Курс математического анализа. Учебное пособие для вузов - Шабунин М.И., Тер-Крикоров А.М.

Автор: Шабунин М.И. Тер-Крикоров А.М.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ высшая математика
ISBN: 978-5-9963-0796-8
Год: 2012
Похожие
Математический анализ. Углубленный курс.
Курс математического анализа. Часть II. Книга 2.
Курс математического анализа. Часть II. Книга 1.
Курс математического анализа. Том I
Текст
                    a. ivi. i ер-кри коров
M. И. Шабунин
Курс
математическое
анализа
Учебное пособие
5-е издание (электронное)
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2012
a. ivi. i ер-кри коров
M. И. Шабунин
Курс
математическое
анализа
Учебное пособие
5-е издание (электронное)
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2012
22.161
Т35
Рецензент
•встующий кафедрой математики физического факультета МГУ
доктор физико-матем иических наук, профессор
В. Ф Бучп ччв
I ср-Крикиров А. VI.
15 Курс математического анализа [Электронный ресурс]
учебное пособие для вузов / А М Тср-Крикоров, М Й Ei
бунин. —S-е шд. (эл.).—М. : БИНОМ. Лаборатория знщви
2012 —672 с • ил
ISBN 978-5-9963-0796-8
По вопросам приобретения обращаться:
«БИНОМ. Лабораюрия шаиын»
Телефон: (-199,157-5272
e-mail: binom® I,hz.ru. http:ftwww.Lbz.ru
© БИНОМ Лаборатория знаний


ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Символ	Ниваякс	Развпсиеяие
•	Stan оочвости	.Замвклвт слова: г/л любого, да»
э	Эа.и щщасиво^иил	С,Ое” суиест1ует’
►	лимадш)	ват П ыпи И TMBvwT h.i А
	(««ааол^иш саш)	шп 5 ’ i * j г s = S ill! ш?


гачает, что для лювого м > и неравенство |г| ? м не может аыпм
иься для каждого z 6 X Иначе говоря, существует такой злем'ч i
- тм € X (зависящий, вообще говоря, от М), для которого нерав*«
В = {ЗМ>0. ¥аг«Х-а|*]гМ},
Эти примеры показывают, что отрицание утверждения, содер*,
Z М и |д| 5 М соответственно), получается заменой V на 3, 3 я»'

числа и осн_____________г______________________________
идер/ц, гдер— целое, с — натуральное число. В частя или, ли .
пе р — р/I. Например, 0 — (J/1, 1 = 1/1.
оряд »ч ник атих чисел определяется так
а) если pgi = вр>, то а = А;
 умма к проианел ние чисел о и 1> определяются соответственно ।
каст вами
-»й ст вами:
о) ассоциативности'

в) днстрмГутмяностм-
а(А + с) = ob+oc;
го числа а справедливы равенс

Операции вычитания и деления вводятся как обратные со»
а) для любых раци «шалых чисел о, 6 существует (и ярит
> число называют разностью чисел а и i и обозначают о — Ь; в ч
.яти, резкость О — Ь обозначают —Ъ;
б) если Ь /0, то существует единственное число г такое, что
> число называют частник чисел о и б и обозначают о/б.
Отметим еше основные свойства неравенств для рапнояальнм i

В дальнейшем будем иатользоветь следующие обозначения:
W — множество натуральных чисел,
Z множество целых чисел,
Q множество рациональных чисел.
В ьаюж- стве Q можно выполнять не только четыре арифм тич-
!лени Однако даже простейшие квадратные уравнения видах* 3 - «
> <ие т3 — 2 не имеет решений в ьозожестве Q
Таким образом, уже лробл ме решения простых уравнений т: »
' — о, д’ — о, где о € IV, приводит к необходимости расширен
ия к этому множес  I
> юженин всех пшфобностей) покатывается, как такое расшира» .
3. Бесконечные десятичные дроби н их приближения.
' зестно, что любое рациональное число можно представить либ 
ЫОи, используя алгоритм деления “уголком”. Например, рациона
i = 0,375 Аналогично, рациональному числу —27/11 соответст^
в -гт/п^-гдм).
 лается Для итого используется формула суммы бесконечно ужз
 ошей геом'* жческоГ •-«•сгииат* •ж»2-*--. = — ч '
iiir
нуля, — положительным оещ апоеншлм числом. Число вили
4.	Сравнение вещественных чисел.
а)	Сравнений неотрицательных чисел Два неотрниате-ьаадх
бывают равными и пишут а — 0, если в* ~ЪЛ при Л =0,1,2,...,
ластностк, {о - 0} « (яь = 0, * -0,1,2,
Дадим определение соотношений а < 0 и о > 0 Говорят, что ч-
Запись к = (l,n — 1 означает, что равенство о* — й* выполняй -
и значениях Лот 0 доп — 1 включительно, так чтоп—неименье •
{а > 0} 4» {Во > м V {Эп ЕIV- о, = к = O,n—1; Си > М
Из определения равенства а = 0 и неравенств а < 0 к а > 0 «а»
эт, что для любых неотрицательных вещественных чисел о I
ежа о справедливо неравенетяо я э 0.
б)	бра и<нье произвольных вещ ственных чисел. Назовем ли*м
м вещественного числа а вещественное числя, обозначаемое сим«-
и |а|, прелстп имое той же бесконечной десятичной дробью, чт
суда следует, что |о| — неотрицательное веидаствадное число >е
Если а — неотрицательное, 0 — отрицательное число, то считал»
Если оба числа а и В отрицательны (а < 0. в < 0), то будем с
поется rnanve рациональное число r, vna


.«ул» следует, что
а любом пЕ W Однако при п = т неравенство(17) не выполняет *
и 1.	•
। ссмотрим прямую t (рис 1.2), выберем на ней начало отсчет» (тм
О) и масштабный отрезок ОЕ длины 1. Числу О поставит
>мметричную точке Е относительно О Пплоаките1ьнг»иу чи i
нося справа от О на расстоянии о, < отрицательному чи>
ялнии |3|-
। аксиом теом трин н свойств вещественных чисел следует, «•!
уборот, каждой точке числовой прямой соответствует кекото»«
ежество Я с множеством точек числовой прямой, а веществен!
Условимся о следующих обозначениях для некоторых каибо-
Точки а и b называют концами отрваки, интервала, полуинтервь
— левым концам^ Ь правым); отрезок |о,б], интервал (о.Ь),
Наряду с конечными i
а кные промежутки:
а) интервалы
кутками рессматртееют также бввш

 -
Пример 1.Записать |Л с помощью кванторов,если
. По условию А = {Vz€X -az С С} Используя правило востро
МШанил (§ 1, пример 2), получаем
Пример 2. Записать | В, если
В = {множество X огракиченосниэу}.
По условию В = {ЗС е R. Vz € X -е z ? С}. Поттому


2. Определение точной верхней и нижней грани. Пу
. ства X Таким образом, ограниченное сверху числовое множес»
-еет бесконечно много верхних граней, среди которых особую р 
эает наименьшая. Речь идет о числе М. оОладанхд м следующие
о) яюбое число М' меньшее М, не является верхней гранью м»
Это число М Рулем в дальнейшем называть точной верхней г-
ю мн жестка X. Сформулируем опрелел ние точной верхней гр»
омошью символов. Чтобы порч ре-----------------------
определение"

нового множества Х.если выполняются слеяукшые условия
VxeX-ег^ М,
Va<M3r0€X »„>о

ь нанявший элемент До- Обозначим
 ства Хо. Так как ьаюжество Е> конечно (его элементами moi
nuucoi наибольший из первых десятичных знаков злемен

-тустых множеств и последовательность десятичных знаков i
Рассмотрим десятичную дробь г —	— $),{зп}. Покажи
вверить
> условия (6), рассмотрим три возможных ow
г (S), то о* Л, при к = 0,1,2,- . откуда, по определению числ)
ожества Л,д и числа т, следует, что
юэтому х < Я. Таким образом, н*рав нство (6) доказано.
Проверим условие (7) Если xf < 0, то (7) имеет место при люб 

станет и воинственна

этому число с — вир ь у
чих чисел cyiuecmayem и единственно
«=0 + -г<5„.
Применяя неравенства (Ю)-(12) и первое из неравенств (4),
эедеяению суммы находим

14) с учетом неравенства б б' подучаем
й сложения и умножения.
1 вещественных чисел справедливы следующие свойства:
античные приближения числе а с недостаткам и с нчВьгпазм I
,« а > О, то найдется такое т € Л, что > Itr”*. Обозначим «
iX множество рациональных чисел вида =--,n€W,e через V
южество рациональных чисел вила — Вейлу теоремы 2, § 2
ствует вещественное число х, разделяющее множества X и У. т
0*
чисел следует, что при п 6 Л

Пусть о н 0 вещественные числа и a f О. Пользуясь вссоша
	вкостью операции умножения вещественных чисел, нетрудно now
	•ь, что число я=0—	есть решение уравнения х<т = 0. Покаж-«
гтся понятие модуля вещественного числа
|в + 4|С|а| + |4|, |а-Ц>||а|-|4||	<1«
	кажем неравенства (10). Складывая н равенства —|а| < а £ |а
И С ь С |Ь], получаем, -его -(|о| + |6]) 4 а + Ь < |о| + 101, т а. |а -
|а| + |Ь|. Так как а — (а — 6) + 6,6 — (Ь — а)+о, то|а]^|а — I -
Ь] и(Ь|С|Ь-“! + |о| = |а - Ц + |а|. Следовательно, |о-Ь| > |а| - *
в-ч > !Ч - |а|. т. е. |о- 4J г ||а| -1»||.
Пусть ст, Ь — заданные в>ш ствеяные числа, причем 6 > 0. То м
равенство

е. множество решений неравенстве (20) — интервал (й — <5,0 +|
|астности, неравенство

э, тогда Ijp < а
1 р

Довел м гдом ры
(П + 1И„ + 2М2п+31

аула получаем
S,
Пример 2. Найти формулу для суммы 5л,есяи
a) S„ = 52“— гДе {°*} арифметическая прогрессия.
в) S„ — К1Г1 fee
а для любого Л € Л, то
I имения формулу (37) для Ь> — получаем

2em~S„ =y.7ein~ein*x
Используя равенство
формулу (37) для б* = — сов |
is, подучаем
2mn^Sfl =соа ~ — соа|
|г = 2аш	2 ип ™2,
S„ — y^ainfex —
Формула (40) справедлива при условии, что ain / (1
Если юн * = О, то S„ = О
£((* + 1)э-*’) = з£^+з]Г
1лива аармцха бинома Ньютона
• (ножая обе части равенстве (44) на а + 6, получаем


ввнявая правые части формул (46) и (47), заключаем, что для “
 *ательсгва равенства (46) достаточно показать, что



ермула (48) верна, в поэтому справедливо равенство (46). Следе—
। тьно, формула (44) верна при любом п € fJ •
Отметим, что

°" Mtn-ty
। этому формулу (44) можно записать в виде
формулы (49) следует, что
r=Vcs^=
Г11НЛЖНЕНИМ К I ЛАК»
МАО «UV в


И±зонч1гя1.¥яо1гз1гэо11 irairadu
задается лоелеА>«1/пмьнаста Фибоны
liner ловатальнэсть, V
*ть называют спишюяоряой), то um 2

Пример 1 Записать с помощью логических символов отрив
> я следующих отвертки яий
а)	А = {число о — предел последовательности {гп}},
б)	В — {{л,,} — сходпшаксл последовательность}
' а) Используя указанное в п, 1 § 1 правило построения сгтрина • i
нарждяиия, сод ричшь го символы V, J, из (1) получаем
I i п зависят, вообще говоря, от Jh, т в. п п(Б).
fl) Из (2) следует, что
какое-нибуль натуральное число, удовлетворяющее услов»•
1/п Возьмем произвольное число е > 0. Н равенство |г

тал часть числа х, т. е. каивольщее целое число, не пр«. оехолв
I , —1| = 1/п С !///< < а- По ооредел нию предела это оэяачн I
> > > lim хп = 1, т е lim —-= 1.
fl) Так как |хп| |о|/пг, а неравенство |а|/пг < е, где е > О, р -
С А’,, где N, — [(|а|/е)"] + 1, справедливо неравенство |ап|<е.Сае*
в)	Если q О, то ®о = 0 для всех п G Л, и поэтому )jm хп = я
Пусть q / U. Обозначим г — 1/|с1, тогда г > 1, так каи |cl < I
илу неравенства Бернулли (§ 3, п 5, (33)). Следовательно,
_ tv/S+Sl"-(Vn + l)' _
суда < z-r’
----.откуданакопим Um x„
ft. £ М2, и поэтому I?
=шах(Л| .ft's), то для всех п > 2Ле будет выполняться неравеяс ч
Пример 3. Пусть 1IO1 г
Un «рея л нию предела дан любогое > О существуют TVi = /V«
д) Используя формулу длясуммы геометрической прогрессии 1
5,СО, (361). получаем х„ =
ля всех п > Ne, где г*е — 11/(<г'_ + 1, выполняются неравенс
. Это означает, что шп х„ = О, т е
зхняются неравенства |з.,





Обозначим р* = т* — a, эп =
ак кек lim уп — О, то по заданному е > 0 можн нейти номер Д’


Обратимся еше раз к определению предела. Согласно определение!
I ело а является пределом последовательности |тл}, если при в»а
а выполняется нерав нстао|т„ — о)<е, которое можно запис. 
горого все члены последовательности {хп}
Этот интервал называют е-трвстностью точки а (рис. 4.1) и о»-
окрестности точки в най-
!Гся номер, начиная с но-	р,(о)
-»го все члены послед а- ...............................   -
1 местности либо нет ин адко-
члека последовательности, либо содержится лишь конечное чя - i
ких символов отраден ине предела последом
Пример 5. Доказать, что последовательность {хл}, где х,
1 ". является расходящейся.
к 6 N Любпе чии
ечио много членов лоследхждтолыюстм (все члены с нечелны-
- Alt. e. последеытеллостъ fi,ll огрвниченв

Дсжаж.м скачали, что
ммом деле, если а„ J; О, то
-суда следуют неравенства (10) Применяя теорему 3, получи-
• верждение (9) а
Пример 8. Доказать, что если о > 1, то
илу неравенства Бернужли Так как оп >0,то иа (12) следует, •
 г примера 2. 6), получи м соотношение (11)
I пользуя теорему 3 и результат примере 2, б), получаем утверж и
- в(13) *
Пример 10 Пусть а > 1. ре W. Доказать, что
lira ^ = 0.
при п >р (§ 3. п 5. (53)).
(₽+!)
йМ?)"- -
У(р-Ы)!
14).



ельности ovikm понкм.



ПН 91 следует-, что

в п г па поелепгнательигстъ. Бром
Докажем скачала методом индукция, что
о (12) б виде
 геемое суммы (16) меньше соответствующего слагаемого <£
(16) подучаем г- <
e КЗ 2,718281828458045.
стяги • юи Ася, то сцществмт воинстоеннал точка, прия
(22) заключаем, что существует зоркая} — с, причем


(20) н Р
1- Подпоследовательность
Например, для поел доеатыалоста 1. 2. 3
2; Ь,, -
Слиювятел.но, {Дл} —
Эпа > ni. я„, € As
Vfc € N	€ Ад, где П1 < Па < - < «*-1 < я*

> ГЛЖНЬНИН Н ГЛАНЬ I

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Например, если f\xj — •
пнем функции f на множество Е1 Например, если Е' = [0, +«•
- Я, на множество Е'
Естеетв иным образом лая функций вводятся арифметичесы*
I зреиии Пусть функции / и д определены иа одном и том же м»
•ст во Е. Тогда функции, значения которых в каждой точке . I
Ермяы Hx} + sM, fM -sfx), /(z)s(x), /fcO/jfr) (s(z) /О ...
:* х € £), называют соответственно суммой, разностью, прокат-•
Введем понятие сложной функции. Пусть функции у =
- /(р) спрея — ны не множествам X и Y соответственно, ври*»*
•ожество значений функции tp содержится в области определен»*
в F(x) —	называют сложной функцией или суп рпо иц -1
- >/4  а2, х € [—2,2], является композицией функций у — 4 -а2
- [-2,2], и я = y/у, ре |0,+оо). Эта функция относится и совок. а
• нкииям относят постоянную, степ иную, логарифмическую, т •
жзомегрические и обратные тритнюметрические функции. Hen -
Ф, элементарными являются функции.
лпл • *4,—I-* 3 4	т — тU|X t оо. Од /-о,	Р ( )
— мн* гьчл ны степени пит, т#О.	Qm(x}
3. Способы задания функции. Числовые функции чаше вс
таются при помощи формул Такой способ ^задания называют №м
спел ния D{f), то принято считать, что E(f) — множество в -«
с значений ергум-ита, при которых зга формула имеет смысл, и
1 гное число. Например, если fix} — >/9 - г2, то />(/} = [—3,3], а е
I г)=лЛж einz, то D(f) — множество корней уравн иинвп«=1,1 i
ожество чисел z* — х/2+2як, где к е 2
, рмулами на разных промежутках. Например, функция
fW =
 тана аналитическим способом на ff с помощью трех различи ..
Иногда фунчпюнельнея зависимость описывается с гид «лью жГ*
гуюшие значения функции Дли значений аргум кта, не епдер- .
хея в таблице, значения функции обычно находят приближен»
На практике часто соответствие между значениями аргумент*
не при изучении работы сердив поду чают влектрокердиогрзммь
-пульсов в мышее сердца. В практике физических ичм р ний фу
опальная зависимость часто задается с помощью эскиза графи
>-м «мсго. например, с экрана осциллографа.
1. График функции. Графиком функции р =f(гг), z€ D(f), в то*
«ясности с координатами (z, /(zj), где х € £(/)-
Для каждого zc € £’(/) прямая х = хо, параллельная оси Оу, п**е
• тает график функции р — /(z), х€ £(/), в одной точке A/o(zo.b-
и котором f(a) — 0, называют нулям функции f(x). Если z — о
яь функции /, то график функции р =
ючке 1И(а,0).
'к фуккиии, точное определение кпто-
о дано нише, и эскиз части графика,
инкмаемый нередко за график.
и р = £(х), где £(z) = [т] — целая
превосхтщяшее z)
х) — п График функции р — £(z) изо-


Пример 4. Гр!
суда следует, что график функиии (3) можно получить сдьигом i
б) часть графика функции fix), лелшцую ниже оси Ох, симме
с чип отразить относительно оси Ох
‘ Применяя указанный выше прием, строим график этой фукки
5. Четные и нечетные функции, функция /, ограда- нння
а)	четной, если для любого х G X выполняются условии — х € •
0) нечетной, если для любого z€ X выполняются условия —те
г<*/, у = 1g |х], у = —, е нечетными функции V =
График четной функции симметричен относительно оси ордика»
I гфик нечетной функции симметричен от-
Пример 7 Построить график функ
симметрично отразить график у — Xя —2т, х > 0, относится^
а Оц (рис 9.7' А
На рис. 9.8 изображен график нечетной функция р т3.
6. Ограниченные и неограниченные функции Функция '
Если х? О, то у = Is - 2х (см. рис. 8.3)
• ккакд? —2]х| — четная функция, то ял я
строения части графика этой функции,

Например, функция t/ = sin
. пи н равенство |/(2)| < С вьжтсшняется для всвх х 6 Mlf), говори

F/M = /fe0).
Максимальные и минимальные значения называют олстрелиив
Например, сели ftx) = bio х, то eup fix} = max fix} = /tx*).
i убывающей} на множестве X c D(f}, если для любых точек х
fix?)- Если это к равенство является строгим (/(ii) < /(Ха)),
Таким образом, функция / называется
V», € X Via € X- Z1 < ХЗ -а /(Я,) С /(»т):
б)	строго «счыстлхицеО на мнажвствв X, если

Vi, € X V» € X: х, < ха -» /(«,) » f(Z1);
б) строго рбыоающеО на множества X. если
V», € X Vxa £ X: Xi<x3-t /(а,) > /(и).
Убывающие и возрастающие функции объединяют названием »

Если X Dif}, то в этих спреде
дчно опускают
Пример 9 Доказать, что функция / строго возрастает на м-
n) М =тпх, X = [-1, |].
-ii, откуда

I любых
Хз Лпатоцу Xs — стр
в) Пусть - . £ Ж| < z2 £ —, тогда
-растает на отрезке |
в. Периодические функции. Число Г #0 называют лари
инадлежат £>(/) и выполняется равенство
л«-Г) = /(») = /(«+Г).
функцию, имеющую период 7. называют периодической с net -
Отметим, что если 7 — период функции /, то каждое число »
Прим раем периодических функций могут служить тритонов
диод функций tgz М ЗДХ
Пример 10. Доказать, что функция fix)-= км ах, гдеа>0, яв»
 :я периодической, и найти ее наименьший положительный пери- >
Преллол жим, что / — периодическая с положительным лер»
«уда при х =О подучаем
коаТ =0,
' ким оОразом, положительными п риалами функции einrrr мог 
 ктся периодом функции ein от, таи как в противном случае в»
>in(w4-az) = —ainaz,т e. Binox = 0,чтон возможно.
• хаведливо равенство Binox = з1по(х ч-Sx/a).

- нкции sin ах в
• D(f). Тогда каицюму числу Хо t соответствует единств---
। г чвсло ро f(za) е E(f). Нередко приходится по тадаасному я»
е. решать оттксытеляп х урв н вне
/М = »о.	.«
-ого решений Решениями уравнения (8) являются абсциссы в .
Например- если Дг) = х‘. то уравнение
•еет дна решения: то = Jyg и ха = —^fvo Если Дд) =e‘inz,
।ввнение
йпх Ito, lvo|€l,
, одно из решений этого уравнения
и ро € E(f) однозначно разрешимо, т е. имеет единственное я»
мкции
а)/(х) 3j +4, £>(/) = *;
в)Л»)=®*. О(Л = «:
=	D(/) = {xeR. х#0).
ет только при одном значении Хд € £(/), тоэту функцию называ а
/(«) = »
е. каждому у € E(f) соответствует единственное значение х€ ’
Д/нгтцоа / и обозначают символом f * 1
афик обратимой функции у = Дх) в единственной точке (хо,К
’ /<»о) = 1»
Обозначая, как обычно, вргум нт обратной функции буквой а
я упрощения записи вместо символа / 1 будем употреблять б”'*
1} если д функция, обратная к /, то и / функция, обрат** I
I, ПРИ ЯТОМ
е. область определения функции д еоеоалвет с ааюзкестном ана* *
й функции / и наоборот;
2) для любого» е О(/) справедливо р
9(/М)=®.
3} график функции р = д(т) симметричен графику функции ,
5} если У  строго возрастаю-
*а (строго убывающая) функция, то
. 1 обратима, причем обратная имей
•'гаюшей (строго убывающей)
Свойства 1) и 2) следуют непо-
I иствекно из определения обратной
h нкции, 4) и 5) — из определений об-
Рассмотрим свойство 3) Пусть
I <ка (то.рп) принадлежит графику
• икиии»=/(®),т е.ро=/(»о) Тогда х0 =р(ро). т е. точка (1л>,Гш
инадлежит графику обратной функции д- Так как точки (хд,ра
I гельно этой прямой.
На рис 9.10 изображены графики взаимно обратных функций •
10. Неявные функции. Параметрически заданные фу

Булем теперь рассматривать уравнение (10) в прямоугольн
TTOM случая существует единственная функция V = Vi = \(1 —З1
1 С х С 1, удовлетворяющая уравнению (10) и такая, что у € [0-11
IУ функцию называют неявной функцией. определяемой урэвне в
- (10) в прямоугольнике Кв.
авиая функция, определяемая уре н днем (10), задается форму-
Вернемся к уравнению (9). Пусть прямоугольник К — {(х,р)
- zol Т; о, |р — ро) С Ь) содержится в области определении фунт
I явствует единственная функция у = fix) такая, что Да 
 »о —*>.»□ + fl "
F[x,fix))=0, xeb,
"анную у как кеявнук! функцию переменной х
-» тросы, связанные с неявными функциями, рассматриваются в § »•
пе р = fix) или неявно уравнением F[x, р) = 0, но также лараме
Пусть функции х = 1д(1) я определены на некотором ме»
-стье £, и пусть Ei — множество значений функции *р. Предпсв
»м, что функция обратима на множестве Е, и пусть 1 = <д_,(т]
икцив р = Ф($р_| (т)) = /(т), которую называют пвраметрищ • .
Например, уравнения г =coat, у — rfni, гае!е	определи *
мметрнчески заданную функцию у = fix). В данном случае
ыссоат, у = ein(arcctex) = у/1 — т3
§ 10. Предел функции
ализе играет понятие предела, связанное с поведением функии
1ывается интервал длины 24 с центром в течке а, т о. мио ж BO-
Если из этого интервала удалить точку а, те подучим множеств
еде). Г.е
функции,



Функция f определена при всехзе Я, кроме х = 1, причем /(г
На этого рисунке видно, что дна*
этому утверждению точный смыта
Пусть задано любое число е
кое, что дли всех х ид пропало* |
ше, чем на е.
Иначе говоря, нужно найти ч-
ио б > О такое, чтобы для всех I •
кмере можно веять 5 = е
s/(z)er,(2) В дан.
емгад мяк единице, а число 2 называют пределом функции /
 ' И пишут И™ /(з) = 2 М
Пример 2. Ии еаыутм фуики
в окрестности точки х = О
Л Ии графика згой функь-т
(рис 10.2)видно,чтоджялюбогое -и
/(з) € €<(!)- В самом деле, ерям -
Рас*	фин функции у = Цх) в точках, »•
ссы которых равны х, = —F, х? = Пусть б наименьшее
 сел xt и Зл. т. е. б = аяЫс, u/ё). Тогда если г < б и х У О,


5(e) > О можно указать номер пд такой, что Vn п& -» хп С Uj(a)
 туда в силу условия (1) следует, что f(xn) G 14(A) Таким образ 
¥е>0 ЭД: ¥п^ АГ.-»/(*„)€ 14(A),	it
I• Ne = Пзд, причем условие (2) выполняется для любой после»
«аке а по Гейне.
Гейне, то это же число является пределом функции / по Коши, т
натояняегся условие (I) Допустим, что это неверно. Тогда
Зсо > О: УЗ £ (0,&] 3z(«) 6 Со{а):	-А) >ео- Ц
Согласно (3} в качестве б можно взять любое числ из полуинт-.
ыа (0,£0] Вег*.м м б = бо/п, гав п € N, м обозначим z„ = х[Л0/ |
гдл в силу (3) для любого п 6 N выполняются неравенства
0< |с„ — о] <&з/п,
|№п) - А) > ее.
и (4) следует, что lim —а и хл €	при всяк п € IV,  иа< *
{/(Тл)} Следовательно, чист" А не является пределом функпи '
.оолнятъея утверждение (1 •



3. Различные типы пределов.
а) Односторонние коночные пределы. Число А называют преЗе.-»
I ieo функции f(x) в точке а и обозначают	или f(e—0)
¥е > О Srf > О. Ух € (в — б,а
Аналогично число Аз называют прсЛстож справа функции {[л
 аке а и обозначают lim /(х) или /(а + 0), если
:еэой и правой полуокрестиости точки а, поэтому пределы слев-
?ва функции /(г) обозначают lim^/fe) или /(—О), а предел спра
•азначают lim^/lx) или /(+!>}
Например, для функции /(z) = eignz. где


афик которой изображен на рис. 10.4, lim /(z) — /(—О) = I
A»q/(«) = /(+0) = 1.
Отметим еше, что если
значения функция лежат в правой с-полуокрестности числа А
। шут lim Дж) — Л + О. В честности, если А —0, то пишут 11m /(z
m /(») = Л-О) ¥г >0 45 > О. V»€ й,(а) -» /(л) е (А — а,А]
* пример, для функции

> афик которой изображен на рис. 10.5. • • /(т) 1 + 0.


йти. Например, запись lim /(х) = —оо означает, что Ve > О В, •
J: Vz € 14(+оо) -+ /(х) € 1Г,(—оо) Аналогично определяются Г—

4. Свойства пределов функций. И рассматриваемых иь-«
ийстзех речь идет о конечном пределе функции в заданной точна
-О, —оо, ч-оо, оо. Предполагается, что функция определена в нет
оой окрестности или полуокрестности точки а, не сы р-каы й ••
। точку о Для определенности Гудем формулировать и докаэыт 
нкиия, имеющая конечный предел в аллейной точке, обладает m
тливы в окрестности этой точки.
Пусть lim /(х) = А В сипу определения предела пп задание -
I злу е = I можно найти число б > 0 такое, что для всех х € Ut a j
I о оэнг «тет (см. § fl, п. 6), что Функция f ограничена на множа- ~
в прополотая о реапмнпл топни о. о которой значения фцнпци I
-ех*л тот же знак, что и число А
Согласно определению предела по заданному числу е = а I
равенство |/(х) — Л] < или
> ли А > (I, то иа левого жраченства (7) следует, что
/(г) > > 0 для х € L'a(o).
 ли А < 0, то из правого неравенства (7) следует, что
*{z) — В, mo A $ B.
!I = xie ran
1} Пт(/(г)+®(х))=Л+В,
2) ita(/(x)s(x)) АВ;	О
3} lira = g при условии, что В #0.
 едел-им-м предела функции по Гейне и свойствами пределов -
I :довательностей (§ 5, п. 3). Другой способ доказательства — •
ьзовакие замечании 5 и свойств бесконечно малых функц 
I е. постоянный множитель можно вынести ал знак предела.
5. пределы МОНОТОННЫХ Функций. Понятие монотонной фу —
и и было введено в § 9 (и. 7). Докажем теорему о сушествова! -
Теореме 2. Если функция f определена и является монете»
- сеяные пределы слева и справа, а е точках a ub— соответст&е- ••
>' Пусть, например, функция / является возрвстаюшей на стр- •
V» е [а,а0) -» Дх)« №0)	О л
I силу условия (12) множество значений, которые функция f при •
- ххней трави существует
вир /(*) =м- где М < /(хо).
Согласно определению точной версией грани (§ 2) выполявкт*
Обозначим 6 = ха — хл, тогда 6 > 0, так как хе < Го- Если
о*
как / - - возрастающая функция. Из условий (13) (15) следу
'гласно определению пределе слева его означает, что существ*" •
i Um^/(x) = №д - <9 = М.
» Коши [171.
W e ВД -»|/(z') - f(x")| < e.
овии (IV), нейдем ©силу определения пределе последовательно
Ся доввтелыю. фу
I»') - /К)1 = WM - Л\ -	- Л)| <
«1/ю - *1 * №") - 4 5
е. выполняется условие Коши (17).
Таким образом, функция / непрерывка в точке о, если выполж
Л вдуюшие условия:
чествует число > О такое, что Ць(о) С
О) существует lim /(ж) = Л,
Определение непрерывности функции Дж) в точке а, выражен- -
» е-б), с помощью сиресттюстей и в терминах последовательное
’>0 36 > О: Vz |г-о|<«-»|/(лг)-/(а)|<е,
Ve>0 36 > 0 Vz€ty(a)-» Дж) €&.(/(<>)),
• хения предела, рассматривается полная, а ке провояотея окрас-
точке о.
Назовем разность х — а приращением аргумента и обозначим »j


-и этих обозначениях равенство (1) примет вил
lim Лр = 0,
• конечно малому приращению аргумента соответствует вееконеч*
«)/М
6)/(r):
В) /W
а) Если ж -ь 1, то по свойствам пределов (5 10, (11)) получи 
? (1). Повтому функция д' непрерывна в точке х = I
О) Если х -ь о, где а / 0, то, используя свойства пределов (S ' 
в) Так как IVx— \Ао] =	то отсюда получаем О $ |^/т
г) Санкция / определена на Я, к при любом х е R выполняв i
•моенстао О 1/(2} — /(0)1 —|/(х)| € |т|, ток как |я1°~| € 11**
4 0. Следоватеядю, lim f(x) = /(0) =0, т. е. функция / нелреры» i
По аналогии с п ногти-м предела слева (справа) вводится поня- м
прерывности слева (справа). Если функция / тюрелел на на по 
тервале (с —б,в] и lim о/(х) = /(a)i т. е. /(о — О) = f(a), то  
| нацию называют непрерывной слева е точке а.
Аналогично, если функция J определена на полуинтервале 
- ®) и /(о+0) = /(о), то эту функцию называют непрерывной аро
 в точно а.
Например, функция /(я) = [я] непрерывна справа в точке х 1
। является нелр рьвн й слева в этой точке (§ 0, пример 1), ток - >
, I -О) =0, /(1+0) = /(!)=!
Оч •идно, функции непрерывна в данной точке тогда и тмин
2.	Точки разрыва. В в. 2 будем предполагать, что фуници* I

очке а.
Сл-дояятольно. а — точка разрыва функции f, если не выпплм
:я по крайней мере одно из следующих условий
ют конечные пределы слева и справа, т. е. lim^J(x) = /(о—С i
*tr^/(z) = /(с + 0), то точку а называют точкой разрыва пер*- -


Пусть z = а точке разрыве функиии /, не являющейся Т0Ч1«е
функции ! В такой точке хотя бы один из односторонних предо»
Например, дня функиии /(х) = zsic - точка z = О — точка и
чим функцию	-	.
Хб'о- , если х/0,
О, если z = О,
рерывную в точке z = О, так как
Пак функций sin — и точка т=О— точка разрыва второго р 
>1. рис 10.3 и 10.8)
Тео ре мв 1. Если функция f определена на отрезке [а, 6] и ли-
оша, то она мткот иметь внутри этого отрезка тонки разри-
злъко первого рода.
Лю - О) € Лю) ? Лю +0),
- Лю — 0) и /(ю + — соответственно пределы функиии / сл -
Е том случае, когда /(Ю — О) / Лю +0), точка ю является т в
1 разрыва первого рода функции/.если же Лю — 0) — /(Ю +0)
«на ю ость точка непрерывности функиии /. Аналогичное утве|-»
3.	Свойства функций, непрерывных в точке.
Свойство 1 Если функция ! н преры на о точке а, то та
3J > О ЗС > 0: V» £ Ulla) -ь |/(х)|« С.
Свойство 2. Если функция f непрерывна а точке о, при 
дает со знаком числа Ца), т. е.
Bl Herw рыетость суммы, произоедения и частного
Чд (Лии уелоьии g\a\ F 0J
(Vo) С 1>(Л I
Г V е и. ко
• *о - ПУа!
орой о реетности точки Хя определена слозкная функция
f(v) = /М»» С U =о)
' го = JMzo» = JUM. т е


МЛг',‘) f(()

3£efa,i]. /(f) = sup fix').
3fEK4- Лб= :r*.
lira /	/«
в) промежуточные значения
< О для все» я g N, где а

вожество значений функции E(f) — [А,В].
Согласно олреаел нию обратной функции (§ 9, n. fij нужно до—
—сет единственный корень х = хо, причем xq е [а,Ь].
Существование хотя бы одного корня урагат кия (25) следует 
	анственный корень.
Прелюложим, что наряду с корнем х = то уравнение (25) kmw
• еодик корень х — хо, где ха / хо, тогда /(хо) — Ро, хд е [о,Ь].
I нкиин / на отрезке [о,5] выполняется н-рав нство f(z0) > f{za 
< утой стороны, /(ха) да /(хо) = до- Отсюда следу ет, что № рада яс 
К > Хр не может выполняться. Следовательно, Хо = Хо Сушест—
Н икцин х f~^(g) = p(v), обратная к /, причем Е(д) = |o,t] и
9(/(х)) = х >£М, /(s(y)) th pt [А,В].	(Л
	тлото возрастающая не отрезке (А, В] функция, т в.
*Pi.P3 е [А,В]: Pi < Ра -» s(Vi) < sfra) (Я-
Поедпол жим противное; тогда условие (27) не выполняется, т
=®| ,Ра ® [А,В] pi < ра -а 8(й) S »(Й)-	(* i
- (28) И /(2.) = Ра. У(2я) Ра согласно равенству (26)
». Ха следует неравенство f&i) Дхд), т- с. Й Й, что нег а
Ф жно, тан как р( < д3 в силу (28). Таким образом, ут- ржле - -
.* I) не может выполняться, я поэтому р(р) строго возрастаю •••
Непрерывность обратной функции. Пусть ре — про»»
».|ьная точке интервала (А,В). Покажем, что функция д иеярерыдаж
> .очке ро- Для этого достаточно показать, чтоспраэедливы равен
s!»-®) = stw), eto+fi) sW. (
 нкцми д слева и справа в точке Vo существуют н выполняю •
Ксть хотя бы одно иэ равенств (29) не выполняется, напри
, (о-0)/р(ро), тогда
s(»o-O)<s(llo)	(•
. 5(и>- о), гае s(vo -о) = вир р(р), а при всех р е [pu.B] спр»
-	тлнво неравенство р(ро) С р(р) < ft, то из условия (31) следует, ч 1
I иицик д Это противоречит тому, что нее точки отрезке [a,t
	хвое иэ равенств (29) доказано Аналогично доказывается справаа
	вость второго из равенств (29)
Тем тле способом устанавливается, что Лха « р непреры •
’?”«^ГаЗТ"" “	® "ЯПр’* 1“1внв " С1рого

Л =	В= limg/(z).
1. Многочлены и рациональны!
—«лен степени п, 1 е функцию вида
I в функция непрерывна на F
Действительно, функция у = С, где С — постоянная, нелреры»
N, непрерывна на 1? как |фпизвел ине непрерывных функций : •
многочлен Рп(х) есть сумма непрерывных функций вида о,и*
Рациональная функция, т в. функция вида /(х) =	гае рп
। «ках, которые не являются нулями многочл на Qm(x).
В самом деле, если О^(то) # 0, то иэ и прерывности многом

II!

Обратная к ней функция, каторг-

arctgftgz)
Функцию, обретнуит к функции
ого убывает. Ее график имбражен каирне. 12 7.
3. Стеленная функция с рациональным по
иней, непрерывна на R Если я = 2fc + 1, то зга функция Стс-
функций
Степеннав функции с чет ным
и # = На рис 0.10 изображены графин взаимно обратиа
и г2* на множество (—со,О), также обратима, и обратной для -
|йр = а^, в^<1, ир = —
Если х > 0, то при лиЛзч п € N функция хп обратима, в обрата
«ей функция обозначается х1^" или . х Функция у — х~", п €
иии хг с рациональным покэзвтил м г
зеделена и непрерывна при я / 0 и залкывается в виде у — 1/я”
.и п = 2k +1 (k Е Л) »та функция обратима не таюж-стве Е = I»
I Я, я а при х. — 2k (k€ Л)обретима на множествах (—ос. 
и(0,+оо)
нация хг непрерывна при я > 0, строго возрастает, если г > (
Перечислим некоторые свойства рациональных степеней веек
функция Х‘п непрерывна и стрыа
возрастает (рис. 129).
Функция Т"1 иепр рывка при 1 >

«к
Свойстве (12)-(16) легко проверяются, если воспояьэоват
: Л, следует а — Ь. Пр!
Так как

из равенств (17) следует равенство (12).
4. Показательная функция.
Утверждение 5 Если о >1, то
В § 4 (пример 8) Оыло показано, что если а > 1, то

.метим. что соотноси ния (19) и (20) заведливы к в случае, и-
Иэ (19) и (201 следует, что если а >
- .1 сходится, то тжммоателыюсть In1-1, где а > 1, также <
тупя в силу (16) получаем
Bl Опр'дел нас показатьлъноа функции. Пусть л — грека
= я Предполагая,  >
Ч I >!

И лукш«


7. Степенная функция с любым вещественным показа*>
* м- В п. 3 была рассмотрена степенная функция вида хт, где г € ч
епенная функция с любым вещественным поквиател м а при х 
сражается формулой
3 функции е* и функции Г = olaz, которые янляютсл непрер:^*
S функций следует, что функция строго возрастает при а >*• •
^ого убывает при о < 0 на промежутке (0,4-со) Ия формулы ( •
зав нс-тва Ine* = t следует, что

В. Помвзателыю-стеленнал фу ни и и л. Пусть функции в(х
тел условие ч(х) > 0. Тогда функцию у, определв мую ф
аем называть лололз тел аио-степвнноС и обозначать

пи о, 1* - функции, непрерывные на Д, то функция и" нелреры
§ 13- Вычисление пределов функций
1. Раскрытие неопределенностей. При вычислении вреде* .
—бесконечно малые функции при х -Из, т. е. lire /(т) = lim д(х
ла (х — а)*. Например, если в некоторой окрестности точки х
. нкции / и р представляются в виде /(х) (ж — o)fc/i(x), s(z
{х — a)*0i(x), где Л€ N, а функции и р, непрерывны в точк< ।
'	п₽н г откуда следует, что Um
9(»)	9i(x)	J	*-»sM si(e)
S!(a)^0.
Аналогично,если / и р бесконечно большие функции при х -• <
юлуч нжД функции Съели прим нммы свойства пределов. Неп *
। р, если / и s — многочлены степени п, т е /(х) = V <u z\ g{z
У* бдх», где o„ / 0, Cn # О, то, разделив числитель и знаменам.
Пример 1. Найти lim F{x), если.
a)F(«) =
«)/>) =
e)F(r)
(2e*3)(x-
гкуда lim F(x) = lim = S-
б) Умножив числитель и знаменатель на функцию
т/х + 21 + 5у/т — 5 и используя формулу &-64 = (х — 4}ф(х)
и)Так как Г(х) = ~	coax' гае1 ~ooe* = 28'J°a |-ТО,в
• льэуя первый замечательный предел lim ^Dz =1 н непрерывно
lim _F(x) =	— 1

2. Замене переменного при вычислении предела-
lim з'т) = Ь, lim f(y) = А,
•кается ycaoeuay>(z) / б, то е тачка о cywecmayem предал смоле- 
Вт /И®)) = Вт Др}.
Согласно определению предела функции <р и / определены со»
•атояняется условие <р{х} € В*(Ь) Поэтому не множественна) oi>
гена сложная функция /(rfz)). Пусть (хп } — прока ольная пос *-
• летальность такая, что Вт хп — о и х„ € ОДо), п € N. Обозная» 
, = ^тя), тогда по оафед *л нию предела функции lim рп = Ъ, 
, € Ue(b) Так как существует Вт /(у) = А, то
ь» /ММ = „““/(iw=А
о <с1иачает, что lim = А, т е. справедливо равенство .
Пример 2. Доказать, что:

«уяа слецует. что справедливо равенство (13), так кап
Ъ'п> (1 >
Пример 3. Нейти lim 3-J .
Так как +*) = ------3x1 ^-,. то, используя соотношение (17)
(*~з^)
I солим, что искомый предел равен а4- 1	л
Пример 4. Найти
ига(ссиг),/‘*
Используя равеиствосовт=1 — 2bips поформуле (16) нахольа
Ь> искомый предал равен е*, где
4. Некоторые важные пределы.
еры'вна в точке т = 0 в силу теоремы 2. Поэтому функция 1с^ /
й leg, t и t = /(г) Следовательно,


к как log, f(x) |{йа* +ж) при к ot То искомый предел

Функция у — а" — 1 непрерывна и строго монотонна на Я (возу*
гг при о > 1 и убывает при 0 < о < 1) На промежутке (—1,+ 
11-сплет обратная к ней функция х = Г' " * * ----------
рывна-
ыого монотонная. Учитывая, что у 0 при х -♦ 0 и используя 4>w
лу (18), подучаем lim fl ~ = lim (1>р) =1по. Отметим а*
Пример 7. Иокааать. что
го, применяя формулу (21),,
। а любого о € Я, a /(I
• стве (—1,+сх>) спи ствует обратная и ней функция х = х(р), п

10(1 +т) =1п(1+») Повтому —« = |а(1\,,)О И.
«суда, используя равенство (19), получаем соотношение (2°
а) Лишиы шпные функции. Если в некоторой проколотой окрве
мети точки хо определены функции /, g, h такие, что
/(») = ®(т)Ь(г), j™ h(») = 1,
I -
функции f и д называют экаиагиеятояыла (асиллтотичасяа
Например,ainz'-znpH г-г(1, такиакйпя=т^^,в bm =1


эестиости точки я0, экнявалентиы при х -* хо тогда и только 1*
,“Г” ВтЛЙ-ВтЙЙ-1
Понятие эквивалентности обычно используют в тех случаях, ко 
юшую таблицу функций, квюел нтных при х —» 0:
Ч5«~«
1п(1+т)~х
Эти соотношении остаются в силе при х -* ха, если заменит
к а: на функцию а(х) такую, что o{xj -а 0 при х -а яр. Капри-»*
Пример 9. Доказать, что
а) Пользуясь тем, что 1 — сое г = 2 ein2 ~ и а'ш — **- при х



нлцтш при х -» «с а справедливость равенства
lim	lim *<*>
lim . _ = Dm —t—r.
Пп условию /*- /т и ff gi при z -т zo- Это означает, что /(я
ft(z)h(x) и g(x) 9i(z)hi(z}. где h(z) I и Дт Лт(х) - 1
Так как существует lim и Л|(т) -а 1 при я -г Яс, то ж*
jfx) h,(»)oi(xj
11- Л,(х )-
в} Понятие Пвсконвчно малой функции по сравнению с отиэтх! I
/(x)=o{S[z .

I <лу справедливы равенства
®’ = о(ж), coezeh’z =о(г), tg’zsin-=о(х), z-eO,
I или, ми принято гсеорятъ, класса функций, бесконечно Mateu
. вместо, например, равенства Xя = o[z), х -* 0, писать z1 6 oiz),
I и операций над функциями
и>м в обычном смысле. Такое равенство в соответствии с опрел* i
авая часть обозначает класс функций, бесконечно малых по ср—
Отметим некоторые важные пля дальнейшего изложения (см. § i • <
S-Ms) = “Is").
Ms»" = <Hs"),
 тт символ, читаются слева направо (здесь С постоянная).
°tc’s) = ois)
Со(р) = о{д)
o{s) + o{s) = o{p)
°{o!s)) = o5s)
“is + ofs)) -«Ив)
Докажем первое иа этих свойств.
й о(Сд), принадлежит и классу функций о£р), т. е. если f = otCg),
По определению запись f = о(Ср) означает, что /(z) = Cg{x)a(x) ।
/М -gWCatx} - eteja.fz).
Наряду с символом c{p)в математике употребляют символ О(д) ।
ftx = Oto x 1,
Иг) nil
. e. справедливо равенство Г 301
Zoic» lately Нс +ОИЫ , т-..г,|
меткости, если г (г) «>(11, х € Ь, то функция

ломошью этой таблицы можно вычислять пределы функций.
Пример 11 Найти lim ;
Так как е" —1 = х+о(л), i
в + о(л), arcbin z- = х + o(z), то
= ?x + ota).
Пример 12 Найти

именяя формулу (16), находим
В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены
в ? аффективные методы вычисления пределов, основанные не
• аьаовании понятия производной $ 18,19).


ХЭ — yL'iM 1-г1я яичхнХФ кхахм "01
Мт)
л» - W« " <?)/ ГЧ
hi i n : । 'I иiunt'1,1 . s

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
здц-ад-эд
At .ьслх расс.матримемоедвижени. 
о Vn при фивсмрсеаиюч t будет менять
охоляшеИ через точки Мо и M(zq + Д z, f{Xo + Дт)), можно за
ъ в виде
антом прямой I, здесь о = о(Дх) угол, образуемый прямой
а Ох против часовой стрелки).
Пусть Дх -» 0, тогда Др -» 0 и силу непрерывности функци! •
ММ0 = \/(Д*)а + (Др)2 -» 0-
-ественно назвать предельное положение седушей I при Ду —
ли существует
- /(z) в точке Ма
Рассмотренные задачи, и которых речь идет о пределе отношет*
крашения функции к приращениюаргумента, исторически привел
2. О л редел. пие производной.
той окрестности точки то, и пусть существует конечный пре*
еошеими ^Хи ~при Ат -» 0. Тогда этот предел налы»
:я праимодной фцчтрш f в movte Лд и обозначается	.
И1(-(го),т..	Два-нД»)-/^)
' ' а»-л Дт
Согласно определению |фоиа сшил функции у = f(z) в точке 
ь предал отношения ярирашения функции Др = /(гд +Дт) - /(•
рирашекию аргумента Дх при условии, что Аз -а 0. т е
Из равенства (4) следует, что
С” -/'(««)==1*»)
ia —е О, откуда получаем
Ду = /'(ао) Дт 4- Д те(Дт).
.трерывиость функции f(x) в точке хо
Операция вычисления производной
Пример 1 Доказать, чтофунипни р=С,у=а” <пеИ)»Р = й» >
1 производные.
а) Еслиу = С,гдеС
юте я Ъфферекцъ
fl) Если и = х" где n € W. то
Др = вица + Да) — ви>2
1 сева при Дт -» О в силу непрерывно!


 сова.' — — elnz.
-t 1по при I 
13, (20)}-
Таким образом, если а > О, а # 1, то
(а")' =а*|да.
Из формулы (7) при о — е получаем

Пример 2. Найти производные функции р =:logaT (а>0,а#1
а) Если v = log. I, to
С) При a = n, где n e N, грома алкая функции г" вычисляется
(log. г) =р—
I формулы (9) при о = в получаем
Действительно, если р = то
• O. t. e- имеет место i
0 (5 13, (23)), то = -» ax'-
Тео ре ми 1- Функция f(z) имеет производную в точке zq тоге.
। «ено тогда, когда в некотороО окрестности точки zo ото функи.
I е&тдеижа в виде
/М=Л«о)+Л(«)(* - ад,
* /i to) — функция, непрерывная о точке zo и такая, что
над=Лад
о л
Рассмотрим фуикцмю
/(*)-/(*)
• явствует/'to), тосушеетвует lim /itoo) = /f(Ia) Полагая fi [то
/’too), доопределим функцию h (х) no непрерывности в точке ,,
-ине в точке Zo, в из равенства (14) следует формула (12).
„чке ±о следует, что существует ton fi[z) — /i(±o), т. е. существ,-"
Если функция

Лад.
\ существует предельное положение секущей I (ем рис. 14.1), ••
-ствует касатегаьиия (см. рис. 14.1) к графику функции р= /I
оиент прямой 10. Так как Ao = tg»a, где о0 — угол, овризуем
Л*о) = tgeo
' и, что проклятая функции в данной точке равна угловому коаф
Уравнение писатели й к графику функции ц = f(z) в то* •
Пример 3. Записать уравнение картельное к графику фуню»*
I - еж, параллельной прямой I/=х — 1
 Так как угловой коэффициент катательной по условию равен *"
I =0, Ро = 1, Г(хр} = 1 находим уравнение касательной
Пример 4 Пол какимуглом графикфункции у = вдптпересек»
ъОх!
1 Ху По формуле (15), где /(х) = ыпх, находим
Г(**) = '"Ь = (-1)‘ = tgoa
। метим, что каслтелыил к графику функции р ami и точке 
Пусть существует f(x0) Проездам через точку Mo(zo,f[xo)) л 
jo тпо, перпендикулярную касательной >о (ряс. 14.3). Эту прям 
ывают нормалью к графику функции у = f(x) в точке Ма
Если А, С, В — точки пересечения с осью Ох соотьетстье!»


в)|ЛВ|	ШС| = |Ла:»)Л«д)|.
4. Односторонние и бесконечные производные. По ана^
• а с односторонними пределами вводятся понятия левой и npai—1
.дыэводных. Если функция р — /(х) непрерывна слева в точке х i

аднвчэют f' (то) Аналогично, если фуккиня у = f(x) нелреры».


I гсглв/ьяьиш к графику функции р = /(т) в точке Мо
Из существования производной /Что) следует сущ ствоваь -
(®о) и /i (То) и равенство
атом случае левая к правая касательные к графику функции а
f(x) в точке Мо совпадают с касательной в точке Мо-
и / я точке жр и выполняется условие /1(то) — /,(тц). то сушат-
Пример 5 Найти левую и правую производные функции Дх
Здесь Др = |Дjj, и поетому
Л(®о)= Km

еямые р = —х и у = х являются соответственно левой и лра
,г] в точке О (ряс 14.4)
“ ' *уи’и^"	= lz|'
Обратимся теперь к понятию бесконечной яроизеояноб Пу •
(1Я

ан как f...ilu) -
ывается оилференциривмоа еточквхп.а произведение А Дг на.. -
Если функция v = fix) дифференцируема в точке хо, то иып»
гч/едос е точке Хп. необходимо и достаточно, чтобы эта Финк

называют аиффва .
мемоа на отрезке |а.Ь.
L мрпвл мая
нем 1£. Ilv
гство Ду ₽з I (Xniar, млн
/х,+Д1)=!!/М + Лжв)ЛЯ
е «ж Ил формулы (231 получм
Г(хо1 =





точка графика функции / с абсцис
3 1с и прямой у = ри = Дел) соответственно. Тогда Р(хд+ Дх,.-
- *иа /'(яо)Дт, т е ранка дифференциалу dp функции / при х = -.
11 кям образом, дифференциал функции у — /(х) при х—Ха ра:- ,
. крашению ординаты касательной к графику »той функции в т -
- с абсциссой хд при ими кии аргумента от ха по хд + Дх. I•
Обратимся теперь к п. 1 Пусть S(i) — путь, пройденный —
•анальной точкой аа время i от начала движения. Тогда S‘(t
Ш S{t + at)-SfQ _ МГНОМН|И11 скорость е точки и момент яе-
» . точке за цхжнокуток времени от € до t + At, если бы она л*
।  *ась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в мом« I

§ 15. Правила дифф.
«уммы, произведения, частное* i
».<iop(x) ^0), и при этом
(/(я)+sW)’ = /'W+Ля).
(/(я)ри))' = /‘(я)я(я) + /(х)р'(х),
Лхьм-лх)?ы 9(г)#0	„
(sfr)F
р'(х) при Дж -* О, так как существуют *
О, так как функции / и р шепрерывкы в точи*
Др = Ля + Дх) + 9(я -г Дя) - /(я) - 9(я) -Щ -Г др.
/(Ч + йЛ Л + До - ЯЙ1И	Щи + ЛИ/ + Д / •.
ofx) fftr) + До
С/м у=сгм,
<на /покоД мо линейной комоинаиии проимоаных оакных wvhkii
став следует формула (2). тек как —
9’W,
f йо
(Еош) .^с.т.
Ди е (о,р Обозначим Ьх = <рЙт + 4Й-<Я1л1. Нужно ло-
га + 4») - vtiral при 4у / О.
Лих) -
Из фоимуо |1| (3] и
- fix) дифференцируемо в точке уп = fixe), причем
Itfllto) =
<К! + о) - <v +as




-7®s»
Пример 2. Доказать формулы
(атссоетУ = 
(агсцх)' =
(ercclgz)' = - -
а) Если v = р(®) = arcsine, где |z| < 1, то обратная функция
f(V) — ®ор. где |у| < - По формуле (8) находим
(вгсвтд)' =
справедлива формум (9)
в) Если р ar cig т, где х € Я, то я — tgx, где |у| < - Примет

рмула (11) доказана.
рмулы легко подучить, используя равенства
arcain х + вгссови = erctgz + arcctg л =
рормулы (9) и (11). л
Из дифф р шл<руемосгк функции
Дй = ДМ + Л(й& - к)
«x)el'i(lw)
IWV4I /Ы -и Л (tftoMlXz) - Йга))'
iron - учад = Vi m(z -
flV) Ли^фвренцир
тоет тевнно в точкахZo u fto, аОвуо = ^(Хд), то сложная фун
i iza) = I (voh? (zD) = f (|д!гд»и Bn


fe (16) и (17) следует, что
г(я) = л(«0)+/1 (фф)й (т)(я - г0),	(• •
a a zi = /i(v>(z)№i U) — негр. ръ»«я в точке хо и такая, что
С| (»о) = /1 («>(2о))<р| (То) = Л (VoVUo) = f 'М«о))ф‘(то)	4»
-илу (15) и (18)
По теореме 1 из (1^  ''”1) следует, что существует e'(zo) и c<w
Следствие. Дифференциал fy/нкииир — f(x} имеет один и п -
W(^	(,
* v e случае, коедо x — иемеисимое переменное, так и e случае, ка
1 Пусть х = p(t) - дифференцируемая функция переменной
да у /(^с(0) = х(1). По дравиду дифференцирования слож!
I янцик


Ъ = Z(l)<£ /’(vWJp'CO*-
Так как ¥>'(!)<& — dr, то dy — /Г(^(£))ОД1) f'(z)dx, т
oh функции
о	(.'М'))Г-ГМ*1¥М


dt dydx dt'
Пример 3. Доказать формулы
(аЪя)' = dlr,
(die)’ = die,
<«’)' = Jaf-
S я

Гиперболические функции выли определены в § 12. Оки зала
I «дупшими формулами:
cth2-%*
(А«)' = |(в’-е-’(-1)) = <Ь
«логично докнчыва тся, что (dix)' = ah z
О) Используя правило дифференцирования ч*
(th лУ =	~ зЬ*(«**)* _ «Ь1
• судя следует равенстао (22 так как сЬ 2х — вЪ2х=1 Аналоги» i
-«взывается ф рмула (21 а
Пример 4. Доказать, что если о> 0, в # 1, то
«“«•К  .тЬ	<"
• Пусть х > 0, тогда |т| = х и log* |z| = log*x. В § 14 (формула 0
ило доказано, что
(l<**’y=^s- ,>0-	*
. е. формула (24) верна при х > О.
Пусть х < 0, тогда — х > О и log* |т| = log*(—х)
Применял формулу (25) и правило даффер шированип сложен
е. формула (24) верна и при х < О.
(lo|x|)'=i1 т/о А
Дадим теперь сводку формул для ироизепдиъо: м м итнрн^1
1) (С)1 = О, С = сопя t
4) (log, г)' =
(1св.|х|)’ =
(Ьг)'= ’
rid.
8>(«в<—
9)	(arcaiuz)' = —
10)	(arcceez)' = •
11) (аод>? =
12)	(arcctgz)’ = — 1 + жа»3
13)	(abz)' = chz, at ft
14)	(chz)' = ehz, X € ft.
15)	(tbz)’ = z€ ft
16)	(cthr)’=x/0
Пример 5. Доказать. что если <р дифф кешируемая в точи»
«•I*»'-®-	w
•рему 3, получаем формулу (27) Выреэкение в правой чести в- -
рмулы называют логарифмической производной функции у?. А
Пример С Найти f’(z). если функция Дт) задана слелукза
рмулой:
а) /(*) = 2«in2z.
С)/(»)=«“*’10(1 + *’).
,,)/w=JL(«Xr)-
*) /*(*) =	= 2ил2х;
0) /(*) = -Zje-*’ ln(l+j?)+e“*’j^;
“ ^7==з anaiafcoa z) — VI —(—alar)
ь) / (*) —	(аплйоба**))3
121a2ijra{eB4z)db4z . ж—IX
—
Пример 7. Найти производную показательно-степенной фут
и z = где о, г — функции, дифф рснтлфуемые в точке
_	то функция X дифференцируема как
ифференинруемых функций. Дифференцируя тождес
i = <(х) 1по(х), получаем =eirloti+г^, откуда z* = л|
L* тио нроиводн Д степенной функции (М®))* (показатель v ряссмг
। ваетея как постоянная).
Пример В. Найти/'(т),рЧт).если.
я)/(х)	в)я(х)=х>-.
г в) По формуле (28) получаем f'(x} = x*lnz + xz* *,те
с) Так как р(х) = то, скова применяя формулу (28), накол •
а,о). Показать, что если /(г) — четная функции, то ее нронэвм
г) — четная.
" фф р ицируя это тождество, получ - м
| о означает, что Г[х) — нечетная функция. Аналогично рессматв
‘л случай, когда /г) — нечетная функция А
3. Дифференцирование лараметричесхи заданных и не
IX функций.
ели Пусть функции т(1) и ,
[о, 3], где а = x[to — 6},0 = z(t0 + <5), опрвдел на функция t = О’т)
латная к функции х — н прерывная и строго возрастают^
Предположим дополнительно, что существуют z*(lo) и p'tto). о -
и z'fio) / О (для сокращения записи вместо г'(То) и р’(1о) бу - •
гонке «р = s{t0), причем

Так как =
Действительно, noi
" получаем
, то по формуле (29) наход- 
*

Итак, справедлива формула (29)
Пример 10


б) Функции, заемные неявна. Если ллфф ренцируемая фуню -
= /(г) задана неявно уравн нием F(z,p) = (I (§ 0), то, дифферт
рук тождество F(z,/(z)) = О как г-*-—-— -*---- ..Л—.
Подробно вопрос о существовали неявной функции
дифференцируемости будет рассмотрен в 5 28.
Пример 11 Написать уравнение касательной к эллипсу
екоторой его точке 8/д(гс,ю). где |хд| < о.
,-х неявных днфференнируеыых функций, которые задаются ура»
«нем (30). Обозначим вту функцию /(т) Ее можно записать в 
и виде, ре-ретив ураис ние 30. относительное.
Дифференцируя тождество (30), в котором у = 1(г), получи 
k = V (ко) =
едовательно. уравнение касательной имеет вид
или 1 — Vo - —С—(г - Гл).
’О- 11ро«эт4?,т|ые и днффереюцнельа высших порядков
ЧГЫ=-Й»
г) Если X ф и, то
Подставляя в урэнненке (31) вместо х w v соответственно я
находим угловой коэффициент касательной к эллипсу в точке <-
Заметим, "сто функцию f(x) часто называют первой проиая-з
ftrj, а под про».
Пример 1. Найти /"(г), если
в) f(x} =sio“a; О/(«) = «
в) fix} =	+ т/г! +11. г) fix} = III
. Производной п-го порядка.
а) иторая производная. Пусть функция f(c) имеет производи-
}-гы

всех точках интервале (л, 6) Если Функция fix} аифференпиру!
очке д,-, С (о.Ь), то ее производную называют еторой производи
ГМ, f'^M,	.



•ели х О, то по опреаел нию производной
Л0) = 1ш1
еяовательно.
/'М = зАрыа.
। р в истее (1) следует, что
ь нежен, пользуясь определением производной, что /"(0) существе
 и /"(0) = 0. Из (2) и (3) находим
/"(0) Mm /'W ~/'Р) = Ито = <1
’ ком образом, /”(г) = 6|х|, т. е.
(1«1Н"=ад *
Делим физическое истолкгвание второй производи й. Пусть 
- иальная точке движется прямолинейно, к пусть S — S(l) — пу
ырость точки в момент времени I.
„ Д»	S’(« + At)-S’(O
От чостме -т-	—-----'----—
Таким пПреялм, вторая производная пути по времени есть yow
: когда эта функция задана параметрически Пусть функции
тусть, кроме того, существуют производные т"(1о) и p*'Wo). КО"»
•ест в точке г01 где то — r(to). вторую производну ю р"
Действительно, по правилу дифф ренцироэанил сложной фуккг •
Pl»i=p (§15,(29)), t) =	откуда с л еду ат формула (4), BOTOPW
। жно представить в виде (5/. •
Пример 2. Найти р)’,, если х = —у = tgt—г, О < t < —
io формуле (4) получаем
16ИВН0Й функции.
 существует вторая оротоводн я в точке то сложной функции •
т(р(т)), причем
Заметим сначала, что в некоторой онрестносгм точки До оп^
'-трерывны соответственно в точках хо н Хл>. причем ро b(J
ж —	+ TfcPw» гДе	Формула (6) noKSsai * * •
• удается нейти с помощью дифференцирования тождества, how
->м — в § 28) Поясним это на примере.
• ?мая уравнением	в
* В § 16 (пример 11) было показано, что
 фференцируя тождество (7) по я, получаем у”а =
। «уде, используя формулу (7) и равенство а’у2 + Ь’т? = eV, на
б) Производная п-го порядка Производную от второй яроиая-е
 1 функции /(т) называют третьей лрсмзаодной или прото от-
о этьего порядка атой функции и обозначают Ги(х) или a I Aw

Пусть функция fix} имеет на интервале (о,Ь) производи
| икции /!п 1*(т), то эту производную называют производной -
Таким образом, если функция fix] имеет в точке х производ
*п-го порядка включительно, то

функцию, имеющую в каждой точке множества Е проиэвощ I
 п-го порядка включительно, называют п раз дифференцируемой
эядка Тогда функция AJ(z} + Вд(х), где А и В — постоянна
lAJlx) + BS(r))'"’ = Aj‘">(x) +Вр<">(х).
а едуюшие основные формулы.
Формулы (9)—(14) легко проверяются с помощью индукции Леа
»м формулу (15) Так как (зшг)' = соех, то из равенства сов
• нив метод индукции, докажем, что формула 15 верна при
и п € N. Аналогично проверяется формула (16). На равенств (1 .
•16) следует, что если а = const, то
(sinct»)1"5 = а”юл (ат+п - у).
Пример 4. Найти /'"'(г), если:
а)/(«)-йо’»; 6)/(Х) =-у—1—
а) Из райе ж тиа всп’х = Запас — 4е1пах следует, что йпэа
- йох — вдпЗх Прагх- няя формулы (8) и (17), получаем
(ein’x)'"1 =
в) Так как
йучвем
Теорема Если функции и и V имеют а точке х прайм
Лнцю п ас порядка, причем
то, применяя формулу (13)
’	= -----------------jej---------------
Докажем формулу (18) методом индукции При п = 1 втв форм;
Пусть формула Лейбница верна ала производной п-го порядил
окажем справедливость етой формулы для гд> на поной (п +1] «
чэядка, предтл гая, что существуют i/"*11 нтД"*’! Так накфу 
1 окрестности точим а, то в силу индуктивного предположения —
> равенство и учитывал, что
/чаем
(u„)<w) _ ^сДи’*+"р,"-*)+22с‘и(*м,и4-*)
образуем суммы в правой чести ревенства (20), выделяя вперев
име последнее слегаем е, а во второй — перное и сдвигая ияд
имировакия в первой сумме на единицу. Получим
। пользуя равенство С* 1 + С* = С*+| (| 3, (48)), получаем

е. формула Лейбница справедлива для производных (п ч- 1)-го i
Пример 5. Найтипри п > 2, если:
в)Лт) = (1-2г’)1п(1-3»)’
а)	Тек каи ainznn(s —1)= ^(coel — coe(2r — 1)), то, приме
б)	Применяв формулы (18) и (14), получаем (п > 2)
ЗЧп-И
=dM = dff'Mdr) = dxdt/'M) = dr f'ujdr = f'Mdz



№) = /№),
m, — M.
, ftall >1 Bta.flM 1.
|a,DJ и дифференцируема на интервале (a, о), то e этом инт
рвется хотя Лы оОна точка Е такая, что




Следствие 1. ьслиаимиия fix) оиффвренциривма ка инт
/(*) - /(го) (т - Хо)ГК)
В, хе 10.01,
III- И,- 1ЛЛ
। в тачке хо существует левая производя г, приявл
f-(хц) А
= /(г0+еДх),

Престол жим, что функция fix) дифференцируема в точке
пи пределы (21) и (23) существуют и конечны, то из cootkoi*
 й (22), (24) и (26) следует, что
lim ГМ= Вю ГМ= /’(до)-


в т> рода Иначе говоря, каждая точка 2о е (°, О является либо пв
 3 н пр ры и сти функции ГМ' либо точкой разрыва второго река
Пример 2. Нейти /1(1) и /|_(1), если /(аг) = атсвш
функция / определена на R, так кая 1 -к Xя 2|ж] Вычислив □
и толкую, получим

ГМ =
I имения следствие л, подучаем
Пример 3, Найти точки разрыва функции ГМ'
f(2)= I а3|ЙП£ ПРЯ а/°-
[ О при 2 = 0,
Если хф О, то ГМ = 2лаап - — сов —, а если 2=О, то по огре*
. я J'M спрпяел нв на R и непр рыгай при х / О. В точке ж
। функция имеет разрыв второго рода, так как не существует пи
па=J(a
1л(1+т)
Пусть V’*z) = ’"О + г)> Vl:0 =

<й (фирм;
6J,	на интервале (а, 6), ryj</ve_*< #'(z) /с во <
Я*)-Л») _ Г«)
9W-»W ле)’
V>(2) = f(x) + Xg(x),
/и - /(о) + A(s(4 - SW) = 0.	и».
t_ _/№)-№)
' O + AsK; = О, откуда = а Из этого равенства и фор
ыч.чтлга .
I" 'М«а зирЛ|)
Если функция J(x) имеет в точке Хи производную г
•еядпа, то существует многочлен Fn(z) степени не выше п тт ~л

Лемма 2. Пусть функции <p[xj iiv(z} определены в б-окрвстл*
1 точки Ху и удовлетворяют следующим условиям:
2) «(го) — «Tip) = ..- v^ixo) — О,
ФМ = Ф'Ы = - = О.
3) «(z) jfi О, iL|1J(z) « О для х € C^(zo) и для k - 1,п + 1
Toeota для каждого х е C'atzo) <уиг ап ует точка £. приносе;
«W _ у**1»
Пусть, например, ХЕ (хщхо + д)- Тогда, применяя к функция/.
ф(х) «(!)-«(«) t’ttl)’ «»<Я<Я-	1,1
I ши, находим
«ТЫ «ГСО-«Г») «"«/)’ 4><£s<£'
h равенств (6) и (7) следует, что
«w_/«>_ч/'аа _	,в
4М «'К/) «ТЬ)’ ° и °
t в имеияя теорему Коши последоеателыю к функциям у/1 и ф", р 
L |СТ,. , и на сосгтьетстаующим отрезках, получаем
ь^х) _ «Те.) _
Ж «те.)
• чио рассматривается случай, когда х Е (х0 —д,	
Теореме 1 Лусть существует б > О /палое, кто функции f •
веет в 5-. кд апкости точки Хо производные Л> (п + 1)-ео поря и
= Яга! +	(« - а») -г... +	- «оГ -I-

1 Пусть z Е /'„(z) = ~	~ ’a)' — многочлен !•

v из равенства (0) следует, что
г.(»о)=<(«») = --=4’°(«о)=О-	•
' ссмотрим функции $j(z) = rn(z), ф(») = (z — Zp)n+I Эти фуикт.
•эвлетворяют условиям леммы 2, и поэтому для них выполняв-
 инство(5), т е.
_
।
м яви	=< d<"+»(z) = (п+1». Из равенств (111 я I
л тдует формула (8). •



*>(z) > ^t,L)(z) туш z > zo, то ^j(z) > ф(т) при х > хо-
Для п = 1 утиержд ние доказано в § 17 (следствие 4 из теоре- |
। прайма)- Обозначим /(z) = <р{х) — ^>(х). Тогда	(zp) = О при «
/(z) = i(z-eer/I’>«).
пи X > ха, го 4 > Zg, /!"’({) = . к) -	> О, И поэтому f(l
Пример 1. Доказать, что:
а)	Применяя формулу (8) при п =1 и zp = 0 к функции /(|,
6)	Если /(«) = rinz, то ДО) = /»(0) = /»(0) = О, /'(0) =
• -- ’’ « = « за/** =ая| z + n | ПаямекягФ^*

ft*) Ё f v (* - *o)‘ + О«* -%)"),
функция r„tz) опрел
и этой формулы
По теореме 2 справедяи в формуле (13), м так как по умов».
пояняется равенство (16), то
= /М + f(*l№ - ха) + - + /w{*»)(*	+ О«т - то)"). (I •
Переходя к пределу при г -> х0 в равенстве (1В), получаем о,
о слагаемые Оо и f(xa} и разделив обе части полученного равенс -


I местности точки гр = 0 ло о[гп).

+ 0, Таким образом.
,(*), где т„(«) =
пиэводные любого перлона), то по теореме 3 формула (10) д»
г «омов разложение, а
что Тейлора. Если ха  - О и существует /(riJ(0), то равенство ( I
I снимает вид
/и=££1г1-с*+»-»о	₽



..-ь _	ГЦ-|(О) _и..
/w 2- (л+i)i*


* /’"'(О)
““ (&)! 1
а) Показательная фрикция. Если f(x) —е*, то /(0) = 1 и /irtJ(O)
к любом п. Поэтому формула (20) для функции е* записываете*
О) Гиперболические фрикции. Так как /(з) — ehx — нечета»
I нкцил, /•“«>(«) = сЬз. fta‘+»(O) = 1 при » = 0,1.2,., •
ичнп по форму*© (21) находим

в) 1)>игономвтр1леспие фцнпцаи Функция fix) — ainz являв*

(z + |(2n + l)).
/<’"*'>(О) = Я1П(| + ЯП)=)
(Эп+Ц!


(а + Ц!
г) Степенная фикция. Пусть /(т) = (1 +я)“, где « € R. То i
4(z) =а(а— 1) ..(о - (к —1))(1 + откуда получ«ем/,ч(0'
I где по формуле (20) получим

2)	=1-х+гя^ _+(-1)пя"+«(я"), х-Ю, (a

д) Логарифмическая функция. Если /(я) - I-i(1 + t), то /(0) =
/'*»(«) = <~1{1+(*)»I)!- /W(0) = “
о формуле (20) нвкодим
Ы1+х)=х-^ + ^+ +tiT2I” + o{r"), я-Ю. (Я
ln(l + >) =	+ г-»о
Ь(1-я)--Т-у - у-.	х-»О,	(>|
Ь(1-х) = -г-»0

Хо =0 доо(т") функцию /(я), если:
а)Лг,=лЬ- в)Л=с>=йЬ:
в) /(я) = In	г) /(я) = (я+3)е-ах.
а) Применяя формулу (29) яри а =—-, подучаем
+<^"). »-»0.


в} Так как
(1л(т+^1 + г’))’ =

a}t&z, О) thz.

3 Г tS ₽ .	>’
1 -s + s+^) = («+«^+'»J^+‘K»e))(>-s +
иравяквая иоэффици нты при Xs и гь, находим -;
«Я»6))
 —, К ПОЭТОМУ
Я*4), где Л| - 1 (th.r — т при 2 -♦ О). Ирименяя формулу зЪ*
* 5Г+ 5F+	= +“’**++ o(z')> (]
чула, сравнивая коэффициенты при я5 и г6, находим ол = •
Д Сяадоватальнп,
if*®”6’)
1 «« + <<«’). а
. Я (42) и(М), называю?'oenwdiMlна»л/хЛманных каа^^ицмхгпоа^см.
18В. 3®С])
Пример 7 Разложить по формуле Тейлора в окрестности то*
. = -2 до offz + 2)”) функцию ftz) =


*ю=Е(й£-
4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейло •
I осмотрим предел при z -х О отношения где /(0) = р(0) -

/Ю) = ло)= =Л'"_,’(о)=о. /("’(О)#о


jrfO) = 9‘(о) =... = ^"-’>(0) = о,	(0) * о.
формуле (20) находим
равенств (44) и (45) следует, что
• Используя формулы (24), (26), (31) и (42), получаем
tg«- =»+у->(1
нпх— ehx = »— у - (» + <;) +°(z2) = —у+<43e3)-
едовательно, искомый предел равен
Пример 9. Найти lire
>> (23), находим

кэтому искомый предел ранен
Пример 10 Найти
Тогда, используя формулы (43) к (27), получаем
sW=;
. этому числитель fix) следует разложить до о'х3)- Применял ф
»лы (41), (35) и (26), находим

Лгжалдия формула Тейлора часто исполняется при вычислен
 вдела при х -а хо функции (1 + /(х))’1’1, где /|>) -а 0 и д(х) 
и со при х -а Хй- Если Хо = 0 и разложение функции f по форм -
используя формулу (16) § 13, получаем
Вш(1 +Я»»И” = j™, (1 +ол" +о1«”))‘
Пример 11 Нейти limfe*1'4-1п(1 — z)),/:“
Используя формулы (30) и (24), получ ем
:ein ehz — z arcain
•логично, разложив функции е*, tgr- 1п(1 — z) по формуле Мак*
 на до ofz2), находим
- + Ыт’) =
формуле (46) находим, что искомый предел равен е'^2 А
При вычислении предела с помощью формулы Тейлора в конеч
• ю предела при 4=0.
елелу типа -
Обозначим /(т) =	+ 2л — 2a/z2 + • + л), тогда /(г)
-|1’)+о1г)4-1) =
туда находим, что искомый предел равен
§ 10. Правило Лолиталн

й пределом отношения их производных
1.	Неопределенность вида ® Если функции f(z) и д(л) я. I
I рекиируема в точке о, /(а) = д(а) = 0, ио д'(о) ф О, то, приме1в»
ауннцияы /ид локальную формулу Тейлора при п = 1 (§ 18, ф-т
/(г) /'(“И* о)+<Х(^ -в»,
gfz) = s'Wte - а) +оИг - «Я.
 туда следует, что
limtFJ = 5TT-	41
«-»•six)
Нелогично, если существуют Jln>(a) и д^п,(а) и выполняются ус*-
/<а) = /’(а)-
а(о) = д'(“) =
«’"’(а)#®.»»
f""Wl
lim ~с = lim	—
Пример 1. Найти
Обозначим /(г) - Зл,0-2г’-1, д(х) = я»-4г’+3. То.
Теорема 1 Пусть функции f(z) ng(x) дифференцируемы наши
/ О для тел х е (а.Ь),
в цестиует {конечный или Сесконечкыи)
к»
»(»)_№)-Я») _Г(0
sto sW - s(o> /И)

_ ГК)
SW~S(») яЧО


Пусть ш = [о] 4-1, тогда <т — m < 0. Применял правило Доли 
। ап раз, получаем
Полагая 1пх=- и используя пример 4, подучаем
Пример 5. Доказать, что


Пример 6. Доказать, что
Используя равенство г* = '
Пример 7. Доказать, что
и пример 3, получаем утверж*
Полагал \[t? — Си исполиуя пример 4. получаем
lim Цг=О.


S 20.
1. Возрастание и уОывание функции,
а) Критерий «чросточи» (уйыеакил) дифф
интервале.
с помощью производных

6) функция /(г) была е ра такяц Л на этом интервале, необлем.
5 0 при всех х С (а,6)
алогично, роловие

Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастают
индии
Необходимость Пусть zo — проиавольная точка мнтерь
vz е (о,о- ® < ®о -»д®) с д®о)
№>-/М а0
равенства (3) посеойству сохранения акаиа нестрогого неравенс
и предельном переходе подучаем
Достаточность. Пусть выполняется условие (1) и пусть
рункиин Дх) на отрезке [®д,®э] теорему Лагранжа, получаем
о означает, что функция f(z) является возрастающей не иктер—

/'(«)> О,
 функция Дт) строго возрастает на интервале (о,Ь), о если
«»€(o,e)cn—--------------
• фдняддл Д®) строго убывает ко интервале (о,Ь)
зтся условие (5) Пусть ®j и ®д произвольные точки интервьш
Дх2)-Д®т) = /’Й)(х3-®1), где С6(о,Р)
сюда и из условия (5) следует, что /(zj) > Д®д) 3 • означает, • i
якция Дх) строго возрастает на интервале (o,fe). •
Пример (.Доказать, чтофункиии ehzH thz строго возрастает
Так как (eh®)' = <hx>0 и (th®)' = >Одля всехсе R »|


Обратимся к достаточным условиям экстремума дифференин -
чхи До, т. е. сшивстыет о > О глсиас, wow
; (х0 - «,»#) -» /(х) > /(яё).	0 <
теор му Лагранжа к функции /(я) ив гетрам
Vx € (тп,хо + «) -а /(х) > /(хо).	(t к
• условий (14) и (15) слелует утверждение (12). Это означает, а |
— точка строгого минимума функции /(х).
АкаЯ' 4'ично рассматривается случай строгого максимума. •

Теорема 6 (второе достаточное условие строгого экстремума!
Г(®о)=О.
Тог*:1™	"" f
О) если < 0, то zo — точка строгого максимума fiy^
Если f'teo) > 0, то по теореме 4 функция /'(®) является izkif-
 1е через точку zo Согласно теореме 5 точке zo
Например, веян /(х) = я9, то /'(О) =0, /"(0) — 2, и поэтому х.
1 — точка строгого минимума функции /(т) = х*

। ста существует /^(Хо), еде п > 2, и выполняются условия
Тогда:
u /(ж), а именно тонна строгого максимума в случае /1п*(ж0)
почка строгого минимума о случал /1в,(жо) > 0;
о) если п — нечетное число, то Zq не является точкой экся< —
ма функции f(x)
гтноети точки ха я условия (17), получаем
IЫ - Л»п1 = ^^-(х - ХаГ + of(z - ««>").	Й «
условия (1В) следует, что рвве!Г’во (19) можно записать в в> i
л») - /fe>) =	-»оГ (1+О(а»,
и С #0 (С = const) Поэтому 34 > О- V» € (/«(»□) -» |a(z)|
суда следует, что
1 + a(z) > О для х € Vi(xfi).
равенстве (20) в силу условия (21) получаем
вгда (/(ж) - /(z0)) = ago (/w(»o)(® - »о)") V» € (;«(ж3)
V» € L'slzo) -» (z - Zo)" = (z - ®b)s* > 0,
та равенства (22) получаем
“«”(/(*) - Л«о» =agn/’")(®o).
ли f*”4*o) >0. то аля х 6 7'а(жо) выполняется неравенство
/(«)-/(»«)> О
о означает, что жо — точка строгого минимума функции /(ж).
в Ха — точка строгого максимума функции f(x).
г) — /(zo) меняет знак при переходе череп точку х0, так как фу -
н (z — меняет знак при переходе через точку zo Это <»
ат, что ад не является точкой экстремума функции j •
Пример 3. Найти точки экстремума функции f\x), если:
а) Л») = (т - 2)’(z+1)»; б) Цж} = |т= - 4|в“И
а) Функция дифференцируема на R, поэтому все ее точки экстра
энями уравяешш /'(*) = О, т е. уравнеалш
= (» —2)(г+1)’(5т —4) - .
эеходе через точку z, функция /’(z) не меняет знака, при перех • 
 эеэ точку Жз — с минуса на плюс.
। ксимума и строгого минимума функции Л1). а Жз не нвляе
п) Функция непрерывна на ff, диффер ниируемв на R, кроме
 пром жуп® (0,+оо) единственный корень zi = 1 + v5, при'*,
z) = fr(z) при ж > 2 и p’(z) меняет знак с плюса на минус 1е
 эеходе через точку zj. Поэтому xi - точка строгого максиму 
При переходе через точку х? = 2 функция f\x} меняет зиа
и z > 2 Поэтому ж? — точка строгого минимума функции fl 
Учитывал, что функция /(ж) строго увынает на интервале (0,5.
гкая, заключаем отсюда, что ж = 0 — точка строгого максиму ж
Используя полученные результаты и четкость функции /(zj, л
гаем ж — —2и т - 2 — точки строгого минимума функции /I  t
3.	Наибольшее и наименьшее значения функции. По в
а наибольшего (наименьшего) значения функции было введен
мреме Вейерштрасса точка, в ноторой эта функция принимает и -
 езначение.
Е случае когда непрерывная на отрезке (а,6] функции /(ж) иж
очках Zi,...,xm и не имеет других точек локального экстрему»
> абольшее значение функции Дт) ка отрезке |д,б] равно наиболь.-
из чисел Да), /(zi),. , Дха), f(b), а наименьшее значение э' 
I нкиии на отрезке [a, б] равно наименьшему из чисел /(в), /(й)
В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наимень:=
гр ча топ случай, когда Функция / дифферентруема на мнтер»
гнственный корень Хр£ (а, б) такой, что f'(z) >0при z€ (а,тс -
®) < 0 при х е (хо.Ь) или jf'(sc) < О при х € (а,х0) и /’(я) > О  -
-(Со, 6).
В том случае число Дх0) является не только локальным экстр*
.хй функции на отрезке [а, б] или на интервале (о, б)-
Пример 4. Найти наибольшее к---------------

«) Л») = («-»««+ip. Ё = [О,3].
°) /W = I*’ - 4k"”1. Е = R.
а)	Для данной функции х — | — точка максимума, х = 2 — то*-*
> нкиии в концах отрезка [0,3] равны ДО) — 4, ДЗ) = 4s Так -
iM=f(3) =64, то Д2)=О.
б)	Для ланкой функция z = -2 и х 2 — точки минимума;
—(14- л/З), х=0и»=1+ а/5 — точки максимума (пример 3,* •
»гельно, выбирая из чисел /(0), /(2), Д14-т/5) наибольшее и Н--
пиндра, если при данном объеме цилиндре глошадь его полной =
Пусть х, h, 1>, S — соответственно радиус основания, высот*
SS(x)^2(S+./'), SW-«(ta-J)
<ка минимума функции S(r), и наименьшее значение этой фу
и равно Л(хд),т.е. площадь полной поверхности цилиндра являв
Iамекыпей, если его радиус равен zp. Но тогда h = —у =2то. т ч
пиндр при заданном объеме имеет найм ньшую площадь поли—
При мер 6. Доказать, что при те | О,	справедливо неравеяс <
О < aina X С»Х с(- 1
©боэначим — яУа’леоат; тогда = — ain2x(l —соа2х
^я1п2х — -втпфт, откуда </(х) = -(сое2т—соеФх) = вшдшпАа
'I явнение ц/(т) = О имеет единственный корень z — то = g на • I
вале ^0, ^0, причем ^(х) > 0 при z € (о, и </(т) < О 1^1
г	jJ Следовательно, zq — *
аах^^т) = v>(To) = Правое н рав нство (23) доказано. Ла
. выполняется. таккакв1пт^0и соат > 01
। V(al
4.	Выпуклость функции.
а) Понятие выпуклости. Непрерывная функция V = f(z) налы»
я выпуклой вверх на отрезке |а,Ь), если алл любых точек Xi и .
Дадим геометрическую интерпретацию понятия выпукло! 
►к. 20.4). Пусть Mi, Мр, Мо —
и цнссы которых соогветств ино
• тны Х|, ®а, Za — Ж1 Т13 Тогда
11 * '—- есть ордината точки
I = №о) — ордината точ-
Мо графики с абсциссой, ранной
Условие 23 означает, что аля любых точек М. и Ай

। граната при п — 2 (Е 18, формула (8)), получаем
/to) = /Ио - Л) = /to) - /’to)*+**.
нсадывая эти равенства, находим
/to)+/to) = 2/to) + y(/"(6)+Гйт».	(я-
. к какfi 6 (а,б).{а€(о,Ь),тот . иуусловия(25)/"К|)^0,//’(€/~
), и из равенства (27) след’- т и чванство f(xi) + /to) 2/(з J
। носяльа е неравенству (2^ •

 «не То и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечно»
и при переходе через точку то меняет направление выпуклое •
,,го +*) ока выпукла вверх, в на другом выпукла вниз, то х0 -
Например, для функций V = ж® (рис. 8.8) и у = x,is (рис. 11
--<] — точке перегиба.

< Zo еторро прсиди~~
rto)=o
uie t'ato) (если /”(ж) > О), либо строго выпукла вверх на иктераа
1 Ifeto) Но тогда жд не является точкой перегиба. Следователь»
|жно выполняться условие 2 •
шмотию и если Линпиия
к как fw(0) = О, /™(О) - -1

(х) - (fcc + SJ) = о


Например, прямая у = О — горизонтальная асимптота графи:
»*, о> 1. при х	Прямая р=1 — асимптота графиков фут
Пр — с1'” (рис 12.12), р — еЪх (рис 1216) и р — cthz (рис. 12:",
ид-г+оо; прямая - асимптоте графика функции р=аг<Де •
и х —» +оо (рис. 12.6), а прямая р — я — асимптота графика фут
Пример 8. Нейти асимптоту при х 
нкиии:
а) Так как р — — 2 +	то прямая р = —2 асимптота граф:-
якции у =	(₽ис.
С) Разделив числите:
гения чнтюочл ион (а
сюда следует, что асимптотой графина функции V -
рмулу Гейл ра, получаем ц —
«ПЦ •*>
якции р = {/а3 +хл при х —е *оо я х —» —оо
-)(j-^H-o(l))=»-j + о{1) при X -» оо, откуда следует, а*.
ямаяр=х — —асимптота графика данной функции ври х-» • •
12 графика функции у = Их} при х

Пример В. Построить график функции р =
<ия при х > О к отрицательные при Z < О, р(0) — 0. Прямые х =
Вычисляем нрстгннщныв
= 0 и z = —3. Точка z = О
 этой функции, тек ык у' не
<ку г=0. Точка х = — 3 нвхя-
и р(х), так как у* меняет
• мкция р(т) твллется вы-
. клой вверх на интервалах

•абрвжен на рис. 20.5. Л	______
Пример 10 Построить графин функции у =	+ г?
I к х > —1 (г / О), р(— 1) = у(0) = 0 Прямая у х+ - - ееш«
числя v производные
оаско следствию 2 из теоремы Лагранжа (5 17) находим f(—V
• 1к с плюса на минус, то х=— у — точка максимума функции
I нчем 1(—	Аналогично, точка « =0 — точке ми ни му м
| нации и р(0) = 0.
Иэформулы (37) слеаует, чтор" >0 при х < —1 и у" <0 орк х > I
> #0). Поэтому функция р(г) является выпуклой вниз на интервью
При построении кривой, за>»
х = т{1), у — р(1), обычно резь»
лом на которых функции a(i) и,
ио строят графики функций а
= и »=»(«)•
Пример 11 Построить к -
(1+5)»


формулы р*.
f 15, формула (29), § 16, формула (4)) Получим (при I 0, t - I
(» + 5Д«-1)
«•((<-5)
4|’(«+5)
-<1 + 1Н«+«>(<-!)
Разобьем ось 1 точками i - -5,1 = —2, ( = --,! = —1,4 = 0, i I
) монотонны, pL и 1Д'Х сохраняют знак Составим таблицу значь
. рмулы (38), (39), [40).
> «онную асимптоту, пользуясь теоремой 12 Так как Um = 1
X	V	V.	
(-.-?)		+	
(-?.-!)	от 0 по —00	-	-
	от 4*оо до	-	+
(-Я	("»)	-	-
		а-	*
ОТ +СО АО 2	от Т до 12	+	
Р.+»)	(!?,+«)		
lim (v(t) - z(t)) = Bm
Ит таблицы к формул (38) следует, что интервалу (—сю, —2) га«-
«ком функции у =lti(s), выпуклой вверх, причем значению I =
 гтветствует точка максимума Xq = — — этой функции к pi (е0) - (
Интервалу (—2, —1) соответствует ветвь кривой, являющаяся Ге*
—ком функции р = ра(т), выпуклой вниз при t € ( — 2,— 5) и ем
клой вверх при i € (- 5 -1J- точна итого графика
-тгеетстт^юшая значению I = — есть точка перегиба; при I = - I
 нация х = х(1) имеет максимум, причем г(—1) = —2.
I клой вниз, а интервалу (0,1) — график функции у = Ул(х), яыца*
Ps(s), выпуклой вниз.
Отметим еще, что х 1 - 2,

Используя таблицу и лроеед иное исследование, строим крив •
а) Понятие ееттр-фу ищш Если кал.дому значению t € Е,
*а, то говорят, что на множестве Е задана векторная функция i
Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система ко'’."
• вне координат r(t). p(t), а(Г) вектора r(t), f € Е- Если i, j, k
Н‘)-(«(«). !>(«),«(»))
Ir(t) -) = ytxfr) - у + Mi) (,(а
Свойство 2. Если гщ —г а при t-tto,a скалярная функция
лова, что f(t) -* А яри I -Ид, то f(ОНО -а Аа при t -»to, т 
lira Л 0 т(0 - Еш /(t) fan r(t)
। .дует, что r(i) = а + <т(1), ДО = А + /3(0, где о(0 — CecKOHeim
I этому /(Ог,6 = -Аа + т(0. Г’1С Т(0 = Aa(t) + ДДОа + Й(1)о(0
кствп (5) 
1пл (г. (I), г3(0) = ( Шп Г1 (1), Um r3(*)},
1йя1р1ГО,»»(О] = [/jJJ.'iW.ljm 'sW]-
.этому Г|(<) + Гл(1) = Я| + к2 + J3(t), где 0(0 = а,(|)+е<3(«) —
I я t -в to, откуда следует (6). Докажем формулу (7) В силу свой
.тлярносо произвел ния
• «чем в правой части этого равенства — бесконечно малая фу -
I я, так кек ог(1), a3(t) — бесконечно малые вектор-функци!
I . 4)1 < |р| - |й| для любых векторов р и q
- 1ьаоиаться неравенством Цр,ч]| С |р| I •
непрерывкой rpu t to, если
>• пр рю ность в кторн^ункпии e(t) — (a.(t),y(t),e(O) при 1 — 1
 x[t), ДО. х(О непрерывны и точке to-
. тор-йнигат r(t) о точке to Тогда условие (9) означает, что
Из передел ни я непрерывности вектор-фуннлии и свойств пре -
змзеел ння в ктор-функиий ri(t) и Га(4) являются непрерывнк 
нациями при t = to, если вектор-функиии r> (I) и raft) непрерыг-.
2. Производная н дифференциал вектор-фувнции.
а) Производная вектор-фуннции. Если существует JjinD др 
। r(io + At) — г(Ср),тоэтот предел называют проиюодноа веко. ,
нкции г (а) в точке to и обозначают r'(io) или г(10)
Таким образом,
'(to) = hmp Hb + AO-aW	(, (
Акаяогично вводится понятие второй производной
проасюоди й порядка п > 2 в кторчЗуНапии.
•) = (4«).е(0лИ), то
верждекие (12) следует из определения (11) и свойств вреде* ।
><тор-функиий.
Аиал кчно,если существует т‘’(10), -го
г"(М =
. опрелеаения производной следует, что Дг = г*(<о)А< + а(Д»)5т
Заметим, что е 
। юм, выполняется условие (10), т е вектор-функция г(1), имею —
эизводную в точке to, непрерывна при 11с-
Утвержден ие 2. СодоеасЦиам следующие правило диффврвн' 
мнил ceitoicp-tfj/wtuut
Формулы (13)-(16) справедливы в точке I, если в згой точке
тетствукавие функции имеют производные Ограничимся доны
тьством формулы (15). Пусть Ат* — приращение вектор-фу -
г У _ Вш <nft+A>).T3(t + at)) - (r,(«),nft)) _
*’ '	д<-*0	Д<
чаем |гЮ.г№Г — 2(r (O.rltn = О. так как гВДР '
ке зависит от at. cdati
г lto> = 
ства (17; и (18), получаем
• О|ДЙ -» и при Д(
to, то еектор-функиия pie) = оифферекиирувм в точно
шоихоОная зтоц Линкции выражается фоомулоб
• uupoecKue.


нет при Л с -к 0 предел, ранный I'flojt'C
к О и о(Л() -к О при Д( -а 0. Следовател!

ibhcthb (25) 0“ Г-'?-) — HO) — H(^)2r, чтя И НОмочнп, ТЯН ияф'(4‘
> функцию
«.(»} = (г(«-г(о),гЦ)).

е -I
-оСразуеы левую часть равенства (27):
Я - 1₽Ы = (НЯ - Ис). т(й» - (г((7) - Г(О), г(о)) =
= (т(Д) - Но), ил - Но» = М(3) - Но)р
Мй - Но)р = (г(Д) - Но), ИК))(0 - о).	(ж
о, 0) Если г(£0 г{о). то |г(/3) — г(о)| > О. Тогда, используя не,—
 аство |(а, Ь)| |а| Щ, из формулы (28) получим
МЛ - Н«)Р С IH Л - Ио)| - MK)IW - о).
туда, резделикпа» частя неравенства на |г(/?) — г(о)| >0, получ  i

el» —= <4(<—— **ЛТОр-фуККЦИЯ ТЯКЛЯ, что eft— bl

§ 22. Кривые
Орана лрямсугольная система координат Оту г, и пусть не стр- •
функции х = х(€), у = р((), а = z(t)
Тогда говорят, что зад» i
нецз рынное отображение —
резка [o,ZI в трехмерное г,
(рис. 22.1), где М = М-
или иск координаты некгч-
(1) с началом в точке i
Если считать, что перем иное I есть время, то уревм кия
Г = U. к, г), г I = (![!), 1/11), ztt }
rod и яонеушш точкой иижьаи) кривой.
кюрОинатной tfopAi
Г = lz = zfI , v = v I , г = M), a < t S в},
□ и векторной форме


Г или простои тгой кривой Г.
= etej, и ллп


Пусть параметризуемая криаая Г задана уравнением (3), и пу 
иествуют значения li и tj [t । / i2) из отрезка (&,/?] такие, а
h) — г(Тз). Тогда говорят, что точка Ml(xl,pi,zJ), глет, — z(t2|
Если равенство г(а,) = г(т2) выполняется при ti ст, h =	•
иэую Г называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеюш- •
тек самопересечения, отличных от точки Мх(т(о),р(а),г(о}), *
и называть простым понтуром.
i(eoet,aini) ‘'описывает” единичную окружность, двигаясь про'е
I одн  р м ннп начальной и конечной точкой кривой Г
3. Кесательнан к кривой- Пусть кривая Г задана уравне в
 (3), где х(а) вектор-функция, дафф рсащируемая в точке t •
а.Д, причем ГОД #0 Тогда
1> о(Д() -а О при Д1 -а О. Из условия г‘(10) / О и равенства (7) та»
I эт, что при всех достаточно малых ДТ / О правая часть (7) о
I тулевой вектор, и поэтому Дг О,
О < | Д») <4 <е+ДТ Е (а, Д], (8)
> rtfD-t-AQ/rffo).
Пусть Мв и М- точки кривой Г,
ггветствуюыие значениям парамет-
ч «о и fo+Дг (рис. 22.2} Проведем
। грщаЯ.
<инх Д|, удовлетворяющих усяови-
а (8), ненулевой вектор Дг — г(Сд +
Дс) — г(а0) параллелен секущей, к поэтому вектор — также парез
г=г[ад + ^\ Лея	>
Пусть сушнстнунт предельное, положение секущей, т в. суше- -
Утверждение 1.Еслит'(1о}£0,тос&и ап ует касательно
rteoa Г в точке Мо, и уравнение этой касательной можно запиа 
г = r(lc) + r’(t0)A, ЛЕК	«И
> чествует Jjm0	=1/(^о)» и во опр“телению прямая (10) являе—•
Е координатной форме уравнение (1и; имеет вид
= *Ко) + А*'(*о). » = 1Л*о) + А»’(4о). x = x(do) + Az'(<o), *€•
•W
—	(3), raee(i) - дифференцируемая на отрезке [а,$ функция, то м
-	ifcd точкой кривей Г; если же r'(k) = 0, то говорят, что М„
Пусть r(0	тогда i'(i0) = (z*(toXv*Po).x,№>}' I
-	да, когда (x'fto))2 +	+ (г’(*о))а >0* Из определения нес- 
	I точив и утверждения 1 следует, что во всякой неосойпй то*«
I. иаой Г существует касательная.
Если функция г'(С) непрерывна на отрезке [o,fl, то Рудам гот
-	срерывиа и r'(l) / D при всех I € [о, if] Если кривая составлена <
>	^очно кладкой.

Б. Длина дуги кривой.
а) Понятие длины кривой. Пусть кривая Г задана уравнением (3)
|уств нв отрезке (о, 0] выбраны точки I* (1е = 0,п) такие, что

. вать ptwiueHuoM кривой Г
Соединив послед «гель
> точки Мо, Mtt ... Мп
> ную &п, которую Су-
I и называть олосаянаО в
•лврю Г; отрезки Mu-iMit
Так как длина fc-гоавена ломаной ^„,т е. длина отрезка Мо->' I t
эка	rfh_i)|, то длина ег„ ломаной &п равна
О ’
Если существует точная верхняя грань множества длин ломание
! на кривые 1\ ьГ2, гл. е Г=Г|Г2, то кривые Г| и Г? спрямляе- •
Пусть Р и F' — произвольные ломаные, вписанные соответств—


ерывность и ограниченность функции |r'(i)|, и поэтому
ЭС > О: Vt е [a.flj -»|i'(t)| < С
1,1
«г„ < £ С(ь - «*_,) = С(В - О).
 г числоС определяется формулой (17) Итак, множество длин по-.-
• да по теореме о точной верхней грани	м
итолняегся н-рав нстэо (15 •
Теорема 2 Пусть кривая Г = {г =
ЛЬ.
. —дош, о пусть e[t) — длина той части
к> параметра от a dot.
efW\
:r I
’ ®’(Ы. причем
«ш = 1г’(1о)|	(18)	p,a224
Пусть Iq + Д1 € Mp и M — точки
иэой Г, соответствующие значениям 1р и to + Д t параметра кра
Kt*- 22.4). Тогда дайна Луги MqM ранне |Да(, где
кина хорды МрМ ранне |Дг], и поэтому подучаем неравенс •
|Дг)€|Да(.	О
- теореме 1 подучаем
|Да|«п^х(г'«)||Д»1.	(Л
> г Р — отрезок с концами ip и tp + At.
|Дт| С |Да] С	|г'(«)||ДЧ.

едовательно, н-ревенство 131) можно записать в виде

акция r'fi) непрерывна на отрезке [о,0], и поэтому функция |г*'.*
ахествует точка ( е Р такая, что max|г'(а)| = |гг(£}|-
Цусть ДХ -» 0, тогда |г'(()|	|гЧ<о)| в силу непрерывности фуш
। и АХ	0 предел, равный |r'(lo)i-

> ат lim ,,
а*(*о)|, т е. справедливо равенство (18). Таким образом, доказа»
э. функция а[4),	—
।аенство
। на отрезке |о,/Э] в выполняе

1 уравн ни м (3), является гладкой. Тогда функция г'(1) непрер.^
> на отрезке г’(г) # О, и поэтому |г'(Х)| > О. Из равенства (. 
Iхдует, что > О лля всех t € [о,/?]. Поэтому н пр ры но дьф
-треме об обратной функции на отрезке [0,5], где S — длина к *
I рекцируемея строго возрастающая функция и
Таким образом, функция t — 1(я) является допустимым пр- -«
>юванием параметра (замечания 3, 4), и уравнение кривой 1
 жяо записать в виде
называют лы.-пурдльнмл параметром, а у(явя кие кривой Г
писанное через параметр а, называют иотуральяыл уравнена .
z = асов!, у = aunt, z = Ы, О 4 £ Т,
|r'(i)| = yfl-aainty + (eco.1)’ +P = x/e’+b2 > 0.
1о), и поэтому уравн.нне н рмальн И плоскости & к кривой 
 сие Мо можно записать в виде
(г-я(«о).«'во)) = О
(® - xffcMa'fto) + (v - Kite» p'(tc) + £« - »(«o)) f(ta) = 0.
б) Главная нормаль. Любую прямую, лежащую в нормальной плЛЛ
щти Рк кривой Г в точке Мо к проходящую через точку Мр,на.- 
. некий на вектор-функиии, с помощью которых записываются урь*
-сия кривых. Пусть Г — гладкая кривая, заданная уравнением (3)
нчем для всех а € [в,3] существует r"(i). В этом случае говоря i
<fr
<W («ЧОГ

Применяя правило дифференцирования вектор-функиии при —
I не перем нжго, подучаем форагуду (26)'
*«*(«)
। спорной функции на скалярную, находим
суда следует формула (27).
*"(«) £(1''И1) = £k'(»).a’(‘»,/’.
/'(«)еуШеетв>ети|Н(<)|#-' •
Перейдем к определению >лаший нормали Будем считать,  i
стер всиху равенства (25) Обозначим этот вектор буквой г. То
оэтому (см. § 21, пример 1) вектор	ортогонален вен
>боэнвчим
£*»•
Пусть м — единичный вектор, параллельный вектору То*
ичем вектор v ортогаил я вектору т.
Так как вектор т = ^- параллелен вектору касательной r'(t
этому вектор г' параллелен одной на нормалей кривой Г в точке
Итак, если в точке Л/ € Г выполняется условие (29), то нормах.
гтся плавной нормалью
7. Кривизна кривой. Пусть Г — {г — r(t), а < I < /3} лв< -
ивой Г Число к, огреаеля мое формулой (30), называют кроаиз 
леоЛ а точив М € Г (Ол) = г (с)).
олц/лой
Цг,(«;,г"(е)1|
HW •

Иствитольно, так кек т — единичный вектор, ортогт
>у —, то, используя оафедел нив кривизны (формуле (30)), поа*
вменяя формулы (26), (27) и учитывая, что [r'(i},r’(i)] — и, S(i~
ио равенства (33) получаем формулу (32) •
Если г(«) = М«),И1),л(1)), то г'{») =	*"(*
:*"(W(t). *"»).
«'« = КИ1 = y/(«'(«»s + (lC(»»s+(ma,
13 формулы (32), опуская аргум нты, получаем
(W+Vr+WT’
пи а(() = О (Г — плоская кривая), то формула (34) примет
честности, если плоская кривая Г задана уравнением р — Цх),
формулы 135} находим
(1+(№»’)*’
। f"M = —г: .	то поформуле(*
_ (^ч-2)^-^+2)^2» _
1X1	№ + 2)>	(х> + 2)^‘’

аул® следует, что максимального:
ет при х — ±1, причем
*«». = JW±1) = Y ж
Выясним физический смысл кривизны кривой Пусть крияэь I
ствует кривизна к{в)

। а г(и + Да) и г (а) — единичные векторы, параллельные иасате*
м к кривой Г в точках кривой, опреиеля мых значениями па 
г(л), тогда (рис. 22.0)

1|Дт| = do ЦЙ
и“ 1тг1
Дв|
! т величину
I используя равенство (37) м учитывая, что 2вш!~! ~ |Д^|
о -а О, запишем формулу (39) в следующем виде:
равенств (40) и (38) следует, что кривизна кривой Г, задами
ввнением (24), в точке М Е Г равна скорости вращения вею 
мателык>й к этой кривой в точке М
Число R = называют радиусам кривизны кривой Г в том
 ас. 22.7), то у гол Ду? равен углу между вею оравы г(1) и г(а а Де/
ивизна окружности равна обратной величине ее радиуса.
8. Соприкасающаяся плоскость. Плоскость, проходящую »
 касательную и главную нормаль в «• 1ной точке кривой, налы»
Отсюда и из определения главной нормали следует, что сопри—
 ошаяся плоскость опрелел на для точек кривой, в которых крив»
Утверждение 6. Если сладпал привал Г — {г — г(1),	t
(r^r(tD),i'(4D),HtD))=0.
Если а — а(С) - переменная длина дуги кривой Г, то диффер.*
шучаем
R / 0, и поэтому |г(,if,J# О. С 
во всех точках плоскости
но выполняться условие (41)
Запишем уравнение (41) в координатной форме:


коллинеарны.
nete)Za'SS)”"Zo5obT'“'''.'
(рис 22.8), то их смешан!»
I я - z(iL) р - pfto) а - i(tq) I
x*(lo)	»*«о)	т*(ео) =1
I *"(«□)	V"(«o)	x"(»o) I
В- Центр кривизны кривой- Эволюта. Пусть кривая Г-яад-
| гуралькы.м ураанением (24). Будем предполагать, что в точке № >
где OlJ — г[а), существует кривизна к = *(») #0. Тогда ралли
иэизны кривой Г в точке М равен
Л - кы
Отложим на главкой нормажи кривой Г (рис. 22.9) в направлен
гтора главной нормали V= р(а) отрезок МN длиной R=R(e) и я
гем точку N центром кривизны кривое Г в точке М Пусть О/^-
Так как мА = (К(а)и(а), то получаем	j_____
P = rl«) + R(e)b(e) (43)
пользуя формулу (42) и равенство
= к(а) •/(«),
пешем уравнение (43) в следующем виде:
(44)
Р rW+(*(.))W
Предполагая, что пл всех точках ирк-
Рн^229
оИ Г эволютов s
Если кривая Г1 — эволюта кривой Г, то кривую Г называют эм*-
/тоО кривое Г1 Уравнение эволюты кривой Г, заданной натура *.
>м уравнением, имеет вид (44).
Если кривая Г задана уравн нием (3), то уравнение эволюты а -
ивой можно получить, заменив в равенстве (44) к и — их выи»
-киями во формулам (34) и (27)
r[t), Р = У(0, ° СI € 13}, ее кривизна выражается формулой (33)
— формулой (27), где
I СОТОМУ
пи р = (€, о), то уравк нне (44) в координатной форме примет .
, _ .,«•+«* _ ________________.<»•>’+(»•)
Ьормуяы (45) принимают во
я (45) эагась*>аются в виде


Используя формулы (31) и (49), находим
^(.)х(.)(г,м, S) = *4.1*
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
<- Еривес™ пример №
1 при х + О, НО) 'О

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Аксиомы метрики 1°) и 2°), очевидно, выполняются Пробег» •
оавеистэо треугольнике
Ио (1} следует, что
lari - |li| С Дя,р), |яа - п| € Цх,р),
। сотому
|*|-|н| С k«-aj|+k< -н|СДх,х) + Дх.1|) "Р”
₽(Z,P) = ШахЦц - »l|,|2j -И|) СИ».*} + Д* Г
Если рассмотреть множество вспчиможиых упорщюч иных тг“

получим метрич сное пространство fi8
тором расстояние между любыми двумя точками евклидов»
остранства совладает с расстоянием между соответствующими •
еками пространства fi8 Проверка аксиом метрики проводится •
, как и в /?2.
2. Метрическое пространство Я”. Точками пространства •
лиются упорилоч иные совокупности на п вещественных чи-

и»,») = (£(«<-»•}’) 
ойства 1°) и 2°) расстояния, оч видно, выполняются. Сложнее Пг»
аить, что справедливо неравенство треугольнике
Докажем скачала неравенств Коши

Рассмотрим квадратный трехчлен
же=Ё<*+f ws = 4+2Bf+cf’’
•>4=5>?. в Ё«*> С=Ё^
Так как квадратный трехчлен Р(() принимает только яеотри
I * — ЛС*< О. Ппдстенляв к иераяенс  ....--—**........— •
Докажем неравенство Минное него
z и	\i/a t  \i/a / п 4i
(§< «’) «(§“•’)  (£4)
Используя неравенство Коши, получаем
J(O1 + ад3 = Ё“; + 2 Ё “‘Ь +ibi*
«g".’*Kg4"(»),'’+gu-
-^ГЛРГ)'
Извлекая из обеих частей этого 1пиства квадратные корни
Полагал в неравенстве (4) oj — z, — ZJ, fcj — z/ - щ. получаем мера
>-Гцё
а. неравенство треугожлика для расстояния p(x,tf), отрез ля м 
На множестве всех упорядоченных соеиатугностеП на я иешестм
В способами. Например, вюжно положить
= ощ |и - id, ptz.p) = J2 Ma - lid-
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так
а в cj  гае п = 2. Расстояни* • •- - ваяемое >- - юЯ - *


£1»?’-OjI^	=p(zw,a)-»O при *-n
HioOopirr, если при любом i =
“<•<)’) -»O при Ji-»oo
сксдгад. йен ГIJ
гек в R
XUaauom следующими свиОствами

Замкнутые множества оолвмют елвоукят
мй последовательности

можно выбелить сходящуюся подпоеледовапи
инат, в последовательность вторых координат В силу лемм)
ть подпоследовательность	сходящуюся

5 24. Предел фун
1. Предел функции в точке. Напомним, что окрестное!-, 
к") точки z° и метрическом пространстве X называется лиг и
! местность О(хп) получается ив О(д°) удалением самой точки •
е О(х”) = О(д°Д(в»>
ожество, принадлежащее метрическому пространству X. Если -1
^означается обычно следующим образом:
эстранства Я2 с центром в точке (0,0), а функция ln(z’J M z^Jon.-
0 пре деление 1. Пусть функция /(аг) определена в проволочи
 зестиости О(аА) точки л? метрического грострвнства X. Говоре.,
• 4 такое, что для Vr€O(z°), удовлетворяющего условиюрСх.л®) •
" т°), вжеелт при т -* т® предал А, если для любой послеловатеш
ааРТИ т1** € О(т°) такой, что Jim xtkJ = выполнено равенс - 
Еш/(**J)-A.
I < и для функций одной п рем иной (| б).
Если число А есть предел функции fix) при х 
• сяо А есть ее предел при (z,p) -е (в, Ъ), то пишут
взывают иногда число А дооОным пределом.
— Um f(x) будем использовать обозначение
A Em
Лемма 1 Пусть функции fix) и у(д) определены о О(т°
• z)| £tplx) оО(з^) Если Ьм <р(т) б, той * J(x)=O.
Так как lun wrl — D, то для любого Е > 0 найдется шар 5Д 
L. м более лад , сет z€ Si(z°) выполнено неравенство |/(я)| <с,1 -
Пример 1. Доказать, что Ши Дт2 + р8Г m О, если о > О.
Возьмем любое € > 0. Положим £ —	Пусть (к, у) € Sj(O.O)
Jim^Jz2+р’')" = О.

* rix „1=jfHvL <	_
"W	(z’+»’P
= te8 +	- V(X, „)
У ₽	Р11 (.yj-^o.o)^
lim /(z


имеет предела лрк (а, у) -> (0,0).
Рассмотрим последовательность точек (ап,рП) = (1, AJ. То
Tn,Vn) = 1 и, следовательно, lim /(гП1уп) = 1. Если же взять
<коИ (0,0), е послелователлости точек (тп,рп) и (z^,p^) сход»
। к точке (0,0), то, используя огред и ние 2 предел*. получи м, я г
нкция / т.п) не имеет пределе при z.у ->(0,0 А
Пример 4.Функция
имеет предела при (х,у) -» (0,0).
(О, О) и (*•„,»„) -» (0,0), a	= О и Jta,рЦ = I 
айной предел функции /(х,р) при (г.р) -* (0,0) не существ»
2. Предел по множеству. Предел lim^/tx) был определен е I
а функции, заданной в О(х°). Расширим определение предела, i -
юрить, что число А есть предел функции J(x) по множеству 1

Пусть функций двух п ременных /(х, у) определена в проколе»*
эестности O(zo,i/o)- Пределом функции /(х,р) в тонне (хо.ро)
a L есть луч, выходящий мэ точки (хо.ро) в наоревлеши I.
Пример 5. Показать, что предел функции /(z,if)=	вт**
(0,0) по любому направлению Г = (ссва.влэо) существует и pa* i
Jficoeer, tAao) — 2Anctcoea = в\п2а.
lim/(tcoea, Cejnc}=ein2a
Пример 6. Показать, что предел фунинии f(x,V)= х,	вте*
ДТсоео, гйпа) Исов ойло
teo.tro) следу
Как показывают простые примеры, но существования двойн i
едела не следует су шествование повторных пределов, в из суше
аания я равенства повторных пределов не следует суш сттюьап
Таи, для функция	примера 3 двойной предел при (z,pj 
। (О, О) не суш ствует, но ой а повторных пределе равны нулю, так « 1
lim^f (z,p) = lim fix, v)=О.
Для функции
zein -, р/О,
> дествувт

питому не су шествует и соответствующий повторный предел.
> ЖТН<ХТИ(ТОЧКК (ха,|я) и существует ДВОЙНОЙ орел».- фушови 7(1 . I
ся по той же схеме, что и для функций одной переменной. Нап •
• z° выполнено неравенство /(х) > С.

О С (а? + />-*♦»’ < (х + pj’e-f*»’

1. Непрерывность функции в точке.
эестности О(х°) точки метрического пространства, квпрвр---
I в почке т°, если lin»o J(sc) = /(я?)
Определение 2 Говорят, что функция /(ж), определенна, .
эестности О(х°), непрерывна в точке т°, если для любого я > О  а
лояняется и рж нстно |/(ж) — /(т°)| < я.
та на языке окрести клей
Пользуясь опрела» ни м предела по чятгж ству, можно дать -
тетствуюец е огрелел ние н пре ыоности функции в точке -
Определение 3 Пусть функция^(ж) спреде* ив на множа*-'
 смеет еу М, если

лтвется н пр рывной в точке по чеютнестну М.
трерывиа в точке (0.0) по любому лучу- но не является непрер^
.1 в точке (0,0).
Из результата примера 4 из § 24 следует, что функция /(х,р) ш
ерывной в точке (0,0). Из результата примера 6 из § 24 следу
ствует я равен нулю. Следовательно, функция /(т.р) непрерым
Осн «ны теоремы о свойствах непрерывных в некоторой то»-*
нкций) доказываются для функций многих перем иных таи —
эпоэииия к прерывных функций сеть непрерывная функция
Теорема 1. Пусть фрмядта у5| (*), --, у>п(т) соре Зелены в некого
емкости точки и" — (ы.(х° ,.
V'n(zo)} u непрерывна в точке rf'- Тогда в некоторой опрости
чхи определена сложное ф^илооя
Ф(х) = /(1₽|(»)...*>п(г)).
леем функция ф(х) непрерывна в точке 2ю
Так как функция /(р) —	,рп) н лрерыии в точке р0,
и любого а > 0 найдется шар£Др0) такой, что для всех рЕ$,(г'
полнено неравенство
Так хак при любом i Е {1, ,п) функиия Vi(z) непрерывна в т~»
I х*3, то для чисм а найдется шар S^fx”) такой, что для всех  
ЖлДя») выполнено неравен™
IiPiM - Vifr")! <
>л(х°} и для любого! € {1,- -,п} выполнено неравенство (2) Слее-
I гельно, для любого ТЕ 5з(т°) выполняется неравенство

। т любого р Е S„(p°) определено значение функции f(th.... Эм
•г, в $з(х“) определена сложная функиия 4>(z| - f(ip, (z), ,v>„(z)J
Покажем, что эта сложная функция непрерьпаи в точке (Xх3). Г
। тенетно |ф(г) — Ф(2?)| < е, второе означает, что сложная функ!»






ть. Введем фунлвм нталы< е
IДж* - /(* < е.


lim
0 = l/Uu) - f (z“)| > £0 > 0,
иы-ял
I. e там и талька там сличав, когм

Если функция равномерно непрерывна на ьиожеетве Е,
fe> 0 3ft > О: ta.a' € Е. <i,-t |/(») - /(аг*)| < I
Из (7) и (9) следует, что
Поскольку модуль н прерыитости — возрастающая функция 6
Vf(StE) < е
Покажем, что из равенства (8) следует равномерная непрерг
тть функции f(x) на множестве Е. Из (8) следует, что
Из (18) к I т I следует, что выполнено условие раннгл- рнсй нег.-
аности (9) •
Б. Промежуточные значения непрерывной функции.
зринимает о этол области значения А и В Тогда функция f
По условию G область, т. е. открытое и связное множеетш-
Соединим а и Ъ непрерывной кривой ж = z(f),	2(°) “ -
3) = Ь. Сложная функция	= у>(1) натрерынга на отрезки [о
тринимает не концах этого отрезке значения А и В. Тек кек у
-тьъжуточных значениях для функции одной перем- иной она п
ожество значений функции = /М01 содержится в множес •
п, заключенные между значениями А и  •
S 2В.
сть фу»

:ть функция
- зеделена в окрестности точки а? — (а^.—.ж’1,)- Рассмотрим фу"
 юодной переменной
Функция у>(Х|) может иметь производную в точке л?. По опре*»
1ик> такая производная казыв»тся частной производной
ним образом.


мюго нарядна:
= Д<Л=А/«Л = Д,(Л = £-/&) =
е одою олные первого порядка
Й1У.Л Й1ЛЛ
Для функции трех переменных — три частные прою одные ги»
го порядка
Поскольку при вычислении честных производных все перем»*
Например,
2^z> + ^> Яг

Я. Дифференцируемость функции многих переменны;
чке. Дадим одродод ине даффереяцнруемостм функции в точм
Шррвлой в точке тс = (т?, ...з£), если она определена в неко
Теореме 1. Функиия f(z) дифференцируема в тонне зг° олтом .
। мьхх> там случае, когАз в кекотороа окрестности точки т° фу—
I я /(г) может быте представлена в следующем виде:
f(z) = /(х0) + £ /Лх)(х, -
Пусть функция Дт) дифференцируема в точке Xй Тогда выпол.
усл  не (1). Заметим, что равенство ф(ж) = о{Дт, х°В при х - а
। тачает, что ф(х) = e(z)p(ztaP}, где lim e(z) =0.
Ё<я< -4>а=Е£<(ж>^ -4).
- W ,'™ь	= «. ™ и % fix, т %
Тогда из (1) и (3) получаем
«») - /(д’) + 5>.(Я, -«?) + 5>Ы(т, -4) =
=к*”) * Ёлыл - 4)- ли=^ *е<(®)
Так как функции еДж) непрерывны в точке ж°, то к функции /<
ььрерывны в точке xQ и /Дяг) = Л>, а = 1,п.
Пусть выполнено (2) Тогда, воспользовавшись негр рывн Ии
I К лу чаем
П е) - /(4) = £ A(»i - 4) + 53* (*)(«< - 4) =

|53c*w(«a-4)|

Пример 1. Показать, что функция
ффереицируема в точке (0,0).
v € В справедливо неравенство
Если у = 0, то н равенство (4) справедливо при любом С. Пу 1
Л 0. Положим t = Тогда неравенство (4) яквивалентно
чству |ф(»)| < С, гае ф(Т) =	+<*—«.
Так как функция ti’(C) непрерывна на /? и (40 -е 0 при t сю, >
Итак, неравенство (4) установлено. Так как
=	при (®,ц)-» (0,0),
следовательно,
у/х* +1/ = х +о(у/х7 + I1') при (x,ll) -» (0,0),
е функция f(z,v) дофферетшируема в точке (От- л
Пример 2. Показать, что функция
Пвреиа сносов. Пусть функция дифференцируема в точке (0,0)
/(«,») - /(0,0) = Az +• By+o{fi), р = у/х» +
л...,, гдат^.жв-о. л. eei.i.B.ae.,
ifa = ix+o{x)
-la о(т) Следовательно, функция ^/та + у3 н даффер шируш.
лке (0,0)
Второй способ. Если функция /(з,р) лмфф р нцируема в г
» (0,0), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, соте
 функции р(я,р) и ф£х, р) непрерывны в точке (0,<9
Пусть к — произвольное число. Положим в (5) р = кт Тогда
| г,р) и Ф(х,р) в точке (О,О), получаем, что прк любом ^выполняв
> зенство
/1 + 1:’ = v(o, <9 + кф(О,О) = a + kb.
Это неверно, так как функция	+ к3 не есть линейная фуик1л«
Из теоремы 1 следует, что функции /(аг), дифференцируема- 
I нкция примера 2 непрерывка, но нелифф р, тируема вточке(0,0)

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке!0 Тогда найду •
иство (1) принимает следующий вид.
I п ,«S, - ,4) - /(«?. -.4}=л,(®| - а?) + efiaai I)
едоватольно, существует предал:
Л, Ъв №,-jS- .4>-/(rf.-,*i) = Of.jty
I ют и остальные частные проиэиоянье и что
L &о,<9 = :
Подставлял эти выражения в равеистэо (1), получаем  •
-»вого порядка.
|(0,0) = to Яс,0)-/|0.0) = to
Так как фуажиия — у/оР + у1 примера 2 и диффер нци
 <ке не парантирует даже непрерывности функции в этой точ-
ек, функции
имеет предела при (*,р) -о (0,0), а поэтому и не является неп
I пествуют обе частные производные
g(o,o) = to=0, g(o.o) = о.
енцируемостк функции
4.	Достаточные уелс
Теорема 3. Если все частные производные ;(л)з * = 1,«, ояк*
I нхцвл /(т) дифференцируема в точке л:0.
Запишем приращение функции в следующем виде:
I е. Р.а) - /(^.М = /(«.».«) - /(Л», г) +
+ /(^.Р.л) - ЛЛй»}+№ЯЛ»)-ЛЛЛИ>
Пусть зР < х Рассмотрим функцию одной и рем нжН* ф(|
f (i,p, г) при t € |т", г| На этом отрезке функция ф(0 имеет про «
Применяя формулу конечных птжршмшй Лагранжа для фу 
I и ф(4) ив отрезке [т°,т], получаем
Ых) - ^(т")=ф'[х°+е(х - г"))(з - я?°>. о < е < 1
Л®.».») - Л®%«) = Л (Х,ц,х)(х -г°).
> \х\ л°), тп существует

Аналогично,
Л*”.».®) - /(х°, tfiz) = hlx.ti.xHn - р°),
н?.м -	=л(».».ли»- л°),
>• функции htx.v.x} и	имеют конечные пределы
i 0,х)-»(аЯ1Дт”). Доопределял эти функции в точке (z,
। тьными значениями, получим, что функции ftlx.y.x).  =
-1рерывны в точке (zD,p°,z°) Таким образом.
- (г - xf)hlx,v,»)+(»-	«) + (»- ^>)Л(г, в, г?
На непрерывности функций Л(т,р,л),/а(л,р,л)к/а(т,р,а) вт-
г,р,л) в точке теореме, .следует Дн еренцкруемоеть функ, ..
Ьпр-ры н>стъ частных производных в точке не является нем

врениируема в точке (0,0), так как
f(x.V) О х+О «4-0(7^+/) при (z,p)-»(0,0)
g£(a,p) = 2м1п
' имеет предела при (т,р) -> (0,0) и, следовательно, не пвляе- 
прерывной функцией в точке (0,0) ЧтоПы в этом убедиться, д»
> точно показать, что	не имеет предела при г-и О.
5.	Дифференцируемость сложной функции.
чЛ^-«..	я", I'" = (у,№)7’-€ Я"1
|) ~ Нт...Ifm) Л1ффкреш,щ^ма s точке р°
Тогда сложная функиия
♦(«) =/№(>)—-<№»(«))
♦(«) - Ф(т°) = 53 A(»i - а?) + ofpb.z"».

Так как функция /(p) дифференцируема в точке у”, то б сне.
/is/) - f(/)=E	-»?). №’)=
Востольапеавшись тем, что дифференцируемая в точке функ!* 
I якции, получаем, что функции
= fitv (*) - • VtoW). } =	' 1
прерывны в точке х”. причем
= fAv^y. -	= ЛЬ’) = ^v°)	0 f
Подставив в (10) — у, (т), .., pn = ^(a) и воспольэовавшм
Ф(т) - Ф(/>) - 5>Д*)(»(г) - VA^yy- М
функции ,т(т), j = 1,ит, лиффвречдфуемы б точке т°, поэте
адутся такие непрерывные и точке функции У(Дг), что
ч>А*У - vA^y = EwiWfe -*?)• vu(*”) =	.
Подставлял выражения (14) в (13), получаем
»(i) - *(«») =	ф,(х)(т, - «J), • its) =	¥>„(«) «•>(«). Й
I нкции ФДт) непрерывны в точке х° А это означает, что сложна
дикция Ф(х) диффер ндируема в точке х° (теорема 1).
Ляфференнируемал функция Ф1т) может выть записана в виде
Л «1Ф
Пример 3. Пусть функция/(т,р) дифференцируема во всех т -•
* ' "₽ост₽ан р,8" Ке[ Пв₽вЯти к полн|жым координатам и найти ааа
о женин для ~ и
' Пусть Ь(г, у) — /(reoaip, rainy:), а тсоеур, р = rria^>. Тогда
<F Bf&x , BfBn Bf
ег = zz z: +-ЕГ. = еохр’5Z
2£ = .
BF BfBx , BfBn  B! at
вё = Bza^+lfui& = ~nm,fl S' *rlxe*’ 7S = 
Bn'
фференцируема в точке л/1. Тогда при х -» х° ее можно записат-

Положим ло определению
Если функция /(а) дифференцируема в точила0, то линейную ф
4f(z0; = V.^-(z0)dz,
	ювем дифференциалом функции f(x) в точке х° Тогда
/(x) = /(x°)+d/(a«)+0{p(x,?>» при ,-♦/>
I и /(х) в точке
Найдем теперь дефф р»М1иал сложной функции. Пусть фукк1 |
, (z), ,v>m(x) днфферении^у мы в точке х,а функции /(рь
	иы3сложиаяфункцияф(х) = /(ф1(х), -,фт(х))дифференцируй

- gg gc-1	- g gf>g gfrtfc -

Итак,
d/(Vi(a»),. .,Vn,(/>» = £ ^(V«) dfcfx»).
Если бы bi,.- ,Vm были независимыми переменными, то <!/(*(
тичался бы от дифференциала сложной функции (17) только т - ,
d«»°)=£^(ll’)<te
фференциала в обеих случаях одинако а Говорят, что форма
Инвариантность формы первого дифф ренииала ивлпется вес! - м
хбиым «го стойепчтм При авписи d/W®) в виде (17) мы мои • I
» задумываться о том, являются ли п рем иные ц,... ,рт кеза - ।
а руднятельно выяснить вопрос о неаавнсимостм переменных
срытого множества G С Тогда в каждой точке х е G мол - (
мнислить дафф р нциал

Он будет функцией 2п перем иных *.2„,	dzi... ,dxn, при1**
к фиксированных ii, - ,т„ дафф реиииал есть линейная функ!ж
j |,.. ,dzn. Правила дифференцирования такие же, как и для фу -
a) d[u Ч- о) = du + de,
- Прежде всего заметим, что из теоремы о дифференцируемо1
. 1И дифференцируемы функции еДт) и о(т) Далее, имеем
м-g^fc £(
dxt — eidv +vdu.
Пример 4. Нейти дифференциал функции агстд-
Пусть U = —, тогда
W*) .
7. Формула конечных приращений Лагранжа. Пусть фу 
я Дх) дифференцируема в выпуклой области G С Я". Напомн» -
э ыпутлви область есть открытое множество, любые две то *
• Лых двух точек х (li, ,ха) € G, у = (tfi, ,рп) € G нейдете
л») - я»)г»(»| - x<i	о •
формуле (18) нвэьн

яинпюшяй точки x и у, лежит в области G. Поэтому определ-
। нкцин одной п рем иной
Оч  идн что Ф(О) - ](г), у'\1) = Др) и что функция yj(t) л:.»
• рекиируеме не отрезке (0,1]. По пренилу нахождения проиэ ош. '
ыжкой функции имеем
tftt) = 5Z ^<Xl * * to - *>) •*« + ‘to - «»))(# - ®i) (* i
Применим к функции <р(1) формулу конечных лрирашений Л
»чжа для функции одной n-рем иной Получ-ч, что найдется чи -
> (0,1) такое, что ^(1) — ^с(0) = Исгщьзу* формулы (15 
в. Касательная плоскость к графику функции двух те"'
иных. Геометрический смысл дифференциала. Пусть^фу *
> отрим ее график
Gr/={(T,»,a)- а -/(д,Ь). (д.р)еС)
Пусть точка 1°(то,1га,ао) лежит на Gr /, т е. га = J(Zotlfo), к путь
Г = {» = х(0, V = !>(«), г = «(в, в о С Д
I кит на графике и проходит через точку (то.ро.хо) Это означь
Дифференцируя тождество (21) о точке ta и пользуясь иквариа.
,<тьн> формы первого дифф р нциала, получаем
4г = (до,1га) Аг + ^(io,lo)<t/
Вектор dr = (А-, <ty,dz) есть ниагтольный нектор к кривой I 
> <ке (дд,ро.до) Введем вектор
N (-gto,vo),-^(Дз.ю). 1)
Условие (22) означает, что вектор N ортогонаг и к касательно1
иной Г я точке (za,Vo,Zo) Говорят, что вектор N /уипоамкме. •
«воЛ Г в точке Р Но Г — любая гладкая кривая, лежащая на С '
«I

^мали N, наэыгч
, уравнение есть
г-/(«з,ю) е',До,ю)(Х-то) • . (Дз.УоХУ-ро). (.Ml

Формула (2о) есть пры е
= (1.Г7Э4 Гten.Vo.Tol).
ST.Ра,Го) - (1, VJffao,to, lo).
ГЛ {„„U0). D.,.A^)
Если т — з, то для частной гроизеедноя применяется обоэнеч
»*е второго порядив в точке (х,у}‘
/(».>) g*J(*.lr)
fix3 ’ Вл&р 1 Oy&x 1 Оу*
Производные /n(z,y) и называют смешанными. Boot
 зоря, они могут Сыть неравны.
Пример 1. Рассмотрим функцию
Покажем, что А,(0,0) / /,.(0,0)
Л.(0,0)=Л(0,0)=0,
r.r’ + v’F
,(0,0} = 1ш1Л(,,^~/|,№11|)=:
/^(О,ф = Ит/^-^<П-Д> =
Z«khm образом. /яе(0,0) /г,(0,0). Л
Тео ре мв 1. Если обе смешанные производные Лда-, у) u
лшой точке, то fz,(zo.po) = /»,(*о.ро)-

Рассмотрим в прямоугольнике П функцию
«а[».Р) = /(>,V) - /(zo,p) - f(x.Vo) + /(zo.lft)
При фиксированном у е (ро — V, рп + п) рассмотрим на мнтерв
। а дифференцируема на {хо — е, хц + а) я
✓(»)
«4*.0_ v>W - v(»o>-
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получ
'». 0 = у>'(хо +Oi(x- хаУЦх - хо) =
Применяя еще рви формулу конечным приращений Лагранжа,
I г, 0 = Дх Av А»(ха +61 Дх, Ро + вдДр), Др - р - Рп, О < ва «
Положим теперь
0(0 = /(*, т) - f (х0,т), т £ (фо - ч, tn + ч).
fl где
г. 0 =- ^(0 - чИи>) =	(фо + 61 Ар) Др =
— [^(г. Фо + взА0-gjfro. tw + <feAp)]Ap-
А,(хо + Or Ах, И + 6дА0 = ft,(x0+в4Дх, ро+взД0
Ьрвходя к пределу пр— (Дх, Др) -г (0,0) и пользуясь иепрер-—
(Z’o.b'o) = /i.lio.P., •
ЧИ екни смешанных проманодных	н ffjlDx,Ox> ясе
Стример, если /(т,р, г) — функция трех переменных, то
BgOtOx
По индукции легко доказать, что если производная (3) и все I
du(r) = 52 (*)<**;, 1« С
dtdu). Если лрирвшения кеда...
подучаем квадратичную форму, которая нала
d(du(x}) = У
[<Ju(i))fc* У У
EE£g-.fc


.16	фуиниИЧ
ксть функиия Fiz.pl определена в fr Рассмотрим уран
ь окрулсяость (рис 9.121, график уравие-
Если график G»- уравнения (1) взаимно
юаначно проектируется на Лг, тосушест-
Множество ь»
от уравнению (1), выло а § 9
1). графики иою*
которой совпадает с графиком уравие
(тветствие тот единственный р, для кото-
‘о F£x, р) = О Говорят, что уро н кие (1) определяет р как не»-
Но, как правило, график уравн, ния (11 не проектируется взаяе—
= (Е^к;)“М-
1 = (?>£)
фMz) = (d"luW 











котором //равнение F(x,y) — 0 определяет у пая неявную фунш
v z Функция у = /(т) непрерывно дифференцируема на интере 
R(*./(*))
.Из условие I
пи Кь(хо,уп) < 0, то вместо уравнения F[z,i/} = О можно Пьио*
усмотреть эквивалентное уравнение F(xty) — —Fte.p) = 0 То «
(г0,1Л>) = -F.Uo.Po) > О-
Так как функции Fr(r,p) в точке (хо.ро) непрерывна и в ci
ювия (3) принимает ватой точке положительное значение, то н-
гея такой прямоугольник (ряс. 28.3)
F, = {(>,«): |z-Zol С Hi, |v - Vol С *>}.
аотором функция Fb(z,p) >0.
ЗЯ») = F(®o>»)> Вв-ЬО^1*> + Ь
дакция ^(р) строго возрастает на отрезке [ро — ft.yo + Ь], таи ••
оме того, в силу условия 0)
= F(zo,

<М1Л>-Ь) = *’(г0,11|)-Ц<0, Ш> + Ь} = К(»о,И> + 6) >0. U]
Неравенства (4) в сижу непрерывности функции F(z,f|) до*
»>, Ро+Ч Псотому о'шеетвует такое о Е (0,а,), что для всех а
др— о,До + о] выполнены неравенства
F(x, 1го—Ь;<0. F(zf ро+4 > О-
Покажем, что в прямоугольнике
К = {(х,у): |z -го] < а, |у -ро] < Ц
еэнение F(x,M = 0 определяет р как неявную функнню х
F(x‘,p). В силу условия (5) эта функция принимает на концах
Vtpo ~ Ь) - F[x\ ро - Ь) < О, v>(»o + Ь) = F(x*. ро + 8) > 0.
» теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая то*
Г £ (11о—*1»о + Ч1 410
 отрезке (уо — 6,po+8j и не может обратиться на этом отреан»
<ныйу € [ро — Ь. ро + Ь] такой, что F(z,p) — 0. Это означает, чт-
вмоугольиике К уравнение F(x,p) = О определяет р как неяин .
кННЦИЮХ.
2) Доказательство непрерывное дифференцируемости йена*-
1. (х, р) по теореме Вейерштросса принимает на этом прямоугольна *
F,(«, V) i о > О, (х,р) € К	। 
Н ореры >»1п на К функция Fx(c, у] ограничена на К. Поэте 
|Fx(x.P)l«3. (»,V)€K	'I
ельнике К уравы ином F(^,p) — О. Возьмем две точки (±,y i
Д I,
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получж-
F,(r + 0Дх, у 4- flApJAz + F^(l+№z, у +	Ду — О,
, v+fiAul

пример.
SF1	
I Bf	
	5* °-
| 6F„	ел»-.
1 Bst	Iq jfl 0 означает, что значение соответ
. ющей функции берется для аргументов с верхним индексом О.)
Тогда в силу нретжюложенин индукции найдутся такие клеточ—
Oi =  ............... by -15< <Ч" >=ъп»- ч.
вторых система первых тп — 1 уравнений (11) определяет щ.
.lim-i как неявные функции переменных zi,...,i„,yln, т. о.
1У=^(«,»<п). j =	1-	•<
= 4 7 = 1^=1 (=.»,) €К„
Л}(», ф| От, в™).Ф„-1 (®, th,),	г О.	(II
01 = {(ill- ,11™): liy -151 < i'j.
при z € K2. lr € 01 система уравнений (11) эквивалентна следр
III -	= о. -•> llra-l - frm-1 (z.JIm) = 0,
Пиа.ьем, что последнее уревн кие системы (IT) Fm(T,pm) (
-вно дифференцируема век суперпозиция нелр рьвю дифферен
• емыи функций. Вследствие равенств (15) получаем, что
= Г„&’ фДд’й.)........фв_,(«’|й), l&) = Fm(a"y?,...,p’)-
Ссталось проверить условие / ()
Если оно не выполнено, то
С другой стороны, дифференцируя поут тождества (16) в 
получаем
Из (16) и (IS) следует, что последний столбец определителя ( 3 '
ь линейная комбинация остальных его столбцов, поэтому опре»-
•полнены нее условия теоремы I, то найдется окрестность
тоторой ура инне Fm(^,p,.,J = О определяет р-п как неявную '
врыино дмффержцирувмую функцию рт — у>т(х), причем р^
Местности К сииеди. уреин имя (17) ззвнвалвктиа и сис
I (11), и системе
Pm-Vm(i)=O
саою очередь система (20) яввивалектне следующей систем
И =¥>•(*). Vm = K>™W.	(Я
I- Vi(«) =Й1	Vb»-i(«) = аЬт-|(г.«>п>(1». при»..
Система функций p>g(z), ,,Фт(>) неявно опрел

' заданы п функций
Они задают отображение / Е -* Rn, которое каждой тонне х <
§ М
l,	,z) / О. Якобианом отображения 3p{xf называется следующий фу •
Теореме 3. Пусть С — открытое множество в К", а отогум
еьно регулярно обратимо, т. е. Vx° € G найдутся такие окре я
• Л(т°) -»В(у°) С^дет взаимно однозначным, приче
- Рассмотрим в G х R” систему уравнений
Пусть — произвольная точка множеств G и = /(z0). 1-
I функции	непрерывно дифференцируемы вСхй" и
fi(.K°), а = 1,н Так как отображение / регулярно, то
= 1-1Гл(1!о)/О.
Для системы уранкенир (25) выполнены все условия теоремы '
. твных функциях Поэтому найдутся такие клеточные окр стно
<Э(р°) = {V 1к -в?1 < &>  =	W) С /(G),
•	• в К(т°) х <2(р°) система уравнений (25) определяет п р анк -
> . ,ж„ иен неявные негферы но дифференцируемые функция лете
•	ИНЫХ И,. ,0п-
xi =«>(«), - , хч = so„(n),
tcKIfl, кеО(Л т?=ф((»'). « = ГН (
Пусть В(у'3} есть внутренность Q(p°):
B(p°) = to- to-pjKfe i-1^}
Вследствие леммы 1 прообраз открытого множества В(р°) при ее
• 1овий (26) это множество содержит точку аС. Обозначим про^
* /_|(В) через ^(td) Отображение окрестности А(т°) на евро •
• *ть В(тЛ Судет взаимно однозначным, и обратное отобрвжег •

Bfv) -» Afar), оетреаеля мое формулами (26), будет непрерь
на гранила* диффер- 
е окрестности А(х”) С Я и В(р ) С и>,
и = ГМ,
Таким образом.
Заметим, что уравнение + z - О легко решается (см. § 
-о уравнения имеет следующий вид: р = CjSlnUnzj + CoCoefln •
при любом х 6 R, х # 0, решение имеет следующий вил: p(z
Пример 2. В системе урви, ний
= =1-йг(г-+|‘),	*>О,
Умножим перэое уравнение на х, второе на р н сложим Аналог -*
<ие, умноженное на х. Получим новую систему урони ний, 
+"> >S— J- •'*1
Ног' =г®, z=rcoesp, у=гшпф. Поэтому систему (1}млане
11исать в виде (см. § 26, пример 3)
г—=-J*r’, Л = ’	л=~х* • Ж=‘
Заметим, что система уравнений (2) легко решается (см. §
I • числа to и являются Произвольными постоянными Л
Пример 3. Преобразовать уравн ине р'р’" — Sfp")1 = х. при- --
• я у за независимую переменную,ах — за неизвестнуюфункш*
Так иак p(i) и х[у) — обратные фуккиии, то = р'(г) =
Л«И» dfM*	_i_ d/lr)£ = _J_ £
du dx 'v> »•(«) <fc K"'yBa du
Пр образуем уравнение при у* / О, поделив его на (р')’:
X
(»Т	(»Т
iliil-й)-«• --»[?
Таким образом, при р / О уравн нне преобразуется к в|^,
'+х(±*)в = 0. &то частный случай уравнения общего вида х"
।	Уравнения такого типа хорошо и «уч ны в теории <бь-
ленных дифференциальных уравнений [13]. Исходное уравнение 
Пример 4. ПреоОрвжикгь вырам нне ги	к лоляркм
ординатам, полагая х тсоеуэ, у — rainy». Найти решение урав»
я Лапласа	— О, зависящее только от полярного радиус- •
= вт^
-соеср ату»„ _
2 СОИ пр tfu
Пусть a=vtr) есть ।


Пример 5.Сделать в уравнении колебания струны
^у-с’^=О, о О, —oo<z, t<+oo,	|
деку независимых и реи* иных £ т — <rf, щ=я+at и найти об! 
пение этого уравнения.
Пусть к[(,ф) =w(z —at,x+at) — u[sr, t) Тогда


ffctu кие уравнения	- (J легко находится. Так как	( —
о; ст;	<v^z
J, то = V'fV), гае ¥*(•?} — произвольная непрерывная фуикни- Ф
Пусть Ф(г,) есть ее и рвопбрачнен на Я Тогда, интегрируя урви
аие vjf, — у>(т;), получаем, что то — Ф(т?) Ф«), где Ф{£) — про-.
Если считать, что функции Ф(т;) и Ф({) есть непрерывно диф1-
иующий вид.
u(z,t) = *(z - Ct)+•(» f Ct)
При мер 6. Сделать в дифференциальном уравнении
a(z(u,p),y(u,t>)) = ofc, v),


>АЖНЕНИН ГЛАВЕ
tafi’+t’r’ 1,1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

;'bi—'
на ннтерв
суда следует, что функция Ф(т) дифференпир
*ij и для всех х е (о, 6) имеет место равенство
♦’(«) = О-
Согласно «'"едствию 1 на теоремы Лагранже (§ 17) Ф(х) ==
Таким «Правом, для данной Функции /(х) ее и рвоопрати л F>a
 эеделяетея неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того ч -
 из совокупности л реообрвэных выделить какую-либо перво -
9 афкку функции у = Fi(x)
Пример 1. Для функции f(x) = -, найти такую л рвообрвзн
>. (г), график которой проходит мере? точку (1, 2). <
' Совокупность всех п рвообразадях функции —, описывае-
ма рмулой
Но условию F| (1) = 2. т. е. 2 = —1 + С. откуда С = 3 Слеловате»
2. Понятие и определенного интеграла. Совокупность в - •
хвлпбреэкых для функции J(sc) на некотором промежутке Д на
 ойоаяачают символом jj(z)da и пишут
Jf(x}dx = Fix) + C
। утке А, С — произвольная постоянная Знак J называют ано1жа
гпеграла, f подынт рампой фикцией, f{x}dx — подынтегрс^
Подыктегр*----
«но записать в виде Fix) fix I
f(x)dx — dF(x).
г икции, которая является «братвой операции дифференцирован»
ыываюг сие рированием Поятому любую формулу для яроиэв-т
। пользуя таблицу производных, можно найти интегралы от неко •
«х влементарных функций Нвлркмер, из равенства (в’шт)' = с**,
 'дует, что уccezds = sins + С

d{Jf(.X)dX)=fix)ax
d(/ f(X) dzj d(F(X) + CJ = dF(»),
Согласно формуле (5) знаки дифференциала и интеграле вааиж
нчтожаются, сели знак дафф рашпили стоит перед знаком ин1-

ydF(x) = F(®) + C.
вала стоит перед знаком дифференциале, яти знаки также вязка -
•хнежугпле первообразные, то для любых а е R, 3 € R таких, • -
I' 4 Й2 / 0, функции р(х) = aj(z) + 0g(xl также имеет пврвообр.
ч о на атам промежутке, причем
f(aJlz} + 3g(zfidz af{(x)dx+8fs(*)d*
Пусть F и G — первообразные для функций / к g соответств. •
	тогда Ф = oF + Дб — л рнообретн к для функции у>, так m
• F(z) 4-	— а/(ж) 4 Согласно огрелел-нию иитегр***
икугности функций Ф(х} + aCi + ВСц, и наоборот, т. е. по зад •
	му числу С можно найти Ci и Сд, а по заданным Ct и .• — ч*
» С такое, чтобы выполнялось равенство С оС,+/3 , •
Таким образом, интегрирование обладает свойством лиюйностн
•«согрел от линейной комбинации функций равен соответствуют
Пример 2. Нейти JJ(x)dx, если.
») /(») = е*+«8, б) /И = -2вш» +
а Используя таблицу производных § 15 и свойство 3 иитегр • •
=2<xez+3arrtgz+f 1
воспользоваться правилом i

I'M = «(*),
Hr) =	= U’teMWU) =
> мнили u{t), to	— первообразная для функции я(^Ет}}^’1:
шамает, мто если	=	+
jufeW) |/(а)<Ь = и(?Ы) + С.	О

!t(x)6x = F{x) + С
j [fax + l/)dz = ~F(ax+ty+Ct a-fiO
есь ve(z} = ox+fl, J(ax + b)dx = —f(az+b)d(ax+Ъ).
fl) Используя равенство
/7 ='o|fl+c.
У=	= to * С‘ *’W ° * *
и) Так как
jl°& = ^ + д *С. о/—1 1>0.
]Ы#ГМд <b = f(tfz)F<W) =	* C- •*
Приведем примеры применении формул (13)—(15)-
При мер 3. j(2x + 3)'Лг = ±j(2x + 3)'d[2x + 3) = (21*81 + С
. f 1л|2+о] + С, k = l,
г₽ике₽ 4	*С. *# 1.
Пример 5. у= | ln|«8 + d + С.
Пример 6. Jdgxdz У1*^'"^ =1о|йлх) + С’
Пример 7_y_^==y^^=;vS’TS + C
Пример в. У^^=	=	+С, „,£0.
Пример ft. ! ^ — =	—лтап- 4. fl, а>0.
J Va’-»' J -{х/аУ “
Пример 10. Угг5.=У^(^-^у)<Ь	-
в. в#0.
Пусть х + Ve’ + a = t = <(z), тогда
<fe-£’(r)dr (1-г у-\Лх- <W .1»,

Пусть z — v>{ij строго монотонная и дифф ротируемая фуя
I ШЬЮ подстановки z = получаем f(z)dz =	ГЙ О*
11чим — /(НОЗь’ЧЮ- тогда
f(x)dz-u[t)A	(It
J =	fat)&=V(t) + C^U(u[x»-rC



Полагая о = z2, » = е* и учитывая, что н' = 2г, V =
— аЛ — е", получаем по формуле (25)

Пример 19 Вычислить интеграл
J =Je°’a»fizAt, efljSO

=	По формуле (25) находим

§ 31. Комплексные числа
Известно, что квадратное урана инее вещественными коэффи 
ыней. В частности, уравнение
thin, Xllft+^alfi)


о число называют разностью чисел х, и 2з и обозначают zi — ха
(астности, разность 0 — х обозначают
иплексных чисел следует, что
нию, о костным сг ае»н ю комплексного ч
вэнению
^означается xi хз или —.
Докажем, что уравнение (8) для любых комплексных чисел z, I
где хо #0, имеет единственный корень.
(6) уравнение	_

1т. Г'

Пример 1 Найти частное

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа,
а) Комплексная плоскость Пусть ка плоскости аэденв прямоугг
т система координат. Комплексное число х = т + лу изображае • •
<коИ плоскости с координатами (z,p), и »те точка обозван стен
буквой z.
Такое соответствие между множеством С и точками rui0CK0i-w
одна точка плоскости с координатами (т,р). в наоборот какой
 а число а — х + ту. Поэтому слова комплексное чкск<г и row.
дикости" часто употребляются как синонимы
При этом действительные числа, т. е. числа вида 2 + 0 к, иг*'
ординат Поэтому ось абсцисс
а ось ординат мнимоО оси*
ются комплексные числа, назы*
Не рис 311 изображены т ~
точки а и —а симметричны отв*
снтельно точки О, а точки хил
10Ш10М в точке х Этот вектор будем обозначать той же Пухво! •
а рис 31.1 или на формулы (4) видно, что длина вектора z ранив |
справедливы неравенства |т| |г|, |р| |а|, т в
|Rez]£|a|, |lma|£z.
ядко ИЛЛЮСтриру!
а сумма и разность комплексных чисел Число at + хз изобрел -
:я вектором, построенным по правилу сложения векторов х, и , •
с. 31 2J, а вектор хх — Z? можно построить ми сумму некто - i
и —х3 Ио рис 3L2 видно, что расстояние между точками а, к •.


’ точками х< и z«.
чплексиой плоскости, удлелетъсрякших условию:
а) Условию |z — zo) = R, где Я > 0, zt> - таранное комплекс^,
। ано ft, т в. точки, лежащие ка окружности радиуса R с иентрв 
0) Условию |z —1| < 2 удоелетверяют все точки, лежащие вну- р
<ки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке а = 1
©6а оти успения выполняются для точек, лежащих между окр1 •
стлми |z — 1| 1 и |г — 1| — 2 (рис 31.3)
в) Условию |z — к) = |z + т| уд влетворяют те и только те точ- -
серые равноудалены от точек  и —а,т.е. все точки действнтелы—!
Покажем, что дня юодых комплексным чисел zi и zj сир вед -
• Рассмотрим треугоялнк с вершинами О, zj и Zj + 2j (рис. 31 :
ины его сторон равны |zi|, |zs| и |zt 4- cal Поэтому неравенства ( •
рожают известные мл геометрии свойства длин сторон треуго *
4. Тригонометрическая и показатель нал формы компле
го числе. Пусть г и у. — полярные координаты точки х = тч *,
(рис. 31.4); тогда
понятия вргумеа।
угол г«жду
амый ст положительного направления лей-
аоеой стрелки, то величина угла считается
гадательной Этот угол называют едгдкен-
;г Яля числа z — О аргумент не олределяет-
позтому в дальнейшем при использовании
Из равенств (11) следует, что любое комплексное число л—х + •»
Решив систему (13).
iV3 = 2, то

13 рввекств < 16) и (161 следует, что
им ши форм
Иэ формулы (20) следует, что спи перемюж ши комплекса-
«1*4	'1	*2 ,
ti-W3P
Из геометрической интерпретации (рис 314) следует правило.
। гства двух комплексных чисел в показательной форме: если г

I acre (20), (21) следует, что
сопряженного числа следует.
5. Извлечение корня. Рассмотрим уравнение
? о 0 — комплексное число, я — натуральное число.
Если z — reiy>, а = ре'*, то уравнение (22) примет вид

оэтому

** = <Й»е<л
яются корнями уравнения (22) и других корней это уравнение
Заметим, что числе zc.zj.
, различны, таи кек их аргумеи .
а -,У1	+ tVn-i — ~ ------------~~~ различны в отличаю - 
1 рг ат друге меньше, чем нв 2т Далее, z„ = 2о, так кек |лп| = |ze,
tfp и Уп = V» + 2т. Аналогично, z„+i — *i, z_| . z„_| и т. д.
।.еделя-мык формулами (23) и (24), гдек =0,1,.. ,п—1.
На комплексной плоскости точки za (k = 0,я - 1) располагаю'
ершиках пре ильного я-угольника, вписанного в окружность
усе н г с ден| .-»м в точке О
v» =
Пример S. Нейти все корни уравнения — 1+е.
Корни г* (к = 0,3) этого уравнения огрел ляются формулами (л!

адрата (рис. 31.0). Л
в. Комплеиснмзивчные функ-
и действительного леремен-
|<г,Д] поставлено в соответствие
□кт, что на отрезке (о, (С аа-
I та колой непознанная функция действительного перемети -
ПустьПег(4) = гИ,1тг(|)=1|(* *),тогла»И=®(«)+«у(4) Фу -
ю л(1) можно рассматривать как вектор-функцию z(i) = (rK).p(Q)
Например, производная функция x(t) = iff) + iy(t) определи i
I рмулой
?(1) = л'(‘)+ч/«
годные z'ff) и pf(1).
’)* =—ainc+icoee = i8Bmt-t-icoet = i(coet + iwne), т г
Таким образом, формула для гфоиавсщиой комплексной фу-
Определим теперь поивзетаъиую функцию е1" - '’'', где а, в I
-нкиия fit) = e*. где t € R, удовлетворяет условию
еяогичнп функция с*91, где 0 € Я, еЛладает свойством (27) л сне,
ового из равенств (18).
* выгслнялось условие (•*" > • -
i к пользуя формулу (15), отсюда находим
е’°**Я‘ = e'*t(coe0i+хяш/Ji).
f»и л - Дил + i Д«) Й
Если яоадтл немея функция ui(t) =	+ iij(c) тяком, тго u?(t'
Д (О Л=Л  ff(t) & + ifч'(«) Л=С(»)+С, + i?(t)+«Г.
д«»*<даЛ=^



Теоремы 1 и 2 доказаны в преаполож мии, что многочлен Qn*e
•еет корень Отпет на вопрос о существовании корня многочлен
. л сформулированная ниже теорема 3.
в) Основная теорема алгебры.
оно имеет па прайма мере 
Эта теорема, доказательство которой обычно приводятся в ку
»трни функций комплексного перем иного (см., например, [6]),
. ваетея основной теоремой алгебры
Пусть Xi — корень многочлена Q„(x), степень которого равн*
гда по теореме 1 этот мносоч* н представляется в виде
- <Эп-| (т)	многочлен степени п—1.
Применяя к мтюахмл-ну Qn_i(x) теоремы 1 и 3, находим Qn(z
С помощью индукции подучим следующий результат-
Здесь Ся — гатэффвцнеят при хп многочлена Qn(x), Xi, - ,хл
-полня тея равенство (4), где	— многочлен степени п
теИствктальными коэффициентами, для которого число х = а
ятяется его корнем.
>.(г), тогда число Jo ~~r — eS также янляегся корнем этого мне .-
Т—Хр) и (я — Jo), произведение которых разно
 эн х3 + рт + е, коэффициенты которого являются действителен •
хьными коэффициентами, что
QM =	+₽r + «Wn-l(x)-
Если число хр = 7+ ай, где б / О, является корнем многпчла
х кретностя а, то число Ja также будет корн м этого многочл*
этности е, и поэтому многочлен Qn(x) можно трепета ить в в*.
I эн степени п — 2а с действительны™ коэффициентами, для ко -
т-то числа Хо и ха не являются его корнями, т е.
o„-s,(a>)5«o
IX кратности стютветств нно равны <>1,03,. ,«*. Тогда равен'*'
(8) можно записать в виде
। a R(a)	многочлен степени t = п — У7'
Если R(x) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре ко»
гтветствует множитель (т’+р,т + с;)е в форму» (8), 
£>„+2$^
«сочлена с действительными кгаффаши нтами Q.,(x), можно»-»
।? числа сп,й]..о>. Pi, - -,Р<, 0i, - -,0, являются действительны.

I якдию вида Дх) =	ЙД« *?»(*) И QnU) — ьаюгочлекы стам
(men соответственно. В случае когда m < п, эту дробь нааыеэ» •
фп являются действительными числами
Лемме 1 Если — проеильнол рациональная ^юЛь в г •
с — деОст -ительный к речь многочлена <2п(х кратности к т 
। ЧЯ-пт deccmewnejwtoe число А и многочлен г(х) c ma
лельннли коэффициентами такие, что
Следствие. Применив эти леями k раз, полечим равекстоо
1“Мг)


R»(«) - [Bz » C)Q„_2,(z) (r' +pi + o)№]
bee коэффициенты разложения (26) являются оеаствшпелые
iomu, дробь P’^/Q
зхьноП, причем многочлен С
ьными коэфЛицм ктамн P(z)
(War) (r- + i« + c)/'(z)

Если дробь Pm(x)/Qn(x) является неправильной (тп > я), то, раз -
в числитель на знаменатель, например, способом деления в ciw
- «(«) + «(»)/<?„(»),
। ? S(x) — многочл н (частное ст деления Р„ на Qn), Я(х) — ос •
 < от деления, Я(ж)/фп(ж) — пре ильная дробь. Непрям р, др-л,
1 Z(xs — х + 1) является неттряямльноЛ. Выполняй деление z’ на х' 
Обратимся и
Таким образом, при	(1) получается либо-
Обозначим
едовательно, интеграл J* является линейной коМинаиией ниш
и к = 1 эти интегралы соответственно рейны
нтеграл Зд можно вычислить с помощью полученной в § 30 (п -
мтенгансв.
Таким образом, интеграл от любой рани нальн й дроби предстиг
(гтся в виде линейной комбинации ьаюгочл на (если рассмотри--
тея неправильная дробь), правильной рани нальн й дроби, логараф
Запишем равенство (3) в следующем виде:
Пример 2. Найти 3 =
Так кек подынтегральная функция —
 |ноживо0е чести равенства [4) на аквм-нагель его левой части, i
Дли нахождения чисел А|, Аз, Аз можно приравнять коэффиин •
15 A,, 1 = -6Ла, 1 = ЮЛя.
"'“й’	Л»-й
Заметим, что число А| можно найти из равенства (4), если ум-
затем перейти и пределу при z 
_гд= А, = Дт _8) = V(-2). где ₽(») =
к НКИИЯ, которая получ ется вычеркиванием множителя X + 2 в з-



Пример 3. Найти 3 — j
адратиый трехчлен z7 + 2z + 5 имеет невещественные корни,
«Ж1 - —— + _c*i_ + Дх+Р

Полагая в тождестве (6) х = 1, находим 6 = 8Л|, откуда А, . - I
«ленстве, находим 4 = 4 + 4.4а, откуда Аз О- Приравнивал коэф*»
. енты при а? и свлТодные члены в мсвенстве (6' подучаем 3 = Л

Сравнивая коэффициенты при ха, za х1 = х, у? (свпПопныа члема
/ождестае (7), помучаем

0= -Ву/2 +D + Bty/2 +D,
4toD = D|, 2D 1,откуда находим ©=£>1 = ^,еиэп*ресго, в -
= i bjx5 -t- >/2х4-1) + aretg(xu/2 +1} ч-Ci
tx = | In(z2 — >/2x4-1) — arctg (z>/2 — I) f Cj,


IMxVCMx» влг.имяч.екям г
них! " Fill) — иногоч.онм. причем PifQi и fi/Q




D' 2АтВ + 2А.
2F„(x = 20" z (ох
c) + O[z)(2ox + »* 2Л.

1
> rtti — многочлен степени 2» — 1. Л > 0.
+Ь)’<Ь

откуда 4l3d
Отметим, что эти случаи были известны еще Ньютону, но линь.
Юдине XIX вена выдающийся русский метематик Пефнуткй Ль»
я Чебышев доказал, что интеграл вида (22) в других случаях а
и гипероолич—
 х функций.
а) Интеграл вида
/H(sinxcoaz)<te.	U1
!	— равионеяьнел функция от а* и и, можно свести к мн"»
Ду от рационален й дроби с помощью подстановки
« = «|. ®е(-«т,«т),
йп х = [	ооая = д~р’ г ~ 2 amp; I, da =
Пример В. Найти интегралы Jн J
0) Используя формулу (25), находим
Привел м другой способ вычисления интеграле (25).
n(einx,coez).
6) S(sins, -

1 гсов* хЛс = ifa'^	+c0e2z)<Ir ~
— if (1 - coe4x)dz +	slna2»<i(»n2») =


ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
определенного интеграле
I- Задачи, приводящие к понятию спределенного мнтег
л) Площадь ириаолин СноД трапеции. Пусть фуккчяя f непре
ченную огре камы !w
мых а: = а, х = Ь, у
и трефином функции ,
= /(«), т е
OSpC/fe))
вают криволинейной те»
пециеО, а отрезок А
ее осноьаннем.
проаедем черед эти точки прямые, парплтльные оси Оу. То «
|кнейной трапецией
, = [т^_ 1,zj, i I, н Тогда сумма
а = £/(6)Да
гпенчатой фигуры (рис 34.1), составленной изп крямоугольнит
 высоты равна /({>). Интуитивно ясно, что эта ступенчатая фиг
•Пиеиии

длин отрезков Д< стремилась к нулю. Если при этом сумма о бу*-
•еть предел S, не зависящий ни от способа
. G рейна S Существование этого предела
дет доказано в п. 6.
Пример 1 Найти площадь фигуры, отре-
ченной п р-бол И у = х1 и отрезками пря-
1х х = о, где о > 0, и р =0 (рис 34.2)
ерывной функции /(х) (см 11
ыюит от способа дробления отрезка Д —
0,о] и выбора точен &, будем считать, что
(S 3, пример 2, в)), то с
Поэтому искомая плошм,
тГккак
з(1 + ji)(1+s;)’0T'wnIJix>
'“•т *
Заметим, что этот результат был получен еще Архимедом с 
шью предельн го перехода В §36 будет дан простой способ нах< *
0) Работа переменной силы. Пусть материальная точка движе •
е действия силы совпадает с направлением движения материалы-

ординаты х этой прямой, т. е Р — Р(х}
Найдем работу силы Р при п- рем ш ики штернельной точки
- а до х — Ь. Разобьем отрезок [a, б], как и в задаче о плоил >
। отрезке (о, 6 работу «той силы можно считать приближение раж...!
оме Р№№*л Предел этой суммы (при тех же условиях, чт
работой переменной
। з п реиеиз нии материальной тонки из тонки а в танку 6.
В рассмотренных задачах речь идет о нахождении предела су* • I
or В виде <7r(f;

ff(x) <b} «» Ve > 0 3«(e) >0. W. l(T) < <5(e> ¥{
3, Необходимое условие интегрируемости функции.
Теореме I Если функция ft?) интяерируалш на отрезке |о,6]
Пусть функция / интегрируема на отрезке [д,Ь]. Тогда сушестд - 
। ело J, улоолетти^яюгцее условию (2) Полагая в (2) е = 1, полу не
равенство
горле должно выполняться для любого разбиения Т такого.
1 не ограничена по крайней мере на одном на отрезков А* разе-
•вничека на отрезке Д| = [zo,3i] =
У~ /(£) Ах, Тогда оз = Д+ /(Ci)Ax: к а силу (3) получаем не. 
горые должны выполняться для любого & е А|
Так как Ar> > 0, то двойное неравенство (4) равносильно не
которого следует, что функция / огреничена на А,
зтнворечию. Теорема доказана. •


4. Суммы Дарбу и их свойства. Пусть функция f, определи
г на отрезке [а. б], ограничена на атом отрезке и пусть Т = (т,, ।
О.пе — разбиение отрезка .о,б, А; =	, Аг* — х, — х
. = BUp /(X),
S; = 5л MiAzi, = У~ mjAii
m;AXj C	C JMjAZ;
4ч « /({лап с ёмач.

te>0 34- = C(e)c 4: «< Mi-/(€) <
OS Sr-
Ст .дуют е свойство сумм Дарбу связано с еще одним понят»»
1 разбиений Назовем равнение 7Э продолзкением (измельнени л
, збиения 7), есяи каждая точка разбиения 7, является точкой р«»
Свойство 3. Если разбиении Тя — продолжение разбиения 7j, -
«Т, СММЛ».	Oil

о верхняя по 1/ееличиеавтся.
Для доказательства неравенств (10) достаточно рассмотреть cw
>3, когда разбиение 7s пояуч степ из разбиении 7) добавлен»
юченкем тех, которые связаны с отрезком Д4 Поэтому
Аналотичи" показывается неравенство S,, € St,. Отсюда,
><ств(Ю'
в разбиения 7” (и качестве Г можно взята 7 и добавить и нему а
Ия неравенств ПО) нри 71 = 7". То = Т получаем
пагвя в (10) Зв = Т и 7)
St < Sr”.
линяя полученные неравенства, имеем

1<МО - j| < е.

'hfi !
sfSg *
io теореме 2 функция / интегрируема на отрезке [a,bj.
Пример 2. Доказать, пользуясь определнием интеграла и т-
иоЯ 3, что:
Функции /(т) = 1 и fix} — х непрерывны на отрезке и в от
зремы 3 интегрируемы. Пусть Т = {±j, а = О, о] — пронэволь* «
в)Если/(т)-1.тоо2-(() = 521 Ла‘ 52^“®'-*^ = *
• — о. откуда Пса от(£) = 6—с-и поэтому
в) Пусть fi
следовательно, От(() = Дяй
|52(ж< “«’-I) = 111” OTIW,a =
эеделения интеграла следует, что предел интегральи й суммы
Тео ре мв 4. Если функция определена но сапрвзкв и монотип
• она интегрируема на ртом отрезке.
Пусть, наприь*р, функция f является возрастающей на огрев
Ь], тогда для всех х € [o,bj выполняется условие
/(«)</№</№).
изюму функция / ограничена на отрезке |о,Ь1.
- ft*,-,)) = i(T)if(t>) - fM),
IWH + !№»<b af/tx)dx+e[емdr
IM<b = p(t}M= UMdr
lf(x)dx использовать зап
I Ив интегрируемости функций /наследует, что эти функции оп^
। чекы на отрезке [а,6], и поэтому
эс > о- vie [«,»] -»|/Ы|« С. |9(»)| С С	.1
едовательно, функция ограничена не отрезке [а, 61.
Пусть а/, х" — гфоюеольные точки отрезка [а.6], тогда из «
vtf) - ₽(*") = (ЛЮ - /ЮМ»")+/ЮМ»") - ®ю
'словяй (2) следует неравенство
Ms’) - v>(x")l С С(|/Ю - /Ю +19(«") - в(х-)|).
Если Т = {st, i = 0,r.} — разЛиеяие отрезка [с,6], Д| = (li-i
еле (21). §34
“<(/) = вцр	/(т')|, ь>т(й)= вцр |g(i")-fi(l’)|
-этому из неравенства (3) следует, что
ИИ - vtf)\ < СЫЛ+4*
‘*’4*’) СМЛ +<-Ms)), а = 1, п.
  1нонтая t-е неравенство (4) на Дт, и складывая все получивши
22и>,-(1Р)Д»( С с(52и,(/)Л«,+52иДр)Д»>)
11 к как правая часть (5) стремится к нулю, если мелкость реЛш
томится к кулю, откуда следует интегрируемость функции f -

еэка|а,6] и
ЭС > О. Vz е [о,Ч -»|/И| i С,
2. Свойства, связанные с отрезками интегрировании.
Свойство 1 Бела функция f(x) интегрируема на отрыке L
пусть цт, >-»o, тога» иг

= ffMdx+ fflz}dx
[f(X)dZ = jK.X)&t + jf(z)dx.
Jf№ = //(z) dz + J/(Z) dz,
I /(z)dz> О aiu
//(*)«!*	/flz)<b-r f/(r)<bJ,/(za)6>0.


sup lS(x")-SMI« f«up |/(*")-/MI,
J/M«b| « /|/(x)|dr.
tfu/.z" e [a,bj -»|9(x") - SMI € l/(x”) - /Ml
« УиДЛЛг,

/(x)ota)dr =u/o(x)dx.
Пусть [g(z)&r / 0, тогда
!g[z)dz^ ff(x)g(z)Oz^,M!gtz}dx
Ig[z) dx =0, то из неравенств (24)
I /(x)o(x)dr = О, и поэтому равенство (22) а»пм случае выполия
Из (26) следует ревекство (22
(ш f(x), М — sup/tx), где А -- [о, 61 Цо тес
етому формулу (2?) можно зягисать в виде (• 1
F(x)=
Если функция ! интегрируема на отрезке [с, 6],
iF= f	f /(0Л
|a₽|«l I 1/(01 Л <М|Дх|,
100 + 2v^3sin*xco8r
н мв-нет-омО<мп3агсовх£31/3/16.
100 + 2УЗйп’х<«а


•(«) = //«)***(»)
ад- //(чл+*н.
p(r)dr = *{«)|‘

юЪого n е N. Таким оорааом, равенство (13) справедливо i
Тая кая ЦТ
X( / w)hWW)-pW№))-
f /(t)de = ад|^’* = *W» - FMx»,
> whctbo t’(t) = /ТО, получаем формулу (15)
(«и, to), о функция	имеет непрерывную производную на инп^
w (ир./Зо). лричак w(t) Е (ор.бр) при есвз t Е (вр.Д,)


f№)dx ад-ад.
^mvw)=емвмт=fMtww)
При меняя и функции	формулу Ньютонв-Лейвиип
ffMfflv'Mdt=«мЗв - «ио»=ад -ад.
гЬ?Ч, ГАеа=^ох'«’=	° ’том’
JReoetdl. Do формуле (16) находим
J = Fi1 f сое1 tdt =

н е чет кая функции, то
У/(«)<Ь=О:

четная функция, то
fnz)dx^2f/(z)dx.
а) Если / — мечетная функция, т е. /(—«) — —/(л) для в  
= [—о,о], то, полагая х -t и используя формулу (16), получи 
I f(z)dx = -//(-»)« - /	= -/ /(>)<k
туда следует, что
/ /И<ь = ffM dx + j/(с) dr = 0.
<т) Если / - четная функция, то jJ{z}dx = Jf(x}dz, nri^aa
гдует равенство (19). A
ческея с периодом Т функция, то для любого а€ К справедкич
Используя свойства интеграла (§ 35, п. 2), запишем равенство
У f(x)di = plz)dx+fj(x}dx + f f(xfdx
Пплагвя x =t + T и учитывая, что функция / определена hi
I /(х)<Ь = //(i+T)A=	= -JfWdz.
Ha равен в (211 и (22) следует формула (20!
грерыаные производные, то справедлива формила интегрированы

3. Простейшие дифференциальные уравнения.
а) Дифференциальные уравнения первого порядна. Задачу о яак< -
гервале (o,i) является решением уравнения
Уравнение такого вида является обыкновенным дифференциалы*
сеть в виде
»(®) = //(0«+С,	(Ж
Чтобы выделить единственное решение уравнения (25), достат ч
*о- Если р(то) — |л. то на формулы (26) получаем
»Ы = Й1+//ЮЛ.
|/И = *»(х),	ЦТ
> k — постоянная Урави нием (27) описывается, например, aai
пи няльнв их количеству
эиэвольная постоянная Можно показать [13], что других реше^
ко порядка. Рвссмотр».
if'lx) + u’p(i) =0,	(Ж
> ы н которое положительное число. Уравнение (26) незыва-
Легко проверять, что функции совыт и втых являются решена

вннения (28) Нвпримвр, если р((1) = С, if (0) = 1, то на формулы
B"fr) -иаь(г) =0.
<ию (30).

•чноП. Под прямоугольником будем понимвть множество точек i

Sta)«S(G)<StQ)
Теореме 2. Для того чтобы плоская фигура С была коа^рщ-
 0 существ
iCGCQ, 0<S(Q)-S©<e.
SCGcQ, OSS(G)-S(a<|,
«'eg, QcQ'. Ц«-ЗД4 OtS(Q')-S(Q)-
S(G) =supS(a = infS(Q).
Одн

Утверждение 1 КравалинейнаятралецияС нее
S = ffc)<b
(О
с. 34.1)
S(«) = 22	S(<2) = X//,Az
S(o) -n, S(Q)-St,
S(G) = BUpBr — int St.
(15) u (161 следует, что ri.ioi
предел >нт«-р*"ьнсЛ сухим ₽т(С) = 52/(С.*)Л»> лр* 1(Т)


S= [«fix-Xs)-(» + 4)) &
 в полярной системе мосрлшит ура н ннем
сеалюр G  квотируемая аигира, л -

«UP Sfa) = inf S(Q) = ; yp'(sp)d»>.
' — <М(ч  вз)(*а — c?)ie объемом клеточного тела — сумму оТ>-




-и через точку х€ [п,Ь] этол оси Будем считать, что при -
л х € [о,Ь] фигура G, квадрируема, а ее пяошадь <r(z) — фу
я, непрерывная на отрезке [в,Ь]. Кроме того, предположим, что .
<в на которых содержится в другой
Утверждение 5. При указанных выше условиях тало Я
V = y<rfz)«tz.	U
ответственно наименьшее и наибольшее значения функции o(z)
ерывиая функция, то сутшствуют точки {( € Д; и £[ такие, < -
асклстями A;-i и Д, перпендикулярными пей Ох и прохоряши •
ответственно через точки х,-, и (см. рис. 377).
Пусть Di и D\ — цилиндрические тела высотой Дх». построен»
। сечениях Сд, и С€- как на основаниях м расположенные меа а >
•леностями А*_, и А,. Тогда Di С Пе С /%, а объемы тел Di к П
I ответственно равны
V(DJ = m, Дп, V(DJ) = Mi Дг,-
। ои p — объединение тел Di,- Dn, a P — объединение тел DJ,.
V(p) = £ го; Дт„ V(P) = £ Ml &xt.
) и как eupV(p) = inf V(P) = Jo(x}dx, то fl кубнруаюе телк
 объем выражается формулой (20) •
Востользуемся тем, что площадь фигуры G, получ мой в сече»»
i на расстоянии Zp, гдеО то С о, равна
ямом деле, граница фигуры G — млипс, задаваемый уравнения
/|r’(t)(<b = /«'ИЛ =	-'(a) =S,
s =	+U-(0)’<«.
Применив формулу (26}г неходим


 *иа ломаной Тогда
h - Л-W + (/to) -/to-i))’-	(X-
>.'ть усеченного конуса (цилиндра н случае, когда /to) /to-i))
трин, равна

9т Я £ л/to - *1-1)’ + (№ -Ц-а)’ to + И-a).	С-
* * у, = fizt) По Teopexie Лагранже
» 6 € Дс =	Дат = >| —Xj-i- Поэтому формулу (28) и«
записать в виде
для интеграла (30), соответствующую разбиению Т и выбо
икиии д длп любой выборки ( «^шествует

(33) и (34) следует, что
.0 при 4(Г)-»0.
При оценке величины ю воспользуемся тем, что функция f рав-
рно непрерывна иа отрезке [о,Ь], т.е. для любогое>0существ.-
1Л«')-Л«")|<5.	Wi
Пусть разбиение Т удовлетворяет условию <(Т) = ^тах Дд, < б.
(37) следует, что
I петому
IW + tft-. W(6)l<*-	Р»
ело М > 0 такое, что 0 < тЛ+(/'(«»’ < м в™ в0** ® € [в,8] в 
(36), (38) и (39) получаем следующую оценку
|M|<,£gMA»i = *’rWg-a^
аьмам С = 2тМ(Р — а) н условии (37); тогда мя (40) следует.
нин Т, мелкость /(Г) которого удовяет»
ряет условию 1(Г) < выполняется не^
1(Т) -а О. Формула (30) лакам i •
ческого пояса высоты h, если радиус сф(
Л Сферический пояс высоты Л можно 
ГЫ =	™1+(№»’=
2тЯ(6 — а) = 2яЯЪ. В частности, площадь поверхности сферы Г"
уса П равна г
юге интеграла при решении фи
рала можно вычислять путь, пройденный материальной точки
переменной силы (см. § 34, л. 1,в)), ci »
статические моменты и координаты ц *
форму криволинейной трапеции, опре»
налы» в жидкость с плотностью р W
верхности жидкости и удалены от урома
давления жидкости на пластинку




рел Jf(x)dx называют сходящимся,
Ящимсл, символ I f(x)dx употребляют как в случае сходимоо



ть несобственные интегралы виде	пред—
’ определена на пром жутко [о, Ь), где а — конечно*
[fiz)6x=
: интеграл от функции Л/(т) * Р9(т) на том же промежутт
JWM + М *
fWM + W(«» «ь bJfWx + vf S(I) dx.
'-грал Jf{x)dz елоди
lim F(f) = K(b-Q),
/f(x)dc = F(&-0)-.
1 чести и справедливость формулы (9)
О) Формула Ныотока-МеИ&шиа
Ц0),гдеЯ(О) = —
= О при о > О. Следователь»
в) Яите ftipoeanne по пастям.
ff(i)dx = FK)-F(O).
• Мотона- 7-ЁЛилца для несобственного интеграла.
Правую часть формулы
1лива формула интегрирования по пастям
Применяя формулу (13), получаем
to y?(ij = Ъ. то спраое&июа формула замены л рем иного
fjH* = f №(*W(i)a
//(*)* =


I	u i



t у f(z}dz необходим
'F(() = Jf&№ — возрастающая функция В сам а
Vfa.fc е [а,6} €,>£.-» F(&} - Ftfi) = //(z)dz >0.
Ifl^dx^h^dx
lira Flf ) = Flt,-O) = sup Fit ,
а) из сходимости интеграла J3 — jy[x)<Lc следует cxoduMOi
- J2, где J2 =


js\z)dz, т. e. существует конечна
яиР	(теорема 1), то ю (Л
1ц Таким ©©разом, для неотриивтельиси функция /(аг) выполни»
> условие (10), и по теореме 1 интеграл Jj сходится
О) Если интеграл J, л сходится, то интеграл J3 тоже должен р"

»мости интеграла j (пример 3) следует сходимость интегиа
Следствие. Если для весах в: [о,Ь] выполняются условия
В(г)>0,

|  интегралы Ji = Jf(x)dx я Ji = fg\x}da сходятся или ралхт
Mich одновременно.
Если выполнены условия (22) к (23), то lim —^х.- = 1, т. е.
V£ > 0 зад € [о,Ь): Vr € [«И.Ц -»	-1| •
I равенство (24) в силу условия р(т) > 0 равносильно неравене«
 интегралы Jj и Л сходятся тогда и только тогда, когда сходна
I ( с < Ъ (см. замечание 3}.
Если сходится интеграл Л (в значит, и интеграл	тс |


Таким образом, интеграл (26) сходится при а:


Подынтегральная функция f(x) = I g<T* неотрицательна
(0,4-оо). Интеграл J сходится тогда и только тогда, когда сходя - а
гагралы Ji = jf(x)dx ы Ja = J f(x)dz
то Inja* — x) = In(1 * у*o(x’)^ = ^ + o{zg), и поэте*,
при x -» О. Сяеловатслыю, интеграл Л сходится а»
। аа 1п(е" - х)=ж+|п(1 +о(1))=х+о(1) при х -а +«, /(х) 
только том случае, когда ныппаняются условия <х<3ка>2, т
Пример 13. Исследовать на сходимость интеграл
Hz -
= //(«)*
-гербеле (0,1). Интеграл J сходится тогда к только тогда, ко
пользуя результат упр. 3. получаем интеграл Л сходится при в - •
w/z(l + vx) = J/zfl + Л)1'
-»о, 10(1+«;
4-оо, получаем следующие асимптотам окне формулы для /
► сюда следует, что интеграл з3 сходится, если - — о
-. Таким отрезом, интеграл J сходится при о <. - . и рас 
4. Критерий Кегли сходимости несобственных интеп 
в. Будем рассматривать несобственные интегралы того же вила
и в пп. 2,3.








|F(C)-F(C)l<e.
FK")-f(e')=//(«)*
//(«)*> с/|/(>)|«к,




2) функция не меняет знака не промежутке (а, -

УПРАЖНЕНИИ К ГЛАВЕ VU
Li til [}№)Л =
Вш/|/(» + 0-Л«)1*=О;
«/cz




ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
«ьилется сходящимся, если госгедоштелыюетъ его частичи <<
5>л <W.) = Ь-Ь





.V. —
)1 с+1) у(х) с /(*), откуда в силу свойств интеграла получ
/(*+!)« /ЯХ)<Ь </(*)
-лагая в (6) Л = 1,2, ...,п и складывая соответствующие неравенст -
£ л*+о « £ / W*« £«*)•

,11m j f{x)dx J.
। я С € [1,+сх>) выполняется неравенство Jffxjdx J, и поэте•.
"J J.
(7) и (8) следует, что
	членами ограничена сверху. По теореме 1 ряд (4) сходится
	сумме равна S, то
i (7) и (9) следует, то
л любого£ > 1 выберем пе Nтаким, чтобы выполнилось уело
• 1 С- Тогда мз неравенства (10) и условия /(я) 5 О при х
J/(x)dc< J /(т) dxss.
1 из § 38} интеграл (5) сходится.
Пример 1. Доказать, что ряд —


ряд [211 сгодится






I ’лпавлвннып из всевозможных попарных проимедениа членов
чил симм рядов (1) U (13).
= Е км« Е i“'i Е iw« АВ-
(азЬ, + аасъ 4- aih) + (o-c'i + egfa + Cjtj + взРз + вгРз)
> (1) м (13), т. е- ряд еидв (14).
|ыьают snana-^pedyiotuiiMCA
S,„ = о, - (aa - aj) -
-(аал-з-озп-|)-<Ил <<h.

e ряд (16) схолмгсп.
I-loan-nan+1)- откуда в Cl-


£ (d*-O»+i)B|i
il)+w £ (о*-<*»+.),
is (28), (30) и (31) следует, что
«мер 2, формула (50)) было доказано, что В„т—
{вл} монотонно стремится и нулю, то ряд У~*а„озе





ФУ1 .И НАЛЬНЫЕ РЯДЫ
б) Сходимость дцюарюналъного ряда. Пусть функции iin(x),n£ \
ФУ>
ют S(x) суммой ряда (2) и пишут
$2ih,(»)=Sfer>, «ее.
а) Понятие равномерной сходимости последовательности fy 
Vn%no V1€E-

। «чем hto cn — О, то
Пример 2 Локезать, что последоветельность {/Дзг)| равном.?
сходится на множестве Е, и найти ее предельную функцию /[rj
о) /4*) = Е = [-1,1];	6) /Дд) = Л’+1, Е - Ц
в) /„Ы =	Е = [0.+ОО);
г) /4*) = "Sin —, Е = [1 >+оо)
в) В этом случае /(г) = 1 (пример 1, в)) и |/„М - /(г).
< —  так иск |т| $ 1. Следовательно,
ю куда следует, что
г) В этом случае /(х) = — (пример 1, В)). Используя неравене*


1/4*)-/Ml =п1=ш —

С) Критерии равномерной сходимости последовательности фу -
Теорема 1. Для того чтсбы последоватвлыюстъ функ
став к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы
п «Ч"|/. Л-/(я, -О-
Обозначим о„ — sup |/nW — /WI Тогда условие (4) означает, i
Если А(г) =t f(i), х е Е, то
Ve > О ЗЛ. Vn > Nt -» |/„(z) - /(>)| < £,
> суда следует, что сп С J <е ддяп^Д^ Поэтому ж ран» яство 
ювне (4) или равносильное ему условие (5). то, используя неравт
О |/п(х) -/М1 < а„ для z€ Е, n g N, пш«-нем |/„(ж) - /(ж)|
Пример 3. Доказать, что последовательность {/п(т)} сходи - •
> зномерно на множестве Е. и найти предельную функиию /[•
1-М------о -» 4 К . R-
В = [0,1);
») АН = Е = [2,+оо).
а) Если т = 0, то Jn(0) = О для всех п€ IV, в поэтому lim /п(0
f (0) = 0. Если х #0, то	- цД.,, откуда следуй

IM-»>!<£&.
«#0.
. едоватеаьно, вир |/„(т) — /(т)| = -
Чтобы вычислить sup|/n(z) —/(д*)] = sup|/„U)|, найдем той
•тремуме функции А(т)
Уравнение /Д(л) = nz"-1 — (п 4- l)z" z"1 (о —
внутри отрезка [0,1| единственный корень х„

гельностх). для того чтобы посмоователыюел» функииа </п(
в. —вюлнп теп условие (в).
Запишем условие Коши (6) в виде
> о зле- vn > л; vp € л vz е е -»|/„+Jw - /„(х)| <	*

ггь последовательность —
s.u>=X,’“iI>
Формулой lloj
’ S(z) — сумм» ряд» (И), в $„(т)
Пусть г„(т) = ЭД -^.Й. т.е.
0) U„W =
в} Unfr) =
, TO S„(z) =
Six') при n
к как Sniptiri - AUzI
При мер В. Доказать, что ряд } ил(г)
*» и бостаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т.


* (Ifl) сходится абсолютно и равномерно на множестве L>.
t 1, Il
. Е= 1.
Нзсходимпсти ряде Е
pitHHMwpHui стодамостъ ряде 23"п(«)



| У в*(*И*(«)| С >M(K+i(»}l+ !«»+,(
~норяет условиям (30), (31) Пшигая В„(х) = ^Jbinfez и мспол
1(34
У, а»(х)Ь,(х) = У'во+>(х)6


<ула, используя условия (36)-(38), получаем
5^ 52<°"+Ях) -«fc+j+iW) + 3j,la"+eWI =
-<Ч+,Ь) + К+л(х)|) <	+ |0n+l(z)| !.
11 ким образом.
Ve>0 ЭЛ, Vn^N, VpeN VxeE-e £	<«.
I» mi '
io теореме 3 ряд (28) сгодится равномерно не множестве Е •
5. Свойства равномерно сходящихся функциональных
а) Непр рыаность cf/млы равномерно сходящегося ряда.
6J функции, а ряд (14) сходится равномерно на [с. Л], то его с^,
 $(д) также нвлрерикна на отрезке (а,Ь]
тем считать, что жр € (o,t)
S(z) = £»»(«)
лрерывна в точке хо, т. е
Ve > О 33 - «(с) > 0- Vz е 1Ш0) -»|5(z) - S(z0)1 < Е.
- Па(»о) ~ (во —	+ 6) C [a,bj.
По условию S„(x) =t S(z), x E (в,Ь], где S^x) = ^u,(z),
Ve > О ЭЛ.. Vn » N. Vx e [a.i] -»|S(x) - S„(z)| <	(•<
|S(*)-S«WI<|	«*
|S(aro) - SnelzoM <|	(•-•
Фс'ниои л (x) непрерывна в точке zp как сумма конечного чи  >
• рерыьнык функций оДх), к — 1,пд. По определению непрер^ж
>0 аа=ад>0: vxеедхо)с(a,«-»|S„0(x)-.s«(*o)l<
SM = £a.(r).
гь <r(srj = J Stffdt, a <rn(sr)
I wttiui Slz) также непрерывна на отрезке [o,bj.
в) доменное штг рирввакие ^уннционаленоео

Jstna =	« е
в ряд (45) мозкно почленно интегрировать.
в. 5я(я) = У2т'л(я)3 S(x), z E |а,Ь]. Это означает, что
fc,(i)d4 J5(t)dt. z € [o,tJ,
(«)= /(S(t)-£,(«))«
<vne в сиду условия (47j подучаем


I—1 ряд (49) сходится равномерно на стреме [а,Ь], и его можно i
S'W
Sf«) = V«„(z).
lrlt>dt = SbA-SM.
Но теореме 9 ряд (C3J


1 11
пли мобом х таком, что г| < bn,
tyaa следует ограниченность последовательности
1=п*"1 = 1МЯА <W.
ww /тичхр г = [I:

wuu аяиеапепап конечный пли Deaton himC Urn
= {«• H < Wl, тогда ко < /₽ И
— |i|p> 1. С/тедовательно, ряд }
DO. TO для любой точки z / 0 имеем lim vlOn2'1
 = 1ш> Vm

Пример 1 Найти радиус сходимости R степеияогоряла У^ с„


ю формуле (у) находим R I
Пример 2. Нейти радиуссходимости Я степенного ряда У^2П
Обозначим 2хв =1. Тогда У^Ух*"1 У~^Г*, причем род У^ С" <
п, если |i) < 1, и расходится, если |:| > 1. Поэтому ряд У~^2*У
Гя', радиус сходимости Я =	Тот же результат следует из ф^
liin VK1 = Jim °У2" = 5*5 Л


£Мх-хо)”,
Zo — заданные действительные числа.
М = У_1сп(
усо.м схшимоста ряде > b„(z -Zo)". где z —
>нное. При Л
-“J
По условию ряды У~^Сп(г— о)" и У.суД* — o)w сходятся в к--
~еют агин и тот же радиус сходимости
Пусть R, Rj в По — радиусы сходимости рядов (16), (16) и (17’
в} Докажем, что
аится в точке до (теорема 2). Выберем р так, чтобы выполнял»
|*о| <Р< ft
I к как р € Ki в силу условия (24), ТО ряд (16) сходится при z -
103 тому
овне (24). Из равенства (25) в силу условия (26) следует, что
. к как ряд	п(п + l)fln+1, гдеО < q < 1, сходится по пркзн!»
'Чламбера, то из (27) следует абсолютная сходимость ряде (17 i
аке го- Итак, если zo G Ki, то го € Ка, откуда получаем
ft С ft	(I*
1  неравенств (22) в (28) следует равенство (1Р‘ •
Обратимся теперь к стеленным рядам вида ,и), где ксоффиын»»
22сл(2-»0)‘=f(z)
<е/п радиус сходимости К > О, то.
 *>(29).
2} енитри интервала сходимости етот ряд можно понлв>»
Рассмотрим ряд
У_'*н*(д-*о)*	(
-еет тот же радиус сходимости, что и ряд (29), а по сл дствш.
э,Хо + р), где р — произвольное число такое, что О < р < R.
» вед л и в о равенства
По индукции доказывается, что
/wW =	- О- (* - (п - 1)}(х - до)*-".
тировать любое число раз.
Справедливость равенства (30) следует из теоремы 9 из § * <
Следствие. Коэффициенты ряда (29), имеющего радиус асы
' 'TTw n6W
Оо = /(»о),
формулы (34) получаются из равенств (29) и (33) при х = «

§ 44. Ряд Тейлора
1. Понятие ряда Тейлора. Если функция /(х) «предал на в 
Пусть функция J регулярна в точке ate, т е. представляете., 
жсоторой окрестности точки Жд сходящимся «этой функции степе»
• врестности точки х0, причем коэффициенты ряде (2) выражаю.
I рмулами
Оо-/(жл), On =	»Е*	'll
Т- ним оГфечом, степенной ряд для функции Jtx), регулярной в д •
- 3 точке а, совладает с рядом Тейлоре функции / в точке а.
Если известно, что функция f(x) беосон чно рифференцкру<м
 гочке а (м даже в некоторой окрестности этой точки), то нел-ж i
верждать, что составленный для этой функции ряд Тейлоре
Рассмотрим функцию /(х) = е_,^“ ,ж/О,/(О) —О.Этафунк)»*
при х / О,
суда с помощью индукции легко показать, что
Г™{«)=е_,/*’Са»(;) при «/0.

^(О) = 0 лая любого к € N
	в ригд-няе (4) верно при k 1, так как /'(0) = lire --= О, • 
	да, предположен, что формула (4) справедлива при к = п, наход • <
/1"*|>(0) = Мт	= 1™	= a
»ффиниеиты ряда Тейлоре (1) в точке х0 = 0 для рассматривает. '
— совпадает с /(ж) при х # 0. Иначе говоря, эту функцию нел-««
I вдета ить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точа
Причина этого явления становится понята й, если функции ।
усматривать в комплексной плоскости В самом деле, функ!а-
Is) = er1/** ко является негр рывн й в точке х = О, так а».
е): с-1/* -ьОпри х -SO, а /(еу) е1^ -» +оо при у -> О.
2.	Остаточный член формулы Тейлоре. Пусть функция /
-ост-итетвке ряд (1) Обозначим
»Т.


согласно «редел нию сходимости ряда ряд (1) сходится к фуккг
интервале Д = (тр — б,т0 +й), где б > 0, то для любого х € <
> эдстаеитъ:
а)	о интегральной форме

I  < принадлежит интервалу с концами хр и х
• зукиии В силу равенств (5) и (в) нужно показать, что
*• оюльзуем л ревенством J f№)dt = /(ж) — f(xo) и преобразуем
//-((>л — pm d(x -1) = [-/'(«№ - «)]|^+/(» -») гтл
= Г(«о)(« -а») + / (*-»)/"(«)£

/(а) - f (®о) = /'(*о)(а -n>) + f(x- t}f"m «
е. формула (11) верна при п 1. Предположим, что формула 01
/ю - /и>=Ё ЧН f* - ”)*
* I . образуем интеграл в правой части формулы (12), применив фт
мчау интегрировании по частям.
►=«! 71*_ ‘j"1/’"’w*=~й 7^”>w di(z -	=


«ж*ла (9) докаааьж
Теореме 2 село функция / и все ее производные ограничен»
•рвала Д рядом ТвОлора (8)
Пусть х € (то —д,ха + Л). Тогда, используя формулу (10) и ус*_
। ? (13). получаем

f'"'(О) = 1 Для любого п, то по формуле (15)
б)	Тригонометрические функции. Пусть/(а:) — вша: Тоглв |Дх) .
> п (15) для функции fix) — втх сходится для любогоз: € (—оо, +оо)
Если fix) = йпд, то /(С)	ЛО) = 1, /(2"+*’(0,
>лд Маклорена.
О»
Пусть f(x) - тех Тогда |f(x)| < 1, |/|n,(z)l < 1 для веек ь
I л всех* Е R, /(0) = 1, Л») = 0. /’’“’(О) = (-1)", /<’"+,>(0) = О а*.
— gs-’-
в)	Логарифмическая функция. Пусть fix) — 1о(1 + л). Тогда
<ула находим
Г”(0) _
1 Оиеннм остаточный член гп(х), пользуясь формулой (9) при хо
- обра-гуем вгу формулу, полагая t = rz Тогда dt = xdT, 1 — <
г(1 — т) и формула (9) примет вид
(21), получаем
Пусть |х| < 1 Тогда сп|
t какО^тС 1 Отсюда следует, что при любом л С N выполняв
Используя неравенство (27), из формулы (24) получаем слез:.
ею оценку остаточного члена
Поэтому из формулы (24) следует, что |г„(1)
Итак, если х € (—1,1], то остеточный член г„(х) Для фукк1»-
г) — 1п(1 + х) стремятся к нулю при п -а по, т. в. ряд Макло;-
Из формул (13/ И (22)
п Мвклорена

ln(l+ri = £!
Формуяа (28) справедлива при х = 1, и поэтому
1»2 - £Цр!=1 -1+| -1+...+1:
1л(1-х)=-£^.
г)	Степенная функция, Пусть /(х) — (1 + х)°.£слио —0, то /(х
жно записать по формуле бинома Ньютока в виде конечной сумм»
/M-£cnV
кажем, что если of! Ми а з40,тофунк11ия /(х) = (1 + х)“предст»
(1 + х)“ -
_ О(Ц ~ 1)- (О ~ (п ~ 1))
ло формуле (23) получаем
гл(«) = А,!1*' /+ TZ)-'dr,	(я
I (берем число т € N таким, чтобы иыкижилосъ условие |а| С
|AJ<-
'«-(»+Ч ..("+"!)5(2»Г- <М
I похьяуя неравенства (25) и (26)
14* (zj, получаем
। формулы (33) и оценок (34)-(36) следует н равенство
l^,(^)|C0(г)2'"n"'|z|"*,,
Тан как <	- 0 при а > 1, то Ji™,	® Поэтому -
пн кд ния (37) следует, что гп(х) -• 0 при п-еоодля каждого •
па (30) в случае, когда о ф 0 и а & N, равен ’ *
Отметим важные частные случаи формулы (30):
Б заключ- ние заметим, что при разложении функций в ряд Т~"
ыа обычно используют формулы (16)-(20), (28)—(30} и примени-
I <не приемы, как преоставл мне данной функции в виде линей!-
। теменного; почлеиког —“—----------------------------------
। и интегрирование рам
Пример 1. Разложить в ряд Маклореиа функцию f(x) и нп1
> тиус сходимости R ряда, если:
«»/(«) = ЧЛИ-
»)/(«> =
1иус сходимости которого R = I.
0) Из равенство (30) следует, что
а) Используя формулу (38), получаем ряд
[—1) <2п—1)Г!
(-1Г(2п-111!
кяя формулы (38) и (38). получаем ряд
ряд (40), получаем
fl) Заменяя в формуле (41) ж2 на —я1, получаем

«уда следует, что
^-~(2н-1)!1
Л
агса1пх = у
в) Почленно интегрируя ряд (41), получаем
2"rf(2n+l)
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора в точке Хо = 2 Функи,
1г) = 1п(4+3х-х“).
Так как 4 + 3г — х2 = — (х — 4)(х +1), то, полагая I = х — 2, поч
|е) = 1п(4-х)(х + 1) =
= 9(0 = 1п(2 -0(3 + 0 = 1п6 + 1п (1 -1) +1п (1 + |)
I пользуя формулы (28) и (29), отсюда находим
9(») = 1в6-£^+£
едомтелъно.
ln(4 -вЗг-18) = 1п6 + У^(-
4. Элементарные функции комплексного
4“ Е<&-
сга» = х;

=5?
«авенстве (42) г на «г и — ie, получаем
41 п!

туда следует, что
глагаявфор.муле(42)л = Д| ид = 2$ип реноюилпсоответствуют

е* = в*** = е*(«»у+aalnp).
формулы (51) следует, что
>*о комплексного х # 0 уравнение
-нет бескстдачное множество решений вниз тс ч- 42ятт. где w —	
 решений уравнения (52), n€ Z.
Если тс = ьч-iv, то а = ew = ew(coev+seine), откуда получи 
|»|=«*. u = ln|z|.
Пусть <р — калое^тиСуль значение аргумента числа х. Тогда
। ним образом, все решения уревн нмл (52), если их обозначить ссг
— одно из значении аргумента числа z (z^O), n € Z
:в, согласно формуле (53), неоднозначно (говорят, что логариф! -
Пример 4. Разложить в степенной ряд вокрестности точки х
) нкцяю /(z) = e'sinz
Используя формулы (48) и (50), получаем
= т/2е_‘*/,.топоформу»е (42) йеной •
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАНЕ IX
/ д|Д(х) СХОДИГОЧ и
го supA'tzt — м, где М че


КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 45. Мера Жордана в Я”


ЕЕ"*^) « EEmin«) = Ега<п;>'
(и л)=Е«"(Л)-
-тп(В\Л), »п[4)


Di — mizil = micj
11. П 11, It. \ 11, uii. u 11, измеримы no Коровки
miOll.l = mioil,) = О. поэтому и гп(<л1. Uollu = и. a
mtotl <i n 113 ) = m S(11, \ 11,1) = m[B 11. и 11,)) = 0
то и множество II11; измеримо no Кордоне и
l и a)-£•»(«<)
Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого с
ош. nil,) сан, иен,, а и. \и,) сежииь,
В 11. и И,) с 0111 и И),
ОаС&а. witOi) > rn(Bi) — -
П. С Bi.
Цллкшть. что mlTHcj = Л"т(Я‘
Пусть d(G/} есть даеметр множества Gj, т. е.
dfGj) = вир р[х,ц).
Число ЦТ) — max <HGi) будем называть мелкостью разбиения .
МЙ»Т {С‘'
Sr = 2^Men[C,}.
f f f(xl,...,zn)dxi ,.dzn.
r=X,'n‘m(G'J
О при ЦТ) 
IJ]f(x,v,z)dxdn<b
не превышает с/(8м). Это след-
роу меиьш

ккиия ftr) интегаия/вма на этом компакте.
Ss- - »r = 2JM. - nu)m(Gi) < |
m(GiJ € т[А) <
=	mOm(Gi) + > (М» - mt)ni(G|,) < 2М
I + 0А(Х))<Ь o/AMdr + Bjh(x)dx.
fflxidzZMnp).
U < I £ M
/ДЙ*
M1,€.G) = X_»ntGi) = m(G).
Свойство 2. ьсли /(г) >0 u Их) — ьнтеграрубмая на
IfMOtiO.
no Жороани множестве <1 аонкиия. то




•oxeemoo G, mo функция |/(x)| maaxe интегрируема и
ipW*|s
«им образом, чтобы Gi,
где для любого ре 6ч жя Т с мелкостью 1(7) < £ имеем
т(В) - т(Д)
т(Вх) —тл(Лл) — Лгл(В) — Ьтп(Л) < h
Так как Лт(Л) hm(C) < Am(JB), то
MG*) - hm(G)| « Л(т(В) - m[A)) <,
l»’rl € IJ/lWImlGi) C< <b '
0. Поэтому Ci
м рную клетку Ид и тп(Пл
и(ёас<)
Тогда
пваеетшм слышащая щоамила
I У>1С,)-
[G')> = 2Jы‘ т1с‘> ~	=
У"(Л/^ — т,}т[С;)





Положим
“f flx-V)
11 к как уf(x,n)di/ сушествует для любого х € [а, 6], то при х е
меедяиты неравенства
»>Ч>	« J /\х, Vidu^Mij Ajy,
где Aa=»j-|y-i
ff(x,v)dn^
Введем следующие обозначения:
F(x) = JМ> = eupF(z), >п, = iot F(x)
I где из (2) следует, что
п>т^М < УМь А».
О € М< -я>/ < У (A/<j -ши)Ди
; У (м. - »>,-№,- С у У (М,у - т,,)я|(Па) =
= ЗД/,П)-вт(ЛП)-Ю при J(T)-U
как функция интегрируема на |<мтмсфголып<ке П. Ио тз"

jFlzfdz- Jazjfiz.^dg
llfM)dxdn = fdxff(x,n)dj>.
гтсетопному. Пусть vM и й(х1
упь, функция ftz^v) интегрируема на и, где 12 -=Г2и£Ю, и при
к х Е [о,bj существует f f[x,y)dn Тогда enpaee^xuw схе^
IJftz,ii)<irdii. при
Преть сииихтвивт
lf(xty)dx Тогда справедлива формула
fjf(‘.ti)dx<ill I dxl f(x.v)dii l/hilf(z.y)Ar.
формила (51
u справедливо
поется елраеедлиоой при замене финкиии f ix.у) на С’(х)/(х.у1




fffix.njdxdy jdz I {(x.y)dy
c= min u’tx), d= max v(z)
«1o.lV '' oEto.M ' '
F(®.») =
(*.йеп.
(®,в)еп\п.
Так как функция интегрируема на Л и на множестве П\?7, г
~ ествует двойной интеграл JjF{x,y}dxdy (свойство 6, § 46, п б)
ttW	♦(«)	а
J F(x.y)du, J F(x,y}dp и у F(x,y)dy следует, что при лю(--

ЦF(z.y) dxdy JdeJFt.x,y)dy.
 вставляя сюда выражение (8) для функции F(z, р}, получаем ф
Следствие. Для функции f(x,v), непрерывной наИ,сараевдк~н

юм называть элементарной относительно осн х (рис. 47.5)
 зной ьлиосителыю оси г, то аналогично (7) подучаем следуют. 
ЦЦх^ЛхАц faf
Если о&ласть П элементарна и относительно оси т, и относите*
I якцни /(х,ц) может быть выражен двумя способами через поэт*
fff(z,ll)dzd)/ = jdz j J{x,v}du= /•*>!/ f(z,ll)d* •
П	•	r o(,J
Пример 3. Вычислить повторный интеграл

Интеграл / равен двойному интегралу от функции f(x,v) — ~
области Л, изображенной на рис 47Х». Эта область элементарно
Пользуясь формулой (9), получаем
f du/ 5^dx= j
Теореме 3. Пусть функции vtx) о v(z) н-дрертс ны но от.;- 
с,Ь и ip(ae) < cptx) при о < ж < b, а функция f(x, v) нелрарыая- 
। иыкаяцц области О — {(z,p) о < a < b, v;z) < у < ^(z)}.
•(»)= //W*
а) Пусть сначала tfp) = c, ^(z) = d, где end — постоянна
руккиин /(z,y) няферынга в прямоугольнике П - |аД X [c,dj I!
t iy теоремы Кантора /(z,y) равномерно непрерывна на II П<ютс .-
гедполагая, что |Az| <S, получаем
*с + Az) - Ф(г)| = | J(/(z + Az, р) - /(», V» *1 с
С yi/f»+Az.p)-/(z,p)|«4l<^j(d-<0 =
аеэке [c.fcj функции и y>(z) < ф(х) при о < г < Ь.
Рассмотрим функцию
J(s,v) при
Zfr.lPW) при
/(z,\Mz)) при
(®.Р)€П
(z.v) € О;, где
Я| = {(!,») а«т«4, l
(»,») € П2, где
Па = {(«,») а^х^Ь, р?е(г 1
•вне по множествам П, fli и Па (см упр. 2, § 25), так кек Q
П Ufi, ufh- На И функция F(z,p) совпадает с /(т,р) м непрер 
по услов ю теоремы, функции /(z.vX®)) и /(>,ф(г)) непрерые- -
’ txo.Vo) € fh Тогда
F(zi,yi(z»)) = /(zo, цХж0)) = F&o.yo)
следовательно, функция непрерывна на П, Аналогично 
сбывается, что функция F(x,p) непрерывна на множестве Сз
Таким образом, функция F(x, р) непрерывна в нрямоуголь -
> П = [о,б] х |c.d], где с —	a d =	и поатсч,
рованнн, получаем, что функция Ф(х-) представима в виде сум-
i*)=
у<*)	*t»>	*
- / Ffs.pjcfo- j F(x,y)du = jР[х,ц}ар-
-JU.vWXvM - e) -	v(®))
I К = |1Ж^: а * € *• 14 в 4 •*}, а Функция у^х) ннтесрнруамт -
»ад= У^хИ(х.К)<Ьг
3- Сведение тройных интегралов к повторным. Оста
= Я3 называется элементарной относительно оси г, если
i i C — ограниченная область в R3, а функции p(2,|0 и vtAI/)
ерывяы ив G, где 6' — замыкание области G
элементарна относительно оси г, то
fffHx,y,x}dxdyd! = ^acdii f f{x,t,z}dz. (la
Доказательств i аналогично доказательству теоремы 2 дли дв -
I ► обидно, что область G элементарна относительно оси у. Прима»
[Ijzdzdydz Цйсйу I zdc = |у^(1-г-в)2<1г<(р =
Интеграл 1 1
1^1 !MOxaydz

- 1 (рис. 4Т.в). Область (1 элементарна относительно оси у.
l»G =

и смеющая формила
Пример 6. Найти я R" меру симплекса
mfSTl =
fdx, { dx„... I
Внутр нний интеграл в формуле (14} раэен мере m(S,"
I адса S£Z^,. Применяя (13) для ее вычисления, находим
«₽") =	J(1 - «O’-'anfS"-* 1) dii =
=m(S»1)/a
= wfS"-1)
Так как S1 есть отрезок единичной .
। рмуаы (13) по индукции получаем
, то из формулы (15

£ 48- Формула замены переменных в кратном интеграле
1. Некоторые свойства гладких отображений. Пусть С
•епрерывно дифференцируемое отображение.
ерывно дифференцируемых функций
«I =V>l(Ul, -.tie), ... Xn = Vn(tl|, .,Un)
л) производные O^pi/Ouj ограничены е С;
в) якобиан отображения удовлетворяет при ufG условию
|Л«)|>а>0.
^№помним. что якобиан J(u) асть определитель	Якг
 едующими свойствами.
Свойство 1. ЕслиГеС есть непрерывно дифференцируемая ала
.1, то ее образ Г1 = lit) есть непрерывно дифференцируемая кривые
Свойство 2 Если Я—областей твое образ = F
Свойство 1 есть простое следствие правила нахождения произвш
1 сложной функции, в свойство? есть следствие теоремы о неяве  •
икципк и было доказано ВДЙ8._____________________________
- P tto.vp11.
черно по на множествен, m е. ом любого с

as = V>(uo.vi>).
аи -
_ 8sp(«o,«i)
O|'- Ou 
_ а^(»«,ц>)
°™-------oT~
Пусть П есть замкнутый квадрат, сод ржагеип компакт G. Б 
,*Г|ить стороны квадрате П на равные части длины h < 6, то и «• • (
адрат П разобьется на квадратные клетки с площадью h\ Разв-
<ни <7, то соответствующим элементом разбиения является пвя»|
гение этого квадрата с компактом G Отображение F порожд*- .
 «биение Т' компакта С F(G), причем элементами разбиения |
и К Из равном рной н пр рывностн отображения F следует, я. I
«чшость разбиения Т* стремится к нулю, когда стремится и ну>» |
< л кость разбиения Т.	I
•и точки при отображении F	|
Запишем интегралы, входящие в формулу (4), как пределы инт-
«ьных сумм:
ffJ(z.V)didii = lim 52/(ai,»i)tn(n;),

Для д кязательства формулы (4) достаточно показать, что f»>
|т(Щ) — |	)|т(П«)| < a(h) го(П;), liine(AJ = О.
Принимая во внимание, что = a:j1x&(ti«,v«) — р«,
X, П*йР|)тИЧ)-57/(|р(у«.оД V,(4<.w))IJf«i.Vi)l»n[ni)| <
$ 521Л(ч.и) рщ - р(“..щи T"inj | с
€ MatM Vт(П;) < Ma(h)mtC)

я (8) однозначно разрешимы относительно z и р.
Найдем яиоЪнвн отображения (8). Используя формулы (9), по •
Так или р® = фр. то делая к интеграле jjy3 dirty
• иных (8), получаем
[[v^dxrtu = 0(ij‘iJ{(,n)\d()b) = ^0rj‘tK<bi =
4. Использование полярных координат для вычислен»* а
। ойных интегралов. Из курса аналитической геометрии язве.
. что д карго ы и полярные координаты точки плоскости связе- <
। тдующими соотношениями'
--ти г = confit в луча у = confit Для точ-
 О полярный радиус равен нулю, а полярный угол у? не определ»*
Введем в рессмотр ине вспомогательную плоскость Erfi, в иск»
а г и v являются декарто'ыми координатами, и рассмотрим вз -
:кое место точек, для которых г = совет,
<ке О. Геометрическое место точек, для
горык солярный угол ф = const, есть
.ч, выходящий из точки О в направлении

 nb£lt, проколотая в точке О [рис 43.4) Взаимную однозначно
«бражения проще всего проверить геометрмч--ени Каждая точ i I
I околотой плоскости EJV однозначно передм ветел как пересечеив
I аужности г гд и луча у = Поэтому у точки Р(х, р) есть ед 
•енный прообраз <Э(го,<А>) в полулолосе Т
Якобиан отображения (ТО) равен г- Действительно,

Если к нплупояосе Т присоединить отрезок •
лучим полуполосу
При отображении х = rcoev. V = reinp полуполоса 7i — про*
• । всей плоскости EJt, но взаимная однозначность отображение
• сниу'.р гникр, г ^0,0 >р< 2я, есть некоторая область w с 7)
ви область Я не содержит точим О (начало пеквртовой систе-»
ординат), то отображение w на Я является взаимно однозначн- 
Месть Я содержит начало координат О, то взаимная однозначно •
» той меры куль, что не влияет на справедливость формулы заме- •
«ммениы* и двойном интеграла (см зам чаине в конце п 3). Ik*
 ну справедлива формула
= Jj^/(rcoeV)Twnip)rrfrd^, (1Д|
। ощая ыразкжие для двойного интеграла в по/
Пусть область Я в плоскости Exil ограничена двумя лучами,^ 
а . = 8, а < и двумя кривыми, уравнения которых в полярных м
ткнатех имеют следующий вид. г = Rite), т = Лх(ух). Функх •
(ух) к Яд(у>) непрерывны на отрезка [а, /3] и Я|(у>) < fia(v?) при <• .
й интеграл (12) по теореме 2, § 47 сведется к повторному
0= jdp J /(гсое^,гвпф)гйг.
Если область Я в плоскости £ль ограничена двумя кониектрич-
• мн онруахностямя, г" ост - Ь, о <Ь, н двумя непрерывна л
I) ющяй мид ух $i(r). ух = Ф2(т). 4h(r) < Фа(г) при о < г < Ь, о
лосиости Et^ (рис 48.6). Сводя двойной интеграл в формуле (' •
 игори пиу, получаем
Jdzdy = J dr f f(r cceyx.reinyx) rAp.
Области более сложного вида в плоскости Елк нужно при поме.
. чей ip = const и кони итричееккх окружностей г = const раэОлв-
- простейшие области рассмотренного выше типа.
Пример 2. Дли полукруга fl у^О, х“ С вычисль .<
Пак известно из механики,
& - fj(s’ + у’) <k dp.	* »

адмиОг£ rC«, ОС 1Р<х* Применяя формулу (13), получаем
It = JapJr^rdr = ^- л
Пример 3. Пусть П есть область, ограниченная параболой .
г’ и окружностью z1 + у* 1, Снести к определенному интефав
Ufty/^+indxdn
ffflz' + v’idzdtl	f f(r)r^> =
- Сршк нн го на рис. 48.0. В ин-
к'рале y^/(z.p)dxdv перейти
ff	~ f /(rcoe^>, rtan^rdr
а хастей будет ужеэлементарной относительно оси v, и формула ( i
 жет быть г|ргм и • п к этим областям Получаем
Jtz.y)dxdy = Jdr у /(гсовф, га1пф)г<йй+
- Jdr J Цтажр, reo^rd^+
G =((*.».*> fr.g) € Й._
-Vi-^-»’<« <	I
J) —	dzdydz —fjdzdy	/ dz	— x3—
- f (l — ЫО*Ч?1<Ьр
Б. Использование цилиндрических и сферических koi. »
нат для вычисления тройных интегралов. Пусть в трехм*.
 тонка Р. Цилиндрические координаты
Ci юшнмн формулами.
тютей лекартоеычаг координатами, и рассмотрим в пространг-
1ёометрическое место точек простран-
•а для которых г — cooat, сеть
^эскости Оту, координата С = сопат На
4УПЛОСКОСТЯХ, проходящих через ось Ог,
• ордината <р = const
Отображение F 7 -♦ EJvr, определя мое формулами (18), нва»
:я непрерывно дифференцируемым. Якобиан отображения J? -
аимная однозначность отображения и условие неравенства ну . •
и А есть некоторое ограниченное линейное множество, и ноатг •.
I ра ёКордана пересечения равна нулю
добрав ври отображении (18}, то справедлива формула замены -
/(rcoev’)rejn^,C)rdrdjpd^
Еслив цилиндрических координатах область GcE,,, можетСы.
1вна неравенствами Zi(r,v) < С < ^j(t,*p). ft Ср) < г < ft(i^)
и следующую формулу:
fl tf(x,y,z)dxdydz = [dp I dr [ /(гсоер, гетр. C)rd(
Пример 6.Найти объем области G, граница которой задана vt*-
и иилиндрячеекмх координатах ураэнение границы области им»,
[рис 48.121. Облает:, G задается неравенстве
-2r/2r’',(l-<-),zadr=8r I arftaxtsintcaitdl
cceiOein* Udi =
Применяв Формулу (211. получаем
)=///dz<&<de= fdjJdr f r<K =



I dp f f /(rcce^cwV,	rein^}rscoe^<lr. (A
° *1M IW.«
») = jd? j АФ j г^сов'ФЛ’
= т/	* I (i-^a
Прелол лим для простоты, что область ы выпукла, т. е. вмесч
бы ми двумя точками А, В ома содержит отрезок АВ Тогда про. •
1ьяая прямая в плоскости £„„ или целиком лежит в области ы, i 1

ямых в = «о и о = Эти прямые либо целиком лежат в обхм
и, либо пересекают ы по к- которым отрезкам или лучам. Прел
ним для опрел л нности, что пересечении есть отрезки АВ и I 1
тс. 48.15). Образы этих отрезков при отображении (26) назыьа» I
трдинаткыми линиями и =ъо и v = to.

z = v>(i>o,v), p = ^>(bo.o), n>-o4«C4>+^-
ично получается семейство координатных линий о = eonat. В скг.
»имной однозначности отображения положение точки (х,р) е Я «е
»начно определяется как пересечение координатных линяй ъ — ,
Если область Gc П может быть в криволинейных коордика'че
|ане неравенствами
а<*л<Ь, c(u) <v </)(<>},
?a(ti} и fl^u) непрерывные на отрезке [в,6] функции, тоое г>-
•эйной интеграл сводится к повторному интегралу
/77(®,р)<ь<&=/л /	1>(в.®))И(«.®)Н«.
Аналогично можно ввести криволинейные координаты н а про.
.ветвеннойобластиЯсExtr Вышебылнрессмотр ныпримеры<>»
 ческих и нилинлрич снах координат.
ми координатами следующими формулами.
Якобиан отображения (27) равен аЪт Область G, ограничена»
) 1КПСОМ лапается неравенствами
Делая намеку п.рвменшх (27) в двойном инти рнле, ™>луч . м *
рюшее выражение для вентрального момента инерции области.
i =	+ if1) tfcdv = jif?r‘cx&4’+SMsin3 v)oirdr =
g 40. Несобственные кратные интегралы
рлену множеств {Сп} будем называть асчсрпыаахнцел жхожь «
Лемма 1 Если {<-„} о {GJJ кегль посхеЛжштамьносош, нсчар «
। ощие область С с то для любого номера п найдется номер к
 мои, что <*„ С G»tn)
I Пусть_для некоторого ьеюжества	не существует такого но*

то из посгкдователыюетн zj, можно в силу теоремы Больца*
внимания общности можно считать, что н последовательность ,

Переходя к пределу при п -а со, получс- с, что а £ 0. Аналогах
. «взывается, что 0	Поэтому а = 0 "
Пример 1. Интеграл
0<«’+,’<Я>
ядится при а < 1 и расходится при а 5= 1.
• Положим

= у^=Пт21г Jr'-aadr = 2zJe,^‘4
О Д/П	«/П	О
Таким «Орехом, несобственный интеграл (2) сходится в тох

3- Несобственные интегралы от знаасоттерем иных фуит
14 говорить, что функция fix) интегрируема rw области G е нес-*
венном смысле, если сходятся интегралы /Г(»)<Ь и // (»;«.

УПРА/КНКНИЯ К ГЛАНЯ К
mtTGl =
ff[x)dx=Jr(X)dx-
[§ 38) Jf(x)dx (с особой точкой b) I
}л f/M Л.= ](х- Й/(И <«k.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
фуикиик iXt), и х(1) непрерывно *>*М>ерениируемы не [о

гонец совпал, ют. Если закон движения точки в пространстве за*
ж формулой (1) и при движении по кривой точка проходит че »
I тайную точку С £ R2 более одного раза, то точка С наэывае*-
 «чхоД салют ресечвнил кривой. Замкнутую кривую, у которой * -
 угии точек самопересечения, кроме конвоя, будем нанизать прш
•Лу в плоскости кривой
Кусочно гладкая кривая есть негр рывная кривая, распадг*
•вся не конечное число глад-
• х кривых. Например, гра-
ну треугольника или квад-
‘тс. 50.1).	M У
Кривую, качало которой
г-ь точка А, а коней — точ-
• В, будем обоаиачать через
ii < 12, то будем говорить, что точка	првдшоствивт точке Д,
Уравнение
r = r(j5 + o-»),
• ганной уравнением (1) Ее начало совпадает с концом Г, а коней
еют противоположные направления.
3. Криволинейные интегралы первого рода. Пусть намело-»
х,р,а) Если гладкая кривая Г заявка уравнением (1), то опре
• гиый интеграл д
/йМЧ,МЧ.МО)|г'«|л
тем называть дршялгшгеиньиг интегралом первого рода от фунт*
/й(г,р,л)Л /й(гЩ,р(е),2«))|г'(<)|Л	•
Рассмотрим свойства криволинейного интегра в 4 .
парам гпаюации кривы
fK(r,r,z)d. /Я(ж(*), „(»). г(О)|г’(Ч|Л =
1Я(ж.ц.ж)Л, = Я(х.У,х)Л
; «)) г(г <Ь
I ЛМКг», »(Цг», 4*(г))) ?(‘И)км dT -
Особенно простое выражение для криволинейного интеграла а»
ало рода получается, если в качестве параметра взять перемени- • -
 ину дуги кривой. Тогда уравнение кривой имеет вид г — ж .
jR(x,y,x)de fRl*W,vt*},zVfHU-	>
залов первого рода. Запишем интеграл (5) каи предел интегралы*
z)de = УnfZj.pj.zJ Да,,
л ь Xi — z(aj), jit — p(a,), 2т — *(*<}-	— мелкость раэбиени/ I
 мака [0,5], Л», - а,- -
Как видно на рис. SO 2, раюгению Т отрезки |0,5] сооте*
- эует ре би ине кривой Г на дуги Г,,.	• — 1 п. Если функша
11 ю плотность материальной кривой Г,
,х интегралов координаты центра тяжести, осевые и централы --
I манты инерции материальны* крины*
Пример 1. Найти момент инериии полуокружности х1 + ра = 1,
> 0, относительно оси ж, если линейная плотность Я(х,р) = |ж|.
Параметризуем окружность, полагая z=сое а, р=eina, 0 < в с •
определению осевой момент инерции /< есть следующий криво»
Ix = Jv?R(x,v}de = ^ain’а] сова] da = 2 j ainaecoeeda = | а
Б. Криволинейные интегралы второго рода, Пусть П
,'ТЬ трехмерного пространстве, в каждой точно которой задан в»*
Тогда говорят, что н сплести (1 задано векторное поле Е ,
г, у, г) = (P(x,lf,a), Q[x,y,x),	г)) Если функции 1
трерывны в области П, то и поле F навив ется н пре. молы,- ,
'тести П. Если функции PtQ,R непрерывно даФФ реашируемь <
тести П, то и поле F называется непрерывно дифференцируем- -
НР(^).О(£у)Г поле F ым я В яг у
Пусть в области О с Я3 «тред и но непрерывное векторное п ни
- {Р{х,у,2.}, Q(x,y,z), Щх,у,г)), а г == гр), о «t < 0, есть урт
тис гладкой (кусочно гладкой) кривой Г, яежашей в области
ределенный интеграл
£W).v№‘C*». *'(«))« = / (Р(*Юл(«М(«В «(«)+
+<?(*(»).»(‘МЮ)»’«) + я(х[|),р(0л(|))з’(0.«
Тем называть яриоолинеИным интегралом второго рода от oemt. ,

/(F.dr) = 7(F(x(t),v(t),2(t)),i'(iHdt,
?<fc + Qdp + fid; =	x'(t) +
+ яр(0,»«),г(1))иг))<а •
Если система декартовых координат фиксирована, то, полага»
fp<b Jp(x{tj,um,2(ty>z'^at.

fQdll = /<?(ПО.»(0.»(«)) »•(»)<«.
[Rdz
*,#,*) no Кривой Г, символ
ррдинвт
• способа парамстрихиии кривой
Это свойство догашвютсл точн<
Свойство 2. /Триволиквйкма интеграе второго роба при ш*е
в и ориентации кривой на противоположную меняет знак, т е.
f (F,<V>) =
Я~|))Л =
-/(ЛФ
- - j(F(r(r)), I’M)* =-f (F,dr)

/(F,dr) = fPdx+Qchl-
'	' в
!(Г(®Ю, p(0) г’(«) + <?(»(«), »(*)) t'(0) a, «r
/Pdx- fPMtlvVn^dt,
fQdn=fowbtWrfm*-
В том случае, когда плоская кривая Гд»< ааяана как гра4«
—зрерывно дифф реяхруемоя на отрезке [а, 6] фуикдии у = /
а к. 50.3), формула (12) приобретает особенно простой пнд:
f P(xlt/}dz = fp(xj{xndz


отрезку Гд„скониами Л(0,1) и 13(1,0) и по дуге окру™ или Г,
Заладим отрезок Г\й параметрическими уравнениями х = I,
1 — О 4 С I. П|, |мспяя формулу (11), полу чеем, что
! vdx-x<4/ = f\(i-«{1 -О']й = f{l -1 + t)<u =:
Заладим дугу окружности Г)л| параметрическими уравнения i
-aint,y=coef,0 — Тогда
{ lidx—xdji= у (coetfalnf)’— aint(coety]dl =
Пример 3. По тем же кривым, что я в примере 2, вычисл! ।
( zdz + tidji, А = (0.1), В = (1,0).
 Применял формулу (11), получаем
[ zdx+i/ify - J [eioc (ein I/+mt (coal)'] dt =
= у (ainfcoet —сое feint) <ft=O.
«нами оказались неравными, а в примере 3 — равными.
рода, Работа силы. Пусть F(z, у, г) силовое поае в o6nai
II ё R8 и пусть кусочно гладкая кривая Гди С П явлена уравнен
м г = r(f), <1 $ С £ Д Если интерпретировать уравн< * *»* г = г(г;
• 51 < 0, как закон движения мегер татьнсЛ точки, то при таком д-*
• - нин сила, действующая на материальную точку, должна соверш- -
I «кой путь.
Пусть теперь поле силы непостоянно и точна движется в сиаль -1
ie по произвольной кусочно гладкой Ириной r-rf,o<e< I
' — лрои воляюе разбиение отрезке [o,/Jj точками о — t
 < 1.1 = В- Ему соответствует разбиение кривой Гд» точка .

 и по дуге Гд;_, л; приближенно рвана (Р(т(ед p(Q,	г'(П) £.
Лота сивы при движении материальной точки по кривой Г.,
ибиижекно рвана следующей сумме

pAfc-fc-fc-i
Предел суммы tf/ при мелкости разбиения 4(7), стремяшейсв
иной Глв Таким образом, работа силы
’= кт” „Ёс^ЛИ*), И‘0). '(Ч)д^
= /(F(»W.»W.a(4)).r'(0)de= f (F.dr) ОI
и движении точки по кривой Гдп Кривея Глп не проходит че - i
чало координат.
вэнением г — t(4), а < t < В Работу силы найдем при помо •
^.^)л = -/^|АЛе)А =
ZCrto) г(3) г(о) Ге
§ 51- Формула Грина на плоскости
I. Ориентация границы плоской области. Напомним, что
оесечекия) замкнутая кривая пазлеляет плоскость не две области
таничен! о и иеогтвчичен-< • обшей г *чидей кота-^хпиаяяв
90MMV ЖО. ЯП
2. Формула Грика. Пусть функции Р{х,у) и (Jtx,v) Henpt
бференцириемы а односеязкой области fl с Я“, а простой кис

~faz f	fp(x-v^n'^-/р1р.№)№
dxdl/= I Qtx.ulJti.
^[^й_е^Е)]^= fPax+QJl/=
' =- fPdx + Qdii + fPdz + Q^
= р’<ь + 04'+ fp<b+Qdn
Складывая эти два равенства и учитывал, что криволинейные
ралы го противоположно ориентированным кривым Г и Г
ио уничтожаются, получаем, что формула Грина (1) верка для
утренними контурами •>>.„ все контуры пр дполагаю
। сочно гладкими На рис. 5L4 изображены ограниченные двусвязм
•рехсвяэная области
Пусть непрерывно дифференикруе-
(эной области G’. ограниченной ку-
никим Г м внутренним т (рис 51.4'
Ирк помощи гладких л регородок 7д и 7ч (рис. 6L5) раздет»и
гсвчзную область G не две односвязных, ГА к 6\ Как видно
При помощи математической индукции теперь легко обобщ!
р секвюжихсн гладких п пегооодок разбивается на оОла’-
пообщается на многоугольные 00ласти, ограниченные проста
, ина. аппроксимируя область с кусочно гладкой границей мн<
3- Формула Грина для многоевязноп области. Форм:
I ине может быть обобщена и на случай многосвязи Я tn-евязя
гак. чтобы при его обходе оолэ
внутр ичие контуры ориентируем так. чтобы при ик обходе
гь G оставалась справа Вудам пи-







е поле (P(z,p),	иП задано в дву-

Применяя и Gt и Ga формулу Грина для олносвяаной области
научаем (рис. 51.5)
('(§ gb®
(/+/ +I* /У™*1*
•ладывая зти ревенства и учитывая, что криволинейные интегралы
 гфотнв положно ориентированным кривым взаимно уничтожа! -
• получаем
"(g-^)d3<fe=yPdi + Qdy+ jPte+QQl= fPtb+Qb
Формально формула Грима для даугья ной области имеет тот ал
• иволинейных интегралов по Г н у~.
“	jP&x + Qdv + Y.	+
4. Применение формулы Грине к вычислению плошадеИ
лагая в формуле Грина (1) Q = х, Р — —у, получаем формулу м
m(G) = -f xdv-vdx.

авзлваться тем, что
-pdz = (Is +p’)4, arctg
Л Эта кривая (декартов лист), как нетрудно по-
ев тать, симметрична оттюсмтелно прямой у—х.
-•-ди половинки листа, для которой О ТГ t < 1. По
Пример 1 Найти площадь, огранич иную кривой (рис. 5'.
_ 3а1	_ ЗаР -
_ ДоУд-н?)	_ 9аУ -
- (l+a’F	т^тЛ
По формуле (4)

I -чГО рода от пути интегрирования (плоский случай). Пуст. 
тести С С fP задано непрерывное векторное поле (Р(т, p),Q[x,p))
 -эизвольные точки, Л(жо,ро) и B(z,y) Соединим эти две то
- сочно гладкой кривой Где, лежащей a G. Вычислим инте&— i
I Pdz + Qdy Этот интеграл можно тагтерпретироататъ как раб»^>

- tfdy зависит как от точек А» В, так и от пути, по которому  
- точки А приводим в точку В. Наша цель — выяснить услокж
» тависимости величины этого интеграла (работы силы) от пути «
Теорема 1. Следующие три условия внвиоалвнтны:
fPdz + Qdy=O,
6)	J Pdx + Qdy не зависит от ломаной Lab С С,
в)	поле (P(x,y),Q(z,y)) потенщллыю, т. в. существует .
Р1хл) = ^, =
1} Докажем, что a)=>0) Пусть выполнено условнее) Возьмем*
сть — любая другая ломаная, соединяющая точки А н
- fPdx+Qdv = [ Pdz-‘-Qdv+ f Pdx^Qdv =
J Pfc+Q<ill = J P&t+Qtfy,

2) Докажем, что б)=>в) Пусть J Pdx+Qdy не зависит от
। ной Рлв, соединяющей точки А и В Фиксируем точку Л(яо,у*
зависит только от точки В, и, следе,—
тельно, в области G определена функция
G(»,lf) = / POx+QOv
Покажем, что функция (/(л,р) — 
С(тч*Дл,р) отрезком ВС, лежащиь
всти G (рис 51 7). Это всегда можно сделать при достаточно •
‘ М»+Д», Id-</(*, if))=
= Ь f P^+Q<ill = ^i J РО-лК

мг
дх

функция U(X,p) и
ируема в области G.
|я F(z,p)<lz + C(x,pjdy dU, то для любого кусочно гладкого к •
>JPdx + Qdy=tl Дейс
fpds+Qdu=+ом*),и«»»'и]л
= ж’(,> + •
= /= 1ММЯ) — V(xfa),y(a)) -
любой замкнут
i чаноО, то этот интеграл равен нцлю и no любому кусочно гла9н>>
‘«”1№УУ-
Пусть jpdl + Qdy = О для любой замкнутой ломаной L. Точ
Pdx + Q Дц =	dv
fPdz+Qdu=O

Пусть выполнено условие (6) и интеграл (7) равен кулю по лю!»'
лкнутой ломаной, число звеньев которой меньше, чем я. Пойен --
да, что криволинейный интеграл (7) равен нулю и по любой за
«им, что два звана, At А? и A*A2+i, пересекаются. Тогда лиПом
>ес маются в единственной точке В (рис. 51.8), либо эти два аэ«
хсекаются по целому отрезку. В этом случае точки А(, Аз, Ал
эше следить по рис. 51.6. В случаях а и л ломаная L будет обье -
Аз, В) Количество звеньев Li и £з меньше я По предполол и- •
□унции интеграл (7) по каждой из этик ломаных равен нулю. С а
гаются. Без ограничения общности можно считать, что точка 4«
нит на отрезке А| А2 Тогда L есть объединение замкнутых до—
Так мак интеграл (7) равен иулюпо любой замкнутой илм1.«л I
S’, то в силу теоремы 1 воле (F.Q) будет потенциальны •
Заметим, что условие односвязности области суш ста ино
заиедливости теоремы 2. Подтъ рдим это следующим пример -
Пример 2 Показать, что непрерывно дифференцируемое RI
₽(*,») =
Ql*.v) = .
Услояие (6) выполняется, так как
еа

Пусть П — ограниченная область в Я3, в функции ^(er.tr), ар(п
•> и во, где ЙО— границаобласти О. Тогда отображение F- $1 -а Я“
х — Ф(о,о)> у — Ф(о,о), х — xtaiji'), (<i,t)(il,	 ’!
I »>«(*.«’) tMtr.tr) х«(и,о)||
Ф,(и,о) tl>,(u,v) X,(u,i>) ||

ь^твкое гласное отображение, что соответствие между множеств*
Е называть простой поверхностью в Я3, в уравнения (1) бу*-1
Пусть область И ограничена простым гладким или кусочно гл- >
I тем называть краем простой поверхности Т. и обозначать через с 
Если уравнение кривой т имеет вид
уравнение вЕ задается следующими формулами*
: = ¥>(»(!), v(t)), к= <'(о(С,о(0). * = Ж(«ГО.»(О)>	11

Трафик функции а = J{x,y}, непрерывно ^хффер ицируамой 
/кнутом ограниченном множестве К с Я3, есть простая пове,- •
»ть, олредвлнесвя параметрическими уравнениями
X =4, у — V, z =	(tr, о) € Й.	< 1
Б этом случае матрице
является единичной, а поэте -
Например, график функции г = «’ + /А 1х,й ей, гдеИ- {(т,р)
+ »’ € П> есть простая поверхность Окружность, получаекшя 1к
Уравнения (1) простой i
с™ можнозаписать и в вектора!
 = r(u,t>), (u,t’) 6 (5,
r(u, ti) = ф(и,«) i + Ф(в,о) j+x(u,ti) k.
С механической точки зрения формулы (1) определяют глади .
I Е (простую поверхность в простр нстъе R3). Для лрактмчеС1««
. яко ясно, что сферу нельзя получить никакой гладкой деформеш».1
чзской области.
 и в рвссмотр ние класс почти простых поверхностей
руемое отображение. Будем множество У F(Vt) называть поте»
аательность ограниченных областей {(!„} таких, что fi„ с Пп+|
= и О„ и поверхности En = Fil’l.,) простые.
Введем сферические координаты (см 5 48, п. 5). Тогда сфер
"Ь образ прямоугольникаП = |(ф,тЬ) О С V^2r, —	$ С ’ |

s = асовфСОвдЬ,
ф = омпфеоеьЬ.
= ЧЪ, -j	| являю» '
образами отрезков = »
леди на сфере S. Отобрал

яреэки V =	О € <р €	переходят всеэеркып и южный полк*
Положим
П» = {(₽.^) i<V<2"

2. Криволинейные координаты на поверхности. Пусть пр -
»т поверхность Е задана векторным уравнением (5) Пр лтюлсак
э область П выпукла, [о.Ь] есть проекция области (1 на ось к. I 
отрезку о оц, a £ 0 (рис. 52 3). Образ этого отрезка г.'-
			
-эрдинатных кривых v = const.
В силу взаимной однозначности отображения (1) каждая точ - I
аерхности S однозначно определяется как п ресеч нне двух ко-»
налами (oo.tp).
Например, в сферических координатах часть сферы т2 + у1 +
а2, ограниченная двумя м рнпиявами и двумя параллелями, за________
На сфере координатные кривые у> — со
На прямом круговом ик«ичдре?координ
и окружности, получающиеся при п р»сеч-|»
 пиндра плоскостями, перпендикулярными образуют- й.
Вектор-функция rfuo.v) есть непрерывно дифференцируем I
- Л(ь,|,<о) Аналогично, вектор г.,(оо, 1д) касателен к координата»- i
. ивой v = т>о в точке -ЭДноЛо)- Заметим, что векторы га(ыр,щ
ид,ьк} не могут обратиться в нуль, так как в этом случае р-
.трины (2) будет меньше двух. Следовательно, для простой пене. 
<ети координатные кривые являются гладкими
Если сЛласть О не является выпуклой, а точна (ид, во) лежит вн”
аерхности (локально)
.еть £ есть простая поверхность, валянная уравнениями (1) I .
-тарным уравнением (5) Рассмотрим точку Л(и, v) кв поверхв»
£, где (к,о) — внутренняя точка области П Состроим коор -
кторы г„(о,о) и rv(u,v) будут касательными к соответствуют. 
Лемме I В любой точке Л(ь,v) простой поверхности Е ем»
или не меняется, вив ил~-
Раеемотрим вектор N = [r„,rj во всех точках поверхности
Если N = О, то все компоненты вектора N равны нулю, и Р“*
чти Пусть поверхность £ параметризована двумя слосоГеми, %
хных сложной функции и аддитивностью и кососимметричность*
кторного произвел пня, получаем
S.-
векторы N' в N коллинеарны Эти векторы
.»>) И ГЛШ.) .


tMU tow тораоамш), так и л

 ху векторов в ориентированной плоскости («,*>}} Будем гоаори
। I в ориентация простой поеерхнпста Е, эгмлваемап полем единична
• эмалей
*-х на поверхности Е.
в ххкости с ориентациями простых контуров, лежаших не поаерхн*
т. е 0н>,Со) € П Без ограниченип общности можно считать, • i
>	гируем ее вектором нормали пили, что то же самое, парой векто
>	гнуса е с центром в точке (0,0)’
и — ессеГ, ti = cainl, 0£4<2л.
Ее оОраз на поверхности есть простой замкнутый контур Г
г = г{с сое Г, calat), О $ I <5 2я
С точностью до о(с) при е -а О получаем, что
г = г(0, о) Ч-егЦО, О) cast 4- е г«(0,0) iJnl + о(е).
С точностью до о(е) криаал Г есть эллипс в касательной плоек*-
Ори итапып эллипса положительна (рис 52.lt)). Если смотреть •
петельную плоскость со стороны вектора нормали п, то движе» •
\ /___________________________
/	( Эллш» ( пээавсть
/м/
’ «тору re(0,0) (область, ограничиваемая эллипсом, остается слева)
I /стъ кусочно гладкая поверхность Е склеена из гладких просш >
Пиши квадратичная форма простое поверхности
нваЛютичной форма поверхности. числа ь. А и G наэыва!
|drP = (ifr,dr)=£(u,v)*i
JFlii,и) du du ► G'lu, и) <Ь.
dr =r„(rj,iJ)rfu
rUb.tddv.


Л>| = |ru dul = л/Eldul. «tel = Ir.dd = VGIdvl
Е) = //|[Л>.Л']1<«“'Л-’ =
веков моров Жороака опласти 1I.
S(E) = S(&} + S(L2).
I tacmu П, формула (6) для площади поверхности имеет следуюи
S(E) =	+ +
> емой ио нее цилиндром а? — от + у' =0 (см рис. 48.10).
вти сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет вы^
ли и равенствами
Если перейти и сферическим координатам,
завенствам
ть fl (рис 53.2) Интер суюшая нас простая поверхность е
лаа треугольной области П при отображении (9).
Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получи*
г = (осоефсовф, асовфвт^, ав!пф),
г, (—aaiatyeoe^, — a Bin tjisiny, ecoa0,
E = rJ = «s, F = (r»,r«)=0, G = rj, = т’сов’ф
Площадь части сферы ®* + р5 + г1 = х?, вырезаемой из нее
3. Площадь почти простой поверхности. Почти простая
зхноеть была определена в § 52. Она задается уравнением r= r(i*. tj
I х>) е П, где fl плосиая область. По «трепел нию найдется пос*
мтельность ограниченных областей {Пл} такая, что Ол с Пм»
= U Ял, О поверхности Ел, осредеяяеные уравнениями г = i(i*, t)
’ тасти Пл измеримы по Кордону. Тягла под плошадью S(E) по»
[ опой поверхности будем понимать Uro S(£„)
Так как числовая последователысостъ S(En) монотонно возрос
IЕ) = Ип^ЯЕ,,) = Ц 
fEG-F1dudo=
Юм Римана.
янндром, через £. Если перейти к нилимлрнч схим координат. -
» ткимя уравнениями
Inzell,

г = (г совф, тйп<р, г).
C = i
Применяя формулу (11), получаем
Если пов- рююстъ Е не является простой или почтя простой, «
 мет Сыть разрезана на конечное число простых к: WB, то ее п*

Пример
। осн репной по, •
Без ограничения общности считаем, что плотность р =
В лримере2, $ 53 выло вычислено что ^EG — F1 — I& сое д1г- Ма
 дусферы равна числу
М = Ц dS = jdp j s/ЕС —	I R’coetf’df, = 2яН2
Координата z, центра тяжести есть
УМ-
= fa'/
Для поверхности S, пвляюи^йся графиком непрерывно лиффер»»
• ЮО1ИЙ вид
Для функции F(xtti,z), непрерывной на кусочно гладкой лове.-
в рхностных интегралов по ил,
гладким кускам
Пример 2. Вычислитьпов^а
по кусочно гладкой поверхности
•1нь Di лежит в плоскости х = О, грань Z>4 лежит в плоско!
- О, грань Дз лежит в плоскости х = 0, а грань Д< — в плоско!
- ц + х = 1 Обозначим поеерхвостаые интегралы по соотеетст»

। гельно х к 1 получаем, что
I, f. [I b*»
2 3 JJ (I+ri1
Уравнение гра ни Dt можно записать в виде г =
Di- Применяя формулу (3), получаем
Склэлыная интегралы, находим значение интеграла (4}:
- (1 + Т/3)(Ь2- |) +2(1 - 1п2).
? поле, т е. отрез-nine в ктор-фунииил
тести, содержащей поеериюстъ Е.
юти Е возникает при за-
Пр отв вол о— _____,______.______,__________________„г„
эстой поверхности |NJ О.
>П вектор. Тогда на поверхности Е будет определена нелрерывл
нвиия F[z,ir, г) = (а,п), знак которой зависит от три нтвагии
Потоком	через ороемтмроваюцро пове .
fjiPdjidz + Qdidx + Rirdji) 
Восиользчтеешись формулой (1) для вычмсл кия интеграле (7)
(.n)dS = //(e.j^i)|[ru,r»ll*<dp =
yy‘(a,N)<Ju<fo = ^(B,ril,r.}du*>. II
Запишем формулу (9) в координатной форме
г	r/lP Q Я1
I Pdydz -t-Qdxdx+Rdzdj/ — 11 |a:u yu ZulAiafu
I/’[рмь.и.»(«.»). *(•*.»»	
п	' ' '
+ОШи. vk к(и. el. ztu. ч!)	+
Формула (10}, несмотря ма ее громоздкий вид, удобна для за —
гяамия При переходе от левой части к правой нужно произвел
I здующие замены символов:
•^dudo.
ток В левой части формулы (10) достаточно запомнить написа**
iiraeMoro-Rdrdy, так как остальные слагаемые получаются при .
। ши круговой перестановки символов.
Полагая в формуле (10) Р = Q = О, получаем
JjRdzdn JJrIx(u,v), v(u,v), <(u,v))	Л1А1.
логично
//РЛцАг = ЦР(т(и, в), »(и,®), *(ш.в))	dude.
^Qdzdx = J JQ(sfo,v), p(u,v), x(u,o))	dude
зерхность E задается как график непр ры но г»«фф р нцируеаш
якции г = /(х,р), (х,р) € 1). В этом случае
^ROxdn = JJ R(z,v,f(x.Mdx<iii

Ясно, что в формуле (12) выбрана такая ориентация noaepxi
Е, при которой нормаль о составляет острый угол с осью О г.
Заметим, что формула (12) может иметь смысл и в том сжуаа.
гь двойной интеграл в правой части формулы 12).
Пример 3. Вычислять поверхностней интеграл
, z О (внешняя с-»
-рый угол с осью Ох Воспояь-юнандись формулой (12), получи ।

^г2 dxdy = 011 -х1 - i5)dzdy =
= /к=/(1 ^)т* = Зт(| -1)
ffzdzasi
внешней стороне ионической поверхности з* = с*+у,,0<*С1.
• стал, что внешняя сторона определяется нормалями, составляют -
Уравнение поверхности Е можно-задать в виде
> рмуле нужно взять со знаком минус, так как поверхность £ о «
«тирована нормалями, составляющими с осью Ох тупой угол Си . i
-Id^Jr'dr = -
/Л^=- II
= ;/coe’¥>en3vd((j= sy



УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI

jitlxdy — O. Jj xdxfy-until! yyi’dxd^' fl
[{х1 ifydz+у2 4idx +
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
55. Скалярные и векторные поля
I. Производная скалярного и векторного поля. Будем р*
• Напомним, что каждой паре точек А и В пространства мола
Если выбрана декартова
ат, то каждая
тется заданием трех чисел — координат Тее

*орят, что в области Я задано скалярное поле. Если выбрана ко^ .
нвткая система, то положение точки М€ Я определяется яадак>>« I
эх ее координат, и функция /: Я -г f? будет функцией трех п* |
I иператур, плотностей и т д
I исчисления на геометрия ском языке.
Говорят, что скалярное пале f дифференцируемо в точке Мо, е • (
। Лдется такой вектор с, что
/(М)-/(ад>) = (*йЙ.«)+®(|Лйл1|) при	I
| ктор с будем называть производной скалярного поля / в точке ,
Яапись V/ читается как “наела »ф"
= («-X») +(11-S»)l+ (*-*>) к.
|%Й| = [(» - *оГ + (V - 11оУ + (к - «№

Bi, , Bi, ,	а/.	,
«I =	Са = g-pwo,ro), <S - ^₽о,и.ад,
Ba By	dr'
VftMA = с = 8/(Мд)8 1 j г
Ba Ви Bz
Будем в дальнейшем ойрашаться с V как с символическим век -
« ной функции ее производную. Тогда равенство (1) можно записей*.
/(WJ-/(«e) = (w3.W(*W)+oi|w3|) при М-»ЛГ0 |«|
Сои ротором V можно отрешаться, как с обычным вектором, е1 •
- якцяи, стоящие в записи справа от сп риторе V, а с функциям
-ффереявиальяый оператор bV раэеяством bV = (b,V) Тогда
1 пользуя этот оператор, можно формулу (4) переписать в след} <
/(л/)-/(л/о) = (Ш^.^)/(лад+о(|йьЙ|) при M-tMa «I
Lv«k М, дм который Л/оЛ} — It, t > О.
 • (ывать следующий предел:
и выполняется равенство

ш "(И) Р/СМ»
м f(M) Показать, что яри V/(MO) ф О вектор Vf(Mo) направлен
Будем говорить, что векторное поле а[ЛГ) дифференцируемо е гг. •
в(М}-а{М0) = Л(МоЙ) + о{|Л^Й|) при JW
-о(|Л£0л}|) при М-еМо,

оДМ) - аДМ») = (ЛМ? V) оДМ0) + о(|Мо^|)

а[ЛГ)-а|М0) = (Д)А?Г)а(лад + вЦМ0Л>|) при М-
। (7) и (9) следует, что
А(М^З) = (j&tfv)a(M0).
Так как определ нме линейного преобразования
них, что для них выполнено равенство (7). Тогда, вычитая слота»
тутошне равенства, получим, что
(А - Дэ) ЛГоб} = о(| 1Иол}|) при M-tMa. (la
>	сап и Мад^ = 11 Тогда равенство (10) принимает следующий в* а
>	пя равенство (11) не 1 и переходя к пределу при 4-е+О, подучат


1тывать производной векторного поля в точке Мо м овознач;
I эез л'(Мо)
Производная векторного поли по направлению I в точке Мо оп^
дается так же, как к прониноднля по направлению дал скалярн*-
^(М,) = (1Г)в(М0).	(I»
Востользуемся формулой (12) Так как
1V = (I,V) =

теделено дифференцируемое векторное поле а(М) Выберем дет*
а(М) = (Р(т.р.а). Q(x,p z). K(z.V.z)).
Дивергенцией векторного поля называется следующая скаляр.> 
i .» Ч
= V(f^) + V(^) = Ф Vv-r ₽W = Ф -Г vg.


2)	pedlvx» = Vfcpd) = V(^) + V(v4) =
— «^Vp + ¥’V^ = tf'gradv» + v>grar i
2)	divfpa) = (V.pa) = (V.^a) + (V.pA) = (VA.a)+p(V. A) .
- (a.Vp) + p(V,a) (a,V₽) + pdiva (a.gradp) + p<& i
4) div[a. Ь] = (V,a,b) = (V, А, Ь) + <V,a,b) =
5) rot(pa) = V X (pa) Vx(pa) + Vx((
= Vpxa + pV xj
(b.c)a-|
JhVll-b|VA)<-i(V,i) -((V)b
— (b V)a — (a V)b + adivb — bdi
b x rota = b x (V x A) = V(b,A) - (bV)A,
axnitb V(b,a)~ (aV)b.
- a x rotb = V(b,A) + V(a, b) - (b V) a - (a V) b.
Vfa,b) = a X rotb+b к role+faVlb+fbVOa.
V i. = a X rota+ (aV)a, где a* = (a,a)
8)	(c.b.rota) (e,bx rota) — (c.V(b.A) - (bV) a)
= (c V)(b, a) - (с, (Ь V) A) = (b, (с V) a) - (с, (b V) a)
9)	divrota = <V, V x a) = (V.V.a) = 0
10)	rot grad/ VxV/= (VxV)/=0
f{ Pdydz + Qdzdz + Rdzdii [flffg
flRfc&l no куску цилиндрическом лове.-
V,z)dzdydz ll<izdy I
- IfЩх.У.Ф(х, viydrdu- IfR(z,v, v(x.v})dx^ =
— jj Rfx,ii,i}fbc<fy+ ff
= ЦКаха1/1
 dxdydz = Ц Qdzdx
dzdydz = Ц Pdydi,
jffawa&di/d2 = Ц (a.nldS ^(8.0)45+^(a.o)dS.
JUdivatLrd^dz Ц (a,n)dS = Ц(a,n)dS + Ц (a,n)<lS
Ill div adz dy dz [I (a.nJdS Я (a,n)dS If („,n)dS •
la формуле (2) получаем
дифференцируемое поле п[Р). Пусть SZ(P) остпь ишр радиуса
е внешними нормалями Тогда
1 ')Г' «-о ntS,(4) ’
Действительно, применяя к $4(Р) формулу (2), I
Щ АилОхЛуЛг = Ц(e,n)dS
’п(5Л₽))(<В*п)»“ = I/ (a,n)dS
P*€S,(P).
1. Для того чтобы непрерывно Дифференцируемое ,
//
= U. Применим формулу Остроградсигго- »
//(a,n)<i$+ fflH.D}OS =
divndxdydi =


ИУКУ (7)

11рсгрелситго-Гаусса, получаем
yy(a,n)dS= yyy<livadr<^d2 =0.

по контору у ь
(Стокса). Циркуляция векторного поля а по кок
/'"-/Л'
rr)dudv-
>dudv =
-//(is
, v)a)ldudv =
< (a, dr) = /(а(гМ0,НО». г.,(чЮ,»ЮМ<)
«ЬтСа.г»


, есь была использована формула (см. § 65, пример 8)
П>. (с V) •) - (с, (Ь V) а) = (с, Ь. rot»)
аЪ = г„ с = гЫ1 а также формуле, выражающая поток через лв а
3 интеграл от см юани го произведения.
[f(*.a)dS = Jf(г.,г.,4 du«fe.
Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхнос -
и тянутой на кусочно гладкий «пнтур. •
2.	Формула Стокса дли кусочно гладкой поверхности. F
. зи запишем формулу Стокса для каждого куска. Если эти форму»,
мтся, так как разрезы входят в ориентированные границы кусн
» F интеграл го краю поверхности АЕ. Сумма потоков через ку» *
• зерхноств Е, следовательно, формула Стоксе справедлива и для
3.	Инвариантность rote в
'ростракствс. Пусть е клидаю
е. xai ж-ство всех к компланарных троек векторов разбито ка • *
Н рекцируемое поле в области G Возьмем точку PEG и произво»-
i >ьмем в этой плоскости окружность ОСЯ с центром в точке (
•хскости, лежит внутри области С. Ориентируем 8СЛ по othoi*
тем интегральную теорему с среди м Получ м
J (B,dr} =	(го1ж, a)dS = (rotefM*), и) ire’.

(rot a, n) и =
выбора любой праной системы координат. Таи как вектора им*»
>. эиавольное направление, то в rota не зависит от выбора npai-e

jPdz + Q<h, + Rdz = Jf{tma,n)dS,
]№ = jji

УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ XII
&t>)dz^dz = [I I
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

: г-«° . (х,-Л-.««-е£) = №.-,<ЬД
|Дг| = y/lkxl-k. +Д1» =₽U,a«).
Л^сть функция f(x) имеет е шаре С #?"


г„(г)-^<Г/(«°+вМ.
!*/(£) есть дифференциал к-го порядка функции f[x). вычислен/**
почке £ и являкяцийся однородной формой k-го порядка оглносшпелч
Если точка z° + Да е £((1?), то в силу симметрии шара и toim
— Дх € £л(д°) Так как шар есть выпуклое множество, то я' -
 Az е £Дя°) при любом I е [— 1,1]. Поэтому ма [—1,1] определ а
функция y(t) дифференцируема не отрезке [—1,1] Лействитель

'"алогично,
-w=EE^^-
= «W
.Д-* 5-* от;, ..4zj,
лорме Легреиже. Существует число 0€ (0,1) такое, что
ip(i)-v(O)+i^(O) +
r„W=CV'">(et).
Полагая I = 1, получаем
tfl) = у(0) + Vf(0) + - +	SP’"-,’(O) + r„(l).
мдставляв в эту формулу выражения (5) для пр^чводмык ip'* И
я 1 = О, получаем формуж (1). •
+ $2 d'/(xo.»o) + ’
— <Г7(« + 6[z - sol, У +e(y - К»
Следствие. Если выполнены условия теоремы 1, то для фуня
I и /(т) справедлива формула Тейлора с остаточным членам в фо: -
/Ю = Л»’)+Ё jj d*	+<xia®n
ч |Дт[ -» °. «* IM = ^М+- +Д4
Рассмотрим остаточный член в формуле (1).
1 к кек по условию все производные порядна т функции f{x) не о
мены в точке z°. то
«"/(к" ч-аДт) _ У/(«")	, .
в1й	h
. > функции ок	[х) бесконечно малые при ]Дл| -» О.
Так как |Лх;| < |Дх|. то |Дх|, &Zi„| |Ах|'" Следователем.
= ofiaxl”)
Пплставляя выражения (в) и (91 в формулу (7), лип и
•М = -
А- ' А

;<Г”/(а!“) + <К|ДхГ) О*
< Д*
рмулу (6).
f(x) = f(x“)+> Г.<ат)+«!|Дх|”) чж |AxJ
1-Ях"), I
/м > /(Л
im частная прошвааная


>гошвра. В частности, для любого Zj € (я, — 6, и, + б) должно бы
полнено неревенство
fa) =	.4) S /(«?.- .4) = ^4)-
тнкция одной переменной y>(Xi) имеет в точке я? минимум. Псе а
gw-" •
। «циррояа, mo
=	=0
Ismb, то в этой точке существуют частные сроилодяые
ач'
I мует р» нство (I). •
Если функция /(х) дифференцируема в тонне х° и 4f(za) - •
> тремума дифференцируемой функции в силу необходимых уса»
I й экстремума будет стационарной точкой Обратное утвержда»»
аерно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.
Пример 1 Покалать, что (0,0) является стационарной точна
т	д Так кек <tf(x,p) = prfx + xdy, »
<У (0,0) = О м (0,0) есть стационарная !
ч । у\ ка функции Дт,д) Но для любого I
‘	|__J $м(0,0) и
4“ лад=«” > /(0.Q)=о.
'J	/(в. -Л) = -Л3 < /(0,0) = о.
Поэтому (0,0) не есть точка экстрему *ч
^первого u empporo порядков в точке минимума t =0, mo Р?"(й) й 
Пусть С — 0 является точкой минимума функции ^(с). Тогда н>Ф
I гея число е > О такое, что дне всех |1| < е выполняется нерале*
'	" ' "................ - - - - 'УНКЦИИ и й по форм 
 0. ><J Применяя I
11 Ижора с остаточным членом в форме Пеано, получи м, восполт»
шашись тем, что в точка минимума ю'(0) = 0:
о €	= 1 р(0) t + ^(0) t + О{Р)] = 1 ^'(О) +«(!)
Переходя в этом н равенстве к пределу при ( -н О, получаем, яв
(0)JO.«
Теореме 2 (необходимое условие минимума). Пусть функи. 
I.	тчпные производные первого и второго порядка. Тогда
4f (х°) = 0,	7(х°) = X X	» °-
такой, что при всех ( € St(z°) выполнено неравенство /«
f (х®) ? О Пусть х € Я" и х ф , тогда |Дт|=р[х,х?) > 0. При »
м < таком, что |t| <	точка rc +1 Ах € Sj(2°), и поэтому ^>(Л -
• <кн (-Он имеет при I = О минимум. В силу формул (4) и
«аядиов, причем

I к как в сижу леммы 1 должно выполняться неравенство ' I
<Р/(х”) - , •
Ф(гс)=о, ^/(х’)ео.
Условия <(f(xD) =0 и <Р/(х°) 5:0 необходимы, но не лостаточиь
1 в, у)=Х* + |г* имеет единственную стационарную точку х р
I 1 атой точке d3/(0,0) = О. Легко увеситься, что функция /(т,р) i
»-еет экстремума в точке (0,0)
2. Достаточные усл
. При доказательстве.
рмах Напомним, что квадратичная форма
в: положительно опремл мной, если что 1
то напоется такое положительное число т, что

। D-ад (еж формулу (2)) тот° - • точка строгого минимума фун*
лх)-л/,)=Икх°)+оад1р) ia»i
Л*)	» I |Дх]а + о(|Дх|а) = J )Дх|а(1 + О(Дг))
ЕслисРДж”) есть
IB


“Hl
iff (О,О,О) = 2di' + 4«Udv + 8<fc<fc + 16dydz + 10dv

местность S^(a:0), что для всех ж G БПЗДд!0) I
3oJ«(s)>J«(4°)
Точка 1" t С называется точкой строгого условного лшниич«м
еть SrfA, что для всех г € Sj(i®)nG выполнено неравенс •<
Акал нчно определяются точки рслооного максимума. То**-|
2. Прямой метод отыскания точек условного экстремугта
кедположим, что ия системы уравнений (1) можно выразить кен^ 

- т переменных
и связей (1) сведется к задаче нахождения обычного (безусловно • (
ытремума функции F, зависящей or п — т переменных
Яной р, в именно^ = 1 — я. Подставив это выражение для у в фу
1, причем —


3. Метол множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию п Ч
мменных
Будем говорить, что (я0. А0) есть стационарная точка фунм
ft(AXO)=o,
“ (А*®) = Л («“)=<>,
“ А*°)=/»(«*)=«
Теорема 1 (Лагранжа) Пусть х®— точка условного экстре*»
I функции ЛИ пРи наличии свямИ (1). и кисть функции fdx).
rlem стпшдонг диод гпочкоД функции Лагранжа.
Так как m<n, а ранг матрицы Якоби в точке z” равен т, то Хг <
I один кз миноров ятой матрицы порядна т голичек от нуля.
Без ограничении общности можно считать, что


№
- g=w>)
<tti	tfXm 1
। < как выполнения условия (4) всегда можно добиться, перенумег-
-вая переменные и уравнения связей в нужном порядке.
Пусть есть точка условного минимума функция ЛИ- То 1
ИВПВ)ега.рестностьК'(«<’)=К;М.- .*□ *	-.4) • •
ЛИ —Л(*^) > о ПРИ исех z € E П К‘1иР).
гиду неатрерыяностм честных гцх»ггводных и яыполненяяусловкг' г
। жно применить теорему о неявных функциях (§ 28). В силу э1 
*цремы найдется такая окрестность
К(а») =	х Ks(aS,+.....а») с
х„ как неявные функции переменных Гти,
гэестноети	функций ifiifon+t.
п- Это оэнач!-

,v4uh, ,«„» е к,(^.
Другими словами, чаюжество EriK(x°) можно задать след?!
»мобразом
Ks(<
. .-Л).
i = l,n>} К
Так как К(т°) С К‘(л°), то из нераэенства (5) следует, что фу 
<ке т° Если взять представление множества ЕПК(т°) в вице

= /otoCZm+l,-' .т„), , IPnUwl, S„), sm4.| т„) . >1
наделена вокрестности Ka(x2vn,,д£) и принимает взтейокрвг»
ти наименьшее значение е точке (я^пы, ...Я?) Следователь™ а
। 1у н обходимых условий вкстремума должно выполняться а»
рмы первого яиффер нииала и рае истцом (0), получаем, что
В paBeHcTBe(10)dzJM.|,...,dzn есть дифф ренпвалы независим >
I теменных, в dz\, ,	— дифференциалы функций -..,фпс> •
ix и зависимых дифференциалах
лк Дифференцируя тождества (7) в точке (л^ы, -г®К) и поль-
-* инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
di;
Умножая равенства (11) на множители Ат и складывая полученхх
»-Ё(Й
। • £(я. А) есть фун
лех в равенстве (12) обратились в нуль, т
I стеме уравнений (13) единственным оброюм определяет
Л°,., так как ее определитель (4) отличен от нуля
При выполнении условий (13) уре и ние (12) примет вид
। гут принимать любые значении, то из (14) следует, что

= *(.«) =0, i = .
(сии” 'Яр—тм, (т°,А°) есть стационарная точна функции Лаграе^ .
Второй дифф
ел функции Лагранжа, вычисленный при ф' 
Таким образом,
югда вместо c^7£(zQ,AD) будем писать xPLlx”, А°).
Обозначим через Ет следуют е линейное многообразие в ₽г‘
l.ml
I земства (II) означают, что Лс = (Лх,.den) € Er*
Теореме 2. Пусть есть точка условного мниыуыа^нш.
.< непрерывные частные производные второго порядка в окрвсть-

хи Лагранжа A?, ...AS, такие, что (г°, А°) будет стационарной т ч

уу«ИЛ1Ь у|Л
уу »/.(»)
тгруклцаоиальноала/пеицым) равен т. и пусть
Тогда если <г,Х(х\Л°) есть положительно определенная кеас,-
сая окрестность к(хи) = k.iit
условного онстрежима санкции /mi) при наличии свлоеа (11
Пусть
о слоимый эхстремуч в точке (l.
Так как эта функ<»
.х) становится функцией п — m переменных	, Тп), оп^
генной формулой (9) и имеющей и пр. рывыые частные проиэн .
е второго порядка
гранжа, т. е.
^(хо,Л°) = О, * = 1л
^(АА°)=Л(^)=о, 4=1лГ.
. формуя (22) следует, что / € Е а что
4ЧАЛ") -Г“^3л.-о.

=	при r€En*(?).
сижу инвариантности формы первого дифференциажа из фор, -
....х“) = d.b(a« А°) = 0.	(И
Находя второй диффереашивл от обеих честей равен.;ва (24
гольсуя равенства (22), получаем
..•«“ЁЁтёЙ?-**»*
ММ. (Л
Пусть <fL£(T°, Ас) > О при Ах С dr / О Так как множат-*
Е(~)К(жг) можно задать в форме (В), то, выбирая dr.Ali,. , *-
сот от	Ат„ Дифференцируя тождества (7) в точке S
Из формулы (26) тогда следует, что
«ЙР&йм, ,а?)>0 при da^, +.. +dtj>0. fW
 (25) и (27) получа.м, что (»S,+i»—•aS) есть точка строгого ми-«
Аналогично рассматривается случай, когда dJJ£.(i',,AD) < О, d*
Er, dz # О Если же <£ .E-lsr”, А°) при Ах с Ет есть неопреле»•
t квадратичная форме, то не выполняется условие d2 Дт°,Лс)
г. и an е Ет< являющееся, в силу теоремы 2, необходимым услоа»*»,
«нимуме Поэтому х° не есть точка условного минимума фуккт*
ж) ори связях (1). Аналогично доказывается, что z" неэыветбь
Пример 1. Нейти экстремумы функции х — 2р + 2г — ti и кафе
Строим функцию Лагренже
BL
8L
ВХ
“ = -2+2Д1( = 0. g

йглача’
1 = 0, откупа Л1 = Ха = -
У функции Лагранжа есть пне стационарные точки.
Так как <Р£(М,) = 3(Лг3 + ф3 +<k3) > 0, a <P£(MS) = -3(dt” -
.ювного минимума, в 1,|) —
4 0, при наличии ограничения — т3 и
Построим функцию Чегранжа:
ввнений
= оде“> + Л(3д’ +1) = О,


шожвя первое уравнение не z, а второе не р к вычитан, поаучв
Если Л =0, то мз первых двух уравнений (28) получаем z =ц- •
(29) следует, что г _ р (второй сомножител, всегда лотожителв
-’ + хт> + ps) + 1 > 0). Подставляя z — и в уравнение связи, копун»
Первое из уравнений (28) дает при ® = J
Итак, (1.1,
и Лагранжа.
есть единственная стационарная точка фу.
<Р(е“*’) = u^zdy + pdx)’e“» + 2о<Ьч!уе“‘'.
= V 1 получается следующее выражение:
<Pt(l, 1, Ао) = ое" [в(<Ь + dp)1 + 2dxdy -	+ dy2)].	(
-фферензируя уравнение связи при z = р = 1, получаем, что d;. -


•ч>ма распространенными. Теория экстремальных задач интенс»
............. .4...	\ I
ГЦг + 1 - I S < tj(z) + <1 -
РЯДЫ ФУРЬЕ
учением реакции Lf некоторого сложного объекта на внешнее Е •
озд йствия [. Допустим, что известна реакция .бъекта на не—
ьзможкость представить сложное воздействие / в виде линей!—'
еаииию системы -можно прелста итъ в виде линейной вомбинаг -
 инкой функции в виде конечной или бесконечной линейной ком*
ыкикяет проблема разложения сложного колебания в сумму пр-
- гьность частот. В строгой математической постаноене подобз -
S 81. Ортогональные системы функций.
Ряды Фурье по ортогональным системам
1. Ортогональные системы функции. Говорят, что систн
-резке [a, ft], если
। Пи, кроме того.
для пей.
сметам, функций {(₽„} называя™


 гогояальна на отрезке .—1,1 (§ 36, прим р 1 и упр 3).
Восгальзуемся тем, что х =
/Р’пМ'Ь
fW 2^втЫ, ,€M-
sc lc, bl, rno справедливы следующие выражения для коэрлииш»

,*(«)lA.(«)<fc = y(j2e4vt(T))n!n(x)d» =
52“* /v»W 1Ра(х)<Ь = n„y4i“ (z)dz. •
1 У> °- Й0ЭТ0М5
Числа а„ называются Кбэффици нлмиш <Рдоье, в ряд (В)
/М = у + (скх»^ 


.it-ммя 1 (Римана; Нистъ аткчия fix) абсолютно интвгрис..
Ряд OnV„U), где о,, — i
• коэффициенты фурь
/М ~
истноети, для тригонометрической системы (3) формула (151 и
жней и нижней сумм Дарру булет меньше с/2, т. е.
I J(z) йо<рг<£т| = |	/ Дх)в1пытЛх1 =
<У" У UW-тД |BiEwi|dz +52^|соаыг<-совыга-|| «
1!С0 = 2п вир |/(х)|.
При фиксированном о найдется <ьо >0 такое, что при Ц >
-полнено неравенство cqJij < ef2. Таким образом, при |и>| ><Ро -
|y7(x)BiDu>zdxj <е,
Inn y/(s)Rnu>zds =1
б) Пусть теперь функция /(х) абсолютно интегрируема на (о,б)
I «пеграла J)/(x)|dz есть б. Напомним, что рассматриваются тол; -
[о, б'| функция J[x} интегрируема по Риману, а несобственный •
Так как для интегрируемых го Риману функций лемме дока 
I в л. а), то найдется > 0 такое, что при 1-'| > выполнено —
 аенстао
\f Л(г)япит<ь| < |
 атому при |—11 >адр имеем
* 7(т)коь2т&| = |у*/(т)е1пых4т + y*/(x)sinwTdz|
< |p(e)iuowx«fa| + JltMiix < |
в, Jf(x)euiioxdx —а О при i
У/(т) cxDxdx — J. •
Следствие. Если /(х) — абсолютно интегрируемая на оту. •
. М] функция, то ее коэффициенты Фурье. определенные фор—„
I чи (13), етреллятся к нулю при п-ьоо.
§ 63. Формула для частичных сумм
тригонометрического ряда Фурье
1. Периодические функции. Периодическая функция 6i i 
। ньший из ее п рантов. Так, функции Binт и соех имеют период 3»
Если функция /(ас) имеет период 2), то будем и алы мт ь —
ннцик не промежутке [—!,() параллельно пси х кв 2п1, где •
Ы, - Если существуют односторонние пределы /(—1+0) и /(•
| то, вси^у периодичности выполняются равенства
Если /1-1 + 0) / /« - 0), то
Запишем для 2т гериоличсской абсолютно интегрируемой фу
Найдем формулу для 5„(х) (формулу Дирихле). При и / 2*л
Достаточно заметить, что
1 ’ «(ь) sin = sin + 2coetisin ^ +... + 2 сое no sin !J =
Функция £>n(v), определяемая формулой (2), называется яд
Лемма 2. Ядро Дирихле —Доехонвто дифференцируемая, таги
iyo„(»)du = l
» Четность, 2ir <i риодичность и бесконечная дифф ренинру-мо rd
। эа Дирихле следуют из формулы (2), так как теми же свойстве - |
jD„(u)du = i
= l+-^2ycijekedo= •
Выведем теперь формулу Дирихле для частичных сумм р- i
я (14) из § 61 для коэффициентов Фурье и используя формулу л I
I а ядра Дирихле, получаем
i«= 5//(*)«
-^(соект 1 J/(t)coektdi+einkx 1 J f(f)seakidt)
: j /(t) Q + ^coefczcoeM+einfczBin kt) di


«но еще преоораэовлть к виду
11) + / (* —11Н •I,J) «U
за Фурье в следующем акре
- :олютно интегрируема на отрезке [б, я]. В силу леммы Римана

£~гда иа формулы (1) получаем, что
»’25ок’{го,“н 7“
lim Sn(2o) зависит только от существования и величины предел!
.. е. от значений функции J на интервале (х0 — б.2д + 6).
W2 **=
2. Условие Гёльлера. Будем говорить, чтофункцил Дк) удое*
- чечные пределы Дхо±О) и такие числа 6 > О. а € (0.1J и «л '
|/(го + «) - f(zo -г 0)1 ? «а«“, I/(то - и) - /^с„ - О)) < еры”. | .
— (4), может иметь в точке х0 разрыв первого рола, если /(з?о + 0 -
йЛ»о-0).
Можно расширить определенно оди сторонних гфога ашкаа
/(*e+»)-/(*e+O|
f-(zo) = Jim
Лемма 1- Если е точна хц фцннция fix} имеет конечные ы
оронние проихофные Д,(ар) “ ЛК^о). то Функция f(x) уЛивлвп

bra Onlxii) 
-я яс I—»,рт| функция ияеет в точке Хо обо одноеторон
на — г,г| осм-аши f(z) имеет е точке ха производную, то ее
Так как функция /(л) нечетка, то
а* = — J f(x)cc6kxdz = 0;
=iy/(®)Knkxdz = ?.y smkz<fa=-^cnnSz|o = ^(l-costal
точках г = tff, к € Z, функция fix) не осрезел не. а сумма р«»
Полагая х = подучаем равенство
Пример 2. На отрезке (—г,а] найти тригонометрический
тсслеловать сходимость полученного ряда.
Продолжая функаию/(ж) периодически на всю иещесгненную г
жл
/leoeta- n)x + coeta + n)i|dz =
E(.
Найдем коэффнцм иты Фурье. Так как функция fix) четная,
коэффиниев
Найдем теперь ап при я / О. Имеем
, = — 2 совят Inain dx =
+ О„,И] Ц
гйстэа (3), | 63 ядре Дирихле получаем, что era
 гьно. вл = — Таким образом.


Пример 4. На отрезке (0,4] найти трмгонсметряческий
лиодически лродолживее на (—00,+ею), и исследовать пглученн •*

Б. Кусочно нспрераляные и кусочно гладкие функции.
••эят, что функция Дт) кусочно непрерывна не [о, t], если сушест*»
такое разбиение отрезка )а,Ь] точками zj, г = 1,п, гае а — ж, •
"-0Х ЛгГ±0м’=	ОДКОС1О₽т<н“е п^еяелы /<“+
эными^ функция примера 3, график которой изпбрамен из рис. А •
Говорят, что /(г) — кусочка гладкая функция на отрезке [о,Ь]
. валов разбиения (Ti-r,T;), i — 1,п, функция f(z) имеет непрер.*»
'С Т О), /'(В — 0), /'(»< ± О), * — l,n —1. Ясно, что производная • 
ломе конечного числа точек, есть кусочно непрерытмш функц—
ерывности функции к значению функции в этой точке, а в кая; и—
гаке разрыве — к полусумме предельных значений функции в а —
Для непрерывной и кусочно гладкой функции справедливы ф
ла Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по частям.
§ ВБ. Почленно
и интегрирование
1. Почленное дифференцн
Теореме 1 Если ну
ноши формального почленного
12я-я риодическал и >
ил ряда Фурье фу
Пусть а„ и Ь,, — коэффициенты Фурье функции Дт), a aj
— коэффициенты Фурье гром - адной/*(х) Воспользовавшись»
ерывяостьюи п рмоличнпсгыо функции и интегрируя по чвст»«
J f'Mdz = 1 (Я») - Л-т)) = о.
ж<[п = J f’tziaienxda yn/(»)einn«dr=nw6n.
= У .t^nCoenx — па^кппх —
ряда Фурье Фу
Фурье абсолютно интегрируемся на
и ^нкдия, та ряд Фурье функции f'(x) получается к-крат
пленным дифферащщюванием ря<Ь1 Фирье фуычмР /(»)
’•лдаь
Рассмотрим функцию
ФМ^/тл-^.


3 66. Равномерная сходимость ряда Фурье
1- Неравенство Касселя- Введем класс функций £f(e,6), Ко
- рокий, чем класс кусочно непрерывных функций. Функция /
инадлежит атому классу, если существует такое разбиение отре-
я Jfz) непрерывна, а :
от функция |Д;
Лемма 1. Если функции Дх) иф(х) принадлежат классу L^(a к
 проиеоедекие этих функции — абсолютно интегрируемая на (а •
	ствуют такие разбиения 7) и 7s отрезка [о, Л), что функция
ерывна на каждом из интервалов разбиения Ту, а интегралы >
кьединяя точки разбиений Ту и 7s. получаем разбиение 7, «
-'рируемость проннвед кин ятих функций следует из неревеис а
2|/(.JVW|C|/(4|1+Kz)|*
Пусть {pn(*)}< n € W, — сртогональиея система непрерывных
знаке [с, fcj функций (см § 61), нричем ipn(s:} О не (о,6]
Если функция /(ж) е (о,Ь), то н силу леммы 1, § 61 для а
	гут быть вычислены коэффициенты Фурье _______
°	"=li^ii5 /™	= \| /
Теореме 1. Пусть f£ a {^„(ж)},n е N,— ортогонаж
> в система ивпреряллкилх на стреме |о,Ь] функций Тогда для ко^
/Гм<ь
Босоользовавшись ортогональностью системы функций {ра(а
«/[№>£> р»(ж)] dr =
f Р(х}дх — 2 Vo» I/{х}<рл(х)дх + V al
]/*&)&:-2^4 M’ + £ oj 1Ы1!
i тлится, то по признаку в-й ртитрасса фу

 52(Оя«хеп®+Ьлйппг1
-адитея ранном рно ио
Ряд Фурье в комплексной форме
1. Комплексноэкачные функции Теория рядов Фурье без •
«деетвенной переменной, т е. функции виде f(x) = /1 (т) 4-«Л(я)
।«функции /i(z) и /т(х) принимают нишестненныезначения.

1	сходится, то будем голг
гь, что функция f(x) абсолютно интегрируема на интервале (а,Ь)

Если Л (г) и /?(х) принадлежат классу £f (о,Ь) (см. § 66), то -
I и говорить, что функция /(х) — fi(x) 4. ifzlx) принадлежит к*

Булем говорить, что функции /(г) и ф(т) = у>| (т)	кло
'(o.fc) ортогональны, если
^/W*>W«fc = O» еда ₽(«)=¥>1(2)-'Фа(2)-
?	1 '*2
2. Ряд Фурье в комплексной форме. Если функция f(z
fi (i) + «Л (т) ейсолютно интегрируема на интервале (—я,тг), то м
: могут Сыть вычислены все коэффициенты Фурье
' JJi{x)eoenzdx + y*fiiafycrxnzdz ~ ~ f f(x)coenzdzt
J f{z}^mnzdz
следовательно, может выть напитан тригонометрический

“П*х=-----гГ—
жшем частичную сумму ряда (1) в следующем виде:
; jj f(z)(caikz - ieinkz)dz = — J/(i)e-“*de.

.рмулу (2) для частичной суммы Sn(x) можно теперь ааписат
эдующем виде.
Ряд Y.

(6), будем каэыввть рядам Фурье функции Дх) в хол.?.|  смШ е я
Е
£ «
Теорема (Фейерв). Восле&катеммкмь {о„(я)} сумм Фео
d»w=X
риодичеекая фуикцин ра н »v> рил
St) - fin - 2*’)l = 1/М - /ЙМ < е.
11Л*+») - /Ml F„(t)	<fi
/!/(»+*)-/«I	7-
Ио н рвв> нств (i1 -(IO i сяел\ет. что для любого ж С К и для в
/1+1) - Л(ж)| ЕХО Л « i /(1/1
«И+ /И

Е силу теоремы Фейера для любого е > 0 найдется тригономет -
екий многочлен Тт(х) такой, что
Заметим, что oinftx к caekx раскладываются в степенные ря.,-
-едншкеся для всех вещественных х (радиус сходимости яткх с»
vCHbtx рядов равен Ч-оо). Так как Тп1(х) есть конечная линей«е<
стеленной ряд, сходящийся для всех вещественных х.
Известно, что на любом отрезке [а,$, лежащем внутри интерн
। Фогое > О существует о такое, что
re) - R, W| C |/(x) - т„(х)|+- р»(®)| с

Пусть теперь функлия /(х) непрерывна на произвольном <xrpw
(а, 6] Положим
* вить на [0, я] многочленом Qn{t), т. е
• тучеем из неравенстве (3), что
§ 70. Сходимость ряда Фурье
в смысле среднего квадратичного
1. Унитарное пространство. При дальнейшем изложении у,-
Оудет пользоваться геометрическим языком. Из курса линейь
 нтов не компа- ясные числе, причем эти оперении удоел тасря
। гдующим алсиомам линейного пространства Е;
4)	яде любого те Е существует элемент —хеЕ теней, что в ~
5} для любого те Е м для любых € С справедливо ревен
.A(pz)=(V)z;
8)1 т = т для любого! е£
1^>еческими буквами обозначались комплексные числа, латине.
— элементы линейного пространства Е
Унитарным называется комплексное линейное пространство

4)	(г, т) 0 для любого т € Е, причем (т, т) = О тогда и толы» ।
I да, когда л=О.
Н. отрвтлггшылю число ||х|| = yf(x,x} называется нлрлиЛ злемж
• х. Из аксиом 1-4 унитарного пространства выводятся следую! -
б) (х.Лр) = А(г,к)
в) Для любых х, у € Ё справедливо неравенство Коши-Буняковся-
1(«.Й1СЫ IMI-
. я, получаем
О « (®,z) + A(y,zJ + A(z,p) + АА(р,И
пк llvll =0, тор = 0 и н ран яство Коши-Бунякоеского стянови’-т >
рлвилльным. Пусть ||у|| О. Положим в (2) А = —ттгУ' Получше
луде срезу следует неравенство Коши-Буняковского.
П* *+*11с IMI+IMI-
Неравенство для нормы следует из неравенства Коши-Буиян -
Wls + 2|MIM + lrf = (IMI + M)’ <
д) Ваяожительнал однородность нормь Ае]| = |А| - ||z||.
ИМ’ = (Ад, Ад} = АА(»,г) - IAIW •
Иэ курса линейной алгебры известно унитарное пространство 17п
। гментами которого являются угорядгм иные наборы п компле*
I жторов) и умножение их не комплексные числа. Скалярное пн*
«ное число, определенное формулой
аМ в § 66, введем комплексное пространство L^{a,b), элементе •
горл го являются компл ксноэначные функции, для каждой нэком
Лемма 1. Множество является линейным простран»м
• ясные числа
+ V? = (/ +	+ И = // + /?'+/*’ + ¥'? S
риакака сравн ння для несобственных интегралов следует, что 

г гх аксиом линейного пространства тривиальна. •
^Договоримся не различать две функции f н tp из пространс--.
Лемма 2 Линейное кроапракапоо L^(a,b) Cjfdem унитарным, -
.- определить скалярное проиюедение функций	при -
If.vi = /Л®) <р(«) <Ь-
Так как |/?| с д |/18 + д 1Иа» то по признаку сравнения несоб,-
«ный интеграл (3) сходится. Серные три аксиомы скалярного п.-
(Д Z) = /|/1’<Ь = о Таи как fe L§(a.b), то найдется та.
/!/(.)!’<ь=о.

конечном числе точек. Согласно договоренности такая фуню* * |
I гждестклястся с функцией, тождественно равной кулю на [о в
2. Нормированные пространства. В н рмир оанных про,
• чствах опредея-ны длины векторов, но нет скалярного прпиа»-
- 1кя Более точно, компл некое или вещественное линей* *
г поставлено в соответствие неотрт<1ат"тьное число ||х|| (веде»
1} ||А?|| = |А| - |т]| для любого т € Е и любого X € С
Ъ II® + pH < ||х|| + ||р|| ДЛЯ любых зг,р 6 Е;
2) ||т]| = О в том и только том случае, когда т — 0.
> гворяет всем аксиомам нормы, и псото.му каждое унитар
Множество непрерывных функций на отрезке [в,ft] станет ня»
рованным пространством С a,b, если определить норму фунт 
' I'M •
4 «*.Й = pta» ,
ДУЮЩИМ порезом:
7 = max. /к) 

фундаментальна в про.
-/.11, = /|Л.оМ-Л.МР<ь= f |/
= * z> + > v>.
Ofte).	= <г,Й.
а сой, что |!х —1|| < е/2. Так как С плотно в В, то найдется х f •
• сой, что ||у—х]| <е/2.Тогда
lk-*IISI|T-i>ll + llB-4l<f + |=«
Лемма 4. Подпространство фрикций. непрерывных на отре
ерывных ня [o,t>J функций, а через С — пол пространство неп»-
> гчения. Договоримся, что будем доопределять нулем функции -
«> = о < zi < .. <х„ = Ь1 что на каждом из интервалов (Xf-ite
в- нкцни f(r) непрерывна, в интеграл J\j\3dx сходится как несоб.
Ё / |/р«ь<,
(xt -i.n+SInfxj -f.xt-Lf) - и

м С плотно н В Пусть •Р Е В и хо =
-хвого рода. Построим непрерывную фун1
уль во всех точках £| (рис. 70.2).
>ф(х), обращаюшу и
1<М*)1< М = max. |у>(г)|.
। -ммом деле, так как функция линейна на отрезках [?* — е.
«)|СМ,
. шах |^(я)| = |ф(£<+в)) =	+е))«М
> е отрезков [zj — с. xj и [zc, ZJ +е] функция совпадает с к 
i и Vfz), подучаем
II¥>(z) - Ч>(®)||’ =52 / l*lI> ~ <Иг)1а « вЛ/гм
• сюда следует, что С плотно в В. Итак, С плотно в В, а В плоти- -
1 ’ (о,Ь) В силу леммы 3 С плотно в £[ (а,1 •
	зное пространство Е. солстякащес плотное в Е подпространстве i
Теорема 1. Для любого унитарного пространства существ/*-*
Доказательство содержится, например, в [2]
Пополнение пространства Lf(a, 6) казыаается пространс-п
	эстранству функций, интегрируемых с квадратом по Чебегу [wj
Б. Ряды Ф»урье по ортогональным системам. Пусть Н
• }i-l ..€ В Будем называть линейно нем и ил Д, если при люво
। жно представить в виде суммы сходят гося ряда
4йо53гпе"=Х/
। патрмрованн Л, если fe„ с,) = о. ГЯВ $и — символ Кронекеп*
е. б,< — О вок i / з и би = I Если, кроме того, |е(} есть ваз»
в* называются коэффициентами Фурье элемента х поортогонъ - -
	oft? : ia:i>r.
х по ортонормироеанной системе 4е, I, т. е

= (».«J -^<й -	+ ^о.а< =
IIs-2J*< Г+
ХИГ<11<.
»Л, т. е. для любого г > и найдется линейная hoi
Г-Е°‘М
2} алл любого а* е Н справедливо равокстоо иарсеваля
Следствие. Для коэффициентов Фурье элемента z по ортоь
•'"pooQHHoB системе {е,1 с
• ла элементов {«т 1 называется полной в унитарном (нормированн!-.
рамстве а. если люЛяй элемент ж € Ь' может с пиПпй степеней
нести Сыть приближен по норме конечн я линеяноя комбине
>lzi| g ||х]| . Переходя к пределу
Из 112; следует, что
1. Полнота системы элементов 1еЛ в унитарном прострс"
Из равенства <111 следует, что минимум оп достигается при а





3) для люоого ат € Н выполнено равенство
Докажем, что 1)^а2). Пусть Ортон ротированная система {ед} пЛ"
вЯ ТогдадлянюйогооОиеЯдется линейная компннвсил
В силу минимального свойства коэффициентов Фурье

С «1Ма - Ё|»сР S ||х)|2 -	< е’-
в. справедливо равенство (16)
Утверждение 3J >1) оч jtjhc
•хтранстве Н, а система {ej лоска в £. Тогда система влелны

— tz]l < Так как система {ej} полна в L, то найдется линей
||г - SZ«aec|| < II» - И +1|>- 52°'е‘|| < |'
Поэтому {ej - полная система в пространстве Н •
Пространство L?(— ir.it- сеть пополнение £с —ir.it. Поэте -



ПустГ'	„	„
»=«- Е’л=» (» -Е’л)
В сиду ортогональности системы {е;} и непрерывности скаляр»
(1вс<) = lira	о») =(»,«,-)—«>=О,	*
Ортсгпналыил система {ej называется эолгкнутой в унитари 
эстранстэе Н, если для любого х G II иэ (х.е,) = О,
Теореме 6. Для того чтобы рртонормированяая система бил
сноб в унитарном пространстве, необходимо, а а случае паль
Необходимость Пусть {е*} — полная системе в уиитарм
Са) = 0, i £ W, то, применяя pi
, получаем
1М1’ = Ё|(«.<ч)1’=О,
locr вточ ность Пусть И — полное пространство. Тогда я»
элемент х £ Н можно представить в виле (17) Так как гиг»
ким образом, любой элемент х есть сумме своего ряда Фурье
гон м>нмжанной система {е J Сяадаявтельнп, система (с;) поа
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV

fЫ11» -	= №lh -1
icthb Ia(O,wl
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
метру) Пусть функция f(x,y) н лрфкжо в гуитоутлькике R
кметра у на отрезка [c,«fl, гфича*
=	»*М U
г (3) к функции	в прямоугольнике Kt = Цг,ч)- а < т f <
? Ч С14. подучаем равенство
iy теоремы 1 функция
.(T.’Jdr
ает непрерывкой функцией г? на отрезке [c,d]
Левая часть равенства (5) может быть записана как Jyfa) Л]. Tv
.< функция р-Г’;) непрерывка на отрезке [c,d], то с
V<4)d8= b₽tw) - /
Так как левая часть равенства (5) есть функция, непрерывно я-ч-
рекцируемая на отрезке [c,d]. то и функция J/fcpJdr- стояща* .
твой части равенства (5), непрерывно дифференцируема наот^е
[c,d] Поэтому
A//(3!,V)dr=v(») = /^.0ar. •

•MlMMI = J /(х,в)<ь
раметпу, Иредпалоли.м, что
2) аукнция /(z, L7 определена на множестве пар (о,ц>, еде г £ и Ь!
. f №.е)<ь= f У(».«')<1х+0’(в)ЛЭ(Лк)-<<'(у)Ла(|>),й. «»«=(•
чыД. т. е. (см. § За) на множестве
опреовлвиа аиннцш




/Дт. ►) сходится
Г(р)- lv
= t. получ ем, что fly]
р«д
//(r,0<fc
-/ят.»)<Ь| = |//(г,в)<ь|
1/Яг.»)Л

сходится



0(C) < Л
f Г(т,	СГОДИТСЯ pOBHOWOpH
f Г(х.»)9(х.к)<ь|«<70(£)-н fc\^!i
c*®-cl
<b = CM) +	)€2C0£ <e .
, +oo) Воспользовавшись формулой кнтаг
/ /(*.»}9(*,»)<Ь= FK.V)9(E,») - I FM
/Ж»)«Ь <|
/Да:, j/)dr сходится приус



С |/Л«.»М»| + |/


t рно no параметру у на отрвзле |c,d].
Tocda jДх,у)Лх есть непрерывная функция параметра у на [с, d]
Возьмем любое с > 0. Так как fj(xtl/)dx сходится равномерно •


- fHz.Vb№\
<»
в»>авенств (15) к (16)
J /(AV)Лх-J/(Al»)«b| < |//(А«)Лх - jf(x,in)dr| -
+1 f Лх.»)<Ь[ +1 f /(a.l'o)*b| < 14
.ouva.i
/«fe ff(x.v)dx = [dzJ/(x.vidu

Поаявьем, что интеграл, стоящий в левой части равенства (20)
, к ( € Ь — 0 стремится и интегралу в левой чести равенстве (18)
| йстаитсльно, в силу н равенства (19)
|/dy ff(x,V)dz - fd’j jf(z,v)dx\
f d-J jf(z.v№\ « /(I//(*.*) <fc|)41/ <	-
лму, пряная часть этого равенства имеет предел при 8
ь реходя в равенстве (20) к пределу, подучаем формулу ( *;

 <ке [e,JV], где 6 > 0. Это следует из признаке В й'рхдтрасса раве»
> рной сходимости, так как

ь вменяя теорему 5 в интегрируя равенство (22), получаем
+2° г	+7"«"*’-e_w*
arctgW — axctg8 = J dzje XBwnxdy — I ----—-----el
Так как | ein г] T" x при x >0, то
 реходя к пределу при N -> +оо в равенстве (23), получаем
j - nrrtg8 = J <

аюльчпвавшись равенством (17) к переходя к nj- аелу при 6 ->
1учаем выражение 21 для интеграла Дирих - А

Тогда если интеграл



-ff(x,c)dz.
тогда и jHz,u}da
[c. cf Лифференцируя псе части равенства (25) пор,получаем ф*
СЯ К нулю при ;
1 +оо, причем
£(1+л’)“	«u(l+»’)-tl + 5’<0
Лнфф [Каширу я/, (у) по параметру, получаем
<w.(y)
Дяффе;
на 16,+оо). Так как е’
Д(у) есть ограниченная
•аичеодную Т3(у), заметим, что при у Д > О

именяя теорему 6, получаем

|(0. р€[«,+оо).
Из формуя (26) и (27) следует, что при р е [6, +оо)
ад-г,(»:
Л (») = <+« *+С»е’ при
I а С] и Сз — произвольные постоянные.
Покажем, что Сз = О. Тая как
“О®"
3) оЛ1л ш oaui повторных интегралов
ШиЫ№, I ^1\/^.и)\^



=	v) <ь € ]<bj/(*. 04>=Л
/<1г//(1,11)Ф-

fdzj	= 1^1 /(ar.rfdr
получим вместо неравенстве (36)
= f /<-• Лц = tds, j
йинтеграл / dr / pt » t,+r сходится всилу равенства (l:
Пример 10 Вычислить интегралы Френеля
Выполняя замену переменной у — z , получаем
менной г =Ху!у, получаем
= - lira I dy I e »**1’1 sin» dr =
ствеииых интегралов в правых честях равенств [38) по и




Изм н -ние порядка интегрирования при к > 0 обосновывается i 
моши теоремы 7, предельный переход при к -+ +0 под знаком 
 "рала возможен в силу его ре номер» й сходимости по параме1
три * 6 [0,+co) (r
J вычислены в § 38 (примеры 9 и 8)
§ 73- Эйлеровы интегри
1- Гамма-функция Эйлера. Гамма-fyh
> хнется как несобственный интеграл

Г(2)= fi
Для того чтобы можно было применить теоремы предыдущ»,
лаграфа, представим интеграл (1) в виде суммы двух интегро» а
и отрезке [а.Ь] С (0,+оо) по при я ку Вей рштрасто- Действито^
Ж пусть 0<а < 1, б > 1 ТогааОй <(•“' прия>а,0<1.

- мерно на [а, Ь]
Аналогично 0 ea,eJ €
J т’'1 a-'сходится, в интеграл J i*'eT Л сходится ревноме^т
• > О, то в силу теоремы 4, § 72 оба интеграле в формуле (2) ь
« 6]с(0,+оо), а поэтому Г(г) есть непрерывная функция при т' 1
При х > 0 функция Г(х) непрерывно дифференцируем а, при1*.
'е-* Inteft { е~'
я фференнирование пол знаком интеграла законно, так как оба .
*'рала в формуле (3) сходятся равном рно по п раметру т на люб - i
»менке [о,Ь] С (0,+оо).

Г"(х) = f t*-,e-‘(lDiJad >0.
 аный положительный минимум. Нетрудно было бы показать, »• <
>.му Г1х) есть регулярная функция комплексной л ременн й . с
Выведем теперь основное функциональное соотношение для гам- -
-•e-’dt хГ(«).
i для гаммв-фукк! i
I цу, зная значения Г£з) на пром ифтие (0,1], можно при пома»
11ьно, и на любом отрезке [п,п+1], п = 1,2,... Это существе» <
Я о и есть основное ф)	...________ _
- их ^функции.
Далее, формула (5) позволяет исследовать поведение Г(аг)
По-

миная функция при х =0, а ГЦ) = J <
На формулы (5) находим
Г(п + 1) =пГ(п) = п(я-1) 1-Г(1) = п’
'•нкцин п! определена для натуральных п. Гвмма-фумкцин Г(т) <
Формула (5) позволяет продолжить функцию Г(х) с сохранен»»» i
 свойств на отрицательные значения х, не равные —1, —2,	п.
Положим по определению
Г(>)—гк.
= ^~-ГМ-

зуя (6), получаем

делить Г/т) на любом интерн
2. Бета-функция Эйлера. Рассмотрим интеграл, зависящий  •
/я параметров и именуемый беты-фу/ищи с ЭОллра
У интеграла две особых точки,
 (7) в виде
1- Записывая инт-~
» 0, так что бета-фу ни и и я определена пои z > О, у > 0.
Свойства бета-функции:
1)В(х,р) = В(р.х)
Делая замену п ременной г = I —i, получаем
B(lf,z) = /х'-'П-Й—'Л= Itl-ri’-’r—'dr - Bh
2) Справедливы формулы
B(z,»)= f
Первая из формул (8) получается, если в интеграле (7) сделать -
IH разбить интеграл на два. по отрезку [0,1] и интервалу (1,+ooJ
ю втором интеграле сделать замену переменной - — ®. •
3) Справедлива формула
Полагая и формуле (8) у = 1 —я н пользуясь тождеством
-duC^t®
")Лг =

слелняя формула получается при х = ял из фор:е«пы (10), 5 • I
гаюшей разя ььееме - на элементарные ppoOi •
4) В(т, р) выражается нерве хамма-фунниию, а именно
В интеграле Г(х) = JV сделаем яамену пер м нипй
вможим его равенство не «ж 1 и проинтегрируем по и от О do + *
левой части, пожду ось формулой (8), получим произвел 
г + р)В(х,р), а в правой — изменим поряден интегрирована
'z,V)F(z-rv) =
елеем еще замену п< ремеиюй iw — t. Тогда
'<fo у«г-,е-‘<Й = Г(г)Г(й
и помощи теоремы 7, § 72 аналогично тому, ван ито двлалпс
Ik, Л = О,слрааадлым фодмрла
r'’>r“-”=S^	*!
- Bta.l -ri = гмга-з = П-)Г(1
и х = 1 из формулы дополнения следует, что = у/н. •
Многие интегралы могут Сыть выражены через эйлеровы инт'~
Пример 1 Выразить через гамме-фуикиию следующий инт--
озуо	wowdidunm naie«URi:en UKdOJ


фЛ)шя(й/ / Y = (1)1 ‘грЛгт(г)/ = (ЛЬ
• oauimа винанве^э ХявнсиЛи ou икпишСф цоча! mrff '(*)( ппЪми I
i <<н до^эМк/гашнп оншагоэцо e*dK& ого&эшчп еихинои каоаяд
4»IW/I 7 +гр|(>)/1 / S + 4>l<*>/l7 =ч’1(»)/|/
OIHMBVMTBdUO u{|
кютяьох икпцоэо BWiftff о HBBdjaiMH анниэвхофоэан явм вахт1
Ч’К’Ф*! f

 ^>1(4/1 / •4’IW/l/
HiradjaiHK в ‘Ливия jou вкеХйибя
• •ПВВИ ВК И '00+ > “О > " > Ь > 00— Olh ‘aiBB±JU^= I ‘41 ИЯ» •
••in (T)f випинХф чюХ[| *ачс1Лф aualuom qo вкхиноц ч
a*trt?uD vsdxaXKM ЧД §

Birjox *<Л сщв — х цоннанаЛэи Лкакве иав|гэвз


. -++оо Второй интеграл в формуле (в) стремится к— /f+O) в ci-«.
Jta,	Л‘)Л = |<№“+°)+№»-°)>-
-ato = €, получаем, что
7°	л<)*=/"л».+*>+/(««-*»
= Д /Л0<«В^-0Л
f dll f /(e)c«p(zo-0*.	BK
й/(*)л
I Л Jf(t) coofitxo -t)dy Jdy j Л0 coep(zo -1)<
। нкиия /(л) имеет е каждой точна или нонечкрю производило -
R интегралом Фцръе
I (о(у1совад+11(у)етзд)ф, (i;
функции cty) и tXvl
Um I I f(x)Oc+ I /(z)dzl
j a{y)cxyxdy * f bfjJuuijxdu, (i
1 f f(t)cceytdi. ЦВ) = ± f f(t)e,aytdt.
функции aty) и ol v) mped"<внныв раевнсглвами (14), нвпреры! —
^|Д»|/|/(П|Л,
I К(у)^1 = ^
/ ( / fWt ^dtj^'dy.
<V}= f f(i)e<w(z-t)dt= f Z(t)(ei




"Чствитвльного n рем-more. Тогда преобразование Фурье фу-
7ы=г[Л=»-р
гное преоСразоелнме Фурьесттрелеллкгтся как следующие несоО
ем. что. в силу яеммы 4. § 74 функции o(vl и	непрерые
WW+1М(Х) = ЛИЛ+«Fh>
ГЛ = 1оЯЛ.
5 64
Я®) = Д0) + //’(о Л
к кек срокэеоянвя f tzi абсолютно интегрируемая функция, то


Пяяььем, что А — 0. Если, например, А > 0, то существует та»
ап следует, что интеграл	f(x)dx является par
мшимся, что противоречит условию теоремы. Итак, Lit. Дя
признаку ср?
, то внеинтегральныя член в правой части »т •


Следствие. Если функции Дт), Д(х),	f^(x) непрврыан,
F[f»>]  (а»)‘Г[Л
формула (7} доказывается по нндукиии с использованием фор> *
- (6)- •
4. Дифференцирование преоОразования Фурье,
</(х) аПсаяютно интегрируемы на R, та функция /(у) = F|/J ?ьш*«
Л») = 4 (FD1) = fK-i«)/W]-	
’рала сводится и проверке условий теоремы ь. $ 72 Интел*

иэнаку Вейерштресса, так как iz)f(x)e Il2| = |t/(zJ|, е инт*
• 1 yjz/(z)|dz сходится •

Здесь Сыло использовано выражение для интеграла Эйл ра-Пу-
I u j е-*'А = -	(см. пример ©, § Т2).
Таким образом.
"Ids'


.IX функций
1. Введение- В физике постоянно пользуются такими кдеали -
I денными понятиями, как материальные точки, точечные аарЯа .
в сс или зарядов не существует Когда говорят о материальной т*е
 массы 1, то кто идеализированная модель шара дчствтпчно мва»,
в тиуса е и массы 1. Если в пространстве нет других масс, то пя»
Зная плотность (3), нельзя по неИ восстановить массу при пома
।.-) имеет вид
Чтобы обойти это затруднение, рассмотрим вместо поточечн  i
едела функций б4(т) при е-а+0 так нвзыва-мый "слабый предел
Будем б, (а) рассматривать как линейный функционал паллии*"
м пространством непрерывных в Я3 функций, ставлший в со»
гстние каждой непрерывной в R5 функция у>(ж) число
В„й-[iHMU- /
0	|«|<«
>6 есть линейный функционал, ставящий в соответствие иепрер.»-
3 функции число уХО).
говорят, что линейный функционал S есть слабый предел лявейвм»
При таком подходе по плотности легко восстановить массу точки
нкциокал (4) называют 6-функцией Дирака

ю так называемых распределений или обобщенных функций
2. Пространство 9основных функций. Пространство неп.-
виых функций слишком широко для того, чтобы, используя *
жяо было построить содержательную теорию обобщенных фу 
Будем рассматривать иомпл искозначныа функции, определен*ав
К. Носителем функции назовем замыкание чазожеетва те> .
‘	/ О. Если носитель функции есть ограниченное мнонзест-
функция называется финитной (она обралвется в нуль -
встраиство. Введем в этом пространства слодилшсть.
Будем говорить, что последе втелызость функций	•
€ 9 при любом п € Л, сходится к функции ф(я) € 9, и пис.
и выполнены следующие условия:
Будем линейное пространство &с I

3- Пространство 9 обобщенных функций. Пусть паж
»нации <р € 9 поставлено в соответствие комплексное число (/,.
। й € ^выполнено равенство
{J, ар+М) = a{f,ip)+fi(f, ф).
Тогда говорят, что ив 9определен линейные функционал /. Фу
Ь> (Л V>„) -» if, ip) при п -» оо.
Множество всех линейных непрерывных функционалов будем <й"
> гчать через 9- Множество Сбудет линейным пространством, е е ।

осреде » нию aji + 0fi есть негдгерывный линейный функци - .
| (ствуюший на основные функции у> € 9 по следуют му правя -
(«Л + Ph, v)=“(/i.v)+0lh,v)
знал af, + аджл-ля мый ревеистиом (б), действительно 
*т) абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке (локал. - i
«гвгрирувмв), то она порождает функционал
(/,*)= У zfc)v>(»)<fc	•!
Лемма 1. Формула (Т) определяет линейный и непреры ныв фу
Для любой функции € 9 несобственный интеграл (7) сходе"
• отрезке (о,Ь] и пусть функция будучи непрерывной не (о •
ианичена по модулю на [а, 6] числом М Интеграл (7) сходится, ш
7 1/M <Pt=)l if1/MllvWI dxiMf IflxJI de,
с вир	-»o при n-»<
№v>) = v(o).
J J(x)&x)dx = v(0) = * 1	(•
пользуясь локальной интегрируемостью фу-
/|/(>)|dr<l.
I f Цх^х} dzl < i₽(0) 7l/(z>| dx < e-‘. «7
111 противоречит равенству (1(1). Противоречие доказывает, •
1 «ункиин есть сингулярный «инейный и непрерывный на 9 фу
Пространство 9 называют пространством обобщенных фунпц*
4.	Сходимость в пространстве 9. Будем говорить, что по<
• /. если для любой функции v? е 9 выполнено ревене -
(Л»¥>) -» I/, (р) при п -» оо.
Вместо последовательности Функционалов /„ в 9 иногда рассм»
мам случае яапись

= p(0) для любой tp € ®.
Пример 1. Доказать, что
aw=
' Оч |дно, что функции А(л) локально интегрируемы и позтс -
. £ 9. Пусть ее носитель лежит на отрезке [—Л, Л]. Тогда
A.V) = /Л(*Ж*)>Ь =
« 7 л’ + а’	“ *’,0) + *^0Й<Ь- ** *


- К 4)1 -- PI таи. 1'Л* . - <»|Л-
Справедливы следующие утвержд ния
- у ^j^3-dar= — arctg— -»1 при е -• +0,	0*
= S£tn Л -К) при е-»+0. U"
i (14)-(17) следует, что для любой функции 9? € 9 выполнено рав-л
.«о (13), т е
Um (/,,ф) = sefO) = [t.ipY

Б. Умножение обобщенной функции не бесконечно лиффе.
нцируемух> функцию. Введем операцию умножения обобщ. •
•зиэвольную функцию € 9 последуют му правилу
(*/.v) = и,м
аределение корректно, поскольку фф е 9.
(о,б), если для любой функции р € 9, носитель которой лея -
а,Ь), выполнено равенство (/,^)=0. Так.б-фуикиия равна нулю
।Фом интервале (о,6), не содерлвщем точку х 0. Две обобщен* —
f2 — О на (о,б) В частности, /, к Д ревкы на R, если их эначе1в
Пример 2. Показать, чтох5=0.
Пользуясь равенством (1в), получаем
(iJ,V>) = (в.Зф) = (z«>)„o = 0 = (0,ф).
к как на всех основных функциях значении функционалов хб
«. Производная обобщенной функции. Цусть дт) - неп
ено дифференцируемая на R функция, тогда функция }'(х) гор<« ,
। ат регулярный функционал
гегрируя по частям, получаем, пользуясь тем, что ф = 0 вне на» ।
.*.(₽) = f f(x)<ptx)dz =
= /tolrto|+~ - j№)(/(»)<te = -pfe)/W4e
(/'.¥>) = -(ЛЛ v€ 9
i = ® по правилу, выражающемуся формулой (19)
Проверим, что /’ есть действительно линейный и непрерывна I
Цусть о и 0 — проасвпльные компл ксные числа, а фг и фг — п1
вольные функции из пространства 9. Тогда, пользу ось оп ре деле .
- производной обобщенной функции и линейностью функционала у,
.думаем равенство
'. оф, +0¥>o) = -if. ov? +М) = -"(Avi) -Я/.Л) =
= atr,»>i}+W.w‘,
.	гь функционале f
Докажем, что/1 — непрерывный функционал Пустьфп-еф И1 •
показать, что lim (/',фп) = Пользуясь формулой (19 ।
|рерывностыо функционала /, получаем, что
Вт (Г,Ф„) = -и»(ЛЛ) =	= (/’,ф).


Производные высших порядков определяются для обобщенна*
| наций по индукции
(/’*’ ф)-(-Ц*(ЛЛ
 ЗНАКОВ.
Пример 3. Найти пр и.волную функции Хевисайда
-ЯШ и*ую функцию, действующую не основные функции ио *»
(fl.v) = /	J чЛ.я}Лх.
Докажем, что ff = 6. Для любой функции уз € 9 имеем равекс -
- - Jv’ttfdz = v(0) =
я a f — обобщенная функция. Доказать формулу
(Ф/)' = Ф7+ФЛ

• дел ни м производной обобщенной функции, получаем, что 
h»/y > ц>) = -(Ф/. #/) = -(/, Ф?’) = -(Л (фр)’ - Ф’у) =
= -(Л (Фф)*)+(/. Ф’ф) = (Г, Фч>)+(Ф’Л w) =
= (Ф/‘. ¥)+(Ф7. v) = W+Ф7. v)
» a.) ago»; C)|x|, nje'agni.

aigox =25(г) -1, |х| —xagnx

7. иперацнл сдвига аргумента для обобщенных функции
ксть fix) есть вокально интегрируемая на R Функция Для нее оп^
 гена оперения с^ига аргумента Тл, а именно Tef(x) — f(x—nj
Vrf. v)= f fix	f /(xMx+h)dx=if, T^v). (Д
i можно формально внести операцию сдвига аргумента ио аналог.
зормулгЯ (21)-
(ПЛv> = (AT-*₽). ve»


»} Тогда для любой Функции ф£ &
(«(z -Л), v(z)) («(z), v(z + h)) = vifft).

• £(Лх.- +0) - /(» - ®)Wfc - »)
§ 77. Асимптотические сценки интегралов
. Это интегралы вила
ff(x)t~,-s^dx
• дет изучено поведение интегралов при А -> +оо
6] функция S(x) имеет единственный минимум в тонне zo€ (o.W
зчди S"(zp) > 0, S'(z) > 0 при к tq и S'lx) < 0 при х > Xi <
7ba*i при A -а I оо справедлива асимптотическая формула
I йствительно, делая в интеграле (3) замену переменной хь/А .






l/U)-/(O)|=k/’(ta)lcc®, п» с- «“ИГЮ1, 0<е<1
атому, используя (3), получаем
’ " Я®> 1 yfl\* \1<№> " /(0,)	1
3. Переходим к доказательству теоремы Без ограничения <Х5шкд"
Рассмотрим интеграл
I /Me-‘SlI’dr
сделаем замену перем иной р = y/S(x). В сяду монотонно-
। нкиии у обратная функция х = ф(р) при х € |0,fe] существу- 
i/(0) = lim = lim Д— — lim —3 = =
Применяя формулу (4) и используя равенство (6), лплуч- и
- /	4г /(0)^(0) =
алогично получаем, что
Если5(1о)/О, то.
। (5) в виде
JДх)	dx=е-*** /	dx.
I э&нвая отрезок интегрирования [о,Ь] на отрезки [о, С] и |0,Ь] и п 
I няя к каждому из полученных отрезков формулы (7) и f8), по-'
f'lxx при
Лелеем в формуле (9) авмеку перем иной I = хи-
! e-SWdu.

лекция S(ti) имеет единственный минимум в точке в — 1. Kpi- •
мо, S”(l) = 1, |S'(b)| при в $	: Применяя формулу (2)
I e-lSMdu < 2 J	*« =
Подставляя выражения (11) в формулу (10), получаем форм;
Так как Г(п +1) — nl, то иа (9) имеем
V2Knn"*_" при n-lco A	(|
2. Метод ста


p(z)e,ist”<fc
। ренцирцелы на конечном отрезке [л, ftj, и пусть ко (о,Ь) фунт. •
(*t>)^D,/(zo)/O.
//&')«“*<> <b~ ОД
. доказательства теоремы 1 Опить разоОьем цлввзатежхпъо «
Бели Л -» со, то (см. § 72, пример 10)
coe^dt + aj ionla<bj -
2. Пусть функция fix) и прерываю дифф рении
। -тезке [0, а] и /(0) #0, тогда при Л -и сю имеем
Дейстиитольно, /(«) — /(О) = гу’(х), где ^£z) — иеорерые
г нкиия. Поэтому
f- flO»e'fa" dx = fMz) *<*•’ dz = i f=


льнейшее доиезательетьо теоремы 2 в точное™ повтори •
Пример 2. Найдем асимптотику функции Бессели
Пусть S(o) — aino. Тогда S'(o) — coati, S"(o) = — flinu,
ькдом из интервалов формулу (13}, подучаем при х -а +оо
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XV






I рЛЙИЧККП ТОЧПВ ZJI.
Ньютона 341
1УЙ. ХЫ. 207



















ШаПуимн Михаил Иванович
КУРС' МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Учебное пособие тля вузов
Рид>кшр Е Ю Ходом
Кимпьичериая верстка Н Л Иванова
Подписано 06 12 II Формат 60x90/16.
Уел печ л 42
Имателстео «БИНОМ Лаборатория знаний»
125167. Москва, проезд Аэропорта, л 3
Телефон: (499)157-5272
e-mail bmofnfc'Lbz.m, hup.//www.Lbz.ni