Балаш В А
Задачи по физике и методы их решения
Пример 2. Три проводящих шарика радиусами г, 2г и Зг,
на которых находятся заряды 3g, —2g и 3g, расположены в
вершинах тетраэдра с ребром R^>r. Определите напряженность
и потенциал электрического поля в четвертой
эдра, а также потенциал в центре
шариков. Какой потенциальной энер-
гией электрического взаимодействия
обладают шарики?
Решение. Предположим, что
шарики находятся в вершинах ос-
нования пирамиды (рис. 11.5), и на-
до найти напряженность поля и по-
тенциал в точке А и потенциалы в
центрах шариков В, С и D. Рас-
смотрим точку А. Поле в ней соз-
дается заряженными шариками.
Проставляем векторы напряжен-
ности Е\, Е2 и £з полей, созданных
шарами с зарядами 3g, —2g и 3g со-
ответственно. Условие R^>r позво-
ляет не учитывать смещение заря-
дов на шариках и считать, что они
распределены по поверхности рав-
номерно. Сразу же можно заметить,
что модули векторов Е\ и Ез равны,
поскольку заряды, создающие эти
поля, и расстояния от них до точки
А одинаковые.
вершине тетра-
Проставляя векторы напряженности, следует обратить вни-
мание на их направление. В случае положительных зарядов век-
торы напряженности направлены от них, в случае отрицатель-
ных — к ним.
Согласно принципу наложения полей напряженность резуль-
тирующего поля в точке А равна:
ЁА =Е1 4- Ё2 4- Ез.
Модуль суммы векторов, стоящих в правой части равенства, про-
ще всего найти попарным сложением векторов псцправилу парал-
лелограмма. Поскольку модули векторов Ei и Ез равны и угол
между векторами равен 60°, их результирующий вектор Ецз
является диагональю ромба, построенного на этих векторах, и
его модуль равен: £|,з = 2E'i cos 30°.	_	_
Чтобы найти Еа, нам нужно сложить векторы £t3 и Е2.
Оба эти вектора лежат в плоскости ABF (AF—высота равно-
стороннего треугольника ACD), поэтому, применив теорему коси-
нусов, получим:
Ел — /Е?,з4- Е!-2Е,.зЕ2 cosp .
Угол р, как Видно из чертежа, равен углу между ребром и
гранью пирамиды. Из треугольника ABF, поскольку он равно-
бедренный (AF — BF),
С05₽=т^№-
С учетом этого равенства, а также выражения для Ецз после
небольших преобразований находим:
Еа = ЁЗЕ^ 4- Ег - 2Е,Е2 .	(1)
Напряженность электрического поля, создаваемого заряжен-
ным шариком за его пределами, такая, как если бы весь заряд
шарика был сосредоточен в его центре, поэтому
£1==Ез=—; Е2 = —~-2-	(2)
4лео/?	4лео7?
Из уравнений (1), (2) искомая напряженность поля в точке А
получается равной:
ЕА=-Я.№ .
4лео/?2
Потенциал поля в точке А равен алгебраической сумме по-
тенциалов полей, созданных заряженными шарами:
Ф.Л = ф1 + ф2 4- фЗ-	(3)
Потенциал поля шариков за их пределами равен:
Ф1 == Фз===—~; фг==——.	(4)
₽ 4лео7? ’ Г 4л6о/?	V 7
Из уравнений (3) и (4) находим:
Потенциал поля в центре шариков равен потенциалу на их
поверхности. Последний складывается из потенциала собствен-
ного поля шарика и потенциалов полей двух других шариков. Учи-
тывая, что R г, а также знаки зарядов на шариках, мы мо-
жем записать:
Потенциальную энергию системы находим по формуле (11.13).
Поскольку R^S>r и заряженные тела близки к точечным за-
рядам, то
№'р = -?И3'7(рс + 3(]<Vd — 2дфй) = ~