И. И. ОРНАТСКИИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ

И НфОРМАЦИОН НО
ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ
ТЕХНИКИ
ОРНАТСКИИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ

ИНФОРМАЦИОННО
ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ
ТЕХНИКИ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,

ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся
по специальности

«/Информационно-измерительная
техника»

КИЕВ

ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
«ВИЩА ШКОЛА»
1983
Теоретические основы информационно-измерительной техники.
О р н а т с к и и П. П. — 2-е изд., перераб. и доп.— Киев : Вища шко-
ла. Головное изд-во, 1983.— 455 с.

В учебнике систематизированы основные понятия информационно-
измерительной техники, показано место измерений среди методов по-
знания. Приведены основные положения Государственной системы обес-
печения единства измерений, методы измерений и контроля, анализ пог-
решностей измерений, основные характеристики средств измерений,
анализ статических и динамических погрешностей измерительных при-
боров, методы повышения точности измерительных устройств и основы
определения зависимостей. Системный подход ко всей структуре учеб-
ника осуществлен с учетом разделения процедуры измерения на основ-
ные метрологические операции (воспроизведения, сравнения, измеритель-
ного и масштабного преобразования величин) и взаимосвязи между ни-
ми и средствами измерения, между методами измерения и структурами
средств измерения, предназначенными для их реализации.

Нормативные материалы приведены по состоянию на 1 января 1982 г.

Для студентов, обучающихся по специальности «Информационно-
измерительная техника». Может быть полезен студентам, обучающимся
по электроприборостроительным специальностям, инженерам-метроло-
гам и инженерам-приборостроителям в их практической деятельности.

Табл. 28 Ил. 166 Библиогр.: 101 назв.

Рецензент: кафедра информационно-измерительной техники Москов-
ского энергетического института (заведующий кафедрой доктор техни-
ческих наук В. И. Малиновский)

Редакция литературы по кибернетике, электронике и энергетике
Зав. редакцией М. С. Хойнацкий

2401000000-01 3

М 21 1(04) —83	,,4~83

(gj Издательское объединение

«Вища школа», 1976

(6) Издательское объединение
«Вища школа», 1983, о из-

менениями
Предисловие

Основными направлениями экономического и социального разви-
тия СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990 года в области при-
боростроения намечены задачи: «...повысить технический уровень вы-
числительной техники, приборов и средств автоматизации на основе
новейших достижении микроэлектроники, оптоэлектроники и лазерной
техники.	i,

Опережающими темпами развивать производство быстродействую-
щих управляющих и вычислительных комплексов...

Организовать производство измерительно-информационной техники
к автоматизированным системам управления энергопотреблением, а
также приборов и средств автоматизации для контроля качества про-
дукции сельского хозяйства и других отраслей.

Расширить производство приборов и измерительных устройств для
научных исследований, контроля за расходованием топливно-энерге-
тических ресурсов, состоянием условий труда, окружающей среды,
современных медицинских приборов и аппаратуры...» (Материалы
XXVI съезда КПСС—М.: Политиздат, 1981, с. 157—158).

Средства измерений являются источником получения количествен-
ной и качественной информации о параметрах разнообразных физиче-
ских процессов, использование которых обеспечивает дальнейшее по-
вышение производительности труда, качества изделий и достоверности
научных исследований. Для разработки и эксплуатации всего арсенала
средств измерений от различных измерительных преобразователей до
сложнейших измерительно-вычислительных комплексов необходимы
специалисты в области информационно-измерительной техники. Для
студентов этой специальности созданы учебники и учебные пособия по
специальным курсам «Цифровые измерительные приборы», «Измери-
тельные информационные системы» и другие. Данный учебник являет-
ся теоретическим введением в эти курсы.

В настоящем, втором, издании книги больше внимания уделено ме-
тодологическим основам курса, изложению методов контроля, основ
расчета достоверности контроля, метрологическому обеспечению, опи-
саны методы повышения точности измерительных устройств, основы
определения зависимостей между физическими величинами.

Некоторые разделы книги написаны автором совместно с д-ром
техн, наук Ю. А. Скрипником (и. 6.10), доцентами М. Ф. Пономаренко
(гл. 3, и. 9.7), Г. Н. Потаповой (п. 6.6), В. И. Зозулей (п. 5.8). Часть
п. 5.8 написана д-ром техн, наук Г. Эгером, доцентом Высшей техни-
ческой школы г. Ильменау (ГДР).

Отзывы и замечания просим направлять по адресу: 252054,
Киев-54, ул. Гоголевская, 7, Головное издательство издательского
объединения «Вишд школа».
Основные условные обозначения

Измеряемая случайная величина, информативный параметр входного сигнала X

Размер измеряемой величины х

Квантованный сигнал Хкв (0

Дискретизированный сигнал Хл (t)

Изображение сигнала X (р)

Несущий сигнал Унес (0

Модулированный сигнал Умод (0

Выходной сигнал измерительного преобразователя У

Десятичная кратная или дольная единица величины qx

Числовое значение величины Nx

Значение величины xN

Конечное значение диапазона измерения хк

Абсолютная погрешность в единицах измеряемой величины X Д

Погрешность от квантования Дк

Граница погрешности Дг

Динамическая погрешность прибора Ддин

Суммарная погрешность средства измерения Дсум

Предел допускаемой погрешности Дд

Аддитивная погрешность Дад

Мультипликативная погрешность Дм

Систематическая составляющая погрешности измерения До

Математическое ожидание случайной погрешности М (Д)

Математическое ожидание погрешности М (Д)

Дисперсия погрешности от квантования Д (Дк)

Среднее квадратическое отклонение систематической погрешности а(Д)0

Случайная центрированная составляющая погрешности измерения А

Среднее квадратическое отклонение случайной погрешности о (Д)

Оценка среднего квадратического отклонения погрешности о (Д)

Случайное отклонение Дот

Вариация вх

Ступень квантования ркв

Относительная погрешность 6

Приведенная погрешность у

Относительная систематическая и случайная погрешности 6С; §

Некомпенсация (разность измеряемой и компенсирующей величин в статическом ре-
жиме) Др

Вероятность Р (— х^ < X < xt)

Доверительная вероятность погрешности Р (—Дг < Д < Дг)

Плотность вероятности р (X)

Стандартная аппроксимация функции распределения погрешности рст (Д)
Информация I

Номинальная статическая характеристика преобразования fB (X)

Влияющая величина &

Функция влияния ф (5)

Автокорреляционная функция случайной составляющей погрешности /?о (т)
д

Спектральная плотность случайной составляющей погрешности Зд (и)

Время установления показаний /у

Комплексный спектр 5 (to)

Коэффициент амплитудной модуляции Мя

Компенсирующая или уравновешивающая величина (выходная величина обратной

цепи прибора) zK

Статический коэффициент преобразования (отношение выходной величины звена ко
входной) К = у!х

Статический коэффициент преобразования обратной цепи 0 =

Передаточная функция К(р) =
*1 (р)

Частотная характеристика К (to)

Угол поворота а

Магнитная индукция В

Полное сопротивление Z

Индуктивность L

Электрическая емкость С

Активное сопротивление г

Напряжение U

Ток /

Электродвижущая сила Е

Время t

Интервал времени Т

Частота f

Частота дискретизации во времени f д = 1/Та

Угловая частота <о

Температура 0

Температурный коэффициент ТК

Достоверность контроля Д

Допуск контроля d
Введение

Все фундаментальные и технические науки базируются на приме-
нении соответствующих аналитических формул своих теорий. Физи-
ческие величины, входящие в них, выражаются числами и являются из-
мерительной информацией.

Информационно-измерительная техника — это область техники,
обеспечивающая получение измерительной информации о свойствах
окружающих нас объектов и явлений.

Измерения являются одним из самых древних занятий в познава-
тельной деятельности человека (например, первые весы были созданы
около 6000 лет тому назад, а часы еще раньше). Однако наука об изме-
рениях — метрология начала интенсивно развиваться примерно с
конца XIX века. Основоположником метрологии как научной дисцип-
лины является великий русский ученый Дмитрий Иванович Менделеев.

Измерительная техника получила широкое развитие в нашей стра-
не только в годы Советской власти. В 1927 г. в Ленинграде вступил
в строй первый отечественный электроприборостроительный завод
«Электроприбор». В течение года завод выпустил около 100 тыс. счет-
чиков (в настоящее время отечественной промышленностью ежегодно
выпускается около 5 млн. счетчиков). За первые два года работы завод
обеспечил потребность страны в счетчиках электрической энергии, ко-
торые ранее ввозились из-за границы.

В начале 30-х годов вступает в строй еще несколько приборострои-
тельных заводов в Харькове, Ленинграде, Москве, Краснодаре и Кие-
ве. За период с 1948 по 1980 гг. объем продукции электроприборострое-
ния возрос в 800 раз. За годы десятой пятилетки объем производства
приборов возрос вдвое.

Ускорение научно-технического прогресса является одной из ос-
новных задач одиннадцатой пятилетки. Совокупность средств инфор-
мационно-измерительной техники составляет неотъемлемую часть тех-
ники74 автоматизации производственных процессов и научных исследо-
ваний, обеспечивает возможность повышения производительности
труда и ускорение научно-технического прогресса. Следовательно,
совершенствование средств измерений является неотъемлемой со-
ставной частью научно-технического прогресса.

Погрешность измерения цифровых вольтметров постоянного тока,
например, снижена до 0,0001 %, а быстродействие преобразователей
напряжение — код достигает нескольких миллиардов измерений в се-
кунду. Верхний диапазон измерения цифровых частотомеров достиг
гигагерца. Цифровые измерители времени обладают разрешающей спо-
собностью до долей пикосекунды.
Диапазоны измерения многих величин многократно возросли. Из-
меряемая мощность радиоизлучения далеких планет ныне составляет
Ю 15 Вт, а электрических генераторов — 1000 МВт (109 Вт). Измеряе-
мое напряжение разряда молнии достигает 100 МВ, нижний же предел
измерения напряжений фемтовольты. Электрические токи измеряются
в диапазоне от Ю 16 до 105 А, а электрические емкости — от фемгофа-
рад до сотен фарад. Длины измеряются от 10~12 м (размеры атомов) до
3,086 • 1016м.

Ежедневно в нашей стране выполняется несколько триллионов из-
мерений. Измерения являются профессией примерно 3 млн. трудящих-
ся. В радиоэлектронной, авиационной, химической и других ведущих
отраслях промышленности на измерения затрачивается около 10
процентов общественного труда. Капитальные вложения на контрольно-
измерительную технику достигают 25 процентов от общих капиталь-
ных вложений на оборудование в ведущих отраслях промышлен-
ности .

Для обеспечения высокого уровня измерений недостаточно знать
теорию и иметь средства измерений. Необходимо правильно пользо-
ваться ими. В соответствии с этим метрологию нужно рассматривать
в двух аспектах — научно-техническом и законодательном. В научно-
техническом аспекте содержанием метрологии является решение науч-
ных и технических задач, для создания совершенных эталонов, средств
и методов измерений, методов оценки точности измерений, а в законо-
дательном — создание регламентированных государством общих пра-
вил, требований и норм, обеспечивающих высокий уровень измери-
тельного дела.

Государственный контроль за разработкой и соблюдением стандар-
тов, а также обеспечением единства измерений в стране осуществляет
Государственный комитет СССР по стандартам (Госстандарт). В Гос-
стандарт входит ряд научно-исследовательских метрологических ин-
ститутов, республиканские управления Госстандарта, республикан-
ские центры стандартизации и метрологии и большое количество лабо-
раторий Государственного надзора за стандартами и измерительной
техникой. СССР является активным членом многих международных
организаций по стандартизации и метрологии.

Основными задачами метрологии в настоящее время являются [39]:

определение места и роли измерений в современных методах испыта-
ния, контроля и идентификации;

дальнейшее развитие теории динамических измерений;

совершенствование эталонной базы страны;

развитие теории и метрологического обеспечения измерений отно-
сительных величин;

дальнейшее развитие теории информационно-измерительных систем
и их метрологического обеспечения;

обобщение результатов и установление более тесных логических
связей между отдельными областями теории измерений.

Основными направлениями развития информационно-измеритель-
ной техники являются:
создание измерительных информационных систем для различных
технологических процессов, прежде всего, для энергетики;

создание измерительно-вычислительных комплексов для научного
эксперимента, для испытания сложных объектов, повышающих произ-
водительность труда;

дальнейшее повышение точности, быстродействия, чувствительно-
сти, помехозащищенности, степени автоматизации и расширение диа-
пазона средств измерений, в частности на основе использования в них
микропроцессоров;

исследование новых физических явлений и процессов с целью ис-
пользования естественной квантованности материи и энергии для соз-
дания принципиально новых измерительных устройств.

Современная информационно-измерительная техника (ИИТ) распо-
лагает совокупностью средств для измерения многих физических ве-
личин: электрических, магнитных, тепловых, механических, световых,
акустических. Однако большинство из них в процессе измерения пре-
образуется в величины электрические как наиболее удобные для пере-
дачи, усиления, сравнения, точного измерения. Поэтому не случайно
учебная специальность «Информационно-измерительная техника» со-
здана на базе общего высшего электротехнического образования.

Наша страна одной из первых начала подготовку инженеров-изме-
рителей в 1929 г. в Ленинградском политехническом институте под
научно-методическим руководством заслуженного деятеля науки и
техники РСФСР проф., д-ра техн, наук Шрамкова Е. Г.

Быстрое накопление знаний в области ИИТ требует их систематиза-
ции и обобщения на основе поэтапного системного подхода.

Первым этапом является последовательное изложение основных
понятий, установленных ГОСТ 16263—70, на основе выявления их
связей с более общими понятиями математической логики (и. 1.3).

Вторым этапом является функциональный анализ понятий «измере-
ние» и «контроль». При этом процедура измерения подразделяется на опе-
рации: воспроизведения, сравнения, измерительного преобразования,
совокупность которых является функционально полной для нахожде-
ния результата измерения величины X. Соответственно рассматривают-
ся средства выполнения этих операций: меры, устройства сравнения,
масштабные и измерительные преобразователи (и. 2.1, 2.2).

Третьим этапом является синтез методов прямых измерений без
предварительных преобразований на основе использования многознач-
ности мер и масштабных преобразователей, определение алгоритмов
и уравнений различных методов измерений и контроля основных струк-
тур измерительных и контрольных устройств (и. 2.4, 2.5).

Четвертым этапом является анализ уравнений погрешностей изме-
рения74 и средств измерения и изложение основ общей теории погреш-
ностей измерений (и. 4.1, 4.2), методов повышения точности измери-
тельных преобразований, установление их алгоритмов, структур из-
мерительных преобразователей с коррекцией погрешностей (п. 7.3).

Пятым этапом является изучение основ метрологического обеспече-
ния и Государственной системы обеспечения единства измерений
(и. 10.2).
Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ
ТЕХНИКИ

Принимая во внимание познавательный характер измерений, рас-
смотрим место измерений среди методов познания, место метрологии
среди других наук и основы логического подхода к исходным понятиям
информационно-измерительной техники.

1.1. ОБЩЕНАУЧНЫЕ МЕТОДЫ ПОЗНАНИЯ
И МЕСТО ИЗМЕРЕНИИ СРЕДИ НИХ

В процессе накопления практического опьпа и новых научных зна-
ний человек, стремясь повысить производительность труда, разрабаты-
вает методы познания — наиболее эффективные способы получения но-
вых научных знаний. Методом познания называют систему определяю-
щих принципов практической или теоретической деятельности человека.

Методы познания (рис. 1.1) иерархично отличаются, прежде всего,
сферами своего применения:

всеобщий метод познания — законы и принципы исторического и
диалектического материализма имеют неограниченную сферу приме-
нения во всех науках;

общенаучные методы познания, сферы применения которых распро-
страняются на родственные группы фундаментальных общественных
и технических наук;

методы конкретной науки, в частности методы технических наук.

Содержанием исторического и диалектического материализма яв-
ляется наиболее широкое обобщение накопленных человечеством науч-
ных знаний. Диалектический материализм является методологической
основой познания всех предметов и явлений, изучаемых естественны-
ми, социальными и техническими науками, и определяет логическую
и философскую сущность общенаучных методов познания. Только опи-
раясь на действие законов и категорий материалистической марксист-
ско-ленинской диалектики и раскрывая их конкретные проявления в
любой области знаний, можно познать предметы и явления, изучаемые
каждой наукой.

Общенаучные методы познания подразделяются на эмпирические,
эмпирико-теоретические и теоретические.

К эмпирическим методам познания относятся, прежде всего, наблю-
дение, сравнение, счет, контроль, измерение, идентификация и науч-
ный эксперимент.
Рнс. 1.Х. Методы познания.

Наблюдением называют целенаправленное отражение изу-
чаемого объекта. Оно является наиболее доступным и простым методом
познания, реализуемым как с помощью органов чувств человека, так
и специальных технических средств. Наблюдение — составная часть
всех эмпирических методов познания. Как метод познания наблюдение
должно удовлетворять ряду основных требований: преднамерен-
ности, планомерности, целенаправленности и систематичности.

Сравнением называют установление в процессе отражения
сходства или различия объектов или явлений. Общеизвестны слова «Все
познается в сравнении». Действительно, методом сравнения устанав-
ливается прежде всего то, что является общим для ряда объектов и яв-
лений, а значит, и более существенным, что в дальнейшем целесообраз-
но подвергнуть более детальному изучению. При сравнении необходимо
выполнять два основных требования: 1) сравнивать объекты, обладаю-
щие общими однородными свойствами; 2) сравнивать по наиболее су-
щественным свойствам.

Сравнением в области технических наук называют установление со-
отношения интенсивности однородных отражаемых свойств эмпиричес-
ких объектов с целью получения ответа «больше», «меньше» или «равны».

Известно, что различные эмпирические объекты могут проявлять
себя в основном в двух отношениях, а именно: эквивалентности и по-
рядка. Соответственно, сравнение объектов может бьпь реализовано по
эквивалентности и по интенсивности. На сравнении как методе позна-
ния основаны два основных рода информационных процедур (п. 2.1)2
1) распознавание объектов в отношении эквивалентности, примерами
которого является дихотомия, т. е. классификация по наличию или от-
сутствию свойства; 2) распознавание в отношении интенсивности.

Контроль является отражением качественной стороны свойст-
ва объекта, при котором устанавливается соответствие между состоя-
нием объекта по данному свойству и нормой. Контролю подвергаются,
главным образом, состояние продукта или изделия производства.

Счетом называют отражение количественного свойства совокуп-
ности качественно однотипных эмпирических объектов, в процессе ко-
торого устанавливается соответствие между их численностью и числом
из натурального ряда чисел. При счете устанавливается взаимноодно-
значное соответствие между совокупностью объектов по их количеству
и числом из натурального ряда чисел. Для осуществления счета необхо-
димо различать в отдельности каждый объект.

Измерение является отображением свойств объекта, которые
проявляют себя в отношениях эквивалентности, порядка и аддитив-
ности ограниченным рядом именованных натуральных чисел. Измере-
ние обеспечивает непосредственную связь между экспериментом и тео-
рией, высокую достоверность научных исследований и высокое качество
изделий современного производства.

Измерениям большое значение придавали многие великие уче-
ные.

Г. Галилей: «Считай то, что считаемо, измеряй то, что измеряемо;
а. то, что не измеряемо, делай, измеряемые»-

Д. И. Менделеев: «Наука начинается с тех пор, как начинают изме-
рять; точная наука немыслима без меры».	] т

У. Кельвин: «Каждая вещь известна лишь в той степени, в какой
ее можно измерить».

Для того чтобы точно управлять, нужно точно измерять все пара-
метры, по которым осуществляется управление объектом, в том числе
и качеством изделий. В связи с этим поставлена задача количественной
оценки качества продукции [6].

Идентификация является отражением зависимостей между
величинами, характеризующими эмпирический объект, числовыми ана-
литическими моделями. Она тесно связана с методами физического и
математического моделирования. Идентификация начинается с класси-
фикации данного физического объекта либо процесса на основе вы-
явления и анализа его характерных особенностей. Затем, следуя ос-
новной классификации разновидностей эмпирических объектов данного
типа, устанавливают, с какой разновидностью данный объект иденти-
чен. При этом находят с определенной достоверностью вид математи-
ческой модели объекта, отражающей зависимость между его парамет-
рами, определяют значения основных параметров модели, степень точ-
ности и достоверности оценки.

Научным экспериментом называют целенаправлен-
ное комплексное отражение сложного эмпирического объекта, характе-
ризующегося системой взаимосвязанных величин, совокупностью их
математических моделей. К области опытных исследований относятся
также и испытания сложных объектов. Испытаниями называют совокуп-
ность экспериментальных операций, направленных на определение
тех значений параметров объектов, которые соответствуют заранее за-
данным условиям и состоянию объекта [38]. Для реализации научных
экспериментов и испытаний создаются все более сложные автоматиче-
ские системы.
Автоматизация исследований и испытаний является основой одного
из важнейших направлений повышения производительности труда.

Эмпирические методы познания можно подразделить на методы ка-
чественной (наблюдение, сравнение, контроль) и количественной (счет,
идентификация, измерение и научный эксперимент) оценок. Наиболее
важное значение среди всех экспериментальных методов познания име-
ет измерение, с помощью которого получают ценную количественную
измерительную информацию. Наличие измерительной информации об
исследуемом объекте дает возможность обеспечить эффективную реали-
зацию всех эмпирических методов познания — от наблюдения до науч-
ного эксперимента.

Группа эмпирических методов познания предназначена для извле-
чения содержательной характеристики отражения, т. е. для получе-
ния информации. В настоящее время эмпирические методы познания
совершенствуются особенно ускоренными темпами и обеспечивают по-
вышение производительности труда при экспериментальных научных
исследованиях, испытаниях сложных изделий. При рассмотрении и
применении эмпирических методов познания следует принимать во вни-
мание ограниченность этих методов, которая определяется интервалом
времени исследования, границами исследуемого объекта и возможно-
стями данных технических средств. Ограниченность эмпирических ме-
тодов познания не дает возможности непосредственно получать с их
помощью обобщающие положения и законы. Законы природы открыва-
ют путем изучения результатов, полученных от эмпирических методов
познания на основе применения эмпирико-теоретических и теоретиче-
ских методов познания.

К основным эмпирико-теоретическим методам познания можно
отнести: анализ, синтез, индукцию, дедукцию, физическое и математи-
ческое моделирование, историко-логический метод и проверку гипотез.
Эмпирико-теоретические методы позволяют выделять из объектов и яв-
лений разные стороны, расчленять предмет познания на составляющие
для более глубокого их изучения. Эмпирико-теоретические методы обес-
печивают наиболее полное извлечение дополнительной информации,
содержащейся в неявном виде в результатах, полученных с помощью
эмпирических методов, установление степени истинности гипотез, со-
ставляют основу методов проектирования новых технических средств
и технологических процессов, основу технических наук и методов по-
вышения производительности труда на производстве.

Основными теоретическими методами познания являются: обобще-
ние, абстрагирование, формализация и аксиоматика. Теоретические ме-
тоды познания направлены на изучение абстрактных объектов, их
свойств и отношений. Эти методы дают возможность получать новые
знания об изучаемых объектах и явлениях путем исследования фор-
мальных свойств и отношений между абстрактными объектами. Сово-
купность теоретических методов является наиболее мощным инстру-
ментом для прогнозирования, создания новых областей знания, осно-
вой фундаментальных наук и обеспечивает экономию умственного и
творческого труда.
1.2.	МЕТРОЛОГИЯ И ЕЕ МЕСТО СРЕДИ ДРУГИХ НАУК

Метрология — это наука об измерениях, методах и средствах обес-
печения их единства и способах достижения требуемой точности
(ГОСТ 16263-70).

Предмет метрологии — извлечение количественной ин-
формации о свойствах объектов и процессов с заданными точностью и
достовер ностъю.

Методы метрологии — это методы измерения, воспроиз-
ведения величин с заданными размерами, сравнения величин, измери-
тельных преобразований, обработки наблюдений, планирования из-
мерительного эксперимента.

Средства метрологии — совокупность средств измере-
ний, контроля и метрологических стандартов, обеспечивающих рацио-
нальное их использование.

Метрология развивается быстрыми темпами. Разработаны основные
понятия метрологии, созданы основы анализа погрешностей измери-
тельных устройств, информационной теории измерений, теорий изме-
рительных информационных систем, статистических измерений, кор-
рекции погрешностей измерительных устройств и др.

К основным разделам метрологии относятся (ГОСТ 16263—70):
общая теория измерений; единицы физических величин и их системы;
методы и средства измерений; методы определения точности измере-
ний; основы обеспечения единства измерений и единообразия средств
измерений; эталоны и образцовые средства измерений; методы передачи
размеров единиц от эталонов или образцовых средств измерений ра-
бочим средствам измерений.

Значимость измерений в философском аспекте определяется, прежде
всего тем, что измерения являются важным универсальным методом
познания физических явлений и процессов. В этом смысле метрология
как наука об измерении занимает особое место среди других наук,
обслуживая каждую из них и тесно переплетаясь с ними.

Значимость измерений в научном аспекте определяется тем, что с
помощью измерений в науке осуществляется связь теории и практики.

Значимость измерений в техническом аспекте определяется тем, что
измерения обеспечивают получение количественной информации об
объекте управления или контроля, без которой невозможно точное
воспроизведение всех заданных условий технологического процесса,
обеспечение высокого качества изделий и высокоэффективного управ-
ления объектом.

Место измерения в цифровом управлении можно показать на приме-
ре наиболее общей схемы цифрового управления — в виде совокупно-
сти четырех звеньев, взаимодействующих по кольцу (рис. 1.2). Измере-
ние в этом кольце играет роль моста, соединяющего объект управления
с основным звеном управления, выполняющим задачу выработки
команд управления. Звено измерения представляет информацию об
объекте управления в виде чисел. Числовые значения величин
характеризующие объект управления, поступают в цифровое уст-
ройство, которое вырабатывает сигналы управления в виде чисел 7V\.
Рис. 1.2. Схема цифрового управления.

Эти числа поступают на вход уст-
ройства, создающего управляющие
воздействия на объект управле-
ния — физические процессы с пара-
метрами У. Следовательно, уст-
ройство, реализующее обратную
связь в системе цифрового управле-
ния объектом, с метрологической
точки зрения выполняет задачу,
аналогичную задаче меры, воспро-
изводящей на выходе величину за-
данного размера; при высокоточном
цифровом управлении оно должно
обладать высокими метрологичес-

кими характеристиками.

Исторически измерения развивались дифференцированно по основ-
ным отраслям науки и техники как электрические и магнитные измере-
ния, акустические, оптические измерения, измерения тепловых и меха-
нических величин и др. Это было обусловлено потребностями развития
каждой отрасли науки. Тенденции дифференциации привели к созда-
нию отдельных отраслей измерений, а также соответствующих учебных
и научных специальностей, что в свою очередь обеспечило ускоренное
развитие отдельных отраслей измерений. Однако наряду с тенденциями
дифференциации в связи с развитием научных исследований на грани
разнородных явлений, созданием сложных систем с использованием
физических явлений различного рода, эффективностью взаимного про-
никновения методов измерения и измерительного преобразования из
различных отраслей науки и техники стали усиливаться и тенденции
интеграции в развитии метрологии и измерительной техники. Эти тен-
денции нашли отражение в создании теории информационно-измери-
тельных систем, предназначенных для разнородных физических вели-
чин, в создании основ теории точности измерительных устройств, основ
обобщенных формализованных методов измерения, пригодных для раз-
нородных физических величин в развитии методов обработки результа-
тов измерений, теории автоматического эксперимента.

Метрология как научная база измерений в любой науке обеспечи-
вает высокую достоверность связи явлений данной науки с формулами
ее теории. Это «внутреннее положение» метрологии долгое время в из-
вестной мере снижало ее значимость. До недавнего времени количество
и качество измерительной информации, получаемой в каждой отдель-
ной науке, могло обеспечиваться специфическими методами и средст-
вами этой «внутренней» в каждой науке метрологии.	\

Однако в настоящее время количество информации, необходимой
для новых научных открытий, для ведения сложных технологических
процессов столь велико (например, еще английский физикА. Майкель-
сон указывал, что новые физические открытия скрываются за погреш-
ностями измерения менее ЦГ4 %), методы и средства ее извлечения
столь сложны (вплоть до сложнейших измерительно-вычислительных
комплексов), что получение ее силами «внутренней» метрологии в
14
каждой отдельной области науки становится все более затруднитель-
ным.

Во все большей степени проявляется коммуникабельное свойство
измерений, соединяющих сложными двухсторонними связями объект
и теорию каждой науки между собой и другими науками. Теорети-
ческая метрология — научная основа одного из основных методов поз-
нания — является общей опорой все более многочисленных и сложных
отраслевых измерений — мостовых переходов между объектами и тео-
риями каждой из наук.

В настоящее время происходит расширение области метрологии как
науки об измерениях в нескольких новых направлениях:

в развитии теории общих измерений, или теории репрезентацион-
ных измерений величин, проявляющих себя только в отношениях эк-
вивалентности и порядка — для бихевиористических наук [69];

в развитии метрологических аспектов теории контроля, ведущему
к созданию наряду с Государственной системой обеспечения единства из-
мерений в стране также и системы обеспечения единства контроля [39];

в развитии теории метрологического обеспечения испытаний, ве-
дущему к созданию системы обеспечения единства испытаний, которая
на высоком уровне метрологического ее обеспечения создаст предпо-
сылки для дальнейшего повышения качества изделий;

в развитии метрологических аспектов теории идентификации и тео-
рии планирования эксперимента, ведущему к созданию системы обеспе-
чения единства научных исследований, которая призвана обеспечить
повышение производительности труда исследователя и значительную
экономию средств, затрачиваемых на научные исследования.

Накопление новых научных знаний и опьпа в области фундамен-
тальных измерений, в области определения зависимостей и метрологи-
ческого оценивания зависимостей, теории точного воспроизведения раз-
личных сигналов с заданными характеристиками на основе метрологи-
ческого оценивания совершенства воспроизведения — ведет постепен-
но к перерастанию современной теоретической метрологии в науку об
оценивании не только величин, но и свойств и зависимостей. Теории
эмпирических методов познания, в которых используется отражение
числами: счет, контроль, измерение, идентификация и научный экспе-
римент все в большей степени объединяются в единую общую науку.
Это и определяет то место, которое современная метрология занимает
среди других наук.

1.3.	ПОНЯТИЯ О ВЕЛИЧИНЕ, СЧЕТЕ, КОНТРОЛЕ И ИЗМЕРЕНИИ

Основными понятиями ИИТ являются информация и измерение. Ин-
формация в наиболее общем смысле является свойством материи, от-
личном от ее вещественных и энергетических свойств, содержательной
характеристикой отражения, определяется также как сведения, изме-
няющие начальную неопределенность наших знаний.

Измерение — это наиболее адекватное отражение числами свойств
и характеристик эмпирических объектов и явлений. В настоящее время
числовое оценивание очень быстро развивается и охватывает не только
собственно измерение физических величин, но и распознавание, конт-
роль, счет, идентификацию и научный эксперимент. Однако именно
измерение обеспечивает получение наиболее ценной количественной
информации, дающей возможность повысить качество и эффективность
других информационных процедур. Поэтому среди основных понятий
информационно-измерительной техники центральное место занимают
понятия метрологии, которые установились значительно раньше, чем
в других близких ей науках, и, в виду большой международной и обще-
государственной значимости измерений, регламентированы в между-
народных и государственных стандартах.

Основным понятием измерений, их объектом, является величина.
Наиболее общее философское определение величины дано Ф. Энгельсом
в «Диалектике природы»: «...всякое качество имеет бесконечно много
количественных градаций ... и, хотя они качественно различны, они
доступны измерению и познанию», «...существуют не качества, а только
вещи, обладающие качествами, и притом бесконечно многими качества-
ми» (К- Маркс, Ф. Энгельс. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 547). На этом основа-
нии можно сделать следующие выводы: «качеств», в данном случае из-
меряемых величин, бесконечно много; непрерывные величины имеют
бесконечное число количественных градаций, качественное различие
между которыми в будущем еще предстоит выяснить. В процессе позна-
ния человек использует различные формы отражения действительности
(материального мира), в том числе и с помощью формально-логических
объектов, наиболее удобным из которых является число. Измерения
являются одним из видов отражения, в котором формальным объектом,
т. е. результатом отражения, является совокупность чисел.

Трудность понятия измерения заключается в его кажущейся про-
стоте. Для более полного осмысливания сущности измерений рассмот-
рим их аксиоматику, определим основные понятия измерений дедук-
тивно на основе более общих понятий математической логики и пока-
жем их основные связи с понятиями других информационных процедур:
счета, классификации и контроля.

Установим основные разновидности эмпирических и формальных
объектов. Для этого обозначим: (X, Z) — несчетное множество свойств
эмпирических объектов X, состоящих между собой в несчетном мно-
жестве фактических отношений Z; (XX, Z^ — счетное множество фор-
мальных объектов XX — числовых характеристик свойств, состоящих
между собой в счетном множестве отношений ZN-

Основными эмпирическими объектами (ЭО) отражения числами яв-
ляются: 1) несчетное подмножество свойств объектов Хх £ (X, Z);
2) несчетное подмножество фактических зависимостей между свойства-
ми различных объектов Zt £ (X, Z)\

Основными результатами отражения — формальными объектами
(ФО) являются: 1) счетное подмножество совокупности чисел, отражаю-
щих свойства объектов Хт 6 (XX, Z^; 2) счетное подмножество число-
вых74 зависимостей ZXN между числовыми характеристиками различных
свойств объектов Z[N £ (XNZN)- Следовательно, отражение числами по
характеру объекта отражения можно разделить на отражение свойств
и отражение зависимостей между различными свойствами.
Рассмотрим более подробно разновидности отражения свойств со-
вокупностями чисел.

Эмпирические объекты обладают бесконечно большим числом
свойств, которые проявляются с бесконечным разнообразием, что ес-
тественно затрудняет их отражение совокупностями чисел с ограничен-
ной разрядностью. Однако среди этих многочисленных специфических
проявлений свойств есть и несколько общих. Н. Р. Кемпбеллом для все-
го разнообразия свойств X было установлено наличие трех наиболее об-
щих проявлений свойств в отношениях: эквивалентности, порядка и
аддитивности [82]. Эти отношения в математической логике аналитиче-
ски описываются простейшими постулатами.

Отношения эквивалентности R (=), когда данное свойство у различ-
ных объектов оказывается одинаковым или неодинаковым — описывает-
ся постулатами:

1)	дихотомии (сходства или различия): либо X (А) я? X (В), либо
X (А) ф X (В)-,

2)	симметричности (симметричность отношения эквивалентности):
если X (А) « X (В), то X (В) « X (А);

3)	транзитивности по качеству (переход отношения эквивалент-
ности): если X (А) « X (В) и X (В) « X (С), то X (А) « X (С).

Отношения порядка У? (<) — когда данное свойство у различных
объектов оказывается больше или меньше — описываются постулата-
ми:

1)	антисимметричности: если X (А) > X (В), то X (В) < X (А);

2)	транзитивности по интенсивности свойства (переход отноше-
ния порядка): если X (А) > X (В) и X (В) > X (С), то X (А) > X (С).

Отношения аддитивности R (+), когда однородные свойства различ-
ных объектов могут суммироваться — описываются постулатами:

1)	монотонности (однонаправленности аддитивности): если X (А)=а
= X (С) и X (В) > 0, то X (А) + X (В) > X (С);

2)	коммутативности (переместимость слагаемых);

X (А) + X (В) = X (В) + X (А);

3)	дистрибутивности:

X (А) + X (В) = X (А + В);

4)	ассоциативности (независимость суммы от замены слагаемых их
суммами [X (А) + X (В)] + X (С) = X (А) + [X (В) + X (QL

Н. Р. Кемпбеллом показано, что в зависимости от проявления наи-
более общих отношений эквивалентности, порядка и аддитивности
следует различать три вида свойств и величин:

ХЭкв — свойства, проявляющие себя только в отношении эквива-
лентности;

Хннт — интенсивные величины, проявляющие себя в отношении
эквивалентности и порядка;

Хэко — экстенсивные величины, проявляющие себя в отношении
эквивалентности, порядка и аддитивности.

Рассмотрим характерные особенности этих свойств и соответствую-
щие следствия.
Свойства, удовлетворяющие отношению эквивалентности.
Понятие счета

Если свойство проявляет себя только в отношении эквивалентности,
то объекты, обладающие этим свойством, могут быть обнаружены, клас-
сифицированы и подвергнуты контролю по классам свойств эквивалент-
ности и отражены соответствующими формальными объектами — чис-
лами. Эти числа могут быть использованы для определения вероят-
ности появления данного свойства, модальности, но не могут быть ис-
пользованы для суммирования и других математических операций. >

Можно привести много примеров объектов, обладающих свойствами
эквивалентности — это различные виды сигналов, виды животных,
пол и т. д. Каждая группа таких объектов отличается характерными
свойствами, отличается соответствующим наименованием и распознает-
ся по эквивалентности либо экспертами, либо техническими средства-
ми распознавания, обнаружения, контроля и классификации. Свойст-
ва, проявляющиеся в отношении эквивалентности, отображаются изо-
морфно, т. е. взаимно однозначно в обоих направлениях. При этом дан-
ному эмпирическому объекту Xj соответствует только данный фор-
мальный объект, например, в виде числа Nr, и наоборот. Данное свойст-
во объекта Хэкв можно отобразить при классификации любой цифрой
или другим знаком:

Х^Х^)-^^ ... Хн).

Основным информативным параметром совокупности объектов,
обладающих Хэкв, является их количество или численность Qx3KB, ко-
торая определяется путем счета, выполняемого человеком или автома-
тическим счетным устройством. При счете численность Qx качественно
однотипных объектов, обладающих свойством Хэкв, отражается соот-
ветствующим числом из натурального ряда чисел. На основе этого мож-
но составить логическое выражение счета совокупности объектов, об-
ладающих Хэкв,

i=sNQx

Qxt л Xi G (Хэкв) Л Nq (1... Хн) -> NQx = S Х 1^16

1 t=l
где Nor — число однотипных объектов.

Счетом называется определение численности качественно одно-
типных объектов в данной их совокупности. Результатом счета является
число объектов. Основными характеристиками счета являются досто-
верность и скорость. Счетным называется устройство, определяющее
число объектов в данной их совокупности. Для осуществления счета
необходимо обнаружение каждого объекта в отдельности. Считаемая
совокупность предметов в общем случае может представляться в виде
совокупности, распределенной в пространстве или во времени. Обычно
каждый индивидуально обнаруженный объект представляется импуль-
сом, а вся совокупность — одноканальной последовательностью им-
пульсов, т. е. дискретизированным во времени сигналом. Счет сово-
купности предметов, распределенных в пространстве, труднее автома-
тизировать. Поэтому обычно ее «преобразуют» в совокупность, рас-
пределенную во времени.
Интенсивные величины, удовлетворяющие отношениям
эквивалентности и порядка. Понятия величины и контроля

Многие свойства проявляют себя не только в отношении эквива-
лентности, но и в отношении наличия у них количественной ординаты
свойства, интенсивности. Такие свойства названы интенсивными вели-
чинами (при расчленении объекта эти свойства обычно остаются неиз-
мененными) .

Сравнением интенсивных величин можно определитъ их соотноше-
ние, упорядочитъ по интенсивности данного свойства. При сравнении
интенсивных величин выявляется отношение порядка (больше, меньше
или равно), т. е. определяется соотношение между величинами. Срав-
нение интенсивных величин производится экспериментаторами или спе-
циальными техническими средствами. Соотношения между величинами
или свойствами эмпирических объектов отражаются обычно двузначны-
ми (0,1) кодовыми сигналами.

Интенсивные величины могут быть не только обнаружены, класси-
фицированы по интенсивности, подвергнуты контролю, но и количест-
венно оценены монотонно возрастающими или убывающими числами.
На основе этого подхода сформулировано понятие физической величины
и размера физической величины.

Физическая величина (ГОСТ 16263—70) — это свойство общее в ка-
чественном отношении множеству объектов и индивидуальное в коли-
чественном отношении у каждого из них.

Размер физической величины — количественное содержание в дан-
ном объекте свойства, соответствующего понятию «физическая величи-
на» (ГОСТ 16263-70).

К интенсивным величинам относятся некоторые физические вели-
чины (твердость, запах), а также величины, характеризующие свойст-
ва человеческого интеллекта. К последним относятся степень знания
данного учебного предмета; величины, характеризующие мастерство в
спорте, в искусстве. Интенсивные величины отражаются путем коли-
чественного, главным образом экспертного, оценивания, при котором
свойства с большим размером отражаются большим числом, чем свойст-
ва с меньшим размером. Твердость, например, оценивается по шкале
Мооса, в которой твердость талька 1, твердость кварца 7, твердость
корунда 9 и алмаза 10. При таком оценивании одинаковым интервалам
между размерами данной величины не соответствуют одинаковые раз-
ности чисел, отражающих размеры. Эти числа могут быть использова-
ны для определения вероятностей, моды, медианы, квантилей, коэффи-
циентов ранговой корреляции, однако не могут быть использованы
для суммирования, умножения и других математических операций.
Оценивание числами интенсивных величин анализируется математика-
ми в так называемой репрезентационной теории измерений П. Суппе-
сом и Д. Зинесом, И. Пфанцаглем и др. [70, 82]. Разрабатываются ме-
тоды более совершенного количественного оценивания [67].

Наиболее распространенный вид классификации по интенсивности,
по размеру величины, реализуемый в автоматических устройствах,
называется распознаванием. Трудность распознавания состояний
объектов зависит прежде всего от числа распознаваемых состояний. При
двух возможных состояниях задача распознавания превращается в за-
дачу обнаружения. Трудность распознавания обусловливается также
тем, что зависимость состояния объекта аъ а2.от размера данной

величины X носит случайный характер. Разработана статистическая
теория распознавания, обеспечивающая возможность создания совер-
шенных автоматических устройств распознавания.

Объекты, характеризующиеся интенсивными величинами, могут
быть подвергнуты контролю в отношении определения состояния объекта
в норме или вне нормы, по соотношению размеров этих величин. Контроль
является разновидностью процедуры распознавания состояний объек-
та, при котором обычно контролируемые объекты до контроля нахо-
дятся в одном из трех состояний: ниже нормы, норма и выше нормы.

Контролем называется процедура установления соответствия меж-
ду состоянием объекта и нормой. Для реализации процедуры простей-
шего однопараметрового контроля необходимы образцовые объекты,
характеризующие параметры которых равны соответственно хн —
нижней границе нормы и хв — верхней границе нормы, и устройства
сравнения. На основе этого определения можно составить логическое
выражение процедуры однопараметрового контроля по интенсивности

Xt g (Хинт) Л зона нормального состояния расположена между ха
И Хв Л (Х131ХН) Л (*1 $ хв) ->

-> Q,: результат контроля

ниже нормы (Хг <; хн);

норма (Хт > Хн) и (Xj < хь);
выше нормы (Xi > хв).

Высокая степень развития теорий распознавания, диагностирова-
ния и контроля позволили создать соответствующую современную ап-
паратуру с высокой эффективностью и быстродействием.

Экстенсивные величины, удовлетворяющие отношениям
эквивалентности, порядка и аддитивности. Понятия об единице
величины и измерении

Если величина проявляется в отношениях эквивалентности, поряд-
ка и аддитивности или может быть преобразована по известной зависи-
мости с заданной точностью в такую величину, то она может быть не
только обнаружена, классифицирована и проконтролирована, но и из-
мерена. Эти величины являются обычно физическими вещественными
или энергетическими свойствами объекта (которые при его расчленении
изменяются). При измерении Хэкс несчетное множество размеров Хэко
отображается на счетное подмножество в виде совокупности чисел
хх, которое также должно удовлетворять отношениям эквивалентности,
порядка и аддитивности. Числа xn являются результатами измерений
и могут быть использованы для любых математических операций.

Рассмотрим свойства, которыми должен обладать формальный объ-
ект в виде совокупности чисел xn, чтобы удовлетворять требованиям
20
эквивалентности, порядка и аддитивности и соответствующие поня-
тия измерений.

1.	Для проявления в отношении эквивалентности совокупность
чисел Xn, отражающая большое число различных по размеру однород-
ных величин, должна быть совокупностью одинаково именованных
чисел. При этом «имя» каждого из них является наименованием его
единицы или ее доли.

Единица физической величины (ГОСТ 16263—70) — это физическая
величина, размеру которой по определению присвоено числовое зна-
чение 1. В дальнейшем единицу величины или ее десятичную долю бу-
дем обозначать qx.

2.	Для проявления в отношении эквивалентности и порядка число
отражающее большую по размеру величину Л\> Х2, выбирается
большим, чем число N хг, отражающее меньшую по размеру величину
Х2, ПРИ этом в обоих случаях используется одна единица величины.
Для выполнения этого условия в качестве искомой совокупности чи-
сел XN...XNa выбирают упорядоченное множество действительных
именованных чисел с естественным отношением порядка.

3.	Для проявления в отношении эквивалентности, порядка и адди-
тивности отвлеченное число, равное числовой оценке суммарной изме-
ряемой величины Хдс, возникающей в результате сложения составляю-
щих однородных величин, должно быть равно сумме числовых оценок
этих составляющих, а сумма именованных чисел xn., отражающих
составляющие, должна быть равна именованному числу Хка, отражаю-
щему суммарную величину

L—П

Nx = S h', xN = S xn, = S Nxflx.,

тогда

X/vc = Nxzqx
и qx = qx. при любом i.

Приведенное требование будет выполнено только при равенстве
размеров единиц у всех именованных чисел, отражающих суммарную
величину и ее составляющие. На этом основании определяются значе-
ние величины Xn и числовое значение величины

Значение величины xn — оценка физической величины в виде неко-
торого числа принятых для нее единиц. Например, 5 ампер — значение
тока xn = И xqx. Значение величины становится известным только пос-
ле измерения величины. Поэтому не корректно выражение «измерение
значения величины». Величину измеряют, а значение величины опреде-
ляют.

Числовое значение величины Nх — это отвлеченное число, выражаю-
щее отношение значения величины к соответствующей единице данной
физической величины. В выражении «ток 5 ампер» N х = 5 — это чис-
ловое значение величины, ампер — единица величины qx.

Истинное значение физической величины X — значение физической
величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и
количественном отношениях соответствующее свойство объекта. Экспе-
риментально определить его невозможно. Однако есть величины, истин-
ное значение которых известно по сути определения, например один
полный оборот равен 2л радиан.

Действительное значение физической величины ХЛ — найденное экс-
периментальным путем и настолько приближающееся к истинному, что
может быть использовано вместо него. Определяют его по образцовым
мерам и приборам, погрешностями которых по сравнению с погреш-
ностями поверяемых мер или приборов можно пренебречь.

Все измеряемые физические величины можно разделить на две
группы:

непосредственно измеряемые величины, которые могут быть вос-
произведены с заданными размерами и сравнимы с себе подобными,
например длина, время, масса;

величины, преобразуемые при измерении с заданной точностью в
непосредственно измеряемые величины, например температура, плот-
ность.

Известна аксиома Архимеда: «Если на прямой даны любые два от-
резка A < В, то можно А повторить слагаемым столько раз, чтобы сум-
ма была больше В : АА~АА~АА~... А~А — A (Хх 1) В.

Если ANx <. В, В А, то из аксиомы Архимеда получаем уравне-
ние, основанное на предположении равенства всех отрезков А, слагае-
мых внутри отрезка В:

где Е (entire) — условное обозначение целой части числа.

Принимаем, что X = В и А = qx.

Для применения аксиомы Архимеда необходимо обеспечить возмож-
ность точного суммирования величин «отрезков» qx, т. е. воспроизведе-
ния образцовых величин с заданными размерами Nxqx при изменении
Ых от 1 до Na. Точное суммирование «отрезков» возможно лишь при
выполнении постулата аддитивности. Воспроизведение образцовых
величин реализуется в многозначной мере. Таким образом, логически
подходим к понятию операции воспроизведения и понятию меры.

Воспроизведение — это операция создания величины заданного раз-
мера.

Мера — это техническое средство воспроизведения величины за-
данного размера.

В простейшем случае путем сравнения размера величины X с раз-
мерами выходной величины регулируемой многозначной меры Nxqx
устанавливают два соотношения: N xqx <Z X и (Nх + 1) qx > X, а за-
тем из двух неравенств получают простейшее уравнение измерения для
числового значения величины N х, равного целой части отношения

АГх = £|Х/^|.

Важным условием реализации процедуры измерения в этом случае
является наличие набора единичных отрезков длиной А = qx, т. е.
наличие регулируемой меры — средства воспроизведения величины
заданного размера и устройства сравнения. Более сложные алгоритмы
измерения рассмотрены в п. 2.4.
На основе приведенных выше понятий можно определить процедуру
прямого измерения непосредственно измеряемой величины:

Измерение величины является опытной процедурой отражения
размера измеряемой величины, находящегося по результатам двух
операций сравнения между известными по значению размерами образ-
цовой величины %! = Nxqx и х2 = (Их + 1) qx, воспроизводимых мерой
и значением величины, равным Xn = ИXqx-

На этом основании можно составить логическое выражение, кото-
рым описывается процедура измерения в простейшем случае (прямые
измерения без предварительных преобразований):

XjEPGkc] Л € (1

где (l...AfH) — ограниченный натуральный ряд чисел

Л l(Nx, + 1) qx > Xi] Л \(Nx,qx < %i)] Их, = E | Xr/qx

Таким образом, на основе использования общих постулатов экви-
валентности, порядка и аддитивности получено понятие прямого изме-
рения непосредственно измеряемой величины близкое к классическому
определению М. Ф. Меликова: «Измерение — познавательный процесс,
заключающийся в сравнении путем физического эксперимента данной
величины с известной величиной, принятой за единицу сравнения»
[47]. При этом показано, что измерение невозможно без выполнения
двух операций воспроизведения и сравнения. В более общем смысле
измерение — это определение значения величины опытным путем с по-
мощью специальных технических средств.

Ограниченность числового значения измеряемой величины приво-
дит при отображении к гомоморфизму, т. е. к неоднозначности при об-
ратимости. Измерение является гомоморфным отображением, так как
данному размеру X в диапазоне от Nxqx до (Nх + 1) qx соответствует
одно значение Xn = Nxqx, а данному Xn — соответствует множество
размеров X в указанном диапазоне. Это вносит вероятностный аспект
в отражение не только случайной, но и постоянной величины, и
является причиной появления неизбежной методической погрешности
измерения, которой является погрешность от квантования. Эта погреш-
ность возникает из-за принципиального несовершенства измерения как
метода отражения непрерывного размера величины — числом с огра-
ниченным количеством разрядов, что практически реализуется в ограни-
ченности многозначности меры.

Измерение как процесс отражения, также является одной из разно-
видностей распознавания, при котором число возможных «состояний»
объекта, т. е. значений измеряемой величины, достигает 10° и более,
а плотность распределения «состояний» обычно равномерна. При слу-
чайном характере измеряемой величины и погрешности средства изме-
рения результат измерения оптимизируют по критерию минимума
среднего риска (см. п. 4.2).

Понятие о шкалах измерений

Одно эмпирическое подмножество свойств эмпирических объектов
может быть отражено двумя и более подмножествами формальных объ-
ектов. Различные числовые подмножества Xin, и х1Л/2, отражающие одно
и то же эмпирическое подмножество Х1( находятся в определенной взаи-
мосвязи. Эта связь выражается в понятии шкалы измерений. Шкала
измерений является зависимостью между элементами данного числово-
го подмножества Хш, и подмножества Xin,, отображающих одно и то же
эмпирическое подмножество Хг

Если свойство эмпирических объектов проявляет себя только в от-
ношении эквивалентности, то эта зависимость отсутствует, так как в
данном случае каждое подмножество объектов может быть представле-
но любым числовым подмножеством. Такая шкала называется шкалой
наименований или шкалой классификации.

Если свойство данного эмпирического объекта X проявляет себя
в отношениях эквивалентности и порядка, то шкала измерений — за-
висимость между его отражениями, является монотонно убывающей
или возрастающей, т. е., если Xi > х\, то хм, > Xijv, и > хьу2 на-
зывается шкалой порядка или шкалой рангов. Примерами шкал поряд-
ка являются: шкала Мооса — в минералогии, Бофорта — в метеоро-
логии. Соответствие размеров данной величины тому или иному участ-
ку шкалы порядка устанавливают сравнением ее с размерами данной
величины у объектов с образцовыми, известными по размеру величи-
нами.

Если свойство эмпирического объекта проявляет себя во всех трех
отношениях, т. е. является измеряемой величиной, то зависимость меж-
ду числовыми подмножествами хцу, и хм, выражается уравнением
Xini = axixs — в шкале отношений и xiwt = А +	— в шкале интер-

валов. В шкалах отношений измеряется большинство физических ве-
личин. Примером шкал интервалов являются шкалы измерения темпе-
ратур, например, Цельсия, Фаренгейта, Реомюра.

1.4. РАЗМЕРНОСТИ И ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

В каждом разделе физики объективно существующие зависимости
между свойствами объектов представляются рядом независимых урав-
нений, которые и являются уравнениями между величинами. При этом
число величин п всегда больше числа уравнений т; т величин данной
системы определяются через другие величины, ап — т. величин —
условно независимы друг от друга. Эти величины принято называть ос-
новными, а остальные — производными. В качестве основных величин
теоретически могут быть выбраны любые из данного числа величин, но
практически в качестве основных выбирают величины, которые могут
быть воспроизведены и измерены с наиболее высокой точностью.

Основная физическая величина — физическая величина, входящая
в систему и условно принятая в качестве независимой от других вели-
чин этой системы, например масса, длина, время для системы механи-
ческих величин.

Производная физическая величина — физическая величина, входя-
щая в систему и определяемая через основные величины этой системы,
например ускорение в системе механических величин. Такой метод
построения величин был предложен К. Ф. Гауссом в 1832 г. Первая
система единиц была названа его именем.
Размерности величин

Зависимость каждой производной величины от основных выражает-
ся ее размерностью. Согласно ГОСТ 16263—70, размерность — это
выражение, отражающее связь величины с основными величинами
системы, в котором коэффициент пропорциональности принят равным
единице. Размерность величины представляет собой произведение обо-
значений основных величин, возведенных в соответствующие степени,
и является ее качественной характеристикой. Размерности основных ве-
личин выражаются через их обозначения, например размерности дли-
ны, времени и массы записываются так: dim (Z) = Ц dim t = Т;
dim (m) = М, где dim — сокращенное dimension, размерность.

Размерности производных величин определяются на основе соот-
ветствующих уравнений физики. Например, размерность скорости

17	17	dim I	I_i	r rr\—i

V = -г-: dim V = ..	= LT ;

t	dim/ T	’

/
размерность ускорения g =	:

,.	dim/	L	т rn—2

dim g = -r.—-г- =	= LT .

6 dim/2	T1

На основе размерности производной величины можно легко опреде-
лить, во сколько раз изменится ее размер при известных изменениях
размеров основных величин. Так, если размерность величины х равна
LJ'M^T'/, а длина, масса и время изменяются соответственно в а, b
и с раз, то размер величины х изменится в ааЬ&су раз.

Размерная физическая величина — величина, в размерности которой
хотя бы одна из основных величин возведена в степень, не равную
нулю. Большинство измеряемых величин являются размерными, вхо-
дящими в соответствующие физические законы и зависимости. Физи-
ческое уравнение отражает зависимость между физическими величина-
ми, в нем буквенным символам придается смысл величин, каждая из
которых может быть представлена в виде произведения числового зна-
чения на размерность. Размерности обеих частей уравнения должны
быть одинаковы. Полезно помнить об этом и проверять правильность
уравнения путем сравнения размерности правой и левой его частей.

Безразмерная, или относительная, величина представляет собой
отношение данной физической величины к одноименной хоп, приме-
няемой в качестве исходной, или опорной. Относительные величины
нашли широкое применение для характеристики состава и свойства ве-
ществ (например относительная плотность, относительное удлинение),
отношение энергетических величин (например, усиление по мощности,
усиление по напряжению, коэффициенты трансформации, затухания,
отражения).

Единицы величин

Единица физической величины — это физическая величина, разме-
ру которой, по определению, присвоено числовое значение 1.
В СССР с 1961 г. принята Международная система единиц (СИ),
которая в настоящее время состоит из семи основных единиц, через
которые наиболее удобно выражаются остальные величины. Едини-
цы этих величин могут быть в большинстве случаев воспроизведены
с максимальной точностью с помощью естественных наиболее неизмен-
ных величин и явлений. Наличие точно воспроизводимых, хранимых
и точно передаваемых единиц физических величин, парка современных
средств измерений, развитых методов измерений дает возможность ре-
шить задачу обеспечения единства измерений, выполненных в разных
местах, в разное время и различными средствами.

Единицы физических величин, допущенных к применению в СССР,
установлены ГОСТ 8.417—81 «Единицы физических величин». Воско-
ву стандарта положены единицы СИ. Это следующие семь основных еди-
ниц физических величин: массы — килограмм (кг); длины — метр (м);
времени — секунда (с); силы тока — ампер (А); термодинамической
температуры — кельвин (К); силы света — кандела (кд); количества
вещества — моль; две дополнительные единицы — радиан и стера-
диан и 113 производных единиц, в том числе пространства и време-
ни — 6, механических — 14, электрических и магнитных — 40, теп-
ловых — 11, световых — 15, акустических — 14, ионизирующих излу-
чению — 2 и молекулярной физики и физической химии — 11.

Основные особенности нового стандарта:

в качестве единицы давления принят ньютон (Н) (рав-
ный ~ 0,101 кгс);

в качестве единицы давления принят паскаль (Па) (1 атм = 105 Па);

обозначения единиц, названных в честь великих ученых, при-
нято писать с прописной буквы, а остальные — строчными бук-
вами;

прописными буквами обозначаются также кратные приставки: Т —
тера, Г — гига, М — мега, а остальные — строчными буквами.

Единицы относительной и логарифмической величин допущены к
применению наравне с единицами СИ.

Относительная величина — это отношение двух одноименных
физических величин.

Отношение двух близких по размеру одноименных величин х и хоп
выражается в долях единицы.

Если опорная величина во много раз превышает измеряемую, то
относительную величину удобно выражать в процентах, тысячных и
миллионных долях. В этом случае при равенстве х и хоп их отношение
принимается условно равным соответственно 10+2, 10+3 и 10+6.

Процентом называется относительная единица, равная 0,01 = 10~2»
обозначаемая %.

Промилле — это относительная единица, равная 0,001 = 10~3, ко-
торая обозначается °/00.

Миллионной долей называется единица, равная 0,000001 = 10~6,
которая сокращенно обозначается млн-1 или ppm.

Если отношение двух одноименных физических величин изменяется
в очень широких пределах в обе стороны от 1, то для ее измерения и
представления на ограниченном обозримом отрезке удобно применить
логарифмическую величину.

Логарифмической величиной называют логарифм отношения двух
одноименных величин.

В качестве логарифмических единиц применяют бел (Б), децибел
(дБ, равный 0,1 Б), октаву, декаду.

Систематизация физических величин

Для более детального изучения физические величины необходимо
систематизировать, выявить общие метрологические особенности их
отдельных групп (рис. 1.3).

Основным признаком систематизации является принадлежность ве-
личин к одной из трех основных сторон явлений — вещественной,
энергетической и информационной. Соответственно измеряемые вели-
чины можно подразделить следующим образом:

величины «вещественной» группы — физические и физико-химиче-
ские свойства веществ и их состав;

величины «энергетической» группы — свойства, отражающие энер-
гетические характеристики процессов;

величины «информационной» группы — свойства, отражающие ди-
намические и статистические характеристики процессов.

Измерение величин «вещественной» группы необходимо для изу-
чения веществ, для управления технологическими процессами. К этой
группе из электрических величин, например, относятся сопротивление,
диэлектрическая проницаемость, температурный коэффициент сопро-
тивления. Общность методов измерительных преобразований большей
части вещественных величин заключается в использовании измеритель-
ных преобразований, в применении функциональных преобразовате-
лей, косвенных и совместных измерений.

Измерение величин «энергетической» группы необходимо для изу-
чения и управления процессами преобразования, передачи и использо-
вания энергии. К этой группе из электрических величин относятся нап-
ряжение, ток, мощность, энергия. Общность методов измерительных

Рис. 1.3. Систематизация физических величин.
преобразований энергетических величин заключается прежде всего
в возможности использования процессов преобразования энергии из
одного вида в другой. Метрологическая общность заключается в воз-
можности использования при измерительном преобразовании энерге-
тических процессов.

Измерение величин «информационной» группы необходимо для ка-
чественного и эффективного управления. К этой группе можно отнести
амплитудный, частотный и фазовый спектры, дифференциальные и ин-
тегральные значения сигнала, суммы, разности, произведения или от-
ношения нескольких сигналов, корреляционные функции и т. д.
Общность методов измерительных преобразований информационных
величин заключается в том, что они являются параметрами сигналов
различной физической природы, которые перед измерением обычно пре-
образуются в электрический сигнал.

В настоящее время наиболее быстро увеличивается число измеряе-
мых величин «вещественной» группы, что отражает опережающее раз-
витие аналитического приборостроения — средств измерения состава
веществ, а также величин «информационной» группы — статистиче-
ских и динамических параметров процессов. Систематизация физиче-
ских величин по трем остальным признакам показана на рис. 1.3.

1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Познание окружающих нас эмпирических объектов в последнее вре-
мя особенно быстро развивается в области отражения зависимостей
между величинами, характеризующими эти объекты — числовыми мо-
делями, степень совершенства которых оценивается количественно.
Эту область знаний называют по-разному: идентификацией, моделиро-
ванием, теорией испытаний объектов, измерением зависимостей и сов-
местными измерениями. Определение зависимостей только сравнитель-
но недавно сформулировано как самостоятельное направление в теории
измерений [11. Определение зависимостей является одной из основных
процедур при технической диагностике, автоматических испытаниях,
в научном эксперименте и при соответствующем метрологическом обес-
печении позволит значительно повысить производительность труда ис-
следования. Все большее внимание уделяется повышению точности ко-
личественной оценки отражения фактических зависимостей, что и пред-
определяет постепенное сближение этой области с наукой об измё-
рении.

Зависимостью называется совокупность соответствующих величин,
из которых, по крайней мере, одна определяет значение другой, напри-
мер У = f (X). Входящая в зависимость величина, значение которой
в данном случае не зависит от других, называется аргументом. Зависи-
мость между величинами может быть отражена измерением совокуп-
ности соответствующих значений величин У и X с последующим изобра-
жением в виде графика или числовой таблицы, а также измерением па-
раметров ее аналитической модели.

К первому виду определения зависимостей относятся, например,
динамические измерения X (/) (п. 9.5), измерения частотных характе-
ристик. Определение зависимости X (/) при динамических измерениях
решается путем непрерывного или дискретного числового отображения
зависимости X от t в виде графика или числовой таблицы. Результаты
такого отображения из-за громоздкости мало удобны для последующего
использования как оператором, так и вычислительной машиной. Од-
нако, если зависимость X (t) непрерывно меняется и по характеру, и
по диапазону изменения, то такие измерения оправданы. Если харак-
тер зависимости остается неизмененным, а изменяются (причем, мед-
ленно) только ее параметры, то тогда более целесообразен второй вид
определения зависимостей на основе априорной информации об анали-
тической модели зависимости. В связи с этим возникает задача опреде-
ления параметров зависимости, т. е. параметров ее числовой модели.
Эта задача может быть реализована прямо или косвенно по результа-
там предварительного определения совокупности соответствующих
значений зависимых величин. Например, задачу определения зависи-
мости от времени X (t) полигармонического сигнала с дискретным
спектром, содержащим п гармоник, можно решить параллельным ана-
лизатором спектра или решить 2п уравнений по результатам 2п изме-
рений мгновенных значений сигнала X и времени t и по ним определить
2п неизвестных параметров этого сигнала X (/).

Определение значений параметров зависимостей производится на
основе одновременных измерений обычно разноименных величин, вхо-
дящих в зависимость, и обработки результатов измерений. Примерами
определений зависимостей могут служить совместные измерения и иден-
тификация.

Совместными измерениями (ГОСТ 16263—70) называются одновре-
менные, прямые или косвенные измерения разноименных величин,,
на основе которых определяются зависимости между ними.

Идентификацией (ГОСТ 20913—75) называется определение пара-
метров и структуры математической модели процесса, обеспечивающие
наилучшее совпадение координат модели и процесса при одинаковых
входных воздействиях. Это определение идентификации близко к при-
веденному ранее определению понятия определения параметров
зависимостей.

Определение параметров зависимостей оформляется в самостоятель-
ную научную и техническую область, в развитие которой вносят свой
вклад исследователи различных специальностей. Важнейшим показате-
лем качества процедуры определения параметров зависимости явля-
ется метрологическая оценка, т. е. точность, характеризующая
степень приближения полученной числовой модели к реальной за-
висимости. Определение параметров зависимостей между величинами
отличается от измерения величин тем, что при измерении величин уста-
навливаются отношения между величинами и числами их отображаю-
щими, а при определении параметров зависимостей — отношения меж-
ду зависимостями и числовыми моделями, отражающими их.

В определении параметров зависимостей и измерении величин мно-
го общего, например:

измерение величин обычно предшествует определению параметров
зависимостей;
методы повышения точности определения параметров зависимостей
обычно, как и при многократных измерениях величин, основываются
на осреднении случайной составляющей погрешности;

процедуру определения параметров зависимости, так как и проце-
дуру измерения величин, можно разделить на операции воспроизведе-
ния зависимостей (с помощью функциональных генераторов) и срав-
нение зависимостей с помощью компараторов зависимостей, преобра-
зование зависимостей, запоминание зависимостей и т. д.;

методы определения параметров зависимостей, как и методы изме-
рения величин, можно разделить на две группы — 1) методы сопостав-
ления параллельные, осуществляемые за время реализации зависимо-
сти, и 2) методы последовательные, осуществляемые за время, превы-
шающее время реализации зависимости.

Определение параметров зависимостей реализуется как правило
с помощью информационных измерительных систем и измерительно вы-
числительных комплексов.
Глава 2

ОПЕРАЦИИ И МЕТОДЫ
ИЗМЕРЕНИЙ И КОНТРОЛЯ

Измерение и контроль — наиболее широко применяемые информа-
ционные процедуры. Они принципиально различны, так как измери-
тельная информация имеет количественный характер, а контрольная —
качественный. Операции измерения и контроля реализуется с помо-
щью специальных технических средств и описываются аналитическими
выражениями. Методы измерения и контроля являются совокупностью
ряда операций, осуществляемых по определенному алгоритму.

2.1.	ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ И СРЕДСТВА ИХ РЕАЛИЗАЦИИ

Измерение — многооперационная процедура, содержащая опера-
ции как общие для всех информационных процедур (запоминание, пе-
редача, коммутация), так и специфические метрологические — воспро-
изведение величин заданного размера, сравнение величин, измеритель-
ные преобразования, в том числе масштабные преобразования. Каждая
из этих операций формализуется соответствующими аналитическими
выражениями, например, воспроизведение суммированием, делением
и умножением, сравнение — вычитанием, измерительное преобразова-
ние — квадрированием, интегрированием, логарифмированием.

Таблица 1. Операции процесса измерения и элементарные средства их реализации

Операция	Элементарное средство реализации операции измерения		Условное обозна- чение средства измерений		
Измерительное преобразование	Измерительный (ИП)	преобразователь	X		1 Y.
Сравнение	Устройство сравнения (компа- ратор) (УС)		X	рс~	1	gi
					
Воспроизведение величины за- данного размера	Мера (М)		W		Хм
Масштабное преобразование	Масштабный (МП)	преобразователь	X		X,
Измерение — это нахождение значения физической величины опыт-
ным путем с помощью специальных технических средств (п. 1.2), ко-
торые и называются средствами измерения. Средства измере-
ний предназначены для реализации измерений и обладают нормиро-
ванными метрологическими характеристиками. Наличие у средств из-
мерений нормированных метрологических характеристик обеспечивает
возможность получения результатов измерения с определенной сте-
пенью точности и достоверности.

Средства измерений в зависимости от возможности полного завер-
шения с их помощью процедуры измерения разделяются на средства
реализации операций измерения и процедуры измерения. Будем услов-
но называть их соответственно элементарными (ЭСИ) и комплексными
(КСИ).

К ЭСИ относятся: измерительный преобразователь, устройство
сравнения, мера и масштабный преобразователь. В них реализуются
операции процедуры измерения — соответственно измерительное пре-
образование, сравнение, воспроизведение величины заданного размера
и масштабное преобразование (табл. 1).

С помощью любого, отдельно взятого элементарного средства изме-
рения, в общем случае нельзя определить значение величины.

К КСИ относятся измерительные приборы и измерительные систе-
мы. Эти средства состоят из наборов ЭСИ, каждым из которых может
быть реализован соответствующий метод измерения. В КСИ процедура
измерения завершается получением значения величины Xn-

Ня вход каждого средства измерений подается входной сигнал,
т. е. физический процесс, один из параметров которого в простейшем
случае является измеряемой величиной X.

Рассмотрим основные особенности операций измерения и средств
их реализации.

Воспроизведение величины заданного размера и мера

Воспроизведение величины заданного размера — это важнейшая
операция процесса измерения, заключающаяся в создании выходного
сигнала с заданным размером информативного параметра.

Методом воспроизведения будем называть совокупность приемов
использования физических процессов и явлений с целью получения
выходного сигнала с заданным размером информативного параметра.

Средство измерений, предназначенное для воспроизведения физи-
ческой величины заданного размера, называется мерой. Воспроизведе-
ние величины заданного размера можно формально представлять как
преобразование кода в данную физическую величину, основанное на
единице данной физической величины. «Выходом» меры при этом яв-
ляется квантованная аналоговая величина заданного размера Xn =
= NxqK, а «входом» следует считать числовое значение величины Л\.
Преобразователь код — аналог, выходная величина которого имеет
значения, выраженные в единицах данной величины, является автома-
тически управляемой мерой, в которой создается квантованный
сигнал.
Для измерения величины, изменяющейся в широком диапазоне зна-
чений, выход меры должен обладать многозначностью, т. е. либо быть
распределенным во времени, либо в пространственными словами мера
должна быть или регулируемой, или многоканальной.устройство ав-
томатической меры во многом определяется видом системы счисления,
в которой представлено число, управляющее мерой (п. 7.3). При этом
регулирование меры может осуществляться как по детерминированно-
му закону, например по закону «лесенки»:

XN (/) = Nx (/) qK

при изменении Nx (t) от 0 до 7VH через одинаковые интервалы времени
единичными ступенями, так и по случайному закону с заданным зако-

ном распределения, например равномерным, несимметричным — у

стохастической меры

Р (М = Р (NxqK) =

1/Л^н<7к при Nx<Na;

О при Nx > 2VH,

(2.1)

где Nx £ — 1,2, 3, ..., Na; qK — ступень квантования меры, цена еди-
ницы младшего десятичного разряда числового значения Nx.

Меры могут быть однозначными и многозначными, поэтому будем
различать:

одноканальную нерегулируемую меру, воспроизводящую величину
одного неизменного размера, например элемент Вестона (рис. 2.1, а).
Ее уравнение

Xn — NxqK = const; Nx = const; qK = const;

одноканальную регулируемую меру, воспроизводящую в данный мо-
мент величину одного известного размера, который может изменяться,
например конденсатор переменной емкости (рис. 2.1, б) в виде переклю-
чаемого набора емкостей. В этой мере осуществляется временное раз-
деление выходных величин меры, закон изменения их может быть де-
терминированным или случайным с заданными характеристиками. Ее
уравнение

Xn = NxqK',	(2-2)

Nx = var; qK = const;

многоканальную нерегулируемую меру, воспроизводящую одновре-
менно несколько одноименных величин с известными неизменными раз-
мерами, например линейка или делитель напряжения, питаемый от

Рис. 2.1. Разновидности мер:

а — одноканальная Нерегулируемая: б — одноканальная
регулируемая; в — многоканальная нерегулируемая; г —
многоканальная регулируемая.
Uoc неподвижными отпайками (рис. 2.1, в). В этой мере осуществляется
пространственное разделение выходных величин. Ее уравнение

XN. = Nfa = Const.

Многозначные меры обычно управляются входным кодом, который
непосредственно выражает числовое значение выходной величины,
но иногда целесообразно для косвенных измерений (п. 2.3) выполнять
функциональные меры, входной код которых может быть функциональ-
но связан с числовым значением другой величины. Тогда Xn = f

многоканальную регулируемую меру, воспроизводящую одновре-
менно несколько величин, размеры которых могут изменяться
(рис. 2.1, г). В этой мере осуществляется и пространственное, и вре-
менное разделение. Ее уравнение

XiN( = Л\<?к.р = var при N; = var, qK.? = var.

Эта мера может быть использована для параллельного воспроизве-
дения набора однотипных зависимостей xn (t) с различными известны-
ми значениями параметров, например для измерения зависимости X (/)
методом сопоставления (п. 2.6).

Степень совершенства меры определяется постоянством размера
каждой ступени квантования меры qK и степенью многозначности меры,
т. е. числом 2VB воспроизводимых известных значений ее выходной
величины. В реальных мерах непостоянство qK приводит к возникно-
вению погрешности. С наиболее высокой точностью воспроизводятся
основные физические величины: длина, масса, время, частота, напря-
жение и ток.

Сравнение величин и устройство сравнения

Сравнение величин является одной из важнейших метрологических
операций и используется в различных информационных процедурах:
контроле, измерении, распознавании, управлении и др.

Методом сравнения будем называть совокупность приемов исполь-
зования физических явлений и процессов для определения соотноше-
ния однородных величин, обычно по знаку их разности. Однако далеко
не каждую величину можно сравнить таким образом с себе подобной.
Все физические сигналы в зависимости от возможности создания раз-
ностного сигнала можно подразделить на три группы.

X первой группе относятся сигналы направленного действия, кото-
рые можно вычитать и, таким образом, непосредственно сравнивать без
предварительного преобразования — электрические, механические и
магнитные.

Хо второй группе можно отнести сигналы, также обладающие на-
правленным действием, однако неудобные для вычитания, но удобные
для коммутации — световые потоки, ионизирующие излучения, потоки
жидкости и газа.

X третьей группе следует отнести сигналы, характеризующие со-
стояние объектов или их свойств, которые физически невозможно вы-
читать — влажность, концентрация веществ, цвет, запах и т. п.
Рис. 2.2. Разновидности устройств сравнения:

а — на основе одновременного вычитания; б — на основе разновременного вычи-
тания; — на основе деления.

Параметры сигналов первой группы являются наиболее удобными
для сравнения, второй группы — менее удобными, а третьей группы —
непосредственно сравнить невозможно. Однако и неподдающиеся не-
посредственному сравнению величины необходимо сравнивать и изме-
рять. Для этого их преобразуют в другие величины, которые поддаются
сравнению.

Сравнение бывает одновременным и разновременным. Операция
сравнения осуществляется устройством сравнения, которое обычно со-
стоит из вычитателя (В), создающего разность сравниваемых сигналов
Хг — Х2 = Ар и релейного элемента (РЭ), реагирующего на знак раз-
ности Ар (рис. 2.2, а). В аналоговых структурах устройство сравнения
часто используется без релейного элемента в виде вычитателя и тогда
его выходом является разность Ар.

Устройство сравнения на основе операции одновременного вычита-
ния реализуется двухканальной структурой. Результатом сравнения
является двухзначный кодовый сигнал at в виде случайной, двухзнач-
ной последовательности логических «О» и «1», содержащий информа-
цию о соотношении между сравниваемыми величинами

1 при Х-, > Х2',

at = [0,5 + 05 sign (X, - X2)J = J 1	(2.3)

и при Aj << Л2.

Устройство периодического сравнения на основе разновременного
вычитания реализуется одноканальной структурой (рис. 2.2, б). При
разновременном вычитании создается переменный сигнал с частотой
периодического переключения f = i/T, фаза которого содержит инфор-
мацию о соотношении между сравниваемыми величинами.

Устройство сравнения на ocHQpe операции деления (рис. 2.2,в)

at = [0,5 + 0,5 sign (X^X-j — 1)1 =

1 при Xj/X2 > 1;
0 при XyJX2 < 1.

(2-4)

Сравнение однородных величин при помощи деления можно произ-
водить, используя устройства, в которых выполняется:

непосредственное деление Хх/Х2, например при помощи электроме-
ханических логометров или интегральных электронных делителей;
деление с предварительным логарифмированием, вычитанием и ан-
тилогарифмированием

anti log [log (XJ — log (X2)J;

деление с предварительным логарифмированием и дифференцирова-
нием делителя и последующим умножением на делимое d (log Х2) Xv
Совокупность сигналов на выходе УС содержит различную инфор-
мацию:

При постоянстве сравниваемых величин Xj = const и х2 = const
выходной сигнал УС содержит информацию только о соотношении меж-
ду Xj и Х2.

При изменении сравниваемых величин во времени совокупность
выходных сигналов УС aix содержит информацию о тех или иных ста-
тистических характеристиках X (/). Если Xt = X, (t), а х2 = const,
то совокупность выходных сигналов УС содержит информацию о ве-
роятности PtXr (f) <Z Х2 (п. 2.4). Если величина Х2, с которой произ-
водится сравнение значений измеряемой величины Xj (/), изменяется
по равномерному случайному закону р (х2), полученному от меры, то
совокупность результатов сравнения at содержит информацию о сред-
нем значении сигнала Xj (/). Совокупность сигналов на выходе двух
описанных выше устройств atx и aty содержит информацию о значениях
взаимокорреляционной функции сигналов X (/) и Y (/), которая извле-
кается путем их логического перемножения. На этом принципе основа-
ны знаковые коррелометры.

Если требуется при измерении реализовать функциональное преоб-
разование входного сигнала и определить его среднее значение z/cp =
= f (х), то необходимо, чтобы плотность вероятности сигнала на выходе
стохастатической меры была равна р (х2) = dytdx, например, если
У = Xi/Хн, то р (х2) = 2х/хн.

Извлечение перечисленных выше видов информации из выходных
сигналов УС реализуется счетчиками импульсов и простейшими логи-
ческими элементами (п. 2.4).

Степень совершенства устройства сравнения определяется мини-
мально возможным порогом чувствительности УС Ап.ч = X — хлп
при котором УС еще выдает сигнал о равенстве сигналов X и xn, а
также его быстродействием. У идеального УС Ап.ч = 0. В реальном
УС наличие Ап.ч приводит к возникновению аддитивной погрешности,
равной Ап.ч- При выявлении соотношения между величинами, одна из
которых изменяется ступенями <?к, необходимо соблюдение условия
Ап.ч < <7к-

Измерительное преобразование и измерительный преобразователь

В настоящее время число исследуемых, измеряемых физических
величин и параметров процессов очень велико (около 2500) и непре-
рывно увеличивается, а возможности средств измерения — по роду
входных физических сигналов, по пределам измерения, по входному
сопротивлению, динамическим характеристикам, частотному диапа-
зону — ограничены. Поэтому возникает задача измерительного преоб-
разования, т. е. всестороннего со-
гласования измеряемой величины и

средства измерения.

Измерительное преобразова-
ние — операция преобразования
входного сигнала в выходной, ин-
формативный параметр которого с
заданной степенью точности функ-
ционально связан с информативным
параметром входного сигнала и мо-
жет быть измерен с достаточно вы-
сокой точностью.

Рис. 2.3. Измерительный преобразователь*.
а — условное обозначение; б — структур'
ная схема термоэлектрического измери’
тельного преобразователя.

В измерительное преобразование в общем случае могут входить сле-

дующие операции:

изменение физического рода сигнала или величины;

масштабное линейное преобразование;

масштабно-временное преобразование (смещение, сжатие или растя-
жение во времени);

нелинейное или функциональное преобразование;

модуляция;

дискретизация непрерывного сигнала;

квантование.

Измерительным преобразованием достигается:

согласование исследуемого процесса и СИ по роду сигнала или ве-
личины;

линейное согласование пределов изменения измеряемой величины
и пределов СИ;

согласование частотного диапазона;

нелинейное согласование пределов изменения X и пределов СИ (на-
пример, логарифмическое);

компенсация нелинейности первичных измерительных преобразова-
телей;

функциональное выявление измеряемой величины из входного сиг-
нала;

уменьшение искажений исследуемого процесса из-за присоедине-
ния СИ;

уменьшение погрешностей от внутренних и внешних помех и других
причин;

уменьшение динамических погрешностей путем дискретизации и за-
поминания мгновенных значений быстроизменяющейся величины.

Измерительное преобразование многих величин является сложной
задачей и часто измерительный преобразователь является основным по
сложности звеном измерительного устройства. Выходные сигналы из-
мерительных преобразователей (ИП) и их информативные параметры
унифицированы Государственной системой приборов. Унифицирован-
ными сигналами являются постоянное напряжение 0...10 В, постоян-
ный ток 0...5 мА и 0...20 мА, частота от 4 Гц до 100 кГц.

Метод измерительного преобразования можно рассматривать как
алгоритм использования перечисленных элементарных операций. Если
этот алгоритм представить графически, то получится структурная схе-
ма ИП. Например, на рис. 2.3 приведена структурная схема термо-
электрического ИП переменного тока, состоящая из термопреобразова-
теля (ТП), преобразующего род сигнала и функционального корнеиз-
влекающего звена.

Характеристика идеального преобразователя Y = XX линейна,
безынерционна, стабильна и проходит через начало координат. Ха-
рактеристика реального ИП в статике

Y = К (1 + ум) X + Aj, + А/ (X)	(2.5)

может отличаться от идеальной смещением нуля \у, изменением накло-
на ум и нелинейной составляющей А/ (X). Такие отклонения реальной
характеристики ИП приводят к возникновению аддитивной и мульти-
пликативной погрешности и погрешности от нелинейности (п. 8,2).

Масштабирование величины и масштабный преобразователь

Масштабирование 1 — это преобразование входного сигнала в од-
нородный выходной, размер информативного параметра которого про-
порционален в К раз размеру, информативного параметра входного
сигнала. Число К является основной характеристикой масштабного
преобразования. Масштабное преобразование реализуется в устройст-
ве, которое называется масштабным преобразователем. Масштабные
преобразователи (МП) создаются обычно для величин, характеризую-
щих явления направленного действия (напряжений, токов и т. п.).

Методом масштабирования будем называть совокупность приемов
использования физических явлений и процессов для создания сигнала,
однородного со входным, с информативным параметром, кратным по
размеру информативному параметру входного сигнала. Коэффициент
преобразования Хмп может изменяться в процессе измерения по детер-
минированному закону, например по закону «лесенка» с одинаковыми
размерами ступеней в относительных единицах Хмп — Хк W <7отн,
или по случайному закону с заданным законом распределения, напри-
мер равномерным, несимметричным:

1/Хп при Хмп<Хн;

О при Хмп>Хн.

Для измерения отношений величин в широком диапазоне МП
должны быть многозначными, т. е. Хмп должен либо изменяться во вре-
мени, либо иметь одновременно много значений. МП могут быть одно-
или многоканальными, с регулируемым или нерегулируемым коэффи-
циентом преобразования Хмп- Поэтому в дальнейшем будем различать:

одноканальный нерегулируемый МП, отличительной чертой которо-
го является постоянство коэффициента преобразованияХмп(рис. 2.4, а),
например измерительный усилитель, трансформаторы напряже-

1 Масштабирование является одной из элементарных операций измерительного
преобразования, однако ввиду ее широкого распространения и наличия большого ко-
личества звеньев, реализующих только эту операцию, а также в соответствии с ГОСТ
16263—70, будем рассматривать ее отдельно.
X=amst

OWL

L_лХмпр^аг

7р.Х/КмпЦХ

t XMrhiX Xt

Рис. 2.4. Разновидности масштабных преобразователей:
а — одноканальный нерегулируемый; б — многоканаль-
ный нерегулируемый; в — одноканальный регулируе-
мый; г <₽* многоканальный регулируемый.

4®-



ния и тока. Его уравнение:

Xi = ХмпХ;	(2.6)

многоканальный нерегулируемый МП с пространственным разделе-
нием, отличительной чертой которого является наличие нескольких
выходных каналов с постоянными коэффициентами преобразования
(рис. 2.4, в), например многоканальный делитель напряжения. Его
уравнение:

X/ = Х/мпХ;

одноканальный регулируемый МП, т. е. с временным разделением,
который отличается наличием одного канала (рис. 2.4, б). Его уравне-
ние:

Хх = ХмпрХ; Хмпр = var;

многоканальный регулируемый МП, т. е. как с временным, так и
с пространственным разделением, который отличается наличием нес-
кольких выходных каналов (рис. 2.4, г), например делитель напряже-
ния с несколькими движками. Его уравнение:

Xz = Х1мп р (/) X.

Масштабный преобразователь данного типа можно использовать
как и подобные меры для измерения зависимостей методом сопостав-
ления.

Масштабные преобразователи выполняются также в виде автома-
тически управляемых преобразователей кода отношения Хкмп в вы-
ходную величину, однородную со входной и обладающую заданной
кратностью Хмп по отношению к ней.

Степень совершенства масштабного преобразователя определяется
главным образом степенью его линейности, стабильности и безынер-
ционное™.

2.2.	ПОНЯТИЕ О РЕЗУЛЬТАТЕ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ,

УРАВНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ

Результатом измерения называют значение величины, найденное
путем ее измерения. Значение величины xn равно числовому значению
величины Nx, умноженному на qK = qx,

х^ = N xqK = N xqx,
где qK — ступень квантования, единица младшего десятичного разряда
числового значения величины Nx, обычно равная десятичной кратной
или дольной единице измеряемой величины qx.

Результатом относительных измерений является число, выраженное
в единицах относительной или логарифмической величин.

Погрешность измерения А — отклонение результата измерения от
истинного значения измеряемой величины:

А = xN — X.	(2.7)

Уравнение измерений в простейшем случае связывает между со-
бой истинное значение измеряемой величины X, результат измерения
xN, погрешность измерения А, числовое значение входного кода меры
N х, ступень квантования меры <?к и коэффициент масштабного преобра-
зователя Лмп. Уравнения измерений получают из уравнения УС под-
становкой в него уравнений М и МП.

Для реализации измерения в самом простейшем случае необходимо
осуществить две операции:

операцию воспроизведения мерой ряда величин с известными раз-
мерами из множества Xn, т. е. хь х2, х3; ...; x^h, например, равноинтер-
вального ряда с одинаковым интервалом между qK, размер которого
принимаем равным единице данной величины или ее десятичной доле;

операцию сравнения для выявления знака разности размеров вели-
чины X и однородной выходной величины меры Xn-

Процедура измерения в этом случае реализуется путем отработки
ступенчатым изменением известной величины xn( последовательными
шагами от первого i = 1 до конечного iK0H. Размеры ступеней х{ при от-
работке выбирают в зависимости от способа отработки — равномерно
или неравномерно ступенчатого. В первом случае ступень изменения
Xn равна ступени квантования qK, а во втором для уменьшения числа
ходов вначале реализуются большие ступени хг, а затем меньшие,
вплоть до <?к, что необходимо для уравнивания X и хд^. Отработка xN(
продолжается до тех пор, пока разность неизвестной величины X и xN
не станет меньше минимальной ступени qK. Таким образом, процедура
отработки может быть описана, например, следующим алгоритмом:

X — S xiF [sign (X — Хд^)] < </к,

где Х[ — изменение образцовой величины xn при i-м шаге отработки;

F [sign (X — хд,.)] =

О при X — xn. < 0;

1 при X — Xn. > 0,

где хд'. — значение величины xN после i-го шага отработки.

В результате конечного шага отработки гкон получим:

Х —X'V,koh<(7k;	(2.8)

Х — XxiKOa = хх = Nxq*-
рис. 2.5. Простейшие наборы средств измере-
ний для реализации абсолютных непосредст-
венных измерений:

(! — устройство сравнения и одноканальная
регулируемая мера; б — устройство сравне-
ния, одноканальная нерегулируемая мера и
одноканальный регулируемый масштабный
пр еобразователь.

Мера

Рнс. 2.6. Структурная схема непосредственных прямых измерений.

Из (2.8) определяем числовое значение величины

X

<7к

А?л = £

(2.9)

Представляя полученный алгоритм измерения графически, полу-
чаем простейшую структуру измерительного устройства уравновеши-
вания (рис. 2.5).

Рассмотрим основные уравнения измерений.

При использовании одноканальной регулируемой меры и устройст-
ва сравнения в уравнение УС подставляем уравнение меры:

X —Хд, = Др; X — NxqK^qK.

Для нахождения X (рис. 2.6, а) нужно изменять Nx до тех пор,
пока Ар не станет меньше qK. Отсюда следует первое требование к мере —
многозначность во всем диапазоне X:

X = NxqK; Nx = Е \X/qK |.	(2.10)

Следовательно, измерение математически представляется в виде
деления, которое продолжается пока остаток больше qK, т. е. X —
— XxqK > <?к и заканчивается, когда остаток деления или разность
становится меньше:

X NxqK <7к.

При измерении всегда получается неточный результат прежде все-
го из-за конечности размера qK, несовершенств УС и меры. Ввиду по-
стоянства qK уравнение измерения Nx — Е | X/qK |, как зависимость
между числовым значением результата измерения Nx и размером изме-
ряемой величины х, всегда является линейным.

При использовании нерегулируемой одноканальной меры, устройст-
ва сравнения и масштабного преобразователя, т. е. при хх (рис. 2.6, б),
уравнение измерения получаем подстановкой в уравнение УС уравне-
ния МП;

Ар = ХмПрХ XMqi

Хмпр = xnJX.
Коэффициент преобразования
Ар-Кми^м дуд является числом, по зна-
р

чению обратно пропорциональным
величине X, и не может служить ее
числовым значением. Но можно

Рнс. 2.7. Реализация относительных нзме- ВЫПОЛНИТЬ уСЛОВИе КмП = 1/Ух,
рений минимальным набором элементарных тпгпя*	Р

средств измерений.	1O1 Ad.

1/Nx = Хл^/Х; Nx = E | X/xwJ.

Следовательно, и в данном случае уравнение становится линейным.
Однако выполнение необходимого для этого условия затруднительно,
и поэтому такое сочетание средств измерений применяется редко.

При использовании регулируемой одноканальной меры, устройст-
ва сравнения и масштабного преобразователя уравнения измерений:

КмпрХ — xjv = Ар;

КмпрХ — NxqK <qK‘,

Чк

При КмПр = const и qK = const уравнение является линейным. Это
сочетание средств измерений часто применяется.

При относительных измерениях, в которых роль единицы величины
выполняет опорная величина хоп, измерения осуществляются с по-
мощью двух средств измерений — МП и УС (рис. 2.7). Уравнение от-
носительных измерений получаем аналогичным образом:

Ар = КмПр^ — *оп.

Результат относительных измерений

А^хотн = Е | Х/хоп [,
где <7отн — относительная единица.

2.3.	КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЙ, КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ
ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерения классифицируют по наиболее существенным признакам
(рис. 2.8).

По наличию размерности у измеряемой величины измерения можно
разделить на абсолютные и относительные [26].

Абсолютными называют измерения, результат которых представ-
ляется в виде определенного числа единиц данной физической вели-
чины.

Относительные измерения — это измерения, результат которых
представляется в виде определенного числа относительных единиц.
Относительные измерения при прочих равных условиях могут быть
выполнены более точно, чем абсолютные, так как в суммарную погреш-
ность не входит погрешность меры величины.
Измерения

 По наличию предварительного измерительного преобразования из-
мерения можно разделить на;

непосредственные, при которых величина измеряется без любых
предварительных преобразований сравнением с выходной величиной
меры, однородной с измеряемой;	s

с предварительным преобразованием, при которых измеряемая вели-
чина предварительно преобразуется в величину, которая может быть
воспроизведена с заданным размером и поддается сравнению.

По мерности измеряемой величины измерения классифицируются
на одномерные и многомерные.

Измерить двумерную величину, уже значительно сложнее, чем од-
номерную, так как, например, при раздельном измерении вектора
напряжения необходимо измерить раздельно активную Ua и реактивную
Ц, составляющие. При измерении Ua необходимо избрать такой метод
измерительного преобразования, чтобы выходная величина зависела
только от иа, и не зависела от неинформативного параметра Up, а при
измерении Up — наоборот.

По характеру уравнений измерения подразделяются на прямые,
косвенные, совместные и совокупные [26].

Прямые измерения — при которых искомое значение величин на-
ходят непосредственно из опытных данных. Например, длина изме-
ряется непосредственно линейкой, масса — на равноплечих весах,
э. д. с.— компенсацией компенсирующей известной э. д. с., ток — ам-
перметром.

При прямых измерениях уравнение измерения имеет вид

xN = Е | XlqJ qx = Nxqx.	(2.11)

Косвенные измерения — при которых искомое значение величины
находят на основании известной зависимости между этой величиной
и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, которые называют-
ся аргументами.

При косвенных измерениях уравнение измерения
xN = zn', ... ; а, Ь),
где yN, zN — результаты измерений аргументов; а, b — постоянные
коэффициенты. Например, для определения плотности определяют
значение аргументов — массы и объема — прямыми измерениями и на
основании известной зависимости вычисляют искомую плотность:

bN = mN/vN.

При автоматизированных косвенных измерениях все преобразова-
ния с величинами-аргументами производятся автоматически. Ранее
для косвенных измерений с функциональными операциями использо-
вали различные электромеханические ИП. Ввиду известных недостат-
ков этих устройств, в частности, инерционности, в настоящее время
для косвенных измерений применяют высокоточные функциональные
электронные ИП в интегральном исполнении в виде умножителей, ин-
теграторов, делителей, логарифматоров, антилогарифматоров, а также
микропроцессоры (п. 6.8).

При совместных и совокупных измерениях уравнение измерения

/у (X; К; Zn', Vn’, а', b', ...) = 0;

/2 (Х^ Zn-l, vN1’, а\ b\ ...) = 0,

где X, Y — измеряемые совокупно или совместно величины, однород-
ные и разнородные; zN, Vn — величины, измеренные прямо или косвен-
но; а, b — постоянные величины.

Совокупные измерения — при которых искомые значения несколь-
ких одноименных величин находят решением системы уравнений, по-
лучаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

Пример совокупных измерений — калибровка набора гирь. Значе-
ния масс рабочих гирь набора 1, 2, 3, 5 и 10 кг необходимо проверить,
уточнить. При наличии равноплечих весов, одной образцовой гири с
массой 1 кг и мелких гирь с массами ха, хь, хс, xd, хе и др. путем ряда
совокупных измерений и решения совокупности линейных уравнений
можно определить массы гирь набора xlt х2 х3, х5, х10 более точно. Произ-
ведем пять операций уравновешивания равноплечих весов и получим
следующие пять уравнений:

Xj = 1 кг ф- ха;

Х2 =	+ 1 кг + хь;
Х3 = 1 кг + хг + хс’,

Х5 = %i + 1 кг Ц- х3 + xd;

*10 — х5 + х3 4- Xi + 1 кг + хс.

Из полученных пяти уравнений с пятью неизвестными определяем
точные значения масс рабочих гирь данного набора.

Вторым примером совокупных измерений является измерение пара-
метров элементов многополюсника без разрыва цепи, например тре-
угольника.

Совместные измерения — производимые одновременно измерения
двух или нескольких разноименных величин для нахождения зависи-
мости между ними. Совместные измерения являются разновидностью
измерения зависимостей (п. 9.4).

По соотношению между числом п измеряемых величин и числом
уравнений измерения измерения удобно подразделить на неизбыточные
п избыточные, или множественные. При т = п измерения неизбыточ-
ные, например однократные измерения, а при т > п — избыточные.

Однократные измерения проводятся обычно в том случае, если при
данном эксперименте допускается погрешность измерения, достигаю-
щая удвоенного среднего квадратического отклонения (с. к. о.) слу-
чайной составляющей погрешности средства измерения.

Множественные измерения выполняются для достижения более вы-
сокой точности. Показатели точности результата измерения в этом
случае определяют путем обработки ряда полученных наблюдений.

По способу осуществления избыточности множественные измере-
ния можно подразделить на многократные и многоканальные. Избы-
точность измерений может быть осуществлена либо повторением изме-
рений т раз, т. е. измерениями с многократными наблюдениями, либо
разовым m-канальным измерением, либо их комбинацией.

По изменчивости величины во времени измерения подразделяются
на статические измерения, при которых измеряется неизменный во
времени сигнал х (t) = const и динамические измерения, при которых
обычно измеряется сигнал, изменяющийся во времени, X (t) = var.
При динамических измерениях в зависимости от характера изменения
X (t) к динамическим характеристикам средств измерений предъ-
являются соответствующие требования (ГОСТ 8.256—77, п. 5.4). Тео-
рия п терминология динамических измерений находится в стадии быст-
рого развития. Динамические измерения являются разновидностью
измерений зависимостей (п. 9.5).

2.4.	КЛАССИФИКАЦИЯ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Анализ методов прямых измерений является одним из основных
разделов метрологии. В широком смысле метод измерения можно оп-
ределить как алгоритм использования операций воспроизведения,
сравнения, измерительного преобразования, масштабирования и за-
поминания с целью получения значения величины — результата изме-
рения. Значение величины является именованным числом, выражен-
ным в той или иной системе счисления. Поэтому анализ и синтез мето-
Рис. 2.9. Методы измерений.

дов измерения тесно связаны с особенностями той первичной системы
счисления, в которой на первом этапе представляется значение вели-
чины. Особенности системы счисления учитываются при анализе и син-
тезе методов через особенности средств измерения, связанных с числа-
ми, т. е. через особенности мер и масштабных преобразователей. Средст-
ва измерения являются материальной основой процедуры измерения.
В дальнейшем будем основываться на следующем определении: метод
измерения — это совокупность приемов использования средств изме-
рения для установления значений величин.

Классификация методов прямых измерений. В соответствии с при-
веденной ранее классификацией средств измерений (п. 2.1) можно клас-
сифицировать и методы прямых измерений: методы измерений комп-
лексными средствами измерения (метод непосредственной оценки),
наборами ЭСИ, а также комбинированные методы с использованием
комплексных и элементарных средств измерения (рис. 2.9). Методы
прямых измерений наборами ЭСИ подразделяются в зависимости от
наличия или отсутствия в наборе ИП и МП на четыре группы.

Синтез методов и алгоритмов прямых абсолютных измерений
наборами элементарных средств без предварительных
преобразований рода величины

Методы измерения без предварительных преобразований рода ве-
личины отличаются тем, что могут быть выполнены при прочих равных
условиях с наиболее высокой точностью. Классифицируем совокуп-
ность этих методов по двум существенным признакам: особенностям
алгоритма и наборам средств (рис. 2.10)

1 Для упрощения графическое изображение ИП на рис. 2.10 опущено. При этом
предполагается, что X является выходной величиной ИП, для которой созданы УС и
М. Если для X таковых нет, то применяют предвключенные измерительные преобра-
вователн.
Методы прямых адсмютных измерений вез предварительных преобразований рода величин с использованием
злементарных средств измерений

Особенности алгоритма

параллельно, сопоставление

| последовательно, уравновешивание |

с мерами одно-
канальными не-
регулируемыми

с мерами
много-
канальными

о мерами
много-
канальными

, смерами
обноканальны-
ми

смерами

 одно-
канальными

Наборы сребстб измерений	| м,йс~

смерами
многоканальными
нерегулируемыми '

м

да

да

да

Лг

да

МП

мп

мп

Ч

W7 лу..

Рис. 2.10. Синтез методов прямых измерений набором элементарных средств измерений без предварительного преобразования рода величины.

да

Л?

и

Синтез мето боб ни
основе использования
различия мер Мпо
числи и регулируемос-
ти выходных
величин

Л?

Лд

о <з§Л;
- Л» oT’Ov



3





И



MilVf. 
е '




По первому признаку, по особенностям алгоритма методы измере-
ния подразделяются на:

методы сопоставления, осуществляемые за один прием, параллель-
но, одноэтапно, при одновременном использовании всех применяемых
в данном случае средств измерения, на основе многоканального сравне-
ния.

методы уравновешивания, осуществляемые за несколько приемов,
последовательно, многоэтапно, на основе многократного сравнения.

Перед классификацией методов по второму признаку выясним, ка-
кими качествами должны обладать средства измерения для реализации
процедуры измерения. Для этого рассмотрим основное уравнение изме-
рения

= М xqK-

Измеряемая величина X изменяется от 0 до хн. При постоянстве q
для обеспечения равенства правой и левой частей уравнения необхо-
димо изменять либо ЛДп, либо Nx- Изменение Nx и Лмп реализуется в
соответствующих средствах измерения — в мерах и масштабных преоб-
разователях. Следовательно, для измерения величины, изменяющейся
в широком диапазоне значений, выходная величина М или МП должна
быть многозначной, т. е. либо изменяться во времени, либо иметь одно-
временно много значений; иными словами М и МП должны быть или ре-
гулируемыми, или многоканальными (п. 2.1). Поэтому будем различать:
одноканальные нерегулируемые: меры (ОНМ) и масштабные преоб-
разователи (ОНМП);

одноканальные регулируемые: меры (ОРМ) и масштабные преобра-
зователи (ОРМП);

многоканальные нерегулируемые: меры (МНП) и масштабные пре-
образователи (МНМП);

многоканальные регулируемые: меры (МРМ) и масштабные преобра-
зователи (МРМП).

Мера и масштабный преобразователь являются единственными
средствами измерений, в уравнения которых входят числа, опреде-
ляющие размер их выходных величин. Эти числа могут задаваться ав-
томатически, программно.

Для реализации процедуры измерения при однородности X с вход-
ной величиной УС и выходной величиной меры минимально необходи-
мый набор ЭСИ состоит из меры и устройства сравнения. Если мера од-
нозначна, то набор функционально неполный и для реализации про-
цесса измерения в набор необходимо ввести многозначный МП. Рас-
сматриваем два функционально полных набора ЭСИ:

1)	меру, устройство сравнения;

2)	однозначную меру, устройство сравнения и многозначный мас-
штабный преобразователь.

По использованию этих наборов методы сопоставления и методы
уравновешивания классифицируются еще на две подгруппы. Внутри
этих подгрупп синтезируем каждый метод отдельно с учетом особенно-
стей данного алгоритма, а также применяемых М и МП.

На основе показанных различий М и МП синтезируем методы сопо-
ставления, отличающиеся использованием только нерегулируемых мер,
48
Алгоритма а уравнения основная методов прямых-измерений без предварительных преобразований
	рода измеряемых Величин

По особенностям
алгоритма

Сопоставления
параллельные

Уравновешивания
последовательные

По состаду на- ----------

бора элементарных СИ \ М, УС |

С использованием
многозначности
'мер

первый метод
сопоставления

ГЯТадЛ

1 ;г

М,Ы |

Нулевой метод с ОРМ

содной^НМ ~
алгоритм:

Н>Чк <X<(Nxtf}jK.
уравнение
измерения:

с ддумя МНМ(нониус)
алгоритм:	„

уравнение	" ,

измерения:

С использованием
многозначности
масштабных
преобразователей

Второй метод
сопоставления
сМНМП'
алгоритм:

Четвертый ме-
тод сопостав-
ления с МИМ и
МНМП
алгоритм:
ХИр-Н'хЧк <ххлч
уравнение
измерения:

Nx-^ г

Х Чк в

Алгоритм'исчер-
пыВания с исполь-
зованием единична
системы .

счисления

Ни

Х-^аДкС-Чк

‘‘ \1 npuX-ifriQ
а‘ lOnpuX-ifr <.0

В

Алгоритм пораз-
рядного уравно-
вешивания с
использованием
дбоичной систе-
мы счисления

с алгоритмом
стохастичес-
ким.

Пр^Мх-х,,}-

Нулевой метод с регули-
руемым МП
алгоритм:
H^-tX^lx^X
к - 2j?

|7ж#|

а

В

б

^'^ЛиЧк

е



3

Рис. 2.11. Алгоритмы и уравнения основных методов прямых измерений без предварительного
преобразования.

причем по крайней мере одна мера должна быть многоканальной.
Число используемых УС при единичной системе счисления должно быть
равно числу выходов многоканальной меры. В методах сопоставления
числовое значение измеряемой величины определяется по совокупности
сработавших УС в зависимости от системы счисления, по которой пост-

роены многоканальные меры.

Первый метод сопоставления (рис. 2.10, а) основывается па наборе
СИ, состоящем из МНМ, которая базируется на единичной системе счис-
ления с Ун равномерными ступенями, каналами и Ун УС при усло-
вии использования одноэтапного алгоритма. В большинстве случаев
(для тока, напряжения и др.) предполагается наличие физического сов-
падения начальных нулевых значений у измеряемой и образцовой ве-
личин.

В многоканальной мере выходные величины воспроизводятся зара-
нее параллельно непрерывно, следовательно, затраты времени на их
создание отсутствуют. Время затрачивается лишь на операцию сравне-
ния, поэтому стремятся применять наиболее быстродействующее УС.
Минимум затрат времени при этом методе достигается ценой макси-
мальных аппаратурных затрат, так как необходимое количество УС
равно Ун, т. е. количеству каналов меры. Числовое значение результа-
та измерения определяется по номеру старшего из сработавших УС.

Номер старшего из сработавших УС определяют из детерминирован-
ного алгоритма первого метода сопоставления (рис. 2.11, а).

F [sign (X — Xn)] ==

0 при X — xN. < 0;

1 при X — xn. > 0,

(2.12)
4-я мера со ступенями qt

°.	4	2	3	4	5	6	7 8	9 10,

I	I	t	I	I	I	I 	I -«--1---1

2-Я мерам ступенями. q2

t l f ? ?jJ

Рис, 2.I2. Графическое представление ме-
тода нониуса.

Лщ,

при этом по каждому из каналов с
номером Nх и менее передается ко-
довый сигнал 1. Следовательно, чис-
ловое значение измеряемой величи-
ны представляется первичным еди-
ничным, многоканальным кодом
Код TVii'/ в преобразователе ко-
дов преобразуется обычно в цифро-
вой код или в код управления циф-
ровым индикатором.

Уравнение метода

0 1 2

й

Nx = E\X/qK\.

Например, при измерении напряжения этим методом в качестве
многоканальной нерегулируемой меры используют делитель образцо-
вого напряжения, выполненный из одинаковых по номиналу резисто-
ров. На этом методе основаны быстродействующие измерители амплитуд
кратковременных импульсов напряжения. Он удобен для измерения
перемещения I и времени Т, для которых можно создать точные много-
канальные меры и несложные УС. В методе используют различные
системы счисления — единичную, двоичную, реализуя соответствен-
но многозначные меры.

При измерении первым методом сопоставления интервалов длины
и времени часто наблюдается несовпадение начальных нулевых меток
измеряемой и образцовой величин. В таком случае погрешность от
квантования возникает с обеих сторон интервалов (п. 7.1). Эту раз-
новидность первого метода сопоставления иногда называют методом
интерполяции.

Метод однократного нониуса является вариантом первого метода
сопоставления, реализуется в один прием и основывается на использо-
вании двух МНМ с различными размерами ступеней qr и q2. Этот метод
применяется для измерения малых X, размер которых меньше размера
ступеней qr.

При использовании двух мер и кратности повышения чувствитель-
ности, равной п, вторая мера должна иметь ступени, равные

<?2 = <71 (1 — 1М)-	(2.13)

При измерении нулевые метки мер сдвигаются на измеряемую ве-
личину X (рис. 2.12), а затем согласно приведенному ниже алгоритму
измерения определяют числовое значение результата измерения Nx,
по номеру ближайшей из «совпавших» меток. Алгоритм однократного
нониуса

Nxqi — (X 4- Nxq2) < q-Jn.

Пренебрегая qjn и учитывая (2.13), получаем уравнение метода но-
ниуса

Nx = E -4-1 = Е — .

Qi/n I qi

Таким образом, благодаря избыточности метода нониуса (вместо
одной нерегулируемой меры применяется две), ступень квантования
,меныпена в п раз. Это можно трактовать также как «умножение» вели-
чины X в п раз и определение отношения величины пХ к ступени ос-
новной меры

Nx = E\nX/qi\.	(2.14}

Уравнение метода однократного нониуса для п = 10 при десяти-
кратном увеличении разрешающей способности

X = Nx (<7i — ?2) = Хх (<7i — 0,9<7j) = Л^ОД^. (2.15)

Метод нониуса используется тогда, когда нельзя создать меру со
ступенями, меньшими в п раз (например линейку с делениями, равны-
ми' 0,1 мм). Метод нониуса применяют главным образом для измерения
перемещений и малых интервалов времени.

Важной особенностью метода нониуса является то, что он удобен
для относительных измерений, т. е. для определения отношения

К = XI qr = Nx (1 — <?2/<7i).	(2.16)

Величина qY является опорной, значение которой может и не быть нам
известным, важно только, чтобы было известно отношение fo/ft = 1 —
— Мп. Это особенно удобно при измерении фазы как отношения ф =
__ 360N ПуТем формирования последовательности импульсов с пе-
‘X

риодом повторения, например Тxt = Тх (1 — 1/360); тогда

Ф = 360Л\(1—Т xJT х) = Nt.	(2.17)

При этом Тх остается нам неизвестным, и результат измерения не за-
висит от частоты, так как применяется метод относительных измере-
ний для измерения относительной величины (фазы) и имеет место соот-
ветствие между особенностью метода и особенностью величины. Фаза

Ф = -т=— = Л\ будет при указанных соотношениях выражена в гра-
1 х

дусах.

Основное преимущество нониусного метода измерения фазы — воз-
можность измерения мгновенного фазового сдвига без частотной зави-
симости, причем мерой фазового сдвига, как величины относительной,
является мера отношения — в виде устройства формирования импуль-
сов с периодом, составляющим определенную часть периода исследуе-
мого сигнала. Преимущество заключается в уменьшении времени
измерения при независимости его от частоты, которая обеспечивается
не осреднением, а применением для измерения меры относительной вели-
чины, т. е. масштабного преобразователя. Нониусный метод часто
называют методом совпадения на том основании, что в нем используется
совпадение меток. Однако в действительности совпадения меток здесь
нет, а есть только их максимальное сближение, которое индуцируется
по изменению знака сдвига фаз между ними.

Ранее нониуспый метод применялся, как известно, для измерения
малых перемещений и сравнительно недавно стал использоваться для
измерения малых интервалов времени. При этом он применялся на гра-
ни разрешающей способности сравнивающих устройств, т. е. в первом
случае зрения человека, а во втором случае схем совпадения импуль-
сов. При определении взаимного расположения максимально сближаю-
щихся меток у наблюдателя создавалось впечатление, что они совпа-
дают. Кроме того, ранее нониусный метод считался специфичным ме-
тодом, предназначенным только для измерения перемещений и време-
ни. В СССР разработана целая гамма новых многократных 1 нониусных
методов измерения напряжения, фазы, частоты, других величин и их
отношений [961. Метод нониуса реализуется в цифровых микрометрах
с микропроцессором, в которых последний служит также и для обра-
ботки многократных наблюдений. Метод нониуса используется и в не-
которых типах фотоэлектрических растровых преобразователей угла
в код [651.

Многоканальные нерегулируемые меры длины в виде рядов меток
нанесены обычно на прозрачные диски или линейки с близкими или
одинаковыми по размеру ступенями квантования и qit, используют-

1 Двойной ноннус для измерения перемещений предложен в 1899 г. русским ин-
женером Ковалевским [68].
ся для измерения длин меньших еще в двух вариантах метода но-

ниуса — методе растра и методе муара.

В методе растра используются две меры с близкими размерами сту-
пеней <?/, и qi;, qi, = (1 — 1/n) qit (рис. 2.13, а). Расстояние между
нулевыми метками обычно плавно увеличивается от 0 до 1Х. При этом
максимально сближенные метки обеих линеек или дисков переместятся
на расстояние 1Х в п раз большее, чем 1Х. Результат измерения полу-

чают путем счета числа меток в ряду qti пересеченных тенью от макси-

q Это уравнение совпа-

мально сближенных меток, тогда Nx =

дает с уравнением метода нониуса. Растр является автоматизирован-
ной разновидностью метода нониуса, отличающейся тем, что результат

измерения получают автоматически путем счета числа меток qtl, пере-
сеченных тенью от максимально сблизившихся меток при изменении
расстояния между нулевыми метками мер от 0 до 1Х.

Метод муара — это метод преобразования горизонтального пере-
мещения 1Х одного из двух рядов параллельных, равноотстоящих пе-
ресекающихся под малым углом а линий в вертикальное перемещение
уровня их пересечения. Оба ряда линий представляют собой меры с
одинаковыми ступенями qt. Эти ряды линий наносят на прозрачные дис-
ки или линейки. При изменении взаимного расположения пересекаю-
щихся под острым углом линий возникает перемещающаяся тень. Эта

тень перемещается перпендикулярно направлению движения двух
рядов линий (рис. 2.13,6), ее перемещение в 1/sin а раз больше 1Х,
равного расстоянию, на которое переместился один из рядов. Резуль-
тат измерения получают путем счета количества меток, пересеченных
тенью, у третьей меры со ступенями qh расположенной перпендикуляр-
но первым двум мерам. Тогда

Nx = lx/sm a qt.

(2.18)

Методы растра и муара, являясь вариантами первого метода со-
поставления, как и метод нониуса, могут быть реализованы не только
в режиме постепенного изменения измеряемого перемещения от 0 до
1Х, но и в режиме «мгновенного» измерения 1Х. Методы нониуса, растра
и муара используются и как методы умножения перемещений.

При использовании ОНМ и одного устройства сравнения
(рис. 2.10, 6) за один прием можно осуществить только операцию
сравнения, но не измерение.

Методы измерения сопоставлением со вторым набором средств под-
разделяются, в зависимости от особенностей применяемых мер, на две
группы: с применением ОНМ и МНМ (регулируемые меры и масштаб-
ные преобразователи в них не применяются). Учет различия М и МП
дает четыре сочетания средств, на основе которых синтезируется еще
три метода сопоставления.

Второй метод сопоставления основывается на использовании одно-
канальной нерегулируемой меры и многоканального нерегулируемого
масштабного преобразователя. Этот метод может быть целесообразным
в том случае, если многоканальный М.П выполнить более удобно, чем
многоканальную М, а также в том случае, если при наличии только
ОНМ необходимо обеспечить минимальное время измерения.

Второй метод сопоставления основан (рис. 2.10, в) на использовании
в качестве ММП, например простейшего равноступенчатого делителя с

KR = N/N„,

N/NnX<x0<(N + 1)/Ne) X.

Тогда

Основным недостатком этого метода является отсутствие прямой
пропорциональности между N и размером измеряемой величины X.
Для обеспечения прямой пропорциональности между числовым значе-
нием X, т. е. Nx и изменяемым коэффициентом простейшего равносту-
пенчатого делителя, необходимо такой делитель использовать в обрат-
ной цепи усилителя с глубокой отрицательной обратной связью. Тогда

X	X

Х+ 1/N„ <хо< N/Nr ’
откуда

Недостатком этого метода является также невозможность создания
режима компенсации для максимального снижения потребления.

При использовании в один прием УС, ОНМ и ОНМП можно осу-
ществить только операцию сравнения (рис. 2.10, г).

Третий метод сопоставления основан на использовании многока-
нальной нерегулируемой меры и одноканального масштабного преоб-
разователя (рис. 2.10, д). Он отличается от первого только наличием
предвключенного ОНМП.

Алгоритм третьего метода сопоставления:

0 при Х/Смп — NxQK < 0;

F [sign (ХХМП -	>, а

1 при ХХмп — NxqK > о.

Уравнение этого метода

д,	У^мп

Nx = t\-------- f

I <7к

где Д’мп — коэффициент преобразования ОНМП.

Четвертый метод сопоставления, или метод коинциденции (одно-
временного попадания), основан на использовании многоканальных
нерегулируемых МНМ и МНМП (рис. 2.10, е). Наличие двух много-
значных средств определяет избыточность метода. Метод удобен для
измерения повторяющихся одинаковых расстояний между метками
1Х, периодов Тх или частоты импульсов. Измерение, например 1Х,
осуществляется смещением обоих рядов меток (М и МП) до совпадения
нулевых меток и последующего определения номеров второй пары «сов-
падающих» меток ряда MNx и ряда МП Мх.
Алгоритм четвертого метода сопоставления lxN'x — QiNx = О,

Уравнение четвертого метода сопоставления Nx — Е

lxNx
qi

Благодаря избыточности четвертого метода сопоставления ступень
квантования меры<?; уменьшается в Nx раз. Погрешность измерения за-
висит от нестабильности qt и ширины меток. Этот метод применяется
также для измерения периода Тх и частоты fx путем сопоставления
последовательностей импульсов. В этом случае

NxT0 = NxTx', Nx/fo = Nx/fx’, fz=Nx/Nxf0.

Метод коинциденции применялся еще в прошлом столетии часовщи-
ками для проверки маятниковых настенных часов.

Ввиду трудностей точной индикации «совпадения» импульсов обыч-
но применяют упрощенный вариант метода коинциденции, при котором
задаются достаточно большим числом интервалов Тх и счет числа ин-
тервалов То ведется до достижения заданного числа Nx. При этом
наблюдается несовпадение меток и в начале и в конце суммарного
интервала NxTx- Тогда

(Nx ± 1) То = NxTx.

В этом случае при измерении Тх возникает погрешность от кванто-
вания, относительное значение которой составляет

бТк = ± 1М.

Следовательно, этот вариант метода целесообразен в том случае,
когда ТоиТх имеют примерно одинаковый порядок. Тогда при большом
заданном Nx будет достаточно большим и Nx, а значит и достаточно
малой относительная погрешность от квантования.

Группа методов уравновешивания, осуществляемых по многоэтап-
ному алгоритму, характерна обычно использованием в них регулируе-
мых мер или масштабных преобразователей, в которых выходная ве-
личина М или МП изменяется оператором или автоматически до тех
пор, пока с помощью УС не выявляется равенство между X и xn или
х0 и КглпХ. Время измерения при этом равно сумме времени, необходи-
мого для регулирования М, и времени срабатывания УС. Поэтому
быстродействие измерительных приборов уравновешивания при про-
чих равных условиях меньше, чем у измерительных приборов сопостав-
ления. В методах уравновешивания числовое значение измеряемой вели-
чины определяется по входному коду М или по коэффициенту преобразо-
вания МП и входному коду меры в момент достижения равенства X и х0.

В группе методов уравновешивания с первым набором средств из-
мерения синтезируются с учетом особенностей мер четыре метода.

Первый метод уравновешивания, или нулевой метод измерения
(рис. 2.10, ж), основан на использовании одноканальной регулируемой
меры (ОРМ) и одного УС. В этом случае аппаратурные затраты мини-
мальны, так как используется только одно УС и ОРМ. На регулиро-
вание меры неизбежны затраты времени. Следовательно, минимум ап-
паратурных затрат достигается ценой снижения быстродействия. Мера
управляется оператором либо автоматически по знаку разности X —
— Xn на выходе УС. Характерной особенностью этого метода является
изменение выходной величины меры Xn вплоть до уравнивания со зна-
чением X.

Первый метод уравновешивания с одной ОРМ является наиболее
распространенным. Изменение выходной величины меры при уравнове-
шивании может быть выполнено многими способами или алгоритмами
отработки, отличающимися также и использованием различных рабо-
чих систем счисления: единичной, двоичной, двоично-десятичной и др.
При использовании единичной рабочей системы счисления и равносту-
пенчатой отработки число ходов при уравновешивании и соответственно
время измерения будут максимальными. При использовании в качестве
первичной двоичной системы счисления и поразрядного уравновеши-
вания время уравновешивания близко к минимальному (п. 7.3).

Алгоритмы уравновешивания, или способы отработки компенсирую-
щей величины, подразделяются на детерминированные, при которых
закон ее изменения задан и повторяется при каждом измерении, и сто-
хастические, при которых величина изменяется случайно, но имеет
заданное распределение.

Примерами детерминированного алгоритма уравновешивания могут
быть: алгоритм «исчерпывания» и алгоритм поразрядного уравнове-
шивания. При алгоритме «исчерпывания» (рис. 2.11, д)

i

= 1 при X —	(2.19)

I

а( = 0 при X — atqK < О

1

Nx определяется путем последовательных «исчерпываний» ступенями
с размером qK (например мерной емкостью, если X — неизвестный
объем жидкости). Числовое значение Nx представляется первично в
виде единичного одноканального последовательного кода, который в
цифровой код преобразуется посредством счетчика импульсов:

Nx = E\X/qK\.

При алгоритме поразрядного уравновешивания (рис. 2.11, е)

i=m I

х — s хк. I р{ [Sign (%—XN )] =

1=1	1

О при X — xn. < 0;

1 ПрИ X — XN; > 0

<7к> <2-20>

где т — количество разрядов двоичного кода; хк = 2‘ 'q.A — значе-
ние компенсирующей величины i-го разряда двоичного кода.

Результат измерения в двоичном коде

1=т

Xn. =•	я^2 г/я

‘	г-1

5в
при X — хКт •< 0 ат = О;

при X — хК/п >0 ат = 1;

при X — (атхКт + ат_.хКт_;) < 0; am-i = 0;

при X — (атХкт + am-iXK^i) > 0	= 1.

Числовое значение Nx представляется первично в цифровом, напри-
мер, двоичном коде. При этом по сравнению с равномерно-ступенчатым
алгоритмом «исчерпывания» усложняется схема цифрового автомата
управления, но при прочих равных условиях быстродействие увели-

Na
чивается в ч—V раз.
log2JVH г

Примером стохастического алгоритма может служить алгоритм от-
работки среднего значения хср случайного процесса X (/) (рис. 2.11, ж).
В этом случае ОРМ управляется от генератора случайных чисел с рав-
номерным законом распределения от 0 до NH. Максимальное значение
случайного процесса Хт (I) должно быть меньше номинального значе-
ния выходной величины меры Xn. Тогда

।	*•—,10

— S F [sign (X — xN.)] — xCp/xw qJxN-,

F [sign (X — xw.)] =

0 при X — xn( < 0;

1 при X — xnl > 0.

(2.21)

Следовательно, отработка должна производиться до тех пор, пока
частость срабатываний УС при (X — хдг) > 0; n-Jn0 не будет равна от-
ношению xZplxNn- Тогда искомое

Хср ^jX^/Mq.

Разработаны статистические алгоритмы отработки, удобные для
автоматизации и предназначенные, например, для измерения среднего
квадратического значения случайного процесса, а также детерминиро-
ванные алгоритмы отработки и специальные системы счисления для
обеспечения при отработке помехоустойчивости и автокоррекции по-
грешностей мер [81].

Метод с удвоением разностей основан на использовании ОНМ и
одного УС в ряде последовательно осуществляемых приемов (создание
и удвоение разностей, сравнение выходной величины одноканальной
меры с создаваемыми удвоенными разностями) и применяется в некото-
рых цифровых приборах (рис. 2.10, з).

Метод ускоренного уравновешивания основан на использовании
многоканальной регулируемой меры (МРМ) и N УС (рис. 2.10, и).
Ускорение достигается ценой увеличения количества УС и применения
МРМ. Уравнение метода

X = NxqK.

Использование МРМ дает возможность значительно ускорить про-
цесс уравновешивания, поскольку она обладает и пространственным,
и временным разделением. Так, например, при осуществлении метода
ускоренного уравновешивания (рис. 2.10, и) для уменьшения времени
измерения и повышения разрешающей способности развертку можно
вести во всех квантах параллельно. Этот метод наиболее удобно реали-
зовать на устройствах сравнения постоянных магнитных потоков.

Метод многократного нониуса основан на использовании трех или
более многоканальных нерегулируемых мер и ряда УС (рис. 2.10, к).
Этот метод применяется в тех случаях, когда ступени мер велики для
измерения с заданной чувствительностью и точностью [96]. Уравнение
метода

X — Nq1 — N1 (th — q2) —	(«Л — «73)<<7i — <7з-

Методом многократного нониуса можно значительно сократить время
измерения.

Группа методов уравновешивания со вторым набором средств, т. е.
с использованием М, УС и МП является наиболее многочисленной.
Оказывается, что здесь синтезируются девять методов измерений.

Метод с использованием одноканальной нерегулируемой меры
и одноканального регулируемого масштабного преобразователя
(рис. 2.10, л) имеет уравнение

МмПрА' = х0,
где /СмПр — коэффициент преобразования регулируемого ОРМП.

Этот метод целесообразен в том случае, если трудно создать регу-
лируемую точную меру. Недостатком этого метода по сравнению
с нулевым (рис. 2.10, ж) является невозможность создания режима
компенсации для максимального снижения потребления из цепи X.
Примерами измерительных приборов, в которых используется этот
метод, является автоматический измеритель уровней напряжений типа
НПО ленинградского завода «Вибратор».

Метод с одноканальной регулируемой мерой и одноканальным не-
регулируемым масштабным преобразователем (рис. 2.10, и) отличается
от нулевого (рис. 2.10, ж) применением предвключенного ОНМП.
Уравнение метода

-ХХмп = х0/<м = NxqK.

Методы ускоренного уравновешивания основаны на использовании
остальных возможных сочетаний разновидностей средств измерения
(рис. 2.10, м, о, п, с). При использовании этих методов, благодаря при-
менению многоканальных М или МП и соответственно увеличенного
числа УС, достигается уменьшение времени измерения. Уравнения
этих методов соответственно

ХХх!Ха — хй', XN х/N„ = Х(Дмр;

Х/(мпр — N xq&', ХКки = N xqKp-

Стробоскопические методы (рис. 2.10, р, т) отличаются использо-
ванием одновременно многоканальных М и МП. Их уравнения соот-
ветственно

Т хКмпр = То; Тх = Т 0Км.р-
Эти методы названы по наименованию стробоскопического эффекта,
который обычно используется в УС. В момент уравновешивания одно-
временно срабатывают все УС. Стробоскопические методы применяются
для измерения величин частотно-временной группы — частоты и перио-
да, которые характеризуются временным разделением, а условно раз-
делены пространственно. В них уравновешивание производится изме-
нением либо известного периода То (с регулируемой мерой), либо коэф-
фициента преобразования МП, например изменением неизвестной
частоты в известное число раз. Стробоскопический эффект используется
при этом для определения знака разности и равенства или кратности
сравниваемых периодов повторения импульсов. В этих двух методах
вместо стробоскопического эффекта можно использовать специальное
электронное импульсное УС.

Комбинированные методы прямых измерений
без предварительных преобразований

Комбинированные методы осуществляются за два или более цикла
путем сочетания различных методов как внутри групп сопоставления
и уравновешивания, так и комбинаций различных групп. Метод пря-
мого уравновешивания [ПО] является примером комбинированного ме-
тода измерения. Этот метод реализуется в двух циклах. В первом
цикле используется метод сопоставления с МНМ (рис. 2.10, а), а во
втором (после создания разности) — либо снова метод сопоставления,
либо нулевой метод уравновешивания (рис. 2.10, ж).

Дифференциальный метод измерения реализуется с помощьюдвух
элементарных средств М и УС и комплексного средства измерения
(рис. 2.14). Устройство сравнения служит в этом методе для создания
разности X — х0 — Ар, где х0 — известная величина на выходе М.
Разность Ар измеряется комплексным средством измерения. Дифферен-
циальный метод применяется в тех случаях, когда X близка по значе-
нию к х0. Тогда погрешность измерения определяется, главным обра-
зом, погрешностью меры.

При дифференциальном методе измеряемая величина измеряется
в два этапа. На первом этапе с помощью регулируемой меры создается
величина %! = NxqK, однородная с X и близкая к ней по значению.
Затем создается разность Ар = X — ЛД<?к> которая во втором этапе
измеряется прибором — комплексным средством измерения, а резуль-
таты суммируются.

При дифференциальном методе разность Др = X — NxqK измеряет-
ся обычно с помощью высокочувствительного прибора, но с низкой
точностью. В этом случае отсчет прибора равен

пх = Ар/^пр.	(2.22)

Суммарная относительная погрешность

с ___ Щ^пр^пр ____ nxffiip^np .	(2 23)

сум *1 + лХ<7пр	+ пХс1пр
Первый этап	Второйэтап

^гут_^2_XJ-_____. (7)п**

_________

XjsNrfiSf—* Хн-НхЧк+ЪЦпр

Рис. 2.14. Дифференциальный метод
измерений.

Если NxqK^> пхЯпр, т. е. выполнено
условие, что NxqK приближается по
значению к X, то суммарная относи-
тельная погрешность будет значитель-
но меньше относительной погрешности
прибора, измеряющего разность. Ве-
личина Xj = Л\.дк, близкая к X при

неавтоматическом измерении, создается оператором с помощью меры,
как, например, в дифференциальных вольтметрах. В автоматических
цифровых приборах хг = NxqK создается с помощью преобразователей
код — аналог, выполняющих функцию регулируемой меры.

Методы прямых измерений наборами элементарных средств
при наличии предварительных преобразований

Предварительные аналоговые преобразования измерительного сигна-
ла необходимы для извлечения измерительной информации, т. е. для соз-
дания промежуточного сигнала, один из параметров которого удобен
для измерения. Предварительное измерительное преобразование вы-
полняется обычно с целью изменения рода сигнала, осреднения или
функционального преобразования. Рассмотрим особенности методов
прямых измерений.

Методы измерений с предварительным преобразованием вида
измеряемой величины

В большинстве случаев эти методы отличаются от рассмотренных
ранее лишь наличием предвключенного ИП, изменяющего вид входной
величины, и применяются в тех случаях, когда для измеряемой вели-
чины отсутствуют устройства сравнения и меры.

Если для X созданы регулируемые меры, но не созданы устройства
сравнения, то можно применить рассмотренные далее варианты метода
замещения.

Метод замещения с регулируемой одноканальной мерой широко
применятся при точных измерениях, основан на использовании набора
элементарных средств: В, ММ и ИП с уравнением У = f (X) (рис. 2.15).
Его целесообразно применять в том случае, если для X не созданы УС,
но созданы регулируемые одноканальные меры. Этот метод реали-
зуется в два этапа. На первом этапе на вход подается сигнал X, и за-
поминается значение выходной величины Уп а на втором — от регули-

Рис. 2.15. Методы замещения;

а — с регулируемой мерой; б с регулируемым масштабным преобразователем величины Y.
руемой меры подается изменяющаяся по значению xn, которая изме-
няется до тех пор, пока Y2 не станет равным yt (рис. 2.15, а).

При малой длительности этапов можно предположить [85], что все
параметры уравнения Y = f (X) остаются неизменными, в этом случае
разность — Y2, если (Х2 — Xn) -> 0 согласно теореме Тейлора

Л 1

У г - У 2 = f (Хх) - f (XN) = S 4 —бХП - (Xx - XN)n ... №

<=i

По условию Vj — Y2 = 0, в этом случае jq = xn для любой нели-

п £ (1 ... оо) в точке Xn не равна нулю. Следовательно, значение вы-
ходной величины меры Хм = NxqK является искомым значением изме-
ряемой величины Хх.

В частном случае при линейной функции f (х)

У. = К' (1 + 6х) X. + ду1;

У2 = Х"(14-62)Хм4-ДУ2.

если по условию = 62, Д/j = ДУ2 и К' — К", то при Yt = Y2
Хх = Хм и, следовательно, аддитивные и мультипликативные погреш-
ности ИП при использовании метода замещения не вносят погреш-
ности.

Алгоритм метода замещения с регулируемой мерой

[ХхХ (1 + 6J + ДУх] - (мАк (1 4- б2) + ДУ^ < ДУП.Ч

при ДУ! = ДУ2 и fij = 62 получаем уравнение измерения
Nx, = E\X1/qK\.

К коэффициенту преобразования ИП К предъявляются требования
только кратковременной стабильности, так как постоянство К должно
быть обеспечено лишь в течение небольшого интервала времени, равно-
го длительности двух этапов. В этом случае может быть использована
кратковременная память. Ввиду меньших требований к стабильности
К его можно сделать большим по значению, т. е. увеличить чувствитель-
ность измерительного устройства. Автоматизация метода замещения
в цифровых приборах дает возможность повысить их точность и чувст-
вительность при использовании высокочувствительных, но недостаточ-
но стабильных преобразователей.

Метод замещения с регулируемым МП реализуют на основе набора
средств, состоящих из В, ОМ, МП и ИП. Этот метод (рис. 2.15, б) мож-
но рекомендовать в тех случаях, когда есть однозначная нерегулируе-
мая мера Хо, регулируемый МП для величины X или для величины
У, а устройство сравнения имеется только для величины У.

Алгоритм метода замещения с регулируемым масштабным преобра-
зователем

[ХК (1 + б-|) Хмп 4* Д//11 — [хоХ (1 4- 62) Хмп 4“ Ху2\ Ауп.ч,

при

61 = 62 и ДУХ = ДУ2; ХХмп = Хх7кХмп
получаем уравнение

Nx = Е

Хл~мп

Методы измерения средних значений величины

Методы измерения средних значений сигнала являются частным слу-
чаем методов измерения статистических характеристик сигналов 93.
При измерении средних значений сигнала X (t) необходимым дополни-
тельным средством преобразования является осреднитель, или инте-
гратор. Методы измерения средних значений сигналов (рис. 2.16) мож-
но классифицировать в зависимости от способа выполнения операции
интегрирования и в зависимости от места реализации преобразования
в прямой цепи или в цепи меры.

По способу выполнения операции интегрирования методы измере-
ния средних значений можно подразделить на две группы: с аналого-
вым интегрированием и цифровым интегрированием. С учетом места
реализации преобразования формально образуются следующие четыре
метода измерения средних значений:

первый метод — с аналоговым интегрированием сигнала X (0, в
этом случае
т

Хер = j, У X (0 dt = Мд;ср<7к,
о

т	(2-25)

X- = e|-V fx(0d/|;

ср L q«T J 7 J

второй метод — с аналоговым определением приращения выходного
сигнала меры, в этом случае при узкополосном медленно изменяющем-
ся Х(0

X (0 = —К, X (0 dt = dxNcpK-,

т

N- =Е
хср

Т

17<fccpXj X(t)dt ;
о

третий метод — с цифровым интегрированием результатов измере-
ния Nx, в этом случае

X- = 1/п £ Nx-	(2.26)

с₽ fii

четвертый метод — стохастический с управлением меры случайны-
ми числами, распределенными по равномерному закону и полученными
от генератора случайных чисел (ГСЧ).
По способу выполне-
ния операции
интегрирования

Методы измерений средних значений величины

о аналоговым интегрированием	I I с цифровым'интегрированием

По месту реализа-
ции преобразования
в прямой цепи или
в цепи мери

Рис. 2.16. Методы измерений средних значений величины.

Возможность измерения среднего значения сигнала стохастическим
методом (методом Монте-Карло) была впервые указана в 1963 г.
М. И. Ланиным и С. М. Мандельштамом. В [28] анализируются возмож-
ности этого метода для различных функциональных преобразований.
Например, для определения оценки второго начального момента рас-
пределения, т. е. среднего квадрата сигнала X (/), необходимо, чтобы
мера выдавала значения сигнала по линейному несимметричному слу-
чайному закону.

По стохастическому методу в зависимости от особенностей уравне-
ния преобразования устройства сравнения можно реализовать три спо-
соба измерения среднего значения [58].

Методы измерений с предварительными функциональными преобразованиями
одной или нескольких величин

В настоящее время все чаще автоматически реализуются измерения
величин, являющихся функциями одной или нескольких параметров,
которые будем называть аргументами. Часть таких измерений, которые
ранее выполнялись при участии оператора, называется косвенными.
При анализе этих методов измерений целесообразно рассматривать их
в зависимости от способа реализации функционального преобразования
и места включения измерительного функционального преобразователя
(ИФП). В соответствии с вышесказанным методы измерений с ИФП на
основе использования одноканальной регулируемой меры и одного
устройства сравнения классифицируют по двум признакам:

по способу реализации функционального преобразования;

по месту включения функционального преобразователя.

По способу выполнения функционального преобразователя методы
косвенных измерений подразделяем на две группы е аналоговым и
цифровым функциональным преобразованием. Функциональный преоб-
разователь в зависимости от места включения может быть использован
для преобразования: аргументов X, Y; результатов измерения аргу-
ментов Nx, Nu.

В соответствии с этим формально образуются четыре группы методов
измерений, структурные методы реализации которых представлены на
рис. 2.17.
Рис. 2.17. Методы измерений с функциональным преобразованием.

Метод измерений первой группы целесообразно применить в том
случае, если аргументы X и Y могут быть подвергнуты заданному ана-
логовому функциональному преобразованию и если может быть созда-
на мера для измеряемой величины Z = f (X, У). Тогда если уравнения
ИФП Z = ХУ, то результаты измерения соответственно будут

Nz = E\XY/q,\.

Методы измерений второй группы целесообразны в случае, если
более доступным для реализации является аналоговый ИФП е функ-
цией, обратной заданной. Тогда для наших примеров уравнение ИФП
будет иметь следующий вид: = f~l (Z, У), т. е. хк = nzqJY, тогда
результаты измерений будут

Nz = Е •

Яг

Методы третьей группы являются методами цифрового функцио-
нального преобразования, например при помощи микропроцессора. В
наших примерах

Mz = Е МхУхМуЯи .

I Яг

Методы четвертой группы целесообразны в том случае, если функ-
циональное преобразование, обратное заданному, удобно реализовать
при помощи детерминированного или стохастического функционально-
го преобразователя кода. Тогда в наших примерах

= Nxqx = NzINyqx = X; NJNy = Nx, Nz = NyNx.

Применение стохастических преобразователей позволяет осущест-
вить простую реализацию цифрового функционального преобразова-
ния по третьей и четвертой группах. В таких преобразователях аргу-
менты X и У, изменяющиеся в пределах от 4~хн до —хя и от 4~z/H до —уя,
преобразуются в сигналы единичного одноканального кода, т. е. в слу-
чайные двузначные цифровые последовательности, содержащие «1»
и «О», например по алгоритму

а( = sign [Хк — (хн + X)] =

1 при Хк < (хя + X);
О при Хк > (хя + X),
где Хк — равномерно распределенная образцовая случайная величина
в пределах О...2хн.

При этом среднему значению максимальной величины X = х„ со-
ответствует Р (Хк < 2хн) = 1, среднему значению максимальной от-
рицательной величины X = —хн соответствует Р (Хк <; 0) = О, а
нулевому среднему значению хср = 0 соответствует Р [Хк < (хн 4- хн)1 —
= т. е.

Рх [Хк < (хн + X)] = V2 + 11&1хя,	(2.27)

Ру [YK < (уп 4- Г)] = х/2 4- х12у1уя.	(2.28)

Особенность функционального преобразования в стохастических
преобразователях определяется относительной простотой выполнения
операции логического умножения. Действительно, для выполнения
умножения двухполярных X и Y достаточно произвести следующие
преобразования:

Р2 (ху) = Рх [Хк < (х„ + X)] Ру [YK < (уп 4- Г)] V {1 - Рх [Хк <

<(%н + Х)]} {l—PylYR<(ya + у)]},	(2.29)

где Рг (ху) — вероятность «1» в выходной случайной последовательно-
сти произведения Z = XY.

Из (2.27), (2.28) и (2.29) имеем

Рг (ху) = Ч2 4- 1/2Ху/(Хн(/н)-	(2.30)

Реализация преобразований (2.30) осуществляется при помощи
простейшей логической схемы.

В [58] приведены уравнения преобразования и схемы функциональ-
ных стохастических преобразователей, предназначенных для выполне-
ния операций умножения и возведения в квадрат.

Методы измерения мгновенных значений случайной величины
при известном распределении

В некоторых случаях известно распределение измеряемой величины.
При известном распределении случайного сигнала р (х) его отдельные
мгновенные значения можно измерить без меры только при помощи
операций сравнения и запоминания. При этом известное распределение
р (х) играет роль шкалы, эквивалента меры, памяти о достаточно ста-
тистически длительном взаимодействии случайного сигнала и измери-
тельного устройства. Поэтому в этих методах измерения также факти-
чески косвенно используется и мера.

В методе использования функции распределения искомое мгновен-
ное значение х, определяется по оценке вероятности Р [X (t) < xj при
помощи УС и счетчика импульсов. На первый вход УС с периодично-
стью Го подается дискретизированный входной сигнал Хд (t), а на вто-
рой вход УС подается неизвестное запомненное, мгновенное значение
Xi (рис. 2.18).

На выходе УС согласно его уравнению

0 при Хд (/) >х,;

а^-Р^МХ^-х^ j приАд\)<Х1
Рис. 2.18. Реализация метода измерения мгновенного значения случайной величины X
по оценке вероятности Р {X < хл) при известном р (х).

формируется кодовый сигнал в виде двузначной последовательности,
относительная сумма логических единиц которого за достаточно боль-
шое время

l/n0Saz (t) = Р (Хд(/) < х,) э* njno,

где и0 = Т/То — общее число дискретных мгновенных значений сигна-
ла Хд (t), поданных на первый вход УС с периодичностью То за время
Т; П] — суммарное число логических единиц, полученных на выходе
УС и суммированных счетчиком импульсов СИ1.

Затем по известной функции распределения Р (X/f) < х0) и полу-
ченной оценке вероятности Р (Хд (/) < xj определяют неизвестное
значение xlt

Метод использования известного дифференциального закона рас-
пределения, при котором неизвестное мгновенное значение запомина-
ют, формируют близкое к нему значение х2 = Xj + Д и определяют
хх по оценке плотности вероятности р [х5 < X (/) < (хт + Д)1 полу-
ченной при помощи дифференциального анализатора или при помощи
двух УС и двух счетчиков импульсов. На выходе УС1 (рис. 2.19) со-
гласно его уравнению получаем кодовый сигнал

1 при Хд (Л > х,;

а,м=Fisig„(x,M-x11= Onp„x;(/;<X;.

На выходе УС2 согласно его уравнению получаем кодовый сигнал

0 при ХД(Л> х, + Д;

чи=г(^п(х,и-(х,+ад)= , приХ;м’<х;+д.<^>

После логического умножения кодовых сигналов (2.31) и (2.32)
при помощи схемы И получаем кодовый сигнал (2.34)

at, (t) — a(l (/) a,s (/).

(2.34)
Относительная сумма единиц кодового сигнала а,-з (/) при большом
числе выборок равна оценке плотности вероятности р (х^:

(0 = р (xj = п3/п0,	(2.35)

где п3 — суммарное число логических единиц, полученных на выходе
схемы И и суммированных счетчиком импульсов СИ 1. По полученной
оценке р [хх < Хя (Z) < (xj + Д)1 и известному дифференциальному
закону р (х) определяют неизвестное значение хг.

2.5.	ОПЕРАЦИИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ КОНТРОЛЯ

Изделия перед передачей заказчику, после изготовления, перед
очередным использованием после хранения или ремонта и во многих
других случаях нуждаются в определении их действительного тех-
нического состояния прежде всего с точки зрения годности к использо-
ванию и работоспособности. Если априорных сведений о истинном со-
стоянии объектов недостаточно, что, к примеру, может препятствовать
их применению или резко снижает эффективность наших действий, то
прибегают к процедурам, которые обеспечивают повышение уровня
достоверности наших знаний о истинном состоянии объектов; к этим
процедурам относятся контроль и техническое диагностирование.
Объектами технического контроля и диагностирования являются обыч-
но параметры изделия и состояния объекта.

Контролем изделий называют процесс определения соответствия
значения параметра изделия установленным требованиям, т. е. норме
(ГОСТ 16504—74).

Техническим диагностированием называют процесс определения
технического состояния объекта диагностирования с определенной
точностью (ГОСТ 20911—75).

Часто возникают споры, какая из процедур — измерение или конт-
роль — является более общей или более сложной. Измерение и конт-
роль близки по своей информационной сущности, содержат ряд общих
операций (например сравнение, измерительное преобразование), тесно
связаны между собой, дополняют друг друга.
Сложность и контрольных, и измерительных устройств непрерывно
возрастает. Контролю иногда предшествует измерение, и тогда его на-
зывают цифровым. Измерению часто предшествует контроль. Напри-
мер, определение полярности и выбор предела измерения являются
собственно контрольными операциями, в автоматических и цифровых
приборах они предшествуют измерению.

Процедуры измерения и контроля во многом существенно разли-
чаются:

результатом измерения является количественная характеристика,
а контроля — качественная;

измерение осуществляется в широком диапазоне значений измеряе-
мой величины, а контроль — обычно в пределах небольшого числа
возможных состояний;

измерительные устройства применяются часто при научных исследо-
ваниях, когда почти ничего не известно об измеряемой величине и
плотность вероятности X часто предполагается равномерной во всем
диапазоне возможных значений измеряемой величины. Контрольные
устройства применяются для проверки состояния изделий, параметры
которых заданы и изменяются обычно в узких пределах;

основной характеристикой качества процедуры измерения является
точность, а процедуры контроля — достоверность (п. 4.6).

Различают несколько видов контроля в зависимости от степени
охвата партии изделий контролем и в зависимости от числа контроли-
руемых параметров.

По первому признаку контроль подразделяют на сплошной и стати-
стический.

Сплошному контролю подвергаются все изделия
партии.

Статистическому контролю подвергается определен-
ная, статистически представительная часть партии изделий (при крупно-
серийном производстве изделий и относительно высокой стоимости
контроля по сравнению со стоимостью изделия).

По второму признаку контроль подразделяют на однопараметровый,
при котором состояние объекта контроля определяется по размеру
одного параметра, и на многопараметровый, при котором состояние
объекта определяется размерами многих параметров.

Контроль, как и измерение, состоит из отдельных элементарных
операций: измерительного преобразования, сравнения, воспроизве-
дения уставок контроля, заключения контроля.

Методом однопараметрового контроля является алгоритм исполь-
зования элементарных операций контроля с целью определения заклю-
чения о состоянии объекта контроля. Алгоритмом контроля называется
аналитическое описание совокупности приемов получения заключения
о состоянии объекта контроля.

Для более подробного описания методов контроля классифицируем
их по следующим признакам (рис. 2.20):

форме сравниваемых сигналов, виду алгоритма контроля, по распо-
ложению зоны нормального состояния, и по виду воздействия на объект
контроля.
\Ме'тоды однопараметрового контроля

I Цитобые

| Аналоговые

преОыама

УС

Ниме
предела

По форме еров'
кидаемых
сигналов

Между
предела ^пределами

По виду алгоритма, |
по расположению l_i
воны нормального Г
состояния г,,-,1.

01

ЦИП

Иг»

V/

01

ст

Активные

Пассивные

УСК

д

№
УСК

Рнс. 2.20. Методы контроля.

flo байу воз-
действия на одьект
контроля

Методы контроля классифицируют также по ряду используемых
при контроле физических процессов на магнитные, акустические, изо-
топные, оптические и т. д.

По форме сравниваемых сигналов методы однопараметрового конт-
роля подразделяются на аналоговые методы, при которых операции
сравнения производятся с аналоговыми сигналами и на цифровые ме-
тоды контроля с предварительным аналого-цифровым преобразовани-
ем, т. е. автоматическим измерением, при которых сравнение с устав-
ками производится в цифровой форме. Для сравнения числовых зна-
чений результатов измерений Nx и чисел уставок и /V,, применяют
арифметические устройства ЭВМ или специальные устройства сравне-
ния кодовых сигналов УСК.

По виду алгоритма контроля, по расположению зоны нормального
состояния методы контроля можно подразделить на методы выявления
состояний: «ниже предела X < хп», «выше предела X > хп» и «между
верхним и нижним пределом х„ < X < хв».

Алгоритм контроля состояния «ниже предела X <Z хп»

at = [0,5 — 0,5 sign (X — хп)] =

1 «в допуске» при X — хП<_ 0;

0 «вне допуска» при X — хп > 0.

Алгоритм контроля состояния

«выше предела X 2> хп»

at = [0,5 Ц- 0,5 sign (X — xn)] —

1 «в допуске» при X — хП > 0;

0 «вне допуска» при X — хп < 0.

Алгоритм контроля «между верхним и нижним пределом»
хн X Хв",
di = [0,5 + 0,5 sign (X — %„)] [0,5 — 0,5 sign (X — xB)| ==

1 «в допуске» при < X < хв;

= 0 «вне допуска» при X < х„;

0 «вне допуска» при X > хв.

Структурные схемы устройств контроля для нормальных зон «X <
< хп», «X > хп», и «хн < X < хв» показаны на рис. 2.20.

По виду воздействия на объект контроля методы контроля подраз-
деляются на пассивные, при которых специальное воздействие на объект
контроля не производится и на активные, при которых на объект
контроля производится воздействие от генератора стимулирующих
сигналов.

2.6.	ПОНЯТИЕ О КОМПЛЕКСНОМ ОБЪЕКТЕ И МЕТОДАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ФИЗИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Комплексный объект наиболее сложный для изучения — представ-
ляет собой физическое явление, технологический процесс, автомати-
ческую систему управления и т. п. Основной характеристикой его яв-
ляется система или совокупность зависимостей между физическими
величинами Xlt Х2, Х3....Хп. В общем случае эти величины Хъ Х2,

Xs, Хп неизвестные по значению, имеют неизвестный характер
изменчивости во времени, неизвестные взаимные связи и законы изме-
нения во времени. Поэтому задачами исследования такого комплекс-
ного объекта являются:

определение перечня величин, характеризующих объект;
определение характера изменчивости величин;

определение качественных характеристик зависимостей между ве-
личинами;

определение функциональных зависимостей между величинами;

динамические измерения величин, входящих в систему, с целью
установления зависимости их от времени.

О комплексных объектах (особенно об объектах управления, конт-
роля и испытаний) имеются обычно предварительные априорные све-
дения — о числе величин, их роде, характере изменения (в частности,
о частотном диапазоне, о законах распределения), о пределах измене-
ния, о детерминированных связях между величинами, о вероятностных
взаимосвязях между ними, характеризующихся коэффициентами кор-
реляции.

По априорным данным выбирают измерительную аппаратуру, на ос-
нове вероятностных характеристик — метод обработки результатов
измерения отдельных величин.

Определение характера изменения величин, описывающих объект
измерения, производится на основе априорных данных и измерений
величин. На основании измерений величин устанавливают характер
законов изменения величин — случайной или квазидетерминирован-
ной, обычно большинство величин, характеризующих объект, являются
случайными.
Совместная многомерная плотность распределения системы случай-
ных величин является их полной характеристикой и, зная р (хг, х2, ...
..., хп), можно определить плотность распределения каждой из вели-
чин р (хг), ..., р (хп) и все качественные и количественные характери-
стики взаимосвязей между данными величинами:

P(*i) = J ••• j p(xt, х2, xn)dx2, dxs,...,dxn.
---------OQ	--

Однако для определения р (хг, х2....х„) необходимо провести

сложный измерительный эксперимент с большим числом измерений.
Поэтому качественные и количественные характеристики взаимосвязей
на основе совместной плотности вероятности системы величин опреде-
ляют лишь при небольшом числе величин в системе — при п 3...4.
При больших значениях п качественные характеристики взаимосвя-
зей величин определяются на основе априорных сведений и методов
дисперсионного анализа.

Определить качественные характеристики зависимостей между
величинами объекта можно на основе

совместной плотности распределения р (х2, х2,	хг1);

априорных данных;

статистического дисперсионного анализа.

По критерию взаимонезависимости на основе совместного распре-
деления определяют наличие взаимонезависимости всех величин xlt
х2...хп. Если р (хь х2, хп) = р (xj, ..., р (хп), то все величины,

входящие в данную систему, взаимонезависимы. Невыполнение кри-
терия означает зависимость между всеми величинами системы или меж-
ду частью величин системы. Далее по условным распределениям опре-
деляют перечень независимых и зависимых величин.

По критерию независимости данной величины Хк от всех остальных
величин, по условным распределениям выявляют независимые величины.
Если условная плотность вероятности

р (Хк/Хп ... , Хк—1, хк+1, ... , хп} = р (хк),
то Хк независимо от всех остальных величин системы. Условная
плотность вероятности Хг определяется через совместную плотность
вероятности величин системы

У Р (-^t> х2* ' • • , xn) dx-i
— ОО

Таким образом, в системе из п величин выявляются пг независимых
величин и п2 зависимых, при этом п = гц + п2. Очевидно, что каждую
из независимых величин нужно измерять отдельно. Часть зависимых
величин можно измерить непосредственно, а часть — косвенно на ос-
нове известной их зависимости от величин, измеренных путем прямых
измерений. Так минимизируют число измеряемых величин.

Определение функциональных зависимостей между величинами
можно произвести на основе:
Рис. 2.21. Классификация зависимостей

между величинами.

Рис. 2.22. Систематизация методов опреде-
ления параметров квазидетерминирован-
ных зависимостей.

априорных данных о связях между величинами;

известных физических законов;

совместной плотности распределения;

результатов измерения, например, статистическим регресионным
анализом.

Зависимости можно классифицировать по двум существенным при-
знакам — виду аргументов и характеру изменчивости величин, входя-
щих в зависимость. По первому признаку зависимости можно подразде-
лять на временные и невременные, или параметрические, а по второ-
му — на квазидетерминированные и случайные (рис. 2.21).

Простейшие модели зависимостей можно подразделить также по
числу величин, входящих в модель зависимости, и по виду функцио-
нальной связи между величинами, входящими в модель. По первому
признаку модели подразделяют на модели, связывающие две, три и
более величин, а по второму — простейшие модели соответственно
подразделяются на линейные и нелинейные.

Функциональную зависимость величины Xk от остальных величин
системы аналитически можно определить как условное математическое
ожидание величины через условную плотность вероятности Xk:

-4-ос

М (Xk....../х1г .... Xk-i; Xk+I, ... , хп) = \ р (хк/хъ ... ,

• • • »

Условную ПЛОТНОСТЬ р (xJXi, ....	х*+1, ..., хп) можно вычис-

лить по совместному распределению всей совокупности величин
р (лу, х2, xs, ..., хп), которое однако весьма сложно определить.

Методом экспериментального определения параметров зависимостей
между величинами называется совокупность приемов использования
средств измерения для определения параметров их аналитической мо-
дели.
При определении параметров зависимостей в простейшем случае
двух величин Хя = f (Хб) на основе измерения соответствующих зна-
чений величин Ха и Х6 необходимо выяснить характер изменчивости
их (квазидетерминированный или случайный) и выбрать аналитиче-
скую модель зависимости.

Методы нахождения параметров моделей могут быть подразделены
(рис. 2.22) в зависимости от характера алгоритма процедуры определе-
ния параметров зависимостей на методы сопоставления, или парал-
лельные, реализуемые в один прием практически без затраты допол-
нительного времени, и на методы последовательные, реализуемые в
несколько приемов при неизбежной затрате дополнительного времени.
При методе сопоставления исследуемые зависимости непосредственно
сопоставляются, например в простейшем случае по входным и выход-
ным сигналам исследуемого объекта с соответствующими сигналами на
входах и выходах образцовых мер зависимостей. Реализация метода
сопоставления возможна при наличии достаточно полного набора конст-
руктивно несложных мер зависимостей, как например в дилатометрии
[1]. При методе последовательном или косвенном искомые параметры
аналитической модели зависимости определяются по результатам мно-
гоэтапной обработки результатов измерений.

По наличию или отсутствию специального воздействия на исследуе-
мый объект методы определения параметров зависимостей подразде-
ляются на пассивные и активные. Методы нахождения параметров мо-
дели подразделяются также в зависимости от функциональной специ-
фики каждой модели. Ввиду случайного характера изменения Ха и
Хб, а также случайных погрешностей их измерения за истинную зави-
симость между ними принимают кривую регрессии — зависимость
условного среднего значения величины Ха от заданных при экспери-
менте значений величины Хб. Уравнение регрессии, т. е. модель иско-
мой зависимости, выбирается либо на основе априорных данных, либо
принимается полиномиальный характер модели

Хар ~ fp (Xg> . . . , Сп) = Cj 4- С2хб Ц- С3Хб -f- СпХб

Это уравнение определяется методом наименьших квадратов путем
минимизации следующей суммы:

5 = V (Ха; — хар()2 = Ш1П,	(2.36)

1

где ха< — среднее значение величины xai, полученное из опыта; хар/ —
значение величины ха;, полученное из уравнения регрессии, при зна-
чении величины Хбо

Коэффициенты уравнения регрессии с1г ..., сп определяются из
условия минимума функции (2.36) при равенстве нулю всех частных
производных данной функции по коэффициентам искомого уравнения
регрессии:

После подстановки (2.36) в (2.37), в связи с тем, что частные произ-
водные по коэффициентам уравнения регрессии равны нулю, получаем
систему из п линейных уравнений:

I

1

р (%. С1' • •  , Ctl)
дсг

д1р (*бл С1’   • . Сп)

fp (хб., С1, ... , сп)----------------------------= 0;

х3.

dfp (*б.> Ск . . . , Сп)
дс'п

ry	dfp (хб , сх, ... , сп)

— 2-1 fp с1> • • • ’ сп)-----1—п---------= °-

Решая данную систему линейных уравнений, определяем значение
п неизвестных коэффициентов модели зависимости с1г ..., сп. Следова-
тельно, ха = f (хб) искомую математическую модель нашего объекта
находим по оптимизирующему критерию минимума среднего квадрата
отклонения. Вследствие приближенного вида модели и случайных
погрешностей измерения значений величин xai и хв. коэффициенты
Ср ..., сп определяются приближенно. Более точно эти коэффициенты
можно определить, если число условных уравнений будет больше чис-
ла неизвестных п (п. 9.4).

Дисперсный и регрессионный анализ, как и определение совместной
плотности распределения, проводится на основе большого числа изме-
рений реализаций случайных процессов. Естественно, что точность
и достоверность дисперсионного и регрессионного анализа, при высо-
кой степени адекватности модели, зависит прежде всего от точности
измерений отдельных реализаций случайных величин, характеризую-
щих объект.
Глава 3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ

Теория информации широко применяется в различных областях
науки и техники, в том числе при анализе измерений и средств измери-
тельной техники. Информационному анализу измерений посвящено
большое количество отечественных исследований [35, 54, 88, 92].
В нашей стране инициатором применения теории информации в области
измерительной техники был К. Б. Карандеев, который впервые дал
определение понятия измерительной информации.

Информационная теория измерений в настоящее время находится
в стадии развития. Многие вопросы еще являются предметом научного
обсуждения. Однако уже сейчас очевидно, что применение теории ин-
формации дает возможность более полного анализа качества измере-
ния и средств измерительной техники. Информационные методы и кри-
терии успешно используются для оптимизации информационно-изме-
рительных систем, анализа их пропускной способности и установления
предельных метрологических возможностей средств измерений.

Первоначально информация понималась как знания, сведения, сооб-
щения о чем-либо. В настоящее время информация является основным
понятием кибернетики — науки о способах и средствах получе-
ния, передачи, обработки и использования информации для управ-
ления.

Информация — свойство материи, отличное от ее вещественных и
энергетических свойств. Она неразрывно связана с категорией диалек-
тического материализма — отражением и является содержательной ха-
рактеристикой отражения. Высшие формы информации характери-
зуют отражение, сопровождающее процессы познавательной деятель-
ности человека. Являясь свойством материи, информация может
рассматриваться как величина. Сообщения, сведения, знания, обоб-
щаемые понятием «информация», могут характеризоваться различ-
ными аспектами: объемом, новизной, содержательностью, важностью,
полезностью, ценностью и т. п. Поэтому информация — сложное, мно-
гомерное свойство.

В отличие от такой, например, многомерной величины, как объем,
для которой существует жесткая функциональная связь с отдельными
компонентами (геометрическими размерами, длиной, шириной и высо-
той), взаимосвязь различных характеристик информации еще не уста-
новлена.
Для того чтобы перейти к измерению информации в равноинтерваль-
ной шкале (как это было сделано, например, для температуры), необ-
ходимо установить функциональную взаимосвязь ее отдельных ком-
понент либо связь с другими свойствами материи.

Измерительная информация является содержательной характери-
стикой измерительного отражения. Особенности измерительного от-
ражения и, следовательно, измерительной информации вытекают из
общего определения измерения (п. 1.3). Наиболее существенные из них,
связанные с природой измерительной информации, заключаются в том,
что, во-первых, отражающий объект является числом, а отражаемый —•
эмпирическим и, во-вторых, в способе отражения, а именно: отражение
эмпирического объекта на числовой оси производится так, чтобы от-
ношения между размерами измеряемой величины однозначно соответст-
вовали отношениям между их числовыми значениями.

3.1.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕРЫ ИНФОРМАЦИИ

В теории знаков (семиотике) знаковые системы изучаются на трех
основных уровнях: синтактическом, семантическом и прагматическом.

В синтактике сообщения рассматриваются как символы, абстраги-
рованные от содержания и какой-либо ценности. Предметом анализа
при этом являются частота появления символов, т. е. знаков кода,
связи между ними, порядок следования, правила построения выраже-
ний, при помощи которых могут формулироваться сообщения. Синтак-
тике в естественном языке соответствует синтаксис.

В семантике изучается содержание (смысл) символов-сообщений,
т. е. отношение сообщений к тому, что они выражают.

В прагматике символы-сообщения рассматриваются в их отношении
к получателю. При этом учитываются такие характеристики сообще-
ний, как важность, полезность, ценность, актуальность.

Информативность сообщений может оцениваться на каждом из
трех основных уровней семиотики. В настоящее время наиболее глу-
боко разработана задача синтактической оценки информации.

При синтактическом анализе информация определяется как мера1
уменьшения неопределенности знаний о каком-либо предмете в позна-
вательном процессе. Если Нх — исходная (априорная) неопределен-
ность знания по данному вопросу, а Н2 — остаточная (апостериорная)
неопределенность, характеризующая состояние знания после получе-
ния сообщения, то содержащаяся в этом сообщении информация опре-
деляется их разностью:

1 = НХ—Н2.	(3.1)

Для оценки степени неопределенности знаний на синтактическом
уровне разработано большое количество различных математических
мер. Рассмотрим только Две из них: простейшую — логарифмическую
меру, предложенную?. Хартли, и вероятностную, называемую энтро-
пией, которую предложил К. — Э. Шеннон.

1 Под термином «мера» подразумевается математическая мера в отличие от терми-
на «метрологическая мера» (средство измерения), который используется в остальных
главах.
рис. 3.1. Зависимость неопределенности,
выраженной логарифмической мерой, от ко-
личества возможных значений величи-
ны N.

Рис. 3.2. Зависимость энтропии, выра-
женной вероятностной мерой, от исход-
ных вероятностей Р/ отдельных исхо-
дов оп ыта.

Логарифмическая мера. Чем больше уровней N может иметь изме-
ряемая величина, тем труднее определить ее значение. Следовательно,
исходная неопределенность возрастает с увеличением числа N.

Исходную неопределенность знания (до выполнения измерения)
можно характеризовать значением логарифмической функции от N
(рис. 3.1):

Неопределенность знания об истинном значении измеряемой величины
после измерения можно также оценить значением логарифмической
функции:

Н2 = loga п,
где п — число возможных значений величины после измерения, харак-
теризующее его погрешность.

Очевидно, что должно быть п < N, а п = 1 только в идеальном
измерении, без погрешности.

Тогда информация, полученная в результате измерения,

/ = Hi — Н2 = loga IV — loga п = loga N/n.	(3.2)

Единица неопределенности и информации определяется выбором осно-
вания логарифмов а. При а ~ 2 она называется двоичной единицей
информации (бит), при а = 10 — десятичной (дит), при а = е — на-
туральной (нит).

Если число возможных значений измеряемой величины априори
равно N = 1, то это означает, что исходная неопределенность знания
отсутствует и нет необходимости в измерен^'> В этом случае мера не-
определенности дает значение И, — logl = 0. Чем больше число N,
тем больше возможностей выбора одного из значений, тем труднее сде-
лать правильный выбор -м, следовательно, больше неопределенность.
Информация, получаемая в измерении, тем больше, чем больше умень-
шается число возможных исходов, т. е. чем больше отношение N/n.
Рассмотренная здесь простейшая мера неопределенности и информа-
ции была предложена Р. Хартли еще в 1928 г.

Вероятностная мера. Если заданы исходные (априорные) вероят-
ности всех возможных исходов опыта Pt (i = 1, 2, ..., N), такие, что
N

= 1, то исходную неопределенность можно оценить более «тонкой>
Z«=l

мерой. В случае, когда априорная вероятность некоторого /г-го значе-
ния измеряемой величины приближается к 1, исходное знание характе-
ризуется незначительной неопределенностью: можно почти с полной
уверенностью ожидать, что в результате измерения будет цэлучено
именно это значение, а не какое-то другое из N —1 оставшихся', вероят-
ности появления которых незначительны. Чем более близкими будут
вероятности Рц, тем труднее выбрать правильное значение, тем больше
исходная неопределенность. Таким образом, мера неопределенности
должна в данном случае учитывать вероятности отдельных возможных
исходов. Этим интуитивно разумным требованиям, а также введенному
выше требованию аддитивности отвечает предложенная К.— Э. Шенно-
ном вероятностная, или статистическая, мера неопределенности, кото-
рая описывается выражением

я1 = -2 Л1оёл = £ Ht,	(з.з)

г=1	Г=1

где	Ht = — Pt logPt.

По аналогии с термодинамической мерой неопределенности она
получила название энтропии.

Из (3.3) видно, что энтропия является суммой слагаемых Н{ =
=> —Р( log2 Pt- Зависимость Ht = f (Pt) представлена на рис. 3.2.

Максимальное значение Н{ принимает в точке Pt = 0,37. С прибли-
жением Р( к 0 значения Hi быстро уменьшаются, а в интервале Pt
0,2...0,6 они изменяются незначительно и мало отличаются от макси-
мального //max = f (0,37) = 0,53. При одинаковой вероятности всех
N значений

N

Н1= — S Ш log Ш = log N.

i=i

3.2.	ИСХОДНАЯ ЭНТРОПИЯ ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
ДО ИЗМЕРЕНИЯ

Непрерывная (аналоговая) величина в любом заданном диапазоне
Хпах...Ат|п имеет бесконечно большое (и несчетное) множество значе-
ний. Сумма бесконечно большого числа (3.3) слагаемых Н( = —Р( log/\
приводит к энтропии, р„._ рй бесконечности. Однако такая постановка
задачи практически не имеет сМЕгта. Дело в том, что любое измерение
сопровождается погрешностью. Поэтому более правильной будет та-
кая постановка задачи: определить энтропий?з-чания означении непре-
рывной величины, подлежащей измерению с кониной погрешностью
Др. При этом весь диапазон значений измеряемой Жтччины можно
разбить на N = (хтах — хт1п)/Др участков. Если Задана плотное'ь ве-
роятности значений величины р (х), то вероятность того, что в резуль-
тате измерения получится i-e значение, приближенно равна р (х() Др =
= Р( (рис. 3.3).
Тогда энтропию можно найти, подставляя в общую формулу значе-
ния Pi (i = 1, 2,	N):

N

н (X) = — £ p (x{) Др log Ip (x{) Др].

1=1

Переходя от суммы к интегралу, получаем:

хтах	хтах

И (X) = — j р (X) log [р (х) Др] dx = — j р (х) log р (х) dx — log Др,
xmln	xmln

3.4)

*тах

так как Др = const, a j р (х) dx = 1 (условие нормировки вероят-

*min

ностей). Первое слагаемое в полученном выражении

•*тах

h (х) — — j р (х) log р (х) dx

xmin

называется дифференциальной энтропией. Дифференциальная энтро-
пия полностью определяется плотностью вероятностей значений изме-
ряемой величины и не зависит от погрешности различения этих значе-
ний Др. Поэтому все величины с одинаковым законом распределения
характеризуются одной и той же дифференциальной энтропией.

Вычислим дифференциальную и полную энтропии для двух наибо-
лее часто встречающихся в измерительной практике распределений
значений непрерывных величин — равномерного и нормального. До-
пустим, что все значения величины равновероятны в диапазоне от xmin
ДО Хтах (рис. 3.4). Дифференциальная энтропия в этом случае

zmax

h (х) = — j р (х) log р (х) dx =
xmin

*max

— — Г---------------- log ~~	~~ ~ dx = log (Xmax

J Xmax xmin лтах лтш

*min

а полная энтропия при заданной
погрешности различения Др

н (X) = h (X) — log Др = log (Xmax —
Хщ1п)/Др-

Для нормального закона (рис. 3.5)
функция распределения аналити-
чески выражается формулой

pH

Рис. 3.3. Нахождение вероятности Р от-
дельного значения непрерывной величины.

р(х) =

1 е 2<Я(Х)
/2ла(Х)	;

где о (X) —с. к. о. значений велц
чины X.
рМ

fmax ~^xnln

*majf

Рис. 3.4, Равномерное распределение зна-
чений непрерывной величины.

Рис. 3.5. Нормальное распределение значе-
ний непрерывной величины.

Дифференциальная энтропия в этом случае

-{-00	-{-00

/г(Х) = — J р (х) log р (х) dx = — J р(х) X

(Xs \
е dx = 10g <Х))’

(3.5)



1

так как J р (х) dx = 1 и J х2 р (х) dx = о2 (X).
— 00	-00

Полная энтропия с учетом погрешности различения Ар
И (X) = h (X) — log Др = log (/2лёа (х)) — log Др =
= log 2лео (х)/Ар.

(3.6)

4 3.3. ОСТАТОЧНАЯ ЭНТРОПИЯ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИНЫ

ПОСЛЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ОЖИДАЕМАЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

В результате измерения исходная неопределенность знания о зна-
чении величины не может быть снижена до нуля, поскольку всегда
имеется погрешность.

На рис. 3.6 показано априорное распределение значений измеряемой
величины р (х) и апостериорное р' (х), которое получаем после изме-
рения с погрешностью ±А. В результате измерения область неопре-
деленности сужается от xm(n...xmax до интервала (х( — A)...(xf4- А)
длины 2Д, расположенного на оси симметрично относительно получен-
ного результата х£.

В дискретном случае, когда измеряемая величина может принимать
только фиксированные значения, число которых внутри заданного диа-
пазона конечно, остаточная неопределенность оценивается по общей
формуле (3.3), в которую подставляются апостериорные вероятности
отдельных значений. Обозначим Р (i//) апостериорную вероятность —
вероятность того, что, если в измерении получено /-е значение величи-
ны, в действительности имеет место t-e значение. Пусть результат дает
/г-е значение (/ = k). Тогда выражением

N

Н {i/j = k) =- — 2 Р (i/k) log Р (i/k)	(3.7)

i=i
рис. 3.6. Распределение значений непрерывной величины
априорное (до измерений) р (зс) и апостериорное (после
измерений) р' (а?).

оценивается остаточная неопределенность
знания о значении измеряемой величины.

Разумеется, вычисление остаточной энт-
ропии таким путем возможно только после
осуществления опыта (измерения). Априо-
ри, до измерения, остаточную неопределен-
ность можно оценить ожидаемым значени-
ем, которое определяется как средневзве-
шенное по всем возможным результатам из-

мерения (т. е. повеем / = 1,2,..., N) для значений, полученных из (3.7).
«Весами» служат априорные вероятности соответствующих результатов:

Н (j/i) = М[Н (!//)] = S Р,Н (i/j)	(i/j) log P (i/j) =

= П P/P(i/J) log P07j).
i=i t=i

В связи с тем что совместная вероятность наступления двух собы-
тий, заключающихся в том, что результат измерения дает /-е значение,
а в действительности имеет место г-е значение величины, равна Р (i, j) =
= Р/Р (i/j), то

н а, 1) = ^^р и, /) log р (i/j) = - s s p a,}) log p a, j)/pt. <3.s>
/=1 i=l	/=1 <=l

Если измеряемая величина непрерывна, то остаточную неопреде-
ленность можно оценить приближенно, задаваясь погрешностью раз-
личения А-. Обозначим х и xn текущие значения соответственно для
измеряемой величины и результата измерения. Пусть р (xn) — плот-
ность априорной вероятности получения результата измерения
Xn\ р (х, Xn) — плотность вероятности совместного появления X и XN.
Считая погрешности различения значений величины и результата
измерения одинаковыми и равными Др, в (3.8) можно подставить
Р (i, j) = р (х,, xn/) Др и Pj = р (xNj) Др. Переходя к интегралу,
получаем:

-{-00 -{-00

Н (X/xn) = — f f р (х, Xn) log Р dxdXN =

I/ J	Р \хм)

-{-со -{-со

р (х, xN) log

--ОО —00

Р (х, xNy

Р (хд/)

dxdx n —

-{-00 -{-00

- log Др j j
—-00 —00

р (х, Xn) dxdXN.
Первое слагаемое в полученном выражении не зависит от погреш-
ности различения и представляет собой так называемую дифферен-
циальную остаточную энтропию:

-{-ОО -фоо

h(X/xN)=—\ f р(х, хл-) log -^~—dxdxN. (3.9)
J J	P \xn)

—oo — oo

—{—00—{—00

Во втором слагаемом j j p (x, xN) dxdxu = 1 по условию нормировки
—oo—00

вероятностей Тогда полная остаточная энтропия значений непрерыв-
ной величины после измерения определяется разностью

Н (X/xN) = h (X/xN) — log Др.	(З.Ю)

Вычислим дифференциальную остаточную энтропию для случая,
когда измеряемая величина X и общая погрешность измерения Д рас-
пределены по нормальному закону, который задан математическими
ожиданиями тх — 0 и т& = 0, а также с. к. о. о (X) и о (Д);

X2

р (х) = ---------е 2°2(Л>;

/2л а (X)

р (Д) == —=J-----е 2О’<Д).

р 2л а (А)

Общее выражение для дифференциальной остаточной энтропии
(3.9) имеет вид

-{-ОО -{-00

Л(Х/хл,) = — \ f р (X/xN) log ~ dxdx.y. (311)
J J	Р

— 00 —00

Результат измерения определяется суммой истинного значения из-
меряемой величины и погрешности Хх = X + Д. Поэтому закон
распределения для Xn определяется композицией законов распределе-
ния для X и Д. В данном случае он описывается аналитическим выра-
жением вида

! _______________*1____

p(xN) =	—- 	- А

К2л (а2 (X) 4- а2 (Д))

т. е. является нормальным, с математическим ожиданием mZN = 0 и
о Cxv) = \' о® (X) 4- о2 (Д). Выражение для h(X/x^} можно рассматри-
вать как первый момент, т. е. математическое ожидание величины —
, Р (х, xN)

Og р (xN) '

Ь(Х/хл/) = М —log

р (х, xN)

Р [Ху)

Для вычисления дифференциальной энтропии нам остается найти
совместный закон распределения X и Х«, характеризующийся плот-
яостью р (х, xN). Для этого воспользуемся известным соотношением
плотностей вероятностей р (х, хУ) = р (х) р (xn/x), гдер (хУх) — плот-
ность условной вероятности значения результата измерения xn при
определенном значении измеряемой величины X. Очевидно, что закон
распределения р (xn/x) совпадает с законом распределения погрешно-
сти А, который задан:

р (xN/x) =

а (А)

д2

2о2(Л)

ху

1	2ОЧ&)

pz2s о (А)

Тогда дифференциальную энтропию можно представить выражением
h (X/xN) = М [— log р (х) р {xNlx)lp (xN).

Подставляя в него известные зависимости р (х), р (хУх), р (%v)
получаем:

h (X/xn) — — М

! __________! ______________________—

с 2О2(Л)	__1 е 2О2(Д)

। К2л q (X)___________________1'2 л а (А)__________

!	________"Л______

-______р 2а2(Х)+а2(Д)

К2л (а2 (X) + а2 (А))

.Л. У о2 (X) 4- о2 (А) . .	[ х2

= — log	iog е —	-

I У2л а (X) а (А)	|_	%0

(xN х)2	xrN	(

~	2а2 (А)	2 (а2 (X) + а2 (A)) JJ'

Первое из слагаемых под знаком математического ожидания в по-
лученном выражении — величина постоянная, не зависящая от пере-
менных х, А и xN. Учитывая, что математическое ожидание суммы слу-
чайных величин равно сумме математических ожиданий всех величин,
а также, что математическое ожидание постоянной величины равно
самой величине и что постоянный множитель выносится за знак мате-
матического ожидания, получаем:

h(X/xN)=— log

У СУХ) + о2 (А)

У 2л а (X) а (А)

+ loge

М(Х2)
2а2 (X)

М[(Х„-Х)2] (	M[X^] V

2а2 (А)	+ 2 (в2 (Х‘) + a2 (A)) j '

Так как математические ожидания величин X, А и XN равны нулю,
то выражения, стоящие здесь под знаком математического ожидания,
представляют дисперсии соответствующих величин:

М. (X2) = D(X) = о2 (X); М [(Хл/ - X)2] = D [XN - X] «

= О [А] = о2 (А)

М (Х2л/) = D (Хл,) = D (X + А) = о2 (X) + о2 (А)
(предполагаем, что величины X и Д не зависят друг от друга). Выра-
жение для h (X/xn) теперь приобретает вид

h (X/xN) = - [log -4ШХ>+°2<А)---4- log el = log-^&S^B-.

’ L 6 К2ло(Х)а(Д) 2 S J S /а2 (X) + a3 (A)

(3.12)

Информация, ожидаемая при измерении величины, распределенной
по нормальному закону, с погрешностью, тоже распределенной по нор-
мальному закону, при равенстве нулю математических ожиданий
величины и погрешности равна (с учетом (3.5) и (3.12)):

7 = /I (X) — Л (X/w) = log |/&(X) - log	=

== log-^-^^-= log \f l +	(3.13)

® о (A)	° I/ '.а (A) /

Информация, ожидаемая при измерении величины, является воз-
растающей функцией отношения с. к. о. измеряемой величины и по-
грешности измерения.

3.4. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ И ИЗБЫТОЧНОСТЬ ИСТОЧНИКА
ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Неопределенность значений величины X с заданным законом рас-
пределения р (х) в каждый момент времени tt характеризуется полной
энтропией

(X) =/i (X) — log Др,
где

+«>
h(X) = — j p(x)logp(x) —

— 00
дифференциальная энтропия, зависящая только от закона распределе-
ния р (х), а Др — погрешность различения.

Если на отрезке времени Т с помощью измерительного прибора про-
изводится п измерений величины в моменты tif для которых значе-
ния X статистически не зависят друг от друга (не коррелированы), то об-
щая энтропия такого сложного опыта

Нт(Х)~ £/Л(Х)= пН{ (X).

7==|

Пренебрегая всеми погрешностями измерительного прибора, за
исключением погрешности различения Др, можно считать, что измери-
тельная информация, содержащаяся в каждом результате,

а общая измерительная информация, полученная в п измерениях,

1т = Нт{Х) = nHi (X).	(3.14)

Отношение

R = 1т!Т,	(3.15)
характеризующее скорость получения информации, называется произ-
водительностью источника измерительной информации.

Если измерения выполняются через равные промежутки време-
ни А,, то их количество за время Т

п = T/\t.

Тогда выражение (3.15) с учетом равенства (3.14) преобразуется к виду

R =	(ДВ. ед./с).	(3.16)

Результат измерения в каждый момент tt почти полностью снимает
неопределенность. В моменты времени, непосредственно следующие
за tt, неопределенность повышается незначительно; следует ожидать,
что значение величины еще не успеет измениться так, что его можно
представить последним из полученных результатов. Однако по усло-
вию, спустя время А/ величина может принимать любые значения,
плотность вероятности которых описывается функцией р (х) и энтро-
пия снова равна Ht (X). Таким образом, за время А/ энтропия возраста-
ет от нуля до значения Н( (X), и числитель отношения (3.16) представ-
ляет это приращение. Отсюда видно, что производительность ис-
точника определяется скоростью нарастания энтропии измеряемой
величины.

С изменением закона распределения измеряемой величины р (х)
изменяется и исходная энтропия Hi (X) и, следовательно, производи-
тельность источника. Максимальная производительность источника
обеспечивается при таком законе распределения, который характери-
зуется максимальной энтропией. В частности, при заданном среднем
квадратическом отклонении измеряемой величины сщ максимальная
производительность будет при нормальном законе распределе-
ния р (х). Если заданы пределы изменения измеряемой величины, то мак-
симальная производительность достигается при равномерном законе
распределения измеряемой величины. Максимальное по всем возмож-
ным законам распределения значение производительности

с= \/Т

называется пропускной способностью средства измерений.

Пользуясь (3.15), информацию, получаемую от источника за вре-
мя Т, можно выразить через его производительность

1т = RT

Значение информации, которое может быть получено за время Т,
максимально, если производительность источника равна его пропуск-
ной способности

Отношение

^тах =СТ>

называется избыточностью источника информации.
Если источник информации, производительность которого равна erg
пропускной способности (R = с), за п0 измерений дает информацию Г
то источник е избыточностью, для которого R < с может обеспечит^
такую информацию за п > п0 измерений, т. е. должен выполнить п —
— «0 избыточных измерений. Тогда избыточность можно иначе опре-
делить как

у = (п — пп)/п = 1 — м0/м.

Избыточность возникает не только при отклонении закона распре-
деления измеряемой величины р (х) от оптимального, но и в случае,
если между значениями величины X в отдельные моменты измерения it
существует статистическая зависимость, так как при этом уменьшается
приращение энтропии Ht (X).

3.5.	ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ЧИСЛО РАЗЛИЧАЕМЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИНЫ

Как видно из (3.11), информация, получаемая в измерении, зависит
от вероятностных свойств измеряемой величины и результата измере-
ния. Вероятностные свойства результата измерения определяются
вероятностными свойствами измеряемой величины и погрешности. При
заданном законе распределения измеряемой величины р (х) измери-
тельная информация будет больше при использовании прибора с по-
грешностью, распределенной по такому закону р (А), при котором оста-
точная энтропия Н (Х/х^) будет меньше. Иными словами, информация
тем больше, чем лучше согласованы вероятностные свойства измери-
тельного прибора и измеряемой величины. От степени их согласования
зависит число значений (уровней) измеряемой величины, уверенно раз-
личаемых прибором в измерении.

Погрешность прибора может обладать настолько сильным дезин-
формационным действием, что нескольким делениям измерительного
прибора в результате измерения может соответствовать одно и то же
значение измеряемой величины. Поэтому измерение правильнее харак-
теризовать не числом уровней измеряемой величины, на различение ко-
торых рассчитан измерительный прибор, а фактическим числом уве-
ренно различаемых уровней в каждом конкретном случае.

Пусть измерение величины с данным законом распределения сопро-
вождается погрешностью, распределенной по определенному закону
р (А), и дает измерительную информацию 1Г. Допустим также, что
измерение той же величины, но распределенной по равномерному
закону, выполнялось практически без погрешности, и в результате по-
лучена измерительная информация /2. Если// (X)— исходная неопре-
деленность значений величины, распределенной по равномерному
закону, то очевидно, что /2 = Н (X), так как остаточная неопределен-
ность при отсутствии погрешности равна нулю. Если измеряемая ве-
личина непрерывна и может принимать все значения внутри интервала
Хпил ••• хтах, то при заданной погрешности различения можно вычислить

И (X) = log (xmax - xmin) - log Ap = log	= logX,

где N — число надежно различаемых уровней измеряемой величины.
Допустим, что /2 = /р т. е. измерительная информация в первом
и втором случаях одинакова по значению. Тогда, по аналогии с выраже-
нием для /2, информацию тоже можно представить в виде

Л = log N3,

где N3 — некоторое эквивалентное число надежно различаемых уров-
ней величины, распределенной по данному закону р (х).

Если N — число уровней величины, в принципе различаемых изме-
рительным прибором, то при равномерном законе распределения вели-
чины

Hx — k>gN’, /j = logX —77(X/x/v) = logX3. (з.17)

Поскольку при наличии погрешности А остаточная энтропия
Н (Х/хн) =/= 0, log N > log Л7Э, т. е. N3 < N. Значение Хэ тем больше,
чем меньше остаточная энтропия Н {XIxN), т. е. чем лучше согласованы
вероятностные свойства погрешности прибора и измеряемой величины.
При натуральных логарифмах из (3.17) получаем

= ехр (Л).

Будем называть N3 эквивалентным числом различаемых прибором
уровней измеряемой величины [921.

Эквивалентное число различаемых в измерении уровней величины,
распределенной по данному закону, определяется как число надежно
различаемых уровней величины при измерении ее с помощью идеаль-
ного прибора, не имеющего погрешностей, который при равномерном
законе распределения этой величины дает столько же измерительной
информации, сколько и данный прибор при указанном законе распре-
деления величины. Эквивалентное число характеризует степень согла-
сованности вероятностных свойств измерительного прибора и измеряе-
мой величины, показывает, насколько правильно сделан выбор прибо-
ра для измерения данной величины.

3.6.	ЭНТРОПИЙНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Выражение для дифференциальной остаточной энтропии можно пре-
образовать к виду

h {Х/хы) — log У2ле

о (А)

(3.18)

при котором более явно обнаруживается зависимость ее от средних
квадратических отклонений измеряемой величины а {X) и погрешности
измерения о (А). При фиксированном значении а (А) дифференциаль-
ная остаточная энтропия тем больше, чем больше а (X), так как отно-
шение а (А)/о (X), стоящее в знаменателе подлогарифмического вы-
ражения, уменьшается. Если с. к. о. измеряемой величины и погреш-
ности одинаковы [о (X) = о (А)], то дифференциальная остаточная
энтропия

h {X/xn) = log У ne а (А),
f

-4*4	4 •

Рис. 3.7. Равномерное
распределение погреш-
ности.

т. е. примерно на 41 % меньше максимального
значения.

При измерении обычно справедливо соотно-
шение а (X) о (А). Тогда второе слагаемое в
подкоренном выражении знаменателя (3.18) зна-
чительно меньше 1, и его можно отбросить, а точ-
ное значение дифференциальной остаточной эн-
тропии можно приближенно заменить макси-
мальным:	।

Zi (X/x,v)« log ]z2ne о (А).	<з. 19>

Сравнивая это последнее выражение с (3.5),
убеждаемся в том, что его правая часть есть не
что иное, как дифференциальная энтропия зна-
чений непрерывной величины погрешности А,
распределенной по нормальному закону со сред-

ним квадратическим отклонением а (А). Таким образом,
h(X/xN)^h(k),

т. е. дифференциальную остаточную энтропию значений величины,
распределенной по нормальному закону и измеряемой с погрешностью,
также распределенной по нормальному закону, можно заменить при-
ближенно дифференциальной энтропией значений погрешности, если
отношение средних квадратических отклонений погрешности и величи-
ны значительно меньше 1.

В случае, когда погрешность распределена по равномерному зако-
ну в интервале от —А до 4-А (рис. 3.7), дифференциальная остаточная
энтропия

h (XJxn) « й (А) = log 2А.	(3.20)

Абсолютное значение погрешности А можно выразить через с. к. о.

+Д	+д

о2(А)= j A2p(A)dA= j A2-^-dA = -^-,
—д	—д

откуда А =]/3 оА. После подстановки этого значения в (3.20) полу-
чаем

h {X/xn) « log 2 /3 а (А).	(3.21)

Из выражений (3.20) и (3.21) видно, что дезинформационное дейст-
вие погрешности зависит от ее среднего квадратического значения,
а также от формы закона распределения. В общем виде выражение для
дифференциальной остаточной энтропии можно представить как

h (X/xN) = log 2Хдо (А),	(3.22)

где Хд — коэффициент, характеризующий дезинформационное дей-
ствие формы закона распределения погрешности с заданным средним
квадратическим отклонением.

Для нормального закона этот коэффициент из сопоставления (3.19)
и (3.22) равен = Хд(Н) = 2,06, а для равномерного закона
/<д(р) — 1J3. При одинаковом среднем квадратическом значении по-
грешность, распределенная по нормальному закону, вносит большее
дезинформационное действие, чем погрешность, распределенная по
равномерному закону. При одинаковом среднем квадратическом зна-
чении погрешности с любым законом распределения ее дезинформа-
ционное действие меньше, чем погрешности, распределенной по нор-
мальному закону.

В случае равномерного распределения значений погрешности под-
логарифмическое выражение в функции h (X/xn) ~ log 2АЭ имеет на-
глядную интерпретацию: это интервал, в котором может изменяться
погрешность, являющийся одновременно интервалом неопределен-
ности значений измеряемой величины после получения результата из-
мерения. Ввиду простоты, наглядности и широкого распространения
на практике равномерного закона его удобно использовать в качестве
«эталона» при сравнении погрешностей с произвольным законом рас-
пределения в отношении их дезинформационного действия.

Для любого закона распределения можно записать выражение

h (Х/хы) = log2A3,
идентичное по форме выражению для дифференциальной остаточной
энтропии при равномерном законе распределения. Например, для нор-
мального закона 2АЭ(Н) = ]^2л.ео(А), а в общем случае

2АЭ = exp (й (X/xn))

Величина

Аэ = х/2 ехр (й (X/xn))	(3.23)

определяет собой симметричные относительно нуля границы возможных
значений погрешности с равномерным законом распределения, которая
приводит к таким же потерям измерительной информации, как и дан-
ная погрешность со своим законом распределения.

Значение погрешности с равномерным законом распределения, ко-
торая в отношении дезинформационного действия равносильна погреш-
ности с данным законом распределения, называется энтропийным [551.

Как было показано ранее, значение Аэ зависит от среднего квадрати-
ческого значения погрешности а (А) и формы закона ее распределения

Аэ = КдО (А).	(3.24)

Постоянный множитель Кд в (3.24), связывающий Аэ с а(А), назы-
вается энтропийным коэффициентом распределения погрешности. Мак-
симальное значение энтропийный коэффициент принимает при нор-
мальном законе распределения:

КД(н) = КлП1ах = -^- 2,07.	(3.25)

В рассмотренном случае непрерывного распределения значений
измеряемой величины и погрешности измерительная информация пол-
ностью определяется дифференциальными значениями исходной и оста-
точной энтропии:

1 = й (X) — й (X/xn).
Погрешность различения А„, которая входит в выражения для со-;
ответствующих значений полной энтропии (3.4) и (3.10), характеризует;
степень точности, с которой должна быть измерена величина X, и дает
одинаковую аддитивную составляющую для h (X) uh (X/xN)- Посколь-
ку энтропийное значение погрешности характеризует ее дезинформа-
ционное действие, то в этом случае оно может быть определено через
дифференциальное значение остаточной энтропии, без учета погреш-
ности различения.

При принятых предположениях энтропийное значение наиболее пол-
но и с помощью только одного числа характеризует дезинформационное
действие погрешности данного измерительного прибора и поэтому удоб-
но для сравнения различных измерительных приборов между собой.
Необходимо однако отметить, что энтропийное значение погрешности
характеризует только случайную и не учитывает систематической со-
ставляющей погрешности, так как энтропия является характеристикой
случайной величины. Энтропийное значение не может быть также
применено для случайных погрешностей с дискретным законом рас-
пределения, так как эта оценка выражается через дифференциальную
энтропию, которая определяется только для непрерывных законов
распределения. Это в определенной степени пока затрудняет практи-
ческое применение понятия энтропийного значения погрешности.

В настоящее время разрабатывается единое информационное описа-
ние случайной и систематической составляющих погрешности [53].
Для такого описания должны быть использованы невероятностные
подходы (например, алгоритмический) к определению информации, в
рамках которых возможно было бы также и информационное описание
основной метрологической операции — воспроизведения величины за-
данного размера.

3.7.	СВЯЗЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ С ЭНЕРГИЕЙ
ИЗМЕРЯЕМОГО СИГНАЛА

Для получения измерительной информации / необходимо умень-
шить исходную энтропию Ht объекта измерения до значения Н2 =
= Hi — I. Информация, в свою очередь, снижает исходную энтро-
пию. Это положение известно как негэнтропийный принцип информа-
ции Л. Бриллюэна [54]. В соответствии с принципами термодинамики,
для уменьшения энтропии, т. е. упорядочения, необходимо затратить
определенную энергию. Но энергия имеет тенденцию рассеиваться.
При этом увеличивается энтропия объекта.

Исследуем связь между энергией и информацией при измерении.
Преобразование и передача информации неразрывно связаны с преоб-
разованием и передачей энергии. Следовательно, информационные
характеристики связаны, прежде всего, с энергетическими характе-
ристиками информативных параметров энергетических процессов.

Любая физическая величина энергетической группы Хс на моле-
кулярном уровне может рассматриваться как сумма двух составляю-
щих: детерминированной (постоянной) X, обычно являющейся объек-
0

том измерения, и случайной А, обусловленной различного рода флюк-
туациями, например от дискретной природы или теплового движения
носителей заряда или электромагнитного излучения. Мощность сигна-
ла, одним из информативных параметров которого является величи-
на X, пропорциональна математическому ожиданию квадрата этой
величины:

Pt = CM IX?] = С [X2 + о2 (А)] = С(Рх + Рд),

где Рх и Рд — мощность соответственно постоянной и случайной со-
ставляющих; С — коэффициент пропорциональности.

о

Объектом измерения является постоянная составляющая X, а А
о
может рассматриваться как помеха. Энтропийное значение помехи Аэ =
= Ко (А) = К УР°л (К — энтропийный коэффициент закона распре-
о

деления А). Величина 2АЭ определяет интервал неопределенности зна-
чений величины Хс, обусловленный ее физической природой. Информа-
ционное число принципиально различаемых уровней этой величины
в диапазоне от 0 до Л'Шах

д, *тах _ УЪ _ 1 , Гр? _ 1 /"ррт _ 1 /^7

3~ 2Дэ	2Л \ ро	2/< у ро/и	2К (/	’

(3.26)

где ta — время измерения; Wx — энергия измеряемого сигнала; 1Гд —
энергия помехи.

При идеально точном измерении измерительная информация

1 У~рУ 1 Г ^'х

/ = logX3= log^-y -^- = logir|/	(3.27)

Отсюда видно, что даже при отсутствии погрешностей измерения
измерительная информация — величина не бесконечно большая. Она
ограничена принципиально неустранимыми помехами, обусловленными
флюктуациями самой измеряемой величины. Измерительная информа-
ция тем больше, чем больше отношение мощностей сигнала Рх и поме-
хи Рд.

Если измерение производится на отрезке времени А/, то при нали-
чии п. = независимых наблюдений

Рх ₽ Х\ Ро = ol/n.

А

Подставляя эти значения в выражение (3.26), получаем

N"‘ = ~2К р/-	= ~2К ]/"о"Мд) П =	^П'

Следовательно, число принципиально различаемых уровней величины
возрастает с увеличением времени измерения пропорционально корню
квадратному из числа независимых наблюдений. Полная измеритель
ная информация, полученная при наблюдениях за время Ы,

I = log N3 = log (N9 Уп) = log#, 4- X/2 log fl = I + */2 logn.

Например, при n = 100 информация увеличивается на

Д/ = V2 log 100 = 1 дит.

Из выражения (3.27) следует, что если энергия флюктуаций прибл»
жается к полной энергии измеряемого сигнала (Ц7д Wx), то измер»
тельная информация уменьшается до log х/2 К. Путем многократны?

Pv

повторных измерений соотношение —g- п может быть увеличено до зна«
рл

чения, необходимого для получения заданной информации.
Глава 4

ТОЧНОСТЬ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ,
ДОСТОВЕРНОСТЬ И ОШИБКИ КОНТРОЛЯ

Точность измерений — основной показатель качества и степени
совершенства измерений. Точность измерений определяется погреш-
ностью измерений. По мере совершенствования средств измерений
погрешности измерений непрерывно снижаются. Однако они неизбеж-
ны, и истинное значение измеряемой величины без погрешности опре-
делить невозможно. Теоретические пределы снижения погрешности
в настоящее время определяются квантованностью материи и энергии.
Действительно, погрешность измерения длины металлического стерж-
ня не может быть меньше размера молекулы данного металла, погреш-
ность измерения электрического тока, как непрерывной величины, не
может быть меньше тока, эквивалентного пролету одного электрона за
время измерения. Достигнутые в настоящее время минимальные зна-
чения погрешностей измерений еще далеки от указанных пределов.
Поэтому проводится большая работа по дальнейшему повышению точ-
ности измерений.

Быстрыми темпами развивается теория точности измерений. Ос-
новной задачей этой теории является оценка степени приближения
результата измерения к истинному значению измеряемой величины X.
Общая теория точности измерений включает:

1)	теорию точности априори, содержанием которой являются анализ
погрешностей средств измерений в статике и динамике, методы повыше-
ния точности средств измерения. Основной ее целью является оценивание
и снижение погрешности каждого отдельного результата наблюдения;

2)	теорию точности апостериори, т. е. теорию точности оценивания
результата измерений, содержанием которой является анализ погреш-
ностей измерения, методы обработки результатов многократных наблю-
дений, повышающих точность результата измерений. Основной ее
целью является оценивание и снижение погрешности конечного резуль-
тата измерений.

Сформулируем общие принципы повышения точности измерений,
сущность которых определяется характером погрешностей измерений
и погрешностей средств измерений.

При преобладании случайной составляющей погрешности общим
принципом повышения точности измерений является осреднение. Ос-
реднение широко используется во многих методах повышения точности
измерений при интегрировании, определении среднего, в методах наи-
меньших квадратов (п. 9.2).
При преобладании систематических и относительно медленно изме-
няющихся случайных погрешностей принципами повышения точности
являются:

предотвращение возникновения погрешностей в средствах измере-
ний конструктивно-технологическими и защитно-предохранительными
методами (п. 8.8);

выявление существующих погрешностей и преобразование их в воз-
действие, компенсирующее выявленную погрешность, на основе образцо-
вых прямых и обратных измерительных преобразователей и мер (п. 8.8);

функциональная обработка результатов измерений, выполненных
по специальной методике с целью уменьшения погрешностей.

Достоверность контроля является основным показателем степени
его совершенства и характеризуется ошибками контроля. По мере со-
вершенствования средств контроля достоверность последнего повы-
шается. Однако из-за несовершенства аппаратуры, в которой реализу-
ются отдельные операции контроля, в частности, наличия погрешнос-
тей измерительного преобразования, возникают ошибки контроля.

4.1. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешностью измерения называется отклонение значения величины
от ее истинного значения

А = xn — X.

Так как истинное значение X всегда неизвестно, то неизвестно и зна-
чение погрешности измерения А. Однако удовлетворяться значением
xn без оценки погрешности или степени его приближения к X нельзя,
так как при этом невозможно сравнивать результаты различных изме-
рений по их основному качеству — точности, определять погреш-
ности косвенных и совместных измерений, анализировать погрешности
средств измерений и т. д.

В общем случае неизвестная величина X, значение этой величины,
полученное при измерении xn, и погрешность измерения А являются
случайными величинами. Погрешность измерения А наиболее полно
описывается кривой распределения. Поэтому в наиболее важных слу-
чаях результат измерения характеризуется показателями точности
в виде кривых распределения р (А), по которым находят доверительные
границы погрешностей при различных заданных доверительных вероят-
ностях. Распределение р(А) является информативной характеристикой
погрешности, его квантили предназначены для определения интерваль-
ных оценок погрешности; его статистические параметры — среднее зна-
чение (используется для внесения поправок) и с. к. о. (предназначено для
суммирования, особенно при независимых погрешностях и для определе-
ния интервальных оценок при наличии информации о характере р (А)).

Систематизация погрешностей измерений

Погрешности измерений систематизируются по ряду признаков
{рис. 4.1), которые определяют их основные особенности.

По способу выражения погрешности разделяются на абсолютные
и относительные.
I Погрешности измерения|

\f1o cnocofy Выражения	I	I	1

Ло характеру изменения I	।	1	1

Ло месту Возникновения	\Инструментальн^	| Методические	~|

Рнс. 4.1. Систематизация погрешностей измерений.

Абсолютная погрешность А равна разности Xn — X, имеет размер-
ность измеряемой величины, т. е. выражается в единицах измеряемой
величины.

Относительная погрешность 6 равна отношению абсолютной по-
грешности к истинному значению измеряемой величины Д/Х и выра-
жается в относительных единицах.

По характеру изменения погрешности подразделяются на система-
тические и случайные. Систематическая погрешность — составляющая
погрешности измерения, которая при повторных измерениях одной и
той же величины при неизменных условиях остается постоянной или
изменяется по известному закону. Случайная погрешность — состав-
ляющая погрешности измерения, которая при повторных измерениях
одной и той же величины изменяется случайным образом.

По месту возникновения погрешности измерений подразделяются
на инструментальные и методические.

Инструментальные погрешности возникают от несовершенства
средств измерения: от нестабильности параметров схем и механизмов
приборов во времени, от подверженности их действию внешних и внут-
ренних влияющих величин (температуры, влажности, излучений, на-
пряжений источников питания, магнитных и электрических полей)
и неинформативных параметров входных сигналов (частоты и др.).
Анализ инструментальных погрешностей рассмотрен в гл. 8.

Методические погрешности возникают из-за несовершенства изме-
рения как метода отражения, из-за несовершенства метода косвенного
измерения, метода совокупного или совместного измерения, а также
вследствие несоответствия модели измеряемой величины.

Методическая погрешность измерения называется погрешностью
от квантования и возникает от несовершенства отражения непрерыв-
ного по размеру свойства прерывистым числом, т. е. от принципиаль-
ной ограниченности количества разрядов у числового значения изме-
ряемой величины. Эта ограниченность практически выражается в сту-
пенчатости изменения выходной величины многозначной меры (п. 2.1).
Погрешность от квантования можно снизить, уменьшив ступени кван-
тования qK, применяя избыточный метод измерения, например метод
нониуса (п. 2.4).

Методическая погрешность от несовершенства метода косвенного
измерения определяется допущенным несоответствием между действи-
Рис. 4.2. к возникновению методической
погрешности при косвенном измерении
сопротивления методом амперметра и
вольтметра?

а — при падении напряжения иа ампермет»
ре UA « U;

б — при токе потребления вольтметра lv <£ 1.

тельной и используемой зависимостями между аргументами, т. е. ве-
личинами, значения которых определены методом прямых измерений,
и косвенно измеряемой величины. Примером методической погрешности
от несовершенства метода косвенного измерения является погрешность
при косвенном измерении сопротивления по методу амперметра и вольт-
метра, возникающая при пренебрежении их внутренними проводи-
мостями или сопротивлениями. В этом случае аргументами, значения
которых определяются методом прямых измерений, являются ток /
и напряжение U. Косвенно измеряемое сопротивление определяется
по формуле гк = U/I. Для схемы, показанной на рис. 4.2, а, точная
формула для определения гх

а для схемы, показанной на рис. 4.2, б,

+ <4’2’

где Uni — показания соответственно вольтметра и амперметра; 1у
и Uа — соответственно ток потребления вольтметра и падение напря-
жения на амперметре.

Сопротивление определяют по приближенной формуле

гл/ = Un/In,

допуская методические погрешности метода косвенного измерения,
которые равны

Л '	'	А .

мет —	Г х — j 1	>

и N

Л '		rt^V

(Ы мет — Г д/	Г х —	.

' N

Примером погрешности от несовершенства метода косвенного из-
мерения может также служить погрешность измерения количества
бензина в баке самолета по уровню h. Точная аналитическая зависи-
мость h = f (Q) неизвестна и нелинейна и если она предполагается
линейной, то в результате возникает методическая погрешность, причи-
ной которой является использование при измерении приближенной
зависимости h — KQ.

Методическая погрешность от несоответствия модели. Свойства ис-
следуемого эмпирического объекта, т. е. измеряемые величины, яв-
ляются параметрами математической модели объекта. Соответствие
между измеряемыми величинами и параметрами модели объекта необ-
ходимо обеспечить с заданной точностью, в противном случае отра-
жение утратит свою достоверность. Следовательно, перед измерением
исследователь должен убедиться в том, что выбранная модель объекта
и ее параметры действительно адекватны эмпирическому объекту и из-
меряемым величинам. Например, если объектом измерения является
периодически изменяющееся электрическое напряжение, а моделью
выбрана синусоидальная функция, то необходимо убедиться в том, что
отклонение действительной формы кривой от синуса незначительно.

Методическая погрешность от несоответствия модели должна быть
оценена как одна из составляющих погрешностей измерения и должна
быть меньше суммарной погрешности, в противном случае необходимо
более адекватно определить модель и ее параметры.

Методическая погрешность измерения статистических характе-
ристик случайного сигнала возникает и проявляется в виде отклоне-
ния оценки математического ожидания по отношению к истинному
значению и в виде отклонения оценки дисперсии от ее истинного
значения — в результате конечности числа измерений мгновенных зна-
чений сигнала.

Основные особенности погрешностей измерений

Для определения показателей точности измерения необходимо
прежде всего изучить основные виды погрешностей измерений и их
особенности.	>

Абсолютная и относительная погрешность, точность и воспроиз-
водимость измерения. Абсолютная погрешность выражена в единицах
измеряемой величины и удобна для определения недостоверных раз-
рядов результата измерения. Однако для метрологической характе-
ристики средств измерений с большим диапазоном измерения абсолют-
ная погрешность менее удобна. Поэтому используют относительную
погрешность, которая дает возможность непосредственно оценивать
точность любого результата измерения во всем диапазоне данного
средства измерения.

Точность измерений определяется как качество измерений, отра-
жающее близость полученного измеренного значения к истинному зна-
чению измеряемой величины. Количественно точность принимается
равной числу, обратному модулю относительной погрешности:

,	е == хл//Д = 1/6.

При 6 = 0,001 точность измерений равна 1000. Оценку точности
в виде числового значения применяют редко. Понятие точности приме-
няется обычно для качественной характеристики измерений при не-
скольких градациях: низкая точность, высокая точность и т. д.

Воспроизводимостью измерений называют качество измерения, от-
ражающее близость друг к другу его результатов, выполняемых
в разное время, в различных местах и разными методами и средствами.
Систематическая составляющая погрешности и правильность из-
мерений. Систематическая погрешность измерения постоянна по раз-
меру или изменяется по известному закону.

С одной стороны, она характерна тем, что ее трудно обнаружить,
особенно малую постоянную систематическую погрешность. Эта пог-
решность обнаруживается путем измерения величины несколькими не-
зависимыми методами с помощью измерительных преобразователей,
основанных на различных физических явлениях, путем проверки при-
бора по образцовому прибору более высокой точности. Систематиче-
ские погрешности, изменяющиеся по определенному закону, могут
быть также обнаружены статистическими методами при помощи спе-
циальных статистических критериев [10].

С другой стороны, систематическая погрешность характерна тем,
что закон ее изменения известен и поэтому ее легче учесть в виде
поправки или устранить одним из методов автоматической коррекции.

Причины, вызывающие систематические погрешности на протяже-
нии длительных промежутков времени, изменяются обычно по случай-
ным законам, что приводит к соответствующему случайному изменению
и систематической погрешности. Поэтому в общем случае и системати-
ческая составляющая погрешности характеризуется плотностью рас-
пределения и с. к. о.

Правильность измерений — это качество измерений, отражающее
близость к нулю систематической погрешности в их результатах.

Случайная составляющая погрешности и сходимость измерений.
Если при измерении величины в одинаковых условиях и при неизмен-
ном ее размере получают отличные друг от друга результаты, то это
означает, что в результате измерения содержиться случайная погреш-
ность. Случайные погрешности возникают вследствие одновременного
действия многих известных и неизвестных, зависимых и независимых
причин. Случайные погрешности непостоянны по абсолютному значе-
нию и по знаку.

Характерное свойство случайных погрешностей, распределенных
в большинстве случаев по симметричным законам, заключается в том,
что число положительных и отрицательных значений случайных по-
грешностей, имеющих одинаковые абсолютные значения, при большом
числе наблюдений примерно одинаково. Это позволяет путем осредне-
ния результатов значительно повысить точность и достоверность ре-
зультата измерений. Случайные погрешности изменяются по абсо-
лютному значению и знаку случайно и обычно достаточно быстро,
поэтому учесть их введением поправки невозможно. Основным спосо-
бом повышения точности измерения в этом случае является многократ-
ное повторение наблюдений при постоянстве всех условий экспери-
мента и постоянстве значения измеряемой величины. При этом случай-
ную погрешность уменьшают путем осреднения многократных неодно-
временных наблюдений или ряда одновременных наблюдений (х =»
= const) при неизменных условиях измерения.

Сходимость измерений — качество, отражающее близость друг к
другу результатов измерений, выполняемых в одинаковых усло-
виях.
Распределения случайных погрешностей

В теории вероятностей, математической статистике и соответственно
в теории погрешностей применяются понятия «квантиль», «интеркван-
тильный промежуток», «доверительная вероятность», «уровень значи-
мости» и «доверительные границы погрешности» и др. а %-ной кван-
тилью До% называется абсцисса закона распределения, слева от ко-
торой находится а % площади кривой распределения. Следовательно,
вероятность Р того, что случайная величина А находится в диапазоне
от — оо до Д0о/о, равна а, т. е.

Р(—оо < Д < До%) = а/100.	(4.3)

Абсцисса медианы-вертикали, делящей площадь кривой распределения
пополам, является 50 %-ным квантилем Д500/о.

Интер квантильным промежутком называют разность между (100—
а) %-ной и а %-ной квантилями. Между вертикалями симметричного
центрированного распределения, ограничивающими интерквантильный
промежуток, находится (100—2а) % площади кривой распределения
(рис. 4.3).

Доверительной вероятностью Раоъ называют вероятность нахожде-
ния случайной величины Д в допустимой зоне внутри доверительных
границ ДГ1 и Дг2:

РДОВ (Дг1	А Агй).

Например, для симметричного централизованного распределения,
если —Аг = —Ая%, а Дг = А(юо_й)%, то

г> / л л л \	100 — 2а

Рд.оъ (— &а% < А < А(100—а>%) ==  jqq •

Доверительную вероятность Рдов при заданных граничных значе-
ниях погрешности ± Дг можно определить по известному значению
с. к. о. для нормального распределения по соответствующим таблицам
(табл. 2)

Рдов (— Zr < Z < + гг) = = 2Ф(гг), где  гг = Дг/о.  Если вид распределения из- вестен, то в некоторых случаях доверительную вероятность при известных о и Д можно опреде- лить из неравенства Кампа — Мей дел я:  Рдов (|Д|<ДГ)>  (4’4)  Рнс. 4.3. Графическое представление кван- тиля доверительного интервала и довери- тельной вероятности.	'11 .Интерквантильный х"	промежуток  а % площади /	\  под кривой /	\  р(Л) \ /в	\ а % площади  \ /Д '	’уЖуод кривой р(в)  &(100-а)% 	4  а°/аквантило &	(Ю0-а]%к0анти,и.  Площадь, пропорциональная доверительной вероятности Рз0ц j//// ////ууоверителишй жл/'///// у ////уьщлтервал  tДр	л  zf
Уровнем значимости а = 1 — а называют вероятность того, что
случайная величина X находится в интервале между а %-ной кван-
тилью и +оо. Уровнем значимости характеризуют критическую
область. Если найденная оценка оказывается в критической области,
то данная гипотеза не принимается. При завышении уровня значимости
может быть отвергнута правильная, а при занижении принята невер-
ная гипотеза. Поэтому уровень значимости обычно принимают в диапа-
зоне 10...2,5 %.

Модой является значение величины, плотность вероятности кото-
рой максимальна. Распределение с одним максимальным значением на-
зывается одномодальным, с двумя — двухмодальным и т. д. Распре-
деления, в средней части которых расположен не максимум, а минимум,
называются антимодальными. Рассмотрим некоторые распределения
погрешностей.

2г

Таблица 2. Значения интеграла Рпт1 (гг) = ——— С e~z2,1dz (zr = ——)

д V 2л J \ о

о

гг	^ДОБ	2г	РДов <гг’	гг	^ДОР	гг	^ДОВ <2Г>
0,00	0,0000	0,66	0,2454	1,32	0,4066	2,00	0,4772
0,02	0,0080	0,68	0,2517	1,34	0,4099	2,04	0,4793
0,04	0,0160	0,70	0,2580	1,36	0,4131	2,08	0,4812
0,06	0,0239	0,72	0,2642	1,38	0,4162	2,12	0,4830
0,08	0,0319	0,74	0,2703	1,40	0,4192	2,16	0,4846
0,10	0,0398	0,76	0,2764	1,42	0,4222	2,20	0,4861
0,12	0,0478	0,78	0,2823	1,44	0,4251	2,24	0,4875
0,14	0,0557	0,80	0,2881	1,46	0,4279	2,28	0,4887
0,16	0,0636	0,82	0,2939	1,48	0,4306	2,32	0,4898
0,18	0,0714	0,84	0,2995	1,50	0,4332	2,36	0,4909
0,20	0,0793	0,86	0,3051	1,52	0,4357	2,40	0,4918
0,22	0,0871	0,88	0,3106	1,54	0,4382	2,44	0,4927
0,24	0,0948	0,90	0,3159	1,56	0,4406	2,48	0,4934
0,26	0,1026	0,92	0,3212	1,58	0,4429	2,52	0,4941
0,28	0,1103	0,94	0,3264	1,60	0,4452	2,56	0,4948
0,30	0,1179	0,96	0,3315	1,62	0,4474	2,60	0,4953
0,32	0,1255	0,98	0,3365	1,64	0,4495	2,64	0,4959
0,33	0,1293	0,99	0,3389	1,66	0,4515	2,68	0,4963
0,35	0,1368	1,01	0,3438	1,68	0,4535	2,72	0,4967
0,37	0,1443	1,03	0,3485	1,70	0,4554	2,76	0,4971
0,39	0,1517	1,05	0,3531	1,72	0,4573	2,80	0,4974
0,41	0,1591	1,07	0,3577	1,74	0,4591	2,84	0,4977
0,43	0,1664	1,09	0,3621	1,76	0,4608	2,88	0,4980
0,45	0,1736	1,11	0,3665	1,78	0,4625	2,92	0,4982
0,47	0,1808	1,13	0,3708	1,80	0,4641	2,96	0,4985
0,49	0,1879	1,15	0,3749	1,82	0,4656	3,00	0,49865
0,51	0,1950	1,17	0,3790	1,84	0,4671	3,40	0,49966
0,53	0,2019	1,19	0,3830	1,86	0,4688	3,80	0,49928
0,57	0,2157	1,23	0,3907	1,90	0,4713	5,00	0,5
0,59	0,2224	1,25	0,3944	1,92	0,4726		
0,61	0,2291	1,27	0,3980	1,94	0,4728		
0,63	0,2357	1,29	0,4015	1,96	0,4750		
0,65	0,2422	1,31	0,4049	1,98	0,4761		


Рис. 4.4. Распределения
плотности вероятности пог-
решностей:

а — равномерное симметрич-
ное; 6 — равномерное * не-
, симметричное; в — нормаль-
ное; г — двухмодальное; д —
треугольное; е — экспонен-
циальное; ж — Релея; з ~
j арксинусоидальное.

•4 -a - о

При равномерном центрированном распределении все значения слу-
чайных погрешностей распределены внутри интервала с одинаковой
плотностью вероятности (рис. 4.4, а)

О при |Д |> | Дпр|;

Р(Д) =

1

2ДПР

при — Дпр с Д С Апр.

(4.5)

Так распределены погрешности: от трения в опорах стрелочных
приборов; округления (4.4) из-за наличия порога чувствительности;
температурная при симметричных равновероятных изменениях темпе-
ратуры, неисключенные остатки систематической; квантования при
введении поправки.

Равномерный закон со смещением 0,5 Дпр (рис. 4.4, б) выражается
следующей формулой:

10 при Д < 0 и Д > Дпр;

1	О А А	(4'6)

-г— при 0 < Д -с Дпр.
дпр

Таким образом распределены такие погрешности: от равномерного
изменения напряжения источника питания, например изменение ра-
бочего тока потенциометра от разряда батареи; от разогрева аппара-
туры за короткое время; от несовершенства изоляции; от квантования.
Нормальное распределение обладает двумя свойствами: симметрии
и монотонного убывания плотности вероятности.

Если случайная погрешность является композицией более четырех
случайных, независимых и равновеликих погрешностей, то прибли-
женно она подчиняется нормальному закону, независимо от распреде-
лений составляющих. Погрешности измерения обычно состоят из не-
скольких случайных и независимых составляющих и поэтому в боль-
шинстве случаев распределены нормально. Нормальное распределе-
ние центрированной случайной величины при М (А) = 0 (рис. 4.4, в)
является одномодальным и описывается

р(Д)=—J------е 202 ,	(4.7)

]/2шт(Д)

где о (А) — с. к. о. случайной величины А нормального распределения.
Нормированная форма получается при о = 1, после подстановки
А = az:

р (г) =	L_ е 2 .	(4.8)

г / 2л

Рассмотрим характерные особенности нормального центрирован-
ного распределения.

1.	Мода нормального распределения равна —,-_J------. Чем меньше

V 2л; <т(Д)

а, тем выше, острее распределение, и наоборот.

2.	В точке А = а(Д).

где Аэ — энтропийное значение погрешности, равное половине шири-
ны размаха равномерного симметричного распределения, вызывающего
такое же дезинформативное действие, как и данное (3.6).

3.	Между вертикалями, проведенными через квантили А25% = 2/3о
и А7504 = -i-2/3o, находится половина площади распределения.
Значение А2&% = Д?5% = Дв для симметричного распределения назы-
вается вероятной погрешностью, для Дв = 2/3о.

4.	Между вертикалями, проведенными через квантили Д2,5% =
= —2о и Дэ7,5% = +2о находится 95 % площади, а вне их — осталь-
ные 5 %.

5.	Между вертикалями, проведенными через квантили До, 15% =
— —Зо и Аэ9,85% = +3о находится 99,7 % площади, а вне их —
остальные 0,3 %.

Нормально распределены многие погрешности, в частности от теп-
ловых шумов, из-за кратковременной нестабильности параметров
звеньев, суммарная при большом числе независимых и равновеликих
составляющих, подгонки резисторов и конденсаторов (по усеченному
нормальному) и др.

Двухмодальное распределение характерно, например, для отклоне-
ний от номинала у массовых изделий — конденсаторов, резисторов,
которые разбраковываются на классы. Если для первого класса откло-
нения нормированы в диапазоне ±1 %, а для второго — ±2 %, то,
естественно, что в кривой распределения плотности вероятности откло-
нений резисторов, оставшихся после отбора первого класса, в диапа-
зоне ±1 % будет провал (рис. 4.4, г). Если затем отобрать и резисторы
второго класса с отклонениями ±2 %, то они будут иметь двухмодаль-
ное распределение. Если границы первого и второго классов сближать,
то в пределе получится распределение в виде двух симметричных
значений ±1,5 %, т. е. дискретное двухзначное распределение. Мож-
но отметить, что таким распределением обладает, например, погреш-
ность от механического люфта в передаче при знакопеременном дви-
жении.

Треугольное распределение (Симпсона) аналитически выражается
формулой Стокса (рис. 4.4, д):

Р(Д)=— 1— — •	0-9)

пр \	пр |/

По Симпсону распределены следующие погрешности: суммарная
измерения длин, углов по разности двух округленных отсчетов при рас-
пределении их погрешностей по равномерному закону; измерения ме-
тодом замещения по двум отсчетам; суммарная от квантования интер-
вала времени при равномерных несимметричных распределениях ее
двух составляющих.

Арксинусоидальный закон можно записать так:

Р (А) =-----Г 1 , -у- >	(4. Ю)

где Д = a sin ср; ср — равномерно распределенная случайная величина.

По этому закону (рис. 4.4, з) распределены погрешности от синусо-
идальных наводок, опрокидывания показывающих приборов с опорами
на кернах.

Случайные погрешности иногда распределяются экспоненциально
(рис. 4.4, е)

р(А) = 1/Ле~~;

по закону Релея (рис. 4.4, ж)

. а
р(А) = Ае

Способы уменьшения случайных составляющих погрешности путем
обработки результатов многократных наблюдений рассмотрены в п. 9.2.

4.2.	ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОДХОДА К АНАЛИЗУ
ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ

Разделение погрешностей на систематические и случайные позво-
ляет раздельно соответствующими методами исключить или уменьшить
как систематические, так и случайные погрешности измерения и
Рис. 4.5. Условная плотность распределения случайной погрешности Д
в диапазоне измерения измеряемой величины X.

существенно повысить точность измерения. Способы устранения и
уменьшения систематических и случайных погрешностей различны.
Поэтому прежде всего их необходимо уметь различать и выявлять для
предотвращения или уменьшения.

При вероятностном подходе к анализу погрешностей [79] измеряе-
мая величина X результат измерения xn, погрешность измерения А
и погрешность средства измерения А' рассматриваются как случайные
взаимозависимые величины. Наиболее полной характеристикой их со-
вокупности при этом является многомерная совместная плотность ве-
роятности

р (х, xN, А, А', ... , tlt t2, t3,	, tn).	(4.11)

Однако эта характеристика громоздка и неудобна для расчетов.
Поэтому обычно в каждой точке X диапазона измерения погрешность
измерения характеризуется одномерной плотностью вероятности р (А),
а во всем диапазоне измерений от 0 до X — семейством условных плот-
ностей распределения погрешности р (Д/xn) (рис. 4.5). При этом теряет-
ся информация о временных зависимостях между X, Xn, А и А'. Одна-
ко сохраняется статистическая связь, которая определяет количествен-
ные соотношения между ними в статике, в частности, при оценке резуль-
тата измерения оценкой математического ожидания результатов мно-
гократных измерений.

Подход к объекту измерения как к случайной величине с учетом ее
вероятностных характеристик требует соответствующего уточнения
понятий погрешности измерения А и погрешности средства измерения
А'. При наличии зависимости между X, Xn, А и А' в качестве статисти-
ческих характеристик этих случайных величин более удобно исполь-
зовать условные распределения

p(x/xN), p(xn/x), р(А/х) и р(А7х).

Условное распределение р (xNlx) удобно для определения распре-
деления погрешности средства измерений. Для определения погреш-
ности измерения и оценки результата измерения используют условное
распределение р (x/xN), так как в нем учитывается и случайность А',
Рнс. 4,6. Условная плотность вероятности
измеряемой величины р	и случайной

составляющей погрешности измерения
о (Д/авдг) при а?дг = const.

и случайность X. В условной плотности, вероятности р (х/хы) заключе-
на вся информация об X, необходимая для определения оценки xn-
Следовательно, до измерения X характеризуется распределением
р (х), а после измерения —условным распределением р (x/xn) (рис. 4.6).

Понятие о погрешности измерительного прибора
и погрешности измерения случайной величины

Погрешность измерительного прибора является случайной ве-
личиной — разностью между результатами повторяющихся наблюде-
ний xn неизменной измеряемой величины х и значением этой величины

Д' = xN — х,	(4.12)

где xn — один из результатов разового измерения величины х = const.
Погрешность Д' характеризуется условной плотностью вероятности
р (Д'). При определении погрешности измерительного прибора изме-
рения производят при х = const, при этом устанавливают условную
плотность результатов измерения р (xn/x). Погрешность прибора рас-
сматривается как случайная величина Д', не зависящая от х, как ан-
самбль случайных значений погрешности прибора при многократных
измерениях одного и того же известного значения измеряемой величины
х. На рис. 4.7 показаны условные плотности распределения р (xn/x)
и р (Д7х). Погрешность прибора с условной плотностью распределе-
ния р (Д7х) при известных значениях х оценивается условным матема-
тическим ожиданием Л4 (Д'/х) — М (XN/x) — х, а также условным
с. к. о. о (Д7х) = о (XN/x).

Погрешность измерения случайной величины является случайной
величиной Д, которая определяется, как разность между результа-
том измерения одного из значений случайной величины xn и этим зна-
чением

Д = Xn — X.

В общем случае погрешность измерения Д характеризуется семейст-
вом условных плотностей вероятности р (Д/х). Распределение р (Д/х)
близко по форме к распределению р (x/xN). В отличие от р (xn/x) рас-
пределение р (x/xn) экспериментально определить труднее. Условное
распределение р (x/xjv) можно в общем случае определить аналитически
по формуле Байеса:

р(х)р(хЛ//х)

Если Д <£ х, то

р (х) ~ р (хл/), а р (х/хл/) «=> р (xn’/x).
Рис. 4.7. Условная плотность вероятности ре-
зультата измерения р (АГдт/се) и случайной со-
ставляющей средства измерения р при
х = const.

При этом условное математическое
ожидание погрешности измерения
М (Д/х) М (Д'/х),

а условное с. к. о. погрешности из-
мерения

о (Д/х) = о (Д'/х).

Целью измерения случайной ве"
личины является получение ее оцен’

ки, т. е. результата измерения xn- Оценки выбираются по определен-
ному критерию точности с учетом характера измеряемой величины,
целей использования результатов измерения. Рассмотрим основные
критерии точности результата измерения случайной величины.

Критерии оценки точности результата измерения
случайной величины

Увеличение информации об измеряемой величине X определяется
переходом от состояния «до измерения», характеризующимся р (х),
к состоянию «после измерения», характеризующимся резко суженым
распределением р (x/xn). Условное распределение р (х/хл,) и является
достаточно полной характеристикой результата измерения. Результа-
ты измерения необходимо сравнивать между собой. Вопрос о предпоч-
тительности результата измерения можно решать только по значению
не более, чем одного числа. Поэтому и результат измерения, представ-
ляемый распределением р (х/хк), необходимо охарактеризовать одним
значением х^пт. Это оптимальное значение рекомендуют определять по
одному из следующих критериев:

Первый критерий — максимального правдоподобия или макси-
мальной вероятности, при котором х°^т равно моде распределения
р (x/x/v) (рис. 4.8).

Второй критерий — минимума среднего риска, при котором ве-
роятности положительных и отрицательных отклонений от х™ одина-
ковы, а с.к.о. минимально по условию

+°°

min J (X — х?^)2 р (x/xN) dx.

-—оо

Тогда	+°°

= J Хр (x/xn) dx= М (x/xjv).	(414)

-—00

Третий критерий — минимаксный, при котором минимизируется
максимально возможное отклонение, при этом х°^т равно медиане рас-
пределения р (x/x/v) (рис. 4.8).
Рис. 4.8. К понятию о критериях оценки ре-
зультата измерения случайной величины.

Для всех одномодальных сим-
метричных распределений, в том
числе и для нормального, оптималь-
ные значения оценок, найденные по
всем трем критериям, совпадают.
Непосредственное получение рас-
пределения р (x/xn) эксперимен-
тальным путем требует обработки
большого количества выборок. Ана-
литически искомое распределение
р (x/xn) может быть получено через
совместную плотность вероятности
(4.13):

Р (x,xN)

Р (xn)

(4.15)

р (x/xN) =

Совместное распределение р (x/xn) опытным путем определить труд-
но, поэтому (4.15) применяют редко. Для определения р (x/xn) по фор-
муле Байеса должны быть известны р (xn/x) р (х) и р (xn). Обычно
А х. При этом условии близки распределения р (х) и р (хУ). Тогда
р (x/xn) = р (х^/х) и р (A/x/v) = р (А7х). При известном р (x/xn) и
А х за результат измерения принимают условное математическое
ожидание

М (Xn/x) = М (x/xn) = xn — Af (A'lx).	(4.16)

В общем случае, если А и X взаимосвязаны и близки по значению,
условная плотность вероятности р (xn/x) недостаточна для определе-
ния характеристик результата измерения р (x/xN). При о (X) =* о (А)
составляющие погрешности измерения М. (Д/xn) и о (A/x/v) зависят от
р (х) и не равны соответственно

Л4 (А'/х) и о(А'/х).

Оценка результата измерения случайной величины

Рассмотрим оценку результата измерения X при нормальных изве-
стных и независимых распределениях измеряемой величины и погреш-
ности измерительного прибора. При определении оценки результата
измерения X™т в данном случае будем основываться на критерии мини-
мума среднего риска, который называют критерием Байеса. Сущность
этого критерия состоит в том, что корректирующее устройство (КУ)
должно работать таким образом, чтобы зависимость, именуемая средним
риском, была бы минимальной. Выражение для среднего риска имеет вид

= У У С (х, xn) р (x/xn) р (х) dxdxN,	(4Л7>
где С (х, xn) —функция отклонения результата измерения xn от ис-
тинного значения измеряемой величины X; р (x/xn) — условная плот-
ность вероятности измеряемой величины X при данном результате
измерении xn', р (х) — плотность вероятности измеряемой величины
X; Г — область возможных значений Xn', 6 — область возможных
значений X.

Достаточно общим является подход, когда в качестве оценки точ-
ности принимают квадрат разности действительного значения измеряе-
мой величины и результата измерения, т. е. 

с(х, xn) = (х — xn)2.	(4.18)

Если измеряемая величина X измеряется с помощью нескольких
приборов, то лучшим можно считать тот, у которого средний риск
Rep будет меньше, чем у остальных.

Известно, что для такого случая минимум среднего риска дости-
гается

хГ = j Хр (x/xn) dx.	(4.19)

0

По структуре выражение (4.19) представляет собой условное мате-
матическое ожидание измеряемой величины при данном результате
измерения xn- Следовательно, КУ должно вычислять оптимальный ре-
зультат измерения по (4.19) и этот результат будет зависеть от вида
условного распределения измеряемой величины X при данном резуль-
тате измерения xn. Рассмотрим применение (4.19) при конкретном рас-
пределении измеряемой величины и погрешностей измерительного при-
бора.

Предположим, что измеряемая величина X и погрешности измери-
тельного прибора Д' подчиняются нормальному распределению с па-
раметрами М (X), о (X), М (Д'), о (Д') соответственно, т. е.

.	___1 ( х-М(Х) у

р (х) = —-=-------е 2 * а(Л) > ;

г ’ /2ла (X)

1 ( Д'—М(Д') \2
„(Д')=-_2----е 2 \	Л

г ’	]/2ла (Д')

Так как погрешности измерительного устройства аддитивны, то
Xn = X Д'.

Величина Xn также будет распределена нормально с параметрами

М (XN), о (Xn):

___1/ xn—M(XN) \2

/ x	1	2 \ a{XN> I

P (xn) - у2iw (Xw) e

где

M (Xn) = M (X) + M (Д'),
о (Хл/) = Vо2 (X) + о2 (Д').
Из теории вероятностей известно, что выражение для условной
плотности вероятности р (x/xn) имеет вид [12]:

, . .	1	I 1	( X — М{Х)

PWXt^- ^а(Х)УГ^ Р( 2(1—Т?2)^ о(Х)

XN — M(XN) \21

(*N>	) J ’

где R — коэффициент корреляции между X и Xn.

Коэффициент корреляции представляет собой отношение второго
смешанного центрального момента KXXN к произведению с. к. о.
о (X) о (Xn). После вычислений его значение будет

XxxN_______q(X)

а(Х)а(Хд/) о (XN)

(4.20)

С учетом (4.20) выражение для р {x/xn) можно представить в таком
виде:

1_____ (	1 / х — M(X/xN) V)

р {x/xn) = |/2^a(XAw) ехР |	2" \ о (X/xN) 'J | ’	(4'2

где

а(Х/«)=.Я(Х)ГТ^ = -7^=т;

V 1+с2(Х)

м {Х/Xn) = м (X) + Я2 [*л/ — М {XN)] =

= м т + „,(Х,7”(ру |*« - м (х»)1-

Подставляя (4.21) в (4.19), получаем оценку для результата изме-
рения

оо	00	1 / x-M(X/xN) \

x°nt = f xp(x/xN)dx =	1 ------ f хе 2' a(X/x^'> Jdx=t

Л	Y2m(X/xn) Jm

= M {X/xn).

Следовательно, в данном случае оптимальный результат измерения
равен условному математическому ожиданию измеряемой величины при
полученном результате измерения xn. Преобразуем выражение для
ОПТ
x/v к несколько иному виду:

x°NnT = М {X/xn) = м (X) +	[XN - М {Xn)] +

+ o-WFWT “ М Ы ~	“ М (Х")] я

= М (X) + XN - м {Xn) - ai(X^(KT[XN ~ м (Хл/)]

= Xn - М (Д') -	[xN - М (XN)] ^xn-M {\'lxN).
2

результата измерения xn. При
о (X/xn) определяется формулой

Рис. 4.9. К определению оценки результата
измерения случайной величины при нормаль-
ных, известных и независимых р (х) ир (Д').

Выражение (4.22) совпадает с вы-
ражением для результата измере-
ния, полученным в работе [79] при
несколько ином подходе. На рис. 4.9
представлена графическая интер-
претация проведенного анализа, из
которого видно, что при полученном
результате измерения xn значения
измеряемой величины X группиру-
ются вокруг М (X/xn), которое
сдвинуто относительно полученного
этом с. к. о. результата измерения

g(X/xn) =

о (Д')

(4.23)

У + а2 (X)

Поскольку знаменатель в (4.23) всегда больше единицы, то значе-
ние с. к. о. погрешности измерения о (X/xn) меньше с. к. о. погреш-
ности измерительного прибора о (Д').

Таким образом, для оценки результата измерения нормально рас-
пределенной случайной величины, полученного с помощью СИ,
погрешности которого распределены по нормальному закону, из ре-
зультата измерения xn необходимо вычесть не только значение
систематической составляющей СИ М (Д'), но и составляющую
о2 (Д') [x/v — М (Xn)/g2 (X) + о2 (Д')]. Значение второй составляющей
зависит от отношения g2 g2 от значения [хд/ — М (Х^)] и уве-
о2 (Д')
личивается с увеличением отношения  ,

J	а2 (А) + а2 (Д )

Заметим, что в отличие от (4.22) и (4.23) дифференциальная остаточ-
ная энтропия и информация, ожидаемая от результата измерения, оп-
ределяемые (3.13) и (3.14), учитывают только случайную составляющую
погрешности результата. Следовательно, оптимизация процесса изме-
рения по информационному критерию, в отличие от критерия (4.19),
корректна только при отсутствии систематических составляющих по-
грешностей.

Структура выражения (4.22) определяет алгоритм работы коррек-
тирующего устройства. Рассмотрим оценки результата измерения в не-
скольких предельных случаях.

При измерении постоянной величины (о (X) = 0)

4Г = М (XN) - М (Д') = М (X);	(4.24)

при измерении центрированной величины (М (X) = 0)

~ УИ+Х-, 1Ц-ММ:	«-!5>
при измерении без систематической составляющей погрешности
СИ (М (Д') = 0)

= XN - “ М (Х)1; (4'2в)

при измерении без случайной составляющей погрешности СИ
(о (Д') = 0)

x'n т = Xn — М (Д').	(4,27)

Из общей формулы для результата измерения следует, что даже
при соотношении о (Д') > о (X) измерение имеет смысл. В этом случае
значение поправки, вычитаемой из xn, увеличивается. Полученные ре-
зультаты имеют важное практическое значение при измерении «малых
величин». Под термином «измерение малых величин», как и в работе
135], подразумевают ситуацию, когда измеряемая величина соизмерима
или даже существенно меньше погрешности. Выражение (4.22) может
быть использовано не только при нормальных и известных распределе-
ниях р (х) и р (Д'), но и в том случае, когда эти распределения неиз-
вестны, а известны по результатам (30...50) наблюдений оценки М (X);
М (Д'); о (X) и о (Д').

4.3.	СПОСОБЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И УМЕНЬШЕНИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Основной причиной возникновения систематических погрешностей
измерений являются погрешности средств измерений, возникающие
от действия влияющих величин: изменение частоты и напряжения ис-
точника питания, температуры, влажности, старения схемных элемен-
тов, действия неинформативных параметров входного сигнала, напри-
мер частоты при измерении действующего значения напряжения,
несовершенства метода измерительного преобразования. Основные уси-
лия по борьбе с систематическими погрешностями предпринимаются
при расчете и конструировании каждого средства измерения, однако
полностью устранить их не удается, и поэтому эти погрешности стре-
мятся устранить различными способами и в процессе выполнения
процедуры измерения. В зависимости от характера изменения система-
тические погрешности можно разделить на постоянные и переменные.
В свою очередь, переменные систематические погрешности можно раз-
делить на прогрессирующие (монотонно возрастающие или убываю-
щие) и периодические.

Во многих случаях для достижения наиболее высокой точности из-
мерения производят многократные наблюдения с последующей обра-
боткой ряда полученных значений X, каждое из которых имеет и систе-
матическую, и случайную составляющие погрешности, т. е.

X/v. = X + Дс + Д[.
Если всего произведено п измерений, то среднее арифметическое
значение ряда при постоянстве х и До

X	п „

^=-1=1—- = х + Дс + 4-1 Д£.	(4.28)

п	п 1—1

В xn ввиду различных знаков отдельных реализаций случайной по-
грешности при большом числе измерений случайная составляющая
суммарной погрешности уменьшается, а постоянная систематическая
остается неизменной.

В среднем арифметическом значении ряда xn содержится система-
тическая и усредненная случайная составляющие погрешности, и
поэтому xn называется также неисправленным средним значением. Для
его исправления необходимо по возможности выявить и уменьшить си-
стематическую составляющую погрешности.

Способы обнаружения систематической погрешности

Если систематическая погрешность неизменна, то V{ — случайные
отклонения результатов наблюдений от среднего арифметического от
нее не зависят

П о

Vt = XN. — xN = Д£ — 1/n S Д£,
1 <=/

т. e. неисправленные случайные отклонения при наличии постоянной
систематической погрешности могут быть непосредственно использова-
ны для оценки рассеивания ряда наблюдений (ГОСТ 8.207—76).
Если во всех результатах есть постоянная систематическая погреш-
ность, то допускается исключать ее после вычисления среднего арифме-
тического неисправленных результатов наблюдений.

В [10] приведены правила обнаружения переменных системати-
ческих погрешностей в результатах наблюдений:

1) если знаки неисправленных случайных отклонений чередуются
с какой-то закономерностью, то наблюдается переменная систематиче-
ская погрешность; 2) если последовательность знаков 4- у случайных
отклонений сменяется последовательностью знаков — или наоборот,
то есть прогрессирующая систематическая погрешность; 3) если груп-
пы знаков 4- и — у случайных отклонений чередуются, то налицо
периодическая систематическая погрешность.

Выявление и уменьшение систематических погрешностей измерений
являются важнейшими задачами метрологии, и для их решения разра-
ботано много различных способов. Наиболее трудно выявить малую
постоянную систематическую погрешность, не изменяющуюся за время
проведения измерения, которая обнаруживается только при проведе-
нии измерения данной величины двумя независимыми способами, ос-
нованными на использовании различных физических явлений или про-
цессов.
Рассмотрим пример проверки наличия систематических погрешно-
стей в двух результатах измерений с многократными наблюдениями
одной величины X, выполненных двумя независимыми методами или
различной аппаратурой. Если известно, что результаты обеих групп
наблюдений распределены по нормальному закону и известны резуль-
таты измерений, т. е. средние значения xn, и х^2 и оценки с. к. о.
результатов наблюдений о (Д^ и о (А2), то для проверки наличия систе-
матической погрешности определяют отношение

— X'V1 ~ хнг

~ /о2 (Д1) -I- о2 (Д2) 

Для проверки гипотезы об отсутствии систематической составляю-
щей погрешности задаются уровнем значимости а и, пользуясь табли-
цами Лапласа (табл. 2), определяют относительную квантиль Zi_a/2 =

Д' (1 — a/2)	„	п

= —, соответствующую доверительной вероятности Рлоъ =
= 1 — а. Если z' > Zi_a/2, то гипотеза об отсутствии систематической
погрешности отвергается при уровне значимости а. Например, если
a =0,1, то Zi_a/2 = 2; при z' > 2 можно утверждать, что имеет
место систематическая погрешность.

Изменяющуюся по значению систематическую погрешность можно
обнаружить при обработке результатов наблюдений следующими ста-
тистическими методами:

проверкой статистической подконтрольности по расхождению меж-
ду дисперсиями и средними отдельных групп наблюдений по критериям
Бартлетта, Фишера и Аббе [271;

регрессионным анализом путем обнаружения связи между наблю-
дениями и значениями измеряемой величины.

Систематическую составляющую погрешности измерительного при-
бора целесообразно уменьшать или компенсировать, снижая ее до уров-
ня случайной составляющей погрешности. Если систематическая и
случайная составляющие погрешности соизмеримы, то первую можно
обнаружить только статистическими методами. Методы коррекции си-
стематической погрешности в таком случае также базируются на ста-
тистических методах ее обнаружения.

После выявления систематической погрешности необходимо рас-
смотреть возможные причины ее появления и оценить ее составляющие.
После анализа составляющих Дс необходимо рассмотреть возможность
изменения условий эксперимента таким образом, чтобы уменьшить
или исключить прежде всего доминирующую составляющую погреш-
ности.

Способы уменьшения систематических погрешностей

Рассмотрим основные способы уменьшения систематических погреш-
ностей измерения.

Устранение причины возникновения по-
грешности является наиболее радикальным способом борьбы с
систематической погрешностью измерения, например систематическая
Влияющая Величина

ЛерЯый этап	' ЛерЯыи этап

Рис. 4.10. Примеры способов исключения систематической составляющей погрешности:
а, б — изменением знака систематической погрешности, возникающей от действия
влияющей величины; в — изменением знака входной величины.

погрешность измерения от неуравновешенности подвижной части
прибора устраняется тщательной установкой прибора по уровню.

Замещение. Систематическую погрешность измерения можно
устранить методом замещения (п. 2.4), если в распоряжении экспери-
ментатора есть регулируемая мера, выходная величина которой одно-
родна с входной величиной данного средства измерений.

Использование независимых методик измерений является наиболее
надежным способом уменьшения систематической погрешности при по-
следующем вычислении среднего арифметического. Таким способом по-
вышают точность измерения физических констант.

Применение прибора более высокого клас-
са точности. Для уменьшения систематической составляющей
погрешности измерения следует прежде всего применять измеритель-
ные приборы более высокого класса точности с малыми систематически-
ми составляющими погрешности. При этом необходимо соблюдать все
условия нормальной эксплуатации данных средств измерения, произ-
вести их предварительную поверку, учитывать дополнительные погреш-
ности, возникающие от действия внешних влияющих величин вне зоны
их нормальных значений.

Способ изменения знака систематической
погрешности реализуется в том случае, если знак погрешности
А может быть изменен при сохранении знака х. При этом компенсирует-
ся погрешность от известной нам влияющей величины.

Измерение производится в два этапа, причем на втором этапе при
противоположно направленной внешней влияющей величине. При
этом с изменением знака влияющей величины должен измениться и
знак систематической погрешности (рис. 4.10, а).

Результат измерения на первом этапе

xN = xN + Ас.

Числовое значение на втором этапе после изменения знака влияю-
щей величины или направлении ее действия на прибор

Xn — Xn Aq.
Результат измерения, не искаженный систематической погреш-
ностью

XN + XN
XN —	2

Таким способом удобно устранять погрешность от действия внеш-
них магнитных полей. При ручном способе при этом нужно поворачи-
вать прибор на 180°. В астазированном приборе (т. е. в приборе, не за-
висящем от положения в пространстве) предусматривается сдвоенный
измерительный механизм, в котором и автоматизируются приведенные
выше операции. На каждую из одинаковых половин этого сдвоенного
механизма, ввиду противоположной направленности их внутренних
полей, внешнее равномерное магнитное поле производит противополож-
ное по знаку действие.

По этому способу можно устранить погрешность в компараторах,
ваттметрах, мостовых измерительных устройствах. Например, если в
последних производится измерение гх с помощью регулируемой меры,
выходная величина которой г0 близка по значению к гх (рис. 4.10, б),
т. е. если их отношение близко к единице:

'Л = 1-

В равноплечевом мосте гх выбирается равным г2. Однако в действитель-
ности из-за наличия неизвестной нам по значению систематической по-
грешности г2 ¥= Hi r2 = Н (1 + 6С) и поэтому в результате измерения
возникает погрешность. Способом противопоставления устраняется
влияние погрешности бс на результат измерения. При этом измерение
производится также в два этапа, второй раз — после перемены местами
гх и г0. Предположим, что в равноплечевом мосте гх, г0, и г2 произво-
дится измерение г*. Уравновешивание производится изменением сопро-
тивления г0:

А- =	= (1 + 6С) или Го = -гА- = Ml - 6С).

го Г1	1 I иС

На втором этапе меняем местами гх и г0 и снова уравновешиваем
мост, изменяя г0 (гх остается без изменения). Тогда

— = 2k = (1 + бс) или го = rx (1 + бс).
rx

Определяя полусумму г0 и г0, получим значение искомого сопро-
тивления гх без систематической погрешности бс:

, _ го+'-о
х 2

Способ инвертирования входной и выход-
ной величин основан на возможности изменения знака выхода
при сохранении неизменными знака и размера систематической по-
грешности. По этому способу в приборах с двусторонней шкалой уст-
раняется систематическая аддитивная погрешность, не зависящая от х,
путем определения полуразности двух результатов измерений при
изменении знака х (рис. 4.10, в). Если в уравнении измерительного пре-
образователя содержится аддитивная систематическая погрешность, то

Xn = Xn + Дс.

Изменяя знак х на обратный, если коэффициент К и погрешность До
не зависят от знака х, или, изменяя знак К на обратный при неизмен-
ных знаках х и Дс, получим

Xn — — Xn Ч- До

Тогда искомое значение

XN XN
Xn —	2	•

Способ инвертирования входной величины дает возможность не
только устранить аддитивную погрешность, но и погрешность от нели-
нейности измерительного преобразования, определяемую значениями
четных производных [86]. Действительно, при инвертировании входной
величины при разложении в ряд Маклорена получаем

f (X) = f (0) + Г (0) X + 4- г (0) х2 + 4 Г (0) X3 + ... ;

f(-x)=f(o)-f(o)x+-4^(°)^2-	••• •

Разность этих зависимостей равна

/р(х)=/(х)-/(-х)=2/'(0)х + 1/3Г(0)х3+ ....

Примером такого способа компенсации систематической погрешно-
сти является устранение погрешности компенсатора постоянного тока
от контактных термо-э. д. с. ДЕК путем переключения полярности ис-
точника питания компенсатора и Ех.

Измерение выполняется в два этапа. На первом этапе результат из-
мерения 1

Л\Д{7К = ЕЖЧ-ДЕК,
а на втором этапе

-М2Д£7к = -Ех+ ДЕк.

Тогда корректированный результат измерения

Следовательно, погрешность от действия ДЕК в корректированный
результат измерения не входит. В высокочувствительных цифровых
вольтметрах постоянного тока такая коррекция может выполняться
автоматически.

Примером этого способа является также коррекция при простран-
ственном разделении (п. 8.5), реализуемая в устройствах сравнения
периодического действия, если корректируемое звено включено до
устройства сравнения.
Рис. 4.11. График изменения мульти-
пликативной систематической линейно-
прогрессирующей погрешности.

Следует однако учитывать, что при
устранении систематической составля-
ющей погрешности изменением ее зна-
ка или знака выходной величины тру-
доемкость измерений увеличивается.
Автоматизированные варианты спосо-
ба инвертирования широко применя-
ются в современных измерительных
преобразовател я х.

Способ симметричных
наблюдений предназначается

для устранения систематической мультипликативной погрешности ИП,
изменяющейся по линейному закону во времени (рис. 4.11). Возникаю-
щая по этой причине погрешность может быть устранена способом сим-
метричных наблюдений, при наличии меры х0, если измерение выпол-
нять в четыре этапа. На выходе измерительного прибора получим

= Ас0;

Xn2 — Хо + Асо‘,

Xn2 = Xn + §cxnT + Ас0;

= х0 + 6сх02Т 4- Асо.

В этом случае мультипликативная погрешность устраняется вычис-
лением xn по следующей формуле:

= 2(хл/,~Мхо

N (XN2 + XN, ~ 4vt)

Примером может служить косвенное измерение сопротивления ре-
зистора Rx путем прямого измерения падения напряжения на после-
довательно включенных резисторах Rx и Ro. В этом случае по способу
симметричных наблюдений устраняется погрешность от линейного из-
менения тока в Rx и Ro, например от снижения электродвижущей силы
батареи.

Смещенной характеристикой обладают, например, измерительные
частотные преобразователи с уравнением fx = КХ + f0, погрешность
которых от линейного изменения их коэффициента преобразования мо-
жет быть устранена автоматически. В этом случае все необходимые
вычисления можно реализовать в несложных дискретных устройствах
или в микропроцессоре.

Способ периодических наблюдений приме-
няется в том случае, если влияющая величина, создающая системати-
ческую погрешность, изменяется по периодическому закону. Тогда для
исключения данной составляющей систематической погрешности два
наблюдения производят через половину периода в моменты, когда эта
систематическая погрешность имеет противоположные знаки, но рав-
ные значения. Затем усредняют результаты этих двух наблюдений, в
результате чего систематическая погрешность, изменяющаяся по пе-
риодическому закону, исключается.
Способ рандомизации систематической по-
грешности. Для рандомизации составляющей систематической
погрешности причину, ее вызывающую, изменяют случайным образом,
затем производят п наблюдений, определяют среднее арифметическое
результатов наблюдений, которое принимают равным результату из-
мерения. В таком случае данная составляющая систематической по-
грешности уменьшается в/п раз. Примером применения метода ран-
домизации может служить уменьшение систематической погрешности
от установки прибора по уровню путем n-кратного повторения установ-
ки прибора по уровню перед каждым наблюдением.

Способ исключения систематических по-
грешностей путем введения поправок. По-
правкой называется значение величины, одноименной с измеряемой,
которое суммируется со значением величины, полученным при измере-
нии, с целью исключения систематической погрешности. При введении
поправки справедливо уравнение

Xn = xn + Ас — Лп,
где До — систематическая погрешность; Дп — поправка.

Если Дп = —Дс, то погрешность исключается полностью. Для
исключения систематической погрешности путем введения поправки
необходимо знать влияющую величину, вызвавшую погрешность и за-
висимость последней от этой величины в виде формулы или таблицы.
Поправка, однако, также известна с определенной точностью, т. е. она
также должна характеризоваться статистически, средним значением
и с. к. о. При введении поправки в результат измерения систематиче-
ская составляющая погрешности уменьшается, а дисперсия возрастает.
Стремятся к тому, чтобы при введении данной поправки Дп с известной
оп увеличение доверительного интервала результата измерения из-за
введения поправки при заданной вероятности не превысило поправку.
Для этого необходимо, чтобы

Дп > 2 (]/"О2 + Оп — о) ,

Таблица 3. Значение коэффициента zs для случайной величины Y,
имеющей распределение Стьюдента с п— 1 степенями свободы

п — 1	Р —0,95	Р = 0,99	Л — I	Р = 0,95	Р = 0,99
3	3,182	5,841	14	2,145	2,977
4	2,776	4,604	16	2,120	2,921
5	2,571	4,032	18	2,101	2,878
6	2,447	3,707	20	2,086	2,845
7	2,365	3,499	22	2,074	2,819
8	2,306	3,355	24	2,064	2,797
9	2,262	3,250	26	2,056	2,779
10	2,228	3,169	28	2,048	2,763
11	2,201	3,106	30	2,043	2,750
12	2,179	3,055	60	2,00	2,66
иметь идентичные показатели точности, в противном случае показатели
точности результатов расчета корректно определить невозможно.

Способы определения показателей точности измерений зависят,
прежде всего, от степени избыточности измерений. Если выполнены
не избыточные измерения (п. 2.4), например однократное, то показа-
тели точности могут быть определены по метрологическим характери-
стикам данного средства измерения (п. 9.1). Если выполнены избыточ-
ные измерения, например с многократными наблюдениями, то показа-
тели точности определяют путем обработки результатов наблюдений
(п. 9.7).

Округление числового значения измеряемой величины

После обработки результатов отдельных наблюдений получаем
значение xn и показатели точности, например в виде нижней и верх-
ней границы погрешности ±ДГ. Количество знаков в этих цифрах
после вычислений может быть любым, однако лишние знаки указывать
и неудобно, и неправильно. Необходимо правильно согласовать коли-
чество знаков в значениях xn и погрешности Дг, т. е. округлить их.
Округлением числа называют отбрасывание значащих цифр справа от
определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Округление числового значения основывается на порядке погреш-
ности: младший разряд погрешности должен совпадать с самым млад-
шим разрядом результата измерения. Например, если результат из-
мерения 15,371 В; Дг от —0,05 до +0,05 В; Р — 0,5, то, следовательно,
не только тысячные, но и сотые доли в xn не являются вполне достовер-
ными. Однако при округлении нецелесообразно отбрасывать оба недо-
стоверных разряда, обычно старший, менее недостоверный разряд остав-
ляют. Тогда результат измерения после округления 15,37 В; Дг от
—0,05 до +0,05 В; Р = 0,5.

Числовое значение погрешности округляется обычно до наиболее
старшего разряда со значащей цифрой, второй значащий десятичный
разряд указывается только при особо точных измерениях и в тех слу-
чаях, если погрешность выражена числом с цифрой старшего разряда,
равной или меньшей 3.

Правила округления регламентированы СТ СЭВ 543—77 «Числа,
правила записи и округления». Напомним их:

1)	если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя
сохраняемая цифра не изменяется;

2)	если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя со-
храняемая цифра увеличивается на единицу;

3)	если первая из отбрасываемых цифр равна 5, то последняя со-
храняемая цифра увеличивается на единицу; если при этом отбрасывае-
мая цифра получилась в результате предыдущего округления в боль-
шую сторону, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, в про-
тивном случае последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу.

Погрешность округления. В зависимости от ситуации погрешность
округления может быть систематической, если число до округления
известно, и случайной, если это число неизвестно.
Рассмотрим случай, когда округление результата приводит к систе-
матической погрешности. Допустим, что при вычислении результата
используется трансцендентное число (например, при косвенных изме-
рениях). При округлении значения л, т. е. при его замене приближен-
ным значением локр, возникает относительная погрешность бокр, равная

о	Ал покр ~ л

°окр ДГ ~ л

При локр = 3,14, Ал = —0,0016, 6окр = —0,05 %.

Если значение величины до округления нам неизвестно и если дан-
ное xn округлено по младшему десятичному разряду согласно правилам
округления, то погрешность округления случайна и распределена по
равномерному закону с с. к. о.

10?к_

°окр 2/3 ’

где qK — цена младшей десятичной ступени xn до округления.

Если при записи результата измерения недостоверный младший раз-
ряд отбрасывают (без правил округления), то погрешность будет иметь
равномерный смещенный закон распределения с математическим ожи-
данием М (Аокр) = и с. к. о. о (Аокр) = 'j?-- • При представле-
нии погрешности от округления дискретным распределением с. к. о.
вычисляют по формуле

Лп

2 j] (2

<4-29)

Критерий ничтожной погрешности

При суммировании случайных, независимых погрешностей раз-
личных звеньев измерительных устройств, определении суммарной
погрешности результата косвенных измерений вычисления можно
упростить, если пренебречь погрешностями, имеющими малые значе-
ния. Для этого необходимо определить критерий ничтожной погреш-
ности, т. е. математическое правило, на основе которого можно было бы
исключить погрешность ввиду ее малого значения. Этот критерий необ-
ходим также в том случае, когда следует выбрать класс точности образ-
цового прибора в зависимости от класса поверяемого с тем, чтобы класс
поверяемого мог быть сохранен после поверки прежним, т. е. чтобы
погрешностью образцового прибора можно было бы пренебречь.

Рассмотрим критерий ничтожной погрешности на примере косвен-
ных измерений. С. к. о. суммарной случайной погрешности результата
косвенных измерений в простейшем случае при X =	+ Х2 опреде-

ляется по формуле

о (Асун) =	+ о2 (Д2)’,	(4.30)

где о (Дсум), с. к. о. суммарной погрешности; о (Дх) с. к. о. большей
по значению погрешности; о (А2) с. к. о. «ничтожной» — меньшей по
значению погрешности.
где z — коэффициент распределения при заданной доверительной ве-
роятности, который определяется по таблице Лапласа (табл. 2) или
Стьюдента (табл. 3).

Принимая во внимание необходимость округления погрешности,
а также то, что погрешность выражается не более чем двумя значащими
десятичными разрядами, введение поправки, меньшей чем 5 единиц
разряда, следующего за младшим разрядом погрешности, нецелесооб-
разно. Одна поправка исключает только одну составляющую система-
тической погрешности, вызываемую данной влияющей величиной.
Поэтому при наличии многих влияющих величин иногда приходится
вводить большое число поправок. При этом вследствие дисперсии са-
мих поправок неизбежно увеличивается и дисперсия результата из-
мерения. Часть систематических погрешностей и после вцесения по-
правок остается и входит в результат измерений, нх называют неисклю-
ченными систематическими погрешностями.

Рассмотренные способы уменьшения систематической погрешности,
как правило, основаны на участии оператора. В настоящее время во
многих аналоговых и цифровых измерительных устредет^атСйредусмат-
ривается автоматическая коррекция погрешностей, основные методы
которой рассмотрены в (п. 8.6).

4.4.	РЕЗУЛЬТАТ ИЗМЕРЕНИЯ

Результатом измерения является значение величины, Которое при-
писывается измеряемой величине после завершения процесса измере-
ния. Результат измерения выражается в единицах данной физической
величины и всегда содержит погрешность. По его числовому значению
прямо судить о точности измерения нельзя. Следовательно, результат
измерения должен быть обязательно охарактеризован по точности —
основному качеству измерения. Это делается с помощью показателей
точности.

Результат измерения имеет четыре характерные особенности:

определяется экспериментальным путем (теоретически определить
невозможно);

представляет собой число, которое при абсолютных измерениях
является именованным с указанием единицы измеряемой величины;

содержит показатели точности, без которых нельзя судить об основ-
ном качестве измерения, т. е. точности, и использовать данный ре-
зультат измерения совместно с результатами других измерений;

содержит во многих случаях и результат идентификации входного
сигнала и его модели.

Показатели точности установлены ГОСТ 8.011—72 и по первой фор-
ме состоят из интервала и вероятности, с которой действительное зна-
чение величины находится внутри этого интервала (например, xn от
Дн до Дв; 0,95). Показатели точности результатов прямых измерений,
используемых при косвенных измерениях, должны представляться в
такой единой форме, которая позволяет суммировать погрешности
и определять показатели точности результатов косвенных измерений.
Результаты измерений, используемые для расчетов, также должны
При округлении погрешности обычно отбрасывается ее вторая зна-
чащая цифра. «Ничтожная» погрешность о(Д2) может быть отброшена в
том случае, если при ее учете суммарная погрешность о(Дсум) не изменит-
ся по значению в первом знаке. Для этого нужно выполнить условие
о (Дсум) — о (Д^ < 0,Обо (Дсум).

Из (4.30) получаем

о2 (Дх) + о2 (Д2) = о2 (Деум),

о2 (Дсум) — О2 (Дх) = о2 (Д2).

Откуда находим:

Приняв, что о (Двум) = о (Дх), получаем

а(Д2)</2-0,05а(Дх)<0,3а(Дх) ....	(4.31)

Таким образом, если меньшая по значению случайная погрешность
о (Д2) втрое меньше, чем большая по значению о (Дх), то ею можно пре-
небречь. Уравнение (4.31) является критерием ничтожной погрешности.
Группа погрешностей отбрасывается, если их сумма меньше одной тре-
ти максимальной погрешности.

Формы представления результатов измерений

Для дальнейшего повышения уровня измерительного дела необхо-
димо представление результатов в определенных единых формах, ко-
торые могли бы регламентироваться соответствующими нормативны-
ми документами. Для указанной цели введен в действие с 1973 г.
ГОСТ 8.011—72 «Показатели'точности измерений и формы представле-
ния результатов измерений».

Результат измерения представляется в виде значения величины и
показателей точности. В зависимости от сложности и ответственности
измерений используются различные показатели точности измерения.

ГОСТ 8.011—72 в качестве показателей точности установлены:
доверительные границы, в которых с установленной вероятностью
находится погрешность измерения Д или ее систематическая составляю-
щая Дс;

_ о

оценки среднего квадратического отклонения о (Дс), о (Д) систе-
матической и случайной составляющих погрешностей;

плотности вероятности систематической и случайной составляющих
о

погрешности р (Дс); р (Д).

ГОСТ 8.011—72 устанавливает три правила выражения численных
о

показателей точности Д, Дс; о (Дс) и о (Д):

должны выражаться в единицах измеряемой величины;

должны содержать не более двух значащих цифр;

наименьшие разряды результата измерения и численных показате-
лей точности должны быть одинаковыми.
ГОСТ 8.011—72 устанавливает в зависимости от сложности и ответ-
ственности измерений четыре следующие формы представления резуль-
татов измерений.

Первая форма

xn‘, А от Ан до Ав; Р(А),

где xn — результат измерения в единицах измеряемой величины; А;
Ан; Ав — соответственно погрешность измерения, нижняя и верхняя
ее границы в тех же единицах; Р (А) — установленная вероятность,
с которой погрешность измерения находится в указанных границах.

Пример: 100 В, А от —1 до +1 В; Р = 0,95.

Первая форма представления результата измерения характерна тем,
что в ней рассматривается погрешность, без подразделения на система-
тическую и случайную составляющие. Показатели точности результата
измерения, представленного по первой форме, недостаточны для кор-
ректного суммирования погрешностей блоков и определения погреш-
ности результата косвенных измерений *. Вторая форма

Xn, Ас от Асн до Асв; Рс(Ас); о (А); рст(А),

где Ас; Асн; Асв — соответственно систематическая погрешность из-
мерения, нижняя и верхняя ее границы в единицах измеряемой величи-
ны; Ра (Ас) — установленная вероятность, с которой систематическая
составляющая погрешности находится в ее границах; о (А) — оценка
с. к. о. случайной составляющей погрешности в единицах измеряемой
величины; рст (А) — стандартная аппроксимация функции плотности
вероятности случайной составляющей погрешности (табл. 4).

о

Пример: 101,5 В; Ао от 1,5 до —1,5 В; Ра (Ас) = 0,95; о (А) =
= 0,5 В; равн.

Вторую форму представления результата измерения целесообраз-
но применять в тех случаях, когда значительная по относительному
уровню систематическая погрешность изменяется по случайному за-
кону. Результаты прямых измерений, представленные по этой форме,
могут быть использованы для корректного определения только случай-
ной составляющей суммарной погрешности косвенных измерений. Во
второй форме представления результата измерения показатели точно-
сти указываются по обеим составляющим погрешности.

. Третья форма

xN; о (Ас) рст (Ас); о (А); рст(А),

где о (Ас) и а (А) — оценки с. к. о. систематической и случайной со-
ставляющих погрешности; рст (А) — стандартные аппроксимации плот-

1	Для представления результатов прямых измерений, выполненных измеритель-
ным прибором, у которого нормирована только основная погрешность, при однократ-
ных наблюдениях рекомендуется результат измерения представлять в виде значения
величины и интервала для погрешности измерения без указания доверительной ве-
роятности [25].
ности вероятности систематической и случайной составляющих погреш-
ности (табл. 4).	о

Пример: 101,11 В; о (Ао) = 0,05 В, равн. о (А) = 0,03 В; норм.

Третью форму представления измерения целесообразно применять
в тех случаях, когда обе составляющие погрешности значительны по
уровню и изменяются по случайным законам, когда необходимо сумми-
ровать обе составляющие погрешности, при определении обеих состав-
ляющих погрешности результата косвенных измерений.

Четвертая форма

xN; р(Ас); р(А),

где р (Ас) и р (А) — соответственно плотности вероятности систематиче-
ской и случайной составляющих погрешности, представляемые обе в
одинаковой форме таблицами, графиками или формулами.

Пример: 102 В; р (Ао) =	-g- при — 1 В < Ао < ЗВ;

о

6 8 “В '

Таблица 4. Стандартные аппроксимации функций плотности вероятности
согласно ГОСТ 8.011—72

Функция	Сокращенное обозначение рст (Д)	График рст(Д)	а  о (Л)
		1Я4)	
Нормальная (усеченная)	норм.		3,0
		Х~-—4^ р	
Треугольная (Симпсона)	А		2,4
			
Трапециевидная	трап.	iA' \	2,3
		LJ	J	
Равномерная	равн.	1	1,7
		I [zr а 4	
Антимодальная I	ам I	Ui	1,4
		1	4	
Аитимо дальняя II	ам II		1,8
		2	?	-° - /  Г За	
Релея (усеченная)			3,3
			
Четвертую, наиболее полную, форму представления результата
измерения целесообразно применять в наиболее сложных и ответствен-
ных измерениях, когда плотности распределения р (Дс) и р (А) зна-
чительно отличаются от стандартных аппроксимаций. Эта форма дает
возможность наиболее корректно суммировать погрешности, опреде-
лять при этом суммарный закон распределения, определять граничные
значения погрешностей при различных установленных вероятностях,

4.5.	ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СРЕДНЕЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
ДИСКРЕТНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ ИЛИ ПОТОКА

ЧАСТИЦ

В радиоизотопной диагностике, ядерной физике, биологии, ме-
дицине все чаще применяют измерители ионизированных излучений,
которые являются измерителями средней интенсивности потока или
частоты естественно-квантованной величины, распределенной по зако-
ну Пуассона.

В качестве чувствительных элементов в этих приборах применяются
индикаторы частиц, например счетчики Гейгера. При измерении сред-
ней интенсивности потока в таких приборах возникают специфические
погрешности в результате неравномерности потока частиц, а также из-
за наличия мертвого времени счетчика импульсов.

Случайная погрешность измерения среднего значения потока
частиц из-за его неравномерности

Поток частиц обычно описывается законом Пуассона. Основным па-
раметром потока является интенсивность X, определяемая как среднее
число частиц, поступающих на счетчик в единицу времени. Если ин-
тенсивность X — величина постоянная, то вероятность того, что за
время t на счетчик поступит частиц, в соответствии с законом Пуас-
сона, равна

РЦДГ) = J^Le-Ч	(4.32)'

Если подсчет числа частиц, поступающих на счетчик за определенное
время t, производится несколько раз, то результаты счета могут прини-
мать различные значения, вероятность каждого из которых опреде-
ляется (4.32).

Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание,
т. е. среднее значение результата счета (V, равно

М (N) = X/.

Дисперсия результатов счета, распределенных по закону Пуассона,
совпадает со своим математическим ожиданием:

D (N) = М (N) = М.

Оценка интенсивности потока частиц экспериментально определяет-
ся путем подсчета числа частиц N за определенное время t и выполнения
операции деления:

X = уср = у//.

Математическое ожидание оценки интенсивности потока частиц за
время

М (X) = М (N/t) = UlM (У) = 1/tM = X.

Отсюда видно, что Ncp является оценкой интенсивности потока А.
Определим точность данной оценки. Для этого найдем дисперсию оцен-
ки интенсивности потока частиц:

D(v = d^) = ±d(N) = -Lm= А
И с. к. о.

a{X) = VD (1) = -р=- = —— = —у ,	(4.33)

Относительное значение с. к. о.

а^ср)	t	1	I

То(Л/Ср) д,ср ~ д, - уй - y^j ’	(4.34)

t

Из (4.33) и (4.34) следует, что точность определения интенсивности
потока частиц тем выше, чем больше результат счета N и, следователь-
но, чем больше время счета t и сама интенсивность X. Для больших зна-
чений JV приближенно можно считать, что

А = N/1 и о (X) = V~N/t.

Если результат счета во много раз больше единицы, то для опреде-
ления доверительного интервала можно пользоваться нормальным за-
коном с математическим ожиданием М (N) = А/ и с. к. о. о (V) =

(N-W

Задаваясь доверительной вероятностью, например Рдов = 0,95,
можно указать интервал, в котором содержится истинное значение ин-
тенсивности:

ЛГср — 2о (JVcp) < А < ЛГср 4- 2о (Мср);

N — 2N + 2УН
----t-----< А <-------t--.

Погрешность измерения среднего значения потока частиц
от просчета импульсов

Из-за неравномерности частоты следования частиц и наличия так
называемого «мертвого времени» счетчика возникает погрешность от
просчета. Мертвое времятм — это максимальный интервал между та-
кими двумя соседними импульсами, которые счетчик сосчитывает как
один. Мертвое время возникает вследствие того, что отдельные узлы
счетчика обладают инерционностью. Если в качестве чувствительного
элемента применяется, например, счетчик Гейгера, то мертвое время
определяется длительностью разряда, вызванного попаданием заря-
женной частицы. Если следующая частица попадает в счетчик раньше,
чем закончится разряд, то она не будет зарегистрирован?. Мертвое
время счетчика может быть обусловлено также инерционностью усили-
теля, отсчетного устройства и других звеньев.

Различают мертвое время продлевающегося типа (мертвое время
накапливается) и непродлевающегося типа (мертвое время не накапли-
вается).

Мертвое время продлевающегося типа имеет место, например, в
электромеханических отсчетных устройствах, в которых с приходом
импульса якорь электромагнита притягивается к сердечнику, вызывая
поворот отсчетного диска на одну угловую единицу. На притягивание
якоря и возврат его в исходное положение затрачивается определен-
ное время тм. Если следующий импульс приходит раньше, чем якорь
успеет возвратиться в исходное положение, то очередное притягивание
его к сердечнику произойдет «вхолостую», т. е. не вызовет поворота
отсчетного диска, и импульс не будет зарегистрирован. Если третий
импульс снова приходит до истечения времени тм после момента прихо-
да второго, то он также не будет зарегистрирован. В результате сум-
марное мертвое время будет равно 2тм и т. д.

Мертвое время чувствительного элемента — счетчика Гейгера —
непродлевающегося типа. Частица будет зарегистрирована только
в том случае, если на отрезке времени тм, непосредственно предшест-
вовавшему моменту ее попадания в счетчик, не было попадания другой
частицы, независимо от того, имела место регистрация до начала ин-
тервала тм или не имела.

Определим погрешность от просчета импульсов, обусловленную1
мертвым временем продлевающегося типа. Вероятность того что на
очень малом интервале di->0B счетчик попадет одна частица, опре-
деляется (4.32). После подстановки значений t = dt и N = 1 получаема

РМ/(1) = ^-	(4.35>

Частица будет зарегистрирована, если в течение мертвого времен»
тм, непосредственно предшествовавшего dt, в счетчик не поступала ни-
одна частица. Вероятность того, что частица не попала в счетчик за
время тм, согласно (4.32), т. е. при ( = тм и iV = О,

Рк,хм (0) = е-Лтм.	(4.36)

Считая, что попадание частицы на отрезке времени dt и непопада-
ние другой частицы на отрезке времени тм, непосредственно предшест-
вовавшем dt, — события независимые, можно найти вероятность того,-
что за очень малое время dt счетчик зарегистрирует одну частицу:

Рмллм (О = PK.dt (1) Рх.тм (°) = te~MMdt. (4-37>
Если теперь в результате счета в течение конечного отрезка времени
было получено число N, то среднее число зарегистрированных частиц
в единицу времени

Л?ср = N/T.

Так как при определении Ncp не учитываются частицы, не зарегистри-
рованные вследствие наличия мертвого времени тм, то при X = Ncp
{4.32) будет описывать вероятность того, что результат равен N, с уче-
том тм:

=р5ср т - V

Тогда вероятность того, что за очень малое время dt -► 0 будет за-
регистрирована одна частица, с учетом тм

PW„M( 1) = Рл/ср (1) = Afcpd/.	0-38)

Приравнивая правые части (4.37) и (4.38), получаем

Ае-Лтмй/ = Ncpdt,
откуда

ДГср = Хе”1™.

Погрешность при экспериментальном определении интенсивности
потока, вызванная мертвым временем продлевающегося типа,

= AfCp — X = Хе“хтм— X = (е-Хтм— 1) X.

Относительное значение этой погрешности

у = А- = е-Ктм— 1.

Если тм = 0, то у -► 0. При данном тм погрешность тем меньше, чем ме-
ньше измеряемая интенсивность X.

Определим погрешность определения средней интенсивности, выз-
ванную мертвым временем непродлевающегося типа. Пусть в результа-
те подсчета частиц на конечном отрезке времени t получено число Afp,
Найдем суммарное число частиц, пропущенных из-за наличия мертвого
времени. За каждой из зарегистрированных частиц образуется мертвое
время тм. Общее мертвое время на отрезке i

ТМО — Л^рТм.

Число частиц, пропущенных счетчиком,

Пр = тМоХ == АГ ртмХ.

Число частиц, поступивших на счетчик за время t,

N = Kt — Afp-[-Afnp = Afp-j~Af ртмА = Afp (1 -J- тмХ),
откуда находим

N —-----____

г "р 1 + тмЛ •
Среднее число частиц, зарегистрированных счетчиком в единицу
времени,

Относительная погрешность при определении средней интенсив-
ности, вызванная мертвым временем непродлевающегося типа,

1

==	_ 1 + тмх _ _ тмх	(4.40)

А — А — А	1 + тмА

Эта погрешность снижается с уменьшением мертвого времени т«.
При данном значении мертвого времени она тем меньше, чем меньше
измеряемая интенсивность X.

4.6.	ОСНОВЫ АНАЛИЗА ДОСТОВЕРНОСТИ КОНТРОЛЯ

Контролем в более широком понимании называют процедуру уста-
новления соответствия между действительным состоянием объекта и
заранее заданной нормой путем восприятия контролируемых величин
или параметров, сравнения их с уставками и формирования вывода,
заключения [36]. Число различаемых при контроле состояний объекта
может быть два и более. Контроль обычно выполняется автоматически
с помощью специальных технических средств, называемых средствами
контроля. На действительное состояние объекта влияют различные
случайные факторы. Поэтому факт нахождения объекта в одном из воз-
можных контролируемых состояний является случайным событием и
поэтому точно непредсказуемым. Событие, заключающееся в безоши-
бочном определении средствами контроля действительного состояния
объекта ввиду неидеальности самих средств контроля, также является
случайным. Поэтому контроль характеризуется прежде всего вероят-
ностными характеристиками, основной из которых является достовер-
ность контроля.

Достоверность контроля отражает степень объективности результа-
тов контроля, т. е. решений и является основной характеристикой ка-
чества контроля. Эта характеристика отражает степень доверия к полу-
ченным результатам. Достоверность контроля характеризуется ошиб-
ками контроля, которые являются случайными событиями. Ошибки
контроля зависят от многих факторов: погрешности средств контроля,
размера допусков контроля и ряда других.

Анализ достоверности однопараметрового контроля

Рассмотрим процедуру контроля параметра X, который представ-
ляет собой непрерывную случайную величину с плотностью распреде-
ления р (х). На параметр X заданы значения допусков в виде нижнего
х„ и верхнего хв. Контролируемый параметр X данного объекта может
находиться в одном из двух состояний: — параметр «в допуске»
и Н2 — параметр «вне допуска». Априорные вероятности событий
5 818	129
P'tHJ и P9(HJ:



P0(H1) = ^ p(x)dx,	(4.41)

ХИ

XH	OO

P0(H2) = J p(x)dx+$ p(x) dx = 1 — Р^Н]).	(4.42)

—ОО	Xg

Погрешность средств контроля представляет собой также непрерыв-
ную случайную величину с известной плотностью р (Д'). В устройстве
цифрового контроля результат измерения имеет погрешность

Xn ~ X *4“ Д •

После сравнения оценки xn с контрольными числовыми допусками хям
и xbn, которые образуют контрольное поле допуска, формируется ре-
шение «в допуске» или «вне допуска». Наличие погрешностей является
причиной появления неправильных решений, в результате которых
часть фактически находящихся в допуске изделий бракуется и в то же
время часть бракованных изделий признается годной «в допуске».
В общем случае при контроле возможно появление одного из четырех
несовместимых случайных событий:

1)	Нъ Н“ — истинное значение параметра в пределах допуска
(хв ...хя), измеренное значение также в пределах контрольного допус-
ка Хвн •••Xhn), принимается правильное решение «в допуске»

Ха X Хв, XbN Xn XbN,

2)	Hlt Hz — истинное значение параметра в пределах допуска, а
измеренное значение — за его пределами, принимается неправильное
решение «вне допуска»

Хц X Хв, Хм XhN ИЛИ Xn XbM,

3)	Н2, Н* — истинное значение параметра за пределами допуска,
а измеренное значение — в пределах допуска, принимается неправиль-
ное решение «в допуске»

X < Хп ИЛИ X > Хв', XvN <XN< XBN',

4)	Н2, Hz — истинное значение параметра за пределами допуска
и измеренное также за пределами допуска, принимается правильное ре-
шение «вне допуска»

Хя X Хв, Хм XBN ИЛИ Xn Хнм*

Совместным вероятностям перечисленных случайных событий при-
нято присваивать обозначения

У = Р (Hlt Нк) — вероятность правильности решения «в допуске»;

а = Р (Ях, Hz) — риск изготовителя, вероятность неправильности
решения «вне допуска»;

Р = Р (Н2, HKi) — ри£к заказчика, вероятность неправильности реше-
ния «в допуске»;
6 = Р (Н2, Hl) — вероятность правильности решения «вне до-
пуска».

Такой подход к анализу достоверности, принятых при контроле
заключений, был впервые предложен Н. А. Бородачевым 17]. Совмест-
ные вероятности у, а, р, б вычисляются по следующим формулам:

*в xbN

у = Р (H^Hl) — § § р (х, xn) dxNdx',	(4.43)

хн хнЛ/

хв xnN	хв оо

а = Р (HjH*) = J J р (х, Xn) dxNdx + j J p (x, Хд/) dxNdx',
хи 00	хн xbN

(4.44)

xn xbN	oo *bh

P = P (H2HK\) = J J p (x, xn) dxNdx -]- j J p (x, хд/) dxNdx; (4.45)

—00 xnN	xb xhN

xh xhN	oo oo

б = P (H2Hl) = § § p (x, Xn) dxNdx + j J p (x, xw) dxNdx -j-

—OO —co	XR

xh oo	oo xhN

4- J J p (x, xn) dxNdx + j j p (x, хд/) dxNdx,

-OO ХВИ	хв —oo

где p (x, xn) — двухмерная совместная плотность распределения си-
стемы случайных величин X и Xn.

Одной из основных количественных оценок достоверности контроля
является абсолютная достоверность, представляющая собой вероят-
ность принятия правильного решения [7]:

£>= 1 — Рош,

где РОш — вероятность ошибочных решений при контроле, равная сум-
ме рисков изготовителя и заказчика,

Рош = а + Р-

Для расчета достоверности должны быть известны распределения
контролируемого параметра и погрешности средств измерения, а также
допуски на параметр. Наиболее часто встречается нормальное распреде-
ление как контролируемых параметров, так и погрешностей измере-
ния.

Если контролируемый параметр и погрешность измерения незави-
симы и имеют нормальный закон распределения с математическими
ожидани?Ййи и с. к. о.-, равными соответственно М (X), М (А) = 0;
о (Х)а (А), при симметричном допуске ±d, при

(Х-М(Х)У	(*N—Х)>

р (х) = — = е 2°'<х> ; р (xN/x) =  г—--------------е гачдо ; (4-46)

К V ' у 2пох	>	>	/2П о (Д')
учитывая, что р (х, xN) = р (х) р (х/хл), получим

о _	1___

Y2л а (X)

а = - /—----

К2л а (X)

1

)^2л а (X)

М(Х)~ d	(X-M(X)Y‘	xhN  ' с		(х fl— X)2 2<и(Д'>	dxN	I dx -4~  1 (4.47>
	2<т-(Х)					
		2л о (Д')	—ОО			
М(Х)+а	(Х-М(Х))2		ОО	(xN— XV		
	2о2(Х)	I	f е	2ий(Д')		dx.
		V2л а (Д')	J			
M(X)—d			хвЛ/			
M(X)—d	(Х_Л|(Х))2		хвЛ/	(Хд/—X)2		
$ е	2(Г(Х)	1	j е	2<>2(Д')	dxN	dx
		/2л а(Д.)				
—ОО			X»N			
ОО	(Х-Л1(Х))2	-	xbN	(XN~X^		-

202 (4'* dxN dx.

2с2(Х)

------ 1 е

К2ла,д.) J
xwN

1

-=------- \	е

V 2 л а, у,	J

Х) M(X)+d

(4.48)

По данным формулам аир определены численным интегрированием
на ЭВМ, а результаты представлены в виде номограмм (рис. 4.12).
Для расчета аир можно использовать также приближенные формулы.
В частности, для симметричного допуска [28] при

о (X) ’ р а(Х)

________0,3p (1 + гр)___е j- .	(4.49)
1 + 0,6р (р — 0,1) /г(1,9— г)

0,Зр( 1 — 0,1 -2-j

1 + 0,8гр

(4.50)

Для г, равного 1...3,5, и р, равного 0,002...0,5, погрешность вычис-
ления а и р по этим формулам не превышает 5 %.

В [28] приведены номограммы для определения риска изготовителя
(ложного отказа) и риска заказчика (необнаруженного отказа) для сим-
метричного допуска при отсутствии систематических погрешностей из-
мерения.

Обозначим поле допуска на параметр

2d = хъ — хн.

При построении номограмм (рис. 4.12) использовались нормирован-
ные величины

d	Зо (Д')

Г = ---7Т7Г- И 2 = --7-^- .

а (X)	d

Пусть, например, необходимо вычислить достоверность контроля
параметра при о (X) = 1, d = 2 и о (Д') = 1/9.
Находим величины

г==^г = 2; z = ^d~L = 4-да0>16-
а (л)	а 6
a — риска заказчика. |3; б — риска изготовителя а при нормальном распределении центрированной случайной погрешности и сим»
метричном поле допуска.
Рнс. 4.13. Частные случаи взаимного соотно-
шения распределений контролируемой величи-
ны X, погрешности ее преобразования Д* и по-
ля допуска а.

По рассчитанным величинам г
и г определяем из номограмм
(рис. 4.12)

а = 0,005; ₽ = 0,004.

Тогда

Д = 1—а —₽ = 0,991. (4.51)

Случай равномерного распреде-
ления контролируемого параметра
и погрешности измерения исследо-
ван в [52]. Частные случаи взаим-
ного соотношения величин хт,
и d при равномерных распределе-
ниях Хи Д' показаны на рис. 4.13.
В табл. 5 приведены расчетные фор-
мулы для определения а и ₽ при
равномерном распределении X и Д',
при симметричном поле допуска
± d и при совпадении М (X) с
центром поля допуска.

Если контролируемая величина
X и погрешность средства измере-
ния Д' распределены равномерно

хт = 9,6; Дт = 3, а поле допуска d = 9, то d < xm; Дт > xm — d.

Такие соотношения соответствуют частному случаю в из табл. 5. Поэ-
тому для определения достоверности контроля вычислим а и р по со-

ответствующим формулам:

а =

Д'
т

3

4 • 9,6

~ 0,08;

[2А'т — (хт — <01 (хт — d) = [2,3 — (9,6 — 9)] (9,6 — 9)

4хтД	4 • 9,6 * 3

Следовательно,

£>=1—а — р=1— 0,08 — 0,03 = 0,89.

Степень совершенства цифрового контроля — достоверность пра-
вильности заключения контроля зависит прежде всего от погрешностей
средств измерений Д' и увеличивается по мере уменьшения Д'. Основ-
ной смысл контроля заключается в увеличении достоверности правиль-
ности заключения «в допуске», т. е. условной вероятности Р (HJH*)
по сравнению с априорной вероятностью о годности изделия Ра (Hi),
которая является основной характеристикой партии изделий при сдаче
заказчику без контроля.
Таблица 5. Формулы для определения риска изготовителя и риска заказчика
при равномерном распределении параметра X, погрешности Д' и при различных
соотношениях между хт. Лт и d

Частные случаи	Соотношение между d‘ хт « Ат	а	₽
а	Си V н 5. О 5 ' /Л Си  1 н  5	0	0
б	d	d хт	[Дт —	— хт)]г  4хт&т	0
в	d	Ащ > хт d	*  5 Э	1 тз Си > 4»	3   н “ , 3 Н > 3 к  1 1  s 1
г	< хт< Дт < хт	д' т  4Хт	т  4хт

При реальном контроле условная вероятность Р	опреде-

ляется по формуле Байеса:

Р (Н /Нк) =

1 1J Ро(Я1)Р(^/Н1) + Ро(Н2)Р(Я№)

(4-52)

При идеальном контроле Р (HJH*) = 1 и, следовательно, в этом случае
достоверность наших сведений о состоянии объекта контроля увели-

Р (Нг/НЧ) 1

™та в -fVmr " Kvq раз:
Глава 5

СРЕДСТВА ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ
ТЕХНИКИ

Средства информационно-измерительной техники (ИИТ) являются
совокупностью технических устройств, предназначенных для получе-
ния разнообразной качественно-количествен ной информации: заклю-
чений о состоянии объекта испытания, контроля и технической диаг-
ностики, результатов измерений величин, зависимостей и идентифика-
ции объектов. Средства ИИТ можно разделить на средства испытания,
исследования, измерения, контроля, обнаружения, технической диаг-
ностики. Все комплексные процедуры, реализуемые средствами ИИТ,
базируются в основном на измерениях и последующей обработке их
результатов.

5.1.	КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Средства измерений — технические средства, используемые в из-
мерениях и имеющие нормированные метрологические характеристики
(ГОСТ 16263—70). Средства измерений подразделяются на средства
реализации отдельных операций измерения и всей процедуры измере-
ния. Их называют соответственно элементарными и комплексными
средствами измерений (рис. 5.1).
К элементарным средствам измерений относятся средства, каждое
из которых само по себе недостаточно для осуществления процедуры
измерения. К элементарным средствам относятся меры величин (М),
устройства сравнения (УС), измерительные (ИП) и масштабные (МП)
преобразователи.

В комплексных средствах измерений, в которые элементарные вхо-
дят наряду с другими звеньями в качестве составных частей, процедура
измерения завершается полностью. К этим средствам относятся изме-
рительные приборы, измерительные установки, измерительные инфор-
мационные системы (ИИС).

Измерительным прибором называется средство измерений, пред-
назначенное для выработки выходного сигнала в форме, доступной
для непосредственного восприятия наблюдателем.

Измерительная информационная система — это совокупность про-
граммно-управляемых средств измерений и вычислений, выполняющих
общую задачу получения информации об объекте по единому алгорит-
му. Объектом измерения ИИС является обычно совокупность многих
величин и зависимостей между ними.

Классификация измерительных приборов

Измерительные приборы классифицируют по следующим призна-
кам — форме выходного сигнала; по методу измерения; режиму работы,
во времени (рис. 5.2).

По форме выходного сигнала измерительные приборы подразделя-

ются на аналоговые, показания которых являются непрерывной функ-

цией измеряемой величины
по значению и во времени,
и цифровые, показания ко-
торых являются визуаль-
ной формой цифрового ко-
да; квантованы по значению
и дискретизированы во вре-
мени. В аналоговых прибо-
рах выходным сигналом яв-
ляется перемещение указа-
теля по отношению к шка-
ле. В цифровых приборах
выходным сигналом явля-
ется кодовый сигнал, пред-
ставленный визуальным
изображением на цифровом
отсчетном устройстве. Та-
кое изображение наиболее
удобно для отсчета наблю-

Рис. 5.2. Классификация измери-
тельных приборов.
I Оператор, им
г *’ ч автоматическое
I устройство

Рнс. 5.3. Измерительный прибор:
а — с разомкнутой структурной схемой; б —
с замкнутой структурной схемой.

Рис. 5.4. Графическое изображение режима работы
измерительных приборов уравновешивания:
следящего (а) н развертывающего (б).

дателем значения измеряемой величины одновременно по всем раз-
рядам.

Измерительные приборы подразделяются также на показывающие,
которые допускают только отсчитывание показаний оператором, и
регистрирующие, в которых предусмотрена регистрация показаний.
Регистрирующие приборы подразделяются на самопишущие — с за-
писью показаний в форме диаграммы, на которой может быть воспроиз-
ведена непрерывная функция измеряемой величины, и печатающие, в
которых предусмотрено печатание показаний в цифровой форме.

По используемой группе методов измерения различают измеритель-
ные приборы сопоставления, или прямого преобразования, и уравно-
вешивания. Первые отличаются отсутствием (рис. 5.3, а), а вторые —
наличием (рис. 5.3, б) сравнения выхода со входом. Измерительные
приборы уравновешивания имеют структурную схему, замкнутую через
оператора или с помощью автоматического устройства.

По режиму работы во времени измерительные приборы сопостав-
ления можно подразделить на приборы непрерывного и циклического
действия, а измерительные приборы уравновешивания — на приборы
следящего и развертывающего уравновешивания.

В приборах следящего уравновешивания выходная величина не-
прерывно следует за изменениями измеряемой величины, превышающи-
ми порог чувствительности прибора (рис. 5.4, а). При этом связь вы-
хода со входом непрерывна. В приборах следящего уравновешивания
при х = const все звенья находятся в состоянии покоя.

В приборах развертывающего уравновешивания выходная величина
хл (/) отражает размер одного из мгновенных значений измеряемой ве-
личины в течение.каждого цикла (рис. 5.4, б). При этом связь выхода
со входом прибора существует только одно мгновение в течение каждо-
го из непрерывно ш^рторяющихся циклов. При х = const все звенья
прибора развертывающего уравновешивания непрерывно работают.
5.2.	ОБЩИЕ СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ

Отсчетным устройством называется часть конструкции средства
измерений, предназначенная для отсчитывания значений измеряемой
величины. Отсчетные устройства имеют измерительные приборы, из-
мерительные системы и регулируемые меры. Отсчетные устройства под-
разделяются на аналоговые и цифровые.

Аналоговое отсчетное устройство представляет
собой совокупность шкалы и указателя и применяется в показывающих
измерительных приборах (рис. 5.5, а).

Цифровое отсчетное устройство — это устрой-
ство, в котором создается цифровое визуальное изображение значения
измеряемой величины в данной системе счисления (рис. 5.5, б) обычно
в десятичной.

Шкалой называется часть отсчетного устройства, представляющая
собой совокупность отметок и проставленных у некоторых из них
чисел отсчета, соответствующих ряду последовательных числовых зна-
чений величины. Шкала наносится на определенном прямолинейном
участке или на дуге окружности.

Отметкой называется знак на шкале в виде черты, точки или зубца,
соответствующий некоторому числовому значению, измеряемой вели-
чины. Числовыми отметками называются отметки, напротив которых
на шкале проставлены соответствующие числовые значения величины.
Числовые отметки облегчают оператору отсчитывание значений изме-
ряемой величины, которое он производит по положению указателя от-
носительно отметок шкалы.

Промежуток между двумя соседними отметками шкалы называется
делением.

Ценой деления шкалы называют разность значений измеряемой ве-
личины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы.

Шкалы с делениями постоянной длины называются равномерными,
а шкалы, деления которых непостоянны по длине — неравномерными.
Практически равномерной называется шкала, длины делений которой
отличаются не более чем на 30 % и имеют постоянную цену деления.
Существенно неравномерной называется шкала с сужающимися деле-
ниями, у которой значение выходного сигнала, соответствующее полу-
сумме верхнего и нижнего пределов диапазона изменения входного
сигнала, находится в интервале между 65 и 100 % длины шкалы.

При градуировке на вход показывающего измерительного прибора
вводится ряд величин х0 с известными значениями от регулируемой
меры, при этом запоминаются (нанесением отметок) соответствующие
значения выходной величины а или I. Напротив части из этих отметок

Рнс. 5.5. От-
счетные уст-
ройства:
а — аналого-
вые: б — цнф«
ровые.

©  0^1	оЗ 0^	0	о и
(шкала),
эквивалент многозначной'

а	меры х	о

Рнс. 5.6. Градуировка аналогового измерительного прибора: со шкалой (а) и примене-
ние прибора (6).

проставляются числовые значения Х* величин, подаваемых на вход
прибора от регулируемой меры (рис. 5.6).

Нанесение равноотстоящих отметок на шкале является простейшим
примером квантования. При отсчете хы только по оцифрованным от-
меткам ступень квантования, а значит, и погрешности от квантования
получаются слишком большими, а отсчет — неточным. Оператор за-
вершает отсчет xN, мысленно кодируя неоцифрованные отметки и рас-
стояния между ними.

При измерении на вход прибора подается измеряемая величина X,
значение которой определяется по предварительно отградуированной
шкале. Шкала, таким образом, является запомненным отражением
действий выходной величины меры на данный измерительный прибор.
В этом случае шкала выполняет задачу заменителя многозначной ме-
ры выходной величины, выдающей углы или перемещения, по размеру
эквивалентные ряду образцовых величин х0. Высокая точность обеспе-
чивается в том случае, если зависимость а = f (х) остается неизменной.

Одновременно равномерную шкалу можно рассматривать и как
многоканальную меру длины или угла. Измеряемая величина в при-
боре преобразуется в угол или в длину и сопоставляется со шкалой.
Следовательно, на заключительном этапе после преобразования X в а
или в I в каждом аналоговом измерительном приборе реализуется пер-
вый метод сопоставления с многоканальной мерой.

По градуировке учитываются систематические составляющие по-
грешности прибора, возникающие в нормальных условиях, и в дальней-
шем неизменные. Следует стремиться к тому, чтобы прибор работал
в этих нормальных условиях.

При отсчитывании значения измеряемой величины по аналоговому
отсчетному устройству доля деления шкалы определяется приблизи-
тельно. В результате возникает погрешность отсчитывания, которая за-
висит от длины деления.

Регистрирующее устройство является устройством долговременной
памяти, в котором в качестве носителей применяется обычная бумага
или специальная электро-, тепло-, свето- или химочувствительная бу-
мага, магнитная лента и т. д. Регистрирующие устройства также под-
разделяются на аналоговые и цифровые (рис. 5.7, а, б).

В аналоговых регистрирующих устройствах с бумажным носителем
измеряемая величина преобразуется в перемещение регистрирующего
органа.	f

Преимущества аналоговых отсчетных и регистрирующих устройств:
удобство сопоставления значе-
ния измеряемой величины с задан-
ными ее предельными значениями;

возможность учета нелинейнос-
ти преобразователя выполнением
шкалы с обратной нелинейной ха-
рактеристикой;

при визуальной регистрации
удобство обозрения, возможность
одновременного восприятия пока-
заний многих приборов.

Недостатки аналоговых отсчетных

Ш6	7693
5427	6198
2364	7761
5167	5629
3614	6723
	

<Г

Рнс. 5.7. Документы регистрации:
а — аналоговой; б — цифровой.

и регистрирующих устройств

наличие субъективной погрешности отсчета;

трудность представления результата высокоточных измерений из-зг
чрезмерных габаритов отсчетного устройства.

Основные преимущества цифровых (рис. 5.5, б и 5.7, б) отсчетные
и регистрирующих устройств:

отсутствие субъективной погрешности отсчета;

возможность представления высокоточного результата измерений
при малых габаритах.

Недостатки цифровых отсчетных и регистрирующих устройств:

в цифровых приборах результат измерения величины, изменяющей-
ся во времени, документируется в виде таблицы или колонки числовых
значений, которая неудобна для обозрения. Поэтому в некоторых циф-
зовых приборах добавляют преобразователь код-аналог и регистри-
)ующий аналоговый прибор, вычерчивающий непрерывную кривую,
большая трудность одновременного восприятия оператором отсчетов
на нескольких цифровых отсчетных устройствах:

в цифровом отсчетном устройстве более сложно сопоставление
с заданными предельными значениями Nnp;

цифровое отсчетное устройство эквивалентно равномерной шкале,
поэтому нельзя использовать предвключенный нелинейный измери-
тельный преобразователь без линеаризатора.

Цифровой и аналоговый выходы имеют полярные, противоположные
свойства — преимущества цифрового выхода являются недостатками
аналогового, и наоборот. Поэтому, безусловно, целесообразна их гиб-
ридизация с целью суммирования положительных сторон обоих и ос-
лабления отрицательных. Обычная шкала с оцифрованными делениями
тоже в определенной степени является гибридной формой отсчетного
устройства, так как в ней применяется для старших разрядов цифровой
отсчет, а для младших — чисто аналоговый.

Одним из современных примеров гибридизации свойств цифрового
и аналогового выходов является использование современных средств
оптоэлектроники, электролюминесценции, электронно-лучевых уст-
ройств и газоразрядных эффектов для преобразования кода в видимое
перемещение, в видимую шкалу.

Отсчет — число, отсчитанное по отсчетному устройству средства
измерений либо полученное оператором путем счета последовательных
отметок или импульсов.
Показание средства измерений Хц — значение величины, которое
определено по отсчетному устройству и выражено в единицах данной
величины.

Начальное хнач и конечное хкон значения шкалы — это соответствен-
но наименьшее и наибольшее значения измеряемой величины, указан-
ные на шкале.

Диапазоном показаний называют область значений шкалы, ограни-
ченную конечным хкон и начальным хнач значениями.

Диапазоном измерений называют область значений измеряемой ве-
личины, для которой нормированы допускаемые погрешности средства
измерений.

Наибольшее и наименьшее значения диапазона измерения называ-
ются пределами измерения.

Влияющей физической величиной, или внешним фактором, называют
физическую величину, которая оказывает влияние на информативный
параметр выходного сигнала средства измерения. Основными влияющи-
ми величинами являются время, температура, напряжение питания,
магнитная индукция и др. Степень воздействия влияющей величины на
метрологические характеристики нормируется в виде функции влияния
(п. 8.1), а также наибольших допустимых изменений соответствующих
метрологических характеристик.

Время измерения — интервал времени, необходимый для осуществ-
ления процесса измерения.

Важным параметром выходного сигнала является вариация выход-
ного сигнала Ьх разность между значениями информативного параметра
выходного сигнала измерительного преобразователя или показаниями
измерительного прибора, соответствующими данной точке X диапазона
измерения, при двух направлениях медленного многократного изме-
нения информативного параметра входного сигнала в процессе подхода
к данной точке диапазона измерения. Вариация измерительного преоб-
разователя выражается в единицах информативного параметра выход-
ного сигнала у, а для измерительного прибора — в единицах измеряе-
мой величины.

Способы расширения диапазона измерений измерительных
приборов

Большинство измеряемых величин изменяются в диапазонах, до-
стигающих многих десятичных порядков. Диапазоны измерений измери-
тельных приборов непрерывно расширяются в сторону как больших,
так и меньших значений. Особенно важной является задача расшире-
ния диапазона измерений в сторону меньших значений, так как это поз-
воляет все более глубоко проникать в физику процессов с низкими уров-
нями энергии.

При расширении диапазона измерений в сторону меньших значений
необходимо измерить величину х, меньшую цены деления или ступени
квантования qK данного измерительного устройства. Если исходить из
уравнения измерения

^ = £|^-|,	(5.1)

V	] Як I
то определить значение величины, меньшей по размеру, чем ступень
меры qn, можно следующими способами:

1)	использованием масштабного преобразователя — усилителя с
коэффициентом масштабного преобразования /(мп- Тогда результат
измерения

У = Е | -мп* I;	(5.2)

I <?к Г

2)	использованием более чувствительного измерительного прибора или
меры со ступенью квантования в п раз меньшей, чем qK, т. е.

= У = е| —| = е|—I.	(5.3)

«	I <?2 I I Як I

Предел уменьшения размера ступени квантования устанавливается
дискретной природой микромира, конечным уровнем шумов;

3)	путем совместного одновременного использования двух и более
мер с близкими значениями ступеней квантования методом нониуса
(П. 2.4);

4)	преобразованием х в выходную величину у, для которой созданы
более чувствительные измерительные устройства с соответственно необ-
ходимыми нижними пределами измерений;

5)	применением многоканального нерегулируемого либо однока-
нального регулируемого масштабного преобразователя х (если х > qK,
но отношение xlq* невелико). Тогда соответственно:

-^-N = qK и хл, = -^;	(5.4)

КмпХ = qK и Хц =	;	(5.5)

Лмп

6)	созданием т одинаковых х, их суммирования и последующего
измерения

Расширить диапазон измерения в сторону больших значений можно
следующими способами:

1)	уменьшением значения х с помощью масштабных преобразова-
телей — делителей;

2)	применением меры с большими ступенями квантования;

3)	преобразованием X в выходную величину У, для которой созда-
ны измерительные устройства с соответствующими верхними пределами
измерений.	"

5.3.	ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АНАЛОГОВЫХ И ЦИФРОВЫХ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ, ЭТАЛОНОВ И МЕР

Аналоговыми измерительными приборами называют измерительные
приборы, показания которых являются непрерывной функцией изме-
ряемой величины по значению. Основной особенностью такого прибора
является наличие аналогового отсчетного устройства. Для создания
выходной величины в виде а или I в аналоговых измерительных прибо-
рах применяются разнообразные измерительные преобразователи
измеряемой величины X в а или в I. В частности, в электроизмеритель-
ных аналоговых приборах широко применяются различные электро-
механические измерительные преобразователи, в которых измеряемые
электрические величины преобразуются обычно в угловое перемещение
указателя.

Устройством сравнения в аналоговых приборах является глаз на-
блюдателя. Поэтому при определении отсчета числа делений и доли де-
ления по положению указателя на шкале возникают субъективные по-
грешности отсчета, зависящие от биофизических особенностей зрения
человека. Эти отличительные особенности аналогового измерительного
прибора определяют его преимущества (простота устройства, низкая
стоимость, отсутствие при нормальных условиях погрешности от нели-
нейности измерительных преобразователей, высокая информативность
аналогового выхода) и недостатки (наличие у большинства из них инер-
ционных подвижных частей, снижающих быстродействие и надежность,
значительная погрешность отсчета, определяемая размером шкалы
прибора, отсутствие кодированного выхода и обязательное участие опе-
ратора в процессе измерения).

Аналоговые измерительные приборы достигли высокой степени
конструктивного и технологического совершенства и составляют пре-
обладающую массу средств измерения. В нашей стране количество ана-
логовых измерительных приборов достигает нескольких сотен миллио-
нов экземпляров. Несмотря на очень быстрое развитие цифровой изме-
рительной техники, аналоговые измерительные приборы продолжают
совершенствоваться, и их выпуск пока не уменьшается. Последнее
время начали разрабатываться аналоговые измерительные приборы
без подвижных частей, в которых частично устраняются недостатки,
а преимущества сохраняются.

Характеристикой шкалы аналогового измерительного прибора на-
зывают уравнение, выражающее связь между углом отклонения ука-
зателя а и измеряемой величиной х:

a = f(x).	(5.6)

Чувствительностью аналогового измерительного прибора Кпр на-
зывают отношение изменения информативного параметра выходного
сигнала, т. е. обычного угла отклонения а, к вызвавшему его изменению
информативного параметра входного сигнала, т. е. измеряемой вели-
чины х:

Чувствительность прибора равна первой производной от характе-
ристики шкалы.

Стабильностью средств измерений называется качество средства
измерений, отражающее неизменность во времени его метрологических
свойств.

Важными характеристиками средств измерений являются входной
и выходной импедансы. Входной импеданс ИП определяет реакцию
входного сигнала на подключение источника входного сигнала с фикси-
144
рованным выходным импедансом, а выходной импеданс — реакцию
выходного сигнала ИП при подключении к его выходу другого реаль-
ного звена с постоянным входным импедансом.

Динамические характеристики аналоговых СИ разделяются на пол-
ные и частные (ГОСТ 8.256—77).

Полной динамической характеристикой называется характеристи-
ка, однозначно определяющая изменения выходного сигнала СИ при
любых изменениях информативного и неинформативных параметров
входного сигнала и влияющей величины.

Частной динамической характеристикой называется функционал
или параметр полной динамической характеристики, например полоса
пропускания, затухание, время установления выходного сигнала.

Полными динамическими характеристиками являются: дифферен-
циальное уравнение, импульсная характеристика h (/), переходная
характеристика hx (t), передаточная функция К (р), совокупность амп-
литудно-частотных А (©) и фазочастотных <р (©) характеристик.

Частными динамическими характеристиками являются: отдельные
параметры полных динамических характеристик, например постоян-
ная времени, время запаздывания, а также характеристики, которые
лишь частично характеризуют динамические свойства средств измере-
ний, например время установления выходного сигнала.

Выбор динамических характеристик СИ производится в зависимо-
сти от их вида и характера изменения измеряемой величины.

Для измерительных преобразователей, показывающих и регистри-
рующих средств измерения, предназначенных для измерения постоян-
ных величин, после окончания переходного процесса рекомендуется
нормировать частную динамическую характеристику — время уста-
новления входного сигнала.

Для измерительных преобразователей, показывающих и регистри-
рующих СИ, измеряющих интегральные значения переменных входных
сигналов, рекомендуется нормировать частотную погрешность и (или)
характеристики, отражающие влияние неинформативных параметрон
сигнала на погрешность СИ.

Для измерительных преобразователей, регистрирующих приборов,
предназначенных для измерения мгновенных значений изменяющихся
входных величин, рекомендуется нормировать одну из полных дина-
мических характеристик. Для электронно-лучевых осциллографов
допускается нормирование одной из частных динамических харак-
теристик.

Экспериментальное определение динамических характеристик СИ
рекомендуется производить прямым методом, при котором на вход
СИ подается сигнал такой формы, при котором по выходному сигналу
можно было бы непосредственно определить искомую динамическую
характеристику СИ. Например:

при определении импульсной характеристики на вход СИ подается
единичный импульс минимальной длительности, при этом выходной
сигнал является искомой импульсной характеристикой h (t);

h (0 = dhjdt-,	(5-8)
при определении переходной характеристики на вход СИ соот-
ветственно подается единичный ступенчатый сигнал, тогда выходной
сигнал СИ является искомой переходной характеристикой hi (О-

Время установления выходного сигнала — интервал времени, в
течение которого выходной сигнал СИ достигнет установившегося зна-
чения с погрешностью, не превышающей класс точности данных СИ
(при подаче на вход СИ ступенчатого сигнала равного 0,5 хн).

Время установления выходного сигнала (£уст) при скачкообразном
изменении входного сигнала можно определить по переходной характе-
ристике ИП, если задаться допустимым относительным значением дина-
мической погрешности <5Д.Д выходного сигнала от его установившегося
значения.

Пусть, например,

*.«»>—msr-	<’•>

где Кп (/©) — частотная характеристика инерционного звена первого
порядка. Его переходная характеристика имеет вид

/11(0 = Кп(1-е"^).	(5.Ю)

Нетрудно определить /уст для такого звена

fyCT = Tln-^-.	(5.11)

°дд

Цифровыми измерительными устройствами называют средства из-
мерений, в которых измеряемая величина в результате квантования
и цифрового кодирования представляется в форме числа или кода,
т. е. дискретна и по значению, и во времени. Цифровые измерительные
устройства подразделяются на цифровые измерительные приборы и
кодирующие измерительные преобразователи.

Цифровые измерительные приборы (ЦИП) являются автономными
устройствами, с выходным сигналом, в виде визуального изображения
значения измеряемой величины.

Кодирующие измерительные преобразователи аналог-код не имеют
отсчетных или регистрирующих устройств, являются частью более
сложных информационно-измерительных систем и выдают результат
измерения в виде кодового сигнала.

Основные преимущества цифровых измерительных устройств:
быстродействие — до десятков миллионов измерений в секунду;
высокая точность, приближающаяся к точности приборов ручного
уравновешивания;

отсутствие необходимости в высококвалифицированных операторах
и в результате — высокая экономичность применения таких приборов,
несмотря на их более высокую стоимость;

отсутствие субъективных составляющих погрешностей отсчета;

наличие кодового выходного сигнала, удобного для передачи,
запоминания, вычислений и управления;

возможность автоматической калибровки и автоматического введе-
ния поправки с цедщо уменьшения систематических погрешностей,
Рнс. 5.8. Цифровой прибор с предвключенным из-
мерительным преобразователем.

а также автоматической обработки результатов для уменьшения слу-
чайных погрешностей.

Высокая информационная способность цифровых измерительных
приборов благодаря высокому быстродействию и малой погрешности
значительно превышает способности оператора к восприятию инфор-
мации. Поэтому ЦИП обычно, кроме цифровых отсчетных устройств,
имеет также и выход в виде кода, совместимого с входом регистрирую-
щих устройств, в качестве которых обычно используются быстродейст-
вующие цифропечатающие устройства.

Уравнение цифрового измерительного прибора: должно быть стро-
го линейным, всякое отклонение от линейности вызывает появление
погрешности. Для обеспечения линейности уравнения необходимо
обеспечить постоянство цены ступени квантования во всем диапазоне
измерения. В цифровом приборе с предвключенным измерительным
преобразователем с выходной промежуточной величиной у (рис. 5.8)
отсчет цифрового прибора

Ny = ylqy.	(512)

Однако необходимо, чтобы числовые значения кода на выходе циф-
рового прибора выражали числовые значения измеряемой величины х.
Для этого уравнение измерительного преобразователя должно быть
линейным, т. е. у = Кх и qy — Kqx, тогда

= W =	=	(S-13>

Цифровому прибору необходим линейный преобразователь, наличие
нелинейности вызовет соответствующую погрешность. Если в одном
из преобразователей цифрового прибора есть нелинейное звено, то воз-
никающую нелинейность нужно устранять (п. 6.8).

Эталоны и меры. Высокая точность и единство средств измерений
в стране обеспечивается с помощью системы эталонов, образцовых и
рабочих средств измерений. В зависимости от степени точности и сфер
использования образцовые СИ подразделяются на первичные и вторич-
ные эталоны, образцовые и рабочие меры (рис. 5.9).

Эталоном единицы, или эталоном, называют средство измерений,
обеспечивающее воспроизведение и (или) хранение единицы физиче-
ской величины с целью передачи ее размера нижестоящим средствам
измерений.

Рнс. 5.9. Основные виды эталонов и образцовых мер, места нх применения н хранения.
Первичным называется эталон, обеспечивающий воспроизведение
единицы с наивысшей в стране точностью, а государственным — пер-
вичный эталон, официально утвержденный в качестве исходного для
страны. Первичный эталон основной единицы должен воспроизводить
основную единицу согласно ее определению по ГОСТ 8.417—81 «ГСИ.
Единицы физических величин». Государственный эталон является
комплексом средств измерений и вспомогательных устройств, обеспе-
чивающих возможность воспроизведения единицы и в необходимых слу-
чаях, ее хранения, а также передачи размера единицы вторичному
эталону.

Вторичные, или рабочие, эталоны изготавливаются одиночными
экземплярами, имеют не одно номинальное значение, как первичные,
а несколько, служат для проверки образцовых мер 1-го разряда и хра-
нятся во ВНИИМ и других институтах. Вторичные эталоны создаются
в случаях необходимости для организации поверочных работ и пре-
дохранения государственного эталона от излишнего износа.

Образцовые меры (1, 2 и 3-го разрядов) выполняются в виде типо-
вых серийных конструкций, выпускаемых промышленностью, более
удобны для поверок, используются для аттестации рабочих мер и хра-
нятся в метрологических институтах и государственных контрольных
лабораториях.

Рабочие меры изготавливаются серийно для широкого диапазона
номинальных значений величин, используются для исследований и по-
верки измерительных приборов и устройств на промышленных пред-
приятиях и в научных организациях страны.

Мера — средство измерений, предназначенное для воспроизведе-
ния физической величины заданного размера. К основным характери-
стикам меры относятся:

номинальное значение ха — значение величины, указанное на мере:

= Naqx\

действительное значение — действительное значение величины,
воспроизводимой мерой;

абсолютная погрешность — разность между номинальным значе-
нием меры и истинным значением величины, воспроизводимой мерой.

В регулируемой мере связь между выходом и входом выражается
в виде уравнения

xp = Ntqx.	<5->4)

Измеряемые величины резко различаются по возможности воспроиз-
ведения их в заданных размерах. Наиболее полно в отношении воз-
можности точного воспроизведения проявляют себя следующие вели-
чины — время, длина, масса и др. Многие величины трудно воспроиз-
вести в заданных размерах, что затрудняет их измерение. Ранее было
отмечено (п. 2.1), что меры бывают одноканальными и многоканальны-
ми, регулируемыми и нерегулируемыми. Регулирование меры осущест-
вляется оператором или автоматически. В последнее время все большее
распространение подучают программируемые меры различных вели-
чин, которые все шире применяются не только для поверки изме-
рительных приборов, особенно в динамике, например код — емкость,
код — сопротивление, но и как средства точного цифрового управле-
ния, например,'в виде преобразователей код — угол в системах управ-
ления станками, код — напряжение в системах управления элект-
ронным лучом. Основной особенностью меры является высокая точ-
ность воспроизведения величины заданного размера, которая обеспе-
чивается также и тем, что входной сигнал меры является кодирован-
ным и, следовательно, отличается высокой помехоустойчивостью.

При реализации мер их построение возможно как по разомкнутой,
так и по замкнутой схеме. Большинство мер выполняется по разомкну-
той схеме. Некоторые меры, у которых выходной сигнал должен обла-
дать дополнительными характеристиками, например, повышенной
мощности как в вибростендах, выполняются по замкнутой схеме. При
этом в обратной цепи используется цифровое измерительное устройство
для точного измерения заданных параметров выходного сигнала меры.

5.4.	ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ И КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕДСТВ
АВТОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ

Средства контроля

Средством автоматического контроля называют специальное тех-
ническое устройство, предназначенное для определения соответствия
между действительным состоянием контролируемого объекта и нормой.
Средства контроля разнообразны по назначению и сложности — от
простейших устройств и приборов до сложнейших многоканальных
автоматических систем.

Средства контроля, как и средства измерений, можно подразделить
на средства реализации отдельных операций контроля и на средства
реализации всей процедуры контроля. Условно назовем их соответст-
венно элементарными и комплексными средствами контроля (рис. 5.10).

К элементарным средствам контроля (ЭСК) относятся средства,
каждое из которых само по себе недостаточно для реализации всей
процедуры контроля. Эти средства служат только для реализации ос-
новных операций контроля: срав-
нения, создания уставки контро-
ля, т. е. величины с заданным раз-
мером, измерительного преобра-
зования и логической операции
принятия решения. Процедуру
контроля можно выполнить толь-
ко при функционально полном
наборе ЭСК, состоящего в прос-
тейшем случае из генератора ус-
тавок, устройств сравнения и
принятия решения.

В комплексных средствах
контроля (КСК), в которые ЭСК
входят наряду с другими звенья-
ми в качестве составных частей,

Процедура контроля завершается Рис. 5.10. Классификация средств контроля.

| комплексные |

| элементарные |

аналоговый

ч § s?
полностью. КСК в зависимости от сложности подразделяются на при-
боры, отличающиеся обычно одноканальной структурой и более прос-
тым алгоритмом работы, и системы, отличающиеся многоканальностью
структуры — наличием каналов связи и более сложным алгоритмом ра-
боты. Приборы и системы контроля подразделяются на аналоговые и
цифровые.

Автоматические системы контроля (АСК) и технической диагности-
ки являются разновидностью информационно-измерительных систем
и выполняют следующие функции:

определение технического состояния изделия в отношении исправ-
ности и работоспособности;

определение места и причин неисправности;

прогнозирование технического состояния изделий;

анализ степени совершенства различных этапов технологии произ-
водства изделий.

Основными преимуществами АСК являются:

повышение достоверности контроля;

сокращение времени и повышение производительности контроля;
снижение требуемой квалификации человека-оператора;

устранение влияния субъективных факторов человека-оператора
на результаты контроля;

возможность автоматизации документирования результатов контроля.

5.5.	СИСТЕМНЫЕ СРЕДСТВА ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ
ТЕХНИКИ

До недавнего времени почти все средства информационно-измери-
тельной техники изготовлялись в виде отдельных приборов и устройств
измерения, контроля, счета, предназначенных для получения соот-
ветствующей информации от одного простого объекта. В настоящее
время при проведении сложных научных экспериментов, автоматиза-
ции сложных производственных процессов медицинских исследований
и т. д. необходимо быстро получать и обрабатывать информацию од-
новременно от многих сложных объектов, характеризующихся систе-
мами взаимозависимых величин. Для решения этих задач созданы
системные средства информационно-измерительной техники — инфор-
мационно-измерительные системы и измерительно-вычислительные
комплексы.

Информационно-измерительными системами (ИИС) называют сово-
купность средств информационно-измерительной и вычислительной
техники, реализующих единую задачу получения информации о сово-
купности многих величин и зависимостях между ними, по общему
алгоритму. В современные ИИС входят средства измерений, средства
вычислений (СВ) от калькуляторов до мини ЭВМ, средства отображе-
ния информации (СОИ), средства управления (СУ), программно-управ-
ляемые меры или средства воспроизведения сигналов с заданными па-
раметрами. Информационно-измерительные системы бывают простые
и сложные.

Простые ИИС представляют собой многоканальные измерительные
системы с неизменяемой программой работы и включают минимум не-
150
выработка-
команд

Оператор

I выработай
команд

Оператор
-------------л

Отсчет, I
регистрация >
учет времени 1

г .1

Рис. 5.11. Обобщенные структурные

схемы управления технологическими процессами и

исследования сложных объектов:

а — с показывающими приборами; б — с регистрирующими приборами; е — с измери-
тельной информационной системой; г — с измерительно-вычислительным комплексом.

РП

pn

РП

Оператор

1 Обработка

J результатов ]

I

j выработка

!команд

Оператор
[Йарректа]
\ровка
| команд I



перестраиваимых технических средств: цифровой измерительный при-
бор, коммутатор и регистратор. В простой ИИС производятся опера-
ции: переключения каналов с однородными датчиками, измерения
и регистрации. Программа работы неизменна и реализуется структур-
ными средствами. Простые ИИС экономичнее комплекта самопишущих
приборов, например при измерении температуры уже при числе кана-
лов более двенадцати.

Сложные программируемые ИИС отличаются возможностью изме-
нения программы работы. В них входят программируемые технические
средства: коммутатор, цифровой измерительный прибор, вычислитель-
ные устройства, масштабный преобразователь, линеаризатор, регист-
раторы.

Программирование в сложных ИИС реализуется цифровыми автома-
тами или микропроцессорами. Для стыковки средств между собой
применяют приборный интерфейс, рекомендованный Международной
электротехнической комиссией (МЭК) и ГОСТ 26.003—80. В этих ИИС
производится автоматическое переключение каналов с разнородными
датчиками, масштабирование, линеаризация, контроль, и.мерение,
коррекция и обработка результатов измерения, регистрация.

Рассмотрим поэтапно процесс развития и использования системных
средств ИИТ.

При использовании показывающих приборов (рис. 5.11, а) опера-
ции регистрации, учета времени, обработки результатов измерения,
выработки команд управления выполнялись оператором.
При использовании регистрирующих приборов (РП) (рис. 5.11, б)
оператор освобождался только от операций регистрации и учета
времени.

При измерении многих величин на пультах управления объектами
невозможно разместить все приборы, а оператор не в состоянии осмыс-
лить всю ситуацию. Например, на пульте управления мощным котло-
турбинным агрегатом мощностью 1200 МВт необходимо было бы уста-
новить свыше 1000 отдельных приборов, что экономически невыгодно
и технически нецелесообразно.

При использовании измерительно-информационной системы
(рис. 5.11, в) оператор освобождается и от регистрации, и от функции
обработки результатов измерения. Вместо множества отдельных при-
боров устанавливают необходимое количество первичных измеритель-
ных преобразователей — датчиков Д. Каждая измеряемая величина
преобразуется в датчике в унифицированную величину, обычно в
напряжение, которое подается через коммутатор К на цифровой изме-
рительный прибор (ЦИП).

Обработка результатов измерения выполняется вычислительным
устройством, которое ранее по габаритам и стоимости значительно пре-
вышало измерительные устройства. В настоящее время благодаря успе-
хам интегральной технологии значительно уменьшились стоимость
и габариты вычислительных устройств (ВУ), выполненных в виде мик-
ропроцессоров и микрокалькуляторов. Их габариты уменьшились на-
столько, что ВУ свободно размещаются внутри цифровых измери-
тельных устройств. Габариты цифровых измерительных устройств
определяются в настоящее время в основном габаритами цифровых
отсчетных устройств.

Оператор при наличии ИИС продолжает выполнять только опера-
цию выработки команд управления. Наиболее значительные недостатки
данной структуры определяются многопроводностью канала связи, сни-
жающего надежность и помехозащищенность, и наличием коммута-
тора низкоуровневых аналоговых сигналов, который также вносит
заметные искажения в сигналы датчиков. Появилась возможность для
удаленных объектов с большим числом датчиков выполнять ИИС без
коммутаторов, с двухпроводным каналом связи. Для этого каждый
датчик конструктивно объединяется с малогабаритным интегральным
АЦП, выходы которых объединены в двухпроводный канал связи с
вычислительным управляющим устройством (ВУУ). ВУУ посылает
по этому каналу кодовый адресный сигнал запроса, по которому данный
АЦП отсылает в ВУУ значение данного параметра в виде последова-
тельного кодового сигнала (рис. 5.11, г).

Измерительно-вычислительным комплексом (ИВ К) называется ав-
томатизированное средство измерения сложных комплексных объектов,
представляющее собой программно-управляемую совокупность изме-
рительных, вычислительных и вспомогательных устройств. На основе
одного ИВК путем программной перестройки возможна реализация
конечного числа ИИС. ИВК отличается наличием устройства ввода
программ (УВП), программно-управляемостью большинства агрегатов
комплекса, развитой системой отображения информации — СОИ (циф-
ропечать, магнитная запись, аналого-цифровые отображения, мнемо-
нические устройства, дисплеи и др.). Реализация измерительно-вычис-
лительных комплексов стала возможной благодаря малой стоимости
и малым габаритам вычислительных устройств в виде интегральных
микропроцессов, интегральных устройств, управляемой памяти, инте-
гральных функциональных преобразователей код — код (ФПК),
интегральных аналого-цифровых преобразователей напряжений и пре-
образователей напряжения в частоту, интегральных цифрово-аналого-
вых преобразователей сопротивлений, токов, напряжения, которые ис-
пользуются для программного управления электрическими и неэлект-
рическими величинами, необходимыми для обратного воздействия на
исследуемый или управляемый объекты. Согласно ГОСТ 26.203—81
ИВК предназначаются для выполнения одной или нескольких следую-
щих функций:

прямых, косвенных, совместных и совокупных измерений электри-
ческих величин;

управления процессом измерений и воздействия на объект измерений;
представлением результатов измерений оператору в заданном виде.

5.6.	ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ПРИБОРОВ

Количество задач, решение которых возможно с применением ИИС
и ИВК, велико. Индивидуальный подход к ним требует огромного ко-
личества моделей ИИС, проектируемых применительно к каждой кон-
кретной задаче. Перечень блоков, агрегатов необходимых для построе-
ния различных ИИС, ограничен. Создание агрегатированных комплек-
сов средств измерительной техники, выпускаемых серийно в блочном
исполнении, позволило перейти от индивидуального к промышленному
производству ИИС. Такой подход в приборостроении реализован в Го-
сударственной системе приборов (ГСП).

Согласно ГОСТ 12997—76 «Государственная система промышлен-
ных приборов и средств автоматизации. Общие технические требова-
ния. Методы испытаний» ГСП представляет собой совокупность изде-
лий, предназначенных для получения, обработки и использования
информации, сопрягаемых функционально, метрологически, энергети-
чески и конструктивно, и обеспечивающих экономически целесооб-
разные точность, надежность и долговечность.

Изделия ГСП по функциональному признаку подразделяются на
следующие группы:

для получения измерительной и контрольной информации о состоя-
нии процесса;

для приема и выдачи информации в каналы связи;

для преобразования, хранения и обработки информации;

для создания воздействия на управляемые процессы и связи с опе-
ратором.

Для обеспечения совместной работы в системах измерения, конт-
роля, регулирования и управления в устройствах ГСП унифициро-
ваны: сигналы; метрологические характеристики; группы условий экс-
плуатации; конструктивное исполнение; энергетические источники.
Сигналы в ГСП унифицируются по видам энергии и информативным
параметрам. По роду используемой энергии сигналы ГСП делятся на
электрические, пневматические, гидравлические и комбинированные.
Наиболее широко применяется электрическая ветвь ГСП. Пневматиче-
ская и гидравлическая ветви применяются < главным образом в тех
случаях, когда по тем или иным причинам, например из-за повышенной
взрывоопасности или при необходимости создания больших механиче-
ских усилий, нельзя применить электрическую ветвь ГСП.

Основными информативными параметрами сигналов в электрической
ветви ГСП являются: постоянный ток или постоянное напряжение в
пределах 0...5 мА; 0...20 мА; 0...100 мА и 0...10 В; переменное напря-
жение частотой 50 или 400 Гц в диапазонах 0...1 и 0...2 В; частота си-
нусоидального напряжения в диапазоне 4000...8000 Гц. В качестве ин-
формативного параметра в ГСП целесообразно также ввести интервал
времени Тх, удобный для автоматического квантования.

Создан ряд агрегатированных комплексов приборов и устройств
для отдельных отраслей измерительной техники (рис. 5.12). Одним из
них является агрегатный комплекс средств электро-измерительной тех-
ники (АСЭТ). В АСЭТ реализованы основные принципы ГСП в соот-
ветствии со спецификой задач измерения электрических величин. АСЭТ
предназначен для автоматизации сбора, преобразования, измерения
и представления информации в научных исследованиях, испытательных
работах, для технической диагностики и управления технологическими
процессами при совместном использовании со средствами управления.

Принципы построения ГСП закреплены в государственных стан-
дартах и вошли в международные рекомендации по стандартизации Со-
вета Экономической Взаимопомощи (СЭВ), а также в национальные
стандарты ряда стран — членов СЭВ. Технические требования к из-
делиям ГСП закреплены в комплексе государственных и отраслевых
стандартов ГСП. В этот комплекс входят как общие стандарты, распро-
страняющиеся на вс^виды изделий ГСП, так и групповые стандарты на
отдельные виды изделий.
5.7.	ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ

При создании новых средств измерений разработчики руководст"
вуются основными положениями метрологии, теоретическими основами
данной области техники, теориями автоматического регулирования,
связи, систем, а также опытом проектирования СИ. На основе опыта
проектирования, обобщенного в соответствующих государственных
стандартах, и специфики СИ сформулируем следующие основные прин-
ципы создания новых СИ:

Принцип информативности — гомоморфность представления дан-
ного свойства объекта выходным сигналом средства измерения. Инфор-
мативность характеризуется точностью, быстродействием и чувстви-
тельностью средств измерения. Эти характеристики для средств элект-
рических измерений регламентируются ГОСТ 22261—76.

Принцип инвариантности — неподверженность результата измери-
тельного преобразования воздействию изменений влияющих факторов:
внешних воздействующих величин, внутренних параметров средства
измерения и неинформативных параметров входного сигнала средст-
ва измерения. На основе принципа инвариантности, сформулированно-
го для систем автоматического регулирования Б. Н. Петровым [64],
разработаны многочисленные общие и частные метрологические методы
инвариантности и коррекции (п. 8.8).

Принцип ненарушения естественного функционирования объекта
исследования — минимальность воздействия средства измерения на
объект исследования.

Принцип многофункциональности — экономически целесообразная
максимальная универсальность СИ. Устанавливает целесообразность
реализации таких СИ, с помощью которых можно было бы решать наи-
большее число измерительных задач в данной области техники.

Принцип агрегативности — взаимосопрягаемость СИ между собой
и другими техническими средствами (ГОСТ 13033—76, ГОСТ 13418—
79). Этот принцип обеспечивает возможность совместного си-
стемного использования СИ и других устройств в измерительных си-
стемах, измерительно-вычислительных комплексах, создаваемых ме-
тодом проектной компоновки по заранее составленным техническим
нормативам и методическим указаниям. Совместимость СИ и других
средств обеспечивается во всех необходимых аспектах:

метрологическом — согласно стандартам государственной системы
обеспечения единства измерений (ГСП);

функционально-информационном (например, в виде интерфейсов);

конструктивном — согласно ГСП (например, системой универсаль-
ных типовых конструкций) УТК (ГОСТ 20504—81, СТ СЭВ 834—
77);

эксплуатационном, надежностном и энергетическом — согласно
ГОСТ 22261—76 «Средства измерений электрических величин. Общие
технические условия».

Принцип технической реализуемости — соответствие проекта СИ
технологическим возможностям производства, наличию элементарной
базы, характеристикам материалов.
Принцип надежности — соответствие вероятности нормального
функционирования СИ в течение данного срока и в заданных условиях
заданному экономически целесообразному значению характеристики
надежности. Надежность средств измерения регламентируется СТ
СЭВ 292—76.

Принцип оптимальности средства измерения в технико-экономиче-
ском смысле — достигаемая одновременно минимальность сложности
и стоимости при полном соответствии всем заданным характеристикам,
изложенным в технических требованиях.

Принцип эргономичности — соответствие характеристик создавае-
мого СИ антропологическим, оптическим, акустическим, психологиче-
ским и другим характеристикам оператора, оптимизирующим его дея-
тельность. Этот принцип устанавливается стандартом ГОСТ 22973—78
«Система «человек — машина». Общие эргономические требования.
Классификация».

Важной особенностью конструирования современных сложных СИ
является переход к программному конструированию, ставшему воз-
можным благодаря широкому внедрению микропроцессоров. Конструи-
рование ЦИП и ИИС при наличии серийно изготовляемых блоков
и агрегатов все чаще сводится к проектной компоновке и конструиро-
ванию нового цифрового автомата, реализующего их автоматическое
функционирование. Сложность цифровых автоматов по их структуре
и связям растет значительно быстрее роста сложности реализуемых ими
функций. Настройка и регулировка ЦИП и ИИС в этом случае весьма
трудоемки и длительны, так как необходимое изменение функциониро-
вания может быть реализовано только перепайкой плат, изменением
состава и связей цифрового автомата.

Введение в состав ЦИП микропроцессора обеспечивает возможность
программного конструирования нового ЦИП на основе создания про-
граммы команд для управления блоками. При этом необходимое изме-
нение функционирования ЦИП реализуется без нарушения плат толь-
ко составлением и внесением в память микропроцессора новой про-
граммы.

Конструирование современных сложных многоэлементных средств
автоматики, вычислительной и измерительной техники в настоящее
время становится все более трудоемким. Это влечет за собой все расши-
ряющуюся автоматизацию проектирования средств измерений. Оте-
чественной промышленностью созданы автоматизированные рабочие
места для проектирования электронных и механических устройств.

На первом этапе автоматизируется проектная компоновка СИ
на структурно-функциональном уровне, основанная на использовании
готовой элементарной базы. Использование ЭВМ в автоматизированном
проектировании существенно расширяет границы реальных требований
к степени оптимальности принимаемых решений. Автоматизация про-
ектирования ведет к автоматизации программного конструирования на
базе реализации наиболее общего принципа — принципа технико-
экономической оптимальности и на базе автоматизации составления
программ.
5.8.	ОПТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПРЯМОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
НЕКОТОРЫХ НЕЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КОД

Преобразование неэлектрических величин в код во многих случаях
является предпосылкой автоматизации производственных процессов.
Для этого за последние годы были исследованы и практически использо-
ваны разные физические принципы, в их числе и оптоэлектрнческие
принципы кодирования.

Оптоэлектрические кодирующие преобразователи основаны на ко-
дировании перемещения светового луча с помощью кодированных ма-
сок или дисков с чередованием светонепроницаемых и светопроницае-
мых участков, а также на использовании интерференции света, в кото-
рой проявляется волновая природа света.

Применяемые до настоящего времени оптоэлектрические приборы
основаны на применении кодирующих масок и дисков. Однако таким
образом можно реализовать только прямое преобразование линейного
перемещения и угла. В таких преобразователях осуществляется прямое
сравнение с мерой, реализованной в виде квантованных и кодирован-
ных пластин или дисков. Это обеспечивает наиболее высокие точность
и разрешающую способность. Поэтому исследования проводятся также
и с оптоэлектрическими интерференционными преобразователями, в ко-
торых возможно прямое преобразование других неэлектрических ве-
личин в код, например, давления, силы, температуры. Эти величины
преобразуются в измененное положение световых лучей, в изменения
интерференционной картины, которые используются для получения
числоимпульсного и цифрового кодов. Далее приведены некоторые ре-
зультаты таких исследований.

Особый интерес представляет использование интерференционных
эффектов. На их основе возможно прямое сравнение с длиной световой
волны в качестве естественной меры. Фигуры интерференции являются
распределением интенсивности с изменяющимися положениями в зави-
симости от значений измеряемой величины. Необходимо определить
распределения, которые позволяют прямое преобразование в код. Та-
кое распределение показано на рис. 5.13, а. Линии одинаковой интен-
сивности, периодически повторяющиеся, проходят параллельно друг
к другу под углом £ (представлены только заштрихованные и светлые
участки). Заштрихованные и светлые участки соответствуют двоичным
сигналам (1 и 0) на выходах схем формирования сигналов. Для описа-
ния распределения используется понятие порядкового числа. Центр
системы координат имеет порядковое число 6а. Любая точка в системе
координат имеет порядковое число В точке уй оси у находится 6Vo
и в точке Xq оси х находится 6Хо. Такое распределение описывается сле-
дующим уравнением:

бад — = (бх. — 8а) х/ха + (6йо — ба) у/у0.	(5-15>

Распределение, соответствующее (5.15), имеет универсальный ха-
рактер. Оно позволяет производить кодирование во всех периодических
кодах. Под понятием периодического кода подразумеваем коды, в раз-
рядах которых отношение между длиной 1-участка и длиной О-участка
Рис. 5.13. Интерференцион-
ное кодирование:

а — распределение вращаю-
щихся полос; б — {/-распо-
ложение считывающих эле-
ментов в распределении вра-
щающихся полос; в— (Лрас-
положеиие считывающих
элементов в распределении
перемещающихся полос.

является постоянным в пределах измерения. Универсальное распре-
деление возникает в случае, когда, например, разность 8Уо — 8а зави-
сит от значения измеряемой величины, но разность — Sa не изме-
няется. Это распределение можно назвать распределением вращаю-
щихся полос, что при изменении значений измеряемой величины все
линии одинаковой интенсивности поворачиваются вокруг точек оси
х и проходят параллельно друг другу. Угол поворота £ определяется
уравнением

I = arctg [уйЦ8Уа - Sa)] [(S,o - Sa)/x0J•	<5- ,6>

Распределение имеет два важных свойства:

1.	При перемещении считывающего элемента параллельно оси х
порядковое число непрерывно изменяется. Во всех точках, располо-
женных на этой параллели, при определенном изменении измеряемых
значений происходят изменения порядковых чисел. Это свойство позво-
ляет автоматизировать управление реверсом при числоимпульсном ко-
дировании и уменьшить погрешность считывания при цифровом двоич-
ном кодировании, г
Рис. 5.14. Преобразователь силы в двоичный код с [/-расположением:

а — схематическое устройство: б — интерференционная картина и расположение
считывающих элементов (F — измеряемая сила; 1 — источник монохроматического
света, 2 — конденсор, 3 — измерительный элемент, 4 — оптические системы, 5 —
фотоэлектрические преобразователи, 6 — электрические схемы формирования элект-
рических сигналов).

2.	Одновременно во всех точках с разным значением у получаем
разные изменения порядковых чисел. Это свойство является предпо-
сылкой для реализации различного числа двоичных участков в разря-
дах кода.

Распределение вращающихся полос по (5.16) является идеальным.
На практике встречаются нелинейные распределения по оси х и у,
которые можно выравнивать соответственно, выбирая положения счи-
тывающих элементов.

Рассмотрим некоторые примеры кодирования в распределении вра-
щающихся полос. Кодирование по методу V-расположения приведено
на рис. 5.13, б. Считывание на кодовой маске сравнивается со считыва-
нием на маске вращающихся полос. Отношение между расстояниями
считывающих элементов в направлении к оси у равняется 1 : 2 : 4 :8....
Видно, что V-расположение превращается в U-расположение. Допус-
тимые отклонения для этого считывания вращающихся полос можно
определить по формуле

от

где — допустимые отклонения в данном разряде Ь; А<5„г — допус-
тимые отклонения в младшем п разряде; | ASnz | < 0,25; п — число
разрядов; Ь — текущий разряд.

Из (5.17) следует, что во всех разрядах допустимые отклонения поч-
ти не зависят от п и они почти не зависят от количества информации,
содержащейся в измерении. Это является большим преимуществом счи-
тывания Двоичного кода.

На рис. 5.13, в представлено расположение считывающих элементов,
соответствующие U-расположению на кодовой маске. Видно, что U-
расположение на маске превращается в V-расположение на вращаю-
щихся полосах. Допустимые отклонения равны

В соответствии с (5.18) допустимые отклонения уменьшаются в за-
висимости от п. При количестве информации, необходимом в изме-
рительной технике, получаются трудно осуществимые допуски.

На примере интерференции одинаковой толщины объясняется пря-
мое кодирование разных измеряемых величин. Число интерферен-
ционных полос одинаковой толщины, возникающих между двумя про-
зрачными пластинами, равно

л 2dl<
X ’

где 6 — порядковое число интерференционных полос; d — расстояние
между прозрачными пластинами; X — длина световой волны; Л .
.коэффициент преломления среды между пластинами.

Если X и К постоянные величины, то изменение порядкового числа
AS зависит только от Ad. Таким образом, можно измерять линейное
перемещение, а так как каждое действие силы связано с деформацией,
можно измерять и силу. На рис. 5.14, а изображена конструкция од-
ного из преобразователей для преобразования силы в двоичный код
с помощью V-расположения считывающих элементов. Измерительный
элемент 3 состоит из двух кварцевых притертых друг к другу пластин.
Между пластинами находится воздушный зазор. Под влиянием силы
F одна пластина прогибается, причем изменяется воздушный зазор и
•возникает изменение распределения интенсивности вращающихся по-
лос. Измерительный элемент освещается параллельным монохромати-
ческим светом. Оптические системы 4 отражают интерференционные
картины в фотоэлектрические преобразователи 5. На выходах схем
формирования импульсов 6 появляются кодовые сигналы, которые
соответствуют значениям силы. На рис. 5.14, б приведены положения
•считывающих элементов и интерференционные картины, которые
возникают в воздушном зазоре.

При постоянстве d и X AS зависит только от изменения коэффициента
преломления ДЛ^ тогда получим

Аб = 2 (d/X) ДК.
Таким образом, можно измерять все величины, действующие на коэф-
фициент преломления жидкостей и газов. Такими величинами являют-
ся, например, давление, температура, плотность, концентрация, со-
отношение смесей. На рис. 5.15 приведено схематическое устройство
преобразователя для преобразования ДК в двоичный код с V-располо-
жением. Измерительный элемент тоже состоит из прозрачных притер-
тых пластин, но расстояния между ними постоянные и относятся как
dj : d2 : d3 : d4 = 1:2:4: 8. Измеряемый объект находится в изме-
рительном элементе. В зависимости от ДК образуется интерференцион-
ная картина, которая имеет свойство распределять вращающиеся по-
лосы. Оптические системы 4 отражают интерференционные картины в
фотоэлектрические преобразователи 5 и на выходах схем формирования
импульсов получаем кодовый сигнал.

Имеются еще другие виды распределений, которые принципиально
позволяют кодирование. Если в (5.15) Sxq — 8а равно нулю, то

—	(6у. — fia) У/Уо-	(5Л9)

По (5.19) все линии одинаковой интенсивности параллельны оси х
и в зависимости от измеряемых значений смещаются к оси х. Такие рас-
пределения называются распределением параллельных полос. Они об-
ладают только вторым свойством распределения вращающихся полос
и поэтому их можно использовать только для получения специальных
кодов, например кода Грея. Допустимые отклонения кода Грея следуют
из

ДбЬх = ± V2'l-ft+3; Ь>1.

Допустимые отклонения уменьшаются в зависимости от п и поэтому
практически трудно осуществимы.

Брюстер одним из первых (1962 г.) сделал заявку на получение па-
тента на устройство, которое проводит прямое кодирование на основе
интерференции одинаковой толщины. На рис. 5.16, а представлена
принципиальная схема этого устройства. По описанию патента две
кварцевые пластины F и М освещаются монохроматическим параллель-
ным светом. Оптические системы LI, L2 и СР отражают интерферен-
ционные картины и фотоэлектрические преобразователи РЕС. В на-
чальном положении внутренние грани кварцевых пластин параллельны
и существует интерференционная картина одинаковой интенсивности.
Если одна пластина поворачивается вокруг оси вращения, которая
находится на внутренней грани этой пластины, то появляются интер-
ференционные полосы, параллельные оси вращения (распределение па-
раллельных полос). При вращении пластин осуществляется преобра-
зование углов поворота в код Грея.

В 1961 г. описано устройство, в котором на основе такого распреде-
ления с параллельными полосами происходит преобразование силы в
код Грея. На рис. 5.16, б представлено схематическое устройство. Из-
мерительный преобразователь 5 состоит из набора соединенных между
собой элементов, изготовленных из фотоэластичного материала. Изме-
ряемая сила приложена ко всем элементам. Размеры dp У всех элемен-
тов одинаковы, а размеры ЬР относятся как 1:2: 4. Измерительный
Рис. 5.16. Схемы интерференционных преобразователен в цифровой код:
а — угла, б — силы.

преобразователь освещен параллельным, поляризованным монохрома-
тическим светом. Оптические системы 7 передают распределение интен-
сивности через анализаторы в фотоэлектрические преобразователи 8.
Вследствие фотоэластичного эффекта возникают распределения интен-
сивности, порядковые числа которых можно описать следующим урав-
нением:

б = с/Х (F/6f),

где с — постоянная материала; F — измеряемая сила; Ьр — размер
элементов, перпендикулярных направлению света. Недостатком такого
устройства являются относительно большие упругие и пластические
последствия фотоэластичных материалов.

Основным преимуществом числоимпульсных методов измерения
является простая техническая реализация. Такие методы чаще всего
применяются для измерения угла и перемещения. Число импульсов
служит информативным параметром. Числоимпульсные методы разде-
ляются на две группы: нереверсивные и реверсивные. Нереверсивные
методы не реагируют на направление движения, при этом импульсы
накапливаются независимо от направления движения измерительного
растра. Поэтому они применяются только в специальных случаях.
Большое значение имеют реверсивные методы (рис. 5.17). Растро-
вая пластина перемещается соответственно измеряемому перемещению.
Свет проходит через растровую пластину и индикаторные растры и по-
падает на фотоприемники.

На выходах схем формирования импульсов ЭСФ получаем сдвину-
тые прямоугольные сигналы. В зависимости от направления движения
растровой пластины от блока реверса поступают импульсы на вход
«+» на выход «—» реверсивного счетчика. На выходе реверсивного
счетчика мы получаем цифровой код. Аналогичным образом осуществ-
ляется измерение угла. Вместо растровой пластины ставится растровый
диск.

Если заменить растровую пластину интерференционным распреде-
лением интенсивности, получим самые точные цифровые измерители

а	эс<р s

Рнс. 5.18. Схемы интерференционных устройств:

а — лазерного интерферометра (Л — лазер; К — конденсор; ДЗ — делительное зер-
кало; 31, 32 — зеркала; ОС — оптические системы; ФП — фотоэлектрические пре-
образователи; ЭСФ — электрические схемы формирования; БР — блок реверса; PC —
реверсивный счетчик); б — интерференционных весов (ИС — источник света; К —
конденсор; ИЭ — измерительный элемент,).

6е

163
длины — фотоэлектрические интерферометры. На рис. 5.18, а показан
лазерный интерферометр. Лазерный свет проходит через интерферо-
метр типа Майкельсона и попадает на фотоприемники. На поверхности
зеркала 32 нанесена ступень. Уровень ступени равен М8. Поэтому об-
разуются две интерференционные картины в виде концентрических ко-
лец, сдвинутых по фазе на л/2. Произведение числа интерференционных
колец на длину волны лазера равно измеряемому перемещению зер-
кала 31.

Большим преимуществом вращающихся полос является возмож-
ность применения кодовых и числоимпульсных методов. Для исполь-
зования числоимпульсных методов необходимы два считывающих
элемента, находящиеся на параллели к оси х. Расстояние между ними
выбирается таким образом, чтобы получить два сигнала, сдвинутых по
фазе на гт + л/2. На рис. 5.18, б представлено устройство интерфе-
ренционных весов по числоимпульсному методу. В этом устройстве
применен измерительный преобразователь, показанный на рис. 5.14, а.
На рис. 5.18, б показаны два фото приемника и участок интерференцион-
ной картины. Такие весы отличаются незначительным временем изме-
рения и высокой разрешающей способностью.

5.9. НАДЕЖНОСТЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Разработка, изготовление и эксплуатация современных технических
устройств непосредственно связаны с понятием надежности. Теория
надежности — это техническая наука, которая на основе теории ве-
роятностей и математической статистики описывает техническое состоя-
ние устройства и дает математический аппарат, с помощью которого
можно рассчитать параметры надежности проектируемого, изготовляе-
мого или эксплуатируемого устройства. Как и другие технические ха-
рактеристики приборов параметры надежности регламентируются го-
сударственными стандартами. Рассмотрим основные понятия надеж-
ности.

Надежность — свойство объекта выполнять свои функции, со-
храняя характеристики в заданных пределах при определенных усло-
виях эксплуатации в течение заданного промежутка времени.

Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособности
объекта.

Наработка — продолжительность или объем работы, выполненной
объектом. Различают суточную наработку, месячную наработку, наработ-
ку до первого отказа, наработку между отказами, заданную наработку.

Наработка на отказ — среднее значение наработки восстанавливае-
мого объекта между отказами.

В теории надежности дается математическое описание характери-
стик отказов, как случайных событий, случайных величин независимо
от причин их возникновения. Поэтому в качестве характеристик надеж-
ности используются функции распределения случайных величин и их
числовые характеристики.

В зависимости o'j, характера проявления отказы бывают внезапные
и постепенные. Внезапные отказы характеризуются скачкообразным
изменением основного параметра объекта. Постепенные отказы —
постепенным изменением основного параметра объекта.

В настоящее время в нашей стране стандартизованы характеристи-
ки надежности по внезапным отказам.

Характеристики надежности по внезапным отказам

Показатели надежности нормируются для объектов, которые могут
находиться только в двух состояниях — работоспособном и неработо-
способном (СТ СЭВ 292—76). Исходя из этого, основным свойством при-
бора является безотказность, характеризующаяся определенными чис-
ленными статистическими показателями.

Основным численным показателем является вероятность безотказ-
ной работы Рб.р (0 — вероятность того, что в течение заданного проме-
жутка времени не произойдет ни одного отказа. Здесь t — промежуток
времени, в который определяется эта вероятность.

Вероятность безотказной работы является убывающей функцией
времени. Ее значения находятся в интервале 0 Рб.р (0^1 и
Рб.р (0) = 1 и Рб.р (оо) = 0. Типичная зависимость аРб.р (0 приведена
на рис. 5.19.

Экспериментально Рб.р (0 определяется следующим образом. Пусть
статистическим испытаниям надежности подвергнуто М однотипных
объектов. За время испытания t отказало п объектов. Тогда статисти-
ческая оценка Рб.р (0 определится следующим образом:

Рб.р (t) = (N — n)/N.

Учитывая, что безотказная работа и отказ составляют полную груп-
пу событий, вероятность отказов Ротк (0 может быть определена сле-
дующим образом:

РО1К(0 = 1-Рб.р(0.	(5.20)

По аналогии с (5.20)

Ротк(0 = n/N.

Необходимо обратить внимание на то, что функция Ротк (0
является функцией распределения случайной величины t — времени
безотказной работы.

Производная от функции распределения является плотностью
распределения данной случайной величины.

В рассматриваемом случае

Ротк (() = рч.0 ((),

где Рч.о (0 — частота отказов.

Экспериментально частота отказов определяется из следующих
соображений. Пусть статистическим испытаниям надежности подверг-
нуто N однотипных объектов. За промежуток времени Д/( отказало
\ объектов. Тогда частота отказов за промежуток времени Д;< будет
Рис. 5.19. Зависимости от времени:	Рис. 5.20. Зависимости от времени:

а — вероятности безотказной работы:	а ** частоты отказов; б — интенсивности от*

б — вероятности отказа.	казов.

При определении Рч 0 (0 предполагается, что отказавшие объекты
не заменяются и число испытываемых объектов постепенно умень-
шается. При длительных испытаниях получим кривую частоты отказов
(рис. 5.20, а), которая изображает плотность распределения случайной
величины t, т. е. времени безотказной работы.

С учетом изложенного

t

РОТК (/) — рч.0 (() dt.

0

Используя выражение (5.20),
t	ОО

Рб.р (0 = 1— Ротк (0 = 1 - f Рч.о (0 dt = J рч.о (0 dt. (5.21)
О	t

После дифференцирования (5.21) получим

рч.о(0 = -Рб.р(0,	(5’22)

т. е. частота отказов рчл (() характеризует скорость снижения вероят-
ности безотказной работы во времени.

В теории надежности используется также понятие средняя частота
отказов (параметр потока отказа).

Определяется параметр потока отказов аналогично частоте отказов,
но в предположении, что отказавшие объекты заменяются и число объ-
ектов, находящихся на испытаниях, остается неизменным. Параметр
потока отказов

д

Заметим, что bt (() рЧЛ1 (0> так как при определении bi (() число
объектов, находящихся на испытании, больше, чем при определении
рч.ос (:).

Особое место в теории надежности занимает характеристика, назы-
ваемая интенсивностью отказов Л ((), которая наиболее полно описы-
вает надежность невосстанавливаемых объектов. Такими объектами
в приборах являются элементы типа резисторов, конденсаторов, тран-
зисторов, микросхем и т. п. Экспериментально интенсивность отказов
определяется следующим образом:

д

(5М>

где и ДП; — соответственно заданный i-й промежуток времени и
число объектов, отказавших в течение этого промежутка соответствен-
но; п.[ — число объектов, отказавших до начала i-го промежутка вре-
мени; N — число объектов, поставленных на испытания. При этом
отказавшие объекты не заменяются.

На рис. 5.20 — а, б показаны функции рч.о (t) и Л (t) для одного
и того же экспериментального исследования группы одинаковых объ-
ектов на надежность.

Между величинами Рб.р (0> Рч.о (0 и Л (0 существует функциональ-
ная связь, которая может быть определена с учетом (5.23) из следующего
преобразования:

д it) =

(N_ni)blc/Nbti P6p(t) '

При предельном переходе

Подставляя в (5.24) значения рч.о (/) из (5.22), получим ’
^б.Р (0

Решим это дифференциальное уравнение при изменении t в преде-
лах от 0 до t:

d-Рк n (0	Г

 р = — dt\ In Рб.р (0 — In Рб.р (0) = - А (0 dt.

гб.р\‘>	%

t

Рб.р (t) = е. °	(5.25)

По этой формуле может быть определено Рб.р (0 при произвольной
функции распределения времени безотказной работы.

Важной характеристикой надежности является также среднее время
безотказной работы до первого отказа (ер, которое в пределе является
математическим ожиданием времени безотказной работы:

4-00

ТсР= J tPom(t)dt,

—ОО

где Ра-п (0 — плотность распределения времени безотказной работы.
Время в рассматриваемом случае может быть только положительным,
поэтому

00
T^tP^Wdt.

О

Так как Ротк (0 = 1 — Рб.р (0, то

-J-OO

Тер = - J /Рб.р (0 dt.

О

Интегрируя по частям, получим

4-м

Тср = - /Рб.р(0 |+~ + J P6.p(t)dt.

Таким образом,

-j-сю

ТСр= J P6.P(t)dt.	(5-26)

О

Как видим, Тер численно равно площади под кривой вероятности без-
отказной работы (рис. 5.19, а).

Для восстанавливаемых объектов важной характеристикой надеж-
ности является наработка на отказ Тот. Это среднее время исправной
работы между двумя соседними отказами.

Экспериментально наработка на отказ Тотк определяется следующим
образом:

Топ = Тр/п,
где Тр — суммарное время исправной работы объекта без учета профи-
лактики и других видов простоя; п — число отказов за время испыта-
ния.

Экспоненциальный закон надежности. Опыт эксплуатации различ-
ных технических устройств показывает, что зависимость интенсивности
отказов от времени как для элементов, так и для систем, имеет три эта-
па (рис. 5.20, б).

Первый этап — этап приработки, соответствует начальной стадии
эксплуатации объекта, когда интенсивность отказов несколько повыше-
на в связи с тем, что во время сборки объекта не был выявлен скрытый
брац и дефекты, которые проявляют себя в процессе приработки.

В течение первого этапа элементы с выявленными дефектами заме-
няются и интенсивность отказов снижается до минимального постоян-
ного значения

Л (0 = Ло = const.

Второй этап — этап нормальной эксплуатации, на протяжении ко-,
торого интенсивность отказов остается постоянной. Именно для этого
этапа проводятся расчеты надежности по внезапным отказам. Значения
интенсивности отказов элементов даются в справочной литературе и
используются для расчетов в соответствии с (3.25).

Третий этап соответствует этапу старения объекта, когда интенсив-
ность отказов повышается из-за износа объекта и старения большей
части элементов. При наступлении этого этапа эксплуатация объекта,
как правило, нецелесообразна.

Рассмотрим (5.25) применительно к этапу нормальной эксплуатации,
когда Л (/) = Ло = const. Тогда

t

—£Ло<Й

рбр(0 = е о =е~А<	(5.27)

Уравнение (5.27) (так называемый экспоненциальный закон надеж-
ности) широко применяется при расчетах характеристик надежности.

Определим Тср для этапа нормальной эксплуатации в соответствии
с (5.26):

4"°°

Тср = f Рб.р (0 dt = J е~Ло/ = - 1/Лое-|g° = 1 /Ло.
о	о

Для этапа нормальной эксплуатации характерно равенство

Тотк = Тор - 1/Л0.	0.28)

При применении экспоненциального закона надежности на этапе
нормальной эксплуатации характерно, что интенсивность отказов
системы определяется как сумма интенсивностей отказов элементов,
входящих в систему, т. е.

Ло = £ Хог,	(5.29)

г=1

где Хог — интенсивность отказов i-ro элемента системы; Ло — интен-
сивность отказов системы.

Если система состоит из К групп элементов, имеющих одинаковые
Х,0;- внутри группы, то интенсивность отказов системы определяется сле-
дующим образом:

k

Ло = NiA,oi 4- N2Xq2 + . .. + NkXqk =	(5.30)

/=•

Выражение (5.30) широко применяется при практических расчетах
надежности.

Характеристики надежности по постепенным отказам. Показатели
надежности по постепенным отказам до настоящего времени не стандар-
тизованы. За основу принимают методику определения показателей
надежности по постепенным отказам [8]. Согласно этой методике, основ-
ным показателем надежности является Рп (() — вероятность безотказ-
ной работы по постепенным отказам. Это вероятность того, что за время
t основная погрешность прибора не выйдет за пределы установленного
допуска ±Д2. Таким образом, отказом в этом случае считается выход
погрешности за заданные пределы (в предположении отсутствия вне-
запных отказов).

Здесь предполагается, что систематическая погрешность отсутствует
или устраняется введением поправки. Предполагается также, что ос-
новная погрешность ряда однотипных приборов подчиняется нормаль-
ному закону со с. к. о. Oj (Д). Рп (() со временем уменьшается в связи
с износом и старением элементов прибора..
Износ и старение приводят к изменению параметров распределения:
математического ожидания М (Д) и с. к. о. а (Д). Так как эти измене-
ния происходят в течение длительного времени (тысячи часов), то их
можно представить линейной функцией времени:

М [Д (0J = At и ст (Д (0J = ст, (Д) + Bt.

При этом предполагаем, что плотность распределения р (к) остается
нормальной.

Завод-изготовитель практически всегда устанавливает допуск на
погрешность меньше, чем указывается в паспорте прибора. В связи
с этим различают производственный допуск (в данном случае ±Д1)
и эксплуатационный ±Д2 (Д2 > ДО- Здесь Д2 соответствует классу
точности прибора. С учетом этого вероятность безотказной работы при-
бора по постепенным отказам определяется как вероятность нахожде-
ния основной погрешности прибора в момент времени t в пределах
± Д2.

Искомая вероятность Рп (0 в данном случае, равная отношению
числа годных на момент времени t приборов к числу переданных
в эксплуатацию годных приборов, и определяется из следующих оче-
видных соотношений.

Вероятность выпуска с завода годных приборов

Р, (- Д1 < Д < + ДО = 2Ф, (Д^Ох (Д)),

где Ф, (Д1/ст! (Д)) — нормированная функция Лапласа (табл. . 2);
Рг (—Ai < Д < ДО — на рис. 5.21 заштрихованная площадь.

Количество годных приборов No, переданных в эксплуатацию,

= -гФидостЛД)),

где N — число выпущенных на заводе приборов.

Плотность распределения погрешности с учетом изменения во вре-
мени

р (Д) -?=-----!-------е 21о><л)+^12,

1 г Г2Я(О1(Д) + В0
где р (Д)—уравнение поверхности, сечение которой плоскостью,
перпендикулярной оси времени, образует нормальную кривую рас-

пределения.
Далее

(—Д2 —А/)
О] (Д) + Bt)

Р(—Д2<Д<Д2) =Ф

(Д2-^)

(<Ч (Д) + В/)

А теперь число приборов, оставшихся годными к моменту времени,
Nt = NP(— Д2<Д<Д2).

Вероятность безотказной работы по постепенным отказам в момент

времени t



Г (Д2 — At) 1 _ Ф Г — Д2 — Л/ 1
(Д) Bt J	| Oj (Д) Bt J

(5.31)

Резервирование

Резервирование является способом повышения надежности тех-
нических устройств, использующим принцип избыточности. При от-
казе объекта выполнение его функций берет на себя резервное устрой-
ство.

Резервирование бывает с подключением запасного элемента вместо
отказавшего либо постоянным параллельным включением одного или
нескольких запасных элементов.

При резервировании первым способом применяются ручные или
автоматические переключатели и устройства обнаружения неисправ-
ностей.

При резервировании вторым способом резервные элементы работают
вместе с основными в нагруженном режиме. При этом способе резерви-
рования необходимо проектировать устройства так, чтобы отказавшие
элементы или блоки не влияли на работоспособность работающих ре-
зервных систем.

Оба вида резервирования по структуре могут быть общим, раздель-
ным или смешанным. Общее — резервирование всей системы; раздель-
ное — резервирование каждого элемента; смешанное предусматривает
как резервирование крупных блоков, так и отдельных элементов.

Показатели надежности при резервировании определяются следую-
щим образом.

При общем резервировании, рис. 5.22, а вероятность отказа всей
системы, состоящей из т параллельно включенных цепей,

т-Н

РОТК = П Роткб
(=1

где Ропе — вероятность отказа i-й цепи резервированной системы;
т — кратность резервирования, равная числу резервных систем.

В свою очередь

Pont = 1 - Рб.р1>
Рис. 5.22. Графические изображения резервирования системы:
а — общего; б —. раздельного поэлементного.

где Рб.рг — вероятность безотказной работы i-й резервной цепи. Тогда
т+1

Рб.р.Об = 1 ' РОТК.Об “ 1 п (1-Рб.рО.

6=1

Вероятность безотказной работы i-й цепи системы

п

Рб.р1 = П Рб.рЦ,
/=•

где Рб.рц — вероятность безотказной работы /-го элемента i-й цепи.

С учетом этого

Рб.р об = 1 — П ( 1 — П Рб.р!/
i=i \	/=1

При раздельном резервировании каждого /'-го элемента последова-
тельной цепи (рис. 5.22, б) вероятность безотказной работы /-го эле-
мента

т+1

Рб.р/ = 1 — П (1+ Рб.р(/)«

/=1

Вероятность безотказной работы всей системы при раздельном ре-
зервировании каждого элемента

п Г	т+1

Рб .р.разд.об == П 1 — П (1	Рб.р!/) •

/=1	!=1

Необходимо отметить, что при большом числе элементов п общее
резервирование даже при больших кратностях т недостаточно эффек-
тивно. В то же время раздельное резервирование более эффективно при
сравнительно небольших кратностях.

Расчет надежности приборов

Требования по надежности должны быть отражены в техническом
задании (ТЗ) на разработку нового объекта, что позволяет уже при вы-
боре варианта схемы, конструкции и т. п. проводить ориентировочные
или сравнительные расчеты параметров надежности и исключать из
дальнейшего рассмотрения варианты решения, заведомо непригодные
по надежности. f
Рассмотрим вопросы расчета характеристик надежности приборов,
в которых не применяется резервирование и справедлив экспоненциаль-
ный закон надежности.

В ТЗ, как правило, включается один из показателей безотказности,
например Ро.р (t). Время t также выбирается по этому стандарту. Как
уже было отмечено, расчет производится для этапа нормальной работы.
Определение вероятности безотказной работы Рб.р (0 производится сле-
дующим образом:

Рб.р (0 = е-Л,(

где Л — интенсивность отказов прибора; t — время в часах. При этом

N
A=S^.

(=1

Здесь X, — интенсивность отказов i-ro элемента с учетом условий экс-
плуатации; N — количество элементов прибора. В свою очередь

где — справочное значение интенсивности отказов для i-ro элемен-
та при нормальных условиях эксплуатации; cqc^... — эксплуатацион-
ные коэффициенты, учитывающие влияние различных эксплуатацион-
ных факторов на интенсивность отказов (степень нагруженности эле-
мента по сравнению с номинальной нагрузкой, климатические факто-
ры, механические воздействия и т. д.).

Интенсивность отказов, некоторых элементов средств измерений, Ло/	
Постоянные непроволочные резисторы	0,4- 10~6
Непроволочные переменные резисторы	0,6-10~6
Переменные проволочные резисторы	3,0-10~6
Конденсаторы керамические	1,4-К)”6
Конденсаторы слюдяные	1,2- КГ"6
Конденсаторы бумажные	1,8-10~6
Конденсаторы	электролитические  фольговые алюминиевые	2,4- КГ6
Диоды точечные	0,7- КГ6
Стабилитроны	5,0-10~6
Транзисторы малой мощности	3,0- К)”6
Транзисторы большой мощности	5,0-10~6
Микросхемы	1,0-10~6

Зависимость эксплуатационных коэффициентов от влияющих фак-
торов приводится в справочной литературе в виде графиков или
таблиц.

Нагруженность элемента определяется зависимостью эксплуата-
ционного коэффициента от коэффициента нагрузки 7<и, который, в свою
очередь, для различных элементов определяется по следующим зависи-
мостям:
Форма 1

№ пп	Наименование элемента	Обозначе- ние в схеме	Кол-во в схеме	кн	а1	а,	>.ога,а,
							

Форма 2

№
пп

Л блока

Наименование блока

резисторы	—	Ки	=	WI №ДоП;

конденсаторы —	Ки	=	Um/Ump.on;

диоды	—	Кн	=	///доп',

транзисторы	—	Кн	=	^/^доП;

микросхемы —Ки = 1.

В числителе записывается фактическое значение параметра (мощности,
тока или напряжения), в знаменателе — номинальное допускаемое по
справочным данным.

Наработка на отказ определяется по (5.28). Данные для расчетов
сводятся в форму 1 и заполняются для каждого блока. Для покупных
блоков и приборов заполняется форма 2.

Если для покупного блока не известно %, а известно лишь Рб.р (0
или Тота, то А. определяется по (5.27) или (5.28). Затем по (5.29) находят
значение Л для всего прибора и рассчитывают другие показатели на-
дежности прибора по внезапным отказам. Приведем значения интен-
сивностей отказов для наиболее широко применяемых элементов, расчет
вероятности безотказной работы при постепенных отказах производит-
ся по (5.31).

Суммарная вероятность безотказной работы по внезапным и посте-
пенным отказам за одно и то же время t, предполагая взаимную неза-
висимость внезапных и постепенных отказов, составит

Реум (0 = Рб.р (ОРП(0.

В расчетах надежности значения вероятностей округляются до двух
знаков после запятой.
Глава 6

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ
И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Средства информационно-измерительной техники соединяются в
единые системы с помощью сигналов различного назначения — управ-
ления, связи, синхронизации, образцовых, измерительных и др. Сигна-
лы для обеспечения возможности соединения звеньев системы должны
обладать совместимостью по роду, размеру и т. д. Эта совместимость
устанавливается Государственной системой приборов (ГСП).

В измерительных устройствах сигналы подвергаются различным
измерительным преобразованиям и действиям помех. В настоящей
главе рассмотрим общие свойства сигналов и их основные преобразо-
вания.

6.1.	ПОНЯТИЕ О СИГНАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ИПФОРМАЦИОННО-
ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ

Понятие «сигнал» является очень широким. В общем случае под
сигналом подразумевают физический процесс — носитель сведений.
Сигнал обладает различными параметрами и характеристиками и
представляется математической моделью.

В зависимости от характера сведений сигналы, используемые в из-
мерительной технике, можно разделить на измерительные и образцо-
вые (рис. 6.1).

В измерительном сигнале содержатся неизвестные нам сведения,
т. е. измерительная информация, которая заключена либо в размерах
его параметров, либо в других характеристиках.

В образцовом сигнале содержатся известные нам данные или сведе-
ния либо в заданных размерах его параметров, либо в других характе-
ристиках. Известные характеристики образцовых сигналов помогают
получить информацию, содержащуюся в измерительном сигнале. Ана-
логовые сигналы непрерывны по размеру. К ним относится большинство
измерительных сигналов Количество информации, заключенное в них,
теоретически неограничено Образцовые аналоговые сигналы обычно
являются выходными сигналами мер и преобразователей код — аналог.

В кодовом сигнале известные или неизвестные данные или характе-
ристики заключены в количестве и расположении его элементов во
времени или в пространстве Количество информации, содержащееся
в таком сигнале, обычно ограничено. Элементами кодовых сигналов
служат электрические импульсы, или потенциалы.
Рис. 6.1. Сигналы, используемые в из*
мерительной технике.

Взаимодействие средств измерений
между собой, с объектом измерения,
управления, другими объектами и си-
стемами реализуется с помощью вход-
ных и выходных измерительных сиг-
налов, действующих соответственно на
входе и выходе средств измерений.

Входным измерительным сигналом
называется сигнал, воздействующий
на вход средств измерений. Входной
сигнал в виде физического процесса
воздействует на вход большинства
средств измерений: измерительных и
масштабных преобразователей, уст-

ройств сравнения, измерительных приборов и систем. Входной изме-
рительный сигнал характеризуется параметрами, которые можно под-
разделить на информативные и неинформативные.

Информативным параметром входного сигнала называется параметр
процесса, который функционально связан с измеряемой величиной.

Неинформативным параметром входного измерительного сигнала
называют параметр, не связанный функционально с измеряемой вели-
чиной. Однако неинформативный параметр может вызывать нежела-
тельное изменение информативного параметра выходного сигнала, свя-
занного с измеряемой величиной.

Выходной аналоговый сигнал возникает на выходе мер, измеритель-
ных преобразователей. Выходной сигнал также может обладать многи-
ми параметрами.

Информативный параметр выходного сигнала измерительного пре-
образователя однозначно функционально по возможности линейно свя-
зан с измеряемой величиной или с информативным параметром вход-
ного сигнала.

Неинформативным параметром выходного сигнала измерительного
преобразователя называют параметр, не связанный функционально
с информативным параметром входного сигнала.

Кодовый измерительный сигнал является систематизированной со-
вокупностью легко автоматически различимых символов в виде физи-
ческих состояний, отображающих числовое значение величины. Кодовый
измерительный сигнал является выходным сигналом цифрового измери-
тельного прибора и входным сигналом — преобразователя код — аналог.

Информативным параметром кодового образцового сигнала являет-
ся число. Информативным параметром кодового измерительного сигна-
ла является числовое значение измеряемой величины. Изменения не-
информативных параметров кодового сигнала на значения его инфор-
мативного параметра практически не влияют.

Сигналы систематизируют, прежде всего, по их принадлежности к
основным видам физических процессов, а также по особенностям их
изменения (рис. 6.2). В зависимости от характера их изменения во вре-
мени сигналы разделяют на детерминированные, квазидетерминиро-
ванные и случайные.
Сигналы

Рис. 6.2. Систематизация сигналов.

Детерминированный сигнал отличается тем, что закон
его изменения известен, а модель не содержит неизвестных парамет-
ров. Детерминированными считают образцовые сигналы на выходе мер,
несущие сигналы.

Квазидетерминированными называют сигналы с
частично известным характером изменения во времени, т. е. с одним
или несколькими неизвестными параметрами. Последние чаще всего
считают случайными величинами. К квазидетерминированным отно-
сятся, например, постоянный сигнал с неизвестным размером; синусои-
дальный сигнал с известной частотой и постоянной, но неизвестной
амплитудой и т. д.

Случайным называют сигнал со случайным характером изменения
во времени. Такие сигналы можно описать только с помощью их ста-
тистических характеристик (спектра плотности мощности, закона
распределения), но нельзя представить детерминированной функцией
времени.

Параметры сигналов — физические величины в зависимости от чис-
ла размеров, которые они могут иметь, бывают непрерывными и кван-
тованными по размеру. Непрерывная по размеру величина может иметь
в заданном диапазоне бесконечно большое число размеров. Кванто-
ванная по размеру величина может иметь в заданном диапазоне только
ограниченное число размеров. Квантованным сигналом называется фи-
зический процесс, параметр которого квантован по"размеру.

Физические сигналы в зависимости от характера изменения во вре-
мени и пространстве бывают непрерывными и прерывными, или дискре-
тизированными, во времени или пространстве. Непрерывным сигна-
лом называют физический процесс, параметры которого изменяются

J
непрерывно. Большинство сигналов являются непрерывными. Дискрети-
зированным называют сигнал, у которого размер хотя бы одного пара-
метра может быть отличен от нуля только в определенные моменты
времени или в определенных точках пространства.

Квантование и дискретизация являются важнейшими видами пре-
образования измерительных сигналов. Их метрологические особенности
рассматриваются в гл. 7.

Четыре формы сигнала и их метрологические особенности

Физические сигналы, действующие на входе и выходе средств
измерений, в зависимости от числа размеров, которые может иметь
их основной параметр х, и характеристики изменения во времени мож-
но подразделить на четыре следующие формы (рис. 6.3);

сигнал непрерывный во времени и по размеру параметра — X (/)
(рис. 6.3, а);

сигнал непрерывный во времени и квантованный по размеру пара-
метра — Хкв (?) (рис. 6.3, б);

сигнал дискретизированный во времени е непрерывным по размеру
параметром — Хд (() (рис. 6.3, в);

сигнал дискретизированный во времени с квантованным по размеру
параметром — Хд.кв (?) (рис. 6.3, г).

Рассматривая эти четыре формы сигнала можно определить неко-
торые их специфические особенности.

При измерении параметров непрерывного сигнала X (() погреш-
ность возникает при определении как мгновенных значений х, так и
моментов времени, к которым они относятся.

Рис. 6.3. Четыре формы сигналов:
а — непрерывная, б — квантованная, в — дискретизированная, г — дискре-
тизированная а квантованная.
При измерении параметров дискретизированного сигнала X (0
известно, к какому моменту времени относится полученное значение X,
но само значение определяется с погрешностью.

Дискретизированный и квантованный сигнал Хкв (iTu) обычно со-
здается на выходе программно управляемой меры и является детермини-
рованным.

Если необходима очень высокая точность или чувствительность,
то целесообразно использовать естественную дискретность и кванто-
ванность физических процессов, определяемую строением материи в
микромире. Например, состав вещества определяется с помощью циф-
ровых масс-спектрометров путем счета частиц, имеющих определенную
траекторию полета (т. е. определенную массу), интенсивность косми-
ческих излучений — путем счета числа разрядов в счетчике Гейге-
ра — Мюллера.

Перед измерительной техникой ранее обычно ставилась задача
измерения постоянных сигналов, содержащих только один постоянный
информативный параметр. Эта задача решалась с помощью показываю-
щих приборов, приборов ручного уравновешивания, обладающих
низким быстродействием. При измерении постоянной во времени ве-
личины достаточно определить одно мгновенное значение. Измерение
постоянных величин может проводиться в течение длительного време-
ни. В этом случае жесткие требования к динамическим характеристи-
кам прибора и его быстродействию не предъявляются.

В настоящее время в измерительной технике в большинстве случаев
решается задача измерения параметров сигналов, изменяющихся во
времени. При измерении таких сигналов, во-первых, к средствам изме-
рений предъявляются требования все более высокого быстродействия,
во-вторых, процесс содержит многопараметровую информацию. Эта
Информация может заключаться в совокупности отдельных мгновенных
значений основного параметра сигнала, в частотно-временных пара-
метрах сигнала, в статистических, если сигнал является случайным
и т. д.

В случае измерения одного из многих параметров процесса возни-
кает задача выделения заданного информативного параметра, получе-
ния выходной величины, функционально связанной только с информа-
тивным параметром, и подавления влияния на нее остальных пара-
метров. Примером могут служить электронные аналоговые фазометры
с ограничителями импульсов. В них подавляется влияние амплитуды
входного сигнала на размер выходной величины, которая должна быть
функционально связана только с фазой исследуемого напряжения.

При квазидетерминированном законе изменения мгновенных зна-
чений, например гармоническом, измеряют неизвестную амплитуду,
частоту или фазу, среднее или среднее квадратическое значения.

При неизвестном, но повторяющемся законе изменения, измеряют
мгновенные значения сигнала.

При неизвестном и случайном законе изменения, целью измерения
является определение координат кривоц распределения, среднего или
среднего квадратического значения, корреляционной функции, спектра
мощности. По координатам кривой распределения более удобно,
чем по кривой мгновенных значений, определить среднее и среднее квад-
ратическое значение величины, диапазон ее изменения, пик-фактор.

При неизвестных частотно-временных параметрах, т. е. при изме-
рении периода, частоты, фазы сигналов, периодических во времени
или повторяющихся в пространстве, измерение имеет некоторые особен-
ности:

облегчается определение относительных параметров процесса, так
как имеет место непрерывная повторяемость величины, которая играет
роль опорной величины при относительных измерениях, например в
случае измерения фазы, равной отношению tx/T, где Т — период коле-
баний, опорная величина;

существуют условия для многократных повторных измерений с воз-
можностью повышения точности путем осреднения.

Основные виды моделей сигналов

Сигналы различного физического рода описываются общими мате-
матическими моделями. В дальнейшем под сигналом будем понимать
его математическую модель — функцию

х = f (/, а, б, в, ...),
где х — основной параметр сигнала; t — основной независимый аргу-
мент сигнала, в данном случае время; а, б, в — параметры сигнала.

Модели сигналов в зависимости от рода основного независимого
аргумента бывают временными и частотными. Кроме указанных при-
меняются также векторные модели. Вид модели выбирается в зависимо-
сти от конкретных условий. На рис. 6.4 представлены три модели сиг-
нала с постоянной интенсивностью х — const (рис. 6.4, а, б, в) синусо-
идального в виде временной, частотной и векторной диаграмм
(рис. 6.4, г, д, е).

Входные сигналы средств измерений принято подразделять на ква-
зидетерминированные и случайные и учитывать особенности их изме-
рений и оценок результатов измерений. Это объясняется тем, что сте-
пень априорной информации о квазидетерминированных и случайных
сигналах различна. Действительно, параметр квазидетерминированно-
го сигнала, например, в виде постоянного напряжения (при неизвест-
ном, но постоянном его значении) можно определить за одно изме-
рение, практически мгновенно, а три основных параметра гармониче-
ского сигнала (амплитуду, фазу и частоту) — за один его период. При
случайном сигнале время, необходимое для определения статистиче-
ских параметров, должно многократно превосходить время корреляции
сигнала.

При измерении параметров квазидетерминированных сигналов всег-
да располагают значительно более обширной априорной информацией,
прежде всего информацией о детерминированном характере закона из-
менения во времени, и обязательно используют ее для соответствующе-
го повышения качества измерения.

При измерении параметров случайных сигналов априорные сведе-
ния значительно бедне^. Поэтому операция идентификации сигнала,
180
Рнс. 6.4. Временная (0, частотная (со), векторная (V) диаграммы:
а, б. е -• постоянного сигнала; г, д< е •**” синусоидального сигнала.

т. е. определение его модели, в этом случае значительно более слож-
ная — необходимо проверить гипотезу о стационарности сигнала,
гипотезу об эргодичности, иметь сведения о характере закона его рас-
пределения, и для этого часто перед измерением характеристик и
параметров случайного сигнала также необходимо использовать спе-
циальную аппаратуру. Несоответствие модели, приписанной данному
сигналу, характеру его изменения вызывает возникновение специфи-
ческой погрешности идентификации. Кроме этого, измерение статисти-
ческих параметров и характеристик всегда связано с процессом осред-
нения, вследствие чего для обеспечения достоверности результата изме-
рения необходим значительный объем статистических данных.

6.2.	КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ, ИХ ПАРАМЕТРЫ
И ХАРАКТЕРИСТИКИ

Квазидетерминированные сигналы разделяют на элементарные
и сложные.

Элементарные квазидетерминированные сигналы отличаются про-
стотой представления и генерирования, а также минимальным числом
параметров и простотой реакции звеньев. К основным элементарным
сигналам относятся: постоянный сигнал, мгновенное значение которо-
го постоянно, идеальный единичный импульс и синусоидальный сигнал.

Постоянный сигнал неизменен во времени (рис. 6.5, а), его модель
уравнение х = const. Постоянный сигнал имеет только один пара-
метр х.

Идеальный единичный импульс описывается дельта-функцией
(рис. 6.5, б), свойства которой определяются следующими соотноше-
ниями:

I 0 при

V	| ОО при t = ta,
Рнс, в.5. Основные влементарные сигналы?
а — постоянный сигнал, б — идеальный еди-
ничный импульс; е — единичный сигнал на
выходе интегратора, г — дельта-функция на
выходе дифференциатора.

где 6 (t — /и) — дельта-функция;
t — текущее время; ta — момент
действия импульса.

Идеальный единичный импульс
является идеализацией реального
импульса в том смысле, что дли-
тельность его т принимается рав-
ной 0, а амплитуда — бесконечнос-
ти. Таким образом, из трех пара-
метров (т — длительность импульса,

хт — амплитуда импульса и /и — момент возникновения импульса) два
исключаются из дальнейшего рассмотрения, и идеальный единичный
импульс характеризуется только одним параметром ta — моментом его
действия.

Интеграл дельта-функции (рис. 6.5, в)

t

J б(/ — tK)dt = 1.
о

(6.1)

Значение интеграла от дельта-функции отлично от нуля в момент
t = ta и при t > /и. Следовательно, символически его можно выразить
как единичную функцию 1 (t — /и), когда t > (и;

Уб(/-(и) dt =

О

(/ > и.

Если единичную функцию дифференцировать (рис. 6.5, г)



то получим дельта-функцию.

Интеграл от произведения дельта-функции на сигнал X (/) равен
значению х (/„):

ОО

У X(/)6(/-Ud/ = x(U.
—оо

Это означает, что дельта-функция обладает стробирующим дейст-
вием. Такое свойство дельта-функции используют для представления
дискретизированной во времени функции с периодом дискретизации,
равным Т,
i—N

x„(t) = ^,x(iT)d(t — iT).

Синусоидальный сигнал

х = Xrfsin (со/ 4- ф) = Хт sin (-р— 4- ф

(6.2)
Рис.6.6. Синусоидальный сигнал (а) и его спектр (6),
определяется тремя параметрами: амплитудой Хт, периодом Т или
частотой со = 2л./Т и начальной фазой ср.

Многие физические процессы с достаточной для практики точностью
описываются синусоидальной функцией: напряжение на выходе генера-
тора переменного тока, отклонения несбалансированного ротора и др.
Синусоидальная функция является одной из наиболее простых и удоб-
ных для анализа функций времени (рис. 6.6).

Сложные квазидетерминированные сигналы. К периодическим слож-
ным сигналам относятся полигармонический сигнал, последователь-
ности импульсов прямоугольной, треугольной, экспоненциальной и
других форм.

Полигармонический сигнал описывается периодической функцией
x(t) — x(t ± кТа),	(6.3)

где к = 1,2, 3...

Этот сигнал повторяет все свои значения через интервал времени
Тц, называемый периодом. Число циклов повторения в единицу времени
называется основной частотой f = 1/Та. В большинстве случаев поли-
гармонический сигнал может быть представлен рядом Фурье:

п

х (/) = С0/2 + S (а« cos 2лкД/ + bK sin
№1

ИЛИ

X (t) = х0 + Ё Ск cos (2nkftt + фк),
к=1
где f=MT.

Полигармонический сигнал состоит из постоянной составляющей
и бесконечного числа гармоник с амплитудами Ск и начальными фазами
Фк. Если начальные фазы не принимать во внимание, то периодический
сигнал можно представить линейчатым, или дискретным, спектром
(рис. 6.7). Следует отметить, что полигармонические сигналы распрост-
ранены значительно шире, чем синусоидальные. К примеру, напряже-
ние на выходе генератора переменного тока, строго говоря, является
всегда полигармоническим, так как содержит небольшие по амплитуде
высшие гармоники. Колебания корпуса силовой установки с поршне-
вым двигателем являются полигармоническим сигналом со значитель-
ными по уровню гармониками. Любой из параметров полигармониче-
ского сигнала может быть информативным.

Периодический импульсный сигнал широко используется ввиду про-
стоты генерирования несложными логическими интегральными элемен-
Рнс, 6.7, Дискретный спектр периоди-
ческого сигнала.

Рнс. 6,8. Периодическая последовательность
прямоугольных импульсов.

тами и описывается следующей функцией:

( хт при 0 < t < т;

X (/) =	_	_ ,	„	(6.4)

' ’	(0 при т < t < Та.	' '

Такая периодическая последовательность прямоугольных импуль-
сов также определяется тремя параметрами: амплитудой Хт, периодом
повторения Тй1у. длительностью импульса т. Любой из них может быть
информативным или неинформативным. Кроме этого, для данной фор-
мы сигнала определяют параметр, называемый скважностью (рис. 6.8):

Q = Тц/т	(6.5)

или обратный ему параметр, называемый коэффициентом заполнения,
q = т/Тц.

Для периодического сигнала любой формы с периодом Т важными
параметрами часто являются:

текущее среднее значение за время Т
t+T

Хср.тек= I/Т J X(t)dt\
t

среднее значение (постоянная составляющая)
т

Хер = 1/Т J X (/) dt;
о

среднее выпрямленное значение
т

*ср.выпр = I/Т У | X (/) | dt;

О

действующее или среднее квадратическое значение

Хс.к.з =1/ ^-У*2(0 dt.
о

Информативными параметрами периодических сигналов сложной
формы могут являться:

максимальное отклонение сигнала в сторону больших значений от
постоянной составляющей

•^4-max = max [X (/) — Xcp]j
ter
Рис, 6,9, Спектр почти периодического сиг-
нала.

Хк С0фк/^х)

Рис, 6,10, К представлению пе.
риодического сигнала по Гиль-
берту.

максимальное отклонение сигнала в сторону меньших значений от
постоянной составляющей

X—max = I min [X (/) — хср] |;

ter

размах периодического сигнала

Хразм = ^Ц-max "1" Х_ тах*

коэффициент амплитуды

Ка = ^т/^с.к.з’г

коэффициент формы

Хф = Хс.к,з/Хср.выпр.

Сложные периодические процессы образуются суммированием двух
или более синусоидальных гармоник с кратными частотами, т. е. если
отношения частот любых пар гармоник представляют собой рациональ-
ные числа. Например, сигнал, описываемый функцией

х (/) = Xj sin (2/ + (pj + Х2 sin (5/ + ср2) + Х3 sin (9t + <рэ),
является периодическим, так как числа 2/6, 2/в, Б/в являются рацио-
нальными.

Сигнал х (/), образованный синусоидальными гармониками с произ-
вольными частотами, в общем случае не является периодическим. На-
пример, сигнал

х (t) = Xj sin (2/ + <Pi) 4- X2 sin (5/ 4- <p2) 4- X3 sin (]/60/ 4- <jp3)
не является периодическим, так как отношения частот гармоник
2/}/60 и 5/V60 не являются рациональными числами (и тогда основной
период равен бесконечности).

Такие сигналы называются почти периодическими, встречаются
достаточно часто при суммировании независимых периодических про-
цессов и представляются дискретным или линейчатым спектром
(рис. 6.9). Примером почти периодического сигнала могут служить ко-
лебания корпуса самолета с несколькими двигателями, работающими
в общем случае несинхронно. Общим способом аналитического пред-
ставления сложных сигналов, основанным на понятии огибающей, яв-
ляется преобразование Гильберта.
Рассмотрим сложный сигнал х (f), состоящий из суммы гармониче-
ских составляющих, расположенных в узкой полосе частот,

х (0 = S cos (сок( + фк).	(6.6)

к=0

Каждое слагаемое сигнала можно рассматривать как проекцию
на ось абсцисс вектора Хк (О, находящегося под углом сок t + ф«
к оси абсцисс (рис. 6.10). Эта проекция равна хл cos (сок( -f- фк), т. е.
равна слагаемому сигнала.

Проекция вектора Хк (() на ось ординат

хк (/) = хк sin (сок( + фк).

Сигнал хк (() называют сопряженным сигналу хк {£}. При этом слож-
ный сигнал х (0 может быть представлен в виде

х (t) = хОг (0 cos Ф ((),	(6.7)

где Хог (0 х? (0 + £ (0 — результирующий вектор, который при-
нято называть огибающей сигнала х (().

Огибающая хог (Z) и сигнал х (() никогда не пересекаются и имеют
общие касательные в точках, где сопряженный сигнал xk (() = 0.

Угол сдвига

Ф (() = arctgx (t)/x (t)

является полной фазой сигнала хог (0> т. е. углом, образованным ре-
зультирующим вектором Хог (0 с осью абсцисс.

Если частоты слагаемых в ряде (6.6) расположены в узкой поло-
се частот от сон до сов со средней частотой соо = Юн + Мв , то полная
фаза Ф (() может быть представлена в виде

Ф (() = aot + ф0(0,
где ф0 (() — медленно изменяющаяся функция времени.

В общей теории интеграла Фурье доказывается, что сопряженный
сигнал х (Z) может быть найден по формуле

ОО

* W = 4" J 4=4 dT- <6-8>
— ОО

Справедливо при этом и обратное соотношение

= f 4=4dT-	<6-s>

—ОО

Соотношения (6.8) и (6.9) называют парой преобразований Гиль-
берта. Так как при т = t подыинтегральное выражение обращается в
бесконечность, то эти соотношения следует вычислять как предел

Т-Ц-Л+ J -ГТ-Л .

—оо	t+a

4 RA
Рис. F6.11. Сумма двух синусоиде
отношением частот, близким к еди-
нице (а), сумма синусоид с большим
отношением частот (б).

Преобразование Гиль-
берта для х (0 = cos at
даст х (0 = sin at и соот-
ветственно преобразование
Гильберта для х (t) = sin at
дает х (0 = —cos at. Таким
образом, чтобы получить
преобразование Гильберта
для гармонического сигна-
ла, его нужно сместить на
угол л/2 в сторону запазды-
вания. Преобразование
Гильберта для сигнала х (t),
состоящего из суммы гармо-
нических составляющих,



реализуется поворотом каждой из них на угол л/2 в сторону запазды-

вания.

Представление сигналов в виде (6.7) имеет большое значение и ши-
роко используется при анализе и синтезе сложных непрерывных
сигналов.

Рассмотрим интересный с точки зрения применения случай суммы
двух сигналов с частотами с»! и со2, отношения которых близки к еди-
нице или значительно больше ее.

Полигармонический сигнал, состоящий из двух гармоник с часто-
тами, отношение которых близко к единице, образует биение
(рис. 6.11, а). Если уравнение гармоник

*1 = XlmCOSCO^J	I

х2 = Х2т cos (со + Део) t,)
то уравнение суммарного сигнала-биения

хс = х j	х2 —— хОг (t) s i п Ф (t) =	।

= X\m + X2m + 2XimX2mCOs Aat sin (Ы + cp); !

(X. + X9_ cos Да>/ \	J

Y A f------- I-

X2m sin Део/	I	I

Если Хт > X2m, то гармоника Xi называется главной компонентой,
или главной гармоникой. Частота изменения сигнала внутри каждого
периода биения равна частоте главной компоненты сигнала. Амплиту-
да биения изменяется от суммы Xim + Х2т до разности Х\т — Х2т
амплитуд компонент сигнала. Частота биения равна разности частот
компонент.

Суммарный сигнал-биение не является синусоидой, но по внешнему
виду похож на синусоиду и имеет приблизительно синусоидальный
Рис. 6.12. Примеры непериодических сигналов н их спектров:
а <— экспоненциальный, б затухающий колебательный, в —» прямоугольный.

характер изменения ординат. Отличие от синусоиды определяется непо-
стоянством амплитуды и фазы в течение периода биения. Биение на про-
тяжении каждого периода имеет два характерных участка — «горб»,
где ординаты максимальны, и «талия», где они минимальны.

По соотношению расстояний между пиками «горба» и «талии» бие-

ния можно определить, какая из компонент сигнала — главная или вто-
ростепенная — имеет более высокую частоту. Если расстояние между
соседними пиками «горба» меньше, чем между соответствующими пи-
ками «талии», то это означает, что с»! < со2, т. е- частота главной компо-
ненты с»! меньше, чем частота второстепенной со2, и наоборот.

Огибающие биения — плавные кривые, проведенные касательно
вершинам и впадинам биения. Огибающие биения образуют полосу
огибающих. Ширина этой полосы у «горба» равна удвоенной сумме амп-
литуд компонент 2 (Х|т + Хгт), а у «талии» — разности 2 (Х1т — Х2т)
(рис. 6.II, а). При двухкомпонентном сигнале нижняя огибающая яв-
ляется зеркальным изображением верхней. Частота огибающей равна
разности частот компонент. Амплитуда огибающей равна амплитуде
второстепенной компоненты.

Сигналы, состоящие из двух синусоид с большим отношением час-
тот, характерны тем, что высокочастотная компонента на суммарной
кривой представляется в виде пульсаций, наложенных на низкочастот-
ную (рис. 6.II, б). В этом сигнале огибающая обладает несколько ины-
ми свойствами по сравнению с огибающей биения: ее амплитуда и фаза
равны амплитуде и фазе низкочастотной компоненты, а ширина полосы
равна удвоенной амплитуде высокочастотной компоненты.

Переходные непериодические сигналы отличаются от периодических

и почти периодических тем, что представляются непрерывным спектром.

При постепенном увеличении Т разности частот соседних частотных
составляющих спектра становятся ничтожно малыми, равными dco,
и дискретный спектр частот превращается в непрерывную функцию
х_ (0> т. е. в непрерывный амплитудный спектр. На основе таких пред-
ставлений получают при условии интегрируемости х (f) на интервале
от — оо < t < оо преобразование Фурье или непрерывный комплекс-
ный спектр сигнала

00

X (/со) = j x(t)eiatdt.	(6.11)

-—00

Основные непериодические переходные сигналы описываются сле-
дующими функциями:

экспоненциальной

x(t) = \Xme~at

I 0	t<0;

затухающей колебательной

X (А = ( Х'»е~0/ cos

U (	0	(<0;

(6.12>

(6.13)

прямоугольной

Х(О=|

t < 0; t > ta.

(6.14)

Непрерывный спектр непериодического сигнала, определяемый с по-
мощью анализаторов спектра, также характеризуется совокупностью
важных информативных параметров — полосой частот, экстремаль-
ными значениями, по которым могут быть определены информативные
параметры исследуемого непериодического сигнала х (().

На рис. 6.12 приведены примеры непериодических сигналов и их
спектров. Примером экспоненциального сигнала может служить

Таблица 6. Изображения некоторых встречающихся в измерительной
технике сигналов

Уравнение сигнала	Изображение	Уравнение сигнала	Изображение
А	A/p		1_  (л/) 2		1_  p 2
t  IT sin at	p/(p2 + a^		1
t cos at	р2—а2  (p2 + a2)2	1(0	p~l
 (it t e	(p — a)'2	tn  e~at  sin a>t cos	n!  Pn+l  (P + a)-1 w (p2 + w2)“1 P (p2 + <o2)-1
процесс разряда конденсатора или остывания нагретого тела, затухаю-
щего колебательного сигнала —колебания рамки магнитоэлектричес-
кого гальванометра под воздействием кратковременного импульса и,
наконец, прямоугольного сигнала — механическое натяжение троса,
который в момент ta рвется.

Наряду с частотной формой представления сложных сигналов в виде
преобразования Фурье или комплексного спектра сигнала X (/со) ши-
роко применяют представление сигналов в виде изображений по Лап-
ласу

4-00

Х(р) = J x(t)e~ptdt.

О

Изображения основных видов сигналов представлены в табл. 6.

Разложение сложных сигналов на элементарные.

Обобщенный ряд Фурье

В инженерной практике необходимо уметь «проводить» сложные
детерминированные и квазидетерминированные сигналы через раз-
личные звенья измерительных устройств, а также генерировать такие
сигналы. Эти задачи обычно решаются проще, если сложный сигнал
можно представить в виде суммы элементарных, обладающих указан-
ными ранее свойствами.

Разложение сложного сигнала на элементарные производится по
определенной системе, в частности по системе ортогональных функ-
ций — в обобщенный ряд Фурье

x(t)= Y aKCK(t),	(6.15)

K=1

где ак— коэффициенты членов ряда; Ск — совокупность ортогональных
функций.

Ортогональной называется совокупность функций Ск ((), удовлетво-
ряющая следующему условию на отрезке времени ((2 —

/а-<1 $ c*WCn(t)dt = o,	(еле)

где к = 1, 2, 3, ..., m; п = 1, 2, 3, ..., т при п # к.

Ортогональность двух функций означает, что данная функция не
содержит в своем составе компонент, имеющих форму второй ортого-
нальной ей функции.

Если совокупность функций Ск (0 удовлетворяет также и условию

j Ск(() = 1,	(6.17)

то она называется ортонормированной.

Уравнения для получения значений коэффициентов отряда(6.15)
могут быть получены на основе применения критерия минимальности
190
среднего значения квадрата погрешности приближения о’пр сложной
к~т

функции х (() к ряду S акСк (t) на отрезке времени (t2 — ti). Тогда
К=1

к=т

“12

2	_

О*пр —

<2-/1	/2-/!

j х(0— ^акСк(0 dt. (6.18)

К L “=1

Коэффициенты а* определяем из условий минимума о£пр. Эти усло-
вия получаем, приравнивая нулю частные производные от (6.18) по этим
коэффициентам:

<*4л _ д 1 С Г ,	г гаТя/ а

даг даг t2 — tt J Х	а“Ск di ~ °’

Л

да2	a 1 г Г	т	I2

~д~- = Та--------ТТ J х <0 — 2 акСк (0 dt. (6.19)

иит	иат	h —	ч *	к==[

Если два вышеприведенных условия ортонормированности совокуп-
ности функций Ск (() выполняются, то, решая эти уравнения, полу-
чаем

ак = § х (t) Ск (t) dt.	(6.20)

Если второе условие не выполнено и совокупность функций являет-
ся только ортогональной, но не ортонормированной, то

J х (/) Ск (/) dt

ал = \--------------.	(6.21)

г,

Следовательно, сложный детерминированный сигнал х (() на интер-
вале ((2 — (i) можно заменить суммой т взаимно ортогональных на
этом интервале сигналов Ск (().Погрешность такой аппроксимации бу-
ду/ зависеть от числа членов ряда ш и сходимости ряда. Определим
значение среднего квадрата погрешности приближения:

°хпр

1

/2

<=т ^2	i=tn

x2(t)dt + 'ZaAC2K(t)dt — 2 £ ак)х(()Ск(0
t,	j=i	?,

dt

. (6.22)

Если выполняются условия ортонормальности (6.16) и (6.17), то

х (() Ск (() dt = ак Ci (f) dt = ак.

(6.23)
После подстановки (6.23) в (6.22)

г2	1

ЖПР“ /8-<1

**	к=т

\ х2 (() dt + S Дк —

Г.	К=1

к=т

2 ак =s
£=1

1

к=т

S ак =

К=1

1
t2~tl

х2 [t) dt — (ai + 02 + аз + • • • Ч- ат)

(6.24)

По (6.24) при известных ак можно определить среднее значение квад-
рата погрешности приближения.

В качестве ортогональных используются либо элементарные функ-
ции, например тригонометрические, либо специальные, а именно: комп-
лексные экспоненциальные, полиномы Лежандра, Якоби, функции Ха-
ара, ряд Котельникова.

Наиболее часто в качестве ортогональных используются тригоно-
метрические функции, образующие обычный ряд Фурье. Действитель-
но, нетрудно показать, что множество функций sin псоо( и sin m<s>ot

I 2л \

ортогональны на любом интервале (0; t0 Ч--при произвольных зна-

чениях п и т:

/о~|-2л/(1)0

\ sin nco0( sin maatdt = — -------------sin (n — tn) coo( —

J	oo 2<b0 \_ n — m '	' °

1	• /	,	\ Л Ко+2я/“»

— n-^m sin(n4-m)a>odLo •	(6.25)

Если пит целые числа, то числа п — ти п + т также являются
целыми и интеграл (6.25) равен нулю, а значит, эта система функций
ортогональна. Таким же образом можно показать, что ортогональными
являются системы функций sin п соо( и cos т соо(, cos п mot и cos tn aot.

Обычно используют в ряду Фурье совокупность ортогональных
функций cos п aot и sin п o)0t, в этом случае любой периодический сиг-
нал х (() можно представить на интервале (t0, t0 Ч- 2л/соо) рядом элемен-
тарных сигналов:

f (t) = a0 Ч- aj cos coo( Ч- sin <not 4- a2 cos 2coo( 4-

4- sin 2coo( 4- • • • 4- aK cos kf£>ot 4- bK sin kaot. (6.26)

Если заменить 2 л/соо = T, то

k=<x>

x(() = a04- S (aK cos 6coo( 4- bftsin£coo0, (6-27)

K=1

при t0 < t < t0 4- T.

Коэффициенты ряда Фурье определяются по (6.21):

f Оо = у ) х(0 dt;	(6.28)
ак = -3- j х (t) cos k<>)otdt‘,
^0

2 C

bK = — \ X (t) sin k(iiQtdt.

(6.29)

(6.30)

Тригонометрический ряд Фурье применяют также в следующей

форме:	ОО  х (0 = S Ак cos (псоо/ + фк), Л=0	(6.31)
где		
	Ак = ак + Ьк>	(6.32)
	Фк = — arctg (Ьк/ак).	(6.33)

Аналогично можно показать, что комплексные экспоненциальные
функции (к = 0, ±1, ±2, ...) являются на интервале (t0, t0 +
+ 2л/соо) также взаимно ортогональными при любом t0.

(Оо	/q—j-T4

I =	§	= §	(6.34)

^0	t»

Если к = п, то I = Т, а при к =/= п / = 0.

Следовательно, любой периодический сигнал х (t) можно предста-
вить суммой комплексных экспоненциальных сигналов — с помощью
экспоненциального ряда Фурье

х (/) = Fo + F1eia<>t + F—ie—i^ + F2eF^

+ F_2e~/2“«( + • • • + FKdka,>t + Е_ке_^и<|/.	(6.35)

Коэффициенты экспоненциального ряда Фурье определяются по
формуле

<о+Т

FK = j х (0 e-i^dt.	(6.36)

^0

Экспоненциальный ряд Фурье для периодической функции является
второй формой тригонометрического ряда Фурье.

Периодический сигнал с периодом повторения Т можно представить
состоящим из периодических синусоидальных сигналов с частотными
составляющими ш0 = 2л/Т; 2й0; Зсоо; ^со0. Периодический сигнал
X (0 обладает дискретным или линейчатым спектром, графически изоб-
ражающимся в виде вертикальных линий вдоль оси частот в точках
<оо> 2соо и т. д., причем высота каждой из этих линий пропорциональна
амплитуде данной, частотной составляющей. Обычно частотные состав-
ляющие спектра являются комплексными числами, и поэтому для пред-
ставления данной периодической функции необходимо иметь два диск-
ретных спектра: спектр амплитуд и спектр фаз (рис. 6.13). Заметим, что
во многих случаях частотные составляющие являются только действи-
тельными или только мнимыми, и данный сигнал можно представить
Рис. 6.13. Спектр амплитуд (а) и спектр фаз (б) периодического сигнала.

одним спектром, так как его фазовый спектр постоянен и имеет состав-
ляющие, соответственно равные 0 или 90 °.

Дискретный спектр периодического сигнала, определяемый с по-
мощью средств измерений, называемых анализаторами гармоник,
характеризуется совокупностью важных информативных параметров
сигнала х (t) — значениями амплитуд и фаз отдельных гармоник, по-
лосой частот и др.

«Быстрое» преобразование Фурье

Наиболее распространенным способом анализа спектра мощности
сигналов, т. е. их представления в частотной области, является фильт-
рация с квадрированием, определение спектра по корреляционной
функции и по преобразованию Фурье.

Фильтрация, как правило, осуществляется в анализаторах спект-
ра — устройствах с избирательной амплитудно-частотной характери-
стикой параллельного или последовательного типа. Анализаторы
спектра параллельного действия весьма громоздки ввиду многоканаль-
ное™ и необходимости использования большого числа узкополосных
фильтров. При использовании анализаторов спектра последователь-
ного действия очень велики затраты времени на соответствующие пе-
рестройки фильтров.

Определение спектра по корреляционной функции предполагает
первоначальное измерение корреляционной функции, а затем вычис-
ление спектра. В последнее время широкое распространение получил
способ определения спектра по преобразованию Фурье.

Непрерывное преобразование Фурье (комплексный спектр сигнала)
на конечном интервале Т можно записать следующим образом:

т

Хнепр (/со, Т) =	5 х (/) e-P^dt.	(6.37)

о

При дискретном преобразовании Фурье результат получают после
обработки ряда N дискретных, равно отстоящих друг от друга, мгно-
венных значений хп, полученных от быстродействующего цифрового
измерительного прибора:

хп = х (п Тц),	(6.38)

где п = 0, 1, 2...N — 1;

•, ЛГТЦ = Т.
Рис. 0.14. К быстрому преобразованию Фурье.

Если допустить, что при преобразовании Фурье спектр напряжения
сигнала дискретен по частотной оси с шагом

Аш = 2л/ЛГТц,	(6.3»>

то можно получить следующий дискретный аналог выражения

N—1

Хдискр (/Мш) = S х (пТ„)	(6.40)

231 п=0

где k изменяется от 1 до Л\

При таком определении Лш в (6.40) существует только N различных
ординат спектра, которые можно определить. Для определения каж-
дой k-й ординаты частотного спектра напряжения Хдискр (/Мш) необхо-
димо вычисление с помощью ЭВМ N комплексных ее составляющих.
Следовательно, при k = N для определения всех комплексных ординат
спектра напряжения ЭВМ должна выполнять № операций, каждая
из которых эквивалентна четырем операциям умножения и сложения
действительных чисел. Такое количество операций долгое время пре-
пятствовало широкому распространению этого способа.

В 1965 г. разработан новый алгоритм определения дискретного
преобразования Фурье, позволяющий значительно уменьшить число
вычислительных операций. Суть этого метода, получившего название
«.быстрого» преобразования Фурье (БПФ), заключается в вычислении
преобразований Фурье для более коротких последовательностей, полу-
чаемых путем разбиения N исходных мгновенных значений на части,
и последующем определении «полного» преобразования Фурье по
«частичным».

Предположим, что требуется найти преобразование Фурье ряда
х„ — х (пТц), п = 0, 1,2 N — 1, где N — четно (рис. 6.14).

Разложим исходный ряд на два вспомогательных xt и xt, состоящих со-
ответственно из четных и нечетных отсчетов:

xt = X [2/Тц);

Х( = х 1(2/4- 1)ТЦ],	(6.41)

где I = 0, 1, ..., JV/2 — 1.

Дискретные преобразования Фурье для двух вышеуказанных ря-
дов также состоят из Л/72 членов и могут быть записаны в следующем
виде:

Х(/Ма)~ = 4- S	(6.42)

Х(/Мш)в = -±- S xz(e-/^),2/+1)\	(6.43)

xt	1=0

Полное преобразование Фурье для исходного ряда

N 1

. ~ -1 _

X(jk^)~-±- S (xz(e-^'4xz(e-^T+nAl =

1=0

2У__1

= 4- s lx (2/T ) (e-W^) + x [(21 + 1) Тц] (e-P^)^1*!. (6.44)
1=0

Значения X (jk&a)~ и X (jk^a)= могут быть получены в соответст-
xi

вии с (6.42) и (6.43) с помощью №/2 комплексных операций, а опреде-
ление полного преобразования Фурье, в соответствии с (6.44), потребу-
ет выполнения N 4- №/2 комплексных операций, что значительно
меньше, чем требуется для определения преобразования Фурье в соот-
ветствии с (6.40). Далее, если выбрать N равным числу 2 в целой степе-
ни и произвести дальнейшие возможные расщепления исходного ряда
хп, то для определения полного преобразования Фурье уже потребуется
лишь N log2/V операций. Поэтому общая экономия в числе операций
равна b = N (так, при N = 210, b = 102,4).

Такое существенное уменьшение числа вычислительных операций
дало возможность создать специализированные вычислительные уст-
ройства, позволяющие производить статистический анализ случайных
сигналов с большим (Сокращением времени вычисления. С другой сто-
роны, БПФ позволило значительно быстрее'вычислить спектр напря-
жения непосредственно, затем сглаживать его и определять спектр
мощности, чем это все проделывать с корреляционной функцией.

При определении дискретного преобразования Фурье необходимо
принимать во внимание теорему Котельникова, т. е. выбирать частоту
дискретизации сигнала как минимум в 2 раза более высокой, чем наи-
высшая частота в спектре исследуемого сигнала. В противном случае
последний искажается за счет наложения составляющих с частотами,
выше и ниже частоты дискретизации. Если же исследуемый сигнал со-
держит настолько высокочастотные компоненты, что быстродействие
цифрового измерительного устройства является недостаточным, то
рекомендуется перед измерением дискретных ординат сигнала отфильт-
ровать его высокочастотные составляющие.

Для уменьшения искажений спектра сигнала необходимо также
стремиться к тому, чтобы в реализацию с временной протяженностью
ХТЦ попадало бы целое число периодов исследуемого гармонического
сигнала. При исследовании непериодических сигналов необходимо,
чтобы NTa было бы равно полной длительности исследуемого неперио-
дического сигнала.

6.3. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В большинстве измерительных задач исследуемый процесс и его
параметры являются случайными функциями времени и, следовательно,
входной сигнал X (t) средства измерения в общем случае является слу-
чайным. Если для детерминированного сигнала можно заранее опреде-
лить значения в заданные моменты времени, то для случайного это
является невыполнимым, для этого сигнала можно заранее лишь ука-
зать, с какой вероятностью он будет иметь то или иное значение.

Виды случайных сигналов

Случайные сигналы разделяются на нестационарные и стационар-
ные, эргодические и неэргодические (см. рис. 6.2).

Случайный сигнал полностью характеризуется бесконечным мно-
жеством выборочных функций, которые образуют ансамбль. Предпо-
ложим, что эти реализации происходили одновременно. Если в
заданный момент времени определить мгновенные значения всех вы-
борочных функций случайного процесса, то их совокупность называют
сечением случайного процесса (рис. 6.15).

Сечение характеризуется функцией распределения вероятности и
' плотностью вероятности и другими статистическими характеристиками.

Функция распределения вероятности, или интегральный закон рас-
пределения, при достаточно большом числе N выборочных функций

Р (X, /х) = вер (X (/J < хх).	(6.45)

Оценка функции распределения вероятности или оценка вероятно-
сти определяется по следующей формуле:

Р(Х<хх) = lim n/N,	(6.46)

TV-юо
где АГ — число выборочных функций х, входящих в ансамбль; п —
число мгновенных значений сигнала х, не превысивших значение хъ
по условию X > хи

Плотность вероятности, или одномерный дифференциальный закон
распределения,

р(хъ = Нт-ве-Р^<х^<^ + д) .
д-о	Л

(6.47)

Размерность [р (х)] = 1/[х].р (х) обладает следующими свойствами:
р (х)	0; J р (х) dx = 1.

Важной характеристикой сечения случайного процесса в момейт
времени при осреднении по ансамблю является среднее значение слу-
198
чайного процесса (момент первого "порядка):

k=N

[X (/х)] = lim l/N S xk (^i)»	(6.48)

<V-»oo k=l

где k — номер реализации; N — число реализаций.

Для характеристики статистической временной зависимости случай-
ного сигнала применяют автокорреляционную функцию (смешанный
момент):

k=N

Rx (G. /1 + т) = lim l/N S xk (/x) xk (/x + x).	(6.49)

Л/Ч-ОО	k=i

В общем случае, если среднее значение случайного сигнала
[X (/х)1 и автокорреляционная функция Rx (4, 4 + т) изменяются
с изменением момента времени 4» то такой случайный сигнал относится
к нестационарным.

Случайный нестационарный сигнал X (/) полностью характеризует-
ся многомерным распределением

PN (Х^, 4’	4’	4» • • • >	^n).

Для детального исследования нестационарных случайных сигна-
лов, все моменты которых являются функциями времени, необходимо
очень большое число реализаций, что затрудняет измерение параметров
нестационарных случайных процессов.

Стационарным называется случайный сигнал, закон распределе-
ния которого не зависит от времени. Среднее значение и дисперсия
стационарных сигналов постоянны, не зависят от времени.

Не все исследуемые физические случайные сигналы являются ста-
ционарными. Поэтому необходимо проверить данный физический
сигнал на стационарность. Для этого всю реализацию сигнала разби-
вают на п участков (длительность каждого из них должна превышать
период низкочастотной составляющей) и для каждого участка опреде-
ляют среднее значение Mln [X (/)]. Затем их осредняют и находят сред-
нее значение М* {Л4 [X (/)]} по всей реализации.

ср

На основании полученных данных для каждого участка вычисляют
отклонение среднего Л11п (X (/)] от М* {A^IX (/)]} и ом,. После этого
ср

проверяют выполнение критерия стационарности:

OMt

1	#	Йдоп»	(6.50)

м; {«пхюп

ср

где аДоп — заданное, допустимое значение.'

Затем таким же образом производят проверку стационарности по
отклонениям дисперсии процесса на участках.

В большинстве случаев при исследовании случайных процессов рас-
полагают небольшим числом их реализаций, а иногда только одной
реализацией. При этом определение характеристик случайного про-
цесса путем осреднения по ансамблю реализаций становится невозмож-
ным. Однако многие случайные стационарные физические сигналы об-
ладают свойством эргодичности. Если статистические характеристики
случайного стационарного сигнала, определяемые осреднением по ан-
самблю реализаций, могут быть получены временным осреднением од-
ной реализации, то такой случайный сигнал является эргодическим.

Эргодические стационарные сигналы являются наиболее удобными
для исследования, так как их статистические параметры можно опреде-
лить по одной реализации, обладающей достаточно большой протяжен-
ностью во времени.

Для одной реализации эргодического случайного сигнала X (0
среднее значение и автокорреляционную функцию можно определить
осреднением во времени по следующим формулам:

т

[X (0] = lim \/Т f X (0 dt-,	(6.51)

00

Rx (т) = lim 1/Т J X (0 X (/ — т) dt.

Т-*х q

Условие эргодичности выражают следующим образом:

lim Rx (т) = 0.

Т-*оо

Степень эргодичности данного случайного сигнала оценивают по
его автокорреляционной функции согласно следующему неравенству:

Rx (^max) ^доп,	(6.52)

где Тт» — максимальный интервал корреляции; Ьлоп — заданное до-
пустимое значение.

В дальнейшем будем рассматривать главным образом стационар-
ные и эргодические случайные сигналы и их характеристики.

Основные статистические параметры и характеристики
случайных сигналов

К основным статистическим параметрам случайных сигналов отно-
сят:

плотность распределения р (х);

функцию распределения Р (X < хх);

среднее значение, момент первого порядка [X (01;

среднее значение квадрата, момент второго порядка М2 [X (01;

дисперсию D;

автокорреляционную функцию Rx (т);

спектральную плотность Sx (<л).

Среднее значение сигнала при осреднении по ансамблю в момент
0 определяется по формуле	,	.,. г

Мг [X (4)] = lim l/N S (4)-	(6-53)

*=i

При осреднении данной k-й реализации во времени среднее значение
т

[*л (01 = Ит 1 IT f Xk (0 dt.	(6.54)

T-»oo (J
Рис. 6.16. К определению плотности распределения случайного сигнала^

Среднее значение сигнала характеризует его постоянную состав-
ляющую. Среднее значение стационарного сигнала равно постоянной
величине, а стационарного и эргодического сигнала, найденное путем
временного осреднения одной реализации — среднему значению по
ансамблю реализаций.

Среднее значение квадрата сигнала характеризует суммарную ин-
тенсивность данной реализации:

т

М2 [X (/)] = Hm 1/Т ( X2 (0 dt.	(6.55)

Т-»оо о

Среднее квадратическое значение сигнала равно корню квадратно-
му из среднего значения квадрата:

Хс.к.3. = /М2 [X (/)] = 1/ lim 1/Т ( X2 (/) dt.

Т~*°° о

Стационарный и эргодический случайный сигнал удобно характери-
зовать двумя составляющими: постоянной и переменной. Первая равна
среднему значению сигнала

ЛМХ(/)],

а вторая оценивается дисперсией D [X (/)], характеризующей рассея-
ние сигнала по отношению к среднему значению, и равна среднему
значению квадрата отклонения сигнала от его среднего значения:

т

D [X (/)] = lim 1/Т J {х (0 - Му [X (/)]}2 dt.	(6.56)

Т-»оо Q

Преобразуя уравнение (6.56), получим

П[Х(/)] = М2 [X (/)] - М?[Х (/)].

Следовательно, дисперсия стационарного и эргодического сигнала
равна разности между средним значением квадрата и квадратом сред-
него значения и характеризуется постоянным числом.

С. к. о. сигнала

o(X) = /D[X(0J.

Плотность распределения случайного сигнала, или дифференциаль-
ный закон распределения р (х) характеризует вероятность того, что
мгновенные значения сигнала в произвольный момент времени будут
находиться в заданном интервале значений. Рассматривая реализацию
случайного сигнала X (/) (рис. 6.16), вероятность нахождения сигнала
в интервале значений х и х + А можно определить, вычисляя отноше-

ние

TJT,

где Тх =
i=i *

— суммарное время нахождения сигнала X (t) в ин-

тервале между значениями х и х + Л в течение времени Т\ Т — про-
должительность реализации X (/);

teak

вер [х < X (t) < х 4- А] = lim £ A/j/T.
Т-*ОО 1=1

Одномерная плотность распределения сигнала

р (х) = lim -~ер 1х<Х(0<х + Д1 = цт Г 1 ]jm . (6 57)
д-»о	а	д-»о [ а 1

Одномерная плотность распределения р (х) не содержит координа-
ты времени и не отражает статистической зависимости значений сигнала
при изменении времени. Плотность распределения сигнала — дейст-
вительная неотрицательная функция и для стационарного эргодическо-
го сигнала может быть определена по одной реализации. Через плот-
ность распределения удобно выражается среднее значение случайного
сигнала

ОО

[X (/)} = j X (/) р (х) dx

—ОО

и вреднее значение его квадрата

4-00

М2[Х(/)] = J X2(/)p(x)dx.

—00

Функция распределения, или интегральный закон распределения,
Р (X < хх) равна вероятности того, что сигнал X (i) не превосходит
заданного значения:

4-*!

Р (X < хх) = вер [X (/) < хх] = j р (х) dx. (6.58)

—00

Вероятность того, что X (/) < — оо, очевидно, равна нулю, а ве-
роятность того, что X (/) < оо, равна 1. Следовательно, функция рас-
пределения Р (X) изменяется от 0 до 1.

Вероятность нахождения сигнала в интервале между значениями
хх и ха

Р (X < х2) — Р (X < хх) = Р [хх < X (t) < х2] = j р (х) dx.

xi

Функция распределения, или интегральный закон распределения,
для стационарного и эргодического сигнала также может быть опреде-
лена по одной его Достаточно протяженной во времени реализации.
хт

Рис. 6.17. Примеры сигналов и графики плот-
ностей распределения*.

а — гармонического, б — суммы гармоничес-
кого и случайного, в — узкополосного слу-
чайного шума, г — широкополосного случай-
ного шума.

О
г

Плотность распределения и функция распределения являются весь-
ма важными характеристиками случайного сигнала и измеряются ста-
тистическими анализаторами. По известной плотности распределения
можно определить другие важные параметры случайного сигнала —
функцию распределения, вероятность нахождения сигнала в заданном
интервале и др. Кроме этого, характер плотности распределения дает
возможность установить структуру сигнала, например наличие в нем
гармонической составляющей. Покажем это на примере сравнения реа-
лизаций и плотностей распределения четырех сигналов: гармонического
. (рис. 6.17, а), суммы гармонического и случайного (рис. 6.17, б), узко-
полосного (рис. 6.17, в) и широкополосного (рис. 6.17, г) случайных
шумов. Гармонический сигнал в данном случае рассматривается как
Случайный, поскольку предполагается, что фаза его является случай-
ной величиной. Плотность распределения гармонического сигнала
(рис. 6.17, а, б) со случайной фазой представляется чашеобразной сйм-
метричной кривой, а случайных сигналов (рис. 6.17, в) и (рис. 6.17, г)
г-чаще всего подчиняется закону Гаусса (п. 4.2) и имеет куполообраз-
ную симметричную форму. Сумма гармонического и случайного сигна-
лов имеет характерные особенности плотностей распределения их
обоих — как гармонического, так и случайного сигналов — это иногда
дает возможность по виду плотности распределения определить состав
данного исследуемого сигнала.

Автокорреляционная функция отражает степень линейной стат-
истической связи значений сигнала в данный момент времени от его зна-
чений в другие моменты и для стационарного и эргодического сигнала
определяется по формуле
т

/?х(т) = Hm 1/Т f X (/) X(t + т) dt,	(6.59)

Г—оо g

т. е. равна среднему значению произведения мгновенных значений сиг-
нала, сдвинутых во времени на интервал т.

Автокорреляционная функция достигает максимума в точке т = О
и является действительной четной функцией, т. е.

(0)	| Rx (т) | при любых т;

Ях(— т) = /?х(т).	(6.60)

Значение автокорреляционной функции при временном нулевом
сдвиге т = 0 равно среднему значению квадрата сигнала:

т

Rx (0) = Мг [X (/)] = lim 1/Т0 f X2 (/) dt.

Т-°° g

Значение автокорреляционной функции при временном сдвиге
т = оо равно квадрату среднего значения сигнала (за исключением
некоторых особых случаев, например гармонического сигнала):

RA°°) = Mt [Х(/)].

Коэффициентом корреляции центрированного сигнала гх (т) назы-
вают отношение

Автокорреляционная функция, как и плотность распределения,
также является удобным средством идентификации исследуемого сиг-
нала, поскольку, например, дает возможность установить, является
ли данный сигнал гармоническим или случайным либо их суммой.
Это возможно потому, что автокорреляционная функция гармоническо-
го сигнала также является гармонической функцией т, а случайного,
например центрированного, сигнала с Мх [X (/)! = 0 — затухающей
функцией и при больших сдвигах т стремится к нулю.

Покажем это на примере сравнения автокорреляционных функций
реализаций четырех сигналов, представленных на рис. 6.18. Из
рис. 6.18, а видно, что автокорреляционная функция гармонического
сигнала является гармонической функцией — косинусоидой

Xl

Ях(т) = —2~ cos 2я/от

с частотой /0, равной частоте гармонического сигнала. Автокорреля-
ционная функция суммы гармонического и случайного сигналов
(рис. 6.18, б) представляет собой сумму их автокорреляционных функ-
ций, имеет крутой пик при т = 0 и является незатухающей, гармони-
ческой функцией. Автокорреляционная функция узкополосного слу-
чайного сигнала (рис. 6.18, в) представляет собой медленно затухаю-
щую периодическую функцию.


Рис. 6.18. Автокорреляционные функции
некоторых сигналов:

а — гармонического, б — суммы гармони-
ческого сигнала н случайного шума, в —
узкополосного случайного шума, г — ши-
рокополосного случайного цхума.



Ж



а

2

Указанные особенности автокорреляционных функций дают воз-
можность в ряде случаев различить детерминированный, в частности
гармонический, процесс от случайного, выявить основные особенности
последнего.

Автокорреляционная функция широкополосного случайного сигна-
ла (рис. 6.18, г) с нулевым средним значением представляет собой кру-
той пик (при т = 0), который быстро затухает. В идеальном случае для
предельно широкополосного сигнала в виде белого шума автокорреля-
ционная функция является дельта-функцией при т = 0.

Спектральные характеристики сигнала описывают его частотную
структуру. Реализация случайного процесса X (/) при условии инте-
грируемости в интервале — оо <; t < оо может быть представлена пре-
образованием Фурье или комплексным спектром

4-00

Х(/а>) = 1/2л j Х(/)е-/м'Л.	(6.61)

— 00

Модуль | X (<о) |, называемый спектром сигнала, определяют с по-
мощью анализаторов гармоник спектра, при этом определяется теку-
щий спектр X (ja, Т), являющийся случайной функцией:

т

X (/со, Т) = j X (/) e~la>ldt,	(6.62)

о

где Т — время преобразования.
Важнейшей энергетической характеристикой является спектраль-
ная плотность среднего значения квадрата сигнала, или спектральная
плотность мощности сигнала:

Sx(o) = lim Мг Аю) ,	(6.63)

До)-*0	^(0

где среднее значение квадрата сигнала в интервале частот от со до
+ Аш;

т

М2 (<л, Лм) = lim 1/Т J X2 (/, <о, Лш) dt,
Т-*оо о

где X (t, <л, Лш) — составляющая сигнала X (t), которая имеет частоты
в интервале от со до « + Лш (ее можно получить, пропуская сигнал
через полосовой фильтр с граничными частотами и <о + Лш, среднее
значение ее квадрата в полосе частот от <л до « + Лш получают возведе-
нием в квадрат сигнала на выходе полосового фильтра и последующим
его осреднением).

Спектральная плотность мощности сигнала может быть получена
из автокорреляционной функции Rx (т) прямым преобразованием
Фурье:

Sx (/«) = J Ю e-i^dx
—ОО

или, принимая во внимание, что автокорреляционная функция являет-
ся четной,

00

Sx (/“) = 2 У Rx (т) cos (®т) dx.

о

Спектральная плотность мощности сигнала обладает следующими
свойствами:

является действительной и неотрицательной функцией;

при ограниченной дисперсии случайного сигнала

lim Sx(<a) = 0.

©-♦00

Среднее значение сигнала можно выразить через спектральную
плотность мощности с помощью дельта-функции:

[X (/)] =	1/2л j Sx («>) S (со — 0) do. (6.64)

о

Интеграл от спектральной плотности мощности случайного сигнала
равен среднему значению его квадрата

00

Л42 [X (/)] — 1/2л j Sx («>) do.	(6.65)

о

Таким образом, среднее значение квадрата сигнала равно суммар-
ной площади под кривой спектральной плотности как функции час-
тоты.
Рис. 6.19. Энергетические спектры реализаций
четырех сигналов:

а — гармонического, б — суммы гармоничес-
кого сигнала и шума, в — узкополосного слу-
чайного, г — широкополосного случайного.

Спектральная плотность сигнала на входе Sx (со) и выходе Sy (и)
линейного звена с постоянными параметрами связана соотношением
sy (“) = IК (/«) I2 s* (®)>	(в.вв)

где I К (/<о) | — амплитудно-частотная характеристика звена.

Следовательно, если известны или измерены любые две из трех
функций (<о), Sy (со) и | К (/«>) |, то третья может быть определена
из (6(Т6). Однако в этом случае определяется только абсолютное зна-
чение частотной характеристики. Для получения ее комплексного зна-
чения необходимо найти взаимный спектр сигналов.

Спектральная плотность мощности сигнала дает возможность преж-
де всего установить его частотную структуру и доминирующую частот-
ную область.

Спектральная плотность мощности сигнала, кроме этого, также, как
и плотность вероятности и автокорреляционная функция, используется
для идентификации исследуемых сигналов. С ее помощью можно уста-
новить, является ли данный сигнал гармоническим или случайным.
Покажем это на примере сравнения энергетических спектров реализа-
ций четырех сигналов, представленных на рис. 6.19.

Энергетический спектр гармонического сигнала с частотой <оо пред-
ставляется дельта-функцией при <о = <оо (рис. 6.19, а) и определяется
по формуле	=	(в.®7)

где 6 (со — (оо) — дельта-функция на частотной оси.
Энергетический спектр суммы гармонического сигнала и шума
(рис. 6.19, б) представляется в виде суммы дельта-функции и пологого
энергетического спектра. Энергетический спектр узкополосного случай-
ного сигнала имеет характерный пик в области основной частотной со-
ставляющей и пологую часть (рис. 6.19, в).

Указанные особенности энергетического спектра дают возможность
различать гармонический, широкополосный и другие сигналы.

Энергетический спектр широкополосного сигнала (рис. 6.19, г)
представляется обычно относительно пологой кривой. В идеальном слу-
чае для предельно широкополосного сигнала в виде белого шума энер-
гетический спектр одинаков на всех частотах и представляется гори-
зонтальной прямой.

Совместные и условные характеристики
случайных сигналов

Описанные выше статистические характеристики дают возможность
оценить и исследовать только отдельно рассматриваемые случайные
сигналы по их реализациям. Однако иногда перед исследователем ста-
вится задача измерения параметров и характеристик системы, состоя-
щей обычно из двух случайных процессов, статистически зависимых
между собой. Таким образом, возникает необходимость в наличии сов-
местных или условных характеристик случайных сигналов в амплитуд-
ной, временной и частотной плоскостях. Рассмотрим следующие ха-
рактеристики случайных сигналов: совместную плотность распределения,
условную плотность распределения, взаимную корреляционную функ-
цию и совместную спектральную плотность мощности, которые описы-
вают случайный сигнал соответственно в амплитудной, временной и
частотной плоскостях. При этом будем рассматривать только эргоди-
ческие сигналы и, следовательно, определять совместные характеристи-
ки процессов на основании осреднения во времени их двух соответст-
вующих реализаций.

Совместная плотность распределения р (х, у) характеризует вероят-
ность того, что мгновенные значения сигналов X (/) и У (/) будут в
произвольный момент времени одновременно находиться в двух задан-
ных интервалах (рис. 6.20). Рассматривая две реализации сигналов
X (/) и Y (/), можно показать, что вероятность одновременного нахож-
дения сигналов X (t) и Y (/) в интервале соответственно между х и
х + Ах, у и у + 4, равна

Тху/Т при Т->оо,
1=/г

где Тху =	— суммарное время одновременного нахождения сиг-

налов X (t) и Y (t) в интервалах соответственно между х и х + Ах,
у и у + Aj,; Т — продолжительность реализаций X (/) и Y (/);

t=k

вер {[(х<Х(0<(х + Аж)][г/<У(0<(г/ + Ар)]} = Пт

г	7'-°° г=1	1
Совместная плотность распределения сигналов

р(х, у) = lim вер {[* < * (0 < С* + А*)1 [У < у (0 < (У + ау)Р =

’ Д -»0	AxAV

Д*-0

= lim lim [Тху!Т\!Ax&v.	(в.О8)

Д*-*0 Т-*оо
д^о

Совместная плотность вероятности р (х, у) сигналов X (/) и Y (/)
ожет быть очень просто определена по плотностям вероятности каж-
ого из них в отдельности, если они статистически независимы:

р(х, у) = р(х)р(у).

На основе этого соотношения, измеряя р (х; у), р (х) и р (у), можно
проверить, являются ли сигналы X (/) и Y (/) статистически независи-
ыми. Если известно, что сигналы X (/) и Y (/) статистически незави-
имы, то можно определить одну из плотностей вероятности по ре-
зультатам измерения двух других.

Для характеристики двух статистически зависимых случайных
игналов применяется также совместная функция распределения
Р (х; у), которая равна вероятности того, что сигналы X (/) и Y (/) не
превосходят заданных значений х и у (рис. 6.20, а):

х %

Р (х, у) = вер [X (/) < х; y{t)<y} = j j р(х, г/) dx dy.

-ОО -00

График совместной плотности распределения р (х, у) является трех-
мерным (рис. 6.20, б). Вероятность Р (хх < X < х2, У!<_ Y <. у2)
того, что сигналы X (/) и Y (/) одновременно находятся в пределах
соответственно между значениями хг и х2, У1 и Уг> равна объему, кото-
рый заключен между плоскостями, ограниченными прямыми х1( х2 и
ух, у2, и поверхностью тела р (хъ у), находящейся между ними. Объем
всего тела р (х, у) равен единице.

Условная плотность распределения р (х /у) характеризует стати-
стическую зависимость случайного стационарного сигнала X (/) при
условии, что второй случайный стационарный сигнал принимает опре-
деленное значение:

Р (х/у) =	(х/у)/дх,	(6.69)

где Р (х/у) — вероятность того, что сигнал X (/) не превышает значе-
ния х, при условии, если второй случайный сигнал Y (/) принимает
определенное значение;

Р (х/у) = вер [х < X (/) < х Лж/г/ <_ У (/) < у 4- ЛЛ/Лх.
д -*о
АГ°

Условная плотность распределения вероятностей р (х/у) может
быть определена через совместную плотность
ностей сигналов X (f) и Y (/):

... Р (х, у)
р(х№=-$ъг-

Условное среднее значение стационарного случайного сигнала X
при данной величине у

ОО

Мх1у[Х1У = у] = j Xfix/y)dx-,
— 00

Мх1у{Х1У = у] = fper(y).

Эту функцию называют функцией регрессии случайного сигнала у.
Например, условная плотность распределения используется для опи-
сания изменения случайной погрешности Л вдоль шкалы прибора.

Взаимная корреляционная функция двух сигналов X (/) и Y (/) ха-
рактеризует общую статистическую зависимость их значений и для
эргодических сигналов определяется по следующей формуле:

т

РхУ (т) = lim 1/Г j X (t) У (I 4- т) dt,	(6.70)

Т-»оо 0

т. е. равна среднему значению произведения мгновенных значений
сигналов X (/) и У (/), сдвинутых во времени на интервал т.

распределения вероят-


Если Rxy (т) = 0, то, следовательно, сигналы X (/) и Y (/) некор-
релированы между собой. При этом должно быть равно нулю среднее
значение одного из сигналов X (/) или Y (/).

Абсолютное значение Rxu (т) ограничивается двумя неравенствами:
1^(^)|2<^(0)/?,(0);	(6.71)

+	(6.72)

Взаимная корреляционная функция применяется для определения
взаимных временных характеристик и параметров исследуемых
сигналов, например для измерения времени задержки. На взаимокор-
реляционной функции входного и выходного сигналов исследуемого
линейного звена в момент, когда т равно времени задержки, появляется
пик. Взаимная автокорреляционная функция применяется также для
обнаружения сигнала в шуме и определения его автокорреляционной
функции и др.

6.4.	СИГНАЛЫ С ПОМЕХАМИ

Наряду с полезным сигналом на средство измерений действуют
также и помехи. Помехами в ИИТ называют физические процессы
обычно однородные, со входным или промежуточным сигналом и вызы-
вающие появление погрешности. Помехи рассматриваются как случай-
ные процессы и описываются такими же моделями, как и сигналы.

Результатом действия помехи является погрешность средства
измерений. Вид возникшей погрешности определяется видом помехи:
случайная помеха вызывает случайную погрешность и т. д. Однако вид
связи возникающей погрешности с измеряемой величиной зависит от
вида функциональной связи мгновенного значения входного сигнала
и измеряемой величины. Нелинейная зависимость измеряемой величи-
ны от мгновенного значения входного сигнала может привести к
появлению мультипликативной погрешности от помех.

Необходимо устранить или ослабить воздействие помехи на средст-
во измерений. Выясним влияние помехи на основные характеристики
сигнала при аддитивном их взаимодействии в трех основных случаях.

1.	Если сигнал х (/) и помеха х„ (/) являются квазидетерминирован-
ными, суммарный сигнал х2 (t) = х (/) + хп (/). Предположим, что ~
х (/) и хп (/) — импульсы. Тогда спектр суммарного сигнала

Xs (/«) = X (/ш) + Хп (/<»),	(6.73)

где X (/«>) и Хп (/<£>) — спектры соответственно х (/) и хп (/).

Энергия суммарного сигнала

4-00

Еs = j xs (t) dt = Ex + EXn + 2EXXa =
—00

4-00	4-00	4-0°

= j x2 (t) dt + j Xn (/) dt + 2 j X (/) xn (t) dt, (6.74)
—00	—00	—00

где EXxa — энергия взаимодействия сигнала и помехи.
Если сигнал и помеха ортогональны, то ЕХХц = 0. Корреляционная
функция суммарного сигнала в этом случае

V

(т) = j xs (t) xs (t — x)dt = Rxx (x) + RXaXn (x).	(6.75)

—oo

2.	Если сигнал является квазидетерминированным, а помеха слу-
чайной, то суммарный сигнал

Х2(0 = х(0Ч-Хп(0

может рассматриваться как нестационарный сигнал, у которого ма-
тематическое ожидание является функцией времени. Сигнал и помеха
в этом случае взаимонезависимы, поэтому корреляционная функция
суммарного сигнала

Rs (т) = Rx (т) + Rxa (т).	(6.76)

Если сигнал периодический, то Rx (т) является периодической функ-
цией, a Rxn (оо) = 0. Это используется для выделения периодического
сигнала из случайной помехи.

3.	Если сигнал и помеха являются случайными, то

х2(0 = Х(0 + хп(п.

В этом случае плотность вероятности р2 (х) сигнала Х2 (t) будет равна
свертке распределений р (х) и р (хп). Корреляционная функция суммар-
ного сигнала

Rs (т) = Rxx (т) + Rx^a (т) + RXXa (т) + RXaX (т).

Если X (0 и Хп (0 некоррелированны, то

Rxx„ (т) = 0 и /?ХпХ(т) = 0.

Тогда

^(т) = ^(т) + 7?ХпХп(т).

[Энергетический спектр суммарного сигнала

V

(со) = } Rx (т) e-i^dt = Sxx (<о) +

—оо .

+ sxnxn (ы) + $ххп (<о) + SXnX (w).	(6.77)

Если X (0 и Хп (0 некоррелированы, то

<$ххп (®) = 5ХПХ (<о) = 0.

Способы борьбы с помехами в значительной мере зависят от их
спектра, характера исследуемого сигнала и характера помехи, являет-
ся ли помеха внутренней или внешней.

Внешние помехи возникают из-за различных естественных электро-
магнитных процессов и создаются различного рода электроустановками
t (индустриальные помехи).

Внутреннйе (собственные) шумы электро- и радиоизмерительных
устройств возникают «из-за теплового движения заряженных частиц
р элементах электрических цепей и дробового эффекта в электронных
приборах. На низких частотах во многих совершенно различных эле-
ментах электронных приборов, начиная примерно с 1 кГц, проявляется
фликкерный шум, спектральная плотность мощности которого

S (ю) = Д/| (о |а,	(6.78)

где 0,6 < а < 3.

Для ослабления мешающего действия помех целесообразно, если
это возможно, устранить причины их возникновения: улучшают состоя-
ние контактов, используют экранирование, искрогасящие устройства,
применяют специальные фильтры, например сетевые.

Для уменьшения собственных шумов используют усилительные эле-
менты с малым уровнем шумов; применяют охлаждение. В ряде случаев,
несмотря на все эти меры, полностью избавиться от влияния помех ока-
зывается невозможным. Путем измерительного преобразования суммы
сигнала и помехи необходимо оптимальным методом выделить инфор-
мативный параметр исследуемого сигнала — его амплитудное, дейст-
вующее или среднее значение, частоту и т. д. [76].

По основным свойствам помехи можно разделить на три основные
группы: флюктуационные, сосредоточенные и импульсные.

Флюктуационная помеха в общем случае представляет собой хао-
тическое, беспорядочное изменение во времени напряжения или тока
в какой-либо электрической цепи. Ее часто называют также шумовой
помехой или просто шумом.

Внутренние шумы усилительных элементов средств информационно-
измерительной техники являются типичным примером флюктуацион-
ной помехи, ее спектр может заполнить всю полосу пропускания СИ.

Сосредоточенными называют помехи, основная часть мощности ко-
торых сосредоточена на отдельных участках диапазона частот, меньших
полосы пропускания СИ. Примером сосредоточенной помехи является
помеха с частотой напряжения промышленной сети (или кратной этой
частоте).

Импульсной помехой называется регулярная или хаотическая по-
следовательность импульсов. Источником такой помехи могут быть циф-
ровые узлы или коммутирующие элементы СИ или работающего рядом
устройства. К импульсным относятся помехи промышленного проис-
хождения (помехи от устройств зажигания двигателей внутреннего
сгорания, помехи от линий электропередач и др.).

Влияние флюктуационной помехи уменьшаются при осреднении.
В общем случае при измерении параметров сигналов произвольной
формы — оптимальная структура измерительного преобразователя со-
держит перемножитель исследуемого сигнала и образцового сигнала
и интегратор результатов произведения. Применительно к задаче из-
мерения параметров гармонических сигналов (амплитуд и фазовых
сдвигов) широкое применение получил метод синхронного детектиро-
вания. В этом случае исследуемый гармонический сигнал (и помеха)
перемножаются с опорным напряжением той же частоты, а результат
произведения осредняется фильтром нижних частот или интегратором.
Максимально возможно уменьшение влияния флюктуационной помехи
на результат измерения в том случае, когда спектральная плотность
помехи постоянна в пределах полосы пропускания измерительного пре-
образователя, т. е. помеха имеет характер белого шума.

Для уменьшения влияния флуктуационной помехи используют так-
же полосовые RC- или LC-фильтры, частота резонанса (или квазире-
зонанса) которых выбирается равной частоте исследуемой гармоники
сигнала.

Эффективность подавления сосредоточенных помех в значительной
мере определяется достоверностью априорных данных о их частотном
спектре. Так, при изменении частоты промышленной сети в ряде слу-
чаев измеряют текущее значение периода сетевого напряжения и ис-
пользуют эти данные для изменения времени осреднения измеряемого
напряжения. К сосредоточенным помехам, встречающимся в практике
разработки электроизмерительных устройств, можно отнести пуль-
сации выпрямленного напряжения при измерении среднего или дейст-
вующего значений переменных напряжений. В этом случае используют
многозвенные фильтры нижних частот (п. 6.13).

Осреднение измеряемой величины с целью уменьшения влияния
помех может осуществляться как аналоговыми звеньями (полосовыми
фильтрами, интеграторами, фильтрами нижних частот), так и цифро-
выми, например счетчиками или сумматорами кодов. Цифровое осред-
нение используется в цифровых частотомерах, измерителях периода,
преобразователях фаза — код. Применение наиболее простых алго-
ритмов осреднения предполагает неизменность информативного пара-
метра измеряемого сигнала в течение времени измерения.

6.5.	ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

Измерительные сигналы преобразуются в различных физических
звеньях измерительных цепей. При этом характер преобразования оп-
ределяется свойствами данных звеньев, описываемыми соответствую-
щими функциями, которые могут символизировать любую математи-
ческую операцию: интегрирование, дифференцирование, умножение
И т. д.

Связь между выходным // (/) и входным х (/) сигналами звена описы-
вается уравнением

</(/) = /[*(/)],
где f — символ функции.

Физические звенья в зависимости от свойств их параметров разде-
ляются на линейные и нелинейные, безинерционные, или статические,
и инерционные, или динамические, стационарные с постоянными и не-
стационарные со случайными параметрами. Любой преобразователь
можно представить в виде самой сложной модели — нелинейной, инер-
ционной и нестационарной, поэтому выбор модели аналогового преоб-
разователя всегда является компромиссом между стремлением к более
полному описанию и необходимостью упрощения преобразований.
В качестве моделей аналоговых преобразователей используются звенья:
1) линейное статическве; 2) нелинейное, или функциональное, стати-
ческое; 3) линейное инерционное, или динамическое с постоянными па-
раметрами; 4) нелинейное инерционное.

Линейными называются функции, удовлетворяющие двум условиям
суперпозиции:

аддитивности

f [*1 (О + Х2 (/)] = f [Хг (/)] + f [х2 (01;

однородности

f[Cx(t)] = Cf[x(t)],
где С = const.

Линейными являются звенья с параметрами, не зависящими от па-
раметров преобразуемого сигнала.

Уравнение линейного статического звена

у =

где Ау — смешение характеристики звена.

В предварительном анализе измерительной цепи по возможности
следует все блоки моделировать линейными статическими звеньями, что
существенно упростит решение задачи.

Для нелинейного статического звена

Нелинейные статические звенья подразделяются на квазилинейные
и функциональные. Квазилинейные звенья характеризуются незначи-
тельной нелинейностью и часто представляются номинальной линей-
ной характеристикой. В этом случае отклонение действительной ха-
рактеристики у = f (х) от линейной номинальной является погреш-
ностью от нелинейности, при этом

у = Кнх + Ьу + &Уя(х),

где Аг/Н (х) — погрешность от нелинейности.

Функциональным, или нелинейным, звеньям характерна сущест-
венная нелинейность. Уравнение измерения (п. 2.2) является всегда
линейным ввиду постоянства единицы данной величины. При нали-
чии в измерительной цепи автономного измерительного устройства не-
линейного звена необходимо принять меры к линеаризации преобразо-
вания (п.6.8). В простейшем случае для этой цели последовательно с
данным нелинейным звеном с уравнением у = f (х) включают второе
нелинейное звено с обратной функцией преобразования f~l.

Функция f~l символизирует операцию, обратную операции f. При
этом

f~'f |х] = х.

Примерами взаимообратных функций являются: возведение в квадрат
и извлечение квадратного корня, прямое и обратное преобразования
Фурье, логарифмирование и антилогарифмирование и т. д. Характер-
ным для измерительной техники примером взаимообратной функции яв-
ляется функция нелинейного измерительного преобразователя пока-
зывающего прибора

а = f [х]
и функция неравномерной шкалы этого прибора, благодаря которой
обеспечивается линейная зависимость между выходными числовыми
значениями измеряемой величины xn и значением входной величины х;

Xn = Г' [«]-	(6.79)

Тогда

ХЛ/ = Г’ {f W}«X.

XN^X

Преобразование сигнала в инерционных звеньях

Случайный сигнал X (/), действующий на входе линейного инер-
ционного звена, в общем случае может иметь любую форму. Задача
определения выходного сигнала ХВых (0 решается с помощью интегра-
ла свертки или интеграла Дюамеля. В этом случае сигнал любой формы
(рис. 6.21) представляется в виде суммы примыкающих прямоугольных
импульсов с амплитудами X (т() = X (пАт) и длительностями Ат. При
предельно минимальной величине Ат каждый из них может быть пред-
ставлен дельта-функцией с «площадью»

X (тг) = j X (/) 6 (/ — т() dt.	(6.80)

о

Действие на входе звена единичного импульсного сигнала вызовет
соответствующий выходной сигнал, который равен импульсной харак-
теристике, звена — h (/). Функция h (/) должна удовлетворять двум
условиям:

физической реализуемости, при этом
h (/) = 0, если t < 0;

абсолютной интегрируемости для обеспечения асимптотической
устойчивости системы

00

(I h (t) I dt < ОО.

Рис. 6.21, Представление сигнала в виде
суммы импульсоцг

Суммарный выходной сигнал ли-
нейного звена (рис. 6.21) в этом
случае на основе принципа супер-
позиции состоит из бесконечной
суммы импульсных реакций звена,
сдвинутых во времени соответству-
ющим образом, и выражается с по-
мощью интеграла свертки:

t

У (t) = § X (т) h (t — т) dx.
о

Интеграл свертки, который в те-
ории сигналов имеет очень большое
значение и является основой для
решения многих практических за-
дач, можно выразить в двух формах:
t

У (0 = j X (т) h (/— т) dr;	(6.81)

о

t

У (0 = j h (т) X (/ — т) dr.	(6.82)

о

Интеграл свертки часто удобно представлять не через импульсную
характеристику звена h (0, а в виде интеграла Дюамеля, через пере-
ходную характеристику звена

t

hi (0 = j h (0 dt.	(6.83)

0

В этом случае его можно представить в следующих четырех формах:

t

y{t) = X (0) h± (0 + J X' (r) hl (t — r) dr;

0

t

y(t) = X (0) hl (t) + J X' (/ — r) hl (r) dr;

0

t

У (0 = hl (0) X (0 + J x (r) hi (t — r) dr;

0

t

у (/) = hl (0) X (/) + j X (/ — r) hi (r) dr.

0

Одну из этих форм выбирают в зависимости от того, какое из произ-
ведений сомножителей X (г), X'(г), hi (т) и hi (т) более удобно для инте-
грирования.

Однако часто при сложных аналитических формах сигнала, а также
при графическом задании входного сигнала трудно аналитически опре-
делить выходной сигнал. В этом случае рекомендуется применять при-
ближенное определение интеграла свертки.

Если сигнал х (0 задан графически, то представляем его кусочно-
линейной функцией Хлнн (0 ~ х (0, состоящей из п участков, на каждом
из которых данный участок сигнала х (0 заменяется прямой
(рис. 6.22, а). Затем дифференцируем по участкам функцию хЛНн (0 и
получаем ступенчатую функцию — приближенное выражение первой
производной сигнала x'(t)

Хступ (0 = ^лнн (0.

Высота каждой ступени функции хступ (0 равна тангенсу угла нак-
лона прямой на соответствующем участке функции хЛин (0 (рис. 6.22, б).
После дифференцирования функции хступ(0 получаем приближенное
выражение для второй производной сигнала х" (0. Последняя состоит
из совокупности сдвинутых во времени импульсных дельта-функций,
для второй производной выходного

/(0= S

i=0

Рнс. 6.22. К графо-аналитическому опреде-
лению интеграла свертки:
а — представление сигнала кусочно-лнней-
ной функцией: б — производная сигна-
ла — ступенчатая функция; в — вторая
производная сигнала — совокупность сдви-
нутых во времени импульсных функций.

«площадь» ас каждой из которых
равна разности высот — смеж-
ных ступеней функции Хступ (О
в моменты х< (рис. 6.22, в).

х"(/)« 5\б(/-х<).

1=0

Принимая во внимание, что
дифференцированию входного
сигнала соответствует дифферен-
цирование выходного, то, опре-
деляя сумму произведений из-
вестных значений импульсной
характеристики звена h (/ — х()
на полученную совокупность им-
пульсных дельта-функций ait по-
лучим приближенное выражение
сигнала звена:

Для определения искомого выходного сигнала звена у (/) дважды
интегрируют выражение у" (/). При этом двойное интегрирование
производится собственно только один раз для первого участка, а выра-
жение выходного сигнала на последующих участках определяют соот-
ветствующим сдвигом во времени и изменением коэффициента а{. По-
вышение точности приближенного определения выходного сигнала у (/)
можно осуществить увеличением числа интервалов при кусочно-линей-
ной аппроксимации входного сигнала х (/).

Рассмотрим особенности прохождения сигнала через нелинейное
и инерционное звено.

Сигнал на выходе нелинейного инерционного звена выражается с
помощью ряда Вольтерра, имеющего следующий вид:

г/(/)= J /ix(x)x(Z — x)dx JJ/i2(Ti> ^)x{t — xx) x

X x(t — x2)dxldxi+ ••• =Х-7Г J ••• J h^' ••••'tJ x
n=l	—00	-00

(6.84)

n

X П x(t — xf)dxf,
r=l
где Лп(тц .... т„) — импульсная характеристика n-го порядка — вы-
ходной сигнал нелинейного инерционного звена прн подаче на его вход
n-мерной 6 функции [66].

Для квадратического инерционного звена
ОО 00

У (0 = -$г У У (Ti> т2> * G — *1) X(t — т2) dTxdT2.

—00 —00

В общем случае для нелинейного инерционного звена с малой не-
линейностью слагаемые, начиная со второго, характеризуют абсолют-
ную погрешность нелинейности, т. е.

«О	00	00	п

Ah(O=^-^-J ••• J	Т„)Х Пх(/-Т,)Й,. <6.85)

n=s2	—оо	—оо	г—2

Частотные характеристики линейных динамических звеньев

Если правую и левую части формулы для интеграла свертки ум-
ножить на е~р1, то, интегрируя в пределах от 0 до + оо, можно полу-
чить выражение для передаточной функции К (р) данной системы, а
также простое алгебраическое выражение, связывающее изображения
входного L [х (/)] и выходного L [у (/)] сигналов по Лапласу:

J у (t) e~ptdt = J e~ptdt J x (x) h (/ — x) dx.	(6.86)

0	0	0

После интегрирования получаем

Hy(t)] = K(p)L[x(t)],

. откуда передаточная функция звена

% (р\ —	=	.	(6.87)

л W L [х (/)] X (р) ’

К(р)= ]h(x)e~pXdx. '
о

Если"правую и левую части формулы для интеграла свертки умно-
жить на е~^ и интегрировать обе части уравнения в пределах от — оо
до + оо, то произведем преобразование Фурье и получим выражение
для комплексной частотной характеристики К данной системы, а
также простое выражение, связывающее изображения по Фурье выход-
ного и входного сигналов:

J у (/) e~,atdt = J e~iatdl \x(x)h(t — х) dx.

После интегрирования получаем

У О) = К (» X	(6.88)


Таблица 7. Характеристики основных типов линейных статических и динамических звеньев

1 Тип звена ।	Комплексная частот- ная характеристика	Передаточная функция	Переходная характеристика			Импульсная характеристика		Амплитудно-частотная и фазо- частотная характеристика		
1 Безынерционные I	1 К (j<o) = к	Х(р) = Х	hili)			li.fi/				
										
			<7	t h. (П = К		0  Л	-t  (0 = Кб (П	0	о  Л(<о) = Х; <р(<о)=О		

(ческое I поряд!

х«“> -TT!=f

К(р) =
к

1 +рт

h (0 - К (1 - е-//т)



± -
f 2

S

-/ 0

‘ зг
г

0

S

<р (<х>) = — arctg <от
к w =
к

I
3

5

a>
4
о

. *

К (/<o) =

К

1 + 2/<i>Pt —
— <о2т2

+ 2₽тр +

К

. 2P
I--P-

+ —

+ <72

1

<? = V

hrt = K

X

1 — e_pz/T x

sin (p^l — Pa t +

/i-р2

откуда комплексная частотная характеристика звена

«</“>-<в'8”

Х(/ш) = J h (т) e-/“Tdx.
— 00

Следовательно, комплексная частотная характеристика звена равна
комплексному спектру его импульсной характеристики, является комп-
лексным числом и представляется в виде суммы действительной и мни-
мой составляющих:

| X (»| е“'‘ arg Л(/ш> = Хя (ш) + /Хми (<->) = X (/<->),	(6.90)

где | К (](&) | — модуль комплексной частотной характеристики, или
амплитудно-частотная характеристика системы;

I к (/ш) I = //<2Д(®)+ №„«(<->),	(6.91)

где arg X (/со) — главное значение аргумента комплексной частотной
характеристики, или фазо-частотная характеристика системы, находя-
щаяся в пределах ±л;

argX(/«) = tg <р	при (со) #= 0.

При случайном входном сигнале в общем случае можно определить
спектральную плотность выходного сигнала динамического линейного
звена

Sy (®) = | К (/<») I2 Sx («).	(6.92)

Характеристики основных типов линейных статических и динами-
ческих звеньев приведены в табл. 7.

Сигнальные графы основных измерительных цепей

Для составления уравнений преобразования сложных линейных из-
мерительных преобразователей используют метод сигнальных графов.
Сигнальным графом называют условное графическое изображение,
состоящее из узлов и ветвей. Узлы служат для представления в них
сигналов — обычно в виде изображений их по Лапласу X (р). Ветви
служат для представления передаточных функций звеньев К. (р). Сиг-
нал в узле 1 Xi (р) после прохождения ветви 1—2 с передаточной функ-
цией Х\-2 (р) получает в узле 2 изображение (рис. 6.23, а):

Y(p) = X(p)Ki-2(p).	(6.93)

Сигналы, входящие и выходящие из данного узла, суммируются
соответствующими знаками (рис. 6.23, б)

Х2(р) = Х1(р) + Х3(р).

Известны три основных способа соединения звеньев:

Последовательнее соединение, в котором выходной сигнал каждого
Рис. в.23. Сигнальные графы:
а и прохождения сигнала через звено; б — вычитания сигналов.

предыдущего звена подается на вход последующего (рис. 6.24, а). Не-
посредственно из этого графа следует передаточная функция последова-
тельного соединения, равная произведению передаточных функций
звеньев

К.(р) = К1(р)К2(рУ,

п

КО(Р)= П^(р).

1—1

Параллельное соединение, в котором на соединенные входы всех
звеньев подается общий входной сигнал, а выходы всех звеньев соеди-
нены через сумматор (рис. 6.24, б). Сигнальный граф параллельного
соединения представляет собой параллельную связку всех однонаправ-
ленных ветвей, при которой их входные и выходные узлы соответствен-
но объединены.

Из этого графа следует, что передаточная функция параллельного
соединения равна сумме передаточных функций ветвей или звеньев;

Ке(р) = К1(р) + К2(р);

Kc(p)=f КАрУ
i=i

Встречное параллельное соединение замкнутая схема или соедине-
ние с обратной связью, при котором одно из звеньев (называемое звеном
обратной связи) осуществляет обратную связь (рис. 6.24, в). Сигналь-

Рис. 6.24. Сигнальные графы:
а — последовательного соединения: б — параллельного соединения; в — встреч*
ио-параллельного соединения-
Рис. в. 25. Измерительное устройство с автоматический введением аддитивной по-
правки:

а — структурная схема; б — сигнальный граф.

ный граф этого соединения представляет собой параллельную связку
двух разнонаправленных ветвей. Из этого гр#Фа получаем передаточ-
ную функцию замкнутой схемы.

Изображение сигнала в узле А3

Д (р) = X (р) — Хк (р).	(6.94)

Изображение сигнала в узле Б

У(р) = Х1(р)Д(р).	(6.95)

Изображение сигнала в узле Л2

Хк(р) = ₽(р)Г(р).	(6.96)

Из уравнений (6.104; 6.105; 6.106) получаем

У(р) = хе(Р)Х(р);	(в-97)

к (о) ______^Sp).... . .	(6.98)

1±X1(P)₽(P)

В знаменателе (6.108) знак плюс соответствует вычитателю в узле
А, т. е. отрицательной обратной связи, а зйак минус соответствует
сумматору в точке Л, т. е. положительной обратной связи.

Рассмотрим пример нахождения передаточной функции ИП с авто-
матическим введением аддитивной поправки по структурной схеме и
сигнальному графу (рис. 6.25).

Из сигнального графа получаем

у (Р) = Л (р) + Х2 (р) [X (р) - хк (р)];

У (р) = X (р)	(р) + X (р) Х2 (р) - X (р) Xi (р) Х2 (р) ₽ (Р).

Тогда искомая передаточная функция

Хс (р) = [Хх (Р) + Х2 (р) - Хх (р) К* (Р) ₽ (Р)1-	(6.99)

6.6. МОДУЛЯЦИЯ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ сигналов

При модуляции мгновенное значение перВИЧН0Г0 или модулирую-
щего сигнала управляет одним из параметров вспомогательного сиг-
нала, называемого несущим. В качестве перВИЧН0Г0 модулирующего
сигнала в измерительной технике используется обычно аналоговый из-
мерительный сигнаЛ.
Рис. 6.26. Модуляция гармонических колебаний;
а — модулирующий сигнал: б — несущий сигнал;
« — амплитудио-модулироваииый сигнал: г — час-
тотио-модулироваииый сигнал; д •— фазо-моду-
лироваиный сигнал.

В качестве несущего сигнала в из-
мерительной технике используют
обычно следующие виды сигналов:
постоянный сигнал z (t) = Zm;
синусоидальный сигнал z (t) =
= Zm sin

импульсный периодический сигнал

г (t) = s V (kT0 +1) =

__ Zm при kT0<t<kT0 + T0;

" 0 при^7'04-т0</<(^+ 1)TO,
где To— период следования импуль-
сов; К = 0, 1, 2, 3, 4; т0— ширина
или длительность импульса; Zm — ам-
плитуда импульса.

Импульсный периодический сигнал
можно представить рядом Фурье:

S ZJ (kT0 + О = ZmT0/T0 1 + S С k coskat ,

k=i

где

С* = 2------------—

fe<B0T0
2

(6.100)

2л
tt>0

1 о

При постоянном несущем сигнале управляют его единственным
параметром — амплитудой. В случае синусоидального несущего сигна-
ла возможно управление каждым из его трех параметров — амплиту-
дой, частотой и фазой, в связи с чем различают амплитудную (АМ),
частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ) модуляции. При импульсном несущем
сигнале возможно управление его амплитудой (АИМ), частотой (ЧИМ),
шириной импульса (ШИМ) и фазой (ФИМ).

Необходимость в модуляции возникает в том случае, если первичный
сигнал X (/) имеет такой характер, при котором затруднены его переда-
ча, преобразование или обработка при высоких требованиях к точ-
ности.

Модуляция реализуется путем взаимодействия сигналов — пер-
вичного сигнала X (/), содержащего искомую информацию (рис. 6.26, а),
и несущего z (/), не содержащего информации, но обладающего физи-
ческой природой и таким характером изменения во времени, при кото-
рых удобна реализация дальнейших операций (рис. 6.26, б).

В результате взаимодействия X (/) и г (/) создается модулированный
сигнал у (/), содержащий интересующую нас измерительную информа-
8 818	225
цию и обладающий природой и характером изменения во времени, удоб-
ными для дальнейших преобразований.

Способы дальнейшей обработки модулированного сигнала зависят
от характера и полноты информации, которая должна быть при этом
извлечена:

для получения по возможности наиболее полной информации о
всех параметрах первичного сигнала модулированный сигнал детек-
тируют или демодулируют;

при необходимости извлечения из модулированного сигнала инфор-
мации только об одном информативном параметре первичного сигнала
обычно либо из модулированного сигнала выделяют одну из спектраль-
ных составляющих, один из параметров которой пропорционален ис-
комому информативному параметру сигнала X (/), либо непосредствен-
но измеряют соответствующий параметр модулированного сигнала,
например длительность импульса у ШИМ сигнала, частоту у ЧИМ сиг-
нала и т. д.

Детектированием или демодуляцией модулированного сигнала на-
зывается преобразование его в сигнал, пропорциональный первичному
сигналу. Задачей детектирования является по возможности полное
восстановление информации, содержащейся в первичном сигнале, об
изменении всех его параметров. Каждому виду модуляции соответству-
ет определенный способ детектирования.

Вид модуляции и способ детектирования зависят от требований,
предъявляемых к точности передачи информативного параметра. Для
обоснованного выбора вида модуляционного преобразования, глубины
модуляции, а также соотношения между частотами несущего и модули-
рующего сигнала необходимо прежде всего рассмотреть спектры моду-
лированных сигналов. Спектры при разных видах и параметрах моду-
ляции целесообразно сопоставлять при одинаковом первичном сигнале,
обычно гармоническом колебании низкой частоты.

Наиболее просто выполняется детектирование импульсных модули-
рованных сигналов, при этом достаточно только фильтра нижних частот.
Для детектирования гармонических модулированных сигналов необхо-
димы кроме фильтра нижних частот и другие преобразователи, напри-
мер умножители, частотнозависимые звенья.

Гармонические модулированные сигналы и их особенности

Рассмотрим особенности амплитудной, частотной и фазовой модуля-
ции гармонического сигнала.

Амплитудная модуляция и детектирование. При амплитудной мо-
дуляции (рис. 6.26) модулированный сигнал

У (0 =	[1 + AfJ (/)] sin (®(/ + <р0) «

+ -^-]slnW + <Po) =

«= Z„ [1 4-	---sin + <p0).

* L	лт j

(6.101)
Рнс. 6.27» Амплитудно-модулированный
сигнал:

а «• гармоническим сигналом; б ~ слу-
чайным сигналом.

где / (0 =	— относительное

изменение модулирующего сиг-
нала; Ка — коэффициент преоб-
разования модулятора; =
= КаХт— максимальное измене-
ние (девиация) амплитуды моду-
лированного сигнала, вызванное
максимальным значением инфор-
мативного параметра Хт модули-
рующего сигнала; Ма =	---

глубина амплитудной модуля-
ции, которая всегда меньше еди-
ницы.

Модулирующий сигнал X (0
может быть либо квазидетерми-
нированным, либо случайным,
но всегда наивысшая частота его
спектра йшах должна быть мень-
ше частоты несущего сигнала <оо.
В качестве примера на рис. 6.27 г
ного сигнала у (0 при модуляцш

казан вид амплитудно-модулирован-
гармоническим (а) и случайным (б)

сигналом.

При модуляции простейшим гармоническим сигналом модулиро-
ванный сигнал состоит из нескольких спектральных составляющих.
Действительно, при этом

у (0 = Zm [ 1 + Ма sin (й/ + 0)] sin (aot + <р) =

«= Zm sin (<М + q>) +	cos [ (соо—й) 14- (<р — 0)] —

_ «L cos [(®0 + й) t + (q> + 0)].	(в. 102>

Следовательно, амплитудно-модулированный сигнал имеет в этом
случае (рис. 6.28) три спектральные частотные составляющие с часто-
тами <оо> ®о — й, ®0 + й.

При амплитудном детектировании модулированный сигнал (6.102)
преобразуют таким образом, что получают сигнал (при отсутствии по-
грешностей преобразования), пропорциональный исходному сигналу.
Так, при синусоидальном модулирующем сигнале сигнал на выходе
детектора в идеальном случае после фильтра

Одет (0 = КаКадХт Sin (й/ + 0).

Принимая во внимание, что

' ZmMa/2 = КаХт/2,
ft	Хт	г	2
	л	га	6)atS2 0

Рис. 6.28» Частотный спектр при амплитуд-
ной модуляции гармоническим сигналом.

убеждаемся в том, что в АМ сигнале
одинаковые между собой амплиту-
ды гармоник боковых частот про-
порциональны значению амплитуды
первичного сигнала. Следовательно,
эти амплитуды могут быть исполь-
зованы в качестве информативных
параметров АМ сигнала, содержа-

щих информацию о амплитуде первичного синусоидального сигнала
(табл. 8).

Частотная модуляция и детектирование. При частотной модуляции
в соответствии с модулирующим сигналом х (0 изменяется частота
модулированного сигнала (рис. 6.26, г):

о) (0 = <д0 + А(о/ (0 = <д0 + K.XJ (0,

где Кч — коэффициент преобразования модулятора; Лш = ХчХт —
наибольшее изменение частоты модулированного сигнала, или девиа-
ция частоты, которая пропорциональна амплитуде входного сигнала.

В простейшем случае при гармоническом модулирующем сигнале
X (0 = Хт cos (Ш + 0) выражение для частотно-модулированного
сигнала принимает вид

у (0 = Zm sin [<д0/ 4- (КчХт)/£1 sin (Q/ + 0) 0 = Zm sin [<д0/ + ср (0]. (6.103)

Максимальное относительное отклонение частоты модулированного
сигнала Лш/П = КчХт/£1 называется индексом частотной модуляции р.
Рассмотрим теперь спектральное представление частотно-модули-
рованного сигнала. Перепишем выражение (6.113) в следующем виде:

y(t) = Zm sin [<д0/ + сро + sin (Q/ + 0) =

= Zmcos [рsin (Q/ 4- 0)] sin (<д0/ 4- q>0) 4- Zm sin [P sin (Q/ 4- 6)] cos («„/ 4- <p0).

Рассмотрим случай при малом значении индекса частотной моду-
ляции (Р I). Тогда

cos [Р sin (Q/ 4- 6)] « I;

sin [Р sin (Ш 4- q>o)] « ₽ sin + 6);

у (t) = Zm [sin (<д0/ 4- ср0) 4- КчХт1£1 sin (Qt 4- 0) cos (<aot 4- ср)] =

= Zm [sin (сд0/ 4" Фо) "Ь 1^zX4Xm/^l sin [(<»0 4- H) t 4- (ср0 + 0)] +

4- x/2/<4Xm/Q sin [(сд0 — Q) t 4- (cp0 — 0)].	(6.104)

Следовательно, при малом значении индекса частотной модуляции
спектр простейшего сигнала практически не отличается от спектра
простейшего амплитудно-модулированного (АМ) сигнала, т. е. состоит
из трех составляющих (рис. 6.29): соо; w0 + й и w0 — Q.

При частотном детектировании сигнал на выходе частотного детек-
тора должен воспроизводить закон изменения модулирующего сигнала.

Для получения адет (0 из модулированного сигнала необходимо не-
линейное устройство. Поэтому частотный детектор представляет собой
сочетание двух преобразователей; избирательной линейной системы,
229

Таблица 8. Аналитическое выражение модулированных сигналов при первичном сигнале х (t) = Хт sin Q^t и их информативные
параметры при некоторых видах модуляции

Вид модуляции	Несущий сигнал z(t)	Аналитическое выражение модулированного сигнала у (/)	Информативный па- раметр первичного сигнала х (/)	Информативный па- раметр модулиро- ванного сигнала
<	(<Ь + ;°со)Х X uis u'z	У (0 = zm sin (<oo/ + <р) + (KaXm/2) cos [(<оо — Qx) / + ф] — — (КaAm/2) cos [(ш0 + ЙЛ) t + ф]	Хт	?(©—Я)т = ХаХт/2
			йд.	Частота боковой гармоники (<оо —йх)
АИМ	X  *	f-  II	-  N-	x	У Ю =	1 ।	S'U йд/ 4~ У Ск COSЛсОд/  L	fe=l  -f- Y (/Ca-^m/2^m) CK sin (Й<В0 — йх) t -J- У [KaXm/2Zm] CK sin (k<i>0 -f- йх) t I, fc=l	*=!	J  где CK = (2 sin£<u0T0/2)/(Z!<i>0T0/2); t0— длительность немодулированных импульсов носителя; То — период следования импульсов	Хт	Уох = ^ахоХт/^'б
			йд	Частота нижней гармоники
ШИМ	k=OQ  2 Z„J X £=I  X (kTQ + t)	У (0 = ^т'^о/Т'о 4~	о)	Qj/ 4~ X X  A=1	oo  X /п (^2л/СшХт/Т0) sin (Лй)(/ +	sin kd)ot  k=\  ln (k2nKaXm/T0) — функция Бесселя порядка n	Хт	Уйх — K.mZmXfn/Ta
			йд.	Частота нижней гармоники
а,	ш

Рис. 6.29. Спектр частотио-модулироваи-
иого сигнала при 8 < 1.

преобразующей частотную модуля-
цию в амплитудную, и амплитудно-
го детектора. Следует отметить, что
в отличие от амплитуд, составляю-
щих спектра АМ сигнала, таковые
у ЧМ сигнала менее удобны для
получения информации об измене-

нии амплитуды х (/), так как зависят не только от Хт, но и от часто-
ты х (t).

Фазовая модуляция и детектирование. При осуществлении фазо-
вой модуляции на высокочастотное колебание

z(0 = 2mSin(<do/4-q>o)

нужно воздействовать низкочастотным сигналом х (t) так, чтобы фаза
нового колебания изменялась в соответствии с низкочастотным сигна-
лом, т. е. нужно получить сигнал вида (рис. 6.26, д)

У (О = 2msin {<оо/ + ф041 + (ОН-

При этом фаза срД 1 + Мф[ (^ должна быть линейной функцией сигна-
ла f (t). Если модулирующим сигналом является гармоника, то закон
изменения фазы

фмод (0 = Фо + КфХт sin (й/ 4- 6) +

где — коэффициент преобразования фазового модулятора; ф0 — на-
чальная фаза высокочастотного сигнала; КфХт — максимальное из-
менение фазы, которое называется коэффициентом фазовой модуляции
и обозначается Мф.

Отсюда выражение для фазомодулированного сигнала
y(t) = Zm sin {[<o0r 4-’>Л'1ф5ш((Ш 4- 6) 4- ф01}-

Коэффициент фазовой модуляции пропорционален амплитуде мо-
дулирующего сигнала. Информативным параметром является фаза мо-
дулированного сигнала <р (/) = Л4ф sin (Ш 4- 0), которая линейно
связана с мгновенным значением первичного сигнала.

Рассмотрим спектр сигнала, модулированного по фазе одной гар-
моникой:

У (О = %т sin {{<»(/ 4-'Мф sin	4- 6) 4- ФоИ•

После ряда преобразований получим выражение, аналогичное вы-
ражению

У (О = %т {sin (<М 4- фо) 4- х/2КфХт sin [(<о0 4- й) 14-

4- (ф0 4- 6)14- х/2КфХт sin [(«о — й) 14- (ф0 — 6)]}.	(в. 105)

Сравнение выражения (6.1(Й>) с выражением частотно-модулирован-
ного сигнала (6.114) показывает, что они мало отличаются друг от
друга. Действительно, если модуляция осуществляется одной гармони-
кой и Мч = Л4Ф, никакого внешнего различия между этими сигналами
нет, а выводы, сделанные относительно частотной модуляции, справед-
ливы и для фазовой модуляции. Так, при неглубокой фазовой модуля-
ции модулированный сигнал тоже состоит из трех спектральных состав-
230
ляющих с частотами о>0, а>0 + £2 и о>0 — £2. Однако между сигналами
фазовой и частотной модуляции есть различия. При фазовой модуля-
ции, если информативным параметром является амплитуда Хт, то
амплитуды боковых гармоник фазомодулированного сигнала

^(<o-£2) = ^-Zm;

зависят только от Хт и Zm и, в отличие от случая частотной модуляции,
не зависят от частоты £2.

АМ сигналы используются в основном при непрерывном измерении
и контроле одной физической величины, в информационно-измеритель-
ных системах параллельного действия и в отдельных приборах, при
передаче информации на небольшие расстояния, т. к. обладают низкой
помехоустойчивостью.

ЧМ и ФМ сигналы обладают более высокой помехоустойчивостью,
так как изменение амплитуды не изменяет непосредственно частоту или
фазу, размер их информативного параметра (частоты или фазы) не огра-
ничивается амплитудой сигнала, поэтому эти сигналы используются
для передачи информации на большие расстояния.

Импульсные моделированные сигналы и их особенности

При амплитудной импульсной модуляции у несущей последователь-
ности импульсов изменяют только амплитуду по закону сигнала X (t)
(рис. 6.30, а, б, в):

^(О = [1 + -^-х(о!е Zm f(kTo + t).
L Lm J A=o

Аналитическое выражение АИМ сигнала при х (/) = Хт sin £2/
приведено в табл, 8.

Детектирование сигнала осуществляется посредством фильтра
нижних частот. При ограниченном спектре X (О для предотвращения
искажений выходного сигнала ФНЧ гармониками — $ необходимо
выполнение следующего условия; (£>о7£2тах > 2.

Широтно-импульсная модуляция заключается в изменении дли-
тельности импульсов в соответствии с законом изменения модулирую-
щего сигнала (рис. 6.30, д). При широтно-импульсной модуляции дли-
тельность импульса становится пропорциональной мгновенному зна-
чению первичного сигнала в момент посылки тактового импульса

^4 =	Тк.мод = То + ДтХ (^к).

При первичном сигнале Xmsin £21 длительность импульса

Ти.мод = т0 4- Axsin£24,
Рис. 6.30. Виды импульсной МОДУЛЯЦИИ!

а — модулирующий сигнал; б — несущий сигнал
в виде последовательности импульсов; в — сиг-
нал — АИМ, г — сигнал ФИМ, д — сигнал ШИМ,
е — сигнал ЧИМ.

где: Ат = КшХт—девиация длитель-
ности модулированных импульсов;
Кш — коэффициент преобразования
модулятора.

Аналитическое выражение ШИМ
сигнала при X (/) = Хт sin Ш при-
ведено в табл. 8.

В спектре широтно модулирован-
ных импульсов содержится составляю-
щая частоты й, содержащая всю ин-
формацию о X (/), детектирование
ШИМ сигнала выполняется с помощью
фильтра нижних частот. Для уменьше-
ния влияния комбинационных состав-
ляющих с частотами («>0 — пй) необ-
ходимо отношение <о0/й выбирать из
условия

^((Oq—

где Sr — допустимый коэффициент не-
линейных искажений сигнала; а1т —
амплитуда информативной составляю-
щей на выходе; а(Ио-пй)т — амплитуды

комбинационных составляющих, которые при п ^0 попадают в поло-
су пропускания ФНЧ.

В случае фазо-импульсной модуляции смещается положение импуль-
сов относительно тактовых точек в соответствии с изменением мо-
дулирующего сигнала (6.30, г).

В литературе часто, наряду с описанными видами модуляции, рас-
сматривается также так называемая кодо-импульсная модуляция,
при которой числовые значения мгновенных значений модулирующего
сигнала, обычно через равные интервалы времени, представляются
кодовым сигналом. Числовые значения сигнала х (/) являются резуль-
татами измерения. Кодо-импульсная модуляция (КИМ) является осо-
бым видом модуляции, при которой собственно имеет место цифровое
измерение мгновенных значений сигнала х (/) в определенные моменты
времени и представление результата в виде кодового сигнала, удобного
для передачи по каналу связи. В случае КИМ при одном канале связи
необходимы большие затраты времени, чем при других видах модуля-
ции. Это объясняется тем, что каждое мгновенное значение сигнала
х (/) передается не одним импульсом, а несколькими импульсами, сле-
дующими через интервалы конечной длительности. Однако при КИМ
обеспечивается соответствующими свойствами избранного кода наибо-
лее высокая степень помехоустойчивости.

Модуляция импуЯьсных сигналов особенно АИМ и ШИМ в измери-
тельной технике применяются все более широко, так как несущий им-
пульсный периодический сигнал можно сформировать с высокой точ-
ностью и стабильностью как по амплитуде, так и по временным харак-
теристикам. Кроме этого, современные быстродействующие микро-
электронные ключи, устройства сравнения, запоминания и счетчики
импульсов дают возможность с высокой точностью управлять амплиту-
дой, длительностью и частотой импульсов. АИМ и ШИМ, например,
широко применяется при измерении мощности переменного тока,
ШИМ применяется при преобразовании кода в среднее значение напря-
жения t/cp и т. д.

6.7.	МАСШТАБНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ

Масштабным линейным преобразованием называют операцию соз-
дания выходного сигнала, информативный параметр которого пропор-
ционален однородному информативному параметру входного сигнала.
Причем Кмп может быть и больше и меньше 1.

Величинами, наиболее удобными для масштабного линейного преоб-
разования, являются электрическое напряжение и ток, частота, давле-
ние газа, механическая сила, механический момент, число оборотов,
перемещение и др.

Величиной, наиболее удобной для создания многоканальных и ре-
гулируемых масштабных преобразователей, является постоянное
электрическое напряжение, поэтому и большинство аналоговых вычис-
лительных устройств основано на операциях с ним. Коэффициенты пре-
образования основных типов МП представлены в табл. 9.

Для масштабного преобразования постоянного электрического
напряжения наиболее широкое распространение получили резистивные
делители и операционные усилители. Погрешность наиболее точных
отечественных резистивных делителей, выполненных на основе печат-
ного манганина, снижена до 10~6. Коэффициент преобразования мас-
штабных преобразователей на резисторах находится в диапазоне от 1
до 0, а у усилителей в интегральном исполнении достигает 106.

Для масштабного преобразования переменного электрического нап-
ряжения применяются резистивные и индуктивные делители, делители
на конденсаторах. Наиболее широкополосными по частоте являются
делители на конденсаторах, а наиболее точными и наименее подвержен-
ными внешним воздействиям — индуктивные делители, так как их
коэффициент преобразования Кмп определяется только отношением чис-
ла витков и погрешность их снижена до 10~7. Индуктивные делители
весьма удобны также для управления автоматическими ключами путем
переключения числа витков.

Переменное электрическое напряжение преобразуется масштабно
с помощью измерительных трансформаторов напряжения, коэффициент
преобразования которых равен отношению числа витков. Погрешность
таких трансформаторов снижена до 0,1 %. Измерительные, трансфор-
маторы напряжения работают в режиме, близком к режиму холостого
Таблица 9. Основные типы масштабных преобразователей
напряжений, токов и частоты

Масштабный преобра- зователь	Схема					Коэффициент преобразования
Резистивный делитель постоянного напряже- ния	Йо—S					К = R~+R ПРИ RC =  Ki 4* K2	Rh = oo
Емкостный делитель переменного напряже- ния	О  ,ЛГ  UlM o-i		| JI			К = r Zv ‘ ПРИ p‘= °5  Cj + C2	Ra = oo
Индуктивный делитель переменного напряже- ния	1 <	'	Mfr	?  -41M  Uiux °				w9  K~ W1 + W2 ПРИСн-О
Измерительный транс- форматор переменного напряжения	Ut» ц 5  0 ' 	г				I- ’	0  ‘%	б/ut  * 	  0	K = -^; Яи=,оо w/j	и
Измерительный усили- тель напряжения	1	1  У*/ RI					„ Увых _ Rj + Rz  К = ~Ё7	Ri  при Kg -* oo
Резистивный делитель постоянного тока	R2					к		Rz	  A~ li Ri + R2 + R^
Емкостный делитель переменного тока	r,		—Zr			K = ±-
						'Л+/Л+,г"
Измерительный транс- форматор переменного тока	Гй  О"—			zdT]		K = -^- = -^; Ян = 0 It Wi
Измерительный усили- тель тока	I—CZVh Л2  £	1 fr					K l2 Rj + Rz K~li~ Rz'  прн Kg -* OO
Продолжение табл. 9

Масштабный преоб- разователь	Схема			Коэффициент преобразования
Делитель частоты им- пульсов	. ищи	F L I III  4  ЫН-			дя	 /а 		1  *“77" к?
Умножитель частоты импульсов				
		пнч		
		Ks		
				

хода, и широко применяются при измерении больших по значению
напряжений.

Переменный электрический ток с наиболее высокой точностью
масштабно преобразуется с помощью трансформаторов тока, коэффи-
циент преобразования которых также равен отношению числа витков.
Погрешность таких трансформаторов может быть снижена до Ю-4.
Измерительные трансформаторы тока незаменимы при измерении боль-
ших переменных токов от десятков ампер и выше. Измерительные транс-
форматоры тока работают в режиме, близком к короткому замыканию
вторичной обмотки. Применяя измерительные трансформаторы тока не-
обходимо помнить, что при размыкании их вторичной обмотки на ней
возникает напряжение свыше 1000 В, опасное для жизни.

Деление частоты электрических колебаний или умножение периода
повторения импульсов с очень высокой точностью выполняется дели-
телями частоты в виде делителей импульсов или пересчетных устройств.
Коэффициент деления делителей частоты изменяется дискретно:

h = КД, К = 17Ка-

Умножение частоты или деление периодов повторения импульсов
с высокой точностью может производиться с помощью умножителей
частоты по замкнутой схеме с делителями частоты в обратной цепи
(табл. 9). Коэффициент умножения частоты равен

К = fjfi « ка.

6.8.	НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

Содержанием нелинейного измерительного преобразования Сигнала
; является направленное изменение связи между размерами информа-
тивных параметров входного и выходного сигнала. Нелинейные изме-
рительные преобразователи (НИП) необходимы для устранения не-
линейности характеристики измерительного прибора, получения раз-
личных статистических характеристик, автоматизации косвенных
Измерений, сжатия данных, например в логарифмическом масштабе,.
при генерации сигналов сложной формы, при создании функциональ-
ных мер.

Рассмотрим основные способы устранения нелинейности характе-
ристики измерительного прибора, а также основные методы аналого-
вых нелинейных измерительных преобразований.

Уравнение измерения, реализуемое в каждом измерительном при-
боре и устанавливающее зависимость между измеряемой величиной х
и результатом измерения х^, всегда линейно. Если в цепи измеритель-
ного прибора используется НИП с функцией F, то для обеспечения
линейности общего уравнения измерительного прибора необходимо
обеспечить устранение этой нелинейности. В аналоговом измеритель-
ном приборе это достигается очень просто — с помощью нелинейной
шкалы, в которой реализуется обратная функция F~l- В цифровом из-
мерительном приборе ЦИП цифровое отсчетное устройство которого эк-
вивалентно равномерной шкале, для устранения нелинейности приме-
няют следующие способы линеаризации:

1)	использование кодовых нелинейных преобразований (рис. 6.31, а);

2)	использование аналоговых нелинейных измерительных преобра-
зователей. При этом, если НИП входит в прямую цепь, то в нем реали-
зуется функция F~l, а если в обратную цепь — то функция F
(рис. 6.31, б);

3)	совмещение операций измерения и получения обратной нелиней-
ной зависимости F~l в одном устройстве — аналого-цифровом преобра-
зователе АЦП (рис. 6.31, в). При этом, если данное устройство содержит
только прямую цепь и основано на методе сопоставления, то в нем
реализуется оператор F~l. Если устройство основано на методе урав-
новешивания, то в его обратной цепи используется нелинейный цифро-
аналоговый преобразователь, реализующий функцию F.

: Первый способ линеаризации целесообразно применять в многока-
нальных устройствах* при большом объеме: обработки по различным
алгоритмам. В связи с дальнейшими миниатюризацией и снижением
стоимости матричных функциональных преобразователей код — код
первый способ линеаризации становится все более перспективным и в
одноканальных измерительных устройствах.

Второй способ применяется наиболее широко, так как обычно реа-
лизуется наиболее просто, с помощью аналоговых функциональных
преобразователей и будет в дальнейшем рассмотрен более подробно.

Третий способ целесообразен при повышенных требованиях, к точ-
ности преобразования.

Методы аналоговых нелинейных измерительных преобразований
в настоящее время довольно многочисленны (рис. 6.32). Теоретически
каждую функцию можно реализовать многими методами, однако
применяются методы, обеспечивающие наиболее рациональную реа-
лизацию функции и основывающиеся на использовании естественных
физических процессов и устройств, наиболее распространенных при
данном уровне техники. В настоящее время большая часть НИП основа-
на на использовании р — п перехода, термоэлектрического эффекта, а
также микроэлектронных операционных усилителей для реализации
метода обратной функции, умножителей-делителей и делителей для реа-
лизации метода неявной функции, электронных интеграторов для реа-
лизации различных функций путем интегрирования исходных более
просто реализуемых функций. Рассмотрим основные особенности ме-
тодов создания НИП, реализующих элементарные функции.

Метод обратной функции реализуется при помощи компенсацион-
ного измерительного преобразователя (рис. 6.33, а). Если в обратной
Рнс. 6.33. Структурные схемы НИП:

а — для устраиеиня нелинейной зависимости по методу обратной функции; б
для нзвлечеиия корня квадратного с помощью делнтеля по методу неявной функ-
ции; в — для определения среднего квадратического значения при подаче на оба
входа умножителя — делнтеля сигнала Uх и определения среднего геометрическо-
го при подаче на входы сигналов U* и U по методу неявной функции; а — для
определения разности квадратов двух величии по методу неявной функции.

цепи такого усилителя установлен НИП хк — <р | у\, то в этой схеме
х si хк, х — <р (у), у — <р-1 (xft). Следовательно, в данном устройстве
реализуется обратная функция. Естественно, что такой преобразова-
тель целесообразен только в том случае, если заданная функция,
хк = ф (у) воспроизводится проще и может быть использована в цепи
обратной связи усилителя. Примером этого служат: электронный
логарифматор на усилителе, в цепь обратной связи которого
включен экспоненциальный преобразователь на базе р — п перехода,
а также корнеизвлекающее устройство, в цепь обратной связи которого
включен квадратичный термоэлектрический преобразователь. Метод
обратной функции применяется довольно широко, однако он имеет
ряд недостатков:

1)	возможна реализация только однозначных и монотонных функ-
ций, например, arcsin х можно воспроизвести только в диапазоне
О...л/2;

2)	возможно нарушение условий устойчивости и снижение степени
подавления погрешности от нестабильности коэффициента усиления
прямой цепи, так как коэффициент преобразования обратной цепи из-
меняется в широком диапазоне значений;

3)	при воспроизведении функции извлечения квадратного корня
значительно сужается динамический диапазон измерительного прибора.

Метод неявной функции* Метод основан на реализации уравнения,
в котором выходная величина преобразователя входит в левую и пра-
вую его части

r y=^f(x,y).
При этом выходная величина у используется и для воздействия на саму
себя, т. е. на выходную величину у. Примерами использования метода
неявных функций являются:

1)	извлечение квадратного корня при помощи делителя (рис. 6.33, б):
к^=*ии\ uy = V~ktFx-

2)	определение среднего квадратического значения (рис. 6.33, в)
с помощью умножителя-делителя:

ku*ux —/j. и — 1/ ь772-
и и* и и —' V	Xi

3)	определение геометрической суммы с помощью умножителей-
делителей и сумматоров (рис. 6.33, г).

Нетрудно убедиться, что, решив уравнение

U2	и2	U2

11 = II I » I г । п
k	Uk + Ux Uk + Ux Т Uk + Ux ’

получим

uk = ]fu2x + u2y + ul + u2n.

При двух слагаемых сумму можно определить при помощи одного
умножителя-делителя и одного сумматора, а при использовании
обычной схемы необходимы два квадратора, сумматор и корнеизвлека-
тель;

4)	определение разности двух величин при помощи умножителя-
делителя и двух сумматоров (рис. 6.33, д):

т, _ (Ux + Uy)(Ux-Uy) .

2 >

иг = ]/и2х-и2.

Метод неявной функции имеет следующие преимущества:

1)	упрощение структуры при реализации геометрической суммы;1

2)	отсутствие сужения динамического диапазона при возведении’
в квадрат;

3)	возможность воспроизведения и немонотонных функций, на-
пример функции sin а в диапазоне от —л до +л.

Совместное или раздельное использование методов реализации од-
ной зависимости, указанных на рис. 6.32, позволяет реализовать: анти-
логарифмирование, логарифмирование, умножение, деление, извлече-
ние квадратного корня, гиперболический арксинус, гиперболический
синус, векторное суммирование, тригонометрические функции и др.

Рассмотрим основные особенности реализации некоторых зависимо-
стей.	1

is Антилогарифматоры. Для выполнения операции анти-
логарифмирования используется нелинейность вольт-амперной харак-
теристики р — п перехода.

Для практической реализации антилогарифмической зависимости
используется схема (рис. 6.34, а, б), в которой диод подключен ко
Рис. 6.34. Операции аитнлогарнфмироваиия н ло-
гарифмирования, основанные на использовании
нелинейности вольт-ампериой характеристики
р—п перехода;

а — схема антилогарифматора: б — зависимость
между входом и выходом; в — схема логарифма-
тора; г — зависимость между входом и выходом.

входу операционного усилителя, тогда

f/вых “ iocRoc “ igRoc “

=	= U^/U',

где t/0 — hiRoc — выходное напряже-
ние при UBx = 0; Ut — входное нап-
ряжение при {/вых = eU0; Roa — соп-
ротивление обратной связи.

Антилогарифмические преобразо-
ватели обычно применяют вместе с ло-
гарифмическими, например для опера-
ций умножения, деления, возведения

в степень.

Логарифматоры. Для реализации логарифмирования на
интегральных элементах используются естественная антилогарифмиче-
ская зависимость р — п перехода и возможность получения обратной
зависимости при помощи усилителя с глубокой отрицательной обрат-
ной связью. В схеме логарифматора (рис. 6.34, в, г) диод располагается
в цепи обратной связи.

В этом случае выходное напряжение операционного усилителя ока-
зывается пропорциональным логарифму входного напряжения

{/вых ~ Uг In {/вх/{/3,

где U2 — выходное напряжение при {/вх = е{/3; U3 — входное напря-
жение, при котором выходное напряжение t/вых = 0 (рис. 6.34, г).

Точно реализуемое логарифмирование широко используется:

1)	в интегральных умножителях;

2)	при воспроизведении полиномов, степенных и показательных
функций;

3)	при измерении относительных величин в логарифмических еди-
ницах;

4)	при сжатии динамического диапазона сигнала перед преобразо-
ванием или передачей на расстояние;

5)	в точных интегральных делителях при широком динамическом
диапазоне изменения делимого и делителя.

В настоящее время выпускаются твердотельные интегральные ло-
гарифматоры и антилогарифматоры, работающие в диапазоне пяти-
шести десятичных порядков по току и позволяющие реализовать опера-
ции умножения и деления с погрешностью 0,1 %. В Киевском политех-
ническом институте [90] разработан метод построения функциональных,
в том числе логарифмических аналого-цифровых преобразователей,
основанный на интегрировании производной функции. Суть метода
заключается в следующем: если имеется функция F (х), непрерывная
в интервале (а, в), прячем F (х) = dyldx, тогда заданную зависимость
у (х) = In х можно реализовать, интегрируя F (х). При F (х) = dyfdx=s
Я= 1/х

у = J F (х) dx = In х.

Следовательно, для создания НИП с логарифмической характеристикой
у = In х достаточно иметь НИП с характеристикой у' (х) = 1/х и ин-
тегратор. НИП с характеристикой 1/х является устройством с гипербо-
лической разверткой. Аналогичным образом можно реализовать сте-
пенные функциональные зависимости.

Квадраторы. Возведение в квадрат является широко рас-
пространенной операцией, применяемой при измерении энергетическо-
го спектра сигнала, мощности, векторной суммы, среднего квадратич-
ного значения (с. к. з.) сигнала, извлечении квадратного корня.
В последнем случае квадратор включается в обратную цепь инверти-
рующего усилителя. Для возведения в квадрат в широком частотном
диапазоне используются термоэлектрические преобразователи, умно-
жители, в частности (на базе использования переменной крутизны тран-
зистора), диодные кусочно-линейные аппроксиматоры и другие уст-
ройства.

Извлекатели квадратного корня. Операция
извлечения квадратного корня применяется при измерении с. к. з.
сигнала, для линеаризации естественно-квадратичных преобразовате-
лей, моделирования различных процессов. Для извлечения квадратно-
го корня применяются квадраторы, например, термоэлектрические
преобразователи в обратных преобразователях, логарифматоры по
уравнению

J/х = е'/,|пх; In j/x = J/2 In x; anti In (In 'Kx) = ]/x,
а также преобразователи с делителем, реализующие неявную функцию
по схеме (рис. 6.33, б) Uy = КУ Ux.

В НИП, реализующих сложные зависимости, обычно используются
полиномиальные модели нелинейности. Для создания НИП, обладаю-
щих и высокой точностью, и высоким быстродействием, часто исполь-
зуют гибридизацию аналоговых и кодовых НИП, в частности, в виде
НИП на основе дополнительных корректирующих каналов, а также
на основе получения полиномиальных зависимостей методом многократ-
ного интегрирования [901.

Для реализации элементарных нелинейных зависимостей можно
использовать преобразование различных временных функций, в пер-
вую очередь, с помощью интеграторов, а также и дифференциаторов.
Например, в электронном интеграторе с последовательным зарядом
током Ix = UXIR за фиксированное время Тц и разрядом током 1Ь =
= Ub/R за время Тх до Uc = 0 можно реализовать ряд заданных за-
висимостей Тх — fB (Ux). При этом результат интегрирования вспомо-
гательной функции 1581 Ub = f (t) должен быть функцией, обратной
заданной. Например, если задана зависимость Тх = КУ Ux, то резуль-
тат интегрирования должен быть Ux — КУ- Этот результат получаем
при интегрировании вспомогательной функции Ub = kt. Действительно,
1/7? j Ub (t) dt = kTl/2R = (1/7?) Ux7\.	(6.106)

о

Такой корнеизвлекающий функциональный преобразователь можно
использовать для линеаризации квадратичных преобразователей и др.

Если задано Тх = K.yfTjx, то результат интегрирования должен
быть равен Ux = KJ^x- Этот результат получаем при Ub => Kt2.

Если задано Тх = еких, то результат интегрирования должен быть
равен Ux ~ k In Тх. Этот результат получаем интегрированием функции
Ub = kit.

6.9.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОДОВЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

В измерительных устройствах все чаще возникает потребность в
преобразовании кодовых измерительных сигналов. Основные типы
преобразователей кодовых сигналов приведены на рис. 6.35. Преобразо-
ватели кодовых сигналов прежде всего удобно разделять в зависимости
от наличия или отсутствия изменения числового значения кода, пред-
ставляемого данным кодовым сигналом. По этому признаку все преобра-
зователи кодовых сигналов ЦКС делятся на две группы: преобразова-
тели кода сигналов, или дешифраторы, у которых числовое значение
входного и выходного кодовых сигналов одинаково, и функциональные
преобразователи кодовых сигналов, у которых оно различно. Функцио-
нальные ПКС в зависимости от рода реализуемой зависимости между
Km — Nx и А/вых = Ny разделяются на линейные ПКС и нелинейные
ПКС. Затем все преобразователи кодовых сигналов можно подразде-
лить в зависимости от рода кода входного и выходного сигналов еди-
ничного^!) или числового Примеры наиболее простых и широко-
применяемых структур дешифраторов, линейных ПКС со входным еди-
ничным одноканальным кодом, т. е. делителей и умножителей числа
входных импульсов, а также основные разновидности нелинейных
преобразователей единичного одноканального кода показаны на
рис. 6.35.

В одном измерительном устройстве иногда приходится применять
два различных кода (п. 7.3). Поэтому возникает необходимость в де-
шифраторах-преобразователях входного кодового сигнала, представ-
ляющего числовое значение Nx в выходной кодовый сигнал.

При этом обычно необходимы преобразователи чйслоимпульсного,
двоичного и двоично-десятичного кодов в десятичный. Преобразование
кодов реализуется в статике или в динамике.

К статическим преобразователям кода относятся многочисленные
матричные преобразователи, в которых преобразование производится
обычно одновременно по всем каналам и удобно для параллельных
кодов.

К динамическим относятся преобразователи прежде всего однока-
нального единичного кода в любой числовой код, т. е. счетчики им-
пульсов.
Рнс. 6.35. Преобразователи кодовых измерительных сигналов.
Функциональные преобразования
над кодовыми сигналами могут быть
выполнены в цифровых ЭВМ. В этом
случае точность выполнения требуе-
мых преобразований практически не
ограничена. Если использование циф-
ровых ЭВМ нерентабельно, то исполь-
зуются специализированные функцио-
нальные преобразователи код — код.
Среди них наиболее известны матрич-
ные преобразователи с входным много-
канальным единичным кодом и преоб-

Рис. 6.36. Матричный преобразователь раЗОВаТвЛИ С ВХОДНЫМ ЧИСЛОИМПуЛЬС-
кода <2)х	<2)г/’	ным единичным одноканальным кодом.

Простейшим примером матричных
преобразователей являются диодные ПЗУ (рис. 6.36), состоящие из
двух матриц Ml и М2. Входная матрица Ml является преобразователем
входного цифрового, например двоичного, кода N(2)x в промежуточный
многоканальный единичный код например, при N&}x = НОЮ
возбуждается двадцать шестая выходная шина, т. е. выдается в много-
канальном коде М(ц’ число 26. Выходная матрица М2 служит для пре-
образования промежуточного кода Мщ’ в выходной цифровой, напри-
мер двоичный, код N@)U, соответствующее числовое значение которого

не равно числовому значению входного кода У(2)х и отражает нелиней-
ную зависимость между входным и выходным кодами функционального
преобразования кодов. Число диодов в матричном функциональном
преобразователе при двоичном n-разрядном входном и двоичном т-

разрядном выходном кодах равна с • 2я, где (т + 2) с 3. При
погрешности аппроксимации функции Ny = F (Nx), равной, например,
0,1 %, число диодов достигает нескольких тысяч.

Преимуществом матричных преобразователей кодов является высо-
кое быстродействие, однако большая сложность ограничивает область
их применения. Интерес к таким устройствам возрос в связи с освоени-
ем и широким применением ПЗУ на интегральных схемах [40]. Воз-
можности таких функциональных измерительных приборов (ФИП)
кодов расширяются в связи с дальнейшим развитием микроэлектроники
как за счет увеличения емкости ПЗУ (промышленностью освоены ПЗУ
емкостью 16, 64 и 128 тысяч бит), так и путем использования новых

полупроводниковых элементов.

Применение матричных ФИП кодов с внесением функции =
= F (Мх) электрическим путем особенно перспективно в цифровых
приборах с предвключенными нелинейными измерительными преобра-
зователями у = F (х). В этом случае внесение обратной функции F~1
электрическим путем Nx вых = (Ny вх) является фактически опера-
цией градуировки цифрового прибора, после которой, как и после
градуировки шкалы аналогового прибора, будет обеспечиваться линей-
ная зависимость меж^у значением измеряемой величины и показаниями
прибора.
Рис, 6.37. Нелинейный преобразователь кода /vj* с кусочно-линейной
аппроксимацией.

Функциональный преобразователь кода (ФПК) с входным однока-
цальным числоимпульсным кодом отличается меньшим быстродейст-
вием. Эти ФПК можно подразделить на интервально-аппроксимирую-
щие, которые воспроизводят промежуточные значения выходного кода
внутри интервала согласно принятому способу аппроксимации — ку-
сочно-линейной или кусочно-нелинейной и воспроизводящие значения
Nu во всем диапазоне заданным числом разрядов т.

В ФПК первого типа зависимость = f (Мщ*) получают путем
кусочно-линейной аппроксимации по формуле

~	+ «i (N$x. -

Функциональное преобразование выполняется в схеме, состоящей из
преобразователя код — код Nx-*Ni, БП блоков памяти, блока вычи-
тания БВ, блока умножения БУ и блока суммирования БС (рис. 6.37).
Основным блоком этого устройства является блок цифрового ум-
ножения, который выполняется либо на базе цифрового делителя или
цифрового умножителя с переменными коэффициентами [23]. Отечест-
венная промышленность выпускает микросхемы К 155ИЕ8 — шести-
разрядный делитель с переменным коэффициентом деления.

В ФПК второго типа [18], точно реализующих заданную функцию
Nv = f (Nx), во всем интервале преобразование число-импульсного од-
ноканального входного кода N^x в выходной код N(\)y основано на ис-
пользовании возможностей управляемого интегрирования входного
кода.

Рассмотрим пример реализации такого ФПК для степенной функ-
ции

Ny = Nx.	(6-107)

ФПК данного типа в каждый данный момент преобразует приращения
входного кода dNx в приращение выходного кода dNy. Поэтому необхо-
димо рассмотреть уравнение дифференциала данной функции.

Дифференциал (6.117) равен

dNy = nNx~'dNx.	(6-108)

При использовании данной (6.1Ф8) явной функции для получения
кода Ny необходимо последовательное включение (п — 1) умножителей
кода для реализации выражения Nx~\ умножителя кода N%~1 на п и
однбго умножителя на dNx [23].
Рве. 6.38. Нелинейный преобразователь кода •* с управляемым интег-
рированием входного кода.

При использовании неявной функции для Ny искомый результат
можно получить в значительно более простой структуре [18]. Действи-
тельно после несложных преобразований

NxdNy = nNnxdNx\

dNyINy = ndNx/Nx\

dNy = (,dNxnNy)/Nx.

Деление приращения входного кода dNx на Nx можно реализовать с
помощью делителя на основе умножителя охваченного обратной
связью. Затем умножение на п и на Ny выполняется в схеме согласно
рис. 6.38.

6.10.	ВЫЧИТАНИЕ СИГНАЛОВ

Операция вычитания реализуется в устройствах, которые имеют
два входа и один выход (рис. 6.39, а). Уравнение идеального измери-
тельного устройства вычитания без предвключенных измерительных
преобразователей

Др = хх — х2,

Рис. 6.39. Структурные схемы вычитателей аналоговых сигнале»
в — без предварительного преобразования: б — о предварительным преобразована»
ем: в — с периодическим переключением.
где Ар — информативный параметр разностного сигнала, выходная
величина устройства; хг и х2 — вычитаемые входные величины.

Устройства вычитания в измерительной технике используются:
в устройствах сравнения цифровых измерительных приборов урав-
новешивания и сопоставления для выработки кодового сигнала, отра-
жающего результат измерения;

в измерительных аналоговых уравновешивающих преобразователях
для создания выходной величины при управлении уравновешиванием;

в измерительных преобразователях одного из параметров совокуп-
ности двух сигналов (например, сдвига фаз <р в разностный сигнал,
пропорциональный <р);

в коммутационно-модуляционных измерительных устройствах (уст-
ройствах периодического сравнения).

Физические сигналы (электрические и неэлектрические) в зависи-
мости от возможности создания разностного сигнала можно разделить
на три группы.

К первой группе относятся сигналы направленного действия, кото-
рые физически легко вычитать без предварительного преобразования.
Такими сигналами являются электрические, механические, магнит-
ные и др.

Ко второй группе можно отнести сигналы, также обладающие на-
правленным действием, однако, неудобные для вычитания, но удобные
для коммутации. К этой группе относятся световые потоки, ионизирую-
щие излучения, потоки жидкости и газа.

К третьей группе следует отнести сигналы, характеризующие со-
стояние объектов или их свойств, которые физически невозможно вы-
читать (температура, влажность, освещенность площади, концентрация
веществ, цвет, запах и т. п.).

Параметры сигналов первой группы являются наиболее удобными
для вычитания, второй группы — менее удобными, а третьей группы
не подходят для этой процедуры.

Устройства вычитания величин первой группы наиболее просты и
могут быть представлены в виде последовательного соединения звена
вычитания и преобразователя разности ПР (рис. 6.39, а). При сравне-
нии электрических сигналов ПР представляет собой усилитель разност-
ного напряжения или тока. Вычитание осуществляется непосредствен-
ным суммированием двух разнополярных или противофазных сигналов
на входе усилителя. В ПР могут осуществляться преобразования
физической природы сигнала. Например, при воздействии вычитаемых
давлений на мембрану разностная величина получается в виде переме-
щения (табл. 10).

Неудобные для непосредственного вычитания сигналы третьей
группы также необходимо вычитать. Для этого их преобразуют в дру-
гие сигналы. Это преобразование выполняется в измерительных преоб-
разователях ПП1 и ПП2 (рис. 6.39, б). Естественно, что к таким пре-
образователям, включенным на входах УВ, предъявляются жесткие
требования к идентичности и стабильности характеристик.

В целом УВ можно рассматривать как трехполюсный преобразова-
тель, который характеризуется коэффициентом преобразования
м	Таблица 10. Основные типы устройств вычитания и преобразования разности напряжений, токов,

Йо	сопротивлений усилий и угловых скоростей

Устройство	Схема	Уравнение	Примечание
Устройство вычитания напряже- ний	Л	к		гпр  Ex-Ek ~ Z, + Zft + Znp	Недостаток — отсутствие общей точки заземления, что затруд- няет устранение наводок н уте- чек

Устройство вычитания токов

к	ixKj-lkK2 .

*р~ Ix-‘k ~ Ix-Ik '

к-_____Zk -к__________%х

г~ Zk+Znp ’ Z, + Znp

Имеет общую точку заземления,
что дает возможность значи-
тельно снизить уровень наводок
н утечек

Несимметричное устройство вычи-
тания напряжений

Имеет общую точку заземления
н лучшую помехозащищенность

Электромеханическое устройство вычитания токов с предвари- тельным преобразованием токов в механические моменты	Ж	К - А“ -	_  р Ix-Ik W(Jx-lk)  _ BSw ~~w~	Обеспечивает полную развязку цепей постоянных токов
Термоэлектрическое устройство вычитания токов с предвари- тельным преобразованием в тер- мо-э.д.с.		ЕЁ _K112X-K2l2k  P Ix-‘k	lx~lk	Удобно для сравнения по дейст- вующему значению токов с раз* личными законами изменения во времени
249

Магнитное устройство вычита- ния токов с предварительным преобразованием в магнитные потоки	о  | И4 J  fwfrl 1^1				
Устройство преобразования раз- ности сопротивлений с предва- рительным преобразованием в напряжения					
		Л			
					
Трансформаторное устройство преобразования разности сопро- тивлений	| 0				
Мостовое устройство преобразо- вания разности сопротивлений	г  F ..-.ои о- „-4 ли  ri^rx 1	О				
Устройство вычитания усилий (дифманометр)	г	0 1,1,11			pz
				, X	
					
Устройство вычитания угловых скоростей (дифференциал)				/4>	
		я	[ F7		
-Г	А^ВЫХ	___  _ 4,44ы3[Лф	Отличаются большой чувстви- тельностью, примерно в 100... ...1000 раз больше, чем у простых УВ, необходима оди- наковая частота и синфаз- ность переменных токов
К ——^L- ~ ^х—^ь. р rx—rk	rx — rk	
11 f  Нк.  S'	S'  + + +  Е> >.	Е>  * j?  77 j  Н. Ь5*"	►*  -	11	
„	^и	и*гх	и_  р	ДГх	4гДГх	4г	
о?  к L  аГ  II	
Дш = Vs (“1 — “2)	
разности (рис, 6.39, а)

Кр^^К — х,),	-	(6.109)

где Л^р — выходная разностная величина.

Формулы для определения коэффициента для' различных уст-
ройств вычитания токов, напряжений и других величин приведены
в табл. 10. Точность УВ характеризуется, главным образом, аддитив-
ной составляющей погрешности, которая обусловлена появлением
на выходе УВ при — х2=0 выходного сигнала Д^. Аддитивную состав-
ляющую погрешности удобно характеризовать разностью сравнивае-
мых величин на входе, при которой выходная величина УВ обращается
в нуль:

Л = Xj — х2 при = 0.

Абсолютная аддитивная погрешность УВ Л выражается в единицах
сравниваемых величин

А - Д^р.

Следовательно, для повышения точности необходимо прежде всего
снижать А^ и повышать коэффициент K.v. Порог чувствительности в со-
временных УВ постоянных напряжений доведен до 10~9, а УВ токов —
до Ю-12 А. Для неэлектрических величин созданы УВ усилий, момен-
тов, масс, давлений и механических напряжений. Выходной величиной
в этих УВ в большинстве случаев является перемещение, которое далее
преобразуется в электрическое напряжение или ток. При сравнении
масс с использованием оптических методов преобразования микропе-
ремещений достигнут порог чувствительности в 10~п г, а при сравне-
нии усилий — 10~9 Н. Дальнейшее повышение точности УВ ограни-
чивается механическими микровибрациями и электрическими шумами
в последующих усилительных звеньях. (r г

Устройства вычитания величин второй группы обязательно имеют
в своем составе предвключенные преобразователи ПП1 и ПП2
(рис. 6.39, б), которые преобразуют Xj и х2 в величины и у2, удоб-
ные для вычитания. Так, сравниваемые температуры с помощью двух
термопар преобразуются в электрические напряжения, которые
можно вычесть, а их разность — усилить.

В этом случае погрешность возникает как от наличия мультипли-
кативных, так и аддитивных погрешностей предвключенных звеньев

А = X (бпш — бппг) + (Апп: — Anns),
где бпш и бппг — относительные мультипликативные погрешности
предвключенных звеньев; Дпш и Дппг — абсолютные аддитивные по-
грешности предвключенных звеньев.

Таким образом, погрешности предвключенных преобразователей
могут существенно увеличить погрешность вычитания.

Мультипликативные погрешности ПП1 и ПП2 трудно сделать мень-
ше 1 % для большинства неэлектрических величин. Погрешности, вы-
зываемые одной влияющей величиной, например температурой, часто
коррелированы, поэтому их разность (у/, — у;,) может быть достаточ-
но
но малой. Погрешности, обусловленные процессами’старения и' износа,
как правило, слабо коррелированы из-за случайного характера этих
процессов. Вследствие этого результирующая погрешность от неста-
бильности параметров предвключенных преобразователей может до-
стигнуть удвоенного значения погрешности ПП. Этим объясняется от-
носительно низкая точность измерения физических величин, которые
непосредственно вычитать нельзя. Снижая мультипликативные погреш-
ности звеньев ПП1 и ПП2 регулировкой коэффициентов преобразова-
ния, можно существенно уменьшить погрешность вычитания.

Для физических величин второй группы обычно также используют-
ся УВ с предвключенными преобразователями. Однако направленность
этих величин, например потоков заряженных частиц или газов, позво-
ляет их относительно легко прерывать или переключать. Это свойство
позволяет автоматически с достаточно высокой частотой переключать
вычитаемые величины на входе одного преобразователя физической
величины в напряжение ПФН (рис. 6.39, в). При неравенстве вычитае-
мых величин на выходе ПФН появляется переменная составляющая
Y', изменяющаяся с частотой их переключения й. Переменная состав-
ляющая напряжения усиливается усилителем переменного напряже-
ния у и выпрямляется фазочувствительным выпрямителем ФЧВ.
Выходное постоянное напряжение U пропорционально разности вы-
читаемых величин, а его полярность определяет соотношение этих ве-
личин хг х2. Так как обе величины и х2 поочередно преобразуются
одним ПФН, то медленное изменение его параметров не влияет на точ-
ность вычитания. В качестве преобразователя разности здесь исполь-
зуется бездрейфовый усилитель переменного напряжения, что также
повышает точность вычитания. Одноканальные УВ с поочередным вво-
дом физических величин нашли широкое применение для измерения
инфракрасных и видимых световых потоков, ионизирующих излуче-
ний, газовых потоков. В области электрических измерений этот метод,
получивший название метода периодического сравнения [62], широко
используется при фазовых измерениях, в автоматических измерителях
коэффициента нелинейных искажений, в анализаторах гармоник и т. п.
В качестве примера применения устройств вычитания рассмотрим ос-
новные особенности коммутационно-модуляционных измерительных
устройств.

Измерительные приборы уравновешивания с замкнутой структур-
ной схемой в зависимости от временной последовательности ввода ве-
личин делятся на приборы с одновременным, разновременным и перио-
дическим вводом, последние еще называют коммутационно-модуля-
ционными [62, 75].

В приборах с одновременным вводом неизвестная и компенсирую-
щая известная величины 1/х и t/K вводятся в прибор одновременно.
На выходе устройства вычитания УВ в приборах такого типа обычно
образуется электрическая величина, пропорциональная разности мгно-
венных или осредненных за некоторое время значений вычитаемых ве-
личин (рис. 6.40, а). В таких приборах обеспечивается высокая точность,
если предвключенного преобразователя ПП нет, т. е., если компенси-
руется непосредственно измеряемая величина. Однако многие измеряе-
Рис. 6.40. Структурные схемы приборов, основанных на использовании раз-
личных методов вычнтання

а ** о одновременным; б — с разновременным; а •» о периодическим известной
и намеряемой величины Xq и Xt.

мые величины неудобны для вычитания, поэтому в приборах с преоб-
разователями, включенными перед устройством вычитания, например
в логометрах, фазометрах, вольтметрах с входными преобразователя-
ми, трудно достичь высокой точности, так как предвключенные, осо-
бенно высокочувствительные преобразователи не обладают высокой
точностью.

В приборах с разновременным вводом поочередно на вход прибора
подается измеряемая величина, а затем образцовая при помощи пере-
ключателя, управляемого оператором РП (рис. 6.40, б). Такие
приборы имеют одноканальную структуру, в них реализован метод заме-
щения и необходимо использование памяти. В таких приборах элек-
трическая величина, пропорциональная разности сравниваемых вели-
чин, не создается, что затрудняет их автоматизацию. Примером
прибора с разновременным вводом является термоэлектрический компа-
ратор для измерения действующего значения переменного тока в широ-
ком частотном диапазоне.

В приборах с периодическим вводом, основанных на методе перио-
дического сравнения, величины вводятся в прибор автоматическим
переключателем АП поочередно с определенной частотой. Благодаря
этому в одноканальной схеме такого прибора получают электрическую
величину, пропорциональную их разности без использования элемен-
тов памяти. Приборы периодического сравнения появились сравни-
тельно недавно и отличаются от приборов одновременного сравнения
непрерывной коммутацией, высокой чувствительностью и точностью.
Более высокая чувствительность достигается благодаря усилению раз-
ностного сигнала на частоте переключения избирательным усилителем
с большим усилением. Повышение точности достигается благодаря
исключению аддитивной погрешности вычитания. Недостатком прибо-
ров периодического сравнения является более низкое быстродействие,
так как результат преобразования формируется по истечении несколь-
ких периодов относительно низкой частоты переключения.
Впервые периодическое сравнение было использовано в радиоастро-
номических приборах (радиометрах) для выделения полезных сигна-
лов на фоне собственных шумов входных преобразователей. Поочеред-
ное периодическое преобразование полезного сигнала, принятого
антенной, и известного шумового сигнала позволило измерить радио-
излучение космических объектов порядка 10“15...10—20 Вт. Приме-
нение автоматической коммутации сдвинутых по фазе напряжений
позволило повысить чувствительность при измерении малых изменений
разности фаз до одной угловой секунды. Примером одного из первых
приборов периодического сравнения в области температурных измере-
ний является объективная спектропирометрическая установка, создан-
ная коллективом Харьковского государственного института мер и из-
мерительных приборов в 1954 г.

Нестабильность и технологический разброс параметров полупровод-
никовых элементов больше всего сказываются в двухканальных при-
борах для преобразования входных напряжений или токов. При изме-
нении коэффициента преобразования Кпп предвключенного преобразо-
вателя ПП в показаниях прибора с одновременным вводом величин
(рис. 6.40, а) возникает погрешность, равная

$кПп ~ dKrm/Krm.

Часто основной причиной изменения Кпп является его временная
нестабильность, и если предположить, что скорость изменения Удпп
во времени постоянна, то

6кПП = (1/Кпп) Vf(ПП^эксп,

где Тэксп — время эксплуатации прибора.

Следовательно, применение в таких приборах нестабильных во вре-
мени преобразователей в качестве предвключенных вызывает большую
погрешность.

В приборе периодического сравнения (рис. 6.40, в) погрешность
от временной нестабильности предвключенного преобразователя будет
намного меньше, так как преобразование измеряемой и образцовой
величины производится в нем попеременно с малым периодом повторе-
ния. В этом случае погрешность 6/<пп равна

$Кпп = (1/Кпп)	(6.110)

где Tk — период переключений автоматического переключателя.

Следовательно, в таких приборах можно применять и нестабильные
во времени предвключенные преобразователи, если они обладают дру-
гими важными для данного прибора свойствами, например высокой
чувствительностью или плоской частотной характеристикой.

Исследовательская работа по созданию электроизмерительных уст-
ройств периодического сравнения была начата в Киевском политех-
ническом институте 1952—1953 гг. В 1953 г. предложен первый
одноканальный суммаразностный фазоиндикатор с периодическим ин-
I вертированием фазы одного из суммируемых напряжений. Периоди-
(ческое переключение фаз сравниваемых напряжений позволило создать
|одноканальные модуляционные фазоиндикаторы с погрешностью до
сотой доли градуса. Для измерения комплексных величин в начале
60-х годов был сформулирован метод периодического сравнения.

На основе этого метода разработаны высокоточные преобразовате-
ли электрических величин с использованием разомкнутых структур,
в которых преобладающая погрешность преобразования исключается
путем суммирования или вычитания результатов промежуточных пре-
образований, соответствующих двум положением автоматического пе-
реключателя [62, 75]. Введение в измерительное устройство избыточ-
ности, обусловленное наличием в структуре переключателей, позво-
ляет получить дополнительную информацию не только об измеряемой
величине, но и о погрешностях, и тем самым исключить эти погреш-
ности из результата измерения соответствующей обработкой. Перио-
дичность ввода сравниваемых величин или периодическое изменение
структуры измерительного устройства позволяет выполнять простей-
шие математические операции путем фильтрации составляющих часто-
ты коммутации без использования специальных вычислительных уст-
ройств с элементами памяти. Дальнейшее развитие коммутационно-
модуляционных устройств нашло отражение в самонастраивающихся
измерительных приборах, в которых корректирующее воздействие со-
здается величиной, пропорциональной погрешности. Одноканальное
выполнение устройства вычитания позволяет сформировать корректи-
рующее воздействие на базе высокочувствительных, но нестабильных
элементов. На этом принципе основаны фазометры, милливольтметры,
логометры и другие приборы на широкий частотный и динамический
диапазоны с самонастройкой их чувствительности в зависимости от
формы и интенсивности входных переменных напряжений [52]. Метод
периодического сравнения эффективен также для повышения точности
измерения магнитных величин, а также при измерении ряда неэлектри-
ческих величин, для которых не созданы еще достаточно точные обрат-
ные преобразователи.

6.11.	ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБРАЗЦОВЫХ СИГНАЛОВ

Воспроизведение сигнала является очень важной операцией, широ-
ко используемой во многих информационных процессах: измерения,
управления, распознавания образов, идентификации, контроле и др.

Воспроизведением называют создание сигнала — физического про-
цесса или кодового сигнала, обладающего заданными характеристика-
ми. Воспроизводимый сигнал задается прежде всего по характеру свое-
го изменения во времени, т. е. может служить детерминированным или
случайным сигналом. Воспроизводимый сигнал обычно должен обла-
дать заданными параметрами (например, амплитудой, частотой, фазой,
дисперсией). Параметры воспроизводимого физического процесса за-
даются часто заранее в виде значений числового кода, т. е. в виде чисел.
Следовательно, воспроизведение можно в этом случае рассматривать
как «преобразование» кода в физический процесс, т. е. в сигнал, инфор-
мативные параметры которого задаются входным кодом. Для воспроиз-
ведения сигнала с заданным размером параметра используются самые
различные физические процессы и математические методы.
Аналитическое представление воспроизведения сигнала с несколь-
кими заданными параметрами можно показать на примере ступен-
чатого воспроизведения синусоидального сигнала с заданными амплиту-
дой xn, частотой fN и фазой <рд/. В этом случае выходной сигнал

xN sin (2л/д// + <Рл) = N„qK sin (2лЛ^ + N^),	(6.111)

где Л7а — числовое значение кода амплитуды воспроизводимого сигна-
ла; Nf — числовое значение кода частоты воспроизводимого сигнала;

— числовое значение кода фазы воспроизводимого сигнала; qK,
Чч> — ступени квантования соответственно амплитуды, частоты и
фазы.

Воспроизведение сигнала в измерении является операцией, реали-
зуемой в мере, так как мера согласно ГОСТ 16263—70 является средст-
вом воспроизведения величины заданного размера. Например, преоб-
разователь код — напряжение воспроизводит электрический сигнал,
у которого напряжение Un имеет размер, заданный значением входного
кода N, т. е.

Un = NqK,
где qK — ступень квантования напряжения.

Следовательно, преобразователь код — напряжение является ав-
томатически управляемой кодом мерой напряжения. В зависимости
от закона изменения значений кода N (/) во времени она может вос-
производить детерминированный или случайный сигнал. Такая мера
обычно используется в обратной цепи автоматических цифровых при-
боров уравновешивания.

Примерами измерительных устройств, в которых реализованы
операции воспроизведения, являются преобразователи код— напря-
жение, генераторы частоты, импульсов, случайных сигналов и др.
В настоящее время преобразователи код — напряжение, код — сопро-
тивление, управляемые кодом делители напряжения выпускаемых
массовыми сериями в виде микросхем, широко используются в самых
различных автоматических системах. Разрабатывается и выпускается
много различных программно-управляемых преобразователей кода
не только в напряжение, но и во многие другие величины емкости, ин-
дуктивности, фазы и т. д., которые особенно необходимы для автома-
тизации поверки, градуировки СИ, для динамических испытаний и ав-
томатизации эксперимента.

Эталон как средство измерения предназначается обычно для вос-
произведения сигнала с параметром заданного неизменного во времени
размера, так как в этом случае естественно достижима наиболее высо-
кая точность. Для повышения точности воспроизведения величины за-
; данного размера в эталонах используются физические процессы, наи-
более стабильные во времени и наименее подверженные внешним Воз-
S' действиям. К таким процессам относятся прежде всего процессы ИИК-
S. ромира, например для воспроизведения единицы длины используется
| высокая стабильность длины световой волны, единицы времени — ста-
бильность колебаний атомов цезия.

Воспроизведение сигнала в процессе управления. Воспроизведение
физического процесса со строго заданным размером одного или многих
параметров является необходимой операцией при цифровом управле-
нии. Цифровое управление осуществляется заданными заранее цифрами
в виде кода. Однако кодом непосредственно на управляемый физи-
ческий процесс или объект воздействовать нельзя. Для этого необхо-
дим другой физический процесс, т. е. управляющий сигнал, а при уп-
равлении с высокой точностью этот управляющий сигнал должен иметь
строго заданные по размеру параметры. Следовательно, при цифровом
управлении также необходима операция воспроизведения сигнала, об-
ладающего параметрами заданного размера. Причем во многих случаях
точность управления зависит прежде всего от точности воспроизведения
размера параметра управляющего сигнала, требования к которой все
в большей степени повышаются. Точность воспроизведения оценивает-
ся метрологическими характеристиками.

Устройства воспроизведения сигналов в виде преобразователей
код — аналог используются в прецезионных станках и установках
электронно-лучевой технологии для программного управления поло-
жением соответственно инструмента и электронного луча и др. В на-
стоящее время все чаще в процессе цифрового автоматического управ-
ления производственными процессами для воспроизведения сигнала
применяют средства и методы наиболее высокой точности, которые ис-
пользуются при создании мер наивысшей точности — Государственных
эталонов. Например, в станках с программным управлением применяют
лазерные измерительные устройства, в которых используется высокая
стабильность длины световой волны, т. е. принцип, на котором основан
Государственный эталон метра. В генераторах частоты наиболее вы-
сокой точности используется высокая стабильность колебаний атомов
определенных веществ, т. е. принцип, на котором основан Государст-
венный эталон секунды.

Основные разновидности воспроизведения сигнала. При воспроиз-
ведении сигнала данной физической природы используются соответст-
вующие физические процессы и явления. Можно выделить четыре
основные разновидности воспроизведения сигнала:

а)	воспроизведение сигнала с заданным неизменным размером ин-
формативного параметра — реализуется в эталонах;

б)	воспроизведение детерминированных сигналов с известными за-
данными параметрами (реализуется в генераторах функций, генерато-
рах импульсов и т. д.). Воспроизведение сложного детерминированного
сигнала как функции времени производится обычно суммированием
элементарных сигналов на основе известных методов разложения слож-
ных сигналов в ортонормированные ряды, например, путем суммиро-
вания функций Котельникова, синусоидальных функций с кратными
частотами и др.;

в)	декодирование, или воспроизведение, сигнала, заданного после-
довательностью кодовых символов, выдаваемых через определенные ин-
тервалы времени. В этом случае обычно воспроизведение сигнала про-
изводится в два этапа:

«физически» воспроизводятся мгновенные значения сигнала в опре-
деленные моменту времени, т. е. воспроизводится физический дискре-
тизированный сигнал;
дискретизированный сигнал физически обычно с помощью фильтров
^преобразуется в непрерывный, примерами данного вида воспроизве-
дения сигнала могут быть демодуляция кодо-импульсного сигнала, а
;также создание выходного сигнала цифрового фильтра;

г)	воспроизведение случайного сигнала, например, с заданными за-
коном распределения и автокорреляционной функцией.

Погрешности восстановления сигнала, возникающие в результате
квантования и дискретизации сигнала, рассмотрены в п. 7.2.

6.12.	МАСШТАБНО-ВРЕМЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ

Масштабно-временное преобразования сигнала (МВП) — это пре-
образование входного сигнала в выходной, отличающийся от входного
измененной по определенному закону координатой времени. При МВП
такое изменение может быть осуществлено в виде растяжения сигнала
(увеличение длительности), сжатия (уменьшение длительности), обра-
щения по ходу времени и периодизации однократного сигнала. Если
выходной сигнал после МВП отличается от входного лишь длитель-
ностью (временным масштабом), амплитудой и постоянным временным
сдвигом начальной точки, но форма их одинакова, то такой МВП на-
зывается линейным. Очевидно, при линейном МВП временные расстоя-
ния между любыми выбранными отсчетами входного сигнала изменя-
ются в одинаковое число раз.

Для исследования «медленных» (инфранизкочастотных) сигналов
разработаны устройства, «ускоряющие» сигнал, т. е. устройства линей-
ного МВП с временным сжатием сигнала, а для «быстрых» сигналов
(например, импульсов нано- и пикосекундной длительности) — уст-
ройства, «замедляющие» сигнал, т. е. устройства линейного МВП с
временным растяжением сигнала. Основным назначением линейного
МВП является согласование частотного спектра исследуемого сигнала
с частотным диапазоном измерительной аппаратуры (табл. 11).

Классифицируем масштабно-временные преобразователи (рив. 6.41)
по следующим признакам:

Таблица 11. Основные характеристики трех разновидностей
масштабно-временнбго преобразования

МВП с растяжением	Длительность вход- ного сигнала	Коэффи- циент МВП	Ампли- тудная погреш- ность	Входной сигнал
Стробоскопическое преоб- разование (стробирование во времени)	(0,1 нс... 100 мкс)	108	±5%	Повторяющийся
ЗЭЛТ осциллограммы— развертывающее считыва- ние	(1...3) нс— 1с	10®	2. ..10 %	Однократный
Запись на магнитной лен- те	1 мкс	10*	2...3%	Любой формы
Рис. 6.41. Классификация масштабно-вре-
менных преобразований.

по характеру входного сигнала
на МВП однократных сигналов и
МВП повторяющихся, периодиче-
ских сигналов;

в зависимости от использования
операции запоминания, на МВП с
памятью и МВП без памяти. Дейст-
вительно, в основе МВП однократ-
ных сигналов лежит либо принцип
различных скоростей «записи» сиг-
нала в память и «считывания» его,
либо принцип непосредственной за-
держки времени. В МВП повторяю-
щихся сигналов запоминание сиг-

нала не является обязательным: оно заменяется повторением самого
сигнала. В зависимости от специфики преобразования временной коор-
динаты МВП подразделяется на МВП е растяжением, вжатием, сдвигом
и обращением координаты времени.

Уравнение преобразования МВП имеет следующий вид:

/вых((вых) — /вых((^7’( 4“ (q)>	(6.112)

где Кт = i^alt — коэффициент масштабно-временного преобразования
при 4 = 0; 4 — интервал временного сдвига.

На основе теорем масштаба и сдвига преобразования Фурье соот-
ношение между преобразованиями Фурье выходного и входного сиг-
нала МВП равно

F f ((вых) = J /вых (Krt + (0) e~ie>tdt = FBx (/©/Кт) е ~. (6.113)

При Кт < 1 происходит временное сжатие сигнала. При этом, как это
следует из (6.1|3), спектр сигнала расширяется в ИКт раз. При Кт > 1
происходит временное растяжение сигнала.При этом спектр сигнала
сжимается. При Кт = 1 и (0 =£ 0 происходит сдвиг сигнала. Незави-
симо от значения Кт и (0 форма сигнала на выходе МВП, как это сле-
дует из (6.123), остается без изменения.

Очевидно, количество информации в процессе МВП при отсутствии
искажений не изменяется, однако поток информации за единицу вре-
мени при Кт > 1 уменьшается, а при Кт <. 1 возрастает.

Рассмотрим МВП с памятью. При этом сигнал х (() = Xm sin (со/ +
+ <р) вносится в память со скоростью записи У3. При считывании сиг-
нала со скоростью Усч получаем сигнал с преобразованной координа-
той времени:

х (() = Ктхт sin (<о (Усч/У8) t + ф).

Таким образом, коэффициент масштабного преобразования времени
Кт = Уз/Усч.

Выбирая скорость и направление записи и считывания, можно
менять величину^ Кт и при этом обеспечивать требуемый характер
Рис. 6.42. Масштабно-временное преобразование сигнала с помощью заломи^
нающей электронно-лучевой трубки (ЗЭЛТ):

а — входной сигнал: б потенциальный рельеф на экране ЗЭЛТ; в — после**
довательиость импульсов, считанных электронным лучом с экрана ЗЭЛТ; г *—
выходной сигнал МВП.

МВП. Так, если Гсч < V3 и V3VC4 > 0, т. е. направления развертки
при записи и считывании совпадают, то Кт > 1, что соответ-
ствует временному растяжению МВП с увеличением длительности сиг-
нала и сужением ширины спектра в Кт раз.

При Рсч > V3 и У3УСЧ > 0, Кт < 1 происходит временное сжатие
сигнала.

Рассмотрим примеры устройства МВП.

При использовании запоминающей электронно-лучевой трубки
(ЗЭЛТ) входной сигнал (7ВХ (/) (рис. 6.42, а) запоминается на мишени
ЗЭЛТ в виде потенциального рельефа Y (Z) (рис. 6.42, б), где Y — ор-
дината рельефа; I — абсциссы рельефа.

Этот записанный рельеф сканируется считывающим лучем во время
N циклов разверток. На выходе устройства получают импульсы напря-
жения, амплитуды которых пропорциональны считываемым ординатам
рельефа (рис. 6.42, в), а следовательно, и ординатам входного сигнала
Z7BX (/). Пропуская (7ИМП (т) через фильтр низких частот, получают
выходной сигнал (7ВЫХ (KTt) (рис. 6.42, г).

Устройства МВП на ЗЭЛТ используются главным образом для вре-
менного растяжения сигналов. Благодаря развертке считывание
сигнала производится в виде дискретных отсчетов, причем интервал
дискретизации

Аг = Гр.сч/М,

где Трлч — длительность развертки при считывании; N — количество
отсчетов.

При длительности развертки записи Тр,3 — 50... 100 нс и N = 100
можно подвергнуть МВП с пелью растяжки времени сигналы с частотой
до 1 ГГц. При этом создается возможность последующего измерения
ординат сигнала цифровым прибором с ограниченным быстродействием.

Из всех устройств МВП, предназначенных для временного расши-
рения коротких повторяющихся сигналов, наибольшее применение
Рис. 6.4з. Стробоскопическое преобразование повторяющихся сигналов;

а входной сигнал; б •— последовательность стробирующих импульсов: в — рас-
ширение импульсов» амплитуда которых равна соответствующей ординате входного
сигнала в момент стробирования; г — выходной сигнал МВП после фильтра низких
частот; д — схематическое устройство стробирующего преобразователя.

и наилучшие параметры имеют стробоскопические преобразователи пов-
торяющихся сигналов [24]. Принцип их действия основан на дискрети-
зации повторяющихся сигналов (рис. 6.43, а) с помощью стробиру-
ющих импульсов. На каждый период сигнала приходится один такой
импульс, который растягивается (рис. 6.43, б). Импульсы автомати-
чески сдвигаются во времени относительно сигнала при каждом повто-
рении последнего, считывая таким образом все дискретные значения
сигнала. Сигнал обрабатывается непрерывно и после пропускания
через фильтр нижних частот получают сигнал, растянутый во времени
(рис. 6.43, г). Считывание дискретных значений производится при по-
мощи ключа, управляемого стробирующими импульсами (рис. 6.43, д).

Если входной сигнал периодический, то в результате преобразова-
ния частота выходного сигнала станет в Кт раз меньше, в Кт раз, умень-
шится ширина его спектра и увеличится длительность. Коэффициент
МВП

Кт ==* Ат/А< = /оигн/(/сигн —/строб),	(6.114)

где Ат, А( — интервалы дискретизации (шаги считывания) соответст-
венно выходного и входного сигналов; /строб — частота повторения
стробирующих импульсов, причем /строб <. /сит /виги — частота вход-
ного сигнала.

6.13.	ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

Фильтрацией называется выделение из выходного сигнала его части,
частотный спектр которой лежит в определенной области (в полосе
пропускания). Фильтрацию можно классифицировать по роду преобра-
зований на аналоговую и цифровую, а по расположению
полос пропускания — на:

фильтрацию нижних частот, полоса пропускания
которых ограничена сверху (рис. 6.44, а);

фильтрацию верхних частот, полоса пропускания
которых ограничена снизу (рис. 6.44, б);

полосовую фильтрацию, при которой полоса пропус-
кания ограничена и сверху и снизу (рис. 6.44, в);

заграждающую фильтрацию, при которой между
двумя полосами пропускания, ограниченными снизу и сверху, имеется
узкая полоса непропускания (рис. 6.44, г).

Для фильтрации можно ивпользовать различные функциональные
преобразователи и физические явления.

Устройства, у которых реализуется фильтрация сигналов, назы-
ваются фильтрами. Фильтры очень широко применяются в различных
областях информационной техники, в том числе в информационно-
измерительной технике — для исключения помех из смеси исследуе-
мого сигнала и помехи, определения
частотного состава сигнала (в ана-
лизаторах спектра), выделения ос-
новной гармоники искаженного
сигнала (в измерителях нелинейных
искажений) и т. д. В соответствии
со спецификой фильтрации в отно-
шении расположения частотной по-
лосы пропускания различают фильт-
ры нижних частот (ФНЧ),
верхних частот (ФВЧ),
полосовые (ПФ), заграж-
даю щ и е (ЗФ).

Рис. 6.44. Основные виды фильтрации сигна-
лов по расположению полос пропускания:
а нижних частот; б — верхних частот; в
полосовая; г » заграждающая.
Рис. 6.45. Простейшие примеры реализации фильтров*.

а в нижних частот; б •— верхних частот; в — полосовой фильтр; г — полосовой
заграждающий.

Основной характеристикой фильтра является его частотная характе-
ристика, имеющая следующие параметры:

коэффициент преобразования

Кф — ^вых/Хвх»
коэффициент затухания

Ь — ^вх/^вых>
логарифмический коэффициент затухания
^ЛОГ = 20 1g Хвх/^ВЫХ,
крутизна характеристики

S = dKJdf-,

частотная полоса пропускания, или полоса прозрачности;
частотная полоса непропускания, или полоса непрозрачности.
Реальные фильтры от идеальных отличаются, прежде всего, тем,
что крутизна их характеристик конечна; фильтры сравнивают между
собой по крутизне характеристик.

Для неидеальных полосовых пропускающих фильтров ширина по-
лосы пропускания определяется по частоте, при которой уменьшает-
ся в ]/2 раз по сравнению с максимальным значением при централь-
ной резонансной частоте.

Простейшей реализацией ФНЧ является делитель на последователь-
но соединенных резисторе R и конденсаторе С; его коэффициент преоб-
разования (рис. 6.45, а)

Кфнч = 1/У 1+ со2Я2С2.

Простейшей реализацией ФВЧ является делитель на последова-
тельно соединенных конденсаторе С и резисторе R; его коэффициент
преобразования (рис. 6.45, б)

*/<фвч = aRC/V 1 + oWC2.
Элементарный ПФ можно Получить последовательным соединением
7?С-звеньев, фильтрующих нижние и верхние частоты (рис. 6.45, в);
в этом случае коэффициент пропускания ПФ

Кпф — Кфнч^Сфнч = <oRC/(l + <о27?2С2).

Характеристика такого ПФ представлена на рис. 6.45, в. Его цент-
ральная частота	=

Простейшим ПФ является также колебательный £С-контур.

Для создания полосового заграждающего фильтра полосовой
пропускающий фильтр включают в цепь обратной связи усилителя
(рис. 6.45, г).

Недостатком однозвенных фильтров является малая крутизна ха-
рактеристики преобразования; для ее увеличения такие звенья соеди-
няют последовательно, параллельно или применяют более сложные
схемы.

Пассивные 7?С-звенья характеризуются большим затуханием в по-
лосе пропускания, требуют большого числа звеньев для обеспечения
достаточно высокой избирательности и неприменимы в области низких
и инфранизких частот вследствие большого габарита и веса, низкой
избирательности. Активные ДС-фильтры благодаря объединению пас-
сивных ДС-цепей с операционными усилителями (или другими актив-
ными элементами) обладают высокой избирательностью при малых массе
и габаритах.

В области высоких частот используются £С-фильтры. Наиболее
эффективными ПФ являются пьезоэлектрические, в которых исполь-
зуется явление механического резонанса кварцевой пластины и пьезо-
эффект, т. е. возникновение электрических потенциалов в деформиро-
ванных областях кварцевой пластины. Кварцевые фильтры имеют кру-
тизну характеристики до S = 0,02 дБ/Гц и относительную полосу
пропускания до A/7f = 5 • 10-4.

Понятие о цифровой фильтрации сигналов

Наряду с аналоговыми фильтрами применяют и цифровые. Цифро-
вым фильтром называется устройство цифровой обработки числовых
значений дискретизированного входного сигнала N' (ЦТ) с целью по-
лучения числовых значений дискретизированного выходного сигнала
фильтра, обладающего заданной частотной характеристикой (рис.6.46).

В цифровом фильтре, основанном на алгоритме интеграла свертки,
реализуется цифровое перемножение числовых значений дискретизи-
; рованного входного сигнала (V' (kT) на весовые коэффициенты h (IT) —
’равные соответствующим значениям заданной импульсной характе-
ристики фильтра. Перемножением соответствующих весовых коэффи-
циентов на текущее и все k — 1 предшествующие числовые значения
сигнала N' (kT) и суммированием получают числовые значения дискре-
тизированного выходного сигнала в данный момент времени. Число-
вые значения дискретизированного выходного сигнала N" (kT) подаются
на вход преобразователя код — аналог, на выходе которого полу-


Рис. б.46. Структурная схема цифрового фильтра.

чают мгновенные значения дискретизированного выходного сигнала
в соответствующие моменты времени. После получения дискретизиро-
ванного выходного сигнала его пропускают через аналоговый фильтр
нижних частот и получают окончательно непрерывный искомый выход-
ной сигнал х2 (Z). Дискретное преобразование сигнала, реализуе-
мое в таком фильтре, выражается следующим образом:

N" (kT) qk = S Л (iT) N' (kT - iT) qk,	(6.115)

i=0

где n — число дискретных значений входного сигнала за цикл преоб-
разования; k — изменяется от 1 до п.

Текущее значение N” (kT) qk зависит от значений заданной им-
пульсной характеристики фильтра h (iT), текущего значения входной
величины N' (kT)qk и k — 1 предыдущих значений входной вели-
чины.

6.14.	ЗАПОМИНАНИЕ И РЕГИСТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

Запоминанием называется операция, связанная о передачей инфор-
мации по временному каналу связи из настоящего в будущее. По-
скольку течение времени неповторимо, то перенесенная в будущее
информация не может быть воспроизведена в «своем» уже прошедшем
интервале времени. Запоминание возможно благодаря наличию
памяти [40].

Памятью в широком смысле слова называют совокупность процес-
сов и механизмов, обладающих способностью сохранять информацию
во времени.

Запоминание можно определить также как операцию передачи ин-
формативного параметра данного сигнала от одного объекта к другому
для хранения с возможностью последующей выдачи, т. е. считывания
из памяти, например, запоминание длины путем нанесения меток на
другой детали, запоминание напряжения путем заряда конденсатора
в другой цепи до напряжения такого же размера.

Создание запоминающих устройств предоставило небывалые воз-
можности для автоматизации в широких масштабах самых различных
Ло 6иду сигнала

Ло наличию предвари-
тельного преобразования

По длительности

Рис. 6.47. Классификация операций запоминания сигналов.

информативных процессов. Операция запоминания в процессе измере-
ния создает возможность автоматизированной обработки и коррекции
результатов измерения.

Запоминание осуществляется с помощью запоминающих устройств
(ЗУ), под которыми понимаются технические устройства, предназна-
ченные для реализации памяти в машинах, приборах и других инже-
нерных системах. ЗУ содержит запоминающие элементы — такие эле-
менты, каждый из которых может находиться в нескольких (по край-
ней мере двух) устойчивых состояниях. Часть ЗУ, предназначенная
для хранения информации, называется накопителем.

Методом запоминания будем называть совокупность приемов ис-
пользования физических процессов для осуществления записи, хране-
ния и считывания информации. Рассмотрим три метода запоминания.

В первом методе используют изменение состояний запоминающих
элементов под влиянием запоминаемого сигнала (например, заряд
Конденсатора, намагничивание ферромагнитного сердечника, переклк^
:чение триггеров).

Различают запоминающие элементы аналогового и дискретного ти-
пов. В качестве дискретных могут применяться любые многостабильныё
элементы, способные изменять свое состояние под влиянием внешних
воздействий, длительно сохранять и допускать распознавание этого
состояния при наличии внешнего запроса.

Второй метод заключается в использовании устойчивого изменения
Каналов связи между объектами (например, наличие или отсутствие
гальванической связи, изменение коэффициентов передачи).

В третьем методе используется циркуляция кода по некоторому
«имкнутому контуру, например в линиях задержки.

Практически во всех современных информационно-измерительных
Системах используется первый метод запоминания.

Считыванием из памяти называется операция выдачи сигнала с ин-
формативным параметром, идентичным таковому у входного сигнала,
Внесенного в память.

Операции запоминания сигналов можно классифицировать по слё-
Дующим классификационным признакам: виду запоминаемого сигна-
«Й, наличию предварительного преобразования перед запоминанием и
ЙО длительности запоминания (рис. 6.47),
По виду запоминаемых сигналов их можно
разделить на запоминание аналоговых, или непрерывных, и кодовых,
или дискретных, сигналов. При запоминании аналогового сигнала
должна быть сохранена минимум одномерная информация о размере
по крайней мере одного из его параметров. При запоминании каждого
отдельного символа кодового сигнала должна быть сохранена менее
сложная информация только о наличии или отсутствии данного символа.
Устройства для запоминания аналоговых сигналов называются аналого-
выми запоминающими устройствами (АЗУ), а кодовых — дискретными
запоминающими устройствами (ДЗУ). В АЗУ неизбежно возникновение
погрешности запоминания, которая теоретически отсутствует в ДЗУ.

По наличию предварительного преобразо-
вания перед запоминанием операции запоминания удобно подраз-
делить на запоминание с предварительным преобразованием и без него.
«Запомнить», т. е. сохранить во времени неизменными, можно далеко
не все величины. По возможности запоминания физические величины
можно подразделить на величины, удобные и не удобные для запомина-
ния. К первым можно отнести прежде всего длину, угол, электриче-
ское напряжение, намагниченность.

По длительности запоминание делят на кратковременное
и долговременное. Один из видов долговременного запоминания назы-
вается также регистрацией.

Регистрация осуществляется с помощью регистрирующих, напри-
мер самопишущих, приборов. Современные регистрирующие приборы
выполняются для регистрации непрерывных (аналоговая регистрация)
и кодовых (дискретная регистрация) сигналов. Аналоговая регистра-
ция в форме графика или осциллограммы дает наглядное представление
о законе изменения информативного параметра и наиболее удобна
для быстрого сравнения нескольких измеряемых величин, а также оп-
ределения тенденции процесса. Основным ее недостатком является
сложность последующей обработки. Поэтому некоторые современные
аналоговые регистрирующие приборы снабжаются аналого-цифровыми
преобразователями.

Все регистрирующие приборы можно разделить на пять групп:

1)	самопишущие приборы;

2)	самопишущие приборы со следящим уравновешиванием;

3)	быстродействующие самопишущие приборы;

4)	светолучевые осциллографы;

5)	измерительные магнитографы.

Самопишущие приборы наиболее распространены. В них исполь-
зуется электромеханический преобразователь, подвижная система ко-
торого перемещает пишущий орган. Регистрация производится на бу-
маге в криволинейной (реже — в прямоугольной) системе координат.
Большинство таких приборов имеет класс точности 1,5 и применяется
главным образом в электроэнергетике.

Самопишущие приборы со следящим уравновешиванием получили
широкое распространение в промышленности. Их класс точности на-
ходится в пределах 0,25... 1,0, скорость протяжки варьируется в пре-
делах 20...54 000 мм/ч, чувствительность достигает 1 мкВ/мм.
Быстродействующие самопи-
шущие приборы находят широ-
кое применение в медицине, верх-
няя граничная частота их дости-
гает 150 Гц, число независимых
каналов — десяти и более.

Светолучевые осциллографы
(рис. 6.48) применяются для ре-
гистрации формы кривой элект-
рического сигнала в диапазоне
частот от нуля до нескольких
тысяч герц. Усовершенствован-
ные светолучевые осциллографы
имеют до 36 каналов, частотный

Рис. 6.48. Светолучевой осциллограф типа
Н125 ленинградского завода «Вибратор» .

диапазон до 15 кГц, максималь-

ную скорость протяжки 10 м/с, максимальную ширину ленты 300 мм.

В измерительных магнитографах сигнал регистрируется на магнит-
ной ленте, поэтому информация не может быть воспринята визуально.
Их преимуществами являются: возможность многократного использо-
вания носителя информации, удобство и простота считывания сигнала.
Магнитографы имеют до 16 каналов, верхнюю граничную частоту
20 кГц, запас ленты в кассете 750 м.

Устройства с длительным запоминанием необходимы:

для визуализации временной зависимости на протяжении заданного
временного интервала;

для автоматизации статистической и функциональной обработки ре-
зультатов наблюдения;

для автоматизации обработки результатов измерения аргументов
при косвенных, совокупных и совместных измерениях;

для хранеция программ управления различными звеньями автома-
тических измерительных приборов и измерительных систем;

для масштабно-временного преобразования сигнала.

Основными характеристиками запоминающих устройств являются
время и скорость записи и считывания из памяти, емкость и объемная
плотность памяти, погрешности записи, хранения и считывания.

Под временем записи и считывания понимают промежуток времени,
затрачиваемый на записывание и считывание с заданной погреш-
ностью. Практически ЗУ чаще характеризуют более укрупненным пара-
метром — временем обращения, равным сумме времени записи, и вре-
мени считывания.

Для характеристики ЗУ с точки зрения быстродействия вводится
понятие скорости записи в память или считывания из памяти, кото-
рым называют запоминаемую или считываемую информацию в единицу
времени:

V3 = Ia/Ta-, V = Ic/Tc,
где /3 и /0 — соответственно записанная и считываемая информация’;
Та и То — время соответственно записи и считывания.

Емкостью памяти М называют информацию (в битах), которую
может зафиксировать данное ЗУ. Если информация представлена
Рис. 6.49. Характеристики запоминаю-
щих устройств различных типов:

1 — полупроводниковые интегральные
схемы: 2 — тонкие магнитные пленки;

3 — ферритовые сердечники; 4 — маг-
нитные барабаны: 5 — магнитные лен-
ты; 6 — магнитные диски.

в двоичном коде, то емкость памяти в
битах

М = Nn,

где N— количество слов, которые мо-
гут быть размещены в ЗУ; п — коли-
чество двоичных разрядов в слове.

В последние годы емкость ЗУ опре-
деляют в укрупненных единицах ин-
формации — байтах и килобайтах (/С),
один байт принят равным восьми би-
там (двоичным единицам информации).

Вычислительные и информацион-

ные возможности вычислительных и
измерительных систем в значительной
мере определяются объемами памяти.
Объем памяти у карманных калькуля-
торов составляет 103... 103 бит, у циф-
ровых приборов с простейшей обработ-

кой результатов измерений — 103 бит, у измерительных систем —
104...105.

Сточки зрения габаритных размеров запоминающих устройств важ-
ной характеристикой является объемная плотность хранимой инфор-
мации — отношение объема памяти к геометрическому объему, зани-
маемому устройством. Объемная плотность элементов памяти ЭВМ,
выполненных на интегральных схемах, составляет 103 бит/см3, поверх-
ностная плотность элементов памяти на приборах с зарядовой связью —
104 бит/мм2, объемная плотность книги — 1,5 • 104 бит/см3, а голограм-
мы — до 1012 бит/см3.

На рис. 6.49 приведены размеры емкости памяти в функции вре-
мени обращения для ЗУ, построенных на различных физических прин-
ципах.

В настоящее время память на ферритовых сердечниках, как менее
технологичная, постепенно заменяется полупроводниковой в инте-

гральном исполнении.

Наиболее перспективными в настоящее время считают полупровод-
никовые микросхемы памяти, которые обеспечивают высокое быстро-
действие, низкую потребляемую мощность; высокую помехоустойчи-
вость и большую емкость (64 К и более в одном корпусе). Разновид-
ностью микросхем памяти являются постоянные ЗУ (ПЗУ), которые
можно разделить на масочные ПЗУ и ПЗУ с однократной и многократ-
ной записями.

В масочные ПЗУ записывают информацию при изготовлении микро-
схемы. В ПЗУ с однократной записью во все запоминающие элементы
(ЗЭ) записывается 1. Пользователь с помощью специального устройства
(программатора) записывает нужную ему информацию путем разреше-
ния (пережигания) ЗЭ, в которые нужно записать 0. Восстановление 1
и повторная запись 0 в таких устройствах невозможна. В ПЗУ с много-
кратной записью перевод микросхем памяти в исходное состояние осу-
Рис. 6.50. Схема уст-
ройства записи и счи-
тывания сигнала на
конденсаторе.

ществляется либо ультрафиолетовым облучением через специальное
окно в микросхеме либо путем подачи стирающего сигнала заданной
амплитуды и длительности.

При запоминании, хранении и считывании сигнала в аналоговых
ЗУ возникают погрешности. Различают погрешности запоминания
(А3), хранения (Ахр) и считывания (Ао) сигнала. Погрешность запомина-
ния возникает из-за погрешности преобразования цепи записи. Выра-
жение для абсолютной погрешности запоминания

А3 = х3 — х,

где х — истинное значение запоминаемой величины; х3 — ее значение,
внесенное в память.

Погрешность хранения Ахр характеризуется изменением величины,
внесенной в память за время хранения:

Ахр == х3 x3Kt

где х3 и Хзк — значения измеряемой величины соответственно в начале
и конце срока хранения.

В аналоговых конденсаторных ЗУ эта погрешность связана с само-
разрядом конденсатора; ее можно уменьшить, если сократить интер-
вал времени хранения.

Погрешность считывания обусловлена нестабильностью преобразо-
вателя считывания:

Ао — %сч -Хак,
где хсч — значение сигнала после считывания.	_

В качестве примера рассмотрим особенности операции запоминания
электрического напряжения на емкости. Простейшая схема устройства
записи и считывания на конденсаторе изображена на рис. 6.50. В цепь
записи входят источник с э. д. с. Е, сопротивление R и емкость С.
Включение цепи запоминания осуществляется ключом К1. Цепь считы-
вания содержит емкость С, ключ К2 и преобразователь П с высоким
входным сопротивлением. В процессе записи ключ KJ замкнут, а К2
разомкнут, при считывании — наоборот.

Относительная погрешность запоминания

63 = Е-~рС (t)- = 1— е-//Ч

3 Е

т. е. при заданном времени запоминания (t = ts) она может быть сни-
жена только за счет уменьшения постоянной времени

T3 = CRRn/(R + Rn). -

Погрешность хранения можно определить по следующей формуле:
бх= l-e-zA
где Zx — время хранения информации; 7\ — постоянная времени цепи
саморазряда конденсатора.

При разработке ЗУ на конденсаторах нужно выбирать последние
с минимальными потерями и высоким сопротивлением изоляции, т. е.
с большой 7\.

В элементах памяти с зарядовой связью и полевых транзисторах
со структурой металл — нитрид — окись — полупроводник (МНОЙ)
длительность хранения колеблется от нескольких часов до многих
лет.

При считывании ключ К1 размыкается, а К2 замыкается.

Если в момент времени t — 0 напряжение на конденсаторе С/о (/) =
= Е, то погрешность считывания, обусловленная подключением к на-
копительному конденсатору преобразователя П,

8С = (Е — Её~‘с/Т^)/Е = 1 — е-/с/Гс.	(6.116)

Из последней формулы видно, что при данном значении параметра
Тс = (адЖ + *п),
погрешность б0 снижается с уменьшением времени считывания ta.
Глава 7

КВАНТОВАНИЕ, ДИСКРЕТИЗАЦИЯ
И КОДИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ

Развитие цифровых систем управления и передача кодированных
сигналов, автоматизация измерения цифровыми измерительными уст-
ройствами с кодовым дискретным во времени выходом способствовали
быстрому развитию теоретических и практических аспектов квантова-
ния, дискретизации и кодирования. Поэтому теоретические аспекты
квантования, дискретизации и кодирования вошли в качестве состав-
ных частей в теории управления, связи и измерений. При измерении
квантование и дискретизация являются измерительными преобразова-
ниями. В настоящей главе квантование и дискретизация рассмотрены
с метрологической точки зрения.

7.1. КВАНТОВАНИЕ

Квантование является измерительным преобразованием непрерывно
изменяющейся величины в ступенчато изменяющуюся с заданными
размерами ступеней.

Ступенью квантования называется разность между
двумя соседними заданными значениями квантованной величины qK.

Аналитическое представление квантованного сигнала.

Равномерное и неравномерное квантование

Квантованный сигнал в функции времени может быть выражен
с помощью единичной ступенчатой функции, которая равна единице
при положительном аргументе и нулю — при отрицательном:

XK.At) = N{(tNi)qKl(t-tNi).	(7.1)

Квантование может выполняться с равномерными (рис. 7.1, а, б)
и неравномерными (рис. 7.1, в, г) ступенями квантования. Ступень
квантования выражается в единицах данной величины и в относитель-
ных единицах.

Равномерное квантование применяется при измерении; как прави-
ло, при этом количество уровней или ступеней квантования велико.

Квантование является одной из наиболее ответственных операций
процесса измерения. Квантование образцовой величины осуществляет-
ся многоканальной или регулируемой мерой; при этом на выходе меры
а, б — с равномерными ступенями; в, г — с неравномерными ступенями; д квантование
известной величины на выходе регулируемой меры.

получают величины заданного размера со значениями, выраженными
в единицах данной физической величины (рис.7.1,д). Квантование
в единицах относительных величин может быть выполнено в многока-
нальном или регулируемом масштабном преобразователе (относитель-
ное квантование).

Квантование широко применяется в процессе управления при не-
обходимости воздействия на технологический процесс сигналом с пара-
метром точно заданного размера.

Неравномерное квантование применяется обычно при небольшом
числе ступеней квантования, например в статистических анализаторах.
При этом иногда целесообразно неравномерное оптимальное квантова-
ние, которое будет рассмотрено в дальнейшем более подробно.

Квантованные величины разделяются на естественно-и искусствен-
но-квантованные.

Естественно-квантованная величина является совокупностью оди-
наковых частиц или элементов, размер параметра которых постоянен
и равен размеру ступени квантования, например электрический заряд,
определяемый целым числом электронов с известным зарядом каждого
из них. Естественно-квантованная величина, разделенная на отдельные
частицы (кванты), удобна для измерения простейшим путем счета час-
тиц. Электрический заряд, состоящий из электронов с одинаковым
известным зарядом, можно измерить счетом электронов,- при этом не-
обходимо поток электронов, образующих данный заряд, точно преоб-
разовать в последовательность импульсов, поддающуюся безошибоч-
ному счету.

Естественно-квантованной величиной является также масса, состоя-
щая из масс отдельных молекул данного вещества. Естественную кван-
тованность материи стремятся использовать для более точного воспро-
изведения малых масс. С этой целью в метрологических институтах
проводятся работы по более точному определению числа Авогадро.

Временная координата периодического сигнала, например синусои-
дального, естественно квантована постоянным периодом То. Такие сиг-
налы получают на выходе мер времени, например молекулярных и квар-
цевых генераторов частоты. Число периодов в таком сигнале опреде-
ляется путем счета импульсов.

Пространственная координата светового когерентного луча также
естественно квантована постоянной длиной волны %. Эта квантован-
ность световых лучей выявляется с помощью явления интерференции
(изменение интенсивности света при совпадении в одной точке двух
когерентных лучей в зависимости от размера сдвига фаз, т. е. разности
хода между ними). Малая длина волны светового луча и высокое ее
постоянство позволяют квантовать ход луча, т. е. перемещение с очень
высокой точностью. Например, погрешность интерференционного Госу-
дарственного эталона метра равна 10-8 м, а относительная погрешность
промышленных лазерных интерферометров составляет 5 • 10-8 при
измеряемых перемещениях порядка 1 м. Ведутся исследования по
дальнейшему снижению погрешности эталона метра путем применения
для его воспроизведения излучений с более стабильной и более корот-
кой длиной волны.

Для искусственного квантования, нанесения и обнаружения границ
ступеней и точного дозирования, наиболее удобны: длина детали, уг-
ловой размер детали, интервал времени, масса и электрическое напря-
жение.

Угол а и перемещение I очень удобны для неавтоматического забла-
говременного квантования, например в процессе изготовления линейки
с миллиметровыми делениями. После завершения процесса квантова-
ния линейного или углового размера детали, т. е. после нанесения ви-
димых глазом равноотстоящих отметок, эта деталь становится искусст-
венно созданной мерой длины или угла. В автоматических измеритель-
ных приборах угол поворота квантуется элементами с автоматически
различимыми состояниями или свойствами вещества, например прово-
дящий и непроводящий, прозрачный и непрозрачный элементы. Извест-
ны конструкции фотоэлектрических кодирующих преобразователей
«угол — код» на 20 двоичных разрядов, в которых ступень квантования
равна примерно одной миллионной доле одного полного оборота. Опти-
ческими и рентгеновскими интерференционными устройствами длина
автоматически квантуется ступенями 10-8 до 10-11 м.

Интервал времени может автоматически квантоваться с минималь-
ной ступенью квантования КГ-12 с.

Понятие о погрешности квантования

Погрешность квантования Ак является методической погреш-
ностью метода отражения непрерывной по размеру величины ограничен-
ным по числу разрядов числом, т. е. методической погрешностью само-
го измерения (п. 1.4). Погрешность от квантования равна разности
между результатом измерения без предварительного преобразования
xn и истинным значением величины X, если погрешности меры и компа-
ратора равны нулю:

Дк = XN — х.	(7.2)

Погрешность от квантования Дк по характеру изменения может быть
систематической постоянной по значению (при X = const) и случайной
(при X = var по случайному закону).

Характер изменения погрешности Дк предопределяет и способы ее
уменьшения.

Если измеряемая величина постоянна по размеру, то погрешность
Дк также является постоянной величиной и может быть определена с
помощью более высокочувствительного прибора, например дифферен-
циальным методом (п.2.4) или наложением случайного сигнала с после-
дующей статистической обработкой ряда наблюдений (п.7.1).

Если измеряемая величина изменяется во времени X (t), то характер
изменения погрешности от квантования зависит от характера изменения
сигнала X (0 и от режима работы измерительного устройства (п.7.1).

Статистические характеристики погрешности квантования
случайной величины

Рассмотрим статистические характеристики [80] погрешности от
квантования случайного сигнала с законом распределения р (х)
(рис. 7.2). Предположим, что значение х, соответствующее середине
данной ступени qKi, равно результату измерения Xn = х(. При этом
погрешность от квантования равна Дк = xt — X.

Математическое ожидание погрешности от квантования при отсутст-
вии корреляции между измеряемой величиной и погрешностью от кван-
тования Дк ;

X'

М (Дк;) = У (х( — X) р(х) dx.	(7-3)

xi

Дисперсия	х'£

D (ДК1) = j (xt — X)2 р (х) dx,	(7.4)

где xi — нижняя граница данной ступени квантования; х" — верхняя
граница данной ступени квантования; х( — значение X соответствую-
щее середине ступени квантования.

При большом числе ступеней квантования можно предположить,
что значение плотности вероятности случайного сигнала внутри данной
ступени квантования постоянно и равно р (xt) — своему значению при
X = X; . Тогда

Х1

М (Дк() = р (Х{) § (хг — X) dx = р (X.) [(X, — Xf)2 — (X,- — X;)2]. (7.5)
xi
*1 'Kj	*

Рис. 7.2. К определению статистичес-
ких характеристик погрешности от
квантования случайного сигнала с за-
коном распределения р (so).

Если xt соответствует середине интер-
вала, то М (Ак1) = 0. Дисперсия пог-
решности
x"i

D (АК1) = р (х() j (xt — Ху dx =

= V3P (Xi) — Хд3 — (X{ — Xi)3].

При условии, что xt соответствует се-
редине интервала,

D(AK) = 1/12p(xi)73K.	(76>

Дисперсия погрешности от квантования с учетом изменения случай-
ного сигнала во всем диапазоне значений от 0 до хт

O(AK) = 1/12ip(xf)i73Ki.	<77>

t=l

При равномерном квантовании qKi =	= const и

О(АК) = q2Jl2 5 р(х{) qK.

i=i

При нормированном распределении случайного сигнала в диапазо-
не от 0 до хт

"н	„

£ Р (х.) qK = 1, тогда D (Ак) = ql/12.	(7.8).

/=1

Таким образом, получено выражение для дисперсии погрешности
при равномерном квантовании в случае достаточно большого числа сту-
пеней квантования для любого закона р (х).

С. к. о. погрешности при равномерном квантовании

а(Ак) = /ЩА1=?к/2]ЛЗ = хн/2/ЗЛГн.	(7.9)

Если с. к. о. погрешности задано, то можно определить необходимое
при равномерном квантовании номинальное число ступеней кванто-
вания:

__ хн __ ____хн___ __ ____J_____

и <7к 2/Зо(Дк)	2/Зба(Дк)

Заданное значение с. к. о. погрешности от квантования при равно-
мерном квантовании достигается обычно соответствующим выбором
номинального числа ступеней квантования N„.

Оптимальное квантование

Дисперсия погрешности от квантования случайной величины X (I)
во всем диапазоне ее изменения от 0 до хт

"н	3  D(^) = 1/l2^p(xl)q3K1.	(7.10)
Задача состоит в том, чтобы при заданных максимальном значении
сигнала =Ьхт, распределении случайного сигнала р (xt) и числе ступе-
ней квантования Na минимизировать дисперсию погрешности от кван-
тования. Характер формулы (7.10) показывает, что для этого необхо-
димо неравномерное квантование, чтобы в зоне больших значений плот-
ности вероятности ступени квантования были меньше, а меньших —
больше.

Задача оптимального квантования, т. е. определения такой сово-
купности неравномерных ступеней квантования, при которой дисперсия
погрешности квантования достигает минимального значения, подробно
рассмотрена в [80].

В (7.10) производится замена

Ct = <?,«•-j/p(xf),
при этом

N« 3

=	(7.11)

<=1

Так как при нормированном распределении р (х)

"н

У, р (xi) Рш — 1 >

1=1

то вводится дополнительное уравнение

"и N« „

2iCt = £ р/e (х{) qKi = S = const;	(7.12)

(=i t=i

xm	xm

S = У р1/з (x) dx = 2 j р1/з (x) dx.

—0
m

Нахождение условий минимизации дисперсии погрешности от кван-
тования производится методом множителей Лагранжа [27]. Этим ме-
тодом определяют, что условием оптимального квантования является
постоянство величины Ct:

Ct = S/N„ = const.

Условие постоянства величины Ci обусловливает постоянство вы-
ражения под знаком суммы в формуле для дисперсии (7.11). Следова-
тельно, минимум дисперсии достигается в том случае, если неравномер-
ность закона распределения р (х) будет полностью «сглажена» «обрат-
ной» неравномерностью ступеней квантования, что в общем соответст-
вует ранее высказанным по этому поводу соображениям.

При оптимальном квантовании достигается минимальное значение
дисперсии:

D(AK)min = S3/12№H.	(7.13)

Относительное уменьшение дисперсии при оптимальном неравно-
мерном квантовании по сравнению со значением дисперсии при равно-
мерном квантовании зависит от характера закона распределения слу-
чайного сигнала р (х).
Рис. 7.3. К оптимальному кван-
тованию X при нормальном рас**
пределении р (ас)

Сравним относитель-
ное уменьшение диспер-
сии погрешности при оп-
тимальном квантовании
для нормального распре-
деления.

«5

'0,2
О

5 6 7 8

2 8 4

а



Для нормального распределения (рис. 7.3)

р (х) =----Ц=- е~

’ о (X) /2л с

Согласно (7.12) определяем формулу для S (при этом
замену переменой X = У"3у):

(7Л4)

производим

S = 2V3(a(X)V2nf‘ J

О

После интегрирования получаем

1

0 (X) У2л

X2

е mXldx.

(7.15)

S = V3 (о (X) V2л)!/’ Ф (хн/а (X) /3),
где при г = -^

Z___?2_

Ф(?) = —Д=-1е 2
/2л 0

Подставляем полученное значение S в
минимального значения дисперсии:

(/з)3 по2 (X) Ф3 (•

dz.

(7.16)

формулу для определения

хн

7) (Ак)т1п —

а(Х)/з

6Л^

Вводим отношение

Тогда получаем

2Н = Хн/о (X).

(/з)2л/ф3М

D (AK)tnin норм =	2 . ,2 '

vz N

При равномерном квантовании для данного
сигнала в диапазоне ±хи

(7.17)

случая при изменении

2

В (Ак)равн — “jj

——	2

/н /	__ *и

12 Зту2 '
В этом случае относительное уменьшение дисперсии, достигнутое
оптимальным квантованием,

Хи , '1 ______ (Ак)тш норм _______ 8,16 ^3 / ги \

о (X)	D (Ак)равн “ ги \ /з /

(7.18)

График функции V показан на рис. 7.3. Следовательно, при
оптимальном квантовании независимо от числа его ступеней дисперсия
с увеличением отношения xja (X), начиная с xjo (X) = 2, непрерывно
уменьшается.

Практически во многих случаях соотношение г = хи/о (X) выби-
рается примерно равным 3, так как вероятность нахождения случай-
ного сигнала, распределенного по нормальному закону, вне пределов
±3о (X), составляет 0,003, т. е. достаточно мала. При этом в случае
применения оптимального неравномерного квантования дисперсия
уменьшается примерно на 30 % по сравнению со случаем равномерного
квантования, что соответствует уменьшению с. к. о. примерно на 17 %.

Принято считать [56], что неравномерное квантование может быть
целесообразным при следующих условиях: динамическом диапазоне
более 40 dB\ распределении измеряемой величины более неравномер-
ном, чем нормальное; относительно небольшом числе NH < 25; пере-
работке больших объемов информации адаптивными устройствами.

Следует отметить, что эти условия относительно редки, поэтому
в дальнейшем будем рассматривать только равномерное квантование.

Анализ погрешностей квантования

При измерении величина, находящаяся между двумя известными
значениями xn и x/v+i, может быть отражена:

1)	нижним числовым значением Nx = N\

2)	верхним числовым значением Nx — N + 1;

3)	нижним числовым значением Nx, увеличенным на цифровую
поправку +0,5;

4)	нижним числовым значением Nx = N — при аналоговом введе-
нии поправки, равной 0,5 qK.

В первом случае при оценке X нижним числовым значением уравне-
ние измерения будет

кт с X

AL = Е ------ ,

х

(7.19)

где Е | А | — целая часть числа А.

Погрешность от квантования будет равна

Лк = NxqK — X = ~ Fr qK,	(7.20)

где Fr [Л] —дробная часть числа А.

Распределение погрешности Ак будет равномерным и несимметрич-
ным (рис. 7.4, а) в области отрицательных значений аргумента. В этом
случае Ак max == 9к-

Упр так «= — qK/xu; М (Ак) = — qK!2; а(Дк) = <?к/2/3.
Рис. 7.4. Зависимость между ЛГд, и Хг

а — при равномерном несимметричном законе распределения Р (А ) (в области отрицатель-
ных значений аргумента); б — при равномерном несимметричном законе распределения
р (Дк) (в области положительных значений аргумента); в — при равномерном, симметричном
законе распределения р (AJ с цифровой поправкой; а — то же с аналоговой поправкой.

Во втором случае при оценке X верхним числовым значением урав-
нение измерения будет при цифровом введении поправки

Nx = е| — I + 1 signX,	(7.21)

I <7к I
где sign X — знак X.

Погр .-пность от квантования будет при положительном X равна

Дк = NxqK — х = [sign X — Fr | X/qK | ] qK.	(7.22)

Распределение погрешности Д„ будет также равномерным и несим-
метричным (рис. 7.4, б), но в области положительных значений аргу-
мента. В этом случае

Дк max = 7к> Тпр max = qul^H* М (Дк) = 7к/^, <7 (Дк) — 7ц/2 Р^З.

В третьем случае при цифровом введении поправки, равной +0,5,
значение X оценивается нижним числовым значением (рис. 7.4, в)

AL = e| — I+ 0,5 sign X.	(7.23)

I ?к I

Погрешность от квантования с учетом необходимого сдвига для ком-
пенсации сдвига оценки при положительном X будет

Дв =	— X = 7кБ |	| + 0,5gi( sign X — X =

= 0,5дк sign X — Fr

X

Чк

qK-

(7.24)

Практически этот способ реализуется введением постоянной поправки
в цифровом виде в Nx, равной 0,5, которая компенсирует систематиче-
скую составляющую или математическое ожидание погрешности от
квантования.

Тогда вся совокупность значений X в узком диапазоне от (Nx —
— 0,5) qK до (Nx + 0,5) qK представляется результатом измерения Xn =
— NxqK, распределение суммарной погрешности от квантования Дк бу-
дет равномерным и симметричным (рис. 7.4, в). В этом случае

Актах ~	У rip max —	Al (Дк) — О’,

о(Дк) = ?к/2/3.

В четвертом случае при аналоговом введении поправки, равной
0,5 7К, значение X оценивается нижним числовым значением (рис. 7.4, г),
при этом результаты измерения и погрешности будут равны

X -f- 0,5?к sign X

ДК = Е

I	?к

X 0,5<7к sign X

(7.25)

(7.26)

Дк max —	упр max — :Е<7к/2хи; М. (Дк) — 0;

а(Дк) = ?к/2/3.

Погрешность квантования временного интервала Тх
или отрезка длины Lx

Измеряемые интервал времени Тх и отрезок длины Lx обычно огра-
ничиваются: старт-импульсом, или начальной меткой в начале, и стоп-
импульсом, или конечной меткой в конце. Во многих цифровых прибо-
рах измеряемая величина преобразуется во временной интервал Тх.
Временной интервал Тх квантуется на N интервалов длительностью
То заполнением квантующими импульсами с периодом повторения То.
В общем случае Тх не кратно То и поэтому при квантовании Тх возника-
ет погрешность от квантования. Старт-импульсом открывается электри-
ческий ключ, пропускающий квантующие импульсы (рис. 7.5) к счет-
чику, а стоп-импульсом, спустя время Тх, ключ закрывается, и доступ
квантующих импульсов к счетчику прекращается. Результат измере-
ния Tn определяется по показаниям счетчика

TN = NT0,
где N — отсчет счетчика (число импульсов, пропущенных к счетчику
за время Тх).

Если предположить, что длительность старт- и стоп-импульсов
ничтожно мала, то погрешностью от конечной длительности их фрон-
тов можно пренебречь. При квантовании временного промежутка Тх
возникает погрешность квантования, зависящая от временного сдвига
между старт- и стоп-импульсами и квантующими импульсами.

В общем случае старт- и стоп-импульсы могут появляться в любой
случайный момент между соответствующими квантующими импуль-
сами. При этом в показаниях счетчика, отградуированного в едини-
цах времени, возникает суммарная абсолютная погрешность кванто-
Рис. 7.5. Возникновение погрешности при квантовании временного ни*
тервала Тх (квантующие импульсы, которые пропускаются к счетчику,
не заштрихованы) 1* и N-й соответственно первый и последний импуль-
сы, проходящие к счетчику.

вания,

\t = NTa — Тх = Д1К — Д2к,	(7.27)

где Д1К = KjTo — положительная погрешность квантования, входящая
в NT0, но не входящая в Тх, часть периода повторения первого кван-
тующего импульса, прошедшего к счетчику; Д2к = k2T0 — отрицатель-
ная погрешность квантования, входящая в Тх, но не входящая в NT0,
часть периода (N + 1) импульса, не пропущенного к счетчику.

Максимальная погрешность будет равна dzTo, относительная
бк =	• 100 %.

Если плотность вероятности расположения старт- и стоп-импуль-
сов в любой момент между соответствующими квантующими импульса-
ми одинакова, то законы распределения погрешностей Дг и Д2 будут
равномерными с плотностью вероятности 1/7%.

Распределение суммарной погрешности суммы двух случайных
и независимых величин Д1К и Д2к, обладающих распределениями, по-
казанными на (рис. 7.6, а, б), является распределением Симпсона.
С. к. о. распределения Симпсона может быть получено из выражения
для дисперсии суммарного закона распределения

О(До) = О(Д1к) + О(Д2к).

В данном случае при равномерном распределении величин Д1К и
Д2к и независимости погрешностей Д1К и Д2и

а ₽ р (А1К>; б — р в ~' суммарной погрешности р (Дс).
Тогда

О (Д ) = 1 f (—-7=-У + f Г =	•	(7.28)

Погрешность Д1к можно устранить синхронизацией первого кван-
тующего импульса со старт-импульсом, применяя генератор квантую-
щих импульсов с ударным возбуждением. Однако нестабильность та-
ких генераторов (ЦП5) значительно выше, чем у обычных квантующих
генераторов импульсов.

С. к. о. суммарной погрешности, распределенной по закону Симп-
сона, можно определить также из следующего выражения:

О	'

Если погрешность Д,к устранена, то максимальная погрешность бу-
дет равна То. Однако при устранении Д,к уменьшается диапазон изме-
нения максимальной погрешности вдвое и ввиду смещенности закона
распределения со средним значением — 0,5 То создается возможность
введения поправки в показания. Применение квантующего генератора
ударного возбуждения со сдвигом + Т0/2 и является автоматическим
введением этой поправки.

В этом случае погрешность Д1к постоянна и будет равна 0,5 То, а
суммарная погрешность

Дс = Т0/2-Д2к.

Максимальное значение суммарной погрешности составит ±1/2 То,
а с. к. о. о (Дс) = Т0/2УЗ.

Для уменьшения погрешности от квантования при измерении ма-
лых интервалов времени Тх, разность интервалов Дс = Д1К — Д2к
различными способами умножается на целое число К У 1, а затем из-
меряется путем квантования импульсами с периодом То. При этом пог-
решность от квантования уменьшается в Д раз.

В заключение необходимо заметить, что положение старт- и стоп-
импульсов по отношению к квантующим импульсам не всегда является
случайным, например, при постоянстве повторяющегося интервала Тх
и при случайности расположения старт-импульса внутри кванта Т»
положение стоп-импульса не является случайным. Поэтому иногда
для обеспечения случайности положения старт- и стоп-импульсов по
отношению к квантующим импульсам То их частота модулируется по
случайному закону.

Определение систематической погрешности квантования
при измерении постоянной величины

Если х = const измеряется цифровым измерительным прибором
(ЦИП), у которого ступень квантования qx значительно больше инстру-
ментальной погрешности, то результат измерения Хы = NxqK будет
содержать систематическую постоянную по значению погрешность от
282
Рис. 7.7. Уменьшение постоянной погрешности от
квантования при х — const наложением дополни-
тельного центрированного случайного сигнала

О

_________________АХД-_________________
квантования Дк = const. Эта погреш-
ность Дк может быть определена путем
статистической обработки результатов
измерения, если на вход ЦИП подать
дополнительный случайный сигнал.
Пусть измеряемая величина X посто-
fl

янна, а ДХд — некоторый дополни-
тельный центрированный случайный
сигнал с известным законом распре-
деления. Образуем путем суммирова-
ния новый случайный сигнал Х± =
о

= х + ДХд. Сигнал подается на

о

ЦИП, в котором реализуется измерение X. Когда ДХд = О, ЦИП при
повторных измерениях х = const выдает неизменный результат из-
мерения xv = NxqK. В этом результате содержится постоянная погреш-
ность квантования Дк (рис. 7.7), которую нужно определить. При
о

ДХд Ф О ЦИП выдает различные результаты измерения NxqK; (Nx +
+ 1) qK; (Nx — 1) qK и т. д. Для определения Дк эти результаты под-
вергаются статистической обработке.

Обработка может заключаться в определении среднего значения ря-
да измерений, при этом хср будет приближаться к значению X с
о

с. к. о. -°. Тогда Дк = NxqK — хор.

V п.

При известном, например, нормальном распределении дополни-
fl

тельного случайного сигнала с известным о (ДХд) определяют вероят-
ность Pr = njn, соответствующую факту < Хх<7и, тогда

о

Рг (Хх < Хх<7к) = Ф (Дк/о (ДХд) = njn,	(7.29)

где п — общее число измерений X; — число измерений, при которых
X было меньше xn = NxqK.

Из этого уравнения по таблице Лапласа (табл. 2) определяется по-
грешность квантования Дк, тогда откорректированный результат изме-
рения

= NxqK + Дк.

Если дополнительный случайный сигнал распределен по равномер-
ному закону с предельным отклонением ± Дхд, то погрешность от кван-
тования может быть определена по формуле

Дк = 0,5Дхд(1 — 2/7]/п).

(7.30)

Погрешность определения Дк зависит от количества измерений п
и отношения Дх„/ок.

А «ь
Погрешность квантования при измерении статистических
характеристик случайного сигнала

В ряде случаев при измерении исследователя интересуют не мгно-
венные значения измеряемой величины, а ее средние или среднш
квадратические значения за определенный промежуток времени. Этс
бывает тогда, когда на ход процесса влияют не мгновенные значения
величины, а средние или средние квадратические за заданный проме-
жуток времени. Например, нагрев электропечи определяется не мгно-
венными значениями отдельных кратковременных пиков тока, а егс
средним квадратическим значением за определенный промежутог
времени. В этом случае число ступеней квантования по заданной по-
грешности при измерении мгновенных значений измеряемой величинь
определять нецелесообразно. Задача определения числа ступеней кван-
тования при измерении среднего квадратического значения величинь
возникает, например, при проектировании цифровых приборов, изме-
ряющих действующее значения периодических величин, изменяющихся
с инфранизкой частотой. В таких приборах производится математиче-
ская обработка результатов измерения мгновенных значений.

Погрешность от квантования при измерении статистических харак-
теристик зависит от законов распределения X (/) и Дк (/), от степени
корреляционных связей между ними и от размера ступени квантования
qK. В дальнейшем будем рассматривать погрешности от квантования
при симметричном и равномерном распределении р (Дк) (рис. 7.4) и
при нормальном р (х) [29].

Соотношение между математическим ожиданием неквантованного '
и квантованного сигнала при qK За (X) с погрешностью 10-4 следую- :
щее:

—2лгаг(Х)

М(Х) = M(XN)-z-^-e sin[— М(Х)1,	(7-31)

л	L <7к J

где z=4-l — при цифровом введении поправки (рис. 7.4, в); z =
= —1 — при аналоговом введении поправки (рис. 7.4, г).

При М (X)/qK = 0, 1, 2, 3, ... М (X) = М (XN) и погрешность от
квантования при измерении М (X) равна нулю. Если =57 a (X), то
с погрешностью менее 10~4 М (X) = М (XN) и погрешностью от кван-
тования можно пренебречь. А в общем случае при известных a (X),
qK и М (Xn) из (7.31) можно определить М (X), а значит и погрешность
от квантования.

Соотношение между дисперсиями неквантованного и квантованно-
го сигнала при qK 3a (X) с погрешностью менее 10-4 следующее:

2л2стг(Х)

а2 (X) = a (Xn) 4- 4* “ * (4°2 (X) 4- е .	<7-32>

При qa а (X) с погрешностью менее 10-4

а3(Х) = а2(Хл)4-^12.
Следовательно, при измерении дисперсии с внесением поправки
при qA = о (X) число ступеней квантования NB = Е | —q	I = 6.

I Як I

В общем случае погрешность от квантования при измерении дисперсии
можно определить из нелинейного уравнения (7.32) при известных
Як и о (XN).

Относительная погрешность от квантования при измерении диспер-
сии при =С ° W без внесения поправки составит

_ аЧХлг)-а2(Х) _ Я2К

°2~	~	12оЗ(Х„) •

(7.33)

Число ступеней квантования при заданной б 2 будет для центри-
°к

рованного случайного сигнала при диапазоне ±3о (X)

Относительная погрешность от квантования при измерении с. к. о.
без внесения поправки будет равна

£	а(Хд,)-а(Х)	(Хд,) + ?2/12	?2К

7(Х^)	~	а(Хд,)	~	24о2 (XjV) ' <7>35>

Число ступеней квантования при заданной бак будет для аналогич-
ных условий равно

NН = Е	= Е -jL=.- .	(7.36)

”	К24бак

Погрешность от квантования при измерении среднего квадрата
сигнала М (X2) может быть определена на основе соотношения

М (X2) = М2 (X) + а2 (X).

Соотношение между математическими ожиданиями куба некванто-
ванного и квантованного сигналов равно

2

М(Х3) = М(Х^) + ^-М(Х).

(7.37)

В этом случае поправка Шеппарда пропорциональна среднему зна-
чению сигнала М (X), следовательно, для центрированного сигнала
погрешность от квантования при определении среднего значения куба
сигнала теоретически равна нулю.

Математическое ожидание четвертой степени сигнала равно
М(Х*) = М(Х10 + 4-М(Х2) + -^-<7“-	<7-38)

Погрешность от квантования при измерении взаимокорреляционной
функции R (X, Y) при независимости X (t) и Y (t) от Дк (t) и Ду (i) при
симметричных и равномерных р (Дх) и р (Ду) равна нулю

R (X, Y) = М (X, Y) = М (XnYn).
При наличии корреляционных связей между X (t), Y (f) и Ак (t) и
Ду (0 искомый коэффициент корреляции равен

R (X, Y) = М (X, Y) — М (XnYn) + М (Yn&k) + М (XNqbY).

Для уменьшения погрешности от квантования в этом случае реко-
мендуют [51] производить квантование только одного из сигналов.
Тогда погрешность от квантования при измерении взаимокорреляцион-
ной функции уменьшается

R (XY) = М (XY) = М (XnY) + М (УДК).

Если в этом случае р (х) и р (у) гладкие функции, то при Nx = 5,
= 4 и Nx =3 погрешность от квантования соответственно равна
1,5Н  10-7 %/1,6 • 10~2 % и 1 % [511.

Следовательно, число ступеней квантования при измерении стати-
стических характеристик величины невелико. Однако при создании
прибора, например для измерения с. к. о., со значительным диапазоном
измерения о (X) необходимо учесть, что при уменьшении о (X) А/н
растет. Поэтому необходимо увеличивать число ступеней квантования
для обеспечения заданного значения погрешности на нижнем значении
предела измерения о (X) или автоматически адаптировать число
ступеней квантования с изменением о (X).

7.2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ

Дискретизация сигнала является измерительным преобразованием
непрерывного сигнала X (0 в последовательность мгновенных значе-
ний этого сигнала Хд (kT^), соответствующих определенным, обычно

Рис. 7.8. К определению дискретизированного сигнала;

а непрерывный во времени сигнал; б — сигнал, дискретизированный рав*
иомерио; в — сигнал, дискретизированный неравномерно; г — сигнал, диск*
ретизироваииый адаптивно, при равномерном квантовании; д — сигнал, диск*
ретизироваииый и квантованный равномерно.
равноотстоящим, моментам времени kT\ (где k = 1, 2, 3...) (рис. 7.8, а,
б). Промежуток времени между двумя соседними моментами дискрети-
зации Ти называют шагом дискретизации.

При дискретизации непрерывного сигнала каждое значение дискре-
тизированного сигнала строго «привязано» к определенному моменту
времени. Сигналами, удобными для дискретизации, являются потоки
частиц, свет, электрический ток, ионизированное излучение и др.

Аналитическое представление дискретизированного сигнала,
равномерная и неравномерная дискретизация сигнала

Дискретизация непрерывного во времени сигнала X (0 является
линейной операцией умножения функции X (0 на функцию дискрети-
зации во времени Д*(0

Хд(0 = Х(0Д*(0.	(7.39)

Функция Д*(0 является последовательностью единичных импуль-
сов с периодом повторения Тц, длительностью, равной 0, и площадью,
равной единице, т. е. является последовательностью функций Дирака:

+ оо

Д*(0 = £ 8(t — kTa),	(7.40)

k——ОО

где

-f-OQ

-—00

Идеальный дискретизированный сигнал Ха (/к) является последова-
тельностью импульсов нулевой длительности, площадь которых
соответственно равна X (kT^) ординатам сигнала X (/) в моменты kT\,
и может быть аналитически представлен в виде

Xa(kTa) = t X(tK)8(t-kTa).	(7.41)

4=1

Квантованный дискретизированный сигнал может быть воспроиз-
веден мерой, управляемой кодом Nx (kTa), воздействующим в течение
минимально короткого времени (через стробирующий ключ)
(рис. 7.9, а, б), и аналитически представляется в виде

хк.д (kTj = £ (V, (ЙТЦ) (t - kTJ.	(7-42)

£=1

Аналитически равномерно дискретизированный сигнал может быть
представлен решетчатой функцией времени f [kTai, или f[k]. Решет-
чатые функции являются удобным аналитическим аппаратом, который
облегчает выполнение различных операций с дискретизированными
сигналами — определение производных, интегрирование и др.

Для решетчатой функции аналогом первой производной является
первая прямая разность

Д/[й] = /[й+ !]-/[£]
или первая обратная разность

Vftk] = f[k]-f[k- 1].

Прямая разность в момент kTa определяется по будущему значению
функции, а обратная разность — по предыдущему значению функции.
Аналогом второй производной непрерывной функции является вторая
прямая или вторая обратная разность решетчатой функции

№f[k] = Af[k+ 1] — △/ [k] = bf[k + 2]-2f [£+ 1]+Ш;

V2ftk] = V/ [Л] - W \k- 1] = f [Л] - 2f \k- 1] + f [k - 2].

Для определения прямой n-й разности используют рекуррентные
соотношения

&nf[k] = АП-1И^+ 1] —А"-1/ Щ
или формулы общего вида

А7 = S (- If Спftk + п - т],

m=>Q
где

г>т	п!

~ ml (п — ш)! •

Аналогом интеграла непрерывной функции является сумма мгно-
венных значений решетчатой функции
k=fl

£[*] = №

4=0

Для решения дифференциальных уравнений при наличии дискрети-
зированных временных зависимостей, входящих в эти уравнения ве-
личин, используют разностные уравнения.

Например, при использовании прямых разностей линейные неодно-
родные разностные уравнения второго порядка имеют вид

a0A2f [Л] + a^\f [Л] + aj [Л] = ср [Л],

где f [&] — известная решетчатая функция; ф [Л] — искомая решетча-
тая функция.

Дискретизированная форма временной зависимости, полученная
опытным путем при использовании аппарата решетчатых функций и
цифровых вычислительных устройств, облегчает решение многих за-
дач при определении параметров временных зависимостей, производ-
ных, определении параметров дифференциальных уравнений и т. д.

Дискретизация может производиться равномерно, т. е. с постоянным
шагом Тц = const (рис. 7.8, б), и неравномерно, т. е. с переменным ша-
гом Тц = var (рис. 7.8, в).

При относительно медленно изменяющемся сигнале X (t), при не-
большом числе ступеней квантования AfH, при гладкой кривой X (t) и
при высоком быстродействии измерительного устройства можно, диск-
ретизируя X (t), представлять его значениями хх, х2, ..., хп в моменты
времени А, А> tn- При этом имеет место неравномерная адаптивная
дискретизация сигнала во времени с неравномерными временными ин-
тервалами и равномерное квантование по размеру (рис. 7.8, а). Значе-
ния хг, х2...х„ определяются в соответствующие моменты времени

1г, t2, при принятых ранее условиях без погрешности от квантова-
ния. Недостатком этого метода является необходимость в наличии от-
дельного высокоточного устройства для измерения времени.

При достаточно быстром изменении X (/) и большом числе ступеней
квантования адаптивную, неравномерную дискретизацию сигнала во
времени реализовать труднее. Поэтому обычно реализуется равномер-
ная дискретизация во времени (рис. 7.8, д). В этом случае в каждом
из значений xn (iTa) содержится погрешность от квантования, которая
при восстановлении промежуточных значений сигнала по значениям
x,v (гТц) суммируется с погрешностью от аппроксимации, зависящей от
способа аппроксимации, от закона X (/) и от размера Тц. При случай-
ном и гладком X (/) и больших Л/н можно считать, что погрешности Дк
и Дап независимы и тогда дисперсии их случайных составляющих сум-
мируют (п.7.2).

Сигналы бывают естественно дискретизированными и искусственно
дискретизированными.

Естественно-дискретизированным сигналом, например, являются
случайные последовательности импульсов напряжения от чувствитель-
ного элемента-детектора радиоактивного излучения, в котором прост-
ранственная совокупность частиц преобразуется в последовательность
импульсов с различными амплитудами. Такая последовательность им-
пульсов обладает большим количеством возможных информативных
параметров — частотных, временных и амплитудных.

Удобство измерения частотно-временных параметров естественно
дискретизированной зависимости привело к все более широкому ис-
пользованию различных процессов микромира, в которых имеет место
функциональная зависимость между измеряемой величиной, интере-
сующей исследователя и параметрами последовательности импуль-
сов. Например, с этой целью используется явление Баркгаузена, в ко-
тором частота импульсов Баркгаузена прямо пропорциональна магнит-
ной индукции.

И скусственно-дискретизированными сигналами являются последо-
вательности импульсов, полученные в результате операции дискрети-
зации. Физически дискретизация непрерывного сигнала X (f) реали-
зуется пропусканием через ключ только мгновенных значений ХЛ (О
в заданные моменты времени — моменты дискретизации (рис. 7.9, а, б).

При искусственной дискретизации величины, изменяющейся во
времени, теряется часть информации о ней, поэтому при восстановле-
нии первоначальной зависимости возникает погрешность от дискрети-
зации. Однако информативный параметр данного сигнала сохраняется
в дискретизированном сигнале и становится более удобным для даль-
нейшего извлечения. Операция дискретизации сигналов X (t) дает воз-
можность с меньшими аппаратурными затратами выделить измеритель-
ную информацию о процессе по обеим координатам: значению и времени.
Дискретизация непрерывного сигнала производится: перед измере-
нием многих сигналов одним прибором, для уменьшения динамических
погрешностей при измерении быстроизменяющихся сигналов, при вы-
борке для измерения определенных мгновенных значений, например
'10° ' гт
m- во- -ГТ i
кодовый гт4
сигнал 2°' Т* |
управления fr Ъ и
мерой	Тц

Ключи управления мерой

Ккг,е(^Кх(кГц) д^а-кТц),
--------—-----------

_ I..LI I

о тц^ тцЧтц^тц^

Рис, 7,9. Примеры создания дискретизированного сигнала;
а в воспроизведение квантованного дискретизированного сигнала; б » диск-
ретизация непрерывного сигнала.

экстремальных, при масштабно-временном преобразовании сигнала
(п.6.12), например перенос частоты в сторону меньших частот стро-
бированием с периодом То — 1//0 ряда мгновенных значений высокочас-
тотного сигнала с частотой На выходе стробирующего устройства
после фильтров получают сигнал с частотой

Восстановление непрерывного сигнала из дискретизированного

При дальнейшем рассмотрении будем различать «физическую» и
«аналитическую» дискретизацию.

При «физической» дискретизации сигнала на выходе аналоговых
циклических преобразователей в моменты tK получают соответствующие
физические мгновенные значения дискретизированного сигнала Хк,
такое преобразование называется амплитудно-импульсным.

При «аналитической» дискретизации на выходе цифровых приборов
получают числовые значения измеряемой величины Xnx в соответству-
ющие моменты времени tx.

В дискретизированном сигнале отсутствуют промежуточные значе-
ния, которые содержались в непрерывном сигнале. Для многих опера-
ций управления, преобразования вида сигнала принципиально необ-
ходим непрерывный сигнал. Поэтому дискретизированный сигнал во
многих случаях снова необходимо преобразовать в непрерывный, т. е.
Восстановить в нем все его промежуточные значения.

Таким образом, возникают два случая восстановления непрерыв-
ного сигнала из дискретизированного:
а)	по физическим дискретизированным во времени мгновенным
значениям сигнала;

б)	по известным числовым значениям дискретизированного сигнала
и соответствующие моменты дискретизации tK.

Первый случай характерен главным образом для устройств техники
связи и реализуется путем восстановления физических промежуточных
значений величины, второй характерен для цифровых измерительных
устройств.

Во втором случае приближенно восстанавливаются, т. е. аппрокси-
мируются, числовые значения величины X в промежуточные мгновения
времени. Восстановление сигнала в обоих случаях должно быть произ-
ведено с заданной погрешностью.

При восстановлении сигнала необходимо прежде всего предвари-
тельно подобрать для данного участка сигнала восстанавливающую
базисную функцию. При этом восстанавливаемый сигнал обычно выра-
жается суммой базисных функций;

п

Хвосст (() — S (О’

1=1

где Ct (0 — некоторая система базисных функций, которая обычно яв-
ляется ортогональной или ортонормированной; а£ — коэффициенты
ряда.

Коэффициенты ряда at и базисные функции могут выбираться на
основе различных критериев, например по минимуму средней квад-
ратической погрешности или по критерию совпадения значений восста-
навливаемого непрерывного сигнала с мгновенными значениями
дискретизированного сигнала.

Координаты времени базисных функций могут изменяться в широ-
ком диапазоне, например на всем протяжении интервала Т — времени
реализации данного сигнала либо только на протяжении одного или
нескольких интервалов дискретизации Тц. Естественно, что базисные
функции подбираются прежде всего из условий наибольшей простоты
их реализации, при этом желательно также, чтобы коэффициенты ряда
а( определялись бы простейшим способом по параметрам дискретизи-
рованного сигнала, в частности по мгновенным значениям дискретизи-
рованного сигнала.

В первом случае, если базисные функции и коэффициенты ряда вы-
бираются по критерию минимума средней квадратической погрешности
восстановления

/	т	•

minp7 4" восст (t) — X (t)]2 dt,

о

то система базисных функций выбирается ортонормированной или
ортогональной, а коэффициенты ряда определяются как коэффициенты
соответствующего ряда Фурье:

т

at=\X (О С£ (0 dt.	(7.43)

о
Системой базисных функций является в этом случае ряд гармоник,
которые удобны для восспроизведения, однако при этом коэффициенты
ряда базисных функций определяются сложным путем.

Координата времени каждой базисной функции в этом случае из-
меняется во всем диапазоне времени реализации сигнала. Наиболее
часто применяемой восстанавливающей функцией является ряд
В. А. Котельникова, который далее будет рассмотрен подробно. В этом
ряду базисными являются функции отсчета, а коэффициенты ряда а(
(что важно для наиболее простой реализации) равны соответствующим
мгновенным значениям дискретизированного сигнала. Этот случай
восстановления обычно представляет собой описание физического вос-
становления сигнала.

Во втором случае, если базисные функции и коэффициенты ряда
выбираются по критерию совпадения в моменты дискретизации мгно-
венных значений восстанавливаемого непрерывного сигнала и мгно-
венных значений дискретизированного сигнала, то их параметры опре-
деляются путем решения системы уравнений

k=n

x(tK+t)= £ «I Gk + т) Cj (/к + Т),	(7.44)

fc=l
1=1,2

где т = (t — tK).

Для обеспечения простоты реализации в качестве базисных функций
в этом случае выбирают произведение полинома на функцию окна

СД^+Т) = РИ(Т)П(Т/ТЦ),	(7.45)

где Та — период дискретизации сигнала; Рт (т) — полином /n-ой сте-
пени от т;

П/лгч	р при 0<т<Тц;

Т ц	(О при т<0 и т^Тц.

Этот метод получил широкое применение в измерительной технике,
так как удобен для аналитического восстановления с помощью ЭВМ
на основе числовых результатов измерения мгновенных значений
дискретизированного сигнала, отличается простотой реализации и
достаточно высокой точностью.

Теорема Котельникова

Если функция х (t), удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е.
ограничена, кусочно-непрерывна и имеет ограниченное число экстре-
мумов, и обладающая спектром с граничной частотой /с, дискретизиро-
вана циклически, с периодом Та 1/2/с, то она может быть восстанов-
лена по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности.

Для доказательства этой теоремы применяют разложение в экспо-
ненциальный ряд Фурье и обратное преобразование Фурье.

Принимая во внимание, что комплексный спектр X (/со) функции
х (0 ограничен частотами ±<ос, представляем его экспоненциальным
рядом Фурье

Х(» = S CKe/,lW4

#=—ОО

с периодом по частоте Та = 2 <ос, где

+<вс

Ск = -~ J X(j®)e-/ItAffl/M®.	(7.46)

с — а>

с

Функцию времени х (т) определяем по комплексному спектру X (/со)
с помощью обратного преобразования Фурье

+°°

X (т) = J X (jm) ef^do.

—оо

Принимая во внимание, что комплексный спектр функции X (/со)
ограничен частотами —<ос и +<оо, подставляем соответствующие пре-
делы интегрирования. Тогда

+“с

х (т) = У X ejmda.	(7.47)

Для обратного преобразования Фурье [23] введем следующие под-
становки: т = —kTa; Та = л/(оо = 1/2/с. Разделим правую и левую
части (7.47) на соо/л:

+®с

-Д-Х(_^ц) = ^- J Х(>)е'«с^_	(7.48)

UJp	AtVJp V

L	*" —СО

С

Сравнивая выражения (7.46) и (7.48), убеждаемся в том, что их пра-
вые части равны. Следовательно, искомые коэффициенты комплексного
ряда Фурье для разложения спектра

CK=-^x(-kTa).

Полученное выражение для Ск подставляем в (7.46) и получаем

-f-00

Х(Ло)= S -Л-х(-^)е^й/шс.	(7.49)

А=—00 с

Подставляем (7.49) в обратное преобразование Фурье для получения
функции времени:

4-ю.	00

х(х) = ^- f e/<BTd(0 S x(— kTa}-~^,a>kTu--	(7.50)

ZJl v	,	Wp

--a	kt= 00
c

Принимая во внимание сходимость интеграла и ряда Фурье, можно
произвести в (7.50) перестановку операции интегрирования и сумми-
рования. Кроме этого, изменим знак k, учитывая, что суммирование
производится по всем отрицательным и положительным значениям k,
и после замены т на I получим

+®с

(7.51)

-%

Определяем интеграл в (7.51)

—О
с

eia>(i-kT^

/ (/ — kTa)

+“о

__ 2 sin <ос (/ — kTa)

—to,

. (7.51а)

(/ - йГц)

После подстановки (7.51а) в (7.51) получим ряд Котельникова

Лвосет (/) - X (kTa)

Таким образом, показано, что непрерывный сигнал х (() может быть
представлен суммой произведений мгновенных значений сигнала
х (kTa), взятых с интервалом Та = 1/2/с, на некоторую функцию вре-
мени [43], называемую функцией отсчетов

Say —

sin у sin <ос (/ — kTa)
У ~ <ОС (t — kTц)

График функции отсчетов приведен на рис. 7.10.

Функция отсчетов обладает следующими свойствами:

1)	в моменты времени t = kTa достигает максимума, равного 1;

2)	в моменты времени t = (k п) Та, где п — любое целое число,
равна 0;

3)	ортогональна на бесконечном интервале времени.

Ряд Котельникова является одним из примеров обобщенного ряда
Фурье и замечателен тем, что его коэффициенты равны мгновенным ди-
скретизированным значениям сигнала х (t) и, следовательно, опреде-
ляются наиболее простым способом.

Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра

нижних частот на входное воздействие в виде единичной импульсной
функции. Следовательно, если дискретизированный с шагом Тц =
= 1/2/0 сигнал х (t) подать на вход идеального фильтра с верхней гра-
ницей пропускания /0, то на выходе получается восстановленный без

погрешностей непрерывный сигнал

Рис. 7.10. График функции отсчетов.

х (/). Восстановление сигнала ря-
дом Котельникова графически
представлено на (рис. 7.11).

Для сигнала с неограничен-
ным спектром при известной ав-
токорреляционной функции час-
тоту дискретизации можно опре-
делить по интервалу автокорре-
ляции

4-00

1//Д = Тк : О IQ\ 5 СО

**	'	—аа
Длительность цикла дискрети-
зации по Котельникову, составля-
ющая Тц = 1/2/0, равна интервалу
между двумя ближайшими некорре-
лированными значениями сигнала,
<гк = Ч/с [83].

При использовании теоремы Ко-
тельникова возникают три принци-
пиальных затруднения.

Во-первых, теорема Котельнико-
ва предназначена для сигналов с
ограниченным частотным спектром,
а реальные сигналы X (0 всегда
ограничены во времени и поэтому
имеют бесконечный частотный
спектр. Однако с достаточной для
практики точностью можно ограни-
чить спектр частотой f (считая, что
при f > fQ спектр близок к нулю) и
пренебречь, таким образом, влия-
нием высших гармоник. В дальней-



Тц 2Тц 3/ц



xlM,)

'2Тц ЗТц 5ТЧ 6ТЦ t

шем раССМОТрИМ погрешности, ВОЗ- Рис, 7.И, Восстановление сигнала рядом
никающие В результате отбрасыва- Котельникова В.^А^с^ помощью функции
ния высокочастотной части спектра.

Во-вторых, дискретизированный по Котельникову реальный сигнал

при пропускании его на приемном конце устройства через фильтры ниж-
них частот восстанавливается приближенно, так как реальные фильтры
не могут точно воспроизвести функцию отсчетов, обладающую беско-
нечной протяженностью во времени и для отрицательных значений t.
Однако с помощью фильтра с переменными параметрами возможно ге-
нерирование сигналов, воспроизводящих функции отсчетов [80].

В-третьих, в действительности дискретизированные значения сиг-
нала х (/) практически никогда не являются мгновенными значениями.
Чаще всего они выражают осредненное за некоторый конечный (хотя
иногда и весьма малый) интервал времени значение сигнала х (/). Это
справедливо для случаев, когда дискретизированные выборки сигнала
х (/) получены в результате операции интегрирования. Например,
при использовании АЦП интегрирующего типа или обычного АЦП
с аналоговым запоминающим устройством (АЗУ) на входе, причем АЗУ
запоминает интегральные выборки сигнала х (t). В последнее время
такие АЗУ на входах быстродействующих АЦП находят все большее
применение. В подобных условиях возникает методическая погреш-

ность от осреднения результата за время интегрирования, или так на-
зываемая методическая погрешность представления информации сред-
ними (интегральными) дискретизированными значениями функции х (/)•
Оценкой ее может служить соотношение [95]

6 = -1/34Q2,

(7.52)

где Q = а>Ти — относительная частота изменения синусоидального
сигнала х (t); Та — время осреднения или интегрирования.
Из-за наличия методической погрешности (7.52) применение в таком
случае математического аппарата, разработанного для случая пред-
ставления информации дискретизированными мгновенными значениями
восстанавливаемой функции, оказывается малоэффективным, так как
точность восстановления ограничена методической погрешностью пред-
ставления (7.53). В работе [95] доказана принципиальная возможность
полного восстановления функции с ограниченным спектром по ее ин-
тегральным выборкам.

Рассмотрим далее возможность полного восстановления функции
с ограниченным спектром по ее интегральным выборкам.

Для данного случая получен ряд, теоретически точно восстанавли-
вающий функцию х (t) по дискретизированным значениям ее скользя-
t

щего интеграла y(t)= \ x(x)dv.

„(А  V y(kTa) J sin <ос (/ kTa 0,57'\1) г1 лр2 п /пч, ,
х W - *2^  - Та f <0С(/-^Ц + 0,5ТН) [ 1 + 1 "Р2т +

। л /л\ cos	(/ — kTц -4- 0,5Ги) 1

+ W2m_2(0) ^_kTa^T^] ,	(7.53)

где P2m (0) и Q2m_2 (0) — полигомы по четным степеням аргумента
0 = 1 /(/ — kTa -j- ОДТ,,), причем m -> оо (Тц — период дискретизации
по времени; <вс — верхняя граничная частота спектра функции х (/)).
Выражение в фигурных скобках по аналогии с функцией sin <оо (t —
— (i — kTa) ряда Котельникова названо функцией интеграль-
ных отсчетов.

При Ти -> 0 ряд (7.53) обращается в ряд Котельникова, поскольку
lim [у (kTa)]/Ta = х (kTa). Согласно известным теоремам, преобразова-
ния Фурье Y (/со) и X функций у (/) и х (t) связаны соотношением

У(» = -^-(1-е->гн)Х(/(о),
из которого следует

Х = sinO^T е/0’5“Г“Г	<7-54>

ЫН	и

Это выражение и послужило основой для обобщения теоремы Ко-
тельникова на случай интегральных выборок. Последовательность рас-
суждений здесь такова. Оператор скользящего интегрирования являет-
ся линейным, поэтому спектр функции у (/) также остается ограничен-
ным значениями —<в0 и (о0. Следовательно, согласно теореме Котель-
никова, по дискретизированным значениям этой функции, отсчитыва-
емым через интервал Тц = 1/2/с, может быть восстановлен комплексный
спектр Y (j®). Последний, в свою очередь, однозначно определяет комп-
лексный спектр X (ja) исходной функции х (/), если только интервал
интегрирования выбран из условия Ти <_ 1//с, что следует из (7.54)
(интервал Тя должен быть таким, чтобы для области частот 0 <; и < <о0
функция sin (О.бсоТц) не принимала нулевого значения).
Выражая функцию х (/) через ее комплексный спектр (7.54), по-
лучим

+“с

х = 4г J Y гпгггЙтт GiaV+°'5Ta>da- (7.55)
~“c

Спектр Y (jw) может быть определен по (7.49)

ПН = S ~ y(-kTa)einka/\	(7.56)

k—--00 C

Подставляя (7.56) в (7.55) найдем

*(0 =

(О
00	С

оАг- 5 yk-kTj 5 е/м(/+А^+0'5Гн’
2<ЙСУ И k=— 00	_%

sin O.SoiT’n

(7.57)

После ряда математических преобразований (7.57) приводится
к виду (7.53).

Ограниченный во времени реальный сигнал х (t) имеет бесконечный
спектр. Если выбран шаг дискретизации сигнала по теореме Котельни-
кова Тц = 1/2/е, то ввиду бесконечности спектра восстановленный
сигнал будет отличаться от исходного, т. е. при восстановлении сигна-
ла возникает погрешность. Например, если в исследуемой кривой X (/)
есть составляющие с частотой f > /с, то не все они могут быть обнаруже-
ны при дискретизации отсчетов с интервалом Та = 1/2fc. Действитель-
но, если в X (t) есть составляющие с частотами nfc, где п = 1, 2, 3, ...,
то все дискретные значения X (t) изменяются на

Xmntc sin (Злп/с1/^ + ф„/о) = Xmnfc sin <p„Zc.

При этом информация об этих гармониках теряется и при восста-
новлении сигнала возникает погрешность в определении промежуточ-
ных значений.

В работе [80] показано, что при известном спектре сигнала погреш-
ность, возникающая по причине ограничения спектра, может быть
оценена. Обычно в бесконечном спектре сигнала х (/) можно указать

область, ограниченную частотой
сос, в которой находится боль-
шая часть энергии сигнала
(рис. 7.12).

Полная энергия сигнала

т

Ес = J X2 (0 dt = PJ,
о

где Рс — средняя мощность сиг-
нала.

Энергия погрешности сигна-
ла A (/), возникшей из-за огра-

Рис, 7.12. Спектр сигнала, ограниченного во
времени.
ничения спектра,

т
(0 dt = PJ\
о

где Рд —средняя мощность погрешности.

На основании теоремы Релея можно выразить Ес и Е& через ампли-
тудный спектр сигнала:

“с

Ес = 1/л j X2 (<в) da;
о

ОО

£д = 1/л j X2 (со) da.

“с

Относительное значение средней квадратической погрешности при
восстановлении, возникающей в результате ограничения спектра сиг-
нала частотой <вс, может быть определено из следующего неравенства:

где X (/) — исходный сигнал; хЮсст — сигнал, восстановленный по
Котельникову с шагом дискретизации Ти = 1/2/с.

Например, для экспоненциального сигнала х (/) = xoe~at при до-
пущении амплитудной погрешности До, возникающей из-за соответству-
ющего ограничения спектра сигнала, частота дискретизации равна

(А-)*

Одним из применений теоремы Котельникова является определение
пропускной способности или потока информации канала связи. Если
известно, что верхняя частота частотного диапазона канала равна /с,
то это равноценно передаче в каждую секунду 2/с отсчетов непрерывной
функции X (/). Если количество информации в каждом отсчете и при
погрешности канала, равной ±Д, равно / = In хн/2Д, то пропускная
способность канала Ф будет равна

Ф = 2/с/ = 2/с1пхн/2Д.

В измерительной технике при определении промежуточных значе-
ний измеряемой функции X (t) по дискретным отсчетам применяют
обычно восстановление степенными полиномами, при этом необходи-
мую частоту дискретизации во времени определяют по заданной погреш-
ности от аппроксимации.

Восстановление сигнала степенными полиномами,
погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации

При аппроксимации X (t) на каждом участке между ее известными
значениями заменяется кривой, изменяющейся по определенному за-
кону (например, горизонтальной прямой при ступенчатой аппрокси-
a

мации, отрезком наклонной прямой при кусочно-линейной и участком
параболы при параболической). Наибольшую разность между аппро-
ксимированными, т. е. приближенными и действительными промежу-
точными значениями функции X (t), называют погрешностью от ап-
проксимации Дап (рис. 7.13, а, б). Погрешность от аппроксимации
зависит от закона изменения х (/), от способа аппроксимации и размера
шага дискретизации. При усложнении способа аппроксимации значи-
тельно возрастает стоимость и сложность аппаратуры. При уменьшении
размера шага дискретизации Та погрешность от аппроксимации
снижается.

При малых Тц измерительный прибор должен иметь очень высокое
быстродействие, что потребует усложнения его конструкции. Кроме
того, возникает избыточность информации, т. е. перегрузка канала
связи и устройств памяти. Если принять Та большим, то в этом случае
невозможно точно восстановить первоначальную непрерывную функ-
цию. Поэтому цикл Та и частоту дискретизации /д = 1/Тц определяют
по заданной погрешности от аппроксимации или в зависимости от за-
данной средней квадратической погрешности от аппроксимации.

Заметим, что задача определения необходимой частоты дискрети-
зации возникает если сначала осуществляется дискретизация во вре-
мени, а затем квантование по значению. Если X (t) квантуется посте-
пенно сначала по значению, а затем результат измерения выдается в
соответствующие моменты времени, то фактически осуществляется
адаптивная дискретизация во времени (п. 9.5).

Рассмотрим погрешность от аппроксимации при различных законах
аппроксимации.

Ступенчатая аппроксимация. В случае использования степенных
полиномов нулевого порядка, т. е. при самой простой ступенчатой ап-
проксимации, согласно (7.44; 7.45) при m = О

ах = Х(/к); С1(/к + т) = П(т/Тц).	(7.58)

Тогда восстанавливаемый сигнал

к—п	k^stn

Хвосст (0 = S ai + Т) Ci (*к + Т) = J] X (tK) П I . (7.59)
fc=l	' 711 '

1=1
Максимальное значение погрешности от аппроксимации Дапм в этом
случае будет на наиболее крутом участке функции, где первая произ-
водная достигает наибольшего значения. В момент, непосредственно
предшествующий моменту измерения fc+i, погрешность от аппроксима-
ции (рис. 7. 13, а) »>

Дап = | Хк — Хк+1 | = хт (0 Та,	(7.60)

где x’m (?) — значение первой производной сигнала.

Приведенная погрешность от аппроксимации

_ дап _ 4(оТ* . ,________i_ _ 4(о _ 4(о

Yan “ *н — хи	’ '« — Гц дап — Таихи

Принимая во внимание неравенство Бернштейна

|4(01<4|хт|,	(7.61)

которое справедливо для всех стационарных случайных функций, ог-
раниченных по модулю и обладающих ограниченным спектром с часто-
той среза fc, получаем общую зависимость для fa — частоты дискрети-
зации случайного стационарного сигнала для ступенчатой аппрокси-
мации

Однако, согласно (7.62), частота дискретизации получается завы-
шенной, так как в неравенстве Бернштейна предполагается, что ампли-
туда высшей гармоники может достигнуть 100 % от хт. Однако в реаль-
ных сигналах амплитуды гармоник с повышением их номера п изменя-
ются обратно пропорционально п, тогда частота дискретизации случай-
ного стационарного сигнала для ступенчатой аппроксимации при диск-
ретном спектре

г __ юс I хт I

'Д — ’

где пс — номер высшей гармоники.

При синусоидальном законе изменения сигнала

, _ 1	200л/

'д “ Та - Van % ;

Van max = 200л/7^д,

где уап = Дап7хт— приведенная погрешность от аппроксимации в про-
центах; /д = 1/Тц — частота дискретизации.

При f = 1 Гц и уап = 1 % частота дискретизации должна
быть 628 Гц.

Если задана дисперсия погрешности от аппроксимации о2 (Дап),
то при квантовании по уровню средней ординаты каждого интервала
дискретизации при ступенчатой аппроксимации и при стационарном
ограниченном по модулю сигнале с ограниченным дискретным спектром
частота дискретизации составит

/а = nfxm (/)//3 по (Дап).
Если при дискретизации случайного стационарного эргодического
сигнала спектр сигнала неизвестен, но известна автокорреляционная
функция сигнала гх (т), то интервал дискретизации 7\ и частоту дискре-
тизации /д можно определить по гх (т) и по заданной с. к. о. погрешно-
сти от аппроксимации.

При ступенчатой аппроксимации случайного сигнала по средней
ординате интервала X (/„) мгновенное значение погрешности от аппрок-
симации Дап внутри интервала дискретизации равно

Дап = X (/к) — X (t^ ± t).

Дисперсия тап внутри интервала шириной Тц/2 для стационарного
эргодического сигнала при известной нормированной автокорреля-
ционной функции гх (т) = Rx (т)/о2 (X) будет

о2 (Дап) = М IX (iK) — X (tK + О]2.	(7.63)

Для случайного стационарного центрированного эргодического
процесса

М [X2 (QJ = М IX2 (tK + 0] = Rx (0) - О2 (X);	(7.64)

М [X (ZK) X (tK + 0] = Rx (0,5Тц) = o'2 (X) гх (0,5Тц).	(7.65)

Тогда после подстановки (7.64) и (7.65) в (7.63) получим

о2 (Дап) = 2ст2 (X) [1 - гх (0,5Тц)].

Приведенная погрешность от аппроксимации для центрированного
случайного сигнала с размахом ±3о (X) составит

Тс(Лап) = 6О = 3 ^2 К[1—Ге (0,5Тц)].

Если известно графическое представление гх (т), то интервал дискре-
тизации Та и частоту дискретизации при заданном значении ^(д >
можно определить графически [83].

При дискретизации случайного стационарного сигнала с известной
автокорреляционной функцией для уменьшения погрешности от ап-
проксимации выбирают интервал дискретизации Та значительно мень-
шим интервала корреляции Та тк при заданной погрешности от ап-
проксимации уО|д Например, для сигнала с автокорреляционной функ-
цией Гх (т) = е~ат! при ступенчатой аппроксимации [1 — гх (0,57^1
= аТц/4, тогда

Та(дап) =	Уа(0,5Т^ = Тц Га/6 V 2.

Следовательно,

fg. = Va/b /2 >(дап>

При

Гх (т) = е~ат; /д = а/36у2(дап).

Кусочно-линейная аппроксимация. При использовании степенных
полиномов первого порядка, т. е. при кусочно-линейной аппроксимации,
следуя (7.44; 7.45), т = 1

«i(*K + т) = x(tK); Сх (tK + т) = П ;

а2 (^к + т) = Та [х (tK + Тц) — х (fK)J;

с2 (^К + т) = тП .

Тогда восстанавливаемый сигнал

<ВОССТ (0 = X 1Й1 (4 + т) Cl (tK + т) + й2 (^к + т) ^2 (^к + Т)1
п=1

i=l,2...

п

= S {X (U п (т/Тц) + [X (/к + Тц) - X (QJ ТЛп (т/Тц)}.
/г=1

При кусочно-линейной аппроксимации кривая в промежутке между
двумя известными значениями заменяется отрезком прямой. Погреш-
ность при этом будет наибольшей на тех участках изменения функции,
где вторая производная достигает наибольшего значения.

При синусоидальном законе изменения сигнала погрешность Дая
будет наибольшей в зоне максимума (рис. 7.13, б):

Дап.м = Хтах = Хтах COS (оэТц/2) Хтах = Хтах [COS (л/Тц) 1],
где f — частота изменения X.

Приведенная погрешность от аппроксимации

уап = ЮО % = [cos (л/Тц) — 1 ] 100 • %.	(7.66)

хтах

Принимая во внимание, что при малых л/Тц

cos (nfTa) — 1 = — 0,5 sin2 (л/Тц) = — Q,5n2f2T\,	(7.67)

После подстановки (7.67) в (7.66) получаем:

0,5 л2/3 1 лл о/

Van = ---ЮО, % ,

Гл

= nf

При / = 1 Гц и уап = 1 % частота дискретизации для синусоидаль-
ного сигнала должна быть более 22 Гц.

Если сравнить формулы для /д при ступенчатой и кусочно-линейной
аппроксимации, то можно убедиться, что /д в первом случае должна
быть во много раз больше. Так, для синусоидальной функции /д при
ступенчатой аппроксимации должна быть примерно в 30/ ]/уап Р33 боль-
ше, чем при кусочно-линейной.

Для сигнала любой непрерывной и гладкой формы частота дискре-
тизации при кусочно-линейной аппроксимации определяется по фор-
муле, предложенной В. Н. Хлистуновым,

Van —

хтах

8^д*н

где Хтах — максимальное значение второй производной.

Для случайного сигнала, ограниченного по спектру и модулю при
кусочно-линейной аппроксимации

д

I хт I
8Аап«о •

Для случайного стационарного эргодического сигнала [831 при ку-
сочно-линейной аппроксимации дисперсия погрешности от аппрокси-
мации при известной автокорреляционной функции будет равна

о2 (Дап) = о2 (X) [1,5- Чгх (0,5Тц) + 0,5гх (Тц).	(7.68)

Частоту дискретизации /д при кусочно-линейной аппроксимации
можно сравнить также с частотой дискретизации по В. А. Котельнико-
ву /д.к с учетом погрешности от ограничения спектра сигнала, напри-
мер для сигнала экспоненциальной формы х — xoe~at. В этом случае
при кусочно-линейной аппроксимации

/д = ах0/8Дап.	(7.69)

Тогда, если а = 1 и у = 1 %, то/1=3 Гц.

В случае дискретизации по В. А. Кютельникову е учетом амплитуд-
ной погрешности До, зависящей от соотношения мощности сигнала Ра
и мощности отбрасываемой части спектра при ограничении Рд [80],
частота дискретизации

^ = а/л2(-<)2111 (-£-)• (7-70)

Тогда если а = 1, До/хо =0,01, то /д.к = 222 Гц.

Следовательно, кусочно-линейная аппроксимация сигнала в данном
случае является более целесообразной.

Параболическая аппроксимация. Если осуществлена параболиче-
ская аппроксимация, то необходимая частота дискретизации составит

„ i Г~-----------

/д = г	6Дап>	(7.71)

Tan в -^тах/16/дХн>

где %тах — максимальное значение третьей производной.

Для синусоидальной функции при параболической аппроксимации,
если f = 1 Гц и у = 1 %, то

3 / 7"
Следовательно, при параболической аппроксимации для заданных
условий частота дискретизации по сравнению с кусочно-линейной ап-
проксимацией снижается только в два раза при значительном услож-
нении аппаратуры.

Для случайного стационарного сигнала, ограниченного по спектру
и по модулю при параболической аппроксимации

(7.72)

При кубической аппроксимации необходимая частота дискретиза-
ции равна 

Определение суммарной погрешности квантования
и аппроксимации при восстановлении случайных сигналов

Ранее при анализе погрешности от аппроксимации погрешность от
квантования при измерении каждой ординаты сигнала принималась
равной нулю. Однако при более подробном анализе процессов дискре-
тизации и восстановления необходимо принимать во внимание также
и погрешности в определении каждой ординаты сигнала, которые оп-
ределяются квантованием и предварительным преобразованием сигна-
ла. Суммарная дисперсия значения каждой ординаты от квантования
при равномерном и симметричном распределении Дк (п. 7.1) и от пред-
варительного преобразования Дпр при независимости Дк и Дпр будет

Ос = оПр </к/12.

(7.73)

Составляющая суммарной дисперсии любой ординаты восстановлен-
ного сигнала от квантования и от погрешностей предварительного
преобразования будет в результате фильтрующего действия интерполи-
рующего полинома

Окв.кр — Кф (Опр + ?к/12).

(7.74)

где Кф — коэффициент фильтрации полинома, равный 1 при ступенча-
той аппроксимации [55].

Тогда суммарная дисперсия ординаты восстановленного сигнала
при ступенчатой аппроксимации стационарного эргодического сигнала
с автокорреляционной функцией гх (т) = е-ат8 составит:

При определении параметров Тц идк при заданной суммарной дис-
персии восстановления целесообразно стремится к максимизации про-
изведения TaqK, в этом случае аппаратура упрощается [56]. При сту-
пенчатой аппроксимации стационарного сигнала с автокорреляционной
функцией гх (т) = е~ст! две основных составляющих суммарной дис-
304
Персии пропорциональны соответственно Тц и и, следовательно,
изменяются одинаково при идентичных относительных изменениях
периода дискретизации Тц и ступени квантования qK. Если упрощение
аппаратуры одинаково при одинаковых относительных изменениях
Тц и qK, то Тц и qK можно для данного случая при заданном значении
суммарной дисперсии определить из условия равенства составляющих,
т. е. из следующих уравнений

ис =----------+ л2- =

ао2 (X) Г2	о2

2	2 ’

2	2

_ ас

12	2 ’

(7.75)

(7.76)

(7.77)

Понятие об адаптивной дискретизации
и сравнение различных видов аппроксимации

Если такие параметры процесса, как х" или х' изменяются в
широких пределах, то при рассмотренных выше способах аппроксима-
ции с постоянной частотой дискретизации, которая определена по мак-
симальному значению хтах, хта, или Хтах, значительная часть изме-
ренных мгновенных значений xt является излишней при заданных
требованиях к погрешности восстановления. Следовательно, в таких
случаях отмечается избыточная информация и завышенная частота
дискретизации. Это приводит к усложнению отдельных узлов измери-
тельного устройства и перегрузке звеньев памяти и регистрации.
Поэтому в сложных измерительно-информационных системах осуществ-
ляются различные способы адаптивной, т. е. самоприспосабливающей-
ся, временной дискретизации с переменным шагом, зависящим от из-
меняющихся параметров процесса, или следящее цифровое измерение
с квантованием сначала по значению, а затем соответствующей дискре-
тизацией во времени.

С помощью приведенных выше формул можно определить необходи-
мую частоту дискретизации сигнала в зависимости от заданной погреш-
ности в нескольких частных случаях — при известных значениях мак-
симумов первой, второй или третьей производной, по известной авто-
корреляционной функции сигнала. Задача определения необходимой
частоты дискретизации в более общем случае при известном частотном
спектре сигнала и в зависимости от способа аппроксимации и задан-
ной погрешности решена с помощью цифровой вычислительной маши-
ны (100).

Анализом, проведенным на цифровой вычислительной машине, бы-
ло установлено, что при ограниченном частотном спектре функции с
частотой среза /0 для снижения с. к. о. при ступенчатой аппроксима-
ции <тагт до 5 % необходима частота дискретизации f = 21/с, а при ли-
нейной — /я — 5,9/с. Для снижения оап до 0,2 % при ступенчатой
Рис. 7,14. Систематизация способов определения частоты дискретизации.
аппроксимации необходима частота /д = 510 Д., а при линейной /д =<
= 29fc. В результате такого машинного анализа функции с ограничен-
ным частотным спектром при восстановлении идеальным фильтром1
была подтверждена теорема В. А. Котельникова, необходимая мини-
мальная частота дискретизации оказалась также равной 2/с. Была
также установлено, что для многих функций с бесконечным спектром
при линейной аппроксимации и заданном значении <тап — 5 % доста-
точна частота дискретизации /д = 8/с, а для оап — 0,2 %; fa = (30...
...40) /с. В этом случае под Д. подразумевается такая частота спектра,
после которой начинается резкое снижение амплитуд спектральных
составляющих. Приведенные данные показывают, что при выборе
частоты дискретизации по теореме Котельникова, погрешности от ап-
проксимации могут быть значительными даже при относительна
сложной линейной аппроксимации.

Весьма значительный выигрыш в уменьшении необходимой частоты
дискретизации получается при переходе от ступенчатой аппроксимации
к линейной. При параболической аппроксимации, значительно более
сложной, чем линейная, необходимая частота дискретизации снижает-
ся незначительно. Поэтому применение аппроксимации более сложной,
чем линейная, обычно нецелесообразно.

Если исследователя в исходном сигнале интересуют только отдель-
ные его параметры, например среднее значение или первые производ-
ные, то частоту дискретизации целесообразно выбирать по условию
не полного восстановления сигнала, а восстановления данного era
параметра [91]. Способы определения частоты дискретизации при раз-
личных методах восстановления сигнала систематизированы на
рис. 7.14.

7.3. КОДИРОВАНИЕ, СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ЦИФРОВЫЕ КОДЫ

Кодирование — это операция перевода по определенным правилам
формального объекта, выраженного совокупностью кодовых символов
одного алфавита, в формальный объект, выраженный символами дру-
гого алфавита. Примерами кодирования являются: перевод текста
(формального объекта) с одного языка на другой; шифровка определен-
ного сообщения; представление последовательности операций, выпол-
няемых машиной, выраженных словарным текстом, в текст на одном
из машинных алгоритмических языков — ФОРТРАН, КОБОЛ,
АЛГОЛ или др. При кодировании в качестве символов используют
буквы алфавита, цифры в определенной системе счисления и различные
условные знаки.

Кодирование в информационно-измерительной технике применяется
при кодовом представлении результата измерения для цифровой обра-
ботки, а также при передаче результатов измерения и других сообще-
ний по каналам связи. Наиболее широкое применение получило чис-
ловое кодирование.

Числовое кодирование в широком смысле является операцией ото-
бражения формального объекта числами, и его результат может и
не быть результатом измерения. В процессе измерения определяется
значение физической величины, состоящее из ее числового значения
и единицы. Числовое кодирование в измерении является операцией
перевода числового значения данной величины Nx в другую систему
счисления.

Системы счисления, используемые в измерительной технике

Количественная информация выражается числами, состоящими из
группы символов.

Системой счисления называется метод представления количествен-
ной информации при помощи символов некоторого алфавита, называе-
мых цифрами. Системы счисления подразделяются на непозиционные
и позиционные.

В непозиционной системе счисления числовое значение
символа не зависит от месга его в числе, ав позиционной —
зависит от его места в числе. Простейшей непозиционной системой
счисления является единичная Nlf в которой данное целое число изоб-
ражается в виде совокупности единиц, повторенных соответствующее
число раз. Например, число 8 изображается 11111111. Для
изображения больших чисел единичная система счисления неудобна.
В более удобной и компактной форме числа представляются в позицион-
ных системах счисления, в которых используется не одна, а несколько
цифр. Каждая цифра имеет определенное числовое значение (или вес),
причем числовое значение каждой цифры зависит от положения цифры
в числе.

В общем случае в позиционной системе счисления любое целое чис-
ло М можно выразить в следующей форме:

i=i

N = aft1-1 ф- az_iBz~2 4- ... 4- а2В' ф- aJP = £ а£В1-1. (7.78)
i=i

Символ В обозначает основание системы и равен числу символов
или знаков в данной системе, например, в десятичной В = 10, а в
двоичной — В = 2. В каждой системе счисления есть знак для обо-
значения нуля. Поэтому наибольшее числовое значение знака в каждой
системе равно В — 1. Например, в десятичной системе наибольшее
значение знака равно девяти, а в двоичной — единице. Символ I обо-
значает номер старшей позиции или числа разрядов данного числа.
Символы а{ — являются знаками или цифрами данной системы
счисления, стоящими в соответствующем разряде каждого числа. В де-
сятичной системе счисления символы ах — at являются цифрами от 0
до 9, а в двоичной — 0 и 1.

Используя (7.78), представим для примера число W, равное 76,
Nlo — 7- 101 ф-6  10° = 76;

ДГ2 = 1 . 26 + 0 • 25 + 0  24 + 1 , 23 + 1 • 22 + 0 • 21 + 0 • 2° =
= 1001100 = 76.

Наибольшее значение числа, которое может быть выражено в дан-
ной системе счисления при данном количестве разрядов I,

Nu = B‘-l.
рис. 7.15. Зависимость между основанием си-
стемы счисления В и необходимым количест-
вом разрядов I при заданном максимальном
числе

Определим необходимое число
разрядов для представления числа
60 000 в десятичной и двоичной си-
стемах счисления:

I = logs (Nn + 1) =

= log10 (60 000+ 1)^5;

i = logB(NH+l) =

= log2 (60 000 + 1) = 16.

Зависимость между В и I при заданном NB представлена на рис. 7.15.
Возможны два предельных случая, при которых или В, или I прирав-
нивается максимальному числу Ун.

В первом предельном случае при В = 1 — это единичная система
счисления, при которой максимальное число разрядов равно выражае-
мому числу NH = Л^и). В единичной системе все числа от 1 до Л/н
представляются с помощью соответствующего количества знаков 1, одна-
ко при этом изображение больших чисел получается очень громоздким.

Во втором предельном случае при В = NH имеет место кодирование
одноразрядными знаками, т. е. I = 1. При этом количество различных
знаков равно AiB. В этой системе все кодовые изображения максимально
кратки — в виде одного знака, но знаков различных нужно столько,
сколько единиц в числе Л/н, что делает эту систему практически непри-
менимой для кодирования больших чисел. Увеличение основания
системы счисления В и числа разрядов I при заданном NB ведет к ус-
ложнению систем передачи и обработки кодов. Поэтому наименее слож-
ной является система счисления, у которой произведение основания
на число разрядов минимально:

Bl = min.

На рис. 7.15 видно, что наиболее близкой к оптимальной по мини-
муму произведения В1 является троичная система, т. е. с основанием
В = 3. При В = 4 для Na = 60000, / = 8, т. е. В1 = 32; при В = 3,
I = 10, следовательно, произведение В1 = 30. Для двоичной системы
при этих условиях В1 = 2 16 = 32, для десятичной В1 = 10 • 5 =
— 50. Следовательно, троичная система оптимальна, а двоичная —
близка к ней в смысле минимальной сложности.

Коды, используемые в измерительной технике

Кодом называется форма представления сообщений, в которой реа-
лизуются определенные правила, обеспечивающие соответствие между
совокупностями кодовых символов и кодируемыми сообщениями.

Кодовым сигналом называется совокупность элементов,
реально представляющих совокупность символов, которой закодиро-
вано сообщение или число.
Рис. 7.16. Систематизация цифровых кодов,

применяемых в измерительной технике.

В вычислительной технике, телеуправлении, телеизмерениях и
других областях техники применяется большое количество различных
кодов. В измерительной технике для представления чисел — результа-
тов измерения — чаще всего применяются цифровые коды.

Цифровым кодом, называют форму представления число-
вого значения величин, удобную для реализации различными дискрет-
ными устройствами. Систематизация цифровых кодов показана на
рис. 7.16.

По наличию или отсутствию определенного веса или числового зна-
чения у каждого символа коды соответственно подразделяются на
взвешенные и невзвешенные.

В зависимости от используемой группы системы счисления взве-
шенные коды подразделяются на непозиционные и позиционные. По
используемой в них системе счисления коды делятся на единичные,
десятичные, двоичные, единично-десятичные, двоично-десятичные
(табл. 12).

Единичный код может быть единичным нормальным (ГОСТ
12814—74), одноканальным	или единичным позиционным или

многоканальным №(ij, предназначенным для передачи единичными
импульсами по проводам. В случае одноканального кода N§\ для
представления числа другим кодом нужен счетчик импульсов; в случае
многоканального кода JVffl статический преобразователь кода обыч-
но представлен в виде матрицы.
Единичный нормальный, или одноканаль-
н ы й код удобен для интегрирования в процессе измерения,
для осреднения результатов многократных измерений с целью исклю-
чения случайных погрешностей путем суммирования счетчиком импуль-
сов, вычитания реверсивным счетчиком, деления в процессе суммиро-
вания при помощи делителя импульсов, дифференцирования путем вы-
читания соседних отсчетов функциональных преобразований в схемах
с делителями и умножителями импульсов.

Единичный позиционный, или много каналь-
ный код М(“), необходим в статистических анализаторах, построи-
телях кривой распределения, в функциональных матричных преоб-
разователях кода. Единичные коды неудобны для регистрации и ин-
дикации.

Десятичный код N(lo} применяется для управления звеньями визу-
ального цифрового отсчета или цифровой регистрации, в которых ис-
пользуется десятичная система счисления. Для представления ряда
чисел от 0 до 999 в десятичном коде при наличии устройств с десятью
устойчивыми состояниями необходимо только три таких устройства, а
при использовании устройств с двумя устойчивыми состояниями необ-
ходимо 30 устройств.

Двоичный код N2 применяется в вычислительных устройствах и ко-
дирующих преобразователях и удобен малым числом элементов и ка-
налов. Для представления ряда чисел от 0 до 999 в двоичном коде
необходимо десять устройств с двумя устойчивыми состояниями. Од-
нако преобразователи двоичного кода в десятичный, необходимые для
управления звеньями цифровой индикации и регистрации, сложны.
Поэтому в измерительной технике часто применяются различные двоич-

Таблица 12. Цифровые символы первичных цифровых кодов общего применения

Нормальный ряд чисел 1	Единичный нормальный код. iV°i(	Единичный  - позиционный код,	Двоичный нормальный код, Л/(2)	Единнчио-десятичиый код$ N0—Ю)	Двоично-де- сятичный КОД|  N{2—10)
0		00000000001	00000000	001 0000000001 0000000001	00 0000 0000
1	1	00000000010	00000001	001 0000000001 0000000010	00 0000 0001
2	11	00000000100	00000010	001 0000000001 0000000100	00 0000 0010
3	ill	00000001000	00000011	001 0000000001 0000001000	00 0000 ООН
4	1111	00000010000	00000100	001 0000000001 0000010000	00 0000 0100
5	11111	00000100000	00000101	001 0000000001 0000100000	00 0000 0101
6	111111	00001000000	00000110	001 0000000001 0001000000	00 0000 оно
7	1111111	00010000000	00000111	001 0000000001 0010000000	00 0000 0111
8	11111111	00100000000	00001000	001 0000000001 0100000000	00 0000 1000
9	111111111	01000000000	00001001	001 0000000001 1000000000	00 0000 1001
10	1111111111	10000000000	00001010	001 0000000010 0000000001	00 0001 0000
но-десятичные коды, более удобные для преобразования в десятичный
и мало отличающиеся от двоичного кода числом необходимых эле-
ментов.

В зависимости от способа выдачи сигнала кода цифровые коды де-
лятся на параллельные, в которых сигналы всех разрядов числа вы-
даются одновременно по соответствующему числу каналов или по од-
ному каналу с частотным разделением, и последовательные, в которых
сигналы по разрядам числа выдаются поочередно с временными про-
межутками в один канал. При параллельном коде достигается более
высокое быстродействие, при последовательном — уменьшается число
каналов до одного, но уменьшается и быстродействие.

На выходе измерительного устройства при визуальной цифровой
индикации результат измерения представляется в выходном десятич-
ном коде

i

Л^ВЫХ = S «/Ю'-1.

(=1

Цифровой код, получаемый на первом этапе отражения размера
величины числом, будем называть первичным кодом.

Выбор первичного кода во многом определяет характеристики про-
цедуры измерения. Виды первичных кодов и группы методов измерения
определяют совместно:

1)	алгоритм измерения и состав операций;

2)	состав средств измерения и аппаратурную сложность измери-
тельного устройства;

3)	время, необходимое для реализации процедуры измерения.

При методе сопоставления и первичном единичном позиционном
коде в многоканальном варианте УУ(“> процедура измерения реализует-
ся простейшим алгоритмом, состоящим из одной операции сравнения.
При этом необходимо, чтобы число устройств сравнения было равно
наибольшему из возможных числовых значений измеряемой величины
N„, следовательно, аппаратурная сложность будет наибольшей. Время
измерения минимально, благодаря одноступенчатому алгоритму и рав-
но времени срабатывания устройств сравнения

/н = М.

При методе уравновешивания время измерения зависит также от
первичного кода. При первичном единичном коде в одноканальном ва-
рианте процедура измерения реализуется алгоритмом равномерно
ступенчатого приближения, который включает две операции —
сравнение и воспроизведение равномерно-ступенчатой, известной по
значению величины. При этом необходимо только одно устройство
сравнения и одна регулируемая мера, что обеспечивает минимальную
аппаратурную сложность.

Время измерения следующее:

i„ = 1ВЫа,	(7.79)

где I = NB, В = 1, t„= УИД/М; Д/м время отработки одной ступени меры.
При единичном коде время измерений велико. Поэтому и ис-
пользуют коды, основанные на позиционных системах счисления. При
цифровом коде соответствующим выбором системы счисления В можно
уменьшить время измерения и произведение В1 (а значит, и аппаратур-
ную сложность И У).

При выборе первичным двоичного кода Na в состав операций вхо-
дит сравнение и воспроизведение при помощи регулируемой однока-
нальной меры, управляемой двоичным кодом. При этом необходимы
одно устройство сравнения и одна мера.

Время измерения составит

/Н = /(В — 1)Д/М,	(7.80)

при В = 2, т. е. при двоичном коде

/н = 1Мм = (log2 N„) Мы = 3,3 (log10 AQ Д/м.

При выборе первичным десятичного кода

В = 10; I = log10 NH- 1к—(В—\) lbtM = 9 (log10JVH) M*-

При выборе первичным двоично-десятичного кода Мг-ю

/н = 4(log10WH)A/M.	(7.81)

В цифровой измерительной технике чаще всего применяются двоич-
но-десятичные коды, так как время измерения при них близко к мини-
мальному и они удобнее двоичных для преобразования в десятичный
код.

Анализ погрешности передачи числовых кодовых сигналов

Предположим, что кодовые сигналы, представляющие результаты
измерений,с распределенные равномерно в диапазоне 0...21 — 1, пере-
даются по I параллельным каналам двоичным кодом. В каждом из
каналов действует помеха. Поэтому каждый из символов кодового сиг-
нала может быть искажен с вероятностью Ркан, которая одинакова и
постоянна для всех каналов. Предполагаем, что основную часть оши-
бочных комбинаций составляют комбинации с ошибочными символами
только в одном из каналов. В этом случае вероятность того, что в
/-канальном кодовом сигнале, состоящем из/символов, из-за действия
помех искажен на обратный только один символ

Рком (1) = IPкая-	(7.82)

Для оценки погрешности в передаче числового значения, возникаю-
щей из-за ошибок в передаче кодовых символов, определим оценки ее
математического ожидания и дисперсии. При Wa 1 и при симметрич-
ном законе распределения передаваемых чисел, ввиду одинакового
среднего числа нулей и единиц в передаваемых кодовых сигналах,
распределение погрешности от ошибок в передаче закодированных чи-
сел, при учете ранее принятых ограничений будет симметричным, и
среднее ее значение будет равно нулю.

Для определения оценки дисперсии погрешности от ошибок пере-
дачи числовых кодовых сигналов воспользуемся правилом суммирова-
ния дисперсий независимых и случайных величин. В общем случае
представляемое двоичным кодом число равно

N = S

1=1

Дисперсию ошибки передачи каждого символа а( обозначим D (AOf),
дисперсию погрешности передаваемого числа —D (ДХ).

Дисперсия погрешности передаваемых равномерно распределенных
чисел будет следующей:

i=Z

Д(ДХ) = 1S Д(Да.)2ад_1’.
i=i ‘

При двоичном коде [84]

а.=1

Д(Да ) = 2 X (Аа )2Р(Аа ),
*	а~0	*	1

где Р (Да.) = РКан^2 — вероятность появления ошибочного символа
в i-м канале.

Тогда

Д (Aaf) — Ркаи.

В этом случае дисперсия погрешности передачи закодированных
равномерно распределенных чисел будет равна

i=z

D (ДАТ) = Ркаи X = (22' - 1)/(22 - 1) Ркаи = №нРкаи/3.

1=1

Далее определяем дисперсию погрешности передачи в единицах
величины

«2
о2 (Дпер) = Д (ДХ) = —т-Ркан.
О

Если числа, представленные кодом, распределены нормально, то
при хн = Зо (X) приведенное значение с. к. о. погрешности от наличия
помех в каналах передачи будет таким:

Т<ЧДпер) = За (X) = "/Г	(7,83>

При постоянстве сигнала символа хс и нормальной симметричной
помехе в канале с с. к. о. опом вероятность ошибки в каждом канале
Ркан — определяется вероятностью превышения х0 мгновенным зна-
чением ДХпом. Показано [84], что в этих условиях

Рка«= 1/1/Л-^-е^/а"ом.	(7.84)

^пом

Например, при ХсМпом = 25

Рк^ = б • 10~7; уапер = 0,5 • IO"3.
Коды и кодирование в каналах связи

Коды, предназначенные для кодирования сообщений, передаваемых
Lno каналам связи, удовлетворяют ряду специфических требований!
эффективности, заключающейся в возможности передачи данных
сообщений за минимальное время; коды, удовлетворяющие этому тре-
бованию, называются оптимальными, или эффективными;

помехозащищенности, заключающейся в возможности выявления
^кодовой комбинации, искаженной помехой, коды, удовлетворяющие
Пятому требованию, называются корректирующимися;

удобству безошибочного различения начала каждой кодовой ком-
бинации;

удобству декодирования сообщения;

высокой надежности различения символов кода; для удовлетворе-
ния этого требования в кодах обычно используются двоичные символы
J 0 и 1.

Коды, используемые для передачи, бывают равномерными и нерав-
_номерными.

В равномерных кодах все комбинации состоят из одинакового числа
^символов (и), т. е. имеют одинаковую длину, а в неравномерных — из
^ неодинакового, т. е. имеют неодинаковую длину. При одинаковой дли-
;не кодовых комбинаций облегчается определение границ каждой из
|них, которое производится путем подсчета числа символов. В нерав-
|номерных кодах необходимо для различения кодовых комбинаций пре-
дусматривать специальные разделительные символы. Например, в коде
(Морзе такими разделительными символами служат паузы длитель-
ностью в одно тире. Это удлиняет сообщения и уменьшает скорость пе-
редачи.

Оптимальные, или эффективные, коды

Каждое сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из набора
родовых комбинаций — «букв», или чисел, и чем сложнее сообщение,
рем больше различных букв необходимо для его кодирования. Каждая
буква, в свою очередь, кодируется комбинацией символов или знаков
i-кода. Для обеспечения высокой надежности различения при декоди-
' ровании и приеме символов обычно используют двоичные символы 1 и 0.

Для передачи по каналу связи каждого символа необходимо затра-
• тить определенное время т0. Поэтому чем больше символов необходимо
для кодирования каждой буквы, тем длиннее их комбинация, тем боль-
i-ine необходимые затраты времени при передаче.

л- Если во всех передаваемых данным кодом сообщениях вероятность
?8спользования всех букв одинакова, то для обеспечения минимального
Времени передачи сообщений необходимо, чтобы минимальной была
•-Средняя длина кодовой комбинации. В этом случае среднее время
Передачи независимых кодовых комбинаций

i—m

тк = То S п(Р (bi),

1=1
где tn — число кодовых комбинаций; Р (bt) — вероятность данной ко-
довой комбинации Ьг; п{ — число символов в кодовой комбинации

При увеличении числа кодовых комбинаций или значений измеряе-
мой величины в данном сообщении среднее время его передачи увели-
чивается, а быстродействие снижается. Поэтому необходимо предпри-
нимать меры по повышению быстродействия передачи.

Скорость передачи информации по каналу

Уин = Н (а)/тк,	(7.85)

где Н(а) — энтропия источника передаваемых сообщений — среднее
количество информации, приходящейся на каждый элемент данного
сообщения;

т

Н(а) = — ^ Р (а{) log Р (а(),

i=i

где Р (at) — вероятность элемента данного сообщения.

Тогда скорость передачи информации по каналу

— U Р log Р (Of)

Унн = ---.	(7.86)

£ п.(Р (bt}

-=1

Для увеличения скорости передачи Уин необходимо снижать время
т0, затрачиваемое на передачу по каналу каждого символа кода. Од-
нако минимальное значение т0 ограничено шириной полосы пропуска-
ния канала связи /кан;

Tomin = ^г/кан-

Поэтому необходимы также и другие меры для повышения скорости
передачи информации. Одной из таких мер является статистическое
согласование источника информации и кода. Целесообразность этого
была указана Шенноном. Действительно, в (7.86) вероятности элемен-
тов сообщения Р (а() при безошибочном кодировании равны вероят-
ностям соответствующих кодовых комбинаций Р (Ь(). Тогда скорость
передачи Уин будет наибольшей, если выполняется условие

п{ = — log Р (а().

В этом случае скорость передачи информации Уин достигает максималь-
ного значения, равного пропускной способности канала связи с двоич-
ными символами кода!

с = 1/т0.

Выполнение условия статистического согласования п( =
= log 1/Р (а() = log 1/Р (Ь() означает, что более вероятные элементы
сообщения должны кодироваться более короткими комбинациями сим-
волов с меньшим числом nit а менее вероятные элементы — с большим.
Коды, удовлетворяющие этому требованию, называются оптимальны-
ми, или эффективными.

Одним из оптимальных является код Шеннона — Фано. Рассмотрим
принцип его построения на примере кода, предназначенного для коди-
316
-рования сообщений источника, вырабатывающего четыре сообщения
fli, «2, а3, а4 с вероятностями Р (ах) = 0,5; Р (а2) = 0,25; Р (а3)
== Р (а4) = 0,125. Вероятности Р (aj, Р (а2), Р («з) и Р (04) вписывают-
ся в кодовую таблицу в порядке убывания (табл. 13).

После этого разбиваем вероятности на две группы, с тем чтобы сум-
ма вероятностей в обеих группах была бы по возможности одинаковой.
Затем в каждой из групп это деление повторяется до тех пор, пока число
вероятностей хотя бы в одной из подгрупп будет превышать одну. При
этом начинается формирование комбинаций символов, и в качестве пер-
вых из них для кодирования сообщений первой группы выбирается
символ 0, а второй 1. При подразделении на следующие подгруппы
этот порядок выбора вторых и последующих символов 0 и 1 каждый раз
повторяется. При этом автоматически обеспечивается выполнение
требования статистической согласованности, и более вероятным эле-
ментам сообщения присваиваются более короткие кодовые комбинации,
и наоборот. Так, например, элемент сообщения alt имеющий наиболь-
шую вероятность, кодируется кодовой комбинацией, состоящей только
из одного символа 0, а наименее вероятные элементы сообщения а3 и а4
кодируются более длинными кодовыми комбинациями, состоящими из
трех символов.

В табл. 14 дан пример построения кода Шеннона для кодирования
сообщений, состоящих из восьми элементов.

Код Шеннона — Фано получается неравномерным, однако необхо-
димость во введении разделительных символов между кодовыми комби-
нациями не возникает, так как в конце коротких кодовых комбинаций,

Таблица 13. Пример построения кода Шеннона — Фано для кодирования
сообщений, состоящих из четырех элементов

а1	Р ia-)	Группа			Комбинация	ni
		I	II	III		
°1	0,5	0			0	1
°2	0,25	1	0		10	2
°3	0,125	1	1	0	110	3
°4	0,125	1	1	1	111	3

Таблица 14. Пример построения кода Шеннона — Фано для кодирования
сообщений, состоящих из восьми элементов

Буква	Вероят- ность	Кодовая комбина- ция	Ступень разбиения	Буква	Вероят- ность	Кодовая комбина- ция	Ступень разбиения
г1	v2	1	I	г6	1/32	00001	IV
Z2	Vi	01	I	гв	х/м	000001	V
гз	%	001	II	г7		0000001	VI
Z4		0001	III	2в	*/128	0000000	VII
в данном случае 0 и 10, стоят символы, не совпадающие с начальными
символами более длинных кодовых комбинаций, т. е. в данном случае
НО и 111. Это важное свойство оптимального кода Шеннона — Фано
обеспечивается алгоритмом его образования. На основании данных
табл. 13 можно по формуле (7.86) определить для данного примера
кода Шеннона — Фано скорость передачи информации

v — 0,5 log 0,5 —0,25 log 0,25—2 • 0,125 log 0,125 _ 1,75 _ 1 _
V~ (0,5 • 1 4-0,25 • 24-2 • 3 • 0,125) т0	1,75т0 т0 С‘

Следовательно, при данном оптимальном коде обеспечивается мак-
симальная скорость передачи информации.

Для сравнения определим Уии для этого же примера в случае приме-
нения обычного взвешенного двоичного кода. Тогда символы кода бу-
дут 00; 01; 10; 11, код равномерен, все кодовые комбинации имеют оди-
наковое число символов, равное двум. В этом случае скорость передачи
информации

v _ —0,5 log0,5 —0,25log0,25—2 • 0,125log0,125 _ 1,75

V~ (0,5 • 2 4-0,25 • 24-2 • 2 • 0,125)т0 — 2т0 ’

Таким образом, как и следовало ожидать, скорость передачи инфор-
мации при использовании взвешенного двоичного кода уменьшилась.

Недостатком оптимальных кодов является отсутствие избыточности.
Поэтому эти коды весьма чувствительны к действию помех и рекомен-
дуются только для каналов, в которых помехи незначительны.

Корректирующие коды

Основной причиной, снижающей достоверность передачи дискрет-
ных сообщений, являются дискретные импульсные помехи. Поэтому
все коды, применяемые в каналах с помехами, должны в той или иной
степени обеспечивать возможность устранения ошибок из-за воздейст-
вия помех.

Корректирующими называются коды, в которых предусмотрено
обнаружение и исправление ошибок, возникающих от действия помех,
основанное на избыточности корректирующих кодов. Относительная
избыточность корректирующего кода

dom =П — k/k,	(7.87)

где п — общее число символов комбинации равномерного корректирую-
ющего кода; k — число информационных символов этого кода, исполь-
зуемых для передачи информации.

При обычно применяемых в технике передачи двоичных символах
число разрешенных информационных комбинаций равно 2*, а общее
число комбинаций 2". Следовательно, число комбинаций, не несущих
информации, 2" — 2*, эти комбинации называют неразрешенными.

Если в одну из разрешенных комбинаций попадает помеха, то она
может быть переведена либо в неразрешенную комбинацию, чем будет
обнаружена ошибка, либо в другую разрешенную комбинацию. В пос-
леднем случае ошибка не обнаруживается.

318
Определим относительное число ошибок, которые могут быть обна-
ружены данным кодом.

Если передача информации, в которой максимальное число сообще-
ний равно 2*, производится комбинациями, состоящими из п двоичных
символов, то максимальное число комбинаций равно 2". При наличии
искажений любая из 2* разрешенных комбинаций может быть переведе-
на в любую из 2" возможных комбинаций, общее число случаев пе-
редачи будет равно 2к • 2". Число случаев перехода любой из 2* разре-
шенных комбинаций в другую разрешенную будет равно 2к (2*~!).

Зная число случаев неразрешенных комбинаций, равное (2" — 2*),
можно определить и число обнаруживаемых ошибок от действия помех,
т. е. случаев перехода в неразрешенные комбинации, которые могут
быть обнаружены. Это число равно 2* (2" — 2*). Тогда относительное
число ошибок, которые могут быть обнаружены,

b = 2*(2П —2*) _ .__________2^

“	2* • 2"	“	2"

(7.88)

Следовательно, если искажающая код помеха может быть любой,
то обнаруживаться может только часть ошибочных комбинаций.

Задача корректирующего кода состоит не только в обнаружении,
но и в исправлении ошибок. Однако исправленными могут быть только-
часть из обнаруживаемых ошибочных комбинаций, их относительное
число

2п— 2к	1

Q	_

2*(2П—2*)	2*

(7.89)

Даже при минимальном числе избыточных символов, равным еди-
нице, только 50 % ошибочных комбинаций могут быть обнаружены и-
только половина их исправлена. Однако любые помехи, например ис-
кажение каждого символа, весьма мало вероятны. Поэтому корректи-
рующие коды делают помехозащищенными главным образом от наибо-
лее вероятных помех низкой кратности, т. е. искажающих только оди»
или два—три символа в данной кодовой комбинации. Для этих условий
созданы коды, которые могут обнаруживать и исправлять все помех»
такого рода.
Глава 8

ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Точность измерения является основной характеристикой качества
измерений, а точность СИ, характеризуемая его погрешностью, являет-
ся основной характеристикой степени совершенства СИ. При проекти-
ровании СИ среди различных расчетов, естественно, основным является
расчет или анализ погрешностей вновь создаваемого СИ. Великие
русские ученые Д. И. Менделеев и П. Л. Чебышев много сделали в об-
ласти анализа погрешностей. Теория точности СИ, прежде всего изме-
рительных приборов, преобразователей и механизмов была создана
трудами советских ученых: акад. Н. Г. Бруевичем [9], проф. Н. Н. По-
номаревым, чл.-корр. АН УССР А. Д. Нестеренко, В. В. Петровым,
проф. В. О. Арутюновым [3, 4], акад. АН УССР Ф. Б. Гриневичем,
проф. Д. А. Браславским [8].

Анализ точности СИ является одним из основных этапов синтеза
СИ. Целью анализа точности погрешностей является расчет суммарной
погрешности СИ, сравнение полученного значения с заданным, выявле-
ние звена, вносящего наибольший вклад в суммарную погрешность,
выбор метода коррекции.

Рассмотрим основные виды погрешностей и классы точности СИ,
их нормированные метрологические характеристики, методы анализа
статических и динамических погрешностей и методы повышения точ-
ности измерительных приборов и преобразователей.

8.1.	КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешности СИ классифицируют по следующим признакам
(рис. 8.1).

По способу выражения погрешности подразделяют
на абсолютные, приведенные и относительные.

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называют раз-
ность между его показанием хы и истинным значением измеряемой
величины X:

А = хн — X.	(8.1)

Абсолютная погрешность измерительного преобразователя может
быть выражена в единицах входной измеряемой величины Айв еди-
ницах выходной величины Y. При линейной характеристике ИП

' Ау = КА.
Погрешности измерительных л 'реовразователейищ>йваров

По способу выражения

\Авсолютные || Приведенные

] | Относительные

По характеру изменения	\систематические\

| Случайные |

По зависимости отХ

| Аддитивные | \мулыпипликатцвные\| Нелинейные ~~|

По условиям возникновения\ основные	|

Порежиму равоты СИ I Статические

Дополнительные

Динамические

Рнс. 8.1. Систематизация погрешностей измерительных преобразователей и при-
боров.

Приведенная погрешность равна отношению абсолютной погреш-
ности к нормирующему значению хиорм и выражается обычно в процен-
тах:

? = — 100 %.

*иор

Нормирующее значение хиор для СИ в зависимости от характера
шкалы, расположения пределов измерения и нулевого значения, от
наличия номинального значения, характера х устанавливается равным:
при нулевой отметке, расположенной на краю или вне диапазона
измерения — большему из пределов измерения;

у электроизмерительных приборов при равномерной или степенной
шкале и при нулевой отметке, расположенной внутри диапазона изме-
рения,— сумме модулей пределов измерения;

при существенно неравномерной шкале — всей длине шкалы или ее
части, соответствующей диапазону измерения;

при установленном номинальном значении измеряемой величины
(например у частотомера 45...55 Гц номинальное значение 50 Гц) —
номинальному значению;

при измерении величин, для которых принята шкала с условным
нулем (например для температуры),— модулю разности пределов изме-
рений.

Относительная погрешность измерительного прибора равна отно-
шению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой
величины 6 = Д/х. Эта погрешность наиболее полно характеризует
точность измерения, выполненного с помощью данного прибора. Поэто-
му удобны в пользовании измерительные приборы, у которых во всем
диапазоне измерения относительная погрешность остается постоянной,
класс точности таких приборов рекомендуется по ГОСТ 8.401—80 вы-
ражать в виде относительной погрешности.

По характеру изменения погрешности средств изме-
рений подразделяются на систематические и случайные.

П 818	321
Рис. 8.2. Составляющие систематичес-
кой трехчленной погрешности.

Систематической погрешностью Дв
измерительного прибора называется
составляющая погрешности, остающая-
ся постоянной или закономерно изме-
няющаяся. Качество измерительного
прибора, отражающее близость к нулю
его систематических погрешностей,
называется правильностью.

Случайной погрешностью А изме-
рительного прибора называется со-
ставляющая погрешности, изменяю-
щаяся случайным образом. Качество

измерительного прибора, отражающее близость к нулю его случайной

погрешности, называется сходимостью показаний.

По зависимости абсолютной погрешности
от значений х погрешности подразделяются на аддитивные Дад,
независимые от х-, мультипликативные Дм, пропорциональные х, и
нелинейные, обычно пропорциональные х2 (рис. 8.2). Такое подразделе-
ние погрешностей соответствует представлению погрешностей много-
членной моделью [56].

Аддитивные погрешности в однозвенных ИП возникают, например,
в виде аддитивной помехи на входе Дп. Тогда при линейном ИП

» = К(х + Дп) = Кх + КДп.

Мультипликативные погрешности возникают в однозвенных линей-
ных ИП от изменения их параметров, например,

у = (К + Дк) х = Кх + Дкх = Кх + Ду.

После приведения ко входу в единицах х получаем

Ду/К = Дкх/К = 6кх = 8мх = Дм.

Нелинейные составляющие погрешности Диел возникают, например,
в ИП с номинальной функцией преобразования у = Кх + ох2 =
= Кх + Диел при доминирующей линейной составляющей.

Аддитивные, мультипликативные погрешности и погрешности от
нелинейности в зависимости от характера изменения также подразде-
ляются на систематические и случайные. Суммарная систематическая
многочленная погрешность равна

М (Дсум) = М (Дад) + М (Дм) + М (Диел).

(8.2)

С. к. о. суммарной случайной многочленной погрешности, при
условии независимости ее составляющих, равна

о (Дсум) = Ко2 (Дад) + о2 (Дм) + о2 (Диел).	(8.3)

Очевидно, что многочленная погрешность и ее составляющие могут
быть выражены также в виде приведенной и относительной погрешно-
стей. Часто многочленную погрешность ограничивают двумя членами.

По условиям возникновения погрешности СИ под-
разделяют на основные и дополнительные.
Основная погрешность возникает в СИ, которое используется в
Нормальных условиях (главным образом в результате отклонений
|йутренних параметров СИ от их значений при градуировке СИ).

Дополнительная погрешность ИП — изменение его погрешности,
рыяванное отклонением одной из влияющих величин от ее нормаль-
його значения или выходом ее за пределы нормальной области значе-
Ййй. Дополнительные погрешности удобно определять по функциям
влияния от изменения внешней влияющей величины

Aj = SP — £ноР,

где £нор — значение влияющей величины в нормальных условиях; 2Р —
значение влияющей величины в рабочих условиях.

Тогда статистические характеристики суммарной погрешности в
рабочих условиях:

мр (Двум) = м (Дсум) + М (ЛД5);

(Дсум) = D (Дсум) "Ь D (ВД£).

В простейшем случае функции влияния являются линейными. Обыч-
но наибольшее воздействие влияющие величины оказывают на система-
тическую составляющую погрешности, так как приводят к однозначным
.изменениям внутренних параметров СИ. Если влияющие величины яв-
ляются случайными, то функции влияния становятся функциями слу-
чайных аргументов, что необходимо учитывать при определении сум-
марной погрешности ИП в рабочих условиях.

Предел допускаемой погрешности СИ — наибольшая его погреш-
ность, при которой СИ может быть признано годным и допущено к
применению.

По режиму работы СИ погрешности подразделяются
на погрешности в статическом и динамическом режимах. Режим работы
средства измерений определяется частотным спектром входного сигна-
ла, временем измерения и динамическими свойствами СИ.

Статическим называется режим, при котором размер входной ве-
личины во время ее измерения остается неизменным, а время измерения
является достаточным для затухания переходных процессов, возник-
ших в измерительной цепи при подаче входного сигнала.

Динамическим называется режим, при котором инерционным изме-
рительным прибором измеряются мгновенные значения входной вели-
чины с изменяющимся размером, а также величины с неизменным раз-
мером, если за время измерения не достигается затухание переходных
процессов.

Статическая погрешность СИ тождественна погрешности в статиче-
ском режиме его работы, который является частным случаем динами-
ческого режима. Погрешность СИ в динамическом режиме состоит из
статической и динамической погрешностей.

8.2.	КЛАССЫ ТОЧНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Класс точности — это обобщенная характеристика, определяющая
пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей. В обо-
значении класса точности используются числа, которые характеризуют
предел допускаемой погрешности в виде абсолютной, приведенной, ot-
носительной погрешности, а также буквы латинского алфавита или рим-
ские цифры. Класс точности характеризует точность СИ, но не является
непосредственной характеристикой точности измерения, выполненного
с помощью данного СИ.

Выражать класс точности желательно с помощью относительной
погрешности, более удобной для характеристики точности измерения,
выполненного с помощью данного СИ. Это можно сделать для СИ с
преобладающей постоянной относительной погрешностью. Однако у
многих СИ преобладает постоянная приведенная погрешность. Кроме
того, ряд СИ удобнее характеризовать абсолютной погрешностью.
Например, меры массы (гири) и концевые меры длины обычно исполь-
зуются в различных сочетаниях, и поэтому для определения погрешно-
сти измерения в этом случае удобнее суммировать их абсолютные
погрешности.

Основные способы установления пределов, допускаемых
погрешностей СИ и обозначения классов точности

По ГОСТ 8.401—80 определены следующие основные способы уста-
новления пределов допускаемых погрешностей и обозначения классов
точности.

1.	Для СИ, у которых границы основной абсолютной погрешности
практически неизменены, пределы допускаемой погрешности принято
выражать в форме абсолютных погрешностей, а класс точности СИ сле-
дует обозначать прописными буквами латинского алфавита или римски-
ми цифрами. Классам точности, которым соответствуют меньшие
пределы допускаемых погрешностей, должны соответствовать буквы,
находящиеся ближе к началу алфавита, или цифры, означающие мень-
шие числа. К этим СИ относятся многозначные меры.

2.	Для СИ, у которых границы абсолютной погрешности практиче-
ски неизменны и нормирующее значение измеряемой величины выраже-
но в единицах измеряемой величины, пределы допускаемой основной
погрешности принято выражать в форме приведенной погрешности, а
класс точности СИ — одним числом, которое должно совпадать с чи-
словым значением предела допускаемой приведенной основной погреш-
ности, выраженной в процентах,

V = Д/Хнор . 100 % = ± р,	(8.4)

где р — отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда:

1-10";	1,5-10";	2-10";	2,5-10";

4-10";	5-10";	6-10" (и = 1, 0, —1, —2, ...).

К СИ этой группы относятся показывающие и самопишущие при-
боры, у которых преобладают аддитивные погрешности — погрешности
от трения, отсчета, от изменения положения в пространстве и др.

3.	Для СИ, у которых границы относительной погрешности можно
полагать практически неизменными, пределы допускаемой погрешности
324
ЗЩдует выражать в форме относительной погрешности, а класс точности
ЛеДует обозначать числом, помещенным в кружок и равным пределу
допускаемой относительной погрешности в процентах. К СИ этой
руппы относятся однозначные меры (используемые не в наборе), ин-
тегрирующие приборы, например счетчики энергии. В интегрирую-
щих приборах невозможно учесть изменения X, так как известен
только интеграл от х.

4.	Для СИ, у которых границы абсолютных погрешностей можно
: полагать изменяющимися практически линейно Д — ± (а + Ьх),
’ пределы допускаемых погрешностей следует выражать в форме относи-
тельной погрешности по двухчленной формуле

беум= Д/х = ± [с + d(|XK/x|— 1],	(8.5)

/где d ±= а/хк = уад; с = b 4- d = уад + бм; b = бм; хк — больший нз
пределов измерений.

Обозначение класса точности в этом случае состоит из двух чисел,
выражающих с и d в процентах и разделенных косой чертой (c/d), на-
пример класс 0,02/0,01. Такое обозначение удобно, так как первый его
член с равен относительной погрешности СИ в наиболее благоприятных
условиях, когда х « хк, а второй член формулы характеризует увели-
чение относительной погрешности измерения при уменьшении х, т. е.
влияние аддитивной составляющей погрешности. К четвертой группе
СИ относятся цифровые приборы уравновешивания — мосты, компен-
саторы — как с ручным, так и с автоматическим уравновешиванием.
Зарубежные приборостроительные фирмы в большинстве случаев для
характеристики точности цифровых приборов указывают приведенное
значение аддитивной и относительное значение мультипликативной
составляющих погрешности в процентах, например 0,1 % of full scale +
+ 0.1 % of riding (0,1 % от полной шкалы + 0,1 % отданного показания).

5.	Для СИ, у которых шкала существенно нелинейна и границы
основной абсолютной погрешности, выраженные в единицах длины
шкалы можно полагать практически неизменными пределы допускаемой
основной погрешности принято выражать в форме приведенной по-
грешности

?пр = А;//Иор,
при этом /иор также выражено в единицах длины шкалы, а класс точно-
сти в этом случае обозначается одним числом в процентах и поме-
щается между двумя линиями, расположенными под углом. К этим
СИ относятся показывающие приборы с резко неравномерной шка-
лой, например гиперболической или логарифмической.

•< В состав таких СИ входит предвключенный существенно нелиней-
ный ИП у = f (х). Характеристика шкалы прибора в этом случае имеет
обратную нелинейность I = f~' (у), что и обеспечивает линейную за-
висимость между /их, вот почему тут

,	А///иор = А/Хиор = ?пр-
8.3.	НОРМИРУЕМЫЕ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Класс точности для большинства измерительных приборов дает
представление о точности измерения, выполненного данным прибором,
однако не позволяет определить показатели точности результата изме-
рения согласно ГОСТ 8.011—72 даже по простейшей первой форме
в виде интервалов и вероятности нахождения погрешности в их преде-
лах. Отсутствие единых показателей точности результата измерения
затрудняет его использование в автоматических системах управления
и может приводить к выработке управляющих воздействий, не соот-
ветствующих состоянию управляемого объекта. Если погрешность
средства измерений нормировать только классом точности, то при ана-
лизе погрешностей информационно-измерительных систем и косвенных
измерений суммарную погрешность в рабочих условиях приходится
определять арифметическим суммированием, что приводит к резкому
завышению погрешности, неполному использованию метрологических
возможностей измерительных устройств и неоправданно завышенным
требованиям к СИ.

Если погрешность СИ принимается случайной величиной, то ха-
рактеристикой ее является кривая распределения. Для определения
кривой распределения погрешности необходимо затратить очень много
труда или создать сложное высокопроизводительное и дорогостоящее
специальное метрологическое оборудование. Однако практически доста-
точно с вероятностной точки зрения характеризовать закон распределе-
ния погрешностей двумя первыми моментами кривой распределения.

ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические характе-
ристики средств измерений» установлены такие метрологические ха-
рактеристики, которые дают возможность оценить погрешность СИ в
нормальных и рабочих условиях эксплуатации, оценить динамические
погрешности СИ, получить показатели точности результата измерений
в одной из форм, предусмотренных ГОСТ 8.011—72 «Показатели точ-
ности измерений и формы представления результата измерения».
ГОСТ 8.009—72 введен в действие с 01.07.76 и распространяется на нор-
мативно-техническую документацию, т. е. на стандарты, регламенти-
рующие метрологические характеристики средств измерений.

Нормируемые метрологические характеристики средств измере-
ний имеют следующие основные особенности:

систематическая и случайная составляющие погрешности нормиру-
ются раздельно, что необходимо для определения показателей точности
результата измерения согласно ГОСТ 8.011—72 и более корректного
суммирования погрешностей;

систематические погрешности средства измерений данного типа (от
экземпляра к экземпляру) являются совокупностью случайных вели-
чин, поэтому стандартом нормируются не только предельные значения
систематической составляющей погрешности, но также и статистические
характеристики, т. е. математическое ожидание и с. к. о.;

в условиях, отличных от нормальных, предусматривается нормиро-
вание функций влияния данных внешних воздействий на метрологи-
326
иекие характеристики и наибольшие допустимые их отклонении под
^действием влияющих величин.

Такой подход обеспечивает возможность нормирования метрологи-
ческих характеристик любого экземпляра СИ данного типа.

Основные нормируемые метрологические характеристики средств
измерений, способы нормирования и формы их выражения

Установлены следующие метрологические характеристики (ГОСТ
8.009—72):

номинальная статическая характеристика /и преобразования изме-
рительного преобразователя, которая выражается формулой, графиком,
таблицей;

номинальное значение выходной величины однозначной меры хи,
которое выражается именованным числом;

цена деления равномерной шкалы измерительного прибора или мно-
гозначной меры qK, которые выражаются именованными числами;

выходной код, количество разрядов кода, номинальная цена едини-
цы наименьшего разряда кода цифровых измерительных приборов;

систематическая составляющая Д погрешности выражается в еди-
ницах х и нормируется комплексом характеристик:

а)	пределом Дс допускаемой систематической составляющей погреш-
' ности СИ данного типа;

б)	математическим ожиданием М (Дс) систематической составляю-
щей Дс погрешности СИ данного типа;

в)	с. к. о. о (Дс) систематической составляющей До погрешности
СИ данного типа;

случайная составляющая Д погрешности нормируется комплексом
своих характеристик:

а)	пределом допускаемого од (А) с. к. о. случайной составляющей
погрешности СИ данного типа, который выражается в единицах х;

б)	автокорреляционная функция (т) или спектральная плот-
ность 5°д (©) случайной составляющей погрешности СИ данного типа,
которая нормируется в виде номинальной функции или предела допус-
каемого отклонения от номинальной функции;

погрешность средства измерений Д, которая нормируется пределом
допускаемого значения Да СИ данного типа или Дд, М (Д) и о (Д) для
СИ данного типа;

вариация выходного сигнала измерительного преобразователя
и вариация показаний измерительного прибора, которая нормируется
Наибольшим допустимым значением Ьх для СИ данного типа;

входное zBX и выходное гвых сопротивление СИ.

Установлены следующие основные динамические характеристики:
а) функция динамического преобразования, т. е. функция связи
между входом и выходом, которая нормируется видом передаточной
функции, импульсной весовой функции, переходной характеристики,
номинальными значениями и наибольшими допустимыми отклонениями
коэффициентов этих функций;
б)	номинальные амплитудно- и фазочастотные характеристики,
которые нормируются функциями или наибольшими допустимыми от-
клонениями от номинальных характеристик;

в)	время установления;

неинформативные параметры входного сигнала.

Для определения метрологических характеристик СИ в рабочих
условиях, отличных от нормальных, для каждой влияющей величины
отдельно устанавливаются:

а)	функции влияния ф (Д^), которые нормируются номинальной
функцией влияния и пределом допустимых отклонений от номинальной
функции;

б)	наибольшие допустимые изменения метрологических характери-
стик средств измерений, вызванные изменениями влияющих величин
и неинформативных параметров входного сигнала.

Способы экспериментального определения оценок характеристик
погрешности средства измерения

При экспериментальной оценке метрологических характеристик
данного средства измерений производится его поверка с помощью бо-
лее точного средства измерений. Значение погрешности средства изме-
рений Д определяется по формуле

Д = xN — xa,

где ха — действительное значение информативного параметра вход-
ного сигнала, при котором показание прибора равно Xn. Оценка систе-
матической составляющей погрешности данного средства измерений в
точке х диапазона измерения при наличии вариации

До = Д„/2 + Дб/2,	(8.6)

где Дм = 1/nS ДМ1- —среднее значение погрешности в точке х диапа-
зона измерения при медленном, многократном изменении информатив-
ного параметра входного сигнала измерительного устройства со сто-
роны меньших значений до данного значения х\

Д.б=1/пЯ&61—среднее значение погрешности в точке х диапазона
измерения при медленном, многократном изменении параметра входно-
го сигнала измерительного устройства или выходного сигнала плавно
регулируемой меры со стороны больших значений до данного значе-
ния х;

п — число опытов при определении Д„ и Дб.

Если вариация отсутствует или не учитывается, то До определяют по
формуле

Дс = 1/п2Д<.

Оценка с. к. о. о (Д) случайной составляющей погрешности данно-
го экземпляра средства измерений определяется по формуле через
Йачения Дм и Дб:	____________________________

/S (Дмг-Дм)2+У (Д«-Дб)’

2=1-------------------------•	(8.7)

Наибольшее значение суммарной погрешности Д определяется как
Наибольшее по абсолютной величине из экспериментально полученных
значений погрешностей Дм£ и A6i.

Оценка вариации определяется как абсолютная величина раз-
ностей Дм и Дб (при п > 1) и Дм и Дб (при п = 1):

Ьх = |Ам — Аб|;

Ьх = I Дм — Дб |-

Если вариация отсутствует или не учитывается, то

1/ 2 (Д/-Дс)2

....•	(8-8>

Оценка погрешности Д у средств измерений с пониженным уровнем
случайной погрешности (ст (Д), у которых она не превышает q % от Да),
Определяется при п = 1 как наибольшее по абсолютной величине из
значений Дм и Дб, полученных экспериментально. Такие приборы более
удобны для разовых измерений. Если вариация отсутствует или не учи-
тывается, то оценка Д определяется в данной точке как единственное
значение погрешности.	, ।

У средств измерений, с. к. о. которых превышает q % от предела
допустимого значения погрешности Дд, оценка погрешности Д опре-
деляется как граница интервала, симметричного относительно нулево-
го значения, в который попадают р значений погрешности из общего
ifX числа п. Значения рпп указываются в нормативно-технической до-
кументации на данный прибор. Время снятия п отсчетов при определе-
нии оценок погрешности, систематической и случайной составляющих
погрешности не должно превышать 100 ty, где ty— время установления
показаний или выходного сигнала данного средства измерения.

 Оценки МО систематической составляющей погрешности средств
Намерений данного типа М (Дс) и погрешности Д средств измерений
данного типа М (Д) определяется по следующим формулам:

М (Дв) == Мт £ Дв<;

Г=1

т

М^)=Мт^^
z=i
где т — количество средств измерений данного типа, используемых
При данном эксперименте; Дс1 и Д — оценки соответственно система-
тической составляющей и погрешности i-ro экземпляра средства изме-
рений данного типа.

зг»
Оценки с. к. о. систематической составляющей: погрешности СИ
данного типа и погрешности СИ данного типа определяются по следую-
щим формулам:	________________

-/ 2 [Дс.-^(дс)]а

5(4)=^ OT_i----------------;	(8.9)

-|/ £ [Д,-М(А)1а

о(А)= У г=1 т_{------------,	(8.10)

Оценку нормализованной автокорреляционной функции рекомен-
дуется вычислять по точкам для дискретных значений аргумента т
по формуле

К(т)---------’------- У (Az —А)(А + т - А),

(п-т/Т0)О(Д)	®	1 + ~а

где TmaJ( — заданный верхний предел диапазона аргумента; То —
интервал времени между соседними отсчетами, который должен удов-
летворять неравенству

Типах/п^Т^т^,

tz — первое после нулевого значение аргумента т; Az — l-я реализация
(отсчет) погрешности, отсчеты производятся с временным интервалом
То при подходе к данной точке диапазона измерения с одной стороны
(со стороны больших или меньших значений х); А — среднее значение
отсчетов погрешности, определяется по формуле

А = 1/n S Az;

z=i

D (А) — оценка дисперсии отсчетов погрешности, определяется сле-
дующим образом:

Isxtl

6 (А) = -^2 (Az —Д)а.
п 1 z=i

Значения п и ттах устанавливаются в нормативно-технической до-
кументации на данное средство измерений.

8.4.	ИЗМЕНЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБОРА
В ДИАПАЗОНЕ ИЗМЕРЕНИЙ

Класс точности большинства показывающих приборов обозначается
одним числом — приведенной погрешностью, которая характеризует
точность измерения в нормальных условиях только вблизи конечного
Значений шкалы хк. Класс точности для большинства цифровых при-
боров автоматического и ручного уравновешивания указывается в виде
Двух чисел, цервое и$ них численно равно относительной погрешности
1йфи измерении х вблизи конечного значения шкалы. Однако пользуют-
Рис. 8.3. Абсолютная и относительная погрешности измерительных преобразователей:
а, г, ж — аддитивная; б, д, з — мультипликативная; в, е, и суммарная.

ся и показывающими, и цифровыми приборами не только при х = хк,
а во всем диапазоне измерения, т. е. от нижнего xmin до конечного хн
значения шкалы. Поэтому необходимо знать, каким образом изменяется
относительная погрешность этих приборов во всем диапазоне измерения.
<,, В приборах с преобладающей аддитивной погрешностью (рис. 8.3, а,
':г, ж) при уменьшении х в пределах рабочего диапазона от хЛдо xmin от-
носительная погрешность будет изменяться по гиперболическому закону
Дрис. 8.3, ж):

6ад = уахк/х	(8.11)

/и к началу диапазона возрастает в D = xK/xmin раз.

Относительная погрешность измерений 6, выполненных с помощью
Показывающих приборов, только в последней трети рабочего диапазона
близка по значению к классу точности, численно равному приведенной
погрешности. Поэтому оператору рекомендуется пользоваться прибо-
ром, главным образом, в пределах последней трети шкалы, т. е. в об-
ласти, близкой к хк.
Если в приборах преобладает мультипликативная составляющая
погрешности (рис. 8.3, б, д, з), то относительная погрешность измере-
ния б постоянна во всем диапазоне измерения.

В цифровых приборах Д^ и Дм при х = хк обычно соизмеримы
(рис. 8Д е)л

бсум = 6м + ТадХк/Х = С + d [Хк/Х — 1 ].	(8.12)

Цифровые приборы имеют обычно диапазон, равный D = 10. Мак-
симальное значение относительной погрешности в начале диапазона
измерения (рис. 8.3, и)

бсум max — бм Уад^к/Хт1п — С + d [Хк/X — 1 ].

(8.13)

Ввиду различных законов изменения б вдоль диапазона измерения
сравнивать различные СИ по максимальному значению относительной
погрешности нельзя. Сравнение можно производить по среднему
значению относительной погрешности вдоль шкалы. Для определения
бср в диапазоне измерения необходимо знать плотность вероятности рас-
пределения р (х). При относительно небольших диапазонах измерения
(от 2 до 10) обычно имеет место равномерное распределение плотности
вероятности р (х) вдоль шкалы прибора: р (х) = (хк — xmin)-1. Тогда
среднее значение относительной погрешности будет равно:

в случае преобладания мультипликативной погрешности бм = const

бСр = J 6p(x)dx = 6M;	(8.14)

*mln

в случае преобладания аддитивной погрешности бад = Дад7х
*к

бср = У ДадР (х)1х = уадХк In (XK/xmIn)/XK — Xmin, (8.15)
*min

при наличии обеих составляющих погрешности
хк

Sep = У боумр (х) dx = бм + ухк (Хк — Xmin)-1 In (хк/хт1п). (8.16)
*mln

Сравним по бср показывающий и цифровой приборы, примерно оди-
наковой точности, с одинаковым диапазоном измерения D = xK/xmin =
= 10, получим для показывающего однопредельного прибора класса
0,2

бср а* ТадХк (хк — Xmin)-1 In (xK/xmin) = ^'g10 s 0,5;

для цифрового прибора класса 0,2/0,1

бср — бм + In (XK/Xm|n) Тад-^к (Хк — Ят1п) = 0,1 -|-q g----= 0,3.

Следовательно, прй прочих равных условиях бср у цифрового при-
бора оказывается значительно меньше.
8.5.	АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

ИП являются наиболее распространенными звеньями измеритель-
ных устройств, рассмотрим статические погрешности однозвенных и
многозвенных, линейных и нелинейных ИП.

Основные виды характеристик измерительного преобразователя!
Различают следующие четыре вида характеристик ИП:

1)	теоретическая без учета погрешностей

Ут. = /ид (х, av а2...ап),	(8.17)

где at, а2, .... ап — внутренние параметры ИП;

2)	теоретическая с учетом основных и дополнительных системати-
ческих погрешностей

Ут2 = /рас (х; йх + До,; аа + Да2, .... ап).	(8.18)

Разность уравнений Дг/Г = ут. — утг является уравнением суммар-
ной систематической погрешности ИП;

3)	номинальная статическая, номинально приписанная преобразо-
вателю, нормируемая согласно ГОСТ 8.009—72, выражается графиком,
таблицей или формулой

У = /н (х)	(8.19)

для линейных ИП у = К.х\

4)	реальная с учетом основных и дополнительных систематических
и случайных погрешностей, определенная экспериментально с помо-
щью образцовых СИ в рабочих условиях,

Ужа = /эко (х).	(8.20)

Разность уравнений Д9 = ун — уэкс = /н (х) — /эка (х) при заданном
х является уравнением погрешности ИП по выходу в рабочих условиях.

К характеристикам ИП предъявляются следующие основные требо-
вания:

линейность;

минимальное число влияющих величин и нестабильных внутренних
параметров;

инвариантность информативного параметра выходного сигнала к
изменениям влияющих величин и других параметров (п. 8.8).

Анализ статических погрешностей однозвенных ИП

При анализе погрешностей измерительных устройств используем
основные соотношения теории чувствительности преобразователей и
систем, в которой аналитически исследованы изменения выходных
сигналов преобразователей и систем при отклонениях их параметров
и от влияния внешних и внутренних факторов.

Рассмотрим систематическую составляющую суммарной статической
погрешности ИП от изменения его параметров, предполагая у парамет-
ров а1г а2, .... ап наличие систематических отклонений ДЯ1, Да2, ...
..., Даа. Тогда абсолютное значение суммарной погрешности при
х = const будет равно полному приращению функции

^y = f[X, (fli + Aa,)...(an + ^an)] — f(X, ar.....an), (8.21)

а относительное ее значение

f (x, (aj + Д ), ... , (an + Да )] — f (x, ait ... , an)

8“------------------------------------------------• <8-22>

Эта формула является точной и пригодна для любых отклонений
параметров, однако, ввиду своей нелинейности часто является неудоб-
ной для расчетов.

В большинстве случаев параметры звеньев ИП достаточно стабиль-
ны во времени и мало подвержены влияющим величинам, поэтому от-
клонения параметров ИП относительно малы. Принимая это во внима-
ние, применяют упрощенную формулу для суммарной погрешности.
Для этого функцию преобразуют разложением в ряд Тейлора, в котором
пренебрегают членами второго и выше порядка малости. Тогда абсо-
лютное значение погрешности будет равно полному дифференциалу
функции при X = const

••• <8-23>

где ду/да^ определяется для фиксированных значений аргументов а(.

Таблица 15. Трансформация аддитивной погрешности Дад со входа
на выход в нелинейных, однозвеиных ИП (по приближенной формуле)

Уравнение ИП	Погрешность ИП в единицах выходной величины, Yt	Относительная погрешность, 6У
у = sin х	= ДадС08Х	Дадс‘бх
y=tg*	Ду *= Дад COS-2Х	Дап sin-*х cos-1 х ад
у = arcsin х		1_  Ду = ДадО — Хг) 2	Дад (arcsin)-1 X  _ 1  X (1 — х2) 2
0 = *"	Ду = ДадПх"-1	пДад/х = пбЛ
У = ех	Ду = Даде*	Дад
y = cf	Ду = Дада* 1п а	Дад I""
у = lg х = 1g e In x	ДУ = Дад'бе/*	Дад/х1пх=бх/1пх
y= Inx	Ду = бх = Дад/Х	Дад/*У
у = lg | sin x | = = Ige ln|sinx|	Ду = 1g е | ctg х | Дад	Дад ctg х/1п | sin х |
Но так как по условию х = const, то

п

д« = Да<+ * ’ * + "Йг Да« “ § “Й- Да<’ (8'24)
Относительное значение погрешности

бприбл = -Д + • • • +	~~ •	(8.25)

После умножения и деления каждого члена уравнения на аг полу-
чаем:

s _ ду Да, 01 ,	ду Ьап ап .

бприбл- dai • ai • у +	+ дап • ап	у ’

бприбл = Safil + ба,С2 + • • • + &апСп,	(8.26)

где Ct = dyldat (ajy) — коэффициент влияния относительной погреш-
ости на суммарную погрешность всего ИП.

Определение относительного значения полного дифференциала ря-
а функций можно упростить путем предварительного логарифмирова-
ния и последующего дифференцирования уравнения ИП. В результате
получают сразу относительное значение полного дифференциала, рав-
ное относительному значению суммарной погрешности. Например,
если у ~ а^а^азХ, то

1п у = In аг + In а2 + In а3 + 1п х;

(1п//г=^-=^ + 42-^

У “1 “я

da, , du

—— Ч-----.

а8	1	х

(8.27)

Таблица 16. Мультипликативные относительные погрешности
бх = Оу линейных однозвеииых ИП при изменении параметра
при х = const (по приближенным и точным формулам)

Уравнение ИП	Выражение для относительной погрешности	
	приближенное	точное
у = апх п = const; a = var	П&а	2 «  Z=1
у = bax  b - const; a = Var		ба
re /—  У V ax n = const; a = var	1 Л  П6»	(V ।+бо- 1)
у =*x Ina a « var	ба In а	-K-HI+ej
//=.№ b = const; a = var	а6а In b	ba6a — 1

•)	— число сочетаний из п по i.
[ ^ai [ d°S	(8.28)

У u ai «1 a8 *

Вычисление относительной суммарной погрешности от изменения
alt а2, а3 таким путем значительно упрощается. Однако при больших
отклонениях параметров, а также при значительной нелинейности за-
висимости между выходной величиной ИП и его параметрами необхо-
димо проверить допустимость линеаризации, которая имеет место при
пользовании приближенными формулами для определения погреш-
ностей. Такую проверку можно производить по относительному значе-
нию остаточного члена ряда Тейлора Кт (п. 9.3).

Погрешность обычно выражается в единицах или долях входной
величины х, как Д или 6Ж. Однако при расчете СИ погрешности часто
известны в единицах или долях выходной величины. Кроме того,
часто расчетным путем удобнее определять погрешность в долях вы-
ходной величины у, как 6„. Поэтому должна быть известна зависимость
между Д и Ду и между о* и 8и.

В общем случае зависимость у = f (х, аг, а2, аа, .... ат) нелинейна;
у' = dy/dx = var. Относительная погрешность в долях измеряемой
величины 8Х = dx/x, а в долях выходной 8и = dy/y, но

dy = y'dx и 8и = y'dxly,	(8.29)

откуда dx = 8иу1у , тогда

8Х = dx/x = 8уу!у'х.	(8.30)

Если у = Кх — линейная функция, то у' = ylx = К = const,
то Д = kylK n = 8у.

В табл. 15 приведены примеры преобразования аддитивной погреш-
ности Дад в функциональных измерительных преобразователях. В
табл. 16 приведены приближенные и точные значения мультиплика-
тивных относительных погрешностей линейных однозвенных ИП при
изменении одного из параметров (nJ при х = const.

Анализ статических погрешностей измерительных цепей
или многозвенных ИП

Статические инструментальные погрешности многозвенного изме-
рительного преобразователя определяются на основе его уравнения,
отражающего функциональную зависимость выходной величины у от
входной х и коэффициентов преобразования звеньев ИП,

y = f(x,Klt К2......Кп),	(8.31)

где /С2, .... Кп— коэффициенты преобразования звеньев ИП.

Рассмотрим ИП, состоящие из нескольких звеньев, и определим
погрешности 8Х, 8У отдельно при наличии мультипликативных и адди-
тивных погрешностей.

Для ИП с разомкнутой структурной схемой и линейными звеньями
(рис. 8.4, а) уравнение для выходной величины без учета погрешностей

m

у = хП Kt —

<-1
<1 т

Рнс. 8.4. Структуры измерительных преобразователей)

с — о разомкнутыми схемами и линейными звеньями; б >— нелиней-
ными: в «м е логометрической разомкнутой ехемой и ее вквнвалеитнаи
схема; г — по параллельной разомкнутой схеме.

линейно относительно х. Поэтому здесь 8Х = 8t. Частная производная
по коэффициенту передачи i-ro звена

т
ду!дК( = xUKp.

Подставляя dy!dki и у в (8.25), получаем

(8.32>

= S	(8.33)

где

8Ki = dK^lKt.

/ Предположим, что мультипликативные погрешности 8к{ являются
случайными и независимыми величинами с математическими ожида-
ниями М и дисперсиями D [6К ]. Тогда математическое ожидание
и дисперсия для погрешности 8У = 8Х

М [6,] « S М [6/с.]; D [б,] = S D [6К ].	(8.34)

Для ИП о разомкнутой структурой и тремя линейными звеньями
при наличии только аддитивных погрешностей, равных Д, Дл и Дй,
риведенньл ко влиду звеньев, auvw игн и г и uuipcmnuvir

в единицах выходной величины

= Д/С^/Са/С3 4- kyJ^Ks 4* ДЙК3.	(8.35’

Относительная аддитивная погрешность в долях выходной величины!
8У =	= №х + Др/А’гХ 4- kyJK^x).

Для ИП с разомкнутой структурой и тремя нелинейными звеньями
(рис. 8.4, б) с уравнениями уг = К^х^-, у2 = к^у** и уа — вы-
ходная величина

уа = K^'Ki'K^^.	(8.36)

Суммарная относительная погрешность при наличии мультиплика-
тивных погрешностей от изменения Ki, Кг и Кз в долях выходной ве- :
личины согласно (8.29) равна

+ пз$к, + ^Ks-

Для вычисления бх определим чувствительность ИП:

dy3/dx = уз = К?"’ •	(8.37)

Подставляя уа и у’з в (8.30), получаем

бх =	+ 6к/пхП2 + бк./п^зПз.	(8.38)

При наличии одного нелинейного звена с уравнением у = KiX\
8и — а бх = бд/пр Следовательно, погрешность в долях измеряе-
мой величины при наличии нелинейного звена изменяется в п раз (уве-
личивается при п < 1 и уменьшается при п > 1).

Например, в термоэлектрическом преобразователе Е = kP. При
k = const и I = const 8е = 8k = dk/k. Тогда бг = б£72 = 8k/2. Сле-
довательно, погрешность, возникающая из-за нестабильности коэффи-
циента k, уменьшается вдвое из-за квадратичной характеристики ИП.

На входе измерительного устройства иногда используют для не-
обходимого измерительного преобразования нелинейное звено с п > 1.
Тогда погрешность звена, расположенного за этим нелинейным звеном,
будет в меньшей степени влиять на погрешность всего СИ, уменьшаясь
как составляющая в п раз. Если у нелинейного звена п •< 1, то необ-
ходимо принимать во внимание значительное возрастание удельного
веса погрешностей звеньев, расположенных за нелинейным звеном.

Из выражения (8.38) следует, что для уменьшения суммарной по-
грешности 8Х нелинейные звенья с большими nt следует располагать
ближе ко входу ИП. При такой структурной схеме погрешность 8Х в
принципе может быть исключена при определенных соотношениях
между п( и 8К{. Если, например, т = 2, то

6* =

Приравнивая 8Х нулю, получаем

&к, = — bKJnv

При заданных бк, и бк, оптимальным будет пг = —бк/бк,. Предполо-
жив, что погрешности бдж — независимые случайные величины, найдем
338
вероятностные характеристики для у и б/

m	Г т	1mm

М[6У] = S Л4 бк, П Пр =2 П прЛ1[бк1;
т /=1	lP=i+i J z=ip=i+i	‘

т Г т "I т f т \2

D(8U) = S d ьК/ п пр = S п «р [б/<£];
т ,=1	‘ р=Ж J /=1 \р-=Н-1	/	*

m	i

М [бж] = £ М [бк 1/П Пу.

1=1	1 q=\

Если погрешности малы, то дисперсия отклонений

D(6J = £ D[6K.]/П nri.

<=i	* V=i /

Отсюда видно, что дисперсия D [бх1 также будет минимальная, если
звенья с большими nt расположены ближе ко входу преобразователя.

При наличии только аддитивных погрешностей Д, Др, и Др, в дан-
ной схеме ИП с тремя нелинейными звеньями т = 3 (рис. 8.4, б).

Относительная аддитивная суммарная погрешность в долях выход-
ной величины будет равна

бр, = (пгп2п3Мх + n^yJK^ + п3Ьуа1Кп11К2хп*п‘).

На основе выражений для у3 (8.36), уз (8.37) по (8.30) определяем
относительную аддитивную суммарную погрешность в долях входной
величины

бжсум = Д/х 4* Др,/=

= Д/х 4- ts.yjn^ + Др/п^г/г = бд + бр/rtj 4- бр/п^г,
где бд, бр, и бр, — относительные значения аддитивных погрешностей
на входах соответствующих звеньев (до суммирования).

Для ИП логометрического типа отношение двух величин (рис. 8.4, в)
равно

у = KjXj/KijXa.

Действительно, для такой схемы

у — П Кс1х = К^х.

i=i

Из выражений (8.29, 3.38) получаем
бр = бк, — бк,.

Таким образом, если коэффициенты преобразования обоих каналов
логометрического ИП Ki и К2 изменяются идентично, то систематиче-
ская погрешность при этом не возникает.

Математическое ожидание погрешности

M(6,) = M(6K1)-M(6k,).

Дисперсия погрешности бр при независимых и случайных бк, и 6Kt
D(8y) = D(6Ki) + D(6Kt).
Для ИП с параллельной разомкнутой схемой (рис. 8.4, г)

т	т

У=£ У(= 2 Ktx"i.
1=1

Определим погрешности 6Х и от нестабильности коэффициентов
звеньев Kt при двух звеньях т = 2:

у = (1 + бХ1) х"1 * + К, (1 + Ч) х"«.	(8.39)

Относительная погрешность будет равна

s«-4^-4i+^-)+4i+^k)-

Чувствительность ИП равна

у' = -£- =	1) + К2п2х(п‘ °.	(8.40]

После подстановки у' (8.40) и у (8.29) в (8.30) получаем

Г Ч . Ч
(Кшхл^ + Кл*"’) t	"Г t Kjx"»

При nt = n2 = n; б„ = 6ft7n, а при 6Х = 6К1 = и пх = п2 = п;
= §к1п.

Математическое ожидание погрешностей при различных Л и бк
и одинаковых пх = пг = п составит

Л4(6,) =

М(6К1)

1 + -^

Л1

лцбк,)
1+А
Ki

Если 6к4 и 6к, взаимонезависимые, случайные погрешности, то

При проектировании такого ИП коэффициенты преобразования от-
дельных звеньев можно подобрать таким образом, чтобы дисперсия по-
грешности бх была минимальной. В работе [8] для случая = 1 пока-
зано, что D [бх] имеет минимум при

S к(
гг	fc«l

К* —------т------

D(4’Sd(S^

P=J 4 Лр*

(8.41)

и равна

T^min (6Х) =

О(бК1) О(бк>)

+ D(6K )

I-J

1

1
Рис. 8.5. Структуры измерительных преобразователей:
а уравновешивании; б — о двуми последовательными звеньими в разомкнутой
части схемы; в — с двуми параллельными звеньими по разомкнутой схеме.

Если D = D (6к)> Т. е. при одинаковой дисперсии погрешностей
всех звеньев

Dmtn (6J = D (8к)/т,	(8.42)

следовательно, с. к. о. измерительного преобразователя уменьшается
в раз.

При наличии только аддитивной систематической погрешности на
входе ИП с двумя параллельными нелинейными звеньями относитель-
ная суммарная погрешность составит

б = д (^1п1хП' + KzV”1)

При пг = п2 = п; 8и = Дп/х = п8х.

Погрешности ИП уравновешивания (рис. 8.5, а) рассмотрим на при-
мере компенсационного преобразователя со статической характеристи-

кой, основное уравнение которого можно получить из (6.107)

у = Кх!(\ 4-КР).	(8.43)

Приближенную формулу для относительной погрешности от нестабиль-
ности Кир определяем путем логарифмирования:

1п у = 1пК — 1п(1 4- КР) 4- 1пх.	(8.44)

При х = const после дифференцирования по К получаем

(dy/y)K = 8К = dK/K — dKp/( 1 4- КР) = dK/K (1 4- Кр). (8.45)
При х = const после дифференцирования по Р получаем

бе = (dy/y)e = Kdp/( 1 4- КР).	(8.46)

Приближенная формула для суммарной относительной погреш-
ности

60 = 8К 4- бр = dK/K (1 4- Кр) — dpKp/p (1 4- Кр). (8.47)

Таким образом, если (1 4- КР) 1, то погрешность от нестабиль-
ности К уменьшается в (1 4- КР) раз. Погрешность dp/p при (1 4- КР)

1 почти полностью входит в суммарную погрешность прибора. Сле-
довательно, в прямой цепи можно использовать нестабильные активные
преобразователи, например усилители, но при этом при высоких требо-
ваниях к точности всего КП необходимо выполнение условия КР 1.
Кроме этого необходимо, чтобы коэффициент преобразования обратно-
го преобразователя Р имел высокую стабильность во времени и был ма-
ло подвержен внешним воздействиям.
следует отметить, что в случае использования замкнутой схемы воз-
можны весьма значительные изменения коэффициента преобразований
прямой цепи К, например в результате изменения напряжения источ-i
ника питания. Поэтому в ответственных случаях следует определить
относительную погрешность также и по точной формуле (8.54).

Математическое ожидание погрешности бх = 8У = б

М (б) = М [бк]/(1 + к₽) - КРЛ4 [б₽]/(1 + Кр),

а дисперсия в случае взаимной независимости 8К и бр

D [б] = D [бк]7( 1 + да + D [б3] №рв/( 1 + да.

Если коэффициенты Кир выбрать таким образом, чтобы Кр =
= D [6*1/2? [бр], то при заданных D [бк1 и D [бр] дисперсия погреш-
ности всего измерительного прибора была бы минимальна [81:

L’mlnlO]- р(бк]+О(б₽] '

Рассмотрим погрешность компенсационного преобразователя от на-
личия аддитивной погрешности ДР1 на входе второго звена прямой цепи
(рис. 8.5, б). В этом случае при разомкнутой цепи абсолютное значение
погрешности на выходе

А»3рав =

Тогда

®»3р«з = ^Юраз^3Ра8 =	= &у'1К.]Х.

При замкнутой обратной цепи вследствие действия обратной связи

А</Ззам = ^2^3	^10Арззаи)>

откуда

A

“Юзам 1	’

Тогда относительная погрешность в замкнутом состоянии

б = Д /о, -	WW)_______________ДУ1

°Юзам аЮзам/£/Ззам - (1 +	КгХ ‘	(8,48>

Следовательно, относительная погрешность, обусловленная дейст-
вием аддитивной погрешности в прямой цепи, от наличия обратной
связи не изменяется.

При наличии аддитивной погрешности на входе обратного преобра-
зователя р относительная погрешность в замкнутом состоянии

б = Др • р/х.

Следовательно, влияние аддитивной погрешности обратной цепи
зависит от величины р. При наличии усилительных звеньев в цепи об-
ратного преобразователя, когда р >• 1, влияние Др на общую погреш-
ность может быть значительным.

При больших отклонениях параметров Дд*. а также при значитель-
ной нелинейности зависимости между выходной величиной ИП и его
параметрами вычисление суммарной погрешности следует производить
не по приближенной, а по точной формуле нахождением полного
приращения функции у = f (xvKi, ..., Кп):

Д, = f Ixj (Ki + Дк.), (К2 + Дк<)...(К„ Ч- Дк„)1 -

К2.......К„). '

Тогда

6Й = ДЙ/У = ДЛ(^1. К2...........К„).

Для ИП, выполненого по последовательной структурной схеме
(рис. 8.4, а), при т = 2

у = k^x.

Относительная погрешность по точной формуле

бто™ = Цу = ККХ + Дк,) (К2 + Дк,) х -

После несложных преобразований получаем

бточн = (1 Ч-------------= Ч" Ч-	(8.49)

\ Ла '	Лг

По приближенной формуле при т = 2

бприбл = 6ft, Ч" б*,.	(8.50)

Если, например, бк, = —бк, = 0,1, то

бприбл == бк, + бк, =0,
т. е. погрешность вовсе отсутствует, а

бточн = бк, Ч" бк, Ч- бк,бк, = —0,01.

При бк, = —бк, = 0,3 бприбл и бточн соответственно равны 0,00 и 0,09.

Приближенная формула дает значения суммарной погрешности без
учета членов второго порядка малости. Если не принимать это во внима-
ние, то можно сделать вывод о том, что в вышерассмотренном случае
при бк, = —бк погрешность отсутствует вовсе. С другой стороны,
значительная разница между погрешностями по точной и приближен-
ной формулам получается только при больших и особенно при неоди-
наковых по знаку относительных приращениях Ki и К2- Такие прира-
щения в измерительных преобразователях с разомкнутой структурной
схемой маловероятны.

Для структурной схемы с параллельным соединением звеньев
(рис. 8.5, в) при т = 2 и пх — п2 = 1

z/ = (Ki4-K2)x;

Д(, ==(Ki Ч- Дк, Ч- К2 Ч- Дк,) х — (Ki Ч- Ка) х.

Выражения для относительной погрешности по точной и приближенной
формуле совпадают;

б™ = д/у =	;	<8-51>

бприбл = dy!y =	- •	(8.52)
бточн “	— bt]x —	%------------J

~к^х

x - AKi/Ki	AKg/Ki я /t t x \—i

бточн - Т+Д^------------г+дК1/к, -4(1 + 4) -

— 4 (1 + 4)~’>	(8.53)

Таким образом, при равенстве бК1 и бл, погрешность не возникаем
и при больших приращениях.

Приближенная формула для логометрического ИП

бприбл = б^, — б/<4.

В случае использования замкнутой схемы (рис. 8.5, а) возможны
весьма значительные изменения коэффициента преобразования прямой
цепи К, например в результате изменения напряжения источника пи-
тания. Поэтому следует определить относительную погрешность также
и по точной формуле.

Таблица 17. Суммарные мультипликативные погрешности многозвенных
ИП при х = const по приближенным и точным формулам

Уравнение ИП	Выражение для относительной погрешности	
	приближенное	точное
У = П Ki»  1=1	— S 4 г=1	= Д с‘‘х  X (бК1, бК1	6Кп)
у = KiK^x	=4+	= 4 + в к, + 6К^К,
у = -^-х  У Кг	= 6 к, — 4	g 4~4 1+4
KtK i=l	А-£«<4 г“1	«о «О
У = (Ki + Кз) х	х *14+*?4  в"“ ~К1 + Кз '	g	+ KffiKt  B=S Ki + Кг

*) Сг (6^, 6^,..., 6^п) —сумма сочетаний погрешностей 6^ по (, например,
(4' 4' — ’ 4> = 44 + 44’ +• + 4-14’
лучаем из

Дк/К	Дк (1 + кр)/(1 + КР)

й™в ДЛ(1+КР)	ДЛ(1+КР) *	’

+ 1 + КР + 1+ZP

Определим погрешность бк по приближенной и точной формулам
для следующего случая: К = 10; Р = 0,05; Дд/К = —0,5. По при-
ближенной формуле бдпривл = 0,001; по точной формуле бкточн =
= —0,002.

В табл. 17 для некоторых многозвенных ИП приведены выражения
для вычисления суммарных погрешностей по точной и приближенной
формулам, т. е. соответственно при больших и малых приращениях
параметров [621.

8.6. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ СУММИРОВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Задача суммирования погрешностей в настоящее время весьма ак-
туальна ввиду резкого усложнения СИ, увеличения числа их звеньев,
а также повышенных требований к их точности.

До недавнего времени иногда результирующую погрешность и при
наличии случайных составляющих определяли арифметическим сумми-
рованием, т. е. находили максимально возможное значение результи-
рующей погрешности «с запасом точности». При небольшом числе сла-
гаемых случайных погрешностей, например двух 6t и б2, распределен-
ных по дискретному двухзначному закону (рис. 8.6, а, б), если 6, =
= ±1 % и б2 = ±1 %, максимальная суммарная погрешность б0 бу-
дет равна ± 2 %, причем суммарная вероятность этих двух значений б0
будет равна 0,5 (рис. 8.6, в). Поэтому при двух слагаемых и
дискретном двухзначном распределении можно применять с учетом вы-
шесказанного и арифметическое суммирование погрешностей. При
большом числе слагаемых, например 10, и дискретном двухзначном их
распределении максимальная суммарная погрешность, определенная
путем арифметического суммирования, равна

ю
- бв = £|бг|.
/=1

Вероятность того, что суммарная погрешность равна ±106, будет
в данном примере очень малой: 0,002. Следовательно, при большом чис-
ле составляющих погрешности этот подход неприемлем, однако им все

Рис. 8.6. Дискретные двухмодальные распределения погрешностей (а, б) и их
свертка (в).
же иногда пользуются и в результате предъявляют неоправданно завы-
шенные требования к СИ.

Более адекватным природе погрешностей является вероятностный
подход, который применяется в том случае, если все погрешности
являются случайными и независимыми величинами. Однако среди них
могут быть и случайные зависимые, т. е. коррелированные и системати-
ческие, это необходимо принимать во внимание при суммировании.

Основной задачей Государственной системы обеспечения единства
измерений в стране является обеспечение такого уровня измерений,
при котором погрешности измерений будут известны с заданной вероят-
ностью. Для этого должны быть известны прежде всего вероятностные
метрологические характеристики СИ, в частности систематическая со-
ставляющая погрешности и с. к. о. случайной.

В суммировании погрешностей за основу принят вероятностный под-
ход, обеспечивающий определение интервалов, внутри которых с за-
данной вероятностью находится истинное значение измеряемой вели-
чины. Для более корректного определения суммарной погрешности со-
ставляющие погрешности подразделяют на:

систематические и случайные и суммируют их раздельно (согласно
ГОСТ 8.009—72);

аддитивные и мультипликативные, суммируют их также раздельно;
основные и дополнительные.

Составляющие погрешности суммируют по всему измерительному
устройству, а не по отдельным звеньям. При этом необходимо использо-
вать данные о степени корреляционной связи между составляющими
погрешностей различных звеньев. Тесно коррелированные между собой
случайные погрешности с коэффициентами корреляции 0,7 и выше
суммируют алгебраически, а слабо коррелированные с коэффициента-
ми корреляции ниже 0,7 и независимые случайные погрешности — гео-
метрически. Полученные таким путем составляющие суммарной случай-
ной погрешности суммируют геометрически, предполагая их независи-
мыми друг от друга.

Погрешности суммируют главным образом в следующих случаях:
оценивая результат косвенных, совокупных и совместных измерений;
для оценки суммарной погрешности СИ по погрешностям их
звеньев.

Суммированию погрешностей при косвенных и совместных измере-
ниях характерны их малые значения, которые можно обычно рассмат-
ривать как случайные, независимые и распределенные по нормальному
закону (п.9.3).

При оценивании суммарной погрешности СИ по погрешностям их
звеньев приходится иметь дело с погрешностями, разными по значе-
нию, с аддитивными и мультипликативными, основными и дополни-
тельными, систематическими и случайными с различными распределе-
ниями. При суммировании погрешностей звеньев СИ известны внешние
условия, в которых они будут работать. Поэтому можно учесть степень
корреляции между отдельными составляющими погрешностей звеньев.

Рассмотрим основные особенности суммарной погрешности ИП.
Для корректного решения этой задачи должны быть известны:
меряемом л

y = f(x, К1, Кг....Кп),

гдеКх, Ла, .... Кп— коэффициенты преобразования отдельных звеньев;

характер погрешностей (систематические или случайные, аддитив-
ные или мультипликативные);

границы неисключенных систематических погрешностей каждого
звена;

распределение или математическое ожидание и с. к. о. случайной
погрешности каждого звена;

сведения о корреляционной связи между случайными составляющи-
ми погрешностей различных звеньев.

Этапы суммирования погрешностей следующие:

1)	подготовка к суммированию, при котором:

а)	погрешности СИ делят на систематические и случайные, адди-
тивные и мультипликативные; основные и дополнительные;

б)	для случайных погрешностей находят математическое ожида-
ние, с. к. о. и закон распределения;

в)	определяют корреляционные связи между погрешностями;

2)	суммирование систематических погрешностей;

3)	суммирование случайных погрешностей, которое выполняют в
следующем порядке:

а)	математическое ожидание случайных погрешностей суммируют
отдельно, затем сумма математических ожиданий складывается с систе-
матическими погрешностями. В результате получают систематическую
составляющую погрешности СИ;

б)	находят с. к. о. о (Д) случайной составляющей погрешности и
распределение суммарной случайной погрешности.

4) определение доверительных интервалов суммарной погрешности.

Суммирование систематических погрешностей- Если в отдельных
звеньях измерительного устройства имеются систематические погреш-
ности, то они суммируются алгебраически с коэффициентами влияния,
которые находят из уравнения преобразования. Так, для суммирова-
ния систематических мультипликативных погрешностей многозвенного
ИП используют следующее выражение:

Дсум = S ~дК7

<=i

Если систематические погрешности отдельных звеньев устраняют-
ся, то суммируют неисключенные остатки систематических погрешно-
стей, которые относят к случайным, распределенным равномерно.

Суммирование случайных составляющих погрешностей. Для таких
погрешностей, распределенных по различным законам, необходимо оп-
ределение их композиций. Однако при числе составляющих уже больше
3—4 эта задача становится весьма трудоемкой. Поэтому стремятся
оценить суммарную случайную погрешность более простыми путями,
принимая во внимание основные особенности суммируемых случайных
составляющих, а именно: их подразделение на аддитивные и мульти-
пликативные, а также сведения о степени их коррелированное™ между
собой.

Аддитивные и мультипликативные составляющие случайной пог-
решности суммируются отдельно, при этом суммирование проводится
по всему измерительному устройству и учитываются сведения о степени
их коррелированности между собой.

При суммировании случайных коррелированных погрешностей на-
ходят с. к. о. суммарной случайной погрешности. Например, при
суммировании случайных мультипликативных погрешностей много-
звенного ИП с. к. о. суммарной погрешности определяется следующим
образом:

а (в«.) - ]/ S [-Д-«(S«,)T+S S -ЖГ а (Ч) ’ <Ч) ч-

£ = t L	J	l = t	'

Если погрешности независимы, Ra = 0, то выражение для о (бсум)

принимает вид

О (бсум)-]/" 2
i=l

о (бкг)

(8.55)

Если погрешности тесно связаны (Rq = 1), то выражение для о (беум)
принимает вид

О (бсум) = 2 О (8К().	(8.56)

i=l

Коррелированные погрешности суммируются по группам с помощью
(8.56), а затем суммарные погрешности отдельных групп и оставшиеся
независимые погрешности объединяются по (8.55).

При наличии сведений о числовых значениях коэффициента корре-
ляции случайная составляющая суммарной погрешности определяется
по следующей формуле:

п

Ё + Ё <WiRit,

i=l Ki

где i j обозначает, что суммируются все возможные попарные соче-
тания с. к. о. коррелированных погрешностей.

Коэффициент взаимной корреляции R может принимать значения
от —1 до 4-1. Крайние случаи (R = 4-1 или R = —1) наблюдаются
тогда, когда данные составляющие случайной погрешности вызваны
одной причиной, например изменением питающего напряжения или
температуры при нахождении звеньев в одинаковых температурных ус-
ловиях. В этих случаях погрешность о0ум будет равна алгебраической
сумме составляющих

при и — 2, R =4-1, а0Ум = о14-о2;

При И = 2, Я = — 1, Осум = | Oj — о21.

Если принять, что R = 0, то

Осум = Р” Oj 4'"о2 ’
введения о степени корреляции между составляющими случайной по-
грешности полностью отсутствуют, но все же принимают, что R = ±1
ли R = 0.

Так как в действительности коэффициенты корреляции могут при-
имать промежуточные значения от 0 до +1 или от —1 до 0, а в расчете
используются только значения 0 или ±1, то возможно возникновение
значительной ошибки в определении результирующей погрешности
[611- Например, для случая двух составляющих абсолютные ошибки Да
и Д, при алгебраическом и геометрическом суммировании при значе-
ниях коэффициента корреляции R от 0 до +1 будут в следующих
пределах:

(О1 + о2) — У Щ > Да > °;

О < Др < Koi + 02 — (°1 + °2)-

ели значение коэффициента корреляции R изменяется от—1 до 0, то
°<да<1а1—аг| —"Koi

V Oi + о| — |oi — о21 > Др > 0.

Максимальные возможные абсолютные ошибки в определении ре-
ультирующей погрешности в диапазонах изменения коэффициента
корреляции от 0 до +1 и от —1 до 0 имеют равные значения, но проти-
воположны по знаку.

Для уменьшения возникающей ошибки вдвое можно использовать
ля определения суммарной погрешности при двух составляющих сле-
ующие выражения:

Осум = Ча {(oj + о2) + Уа^ + а^} при 0 < R < 1;	(8-57)

Осум = х/2 {| Qi —о21 +	+ при — 1 R < 0.

Для более корректного суммирования случайных погрешностей не-
обходимо с учетом распределения каждой составляющей погрешности
определять распределение суммарной погрешности.

Если число составляющих погрешности равно или больше пяти и
нет доминирующих погрешностей, то независимо от распределения от-
дельных погрешностей закон распределения суммарной погрешности
будет близок к нормальному. Из теории вероятностей известно, что
плотность распределения суммы двух случайных величин выражается
любой из двух формул:

-f-OO	00

p(z)= j р(х, Z — x)dx-, p(z)= j p(y, Z — y)dy, (8.58)

-—<30	— 00

где p (x, y) — совместная плотность распределения x, у.

Если случайные величины независимы, то

р(х, у) = р(х)р(у).
Рис- 8-7.| Соотношение равномерного я
нормального распределений» при кото-
ром действительна формула а (X) Qt

Ьи,-

кон распределения суммы р (z)

мут вид:
оо
?(*) = j p(x)p(z — x)dx =
—ОО

= р(х)*р(у);	(8.59)

00

Р(г)= $ p(y)p(z — y)dy =
—00

= р(х)*р(у).	(8.60)

Из выражений (8.59) и (8.60) следу-
ет, что задача получения суммарной
плотности решается с помощью опе-
рации, называемой сверткой и обозна-
чаемой символом *. В этом случае за-
казывается композицией законов рас-

пределения слагаемых р (х), р (у).

Композиция законов распределения нескольких случайных величин
определяется путем повторного применения операции свертки.

Распределения, композиции которых являются распределением то-
го же типа, называются устойчивыми. К ним, в частности, относятся:
биноминальное; Паскаля; Пуассона; нормальное; Коши.

Рассмотрим пример нахождения композиции двух случайных ве-
личин при помощи свертки. Пусть величина X подчиняется нормально-
му центрированному закону со с. к. о. о (X), а величина у равномерно
распределена в интервале от —у? до +уг (рис. 8.7). В этом случае плот-

ности вероятности

р (х) в ’— е"т(4о)2 (_	.

’	/2яа(Х)	v

[О при у<—уг-,
Р(У)= 1!ъу1 при —уг^у
О при у>ут.

(8.61)

(8.62)



Подставив выражения (8.61) и (8.62) в (8.60), получим

+?г	Р-8/)8

p(2) = _J_ f —J-------------е 2<J2(X> dy.

' 2ft J /2яо(Х)	у

-Уг

Если сделать замену переменной z — у = to (X), то
«r-г
о(Х) /г
р(г) -----------------------( е” dt =

а(Х)

= !_ Гф /_1_ ф (__________________£г.~г-У|	(8.63)

2г/г [ ' ( о (X) У	о (X) JJ '
р = (I z IС Д2) = У p (z) dz.	(8.64)

_дг

Подставив (8.63) в (8.64), получим	*

о = (I z IX Д = (4- 1 'i Ф(4-/1______________—ФI-Аг~Уг "1 —

Р	{уг	о(Х)	Уг ) \ «Л*) ]

1 а1Х. Г	‘	‘ ( Аг+М2]

— 1 + -tL- -°4- е 2 V а(Х) I —е 2 V °(Л) Л .	(8.65)

/2л	У г	J

Точная формула (8.65), определяющая вероятность того, что сум-
марная погрешность не выйдет за пределы допустимого интервала,
мало удобна для использования. Однако в тех случаях, когда отноше-
ние о (X)/2z/p превышает 0,3, т. е. если суммарный закон близок к
нормальному, то (8.65) может быть с высокой точностью аппроксимиро-
вано следующим выражением:

где

„2

а2(Х) = 4--|-а2(Х).	(8.66)

О

При 0,2 < о (X)/2z/p < 0,3 (8.66) дает хорошее совпадение для вероят-
ностей, превышающих 0,85. Для о (X)/2z/p < 0,2 не удается подобрать
хорошую аппроксимацию и приходится пользоваться точным выраже-
нием (8.65).

Кроме этого, суммирование погрешностей можно проводить по ме-
тоду Монте-Карло с использованием ЭВМ. Уравнение у = f (Хп Х2 ...
..., Хп) многократно (100...10 000 раз) разрешается на ЭВМ, при этом
в каждом из решений случайные величины, входящие в уравнение, при-
нимают конкретные значения в соответствии с их законами распреде-
ления, для чего в программе работы ЭВМ предусматривается генери-
рование случайных чисел по заданным законам распределения или
близким к ним. В результате получают математическое ожидание и
с. к. о., а также гистограмму распределения оцениваемой погрешности.

В табл. 18 приведены простейшие случаи композиций двух случай-
ных величин с равномерными распределениями.

Предложена новая методика суммирования случайных погрешно-
стей на основе единой формы представления функции распределения
погрешностей измерения [30]. С помощью этой формы получены удоб-
ные для вычисления на ЭВМ выражения для суммирования погреш-
ностей и для определения совместных распределений измеряемой вели-
чины и результата измерения.

Доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью
Р (— Дг < Д < Дг) находится погрешность Д конкретного экземпля-
ра СИ при известных М (Д); о (Д), может приближенно определяться
нер авенством

Л4 (Д) — Ка(Д)<Д<Л4(Д) + Ко(Д),	(8.67)
Таблица 18. Примеры композиций различных законов распределения
(примеры операций свертки)

О при X < — Л;

1/2Л при — Л X < Л;
О при X > ft

-а О ta X

О при X < — а;
1/2а при — а <

< X <а;

О при X > а

О при У < — Ь
l/2h при — Ь У Ь;

О при У > О

•2Ь О <2h z

Z + '2h!4№ при — 2Л Z 0J
2ft — Z

—^5—при 0 < Z < 2ft

О, при других Z

’:а-б) а-ь '0 Ь-а. а/Ь z

4аЬ

z а — Ь;

4J> при a — bi^Z<b~ aj
a + b — Z

--при 6-a<

C-Z<a + 6;

О при других z

P(f)
i '
h,

_ i ._>

-A 0	*

О при X < — Л
1/Л при — ft X <
<0;

О при X > О

-Л 0 ц

О при У < — Л;

1/Л при —Л^У^О;

О при У > О

Z + 2Л/Л» при — 2ft Z <
< —Л;

— Z/ft3 при — Л Z < 0;

О при других Z > 0; Z <

<—2Л
ирииилмкпик таил, iv

/0-а 0 Хд Jtgta jt

О при X < Хо — а;

1/2а при Хо — а <

X Хп ~Ь о»

О при X > Хо + а

Ih-b О Уд yjtby

О при Y < Уо — У;

1/24> при Уо — Ь У <
^Уо + Ы

О при У > Уо + Ь

гг^Х0+У0 + а + &;

{Z > Хо + Уо + а — Ь;

1
2? ПРИ

|Z<X0+y0+6-ai
и>Х0+У0 + а-6;

a + b-X0-Y0 + Z
4ab

(Z Хд 4* Уо + а — Ь}
”Цг>х0 + У0-а-б;

О при других Z

где К — коэффициент, который выбирается в зависимости от вероятно-
сти Р (—Дг < Д < Дг), исходя из суммарного распределения случайной
погрешности.

Так, если закон нормальный, а Р (—Дг < Д < ДР) = 95 %, то
К = 2. Для законов, близких к нормальному усеченному трапеце-
идальному и треугольному, график зависимости К = f[P (—Д₽ < Д <
< Дг)1 приведен на рис. 8.8.

Распределения для различных погрешностей приведены в п. 4.1.

Особенности суммарных погрешностей СИ. По характерным особен-
ностям суммарных погрешностей СИ можно сделать заключения о точ-

ности, сходимости и правильности из-
мерений, выполняемых с помощью
данного СИ. Рассмотрим четыре ха-
рактерных одномодальных закона рас-
пределения суммарной погрешности
СИ в реализации за относительно ко-
роткий интервал времени при неизмен-
ных влияющих величинах, т. е. при
постоянстве систематической состав-
ляющей погрешности.

В первом случае (рис. 8.9, а) пре-
обладает систематическая составляю-
щая погрешности. Узость распределе-

12 818

1,00 7	0,8	03	0,89

Р($

Рис. 8.8. Зависимость К “= f IP (—Дг <
< Д < Дг>] для нормального н некото-
рых усеченных распределений.

353
a — узкодиапазонное несимметричное; б — широкодиапазонное симметричное: в —
шнрокодиапазоиное несимметричное; е — узкоднапазонное симметричное.

ния указывает на малое значение случайной составляющей, правиль-
ность измерений будет низкая, а их сходимость — высокая, СИ нуж-
но переградуировать и использовать в условиях, близких к условиям
градуировки, при постоянстве влияющих величин, либо вносить по-
правки в результат измерения.

Во втором случае (рис. 8.9, 6} преобладает случайная погрешность.
При этом правильность измерений будет высокая, а сходимость — низ-
кая, СИ для разовых измерений непригодно. Пользоваться им можно
только для многократных наблюдений при последующем усреднении
(п. 9.2).

В третьем случае (рис. 8.9, в) систематическая и случайная состав-
ляющая погрешности значительны, правильность, точность и сходи-
мость низкие, СИ следует отремонтировать, отградуировать и повторно
произвести поверку.

В четвертом случае (рис. 8.9, е) систематическая и случайная состав-
ляющая погрешности малы, правильность, точность и сходимость вы-
соки, СИ можно использовать и в ответственных экспериментах.

8.7. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Анализ динамических погрешностей ИП является одним из наиболее
сложных разделов теории измерения, который в настоящее время ин-
тенсивно развивается. Динамическая погрешность является функцией
времени и зависит также от характера изменения, от степени и харак-
тера инерционности, от характера основного уравнения ИП (линейного
или нелинейного). Особенно сложным является анализ динамических
погрешностей нелинейных инерционных ИП.
динамические характеристики аналоговых и линейных ИП регла-
ментированы ГОСТ 8.256—77 (п. 5.2). Рассмотрим основы анализа ди-
намических погрешностей аналоговых линейных инерционных ИП.
В качестве полной динамической характеристику ИП воспользуемся
передаточной функцией ИП К (р). В этом случае динамическая погреш-
ность ИП определяется по формуле

Дд (0 = FT* {L-1 [К (р) Х(р) + К (р) До (р)]} - X (/),
где F71 — символ функции, обратной номинальной статической ха-
рактеристике СИ (для линейных ИП F71 = L~l — символ об-
ратного преобразования изображения сигнала в оригинал; Да (р) —
изображение аддитивной статической погрешности, приведенной ко
входу звена.

Пренебрегая в первом приближении статической погрешностью по
сравнению с динамической, получаем

^(t) = K~l{L[K(p)X(p)]}-X(t).	(8.68)

Найдем изображение динамической погрешности в единицах выход-
ной величины Y и относительной динамической погрешности звена в
долях выходной величины по отношению к идеальному звену

ДУ(р) = У(р)-Унд(р);

ДУ(р) = К(р)Х(р)-Кнд(р)Х(р).

При относительно малой инерционности ИП Лид (р) принимают
равным К (0). Тогда

АГ (Р)	_ Х(р) _ 1

К(О)Х(Р) Х(0)

Изображение относительной динамической погрешности

= <8-69>

Изображение абсолютной динамической погрешности

Д (р) = бд (р) X (р) =	- X (РУ,

Дд(/) = £-1[6д(р)Х(р)].	(8.70)

Если известно 6Д (р), то зная X (р), можно определить мгновенное
значение абсолютной динамической погрешности как функцию времени.

В табл. 19 для апериодического звена первого порядка приведены
выражения динамических погрешностей в функции времени при подаче
на вход типовых входных сигналов. Приведенные выражения позво-
ляют определить не только характер динамической погрешности (по-
стоянный, затухающий, прогрессивно-возрастающий или колебатель-
ный), но и определить значение Дд (t) в любой момент времени как в пе-
реходном, так и в установившемся режиме.

По уравнению динамической погрешности ИП и по заданному зна-
чению динамической погрешности можно определить предельные
порядка при различных входных сигналах
	Сигналы		Динамические погрешности Дд (Р) = бд (р) х (р)	
	х(/) прн />0	X (Р)		
X		х (пХ =	д . 		Лет	  д Р	(1 + рт)(р + с)  Лет	——	

Л , ч	Л(ОТр

Д^“	^+(02)(1 + pt)

параметры измеряемого сигнала данной формы или произвести выбор
ИП путем определения предельных параметров СИ при заданном законе
изменения входного сигнала. Например, при линейно-возрастающем
входном сигнале х (0 — Uxt, при описании ИП в динамике уравнени-
ем апериодического звена первого порядка К (р) — , можно
определить при заданном допустимом значении Ддд (0 и заданном вре-
мени t необходимое значение постоянной времени т, характеризующей
динамику данного ИП, и т. д.

Динамические погрешности измерительных преобразователей
при монотонно изменяющемся входном сигнале

Определение Дд (t) путем обратного преобразования сложных изоб-
ражений Дд (р) в оригинал затруднено. В этих случаях, принимая
во внимание, что многие инерционные измерительные преобразовате-
ли используются в регистрирующих приборах при монотонно
изменяющихся входных сигналах, функцию Дд (О определяют методом
Кинга [17] в виде суммы составляющих, пропорциональных X (Л,
X' (0 и X" (/).

Ранее было показано, что изображение динамической погрешности
измерительного преобразователя равно

АдИ = [^^----------1]%(р) = бд(р)Х(р).	(8.71)

После простых преобразований получаем

Ад (р) — [бд0 + бД1р 4- бЙ2р2 4* ... 4* бдпрп] X (р),	(8.72)

представляющее собой разложение (8.71) в степенной ряд.

Временная зависимость Ддин (0 с помощью обратного преобразова-
ния может быть представлена в виде ряда (8.73), если для данной
X (0 этот ряд сходится:

Дд (0 = бДоХ (0 4- бд,Х? (0 4- бд,Х" (/) 4-. • •,	(8-73)

где бДо — коэффициент динамической погрешности по X (/); бД] —
коэффициент динамической погрешности по скорости X' (t); бЙ2 — коэф-
фициент динамической погрешности по ускорению X" (/).

Коэффициенты составляющих динамической погрешности опреде-
ляют по следующим выражениям:

бДо= lim [6д(р)].

при р-+0

Затем определяется бД1:

бД1= lim 1/р[бд(р)-бДо].	(8.74)

при р-+0

Аналогично находится бЙ2, бДз и т. д.:

бд, = п Hm^i/p2 [бд (р) — 6До — бд,р];

бда = lim l/ps [бд (р) — бДо — бД1р —бД2р2].
при Р—0

Затем, разложив полиномы числителя и знаменателя динамической
погрешности измерительного преобразователя в ряд в порядке воз-
растания степеней р,

6 ( п) =	+ rf2p2 + •  • dmPm

й	Co 4- CjP 4- c2p2 4- • •  c„pn

и, применив выражения для бДо, бД1, ..., бДп через бд (р), окончательно
получим.

бд. = i/codo;	<6 * 8-75>

бД1= l/cJdl-бдА];	(8-78)

бд, = 1/с0 [d2 бДоС2 бд^].	(8.77)

Таким образом, коэффициенты бДо, бД1, бДа, .... бДге определяются
последовательно, один за другим.
Для анализа динамических погрешностей звеньев при сигналах
прямоугольной, линейной и экспоненциальной форм применяют опе-
раторный метод и представляют характеристики, звеньев в виде пере-
даточных функций по Лапласу, а для сигналов, описываемых синусои-
дальными, гармоническими функциями, применяют частотный метод
и представляют характеристики звеньев в форме комплексной частот-
ной характеристики. При синусоидальном входном сигнале заменой
р -> ja в выражении бд (р) можно получить относительную частотную
комплексную погрешность, отражающую изменение модуля и фазы
частотной погрешности звена при изменении частоты входного сигна-
ла от 0 до со,

8'°“)=t&w-1=4^—'	<8-78>

По значениям этой погрешности при единичном синусоидальном
входном сигнале можно определить модуль сигнала частотной погреш-
ности А& (®) и аргумент сигнала частотной погрешности ф<з (со)
(рис. 8.10):

бч(/®) = Лйч(®)е^бч(М),	.	(8.79)

6Ч (/©) можно представить состоящей из действительной и мнимой со-
ставляющих, тогда

6, (/©) = Ре, (®) + /Qeq (®);

Ле, (®) = ]/"Ре, (®) + Qe4 (®);

<?« («)

<pe, (®) = arctg (ю) ;	(8.80)

6,(/) = 1/2л J Леч(/®)е Л<й<+Фвч,й%.	(8.81)

В большинстве случаев при синусоидальном входном сигнале с
изменяющейся частотой определяют относительное изменение ампли-
туды и фазы входного сигнала, которые называют амплитудно-частот-
ной бач (®) и фазо-частотной ДФч (®) погрешностями звена бач (®) и
Дфч (®), представляют соответственно относительные изменения модуля

и аргумента комплексной частотной
изменении частоты, их определяют

К (/©) = Р (®) + IQ (®);

Ак (®) = V Рк (®) + Qk (®);

/	А (Ю)

Фк(®) = arctg

характеристики звена /С (J®) при
по модулю и аргументу К (ja).

Рнс. 8.10. Относительная частотная
комплексная погрешность ИП.
Звено		к.		каш	А (Ф)	
	||W  1 гл71		я,	(С' + С’> Rt+R,	кпх  1 +  1 + /шт	К0Х	
					х П + (соС,/?!)2	
й	ъ	R1 +				
					/1 + (сот)2	
4__>  R1		Ri	CRt	Кб	Ко	
				1 + /сот	V1 + (сот)2	

К(]а) = Ак(а)^к{а>\	(8.82)

ДФч(<о) = Фк (<o) — Фк(О).

Если | Дд (/®) | <£ | X (/со) |, то между А&ч (со); ф«ч (со), 6Эч (со) и
Дф<1 (со) будут следующие зависимости:

бач (®) = Лв, (о) COS [фб„ (©)];	(8.84)

ДФч (со) = Ле, (®) sin [фв, («)] рад.	(8.85)

В табл. 20 приведены частотные погрешности простейших линей-
ных инерционных звеньев.

Динамические погрешности при измерении параметров
случайных сигналов

Инерционность ИП при прохождении стационарного случайного
сигнала вносит погрешность как в мгновенные значения сигнала, так
и в его статистические характеристики.

В первом случае динамические погрешности, вносимые в мгновен-
ные значения, могут быть охарактеризованы с. к. о. динамической по-
грешности сигнала о (Дд).

В этом случае, принимая во внимание, что

Y (/со) = К (/©) X (ja),
спектральная плотность мощности сигнала на выходе равна
SB(®) = |К(/®) |2SX(®).
простейших инерционных звеньев

Дфч (со)	д Л (ф) яв  Ч  А (ф) — А (0)  “	4(0)	в, (/а) »  ( К (/а)	\  ~ ( К(0)	1J	46, (а) =  = (»)+'* ч  + (со) ч	<₽6 (®) = ч  (®)  ~arctg ЛИ<») ч
arctg X и (C^i — т) х Ц-ш’С^т	/ГТ"*  (шС^)2	i х aiCiRt — т)	и (CjRj — i)	— л + arctg X  X 1/шт
	У 1 + (шт)2 — 1	(1 + /шт)	V 1 + (ШТ)2	
— arctg шт	1	  + (шт)2 — 1	— i х  (ОТ  х (1 “Ь/шт)	(ОТ  У 1 + (ШТ)2	— л + arctg X  X 1/шт

Спектральная плотность мощности погрешности, приведенная ко
входу, будет равна

5д (Ю) = I ----------112 Sjc (о>) = 62 (» Sx (о),	(8.86)

I ЧНД	I

где I К (/<о) | — амплитудно-частотная характеристика ИП.

Дисперсия погрешности равна интегралу от ее спектральной плот-
ности по всем частотам

+ оо

Р(Дд) = -^- J SA(<o)cfo.	(8.87)

Рассмотрим с. к. о. динамической погрешности линейного ИП при
случайном входном сигнале от ограничения полосы пропускания ИП.
Пусть X (0 представляет собой сигнал, имеющий постоянную спект-
ральную плотность So (рис. 8.11) до частоты о)2, а ИП идеализированный
ФНЧ, имеющий частоту среза ®i и частотную характеристику К (jo),
равную единице во всей полосе частот. Тогда из (8.86) имеем спект-
ральную плотность погрешности

5Д (®) =

О при

+ So при ©!	0) < 0)2;

.0 при о)>о)2.

Так как при этом спектр X (t) ограничен на частоте о>2 > й)ь то

о (Дд) = V 1/л50 (®2 —	.

Определим для примера относительное с. к. о. мгновенного значе-
ния динамической погрешности масштабного ИП с коэффициентом пе-
инс. 8.11. к определению с. к. о. динамической
погрешности линейного ИП от ограниченности по- -л
лосы пропускания преобразователя.	*

редачи К = 1, собранного на ОУ К544
УШ при входном сигнале, имеющем
<о2 = 2л • 1,02 МГц. Так как по пас-
портным данным ИП имеет ©j = 2л X
х I МГц, то

бд =	((°2 -	= V I —	= 14 %.

А о(Х)	/1/л50.о, г “а

Приведенный пример показывает необходимость тщательного под-
бора граничных частот усилителей сигналов, представляющих собой
широкополосный шум.

Во втором случае, когда результатом измерения является статисти-
ческая характеристика, подход к исследованию динамической погреш-
ности изменяется.

Динамическую погрешность бцг, вызванную ограниченным време-
нем осреднения, при измерении z-й характеристики случайного сигна-
ла X (0 будем определять следующим образом:

б

- _°5L
Д7 —	?	,

(8.88)

где одг — с. к. о. данной характеристики случайного сигнала или хс к-в.

Для измерения хс и хс.к.ь электрических квазидетерминированных
сигналов в определенной полосе частот создано много типов аналого-
вых и цифровых вольтметров. Эти приборы при определенных условиях
могут быть использованы также для измерения хв к,3 случайных элект-
рических сигналов. Случайные сигналы обладают часто широким час-
тотным спектром, и при измерении хскв необходимо учитывать
временные характеристики сигнала и измерительного прибора, в пер-
вую очередь длительность времени осреднения.

Рассмотрим погрешность 6^ для случая, когда z представляет собой
среднее значение сигнала X (f)-.

оо	 7,

1/2л j | /С (/со, Т) |2 Sx (со) dw

6дср =	М(Х)К(0, Т)	’	(8’89)

где Sx (со) — спектральная плотность центрированного сигнала X (();
К Т) — преобразование Фурье от импульсной функции, ограни-
ченной временем интегрирования Т.

Проведем исследование погрешности при малом времени осредне-
ния Т -+ 0 и большом времени осреднения.

При Т -> 0 | К (/<о, Т) |а =s К2 (0, Т), откуда

С Р

1/2л \ Sx(<£>)d<£>

6дср = V[Xj = м\х) •	(8,90>

где о (X) — с. к. о. входного сигнала.
а — $с.р ПРИ измерения среднего значения сигнала: б — &с.к.з при измерении среднего квад»
ратнческого значения сигнала.

Из (8.90) следует, что при Т -+ 0 с. к. о. входного сигнала о (X)
полностью определяет погрешность 6Д Ср, которая в этом случае может
принимать достаточно большие значения, так как фильтр в этих усло-
виях практически не уменьшает с. к. о.

При Т ->• То, где То — постоянная времени фильтра К Т) =
=» К (/о)). При этом, как правило, входной сигнал X (/) можно считать
значительно более широкополосным, чем полоса пропускания фильтра
с К (ja). Для этого случая из (8.89) можно получить

Г I7’

5х(0) 1/2л 1 I к (/CD) pd(0
:_____________________2____________= _

д с₽	М [X] К (0)

[•$* (0)

(И [X]

(8.91)

1/2л [К(/со) 12&о

где	--------эффективная ширина полосы осредняю-

щего фильтра.

Как следует из (8.91), в рассматриваемом случае бд.Ср определяется
эффективной шириной полосы осредняющего фильтра, которую можно
сделать весьма малой, что приведет к существенному уменьшению бд,ср.

В работе [113] определена эффективная ширина полос для усред-
няющих фильтров: для интегратора Дй = л/Т, а для ₽С-фильтра
Даэ — л/2Т0, где То = RC — постоянная времени фильтра. Если на
вход таких фильтров подается широкополосный случайный сигнал
X (/), имеющий постоянную спектральную плотность мощности
So [В2/Гц] до частоты о)с, то погрешность на выходе интегратора будет
равна

6д.ср —

а (X) I л V*
лцх] \7йГ/
а на выходе 7?С-фильтра

бД-ср = М[Х] ( 2Г0<вс ) ’ ПРИ Т°^Т’	(8.93)

где а (Х)/М [X] — коэффициент изменчивости случайного процесса.

Из сопоставления (8.92) и (8.93) следует, что при использовании ин-
тегратора с увеличением времени осреднения Т погрешность умень-
шается (рис. 8.12, а). Во втором случае (при использовании 7?С-фильт-
ра при условии, что То Т) погрешность определяется постоянной
времени То.

При измерении среднего квадратического значения сигнала X (0
можно воспользоваться для определения погрешности соотношением
(8.88). При этом для квадрирующего преобразователя, включенного
перед осреднителем при гауссовской плотности вероятности X (0,
имеем

[/?, (т) - (М [Х])2]/(М [Х])а = 2е-2“сМ ,

где — ширина спектра сигнала X (0 на уровне половинной мощ-
ности; Rx (т) — автокорреляционная функция сигнала.

После ряда преобразований получаем:
для идеального интегратора

6д.с.к.в=	~ (2® Т - 1 + е-2“с7')’/*;	(8.94)

/ЩХ) с1

для 7?С-фильтра с постоянной времени То

[—2Т/т	IVi

1	. е "°_____________1	- (1/тв4-сос)Т

*/2 + (Wc7’o) "Г % —“с^о i/2 —(w2Tq)

0д.с.к.з=	—TIT,	'

1 —е

(8.95)

На рис. 8.12, б приведены зависимости погрешности уд.с.к.э от произ-
ведения асТ для идеального интегратора и ФНЧ. Как следует из
(8.94), при использовании идеального интегратора погрешность Тд.с.к.а
уменьшается пропорционально увеличению времени осреднения при
®с = const (до тех пор, пока реальный интегратор не войдет в насыще-
ние). При использовании ФНЧ погрешность Тд.с.к.а уменьшается при
увеличении Т только до определенного предела, изменяясь согласно
(8.95), а затем стабилизируется на уровне, определяемом постоянной
времени То и ®0. Это определяется способностью ФНЧ «забывать»
осредненные с. к. з. сигнала, отстоящие от текущего момента времени
на интервал, превышающий 5Т0.

Для интегратора о)сТ 0 из (8.94) имеем:

я _ (2<всГ — 1 + l)’z*
°Д.с.К.а------,

а при асТ 1

А _ (госТ-!)1/»  /2
.ПРР

lg бд.с.к.з = V2 (1g 2 — 1g ®СГ),

т. e. зависимость погрешности интегратора будет представлять собой
в логарифмическом масштабе непрерывно спадающую прямую
(рис. 8.12, б).

Для ФНЧ имеем:

при (й0Т ->• О

Г 1	~'2Т/Т° 	1 т,т Т'«

I 1___________е________________________1_____ — т / т 0

[	2 +	^2 ШсД Х/2 ---------- (оД?

£	«-	' £	с и	J

о Д.С .К.э. —	’ —Т/То	»

если при этом одновременно 0> т0

_[2+2е-2^’_2е-Г/Г»]1/’

Од.С.К.З - ’	_Т/Т

1-е Т/Т°

При условии

Т То Уд.с.к.з —*" 00,

а в противном случае, т. е. при Т То уд.с.к.з J/2, что соответствует
отсутствию фильтрации. С ростом произведения за ®СТ счет увеличе-
ния Т (&СТ -+ оо) имеем

Г ,	-2Г/Т0 ЗУ,

-------!	1	--
х/2 -f-----------------------------х/2 % 7»

'д.с.к.з =	 -Т/То

1	— е

(8.96)

т. е. Зд.с.к.з =#0 в отличие от интегратора, что обусловливает наличие
горизонтального участка характеристик ФНЧ на рисунке. Горизон-
тальный участок начинается тем раньше, чем меньше <>>ZTO. Только
при дополнительных условиях ®СТ 1 и Т То

6д.0.к.з = 1/Кч7о; 1g бд.с.к.в = Va 1g ®СТО.	(8.97)

С. к. о. случайной составляющей погрешности измерения хср и
Хс.к.з эргодического случайного сигнала при стремлении времени осред-
нения Т к оо стремится к нулю. Эта погрешность в случае идеального
интегратора в первом приближении аналогична по своей природе
с. к. о. среднего арифметического ряда многократных наблюдений,
которое тоже стремится к нулю при увеличении числа наблюдений п
до бесконечности. Разница между ними заключается в том, что во вто-
ром случае имеет место цифровое осреднение после измерения, а в пер-
вом — аналоговое осреднение в процессе измерительного преобразо-
вания.

8.8. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
И ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Важнейшей задачей при совершенствовании измерительного при-
бора является снижение всех составляющих его погрешности, т. е. по-
вышение его точности — этого наиболее важного качества измерения.
Рнс. 8.13. Классификация методов повышения точности измерительных приборов
и преобразователей.

Причинами возникновения погрешностей в измерительных приборах
являются воздействия:

внешних влияющих величин (температура окружающей среды, на-
пряженность внешних магнитного и электрического полей, ускорение
вибраций, напряжение питающей сети и пр.);

внутренних влияющих величин (изменение емкости, сопротивлений
и индуктивности элементов схемы, напряжение собственных шумов
и др.);

неинформативных параметров входного сигнала (частоты при из-
мерении переменных сигналов, уровня сигнала при измерении частоты
или периода и пр.).

Разработано много различных методов повышения точности изме-
рительных приборов, которые можно подразделить на две группы
(рис. 8.13):

методы предотвращения возникновения данной погрешности;
методы снижения уровня существующих погрешностей.

К первой группе относятся конструктивно-технологические и за-
щитно-предохранительные методы. Эти методы наиболее удобны, так
как предотвращают появление данной погрешности или не допускают
превышения ею допустимого значения обычно наиболее простым путем
при минимальном структурном усложнении прибора. Поэтому их стре-
мятся применять в первую очередь и они подробно рассматриваются
в курсах «Измерительные преобразователи» и «Аналоговые измеритель-
ные приборы».

Конструктивно-технологические методы уменьшения погрешности
заключаются в использовании элементов и узлов наиболее высокого
качества с наиболее стабильными параметрами. Примерами таких ме-
тодов являются:

для уменьшения температурной погрешности — применение манга-
ниновых резисторов;

для уменьшения частотной погрешности — применение частотно-
независимых резисторов.

Защитно-предохранительные методы призваны уменьшить влияние
внешних влияющих величин и заключаются в уменьшении диапазона
их изменения в локализованном пространстве (термостатирование, экра-
нирование, стабилизация и т. д.). Примерами таких методов являются:
366
для погрешности от неправильной установки прибора — примене-
ние уровня;

для температурной погрешности — термостатирование;

для погрешности от внешних магнитных или электрических полей —
соответственно магнитное или электростатическое экранирование;

для погрешности от колебаний напряжения питания — стабилиза-
ция напряжения источника питания;

для погрешности от вибраций — амортизация и т. д.

Ко второй группе относятся методы коррекции и статистической
минимизации погрешностей. Общей особенностью этих методов являет-
ся то, что они направлены не на предотвращение возникновения по-
грешностей, а на снижение уровня уже возникших, существующих по-
грешностей.

Коррекция, или функциональная минимизация, погрешностей из-
мерительных приборов заключается в снижении их уровня на основе
аналитического или экспериментального обнаружения погрешностей,
обычно систематических или медленно изменяющихся случайных.

Статистическая минимизация погрешностей заключается в сниже-
нии предполагаемых, но необнаруживаемых случайных погрешностей
измерительных приборов. Она может осуществляться во время и после
измерения. В последнем случае методы статистической минимизации
совпадают с методами уменьшения погрешностей измерения. Приме-
рами могут служить:

уменьшение случайных погрешностей путем временного или прост-
ранственного осреднения результатов многократных или множествен-
ных измерений;

уменьшение погрешности от квантования (п. 7.1).

В дальнейшем более подробно рассмотрим методы коррекции по-
грешностей измерительных приборов.

Методом коррекции погрешностей измерительных приборов являет-
ся совокупность дополнительных приемов использования технических
средств, осуществляемых в процессе измерения с целью снижения уров-
ня или устранения определенной аналитически или экспериментально
выявленной погрешности.

Коррекция погрешностей измерительных приборов достигается реа-
лизацией ряда дополнительных операций, которые выполняются вруч-
ную оператором или автоматически. Другими словами, снижение по-
грешности достигается ценой дополнительного труда оператора или (в
случае автоматического прибора) усложнения конструкции и уменьше-
ния быстродействия прибора.

Методы коррекции погрешностей измерительных приборов и преоб-
разователей в зависимости от степени участия оператора можно под-
разделить на (рис. 8.14):

методы ручной коррекции, выполняемые оператором;

структурные методы автоматической коррекции, реализуемые
главным образом на основе принципа инвариантности академика
Б. Н. Петрова.

Методы ручной корреляции по способу ее осуществления подразде-
ляются на:
Методы коррекции погрешностей измерительных приборов и преобразователей

Рнс. 8.14. Классификация методов коррекции погрешностей по наиболее существен-»
ным признакам.

методы калибровки, основанные на регулировании прибора опера-
тором;

методы обработки результатов измерения без воздействия опера-
тора на прибор, например путем введения поправки, повторными по-
верками.

Методы автоматической структурной коррекции по этому признаку
подразделяются на методы, основанные на использовании:

внешней влияющей величины или неинформативного параметра
сигнала, которые применяются в измерительных приборах с разомкну-
той структурой;

самой погрешности, выявленной с помощью дополнительных образ-
цовых измерительных приборов, мер или масштабных преобразовате-
лей, которые применяются в измерительных устройствах с замкнутой
структурой.

По способу разделения каналов обе группы методов автоматической
коррекции можно подразделить на методы с пространственным и вре-
менным разделением каналов.

По способу корректирующего изменения выходной величины при-
бора методы коррекции можно подразделить в основном на методы ад-
дитивной, мультипликативной и нелинейной коррекции.

Методы коррекции погрешностей измерительных приборов
оператором

При анализе методов коррекции абсолютную суммарную погреш-
ность измерительного прибора удобно разделить на три составляющие:
аддитивную Да, независимую от х, которая также называется по-
грешностью нуля и вызывает параллельное смещение характеристики
прибора (рис. 8.15, а)*
рактеристику ИП:

а — аддитивной; б — мультипликативной погрешностей.

мультипликативную Дм = 6мх, пропорциональную х, которая
также называется погрешностью чувствительности и вызывает поворот
характеристики прибора по отношению к началу координат
(рис. 8.15, б);

погрешность от нелинейности характеристики прибора Днел, ко-
торая зависит от х нелинейно.

Аддитивную составляющую погрешности можно легко обнаружить
при х = 0. Мультипликативную составляющую можно обнаружить
лишь при наличии меры или масштабного преобразователя.

Коррекция погрешностей оператором воздействием на прибор. Ме-
тоды коррекции вручную подразделяются на аддитивную коррекцию,
или установку нуля, и мультипликативную коррекцию, или калибровку.

Установка нуля прибора производится путем параллельного сме-
щения его характеристики. Установка нуля выполняется оператором
в стрелочных приборах смещением указателя на нулевую отметку при
х = 0.

Калибровка прибора производится изменением его чувствительно-
сти, т. е. изменением угла наклона характеристики. Калибровка на-
иболее эффективна при преобладании мультипликативной состав-
ляющей погрешности и может быть реализована оператором в схемах
с мерой, с образцовым прибором и с образцовым обратным преобра-
зователем и устройством вычитания.

В схеме с мерой (рис. 8.16, а) калибровка осуществляется при по-
даче на вход прибора известной по значению величины х0.

При наличии мультипликативной погрешности 6М отклонение при-
бора

а = Кгх = Ко (1 + 6М) х = Кох + К06мх.

<г	.6

Рис. 8.16. Схемы ручной калибровки измерительных устройств:
а — с помощью меры; б — с помощью образцового прибора; в — с помощью
обратного преобразователя н устройства вычитания.
При подаче на вход такого прибора х0 отклонение
а = КгХо = КоХо + К0Ъих0 = а0 4- Дам.

Во время калибровки оператор изменяет коэффициент преобразо-
вания прибора К до тех пор, пока при х = х0 отклонение не станет рав-
ным а0, которое на шкале отмечено обычно красной меткой или соот-
ветствует конечному значению шкалы прибора. В результате калиб-
ровки ft становится равным ft0 = а0/х0, при этом мультипликативная
погрешность не превышает погрешность отсчета.

Калибровку в схеме с образцовым прибором (рис. 8.16, б) жела-
тельно производить при значении х, близком к хи. При калибровке ft
изменяется до тех пор, пока показания калибруемого и образцового
приборов не совпадут.

Схема с образцовым обратным преобразователем и устройством
вычитания (рис. 8.16, в) пригодна, главным образом, для калибровки
измерительных преобразователей. При калибровке ft изменяется до
тех пор, пока Др на выходе устройства вычитания будет равна 0.
В этом случае

х = хк = у/К0 = ftx/fto; т. е ft = ft0.

Коррекция погрешностей оператором без воздействия на прибор.
Эти методы коррекции осуществляются оператором после измерения
либо введением поправки, либо обработкой показаний прибора.

Коррекция введением поправки операто-
ром. Поправкой называется значение величины, одноименной с из-
меряемой, прибавляемое к результату измерения с целью исключения
систематической погрешности. Введением поправки можно уменьшить
погрешность только в том случае, если зависимость между влияющей
и выходной величинами прибора известна. Если, например, до введе-
ния поправки на изменение температуры уп — х (К — Ы) известны b и
/, то после определения и введения поправки

Д//попр = btx,

Укор = Уп + Д^/попр = xft.	(8.98)

Коррекция обработкой показаний прибо-
ра оператором. Аддитивная погрешность Дг/а при у = Кх +
+ Дг/а исключается одним дополнительным наблюдением при х, рав-
ном 0, и последующим вычитанием. При наличии аддитивной погреш-
ности и при х = хг выход прибора уП (х,) = Кхг -j- Куа. Затем при
х = 0 : у (0) = Д//а. После вычитания получаем скорректированную
выходную величину прибора

Укор (•'"i) = Уп (-^i) У (0) = KXi -J- Kya у (0) = ftxp

Мультипликативная погрешность 6М исключается с помощью од-
ноканальной нерегулируемой меры поверкой прибора по известному
значению х0 и последующим делением и умножением:

„ _ Уп W _ ххК (1 +бм)

1	' //nW хЛО + бм) °'
Если в показаниях прибора содержатся и аддитивная, и мультипли-
кативная погрешности, то они исключаются также с помощью однока-
нальной нерегулируемой меры двумя дополнительными измерениями
при х, равных 0 и х0, и последующими вычислительными операциями.

В методе замещения используется регулируемая одноканальная
мера. В этом случае в измерительном преобразователе устраняются
и мультипликативная и аддитивная погрешности (п. 2.2). В первом
цикле получаем

г/1 = Ко (1 + $м)х + tya-	(8.99>

Во втором цикле х0 изменяем до тех пор, пока выход не станет равным
уг. Тогда

z/i = /("о (1 -J- 6м) Xq -J- Az/a.

Если погрешности 6М и Az/a остаются во время обоих цик-
лов неизменными, то х = х0. Следовательно, результат измерения
не зависит от значений погрешностей 6М и Az/a при их постоянстве.

Требование постоянства 6 и Az/a в данном случае относительно легко1
выполнимо, так как за время измерения не успевают измениться внеш-
ние влияющие величины и мало проявляется временная нестабиль-
ность. Методом замещения устраняются суммарные систематические
и медленно изменяющиеся случайные погрешности, носящие как адди-
тивный, так и мультипликативный характер, возникающие по различ-
ным причинам. Примером способа замещения является правильное
взвешивание на неправильных весах.

Если уравнение прибора нелинейно [46], то коррекция мультипли-
кативной и аддитивной погрешностей может быть выполнена путем трех
наблюдений вблизи искомого значения х, т. е. на линейном участке
с тангенсом угла наклона

При первом наблюдении

Уп М = Krxt + \уй.

При втором наблюдении

Уп (xi + хо) — Ki (xi + хо) + &Уо-

'При третьем наблюдении

УП (mxi) = Купх^ + Az/0,

где т — масштабный коэффициент преобразования х,
тогда

_ „ ________Уп (тХ1) — уП (Хд)____

1	0 (т — 1) 1уп (Хд + х0) —уп (Хд)]

близкий к 1,

(8.100)

Результат измерения от К и Луа не зависит. Суммарная погрешность
описанного метода калибровки резко возрастает при наличии случай-
ных быстроизменяющихся погрешностей ввиду использования в выра-
жении (8.100) разности близких по размеру величин. Производитель-
ность труда оператора при ручных методах коррекции очень низкая.
Поэтому коррекцию погрешностей автоматизируют.
Структурные методы автоматической коррекции

При автоматической коррекции необходимо иметь в наличии или
создать величину, с помощью которой можно было бы реализовать кор-
ректирующее воздействие на ИП. Этой величиной может быть влияю-
щая величина, неинформативный параметр входного сигнала или ве-
личина, пропорциональная погрешности измерительного устройства.
Поэтому структурные методы коррекции подразделяются на:

методы с использованием разомкнутых структур, в которых коррек-
тирующее воздействие создается влияющей величиной F или неинфор-
мативным параметром входного сигнала сх (рис. 8.17, а);

методы с использованием замкнутых структур, в которых коррек-
тирующее воздействие создается величиной а, пропорциональной по-
грешности А (рис. 8.17, 6).

Структурные методы коррекции измерительных устройств исследо-
ваны советскими учеными Ю. А. Скрипником, Ю. М. Тузом, К- Л. Ку-
ликовским, Т. М. Алиевым, В. Н. Малиновским, В. И. Губарем и др.

Корректирующее воздействие при автоматической структурной кор-
рекции в соответствии с принципом инвариантности может создавать-
ся в дополнительном канале либо цикле преобразования, т. е. с исполь-
зованием или пространственного, или временного разделения.

Структурные методы автоматической коррекции как с пространст-
венным, так и с временным разделением подразделяются по способу

Рнс. 8.17. Способы формирования корректирующего воздействия:
а — путем преобразования влияющей величины нлн неинформативного параметра
входного сигнала; б — путем преобразования погрешности Д.

Рнс. 8.18, Способы введения корректирующего воздействия в основной канал корректируем
мого измерительного устройства:
а — аддитивного; б — мультипликативного.
a

Рис. 8.19. Коррекция измерительных устройств с разомкнутой структурой с прост,
ранственным разделением:

а — аддитивная; б — мультипликативная; в — логометрическая; г — комбиниро-
ванная; с временным разделением: д — аддитивная; е — мультипликативная; ж
логометрическая; з — комбинированная.

введения сформированного корректирующего воздействия в основной
Канал на аддитивные и мультипликативные.

Автоматическая аддитивная коррекция осуществляется путем сум-
мирования выходной или входной величины и величины, пропорцио-
нальной погрешности, которая создается автоматически в корректирую-
щем преобразователе КП.
При аддитивных методах коррекции величина, пропорциональная
погрешности, обычно суммируется с выходной величиной (рис. 8.18, а).
Аддитивную коррекцию наиболее удобно применять для мгновенных
значений сигнала, так как звенья, осуществляющие аддитивную кор-
рекцию, обладают высоким быстродействием.

Автоматическая мультипликативная коррекция осуществляется из-
менением коэффициента преобразования ИП корректирующей величи-
ной а, пропорциональной погрешности. При этом используются множи-
тельные устройства МУ или управляемые звенья (рис. 8.18, б). Мульти-
пликативную коррекцию наиболее удобно применять в измерительных
преобразователях интегральных значений медленно изменяющихся
величин.

Структурные методы коррекции погрешностей ИП с разомкнутой
структурой как при пространственном, так и при временном разделе-
нии подразделяются на аддитивные, мультипликативные и комбиниро-
ванные [60].

Методы коррекции с пространственным
разделением. Коррекция погрешностей измерительных прибо-
ров с разомкнутой структурой при пространственном разделении отли-
чается:

необходимостью в специальных корректирующих преобразователях
для преобразования каждой влияющей величины или неинформатив-
ного параметра входного сигнала в величину, используемую для кор-
рекции;

отсутствием затраты времени на коррекцию (ввиду наличия второго
канала).

Аддитивные методы исключения погрешностей осуществляются в
дифференциальных устройствах (рис. 8.19, а):

У1 = Кх + \уй = Кх + krF,
где Лйа = krF.

Влияющая величина F воздействует на корректирующий преобра-
зователь КП, на выходе которого создается величина, однородная
с у и пропорциональная F: ’	.

Айк = k^F.

Если ]А^| = [AjJ, то выходная величина вычитающего устройства
равна

УкоР = У1 — &Ук = Кх	(8.101)

и не содержит аддитивной погрешности.

В реальных условиях Az/K несколько отличается от Ауа и в схеме
(рис. 8.20, а) возникает остаточная погрешность Ауос, математическое
ожидание которой

Л4(Аг/0С) = Л4(Л^)-М(Л9а)
и дисперсия которой

D (Az/oc) = D (А,к) + D (Л,а) + 2RD (А,к) D

где R— коэффициент? взаимной корреляции между Az/g и Az/a.
a	5

Рис. 8,20. Устройство автоматической коррекции с замкнутой структурной схе-
мой с использованием:

а — образцового прямого преобразователя, т. е. с вычитанием на выходе; б —
образцового обратного преобразователя, т. е. с вычитанием на входе.

В измерительном преобразователе с мультипликативной коррек-
цией применяется обычно множительное устройство МУ (рис. 8.19, б}:

У1 = Кх (1 + бм),
где бм == krF.

Влияющая величина F воздействует на корректирующий преобра-
зователь КП таким образом, что его выходная величина

Укор — Уо.кор (1	8К),

где бк = k2F.

Выходная величина множительного устройства равна

2 = У1Укор = KiX ( 1 4~ 6М) Уо.кор (1 бк) i/о.корКх (1	$к).

Таким образом, остаточная (некомпенсированная) погрешность из-
мерительного преобразования с мультипликативной коррекцией

800 = 8М — бк.

Полагая дисперсии и математические ожидания и дисперсии 6М и оди-
наковыми,

М(бос) = М(бк) = М(би) = 0;

для дисперсии остаточной погрешности получим

D (бос) = 20 (б) (1 —/?мк),	(8.102)

где R,,K — коэффициент взаимной корреляции погрешностей преобра-
зователей.

Следовательно, существенное снижение остаточной погрешности
достигается только при идентичности погрешностей бм и б„.

В делительных двухканальных преобразователях (рис. 8.19, в)
предполагаем, как и в предыдущем случае, что в основном преобразова-
теле П преобладает мультипликативная погрешность. Тогда

г/i = К1ЛГ (1 + бм) = Л\х(1 + krF).

Влияющая величина F воздействует на корректирующий преобразова-
тель КП таким образом, что его выходная величина

Укор = xnK2 (1 + бк) = х0К2 (1 + k3F).

Если бк = бм, то выходная величина z делительного устройства

и не содержит мультипликативной погрешности.
Из-за неизбежного различия 6К и бм и в этом случае возникает оста-
точная погрешность, дисперсия которой описывается выражениями
(8.102).

Если в основном преобразователе П имеет место и аддитивная, и
мультипликативная погрешности, то можно применить комбинирован-
ную коррекцию (рис. 8.19, г). Тогда выходные величины /71, /72 и КП
соответственно составят:

У1	= Kix(l + 6М) + Д^;

У	г = К2х0 (1 + 6К) + Д^;

Az/K •

Выходные величины уи и у2 подаются на два вычитающих уст-

= Дй

ройства и делительное устройство, выходная величина которого при
6М = SK и Дйа

и не содержит
Эти методы

Z = Л— = _*1£_ =	(8.104)

У 2	k2x0

аддитивной и мультипликативной погрешностей,
коррекции целесообразно применять:

при преобладании погрешностей, возникающих от действия одного
или двух известных влияющих величин (например температуры и час-
тоты);

при наличии простых и надежных корректирующих преобразова-
телей влияющей величины или неинформативного параметра входного
сигнала.

Примерами коррекции этого типа могут служить: термокомпенсация
терморезисторами, компенсация частотной погрешности элементами
с частотно-зависимыми параметрами и др.

Методы коррекции с временным разделе-
нием. Измерительные приборы с разомкнутой структурой и с такой
коррекцией погрешностей отличаются следующими особенностями:

многоэтапными алгоритмами коррекции, а значит, и дополнитель-
ными затратами времени на коррекцию;

отсутствием специальных корректирующих преобразователей вли-
яющих величин.

Аддитивная коррекция реализуется в простейших измерительных
преобразованиях с периодическим вводом входных величин
(рис. 8.19, д). Уравнение преобразователя П в первом и втором
периодах (переключатели соответственно в положениях а и б):

У1	= Кх + Д^ (/);

г/2 = Д,а (/+?),
где Д^ (/) и Д^ (/ + Т) — аддитивные погрешности на выходе преоб-
разователя П в моменты времени t и (t 4- Т) соответственно.

После запоминания уг и у2 в запоминающих устройствах ЗУ1 и ЗУ2
и вычитания образуется

y{t) = Кх + Д,ос(0>
где AVoc (f) = AVa (t) — A</a (t + T) — остаточная аддитивная погреш-
ность.

Если Дйа (0 — стационарный центрированный случайный процесс,
то математическое ожидание М (ДУос) = 0, а дисперсия этой погреш-
ности

О(Д,ос) = 2О[Лйа(0][1-^(Л1.

где D 1Д.а (/)] — дисперсия процесса Дйа (0> а ₽ (Т)— его коэф-
фициент автокорреляции на интервале времени Т.

Таким образом, этот метод обеспечивает эффективное уменьшение
погрешностей при преобладании систематической составляющей по-
грешности, а при преобладании случайной составляющей эффективен
только при R (Т) S 1,

Мультипликативная коррекция осуществляется по более сложной
схеме (рис. 8.19, е), работающей в два периода. В первом периоде (пе-
реключатели в положении а):

+6);

у{ = х0/С.

Во втором периоде (переключатели в положении б):

г/п = 0;

1/н = х0К (1 + б) — х0К = х0К&

После фильтра Ф1 и выпрямителя В1 на первый вход множительного
устройства МУ подается

z = Чг (l/i — Уп) Кф.Кв. = xKr (1 + б).

После фильтра Ф2 и выпрямителя В2 на второй вход множительного
устройства МУ подается

z' = V2 (z/i — уп) = а0К2 (1 — 6).

После перемножения на выходе звена МУ получаем

zB = KMyzz' = К3х (1 — б2).	(8.105)

Следовательно, в выходной величине отсутствует мультипликатив-
ная погрешность в первой степени.

Устройство с мультипликативной коррекцией показано на
рис. 8.19, ж. В первом периоде при положении переключателя а интег-
ратор И работает в течение заданного времени Тц, и его выходная вели-
чина

Zj = х/С(1 + б)Тц.

Во втором периоде при положении переключателя б интегрирова-
ние производится в обратном направлении до полного разряда. В конце
второго периода

хКО 4-б)7ц-х0К(1 +б)Тх = О,
тогда

Тх = Тцх/х0.	(8.Ю6)
В результате преобразования зависимость между х и выходной '
величиной Тх не содержит мультипликативной погрешности. Приме-
ром мультипликативной коррекции является метод двойного интегри-
рования, который широко применяется в цифровых интегрирующих
вольтметрах.

При наличии в преобразователе П обеих составляющих погреш-
ности (аддитивной и мультипликативной) также можно применять ком-
бинированную коррекцию (рис. 8.19, з). В первом цикле, когда пере-
ключатель ПЗ находится в положении А, переключатель /7/ в первой
половине цикла находится в положении а, а во второй — б, происхо-
дит устранение аддитивной погрешности. Во втором цикле переключа-
тель ПЗ находится в положении Б, переключатель П2 в первой поло-
вине цикла находится в положении а, а во второй — б. Происходит
устранение аддитивной погрешности, как и в первом цикле. Мульти-
пликативная погрешность устраняется так же, как и в предыдущем
устройстве. В результате в выходной величине будут отсутствовать
обе составляющие погрешности.

Все рассмотренные методы применимы для уменьшения системати-
ческих погрешностей, возникающих от действия нескольких влияющих
величин, а также и случайных погрешностей, медленно изменяющихся
во времени (по сравнению с длительностью цикла преобразования).

Структурные методы автоматической коррекции погрешностей ИП
с замкнутой структурой основаны на создании воздействия, управляе-
мого погрешностью измерительного преобразователя и направленного
на ее уменьшение. Эти методы применимы для уменьшения как система-
тических, так и случайных, медленно изменяющихся погрешностей.
Для выявления погрешности измерительного прибора или преобразова-
теля необходимо обеспечение связи входа с выходом — путем сравне-
ния выходного и входного сигналов по информативному параметру,
которое осуществляется в замкнутых структурных схемах с использова-
нием устройств вычитания. Следовательно, такие методы коррекции
можно применить только для величин, удобных для вычитания. Обычно
так корректируются погрешности усилителей, у которых входные и
выходные величины однородны и удобны для вычитания.

Создание корректирующей величины, пропорциональной погреш-
ности, производится с использованием образцового измерительного
преобразователя или образцового прибора (рис. 8.20, а), т. е. с вычи-
танием на выходе, либо с использованием образцового обратного пре-
образователя или масштабного преобразователя (рис. 8.20, б).

В первом случае создается корректирующая величина ко"
торая при К = Ло

Л</кор = У — % = Ло (1 + 6) х + Д^ — Кох — Лохб + Д^.

Во втором случае создается корректирующая величина ДКоР> кото-
рая при К = Ко и р = 1/К0

Акор — х — Хк = X — [хЛ0 (1 Ц- 6) Ц- Д Р = | хб + Д уаР |.

Если в корректируемом звене возникают мультипликативная и ад-
дитивная погрешности, то автоматически создается корректирующая
кг

Л2	Q-	J

Рис. 8.21. Измерительное устройство с замкнутой структурой:
а — с аддитивной коррекцией; б — с мультипликативной коррекцией.

физическая величина ЛУкор или AKOp> пропорциональная их сумме.
Структурные методы автоматической коррекции замкнутых систем
также подразделяем на методы с пространственным и временным раз-
делением каналов.

Методы коррекции с пространственным
разделением подразделяют на автоматическое введение по-
правки и автоматическую калибровку.

В измерительных преобразователях с автоматическим введением
поправки, т. е. с аддитивной коррекцией (рис. 8.21, а), корректирую-
щая величина Акор преобразуется в дополнительном канале с коэффи-
циентом преобразования К2, равным коэффициенту преобразования
прямой цепи и суммируется с выходной величиной прямой цепи
с целью введения поправки для устранения погрешности от изме-
нения Л1-

Аддитивная коррекция удобна в том случае, если все три величи-
ны — входная, выходная и разностная — однородны.

Выходная величина измерительного преобразователя в этом случае

У = х + К2 — /СЛ2Р)-

Коэффициент преобразования обратного преобразователя ОП р
выбирается равным 1/Л10. Тогда в нормальном режиме при = Кю
выходная величина	" '

У ~ KioX>

а корректирующая

А = у — у =— О

^кор Л Лк v*

Если изменится, то при х = const у примет иное значение и в
результате возникает погрешность. Однако при этом корректирующая
величина не будет равна нулю, и в новое значение выходной величины
будет введена поправка, которая значительно уменьшает погрешность,
возникающую от изменения

Погрешность в случае изменения Ki и при идеальных устройствах
вычитания и суммирования и Лю = А2о

б0 = 6*/*, — бр,
где 6р — погрешность обратного преобразователя;	|

— мультипликативные погрешности преобразователей.

Большим преимуществом таких устройств является то, что дости-
гается значительное уменьшение составляющей мультипликативной ’
погрешности от звеньев Ki и К2, так как их мультипликативные погреш-
ности перемножаются.

В измерительных преобразователях с автоматической калибровкой,
т. е. с мультипликативной коррекцией, корректирующая величина Акор
после соответствующего преобразования используется для изменения
коэффициента преобразования прямой цепи (рис. 8.21, б) с целью
уменьшения погрешности, возникшей в результате нестабильности
Выходная величина измерительного преобразователя в этом случае

у = хК1 = х (К10 + ДЛ, — ДЛк),

где Дк, — изменение коэффициента преобразования под действием
влияющих величин; Лхк — компенсирующее изменение коэффициента
преобразования в результате автоматической калибровки:

Л/<к == (х — хк) K2k3 = (х — xKjp) K2k3.

Коэффициент преобразования обратного преобразователя р выби-
рается равным 17Л10.

В нормальном режиме при = Ки, Дк, = 0, х — хк=Д = 0
корректирующая величина zKop = 0 и Дкк = 0. Если при х — const
изменяется Klt т. е. возникает Дк, =/= 0, то соответственно изменяется
корректируемая величина у и появляется погрешность. При этом воз-
никает корректирующая величина zKOp #=0 и Дкк ф 0, в результате
коэффициент автоматически изменяется до тех пор, пока не будет
почти полностью восстановлено его номинальное значение. При этом
погрешность от изменения К, будет уменьшена во много раз.

Погрешность устройства при изменении и р

«о = «к, 1/(1 +xK2k3fy-^.

Такие измерительные преобразователи более сложны, так как со-
держат в прямой цепи звено с регулируемым коэффициентом преобра-
зования.

Применение мультипликативной коррекции целесообразно в том
случае, если трудно применить аддитивную или неудобно суммировать
выходную и преобразованную корректирующую величины, например,
если прямая цепь вносит нелинейные и частотные искажения.

Важным преимуществом устройств с аддитивной и мультипликатив-
ной коррекцией по сравнению с компенсационными устройствами
(п. 8.5) является во много раз меньшее значение коэффициента преоб-
разования прямой цепи при заданном общем коэффициенте преобра-
зования (из-за отсутствия ослабляющего действия глубокой отрица-
тельной обратной связи по входной величине). Преимуществом мульти-
пликативной коррекции является возможность снижения требований
к преобразователям прямой цепи в отношении частотных и нелинейных
искажений. Дальнейшее совершенствование устройств с мультиплика-
Рис. 8.22/Измерительные устройства:

С —• с итерационной коррекцией в два цикла; б — с поэлементной коррекцией; в =•
с коррекцией путем изменения обратной связи.

тивной и аддитивной коррекцией связано с использованием временного
разделения.

Методы коррекции с временным разделе-
нием. Обработка результатов нескольких измерений при временном
их разделении дает возможность автоматически устранить из результа-
та как аддитивную, так и мультипликативную погрешность. Наиболее
удобным способом для этого является итерация, т. е. постепенное
приближение.

При коррекции по методу итерации (рис. 8.22, а) с созданием раз-
ности на выходе в первом цикле отсчет Nx, заносится в регистр Р1,
а во втором — неточным ЦИП с погрешностями 8 и Ла измеряется
хк == Отсчет ЦИП во втором цикле

N', = <?к(1+ё)	Да(1+ё).	(8>107).

xk	?к	?к

вносится в регистр Р2, а в устройстве вычитания (УВ) вычитается из
отсчета, полученного в первом цикле.

Корректированный отсчет прибора получают суммированием;

Погрешность после коррекции бс = б2.

Пренебрегая, если возможно, величинами второго порядка малости,-
в частности, если б2 <£ 1, получим корректированный отсчет

^, = Xi/<7K.

В этом случае практически устраняются обе погрешности.

Структурную схему при осуществлении метода итерации значи-
тельно упрощают, заменяя вычитание и суммирование удвоением
первого отсчета NX1 и вычитанием второго N В этом устройстве вывол-
ок

нено удвоение число-импульсного кода в первом цикле, а для вычитания
использован реверсивный счетчик. Итеративные методы целесообразны
в том случае, когда погрешность прямой цепи ЦИП устранить или
уменьшить другими способами не удается, например частотную погреш-
ность высокочувствительных преобразователей переменных напряже-
ний в широком частотном диапазоне.

Метод поэлементной коррекции близок к кор-
рекции по методу итерации [22, 86]. Отличие их заключается в том, что
вместо операции удвоения результата измерения в первом цикле ите-
рации при поэлементной коррекции параллельно по входу к коррек-
тируемому преобразователю П1 включается дополнительный преобра-
зователь П2, аналогичный первому (рис. 8.22, б).

В первом цикле поэлементной коррекции выходы этих обоих преоб-
разований суммируются. В итоге получаем удвоенный результат пре-
образования в сумме с удвоенными мультипликативной и аддитивной
погрешностями:

Ус, = Уг~\~ у% — хК (1 4~ $) 4~ А</а Ч- хК (1 4~ б) 4~ Л</а = 2хК -j- 2х/Сб -4-
3 + 2Л,а.

Предполагаем, что мультипликативная и аддитивная погрешности
преобразователей П1 и П2 равны соответственно 6 и Л^.

Во втором цикле х преобразуется в уг в П1, а затем подается на об-
ратный преобразователь ОП и величина подается на вход преобра-
зователя П2. Выходная величина П2 без учета погрешностей второго
порядка малости

Ус, = [хК (1 4~ б) 4~ Лра] РЛ" (1 4~ б) 4~ А</а — хК 4~ 2хКб 4~ 2Лра-

Тогда, принимая во внимание, что р = 1//С, разность, образуемая
реверсивным счетчиком после частотного преобразования,

У1 — Уг = Кх,

т. е. будет равна откорректированному результату, не содержащему
мультипликативной и аддитивной погрешностей.

Суммарная погрешность

б0 = —б2 4- ЬуЫКх.

Для коррекции звеньев уравновешивания с отрицательной обрат-
ной связью (ООС) предложен [44] оригинальный способ уменьшения
погрешности от изменения К.

Это измерительное устройство имеет два обратных преобразователя
ОП1 и ОП2 с коэффициентами рх и р2 (рис. 8.22, в) и работает в два цикла.
В первом цикле результат измерения равен Л\ = Лх/(1 4- /<Р1) <?к,
во втором У2 = /0/(1 4- Лр2) <7к-

В вычислительном устройстве ВУ производится операция опреде-
ления результата N3 по следующей формуле:

дт _ AQ2 ____________х____

3	Nl-^2	(₽2-₽1)?к •
Рис. 8.23. Структуры преобразователей с осреднением:

а •= пространственным по п каналам; б — временным п последовательных наблюдений счет-
чиком; в — временным аналоговым интегратором.

Если = 0, то N3 = х/р2<7к- Следовательно, результат не зависит
от Л.

Разработаны также другие способы с изменяемой обратной связью.
Например, в первом цикле измерение производится при разомкнутой
ООС [15]

а во втором — при включенной:

N2 = Kx/(l +Лр)<7к.

Тогда из двух уравнений после подстановки Л = NYqJx находим;

дг =____________•

2 1+ATjfWx ’

Ni =	+ $qKNrN2/x;

NxNJ>qK

^-Л2 •

Разработаны более сложные способы устранения погрешности уст-
ройств с ООС, которые дают возможность устранить погрешности и от
изменения р.

Вторая группа методов коррекции — для замкнутых структурных
схем отличается следующими основными особенностями:

корректируется не одна из составляющих погрешности (как в пер-
вой группе методов коррекции), а суммарная погрешность ИУ;

корректируются не только систематические, но и медленно изме-
няющиеся случайные погрешности;

для реализации данных методов коррекции необходимы более
сложные образцовые обратные или прямые преобразователи и сумми-
рующие, или регулируемые, устройства.

Статистические методы коррекции применяют-
ся в тех случаях, когда в распоряжении разработчика имеются данные
о статистических характеристиках погрешности (оценка интервала
корреляции погрешности, оценка взаимной корреляционной функции
погрешностей и др.). При этом появляется возможность уменьшения
случайной составляющей погрешности путем пространственного или
временного осреднения.
Метод пространственного осреднения или метод комплексирования
{81 используют для подавления некоррелированных погрешностей у
приборов данного типа. При этом приборы и датчики включаются па-
раллельно (рис. 8.23, а).

Тогда выходной код п приборов, включенных параллельно, после
суммирования и осреднения

Nxcp = £ ^г/п,

где Мг — выход i-ro прибора; п — число приборов, включенных
параллельно.

Положим

= Мо + АМО

где AMZ — погрешность i-ro прибора.

Тогда

м,=м0+ i/nSAM(.
ср

Определим дисперсию осредненного результата МХср, полагая, что
дисперсия показаний всех приборов в группе одинакова:

П(АМ() = П(АМ),
а также, что взаимная корреляционная функция погрешностей любых
двух приборов также одинакова:

Rlf = R-

Тогда дисперсия результата осреднения

D (АМср) = D (АМ) (М + (1 - R)/n)

и при R = 0 получим

D (ДМср) = MnD (АМ).

За результат измерения при пространственном осреднении прини-
мается показание, наиболее близкое к среднему арифметическому зна-
чению из них. Выбор этого показания производится практически мгно-
венно с помощью специального логического устройства. В этом случае
с. к. о. суммарной случайной погрешности при независимости случай-
ных погрешностей всех датчиков может быть уменьшено в Уп раз.
Пространственное осреднение успешно применяется также для умень-
шения шумов в транзисторных усилителях путем параллельного вклю-
чения усилительных звеньев. При этом благодаря параллельному вклю-
чению большого количества транзисторных элементов (при интеграль-
ной технологии) достигается значительное уменьшение и дисперсии и
среднего значения шума.

Пространственному осреднению характерны следующие особен-
ности:

эффективно уменьшаются случайные некоррелированные погреш-
ности;

повышается быстродействие;

усложняется аппаратурная реализация;
значительно повышается надежность в результате «горячего» ре-
зервирования (параллельной работы приборов).

Пространственное осреднение ирименяется только в особо важных
случаях, например для повышения безопасности полета самолетов.
При пространственном осреднении аппаратурная сложность измери-
тельного устройства (число измерительных каналов п) трансформи-
руется в точность. Действительно, если аппаратурную сложность ха-
рактеризовать общей массой измерительного устройства М, то при не-
зависимости случайных погрешностей комплексируемых датчиков
с. к. о. результата пространственного осреднения равно

р /п УЛ-1/тд \/	’

где та — масса датчика.

Следовательно, при М = const для снижения ор следует стремиться
к минимизации произведения Од/пд, т. е. к применению более миниатюр-
ных датчиков. В этом случае сложность трансформируется в точность.

Метод временного осреднения с использованием цифрового или ана-
логового интегратора применяют в том случае, если известно, что ин-
тервал корреляции погрешности во много раз меньше допустимого
времени измерения или преобразования.

При использовании цифрового интегратора, т. е. при временном ос-
реднении ряда из п наблюдений, с. к. о. результата измерения, т. е.
среднего из п наблюдений, равно (рис. 8.23, б)

о (Хср) = оа/У"п,
где он — с. к. о. наблюдений.

Временное осреднение (п. 9.2), которое производится на основе
многократных наблюдений х = const одним прибором при неизменных
условиях с последующим суммированием результатов наблюдений
и определением их среднего, имеет следующие особенности:

обеспечивает минимум аппаратурных затрат;

обеспечивает помехоустойчивость к периодической помехе;

требует увеличенной затраты времени на последовательное во вре-
мени осуществление п измерений и осреднение их результатов.

Метод временного осреднения широко применяется при проведении
высокоточных измерений операторами, а также в ряде современных
быстродействующих цифровых приборов.

Временное осреднение интерпретируется [54], как трансформация
быстродействия в точность. Действительно, при заданном общем вре-
мени измерения Т и времени одного разового наблюдения Тя с. к. о.
результата измерения

о (Хср) = ий/Уп = ^1УТГГЙ =	.

Следовательно, при Т = const следует стремиться для снижения
а (ХСр) к минимизации произведения с?пТк, к применению более быстро-
действующих измерительных устройств. Возникает возможность транс-
формации быстродействия в точность.
В аналоговом преобразователе среднего значения (рис. 8.23, в)
выходной сигнал

7

У= UT^[y0(t) + &y(t)]dt,	(8.108)

о

где у0 (/) — выходной сигнал идеализированного преобразователя;

Д9 (I) — случайная составляющая погрешности.

Обычно уа (0 = у0 = const в течение времени интегрирования Т.
Тогда
т

У = Уо+ Ут ky(t)dt,
о
или

У = Уо +	,

ср

где ЛУср — случайная погрешность после осреднения.

Обозначим дисперсию погрешности до осреднения D [AJ и дис-
персию после осреднения D [Ац ]. Предположим также, что погреш-
ность представляет собой эргодический случайный процесс. Тогда
можно определить
т

D[hy ] = 2/Т f (1 — т/Т) R (т) dr,
ср	J

где R (т) — автокорреляционная функция погрешности. Если время
осреднения Т значительно больше интервала корреляции (Т тк),
то можно считать

оо

9 Г*

D[by] = -^J R(№.

о

Корреляционная функция связана с односторонним спектром плот-
ности мощности косинус-преобразованием Фурье:

5дг, (со) = 4 j R (т) cos (сот) dr,
о

оо

7?(т) = J S&y (со) cos (сот) dco.

о

Из (8.109) и (8.110) при со = 0 получаем

£) [Д I =	(0>

U ‘“"ср1	27'	•

(8.109)

(8,110)

Определим хср — коэффициент уменьшения с. к. о. погрешности
в результате осреднения

V =	(	= 1 В

ср о(Ьи) |/ Ору •
Тогда

х 

СР |/	4D[\y\T ’

_	%(0)	_ 2л

D [дг/1	?	“д ’

1 /2 л j 5Д («>) da у
о у

где соду — эквивалентная полоса частот погрешности, равная отноше-
нию площади спектра плотности мощности к S\y (0);

1 С с , . , D [Д«] 2л
“ З^ДО) J \	“ 3^(0) ‘

Отсюда	______

хср = 1/У 2Тюд^ /2л.

Например, при эквивалентной полосе погрешности соДу = 10 Гц
и времени осреднения Т = 5 с хср = 0,1.

Этот метод подавления погрешности применяется в интегрирующих
преобразователях, предназначенных для измерения средних значе-
ний, например средневыпрямленных и средних квадратических значе-
ний сигнала. Часто погрешность описывается дискретным спектром
плотности мощности, как, например, погрешность, обусловленная ко-
лебаниями напряжения источника питания, когда R (т) представляет
собой периодическую функцию, Если период R (т) известен, то, выбрав
время осреднения кратным периоду, получаем полное устранение дан-
ной составляющей погрешности.
Глава 9

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ПРЯМЫХ, КОСВЕННЫХ
И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Ввиду неизбежных несовершенств методов и средств измерений
результаты измерений содержат погрешности, которые обработкой
должны быть уменьшены и оценены. Ранее было показано, что изме-
рения в зависимости от характера уравнения подразделяются на пря-
мые, косвенные, совокупные и совместные. Прямые измерения в зави-
симости от наличия или отсутствия избыточности подразделяются на
однократные и множественные, которые в свою очередь разделяются
на многократные и многоканальные. Однократные измерения называют
также наблюдениями.

Наблюдение (ГОСТ 16263—70) — экспериментальная операция,
выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают
одно из группы значений величины, подлежащих совместной обработке
для получения результата измерений.

Результатом наблюдения называется значение ве-
личины, получаемое при отдельном наблюдении. Измерения с много-
кратными наблюдениями производятся обычно при необходимости по-
высить точность результата измерения и определить показатели его
точности путем обработки результатов группы наблюдений.

Требования к приборам для однократных и многократных наблюде-
ний не одинаковы. При однократных измерениях разовое показание
прибора xn, снятое по отсчетному устройству, принимается равным
результату измерения; при этом трудоемкость и время измерения ми-
нимальны. При измерениях с многократными наблюдениями результат
получают в итоге обработки результатов п наблюдений; при этом тру-
доемкость (при участии оператора) или сложность аппаратуры (при
автоматизации), а также время измерения возрастают.

Метрологические свойства приборов для однократных измерений
и измерений с многократными наблюдениями при пренебрежении их
систематической погрешностью определяются композицией двух зако-
нов распределения погрешностей [27]: погрешности отсчета, распре-
деленной равномерно в диапазоне цены деления прибора ± qk/2, и
случайной погрешности, определяемой качеством его элементов, рас-
пределенной нормально с с. к, о. о (А).

Для однократных измерений пригоден прибор, обладающий малой
случайной составляющей погрешности при соотношении т =
=	(к) — 2,5...3,5, характеризующийся композицией законов

распределений, представленных на рис. 9.1, а. Применять такие при-
боры для измерений с многократными наблюдениями не целесообразно,
388
так как при х = const вероятность получения отсчета, отличающегося
от предыдущего даже на половину деления, очень мала.

Для измерения с многократными наблюдениями можно использо-
вать прибор с менее совершенными элементами схемы или конструк-
ции, но, например, более чувствительный, обладающий значительной
случайной составляющей погрешности при соотношении т =
= 7^/2о (А) = 1...0,25, характеризующийся композицией законов рас-
пределения, представленных на рис. 9.1, б. Такой прибор неудобен для
однократных измерений из-за высокой вероятности погрешности, пре-
вышающей половину цены деления прибора. Однако результаты мно-
гократных наблюдений, выполненных прибором, целесообразно обра-
ботать, осреднить и таким образом значительно снизить случайную
составляющую погрешности результата наблюдений.

9.1.	МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИИ
С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

При планировании измерения СИ выбирают прежде всего на основе
допустимой погрешности измерения. Поэтому необходимо установить
зависимость между допустимой погрешностью измерения и погреш-

Р(И

2.8

при

Ж) при

ностью СИ.

Погрешности результата однократного
измерения оцениваются на основе априор-
ной информации о суммарной погрешности
СИ, классе точности СИ или о составляющих
инструментальной и методической погреш-
ности.

Если известен только класс точности СИ
(согласно ГОСТ 8.407—80), то можно опре-
делить допустимые пределы погрешности
СИ Ад, а по значениям xn, Ад и пределы по-
грешности данного однократного измерения
Аи. Результат однократного измерения мож-
но представить равным xn ± Ан. Например,

Р(&к)

Р®

1,2

qK о Рк

А 2
а

Рнс. 9.1. Соотношение между распределениями случайных составляющих по-
грешности и погрешности отсчета приборов:

а » для однократных; б многократных измерений.
Рис. 9,2. График зависимости
К = f (п, т) при Рдов — 0,99.

результат измерения при Un =

при измерении тока In= 5,1 А ампермет-
ром с /„ом — 10,0 А класса 1,0 при преоб-
ладании аддитивной погрешности Лд = Ди==
= 0,1 А результат измерения будет равен
(5,1 ± 0,1) А.

При измерении напряжения 50,2 В циф-
ровым вольтметром с ияом = 99,99 В класса
точности 0,2/0,1 Аи = [о,2 + 0,1 X j 	—

— 1

= 50,2 В будет (50,2 ± 0,3) В.

В случае, если кроме пределов инструментальной систематической
погрешности известны пределы еще одной погрешности, методической
систематической погрешности, то суммарную погрешность можно опре-
делить алгебраическим суммированием

Асум = ±АИ ± Ам = ± (Аи + Лм).

Если кроме допускаемых пределов погрешности СИ известны также
и пределы систематических методической и других погрешностей, то
погрешности предполагают распределенными равномерно и симметрич-
но в пределах ± А( и суммарную погрешность определяют по формуле
Асум = А ]/s"a?,

где К — коэффициент, который при доверительной вероятности
Р (Асум) = 0,95 принимается равным 1,1; при Р (Асум) = 0,99 и числе
суммируемых погрешностей п>4 принимается равным 1,4, а при
п 4 значение Л определяется по графику (рис. 9.2). На графике
m =	— отношение границы наибольшей составляющей неисклю-

ченной систематической погрешности к ближайшей к ней по значению
границе одной из остальных составляющих неисключенных системати-
ческих погрешностей.

При известных с. к. о. случайных составляющих погрешности, рас-
пределенных по нормальному закону, с. к. о. и доверительные грани-
цы случайной составляющей суммарной погрешности результата од-
нократного измерения определяют по формулам:

Асум = ±го2,
где г — коэффициент нормального распределения соответствующей
заданной доверительной вероятности Р (AcyM).

Если распределения погрешности отличны от нормальных, то оп-
ределяют их композицию и коэффициент г для заданной доверительной
вероятности.
Суммарную погрешность результата однократных измерений при
известных оценках систематической и случайной составляющих по-
грешности рекомендуется оценивать согласно ГОСТ 8.207—76. Если
погрешность при однократном наблюдении оказывается выше допусти-
мой, то выбирают более точное СИ или применяют прямые измерения
с многократными наблюдениями.

9,2.	МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

При измерениях с многократными наблюдениями экспериментатор
создает наиболее благоприятные условия для эксперимента, обеспе-
чивает выполнение условия х = const и минимально возможное число
и размер влияющих величин, вызывающих появление систематических
составляющих погрешности.

В результате многократных наблюдений постоянной измеряемой
величины х = const получаем ряд х1, х2, ..., хп, каждый член которого
состоит из истинного значения измеряемой величины X и случайной
О

составляющей погрешности наблюдения Д4 (систематической состав-
ляющей погрешности пренебрегаем). Предполагается, что ряд значе-
ний xlt х2, ..., хп взят через интервалы времени, превышающие интервал
корреляции. Тогда

хг = х + Дх; 

х2 = х + Д2;

х„ = х + Д„.

Результат измерения с многократными наблюдениями

В математической статистике для данного случая оценки истинного
значения математического ожидания измеряемой величины X прини-
мается среднее арифметическое выборки xn, которое и считается равным
результату измерения:

/Й(Х) = x,v = V ctx;,	(9-0

f=i

где С( — коэффициенты веса наблюдений, характеризующие степень
доверия к каждому из них, при этом

i~n

S <н = 1.

1=1

Если все наблюдения производятся в аналогичных условиях, то
такие измерения называются равноточными и тогда сх = с2 = ... ==
= сп = 1/п. При неравноточных измерениях коэффициент веса каждо-
го z-ro наблюдения определяется по степени доверия к нему [49].

Для равноточных измерений оценка математического ожидания X,
принимаемая за результат измерения при многократных наблюдениях,

M(X) = xjv= 1/пЕ хг.	(9.2)

6=1
При отсутствии систематической погрешности результат измерения

xN = х 4- Др,	(9.3)

о	1=Ц о

где Ар= 1/n S А* — случайная погрешность результата измерения;

х—истинное значение измеряемой величины.

В среднем арифметическом значения случайных погрешностей час-
тично взаимно компенсируются, так как имеют различные знаки. Сред-
нее арифметическое является состоятельной и несмещенной оценкой
истинного значения измеряемой величины. При нормальном распреде-
лении измеряемой величины среднее арифметическое является также
и эффективной оценкой истинного значения. Следовательно, при от-
сутствии систематической погрешности среднее арифметическое, при-
нимаемое за результат измерения, является величиной, математическое
ожидание которой равно истинному значениюх, а разброс характери-
зуется с. к. о. о (xn). Среднее арифметическое, принимаемое равным
результату измерения, является случайной величиной «в малом», т. е.
с незначительной долей случайности, основная часть среднего является
неслучайной величиной.

Среднее квадратическое отклонение результата измерения
(среднего арифметического)

При измерениях для каждого Z-ro опыта определяют значение
случайной величины х{ и по ним находят соответствующие значения
оценок М. и D. При этом важно подчеркнуть, что только совокупность
результатов всех опытов дает представление об оценках как о случай-
ных величинах. Каждый Z-й опыт даст только одно из множества воз-
можных значений случайной величины х, а их совокупность — одно
из множества возможных значений данной оценки. Ввиду конечности
числа опытов возникает методическая погрешность определения сред-
него Xn.

Для характеристики точности полученного значения результата
измерения xn необходимо определить его с. к. о. о [Л'1 (Х)1. Определим
его для случая, когда с. к. о. результата наблюдения он известно. Как
было показано (9.3), случайная погрешность Ла равна сумме случай-
ных величин. Если распределения всех Лг нормальны и центрирован-
ны, то и распределение Ар тоже будет нормальным и характеризуется
значением с. к. о.

Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы случайных
и независимых величин равна сумме их дисперсий. Поэтому дисперсия
случайной величины

X = _А_ . JL . ... + А	(9.4)

р а 1 п 1	п
при условии, что все погрешности Д( представляют собой независимые
случайные величины с одинаковым и известным с. к. о. он =
равна

2	2	2	2

D[M(X)] = Z)(Ap)=-^ + -^- + ... +-2- = -^.	(9.5)

Соответственно с. к. о. среднего

ст(х„) = _^.
V п

Этот же вывод можно представить в сокращенной форме:

/  i=n \		„о2

D(xjv) = D —2 xt = A-S £>(*,) = —^- = —.

'	\ n ‘ I П2	n2 n

Следовательно,

<j[M(X)J = o(xjv) =	(9.6)

Таким образом, если увеличить число наблюдений в к раз, то с. к. о.
результата измерения уменьшится в У к раз.

Если с. к. о. результатов наблюдений он, как это обычно и бывает
в измерениях, неизвестно, то определяют оценку он и ее числовые ха-
рактеристики. Определение он производится по значениям случайных
отклонений результатов наблюдений. Случайным отклонением АОт<
называется разность между результатом наблюдения и средним ариф-
метическим.

Случайные отклонения

Аот1- = Х1 —

обладают двумя важными свойствами.

1,	Алгебраическая сумма случайных откло-
нений равна 0.

Действительно,
п	п

S Дот< = S xi — XN4.
г=1	1=1

Ранее было показано, что
п
2 xt
~	(=1

Таким образ

S Лот( = 0-	(9.8)

/=1

Это свойство часто используется для проверки правильности вы-
числения случайных отклонений.
2,	Сумма квадратов случайных отклоне-
ний имеет минимальное значение:

У Лот, = мин.	(9.9)

1=1

Для доказательства этого свойства рассмотрим выражение

S (х; — xN)2,

<=1

Данная сумма квадратов минимальна, если удовлетворяется усло-
вие экстремума, т. е, если первая производная от нее по xn (подразу-
мевается возможность изменения именно xN) равна 0, т, е.

п

d S (xt- — Хд,)2	п

 rfL—- .	= -2 s (Xi -xN) = 0.

“ 11 Хд,)	i=i

Из этого уравнения находим:

п

2 X,

Хд,=-^—.	(9.Ю)

Следовательно, среднее арифметическое xn является эффективной
оценкой, у которой сумма квадратов значений случайных отклонений
минимальна. Это значит, что если вместо среднего взять другое значе-
ние и определить сумму квадратов значений случайных отклонений от
него, то она будет больше, чем сумма квадратов значений случайных
отклонений при xn-

Оценка среднего квадратического отклонения
результата наблюдения и результата измерений

При большом числе наблюдений п оценка дисперсии их результа-
тов определяется по случайным отклонениям по следующей формуле
(26, 771:

1=п

2 (Х,—Хд,)2
d(X)=d:=-^—.	Олп

Эта оценка D* является состоятельной, но при малых п — смещенной,
так как ее математическое ожидание не равно дисперсии генеральной
совокупности DH, а меньше D„ на DJn. Для устранения смещенности
оценку D,, умножают на поправочный множитель Бесселя А =
= п/(п — 1);

t==n	1=п

Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к
нормальному распределению, то оценка с, к. о. результата наблюдения
определяется по известным значениям случайных отклонений (ГОСТ
11.004—74).

Состоятельная и несмещенная оценка с. к. о. результата наблюде-
ний

1=м	’

п — 1

где Мк — коэффициент, зависящий от числа наблюдений п, при п >
> 60	= 1, при п < 60 значение Мн определяется из табл. 21,

Оценка с. к. о. наблюдения он является случайной величиной, ма-
тематическое ожидание которой равно истинному значению с. к. о.
он, а разброс значений он характеризуется оценкой его с. к. о. о (он),
которая при нормальном распределении и достаточно больших п равна
а[аи] = -^.	(9,14)

HJ \!2п

Оценка с. к, о, результата измерения определяется через случай-
ные отклонения по следующей формуле:

V i-=n

~ _	1 / S (xt — XN>2

о (*N) = Мк I/	.	(9.15)

Г п(п—1)

Эта оценка является состоятельной и несмещенной х.

Для уменьшения случайной погрешности измерения целесообразно
выполнять измерения с многократными наблюдениями. Число наблю-
дений п целесообразно увеличивать до тех пор, пока о (xn) не станет
меньше систематической погрешности прибора.

Таблица 21. Значение коэффициентов Мк в зависимости от числа наблюдений п

И — 1	мк	м— 1	м к	4—1	мк
1	1,253	10	1,025	19	1,013
2	1,128	11	1,023	20	1,013
3	1,085	12	1,021	25	1,010
4	1,064	13	1,019	30	1,008
5	1,051	14	1,018	35	1,007
6	1,042	15	1,017	40	1,006
7	1,036	16	1,016	45	1,006
8	1,032	17	1,015	50	1,005
9	1,028	18	1,014	60	1,004

1 В связи с тем что после округления погрешность представляется не более, чем
двумя значащими цифрами, то коэффициент Мк нужно обязательно учитывать при
числе наблюдений п меньше 6, При этом необходимо учитывать, что о. к. о, оценки
с. к. о, результата измерения значительно превышает смещение, которое учитывается
Мк. Поэтому при п > (6... 10) практически при определении о (xN), МЛ принимают
равным 1.
С. к. о. оценки с. к. о. результата измерения при нормальном за-
коне распределении измеряемой величины составляет

о [о (xjv)] = —4^— .	(9> 16>

v 11 УЧп.

Доверительные границы для с. к. о. могут быть определены по
ГОСТ 11.004—74 «Прикладная статистика. Правила определения оце-
нок и доверительных границ для параметров нормального распреде-
ления».

Определение доверительных границ огв (X) и огв (X) для о (X)
при числе наблюдений п осуществляется, принимая во внимание несим-
метричность распределения, следующим образом:

1)	задают односторонние доверительные вероятности Рг (для ниж-
ней границы) и Р2 (для верхней границы);

2)	по заданным Ри Р2и п находят коэффициенты ZrH и ZrB по табли-
цам ГОСТ 11.004—74;

3)	вычисляют доверительные границы по формулам:

СГГн (-^0>

СГГв ZrBO (X).

Нижняя и верхняя доверительные границы он (X) и ов (X) образуют
доверительный интервал для о (X) при двусторонней доверительной
вероятности Р№в, равной

РдВ = Л + Р2 - 1.

Так, если Рг = Р2 = 0,95, п = 20, ZrH = 0,794, ZrB = 1,18. Тогда
доверительный интервал для с. к. о. о (X) с вероятностью Р^в = 0,9
составляет

0,794о (X) <о (X) < 1,18о (X).

При временном осреднении формула для с. к. о. результата изме-
рения (9.6) указывает также на возможность трансформации быстро-
действия цифрового прибора в точность (п. 8).

Методика обработки результатов прямых измерений
с многократными наблюдениями

Наличие ряда полученных результатов независимых наблюдений
дает возможность оценки точности результата измерений, которую
находят в результате их статистической обработки. Эта статистическая
обработка согласно ГОСТ 8.207—76 «ГСИ. Прямые измерения с много-
кратными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений.
Основные положения» состоит из следующих операций:

исключения известных систематических погрешностей из неисправ-
ленных результатов наблюдений путем введения поправок для получе-
ния исправленных результатов наблюдений (п. 4.3);

вычисления среднего арифметического исправленных результатов
наблюдений, которое принимается равным результату измерения;
вычисления оценки с. к. о. результата наблюдения согласно
ГОСТ 11.004—74 (разд. 1);

вычисления оценки с. к. о. результата измерения;

проверки гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат
нормальному распределению; вычисление доверительных границ слу-
чайной составляющей погрешности результата измерения;

вычисления границ неисключенной систематической погрешности
результата измерения;

вычисления доверительных границ погрешности результата изме-
рения, которое производится, как правило, с доверительной вероят-
ностью Рдов = 0,95. В тех случаях, если измерения нельзя повторить,
рекомендуется вычисление доверительных границ с Рдов = 0,99, а в
особо ответственных случаях, когда результаты измерений влияют
на здоровье людей, допускается принимать более высокую доверитель-
ную вероятность, чем 0,99.

Оценка анормальности результатов наблюдений

При многократных наблюдениях в ряду результатов ..., хп воз-
можно наличие нескольких (обычно один-два), резко отклонившихся
по значению. Если заведомо известно, что результаты наблюдений рас-
пределены по нормальному закону, то можно провести оценку их анор-
мальности согласно ГОСТ 11.002—73 «Прикладная статистика. Прави-
ла оценки анормальности результатов наблюдений». В этом случае
необходимо решить, является ли данный резко отклонившийся ре-
зультат наблюдения анормальным, возникшим вследствие нарушения
нормальных условий опыта, грубой ошибки при опыте, или он норма-
лен и принадлежит данной генеральной совокупности наблюдений,
но маловероятен. Анормальный результат должен быть отброшен и
далее не учитывается при обработке ряда наблюдений. Нормальный,
но маловероятный результат должен быть оставлен в ряду наблюдений
для последующей обработки, что достигаются методом статистической
оценки. Естественно, что оба решения с определенной малой вероят-
ностью могут быть ошибочными. Поэтому предварительно необходимо
тщательно проанализировать все условия проведения измерений и
выявить возможные причины получения резко отклонившихся резуль-
татов наблюдений. Если возможно, для этого повторяют измерения с
другим наблюдателем, которому неизвестны результаты, полученные
при данном опыте. Если причины получения резко отклонившихся ре-
зультатов наблюдений остаются невыявленными, то используют методы
статистической оценки.

Впервые правильное решение задачи об оценке анормальности ре-
зультатов наблюдений было дано Н. В. Смирновым в 1941 г. [771.
Основная идея решения этой задачи заключается в том, что по результа-
там наблюдений рассчитывается определенная функция от случайной
величины с неизвестным распределением вероятности. Вычисленное
по данным ряда наблюдений значение функции Vn сравнивается с ее
предельным значением р, соответствующим числу наблюдений п и за-
ранее заданной малой вероятности Рзад. Если при этом выясняется, что
вероятность подозреваемого в анормальности результата наблюдений
меньше Р3ад, то выносится решение об анормальности данного результа-
та наблюдений и его исключают из ряда наблюдений. В противном
случае данный результат наблюдения относят к нормальным и остав-
ляют в ряду для последующей обработки.

Оценку анормальности результата наблюдения согласно критерию
Н. В. Смирнова производят в следующей последовательности:
составляют упорядоченную выборку результатов наблюдений

Х1 < х2 < • • • < хп;

определяют среднее выборки, т. е. значение результата измерения:

(9-17>

определяют оценку с. к. о. результата наблюдений:

S (xc — xN)2
t=i_________ .

п — 1	*

определяют отношения

значения Vn и сравнивают со значением р из табл. 22 при задан-
ной вероятности Рзад и данном числе наблюдений п.

В табл. 22

Лад = « = Р

xn — xN

он



(9.20)

Если У„ > (3, то вероятность данного результата наблюдения хп
меньше Раад и, следовательно, он является анормальным и должен быть

Таблица 22. Предельное значение р для случая неизвестного
генерального среднего квадратического отклонения а

Объем выбор- ки п	Предельное значение р прн уровне значимости а				Объем выбор- ки п	Предельное значение [3 при уровне значимости сс			
	0,100	0,075	0,050	0,025		0,100	0,075	0,050	0,025
3	1,15	1,15	1,15	1,15	12	2,13	2,20	2,29	2,41
4	1,42	1,44	1,46	1,48	13	2,17	2,24	2,33	2,47
5	1,60	1,64	1,67	1,72	14	2,21	2,28	2,37	2,50
6	1,73	1,77	1,82	1,89	15	2,25	2,32	2,41	2,55
7	1,83	1,88	1,94	2,02	16	2,28	2,35	2,44	2,58
8 	1,91	1,96	2,03	2,13	17	2,31	2,38	2,48	2,62
9	1,98	2,04	2,11	2,21	18	2,34	2,41	2,50	2,66
10	2,03	2,10	2,18	2,29	19	2,36	2,44	2,53	2,68
11	2,09	2,14	2,23	2,36	20	2,38	2,46	2,56	2,71
исключен из ряда, в противном случае его считают нормальным и остав-
ляют в ряду. Аналогично оценивается результат наблюдения х±.

Для уменьшения вероятности получения резко отклонившихся
результатов наблюдений из-за ошибок при снятии отсчета рекомен-
дуется:

запись результата измерения производить в делениях шкалы;

использовать приборы с цифровым отсчетом, при этом уменьшается
вероятность ошибок, так как оператор освобождается от необходимости
определения доли деления и номера ненумерованного деления;

применять автоматическую регистрацию (например, цифропечать),
при которой исключается возможность ошибок оператора.

Проверка согласия экспериментального распределения
с теоретическим (проверка гипотезы о законе распределения)

Проверка согласия экспериментального распределения случайной
величины является важной процедурой статистического анализа, ко-
торая широко применяется при обработке результатов наблюдений, по-
казателей качества продукции и др. Эта проверка применительно к
обработке показателей качества продукции и технико-экономических
показателей, включаемых в нормативно-техническую документацию,
должна выполняться согласно ГОСТ 11.006—74 «Прикладная стати-
стика. Правила проверки согласия опытного распределения с теорети-
ческим».

Идея проверки согласия опытного распределения с теоретическим
состоит в вычислении на основе упорядоченного ряда наблюдений

%i	М»   • > %п

значений опытной функции накопленных частостей и сравнении их с
соответствующими значениями гипотетической теоретической функции
распределения.

Для проверки гипотез о законе распределения предложено несколь-
ко критериев: А. Н. Колмогорова [771, К. Пирсона [77], Мизеса —
Смирнова и др. Для приближенной проверки гипотез о законе распре-
деления можно использовать вероятностную бумагу, а для приближен-
ной проверки гипотезы о нормальности распределения — составной
критерий, а также сравнение опытных и теоретических значений асим-
метрии и эксцесса (п. 9.7).

Результаты наблюдений на практике часто подчиняются нормаль-
ному закону. При их обработке обязательно производится проверка
гипотезы о нормальности данного распределения. Рассмотрим отдельно
критерии и приближенные способы проверки гипотезы о нормальности
распределения.

При 15 < п <_ 50 для проверки гипотезы о нормальности распре-
деления рекомендуется [42] применение составного критерия. При этом
проверка гипотезы о принадлежности совокупности результатов наблю-
дений нормальному распределению должна производиться с уровнем
значимости а от 10 до 2 %. При п <_ 15 проверка гипотезы не произво-
дится.
Составной критерий включает в себя критерий 1 и критерий 2.

Критерий 1 заключается в сравнении вычисляемого по опыт-
ным данным отношения d среднего арифметического отклонения резуль-
татов наблюдений по абсолютной величине

1 'Д'1

— g | (xt — xN) |

к смещенной оценке с. к. о. результата наблюдений

Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений
к нормальному распределению верна в том случае, если

d-l—a'/, < d dai/2,

где<Д— аг/2 и dai/2— процентные точки распределения, которые опре-
деляют из табл. 23 при заданных п, а»/. и 1 — ai/2; 04 — заданный
уровень значимости критерия 1.

Критерий 2 заключается в сравнении т и числа разностей,
удовлетворяющих неравенству

(Xi —	> zp/чо (xn),

(9.22)

где zp/2 — верхняя квантиль распределения нормированной функции
Лапласа (табл. 2), соответствующая вероятности Р/2.

Для критерия 2 задаются уровнем значимости а2, для которого по
табл. 24 определяют Р и т в соответствии с числом наблюдений п.

п

Таблица 23. Статистика d = V ] хс — xN 1/паИ
1=1

Объем выборки,- п	at/ .100 % 1S		<1 — а.1 / , • 100 %	
	I %	5 %	9Ь %	'9 %
16	0,9137	0,8884	0,7236	0,6829
21	0,9001	0,8786	0,7304	0,6950
26	0,8901	0,8686	0,7360	0,7040
31	0,8826	0,8625	0,7404	0,7110
36	0,8769	0,8578	0,7440	0,7167
41	0,8722	0,8540	0,7470	0,7216
47	0,8682	0,8508	0,7496	0,7256
51	0,8648	0,8481	0,7518	0,7291
k=m

Таблица 24. Значения Р из уравнения 1— V (1 — P)kpn~^ ~ а2
k=o

п	т	сс}			п	т	<х2		
		0.01	0,02	0.05			0.01	0.02	0,05
16	1	0,99	0,99	0,98	32	2	0,99	0,98	0,97
20	1	0,99	0,99	0,98	33	2	0,99	0,98	0,98
21	2	0,98	0,97	0,96	36	2	0,99	0,99	0,98
22	2	0,98	0,97	0,96	40	2	0,99	0,99	0,98
23	2	0,98	0,98	0,96	44	2	0,99	0,99	0,98
24	2	0,98	0,98	0,97	49	2	0,99	0,99	0,98
28	2	0,99	0,98	0,97	—	—	—	—	—

Если число разностей, удовлетворяющих неравенству (9.22), не
более т, то распределение данного ряда наблюдений не противоречит
нормальному.

Суждение о принадлежности данного ряда наблюдений к нормаль-
ному распределению считается правильным согласно составному кри-
терию в том случае, если соблюдаются и критерий 1, и критерий 2.
При этом уровень значимости составного критерия принимается равным
ос о&1	о&2.

Наиболее простым способом проверки ряда погрешностей на нор-
мальность является использование вероятностной бумаги (п.9.7).

Вычисление доверительных границ случайной
составляющей погрешности результата измерения

Определение доверительных границ случайной составляющей по-
грешности результата измерения производится на основе вычисленного
значения оценки с. к. о. результата измерения с учетом заданной до-
верительной вероятности РДОв и числа наблюдений п. При этом пред-
полагается, что результаты наблюдений распределены по нормальному
закону.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности ре-
зультата измерения определяем по формуле

± ЛР = ± zso (xn),
где zs — коэффициент Стьюдента, который в зависимости от довери-
тельной вероятности Р и числа результатов наблюдений п находят по
табл. 3.

Вычисление доверительных границ неисключенной систематической
составляющей погрешности результата измерения

Для более конкретного суммирования неисключенных системати-
ческих погрешностей между собой и другими составляющими принято
условно считать их случайными величинами, распределенными по

Р/аИ 818	401
равномерному симметричному закону [42]. Каждая составляющая не-
исключенной систематической погрешности метода измерения, метода
измерительного преобразования или средства измерения характеризует-
ся граничным значением или границей. В качестве такой границы
для СИ принимаются пределы допускаемых основной и дополнитель-
ных погрешностей, если случайные составляющие погрешности пре-
небрежимо малы.

Доверительную границу неисключенной систематической погреш-
ности результата измерения ± Дн.с.р при п 4 определяют по следую-
щей формуле:	_______

Дн.с.р = ± К j/s" Дн.с/ •	(9.23)

где К — коэффициент, зависящий, главным образом, от принятой до-
верительной вероятности Рлов, числа составляющих и соотношения меж-
ду ними т = H Ci-; Дн.о/ — граница i-й неисключенной систематиче-
^н.с2

ской составляющей погрешности.

Коэффициент К при доверительной вероятности, равной 0,95, при-
нимают равным 1,1. При Рдов == 0,99 и п > 4 рекомендуют К = 1,4.
Если же п 4, то коэффициент К при Р№В = 0,99 определяют по гра-
фику, представленному на рис. 9.2. Доверительную вероятность PWB
принимают равной принятой для вычисления доверительных границ
случайной погрешности.

Вычисление доверительных границ погрешности результата
измерения

Результат прямых измерений при многократных наблюдениях пос-
ле проведенной обработки характеризуется совокупностью неисклю-
ченных систематических погрешностей и случайными отклонениями ре-
зультатов наблюдений от среднего. При этом первые (при одной состав-
ляющей неисключенной систематической погрешности) распределяются
по равномерному симметричному или по нормальному (при числе при-
мерно одинаковых составляющих неисключенной систематической по-
грешности более четырех) законам, а вторые — по закону, близкому
к нормальному. Между значениями Дно.р и о (хД могут быть различные
соотношения, в зависимости от них границу погрешности результата
измерения можно принять равной Дн.в.Р или Др = zco (xn). Действитель-
но, если принять, что погрешность результата измерения можно опре-
делять с погрешностью до 25 %, то при отношении <; 0,8 можно
o(xN)

пренебречь неисключенными остатками систематической погрешности.
В этом случае граница погрешности результата измерения принимает-
ся равной доверительной границе случайной составляющей погреш-
ности результата измерения:

Дг.р = ZCO (Xjy).
При отношении _ "J'1’  > 8 можно принебречь случайными погреш-
o(xN)

ностями результата измерений. В этом случае граница погрешности
результата измерения принимается равной доверительной границе
неисключенной систематической погрешности результата измерения;

Др.р ~ Ди.О.р-

Случайные погрешности в результате измерения уменьшены путем
обработки п наблюдений, причем с увеличением числа п оценка с. к. о.
результата измерения о (xn) уменьшается. Однако при достижении соот-
ношения о (xn) < g°'P, при котором доверительная погрешность бу-
дет определяться только систематической погрешностью, дальнейшее
уменьшение о (xn) путем увеличения п становится нецелесообразным.

Максимальное число наблюдений можно определить из неравен-
ства о (xn) < —и уравнения о (xN) = —т===- ;

8	И "max

-о

Птах = 64-^-.	(9.24)

Дн.с.р

Минимальное число наблюдений можно определить [62] в зависи-
мости от принятого значения доверительной вероятности при нахожде-
нии доверительных границ случайной составляющей погрешности:

2

rimin — । р ’	(9.25-)

1	'дов

При соотношении 0,8 <	<8 доверительную границу по-

о (xN)

грешности результата измерения можно определить согласнее
ГОСТ 8.207—76 по следующей формуле:

Ar.p = К2а2>	(9.26)

где — коэффициент, зависящий от соотношения систематической и
случайной составляющих погрешности.

ч Оценку с. к. о. композиции о2 определяют по формуле:

О2 = КОн.с.р + О2 (XN) ,	(9-27)

гдеон.с.р — оценка с. к. о. суммы неисключенных систематических по-
грешностей, которая при предполагаемом их равномерном распределе-
нии с границами Дн.с< определяется по следующей формуле:

2

kH.cJ

Он.С.р

(9.28)

Здесь п0 — число составляющих неисключенной систематической по-
грешности.
Вычисление коэффициента Кх рекомендуется производить по сле-
дующей эмпирической формуле:

X Дн.о/

Д2 = --------=-------.	(9.29)

° (*JV)+ °н.с.р

Значения К определяются по графику, представленному на рис. 9.2.
Доверительная вероятность для определения г, и Дн.с.р выбирается
одинаковой и обычно равной 0,95, при этом К = 1,1. При вычислении
Кх по формуле (9.29) погрешность в самом неблагоприятном случае
при Рдов — 0,99 и отношении	1,5 достигает 12 %, а при Мень-

ер)

ших значениях Раов, при других значениях отношений Дн.с.р и o(x,v)
и при приближении распределения систематической погрешности к
нормальному снижается.

9.3. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При косвенных измерениях результат l/n определяется по известной
зависимости между величинами Y и Хъ Х2, •••> Хт, которые обычно
определяются путем прямых измерений:

Y = f (Х1( Х2.....Хт).

Величины Хп Х2, ..., Хт называют измеряемыми аргументами.
Часто косвенные измерения используются в ответственных испытаниях
и исследованиях, при которых результат должен быть известен с высо-
кими точностью и достоверностью, например при определении значе-
ний выходных величин эталонов единиц основных величин. Некоторые
величины, например плотность, могут быть определены только путем
косвенных измерений, так как методы прямых измерений для них не
разработаны.

Когда в результатах прямых измерений присутствуют системати-
ческие погрешности, то систематическая погрешность результата кос-
венного измерения равна

ДУ = /(Х1+Д1; Х2 + Д2;...; Хт + Дт)-/(Х1, Х2.................Хт).

Если систематические погрешности малы или зависимость между
Yn X линейна, то с использованием разложения функции в ряд по Тей-
лору можно записать

т

dY = S ~дхгд<’

1=1

Для обеспечения сопоставимости результатов косвенных измере-
ний, как и для прямых измерений, разработан единый подход к обра-
ботке результатов с целью получения результата измерения и довери-
тельных границ его погрешности при заданной доверительной вероят-
ности.
Различают косвенные измерения при линейной и нелинейной зависи-
мости между косвенно измеряемой величиной и измеряемыми аргумен-
тами Xi....Хт.

По характеру зависимости между аргументами различают:

1.	Косвенные измерения при постоянстве
аргументов. В этом случае изменения результатов наблюдений
аргументов определяются только относительно малыми погрешностями
их измерения. Оценкой результата измерения в этом случае является
функция математических ожиданий измеряемых аргументов

yN = f[M (Хх); М (Х2).......М (Хт)];

2.	Косвенные измерения при наличии вза-
имосвязи измеряемых аргументов. В этом слу-
чае изменения результатов наблюдений данного аргумента будут оп-
ределяться не только погрешностями его измерения, но и возможными
изменениями других аргументов. Оценкой результата измерения здесь
является математическое ожидание функции измеряемых аргументов

yN = M[f (Хь .... Хт)].

Изложенная далее методика обработки результатов наблюдений
при косвенных измерениях для случая линейной зависимости примени-
ма только при нормальном распределении результатов наблюдений
всех аргументов и отсутствии стохастической зависимости между лю-
быми двумя парами измеряемых аргументов.

При косвенных измерениях исходными данными являются ряды
результатов наблюдений аргументов, которые предварительно обра-
батываются по методике для обработки результатов наблюдений при
прямых измерениях. При этом проводится проверка нормальности рас-
пределения, оценка анормальности резко отклонившихся результатов
наблюдений каждого аргумента, определение результатов измерения
аргументов и показателей их точности.

Дальнейшая обработка результатов наблюдений при косвенных из-
мерениях состоит из следующих этапов:

проверка отсутствия корреляции между результатами наблюдений
каждой пары аргументов;

определение результата косвенных измерений;

определение оценки случайной погрешности результата косвенного
измерения;

определение оценки неисключенной систематической погрешности
результата косвенного измерения;

определение доверительных границ общей погрешности результата
косвенного измерения

Проверка отсутствия корреляции между результатами
наблюдений каждой пары аргументов

Для определения оценок результата косвенного измерения и его
с. к. о. необходимо прежде всего установить, имеет ли место корреля-
ционная связь между любыми парами аргументов. Для этой цели
рекомендуется использовать следующий критерий:

RYn	lD . V

। _^2 "< ZS (Рдов> П),

(9.30)

где Zs (Рдов, п) — коэффициент распределения Стьюдента при довери-
тельной вероятности РдоВ и числе наблюдений н; R — оценка коэффи-
циента корреляции между аргументами Хь и Xt:

п	1 / п \ / п \

--------z—z—z—з--------------- t

О (xi)0 (xh)

(9.31)

хц и xhi — результаты наблюдений / и /i-го аргументов; о (х;), (о (хь) —
оценки с. к. о. I и /i-го аргументов.

Если неравенство (9.30) удовлетворяется, то это означает, что кор-
реляционная связь между данной парой аргументов Xh и Xt отсут-
ствует.

Определение результата косвенных измерений

Если результаты наблюдений аргументов распределены нормально
и корреляционная зависимость между аргументами отсутствует, то
при линейной зависимости между Y и аргументами, т. е. при

£=т

Ун = s biXt
i=l

(9.32)

результат косвенных измерений является несмещенной, эффективной
и состоятельной оценкой и определяется по следующей формуле:

Ук = S Ь{Хц

1=1

где bt — постоянные коэффициенты; Х( — результаты измерения аргу-
ментов.

В случае нелинейности зависимости и постоянства измеряемых
аргументов (косвенные измерения первого типа) для оценки результата
косвенных измерений и определения показателей его точности исполь-
зуют разложение нелинейной функции в ряд Тейлора. При этом

m

yN =	, ~хт) + X (А Дг/) + АТ, (9.33)

где -------значение частной производной в точке xt......хт;

Аг — остаточный член ряда Тейлора.

Тогда значение результата косвенного измерения

yN = M[f(xti х2;	; xm)j.	<о.з4)
является смещенной оценкой, так как содержит систематическую по-
грешность от пренебрежения остаточным членом ряда Тейлора Дг:

1=т

.	»—т

Ат = -г S {д/дх^)2 f [& + Д„); (xm + Дг )] \	(9.35)

1=1	m

При этом погрешности ДГ1...Дгт подбираются из возможных значе-

ний так, чтобы они максимизировали соответствующие вторые частные
производные функции f (jq..хт).

Допуская, что при определении погрешности результата косвен-
ного измерения может быть допущена погрешность (20...25) %, то ли-
неаризация будет допустимой при условии пренебрежимости остаточ-
ным членом Ат'.

Лг<0.8]/|(Арй •

(9.36)

При невыполнении условия (9.36) линеаризация недопустима.
Если по условию формулировки задачи оценкой результата косвенного
измерения является функция математических ожиданий аргументов,
то проверка допустимости линеаризации может не проводиться.

Определение оценки случайной погрешности
результата косвенного измерения

При ранее принятых ограничениях для случая линейной зависи-
мости между у и аргументами оценку с. к. о. случайной погрешности
определяют по следующей формуле:

ff(j'w) = j/'Е Ь?а2(х{) •

(9.37)

При наличии корреляционной и функциональной зависимости меж-
ду аргументами Хр и Х*й

У = ЬрХр + bhxh;

оценка с. к. о.

a (Уы) = VЬ2Ра2 (хр) + Ьло2 (xh) + 2Rbpbha (хр) о (xft) ,
где R — коэффициент корреляции между аргументами Хр и кото-
рый можно определить экспериментально по способу, изложенному в
работе [42].

Если зависимость между Y и аргументами нелинейна, то оценку
с. к. о. результата косвенного измерения можно определить по ниже-
следующей формуле при отсутствии корреляции между погрешностями
аргументов и пренебрежении дисперсией остаточного члена ряда

1 Сокращенная запись остаточного члена ряда Тейлора, где д/дх^ — символ,
соответствующий производной.
Тейлора D [Дт]:

= "J/^S (-Д-) °2(*) •

Если погрешности аргументов коррелированы между собой
/1=т	j	i=m j=m

S ("йг) °*+ Д"° ~а (*/) ’

“ /#=/

(9.38)

Определение оценки неисключенной систематической
погрешности результата косвенного измерения

При измерении каждого из аргументов возникают не только случай-
ные погрешности, но и систематические, которые стремятся по возмож-
ности уменьшить введением поправок и другими способами, однако пол-
ностью исключить их не удается. Обычно принимают, что неисключен-
ные систематические погрешности каждого аргумента распределены
равномерно и симметрично и характеризуют их граничными значения-
ми Дн.со В этом случае при линейной зависимости между Y и аргумен-
тами доверительную границу неисключенной систематической погреш-
ности результата косвенных измерений определяют по формуле:

Ан.о.р = ]/'| ^А2н.с- •	0.39)

где Дн.с« — доверительные границы неисключенных систематических
погрешностей аргументов, вычисленные для одинаковых доверительных
вероятностей.

Определение доверительных границ общей погрешности
результата косвенного измерения

Доверительные границы общей погрешности Дкрг могут быть опре-
делены по композиции законов распределения случайной и неисклю-
ченной систематической составляющих результата косвенных измере-
ний. В этом случае

Дк.р.г — 2к.р.г^Е>

где гк.Р.г — коэффициент распределения композиции случайной и не-
исключенной систематической погрешностей результата косвенных из-
мерений при доверительной вероятности Рдов; о2 — оценка с. к. о.
композиции указанных законов распределения.

Для определения гк.р.Р рекомендуется [42] следующая эмпирическая
формула:

2Р.г°е+ Дн.с.р

?к.р.г —	д

П I н-с-р

(9.40)
где Zp.P — коэффициент распределения случайной погрешности резуль-
тата косвенных измерений при доверительной вероятности РДОв и
нормальном распределении; Дн.0.р —доверительная граница неисключен-
ной систематической погрешности результата измерения при довери-
тельной вероятности РДОв, которая должна быть одинаковой с довери-
тельной вероятностью, выбранной для ^определения гр.г; X — коэффи-
циент для расчета доверительной границы неисключенной систематиче-
ской составляющей при доверительной вероятности Рдоп.

Вычисление оценки с. к. о. общей погрешности результата измере-
ния о2 производят по формуле

• <9-4,>

Если в (9.40) и (9.41) неисключенная систематическая погрешность
представлена граничным значением равномерного закона распределе-
ния, то коэффициент К в них принимается равным единице.

При косвенных измерениях величин, размеры которых равны раз-
ности близких по размеру аргументов, погрешности аргументов сле-
дует определять особо тщательно, так как погрешность косвенного
измерения может быть во много раз больше погрешности измерения ар-
гументов. Если по результатам измерений двух близких по значению
аргументов, например напряжений (/х и U2, определяют косвенно их
разность

U3 = Ul — Ui,

то относительная погрешность измерения U3 будет при (У2 в са-
мом неблагоприятном случае при разных знаках относительных систе-
матических погрешностей и б2

бз=(б1+б2)4г'

Оценка косвенно измеряемой величины может быть произведена
также методом линейного программирования [651. При этом, считая
функцию Z = f (X, Y) непрерывной, определяют max f (х, у) и

± A: УЬ±Ьу

min f (X, У) в пределах допускаемых погрешностей аргументов.

В качестве оценки zn принимают полусумму

 max f (х, у) + min f (х, у)

а для оценки абсолютной систематической погрешности их полураз-
ность

л _ max f (х, у) — min f (х, у)

--------------- .

Относительную погрешность (в %) определяют так:

б =	юо %.

шах / (х, у) -J- min f (х, у)
9.4. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Совместные измерения — это производимые одновременно измере-
ния двух или нескольких разноименных величин для нахождения за-
висимости между ними. Следовательно, совместные измерения являются
разновидностью измерения зависимостей между величинами.

При совместных измерениях параметров модели .......хп их зна-

чения можно определить по результатам п прямых измерений других
величин и последующего решения системы из п уравнений, функцио-
нально связывающих все эти параметры и величины.

Известным примером совместных измерений является измерение
температурных коэффициентов электрического сопротивления мате-
риалов. В этом случае в качестве математической модели физического
процесса используется аппроксимирующий степенной полином

Rt = Ro + Ro^t + RoPR + Ro?*3.	(9.42)

где Ro — сопротивление при О °C; а = Xlt fJ = Х2, у = Х3 — изме-
ряемые параметры модели — температурные коэффициенты (совместно
измеряемые величины); t — температура; Rt — сопротивление при
ГС.

В случае, когда измеряемыми параметрами модели являются a, (3
и у, то измеряют Rt и t в трех различных температурных состояниях
и получают три уравнения с тремя неизвестными:

ARz,= Rtt — Ro= R<A“ 4- R</i0 4- Ro^iY>	(9.43)

AR/, = Rt, — Ro = Ro4a 4* Ro^p 4* Ro4y‘>	(9.44)

^Rt, = Rt, — Ro — R<Aa + Ro^P 4* Ro^V,	(9.45)

t. e. систему линейных уравнений. Решая эту систему, получают ис-
комое значения результатов совместных измерений <xn, Pw и ум.

Если в результатах прямых измерений величин R( и t содержатся
случайные погрешности, то результаты измерений cln, Pw и также
их будут иметь. Однако нельзя определить погрешности результатов
совместных измерений Да, Др и Д? при числе уравнений, равным числу
неизвестных. В таких случаях производят многократные совместные
измерения, и число уравнений становится значительно больше числа
неизвестных параметров. Затем, применяя метод наименьших квадра-
тов, повышают точность результатов совместных измерений и оценива-
ют ее.

Другим примером совместных измерений может служить определе-
ние концентрации или состава компонентов жидких смесей путем ре-
шения системы линейных алгебраических уравнений. При этом исполь-
зуется линейная зависимость между концентрацией компонента и од-
ним из физико-химических параметров смеси. Например, электропро-
водность и плотность смеси линейно зависят от концентрации отдель-
ных компонентов. Поэтому для трехкомпонентной смеси можно соста-
вить следующие уравнения:

4- х2 4- х3 = 1;
^1^1 "4“ ^2^2 "4“ *3^3 — «См!

-f- X2b2 + ^3^3 = ^CM>

где x1( x2...xm — концентрация компонентов смеси; a{ и аск —

электропроводность соответственно чистого i-ro компонента и смеси;
bi и Ьсм — плотность соответственно чистого i-ro компонента и смеси.

Значения с^м и Ьаи измеряем во время опыта. Коэффициенты щ и bt
известны. Таким образом, получаем три линейных алгебраических
уравнения с тремя неизвестными х1( х2, х3, которые решаем совместно.
Для определения состава различных многокомпонентных смесей ис-
пользуются измерения также таких физико-химических параметров,
как теплопроводность, теплоемкость, поглощение излучения, вязкость
и др.

Примером совместных измерений может служить также измерение
частотно-зависимых параметров реактивных цепей путем измерения
полных сопротивлений при разных частотах.

Интересным примером совместных измерений является область
дилатометрии. С помощью дилатометров производятся измерения зави-
симости длины образцов от температуры с целью определения темпера-
турных коэффициентов линейного расширения материалов. Дилатомет-
рические зависимости I (t °C) представляются обычно одной из следую-

щих моделей:

I (t °C) = l0 + at-,	(9.46)

I (t °C) = 10 -ф a±t + b^2;	(9.47)

I (t °C) = l0 4- a2t 4- b2t2 4- c2t3-,	(9.48)

/ (t °C) = l0 4- a3t 4- b3t2 4- c3t3 4- у31\	(9.49)

Определение значений параметров моделей а, Ь, с и d производится
путем совместных измерений и уточняется по методу наименьших квад-
ратов на основе многократных измерений соответствующих значений I
и t °C. Оценкой точности измерения значений параметров модели яв-
ляются с. к. о. значений параметров модели, определенные методом наи-
меньших квадратов, путем обработки невязок системы условных урав-
нений. Дилатометрическая зависимость может быть получена путем
точных, совместных измерений соответствующих длин и температуры
образца, либо непосредственным сопоставлением исследуемого образца
и набора аттестованных дилатометров.

Совместные измерения реализуются, например, в аппроксимирую-
щих измерительных устройствах [92], предназначенных для автомати-
ческого определения параметров модели, аппроксимирующей исследуе-
мый процесс X (t).

Рассмотрим основные особенности метода наименьших квадратов.
Для определения совместно измеряемых параметров Х1г Х2, Х3.Хп

методами прямых или косвенных измерений находят в данном Д-м
цикле величины ак, Ьк, ск..1К, которые функционально связаны о

совместно измеряемыми параметрами Х1( Х2..Хп функцией вида

(Хь Х2, Х3, • •. , Хп, ак, Ьк, ск) = /к.

Такое уравнение получают в результате каждого к-го цикла изме-
рений. Предполагается, что fK — дифференцируемая функция аргументов
Xlt X2.....Xn. Если бы при измерениях не было погрешностей,

то для определения совместно измеряемых параметров Х1г Х2, , Хп
достаточно было бы провести п циклов измерений величин а, Ь, с, I,
составить п уравнений и найти путем их решения значения параметров
Х1( Х2.....Хп. При наличии случайных погрешностей измерения ве-

личин а, Ь, с, I результаты измерения параметров Хъ Х2, Х3, Хп
будут содержать погрешности, однако определить их при числе урав-
нений, равном числу неизвестных п, невозможно. Применение метода
наименьших квадратов, предложенного Лежандром, позволяет умень-
шить погрешности измерения параметров модели Х1( Х2, Х3..........Хп

и определить их с. к. о. Для обеспечения хотя бы частичной компенса-
ции случайных погрешностей т число циклов измерений величин а, Ь,
с, I делают значительно больше числа неизвестных п. В результате т
циклов измерений получают систему из т условных уравнений:

/к (-^1> х2> • • • ’> хп> йк, Ьк, ск) = /к,

где к = (1, 2, 3....т).

Предположим, что получена система линейных уравнений

+ скхз = 0 (к = 1, 2, 3, ... , т),

где xlt х2, х3 — неизвестные параметры модели зависимости. При на-
личии погрешностей правые части этих уравнений не будут равны нулю,
а будут равны так называемым невязкам бк. Тогда

a«xi + Ьл + скх3 + /к = бк.

Задача сводится к определению таких значений параметров х1г
х2....хп, которые при подстановке их в систему из т условных

уравнений:

@1Х1 4- Ь]Х2 4* с±х3 4- = бх;	(9.50)

^2-^1 4- ^2Х2 4- ^2-^-3 4- ^2 = $2>	(9.51)

атх1 4- ЬтХ2 4- Стх3 + lm =	(9.52)

обеспечивают минимальное значение суммы квадратов невязок бх,
«2....8т

2 Sm = min.	(9.53)

к=1

Невязки определяем из уравнений

бк ^к-^1 4- &кх2 4- Скх3 4-	3, • • • , /72).

Сумма квадратов невязок

Ха бк = Ха («Л 4- Ькх2 4- скх3 4- /к)2-	(9.54)

*=i	*=i

При равноточечных измерениях необходимым условием минимума
суммы является равенство нулю частных производных функций:

32 = 32 = 32

Зхх дх2 дхя

(9.55)
Условия минимума согласно принципу Лежандра для системы име-
ют вид:

-д— = 2 S (aKXi + Ькх2 + скх3 + 1^0* = 0;	(9.56)

К=1

= 2 S (ал + ЬкХг + Скх3 + ZJ Ьк = 0;	(9.57)

0Х2	к=]

ду	™

-д— = 2 S (ол + Ькх2 + скх3 + ZJ ск = 0.	(9.58)

охз	к=|

В результате на основе совокупности уравнений, полученных по
условию минимума, имеем систему из п уравнений, которые называют-
ся нормальными и коэффициенты которых зависят от коэффициентов
всех т условных уравнений:

где

[аа] xt + [ab] х2 + [ас] х3 + [al] = 0;

[ba] + [bb] х2 + [be] х3 + [bl] = 0;
[са] хх + [cb] х2 + [се] х3 + [cZ] = 0,

(9.59)

(9.60)

(9.61)

[аа] = а1а1 + а2а2 + • • • + атат",
[ab] = а1Ь1 + а2Ь2 + • + атЬт.

Зная значения постоянных коэффициентов нормальной системы
уравнений, число которых равно числу неизвестных п, можно извест-
ными способами решения линейных уравнений определить резуль-
таты совместных измерений, более приближенных к действительным
значениям.

Для решения системы линейных нормальных уравнений обычно ис-
пользуются следующие три способа: определителей, последовательного
исключения неизвестных (способ Гаусса) и матричный. При числе
нормальных уравнений меньше четырех средние значения совместна
измеряемых параметров модели xt.....хп находят обычно с помощью

определителей:

г __ ф ____________ Dx2 .	___ Р*п

Х1-----> Л2 — D >	> ЛП — D

где D — определитель системы.
При п = 3

D =

[аа] [ab] [ас]
[ba] [bb] [Ьс]
[са] [cb] [сс]

[al] [ab] [ас]
[bl] [bb] [be]
[c/] [cb] [cc]

D =

Для характеристики точности результатов совместных измерений
xlt х2 и х3 определяют оценки их с. к. о.

/к=т \ а

mLn- S ;(9,62)

\ К=1	/
(9.63)

(9.64)

где Ааа; Abh; Асс — алгебраические дополнения соответственно перво-
го, второго и третьего диагональных элементов определителя системы
нормальных уравнений.

На основе (9.62; 9.63; 9.64) определяем оценки с. к. о. погреш-
ностей измерения параметров с учетом осреднения результатов благо-
даря избыточности опытных данных (т >• п).

9.5.	ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

В настоящее время измерительная техника уже в большинстве слу-
чаев решает задачу динамических измерений параметров сигналов, из-
меняющихся во времени. При измерении таких сигналов к средствам
измерений предъявляются требования, во-впервых, все более высокого
быстродействия, во-вторых, все более сложной вычислительной обра-
ботки.

Сущностью динамических измерений является одновременное пре-
образование и измерение двух изменяющихся величин X и t. В зави-
симости от особенностей объекта измерения следует различать следую-
щие основные виды динамических измерений:

динамические измерения зависимости X (t), при этом регистрирует-
ся зависимость Y (/), отражающая искомую X (/) или определяются
соответствующие парные дискретные значения сигнала xjy,, xn2,
/2; ...; xNn, tn. Эти значения используются для создания графического
отображения сигнала, удобного для визуального наблюдения операто-
ром, или вносятся в память для последующей обработки;

статистические измерения, при которых измеряются непосредст-
венно статистические характеристики случайного сигнала X (/) [931;

косвенные динамические измерения зависимости X (t), при которых
косвенно измеряемая величина X является известной функцией вели-
чин — аргументов Y (t) и Z (/);

совместные динамические измерения параметров модели X (t),
при которых на основе измерения соответствующих значений величин
xNi и ti определяют числовые параметры модели сигнала (например,
значения т постоянной времени экспоненциального сигнала). Автома-
тические измерительные устройства, предназначенные для автомати-
ческого определения коэффициентов функции времени X (/), названы
аппроксимирующими [92].

В дальнейшем рассмотрим простейший случай динамических изме-
рений сигнала X (/), каждое из мгновенных значений которого опре-
деляется прямыми измерениями.

Погрешность динамических измерений возникает от несовершенства
метода измерения, измерительного преобразования и несовершенства
414
Рис. 9.3. Возникновение и устранение динамической погрешности при цифровых измерениях
временной зависимости X (t):

а —парные соответствующие значения и tl находятся на X (/)< динамическая погрешность
отсутствует; б — парные значения хд^ и /(. ие находятся на X (I), возникает Дд; в— значения

х- (fy) запомнены в моменты tp а затем измерены; Дд = 0.

средств измерения, в условиях изменяющегося во времени измеряемого
информативного параметра сигнала.

Особенностью цифровых средств измерения является неизбежная
затрата времени Д/пр на преобразование размера величины X в код.
В результате создается дискретное представление сигнала X (t) двумя
рядами мгновенных значений: Х.^, xNe /2; xn„, t3, ..., xNn> tn (n. 7.2).

Динамическая погрешность при цифровых дискретных во времени
измерениях возникает в том случае, если получаемые парные значе-
ния xt и tt не находятся на искомой зависимости X (/). Для устранения
этой погрешности можно либо измерять tt в момент окончания преобра-
зования xt в код Xn( либо запоминать хг в известный момент времени
tt = /Тц, а затем измерять xNi.

В первом случае необходим специальный цифровой измеритель
времени, который однако значительно усложняет устройство цифрово-
го прибора для динамических измерений (рис. 9.3 а)

Во втором случае создается циклический режим с постоянным Тц,
в каждом цикле измеряется значение хг, а в качестве t( принимается
время начала цикла измерения х{. При этом возникает динамическая
погрешность (рис. 9.36), равная

Дд = xN. (tt + ta) — Xt (tt).	(9.65)

Эта погрешность устраняется при запоминании мгновенных значе-
ний х( (ti), соответствующих началу каждого г-го цикла измерения.
Цифровой прибор измеряет запомненное значение хг (/г), которое соот-
ветствует времени t{ = iTa. Тогда Xn( равно х( (ti) и динамическая по-
грешность отсутствует (рис. 9.3, в).

Особенностью цифрового измерительного устройства является диск-
ретность представления X (/), при которой отсутствует информация
о промежуточных значениях величины X между моментами измерения.
При этом для получения полного результата динамического измере-
ния — непрерывной зависимости X (/) приходится аппроксимировать
промежуточные значения сигнала X (/), в результате возникает
погрешность от аппроксимации, равная разности между
аппроксимированным и истинным промежуточным значениями
X (t) (п. 7.2). Погрешность от ступенчатой аппроксимации совпадает при
отсутствии других погрешностей с динамической погрешностью. Практи-
чески Мгновенные значения хц{,...,хцп, соответствующие известным мо-
ментам времени tttn, всегда содержат погрешности от квантования и
от неидеальности преобразования. Поэтому для определения оценки сум-
марной случайной погрешности в динамическом режиме производят сум-
мирование соответствующих значений погрешностей от квантования, от
предварительного преобразования и от аппроксимации (п. 7.2).

Если показывающий или регистрирующий прибор, предназначен-
ный для измерения постоянной величины после окончания переходного
процесса, используется в динамическом режиме, то изображение дина-
мической погрешности будет (п. 8.6)

д«

,	'	(9.66)

б (п}= (.	----1) .

д (Р>	\ К(0)	)

При этом погрешность (9.66) зависит от инерционности СИ и от за-
кона изменения X (/).

Если у регистрирующего прибора, предназначенного для измерения
мгновенных значений Хл, нормирована полная динамическая характе-
ристика, например в виде передаточной функции Кн (р), и искомая за-
висимость xn (?) определяется с учетом /<н (р), то изображение динами-
ческой погрешности при линейном инерционном ИП в единицах изме-
ряемой величины будет

л»1/,) к. и х	0 х

~ -х = (хдгг - ‘)х «“)• |,в7>

Измеряемую зависимость определяем обратным преобразованием
Фурье

XN (0 = F~l [xN (/со)] = F~l [-£^-1 •	(9.68)

При этом необходимо знать параметры /<н (/со) и YN (/<о). Тогда дина-
мическая погрешность будет определяться степенью неидентичности
К (/®) и Ха (J®) и погрешностями в определении параметров Y (/<»).
Эта задача определения искомой зависимости xn (0 называется задачей
восстановления сигнала и может быть корректно решена только при оп-
ределенных условиях.

При динамических измерениях обычно с помощью быстродействую-
щих аналоговых или цифровых измерительных устройств определяют
Yn (I) — выходной сигнал линейного инерционного звена со входным
измеряемым сигналом X (0. Если инерционность звена значительна,
то возникает задача восстановления сигнала X (0 с определенной сте-
пенью точности. При линейном инерционном ИП входной сигнал X (0
может быть определен из (9.68).
Для обеспечения корректности решения этой задачи необходимо
произвести проверки на: существование решения xn (О', единственность
решения и устойчивость найденного решения [11].

При определении xn (/) во время эксперимента оператор обычно уве-
рен в существовании xn (О, поэтому отсутствие решения может свиде-
тельствовать лишь о неправильности принятых математических моде-
лей (/®) и Yn (/со). Неединственность решения xn (t) возникает, на-
пример, если прибор имеет более узкую полосу пропускания, чем ши-
рина спектра сигнала. Тогда появление в сигнале дополнительных
спектральных составляющих, лежащих выше полосы пропускания
прибора, не изменяют выходной величины У\(/). Для отбора единст-
венного «правильного» решения используют дополнительную априор-
ную информацию о сигнале, в частности о его длительности и спектре.

Неустойчивость решения уравнения (9.68) определяется погрешно-
стями измерения параметров YN (ja>) и /<н (/со) и наиболее часто являет-

Таблица 25. Примеры восстановления входного сигнала xN (/) по известным
комплексной частотной характеристике измерительного прибора (/ы)
и выходному сигналу УN (0, УN (/<»)

	У^ (/®)		X </<»)	
<4(1 —  — е—Z/T1)	Лд (w) — Ati х 1  X ] /сотх	1	Д6 (со) [1 4- /сот2] —  _ ДТ1-Ш^  1 + /®т,	д[1 _(1 _  	Т2 \ е—t/X, Т1 /
		1 + /С0Т2		
А 	Дт, -, -Д	  ' 1+/ЙИГ!	1	ЛТ14+&  ’- + /®тх	\ тх)
		1 + /сот2		
А •	X  X sin (а/ + + Ф)	А {е'^	£	  {	р2	+	1  (со— а)2 л. е/Ф	Р	  р2 + (со +  + «)2	1	₽Д	х  1 4- /сот2 л ра 4_ (со — а)2 "i"  1 4- /сот3	Де-р/ X  х  W+'*
		1 + /СОТ2		4- т2а2 X  X sin (at — ip 4-  Ф = arctg - ~
			1 р* 4-(со 4-а)2''  X е'*}	
А * ?2 + а3	е-0*1	1	Дпе-а<в (1 4" /шт2) 2	2Ал  а2 4-С2 Х  X [1 4- —22т2 1  [ а2 4- i2 ]
		1 + /®Т2		
ся причиной некорректности поставленной задачи. Неустойчивость
решения уравнения [9.68] часто определяется тем, что его параметры
являются функцией разности параметров Yn (f®) и Кн (/©) и поэтому
даже относительно небольшие погрешности в определении последних
приводят к существенным изменениям значений параметров xN (t).
В таких случаях могут быть значительными «паразитные» высокочастот-
ные составляющие решения. Для повышения устойчивости решения
стремятся к повышению точности определения параметров Yn (fa) и
Кн (/со), к ограничению числа членов ряда и к максимальному исполь-
зованию априорных сведений об искомом сигнале. К настоящему вре-
мени разработано несколько методов решения задачи восстановления
сигнала, из них наиболее часто используемыми являются аппроксима-
тивные и алгебраические методы, а также метод определения производ-
ных выходного сигнала.

Аппроксимативные методы основаны На использовании в качестве
моделей YN (/©) и Кн (/со) простых функций. В табл. 25 приведены ре-
зультаты восстановления сигнала xN (t) после прохождения через апе-
риодическое звено первого порядка и при выходном затухающем си-
гнале YN (t).

Если выходной сигнал имеет затухающе-колебательный характер,
а прибор является колебательным звеном второго порядка, то для ап-
проксимации Yn (/со) и Кя (fa) применяют экспоненциально-косинус-
ные функции [11]. Аппроксимативные методы дают возможность авто-
матическим путем определить параметры модели искомой зависимости
xn (t)-

Алгебраические методы основаны на замене интегрального уравне-
ния (9.68) системой алгебраических уравнений

i=n

S hfaXi = У к, к = 1, 2, 3, ... , т.	(9.69)

!=1

Когда т ~ п, то измеряя т значений YK и подставляя п значений
импульсной характеристики 7ггк, получают систему из п линейных
уравнений с п неизвестными ординатами Решая эту систему одним
из известных способов, определяют совокупность значений х{, т. е.
искомый восстанавливаемый входной сигнал. Если т >• п, то в этом
случае применяют метод наименьших квадратов, чем повышается точ-
ность определения ординат восстанавливаемого сигнала. На основе
алгебраических методов искомую зависимость X (t) определяют не в
виде параметров ее модели, а в виде совокупности соответствующих
значений х{ и t(.

Метод определения производных зависимости YN (t) может быть ис-
пользован в том случае, если уравнение ИП является простейшим
дифференциальным уравнением первого или второго порядка, напри-
мер, если ИП является колебательным звеном второго порядка

K(<og— со)2 + 4fe2ft)2
, .	.	26<в

f (“) - arcts
с известными параметрами, то входной сигнал можно [5] определить
по следующей формуле:

Xn = та- к* +Л- +-V (п •

Л (0) [	fi>0	«0

9.6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
И СПОСОБЫ ОЦЕНИВАНИЯ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ВХОДОМ И ВЫХОДОМ ОБЪЕКТА

Существуют различные методы определения вида и параметров ана-
литической зависимости между входом и выходом объекта: путем оп-
ределения коэффициентов дифференциального уравнения, разностного
уравнения, передаточной функции, амплитудно-частотной характе-
ристики и др.

При определении параметров частотной характеристики объекта.

необходимо на его вход подавать синусоидальный сигнал, изменяю-
щийся в соответствующем диапазоне по частоте. Генерация такого си-
гнала для некоторых объектов представляет значительные трудности.
Созданы специальные приборы, определяющие К. в полосе частот..
При определении параметров передаточной функции

>Z / \   Г (Р)
№	X (р)

на вход объекта подается ступенчатый сигнал X (t) = 1, который
воспроизводится значительно проще. При этом на выходе объекта по-
лучают переходную функцию Y (t). Искомые параметры передаточной
функции X (р) определяют по параметрам переходной функции Y (/).
Ступенчатый входной сигнал не может быть идеальным с бесконечной
крутизной на начальном участке и реализуется практически в виде
возрастающей экспоненциальной функции времени (1 — е_(/т). При
этом самая верхняя граница частотного диапазона объекта не должна
превышать 2л/т.

По виду переходной функции, т. е. по реакции объекта Y (/), опре-
деляют порядок объекта или порядок переходной функции объекта.

Если объект является апериодической системой первого порядка
с передаточной функцией

л X (р) тр + 1

то переходная функция объекта

У (/) = L-1 [Y (р)] = L"1 [К (р) X (р)] = L-1 Г—-*-1 = К (1 - е-^).

L "Г 1 J

где X (р) = 1.

По измеренной переходной функции времени

Y (t) = X (1—е-<А)

можно определить искомые параметры модели — передаточной функ-
ции Кит. Параметр X равен значению выходного сигнала в устано-

41ft
Рнс» 9.4. К определению параметров передаточной функции;

а — для апериодического звена первого порядка; б — для апериодического звена пер*
вого порядка с запаздыванием.

вившемся режиме. Параметр т можно определить по значению первой
производной

«У (О
dt

t—э

так как

<у(0 _ к с_//т то	= л_.

dt т ’	dt t=Q т

Графически т определяется подлине отрезка, отсекаемого касатель-
ной к Y (t) в точке t ~ 0 на линии Y (f) = К (рис. 9.4, а).

Параметр т можно также определить графически как временную
координату точки Y (t) при Y (/) = 0,63 К, так как при t= т Y (t) =
= KJ\ — е~^г) = 0,63 К. Если объект является апериодической си-
стемой первого порядка с чисто временным запаздыванием т3, то пере-
даточная функция объекта



а переходная функция

Ке~У
тр+ 1

Y (/) = L-1 [Y (р)] = L"1 [К (р) X (р)] =

0 при t < тэ
~f+T3

К (1 — е т ) при t >т8.

По переходной функции графически определяют параметры К, тэ
и т передаточной функции (рис. 9.4, б).

Если объект является колебательной системой второго порядка, то
передаточная функция объекта

(p/Wo)2+2^/Wo+i ’
где ? < 1,

а переходная функция

Y (0 = L-1 IY (р)] = L-1 [К (р) X (р)] = К [1 - -Д-- X

I V1 — £а

X sin {/I — g2 <o0i + arctg	j
Рис. 9.5. Зависимость относительного значе-
ния первого переброса 6П у колебательного зве-
на второго порядка от степени затухания ко-
лебаний

Для определения параметров пе-
редаточной функции К, <о0 и g, изме-
ряя Yn (/), определяют Т — период
затухающих периодических колеба-
ний и относительную величину пер-
вого переброса 8п % или логарифми-
ческий декремент затухания D3:

где Y-l — амплитуда первого колебания; Y1+n — амплитуда (п + 1)-го
колебания; п — число периодов колебаний между амплитудами Yt и
Yn+i.

Исходя из рис. 9.5 или формулы (9.70) определяют ^-степень за-
тухания колебаний. В установившемся режиме определяют значение
К, а <оо — по формуле

©„ = ~	.	(9.71)

Описанные методы определения параметров передаточных функций
пригодны для линейных, стационарных объектов с одним входом и од-
ним выходом. Методы определения параметров моделей зависимостей,
рассмотренные в [15], пригодны для линейных и нелинейных объектов,
а также для объектов с несколькими входами и выходами.

Степень точности результата измерения зависимости характери-
зуется отклонением результата измерения зависимости от истинной
зависимости. Отклонение экспериментальной зависимости от истинной
является случайной функцией. Способы оценки степени точности ре-
зультата измерения зависимости подразделяются на дифференциальные
и интегральные. Зависимость, полученная в результате измерения
yN = f (xn), представляется, главным образом, либо в виде таблицы
соответствующих парных значений у^ и xn(, либо в виде параметриче-
ской модели умоя (х^!, ..., ап).

Степень точности результата измерения зависимости может быть
охарактеризована:

погрешностями измерения Ду и Дх в каждой точке эксперимента-
льной зависимости;

по результатам п независимых измерений величин Yt в Z-й точке
зависимости можно определить оценку с. к. о. погрешности в данной
точке

° (д») = j/' Ё	0-72)

интегральной оценкой в виде суммарной дисперсии погрешностей
от неидеальности аналогового преобразования, от квантования и ап-
проксимации (см. п. 7.2);
интегральной оценкой в виде среднего квадратического значения
отклонения аппроксимированной зависимости от экспериментальной
непрерывной зависимости

1/ ~ § [Уап (X) Уже (X)]2 dx .

г И о

Точность параметрической модели может быть охарактеризована:

с. к. о. каждого параметра модели аг...ат на основе метода наи-

меньших квадратов (п. 9.4);

максимальной разностью между соответствующими значениями
экспериментальной зависимости YN (xn) и модели зависимости

//мод (xn, ctlt . . . , ат)',

интегральной оценкой в виде с. к. о. полиномиальной модели, па-
раметры которой определены в результате равноточных измерений по
методу наименьших квадратов при числе уравнений п > т:

а(д»)=1/	—(XjvA, ат)]2 •	(9.73)

у	lb Hi *	/	|	»	I

9.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Задача статистического определения распределения случайной
величины состоит из двух этапов. На первом этапе определяют харак-
тер распределения и уточняют его параметры, на втором этапе прове-
ряют согласие теоретического распределения с опытным. Характер
распределения обычно устанавливают на основе изучения физической
природы случайного явления, либо посредством анализа формы кри-
вой экспериментального распределения. В функцию р (х), которой опи-
сывается установленное теоретическое распределение, входят числовые
параметры а, Ь, с. Для оценивания параметров распределения наиболее
широко применяется так называемый метод моментов. Метод состоит
втом, что параметрыа, Ь, с, ... подбирают таким образом, чтобы момен-
ты теоретического распределения совпадали с оценками соответствую-
щих моментов, вычисленных по опытным данным 157].

Если, например, распределение характеризуется двумя парамет-
рами а и Ь, то их подбирают такими, чтобы математическое ожидание
и дисперсия для этого закона совпадали с оценками математического
ожидания и дисперсии, полученными на основании имеющихся резуль-
татов наблюдений х{:

00	п

М [X] = f хр(х) dx — хСр = — S xi'>	(9-74)

V	И •_j

00

D [X] = У (х — М [X])2р (х) dx =	{

—00

п

У (х{ — Хер)2.
1=1

(9.75)
В частности, для нормального распределения

, .	1	/ (х — Л1[Х])'

» W = /S-OIX! ИР (---------WT

принимают

а = М [X] =	£ х{',

п i=i

b = D[X]^—Ц- £ (х{ -Хср)2.
п ~ 1 1=1

Равномерное распределение, описываемое функцией

( ~	~ при Xmin X ^тах>

р (Л) = < Лтах Лт1п

I 0 при X<Xmin ИЛИ Х>Хтах,
также содержит два числовых параметра хтах и Xmin. Математическое
ожидание и дисперсия для равномерного распределения равны

ОО	00

М [X] = ( хр (х) dx -- ( х-----------------4?-------= тах4 тТ ; (9.76)

J	J	*тах *min	z

D[X]= J (x — M [X])2p(x)dx= j (x— *ma*4*-—

—00	—00

It (^max *mln)

X -----dx =-------------------

Amax *min	u

Вычислив оценки математического ожидания и дисперсии,

М[Х]=±£хС,
п

Р[Х] = —Ц- S ^-м [хп2
п 1	1=1

(9.77)

и приравняв их соответствующим вероятностным характеристикам
(9.76), (9.77), получим систему двух уравнений:

*шах “г* -^min

2

(*max xi

12~

= М [X];

= Ь[Х].

Решая эту систему, имеем неизвестные параметры хтах и xmin.

Для проверки согласия опытного распределения с теоретическим
разработано много различных статистических критериев. Некоторые
из них рассчитаны на специальные законы распределения. Так, крите-
рий асимметрии и эксцесса применяется только для проверки согласия
опытных данных с нормальным законом.

Проверка соответствия опытного распределения с нормальным про-
изводится по значению асимметрии и эксцесса, которые для нормально-
го распределения равны нулю. При проверке опытного распределения
определяются оценки асимметрии, эксцесса и их дисперсий:

i=n

S (х‘ — *ср)3
д=-—;
|	[/ £ (*1•- *ср)2 j

\	п — 1	/

i==n

Z---v~-3;

/ V (Xi~ Xcp)2 \
I >=!______ ]

\ П — 1 J

d(E) = i/24,(”~iSr^ = V— •
' ' r	(n — I)2 (fl + 3) (n + 5)	F n

Если одновременно выполняются соотношения

А —3 УЪ(А) <0;

Е — 3 Vd(E) <0,

то данное опытное распределение считают нормальным.

Для приближенного определения параметров распределения и од-
новременной проверки согласия с предполагаемым теоретическим
распределением применяют графический метод вероятностных сеток.
Эти методы дают менее точные результаты, чем аналитические, но от-
личаются простотой вычислений, большей наглядностью и возмож-
ностью одновременно проверять согласие эмпирического распределе-
ния с теоретическим и позволяют определять оценки параметров эмпи-
рического распределения.

Правила построения и применения вероятностных сеток приведе-
ны в ГОСТ 11.008—75 «Прикладная статистика. Правила построения
и применения вероятностных сеток» для опытных данных, подчиняю-
щихся одному из четырех распределений: нормальному, экспонен-
циальному, логарифмически нормальному и распределению Вейбулла.
Вероятностная сетка для заданного распределения представляет собой
прямоугольную сетку, на которой масштаб выбран таким образом, что-
бы график данного опытного распределения, построенный на сетке,
представлял собой прямую линию. Для нормального распределения
вероятностную сетку строят следующим образом. По оси абсцисс в
масштабе Кх откладывают значение х(.По оси ординат в масштабе Ky
откладывают значение квантилей — у нормированной центрированной
функции нормального распределения Fo (X), у которой М (X) = 0;
а (X) = 1, а у = Х/а (X).
рис. 9.6. График эмпирического распределения, нане-
сенный на вероятностную бумагу.

Масштабный коэффициент Кх для оси
абсцисс (рис. 9.6)

95,1мм

Шу)

-0,975

Кх

В

Xmax *т!п

(9.78)

где В — ширина графика, мм; хт;п, хтах —
наименьшее и наибольшее значения вели-
чины X.

На оси абсцисс в соответствующих
точках проставляются значения величи-
ны X.

Для определения масштабного коэф-
фициента по оси ординат задаются

69,8

55.9

45,3

36,6

29,0

15,1
О

-69,8

-25

36,6

45,3

-0,925

-0,875

-0,825

-0,775
~0.725, „
-6.625'°

А

\-0,325

-6,275

-0,225

-0,175

-0,075- 

Fo (X)mln = 0,001;

Fo (X)max = 0,999.

Соответствующие этим значениям квантили нормированной и цент-
рированной нормальной функции распределения соответственно равны

г/min = х/1 = — 3,090;

г/max = х/\ = 3,090.

Масштабный коэффициент по оси ординат

КУ = Н/6,180,

где В — высота графика по оси ординат, мм.

На оси ординат наносят точки, соответствующие значениям кван-
тилей, а против этих точек проставляют значения функции Fo (У),
соответствующие данным значениям квантилей у (Fo). Вероятностная

Таблица 26. Вероятностная шкала для нормального распределения
при Н = 300 мм

PQ [У = *)	300  6,18 Х Хр (Го)	Го (у = х)	300  6,18 Х  Xfz (Fo)	Fo (У = х)	300  6,18 Х ху (Го)	fo(f = xj	300  6,18 Х  XV (Fo)
0,50	0	0,74	31,2	0,93	71,5	0,992	116,9
0,52	2,4	0,76	34,2	0,94	75,4	0,993	119,0
0,54	4,8	0,78	37,4	0,95	79,8	0,994	121,9
0,56	7,3	0,80	40,8	0,955	82,3	0,995	124,9
0,58	9,8	0,82	44,4	0,960	85,0	0,9955	126,7
0,60	12,3	0,84	48,2	0,965	88,0	0,9960	128,7
0,62	14,8	0,86	52,4	0,970	91,2	0.9965	131,0
0,64	17,4	0,88	57.0	0,975	95,1	0,9970	133,2
0,66	20,0	0,90	62,2	0,980	99,6	0,9975	136,2
0,68	22,7	0,91	63,0	0,985	106,2	0,9980	139,5
0,70	25,4	0,92	68,1	0,990	112,9	0,9985	144,9
0,72	28,3			0,991	114,8	0,9990	150

11 р и м е ч а н н е: для FQ (у) < 0.5; у (FQ) = — у (i — FQ).
шкала для нормального распределения представлена при Н — 300 мм
в табл. 26.

Экспериментальные данные о случайной величине (результаты на-
блюдений), параметры распределения которой необходимо определить,
представляются в виде выборки—совокупности значений хг. Если
объем выборки не превышает п = 50, то результаты наблюдений строят
в вариационный ряд в порядке возрастания:

х1<х2<х.3< <хп.

Затем определяют значения экспериментальной функции распреде-
ления

Fs (х4) = t7(n + 1) (i = 1, 2, 3.n).

Значения Fa (хг) и х{ наносят на вероятностную сетку. Через полу-
ченные точки, пренебрегая обычно положением одной-двух крайних
точек с обеих сторон проводят прямую так, чтобы нанесенные точки
отклонялись бы от нее как можно меньше. Прямую эту обычно прово-
дят визуально. Если точки Fs (х() мало отклоняются от проведенной
прямой, то это свидетельствует о том, что экспериментальные данные
не противоречат нормальному распределению.

Оценки параметров распределения находят по углу наклона по-
строенной прямой и по отрезкам, отсекаемым ею на осях координат (о
учетом масштаба), так как для экспериментальной функции распреде-
ления квантили распределения будут равны

У экс =

Х( — М(Х)
а(Х)

Прохождение полученной прямой через начало координат, под уг-
лом 45° означает, что представленная совокупность распределена
по нормальному закону без смещения, тогда М (X) = 0 и а (X) = 1.
Если эта прямая не проходит через начало координат, а угол ее накло-
на а =/= 45°, то распределение нормально, имеет смещение

М (Х)=^0 и а(Х)=#=1.

В случае, если построенная прямая пересекает ось абсцисс в точ-
ке А (рис. 9.6), то оценку смещения определяют по следующей формуле

М (X) = Хор = ОА/К„

где ОА — длина отрезка на оси абсцисс между началом координат и
точкой А, мм.

Оценку о (X) определяют из соотношения

о (X) = X^tga,
где а — угол отклонения прямой от вертикали.

По характеру кривой, которую образуют опытные точки на вероят-
ностной бумаге, можно судить о том, в какую сторону от нормал иного
вакона в смысле островершинности или плосковершинности откло-
нс. 9.7. Графики, построенные на вероятиост-
бумаге (нормального закона) для следующих

~	распределений:

* — нормального; б — симметричного, более плос-
Крвершинного, чем нормальный; в — симметрич-
ного, более островершинного, чем нормальный;
г —- асимметричных.

няется кривая распределения иссле-
дуемой совокупности (рис. 9.7). Если
точки на вероятностной бумаге обра-
зуют две прямые линии, то распреде-
ление асимметрично.

Для проверки согласия опытного
распределения с теоретическим ГОСТ
11.006—74 рекомендует универсаль-
ные критерии, применимые для любых
законов распределения — критерий

Колмогорова (X), Пирсона X2 (хи — квадрат), Q2. Критерии X и X2 при-

меняются, если число наблюдений 100. Для применения критерия
Q2 необходимо обеспечить п > 50. Критерии X2 и X проще вычисляют-

ся, но они предполагают знание не только общего вида, но и парамет-
ров теоретического распределения. КритерийX2 допускает возможность

оценки неизвестных параметров распределения на основе опытных

данных.

Проверка согласия опытного распределения с теоретическим произ-
водится в следующем порядке.

1. Строят вариационный ряд, в котором результаты наблюдений
Xi, х2, х3, ..., хп располагаются в возрастающем порядке.

2ч Определяют размах изменения величины X:

Вх хп xv

3.	Весь размах делят на т равных интервалов шириной Ьх каждый.
В качестве Ьх можно выбирать цену деления С средства измерений,
применявшегося при наблюдении величины X. Количество интервалов
рекомендуется назначать в пределах 20...30. Если оказывается, что
Вх/С >• 60, то значение Ьх можно выбирать кратным С (2С, ЗС, ...),
Во таким, чтобы выполнялось соотношение ВХ1ЬХ 30. При этом необ-
ходимо учитывать, что увеличение числа интервалов приводит к более
Полному учету всех особенностей опытного распределения.

Однако слишком большое дробление размаха Вх нежелательно вви-
ду того, что на результате проверки могут сказываться резко отличаю-
щиеся результаты наблюдений, не характерные для случайной вели-
чины. Это может привести к снижению надежности статистического вы-
вода о соответствии опытных данных теоретическому распределению.
Ширина интервалов Ьх должна быть такой, чтобы каждый из них
содержал 5...10 результатов наблюдений. Если после разбиения оказы-
вается, что это число меньше 5, то соответствующие интервалы объеди-
няют с соседними.

Если цена деления средства измерения неизвестна, то число т мож-
но определить в зависимости от объема выборки п из следующих
отношений:

m = E|0,04zi] при 50<п<100;

т = Е11 + 3,32 log п | при 100 п < 200;

т — Е | 4	— I)2 | при п 200.

(Е означает целую часть числа, заключенного в скобки).

Определяется число попаданий результатов наблюдений в каждый
интервал (эмпирическая частость) п/ (j = 1, 2, .... т). Если для неко-
торого / = k оказывается, что п/ <; 5, то k-й интервал объединяют с
соседними, и значение т уменьшают на единицу.

4.	По таблицам либо расчетным путем находят значения интеграль-
ного теоретического распределения на границах интервалов хя., хь.
(/=1,2.......т):

Ft (хн,), Ft (хЬ) = xHj), .... FT (xbj = хн0+!))> .... Ft (хьт).

Для любого /

Х„

®/

Ft (хН/.) = Р (X хИ/) = У рТ (х) dx; FT (х^) = Р{Х^. xbj} =

—ОО

= \ Рт (х) dx,

—оо

где рт (х) — плотность теоретического распределения.

Дальнейшие вычисления производят в зависимости от выбранного
критерия согласия.

При использовании критерия Колмогорова:

5.	Находятся статистические оценки интегральной функции рас-
пределения на границах интервалов

F3 (хН1) = 0;

/-1

S "к

F» (*h;) =	-	’ } = 2, 3, ,,. , m;

S «к

Ft (xbf) =	, /=1, 2, 3, .... tn,

причем F„ (хя} = Fa (xb{j_iy).

6.	Строятся графики функций FT (xt) и F„ (x/) и определяется мак-
симальное расхождение

D = max | Fa (xt) — FT (xz) |.

7.	Вычисляются значения критерия

Xj = D У~п .
8.	Вероятность того, что максимальное расхождение в предполо-
жении выбранного теоретического распределения будет не меньше,
чем вычисленное значение равна

Р (XJ = Р (X > М = S (— 1)“ ехр (— 2к2Х?)	(9.79)

К=—1' 00

Эту вероятность можно найти по табл. 27. При машинном вычисле-
нии по [9.79] к достаточно изменять в пределах —20...+20.

9.	Если значение Р (XJ достаточно велико (Р (Xt) 0,6), то теоре-
тическое распределение считают согласующимся с опытными данными

Таблица 27. Значения вероятности Р (1 > 11) для критерия Колмогорова

X,	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	ЬО	1,1
Р (X>ki)	0,9999	0,9971	0,9394	0,8642	0,7112	0,5441	0,3927	0,2700	0,1777

Таблица 28. Квантили уа-распределения

f	1 — а						
	0,005	0.1	0,05	0.1	0,9	0,95	0,99
1	0,000039	0,00016	0,0039	0,015	2,71	3,64	6,63
2	0,010	0,020	0,103	0,211	4,61	5,99	9,21
3	0,071	0,115	0,362	0,584	6,25	7,81	11,34
4	0,207	0,297	0,711	1,06	7,78	9,49	13,28
5	0,412	0,554	1,15	1,61	9,24	11,07	15,09
6	0,676	0,872	1,64	2,20	10,64	12,59	16,81
7	0,989	1,24	2,17	2,83	12,02	14,07	18,48
8	1,34	1,65	'	2,73	3,49	13,36	15,51	20,08
9	1,73	2,09	3,33	4,17	14,68	16,9	
10	2,16	2,56	3,94	4,87	15,99	18,31	23,21
И	2,60	3,05	4,57	5,58	17,28	19,68	24,73
12	3,07	3,57	5,23	6,30	18,55	21,03	26,22
13	3,57	4,11	5,89	7,04	19,81	22,36	27,69
14	4,07	4,66	6,57	7,79	21,06	23,68	29,14
15	4,60	5,23	7,26	8,55	22,31	25,00	30,58
16	5,14	5,81	7,96	9,31	23,54	26,30	32,00
17	5,70	6,41	8,67	10,08	24,77	27,59	33,41
18	6,26	7,01	9,39	10,86	25,99	28,87	34,81
19	6,84	7,63	10,12	11,65	27,20	30,14	36,19
20	7,43	8,26	10,85	12,44	28,41	31,41	37,57
21	8,03	8,90	11,59	13,24	29,62	32,67	38,93
22	8,64	9,54	12,34	14,04	30,81	33,92	40,29
23	9,26	10,20	13,09	14,85	32,02	35,17	41,64
24	9,89	10,86	13,85	15,66	33,20	36,42	42,98
25	10,52	11,52	14,61	16,47	34,38	37,65	44,81
26	11,16	12,20	15,38	17,29	35,60	38,88	45,64
27	11,81	12,88	16,15	18,11	36,74	40,10	46,96
28	12,46	13,56	16,93	18,94	37,92	41,34	48,28
29	13,12	14,26	17,71	19,77	39,09	42,56	49,59
30	13,79	14,95	18,49	20,60	40,26	43,73	50,89
40	20,71	22,16	26,51	29,06	51,81	55,76	68,69
60	35,53	37,48	43,19	46,46	74,40	79,08	88,88
120	83,85	86,92	95,70	100,62	140,23	146,57	158,95
В противном случае гипотеза о справедливости выбранного теоре-
тического распределения отвергается и проверяется гипотеза о согла-
сии опытных данных с другим теоретическим распределением.

При использовании критериях2:5. Определяется
теоретическая вероятность попадания случайной величины в каждый
интервал

Р/ = Ft (xb/) — FT (хи.) (/= 1, 2, ..., т).

6.	Для каждого интервала оценивается число попаданий реализа-
ций случайной величины X, ожидаемое в предположении выбранного
теоретического распределения

пТ/ = пР/ j — 1,2, ... , т.

7.	Вычисляется значение критерия

8.	Устанавливается уровень значимости а и по табл. 28 находится
критическое значение X2 (/; 1 —а) для числа степеней свободы

f — т — k— 1,

где k — количество параметров теоретического распределения, кото-
рые оценивались на основе опытных данных.

9.	Сравнивается полученное значение критерия с критическим.
Эмпирическое распределение считается согласующимся с теоретиче-
ским, если X2 < X2 (/; 1 — а). В противном случае гипотеза о справед-
ливости теоретического распределения отвергается.
Глава 10

ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИЧЕСКОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Значимость измерений в настоящее время настолько возросла, их
проникновение во все области человеческой деятельности стало на-
столько глубоким и обширным, что дальнейшее развитие измерений и
повышение их эффективности стало невозможно без соответствующего
общегосударственного обеспечения их единства, заданного уровня точ-
ности и достоверности, планирования их развития и применения. Воз-
никло новое понятие — метрологическое обеспечение, которое охва-
тывает установление требуемой точности измерений, обеспечение на-
родного хозяйства страны средствами измерений, обеспечение единства
измерений.

10.1.	МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Метрологическое обеспечение — это установление и применение науч-
ных и организационных основ, технических средств, правил и норм,
необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений
(ГОСТ 1.25—76).

Организационной основой метрологического обеспечения является
метрологическая служба СССР, состоящая из государственной и ве-
домственных метрологических служб.

В государственную метрологическую службу, возглавляемую Гос-
стандартом, входят: главный центр государственной метрологической
службы, Всесоюзный научно-исследовательский институт метрологии
ВНИИМ, ВНИФТРИ и другие, главные центры государственных эта-
лонов, главный центр стандартных образцов веществ и материалов,
центр государственной службы справочных данных, органы государст-
венной метрологической службы в союзных республиках.

В ведомственную метрологическую службу в каждом министерстве
или ведомстве входят: отдел, руководящий метрологической службой
министерства, головная организация метрологической службы — одна
из ведущих научно-исследовательских или проектно-конструкторских
организаций; базовые организации метрологической службы из числа
НИИ, СКВ или предприятий данного министерства; отделы главных
метрологов данного предприятия или организации.

Основными целями метрологического обеспечения (ГОСТ 1.25—76)
являются: повышение качества продукции, эффективности управления
и уровня автоматизации производственных процессов; обеспечение
взаимозаменяемости деталей, узлов и агрегатов, необходимое для коо-
перирования и специализации производства; повышение эффективно-
сти научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, экспе-
риментов и испытаний; обеспечение достоверного учета и повышение
эффективности использования материальных ценностей и энергоресур-
сов; повышение эффективности мероприятий по профилактике, диа-
гностике и лечению болезней, нормированию и контролю условий труда
и быта людей, охране окружающей среды, оценке и рациональному ис-
пользованию природных ресурсов; повышение уровня автоматизации
управления транспортом н безопасности его движения; обеспечения
высокого качества и надежности связи.

Задачи метрологического обеспечения обширны, среди основных,
выполняемых органами государственной метрологической службы,
необходимо отметить:

разработку основ метрологического обеспечения на всех уровнях
управления народных хозяйством;

проведение фундаментальных научных исследований по созданию
и совершенствованию методов и средств измерений высшей точности и
определению значений физических констант, создание и совершенство-
вание эталонов.

К основным задачам метрологического обеспечения, выполняемым
органами ведомственной метрологической службы, относятся:

определение основных направлений работ по метрологическому
обеспечению разработки, производства, испытаний и эксплуатации
продукции на предприятиях отрасли;

создание и внедрение государственных и отраслевых стандартов
на нормы точности измерений, методики выполнения измерений и
средств измерений по специализации министерства;

организацию метрологической экспертизы проектов предприятий,
сооружений, продукции, стандартов, конструкторской и технологи-
ческой документации;

разработку оптимальных норм точности и методики выполнения
измерений, испытаний и контроля на данном предприятии;

проведение метрологической экспертизы проектов нормативно-
технической, конструкторской и технологической документации;

поверка и метрологическая аттестация средств измерений и методик
измерения.

Работы по метрологическому обеспечению на предприятии прово-
дятся по подразделениям и отделам метрологической службы. Ответ-
ственность за состояние метрологического обеспечения возлагается на
руководителя предприятия. Правила и нормы метрологического обес-
печения устанавливаются стандартами Государственной системы обес-
печения единства измерений.

Единство измерений обеспечивают единообразие решени й в системах
контроля и управления технологическими процессами, а также необхо-
димый уровень достоверности научных выводов при исследованиях.

Единство контроля должно обеспечивать заданную достоверность
правильности решений в идентичных условиях при управлении по си-
гналам контролирующих устройств. Единство контроля должно обеспе-
чиваться установлением единства нормальных состояний объектов и
единства условий сравнения образцового и контролируемого объектов.
В настоящее время ведется подготовка к созданию Государственных
систем обеспечения единства контроля и испытаний, которые будут
важными рычагами метрологического обеспечения народного хозяйст-
ва страны [331.

10.2.	ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

Ранее средства измерений использовались главным образом в пря-
мых измерениях, преимущественно в статике. При этом погрешность
результата измерения определялась в основном погрешностью средств
измерений.

В настоящее время в нашей стране находится в эксплуатации свыше
1 млрд, приборов, большая половина которых используется в произ-
водстве. Ежедневно производятся сотни миллиардов измерений. Сред-
ства измерений используются во все более сложных видах измерения,
в составе сложных автоматических средств, обычно в динамике. Это
приводит к тому, что погрешность результата измерения зависит не
столько от погрешности средств измерения, сколько от методических
погрешностей, от вида коррекции погрешностей, динамических харак-
теристик средств измерений и квалификации оператора. Высокий уро-
вень точности измерений в стране может быть обеспечен только при на-
личии эффективного метрологического обеспечения, одной из основных
задач которого является обеспечение единства измерений.

Единством измерений называется такое состояние измерений, при
котором их результаты выражены в узаконенных единицах и имеют
нормированную точность. Единство измерений в стране достигается на
основе единства: эталонов, мер; испытаний, поверки, метрологических
характеристик средств измерений; методик измерений и форм представ-
ления результатов измерения. Для указанной цели введена в действие
система соответствующих основополагающих метрологических госу-
дарственных стандартов в виде Государственной системы обеспечения
единства измерений, основные положения которой изложены в
ГОСТ 1.25—76. Основной задачей ГСИ является повышение уровня
измерительного дела в стране. Выполнение этой задачи обеспечивается
комплексом мероприятий, правил, положений и стандартов.

Основные требования ГСИ следующие:

результаты измерения должны выражаться в единицах физических
величин, допущенных к применению в СССР, согласно ГОСТ 8.417—81
(СТ СЭВ 1052—78) «ГСИ. Единицы физических величин»;

средства измерений, предназначенные к серийному выпуску, под-
лежат государственным испытаниям согласно ГОСТ 8.001—80 «ГСИ.
Организация и порядок проведения государственных испытаний
средств измерений» и ГОСТ 8.383—80 «ГСИ. Государственные испыта-
ния. Основные положения»;

средства измерений, находящиеся в пользовании, должны периоди-
чески подвергаться государственной проверке, ревизии, экспертизе
согласно ГОСТ 8.002—71 «ГСИ. Организация и порядок проведения
поверки, ревизии и экспертизы средств измерений»;

метрологические характеристики средств измерений, подлежащие
нормированию в нормативно-технической документации на средства
измерений, должны соответствовать ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируе-
мые метрологические характеристики средств измерений»;

измерения, нормы точности которых регламентированы стандар-
тами или нормативно-техническими документами, должны выполняться
по стандартным или аттестованным методикам выполнения измерений,
в соответствии с ГОСТ 8.010—72 «ГСИ. Общие требования к стандарти-
зации и аттестации методик выполнения измерений»;

форма представления результатов измерений, регламентированных
соответствующими нормативными документами, должна соответство-
вать ГОСТ 8.011—72 «ГСИ. Показатели точности измерений и формы
представления результатов измерений».

Обеспечение единства измерений повышает достоверность науч-
ных исследований и качество промышленной продукции, способствует
более правильной эксплуатации средств измерений и благодаря этому
дает большой экономический эффект.

В состав метрологической службы страны входит также Государст-
венная служба стандартных справочных данных (ГСССД) и Государст-
венная служба стандартных образцов (ГССО). ГСССД обеспечивает
сбор, анализ и апробацию данных о всех известных свойствах веществ,
ГССО организует выпуск стандартных образцов шероховатости, хими-
ческого состава и свойств веществ и материалов.

Стандартизация и аттестация методик выполнения измерений

В настоящее время все в большей степени преобладают не разовые
прямые измерения, а сложные, многократные, например косвенные*
при которых точность и достоверность результатов зависит не только
от совершенства средств измерений, но в значительной мере и от пра-
вильности методики их выполнения.

Методикой выполнения измерений называют совокупность требова-
ний к методам, средствам, способам подготовки измерений и обработки
результатов наблюдений, которые при данных условиях обеспечивают
заданные показатели точности результата измерения. Соблюдение всех
требований этой методики настолько существенно влияет на результат
измерения, что возникла необходимость в ее регламентации.

Регламентация методик выполнения измерений устанавливается
ГОСТ 8.010—72 «ГСИ. Общие требования к стандартизации и аттеста-
ции методик выполнения измерений». Стандарт устанавливает общие
требования к стандартизации и аттестации методик измерения, точность
которых регламентируется государственными стандартами и другими
нормативными документами. Это означает, что измерения, точность ко-
торых установлена вышеупомянутыми документами, должны выпол-
няться по стандартизованным или аттестованным методикам, так
как только в этом случае^может быть гарантирована заданная точ-
ность измерения. .
ГОСТ 8.010—72 предусматривает две формы регламентации мето-
дик выполнения измерений: стандартизацию и аттестацию, соответст-
венно методики выполнения измерения устанавливаются стандартами
(государственными либо отраслевыми) или аттестатами. Поверка и ут-
верждение методик выполнения особо точных измерений производится
метрологическими организациями Госстандарта, а методик технологи-
ческих измерения при испытаниях и контроле изделий — ведомствен-
ными метрологическими службами.

В стандарте и аттестате на методику выполнения измерений в ос-
новном указывают:

область применения данной методики;

требования к средствам измерений и вспомогательным устройствам;

метод измерений;

порядок подготовки и выполнения измерений;

условия измерений и диапазоны значений влияющих величин;

показатели точности результата измерения и зависимости их от
влияющих величин (в аттестате указываются численные значения пока-
зателей точности согласно ГОСТ 8.011—72);

способы обработки результатов измерений (в аттестате не указы-
ваются);

степень квалификации операторов;

мери по технике безопасности.

Измерения по стандартизованным методикам должны выполняться
средствами, которые прошли государственные испытания согласно
ГОСТ 8.001—72, а при измерениях по аттестованным методикам метро-
логические характеристики средств измерений могут быть определены
непосредственно в процессе метрологической аттестации методики,
т. е. в процессе ее поверки.

Метрологической аттестацией методики выполнения измерений
называются исследования, при которых определяются значения пока-
зателей точности измерения по данной методике.

Передача размеров единиц величин от эталонов
к образцовым рабочим средствам измерений.
Поверочные схемы. Методы поверки средств измерений

Высокая точность эталона бесполезна, если ее нельзя передать об-
разцовым и рабочим средствам измерений. Поэтому метрологической
службой страны предусмотрена многоступенчатая система передачи
размера единицы каждой величины к рабочим средствам измерений.
Эта система изображается в виде поверочной схемы, представляющей
собой документ, которым устанавливаются средства, методы и точность
передачи размера единицы данной величины от эталона или исходного
образцового СИ рабочим средствам измерений.

Поверочные схемы изображаются в виде последовательной ветвя-
щейся диаграммы, каждая ступень которой соответствует передаче
размера единицы физической величины между эталонами или образ-
цовыми средствами измерений. Государственную поверочную схему
возглавляет СИ наивысшей точности — Государственный первичный
Рис. 10.1. Ведомственная поверочная схема для средств намерения времени н частоты.

эталон единицы физической величины. Поверочная схема регламенти-
рует порядок и точность передачи единиц, методы и средства поверки.
На рис. 10.1 представлен пример компоновки элементов ведомственной
поверочной схемы для СИ времени и частоты. При передаче происходит
поверка данного средства измерений соответствующим средством изме-
рений более высокого класса точности.

Поверкой называется определение погрешностей средства измерений
и установление его пригодности к использованию.

Для поверки мер используются следующие методы:

1)	сличение при помощи компаратора путем сравнения выходной
величины меры и эталона или образцовой меры для определения
систематических погрешностей;

2)	прямое измерение величины, воспроизводимой поверяемой ме-
рой, измерительным прибором более высокого класса точности;

3)	косвенное измерение;

4)	калибровка набора мер посредством совокупных измерений
(п. 2.3).

Для поверки измерительных приборов используются следующие
методы:

1.	Непосредственное сличение показаний поверяемого и образцо-
вого измерительных приборов производится при измерении ими одной
и той же величины, при этом погрешность поверяемого прибора прини-
мается равной разности их показаний. Возможны два варианта этого
^етода, когда значения величины устанавливаются по числовым от-
Рнс. 10.2. Схема автоматической поверки
измерительных преобразователей, цифро-
вых измерительных приборов и аналоговых
измерительных приборов.

меткам образцового или поверяе-
мого прибора. Первый вариант
удобен для поверки многих при-
боров одновременно, для автома-
тической поверки. Второй вари-
ант удобен тем, что погрешность
поверяемого прибора определя-
ется с большей точностью по
шкале образцового прибора с
большим числом делений.

2.	Использование меры более
Точной, чем поверяемый прибор.
Выходная величина меры, значе-
ние которой устанавливается по

входному коду меры Nx, подается на вход поверяемого прибора, при

этом погрешность прибора принимается равной разности показания
Прибора и значения выходной величины меры = NxqK.

Методы поверки средств измерений в настоящее время автоматизи-

рованы с применением средств вычислительной техники и кодоуправ-
ляемых мер, благодаря чему во много раз увеличивается производи-
тельность труда поверителей. При автоматизированной поверке изме-
рительных преобразователей, цифровых измерительных и аналоговых
измерительных приборов (рис. 10.2) ЭВМ по заданной программе вы-
дает числовые значения величины Nx, при которых должны быть по-
верены средства измерений. Эти значения подаются на вход управляе-

мой меры, на выходе которой воспроизводится величина xn, размер
которой задан. Величина Xw подается на входы поверяемых средств из-
мерения. Информация с выхода поверяемых средств подается на элект-
ронно-вычислительную машину для вычисления погрешностей средств
и выработки сигналов для соответствующего документирования ре-
зультатов поверки.

Государственные испытания новых средств измерении

Основная часть средств измерений в нашей стране создается пред-
приятиями Министерства приборостроения. Однако значительная их
Часть создается в других отраслях народного хозяйства, на предприя-
тиях многих министерств и ведомств, часть средств измерений заку-
пается за границей. Все вновь создаваемые и находящиеся в обращении
В стране средства измерений должны соответствовать единым общего-
сударственным стандартам и нормам. Для этого в нашей стране создана
Единая система государственных испытаний средств измерений, основ-
ными задачами которой является обеспечение единства и достоверности
измерений в стране и совершенствование средств измерений. Система
Государственных испытаний устанавливается ГОСТ 8.001—80. «Орга-
низация и порядок проведения государственных испытаний средств
Рис. 10.3. Знак Государст-

венного реестра мер н изме-
рительных приборов СССР.

измерений» и включает комплекс правил и
норм, определяющих задачи, организацию и
порядок проведения государственных испыта-
ний средств измерений. Государственным ис-
пытаниям подлежат средства измерений, вы-
пускаемые в стране серийно и закупаемые пар-
тиями за границей.

Государственные испытания подразделяют-
ся на два вида: приемочные и контрольные.

Приемочные — испытания, предназначен-

ные для испытания опытных образцов новых

средств измерений, подготовленных к серийно-
му производству, и импортируемых. По резуль-

татам приемочных испытаний Госстандарт утверждает тип данного сред-

ства измерения и вносит его в Государственный реестр мер и измери-
тельных приборов СССР, что является основанием для выпуска их в
обращение в стране. На средства измерений, внесенные в Государст-
венный реестр, наносится знак Государственного реестра (рис. 10.3)
(на изделия с государственным знаком качества знак Государственного
реестра не наносится). Государственные приемочные испытания прово-
дятся государственными комиссиями, назначенными Госстандартом
или министерствами и ведомствами по согласованию с Госстандартом,
а также метрологическими организациями Госстандарта.

Контрольные испытания предназначаются для испытания образ-
цов средств измерений из установочной серии и средств измерений, вы-
пускаемых серийно. По результатам контрольных испытаний Госстан-

дарт разрешает серийный выпуск данного средства измерений, положи-

тельные результаты контрольных испытаний серийно выпускаемых

средств являются основанием для продолжения их серийного выпуска.
Государственные контрольные испытания проводятся метрологически-
ми организациями Госстандарта.

Для проведения государственных испытаний созданы органы и
службы государственных испытаний, которые являются частью систе-
мы органов и служб стандартизации и метрологии СССР. Основные
функции по проведению государственных испытаний распределены
между организациями Госстандарта следующим образом:

Госстандарт создает организационные и методические основы госу-
дарственных испытаний средств измерений, разрабатывает планы
государственных испытаний, утверждает технические задания на образ-
цовые и наиболее важные средства измерений, утверждает типы средств
измерений;

министерства и ведомства СССР разрабатывают отраслевую норма-
тивно-техническую документацию, представляют проекты технических
заданий на средства измерений;

головная научная организация по государственным испытаниям
средств измерения — Всесоюзный научно-исследовательский институт
метрологической службы Госстандарта ВНИИМС — руководит (в науч-
но-методическом плане) работами по созданию нормативно-технической
документации, определяющей порядок проведения испытаний, ведет
Государственный реестр, обобщает и анализирует результаты госу-
дарственных испытаний средств и измерений;

метрологические институты Госстандарта проводят метрологиче-
скую экспертизу технических заданий на разрабатываемые образцовые
й наиболее важные средства измерений, создают образцовые средства
Измерений высшего разряда, разрабатывают методы испытаний средств
измерений, производят аттестацию аппаратуры, предназначенной для
государственных испытаний;

республиканские управления и центры стандартизации и метроло-
гии Госстандарта разрабатывают методы испытаний, аттестацию ап-
паратуры для испытаний и анализируют результаты государственных
испытаний средств измерений;

лаборатории государственного надзора за стандартами и измери-
тельной техникой разрабатывают аттестацию аппаратуры для го-
сударственных испытаний, анализируют результаты испытаний
Средств измерений, производят сбор и анализ сведений об экс-
плуатации средств измерений, которые прошли государственные ис-
пытания.

Основными целями государственных приемочных испытаний яв-
ляется установление: соответствия средств измерений требованиям
Стандартов и техническим заданиям; возможности обеспечения нор-
мированных метрологических характеристик средств измерения при
их серийном производстве и эксплуатации; перечня метрологических
характеристик данного средства измерения, подлежащих контролю,
й перечня изменений, которые необходимо ввести в конструкцию,
техническую документацию данного средства измерения.

Организация-разработчик данного средства измерения должна
представить на государственные приемочные испытания:

три образца средств измерений;

• перечень аппаратуры или аттестованную аппаратуру, необходимую
для проведения испытаний;

г проект методики испытаний;

экземпляр вновь разработанного и аттестованного поверочного
средства;

комплект технической документации о литерой «О» по
ГОСТ 2.103—68.

По результатам государственных приемочных испытаний составля-
ют акт.

Основными целями контрольных испытаний образцов из устано-
вочной серии или из серийно выпускаемых средств измерений явля-
Ются:

установление соответствия требованиям стандартов и технических
условий;

установление степени метрологического обеспечения произведен-
ного средства измерения.

Контрольные испытания проводятся в следующих случаях:

при выпуске установочной серии;

при поступлении данных об ухудшении качества средства измере-
ния, выпускаемого серийно;
при изменениях конструкции и технологии средства измерения,
которые могут повлиять на их нормируемые метрологические характе-
ристики;

в порядке государственного надзора за качеством изделий.

Государственная поверка, ревизия
и зкспертиза средств измерений

Средства измерений применяются во всех отраслях народного хо-
вяйства страны в самых различных условиях и всегда должны быть
готовы к использованию по назначению, должны обладать определен-
ным уровнем надежности. Правильность применения средств измере-
ний и необходимый уровень их надежности обеспечивается системой
метрологического надзора, которая устанавливается ГОСТ 8.002—71
«ГСИ. Организация и порядок проведения поверки, ревизии и экспер-
тизы средств измерений». ГОСТ 8.002—71 устанавливает три основные
формы метрологического надзора: поверку, ревизию и экспертизу
средства измерений.

Поверка средств измерений производится для установления пригод-
ности их к применению. Различают четыре вида поверки средств изме-
рений:

первичную, которая проводится при выпуске и после ремонта;

периодическую, которая проводится при эксплуатации и
хранении через определенные межповерочные интервалы;

внеочередную, которая проводится в тех случаях, когда
необходимо установить состояние данной группы средств измерений
в данный момент времени, например, перед вводом их в эксплуатацию;

инспекционную, которая производится при метрологи-
ческой ревизии.

Ревизия средств измерений производится для установления соот-
ветствия средств и методик измерения необходимому уровню метроло-
гического обеспечения производства. Метрологическая ревизия произ-
водится, главным образом, на предприятиях и организациях, выпус-
кающих новые и ремонтирующих приборы.

Экспертиза производится в тех случаях, когда возникает спор по
средствам измерений, методике их применения.

Поверка средств измерений подразделяется на государственную
и ведомственную. Государственной или ведомственной поверке подле-
жат все средства измерений. Средства измерений, предназначенные
для учебных целей, должны иметь отчетливо видимое обозначение «У»,
и контроль за их исправностью реализуется согласно требованиям
учебного процесса. Средства измерений, предназначенные только для
наблюдения за изменениями величин и не использующиеся для опреде-
ления значения величин с нормированной точностью, т. е. выполняю-
щие функции индикатора, должны иметь отчетливо видимое обозначе-
ние «И», контроль их состояния осуществляется органами ведомствен-
ной метрологической службы. Списки этих приборов представляются
органам государственной метрологической службы.
Поверка средств измерений может быть поручена только лицам,
имеющим специальную подготовку, сдавшим экзамены в учебных за-
ведениях Госстандарта. Государственная поверка средств измерений
может быть поручена только лицам, имеющим квалификацию госу-
дарственного поверителя. Лица, осуществляющие сборку или юсти-
ровку средств измерений при выпуске их или при ремонте, не должны
допускаться к проведению поверки. Периодичность поверки средств
измерений колеблется в пределах от одного раза в год до одного раза
в пять лет, в зависимости от рода величины и типа прибора. Государст-
венной поверке подлежат, прежде всего, средства измерений в органах
государственной и ведомственной метрологических служб, для госу-
дарственных испытаний новых средств измерений, применяемых для
измерений, связанных с учетом материальных ценностей, охраной здо-
ровья трудящихся, обеспечением безопасности труда, с регистрацией
официальных спортивных рекордов, выпускаемые из производства в ка-
честве образцовых средств измерений.

Для осуществления метрологического надзора в стране под руковод-
ством Госстандарта создана единая метрологическая служба, состоящая
из государственной и ведомственных метрологических служб мини-
стерств и ведомств.

Государственная метрологическая служба обеспечивает единства
и достоверность измерений в стране комплексом нормативно-техниче-
ских документов государственной системы обеспечения единства изме-
рений (ГСП), комплексом эталонов и образцовых средств измерений
и контролем выполнения требований ГСП.

Ведомственная метрологическая служба обеспечивает единство и
достоверность измерений в данной отрасли народного хозяйства конт-
ролем соблюдения требований ГСП, внедрением совершенных методик
измерений, обеспечивающих высокое качество продукции, и контролем
состояния и правильности применения средств измерений. Ответст-
венность за организацию и качество ведомственного метрологического
надзора несут руководители предприятий и учреждений.

10.3.	ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ ЭТАЛОНЫ
ОСНОВНЫХ ЕДИНИЦ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Государственные эталоны СССР являются общенародным достояни-
ем, которое обеспечивает национальную независимость нашей страны в
области измерений. К концу 1981 г. в стране действовало ^государст-
венных эталонов различных физических величин, а в течение одиннад-
цатой пятилетки должно быть введено в действие еще около 30.

Воспроизведение основных единиц Международной системы единиц
; (СИ) должно согласно ГОСТ 8.057—80 осуществляться с помощью госу-
! дарственных эталонов. Воспроизведение дополнительных и производ-
ных единиц осуществляется с помощью государственных эталонов, либо
с помощью образцовых средств измерений, если требуемая точность
воспроизведения данной единицы может быть обеспечена косвенными
измерениями. Основной тенденцией совершенствования эталонов
единиц физических величин является все более широкое использование
«квантовых эталонов», т. е. естественно воспроизводимых эталонов, ос-
нованных на физических константах.

Рассмотрим государственные первичные эталоны основных единиц
физических величин.

Государственный первичный эталон единицы длины(ГОСТ 8.020—75).
В 1960 г. на XI Генеральной международной конференции
по мерам и весам в качестве единицы длины был принят метр,
размер которого выражается в длинах световых волн. По утвержден-
ному на конференции определению, метр — равен 1650763,73 длин
волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровня-
ми 2р10 и 5d8 атома криптона-86.

Переход на новую единицу длины позволил связать размер метра
с атомной структурой вещества, т. е. с микромиром, процессы и явле-
ния которого являются более стабильными по своей природе. Согласно
закону излучения Планка, переходу атома с одного энергетического
уровня на другой соответствует определенная длина волны или часто-
та, совокупность которых определяет спектр атома. Стабильность дли-
ны волны каждой линии такого спектра очень высока, но не бесконечна
(ввиду теплового движения, влияния электромагнитных полей и про-
чих условий).

Государственный первичный эталон единицы длины, предназначен-
ный, для воспроизведения, хранения и передачи ее размера, является
комплексом следующих средств измерений:

источник первичного эталонного излучения криптона-86;

эталонный интерферометр, служащий для измерения длины штри-
ховых и концевых мер — вторичных эталонов;

эталонный спектроинтерферометр, служащий для исследования
источников первичного и вторичных эталонных излучений.

Достоинством такого эталона является возможность воспроизведе-
ния длины в диапазоне значений до 1 м. С. к. о. при воспроизведении
метра не превышает Ы0~8. Такиз высокие точности необходимы не
только в метрологии, но и в машиностроении, для нужд которого раз-
работаны лазерные интерференционные измерители перемещений о по-
грешностью 10-7 м и менее.

В настоящее время ведутся исследования в области использования
лазерного излучения для создания более совершенного эталона метра.
В СССР создана аппаратура для нового эталона длины на базе радио-
оптического частотного моста с погрешностью, уменьшенной на один
порядок [38]. Новый эталон длины будет основываться на определении
метра через скорость распространения света и время, которое среди
всех физических величин воспроизводится и измеряется сегодня о наи-
более высокой точностью.

Государственный первичный эталон единицы массы (ГОСТ 8.021 —
78). Килограмм — единица массы — равен массе международного
прототипа килограмма, который хранится в Международном бю-
ро мер и весов в Париже. Государственным первичным эталоном
килограмма СССР является копия международного прототипа № 12,
изготовленная в 1883 г. из платино-иридиевого сплава той же плавки,
442
что и международный прототип килограмма. Прототип № 12 представ-
ляет собой цилиндр, высота которого равна диаметру. Этот эталон хра-
нится на кварцевой подставке при температуре 20 ± 3 °C и относи-
тельной влажности воздуха 65 %. При сличении эталона с междуна-
родным прототипом килограмма в Международном бюро мер и весов
в 1954 г. его масса была равна 1 + 8,5-10~8 кг.

В состав комплекса средств измерений государственного первичного
эталона килограмма входят эталонные равноплечные весы на 1 кг,
служащие для передачи размера единицы массы вторичным эталонам.
С. к. о. погрешности воспроизведения единицы массы эталоном кило-
грамма равна 7-Ю-9.

Эталон килограмма отличается очень высокой стабильностью:
за 60 лет его масса изменилась на 1,7-10“8 кг. Эталон килограмма яв-
ляется единственным эталоном. Это определяет его недостатки — неиз-
бежный износ и невозможность воспроизведения. Поэтому предприни-
маются попытки более точного воспроизведения единицы массы на ос-
нове использования ее дискретного характера, т. е. деления вещества
на атомы и молекулы. Возможно, что путем создания очень глубокого
вакуума и счета молекул, например водяного пара в объеме, а затем
сжатия и сжижения можно, вная число молекул и число Авогадро,
воспроизвести единицу массы. Кроме всего прочего для этой операции
необходимо создать «сверхчистую» воду и знать число Авогадро с более
высокой точностью.

Попытки создать «естественный эталон массы» пока не имели
успеха, так как необходимо обеспечить очень малую погрешность вос-
произведения и сличения, равную или меньшую чем 2-10-9 кг.

Возможен и другой путь. Электрическое напряжение и ток можно
определить через физические константы. По этим двум величинам мож-
но определить и энергию, которая в свою очередь выражается через
массу. Таким образом, масса может быть выражена с помощью фунда-
ментальных уравнений физики по физическим константам.

Государственный первичный эталон единицы времени и частоты.
Единица времени — секунда — была установлена в древнем Вавило-
не, где было введено деление суток на часы, часов на минуты и минут
на секунды. До недавнего времени секунда определялась как 1/86400
часть средних солнечных суток. Позже была выявлена неравномер-
ность в периоде вращения Земли вокруг своей оси, что не давало воз-
можности точно воспроизвести секунду (погрешность определения
средних солнечных суток равна 10-7 с).

В 1960 г. в международном масштабе был совершен переход на но-
вое определение секунды, связанное с вращением Земли вокруг Солн-
ца. Секунду стали определять как 1/31556925,9747 часть тропического
1900 г. Это позволило снизить погрешность воспроизведения секунды
до Ю-10. Однако тропический год также не является стабильной вели-
чиной и уменьшается каждые 1000 лет на 5 секунд. Для решения ряда
научных и технических задач такая погрешность оказалась недопусти-
мой. Требуемую точность могли обеспечить только молекулярные и
атомные эталоны времени.
Переход на естественную атомную единицу времени был узаконен
в 1967 г. на XIII Генеральной международной конференции по мерам
и весам. Единица времени — секунда равна 9 192 631 770 периодам
излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими
уровнями основного состояния атома цезия-133. Стабильность частоты
цезиевого эталона является следствием квантовых закономерностей,
обусловливающих постоянство энергии перехода атомов с одного
энергетического уровня на другой в отсутствие внешних магнитных
полей. В государственном первичном эталоне времени и частоты СССР
используется переход между двумя энергетическими уровнями атома
водорода, при этом частота излучения возбужденных атомов в отсутст-
вие внешних воздействий постоянна и равна 1420 405 751,8 Гц. В состав
эталона входят: группа водородных генераторов, группа кварцевых ге-
нераторов, комплект делителей частоты, аппаратура для сличения
частот и вспомогательные средства измерений. С. к. о. погрешности
воспроизведения секунды Государственным эталоном меньше 1 • 10-13 с,
при НСП меньше Ь1(Г12 с.

Государственный первичный эталон единицы силы электрического
тока (ГОСТ 8.022—75). Постановлением IX Генеральной международ-
ной конференции по мерам и весам было принято следующее определе-
ние ампера: ампер равен силе неизменяющегося тока, который при про-
хождении по двум параллельным прямолинейным проводникам беско-
нечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного
сечения, расположеных в вакууме на расстоянии 1 м один от другого,
вызвал бы на каждом участке проводника длиной в 1 м силу взаимо-
действия, равную 2-10-7 Н.

Установка для воспроизведения ампера представляет собой точные
равноплечие весы, к одному из коромыслов которых подвешен рабочий
подвижной соленоид. Рабочий соленоид помещен внутри неподвижного
соленоида и через оба пропущен один и тот же ток. Сила взаимодейст-
вия двух соленоидов пропорциональна квадрату тока и уравновеши-
вается силой тяжести гирь на втором коромысле. Таким образом, ам-
пер воспроизводится через основные единицы — метр, килограмм и
секунду. Погрешность воспроизведения ампера составляет 4-10—6 А.

Государственный первичный эталон единицы температуры. Едини-
ца термодинамической температуры — кельвин — была принята на
XII Генеральной международной конференции по мерам и весам как
1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды.
Тройная точка воды — это состояние равновесия ее твердой, жидкой
и газообразной фаз. Наряду с термодинамической температурой Кель-
вина применяется также и термодинамическая температура Цельсия,
разность температур, единицей которой является градус Цельсия °C.

Связь между температурой Кельвина и температурой Цельсия вы-
ражается соотношением

t°C = ТК — 273,15 К,
где t — температура Цельсия в международной практической темпе-
ратурной шкале 1968 г; Т -г температура Кельвина; 273,15 К — тем-
пература точки таяния льда по шкале Кельвина,
Международная практическая температурная шкала 1968 г. основа-
на на значениях температур, присвоенных определенному числу воспро-
изводимых состояний равновесия (определяющих постоянных точек) и
на интерполяционных приборах, специфицированных и аттестованных.

Государственный первичный эталон единицы силы света
(ГОСТ 8.023—74). Полный излучатель в эталоне канделы выполнен в
виде трубки из окиси тория, погруженной в расплавленную платину.
В эталоне кандела (кд)— сила света, испускаемого с поверхности
площадью 1/60 000 м2 полного излучателя, в перпендикулярном направ-
лении, при температуре излучателя, равной температуре затвердева-
ния платины при давлении 101 325 Па. Сила света, излучаемого из
полости излучателя, сравнивается с силой света вторичных эталонов
в виде специальных ламп накаливания при помощи фотометра. С. к. о.
погрешности воспроизведения канделы не превышает 1 • 10~3 кд
при НСП 3-10-3 кд. Кандела (кд) согласно ГОСТ 8.417—81, введенного
с 01.01.1982 г., равна силе света в заданном направлении источника, ис-
пускающего монохроматическое излучение частотой 540-1012 Гц, энер-
гетическая сила света которого в этом направлении составляет
1/683 Вт/ср [XVI ГКМВ (1979 г.) Резолюция 3].

Единица количества вещества. Понятием «количество вещества»
пользовались в науке очень давно, однако, лишь с открытием Авогадро
(1813 г.) закона равенства количества молекул в равных объемах раз-
личных газов оно получило реальное физическое содержание. Единица
количества вещества — моль — до недавнего времени отождествля-
лась с массой и определялась весом вещества, выраженным в граммах,
равным молекулярному весу. Современная трактовка моля основана
на дискретности строения материи (на молекулярном, атомном и дру-
гих уровнях) и в общем смысле означает определенное число элемен-
тарных образований, содержащихся в какой-либо системе, при условии,
что эти образования тождественны между собой. В конкретных приме-
рах моль может обозначать число молекул, атомов и т. д. Необ-
ходимость введения единицы количества вещества в практику измере-
ний и расчетов была подчеркнута на XIV Генеральной международной
конференции по мерам и весам (1971 г.), где в число основных единиц
физических величин был введен моль. Согласно ГОСТ 8.417—81 моль
равен количеству вещества системы, содержащей столько же струк-
турных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой
0,012 кг. Точно воспроизвести единицу количества вещества можно
различными способами, например, сжигая 0,012 кг12 Св чистом кисло-
роде, получаем точно один моль молекул углекислого газа. Определе-
ние количества вещества путем прямых измерений можно осуществлять
в ядерных реакциях и в реакциях с участием элементарных частиц.

10.4.	ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ ЭТАЛОНЫ ПРОИЗВОДНЫХ
ЕДИНИЦ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

В современной информационно-измерительной технике наиболее
широко распространено измерение электрических величин, которые
преобладают среди выходных величин большинства измерительных
преобразователей, электродвижущей силы, электрического сопротив-
ления, электрической емкости и индуктивности. Точность измерения
электрических величин непрерывно повышается, так, например, за
последние два десятилетия погрешность цифровых вольтметров сниже-
на до 10—5 В и стала равна погрешности эталона э. д. с., основанного на
нормальных элементах. В настоящее время в СССР и в ряде других
стран введен в действие более точный эталон э. д. с., основанный на ис-
пользовании эффекта Джозефсона. Профессором В. О. Арутюновым
в 1971 году была предложена программа создания более совершенной
системы взаимосвязанных эталонов электрических величин. Эта про-
грамма в настоящее время успешно завершается. Завершение программы
создания более совершенных эталонов единиц электрических величин
даст возможность воспроизводить единицы электрического напряжения
(через частоту), емкости (через длину), сопротивления (через емкость и
частоту), индуктивности (через емкость, сопротивление и частоту) и
электрического тока (через э. д. с., сопротивление) с погрешностями
(3—5) • 10-7, (1—2) • 10-7, (3—5) • 10-7, (5—7) • 10-7 и (5—8) • 10-7 (при ус-
ловии совершенствования конструкции расчетного конденсатора).

Новый государственный первичный эталон единицы э. д. с. и по-
стоянного напряжения основан на применении эффекта Джозефсона
и уточненных значений фундаментальных физических констант. Из-
вестно, что если переход Джозефсона, представляющий собой два сверх-
проводника, разделенных тонким слоем диэлектрика, облучить электро-
магнитной энергией с частотой f, то при пропускании через переход
постоянного тока на вольтамперной характеристике (ВАХ) появляются
ступени напряжения, причем напряжение на переходе связано с часто-
той электромагнитного облучения зависимостью

<10.0

где п — номер ступени ВАХ-перехода; h — постоянная Планка;
е — заряд электрона.

Напряжение каждой ступени стабильно и не зависит от внешних
влияний. Исследования показали целесообразность использования это-
го эффекта для повышения точности воспроизведения вольта, т. к. на
его основе напряжение определяется через фундаментальные физиче-
ские константы и наиболее точно измеряемую величину — частоту
электромагнитного облучения перехода.

В состав эталона, созданного НПО ВНИИМ им. Д. И. Менделеева,
входят:

мера напряжения, вопроизводящая вольт на основе указанного
эффекта;

группа термостатированных (до 0,001 °C) насыщенных нормальных
элементов для хранения единицы;

компаратор для сличения нормальных элементов с мерой на основе
эффекта Джозефсона;

компаратор (компенсатор постоянного тока) для взаимных сличений
нормальных элементов и для передачи размера единицы вторичным
эталонам.	'
Мера напряжения содержит переходы Джозефсона, изготовленные
по особой технологии напылением полосок свинца на подложки из
стекла; полоски свинца разделены слоем окисла свинца. Переходы
помещены в криостат с жидким гелием при температуре, близкой к
абсолютному нулю (2...4) К. Переходы подвержены электромагнитно-
му облучению от генератора СВЧ с автоматической стабилизацией
частоты. Мера напряжения обеспечивает получение высокостабильно-
го напряжения на уровне (4...5) мВ, которое передается группе насы-
щенных, термостатированных нормальных элементов с помощью точно
калиброванного масштабного преобразователя (специально созданного
резистивного делителя напряжения), погрешность коэффициента, пре-
образования которого не превышает 3-10-8. Нормальные элементы
хранят размер единицы в период между абсолютными измерениями
среднего значения э. д. с. группы нормальных элементов по мере Джо-
зефсона. Созданный эталон воспроизводит единицу (на уровне 1 В)
с с. к. о. результата, не превышающем 5-10—8 В, при НСП, зависящей
от точности значения фундаментальных констант (пе), не превышающей
1 • 10“6 В. Относительная нестабильность среднего значения э. д. с.
группы эталонных НЭза год не превышает 3-10—7 В. В качестве вторич-
ных эталонов и образцовых мер напряжения в СССР используются
нормальные элементы Львовского завода ЗИП. Минимальная годо-
вая нестабильность этих эталонов после длительного хранения, наблю-
дения и отбора составляет 0,001% и менее.

Государственный первичный эталон электрического сопротивления
(ГОСТ 8.028—75) состоит из десяти манганиновых катушек электриче-
ского сопротивления с номинальным значением 1 Ом, помещенных
в двойных герметических кожухах, заполненных сжатым воздухом.
Среднее значение сопротивления группы катушек, определяющее раз-
мер единицы, равно 1,0000002 Ом, с. к. о. хранения НО-7. Передача
единицы осуществляется на мостовой измерительной установке с с.к.о.,
не превышающей а = 1 • Ю-7. Эталон Ома служит для воспроизведения
электрического сопротивления на постоянном токе.

Рабочие меры сопротивления на постоянном токе выпускаются в
диапазоне значений 10“4...105 Ом с погрешностью 0,001 % [4]. В СССР
достигнуты значительные успехи в области создания мер высокого соп-
ротивления на микропроводе в диапазоне значений 10е..ЛО10 Ом с по-
грешностью 0,002 %. Меры сопротивления на переменном токе в СССР
изготовляются в виде безреактивных катушек класса 0,02 с номиналь-
ными значениями 1...105 Ом с постоянной времени 10~®...25-Ю-6 с.

Государственный первичный эталон единицы емкости (ГОСТ
8.371—80) представляет собой расчетный конденсатор, построенный
по теории Томпсона — Лэмпарда. Конденсатор состоит из четырех
стальных цилиндров диаметром 50 мм и длиной около 500 мм, оси ко-
торых параллельны и расположены в углах квадрата. Между ними
расположен экранный стержень, ось которого находится в центре квад-
рата. Выходной емкостью эталона является изменение емкости ДС
перекрестно расположенных пар стержней, которое возникает при пере-
мещении центрального экранирующего стержня. Доказано, что это из-
менение емкости зависит только от перемещения центрального экрани-
рующего стержня:

ДС = -^-1п2Д/,

ДС= -н-Ц- 1п2Д/,	(10.2)

где р,0 — магнитная постоянная; С — скорость света.

Перемещение Д/ центрального экранирующего стержня измеряется
с высокой точностью интерферометрическим методом. При Д/ = 100 мм,
которое измеряется интерферометром с погрешностью 10-7, расчетное
изменение емкости равно ДС = 0,4002443 пФ.

В государственном первичном эталоне емкости изменение емкости
ДС воспроизводится со с. к. о. меньше 2 • 10-7 при НСП, не превышаю-
щей 5-10-7. Передача размера единицы электрической емкости от пер-
вичного эталона вторичным производится с помощью емкостного транс-
форматорного моста при частоте 1 кГц.

Образцовые меры емкости имеют диапазоны и по частоте (до сотен
мегагерц), и по номинальным значениям (10-3-!-108 пФ) значительно
более широкие, чем у образцовых мер индуктивности, и поэтому приме-
няются значительно чаще, чем меры индуктивности. Погрешность мер
скости зависит от их разряда и находится в пределах 0,003—1,5 %.
Образцовые Меры ёмкости до 4>1(г пФ в основйом имеют воздушный
диэлектрик, 104—106 пФ—слюдяной, а 106—108 пФ — стирофлекс-
ный. Применять воздух в качестве диэлектрика для больших емкостей
затруднительно из-за его низкой диэлектрической проницаемости. Так,
например, конденсатор емкостью 105 пФ с воздушным диэлектриком
имеет размеры 410 X 500 мм и массу 100 кг.

Новый эталон единицы индуктивности (ГОСТ 8.029—80) состоит
из комплекса, в который входят:

группа из четырех тороидальных катушек индуктивности;
эталонный индуктивно-емкостной мост.

Номинальное значение индуктивности каждой из тороидальных
катушек равно 10-10-3 Гн. Новый эталон индуктивности в отличие от
прежнего не является расчетным. В нем единица индуктивности вос-
производится на основе государственных эталонов емкости и частоты.
Благодаря этому, с. к. о. погрешности воспроизведения нового го-
сударственного эталона индуктивности снижено в 10 раз и не превыша-
ет 1-10-6 при НСП, не превышающей 5>10~6.

Образцовые и рабочие меры индуктивности выпускаются для звуко-
вого диапазона частот с номинальными значениями в пределах
100 мкГн — 1 Гн, для частот до 1 МГц в пределах (0,5—100) мкГн.
Список литературы

1.	Агалецкий П. Н. Вопросы измерения зависимостей между величинами.— Изме-
рительная техника, 1968, № 6, с. 8—14.

2.	Алиев Т. М. и др. Автокомпенсационные измерительные устройства переменно-
го тока.— М.: Энергия, 1977.

3.	Арутюнов В. О. Основы совершенствования системы эталонов единиц электриче-
ских величин.— Измерительная техника, 1974, № 10, с. 50—54.

4.	Арутюнов В. О. Избранные труды.— М. : Изд-во стандартов, 1979.— 368 с.

5.	Беляев Ю. В. Метод определения динамических погрешностей.— Приборострое-
ние, 1982, 25 № 1.

6.	Бойцов В. В. Стандартизация и научно-технический прогресс.— Измерительная
техника, 1975, № 12, с. 3—8.

7.	Бородачев Н. А. Обоснование методики расчета допусков и ошибок размерных и
кинематических цепей.— М. : Изд-во АН СССР, 1943.— 87 с.

8.	Браславский Д. А., Петров В. В. Точность измерительных устройств.— М.: Ма-
шиностроение, 1976.— 312 с.

9.	Бруевич Н. Г. Точность механизмов.— М. : Гостехтеориздат, 1946.— 332 с.

10.	Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии.— М.: Изд-во стандратов, 1978.—
318 с.

11.	Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов.— М.: Сов. радио, 1979.— 271 с.

12.	Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 2-е изд.— М. : Физматгиз, 1962.— 564 с.

13.	Витер А. С., Дудикевич В. Б. Возможность применения делителей частоты с циф-
ровой обратной связью в частотно-цифровой измерительной аппаратуре.— В кн.:
Контрольно-измерительная техника. 1975, вып. 17 : Львов : Вища школа. Изд-во
при Львов, ун-те, с. 8—11.

14.	Волгин Л. И. Линейные электрические преобразователи информации для измери-
тельных приборов.— М.: Сов. радио, 1971.— 332 с.

15.	Волков И. И., Мотов В. В. Методы оперативной статистической обработки ин-
формации.— Куйбышев : изд-во Куйбышев, авиац. ин-та, 1977.— 77 с.

16.	Вострокнутов Н. Г., Евтихеев Н. Н. Основы информационно-измерительной
техники.— М.: Изд. Московского ин-та радиотехники, электроники и автоматики,
1972,— 333 с.

17.	Вашны Э. Динамика измерительных цепей.— М. : Энергия, 1969.— 288 с.

18.	Галамай Т. Г. Управляемый делитель частоты с цифровой обратной связью:
Докл. ЛПИ; вып. 10: Львов : Вища школа. Изд-во при Львов, ун-те, 1978.

19.	Гитис Э. И. Преобразователи информации для электронных, цифровых вычис-
лительных устройств.— 3-е изд., испр. и доп.— М.: Энергия, 1975.— 448 с.

20.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: ч.2.— М.: Сов. радио,
1967,— 327 с.

21,	Гринееич Ф. Б. Автоматические мосты переменного тока.— Новосибирск : СО На-
ука, 1964.— 216 с.

22.	Губарь В. И. Минимизация динамических погрешностей средств измерения.—
Киев : Знание, 1979.— 23 с.

23.	Данчеев В. Н. Цифрочастотные вычислительные устройства.— М. : Энергия,
1976.—176 с.

24.	Денбновецкий С. В., Семенов Г. Ф. Запоминающие трубки в устройствах обработ-
ки информации.— М. : Сов. радио, 1973.— 471 с.
25.	Довбета Л. И. Оценивание погрешностей результатов прямых измерений с од-
нократными наблюдениями: Тр. ин-та метрологии и стандартов СССР, 1979,
вып. 242, с. 46—59.

26.	Дружинин Г. В. Теория надежности радиоэлектронных систем в примерах и
задачах.— М. : Энергия, 1976.— 448 с.

27.	Долинский Е. Ф. Обработка результатов измерений.— 2-е изд., испр. и доп.—
М. : Изд-во стандартов, 1973.— 191 с.

28.	Дунаев Б. В. Аналитический метод решения задачи теории точности измерений
при контроле качества продукции.— Измерительная техника, 1968, № 6, с. 5—8.

29.	Жиляков Е. Г. Исследование методов цифровой обработки при передаче и приеме
случайных сигналов : Автореф. дис. канд. техн. наук. — Харьков, 1980—
21 с.

30.	Заварин А. Н. О суммировании погрешностей.— Измерительная техника, 1980,
№ 8, с. 14—17.

31.	Земельман М. А. Автоматическая коррекция погрешностей измерительных
устройств.— М. : Изд-во стандратов, 1972.— 199 с.

32.	Земельман М. А., Кузнецов В. П., Солопченко Г. Н. Нормирование и определение
метрологических характеристик средств измерений.— М. : Машиностроение,
1980.— 68 с.

33.	Исаев Л. К- и др. Метрологические аспекты испытаний и контроля.— Измеритель-
ная техника, 1981, № 3, с. 12—15.

34.	Исмаилов Ш. Ю., Долидзе Р. В. Математическая статистика и обработка резуль-
татов измерений.— Л., Изд. ЛЭТИ, 1977.— 60 с.

35.	Кавалеров Г. И., Мандельштам С. М. Введение в информационную теорию из-
мерений.— М. '. Энергия, 1974.— 370 с.

36.	Карандеев К- Б. Электрические методы автоматического контроля.— М. : Энергия,
1965.— 384 е.

37.	Карпюк Б. В., Казачев А. Г. Основы информационно-измерительной техники.—
Новосибирск: изд. НЭТИ, 1975.— 159 с.

38.	Кипаренко В. И. Основные задачи метрологии в одиннадцатой пятилетке.— Изме-
рительная техника, 1981, № 2, с. 3—7.

39.	Кнеллер В. Ю. Автоматическое измерение составляющих комплексного сопротив-
ления.— М. : Энергия, 1967.— 367 с.

40.	Корнейчук В. И. Запоминающие устройства ЦВМ.— Киев : Техника, 1976.— 168 с.

41.	Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи.
Материалы радиосекции к I Всесоюзному съезду по реконструкции связи. Все-
союзный энергетический комитет.— М., 1933.

42.	Кудряшова Ж. Ф. и др. Методы обработки результатов наблюдений при измере-
ниях: Тр. метрологических институтов СССР. Вып. 172.— Л. : Энергия, 1975.
с. 3—72.

43.	Кузьмин И. В. Оценка эффективности и оптимизация автоматических систем
контроля и управления.— М. : Сов. радио, 1971.— 296 с.

44.	Куликовский К. Л. и др. Тестовые методы повышения точности измерений.— М. •
Энергия, 1978.— 280 с.

45.	Куликовский К. Л., Купер В. Я. Организация и планирование эксперимента.—
Куйбышев: Куйбышев, авиац. ин-та, 1977.— 54 с.

46.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.— М. : Сов. ра-
дио, 1969.— 752 с.

47.	Маликов М. Ф. Основы метрологии: ч. I — М. : Комерпрнбор,	1949.— 478 с.

48.	Малиновский В. И. Цифровые измерительные мосты.— М. : Энергия, 1976.— 193 с.

49.	Мирский Г. Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов.—
2-е изд. М. : Энергия, 1972.— 455 с.

50.	Михайлов А. В. Эксплуатационные допуски н надежность в радиоэлектронной
аппаратуре.— М. : Сов. радио, 1970. — 215 с.

51.	Нестеренко А. Д. Основы расчета электроизмерительных схем уравновешива-
ния.— 2-е изд., испр. и доп.— Киев : Наукова думка, 1960.— 716 с.

52.	Ниженский А. Д. Динамические погрешности самонастраивающихся преобразо-
вателей фаза — код сб. Электроника и моделирование. Киев: Наукова думка,
1974. с. 15—18.

53.	Новицкий П. В. Электрические измерения неэлектрических величин — 5-е изд.,
перер. н доп.— М. : Энергия, 1975.— 576 с.
Б4.	Новицкий П. В. Основы информационной теории измерительных устройств.— М.
Энергия, 1968.— 248 с.

55.	Новоселов О. Н., Фомин А. Ф. Основы теории и расчета, информационно-измери-
тельных систем.— М. : Машиностроение, 1980.— 280 с.

56.	Обозовский С. С. Суммирование составляющих погрешности, выраженной много-
членной формулой.— Метрология, 1972, К» 12, с. 26—31.

57.	Орнатский И. И., Пономаренко М. Ф. Измерительный эксперимент, из. КПИ,
1979, с. 109.

58.	Орнатский П. И. Автоматические измерения и приборы аналоговые и цифро-
вые.— Киев : Вища школа, 1980.— 558 с.

59.	Орнатский И. П. Синтез методов измерений. Метрология, 1975, №3, с. 3—14.

60.	Орнатский И. И., Скрипник Ю. А., Туз Ю. М. Развитие структур измеритель-
ных устройств.— В сб. Информационно-измерительные системы. Киев: Вища
школа, 1973.

61.	Орнатский П. П. Теоретические основы информационно-измерительной техники.
Киев : Вища школа, 1976.

62.	Орнатский И. И., Скрипник Ю. А., Скрипник В. И. Измерительные приборы пе-
риодического сравнения.— М. '.Энергия, 1975.

63	Пампуро В. И. Анализ радиоцепей и их схемной надежности. Киев: Техшка,
1967.— 324 с.

64.	Петров Б. Н. и др. Принцип инвариантности в измерительной технике.— М. :
Наука, 1976.— 243 с.

65.	Петров В. В. Об одном подходе к задаче косвенных измерений.— Измерительная
техника, 1980, № 10, с. 22—23.

66.	Пупков В. В., Копали» В. Н., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории не-
линейных систем.— М. : Наука, 1976.— 279 с.

67.	Пономаренко М. Ф. Об одной методике исследования семантических свойств
результатов измерений, выполняемых прямой оценкой.— Вестник КПИ. Серия
Автоматика и электроприборостроение, 1973, вып. 10.

68.	Преснухин Л. Н. Фотоэлектрические преобразователи информации. — М.: Маши-
ностроение, 1974.— 375 с.

69.	Проненко В. И., Якирин Р. В. Метрология в промышленности.— Киев : Техшка,
1979.—311 с.

70.	Пфанцагль И. Теория измерений.— М. : Мир, 1976.— 245 с.

71.	Рождественская Т. Б. Электрические компараторы для точных измерений тока,
напряжения, мощности.— М. : Изд-во стандартов, 1964.— 187 с.

72.	Розенберг В. Я- Введение в теорию точности измерительных систем.— М.: Сов.
радио, 1975.— 302 с.

73.	Рыжевский А. Г., Шляндин В. М. Об общности методов аналого-цифрового пре-
образования.— В кн.: Проблемы создания преобразователей информации.—Ки-
ев : Знание, 1970, 176 с.

74.	Садовский Г. А. Теоретические основы информационно-измерительной техники.
Задачи^и упражнения.— Рязань : изд. Рязан. радиотехн. ин-та, 1979.— 48 с.

75.	Скрипник Ю. А. Модуляционные измерения параметров, сигналов и цепей.— М.:
Сов. радио, 1975.— 319 с.

76.	Сейдж Е., Меле Д. Теория оценивания и ее применения в связи и управлении.—
М.: Связь, 1976, 351 с.

77.	Смирнов Н. В., Дунин-Барковский Н. В. Курс теории вероятностей и математи-
ческой статистики.— 2-е изд., перераб., и доп.— М. : Наука, 1965.— 511 с.

78.	Смолов В. Б. Микроэлектронные цифро-аналоговые и аналоговые преобразовате-
ли информации.— Л. : Энергия, 1976.— 336 с.

79.	Соболев В. И. Основы измерений в многомерных системах.— М. : Энергия, 1975.—
128 с.

80.	Солодов А. В. Теория информации и ее применение к задачам автоматического
управления и контроля.— М. : Наука, 1967.— 432 с.

81.	Стахов А. П. Алгоритмическая теория измерений.— М. : Знание, 1979.— 64 с.

82.	СуппесП., Зинес Д. Психологические измерения_М. : Мир, 1967.

83.	Темников Ф. Е., Афонин В. А., Дмитриев В. И. Теоретические основы информа-
ционной техники.— 2-е изд., доп. и испр. М. : Энергия, 1979.— 512 с.

84.	Терентьев С. Н. Основы общей теории связи.— Харьков : изд. ХВАНУ, 1968.—
259 с.
85.	Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.— М. :Сов. радио, 1966.— 678 с.

86.	ТузЮ. М. Структурные методы повышения точности измерительных приборов.—
Киев : Вища школа, 1976.— 255 с.

87.	Фремке А. В. Электрические измерения.— М. : Энергия, 1980.— 392 с.

88.	Харкевич А. А. О ценности информации. Избранные труды : Т. 3. Теория инфор-
мации. Опознавание объектов.— М. : Наука, 1973.— 566 с.

89.	Харченко Р. Р. Электрические измерительные преобразователи.— М. : Л. -.Энер-
гия, 1967.— 408 с.

90.	Циделко В. Д. Исследование и разработка новых методов и принципов построения
измерительных функциональных преобразователей электрических величин.
Автореф. дис. д-ра техн. наук.— К., 1977.— 32 с.

91.	Хуснатдинов Г. Н. Оценка среднего во времени значения функции случайного
процесса. Труды ВНИИЭП, 1969, вып. 6.

92.	Цапенко М. П. Измерительные информационные системы.— М.: Энергия, 1974.—
320 с.

93.	Цветков Э. И. Основы теории статистических измерений.— М. ' Энергия, 1979.—
286 с.

94.	Широков К. П. Об основных понятиях метрологии. Общие вопросы метроло-
гии.— М. : Изд-во стандартов, вып. 30, 1972.

95.	Шахов Э. К. Анализ ряда Котельникова для интегрального представления инфор-
мации.— Автоматика и телемеханика, 1979, № 7.

96.	Шляндин В. М. Цифровые измерительные приборы и преобразователи.— М.:
Высшая школа, 1973.— 280 с.

97.	Шрамков Е. Г. Электрические измерения.— М.: Высшая школа, 1973.— 520 с.

98.	Яремчук Н. А., Орнатский П. П. Суммирование погрешностей измерительных
устройств.— Киев : Знание, 1973.— 22 с.

99.	Якушенко Е. А., Лысов В. Б. Метрологическое обеспечение испытаний изделий
электронной техники на механическое и климатическое воздействие.— Измери-
тельная техника, 1980, № 1.— с. 63—65.

100.	Gardenhiz L. W. Selecting Sample Rates.— ISA, 1964, N 4.

101.	Davenport W. B. Janson R. A. Middleton D. Statistical Errors in Measurements on
Randam Time Functions Journal of Aplied Physics, 23,1952, N 4.	—
Оглавление

Предисловие ....................... 3

Основные условные обозначения	.	4

Введение .......................... 6

Глава 1. Основные понятия
информационно- измерительной
техники ........................... 9

1.1.	Общенаучные методы познания
tt место измерений среди них ...	9

1.2.	Метрология и ее место среди
других наук ..........	13

1.3.	Понятие о величине, счете, кон-
тролеТи измерении .......	15

Свойства, удовлетворяющие отно-
шению эквивалентности Понятие
счета............................. 18

Интенсивные величины, удовлетво-
ряющие отношениям эквивалент-
ности и порядка. Понятия величи-
ны и контроля .................... 19

Экстенсивные величины, удовлетво-
ряющие отношениям эквивалентнос-
ти, порядка и аддитивности. Поня-
тия об единице величины и измере-
нии .............................. 20

Понятие о шкалах измерений . .	23

1.4.	Размерности и единицы физиче-
ских величин	..........	24

Размерности	величин ............ 25

Вдвницы величии................... 25

Систематизация физических вели-
чин .............................. 27

1.6. Определение зависимостей. Ос-
новные понятия ................. 28

Глава 2. Операции	и	ме-
тоды измерений и контроля	...	31

1,1.	Основные операции измерений
К Средства их реализации	....	31

Воспроязведеиве величины заданно-
го размера и мера............... 32

Сравнение величин в устройство
сравнения ...................... 34

Измерительное преобразование и
измерительный преобразователь .	36

Масштабирование величины в мас-
штабный преобразователь ....	;38

1.2.	Понятие о результате и погреш-
ности измерения, уравнение измере-
ний ..............	39

1.3.	Классификация измерений, клас-
сификация методов прямых изме-
нений ......................... 42

2-4. Классификация, методы а ал-
горитмы измерений .............. 45

-нитез методов и алгоритмов пря-
ных абсолютных измерений набора-
ин элементарных средств без пред-

варительных преобразований рода
величины ...................... 46

Комбинированные методы прямых
измерений без предварительных
преобразований ................ 59

Методы прямых измерений наборами
элементарных средств при нали-
чии предварительных преобраво-
ваиий ......................... 60

Методы измерения мгновенных зна-
чений случайной величины при из-
вестном распределении .....	65

v 2.5. Операции, методы и алгорит-
мы контроля ..........	67

{/2.6. Понятие о комплексном объек-
те и методах определения парамет-
ров зависимости между физически-
ми величинами ................... 70

Г л а в а 3. Основные понятия
информационной теории измере-
ний ........................... 75

v3.1. Математические меры инфор-
мации ........................... 76

'3.2. Исходная энтропия значений
непрерывной величины	до измерения	78

3.3.	Остаточная энтропия значе-
ний величины после измерения и ожи-
даемая измерительная информация 80

3.4.	Производительность и избы-
точность источника измерительной

информации ...................... 84

3.5. Эквивалентное число различае-
мых значений величины ......	86

v 3.6. Энтропийное значение погреш-
ности измерения ................... 87

* 3.1. Связь измерительной информа-
ции с энергией измеряемого сигнала 90

Г л а в а 4. Точность и погреш-
ности измерений, достоверность н

ошибки контроля .................. 93

'4.1. Погрешности измерений	...	94

Систематизация погрешностей из-
мерений .......................... 94

-Основные особенности погрешностей
измерений .......................... 97

Распределения случайных погреш-
ностей ........................... 99

4.2. Основы вероятностного подхода
к анализу погрешностей измерения	103

Понятие о погрешности измеритель-
ного прибора и погрешности измере-
ния случайной величины ....	105

Критерии оценки точности резуль-
тата измерения случайной величины	106

Оценка результата измерения слу-
чайной величины ................. 107
4-3. Способы обнаружения а уяем*
шения систематической составляю-
щей погрешности измерений . , , И1
Способы обнаружения систематиче-
ской погрешности ................. 11J

Способы уменьшения систематиче-
ских погрешностей ............ . ИЗ

4.4.	Результат измерения . . .	119

Округление числового значения из*
меряемой	величины	............. 120

Критерий	ничтожной	погрешности	121

Формы представления результатов
измерений ........................ 122

4.5.	Погрешности измерения сред-
ней интенсивности дискретной по-
следовательности импульсов или по-
тока частиц ...................... 125

Случайная погрешность измерения
среднего значения потока частиц нз-
за его неравномерности ........... 125

Погрешность измерения среднего
значения потока частиц от просчета
импульсов ........................ 126

4.6.	Основы анализа достоверности
контроля	................ 129

Диализ достоверности одиопарамет*
рового контроля	. . . •.......... 129

Г л а в а 5. Средства информа-
ционно-измерительной техники 136

5./. Классификация средств измере-
ний ............................. 136

Классификация измерительных при-
боров ........................... 137

6.2. Общие структурные элементы
и основные параметры средств изме-
рений ........................... 139

Способы расширения диапазона из-
мерений измерительных Приборов 142
5.3. Основные особенности аналого-
вых и цифровых измерительных при-
боров, эталонов и мер............ 143

6.4. Основные особенности и клас-
сификация средств автоматического
контроля ........................ 149

6.6. Системные средства информа-
ционно-измерительной техники .	150

5.6.	Государственная система при-
боров ........................... 153

5.7.	Основные принципы создания
средств измерения................ 155

6.8. Оптоэлектрические принципы
прямого преобразования некоторых
неэлектрических величин в код . .	157

5.9. Надежность измерительных ус-
тройств ......................... 164

Характеристики надежности по вне-
запным отказам................... 165

Резервирование .................. 171

Расчет надежности приборов ...	172

Г л а в а 6. Измерительные сиг-
налы и нх преобразование . , . 175
6.1. Понятие о сиеналах, использу-
емых в информационно-измеритель-
ной технике ...................... 175

Четыре формы сигнала и их метро-
логические особенности ........... 178

Основные виды моделей сигналов 180
6.2. Квазидетерминированные сиг-
налы, их параметры и характерис-
тики ............................. 181

Разложение сложных сигналов на
элементарные. Обобщенный ряд
Фурье .	. .	............ 190

«Быстрое» преобразование Фурье	194

6 3. Случайные сигналы и их харак-
теристики .................. ....	197

Вида случайных сигналов ....	197

Основные статистические параметры
н характеристики случайных сиг-
налов ........................... 200

Совместные и условные характерис-
тики случайных сигналов ....	208

6.4.	Сигналы с помехами.......... 211

6.6.	Общие вопросы преобразования
измерительных сигналов........... 214

Преобразование сигнала в инерци-
онных звеньях ................... 216

Частотные характеристики линей-
ных динамических звеньев	...	219

Сигнальные графы основных	изме-
рительных цепей 	 222

6.6.	Модуляция и детектирование
сигналов ........................ 2SA

Гармонические модулированные сиг-
налы н их особенности ........... 226

Импульсные модулированные сигна-
лы и их особенности.............. 231

6.7.	Масштабное линейное преоб-
разование аналоговых сигналов . .	233

6.8,	Нелинейное преобразование ана-
логовых измерительных сигналов .	235

6.9.	Преобразование кодовых изме-
рительных сигналов .............. 242

6,10,	Вычитание сигналов ....	246

6.11.	Воспроизведение образцовых си-
гналов .......................... 254

6.12.	Масштабно-временное преоб-
разование сигналов .............. 257

6.13.	Фильтрация сигналов ....	261

Понятие о цифровой фильтрации сиг-
налов ........................... 263

6.14.	Запоминание и регистрация
сигналов ........................ 264

, Г л а в а 7. Квантование, дн-
V скретнзацня и кодирование сиг-
налов ... ...................... 271

7.1.	Квантование ................. 271

Аналитическое представление кван-
тованного сигнала. Равномерное и
неравномерное квантование . . .	271

Понятие о погрешности квантования	273

Статистические характеристики по-
грешности квантования случайной
величины ......................... 274

Оптимальное квантование ....	275

Диализ погрешностей квантования	278

Погрешность квантования временно-
го интервала Т или отреака дли-
ны Lx ............................ 280

Определение систематической по-
грешности квантования при изме-
рении постоянной величины . .	282

Погрешность квантования при из-
мерении статистических характерис-
тик случайного сигнала............ 284

7.2.	Дискретизация сигналов . . .	286

Аналитическое представление дис-
кретизированного сигнала, равно-
мерная]» неравномерная дискретиза-
ция сигнала....................... 287

Восстановление непрерывного сигна-
ла из дискретизированного ....	290

Теорема Котельникова.............. 292

Восстановление сигнала степенны-
ми полиномами, погрешности ап-
проксимации, определение частоты
днскретязации .................... 298

Определение суммарной погрешнос-
ти квантования и аппроксимации
при восстановлении случайных сиг-
налов ........................ ..	304

Понятие об адаптивной дискрети-
зации и сравнение различных аидов
аппроксимации	зи&
7.3.	Кодирование, системы счисления
и цифровые коды ................. 307

Системы счисления» используемые
в измерительной технике ....	308

Коды, используемые в измеритель-
ной технике ..................... 309

Анализ погрешности передачи чис-
ловых кодовых сигналов ....	313

Коды и кодирование в каналах свя-
зи .............................. 315

Оптимальные» или эффективные,
коды ............................ 315

Корректирующие коды ............. 318

Глава 8. Погрешности
средств измерений	..............320

8.1.	Классификация	погрешностей

средств измерений	.......	320

8.2.	Классы точности средств изме-
рений ........................... 323

Оси^зиае способы установления
пределов, допускаемых погрешнос-
тей СИ и обозначения классов точ-
ности ........................... 324

8,3,	Нормируемые метрологические
характеристики средств измерений 326
Основные нормируемые метрологи-
ческие характеристики средств из-
мерений. способы нормирования и
форма их выражения............... 327

Способы экспериментального опре-
деления оценок характеристик по-
грешности средства измерения . .	328

8.4.	Изменение относительной по-
грешности прибора в диапазоне изме-
рений ........................... 330

8.5.	Анализ статических погреш-
костей измерительных преобразова-
телей ........................... 333

Анализ статических погрешностей
однозвениых	ИП ................. 333

Анализ статических погрешностей
измерительных цепей или многозвен-
ных ИП .	. .	  330

8.6.	Общие вопросы суммирования
погрешностей .........	345

8.7.	Анализ динамических погреш-
ностей измерительных преобразова-
телей .............	354

Динамические погрешности измери-
тельных преобразователей при мо-
нотонно изменяющемся входном сиг-
нале .............................357

Частотные погрешности измеритель-
ных преобразователей............. 359

Двввмические погрешности при из-
мерении параметров случайных
сигналов ........................ 360

8.8.	Методы повышения точности
измерительных приборов и преобра-
зователей ...........	365

Методы коррекции погрешностей
измерительных приборов оператором 368
Структур и ые методы автомвтиче-
СКой коррекции................... 372

Г д а в а 9. Обработка резуль-
татов прямых, косвенных н сов-
местных измерений................ 388

9.1,	Методы обработки результа-
тов прямых измерений с однократ-
ными наблюдениями .......	389

9.2.	Методы обработки результа-
тов прямых измерений с многократ-
ными наблюдениями .......	391

Результат измерения с многократ-
ными наблюдениями ......	391

Среднее квадратическое отклонение
результата измерения (среднего
арифметического) .......	392

Оценка среднего квадратического
отклонения результата наблюдения
и результата измерений .......... .394

Методика обработки результатов
прямых измерений с многократны-
ми наблюдениями .................. 390

Оценка анормальности результатов
наблюдений ....................... 397

Проверка согласия эксперименталь-
ного распределения с теоретическим
(проверка гипотезы о законе рас-
пределения) ...................... 399

Вычисление доверительных границ
случайной составляющей погреш-
ности результата измерения	401

Вычисление доверительных границ
иеисключеииой систематической со-
ставляющей погрешности результата
измерения ........................ 401

Вычисление доверительных границ
погрешности результата измерения 402

9.3.	Методы обработки результа-
тов косвенных измерений . . . .	404

Проверка отсутствия корреляции
между результатами наблюдений
каждой пары аргументов ....	405

Определение результата косвенных
измерений ........................ 406

Определение оценки случайной по-
грешности результата косвенного
измерения ........................ 407

Определение оценки иеисключеииой
систематической погрешности ре-
зультата косвенного измерения . .	408

Определение доверительных границ
общей погрешности результата кос-
венного измерения ................ 408

9.4.	Методы обработки результа-
тов совместных измерений. Метод
наименьших квадратов . ... .	410

9.5.	Основные особенности динами-
ческих измерений .......	414

9.6.	Определение параметров пере-
даточной функции и способы оцени-
вания точности результата измере-
ния зависимости между входом и вы-
ходом объекта .........	419

9.7.	Определение параметров рас-
пределения случайной величины . .	422

Глава 10. Основы метро-
логического обеспечения ....	431

10.1.	Метрологическое обеспечение,
основные понятия ........	431

10.2.	Государственная система обес-
печения единства измерений . . .	433

Стандартизация и аттестация мето-
дик выполнения измерений . . .	434

Передача рвзмеров единиц величии
от этвлоиов к образцовым и рабочим
средствам измерений. Поверочные /
схемы. Методы поверки средств из-
мерений .......................... 435

Государственные испытания новых
средств измерений ................ 437

Государствен и вя поверка, ревизия и
экспертиза средств измерений . .	440

10.3.	Государственные первичные
эталоны основных единиц физических
величин ............	441

10.4.	Государственные первичные
эталоны производных единиц некото-
рых электрических величин . . .	445

Список литературы	.	449
Петр Павлович Ориатский

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ
ТЕХНИКИ

Издание второе,
переработанное и дополненное

Редактор Л. Н. Чмиль

Переплет художника Г. М. Балюна
Художественный редактор С. П. Духленко
Технический редактор Т. И. Трофимова

Корректор Н. В. Волкова

Информ, бланк № 7539

, Сдано в набор 11.05.82. Подп. в печать 29.06,83.
БФ 02689. Формат 60Х90’/1б. Бумага ни.-журналь-
ная. Лит. гарн. Выс. печать. 28,5 печ. л. 28,5 кр.-
отт. 30,64 уч.-изд. л. Тираж 5000 экз. Изд. Ns 5597.

Зак. № 818. Цена 1 р. 30 к.

Головное издательство издательского объединения
«Вища школа>, 252054, Киев-54# ул. Гоголевская. 7.

Отпечатано с матриц Головного предприятия ре-
спубликанского производственного объединения
«Полиграфкиига», 252057, Киев-57, ул. Довженко, 3
Белоцерковской книжной фабрике, 256400, г. Бе"
лая Церковь, ул. К. Маркса, 4.