Автор: Алабовский А.Н. Недужий И.А.
Теги: тепло термодинамика энергетика тепловые двигатели учебное пособие циклы техническая литература издательство вища школа круговые процессы холодильные установки
ISBN: 5-11-001997-5
Год: 1990
Текст
А.Н.АПДБОВСКИЙ
И.А.НЭДЖИЙ
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ТЕРМО
ДИНАМИКА
А.Н.АЛАБОВСКИЙ
И.А. НЕДУЖИЙ
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ТЕРМО-
динамика
иТЕПЛО
ПЕРЕДАЧА
3-е издание,
переработанное и дополненное
Допущено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов
технологических специальностей
вузов
Киев
«Выща школа»
1990
ББК 31. 31 я 73
Л45
УДК 536. 7 (07)
Рецензенты: д-р техн, наук, проф. Э. Г Братута
(Харьковский политехнический институт);
д-р техн, наук, проф. В. П. Черняк,
(Институт технической теплофизики АН УССР)
Редакция литературы по информатике и автоматике
Редактор В, Ф. Хмель
Алабовский А. Н., Недужий И. А.
А45 Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб, посо-
бие.— 3-е изд., перераб. и доп.— К. :Выща шк., 1990.—
255 с.: ил.
ISBN-5-11-001997-5
Изложены законы термодинамики и их приложение к анализу круго-
вых процессов и циклов тепловых двигателей и холодильных установок.
Рассмотрены задачи теплопроводности, конвективного теплообмена и теп-
лового излучения, а также основы расчета теплообменных аппаратов.
Третье издание (2-е изд.— 1981 г.) дополнено примерами решения ти-
повых задач, вопросами и заданиями для самоконтроля знаний.
Для студентов технологических специальностей вузов.
2203020000—026
А М211 (04)—90 99—90
ISBN 5-11-001997-5
ББК 31.31Я 73
© Издательское объединение
«Вища школа», 1978
© А. Н. Алабовский,
И. А. Недужий, 1990,
с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . «.......................
Часть 1 ТЕХНИЧЕСКАЯ
ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 1 1.1. Предмет и метод термодинамики .... 7
Основные понятия 1.2. Основные понятия и определения ... Я
и законы термодинамики 1.3. Термические параметры состояния и
связь между ними......................... Г2
1.4. Калорические параметры состояния И
1.5. Термодинамический процесс и его энерге-
тические характеристики .................. 2С
1.6. Первый закон термодинамики.......... 24
1.7. Теплоемкость....................... 2€
1.8. Второй закон термодинамики.......... 33
Примеры решения задач ................... 41
Контрольные вопросы и задания............ 43
Глава 2 2.1. Задачи анализа и общие аналитические
Анализ термо- зависимости.............................. 44
динамических процессов 2.2. Основные термодинамические процессы 46
с идеальным газом 2.3. Политропный процесс и его обоГщающее
значение ................................. 51
Примеры решения задач..................... 55
Контрольные вопросы и задания............. 57
Глава 3 3.1. Общие свойства реальных газов .... 57
Термодинамические 3.2. Водяной пар и его характеристики ... 60
свойства 3.3. Анализ грех стадий получения перегрето-
реальных газов (паров) го пара .............................. 62
и процессы с ними 3.4. h — s-диаграмма и анализ основных тер-
модинамических процессов с водяным паром 67
Примеры решения задач ..................................... 72
Контрольные вопросы и задания............. 74
Глава 4 4.1. Основные определения и характеристики 74
Термодинамические 4.2. Н — d-диаграмма влажного воздуха 77
свойства Примеры решения задач ......... 82
влажного воздуха Контрольные вопросы и задания............. 83
и процессы с ним
Глава 5 5.1. Основные понятия и определения ... 83
Термодинамические 5.2. Уравнение первого закона термодинамики
основы анализа для потока вещества .................. 84
потока газов и паров 5.3. Истечение газов и паров............. 86
5.4. Дросселирование газов и паров .... 91
5.5. Нагнетание газов и паров . .......... 94
Примеры решения задач ....................100
Контрольные вопросы и задания ...... 102
Глава 6 6.1. Классификация и общая характеристика
Термодинамические циклов ........................... ....... 103
основы 6.2. Цикл Карно и его научно-практическое
анализа циклов значение ..................................105
тепловых машин Контрольные вопросы и задания................109
Глава 7 7.1. Циклы двигателей внутреннего сгорания 109
Циклы 7.2. Циклы газотурбинных установок ... 115
тепловых двигателей 7.3. Основной цикл паросиловых установок 117
и установок 7.4, Способы повышения тепловой эффектив-
ности паросиловых установок .................122
7.5. Особенности циклов атомных электростан-
ций ....................................... 127
Примеры решения задач ......................129
Контрольные вопросы и задания................130
Глава 8 8.1. Общая характеристика холодильных ус-
Циклы тановок................'........................131
к&лодильных установок 8.2. Цикл воздушной компрессорной холо-
и тепловых насосов дилыюй установки............................. 132
8.3. Цикл паровой компрессорной холодиль-
ной установки ...............................133
8.4. Цикл абсорбционной холодильной установки 136
8.5. Цикл теплового насоса...................137
8.6. Понятие о цикле глубокого холода ... 138
Пример решения задачи ................... 139
Контрольные вопросы и задания................140
Глава 9 9.1. Метод к. п. д.......................140
Методы 9.2. Эксергетический метод...................141
термодинамического 9.3. Эксергетические баланс и к. п. д. . . . 144
анализа эффективности Примеры решения задач .......................146
«^образования энергии Контрольные вопросы и задания.........147
Часть 2 ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Глава 10 10.1. Способы переноса теплоты ...... 148
Основные понятия 10.2. Температурное поле и тепловой поток 149
и определения 10.3. Законы переноса теплоты ...........150
Контрольные вопросы и задания................151
Глава 11 11.1. Дифференциальные уравнения теплооб-
Дифференциальные мена.........................................151
уравнения теплообмена 11.2. Краевые условия .......................156
я основы теории подобия 11.3. Основы теории подобия .................157
Контрольные вопросы и задания ...........162
Глава 12 12.1. Дифференциальное уравнение теплопро-
Общие понятия водности..............................163
теплопроводности 12.2. Коэффициент теплопроводности .... 164
12.3. Граничные условия...............164
Контрольные вопросы и задания.........164
Глава 13 13.1. Теплопроводность плоской стенки при
Теплопроводность граничных условиях первого рода . . . . . 165
стационарном режиме 13.2. Теплопроводность цилиндрической
стенки при граничных условиях первого рода 167
13.3. Теплопроводность плоской и цилиндри-
ческой стенок при граничных условиях тре-
тьего рода (теплопередача) ........... . 169
13.4. Критический диаметр тепловой изоляции 172
13.5. Интенсификация теплопередачи ... 174
Примеры решения задач ......................175
Контрольные вопросы и задания.......176
4
Глава 14 14.1. Постановка задачи, обобщенное уравне-
Теплопроводность ние для температурного поля..................177
при нестационарном 14.2. Аналитическое решение в случае пло-
режиме ской стенки (пластины) . . ........................178
14.3. Определение температуры тел конечных
размеров................................ . 184
14.4. Регулярный тепловой режим . . . 185
Пример решения задачи .................... 186
Контрольные вопросы и задания............. 187
Глава 15 15.1. Метод конечных разностей ..... 187
Приближенные 15.2. Метод аналогии................192
методы решения задач Пример решения задачи ......................193
теплопроводности Контрольные вопросы и задания.......194
Глава 16 16.1. Физические особенности процесса тепло-
Конвективный теплообмен отдачи .....................................196
16.2. Коэффициент теплоотдачи.......197
16.3. Связь между теплоотдачей и трением 199
16.4. Моделирование теплоотдачи ......201
Контрольные вопросы и задания ......204
Глава 17 17.1. Теплоотдача при продольном омывании
Теплоотдача плоской поверхности вынужденным потоком
в однофазной среде жидкости.....................................204
17.2. Теплоотдача при вынужденном течении 208
жидкости в трубах и каналах................
17.3. Теплоотдача при поперечном обтекании
труб...................................... 210
17.4. Теплоотдача при свободном движении
жидкости...............................212
Примеры решения задач..................... 214
Контрольные вопросы и задания ..............215
Глава 18 18.1. Теплоотдача при кипении........... 215
Теплоотдача 18.2. Теплоотдача при конденсации .... 220
при фазовых переходах 18.3. Основные, закономерности тепломассооб-
мена ........................................................... 223
Примеры решения задач ......................226
Контрольные вопросы и задания ..............229
Глава 19 19.1. Основные понятия и определения . . . 229
Теплообмен 19.2. Законы теплового излучения.......231
излучением 19.3. Теплообмен излучением между твердыми
телами, разделенными прозрачной средой 234
19.4. Теплообмен излучением при наличии эк-
ранов .................................................237
19.5. Особенности излучения газов .... 238
19.6. Радиационно-конвективный теплообмен 239
Примеры решения задач .....................240
Контрольные вопросы и задания..............241
Глава 20 20.1. Классификация теплообменных аппа-
Теплообменные ратов.................................. . 241
аппараты 20.2. Расчет рекуперативных теплообменных
аппаратов................................ 243
20.3. Средний температурный напор .... 244
20.4. Расчет конечных температур рабочих
жидкостей ..................................246
Пример решения задачи ....................247
Контрольные вопросы и задания........248
Приложение ............................ .249
Список рекомендуемой литературы .... 253
Предметный указатель ......................254
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ускорение научно-технического прогресса связано с полным
удовлетворением потребностей страны в топливно-энергетических
ресурсах. Наряду с увеличением добычи топлива и прои шодзтва
энергии эта задача решается путем осуществления активной энерго-
сберегающей политики во всех отраслях народного хозяйства. Боль-
шинство современных производств сопровождаются теплотехполо-
тическими процессами, от правильного ведения которых зависят
производительность и качество выпускаемой продукции. В связи с
этим, а также проблемами создания безотходной технологии и охра-
ны окружающей среды значительно возросла роль теплотехники
как науки, теоретическую базу которой составляют термодинамика
и теплопередача.
Большинство студентов неэнергетических специальностей изу-
чают термодинамику и теплопередачу в общем курсе теплотехники
или в виде самостоятельной дисциплины в объеме 40...50 лекцион-
ных часов. При подготовке настоящего, третьего издания учебного
пособия «Техническая термодинамика и теплопередача» авторы
стремились, сохранив особенность двух предыдущих изданий —
краткость изложения без ущерба полноты понимания изучаемых
процессов и явлений, учесть требования основных направлений пе-
рестройки высшего образования в стране. В связи с этим книга до-
полнена примерами решения типовых задач, а также контрольными
вопросами и заданиями, что должно способствовать улучшению са-
мостоятельной работы студентов над курсом.
В первой части пособия излагаются основные понятия и законы
термодинамики, термодинамические свойства рабочих тел, анализ
термодинамических процессов и циклов. Рассматриваются циклы
тепловых двигателей и холодильных машин, приводится эксергети-
ческий анализ эффективности тепломеханических систем. Во второй
части описываются явления теплопроводности, конвективного теп-
лообмена и теплового излучения, даются основы теплового расчета
теплообменных аппаратов. Изложение математической теории теп-
лообмена и теории подобия в начале второй части пособия позволило
обеспечить единый подход к рассмотрению задач теплопроводности
1 конвективного теплообмена и избежать повторений.
При переработке книги авторы использовали полезные методиче-
ские рекомендации, которые обсуждались на заседаниях научно-
методического Совета по теплотехнике при Государственном коми-
тете СССР по народному образованию.
Первая часть «Техническая термодинамика» написана И. А. Не-
дужим, вторая часть «Теплопередача» — А. Н. Алабовским.
Несть 1__________________________________________
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
1.1. Предмет и метод термодинамики
Термодинамика как раздел физики изучает закономерности преоб-
разования энергии в различных процессах, сопровождающихся
тепловыми явлениями, а также свойства тел, которые участвуют в
этих преобразованиях.
Исторически термодинамика возникла в XIX в. в связи с необ-
ходимостью изучения процессов превращения теплоты в работу в
паровых машинах. В XX в. термодинамика как наука охватила уже
значительно больший круг вопросов. В настоящее время термоди-
намический метод исследования широко применяется в различных
областях физики, химии, биологии и многих других науках и отрас-
лях техники. Являясь одной из самых обширных областей совре-
менного естествознания, термодинамика играет важную роль в си-
стеме знаний, необходимых инженеру любой специальности в его
практической деятельности.
Основу термодинамики составляют два фундаментальных зако-
на, которые обобщают закономерности существующих в природе
явлений. Первый закон термодинамики устанавливает количествен-
ное соотношение в процессах взаимного преобразования энергии и
представляет собой приложение всеобщего закона сохранения и
превращения энергии к тепловым процессам. Второй закон термо-
динамики характеризует направление естественных (необратимых)
процессов и определяет качественное отличие теплоты от других
форм передачи энергии. Этот закон связан с принципом существо-
вания энтропии.
Следовательно, термодинамический аппарат основывается на
законе сохранения энергии и принципе существования энтропии,
из которых вытекают общие термодинамические соотношения, ши-
роко применяемые в науке и технике.
Законы термодинамики не являются следствием каких-то ги-
потез о строении материи и механизме передачи энергии. Они харак-
теризуют только общие закономерности ее превращения в макро-
скопических системах (т. е. в системах, состоящих из огромного
числа микрочастиц), чем обеспечивается их общность.
Опираясь на математические формулировки первого и второго
законов термодинамики, можно строить теорию тепловых процес-
сов, получившую название феноменологической термодинамики. Не
ч.учая зачастую промежуточные стадии и механизм процесса,
7
п|)гд( к;|,{<тгь конечный результат. хотя фи-
чп’|< < I..IM . УН1ШН11, irii.'ioHiJx процессов при этом не раскрывается.
Ab» m i.у.пярнук) сущность тепловых явлений позволяет выяснить
м< ул яр но- кинетическая теория теплоты, носящая название ста-
мистической физики (или статистической термодинамики). кото-
рая оперирует законами механики и теории вероятности. При изу-
чении тепловых явлений термодинамика и статистическая физика
дополняют одна другую.
В зависимости от круга рассматриваемых вопросов и целей ис-
следования термодинамику подразделяют на физическую (или об-
щую). химическую, техническую и др.
Техническая термодинамика изучает процессы, связанные с об-
меном энергией в тепловой и механической формах, а также свойства
тел, используемые в этих процессах. В сочетании с теорией тепло-
массообмена техническая термодинамика превратилась в фундамен-
тальную инженерную науку, которая позволяет, например, уста-
новить наивыгоднейшие условия протекания процессов в тепловых
машинах и аппаратах, а также наметить пути повышения их эф-
фективности.
1.2. Основные понятия и определения
Важнейшими понятиями термодинамики являются внутренняя
энергия U, работа L и теплота Q. Известно, что энергия вообще —
это мера различных форм материального движения. Каждой форме
движения соответствует определенный вид энергии. Энергию, соот-
ветствующую молекулярно-хаотическому движению, в термодина-
мике называют внутренней энергией; состоит она из кинетической
энергии движения молекул и потенциальной энергии сил межмоле-
кулярного взаимодействия. В общем случае в состав внутренней
энергии входит еще энергия, соответствующая внутримолекуляр-
ному, внутриатомному и внутриядерному взаимодействиям. Одна-
ко в технической термодинамике рассматриваются такие физиче-
ские процессы, в которых эти составляющие внутренней энергии
изменений не претерпевают и поэтому не учитываются.
В ряде случаев при термодинамическом анализе необходимо учи-
тывать кинетическую энергию видимого движения тела (£КИн ~
= mw2/2) и потенциальную энергию, обусловленную положением те-
ла в поле внешних сил, например в поле земного притяжения
(£ПОт = tngz}.
Следовательно, полная энергия тела в общем случае состоит из
внутренней энергии U, зависящей от внутреннего состояния тела,
и внешней энергии £виеш, связанной со скоростью движения и поло-
жением тела относительно окружающей среды, т. е.
Е == U 4- £вНеш = U + mw2lc2 + rngz, (1.1)
где z — геометрический параметр.
В отличие от понятий энергии и вида энергии существует поня-
тие формы передачи энергии (или способа обмена энергией) при
8
энергетических взаимодействиях. Все энергетические взаимодей-
ствия, в результате которых изменяется состояние тела, можно све-
сти к двум формам.
Первая форма обусловлена силовым механическим взаимодей-
ствием одного тела на другое, сопровождающимся видимым переме-
щением другого тела, и называется работой L. При этом количество
энергии, переданное от одного тела к другому, в форме направлен-
ного движения называется работой процесса, или просто работой.
В общем случае это может быть работа не только обычных сил ме-
ханической природы, но и электрических, магнитных, а также сил
поверхностного натяжения и др.
Вторая форма связана с наличием разности температур и об-
условлена хаотическим движением множества микрочастиц, состав-
ляющих макротела. Обмен энергией в этом случае происходит пу-
тем либо непосредственного соприкосновения тел, имеющих разную
температуру, либо излучение. Количество переданной энергии в
форме хаотического движения микрочастиц называется количеством
теплоты, теплотой процесса, или просто теплотой Q.
Поскольку работа и теплота являются мерой передаваемой энер-
гии, их количество выражается в тех же единицах, что и энергия,
т. е. в джоулях.
Объектами изучения в термодинамике являются различные тер-
модинамические системы, представляющие собой совокупность ма-
териальных тел, которые могут энергетически взаимодействовать
между собой и окружающей средой и обмениваться с ней веществом.
Отдельно взятое макротело также может рассматриваться как тер-
модинамическая система. Все, что находится вне системы, называ-
ется окружающей средой. Поверхность, отделяющая термодинами-
ческую систему от окружающей среды, называется контрольной.
Термодинамические системы бывают закрытые, если в них от-
сутствует обмен веществом через контрольную поверхность, и от-
крытые, в которых обмен веществом с окружающей средой проис-
ходит через контрольную поверхность. Система, которая не обмени-
вается энергией и веществом с окружающей средой, называется изо-
лированной. Если система не обменивается энергией в форме теп-
лоты, то она называется адиабатной, или теплоизолированной.
В технической термодинамике рассматриваются главным обра-
зом системы (тела), с помощью которых происходит взаимное пре-
образование теплоты и работы (процессы в тепловых машинах), т. е<
рабочие тела. В качестве рабочих тел, как правило, используют га-
зы и пары, способные значительно изменять свой объем при изме-
нении внешних условий. Принципиального различия между газом
и паром нет: газ можно рассматривать как пар ссогветствуюгщй
жидкости, находящийся далеко от состояния сжижения (сильно пе-
регретый пар), а пар — как реальный газ, близкий к состоянию
сжижения.
Известно, что в разных состояниях влияние сил взаимодействия
между молекулами и размеров самих молекул на физические свой-
ства газов различны. В тех состояниях, когда влиянием сил взаимо-
9-
действия между молекулами и объемом самих молекул можно пре-
небречь (сильно нагретый газ при небольших давлениях), газ на-
зывается идеальным, в противоположных состояниях — реальным.
Рабочее тело в тепловой машине получает или отдает теплоту
(энергию), взаимодействуя с более нагретыми или более холодными
внешними телами. Такие тела носят название источников теплоты.
Тело, которое отдает теплоту рабочему телу и не изменяет свою
температуру, называется теплоопгдатчиком, а тело, которое по-
лучает теплоту от рабочего тела и не изменяет свою температуру,—
телеприемником.
Термодинамическим состоянием системы (рабочего тела) на-
зывается совокупность физических свойств, присущих данной си-
стеме (рабочему телу).
Макроскопические величины (т. е. величины, которые характе-
ризуют рабочее тело в целом), описывающие физические свойства
рабочего тела в данный момент, называются термодинамическими
параметрами состояния. Последние разделяются на интенсивные
(не зависящие от массы рабочего тела) и экстенсивные (пропорцио-
нальные массе рабочего тела).
Основными (независимыми) параметрами состояния являются
те из них, с помощью которых можно вполне определенно описать
состояние рабочего тела и выразить остальные параметры. К основ-
ным параметрам состояния, поддающимся непосредственному изме-
рению простыми техническими средствами, относятся абсолютное
дарение Р, удельный объем v и абсолютная температура Т. Эти
три параметра носят название термических параметров состояния.
К параметрам состояния, как будет показано дальше, относятся
также внутренняя энергия U, энтальпия И и энтропия S, которые
носят название калорических параметров состояния.
Равновесным термодинамическим состоянияем называется со-
стоя пне рабочего тела, которое не изменяется во времени без внеш-
него энергетического воздействия. Параметры равновесного состо-
яния по всей массе рабочего тела одинаковы и равны соответству-
ющим параметрам внешней среды. В состоянии термодинамическо-
го равновесия исчезают всякие макроскопические изменения (диф-
фузия, теплообмен, химические реакции), хотя тепловое (микроско-
пическое) движение молекул не прекращается *. Термодинамика изу-
чает главным образом свойства систем, находящихся в равновесном
состоянии Последовательное изменение состояния рабочего тела,
происходящее в результате его энергетического взаимодействия с
окружающей его средой, называется термодинамическим процессом.
В термодинамическом процессе обязательно изменяется хотя бы один
параметр состояния.
Всякий процесс изменения состояния рабочего тела представля-
ет собой отклонение от состояния равновесия. Процесс, протекаю-
щий настолько медленно, что в системе (рабочем теле) в каждый мо-
* Это движение при равновесном состоянии рабочего тела имеет одинако-
вую интенсивность в противоположных направлениях и на макроскопические
величины (параметры) не влияет.
10
Рис. 1.1. Изображение равновесно-
го (а) и кругового (б) термодина-
мических процессов в р — и-коор-
динатах
мент времени успевает установить-
ся равновесное состояние, называ-
ется равновесным. В противополож-
ном случае он называется неравно-
весным.
Следовательно,равновесный про-
цесс может быть только бесконечно
медленным. Всякий процесс, проте-
кающий с конечной скоростью, вы-
зывает появление конечных раз-
ностей плотности, температуры,
давления и других параметров.
Очень важно уяснить, что протекание равновесного процесса
при переменной температуре рабочего тела можно осуществить в том
случае, когда источник теплоты изменяет свою температуру также,
как и рабочее тело, т. е. в общем случае при наличии бесконечного
количества источников теплоты. Если имеется только один источ-
ник теплоты с постоянной температурой, то равновесный процесс
будет протекать при постоянной температуре, равной температуре
источника теплоты (такой процесс, как известно, называется изо-
термическим).
Равновесные состояния (А, А', А") и равновесный процесс (Л —
В) можно изображать в виде диаграмм, на осях которых откладыва-
ются значения параметров равновесных состояний (рис. 1.1, а). За-
метим, что исследовать с исчерпывающей полнотой можно только
равновесные процессы.
Обратимым процессом называется такой термодинамический
процесс, который протекает через одни и те же равновесные состоя-
:-шя в прямом (Л — В) и обратном (В — Л) направлениях так, что
в рабочем теле и в окружающей его среде (системе) не происходит
никаких остаточных изменений.
Процессы, не удовлетворяющие этому условию, называются не-
обратимыми. Любой процесс, сопровождаемый трением и завих-
рением, является необратимым, так как при этом часть работы пре-
вращается в теплоту, которая нагревает окружающую среду и в ней
происходят остаточные изменения. Все процессы передачи теплоты
от нагретых тел к холодным при конечной разности температур так-
же являются необратимыми, поскольку известно, что обратный пере-
ход теплоты от холодных тел к горячим без затраты энергии извне
(т. е. без остаточных изменений в окружающей среде) невозможен.
Таким образом, основные условия осуществления обратимого
процесса таковы:
тепловое и механическое равновесия, т. е. равенство температур
и давлений рабочего тела и окружающей среды в каждом состоянии
процесса (условие внешней обратимости)}
отсутствие трения, завихрения и других односторонне направ-
ленных процессов (условие внутренней обратимости).
Обратимые процессы в чистом виде в природе и технике не встре-
чаются, так как реальные процессы всегда протекают с конечными
11
скоростями и с конечными разностями температур и в рабочем геле
не успевают устанавливаться равновесные состояния.
Однако изучение обратимых процессов играет большую роль,
поскольку многие реальные процессы близки к ним. Кроме того,
обратимые процессы приводят к максимальной эффективности преоб-
разования энергии в тепловых машинах и служат мерой сравнения
и оценки эффективности реальных необратимых процессов.
Простейшими, или основными, термодинамическими процесса-
ми являются изохорный (о -- const), изобарный (р = const), изотер-
мический (Т == const) и адиабатный (процесс без внешнего тепло-
обмена).
Круговым процессом, или циклом, называется процесс, в резуль-
тате осуществления которого рабочее тело возвращается в началь-
ное состояние А (рис. 1.1, б). Циклы могут различаться по направ-
лению (прямые и обратные), температурному уровню, конфигура-
ции и другим признакам.
Обратимые круговые процессы составляют основу теоретических
циклов тепловых двигателей и холодильных машин. Сравнение эф-
фективности реальных (необратимых) циклов с эффективностью те-
оретических (обратимых) циклов может служить мерой совершенст-
ва процессов, протекающих в реальных условиях.
1,3. Термические параметры состояния
и связь между ними
Выше отмечалось, что к термическим параметрам состояния отно-
сятся абсолютное давление, удельный объем и абсолютная темпера-
тура.
Абсолютное давление газа представляет собой средний резуль-
тат силового воздействия молекул на стенки сосуда и равно отно-
шению нормальной составляющей силы к площади, на которую дей-
ствует сила. Давление в Международной системе единиц выража-
ется в паскалях: 1 Па = 1 Н/м2. Так как эта единица очень мала,
то в технике часто используют кратные ей единицы: килопаскаль
(1 кПа = 103 Па) и мегапаскаль (1 МПа = 106 Па). В технических
расчетах пользуются иногда внесистемной по отношению к СИ еди-
ницей — баром, составляющим 105 Па (0,1 МПа).
Применяемые в технике приборы для измерения давления (ма-
нометры) фиксируют разность между абсолютным давлением раОс в
месте измерения и внешним атмосферным (барометрическим) дав-
лением, т. е. так называемое избыточное давление рИЗб (рис. 1.2).
Если измеряемое абсолютное давление выше барометрического*
ТО ризб === Рабе рбар, ИЛИ
Рабе = Ризб + Рбар. (12)
Входящая в (1.2) величина рИЗб называется также манометриче-
ским, или рабочим, давлением.
Если в сосуде давление меньше атмосферного, то имеет место раз-
режение (вакуум). Разность между манометрическим и абсолют-
12
ным давлениями называется вакуумом, или
разрежением: = Рбар — Рабе, или
Рабе = Рбар Рвак« (1.3)
Следует иметь в виду* что во всех фор-
мулах термодинамики абсолютное давление
выражается в паскалях (ньютонах на квад-
ратный метр). Это объясняется тем, что из-
быточное давление или разрежение при
одном и том же абсолютном давлении могут
принимать различные значения в зависи-
мости от барометрического давления.
Удельный объем — это объем, занимае-
мый единицей массы вещества т и выра-
жаемый в кубических метрах на килограмм
(м3/кг):
v = Vim.
Избыточное
давление
Вакуум Jl
Р~Рбпр
Рис. 1.2. К измерению
давления
Обратная величина \/о = m/V = р (кг/м3) называется плотно-
стью. Следовательно,
v — 1/р, или ур = 1.
Одним из важнейших параметров, определяющих тепловое со-
стояние тела, является температура. Согласно молекулярно-кине-
тической теории газов абсолютная температура Т является мерой ин-
тенсивности теплового движения молекул тела и определяется сред-
ней кинетической энергией движения’молекул газа.
Непосредственно измерить кинетическую энергию движения
молекул практически невозможно. Поэтому для измерения темпера-
туры используют зависимость от нее какого-либо из свойств вещест-
ва (например, теплового расширения, э. д. с. между двумя соприка-
сающимися металлами, электрического сопротивления, интенсивно-
ности излучения).
Численное значение измеренной температуры зависит от вы-
бранной шкалы температур. Понятие шкалы температур включает в
себя два элемента: нуль отсчета и значение одного градуса. Так как
нуль отсчета и цена деления шкалы выбираются произвольно, то
может быть много различных температурных шкал. Строго говоря*
любые свойства вещества нелинейно зависят от температуры, что
значительно усложняет построение температурных шкал.
Наиболее универсальной шкалой температур, не зависящей от
каких-либо свойств термометрического вещества, является абсолют-
ная термодинамическая шкала температур Т — шкала Кельвина*
построенная на основе второго закона термодинамики (см. п. 6.2) и
имеющая единственную экспериментальную реперную (опорную)
1 очку — температуру тройной точки воды (состояние равновесия
<ьда, воды и пара), которой приписывается числовое значение
273,16 К (точно). Тройная точка воды легко реализуется с высокой
точностью. За нуль отсчета в шкале Кельвина принята минимальная
13
возможная температура тел 7min = О К, соответствующая прак-
тически недостижимому состоянию теплового покоя молекул.
Кельвин — единица температуры по термодинамической тем-
пературной шкале, равная 1/273,16 части термодинамического ин-
тервала от абсолютного нуля температуры до температуры тройной
точки воды.
Термодинамическая шкала температур лежит в основе Между-
народной практической температурной шкалы — шкалы Цельсия, за
нуль отсчета в которой принята температура плавления льда, а за
100 °C — температура кипения воды при нормальном атмосфер-
ном давлении 101,325 кПа (760 мм рт. ст.).
Температура в обеих шкалах может быть выражена в кельвинах
(Т, К) и в градусах Цельсия (/, °C). Соотношение между этими тем-
пературами следующее:
Т, К = /°, С+ 273,15.
Температуре тройной точки воды 273,16 К соответствует 0,01 °C;
следовательно, 273,15 К — это температурный промежуток, на ко-
торый смещено начало отсчета.
Совершенно очевидно, что единица температурных промежутков
для обеих шкал одинакова, т. е.
дт, К = АЛ ° с.
Уравнения состояния. Одной из характерных закономерностей
в поведении макроскопических тел является то, что состояние лю-
бого, находящегося в равновесии, однородного тела определяется
лишь двумя основными термическими параметрами (например, pt v\
v, Т или р, Т); все остальные термические параметры могут быть
представлены как функции этих двух.
Опыт и теория показывают, что параметры р, v и Т однородного
тела в равновесном состоянии связаны между собой функциональ-
ной зависимостью
<р (р, и, Т) = 0,
которая называется термическим уравнением состояния.
Графически это уравнение отображается в виде поверхности.
Зависимость <р (р, v, Т) для того или иного вещества не может быть
получена в рамках термодинамики. Она обычно устанавливается
на основе экспериментальных исследований свойств вещества. Функ-
циональная зависимость ср определяется природой тела. Наиболее
простым уравнением состояния является уравнение Клапейрона —
Менделеева для идеального газа
(1.4)
где р — абсолютное давление, Па; — объем Г кмоль газа,
м3/кмоль; = 8314 Дж/( кмоль • К) — универсальная газовая по-
стоянная, одинаковая для всех газов; Т — абсолютная темпера-
тура, К.
i4
Если обе части уравнения (1.4) разделить на молярную массу р5
то получим уравнение состояния для 1 кг идеального газа
pv = RT, (1.5)
где v — Ец/р, м3/кг — удельный объем газа; R = 7?ц/р ~
== 8314/р кДж/(кг * К) — удельная газовая постоянная, завися-
щая от химической структуры газа и имеющая для каждого газа
свое значение.
Для произвольного количества газа т (кг) уравнение состояния
имеет вид
pV = mRT, (1.6»
где V = от — объем газа, м3.
Уравнение состояния идеального газа очень часто используется
в инженерных расчетах. Однако при повышении давления и пони-
жении температуры, когда силы взаимодействия между молекула-
ми и объем самих молекул уже проявляются, оно становится менее
точным. Учет влияния сил взаимодействия и объем молекул при
обосновании уравнения состояния реальных газов затруднителен
и приводит к большому его усложнению.
Одним из приближенных уравнений состояния реальных газов,
которое позволяет качественно установить ряд существенных за-
кономерностей, является уравнение Ван-дер-Ваальса
(р + zz/v2) (t> — b) = RT (17)
Поправка a/v2 характеризует здесь так называемое внутреннее дав-
ление, обусловленное силами притяжения молекул, которое вместе
с внешним давлением р составляет полное давление газа. Влияние
объема самих молекул, который уменьшает свободный объем, где
могут перемещаться молекулы, учитывается поправкой Ь.
Уравнение Ван-дер-Ваальса расходится с экспериментальными
данными и является неточным. Предпринимались попытки усовер-
шенствовать его и повысить точность, что привело к большому ко-
личеству эмпирических уравнений для разных веществ, которыми
с тем или иным приближением можно пользоваться в ограниченных
областях давлений и температур.
Уравнение состояния смеси идеальных газов. В технике чаще все-
го применяются не однородные (чистые) газы, а механические сме-
си отдельных газов, например атмосферный воздух, продукты сго-
рания топлива и другие, которые во многих случаях можно рассмат-
ривать как идеальные газы.
Смесь идеальных газов подчиняется законуДальтона, согласно
которому давление смеси идеальных газов р равно сумме парциаль-
ных давлений pt ее составляющих (компонентов):
P = Pi + /’2+ ••• = (18)
н закону Амага> по которому объем смеси идеальных газов V ра-
вен сумме приведенных объемов К ее отдельных компонентов:
У=-^1 + У2+ ... = (1.9)
13
/7/ширенным объемом называется объем, который занимал бы
j MiK-HeiiT газа, если бы его давление и температура равнялись дав-
шшию и температуре смеси.
Для чистых веществ достаточно знать только два какие-либо па-
раметра состояния, чтобы полностью определить остальные. В слу-
чае смеси газов для определения какого-либо параметра состояния
требуется еще знать состав смеси, т. е. для смеси газов в качестве не-
зависимых переменных добавляется величина г, определяющая ее
состав. Тогда в общем виде уравнение состояния смеси запишет-
ся так:
<р (р, V, Т, z) = 0.
состав смеси газов может быть задан массовыми, объемными и
мольными долями (в случае идеального газа мольные доли числен-
но равны объемным).
Массовой долей г-го компонента называется отношение его массы
к массе смеси т:
gi — mjm. (1.10)
Очевидно, т = т, + /п2 +...+ тп — Ягщ; Sgt = 1.
Объемной долей Аго компонента называется отношение приве-
денного объема компонента Vt к объему смеси V:
r^VjV. (1.11)
Так как согласно закону Авогадро объемы одного моля любого
газа при одинаковых р и Т одинаковы, то V{ ~ VKlNh а V =
Тогда
VJV = r< = VMVJV) = N</N = n£., (1.12)
т. е. объемные и мольные доли газа численно одинаковы.
Исходя из того, что масса г-го компонента равна произведению
его молярной массы р£ на число молей Л^-, массу смеси можно выра-
зить аналогично: т = рСмЛ/, где рсм —условная, ”ли кажущаяся,
молярная масса смеси; N — число молей в смеси. Тогда
Нем = rn/N = (/п, + m2 + • • • + mn)/N =
= (mW! + p.2W2 + • • • 4* [inNn)/N =
= + p.2«2 + • • • + M-. = (1-13)
Если смесь задана массовыми долями, то легко показать, что
Исм = m/N = = 2mz/2 -А- = 1/2 -А (1.13a)
Соотношение между массовыми и мольными (объемными) доля-
ми компонентов смеси можно получить следующим образом:
gi = mjm = p£Wt-/(pCM?/) = u£nf/|TCM,
или с учетом равенства (1.12)
gi = (1.14)
16
Парциальное давление отдельного компонента pt смеси может
быть вычислено, если известна объемная (мольная) доля компонен-
та (nf). Для 4-го компонента можно записать:
p.V = т^Т и pV{ = rtiiRiT, или ptV = pV
Отсюда V JV = pjp — rit так что
Pl = rip = nip. (1.15)
Записав уравнения состояния для всех компонентов смеси:
Р1У = niiRjT; p2V = m2R2T-,
pnV = mnRnT
и просуммировав левые и правые части этих уравнений!
= TYmiRi,
с учетом (1.8) и (1.13) получим
pv = m(ZgiRi)T. (1.16)
Уравнение (1.16) является термическим уравнением состояния
смеси идеальных газов, где величина %giRi формально занимает
место газовой постоянной смеси:
Rcm = glRl + g2^2 + ••• + gnRn = (1-17)
Газовую постоянную смеси можно определить также через
условную молярную массу смеси рсм:
Rcm “ ^ц/Цсм ~ 8314/Цсм-
Уравнения состояния играют важную роль в термодинамике,
так как они дают дополнительную информацию о связях между фи-
зическими величинами, характеризующими состояние.
1.4. Калорические параметры состояния
Внутренняя энергия. Выше отмечалось, что любая термодинамиче-
ская система (рабочее тело) обладает запасом внутренней энергии,
которая состоит из энергии хаотического (теплового) движения и
взаимодействия молекул. Поскольку внутренняя энергия рабочего
тела зависит от его массы, обычно интересуются значением внутрен-
ней энергии, отнесенной к 1 кг массы тела,— удельной внутренней
энергией
и = U/m,
В общем случае удельная кинетическая энергия теплового дви-
жения состоит из удельной кинетической энергии поступательного,
вращательного и колебательного движений молекул иКИн, зависящей
только от температуры рабочего тела Т, и удельной потенциальной
энергии 44ПОТ взаимодействия молекул между собой, зависящей от
среднего расстояния между молекулами, т. е. от занимаемого рабо-
чим телом удельного объема v,
2 9—2570 П ° Т 17
*4
< jk 'ioim ic.'iык), в общем случае удельная внутренняя энергия
p.ioo'ici о гола зависит от его температуры Т и удельного объема vf
являясь однозначной функцией этих параметров состояния: и =
/ (7\ и), или
du = (du/dT)v dT + (ди/дЬ)т dv. (1.18)
Таким образом, важнейшим свойством удельной внутренней
энергии рабочего тела является то, что она представляет собой од-
нозначную функцию состояния тела, определяемого любой парой
его основных параметров (/?, и, 71), и сама может служить парамет-
ром состояния. Из этого свойства следует, что изменение удельной
внутренней энергии не зависит от характера процесса, а определя-
ется лишь начальным и конечным состояниями рабочего тела. Сле-
довательно, бесконечно малое приращение удельной внутренней
энергии является полным дифференциалом du, а ее изменение в ка-
ком-либо процессе 1-2
^Ui-2 = j du = и2 — иг.
1
В идеальном газе силы взаимодействия между молекулами от-
сутствуют и удельная потенциальная энергия его равна нулю. По-
этому удельная внутренняя энергия идеального газа состоит только
из удельной кинетической энергии движения молекул икин и опреде-
ляется его температурой: и == f (Т), или
du = (du/dT)vdT. (1.18а)
Независимость удельной внутренней энергии идеального газа
от удельного объема и давления впервые была доказана Д.-П. Джо-
улем в 1845 г. Изменение удельной внутренней энергии идеального
газа в каком-либо процессе зависит только от значения начальной
и конечной температур газа, т. е. во всех процессах, в которых из-
менение температуры одинаково, изменение удельной внутренней
энергии идеального газа будет одним и тем же.
Совершенно очевидно, что в замкнутом (круговом) процессе, в
котором начальное и конечное состояния совпадают, изменение
удельной внутренней энергии равно нулю, т. е.
Atz=(f)d« = O. (1.19)
Определять абсолютное значение удельной внутренней энергии
в большинстве технических расчетов не требуется, так как обычно
необходимо знать только ее изменение. Поэтому условно приписы-
вают некоторому состоянию рабочего тела нулевое значение удель-
ной внутренней энергии, а все расчеты ведут относительно этого
значения.
Энтальпия. Рассмотрим полную энергию газа, находящегося
под давлением р, создаваемым грузом массой М (рис. 1.3). В этом
случае полная энергия Е системы состоит из внутренней энергии
газа U и потенциальной энергии груза, равной pfz = pV, т. е. Е =«
18
- = U + pV. Величина pV, зависящая от сил,
действующих на поршень, получила название
потенциальной энергии давления.
Таким образом, если газ находится в среде
с давлением р, то с любым состоянием его связа-
на некоторая энергия U -ф pV = Н, получившая
название энтальпии газа в данном состоянии.
Выражение энтальпии для 1 кг газа (т. е. удель-
ной энтальпии) имеет вид
h — и 4- pv. (1.20)
Рис. 1.3. К опреде-
лению энтальпии
Следовательно, удельная энтальпия, будучи зависимой от пара-
метров состояния и, р и v, также является параметром состояния.
Поэтому изменение Дй, как и изменение Ди, не зависит от характе-
ра процесса, а определяется только начальным и конечным состоя-
ниями, т. е.
Дй = h2 — /?j = (ц2 + p2v2) — (щ + р^). (1.21)
Как однозначная функция состояния удельная энтальпия мо-
жет быть представлена в виде функции любой пары основных пара-
метров состояния, т. е.
Л = Л (р, и); h = f2 (у, Т)\ h = f3 (р, Т).
Удельная энтальпия идеального газа, как и его удельная внут-
ренняя энергия, является функцией только температуры. Действи-
тельно, из (1.20) и (1.5) следует:
h = и + pv = и (Т) + RT,
т. е. h = f (7). Удельная энтальпия, как и удельная внутренняя
энергия, выражается в джоулях на килограмм (Дж/кг).
Понятие удельной энтальпии широко применяется в расчетах
чепловых процессов, особенно графическими методами. Так как §
технической термодинамике не требуется знания абсолютного зна-
чения удельной энтальпии, то она обычно отсчитывается от некото-
рого условного нуля (для газов h == 0 при t = 0 °C).
Энтропия. Кроме рассмотренных параметров, в термодинамике
широко используется еще один калорический параметр состоя-
ния — энтропия S, введенный Р. Клаузиусом в 1865 г. при анализе
круговых процессов.
Энтропия — параметр состояния, дифференциал которого ра<
г.еи отношению бесконечно малого количества теплоты 6Q* в эле-
ментарном обратимом процессе к абсолютной температуре 7, по-
< 1ОЯИИ0Й на бесконечно малом участке процесса, т. е.
dS = 8Q/T, (1.22)
Как будет показано дальше, работа L и теплота Q являются функциями
прмн кпипя процесса. Поэтому бесконечно малое их значение не является пол-
ным Л1!(|м|)ерепциалом и их обозначают специальным символом 6.
19
I'ел и количество теплоты отнести к 1 кг вещества (6g), то полу-
чим удельную энтропию
ds — Sq/T, (1.22а)
которая выражается в джоулях на килограмм-кельвин [Дж/(кг • К)].
Среди различных величин, определяющих тепловое состояние
тела, удельная энтропия занимает особое место. Термодинамический
и физический смысл ее будет раскрыт ниже; здесь же отметим, что
поскольку она является функцией состояния, ее значение должно
определяться значениями основных параметров состояния (р, и, Т),
а изменение удельной энетропии в любом термодинамическом про-
цессе не зависит от характера процесса и определяется лишь зна-
чениями параметров его начального и конечного состояний.
Удельная энтропия s так же, как удельная внутренняя энергия
и этальпия, обладает свойством аддитивности, т. е. алгебраическая
сумма удельных энтропий отдельных тел, входящих в термодинами-
сескую систему, равна удельной энтропии термодинамической си-
чтемы в целом.
Поскольку в технической термодинамике необходимо знать толь-
ко изменение удельной энтропии в том или ином процессе, некото-
рому ее определенному состоянию (например, Т — О К) условно
приписывают значение, равное нулю. Тогда изменение удельной эн-
тропии в ходе процесса
As = s2 — si — J 6g/7. (1.23)
i
1.5. Термодинамический процесс
и его энергетические характеристики
Выше отмечалось, что любое значение состояния рабочего тела, ко-
торое происходит в результате его энергетического взаимодействия
с окружающей средой, представляет собой термодинамический про-
цесс. В общем случае энергообмен в термодинамическом процессе
может осуществляться посредством работы либо теплоты. Так, про-
цесс, который протекает без совершения механической работы (L —
= 0), называется изохорным, а процесс, который осуществляется
без теплообмена (Q = 0),— адиабатным.
В частных случаях процесс характеризуется постоянством i а-
кого-либо параметра состояния, например объема (изохорный про-
цесс), давления (изобарный) и т. д. Процесс может протекать и при
одновременном постоянстве двух параметров (например, процессы
фазовых превращений, как правило, протекают при постоянных
температуре и давлении).
Следовательно, работа и теплота являются энергетическими ха-
рактеристиками термодинамического процесса. С математической
точки зрения это означает, что элементарные величины 6L и 6Q не
являются полными дифференциалами, а представляют собой лишь
бесконечно малые величины.
20
Таким образом, вне термодинамического процесса понятия ра-
боты и теплоты не имеют смысла, состоянию рабочего тела или сис-
темы не соответствует какое-либо значение L или Q. Поэтому нель-
зя говорить, что рабочее тело «содержит» какое-то количество теп-
лоты или работы.
Для определения энергетического взаимодействия в механике
используется выражение
dWl = pidxit (1.24)
где W{ — количественная мера различных форм энергетического
взаимодействия; pi — потенциал данного взаимодействия; хл —
координата состояния, соответствующая данной форме взаимодей-
ствия.
Это выражение по своей структуре и физическому смыслу отра-
жает общность природы различных форм энергетического взаимо-
действия и показывает, что количество передаваемой энергии (ра-
бота) определяется произведением двух величин, одна из которых
является движущей силой процесса (потенциалом), а другая — ко-
ординатой состояния, изменение которой характеризует данную
форму взаимодействия. Так, механическая работа против внешних
сил, связанная с изменением объема, определяется выражением
6L = (1.25)
а удельная работа, т. е. работа, отнесенная к 1 кг вещества,— вы-
ражением
6/ - p'dv, (1.26)
где р' — абсолютное давление (потенциал механического взаимо-
действия), отнесенное к давлению внешней среды; v — удельный
объем (координата механического взаимодействия).
При равновесном процессе давление р' в каждый момент време-
ни должно быть равно давлению рабочего тела р; тогда выражение
(1.26) примет вид
U = pdv, (1.27)
а для конечного процесса, при котором объем изменяется от до
t»2, общее выражение удельной термодинамической работы следует
записать так-
l = ^pdv. (1.28)
t'l
В общем случае давление р — величина переменная, зависящая
<и о. Для определения интеграла (1.28) должна быть известна за-
г.псимость между р и v в данном процессе, т. е. надо знать уравне-
ние процесса р — f (v). Графически эта зависимость может быть
и юбражена в р — ^-координатах кривой /-2 (рис. 1.4).
Очевидно, численно удельная работа будет зависеть от
характера кривой процесса и изображается в р — и-координатах
площадью, ограниченной кривой процесса, двумя ординатами и
21
осью абсцисс, т. е.
I = f pdv = пл. 12v2v11.
v\
Из выражения (1.28) следует: удельная работа I имеет тот же
знак, что и дифференциал dv, так как абсолютное давление р — ве-
личина всегда положительная. Стало быть, удельная работа расши-
рения (dv > 0) имеет положительный знак, а удельная работа сжа-
тия (dv < 0) — отрицательный.
Следует обратить внимание на то, что выражение (1.28) относит-
ся к равновесным процессам, когда р — р', а изменение объема
происходит настолько медленно, что внутри рабочего тела не воз-
никает никаких местных различий в давлении, плотности и темпе-
ратуре. В реальных необратимых процессах изменения объема рабо-
чего тела, сопровождающихся также трением, завихрением и про-
исходящими с конечной скоростью, часть работы расходуется на
преодоление этих сопротивлений; поэтому эффективная удельная
работа будет меньше теоретической, т. е.
Aieo6p ^обр»
Определение количества теплоты. Количественную меру терми-
ческого (теплового) взаимодействия рабочего тела с окружающей
средой (количество теплоты) можно определить разными спосо-
бами.
На основании (1.22) получаем выражение элементарного коли-
чества теплоты
6Q = 7VZS, (1.29)
а на основании (1.22а) — выражение удельного количества теплоты
67 = Tds, (1.29а)
Отсюда следует, что общее выражение энергетического взаимо-
действия (1.24) действительно и для случая теплового взаимодей-
ствия; при этом потенциалом теплового взаимодействия является
Рис. 1.4. Графическое изобра-
жение удельной работы в р —
и-координатах
Рис. 1.5. Графическое изо-
бражение удельного количест-
ва теплоты в Т — s-коорди*
натах
22
абсолютная температура 7, а координатой теплового взаимодей-
ствия —- удельная энтропия s. Обращаем внимание на то, что как и
для работы, когда изменение объема отражает механическое взаико-
действие рабочего тела с окружающей средой, так и при теплообме-
не изменение энтропии указывает на тепловое взаимодействие ра-
бочего тела с окружающей средой и определяет значение и знак теп-
лоты.
Поскольку абсолютная температура Т — величина всегда поло-
жительная, знак теплоты определяется только знаком изменения
энтропии. Процесс увеличения удельной энтропии (ds> 0) озна-
чает подвод теплоты к рабочему телу (знак теплоты — отрицатель-
ный).
Для конечного процесса, в котором удельная энетропия изме-
няется от Si до s2, общее выражение удельного количества теплоты
имеет вид
$2
q = ^Tds. (1.30)
St
Так как в общем случае температура является величиной пере-
менной, то для вычисления интеграла (1.30) в каждом конкретном
процессе должна быть известна зависимость между удельной энтро-
пией s и температурой Т, т. е. надо знать уравнение процесса в
Т — s-координатах (кривая 1-2 на рис. 1.5).
Подобно тому, как на р — ^-диаграмме, площадь, ограниченная
кривой процесса и осью абсцисс, изображает удельную работу, на
Т — s-диаграмме площадь, ограниченная кривой процесса и осью
абсцисс, представляет собой удельное количество теплоты, фигури-
рующей в процессе, т. е.
S2
q = j Tds = пл. 12s2sy1.
Si
To обстоятельство, что энтропия не поддается непосредственно-
му измерению, требует определения количества теплоты без исполь-
зования понятия энтропии. Тем более, что исторически количество
теплоты определялось на основе понятия теплоемкости.
Известно, что подвод теплоты к рабочему телу или отвод теплоты
от него в каком-либо процессе X сопровождается изменением его со-
стояния, а в общем случае — изменением температуры. Отношение
количества теплоты 6QX, фигурирующей в процессе X, к изменению
температуры dt называется теплоемкостью тела в этом процессе
Сх — 8Qx/dT = 8Qx/dt. (1.31)
Тогда общее выражение количества теплоты через теплоемкость
(подробнее см. п. 1.7) примет вид
8Qx = Cxdt, (1.31а)
или
Qx = ^cxdt. (1.32)
23
1.6. Первый закон термодинамики
Диалектический материализм учит, что движение неотделимо от
материи и является формой ее существования. Мерой движения ма-
терии служит энергия. Следовательно, различным формам движения
материи соответствуют разные виды энергии.
Согласно закону сохранения энергии она не может быть ни со-
здана, ни уничтожена, а может только преобразовываться из одно-
го вида в другой в различных физических и химических процессах.
В открытии этого закона большую роль сыграли работы
М. В. Ломоносова (1745 г.), который, исходя из молекулярно-кине-
тических представлений, отверг господствующую в то время мета-
физическую теорию теплорода и впервые сформулировал в терми-
нах того времени всеобщий принцип сохранения материи и энергии.
Вслед за М. В. Ломоносовым обоснованием и развитием закона
сохранения и превращения энергии занимались Б. Румфорд
(1797 г.), Г. Дэви (1798 г.), Д-П. Джоуль (1843 г.), Ю.-Р. Майер
(1842 г.) и Э. X. Ленц (1844 г.), которые шли по пути установления
эквивалентности разных видов энергии.
Следует отметить глубокий анализ закона сохранения энергии,
проведенный Ф. Энгельсом, который указал, что этот закон — абсо-
лютный закон природы. В. И. Ленин назвал закон сохранения и
превращения энергии установлением основных положений мате-
риализма.
Современная наука в значительной мере расширила понятие
энергии, установив взаимосвязь между двумя качественно различ-
ными характеристиками материи — энергией и массой тела.
В термодинамических процессах изменения состояния рабочих
тел последние могут получать от внешней среды или, наоборот, от-
давать ей энергию в форме теплоты Q и в форме работы L, в резуль-
тате чего энергия будет изменяться численно на ДЕ. Тогда, следуя
закону сохранения энергии, с учетом знаков теплоты и работы (при
одинаково направленных потоках теплоты и работы знаки их про-
тивоположны) уравнение энергического баланса примет вид
Q + (-L) = bE>
или
Q = ДЕ +L. (1.33)
Записанный в таком виде общий принцип сохранения энергии
в термодинамическом процессе называется математическим выра-
жением первого закона термодинамики, которому можно дать сле-
дующую формулировку: в термодинамическом процессе подведен-
ная теплота в общем случае расходуется на изменение его энергии и
совершение внешней работы.
В общем случае изменения полной энергии рабочего тела сог-
ласно (1.1) имеем
ДЕ Д(7 mAw*!2 + mgkz.
24
Тогда выражение первого закона термодинами-
ки можно записать так:
Q = Д(7 + тД^2/2 + mgkz + L, (1.34)
или для 1 кг рабочего тела
q = Аи + Д^2/2 + g&z + /. (1.34а)
Если рабочее тело как целое не движется (его
центр тяжести неподвижен), а потенциальной энер-
гией внешнего поля сил можно пренебречь, то со-
гласно (1.1) полная энергия рабочего тела будет
состоять только из его внутренней энергии Д£ =
— Д£7. Следовательно,
Рис. 1.6. Схема
энергетического
баланса в тер-
мод и н ам и чес ком
процессе
Q = \U + L. (1.35)
Для 1 кг рабочего тела выражение первого закона термодинами-
ки примет вид
q = \и + /, (1.35а)
или в дифференциальной форме
= + (1.36
Уравнение первого закона термодинамики можно представить
в виде схемы энергетического баланса в термодинамическом про-
цессе (рис. 1.6).
Следует обратить внимание на то, что хотя величины, входящие
в уравнение первого закона термодинамики, — внутренняя энер-
гия, работа и количество теплоты — выражаются в одних и тех же
единицах, физические понятия, определяющие эти величины, глу-
боко различны. Как уже указывалось выше, внутренняя энергия
представляет собой энергию, накопленную рабочим телом (систе-
мой),— запас энергии, а работа и теплота характеризуют энергию,
которая сообщается рабочему телу или отнимается от него в каком-
либо процессе.
Поэтому внутренняя энергия, будучи функцией состояния рабо-
чего тела, является параметром состояния, a du — полным диффе-
ренциалом; 6/, 6q — только бесконечно малые величины, завися-
щие от пути протекания процесса (функции процесса).
Для кругового процесса выражение первого закона термоди-
намики имеет вид
(£ du + 81,
или с учетом равенства (1.19)
(|)6<7 = (|) 6/. (1.37)
Из последнего равенства следует, что работа в круговом процес-
се может совершаться только за счет затраченного извне опреде-
ленного количества теплоты. Если бы оказалось, что
ю можно было бы создать вечный двигатель первого рода, т. е.
25
двигатель, совершающий работу без затраты энергии. В связи с этим
первый закон термодинамики часто формулируется так: вечный дви-
гатель первого рода невозможен.
Математическое выражение первого закона термодинамики име-
ет две формы записи. Первая форма получается из исходного урав-
нения (1.36) с учетом выражения (1.27):
Sq = du + pdv, (1.38)
вторая форма — исходя из понятия удельной энтальпии (1.20):
h = и + pv, или dh = d (и 4* pv) = du 4- pdv 4- vdp.
С учетом уравнения (1.38)
dh = §q 4- vdp,
откуда вторая форма аналитической записи первого закона термо-
динамики примет вид
ftq — dh — vdp. (1.39)
Если объединить уравнения (1.38) и (1.39) с выражением (1.29а),
го получим
Tds = du 4~ pdv = dh — vdp. (1.40)
Последнее уравнение называется основным уравнением термоди-
намики, или термодинамическим тождеством.
Для необратимых процессов, связанных, например, с трением
или с завихрением (внутренние необратимые процессы), уравнения
первого закона термодинамики несколько видоизменяются. Как по-
казано выше, в необратимых процессах эффективная удельная ра-
бота всегда уменьшается:
6/' = pdv — б/тр;
при этом удельная работа на преодоление сопротивления 6/тр пре-
вращается в эквивалентное удельное количество теплоты 6/тр = 6дтр.
Тогда уравнение первого закона термодинамики для необратимых
процессов примет вид
bq = du 4- 6/' = du 4- pdv — 6/тр,
или
8q 4- 6</тр = du 4~ pdv = dh — vdp. (1.41)
С помощью уравнений (1.38) и (1.40) из уравнения состояния
можно выделить полные дифференциалы du, dh и ds при любом из-
менении двух из трех основных параметров (р, v, Т), г также полу-
чить разные соотношения между частными производными, которые
носят название дифференциальных уравнений термодинамики. Вы-
вод этих уравнений и использование их на практике рассмотре-
ны в [1, 2].
1.7. Теплоемкость
Классификация теплоемкости. Как уже отмечалось, теплоемкостью
рабочего тела называется отношение количества теплоты в каком-
либо процессе к изменению температуры [см. (1.31)1. Теплоемкость
26
рабочего тела, соответствующая бесконечно малому изменению его
температуры, называется истинной теплоемкостью рабочего тела:
Сх = SQxIdT = &Qx/dt.
Теплоемкость рабочего тела, соответствующая конечному изме-
нению его температуры, называется средней теплоемкостью рабо-
чего тела:
Схт = Qx/(t2 - /х). (1.42)
В зависимости от выбранной единицы количества вещества раз-
личают теплоемкости:
удельную, отнесенную к 1 кг вещества: Сх, кДж/(кг • К);
объемную, отнесенную к 1 м3 вещества при нормальных усло-
виях [температуре 273,15 К (О °C) и давлении 101,325 кПа
(760 мм рт. ст.)]: c'Xi кДж/(м3 • К);
молярную, отнесенную к 1 кмоль вещества: [icXf кДж/(кмоль х
X К).
Эти теплоемкости связаны между собой очевидными соотноше-
ниями
сх = Wx/p = cxv, с'х = liCx/22^ = схр. (1-43)
Из определения теплоемкости следует, что одно и то же вещест-
во может иметь множество теплоемкостей в зависимости от вида про-
цесса, так как количество теплоты является функцией процесса.
В общем случае теплоемкость газа может изменяться от нуля при
Qx = 0 (адиабатный процесс) до ±оо при t — const (изотермиче-
ский процесс). Кроме того, теплоемкость может иметь отрицатель-
ное значение, когда знаки теплоты и. изменения температуры раз-
личны.
Особый интерес представляют теплоемкость в процессе при по-
стоянном объеме cv (изохорная теплоемкость, равная отношению
удельного количества теплоты в изохорном процессе bqv к изме-
нению температуры рабочего тела dT):
cv = 8qv/dT (1.44)
и теплоемкость в процессе при постоянном давлении ср (изобарная
теплоемкость, равная отношению удельного количества теплоты
в изобарном процессе §qp к изменению температуры рабочего те-
ла dT):
cp = bqpldT. (1.45)
Таким образом, теплоемкости различаются в зависимости от
единицы количества вещества (удельные, объемные и молярные) и в
зависимости от характеристики процесса (изохорные и изобарные).
Эту их классификацию иллюстрирует рис. 1.7.
Теплоемкость, как и теплота, является функцией термодинами-
ческого процесса и не может служить параметром состояния. Меж-
ду тем, первый закон термодинамики позволяет установить связь
между теплоемкостью и термодинамическими параметрами. С уче-
том уравнения (1.18) первый закон термодинамики имеет вид
bq = (du/dT)v dT + {(du!dv)T + р] dv. (1.46)
27
Рис. 1.7. Классификация теплоемкостей
Поскольку для 1 кг вещества сх = Sq/dT (или Sq =cxdT), по-
лучим выражение удельной теплоемкости в любом процессе
сх = (ди/дТ^ 4- [(ди1дс)т + Р] dv/dT. (1.47)
Для изохорного процесса (v = const, dv = 0) выражение (1.47)
примет вид
cv = (du/dT)v. (1-48)
Для изобарного процесса (р = const) на основании (1.47) и
(1.48) получаем выражение изобарной теплоемкости любого веще-
ства
Ср = cv + \(du/dv)T + р] (dv/dT)p. (1.49)
Выражения (1.47) ... (1.49) позволяют рассчитывать все теплофи-
зические характеристики вещества по экспериментальным данным
лишь некоторых его параметров.
В случае идеального газа его внутренняя энергия не зависит от
объема; поэтому (du/dv)r = 0 и, пользуясь уравнением состояния
pv ~ RT, находим
(dv/dT)p = (RT/p)p = R/p.
При этом выражение (1.49), устанавливающее связь между изо-
барной и изохорной теплоемкостями идеального газа, примет вид
ср = cv + R, или
Ср — cv = R. (1.50)
Это соотношение имеет важное значение в теории теплоемкости и
носит название уравнения Майера.
Умножив левую и правую части уравнения (1.50) на р,, получим
связь между молярными теплоемкостями:
1^Ср — = [iR = 8,314 кДж/(кмоль • К) (1.51)
28
Из уравнения (1.50) следует, что изобарная теплоемкость боль-
ше изохорной на значение удельной газовой постоянной. Это объ-
ясняется тем. что в изохорном процессе (v = const) внешняя рабо-
та не выполняется и теплота расходуется только на изменение внут-
ренней энергии рабочего тела, тогда как в изобарном процессе (р ™
= const) теплота расходуется не только на изменение внутренней
энергии рабочего тела, зависящей от его температуры, но и на совер-
шение им внешней работы.
Для реальных газов ср — cv> R, так как при их расширении
и р — const совершается работа не только против внешних сил, но
и внутренняя работа против сил взаимодействия между молекулами
газа, на что дополнительно расходуется теплота.
В теплотехнике широко применяется отношение теплоемкостей
pcp/(|LwJ = cp/cv = k, (1.52;
которое носит название коэффициента Пуассона (показателя
адиабаты).
Зависимость теплоемкости от температуры. Из физики известно,
что молекулярно-кинетическая теория теплоемкости устанавливает
значение теплоемкости идеального газа только в зависимости от его
атомности (степеней свободы). В основе этой теории лежит закон о
равномерном распределении внутренней энергии по степеням свобо-
ды поступательного и вращательного движений молекул. Поэтому
удельная внутренняя энергия одного моля идеального газа про-
порциональна числу степеней свободы и определяется выражением
uvl = [iRTi/2, (1.53)
где /' — число степеней свободы молекулы: для одноатомного газа
i --3 (три составляющие поступательного движения); для двух-
атомного газа i — 5 (три составляющие поступательного движения и
две вращательного); для трех- и многоатомного газов i — 6 (три со-
ставляющие поступательного движения и столько же вращатель-
ного).
Так как согласно (1.47) ficv ~ duJdT, то, использовав зависи-
мость (1.53), получим выражение молярной изохорной теплоемкости
pep = d (yRTl2i)/dT = (1.54)
а с учетом (1.51) — выражение молярной изобарной теплоемкости
2)/2, (1.55)
Выражения (1.54) и (1.55) показывают, что молярные теплоем-
кости зависят только от числа степеней свободы и для данного газа
имеют постоянные значения. Вычисленные по этим формулам зна-
чения молярных'теплоемкостей (табл. 1.1) хорошо согласуются с
действительными лишь для одноатомных и частично для двухатом-
ных газов.
Значительные расхождения наблюдаются для трех- и многоатом-
ных газов, особенно при высоких температурах (см. табл. 1.2). Та-
кое расхождение объясняется тем, что у многоатомных газов при
29
повышенных температурах возникают колебательные движения
агомов в молекуле (дополнительные степени свободы), на что также
расходуется энергия и теплоемкость увеличивается. Поэтому полу-
ченные выше (на основании молекулярно-кинетической теории га-
зов) значения постоянных теплоемкостей можно рекомендовать
лишь для приближенных расчетов.
Квантовая теория теплоемкости учитывает энергию колебатель-
ного движения атомов в молекуле и устанавливает зависимость
Таблица 1.1,
Молярная теплоемкость, кДж кмоль•К
Газ МА,- цср
Одноатомный 12,5
Двухатомный 20,8
Трех- и многоатомный 29,1
20,8
29,1
37,4
теплоемкости многоатомных газов от температуры. В общем случае
эта зависимость описывается степенным полиномом
Сх — а bt -р ct^ -р • • •
В технических расчетах обычно принимают линейную зависи-
мость теплоемкости от температуры:
Сх = а + bt.
(1.56)
Рис. 1.8. Зависимость теплоем-
кости от температуры
Графически эта зависимость показана на рис. 1.8. Поскольку
каждой температуре соответствует своя теплоемкость, для вычисле-
ния количества теплоты, которая изображена на рис. 1.8 заштри-
хованной площадью, вводят понятие средней теплоемкости Схт\*{
для определенного интервала температур от ty до /2. Тогда схт мож-
но рассматривать как высоту прямоугольника t1l,2,t2i имеющего
основание t2tA и площадь, равную
площади 1А1212. Следовательно,
= . (1.57)
При бесконечно малом изменении
температуры отношение
cx = ^qx/dt (1.58)
определяет теплоемкость при > данной
температуре и называется истинной
теплоемкостью.
Численные значения теплоемко-
стей широко используются при опре-
делении количества теплоты в тер-
80
модинамических процессах и вычислении калорических параметров
состояния.
Исходя из понятия истинной теплоемкости можно получить вы-
ражения для определения удельного количества теплоты в термоди-
намическом процессе
bqX = cxdt, (1 59)
или
/2
qx = $cxdt. (1.60)
6
Это же количество теплоты можно подсчитать, зная среднюю
теплоемкость в интервале температур от до /2:
qx = сХт \t\ (i2 — (J. (1.61)
Из выражений (1.60) и (1.61) следует, что для определения
удельного количества теплоты необходимо знать зависимость ис-
тинной теплоемкости от температуры сх = f (/) или среднюю тепло-
емкость схт в заданном интервале температур от /2 до В первом
случае под знак интеграла подставляется одна из интерполяцион-
ных зависимостей теплоемкости от температуры [вида (1.56)], кото-
рые приводятся в справочной литературе. Однако интегрирование
такого выражения весьма трудоемко и выполняется редко. Во втором
случае должны быть известны средние теплоемкости для каждого
интервала температур.
Поскольку составить таблицы значений схт для всех возможных
интервалов температур практически невозможно, для определения
удельного количества теплоты пользуются выражением, которое
может быть получено с использованием известного преобразования
1% /2 /,
qx = j cxdt = J cxdt — J cxdt.
/,0 0
Однако
/2 /,
J Cxdt — Cxm |o t2, J Cxdt = Cxtn |o
о 0
Тогда окончательно
Qx ~ Cxm t2 CXm |o* (1.62)
В зависимости от того, в каких единицах выражается количест-
во вещества, фигурирующего в процессе, в выражение (1.62) сле-
дует подставлять соответствующую теплоемкость [удельную схт,
кДж/(кг • К) или объемную с'Хт, кДж/(м3 • К)].
Если в термодинамическом процессе при нормальных условиях
используется т (кг) или v (м8) газа, то
Q = m (СХт |о t2 — схт \б' Q, (1-63)
или
Q — (Схт I) t2 — СХт |о’ ^i)« (1.64)
31
3h( псримептальные значения средних теплоемкостей схт раз-
ньг нЕюв, зависящих только от температуры, приводятся в табли-
цах. Примером такой таблицы служит табл. 1.2, в которой помещены
значения средней молярной изобарной теплоемкости газов в интер-
вале температур t = 0...1000 °C.
Пользуясь табличными данными теплоемкостей, можно найти
значение теплоемкости Схт\^- Для этого на основании (1.57) и (1.62)
имеем
Схт |л = (Схт |о t2 ~ СХт |о ~ *1)- (1.65)
Теплоемкость газовой смеси. Определение теплоемкости газовой
смеси основывается на уравнении теплового баланса, согласно ко-
Таблица 1.2
1ЛСр, кДж/(кмоль • К)
Н2 N? О2 Воздух СО2 нго СО
0 28,62 29,12 21,27 29,07 35,86 33,50 29,12
100 28,93 29,14 29,54 29,15 38,11 33,74 29,18
200 29,07 29,23 29,93 29,30 40,06 34,12 29,30
300 29,12 29,38 30,40 29,52 41,76 34,58 29,52
400 29,19 29,60 30,88 29,79 43,52 35,09 29,79
500 29,25 29,86 31,33 30,10 44,57 35,63 30,10
600 29,32 30,15 31,76 30,41 45,75 36,20 30,42
700 29,41 30,45 32,15 30,72 46,81 36,79 30,75
800 29,52 30,75 32,50 31,03 47,76 37,39 31,07
900 29,65 31,04 32,83 31,32 48,62 38,01 31,38
1000 29,79 31,31 33,12 31,60 49,40 38,62 31,67
тор ому теплота, подведенная к смеси, равна сумме теплот, подве-
денных к ее'компонеитам.
Для массового состава смеси
«смСхсмД^ = 2 (miCxi) А/. (1.66)
откуда удельная теплоемкость смеси
Схем = ^cxi. (1-67)
Для объемного состава смеси
^см^ХсмА^ ~ (pXiCXi)
откуда объемная теплоемкость смеси
Схем = (1.68)
Для молярного состава смеси аналогично (1.68) имеем следую-
щее выражение молярной теплоемкости смеси:
Н^Хсм =
(1.69)
где exo сХ[9 [icxi — соответственно удельные, объемные и молярные
теплоемкости отдельных компонентов смеси.
32
1.8. Второй закон термодинамики
Сущность и основные формулировки второго закона термодинамики.
Если исходить из первого закона термодинамики, то можно до-
пустить протекание любого процесса, который не противоречит за-
кону сохранения энергии. В частности, при теплообмене можно бы-
ло бы предположить, что теплота может передаваться как от тела
с большей температурой к телу с меньшей температурой, так и на-
оборот. При этом согласно первому закону термодинамики накла-
дывается только одно условие: чтобы количество теплоты, отдан-
ной одним телом, равнялось количеству теплоты, принятой другим
телом.
Между тем, из опыта известно, что теплота всегда самопроиз-
вольно передается только от более нагретых тел к менее нагретым,
т. е. самопроизвольный или естественный процесс теплообмена обла-
дает свойством направленности в сторону тел с более низкой тем-
пературой, причем он прекращается при достижении равенства
температур участвующих в теплообмене тел.
Однако возможен и обратный, несамонроизвольный (или про-
тивоестественный) процесс передачи теплоты от менее нагретых
тел к более нагретым (например, в холодильных установках), но для
осуществления его требуется подвод энергии извне как бы для ком-
пенсации протекания процесса.
Констатация этой особенности теплоты, проявляющейся в про-
цессе ее передачи, является одной из сторон сущности второго за-
кона термодинамики, который Р. Клаузиус (1850 г.) сформулировал
так: теплота не может сама собой переходить от менее нагретого
тела к более нагретому, т. е. некомпенсированный переход теплоты
от тела с меньшей температурой невозможен.
Еще одна особенность теплоты наиболее ярко раскрывается при
рассмотрении процесса перобразования ее в работу. Опыт показы-
вает, что работа может быть полностью превращена в теплоту (на-
пример, посредством трения) без каких-либо дополнительных усло-
вий или компенсации. Обратное же превращение теплоты в работу
требует дополнительного самопроизвольного процесса или компен-
сации.
Действительно, для получения работы из теплоты в тепловых
двигателях в практически необходимых количествах требуется пе-
риодически повторять процесс расширения 1-т-2 (рис. 1,9, п), т. е.
возвращать рабочее тело в начальное состояние, что может быть
осуществлено в процессе сжатия 2-п-1 с затратой некоторой удель-
ной работы /2. Если удельная работа расширения /А больше удель-
ной работы сжатия /2, то выполняется удельная полезная работа /0,
которая соответствует площади, ограниченной замкнутой кривой
обоих процессов. Как отмечено ранее, такой замкнутый процесс на-
зывается круговым процессом, или циклом.
Если этот произвольный цикл изобразить на Т — s-диаграмме
(рис. 1.9, б), то процесс расширения рабочего тела с подводом удель-
ной теплоты qY (процесс п-1-т) будет сопровождаться увеличением
3 9-2570
33
Рис. 1.9. Прямой круговой процесс в р — и-
и Т — s-координатах
удельной энтропии. Процесс возвращения рабочего тела в началь-
ное состояние по ходу часовой стрелки (процесс m-2-ri) сопровож-
дается уменьшением удельной энтропии, т. е. отводом удельной теп-
лоты q2.
Следовательно, для осуществления кругового процесса, который
положен в основу работы тепловых двигателей, требуется наряду
с подводом к рабочему телу удельной теплоты qt от теплоотдатчиков
отводить удельную теплоту q2 ктеплоприемникам, т. е. необходимо
иметь разность температур для осуществления дополнительного са-
мопроизвольного процесса перехода части теплоты к теплоприем-
никам. Поэтому только часть удельной затрачиваемой теплоты q0 =
= — q2 полезно используется для получения удельной работы
/0, которая согласно (1.37) равна^0.
Отношение удельной полезной работы /0, полученной в цикле, к
удельной теплоте qlt подведенной к рабочему телу за цикл (затра-
ченной), называется термическим к. п. д. цикла:
Пг = Zoz7i =<7o/<7i = (9i~ <7г)/71 = 1 — 9г/91< 1- (1-70)
Таким образом, в круговых процессах невозможно полностью
преобразовать удельную подведенную теплоту в работу; часть
удельной теплоты q2 неизбежно должна быть отдана теплоприемни-
кам. Для дальнейшего преобразования в работу она считается по-
терянной; поэтому термический к. п. д. любого теоретического цик-
ла всегда меньше единицы.
Эти выводы составляют сущность второго закона термодинами-
ки, который С. Карно (1824 г.) сформулировал так: для получения
из теплоты работы необходимо иметь разность температур.
М. Планк (1897 г.) изложил второй закон в следующей формулиров-
ке: нельзя построить периодически действующую машину (двига-
тель), единственным результатом которой было бы охлаждение ис-
точника теплоты и поднятие груза (выполнение работы), т. е. необхо-
димо еще дополнительно отдавать теплоту теплоприемнику.
Круговой процесс, или цикл, можно осуществить и в обратном
направлении (против хода часовой стрелки), как показано на
рис. 1.10, а. В этом случае удельная работа сжатия 1г на участке
34
2-т-1 будет больше удельной работы расширения Z2 на участке 1-п-2
на значение 10 = 1Х 12, определяемое замкнутой кривой цикла
l-n-2-m-l. Поскольку удельная работа сжатия 1г численно больше
/2 и имеет отрицательный знак, значение /0 будет отрицательным (ра-
бота затрачивается извне).
Рассматривая этот же цикл на Т — s-диаграмме (рис. 1.10, б),
видим, что на участке 1-п-2 удельная теплота q2 должна подводить-
ся к рабочему телу от источников с более низкой температурой, а на
участке 2-т-1 отводиться в количестве qr к другим телам, имеющим
более высокую температуру. Так передается теплота с низшего тем-
пературного уровня на высший и происходит охлаждение тел, ко-
торое обязательно сопровождается затратой (компенсацией) извне
некоторой удельной работы /0 и превращением ее в удельную теп-
лоту qQ. При этом удельная теплота, передаваемая на более высокий
температурный уровень, определяется выражением
<71 = + По-
следовательно, передача теплоты от менее нагретых тел к более
нагретым, как это следует из формулировки второго закона по Кла-
узиусу, требует затраты энергии (не может совершаться даром, без
компенсации).
Эффективность обратного цикла, по которому работают холо-
дильные машины, оценивается холодильным коэффициентом е, пред-
ставляющим собой отношение полезного эффекта q2 (удельного ко-
личества теплоты, отбираемой от охлаждаемой среды) к удельной
работе (энергии) /0:
е = q2H0 = — q2)- (1-71)
Тепловой двигатель, работающий только с одним теплоотдатчи-
ком, называется вечным двигателем второго рода. Тогда второй за-
кон термодинамики можно сформулировать и так: вечный двигатель
второго рода невозможен. В самом деле, если допустить создание
двигателя, который работал бы только за счет охлаждения тепло-
отдатчика, то, используя запасы внутренней энергии атмосферы или
Рис. 1.10. Обратный круговой процесс в р — и- и
Т — s-координатах
3*
35
: o'n.i (»kr;in;i, можно было бы получить практически неограниченное
i о.iH'icciBo «даровой» энергии, т. е. вечный двигатель (расчеты по-
дмывают, что при использовании теплоты воды океана всеми энер-
!етпческими установками земного шара охладило бы океан лишь на
6,01 °C за 1700 лет). Воздух атмосферы и вода бассейнов использу-
ются только в качестве теплоприемников, а теплоотдатчики созда-
ются искусственно за счет сгорания топлива или ядерных реакций.
Таким образом, преобразование теплоты в работу без протека-
ния дополнительного самопроизвольного процесса (например, рас-
ширения рабочего тела при разомкнутом процессе или перехода
теплоты от тел с большей температурой к телам с меньшей темпера-
турой при круговом процессе), т. е. без компенсации, невозможно.
Приведенные формулировки второго закона термодинамики, от-
ражающие специфическую особенность теплоты, проявляющуюся
при ее превращении, являются эквивалентными. Действительно,
если допустить возможность самопроизвольного перехода теплоты
от холодного источника к горячему, то последнему можно вернуть
неиспользованную теплоту, и горячий источник расходовал бы все-
го удельной теплоты qQ — Ц, т. е. вся теплота, отнятая от теплоот-
датчика, была бы превращена в круговом процессе в работу. По это
противоречило бы другим формулировкам второго закона. Следует
еще раз подчеркнуть, что все формулировки второго закона термо-
динамики являются следствием наблюдений, т. е. второй закон, как
и первый, является экспериментальным.
В наиболее общем виде второму закону термодинамики можно
дать такое толкование: все известные в природе и технике физиче-
ские процессы можно разделить на самопроизвольные, или естест-
венные, которые всегда протекают в определенном направлении от
более высокого потенциала к более низкому (передача теплоты ст
горячих тел к холодным, расширение и смешение газов, превраще-
ние работы в теплоту) и не требуют какой-либо компенсации, и
несамопроизволъные, или противоестественные (передача теплоты от
холодных тел к более нагретым в холодильных установках, сжатие
и разделение газов, превращение теплоты в работу), требующие для
их осуществления дополнительной самопроизвольной компенсации.
Характерной особенностью самопроизвольных процессов явля-
ется то, что после их завершения в окружающей среде обязательно
произойдут какие-либо остаточные изменения. Следовательно, са-
мопроизвольные (естественные) процессы являются необратимыми.
Любой самопроизвольный процесс с помощью соответствующих уст-
ройств можно применить для получения работы. Например, исполь-
зуя естественное течение воды сверху вниз, с помощью гидротур-
бины можно вырабатывать электроэнергию, а используя естествен-
ный переход теплоты от горячего тела к холодному, посредством
теплового двигателя можно выполнять механическую работу.
Определенная направленность самопроизвольных физических
прог е сов и их необратимость объясняются стремлением системы
переши от неравновесного состояния к равновесному как наиболее
устойчивому.
36
Односторонность тепловых процессов поясняется молекуляр-
но-кинетической теорией вещества. Энергия, которая передается в
процессе энергообмена с помощью теплоты, обусловлена особым ви-
дом движения — хаотическим движением атомов и молекул, тогда
как остальные виды энергии связаны с направленным, упорядочен-
ным движением структурных частиц. Однако упорядоченное дви-
жение легко может стать хаотическим как наиболее вероятным и,
наоборот, упорядочение хаотического движения затруднительно.
Математическое выражение второго закона термодинамики. Что-
бы физические закономерности выразить в аналитической форме,
нужно устансвить математические соотношения между физически-
ми величинами, в частности между параметрами состояния и функ-
циями процесса. Так, для первого закона термодинамики это уда-
лось сделать благодаря введению понятия внутренней энергии в со-
четании с характеристиками процесса — теплотой и работой. Здесь
же, чтобы количественно выразить принцип необратимости, был
введен параметр состояния, который Р. Клаузиус назвал энтропией.
Аналитическое выражение (1.22), с помощью которого энтропия
была записана как калорический параметр состояния, качественно
связывает ее изменение с количеством теплоты и может служить ма-
тематическим выражением второго закона термодинамики для об-
ратимых термодинамических процессов:
ds^bq/T. (1.72)
Для необратимых термодинамических процессов, в которых
часть удельной работы обязательно превращается в удельную теп-
лоту 6<?тр, с учетом уравнения (1.41) изменение удельной энтропии
^5необр = (&7 + , (1.73)
где — удельная внешняя теплота в процессе.
t Из сравнения (1.72) и (1.73) следует, что в случае необратимых
термодинамических процессов
Я^необр > . (1.74)
Это неравенство называют принципом возрастания энтропии.
Объединив (1.72) и (1.74), получим
ds^ 8q/T, (1.75)
или
2
As > J bq/T, (1.76)
1
т. е. в случае обратимых термодинамических процессов изменение
удельной энтропии равно удельной приведенной теплоте, а в слу-
чае необратимых таких процессов изменение удельной энтропии
больше удельной приведенной теплоты. Выражение (1.75) называ-
ют математическим выражением второго закона термодинамики,
где знак равенства относится к обратимым термодинамическим про-
цессам, а знак неравенства — к необратимым.
37
( jicaoik'iicjibiio, изменение энтропии в необратимых термодина-
мических процессах по сравнению с приведенной теплотой может
служить мерой таких процессов.
Из выражения (1.76) следует, что для кругового процесса
fdq/T^O. (1.77)
Этот интеграл в термодинамике известен как интеграл Клаузиуса.
Здесь температура относится к источникам теплоты, а не к рабоче-
му телу.
Энтропия изолированной системы. Если термодинамические
процессы протекают в адиабатной изолированной системе (69 — 0),
то согласно (1.75)
dsc >0, (1.78)
т. е. удельная энтропия изолированной системы при протекании об-
ратимых термодинамических процессов постоянна (dsc = 0), а
при протекании необратимых таких процессов возрастает (ds >0).
Так как все реальные термодинамические процессы необрати-
мы, то они сопровождаются увеличением удельной энтропии.
Примером проявления энтропии изолированной системы явля-
ется теплообмен между телами при конечной разности температур
(внешняя необратимость). Если в такой системе имеется два тела с
разными температурами (Т} > Т2), то согласно второму закону тер-
модинамики (в формулировке Клаузиуса) самопроизвольный пере-
ход теплоты может происходить только от тела с большей температу-
рой к телу с меньшей температурой. При этом элементарное изме-
нение удельной энтропии первого тела составляет dsL = —bq/Tlt
второго — ds2 = -]-dq/T2. Поскольку энтропия обладает аддитивным
свойством, изменение удельной энтропии системы
dsc = dst + ds2 = — bq/Ti + 8q/T2 = bq (l/7\ — 1 /T2) > 0.
С учетом того что 7\ > T2, из последнего выражения следует,
что удельная энтропия системы, в которой протекает необратимый
теплообмен, будет возрастать (dsc > 0). Это дало возможность
М. Планку сделать следующий вывод: всякий происходящий в при-
роде процесс протекает в таком направлении, в котором сумма энт-
ропии всех принимающих участие в процессе тел увеличивается.
Последнее положение Р. Клаузиус неправильно распространил
на всю Вселенную. Он пришел к выводу о том, что в результате по-
стоянно протекающих в природе необратимых процессов энтропия
Вселенной будет стремиться к максимуму и что в пределе Вселенная
достигнет теплового равновесия, при котором теплота не сможет
больше превращаться в работу. Такое состояние он назвал «тепло-
вой смертью» Вселенной. Это утверждение послужило поводам к
философским спекуляциям и вызвало справедливую критику. Так,
Ф. Энгельс в «Диалектике природы» первый высказал мысль о том,
что «...излученная в мировое пространство теплота должна иметь
возможность каким-то путем... превратиться в другую форму дви-
38
жения, в которой она может снова ... начать активно функциони-
ровать».
Незаконность утверждения Р. Клаузиуса заключается прежде
всего в том, что он бездоказательно перенес выводы об односторон-
ней направленности тепловых процессов в земных условиях на всю
Вселенную. Кроме того, закон возрастания энтропии (1.78) получен
для адиабатно изолированной системы, каковой не является Все-
ленная или какая-либо ее часть.
Максимально полезная работа. Эксергия и анергия. Так как
всякая необратимость приводит к уменьшению полезной работы,
то увеличение энтропии изолированной системы из-за необратимости
протекающих в ней термодинамических процессов может служить
мерой потери максимально полезной работы Lmax, которую могла бы
совершить система при протекании в ней обратимых термодина-
мических процессов. Действительно, при необратимых термодина-
мических процессах потерянная работа самопроизвольно превра-
щается в теплоту, которая также самопроизвольно переходит к те-
лам с более низкой температурой, увеличивая их энтропию (а сле-
довательно, и системы) на значение AS”.
Учтя, что согласно (1.22) теплота равна произведению абсолют-
ной температуры на изменение энтропии, необратимое превращение
работы в теплоту можно записать в виде
ALHeo6p — TobSc, (1.79)
где Tq — низшая температура в изолированной системе (при ана-
лизе термодинамических процессов в качестве такой температуры
принимают температуру окружающей среды); AS”— увеличение
энтропии изолированной системы из-за необратимости протекаю-
щих в ней термодинамических процессов.
Выражение (1.79), характеризующее потерю максимальной ра-
боты (работоспособности) из-за необратимости, носит название урав-
нения Гюи — Стодолы. Тогда фактически полезная работа Lo с
учетом (1.79)
T0-Lmax-r0AS”. (1.79а)
/Максимально возможную работу, которую может совершить си-
стема, состоящая из источника энергии и окружающей среды, на-
зывают эксергией (Ex = Lmax)« Следовательно, выражение (1.79)
представляет собой потери эксергии из-за необратимости протека-
ющих в системе термодинамических процессов.
По смыслу второго закона термодинамики различают виды энер-
гии (механическая, электрическая и др.), которые могут полностью
превращаться в другие ее виды (неограниченно превращаемые виды
энергии), т. е. состоять только из эксергии. Что касается теплоты как
энергии молекулярно-хаотического движения, то она даже теорети-
чески не может быть полностью превращена в работу (неизбежен
отвод части удельной теплоты q2 холодному источнику) и, следова-
тельно, состоит из превращаемой части (эксергии) и непревраща-
емой части, которая получила название анергии. Так, внутренняя
39
... । . hi ,.i r. । поим h < рсды или теплота при температуре окружа-
. .... < Iм 1,1 ||( 51 оьиь превращены в другой вид энергии и состо-
и in 'ii.iui из анергии. Поэтому второму закону термодинамики мож-
но дать и такую формулировку: теплота состоит из эксергии и
анергии.
Понятие эксергии в последнее время широко применяют при ана-
лизе степени термодинамического совершенства отдельных процес-
сов, элементов или установки в целом [см. (1.37)].
Статистический характер второго закона термодинамики. С ис-
пользованием законов статистической физики и теории вероятнос-
тей были рассмотрены системы (тела) как совокупность множества
беспорядочно движущихся частей и установлена взаимосвязь меж-
ду энтропией и так называемой термодинамической вероятностью
(число микросостояний, реализующих данное макросостояние). По-
казано, что наибольшее число возможных микросостояний, опреде-
ляющих данное состояние тела, будет, если молекулы равномерно
распределены по всему его объему. В таких случаях принято гово-
рить о максимальной термодинамической вероятности данного со-
стояния и называть его равновесным.
Протекание самопроизвольных термодинамических процессов
(например, теплообмен между телами) в одном направлении отра-
жает стремление системы перейти от состояний неравновесных,
маловероятных к состояниям равновесным, более вероятным. Этим
и объясняется необратимость самопроизвольных термодинамических
процессов, в результате которых термодинамическая вероятность
состояния системы растет.
В связи с этим Л. Больцман так сформулировал второй закон
термодинамики: все процессы в природе стремятся от состояний ме-
нее вероятных к состояниям более вероятным.
Возрастание энтропии изолированной системы при протекании
необратимых, самопроизвольных термодинамических процессов и
одновременное увеличение термодинамической вероятности дает ос-
нование считать, что энтропия S и термодинамическая вероятность
со — величины взаимосвязанные. Эта связь их выражается следую-
щим уравнением:
S = k In со, (1.80)
где k — постоянная Больцмана.
Таким образом, статистический метод показывает, что энтропия
является мерой вероятности состояния системы и что выводы о воз-
растании энтропии применены лишь для систем, состоящих из боль-
шого количества частиц.
С охлаждением газа до жидкого, а затем твердого состояния по-
рядок в расположении и движении частиц растет; следовательно,
его энтропия уменьшается. На этом основании В. Нернст (1906 г.)
сформулировал «тепловую теорему» — третий закон термодинами-
ки: с приближением температуры тела к абсолютному нулю, ко-
торый практически недостижим, энтропия тела тоже стремится
к нулю.
40
Примеры решения задач
Задача 1.1. Давление в паровом котле по манометру р~ 3 МПа, разреже-
ние в конденсаторе по вакуумметру рвак = 708,2 мм рт. ст. Определить аб-
солютное давление в котле и конденсаторе, если показание барометра рбар =*
в 735 мм рт. ст.
Решение. Абсолютное давление в котле по (1.2)
Рабе Ризб + Рбар 3 + 75Q 3,98 МПа;
абсолютное давление в конденсаторе по (1.3)
Рабс = Рбар ““ РВак = 735 “ 708’2 = 26’8 мм Рт- СТ* = 0,0036 МПа.
Задача 1.2. Какое количество баллонов вместимостью V — 100 л требует-
ся для перевозки т = 200 кг кислорода, если при температуре t = 27 °C дав-
ление газа в баллоне ризб = 16 МПа (по манометру)? Барометрическое давление
Рбар = 760 мм Рт- ст-
Решение. Количество кислорода в одном баллоне согласно уравнению
(1.6)
т = pVKRoT)t
где абсолютное давление кислорода по (1.2)
Р = Ризб + Рбар = 16 • 106 + - 75Г • 106 =161,013. 10° Па.
Объем баллона
У = 100/1000 = 0,1 м3.
Температура газа
Т =/ + 273,15 = 27+ 273,15 = 300,15 К;
удельная газовая постоянная кислорода
= 8314/|ЛО1 = 8314/32 = 259,8 Дж/(кг К).
Тогда
т
161,013 • 10б • 0,1
259,8 . 300,15
= 20,6 кг.
Требуемое количество баллонов
п = 200//П = 200/20,6 = 9,7 « 10 шт.
Задача 1.3. Массовая доля кислорода в сухом атмосферном воздухе gG =
«= 23,2 %, а азота gN* = 76,8 %. Определить среднюю молярную массу и
удельную газовую постоянную воздуха, а также объемные доли и парциальные
давления его компонентов при давлении воздуха р — 10б Па.
Решение. Средняя молярная масса воздуха по (1.13а)
1 /v 1,1 .,/ 0,232 , 0,768 \ QQ ,
Нем = -77- = 1/ -77— +-77-- = 17 ~32“ + ~S8~ = 29 «Г/МОЛЬ.
Рт \ Ро2 Pn2 / \ OZ /
Удельная газовая постоянная воздуха по (1.4)
Яв = 8314/рв == 8314/29 = 287 Дж/(кг • К).
Состав воздуха в объемных долях на основании (1.14)
'О, в £о2Рв/Ро2 = °»232 • 29/32 = 0,21 (или 21 %);
rNe — £n2Pb/Pn8 = 0,768 • 29/28 = 0,79 (или 79 %).
41
Парциальные давления компонентов по (1.15):
^ = ^ = 0,21 . 1 . 10б = 0,21 • 105 Па = 0,021 МПа;
pN2 = = 0,79 . 1 • 105 = 0,79 • 105 Па = 0,079 МПа.
Задача 1.4. Имея начальную температуру — 100 °C, воздух массой т =»
— 5 кг изменяет свое состояние до конечной температуры /2 = 500 °C. Опреде-
лить изменение внутренней энергии воздуха.
Решение. По справочным таблицам находим значения удельной внут-
ренней энергии воздуха при заданных температурах:
= 71,9 кДж/кг; и2 = 375,4 кДж/кг.
Тогда
Дц = и2 — и^ — 375,4 — 71,9 = 295,5 кДж/кг.
Для т = 5 кг получаем
= т\и = 5 • 295,5 = 1477,5 кДж.
Задача 1.5. К рабочему телу, заключенному в цилиндр с подвижным порш-
нем, подводится извне q ~ 1000 кДж/кг теплоты. Выполненная рабочим телом
удельная работа / = 1200 кДж/кг. Определить изменение удельной внутренней
энергии рабочего тела.
Решение. На основании уравнения первого закона термодинамики
(1.35а)
Дм = q — I— 1000 — 1200 = — 200 кДж/кг.
Знак «минус» указывает на то, что удельная внутренняя энергия в про-
цессе уменьшается, т. е. несмотря на подвод теплоты температура рабочего те-
ла падает (тело отдает энергию в виде работы больше, чем получает в виде
теплоты).
Задача 1.6. Сколько необходимо затратить теплоты для нагрева т = 4 кг
воздуха при постоянном давлении от tr — 100 °C до t2 ~ 500 °C? Молярная мас-
са воздуха рв = 29 кг/моль.
Решение: По формуле (1.62)
Чр = срт (о z2 — срт jo1
где
срт =
Из табл. 1.2 находим
Нвсрт |о°° = 29>15 кДжДкмоль • К); fiBcpm |q00 = 30,1 кДж/(кмоль К).
Тогда
срт |о°° = 29-15/29 « 1 кДж/(кг • К);
срт |о°° = 30-1/29 = !>04 кДж/(кг • К).
Удельное количество теплоты для нагрева воздуха в изобарном процессе
qp = 1,04- 500 — 1 • 100 = 420 кДж/кг.
Количество теплоты, необходимое для нагрева т = 4 кг воздуха при по-
стоянном давлении,
Qp = mqp = 4 . 420 = 1680 кДж.
Задача 1.7. Определить термический к. п. д. цикла, если рабочее тело
выполняет за цикл работу Ln = 50 кДж, а количество отведенной теплоты Q2 »»
= 17 кДж.
Решение. Термический к. п. д. цикла согласно формуле (1.70)
П/ = To/Qi,
где Q2 = Lq + Q2 = 50 + 17 = 67 кДж.
42
Тогда
= 50/67 = 0,745 (или 74,5 %).
Задача 1.8. При температуре tA — 10 °C вода массой т1 = 3 кг смешивается
с водой массой т2 = 2 кг, имеющей температуру /2 = 80 °C. Определить воз-
растание энтропии и потерю работоспособности из-за необратимости процесса
смешивания, при котором теплота переходит самопроизвольно от более нагре-
той воды к менее нагретой. Температура охлаждающей среды /0 *= 17 °C.
Решение. Температуру воды после смешивания определим на основа-
нии уравнения теплового баланса
~ (mi + тг)
Считая теплоемкость воды с в заданном интервале температур постоянной
и равной 4,19 кДж/K, находим
t = (m1/1 + m2t2)l{m1 + тг) = (3 • 10 + 2 • 80)/5 = 38 °C.
Тогда изменения энтропии отдельных масс воды
ASX = In (Т/7\) = 3 • 4,19 In (311/283) = 1,185 кДж/K;
AS2 = m2c In (Т/Т2) = 2 • 4,19 In (311/353) = — 1,06 кДж/K.
Общее возрастание энтропии при смешивании воды
AS" = ASi + AS^ 1,185 — 1,060 = 0,125 кДж/K.
Потеря работоспособности из-за необратимости теплообмена при конечной
разности температур по (1.79)
AL = T0AS” = 290 • 0,0125 = 36,25 кДж.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие величины называются основными термодинамическими параметрами?
В каких единицах они выражаются? •
2. Как вычисляется абсолютное давление газа по заданным избыточному дав-
лению и разрежению?
8. Что называется уравнением состояния?
4. Как записываются уравнения состояния идеального и реального газов?
5. Какая разница между универсальной и удельной газовыми постоянными?
В каких единицах они выражаются?
6. Чем отличается уравнение состояния чистого газа от уравнения состояния
смесей идеальных газов?
7. Как определяется кажущаяся (условная) молярная масса смеси?
8. Как определяется газовая постоянная смеси по массовым и объемным долям
ее составляющих?
9. Объясните сущность внутренней энергии идеального и реального газов с
молекулярной точки зрения.
10. Чему равно изменение внутренней энергии в круговом процессе?
11. Что такое энтальпия? Каков ее физический смысл?
12. Какая функция называется энтропией?
13. В чем состоит качественное различие понятий работы и теплоты?
14. Какие из величин и, Q, L, Т, р являются функциями состояния, а какае
зависят от характера процесса?
15. Что изображают площадь под кривой процесса в р — v-координатах и пло-
щадь под кривой процесса в Т — «-координатах?
16. Какие существуют формулировки и математические выражения первого за-
кона термодинамики?
17. Какая из работ газа больше: в обратимом или в необратимом процессе и
почему?
18. Что называется теплоемкостью и является ли она функцией состояния ве-
щества?
43
IV. К. । к ио бывают теплоемкости в зависимости от того, в каких единицах
.ыражается количество вещества?
20. Какие теплоемкости больше: изохорные или изобарные и почему?
21. Дайте определение истинной и средней теплоемкостей. Запишите их анализ и-
ческие выражения.
22. Как определить количество теплоты в термодинамическом процессе, зная
табличные значения средних теплоемкостей?
23. Как определить среднюю теплоемкость в интервале температур от /j до /2,
пользуясь табличными значениями средних теплоемкостей в интервале от
0 до / °C?
24. Запишите аналитические выражения удельной, объемной и молярной теп-
лоемкостей смеси идеальных газов.
25. Какие термодинамические процессы называются самопроизвольными и не-
самопроизвольными? Приведите примеры.
26. Что дополнительно требуется для протекания несамопроизвольного термоди-
намического процесса?
27. Какие необходимые условия для осуществления непрерывного преобразо-
вания теплоты в работу?
28. Что называется термическим к. п. д. цикла теплового двигателя?
29. Почему термический к. и. д. теплового двигателя не может быть равным
единице (100 %)?
30. Что такое холодильный коэффициент и как он определяется?
31. В чем сущность и каковы основные формулировки второго закона термо
динамики?
3 ?. Дайте молекулярно-кинетическую трактовку односторонности протекавия
.епловых процессов.
33. Запишите математические выражения второго закона термодинамики для
обратимых и необратимых процессов, объясните термодинамический смысл
энтропии.
34. В чем сущность принципа возрастания энтропии изолированной термоди-
намической системы?
35. Почему повышение энтропии в изолированной термодинамической системе
является мерой необратимости протекающих в ней процессов?
36. В чем несостоятельность теории «тепловой смерти» Вселенной?
37. Объясните статистический характер второго закона термодинамики.
38. Что называется эксергией источника работы?
39. По какому выражению определяется потеря максимально возможной работы
(эксергии) и:-за необратимости протекающих термодинамических процессов?
Глава 2. АНАЛИЗ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
С ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ
2.1. Задачи анализа
и общие акшштмческие зависимости
Задачей анализа любого термодинамического процесса является
установление закономерностей изменения параметров состояния ра-
бочего тела и выявление особенностей превращения энергии. Поря-
док выполнения анализа следующий: выводится уравнение процес-
са в р — v-координатах; устанавливается зависимость между изме-
няющимися термическими параметрами процесса; определяется
изменение удельной внутренней энергии Дц рабочего тела; опреде-
ляются удельные работа и теплота в процессе, необходимые для осу-
ществления процесса; устанавливаются изменения удельных энталь-
пии Д/i и энтропии As между начальным и конечным состояниями
процесса.
44
Результаты анализа позволяют рассмотреть особенности пре-
вращения энергии в термодинамическом процессе, составить схему
энергетического баланса и найти долю теплоты, которая расходу-
ется на изменение внутренней энергии рабочего тела и выполнение
внешней работы.
Из многообразия возможных термодинамических процессов сна-
чала выбираются простейшие (или основные): при постоянном объ-
еме (изохорный); при постоянном давлении (изобарный); при по-
стоянной температуре (изотермический); без внешнего теплообмена
(адиабатный).
Прежде чем приступить к анализу основных термодинамических
процессов, следует обратить внимание на то, что внутренняя энер-
гия и энтальпия являются функциями состояния рабочего тела и их
изменение не зависит от характера процесса. Поэтому желательно
получить выражения для расчета изменения внутренней энергии и
энтальпии в процессе с идеальным газом.
Учтя, что в изохорном процессе dv = 0 и удельная работа lv =
= 0, выражение первого закона термодинамики (1.35а) запишем в
виде
qv = Дм. (1.81)
Согласно выражению (1.61) удельное количество теплоты связать с удельной изохорной теплоемкостью cvm' можно
Qv ~Cvm (t2 — /1). Следовательно, (1.82)
Дм — cvm (t2 /j), или в дифференциальной форме (1.83)
du ~ cvdT. (1.84)
Из выражения первого закона термодинамики (1.39) для изобар- ного процесса (р = const и dp = 0) следует, что
bqp = dh, или (1.85)
qp = = h2 — hr. (1.85а)
Согласно выражению (1.61) удельное количество теплоты связать с удельной изобарной теплоемкостью срт: можно
Qp ~ Срт (^2 G)- Тогда (1.86)
Д/i = срт (t2 — /j), или (1.87)
Д/l = Срт |о ^2 ' Срт |о ^1* В дифференциальной форме (1.87а)
dh = Cpdt. (1.876)
Учитывая, что изменения удельных внутренней энергии и энталь-
пии не зависят от характера термодинамического процесса, выраже-
ния (1.83) и (1.87) будут общими для всех процессов.
45
Общие выражения для расчета изменения удельной энтропии
в термодинамических процессах с идеальным газом получим, вос-
пользовавшись термодинамическим тождеством (1.40), которое пере-
пишем в виде
ds = du/T + pdu/T,
или
ds = dh/T — vdp/T.
Заменив в этих уравнениях du согласно выражению (1.84),
a dh — (1.876) и учтя, что р = RTIv, v == RT/p, получим
ds = cvdT/Т + Rdv/v, (1-88)
или
ds = CpdT/T — Rdp/p. (1.89)
Проинтегрировав эти дифференциальные уравнения, найдем
общие выражения для расчета удельной энтропии в термодинами-
ческих процессах с идеальным газом:
As = s2 — sx = cvm In (T2/T J + R In (v2/Vi); (1.88a)
As = s2 — Si = cpm In (T2/T\) — R In (p2/Pi)- (1.89a)
Вычисления изменений калорических величин упрощаются,
если пользоваться табличными значениями и, h и s.
2.2. Основные термодинамические процессы
Изохорный процесс (v = const). В р — ^-координатах график про-
цесса представляет собой прямую линию, параллельную оси Ор
(рис. 2.1, о). Процесс может протекать как с повышением давления
(прямая 1-2), так и с его понижением (прямая 1-2').
Записав для крайних точек /, 2 уравнения состояния и раз-
делив их почленно, получим зависимости между параметрами
идеального газа в изохорном процессе:
Рис. 2.1. Графики изохорного процесса с идеальным газом в р — и-координа-
тах (а) и Т — s-координатах (б)
46
Рис. 2.2. Графики изобарного процесса с идеальным газом в р — v-координа-
тах (а) и Т — s-координатах (б)
ИЛИ
P2IP1 — ^2/^1* (1.90)
Изменение удельной внутренней энергии идеального газа оп-
ределяется выражением (1.83). В изохорном процессе dv = 0 и термо-
динамическая работа не совершается (6/v = 0). Поэтому вся тепло-
та расходуется только на изменение внутренней энергии идеального
газа и согласно выражению (1.82)
Qv ~ “ 6vm (/2 ^1)«
Изменение удельной энтальпии может быть найдено по форму-
ле (1.87).
Выражение для расчета изменения удельной энтропии идеально-
го газа в изохорном процессе можно получить на основании (1.88а),
положив = v2:
(1.91)
или с учетом соотношения (1.90)
Д-Sy = cvm In (Рг/Рх)* (1.92)
Из выражения (1.91) следует, что между удельной энтропией
и температурой идеального газа существует логарифмическая за-
висимость. ВТ — s-координатах эта зависимость изображается кри-
вой 1-2 (рис. 2.1, б).
Схема энергетического баланса для изохорного процесса показа-
на на рис. 2.1, а. Доля удельной теплоты, расходуемой на изменение
удельной внутренней энергии идеального газа в изохорном
процессе,
ф = kuv/qv = 1,
поскольку qv = /\uv.
Изобарный процесс (р = const). В р—v-координатах график
процесса изображается горизонтальной прямой 1-2 (рис. 2.2, а). За-
писав уравнение состояния для двух точек процесса, получим зави-
47
ciiMoci'» между изменяющимися параметрами идеального газа в изо-
опрном процессе
v2lvY= Т2/Тг. (1.93)
Изменение удельной внутренней энергии идеального газа опре-
деляется гыражением (1.83). Удельная работа, выполняемая в изо-
барном процессе,
^2
lp = J pdv р (v2 — Vj). (1.94)
Vj
Так как для идеального газа pv2 = RT2 и pv1 ~ RTlt то
/р== R(T2 — Tl). (1.95)
Из выражения (1.95) явствует физический смысл удельной га-
зовой постоянной. Если в изобарном процессе температура 1 кг иде-
ального газа изменяется на 1 К, то /р = R, г. е. удельная газовая по-
стоянная — это работа, совершаемая 1 кг идеального газа в изобар-
ном процессе при изменении его температуры на 1 К-
Удельное количество теплоты в изобарном процессе можно опре-
делить по формуле (1.85)
qp ~ АЛ — h2 — hY,
т. е. удельное количество теплоты в изобарном процессе равно из-
менению удельной энтальпии идеального газа. Согласно выраже-
нию (1.86) для идеального газа
Qp Срт (^2 О-
Выражение для расчета изменения удельной энтропии идеаль-
ного газа в изобарном процессе можно получить на основании (1.89),
положив р2 = рг:
&sp
— Срт In (Л/Л). (1.96)
или с учетом соотношения (1.93)
hsp = сРт In (v2/vt). (1.97)
Следовательно, на Г — s-диаграмме изобара является также ло-
гарифмической кривой (рис. 2.2, б) (штриховой линией нанесена
изохора). Так как ср > cv, то из сравнения выражений (1.91) и
(1.96) следует, что изобара более пологая, чем изохора.
Схема энергетического баланса для изобарного процесса показа-
на на рис. 2.2, а. Доля удельной теплоты, расходуемой на измене-
ние удельной внутренней энергии идеального газа в изобарном про-
цессе,
(рр = kuplqp = с„Д//(срДр) = 1//?, (1.98)
т. е. изобарный процесс — это такой процесс, в котором \/k доля
удельной теплоты расходуется на изменение удельной внутренней
энергии идеального газа *.
* Например, для двухатомного газа k = 1,41 и <рр = 0,714, т. е. ~ 71 %
теплоты уходит на изменение его внутренней энергии и лишь ~ 29 % — на
выполнение работы.
48
Рис. 2.3. Графики изотермического процесса с идеальным газом в р — v-ко-
ординатах (а) и Т — s-координатах (б)
Изотермический процесс (Т = const). Уравнение процесса вы-
текает из уравнения состояния идеального газа
pv = RT — const. (1.99)
на р — v-диаграмме изотерма изображается равнобокой гипербо-
лой (рис. 2.3, а). Связь между параметрами идеального газа уста-
навливается уравнением процесса (1.99), из которого следует, что
между давлением и объемом существует обратно пропорциональная
зависимость.
Удельные внутренняя энергия и энтальпия идеального газа в
изотермическом процессе не изменяются (Дц = 0, Д/i — 0), так как
dT — 0. Следовательно, вся подведенная здесь удельная теплота
расходуется на выполнение удельной работы, которая определяет-
ся выражением (1.28). Подставив в него значение р из уравнения со-
стояния (1.99), после интегрирования получим
1т = J pdv = RT dv/v = RT In (f2M) = RT In (Pi/P2). (1 • Ю0)
t’l u,
Удельная теплота, необходимая для осуществления процесса,
согласно выражению (1.35а)
qT = lT = RT In (v2/vx) = RT ]n (Pi/p2), (1.101)
или с учетом выражения (1.30)
^ = T(s2-S1). (1.102)
Выражен. . для расчета изменения удельной энтропии идеаль-
ного газа в изотермическом процессе можно получить на основании
(1.102) и (1.101):
\sT == s2 — Si = Qt/T = R In (V2M) = R In (1.103)
График изотермического процесса в Т — s-координатах изоб-
ражен на рис. 2.3, б. Доля удельной теплоты, расходуемой на
4 9-2Б70
49
изменение удельной внутренней энергии идеального газа в изотер-
мическом процессе,
Фг = \u/qT = 0/qr = 0. (1.104)
Адиабатный процесс. Это процесс, при котором рабочее тело не
обменивается теплотой с окружающей его средой (q ~ 0 и &q ~ 0).
Уравнение адиабатного процесса в 'р— у-координатах мох ег
быть получено, если использовать выражение первого закона тер-
модинамики (1.38), (1.39) и учесть отдельные особенности идеаль-
ного газа:
du ~ cvdT; dh = cpdT.
Тогда
ftq = cvdT + pdv = 0, или cvdT = —pdu\
6q = cpdT — vdp — 0, или cpdT ~ vdp,
откуда
= k = > или kpdv + vdp = 0.
Проинтегрировав последнее уравнение при k == const, получим
уравнение адиабатного процесса с идеальным газом
pvk = const, (1.105)
где k = cp/cv — показатель адиабаты.
Из уравнения (1.105) следует
pJpi = (1.Ю6)
Bp — v-координатах адиабата изображается неравнобокой ги-
перболой (рис. 2.4, а), которая несколько круче изотермы.
Зависимости Т ~ f (v) и Т = f (р) в адиабатном процессе полу-
чаются из уравнения процесса (1.105) и уравнений состояний для
Рис. 2.4. Графики адиабатного процесса с идеальным газом в р — о-координа-
тах (а) и Т -* s-координатах (б)
двух точек процесса:
Т2/Т, = (^7^/-’; (1.Ю7)
(1.108)
Изменение удельной внутренней энергии идеального газа опре-
деляется выражением (1.83). Формулу для определения удельной ра-
боты в адиабатном процессе можно получить на основании выраже-
ния (1.35а): 6/s = —du, или
ls = — (и2 — = uL — u2i (1.109)
т. e. удельная работа совершается здесь за счет убыли удельной
внутренней энергии идеального газа.
С учетом выражения (1.83) формула (1.109) принимает вид
4 = ^(Л-г2), (1.110)
а с учетом уравнения (1.50) и соотношения cp/cv = k ее можно за-
писать так:
= (МН)
Подстановка сюда значений 1\ и Т2 из уравнения состояния (1.5)
дает
Ц = (PiPt — p2v2)/(k — 1). (1.И2)
Преобразовав уравнение (1.112) с учетом (1.108), получим
4 = -S- [I - (P2/plf~')/k]. (1.113)
Изменение удельной энтальпии идеального газа в адиабатном
процессе подсчитывается по формуле (1.87) и равно нулю, так как
по определению процесса 6q — 0 и ds = $q/T = 0. Следовательно,
в адиабатном процессе s = const. Поэтому обратимый адиабатный
процесс называется изоэнтропийным.
В Т — s-координатах адиабата изображается вертикальной пря-
мой (рис. 2.4, б). Схема энергетического баланса для адиабатного
процесса показана на рис. 2.4, а. Доля удельной теплоты, расходу-
емой на изменение удельной внутренней энергии идеального газа,
в этом процессе смысла не имеет.
2.3. Политропный процесс
и его обобщающее значение
Любой процесс изменения состояния рабочего тела, происходящий
при постоянной теплоемкости, называется политропным. Уравне-
ние этого процесса может быть получено на основании уравнения
первого закона термодинамики для идеального газа (в двух формах
записи): ~
&7П = cvdT + pd$\ 6gn = cpdT — vdp.
Исходя из понятия теплоемкости, в политропном процессе
&7п = c„dT,
где с„ — теплоемкость политропного процесса.
4* 5!
Тогда уравнения первого закона термодинамики для политроп-
ного процесса примут вид
cndT = cvdT + pdv, или (ср— cv)dT ~ pdv;
cndT = cpdT — vdp, или (cn — cp) dT = —vdp.
Разделив второе уравнение на первое, получим
Сп — Ср _ _ vdp
Сц cv pdv
Обозначим отношение ———, постоянное для данного про-
сп — Cv
цесса, так:
Сп~Ср =п. (1.И4)
сп Cv
Тогда
vdp
П^=------- ,
pdv
ИЛИ
npdv + vdp — 0.
После интегрирования этого уравнения получим уравнение по-
литропного процесса
pvtl ~ const. (1.115)
Величина и, зависящая от теплоемкости сп политропного про-
цесса, называется показателем политропы. Будучи постоянным для
конкретного процесса, значение показателя политропы может из-
меняться в зависимости от теплоемкости сП от +оо до —оо и опреде-
ляет характер процесса.
Политропный процесс является обобщающим. Легко показать,
что все рассмотренные выше процессы — его частные случаи.
Действительно, уравнения четырех основных термодинамиче-
ских процессов получаются из уравнения политропного процесса
(1.115) при следующих значениях показателя политропы:
п = 0, pvQ = р = const — изобарный процесс;
п = ±оо, rv°° == const = px/oGv = pQv = v = const — изохорный
процесс;
n = 1, pv == const — изотермический процесс;
n — k, pvk == const — адиабатный процесс.
Связь между основными параметрами р, v, Т и выражения удель-
ной работы в политропном процессе аналогичны таковым в адиабат-
ном процессе, поскольку уравнение политропного процесса совпа-
дает по форме с уравнением адиабатного процесса, если показатель
k заменить показателем п\
52
Изменение удельной внутренней энергии идеального газа в поли-
тропном процессе определяется выражением (1.83). Удельное ко-
личество теплоты в процессе можно рассчитать, исходя из первого
закона термодинамики с учетом (1.111), по формуле
qn = \и + /п - cvm (Т2 -TJ + R (7\ - Т2)/(п - 1) (1.118)
либо, исходя из представления удельной теплоемкости в процессе,
по формуле
9п = ^(Т2 —Л). (1.119)
Из соотношения (1.114) находим выражение удельной теплоем-
кости в политропном процессе
Cnm ~ Cvm (ft 1). (1.120)
Показатель политропы п можно определить, если известны зна-
чения р и v в двух точках процесса. Тогда, записав первое соотно-
шение (1.116) в виде
lg Wpi) = «1g (^1М),
получим
n= IgP2-----lg£i_ . (1.121)
Изменение удельной энтропии в политропном процессе можно
найти на основании выражений (1.23) и (1.31а):
2 2
As = J dq/T = сшп У dT/T = cum In (Т2/Т\). (1.122)
i i
Характеристикой политропного процесса может быть доля
удельной теплоты, расходуемой на изменение удельной внутренней
энергии идеального газа, которая в данном процессе постоянна и с
учетом (1.120) определяется выражением
<рп = Au/qn = cvm МЦсът kt) = (и — 1 )/(n — k). (1.123)
Чтобы проследить за графиками политропных процессов при
различных значениях п в р — v- и Т — s-координатах, в этих же
координатах изображают кривые частных термодинамических про-
цессов: изохорного (п = ±оо), изобарного (и = 0), изотермиче-
ского (п = 1) и адиабатного (n = /г), по которым можно определить
расположение политроп, а также знак q и ки в этих процессах
(рис. 2.5). Например, график политропного процесса с k > п про-
ходит между графиком изотермического процесса (и = 1) и графи-
ком адиабатного процесса (п = &), причем при расширении в этом
процессе удельная теплота подводится (так как As > 0), темпера-
тура, а следовательно, удельная внутренняя энергия идеального
газа уменьшаются. Работа в политропном процессе совершается за
счет теплоты и уменьшения внутренней энергии идеального газа.
Поскольку знаки теплоты и изменения температуры в политроп-
ном процессе с показателем политропы k > п > 1 различны, удель-
ная теплоемкость в этом процессе отрицательна (cv < 0). График
53
Рис. 2.5. Графики политропных процессов в р — ^-координатах (а) и Т — s-
координатах (б)
политропного процесса дает наглядное представление о распределе-
нии энергии в зависимости от показателя политропы п.
В табл. 2.1 отмечены особенности трех групп политропных про-
цессов расширения идеального газа (процессов, расположенных
Таблица 2.1
Группа про-
цессов на
рис. 2.5
Пределы из-
менения по-
казателя по-
литропы
Удельная теп-
лоемкость в
процессе
Схема энергети-
ческого баланса
справа от изохоры на рис. 2.5). Первая группа процессов характе-
ризуется тем, что изменение удельной внутренней энергии идеаль-
ного газа составляет часть подводимой в процессе удельной теплоты,
другая часть которой расходуется на выполняемую работу; вторая
группа — тем, что работа совершается за счет не только подводи-
мой удельной теплоты (q > 0), но и уменьшения удельной внутрен-
ней энергии идеального газа (Дг/ < 0); третья группа — тем, что
ввиду отвода удельной теплоты (q < 0) работа совершается лишь
за счет уменьшения удельной внутренней энергии идеального газа
54
(&u <z 0). Удельная теплоемкость в третьей группе процессов поло-
жительна (сп > 0), поскольку знаки удельной теплоты и измене-
ния температуры одинаковы.
Аналогично можно разбить на три группы все политропные про-
цессы сжатия идеального газа (Ли < 0).
Примеры решения задач
Задача 2.1. Объем кислорода массой т — 20 кг, имеющего температуру t — 27 °C,
нагреваясь при постоянном давлении р = 0,3 МПа, увеличивается в 1,5 раза.
Определить конечную температуру газа, выполняемую работу и количество
теплоты, а также изменения калорических параметров Д(/, ДЯ, AS в этом
процессе. Теплоемкость кислорода считать постоянной.
Решение. Конечная температура газа согласно соотношению (1.93)
Т2 = T^/Vr = (27 + 273) -1,5 = 450 К,
или
/2 = Т2 — 273 = 450 — 273 = 177 °C.
Работа, выполняемая в процессе, по (1.95)
8314
Lp — mR (t2 — ti) = Ю • ——— (177 — 27) = 390 кДж.
о 2
Количество теплоты в процессе по (1.86)
29,1
Qp = mq = tncp (/2 — /Д == 10---—— • 150 = 1363 кДж,
oZ
где молярная теплоемкость кислорода согласно табл. 1.1 [хср = 29,1 кДж/
(кмоль . К).
Изменение внутренней энергии газа по (1.35)
MJ = Qp — Lp = 1363 — 390 = 973 кДж.
Изменение энтальпии газа по (1.85)
ДЯ = Qp= 1363 кДж.
Изменение энтропии газа по (1.96)
29 1 450
AS = m\s = тер In (Т2/Л) = 10 . —1- In = 3,7 чДж/К.
oz oUU
Задача 2.2. Воздух массой т — 2 кг сжимается по политропе (и = 1,3)
с уменьшением объема в 5 раз. Определить выполненную работу и количество
теплоты в процессе, а также изменения калорических параметров воздуха, если
=» 17 °C и Р± == 0,2 МПа. Изобразить схему энергетического баланса и гра-
фики в р — v- и Т — s-координатах этого процесса. Теплоемкость воздуха счи-
тать постоянной.
Решение. Пользуясь уравнением (1.6), находим начальный объем воз-
духа
= mRT JP1 = 2 • 287 . 290/(0,2 • 106) = 0,832 м8,
где
/? = /?ц/рв = 8314/29,1 = 287 кДж/(кг • К).
Конечный объем воздуха после сжатия
v2 = цх/5 == 0,832/5 = 0,167 м\
Давление воздуха в конце сжатия по первому соотношению (1.116)
Рг == Pi fai/^a)'7 = 0,2 • 51,3 = 1,62 МПа,
55
Конечная температура воздуха согласно уравнению (1.6)
Т2 = РгМ^Я) = 1,62 • 0,167/(2 • 287) = 466 К,
или /2 = 193 °C.
Удельная работа, выполняемая в процессе, по (1.117)
1П = R — t2)/(n — 1) = 287 (17 — 193)/(1,3 — 1) == —158 кДж/кг,
Полная работа
Ln — mln = 2 (—158) = —316 кДж.
Удельное количество теплоты в процессе по (1.119)
<7П = сп (*2 — /j) = — 0,241 (193 — 17) = — 35,6 кДж/кгу
где удельная теплоемкость в политропном процессе по (1.120)
n—k iicp n — k 20,9 1,3 —1,4 ЛО.. „ ...
cn = ^^rr=J^T^r=-WK33n- = -0’241
Тогда
Qn — mqn = 2 (—35,6) = —71,2 кДж.
Изменение удельной внутренней энергии воздуха по (1.83)
20 9
= cv (t2 - ti) = (193 - 17) = 127,2 кДж/кг.
Полное изменение внутренней энергии воздуха
AU = /иД« = 2 • 127,2 = 254,4 кДж.
Изменение удельной энтальпии воздуха по (1.87)
Д/i = ср (tt - (t2 - у = (193 - 17) = 171,2 кДж/кг.
Полное изменение энтальпии воздуха
ДЯ = тД/г = 2 • 171,2 = 342,4 кДж.
Изменение удельной энтропии воздуха по (1.96)
As = ср In (Т217\) = —0,241 • 2,3 1g (466/290) = —0,889 кДж/(кг • К).
Полное изменение энтропии воздуха
AS = mAs = 2 (— 0,889) = — 1,778 кДж/K.
Таким образом, в данном политропном процессе затрачиваемая работа рас*
ходуется на увеличение внутренней энергии воздуха и отвод теплоты. Графики
процесса (п — 1,3) в р — v- и Т — s-координатах, а также схема энергетического
баланса показаны на рис. 2.6.
56
Контрольные вопросы и задания
1. Что входит в задачу анализа термодинамического процесса?
2. Какие аналитические выражения для определения изменения калорический
параметров являются общими для всех термодинамических процессов с иде-
альным газом?
3. Как изменяется температура в изохорном процессе?
4. Как доказать, что в изобарном процессе удельное количество теплоты равно
изменению удельной энтальпии?
5. Почему в изобарном процессе при расширении идеального газа увеличивает-
ся температура? Изобразите для этого случая схему энергетического баланса.
6. Почему в адиабатном процессе расширения идеального газа температура
уменьшается, а при сжатии увеличивается?
7. Что называется политропным процессом?
8. В каких пределах изменяется показатель политропы?
9. Каков показатель политропы в основных термодинамических процессах?
10. Как располагаются графики основных термодинамических процессов на-
р — V- и Т — s-диаграммах, проведенные из одной точки?
11. Изобразите на р— v- и Т — s-диаграммах график политропного процесса
сжатия идеального газа с показателем политропы п = 0,5 и укажите знаки
удельной теплоты, изменения удельной внутренней энергии газа и выпол-
няемой им удельной работы.
12. Какой знак имеют q и Дц в политропном процессе расширения идеального
газа с показателем политропы п > /г? Изобразите график этого процесса
на р — v- и Т — s-диаграммах.
13. В каких политропных процессах и почему удельная теплоемкость идеаль-
ного газа будет отрицательной?
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ (ПАРОВ)
И ПРОЦЕССЫ С НИМИ
3.1. Общие свойства реальных газов
Выше отмечалось, что при высоких давлениях и относительно низ-
ких температурах свойства реальных газов отличаются от свойств
идеального газа, в частности для реального газа непригодно урав-
нение состояния идеального газа, т. е. pv RT,
Наиболее отчетливо отличие свойств реального газа от идеаль-
ного характеризует отношение pv/(RT) = г, которое называется ко-
эффициентом сжимаемости. Для идеального газа z — 1, а для ре-
альных газов z зависит от давления и температуры газа, причем мо-
жет быть как больше, так и меньше единицы.
Между молекулами реального газа действуют силы притяжения,
которые уменьшают давление газа на стенки сосуда, а наличие сил
отталкивания препятствует плотному сближению молекул. Поэтому
объем, в котором могут перемещаться молекулы реального газа, бу-
дет меньше занимаемого им объема на величину fe, численно равную
приблизительно учетверенному собственному объему молекул газа.
Простейшим уравнением состояния реального газа с учетом по-
правок на силы взаимодействия между его молекулами и влияния
объема самих молекул является уравнение Ван-дер-Ваальса (1.7)
(р + а/ц2) (v — b) = RT.
57
Рис. 3.1. Теоретические (а) и действительные (б) изотермы реального газа
Здесь член a/v2 характеризует так называемое внутреннее давление
газа, обусловленное силами притяжения его молекул; множитель
(v — b) представляет так называемый свободный объем, т. е. объем
пространства, в котором могут перемещаться молекулы газа. По-
стоянные а и Ь, отражающие природу газа, могут быть вычислены по
так называемым критическим параметрам газа (см. ниже).
Изотермы, построенные по уравнению Ван-дер-Ваальса, пока-
заны на рис. 3.1, а. Волнообразный участок изотермы abcde отра-
жает неустойчивые состояния: состояния между а и b могут быть
получены при очень медленном и спокойном сжатии газа и отсутст-
вии центров конденсации в виде пылинок, капелек тумана и других
частиц. Такой ход изотермы Ван-дер-Ваальса между точками а и е
практически не достигается.
| Действительные изотермы реального газа изображены на
рис. 3.1, б. Здесь процесс превращения газа в жидкость происхо-
дит одновременно при постоянных температуре и давлении (процесс
а-е). Давление остается неизменным, поскольку в этом случае объем
уменьшается за счет частичной конденсации газообразной фазы.
В точке е весь газ (пар) полностью превращается в жидкость, и даль-
нейшее повышение давления будет незначительно уменьшать объем
жидкости.
С повышением температуры длина горизонтального участка изо-
терм, на котором жидкость и газ при данной температуре находятся
в равновесии, уменьшается, а точки а и е сливаются в одну точку k\
в этой точке изотерма имеет только перегиб и горизонтальную ка-
сательную. Точка k называется критической точкой, а соответству-
ющие ей параметры ркр, цкр и 7\р — критическими.
Критические параметры характерны для каждого данного ве-
щества и обычно определяются экспериментально. Значения их для
некоторых веществ приведены в табл. 3.1. Заметим, что критиче-
ское состояние вещества было открыто Д. И. Менделеевым.
58
При критической температуре переход газообразного состояния
в жидкое или наоборот происходит без изменения каких-либо физи-
ческих свойств (в данном случае плотности жидкости и газа), поэто-
му в критической точке исчезает различие между жидким и газооб-
разным состояниями.
При более высоких температурах (Т > Ткр) изотермы реального
газа приближаются к изотермам идеального газа, а участок изотер-
мы с двухфазным состоянием отсутствует. Следовательно, при сверх-
Таблица 3.1
Веществе /кр, с Лкр. МПа РКр, кг/м3
Водород —240,7 1,25 30
Азот — 147,0 3,30 311
Кислород — 118,0 4,87 430
Углекислота 31,0 7,15 460
Вода 374,15 22,13 315
критических температурах газ не может быть превращен в жидкость
путем его изотермического сжатия.
Соединив точки е, е', е", ... (см. рис. 1.17, б), получим кривую,
разделяющую область жидкого состояния (левее e-k) и область двух-
фазного состояния жидкость + газ (правее e-k). Кривая e-k носит
название пограничной кривой жидкости. Аналогично соединив точ-
ки а, а', а , ..., получим пограничную кривую пара, которая отде-
ляет область двухфазного состояния от области газообразного со-
стояния (пара).
Таким образом, пограничные кривые e-k и k-a делят площадь
р — ^-диаграммы на три характерные области: I — жидкого состо-
яния, 11 — двухфазного состояния (жидкость 4- пар), III —газо-
образного состояния.
Известно, что любое вещество в зависимости от внешних условий
(давления и температуры) может находиться в твердом, жидком и
газообразном агрегатных состояниях, или фазах * *, а также одно-
временно быть в двух или трех состояниях. (Состояние, в котором
находятся в равновесии твердая, жидкая и паровая фазы вещества,
называется тройной точкой.) Переход вещества из одного агрегат-
ного состояния в другое называется фазовым переходом, или фазо-
вым превращением. Поэтому термодинамические диаграммы (р — v,
Т — s и др.) для реального газа в отличие от таковых для иде-
ального газа являются фазовыми диаграммами.
Исходя из того, что в критической точке изотерма имеет перегиб
и касательна в этой точке горизонтальна, если продифференциро-
вать дважды уравнение (1.7) и приравнять к нулю производные
(др/до)ткр и (д2р/до2)ткр, то получим ркр = а/(27Ь2)\ икр = 36; 7\Р =
= 8a/(27bR), откуда
а = 277?2ТкР/(б4ркр); b = RTKp/(8pKp).
* Фазой называется часть системы, ограниченная поверхностью раздела
« одинаковыми физическими свойствами во всех ее точках.
59
Входящие сюда значения ркр и 7кр находят экспериментально.
После подстановки этих выражений в (1.7) уравнение Ван-дер-
Ваальса примет вид
(л + З/ф2) (Зф — 1) = 8т,
где л = р/ркр; ф = z?/^kP; т = Т!Ткр — безразмерные переменные.
Состояния различных газов, в которых безразмерные (приведен-
ные) параметры одинаковы, называют соответственными. Вещест-
ва, находящиеся в таких состояниях, называются термодинамиче-
ски подобными. Пользуясь этим подобием свойств, можно оценивать
свойства какого-либо газа по известным свойствам другого.
Уравнение Ван-дер-Ваальса не дает достаточного точного совпа-
дения с экспериментальными данными и применимо в ограничен-
ной области состояния. Несмотря на это качественно оно правильно
описывает поведение реального газа и позволяет установить ряд
существенных закономерностей. В частности, данное уравнение от-
ражает непрерывность газообразного, жидкого и критического со-
стояний вещества.
Проблемой исследования свойств макроскопических систем за-
нимается статистическая физика, которая дает возможность обосно-
вать общий вид уравнения состояния реального газа. Одним из та-
ких уравнений является уравнение Майера — Боголюбова
pv^RT{\ + B(7yv + C(T)/& + Щ7> + (1.124)
где В, С, D, ...— так называемые второй, третий и т. д. вириальныв
коэффициенты, зависящие от температуры и природы газа и опре-
деляемые экспериментально. Вторым вириальным коэффициентом
учитывают парные взаимодействия молекул, третьим — взаимо-
действие трех молекул и т. д.
Надежность проектирования и экономическая эффективность
энергетического и технологического оборудования тесно связаны
с точностью уравнения состояния реальных газов. Поэтому в насто-
ящее время большое внимание уделяется получению полуэмпири-
ческих уравнений состояния типа (1.124). Большинство этих урав-
нений имеют сложный вид и практическое использование их для
расчетов затруднительно. По ним и экспериментальным данным
составляют таблицы термодинамических свойств веществ (удельных
объемов, энтальпий, энтропий и др.) и строят диаграммы, что упро-
щает инженерные расчеты и делает их наглядными.
3.2. Водяной пар и его характеристики
Пары веществ широко применяются во многих отраслях техники в
качестве рабочих тел. В первую очередь это относится к парам са-
мого распространенного в природе вещества — воды, которая не
оказывает вредного действия на металлы и живые организмы и обла-
дает относительно хорошими термодинамическими свойствами (в
частности, имеет относительно большие теплоемкость и теплоту па-
рообоазования}.
60
С качественной точки зрения поведение паров различных ве-
ществ одинаково. Поэтому все полученные ниже закономерности
для водяного пара действительны для паров других веществ.
Процесс получения пара из жидкости может осуществляться ис-
парением и кипением. Испарением называется парообразование,
происходящее только со свободной поверхности жидкости и при лю-
бой температуре; кипением — интенсивное парообразование по всей
массе жидкости, которое происходит при сообщении жидкости че-
рез стенку сосуда определенного количества теплоты. При этом об-
разовавшиеся у стенок сосуда и внутри жидкости пузырьки пара,
увеличиваясь в объеме, поднимаются на поверхность жидкости.
Процесс кипения начинается при достижении жидкостью опре-
деленной температуры, которая называется температурой кипения
(насыщения) tH и на протяжении всего процесса остается неизмен-
ной, поскольку вся подводимая теплота расходуется только на ис-
парение жидкости. Значение /н зависит от природы вещества и дав-
ления, причем с повышением давления /н увеличивается. Давление,
соответствующее температуре /н, называется давлением насыще-
ния рп.
Обратный процесс перехода пара в жидкое состояние, сопровож-
дающееся отводом теплоты, называется конденсацией.
Насыщенным называется пар, который образовался в процессе
кипения и находится в термическом и динамическом равновесиях
о жидкостью. Насыщенный пар по своему состоянию бывает сухим
насыщенным и влажным насыщенным.
Сухой насыщенный пар представляет собой пар, не содержащий
жидкости и имеющий температуру насыщения t ~ при данном
давлении. Двухфазная система, состоящая из сухого насыщенного
пара и жидкости, называется влажным насыщенным паром.
Отношение массы сухого насыщенного пара тс.п к массе влаж-
ного пара шв.п = тс,П + тж, где тж — масса жидкости, называ-
ется степенью сухости х влажного пара, т. е.
х = mc.n/mB.n = тс.п/(тс.п + тж). (1.125)
Очевидно, для кипящей жидкости (тс.п = 0) х = 0, для сухо-
го насыщенного пара (тж = 0) х = 1.
Если к сухому насыщенному пару продолжить подводить теп-
лоту, то его температура увеличится. Пар, температура которого
при данном давлении больше, чем температура насыщения (/ > /н),
называется перегретым паром.
Для технических нужд водяной пар получают в паровых кот-
лах (котлоагрегатах), где специально поддерживается постоян-
ное давление. Простейшая схема котлоагрегата показана на
рис. 3.2. Вода из резервуара подается насосом 1 в подогрева-
тель (водяной экономайзер) 2, где за счет теплоты дымовых га-
зов (показаны штриховой линией) подогревается до температу-
ры насыщения /н. Из экономайзера вода попадает через барабан 5
и опускные трубы 4 в систему испарительных трубок 5, которые
расположены в топке котла. В испарительных трубках за счет под-
61
Рис. 3.2. Простейшая схема кот-
лоагрегата
вода теплоты от продуктов горения
часть воды превращается в пар.
Образовавшаяся пароводяная смесь
возвращается в барабан 5* *, где раз-
деляется на сухой насыщенный пар
и воду, которая опять возвращается
в испарительный контур. Получен-
ный таким образом сухой насыщен-
ный пар из верхней части барабана
поступает в пароперегреватель 6.
Здесь сухой насыщенный пар за счет
теплоты гарячих дымовых газов
перегревается до требуемой темпе-
ратуры перегретого пара t.
Таким образом, процесс полу-
чения перегретого пара состоит из
трех последовательных стадий: по-
догрева воды до температуры на-
сыщения, парообразования и пере-
грева пара до требуемой темпера-
туры. Все эти стадии протекают при постоянном давлении и на
термодинамических диаграммах изображаются изобарой.
На фазовой р — и-диаграмме (см. рис. 3.3), где область двухфаз-
ного состояния ограничена кривыми х — 0 и х = 1, изобарный про-
цесс получения пара изображен горизонтальной прямой ab. Здесь
названные три стадии характеризуются такими отрезками: ab —
подогрев жидкости до температуры кипения; Ьс — парообразова-
ние; cd — перегрев пара.
3.3. Анализ трех стадий
получения перегретого пара
В задачу анализа трех стадий получения перегретого пара входят
установление для каждой из стадий особенностей начального и ко-
нечного состояний вещества, изменения удельных калорических па-
раметров Ди, Д/г, As и определение удельного количества теплоты.
При этом следует иметь в виду, что для реального газа выражением
(1.83) пользоваться нельзя, т. е. Дп cvmkt, так как удельная
внутренняя энергия реального газа зависит не только от темпера-
туры, но и от объема.
На основании выражений первого закона термодинамики (1.38)
и (1.85) для изобарного процесса изменения удельных внутренней
энергии Дн и энтальпии Д/г в процессах получения водяного пара
можно определить по формулам
Ди — qp— p(Xv\ (1.126)
Ml = h2 — h± = qp. (1.127)
* Подъем пароводяной смеси в кипятильных трубах осуществляется за
счет разности плотностей воды (в опускных трубах) и пароводяной смеси (в ки-
пятильных трубах).
62
Для расчета изменения удельной энтропии в ходе процесса
воспользуемся выражением (1.23) и запишем
2
= J 6qp/T. (1.128)
i
Процесс подогрева воды до температуры насыщения. За началь-
ную температуру воды, поступающей в котлоагрегат при любом
давлении, принимаем температуру ta = О °C. Тогда линия ААг на
рис. 3.3, а будет соответствовать состояниям так называемой холод-
ной жидкости при разных давлениях, имеющей температуру О °C
(изотерма холодной жидкости). Удельный объем воды при этой тем-
пературе va = 0,001 м3/кг. Из-за незначительной сжимаемости воды
линия представляет собой почти вертикальную прямую. Левее
нее находится область равновесного сосуществования воды и льда.
Началом отсчета и = 0, h = 0, s = 0 для воды принято считать -
тройную точку, в которой вещество может одновременно находиться в
твердом, жидком и газообразном состояниях (точка А на рис. 3.3, а).
Каждому веществу в тройной точке соответствуют строго опреде-
ленные параметры. Так, для воды рл = 0,00061 МПа, Та ~ 273,16 К
и Va = 0,001 м3/кг. Процесс парообразования при давлении рд =
= 0,00061 МПа показан на диаграмме изобарой АВ. При более низ-
ких давлениях пар может существовать лишь в равновесии со
льдом. Образование пара непосредственно из твердого состояния
(льда) называется сублимацией.
Пренебрегая влиянием давления на изменение объема воды, счи-
тают для всех состояний ее на линии ААг v0 = 0,01 м3/кг, uQ — 0,
h0 = 0 и s0 = 0.
Конечное состояние воды в стадии подогрева (точка Ь) определя-
ется достижением при заданном давлении pti температуры насыще-
ния /н, которая зависит от давления, т. е. /н = [ (рн). Эта зависи-
мость устанавливается экспериментально и приводится в табли-
цах (см. табл. П. 1 приложения).
Рис. 3.3. Фазовые диаграммы процесса парообразования в р — ц-координатах
(а) и Г — s-координатах (б)
63
z Состояния кипящей воды при различных давлениях будут соот-
ветствовать пограничной кривой жидкости АК. которая изобража-
ет зависимость удельных объемов кипящей воды v' от давления. Из
выражения (1.125) следует, что на пограничной кривой жидкости
степень сухости пара х = 0.
Параметры кипящей жидкости обозначаются соответствующими
буквами со штрихом (v'> z/, //, s' и т. д.) и приводятся в таблицах
[7] в зависимости от давления рн или температуры /н. Удельное
количество теплоты, необходимой для осуществления этой стадии
получения перегретого пара, называется удельной теплотой жид-
кости; согласно формуле (1.127)
ь
Qab ~ ~ —^0 “ J (1.129)
а
или, учтя, что /г0 = 0 и срж = сртж,
9ж ~ = £ртж^н- (1.130)
Изменение удельной внутренней энергии при подогреве воды по
формуле (1.126)
Лнаб = qab — ра (V — v0) = h' — рв (vr —1»0).
Изменение удельной энтропии воды в процессе ab
^Sab = s' — s0= J cpxdTIT = сртж In (Гн/273), (1.131)
Го=273
г. е. на Т — s-диаграмме (рис. 3,3, б) изобарный процесс измене-
ния состояния воды изображается логарифмической кривой ab. По-
скольку удельная энтропия воды при 0 °C условно равна нулю, точ-
ка а на оси ординат будет располагаться на 273 °C выше точки аб-
солютного нуля.
В действительности изобары подогрева воды на Т — s-диаграм-
ме носят более сложный характер и располагаются левее погранич-
ной кривой х = 0. Однако для упрощения рассуждений будем счи-
тать их совпадающими с кривой х == 0, что слабо отразится на точ-
ности расчета. В этом случае изобара воды р^ проходит по линии
Л7<, а затем (после перегиба с горизонтальной касательной в крити-
ческой точке К) переходит в изобару перегретого пара.
Процесс парообразования. Дальнейший подвод теплоты к кипя-
щей жидкости, который осуществляется в испарительном контуре
котлоагрегата, сопровождается бурным парообразованием внутри
жидкости и переходом части воды в пар. Таким образом, участку
Ьс на рис. 3.3 соответствует равновесное состояние смеси жидкости
и пара (влажный насыщенный пар), характеризуемое в каждой
точке процесса массовой долей содержащегося в смеси сухого на-
сыщенного пара (степенью сухости пара х).
Конечное состояние в этой стадии характеризуется полным пре-
вращением жидкости в пар, который будет иметь температуру,
равную температуре насыщения воды (tc = при заданном дав-
64
лении pv Такой пар, как уже отмечалось, носит название сухого на-
сыщенного пара.
Таким образом, процесс парообразования является одновремен-
но изобарным (рн = const) и изотермическим (£н = const), что соот-
ветствует процессам фазовых превращений (затрачиваемая теплота
расходуется не на повышение температуры, а только на преодоле-
ние сил притяжения между молекулами и на работу расширения
пара).
Поскольку между температурой насыщения /н и давлением рн
имеется однозначная связь, состояние сухого насыщенного пара
будет определяться только одним параметром — давлением или
температурой.
Состояние сухого насыщенного пара при разных давлениях бу-
дет соответствовать линии ВК на рис. 3.3, называемой пограничной
кривой пара. Совершенно очевидно, что в каждой точке этой кривой
х = 1. Параметры сухого насыщенного пара обозначаются соответ-
ствующими буквами с двумя штрихами (v"t и"> h", s" и т. д.) и при-
водятся в таблицах (см. табл. П. 1, П.2 приложения) в зависимости
от давления рп или температуры /н.
Следует обратить внимание па то, что в процессе парообразова-
ния удельный объем вещества резко увеличивается. Так, для воды
при /?н = 0,1 МПа удельный объем v' = 0,001043 м3/кг, тогда как
v" = 1,696 м3/кг, т. е. в процессе парообразования ее объем увели-
чивается более чем в 1600 раз. С увеличением давления удельный
объем воды уменьшается и в критической точке К vkp == v'kp =
х= 0,0032 м3/кг.
Удельное количество теплоты, затрачиваемой на парообразо-
вание в процессе Ьс, называется удельной теплотой парообразования
г, или удельной теплотой фазового превращения. Согласно формуле
(1.127)
r = h" — h’ ==пл. | bcs"s'b | = Тк (li — /г'), (1.132)
откуда удельная энтальпия сухого насыщенного пара
h" = h' + г. (1.133)
Из уравнения первого закона термодинамики для изобарного
процесса
qbc = г = и" — u'+pti (v' — v') (1.134)
следует, что удельная теплота парообразования расходуется, во-
первых, на изменение удельной внутренней энергии рабочего тела
при постоянной температуре р = и" — и' (т. е. на преодоление сил
сцепления между молекулами, или на работу дисгрегации), во-вто-
рых, на удельную работу расширения ф = рп (о" — и'), т. е.
г = р4--ф. (1.135)
Величину р называют удельной внутренней теплотой парообра-
зования (она составляет более 80 %), а величину ф — удельной внеш-
ней теплотой парообразования. Численные значения г в зависи-
мости от давления рн или температуры /н приводятся в таблицах [71.
Б 9-2570
65
Из Т — s-диаграммы (см. рис. 3.3, б) следует, что с повышением
давления рн или температуры удельная теплота парообразования
г уменьшается и при критических параметрах (точка Л) становитс я
равной нулю, т. е. в этих условиях процесс парообразования как
таковой отсутствует.
Состояние влажного насыщенного пара (точка е на рис. 3.3) мо-
жет быть определено, если, кроме давления рн или температуры^,
известен состав смеси, состоящей из кипящей воды и сухого пара,
который характеризуется степенью сухости х. Так как 1 кг влажно-
го пара состоит из х кг сухого насыщенного пара удельным объемом
v" и (1 — х) кг кипящей воды удельным объемом то удельный
объем влажного пара
ve = vx ~ xv" + (1 —x)v'. (1.136)
Для обычных условий v' <С v", поэтому вторым слагаемым в ра-
венстве (1.136) можно пренебречь. Тогда
vx& xv", (1.137)
откуда степень сухости влажного пара
х — vx!v",
т. е. любая точка делит отрезок Ьс на рис. 3.3 на части, пропорцио-
нальные степени сухости (отрезок be) и степени влажности (отрезок
ес) пара, что используется для построения линии постоянной степени
сухости (х = const) пара.
С учетом равенства (1.136) удельные энтальпию и энтропию
влажного пара можно определить по формулам
hx = h’ +гх\ (1.138)
sx = s' + гх/Т. (1.139)
Процесс перегрева пара. Этот процесс характеризуется повыше-
нием температуры от температуры насыщения /н до требуемой тем-
пературы перегретого пара t при постоянном давлении за счет до-
полнительного подвода теплоты к сухому насыщенному пару в па-
роперегревателе котлоагрегата (процесс cd на рис. 3.3). Удельный
объем пара при перегреве увеличивается (^ > V"). Следовательно,
пар, имеющий при данном давлении температуру или удельный
объем больше, чем соответствующие параметры сухого насыщенно-
го пара, окажется перегретым. Разность температур t — tH называ-
ется степенью перегрева пара.
Состояние перегретого пара в отличие от насыщенного опреде-
ляется не одним, а двумя независимыми параметрами —- обычно
давлением р и температурой t, т. е. v = f (р, t).
Несмотря на то что для перегретого пара получено множество
уравнений состояния, связывающих основные параметры состояния
(например, уравнение Вукаловича — Новикова), из-за сложнос-
ти их в практических расчетах не используют. Поэтому составлены
подробные таблицы (см. табл. П.З приложения) удельных параметров
перегретого водяного пара и, h и s в зависимости от давления р и тем-
66
пературы t. Количество теплоты, необходимой для перегрева 1 кг
сухого пара до требуемой температуры t при постоянном давлении,
называется удельной теплотой перегрева дпер. Аналогично (1.129)
можно записать
t
?пеР — У cd ~ h h = У CpdT, (1.140)
откуда h = Л" + срт (t — ta), (1.141)
где срп1 — удельная изобарная теплоемкость перегретого пара, ко-
торая зависит как от температуры, так и от давления.
Поскольку согласно первому закону термодинамики
7пер = (« —• и) + p(v — v"),
изменение удельной внутренней энергии пара
Д/Лу/ — 7пер — Р (V — v") = h — h' — p(v — v"Y (1.142)
Изменение удельной энтропии в процессе изобарного перегрева
пара согласно выражению (1.128)
т
As../ s-s"- cpdT/T = срт In (Т/Тп). (1.143)
7н
Следовательно, процесс перегрева пара на Т—«-диаграмме
(см. рис. 3.3, 6) изображается логарифмической кривой cd, а удель-
ная теплота перегрева //„ср — площадью под этой кривой.
Гак как удельное количество теплоты в изобарном процессе рав-
но разности удельных энтальпий ((/ж ~ /г'; г = /г" —h'\ quep =
- /i — Л"),то площадь под изобарой на Т s-диаграмме будет оп-
ределять удельную энтальпию в данной точке изобары. Следователь-
но, удельная энтальпия кипящей воды h' == пл. Iabs'oa\, удельная
энтальпия сухою насыщенного пара h — пл. jabcdsal и удельная
энтальпия перегретого пара h ~ пл. \ abcdsoa\.
Изображение удельных теплоты процесса и энтальпии в виде
площадей весьма наглядно, что является преимуществом Т — «-ди-
аграммы по сравнению с диаграммами другого вида. Правда, для
получения количественных результатов необходимо выполнять из-
мерения и рассчитывать площади, что усложняет расчет и снижает
его точность.
3.4. //—s-диаграмма и анализ основных
термодинамических процессов
с водяным паром
В практических расчетах процессов с водяным паром широкое при-
менение получила h — s-диаграмма, на которой удельные теплота
и энтальпия измеряются не площадями, а линейными отрезками.
В системе координат h — s (рис. 3.4) строят пограничные кривые
А К и КВ по табличным данным h', s' и Л", s". Пограничная кривая
5
67
P- const
л.____
Рис. 3.4. h — «-диаграмма водяного пара
жидкости проходит через начало координат, так как при tH == О °G
удельные энтропия и энтальпия жидкости считаются равными нулю.
Затем наносят изобары, которые в области насыщенного пара,
будучи одновременно и изотермами, являются прямыми линиями,
поскольку на h — s-диаграмме угловой коэффициент изобары
dh/ds = Ttids/ds = 7Н — const, т. е. в области влажного пара явля-
ется постоянной величиной. Так как при повышении давления тем-
пература насыщения пара увеличивается, то угол наклона изобар
в области насыщенного пара также возрастает, т. е. изобары между
пограничными кривыми становятся расходящимися прямыми.
В области перегретого пара изобары и изотермы расходятся, при-
чем изобары поднимаются вверх в виде логарифмических кривых, а
изотермы стремятся к горизонтали. Это объясняется тем, что с по-
нижением давления перегретый пар по своим свойствам приближает-
ся к идеальному газу, удельная энтальпия которого зависит только
от температуры, т. е. линии t — const одновременно являются ли-
ниями h = const. В области влажного пара на h — s-диаграмму на-
носятся линии его одинаковой степени сухости % == const. На эту же
диаграмму часто наносят изохоры, которые проходят круче изобар
(см. рис. 3.5, где они показаны штриховыми линиями).
h — s-диаграмма обладает рядом важных свойств: по ней можно
быстро определить параметры пара и разность удельных энтальпий
в виде отрезков, наглядно изобразить адиабатный процесс (что очень
важно при изучении работы паровых двигателей), решать другие
задачи. Обычно для практического использования в большом мас-
штабе строят так называемую рабочую часть диаграммы (на рис. 3.4
эта часть ограничена штрихпунктирной линией). Такая диаграмма
изображена на рис. 3.5.
68
Анализ основных термодинамических процессов с водяным па-
ром. В задачу анализа термодинамических процессов с водяным па»
ром входят те же вопросы, что и с идеальным газом.
Выше отмечалось, что пар как реальный газ не подчиняется про-
стым закономерностям идеального газа, поэтому расчеты процессов
с водяным паром проводятся с использованием таблиц (более точно)
или графически с применением диаграмм. В первом случае все
Удельная энтальпия ft
Рис. 3.6. Графики изохорного процесса с водяным паром в р — v-координатах
(а), Т — s-координатах (б) и на h — s-диаграмме (в)
необходимые исходные данные и конечные параметры берутся из
таблиц для насыщенного и перегретого пара [7]. Во втором случае
используется h — s-диаграмма. При этом по заданным параметрам
устанавливается начальное состояние пара, затем проводится линия
процесса и определяются параметры его конечного состояния. Пос-
ле этого вычисляются изменения удельной внутренней энергии Azz,
удельная выполняемая работа I и удельная теплота q в процессе.
Ниже рассматриваются некоторые особенности основных термо-
динамических процессов с водяным паром. Для графического изо-
бражения на диаграммах выбраны начальные состояния в области
влажного насыщенного пара (/) и конечное состояние в области пе-
регретого пара (2).
Изохорный процесс (рис. 3.6). Из р — ^-диаграммы (рис. 3.6, а)
следует, что если начальный удельный объем влажного пара >
> vKp, то при постоянном объеме влажный пар можно перевести в
сухой насыщенный и перегретый (прямая /-2). Если vr < икр, то под-
вод теплоты к влажному пару (прямая Г-2') сопровождается не под-
сушкой его, а увлажнением (степень сухости влажного пара умень-
шается). В этом процессе удельная работа / = 0, поэтому в соответ-
ствии с первым законом термодинамики удельная теплота
qv = \и — и2 —
Поскольку значения удельной внутренней энергии в справочных
таблицах не приводятся и их нельзя получить непосредственно из
h — s-диаграммы (рис. 3.6, в), использовав формулу (1.126), запи-
шем
q = (h2 — p2v) — (йх — prv),
или
q = hi — hl = v(p2 — pi). (1.144)
Изобарный процесс (рис. 3.7). Уже неоднократно указывалось,
что в области влажного пара (двухфазного состояния) изобара сов-
падает с изотермой и в /г — s-диаграмме изображается прямой, а в
области перегретого пара — кривой с выпуклостью вниз.
Изменение удельной внутренней энергии пара
Д«р = и2 — Ui = (h2 — pv2) — (hi — pvj), (1.145)
70
или
h2 —h± — р (v2 —v^), (1.145a)
Удельная работа, выполняемая в процессе,
Zp = p(v2-Vi). (1-146)
Удельная теплота в процессе согласно формуле (1.127)
qp^h2-hv (1.147)
Изотермический процесс (рис. 3.8). Следует обратить внимание
на то, что изотерма в области насыщенного пара совпадает с изоба-
рой и удельная энтальпия пара изменяется значительно.
Рис. 3.7. Графики изобарного процесса с водяным паром в р — и-координатах
(п). Т — s-координатах (б) и на h — s-диаграмме (в)
Рис. 3.8. Графики изотермического процесса с водяным паром в р — и-коордц-
натах (а), Т — s-координатах (б) и на А — s-диаграмме (в)
Рис. 3.9. Графики адиабатного процесса с водяным паром в р — v-координатах
(а), Т — s-координатах (б) и на h — s-диаграмме (в)
71
В отличие от идеального газа у водяного пара в изотермическом
процессе происходит изменение удельной внутренней энергии, при»
чем
Aw = и2 — = (h2 — p2v2) — (Ах — /ад),
или
Aw = ft2 —Ai —(p2v2 — РЛ). (1.148)
Удельную теплоту в этом процессе удобно рассчитывать по фор-
муле
дт ~ Т (s2 — sj.
Удельная работа, выполняемая в процессе, определяется на ос-
новании первого закона термодинамики:
1т == дт — Aw.
Адиабатный процесс (рис. 3.9). При адиабатном процессе расши-
рения пара его давление и температура понижаются и, как это сле-
дует из графиков, перегретый пар становится сухим насыщенным
(точка /'), а затем влажным (точка 2). В этом процессе dq = 0 и
удельная работа расширения совершается за счет изменения удель-
ной внутренней энергии пара:
ls = = иг — и2 = — (h2 — p2v2). (1.149)
Адиабатный процесс с водяным паром может быть приближенно
описан эмпирическим уравнением pvh = const, по виду не отлича-
ющимся от уравнения адиабаты для идеального газа. В случае су-
хого пара показатель адиабаты k = 1,135, а в случае перегретого —
k = 1,3 (этот показатель не равен отношению cp/cv, а является лишь
эмпирическим показателем степени).
Примеры решения задач
Задача 3.1. Определить состояние и удельные калорические параметры водяного
пара при давлении р = 1,6 МПа и температуре t — 500 °C.
Решение. При заданном давлении пара по табл. П.1 приложения на-
ходим температуру насыщения /н = 201 °C, т. е. t > /н и, следовательно, пар
перегретый. Из таблиц для перегретого пара следует: v = 0,2201 м3/кг; h =»
«= 3472 кДж/кг;$ — 7,537 кДж/(кг • К).
Удельная внутренняя энергия пара
16- 106
и = h — pv = 3472 ---------- 0,2201 = 3020 кДж/кг.
Задача 3.2. Водяной пар, начальное давление которого = 0,3 МПа и
температура t — 150 °C, изотермически сжимается до уменьшения объема в три
раза. Определить термические параметры начального и конечного состояний па-
ра, изменения его удельных калорических параметров и энергетические характе-
ристики процесса (удельные работу и теплоту).
Решение. Из табл. П.З приложения для перегретого пара при =
= 0,3 МПа и / = f 150 °C находим иА — 0,634 м3/кг, hr == 2761 кДж/кг и Sj =
= 7,079 кДж/(кг К). Тогда
иг — /ц — pvt = 2761,2 — 0,3 • 103 • 0,634 = 2571 кДж/кг.
Удельный объем пара в конечном состоянии v2 = и3/3 = 0,2113 м3/кг. Из
табл. П. 2 приложения для насыщенного водяного пара при /н == 150 °G
следует v' — 0,000109 м3/кг и v" = 0,3926 м3/кг.
72
Таким как v' < v2 < то конечное
состояние пара находится в области влаж-
ного насыщенного пара со степенью су-
хости
У2-У
2 у" — у’
0,2113 — 0,00109
== 0,3926 — 0,00109
Определяем остальные параметры ко-
нечного состояния пара: давление р2 рпв-
но давлению насыщения ри, соответству-
ющему температуре / == 150 °C, т. е. р2 =
= рн = 0,4759 МПа;
h2 = h'c + кг = 632,2 + 0,537 . 2114,1 =
= 1767,5 кДж/кг;
Рис. 3.10. К примеру 3.3
s2 = s' + х (s" — s') = 1,8416 + 0,537 (6,8381 — 1,8416) = 4,5247 кДж/кг|
u2 = h2 — p2v2 =* 1767,5 — 0,4759 • 103 • 0,2113 = 1666,9 кДж/кг,
Изменения удельных калорических параметров пара:
А/г == /ц — hi = 1767,5 — 2761,2 = — 993,7 кДж/кг;
Aw = и2 — Ui = 1666,9 — 2571 — — 904,1 кДж/кг;
As = s2 — si = 4,5247 — 7,0791 = — 2,5544 кДж/(кг . К),
Удельное количество теплоты в процессе
q = Tbs = 423 (— 2,5544) = — 1080,5 кДж/кг.
.Удельная работа в процессе
I = q — Ан = — 1080,5 — (— 904,1) = — 176,4 кДж/кг.
Задача 3.3. Перегретый пар, начальные давление и температура которого
Й = 3 МПа, ti = 350 °C, адиабатно расширяется до давления р2 = 0,2 МПа.
ользуясь h — s-диаграммой, определить параметры состояний (t^, hlt /а, u2t
х2), удельную работу и изменение удельной внутренней энергии в этом процессе.
Р с ш е и и е. 1 la h — s-диаграмме в месте пересечения изобары рА — 3 МПа
п изотермы /( 350 °C находим точку 1 (рис. 3.10), характеризующую началь-
ное состояние пара; этому состоянию на вертикальной оси соответствует удель-
ная энтальпия hv = 3100 кДж/кг. Адиабатный процесс будет изображаться
вертикальной прямой (s = const) до пересечения с изобарной р2 = 0,2 МПа.
Точка 2 характеризует конечное состояние пара, где х2 = 0.93 и h2 »
= 2552 кДж/кг.
Температура пара в точке 2 определяется изотермой, проходящей через
эту точку, т. е. изотермой, которая проходит через точку пересечения изобары
р2 ~ 0,2 МПа с пограничной кривой х = 1 (t2 = 120 °C).
Удельные объемы и v2 определяются значениями изохор, проходящих
через точки 1 и 2, т. е. = 0,09 м3/кг, v2 = 0,83 м3/кг (точнее эти объемы
можно найти по таблицам для водяного пара [7]). Изменение удельной внут-
ренней энергии в процессе на основании (1.20)
Aws = «2 — Ui = (h2 - p2v2) — (hi — p^) =
-= (2552 — 0,2 • 108 • 0,83/103) — (3100 — 3 - 106 • 0,09/103) = — 454 кДж/кг.
Удельная работа в процессе
— Au == 454 кДж/кг.
73
Контрольные вопросы и задания
1. Изобразите на р — v-диаграмме изотермы по уравнению состояния Ван-дер-
Ваальса и действительные изотермы реального газа.
2. Что такое насыщенный и перегретый пар? Какие бывают виды насыщенного
пара?
3. Являются ли давление и температура в процессе кипения вещества неза-
висимыми параметрами?
4. Покажите на фазовых р — v- и Т — s-диаграммах * области жидкого со-
стояния, влажного и перегретого пара.
5. Как графически на Т — s-диаграмме можно показать удельную энтальпию
кипящей жидкости h", удельную теплоту парообразования г и удельную
теплоту перегрева пара <?п?
6. Запишите выражение для определения параметров влажного насыщенного
пара со степенью сухости х.
7. В чем преимущество h — s-диаграммы по сравнению с другими диаграммами?
8. Какие особенности расчета изотермического процесса с водяным паром (ре-
альным газом) по сравнению с идеальным газом?
Глава 4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ВЛАЖНОГО ВОЗДУХА
И ПРОЦЕССЫ С НИМ
4.1. Основные определения и характеристики
В технике часто используются смеси газов с парами, которые при
определенных условиях легко конденсируются. Наиболее характер-
ным примером парогазовых смесей является атмосферный воздух,
в котором всегда находятся водяные пары. Смесь сухого воздуха с во-
дяным паром называется влажным воздухом **. Знание свойств влаж-
ного воздуха имеет особенно большое значение для проектирования
и эксплуатации сушильных и вентиляционно-увлажнительных
установок.
В атмосферном воздухе, как правило, пар находится под неболь-
шим парциальным давлением и в перегретом состоянии. Поэтому
влажный воздух можно рассматривать как смесь идеальных газов,
за исключением того, что при определенных условиях в ней проис-
ходит конденсация водяного пара (фазовое превращение).
Согласно закону Дальтона давление влажного воздуха, которое
равно барометрическому рбар, представляет собой сумму парциаль-
ных давлений сухого воздуха и водяного пара рп, т. е.
Рбар = Рв + рп- (1.150)
Состояние перегретого пара в смеси характеризуется на р>—и-
диаграмме точкой А (рис. 4.1). Смесь сухого воздуха и перегретого
пара называется ненасыщенным влажным воздухом.
* Как уже упоминалось, фазовые диаграммы представляют собой систе-
мы координат (р — v, Т — s) с кривыми для жидкости (х = 0) и пара (х = 1).
** Кроме пара, в воздухе могут находиться мельчайшие капельки воды
или кристаллики льда. Такую смесь называют туманом (водяной или ледяной
туман). Здесь рассматривается только влажный воздух.
74
При заданных температуре и дав-
лении влажного воздуха всегда су-
ществует такое состояние, когда в
нем содержится максимально возмож-
ное в этих условиях количество водя-
ного пара. Этому состоянию на р—
и-диаграмме будет соответствовать
точка В, где водяной пар является
сухим насыщенным. При этом плот-
ность водяного пара будет максималь-
ной р™ах и равной плотности сухого
насыщенного пара рн при заданной
температуре влажного воздуха /, т. е.
р™ах = р". Смесь сухого воздуха и су-
хого насыщенного водяного пара на-
Рис. 4.1. К определению харак-
теристик влажного воздуха
зывается насыщенным влажным воздухом.
Таким образом, точка В на рис. 4.1 соответствует максимально
возможному количеству водяного пара во влажном воздухе при дан-
ной температуре н является пределом насыщения.
Процесс насыщения может происходить и при неизменном ко-
личестве водяного пара, если охлаждать насыщенный влажный
воздух при постоянном парциальном давлении пара рп (процесс
А-С). В точке С пар становится насыщенным, и при дальнейшем не-
значительном снижении его температуры образуется туман (проис-
ходит выпадение росы). Температура, до которой необходимо охла-
ди! ь влажный воздух при постоянном давлении, чтобы он стал на-
сыщенным, называется температурой точки росы tp. Следователь-
но, температура точки росы в каком-либо состоянии влажного
воздуха равна температуре насыщения, соответствующей данному
парциальному давлению пара, и определяется по таблицам для
насыщенного пара [7].
Чтобы охарактеризовать паровоздушную смесь, нужно знать
ее состав. О составе влажного воздуха судят по его влажности и вла-
госодержанию. Различают абсолютную и относительную влажность.
Абсолютной влажностью воздуха, или массовой концентрацией
водяных паров в воздухе, называется количество водяного пара,
приходящегося на 1 м3 влажного воздуха, т. е.
mn!V^ = mn/V„ = рп.
(1.151) .
Поскольку объем влажного воздуха Ив.в равен объему пара Рп, аб-
солютная влажность воздуха численно равна плотности содержаще-
гося в нем водяного пара рп.
Отношение абсолютной влажности рп к максимально возможной
абсолютной влажности р™ах = рн, соответствующей температуре /н,
характеризует степень насыщения и называется относительной
влажностью воздуха, т. е.
/ max /
Ф = Рп/Рп = Рп/рн-
(1.152)
75
~ Относительная влажность может изменяться от <р = 0 (сухой
воздух) до <р == 100 % (влажный насыщенный воздух), т. е. 0
ср 1, и характеризует степень насыщения воздуха водяным
паром по отношению к состоянию полного насыщения при той же
температуре.
С учетом того, что пар, находящийся в воздухе, рассматривается
как идеальный газ, отношение плотностей на изотерме АВ можно
заменить отношением давлений (рпУп — pHVH):
<Р = Рп/рн = Рп/Рн- (1.153)
Парциальное давление в состоянии насыщения рн находят из
таблиц для насыщенного пара по температуре /н = /в.в [7]. Парци-
альное давление рп также определяют по этим таблицам, зная тем-
пературу точки росы /р.
Поскольку в процессах с влажным воздухом (подогрев, охлаж-
дение) количество сухого воздуха не меняется, целесообразно все
удельные величины относить к 1 кг сухого воздуха. Масса водяного
пара, приходящегося на 1 кг сухого воздуха, называется влагодер-
жанием:
d = mn/mc.B. (1.154)
При введенном допущении об идеальности водяного пара и су-
хого воздуха можно записать:
Рп^П 33 Рв^С-В = ^с.в7?с.вГс.в.
Считая, что Уд = Ус.в и Тп = Тсл, получаем
d == mn/mc.B = 7?с.вРп/(^пРс.в) = 287рл/(462рс.в) = 0,622рп/рс.в. (1.155)
Если учесть, что рбар = Рс.в + рп и рп = фрн, то
d = 0,622фрн/(рбар — фрн)* (1.156)
Значения d, выраженные в килограммах пара на 1 кг сухого возду-
ха, малы; поэтому в практических расчетах влагосодержание d вы-
ражают в граммах влаги на килограмм сухого воздуха, т. е.
d .== 622фрп/(рбар — ФРН)* (1.156а)
Плотность влажного воздуха можно определить как сумму плот-
ностей пара рп и сухого воздуха рс.в при их парциальных давлениях:
Рв.в ~ Рс.в “F Рп*
Так как d == рп/рс.в, то
рв.в = рс.в(1 + d) = Pn(l +d)/d. (1.157)
Энтальпию влажного воздуха относят к 1 кг сухого воздуха или
к (1 + d) кг влажного воздуха и определяют как сумму энтальпий
1 кг сухого воздуха и d кг водяного пара:
Н =* /гс.в + hnd = cpcJ + hnd. (1.157а)
При температурах и давлениях, применяемых в сушильных
установках, приблизительно можно считать удельную темплоемкость
76
еухого воздуха срс,& = 1 кДж/(кг • К), а удельную энтальпию во-
дяного перегретого пара hn = (г + cpnt) кДж/кг. Тогда при малых
давлениях удельная теплота парообразования г = 2500 кДж/кг>
удельная теплоемкость перегретого пара срп = 1,9 кДж/кг и выра-
жение (1.157а) принимает вид
Н = / + (2500+ 1,9/) d. (1.158)
4.2. Н—d-диаграмма влажного воздуха
Определение параметров влажного воздуха, исследование процес-
сов с ним значительно упрощаются и становятся наглядными, если
использовать Н — d-диаграмму влажного воздуха, предложенную
в 1918 г. проф. Л. к. Рамзиным (рис. 4.2).
Для удобства (увеличения площади диаграммы) ось абсцисс на-
правлена под углом 135° к оси ординат. Поэтому линии Н = const
оказываются наклоненными под углом 45° к горизонту. Чтобы со-
кратить размеры диаграммы, значения влагосодержания de оси абс-
цисс снесены на горизонтальную условную ось О — О'.
На диаграмму наносят сетку изотерм, построенную по формуле
(1.158). Эти изотермы представляют собой прямые линии, угловой
коэффициент которых определяется уравнением dH/dd ~ 2500 +
+ 1,9/. На каждой изотерме находят точки с одинаковыми значе-
ниями относительной влажности воздуха ср. Соединив их, получают
сетку кривых ф = const. Кривая <р = 100 % изображает состояния
влажного насыщенного воздуха и является пограничной. Она раз-
дечяет область ненасыщенного влажного воздуха (сверху) и область
пересыщенного воздуха (снизу), в которой влага частично нахо-
дится в капельном (или твердом — снег, лед) состоянии.
77 — d-диаграмму строят обычно для давления влажного возду-
ха /?бар ~ 99 кПа, что соответствует среднему годовому барометри-
ческому давлению в центральных районах СССР.
Липни = const поднимаются до изотермы 99,4 °C (температу-
ра насыщения при р = 99 кПа), после чего становятся почти вер-
тикальными, так как при / > /„ относительная влажность воздуха
Ф зависит только от влагосодержания d. Действительно, при / >
> /н парциальное давление пара рп = ФРбар. Тогда
d = 0,622<ррбар/(Рбар + ФРбар) = 0,622ф/( 1 — ф),
или
€Р = d/(d + 0,622).
Следовательно, при d = const и <р = const.
В нижней части диаграммы по формуле (1.155) построоена ли-
ния парциального давления пара рп = f (d).
Состояние влажного воздуха (точка Л) можно определить по ка-
ким-либо двум параметрам (ф и / или рп и /), после чего легко найти
Н и d. Для этого же состояния можно установить и температуру
точки росы, для чего следует из точки А провести вертикаль
77
Рис. 4.2. Н — d-диаграмма влажного воздуха
(d = const) до пересечения с линией <р = 100 %. Тогда изотерма,
проходящая через точку пересечения Л', будет соответствовать тем-
пературе точки росы /р.
Исходными для определения параметров состояния влажного
воздуха по Н — d-диаграмме служат показания сухого и мокрого
термометров, которые в комплекте образуют прибор, называемый
психрометром.
Ртутный шарик мокрого термометра обернут тканью, смочен-
ной водой. При обдувании этого термометра воздухом происходит
испарение воды с поверхности влажной ткани, вследствие чего ее
температура будет понижаться до тех пор, пока не установится рав-
новесие за счет притока теплоты из окружающих слоев воздуха. Ус-
тановившаяся температура будет больше температуры точки росы,
но меньше температуры окружающего воздуха (сухого термометра).
Эту установившуюся температуру воды называют температурой
мокрого термометра tM. Разность между температурами сухого (/с)
и мокрого (tM) термометров является мерой количества водяного па-
ра в смеси. Если воздух насыщен водяным паром, то /с = /м. Зави-
симость влагосодержанпя воздуха d от температур tc и tM устанав-
ливается экспериментально и составляются специальные психромет-
рические таблицы или диаграммы.
Если допустить, что температура влажной поверхности (испаря-
емой влаги) равна О °C, то испарение будет происходить только за
счет теплоты влажного воздуха, температура которого снижается,
а влагосодержапне повышается. Однако энтальпия влажного воз-
духа остается неизменной (// const), так как часть ее, затрачен-
ная па испарение влаги, возвращается обратно во влажный воздух
с испарившейся влагой, т. е. данный процесс протекает без внешне-
го теплообмена. В этом смысле процесс насыщения воздуха можно
считать адиабатным. Поэтому температура, которую приобретает
воздух в конце процесса насыщения (ср = 100 %), называется тем-
пературой адиабатного насыщения /а. При указанных допущениях
эта температура очень близка к температуре мокрого термо-
метра.
('ледовательно, // —d-диаграмме процесс адиабатного увлажне-
ния будет протекать по линии Н = const (процесс c-k на рис. 4.2).
Пределом адиабатного увлажнения воздуха будет температура,
соответствующая его полному насыщению (ср = 100 %).
Если испарение происходит с поверхности жидкости, температу-
ра которой /.,< > 0 °C, то этот процесс протекает не по линии Н =
const, а ио Линин /м = const, которая является геометрическим
местом точек с одинаковой темпера турой мокрого термометра. Линии
/м = const проходят несколько положе липин Н = const, методика
построения их излагается в специальных пособиях.
Показания психрометра дают возможность по Н — d-диаграмме
определить относительную влажность и другие характеристики
влажного воздуха. Для этого необходимо по показаниям мокрого
термометра найти изотерму /м, которая на пересечении с кривой
(р = 100 % даст точку К. Проведя из этой точки прямую/7 = const
до пересечения с изотермой /с, получим искомую точку, соответству-
ющую состоянию влажного воздуха, которая и определяет все пара-
метры влажного воздуха (ф, d, /7, рп) в исследуемом помещении.
Основные процессы с влажным воздухом. Н — d-диаграмма ши-
роко применяется при расчетах процессов, обеспечивающих суш-
ку различных материалов и изделий, кондиционирование воздуха,
вентиляцию и отопление. Рассмотрим некоторые из них.
79
Н
исм “2 “
Рис. 4.3. К определению пара-
метров смеси влажного воздуха
по Н — d-диаграмме
Процесс нагревания воздуха на
Н — d-диаграмме изображается вер-
тикальной линией d = const, по-
скольку количество водяного пара в
воздухе при его подогреве не изме-
няется (линия АВ на рис. 4.2). Со-
стояние влажного воздуха после по-
догрева (точка Ь) можно определить
по температуре воздуха за подогре-
вателем.
Процесс охлаждения воздуха про-
текает также без изменения его влаго-
содержания, если при охлаждении
воздух не становится насыщенным
(линия CD на рис. 4.2). Если охлаж-
дение воздуха происходит до состоя-
ния полного насыщения с <р = 100 %
(линия СЕ), то пересечение линии
d = const с линией <р = 100 % (точка Е) определяет температуру
точки росы. В этом состоянии водяной пар во влажном воздухе ста-
новится насыщенным. Дальнейшее охлаждение воздуха ниже точки
росы (линия EF) приводит к конденсации части водяного пара, т. е.
к осушению влажного воздуха. Количество сконденсированной
влаги определяется разностью влагосодержания в точках Е и F.
Процесс смешивания влажного воздуха сводится к следующему.
Если в камеру смешивания поступают два потока влажного воздуха
массой т1 и т2, состояния которых характеризуются в точках 1 и 2
(рис. 4.3) параметрами dlt Hlt t± и d2, #2, 4» то состояние влажного
воздуха после смешивания можно установить на основании уравне-
ния теплового баланса
т1Н1 + т2Н2 = (тх + т2) Ясм
и уравнения баланса влаги
m1d1 + m2d2 = (т± + т2) dCM.
Решив эти уравнения относительно Нсм и dCM, получим
Есы (^i-^i “F ^2-^а)/(^1 4- ^2)» (1.159)
dCM = + m2d2)l(mr + т2). (1.160)
После преобразования этих выражений запишем
(d2 dCM)/(dCM ^1)~ ш2. (1.161)
, Следовательно, процесс смешивания изображается на рис. 4.3
прямой линией, проходящей через точки 1 и 2. Если расстояние меж-
ду ними разделить обратно пропорционально массам смешиваемого
воздуха т1 и т2, то получим точку С, характеризующую состояние
смеси влажного воздуха с параметрами /7См и dCM.
Процесс удаления влаги из материала путем подвода к нему
теплоты называется сушкой. Осуществляется он в сушильных уста-
80
a 5
Рис. 4.4. Схема конвективной сушилки (а) и процессы в теоретической сушил-
ке на Н — d-диаграмме (б)
ловких, из которых и ап болы нес распространение получили конвек-
тивные сушилки, где теплота к высушиваемому материалу от газо-
образного теплоносителя передается конвекцией. В качестве тепло-
носителя используется в основном предварительно нагретый воздух.
Основными элементами конвективной сушилки (рис. 4.4, а) яв-
ляются вентилятор 1 для подачи воздуха, калорифер 2 — устрой-
ство для нагрева воздуха и сушильная камера 3, в которой происхо-
дит процесс испарения влаги из высушиваемого материала или из-
делия.
Рассмотрим процессы, протекающие в так называемой теорети-
ческой сушилке, т. е. в сушилке, не имеющей потерь теплоты в окру-
жающую среду и на нагревание высушиваемого материала. Из пре-
дыдущего известно, что процесс подогрева воздуха в калорифере
протекает при d --= const и изображается вертикальной прямой 1-2
(рн • 1.1, о). Разность орчинат ГГ2 — ГЦ соответствует расходу теп-
,Ю1Ы па подогрев (1 I d) кг влажного воздуха. После калорифера
нагретый воздух поступает в сушильную камеру, где он использу-
ется для испарения влаги из высушиваемого материала и при этом
увлажняется.
Процесс адиабатного увлажнения воздуха в сушильной камере
теоретически протекает по линии Н == const (линия 2-3). Разность
влагосодержаний d3 — d2 определяет количество влаги, испарен-
ной 1 кг сухого воздуха. Совершенно очевидно, что для испарения
1 кг влаги масса сухого воздуха (в килограммах) должна составлять
mc.n- 1000/(rf3 — d2), (1.162)
а расход теплоты (в килоджоулях на килограмм испаренной вла-
ги) определяется выражением
q^m^H^-H^). (1.163)
6 9-2570
81
Примеры решения задач
Задача 4.1. Влажный воздух при 100 кПа и t — 40 °C имеет относитель-
ную влажность ср = 80 %. Определить остальные его характеристики.
Р е ш е н и е. По таблицам для насыщенного пара [7] при I = 40 °C на-
ходим рн = 7,4 кПа ирн= 0,051 кг/м3.
Абсолютная влажность воздуха на основании (1.152)
рп = <ррн = 0,8 • 0,051 — 0,041 кг/м3,
а парциальное давление водяного пара на основании (1.153)
ри = <ррн = 0,8 « 7,4= 5,9 кПа.
Влагосодержание влажного воздуха по (1.155) ч
кг
d = 0,622рп/рс в = 0,622рп/(р - рп) = 0,622 . 5,9/(100 - 5,9) = 0,039 ^“^7“ •
Энтальпия влажного воздуха по (1.158)
Н = t + (2500 + 1,9/) d = 40 + (2500 4- 1,9-40). 0,039 = 140
кДж
кг с. в.
Плотность влажного воздуха по (1.157)
рв g = рп (1 4- d)/d = 0,041 (1 4- 0,039)/0,039 = 1,09 кг/м3.
Примечание, При одинаковых р и t плотность влажного воздуха меньше,
чем сухого (так, по условию примера рс в = ~ 287~зТз' = ’ кг/м3,
Т. Рв.в Рс.в)*
Задача 4.2. В смесительную камеру поступают два потока влажного воз-
духа: первый — с массовым расходом = 0,3 кг/с, температурой ti = 35 °G
и относительной влажностью фх = 45 %; второй — с массовым расходом т2 =
== 0,5 кг/с, температурой t2 = 45 °C и относительной влажностью ф2 = 85 %.
Определить влагосодержание, энтальпию и температуру смеси.
Р е ш е в и е. По заданным параметрам и фх находим начальное и конеч-
ное состояния влажного воздуха на Н — d-диаграмме:
di= 16
г
кг с. в.
= 77
кДж
кг с. в.
d2 = 54
г
кг с. в.
Влагосодержание смеси по (1.160)
— + m2d2 __ 0,3 • 16 4~ 0,5 » 54 _ г
см ~ тг 4- т2 0,3 4- 0,5 кг с. в.
Энтальпия смеси по (1.159)
/у _ т2^2 _ 0,3 • 77 4- 0,5- 186 _ 145 кДж
см ~ m1 + m2 0,8 кг с. в.
На И — d-диаграмме состояние смеси изображается точкой с (см. рис. 4.2),
которой соответствует температура смеси /см = 44 °C.
Задача 4.3. Атмосферный воздух, имеющий температуру tr — 25 °C и отно-
сительную влажность ф = 55 %, подогревается в калорифере сушилки до тем-
пературы /2 = &0 °C и поступает в сушильную камеру, откуда выходит при тем-
пературе /3 = 35 °C. Определить конечное влагосодержание воздуха, теорети-
ческий расход теплоты и воздуха на 1 кг испаренной влаги.
Решение. Находим начальное состояние воздуха на Н — d-диаграмме
по пересечению изотермы tt = 25 °C с линией фх = 55 % (точка 1 на рис. 4.2),
где = 10,2 г/(кг с. в.); — 52 кДж/(кг с. в.).
82
Состояние воздуха после подогрева определяется точкой 2 на пересече-
нии линий dl = const и = 80 °C, где находим точку 3, характеризующую
состояние воздуха после сушильной камеры. Здесь d3 = 28 г/(кг с. в.); 2/3 =
= 110 кДж/(кг с. в.); (р = 80 %.
Таким образом, па 1 кг сухого воздуха испаряется влаги Ad — d3 — dx =
= 28 — 10,2 = 17,8 кг. Для испарения 1 кг влаги, очевидно, потребуется
1000 : 17,8= 55,5 кг сухого воздуха.
Расход теплоты в калорифере на 1 кг сухого воздуха
q = — = 110 — 52 = 58 кДж/кг.
Расход теплоты на 1 кг испаренной влаги, т. е. на 55,5 кг сухого воз-
духа
Q = qmc u = 58 • 55,5 = 3219 кДж.
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется насыщенным и ненасыщенным влажным воздухом?
2. Что называется абсолютной и относительной влажностью влажного воз-
духа?
3. Что называется влагосодсржаиисм влажною воздуха?
4. Объясните, как вычисляется энтальпия влажного воздуха.
5. Чг<> наи,1вае1ся 1смнературой ючки росы и как се можно определить?
6. I l.i какие обласш делит // d-диаграмму линия насыщения ср = 100 %?
7. Обьясннче, как найти состояние влажного воздуха на И — d-диаграмме по
показаниям сухого и мокрого термометров.
8. При каких постоянных характеристиках влажного воздуха протекают про-
цессы подогрева и адиабатного увлажнения воздуха?
Глава 5. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
АНАЛИЗА ПОТОКА ГАЗОВ И ПАРОВ
5.1. Основные понятия и определения
Во многих областях инженерной деятельности широко применяют-
ся машины и аппараты, в которых рабочее тело находится в непре-
рывном движении (потоке). При этом вещество поступает в одном
меси* системы с <> пределен нон скоростью н параметрами pL,
7'r а в друкам удаляется со скоростью w2 п параметрами р2,
7’.,. Примером 1акнх систем могу г служить участок канала перемен-
ного сечения, паровые и газовые турбины, компрессоры, паровые
котлы и другие теплообменные устройства.
Для термодинамического анализа потока принимают следующие
допущения:
1) переменную но поперечному сечению потока скорость (у са-
мой стенки канала опа равна нулю и максимальна на оси канала)
заменяют средним значением w, которое определяется выражением
w = га/(р/) = mV If,
где tn — массовый расход; р — плотность потока; f — площадь по-
перечного сечения канала;
2) рассматривают только такой поток, в котором скорость и дру-
гие параметры в каждом его сечении не изменяются по времени, т. е.
(/становившийся (или стационарный) поток, характеризуемый.
ь*
83
постоянством массового расхода
т = fw/v — const,
или
mv=fw. (1.164)
Уравнение (1.164) отражает условие неразрывности (сплошное*
ти) потока. Логарифмируя, а затем дифференцируя это уравнение
при т = const, получаем уравнение неразрывности в дифференци-
альной форме
df/f + dwlw — dv/v = О,
или , (1.165)
df/f — dv/v — dw/w.
Уравнение (1.165) устанавливает связь между степенью измене-
ния сечения (профиля) канала df/f, степенью изменения объема
dv/v и скорости потока dw/w. Так, если dw/w > dv/v, то df/f < О,
т. е. профиль канала должен быть суживающимся; если dw/w <
< dv/v, то df/f > 0, т. е. канал должен быть расширяющимся; а ес-
ли dw/w — dv/v, то df/f = 0, т. е. канал должен иметь постоянное
сечение *.
5.2. Уравнение первого закона
термодинамики для потока вещества
Исходя из общей схемы открытой системы (рис. 5.1) со стационар-
ным потоком вещества, рассмотрим уравнение (1.33), в котором /пр
представляет собой удельную работу внешних сил, связанную с
затратой энергии на ввод единицы массы вещества в среду с давлени-
ем ру (определяется произведением силы pyfy на секундный путь
т. е. р — p^vf), а также на ее перемещение на выходе из канала
(удельная работа против давления окружающей среды р2, т. е.
“ £2^2)- Алгебраическая сумма этих двух удельных работ на-
зывается удельной работой проталкивания:
= P2v2 — pivl **.
Кроме того, в общем случае к потоку подводится (в компрессоре)
или отводится (в турбине) удельная техническая работа на валу
/техн. Поэтому уравнение (1.33) принимает вид
q = и2 — uv -|- Шо/2 — W2 4 g (г2 — zx) 4- p2v2 + prVy 4 /техн.
Учтя, что Uy 4 pyVy = hy и и2 4 p2v2 = h2, получим математи-
ческое выражение первого закона термодинамики для потока
q = h2 — hy+ wi/2 — wl/2 + g(z2 — zj 4 /теХн, (1.166)
или в дифференциальной форме
bq — dh 4 dw2/2 4- gdz + 6ZTeXH. (1.166a)
* Этот случай характеризует течение так называемой капельной несжимае-
мой жидкости, для которой dv = 0.
** В соответствии с принятым в термодинамике правилом удельную работу,
совершаемую над газом при входе в канал, считают отрицательной (—PyVy).
84
Если к потоку вещества подводится (или отводится) удельная
теплота, то в общем случае она расходуется на изменение удель-
ных энтальпии, кинетической и потенциальной энергии вещества,
а также на выполнение удельной технической работы.
Во многих случаях весьма малым изменением удельной потен-
циальной энергии gz можно пренебречь; тогда уравнение (1.166)
примет вид
q = \h + Д^2/2 + /техн. (1-167)
Сопоставив уравнение (1.167) с уравнением первого закона тер-
модинамики (1.39) в интегральной форме, получим
Рг
+ /техн - — J vdp. (1.168)
Pi
Интеграл в этом выражении изображается на р — V-диаграмме
(рис. 5.2) площадью 12р1/?21 и представляет собой часть удельной
работы изменения объема рабочего тела, которая может быть по-
лезно использована на изменение его удельной кинетической энер-
гии н выполнение удельной технической работы, отчего этот инте-
грал называют удельной располагаемой работой:
Рг Pi
/расп = — j Vdp = J Vdp.
Pl 02
(1.169)
Если кривая Л2 является политропой с показателем и, то
/»| В;
/р.п., J vdp J (Px’p-di"' dp — PiV2). (1.170)
/’.• /’
Сравнив (1.170) с (1.117), запишем
расп
nlt
т. г. удельная располагаемая работа в п
боты изменения объема.
Рис. 5.1. Общая схема открытой
системы со стационарным потоком
вещества
раз больше удельной ра-
Рис. 5.2. Графическое изобра-
жение удельной располагаемой
работы в р — v-координатах
85
В зависимости от показателя политропы удельная располагае-
мая работа может быть как больше, так и меньше удельной работы
изменения объема либо равна ей. Последний случай реализуется,
если процесс 1-2 является изотермическим.
Сопоставив (1.169) и (1.170), выражение первого закона термо-
динамики для потока запишем в виде
Q — Л/z -j- /рас™ (1 • 171)
т. е. теплота, сообщаемая потоку, расходуется на изменение его
энтальпии и удельную располагаемую работу.
5.3. Истечение газов и паров
Истечением называется ускоренное движение рабочего тела по от-
носительно коротким каналам особой формы — соплам с падением
давления в них. Каналы, в которых скорость движения рабочего те-
ла уменьшается, а давление увеличивается, называются диффузо-
рами. Сопла и диффузоры бывают суживающимися и расширяющи-
мися.
Поскольку сопла представляют собой короткие каналы и время
пребывания потока в них незначительное, теплообменом между
стенками канала можно пренебречь и истечение считать адиабатным
(§ = 0). Далее будем рассматривать только неподвижные каналы
(^техн == 0).
Первый закон термодинамики для потока (1.167) имеет вид
0 - А/z + Д^2/2,
нли
Л, — h2 = Д/ = Ш2/2 — 0У?/2, (1.172)
т. е. при адиабатном истечении убыль удельной энтальпии расхо-
дуется на изменение удельной кинетической энергии потока.
В задачу термодинамического анализа истечения входит опреде-
ление скорости и расхода газа на выходе из сопла, а также площади
выходного сечения и профиля (формы) сопла.
Скорость адиабатного истечения можно найти из уравнения
(1.172): _____________
ж,= ]/~2(h}— h2) +!£>?. (1.173)
Во многих случаях w2 и членом до? можно пренебречь.
Тогда
w2 = К2(ЛГ —(1.174)
Разность hr — h2 = h0 называется удельным располагаемым теп-
лоперепадом. Для водяного пара его удобно определять по h — s-
диаграмме (рис. 5.3), где прямая 1-2 изображает процесс адиабат-
ного истечения.
Если h0 выражается в килоджоулях на килограмм, то формула
(1.174) принимает вид
w2 = /2 • 1000^ —Л2) = 44,7 —/z2. (1.175)
16
Рис 5.3. Изображение про-
цесса адиабатного истечения
водяного пара на h — s-jyia-
грамме
Рис. 5.4. Зависимость се-
кундного расхода (а), удель-
ного объема (б) и скорости
(в) истечения от перепада
давлений
Выражение скорости адиабатного истечения идеального газа
может быть получено из (1.168) с учетом принятого допущения
4гехн == О»
Pi
йУг/2 — wl/2 — У vdp.
Рг
Исходя из равенства (1.170), при te/x — 0 и п = k находим
- ]/ 2 | (Л»1 — РА} =
= |-Z2 _ (ft/p,)'»-1"*]. (1.176)
Секундный расход газа т через сопло сечением /2 можно опреде-
лить на основании уравнения (1.164), подставив в него w2 по (1.176)
и v2 из уравнения адиабаты pvvk = p2v^. Тогда
m = /2 |/2 [(p2/P1f'k - (p2/pjk+i)'k]. (1 • 177)
Анализ выражений (1.176) и (1.177) показывает, что для данного
газа и заданных plt скорость адиабатного истечения и секундный
расход газа зависят только от отношения давлений р21рА == Р- Гра-
фики этих зависимостей изображены на рис. 5.4, где кривая k-1-О
построена по формуле (1.177). Как следует из рис. 5.4, а, секундный
расход (кривая k-l) увеличивается с уменьшением давления газа р2
(начальное давление считаем постоянным) до некоторого макси-
мума ттах в точке /, после чего расход уменьшается (кривая /-О) и
становится равным нулю при р2 = 0 (Р — 0).
Опыт же показывает, что закон изменения секундного расхода
газа после достижения максимума при дальнейшем уменьшении
87
перепада давлений следует не по кривой Z-0, а по прямой 1-т. Та-
кое расхождение теории с практикой объясняется следующим.
Из физики известно, что изменение давления (упругая деформа-
ция) распространяется в среде со скоростью звука азв. Поэтому
уменьшение давления среды за соплом р2 передается до его устья со
скоростью звука язв. До тех пор, пока скорость истечения среды w2
будет меньше скорости звука, уменьшение внешнего давления среды
достигает устья сопла, где устанавливается давление р2 = pKv.
Но как только скорость среды достигает скорости звука, никакое
уменьшение давления окружающей среды к устью сопла передавать-
ся не может (оно как бы сносится средой, имеющей ту же скорость).
Начиная с этого момента, дальнейшее понижение давления в про-
странстве за соплом не изменяет установившегося в устье сопла дав-
ления р2кр, скорости ш2кр и максимального секундного расхода mmax
среды. Вследствие этого скорость w2 и расход т среды остаются по-
стоянными.
Давление р2 и скорость w2, при которых устанавливается макси-
мальный секундный расход среды, называется критическими (р2кр,
&У2кр)- Очевидно, критическая скорость истечения равна скорости
распространения звука в вытекающей среде. На этом основании
часто критическую скорость среды называют звуковой.
Если обозначить отношение р^Ръ = Ркр, то, используя выраже-
ние (1.177), можно найти значение критического отношения давле-
ний, при котором секундный расход среды будет наибольшим. Для
этого (1.177) необходимо продифференцировать по р2/рг = (3 и по-
лученную производную приравнять к нулю. Тогда
/ о \kj(k—1)
(1.178)
Ркр
При ориентировочных расчетах в случае двухатомных газов
(k — 1, 4) ркр — 0,529, а в случае многоатомных газов и перегретого
пара (k = 1, 3) ркр = 0,546.
Зависимость профиля сопла от скорости среды (взаимосвязь меж-
ду площадью сечения канала и скоростью истечения) устанавлива-
ется уравнением постоянства расхода — неразрывности (1.165).
При течении несжимаемой жидкости (например, воды, нефти), ког-
да v — const, сечение сопла и скорость истечения связаны между
собой обратно пропорциональной зависимостью.
Значительно сложнее происходит течение сжимаемого газа.
В этом случае сечение сопла (профиль) при данном секундном расхо-
де газа т определяется характером изменения не только его скорос-
ти w, но и удельного объема и, который изменяется по адиабате
(рис. 5.4, б).
Из уравнения (1.165) следует, что степень изменения сечения
сопла df/f по направлению движения газового потока зависит от
знака разности dv/v — dw/w. Анализ графиков изменения удельно-
го объема и скорости потока (см. рис. 5.4, б, в) показывает, что в до-
критической области (р2/рх > ркр) степень увеличения удельного
объема Дих меньше степени увеличения скорости &wx потока и соп-
88
ло должно быть суживающимся (df/f < 0); в закритической области
(р2/рА < Ркр), наоборот, степень увеличения удельного объема боль-
ше степени увеличения скорости потока (штриховые кривые) и соп-
ло должно быть расширяющимся (df/f > 0).
Следовательно, если газ с начальными параметрами ръ исте-
кает в среду с давлением р2 < р2кр и требуется получить w2 > докр,
то сопло должно сначала суживаться, а затем расширяться к выхо-
ду, как показано на рис. 5.5, а.
В таком комбинированном сопле, называемом по имени его изо-
бретателя соплом Лаваля, в самом узком сечении всегда устанавли-
ваются критическая скорость ^2кр и максимальный расход mmax по-
тока (рис. 5.5, б). Далее, в расширяющейся части, при постоянном
расходе mmax скорость потока увеличивается до значения ш2 >
> ^2кР, определяемого выражением (1.176).
Если при заданных ръ р2 отношение давлений p2/pi < ркр и ес-
ли применить суживающееся сопло, то газ или пар будет расширять-
ся в нем как бы в два этапа: сначала от £4 до р2кр ~ Р1Ркр в сужива-
ющейся части сопла и дальше от р2кр до давления р2 в окружающей
среде вне сопла. Следовательно, скорость па выходе из сопла будет
w2Kp, а давление в его выходном сечении установится критическое
(/?2кр) •
Для водяного пара &'2кр можно найти, пользуясь h — s-диаграм-
мой, если в выражение (1.175) вместо h2 подставить значение /г2кр,
определяемое пересечением адиабаты 1-2 с изобарой р2кР = ркрР1
(рис. 5.6), т. е.
^2кР — V 2 (hi /^2кр) = 44,7 V hi Л2кр.
Изменение давления потока от р2кР до заданного давления р2 в
случае суживающегося сопла происходит за соплом неорганизован-
но, с большим завихрением и потерями кинетической энергии.
Следовательно, для рационального использования энергии потока при
условии, что p2/pi < Ркр, целесообразно применять сопло Лаваля.
Рис. 5.5. Комбинированное сопло Лаваля
(а) и его характеристики (б)
Рис. 5.6. К определению крити<
ческой скорости истечения вс**
дяного пара
89
Полученные выше соотношения позволяют рассчитать размеры
сопла. При известном секундном расходе площадь минимального
сечения сопла /min и площадь его выходного сечения /2 можно найти,
если воспользоваться выражением (1.177), положив соответственно
р = ₽кр и р = (Рг/рОзад.
Длина расширяющейся части сопла определяется выражением
Z = (Z? — rf)/[2 tg(cc/2)], (1.179)
где D — диаметр выходного сечения сопла; d — диаметр сопла в ми-
нимальном сечении; а = 10... 12° — угол конусности, который вы-
бирается из условия безотрывного течения и минимальных по-
терь.
Необратимое адиабатное истечение. Действительный процесс
истечения из-за вязкости рабочего тела всегда сопровождается тре-
нием между рабочим телом и поверхностью сопла, а также завих-
рением в самом потоке. Наличие трения требует затраты части энер-
гии потока на его преодоление. Вследствие этого действительная
скорость истечения ^2д будет меньше теоретической w2, причем
&’2д = ф^2»
где ф — скоростной коэффициент, который в зависимости от про-
филя сопла и чистоты обработки его поверхности составляет
0,95...0,98.
Потеря удельной энергии на трение, которая превращается в
удельную теплоту и повышает удельную энтальпию потока на вы-
ходе из сопла,
/1с = ш?/2 —ш22д/2 = (1—ф2)^/2 = ^/г0, (1.180)
где £ = (1 — ф2) — коэффициент потери удельной энергии; h0 —
теоретический удельный теплоперепад.
Следовательно, действительный, полезно использованный,
удельный теплоперепад /гд будет меньше h0 на величину /?с, т. е.
Лд = /у hc.
. Если значение потери hc отложить вверх по адиабате 1-2
(рис. 5.7) и провести горизонталь до пересечения с изобарой р2, то
полученная точка 2Д будет характеризовать состояние пара за соп-
лом при действительном процессе истечения, а штриховая кривая
/-2Д условно изобразит процесс необратимого адиабатного истече-
ния *.
Как уже отмечалось, каналы, в которых давление потока воз-
растает за счет уменьшения его скорости, называются диффузора-
ми. Они широко применяются в различных отраслях техники.
Диффузор представляет собой устройство, по действию обрат-
ное соплу. Из (1.168) следует, что повышение давления в диффузоре
* Этот процесс также считается адиабатным, так как он по-прежнему про-
текает без внешнего теплообмена, а выделяющаяся теплота трения поглощается
потоком, за счет чего удельная энтропия (£2д s2) возрастает на величину ds =»
АО
Рис. 5.7. Обратимый (/-2) и не-
обратимый (/-2(>) процессы ади-
абатного истечения водяного
пара
Рис. 5.8. Обратимый (1-2) и не-
обратимый (1-2д) процессы ади-
абатного сжатия потока в диф-
фузоре
происходит из-за уменьшения удельной кинетической энергии пото-
ка или, согласно (1.172), прирост удельной энтальпии потока в диф-
фузоре равен уменьшению удельной кинетической энергии:
/г2 — /гг- Д/г - — Д^2/2. (1.181)
Процесс адиабатного сжатия потока в диффузоре отражает
рис. 5.8. Здесь 1-2 — адиабатный процесс сжатия потока в диффу-
зоре без трения; 1-2д — реальный (необратимый) процесс сжатия
потока, сопровождаемый неизбежным увеличением удельной энт-
ропии (§2д > s2). Следовательно, удельная работа, затрачиваемая
на повышение давления в диффузоре от рх до р2 в реальном (необра-
тимом) процессе больше, чем в обратимом процессе (/г2д > h2). До-
полнительная удельная работа, затрачиваемая на преодоление тре-
ния, поглощается потоком и расходуется на повышение его темпе-
ратуры.
5.4. Дросселирование газов и паров
Если на пути движения потока газа или пара встречается резкое
сужение сечения канала (по полностью открыт вентиль либо кран;
имеется перегородка с небольшим отверстием, как показано на
рис. 5.9), которое создает сопротивление потоку, то в этом месте
скорость движения потока резко возрастает, а давление падает. За
сужением сечения скорость потока уменьшается и восстанавлива-
ется до первоначальной, но давление восстанавливается не пол-
ностью.
Процесс понижения давления потока вещества в результате его
прохождения через местное сопротивление без совершения внешней
работы называется дросселированием. Так как снижение давления
Др пропорционально расходу газа или пара, имеется возможность
измерить этот расход. На этом принципе работают некоторые типы
расходомеров.
При отсутствии теплообмена (q = 0) и, если поток не совершает
техническую работу (/теХн = 0), уравнение первого закона термоди-
91
Рис. 5.9. Дросселирование потока
вещества при прохождении через
диафрагму
намики для потока (1.166) имеет
вид
о == h2 — hL + (wl/2 — ®1/2),
ИЛИ
hx + w\/2 = h2 + ^2/2,
(1.182)
где hx и h2 — удельные энтальпии
в сечениях I и II, удаленных от
местного сопротивления.
Поскольку до и после дроссе-
лирования изменение скорости по-
тока очень мало (w2 ж и изме-
нением удельной кинетической энер-
гии можно пренебречь, из (1.182)
следует, что
(1.183)
т. е. при адиабатном дросселировании газа или пара удельная энталь-
пия его до и после дросселирования не изменяется. С учетом того, что
для идеального газа h2 — hA = срт (4 — 4), на основании (1.183)
t2 = т. е. при дросселировании идеального газа его температура не
изменяется.
При дросселировании реальных газов температура их может
уменьшаться, увеличиваться или оставаться неизменной, т. е. пове-
дение реальных газов существенно отличается от поведения идеаль-
ного. Характер и изменение температуры при дросселировании ре-
альных газов определяются действием межмолекулярных сил. Яв-
ление изменения температуры реальных газов при дросселировании
впервые было обнаружено Д.-П. Джоулем и Дж.-Дж. Томсоном и
получило название эффекта Джоуля — Томсона.
Отношение бесконечно малого изменения температуры к беско-
нечно малому изменению давления при дросселировании называет-
ся дифференциальным дроссель-эффектом и выражается так:
ал = (dT!dp)h.
(1.184)
Используя дифференциальные уравнения, связывающие основ-
ные параметры (р, и, Т) газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-
Ваальса, можно получить следующую зависимость:
дТ \ __ Ъа/Т — Ь
др ]h ~~ ср
(1.185)
Поскольку при дросселировании всегда др < 0, а ср > 0, знак
dT будет зависеть от знака числителя (1.185). При этом возможны
три случая: 1) dT < 0 при Т< 2a/(bR)\ 2) dT > О при Т > 2a/(bR)',
3) dT = О при Т = 2а/(bR).
Изменение знака дроссель-эффекта называется инверсией, а тем-
пература, при которой (dT/dp)h = 0 — температурой инверсии.
92
Следовательно, температура инверсии
Тинв = 2al(bR\ (1.186)
Каждый газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса, имеет
определенную температуру инверсии, которая при р = 0 состав-
ляет
ТИНв - 6,75Ткр,
где Ткр — критическая температура газа, К.
Температура инверсии большинства газов, за исключением
водорода и гелия, у которых соответственно /ННв — —55 °C и
—240 °C, достаточно велика, и процессы их дросселирования
обычно протекают с уменьшением температуры.
Более подробный анализ процесса дросселирования реального
газа показывает, что он имеет не одну, а множество температур ин-
версии, которые образуют на р — /-диаграмме (рис. 5.10) кривую,
называемую инверсионной. Дросселирование, начинающееся с па-
раметрами, которые расположены внутри кривой, сопровождается
понижением температуры вещества (ah с 0) Если же дросселиро-
вание начинается с параметрами, расположенными вне кривой, то
температура вещества увеличивается (ah <0). При любом значении
давления вещество имеет две точки инверсии: одна находится в об-
ласти жидкости, другая — в области газа (перегретого пара). Про-
цессы, начинающиеся на инверсионной кривой, соответствуют слу-
чаю инверсии, когда = t2 — /Инв.
С молекулярной точки зрения знак изменения температуры ре-
альных газов при дросселировании зависит от того, какие силы вза-
имодействия (притяжения или отталкивания) между молекулами
преобладают в данном состоянии. Если эффект действия сил при-
тяжения существенно больше эффекта действия сил отталкивания,
то b мало по сравнению с а и, согласно (1.185), дТ/др > 0, а так как
dp < 0, то и dT < 0. .Следовательно, при преобладании эффекта
действия сил притяжения газы при дросселировании будут охлаж-
даться. В случае преобладания эффекта действия сил отталкивания,
Рис. а. 10. Инверсионная
кривая для азота
Рис. 5.11. Условное изображение про-
цесса дросселирования потока веще-
ства на Т — s-диаграмме /
93
Рис. 5.12. Условное изображение процес-
са дросселирования водяного пара на
h — s-диаграмме
когда а,дТ/др = — b/cp •<
< 0, т. е. газы при дроссели-
ровании будут нагреваться.
Поскольку процесс дроссе-
лирования потока вещества
сопровождается явлениями
трения и завихрения, он яв-
ляется необратимым и поэто-
му не может быть изображен
каким-либо графиком, а уа
ловно отображается на 7" —
s-диаграмме штриховой ли-
нией 1-2', совпадающей в
начальной и конечной точках
с изоэнтальпой (рис. 5.11).
Задачи, связ шные с дрос-
селированием водяного пара,
проще всего решаются с ис-
пользованием h — s-диаграм-
мы. Основное условие дросселирования (hr = h2) определяет конеч-
ное состояние пара пересечением горизонтали, проходящей через
начальную точку, с изобарой конечного давления (рис. 5.12). Из
диаграммы следует, что температура водяного пара в процессе
дросселирования уменьшается (для водяного пара 7\р = 374 СС,
поэтому /инв = 4127 °C), причем влажный насыщенный пар в зави-
симости от начального давления, степени сухости и конечного дав-
ления после дросселирования может быть влажным (а-b), сухим
насыщенным (а-с) или даже перегретым (a-d), но с более низкими
давлением и температурой.
Следует также обратить внимание на то, что при дросселирова-
нии водяного пара удельный располагаемый теплоперенад (на
рис. 5.12 характеризуется отрезками 1-Г до дросселирования и 2-2*
после него) уменьшается, вследствие чего работоспособность пото-
ка падает.
Несмотря на то, что дросселирование является необратимым
процессом и сопровождается потерей энергетической ценности по-
тока, ввиду простоты конструкции дроссельных устройств оно ши-
роко применяется в технике для регулирования и изменения расхо-
дов, а также получения низких температур и сжижения газов.
5.5. Нагнетание газов и паров
Под нагнетанием подразумевается совокупность процессов, посред-
ством которых достигается повышение давления газообразных тел
с дальнейшей подачей их к месту использования.
Для нагнетания газов и паров служат машины, называемые ком-
прессорами. Наиболее распространенными являются механические
компрессоры, к которым энергия подводится в виде работы. По
принципу действия механические компрессоры подразделяются на
94
Рис. 5.13. Схема поршневого
компрессора
объемные и лопаточные. В объемных ком-
прессорах повышение давления дости-
гается путем непосредственного умень-
шения объема газа за счет сближения
ограничивающих стенок. Они бывают
поршневыми, шестеренчатыми и рота-
ционными В лопаточных компрессорах.
сжатие происходит в два этапа: сначала
газу в лопаточных каналах благодаря
вращению ротора сообщается значитель
на я скорость, а затем в специальных неподвижных каналах (диф-
фузорах) кинетическая энергия потока преобразуется в потенциаль-
ную, т. е. вследствие уменьшения скорости повышается давление
потока. Лопаточные компрессоры бывают центробежными и осе-
выми.
Поршневой компрессор (рис. 5.13) состоит из цилиндра /, внутри
которого перемещается поршень 2, совершающий возвратно-посту-
пательное движение с помощью коленчатого вала 6 и шатуна 5.
Крайние положения поршня называются мертвыми точками, а рас-
стояние между ними — ходом поршня Во время движения поршня
слева направо происходят всасывание газа при открытом клапане
5 и заполнение газом цилиндра (процесс а-1 на рис. 5.17). При
обратном движении поршня газ сжимается до требуемого давления
(процесс 1-2} и выталкивается через клапан 4, который открывается
при достижении определенного давления (процесс 2-Ь). Таким об-
разом, сжатие газа происходит один раз за два хода поршня, т. е.
за один оборот коленчатого вала.
В ротационном компрессоре (рис. 5.14) роль поршня играет вра-
щающийся ротор 5, в котором в пазах скользят пластины 2. Под
действием центробежных сил эти пластины всегда прижимаются к
корпусу /. Ротор в корпусе расположен эксцентрично, поэтому по-
павшая между пластинами порция газа по ходу вращения ротора
постепенно уменьшается в объеме, за счет чего и происходит повы-
шэние давления газа.
Схема центробг кпого компрессора показана на рис. 5.15. Здесь
в корпусе 1 вращается диск 2, снабженный рабочими лопатками в
виде каналов 3. Газ, поступивший в межлопаточные каналы, отбра-
сывается центробежными силами к периферии и попадает в диффу-
вэры 4, лопатки которых укреплены в корпусе. В диффузорах про-
исходит преобразование кинетической энергии газа, сообщенной
ему рабочими лопатками, в потенциальную энергию давления. По-
лученный таким образом сжатый газ через выходной патрубок посту-
пает на нагнетание
Несмотря на различные принципы действия и большие конструк-
тивные различия компрессоров, с термодинамической точки зрения
процессы сжатия, происходящие в них, одинаковы, т. е. термодина-
мические основы нагнетания общие для компрессоров всех типов.
В задачу термодинамического анализа нагнетания входит установ-
ление условий, которые могут обеспечить наибольшую эффектив-
95
Рис. 5.14. Схема ротационного ком-
прессора
Рис. 5.15. Схема центробежного
компрессора
ность компрессора, т. е. наименьшую затрату внешней работы на
нагнетание.
Общее выражение удельной работы /н, затрачиваемой на нагне-
тание, может быть получено на основании уравнения первого закона
термодинамики для потока (1.167), которое с учетом знаков удель-
ных работы (/Техн = — /н) и теплоты (д = дхол) запишется так:
— ^хол = h2 — hx + (w2 — w\)/2 — /в,
откуда
/н = + (wi — w2)/2 4- <7хОл. (1.187)
Для большинства компрессоров можно допустить, что изменение
скорости потока на входе и выходе равно нулю, т. е. & w2. Тогда
/н ~ ^2 7хол* (1 • 168)
Выражение (1.188) представляет собой основное уравнение термо-
динамики нагнетания.
Для дальнейшего анализа рассмотрим в р — v- и Т — s-коор-
дипатах основной процесс, протекающий в компрессорах всех ти-
пов,— сжатие (рис. 5.16). В зависимости от удельного количества
отводимой теплоты в процессе дохл, т. е. в зависимости от условий
Рис. 5.16. Графики процесса сжатия в р— ^-координатах (а)
и Т — s-координатах (б)
96
теплообмена между газом и стенкой цилиндра, сжатие может быть
изотермическим 1-2из (полностью охлаждаемые компрессоры), адиа-
батным 1-2ал (полностью неохлаждаемые компрессоры) и политроп-
ным 1-2П0Л (частично охлаждаемые компрессоры).
При изотермическом сжатии удельная работа нагнетания (удель-
ная техническая работа) соответствует пл. 12азр2рг1 и определяется
выражением (1.188), т. е.
/н — й2 —• </хол.
Для идеального газа h2 — hp, тогда с учетом (1.101)
/и3 = <?хол = — qr = RTy In (р2/Р1), (1.189)
или согласно (1.102)
ZS3 = 7,(sa-s1). (1.190)
При адиабатном сжатии идеального газа, когда <7Х0Л = 0, на ос-
новании (1.188) имеем
/зд = Л2-/г1. (1.191)
Эту же работу можно выразить через термические параметры
идеального газа, если учесть уравнения (1.168), (1.170) и положить
n = k. Тогда
Рг
l^^^vdp^^^prvMpif-^-n, (1.192)
Pl
где p?Jpr = Р — степень повышения давления.
При политропном сжатии идеального газа удельная работа на-
гнетания определяется аналогичным выражением
й°л = —P1Vl [(р2/Р1){п-1)/п - 1], (1.193)
где п — показатель политропы (для частично охлаждаемых ком-
прессоров 1 < п < k).
Удельное количество отводимой теплоты можно рассчитать по
формуле
?охЛ = с„^Е^(Л-Л)- (1-194)
Поскольку в большинстве случаев показатель политропы не-
известен, часто ограничиваются вычислением технической работы
только для изотермического и адиабатного процессов, а работу в
случае политропных процессов сжатия определяют с помощью
к. п. д., которыми учитывают внутренние потери на трение и тепло-
обмен.
Изотермический к. п. д. охлаждаемых компрессоров
Пиз = 0,65.. .0,75, (1.195)
а адиабатный к. п. д. неохлаждаемых компрессоров
Над = М°л ^0,7. ..0,9. (1.196)
7 9—2570
97
Значения к. п.д. т|из и т]ад получают экспериментально. Потери
на трение в механизмах компрессора учитывают механическим к. п. д.
т]мх. Произведение изотермического или адиабатного к. п.д. на ме-
ханический называется эффективным к. п, д. компрессора:
Пк = ПизЧмх ИЛИ т]к = 'Пад'Пмх. (1.197)
Мощность, потребляемая двигателем компрессора для сжатия
т кг газа, определяется выражением
N = mlJr[K. (1.198)
Из анализа термодинамических процессов сжатия в р— ^-ко-
ординатах (см. рис. 5.16, а) следует, что наименьшая затрата удель-
ной работы на нагнетание соответствует изотермическому сжатию.
Это объясняется тем, что сжатие происходит при более низкой тем-
пературе и меньшем удельном объеме газа. При увеличении показа-
теля политропы площадь между кривой процесса и осью ординат
возрастает и затрата удельной работы на нагнетание увеличивается.
Экспериментальная зависимость между давлением газа р и за-
нимаемым им объемом V в цилиндре поршневого компрессора на-
зывается индикаторной диаграммой. Для идеального компрессора,
в котором механические и гидравлические потери отсутствуют, а
движение поршня происходит во всем геометрическом объеме ци-
линдра, эта зависимость изображена на рис. 5.17.
Заметим, что параметры газа в процессах а-1 и 2-fc, в частности
его удельный объем и, не изменяются, а меняются только количе-
ство и полный объем газа. Поэтому данные процессы не являются тер-
модинамическими и индикаторную диаграмму нельзя отождествлять
с термодинамической р — и-диаграммой.
В реальном компрессоре между поршнем, находящимся в левом
крайнем положении, и крышкой цилиндра с клапанами всегда дол-
жен быть зазор, которому соответ-
ствует некоторый объем 1/0(рис. 5.18),
называемый вредным пространством.
Вследствие этого в процессе 2-3 не
Рис. 5.17. Индикаторная
диаграмма идеального
поршневого компрессора
Рис. 5.18. Индикаторная
диаграмма реального
Поршневого компрессора
весь газ выталкивается из
цилиндра, а оставшаяся его
часть, сжатая во вредном про-
странстве Vo, при движении
поршня в обратном направле-
нии расширяется по линии
3-4. Поскольку при всасыва-
нии часть рабочего объема за-
пол н яется расшир яющимся
газом вредного пространства,
полезный рабочий объем ци-
линдра Vj уменьшается до
действительного объема всасы-
вания Vh.
~*B связи с этим введено по-
нятие объемного к. п. д. ком-
Рис. 5.19. Схема двухступенчатого ком-
прессора
прессора, которым учитывают
подачу компрессора:
влияние вредного пространства на
щ- Vh!V{ «0,75. . .0,9. (1.199)
Из рис. 5.18 следует, что с повышением давления нагнетания
(точка 2) подача и объемный к. п. д. компрессора уменьшаются (Vb <
< Vh) и в пределе могут стать равными нулю (точка 5"). По этой
причине одноступенчатые компрессоры непригодны для создания
высоких давлений.
Другой, не менее важной причиной ограничения давления сжатия
в одной ступени компрессора, является недопустимость высокой
температуры в конце сжатия. Повышение температуры газа сверх
200 °C ухудшает условия смазки поршневых компрессоров (проис-
ходит коксование масла), а в некоторых случаях может привести и
к самовоспламенению распыленного и смешанного с воздухом сма-
зочного вещества.
Для получения сжатого газа более высокого давления (1...
1,2 МПа и выше) применяются многоступенчатые компрессоры с
промежуточным охлаждением газа после каждой ступени (рис. 5.19).
Здесь воздух после сжатия в ступени 1 (процесс 1-2 па рис. 5.20) по-
ступает в холодильник, внутри которого находится змеевик, охлаж-
даемый водой. После изобарного охлаждения (процесс 2-3) воздух
с более низкой температурой подается в ступень //, где окончатель-
но сжимается (процесс 3-4) до требуемого давления р3.
Заштрихованная на рис. 5.20, а площадь 2344'2 соответствует
экономии в затрате удельной энергии на сжатие за счет промежуточ-
ного охлаждения воздуха.
При увеличении числа ступеней сжатия и промежуточных холо-
дильников процесс повышения давления в многоступенчакш ком-
прессоре может приблизиться к изотермическому (процесс 1-3-5 на
рис. 5.20). Обычно при этом стремятся к тому, чтобы газ после про-
межуточного холодильника имел ту же температуру, с которой он
поступил в предыдущую ступень. Специальные расчеты показывают,
7
99
Рис. 5.20. Графики процесса сжатия воздуха в двухступенчатом компрессоре в
р — и-координатах (а) и Т — s-координатах (б)
что наименьшая удельная работа при многоступенчатом сжатии
будет в том случае, когда отношение давлений в каждой ступени
одинаково для всех ступеней, т. е. pjp1 = Р3/Р2 = Рст-
При одинаковых отношениях давлений во всех ступенях ком-
прессора, равенстве начальных температур и равенстве показателей
политропы будут равны между собой и конечные температуры газа
в отдельных ступенях компрессора (Т2 ~ Т4). В этом случае сте-
пень повышения давления в каждой ступени компрессора опреде-
ляется выражением
Рст == Vp кон /рнач, (1.200)
где z — число ступеней компрессоров; рнач — давление газа, посту-
пающего в первую степень; ркон — давление газа, выходящего из
последней ступени компрессора.
При равенстве конечных температур на выходе из каждой сту-
пени компрессора будет одинаковой затраченная удельная работа
во всех его г ступенях. Поэтому для определения удельной работы,
затрачиваемой на сжатие газа во всем компрессоре, достаточно рас-
считать удельную работу для одной ступени и увеличить ее в г раз.
Точно так же можно подсчитать удельное количество теплоты,
отводимой в ступенях через стенки цилиндров при политропном сжа-
тии, и удельное количество теплоты, отводимой от газа в промежу-
точных холодильниках, для чего следует воспользоваться соответ-
ственно формулами (1.118) и (1.86).
Примеры решения задач
Задача 5.1. Определить скорость истечения и расход кислорода, вытекающего
из баллона через суживающееся сопло в среду с давлением р2 — 4 МПа. Дав-
ление кислорода в баллоне р± — 5 МПа, температура = 100 °C. Площадь
выходного сечения сопла /2 = 20 мм2.
Решение. Отношение давлений при истечении
Р = р2/Р1 = = о,8 > ркр;
следовательно, режим истечения докритический.
100
к Скорость истечения по (1.176)
=» ]/*2 -Л- t P1Vt [1 - (Ра/Рх)^-1'7*] =
•= ]/г • [ • 5 10е • 0,02 [ 1 — 0,8(1-4~1>/1л] = 212 м/с,
где удельный объем кислорода v± находим из уравнения состояния идеального
газа
Ui = Ко1\/Р1 = 259,8 • 373/(5 . 10е) = 0,02 м3/кг.
Расход кислорода по (1.177)
tn = f2 |/~2 ~ [(Pa/Pi)2/ft — (Ра/Р1)(*+1)Л] =
= 20 IO-6 1/2 • 5~ [0,82/1-4- 0,8(1-4+1)/1-4] = 0,18 кг/с.
• 1 У * " 1 V/ j \J£
Задача 5.2. Пар, имеющий начальное давление рх = 2 МПа и температуру
t = 350 °C, вытекает в атмосферу с давлением р2 = 0,1 МПа. Определить скорость
адиабатного истечения через простое и расширяющееся (комбинированное)
сопла.
Решение. Так как весь процесс истечения происходит почти в области
перегретого пара (рис. 5.21), то можно положить ркр = 0,546. По условию
Р = р2/ра =0,1/2 = 0,05.
Следовательно, в простом сопле полного расширения пара не будет, и на
выходе из сопла установится критическое давление р2кр = РкрР1 = 0,546 • 2 =
= 1,092 МПа. Это значит, что адиабатой расширения пара при его истечении
из суживающегося сопла будет не линия /-2, а линия 7-2кр.
Скорость истечения пара по (1.175)
= к’2кр = 44,7 ]/ Лх — /г2кр = 44,7 ]Л3134 —2976 = 564 м/с,
где й2кр соответствует давлению пара р2кр = 1,092 МПа.
Скорость истечения через комбинированное сопло будет больше критиче-
ской и составляет
w2 = 44,8 КйА — й2 = 44,8 j/ 3134 — 2520 = 1100 м/с,
где й2 соответствует давлению пара р2 = 0,1 МПа.
Задача 5.3. До какого давления
должно выполняться дросселирование
водяного пара с начальными параметра-
ми р± = 10 МПа и = 500 °C, чтобы
удельный объем пара увеличился в
1,5 раза? Определить снижение темпе-
ратуры при дросселировании и потерю
работоспособности 1 кг пара, приняв
низшую температуру в системе t =
= 33 °C.
Решен ие. Пой — s-диаграм-
ме для начального состояния пара нахо-
дим йх = 3372 кДж/кг, vr = 0,0328 м3/кг
и Sj = 6,596 кДж/(кг • К). Так как
при дросселировании h2 = hlt то на
пересечении изоэнтальпы hr с изохо-
рой и2= 1,5^= 0,0492 м3/кг уста-
101
навливаем параметры конечного состояния пара: р.2 ~ 7 МПа,
/3 — 485 °C, s2 = 6,77 кДж/(кг • К).
Следовательно, при дросселировании температура пара снижается на
М = - /2 15 °C.
Удельная энтропия возрастает на
As = s2 — Sj = 6,77 — 6,596 = 0,174 кДж/кг.
Потеря работоспособности 1 кг пара при дросселировании по (1.79)
П = Т(Дх = 303 • 0,174 = 52,7 кДж.
Задача 5.4. Определить эффективность двухступенчатого сжатия воздуха
по сравнению с одноступенчатым при tT = 15 °C и 6 = ркон/рнач = 13,4. Сжа-
тие газа в ступенях считать адиабатным с k— 1, 4.
Решение. Конечная температура воздуха при одноступенчатом сжатии
по (1.108)
7’2 = т$к~1у/к = 288 • 13,4P,28G = 586 К.
Удельная работа сжатия по (1.192)
= ~k=T RTi - 1] =
= • 0,287 • 288 (1,34 й’288 — 1) = 300 кДж/кг.
При двухступенчатом сжатии воздуха с промежуточным охлаждением наи-
выгоднейшее отношение давлений в ступени при z == 2 по (1.200)
₽ст = У Ркон/Рнач = /ТзТ = 3,65.
Конечная температура воздуха при двухступенчатом сжатии
г2 = = 288 • 3,650’286 = 417 К,
а удельная работа нагнетания
/Зд = г/ад = 2 . -44- • 0,287 . 288 (3,65P-28G — 1) = 260 кДж/кг.
н H.V1 0 4
Следовательно, при переходе от одноступенчатого сжатия воздуха к двух-
ступенчатому затрата удельной работы уменьшается на
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется стационарным потоком и каким уравнением он описывает-
ся?
2. Запишите выражение первого закона термодинамики для потока.
3. Как графически изображается удельная располагаемая работа в р — v-ко-
ординатах для основных термодинамических процессов с идеальным газом?
Выведите выражения для определения удельной располагаемой работы в
этих процессах.
4. Какие каналы называются соплами, а какие — диффузорами?
5. За счет чего происходит изменение кинетической энергии потока при адиа-
батном истечении?
В. Что такое критическая скорость истечения и критическое отношение давле-
ния?
7, Какой профиль должно иметь сопло для получения скорости истечения боль-
ше скорости звука?
102
8. Объясните, как изображаются обратимый и необратимый процессы адиа-
батного сжатия в диффузоре на Л — s-диаграмме.
9. Какой процесс называется дросселированием?
10. Какой вид имеет уравнение первого закона термодинамики для потока при-
менительно к процессу адиабатного дросселирования?
11. Как изменяется температура идеального и реальных газов при дроссели-
ровании?
12. Что называется температурой инверсии?
1. 3. Почему процесс дросселирования является необратимым?
14. Как получить основное уравнение термодинамики нагнетания из уравнения
первого закона термодинамики для потока?
15. Какие допущения делаются при изучении процессов в идеальном компрес-
соре, отличающие его от реального?
16. Чем отличается действительная индикаторная диаграмма от теоретической?
17. Почему в реальном поршневом компрессоре поступление воздуха в цилиндр
происходит не на всем ходе поршня?
18. Как- влияет вредное пространство па процесс сжатия газа в компрессоре?
19. Почему нельзя получить высокое давление газа в одноступенчатом комп-
рессоре?
20. В чем преимущества многоступенчатого сжатия газа по сравнению с одно-
ступенчатым?
Глава 6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
АНАЛИЗА ЦИКЛОВ ТЕПЛОВЫХ МАШИН
6.1. Классификация
и общая характеристика циклов
По назначению тепловые машины делятся на тепловые двигатели
(тепловые установки) и на холодильные установки. Тепловыми дви-
гателями называются непрерывно действующие устройства, в ко-
торых происходит превращение теплоты в работу, холодильными
установками — непрерывно действующие устройства, предназна-
ченные для переноса теплоты от тел с меньшей температурой к телам
с более высокой температурой.
Непрерывное действие тепловых машин можно получить, если
рабочее тело будет осуществлять круговой термодинамический про-
цесс, или цикл. Как уже отмечалось (см. п. 1.2) циклы делятся на
прямые и обратные. Цикл, в результате которого часть удельной
подведенной теплоты qr преобразуется в удельную работу /0, а дру-
гая часть q2 отдается теплоприемнику, называется прямым. Если в
результате осуществления цикла теплота переходит от тела с мень-
шей температурой к телу с большей температурой за счет затраты
работы извне, то такой цикл называется обратным.
Простейшая термодинамическая схема теплового двигателя, ра-
ботающего по прямому термодинамическому циклу, показана на
рис. 6.1. Эффективность прямого цикла оценивается его термиче-
ским к. п. д. (1.70)
= Шчг = (<7i — = 1 — qjqi < 1-
Разновидностью прямого цикла, как будет показано ниже, явля-
ется так называемый теплофикационный цикл, в котором полезный
эффект сводится не только к получению работы (выработке электро-
103
энергии), но и к использованию некоторого количества удельной от-
работанной теплоты q2l имеющей температуру выше температуры ок-
ружающей среды. В этом случае функцию теплоприемника выпол-
няет потребитель отработанной в тепловом двигателе (турбине) теп-
лоты.
В свою очередь циклы тепловых двигателей можно разделить в
зависимости от рабочего тела на две группы. Общим для циклов
первой группы является использование в качестве рабочих тел газо-
образных продуктов сгорания топлива, которые на протяжении
всего цикла находятся в одном и том же агрегатном состоянии и при
относительно высоких температурах считаются идеальным газом
(двигатели внутреннего сгорания, газовые турбины и реактивные
двигатели). Характерная черта циклов второй группы — приме-
нение таких рабочих тел, которые в цикле претерпевают агрегатные
изменения (жидкость, влажный и перегретый пар) и подчиняются
законам, действительным для реальных газов (паросиловые уста-
новки).
В тепловых машинах, работающих по обратному термодинами-
ческому циклу (холодильные машины), полезный эффект заключа-
ется в передаче удельной теплоты q2 от тел с меньшей температурой
к телам с большей температурой (рис. 6.2, а). Компенсирующим
процессом здесь, как отмечалось выше (см. п. 1.8), является затрата
удельной работы /0 извне. В результате удельное количество теп-
лоты, подводимой к телам с большей температурой, q± — q2 -f- /о-
Эффективность такого цикла оценивается отношением удельного
количества теплоты q2 (полезного эффекта) к удельной затраченной
работе /0, которое называется холодильным коэффициентом. Соглас-
но выражению (1.71)
8 = qjlo = ?2/(<7i — ?г) = 1 (91/?2 — 1) 1.
Обратный цикл может быть осуществлен и в более высоком ин-
тервале температур (рис. 6.2, б), в котором осуществляется перенос
теплоты q2 от окружаю-
щей среды к потребите-
лю (например, отопи-
тельной системе), имею-
7>Т^С
Окружающая среда
//7777777///7/777777/£ _
Потравитель теплоты
^77/777777777777777777
Охлаждаемая камера
Окружающая среда
т<то:с .
а
5
Рис. 6.1. Простейшая термо- Рис. 6.2. Термодинамические схемы холодиль-
динамическая схема теплово- ной установки (а) и теплового насоса (б)
го двигателя
104
щему температуру Т выше температуры окружающей среды То
Такие установки называются тепловыми насосами; эффективность
их оценивается коэффициентом преобразования теплоты
Ф ~ = (?2 + /о)/А> — в 1. (1.201)
Эффективность термодинамических циклов зависит от характе-
ра термодинамических процессов, образующих конкретный цикл.
Очевидно, при прочих равных условиях наибольшую эффектив-
ность имеют те циклы, у которых все процессы обратимы. Это зна-
чит, что в процессах подвода и отвода теплоты рабочее тело должно
иметь температуру, равную соответствующей температуре источни-
ков теплоты, и процессы эти должны протекать без трения, завихре-
ния и других необратимых явлений. Циклы, состоящие из обрати-
мых процессов, называются обратимыми.
Следовательно, для осуществления произвольного обратимого
цикла, в котором температура рабочего тела в общем случае в каж-
дой точке цикла имеет разное значение, необходимо иметь бесконеч-
ное количество источников теплоты с различной температурой.
Цикл, осуществляемый с использованием минимального коли-
чества источников теплоты,— простейший. Примером такого цикла
при наличии только двух источников теплоты постоянной темпера-
туры является известный цикл Карно, изучение которого имеет
важное значение для установления общих свойств круговых про-
цессов.
6.2. Цикл Карно
и его научно-практическое значение
Прямой цикл Карно. Согласно второму закону термодинамики для
осуществления термодинамического цикла нужно иметь как мини-
мум два источника теплоты: горячий (теплоотдатчик) с постоянной
температурой 7\ и холодный (теплоприемник) с постоянной темпе-
ратурой Т2 <Z Т\. При этом и соблюдении еще условий обратимости
подвод и отвод теплоты в цикле могут осуществляться только по изо-
термам 1\ и Т2. Однако две изотермы не могут образовать круговой
процесс. Поскольку других внешних источников теплоты нет, об-
ратимый переход между 7\ и Т2 возможен лишь по адиабатам 2-3 и
4-1 (рис. 6.3, п).
Следовательно, простейший обратимый цикл должен состоять из
двух изотерм (1-2, 3-4) и двух адиабат (2-3, 4-1) Такой цикл с
двумя источниками теплоты впервые был предложен французским
инженером С. Карно (1824 г.) и в честь его назван циклом Карно.
Из рис. 6.3, б следует, что удельное количество подведенной в
цикле теплоты
qx пл. | 12s2sJ ~ 7\ (s2 — s3),
а удельное количество отведенной теплоты
q2 = пл. 134S]S23 \ = T2(s2 — s±).
105
о и
Рис. 6.3. Цикл Карно в р — и-координатах (а) и Т — s-координатах (б)
Тогда термический к. п. д. цикла Карно согласно выражению
(1.70)
'фКарно 1 = 1 — Т %П\. (1.202)
Таким образом, термический к. п.д. цикла Карно зависит толь-
ко от абсолютных температур горячего и холодного источников теп-
лоты и не зависит от свойств рабочего тела, т. е. не зависит от того,
будет ли рабочим телом идеальный или какой-либо другой газ. По-
следнее положение имеет строгое доказательство и носит название
первой теоремы Карно. Следовательно,
'П/Карно — f (Ti, Т2).
Рис. 6.4. Обратный цикл Карно
в Т — s-координатах
Обратный цикл Карно. В этом цикле, который осуществляется
против хода часовой стрелки, рабочее тело сжимается сначала по
адиабате 3-4 (рис. 6.4) с затратой удельной внешней работы /г, а за-
тем по изотерме 4-1 с отдачей удельной теплоты qA верхнему источ-
нику. После этого происходит расширение рабочего тела сначала
по адиабате 1-2 с отдачей удельной внешней работы /2 и понижением
его температуры от до Т2, затем по изотерме 2-3 с отнятием от
нижнего источника (холодильника) удельной теплоты q2.
В результате осуществления обратного (холодильного) цикла
теплота от холодного тела передается к более теплому за счет за-
траты извне удельной работы /0, эк-
вивалентной площади прямоугольника
34123 и составляющей /0 1Х — 12.
Таким образом, описанный процесс
перехода теплоты от нижнего источ-
ника к верхнему не противоречит вто-
рому закону термодинамики, так как
он протекает не самопроизвольно, а
сопровождается дополнительным са-
мопроизвольным процессом превраще-
ния работы в теплоту.
Легко показать, что для обратного
цикла Карно холодильный коэффи-
106
циент можно выразить через температуру. Действительно, согласно
выражению (1.71) холодильный коэффициент обратного цикла
Карно
екар"° = 1 ~ = Л/72-1 • {1,202а)
Т2 ($3 — S2)
Из последнего выражения следует, что увеличение эффективнос-
ти холодильных установок связано с понижением температуры
окружающей среды 7\ и повышением температуры охлаждаемого
помещения Т2, т. е. с уменьшением разности температур 7\ — Т2.
Абсолютная термодинамическая шкала температур. Используя
свойства цикла Карно, английский физик В. Кельвин предложил
универсальную шкалу температур, которая не зависит от свойств
отдельных веществ и получила название абсолютной термодина-
мической шкалы температур, или шкалы Кельвина.
Из выражения (1.202) следует, что
q2/qi = или T1 = T2q1lq2, (1.2026)
т. е. осуществив цикл Карно и измерив каким-либо образом и q2
(например, согласно первому закону термодинамики эти измере-
ния могут быть сведены к измерению механической работы), а так-
же выбрав одну реперную точку с температурой Т2 на основе равен-
ства (1.2026), можно однозначно определить температуру 7\.
Для построения термодинамической шкалы температур уста-
новлена единственная реперная точка — тройная точка воды, в ко-
торой термодинамическая температура равна 273,16 К. Из равен-
ства (1.2026) явствует, что термодинамическая шкала температур —
шкала равномерная.
Важным свойством термодинамической шкалы температур явля-
ется наличие на ней предельно низкой температуры, называемой
абсолютным нулем. Из равенства (1.2026) следует, что наименьшая
температура отвечает случаю, когда q2 = 0; эта температура и есть
абсолютный нуль. Следовательно, абсолютный нуль температуры
представляет собой наинизшую из всех возможных температур, при
которой к. п.д. цикла Карно равен единице, что противоречит вто-
рому закону термодинамики. Поэтому температура абсолютного ну-
ля практически недостижима.
Эквивалентный цикл Карно. Цикл Карно характеризуется ря-
дом важных свойств, которые имеют большое значение для теории
тепловых машин.
Из равенства (1.202а) следует, что к. п. д. цикла Карно тем боль-
ше, чем выше температура геплоотдатчика и чем меньше температу-
ра теплоприемника. Это основное положение, вытекающее из ана-
лиза цикла Карно, как будет показано ниже, действительно и для
любого цикла теплового двигателя. Любой произвольный цикл
ABCD (рис. 6.5), в котором подвод и отвод теплоты происходят при
переменных температурах, можно заменить эквивалентным циклом
Карно 1234, где qx, q2 и изменение удельной энтропии sa — соот-
ветствуют таковым в цикле ABCD.
107
С учетом того, что
Qi — Qabc -— j Tds — Т 1Ср (S2 — sx);
ABC
— Qcda § Tds — $i),
CDA
термический к. n. д. произвольного цикла запишем так:
... 1 ?2 1 T2cp <s2 — sl) _ , Г2ср
^tABCD 1 1 Т (s ______с ) T
41 * I ср $1) * lep
(1.203)
(1.203a)
, (1.204)
где T2cp И Ticp — средние термодинамические температуры, соответ-
ствующие процессам подвода и отвода теплоты, которые согласно
равенствам (1.203), (1.203а) составляют
£ Tds S Tds
Т — ВС___________Qi . Т — СйА ___ /1 9лсг\
У1ср- S2_Si - , Ъср- S2_Si (1205)
и определяются как высоты прямоугольников, одинаковых по пло-
щадям с фигурами s^BCs^ и s2CDAs1 на рис. 6.5. Интегралы в (1.205)
вычисляют численными или графическими методами; поэтому тем-
пературы Т1ср и Тэср иногда называют средними интегральными*
или средними планиметрическими.
Из равенства (1.204) следует, что для повышения термического
к. п.д. любого цикла тепловых двигателей необходимо увеличивать
среднюю температуру в процессе подвода теплоты (Ticp) и умень-
шать среднюю температуру в процессе отвода теплоты (Т^)-
В этом состоит важное практическое значение цикла Карно.
Пределом термического к. п. д. произвольного цикла, осуществля-
емого между крайними температурами Ттах и Tmin (см. рис. 6.5) яв-
ляется термический к. п.д. цикла Карно при Ticp = и Т2ср —
= 7"min- Следовательно, в данном интервале температур цикл Кар-
но обладает наибольшей эффективностью (вторая теорема Карно).
Из этого следует, что степень совершенства произвольного термо-
динамического цикла можно установить, сравнивая его термиче-
Рис. 6.5. Эквивалентный цикл Кар-
но в Т — s-координатах
Рис. 6.6. Обобщенный (регене-
ративный) цикл Карно в Т
s-координатах
108
ский к. п. д. с к. п. д. цикла Карно Г2'3'4', осуществляемого между
Крайними температурами произвольного цикла (см. рис. 6.5).
В этом состоит большое научное значение цикла Карно.
Обобщенный (регенеративный) цикл Карно. В определенном ин-
тервале температур от 7\ до Т2 наивысший к. п. д. имеет не только
цикл Карно, но и любой другой цикл, состоящий из двух изотерм
АВ и CD (рис. 6.6). Для этого необходимо, чтобы во время протека-
ния процесса ВС теплота от рабочего тела отдавалась не внешнему
теплоприемнику, а через вспомогательный теплообменник (регене-
ратор) возвращалась рабочему телу в процессе его нагрева DA. От-
метим, что с внешними источниками теплоты рабочее тело связано
только на участках АВ и CD цикла.
Так как кривые ВС и DA эквидистантны, то пл. СВВ'С' =
пл. DAA'D, т. е. удельное количество теплоты ^рег в этих процес-
сах одинаково, но противоположно по знаку. Следовательно, удель-
ное количество внешней теплоты qx и q2 в цикле ABCD то же, что и в
цикле Карно АВ21А. При равенстве qY и q2 будут равны термиче-
ские к. п. д. циклов, т. е.
Ц/обобщ — Ц/Карно ~ 1 7 2'7\-
Контрольные вопросы и задания
1. На какие типы установок делятся тепловые машины?
2. Что называется прямым и обратным циклами?
3. Запишите выражение термического к. п. д. прямого цикла.
4. Запишите выражение холодильного коэффициента обратного цикла.
5. Какие установки называются тепловыми насосами? Как оценивается их эф-
фективность?
6. Изобразите в р — и- и 7 — s-координата’х цикл Карно.
7. Запишите выражение термического к. п. д. цикла Карно.
8. Что называется эквивалентным циклом Карно?
9. Запишите выражение средней интегральной температуры цикла.
10. В чем сущность первой второй теорем Карно?
11. Объясните научное и практическое значение цикла Карно.
Глава 7. ЦИКЛЫ ТЕПЛОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
И УСТАНОВОК*
7.1. Циклы двигателей внутреннего сгорания
Двигателями внутреннего сгорания называются тепловые двигатели
поршневого типа, в которых сгорание топлива (подвод теплоты)
и превращение ее в работу происходят непосредственно внутри
рабочего цилиндра.
На рис. 7.1 изображены схема четырехтактного двигателя внут-
реннего сгорания и диаграмма его рабочего процесса в р — v-ко-
ординатах. Цилиндр двигателя 1 снабжен двумя клапанами —
впускным 2 и выхлопным 4. Открытие и закрытие их осуществляются
* Эта и две последующие главы написаны с участием канд. техн, наук
П< В. Зайцева.
109
р
Рис. 7.1. Схема четырехтактного двигателя внутреннего сгорания (а) и диаграм-
ма его рабочего процесса в р — и-координатах (б)
специальным газораспределительным механизмом (на схеме не
показан). Поршень 5 совершает возвратно-поступательные движе-
ния, которые с помощью кривошипно-ползунного механизма (ша-
туна 6 и кривошипа 7) преобразуются во вращательное движение
вала S.
Крайние положения поршня, при которых направление движе-
ния поршня изменяется на обратное, называются мертвыми точ-
ками: у крышки цилиндра — верхней мертвой точкой (в. м. т.)>
у противоположной стороны —нижней мертвой точкой (н. м. т.).
Движения поршня, равномерно следующие друг за другом от
одной мертвой точки и другой, называются тактами, а путь меж-
ду ними — ходом поршня. Объем, описываемый поршнем за один
ход, называется рабочим объемом цилиндра.
Рабочий процесс двигателя внутреннего сгорания начинается
с движения поршня 5 от в. м. г. вниз при открытом впускном кла-
пане 2 (такт всасывания I па рис. 7.1, б). При этом в цилиндр по-
ступает смесь бензина с воздухом, которая образуется в специальном
устройстве, называемом карбюратором (двигатели с внешним сме-
сеобразованием); при использовании так называемого тяжелого
топлива (например, нефти, солярного масла) в такте всасывания
подается чистый воздух (двигатели с внутренним смесеобразова-
нием). В н. м. т. впускной клапан 2 закрывается в поршень, переме-
щаясь в обратном направлении, совершает такт сжатия II.
В двигателях с внешним смесеобразованием воспламенение топ-
лива происходит с помощью свечи зажигания 3 (принудительное
воспламенение), и топливо быстро сгорает в момент прихода пор-
шня в в. м. т. Вследствие этого температура и давление продуктов
сгорания резко возрастают при постоянном объеме.
В двигателях внутреннего сгорания с внутренним смесеобразо-
ванием в среду сильно сжатого и нагретого до 500...600 °C воздуха
через форсунку 3 впрыскивается жидкое топливо, которое самовос-
пламеняется и постепенно сгорает. Распыление жидкого топлива
в форсунке может осуществляться воздухом, сжатым в специальном
компрессоре (компрессорные дизели), или механическим способом
с помощью топливного насоса (бескомпрессорные дизели).
НО
После завершения сгорания совершается такт расширения (ра-
бочий такт III). Вблизи от н. м. т. открывается выпускной клапан^
давление падает и при движении поршня от н. м. т. до в. м. т. отра-
ботавшие газы выталкиваются из цилиндра (такт выхлопа IV)
при давлении, несколько большем атмосферного.
Диаграмма рабочего процесса двигателя обычно записывается
специальным прибором — индикатором и называется индикатор-
ной диаграммой. Она характеризует рабочий объем цилиндра V,
описываемый поршнем, в каждый момент времени.
Из-за высоких температур в цилиндре двигателя (порядка
1600...2000 °C) цилиндр приходится интенсивно охлаждать, чаще
всего водой (водяное охлаждение) или воздухом (воздушное ох-
лаждение) ; поэтому между стенками цилиндра и продуктами сгора-
ния все время происходят интенсивный теплообмен и дополнительная
потеря теплоты. Действительные процессы, протекающие в двига-
теле внутреннего сгорания, являются необратимыми (происходят
с конечными скоростями, трением и теплообменом при конечной
разности температур); поэтому индикаторную диаграмму нельзя
отождествлять с термодинамическим циклом.
При термодинамическом анализе цикла двигателя внутреннего
сгорания исходят из следующего:
процессы сгорания топлива заменяют обратимыми процессами
подвода удельной теплоты от верхних источников, а процессы
выхлопа отработавших газов — обратимым процессом (в частнос-
ти, изохорным) отвода удельной теплоты q2, так что в цикле фигу-
рирует постоянное количество рабочего тела;
процессы сжатия и расширения рабочего тела принимают ади-
абатными;
рабочим телом считают идеальный газ с постоянной теплоемкостью.
Таким образом, в теоретическом анализе действительные про-
цессы, происходящие в двигателе внутреннего сгорания, заменя-
ются теоретическим термодинамическим циклом, состоящим из
обратимых процессов.
С позиций термодинамики двигатель внутреннего сгорания,
как и любой тепловой двигатель, должен был бы работать по циклу
Карно, имеющему самый высокий термический к. и. д. в заданном
интервале температур 7,max...TrT1in. Однако из-за конструктивных
трудностей двигатель внутреннего сгорания, в котором подвод и
отвод теплоты происходили бы по изотермам, построить не удается.
Действительно, для Ттах = 2000 К (температура сгорания топ-
лива) и Tmin ~ 300 К (средняя температура окружающей среды)
в современных двигателях осуществление цикла Карно laSbl
(рис. 7.2) требует отношения pinax//7min > 750, т. е. максимальное
давление в цикле должно в 750 раз превышать минимальное дав-
ление, а максимальный объем в цикле должен отличаться от мини-
мального боЛЬШе, Чем В 115 раз (t’min^max И5).
Несмотря на то, что такой цикл имел бы очень высокий терми-
ческий к. п. д.
== 1 — Тт5п/Г max == I — 300/2000 = 0,85,
111
Pjc. 7.2. Циклы двигателей внутреннего сгорания в р — v-координатах (а)
и Т — s-координатах (б)
его осуществление связано с фантастическими размерами двигателя
(в современных двигателях внутреннего сгорания отношение пре-
дельных давлений составляет40...60, а граничных объемов — 5... 18).
Чтобы в процессе адиабатного расширения 3-Ь на рис. 7.2 не
делать ход поршня большим, а цилиндр — слишком длинным,
расширение продуктов сгорания осуществляют не до атмосферного
давления pmin, а до более высокого давления р4. С учетом этих
ограничений термический (теоретический) к. п.д. современных дви-
гателей внутреннего сгорания достигает ж 0,45...0,6.
Практически наиболее удобно подводить теплоту по изохоре
либо по изобаре или смешанным способом — по изохоре и изобаре.
В соответствии с этим для двигателей внутреннего сгорания разра-
ботаны три теоретических цикла, имеющих практическое значение.
Цикл с подводом теплоты при постоянном объеме (цикл Отто).
Цикл 12v341 на рис. 7.2 является прототипом рабочего процесса в
двигателях с принудительным зажиганием, где горючая смесь за-
жигается от электрической искры. Этот цикл состоит из двух адиа-
бат и двух изохор. Адиабата 1-2 соответствует сжатию горючей
смеси, изохора 2-3 — сгоранию смеси (подвод удельной теплоты
ft), из-за чего давление повышается до р3. После этого продукты
сгорания адиабатно расширяются (процесс 3-4). В изохорном про-
цессе 4-1 от газа отводится удельная теплота q2.
Цикл с изобарным подводом теплоты (цикл Дизеля). Цикл
12р341 на рис. 7.2 состоит из двух адиабат, изобары и изохоры;
он характерен для двигателей, работающих на тяжелом топливе,
которые называются компрессорными дизелями. В этих двигателях
сначала по адиабате 1-2 сжимается чистый воздух, в результате чего
его температура повышается до температуры самовоспламенения
топлива. Затем в изобарном процессе 2Р-3 под давлением воздуха,
создаваемым специальным компрессором, происходят впрыск и го-
рение топлива (подвод удельной теплоты q^). Далее осуществляются
адиабатное расширение 3-4 и изохорный выхлоп 4-1 (отвод удель-
ной теплоты ft).
112
Цикл соДсмешанным подводом теплоты (цикл Тринклера). Цикл
12VtP3VfP341 на рис. 7.2 характерен для так называемых веском-
прессорных двигателей, работающих на тяжелом топливе с механи-
ческим его распылением. Сжигание топлива в таких двигателях сна-
чала происходит по линии v = const (процесс 2Vtp-3Vtp) с повыше-
нием давления, а затем — при постоянном давлении (процесс
Основными характеристиками данного цикла являются: ух/у2 =
= в — степень сжатия; р3/р2 = X — степень повышения давления;
v3/v2 = Р — степень предварительного расширения. Термический
к. п.д. цикла определяется выражением
Пл..,. = 1 — 9г/91 = 1 — 92/(91» + 91р)-
Удельное количество подводимой и отводимой теплоты в цикле
можно рассчитать по формулам
Q1 Qlv 4" Qlp ~ (Т&\р T%v,p) 4"
4" cpm (7\ — c/% = cVfn (T4 — 7\).
Температура рабочего тела в узловых точках цикла легко опре-
деляется через начальную температуру Т\ и известные характерис-
тики цикла в предположении, что рабочее тело — идеальный газ.
Температура после адиабатного процесса сжатия 1-2V4) соглас-
но уравнению (1.107)
Тп __ Т «./г—1
2 2с,р — 2 jb
Температура в конце изохорного процесса 2VtP-3VtP в соответ-
ствии с уравнением (1.90)
7 Зс.р - {Р3/Р2) T2v,p ~ KI\v,p ~ 7 j8&
Температура в копце изобарного процесса 3VtP-3 согласно урав-
нению (1.93)
Т’з = = Т^е^Хр.
Температура после адиабатного процесса расширения 3-4
откуда
т4 = Т^-1/8*-1 = Т^.
Подставив эти температуры в выражения для определения удель-
ного количества теплоты и термического к. п.д. цикла, после ряда
преобразований получим
Пл-.р = 1 — _ 1 + я (р _ 1) • С1 -206)
Из этого выражения следует, что термический к. п. д. цикла
возрастает с увеличением степени сжатия 8 и степени повышения
давления X, уменьшаясь с увеличением степени предварительного
8 8-2570 ИЗ
расширения р. Верхний предел е в двигателях внутринчего сгора-
ния с внешним зажиганием ограничивается температурой само-
воспламенения бензовоздушной смеси, а в двигателях внутреннего
сгорания с впрыском топлива — допустимым давлением в цилин-
дре, превышение которого приводит к утяжелению конструкции
двигателя *.
При р == 1 цикл со смешанным подводом теплоты переходит
в цикл с изохорным подводом теплоты, а при Z = 1 — в цикл
с изобарным подводом теплоты. Термические к. п. д. этих циклов
согласно (1.206) определяются выражениями
1 —1/е^—Ч (1.207)
1-{р^1/[^(р-1)]}/8^1. (1.208)
Сравнение циклов. Из выражений (1.207) и (1.208) следует, что
при одинаковых степенях сжатия рабочего тела цикл с изохорным
подводом теплоты имеет больший к. п.д., чем цикл с изобарным
подводом теплоты. Однако практически для двигателей с изобар-
ным подводом теплоты характерна более высокая степень сжатия;
поэтому они более экономичны, чем двигатели с изохорным подво-
дом теплоты.
Циклы двигателей внутреннего сгорания целесообразнее сравни-
вать при одинаковых конечных давлениях и температурах рабо-
чего тела, т. е. в условия;: одинаковых допустимых термических и
механических напряжений.
Из расположения линий, характеризующих процессы подвода
теплоты в этих двух циклах (см. рис. 7.2), следует, что средняя
температура подводимой теплоты в цикле с р = const больше,
чем в цикле с v = const; поэтому Однако двигатели
внутреннего сгорания с изобарным подводом теплоты обладают
рядом существенных конструктивных недостатков (имеют специ-
альный компрессор для распыления топлива, который забирает
часть полезной работы в цикле и снижает экономичность двигателя;
устройство форсунок сложное и др.).
Конструкция двигателя упрощается при использовании цикла
со смешанным сгоранием топлива (J2VtP3VtP341 на рис. 7.2). В этом
случае топливо к форсунке может подаваться насосом под высоким
давлением. Как следует из Т — s-диаграммы, термический к. п.д.
цикла со смешанным сгоранием топлива занимает промежуточное
положение, т. е. тцр > тщ,.р > По этому циклу работают все
современные двигатели внутреннего сгорания на тяжелом топливе
(дизели).
В заключение отметим, что выхлопные газы двигателей внутрен-
него сгорания содержат СО2, Н2О, СО, NO, а также частично или
* В двигателях, работающих с изохорным подводом теплоты и внешним
зажиганием, повышение степени сжатия не должно вызывать детонацию и само11
воспламенение горючей смеси в процессе сжатия; поэтому допускается е не
более 10. В двигателях с изобарным подводом теплоты и самовоспламенением
сжимается воздух и в них 8 может достигать 20.
114
полностью несгоревшие углеводороды, компоненты свинца и ос-
татки других вредных веществ. Поэтому около 60 % всех источни-
ков загрязнения окружающей среды составляют выхлопные газы
автомобильных двигателей внутреннего сгорания и других тепло-
силовых установок. В связи с этим в настоящее время ведутся ин-
тенсивные и широким фронтом научные исследования и опытно-
конструкторские работы по совершенствованию циклов и конструк-
ций двигателей внутреннего сгорания, замене жидкого нефтяного
топлива другими видами, в том числе газообразным топливом,
очистке и улавливанию токсичных компонентов выхлопных газов.
Особое внимание уделяется правильному режиму эксплуатаций
автомобильных двигателей внутреннего сгорания. Неисправности
в системах топливонриготовления (карбюраторы, насосы и форсун-
ки в дизелях) приводят к резкому увеличению вредных выбросов
и ухудшению экологической обстановки.
7.2. Циклы газотурбинных установок
Существенным недостатком двигателей внутреннего сгорания явля*
юте я возвратно-поступательное движение поршня и наличие боль-
ших инерционных усилий, что не позволяет создавать поршневые
двигатели больших мощностей с малыми габаритньшп размерами
и массой. В газовой турбине, как и в двигателе внутреннего сгора-
ния, рабочим телом являются продукты сгорания жидкого или га-
зообразного топлива, но возвратно-поступательное движение заме-
нено вращательным движением колеса под действием струи газа
(рис. 7.3, ц). Кроме того, в турбине осуществляется полное адиа-
батное расширение продуктов сгорания до давления наружного
воздуха, с чем связан дополнительный выигрыш работы (пл. 4'414'
на рис. 7.3, б). Это обстоятельство, а также ротационный принцип
работы газотурбинного двигателя позволяют выполнять его быс-
троходным, с высокой частотой вращения, большой мощности в
отдельном агрегате при умеренных размерах и небольшой массе.
Простейшими циклами газотурбинных установок считаются
циклы с изобарным либо изохорным подводом теплоты. Эти циклы
отл и чаются от соответствующих циклов двигателей внутреннего
Рис. 7.3. Схема газотурбинной установки (а) и цикл ее работы в р — ^-коор-
динатах (б) и Т — s-координатах (в)
8*
115
сгорания процессом отвода теплоты: изохорный процесс отвода за-
менен изобарным.
Современные газотурбинные установки в основном работают
с изобарным подводом теплоты. Теоретически цикл с изобарным
подводом теплоты (рис. 7.3, б, в) состоит из процесса адиабатного
сжатия воздуха 1-2 в компрессоре 1 (см. рис. 7.3, а), изобарного
подвода теплоты 2-3 в камере сгорания 2, процесса адиабатного рас-
ширения 3-4 продуктов сгорания в соплах 3, преобразования кине-
тической энергии струи газа на рабочих лопатках 4 и процесса
отвода теплоты 4-1 от газа в окружающую среду при постоянном
давлении р2.
Удельная полезная работа в цикле равна разности между удель-
ной технической работой турбины /т (пл. 34р1р23) и удельной тех-
нической работой /к, затраченной на привод компрессора
(пл. 12р2рАГ), т. е. /0 = /т — /к — пл. 12341. Эта же работа равна
удельной теплоте qOi которая определяется разностью между удель-
ным количеством подведенной теплоты qr (пл. 238^2) и удельным
количеством отведенной теплоты q2 (пл. 41s18q4), т. е. qQ = qr — q2 =
пл. 12341($мс. 7.3, в).
Термический к. п. д. цикла газотурбинной установки можно
рассчитать по формуле (1.70)
Н / — | (/2 — 1 , СР 4 7\) __ 1 _Zj_ ^4/^1 ' 1
1 у <71 ср(Т.А-Т2) Т2 Т3/Т2-\ ’
Для адиабат 1-2 и 3-4 действительны соотношения
Т2П\ = Ta/T4 = (p3/Pi)(k-l),k.
Тогда
П/г.т.у = 1 - (1.209)
где |3 = р2/р} = р3/р4 — степень повышения давления при адиа-
батном процессе сжатия воздуха в компрессоре.
Из выражения (1.209) следует, что термический к. п. д. цикла
газотурбинной установки с изобарным подводом теплоты с увели-
чением степени повышения давления р возрастает, связано это с
увеличением средней температуры рабочего тела в процессе подво-
да теплоты.
На Т — s-диаграмме (см. рис. 7.3, в) видно, что температура га-
зов на выходе из турбины Тл выше температуры сжатого воздуха
Т%. Поэтому для уменьшения расхода удельной теплоты целесо-
образно часть теплоты отходящих газов использовать для подогре-
ва воздуха, поступающего в камеру сгорания. Для этого отработан-
ные газы после турбины направляют в теплообменник (регенератор)
5 (см. рис. 7.3, «), где газы, охлаждаясь по адиабате 4-а до темпе-
ратуры Та (см. рис. 7.3, в), отдают часть теплоты воздуху, который
после компрессора нагревается по адиабате 2-Ь до температуры Ть.
Так как удельная полезная работа /0 в циклах с регенерацией и без
нее одинакова, а удельное количество теплоты qv расходуемой на
нагрев воздуха в камере сгорания, уменьшается на столько, как
116
отмечено заштрихованной площадью на рис. 7.3, в, то термический
к. п. д. цикла с регенерацией теплоты увеличивается.
Газотурбинные установки широко применяются в различных
отраслях народного хозяйства. Газовые турбины являются основ-
ным агрегатом современных авиационных турбореактивных дви-
гателей, используются в энергетических системах для покрытия
максимальных нагрузок (они быстро запускаются и набирают на-
грузку), в приводах нагнетателей на компрессорных станциях ма-
гистральных газо- и нефтепроводов, работают в качестве главных
и форсажных двигателей на судах морского флота. Газотурбинные
установки весьма перспективны на железнодорожном транспорте,
где их малые размеры и маневренность создают большие пре-
имущества. Особое место занимают они в технологических схемах
многих химических и металлургических производств (энерготех-
нологические установки), где применяются в приводах различного
рода нагнетателей с использованием как рабочего тела продуктов
или отходов самих производств.
7.3. Основной цикл паросиловых установок
Преобразование энергии органического или ядерного топлива в
механическую с помощью водяного пара осуществляется в паро-
силовых установках, составляющих базу современной крупной
энергетики. Схема простейшей паросиловой установки показана на
рис. 7.4, а ее теоретический цикл (цикл Репкина) изображен на
рис. 7.5.
Вода при начальной температуре (точка 3) сжимается насосом
Н (процесс 3-4) и подается в водяной экономайзер ВЭ при давлении
pL. Здесь за счет теплоты уходящих газов вода нагревается при по-
стоянном давлении (процесс 4-5) до температуры кипения (насыще-
ния) 7\ (точка 5), затем в паровом котле ПК происходит парообра-
зование при Тн = const (процесс 5-6) с затратой удельной теплоШ
Рис. 7.4, Схема паросиловой установки
117
Рис. 7.5. Основной цикл (цикл Ренкина) паросиловой установки в р — ц-коор-
динатах (а), Т — s-координатах (б) и на Л — s-диаграмме (в)
91. Полученный сухой насыщенный пар в пароперегревателе /7/7
перегревается за счет удельной теплоты омывающих его газов qi
при том же постоянном давлении plt которое создается насосом //,
до требуемой температуры Тг (процесс 6-1). Перегретый пар з пара-
метрами plt по паропроводу подается в паровую турбину ПТ.
происходит адиабатное расширение пара до давления р2 с вы-
полнением внешней работы (процесс 1-2). После турбины пар с
удельной энтальпией h2 поступает в конденсатор К, который пред-
ставляет собой трубчатый теплообменник. Наружная поверхность
трубок конденсатора омывается паром, а внутри их непрерывно
циркулирует охлаждающая вода, подаваемая циркуляционным
насосом ЦП.
В конденсаторе посредством охлаждающей воды от пара отни-
мается удельная теплота парообразования г = q2 и пар переходит
При постоянных давлении р2 и температуре /2 в жидкость с удельной
энтальпией Л? (процесс конденсации 2-3). В дальнейшем цикл по-
вторяется. Такой цикл называется конденсационным циклом Ренкина.
Таким образом, в отличие от двигателя внутреннего сгорания в
паросиловой установке продукты сгорания топлива в цикле непо-
средственно не участвуют, а являются лишь источником теплоты.
Рабочим телом служит пар какой-либо жидкости (главным обра-
зом воды).
Для паросиловых установок в заданном температурном интер-
вале термодинамически наиболее выгодным также мог бы быть
цикл Карно. Однако его осуществление связано с большими труд-
ностями. Цикл Карно относительно проще было бы осуществить
в области влажного пара (цикл а56Ьа на рис. 7.5, а). Это объясня-
ется тем, что в области влажного пара изотермические процессы
подвода и отвода теплоты совпадают с изобарными и могут быть ре-
ализованы в котле и конденсаторе. В этом случае конденсация пара
в изотермическом процессе b-а происходит неполностью, вследствие
чего в последующем адиабатном процессе а-5 сжимается не вода,
как в цикле Ренкина, а влажный пар, объе^м которого больший.
Для сжатия пара требуются специальный компрессор и сравни-
тельно большая удельная работа на сжатие, определяемая плод
118
щадью а5ргр2а на рис* 7.5, а, что значительно снижает общую эконо-
мичность установки и практически обесценивает термодинамиче-
ские выгоды цикла Карно. По этой причине цикл Карно не получил
практического использования в паросиловых установках и в тео-
ретическом плане важен как эталонный цикл, имеющий в заданном
интервале температур максимальный термический к. п. д.
В рассмотренном перед этим цикле Ренкина осуществляется
полная конденсация пара с последующим адиабатным сжатием
3-4 конденсата в насосе, что значительно уменьшает удельную ра-
боту сжатия, определяемую площадью 34р1р23 на рис. 7.5, а. Тер-
мический к. п. д. этого цикла Ренкина можно рассчитать по форму-
ле (1.70).
Удельная теплота, сообщаемая рабочему телу на участке
4-5-6-1 цикла (см. рис. 7.5, в) при постоянном давлении р1У опреде-
ляется выражением (1.85а)
<71 = — h2i
где h1 — удельная энтальпия пара, поступающего в турбину; h2 —
удельная энтальпия поступающей в котел жидкости (конденсата
после конденсатора), которую можно найти по таблицам 17] при
давлении р2.
Удельная теплота, отдаваемая паром в конденсаторе охлажда-
ющей воде при постоянном давлении /?2 на участке 2-3 цикла, вы-
числяется аналогично:
q2 = h2 — h2t
где Л2 — удельная энтальпия пара, выходящего из турбины.
Подставив значения qr и q2 в (1.70), получим выражение для
определения термического к. п. д. цикла Ренкина
.. _ 41—Чг _ (Л1 —М —^3—л2) _ —Л3 (1 21(Л
П/РенкИн-— - Л1_Л' •
Важной расчетной характеристикой паросиловой установки
является удельный расход пара d0, представляющий собой отно-
шение часового расхода пара в идеальном тепловом двигателе DQ
к количеству выработанной электроэнергии Ne. Поскольку каж-
дый килограмм пара совершает в теоретическом цикле q0 — hx —
— h2 килоджоулей полезной работы, а 1 кВт • ч = 3600 кДж, то
на основании уравнения теплового баланса идеального двигателя
Do (Л4 — /?2) = ЗбООЛ^
получаем выражение для определения теоретического расхода па-
ра (в килограммах на киловатт-час)
d0 = DjNe = 3600/(71! —/г2). (1.211)
Непосредственно по (1.210) трудно выявить характер влияния
параметров состояния пара на значение Щренкин- Поэтому восполь-
зуемся понятием эквивалентного цикла Карно. Из (1.204) следует,
119
что с увеличением средних темпе-
ратур цикла Тир и Т2ср термиче-
ский к. п. д. любого цикла повы-
шается.
Увеличение средней температу-
ры 71Ср в процессе подвода теплоты
в цикле Ренкина возможно путем
повышения начального давления
пара или температуры перегре-
ва tv
В первом случае (рис. 7.6) повы-
шение 71сРдо Т1Ср обусловливает-
ся увеличением температуры кипе-
ния (парообразования). Так, увели-
чение начального давления от 2 до
Рис. 7.6. Влияние начального дав-
ления пара на термический к. п. д.
цикла Ренкина
10 МПа, что соответствует /н = 212 °C и /н = 310 °C, при одной
и той же температуре перегретого пара tr = 500 °C и одном и том
же давлении в конденсаторе р2 = 0,004 МПа приводит к повыше-
нию г], от 0,36 до 0,426, т. е. на 16,2 %.
Отметим, что само увеличение давления никаких преимуществ
не дает (с увеличением давления пара повышаются требования к
качеству металла, увеличивается его расход и удорожается установ-
ка) и если бы повышение гд можно было бы достичь иным путем
(например, заменой водяного пара другим веществом, у которого
при тех же давлениях температура кипения выше, чем у воды),
то следовало бы отдать предпочтение умеренным начальным давле-
ниям пара.
Кроме того, неблагоприятным следствием повышения начально-
го давления является увеличение степени влажности пара в конце
расширения, т. е. уменьшение степени сухости пара (х2 < х2).
Выделяющиеся в последних ступенях турбины капли влаги вызы-
вают механический износ (эрозию) рабочих лопаток и снижают
общий к. п. д. турбины.
Рис. 7.7. Влияние начальной
температуры пара на термиче-
ский к. п. д. цикла Ренкина
Рис. 7.8. Влияние конечной тем-
пературы пара на термический
к. п. д. цикла Ренкина
120
При повышении температуры перегретого пара (Т{ > 7\) так-
же увеличивается средняя температура в процессе подвода теплоты
(Лер > Лер) (рис. 7.7). Однако предел повышения температуры
пара ограничивается жаропрочностью металла. Увеличение тем-
пературы перегрева пара, кроме повышения Лер, Дает заметное
снижение конечной влажности пара (х2 > х2). В связи с этим наи-
более благоприятные результаты достигаются при одновременном
повышении давления рг и температуры t19 т. е. при использовании
пара высоких начальных параметров.
Снижение средней температуры Т2ср в процессе отвода теплоты
(рис. 7.8) ограничивается температурой окружающей среды, кото-
рая практически является теплоприемником в теплосиловых
установках. Если исходить из температурных условий окружающей
среды (воздух, вода рек и озер), то низшая температура в цикле мо-
жет быть 20...30 °C, что соответствует для водяного пара конечному
давлению р2 = 0,0024...0,0043 МПа.
Следовательно, работа паросиловой установки связана с под-
держанием в конденсаторе паровой турбины относительно глубо-
кого вакуума (97...96 %). С ухудшением вакуума (повышением р2),
как следует из рис. 7.8, термический к. п. д. цикла падает.
Таким образом, для увеличения термического к. п. д. цикла
Ренкина необходимо повышать начальные паргмзтры пара pv tr
и снижать конечное давление (температуру) пара р2. Поскольку
увеличить гр за счет уменьшения р2 (/2) невозможно, практически
этой цели можно достигнуть только путем увеличения рх и 4 Оп-
тимальные параметры цикла выбираются на основании технико-эко-
номических расчетов; при этом учитываются такие факторы, как
уменьшение габаритных размеров, металлоемкость, безопасность
работы и т. п.
В отличие от теоретического цикла паросиловой установки,
который состоит из обратимых процессов, действительные циклы
протекают необратимо. Так, расширение пара в турбине проис-
ходит при наличии потерь, связанных главным образом с трением
пара о стенки и с другими гидродинамическими явлениями, на пре-
одоление которых затрачивается часть работы расширения. Работа
трения превращается в теплоту, повышая удельную энтальпию
пара в конечном состоянии от h2 до Л2д. Поэтому действительный
процесс адиабатного расширения пара в турбине, протекающий не-
обратимо с увеличением энтропии, изображается не прямой 1-2,
а условной кривой 1-2л (см. рис. 5.7).
Очевидно, удельная полезная работа в действительном тепло-
вом двигателе (так называемая удельная внутренняя, или индика-
торная, работа) lti ~ hr — h2Pt меньше такой же работы /0 == hr —
— h2 в идеальном двигателе. Отношение удельной действительной
работы 4 к теоретической /0 называется относительным внутрен-
ним к. п. д. теплового двигателя qol-. Для паровой турбины
Пог = /Л = (Л1-М/(Л1-й2) (1-212)
и достигает 80...90 %.
121
Отношение удельной, полезно использованной теплоты lL в
реальном двигателе к удельной теплоте q19 затраченной в цикле,
называется абсолютным внутренним к. п. д. теплового двигателя
т. е.
Ш = (^i — — М. (1.213)
Легко показать, что
П; = П/Поь
(1.214)
Если учесть, что при параметрах пара pt = 17 МПа, = 550 °C
и р2 = 0,004 МПа, которые сейчас широко используются на тепло-
вых электростанциях, т|/Ренкин = 0,46, то, приняв T]Ot = 0,85,
получим тр = 0,46 • 0,85 = 0,39, т. е. только 39 % теплоты, подво-
димой в цикле, превращаются в полезную работу.
7.4. Способы повышения тепловой
эффективности паросиловых установок
Несмотря на то, что в настоящее время осуществляется массовое
освоение высоких и сверхвысоких параметров пара (рг = 23...
30 МПа; tY = 570...600 °C) и глубокого вакуума в конденсаторе
(97 %, или р2 = 0,003 МПа), термический к. п. д. цикла Ренкина
не превышает 50 %. В реальных установках доля полезно исполь-
зуемой теплоты еще меньше из-за потерь, связанных с внутренн.й
необратимостью термодинамических процессов. В связи с этим были
предложены различные способы повышения тепловой эффективнос-
ти паросиловых установок, в частности предварительный подогрев
питательной воды за счет отработавшего в турбине пара (регенера-
тивный цикл), вторичный перегрев пара (цикл со вторичным пере
гревом), комбинированное использование теплоты (теплофикаци-
онный цикл).
Регенеративный цикл. Его особенность состоит в том, что кон-
денсат, имеющий после конденсатора /( температуру t2 = 28...
30 °C, прежде чем поступить в паровой котел /7/(, подогревается в
специальных теплообменниках П1...ПЗ (рис. 7.9, а) паром, отбира-
Рис. 7.9. Схема (а) и регенеративный цикл (и) паросиловой установки
122
емым из промежуточных ступеней турбины. Осуществляя ступенча-
тый подогрев воды за счет ступенчатого отбора теплоты пара в про-
цессе его расширения, можно реализовать идею регенеративного
цикла Карно, как показано на рис. 7.9, б участка цикла в об-
ласти насыщенного пара. Увеличивая число отборов до бесконеч-
ности (предельно регенеративный цикл), процесс расширения мож-
но приблизить до штриховой кривой, которая будет эквидистанной
кривой процесса подогрева 4-4'. Однако технически это реализо-
вать невозможно, и практически с экономической точки зрения
оправдывается применение от пяти до восьми ступеней подогрева.
Цикл паросиловой установки с регенерацией, строго говоря,
нельзя изобразить на Т — s-диаграмме, поскольку она строится
для постоянного (1 кг) количества вещества, тогда как в цикле с ре-
генерацией количество пара по длине турбины неодинаково. По-
этому цикл, показанный на рис. 1.66, б, является несколько
условным.
При отборе пара на подогрев конденсата, с одной стороны, умень-
шается расход удельной теплоты q± на получение пара, но с дру-
гой, одновременно и уменьшается удельная работа пара /0 в тур-
бине. Несмотря на противоположный характер этих влияний, от-
бор всегда повышает щ. Это объясняется тем, что при подогреве
питательной воды за счет теплоты конденсации отобранного пара
устраняется подвод теплоты от внешнего источника на участке
4-4' и таким образом средняя температура подвода теплоты от внеш-
него источника в регенеративном цикле увеличивается (подвод
внешней теплоты осуществляется только на участке 4'-5-6-1).
Кроме того, регенеративный подогрев питательной воды умень-
шает необратимость в процессе передачи теплоты от газов к воде
на участке 4'-5, так как уменьшается разность температур между
газами и предварительно подогретой водой.
Применение регенеративного подогрева питательной воды уве-
личивает термический к. п. д. цикла паросиловой установки на
8..Л2 %.
Цикл со вторичным перегревом пара. Как установлено вышеа
неблагоприятным следствием повыше-
ния начального давления является
увеличение степени влажности пара в
конце его адиабатного расширения.
Чтобы избежать повышения влаж-
ности сверх допустимого предела, по-
вышают начальную температуру пере-
гретого пара, а также применяют вто-
ричный или промежуточный перегрев.
Сущность последнего заключается в
том, что пар после расширения 1-2
в первых ступенях турбины (рис. 7 10)
при постоянном давлении рпр подвер-
гается вторичному перегреву во вто-
ром пароперегревателе до тем пер ату-
Рис. 7.10. Цикл паросиловой
установки со вторичным пе-
регревом пара
123
ры 7\ (процесс 2-5); затем пар поступает в следующие ступени тур-
бины, где происходит'расширение 3-4 до давления конденсаторе.
В результате вторичного перегрева степень сухости пара уве-
личивается от х2 ДО *2, что улучшает работу проточной части тур-
бины. Одновременно с этим может повыситься термический к. п. д.
цикла, если подобрать давление и температуру промежуточного
перегрева так, чтобы средняя температура в процессе перегрева
2-3 была выше средней температуры подвода теплоты в цикле с од-
нократным подогревом.
Теплофикационный цикл. Согласно второму закону термоди-
намики значительная часть теплоты (более 50 %), сообщаемой пару
в паровом котле, неизбежно должна передаваться в конденсаторе
теплоприемнику и бесполезно уноситься с охлаждающейся водой,
имеющей температуру после конденсатора 15...30 °C. Естественно,
теплота с такой низкой температурой (низкопотенциальная тепло-
та) не может быть использована ни для отопительных, ни для тех-
нологических нужд.
Чтобы в дальнейшем можно было использовать эту теплоту,
необходимо повысить ее температуру хотя бы до 80... 100 иС, для че-
го следует увеличить давления пара р2> выходящего из турбины,
соответственно до 0,077...0,1 МПа. Такие установки работают с
ухудшенным вакуумом или с противодавлением. Наряду с выработ-
кой электроэнергии они отпускают внешнему потребителю тепло-
ту в виде пара или горячей воды и называются теплофикационными
(рис. 7.11, а).
В таких установках, не имеющих конденсатора, пар после
турбины ПТ с повышенным давлением и температурой Тп (точка
2' на рис. 7.11, б) направляется к тепловому потребителю ТП.
Отдавая ему удельную теплоту q2, пар конденсируется (процесс
2-5'), и конденсат с помощью насоса возвращается в паровой котел
/7К.
Таким образом, вместо конденсационного цикла 123451 ре-
ализуется теплофикационный цикл 12'3'451, в котором количе-
ство теплоты, отдаваемой холодному источнику (пл. 2'3'ab2')t
Рис. 7.11. Схема теплофикационной паросиловой установки (а) и цикл ее ра-
боты (б)
124
используется для отопления зданий, в технологических процессах
различных производств и т. д. Электростанции, работающие по
такому комбинированному принципу, называются теплоэлектро-
централями (ТЭЦ).
Повышение противодавления приводит к уменьшению выра-
ботки 1 кг пара электроэнергии /0 и термического к. п. д. т|г
(пл. 12'3'451 < пл. 1234Г), но общее использование теплоты при
этом значительно повышается, так как теплота отработавшего пара
уже не теряется, а полезно используется:
<7исп — /о + 72- (1.215)
Характеристикой теплофикационного цикла служит отношение
удельной использованной энергии 7ИСП к удельной подведенной
теплоте qlf называемое коэффициентом использования теплоты:
Ци.т = 7исп/71 = Go + 72)/7i- (1.216)
В идеальном случае, когда используется вся удельная теплота
ф, Ли.т == 1 (или ЮО %). В реальных условиях часть теплоты теря-
ется и экономичность теплофикационных установок с противодав-
лением достигает 60...80 %, что намного выше экономичности кон-
денсационных установок (совершенно очевидно, что в цикле Рен-
кина коэффициент т|и.т равен термическому к. п. д. цикла).
Несмотря на очевидное преимущество применения турбин с
противодавлением, их использование на теплоэлектроцентралях
весьма ограничено, так как давление пара на выходе из турбины
и расход пара устанавливаются потребителем и, следовательно,
выработка электроэнергии определяется тепловым потребителем
(турбина с противодавлением работает по свободному тепловому
и вынужденному электрическому графикам).
Чтобы можно было в большохм диапазоне независимо менять
тепловую и электрическую нагрузки, на большинстве теплоэлек-
троцентралей применяют конденсационные турбины с промежуточ-
ными отборами пара при давлениях, необходимых для потребите-
лей теплоты. Одна из таких схем показана на рис. 7.12. Здесь часть
пара отбирается из промежуточных ступеней турбины при давлении
Р2отб (как и в случае регенерации) и направляется тепловым пот-
ребителям ТП\ другая часть па-
ра при более низком давлении
/?2отб отбирается и поступает в
тепловые сети для отопления.
Конденсат этих двух потоков па-
ра возвращается через питатель-
ный бак ПБ обратно в пароси-
ловую установку. Остальная (ос-
новная) часть пара, необходимая
для выработки электроэнергии,
продолжает расширяться в тур-
бине ПТ до давления р2 и ухо-
Рис. 7.12. Схема теплоэлектроцентрали
с регулируемым отбором пара
125
Рис. 7.13. Схема парогазовой установки (о) п цикл ее работы (б)
-------Воздух
_______Продукты
-------сгорания П
дит в конденсатор /(. Таким образом, отпуск теплоты потребителям
и выработка электроэнергии у турбин g регулируемыми отборами
пара могут изменяться независимо друг от друга.
Комбинированная выработка электроэнергии и теплоты на теп-
лоэлектроцентралях является одним из главных методов повышения
экономичности тепловых электростанций и служит основой тепло-
фикации.
Заметим, что возможность централизованного получения от
теп юэлектроцентралей большого количества теплоты для бытовых
и технологических нужд избавляет от необходимости сооружать
специальные мелкие котельные, имеющие относительно малый
к. п. д.
Комбинированные (бинарные) циклы. Как уже отмечалось, верх-
ний температурный предел для паросиловых установок, работаю-
щих на водяном паре, ограничивается прочностью стали (при дав-
лении порядка 30 МПа температура не допускается выше 600 °C) *.
Нижняя температура в цикле Ренкина составляет 15...30 °C.
В то же время верхний предел температуры в газотурбинных уста-
новках в зависимости от прочности материалов допускается поряд-
ка 1000 °C, что намного выше температуры перегрева пара в паро-
силовых установках, однако нижний предел температуры достигает
350...450 °C при расширении продуктов сгорания до атмосфер-
ного давления.
Существенного увеличения эффективности использования теп-
лоты продуктов сгорания топлива можно достичь путем комбиниро-
вания газотурбинных и паросиловых установок. Одна из возмож-
ных схем такой парогазовой установки изображена на рис. 7.13. а.
* В этом смысле вода является веществом с не самыми лучшими термо-
динамическими свойствами. Лучше было бы вещество, которое имело бы вы-
сокую температуру насыщения при умеренных давлениях (например, ртуть
при давлении 1,5 МПа имеет температуру кипения 550 °C), что позволило бы
осуществить цикл Ренкина без перегрева.
126
Атмосферный воздух компрессором В/< подается в топку высокона-
порного парогенератора ПГ (процесс а-b на рис. 7.13, б), куда по-
ступает жидкое или газообразное топливо. Теплота, полученная при
сгорании топлива (процесс Ь-с), частично используется для получе-
ния перегретого водяного пара (процесс 4-5-1) и частично превра-
щается в полезную работу в газовой турбине ГТ (процесс c-d).
После турбины продукты сгорания, имеющие еще относительно
высокую температуру, направляются в регенеративный газоводя-
ной подогреватель ГВ, где охлаждаются (процесс d-a) и подогрева-
ют конденсат (процесс 3-4), образующийся в конденсаторе паровой
турбины ПТ, который подается насосом Н в парогенератор ПГ,
Таким образом, полный термодинамический цикл парогазовой
установки (см. рис. 7.13, б) состоит из двух циклов: газового
(a-b-c-d) и парового (1-2-3-4-6). Расчеты показывают, что термический
к. п. д. комбинированного цикла увеличивается по сравнению с
отдельно взятыми к. п. д. парового и газового циклов и дает эконо-
мию топлива до 15 %.
7.5. Особенности циклов
атомных электростанций
В настоящее время в связи с дефицитом органических видов топли-
ва ядерная энергетика играет важную роль в народном хозяйстве
страны. Ядерный реактор является источником теплоты, энергети-
ческое применение которой во многом сходно с использованием
теплоты, выделяющейся при сгорании органического топлива в
топках парогенераторов или в камерах сгорания газотурбинных
установок. Поэтому термодинамические циклы атомных электро-
станций подобны циклам обычных тепловых электростанций, ра-
ботающих на органическом топливе.
Наиболее освоенными энергетическими реакторами являются
водо-водяные, в которых вода играет двойную роль: отбирает тепло-
ту реакции деления ядерного топлива и одновременно замедляет
нейтроны, которые необходимы для поддержания цепной реакции.
Такие реакторы называются также реакторами на тепловых (мед-
ленных) нейтронах.
Выделяющаяся в реакторе теплота может передаваться рабоче-
му телу либо путем непосредственного его нагревания в активной
зоне реактора, либо путем использования промежуточного тепло-
носителя, который отводит теплоту от активной зоны реактора и
затем в теплообменном аппарате (парогенераторе) передает ее ра-
бочему телу теплосиловой установки. В первом случае схема уста-
новки называется одноконтурной, а во втором — двухконтурной.
Бывают и трехконтурные схемы атомных электростанций, в кото-
рых имеется дополнительный промежуточный контур.
Одноконтурная схема атомной электростанции показана на
рис. 7.14, а. Вода, проходя через ядерный реактор нагревается
И испаряется. Образовавшийся пар поступает в паровую турбину
ПТ, а затем в конденсатор Д', где конденсируется за счет отвода
127'
теплоты охлаждающей водой. Из конденсатора вода насосом Н
опять нагнетается в реактор и цикл замыкается.
В одноконтурных схемах может применяться также газовый
теплоноситель, который после непосредственного нагрева в актив-
ной зоне реактора используется в замкнутом цикле газотурбинной
установки. Недостатками этих схем являются: возможность за-
грязнения турбины продуктами коррозии тепловыделяющих элемен-
тов реактора, опасность работы обслуживающего персонала из-за
наличия следов радиактивности рабочего тела.
На рис. 7.14, б изображена двухконтурная схема атомной элек-
тростанции, где используются два теплоносителя. В первичном кон-
туре промежуточный теплоноситель нагревается в ядерном реакто-
ре ДР и поступает в парогенератор ПГ, отдавая теплоту рабочему
телу (воде) энергетического контура, после чего насосом Н2 воз-
вращается в реактор.
В качествй теплоносителя в первичном контуре можно исполь-
зовать воду, высокотемпературные органические вещества, жид-
кие металлы и газы. Вторичный (энергетический) контур состоит
из тех же элементов, что и обычная паросиловая установка. В па-
рогенераторе ПГ вода за счет теплоты теплоносителя первичного
контура превращается в пар и поступает в паровую турбину ПТ.
Отработавший в турбине пар конденсируется в конденсаторе К
и насосом Н1 возвращается в парогенератор. Все агрегаты первич-
ного контура из-за большой радиоактивности окружены специаль-
ной биологической защитой БЗ (ограждены стеной из баритобе-
тона).
Преимущества двухконтурной схемы состоят в том, что во вто-
ричном контуре отсутствуют следы радиоактивности рабочего те-
ла (нет опасности для обслуживающего персонала) и для охлажде-
ния реактора можно использовать любой теплоноситель, в частнос-
ти жидкие металлы.
Термический к. п. д. циклов атомных электростанций, как и
паросилового цикла Ренкина, зависит от начальных и конечных
параметров пара. Начальные параметры пара ограничиваются до-
пустимой температурой покрытий тепловыделяющих элементов
Рис. 7.14. Одноконтурная (а) и двухконтурная (б) схемы атомных электростан-
ций
128
Рис. 7.15. Цикл работы атомной
электростанции
реактора, которая в зависимости от
материалов оболочек составляет 400...
600 JC, а также предельной темпера-
турой ядерного горючего, при кото-
рой наступают его фазовые превраще-
ния. Поэтому для современных атом-
ных электростанций характерен низ-
кий перегрев пара и в основном он
поступает в турбину насыщенным.
Чтобы избежать эрозийного износа ло-
паток из-за большой влажности пара
в процессе расширения, предусматри-
вают вывод его из промежуточных
ступеней турбины для сепарации образовавшейся влаги (процесс
а-b рис. 7.15), а иногда и для промежуточного перегрева (процесс
ЬЛ').
Все выражения к. и. д. циклов атомных электростанций совер-
шенно идентичны соответствующим выражениям к. п. д. циклов
обычных тепловых электростанций, работающих на органическом
топливе.
В настоящее время начинают применяться теплофикационные
ядерно-энергетические установки, которые служат источниками
теплоты для различных технологических и коммунальных нужд.
Примеры решения задач
Задача 7.1. Определить параметры в узловых точках цикла двигателя внут-
реннего сгорания с подводом теплоты при v = const, а также термический
к. п. д. цикла и установить его зависимость от степени сжатия, приняв е = 4,
6, 8, 10, 12.
Параметры начальной точки цикла р± = 0,1 МПа, tA — 127 °C; степень
сжатия е = 6; степень повышения давления X = 3,5. Рабочее тело — воздух,
для которого удельная газовая постоянная R = 287 Дж/(кг • К), показатель
адиабаты /г — 1,41. Сравнить вычисленный к. п. д. с термическим к. п. д.
цикла Карно при максимальной и минимальной температурах воздуха.
Решение. Начальный удельный объем воздуха
v1 = RTl/p1 = 287 • 400/105 = 1,15 м3/кг.
Параметры воздуха в конце процесса сжатия (точка 2V на рис. 7.2, а):
v2v = vjs — 1,15/6 = 0,19 м3/кг;
р2 = рг (vx/vv)k = р±&к = 0,1 • 6 — 1,25 МПа;
Т.г Гг (Vi/Vv)k-1 = T^e.k~' = 400 • 6 = 818 К.
Параметры воздуха в конце процесса сгорания (точка 3 на рис. 7.2, а).
и3 = v2v ~ 0,19 м3/кг;
р3 = р2Х = 1,25 * 3,5 = 4,37 МПа;
Т3 = Т\р3/р2 = Т2Х = 818 • 3,5 — 2863 К.
Параметры воздуха в конце процесса адиабатного расширения (точка 4
на рис. 7.2, а):
v4 = — 1,15 м3/кг;
9 9-2570
129
Tt = Ts/e,k~' = 2863/61,41-1 = 1400 К;
Pi = RTt/Vi = 287 1400/(1,15 • 10) = 0,35 МПа.
Удельная теплота, подводимая к воздуху в процессе 2v-3 на рис. 7.2, а,
<71 - cv (Т8 - Т2) = llcv (Т3 - Т2)/(рсВУз) = 20,9 (2863 - 818)/2 = 1431,5 кДж/кг.
Удельное количество теплоты, отведенной в процессе 4-1 на рис, 7.2, а
С2 = cv (Т4 — 7\) = 20,9 (1400 — 400)/29 = 700 кДж/кг.
Удельная, полезно использованная теплота
qQ = q± — q2 = 1431,5 — 700 = 731,5 кДж/кг,
Термический к. п. д. цикла
= q0/qi = 731,5/1431,5 = 0,513,
или по (1.207)
= 1 — l/eft—1 = 1 — 1/61’41-1 = 0,512.
Зависимость — f (8) устанавливаем по следующим данным:
8 4 6 8 10 12
T]/D 0,435 0,512 0,575 0,615 0,638
Термический к. п. д. цикла Карно при максимальной Т3 и минимальной
Ту температурах воздуха
*1/ Карно = 1 “ Л/7’3 = 1 ~ 400/2863 = 0,86.
Задача 7.2. Определить термический к. и. д. основного цикла паросиловой
установки (цикла Ренкина), а также удельный и часовой расходы пара, если
паровая турбина мощностью N = 50 тыс. кВт работает при следующих началь-
ных параметрах пара: = 9 МПа, t = 500 °C, а давление в конденсаторе
== 0,004 МПа.
Решение. По h — s-диаграмме при начальных параметрах пара pt
и 4 удельная энтальпия h{) = 3386 кДж/кг; в конце адиабатного расширения
до давления р2 = 0,04 МПа удельная энтальпия h2 = 2006 кДж/кг. По табл.
П.1 приложения при = 0,004 МПа находим h'2 == 121,42 кДж/кг*
Термический к. п. д. цикла по (1.210)
П/ Ренкин = - Ч == (3386 - 2006)/(3386 - 121,42) = 0,423.
Удельный расход пара по (1.211)
d" = 3600/(/ii — h2) = 3600/(33,88 — 2006) = 2,61 кг/(кВт • ч).
Часовой расход пара
Do = doiV = 2,61 • 50 • 103 =130,5 т/ч.
Контрольные вопросы и задания
1. По каким термодинамическим циклам работают двигатели внутреннего сго-
рания?
2. Почему термический к. п. д. двигателей внутреннего сгорания завис.ш от
степени сжатия рабочего тела?
3. Чем ограничивается степень сжатия в двигателях внутреннего сгорания,
работающих по циклу с v = const и смешанному циклу?
4. Объясните, какой цикл двигателей внутреннего сгорания наиболее выгод-
ный и почему.
5. Почему нельзя осуществить цикл Карно в паросиловых установках?
130
6. Как влияют начальные и конечные параметры пара на термический к. п»
цикла Ренкина?
7. Объясните, как определить, пользуясь Л — s-диаграммой водяного пара,
величины, входящие в выражение термического к. п. д. цикла Ренкина.
8. В чем сущность регенеративного цикла паросиловых установок? Почему
при регенерации повышается термический к. п. д. цикла?
9. Для каких целей применяется вторичный перегрев пара?
10. Объясните, почему выгодна комбинированная выработка электроэнергии
и теплоты на теплоэлектроцентралях. Что такое коэффициент использова-
ния теплоты топлива?
11. Какие преимущества имеет парогазовый цикл перед обычным пароводя-
ным циклом?
12. Какие вещества применяются в первичном и вторичном контурах атомны.х
электростанций?
13. Что ограничивает повышение начальной температуры рабочего тела на
атомных электростанциях?
Глава 8. ЦИКЛЫ ХОЛОДИЛЬНЫХ УСТАНОВОК
И ТЕПЛОВЫХ НАСОСОВ
8.1. Общая характеристика
холодильных установок
Выработка искусственного холода и трансформация теплоты с более
низкого температурного уровня на более высокий находят широкое
применение в различных отраслях промышленности. Тепловые ма-
шины, предназначенные для понижения температуры тел по
сравнению с температурой окружающей среды и непрерывного
поддержания этой температуры, называются холодильными уста-
новками. Эти же машины, используемые для повышения темпера-
турного уровня окружающей среды, называются трансформаторами
теплоты, или тепловыми насосами
В зависимости от температуры, которая должна быть достигну-
та при охлаждении, различают холодильные установки умеренного
холода (температуры до —70 °C) и установки глубокого холода (тем-
пературы до —200 °C и ниже). Последние обычно используются для
снижения воздуха и других газов
По характеру рабочего тела (хладагента) холодильные установ-
ки подразделяются на воздушные и паровые. В последних как хлад-
агент используются пары различных низкокипящих веществ (на-
пример, аммиака, фреонов*).
В холодильных установках и тепловых насосах осуществляется
передача теплоты от тел, менее нагретых, к телам, более нагретым,
которая является несамопроизвольным процессом и, согласно вто-
рому закону термодинамики, требует компенсирующего процесса.
Таким процессом в холодильных установках может быть процесс
превращения работы в теплоту (самопроизвольный процесс) или
* Фреоны — фторохлорпроизводные углеводородов типа CCl8F, CCl2F2. Тем-
пература кипения (насыщения) фреонов /к в зависимости от их состава изменяется
в широких пределах: например, для фреона-12 /н = — 30 °C; для фреона-13
/н =
9’
131
переход теплоты от горячего тела к холодному. Эти процессы тре-
буют затраты энергии извне.
Установки, в которых энергия для получения холода затрачи-
вается в виде механической работы на привод компрессора, назы-
ваются комаре сорными, а установки, в которых энергия затраги-
вается в виде теплоты на термохимическую компрессию,— адсорб-
ционными.
Как уже отмечалось, холодильные установки и тепловые насосы
работают по обратным (против хода часовой стрелки) круговым
процессам или циклам. В заданном интервале температур теорети-
чески наиболее выгодным циклом холодильной установки является
обратный цикл Карно. Однако из-за конструктивных трудностей
и больших потерь на трение обратный цикл Карно неосуществим.
Он служит некоторым эталоном, с которым сравнивают эффектив-
ность действительных циклов холодильных установок.
8.2. Цикл воздушной компрессорной
холодильной установки
В промышленных масштабах холод впервые был получен с помощью
воздушных компрессорных холодильных установок (рис. 8.1, а).
Воздух, являющийся хладагентом, после холодильной камеры (реф-
рижератора) Р направляется в турбокомпрессор 77<, где за счет
затраты удельной работы адиабатно сжимается до давления р2
с повышением температуры от 7\ до Т2. Сжатый в турбокомпрессоре
воздух затем поступает в теплообменник ТО, где его температура
понижается до 7\ в изобарном процессе 2-3 (рис. 8.1, б) за счет
отдачи удельной теплоты qr окружающей среде (проточной воде).
Охлажденный воздух направляется в расширительную машину
(турбодетандер) ТТ, адибатпо расширяется (процесс 3-4) в ней с от-
дачей удельной работы 12 турбокомпрессору. Поэтому удельная ра-
бота, затрачиваемая в цикле, /0 = — 12.
ее работы (б)
132
Адиабатное расширение воздуха сопровождается понижением
его температуры от Т3 до Т4. Охлажденный таким образом воздух
проходит через рефрижератор Р, в котором холодильная установка
поддерживает требуемую низкую температуру. Здесь происходит
отбор теплоты от охлаждаемой среды и за счет этого нагрев воздуха
от Т4 до 7\ при р = const (процесс 4-1), Далее воздух направляется
в турбокомпрессор и цикл повторяется.
Таким образом, в результате осуществления цикла удельная
теплота q2 передается с более низкого температурного уровня Т\
на более высокий Т3,
Считая воздух идеальным газом с постоянной теплоемкостью,
выражение холодильного коэффициента цикла (1.71) запишем в
виде
р __ ^2 __ ^2______________ср (7*1 Л)_____ ___ ТА
I. ~ Q1-Q2 ~ ^(72-73)-^(Л-Л) Т2~Т{ •
(1.217)
Для обратного цикла Карно, совершаемого в одном и том же
интервале предельных температур 7\ и Т3 (цикл 1-2'-3-3' на
рис. 8.1, б) холодильный коэффициент определяется выражением
(1.218)
Так как Т3 < 7\, то 8К > 8В,Х. Этот вывод наглядно иллюстри-
руется Т — s-диаграммой (см. рис. 8.1, б), из которой следует, что
в цикле воздушной компрессорной холодильной установки отбира-
ется меньше теплоты, чем в обратном цикле Карно (пл. 4-/-s1-s2 <
< пл. З'-l-SyS^, а затрачивается работы значительно больше. Кро-
ме того, из-за малой теплоемкости воздуха такие установки отлича-
ются малой хладопроизводительностыо и требуют больших объемов
воздуха, т. е. громоздкого оборудования.
8.3. Цикл паровой компрессорной
холодильной установки
Более выгодны и удобны по сравнению с воздушными паровые ком-
прессорные холодильные установки, позволяющие в области насы-
щенного пара осуществить изотермические отвод и подвод теплоты,
отбираемой у охлаждающей среды, и приблизить холодильный
цикл к обратному циклу Карно. В качестве хладагентов в этих
установках используются пары жидкостей, температура кипения (на-
сыщения) которых при атмосферном давлении ниже О °C (низко-
кипящие жидкости): аммиак (/н = —35 °C), фреон-12 (/н = —30 °C),
хлористый метил (/н = —23 °C) и др.
Схема паровой компрессорной холодильной установки и цикл
ее работы показаны на рис. 8.2. Влажный насыщенный пар хлада-
гента всасывается компрессором К' и адиабатно сжимается (про-
цесс 1-2) с затратой удельной внешней работы /к. После компрессо-
ра сжатый пар поступает в конденсатор К, где при постоянных дав-
лении и температуре за счет отвода охлаждающей средой (вода.
133
Рис. 8.2. Схема паровой компрессорной холодильной установки (а) и цикл ее
работы (б)
воздушная среда) от пара удельной теплоты qx осуществляется пол-
ная конденсация пара (процесс 2-3).
Для снижение температуры хладагента можно применить рас-
ширительную машину (детандер) и осуществить в ней адиабатное
расширение 3-4' (с выполнением удельной внешней работы /д за
счет убыли внутренней энергии). Образовавшаяся парожидкост-
ная смесь (влажный пар) с низкой температурой t2 поступает по
трубам в испаритель И, установленный в холодильной камере ХЛ\
где находятся охлаждаемые тела, и отбирает у них удельную теп-
лоту q2. За счет этой теплоты происходит дальнейшее испарение
жидкой фазы хладагента при постоянных температуре и давлении
(процесс 4'-Г) и образовавшийся пар вновь засасывается компрес-
сором К'.
Совершенно очевидно, что холодильный коэффициент рассмот-
ренного цикла Г2'3'4'Г равен холодильному коэффициенту об-
ратного цикла Карно и зависит только от температуры насыщения
лара при испарении 7\ и температуры его конденсации Т2.
Несмотря на то, что в заданном интервале температур от Tt
до Т2 обратный цикл Карно обеспечивает максимальный холодиль-
ный коэффициент, по техническим и эксплуатационным причинам
при создании холодильных установок вносят ряд изменений.
Из-за сложности создания детандера, работающего на влажном
паре, и малой получаемой работы расширительную машину заменя-
ют регулирующим дроссельным вентилем ДВ или каким-либо дру-
гим устройством (диафрагмой, капиллярной трубкой), в котором
хладагент после конденсатора дросселируется с понижением дав-
ления и температуры (процесс 3-4). Поскольку процесс дросселиро-
вания является необратимым, на Т — s-диаграмме он показан ус-
ловно штриховой кривой h — const. Необратимость дросселирова-
ния приводит к уменьшению хладопроизводительности установки
по сравнению с циклом Карно на величину Xq2 = пл. 4'4а3'4'
и снижению холодильного коэффициента. Несмотря на это приме-
нение дросселирования хладагента является простым и удобным
134
способом его охлаждения и регулирования температуры пара,
поступающего в испаритель.
В цикле Карно компрессор всасывает влажный пар хладагента
(точка Г) и сжимает его до состояния сухого насыщенного пара
(точка 2'). Из-за неблагоприятных гидродинамических условий ра-
боты компрессора (попадание жидкости в цилиндр может вызвать
гидравлический удар) и уменьшения тепловых потерь (теплообмен
при влажном паре более интенсивный, чем при перегретом) перед
подачей в компрессор влажный пар сепарируют до состояния сухо-
го насыщенного пара (точка /), так что процесс сжатия происходит
в области перегретого пара. При этом, несмотря на увеличение затра-
ты работы на сжатие, хладопроизводительность установки также
повышается на величину Д92 = пл. ГIbb'Г. Таким образом, теоре-
тический цикл реальной паровой компрессорной установки состоит
из процессов адиабатного сжатия 1-2, изобарного охлаждения и
конденсации 2-2'-3, дросселирования 3-4 и испарения 4-1 паров
хладагента.
Эффективность цикла паровой компрессорной установки харак-
теризуется холодильным коэффициентом (1.71)
е = == ?2/(71 — 7г)>
где q2 — удельное количество теплоты, отнятой хладагентом от ох-
лажденной среды (удельная хладопроизводительность) и характе-
ризуемой площадью 41Ьа4, причем для изобарного процесса q2 =
=- hA —- /i4; qA — удельное количество теплоты, переданной в кон-
денсатор от охлаждающей среды при постоянном давлении, причеАм
г/i пл. 233'Ь2 = h2 — h3. Тогда с учетом того, что при дроссели-
ровании ф = h3, выражение холодильного коэффициента примет
вид
р__________^1 ^4______ _ ^1 ^4 /1 Q1 \
пк“ - h.-hr ’ >
Расчеты показывают, что при = —10 °C и t2 == 30 °C холодиль-
ный коэффициент для аммиака в11К = 4,85, для фреона-12 епк =
4,72, для углекислоты вик = 2,56 (для обратного цикла Карно
при этих температурах еКар11О == 5,74).
В отличие от холодильного коэффициента обратного цикла Кар-
но, зависящего только от температур 7\ и Т2, холодильный коэффи-
циент цикла с дросселированием пара зависит дополнительно от
свойств хладагента. Так как — h4 = г (1 — х4), то увеличение
удельной теплоты парообразования хладагента г повышает удельную
хладопроизводительность установки q2 и холодильный коэффици-
ент в. Значение дроссельных потерь связано с изменением удельной
энтропии при дросселировании. Чем меньше удельная тепло-
емкость хладагента, тем меньше увеличение удельной энтропии и
тем больше q2. Поэтому чем больше удельная теплота парообразова-
ния и меньше удельная теплоемкость хладагента, тем эффективнее
цикл. Кроме того, к хладагентам предъявляется ряд особых требо-
ваний:
135
давление насыщенного пара хладагента, соответствующее тре-
буемым низким температурам (температура конденсации), должно
быть выше атмосферного, поскольку при этом легче бороться с утеч-
кой хладагента, чем с подсосом воздуха при вакууме. Попадающий
в хладагент воздух сильно ухудшает теплопередачу и содержит
влагу, которая может замерзать при низкой температуре;
давление пара при наивысших температурах в цикле (в кон-
денсаторе) не должно быть высоким в целях облегчения конструкции
и поддержания надежной плотности в соединениях;
хладагенты не должны оказывать вредного действия на здоро-
вье человека и не должны обладать корродирующими свойствами.
Наиболее распространенным хладагентом является аммиак, обес-
печивающий достаточно высокие холодильные коэффициенты и от-
носительно невысокие давления в цикле. Однако из-за токсичности
аммиака в последнее время широкое применение получили фрео-
ны (в частности, фреон-12), которые нетоксичны и невзрывоопаскы.
По термодинамическим свойствам фреон-12 близок к аммиаку,
хотя меньшая его удельная теплота парообразования обусловлива-
ет больший расход хладагента.
8.4. Цикл абсорбционной холодильной установки
В абсорбционных холодильных установках циркуляция хладаген-
та осуществляется в результате процесса абсорбции (поглощения
паров хладагента жидким растворителем — абсорбентом). В связи
с этим у них в отличие от компрессорных холодильных установок
круговой процесс обеспечивается не одним рабочим веществом, а
бинарной смесью веществ (раствором), имеющих значительную
разницу в температурах кипения при одинаковом давлении. Наи-
более часто применяются водоаммиачные абсорбционные установки,
в которых аммиак служит хладагентом, а вода — абсорбентом *.
Простейшая схема абсорбционной холодильной установки по-
казана на рис. 8.3. В кипятильнике (парогенераторе) ПГ, содер-
жащем концентрированный водоаммиачный раствор, за счет затра-
чиваемой извне удельной теплоты q0 происходит выпаривание из
раствора аммиака (низкокипящий компонент) при постоянном дав-
лении pv Полученный пар аммиака направляется в конденсатор К,
где он, отдавая удельную теплоту охлаждающей воде, конденси-
руется при Pi = const.
Конденсат аммиака, проходя через дроссельный вентиль ДВ2,
понижает давление от рА до р2 и температуру от tA до /2. Образовав-
шаяся в результате дросселирования парожидкостная смесь на-
правляется в испаритель холодильной камеры ХК. Отбирая теп-
лоту от охлаждаемой среды, аммиак в испарителе продолжает ис-
паряться при давлении р2 = const и неизменной температуре.
* При температуре I = О °C в одном объеме воды поглощается до 1150
объемов аммиака. Кроме водяного раствора аммиака, используются растворы
бромистого лития и хлористого калия.
136
Рис. 8.3. Простейшая схема аб-
сорбционной холодильной уста-
новки
Образовавшийся пар аммиака отво-
дится в абсорбер Д, где поглощается
(абсорбируется) слабым раствором с
повышением температуры (экзотерми-
ческая реакция). Чтобы не уменьша-
лась поглотительная способность рас-
твора, теплота абсорбции отводится
охлаждающей водой и постоянно до-
бавляется чистый абсорбент через
дроссельный вентиль ДВ1 парогене-
ратора ПГ. Полученный крепкий во-
доаммиачный раствор перекачивается
насосом Н в парогенератор ПГ, и цикл
повторяется сначала.
Сравнивая компрессорную и аб-
сорбционную установки, можно от-
метить, что парогенератор ПГ в абсорбционной установке заме-
няет нагнетательный клапан поршневого компрессора, а абсорбер
А — всасывающий; при этом извне затрачивается не механическая
работа, а теплота.
Так как затрата энергии в абсорбционной установке происходит
в виде удельной теплоты д0, го ее эффективность характеризуется
коэффициентом использования теплоты равным отношению удель-
ного количества теплоты q2, отнятой от охлаждаемого объекта хла-
допроизводительности, к затраченной на это удельной теплоте <у0:
g = ^2д/о — 0,2. . .0,8. (1.220)
Несмотря на сравнительно низкую термодинамическую эффек-
тивность абсорбционных холодильных установок они получили
большое распространение ввиду простоты и небольшой стоимости.
Кроме того, эти установки позволяют использовать (утилизировать)
отработанную низкопотенциальную теплоту (вторичные энерго-
ресурсы), а также теплоту солнечных батарей.
8.5. Цикл теплового насоса
Тепловыми насосами называются установки, предназначенные для
повышения потенциала низкотемпературной теплоты за счет рас-
хода электроэнергии или другой высокопотенциальной энергии.
Они применяются для нагревания объекта, например для отопления
помещений. Как и холодильная установка, тепловой насос (рис. 8.4)
работает но обратному циклу, т. е. за счет затраты удельной рабо-
ты /0 в компрессоре /< (пли теплоты другого потенциала), который
отбирает удельную теплоту q2 у источника низкой температуры И
(теплоотдатчика) и сообщает удельную теплоту q± источнику высо-
кой температуры (теплоприемппку) ТП, причем 91 = + /0-
Источником теплоты низкой! температуры для теплового насоса
служит окружающая среда, например холодная вода водоемов *,
* Температура нижних слоев воды в реке даже в самые сильные морозы
составляет несколько градусов.
137
Рис. 8.4. Схема теплового
насоса
которая омывает испаритель И и испа-
ряет в нем хладагент. Теплоприемник
(какой-либо потребитель теплоты, в част-
ности отопительная система) теплового
насоса, кроме удельной «даровой» теп-
лоты </2, от окружающей среды получает
теплоту, эквивалентную работе, затра-
ченной в компрессоре (обычно электро-
энергии).
Циклами тепловых насосов являются
циклы холодильных установок, работа-
ющих в другом интервале температур.
Эффективность цикла теплового насоса,
потребляющего для переноса теплоты ра-
боту , характеризуется коэффициентом
преобразования теплоты, или отопи-
тельным коэффициентом
Ф ~ 91/^0 “ (#2 + А))До “ 8 + h
(1.221)
где ql — удельное количество теплоты, сообщаемой источнику вы-
сокой температуры (потребителю теплоты); /0 — затрачиваемая
в цикле удельная работа.
Из выражения (1.221) следует, что при холодильном коэффициен-
те е = 3...4 потребитель получает в три-четыре раза больше удель-
ной теплоты, заимствованной из окружающей среды, чем при обыч-
ном электрообогреве и той же удельной затрате электроэнергии /0.
Использование теплового насоса тем эффективнее, чем ниже темпе-
ратура, при которой потребителю необходима теплота (с пониже-
нием температуры потребителя увеличивается е).
В тех случаях, когда источником низкопотенциальной теплоты
являются охлаждающая вода промышленных печей и другие про-
мышленные и бытовые сточные воды, эффективность работы тепло-
вого насоса также повышается.
Тепловые насосы уже находят применение в народном хозяй-
стве и следует ожидать их широкого распространения в ближай-
шее время.
8.6. Понятие о цикле глубокого холода
Для получения глубокого холода, например при сжижении газов^
используют в основном два метода: метод адиабатного дросселиро-
вания (метод Линде) и метод адиабатного расширения в расшири-
тельной машине (детандоре) с выполнением внешней работы (метод
Клода}.
Схема установки глубокого холода и цикл ее работы изображе-
ны на рис. 8.5. Газ, подлежащий сжижению, сжимается компрессо-
ром К до давления р2 (процесс 1-2) и поступает в охладитель О,
где его температура снижается при постоянном давлении до темпе-
ратуры охлаждающей среды. Затем газ направляется в противоточ-
138
Рис. 8.5. Схема установки глубокого холода (а) и цикл ее работы (б)
ный регенеративный теплообменник РТ, где он охлаждается до
состояния 3 газом, выходящим из теплообменника. Предварительно
охлажденный газ дросселируется в дроссельном устройстве Д по
кривой h = const (процесс 3-4) в случае, если установка работает
по методу Линде, или адиабатически расширяется в детандоре (про-
цесс 3-4), если используется метод Клода. В последнем случае
вместо дроссельного устройства Д применяется специальная расши-
рительная машина (в частности, турбодетандор Капицы). При этом
из редукционного устройства (или детандора) выходит двухфазная
смесь (влажный пар). Жидкая фаза отделяется и поступает на про-
изводство, а несжиженная часть газа направляется в теплообменник
РТ, где и охлаждает новую порцию газа, поступившую из охлади-
теля О (процесс 5-1). При температуре 4 и давлении рг газ вновь
засасывается в компрессор К вместе с новыми порциями газа.
Как отмечено выше, адиабатное расширение газа с выполне-
нием внешней работы обеспечивает более эффективное его охлаж-
дение, чем адиабатное дросселирование, которое сопровождается
необратимыми потерями.
Пример решения задачи
Определить холодильный коэффициент вКарно обратного цикла Карно при тем-
пературе теплоприемника tx = 20 °C и температуре теплоотдатчика /2 — —20 °C.
Как будет изменяться еКарно при увеличении (20, 30, 40, 50 °C) и неизменном
а также при уменьшен пи /2 (0, —10, —20, —30, —40 °C) и неизменном /г?
Решение. Холодильный коэффициент цикла по (1.216)
1 1 С ОО
8Карно - Г177'2— I ~ 1,158— 1 =6,33>
Значение 8Карно при других температурах следующие:
tlf °C 20 30 40 50
еКарно 6,95 5,07 4,23 3,65
139
Значения еКарно при других температурах /2 таковы:
/2, °C 0 —10 —20 —30 —40
еКарно 13>65 8’46 6>35 4’85 3’88
Контрольные вопросы и задания
1. По каким признакам разделяются холодильные установки?
2. Какие недостатки имеют воздушные холодильные установки?
3. Изобразите схему и цикл работы паровой компрессорной холодильной
установки.
4. Объясните, какая площадь на Т — s-диаграмме изображает хладопроизво-
дительность установки.
5. Покажите на Т — s-диаграмме площадь, характеризующую потерянную хла-
допроизводительность вследствие дросселирования хладагента в дроссельном
вентиле.
6. Какие требования предъявляются к хладагентам холодильных установок?
7. Что называется холодильным коэффициентом? Отношением каких площадей
на Т — s-диаграмме характеризуется его численное значение?
8. Какой процесс является компенсирующим (дополнительным) в абсорбцион-
ной холодильной установке? Изобразите схему этой установки.
9. Какие преимущества имеет тепловой насос по сравнению с непосредственным
' использованием электроэнергии для отопления?
10. Что такое коэффициент преобразования теплоты (отопительный коэффици-
ент)?
Глава 9. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ
9.1. Метод к. п. д.
Под эффективностью преобразования энергии вообще следует под-
разумевать получение максимальной выработки данной продукции
(работы, теплоты, холода отдельно или совместно), минимальные
затраты на содержание и эксплуатацию установки, сведение к ми-
нимуму вредных изменений в окружающей среде (энергетических
загрязнений). Реализация этих факторов возможна лишь на осно-
ве термодинамического анализа и технико-экономических расчетов
преобразования энергии, т. е. на основе термоэкономического ана-
лиза. Ниже ограничимся рассмотрением только условий получения
максимальной работы и теплоты при их взаимном преобразовании
(термодинамическим анализом).
Простейшим методом термодинамического анализа эффективнос-
ти преобразования энергии, основанным на первом законе термоди-
намики, является энергетический метод, суть которого состоит в
следующем. Вначале анализируется обратимый теоретический цикл,
а затем — необратимый (реальный) цикл с учетом основных источ-
ников необратимости.
Энергетическая эффективность обратимых циклов оценивается
термическим к. п. д., которым учитывают неизбежную, так назы-
ваемую термодинамическую потерю q2 (см. (1.70)]:
П/ = (V1 — <7г)/<71 = <7о/<71 =
140
Степень совершенства обратимых циклов характеризуется
сравнением их термического к. п. д. с термическим к. п. д. цикла
Карно в том же интервале температур. Поэтому для увеличения
термического к. п. д. обратимого (теоретического) цикла необходимо
приближать этот цикл к циклу Карно, т. е. обеспечить изотермиче-
ский подвод и отвод теплоты.
Эффективность необратимых (реальных) циклов, в которых про-
цессы расширения и сжатия рабочего тела сопровождаются трением,
завихрением (внутренняя необратимость) и потерей части полез-
ной работы, оценивается так называемым внутренним к. п. д. щ
1см. (1.213)]
Пс = /Ь7<7р
где iy — удельная работа в необратимом цикле, или удельная внут-
ренияя работа.
Для оценки степени эффективности реального необратимого
цик ла пользуются еще понятием относительного внутреннего к. п. д.
1см. (1.212)]
Лен ^о/4)>
который представляет собой отношение удельной действительной
работы в необратимом цикле к теоретической, показывая, насколь-
ко действительный цикл менее совершенен, чем обратимый. Совер-
шенно очевидно, что
П; = П/Поо
Кроме необратимых потерь, связанных с осуществляемыми про-
цессами самим рабочим телом в цикле и учитываемых внутренним
к. п. д., в реальной теплосиловой установке имеется ряд других
потерь в ее элементах (например, потери теплоты во внешнюю сре-
ду в камерах сгорания, паропроводах, на трение в подшипниках,
в генераторе). Поэтому удельная работа /е, переданная внешнему
потребителю, меньше удельной работы, полученной в цикле. Отно-
шение удельной действительной (полезной) работы 1е к удельному
количеству затраченной теплоты qv называется эффективным к. п. д.
установки:
Пе = 4/71-
Таким образом, эффективный к. п. д. характеризует долю по-
лезно используемой теплоты с учетом всех потерь, а следовательно,
эффективность установки в целом.
9.2. Эксергетический метод
Анализ эффективности процессов в тепловых машинах и аппара-
тах методом к. п. д.,. основанным на первом законе термодинамики,
практически важен, но обладает существенными недостатками:
в методе не учитывается, что теплота и работа качественно не равно-
ценны и что теплота различного потенциала имеет разную ценность
(работоспособность); кроме того, в методе к. п. д. учитываются
только потери, обусловленные внутренней необратимостью цикла,
и не учитываются потери, связанные с конечной разностью темпе-
141
ратур источников теплоты и рабочего тела (внешняя необратимость).
Передача теплоты при конечной разности температуры является
необратимым процессом и согласно уравнению (1.79) связана с уве-
личением энтропии и потерей части максимально возможной рабо-
ты. Так, с позиции первого закона термодинамики (баланса энер-
гии) к. п. д. современного котлоагрегата достигает 95 % и более.
Если рассмотреть лишь необратимый процесс теплообмена в топке
котла между продуктами сгорания (/г ж 1927 СС) и рабочим телом
(насыщенный пар с 310 °C), то в соответствии с уравнением
(1.79) потеря работоспособности теплового устройства составит
п = Т0Д$ = TQ (Q/T2 — Q/7\) = 373 (28 000/583 —
— 28 000/2200)- 1320 кДж/K,
где То = 373 К — температура окружающей среды; Q ==
= 28 000 кДж/кг — удельная теплота сгорания условного топлива.
Следовательно, потеря работоспособности только в процессе не-
обратимого теплообмена в топке котлоагрегата равна приблизи-
тельно 49 % и с точки зрения второго закона термодинамики такое
тепловое устройство весьма несовершенно.
В связи с этим эффективность преобразования энергии целесо-
образнее оценивать отношением фактически полученной работы
к максимальной работе Lmax, которая могла бы быть получена за
счет затрачиваемой энергии.
В п. 1.8 отмечалось, что максимальная работа, которую может
совершить система при ее переходе из данного состояния до равно-
весия с окружающей средой, называется эксергией. При этом дав-
ление pQ и температура То окружающей среды считаются задан-
ными и постоянными.
Различают эксергию неподвижного рабочего тела (эксергия
массы), рабочего тела в потоке (эксергия потока) и эксергию теп-
лоты.
Эксергия массы. Для того чтобы рабочее тело с начальными
параметрами р, v, Ту иу Л, s обратимо пришло в равновеснее окру-
жающей средой, характеризуемой параметрами р0, z?0, Tu, /?0,
s0, необходимо изменить его внутреннюю энергию за счет подвода
или отвода теплоты и за счет совершения им работы, поскольку в
соответствии с первым законом термодинамики du — dq — 6/.
Так как обратимый теплообмен с окружающей средой должен осу-
ществляться при постоянной температуре То, то bq ~ TQds. Удель-
ная совершаемая работа при этом будет составлять из удельной мак-
симальной работы 6/ГПах за вычетом удельной работы на преодоле-
ние давления окружающей среды podv. Тогда
du = TQds — 6/max — pvdv,
откуда удельная максимальная работа, или удельная эксергия те-
ла ехт, после интегрирования
^тах = exm = (u —u0) —^(s —s0) + p0(u —v0). (1.222)
Для получения выражений эксергии потока и эксергии теп-
лоты рассмотрим схему и энергетический баланс проточной
142
Рис. 9.1. Термодинамическая схема
проточной изолированной тепломеха-
нической системы
ГеЦ <
ех‘*
ex6mx
тепло-
механи-
ческая
система
exfy*
ех%я
[ Ъых
О П-Т0Д$
Рис. 9.2. Схема эксергетических
ков
ПОТО-
(открытой) изолированной тепломеханической системы (рис. 9.1),
к которой применимо уравнение первого закона термодинамики
для потока (1.167). В данном случае оно запишется так:
Zp = Д/i + А&’2/2 J- /теХп, (1 223)
где = q — %.
Дополним это уравнение выражением баланса энтропии, кото-
рое является следствием второго закона термодинамики. В рассмат-
риваемой системе, где источник теплоты изменяет свое состояние
при средней термодинамической температуре 7"ср, а окружающая
среда имеет постоянную температуру 70, суммарное изменение
удельной энтропии равно алгебраической сумме изменений удель-
ной энтропии источников теплоты и потока:
Д$с = — ^сР з- qo/To + (s2 — sj. (1.224)
Решив уравнения (1.223), (1.224) относительно удельной полез-
ной (технической) работы /гехн без учета изменения кинетической
энергии потока)> полагаем « w2), получим
/техн — (Л1 — h2) - — Т0 (sT - s2) + q (1 Тq/TСр) — ТglXsc. (1.225)
Из последнего равенства следует, что в случае протекания в
данной изолированной системе обратимых процессов (ASC =- 0)
удельная техническая работа будет иметь максимальное значение
(последний член равен нулю), а в случае необратимых процессов
(Asc > 0) она уменьшается на значение потерь П = T0Asc [это
равенство, как и следовало ожидать, совпадает с уравнением
Гюи—Стодола (1.79)1.
Эксергия потока. При отсутствии источника теплоты {q = 0)
работа в системе может быть совершена только за счет собственной
энергии потока (рис. 9.1). Тогда, считая предельным состоянием
потока состояние термического (Т2 = То) и механического (р2 ~
— р0) равновесия с окружающей средой, а следовательно, h2 = /?0
и s2 = s0, из равенства (1.225) получаем выражение удельной мак-
симально возможной работы, которая может быть выполнена при
условии протекания обратимых процессов в системе (Asc = 0),
т. е. удельная эксерия потока
ехп = /техн = (h — h0) — То (s — s0). (1.226)
143
В этом уравнении (h — hQ) представляет собой полезную удель-
ную внешнюю работу в обратимом адиабатном процессе, а То (s —
— s0) — такую же работу в обратимом изотермическом процессе.
Следовательно, максимальная полезная работа, совершаемая ра-
бочим телом при изменении его состояния до равновесия с окружа-
ющей средой, достигается осуществлением обратимых адиабатного
в изотермического процессов.
При фиксированных значениях параметров конечного состоя-
ния и То рабочего тела, определяемых температурой и давлением
окружающей среды, его эксергия в потоке зависит только от на-
чального состояния. Поэтому эксергию считают функцией состоя-
ния рабочего тела.
Эксергия теплоты. Для определения эксергии теплоты следует
рассмотреть случай, когда начальное состояние рабочего тела сов-
падает с его конечным состоянием 1ц — h2 и s1 = s2, г. е. совершение
работы осуществляется только за счет теплоты. Тогда для получе-
ния максимальной работы необходимо, чтобы Asc = 0; с учетом
этого равенство (1.225) примет вид
ех<7 = и = (1 - Т.!Тm), (1.227)
т. е. удельная эксергия теплового потока численно равна удельному
количеству теплоты q, умноженному на термический к. п. д. цик-
ла Карно
Щ Карно ~ 1 Т\jTср,
соответствующему заданному интервалу температур 7,ср...71о.
Учтя выражения (1.226) и (1.227), равенство (1.225) запишем
так:
^техн ~ (^Xmi ехто) Т"
или в сокращенном виде
Аехн — ^Х^ — 0 .228)
Последнее уравнение позволяет сделать следующие выводы:
работоспособность тепломеханической системы определяется эк-
сергией теплоты exQ и изменением эксергии рабочего тела, включая
эксергию топлива (эксергия топлива примерно равна теплоте его
сгорания);
необратимость реальных процессов (Asc > 0) всегда снижает
работоспособность системы.
9.3. Эксергетические баланс и к. п. д.
Используя равенство (1.225), которое получено на основе перво-
го и второго законов термодинамики, можно составить уравнение
эксергетического баланса для любой тепловой установки.
Эксергетический баланс применительно к схеме потоков, изо-
браженной на (рис. 9.3), запишем так:
pybx । pybx I /вх — PYBb,x ! pybb1x । /вых . I n
-f- cAm Йехи — ~г елш -f Нехн Щ -11»
144
Теплота mono и Sa
Энергия топлива
Рис. 9.3. Энергетический (о) и эксергический (6) балансы для вароек-
ловой установки
или
2 ехвх = 2 ехвых + П, (1.229)
т. е. суммарный поток удельной отводимой эксергии 2ехВЬ1Х всегда
меньше суммарного потока удельной подводимой эксергии 2ехвх
на значение удельных эксергетических потерь П = ТОА$С.
Заметим, что удельная работа / суммируется с другими видами
удельной эксергии, так как эксергия работы равна самой работе,
которая теоретически может быть полностью преобразована в дру-
гой вид энергии.
В отличие от энергетического (теплового) баланса в эксергети-
ческом балансе учитываются потери от необратимости (внешней
и внутренней); так, если Asc > 0, то П >0 и, следовательно,
2 ехвых < 2 ехвх,
т. е. при протекании необратимых процессов удельная эксергия
системы убывает (закон убывания эксергии). Если в системе проте-
кают обратимые процессы (Asc = 0 и П = 0), то 2ехвых == 2exBXt
т. е. удельная эксергия не изменяется.
Второй особенностью эксергетического баланса является то,
что все его составляющие являются качественно равноценными
величинами и характеризуют меру возможности преобразования
различных видов энергии в упорядоченные формы движения.
Использование понятий эксергии и эксергетического баланса
дает возможность количественно определить влияние необратимос-
ти термодинамических процессов на эффективность преобразования
энергии.
Очевидно, совершенство технического устройства или его эле-
ментов тем выше, чем меньше потери эксергии, и поэтому степень
совершенства технического устройства или его элементов оценива-
ется отношением удельной работы /о, полученной в системе с
10 9-2570
145
необратимыми процессами, к удельной максимально возможной ра-
боте (эксергии):
Пех = /о//оехн = /о/(ех, — ex„t) = 1 — П/(ех, — exm), (1.230)
При обратимом протекании процессов потери удельной эксер-
гии П — 0 и эксергетический к. п. д. цех = 1.
В случае необратимого адиабатного процесса (q = 0) ex, =
*= 0, а I = Д/г и выражение (1.230) примет вид
Пех = ДЛ/(-Дехт). (1.231)
Если в техническом устройстве (например, в теплообменном ап-
парате) полезная работа не выполняется, то его эксергетический
к. п. д. определяется отношением изменения удельной эксергии
нагреваемого потока Л ех"п к изменению удельной эксергии грею-
щего потока Д exw, т. е.
^]ех = Лехт/Дехт. (1.232)
Эксергетические показатели можно легко связать с технико-
экономическими, поскольку эксергия, как и стоимость, может соз-
даваться и уничтожаться в противоположность энергии, которая
не может ни создаваться, ни уничтожаться.
Примеры решения задач
Задача 9.1. Определить эксергию Q= 750 кДж теплоты при температуре Д
** 1000 °C и потерю эксергии при передаче этого количества теплоты телу, име-
ющему температуру /2 333 600 °C. Температура окружающей среды /0 = 17 °C.
Показать схематически значение эксергии и ее потери на Т — «-диаграмме.
Решение. Эксергия теплоты по (1.226)
Exq = Q (1 — То/7\) = 750 (1 — 290/1273) = 518 кДж.
Потери эксергии вследствие необратимр-
го перехода теплоты на более низкий тем-
пературный уровень по (1.79)
П =аи ТОА«С == То (ДSjl -}- As2) =
- TQ (- Q/7\ + Q/T2) = 290 (- 750/1273 +
+ 750/873) = 58,8 кДж.
На Т — «-диаграмме (рис. 9.4) площадь
12561 представляет собой эксергию теплоты
при /х = 1000 °C (1273 К), а площадь 67986 —
потерю эксергии вследствие перехода теплоты
на более низкий температурный уровень 12 =
== 600 °C (873 К).
Задача 9.2. На промышленном предприя-
тии установлен пароводяной подогреватель
для нагревания за 1 с m =» 24 кг воды от
температуры tx =» 45 °C до температуры /2 =“
== 72 °C, рассчитанный на использование
греющего пара с абсолютным давлением р =*
«“ 0,07 МПа. Из-за отсутствия на предприя-
тии пара такого давления используется пар
146
повышенного давления р' — 0,3 МПа. Определить термодинамические характе-
ристики этого подогревателя при проектных и действительных параметрах па-
ри. Потерями теплоты в окружающую среду пренебречь.
Решение. Энергетический баланс подогревателя характеризует теп-
ловую нагрузку его в обоих режимах:
Q = А/7 = тср (t2 — ^) = 24 • 4,19 (72 — 45) = 2700 кВт*
Секундный расход греющего пара
D = Q/(/in-/iK),
где йп и hK — удельная энтальпия соответственно греющего пара и конденсата.
Считая греющий пар сухим насыщенным, а конденсат охлажденным на 2 °C
ниже температуры насыщения, находим:
в проектном режиме (р = 0,07 МПа)
D = 2700/(2666 — 376) = 1,18 кг/с;
в действительном режиме (р' =0,3 МПа)
£)' = 2700/(2726 — 562) = 1,25 кг/с.
Составляющие эксергического баланса подогревателя:
приращение эксергии нагреваемой воды (для обоих режимов) по (1,226)
Л Гхп = А//п — Г0АВв = 24 (113 — 288 • 0,343) = 340 кВт;
убыль эксергии греющей среды в проектном режиме
А 1-хп =1,18 (2290 — 288.6,3) = 560 кВт;
в действительном режиме
А Ехп = 1,25 (2180 — 288 . 5,3) = 800 кВт.
Соответствующие потери эксергии
II = 560 — 340 = 220 кВт; П' = 800 — 340 = 460 кВт.
К. и. д. подогревателя по (1.231)
q = 340/560 = 0,61; rf = 340/800 = 0,43,
т. с. при отступлении от проектного режима эксергетический к. п. д. подогре-
вателя уменьшается приблизительно на 30 %.
Возрастание потерь эксергии при отступлении от проектного режима
АП = 1Г — П = 460 — 220 = 240 кВт.
Перерасход топлива
АВ = ДП/QP,
где QP — теплота сгорания условного топлива, равная 29300 кДж.
Суточный перерасход условного топлива
АВ = 240 • 3600 • 24/29 300 « 700 кг.
Контрольные вопросы и задания
I. Какие процессы называются внутренне необратимыми, а какие внешне необ-
ратимыми?
2. Какие недостатки присущи энергетическому методу оценки эффективности
(силовых машин и аппаратов?
3. Что называется эксергией?
। Jaпишите выражение эксергии массы рабочего тела.
> Запишите выражение эксергии теплоты.
Какие потери учитываются эксергстическим к. п. д.?
/. Всегда ли целесообразно увеличивать эксергетический к. п. д. теплообмен-
ных аппаратов?
н Какие преимущества имеет эксергетический метод анализа эффективности
н иловых машин и аппаратов по сравнению с другими методами?
Ю-
147
Часть 2
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Глава 10. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
10.1. Способы переноса теплоты
Теорией теплопередачи, или теплообмена, называется учение о
процессах распространения теплоты в пространстве с неоднород-
ным полем температур, В процессе теплового взаимодействия меж-
ду телами теплота переходит от тела с более высокой температурой
к телу с более низкой температурой. При отсутствии разности темпе-
ратур процесс теплообмена прекращается и наступает тепловое рав-
новесие.
Различают три способа распространения теплоты: теплопровод-
ность, конвекцию и тепловое излучение.
Теплопроводность представляет собой перенос теплоты, осу-
ществляемый посредством теплового движения структурных час-
тиц вещества (атомов, молекул, электронов). В газообразных телах
распространение теплоты теплопроводностью происходит вслед-
ствие обмена энергией при соударении молекул, имеющих разную
скорость теплового движения. В металлах такими структурными
частицами являются свободные электроны, в жидкостях и твердых
телах (диэлектриках) теплота переносится путем непосредственной
передачи теплового движения молекул и атомов соседним части-
цам вещества в форме упругих волн.
Конвекцией называется движение отдельных макрообъемов жид-
кости или газа друг относительно друга под действием сил различ-
ной природы. В дальнейшем изложении обе среды объединим одним
понятием «жидкость» (теплоноситель). Если движение жидкости
вызвано разностью плотностей холодных и нагретых макрообъемов
в поле гравитационных сил, то его называют свободным (свободная
конвекция). В этом случае нагретые слои жидкости испытывают
действие архимедовой подъемной силы и движутся вверх, а охлаж-
денные — вниз. Вынужденное движение возникает под действием
побудителя движения: насоса, вентилятора и пр. Если конвекция
осуществляется в среде с неравномерным распределением темпера-
туры, то перемещение макрообъемов приводит к переносу теплоты —
конвективному теплообмену. При наличии в теплоносителе нерав-
номерного распределения температур, скоростей и концентрации ве-
щества происходит одновременный перенос теплоты, количества
движения и вещества.
Перенос теплоты излучения представляет собой сложное явле-
ние, состоящее из испускания энергии излучения телом, распро-
148
странепия ее в пространстве электромагнитными волнами и погло-
щения другими телами. Такой вид переноса теплоты называется
теплообменом излучением (радиационным теплообменом).
Обычно перенос теплоты осуществляется одновременно различ-
ными способами (сложный теплообмен). Так, конвективный пе-
ренос теплоты всегда сопровождается теплопроводностью.
Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопро-
водностью называется конвективным теплообменом. Частным слу-
чаем его является теплоотдача.— конвективный теплообмен между
движущейся средой (теплоносителем) и поверхностью ее раздела
с другой средой (чаще всего твердым телом). Если теплоотдача со-
провождается тепловым излучением, то такой вид теплообмена на-
зывается радиационно-конвективным.
Теплообмен между двумя теплоносителями через разделяющую
их стенку называется теплопередачей. При этом теплота от теплоно-
сителя к стенке и от стенки к теплоносителю передается теплоотда-
чей или радиационно-конвективным теплообменом, а через твердую
стенку — теплопроводностью.
Заметим, что более широко термин «теплопередача» охватывает
общее учение о переносе теплоты.
Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом
вещества — массообменом, который проявляется в установлении
равновесной концентрации вещества. Совместное протекание про-
цессов теплообмена и массообмена называется тепломассообменом.
10.2. Температурное поле и тепловой поток
Процесс переноса теплоты обусловливается наличием разности тем-
ператур. Температурное состояние тела или системы тел характе-
ризуется температурным полем, под которым понимается совокуп-
ность мгновенных значений температур во всех точках рассматри-
ваемого пространства. В общем случае уравнение температурного
поля имеет вид
t = / (х, у, 2, т), (2.1)
где t — температура; х, у, z — координаты точки; т — время. Та-
кое температурное поле называется нестационарным. Если темпера-
тура с течением времени не изменяется, то температурное поле на-
зывается стационарным. Тогда
/ У у dt/dt = о.
Температура может быть функцией одной, двух и трех коорди-
нат; соответственно температурное поле будет одно-, двух- и трех-
мерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного ста-
ционарного температурного поля: t = f (х).
Если соединить между собой все точки тела, имеющие одинако-
вую температуру, то получим поверхность равных температур, на-
149
терм
нение здесь частной
зываемую изотермической. Изотермические
поверхности не пересекаются; все они либо
замыкаются на себя, либо заканчиваются
на границе тела. Пересечение изотермиче-
ских поверхностей плоскостью дает на ней
семейство изотерм (рис. 10.1).
Интенсивность изменения температуры
в каком-либо направлении I характеризу-
ется производной dtldl, принимающей наи-
большее значение в направлении нормали
п к изотермической поверхности. Приме-
производной обусловлено тем, что в общем
случае температура может изменяться не только в пространстве,
но и во времени:
(d//(?/)max == дЦдп = grad /.
(2-2)
Производная температуры по нормали к изотермической по-
верхности называется температурным градиентом. Температурный
градиент — векторная величина, направленная по нормали к изо-
терме в сторону увеличения температуры.
Общее количество теплоты, переданное в процессе теплообмена
через изотермическую поверхность площадью F в течение времени
т, обозначим QT. Количество теплоты, передаваемой через рассмат-
риваемую поверхность в единицу времени, называется тепловым
потоком Q. Поверхностная плотность теплового потока (тепловая
нагрузка) q — тепловой поток через единицу поверхности. Коли-
чество теплоты, тепловой поток и его плотность связаны между со-
бой соотношениями
Qz = J J qdFdv,
Q — \qdF
(2.3)
О F
и выражаются соответственно — в джоулях (Дж), Q — в ваттах
(Вт), q —- в ваттах на квадратный метр (Вт/м2).
103. Законы переноса теплоты
Основным законом теплопроводности является предложенная Фурье
гипотеза о пропорциональности вектора плотности теплового пото-
ка температурному градиенту:
q = — X grad t = — Xdt/dn. (2.4)
Вектором плотности теплового потока q называется вектор,
направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону
убывающей температуры (см. рис. 2.1) и численно равный плотнос-
ти теплового потока на этой поверхности q, где
q = d2Qxl(dFdx). (2.5)
Здесь d2QT — элементарный расход теплоты; dF — площадь эле-
мента изотермической поверхности; dx — промежуток времени.
150
Знак «минус» в уравнении (2.4) отражает противоположность
направлений векторов плотности теплового потока и температурно-
го градиента. Множитель пропорциональности X является физиче-
ским параметром вещества и называется коэффициентом тепло-
проводности. В единицах СИ он выражается в ваттах на метр-кельвин
1Вт/(м • К)1.
Плотность теплового потока при теплоотдаче можно рассчиты-
вать, пользуясь уравнением Ньютона — Рихмана
9 = а Уж — /ст) = аА/, (2 6)
где и /ст — температуры теплоносителя и стенки; А/ — темпера-
турный напор.
Коэффициент пропорциональности а в уравнении (2.6) называ-
ется коэффициентом теплоотдачи и численно равен плотности теп-
лового потока на поверхности теплообмена при разности темпе-
ратур между теплоносителем и стенкой, равной единице. В еди-
ницах СИ он выражается в ваттах на квадратный метр-кельвин
[Вт/(м2 - К)1.
Уравнение (2.6) не отражает в явном виде влияние всего много-
образия факторов на интенсивность теплоотдачи: все эти факторы
должны учитываться коэффициентом теплоотдачи (см. гл. 16).
Плотность теплового потока при переносе теплоты излучением
определяется выражением
9==С(Т/1ОО)4, (2.7)
где с — коэффициент излучения тела, Вт/(м2 • К4); Т — термодина-
мическая температура тела, К.
Равенство (2.7) лежит в основе закона Стефана — Больцмана
для серых тел (см. гл. 19).
Контрольные вопросы и задания
1. Опишите механизмы переноса теплоты теплопроводностью, конвекцией и
излучением. Что такое сложный теплообмен?
2. Запишите уравнение, связывающее плотность теплового потока с расходом
теплоты QT. 4
3. Что такое стационарное и нестационарное температурные поля?
4. Что такое изотермические поверхности и градиент температур?
5. Как определяется тепловой поток при теплопроводности, конвективной теп-
лоотдаче и тепловом излучении?
Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА
И ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
11.1. Дифференциальные уравнения теплообмена
В общем случае теплообмен определяется не только тепловыми,
но и гидродинамическими явлениями. Поэтому математическое опи-
сание задач теплообмена включает в себя дифференциальные урав-
нения энергии, теплоотдачи, движения, сплошности, а также крае-
151
вне условия, конкретизирующие ту или
иную задачу.
Уравнение энергии. Выведем дифферент
циальное уравнение, описывающее тем-
пературное поле в движущейся жидкос-
ти. Полагаем, что жидкость однородна
и изотропна, ее физические параметры
постоянны, внутренние источники теп-
Z---------------—----Л0ТЬ1 равномерно распределены во всем
объеме жидкости. Под внутренними ис-
точниками теплоты понимают тепловы-
Рис. 11.1. К выводу диффе- деления внутри тела (выделение тепло-
эРн^ИииЬН0Г0 уравнения ТЫ в результате химических реакций,
при прохождении электрического тока
и т. д.), которые характеризуются объемной плотностью тепловы-
деления qv — тепловым потоком, отнесенным к единице объема
и выражаемым в ваттах на кубический метр (Вт/м3)
Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно коор-
динатной системы элементарный параллелепипед с ребрами dxt
dy, d? (рис. 11.1) и обозначим входящее в него за время dx количест-
во теплоты dQx, dQy, dQ'2, выходящее — dQx, dQy, dQ"z, проекции
скорости движения среды — wK, wyy wz.
Полагая, что процесс происходит при постоянном давлении
(что характерно для большинства процессов теплоотдачи), на ос-
нове закона сохранения энергии имеем
dQi + dQ2 = dQ3, (2.8)
где dQt — теплота, вносимая в элементарный параллелепипед из-
вне; dQ2 — внутреннее тепловыделение; dQ3 — изменение энталь-
пии в элементарном параллелепипеде.
Теплота, входящая в параллелепипед в направлении оси Ох,
dQx = qxdydzdx, (2.9)
где qx — плотность теплового потока на входе в параллелепипед.
Выходящая из параллелепипеда теплота
dQx — qxdydzdx == {qx + dx} dydzdx. (2.10)
\ OX !
Разность между вошедшим и вышедшим из параллелепипеда
количеством теплоты вдоль оси Ох составляет
dQx = dQx — dQx = — dxdydzdv =------------dVdx, (2.11)
v) Д C7 Д
где dV — объем параллелепипеда.
Аналогично определяются разности между вошедшим и вышед-
шим из параллелепипеда количеством теплоты вдоль осей Оу и Oz:
dQy^ — -^-dVdv, dQx——dVdx. (2.12)
152
Общее количество теплоты, аккумулированное параллелепи
педом,
dQ> = dQx + dQy + dQ, = - + -%- j dVdx. (2.13)
Внутреннее тепловыделение
dQ2^-qvdVdx. (2 14)
Изменение энтальпии в элементарном параллелепипеде выра-
зим через его массу pdlz, теплоемкость ср и приращение температур
д/ ,
ры — ат:
г д%
dQ3 = cpPdV-^dx. (2.15)
Подставив выражения (2.13)...(2.15) в уравнение (2.8), получим
СрР А- = + i + Llv. (2.16)
дт у дх ’ ду ' dz ] 1 7 v
Величина
Qx — Qxt + Qxv. (^’17^
представляет собой сумму плотностей теплового потока, входяще’
го в параллелепипед путем теплопроводности (qxr) и конвективного
переноса теплоты вдоль оси Ox (qXK). На основе закона Фурье
<7хт = — №Идх,
а плотность конвективного теплового потока
qxv. — Cpf^x^’
Следовательно,
qx = — 'Kdt/dx + cppwxt. (2.18)
При X = const уравнение (2.18) преобразуется к виду
~д^~ ~~ срР[™х дх + z дх (2.19)
Аналогичный вид имеют частные производные от плотности теп»
лового потока в направлении осей Оу и Oz параллелепипеда:
dqu / 1 ± dwu \ п д2/ /п пл.
ду щ\у ду ду / ду2 v 1
dqz / dt , , dwz \ a d2t ni4
= cDp[wz-^----r t —X (2.21)
dz ( 2 dz dz I dz2 v 7
Подставив равенства (2.19)...(2.21) в уравнение (2.16), получим
dt а / d2t . d2i d2t \ [ di . dt .
~dV “ \ dx2 + dy2 + dz2 / — ~dT + ~dy~ +
15a
Как будет показано ниже [см. уравнение (2.35)1,
dwx
дх
dwy . dwz
~ду ' dz~
(2.23)
Уравнение (2.22) приводится к виду
dt dt dt , dt
-5— + wx + wu + W2 =
dx 1 dx x 1 ду У dz 2
- n I 34 _L J- _2!L\ r
u\dx2 "г dy2 r dz2 cpp ’
(2.24)
В этом уравнении a = X/(cpp) — коэффициент температуропровод-
ности, м2/с.
Левая часть уравнения (2.24) представляет собой полную произ-
водную функции t = f (х, yt г, т) по времени и называется субстан-
циональной производной:
Dt __ df ? dt dx
dx ~~~ дх ‘ дх dx
dt
~dy
dy dt dz
dx ' dz dx
dt dt . dt . dt
= "3----F wx + wu + ~T~ wz-
dx 1 dx x ду У ' dz 2
(2.25)
Здесь частная производная dtldx характеризует изменение темпе-
ратуры во времени в какой-либо точке жидкости (локальное изме-
ч di.dt.dt
нение температуры); сумма wx + ~ду wy -г — изменение
температуры при переходе от одной точки пространства к другой
(конвективное изменение температуры).
Записанная в круглых скобках правой части уравнения (2.24)
сумма вторых частных производных представляет собой оператор
Лапласа в декартовой системе координат
V2/ — т -4- дЧ 4- т
dx2 ' ду2 ' dz2
(2.26)
Учтя выражения (2.25) и (2.26), дифференциальное уравнение
энергии запишем в виде
Т “ “v4 + rgr <2-27>
Заметим, что уравнение (2.27) получено для случая X = const.
Если X = / (0, то дифференциальное уравнение энергии имеет вид
Dt & /а dt \ । д а \ । д /а dt \ /п
С₽р dT ~ дх F дх ) + ду ду ) + dz F дг ) + ?»• <2-28)
Уравнение теплоотдачи. При обтекании вязкой жидкостью твер-
дой поверхности скорость жидкости на ней равна нулю.
Это условие «прилипания» вязкой жидкости является следствием
того, что между поверхностью твердого тела и жидкостью действу-
ют силы молекулярного сцепления, в результате чего непосред-
154
ственно прилегающий к твердой стенке слой жидкости становится
неподвижным. Теплота через этот слой передается только тепло-
проводностью, и плотность теплового потока можно выразить по
закону Фурье через температурный градиент в слое жидкости и
ее коэффициент теплопроводности А:
q ==—%(dt/dn)n=Q- (2.29)
С другой стороны, этот же тепловой поток определяется уравне-
нием Ньютона—Рихмана
q = a(tw — /ст). (2.30)
Приравняв правые части равенств (2.29) и (2.30), получим диф-
ференциальное уравнение теплоотдачи
X / d/ \
^ж Фт \ L=0
(2.31)
Из уравнения (2.31) следует, что для определения коэффициента
теплоотдачи необходимо найти температурный градиент среды вбли-
зи поверхности. Температурный градиент может быть найден из
дифференциального уравнения энергии (2.27). Поскольку в это
уравнение входят составляющие скорости, для определения темпе-
ратурного поля необходимо еще составить дифференциальное урав-
нение, позволяющее найти поле скоростей.
Уравнение движения. В классической гидродинамике уравне-
ние движения вязкой несжимаемой жидкости записывается в фор-
ме дифференциального уравнения Навье—Стокса, которое выво-
дится на основе второго закона Ньютона. В проекции на ось Ох
это уравнение имеет вид
/ dwx . dwx , dwx . dwx \
‘ у dx 1 dx x 1 dy y dz z)
dp / d2wx . d2wy d2wx \ oo
“ dx” H dx2 dy2 + dz2 )* (2 32)
Здесь gx — составляющая ускорения свободного падения по оси
Ох; р — давление среды; р, — динамический коэффициент вязкости
(вместо динамического коэффициента вязкости иногда удобнее поль-
зоваться кинематическим коэффициентом вязкости v = u/p).
Левая часть уравнения (2.32) характеризует инерционные силы
потока, первый член правой части — действие сил тяжести, вто-
рой — сил давления, третий — сил вязкого трения В уравнении
(2.32) не учтена зависимость плотности жидкости от температуры,
определяемая выражением
р = р0«'1 +PAZ), (2.33)
где р0 — плотность жидкости при температуре /0; р — то же при
температуре t; р — коэффициент объемного расширения, К”1 (для
идеальных газов р = 1/7); \t = t — t0.
155
Подставив (2.33) в уравнение (2.32), окончательно получим
/ dwx , dwx . dwx , dwx \
ги\^ дх дх х 1 ду у 1 дх 2]
п др . I d2ui)x . d2wx , д'2к'г \ ,п пл.
— РойхРЛ^ aF + И И Ь ) • (2.34)
Первый член правой части этого уравнения определяет подъем-
ную силу, возникающую из-за разности плотностей холодных и
нагретых объемов жидкости.
Анализ показывает, что для решения задачи конвективного теп-
лообмена к уравнениям энергии и движения необходимо добавить
еще одно уравнение. Таким уравнением является уравнение сплош-
ности, или неразрывности.
Уравнение сплошности. Применение закона сохранения массы
к элементарному объему несжимаемой жидкости позволило полу-
чить дифференциальное уравнение сплошности
_^_+*^ + ^_ = 0. (2.36)
дх 1 ду 1 дг 4 '
11.2. Краевые условия
Дифференциальные уравнения теплообмена описывают классы фи-
зических явлений. Решения этих уравнений содержат константы
интегрирования и поэтому не являются однозначными.
Под классом понимают совокупность явлений одной физической
природы, описываемых тождественными дифференциальными урав-
нениями. Для выделения из класса конкретной задачи к дифферен-
циальному уравнению необходимо присоединить математическое
описание ее частных особенностей. Эти дополнительные данные,
которые характеризуют конкретное единичное явление, называ-
ются краевыми условиями, или условиями однозначности. Обычно
условия однозначности выражаются совокупностью значений по-
стоянных величин — параметров задачи. Параметры имеют по-
стоянные значения для данного случая и иные для других слу-
чаев.
Существуют следующие условия однозначности: геометриче-
ские, характеризующие форму и размеры тела или участвующей в
теплообмене поверхности; физические, характеризующие свойства
участвующих в теплообмене тел; граничные, характеризующие ус-
ловия протекания процесса на границе тела; временные, характе-
ризующие начальное состояние системы при нестационарных про-
цессах.
Система дифференциальных уравнений совместно с условиями
однозначности представляет собой математическую формулировку
задачи теплообмена. Так, задача теплопроводности включает в себя
дифференциальное уравнение энергии для неподвижного тела
156
(wx == Wy — wz — 0). Геометрические условия однозначности оп-
ределяют форму и размеры тела, физические — коэффициенты теп-
ло- и температуропроводности, граничные условия однозначности —
условия взаимодействия тела с окружающей средой (температуру
на поверхности тела, плотность теплового потока и др.).
Система уравнений, описывающих явление теплоотдачи, содер-
жит дифференциальные уравнения энергии, теплоотдачи, движения
и сплошности. При этом геометрические условия однозначности
определяют форму и размеры поверхности соприкосновения тепло-
носителя с телом, физические условия — теплопроводность, вяз-
кость теплоносителя и другие свойства, граничные условия — рас-
пределение скоростей и температур на границах изучаемой системы.
Для некоторых задач теплообмена могут быть получены и более
сложные системы дифференциальных уравнений и краевых ус-
ловий.
11.3. Основы теории подобия
Решение задач теплообмена сводится к аналитическому или чис-
ленному интегрированию дифференциальных уравнений при за-
данных условиях однозначности. При аналитическом решении эти
условия фигурируют в буквенном обозначении, а при численном —
в виде чисел.
Аналитические решения являются наиболее общими, однако
их сдается получить лишь для некоторых случаев при условии вве-
дения упрощающих предположений. Большинство же задач тепло-
обмена решаются либо численными’методами с применением вы-
числительной техники, либо с помощью физического эксперимента,
позволяющего получить наиболее достоверные данные. Недостат-
ком экспериментальных и численных методов является то, что по-
лученные результаты действительны лишь для единичного (индиви-
дуального) случая, соответствующего конкретным условиям одно-
значности. При изменении одного из аргументов требуется новое
численное решение или эксперимент. Поскольку численное решение
для индивидуального случая равноценно единичному эксперимен-
ту, его называют математическим экспериментом.
Следовательно, применение математических методов к явлениям
теплообмена позволяет получить систему дифференциальных урав-
нений, описывающих весь класс явлений, однако переход к еди-
ничному (конкретному) случаю затруднен из-за сложности ана-
литического решения. Недостатком экспериментальных исследова-
ний (в том числе и численного эксперимента) является невозмож-
ность обобщения результатов единичного опыта на другие явления.
Лишь объединение математических методов с экспериментом с ис-
пользованием теории подобия дает возможность распространить
результаты единичного опыта на целую группу явлений.
Теория подобия — учение о подобных явлениях. Она позволяет
из дифференциальных уравнений и краевых условий получить
157
ряд обобщающих выводов и тем самым создать теоретическую ос-
нову для постановки опытов и обработки их результатов.
Понятие подобия впервые введено в геометрии. Для сходствен-
ных точек и отрезков двух подобных тел выполняется равенство
х'/х" = уЧу" = z'lz = /17/1' = Z2/Z2 = ch (2.36)
где х, у, z — координаты сходственных точек; 1Ъ 12 — длины сход-
ственных отрезков; q — множитель геометрического подобия.
Сходственными называются точки и отрезки, удовлетворяющие
условию геометрического подобия. Свойства подобных фигур рас-
смотрим на примере двух эллипсов, у каждого из которых начало
координат расположено в центре, а координатные и главные оси
совпадают; а', а" и b't b" — соответственно полуоси первого и вто-
рого эллипсов. Уравнения эллипсов имеют вид
(х'/а')2 + (y'/b')2 - 1; (х"М")2 + (yf,/bf/)2 = 1. (2.37)
Так как эллипсы подобны, то
хЧх" = уЧу" = аЧа" = ЬЧЬ" = сь (2.38)
В рассматриваемых уравнениях величины а и b являются пара-
метрами эллипса, характеризующими данную геометрическую фи-
гуру.
Приведем уравнение (2.38) к безразмерному виду, разделив
его на а'1а"*.
хТх!’ = у'Гу" == ЬЧЬ" = 1. (2.39)
Здесь
х’ = х'!а'\ у' = у'!а'\ Ь' = ЬЧа'\ х" = х"!а'\ у" = у"1а"\
Ь" = Ь"/а".
Из уравнения (2.39) следует
х' = ?; у' = /; b' - b".
Таким образом, в подобных геометрических фигурах безразмер-
ные координаты сходственных точек и безразмерные сходственные
параметры одинаковы. Величины а' и а" называются масштабами,
а соотношения х' = ах1, х" = а"х" и т. д.— масштабными преоб-
разованиями.
В результате масштабных преобразований уравнения эллипсов
могут быть приведены к безразмерному виду
(а'хЧа')2 + 1а'уЧ(а'Ь')]2 = 1.
Отсюда
(х')2 + (У'/Ь')2 = 1.
158
Аналогично
(Л2 + (у!ЬУ = 1.
С учетом (2.39) оба уравнения эллипса можно заменить одним:
?+О)2- 1, (2.40)
где х и у — относительные безразмерные координаты (переменные);
b — безразмерный параметр.
Следовательно уравнения, описывающие подобные геометри-
ческие фигуры, после приведения к безразмерному виду становят-
ся тождественными.
Понятие подобия распространяется и на физические явления.
Последние считаются подобными, если они относятся к одному и
тому же классу, протекают в геометрически подобных системах
и подобны все однородные физические величины, характеризующие
эти явления. Однородными называются такие величины, которые
имеют одни и тот же физический смысл и одинаковую размер-
ность.
Для подобных физических явлений в сходственных точках и( в
сходственные моменты времени любая величина ср' первого явление
пропорциональна величине <р" второго явления: ср' = сфф", где
с(р— константа подобия. Два промежутка времени т' и т" называ-
ются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и свя-
заны равенством т7т' = = coibt.
При кинематическом подобии имеет место подобие полей ско-
ростей w'/w' = cw, при динамическом — подобие сил давления
р"1р' = cpf при тепловом — подобие температурных полей Г И' =
== ct. Для физических явлений, определяемых множеством пара-
метров, константы подобия этих параметров связаны между собой
и не могут быть выбраны произвольно.
Аналогично геометрическому подобию уравнения, описываю-
щие подобные физические явления, после приведения их к безраз-
мерному виду становятся тождественными. При этом в сходственных
точках все одноименные безразмерные величины, в том числе и
безразмерные параметры, будут одинаковыми.
Приведем к безразмерному виду дифференциальное уравнение
теплоотдачи. Если ввести понятие избыточной температуры й =
= t — /ж, то уравнение (2.31) можно записать в виде
В качестве масштабов выберем какой-либо характерный геомет-
рический размер I и избыточную температуру стенки йсТ = icr —
— /ж. Обозначим безра_змерные величины п = п/1, 9 = й/йст;
тогда п = In и й = йст0.
159
Подставив полученные выражения д и п в уравнение (2.41),
запишем
____К р(^сте) ] =____X / де \
^ст L d (In) I дп )п=о’
или в окончательном виде
al
т
(2.42)
Помимо безразмерной температуры 0 и координаты по норма-
ли к поверхности п, уравнение (2.42) содержит безразмерный ком-
плекс а/А, составленный из разнородных физических величин, ха-
рактеризующих явление теплоотдачи. Согласно свойству подобных
физических явлений этот комплекс должен быть одинаковым
для подобных систем. Такие комплексы носят название чисел по-
добия. Полученный комплекс Nu == al/К называется числом Нусселъ-
та, представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи
и является определяемым числом в задачах конвективного тепло-
обмена.
Числа подобия, составленные только из заданных параметров
математического описания задачи, называются критериями подо-
бия. Рассмотренный метод получения чисел подобия называется
методом масштабных преобразований. Анализ уравнений тепло-
обмена позволяет сформулировать следующие основные числа по-
добия:
Re = wl/v
Рг = у/а
Fo = ax/l2
Fr w4(gl)
— число Рейнольдса, представляющее собой отно-
шение сил инерции к силам вязкости;
— число Прандтля, характеризующее соотношение
молекулярных свойств переноса количества дви-
жения и теплоты;
— число Фурье, представляющее собой безразмерное
время в задачах теплопроводности;
— число Фруда, характеризующее меру отношения
инерционных сил к силам тяжести;
Gr g/3pA//v2 — число Грасгофа, характеризующее отношение
подъемной силы, возникающей из-за разности плот-
ностей холодной и нагретой жидкости, к силам
вязкости.
Дополнительные дифференциальные уравнения, описывающие
физическое явление, позволяют сформулировать новые числа по-
добия. Так, на основании уравнения (2.48) получено число Био РА =
== al/k, характеризующее отношение внутреннего термического со-
противления тела (Z/Z) к его внешнему термическому сопротивлению
(1/а).
Заметим, что в число Био Bi входит коэффициент теплопровод-
ности твердого тела Хст, а в число Нуссельта Nu — коэффициент
теплопроводности жидкости
160
Основные положения теории подобия формулируются в виде
г1р< \ июрем. Первая и вторая из них отражают основные свойства
пит оных между собой явлений, третья устанавливает признаки,
и», которым можно определить, подобны ли рассматриваемые явления.
В подобных явлениях все одноименные числа подобия (в том
числе и критерии подобия) должны быть численно одинаковы.
I» лом заключается сущность первой теоремы подобия.
:’а основании второй теоремы подобия зависимость между пе-
рем- иными, характеризующими какой-либо физический процесс,
может быть представлена в виде зависимости между числами по-
добия. Функциональная зависимость между числами подобия на-
зывается уравнением подобия. Для явления теплоотдачи уравне-
ние 'Л । об и я в общем случае имеет следующий вид:
Nu = /(Re, Gr, Pr). (2.43)
Определенному значению числа Рейнольдса соответствует бес-
численное количество значений каждого из параметров w, /, v
(единичных случаев) Все это действительно и для других чисел
(Грасгофа, Прандтля). Следовательно, решение в виде (2.43) дей-
г’.: ггелыю для бесчисленного количества тех единичных слу-
чаев. \ которых одинаковы числа Рейнольдса, Прандтля и Грас-
тон ..с, поэтому оно носит обобщенный характер.
Рассмотренные числа представляют собой безразмерные пара-
метры задачи, задаваемые краевыми условиями. Явления, у кото-
рых безразмерные параметры имеют одинаковые значения, физи-
чески подобны. Следовательно, количественным признаком подобия
является одинаковость чисел, составленных из параметров мате-
матического описания процесса; поэтому их и называют критерия-
ми подобия. Подобны те явления, у которых одноименные крите-
рии подобия одинаковы; такова формулировка третьей теоремы
подобия.
Теорию подобия можно рассматривать как учение об обобщенных
безразмерных переменных, характеризующих данный процесс.
Переход к таким переменным позволяет переносить полученные экс-
периментальные зависимости на группу подобных явлений. Об-
ласть обобщения экспериментальных чанных ограничена условия-
ми подобия, сформулированными третьей теоремой подобия.
С помощью уравнения подобия можно определить число Нуссель-
та щ следовательно, соответствующие значения коэффициента теп-
лоотдачи. При решении уравнений подобия важную роль играют
понятия определяющей температуры и определяющего геометри-
ческого размера. Определяющей температурой называется темпе-
ратура, которой соответствуют значения физических параметров
среды, входящих в числа подобия; определяющим размером — ха-
рактерный линейный размер /, определяющий развитие процесса.
Например, для труб круглого сечения определяющим линейным
размером является диаметр; для каналов некруглого сечения —
эквивалентный диаметр d3K = bFIP, где F — площадь поперечно-
го сечения канала, а Р — смоченный периметр сечения.
2570
161
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите основные дифференциальные уравнения теплообмена: уравнения
энергии, теплоотдачи, движения, сплошности. Объясните физический смысл
членов, входящих в уравнения энергии и движения.
2. Какова роль краевых условий при решении задач теплообмена? Перечислите
краевые условия для задач теплопроводности и конвективного теплообмена.
3. Дайте определение подобию физических явлений.
4. Приведите к безразмерному виду дифференциальные уравнения теплоотдачи.
5. Что такое числа подобия и каковы их свойства? В чем сущность метода по-
лучения чисел подобия?
6. Сформулируйте три теоремы подобия.
7. Что называется определяющей температурой и определяющим геометрическим
размером?
Глава 12. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
12.1. Дифференциальное уравнение
теплопроводности
Для неподвижного тела проекции скорости его движения wx =»
= wy = wz = 0 и дифференциальное уравнение энергии (2.27)
принимает вид
di/дх = aV2t + qv/(cpp). (2.44)
Уравнение (2.44) является дифференциальным уравнением теп»
лопроводности однородного неподвижного тела, выражающим
зависимость температуры любой его точки от координат и вре-
мени. Как отмечалось выше, величина а = К 1(срр) называется
коэффициентом температуропроводности. Для твердых тел вмес-
то ср следует подставлять с — удельную теплоемкость тела. Ко-
эффициент а характеризует теплоинерционные свойства вещества,
т. е. скорость изменения температуры любой его точки, поскольку
Z определяет способность вещества проводить теплоту, а ср — меру
тепле вой инерции вещества.
Для систем, не имеющих внутренних источников теплоты,
уравнение (2.44) упрощается и имеет вид
dt/dx = а\Ч. (2.45)
При стационарном процессе теплопроводности и отсутствии
внутренних источников теплоты температурное поле t = f (х, у. г)
описывается уравнением Лапласа
V2/ = 0. (2.46)
Наиболее простой вид уравнение теплопроводности имеет в слу-
чае стационарного одномерного температурного поля:
d2t/dx2 = 0. (2.47)
Интегрирование последнего уравнения не представляет труда.
При передаче теплоты через ограждающие конструкции и постоян-
ных в течение длительного времени температурах наружной и
162
внутренней сред процесс теплопередачи можно рассматривать как
стационарный. Температурное поле в теплопередающей стенке час-
то рассматривается как одномерное.
1.2.2. Коэффициент теплопроводности
В физические условия однозначности задач теплопроводности вхо-
дит коэффициент теплопроводности, характеризующий способ-
ность вещества проводить теплоту. Численно он равен количеству
теплоты, проходящей в единицу времени через единицу изотерми-
ческой поверхности при градиенте температуры 1 К/м. Значения
коэффициента теплопроводности для различных веществ сведены
в справочные таблицы, построенные на основании эксперименталь-
ных данных.
«• Для большинства материалов зависимость коэффициента тепло-
проводности от температуры приближенно выражается линейной
функцией
где Ао — значение коэффициента теплопроводности при температу-
ре = О °C; b — постоянная, определяемая Экспериментально-
Наименьшим коэффициентом теплопроводности обладают газы.
Коэффициент теплопроводности их возрастает с повышением тем.
нературы и составляет 0,006...0,6 Вт/(м • К). Заметим, что верх-
нее значение относится к гелию и водороду, коэффициент теплопро-
водности которых в 5...10 раз больше, чем других газов.
Для капельной неметаллической жидкости X = 0,07...
...0,7 Вт/(м • К) и, как правило, уменьшается с увеличением темпера-
туры. Коэффициент теплопроводности воды с повышением темпера-
туры возрастает до максимального значения 0,7 Вт/(м • К) и пада-
ет при дальнейшем увеличении температуры.
Для металлов значения X лежат в пределах 20...418 Bt,z(m • К).
Наибольшее значение коэффициента теплопроводности у серебра
и меди. Повышение температуры металлов приводит к снижению
их коэффициента теплопроводности. У сплавов X ниже, чем у чис-
тых металлов.
Материалы с А < 0,25 Вт/(м • К) называются теплоизоляцион-
ными. Большинство теплоизоляционных материалов имеют пори-
стое строение, что не позволяет рассматривать их как сплошную
среду. Коэффициент теплопроводности пористых материалов — ве-
личина условная и характеризует перенос теплоты как теплопровод-
ностью, так конвекцией и излучением через заполненные газом,
поры. Он уменьшается при увеличении объемной плотности материа-
ла, что объясняется низким значением коэффициента теплопровод-
ности заполняющего поры воздуха [X 0,02 Вт/(м • К)]. Однако
увеличение размеров пор может привести к ухудшению теплоизо-
ляционных свойств материала из-за появления конвективных то-
ков. Коэффициент теплопроводности пористых материалов повы-
шается с температурой, а также с увеличением их влажности.
11 * ПО
12.3. Граничные условия
Как уже отмечалось, в условия однозначности должны входить
граничные условия, характеризующие взаимодействие тела с ок-
ружающей средой. При решении задач теплопроводности разли-
чают следующие граничные условия:
1) граничные условия первого рода, при которых задается распре-
деление температуры по всей поверхности тела в функции времени;
2) граничные условия второго рода, при которых задается плот-
ность теплового потока для всей поверхности тела в функции вре-
мени;
3) граничные условия третьего рода, при которых задаются тем-
пература омывающей тело среды /ж и коэффициент теплоотдачи а
между поверхностью тела и окружающей средой.
В соответствии с законом Ньютона — Рихмана (2.6) плотность
теплового потока, передаваемого поверхностью тела окружающей
среде,
<7 а (/ст — /ж).
Согласно закону сохранения энергии эта теплота равна теплоте,
подводимой к поверхности из глубины тела теплопроводностью
II определяемой законом Фурье (2.4):
а (/ст — /ж) = —К (dt/dn)n===o.
Вдесъ X — коэффициент теплопроводности тела; п — расстояние от
поверхности по внутренней нормали к ней.
Переписав последнее уравнение в виде
(dt/dn)n^ = —a (ZCT — (2.48)
получим математическую формулировку граничных условий тре-
тьего рода.
После решения дифференциального уравнения теплопроводнос-
ти совместно с условиями однозначности можно найти температур-
ное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепло-
вые потоки. Заметим, что аналитическое решение данной задачи
возможно лишь для тел правильной геометрической формы и при
достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях
такие задачи решаются численными или экспериментальными ме-
тодами.
Контрольные вопросы и задания
1. В каких единицах выражается коэффициент теплопроводности. Кик он за-
висит от температуры?
2. Укажите пределы изменения коэффициента теплопроводности газов, жидкос-
тей и твердых тел. Как связана теплопроводность теплоизоляционных мате-
риалов с их объемной плотностью?
3. Перечислите виды граничных условий для задач теплопроводности.
4. Запишите математическую формулировку граничных условий третьего ря-
ца. В чем физический их смысл?
164
Глава 13. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
13.1. Теплопроводность плоской стенки
при граничных условиях
первого рода
Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной 6 (рис. 13.1).
На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные
температуры /СТ1 и 1ст2. Коэффициент теплопроводности стенки
постоянен и равен X. При стационарном режиме (dt/дт == 0) и от-
сутствии внутренних источников теплоты (qv — 0) дифференциаль-
ное уравнение теплопроводности стенки имеет вид
\/Ц = _d2i . I I__________о m *9}
' L dx2 ф dy2 dz2 ~ U
С учетом заданных граничных условий температура в направле-
нии осей Оу и Ог будет оставаться постоянной, т. е.
dt __ dt __р d2t _____ d2t ____~
dy dz И dy2 dy2
В связи с этим температура является функцией только одной
координаты х и уравнение (2.48) примет вид
d2t!dx2 « 0. (2.50)
Проинтегрировав уравнение (2.50), получим
dtldx = С.
Второе интегрирование дает
t^C.x + C^ (2.51)
Постоянные Q и С2 найдем, исходя из граничных условий:
При X -—L- 0, t —L /ст! — ^ст!> При X == 6 t /ст2 /стН
откуда Cj = — (/ст1 — /ст2)/б.
Подставив значения С\и С2 в уравнение (2.51), получим распре-
деление температуры по толщине стенки:
/ = /ст| (Zcti — ^стз) х/6. (2.52)
Если отсчет избыточной температуры в стенке вести от наи-
меньшей заданной температуры /Ст2, то уравнение (2.52) можно
привести к безразмерному виду. Обозначив текущую избыточную
температуру стенки Ф = t — tCT2, а наибольшую избыточную тем-
пературу (полный температурный напор) *&0 = /Ст1 — /Ст2, иж
уравнения (2.52) найдем
/ /ст2 == ^ст1 -^ст2 — (^ст! /ст2) -^/5,
или
'ft = Г>0 — 'О'оАГ/б.
Перейдя к безразмерным избыточной температуре 0 = й/йв
и координате х == х/6, запишем уравнение температурного поля
165
f безразмерном виде
0 - 1 — х (2 53)
Из уравнения (2.53) следует, что распределение температуры в
стенке можно представить единой прямой для любых заданных
значений fCTi, /ст? и 6 (рис. 13.2).
Для определения плотности теплового потока, проходящего
^ерез стенку в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье,
согласно которому q = —'kdt/dx. Учтя, что
dt/dx = С\ = — (/Сг1 ----------/Ст2)/6,
.юл учим
q = (t.Tl — ^ст2)/б.
(2.54)
Общее количество теплоты, которое передается через поверх-
ность стенки площадью F за время т,
QT = X (/ст1 — /Ст2) ^т/б. (2.55)
Отношение Х/б называется тепловой проводимостью стенки,
обратная величина = 6А — ее внутренним термическим со-
противлением. При линейной зависимости Z = f (/) в уравнения
(±54), (2.55) вместо К следует подставить значение Хср, найденное
средней арифметической температуры стенки /Ср = 0,5 (/CTi 4-
^ст2) •
Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки,
состоящей из п однородных слоев (рис. 13.3). Коэффициент тепло-
проводности каждого слоя равен соответственно 2^, Z2, Х3, ..., кп;
толщины слоев бх, б2, ..., бп. На границе раздела двух слоев воз-
никает контактное термическое сопротивление, обусловленное не-
плотным соприкосновением слоев. Для упрощения задачи считаем
его равным нулю, а температуры соприкасающихся слоев одинако-
выми.
При стационарном режиме' количество подведенной к стенке
й отведенной от нее теплоты должно быть одинаково. Отсюда выте-
13.1. Однород-
плоская стенка
Рис. 13.3. Многослойная пло-
ская стенка
Рис. 13.2. Безразмерное
поле температур в плос-
кой стенке
кает равенство тепловых потоков, проходящих через каждый слой
стенки. На основании (2.54) имеем:
Ц = Zj (/ст1 ^ct2)/6j^ Q = Х2 (^ст2 ^CTl)/$2> • • • >
Ц ~ (^СТП ^CT(f?.4-^)/^rt-
Из этих уравнений находим температурные напоры
^ст1 ^ст2 ~ ^ст2 ^стЗ — ^62/Л/2, * • • >
tern ' ^ст(/1-|-1) ~ cfinJ'hn’ (2.56)
Сложив левые и правые части уравнений (2.56), получим
^ст1 ^ст(г?-4-1) ~ Q (^1/^1 62/Х2 Н~ • • * W.
Отсюда плотность теплового потока
^СТ1 ^СТ(П-Н) __ ^ст! ^СТ(П-Н)
$1А1 + S2/^2 + • • • + ^nl^n 9
S бА
где i — номер слоя.
Графически распределение температур по сечению многослой-
ной стенки изображается ломаной линией; температуры на грани-
це соприкосновения слоев можно найти с помощью уравнений (2.56)
или уравнения
k
^ст(&-|-1) — ^ст! Q У ,
£=Н
Для сравнения теплопроводности, многослойной стенки и стен-
ки из однородного материала введем понятие эквивалентного ко-
эффициента теплопроводности Хэк многослойной стенки. Он равен
коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина ко-
торой Д соответствует толщине многослойной стенки S6t-, а внут-
ренние термические сопротивления обеих стенок одинаковы, и оп-
ределяется выражением
п П К
i=i 1
13.2. Теплопроводность
цилиндрической стенки
при граничных условиях первого рода
Рассмотрим теплопроводность однородной цилиндрической стенки
(трубы) большой длины /, когда передачей теплоты с торцов стенки
можно пренебречь. Труба имеет внутренний радиус i\ и наруж-
ный г2 (рис. 13.4). Коэффициент теплопроводности материала стен-
ки X — величина постоянная. На поверхностях стенки заданы тем-
пературы /СТ1 = const И /Ст2 = const.
Для решения этой задачи дифференциальное уравнение тепло-
проводности (2.49) целесообразно записать в цилиндрической сис.
167
Рис. 13.4. Однородная ци-
линдрическая стенка
теме координат, воспользовавшись соот-
ношениями, связывающими прямоуголь-
ные и цилиндрические координаты:
г cos ср; y = rsincp; z = z.
Тогда уравнение (2.49) примет вид
+ + = (2.57)
В соответствии с заданными условия-
ми однозначности температура стенки
изменяется только вдоль координаты г,
т. е. t = f (г); поэтому уравнение (2.57)
упрощается и принимает вид
+ = (2.58)
Введем новую переменную и — dt/dr<
Тогда из уравнения (2.58) следует
du/dt + и/г = 0, или du/u + dr/г = 0.
Интегрирование последнего уравнения дает
In и + In г = In С. (2.59)
После потенцирования уравнения (2.59) и перехода к первона-
чальной переменной получим
dt = Cidr/r. С.GU)
Проинтегрировав уравнение (2.60), найдем
t — Cr In г 4~ С2. (2 ’ 1)
Для определения постоянных интегрирования Сг и С2 восполь-
зуемся граничными условиями: при г = r{ t = tCT\, откуда Лт= ==
= Qin гх + Q; при г -= г2 t = /СТ2, так что tCT2 == Q In r2 - Q.
Решив систему полученных уравнений, найдем постоянные
интегрирования
с — / ft / \ 1п и
G1 ~ in (г3л2) * ~—(?ст1 “ тк•
Подставив значения Q и Q в уравнение (2.61), получим
/ = /ст1 — (/ст1 — /ст2) — ' . (2.62)
ш V 2/Л1/
Для определения теплового потока, проходящего на участке
цилиндрической поверхности длиной Z, воспользуемся законом
Фурье
Q = = 2лг1. (2.63)
dr аг \
168
Решив совместно уравнения (2.63), (2.59) и (2.61), найдем
2лХ/ (/СТ) /ст2) __ 2лХ/ (fCTj /ст2)
ln(r2/rx) in(J2/dt) •
Так как площади внутренней и внешней поверхностей цилин-
дрической стенки различны, разными будут и соответствующие
плотности тепловых потоков.
В технических расчетах тепловой поток относят к единице дли-
ны цилиндрической стенки:
а_____— Я 0СТ1 — *СТ2) /?
c!l — / — | »
1П (d2/d,)
где qi — линейная плотность теплового потока, Вт/м.
В\слоях многослойной цилиндрической стенки линейная плот-
ность теплового потока qi не изменяется. Решив уравнение (2.65)
относительно разности температур для каждого слоя, а затем сло-
жив полученные решения, найдем
qt = (<ст'-~Д?т(п+|» . G6)
S “2Х" ,п (</Ж^
/=1 1
Величина -7^— In (dl+i/dz) называется внутренним термическим
сопротивлением цилиндрической стенки (слоя). Температура
на границе любых двух слоев стенки определяется выражением
W+d = /ст. - У -U- In (d.+i/dj. (2.67)
J I I J £j\j.
1=1 1
13.3. Теплопроводность плоской
и цилиндрической стенок при граничных условиях
третьего рода (теплопередача)
Передача теплоты от одного теплоносителя к другому (жидкости,
газу) через разделяющую их твердую стенку называется теп-
лопередачей. Примером теплопередачи служит перенос теплоты
от дымовых газов к воде через стенки труб парового котла, включа-
ющий в себя радиационно-конвективный перенос теплоты от горя-
чих дымовых газов к стенке, теплопроводность стенки и конвектив-
ную теплоотдачу от внутренней поверхности стенки к воде.
Особенности протекания процесса на границах стенки при теп-
лопередаче определяются граничными условиями третьего рол..,
которые характеризуются температурами жидкостей по обе стер.пи/
стенки, а также соответствующими коэффициентами теплоотдачи.
В случае радиационно-конвективного теплообмена коэффициент
теплоотдачи определяется по формуле (2.256).
169
Плоская стенка. Рассмотрим процесс теплопередачи через одно-
родную плоскую стенку толщиной 6 (рис. 13.5). Заданы коэффици-
ент теплопроводности стенки X, температуры жидкостей /Ж1 и /Ж2>
коэффициенты теплоотдачи и а2. Необходимо найти тепловой по-
ток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхнос-
тях стенки /с?1, /с-г2.
Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке оп-
ределяется уравнением (2.6):
(у — (X (/Ж) /ст1 )•
При стационарном режиме этот же тепловой поток передастся
теплопроводностью через твердую стенку [см. (2.54)] и будет пере-
дан от второй поверхности стенки к холодной жидкости теплоотда-
чей:
= К (/Ст1 ~ Лгг2)/6; q ==- ОС2 (/ст2 ^ж2)«
Переписав три последних уравнения в виде
/Ж1 ~ /ст1 — /ст! Ст2 ~~ qo/'k] /ст2 /ж2 ^/^2
и сложив их почленно, получим
/ж1 — /ж2 — q (1/04 + б/х + 1/а2).
Отсюда
q — k (/ж1 /ж2), (2.68)
где
Величина k называется коэффициентом теплопередачи, кото-
рый характеризует количество теплоты, проходящее через единицу
поверхности стенки в единицу времени при разности температур
между горячей и холодной средой в 1 К. В единицах СИ он выра-
жается в ваттах на квадратный метр-кельвин [Вт/(м2 • К)]. Вели-
чина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется общим
терм ическим сопротивлен нем:
R=Mk = 1/cq + 6Д + 1$2 - + Rk + Ra2- (2.70)
Сумма величин Rai = 1/cCi и Ra2 = 1/<х2 называется внешним
термическим сопротивлением. Температуры на поверхностях одно-
родной стенки определяются выражениями
/ст1 — /ж1 qi^ (2л 1)
Ш Ш 4- (2.72)
п
В случае многослойной стенки R^ ~ £ 6ДР Ее коэффициент
i=\
теплопередачи можно рассчитать по формуле
k =---------J------------- (2.73)
1/а1 + У, 6z//vz -у 1/а2
i=l
170
Рис. 13.5. Теплопередача
через плоскую стенку
Рис. 13.6. К рассмотре-
нию теплопередачи через
цилиндрическую стенку
Цилиндрическая стенка. Рассмотрим однородную цилиндриче-
скую стенку, внутренний диаметр которой dlt наружный d2f а коэф-
фициент теплопроводности X — постоянен (рис. 13.6). Заданы тем-
пературы горячей /Ж] и холодной /ж2 жидкостей, а также соответ-
ствующие значения коэффициентов теплоотдачи at и а2. При уста-
новившемся тепловом режиме можно записать:
• z . . Фт2)
Qi = cc^Tid^ (1Ж\ ^ст1)> Qi = >
2^ Н (^2/^1)
Pl = (^ст2 ' * ^ж2)* (2.74)
Здесь nd2 и ndj — площади наружной и внутренней поверхностей
цилиндрической стенки длиной 1 м.
Решив уравнения (2.74) относительно разности температур, а
затем сложив полученные решения, найдем
qt = ktn (/ж1 — /ж2), (2.75)
где
2Х a2d2
Величина kt называется линейным коэффициентом теплопере-
дачи, который численно равен количеству теплоты, проходящей
через цилиндрическую стенку длиной 1 м в единицу времени при
разности температур между горячей и холодной жидкостями в 1 К.
Величина, обратная линейному коэффициенту теплопередачи, на-
зывается общим линейным термическим сопротивлением:
Rt = J- = —L- + -Т 1П А _|_ __L_ . (2.77)
ki a{d} 2Х d-i a2d2 ’
Общее линейное термическое сопротивление цилиндрической
стенки складывается из внешних термических сопротивлений
171
Rat и внутреннего термического сопротивления В случае мно-
гослойной цилиндрической стенки, состоящей из п слоев,
п
Rh 2Х, • (^-Н/^)*
Тогда
kl =----------------1-----------------(278)
1 1 1
---- —I- / — Jr (cL-ii /кЛ -J-----
a,d, Zj2X,- ‘+1Z a2d„+l
Температуры поверхностей цилиндрической стенки определяют-
ся в результате решения уравнений (2.74)
/cTi=Z>Ki--g-^; (2.79)
31 CXjUj
^ст2 ~ ^ст1 оТ^т~ (^2/^1)• (2.80)
Если толщина цилиндрической стенки мала по сравнению с ее
диаметром, то для расчета теплопередачи можно воспользоваться
упрощенной формулой. Запишем выражение qt в таком виде:
ф = /глт/j (/ж1 — /жо), (2.81)
где ndj — площадь внутренней поверхности стенки длиной 1 м.
На основании выражений (2.75), (276) и (2.81) имеем
Для тонкостенного цилиндра 1. В этом случае
In (d2M) — ^2/^1 — I “ (^2 — “ 26/rfj и выражение (2.82)
принимает вид
k = Т^Г+Ж-Н7аГ ’ (2'а3^
Тепловой поток, передаваемый через цилиндрическую стенку,
Q = ф/ kndxl (/Ж1 — /ж2) kF<\t, (2.84)
где коэффициент теплопередачи к рассчитывается пи формуле (2.83/,
как и для плоской стенки; F тиц1 — площадь поверхности стен»
ки; Д/ — температурный нано .
Формула (2.84) применима для цилиндрической стенки при
d2 dt 1,8.
13.4. Критический диаметр тепловой изоляции
Тепловой изоляцией называется покрытие из теплоизоляционного
материала, которое способствует снижению потерь теплоты в окру-
жающую среду. Рассмотрим случай, когда цилиндрическая стенка
172
покрыта однослойной тепловой
изоляцией (рис. 13.7, а). Вели-
чины at, &2, и Хиз полагаем
заданными. Проследим, как будет
изменяться полное линейное тер-
мическое сопротивление тепло-
передаче при изменении толщи-
ны изоляции за счет изменения
ее диаметра.
Воспользовавшись выраже-
нием (2.78), запишем
Рис. 13.7. К определению критическо-
го диаметра тепловой изоляции
+^, + /?из + ^.2.
3 (2.85)
In (djdj + — In (d3/d2)
'• 'пи увеличении внешнего диаметра изоляции d3 увеличивается
: одновременно уменьшается Ra.2- Возьмем производную от
.... п приравняем ее к нулю.
(№i ______[________L_ _ о
dd3 ’ a2d3
Найденное из этого уравнения значение d3, соответствующее
экстремальной точке кривой Ri =-- / (d3), называется критическим,
4Р = 2л,13/а2. (2.86)
Вторая производная от Rt в этой точке будет больше нуля.
Следовательно, критическому диаметру изоляции соответствуют
минимальное термическое сопротивление и максимальная линей-
ная плотность теплового потока, определяемая выражением
(р • - Ji/?/ (/ж1 ^ж2)‘
Анализ уравнения (2.85) показывает (рис. 137, б), что изменение
диаметра изоляции d3 в пределах d2 < d3 < dKp сопровождается
возрастанием тепловых потерь за счет увеличения площади тепло-
отдающей поверхности изоляции; d3 = dKp эти потери достигают мак-
симума и только при d3 > d^p тепловая изоляция оправдывает свое
назначение, т. е. увеличение ее наружного диаметра приводит к
уменьшению тепловых потерь.
Следовательно, для эффективного применения изоляции не-
обходимо, чтобы ее критический диаметр был меньше внешнего диа-
метра трубопровода d2 либо равен ему. Тогда d3 > d2 dKp. Под-
ставив в это неравенство выражение dKp, получим d2 2Хпз/сх2.
Отсюда найдем Хиз <7 cc2d2/2. Если это условие не выполняется, то
изоляционный материал 'подобран неправильно.
173
13.5. Интенсификация теплопередачи
Выше были рассмотрены некоторые особенности выбора теплоизо-
ляционного материала для трубопроводов. Как известно, назначе-
нием тепловой изоляции является ослабление передаваемого через
стенку теплового потока. Наряду с этим в технике приходится ре-
шать задачу усиления теплового потока — интенсифицировать теп-
лопередачу.
При неизменной разности температур между теплоносителями
передаваемый тепловой поток зависит от коэффициента теплопере-
дачи. Поскольку теплопередача — процесс сложный, рассмотрение
путей ее интенсификации связано с анализом частных составляю-
щих процесса. Коэффициент теплопередачи плоской стенки
l/« i + 6Д Ч" Ка2
и повысить его можно путем уменьшения толщины стенки либо
выбора более теплопроводного материала. Если термическое со-
противление стенки мало, то при б/Х -> О
сх2
1+а2/аг
1/ос, + 1/а2
I a j/a2
(2.87)
Отсюда следует, что коэффициент теплопередачи всегда меньше
самого малого из коэффициентов теплоотдачи. Следовательно, для
повышения коэффициента теплопередачи нужно увеличивать на-
именьшее из значений коэффициентов теплоотдачи ах или а2. Если
(Xj а2, то необходимо увеличивать каждое значение а.
Теплопередача через ребристую стенку. Факторы, влияющие
на коэффициент теплоотдачи а, будут рассмотрены в гл. 16. Если
повысить коэффициент теплоотдачи нет возможности, то теплообмен
через стенку можно интенсифицировать путем ее оребрения, рас-
полагая ребра со стороны с меньшим коэффициентом теплоотдачи.
Рассмотрим плоскую стенку толщиной б с ребрами на одной сто-
роне (рис. 13.8). Стенка и ребра выполнены из одного материала с
коэффициентом теплопроводности X. Площадь гладкой поверхности
стенки F^ площадь поверхности ребер и стенки между ними С2;
температура горячей жидкости, омывающей гладкую поверхность
стенки, /жц, коэффициент теплоотдачи гладкой поверхности стенки
температура этой поверхности /СтГ, температура холодной жид-
кости со стороны ребристой поверхности стенки
коэффициент теплоотдачи ребристой поверх-
ности стенки а2, температура этой поверхности
^ст2»
При установившемся тепловом режиме про-
цесс передачи через ребристую стенку теплового
потока может быть описан тремя уравнениями:
Q ~ OLjF! (/Ж1 — /ст1 )> Q 1 (^СТ1 — ^ст2)/^>
Q = С42Е2 (/ст2 ^ж2)-
Рис. 13.8. Ребри-
стая стенка
174
Решив эти уравнения относительно разности температур и сло-
жив полученные выражения, найдем
Q = (2.88)
где коэффициент теплопередачи ребристой стенки
= l/at + 6A + Fi/(«^J“ 1/CTi + 6Д + т/«2 ‘ (2‘89^
Величина т = F^Fi называется коэффициентом оребрения.
Оребрение поверхности позволяет выравнять термические сопро-
тивления теплоотдачи и тем самым интенсифицировать теплопереда-
чу. Заметим, что в реальных условиях температура поверхности
ребра не равна /ст2 и уменьшается вдоль его. Поэтому выражение
(2.89) дает только качественную оценку эффективности оребрения.
Примеры решения задач
Задача 13.1. Стены сушильной камеры выполнены из слоя красного кирпича
толщиной = 250 мм с коэффициентом теплопроводности = 0,7 Вт/(м • К)
и слоя строительного войлока с коэффициентом теплопроводности Х2 = 0,0405 Вт/
(м • К). Температура внешней поверхности кирпичного слоя /ст1 = 110 °C. з
внешней поверхности войлочного слоя /ст3 = 25 °C. Определить температуру
плоскости соприкосновения слоев /ст2 и толщину войлочного слоя 62 при условии,
что тепловые потери в стенке камеры не превышают q~ 110 Вт/м2.
Решение. Температуру /ет2 находим по формуле (2.56)
zct2 = /c-rii — = 1Ю — 110 • 250 • 10“3/0,7 = 70,7 СС.
Толщину 62 определяем по формуле (2.54)
62 = Х2 (/ст2 — J/q = 0,0405 (70,7 — 25)/110 = 19. 10~3 = 19 мм.
Задача 13.2. Паропровод диаметром djd^— 150/160 мм покрыт слоем теп-
ловой изоляции толщиной 6 = 100 мм; коэффициент теплопроводности стенки
трубы — 50 Вт/(м • К), а изоляции = 0,08 Вт/(м • К). Температура внутрен-
ней поверхности паропровода /ст1 = 400 °C, наружной поверхности изоляции
/стз ~ 50 °C. Найти тепловые потери на 1 м паропровода и температуру поверх-
ности паропровода.
Реше н и е. .Линейную плотность теплового потока определяем по форму-
ле (2.66)
__ __________Л 0ст1 ^стз)___________ ___
In (d2/dr) + -J— In (d3/d2)
л (400 — 50)
ж. —--------------------------------------------------— — 216 Вт/м
In (160/150)+ ' In [(160 + 2 • 100)/160]
Температура поверхности паропровода
di 1
^ст2 ~ ^ст1 ~ 2X J*1 ~
216 1
= 400------------------In (160/150) « 400° G.
л 2-0,08
175
Задача 13.3. Определить потерю теплоты на 1 м трубопровода диаметром
dj/^2 = 150/165 мм, покрытого слоем изоляции толщиной 6 = 60 мм. Коэффи-
циент теплопроводности трубы = 50 Вт/(м • К), а изоляции Л2 = 0,15 Вт/
(м • К). Температура воды в трубопроводе /ж1 = 90 °C, коэффициент теплоотда-
чи ст воды к стенке трубы cq = 1000 Вт/(м* I. 2 - К). Температура окружающего
воздуха /ж2 == —15 °C, коэффициент теплоотдачи от поверхности изоляции к воз-
духу о:2 — 8 Вт/(м2 • К). Рассчитать также температуру внешней поверхности
изоляции.
Решение. Коэффициент теплопередачи многослойной цилиндрической
стенки определяем по формуле (2.78)
1
kt = —— - ~ j I ----- =
---In (d2/rf|) -i- —- In (d3/d2) 4 —
cqdj 2X( 2a2 a2d3
1
,ООО ‘ 0,i5 + ТТГ (l65/,50> + ТП\Т5" <286/1661 + ---Lg-
= 0,53 Вт ' (м • К).
Линейная плотность теплового погона
qi = М аж1 — гж2) = 0,53 . 3J4 [90 - (—15)| = 174,7 Вт/м.
Температура внешней поверхности изоляции
/ст3 = ^2 Л" Ф/(<^<з) = - 15 Ч- 174,7/(8л • 0,285) = 27° С.
Задача 13.4. Определить целесообразность использования асбеста с коэф-
фициентом теплопроводности \13 — 0,11 Вт/(м • К) для теплоизоляции трубо-
провода диаметром djd2— 18/20 мм, если коэффициент теплоотдачи в окружа-
ющую среду с внешней поверхности изоляции ct2 — 8 Вт/(м2 • К). Каким должен
бьгь максимальный коэффициент теплопроводности изоляции, используемой
для этой цели?
Решение. Критический диаметр изоляции
dKp = 2Айз/сс2 = 2 • 0,11/8 = 0,0275 м — 27,5 мм.
Поскольку критический диаметр изоляции dKp = 27,5 мм больше внешнего
диаметра трубы d2 = 20 мм, такую изоляцию использовать нецелесообразно.
Максимальный коэффициент теплопроводности изоляции, используемой для
ЭТОЙ Цели,
хиз = a2d2/2 = 8 • 20 • 10~3/2 = 0,08 Вт/(м • К).
Контрольные вопросы и задания
I. Составьте уравнения, описывающие температурное полей плотность теплового
потока плоской сгенки при граничных условиях первого рода.
2. Как определяются температуры на границах соприкосновения слоев много-
мойной плоской стенки?
3. по называется линейной плотностью теплового потока цилиндрической стек-
.и? Напишите выражения для определения этой величины в случае одно-
I многослойной цилиндрических стенок при граничных условиях первого
.ода.
. Напишите уравнения теплопередачи через плоскую и цилиндрическую стенки.
Что называется термическим сопротивлением теплопередачи, теплоотдачи и
' теплопроводности?
. Запишите выражение для определения линейного термического сопротивле-
$ ния теплопередачи через цилиндрическую стенку.
176
7. Объясните причины повышения тепловых потерь с увеличением диампра
тепловой изоляции для случая, когда диаметр неизолированной трубы меньше
критического диаметра изоляции.
8. Какое существует общее правило интенсификации теплопередачи?
6. Запишите
стенку. С
выражения для определения теплового потока через ребристую
какой стороны выполняется ее оребрение?
Глава 14. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
14.1. Постановка задачи,
обобщенное уравнение
для температурного поля
На рис. 14.1 показаны кривые изменения температуры тела на его
поверхности /ст и в центре /ц при погружении в жидкость с более
низкой температурой /ж (охлаждение тела). В начале процесса на-
чинает снижаться температура на поверхности тела, тогда как тем-
пература в его центре некоторое время остается неизменной. С те-
чением времени температура во всех точках тела приближается к
температуре окружающей среды.
Большинство задач нестационарной теплопроводности связаны
с определением температурного поля тела и полного количества
теплоты, отданной или полученной телом по истечении определен-
ного промежутка времени. В других задачах требуется найти дли-
тельность процесса, по завершении которого температура тела при-
мет определенное, наперед заданное значение. Решения этих за-
дач могут быть получены аналитическим путем, т. е. путем решения
дифференциального уравнения теплопроводности (2.44) с учетом
краевых условий. Заметим, что таким путем решаются сравнитель-
но простые задачи. Для решения же более сложных задач применя-
ются приближенные методы.
Рассмотрим условия подобия температурных полей при неста-
ционарной теплопроводности. Дифференциальное уравнение тепло-
проводности в твердом теле при отсутствии внутренних источников
теплоты имеет вид
A = щ (2 90)
ди \ дх2 * ду2 ' дг2 / \ /
Исходя из граничных усло-
вий третьего рода, запишем
а (/ст — /ж) = — (dt/dn)n=o,
(2.91)
где X — коэффициент теплопро-
водности тела; dtldn — темпера-
турный градиент в твердом теле.
В случае равномерного темпе-
ратурного поля начальные усло-
вия таковы: при т = 0 t == /0-
Рис. 14.1. Характер изменения н-мпе-
ратур при охлаждении тела
12 9—2570
177
Обозначим избыточную температуру в любой точке^тела через Ф ==
= t — Тогда для точек, расположенных на поверхности и в
центре тела, запишем соответственно == /ст — /ж и = /ц — /ж.
В начальный момент времени О0 = /0 — /ж. Безразмерная избы-
точная температура 0 = 07О0. Обозначив безразмерные координа-
ты точек:
хН = х; уИ = у\ z/l = z,
где I — характерный размер тела.
Приведем уравнение (2.90) к безразмерному виду. Записав Ф =»
<><у0, х = /х, у = ly, z = lz и учтя, что d'O' = dt, получим
d2t д2Ъ д2 СМ) д Г дМ 1^о д2б /о по>
дх2 ~ дх2 ~ дГх J /2 дх2 ’
Аналогично предыдущему
_^0_. &t_ е0 д20 . dt_ n $
ду2 ~ I2 д~у* ’ &2 I2 ’ дт (2-Vd'
Подставив выражения (2.92) и (2.93) в уравнение (2.90), найдем
сЮ __ й20 . 520 . 020 ,о п..
Лот//2) - д-х2 + ду* + • (2-94)
Следовательно, для сходственных точек тела, у которых х =«
= idem, у — idem и z = idem, безразмерная температура б за-
висит от числа Фурье Fo — ах/1 . Приведенное к безразмерному ви-
ду уравнение (2.91) позволяет получить число Био Bi = а//Х, оп-
ределяющее подобие процессов теплообмена на границе тела.
В результате совместного решения уравнений (2.90) и (2.91)
с учетом условий однозначности, записанных в безразмерном виде,
получено обобщенное уравнение для температурного поля
0 = f(Fo, Bi, х, у, z), (2.95)
вид которого зависит от формы тела.
14.2. Аналитическое решение
в случае плоской стенки (пластины)
Рассмотрим аналитическое решение задачи нестационарной тепло-
проводности на примере охлаждения (нагревания) неограниченной
стенки (пластины) при граничных условиях третьего рода
(рис. 14.2). В начальный момент времени ,(т = 0) температура в
пластине распределена равномерно и равна /0. Заданная температу-
ра окружающей среды /ж< /0, теплообмен на обеих сторонах плас-
тины происходит при постоянном заданном коэффициенте а. Из-
вестны также постоянные физические параметры пластины X, с
и р. Полагаем, что размеры пластины вдоль осей Оу и Oz настолько
велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь.
178
При заданных усло-
виях температурное по-
ле в пластине будет сим-
метричным, поэтому ее
толщину удобно обозна-
чить 26. Дифференциаль-
ное уравнение теплопро-
водности для одномерной
задачи с учетом введен-
ного ранее обозначения
избыточной температуры
'б == t — запишем в
виде
-^ = «^-•(2.96)
Рис. 14.2. К решению задачи нестационарной
теплопроводности
Условия однозначности следующие. Начальные условия: при
т = О
^0 = ^0 —Ц; (2.97)
граничные условия: при х = 6
(4Ц—(2.98)
где бет — /ст — /ж»
условия симметрии температурного поля: при х = 0
=о. (2.99)
\ дх /х=0 v 7
Для нахождения функции б’ (х, т) распределения температуры в
пластине воспользуемся методом разделения переменных, согласно
которому решение уравнения (2.96) отыскивается в виде произве-
дения двух функций, одна из которых ф (х) зависит только от про-
странственной координаты, а другая ср (т) — от времени:
О (х, т) = ф (т) ф (х). (2.100)
Подставив последнее выражение в дифференциальное уравне-
ние (2.96), и разделив переменные, получим
Ф7 СО Ф77 (*) .
Ф (т) Ф (х)
(2.101)
Левая часть этого уравнения зависит только от т, правая — от
х. Равенство (2.101) возможно в случае, если обе его части равны
постоянной величине, которую обозначим k2. Тогда это равенство
примет вид
1 Ф7 (т) Ф" (х) = _Ь2
а Ф(т) ф(х)
(2.102)
На основании последнего равенства составим два дифференци-
альных уравнения:
ф' (т) + а£2ф (т) = 0; ф" (х) + &2ф (х) = 0,
12*
179
решения которых известны:
Ф (т) = С\ ехр (— я&2т);
Ф (%) == С2 sin (kx) + С3 cos (kx).
Знак «минус» при постоянной k выбран из следующих сообра-
жений: при т -> оо температурная функция ф (т) -> 0, а следова-
тельно, О (х, т) также стремится к нулю, т. е. обеспечивается зату-
хание процесса.
Подставив выражения ф (т) и ф (х) в (2.100), запишем частное
решение
О = (?! ехр (— ak2x) [С2 sin (kx) + С3 cos(/ex)]. (2.103)
Выражение (2.103) удовлетворяет исходному дифференциально-
му уравнению (2.96) при любых значениях постоянных Сп С2, С3
и А. Чтобы выражение (2.103) было решением рассматриваемой
задачи, его следует подчинить начальным и граничным условиям.
С учетом условий симметрии (2.99) находим
(д$/дх)х=о = ехр (—ak2x) [С2 cos (kx) — С3 sin (kx)\x=o k = 0,
или
C2cos0 — C3sin0,
откуда C2 = 0.
Обозначив СгС3 == Л, выражение (2.103) перепишем в виде
О = А ехр (— ak2x) cos (kx). (2.104)
Это выражение удовлетворяет исходному уравнению (2.96) и усло-
виям симметрии при х == 0.
Подставив выражение (2.104) в уравнение (2.98), получим сле-
дующее уравнение:
— kA ехр ( — ak2r) sin (k6) = —аА ехр (—akh) cos (/?6)/X,
после несложных преобразований которого приидем к тригономет-
рическому уравнению
ctg р = hk/a — p/Bi. (2.105)
Рис. 14.3. К решению уравнения для
определения рл
Решение уравнения (2.105)
дают точки пересечения прямой
у2 = p/Bi и котангенсоиды =*
= ctg р (рис. 14.3), где р ==
— kd и Bi = аб/Х. Как следует
из рисунка, уравнение (2.105)
имеет бесчисленное множество
корней рп (рх, р2, р3, ...), зави-
сящих от порядкового номера п
и числа Bi. Каждому значению
рп соответствует частное реше-
ние, удовлетворяющее диффе-
180
(2.106)
(2.107)
ренциальному уравнению (2.96). Сумма этих частных решений дает
общее решение
оо
$ = У Ап cos (р.„%/6) ехр (— Цпат/62),
П=1
где постоянная Ап может быть найдена с учетом начальных усло-
вий (2.97).
Окончательное уравнение для температурного поля в безраз-
мерной форме запишем в виде [3]
со
б = У Ап ехр (—p„Fo) cos (ц„х),
t — t ж i~' 6ZT X
где 6 == --; Fo = ; х = -ё-;
*о — Ьк о О
Л = 2 sin Ни .
п pn + sinp„ cos^
Анализ уравнения (2.106) показывает, что при достаточно боль-
шом промежутке времени, когда Fo 0,25, ряд становится быстро
сходящимся и может быть сохранен только его первый член. В этом-
случае
б = Aiexp (— pf Fo) cos(p1x). (2.108)
Использование уравнения (2.106) на практике связано с необхо-
димостью выполнения трудоемких расчетов. Поскольку величина |л
является функцией числа Bi, из уравнений (2.106) и (2.107) следует,
что при заданных координатах х искомая безразмерная температура
9 зависит только от чисел Fo и Bi, т. е.
е = *—= f (Bi, Fo). (2.109}
*0 — Ьк
Для использования в практических расчетах построены графи
ки этой функции при х = 0 (рис. 14.4) и х = 1, с помощью которых
можно определить температуры в середине и на внешних поверх
ностях пластины по истечении времени т. С целью приближенного
построения кривых распределения температур в пластине рассмот-
рим их свойства.
Проведем касательные к температурной кривой в точках х
= ±1 (см. рис. 14.2). Они проходят через две направляющие точки
А, расположенные на расстоянии ±х0 от поверхности пластины.
Найдем значение х0. Для этого умножим (2.98) на и получим
С другой стороны,
Рис. 14.4. График для определения безразмерной температуры пластины
откуда
х0 = 1/Bi. (2.110)
Из последнего равенства следует, что расстояние точки А от
поверхности определяется заданными условиями однозначности и
не зависит от времени. Следовательно, касательные ко всем темпе-
ратурным кривым в точках х0 = ±1 при неизменных граничных ус-
ловиях для любого промежутка времени т всегда будут проходить
через направляющие точки А. Это позволяет построить графики
температурных кривых в пластине по найденным значениям темпе-
ратур в точках х — 0 и х = 1.
Чем меньше число Bi, тем дальше отстоит точка А от поверхнос-
ти пластины и тем меньше различие между температурой поверх-
ности и внутренних точек тела. Рассмотрим предельные случаи:
1) при Bi -> оо (практически Bi > 100) направляющая точка
находится на поверхности тела, температура которой становится
равной температуре окружающей среды, т. е. граничные условия
третьего рода переходят в граничные условия первого рода. Интен-
сивность процесса при этом определяется только процессом тепло-
проводности в теле и зависит как от физических свойств, так и от
размеров тела. При Bi -> оо = л/2 и Aj = 4/л; следовательно,
для точки на оси пластины (х = 0) уравнение (2.108) имеет вид
- А Г / -тт \2 1
ех=о = 4"ехР |— Fo] • (2-11!)
Решив последнее уравнение относительно времени т, получим выра-
жение, с помощью которого можно определить время, необходимое
для прогрева середины пластины до заданной температуры, т. е.
r-(M -LUjL-JV (2.H2)
\ л / а I л д- / ' '
\ /
2) при Bi -> 0 (практически при Bi < 0,1) направляющая точка
располагается на бесконечно большом расстоянии от поверхности,
а распределение температур в теле имеет вид прямых, параллельных
оси абсцисс, т. е. температура по толщине стенки распределена рав-
номерно. Интенсивность процесса в этом случае определяется внеш-
ними условиями теплоотдачи. При Bi — 0 р2 = 0, Аг = 0 и урав-
нение (2.108) принимает вид
0-=о ^ехр(—Bi, Fo). (2.113)
Количество полученной или отданной стенкой теплоты также
определяется числами Fo и Bi. Обозначим через Q' количество по-
терянной (полученной) теплоты при т = оо (когда температура тела
станет равной температуре жидкости /ж), а через QT — теплоту,
отданную за промежуток времени т. Тогда для стенки объемом V
с плотностью материала р и теплоемкостью с можно записать
Q' = CpV (t0 — tiK) = q>w0;
Qx = cpV (t0 — tm) = CpV ($0 —
163
где tm и &т = tm — — средняя температура стенки по истечении
времени т.
Поделив почленно второе равенство на первое, получим
= 1 — = 1 ёт. (2.114)
В каждый момент времени температурное поле стенки определя-
ется числами Био и Фурье, поэтому и средняя температура стенки
будет зависеть от этих чисел. Следовательно, QJQ = [ (Bi, Fo).
График этой функции имеется, но часто вместо нее приводится за-
висимость 0m = / (Bi, Fo).
Аналогичные решения задач, связанных с определением темпе-
ратурного поля и количества переданной теплоты в нестационарных
условиях теплообмена, а также графики, облегчающие использова-
ние полученных решений, имеются для бесконечно длинного ци-
линдра и шара. Характерным геометрическим размером этих тел
является их радиус.
14.3. Определение температуры тел
конечных размеров
Результаты решения задач нестационарной теплопроводности могут
быть использованы при расчете температуры тел с двух- и трехмер-
ными температурными полями (тел ограниченных размеров). Па-
раллелепипеды и цилиндры конечных размеров можно рассмат-
ривать как тела, образованные пересечением соответственно трех
взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной тол-
щины, цилиндра и двух пластин.
Теоретически доказано, что безразмерная температура таких
тел определяется произведением безразмерных температур тел
неограниченных размеров, в результате пересечения которых
образовалось рассматриваемое тело. Так, для параллелепипеда
(рис. 14.5) безразмерная температура в точке с координатами х,
у, z может быть найдена как произведение температур трех пластин:
Рис. 14.5. К определению
температуры параллеле-
пипеда
0 = УД (2.115)
где множители 0Х, 0„ и 0z определяют-
ся по формуле (2.109).
Например, безразмерную температуру
в точке а на рис. 14.5 находят следующим
ОбраЗОМ. == ОхцОуцОгст» ГДв Охц, 0(/ц ’
безразмерные температуры в центре без-
граничной пластины толщиной 2бх, 25р;
02ст — безразмерная температура на по-
верхности безграничной пластины толщи-
ной 26z.
Для бесконечного прямоугольного бруса
безразмерная температура в точке с коорди-
184
натами х, у определяется произведением температур двух плас-
тин (0 ==0Х0Д для цилиндра конечной длины—соответственно
произведением безразмерных температур бесконечного цилиндра
и неограниченной пластины.
14.4. Регулярный тепловой режим
Анализ уравнения (2.106) показывает, что при небольшой продол-
жительности процесса теплообмена температурное поле определяет-
ся не только первыми, но и последующими членами ряда, которые
в основном характеризуют начальное распределение температу-
ры. Это так называемая неупорядоченная стадия процесса нагре-
вания или охлаждения тела.
После некоторого промежутка времени тъ соответствующему
Fo > 0,25, все члены ряда становятся пренебрежимо малыми по
сравнению с первым, а это значит, что температурное поле переста-
ет зависеть уже от начального распределения температур и описы-
вается уравнением (2.108), которое можно переписать в виде
0 = /41Р1ехр(—тт), _ (2.116)
где Aj — постоянный коэффициент; Pr = cos щ х — функция ко-
ординат и числа Био. Величина т = р^а/62 называется темпом
охлаждения (нагревания) тела.
Нестационарный процесс теплопроводности, описываемый ургв
нением (2.116), называется регулярным тепл'вым режимом. С уче-
том равенства 0 = 'О'/'О’о после логарифмирования (2.116) получим
1п0 = — тт + const. (2.117)
Из уравнения (2.117) следует, что натуральный логарифм избы-
точной температуры любой точки тела изменяется во времени ио
линейному закону. Изменение температуры в точках xt и х2 при
охлаждении тела показано на рис. 14.6,
где выделены две стадии: первая стадия,
которая характеризуется большим влия-
нием начального распределения темпера-
туры (неупорядоченный режим), и вторая
стадия, называемая регулярным режи-
мом, которая описывается уравнением
(2.116) или (2.117).
Продифференцировав уравнение (2.117)
по времени, получим
1 30 .
-те- -у— = — т = const.
0 дх
Из этого уравнения следует, что темп
регулярного режима постоянен для всех
точек тела и характеризует относитель-
ную скорость изменения температуры
тела. Выражается он в секундах в минус
первой степени.
Рис. 14.6. Зависимость in 0
от времени при охлаждении
тела
185
Теория регулярного режима позволяет получить простой и до-
статочно точный метод экспериментального определения теплофизи-
ческих свойств тел. Можно показать, что при Bi -> оо темп охлаж-
дения Шоо становится прямо пропорциональным коэффициенту тем-
пературопроводности тела:
а = /гтоо, (2.118)
где k — коэффициент формы, зависящий лишь от конфигурации
и размеров тела. Так, для параллелепипеда со сторонами 26ь 262
и 263
k —
2
1
rr \ 2
2
Г Таким образом, задача экспериментального определения коэф-
фициента температуропроводности сводится к определению темпа
охлаждения. При условиях, близких к а оо, измеряют изменение
избыточной температуры во времени в одной точке тела и строят
зависимость в полулогарифмических координатах (см. рис. 2.16).
Согласно уравнению (2.117)
In О1! = — ттх ф- const; In + const.
Отсюда
In — In
m =---------------------
(2-119)
l2
Определив с помощью выражения (2.119) темп охлаждения т
и вычислив коэффициент формы тела ky по формуле (2.118) можно
определить коэффициент температуропроводности материала, из
которого выполнено исследуемое тело.
Теория регулярного режима позволяет найти коэффициент теп-
лопроводности, время прогрева (охлаждения), а также коэффициент
теплоотдачи.
Пример решения задачи
Стальной слиток, имеющий форму параллелепипеда размерами 200 X 400 X
X 600 мм, помещен в печь, где температура /ж = 1400 °C. Определить темпера-
ратуру слитка через 2 ч после егс загрузки в печь, если начальная темпе-
рату слитка t0 = 20 °C. Коэффициент теплопроводности, удельная теплоем-
кость и плотность стали соответственно равны Х = 45,4 Вт/(м - К), с =
= 0,502 кДж/(кг • К), р = 7800 кг/м8, а коэффициент теплоотдачи к поверх-
ности слитка ос = 25 Вт/(м2 • К).
Решение. Безразмерная температура любой точки параллелепипеда
равна произведению безразмерных температур трех безграничных пластин, пере-
сечением которых образован параллелепипед. Следовательно, температуру в
центре параллелепипеда можно определить, пользуясь уравнением
/ж — __ ^ж ^=0 ^ж
/ж ^0 ^Ж /о ^Ж ^0 ^Ж ^0
Безразмерные температуры на осях симметрии пластин (х = 0, у = 0, z =«
«= 0) находим с помощью графика (см. рис. 14.4), определив предварительно
186
числа Bi и Fo. Для пластины толщиной 26х = 200 мм имеем:
Fox = ат/6~ = 1,159 10~5 • 7200/0,12 = 8,35;
Bix = а6х/Л = 25 • 0,1/45,4 = 0,055,
ГДе 0== рс = 50,2 • 7800 = 1,159 ' 10 5 М2/С‘
По графику находим, что при Fo = 8,35 и Bi = 0,055
^ж
4Ж
Определив аналогично для пластины толщиной
= 2,09 и Bi^ = 0,11, по графику находим
^ж ^=0
^Ж ^0
толщиной 2бг = 600 мм имеем:
У — 400 мм числа Fo^
= 0,8.
Для пластины
/ж Т Z7° = 0,85.
*Ж *0
Следовательно,
Foz = 0,93; Bi2= 0,165;
= 0,68 • 0,8 • 0,85 = 0,465,
'ж -- *0
откуда
/ц = *ж — 0,465 (/ж — /0) = 1400 — 0,465 (1400 — 20) = 761,9 °C.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие критерии определяют подобие температурных полей при нестационар-
ной теплопроводности? Из каких уравнении они получены?
2. Запишите в общем виде безразмерное уравнение для температурного поля.
3. Составьте систему дифференциальных уравнений, описывающих нестационар-
ное температурное поле для пластины при граничных условиях третьего
рода. Какова последовательность решения этой системы уравнений?
4. Как определяется температура внешней поверхности и на оси пластины?
5. Изобразите температурную кривую для пластины и исследуйте свойства на-
чальных точек. Какой вид имеет температурное поле при Bi -> 0 и Bi ->оо,
6. Как определяется температура тел конечных размеров?
7. Чем характерен регулярный режим охлаждения (нагревания) тел? Назовите
практические применения теории регулярного режима.
Глава 15. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
15Л. Метод конечных разностей
Точные аналитические методы решения уравнения теплопроводнос-
ти позволяют решать только сравнительно простые задачи. Слэж-
ные задачи теплопроводности решаются численными методами или
методом аналогий. Универсальным численным методом решения
дифференциальных уравнений и их систем является метод конеч-
ных разностей, или метод сеток. При этом температура определя-
ется не в любой точке тела и не в любой момент времени, а только
в определенных точках и в определенные моменты времени — в
187
узлах пространственно-временной сетки. Для этого тело разбивается
на небольшие элементы с заданными размерами Дх, Az/ и Аг, а вхо-
дящие в дифференциальное уравнение теплопроводности примени*
тельно к каждому элементу частные производные приближенно за-
меняются конечно-разностными выражениями. Решая полученную
в результате такой замены систему алгебраических уравнений, на-
зываемую разностными уравнениями, находят приближенные зна-
чения температуры в узлах сетки.
Очевидно, чем меньше размеры элементов, тем больше точность
полученного решения, но тем больше и объем вычислений. Посколь-
ку методом конечных разностей могут быть рассчитаны температу-
ры не во всех точках тела, а только в узлах пространственно-вре-
менной сетки, в этом смысле численный метод подобен эксперимен-
тальному исследованию, при котором численные значения искомых
величин в заданных точках определяются путем измерений. По-
этому численное решение называется еще математическим экспери-
ментом. Заметим, что аналитический метод позволяет найти общее
решение, зависящее от параметров задачи, для любой точки тела.
Для уяснения сущности метода конечных разностей рассмотрим
расчет стационарного температурного поля в двухмерной области,
показанной на рис. 15.1, при заданных начальных и граничных
условиях. Разобьем эту область прямоугольной сеткой на элемен*
ты с размерами (шагом сетки) Ах и Az/ (элементарные ячейки). Пола-
гаем, что теплоемкость каждого элемента с условной толщиной, рав-
ной единице, сркхку • 1 сосредоточена в центре элемента — его
узловой точке. Все узловые точки элемента можно разделить на
внутренние, окруженные со всех сторон другими узловыми точка*
ми, и граничные, принадлежащие элементам, соприкасающимся
с границей области Г, которую приближенно заменяют другой
границей Г', проходящей через ближайшие к границе Г узлы
емки. * -
Дифференциальное уравнение теплопроводности для двухмер-
ного стационарного температурного поля имеет вид
a2/ d2t
дх2 + ду2 “
(2.120)
Определим соответствующее ему конечно-разностное выражевр^
для чего рассмотрим вначале произвольную внутреннюю узловую
точку Рт,п элемента с координатами гл Ах и nAz/, температуру в ко-
торой обозначим 1т,п. Градиент температуры в направлении осв
Ох справа от этой точки (правое разностное отношение)
^т,п
Дх
ч слева от нее (левое разностное отношение)
(2.121)
(2.122)
Заметим, что точность двух последних равенств возрастает е
уменьшением шага сетки Ах. Вторая производная для рассматривав
188
«мой точки определяется выражением
1 - 1 н о/ / ч
дх* ~ Ьх [\ дх '+ \ дх /_J “ Дха vm+'-n * 1т-\,п)-
(2.123)
Аналогичное выражение в направлении оси Оу от рассматрива-
емой точки имеет вид
Л2/ 1
~ду^ А//2 ^т,п-\-\ ^т.п + ^т,п—l)« (2.124)
Подставив выражения вторых производных (2.123) и (2.124)
в дифференциальное уравнение (2.120) и положив Дх = Ду, полу-
чим
&2t ? — 1 // I/ I/ ./ л / \ л
'’“J'JT" t ~ду* — Ах2 v/n-f-l.n г 1т—Л,п ~г ~Г ^т,п~ 1 — т*т,п/ —
откуда
^т,п = 0,25 (tm+]tn + 1т—1,п 4~ ^т,п-Н 4" ^т,п— l), (2.125)
т. е. температура в любой внутренней узловой точке элемента равна
среднему арифметическому температур в соседних четырех узлах
сетки. Таким образом можно получить систему уравнений для всех
внутренних узловых точек рассматриваемой области.
Конечно-разностные уравнения для граничных узловых точек
элементов составляются с учетом граничных условий. При гранич-
ных условиях первого рода необходимо разбить область на элемен-
ты таким образом, чтобы узловые точки лежали на границе области.
В этом случае линии сетки проходят на расстоянии Дх/2 и Ду/2
от границы области. При таком разбиении области температуры в
граничных узловых точках являются заданными в никаких допол-
нительных уравнений составлять не требуется.
При граничных условиях второго и третьего рода для каждой
граничной точки нужно составить конечно-разностное уравнение,
которое удобно получить методом теплового баланса. Поскольку
точность решения зависит от шага сетки, не важно, лежат ли узло-
Рис. 15.1. Сетка для двухмерной
области сложной формы
Рис. 15.2. К рассмотрению теплового
баланса для граничной узловой точки
18$
вне точки на границе области или нет. Заметим, что метод тепло-
вого баланса применим и для внутренних узловых точек, так как
уравнение (2.120) является уравнением теплового баланса для эле-
ментарной ячейки.
При составлении уравнения теплового баланса предполагается,
что теплоемкость каждого элемента сосредоточена в соответствую-
щей узловой точке, а передача теплоты между ними осуществляется
через условные тепло передающие стержни. По каждому стержню
должно проходить такое количество теплоты, которое в действи-
тельности проходит через элементарную ячейку. Для каждой гра-
ничной узловой точки можно записать (рис. 15.2):
601 + 6Q2 + 6Q3 + 6Q4 = 0. (2.126)
Здесь SQb 6Q2, 6Q3 — элементарные тепловые потоки, передаваемые
с помощью стержней; 6Q4 — тепловой поток, передаваемый от
окружающей среды к элементу тела.
Для граничной узловой точки Рт,п согласно закону Фурье
6Q. = X . 1;
Ах 2 ’
6Q2 = X У™. . 1;
Ах 2
1.
В этих уравнениях • 1 и Дх • 1 — проводящие площади стерж-
ней.
При граничных условиях третьего рода
6Q4 = СхДх • 1 (/ж —
Подставив значения элементарных тепловых потоков в уравне-
ние (2.126), получим
(^/п-|-1,п ^т,п) 2Дх (^п—1,п — tm,n) 2Дх
+ (U„-i - tm.n) X ~ + (tx - tm.n) аДх = о. (2.127)
' Если Ах = Аг/, то температура в точке РтгП
tm,n — 1 + tm_[гП + 2Bi /ж)/(4 + 2Bi), (2.128)
где Bi = aAx/% — число Био для элемента.
При граничных условиях второго года
6Q4 = </Ах • 1.
Очевидно, число дополнительных уравнений в точности соот-
ветствует числу граничных узловых точек. При этом образуется
замкнутая система алгебраических уравнений, полученных для каж-
дой внутренней и граничной узловых точек, решение которой
позволяет найти температуры во всех узловых точках и тем самым
190
определить температурное поле в рассматриваемой области. Как
правило, такие задачи решаются с применением ЭВМ.
Решение задач теплопроводности при нестационарном режиме
численными методами требует замены дифференциального опера-
тора дНдх разностным. Для этого рассматриваемый период време-
ни разбивается на небольшие временные интервалы Ат. Частную
производную по времени в точке в &-й момент времени т =
= ААт выразим с помощью правового разностного отношения (2.121):
Заменив дифференциальные операторы в дифференциальном
уравнении теплопроводности (2.90) разностными, получим уравне-
ние для нестационарного температурного поля в конечно-разност-
ном представлении. Так, для одномерной задачи имеем
1п+' -*п _п ^+I + <Li-2^
Дт а Ах2
ИЛИ
= + + (2.130)
По этой формуле определяется температура точки и в момент
времени (k + 1)Ат, если известны температуры для момента време-
ни &Ат. Следовательно, зная начальное распределение температу-
ры при k = 0, можно последовательно найти температуры во всех
внутренних точках. Для граничных точек конечно-разностные
уравнения получают на основе уравнений теплового баланса. Рас-
четная схема типа (2.130) называется явной, поскольку температу-
ры tk+' определяются по известным значениям температуры
Преимущество этой схемы заключается в простоте организации
процесса вычислений.
При вычислениях неизбежны ошибки округления, так как лю-
бое число представляется конечным количеством знаков. В процес-
се расчета эти ошибки могут накапливаться и быстро возрастать,
поэтому результаты таких вычислений будут совершенно неправиль-
ными. Разностные схемы, расчет по которым не приводит к увели-
чению погрешностей из-за ошибок округления, называются устой-
чивыми.
Расчетная схема, включающая в себя разностные выражения
(2.130), называется условно устойчивой. Анализ этого выражения
показывает, что для получения устойчивого решения необходимо
соблюдать условие
-Й-^0,5. (2.131)
Поэтому при использовании выражения (2.130) произвольно выби-
рают Ах, а Ат находят по условию (2.131).
191
Для решения дифференциальных уравнений теплопроводности
могут использоваться и другие явные и неявные конечно-разност-
ные уравнения. Методы их решения излагаются в специальной
литературе.
15.2. Метод аналогии
К числу экспериментальных методов исследования процессов теп-
лопроводности относится метод аналогии. При этом исследование
тепловых явлений заменяется исследованием аналогичных физи-
ческих явлений, которые, хотя и различаются по физической сущ-
ности, подчиняются одинаковым закономерностям и, следовательно,
описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и
условиями однозначности. В частности, аналогичны явления тепло-
проводности, диффузии, электропроводности и движения жидкости
при ламинарном режиме.
В настоящее время широкое распространение пол\чили методы
электротепловой аналогии. Явление электропроводности описыва-
ется уравнением
dJ - a -^-dF, (2.132)
где dJ — элементарный поток электричества, прошедшего в еди-
ницу времени через площадь dF в направлении нормали л; о —
коэффициент электропроводности; и — электрический потенциал.
Уравнение (2.132) по своей структуре совпадает с уравнением
теплопроводности. Одинаковыми оказываются и уравнения, опи-
сывающие граничные условия тепло- и электропроводности, а так-
же уравнения, выражающие изменение потоков теплоты и электри-
чества во времени. В этих уравнениях аналогом температуры явля-
ется электрический потенциал, аналогом теплового потока — сила
тока, аналогом термического сопротивления — электрическое со-
противление, аналогом теплоемкости — электрическая емкость.
При создании электрических моделей применяются два способа.
По первому способу, согласно которому электрические модели дол-
жны повторять геометрию исследуемой системы, их изготавливают
из материала с непрерывной проводимостью (электропроводная
бумага, фольга, электролит и т. д.) — это модели с непрерывными
параметрами процесса. Вырезав из электропроводной бумаги фигу-
ру, соответствующую поперечному сечению тела, и создав на ее
контурах граничные условия, можно, измеряя и (х, у), найти тем-
пературное поле t (х, у). Граничные условия первого рода задаются
некоторым потенциалом и, второго — плотностью тока, третье-
го — электрическим потенциалом ит, соответствующим температу-
ре окружающей среды и добавочным электрическим сопротивле-
нием /?а, имитирующим термическое сопротивление теплоотда-
чи 1/а.
По второму способу исследуемые системы заменяют моделиру-
ющими электрическими цепями — это модели g сосредоточенными
параметрами (сеточные модели).
192
Электрические модели с непрерывными параметрами применя-
ются для исследования одно- и двухмерных стационарных полей,
а сеточные модели позволяют решать более сложные задачи как ста-
ционарной, так и нестационарной теплопроводности.
Методом электромоделирования решаются как прямые задачи
теплопроводности, в которых на основе решения дифференциального
уравнения и условий однозначности определяется поле температур,
так и обратные задачи, в которых по известному полю температур
устанавливаются граничные условия, например коэффициент теп-
лоотдачи на поверхности тела.
Пример решения задачи
Определить численным методом распределение температуры в стенке прямоуголь-
ного канала, поперечное сечение которого изображено на рис. 15.3, а. Вну грен-
ки поверхности канала омываются газом, имеющим температуру /ж1 = 400 °C;
коэффициент теплоотдачи от газа к стенке а2 = 500 Вт/(м2 . К). Температура
на ружных вертикальных поверхностей /ст — 50 СС; верхняя и нижняя наружные
поверхности омываются воздухом, температура которого / 2 = 20 °C; коэффи-
циент теплоотдачи от воздуха к этим поверхностям а2 = 8 Вт/(м2 • К). Коэффи-
циент теплопроводности стенок канала Л = 0,4 Вт/(м • К).
Решение. Ввиду симметрии задачи температурное поле находим только
в области, ограниченной плоскостями /-/и II-II (рис. 15.3, б), где плотность
теплового потока равна нулю. Наносим на рассматриваемую область прямоуголь-
ную сетку с шагом Дх = Л// = Д = 120 мм, располагая граничные узловые точ-
ки на образующих поверхностях канала. Для каждой внутренней узловой точки
(точки 5, 5, 13, 14 и 15) связь между температурами определяется уравнением
(2.125). Например, для точки 5 оно имеет вид
Ч + h + Z8 + ^6 — 4^б == 0*
Для граничных узловых точек составляем* уравнение баланса теплоты. Так,
для точки 4 имеем
Q4.5 + Q4.7 + + Q4 = 0,
где
ХДг/
Дх (ti tf,Y
_ ХД#
Q4 - (ХдД-^ (^4
Почставив эти выраже-
ния в уравнение теплового
баланса, получим
0,6/4 +(Bi 4-2) /4-
—- /5 0,5/7 == Bi /ж2,
где Bi = аД/Х.
Аналогично записывают-
ся уравнения для точек 7,
12, 6, 9 и 10. Для точек 4,
Рис. 15.3. К примеру определения темперагур-
ного поля в стенке прямоугольного канала ме-
тодом конечных разностей
13 9-2570
193
7, 12 число Био
Bi2 = а2А/Х = 8 • 0,12/0,4 = 2,4,
а для точек 6, 9, 10
Bii = cqA/X == 500 • 0,12/0,4 = 150.
Для точки 2 задан тепловой поток QBH = 0. Тогда
^2-1 + Q2-5 + Ог-з + ^вн “ °»
W
$2-1 = (Z2 — zi)> $2-5 “ ^2 *ь)1
ХАг/ Л
^2-3 = ^2 ^з)1 Qbh ж 0»
и уравнение теплового баланса имеет вид
— ^1 ~Н 3/2 — ^д — /5 авк 0.
Аналогично записывается уравнение для точки 16. Для точки 1 заданы теп-
ловой поток QBH и граничные условия третьего рода:
Qbh + ^1-2 + Qm + Qi ”= 0»
где
ХАг/ X &у
0вн = 0| С1-2 = -дГ-(^-М; <?!-4
Qi = аДх (/, — /ж1).
Поэтому уравнение теплового баланса принимает вид
(Bi2 + 1,5) /г — /2 — 0,5/4 = В12/ж2.
Такой же вид имеют уравнения для точек 3 и 11. Температуры в граничных
точках 17...21 заданы и равны 50 °C. В результате образуется замкнутая система
линейных алгебраических уравнений вида
а1А + а 12^2 + *“
Значения коэффициентов апп и свободного члена Ьп приведены в табл. 15.1.
Решение этой системы уравнений на ЭВМ методом Гаусса (см. Турчак Л. И.
Основы численных методов.— М. : Наука, 1987) позволило найти значения
температур в узловых точках, которые также помещены в табл. 15.1. На ос-
новании полученных значений температур можно построить семейство изотерм
в поперечном сечении стенок канала.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем особенность метода конечных разностей. Рассмотрите пример построе-
ния прямоугольной сетки.
2. Как составляются конечно-разностные уравнения для внутренних и гранич-
ных узловых точек?
3. Напишите конечно-разностные уравнения для одномерной задачи нестацио-
нарной теплопроводности.
4. Что называется устойчивой разностной схемой?
Б. Изложите сущность метода электротепловой аналогии.
194
Расчетное значение тем- пературы, °C со 00 ОО со сч 00 об О СО 00
, к , Ф с о ч а<5 \О ю „ о 03 к Й’Я л S О 3 >»« и 00 о О о о О 00
• о о О о
о о о о
о о о о
1 g о о о о
§ о ч о о о о
в соответствующих у: о о о о
о о о о
о о о о
и со 1 о о о о
cd СХ ё 1 - о о о in о" 1
S с ё о о LQ о о
о в а о 1 о 7
я я а е •е (Г) - —0,5 о о ХГ
О л- о 7 in ю О
Л* 1 со 1 О
СП со" 1 о 1П о" 1
Номер узловой точки F-4 см со тг
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
7
о
I
о
ю
Э0 N ОО 00 W
1П xf
1П
СЧОООООООООо
tn
1П
ООООООООООо
ооооооооооо
13*
Глава 16. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
16.1. Физические особенности процесса
теплоотдачи
Явление конвективного переноса теплоты наблюдается лишь в дви-
жущихся средах. По природе возникновения различают свободное
и вынужденное движения. В некоторых случаях наряду с вынужден-
ным одновременно может развиваться свободное движение. Относи-
тельное влияние последнего тем больше, чем больше разность темпе-
ратур в отдельных объемах жидкости и чем меньше скорость вы-
нужденного движения.
Движение жидкости может быть ламинарным или турбулентным.
При ламинарном режиме частицы жидкости движутся послойно,
не перемешиваясь. Турбулентный режим характеризуется непре-
рывным перемешиванием всех слоев жидкости. Ламинарное тече-
ние переходит в турбулентное при критическом значении числа
Рейнольдса Re = wl/v, где v — кинематическая вязкость, м2/с.
Режим движения жидкости, промежуточный между ламинарным
и турбулентным, называется переходным.
При любом режиме движения частицы жидкости, непосредст-
венно прилегающие к твердой поверхности, как бы прилипают к
ней. В результате вблизи обтекаемой поверхности под действием
сил вязкого трения образуется тонкий слой заторможенной жид-
кости, в пределах которого скорость жидкости изменяется от нуля
на поверхности тела до скорости невозмущенпого потока (вдали
от тела). Этот слой заторможенной жидкости получил название
динамического пограничного слоя.
На рис. 16.1 показана схема образования динамического погра-
ничнлго слоя при продольном омывании плоской поверхности по-
током жидкости с постоянной скоростью и>0. На начальном участке
поверхности, как правило, течение жидкости ламинарное (ламинар-
ный пограничный слой). По мере удаления от входной кромки тол-
щина пограничного слоя 6 увеличивается, так как с продвижением
вдоль поверхности вязкость жидкости все больше влияет на невоз-
мущенный поток. Утолщение пограничного слоя происходит также
с увеличением вязкости жидкости, т. е. с уменьшением числа Re.
Возрастание толщины пограничного слоя приводит к уменьше-
нию его устойчивости
и на расстоянии хкр
от входной кромки он
переходит в турбу-
лентный, характери-
зуемый турбулентным
течением жидкости.
При этом у поверхнос-
ти стенки образуется
ламинарный подслой
жидкости толщиной 6Л.
Рис. 16.1. Схема образования динамического по-
граничного слоя
Я96
Аналогично понятию динамического пограничного слоя введена
понятие теплового пограничного слоя — прилегающей к твердой
поверхности области, в которой температура жидкости изменяется
от температуры стенки /ст до температуры вдали от тела /ж. В об-
щем случае толщины динамического б и теплового бт пограничных
слоев взаимосвязаны, а для газов практически одинаковы. Соотно-
шение толщин теплового и динамического пограничных слоев опре-
деляется значением числа Прандтля Pr = v/a.
Интенсивность переноса теплоты зависит от режима движения
жидкости в пограничном слое. При турбулентном пограничном слое
перенос теплоты в направлении стенки обусловлен турбулентным
перемешиванием жидкости. Однако непосредственно у стенки, в ла-
минарном подслое, теплота будет переноситься теплопроводностью.
При ламинарном пограничном слое теплота в направлении стенки
переносится только теплопроводностью. Ввиду того, что бл <: б
интенсивность теплоотдачи при турбулентном пограничном слое
значительно выше, чем при ламинарном.
Как уже отмечалось, процесс теплоотдачи принято описывать
с помощью уравнения Ньютона — Рихмана. Количество теплоты,
передаваемой через элементарную тепло передающую поверхность
площадью dF на элементарный промежуток времени йт, определя-
ется выражением
d2Qv = а (/ж — /ст) dFdv. (2.133)
Уравнение Ньютона—Тихмана для теплового потока при по-
стоянных значениях a, tCT и /ж имеет вид
Q = a(tx-tCT)F. (2.134)
Для плотности теплового потока оно записывается так:
g = а (/ж — /Ст) = аД/. (2.135)
16.2. Коэффициент теплоотдачи
Уравнения (2.133)...(2.135) не отражают в явном виде влияние всего
многообразия факторов на интенсивность теплоотдачи, которые
должны учитываться коэффициентом теплоотдачи а. Из дифферен-
циального уравнения теплоотдачи следует, что
— к ( dt
а~ м \дп ;„=0 •
В первом приближении градиент температуры в тепловом по-
граничном слое можно выразить так:
I dt \ /ж — Ат
\дп ) п=о ~ ’
Тогда коэффициент теплоотдачи определится соотношением
сс~Х/6т. (2.136)
В общем случае коэффициент теплоотдачи зависит от геометри-
ческой формы Ф и размеров I поверхности теплообмена, теплофизи-
197
ческих характеристик жидкости (коэффициента теплопроводности
X, теплоемкости с, кинематической вязкости v, плотности р, ко-
эффициента объемного расширения р), скорости движения жидкос-
ти w, температурных условий и природы возникновения движе-
ния, т. е.
а = /(Ф, /, с, v, р, Р, ш, /Ст, /ж)- (2.137)
Заметим, что существенное влияние на коэффициент теплоотда-
чи оказывает наличие фазовых переходов в среде, омывающей тело
(кипение, конденсация), т. е. в уравнение для определения коэффи-
циента теплоотдачи должны входить и другие физические парамет-
ры процесса.
Значения коэффициента теплоотдачи а [Вт/(м2 • К)1 изменяются
в следующих пределах:
Свободная конвекция в газах .............................. < б...30
То же в воде..................................................... 1О2...1О3
Вынужденная конвекция~в газах................................ 10...500
То же в воде................................................. 500... 104
Теплообмен при изменении агрегатного состояния воды (ки-
пение, конденсация) ............................................. 108...10§
Инженерное решение задач конвективного теплообмена чаще
всего сводится к определению коэффициента теплоотдачи с помощью
соответствующего уравнения подобия типа (2.43) и вычислению
количества переданной теплоты по (2.134) или (2.135).
Рассмотрим способы получения расчетных выражений для опре-
деления коэффициента теплоотдачи. Математическая формулиров-
ка задачи для явления теплоотдачи была рассмотрена в гл. 11.
Решение системы дифференциальных уравнений конвективного
теплообмена возможно при введении упрощающих предположений
для некоторых случаев теплоотдачи. Задача аналитического опре-
деления коэффициента теплоотдачи значительно упрощается с ис-
пользованием теории пограничного слоя.
В основе этой теории лежит гипотеза Прандтля, согласно ко-
торой силы вязкости играют существенную роль только в пределах
пограничного слоя, а в остальной части потока ими можно прене-
бречь. Исходя из уравнений движения и энергии получены диффе-
ренциальные уравнения для ламинарного и турбулентного погра-
ничных слоев. Кроме дифференциальных уравнений, в теории по-
граничного слоя часто применяются интегральные уравнения. Урав-
нения теплового пограничного слоя позволяют в конечном итоге
определить коэффициент теплоотдачи, а уравнения динамического
пограничного слоя — напряжения трения на поверхности тепло-
обмена.
Количественное соотношение между трением и теплоотдачей
можно найти, воспользовавшись аналогией Рейнольдса. Суть ее
состоит в том, что переносы теплоты и количества движения при
развитой турбулентности имеют одинаковую природу и осуществля-
ются материальными частицами, которые, перемещаясь поперек
потока, переносят одновременно теплоту и количество движения.
198
О. Рейнольдс показал, что для турбулентного потока жидкости
применимы выражения, аналогичные закону Фурье (для переноса
теплоты) и закону вязкого трения Ньютона (для переноса коли-
чества движения), но в них вместо величин X и р должны фигури-
ровать коэффициент турбулентной теплопроводности Хт и коэффи-
циент турбулентной вязкости рт, зависящие от гидродинамики
потока, в частности от числа Рейнольдса,
Аналитические методы исследования теплоотдачи позволяют
выявить наиболее общие закономерности процесса и определить
влияние многих факторов в широком диапазоне изменения аргу-
ментов. Однако принятые при выводе этих закономерностей упро-
щающие предположения требуют сопоставления аналитических
решений с результатами экспериментов.
В ряде случаев система дифференциальных уравнений конвек-
тивного теплообмена решается численными методами с примене-
нием ЭВМ. Полученные численные значения коэффициентов тепло-
отдачи обобщаются на основе теории подобия в виде уравнений по-
добия.
В большинстве же случаев единственным способом получения
уравнения для определения коэффициента теплоотдачи является
физический эксперимент с обработкой данных на основе теории
подобия физических явлений.
16.3. Связь между теплоотдачей и трением
Рассмотрим стационарное безнапорное движение жидкости при
отсутствии массовых сил в системе. Ось Ох совместим с поверхнос-
тью теплообмена, а ось Оу направим по нормали к ней. Поскольку
при заданных условиях dwjdx = 0, др/дх = 0 и р£Л = 0, методом
масштабных преобразований приведем к безразмерному виду вы-
ражения, записанные за дифференциальными операторами уравне-
ния (2.32), и получим следующее уравнение:
dwv дш dw v ( d2wv d2w d2wv
—z#- + w.—+ w2 == -r- —~ 4- —4-------------------------~
dx dy dz t \ dx2 dy2 dz2
(2 138)
Здесь wx = wxIwq, x == xll\ у = y/l\ z = z!l\ — скорость пото-
ка вне пограничного слоя; / — характерный размер системы.
Дифференциальное уравнение энергии для этого случая приво-
дится к следующему виду:
00
дх
30 . 00 а
№1/-ТГ- + W2—X- = -7-
ду dz 1
02е
дх2
020 020 \
ду2 + д'г2 )’
(2.139)
-
где 0 = . — .
1СТ
При v = а или Pr = v/a- 1 уравнения (2.138) и (2.139) тож-
дественны относительно wx и 0, а граничные значения этих вели-
199
* Ст
Лк С-ч
(2.140)
чин численно одинаковы: на поверхности теплообмена 6 = шх
= 0, вдали от поверхности 0 = wx = 1. Отсюда следует, что поля
температур и скоростей в пограничном слое подобны и для любой
сходственной точки wx = 0, т.
wx
^0 ~
Доказано, что при Pr = 1 обеспечивается подобие распределе-
ния скоростей и избыточных температур как для ламинарного, так
и турбулентного течения жидкости. В непосредственной близости
от стенки в обоих случаях теплота передается теплопроводностью
и плотность теплового потока определяется выражением
q = K(dt/dy)y^. (2.141)
Согласно закону Ньютона напряжение трения у поверхности
стенки выражается так:
т = р (дых/ду)у=о.
Почленное деление уравнений (2.141) и (2.142) дает
<7 _ X МдУ)у=о
т “ Р‘ (дшх/ду)у==0 ’
Продифференцировав выражение (2.140), получим
dt/dy ______________________ ^ст
dwx/dy ~
С учетом этого равенства из уравнения (2.143) находим
(2.142)
(2.143)
(2.144)
(2.145)
Последнее уравнение устанавливает соотношение между тепло-
отдачей и трением. При внешнем обтекании тел напряжение трения
связано с коэффициентом сопротивления трению ct соотношением
т = с/рда2/2, (2.146)
а тепловой поток
q = a(tK-tCT). (2.147)
Подставив (2.146) и (2.147) в уравнение (2.145), получим
С1
я = у 7
или
Nu = 0,5 cf Re. (2.148)
Формула (2.148), действительная при Pr = 1, может быть рас-
пространена на случай Рг >• 1 введением экспериментально най-
денной поправки Рг0лз как множителя. Тогда
Nu = O,5cfRePr0,43. (2.149)
200
Экспериментальное определение коэффициентов сопротивления
намного проще, чем коэффициентов теплоотдачи. Формула (2.149)
пригодна для определения коэффициентов теплоотдачи по извест-
ным коэффициентам сопротивления.
16,4. Моделирование теплоотдачи
Моделированием называется метод экспериментального изучения
явления на модели натурного образца. Чтобы процессы в модели
и образце были подобны, необходимо выполнить условия подобия:
1) моделировать можно только качественно одинаковые процес-
сы, т. е. имеющие одинаковую физическую природу и описываемые
одинаковыми дифференциальными уравнениями;
2) условия однозначности должны быть одинаковы во всем,
кроме численных значений постоянных, содержащихся в этих усло-
виях, в частности требуется геометрическое подобие образца и
модели;
3) одноименные критерии подобия для модели и образца должны
иметь одинаковые численные значения.
При вынужденном движении жидкости интенсивность теплоотда-
чи в значительной мере зависит от характера течения жидкости,
определяемого числом Рейнольдса. Поэтому при моделировании
должно соблюдаться равенство этих чисел, т. е. Re' = Re". Здесь
одним штрихом отмечены значения, относящиеся к натурному образ-
цу, двумя — к модели. Из равенства чисел следует:
cwcilcv=\, (2.150)
где cw ~ w'/w", ct = Г/Г, cv = v'/v" — соответствующие множите-
ли преобразований.
Если при моделировании используется одна и та же жидкость,
то v' = v" и Су = 1. Пусть геометрические размеры модели в 10 раз
меньше натурного образца, т. е. с, = 10. Тогда из соотношения
(2.150) следует cw = 0,1 и w' = 0,W', т. е. средняя скорость жид-
кости в модели должна быть в 10 раз больше, чем в натурном об-
разце.
В некоторых случаях осуществить полное подобие в натурном
образце и модели практически невозможно. Тогда применяется
приближенное моделирование, основанное на автомодельности про-
цесса. Сущность явления автомодельности состоит в том, что изме-
нение какого-либо критерия в определенных пределах не оказывает
влияния на протекание процесса; поэтому наобходимость соблюде-
ния равенства этого критерия для модели и образца не требуется.
Опыт показывает, что зависимость между числами подобия в
определенных пределах изменения аргумента может быть представ-
лена в виде степенной функции. Так, при вынужденном течении
жидкости
Nu = cRe"Prm, (2.151)
где коэффициент с и показатели п, т определяются эксперимен-
тально.
201
Рассмотрим порядок проведения эксперимента и обработки его
результатов на примере исследования теплообмена при развитого
вынужденном движении несжимаемой жидкости в круглой трубе.
Для расчета чисел подобия необходимо установить определяющий
геометрический размер и определяющую температуру. Обычно для
труб таким размером является внутренний диаметр, а определи с-
щей температурой — средняя температура жидкости в трубе /ср =
= 0,5 (/вх /вых)*
В соответствии с первой теоремой подобия в опытах необходимо
измерять те величины, которые входят в критерии подобия. Для рас-
сматриваемой задачи это ad/1, wd/v и v/a.
Поскольку теплофизические характеристики жидкости обычно
задаются в таблицах, при проведении эксперимента необходимо
определить зависимость между коэффициентом теплоотдачи и сред-
ней скоростью жидкости в трубе. Схема экспериментальной уста-
новки показана на рис. 16.2. Жидкость циркулирует с помощью на-
соса 8 в замкнутом контуре, в котором размещены эксперименталь-
ная труба /, обогреваемая электрическим нагревателем 2, и охлаж-
даемый водой холодильник 6. Наличие холодильника позволяет
поддерживать заданную температуру жидкости на входе в экспери-
ментальную трубу. Расход жидкости регулируется задвижкой 7
и измеряется расходомером 5. Температура воды на входе в экспе-
риментальную трубу и выходе из нее измеряется термопарами 4.
Термопара 3 служит для определения температуры стенки трубы.
Вначале определяется зависимость числа Nu от числа Re при
постоянном значении числа Рг. Последнее достигается тем, что се-
рия опытов проводится на какой-нибудь одной жидкости. Скорость
жидкости рассчитывается по формуле
w = 4G/(pnd2),
Рис. 16.2. Схема экспериментальной
установки для определения зависи-
мости между коэффициентом теплоот-
дачи и средней скоростью жидкости в
трубе
где G — массовый расход жид-
кости, кг/с.
Изменение расхода жидкости
приводит к изменению скорос-
ти потока и, как следствие, чис-
ла Re. В зависимости от Re ме-
няется число Nu. Для его рас-
чета необходимо определить
коэффициент теплоотдачи а, ис-
пользуя формулу
= Q
TidL (/ст — /ж) ’
где Q — количество подведенной
к жидкости теплоты через по-
верхность ndL эксперименталь-
ной трубы. Величина ^определя-
ется выражением Q = cG —
— /Вх), где с — теплоемкость жид-
кости.
202
Рис. 16.3. К обработке экспериментальных данных методом подобия
Таким образом, в каждом опыте следует определить скорость
жидкости в трубе и соответствующий ей коэффициент теплоотдачи,
а затем рассчитать числа Re и Nu. Одна серия опытов дает несколь-
ко значений чисел Nu и Re, на основании которых можно найти зна-
чение показателя степени п при числе Рейнольдса Re.
Логарифмируя уравнение (2.151), получают равенство
In Nu = In (с Prm) 4- п In Re, (2.152)
из которого следует, что при постоянном Рг уравнение (2.152)
в координатах In Re — In Nu должно представлять собой прямую
линию. Показатель степени п характеризует тангенс угла наклона
прямой к оси абсцисс. Следовательно, значение п можно определить
с помощью графического представления экспериментальных дан-
ных (рис. 16.3).
В случае, если экспериментальные точки располагаются по кри-
вой, ее обычно заменяют ломаной линией с различными значени-
ями п на отдельных участках. Для определения показателя степени
т и постоянной с необходимо провести несколько серий опытов с
различными жидкостями, характеризуемыми разными числами
Прандтля. В координатах In Re — In Nu эти серии обобщаются
семейством параллельных прямых.
Преобразуем уравнение (2.152) к следующему виду:
In (Nu/Ren) = In с + tn In Pr, (2.153)
где показатель степени п уже известен.
Отражая данные по всем сериям опытов в виде точек в системе
координат In (Nu/Ren) — In Рг и проводя через них усредненную
прямую, находим показатель степени т при критерии Прандтля, а
203
затем по формуле с — Nu/(PrmRen) определяем значение коэффи-
циента с. Основываясь на математической статистике, постоянные
т, п и с можно найти также расчетным путем с помощью ЭВМ.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое динамический и тепловой пограничные слои?
2. Выведите уравнение, связывающее коэффициент теплоотдачи с толщиной
теплового пограничного слоя.
3. Перечислите факторы, влияющие на коэффициент теплоотдачи, и укажите
его порядок для различных условий теплоотдачи.
4. Как связаны между собой теплоотдача и трение? Какова физическая при-
рода этой связи? Где применяется данная связь?
5. Перечислите основные условия физического моделирования теплоотдачи.
6. Изложите методику экспериментального определения показателей степени
в уравнениях подобия для теплоотдачи.
Глава 17. ТЕПЛООТДАЧА В ОДНОФАЗНОЙ СРЕДЕ
17.1 . Теплоотдача при продольном омывании
плоской поверхности вынужденным потоком
жидкости
Интегральные уравнения для теплового и динамического погранич-
ных слоев. Рассмотрим участок плоской поверхности, имеющей тем-
пературу /Ст и омываемой потоком несжимаемой жидкости с темпера-
турой /ж и скоростью w0. Пусть ширина этой поверхности равна
единице. Выделим в пределах теплового пограничного слоя объем
жидкости, образованный плоскостями 1-2 и 3-4, перпендикулярны-
ми к оси Ох и отстоящими друг от друга на расстоянии dx
(рис. 17.1). Верхняя поверхность объема совпадает с границей теп-
лового пограничного слоя, нижняя — с поверхностью теплообмена.
Тепловой баланс этого объема при стационарном тепловом ре-
жиме и отсутствии внутренних источников теплоты запишется так:
Qx — Qx+dx + Q2-3 = Ql-4- (2. 154)
Количество теплоты, вносимое через плоскость 1-2,
Qx = \cppwxtdy. (2.155)
О
На расстоянии dx от плоскости 1-2 изменение количества теплоты
dQ
Qx-\-dx = Qx + д* (2.156)
Подставив выражение (2.155) в уравнение (2.156), получим
Qx—Qx+dx—
6т \
С cppwxtdy I dx.
.0 J
(2.157)
204
Рис. 17.1. К выводу интег-
рального уравнения для теп-
лового пограничного слоя
Поток теплоты Qi.4, передаваемой че-
рез плоскость 1-4 поверхности теплооб-
мена,
Qm = qxdx • 1, (2.158)
а тепловой поток, проходящий через
плоскость 2-5,
Q2-3 == Ср^кО2.з, (2-159)
где С2-з — массовый расход жидкости
через плоскость 2-5, определяемый раз-
ностью расходов жидкости через плос-
кости 1-2 и 3-4:
G2.3 = G3.4-Gi-2. (2.160)
В свою очередь,
Сь2 = Р^/^Л (2.161)
о
а
dG 6т d \
<J3-4 = G1-2 4-dx — pwxdy 4- 1 j №xdy I dx. (2.162)
0 \n /
Равенства (2.160) ... (2.162) позволяют определить расход жид-
кости через плоскость 2-5
. /6 т \
G2-3 = И pwxdy I dx. (2.163)
\6 /
Подставив это выражение в уравнение (2.159), получим
d (бт \
Q2-3 = лг И cptxpwxdy dx. (2.164)
\0 /
На основании уравнения (2.154) с учетом выражений (2.157),
(2.158) и (2.164) имеем:
/6т \ /бт \
I j cptKpwxdy I dx — 1 J cptpwxdy j dx = qdx • 1,
\0 J \0 J
откуда
f -t) wxdy = <?/(cpp). (2.165)
0
Подставив в (2.165) выражение q, полученное из закона Фурье,
когда температурный градиент взят по модулю, запишем интег-
ральное уравнение для теплового пограничного слоя
f (<ж - О . (2.166)
о ' 7 «/=0
205
Аналогичный вид имеет интегральное уравнение для динами-
ческого пограничного слоя:
~ J(w0 — wx) wxdy = v
у=о
(2.167)
которое записывается еще в таком виде:
где т — напряжение трения на поверхности теплообмена; 6** —
толщина потери импульса, причем
(2.169)
Интегральными уравнениями (2.166) и (2.167) можно пользова-
ться как при ламинарном, так и турбулентном пограничном слое.
Теплоотдача пластины при наличии ламинарного и турбулент-
ного пограничных слоев. Решим эту задачу, воспользовавшись те-
орией динамического пограничного слоя. Для этого профиль ско-
ростей в пограничном слое зададим в виде степенного многочлена
Wx = b0 — Ьгу + Ь2у*+ Ь3уэ
(2.170)
и используем следующие граничные условия:
при у = 0 w = 0, а напряжение трения т вдоль пластины не-
изменно, что дает
dy )у=Л
= const, или
I d2wx \
\ dy2 /y=G~~
при у = б wx == Wq, а также (dwK/dy)y==^ = 0, что связано е
плавностью сопряжения профилей скорости на внешней границе.
Подставив эти граничные условия в многочлен (2.170), получим
Ьо = = 0; 4- fe363 = Ьг + ЗЬ3б2 = 0,
« 3 К'л . СУп
откуда 01 = -2—и Ь3 = — .
Следовательно, многочлен (2.170) принимает вид
Зная w (у), находим толщину потери импульса 6** и напряже-
ние трения т. Согласно (2.169) 6** = б, а в соответствии о
(2.142)
(2.172)
206
Подставив выражения 6** и т в уравнение (2.168) и разделив
переменные, получим
После интегрирования этого уравнения от нуля до х найдем
6 = 4,64 1Л—>
Г р^0
или
3 4,64 4,64 7
* к ;
Подставив выражение 6 в (2.172), получим
т = 0,ЗЗрад/1^Re ,
или в соответствии с соотношением (2.146)
cf/2 = 0,33//Re. (2.174)
Подстановка выражения (2.174) в формулу (2.149) позволяет
получить уравнение подобия для местного коэффициента теплоот-
дачи:
Nux = = 0,33 (®ox/v)0’5 Рг0’43 = 0,33 Re°’5Pr0,43.
Средний коэффициент теплоотдачи на участке пластины дли-
ной I
i i
а = -И axdx = J- J Л . 0,33 Re0,5Pr°’43 dx ~
о о
= 0,ббА/л£Г5Рг°.«
I I V / ’
что приводит к уравнению
Nu = 0,66 Re°’5Pr0,43. (2.175)
Такое же уравнение может быть получено, если исходить из
интегрального уравнения теплового пограничного слоя. Уравне-
ние (2. 175) хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Заметим, что в реальных условиях коэффициент теплоотдачи зави-
сит от направления теплового потока и обусловлено это неодинако-
выми температурами жидкости вблизи пластины (при нагревании
/ст > при охлаждении tCT < /ж), а также зависимостью теплофи-
зических свойств жидкости от ее температуры. Как следствие этого,
коэффициент теплоотдачи капельных жидкостей при нагревании
больше, чем при охлаждении.
Влияние указанного фактора учитывается множителем
(Ргж/РгСт)0,25» где Ргст относится к жидкости при температуре стен-
ки. Для процесса нагревания этот множитель больше единицы, для
процесса охлаждения — меньше единицы.
207
Окончательно расчетное уравнение для теплоотдачи при течении
жидкости вдоль пластины и наличии ламинарного пограничного
слоя (Re 4 • 104) принимает вид
Nu = 0,66 Re°’5Pr0,43 (PrJK/PrCT)0,25. (2.176)
Теоретические и экспериментальные исследования позволили
получить следующее расчетное уравнение для теплоотдачи при на-
личии турбулентного пограничного слоя (Re >* 4 • 104):
Nu = 0,037 Г<е°’8Рг°'',: (Ргж/Ргст)0,25. (2 177)
В уравнениях (2.176) и (2.177) в качестве определяющей темпе-
ратуры принята температура жидкости вдали от пластины, в ка-
честве определяющего размера — длина пластины по направлению
потока. Заметим, что здесь и в дальнейшем индексы «ж» и «ст»
означают, что физические свойства жидкости выбраны соответствен-
но по температуре жидкости и температуре стенки (пластины).
17.2. Теплоотдача при вынужденном течении
жидкости в трубах и каналах
При течении жидкости внутри трубы (канала) толщина динамичес-
кого пограничного слоя, образовавшегося по периметру трубы (ка-
нала), постепенно нарастает и на некотором расстоянии от входа
в трубу (канал) слои смыкаются. Начиная с этого места трение влия-
ет на все поле движения жидкости и ее течение стабилизируется.
Обобщенной характеристикой, определяющей режим течения
любой жидкости в трубах (каналах), является критерий Рейнольд-
са: Re = wd'v. При Re 2300 режим течения ламинарный, при
Re > 101 устанавливается устойчивый турбулентный режим. Ре-
жим течения в области 2300 < Re < 101 называется переходным.
В этом случае в потоке жидкости могут сосуществовать как лами-
нарная, так и турбулентная области.
При ламинарном режиме в любом сечении стабилизированного
потока жидкости распределение скоростей представляет собой квад-
ратичную параболу. При этом средняя скорость жидкости равна
половине максимальной, которая приходится на ось потока. При
турбулентном режиме основное изменение скорости происходит
в вязком подслое, а в ядре потока скорость жидкости по всему
сечению практически одинакова. Начальный участок трубы или
канала, на котором устанавливается стабилизированное распреде-
ление скоростей жидкости, называется участком гидродинамичес-
кой стабилизации.
Наряду с участком гидродинамической стабилизации суще-
ствует участок тепловой стабилизации (рис. 17.2, а), на длине /тстаб
которого теплообмен между жидкостью и стенкой трубы (канала)
осуществляется только в пределах теплового пограничного слоя,
а в центральной части потока сохраняется постоянная температура,
равная температуре жидкости на входе в трубу (канал). При
208
смыкании теплового погра-
ничного слоя в теплообмене
начинает участвовать весь по-
ток жидкости.
Поскольку толщина теп-
лового пограничного слоя на
входе в трубу (канал) мини-
мальна, в соответствии с соот-
ношением (2.136) локальный
коэффициент теплоотдачи а
на входе в трубу (канал)
принимает максимальное зна-
чение, постепенно уменьшает-
ся на участке тепловой стаби-
лизации и далее сохраняет по-
стоянное значение (рис. 17.2, б).
Длина участка тепловой ста-
билизации при турбулентном
режиме /т.стаб ~ 50d, где d — диа-
метр трубы (канала).
Механизм переноса теплоты от стенки трубы (канала) к жидкос-
ти определяется характером течения теплоносителя. В случае ла-
минарного течения теплота переносится теплопроводностью. При
большой разности температур в сечении трубы (канала) из-за раз-
ности плотностей различных слоев жидкости на вынужденное дви-
жение накладывается свободное движение, которое турбулизирует
поток.
Влияние свободного движения сказывается при GrPr 8 • К?
(заметим, что произведение критериев Gr и Рг иногда заменяется
одним критерием Релея Ra = GrPrV Соответствующий режим те-
чения жидкости в трубе (канале) называется вязкостно-гравитаци-
онным. Для ориентировочного расчета среднего коэффициента теп-
лоотдачи в этом режиме (Re < 2360, GrPr 8 • 105) можно реко-
мендовать формулу
№ = 0,15 Re°'33Pr0'33 (GrPr)0,1 (Ргж/Ргст)0,25 в/, (2.178)
где в качестве определяющей температуры принята средняя темпе-
ратура жидкости в трубе (канале), а в качестве характерного гео-
метрического размера —диаметр трубы или эквивалентный диаметр
канала.
Коэффициент ez в формулу (2.178) введен для учета влияния теп-
ловой стабилизации. При l/d 50 = 1, для коротких труб
(4d < 50) он имеет следующие значения:
l/d \ 2 5 10 15 20 30 40
8/ 1,90 1,70 1,44 1,28 1,18 1,13 1,05 1,02
При Re < 2300 и GrPr < 5 * 108 режим течения жидкости в
трубе (канале) называется вязкостным. Он характерен для масло-
охладителей, подогревателей мазута и других теплообменников,
используемых при нагревании или охлаждении вязких жидкостей.
14 9-2570
209
Расчетные формулы для определения теплоотдачи в этом режиме
можно найти в литературе.
При Re > 104 наступает стабилизированное турбулентное дви-
жение, когда в потоке жидкости преобладают силы инерции. Для
расчета среднего по длине трубы (канала) коэффициента теплоотда-
чи рекомендуется следующая формула:
Nu = 0,021 Re0’8Pr0,43 (Ргж/Ргст)0'25 eZ1 (2.179)
которой можно пользоваться при Re = 104...5 • 106, Рг = 0,6...
2500. За определяющую температуру здесь принята средняя тем-
Таблица 17.1
Re-10—4 l/d
1 2 5 10 20 30 40
1 1,65 1,5 1,34 1,23 1,13 1,07 1,03
2 1,51 1,4 1,27 1,18 1,10 1,05 1,02
5 1,34 1,27 1,18 1,13 1,08 1,04 1,02
10 1,28 1,22 1,15 1,10 1,06 1,03 1,02
100 1,14 1,11 1,08 1,05 1,02 1,02 1,02
пература жидкости. Поправочный коэффициент 8Z в случае корот-
ких труб (l/d < 50) выбирается по табл. 17.1 в зависимости от зна-
чений l/d и Re. Если l/d 50, то ez = 1.
Для переходного режима движения жидкости в трубах (2300 <
< Re < 104) характерна периодическая смена ламинарного и тур-
булентного течений. Ориентировочное значение среднего коэффи-
циента теплоотдачи в этом случае можно определить по формуле
(2.179), если ввести в нее поправочный коэффициент еп < 1. В за-
висимости от числа Re этот коэффициент принимает следующие зна-
чения:
Re 2300 3000 4000 5000 6000 8000 10 000
8П 0,40 0,57 0,72 0,81 0,88 0,96 1,00
При течении жидкости в изогнутых трубах (змеевиках) коэффи-
циент теплоотдачи увеличивается из-за вторичной циркуляции
жидкости под воздействием центробежных сил. Расчет коэффици-
ента теплоотдачи в таких трубах выполняется по формулам, полу-
ченным для прямых труб, но найденное значение коэффициента теп-
лоотдачи умножается на поправочный коэффициент = 1 +
+ l,77d/R, где d — диаметр трубы; 7? — радиус змеевика.
17.3. Теплоотдача при поперечном
обтекании труб
Одиночная труба. Процесс теплоотдачи при поперечном обтекании
трубы характеризуется рядом особенностей, которые связаны с
гидродинамикой движения жидкости вблизи поверхности трубы.
Образующийся на поверхности трубы пограничный слой имеет наи-
210
именьшую толщину в лобовой точке и далее постепенно нарастаем
до тех пор, пока не произойдет отрыв потока и образуется вихревая
зона, охватывающая кормовую часть трубы.
Коэффициент теплоотдачи принимает наибольшее значение в ло-
бовой части трубы, где толщина пограничного слоя минимальная.
Из-за увеличения толщины пограничного слоя по периметру трубы
коэффициент теплоотдачи уменьшается, достигая минимального
значения в точке отрыва потока. В области вихревой зоны происхо-
дит увеличение коэффициента теплоотдачи за счет разрушения по-
граничного слоя.
Для расчета среднего по периметру трубы коэффициента тепло-
отдачи рекомендуются следующие формулы:
при Re = 5...108
Nu = 0,5 Re0’5 Рг°'38(Ргж/Ргст)°-25; (2.180)
при Re = 103.. .2 • 105
Nu = 0,25 Re0'6 Рг0’38 (Ргж/Ргст)0'25. (2.181)
В качестве определяющего линейного размера здесь принят внеш-
ний диаметр трубы d, а в качестве определяющей температуры ~~
температура потока; скорость жидкости отнесена к самому узкому
сечению канала. Формулы действительны для случая, когда угол
<р между направлением потока жидкости и осью трубы, называе-
мый углом атаки, равен 90°. Если ср < 90е, то найденный но этим
формулам коэффициент теплоотдачи следует умножить на попра-
вочный коэффициент 8(р, значения которого приводятся в литера-
туре.
Пучки труб. В теплообменных устройствах для увеличения по-
верхности теплообмена трубы собирают в пучки. Применяются два
вида расположения труб в пучках: коридорное (рис. 17.3, а) и шах-
матное (рис. 17.3, б).
Параметрами пучка являются: поперечный шаг St, продольный
шаг S2, внешний диаметр трубы d, количество рядов труб по на-
правлению движения жидкости п. На основании эксперименталь-
ных исследований установлено, что теплоотдача труб второго и
третьего рядов выше, чем первого. Причиной здесь является увели-
чение турбулентности потока при прохождении через пучок. На-
чиная с третьего ряда и далее структура потока остается практи-
Рис. 17.3. Коридорное (а) и шахматное (б) расположения
труб в пучках
141
211
чески неизменной, поэтому коэффициент теплоотдачи принимает
постоянное значение.
Средний коэффициент теплоотдачи пучка труб при Re = 103...
10б и <р = 90° можно рассчитать по формуле
Nu = cRe'!Pr0,33 (Ргж/Ргст)0’25 esez. (2.182)
Для шахматного расположения труб в пучке с = 0,41, п ==
= 0,6; для коридорного — с = 0,26, п = 0,65. Поправочный ко-
эффициент введен для учета влияния относительных шагов SJd,
S2/d и в случае коридорного расположения труб в пучке определя-
ется выражением щ = (S2/4/)”"0,i5;
в случае шахматного (при < 2) — выражением е5 =
•= (St S2)1/e, а при SJS2 2 8s = 1,12.
Поправочным коэффициентом ez учитывается номер ряда труб
в пучке. Для первого ряда труб шахматного и коридорного распо-
ложений 8j = 0,6; для второго ряда труб шахматного расположения
е2 = 0,7, коридорного — 82 = 0,9; для третьего и последующих
рядов е3 = 1 как для шахматного, так и для коридорного располо-
жения труб в пучке. В качестве определяющей температуры в
(2.182) принята средняя температура жидкости, в качестве опреде-
ляющего геометрического размера — внешний диаметр трубы;
скорость определяется в самом узком сечении ряда труб.
Среднее значение коэффициента теплоотдачи всего пучка труб
можно рассчитать по формуле
« = X ссЛ'/Ё Л. (2.183)
i—1
где схд- —- средний коэффициент теплоотдачи /-го ряда труб; Ft —
суммарная поверхность теплообмена груб /-го ряда; п — число
рядов труб в пучке.
17.4. Теплоотдача при свободном
движении жидкости
Большую роль как в технике, так и в быту играют процессы тепло-
обмена при свободном движении жидкости, возникающем из-зй
разностей плотностей ее нагретых и холодных частин. Характерная
картина свободного движения жидкости вдоль горячей вертикаль-
ной поверхности показана на рис. 17.4, а.
Вначале толщина движущегося вдоль поверхности нагретого
слоя жидкости мала и ее течение носит ламинарный характер. По-
степенно в движение увлекается все большее количество жидкости,
толщина ламинарного слоя растет, затем он разрушается и возни-
кает турбулентный режим течения жидкости. При ламинарном
режиме коэффициент теплоотдачи с увеличением толщины слоя
движущейся жидкости уменьшается, а при турбулентном — рез-
ко возрастает и далее по высоте поверхности сохраняется постоян-
ным.
112
Граница ламинарного и турбулент-
ного режимов течения жидкости за-
висит в основном от температурного
напора Д/ = /ст — 1Ж-
Форма поверхности в развитии
свободного движения жидкости играет
второстепенную роль, здесь важна
ее протяженность.
Рассмотренная картина движения
жидкости относится к случаям, когда
расположение и размеры поверхнос-
тей, замыкающих среду, на развитие
свободного движения не влияют. Такое
движение называется свободным дви-
жением в большом объеме. Коэффи-
циент теплоотдачи при этом рассчи-
тывается по следующим формулам:
для горизонтальных труб, если
103 < GrPr < 109,
Nu = 0,5 (GrPr)0’25 (Ргж/Ргст)0,25;
(2.184)
Рис. 17.4. Свободное движение
жидкости вдоль горячей верти-
кальной поверхности (а) и сво-
бодная конвекция жидкости в
ограниченном объеме (б)
для вертикальных труб и плит, если 103 < GrPv < 109,
Nu = 0,75 (GrPr)0’25 (Ргж/Ргст)0’25 (2.185)
И
Nu = 0,15 (GrPr)0’33 (Ргж/Ргст)0’25, (2.186)
если GrPr > 6 • 1010.
В этих формулах в качестве определяющей температуры приня-
та температура окружающей среды, в качестве определяющего
линейного размера горизонтальных труб — диаметр, а вертикаль-
ных труб и плит — высота. При прочих равных условиях коэффи-
циент теплоотдачи при нагревании капельных жидкостей больше,
чем при охлаждении.
Формулы (2.185), (2.186) применимы и для горизонтальных плит,
но в этом случае вычисленный коэффициент теплоотдачи надо
увеличить на 30 %, если поверхность плит обращена вверх, и умень-
шить на 30 %, если поверхность плит обращена вниз. В качестве
определяющего размера берется меньшая сторона плиты.
В узких каналах и щелях из-за ограниченности пространства
и наличия восходящих, а также нисходящих потоков условия сво-
бодного движения жидкости значительно отличаются от ее движения
в неограниченном пространстве. В этом случае среднюю плотность
теплового потока можно рассчитать по формулам теплопроводности,
но коэффициент теплопроводности среды необходимо заменить эк-
вивалентным коэффициентом теплопроводности, чтобы учесть пере-
нос теплоты как теплопроводностью, так и конвекцией (Х,к
= 8КХ). Если GrPr < 103, то ек = 1. При GrPr > 103
ек = 0,18 (GrPr)0’25, (2.1871
2Ь)
где определяющим размером является толщина щели 6, а опреде-
ляющей температурой — средняя температура жидкости 7ср =
= 0,5(/CTi 4- (ст2) (рис. 17.4, б).
Примеры решения задач
Задача 17.1. По трубке внутренним диаметром d = 8 мм и длиной Z>> 50d
движется вода со скоростью w = 1,2 м/с. Температура поверхности трубки /ст =
= 90 °C, средняя температура воды в ней /ж = 30 °C. Определить коэффициент
теплоотдачи от стенки трубки к воде и среднюю по длине трубки плотность теп-
лового потока.
Решение. При средней температуре воды в трубке /ж = 30 °C имеем
15]: Х= 61,8 . 10-2 Вт/(м - К); v= 0,805 • 10-6 ма/с; Ргж = 5,42. При тем-
пературе стенки /ст = 90 °C Ргст = 1,95.
Определяем число Рейнольдса
Re = wd/v = 1,2-8- 10~3/(0,805 • 10“6) = 1,19- 104> 104.
Режим течения турбулентный. По формуле (2.179) рассчитываем
Nu = 0,021 Re°’8Pr0,43 (Ргж/Ргст)0’25 ez =
= 0,021 (1,15 • Ю4)0’8 . 5,420’43 (5,42/1,95)0’25 • 1 = 101.
Коэффициент теплоотдачи от стенки трубки к воде
а = Nu K/d = 101 -61,8 • 10“2/(8 • 10~3) = 7823 Вт/(м2 • К).
Линейная плотность теплового потока
qz — and (ZCT — /ж) = 7823л *8 • 10“3 (90 — 30) = 11,8 кВт/м.
Задача 17.2. Определить тепловые потери от горизонтального паропровода
диаметром d = 200 мм и длиной I = 20 мм, проложенного в закрытом помещении
с температурой воздуха /ж = 50 °C. Температура наружной стенки паропровода
/ет = 150 бС. Потерями теплоты излучением пренебречь.
Решение. Здесь имеет место теплоотдача при свободном движении тепло-
носителя. При температуре /ж = 50 °C воздуха имеем [5]:
v = 17,95 • 10~6 м/с; Л = 2,83 • 10~2 Вт/(м • К);
f-77T275 = ^W-3'bl0"1K“'; Рг»=°«
Вычисляем значение комплекса
GrPr = РД/ Ргж = —?’81 ’ 0,2t— -3,1-10~3 (150 — 50) • 0,698 =
V2 ж (17,95 • КТ6)2
= 5,27 • 107.
Так как GrPr < 109, то
Nu = 0,5 (GrPr)0'25 (Ргж/РГст)0,25 = 0,5 (5,27 • Ю7)0,25 (0,698/0,683)0’25 = 42,6.
Коэффициент теплоотдачи J
а = Nu K/d = 42,6 • 2,83 • 10“2/0,2 = 6,03 Вт/(м2 . К).
Тепловые потери
Q = andl (ZCT — /ж) = 6,03л • 0,2 • 20 (150 — 50) = 7500 Вт.
Задача 17.3. Определить поверхностную плотность теплового потока, про-
ходящего через вертикальную щель толщиной 6 — 10 мм, заполненную воздухом.
Температура горячей поверхности /ст1 = 180 °C, холодной tCT2 « 60 °C.
214
Решение. Определяющая температура т= 0,5 (180+ 60) = 120 °C.
При этой температуре имеем [5]: Х = 3,34 • 10~2 Вт/(м • К); v = 25,45 х
X 10-6 м2/с; Рг = 0,686; р = — ’ — = 2,54 - 10~3 К-1.
1 "у* Л / о
Вычисляем значение комплекса
GrPr = РД/ Рг = --81-(1° ' - • 2,54 • 10~3 (180 — 60) • 0,686 =
V2 (25,45 10~6)2
= 3,16 • 103.
Коэффициент конвекции
ек = 0,18 (GrPr)0’25 = 0,18 (3,16 • Ю3)0’25 = 1,35.
Поверхностная плотность теплового потока
екХ / \ 1,35 • 3,34 • 10 2 /ion еп\ к л 1 р / з
q = (/ст1 - /ст2) =----—------------<180 ~ 6°) = 541 Вт/М •
Контрольные вопросы и задания
1. Выведите интегральное уравнение для теплового пограничного слоя.
2. Назовите числа подобия, характеризующие теплоотдачу при вынужденном
омывании плоской стенки. Каков их физический смысл? Как учитывается нап-
равление теплового потока?
3. Какие режимы характерны для теплообмена при вынужденном течении жид-
кости в трубах. Как учитывается влияние на вынужденное течение свободной
конвекции?
4. Дайте характеристику участкам гидродинамической и тепловой стабилиза-
ции потока при течении жидкости в трубах.
5. Запишите формулу для определения коэффициента теплоотдачи при стаби-
лизированном турбулентном течении жидкости в трубах. Сделайте анализ
факторов, влияющих на коэффициент теплоотдачи.
6. Опишите особенности гидродинамики и теплообмена при поперечном омы-
вании одной трубы и пучка труб жидкостью. Как изменяется коэффициент
теплоотдачи по периметру трубы?
7. Опишите характер омывания вертикальной поверхности свободным потоком
жидкости. Какие факторы влияют на интенсивность теплоотдачи?
8. Поясните различие между процессами естественной конвекции в ограничен-
ном и неограниченном пространствах. Как рассчитывается тепловой поток
проходящий через щели?
Глава 18. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ
18.1. Теплоотдача при кипении
Кипением называется процесс перехода вещества из жидкого состо-
яния в парообразное, характеризующийся появлением паровой фа-
зы внутри жидкости, нагретой выше температуры насыщения /н.
Кипение может происходить во всем объеме жидкости или на твер-
дой поверхности нагрева; паровые пузырьки образуются в отдель-
ных гонках поверхности — центрах парообразования, которыми
могут служить микрошероховатости поверхности нагрева, ад-
сорбированные поверхностью пузырьки газа и твердые частицы.
215
В промышленных устройствах кипе-
ние, как правило,
верхности нагрева
вляться в условиях
жения жидкости (естественная
принудительная циркуляция) или в ус-
ловиях естественной конвекции на по-
верхности нагрева, погруженной в жид-
кость (кипение в большом объеме).
В обоих случаях наблюдаются два, рез-
ко отличающихся по механизму пере-
носа теплоты, режима кипения: пузырь-
ковый пленочный.
При пузырьковом кипении паровая
фаза образуется в виде отдельных па-
ровых пузырьков, периодически зарож-
дающихся в центрах парообразования,
вблизи поверхности нагрева при кипе-
Рис. 18.1. Зависимость ко-
эффициента теплоотдачи и
поверхностной плотности теп-
лового потока от температур-
ного напора при кипении
воды
происходит на по-
и может осущест-
направленного дви-
или
Температура жидкости
нии превышает температуру насыщения tH. Максимальный пе-
регрев жидкости равен температурному напору А/ = /ст — /и.
Теоретически и экспериментально установлено, что чем больше
перегрев жидкости, тем меньше минимальный радиус парового пу-
зырька, который может существовать в объеме жидкости. В свою
очередь, этот радиус определяет размеры тех элементов шерохова-
тостей, которые служат центрами парообразования. Увеличение
перегрева жидкости приводит к уменьшению минимального радиу-
са пузырька и появлению все большего количества действующих
центров парообразования за счет дополнительного включения в
процесс шероховатостей меньших размеров. Зародившийся паровой
пузырек растет вследствие подвода теплоты до отрывного диаметра
doi затем отрывается от поверхности нагрева и всплывает, увлекая
за собой некоторое количество жидкости из пристенной области
в основной объем. Освободившееся на поверхности нагрева про-
странство заполняется жидкостью и в центре парообразования вновь
зарождается паровой пузырек.
Этот процесс периодически повторяется с определенной часто-
той — частотой отрыва парового пузырька f. Высокая интенсив-
ность теплоотдачи при кипении связана с турбулизацией пристенно-
го слоя жидкости паровыми пузырьками и, что особенно важно,
с массообменом в кипящей жидкости — отводом теплоты парообра-
зованием и переносом ее вместе с паровой фазой в объем жидкости.
Величина w" = dj характеризует среднюю скорость роста паровых
пузырей.
Интенсивность теплоотдачи практически не зависит от фор-
мы и размеров теплоотдающей поверхности. Значительное влия-
ние на теплообмен оказывают шероховатость поверхности, ее мате-
риал, смачиваемость, количество адсорбированных газов и др Влия-
ние всех этих факторов проявляется в основном за счет изменения
числа цен I ров парообразования.
216
При пленочном кипении на поверхности нагрева образуется
паровая пленка, отделяющая ее от массы жидкости. Теплота к
жидкости подводится через пленку пара в основном путем тепло-
проводности. Теплопроводность пара значительно меньше, чем
жидкости; поэтому интенсивность теплообмена при пленочном кипе-
нии в десятки раз ниже, чем при пузырьковом. При кипении жид-
кость остается перегретой только возле поверхности нагрева, а в
остальном объеме температура жидкости практически равна или
чуть выше температуры насыщения. Такое кипение называется
кипением в насыщенной жидкости.
При высоких плотностях теплового потока кипение может про-
исходить и тогда, когда температура основной массы жидкости ни-
же температуры насыщения. В этом случае парообразование осу-
ществляется только в пристенном слое. Образовавшиеся пузырьки
пара, выходя из этого слоя, частично или полностью конденсиру-
ются. Такой процесс называется кипением недогретой жидкости
и находит широкое применение там, где требуется интенсивное
охлаждение нагретых поверхностей.
Наиболее простым и, вместе с тем, важным для установления об-
щих закономерностей является кипение в большом объеме при сво-
бодном движении жидкости. На рис. 18.1 изображены зависимости
коэффициента теплоотдачи а и поверхностной плотности теплово-
го потока q = аД/ от температурного напора при кипении воды
в этих условиях.
При небольшом перегреве в области начального участка кри-
вой а = f (Д/) до точки А (для воды Д/ ~ 5 °C) теплосъем осущест-
вляется в основном свободной конвекцией. Нагретая жидкость
всплывает к свободной поверхности раздела фаз и охлаждается за
счет испарения.
С дальнейшим увеличением перегрева начинается пузырьковое
кипение; число центров парообразования растет, что приводит к
увеличению коэффициента теплоотдачи. В точке К коэффициент
теплоотдачи до тигает максимального значения, после чего насту-
пает кризис кипения, заключающийся в коренном изменении меха-
низма теплоотдачи. Соответствующие значения а и q называются
критическими. Для воды, кипящей при атмосферном давлении,
Д/кр ~ 25 °C; <?кр = 1,45 МВт/м2, акр = 58 кВт/(м2 • К). Значение
этих величин зависит от давления.
В области Д/ >> Д/кр число центров парообразования становится
настолько большим, что на поверхности нагрева образуется сплош-
ной паровой слой, оттесняющий жидкость от нагретой стенки, и
наступает пленочный режим кипения. Область КВ характеризуется
образованием неустойчивой паровой пленки, правее точки В пленоч-
ное кипение становится устойчивым. Среднее значение коэффициен-
та теплоотдачи в области устойчивого пленочного кипения составля-
ет 1,2 кВт/(м2 • К), а температурный напор может достигать 700...
1000 °C. Некоторое повышение коэффициента теплоотдачи в области
Д/ > Д/кр объясняется переносом теплоты через паровую пленку
излучением.
217
Постепенный переход пузырькового режима в пленочный, осу-
ществляемый на участке практически реализуется при омы-
вании другой стороны теплопередающей поверхности, на которой
происходит кипение, более горячим конденсирующимся паром.
В этом случае температура поверхности /Ст, а следовательно, пере-
грев жидкости А/ определяется давлением конденсирующегося пара
и от процесса кипения не зависит. Если при подводе теплоты неза-
висимой величиной является плотность теплового потока, то рез-
кий скачок температурного напора происходит по штриховой линии
CD. Такой случай практически возможен на радиационных поверх-
ностях нагрева паровых котлов или при электрическом обогреве.
Переход пузырькового кипения в пленочное может сопровождаться
перегревом и разрушением поверхности нагрева.
Сложные взаимодействия, наблюдающиеся при пузырьковом
кипении, не дают возможности составить физически правильную
модель процесса и дать ее полное математическое описание. Пред-
ложен ряд формул для определения коэффициента теплоотдачи при
пузырьковом кипении. Например, формула, предложенная Д. А. Ла-
бунцевым, которая с максимальным отклонением ±35 % отражает
экспериментальные данные многих исследований по кипению раз-
личных (за исключением криогенных) жидкостей в самых разно-
образных условиях, имеет следующий вид:
- (2-188)
где В = 0,075 р + Ю j — коэффициент, введенный для
учета изменения свойств жидкости и пара с изменением давления;
о — коэффициент поверхностного натяжения. Остальные парамет-
ры, входящие в формулу (2.188), выбираются по температуре насы-
щения, причем, чтобы коэ!ффициент а выражался в ваттах на квад-
ратный метр-кельвин, поверхностная плотность теплового потока
q должна выражаться в ваттах на квадратный метр.
Формула (2.188) применительно к воде имеет вид
34^0.1^0.75
а ~ 1 — 0.04Й р ’
(2 189)
причем давление р должно выражаться в барах (I бар = К? Па)
и не выходить за пределы 0,1...20 МПа.
Физически обоснованным и простым уравнением, описывающим
теплообмен при пузырьковом кипении жидкости в большом объеме,
является уравнение, предложенное В. И. Толубинским:
Nu = 75/<0,7 Рг-0’2
190)
где в качестве определяющего геометрического размера
величина, пропорциональная отрывному диаметру пузы*
о
g (р' — рт
а в качестве определяющей темпера!уЕ
нята
/ =
гем-
пература кипения жидкости.
-V
218
В правую часть уравнения (2.190) входит критерий кипения
к = —#гг. (2.191)
Ф"dof ’ v 7
представляющий собой отношение скорости парообразования
к скорости роста паровых пузырьков w" = dof. Для давления
105 Па при кипении воды w" = 0,155 м/с; этилового спирта —
w" — 0,119; бутилового спирта — w" = 0,111; бензола — w" — 0,1;
фреона-12 — ш" = 0,064. Для давлений, отличающихся от 105 Па,
скорость роста паровых пузырьков определяется по формуле
&у" = wi (р;7р")2’3+0,51пп, (2.192)
где wi и pi — скорость роста паровых пузырьков и плотность пара
при давлении 105 Па соответственно; р" — плотность пара при дан-
ном давлении; л = р^ркр — отношение давления рг = 10б Па
к критическому давлению ркр.
Если экспериментальных данных о скорости роста паровых
пузырьков нет, то в интервале значений л = 0,1...0,4 ее можно
рассчитать по формуле
w" = 0,36 • 10~3л~1,4. (2.193)
Уравнение подобия (2.190) применимо для воды, органических
и неорганических криогенных жидкостей в интервале значений
К = 0,05...40 и Рг = 0,05...100. Это уравнение можно использс-
вать также для расчета теплообмена в трубах при естественней
циркуляции. В практических же расчетах достаточно ограничить-
ся эмпирическими зависимостями. Например, для воды в интерва-
ле давлений (1...40) • 10б Па можно воспользоваться следующим
выражением:
а = ЗО(7°’7р0’15 (2.194)
либо выражением
а = 38.7Д/2’33/?0’6, (2.195)
куда q и р — подставляются соответственно в ваттах на квадратный
метр и барах.
При вынужденном течении кипя-
щей жидкости в трубах на и но-н яв-
ность теплообмена влияет cooih ie-
ние собственного процесса пар •< га-
зования и вынужденной кош и.
Если скорость вынужденного ия
жидкости w мала, то интенс ть
теплоотдачи определяется i. ям
образом наличием действующи нт-
ров парообразования.
I ри больших значениях ы-
нужденное течение подавляет я-
Рис. 18.2. Влияние скорости дви-
жения жидкости на теплоотдачу
при кипении
219
ние кипения, что хорошо иллюстрируется рис. 18.2. Значение
коэффициента теплоотдачи а рекомендуется определять в зависи-
мости от соотношения между коэффициентом теплоотдачи aq, рас-
считанным по формулам для кипения жидкости без учета влияния
ее вынужденного течения, и коэффициентом теплоотдачи aw, рас-
считанным по формулам конвективного теплообмена при вынужден-
ном течении однофазной жидкости. Если aqlaw <. 0,5, то а — aWi
а если aq/aw >2, то а = aq. В интервале 0,5 < aqlaw < 2 следу-
ет пользоваться интерполяционным соотношением
а __ 4о^ + /о 196)
ocq
18.2. Теплоотдача при конденсации
Если пар соприкасается с поверхностью, имеющей температуру
/Ст, меньшую температуры насыщения /н, то он переходит в жидкое
состояние, отдавая поверхности выделяющуюся при конденсации
теплоту парообразования. Различают два вида конденсации:
пельную, при которой конденсат осаждается в виде отдельных
капель, и пленочную, при которой на поверхности образуется
сплошная пленка жидкости.
При капельной конденсации водяного пара теплоотдача может
быть во много раз выше, чем при пленочной, так как пленка конден-
сата обладает большим термическим сопротивлением передачи теп-
лоты от пара к стенке. Капельная конденсация имеет место в тех
случаях, когда жидкость не смачивает поверхность теплообмена.
Она может быть вызвана искусственно с помощью специальных
веществ — лиофобизаторов (для водяного пара — гидрофобизато-
ров). При установившейся работе конденсационных устройств кон-
денсат, как правило, смачивает поверхность теплообмена и в них
происходит пленочная конденсация пара.
На рис. 18.3 показана схема пленочной конденсации пара на
вертикальной поверхности. В верхней части толщина пленки мала
и режим ее течения ламинарный. Количество стекающего по по-
верхности конденсата постепенно увеличивается, вследствие чего
толщина пленки возрастает. На поверхности пленки возникают ка-
пиллярные волны, уменьшающие ее среднюю толщину. Переход
от ламинарного течения к турбулентному определяется критерием
Рейнольдса для пленки Re = где w — средняя скорость
пленки в рассматриваемом сечении; 6 — толщина пленки. Здесь
в качестве линейного размера принят эквивалентный диаметр плен-
ки d3K = ^ЫЬ = 46.
Расход конденсата на расстоянии х от верхней кромки поверх-
ности при ее ширине b определяется выражением
G = pw8b.
Количество переданной на этом участке теплоты
Q atxtxb.
220
Рис. 18.3. Схема пле-
ночной конденсации
пара на вертикальной
поверхности
Количество образовавшегося конденсата
зависит от теплоты, переданной паром по-
верхности, и определяется выражением
G = Q/r,
где г — удельная теплота парообразования.
Из приведенных выражений получим
aAtxb ~ rpwdb,
£ аД/х
откуда wo = , а
Re = 4 — = -!?--•<- . (2.197)
v rpv v 7
Таким образом, число Рейнольдса, помимо
обычной роли гидродинамического критерия,
является еще и безразмерной характеристи-
кой интенсивности теплообмена. Экспериментальные данные пока-
зывают, что при конденсации неподвижного пара на вертикальной
поверхности наиболее вероятное значение критического числа Рей-
нольдса следующее: ReKP = 1600.
Интенсивность теплообмена при конденсации определяется тер-
мическим сопротивлением пленки конденсата. По нормали к ла-
минарно текущей пленке теплота передается теплопроводностью,
через пленку, текущую турбулентно,— еще и турбулентными пуль-
сациями.
При пленочной конденсации сухого насыщенного пара в случае
ламинарного течения пленки конденсата на вертикальной поверх-
ности и вертикальных трубах средний по длине коэффициент теп-
лоотдачи определяется с помощью полученной теоретическим путем
формулы Нуссельта, которую можно представить в виде следую-
щего уравнения подобия:
Nu = с (KGaPr/X
(2.198)
где К = г 1(СрМу, Ga = gl?lv2\ Рг = v/a.
Входящие в числа подобия уравнения (2.198) величины р, А
у, а и ср характеризуют теплофизические свойства конденсата, по-
этому их находят по средней температуре пленки /ср = 0,5 (/н +
4- /Ст), а теплота парообразования г определяется по температуре
насыщения /н. Для вертикальных стенки и трубы с = 0,943; I =
= Н, а для горизонтальной трубы с = 0,728; I = d.
Уравнение (2.198) описывает общие закономерности процесса
теплоотдачи при конденсации и хорошо согласуется с эксперимен-
тальными данными для случая чисто ламинарного течения пленки
конденсата. На практике чаще всего реализуется ламинарно-вол-
новое течение, при котором на поверхности пленки образуются вол-
ны, способствующие уменьшению толщины пленки конденсата п
увеличению среднего коэффициента теплоотдачи. Применительно
к такому течению пленки конденсата рекомендуется следующая
формула для расчета среднего коэффициента теплоотдачи:
Re = 3,8г0'78, (2.199)
где Re = aAtH --------число Рейнольдса; z = АШ j—
приведенная высота вертикальной поверхности; At == /н — tCT —
температурный напор; Н — высота поверхности. Формула действи-
тельна, если Re < ReKp == 1600. Соответствующее критическое
значение приведенной высоты гкр = 2300.
Таблица 18.1
/н, ’С А, (м X X К)-1 В-103, м/Вт <н. °с А, (м X X К)-1 В - Ю3, м/Вт °C А, (м X X К)-1 В-10s, м/Вт
20 5,16 1,62 120 70,3 7,65 220 218 17,63
40 11,4 2,54 140 94 9,29 240 246 19,78
60 20,9 3,62 160 122 11,09 260 278 22,70
80 34,5 4,88 180 150 12,90 280 312 26,31
100 51,5 6,28 200 182 15,05 300 354 31,21
При определении среднего коэффициента теплоотдачи для вер-
тикальной поверхности в случае, когда Re > ReKp, учитывается,
что в верхней ее части течение пленки ламинарное, а в нижней —
турбулентное. Расчетная формула при этом имеет вид
Re = [253 + 0,069 (Ргж/Ргст)0'25 Рг0'5 (z — 2300)]*/з, (2.200)
где Ргж и Ргст — значения числа Прандтля для конденсата при
температурах и /ст соответственно. Теплофизические свойства
конденсата определяются по температуре насыщения /н.
При пленочной конденсации сухого насыщенного пара на гори-
зонтальных трубах средний по периметру коэффициент теплоотда-
чи можно рассчитать по формуле
Re = 3,25г0'75, (2.201)
где
Re = aA/nR —; z = A/nR —,
rpv у v2 I /pv ’
а Я — радиус трубы. В качестве определяющей температуры здесь
принята температура насыщения /н.
/ о у/з х 4
Комплексы физических величин j — = А и — = В для
случая конденсации водяного пара в зависимости от температуры
насыщения приведены в табл. 18.1.
В связи с тем, что интенсивность теплообмена при конденсации
определяется термическим сопротивлением пленки конденсата на
поверхности труб, важное значение для получения высоких коэф-
фициентов теплоотдачи имеет правильное расположение труб кон-
денсатора. При вертикальном расположении труб коэффициент тепло-
отдачи к низу уменьшается из-за утолщения пленки. В этом случае
222
среднее значение коэффициента теплоотдачи можно увеличить,
если по высоте трубы установить конденсатоотводящие колпачки.
При горизонтальном расположении труб промежуточный отвод
конденсата достигается с помощью специальных наклонных перего-
родок.
Заметно уменьшает теплоотдачу при конденсации наличие при-
месей неконденсирующихся газов в паре (например, воздуха).
Снижение теплоотдачи при этом происходит потому, что притека-
ющий к поверхности вместе с паром газ остается у стенки в виде
газового слоя, через который затрудняется доступ пара к поверх-
ности. Для отвода воздуха из пара в промышленных конденсато-
рах устанавливаются воздухоотсасывающие устройства.
Заметим, что теплоотдача при конденсации достаточно высока.
Поэтому основное внимание следует уделять профилактическим
мерам, препятствующим ее снижению от наличия воздуха в паре,
отложений на поверхности накипи, масла и других загрязнений,
а также от неправильного отвода конденсата.
18.3. Основные закономерности
тепломассообмена
В природе и технике процессы теплообмена нередко сопровожда-
ются переносом массы, т. е. массообменом (испарение, сушка, кон-
денсация пара из парогазовой смеси и т. д.). Масса вещества, про-
ходящего в единицу времени через единицу поверхности в направ-
лении нормали к ней, называется плотностью потока массы j и
выражается в килограммах на квадратный метр-секундах.
Аналогично переносу теплоты различают молекулярную диф-
фузию (диффузию) и конвективный перенос вещества. Диффузией
называется перенос вещества в смеси, обусловленный тепловым
движением микрочастиц. При небольших перепадах давлений и
температур в двухкомпонентной смеси газов плотность потока мас-
сы одного из компонентов за счет диффузии определяется законом
Фика:
j = DcdC/dn, (2.202)
где De — коэффициент диффузии, м2/с; С — местная концентрация
данного компонента, равная отношению его массы к объему смеси,
кг/м3; п — нормаль к поверхности равной концентрации.
Закон Фика описывает концентрационную диффузию, возника-
ющую из-за неоднородности поля концентраций вещества. По фор-
ме и физическому смыслу он аналогичен закону Фурье. Коэффици-
ент диффузии двухкомпонентных смесей газов зависит от их приро-
ды, температуры, давления и почти не зависит от концентрации
компонентов. Для смеси воздуха и водяного пара его можно опре-
делить по формуле
(2-203)
где р — давление смеси, Па; Т — ее температура, К.
223
В случае смеси газов для каждого ее компонента можно запи-
сать уравнение
р]/см = tnRT,
где р — парциальное давление компонента; R — газовая постоян-
ная; т — масса компонента.
Тогда концентрация компонента
С = т/Усм = p/(RT). (2.204)
Подставив (2.204) в (2.202), получим
/=—-fe 4^- > (2-205)
J RT дп р дп ’ v 7
где Dp — коэффициент молекулярной диффузии, отнесенный к
градиенту парциального давления данного компонента.
В движущейся среде вещество переносится не только диффу-
зией, но и конвекцией. Уравнение конвективного массообмена име-
ет вид
дС . дС , дС гл / д2С . д*С . д*С \
дх Wx ду Wy + dz w2 — Dc[^ дх2 + ду2 1- dz2 )’ (2.206)
По структуре оно аналогично дифференциальному уравнению теп-
л праведности при qv ~ 0 и дИдт = 0.
Если система состоит из жидкой и газообразной фаз (процесс
испарения), то у поверхности раздела фаз образуется диффузион-
ный пограничный слой, представляющий собой область резкого
изменения концентрации переносимого вещества. По мере прибли-
жения к поверхности раздела фаз конвективные токи вещества за-
тухают и непосредственно вблизи поверхности вещество переносит-
ся только путем молекулярной диффузии.
Аналогично теплоотдаче конвективный массообмен между жид-
кой и газообразной фазами называют массоотдачей, В практических
расчетах массоотдачи используется уравнение
/ = ₽с (ССг - Сж) - РсДС, (2.207)
где (Зс — коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности концен-
траций, м/с; Сет — концентрация переносимого вещества на по-
верхности раздела фаз, кг/м3; Сж — концентрация переносимого
вещества вдали от поверхности раздела фаз, кг/м3.
Используя (2.204), уравнение (2.207) можно записать в следую-
щем виде:
/ = -ц? ~ Р*) = Рр ^ст ~ Р^’ (2.208)
где рст и рж — парциальные давления компонента на поверхности
раздела фаз и вдали от нее; — коэффициент массоотдачи, отне-
сенный к разности давлений.
Поскольку на границе раздела фаз перенос вещества осуществля-
ется путем молекулярной диффузии, для потока переносимого ве-
щества применимо уравнение (2.202).
224
Решив совместно уравнения (2.207) и (2.202), получим диффе-
ренциальное уравнение массоотдачи на границе раздела фаз:
DedC/dn = pGAC. (2.209)
Приведение уравнений (2.206) и (2.209) к безразмерному виду
позволяет получить числа подобия при массопереносе: диффузи-
онное число Нуссельта Nu^ = ~- и диффузионное число Прандтля
ис
Ргг» == гч—♦ аналогичные числам подобия при конвективной тепло-
те
отдаче. Так как дифференциальные уравнения массообмена и теш
лоотдачи по своему виду идентичны, то при подобных условиях од-
нозначности должны быть идентичны соответствующие уравнения
подобия. Если теплообмен при вынужденном течении жидкости опи-
сывается уравнением вида
Nu = cRenPrw,
то для расчета массообмена в аналогичных условиях можно вос-
пользоваться этим же уравнением, заменив в нем числа подобия
Nu и Рг на Nun и PrG, т. е.
NuG —cRen PrS.
(2.210)
Заметив, что аналогия между процессами тепло- и массообмена
является приближенной; поэтому ее можно использовать лишь
в приближенных расчетах. В реальных условиях аналогия процес-
сов тепло- и массоотдачи по ряду причин нарушается. Поэтому
расчеты массоотдачи, выполненные на основе аналогии, могут дать
результаты, существенно отличающиеся от действительных.
Сложность совместно протекающих процессов тепломассообмена
затрудняет получение достаточно общих зависимостей и зачастую
исключает возможность сравнения между собой экспериментальных
данных, полученных в разных условиях. Предлагаемые различными
исследователями уравнения подобия носят сугубо частный ха-
рактер.
Рассмотрим тепловые потоки, возникающие у поверхности жид-
кости при ее испарении и парогазовую среду (рис. 18.4). Лучис-
тым теплообменом пренебрегаем. Поток теплоты, отводимой от по-
верхности жидкости в виде пара, опре-
деляется выражением
<73 = rj = гро(Рст —Рж),
(2.211)
где рСт и рж — парциальные давления
пара на поверхности жидкости и вдали
от нее.
В начальный момент времени темпе-
ратура поверхности жидкости /ст может
быть выше температуры парогазовой
среды /ж. В этом случае поток теплоты
Рис. 18.4. К рассмотрению
теплообхмена при испарении
15 9-2570
225
qa = а (/ст — /ж) будет направлен от жидкости к парогазовой
среде. Из-за теплоотдачи и испарения жидкость охлаждается.
Когда /ст станет ниже /ж, поток теплоты qa изменит направление
и испарение жидкости будет осуществляться за счет внутренней
энергии жидкости и конвективного потока тепло ы qa — a (t* —•
— /ст), передаваемого от парогазовой среды к поверхности жид-
кости. По мере охлаждения жидкости тепловой поток qa будет
увеличиваться вследствие уменьшения температуры /ст, а поток
— уменьшаться вследствие уменьшения парциального давления
рст, которое равно давлению насыщенного пара, соответствующему
температуре /ст.
Когда теплота, полученная жидкостью от парогазовой среды,
окажется равной теплоте, затрачиваемой на испарение, изменение
температуры поверхности жидкости прекратится. Процесс испаре-
ния, при котором вся теплота, переданная от парогазовой среды
к жидкости, затрачивается на ее испарение и возвращается в паро-
газовую среду с паром, называется процессом адиабатного испаре-
ния, а соответствующая равновесная температура поверхности жид-
кости — температурой мокрого термометра Заметим, что иде-
альный адиабатный процесс возможен только при /м = 0, поскольку
при /м > 0 парогазовая среда воспринимает с паром некоторое ко-
личество теплоты, равное энтальпии испарившейся жидкости.
Аналитическое выражение /м можно найти из уравнения тепло-
вого баланса
а(О —Q ='₽Р(Рст —Лк)- (2.212)
На практике встречаются и неадиабатные процессы испарения,
при которых некоторое количество теплоты qw передается через
поверхность испарения в жидкую фазу. Теплота qw может расхо-
доваться на подогрев поступающей на испарение жидкости и час-
тично теряться в окружающую среду через ограждение жидкости.
В этом случае qa — q$ 4- qw. Условие теплового баланса на по-
верхности позволяет выявить равновесное состояние системы и со-
ответствующее ему значение равновесной температуры поверхности
жидкое! и.
В тех случаях, когда температура жидкости превышает темпе-
ратуру окружающей среды, поток теплоты от поверхности горячей
жидкости за счет ее испарения может значительно превышать кон-
вективный. Поэтому горячую жидкость необходимо хранить в за-
крытых резервуарах.
Примеры решения задач
Задача 18.1. Определить коэффициент теплоотдачи и поверхностную плотность
теплового потока, передаваемого от стенки парового котла к кипящей воде, если
давление в котле р = 0,98 МПа, а температура его стенки /С1 = 190 °C.
Решение. Для заданного давления по таблицам водяного пара [7J
находим температуру насыщения th = 179 °C. Тогда коэффициент теплоотдачи
по формуле (2.195)
а = 38,7Д/2,33р0,5 = 38,7 (190 — 179)2’33 • 9.80’5 = 32 342 Вт/(м2 • К).
226
Поверхностная плотность теплового потока
q = аД/ = 32 342 (190 — 179) = 355 162 Вт/м2.
Задача 18.2. Определить коэффициент теплоотдачи при кипении воды, если
давление среды р = 23,2 бар, а поверхностная плотность теплового потока q «
= 9 • 104 Вт/м2.
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2.190),
Определяем физические параметры среды при р — 23,2 бар: р' = 840,3 кг/м8;
р" = 11,62 кг/м3; о = 331,6 • 10“4 Н/м; X = 64,5 • 10“2 Вт/(м • К); г =»
= 1858 Дж/кг; Рг = 0,89. Критическое давление для воды составляет ркр =
= 221 бар; при давлении р = 1 бар р] = 0,598 кг/м3.
Находим значение л = рх/ркр для воды:
л = 1/221 = 0,452 . 102;
тогда
2,3 4-0,51 In (0,452 . 10“3) = 1,13.
Скорость роста парового пузырька
w" = (p"/p")1J3 = 1,55 (0,598/11,62)1ЛЗ = 5,4 . 10“3 м/с.
Определяющий размер
1/' а _ Л 331,6- 10-4 ,
Zo= V g(p'_p") |/ 9,81(840,3— 11,62) м
Критерий кипения
К = = ---------——-------------- = 0,77.
rPw 1858 • 11,65 • 5,4 • 10~3
Числа Нуссельта
Nu = 75/<°-7 Рг-0’2 = 75 -0,77е-7.. 0,89“°-2 = 63,9.
Коэффициент теплоотдачи
. И.9 . М.5 КН _ ,
10 2 - 10~3
Задача 18.3. На наружной поверхности вертикальной трубы диаметром
d — 20 мм и высотой Н ~ 2 м конденсируется сухой насыщенный водяной пар
при давлении р = 105 Па. Температура поверхности трубы /ст = 94,5 °C. Опре-
делить коэффициент теплоотдачи от пара к трубе и количество пара, которое
конденсируется на поверхности трубы.
Решение. Давлению пара р = 10б Па соответствуют температура
насыщения /н = 99,6 °C и скрытая теплота парообразования г = 2258 кДж/кг.
По табл. 18.1 находим А = 51,21 1/(м • К) и В = 6,25 • 10“3 м/Вт. Оп-
ределяем приведенную высоту трубы
г = МН А = (99,6 — 94,5) -2- 51,21 = 522 < 2300.
Режим течения пленки ламинарный; поэтому
Re = 3,8г0-7'4 = 3,8г0-7'' = 3,8 • 5220-78 = 500.
Коэффициент теплоотдачи
а = - =---------—-------7 = 7840 Вт/(м2 • К).
MU К 5,1 - 2 - 6,25 - 10—3 '
Количество пара, которое конденсируется на поверхности трубы,
аМ „ 7840-5,1
G = л-d// г = 3,14 • 2 ♦ 10 • 2 • 2258 * 103 == ^>22 • 10 3 кг/с.
15:
227
Задача 18.4. Определить количество воды, испаряющейся за один час в
неподвижную воздушную среду, где давление р = 10б Па, с поверхности Пло-
щадью 0,5 X 1 м2, и рассчитать поверхностную плотность теплового потока от
воды к воздуху. Температура воды на поверхности /ст == 50 °C, температура
воздуха /ж = 20 °C, парциальное давление водяных паров в воздухе =»
«= 800 Па.
Решение. Физические параметры воздуха при температуре / 20 °G
[б]: v= 15,06 • 10~6 м2/с; Х= 2,59 . 10“2 Вт/(м . К); Рг = 0,703. При =
«= 50 °C давление насыщенного пара рсг— 12 355 Па, скрытая теплота паро-
образования г= 2382,5 кДж/кг.
Дальше воспользуемся расчетными формулами для горизонтальных плит
(определяющий размер — меньшая сторона плиты).
Вычисляем
ОгРг _ £. ел, р, _ jvra _ .
v (15,06 • 10-6)2 (273 4-20)
По формуле (2.185)
Nu = 0,75 (GrPr)0,25 = 0,75 (3,887 • 10s)0,26 «= 105;
тогда
"к 9 5Q . 1П~2
а= 1,3 Nu= 1,3 • 105 - ^7,09 Вт/(м« • К).
i и,о
Значение коэффициента теплоотдачи а увеличено на 80 %, поскольку тепло
©тдающая поверхность обращена к верху.
По формуле (2.203)
297 \К8 _
—— = 2,4 • 10~5 м’/с,
2,28
105
Диффузионное число Прандтля
v 15,06- 10~6
= 0,63.
РГ° DC 2,4 • 10~5
Заменяем в формуле (2.185) Nu на NuD и Pr на Pr^ и определяем
9,8 - 0,53 • 30 • 0,63 10.25
(15,06 • 10~6)2 • 293 J
= 0,75 (GrPro)0,25 = 0,75
136,
D.
Коэффициент массоотдачи
рс = NudDc/1 = 136 2,4 • 10“5/0,5 = 6,56 • 10“3 м/с.
Плотность потока массы испаряющейся воды
, ln _п х 6>56 • 10~3 (12355 — 800) = 5,59 • 10~4 кг/(м2 • с).
₽ж1- 8314.293/18
Количество воды, испаряющейся за один час со всей поверхности,
т = /Ft = 5,59 • 10~4 - 0,5 - 1 - 3600 — 1 кг.
* При большой концентрации водяного пара в паровоздушной смеси число
Грасгофа рекомендуется записывать в виде
рст Л
Рш /
где рст — плотность смеси у поверхности жидкости; — плотность жидко-
сти вне пограничного слоя.
Gr =
228
Поверхностная плотность теплового потока от воды к воздуху
« “ 4v + - rj + а (/ж — /ст) - 2382,5 • 10» • 5,59 • 10~4 + 7,09 (50 — 20) -
= 1543 Вт/м2.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте условия возникновения щ ацесса кипения и поясните его ме-
ханизм. Чем объясняется интенсивность теплоотдачи при кипении?
2. Проанализируйте зависимость коэффициента теплоотдачи при кипении от
температурного напора. Что называется кризисом кипения?
8. Перечислите расчетные уравнения, которые рекомендуются для определе-
ния коэффициента теплоотдачи при кипении в большом объеме.
4. Как учитывается влияние вынужденного движения среды на теплоотдачу
при кипении в трубах?
б. При каких условиях возникает процесс конденсации? Каковы ее виды?
6. Выведите выражение числа Рейнольдса при конденсации.
7. Запишите в общем виде уравнения для определения коэффициента теплоот-
дачи при конденсации на вертикальных и горизонтальных трубах.
8. Перечислите факторы, влияющие на интенсивность процесса конденсации,
9. Запишите уравнение массоотдачи. Что является движущей силой массоот-
дачи?
10. Объясните практическое значение аналогии между процессами массо- и теп-
лопереноса.
11. Проанализируйте тепловые потоки, возникающие на поверхности жидкос-
ти при ее испарении. В чем сущность процесса адиабатного испарения жид-
кости?
Глава 19. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
19.1. Основные понятия и определения
Отличительной особенностью теплового излучения является то,
что все тела постоянно испускают энергию излучения. В процессе
испускания внутренняя энергия излучающего тела превращается
в энергию электромагнитных волн, которые характеризуются дли-
ной волны к и частотой v. Распределение энергии по длинам волн
и частотам в спектре излучающего тела связано с температурным
уровнем и физической структурой тела. При температурах до
1500 °C основная часть энергии соответствует инфракрасному излу-
чению (X = 0,8...800 мкм).
При попадании на другие тела энергия излучения частично по-
глощается ими, частично отражается и частично проходит сквозь
тело. Процесс превращения энергии излучения во внутреннюю энер-
гию поглощающего тела называется поглощением. Большинства
твердых и жидких тел излучают энергию всех длин волн в интерва-
ле от Одо оо, т. е. имеют сплошной спектр излучения. Газы испуска-
ют энергию только в определенных интервалах длин волн (селек-
тивный спектр излучения). Твердые тела излучают и поглощают
энергию поверхностью, а газы — объемом.
Рассмотрим основные характеристики поверхностного (полусфе-
рического) излучения, при котором излучение распространяется
по различным направлениям в пределах полусферического те-
лесного угла. Количество энергии излучения, переносимой в
229
единицу времени через произвольную поверхность, называется пото-
ком излучения.
Различают монохроматический поток излучения Qx, соответству-
ющий достаточно узкому интервалу длин волн, который можно ха-
рактеризовать данным значением длины волны X, и интегральный
поток излучения Q, соответствующий всему спектру излучения в
пределах от 0 до оо. Поток излучения, проходящий через единицу
поверхности, называется поверхностной плотностью потока излу-
чения. Поверхностная плотность потока интегрального излучения
Е = dQ/dF, откуда Q = f EdF.
F
Если значение Е во всех элементах поверхности одинаково, то
Q = EF. (2.213)
Поверхностная плотность потока монохроматического излуче-
ния Е% = dCfrJdF и связана с плотностью потока интегрального из-
лучения соотношением Е\ = dE/dk, или
Е = J EKdk. (2.214)
Каждое тело не только излучает, но и поглощает лучистую энер-
гию. Из всего количества падающей на тело лучистой энергии
•Епад (Qr^) часть ее Епо гл (Qпогл ) поглощается, часть £отр (Q0Tp)
отражается и часть £пр (QnP) проходит сквозь тело. Следовательно,
^пад = ^*погл + ЕОТр -f“ E'npi Фпад — Спогл 4~ QotP 4~ Qnp«
Обозначим
^погл ^погл д. ^ОТР ^отр п. ^Пр ^пр Гч
£ О Е — "О — К’ ~~Ё-------------б —
пад ^пад пад ^пад пад *<пад
(2.215)
где Л, R, D — поглощательная, отражательная и пропускная спо-
собность тела соответственно. Тогда А + R + D = 1.
Если тело поглощает все падающие на него лучи, т. е. А — 1,
а/? = 0и/) = 0, то оно называется абсолютно черным. Если вся
падающая на тело энергия отражается, то R = 1, а А = 0 и D = 0.
Если при этом отражение подчиняется законам геометрической оп-
тики, то тело называется зеркальным. При диффузионном отраже-
нии, когда отраженная лучистая энергия рассеивается по всем hi-
правлениям, тело называется абсолютно белым. Если D = 1, а
Л = 0 и R = 0, то тело пропускает все падающие на него лучи и
называется абсолютно прозрачным. В природе абсолютно черных,
белых и прозрачных тел не существует.
Участвующее в теплообмене излучением тело, помимо собствен-
ного излучения, определяемого температурой и свойствами излу-
чающего тела, отражает падающую на него энергию, так что
Еотр /?£пад. (2 216)
230
L
Сумма энергии собственного и отражен-
ного излучения составляет эффективное
излучение тела
Еэф = Е + 7?£пад. (2.217)
При расчете теплообмена излучением
между телами важное значение имеет ре-
зультирующее излучение, представляющее
собой разность между лучистым потоком,
попадающим на тело, и лучистым потоком,
который оно испускает в окружающее про-
странство. Чтобы определить поверхност-
Рис. 19.1. К составлению
ную плотность потока результирующего баланса лучистой энергии
излучения 7рез, составим уравнение балан-
са энергии, проходящей через плоскости а-а и b-b, одна из кото-
рых расположена внутри, а другая — снаружи этого тела вблизи
его поверхности (рис. 19.1). Для плоскости а-а
<7рез — Е -^погл — Е
(2.218)
для плоскости b-b
<7рез = £эф — £пад. (2.219)
Заметим, что величина q^3 может быть положительной, отри-
цательной и равной нулю. Определим зависимость между резуль-
тирующим и эффективным излучением. Из (2.219) находим
Еэф = </рез 4“ ^пад> (2.220)
а из (2.218) получаем
Впад==(Е^9рез)М. (2.221)
Подставив последнее выражение в уравнение (2.220), запишем
Еэф = z/peg (1 — 1 /Л) 4- EIA. (2.222)
Полученное уравнение широко используется при расчете лу-
чистого теплообмена между телами.
19.2. Законы теплового излучения
Закон Планка. Этот закон устанавливает зависимость повер:-
ностной плотности потока монохроматического излучения абсолют-
но черного тела от длины волны и темпе ратуры:
Еок = (е^ - I)"1, (2.223)
где Cj = 3,74 • 10~16 Вт • ма; са = 1,44 • 10—2 м • К; X — длина
волны излучения, м; Т — температура излучающего тела, К.
Из рис. 19.2 следует, что при любых температурах £о/. = 0
при 1 == 0 и X = оо, а при некотором промежуточном значении
наблюдается максимум поверхностной плотности потока излучения.
Для всех длин волн Еок тем выше, чем выше температура. Макси-
231
мумы кривых с повышением температуры смещаются в сторону
более коротких длин волн.
Закон Стефана — Больцмана. Поверхностную плотность потока
интегрального излучения абсолютно черного тела можно найти на
основании закона Планка как суммарную энергию излучения тела
по всем длинам волн:
Ео= J £<л4Л = J -§-(ес,/(ХЛ—(2.224)
?v=0 ?u=o
После интегрирования получим
Ео == с0 (77100)4, (2.225)
где cQ = 5,67 Вт/(м2 • К4) — коэффициент излучения абсолютно
черного тела. Индекс «О» здесь указывает на то, что рассматривает-
ся излучение абсолютно черного тела. Этот закон эксперимента ль
ным путем найден Й. Стефаном и теоретически обоснован Л. Больц-
маном задолго до установления закона Планка.
Спектры излучения 3 реальных тел отличаются от спектра излу-
чения 1 абсолютно черного тела (рис. 19.3). При этом поверхност-
ная плотность потока монохроматического излучения тела на любой
длине волны никогда не превышает соответствующую плотность
потока излучения абсолютно черного тела. В случае селективного
спектра излучения на некоторых участках длин волн плотность по-
тока излучения равна нулю.
Частным случаем реальных тел являются серые тела, спектр
излучения 2 которых подобен спектру излучения абсолютно чер-
ного тела. Поверхностная плотность потока монохроматического
излучения для каждой длины волны серого тела Е% составляет
одну и ту же долю поверхностной плотности потока излучения чер-
ного тела Eoz, т. е.
е = Ек/Еы. (2.226)
Здесь величина в — степень черноты тела, зависящая от его физи-
ческих свойств, но всегда е 1. Большинство реальных тел с оп-
ределенной степенью точности можно считать серыми.
Рис. 19.2. К рассмотрению закона План-
ка
Рис. 19.3. Спектры излучения различных
тел
232
Степень черноты зависит от температуры тела. У металлов с уве-
личением температуры она растет. При шероховатости поверхно-
сти, ее загрязнении или окислении 8 может увеличиваться в не-
сколько раз. Так, степень черноты полированного алюминия лежит
в пределах 0,04...0,06, при окислении поверхности она становится
равной 0,2...0,3; чугун полированный имеет 8 = 0,21, при окисле-
нии— 0,64...0,78. Степень черноты теплоизоляционных материа-
лов, отличающихся сильной шероховатостью, лежит в пределах
0,7...0,95.
Закон Стефана — Больцмана для серого тела с учетом выражения
(2.226) имеет вид
со
Е = J = еЕ0 = ес0 (77100)4 = с' (Т/100)4, (2.227)
X—о
где с' — коэффициент излучения серого тела.
Закон Кирхгофа. Рассмотрим две параллельные поверхности,
одна из которых абсолютно черная с температурой 7"0, другая —
серая с температурой Т и поглощательной способностью А. Рас-
стояние между поверхностями настолько/мало, что испускаемые
каждой поверхностью лучи обязательно попадают на противопо-
ложную. Серая стенка излучает энергию Е и поглощает часть
излучаемой черным телом энергии АЕ^. Излучаемая серым те-
лом энергия Е и отраженная им энергия (1 — Л)Е0 попадают
на черное тело и поглощаются им.
Результирующая плотность потока излучения серого тела
^рез = Е — AEq. Если Т = То, то дрвз = 0, так что
Е/А = Е0 = с0 (77100)4. (2.228)
Итак, отношение излучательной способности и поглощательной
при тепловом равновесии от природы тела не зависит и равно энер-
гии излучения абсолютно черного тела при той же температуре.
В этом сущность закона Кирхгофа, который действителен и для
монохроматического излучения:
= = П (2.229)
Здесь Лл — поглощательная способность в узком интервале длин
волн.
Следовательно, тело, излучающее энергию на определенной
длине волны, способно поглощать ее на этой же длине волны. На
основании равенства (2.228) можно записать Е ~ АЕ0. Однако по
(2.227) Е = еЕ0. Таким образом, из закона Кирхгофа также сле-
дует, что поглощательная способность серых тел численно равна
степени черноты тела, т. е. А = е.
Закон Ламберта. Рассмотрим излучение элементарной площад-
ки dF поверхности тела (рис. 19.4). Общее количество энергии, из-
лучаемое во всех направлениях полусферы с 1 м2 поверхности в еди-
ницу времени, равно плотности интегрального излучения Е. Коли-
чество энергии, излучаемое за единицу времени площадей dF в
пучке, ограниченном элементарным телесным углом dco и направ-
233
Рис. 19.4. К рассмотрению закона
Ламберта
ленном под углом ф относительно
нормали к поверхности, равно d2Q.
Величина
J'> - Sr • <2230>
называемая угловой плотностью из-
лучения, определяет количество
энергии, излучаемое в направлении
Ф за единицу времени с единицы
поверхности тела в пределах еди-
ницы телесного угла.
Другой характеристикой на-
правленного излучения является
интенсивность (яркость) излуче-
ния J, т. е. количество энергии,
излучаемое в направлении ф за единицу времени, отнесенное к
единице телесного угла и единице поверхности, ортогональной к
выбранному направлению:
7 = (2-231)
dwdFH da)dF cos ф cos ф v
Изменение энергии излучения по отдельным направлениям оп-
ределяется законом Ламберта. Согласно этому закону поток излу-
чения абсолютно черного тела в направлении ф пропорционален
потоку излучения JE в направлении нормали к поверхности и ко-
синусу угла между ними, т. е.
7Ф = 7нсозф. (2.232)
Из (2.231) и (2.232) находим
7 = 4 = idem. (2.233)
Следовательно, если изучение подчиняется закону Ламберта,
то яркость не зависит от направления. Величину J можно выразить
через плотность интегрального излучения £, взяв интеграл в пре-
делах полусферы:
Е = j J 7фб/со = j j J cos фб/со = /л.
со=2л (й==2л
Отсюда J Е/п и выражение (2.232) перепишем в следующем
виде:
7Ф = (Е cos ф)/л. (2.234)
19.3. Теплообмен излучением
между твердыми телами,
разделенными прозрачной средой
Рассмотрим стационарный лучистый теплообмен в замкнутой систе-
ме, состоящей из двух серых тел (рис. 19.5, а). Площадь поверхно-
сти первого тела Flt второго — Г2; соответствующие значения по-
234
Рис. 19.5. К рассмотрению лучистого теплообмена между телами в
замкнутых системах
глощательной способности тел — Аг и А2, температур — 1\ и Т2'
при этом Т\ > Т2.
В случае произвольного расположения тел не вся лучистая
энергия, излучаемая одним телом, может попадать на другое.
Доля полного лучистого потока одного тела, которая попадает
на другое тело, называется угловым коэффициентом излучения <р:
’’““-ft-- <2-235>
Двумя последними угловыми коэффициентами учитывают долю
лучистой энергии, которая замыкается на излучающем теле; для
плоской и выпуклой поверхностей <ри и ф22 равны нулю.
Установим некоторые свойства угловых коэффициентов. При
одинаковых температурах двух, участвующих в лучистом теплооб-
мене, абсолютно черных тел
Q12 = Q21. (2.236)
В общем случае излучаемый телом поток энергии Q = Е9фР.
Поскольку в случае абсолютно черного тела это эффективное излу-
чение равно собственному и при заданных температурных усло-
виях £»ф1 = Еэф2 = EOf с учетом выражений (2.235) и (2.236) за-
пишем ^12E0Fl = ^21^0^2- Отсюда
= Ф21^2 — (2.237)
где Н — взаимная поверхность излучения.
Выраженное уравнением (2.237) свойство угловых коэффициен-
тов называется свойством взаимности. В общем случае для системы
из п тел это свойство записывается следующим образом:
^ikFt = ^>kiFk = Hik = Н kb (2.238)
где индексы i и k отнесены к двум парам произвольных поверхнос-
тей Ft и Fhi участвующих в теплообмене.
Согласно закону сохранения энергии потоки излучения любого
тела, попадающие на все остальные тела системы, равны потоку
собственного излучения этого тела:
У Он = Q*, ИЛИ У <fkiQk = Qk,
&
235
откуда
п
1. (2.239)
i=i
Это свойство угловых коэффициентов называется свойством
вамыкаемости. Для замкнутой системы из двух тел оно записыва-
ется в виде
Ф12 + Фи == h Ф21 + Ф22 = !•
В настоящее время имеется достаточно большое количество ана-
литических выражений, позволяющих выполнять непосредственные
численные расчеты угловых коэффициентов для сложных систем.
Уравнения (2.238) и (2.239) дают возможность найти значение ср
в случае простейших систем. Так, для двух параллельных беско-
нечных поверхностей (рис. 19.5, б) очевидно, что <ри = ср22 = 0.
Тогда из уравнения (2.239) находим <р12 = 1 и <р21 = Е Если одна
из поверхностей, участвующих в теплообмене, не вогнута
(рис. 19.5, в, г), то Ф12 1 и из уравнения (2.237) получаем <р21 =
х= f2/fv
Применительно к изображенной на рис. 19.5, а системе двух
серых тел результирующий тепловой поток от первого тела ко вто-
рому
Qpesl = Ф12^эф1 — ф21Сэф2 ~ ф^Еэф!^ ф21Еэф2Е2. (2./40)
На основании уравнения (2.222) запишем:
1 Еэф1 = £01 ~Ь <7рез1 (1 1М1)»
Еэф2 = Е02 -J- ^рез2 ( 1 1/^2)*
Подставив эти значения ЕЭф1 и ЕЭф2 в уравнение (2.240), по-
лучим
Qpesl = [EOi + 9рез1 (1 — 1/^1)] Ф12Е1 — [Eq2 4~ ?рез2 (1 1Мг)] ф2172,
ИЛИ
Фрез1 ~ Ео1Е 1Ф12 + Ф12^рез1 (1 1/^1) Е02Е2ф21 —
— Ф21Срез2(1 — 1/Л2). (2.241)
При установившемся режиме результирующие тепловые пото-
ки для обоих тел одинаковы и противоположны по знаку (Qpe3i ==
= —<?Рез2), так что (2.241) принимает вид
Г) ___ ________£о1^1Ф12 £р2^2Ф21____ /9 ОДQ\
Урез1 “ J ф12 (1М1 - 1) + ср21 (1/Л2 - 1) ’
или
Q12 = <2рез1 = Л12соЯ[(Т1/1О0)4-(72/100)4],
где
Л12 = 1 + <рм(1/Л,- 1) + Ф2, (1/Л8—1) (2 243)
— приведенная поглощательная способность замкнутой системы
из двух серых тел.
236
Выражение (2.242) представляет собой общее решение задачи
теплообмена двух серых тел и имеет большое практическое значе-
ние. Применим его для ряда частных случаев.
Когда имеются две параллельные неограниченные поверхности
(см. рис. 2.35, б), то ф12 = Ф21 = 1 и Н ~ FY = F2 = F. Тогда
согласно (2.242) и (2.243) получаем
<712 = Q12/^i = Л12С0 [(Л/ЮО)4 - (Т2/100)4] (2.244)
и
л________1 _
12 ~ 1/Л1 1/Л2 — 1 *
Если первое тело не имеет вогнутости и все его эффективное
излучение полностью падает на второе тело (см. рис. 2.35, в, а),
то ф12 = 1, Ф21 == FJFz и Н = ф21Е2 = Fp С учетом этого
<Э12 = A12c0F1 [(71/Ю0)4-(72/100)4] (2.245)
и
А __ __________1 -
12 ~ iMf +^(1/4-1)/^ *
Когда тело излучает в неограниченное пространство, то F2 Ft
и из (2.245) следует, что Л12 = Ли т. е. приведенная поглощатель-
ная способность определяется поглощательной способностью мень-
шего тела.
19.4. Теплообмен излучением
при наличии экранов
Наиболее эффективным способом теплоизоляции высокотемператур-
ных поверхностей является установка экранов. Покажем это на
примере двух плоских параллельных поверхностей, между кото-
рыми помещен экран в виде тонкой пластины. Примем для простоты,
что поглощательные способности обеих поверхностей одинаковы,
т. е. Аг == Л2 = Л, а поглощательная способность экрана равна
Л . Температуры поверхностей соответственно равны 7\ и Т2.
Тепловой поток от первой поверхности ко второй без экрана
согласно формуле (2.244)
712 = 7Рез1 = Л12с0 [(7\/100)4 - (Т2/100)4], (2.246)
где для рассматриваемого случая
л_________1_____ _ 1
12 ~ 1/Лг + 1/л2 — 1 “ 2/4-1 ‘
В связи с тем, что внутреннее термическое сопротивление экра-
на 5/Х очень мало, температура на обеих его поверхностях одинако
ва и равна Т3. Запишем уравнения для результирующих потоков
между первой поверхностью и экраном qi3i а также между экраном
и второй поверхностью q3?:
qi3 = А1эс0 [(Л/ЮО)4- (Тэ/100)4]; (2.247)
?э2 - Лэ2с01(7\/l00)4 — (Т2/100)4], (2.248)
237
где
л 1 . л 1
Л1Э~ 1/Л+"‘1/Лэ - 1 ’ Лэ2 ~ 1/Л8 + 1/Л - 1 ’
т. е. Л1Э = Лэ2.
При установившемся режиме результирующий тепловой поток,
передаваемый от первой поверхности ко второй при наличии экра-
НЯ, 71э2 ~ Я\э ^э2-
Решив уравнения (2.247) и (2.248) относительно разности тем-
ператур и сложив полученные решения, найдем
^1э2 = 0,5Лэ[(Л/100)4 —(Г2/100)4]. (2.249)
Рассмотрений метод определения <yi32 применим и для поверхно-
тей иной геометрической формы с различными поглощательными
способностями, а также при наличии п экранов.
Разделив (2.246) на (2.249), определим, во сколько раз экран
ослабляет тепловой поток между поверхностями:
^12 _ _______ n VТ 1
^13 - 2М-1 •
Из полученного выражения следует, что ослабление теплового
потока тем больше, чем меньше поглощательная способность экра-
на. Если = А2 = Лэ, то 7i32 = 0,5 д12. Значительное уменьше-
ние теплового нотока достигается при установке п экранов. В слу
чае плоских поверхностей с п экранами результирующий тепловой
п гок определяется по формуле (2.244), в которой
Л12 =---------------!------------- , (2.250)
1M1 + 2J] 1/Лэ,.+ 1/Л2-(п + 1)
1=1
где АЭ( — поглощательная способность /-го экрана.
19.5. Особенности излучения газов
Одно- и двухатомные газы практически прозрачны для теплового
и лучения. Значительной излучающей и поглощающей способно-
стью, имеющей практическое значение, обладают трех- и многоатом-
ные газы.
В практике теплотехнических расчетов наиболее распростра-
ненными трехатомными газами являются СО2 и Н2О В отличие от
твердых тел газы излучают энергию лишь в определенных интерва-
лах длин волн ДХ, называемых полосами спектра. Для лучей дру-
гих длин волн вне этих полос газы прозрачны и их энергия излу-
чения равна нулю. Таким образом, излучение и поглощение газов
носит избирательный характер. Количество поглощаемой газом
энергии зависит от числа находящихся в данном объеме молекул
газа. Это число пропорционально толщине газового слоя, характе-
238
ризуемой длиной пути луча /, парциальному давлению газа р и его
температуре Т. Следовательно,
А = Ш р, Т).
Тогда в соответствии с законом Кирхгофа
EK = f2(l,p,T). (2.251)
Для каждой i-й полосы спектра
Л.2
= J Etdh.
Поверхностная плотность теплового потока интегрального излу-
чения газовой среды определится суммой значений Е^ для отдель-
ных полос, т. е.
Ег = V £(дх)1.
г-1
Экспериментальные данные показывают, что излучение газов
не соответствует зависимости от термодинамической температуры в
четвертой степени Однако в практических расчетах пользуются за-
коном четвертой степени, вводя соответствующую поправку в значе-
ние степени черноты газа:
Ег = егс0 (77100)4, (2.252)
где 8Г — степень черноты газового слоя, зависящая от температуры,
давления и толщины слоя газа. Значения ег для Н2О и СО2 в лите-
ратуре приводятся в виде номограмм, удобных для практического
использования.
Степень черноты газовых смесей определяется как сумма сте-
пени черноты отдельных компонентов. Плотность лучистого пото-
ка, передаваемого от газа к окружающим его стенкам (оболочке),
можно рассчитать по формуле
q = естс0 [ег (Тг/100)4 — Аг (Тст/100)4], (2.253)
где ест = 0,5 (е + 1) — эффективная степень черноты оболочки,
введенная для учета излучения газов; 8Г — степень черноты газа
при его температуре Тг; Аг — поглощательная способность газа
при температуре оболочки Тст.
Приближенное значение средней длины пути луча определяется
выражением
70 = 0,9 • 4V/F, (2.254)
где V объем газа; F — площадь поверхности окружающей его
оболочки.
19.6 Радиационно-конвективный теплообмен
В реальных условиях теплопроводность, конвекция и тепловое
излучение могут действовать совместно. При этом одни виды пе-
реноса теплоты преобладают, влияние других незначительно и их
239
можно не учитывать. Например, в газоходах паровых котлов теп-
лота передается не только излучением, но и конвекцией. Здесь
поверхностная плотность суммарного теплового потока
q = q. + 9л = сс (/ст - /ж) + гс. [(Тст/ЮО)4 - (Тж/100)4]. (2.255)
В практических расчетах пользуются формулами конвективного
теплообмена, в которые вводится коэффициент радиационно-кон-
вективной теплоотдачи асл:
q = <хСл (/ст ^ж) = 4“ ал) ^>к)> (2.256)
ЕС0 [(71 /100)4 - (Тж/100)4]
где ал =------------7----------------поправка на теплообмен излу-
*СТ
чением. Для капельных жидкостей ал = 0.
В тех случаях, когда поток теплоты излучением превышает кон-
вективный, суммарную поверхностную плотность потока теплоты
рассчитывают по формулам, полученным для теплообмена излуче-
нием:
q = (8К + 8) Со [(Тст/100)4 - (Тж/100)4], (2.257)
а Уст —
где Sk = Со [(Тст/100)4- (Тж/100Н •
Примеры решения задач
Задача 19.1. Определить потери теплоты излучением с 1 м паропровода, если
его наружный диаметр dr = 0,3 м, поглощательная способность Аг — 0,9, тем-
пература стенки tCT = 450 °C, а температура окружающей среды 1Ж = 50 °C.
Решение. При излучении в неограниченном пространстве согласно
формуле (2.245)
qi = А.с^ [(Тст/100)4- (Тж/100)4] =
= 0,9 * 5,67 • 3,14 . 0,3 [(773/100)4 — (323/100)4] = 16 640 Вт/м.
Примечание. Величина ndt — F — площадь поверхности 1 м трубопровода.
Задача 19.2. Решить предыдущую задачу при условии, что паропровод
окружен экраном (d3 = 0,4 м; Аэ = 0,82).
Решение. Температуру экрана найдем из уравнения баланса энергии
в системе паропровод — экран — окружающая среда:
= л|эл</1Со [<тст/юог - (тэ/юо)4] = Л9лаэсо [<тэ/ ioo)« - (тж/1оо)4].
Приведенная поглощательная способность системы паропровод — экран
= 1/Д, 4-^(1/4э— 1)/Гэ = 1/0,8 + л • 0,3 (1/0,82 — 1)/(я • 0,4) = °’706,
Подставив численные значения величин, входящих в уравнение баланса энер-
гии, получим
0,706л • 0,3.5,67 [(773/ЮО)4 — (7\/100)4] =
= 0,82л • 0,4 . 5,67 [(7\/100)4 — (323/ЮО)4],
откуда
Г/ 273 4-450 \4 ]
(Тэ/100)4--> 1467; ^ = 0,706 • 3,14 • 0,3 • 5,67 I-------- — 1467 =
L\ 1ии j j
= 7931 Вт/м.
240
Контрольные вопросы и задания
1. Объясните механизмы переноса теплоты излучением.
2. Что называется монохроматическим потоком излучения? Как связана поверх-
ностная плотность излучения с потоком излучения?
3. Выведите уравнение, связывающее результирующее излучение с эффектив-
ными излучениями.
4. В чем сущность закона Планка? Нарисуйте график распределения поверхност-
ной плотности монохроматического излучения от длины волны и температуры.
5. Запишите уравнение закона Стефана — Больцмана для абсолютно черных
и серых тел. Изобразите спектр излучения этих тел. В чем физический смысл
степени черноты тела?
6. Запишите выражение закона Кирхгофа для интегрального и монохроматиче»
ского излучения.
7. Запишите выражение угловой плотности и интенсивности (яркости) излуче-
ния. В чем сущность закона Ламберта?
8. В чем физический смысл угловых коэффициентов излучения и их свойств
(взаимности, замыкаемости)?
9. Выведите общее уравнение для теплового потока излучением между двумя
серыми телами в замкнутом пространстве. Примените это уравнение к двум
параллельным поверхностям и телам, из которых одно не имеет вогнуто-
сти.
10. ЕВ чем суть методики расчета теплообмена при наличии экранов?
11. Перечислите особенности излучения газов. Как применяется закон Стефа-
на — Больцмана для газов?
12. Выведите формулу для определения коэффициента радиационно-конвек-
тивной теплоотдачи.
Глава 20. ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
20.1. Классификация теплообменных аппаратов
Теплообменными аппаратами, или’ теплообменниками, назы-
ваются устройства, предназначенные для передачи теплоты от бо-
лее нагретой жидкости к менее нагретой. Жидкость, от которой за-
бирается теплота, называется горячим теплоносителем, а жидкость,
воспринимающая теплоту,— холодным теплоно-
сителем. По способу передачи теплоты разли-
чают смесительные (контактные) и поверхност-
ные теплообменники.
В смесительных теплообменниках теплообмен
осуществляется путем непосредственного кон-
такта и смешения горячего и холодного тепло-
носителей. Примерами таких аппаратов являют-
ся скрубберы, в которых происходит взаимодей-
ствие между жидкой и газообразной фазами. Для
увеличения поверхности соприкосновения фаз
жидкость разбрызгивается на мелкие капельки
или стекает тонкой пленкой по поверхности
специальной насадки (керамические кольца,
куски кокса, деревянные рейки и др.).
Схема скруббера, предназначенного для
Газ
Рис. 20 1. Схема
скруббера
охлаждения горячих газов жидкостью, показана
на рис. 20.1. Насадка 1 располагается на
16 9-2570
241
Рис. 20.2. Схема вращающегося реге-
неративного) ;юзл ’хоподогревателя
Рис. 20.3. Схема кожухотрубного ре-
куперативного теплообменника
решетке 2, в которой имеются отверстия для прохождения газа
и стока жидкости. Орошающая жидкость подается на насадку по-
средством распределительного стакана 3, в котором имеется боль-
шое количество отверстий диаметром 3...6 мм. Направляющий
конус 4 служит для отвода жидкости от стенки аппарата.
Имеются также безнасадочные скрубберы, в которых жидкость
разбрызгивается с помощью большого количества форсунок. Раз-
новидностью скруббера являются градирни, предназначенные для
охлаждения воды воздухом.
Поверхностные теплообменные аппараты разделяются на реге-
неративные и рекуперативные. В первых теплота горячих газов
аккумулируется насадкой (металлические шары или листы, керами-
ческая сыпучая масса, кирпичи и др.), а затем передается нагрева-
емому газу путем его продувания через горячую насадку. Приме-
ром может служить вращающийся регенеративный воздухоподогре-
ватель, показанный на рис. 20.2. Он состоит из вращающегося ро-
тора /, собранного из пакетов тонких гофрированных листов 2
(насадка). Эти листы образуют продольные каналы для прохода
газов. Ротор разделен на 12 секторов радиальными перегородками,
с помощью которых поток холодного воздуха отделяется от потока
горячих газов. Подвод и отвод газов и воздуха осуществляются
через патрубки, расположенные с торцевых сторон корпуса 3 теп-
лообменника. Ротор вращается с частотой 2... 10 об/мин, благодаря
чему теплоаккумулирующая насадка проходит поочередно через
зону нагретых газов, где она воспринимает теплоту, и через зону
холодного воздуха, где теплота передается от насадки к воздуху.
В рекуперативных аппаратах теплота от горячего теплоносите-
ля передается к холодному через разделяющую их стенку.
На рис. 20.3 изображена схема кожухотрубного рекуперативного
242
теплообменника. Теплопередающие поверхности здесь образованы
пучком труб 3, закрепленных в трубных решетках 2. Грубы распо
ложены внутри общего кожуха /. Один из теплоносителей / движет-
ся внутри труб, другой 7/ — в пространстве между кожухом и тру-
бами (межтрубном пространстве).
В зависимости от взаимного направления потока горячей и хо-
лодной жидкостей различают три основные схемы движения жид
костей: 1) если обе жидкости движутся параллельно в одном на
правлении, то схема движения называется прямотоком; 2) если
обе жидкости движутся параллельно, но в противоположных на-
правлениях, то схема движения называется противотоком; 3) если
одна жидкость движется в направлении, перпендикулярном к на-
правлению движения другой, то схема движения называется пере-
крестным током. Кроме указанных, существуют более сложные
схемы движения, являющиеся различными комбинациями рас-
смотренных основных схем.
20.2. Расчет рекуперативных
теплообменных аппаратов
Рассмотрим основы теплового расчета рекуперативного теплообмен-
ника. Заметим, что основные положения этого расчета сохраняются
и для теплообменных аппаратов других типов. Тепловой расчет
теплообменного аппарата может быть проектным, целью которого
является определение площади поверхности теплообмена, и пове-
рочным, в результате которого при известной поверхности нагрева
определяются количество передаваемой теплоты и конечные темпе-
ратуры теплоносителей. В обоих случаях основными расчетными
уравнениями являются:
уравнение теплопередачи
Q = kF (t'Ai.] — (2.258)
уравнение теплового баланса, которое при условии отсутствия
тепловых потерь имеет вид
Q = G, (hi ~h"i) — G2 (h2 — h2), (2.259)
где G — массовый расход теплоносителя, кг/с; h — удельная эн-
тальпия, Дж/кг. Здесь и далее индексы 1,2 относятся соответствен-
но к горячей и холодной жидкостям, индексы ', " — к параметрам
жидкости на входе в аппарат и на выходе из него.
При отсутствии кипения или конденсации уравнение (2.259)
можно записать в виде
Q ~ (^ж1 /ж|) “ G2Cp9 (/Ж2 — /«г), (2.260)
где сР1 и ср2 — средние теплоемкости теплоносителей. Величина
С = Gcp представляет собой теплоемкость массового расхода к
называется расходной теплоемкостью.
16*
243
Из уравнения (2.260) следует:
С] __ ^ж2 ^ж2 _ ^ж2
~2 / _ f , ~ &Ж1
3 *ж! *Ж1 Ж1
(2.261)
где 6/Ж1 и б/ж2 — изменение температур горячего и холодного теп-
лоносителей.
В общем случае температуры жидкостей внутри теплообменни-
ка не остаются постоянными. Поэтому уравнение теплопередачи
(2.258) действительно лишь для элемента поверхности теплообмена
dF, а для всей поверхности F оно записывается так:
Q = J kiMidF = kF\t^ (2.262)
F
где k и Д/Ср — средние значения коэффициента теплопередачи и
температурного напора в теплообменнике. Уравнение (2.262) по
известным значениям k и Д/ср позволяет определить площадь теп-
лопередающей поверхности.
20.3. Средний температурный напор
Средний температурный напор в некоторых простых схемах тепло-
обменных аппаратов можно определить аналитическим путем. Рас-
смотрим теплообменный аппарат, работающий по схеме прямотока
(рис. 20.4, а). Тепловой поток, передаваемый через элемент поверх-
ности dF, определяется уравнением теплопередачи
dQ^k^-t^dF, (2.263)
где ^К1 и /ж2 — текущие значения температур.
Рис. 20.4. Изменение температур рабочих тел при прямотоке (а) и противо-
токе (б)
244
Температура горячей жидкости понизится на d/>Ki» а холоди.>А
повысится на dt^. Следовательно,
dQ — С^(ИЖ\ = С2б//Ж2»
(2.2641
откуда
dt^ = — dQ/Cp dt^ = dQ/C2. (2.265)
Изменение температурного напора при этом определится урав-
нением
d (ki — М = dt^x — мж2 = — (1 /Сг + 1 /С2) dQ = ~ mdQ,
где т = 1/Q + 1/С2.
Подставив в уравнение (2.266) dQ по (2.263), получим
d (Cd Ск2) ~ rnk (Cd С<2) dF.
Обозначив Си — С<2 = A/z, перепишем (2.267) в виде
dAC/AC = — rnkdF.
Интегрирование уравнения (2.268) при постоянных
т. е.
(2.266)
(2.267)
(2.268)
т и
Д/"
дг
= — mk dF
6
дает
In (А/"/АС) = — mkF,
где АС = 41 — /ж2 и А/" = Си — С<2 — температурные
на входе в аппарат и выходе из него.
Запишем уравнение (2.269) в виде*
In (АС/АГ) - mkF - (I А + 1 /С2) kF
и подставим сюда С± и С2 из (2.260) и (2.261):
In 4? = + 6'"> = Tf К'.! - W ~ О> ’
- К'ж. - Q - <С, -'«)! - - ЛО.
Тогда
(2.269)
напоры
Q — kF ~
~ кг in (Д/'/ДГ) •
Однако Q = kFAtCp. Поэтому
4Z"P “-птло <2-2™)
Полученное значение температурного напора называется сред-
ним логарифмическим. Точно так же выводится формула для опре-
деления среднего температурного напора аппарата с противотоком
(рис. 20.4, б)
— At" __ (^Ж1 С(2) <С<1 ^ж2)
А ср ~ 1П
(2.271)
. SkI *ж2
1П —г,----
Cd ^ж2
245
Формулы (2.270) и (2.271) можно свести в одну:
Д<б — Л/м
Д^Р- 1п(Д/б/Д/м) ’
(2 272)
где Л^б и Д/м — соответственно больший и меньший температур-
ные напоры на входе в аппарат и выходе из него. При Д/б/Д/м
1,7 средний логарифмический напор может быть заменен средней
арифметической разностью температур Д/ = 0,5 (Д/б + Д/м)
Для схем перекрестного тока и других более сложных схем
движения теплоносителей средний температурный напор определя-
ется выражением
Д/ср — 8д^Д/
противоток,
(2.273)
.где еД/ — поправка, которую находят по графиками зависимости от
следующих вспомогательных величин:
^ж2 ^ж1 , р ^ж2 ^ж2
^ж2 "ж2 ^ж1 ^ж2
(2.274)
Сравнение средних температурных напоров показывает, что
при одинаковых температурах теплоносителей на входе в аппарат
я выходе из него наибольший температурный напор будет в тепло-
обменнике с противотоком, наименьший — с прямотоком, благода-
ря чему поверхность первого оказывается меньшей, чем второго.
Заметим, что в тех случаях, когда расходная теплоемкость од-
ного из теплоносителей намного отличается от другого или когда
средний температурный напор значительно превышает изменение
температуры одного из теплоносителей, обе схемы становятся рав-
ноценными.
20,4, Расчет конечных температур
рабочих жидкостей
При поверочном расчете теплообменников поверхность теплообмена
задана. Известны также начальные температуры жидкостей и их
расходные теплоемкости. Искомыми являются конечные темпера-
туры и передаваемый тепловой поток. В приближенных расчетах
принимают, что температуры рабочих жидкостей изменяются по
линейному закону. Тогда
Из уравнения теплового баланса следует:
(2.275)
^ж1 — Лк1 Q/Ci‘i — ^ж2 — Q/C2. (2.276)
Подставив эти выражения в уравнение (2.275), получим
^ж1 ^ж2
Q l/(kF) + 1/(2Сх) + 1/(2С2) •
(2.277)
Мб
Определив значение Q и подставив его в уравнение (2.276),
найдем температуры теплоносителей на выходе из аппарата.
Пример решения задачи
Определить поверхность нагрева противоточного теплообменника типа «труба в
трубе». По внутренней трубе движется греющая вода. Начальная температура
воды t\ = 90 °C, массовый расход GT— 1,5 кг/с. Диаметр трубы = 40/
37 мм, коэффициент теплопроводности ее стенки X = 50 Вт/(м • К). Нагреваемая
вода движется внутри кольцевого канала между трубами. Внутренний диаметр
внешней трубы D — 60 мм. Расход нагреваемой воды G2 = 1,4 кг/с, ее темпера-
тура на входе = 20 °C, на выходе °C-
Решение. Приняв теплоемкость воды с= 4190 Дж/(кг • К), определим
количество теплоты, передаваемой греющей водой:
Q = G2c (t"2 — ф == 1,4 . 4190 (70 — 20) = 292 180 Вт,
Температура греющей воды на выходе из аппарата
Физические параметры греющей воды при ее средней температуре /ж1 «
= 0,6 (90 + 44) = 67 °C : рх = 978 кг/м3, Vi = 0,433 . 10“G м2/с, Л, =
« 0,665 Вт/(м . К), Ргх = 2,68.
Физические параметры нагреваемой воды при ее средней температуре /ж2 «
— 0,5 (20 + 70) = 45 °C : р2 = 990 кг/м2, v2 = 0,607 . 10“6 м2/с, Х2 =
•=0,641 Вт/(м • К), Рг2 = 3,93.
Скорости движения теплоносителей:
4G, 4-1,5 , ,
Ш1 “ P1ndf ~ 978л • 0:0372 ~ ’42 М/С’
4G2 _ 4 • 1,4 ,
W2~ р2л(Р2 —ф 990л (0,062 — 0,042) U> М/С-
Число Рейнольдса для греющей воды
Поскольку Rej > 104, коэффициент теплоотдачи находим из уравнения
(2.179). Так как Ud > 50, то е7 = 1. Принимаем температуру стенки /ст —
0,5 (/ж1 + /ж2) ~ 0,5 (07 + 45) = 56 °C. При этой температуре Ргст = 3,204.
Тогда
Nu, = 0,021 (121 000)0,8 (2,68)0'43 (2,68/3,2О4)0’25 1 = 357;
Nux^x 357 • 0,665 on D 2 „
а, = = —о7о-зу— = 6420 Вт/(м2 К).
Эквивалентный диаметр канала для нагреваемой воды
d = ~ = D — d2 = 0,06 — 0,04 = 0,02 м.
эк S — 7id2
Число Рейнольдса
Re2 =
^2^ эк
v2
0,9 • 0,02
0,607 • 10~6
= 29 670 > 10*.
247
Число Нуссельта
Nu2 = 0,021 (29 670)п'8 (3,93)0,43 (3,98/3,204)°-25 . 1 = 151.
Коэффициент теплоотдачи
Ъ = 1510,02641 = 4825 Вт/(м2 • К)<
Поскольку для внутренней трубы d2/d± = 1,08 < 1,8, коэффициент тепло-
передачи (Определяем по формуле (2.83), как для плоской стенки:
1 1
& =__________________- ________________________________ _
1/<Х1 + 6Д + 1/а2 1/6420 4- 1,5- 10-3/50 4- 1/4825
= 2544 Вт/(м1 2 • К).
Здесь б = 0,5 № — = 0,5 (40—87) • 10“3 = 1,5- 10~3 м.
Средняя логарифмическая разность температур при противотоке
_ (< - 4) - <4 - h) _ (90 - 70) - (44 - 20) _ ,о _
' . 90— 70 3 U
П 44 — 20
1
t2
Площадь поверхности нагрева
р = _2______292 '«О _ 5 37 м*
7 Ш 2544 -21,4 ~5,37 *
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите уравнения теплового баланса и теплопередачи для рекуператив-
ного теплообменника. Что называемся расходной теплоемкостью?
2. Изобразите графики температур теплоносителей в теплообменниках с прямо-
током и противотоком. Запишите формулу для определения средней лога-
рифмической разности температур.
3. Изложите приближенный метод определения конечных температур теплоно-
сителей.
4. Сформулируйте задачи проектного и поверочного расчетов теплообменников.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П. 1. Параметры насыщенного водяного пара по давлениям
р, МПа Эо ‘Н/ ма/кг р, кг/м3 h', кДж/кг h", кДж/кг г, кДж/кг s', кДж/(кгх х К) S", кДж/(кгХ X К)
0,001 6,92 0,00100001 129,9 0,00770 29,32 2513 2484 0,1054 8,975
0,002 17,51 0,0010014 66,97 0,01493 73,52 2533 2459 0,2609 8,722
0,003 24,10 0,0010028 45,66 0,02190 101,04 2545 2444 0,3546 8,576
0,004 28,98 0,0010041 34,81 0,02873 121,42 2554 2433 0,4225 8,473
0,005 32,88 0,0010053 28,19 0,03543 137,83 2561 2423 0,4761 8,39.’
0,006 36,18 0,0010064 23,74 0,04212 151,50 2567 2415 0,5207 8,328
0,008 41,54 0,0010085 18,10 0,05525 173,9 2576 2402 0,6927 8,227
0,010 45,84 0,0010103 14,68 0,06812 191,9 2584 2392 0,6492 8,149
0,011 47,72 0,0010111 13,40 0,07462 199,7 2588 2388 0,6740 8,116
0,012 49,45 0,0010119 12,35 0,08097 207,0 2591 2384 0,6966 8,085
0,014 52,58 0,0010133 10,69 0,09354 220,1 2596 2376 0,7368 8,031
0,016 55,34 0,0010147 9,429 0,10С00 231,7 2601 2369 0,7722 7,984
0,018 57,82 0,0010159 8,444 0,1185 241,09 2605 2363 0,8038 7,944
0,020 60,08 0,0010171 7,647 0,1308 251,4 2609 2358 0,8321 7,907
0,025 64,99 0,0010199 6,202 0,1612 272,0 2618 2346 0,8934 7,830
0,030 69,12 0,0010222 5,226 0,1913 289,3 2625 2336 0,9441 7,769
0,050 81,35 0,0010299 3,239 0,3087 340,6 2645 2204 1,0910 7,593
0,075 91,80 0,0010372 2,216 0,4512 384,5 2663 2278 1,2130 7,456
0,010 99,64 0,0010432 1,694 0,5903 417,4 2675 2258 1,3226 7,360
0,012 104,81 0,0010472 1,429 0,6999 439,4 1683 2244 1,3606 7,298
0,14 109,33 0,0010510 1,236 0,8088 458,5 2690 2232 1,4109 7,246
0,16 113,32 0,0010543 1,091 0,9964 475,4 2696 2221 1,4550 7,202
0,20 120,23 0,0010605 0,8854 1,129 504,8 2707 2202 1,5302 7,127
0,26 128,73 0,0010683 0,6925 1,444 540,9 2719 2178 1,621 7,040
0,30 133,54 0,0010733 0,6057 1,651 561,4 2725 2164 1,672 6,992
0,40 143,62 0,0010836 0,4624 2,163 604,7 2738 2133 1,777 6,897
0,50 151,84 0,0010927 0,3747 2,669 640,1 2749 2109 1,860 6,822
0,60 158,84 0,0011007 0,3156 3,169 670,5 2757 2086 1,931 6,76!
0,80 170,42 0,0011149 0,2403 4,161 720,9 2769 2048 2,046 6,663
1,0 179,88 0,0011273 0,1946 5,139 762,7 2778 2015 2,148 6,587
1,2 187,95 0,0011385 0,1633 6,125 798,3 2785 1987 2,216 6,523
1,4 195,04 0,0011490 0,1408 7,103 830,0 2790 1960 2,284 6,469
1,6 210,36 0,0011586 0,1238 8,080 858,3 2793 1935 2,344 6,422
1,8 207,10 0,0011678 0,1104 9,058 884,4 2796 1912 2,397 6,379
2,0 212,37 0,0011766 0,09958 10,041 908,5 2799 1891 2,447 6,340
2,5 223,93 0,0011972 0,07993 12,51 961,8 2802 1840 2,654 6,256
3,0 233,80 0,0012163 0,06665 15,00 1008,3 2804 1896 2,646 6,186
4,0 250,33 0,0012520 0,04977 20,09 1087,5 2801 1713 2,796 6,070
249
П родолжение табл. П.1
•to с £ сх о е S £ » ъ ‘d h', кДж/кг h", кДж/кг г. кДж/кг s'i кДж/(кг> X К) s", кДж/(кт X X К)
5,0 263,91 0,0012857 0,03944 25,35 1164,4 2794 1640 2,921 5,973
6,0 275,56 0,0013185 0,03243 30,84 1213,9 2785 1570,8 3,027 5,890
7,0 285,80 0,0013510 0,02737 36,54 1267,4 2772 1504,9 3,122 5,814
8,0 294,98 0,0013838 0,02353 42,52 1317,0 2758 1441,1 3,208 5,745
9,0 303,32 0,0014174 0,02048 48,83 1363,7 2743 1379,3 3,287 5,678
10,0 310,96 0,0014521 0,01803 55,46 1407,7 2725 1317,0 3,360 5,615
11,0 318,04 0,001489 0,01592 62,58 1450,2 2705 1255,4 3,430 5,553
12,0 324,63 0,001527 0,01426 70,13 1491,1 2685 1193,5 3,496 5,493
13,0 330,81 0,001567 0,01277 78,30 1531,5 2662 1130,8 3,561 5,432
14,0 336,63 0,001611 0,01149 87,03 1570,8 2638 1066,9 3,623 5,372
’5,0 342,11 0,001658 0,01035 96,62 1610 2611 1001,1 3,684 5,310
16,0 347,32 0,001710 0,00931 107,3 1650 2582 932,0 3,746 5,247
18,0 356,96 0,001837 0,00750 133,2 1732 2510 778,2 4,871 5,107
20,0 365,71 0,00204 0,00585 170,9 1827 2410 583,0 4,015 4,928
22 0 373,70 0,00273 0,00367 272,5 2016 2168 152,0 4,303 4,591
$
м.
4
3
Г аблпца П.2. Параметры насыщенного водяного пара по температурам
и р, МПа V', м3/кг V", м8/кг Р, кг/м? h', кДж/кг h", кДж/к г г, кДж/кг s', кДж/(кгХ X К) s". кДж/(кгх X К)
0 0,006108 0,0010202 206.30 — и 2501 2501 и 9,1544
10 0.001228' 0,0010004 106,42 0,009398 42.04 2519 2477 0,1510 8,8994
20 0.002337 0,0010018 57,84 0,01729 83,90 2537 2454 0,2963 8,6665
50 0,01233 0,0010121 120,04 0,8306 209,3 2592 2383 0,7038 8,0753
80 0,04763 0,0010290 3,408 0,2934 334,9 2643 2308 1,0753 7,6116
100 0,10132 0,0010435 1,673 0,6977 419,1 2676 2254 1.3071 7.3547
225 0,23208 0.0010649 0,7704 1,298 525,0 2713 2188 1,5814 7,0777
150 0,4760 0,0010906 0,3926 2,547 632,2 2746 2114 1,8418 6,8383
175 0,8925 0,0011208 0,2166 4,617 741,1 2773 2032 2,0909 6,6256
200 1,5551 0,0011565 0,1272 7,862 852,4 2793 1941 2,3308 6.4318
225 2,55 0,0011992 0,07837 12,76 966,9 2802 1835 2,5640 6,2488
250 3,98 0,0012512 0,05006 19,98 1085,7 2801 1715 2,7934 6,0721
275 5,95 0,0013168 0,03274 50,53 1210,7 2785 1574,2 3,0223 5,8938
300 8,59 0,0014036 0,02164 46,21 1344,9 2749 1404,2 3,2548 5,7049
325 12,06 0,001539 0,04170 70,54 1493,6 2684 1190,3 3.5002 5,4891
350 16,54 0,001741 0,008803 113,60 1671,5 2565 893,5 3,7786 5,2117
374 22,09 0,00280 0,003470 288,0 485,3 2150,7 27,4 4,3258 4,5418
260
251
252
список
РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ ___
1. Андрющенко А. И. Основы технической термодинамики реальных процессов.—
М. : Высш, шк., 1975.— 261 с.
2. Арнольд Л. В., Михайловский Г. А., Силиверстов В. М. Техническая тер-
модинамика и теплопередача.— М. : Высш, шк., 1979.— 446 с.
3. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача.— М. : Энер-
гоиздат, 1981.— 416 с.
4. Костенко Г. Н. Эксергетический анализ тепловых процессов и установок.—
Одесса : ОПП, 1964.— 28 с.
5. Краснощеков Е. А., Сукомел А. С. Задачник по теплопередаче.— М. : Энер-
гия, 1980.— 288 с.
6. Кушнырев В. И., Лебедев В. И., Павленко В. А. Техническая термодина-
мика и теплопередача.— М., Стройиздат, 1983.— 464 с.
7. Ривкин С. Л., Александров А. А. Термодинамические свойства воды и водя-
ного пара.— М. : Энергия, 1975.— 80 с.
8. Техническая термодинамика / Под род. -В, И. Крутова.— М. : Высш, шк.,
1981 — 433 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анергия 39
Аппараты рекуперативные 242, 243
— теплообменные 241
Баланс эксергетический 144
Вероятность термодинамическая 40
Вещества термодинамически подобные
60
Влагосодержание 76
Газы идеальный и реальный 10
Градиент температурный 150
Давление 10, 12, 15, 58, 61
Двигатели бескомпрессорные ИЗ
— внутреннего сгорания 109
— тепловые 103
Диаграмма влажности воздуха 77
— водяного пара 67
— индикаторная 98, 111
Диаграммы фазовые 59, 63
Диффузия вещества 223
Диффузоры 86, 90
Дросселирование газов и паров 91
Закон Амага 15
— Дальтона 15
— Кирхгофа 233
— Планка 231
— Стефана — Больцмана 232
Законы теплового излучения 231
— термодинамики 7, 24, 33, 40
Излучение тела 231
Изоляция тепловая 172
Интенсивность излучения 234
Испарение жидкости 61
Истечение газов и паров 86, 90
Кипение жидкости 61, 215
Компрессоры 94, 95
Конвекция жидкостей и газов 148
Конденсация пара 61, 220
Коэффициент излучения тела угловой
235
— использования теплоты 125
— оребрения 175
— преобразования теплоты 105, 138
— Пуассона 29
— сжимаемости газа 57
— температуропроводности 154, 162
— теплоотдачи 151, 197, 240
— теплопередачи 170, 171, 175
— теплопроводности 151, 163, 167
— холодильный 35, 104
К- п. д. компрессоров 97, 98
--------теплового двигателя 121, 122
--------цикла 34, 106, 111, 114
—-------эффективный установки 141
Критерии подобия 160, 209
Массообмен 149
Материалы теплоизоляционные 163
Метод аналогии 192
— Клода 138
— конечных разностей 187
— к. п. д. 140
— Линде 138
— масштабных преобразований 160
— эксергетический 141
— энергетический 140
Моделирование теплоотдачи 201
Нагнетание газов и паров 94
Нагрузка тепловая 150
Напор температурный средний 244
Наносы тепловые 105, 131, 137
Параметры состояния 10, 17, 58
Пар водяной 60, 61, 65
Переход фазовый 59
Плотность потока 223, 230, 234
Показатель политропы 52
Поле температурное 149
Полосы спектра излучения газов 238
Постоянная газовая удельная 15, 48
Поток 150, 230
Проводимость стенки тепловая 166
Процесс парообразования 64
— перегрева пара 66
— подогрева воды 63
— термодинамический 11, 12, 20, 33,
36, 40, 46, 47, 50, 51, 70, 72, 226
Психрометр 78
Пучки труб 211
Работа индикаторная 121
254
• — максимально полезная 39
— проталкивания удельная 34
— процесса 9
— располагаемая удельная 85
Разрежение 13
Реакторы энергетические 127
Режимы движения жидкости 196, 208
— кипения —185, 216, 217
Сжатие газа 97
Системы термодинамические 9
Слои пограничные 196, 197
Сопла 86, 89
Сопротивление стенки термическое 166,
169, 170
Спектры излучения тел 229
Степень сухости пара 61
— перегрева — 63
Сублимация 63
Сушилки 81
Сушка 80
Тела рабочие 9
Температура абсолютная 10, 13
— инверсии 92
— мокрого термометра 79, 226
— насыщения 61, 79
— определяющая 161
— точки росы 75
Теоремы Карно 106, 108
— подобия 161
Теплоемкость газовой смеси 32
— расходная 243
— тела 23, 26
---изобарная 27, 29
— — изохорная 27, 29
--- истинная 27, 30
--- молярная 27
— — объемная 27
---средняя 27, 30
---удельная 27
Тепломассообмен 149, 223
Теплообмен 148, 149, 196, 229, 234, 237,
239
Теплообменники 241
Теплоотдатчик 10
Теплоотдача 149, 204, 208, 210, 212,
215, 220
Теплопередача 148, 149, 169, 174
Теплоперепад располагаемый удельный
86
Теплоприемник 10
Теплопроводность 148, 165, 167, 169,
177
Точка крп пек*» । лч '».ч
— тройная
Точки поршня чернил- '», i io
Туман 74
Уравнение Гюи — Стодолы 39
— движения жидкости 155
— Майера 28
— Майера — Боголюбова 160
— подобия 161
— состояния смеси идеальных газов 15
---термическое 14
— сплошности жидкости 156
— теплоотдачи —154
— теплопроводности дифференциаль-
ное 162
— термодинамики основное 26
— энергии жидкости 152
Уравнения состояния 14
— теплообмена дифференциальные 15.
— термодинамики —26
Условие неразрывности потока 84
— обратимости процесса 11
Условия граничные 164
— краевые 156
Установки теплофикационные 124
— холодильные 103, 131
Цикл 12, 33
— глубокого холода 138
— Дизеля 112
— обобщенный 109
— обратимый 105
— обратный 103
— ’ Отто 112
— прямой 103
— регенеративный 122
— Репкина 117
— со вторичным перегревом пара 123
— теплового износа 137
— теплофикационный 103, 124
— Тринклера 113
— установки 132, 133, 136
Циклы Карно 105, 106, 107
— комбинированные 126
— установок 115, 117
Числа подобия 160
Эксергия 39, 142, 143, 144
Энергия внутренняя 8, 10, 17
— давления потенциальная 19
Энтальпия 10, 18, 19
Энтропия 10, 19, 20, 37, 38
Эффект Джоуля — Томсона 92
Учебное пособие
Алабовский
Александр Николаевич
Недужий
Иван Афанасьевич
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ТЕРМОДИНАМИКА
И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
3-е издание,
переработанное
и дополненное
Переплет художника
Г. М. Балюна
Художественный редактор
С. П. Духленко
Технический редактор
А. И. Омоховская
Корректор
Л. Г, Любимова
ИБ № 13549
Сдано в набор 27.03.89.
Подписано в печать 16.01.90.
БФ 03009.
Формат 60x907ie-
Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная.
Высокая печать. Усл. печ. л. 16.
Усл. кр.-отт. 16. Уч.-изд. л. 16,96.
Тираж 7000 экз. Изд. № 8486.
Зак. № 9—2570.
Цена 90 к
Издательство
«Выща школа»,
252054, Киев-54, ул. Гоголевская, 7.
Отпечатано с матриц
Головного предприятия
республиканского производствен-
ного объединения
«Полиграфкнига». 252057, Киев, 67,
ул. Довженко, 3 в Киевской
книжной типографии научной
книги, 252004, Киев-4
ул. Репина, 4. Зак. 0-127.