1 \ t(r)w(r) 2nrdr или без-
1
размерным выражением: в = 2 \ QWRdR.
о
Произведя необходимые вычисления и подставив
значения 0 и (dQldR)R=i в формулу A5.12), получаем,
что на участке стабилизированного теплообмена
постоянному коэффициенту теплоотдачи а=const соответствует
число Нуссельта Nu=2Nur=adA=4,36 (при ^c=const).
Для граничного условия tc=const, при котором dQ/дХФ
Ф const и решение уравнения A5.16) существенно
сложнее, число Nu=3,66.
Таким образом, на участке стабилизированного
теплообмена коэффициент теплоотдачи при ламинарном
режиме есть постоянная величина, зависящая только от
диаметра трубы и теплопроводности жидкости и
определяемая (в зависимости от граничных условий на
стенке трубы) выражением:
A5.23)
которое можно использовать для расчетов, вводя для
капельных жидкостей поправку (Ргж/РгсH'25 для учета
зависимости вязкости от температуры.
Как отмечено выше, при tc=const средняя по
сечению температура жидкости $ уменьшается вдоль
потока. Для получения закона изменения температуры
жидкости вдоль трубы при a=const составим условие
теплового баланса для элементарного участка трубы
длиной dx. Слева в ^элемент трубы входит поток жидкости
с температурой Ф, вносящий энтальпию pCpWon^o^. Из
элемента трубы вправо выходит поток той же маіссьі,_но
с температурой o+d'o и энтальпией рсрдо0л;г2о(/0+<і'д).
Два указанных потока энтальпии не равны между со-
бойу их разность равна тепловому потоку, проходящему
через стенку элемента трубы, а$2пг0ах. Условие
теплового, баланса можно представить в виде:
383

Разделяя переменные, получим выражение /
=— Ba/pcpworo)dx, которое после интегрирования
принимает вид 1п/&=—{2а/рсрхЮ(/0)х+с. Постоянную
интегрирования найдем из условия для начального сечения
участка стабилизированного теплообмена: при #=0
имеем 1>==<Го. Тогда с=1п:&о и In (ftl&0)=— Bсс/рсРХ
X^Wo)*, что можно записать также в следующем виде:
О^= ^ ехр [— Balpcpwor0) х]. A5.24)
Используя безразмерные величины, выражение
A5.24) можно представить следующим образом:
(T=exp(-4SU/d), A5.25)
где St—aJpCpWo — число Стентона. * [
Выражения A5.24) и A5.25) дают закон изменения
средней по сечению температуры жидкости вдоль трубы:
температура жидкости приближается к температуре
стенки по закону экспоненты. Подчеркнем
универсальность экспоненциального закона изменения средней
избыточной Ф или безразмерной Є температуры жидкости
вдоль оси трубы: формулы A5.24) и A5.25) являются
следствием двух условий — теплового баланса и
постоянства а. Если tc=const, то I также меняется по
закону экспоненты типа ?=аі+а2ехр (—аъх)\ если ^c=const,
то t изменяется по линейному закону типа ?=а4+а5*,
где пі — постоянные, определяемые по тепловому
балансу. ^
На начальном тепловом участке температура Ф
(или 8) также убывает, но не по закону экспоненты, так
как a=^=const. Поэтому использование формул A5.24)
и A5.25) для трубы в целом, включая начальный
участок, является приближенным расчетным приемом. На
участке стабилизированного теплообмена не только
средняя температура ?, но и любая температура t(r), 0^
^г^г0 изменяется по экспоненте (или линейно при
<7c=const); на рис. 15.2 показано изменение
температуры dm на оси, при этом ЬФЇ(г).
Поясним упоминавшееся выше понятие среднего
логарифмического температурного напора Д?л, которое
связано с формулами A5.24) и A5.25). Местная
плотность теплового потока 9зс=а€1(х) изменяется вдоль
трубы вместе с $(х)=ї(х)—tc. Тепловой поток через стен-
384

ку трубы длиной / определяется по средней плотности
теплового потока: Q=qndl. Величина q равна:
-і Г-
xdpc = at \ v (x}dx = аА^ср,
oJ
где Afcp — осредненный вдоль трубы температурный напор.
Величину Д^ср найдем, осредняя температуру 8
вдоль трубы:
і
Д*ср/*' A є"ср - [b{X)dX, A5.26)
О
где Х=х/1 — безразмерная координата вдоль трубы (с
масштабом /).
Интеграл в формуле A5.26) вычисляется с
использованием выражения A5.25), учитывая, что x/d=Xl/d.
Он равен (AStl/d)-1 [1—ехр (—4SU/d)]. Из выражения
A5.25) следует, что при Х=0_имеем 6 @) = 1, а в конце
трубы при Х=\ имеем 8A)=ехр (—4SU/d) или
In 8A).=—4St. Используя эти выражения, получаем:
. е7Р=[Є@)— ЄA)]/[1пЄ@)— In 8A)], A5.27)
где In 0 @) — дополнительно введенное в знаменатель слагаемое,
которое не^меняет значения интеграла из выражения A5.26),
поскольку In 0@) =ln 1 =0.
Выражение A5J27) дает среднее логарифмическое
значение функции в{Х) на интервале от Х=0 до Х=1.
Учитывая, что в='&/'8/ и 8cp=AW'o/, получаем
следующее значение среднего логарифмического
температурного напора Д?л=А^ср:
А^л=(А^—АГ)/1п (АР/А*"}, A5.28)
где один и два. штриха означают, как и ранее, вход и
выход, а Л^='&.
Если величина Л? изменяется по длине трубы I
незначительно, то способ ее осреднения становится
безразличным и применяют наиболее простое осреднение —
арифметическое. Средний арифметический
температурный напор А^а^О^ (Л^+Д?") больше Л?л не более чем
на 4 %, если ДГ/АГ<2.
Подводя итог рассмотренным выше закономерностям,
характерным для участка стабилизированного теплооб-
385

мена, отметим основные формулы: уравнение
температурного поля A5.22), соотношений для расчета
теплоотдачи A5.23), экспоненциальный закон изменения
температуры жидкости вдоль трубы A5.25) и формулу
среднего логарифмического температурного напора
A5.28). Уравнение A5.22), полученное при условии
dQ/dX= const, можно использовать для расчетов при
<7c=const, выбрав для безразмерной температуры
масштаб, соответствующий граничному условию: Q=(t—
—?ж)І(ЧсГоІК). Применение формулы A5.22) для
расчета температурного поля при tc=const в принципе
возможно в сочетании с уравнением A5.25), однако
необходим анализ возникающей погрешности.
Перейдем к рассмотрению теплоотдачи при
турбулентном движении жидкости в трубе. Развитый
турбулентный режим течения в трубе осуществляется при
Re^lOOOO. В диапазоне 2300<Re<104 в трубе
наблюдается переходный режим течения — неустойчивый
режим, характеризующийся сменой ламинарного и
турбулентного потока. Такое состояние характеризуется так
называемым коэффициентом перемежаемости, O^co^l,
представляющим собой относительное время
существования турбулентного потока; величина 1—со приходится
на долю ламинарного потока. Надежные рекомендации
по расчету теплоотдачи при переходном режиме пока не
разработаны. Поэтому возможны лишь оценки по
минимальному и максимальному коэффициентам
теплоотдачи для ламинарного и турбулентного режимов
соответственно с учетом коэффициента перемежаемости.
Основной особенностью турбулентного потока по
сравнению с ламинарным является молярный перенос
количества движения и теплоты; при ламинарном
движении происходит молекулярный перенос.
Турбулентный моль — носитель количества движения и теплоты —
обеспечивает существенно большую интенсивность
переноса, чем молекула. Именно поэтому турбулентные
коэффициенты переноса намного больше молекулярных:
%тЖ \іт>\і (подробнее см. § 52, пример 14.2).
При плавном входе жидкости в трубу и Re^lO4
формируется ламинарный пограничный слой,
переходящий затем в турбулентный, который в последующем
заполняет все поперечное сечение трубы. Если на входе
в трубу жидкость турбулизирована или Re>5-104, то
практически с самого начала развивается турбулентный
386 •'

пограничный слой. Стабильный профиль скорости
устанавливается при турбулентном режиме довольно быстро,
в этом случае начальный гидродинамический участок
имеет длину //g?a*15, начальный тепловой участок
имеет примерно такую же длину. Следовательно, при тур-,
булентном режиме основная часть трубы в
большинстве случаев находится в условиях стабилизированного
течения и теплообмена*
Как уже было сказано (см. § 52), теоретический
подход к расчету теплоотдачи в турбулентном потоке
основан на аналогии Рейнольдса, которая выражается
формулой A4.61): St=c//2 при Рг = 1. Для потока в,
трубе эта формула приобретает вид St=|/8, поскольку
по определению величины cf и | равны:
d?y A5.29)
а равновесие сил в трубе выражается соотношениями л
&ряаЩ=гсла11; Др=4тс/Д*. A5.30)
Если использовать для определения | формулу Бла-
зиуса ^=0,3164 Re~0'25, то получим следующее
выражение для теплоотдачи
St = Nu/Re Рг = 0,0396 Re-0-25.
Более точной является формула, полученная
обобщением экспериментальйых данных при течении жидкости
в гладких трубах при 104^Re^l,2-105:
6=0,184 Re-Ч A5.31)
которой соответствует следующее выражение для
теплоотдачи (Рг = 1):
Nu=0,023 Re0«8. A5,32)
Обработка многочисленных экспериментальных
данных, ч полученных в большом диапазоне изменения
основных параметров, позволила получить М. А. Михееву
расчетную зависимость, которая уже много лет
используется для инженерных расчетов:
- A5.33)
где Nu = adA; Re=wod/v; є*—коэффициент, учитывающий
влияние начального участка (табл. 15.1).
При //d^50 коэффициент є*=1. Определяющей
температурой в формуле A5.33) является средняя
арифметическая температура жидкости. Формула A5.33)
387

Таблица 15.1. Коэффициент є/, учитывающий влияние
начального участка трубы на среднюю теплоотдачу
Не
ЫО4
2-Ю*
5.40*
МО8
Ы0в
Значение ej при Цй, равных
1
1,65
1,51
1,34
1,28
1,14
2
1,50
1,40
1,27
1,22
1.П
5
1,34
1,27
1,18
1,15
1,08
10
1,23
1,18
1,13
1,10
1,05
15
1.17
1,13
1,10
1,08
1,04
20
1,13
1,10
1,08
1,06
1,03
30
1,07
1,05
1,04
1,03
1.02
40
1,03
1,02
1,02
1,02
1,01
50.
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
справедлива при Re^lO4 и 0,6^Рг<2500. Следует
отметить, что в области с Re>105 или при Рг>5 более
точные результаты дает формула Б. С. Петухова и
В. В. Кириллова, сведения о которой приводятся в
учебниках и книгах по теплопередаче.
В турбулентном потоке скорость резко изменяется в
пределах вязкого подслоя (см. § 52) и профиль скорости
является более заполненным по сравненною с параболой
Пуазейля: для турбулентного течения в трубе средняя
скорость аУо=0,8оут, а для параболы Пуазейля шо=
= 0,5iiym (см. также рис. 14.9 и 15.2). На этом факте
основано применение формул, используемых для
коэффициента трения и теплоотдачи, для труб некруглого
поперечного сечения, при этом вводят эквивалентный
диаметр, определяемый.формулой
A5.34)
где f — площадь поперечного сечения; и — смоченный периметр.
Формула A5.34) получается из соотношений A5.30)
и выражений /=jtd2/4; u=nd для трубы с круглым
поперечным сечением. Диаметр аъ можно использовать в
качестве определяющего размера в формуле A5.33) или
A5.3І). Применение йэ для ламинарного режима не
приводит к хорошим результатам, ибо профили скорости и
температуры существенно зависят здесь от формы
поперечного сечения (изменение w и t происходит на
расстоянии около d/2, а не в тонком вязком подслое). В
качестве трубы с некруглым поперечным сечением может
рассматриваться, например, кольцевое сечение или
канал в межтрубном пространстве при продольном обте-
-кании трубных пучков. ^
388 . . ..*" .'.

При расчете потери давления в трубе по формуле
Дарси — Вейсбаха* Ар=g (pw20/2) l/d коэффициент
сопротивления трения для ламинарного режима ?=64/Re.
Эту формулу легко получить из соотношений A5.29)
и A5.30) и выражения параболы Пуазейля. Для
турбулентного режима можно использовать формулу Блазиу-
са и уравнение A5.31). Влияние изменения вязкости с
температурой можно учесть поправкой типа (Ргс/Рг?
или {\Хс1\Хж)т, где n>0, m>0.
§ 55. Теплоотдача при поперечном
обтекании труб и трубных пучков
При обтекании потоком криволинейной поверхности
пограничный .слой формируется в условиях
изменяющегося градиента давления. При малых числах Рейнольд-
са Re=ay0d/v<5, где d — наружный диаметр трубы, а
Wo — скорость невозмущенного потока, происходит
безотрывное обтекание цилиндрической поверхности трубы
(рис. 15.3,а). В области сгущения линий тока скорость
потока возрастает в силу сохранения неразрывности
среды: в любом поперечном сечении массовый
расход G должен оставаться неизменным. Однако это
увеличение скорости влечет за собой уменьшение давления
в силу сохранения энергии потока в соответствии с
уравнением Бернулли [см. формулу G.7) и последующие];
если кинетическая энергия потока w2/2 возрастает, то
соответственно должна уменьшиться энергия вида pv
или р/р, которую иногда называют энергией давления.
При увеличении Зисла Re описанное явление
происходит более интенсивно. В этом случае после перехода
потока через сечение максимальной скорости (примерно
при ф=90°, см. рис. 15.3,6) происходит торможение с
одновременным возрастанием давления. В
непосредственной близости от стенки, где скорость мала (в силу
прилипания жидкости- к стенке и вязкого трения),
происходит не только торможение, но и течение вспять,
которое приводит к оттеснению потока от стенки и отрыву
пограничного слоя (см. рис. 15.3,6).
Если Re=2-105, то происходит отрыв ламинарного
пограничного слоя, при этом угол отрыва меньше 90°
(рис. 15.4,а). При Re>2-105 ламинарный слой
сохраняется и реализуется переход к турбулентному течению
в пограничном, слое (поток с возросшей скоростью как
389

л)
0,6
ofy»/(X
9=0°
40 80 120 У, град 0 40 60 У2,град
Рис. 15.4
бы более плотно прижимает пограничный слой к
поверхности цилиндра и прежний отрыв не происходит).
Турбулентный пограничный слой, обладающий большей
кинетической энергией, является и более устойчивым к
отрыву, поэтому отрыв происходит лишь при ф=140°
(рис. 15.4, б).
В соответствии с гидродинамической картиной
обтекания изменяется и местный коэффициент теплоотдачи
вдоль внешнего контура цилиндрической поверхности
трубы. Наименьшую толщину ламинарный пограничный
390 ¦ '

слои имеет в лобовой точке приф=0, в этом месте ко-
эффициент теплоотдачи имеет максимальное значение.
По мере нарастания ламинарного пограничного слоя
коэффициент теплоотдачи уменьшается (см. рис. 15.4, о,
где а 9 — местный коэффициент теплоотдачи, а —
средний по поверхности трубы коэффициент теплоотдачи).
После отрыва ламинарного пограничного слоя
теплоотдача возрастает в связи с интенсивным вихреобразова-
нием. Для течения с Re>105 картина более сложная
(см. рис. 15.4,6): вначале изменение а? происходит
так, как и в предыдущем случае, затем в точке перехода
ламинарного пограничного слоя в турбулентный при
ср = фп происходит резкое возрастание а9
(турбулентный перенос более интенсивен). При отрыве
турбулентного пограничного слоя (ф=фот) падение а9 из-за
увеличения толщины турбулентного пограничного слоя в
области фп^Ф^фот сменяется резким возрастанием
а9 из-за вихреобразования (см. рис. 15.4,6).
В результате обобщения многочисленных опытных
данных была, получена следующая расчетная формула
для средней теплоотдачи при поперечном обтекании
одиночного цилиндра (трубы):
Ш= С Re™Pr* (Pr ж/Ргс) °'25, A5.35)
где Nu = ac?A; a — средний по окружности трубы коэффициент
теплоотдачи.
Значения констант С, т и п зависят от числа Re:
если 5<Re^lO3, то С=0,5; т=0,5; п=0,38; если
103<Re<2-105, то С=0,25; т=0,6; п=0,38; если ЗХ
X105^Re<2:106, то С=0,023; т=0,8; я=0,37. В
первом режиме a~ay°'5, в третьем —a~w°>8, это совпадает
с зависимостями для ламинарного и турбулентного
режима при течении вдоль пластины и в трубе.
В качестве определяющей берется средняя
температура жидкости, скорость потока отнесена к сечению
наибольшего сгущения линий тока — узкому сечению.
Теплообменники с трубными пучками широко
используются в системах отопления, вентиляции,
кондиционирования воздуха, теплоснабжения, в котельных
установках. При поперечном обтекании пучков возникают
некоторые особенности по сравнению с обтеканием
одиночных труб. Эти особенности обусловлены взаимным
391

2,2
2,0
1,6
1,2
Cfy/(X
Іряд
\
\
A
f
v¦
\
\
їїряд
\
у
J
/
\
Іряд
\
\
*—*
/
[
Ервд
\
\
2,2
2,0
1,6
',2
0,8
О,"
О
3060S0120150 О SO6090 ?,.град 30 6090 1201500 50$030 У1,град
Рис 15.5
влиянием труб пучка, поток движется как бы в канале,
образованном рядами труб.
Чаще всего используются шахматные (рис. 15.5, а) и
коридорные (рис. 15.5,6) пучки. Обтекание первого
ряда в пучках обоих типов происходит аналогично
обтеканию одиночной трубы; Второй ряд шахматного пучка
почти не испытывает влияния первого ряда, поэтому за-4
висимость а<р =f (<p) для второго ряда такая же, как и
для первого (см. рис. 15.5, а). При обтекании
коридорного пучка на трубы второго ряда воздействуют два
вихря, оторвавшиеся от трубы первого ряда; в местах
удара этих вихрей имеется максимум а9 на трубе
второго ряда (рис. 15.5,6). Начиная с третьего ряда
происходит стабилизация теплоотдачи, средний по
окружности трубы коэффициент теплоотдачи имеет одно и то
же значение для третьего и последующих рядов. Этот
коэффициент теплоотдачи можно рассчитать по
формуле:
N7= С Re™Pr°.33 (Pr ж/Ргс) °'25е*. A5.36)
где число Re изменяется от 103 до 105 (так называемый
смешанный режим, встречающийся наиболее часто).
Для шахматного пучка С=0,41; т=0,6; при Si/s2<2
поправка, учитывающая соотношение между поперечным
392 , . ... , . .. \ ..

и продольным s2 щагами, равна es= (Si/s2I/6; при
^2 є5=1,12. Для коридорного пучка С=0,26;
(/rf)°15
;()
Определяющей является средняя температура жидко-"
сти, скорость рассчитывают по узкому сечению: f или
І" — для шахматного пучка, f — для коридорного (см.
рис. 15.5, а, б).
Если в пучке небольшое число рядов в направлении
потока, то отмеченная выше сниженная теплоотдача
первых двух рядов должна быть учтена при определении
теплового потока пучка в целом. Можно считать, что
первый ряд коридорного и шахматного пучков
характеризуется теплоотдачей, составляющей 60 % от а третьего
ряда [т. е. от значения, полученного по формуле
A5.36)]. Для второго ряда коридорного пучка
теплоотдача составляет 90 %, второго ряда шахматного
пучка — 70 % теплоотдачи третьего ряда.
Формула A5.36) получена для случая, когда угол ty
между направлением потока и осью трубы пучка равен
90°. Если этот угол уменьшить в 2 раза, то теплоотдача
снизится примерно на 20%, при 'фАІО0 теплоотдача
снижается примерно на 60 %.
Согласно формуле A5.36), теплоотдача шахматных
пучков выше, чем коридорных, но с увеличением числа
Re это различие уменьшается. Гидравлическое
сопротивление пучка зависит от числа Re и числа рядов по
ходу потока; для шахматных пучков оно выше.
§ 56. Теплоотдача при
свободном движении жидкости
Гравитационным свободным движением жидкости
называют движение (конвекцию) под действием
гравитационного поля при неоднородном поле плотности
жидкости. Частица жидкости с меньшей плотностью, чем
окружающая жидкость, будет испытывать воздействие
архимедовой силы и «всплывать». Причиной уменьшения
плотности всплывающей частицы жидкости чаще всего
является ее нагрев.
Если, например, жидкость с температурой гж
находится в контакте с вертикальной поверхностью,
имеющей более высокую температуру tc, то вдоль
поверхности возникает течение нагретой жидкости. Это течение
направлено вверх и осуществляется в пограничном слое,
393

Рис. 15.6
® " д вне которого жидкость не-
Ьг Фо іі*о подвижна. На рис. 15.6
показаны профили скорости и
температуры в таком
пограничном слое.
Структура пограничного
слоя при свободной
конвекции вдоль нагретой
поверхности (она может быть
наклонной или
криволинейной) аналогична структуре
пограничного слоя при
вынужденном обтекании
плоской поверхности в том отношении, что имеются
ламинарный, турбулентный и переходный участки. На
ламинарном участке местный коэффициент теплоотдачи а*
уменьшается вдоль поверхности, в области
турбулентного пограничного слоя ах не изменяется (рис. 15.6,6).
Получим уравнение подобия для теплоотдачи при
свободном движении жидкости. Метод подобия
используем в упрощенной форме, не проводя детального
анализа системы дифференциальных уравнений конвективного
теплообмена (см. § 49, 50). При этом будем полагать,
что движение среды в области динамического
пограничного слоя осуществляется под действием двух сил:
архимедовой (движущая сила) и силы вязкого трения
(сила сопротивления). Силами инерции пренебрегаем.
На жидкую частицу объемом V, окруженную такой
же жидкостью, но с более высокой температурой,
действует сила gApV, где Ар — разность плотностей
частицы и окружающей жидкости. Указанная сила
обусловлена законом Архимеда, согласно которому всякое тело
(в данном случае — частица), погруженное в жидкость,
теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная
телом жидкость. Разность плотностей Ар обусловлена
разностью температур ДТ и может быть определена по
выражению для коэффициента объемного расширения
(см. §12):
dv
dT
-таг- A5-37)
Определяя из выражения A5.37) Др и учитывая, что
V~l3t где I — размер частицы (например, радиус или
394^

диаметр), получаем следующую оценку для
движущей силы FAB:
A5.38)
Оценку для силы вязкого трения jFTp получаем на
основе закона вязкого трения Ньютона (см. § 38):
^тр-и тзг '2 ~и т1 /2~^'' A5'39)
где Wo — скорость движения частицы; I2 — площадь ее поверхности.
Безразмерный комплекс (число подобия) получаем,
беря отношение сил jFHb и jFTp согласно выражениям
A5.38) и A5.39):
A5.40)
Выражение A5.40) дает комплекс, учитывающий
гидродинамику свободного движения жидкости; при №-
нужденном Движении гидродинамические факторы
учитываются числом Re. Необходим также комплекс,
учитывающий теплообмен и играющий здесь роль числа Ре.
Этот комплекс составим как отношение конвективного
теплового потока к тепловому потоку теплопроводности:
A5.41)
В выражениях A5.40) и A5.41) имеется скорость w0,
которая не является наперед заданной величиной. При
расчете теплоотдачи w0 не является и величиной
искомой, это как бы промежуточная величина, которая
появляется в ходе расчета, но затем исключается.
Напомним, что критерии подобия должны включать только
заданные параметры математического описания процесса
(см. § 50). Все величины в выражениях A5.40), A5.41)
могут рассматриваться как заданные, кроме скорости я>о>
которую, следовательно, необходимо исключить. Это
можно сделать, перемножив выражения A5.40) и
A5.41). После перемножения получим выражение
p2g^ATPcp/[xK, которое после умножения числителя и
знаменателя на \х можно представить в виде
произведения двух 'чисел подобия:
Число Грасгофа Gr, определяемое первым
сомножителем правой части выражения A5.42), отражает соот-
395

ношение между силами вязкого трения и подъемной
силой. Величина I является характерным размером
(высота вертикальной поверхности, диаметр горизонтальной
трубы), величина ДТ — масштабная разность
температур: ДГ=ОС = /С—/ж. Произведение чисел Gr и Рг
называют числом Релея: Ra=GrPr.
В соответствии с проведенным анализом уравнение
подобия для теплоотдачи при свободном движении
имеет вид: Nu=f(GrPr). Это уравнение можно получить
также, используя анализ размерностей. Основные
положения конвективного теплообмена (см. гл. 14) позво-
?яют заключить, что средний коэффициент теплоотдачи
а при свободном движении жидкости вдоль
вертикальной поверхности высотой I зависит от подъемной силы
g-?oc, ВЯЗКОСТИ [1, ТеПЛОПрОВОДНОСТИ К И ВеЛИЧИНЫ рСр —
объемной теплоемкости, с которой связан конвективный
поток #к =pcpwt. Следовательно, имеем зависимость:
Ла", /, ??Oc, ц. К рср)=0. A5.43)
В зависимости A5.43) можно выделить четыре
величины, каждая из которых обладает независимой
размерностью по отношению к трем остальным: /, м;
g-?dc, м/с2; (і, кг/(м-с); а, Вт/(м2-К). Видно, что путем
комбинации единиц любых трех величин нельзя
получить единицу четвертой. В то же время единицы величин
в зависимости A5.43) являются результатом
использования четырех основных единиц СИ: м, с, кг, К.
Следовательно, согласно П-теореме анализа размерностей (см.
§ 50) из размерных величин зависимости A5.43) можно
составить два безразмерных комплекса, причем один из
них должен быть искомой величиной и содержать а.
Вместо размерных величин введем приведенные
комплексы Яг согласно выражениям: jti = ai;
2/Z і/ ^3
= рСр/от2о'&оМо- Величины /о, to, mo, Фо являются
условными масштабами, соответствующими основным
единицам м, с, кг, К Поскольку математические выражения,
описывающие процесс, не должны зависеть от значений
величин /о, то, rnOi ffo, последние необходимо исключить
при получении безразмерных комплексов. Искомый
безразмерный комплекс определяется выражением Пі =
=ЯіЯ2/л:5=а//Я и представляет собой, как и следовало
ожидать, число Нуссельта. Определяющий безразмер-
396

ный комплекс попытаемся получить в виде П2 =
=язЯбЯ32/я4л;5, однако оказывается, что из правой части
не удается исключить масштабную величину то//3о- Это
является следствием неверного выбора величин в
зависимости A5.43). Действительно, подъемную силу
необходимо отнести к единице объема, тогда она равна
pg?'oc и rt/3 = pg?'&c/2oT2oMo, а комплекс П2 равен: П2 =
=tt/3rt6/jT4tt5==GrPr, что совпадает с ранее полученным
результатом. Приведенный пример использования
анализа размерностей показывает, что его применение
требует известного опыта.
Таким образом, расчетная зависимость для среднего
коэффициента теплоотдачи а имеет вид:
Рг)™(Ргж/РгсH'25. A5.44)
Коэффициенты Сит различны для ламинарного и
турбулентного участков. Для вертикальной поверхности
при ламинарном режиме A03<GrPr<109) имеем: С =
= 0,75; т=0,25; при турбулентном режиме (GrPr>
>6-1010) имеем: С=0,15; т = 0,33. Определяющий
размер I — длина поверхности по вертикали. Для
горизонтального цилиндра при 103<GrPr<109 имеем: С=0,50;
т=0,25; определяющий размер — диаметр.
Определяющая температура — tm, величина ?=(f>K+273)-1 для
газов, что следует из выражения A5.37) и уравнения
Клапейрона.
При ламинарном течении жидкости в трубах
свободное движение накладывается на вынужденное, что
приводит к изменению теплоотдачи. При GrPr>8-105 имеет
место вязкостно-гравитационный ламинарный режим и
средний коэффициент теплоотдачи на внутренней
поверхности горизонтальной трубы определяется
выражением
N~u = 0,8l70j4(Gr PrH'1 OW^cH'14. (I5-45)
Все величины в выражении A5.45) обозначены так
же, как и в выражении A5.10), определяющая
температура равна 0,5(?ж+/с), где ?ж — средняя температура
жидкости в трубе.
39?

§ 57. Теплоотдача
при конденсации и кипении
В теплообменных устройствах наиболее
распространена пленочная конденсация пара, при которой на
смачиваемой поверхности твердого тела образуется
сплошная пленка конденсата. На несмачиваемой поверхности
идет капельная конденсация с образованием отдельных
капель конденсата; она встречается реже и здесь не
рассматривается. Теория теплоотдачи при пленочной
конденсации неподвижного пара была разработана Нус-
сельтом.
Вертикальная поверхность с температурой tc
находится в контакте с сухим насыщенным паром, имеющим
температуру насыщения tH. При конденсации на
поверхности образуется стекающая вниз ламинарная пленка
конденсата, толщина которой бх увеличивается в
направлении оси Ох (рис. 15.7). Под действием
температурного напора At = tH—іс в стенку отводится тепловой поток
q, который будем считать неизменным по толщине
пленки вдоль оси Оу\ такое предположение соответствует
пренебрежению конвективным переносом теплоты
движущейся пленкой и прямолинейному профилю
температуры поперек пленки. Для сечения, расположенного на
расстоянии х от верхней кромки qx=XAt/ox, с другой
стороны, по уравнению Ньютона — Рихмана qx = axAt]
отсюда получаем
(Xx=Vo.*. A5.46)
Выражение A5.46) показывает, что по мере роста
толщины пленки конденсата местный коэффициент
теплоотдачи ах, зависящий также от теплопроводности
конденсата Я, убывает (см. рис. 15.7).
Для пленки шириной 1 м массовый расход
конденсата Gx определяется выражением Gx = pwox$Xy в котором
Шох — средняя скорость в поперечном сечении пленки.
Расход Gx обеспечивается конденсацией пара на
площади хЛ м, на которую поступает пар в количестве qx/r,
при этом q — осредненный вдоль Ох тепловой поток, а
г — теплота фазового перехода. В результате имеем
следующее условие баланса массы:
pwoxbx=qx/r=Шхіг=Шх/Ъг. A5.47)
В выражении A5.47), кроме толщины пленки ox
неизвестной является скорость wox, которая может быть
398

найдена по профилю
скорости wx = wx(y). Профиль
скорости можно получить
интегрированием уравнений
гидродинамики, однако здесь
ограничимся приближенной
оценкой. Для процесса
движения пленки существенны
две силы: сила тяжести
pgox3 и сила.вязкого трения
\.i(wqx/6xN2xj силой инерции
можно пренебречь.
Приравнивая выражения двух
указанных сил, имеем wOxtt
?zpgo2x\x. Подставляя это
выражение в уравнение
A5.47) и пренебрегая
различием между 63*6 и б4*, имеем
рис 15.7
Точное решение выражается формулой:
б:с= D\}KAtx/p2gr)G'2\ A5.48)
Подставляя выражение A5.48) в уравнение A5.46),
получаем формулу для расчета местного коэффициента
теплоотдачи ах. Основной интерес представляет средний
коэффициент теплоотдачи а, выражение для которого
можно получить неоднократно использовавшимся ранее
способом: а=1,33<Хзс=г, где длина участка осреднения
принята равной /. Используя числа подобия Ga =
= p2g73/|i2, K=r/cpAt и Рг, а также поправку на неизо-
термичность (Ргн/РгсH'25, получаем следующее расчетное
выражение для средней теплоотдачи:
Nu = 0,943(GaKPrH25. A5.49)
Все физические свойства конденсата в уравнении
A5.49) берутся при температуре tH. Число фазового
превращения К отражает соотношение между теплотой
фазового превращения и теплотой переохлаждения
конденсата Cpkt.
Формула A5.49) справедлива для ламинарной
пленки конденсата, т. е. при Re=p^o?/|i = aA^A>^ReKPA
«400. Расчетные формулы для турбулентной пленки
можно найти в более полных курсах теплопередачи.
399

Рис. 15.8
Формула A5.49) не
учитывает волновой
характер движения пленки,
приводящий к
увеличению теплоотдачи; это
увеличение можно учесть
умножением Nu = a/A на
Re0'04.
Конденсация пара на
наружной поверхности
горизонтальной трубы
отличается от рассмотренного
случая тем, что направления силы тяжести и вектора
скорости для пленки не совпадают. Расчет средней
теплоотдачи можно производить по формуле A5.49),
заменив коэффициент на 0,728 и взяв диаметр трубы в
качестве определяющего размера.
Кипение представляет собой процесс образования
пара внутри жидкости, нагретой выше температуры
насыщения. Обычно необходимая для кипения теплота
поступает в жидкость от поверхности нагрева, температура
которой ^с>^н- В этом случае на поверхности нагрева
идет непрерывно возобновляемое образование паровых
пузырей или паровой пленки.
На рис. 15.8 схематично представлена зависимость
коэффициента теплоотдачи а на поверхности нагрева от
температурного напора At=tc—tu. Участок AB
соответствует области свободного движения жидкости, при
котором возникновение пузырей возможно, но происходит
весьма вяло. Для воды при атмосферном давлении
параметры точки В примерно равны: а« 1000 Вт/(м2-К),
Д?«5 К- Участок ВК соответствует развитому
пузырьковому режиму кипения, при котором интенсивно
образующиеся пузыри разрушают вязкий подслой на стенке и
обеспечивают высокие значения коэффициента
теплоотдачи. Аналогичные приведенным выше параметры точки
К равны: aKp=50 000 Вт/(м2-К), Д/кр=25 К. В точке К
интенсивность образования пара становится больше
возможной скорости его отвода от поверхности нагрева.
Происходит кризис теплоотдачи при кипении,
сопровождающийся резким ухудшением теплоотдачи (величина a
в точках С, Сі и D примерно такая же, как в точке В).
Если тепловой поток на поверхности нагрева при
переходе через точку К не изменяется, то осуществляется скач"
400

кообразный переход по линии КСи при этом
температурный напор возрастает до значения 103 К и происходит
разрушение поверхностей нагрева (например, труб
парогенератора в топке). Ухудшение теплоотдачи
объясняется возникновением низкотеплопроводной паровой
прослойки между поверхностью нагрева и жидкостью,
например, при 100 °С теплопроводность водяного пара
примерно в 29 раз меньше теплопроводности воды. Участок
CD соответствует пленочному режиму кипения, а линия
СК\ — обратному переходу от пленочного режима к
пузырьковому. Участку КС отвечает так называемый
переходный режим, при котором на поверхности
реализуются в различных местах оба режима.
С практической точки зрения важно организовать
кипение в области пузырькового режима с высокими
значениями а, причем так, чтобы не допустить
возникновения кризиса.
Теоретический анализ показывает, что пузырьки
пара образуются в микроскопических углублениях на
поверхности нагрева, которая чаще всего является
металлической. Основными факторами, от которых, зависит
теплоотдача при кипении, являются критический радиус
пузыря и частота отрыва пузырей от поверхности нагре-*
ва. Критический радиус /?1ф определяется условиями
термодинамического равновесия фаз, которые представлены,
например, выражениями D.37) — D.39). В данном случае
необходимо учесть кривизну поверхности пузыря и
связанное с этим дополнительное давление Др==2а//?, где
R—радиус пузыря, а а — поверхностное натяжение.
Условие D.39) поэтому примет вид р"=р'+2а//?Кр, откуда
$kv=2gI(p"-p'). A5.50)
Внутри пузыря находится насыщенный пар, поэтому
t" = tu(p"). Согласно условию термического равновесия
фаз D.38) должно быть t"=f, поэтому жидкость вокруг
пузыря находится в перегретом состоянии, т. е. t'b>
>Мр'). Отметим, что давление рг определяется
внешними условиями, это — атмосферное давление, давление
в парогенераторе и т. п.
Жизнеспособные пузыри возникают только в
углублениях с радиусом /?>/?Кр. В этом случае рпара<р",
соответственно ?пара<?", поэтому происходит испарение и
рост пузыря. Пузырь, который из-за случайной
флуктуации параметров начал образовываться во впадине с
И Эгк. 506 401

R<.RKp, сразу же схлопывается из-за конденсации.
Понятно, что чем меньше 7?кр, тем больше углублений
может служить генераторами пузырей. Из выражения
A5.50) видно, что увеличение qy способствующее
перегреву и возрастанию разности р"—р', а также
увеличение р\ способствующее уменьшению а, приводят к
уменьшению 7?кр и, следовательно, к улучшению теплоотдачи.
Анализ зависимости для частоты отрыва пузырей
показывает, что она возрастает с уменьшением а.
В результате обработки опытных данных для воды
получена следующая формула, справедливая для
давлений рн = 0,1~20 МПа:
а^ = 5,15^67/7^18/A-0,045/?н). A5.51)
Числовые константы в формуле A5.51) являются
размерными, поэтому величины в нее необходимо
подставлять только в таких единицах: рн в МПа, q в Вт/м2,
коэффициент теплоотдачи ад получится в Вт/(м2-К).
Давление насыщения рн есть давление жидкой фазы,
т. е рн=р/, величина ад соответствует кипению в
большом объеме в условиях свободного движения воды.
Если одновременно с кипением происходит
вынужденное движение среды, например, в трубе, то, кроме ад,
следует рассчитать обычный коэффициент теплоотдачи
(см. § 54), который здесь обозначим аад. При а^/аад<0,5
принимают а=аад, при а^/а^>2 принимают а = аф если
же выполняется условие 0,5<ад/аго<2, то используют
формулу a=aw?Daw?+ag)/Eaw?—a,q).
ГЛАВА 16. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
§ 58. Основные понятия и определения
Теплообмен, обусловленный превращением
внутренней энергии тела в энергию электромагнитных волн,
переносом этой энергии и поглощением ее другими телами,
называется теплообменом и излучением.
Для объяснения теплового излучения используется
как волновая, так и корпускулярная теория. Согласно
волновой теории, излучение можно представить
волновыми колебаниями, с частотой v и длиной волны %.
Произведение частоты и длины волны есть скорость
распространения, равная скорости света c=A/v«3-108 м/с.
Согласно корпускулярной теории, энергия излучения пере-
402

дается в виде порций энергий — фотонов. Каждый фотон
движется со скоростью света и имеет определенную
энергию, заданную соотношением: e=hv, где
ft*—постоянная Планка, /і«6,63-К)-34 Дж-с.
Тепловое излучение сосредоточено между длинами
волн от Ю-3 до 0,7-10~6 м. Большинство твердых и
жидких тел имеет сплошной (непрерывный) спектр
излучения, т. е. излучает энергию всех длин волн от 0 до оо.
Газы и пары характеризуются селективным
(прерывистым) спектром излучения.
Количество лучистой энергии, испускаемой с
единицы площади поверхности тела в единицу времени,
называется поверхностной плотностью излучения:
E=dQ/dF
и измеряется в Вт/м2. Лучистый поток с площади
поверхности F определяется выражением:
Q= [EdF.
В общем случае плотность потока излучения может
неравномерно распределяться по поверхности тела. Она
может изменяться по определенным направлениям
излучения. Поэтому вводится понятие интенсивности
излучения.
Интенсивностью излучения называется количество
лучистой энергии, излучаемое в определенном
направлении элементарной площадкой, расположенной
перпендикулярно направлению излучения, в единице телесного
угла за единицу времени. Для пояснения этого понятия
выделим на поверхности излучающего тела
элементарную площадку dF и рассмотрим излучение по
направлению 5, составляющему угол ф с нормалью п к площадке
в элементарном телесном угле dco (рис. 16.1). Энергия
этого излучения равна d'Q. Проекция площадки dF на
плоскости, перпендикулярной направлению излучения,
равна dF cos (р.
По определению интенсивность излучения может
быть представлена отношением:
I8=zd'QldF cos фгісо.
Эту величину иногда называют яркостью излучения
и измеряют в Вт/(м2-ср).
U* Яяіг ЙПЯ 403

под
Рис. 16.1
Рис. 16.2
Интенсивность излучения для определенной точки на
поверхности тела может быть неодинаковой по
различным направлениям. Если /s по всем направлениям будет
одинаковой и излучение исходит с поверхности твердого
тела, то оно называется диффузным. Интенсивность
излучения зависит от природы тела, его температуры,
длины волны, состояния поверхности, а" для газов — еще от
толщины слоя и давления.
Введенные понятия — плотность лучистого потока Е
и интенсивность излучения /s — относятся к
интегральному (полному) излучению. Эти же понятия относятся и
к монохромическому излучению, т. е. к излучению,
происходящему в узком интервале длин волн от Я до k+dX.
Для этого излучения вводятся индексы: ?\, /^ х.
Если на пути теплового излучения ?Пад встречается
тело (рис. 16.2), то тепловая энергия частично
поглощается ?Погл, частично отражается ?Отр и частично
проходит сквозь тело ?Пр. На основании принципа сохранения
энергии можно записать:
Введем обозначения: ?ПОгл/?пад=>4 — поглощатель-
ная способность поверхности тела (или коэффициент
поглощения) ; ?отр/?пад=/? — отражательная способность
поверхности тела (или коэффициент отражения);
404

Епї>/Епап=ї) — пропускательная способность тела (или
коэффициент пропускания).
Коэффициенты Л, /?, D связываются между собой
равенством:
A+R+D=\.
Для конкретных тел они определяются опытным
путем. Если /?=D = 0, то Л = 1, поверхность тела
поглощает все падающее на нее излучение, следовательно, это
абсолютно черное тело. Если D=A = 0, то /?=1,
поверхность тела отражает все падающее на нее излучение,
следовательно, это абсолютное белое тело. Если /?=Л =
=0, то D = l, тело пропускает все падающее на нее
излучение, следовательно, это абсолютно прозрачное тело.
Участвующее в лучистом обмене тело, помимо
собственного излучения Е, определяемого свойствами самого
тела и температурой, отдает часть падающей на него
энергии:
¦Сотр = А.Спад.
Сумма энергий собственного и отраженного
излучения составляет эффективное излучение тела:
?вф = ?+/??ПаД = ?+A-,Л)?Пад. A6.1)
Следует отметить, что эффективное излучение
зависит не только от физических свойств и температуры
данного тела, но и от физических свойств и температуры
окружающих его тел, а также от формы, размеров и
относительного расположения тел в пространстве.
Разность между собственным и поглощенным
излучением называется результирующим излучением:
?рез = ^-Л?„ад. A6.2)
§ 59. Законы теплового излучения
Тепловое излучение подчиняется общим для
электромагнитных волн законам. Однако существуют
специфические для теплового излучения законы, которые
получены применительно к абсолютно черному телу,
находящемуся в термодинамическом равновесии.
Термодинамическим равновесием называют
состояние, при котором все тела, входящие в данную
излучающую систему, имеют одинаковую температуру, а
интенсивность излучения в любой точке объема не зависит от
направления и имеет одну и ту же величину.
405

Планк установил закон
распределения энергии по
длинам поля во всей
области спектра теплового
излучения абсолютно черного
тела. Он показал, что энергия
излучения с длиной волны
Я, испускаемого черным
телом с температурой Г,
равна:
5
8 А,мнм
Рис. 16.3
A6.3)
где ?х,о— плотность потока
монохроматического (спектрального)
излучения черного тела, Вт/м4;
d = 3,7413-10-16 Вт-м2 — первая
постоянная излучения; С2 =
= 1,4388-Ю-2 м-К —вторая
постоянная излучения.
На рис. 16.3 дано графическое представление
уравнения A6.3), выражающего закон Планка, Видно, что
энергия излучения, испускаемого черным телом,
возрастает с температурой. Кривые имеют максимум с резким
спадом в сторону коротких волн и более пологим спадом
в сторону длинных волн. При Х->0 и Х-^оо
плотность потока излучения стремится к нулю.
Закон Планка имеет два предельных случая. Первый
предельный случай относится к,области больших длин
волн при высоких значениях температур. В этом случае
ЛГ>С2 или C2Ar<l, A6.4)
что позволяет экспоненциальную функцию в уравнении
A6.3) представить в виде ряда:
Условие A6.4) позволяет ограничиться двумя
членами этого ряда. Подставляя эти члены в формулу A6.3)
вместо экспоненциальной функции, получим:
. A6.5)
Зависимость A6.5) выражает закон Релея — Джинса,
являющийся частным случаем закона Планка.
Второй предельный случай закона Планка
соответствует коротковолновой области спектра при высоких
температурах, где ГС
406

Тогда в уравнении A6.3) можно пренебречь
единицей по сравнению с членом С%їкТ и получить
следующую приближенную формулу:
*х,о - ^*~С'/ХГ- A6.6)
Зависимость A6.6) известна как закон Вина.
Положения максимумов излучения (см. рис, 16.3)
можно получить из выражения ('16.3), исследуя
функцию на экстремум. Приравнивая производную нулю и
находя значение А,—Хшах, при котором EXt0 достигает
экстремального значения, получаем:
Хтах==2,898.10-3/^ A6.7)
где Яшах — длина волны, м, которой соответствует максимальная
плотность излучения.
Зависимость A6.7) выражает закон смещения Вина
для абсолютно черного тела. Согласно этому закону
максимальное значение спектральной плотности потока
излучения с повышением температуры сдвигается в
сторону более коротких волн.
Закон Стефана — Больцмана устанавливает
зависимость плотности интегрального полусферического
излучения * от температуры абсолютно черного тела и может
быть получен из формулы Планка. Интегрируя
выражение A6.3) во всем интервале длин волн, получим:
оо
Ео - J ?x>0 dl = C^ jcUxr^ - о74, A6.8)
где а=5,67-10-8 Вт/(м2-К4)—постоянная Стефана — Больцмана.
Согласно уравнению A6.8), плотность интегрального
полусферического излучения абсолютно черного тела
зависит только от температуры и изменяется
пропорционально четвертой степени абсолютной температуры. При
высоких температурах величина 7м достигает больших
значений, поэтому для удобства практических расчетов
формулу A6.8) записывают в виде:
Е0=С0(ТЦЩ\ A6.9)
где С0=а-108=5,67 Вт/(м2-К4)—коэффициент излучения
абсолютно черного тела.
* Интегрального — значит в диапазоне изменения длины волны
от нуля до бесконечности, полусферического — по всем
направлениям внутри полусферы над точкой поверхности тела.
407

Зависимость A6.9) впервые экспериментально была
установлена Стефаном задолго до появления квантовой
теории Планка, позднее Больцман получил эту
зависимость теоретически, исходя из первого и второго законов
термодинамики.
Закон Стефана — Больцмана позволяет определить
суммарное излучение поверхности тела по всем
направлениям в пределах полусферы.
Энергия излучения, испускаемая телом по отдельным
направлениям, устанавливается законом Ламберта.
Согласно закону Ламберта, поток излучения абсолютно
черного тела в данном направлении пропорционален
потоку излучения в направлении нормали к поверхности
и косинусу угла между ними. Для интенсивности
излучения закон Ламберта имеет вид:
/9 = /^coscp, A6.10)
где /у и In — интенсивности интегрального излучения в
направлении, определяемом углом ф (см. рис. 16.1), и d направлении
нормали к поверхности.
Закон Ламберта строго справедлив для абсолютно
черного тела. Для шероховатых поверхностей этот закон
подтверждается опытом лишь для ф = 0ч-60°; резкое
отклонение от закона Ламберта наблюдается для
полированных металлических поверхностей.
Все реальные тела имеют поглощательную
способность, меньшую единицы, и называются нечерными
телами. Для количественной характеристики реальных тел
введено понятие степени черноты тела. Степенью
черноты тела называется отношение энергии излучения
данного тела к энергии излучения абсолютно черного тела
при той же температуре:
е = ?/?0<1. A6.11)
Значение є изменяется от нуля до единицы. Степень
черноты характеризует излучательную способность
реального тела по сравнению с абсолютно черным
телом. Степень черноты может зависеть от длины волны
излучения. Различают спектральную г(К Т)—ех(Т) и
интегральную є (Г) степень черноты. Спектральная
степень черноты для длины волны А, и температуры Т
определяется отношением интенсивности излучения
реального тела 1\ (Т) к интенсивности излучейия /хо {Т)
абсолютно черного тела при той же температуре. Твердые
диэлектрики, имеющие шероховатую поверхность, обла-
408

дают небольшой степенью селективности. Спектр их
излучения является сплошным и по своему характеру
мало отличается от спектра излучения абсолютно черного
тела.
Если тело обладает непрерывным спектром
излучения, а кривые зависимости интенсивности излучения /х
от длины волны реального и абсолютно черного тел
подобны, то такое тело называют серым. Для серых тел
степени черноты и коэффициенты поглощения
неизменны во всем спектре излучения: єх = є и Ах =А.
Строго говоря, серых тел, так же, как и абсолютно
черных, в природе не существует. Однако с некоторым
приближением многие тела (диэлектрики, окиси
металлов с шероховатыми поверхностями и др.) могут быть
отнесены к серым, при этом чем уже рассматриваемый
интервал длин волн, тем с большей степенью точности
тело может считаться серым.
Для решения практических задач лучистого
теплообмена преимущественно используют интегральную
степень черноты. При известной є (Г) плотность
интегрального излучения Е(Т) при температуре поверхности Т
может быть найдена из уравнений A6.9) и A6.11):
Е(Т)=г(Т)Е0(Т)=еС0(ТЦОО)\ A6.12)
Из-за сложности теоретического анализа надежные
значения интегральной степени черноты могут быть
получены лишь опытным путем.
Закон Кирхгофа устанавливает связь между излуча-
тельной и поглощательной способностями тела.
Отношение излучательной способности к поглощательной для
всех тел A, 2, 3, ...) одинаково, равно излучательной
способности абсолютно черного тела при той же
температуре и зависит только от температуры:
A6.13)
Из равенства A6ЛЗ) следует, что при любой
температуре излучательная способность абсолютно черного
тела является максимальной: чем больше излучательная
способность тел, тем больше их поглощательная
способность.
. Для спектрального излучения закон Кирхгофа
формулируется следующим образом: отношение
излучательной способности при определенной длине волны к
поглощательной способности при той же длине волны для
409

?cex тел одно и то же и является функцией длины волньі
и температуры, т. е.
Из определения степени черноты и закона Кирхгофа
следует: '
для всех тел: ,
для серых тел:
е(Т)=А{Т). A6.14)
Закон Кирхгофа базируется на втором законе
термодинамики и является одним из основных законов теории
теплового излучения.
Закон Бугера описывает поглощение энергии
прозрачными средами. Пусть поверхностью некоторой среды
поглощается лучистый поток, спектральная
интенсивность которого /ох. При прохождении его через среду,
интенсивность уменьшается и на расстоянии х от
поверхности составляет /х. Как следует из закона
Бугера, между /Ох и /х справедлива зависимость:
где &х —коэффициент ослабления луча при данной длине волны.
Коэффициент ослабления kx зависит от физических
свойств среды и температуры. Введем обозначение:
L = f kx dx
о
и перепишем закон Бугера в виде:
Поглощательная способность вещества в слое
толщиной I:
*х ~</х.і-/х)//.,х« І-*"*-
Полная поглощательная способность среды
определяется суммой значений Аи отдельных участков і
спектра:
Л- 2
Alls!
410

§ 60. Теплообмен излучением между телами,
разделенными прозрачной средой
При анализе лучистого теплообмена между твердыми
телами принимаются определенные допущения.
Собственное и отраженное излучение всех тел, между
которыми происходит лучистый теплообмен, подчиняется
закону Ламберта. Тела непрозрачны, внешние поверхности —
изотермические, среда между телами прозрачна для
излучения. Коэффициенты поглощения и черноты не
зависят от температуры.
Рассмотрим теплообмен между неограниченными
плоскопараллельными плоскостями. Физические
параметры, относящиеся к первой и второй плоскостям,
будем снабжать индексами 1 и 2 и примем, что 71i>712.
Обе плоскости излучают в пространство энергию,
которая частично поглощается и отражается самими
плоскостями, при этом процессы поглощения и отражения
многократно повторяются. Воспользовавшись понятиями
эффективного потока, запишем для результирующей
плотности полусферического излучения ?Рез от первого
тела ко второму:
?рез і 2 = ?'эф1—Еэф2. A6.15)
Согласно зависимости A6.1), эффективную излуча-
тельную способность ?Эф1 и ?Оф2 каждой плоскости
можно представить в виде:
?эф2=?2— A— А2)Езф1. A6.16)
При составлении зависимостей A6.16)
предполагалось, ЧТО ?пад1=?эф2; Епад2 = ?эф1. РеШИМ СИСТему
нений A6Л6) относительно ?Эф1 и ?Эф2:
Подставив значения ?Эф1 и ?Эф2 в уравнение A6.15),
получим:
?1>2= (ElA2-^E2Al)l(Al+A2—AlA2). A6.17)
Тепловой поток q,- переносимый излучением от первой
плоскости ко второй, найдем из уравнений A6.12),
A6.14) и A6.17)
^=епрС0[(Г1/100L—(Г2/100L]. . A6.18)
где еПр — приведенная степень черноты системы, определяемая
формулой
A6.19)
411

Рис. 16.4
Из формулы A6.19) следует, что если одна из
плоскостей обладает значительной степенью черноты по
сравнению с другой: єі>Є2, то єпр определяется
величиной меньшей степени черноты: єПр~в2. Для тел с
большой степенью черноты (єі и Є2 не менее 0,8) єПр
приближенно может быть принята равной єіє2.
Рассмотрим теплообмен между телом и его
оболочкой. На рис. 16.4,а, б представлены следующие системы
двух тел: тело / находится в замкнутой полости тела 2,
тело 2 охватывает плоское или выпуклое тело /.
Пусть тело / имеет более высокую температуру,
тогда теплообмен излучением между телами 1 и 2 приведет
к переносу тепловой энергии от тела / к телу 2.
Результирующая плотность полусферического излучения в
рассматриваемом случае может быть найдена изложенным
выше методом. Однако в отличие от предыдущей
задачи необходимо учесть, что не весь лучистый поток с
тела 1 попадает на тело 2 (см. рис. 16.4).
Введем понятие угловых коэффициентов излучения
Фі,2 и ф2,1. Они показывают, какая часть лучистого
потока, испускаемого одним телом, падает на другое тело,
находящееся в лучистом теплообмене с первым, т. е.
фі,2== Ql,2/Ql j ф2,1 ^^ Q2,l/Q2- A6.20)
Результирующий тепловой поток Qi,2 может быть
представлен в следующем виде:
A6.21)
Для случаев, изображенных на рис. 16.4, ф2,і<1»
ф1,2=1.
412

Используя зависимости A6,1), A6.12) и A6.14),
можно привести выражение A6.21) для Qi,2 к виду,
удобному для практических расчетов:
Qi,2 - єпСо[Gуі0С))*-G9/100)*]Л;
11 A6.22)
где F\ и F2 — площади поверхностей тел 1 и 2.
Рассмотрим теплообмен излучением в замкнутой
системе из двух вогнутых серых тел. Пусть два серых
вогнутых тела 1 и 2 с температурами 7\ и Г2 и степенями
черноты єі и Є2 образуют замкнутую систему (рис. 16.4,в).
Результирующий тепловой поток в такой системе тел
можно найти из выражения:
(Г2/100L]Р1ф1,2; A6.23)
—1)+Ф2лA/е2—1)].
Следовательно, для расчетов по формуле A6.23)
необходимо предварительно установить значения угловых
коэффициентов ф1>2 и ф2,1 для данной системы тел.
Рассмотрим теплообмен излучением между двумя
произвольно расположенными в пространстве серыми
поверхностями с высокой степенью черноты. Имеем два
серых тела с выпуклыми или плоскими поверхностями
конечных размеров F\ и F2i температуры поверхностей
Тх и Г2, а их степени черноты єі и ег, при этом є* ^0,8.
Требуется определить результирующий тепловой поток.
Выделим на каждом из рассматриваемых тел
элементарные площадки dF\ и dF2, бесконечно малые по
сравнению с расстоянием г между ними; введем углы фі и ф2
между линией, соединяющей середины элементарных
площадок, и нормалями П\ и п2 к площадкам (рис. 16.5).
Вычисления приводят к следующему выражению для
Qi,2:
Oi,2 = ?i e* Co ^mJ - {mJ j J I
sx s
Интеграл
имеет единицу площади и называется взаимной
поверхностью излучения тел / и 2,
413

Рис. 16.5
Рис. 16.6
Можно показать, что величина #і,2 связана с
угловыми коэффициентами излучения фі}2 и ф2,і простыми
СООТНОШеНИЯМИ: #1,2 = фі>2^і; Н2,\ = ЦJЛр2'у ^1,2 = ^2,Ь
Следовательно, задача вычисления результирующего
теплового потока Q\,2 между двумя произвольно
расположенными в пространстве поверхностями конечных
размеров СВОДИТСЯ К Определению Коэффициента фі,2.
Угловые коэффициенты излучения характеризуют
геометрические свойства различных систем тел, в
которых рассматривается теплообмен излучением. При
расчетах коэффициентов излучения фгі или взаимных-по-
верхностей излучения Hij часто используют метод
лучистой (поточной) алгебры, базирующийся на
некоторых общих свойствах лучистых потоков.
Рассмотрим теплообмен излучением при наличии
экранов. Экраны уменьшают теплообмен излучением
между телами, .они устанавливаются ортогонально к
направлению потока излучения и выполняются из тонких
металлических листов.
Рассмотрим теплообмен излучением между двумя
параллельными стенками, между которыми расположен
экран (рис. 16.6). Тепловой поток можно определить из
выражения A6.18). Примем Ci = C2=C9=C. Если
экрана нет, то
<7=Ci>2[GVl00L—G2/100L]. A6.24)
При наличии экрана тепловой поток между первой
стенкой и экраном выразится формулой
<7ів=С18[Gуі00L— Ga/100LJ. A6.25)
414

От экрана ко второй стенке передаеїся теплота
A6.26)
При одинаковых коэффициентах излучения стенок и
экрана приведенные коэффициенты излучения всех
систем также будут одинаковы: Сі 2=Сі9=С92=СПр=
= 1/B/С—I/Co).
Из условия стационарности 91э=92э=9э-
Приравнивая правые части равенств A6.25) и A6.26), определим
(Гэ/100L=1/2[(Г1/100L+(Г2/100L].
Подставив (Тэ/Ю0L в уравнение A6.25) или A6.26),
получим
^ = Спр/2[(Г1/Ю0L-(Г2/100L]. A6.27)
Сопоставление формулы A6.27) с формулой A6.24),
в которой С12 = Спр, показывает, что постановка экрана
с таким же коэффициентом излучения, как у стенок,
приводит к уменьшению теплового потока в 2 раза.
Аналогично можно показать, что при п экранах тепловой
поток уменьшится в л+1 раз. Таким образом, при
одинаковых коэффициентах излучения
A6.28)
Если коэффициенты излучения экрана и стенок
неодинаковы (Сі=^=С2=И=С0), то при одном экране
+Сав). A6.29)
Здесь СіаФСх)ФСі,2> Эти коэффициенты
определяются по формуле приведенного коэффициента излучения. С
помощью формулы A6.29) легка показать, что при
уменьшении Сэ повышается эффективность экрана. Так,
при Со=0,3 и С1 = С2 = 5,25 один экран уменьшает
поток теплоты в 30 раз.
Повышение эффективности экрана при уменьшении
коэффициента излучения обусловлено повышением его
отражательной способности (так как С—АСОу а Д+/? =
= 1). Но уменьшение потока теплоты обусловлено не
только отражением экрана, но и тем, что благодаря
экрану уменьшается перепад температур, определяющий
тепловой поток. В самом деле,
G\/100L—(Гэ/100L< (Л/100L— GУ100L. A6.29')
Поэтому даже при Сі = С2=Сз=С0, т. е. когда экран
ничего не отражает, благодаря условию A6.29') всегда
•415

§ 61. Особенности излучения газов и паров.
Сложный теплообмен
Одноатомные и двухатомные газы не обладают
заметной излучательной способностью и являются
практически прозрачными (диатермичными) для излучения.
Трехатомные газы (Н2О, СО2 и др.) обладают
значительной излучательной и поглощательной способностью,
которая носит резко выраженный селективный
характер. В отличие от твердых и жидких тел излучение
газов носит объемный характер.
Количество поглощаемой газом энергии зависит от
толщины газового слоя и концентрации поглощающих
(или излучающих) молекул. Концентрацию молекул
удобно оценить парциальным давлением газа р. Так как
толщина газового слоя и парциальное давление газа в
одинаковой мере влияют на число молекул, то степень
черноты газа и его поглощательную способность можно
выбирать в зависимости от параметра р/, где / —
средняя длина луча в пределах газового слоя, которая может
быть определена из формулы l=3?V/F (здесь V —
газовый объем; F — площадь поверхности оболочки).
Наиболее хорошо изучен теплообмен излучением для
Н2О и СО2, которые содержатся в продуктах сгорания
органических топлив. Плотность их собственного
интегрального излучения по экспериментальным данным
определяется из выражений:
?с02 = 3,5(р/H'33(Г/100K'5 ; A6.30)
?Н20 =з,5 (р/H'8 /°'6 (Г/100)8. A6.31)
Из уравнений A6.30) и A6.31) видно, что
парциальное давление р и толщина слоя / оказывают большее
влияние на излучение Н2О, чем на излучение СО2.
Поэтому при малых толщинах слоя преобладает излучение
СО2, а при больших.— излучение Н2О.
Выражения A6.30) и A6.31) показывают, что
излучение газов не подчиняется закону Стефана — Больц-
мана. Плотность теплового потока, передаваемая газом,
содержащим СО2 и Н2О, определяется из эмпирической
формулы:
A6.32)
где Еэф — эффективная степень черноты стенки; Ат — поглощатель-
ная способность газа при температуре стенки; Тс — температура
стенки; Гж — температура газов.
416

Рис. 16.7
Степень черноты газа при температуре газа Тт под-
считывается по формуле
Ег = есо2 + Рен2о-
Значения степени черноты есоа и єн2о в зависимости
от температуры и параметра pi приведены на рис. 16.7
и 16.8. Поправочный коэффициент ? определяют по
графику на рис. 16.9.
Сложным теплообменом называют процесс переноса
теплоты, при котором теплообмен излучением протекает
совместно с теплопроводностью и конвекцией. В
сложном теплообмене излучение является важной составной
417

Рис. 16.8
частью. Сложный теплообмен можно разбить на три
разновидности: теплообмен излучением между потоком
излучающего газ и стенками канала, радиационно-кон-
дуктивный теплообмен и радиационно-конвективный
теплообмен.
При темплообмене излучением между потоком
излучающего газа и стенками канала обычно пренебрегают
теплопроводностью и считают, что теплота переносится
только конвекцией в направлении движения потока.
418

во рНг01кпа
Здесь учитывается неравномерное распределение
температуры газа по сечению канала и его длине,
возникающее из-за теплообмена. Оказывается, что теплота,
переданная излучением, не растет монотонно с ростом
степени черноты газового объема, а имеет максимальное
значение при некотором ее значении. Уменьшение
количества передаваемой теплоты при большой поглощательной
способности среды объясняется тем, что охладившиеся
пристенные слои малопрозрачного газа выполняют роль
экрана, не пропуская на стенку излучение от удаленных
слоев излучающего газа.
При радиационно-кондуктивном теплообмене
происходит перенос теплоты в неподвижной ослабляющей и
теплопроводящей среде путем излучения и
теплопроводности. В случае нерассеивающей среды этот вид
теплообмена характеризуется оптической толщиной слоя
среды kl, степенью черноты тепловоспринимающих
поверхностей єсгГ, Єсг2, относительной температурой поверхно-
сти, имеющей низкую температуру в = Т2/Ти и
параметром N-=llKi=kk/4G0Tzu характеризующим взаимную
интенсивность переноса теплоты теплопроводностью и
излучением. Если yV->oo, то теплота переносится только
теплопроводностью, yV-vO — только излучением. Радиа-
ционно-кондуктивный теплообмен является весьма слож-
419

ным видом теплообмена. Сравнительно простые решения
задачи получаются лишь для некоторых частных
случаев.
При оптически тонком слое (Ы=0) излучение не
поглощается в среде, а переносится от одной поверхности
к другой, как в случае диатермичной среды. Полный
тепловой поток определяется простым суммированием
лучистого и кондуктивного потоков
<7 = [(ЄстіЄст2)/(Єсті + Єст2—Єс т іЄст2)](То(^41—ТА2) +
+ (V6)GV-72). A6.33)
При оптически толстом слое (/г/->оо) влияние
радиационных свойств поверхностей простирается в глубь
объема, а характеристики излучения в любой точке
объема зависят лишь от условий в непосредственной
близости от этой точки. В этом случае полный тепловой
поток складывается иначе, чем в уравнении A6.33),
радиационный поток несколько видоизменен:
q= D/3) (ao/AO) G^-74,) +(V6) (Гг-2Г2).
Радиационно-конвективный теплообмен весьма
сложен в физическом отношении и описывается довольно
сложной системой уравнений. Эти два обстоятельства
затрудняют как аналитические, так и экспериментальные
исследования сложного теплообмена, в связи с чем
задача его инженерного расчета еще далека от своего
решения. Для практических расчетов обычно используют
принцип независимости конвективного и лучистого
потоков, что оказывается достаточно верным, если один из
них значительно меньше другого. Так, для учета
теплоотдачи излучением к коэффициенту теплоотдачи
конвекцией, подсчитанному обычным образом, т. е. без учета
влияния радиационного теплообмена на профили
скорости и температуры, рекомендуется прибавлять условный
коэффициент теплоотдачи излучением <хл, поэтому
суммарный коэффициент теплоотдачи равен а=ак+ал.
Для сложных процессов теплообмена используют
ряд чисел подобия, в частности числа Больцмана— Во и
Кирпичева — Кд, имеющие вид:
Число Больцмана Во характеризует радиационно-
конвективный теплообмен: чем оно меньше, тем
большую роль играет лучистый теплообмен в -среде по
420 .

сравнению с конвективным. Число Кирпичева Ю
характеризует радиационно-кондуктивный теплообмен. Число
Бугера Bu=klo характеризует оптическую плотность
среды, т. е. прохождение через нее лучистой энергии.
ГЛАВА 17. ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
§ 62. Классификация теплообменных аппаратов
Теплообменными аппаратами (теплообменниками)
называют устройства, предназначенные для передачи
теплоты от одной среды к другой при осуществлении
различных тепловых процессов (например, нагревания,
охлаждения, кипения, конденсации). Жидкие среды,
воспринимающие или отдающие теплоту, именуют
горячими или холодными теплоносителями.
По принципу действия теплообменные аппараты
разделяются на поверхностные (рекуперативные и
регенеративные), в которых тепловой перенос
осуществляется с использованием разделяющих поверхностей и
твердых тел, и смесительные, процессы нагревания и
охлаждения в которых происходят при
непосредственном контакте теплоносителей.
В рекуперативных теплообменниках горячий и
холодный теплоносители перемещаются одновременно, а
теплота непрерывно передается через разделяющую их
стенку.
Регенеративными (регенераторами) называются
теплообменные аппараты, в которых теплоносители
попеременно соприкасаются с поверхностью так
называемой насадки, аккумулирующей теплоту от горячего
теплоносителя и отдающей ее холодному
теплоносителю. Таким образом, для регенераторов характерен
нестационарный теплообмен.
В зависимости от агрегатного состояния
теплоносителей рекуперативные теплообменники
классифицируются на газогазовые, газожидкостные, парогазовые, па-
рожидкостные и жидкостножидкостные. В основу
классификации рекуперативных теплообменников может
быть также положен способ компоновки теплопередаю-
щей поверхности или ее конфигурация: теплообменники
типа «труба в трубе», кожухотрубчатые, с прямыми
трубками, змеевиковые, пластинчатые, ребристые.
421

По относительному движению потоков
теплоносителей теплообменники делят на прямоточные, противоточ-
ные и со смешанным током.
В особую группу выделяют теплообменные
аппараты с внутренними источниками теплоты, отвод которой
осуществляется одним теплоносителем. Примером
таких теплообменников могут служить
электронагреватели, ядерные реакторы и др.
В связи с широким использованием
теплообменников в различных областях техники возросло число их
наименований, определяемых спецификой работы этих
устройств. Так, встречаются парогенераторы,
экономайзеры, воздушные калориферы, конвекторы,
холодильники, конденсаторы, градирни, испарители, скрубберы,
охладители выпара и т. д. Но несмотря на различное
функциональное назначение этих аппаратов, методика
теплового расчета является для них общей.
§ 63. Тепловой расчет
рекуперативных теплообменников
При проектировании новых теплообменных
аппаратов необходимо выполнить конструкторский тепловой
расчет, целью которого является определение площади
поверхности теплообмена, обеспечивающей передачу
заданного количества теплоты от одного теплоносителя
к другому. Для выявления возможности использования
имеющихся аппаратов в тех или иных целях производят
поверочный тепловой расчет, определяя конечные
температуры теплоносителей t"T и t'\ и количество
переданной теплоты.
Основными расчетными уравнениями, записанными
в дифференциальной форме, являются уравнение
теплопередачи для элемента площади поверхности
теплообмена dF:
dQ=k(U—tx)dF A7.1)
и уравнение теплового баланса:
Tt A7.2)
где Мг, Мх — массовые расходы горячего и холодного
теплоносителей, кг/с; hTy hx — энтальпии теплоносителей, кДж/кг; dQnoT —
потери в окружающую среду, кВт.
В общем случае температуры теплоносителей в
теплообменнике изменяются, изменяется и температурный
422

fcanop At=tT—tx. В расчетах используется срёдйее ПО
всей площади поверхности теплообмена значение
температурного напора А/Ср. В этом случае уравнение
теплопередачи A7.1) записывается в виде (&=const):
Q=kMcVF. A7.3)
Удельные изобарные теплоемкости ср
теплоносителей зависят от температуры. Если использовать среднее
значение изобарной теплоемкости в интервале
температур от f (вход) до V (выход) и пренебречь потерями
теплоты в окружающую среду QnoT, то уравнение A7.2)
преобразуется так:
Q = Mr(/i'r-/i"r) =Mx(/i"x-/i'x) =AfrCp.p(^p-rr) =
= AfxCp.x(*V-f'x). A7.4)
Произведение Mcv является полной теплоемкостью
массового расхода теплоносителя в единицу времени и
измеряется в Вт/К. Эта величина часто называется
водяным эквивалентом.
Уравнение A7.4) при введении в него полных
теплоємкостей W примет вид:
Q=Wv(t'p-t"T) = №Х(ГХ-*'Х), A7.5)
или
WxlWF= (fr—Гг)/(*"х—f'x). A7.6)
Соотношение A7.6) может быть записано для
элемента площади поверхности теплообмена dF: Wx/WT=
=dtr/dtx.
Таким образом, отношение изменения температур
теплоносителей обратно пропорционально отношению
полных теплоємкостей массовых расходов. На
характер изменения температур теплоносителей вдоль
поверхности теплообмена, а значит и на температурный
напор, значительное влияние оказывает схема
движения (рис. 17.1). При прямоточной схеме теплоносители
движутся параллельно и в одном направлении
(рис. 17.1,а). При параллельном, но противоположном
направлении движения теплоносителей схема
называется противотоком (рис. 17.1,6). Если теплоносители
движутся во взаимно перпендикулярных направлениях,
то схема их движения называется перекрестным током
(рис. 17.1,в). На практике приходится осуществлять и
более сложные схемы движений: многократный
перекрестный ток, одновременный прямоток и противоток
423

a)
6)
г)
Рис. 17.1
Рис. 17.2
(рис. 17.1,г) и т. д. При этом один или оба потока
могут перемешиваться по своему сечению или же
протекать по изолированным каналам.
На рис. 17.2 изображены характерные кривые
изменения температуры вдоль поверхности теплообмена F
для прямотока и противотока в зависимости от
соотношений полных теплоємкостей WT и Wx. На графиках,
как следует из уравнения A7.6), меньшее изменение
температуры получается для того теплоносителя, у
которого полная теплоемкость массового расхода больше.
В случаях, когда один из теплоносителей имеет
постоянную температуру (кипение жидкости или
конденсация пара), прямоток и противоток равнозначны и
среднее значение температурного напора не зависит от
схемы движения потоков.
Рассмотрим теплообменный аппарат, работающий
по противоточной схеме. Характер изменения темпера-
424

тур теплоносителей в этом
теплообменнике показан на
рис. 17.3.
При передаче теплоты
dQ через элемент площади
поверхности dF температура
горячего теплоносителя
снижается на величину
—dtr=dQIWT, A7.7а)
а холодного возрастает на
величину
dtx=dQ/Wx. A7.76)
Так как из уравнения A7.5) следует, что Wr=
= Q/(t'r—t"T) и Wx=Q/(i\—Гх), то подставляя эти
значения в уравнения A7.7а) и A7.76) и решая их
совместно с уравнением A7.1), получаем
A7.7b)
Рис. 17.3
Считая коэффициент теплопередачи k постоянным
вдоль всей поверхности нагрева, интегрируем
уравнение Д17.7в):
F
ИЛИ
A7.7г)
Q = kF[(t"r—t\) — (t'r-t"x) ]/ln[ (t%—r x) l(t'v—t\) ]. A7.8)
Если сравнить уравнение A7.8) с уравнением A7.3),
то получаем формулу
-ґх)/(^г-Гх)]. A7.9)
Обычно при расчете теплообменников формула
A7.9) используется в виде
разности температур
где Д^б и Д?м — наибольшая и наименьшая
для данного теплообменного аппарата.
В формулу A7.10) введена поправка едм
учитывающая снижение среднего температурного напора для
425

Рис. 17.4
теплообменников с перекрестным и смешанным токами
по сравнению с теплообменниками с противотоком.
Величина ед, зависит от значений вспомогательных
характеристик Р= (Гх—V х) 1(ГТ—Гг) и R= (t'T—
—* т) І \І x—t x) •
На рис. 17.4 представлены кривые, позволяющие
определить поправку ед/ для теплообменника, у
которого схема движения теплоносителей более сложна,
чем противоток и прямоток.
Рассчитанная по формуле A7.10) средняя разность
температур называется среднелогарифмическим
температурным напором и применяется для различных схем
аппаратов при постоянстве массовых расходов
теплоносителей,
426

Вместо среднелогарифмического температурного
напора в расчетах может быть использован
среднеарифметический напор
если Д^б/Д^м<1,7, что обеспечивает погрешность в
сторону увеличения А^ср не более чем на 3 % •
Определение коэффициента теплопередачи k для
теплообменных аппаратов является важным и
ответственным моментом расчета. При осреднении величины k
по поверхности теплообмена требуется тщательный
учет изменения температур теплоносителей и
геометрической конфигурации поверхности теплообмена.
Наиболее распространенными в теплообменниках
являются трубные цилиндрические поверхности.
Формулы для расчета коэффициента теплопередачи в этом
случае несколько громоздки. Если стенка трубы не
очень толста (гіНар/йвн<1,5), то с достаточной
точностью используются формулы, полученные для
плоской стенки.
В процессе эксплуатации поверхность нагрева
покрывается слоями накипи, сажи, золы и т. д., что
создает дополнительные термические сопротивления
теплопроводности, уменьшающие тепловой поток от
горячего теплоносителя к холодному. Естественно, что при
этом возрастает и гидравлическое сопротивление тепло-
обменного аппарата.
Если для простоты расчета пренебречь влиянием
слоев загрязнений, то полное термическое
сопротивление теплопередаче можно записать в следующем виде:
при отнесении теплового потока к единице площади
полной поверхности теплообмена FT на стороне
горячего теплоносителя
l/?r=l/^orar+6/(F/Fr)M-l / (Fx/FrjTioxax; A7.11a)
при отнесении теплового потока к единице площади
полной поверхности теплообмена Fx на стороне
холодного теплоносителя
1/^=1/т1охах+б/(/7/^х)Х+1/(/7г//7х)Логаг, A7.116)
Под площадью полной поверхности
подразумевается площадь тепловоспринимающей или теплоотдающей
поверхности, омываемая горячим или холодным
теплоносителем и включающая в себя площади ребер и
любой другой развитой поверхности. Площадь поверхно-
427

сти F соответствует средней площади основной или так
называемой первичной поверхности, которая является
базой для устройства на ней ребер, турбулизаторов
и т. д., используемых для интенсификации теплоотдачи.
Если дополнительная развитая поверхность
отсутствует и теплообменник изготовлен, например, из гладко-
стенных труб, то F= (FT-{-Fx)/2 и в этом случае
коэффициенты эффективности полных поверхностей
теплообмена г]ог и г]ох равны 1.
Если же поверхность теплообмена дополнительно
развита, например оребрена, то из-за снижения
температуры поверхности ребер по сравнению с
температурой основной поверхности коэффициент эффективности
развитой поверхности снижается.
Эффективность полной поверхности теплообмена
можно рассчитать так:
где т]р — эффективность ребра (см. § 47).
Коэффициенты теплопередачи аг и ах
рассчитываются по формулам, приведенным в гл. 15, а также в § 61.
§ 64. Расчет конечных
температур теплоносителей
Для уже спроектированного или находящегося в
эксплуатации теплообменного аппарата целью
теплового расчета является определение конечных температур
теплоносителей, т. е. температур рабочих жидкостей
У'т и Ґ'х на выходе из теплообменного аппарата, а
также количество переданной теплоты. При таком
поверочном расчете известны площадь поверхности
теплообмена Fy температуры теплоносителей на входе t'T и /'х,
коэффициент теплопередачи k и полные теплоемкости
WT и Wx теплоносителей.
Если температура вдоль поверхности теплообмена
изменяется незначительно (Д*б/А?м<1,7) и ее
распределение может быть принято линейным, то конечные
температуры теплоносителей определяются из
уравнения A7.5) следующим образом:
t"r=t'T-(QIWr)\ t"x=t'x+(QlWx). A7.12)
При линейном изменении температур вдоль
поверхности теплообмена допускается использование
среднеарифметического температурного- напора
д^ср=(Гг+Гг)/2~(//х+Гх)/2. A7.13)
428 - :

Подстановка уравнений A7.12) и A7.13) в
уравнение теплопередачи A7.3) приводит к следующему
выражению:
. A7.14)
Решение этого уравнения относительно Q дает
формулу для расчета количества переданной теплоты
' A7.15)
Далее по формулам A7.12) вычисляются
температуры теплоносителей на выходе из теплообменного
аппарата.
В большинстве практических случаев характер
изменения температур нелинеен и зависит от схемы
движения теплоносителей, соотношения между их полными
теплоємкостями и площади поверхности теплообмена.
Простые преобразования выражения A7.7г) с
использованием формул A7.7а) и A7.76) позволяют
получить следующее уравнение для противоточной схемы
(см. рис. 17.3):
u = — (\/Wr— \/Wx)kF A7.16)
ИЛИ
A7.17)
Из уравнения A7.17) следует, что вдоль
поверхности теплообмена температурный напор А^ изменяется
по экспоненциальному закону. При этом в прямоточных
теплообменниках температурный напор непрерывно
уменьшается в направлении движения теплоносителей.
При противотоке характер изменения температурного
напора зависит от соотношения полных теплоємкостей
массовых расходов теплоносителей. В случае когда
WT<CWX, температурный напор уменьшается в
направлении движе_ния горячей жидкости; при WT>WX
величина А^ возрастает в том же направлении.
Для расчета конечных температур теплоносителей
при противотоке используются следующие формулы:
t\ - К = (К - 4) 1 _ {WrjWx) - d-WrIx T
429

__ e- (l-WrIWx) (kFIWr)
Для прямотока применимы такие формулы:
К-К = (K-t'x) Х~Є іФ^. A7.20)
Выражения
гпщ; Г"
зависят только от заданных величин, т. е. от kF/Wr и
WT/WX. Они могут быть затабулированы, что
значительно облегчает решение поставленной задачи.
Рассмотрим частные случаи для противоточного
теплообменника. Если Wr=Wx=W, т. е. полные
теплоемкости массовых расходов теплоносителей численно
равны, то уравнения A7.20) и A7.21) для прямотока
трансформируются к следующему виду:
//г-///г=Гх--/'х= (/V-fx) (\-e-w/w)/2. A7.22)
Для противотока при Wr=Wx=W имеем:
д* б = AtM = Гтг-4"х = Г'т—Гх = const.
В случаях, когда температура одного из
теплоносителей остаетря постоянной вдоль поверхности
теплообмена, т. е. прямоточная и противоточная схемы
равноценны, получаем:
430

ПрИ Wr-^OO
t"x = tT — (tT— tx) є х; A7.23)
При lFx-^oo
§ 65. Сравнение прямоточной
и противоточной схем
движения теплоносителей
Анализ рис. 17.2 позволяет выявить одно важное
преимущество противоточной схемы: конечная
температура холодного теплоносителя t"x может быть более
высокой, чем температура горячего теплоносителя на
выходе из теплообменника. Такая ситуация
невозможна в прямоточном теплообменнике, где всегда t"T>t"x.
Лишь при бесконечно большой площади поверхности
теплообмена на выходе из идеализированного
прямоточного теплообменника можно получить равные
температуры теплоносителей.
Вторым важным достоинством противоточной схемы
является то, что средний температурный напор
получается большим, чем для тех же температур при
прямоточной схеме. Это значит, что при противоточном
движении теплоносителей можно уменьшить площадь
поверхности теплообмена [см. уравнение A7.3)].
Сравнение двух схем движения теплоносителей
может быть проведено путем сопоставления количества
теплоты Qn, передаваемой при прямоточной схеме, и
количества теплоты Qnp, передаваемой при
противоточной схеме, при равенстве прочих условий.
На рис. 17.5 показана зависимость отношения
Qn/Qnp »от двух безразмерных характеристик WT/WX и
kF/WT. Равноценность двух схем наблюдается в случае,
когда полная теплоемкость одного из теплоносителей
значительно больше полной теплоемкости другого
(WTIWX>\5 или №г/№х<0,03). Одинаковый эффект
может быть достигнут для двух схем и в случае, когда
значение параметра kF/Wr мало. Это условие
выполняется, если средний температурный напор значительно
превышает изменение температуры горячего
теплоносителя.
Таким образом, при равной площади поверхности
теплообмена и одинаковых значениях температур теп-
431

—
ч
N
\
N
\
S
I/I/
\
I
....
—
kf/wp-oj лоносителеи на входе и
выходе при противотоке
передается теплоты больше, чем
при прямотоке. В то же
время при противотоке
температурные условия работы
металла, из которого изго-
0,020,050,, 0,2 0,5 t 2 5 10 20 ™ВЛЄНа поверхность ТЄПЛО-
w,/w обмена, более тяжелые, осо-
Рис 175 бенно в зоне входа горячего
теплоносителя, где другая
сторона стенки омывается
холодным теплоносителем с наибольшей его
температурой. Этот фактор учитывается при конструировании
теплообменных аппаратов, работающих с
высокотемпературными теплоносителями, например,
пароперегревателей котельных агрегатов, некоторых типов
воздухоподогревателей и т. д.
Как уже отмечалось, противоточные и прямоточные
схемы равнозначны, е^ли один из теплоносителей в
процессе теплообмена имеет неизменную температуру
(конденсация насыщенных паров или кипение жидкости).
§ 66. Основы теплового расчета
регенеративных и смесительных теплообменников
Поверхность теплообмена регенераторов поочередно
омывается горячим и холодным теплоносителями,
воспринимая и аккумулируя теплоту в первом случае и
отдавая ее во втором. Таким образом, процесс
теплопередачи не стационарен и температура поверхности
насадки (кирпич, металлические листы) изменяется в
периоды нагревания и охлаждения; изменяются и
температуры теплоносителей. В связи с этим тепловой
расчет регенераторов весьма сложен.
Время, за которое происходит нагрев тг и
охлаждение Тх насадки, называется полным циклом или
периодом:
Тц = Тг+Тх.
Если использовать средние температуры
теплоносителей tT и tx и поверхностей /с.г и tc.x за цикл, то
расчет можно упростить с достаточной для практики
точностью и свести его к решению уравнений, аналогцч-
432

ных используемым при расчете рекуператоров. В этом
случае уравнение теплопередачи принимает вид:
Q=kn(lT-tx)F. A7.25)
Особенностью является то, что количество
переданной теплоты рассчитывается за цикл и измеряется в
кДж.
Коэффициент теплопередачи kn определяется по
формуле
Поправочный коэффициент ipfe позволяет учесть
неравенство средних температур поверхности насадки за
периоды охлаждения и нагревания:
ф7г = 1 — (tс .г—tс .х) !{tr—tx) . ( 17.26)
Обычно г|^=0,8. Вычисление коэффициентов
теплоотдачи аГ и ах проводится по формулам для
стационарных процессов переноса теплоты конвекцией и
излучением с использованием усредненных значений
температур теплоносителей и поверхности.
Процесс теплообмена в регенераторах зависит от
многих факторов, в частности, от формы и толщины
насадки, ее теплофизических свойств, температур
теплоносителей, длительности цикла, полноты омывания
поверхности нагрева, засорения зольными отложениями
и т. д.
Смесительные теплообменные аппараты
характеризуются непосредственным контактом холодного и ґоря-
чего теплоносителей. Эти аппараты находят, в
частности, широкое применение в системах
кондиционирования воздуха.
Естественно, что чем больше площадь поверхности
соприкосновения теплоносителей, тем активнее
протекают процессы тепло- и массообмена. С этой целью
жидкости обычно разбрызгиваются на отдельные капли,
размеры которых определяют скорость их движения, и
выбираются исходя из конкретных условий.
При расчете смесительных аппаратов обычно
пользуются нормами допустимой тепловой нагрузки
единицы объема смесительного аппарата, установленными
практикой. Именно равномерное распределение потоков
теплоносителей по сечению с целью увеличения
степени использования объема позволяет повысить
производительность аппарата и уменьшить его размеры.
15 Зак. 508 433

§ 67. Использование безразмерных характеристик
для расчета теплообменных аппаратов
Переменные величины, входящие в уравнения
теплового баланса и теплопередачи (температуры горячего и
холодного теплоносителей, их полные теплоемкости
массового расхода, коэффициент теплопередачи) могут
быть сгруппированы в безразмерные параметры
(характеристики), обладающие определенным физическим
смыслом. Некоторые из этих характеристик уже
встречались при изучении теплового расчета
теплообменников, основанного на совместном решении уравнений
теплового баланса и теплопередачи.
Эффективность (КПД) теплообменника
определяется выражением:
Wmln(t'T-tx) Wmln(t'r-t'x)
где Wmin — наименьшая из величин Wv и W*.
Эффективность е выражает соотношение между
фактически переданным количеством теплоты
Q = WT(t'r-t"T) =№Х(ГХ-*'Х) A7.28)
и максимально возможным количеством теплоты Qmax,
переданным в идеальном противоточном теплообменнике
с бесконечно большой площадью поверхности
теплообмена;
при WX<WT:
Qm&T = Wx(t'r-t'x); A7.28a)
при WT<WX:
Qm&x = Wr(t'r-t'x). A7.286)
При заданных рабочих параметрах fT, t'Xi WT, Wx
величина є полностью определяет условия теплообмена
между теплоносителями. Так, если №г=№тіп, то
величина е=(^г—t"T)l(t'T—t'x) может трактоваться как
температурный КПД процесса охлаждения горячей жидкости,
а при Wx—Wmin величина e=(t"x—t'x)l(t'r—t'x)
характеризует эффективность процесса нагревания холодной
жидкости.
Следующий безразмерный параметр — число единиц
переноса теплоты N определяется по формуле
N=kF/Wmln. A7.29)
434

А/
Рис. 17.7
Величина N характеризует возможность передачи
теплоты от одного теплоносителя другому в данном теп-
лообменном аппарате.
Физический смысл величины N, а также ее
взаимосвязь с эффективностью е характеризуются кривыми,
показанными на рис. 17.6. Очевидно, что для заданного
соотношения полных теплоємкостей при малых N низка и
эффективность е теплообменника. При увеличении
параметра N эффективность е повышается и приближается к
пределу, определяемому схемой движения
теплоносителей. Зная величину N, включающую в себя площадь
поверхности теплообмена F и коэффициент теплопередачи
k [см. формулу A7.29)], моожно оценить степень
повышения величины е с учетом капитальных затрат, массы
и объема аппарата для заданной площади поверхности
теплообмена, а также затрат энергии на преодоление
гидравлического сопротивления при повышении
коэффициента теплопередачи.
Если пренебречь термическим сопротивлением стенки,
то формула A7.11а), определяющая полное термическое
сопротивление теплопередаче, может быть
преобразована в следующее выражение:
J_ 1
N в -по
1
. 4St , A7.30)
где L — рабочая длина поверхности нагрева; гт — гидраолический
15* Зак. 508 435

радиус, определяемый с учетом площади свободного сечения /с по
формуле rT=fcLfF; Str и Stx — числа Стентона, рассчитываемые
по определяющим температурам холодного и горячего
теплоносителей.
Третья безразмерная характеристика WminIWmax —
отношение полных теплоємкостей массовых расходов
теплоносителей. Перечисленные безразмерные
параметры могут быть связаны в единое уравнение для каждой
¦из возможных схем движения потоков
теплоносителей, т. е.
E=*f(N, WW^max). A7.31)
Рассмотрим противоточный теплообменник,
температурные условия в котором схематически представлены на
рис. 17.3. Предположим, что для него W7r/W7x<l, т. че.
Wr=Wmin- Исходя из теплового баланса, получаем:
A7.32)
или d(tT-tK) = (\IWx—\/Wr)dQ A7.33)
Очевидно, что можно построить так называемую
«рабочую» линию, выражающую зависимость tv от t% для
случая Wx/Wr=const. Эта «рабочая» линия нанесена на
рис. 17.7. Ее наклон определяется отношением dfr/dk=
= WxlWr=mo=const>l. При tT=tx существует
равновесие между двумя потоками теплоносителей; линия,
выражающая это равновесие, также представлена на
рис. 17.7, она проходит через начало координат.
Из определения эффективности и из рис. 17.7 следует:
е- (*W"r)/(*'r-*'x) -в/А. A7.34)
Решая совместно уравнения A7.33) и A7.1),
получаем
-tx) =--(l--№r/tt?x) (k/Wr)dF. * A7.35)
Интегрирование этого выражения в пределах
температур входа и выхода горячей жидкости приводит к
следующему уравнению:
A7.36)
В соответствии с рис. 17.7 можно получить равенства:
Гг—r/x=?2==A—6; t'r—*'x=ai=A—O'=A—o/m0. A7.37)
436

Таким образом,
t'r-t'x ~ ?. ~ 1 —»/Am, - l-OTp/Wx)«' (U-^
Решая совместно уравнения A7.36) и A7.38), получаем
окончательно.
• A7.39)
TV сі vp і /w і
По этому уравнению построен график на рис. 17.6.
Анализ зависимости e=f(N) для противоточного
теплообменника приведен выше. Следует добавить, что
меньшее соотношение полных теплоємкостей
теплоносителей позволяет получить большую эффективность при
заданном значении N.
На практике встречаются два предельных вида
уравнения A7.39). Если в процессе передачи теплоты одна
из жидкостей остается при постоянной температуре
(кипение или конденсация), то ее полная теплоемкость
бесконечно велика, т.е. №min/№max=0 и при этом
Если WX=WT> т. є. Wm]XJWm8iX=l1 то уравнение
A7.39) принимает вид: b=NIA+N).
Если при расчете теплообменника требуется
определить необходимую площадь поверхности теплообмена F
и при этом заданы k, Wx, WT, конечные температуры и
характер относительного движения потоков, то
применяют схему расчета с использованием зависимости е=
—f(N)\ в общем виде схема расчета приведена ниже.
По известным конечным температурам вычисляют
эффективность е, а также отношение WmiJWmuX.
Используя зависимости для заданной схемы движения
потоков, по величине №min/№max определяют N. Площадь
поверхности теплообмена F находят по формуле
При указанной формулировке задачи использование
среднелогарифмической разности температур также не
вызывает сложностей и трудоемкость расчета примерно
такая же, как и при расчете по методу безразмерных
характеристик.
437

В случае поверочного расчета теплообменника (см.
§ 64), когда необходимо определить температуры
теплоносителей на выходе из аппарата при заданных F, k, WT,
Wx, t'Ti t'Xy схема расчета по методу безразмерных
характеристик будет выглядеть так. Используя исходные
данные, вычисляют N и отношение Wmin/^max. Далее по
известным N И Wmin/Wmax ДЛЯ ДаННОЙ СХЄМЬІ ДВИЖЄНИЯ
ПОТОКОВ определяют величину е. Тепловую мощность
аппарата рассчитывают по выражению
Значения конечных температур теплоносителей
определяют из уравнений:
Q = №x(f"x-*'x); Q = WT(t'T-t"T).
Метод безразмерных характеристик позволяет
определить эффективность работы теплообменных аппаратов
различных типов. При этом появляется возможность
учесть влияние различных факторов на эффективность
работы аппарата: схемы движения теплоносителей,
числа ходов в перекрестноточных теплообменниках, а также
наличия перемешивания теплоносителя (или течения его
по отдельным параллельным каналам). Кроме того, этот
метод позволяет установить, что перемешивание
теплоносителя с меньшей полной теплоемкостью массового
расхода приводит к более высокой эффективности
работы теплообменника, а также оценить влияние
отношения полных теплоємкостей массового расхода
теплоносителей на характеристики теплообменника.
ГЛАВА 18. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
§ 68. Формулировка задачи
Рассмотренные в гл. 13 процессы теплопроводности
являются по сути дела предельными тепловыми
состояниями тел, наступающими при постоянных граничных
условиях через продолжительный промежуток времени.
Стационарному состоянию предшествует период, в
течение которого температура в некоторой заданной точке
твердого тела изменяется во времени. Совокупность
указанных температур образует нестационарное
температурное поле t~t(x, yrz, т), нахождение которогр и является
основной задачей нестационарной теплопроводности.
Процессы нестационарной теплопроводности имеют
438

большое значение для отопления, вентиляции,
кондиционирования воздуха, теплоснабжения и теплогенерирую-
щих установок. Ограждения зданий испытывают
изменяющееся во времени (иногда резко) тепловое
воздействие как со стороны наружного воздуха, так и со
стороны помещения; таким образом, в массиве ограждения
осуществляется процесс нестационарной
теплопроводности. В процессах регулирования систем важную роль
играют меняющиеся температурные поля элементов этих
систем: трубопроводов, конструктивных деталей и т. д.
Нестационарные процессы возникают также при пуске
или отключении оборудования. Задачу об отыскании
трехмерного нестационарного температурного поля
t{x, t/, 2, т) можно сформулировать в соответствии с
принципами, изложенными в гл. 12. Формулировка
задачи включает уравнение теплопроводности A2.18):
где а=Х/срр — коэффициент температуропроводности,
м2/с, а также условия однозначности, позволяющие
выделить единственное решение из множества решений
уравнения A2.18), различающихся значениями констант
интегрирования.
Условия однозначности включают начальные и
граничные условия. Начальные условия задают значения
искомой функции t в начальный момент времени по всей
области D (см. § 39). Для определенности будем
рассматривать в качестве области D, в которой необходимо
найти температурное поле, прямоугольный
параллелепипед с размерами 26, , 21У и 2/z, например, элемент
строительной конструкции. Тогда начальные условия можно
записать в виде: при т=0 и —б^дг^б; —ty^y^ly;
—Iz^z^lz имеем t=t(x, у, 2, O)=fo(#, у, г). Из этой
записи видно, что начало декартовой системы координат
расположено в центре симметрии параллелепипеда.
Граничные условия сформулируем в форме
граничных условий III рода, часто встречающихсяна практике.
Граничные условия III рода задают для любого момента
времени на границах области D коэффициент
теплоотдачи и температуру окружающей среды. В общем
случае на различных участках поверхности S области D эти
величины могут быть различными. Для случая
одинакового коэффициента теплоотдачи а на всей поверхности S
и всюду одинаковой температуры окружающей среды tm
439

граничные условия III рода при т>0 можно записать в
виде:
- % (dtldx)x=±b =- а (* -/ж); - Ь (dtldy)y= ±/ =*{t — іж);
— Mdtldz)z=±lg-a(t — tx), У A8.1)
где t = t(M, т); М=М(х, у, z); M?S (см. § 39) .
Температура в каждом из трех уравнений A8.1)
берется на соответствующей грани параллелепипеда,
например в первом уравнении — на двух гранях,
нормальных к оси Ох и отстоящих от начала координат на
расстоянии (б.
Сформулированная таким образом задача позволяет
при ее решении однозначно определить температурное
поле t = t(x, у, г, т). Вопросы существования и
единственности решения различным образом сформулированных
задач рассматриваются в курсах уравнений
математической физики.
Приведенная выше задача относится к числу
простейших (если сравнивать ее, разумеется, с другими
задачами этого класса) и решается аналитически, т. е.
путем алгебраических преобразований, операций
дифференцирования, интегрирования и т. п. может быть
получена формула для расчета температурного поля t=
= t(x,y,z,%).
В большинстве практически важных случаев
аналитического решения получить нельзя, поэтому применяют
численные методы, которые для задач теплопроводности
проработаны весьма фундаментально.
Рассмотрим аналитическое решение
сформулированной выше задачи в одномерном варианте, т. е. при
условии ly, /z>6. В этом случае требуется найти
температурное поле вида l = t(x,x). Запишем формулировку
задачи:
уравнение
dtldx=a(d*t/dx*); A8.2)
начальное условие: при т=0 имеем
t(x, 0)=/O = const; A8.3)
граничное условие: при х=±6, т>0 имеем
a(t—tn). A8.4)
В соответствии с выражениями A8.2) — A8.4)
имеется бесконечная пластина толщиной 26, изготовленная из
440

материала с коэффициентом температуропроводности а
и обладающая в начальный момент времени
температурой to. Пластина резко переносится в среду с
температурой tm и коэффициентом теплоотдачи а. С этого момента
температура в пластине изменяется так, чтобы
удовлетворялось уравнение A8.2). Задача состоит в том, чтобы
получить конкретную формулу t=t(x, т), позволяющую
найти температуру t в любой точке пластины в
произвольный момент времени.
Сформулируем задачу в безразмерных переменных,
это позволит сократить записи и сделает решение более
универсальным. Безразмерная температура равна 6 =
—\$/$0=(t—tm)/(tQ—tm), безразмерная координата
равна Х=х/8. Подставив эти величины в уравнение A8.2),
получим:
A8.5)
где Fo = ax/62 — число Фурье (безразмерное время).
Начальное условие запишется в следующем виде:
Fo=0; Є = 1. A8.6)
Граничное условие можно представить так:
Fo>0; X=l; — дв/дХ=Вів, A8.7)
где Ві = а6Д — число Био.
Формулировка задачи в безразмерном виде содержит
единственный параметр — число Био, которое в данном
случае является критерием, так как составлено только
из величин, входящих в условие однозначности.
Формально число Био сходно с числом Нуссельта, однако
сходство именно формальное: использование числа Био
связано с нахождением температурного поля в твердом
теле, поэтому в знаменателе Ві — теплопроводность
твердого тела; число Нуссельта связано с температурным
полем жидкости (см. § 49), поэтому в знаменателе Nu —
теплопроводность жидкости. Кроме того, Ві есть наперед
заданный параметр задачи, а Nu — величина искомая и
критерием не является.
Если рассматривать два процесса нестационарной
теплопроводности с одинаковыми числами Био, т. е.
ВІ! = ВІ2, то, согласно третьей теореме подобия, эти
процессы подобны. Это значит, что в сходственных точках
(т. е. при Х\ = Х2', Foi = Fo2) безразмерные температуры
будут численно равны: 61 = 62. Следовательно, произведя
один расчет температурного поля в безразмерном виде,
441

мы получим результат, справедливый для класса
подобных явлений, которые могут различаться размерными
параметрами а, Я, б, to и tm.
§ 69. Расчет температурного поля
Для решения задачи, включающей уравнение A8.5)
и краевые условия A8.6), A8.7), используем метод
разделения переменных. Будем искать решение в виде:
Fo)«i|>(X)<p(Fo)f A8.8)
где г|? зависит только от X, а <р зависит только от Fo.
Возьмем производные, необходимые для подстановки в
уравнение A8.5):
Подставляя эти производные и производя разделение
переменных, получим:
Ф'/Ф=г|/'Л|>. A8.9)
В уравнении A8.9) левая часть зависит только от
времени, а правая — только от координаты. Если брать
различные моменты времени, то левая часть будет
принимать различные значения, а правая — нет, она будет
оставаться постоянной. Тем самым нарушается
равенство A8.9), следовательно, предположение о возможности
изменения ф7ф неверно, .стало быть, ср7ф=const.
Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что и 'ф"/|Ф=
= const. По уравнению A8.9), которое по сути дела
является уравнением теплопроводности A8.5), но с
другими переменными, эти константы должны быть равны
между собой, т. е. равны какому-то (пока что
неизвестному) числу. В общем случае это число может быть
отрицательным, положительным или равно нулю;
обозначим его ft, тогда вместо выражения A8.9) имеем: ф'/ф=
Можно непосредственной проверкой убедиться, что
при Ь^О уравнение i|/7^ = b имеет только решение
<ф = 0, которое интереса не представляет. Следовательно,
Ь должно быть отрицательным числом, обозначим его
Ь = —k2 и перепишем .уравнения:
~-?2; ф'/* = — /г2. A8.10)
Оба уравнения A8.10)—обыкновенные линейные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффи-
442

циентами, для которых частные решения всегда можно
представить в виде экспоненты; если окажется, что
показатель— комплексное число, то вместо экспоненты
можно использовать ее тригонометрическую форму через
косинус и синус. В частности, решения уравнений A8.10)
могут быть представлены в следующем виде:
(p(Fo)=Crexp (-Wo); A8.11)
C2 sin kX+Cb cos kX. A8.12)
Постоянные Сь С2, С3 и k необходимо определять из
условий однозначности.
Прежде всего используем условие, которое не
упоминалось при формулировке задачи: условие симметрии
температурного поля. Используя уравнения A8.11),
A8.12), можно представить 8 так:
в« (С2 sin kX+Сг cos kX)Cx exp (—&2Fo). A8.13)
Возьмем производную от A8.13) по X и приравняем
ее нулю, так как из условия симметрии имеем дЬ/дХ=О
при Х=0 (на оси):
дЄ/дХ=Сі exp (—k*Fo)k(C2 cos kX—C3 sin kX) =0.
Поскольку Ciexp(—fe2Fo)^=0 и ІгфО, то получаем:
СгСОэЛХ—CzsinkX=0. Подставляя Х=0, имеем sin/гХ
Х0=0, C2cosfe-0=0, отсюда С2=0. Тогда выражение
A8.13) примет вид:
A8.14)
где Л
Остается определить, следовательно, константы Auk.
Используем с этой целью граничное условие A8.7):
A (—k sin kX) exp (—&2Fo) =—Bi A cos kX exp (—&2Fo)
или при X=l: ?sin?=Bicos?.
Имеем, таким образом, следующее уравнение для
определения величины k:
k/Bl A8.15)
Поскольку котангенс — функция периодическая и
неограниченная, то при любом Bi существует бесконечное
множество решений уравнения A8.15)—рис. 18.1. Эти
значения параметра &* называют собственными
значениями, обозначим их ku къ ..., k\. Собственные значения
параметра k для f=l, 2, 3, 4, 5 приведены в табл. 18.1.
443

- *,\ X
27Г
Рис. 18.1
Собственным значениям k{ соответствуют
собственные функции AiCoskiX, являющиеся решениями
уравнения A8.12). Таким образом, уравнение температурного
поля A8.14) удовлетворяет исходному
дифференциальному уравнению теплопроводности A8.5) при любом
собственном значении ki. Однако из физических
соображений ясно, что температура не может иметь множество
различных значений в определенной точке в заданный
момент, времени. С другой стороны, нет никаких
оснований для того, чтобы отдать предпочтение какому-либо
собственному значению. Необходимо использовать их в
совокупности. Известно, что если частные решения
линейного дифференциального уравнения сложить, то
полученная сумма также будет решением этого
дифференциального уравнения. Составим такую сумму на
основе выражения A8.14) и собственных значений k\\
Cos
ехР (—k
A8.16)
444

Таблица
В!
і
0,000'
0,002
0,004
0.006
0,008
0,010
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
1,500
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
15,000
20,000
30,000
40,000
50,000
100,000
18.1. Собственные значения параметра k для
0,0000
0,0447
0,0632
0,0774
0,0893
0,0998
0,1410
0,1987
0,2425
0,2791
0,3111
0,4328
0,5218
0,5932
0,6533
0,7051
0,7506
0,7910
0,8274
0,8603
0,9882
1,0769
1,1925
1,2646
1,3138
1,3496
1,3766
1,3978
1,4149
1,4289
1,4729
1,4961
1,5202
1,5325
1,5400
1,5552
3,1416
3,1422
3,1429
3,1435
3,1441
3,1448
3,1479
3,1543
3,1606
3,1668
3,1731
3,2039
3,2341
3,2636
3,2923
3,3204
3,3477
3,3744
3,4003
3,4256
3,5422
3,6436
3,8088
3,9352
4,0336
4,1116
4,1746
4,2264
4,2694
4,3058
4,4255
4,4915
4,5615
4,5979
4,6202
4,6658
6,2832
6,2835
6,2838
6,2841
6,9845
6,2848
6,2864
6,2895
6,2927
6,2959
6,2991
6,3148
6,3305
6,3461
6,3616
6,3770
6,3923
6,4074
6,4224
6,4373
6,5097
6,5783
6,7040
6,8140
6,9096
6,9924
7,0640
7,1263
7,1806
7,2281
7,3959
7,4954
7,6057
7,6647
7,7012
7,7764
9,4248
9,4250
9,4252
9,4254
9,4256
9,4258
9,4269
9,4290
9,4311
9,4333
9,4354
9,4459
9,4565
9,4670
9,4775
9,4979
9,4983
9,5087
9,5190
9,5293
9,5801
9,6296
9,7240
9,8119
9,8928
9,9667
10,0339
10,0949
10,1502
10,2003
10,3898
10,5117
10,6543
10,7334
10,7832
10,8871
пластины
12,5664
12,5665
12,5667
12,5668
12,5670
12,5672
12,5680
12,5696
12,5711
12,5727
12,5743
12,5823
12,5902
12,5981
12,6060
12,6139
12,6218
12,6296
12,6375
12,6453
12,6841
12,7223
12,7966
12,8678
12,9352
12,9988
13,0584
13,1141
13,1660
13,2142
13,4078
13,5420
13,7085
13,8048
13,8666
13,9981
Константы Аі надлежит определить из начального
условия A8.6). Подставляя Fo=0 и 8=1 в уравнение
A8.16), имеем:
Л/cos ki X = 1.

Умножим обе части выражения A8.17) на coskiX и
проинтегрируем от —1 до +1:
+1 . +1
Г cos kiX ( у. Atcoski X\dX - Г cos ki XdX.
-і S=i J Л -
Интеграл в правой части равен 2 sin ki/ki, левую
часть представим как сумму интегралов. Тогда
получим:
+1 +1
Л» Г cos kx X cos ki XdX + А Л cos ki X cos kt XdX + ... =
~ 2 sin kilki. A8.18)
Из теории рядов Фурье известно, что любой
интеграл в левой части приведенного выше выражения
A8.18) равен нулю, если подынтегральная функция
имеет вид coskiXcoskjX. Если же . подынтегральная
функция равна cos2АД, то имеем:
Г cos* ktfdX t=l+sin2kil2kt. A8.19)
г Щ -і
Понятно, что интеграл вида A8.19) встречается в
левой части выражения A8.18) только один раз, все
остальные интегралы равны нулю. Следовательно,
выражение A8.18) можно представить так:
+ 1
cos2 ktXdX = Ai A + sin 2kil?ki) = 2 sin kilkt. A8.20)
+
Г
Из выражения A8.20) получаем формулу для
определения Ас
A8.21)
где использовано тригонометрическое соотношение
sin 2k{=2 sin ki cos k{.
Подставляя константу Аі из выражения A8.21) в
выражение A8.16), получим следующую формулу для
расчета температурного поля:
446
]??' **(*JF) A8.22)

?i>WO
Значения ki при расчете
необходимо брать из табл.
18.1.
В соответствии с
уравнением A8.22) температура
подчиняется
функциональной зависимости в=в(Х,
Fo, Bi). Рассмотрим частные
случаи этой зависимости
при предельных значениях
числа Bi, которое является
заданным числовым
параметром задачи. Используем
с этой целью понятие
направляющей точки — через эту точку проходят
касательные к кривой распределения температуры для любого
момента времени (точка А на рис. 18.2). Положение
точки А определяется граничным условием A8.7),
которое с указанием значений аргументов X=l,Fo>0
можно записать так:
Рис. 18.2
-08A, Fo)/dX=9(l,
A8.23)
Левая часть выражения A8.23) согласно
геометрическому смыслу производной равна тангенсу угла
наклона касательной к температурной крцвой на
поверхности пластины, правая же часть выражает тот же
тангенс как отношение катетов прямоугольного
треугольника. По мере прохождения времени угол между
касательной и осью ОХ уменьшается и при Fo-Voo
касательная стремится к горизонтальному положению.
При больших значениях числа Bi — интенсивная
теплоотдача, плохая теплопроводность — точка А
находится на поверхности тела (практически достаточно,
чтобы было Bi>100). При малых значениях Bi
(практически Ві<0,1) точка А удалена от поверхности тела
на значительное расстояние и температура не зависит
от X. Три возможных случая — 0,1<Ві<100, Ві>100
и Ві<0,1 —изображены на рис. 18.2.
Расчет температуры по выражению A8.22)
существенно упрощается, если не рассматривать изменение
температуры в начальный период. Члены ряда A8.22)
убывают по двум причинам: из-за того, что ki+\>ki
(см. табл. 18.1) и> из-за возрастания числа Fo при
определении температуры 0 в последовательные моменты
447

времени. Оказывается, что с погрешностью примерно
1 % при Fo^0,3 можно определять 0 только первым
членом ряда, отбрасывая остальные ввиду их малости:
6=Л! cos k{Xexp (—&2lFo)л A824)
Прологарифмировав уравнение A8.24), легко
увидеть, что процесс изменения температуры во времени
для различных точек пластины можно изобразить в
координатах In 0, Fo пучком параллельных прямых с
тангенсом угла их наклона к оси Fo, равным —k2x.
Это — так называемый регулярный режим
теплопроводности, характеризующийся одинаковой скоростью
изменения температуры в любой точке тела и в любой
момент времени. Скорость убывания In 0 называют
темпом регулярного режима.
При выполнении условий Bi>100, Fo^0,3
уравнение A8.24) принимает вид (при Х=0 — центр
пластины):
Є @, Fo) = D/я) exp (—Jt2Fo/4), A8.25)
поскольку первый корень уравнения A8.15) &i=jt/2, a
Лі=4/jt. Температура на поверхности 0(l,Fo)=O.
При выполнении условий Bi<0,l, Fo^0,3 можно
использовать ряд предельных переходов: при Ві->0
имеем &і->0 (см. рис. 18.1), тогда cos?iX-^l и
согласно уравнению A8.21) Лі->1. Кроме того, при &->0
имеем ctg&«& и уравнение A8.15) принимает вид
l/ki—ki/B\y поэтому &2i = Bi и уравнение A8.24) можно
записать так:
G=exp (—BiFo). A8.26)
По уравнению A8.26) можно рассчитывать
теплопроводность тонких металлических пластин, например,
стальных листов вращающегося регенератора.
Количество теплоты, воспринятое (или отданное)
пластиной, можно определить выражением QX=CA—
—/о), где С — теплоемкость пластины, кДж/К, a t —
средняя по сечению пластины температура в момент
времени т. Полное количество теплоты за весь период
нагрева (охлаждения) равно Qm=C(tm—/0). Из
тождества t—tm=(t—to) — (tn—to) следует, что^ Єі=1—0,
где Q\=(t—to)l{tm—to). Тогда для относительного
количества теплоты QT/Qm, соответствующего продолжи-
448

тельности процесса от нуля до момента времени т,
имеем следующее расчетное выражение:
Qt/Qw==641 = l— 67 A8.27)
Для использования выражения A8.27) необходимо
произвести осреднение температуры по X в интервале
0<:Х<:1 для получения значения 6. В наиболее общем
случае используется выражение A8.22), при Fo^0,3
можно использовать формулу A8.24). Наиболее
простую формулу получаем на основе A8.26):
Qt/Qw = l-_exp (BiFo). A8.28)
Следует отметить, что формулы A8.26) и A8.28)
можно применять для тонких теплопроводных тел
другой формы, используя вместо произведения BiFo
величину fBiFo, где f=2 для цилиндра бесконечной длины
и /=3 для шара.
ГЛАВА 19. ОСНОВЫ МАССООБМЕНА
§ 70. Общие положения
Под массообменом понимают самопроизвольный
необратимый процесс переноса массы определенного
компонента в пространстве с неоднородным полем
химического потенциала этого компонента. В простейшем
случае неоднородным является поле концентрации или
парциального давления, при этом процесс переноса
имеет определенную направленность. Например, в
смеси с одинаковой температурой и давлением процесс
массопереноса (диффузии) направлен к выравниванию
концентраций в системе, при этом происходит перенос
вещества из области с большей концентрацией в
область с меньшей концентрацией.
Диффузия осуществляется молекулярным или
молярным путем. Молекулярная диффузия — это перенос
вещества в смеси, обусловленный тепловым движением
микрочастиц. Молярный перенос неразрывно связан с
макродвижением самой смеси (конвекцией). Массооб-
мен, обусловленный совместным действием
молекулярной диффузии и конвективного переноса вещества,
называется конвективным массообменом.
Количество вещества, проходящего в единицу
времени через данную поверхность в направлении норма-
449

ли к ней, называется потоком массы. Он обозначается
через / и -измеряется в кг/с. Плотность потока массы
/ — это поток массы, проходящий через единицу
поверхности: j—dJ/dF.
Причиной возникновения потока массы является
либо неравномерное распределение концентрации
вещества (концентрационная диффузия), либо
неоднородность температурного поля (термодиффузия), либо
неоднородность полного давления (бародиффузия).
Если в двухкомпонентной смеси отсутствует
макродвижение, а температура и давление постоянны по
объему системы, то плотность потока массы одного из
компонентов, обусловленного молекулярной диффузией,
определяется законом Фика:
/м.д=-Я(оСі/дл), A9.1)
где D — коэффициент диффузии, м2/с; С* — местная концентрация
данного компонента, равная отношению массы компонента к объему
смеси, кг/м3; дСг/дп — градиент концентрации (вектор), кг/м4.
В этом случае движущей силой является градиент
концентрации. Так как плотность потока массы
направлена в сторону убывания концентрации, а градиент
концентрации — в противоположную сторону, то в
выражении A9.1) присутствует знак «минус». Закон
Фика описывает концентрационную диффузию, в
результате которой переносится основная доля вещества.
Если температура по объему смеси неодинакова, то
под действием градиента температур также происходит
перенос вещества — термическая диффузия (эффект
Соре). При этом молекулы компонента, масса которых
больше, обычно стремятся перейти в область низких
температур; если же массы молекул одинаковы, то в
холодные области стремятся перейти более крупные
молекулы. В результате термодиффузия приводит к
образованию градиента концентрации.
Суммарная плотность потока массы /-го компонента
за счет молекулярного переноса с учетом
концентрационной диффузии, термо- и бародиффузии составит
где р — плотность смеси; mt- = C\7p— относительная массовая
концентрация і-го компонента; Dt = KjD — коэффициент
термодиффузии; D(> = KfiD — коэффициент бародиффузии; р — давление
смеси.
450

Доля массы в общем потоке, вызванная
термодиффузией, незначительна, и только при больших
градиентах температур ощущается ее влияние. Бародиффузия
проявляется при значительных перепадах давления. В
процессах теплообмена такие случаи встречаются
редко. [
Таким образом, хотя суммарный поток массы
любого компонента смеси и является результатом названных
трех видов диффузии, но основную роль играет
концентрационная диффузия и ее следует учитывать в
первую очередь.
Рассмотренное уравнение переноса справедливо для
неподвижной среды, когда масообмен осуществляется
только молекулярным путем. Если же среда движется,
то наряду с молекулярной диффузией будет
происходить перенос вещества конвекцией. Составляющая
потока массы, вызванная конвекцией, будет равна /г-к=
= dw, где w — скорость перемещения какого-либо
объема смеси.
Суммарная плотность потока массы, обусловленного
молекулярным и конвективным переносами, составит:
/*=/м.Д+/гК. . A9.3)
§ 71. Уравнение массообмена
Выведем дифференциальное уравнение,
описывающее распределение определенного компонента в
движущейся бинарной смеси. При выводе будем
предполагать, что жидкость несжимаема и внутри нее
отсутствуют источники массы. Пренебрежем также термо- и
бародиффузией. Выделим в смеси неподвижный
элементарный кубик с ребрами dx, dy, dz, напишем для
него уравнение баланса массы, считая, что D и р
постоянны (рис. 19.1).
Вдоль оси х в элементарный кубик за время dx
вносится масса і-го компонента в количестве dMx,i —
=\Xyidydzd% и вытекает dMx+dXti=jx+dXiidydzdx.
Разность количества массы ї-го компонента,
поступившей и вытекшей в направлении Ох, определяется
выражением
451

dnxtt
L
J--
7/'
V
Рис. 1
19.1
Mx+dx,i
Аналогичные уравнения
можно написать для осей
Оу и Oz:
Vy, і
'- - ду dvd'l>
djz, і
= —-jir-dvdz.
Просуммировав по трем осям, получим, что
изменение массы і-го компонента равно:
дх
Так как
=- Р
ду
dmt
¦ + ¦
dvdv,
-І dvdz.
ТО
dm і
y, г
09.4)
Полагая, что масса ї-го компонента переносится
только концентрационной диффузией и конвекцией,
получаем: )
оті
JD
Jz, ? = — pD
д2ті I dwx
Wx
dJz,i
d2mt
+
ду
dwz дті
452

Просуммировав эти равенства и подставив их в
уравнение A9.4), будем иметь следующее уравнение:
дт1 1 d2mt д2ті д2тЛ
Для несжимаемой жидкости (р = const) последний
член правой части равенства равен нулю, тогда
dmt dml дті дті
dz ~*~Wjc dx *~ wy ду ~^~Wz dz ~~
Г д2ті d2 ті д~ тА
Последнее уравнение и является искомым
дифференциальным уравнением массообмена, описывающим
распределение массы ?-го компонента в движущейся
смеси. Это уравнение представляет собой уравнение
сохранения массы ?-го компонента.
Если wx=Wy=wz=0, то уравнение массообмена
примет вид:
Это уравнение аналогично дифференциальному
уравнению теплопроводности A2.18). Если для
температуры и массосодержания ввести одинаковые
обозначения, то уравнения по своему внешнему виду не будуі
отличаться одно от другого. Сравнивая, можно видеть,
что коэффициент диффузии D аналогичен
коэффициенту температуропроводности а.
Уравнение энергии для бинарной массы
диффундирующих компонентов имеет следующий вид:
Как следует из этого уравнения, если ср\ = сР2, то
результирующий диффузионный перенос теплоты
(энтальпии) отсутствует и уравнение . A9.6) переходит в
ранее полученное уравнение ^A2.16).
453

Согласно выражению A9.6), температурное поле
движущейся смеси зависит от составляющих скорости
wx, wy и тг и относительного массосодержания т.
Поэтому к уравнению энергии необходимо добавить
уравнения массообмена, движения и неразрывности
(сплошности) для всей смеси в целом, чтобы система
уравнений была замкнутой. Для решения этой системы
необходимы условия однозначности, которые дают
математическое описание всех частных особенностей
рассматриваемого явления.
В случае массообмена задание граничных условий
имеет некоторые особенности. Чтобы познакомиться с
ними, рассмотрим процессы массоотдачи в двухкомпо-
нентную среду или от нее. Практический интерес
представляют процессы массообмена и теплообмена при
испарении, конденсации, сорбции и т. п. Например, при
испарении жидкости образующийся пар переносится
путем диффузии в окружающую парогазовую смесь и
одновременно происходит теплоотдача между
парогазовой смесью и поверхностью жидкости.
Конвективный массообмен между движущейся
средой и твердой или жидкой поверхностью называется
массоотдачей. Плотность потока массы / можно
выразить либо через разность концентраций
диффундирующего вещества, либо через разность парциальных
давлений этого же вещества. В первом случае расчетное
уравнение имеет вид:
/—?(C„-Co)f A9.7)
где ? — коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности
концентраций диффундирующего вещества, м/с; Сп — концентрация
диффундирующего вещества на поверхности раздела фаз (твердой и
жидкой), кг/м3; Со — концентрация этого же вещества вдали от
поверхности раздела фаз, кг/м3.
Как видно, это уравнение аналогично уравнению
Ньютона — Рихмана, применяемому для расчета
конвективного теплообмена.
Из уравнения состояния идеального газа следует,
что концентрация компонента равна Ci=Pi/RiT, где
Pi — парциальное давление компонента; /?г- — газовая
постоянная. Подставляя это выражение в формулу
A9.7), получим
/=?p(Pn-Po), A9.8)
где ?p — коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности
парциальных давлений; рп и р0 — парциальные давления
диффундирующего вещества на поверхности раздела фаз и вдали от нее.
454

Соотношение между ко*
эффициентами массоотдачи
устанавливается
выражением ?/?p=/?7. В уравнении
A9.7) потенциалом
переноса является разность
концентраций, а в уравнении
A9.8) —разность
парциальных давлений. Приведенные
расчетные формулы
справедливы для случая чистой молекулярной диффузии
без учета взаимного влияния тепло- и массообмена.
Над поверхностью испарения воды всегда
образуется диффузионный пограничный слой, состоящий из
газа и водяных паров. Парциальное давление водяных
паров у поверхности раздела максимально и
соответствует насыщенному состоянию при іиов (рис. 19.2). По
толщине пограничного слоя оно уменьшается до
значения Рп0 —парциального давления вдали от
поверхности испарения. Парциальное давление газа, согласно
закону Дальтона, можно определить как рг=р—Рп-
Если полное давление по всему объему парогазовой
смеси одинаково (p=const), то градиенты
парциального давления пара и газа равны по абсолютной
величине и обратны по направлению: дри/ду=—дрт/ду.
Следовательно, в направлении, обратном направлению
диффузии пара, т. е. от парогазовой среды к
поверхности жидкости, будет диффундировать газ.
Пар может свободно диффундировать в
парогазовую среду. Для газа поверхность жидкости является
непроницаемой. Поэтому количество газа у
поверхности жидкости будет непрерывно возрастать. При
стационарном режиме распределение парциальных
давлений пара и газа будет постоянно во времени. Поэтому
перемещение газа к поверхности испарения будет
компенсироваться конвективным потоком парогазовой
смеси, направленным от жидкости в парогазовую среду.
Этот поток называется стефановым потоком.
При неизотермических условиях расчет процесса
массопереноса осложняется появлением термодиффу-
зионного потока вещества в пограничном слое. В
большинстве случаев в пограничном слое существует
температурный градиент и, следовательно, происходит
термодиффузия. При адиабатических условиях, когда не-
455

обходимая для испарения теплота берется из
окружающего воздуха, газ с большей молекулярной массой
стремится диффундировать по направлению теплового
потока, а газ с меньшей молекулярной массой — в
противоположную сторону, т. е. в направлении градиента
температуры. В этом случае термодиффузия усиливает
молекулярную диффузию.
§ 72. Аналогия между
тепло- и массообменом
Рассмотрим уравнения энергии, движения и
диффузии, описывающие поля температуры, скорости и
концентраций в раздельно идущих процессах переноса
теплоты, количества движения и вещества. Физические
параметры жидкости будем считать постоянными.
Уравнение* энергии (без учета диффузионной
составляющей теплового потока)
Dtldx^aVH. A9.9)
, Уравнение движения (без учета массовых сил и при
безнапорном движении)
Dw/dT=*v&*w. A9.10)
Уравнение диффузии (без учета термо- и бародиф-
фузии)/
A9.11)
Уравнения A9.9) — A9.11) по записи аналогичны:
они содержат коэффициенты a, v, D, каждый из
которых характеризует соответственно перенос теплоты,
импульса и вещества. Единицы измерения a, v, D
одинаковы— м2/с При подобных условиях однозначности,
при a=v=D расчетные поля температуры, скорости и
концентраций будут подобны. В частности, поля
температуры и относительных концентраций будут подобны,
если a=D.
Аналогия процессов тепло- и массообмена часто
используется на практике. Если, например, для
теплообмена получено, что Nu=(p(Re, Pr), то, исходя из
аналогии процессов тепло- и массообмена, полагают Nu?=
= i|)(Re, PrD), при этом функции ф и я|) считают
одинаковыми. Здесь Nur>=?//D — диффузионное число Нус-
сельта; PrD—v/D — диффузионное число Прандтля. Эт,и
456

числа являются аналогами чисел Nu и Рг. Строго
говоря, указанная аналогия является приближенной.
Как показывает проведенное сравнение раздельно
протекающих процессов тепло- и массообмена,
характерной особенностью массообменного процесса
является наличие поперечного потока массы (wytC?=0). По-
разному могут изменяться физические параметры,
существенные для процессов переноса энергии и массы.
Различны и граничные условия этих процессов. В
результате аналогия между тепло- и массообменом
нарушается. Однако в некоторых случаях она может быть
использована для приближенных расчетов.
А. В. Нестеренко получил при испарении воды со
свободной поверхности следующие зависимости:.
где Gu=(Tc—Тк)/Тс — число Гухмана (здесь Гс и Тм —
температуры среды по сухому и мокрому термометрам, К); 6 = ГС/ГП —
безразмерная температура (здесь 7*п — температура поверхности)
Величины Л, ?, m и п зависят от числа Re: при
Re=3,15.103-h2,2.104 Л=0,51, /г=0,61, ? = 0,49, m =
=0,61; при Re=2,2-104-3,15.105 Л =0,027, л=0,9,
В=0,0247, /71=0,9.
Предметный указатель
Автомодельность 340
Анализ размерностей 340, 396
Аналогия Рейнольдса 363
Блазиуса формула 364
Бойля кривая 97
— температура 97, 103
В
Ван-дер-Ваальса уравнение 103
Вечный двигатель второго
рода 40
г- первого рода 16
Вириальные коэффициенты 101
Влагосодержание 153
Влажность абсолютная 151
— относительная 153
Внутренняя энергия 17
идеального газа 23
Водяной эквивалент 423
Возрастания энтропии закон 77
Вредный объем
компрессора 194
Вязкий подслой 356, 373
Вязкостно-гравитационный
режим 379
Вязкостный режим 379
Вязкость динамическая 274
457

— кинематическая 323
— турбулентная 360, 368
Газовая постоянная 9
смеси 149
Гесса закон 237
Гиббса — Гельмгольца
уравнение 254
Градиент' температуры 261
Граничные условия 278
I рода 279, 288, 293, 295
II рода 279
- - III рода 280, 298, 301,
439
Д
Давление абсолютное 6
— барометрическое 6
— избыточное 6
— парциальное 147
Детандер 218, 220
Джоуля закон 22
Диаграмма р—v 8
— Т—s 65
— /i—s 125
— H-d 156
Дивергенция скорости 277
Диссипативная функция 171,
266
Диссипация энергии 47, 170
Диффузия концентрационная
450
Доля Массовая 148
— мольная 148
— объемная 148
Дроссельный эффект 186
Закон Бугера 410
— Вина 407
*— действующих масс 242
— Кирхгофа 409
* — Ламберта 408
— Ньютона — Рихмана 315
— Планка 406
— Релея — Джинса 406
— Стефана — Больдцмана 407
— Фика 450
— Фурье 262
И
Идеально-газовая шкала
температур 38, 88
Излучение диффузное 404
— монохроматическое 404
— результирующее 405
— собственное 405
— эффективное 405
Изобара химической реакции
254
Изобарно-изотермический
потенциал 114, 246
Изотерма химической реакции
250
Изотермическая поверхность
261
Изотермический коэффициент
сжатия 123
Иьохорно-изотермический
потенциал 246
Изоэнтропа 128
Интегральные соотношения
пограничного слоя 349, 351
Интенсивность излучения 403
Кажущаяся молекулярная
масса смеси 148
Карно теорема 52
— фактор 82
— цикл 50
Кипение пленочное 401
— пузырьковое 400
Кирхгофа, закон для
энтальпии реакции 242
Клаузиуса интеграл 60, 69
Компонент 114, 147, 258
458

Конвекция свободная 259
— вынужденная 259
Константа равновесия 243
Константы подобия 333
Коэффициент диффузии 450
— заполнения 67
— использования теплоты 212,
219
— массоотдачи 455
— объемного расширения 122,
394
— оребрения 307
— перемежаемости 386
— сжимаемости 96
— теплоотдачи 279, 298, 314
— теплоотдачи средний 326,
354
— теплопередачи 299 .
— теплопередачи линейный 302
— эффективности ребра 308,
313, 428
КПД внутренний
относительный 208
— термический 44
— цикла Карно 52
— эксергетический 80, 185
Краевые условия 278
Кривая парообразования 116,
130
Кризис теплоотдачи при
кипении 400
Критерий подобия 338
Критический диаметр тепловой
изоляции 304
— радиус пузыря 401
Л
Ле Шателье — Брауна
принцип 244
Линии теплового тока 2§3
Логарифмический профиль
скорости 371
Локальное термодинамическое
равновесие 163
М
Майера формула 33
Максвелла уравнения 127
Массообмен 260, 449
— конвективный 449
Международная практическая
шкала температур 8Э
Мощность внутренних
источников теплоты 297
— внутренняя 209
— теоретическая 208
— электрическая 209
— эффективная 209
Н
Направляющая точка 447
Начальные условия 278, 439,
440
Начальный участок
гидродинамический 378
тепловой 378
Необратимость внешняя 48
— внутренняя 47
Нормальные физические
условия 10
О
Объединенное выражение
первого и второго законов
термодинамики 77
Отопительный коэффициент 236
П
Пар влажный 108
— перегретый 108
—• сухой насыщенный 108
Парабола Пуазейля 380
Параметры термодинамические
6
* интенсивные 90
-? — критические 107
экстенсивные 90
459

Плотность теплового потока 262
линейная 294
— потока массы 450
Поверхностная плотность
излучения 403
Пограничный слой 341
динамический 341
тепловой 341
Показатель адиабаты 137, 146
— политропы 140
Правило фаз Гиббса 258
Производная конвективная 271
— локальная 271
— субстанциональная 270
Промежуточный перегрев
пара 210
Процесс адиабатный 136, 146
— изобарный 134, 144
— изотермический 135, 145
— изохорный 132, 143.
— необратимый 46
— неравновесный Т
— обратимый 46
— политропный 139
— равновесный 6, 46
Прямоток и противоток 421,
431
Работа максимальная 78, 245
— полезная- 23, 79
— проталкивания 26, 166
— процесса 14
— располагаемая 176
— техническая 164
— цикла 42
Равновесие термическое 113
— механическое ИЗ
Регенерация теплоты 53, 203,
211
Серое тело 409
Система термодинамическая 5
¦ адиабатная 6 '
гетерогенная 06
гомогенная 106
закрытая 6
- изолированная 6
открытая 6
Скоростной коэффициент 183
Скорость звука 180
Сложный теплообмен 260, 417
Сопло 174
— Л аваля 181
Состояние равновесное 6, 46
Среднелогарифмический
температурный напор 426
Стабилизированное течение 380
Степень 'повышения давления
200, 202
— предварительного
расширения 199
— регенерации 203
— сжатия 198
— сухости пара 110
— черноты 408
Стефанов поток 456
Темп регулярного режима 448
Температура абсолютная 7, 82
— среднеинтегральная 67
— эмпирическая 38, 83
Температурное поле 260
нестационарное 260, 438
одномерное 261, 288, 438
стационарное 260, 288
Теоремы подобия 336, 338
Тепловая теорема Нернста 255
Тепловой поток 263
Теплоемкость удельная 10
изобарная и изохорнаяЗІ
истинная 11
: мольная 31
объемная 31
средняя 11
Теплообмен 259

— излучением 259
Теплообменник регенеративный
421
— рекуперативный 421
— смесительный 421
Теплоотдача 259
Теплопроводность 259, 262
— турбулентная 361
— эффективная 291
Теплота приведенная 59
— процесса 15, 66
— цикла 42
Теплофикация 212
Термическое сопротивление 289
контактное 291
теплоотдаче 299
теплопередаче 299
теплопроводности 289,
294
Термодинамические
потенциалы 245
Толщина
416
излучающего слоя
T1W
Третий закон термодинамики
255
Угловой коэффициент 412
Удельный расход пара 208,209
теплоты 208
Универсальная газовая
постоянная 10, 150
Уравнение движения 275, 276
— Клапейрона 9
— массообмена 453
— Менделеева — Клапейрона
10
— неразрывности
(сплошности) 277
— первого закона
термодинамики 17, 29
для потока 165,
167
— подобия 337
— состояния 8
калорическое 32
реального газа 100
термическое 22
— теплового баланса 422
— теплопередачи 422
— теплопроводности 271
— энергии 270
Уравнения пограничного слоя
346, O62
Условие прилипания 280
Условия равновесия
двухфазной системы 116
Ф
Фаза 106
Фазовый переход 106
Функции состояния и функции
процесса 19
Характеристические функции
246
Характерная (определяющая)
скорость 333
температура 334, 376
Характерный (определяющий)
размер 333, 376
Химический потенциал 115,116,
129, 249
Химическое сродство 252
Хладоагент 218
Хладоны 233
Холодильный коэффициент 218
Холодопроизводительность 218
Ц
Цикл Дизеля 199
— Отто 197 '
— Ренкина 206
— Тринклера 200
461

Частота отрыва пузырей 401
Число Био 441
— Больцмана 420
— Бугера 421
— Галилея 323
— Грасгофа 395
— Гухмана 457
— единиц переноса теплоты
434
— Кирпичева 420
— Маха 180
— Нуссельта 325
диффузионное 456
— Пекле 322
— подобия 337
— Прандтля 325
диффузионное 456
— Рейнольдса 323
критическое 357
— Релея 396
— Стентона 355
— фазового превращения 399
— Фурье 441
— Эйлера 335
Эквивалентный диаметр 388
Эксергия 77, 94
— потока 79, 185
— теплового потока 81
Энтальпия 29
— идеального газа 31
— образования 239
— реакции 239
— сгорания 241
Энтропия 60, 89
— идеального газа 64
Эффективность
теплообменника 434

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Раздел первый. Техническая термодинамика .... 5
Глава 1. Исходные положения 6
§ 1. Основные понятия и определения 5
§ 2. Уравнение состояния идеального газа 7
Глава 2. Первый закон термодинамики 11
§ 3. Работа и теплота процесса 11
§ 4. Формулировка первого закона термодинамики. Внутренняя энергия 15
§ 5. Энтальпия 23
§ 6. Теплоемкость 31
Глава 3. Второй закон термодинамики 38
§ 7: Основные положения второго закона 38
§ 8. Цикл Карно 49
§ 9. Энтропия 54
§ 10. Аналитическое выражение второго закона термодинамики.
Понятие об эксергии 67
Глава 4. Термодинамические свойства реальных газов и паров . . 96
§ 11. Реальные газы 96
§ 12. Фазовые переходы. Термодинамические свойства воды и
водяного пара t 106
Глава 5. Термодинамические процессы 132
§13. Процессы изменения состояния идеального газа . . . .132
§ 14. Термодинамические процессы изменения состояния водяного пара 143
Глава 6. Влажный воздух 147
§ 15. Смеси идеальных газов 147
§ 16. Термодинамические параметры влажного воздуха .... 151
§ 17. Процессы изменения состояния влажного воздуха. Н—rf-диаграмма 166
Глава 7. Термодинамика потока 162
§ 18. Первый закон термодинамики для потока 162
§ 19. Истечение газов и паров 174
§ 20. Дросселирование газов и паров 183
Глава 8. Циклы тепловых двигателей 191
§ 21. Сжатие газов в компрессорах 191
§ 22. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания . . .196
§ 23. Циклы газотурбинных установок 201
§ 24. Циклы паросиловых установок 204
§ 25. Циклы комбинированных и атомных установок . . . .213
Глава 9. Циклы холодильных установок и тепловых насосов . . 217
§ 26. Основные характеристики холодильного цикла . . . .217
§ і27. Цикл воздушной холодильной установки Й19
§ 28. Циклы парокомпрессионной и пароэжекторной холодильных
установок 222
§ 29. Цикл абсорбционной холодильной установки 227
§ 30. Основные характеристики хладоагентов 230
§31. Цикл теплового насоса 234
Глава 10. Элементы химической термодинамики 236
§ 32. Первый закон термодинамики и химические процессы . . 236
§ 33. Второй закон термодинамики в применении к химическим
реакциям. Третий закон термодинамики 242
Раздел второй. Теплопередача 25O
Глава U. Основные понятия и определения 259
§ 34. Виды теплообмена 259
§ 35. Температурное поле 260
§ 36. Закон Фурье. Теплопроводность 262
Глава 12. Математическая формулировка задач теплообмена . . 265
§ 37. Уравнение энергии 265
§ 38. Уравнения гидродинамики 272
§ 39. Начальные и граничные условия. Математическая
формулировка задач теплообмена 278
Глава 13. Стационарная теплопроводность 288
§ 40. Теплопроводность в плоской стенке (граничные условия I рода) 288
§41. Теплопроводность в цилиндрической стенке (граничные
условия I рода) 292
§ 42. Теплопроводность в шаровой стенке (граничные условия I рода) 295
§ 43. Теплопроводность тел с внутренними источниками теплоты . 296
§ 44. Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия III рода) 298

4 45. Теплопередача через цилиндрическую и шаровую стенки (гра- .
ничные условия III рода) 301
§ 46. Теплопередача через оребренную стенку 306
§ 47. Теплопроводность в ребрах постоянного поперечного сечения 308
Глава 14. Основы конвективного теплообмена 314
§ 48. Исходные положения 314
§ 49. Система дифференциальных уравнений конвективного
теплообмена. Безразмерные переменные 317
§ 50. Подобие процессов конвективного теплообмена .... 327
§ 51. Пограничный слой 341
§ 52. Турбулентный перенос теплоты 356
Глава 15. Основные процессы, конвективного теплообмена . . .374
§ 53. Теплоотдача при обтекании плоской поверхности .... 374
§ 54. Ковективный теплообмен при течении жидкости в трубах . ... 376
§ 55. Теплоотдача при поперечном- обтекании труб и трубных пучков 389
§ 56. Теплоотдача при свободном движении жидкости .... 393
§ 57. Теплоотдача при конденсации и" ¦ кипении 398
Глава 16. Теплообмен излучением 402
§ 58. Основные понятия и определения 402
§ 59. Законы теплового излучения 405
§ 60. Теплообмен излучением между телами, разделенными
прозрачной средой 411
§ 61. Особенности излучения газов н паров. Сложный теплообмен 416
Глава П. Теплообменные аппараты 421
§ 62. Классификация теплообменных аппаратов 421
§ 63. Тепловой расчет рекуперативных теплообменников . . .422
§ 64. Расчет конечных температур теплоносителей .... 428
§ 65. Сравнение прямоточной и противоточной схем движения
теплоносителей . 431
§ 66. Основы теплового расчета регенеративных и смесительных
теплообменников 432
§ 67. Использование безразмерных характеристик для расчета
теплообменных аппаратов 434
Глава 18. Нестационарная теплопроводность 438
§ 68. Формулировка задачи 438
§ 69. Расчет температурного поля 442
Глава 19. Основы массообмена 449
§ 70. Общие положения 449
4 71. Уравнение массообмена. 451
§ 72. Аналогия между тепло- и массообменом 456
Предметный указатель -.467