Текст
Е.Е.ВЕРЕСОВА, Н.С.ДЕНИСОВА,
Т.Н,ПОЛЯ КОВА
П РАКТИ КУМ
ПО РЕШЕНИЮ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
Е. Е. ВЕРЕСОВА, Н. С. ДЕНИСОВА,
Т. Н. ПОЛЯКОВА
ПРАКТИКУМ
ПО РЕШЕНИЮ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия
для студентов педагогических институтов
по математическим и физическим специальностям
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979
22.1
В 51
Рецензенты:
доктор педагогических наук А. А. Столяр; кафедра математики
Мордовского педагогического института (заведующий кафедрой
Г. И. Саранцев)
Вересова Е. Е. и др.
В 51 Практикум по решению математических задач: Учеб,
пособие для пед. ин-товЕ. Е. Вересова, Н. С. Денисова,
Т. Н. Полякова.—М.: Просвещение, 1979.—240 с.
Данное учебное пособие соответствует программе пединститутов. Содержание
Ч книги тесно связано со школьным курсом математики. В ней содержится много инте-
ресных, оригинальных задач, которые могут быть использованы учителями матема-
тики средних школ во внеклассной работе.
60602—636
i 03(03)—79
4309020400
ББК 22.1
51
© Издательство «Просвещение», 1979 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Часть I
АЛГЕБРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ
Введение........................................................... 6
I. Функции над множеством. Выражения с переменными над
множеством ............................................... —
И. Предложения с переменными над множеством............... 9
III. Тождество на множестве Тождественные преобразования
выражений с переменными на множестве....................... 12
IV. Равносильные предложения с переменными над множеством 13
V. Теоремы о равносильных уравнениях..................... 14
VL Теоремы о равносильных неравенствах................... 16
VII. Теоремы о равносильных системах уравнений ...... 17
VIII. Предложения с переменными и параметрами.............. 18
Глава I. Тождественные преобразования на множестве. Доказатель**
ство тождеств и неравенств на множестве ........................... —
§ 1. Тождественные преобразования целых рациональных и
дробных рациональных выражений на множестве............... —
§ 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений
на множестве................................................ 25
§ 3. Тождественные преобразования показательных и логариф-
мических выражений на множестве............................. 32
§ 4. Доказательство неравенств на множестве............. 34
Глава II. Уравнения и неравенства с переменными................ 39
§ 5. Равносильность уравнений и неравенств............... —
§ 6. Целые рациональные и дробные рациональные уравнения
с одной переменной.......................................... 41
§ 7. Целые рациональные и дробные рациональные неравенства
с одной переменной.......................................... 48
§ 8. Уравнения и неравенства с одной переменной, содержащие
переменную под знаком модуля..............................- 55
§ 9. Иррациональные уравнения с одной переменной.......... 59
§ 10. Иррациональные неравенства с одной переменной .... 65
§11. Показательные и логарифмические уравнения с одной пе-
ременной ................................................... 69
§ 12. Показательные и логарифмические неравенства с одной пе-
ременной ................................................... 72
§ 13. Системы (конъюнкции) и дизъюнкции уравнений........... 75
§ 14. Системы (конъюнкции) и дизъюнкции неравенств о перемен-
ными .............................................. • . 85
3
Глава III. Тригонометрия ......................................... 89
§ 15. Доказательство тригонометрических тождеств на множестве —
§ 16. Доказательство тригонометрических неравенств на множе-
стве ....................................................... 94
§ 17. Тригонометрические уравнения .... . . 98
§ 18. Решение тригонометрических неравенств................ 105
§ 19. Системы тригонометрических уравнений и неравенств ... 111
§ 20. Доказательство тождеств и неравенств на множестве, со-
держащих обратные тригонометрические выражения ... 115
§ 21. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригоно-
метрические выражения...................................... 124
Часть II
ГЕОМЕТРИЯ
Введение ... 130
Глава I. Планиметрия .... —
§ 1. Применение геометрических преобразований к решению
задач . f.................................................. 131
§ 2. Метрические соотношения в плоских фигурах............ 133
§ 3. Площади плоских фигур ............................... 143
Глава И. Стереометрия......................................... 156
§ 4. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в про-
странстве ................................................... —
§ 5. Геометрические построения в пространстве . .......... 162
§ 6. Многогранники........................................ 179
§ 7. Цилиндр, конус, шар.................................. 187
§ 8. Комбинации геометрических фигур............... 190
Ответы к части 1........................................ . . . . 198
Ответы к части II ............................................... 222
Приложения................................................... 231
Формулы.......................»..................*................. —
Обозначения..................................................... 234
Таблицы.......................................................... 237
Литература..................................................... 238
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие «Практикум по решению мате-
матических задач» для студентов педагогиче-
ских институтов составлено в соответствии
с государственной программой. При этом
учтен опыт работы по данному практикуму
со студентами в МГПИ им. В. И. Ленина.
Пособие содержит две части: первая часть
посвящена алгебре и тригонометрии (автор
Полякова Т. Н.), вторая часть—геометрии
(авторы Вересова Е. Е., Денисова Н. С.).
В каждой части во введении приведены
теоретические сведения, которые использу-
ются при решении задач.
В начале каждого параграфа приведены
примеры решения задач одним или несколь-
кими способами.
В конце пособия указаны формулы и
обозначения, применяемые в данном пособии.
Пособие содержит задачи повышенной
трудности (специально не выделенные). Кро-
ме этого, авторы рекомендуют в качестве
задач повышенной трудности использовать
задачи, предлагаемые на олимпиадах, в жур-
налах «Математика в школе», «Квант».
Некоторые задачи пособия могут быть
использованы в кружковой работе и факуль-
тативных занятиях по математике в школе.
Авторы выражают глубокую благодар-
ность Базылеву В. Т., Куликову Л. Я.,
Нечаеву В. И. за ценные указания и советы,
а Достойновой О. Н. за большую помощь
по подготовке рукописи к печати.
АЛГЕБРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
I. ФУНКЦИИ НАД МНОЖЕСТВОМ. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
НАД МНОЖЕСТВОМ
Пусть f—бинарное отношение, определенное во множествах
Л, В, т. е. fa Ах В. Бинарное отношение / называется функ-
цией (отображением из множества А в множество В), если в f нет
пар с одинаковьйли первыми и различными вторыми элементами,
и обозначается fzA—,B.
Множество А называется областью отправления, а множество
В—областью прибытия функции /.
Множество (а € Л | (Э6 Е В) (а, b) € f} называется областью оп-
ределения функции f и обозначается D (f).
D(f)={aeA\(3b£B)(a, b)£f}.
df
Множество {б£В)(Эд£ A) (a, b)Gf} называется областью зна-
чений функции / и обозначается Е (/).
Е (/) = {^В|(ааеЛ)(о,
df
Если (a, b) £f, то b называется образом элемента а (значением
функции f в точке а) и обозначается / (а); а называется прооб-
разом элементаЬ\ а*—>Ъ фф (a, b)£f. Если (а', b') $f((a', Ь') € Л х В),
f df
то говорят, что функция f не имеет значения (не имеет смысла)
в точке а'.
Бинарное отношение fa Ах В называется отображением мно-
жества Л в множество В, если каждый элемент из Л имеет и
только один образ в В, и обозначается f\A—+B>
Пусть Л — множество. Отображение f из Ап в Л (/:Лп-тЛ)
будем называть функцией над множеством Л от и аргументов
(с п переменными) или более кратко функцией над Л.
* 4=> == ) означает: ... есть по определению (df — сокращение ело’
ва „дефиниция" (лат. definitio) — определение понятия;.
Пример» f:R*—,R
(*. У^7=-у‘
f—функция над /? от двух аргументов;
D (/) = {(*. У) Ы\х^у}, Е (J) = 7?\{0}.
Пусть даны функции над A ifit ..., /, от п аргументов
и g от s аргументов. Функция h над А от п аргументов на-
зывается композицией функций над A .........ft и g, если
Л (Х1Э > * • > Хп) = g (fi (Х,, • • •, Xn),. • •,/. (Xff • • • »хя)) и
D(h)={(xt....xJK/^Xl ...,хп), (xo ...» x„))GD(g)}.
Пусть A — числовое множество, xu ...,xn—переменные,
функция над А с областью определения D(f) и областью зна-
чений Е (/).
f-.An^A
(Хр . . ., Хя) •—> f (Х|, • • •,
Тогда символ f(x19 . ..,хя) называют выражением с переменными
Хх....хп функции f.
Одной функции над А могут соответствовать разные выраже-
ния с переменными. Например:
1) fZ? и g*R—vR
хн->lgxa Xi->21g|x|.
2)f:R—^R и R
xi—>cosax xi—>1—sin*x.
3) f:R—+R и g'R—>R
x i—> x x ► ctg (arcctg x).
Наоборот, разным функциям над А может отвечать одно и
то же выражение с переменными.
Например: f'.R—+R и g:[—
I 46 I
Xi—>slnx Xi—>sinx.
Функция над А от n аргументов определена (задана), если
указаны: 1) ее область определения с Л"; 2) ее выражение
с переменными.
В связи е этим иногда отождествляют функцию над А и ее
выражение с переменными, указав область определения этой
функции. Поэтому иногда область определения и область зна-
чений функции над А называют также областью определения и
областью значений ее выражения с переменными.
Пусть А — числовое множество, fit...,ft—функции над А
от п аргументов, g—функция над А от з аргументов. Пусть
выражениями с переменными функций /t, ..., fs, g являются
соответственно (хь ..., х„), (xif...,xn), g(yt, ..., уt) (1).
Тогда символ g (f, (xo .... x„), ..., ft (xit ..., x„)) называется
композицией выражений с переменными (1).
7
Класс рассматриваемых функций над А, соответственно вы-
ражений с переменными, ограничиваем следующими согла-
шениями.
Ниже: А есть С, /? или Q в (0) —(7); A=R в (8) —(21).
Следующие выражения с переменными называются элемен-
тарными выражениями (ЭВ) над А:
(0) константа (a, b, аи аг, ..-€Л);
(1) переменная (х, у, хх, хг, .. .)(£)(1) = Л);
(2) х+у (D(2) = A2);
(3) х-у (Р(3) = Л2);
(4) ху
(5)'х'п, где tn£.N (Р(5) = Л);
(6) i(D(6) = ((x, «/)|х£Л, у£ Л
(7) xmf где т С Z, tn^Q (D (7) = Л \ {0});
l(D(8) = [0, оо[,
(8) у х, или хш, где m£N, т'
£(8)=Г0, оо[);
(9) | х | (0(9) = /?, 0(9) = [О, оо[);
(10) ха, где а€/?\<? (D(10) = ]0, оо[);
(11) ах9 где а>0, а^1 (0(11) = /?);
(12) logax, где а>0, а=^1 (D(12) = ]0
(13) хУ (O(13) = {(x,f/)|x, х>0});
(14) sinx (D(14) = /?);
(15) cosx (D(15) = /?);
Л л
(17) ctgх (D(17) = /?\{nfe|fe€Z));
(18) arcsinx (D(18) = [—1, 1], Е(18)=Г—J
(19) arccosx (D(19) = [— 1, 1], £(19) = [0, nJ);
(20) arctgx
(21) arcctgx (0(21) = /?, E (21) = ]0, л[).
Пусть M—множество каких-либо элементарных выражений
над А, Мг = М и пусть Мп для каждого натурального л>1
означает множество всех композиций любых выражений с пере-
менными из объединения Мг и М2 и ... и множеств /Ип
М2, ..., Будем говорить, что выражение с переменными й
выражается в конечном виде через элементарные выражения из
М, если для какого-нибудь натурального п.
В частности, если М—множество всех элементарных выра-
жений над А, то любое выражение с переменными, выражаемое
в конечном виде через элементарные выражения из Л4, будем
называть выражением с переменными над А (ВСП) или, короче,
выражением над Д.
Другими словами, под выражением с переменными над А по-
нимаем любое элементарное выражение над А и любое выраже-
8
пие с переменными, получающееся из элементарных выражений
над А с помощью композиций, последовательно „примененных"
конечное число раз.
Классификация выражений с переменными над множеством
Выражение с переменными над 7? (С, Q) называется целым
рациональным выражением (многочленом) над/?(С, Q), если оно
выражается в конечном виде через элементарные выражения (ЭВ)
(0)—(5) над /?(С, Q).
Выражение с переменными над /?(С, Q) называется дробным
рациональным выражением над R(C> Q), если оно выражается
в конечном виде через ЭВ (0) — (7) над /?(С, Q), причем среди
них есть хотя бы одно из (6), (7).
Целые рациональные и дробные рациональные выражения над
/?(C,Q) называются рациональными выражениями над /?(С, О).
Выражение с переменными над /? называется Иррациональ-
ным выражением (над /?), если оно выражается в конечном виде
через ЭВ (0) — (9), причем среди них есть хотя бы одно из (8), (9).
Рациональные выражения над /?(С, Q) и иррациональные
выражения над R называются алгебраическими выражениями.
Выражение с переменными над /?, не являющееся алгебраи-
ческим, называется трансцендентным выражением (над /?), т. е.
выражение с переменными над R называется трансцендентным,
если оно выражается в конечном виде через ЭВ (0) — (21), при-
чем среди них есть хотя бы одно из (10)—(21).
Из данных выше определений следует, что классификация вы-
ражений с переменными над А производится по внешнему виду
выражений с переменными (что в практике очень удобно, ибо не
требует никаких дополнительных исследований).
П. ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ НАД МНОЖЕСТВОМ
Пусть Aif ..., Ап—данные множества, хи ..., хп—переменные.
Под предложением с переменными хи ...ухп на множестве
Д1Х...хЛл (ПСП) будем понимать выражение (запись знаков
и символов), обладающее тем свойством, что, приписав значения
переменным х1У ...yxn(xt из А1У ..., хп из Д„), получаем выска-
зывание.
Областью истинности предложения V (х1У ..., хп) с перемен-
ными х1У ..., хп на множестве A , х ... X Ап называется множество
тех и только тех элементов (точек) (а1У ..ап) из Дхх ... х4я,
для которых высказывание V ., п„) истинно, и обозна-
чается ОИу.
ОИу=»{(ап .... ап)£ хЛп|У (ап ..ап) — истинно},
df
Пусть V и IF — предложения с переменными rif . ..,хп на
множестве Агх ... х Д„. Тогда по определению:
1) —отрицание V, т. е. ПСП такое, что ОИ-^у = (Д1X -..
...хДп)\ОИг,
2) УД1^— конъюнкция V и IF, т. е. ПСП такое, что ОМуд^ =
=ОИУПОИ^,
3) — дизъюнкция V и IF, т. е. ПСП такое, что ОИуу^ =
= оиУиои^,
4) V=s>lF (V IF) — IF является следствием V, т. е. ОИуо: ОИ^,
5) У о IF (V~ IF)— V равносильно W, т. е. ОИУ = ОИ^.
Если f (xn ..хп) и g(xl9 ...» хп)—выражения с переменными
хп ...,х^ над множеством Д, то предложения с переменными
f(xn ..xn) = g(xit >..,хп) на множестве Д",
f (х19 ..., х„) < g (хп ..., хп) на множестве Д",
f (хп ..., xrt) > g (хп ..., хп) на множестве Дп
называются основными предложениями с переменными xf, ...,х„
над множеством А (ОПСП над Д).
Выражение f(xl9 .. .9хп) называется левой частью, а
g(xb . ..,х„)— правой частью ОПСП над Д.
Основное предложение с переменными f(xl9 ...,хп) =
= g(xn ..хп) над Д называется равенством с переменными
xi9 ...9хп над Д, а как / (хь ..., х„) < g (хп ..., хп) над Д, так
и f(x19 ..., хп) > g(xi9 . ..,хп) над А, называется неравенством
с переменными xi9 •. хп над Д.
Пусть /(хр ...9хп) и g(x19 ...» xj —выражения с перемен-
ными над Д. Тогда, по определению:
f^g~f <gvf — gl
f>g~ f>gVf=g,
(f<g)~f>g,
(f>g)~f<g,
(f^g)~f>g>
(f>g)~f<g>
(f=g)~f<gvf>g-
Предложение с переменными xlt ..., хп над множеством A *
определяется следующими соглашениями:
1. Любое основное предложение с переменными хй
над А есть предложение о переменными х„ .х„ над А.
2. Если V (х1г ...,х„) и W (х„ ...,хя)—предложения с пе-
ременными хп ...,Хп над А, то и V (хй ..xn)/\W (хъ ..хп),
V(xlt....xn)VU7 (xlt .. .,х„) — предложения с переменными хь
...,х„ над А.
• Слова „с переменными хп ..., хп “опускают, если ясно, от каких пе-
ременных; слова „над Д“ тоже иногда опускают, если заранее известно, ука-
зано множество Д.
10
Таким образом, всякое предложение с переменными, полу-
чающееся при помощи конечного числа конъюнкций и дизъюнк-
ций предложений с переменными . ..,хл над множеством Л,
является предложением с переменными xit ...,хп над Л.
Конъюнкцию предложений с переменными , хп над Л
называют также системой предложений с переменными х19 ..хл
над Л.
/V V 1
Конъюнкцию (систему) V/\W записывают и иначе: ’
(V 1 ,
. Дизъюнкцию VW записывают еще и так:
1. Пусть А означает любой из символов =,
Областью определения предложения с переменными xit ..., хл
(*) f(*i» •••» •••» х») над называется пересечение
областей определения выражений с переменными f (xlf.. . tx„) и
g(x19..-txn) над и обозначается О(*).
D (*) == D (/) П D (g).
df
2. Пусть (1) и (2)—предложения о переменными xi9 . ..,хл
над Л.
Областью определения конъюнкции ПСП (I) и (2) называется
пересечение их областей определения.
D((l)A(2)) = D(l)nD(2).
df
Областью определения дизъюнкции ПСП (1) и (2) называется
объединение их областей определения.
D((1)V(2)) = D(1)UD(2).
df
Пусть (1)—предложение с переменными xit . ..,х„ над мно-
жеством Л. Относительно предложения с переменными (1) могут
быть поставлены две основные задачи:
I. Доказать, что данное множество Т является подмножеством
области истинности предложения с переменными (1) над Л, т. е.
доказать, что ТсОИ(й. Иначе это выражают и записывают так:
доказать, что ПСП (1) над А справедливо (истинно) на множе-
стве Т.
II- Найти область истинности данного предложения с пере-
менными (1) над Л, т. е. найти ОИ(1). Обычно это выражают и
записывают так: решить ПСП (1) над Л.
Вместо „решить равенство" обычно говорят „решить уравнение".
Каждый элемент (каждая точка) области истинности назы-
вается решением ПСП (1). Если то решение уравнения
называют также корнем уравнения.
11
Иногда ставится задача: найти пересечение области истинности
ПСП (1) над А и данного множества BnczAn. Это выражают и
записывают так: решить ПСП (1) при условии, что В.
В некоторых случаях, когда В есть N (Z, Q, R, С и др.),
применяется и такая формулировка указанной выше задачи:
найти натуральные (целые, рациональные, действительные, комп-
лексные и другие) решения ПСП (1).
Классификация предложений с переменными над множеством
-Пусть (1) — предложение с переменными хо .. хп над мно-
жеством А, &
ПСП (1) над А называется целым рациональным, если все
его левые и правые части являются целыми рациональными вы-
ражениями над А.
ПСП(1) над А называется дробным рациональным, если все
его левые и правые части являются рациональными выражениями
над А и хотя бы одна из частей есть дробное рациональное
выражение.
Целые рациональные и дробные рациональные ПСП называ-
ются рациональными.
ПСП (1) над Д==/? называется иррациональным, если все
его левые и правые части являются алгебраическими выраже-
ниями над /? и хотя бы одна из частей есть иррациональное
выражение.
ПСП (1) над A = R называется трансцендентным, если хотя
бы одна из его частей является трансцендентным выражением.
HI. ТОЖДЕСТВО НА МНОЖЕСТВЕ. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ВЫРАЖЕНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ НА МНОЖЕСТВЕ
Слова „с переменными" (для краткости) опустим.
Выражения f (хо ..., хп) и g(xl9 ..., хп) над А называются
тождественно равными на множестве Г, если в каждой точке
множества Т значения этих выражений равны.
Если выражения f (хх, ..., хп) и g (хп ..., хп) тождественно
равны на множестве 7, то иногда будем это записывать так:
/Ui.....xn) = g(xi9 на Т.
Равенство (1) f (хь ..., x„) = g(x1, . ..,х„) над А называется
тождеством на множестве Т, если выражения f(xi9 . ..,хл) и
g(xn . .., хл) тождественно равны на множестве Т.
Замена выражения f (xi9 .,.9хп) над А другим выражением,
тождественно равным ему на множестве 7, называется тождест-
венным преобразованием выражения f (xt, ..., хл) на множестве 7.
В случае, когда Т=*А, слова „на множестве 7“ разрешим
опускать, не указывать, т. е.:
12
1. Выражения f (xn .. ., xn) и g(x}1 . ..,хл) над А называются
тождественно равными, если в каждой точке множества А зна-
чения этих выражений равны.
2. Равенство (1) /(^.....*„) ==g(x1, ..,хл) над А называется
тождеством, если выражения f (х1....хп) и g(xlt .. ., хп) тожде-
ственно равны.
3. Замена выражения f(x19 ..., хп) над А другим выражением,
тождественно равным ему, называется тождественным преобра-
зованием выражения f (хх, . ..,хл).
Если выражение / (хп ..., хп) тождественно равно на множе-
стве Т\ выражению g(x19 , ..,хл), а выражение g(xn . ..,хл)
тождественно равно на множестве 7\ выражению h (хп ..., хл),
то выражение f (х,, . ..,хл) тождественно равно на множестве
Т = Т1Г\Т2 выражению h(x1, . ..,хл), т. е. если f (хп ...,хл) =
= g(xl, ...,х„) на 7\ и £(ХХ.....x„)=h(xlt ...,хп) на Т2, то
f(xlt .xn) = h(xt, ...,хп) на Т = 7’1ПТ2.
В частности, при Т1 = Т2 = Т получаем: если f(xit ...,х^ =
g(xlt •«•, хя) на Т и g (-^ij • • • i • • • । *^л) । то
f(xlt ...,xn)^h(x1.....х„) на Т.
Примеры тождеств на множестве
1. х2— 1 =х+ 1 над С является тождеством на множестве {—1; 2}.
2. (х+у)3 = х3+у3Зху (х+у) над С является тождеством.
3. (*2?Р3==(Х—1)а над О является тождеством на множестве
4. У— х над 7? является тождеством на множестве [0, оо[.
5. /Г2=|х| над R является тождеством.
6. lgx2 = 21gx над /? является тождеством на множестве ]0, оо[.
7. 1g х2 = 2 1g | х | над R является тождеством на множестве
8. tgxctgx=l над R является тождеством на множестве
bg/?|x^agzV
IV. РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ НАД МНОЖЕСТВОМ
Пусть (1) и (2)—два предложения с переменными хп ...,хл
над множеством А. Пусть D (1)—область определения, ОИ(П —
область истинности ПСП (1). Пусть D (2) — область определения,
ОИ(2)—область истинности ПСП (2).
Предложение с переменными (2) называется следствием пред-
ложения с переменными (1), если область истинности ПСП (1)
13
есть подмножество области истинности ПСП (2), т. е. если
ОИшс:ОИ(й> и обозначается это так: (1)|=(2).
(1)М2)«ОИП)аОИ(2,.
df
Предложения с переменными (1) и (2) над А называются рав-
носильными, если они имеют одну и ту же область истинности,
т. е. если ОИ(1) = ОИ(2), и обозначается это так: (1)~(2).
(1:)~(2)«ОИ{п = ОИ1г>.
Предложения с переменными (1) и (2) называются равносиль-
ными на множестве L, если LЛОИ(1) = Дл ОИ<2), и обозначается:
(О - (2).
L
Отношение равносильности обладает свойствами:
1) рефлексивности: (1) ~ (1);
2) симметричности: если (1)~(2), то (2) (1);
3) транзитивности: если (1)~(2) и (2) ~ (3), то (1)~(3).
Примеры
1, (1) х—1=0 над R-, (2) (х— 1)г = 0 над /?;
(1)~(2), так как ОИа) = ОИ<2) = {!}.
2. (1) х*4-1=0 над /?; (2) Зх—2 = 3х над R-,
(1)~(2>, так как ОИ(1) = ОИ(2) = 0.
3, (1) х = 2 над R, (2) х* = 4 над R-,
(1)|= (2), так как ОИ(1) = {2} с {—2; 2} = ОИ(2).
4‘ W 1 х-Л-2 НаД С: (2) I 21/-1 НаД С
(1)~(2), так как ОИ(1) = ОИ(2) = |(-|-, .
V. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Напомним, что А означает С, R или Q.
Пусть (1) f(xu .x„) = g(x1, .... х„) над А—уравнение
с областью определения D (1) и областью истинности (множе-
ством всех решений) ОИ(1); (2) /а (хх, ..., х„)=g3 (хп ...,хп) над
А—уравнение с областью определения D (2) и областью истин-
ности (множеством всех решений) ОИ(2).
Пусть ф(Х|, ...» х„)—выражение над А с областью опреде-
ления £>(ф).
Замечание. Для краткости записи в дальнейшем не будем
указывать переменные хп х„.
Ц
Теорема 1. Уравнения (l)f = g и (2) f3 = g2, где на
D (f) П D (/2), g^=g* на D(g)fiD(fft), равносильны тогда и только
тогда, когда
1) если а £ (1)\£> (2), то а(£ОИ(1), и
2) если b£D (2)\D (1), то 6^ОИ(2).
Следствие 1Р Если О(1) = О(2>, то уравнения (1) и (2)
равносильны.
Следствие 2Р Если О(1)зО(2), то ОИ(П = ОИ(2) иОИ',
где ОИ'=={л|а££)(1)\П(2), а£ОИ(1)}.
Следствие Зг Если D(l)cD(2), то ОИ(1, = ОИ(2)\ОИ",
где OH’ = {fe|t>€D(2)\D(l), &€ОИ(2>}.
Теорема 2. Если D (тр)оО (1), то уравнения (l)/=sgH
(3) / + ф=£ + 'ф равносильны.
Если D (i|?) D (1), то f=g~ f+’ф = я + ,Ф.
«
Следствие 12. Если перенести слагаемое из одной части
уравнения в другую с противоположным знаком, то получится
уравнение, равносильное данному.
С л еде т вне 2а. Всякое уравнение (1) f = g равносильно урав-
нению f—g = 0.
Теорема 3. Если D($)z>D (1) и ф (Ь)=/=0 для любого b^D (1),
то уравнения (l)f = g и (4) /Г-'Ф = £*'Ф равносильны.
Если £>(ф}гэП(1) и ф#=0 на 0(1), то f~g~ f
Следствие 1Я. При умножении обеих частей уравнения на
число а (а €4), отличное от нуля, получается уравнение, равно-
сильное данному.
f I
Теорема 4. -^- = 0(Л)~ | g^Q
Теорема
Теорема
Теорема
Теорема
Теорема
5. f=g(R)~f2k+* = g2k*4R), k(~N.
G. f=g(R)~{
\ I 6
7. 4/7 = £(/?)-{ 8f (*). k € N.
8. ar = a?(R} ~ f = g(R), a>0, 1.
I f>0
9. \ogaf = logag (/?) ~ = s (/?) —
g>0
(R),
a > 0, a =/= 1,
♦ Для краткости вместо (над Л) будем писать — =^0(Л).
15
Теорема 10. f = g (/?)£= sin/ = sin£(/?).
Теорема 11. f = g (/?)[= cos/ — cos g (/?).
Теоремы I, 2, 3 и следствия из них применяются при реше-
нии уравнений различных типов, теорема 4 чаще используется
при решении дробных рациональных уравнений, теоремы 5, 6
и 7 — иррациональных уравнений, теоремы 8, 9 — показательных
и логарифмических уравнений, теоремы 10, 11 — уравнений, со-
держащих обратные тригонометрические выражения.
VI. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ
Пусть (1) /(%!, ..хп) <g(xb ..хп) (над /?) —неравенство
областью определения D (1) и областью истинности (множест-
вом всех решений) ОИ<1>; (2) /г(Х1, •••. хп)
(над R)— неравенство с областью определения D(2) и областью
истинности (множеством всех решений) ОИ(2).
Пусть ф(хь . ..,хп)— выражение над R с областью опреде-
ления £)(ф).
Так как теоремы 1 и 2 (из V) и следствия из них имеют
место и для неравенств над R (достаточно в теоремах 1 и 2 вместо
символа = написать любой из символов: <, >, ^), то мы
позволим себе не повторять их формулировки.
Теорема 3Р Если выражение ф принимает положительные
значения в каждой точке области определения неравенства
(1) f<g, то неравенства f <g и /*Ф<£*Ф равносильны,
Если ф>0 на £>(1), то / < g ~ /-ф < g-ф.
Теорема 38. Если выражение ф принимает отрицательные
значения в каждой точке области определения неравенства
(l)/<g, то неравенства f<g и Лф>£-ф равносильны.
Если ф<0 на D(l), то / <g~ /-ф> g-ф.
Теорема
Теорема
Теорема
Теорема
5. /<g~/2ft+l<g*ft+\ k£N.
16
Теорема 7<.
Теорема 72.
Теорема 8Х,
Теорема 8в.
Теорема 9t.
Если
Если
2i/f <g~< g > О
I f < g2k.
Если a > 1, то a* <Z ae ~ f < g.
О < a < 1, то aJ < ag — f > g.
I f>0
a> 1, to logj < log0g~4 f
0
Теорема 94. Если
0<a< 1, to loge/ < logag
Теоремы 1, 2, 3t, 32 и следствия из них применяются при
решении неравенств различных типов, теоремы и 42 чаще
используются при решении дробных рациональных неравенств,
теоремы 5, 6, 7t и 72 — иррациональных неравенств, теоремы 81?
82, 9и 92— показательных и логарифмических неравенств.
VII. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНЫХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ
Теорема 1 (способ подстановки). Если уравнение
A(xt, • ••, •••> *п) над А равносильно
уравнению Х| = ф(х2, над Л, то система уравнений:
равносильна системе уравнений:
= <Р (*2..........хп)
F2 (.Ф 0^2» • • • > ^2> • • • t ~ g% (ф (-^2»
• • •> Хи)над д.
• > ^2>
Й (ф (-^21 • • * I ^п)> %29 • • • • gk (ф (-^2» • • • > -^л)> %29 • • • I ^п)
Теорема 2 (способ сложения). Если h — выражение с пере-
менными xlt хп над А с областью определения D (й) и
О(й):эО(1), то система уравнений с переменными хи
(1)
Л =£г
• •
fk = gk
над А
17
равиосильна системе уравнений:
над А.
VIII. ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ И ПАРАМЕТРАМИ
Пусть V (хь ..хп, alt ..., ak) над А является предложением
с переменными хъ ...,хл и параметрами аи (ап . .., пА
считаются известными).
При всяком допустимом наборе значений alt пара-
метров аи ..., ak V (хп ..., хл, а19 ..., ak) обращается в предло-
жение V (хп ..хл, alt ..., ak) с переменными над Л, не содер-
жащее параметров. Полученное предложение с переменными
над А имеет некоторую вполне определенную область истинности
(множество всех решений).
Решить предложение с переменными и параметрами—это
значит для каждого допустимого набора значений параметров
определить область истинности (множество всех решений) полу-
чающегося предложения с переменными (без параметров).
Два предложения с переменными хо ...,хл и параметрами
а19 ..., ak называются равносильными, если:
1) для обоих предложений множество допустимых наборов
значений параметров одно и то же и
2) при всяком допустимом наборе значений параметров полу-
чающиеся предложения с переменными xt, ..., хл (без парамет-
ров) равносильны, т. е. имеют одну и ту же область истинности
(множество всех решений).
Г лава
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ И НЕРАВЕНСТВ НА МНОЖЕСТВЕ
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ
И ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ
Если нет указания, то будем считать, что рациональное вы-
ражение рассматривается над множеством С комплексных чисел.
Напомним некоторые теоремы и определения.
Пусть Р — числовое поле (т. е. подполе поля комплексных
чисел).
18
Теорема Безу. Пусть f(x)—многочлен от одной перемен-
ной степени 1 над полем Р, Тогда /(х) имеет в Р не более п
корней, и а—корень многочлена /(х) в Р тогда и только тогда,
когда f (х) делится на х—а.
Обобщенная теорема Безу. Пусть f (х, у, ..., г)—мно-
гочлен от k (k > 1) переменных степени над полем Р,
g(y, г)—многочлен от k—1 переменных над полем Р. Если
f (g(y, ..., г), у. ..., г) есть нулевой многочлен, то f (х, у, ..., г)
делится на х—g(y9 ..., г).
Пусть /(х, у, ..., г)—многочлен над полем Р. Всякое отлич-
ное от нуля число из данного числового поля Р, а также вся-
кий многочлен, отличающийся от данного многочлена числовым
множителем из Р\{0}, есть делители данного многочлена и на-
зываются его тривиальными делителями над полем Р. Все другие
делители данного многочлена над Р называются его нетривиаль-
ными делителями над полем Р.
Многочлен f (х, у, ..., г) положительной степени над полем Р
называется неприводимым над полем Р, если он не имеет нетри-
виальных делителей над данным полем.
Многочлен f (х9 у, ...» г) положительной степени над полем Р
называется приводимым над полем Р, если он имеет нетривиаль-
ные делители над полем Р.
Многочлены / (х, у, ..., г) и g (х, у, ..., г) над полем Р
называются взаимно простыми, если их общими делителями над
полем Р являются только отличные от нуля числа из поля Р
{т. е. только многочлены нулевой степени над Р).
Теорема. Если многочлен f (х, у9 ..., г) над полем Р де-
лится на каждый из многочленов <р(х, у9 ..., г), ф(х, у9 ...» г)
над Р и многочлены ф(х, #, .... г), ф(х, у9 г) — взаимно
простые, то многочлен /(х, у, .г) делится на их произведе-
ние ф(х, у, г)-ф(х, у, ..., г).
Теорема. Многочлен f(x) над полем С комплексных чисел
неприводим над С тогда и только тогда, когда его степень равна
единице.
Теорема. Многочлен f (х) над полем Ц действительных чисел
неприводим над R тогда и только тогда, когда он является мно-
гочленом первой степени или многочленом второй степени с мни-
мыми корнями.
Теорема. Если несократимая дробь ~-(р, является
корнем многочлена апхп + ... +агх + а0 с целыми коэффициентами
(л€Л0, то р| а0 (Р делит «о) и
Пример 1. Разложить многочлен
f (х) = 2хъ- — ЗхЛ + 6х3—8х2 4- 3
df
на множители, неприводимые а) над С; б) над R.
Решение. Сначала выясним, имеет ли данный многочлен
рациональные корни. Для этого воспользуемся 1) теоремой о ра-
19
цнональных корнях многочлена с целыми коэффициентами и 2)
схемой Горнера.
1) Делителями свободного члена а0 = 3 являются числа: ±1,
гЬЗ. Положительными делителями старшего коэффициента п5 = 2
являются: 1, 2. Таким образом, рациональные корни много-
члена f(x) находятся среди чисел: ±1, ± 3,
Нх) = (х-1)2(х + 4)(2х2 + 6) =
= (х — 1У (2х + I )(х + i /3)(х— i /3).
Ответ.
а) /(х) = (х— l)2(2x+l)(x + i/3)(x— i/3) над С,
б) /(х) = (х—1)г(2х+1)(х2 + 3) над /?.
Пример 2. Разложить многочлен х4—х3—х2 + 2х—2 на мно-
жители первой степени.
Решение. Первый способ, х4—х3—х24-2х—2 — х4—х3 —
— 2х2 + х2 + 2х—2 = (х4—2х2) — (х3—2х) + (х2—2) =
= (х2 — 2) (х2—х+ 1) = (х + ]/2) (х—j/2)x
Второй способ (метод неопределенных коэффициентов).
х4 — х3—х2 + 2х—2 = (х2 + дх4-6) (x2 + cx + d).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х
и решая полученную систему:
a-f-c = — 1
b ас d = — 1
ad + be = 2
bd = — 2
найдем a =—1, 6=1, c = 0, d = —2
(или a = 0, 6 = —2, c = — 1, d=l).
Пример 3. Разложить многочлен
f(x, у, г) = уг(у—г) + гх(г—х)+ху(х—у)
df
на множители первой степени.
20
Решение. Первый способ. Так как
y—z = — (z — х) — {х—у), то f(x, у, z) = yz(— (z — х} — (х—у))+
+ zx (z—x) + ху (х—у) — — yz (z—x)—yz (х—у) + zx (z —х) +
+ху (x — y) = (Z — х) (х — у) z + (x—y)(x—z)y = (х— y)(z — x)(z— у).
Ответ, (х— у) (г— x)(z— у).
Второй способ (использование обобщенной теоремы Безу).
Если х = £/, то f(y, у, г)н=0. Следовательно, /(х, yt z) де-
лится на х—у. Аналогично получаем: f(x,y, z) делится на у — z
и на z—х.
Так как х—у, у—г, г—х—попарно взаимно простые (т. е.
никакие два из них не имеют общих нечисловых множителей),
то данный многочлен делится на их произведение (х—у)(у—z)(z—х).
Так как данный многочлен и многочлен (х—у) (у — г) (г—х) —
однородные многочлены третьей степени, то
(1) yz (у—г) + zx (z—x) + xy (х—у) = k (х—у) (у—г) (г—х),
где k £ С.
Осталось определить k. Это можно сделать одним из двух
способов: 1) используя определение равенства двух многочленов.
Например, у2г = — ky2z, значит, k =— 1; 2) подставляя в (1),
например, х —О, у=1, г = —1, получим k =—1.
Ответ. —(х—у)(у—z)(z—х).
Пример 4. Упростить выражение и найти его область оп-
ределения:
<р(х, у, г) =
X3 (у — г) + у3 (г—х) + z3 (х—у)
d[ Уг (У — 2) + 2* (2—х) + ХУ (х — У)
Решение. Используя пример 3, получим:
yz (y — z) + zx (z—х) + ху (х—у) = — (х — у) (у—z) (г — х).
Так как
(х— У) (У—г) (г—х)=^0 ~ х—у^ДОД у-гдО/\г-хДО~
~ х=Ду=Дгфх, то О(ср) = {(х, у9 г)€Л3|х^^^=г^х}.
Применяя к числителю один из способов решения примера 3,
получим:
х9 (У—^) + У3 (г—х) + г3 (х —= — (х — y)(y—z)(z—х) (х+у + г).
Тогда <р(х, yt z) = x + y + z.
Ответ, х + у + г.
Пример 5. Упростить выражение и найти Z?(<р), если
ф(х, у, г) =
df (х-У)2+(!/ +г)2+(г+х)а
21
Решение. Так как
(х—уУ + (у + г)2 + (z + *)2 =И= 0 ~
~ (х—Z/)#=OVz/ + z=#OV2 + *¥=O~
~х=/=у\/у=£— г\/—z#=x, то
£>(<р) = {(х, у, z) €/?31 х =И= г/ \/у=И=—г V— z=£x}.
х3 4- у3—г3 + Зхуг = (х 4- у)3—г3 4- Зхуг—Зх2у—Зху2 —
= (.(х+у)3—г3)—Зху (х-^у—г)=(х+у—г) ((х+#+(х4-г/) г+г2)—
—Зху(х + у—г) = (х + у—г)(х2 + у2 + г2—ху + уг + гх) =
= у (х + У—г) С2*2 + 2У2 + 2г2—2ху 4- 2уг 4- 2гх) =
=у (*+У ~г) ((х—УУ + (У + 2)а + (г + х)2).
Ответ. 4-(х4-«/—г).
Разложить на множители первой степени многочлен (задачи
1—22).
1. 9х3— 15х2—32х—12.
2. 4х2—4i.
3. х2 + (—l+3i)x—2—2i.
4. (x2 + x4-I)(x2 + x+2)—12.
5. (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x24-4x4-8) + 2x2,
6. (х+ 1)(x-f-З)(х + 5)(х+7)+15.
7. (4х—1)3 + (2х—3)» 4-6 (Зх—2) (4х— 1) (2х—3).
8. х3—2у3—Зху2.
9. х(у2—z2)-\-y(z2—х2)4-г(х2—у2).
10. xz(x-|-z) —yz(y + z)+xy(x—у).
11. х (у 4- г)2 + у (г 4- х)2 4- г (х 4- у)2—4хуг.
12. (у—г) (у 4- г)2 4- (г—х) (г 4-х)2 4- (х—у) (х + у)2.
13. х2 (у—z) + y2(z—х)4-г2(х—у).
14. х2у 4- y3z 4- z2x 4- ху2 4- yz2 4- zx2 4- 2,xyz.
15. (x + y + z) (xy + yz + zx)—xyz.
16. (x-|-z/4-z)3—x3—y3—z3.
17. (x4-«/4-z)3—(x4-i/—z)3—(r/4-z—x)3—(z4-x—z/)3.
18. 8 (x 4- у 4- г)3—(x 4- у)3 — (у + г)3—(z 4- х)3.
19. х (у + г) (у2—г2) + у (z + х) (г2—х2) + г(х+у)(х2—у2).
20. х(у—г)3 + у(г—x)34*z(x—у)3.
21. (х—у) (х 4- у)3 4- (у—г) (у 4- г)3 4- (г—х) (г 4- х)3.
22. х3(у + г)—у3(г + х) — г3(х—у).
Доказать тождество (задачи 23—30).
23. (х2 4- у3) (и2 4- и2) = (хи 4- yv)2 4- (уи—хп)2.
24. х3 4- у3 4- г3—Зхуг = у (х 4- у 4- г) ((х—у)2 4- (у—г)2 4- (г—х)2).
25. х3 4- У3 4- z3 = Зхуг, если х4-*/4-г = 0.
26. (х—у)3 4- (у—г)3 4- (г—х)3 = 3 (х—у) (у—z) (г—х).
27. (х2 4-*/2 4-г2)2 = 2 (х* + у* + г*), если х4-#4-2 = 0<
22
28. 2х3у3 4- 2y3z3+2г3х3—x*—у* — г* =
= (x+$/ + z)(x-H—?)(# + ?—x) (z + x—y).
29. (x +y)a 4- (y+z)’ + (2+x)3—3 (x+y) (y 4- z) (z + x) =
» 2 (x3 4- y3 4- z’—Зхуг).
30. (x4-y4-z)’4-(x4-!/—z),4-(</ + z—x)*4-(z4-x—f/)’ =
= 4 (x3 4-f/*4- г3).
Многочлен разложить на множители второй степени (один)
и первой степени (задачи 31—36).
31. (х—у) х3у3 4- (у—г) у3г3 4- (г—х) z3x3.
32. (х + уУ—х'—у*.
33. (х4-{/4-г)’—&—У* — г‘-
34. х84-х3г—хуг 4- у*г 4- У3-
35. (х 4- У 4* г)8 4- 2 (х3 4- У3 4* г3)—6х«/г.
36. х84-Зхг/4-У3—1-
Разложить многочлен на множители, неприводимые над R
(задачи 37—40).
37. х* 4- 27. 38. х*4-Зх24-4.
39. (х 4-2) (х 4-3) (х 4-4) (х 4-5)—24. 40. 27х3—27х3 + 18х—4.
Разложить многочлен на множители, неприводимые
I) над Q, 2) над /?, 3) над С (задачи 41, 42).
41. х* + у*. 42. х*Ц-4у*.
43. Разложить на множители второй степени многочлен:
(ху 4- уг 4- гх)3 4- (х 4- У + г)3 (х3 4- у3 4- г3).
44. Разложить на множители первой и второй степени многочлен:
(х3 4- у3 4- г3)8 4- 2 (ху 4- yz 4- гх)3—3 (х3 4- у3 4- г3) (ху 4- yz 4- гх)3.
45. Разложить на множители первой степени многочлен:
Зх (у 4- г) 4- у (Зг 4- 2х) 4- г3 4- 2 (х3 4- у3).
Используя метод неопределенных коэффициентов, найти такие
значения а и Ь, чтобы получилось тождество на С (задачи
46—48).
46. х!4-х14- • • • 4-*п(-4 4- + ♦ • • 4-х„)34- & (хл 4- XfX, 4- • • •
• • •'4“ X(Xn 4* x4Xj 4-... 4-xB_jXn).
47. ху34-хг3 4-i/x3 4-t/z3 4-гх3+гу3=а (х+у+г) (ху+уг+гх) 4-Ьхуг.
48. (х 4- 4) (х 4- 5) (х— 3) = х8 i ах3 4- Ьх—60.
49. Применяя метод неопределенных коэффициентов, доказать
тождество:
(х+у 4- г)3 = (х3 4- у3 4- г3) 4- 3 (ху3+хг3 4- ух3 4-
4- уг3 4- гх3 4- г у2) 4- Ьхуг.
50. Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти зна-
чения а и Ь, при которых многочлен х34-бх3—8х4-а делится
на многочлен х*+х+Ь.
23
Разложить многочлен на множители первой степени (задачи
51—53).
51. х4 + *3—х2— 2х—2. 52. 2л4 + бх34-Зх2— 1.
53. х4—Зх3 + х2 + 4х—6.
54. Выяснить, верно или неверно, что
(X + у)2—(г 4- н)2 4- (X + г)2 — (у 4- н)2 = (х—и) (х+у+г4-и)
для любых х, у, г, и Е R-
55. Доказать, что равенство
(х 4- у}“ 4- х* 4- */4 == 2 (х2 4- Зху 4- уг)й
над R не является тождеством.
56. Построить график функции f над R, заданной выражением:
*4-1 х—1
над R.
57. Вычислить /(3,07), /( — /0^2), /(—л), если
\ /
14-Зх
1—3.
/(*)-
df
над /?.
1—3.
60.
Упростить выражение и найти его область определения
над R.
(за*
дачи 58—64).
Кд 2х2 —ху —Зу2
• 2х2—5Х//4-3*/2
х2+У2 4~ z2+Ч~ 2у*+ 2zx
х2—у2—г2—2уг
6хв —24 2х
х9 + бх6 + 9х3 Зх3 + 6
над R.
над /?.
24
x3 (jy2 — z2j у* ф — x2) -f- г3 (x2 — t/2)
X3 (г/ — г)-: V (г —1') + ?3 (x~v)
над C.
Доказать тождество на области его определения (задачи
65—70) *.
7
65.
66.
67.
68.
69.
70.
х2 (г— у)
У?
X (г~у)
У2
Х—У
У~2
(/4-2
zx
у (X — z)
zx
2 — X
ху
ху
= 0 над С.
(с—а) (с — Ь) (о — Ь)(а—с)
а2 (х— Ь) (х—с) . b2 fx— с) (х — а)
(а — Ь) (а — с) (Z? — с) (Ь — а)
(Ь—с) (Ь — а) 1 НЭД
,с2(х—а)(х—Ь) „
н(—над '<•
Ь-\-х с~\~ х ___ X &
а (а—Ь) (а—c)'b(b—с) (Ь — а) с (с — а) (с—b) obc
О
§ 2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИИ НА МНОЖЕСТВЕ
Напомним (см. Введение, 1, (8)), что выражение (1) х, или
х™ (где 1) над/?** имеет D (1) = [0, оо[ и Е (1) = [0, оэ[,
т. е. нами будут рассматриваться только так называемые ариф-
метические *** корни (х^> 0, '{/х^О, (УТ'Г^х).
Теорема. Для Vxg[0, оо[ и Vm^N 31 у € [0, оо[: ут = х.
Свойства арифметических корней
Если
Если
а, b 0, то yfab — а • ^/b.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Если а^О, то ^ak = (
Если a, Ь^О, то ^атЬ- а^Ь.
Если а^О, то "/•/?= 'Уа.
Если а^О, то )/а = ту//оА.
2У&к = \а\= Г а, если а>0;
v 1 ldf L—если а < 0.
* Доказать тождество на множестве Т — это значит доказать, что дан-
ное равенство (над Л) является тождеством на множестве Т.
•* Слова „над в дальнейшем указывать не будем.
**♦ Так как мы будем рассматривать только арифметические корни, то
слово „арифметический1* разрешим опускать.
Пример 6. Упростить выражение и найти его область опре-
деления: / (%) = z 1 ?_=—1 •
df У х+2/л—1 V х—2/х — 1
Решение. Так как
Пример 7. Упростить выражение:
26
l-й случай, а > О, b > О, а > Ь.
. ^^2 /дБ _ /дБ
3/Т/ м а—Ь *
у 2 (а—Ь)
2-й случай, а < О, Ь < О, а < д.
1/ 1/-2д3 ЗЛ—2Ь3~
А = fr1 —д3‘ V bs—a3 __ /~2 • V (—a) (—b) _ V ab
1 /~ —2а:| /~ — 2*3 |/2 (—а-p) Ь~~а
Г Л3—а3 г &—а3
Ответ.
при а > О, b > О, а > Ь\ при а < О, b < О, а < Ь.
Пример 8. Освободиться от иррациональности в знаме
нателе .
у 94-1/ 3+2
Решение. Первый способ» Используем тождество
x8 + ys + z2—3x#z = (x + i/ + z) (xa+i/a + z8—ху—yz—zx)
(см. задачу 24), положив в нем х—^9, у =р/3, г = 2. Тогда
_____1_____
i/9+ |/з+2
— р/э+ рАз+1
2
Ответ. У9+ ^3+1).
Третий способ (используем алгоритм Евклида).
Я(х) = х2 + л + 2, р(х) = х8—3.
df df
2?
g(/3)=/=0, p(/3) = 0, p (x) — неприводим над Q.
—x— 1 (x)
x2 + x + 2 | —x—1
*2 + x___ — x = q2 (x)
2 = r2
p (x) = £ (x) <71 (x) + rt (x) _ f rjx) = p(x) —gf(x)<7i(x)
g (x) = <i (x) g2 (x) 4- r2 “П r2 = g (x) — r, (x) q2 (x)
=$► rt = (— q2 (x)) p (x) + (1 + qi (X) q2 (x)) g (x).
Положим x—i/3 (f/3—корень многочлена p(x)), тогда
G-(l + ^(/3)<72(/3))^(/3),
откуда
*Ъ+чЛУз)дг(1/з)),
1
=1(- /9 + /3+1).
Четвертый способ (используем симметрические многочлены,
т, е. многочлены, не меняющиеся при любой перестановке пе-
ременных).
Пусть at= р/3. Тогда многочлен р(х) = х3 — 3 имеет три
комплексных корня: а^р/3, а3 = аге2, где
Умножим числитель и знаменатель данной дроби -----------------
a?+at + 2
на М = (а] + а2 + 2) (а3 + а3 + 2) == а^а3 + + а2а3 + 2а; +2а^ +
df
+ а2«з + 2а2 + 2а3 + 4 = (а2а3)2 + а2а3 (а2 + о^) + 2 (а2 + а3)2 —
— За2а3 + 2 (а2 + а3) + 4.
Применяя к многочлену р (х) =х3 — 3 формулы Виета, получим:
а. 4- а9 + а, = О
1 > л» 1 О
+ а2аз — 0» откуда
aia2a3 = 3
2 + а» = — а1
2а3 = — «! (а2+аэ) = а?.
Тогда Л4=а{—ai + 2a|—3af—2^+4 =
= а?—а2— а?—2а, + 4 = —«i+^i+h
(а|«з)
(а| +«i + 2) ‘М = (а2+«! + 2) (— а?+04 +1) =«
= — а{ + 3at +2 = — З04 + З04 + 2 = 2.
(ai=s)
28
Ответ. -U- ;/9+УЗ+1).
Найти множество, на котором данное равенство является
тождеством (задачи 71—77).
71. /(х + 3)2 = х + 3.
72. /(х + З)2 = — х—3.
73. /(х + 3)2 = |х + 3|.
74. /(х + 1)(х —2) = /7+1 • /х—2.
75. /(х + 1)(х—2) = /—х—1 • /2—х.
76. /(х+1)(х—2) = /|х + 1 | • /|х—2|.
Доказать, что (задачи 78—83):
78. а-Ь + a— Vb = 2(а + j/’a2— Ь) при
Vb.
79. j/ a-\~Vb— |/а— Vb = 2 {а— |/аа — Ь) при
Vb.
80. /a+Z^j/^-^± ^-A + j/4 а~-^°2~—
Vb.
81. KF-/1+
6>0,
6>0,
при b^O,
при 6^0,
a^V b.
82. У20 + 14 /2+]Л20—14/2 = 4.
83. j/5/2 + 7—У5/2—7 = 2.
Число а' называется^Ьриближенным значением числа a(a^R)
с точностью до е, если |а—а’ | < е.
Число а' называется приближенным значением числа а (а £/?)
с точностью до е с недостатком, если а'^а<а' 4-е.
Вычислить с точностью до е с недостатком—это значит найти
приближенное значение данного числа с точностью до е с недо-
статком.
Вычислить с точностью
84. 3/37,7, 8 = 1.
86. У4+/5, е = 0,01.
88. Уб + 2 /3, 8 = 0,01.
до е с недостатком (задачи 84—92).
85. 3/0/)7, 8 = 0,01.
87. У4+/2^5, е = 0,01.
89. УТ+ >2 .
УТ— УТ
29
90. /I-, 8 = 0,01. 91. 13~|<3 , е = 0,01.
/б— /Г /3—1
92. 36-5 /? , е = 0,01.
2— /17
Упростить выражение (задачи 93—96).
93 /з—2/2 /з+2/2
/17—12/2 У 17+12/Г
94. f _2+^3 + _2~ ИЗ V
\ /2+И2+ Уз У2—У 2— Уз /
95. ]/ 4+1/5ИЗ + 5)/48-10-^7 + 4/3
96. у 6 + 2/21/ 3—]/ У2 + /12 +1/ 18—/128
Освободиться от иррациональности в знаменателе (задачи
97—103).
97. -=---1 ---=г. 98. „ '
/10+/15+/14+/2Г /2+/3
99. ------г7=г. 100. - ---. 101. -т=г—[7=-.
1+ /2+2/4 3/25-3/5-1 УЗ-/3+1
,02’ /2-/2+1 * 103‘ /Г+ /3- /4 ’
1М- w - /(¥)’+'
1) Найти /(-4). Л/з). /(-«);
2) решить уравнение /(х)=1;
3) решить неравенство /(х)^2;
4) построить график функции f над /?, заданной выраже-
нием f(x).
Построить график функции f над R, заданной выражением
(задачи 105—117).
105. ZW-+/
107. f (х) = FxJ172)a .
df * z
108s / (х) = /х2 + 2х + 1 + /ха —4х + 4.
df
ао
109. /(х) =
df
ПО. f(x) =
df
111.
115*
116.
117.
Упростить данное выражение (задачи 118—127).
31
§ Э. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ
Так как показательные и логарифмические выражения рас-
сматриваются нами только над множеством R действительных
чисел, то слова „над R“ будем опускать.
Пример 9. Доказать, что
'°бьс = 1з|^’ где а' Ь' с>0» а’
(формула перехода от одного основания логарифмов к другому).
Решение. При а, Ь, с>0, а, Ь=£1
с = ЬХоеь с=*> Ioga с = log6 с-loge b =$> logb с == .
Пример 10. Известен log(53. Вычислить log2b 15,
г» , ie 1 1 1
Решение, log,, 15 = -г——— = —— -----------=
logls25 2 logi5 5 210gw^
_______I______ 1
S (log15 15- log„ 3) “ 2 (1 - lJg183) •
Вычислить (задачи 128—134).
128. 32+,oe>2. 129. 3~s+3 ,oe«4.
130. 9-Гloea t+ 3 ,Ови *, 131. 4,OB’ 1°е3/Г ‘J .
32
132, a1+2loe“bt где a, b > 0, a=/=l.
133. a2-slogafr, где a, b>0, a=/=l.
134, a 1+ 3 loge('> Где a, 6 > 0, a=#l.
Найти множество, на котором данное равенство является
тождеством, если а>0, (задачи 135—141).
135. loge х2 = 2 loge х. 136. logex2 = 2 loge(— x).
137. loge x* = 2 logo Ix I- 138- logo xz/= loge x + logo I/.
139. logo xy = logo (— *) + l°go (~ УУ
140. logo ХУ = logo 1*1 + 1оё«
141. logo xs = 3 log0 x.
Доказать, что (задачи 142—144):
142. log.x = -°go, если a, b, x>0, a, b^l.
143. logba = j^-j, если a, b>0, a, b^= 1.
144. = если a, b, x, y>0, a, b, y=£\.
logoi' >ogbg’ ’ ’ » »-' , J-r-
Упростить (задачи 145—148).
145. (logo Л 4-log6 a 4-2) (logo 6—logaftfe) log6a — 1, если a, 6 >0,
a, b, ab=/=\.
146. logfl+fcc4-logo-bC—2 logo+bc logo-ь с, если a+b, a—b, c>0,
a-f-b, a—b, сф I, ca = a2—b2.
147. a lu^bU , если a9 b > 0, a, b^\.
143. 2^j/ logo >/ab4- log* J/ab— J/ loge + log»
X И logo если a > 1> Ь > 1 •
149. Дапо: lg2 = a. Найти 1g 1,25, lgV0,025, 1g 0,0125.
150. Дано: Ig3 = a, lg2=6. Найти log*6.
151. Найти logS08, если известно, что lg5 = a, lg3 = &.
Доказать, что (задачи 152—161):
152. lg = 4 (lga4-lgfr), если a*4-(?4 = 7ab, a, 6>0.
О о
153. 2К1ое’ж = хК1<«*2, если х>1.
154. log, 7 log, 5 log. 4 4-1 — log, 12 ==0.
155. log, 2 log4 3 log. 4 log, 5 log, 6 log, 7 « у.
P p Г 0 '
156. logFlogp у у ... у p = — n, если p£N, p>\, n£N.
2 № 102
33
IVI. lOge X lOgb X -t- 10gb X iOgt X + IOgr X JOge X —
~ Iog0xlogb_xlogfx если b 0 b c,abc,x^\.
logab, X , , > t i
i __ц
158. л=101"|в2, если t/=
1
г=10|_|е«', x, г/> 0, x, у, 10.
159.
160.
10gaiO, • • • апх = —j-----------------j— , если
----!___L ... -I___i
logo,x loge„X
Hi, • • , X 0 И О,, • • •, On, X 1.
Iogax—logbx_ logo X
1og6x—logcx loge X ’
если fta = oc,
a, ft, c, x > 0 и a, b, c, x 1.
161. xyy* = у2гУ = гххг, если
x(y + z—х)_ у(г4-х—у)_ г(х4-у—г)
Igx Igy Igz
f 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ НА МНОЖЕСТВЕ
Так как неравенства рассматриваются только над множеством
действительных чисел, то слова „над R“ будем опускать.
Пример 11. Доказать, что УаЬ, если а>0, fe>0
Ал
(другими словами: доказать неравенство ab на множе-
Ал
стве 7 —{(a, b)£Ra\a^0, ft^OjV
Решение. Первый способ. ~~ ]^ab & а 4- Ь 2
«o4-ft—2Koft>0 4Ф (Ко)’ + (уТ>)'—
(о, ь > 0)
«(K5-/ft)>o.
Второй способ. Анализ. Допустим, что ^-я-^^Veft, если
а>0, ft^O. Тогда ^4^^}/roft=>n+ft^2}/raft о (a~f-b)*^
4oft (а 4- Ь)*—4аЬ 0 => (а—ft)* 0.
Доказательство, (о—Ь)а>0 =5>(о4-Ь)1—4oft>0=>(a4-ft)2>
>4aft => a \b^‘2]/^b=i>^^y^b.
И.Ь>0) х
Третий способ, (a—ft)2>0=>(a4-ft)a —4oft>0=i>(a4-ft)1>
^4aft а 4-ft ^=2 УаЬ^^-^^^аЬ.
(а, b^Q)
34
Четвертый способ (от противного). Допустим, что <Vab
&
при а, b 0. Тогда ab z^a+b < 2 /tzF z$> (а 4-6)’ <
2 (a, fr>0)
< 4ab => (а + Ь)г—4аЬ < 0 => (а—&)’ < 0—неверно. Значит,
&
при а, Ь^:0.
Пример 12. Доказать, что
(1) (14-сх)" > 14-па, где а>— 1, а=/=0, n$N, n> 1.
Решение (методом математической индукции).
1) При п = 2 имеем (1а)2 == 1 + 2аа’ > ] 4- 2а; следова-
(а 5*0)
тельно, (14-а)4 > 14-2а.
2) Докажем, что если неравенство (1) верно при n = k, где
Л£ЛГ, Л> 1, то неравенство (1) верно при п = Л4-1. т. е. если
(2) (14- а)* > 14- Ла, где а> — 1, адФО, k$N, Л > 1, то
(3) (14-а)*+1> 14-(Л 4-П а-
Действительно, (14-a)*+1 =«(14-а)*(1 4-а) > (14-Аа) (14-а) =>
«2). а>— I)
= 14- (к 4- 1)а4-Ла’ > 14-(Л 4-1) а.
(“#}=»*«*> °)
Значит, (1 4-a)*+I > 14- (Л 4-1) а.
Из 1) и 2) следует, что
(14-а)Л> Г4*л®> где а>— 1, а¥»0, л £N, п > 1.
Пример 13. Какие корни имеет уравнение
(1) х»4-(/2 — 1)х-/2 4-0,85/3 = 0,
действительные или мнимые?
Решение. Первый способ. Допустим, что уравнение (1)
имеет мнимые корни. Последнее имеет место тогда и только
тогда, когда дискриминант—отрицательный, т. е.
(2) (/2-1/—4(0,85/3-/2)<0.
(2) ффЗ-|-2/2<3,4 /Зфф34-2/2<^-|^фф
ФФ 154-10/2 < 17 Из фф (15 4- 10 /2)‘ < (17 /З)* ФФ
ФФ 300 /2 < 442 фф (300 /2)” < 4421 фф
ФФ 180000 < 195364.
Ответ. Корни данного уравнения мнимые.
Второй способ. Допустим, что уравнение (1) имеет действи-
тельные корни. Последнее имеет место тогда и только тогда,
когда дискриминант—неотрицательный, т. е.
(3) (/2- I)3—4 (0,85/3-/2) >0.
(3) фф 180 000 195 364, что неверно.
2*
35
Значит, (И 2— 1)—4 (0,85 У 3—V 2) < 0; следовательно, кор
ни уравнения (1) мнимые.
Доказать, что (задачи 162—167):
162. —+ —^2, если х>0, у>0.
IftQ 3x2 1 1 АЛ *2+5
,63- ,64- 7^Т>2-
165. 4-(а + Ь)>/о&, если а 0, Ь^О.
166. 4" (о + Ь 4- с) 5® р/abc, если а, Ь, с 0.
О
167. -у (a + b + c + d)> abed, если a, b, с, d^O.
168. Доказать, что если xn xt, . ..,х„ >0 и xtx2.. .х„=1,
n^N, то Xi + x2+ • •. +х„^п.
169. Доказать, что среднее арифметическое неотрицательных
действительных, чисел не меньше среднего геометрического
этих чисел, т. е. доказать, что
-• (а, + а2+ ... +а„) > ¥ахаг... ап, если alt а.а„> 0,
n£N, п> 1.
170. Доказать, что если о,, а......an^Q, п>1, то
— (аг + а2 + ... + ап)= у а±а2.. .ап тогда и только тогда,
когда = а2 = ... = ап.
171. Доказать, что если хп х2, ..., хп > 0 и хг + *2 + • • • + xn=S9
где S—данное положительное число, то произведение
х1х2...х„ достигает наибольшего значения, когда х1 = ха =
= ...=хл.
172. Доказать, что если хп х2, ..., хп > 0 и хг + х2 + ... + хп = S,
где S—данное положительное число, то произведение
х^Хг* .-xkf\ где klt k21 ...tkn£N, достигает наибольшего
значения, когда = • • • = тг-
’ *1 *2 Ьп
173. Доказать, что если хп х2, . ..,хй>0 и хус^ . .xn — Pt где
Р — данное положительное число, то сумма х} + х2+ • • • +*я
достигает наименьшего значения, когда х± = х2 = .,. ^=^п.
174. Доказать, что если xlt х21 ...., хп > 0 и . ,хкпп = Р, где
Л2, ..., kn и Р—данное положительное число, то
сумма Xj Ч~х2 + ... + хл принимает наименьшее значение,
Х1 Х2 Хп
когда == .,. = .
«1 «2 kn
175. Найти наибольшее значение произведения ху при условии,
что Зх + б£/= 12.
36
iiv. паши наименьшее пилижшеанэнис значение ьыралчешш
2ха + 3
х
177» Найти наибольшее значение произведения
если —
178. Найти наименьшее значение выражения
(х + 2)ЦЗ-х)\
(х+а) (х 4-fe)
если а, Ь, х > 0.
j^2
179. Найти наибольшее значение выражения 4~.
Доказать, что (задачи 180 — 224):
180. (а -|- Ь) (Ь 4- с) (с 4- а) 8abc, если а, Ь, с 0.
181. х* 4- у* 4-г* ХУ + Уг 4- гх-
182. (%4-!/)8<2(х24-^).
183. (Х4-//У <8(х* 4-у4)-
184. х* 4- у* 4- z* Z> у, если х + у + г = 1.
185. abaca /’а4-2^4-Зоу> если а>Ь,с^0.
П (Л + 1)
186. b2*-3»...n»c(^^±-h при n£N.
187. (х(4-... 4-х„) (-J-4- •+J-) ^п2, если ....х„>0, n£N.
188. — 4- ~ 4- — 4- ... 4~ — ^п, если о., ... ,а„ > 0, n£N.
189. (1 4-а1)(1 4-aJ.. .(1 4-ап) >2”, если alf ...,a„>0, n£N
и . .an= 1.
190. ()/а 4-64ab(a4-b)®» если а, bZ^O.
191. ab(a+b—2c) + bc(b+c—2а)са {са—2b)Z^Q, если а, Ь,
cZ? 0.
192. г-т-4-—т~4* —т-т4-. если а,б,с>0.
193. aa-j-b2+ca + d*+at> + ac-{-ad-}-bc + bd+cd^: 10, если а, Ь,
с, d > 0 и abed = 1._____________ _______________ ________
194. K(a + &)(£4-<i)4-K(o4-c)(b + d)4-K(a4-d)(b4--<0>6v/abed,
если a, b, c, d 0.
195. Если f < 1» то либо |a| < 1 и |6| > 1, либо |я| > 1
ир|<1 ___________ _______________ _
196. И (а 4- Ь) (с 4- d) 4- К(a 4-е) (&4-<*)4- V\a+d) (b+ c)^Vab +
+ V~c^ + Vrad-}-V'bc + ^bd + ]^cd, если a, bt с, d^0.
197. а3 4- Ь* 4- с3 > а2 УЬс 4- b2 V са 4- са УаЬ, если а, Ь, с>=0.
37
198. х* + у*^-^, если x-f-y^ 1.
199, (а+Ь—c)(fe-|-c—а) (с 4-а—b)^.abc, если а, Ь, с>0.
200.
201.
У (<h + bi) (а2 + bt) (о„ + bs) > У a,a2as 4- V ЬгЬгЬ2, если оп av
fi#> b2f b2 0.
1 . 1 , 1 . .1^-1 к, 1
Тя +-02 +-Л2 + • • • +-Z5- < *» если «€М п > 1.
ПАО I 1 | 1 1 । 1 ж у ।
202. —г-74---т-х4---5+ • • • + о~ > ол » если n£N9 п > 1.
п+1 ’ л+2 ' л + 3 1 ' 2л 24
п (л-1)
203. 2 2 > nl, если n£.N, п > 2.
2®4, 2 fi <Т’7* 6 • • 2п <-р=^-» если п> 1.
205 1 < 1 - 3 5 «I
10/2- 2 4 6 100*4 10*
206. 31й < 17й.
207. 2 < Г1 +4)" < если n^-N> п> !•
208. 10001МО> 1001м*.
209. 1,001 > 2°,0W.
210. (а^ + ... + aJ)nY < (в? + ... + fl’) (Ь* + ... + b„), причем ра-
венство имеет место тогда и только тогда, когда Ь1 = Ла1,...,
..., b„ — ka„, где k—некоторое действительное число. Нера-
венство
(оД + ... +оЛ)’< (tf + • • • +<Й)(И+ • •. 4-Ь*)
называется нераьенством Буняковского — Коши.
где
211. (рл+ - - • +РЛ)*С(Р1+ • • • +Р„)М+ • • • +Р„4).
Pit • • •, Рп > 0*
214. х*—Х* + хл—х4-1>0.
215. (х—2) (х—4)(х—5) (х—7)4-10 >0.
216. **4-/—х*у—ху*^0 при х, j/>0.
217. х»4-2jq/4-3/4-2x4-60 +4 >0.
218. 4x(x4-04-z)U+!/)U+z) + /^,>O.
219. если а, b—длины катетов, с—длина гипотенузы
г 2
прямоугольного треугольника.
38
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
3 , , _ o a+/>+o .
уР < та-}-ть-\-те < 2р, если р = , где а, Ь, с—дли-
ны сторон треугольника, та, ть, те—длины медиан соот-
ветственно сторон [ВС], [ЛС], [ЛВ] этого треугольника.
Vр < Vр—a + V Р—Ь+У р—с ^У3р, где а, Ь, с—длины
сторон треугольника, р—его полупериметр, т.е.р= -+С.
log,8 < ioge7 (не пользуясь таблицами логарифмов).
log45 log56 + loge7 + log,8 + log,4 > 5 (не пользуясь табли-
цами логарифмов).
logso80 < logso640 (не пользуясь таблицами логарифмов).
Без помощи таблиц логарифмов определить, что больше:
log316 или logIe729.
Доказать, что если 6 > а > 1 и с > 0, то loga6 > logo+c(b-f-c).
Глава II
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 5. РАВНОСИЛЪ' ОСТЬ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Равносильны ли уравнения (задачи 227—253)?
227. 2х2—Зх = 2 и 2х + 3 = 2 над N.
228. 2х2—Зх = 2 и 2x4-3 = 2 над Q.
229. х*—2 = 0 и х4—4 = 0 над Q.
230. х2—2 = 0 и х*—4 = 0 над R.
231. х*—2 = 0 и х4—4 = 0 над С.
232. х24------ = 2х и ха = 2х над Q.
' х х
233. х24—Ц------!—г = 2х и х2 = 2х над Q.
234. - 1 и х—2=1 над R.
х+2
235. х -Та- = — 4 и х—2 =—4 над R.
х+2
236. х3— —- = () и х3— 2х = 0 над R.
237. х3 — — = 0 и х3 —4х(*+2) = 0 над /?.
х х+2
238. /хТЗ• Кх^4 = 3/2 и /(х + 3)(х—4) = 3/2 над R.
239. lgx2 = 2 и 21gx = 2 над R.
240. 1g ха = 2 и 2 1g | х | = 2 над R.
241. lgx3 = 0 и 31gx = 0 над R.
242. Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 + ~“т = 2х + 4 + над R.
243. Зл + 1 = 2х + 4 и Зх+1-|—^~5 = 2х-|-4-|—^-5 над /?.
Х“~О Х“—о
39
244. Зх+1=2х-|-4 и Зх + 1 + Их2 + 2 = 2х + 4 + Кх2 + 2 над /?.
245. Зх + 1 =2х + 4 и Зх + I + lg (1—x)~2x + 4 + lg(l — х)над/?.
246. х + 3 = 0 и (х + 3) (х2-|-2) = 0 над R.
247. х + 3 = 0 и (x-j-3) (х2 + 2) = 0 над С.
248. х + 3 = 2 и (х + 3)(х—1) = 2(х—1) над /?.
249. х + 3-2 и (х + 3)(х+1)* = 2(х+1)2 над R.
250. х + 3 == 0 и (х + З)4 = О над R.
251. х + 3 —2 и ±±1 = -^- над R.
252. х + 3 = 2 и 2^3 над R.
.253. % + 3 = 2 и (х + 3) • +~j~ наД R-
254. Какое из уравнений (1) f(x)=g(x) и (2)f (х) + <р (х) = g (х) +
+ <р(х) (над одним множеством) является следствием дру-
гого?
255. Какое из уравнений (1) f(x)=g(x) и (2) /2(x) = g2(x) над
R является следствием другого?
256. Равносильны ли уравнения / (х) = g(x) и /3 (х) = g3 (х) над R?
257. Равносильны ли уравнения /(x)=g(x) и а/{х' — а£{х\ где
а > 0, а Ф 1, над /??
258. Какое из уравнений (1) /(x) = g(x) и (2) loga/(x) = logag(x),
где а > 0, а =^1, над R является следствием другого?
Равносильны ли неравенства над R (задачи 259—282)?
259. х^+') >0 и х > 0.
х+1
260. — > 0 и х > 0.
X
261. —>0 и х>0.
X
у 2
262. 1 и х> —1.
263. — >—1 и х(х-~2)>—1.
264. х + 1>3 и х+1+ —>3 + -.
265. х-Н >3 и х-Н4-+> 3 + +.
266. х2>х+1 и хг(х24- 1) > (x-f-1)(х2+ 1).
267. х>2 и х(х—3)> 2(х—3).
268. х>2 и х(3—х)>2(3—х).
269. х>2 и х(х—2)2 > 2(х—2)2.
270. х>2 и х(х—2)>2(х—2).
272. +<3 и 1 <3(х + 2).
273. !->0 и (х—1)(3—х)> 0.
О X
40
274. и (x~ 0(3—x)>0.
275. (*~!? (*~2)2 > 0 и £—! > 0.
277. 1 > -Ц и x— 1 > 2x.
278. -ГТ > r-4i2 и (X— О2 > 4x2.
4x2 (x— l)2 ' '
279. ]/'x + 2<2 и x + 2<4.
280. < 1 и Kx + 2 < x.
X
281. Igx2 > 0 и 21gx>0.
282. lgx2>0 и 2 1g | x | > 0.
§ 6. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Если нет указания, то уравнение следует рассматривать и
решать над множеством С комплексных чисел.
Пример 14. Решить уравнение
2х3-Ь Зх2 + 6х— 4 = 0 над С.
Решение. Первый способ. Сначала выясним, имеет ли дан*
ное уравнение рациональные корни. Для этого воспользуемся
1) теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэф-
фициентами и 2) схемой Горнера.
1) Делителями свободного члена —4 являются числа: ±1,
±2, ±4. Положительными делителями старшего коэффициента
являются: 1, 2. Значит, рациональные корни данного уравнения
находятся среди чисел: ±1, ±2, ±4,
4W
Тогда 2х3 + Зх2 + 6х—4 = ( х—у ) (2х2+4х + 8) = (2х — 1) х
X (х + 1 + i Кз) (х + 1 — i /З).
Ответ. —1 —i ГЗ, —1 -НКз|.
Второй способ. 2х3 + Зх2 + 6х—4 = (2х3—х2) + (4х2 4- 6х—4)=
- х2 (2х— 1) + ((4х2 —_2х) + (8х — 4)) = (2х — 1) (х2 + 2х + 4) -
— (2х— 1) (х I- 1 + i V 3) (х + 1 — i'V3).
Пример 15. Решить уравнение
х3 + Зх2—6x4-4 —О над С.
41
Решение („формулы Кардано").
Можно проверить, что данное уравнение рациональных корней
не имеет.
Применим следующий метод.
а2
Х~У----г
полу-
чим уравнение вида у3 + py + q = O.
Полагая y — u + v , а затем
uv = —
получим квадратное
уравнение с корнями и3 и у3.
Применим все это к данному уравнению.
Пусть х — у— 1 (так как аг = 3). Тогда получим:
3—9^4-12 = 0.
Пусть
y=u + v . Тогда получим:
(u + v)3—9(« + у)+ 12 = 0—- u3 + v3 + 3(u + v){uv—3)4-12 = 0,
Пусть uv—3 = 0, ии = 3. Тогда имеем:
u84~v3 = —12
(#) uv = 3
иа4-из==_12^
u3v3 = 27
и3 и о3 будем рассматривать как корни квадратного уравнения
г3 4-12г 4-27 = 0; za4- 12г + 27 = 0~ г = —3 V 2 = — 9.
Пусть и3 =—3, одним из корней которого является Uj =— ^3.
Тогда из (*) найдем Vj = — , = — р/9. Таким образом, получим:
42
Пример 16. Решить уравнение л3—6ix-[-4— 4/=0надС.
Решение. Полагая
х = и + v , получим:
(u + v)3— 6/ (a + v)4~4—4i === 0
~ i?4-u3 + 3 (u-f-fl) (uv—2i)4-4—4i = 0,
Пусть uv — 2i . Тогда получим:
и3 4- v3 = —4 + 4i
(*)
uv = 2i
и3 + v9 =s —4 4- 4i
=s —8Л
z3 + (4—4/) z — 8/ = 0 ~ z = —2 + 2Z.
Пусть н’ = —2-|-2if t. e.
из корней которого является
u9 = |/^^cos-^4*fsin-“^y одним
Тогда из (*) находим: ^ = — =1+^
«14-Vi« 2 4-2if
х, == е«1 + 8*Vj == «! (е 4-е») = — 1—I (е = —
ха = е’и( + eui = их (в14- в)=—1 —1>
Ответ. {24-2/, —1—/} (корень (—1—/)—двукратный).
Пример 17. Решить уравнение
х*—2х*4-2х84-4х—8«=х0 над С.
Решение. Можно проверить, что данное уравнение рацио-
нальных корней не имеет.
Первый способ, х*—2х*4-2х84-4х—8=
=х*—2х34-4х*—2х*4-4х—8=«
= (х«—2х8) 4- (— 2х® 4- 4х) 4- (4х«—8) =»
= х8 (х8—2)—2х (х8—2) 4- 4 (х8—2) ==
= (х8—2) (х8— 2х 4- 4) =
= (х -/ 2) (х + /2) (х—1 -»КЗ) (х— 14- i/З) ,
Ответ. {И2, -/2, 14-»У3, 1-//3).
ДО
Второй способ (метод Феррари).
(1) х4—2х9 + 2х2 + 4х — 8 = 0~
(х4— 2х3 + л2) + х2 + 4х — 8 = 0 ~
~ (х2—х)2 =— х2 — 4x4-8.
Введем параметр у:
(х2 — х)2 + 2 (х2—х) у + у2 = — х2— 4x4-84-2 (х2— х) у + у2 ~
~ (2) (х2 - х + у)2 = (2у -1) х2 - 2 (у + 2) х + (у2 + 8).
Будем искать такое значение параметра у, чтобы и правая
часть уравнения (2) была полным квадратом.
Так как ах2-\-Ьх-[-с = (ах + Р)2 тогда и только тогда, когда
6*—4дс = 0, то получим:
(3) (у + 2)2- (2у- 1) (у2 + 8) = 0. (3)-2г/8 + 2у2- 12г/ + 12 = 0.
Корнем последнего уравнения является г/=1. Уравнение (2)
при у= 1 принимает вид: (х2 — х4-1)2=х2—6х + 9 ~ (х2—х+I)2 —
— (х— З)2 = 0_~ (х2 — 2) (х2_- 2х + 4) = о~(х—/2)(х + /2)х
х(х —1—z]/3) (x-l+i/3) =0.
Третий способ (метод неопределенных коэффициентов).
х4—2х3 + 2х2 4- 4х— 8 = (х2 + ах-\-Ь) (х2 + сх d).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х
и решая полученную систему, найдем значения для a, b9 су d.
Пример 18 (так называемое возвратное уравнение). Решить
уравнение (1) х&4-4х4—Зх34-Зх2 — 4х—1=0 над С.
Решение. 1 — корень уравнения (1).
| 1 4 — 3 3 —4 —1
1 | 1 5 2 5 1 0
I______________I
Следует решить уравнение (2) х4 4-5х34~2х24-5х4-1 =0.
Разделив обе части уравнения (2) на х2, получим уравнение,
равносильное уравнению (2) (так как нуль не является корнем
уравнения (2)).
Положим х4-у = /. Тогда х2 4--^-=/2 — 2. Получаем /24-5/ =
= 0~ / = 0 V / = —5.
1) Если / = 0, то х+ “ = 0 ~ х2 4* 1 = 0 ~ х = г V х =— L
44
2) Если t = —5, то х + — = —5 ~ х2 + 5х + 1 = 0
Пример 19. Решить уравнение
... 2 । 1 —4 п
( ) *4-2 + 2 — хг+2х над
Решен ие.
Ответ. {—4}.
Пример 20. Решить уравнение
(1)
-^—==2 над С
х — а
Решение.
если Ь = —д, то С\{—а, а}.
Решить уравнение (задачи 283 — 287).
283. а2х = а(х + 2) — 2 над /?.
284. х— ~ = -±- (4х+ 1) над С, а У= 0.
45
285. а(а4~1)х2 + х—а(а—1) = 0 над R.
286. ахг—(а—Ь)х—Ь = 0 над R.
287. (а2—Ь2) х2—2ах-Ь 1 =0 над С.
288. Определить k такое, чтобы один из корней уравнения
(/г2—5Л + 3) х2 + (ЗЛ—1)х-|-2 = 0 был вдвое больше другого.
289. Доказать, что корни уравнения ахг + Ьх + с = 0 обратны
корням уравнения сх2 4-Ьх 4-а = 0, если а=/=0, с^О.
290. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы
равны сумме и произведению корней уравнения
ах2 4- Ьх 4* с — 0, а =# 0.
291. Найти все значения а, при каждом из которых уравнения
х2 + (а—1)х+ 1
= 0,
х2 + х+а—1 =0
хотя бы один общий корень.
имеют
292. Дано уравнение пх2 + Ьх 4-с = 0 (а, с=/=0), корни которого
аир. Составить новое квадратное уравнение, корнями ко-
торого были бы И .
293. Найти коэффициенты р и q уравнения x' + px + q = 0, если
а и 0—корни этого уравнения и если а4-1 и 04-1—корни
уравнения х2—ptx+pq=0.
Найти корни уравнения с точностью до 0,001 с недостатком
(задачи 294—296).
294. 2х2—х—11=0.
296. х2—2 (2 4-/2) х 4-(34-4/2) = 0.
295. 2х2—х—22 = 0.
Решить уравнение над С (задачи 297—312).
297. 2х3—Зх2 4-6x4-4 = 0.
298. 4х4—7х2—5х—1=0.
299. х?—2х4—4х34-4х2—5x4- 6 = 0.
300. 6х*4- 19х2—7х2 —26x4-12 = 0.
301. х44-2х»4-2х2—4х—8 = 0.
302. x‘4-2xs—2х24-6х—15 = 0.
303. (х4-3)24-(х4-5)‘ = 4.
304. (х 4-3) (х 4-4) (х 4-5) (х 4-6) = 8.
305. (х—2х)(х—i)x(x + i) — 24.
306. х‘ 4- Юх3 4- 26х2 4- Юх 4-1 = 0.
307. 2х44-9х3—9x4-2 = 0.
308. х* 4-Зх6 4-6х4 4-7х3 4-6х2 4-Зх 4-1 = 0.
309. х8-—4х4—Зх3—Зх2—4x4-1 = 0.
310. Зх54-Юх44-7х34-7х24-10x4*3 = 0.
311. (х2—а2)2 = 4ах4-1.
312. (2х4-а4-Ь)3 = (х4-а)34-(*4-6)’.
313. В задачах 297 — 310 найти все рациональные корни урав-
нения.
314. В задачах 297—310 найти все положительные действитель-
ные корни уравнения.
46
Решить уравнение над С (задачи 315 — 327).
Решить уравнение с параметрами (задачи 328—341).
328- над С.
329-^-^ = W наЛ *
330. 2а = а2+1 над Я
331.
332.
333.
334.
335.
336.
337.
338.
ах — 1
b
над С.
над Я
над
над Я
а
= 0 над Я
Д___।_£______Д+° ня „ о
ах— I'bx—1~{а+Ь)х— 1 ”аД К'
Ь(с—х) а(с—х) b(b—x) а(Ь—х)
47
339.
340.
341.
2а + & 2а—Ъ
а-}-х а—х
= над С, &=#0.
ь
и •*{- с । Ь с (I —1_ b —[- 2с
х -j- 2b х + 2а
а + & + 2ст£0.
над С,
a + c=^=0t Ь + с=£()>
а2 +
_№(х+2)
х2—2х х—2
над R.
§ 7. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как неравенства рассматриваются только над множест-
вом R действительных чисел, то слова „над /?“ будем опускать.
Метод интервалов
Пусть f(x)— многочлен (целое рациональное выражение) над
полем R действительных чисел положительной степени.
Теорема. Любой многочлен f(x) над полем R положитель-
ной степени можно представить в виде произведения отличного
от нуля действительного числа и неприводимых над R много-
членов со старшими коэффициентами, равными единице, т. е.
f (х) = а (х — xj'*... (х—хкук (х2 + ргх + q^... (х2 + Рюх +
где a£R, а=#0; x2 + pix + qi (f=l, 2, ..., т)—квадратные трех-
члены с мнимыми корнями; хп xk—действительные корни
многочлена f(x); rt, sn ..., sm$N.
Так как x2 ^plx + ql > 0 при — oo < x < oo (i= 1, ...,
то неравенство f(x)>0 равносильно неравенству a(x—..
.. .(x—xkYk > 0, а неравенство /(x) < 0 равносильно неравенству
a(x—Xi)'».. .(x—xft)r& < 0.
Рассмотрим для определенности неравенство
(1) f (х) > о ~ (2) а (х—хх)г*... (х—хк)гк > 0,
И пусть Xj < ха <... < xk.
В каждом из интервалов ]—oo, х,[, ]xt, ха[, ..., ]хА, оо[
каждый из сомножителей в левой части неравенства (2) знако-
постоянен.
При х>хА каждая из разностей х—х19 . ,.,х—xk—поло-
жительна. Значит, при х > хА знак левой части неравенства (2)
совпадает со знаком а.
Если xft_1<x<xft, то (х—хА)гл <0, если rk—нечетное, и
(х—хА)гГ> 0, если rk—четное; х—хх >0, ,.., х—xA_i > 0 и т. д.
Пример 21. Решить неравенство
(1) —3 (х — 1 )2 (2—х)6 (3—5х— 2х2)3 (ха + х 4- 2) > 0.
48
Решение.
(1) ~ 3 (х— 1)3 (х—2)5 (2х2 + 5х—З)3 (х2 4- х+2) < 0 ~
~ (х— I)2 (х—2) 2 (х+ 3) ( к—И (х24-х 4- 2) < О ~
\ z / (♦)
~(2)(х—I)2 (х—2) (х4-3)(х—-И <0.
(•) \ /
((*):х2+х4-2 > 0 при — оо < х < оо, гак как дискриминант квад-
ратного трехчлена х2 + х + 2— отрицательный, а коэффициент при
х2 положительный).
X ]-<», -3[ \ > 1 со <* ^1 ~ !• '[ Н. 21 ]2, оо[
Левая часть неравенства (2) — —Р —•— •>—
<
Рис. 1
Корнями (х—1)а(х—2)(х + 3)^х—у) являются числа: —3.
i, 1,2. См. рис. 1 (масштаб не соблюдается).
(2) ~ х <—3 V 4-<х<1\/1<*<2.
Ответ. ]—оо, —3[u]y,
Пример 22. Решить неравенство
(1) а (а— 1) х* (х—2а) (а2 — х2) (х2 4- 2а2 4- 1) > 0.
Решение. (1) ~ (2) а (а— 1) х2 (х—2а) (х—а) (х + а) < 0. Кор-
нями а (а—1)х2(х—2а) (х—а)(х4-а) являются: 0, 2а, а, —а.
ю-
2а
—с а
а о -а
Рис. 2
t-й случай, а (а—l)>0~a<0V«> 1. Тогда
(2) ~ (3) х2 (х—2а) (х—а) (х-Ьа) < 0.
а) а < 0. Тогда 2a < a < 0 <— а. См. рис. 2.
(3) ~x<2a\/a<^<0V0<x <— a.
49
б) а > 1. Тогда — а < 0 < а < 2а. См. рис. 3.
(3) ~ х <— а V а < * < 2а.
Рис. 3
2-й случай, а (а— 1)<0~0<а< 1. Тогда
(2) ~ (4) х2 (х—2а) (х—а) (х + а) > 0.
Так как 0 < а < 1, то — а <0 <а<2а. См. рис. 4.
(4) ~ — а < х <0V 0 <Z* < а V х > 2а.
О
-а
2а
Рис. 4
3-й случай, а (а—1) = 0~а = 0 Va= 1. Тогда
(1) ~ (2) ~О<О~х£0.
Ответ. Если а<0, то ]—оо, 2а[и]а, 0[и]0> —а[;
если 0 < а < 1, то ]— а, 0 [ и ]0, а[ U ]2а, оо[;
если а> 1, то ]—оо, —а [ (J ] а, 2а[;
если а = 0 или а=1, то 0.
Пример 23. Решить неравенство
(1) —.
3x4-1 2—х
Решение. (1) —j—j<0^<0~
~ <Тх^1нГ-2) < 0 ~ (2) (5х + 11) (Зх + 1)(х-2) < 0.
Корнями (5х-(-11) (Зх + 1) (х—2) являются числа: —2--г
О
См. рис. 5. (2) ~ х <—2-^ V —т < х < 2.
О о
Рис. 5
Ответ.
] ^5 [ 3’2[•
60
Пример 24. Решить неравенство
х — 2
(1)
Решение. (1)
х ' Зх-
х (8—х)
Корнями х(хт-8) (Зх+1) (2х—1) являются числа: —V» 8.
См. рис. 6. (2)~х^С—т V V*^8.
V Z
2
Рис. 6
Ответ.
Пример
°°» з U 0, 2
25. Решить неравенство
U 8, оо
l , 3 i ,Л
(I) — + о~< где а=/=0.
v ' х 2а x-f-За’
I 3 I
Решение. (1) ~—f-s-------------гч^<0~
4 9 х 2а x-J-За
3(х-’,-о)(х + 2о)
~ 2ах (х-|- За) ~
~ (2) ах(х + а) (х4-2а) (х-|-За) < 0.
Корнями ах (х + а) (х4- 2а) (х4- За) являются: —За, —2а, —а, 0.
1-й случай, а < 0.
Рис. 7
—о
-За
о
0
о
Тогда (2) ~ (3) х(х4-«)(х-\-2а) (х4-3а) > 0; 0 <—а <—2а <—За.
См. рис. 7.
(3)~x<0V—а < х < — 2а V * > —За.
2-й случай, а > 0.
Тогда (2) ~ (4) х (х 4- а) (х-|-2а) (х4-3а) < 0; —За <—2а <—а < 0.
61
См. рис. 8.
(4) ~ —За < х <—2а V —а < х < 0.
-Za
о
О
Рис. 8
Ответ.
Если а < 0, то ]—оо, 0[и]—а, —2а[и]—За, оо[;
если а>0, то ]—За, —2а [ U ]—а, 0[.
Решить неравенство (задачи 342—350).
342. (х + 2) (х—I)2 > 0. 343. (х + 2)(х— 1)2<0.
344. < 0.
346. 2х2 —5х—12 <0.
348. 2х2—х + 3>0.
345.
347.
349.
(x+5)2=^U-
—6х2 + 17х—5 < 0.
9х2 —6х+1 >0.
350. 4х2 4-2х 4-5 < 0.
Найти область определения функции
ражением f (х) (задачи 351—357).
351. f (х) = - .
df КЗ —%
над /?, заданной вы-
352. /(х) = -^
df х 1
353. f(x) = lg(34-4x—4х2).
df
354. /(х) = /х2—3x4-2+ .___L
df Кз+2х-
355. f(x) = lg(l — lg(x2 —5х+16)).
df
356. /(х) = arcsin —Ц-.
df 1
Л-_ г / \ х2— 5x4-4
357. / (х) = arccos — 2 / .
Решить неравенство графически (задачи 358—362).
358. х— 1 < 2х+ 1. 359. Зх— 1 < 1 —х.
360. х2—1>1 — х. 361. х2 —4х<х—6.
362. 0<х2 — х < 2.
Решить неравенство с параметрами (задачи 363—371).
363. ах 4- 4 > 2х + а2.
364. а(3х— 1) > Зх —2.
ах-\-1 . ах — 1
365. Q_-j- > —— , где а #= 0, а=/=1.
х . 1 — Зх . х [-2 у п
366. а 4“ 2 4а ’ ^=0.
52
367. (a2—2a—3)x —a <0.
368. ax—b>bx + a.
369. xl —2(a+l)x + 4a<0.
370. (a2 — 1)x2—2йх+ 1 <0.
371. ахг + (2а+\)х + а + 2>0.
Найти все действительные значения т, при которых областью
истинности неравенства является множество R всех действитель-
ных чисел (задачи 372—377).
372. x2-2(4/n + 3)x+15m2 + 28m + 6>0.
373. (m-(-1) х2 Ц-тхЦ-m < 0.
374. tn (tn + 2) x2 + 2mx 4- 2 > 0.
375. (tn—I) x2 + 2tnx + 9m—5<0.
376.
377.
3(2m—l).v2—2(4m-f- l)x-|-5m+4
5x2—6x+5
rn+ 1.
Дан квадратный трехчлен f (x). Действительные корни трех-
члена f (х) обозначаются через х, и х„ причем считается, что
х^хг. Найти все действительные значения т, для которых
(задачи 378—383):
378. xt < 1 < х2, если
f(x) = 2(m—1)х2—2х—3m 4-1, tn=/=l.
df
379. xt < т < х8, если
f (х) = 2х2—2 (2т + 1) х + пг (т— 1).
df
380. х, < 2 < 3 < х2, если
f (х) — (т—3) х2—2 (т4-2)х—4 (т— 1), т^З.
df
381. хг > Xj > I, если
j(x) = (m—1)x2 + 2mx-{-tn—2,
df
382. x, < x8 < 2, если
f (x) = mx‘-|-2 (m—1) x + m—5, tn^O.
df
383. — 1 < xt х4 < 2, если
f(x) = mx2—2x-(-m, m^=(Y
df
Решить неравенство (задачи 384—394).
384. 3(x—З)2 (4 — x)3(2—3x — 2x2)6 (x2 4-x 4-3) <0.
385. —2x2 (x + 3)’(24x2 4- I4x —5)3 (2x24-x4-3)^0.
386. xs—6x24-5x4-12^0.
387. (x2 —2x4-3)(x’4-2x2—5x—6)<0.
388. x* 4- 6x3 4-11 x2 4- 6x > 0.
389. x‘— 13x24-36^0.
390. x2 4- x* — 15xs — 5x2 4- 34x 4- 24 > 0.
391. 32x‘ —48x3—10x24-21x4-5^0.
53
392. 32 > Зх2(х—4)2 + 5(х —2)2.
393. За (х— а) (2х 4- а) (х—За) (х2 + ах—2а2) < 0.
394. а (а + 1) (х2—а2) (х + 2а) (х2 + 2а2 + 3) < 0.
Решить неравенство (задачи 395—408).
397.
398.
399.
400.
(х+1) (4х—5)3 (х—З)4 п
(2—Зх)7 '
(1-4х2)(х+2)2 о
хЗ(х+1)(х—2)6^
(3-х)3(х-1)2(-х-5) п
(х4-2)(—х2+х—3) •
(5х34-8х— 13)э (х— /Г)2 (1 —х)
(—Зх2 + 2х—5)6 (х+З)7 (х—2)4
Решить неравенство с параметрами (задачи 409—419).
409.
410.
411.
1 ,9.1 ,п
---Ь <г < — > о 0.
х—а 1 2а х ’
419. -^4—2а<а2+1.
х— 1
64
§ 8. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩИЕ
ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Так как уравнения и неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля, рассматриваются только над множеством R
действительных чисел, то слова „над R" будем опускать.
Пример 26. Решить уравнение |Зх—1| — |2х4-3| = 0.
Решение. |3х— 11 — 12x4-31 = 0 ~
,|3х—1 | = |2х+3|~ |3х—1 |а = | 2x4-312~
~ (Зх — 1 )а = (2х 4- 3)а ~ 5ха — 18х—8 = 0 ~
~ х == — у х = 4.
5
Ответ.
Пример 27. Решить уравнение
|х| = |3—2х|—х— L
Решение. |х| = |3—2х|—х—1 ~
/ . з
( х < О у J и^х< 2
~ I —х = (3 — 2х)—х—1 I х = (3—2х)—х—1
VI 2 л/
I х = (2х — 3)—х—1
Ответ. < -у>.
Пример 28. Решить уравнение
|7 — 2х| = |5—Зх| + |х + 2|.
Решение. Так как 7—2х = (5—Зх) + (х4-2) и 1а4-6|=
= | а | +1 b | <=> ab 0, то
|7 —2х| = |5—Зх| + |х + 2| ~(5—Зх) (х + 2)>0-2^х<4-
О
Пример 29. Решить уравнение
2g|x+a|
Решение.
(1)
X 5^ О
х2 4- 2а | х 4-а |—аа = О
х Ф О
*4-а>0 V
х2 + 2ах + а2 = О
х-}-а < О
х2—2ах—Заа = 0
Ответ. Если а < О, то {—а, За}; если а>0, то {—а};
если а = 0, то 0.
Пример 30. Решить неравенство 2x4-57 — 4х|.
Решение. |2х + 5|^|7 — 4х ~|2х-4-5 а^|7—4х|2~
~ (2х + 5)2>(7—4х)2~3х2—19х + 6<0~у<х<6.
Пример 31. Решить неравенство |х|^2|х—4|4-х—2.
Решение. |х | 2 |х—414- х—2 ~
х < О
— х 2 (— х 4- 4) 4- х—2
V
/-x<0v0<x<3\/x>5-x^3Vx^5.
Ответ. ]—оо, 3]и[5, оо [.
Пример 32. Решить неравенство |7—2х| < |5 — Зх 14-1 *4-21.
Решение. Так как 7 — 2х = (5—Зх)4-(*4-2) и |а-|-И<
<|а|4-|Н^°^<0» то
17—2х|< |5—Зх|+|х+2|~(5—Зх)(х+2)<0~л <—2 Vx> 14-
О
Ответ. ]—оо, —2[и]1-|-, оо [ .
56
Пример 33. Решить неравенство (1) |х—За| — |х + а|<2а.
Решение. Если а > 0, то —а < За;
если а < 0, то За <—а-
а > О
а = 0
(I)
х <—а
(— х + За) + (х+а) < 2а
( а>0
у / — а х < За у
[ (— х -J- За) — (х+а) < 2а
(а > 0 ( а < О
х^ За у 7 х < За у
(х —За)— (х+а) < 2а I (—х + За)+(х + а) < 2а
Ответ. Если
если
если
а <0,
а >0,
а —О,
то ] — оо, 2а [;
то ] 0, оо [;
то 0.
Решить уравнение (задачи 420
-420. |2—Зх|—15—2х| = 0.
421. |9—2х| = |4 — Зх| + |х + 5|.
422. |х|==|2х + 3| + х—1.
428).
423.
424.
425.
426.
427.
428.
67
2^=0
|х+а|
Решить уравнение с параметрами (задачи 429—434).
429. 21 х + а| — |х—2а | = За.
430.
431. |ха—а2| = (х + 3а)а.
432. х = 2|х—а\ — 2|х—2а[.
433. |х+ За| — |х—а| = 2а.
Решить уравнение
435—444).
435. |х| = х+ 1.
437. |3х— 11 = 3—х.
439. |х| + |х—1|=1.
441. х»—|х|—6 = 0.
аналитически и графически (задачи
436. |х+1| = х + 3.
438. |3х+ 1 | = 5 + 6х.
440. |1 — |х||=1.
442. |х*4-2х—3| = 3—:2х—Xs.
443. |4 + Зх—x’| = xs—Зх—4. 444. у- 1 ,т=х —1.
1 1 |х—1|
Решить неравенство (задачи 445—463).
445. ЦЗ—2х|^|4х—9|.
446. |х+1 | + 4>2|х|. *
447. |2х + 3|>|х|—4х—1.
448. |х—2| + |3—х|>2 + х.
449. |х— 1|>|х4-2|—3.
450. |5—х|<|х—2| + |7—2х|.
451. |х—6|<|х’—5х + 9|.
452. |хэ— 11 > 1 —х.
Решить неравенство с параметрами (задачи 464—469).
464. |2хф-а| > -к-а + |х—а|. 465. |х — За | < | х—а| — 2а.
А»
466. | х + 2а | +1х—а|<3х. 467. |х2 — а2|>2аа.
468. Iх + 2аI < 7 о-т. 469. а + л>0.
J 1 1 |х —2а| | х — 2aj
53
Решить неравенство аналитически и графически (задачи
470—475).
470. |х+1|>|х—1|. 471. |х|4-3 > |х4-3|.
472. |х8 + 11> 1. 473.
<71- ЖГ<-Ь <«•
$ 9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как иррациональные уравнения рассматриваются нами
только над множеством /? действительных чисел, то слова „над
будем опускать.
Пример 34. Решить уравнение
(I) У Xs4-5хЦ-1 = 2х—I.
Решение. Первый способ»
(I) ~
2х—I
0
Зх (х—3) = 0
Ответ. {3}.
Зх(х—3)=0
Проверка (подстановкой полученных значений в данное урав*
нение).
—I, следовательно, 0(£ОИ(1).
= 5, следовательно, 3€ОИЦ>,
Ответ. (3).
Пример 35. Решить уравнение
(1) у/ 14-х + Ибх—З+уЛ 1+а—Кбх—3 ==^6.
Решение.
(1) -
6х—3^0
1 4- х Ц- У 6х — 3^0
14-х—/бх^З>0
2-}-2x4-2/(14-л)»— (6х—3) = 6
Ответ.
Второй способ, указанный в примере 34, здесь неприменим,
так как невозможно осуществить проверку подстановкой в дан-
ное уравнение каждого числа из ]—оо, 2].
Пример 36. Решить уравнение
Решение. (1) ~
2(х»4-1) — 2х/х*4-1=б
х (2х2 — 3) > 0
4х2(хг4- 1) = (2хг—3)»
2х/х24-1=2х« —3
Ответ.
Пример 37. Решить уравнение
(1) /Т=х4-^— 1—х =
5х.
60
Решение.
(1)
о
— 5х
О
з
(2) |/'И5 + 2+)Л/5-2 = /5.
Выясним, истинно ли равенство (2). Пусть а
-)/75+2 +
df г
+ 5—2. Тогда а3 = 2/5 + За. Уравнение (3) Р—3/ —
— 2/5 = 0 ~ (/—/5)(/Ч-/5/4-2) = 0 имеет единственный
действительный корень /5. Значит, равенство (2) истинно.
п / /5 1
Ответ. \ .
I £ I
Пример 38. Решить уравнение
(1) 4х + /16х2 + 9а2 =
45а2
/ 16ха4-9а2 ’
61
Решение.
16х2 + 9а2=И=0
4xJ/16x2 + 9a2 + (16№ + 9а2) =* 45а2
(')-{
Ответ. Если а = 0, то ]—оо, 0[;
если а^=0, то {|а|}.
Пример 39. Решить уравнение
(1) К а—x = V —х + У b, Ь^О.
Решение.
(а—х^О
— х>0 ___
а—х = — х + 2}^ — bx + b
— 4Ьх = (а—Ь)*
62
— 4b
Ответ. Если a = b — 0, то ]—co, 0];
Л \ t n I (a—b)* 1
если a b > 0, to < -—nr- г1
( — 4o f
в остальных случаях 0.
Решить уравнение (задачи 476—499).
476. У хг + 3х—3 = 2х—3.
477. У"9хя + 2х—3 = 3х—2.
478. х‘—Зх = 5/Xs—Зх + 24.
479. (х + 2) (х—5) + 3/х(х—3) = 0.
480. х+У"бх—9 +уЛх—V6х—9 = Кб.
481. уСк + ЗУх— 1 —|/х—2/х—I =2.
482. ]/х—3—2/х=4 + |/х_ 4|/7=4=1.
483. УТ=х = /6=1- И— 5—2х.
484. У 5х — 1 = Уз7=2—/2х—3.
485. У 5х + 7—]/х + 3 = У Зх + 1.
486. УТ+4 + 21/7+1 = Ух + 20.
487. /1=5 =-Д=~/1+4.
У х—5
488. 1/=П5- J0 . | 1/7=Г
У х—1
489. х+/*»+16=-^ 40 .
V +16
490. р/х+1 + /7^1 == /5х.
491. /7=2+ /7+3= /2х + 1.
492. /(3 - х)4 + /(6 + х)2- /(3=х) (6+х) = 3.
493. /х + 1 —/х—1 = /х2—1.
63
494. j/— х—1 = 1 — Кх + 2.
495. J/(x—2)4 —1+ £/х—2(£/х—2—1) = 1.
««в.
497. |Л/бх4+1— 2х= 1—х.
498. У~х + /-Х-/7+Т = 1.
499. , -!- + , Л__L -/2(х8 4- 1).
у *+ Ух2— 1 ух— ух2 — 1
Решить уравнение графически (задачи 500—503).
500. /х—Г=х—1. 501. /^х-= —х—2.
502. У~х = 2х» — 1. 503. К2—-х =—у.
Решить уравнение с параметрами (задачи 504—524).
504. У а—х + Р^д + х = а+Ь^О,
505. Уа—х+УЬ—х = Уа + Ь—2х.
506. У а—х — а—У—х.
507. УТ+4а =Ух + 2Уь, Ь^О.
508. р х’4-3а2 — Ух4—За* = хУ2.
509. Ух* 4-а* = х 4- -г-
Ух2+а?
510. Д .-4--7=1= = -7=1= .
У *4-а У х—а ух2—а2
511. Ух—а— -^-а =Ух—2а.
512. yfа*—хУхг+ая==а—х.
g।j У2а—х+ КД—* К2а — х — — х
У 2а—х—За У 2а — х—Ух—За
514« 2х + 2ах + У~х = 0.
515. = ±, а^о.
Ух+а+ У х—а а
516. УгЧг?= 1-
14-ах У 1 — 2ах
517. (х4- Ух^а)* (х— Ух*^а)=а.
518. У а 4- х 4* У а—х = 2 У а4—х*.
519. Kx4-a4-Kxzra= J/x4—а4.
520. У~с?—х 4- У&*—x — a-f-b.
521. р/(а4-х)2 4- 4 ^/(а—х)4 = 5 ^/а4 —х4.
64
522. y/a+x+j/a—х=*/2а,
523. 1/ —~a — a—x.
524. V2x— 1 — /F+2 = a.
a^O.
$ 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Так как неравенства рассматриваются только над множеством
R действительных чисел, то слова „над /?“ будем опускать.
Пример 40. Решить неравенство
(I) Ю<8—х.
Решение.
Ответ. ]—оо,
Пример 41.
-2] и [5, 5^[.
Решить неравенство
(1) /х + 2 > х.
Решение.
(1) |х < 0| V< |х> 0
х + 2^0 х4-2>№
~—2 ^x<0V0^^<2~
~ —2 < х < 2.
Ответ. [—2, 2[.
Пример 42. Решить неравенство
(1) /7+3—/7-^х > /2x^8.
3 № 102
65
Решение.
(1) ~Их + 3>/7—х + У2х—8~
{х+3>0
7—х>0
2х— 8>0 ~
Х4-3>Х_14-2 У —2х»4-22х—56
х> —-°
х<7 (4<х<7
х> 4__________ ~ (4 > — 2х* 4- 22х—56
2 > /—2х8 + 22х —56
Ответ. [4,5[и]6,7].
Пример 43. Решить неравенство
х* 4- 6х > х.
Решение, f/х24-6х> х~
(*). См. рис. 9.
Рис. 9
Ответ. ]—со, —6] и ]0, 3[.
Пример 44. Решить неравенство
(1) Их 4-2а < а— Их.
Решение. Легко видеть, что при а 0 данное неравенство
не имеет решений.
66
Тогда
(1)
х+2а^0
I a—pGc > 0
I x + 2a< (a— Ух)а
k 2aVx < a4—2a
(z\ (a— 2)4 . n . (a—2)»
\Д*): a4 > J—j—- при a > 2, так как a4—*—-
3d2 + 4a—4
4
Ответ. Если а >2, то
Пример 45. Решить неравенство
Решение.
< Vx + 2a ~
{х + а > О
х + 2a О
X + a—I а I < j/’Cx + 2a) (х + а)
х + 2а< У (х + 2а) (х+а)
(а = 0
\ 67
-и) (x + a)
0
k (x + 2a)2 < (x + 2a) (x + a)
'a > 0
< x > —a
k x < /x2 4- 3ax 4- 2a2
(a< 0
x^—2a
a (x + 2a)
x
0
a
„ x2 < x2 + 3ax + 2a2
( a
Ответ. Если a < 0, то ]—2a, oo[;
если a > 0, то ]— a, oo[;
если a = 0, то 0.
Решить неравенство (задачи 525—541).
525. Ух2—х—12 < 7—х.
526. Ух2—5х + 6 < 2х—3.
527. /х + 3>х + 1.
528. У х24- 5х—6 > х 4- 2.
529. 3/—х2 + х + 6> —2(2х—1).
530. У х2—7х—8 > х—6.
531. /Зх24-13x4-4>х—2.
533. /5=х > У"7^х—/—3—2х.
534. /х + 2 < /х4-12—/2х—10.
535. У'2х4-3 < 1 — /Г+2.
536. У 25—х2 + /х2 + 7х > 3.
537. /— х—Vx+ 1 > —1= .
_________ /з
538. х+/х —j/х— /х
4/
68
539 <8~~х) К8-х+(5+х) /~5+7 1_
(8-х) /54-х+(54-х) /8—х 6‘
540. /—9х24-6х < Зх.
541. ^х^х>— х ^/2.
Решить неравенство графически (задачи 542—545).
542. /х—1 > 2. 543. /х + 2 > х.
544. Кх+Т> Ух=Т. 645. 4.>Ух.
Решить неравенство с параметрами (задачи 546—561).
546. —х + }/ За + х > 2 j/flj а^О.
547. Vх + 2а >р/х + Кя, а 0.
548. У а—х + У2а—х > УЗа—2х.
549. Vх + а <а—Ух.
550. У х2—2ах < За—х.
551. У—х>2х + ах.
552. /а2—4х2 > 4х.
553. У а—х + УЗа—х > 2 ]/а, а^О.
554. Ух-)-а + Ух—а>2, а^О.
555. Уа/^х— у £-х < /2а—х.
556. Уа*—ха 4- У2ах—х2 > а.
557. Уа2 + х + УЬг-\-х> а-\-Ь, Ь> а > 0.
558. /а2—х-|-/Ь2—х>а + 6, |fe|^|a|.
559. /2х—а х.
560. И2ха + 3 < х—а.
561. Ух—а + У—х—а>—а.
§11. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как показательные и логарифмические уравнения будут
рассматриваться нами только над множеством Z? действительных
чисел, то слова „над R“ будем опускать.
лЬ Пример 46. Решить уравнение
(1) 22х+2 + 3-2х—1 =0.
Решение. (1) ~4-22*4-3-2*—1 =0 ~2* = -|-V 2* = — 1 ~
~ 2* =4-~ 2* =:2~2 ~ х=; —2.
69
Ответ. {—2}.
Пример 47. Решить уравнение
i j________________________
(1) 4-»_3~х" 2 =32 х_2-2*-х.
I 1
Решение. (1) ~ 2~2* + 2-2*-i = 32 “х + 3“х“ 2 — 3-2-2х-1=
== 4.3"~-lg3-(2x+l)lg2^1g4-(x + 4) lg3~
~(lg 3-2 lg2) ---4(lg3-21g2)-x=-4.
Ответ. |—lyj.
Пример 48. Решить уравнение
(1) log^rx+31ogtx+logj_x = 2.
2
Решение.
— logtx = 2~ 4 logjX+2 log, x—2 = 0~ 2 log|x+ log,x—l = 0~
~ log3x = 4 v log3x =—1 ~x = K2 v
Ответ. //2, уг•
Пример 49. Решить уравнение
(1) logex=]oge(x+6)—loge(x + 2), где а>0, а^=1.
Решение.
(1) ~ logex+loge(x+2)=loge(x + 6)~
Ответ. [2].
Решить уравнение (задачи 562—574).
. 562. 4х—2-6* = 9 2.
ЧббЗ. 3-4» + 2.25* = 5.10*.
-А 564. 4*"1—17-2*-"+ 1=0.
1 1 1
565* 9“ * + 12 х 16 *. ________
566* + /Тб)’ + (>^4 —/Тб)’ = 8.
70
I , _L
*568. 4х"1—3 a=3 » — 2ax~3.
'569. 3-4“x + y-9a~* = 6«41-*—y-9x“*.
570. ll3x~a+ 133x-2 = 133x-1—113X-1.
571. (4Y = — 2xa4-6x—9.
\ О J
572. 2rr = 1б]/
573. 2х + 2x+1 + 2X+2 + 2Х+3 = 3х 4- 3x+14- 3x+14- 3x+9.
574. Ю(х+1)(3х+4>_2* 10(x+x>(x+2>= 10x~x"*\
Решить уравнение графически (задачи 575—579).
575. (у)* = — х. 576. 3* = -1 ха. 577, 3** = 3*.
578. 2*г = ха4-12. 579. 2-х = /х.
Решить уравнение (задачи 580—600).
580. log4 (х + 2)—log4 (х—2) = 2—log48.
581. logs loge log, (x + 9) = log, 2 — 1.
582. 2x (1 — Ig 5) = 1g (4* 4- 2x—6).
583. log, (2 log, (1 + log, (1+3 log, x))) = |.
584. 1g ^75 + 5f“=у.
585. Ig 2 + Ig (4-*-* + 9) = 1 + 1g (2-*-* + 1).
586. ?gi(T-?t = 2.
lg|4x—71
587. lg(x+l)-lg(l— x) = lg(2x + 3).
588. lg(xa—1) = lg(x—l)a +Ig |2—x|.
589. lg(x—2)+lgx = lg8.
590. lg(x + 3)—21g(x—2) = lg0,4.
591. lg(x-l)(x + 3) + lgi±| = 0.
592. У 2 Ig (—x— 1) = Ig /(x+ l)a.
593. 2 log, x + log^- x + log_^ x = 9.
594. l + log^ = (lglgl0‘-l).logx10.
595. x's'»+ з ig x+з _----------t
K*+l —I- K*+T+l
596. log4x2-logj. 2 = logz 2.
4 16
597, log,x — • logl x 4- log? x «1, x > 1.
598, log? x + log8x у =s 1.
71
599. log, (9х-2 4- 7) = 2 4- log, (3X~2 + 1).
600. log4 log,% +log, log4x = 2.
Решить уравнение графически (задачи 601—604).
601. lg(x—1) = х—2. 602. lg(x-]-l) = xJ + 2x4-3.
603. lg(x—1) = —(х—I)2. 604. lg(—x) = 2x.
Решить уравнение с параметрами (задачи 605—617).
605. loga(x4-l) = loge(2x4-8)—loge(x4-2), а > 0, а=/= 1.
606, loge (4x4-2)—loga (—6х) = loga (1 — 2х), а > 0, а #= 1.
607. .]°g°x-2= 1 а > 0, а^1.
4—loga х
608, 41g*=l+^» «=^0.
«па |обз4~2 1о8д<5~*) 1
609, log3(X4-2) 10ga(x4-2) Ь а>0,
610, 3IogaX+1 4-3-xlog«3 =2, а>0, а=И=1.
611. 2 log*а4-logo*а4-3 logo»» а = 0, а > 0, а=£ 1.
612. al+log’x4-a' Iog,x =а24-1. а>0, а=р 1.
2 2 1
613. ах +bx = 3(ab)x, a, b>0, а9 b=£ 1.
,lg(4 + a-x)==1 10go4--2 0 j
1g х logax ’ '
а?
615. logr-a-loga*2j—^=1, а>0, а=^1.
616. logrra-loga,^^= 1, а>0, а=т^1.
617. logab(x—а)24-logab(х — b)2 = 2, ab>0, ab=£l.
§ 12. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ HEPASEHCTBA
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как неравенства рассматриваются только над множест-
вом R действительных чисел, то слова „над R" будем опускать.
Пример 50. Решить неравенство
(I) 3.7* + 5—2-7-*<0.
Решение. (1) ~ 3-72х4-5-7х —2 < 0 ~ 3f 7х —4-) (7*4-2) <
\ о /
1 1g 3 Г
Ответ. —то, —,
J_ ig7L
Пример 51. Решить неравенство (1) x,+log3X > 81 х.
Решение. (1) ~ (1 4-log3x) log3x> 44-logsx~ log|x> 4~
~ log3 x< —2 V logs x>2~O<x<4-Vx>9.
<7
72
Ответ.
°> у [ и ] э, оо
Пример 52. Решить неравенство
(1)
ах
ах— 1
1—2а-*’ ГДе а
Решение. (1) ~
' ' ах— 1 ах—2
Полагая у — ах, получим:
У У+1 У у+1 —2»+1 л
У—1 у~2 ~ у—1 у—2^ (у—1) (у—2) ~
~(2y-l)(i/-l)(!/-2)<0~y<lv 1 <У<2.
(•> z
(*): См. рис. 10.
———о
2
Рис. 10
У
Так как у > 0, то получаем: 0 < г/ < -4 V 1 < У <2. Если
А»
0 < а < 1, то loge2 < х < 0 V — loge2 < х < оо; если а > 1, то
—оо <х < —logo2 V 0 < х < loge2.
Ответ. Если 0<а<1, то ]logo2, 0[и]— loga2, со[;
если а>1, то ]—оо, —loga2[(j]0, loge2[.
Пример 53. Решить неравенство
logoх + 2 > 3 log,а, где а>0, а=/=1.
Решение. loga х + 2 > 3 log, а ~ logax + 2—^—> 0 ~
- -l0g°Xt02gl0faX~3 > 0 ~ (log, х-1) (log, х + 3) loga х > 0 ~
----------------------3 < logex < 0 v logo X > 1.
(*). См. рис. 11.
о----о
О 1
Рис. 11
1-й случай. 0 < а < 1. Тогда получим: 0 < х <а V 1 < х < а~3.
2-й случай. а> 1. Тогда получим: а~?<дс< 1 V х
а.
Ответ. Если 0<а<1, то ]0, а[и 1,
если а > 1, то , 1 [ U ] а, оо
73
Решить неравенство (задачи 618—640).
618.
619.
620.
621.
622.
623.
624.
625.
626.
627.
628.
629,
630.
631.
632,
633.
634.
635.
636.
637.
638.
639.
640.
74
l,251-loe^<0,64a+'Qer’ х.
____!____+
1— logj X log, X
~ V
log, (х2-4x4-3) < I.
Iog*-i(x4-1) > 2.
log, (9*-14-7)—2 < log, (3*~>4-1).
log, 2 log,, 2 > log4X
l°g*21ogx.2>1^_.
16
logsxy4-loglx< 1.
2-2 logfX Iog|x ।
X
log 1 x > log, 3—
log_i Ioge < 0.
2
log,log,7T7 < logi_
logj_ log. (V хг 4-1 4- x) < log, log_i_ (Vхг 4-1
3 6
log* з > 1.
log X - log X
2x — X a
Решить неравенство графически (задачи 641—646).
641. 2*-><2—х. 642. 2<*1 >4.
643. (1У+1<Х4-2. 644. |log2x|>2.
645. log31 х—11 < 1. 646. log t | x | | x |—1.
2
Решить неравенство с параметрами (задачи 647—658).
647. 3 logj х + loge х > 0,' а > О, а =# 1.
648. loge(x— 1) < log0(2x + 4)—logex, а>0, а=/=1.
649. 4 logex4- 1 < 3 logxa, а > 0, а=#= 1.
650. 6 logx а < 1 4- loge x, a>0, а =/= 1.
651.
652.
653.
654.
655.
4 + -j---> -------я , a > 0, а 1.
logxa logflx—2’
2log-xa i____________1 (
14-Iog_xa^ 2—logo (—x)’
logo x—4 loga x+3
logo x+ 10goX
> 0, а > 0, а Ф 1.
3logo»x + 2 > logxa*, a^0, a=£ 1, —
xi««e»+i >a*x, а>0, а=/= 1.
656. loga-x X3 + log X У x
VT
<2, a > 0, 1.
657. togo (2д*х)+ 4* 2 log 2X a > 0, a>0, a^l.
658. 11g (3a-x) < 1 -11g (2x—a).
§ 13. СИСТЕМЫ (КОНЪЮНКЦИИ) И ДИЗЪЮНКЦИИ УРАВНЕНИЙ
Решить систему линейных уравнений методом последователь-
ного исключения переменных (примеры 54—56).
Пример 54.
(1) -
Зх—5у + 2z + 4a = 2
7х—4z/4-z 4-За = 5
5x4*71/—4z—6а = 3
над /?.
Решение.
Ответ. 0.
Пример 55.
Г х—5y + 2z =—5
J 2х + 3у—5z = 7
I 2х + 5у—8z = 8
^4х + 3у—9z = 9
над С.
Решение.
Ответ. {(3, 2, 1)}.
Пример 56.
' Зх + 4 г/ + г + 2 и = 3
< 6х + 8// + 2г + 5 п = 7 над Q.
9х + 12у + 3z + 1 Qu = 13
Решение.
1-/3 4 1 2 3\ /3 4 1 0 1\
^~3\0 0 0 1 1/ \0 0 0 1 1/
Зх + 4у + г = 1 (
г~ 1 —Зх— 4у
и = 1.
76
Ответ, {(х, у, 1—Зх—4у, 1)]x, y$Q}.
Пример 57. Решить систему:
( х 4- Зау «а 1
(1) Ь 0 о над Я.
( ах—Зау =» 2а 4-1
Решение. Первый способ (метод последовательного исклю-
чения переменных).
—а /1 За
I—>-\а —За
За
—За (а 4-1)
!i).
1-й случай» а =И= 0 и —1.
1 За
2-й случай. а = 0.
За
=> ОИа, = 0.
За
3-й случай. а =—1.
Ответ.
^>х—Зу 1 ~ х = Зу 4-1.
Если а=/=0 и аУ=—1, то
если а——1, то {(х, у) €/?a|x = 3i/4- 1}; если а = 0, то 0.
Второй способ (с использованием определителей).
1 За
а —За
=s—За (а 4-1),
1 За
1-й случай. Д=/=0, т. е. а=И=0, а=£—1. Тогда система (1)
имеет единственное решение:
I х
а) а = 0. Тогда система (1) <
б) a=i — 1. Тогда система (1) <
2-й случай. Д = 0, т. е. о = 0 или а — —1.
_ не имеет решений.
х—Зу = 1
_x+3j,=_i ~ ~
~х = Зу+1, т. е. система (1) имеет бесконечное множество ре-
шений.
Ответ. Если а*/=0 и а=/=—1, то |^2,—55)} *•
если а =—1, то {(Зу +1, y)]y€R}', если а = 0, то 0.
Пример 58. Решить систему:
(6х(г/2 + г2)=13^ (1)
(I) < 3t/ (z2 + х2) = 5zx (2) над Я
(6z(x2 + y2)=*5xy (3)
Решение. 1-й случай. Если # —О и zt=Ot то xgR. Анало-
гично, если z = 0 и х = 0, то y£R9 если х = 0 и у = 09 то z£R.
2-й случай| х=/=0/\у=^0/\г^=0.
а) Пусть (х, у, г)— решение системы (I). Тогда:
б) Проверка. Непосредственной подстановкой в уравнения
системы (I) вместо х, у9 z полученных значений убеждаемся, что
являются решениями системы (I).
78
Ответ, {(х, 0, 0) | х € R} U {(0, у, O)|t/gfl} U {(0, 0, г) | г € /?} U
Рассуждения, проведенные в пункте а), можно схематично
изобразить так:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(4)+(5)+(6)
Г(7)-(4)=(8)
=> < (7) —(5)= (9) =>
(7)_(6)=(Ю)
(8)
(9)
(Ю)
(8)-(9)-(Ю) ,,П
216 ~ 1
1УН12>
^=(13)
=> (15) V (16) V (17) V (18).
1±2-= (14)
(10)
(Н)
Пример 59. Решить дизъюнкцию уравнений:
+ 1 =%— IV —+ 1 — х—1.
Решение. 1) 1^х+1=х—1~
х 1
х (х—3) = О
х^ 1
х = 0
2) _/х+1=х— 1
х—КО
X 4-1 =(х—1)а
Ответ. (0; 3}.
Пример 60. Решить дизъюнкцию уравнений:
р/ха4-6х = х V —i/—х*—6х = х.
Решение. 1)
xa4-6x^s О
ха + 6х = х’
Iх^—6 V х^О
[ х = 0 V х = — 2 V х = 3
x = 0V х = 3.
Г9
Ответ. {—2, 0, 3}.
Решить систему уравнений над R (задачи 659—661).
659. 1 х*—5х+6 = 0 660> / х—у = 0
( х*—х—2 = 0. (х + у=1.
661. ?х—у = 2
< ху = 1
(log4x= — 1.
Решить дизъюнкцию уравнений над R (задачи 662—670).
662.
664.
666.
х*—5х 4-6 = 0
х2— х—2 = 0.
х—у = 2
xt/= 1
log2x = — 1.
663.
665.
х—1/ = 0
_х4-г/=1.
Vx2 4-5x4- 1=2х—1
. — р^х2 4-5x4- 1 =2х—1.
Кх4- 3 = 3 — /х V Vx + 3 = 34-Гх.
669. р/2х—х2 = х V —р^х2—2х = х.
670.
Г х24-4х—5 = х—1
— I/ —х2—4x4-5 = х—1-
Решить систему линейных уравнений методом последователь-
ного исключения переменных (задачи 671—676).
671. f x4-«/4-z= 3 672. | x4-3y-f- z = 5
I x4-2y—2z= 1 надс. ) x4-2y4-3z = —1 надО.
| x4- у—3z =—1 (2x4- y-f- г — 2
(2x4- у—3z = — 1
673. f x4- у A- ? 4- и— 7
< j/4-2z4-6u= 23 над R.
(зх4-2^4* г—3u =— 2
674. f x—2^/4-Зг —u = 2
7 Зх— у4-5г—3u = 6 над R.
(2x4- f/4-2z—2u = 8
80
675.
{X-J- у+ 2 = 6
2х-|- У—3z =— 1
Зх—2^4- 2 = —1
4х—2у—Зг =— 8
над Q.
676.
х—2^4-3z4-4«= 4
х 4“ Зг/ 4-3« 1
у— г— и — — 3
— 7t/4-3z— u =— 3
над (Л
Решить систему уравнений (задачи 677—688).
677. (|х|4-Зг/ = 7
12х4-2|^-1| = 3
над /?.
678.
679.
681.
683.
685.
/ |х|4-2|у | = 3
I 2(х— I)14-(if-2)а= 1
х* + у = 20
х 4- уъ = 20
над С.
686
над R.
680.
(х 4-у 4-г =2 682.
*24-ff8+za=6 над С.
х* 4* у9 + г*=8
' х«/4-*г = х24-2 684.
• ху 4- уг = у14- 3 над R.
хг4-уг — г* 4-4
х 4- у 4-г — 0
< Зха4-3г4—5х«/г = 0 над R.
к 2х’ 4- 2{/s 4- Зхуг = О
(ху+уг = 8
уг 4- гх = 9 над R.
гх + ху = 5
х -}-у 4-2 =3
• х2 4-^’4-г8 = 5 над С.
,х*+у* + г*= 17
((*+у) (х + г)= х
(у + г) (у + х)^2у над R.
(г 4-х) (г+у) = 3г
13
687.
xi/z = 1
над R.
13
У
г
688. *±^£«£±^=£±£225 = ^ над R.
/ 11 о «з
689, Доказать, что (0, 0, 0) является единственным решением
системы уравнений:
г 2х + у 4- г = 0
yz + zx + xy—у2 = 0
k xy + z* = 0
над Л
81
690. Доказать, что если
I “Ь — О
.....................
то xt = Xi — ..
Решить систему
— %99 — ^100 —'
уравнений с параметрами (задачи 691—702).
691.
над R.
693. I х 4- ау=\
\ ах—3ay = 2a-f-3 И3^
695. J ух—ау = 0 в
{ " . над R.
I х—у —a—b
692.
694.
696.
над Q.
ах—у = Ь
Ьх + у —а
над R.
ах+ у+ z = l
х + ау + г = 1 над R.
*+ у + аг = 1
697.
' ах + ау+ (а+ 1)г — а
ах + ау+(а—1)г = а
k х 4-(а4-2)г=1—а
над R.
698.
J |х+|/| = х—у+а R
( |х—у\ = х + у-\-а
699.
Xs—у2 ~а2
(х2 4* Уг)г = 4а*ху над
700.
над С.
701.
702.
’ (у4-г)2—х2 = а
< (г4-х)2—у* = Ь над R, а, Ь, с^=0, а + Ь+с>0.
< (x4-i/)a—г2 = с
703. Исключить х, у из системы
х +у =а
х* + у* = Ь над С.
ха 4- у*—с
704. Исключить а, b, с из системы
над R, а, Ь, с^О.
705« Исключить х, у, г из системы
х2(у + г) = а*
у2(г + х)=Ь9
г2(х+у)=с*
хуг = abc
HanR,a, b, c^Q.
706» Исключить х, у, г из системы
y2 + z2—2ауг =0
г* 4-х1—2bzx =0 над R.
х* + у2—Чеху = 0
Решить систему уравнений над R (задачи 707—722).
713. J (*»_|_xt/4-у2) Кх2 4~ j/a ~ 185 714. I x + y-j-jfху= 14
( (ха—ху + у2) Кх24- у2 = 65. ( х* + у2 + ху — 84.
. х (х 4-{/) 4- Vх2 4- ху 4- 4 = 52.
718, 7х—11у=1^х + у=у^х+9у,
83
719.
721.
х2 + i/И ху = 420
у2 + xV ху — 280.
Zx + ff + Ky + z = 3
Ky + z + l/rz + x = 5
Vrz + x + i^x + y = 4.
720.
722.
хУх + уУу = 341
хУу+уУ x = 330.
У х + Уу + У z = 4
x+y+z=6
x2 + y2 + z2=18.
Решить систему уравнений над R с параметрами (задачи
723—726).
Решить систему уравнений над R (задачи 727—737).
728.
727.
729.
730,
731,
л* = 243
— ! 2 \2
1024 о = ( 4 х ) .
\ о /
( . . 8
10gj,X— logxy= у
- = 16.
У
4х2 —г/2 = 2
log2 (2х + у) — log, (2х—у) = 1.
'xlogjt/log! 2 = уУу(\ — logx2)
logji’2 logjr—х= 1.
I yxi0i^ = X2 V~x
I log4z/logs(j/—3x) = l.
732
Xt+» = r/w
y^v = X®.
734. ( log!,|log!Zx| = logx|logxy|
I lg2 x + lg* у = 8.
735. [ 11«— 2-5* = 71
< ll* + 2.5^ = 21
( ци-1>«4-5Т = 16.
84
736. '
1
log, x + log, у + log, z = 2
log, у + log, г + log, № 2
log, 2 + logle x + logle у = 2.
737. (zx = x
J zy = y
I yy=X.
Решить систему уравнений над R с параметрами (задачи
738—743).
738. ( ха = уь
I logc — =4^-^, a, b^O, a^b, с>0, с^= 1.
с у logc у ’ ’ ’
739. / ху = ух 740. ( ху = ух
\ хР^уя, р, q>0. ( px = qy, р, q>0.
741. Г loga х loge (xyz) = 48
J loge у loge (xyz) = 12 , a > 0, a^l.
I loge z log0 (xyz) = 84
742.
743.
(logpf/z—logpX = a
IOgp2X— log’y = b,
logpXy— log* z — c
logj,x+logx«/=-|-
x+y = a2-(-a.
p>0, P=/=l. a + & + c>0.
§14. СИСТЕМЫ (КОНЪЮНКЦИИ) и дизъюнкции
НЕРАВЕНСТВ С ПЕРЕМЕННЫМИ
Так как неравенства рассматриваются только над множест-
вом R действительных чисел, то слова „над R“ будем опускать.
Пример 61. Решить систему неравенств:
(1)
' х—у>0
1 х + у—4 < 0
х—2у— 1 < 0.
Решение.
(1) -
Изображаем прямые, заданные уравнениями у = х, у = 4 — х.
—g , и отмечаем (стрелками) полуплоскости, изобража-
ющие множество всех решений неравенств у < х9 у <4—х9
у>-^-х—у (см. рис. 12). Пересечением трех полученных полу-
плоскостей является треугольник АВС (без границ).
85
u{(x, y)gZ?a|2<x<3, А(х-
Решив уравнение х—± х—
(для Д), х = 4—х (для В),
ух—у = 4—х (для С), найдем
абсциссы точек А, В и С:
Пример 62. Решить систему неравенств:
( 2№ + ах < За*
0) i±“>0.
I X
Ответ. Если с<0, то ]а, 0[и —л» —-к- ;
если а>0, то j— у, —аГи]О, в[; если а = 0, то 0.
Пример 63. Решить дизъюнкцию неравенств:
а/х*—6х <—х v — —х2 + 6х <—х.
86
Решение,
Ответ. ] — оо, —3[U]0, 2[,
Решить систему неравенств (задачи 744—750).
г>6
6х < О
:б
-6х<0
744.
746.
747.
(2*+1 2—х. . 745. ( х Q . %+1 .
5 3 > 1 J 2 4
—4х— 1 > 0. ( х2—х—2 > 0.
Г —— 1 Xх О
2х — 1
х2 — 5х + 4^0.
/х1 —7x4- 12 < /х «С Ух2 + 2х—12.
748. 1 /4х —3<х4-1
I У^х-1-6 + ]/4—х > 4.
749- (lg]/T+8>lg(x-4)-21g2
750. ( х 1g2+ 1g(2*+г + 1) < lg(7.2*+i + 12)
| lg (*+3) a
I lg (*+ 1)
Решить дизъюнкцию неравенств (задачи 751—755).
751. Г2х+1 2-х . 752. 5 3 > 'у-3< ~^—4*5
L—4х—1 >0. Lx1—х—2>0.
753.
_х2— 5х + 4 ^0.
754. )/х + 3 < х + 1 V — Кх + З < х + 1.
755. /х2— 2х >— xV ——х2 + 2х>—х.
Решить систему неравенств с параметрами (задачи
756. J ах < 5а—9 757. ( 2 — Зх > 8а
I х < 3. \ 2ах—6а >х.
758. t (а +3) (х—3) > 3 (х—4) 759.
I (а + 2)х > (а+1)х + 5.
756—761),
а=И=О.
87
760. 761. ( х2— ох<6а3
Л и. -----
< К X
[ х2 < 2ах + За2. %—2а >
Указать систему неравенств или дизъюнкцию систем неравенств
с переменными %, у, множество всех решений которой изобра-
жается заданной областью (с
границей) на плоскости XOY
(задачи 762—764).
Рис. 15
762. См. рис. 13. 763. См.
рис. 14. 764. См. рис. 15.
Рис. 13
Указать область на плоскости ХОУ9 являющуюся изображе-
нием множества всех решений данной системы неравенств (за-
дачи 765—769).
Решить систему неравенств с двумя переменными графически
и аналитически (задачи 770—782).
88
770.
772.
774.
776.
778.
780.
( х—2у + 2 < 0
j x—2y—2 > 0.
771. ( x—2i/4-2 <0
| x—2y—2 < 0.
773. j x-\-y—2>0
I x—y>0.
775. ( x-f-tf—4>0
J x—у—4<0
I 3x4* У 4~ 4 > 0.
782.
x > 0
f/>0
y<2x
779.
x>z/2
x—2 < 0.
781.
I x + 2y К 2
lf/|< 1
2x—у 0.
Глава III
ТРИГОНОМЕТРИЯ
В главе III каждое выражение, равенство, неравенство будет
нами рассматриваться только над множеством R действительных
чисел, поэтому слова „над /?' будем опускать.
Так как в главе III буквы k, I, tn, п, г, s означают целые
числа, то слова „k£Z“ („l£Z“ и т. д.) разрешим опускать.
§15. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
НА МНОЖЕСТВЕ
Пример 64. Найти область определения левой и правой
части тождества (1) ctga =
1
tg a
на D (1),
89
Решение. Область определения левой части тождества (1)
на D (1) (D (л. ч.)): sin а =#= 0 ~ а =#= лги (m £ Z).
Область определения правой части тождества (1) на D (1)
(D (пр. ч.)):
cos а =£ О
sin а О
а Ф 4- nk
а^=л/п
~«^(iez).
Ответ. Р(л. ч.) = {а6R|а =/= пт, m£Z\‘,
£>(пр. ч.) = {а£#|а=/:^, I С Z \ .
I1 ~ I
Пример 65. Доказать тождество (1) tg 2а == g на D (1)
и найти область определения левой и правой части этого тож-
дества на D (1).
~ о sin2x 2 sin a cos a 2tga
Решение. tg2a= -о- =—^---------^-2“=-i—г-з—•
& cos 2а cos3 а—sin2a 1 — tg2a
D(n. ч.): cos2a=jt0~ 2а =/=-2-4-лЛ ~ а =И=-т + ^г-(6€Z).
i cos а =7^=0 f cosa=£0
D (пр. ч.): (, .. , _ ~ < . , . , ~
I 1 — tg8 a =H= 0 | tg а ± 1
{a + лл (n g Z)
Ответ. О(л.ч.) = |а€Я|а=/=-2-+^-,
D(np. ч.) = ]«€/?Ia=5&-2- + nn, a#= -т + Дг.л, *€zl.
I, I. « ж 11
Пример 66. Доказать тождество
COS2 X + COS2 ( — + X ) + COS2 ( -Z-X ) =-Q* .
\ О J \ «3 / L
Решен ие, cos2%+ cos2 + 4-cos2 —x}
\ О / \ О J
= 4 (1+ cos2x)+ y 14-cos^-y-4-2x^+y 4-cos ^-^—2x^=9
==-| + 4’cos2x + 4’fcos + +cos ~
3,1 П . 4л o 3.1 ~ I 3
4--n-cos2x4-cos—-cos2№=-5-4- q-cos 2x—-5-cos Ъх=*-х*
i О Л Л I £
Пример 67. Без применения таблиц вычислить
cos——cos
90
Решен не.
Ответ. -5-.
Найти область определения левой и правой части тождества
на области его определения (задачи 783—790).
783. tg a cos а = sin а.
784. tgactga=l.
785.
tg а = -г!—.
ь ctg а
Ste-
reo. tg а ------~.
l-tg‘7
2tg4
787. sin а ---------.
1 + tg‘l
789‘ ^1 = ^-
1 4 1 01
j--|g«--
788. cos a ----------— .
»+ tg2y
790.
sin a
1 + cos a ’
4
Доказать тождество на области его определения (задачи 791 —
799).
79 L ctg (а — (1 + sin 2a) cos 2a.
792. sin 3a —3 sin a—4 sin3 a.
793. cos 3a = 4 cos3 a—3 cos a.
. o / л . a \ л a A a da
794. sin 2a cos -r+-s-1 cos ( =cos a cos-5- cos-x-<
\o’2y \ 6 2 J 2 2
*тлс * я » • я ( 2 л . \ । • <• (2 л \ 3
795. sin2a 4- sin2 Н- + a + sin2 ( --a ) = т •
\ 3 / "
5 3
796. sin0 a+cos® a = ~ cos 4a.
797.
sin (ctg a) + sin (tg a) = 2 sin
(ет)cos (cte 2a>-
798. tg 2atg (£ -a) + tg 2a tg (J-a) +
799, ctga— tga—2 tg 2a—4 tg 4a = 8ctg 8a.
91
Без применения таблиц доказать, что (задачи 800—808):
800. соз 10° cos 50° cos 70°=-ХД-.
О
л> 4л 5л 1
801. cos -у COS -=- COS-=-=-3- .
< « < о
огъо 2л « 4л । 6л 1
802. cos -=- + cos -у- + cos = — -у.
< I I &
803. ctg 70° + 4 cos 70° = /3.
804. COS -r=- + COS -r-
15 15
7л
COS -7^-
15
Л 1
C0S 15 — T'
805.
11.1
. л . 2л ’ . 3л
Sin у Sin -у- Sin —
806. tg 55° tg 65° tg 75° = tg 85°.
807. tg 20’ + tg 40° + tg 80°—/3 = 8 sin 40°.
808. cos 20° cos 30° = cos210° tg 40°.
Вычислить, не пользуясь таблицами (задачи 809—812).
809. sin4 -g- 4- sin4 -g- + sin4 -g- + sin4 .
810. sin 10° sin 50° sin 70°.
811. sin qg-—sin-j^.
812. ctg 20° ctg 40° ctg 60° ctg 80°.
Упростить выражение (задачи 813—819).
g-п sin 160° cos 70°—cos 200° sin 70°—cos 235° sin 215°
tg55° ctg215° •
sin 190° + cos (—320°)—sin (-170°) —cos (—140°)
ctg(—H2°)+ctg(—140°) — tg(—338°)+tg230° *
815 cos &*+ cos 6a+ cos 7a
sin 5a+sin 6a+sin 7a
816. sin6xcos32x + cos6xsin32x.
(i\2/ i v
sinx-f-——1 +(cosx-J--------I —tg2x—ctg2x<
818. 2 (sin4 x + sin2 x cos2 x + cos4x)2—sin8 x—cos8 x.
820. Найти значение выражения f > если
sina =
7
25
< a < л.
И
л
2
821. Исключить a из системы:
x = tga—ctg a
t/ = tg 2a + ctg 2a.
92
822. Доказать, что выражение
sin8a cos8 а sin® а , cos® а . sin4 а
8 8 3 6
не зависит от а.
823. Найти cos (а—P)cos(a + P), если известно, что cos2 а 4
4 cos2 р = с.
824. Зная, что sin а 4 cos а = &, найти sin3 a 4 cos3 а и sin4a +
4 cos4 a.
825. Зная, что cosa4cosp = a, sina4sinp = 6, д2 + Ь2=/=0, найти
sin (a + P).
826. Выражение sin5a— 5sin3a+ lOsina преобразовать в произ-
ведение.
827. Доказать, что если cos у = cos a cos р, y + a. у—a, Р =/=
^n + 2nfe и а^у4лА, то
tgl+2lgti = tgI£.
£ £ Лл
828. Доказать, что если 3sinp = sin(2a + p), a =£-„- +лк иа + р^=
^=^-+nk, k£Z, то tg (a + P) = 2 tga.
829. Доказать, что если sina4sinp = 2sin(a4P), а4Р=/=2л/г,
а. Р=/=л + 2л£, k£Z, то tg-2-tg-j-= 4-•
Z Z О
830. Доказать, что если сс4Р4у = л, то
sin a + sin р +sin у = 4 cos у cos у cos у.
831. Доказать, что если а4Р4у = л, то
cos2a 4 cos2 Р 4 cos2 у + 2 cos a cos p cos у = 1.
832. Доказать, что если а4Р4у = л, a, p, у=/=у4лЛ, k£Zy
то tga4tgP + tgy = tgatgptgy.
833. Доказать, что если а4Р4у = л, а, р, у^л42лА,
то tgytg£-+tg|tg.i+tgi-tgд=1.
Доказать тождество на области его определения (задачи
834—840).
834. sin2a—""Y4sin2 _|_ 2 sin“+Р —уsjn^4 Y—Вcosa _
z z z z
= sin2 a.
835, 1—cos2 a—cos2p—cos2 у—2 cos a cos p cos у ==
л «4Р4т B4y— ot a-j-v—В a4B—v
= —4 COS 3 - cos —----COS —J-——- cos .
z z z z
836. cos a cos 2a cos 22a.. .cos2n~xct— a nfN.
837- 8те+8-1ж+--- + дж=с^а-с182па’ n$N’
93
838. sin a + sin 2а + sin 3a4~ • • • +sinna=*
. (n+ l)a na . xy
•sin-——sin-77-, n£N.
839. cosa+cos 2a + cos3a+ ... 4-cosna =
1 (л+ l)ac na - «у
=-------- cos —тг2— • sin —, n € N.
. a 2 2 ’ v-
slnT
840. sin 2nx + sin 2ny + sin 2nz = (—1)"+14 sin nx sin ny sin nz,
если х+у + г = л, n£N.
§ 16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ НА МНОЖЕСТВЕ
Пример 68. Доказать, что если а-Ьр +у = л и а, р, у>0, то
. а . р . у 1
sin-тг sin -S- sin .
~ . a . 6 . у 1 . a /
Решение. sin-7rSin-^-sin^- = —sin-^( cos
COS
a
8 ’
^(»): так как cos —-Cl и sin-£->0: (**): так как наибольшее
значение функции, заданной выражением х(1—х), равно -i.)
Пример 69. Доказать, что если
Зха—31х + 80<0, то cos^—— <0.
Решение.
Зх2 —31х + 80
.16
16
3
6 — X
2
3
6 — X
л 3 Зл . 3
F cos6^
2 6—X
^"2 л 1кТ<"2'
Пример 70. Доказать, что если а + р + у = л и а, р, у
0, то
sin-^- sin-^~ sin 4-
Решение. Так как а, 0, ?>0
?€]0, л[, значит, -у, € 1°>
Лл Лл &
sin-£->0.
и а + 0у == я, то а, 0,
. Тогда sin-5-, sin-и"
л
т
Используя известное неравенство между средним арифмети-
ческим и средним геометрическим неотрицательных действитель-
ных чисел, получим:
Но (2) sinsin sin-д-4- (см. пример 68). Из (I) и (2) еле-
л» & О
дует, что
если а+р + у = л и а, Р, у>0.
Пример 71. Доказать, что
(1) |sinпх | п | sinх |, где n^N.
Решение. Докажем неравенство (1) методом математиче-
ской индукции.
1) п=1. Тогда |sinх||sinх|.
2) Пусть неравенство (1) верно для n = k т. е.
(2) | sin kx | k | sin x |.
Докажем, что тогда неравенство (1) верно для n~k-\-\,
т. е. что
(3) |sin(^+ 1)х|^С(£+ l)|sinx|.
Так как |sin(fe+l)x| == |sin(£x + х)| =
= | sin kx cos x-J-cos kx sin x | | sin kx cos x | + ] cos kxsin x | =
= |sin kx | |cosx| + |cos£x 11sin x |sin &x| + |sin x|^
(•) ' (2)
^£|sinx|4-|sinx| = (&+ I)|sinx|, то
| sin (k + I) x| <1 (k + 1) | sin x |.
((*): | cos x |^1, | cos kx |^1.)
Из 1) и 2) следует, что |sinzix| <1 п |sinx| при n^N.
84L Доказать, что если а, Рё
cos-^
то
05
842. Доказать, что если а, ₽£[0, л], то
843. Доказать, что если 0 < а < —, то
sin а < а < tga.
844. Доказать, что если а + Р4-у = я и
а, Р,
Тё 1о, |Г,
I **
то cos a cos р cosy
845. Доказать, что если a 4- р -|- у — л и а, р, у > 0, то
з
cosa+ cosр + cos у <-5-.
846. Доказать, что если a =/= ^, где k € Z, то с0$а~1~с*йа > р
’ z 2 ’ sina-|-tga
847» Доказать, что если a + P4-Y = 3X> то
sin’y sin 2а sin 2р.
848. Доказать, что если a4-Р = -5-, a > О, Р > 0. то tg a tg р .
□ о
849. Доказать, что если 0 a < , то
850. Доказать, что если 0 < a < , то
£
851. Доказать,
852, Доказать,
853. Доказать,
854. Доказать,
855. Доказать,
856. Доказать,
что если а, Р€]0, л[, то
sin а+ sin 0 > 2
sin a sin 0 а+ 0 ‘
2
что если 2 cos2 к—3 cosх > 3, то sin ( ——) < 0<
\ cos х /
что если * ~~Л*~Ьъл < 0» то sin 2х < 0.
х2—11x4-30 ’
что 4 sin Зх 4- 5 4 cos 2х 4- 5 sin х.
что — 4 jsC cos 2х 4- 3 sin х 2 4-.
О
что если 0 <2 а С 1 и 0 < р -2., то
О
sin’P^l—2acosP4-a#^ 1.
96
857. Доказать, что 4-^ sin6 а 4-cos6 ос 1.
4
858. Доказать, что если 0<а<-5-, то cosa-f-asina > 1.
859. Доказать, что если 0 < сс < (3 < 4=г» то
£
a—since < р—sinр.
860. Доказать, что если 0 < a < р < £•, то
a— tga>P—tgp.
861. Доказать, что если 0 < a < у, 0 < р < -5-
и sin(a + P) = 2sina, то а<р.
862. Доказать, что если 0^а< то sin(cosa) < cos (sin а).
&
863. Доказать,
чю если а + Р4-у = л и
a. Р.
/-In п
т€ 0, у , то
864. Доказать,
tgatgptgy>3/3.
что если а + Р + у = л и а, р, у £ 0, , то
I , I , I с
-• -г*----д 4-------о.
cos а ’ cos р cos у —
л
2
865. Доказать,
что если <х + Р + ? = л и а,
Р. ?<= о,
-
ТО
tgia4-tgap+ tg’v>9.
866. Доказать, что если а-|-Р+у = -£ и а>0,
Р > 0, у > 0, то
sin2 a-h sin2 Р + sin2 у + 3 sin a sin Р sin у
867. Доказать, что если а + Р + у = -£- и а, р, у >0, то
_ 1 I____!___।__!__12
sin2а ' sin*p ~ sin8 у
868. Доказать, что если 0 < а < , то
sina+ tga > 2a.
869.
Доказать,
что
если а + Р + у = л и а, р, у£
то
О —
’ 2
sina-f-sinp+ siny +tga-|-tgP4-tg у > 2л.
4 № 102
97
870, Доказать,
что если а=^=-н-, где k£Z, то
|tgcz + ctga| > |sina + cosa|.
871. Доказать, что |sincosx| < cossinx.
872. Доказать, что | sin sinx | < coscos х.
873« Доказать, что | a cos х + b sin х | V а2, + где a^R, b£R.
874. Найти наибольшее значение выражения cos3x—cos6x.
875, Найти наибольшее значение выражения cosex + sinx4x.
§ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 72. Решить уравнение
(1) ctg х sin Зх (cos х—2) = 0.
Решение. Так как |cosx|
(1) ~ (2) ctg х sin Зх = 0.
Первый способ. (2) ~ ctg х = 0 ’
при — СО
sin3x = 0
то
Зх = 7lk
nk
Т
Ответ. ЧуН-лп
як
х~ т
як ,
як
т
n£z\ и < ± 4+лт m с z
I II о I
Второй способ. (2) ~ ctgx(3sinx — 4sin3x) = 0~
sinx=/=0
cosx (3—4sin2x) = 0
sin х=И= 0
cos x = 0
Пример 73. Решить уравнение
(1) tg 2x + 3ctgx = 0.
л
2
я
я
98
Решение. Первый способ. Используем тождества (см. при-
меры 64, 65, гл. III, § 15) ctgx =
и tg2x = !_tg2x на /x£/?
(1) tg2x4-3ctgx = 0~
~Г—+Д- = 0 V
I —tg x
на
nk
3—tgax
(1)
Я । t \ t я ।
~x=rfc-y + nZV x = T>-\-
<J о
Ответ.
n “ /Г /IV sin 2x , 3cosx Л
Второй способ. (1) — -----------:---= 0 ~
к ' cos 2х ’ si п х
я
s
cos2x =/=0
sin х =#0
sin 2х sin х + 3 cos 2х cos х = 0
, л , ЯП\
х + ТI (»)
х =/=лА J
(sin 2х sin х + cos 2х cos х) + 2 cos 2х cos х = 0
/ (*) (*)
I cosx + 2cos2xcosx = 0 ( cos x (1+2 cos2x) = 0
( (#) f (*)
~ S ' A V < О 1 ~
| cosx = 0 v j cos2x = —
[ (*) f (*)
1 x — -?• + л/n V ) 2x = ± -v + 2л/
V 4 К О
Пример 74. Решить уравнение
cos х
Решение. (1)
lus л =т= v
sin х cos x + sin x — 1 —cos2
x#=-n- +лп
sin x cos x + sin x = sin2 x
, я I
x =И= у + лл
sin x (sin x—cosx—1) = 0
. л ,
X #=-n + я n
sin x = 0
, n ,
X ф-к + ЯП
sinx—cosx—1 = 0
~ x = V
sin
~ x = nk V
~ x — nk V '
X = л + 2л/П
~х = л&\/х = л + 2лт ~ х = nk.
(*>
((#): так как (л+ 2лт|т Z}.)
Ответ. {л£|Л€Z}.
Пример 75. Решить уравнение (1) sin4x + cos4x = -^-.
Решение. Первый способ.
(1)~ (sin2x + cos2 х)2 — 2 sin2 xcos2x = ~~ 1 —^-sin22x = -^-~
' ' ' ох о
~ sin2 2x = —- ~ sin 2x = ± 4- ~ 2x = ± -5- + nk ~ x = ±-tk + •
4 z о
Второй способ. (1)
1 —COS 2x \2
8
< 2 О 3 n /З"
= -3- ~ cos2 2x = ~ cos2x = -I-
8 4 — 2
3"C । Л k
IF+
-'“6
Ответ. <
Пример
+ k^Zi-
76. Решить уравнение
(1) asinx + &cosx = c, где a=^=0 и
100
Решение. Первый способ.
Заметим, что если с = — 6, то а* + Ь* 1 са; если а2 + Ь2 < с1,
то с=И=—Ь.
Ответ. Если с=/=—b и а2-\-Ь2^с\ то
|2 arctg ------+ 2л/1 / € ;
если с = — &, то j —2arctg у + 2лп | п £ Z} U {л + 2лЛ | k € Z};
если аа4-6а<са, то 0.
Второй способ (введение вспомогательного угла).
(1) asinx4-bcosx = c ~
(Ь=г& 0)
а . . с
-т- Sin X + COSX = -г-
о и
Введем вспомогательный угол (2) ф —arctg 4-. Тогда tgcp =
df °
а 04 ’ > 0; tg (р sin х+cosx =4* ~
== у и (3) coscp = —
sin <р sin x + cos a cos х с , ч с
!--------= — COS (х — ф) = -7- COS ф.
cos ф b v b Y
Используя (2) и (3), получим:
(1) ~cos[x — arctg—) =—-!
а
х— arctg у arccos
' а2 + Ъ2 с2
к = arctg у ± arccos
+ 2лЛ
4-2лЛ.
101
й + оа^сл, то
± arccos —т==:
если (?+&*< са» то 0.
Пример 77. Решить уравнение
/1\ а __%cos х
* ' a cos х cos х а
f cosx#=0
Решение. (1) о аса.
' 7 (2 — aa = 2cosax + astn х
z , А (cos х =/= О
(cosx=/=0
( 2sinax—asinx—аа = 0 I sinx = — у
cos х Ф О
sinx = a
'sinx=/=± 1
sinx =—
sinx=/=±
sinx = a
sinx = a
о =/= ± 2
<1
2
x = (— 1)* arcsin ( — 4 ) + nk
Jo | < 2
jc = (—1)A+J arcsin у 4-лА
<2 -f~ 1
|O|< 1
x = (— 1)” arcsin a 4- nn
x = (— 1)" arcsin a 4- nn.
| a | < 1
Ответ. Если — 1<а<0\/0<а<1, то
•!(— 1)*+I arcsin у 4- nk | k G Zj (J {(— 1)” arcsin о 4- nn |n £Z};
если —2<a^—1V1<«<2, to !(— l)ft+x arcsin 4 4-л/г I/г
I
если —2\/a^2, to 0.
Решить уравнение (задачи 876—938).
876. sin-^- = —i-.
878. tgy = — /3-
880. cos (3x—2) = —?;.
882. 2sinxctgx+1 =cos(—
884. 4 sinx+5cosx = 3.
877. cos (2x + 1) --.
879. ctg3x= —ХД--
О
881. 4 cos3 x + 3 cos (л—x) = 0.
883’ тЙб17 = -2-ctS (x + n>-
A j Cv0
885. 7sinx—5cosx = 5.
K2*
886. sinx—cosx = -^—
102
887
cos Зх tg x = 0.
888
889. tg x 4- 1 = 2 sin x 4- ——.
cos x
890. sin 2x+3 sin x = tg —.
891. cosx-}-ctgx = -r^--|-sin(x + n).
ОЛЛ . , . , \ 2 (cosx — sinx)
892. ctg x + tg (л —x) = —sin .
893. cos 5x cos 3x = cos 4x cos 2x.
894. Sin ^-4 = 6 sin 2x tg (л 4- x).
895. sin2x4-sin3x = 3sin(n—x).
896. cos 2x—tg» (л—x) = 6 * .
V vUO л
897» 2cos2x—8cosx4-7 .
COS X
898. sinx-f-cosx = 2p^2 sinxcosx.
899. cos 7x—sin 5x= КЗ (cos 5x—sin 7x).
900. 4’8' ’4- 2cos*' —80 = 0.
901. -7- cos -7- = cos3 4 + sin 4- •
4 4 4 1 2
902. sin4x = sin2x4-cos fx—, —л<х<4»
903. sina2x = 3cos2x—sina(x + n), —
904. sinax + cos2x—2 sin2 ~cosx = ~^=-t —
6 y2 f
905. sinax—sin2 2,v = sin2 3x, —
906. sin2 x + sin2 2x + sin2 3x + sin2 4x = 2.
908. tg (x + tg =2ctgx.
909. sin3%H-cos3x= 1.
910. 2ctg2x—3ctg3x = tg2x.
sin x tg x 9
1 — cos x 4
912.
913.
ctgx — 2sin2x= 1.
5
sin4 X 4- COS4X = -a ,
914. tg2x-|-ctgx = 8cos2x.
915. cos6x + sin6x = 4sin22x.
916. 6tgx + 5ctg 3x = tg2x.
917. 5sin2x—12 (sinx + cosx) + 12 = 0.
918. tg x + 2 ctg 2x = sin x [ 1 + tg x tg -i-
\
3
919. cos3 x sin 3x + sin3xcos3x = -r
920. у 1 +y sinx = cos x.
921. V2 cos2 x—sin 2x + 3 sin2 x = ]/3 cos x.
922. pr14-sin2x—‘V1—sin2x=l.
923. V1 + cosx——cosx=l+sinx.
924. cos2x+ 1-Sgn2x =0, < x < 2л.
925. р/sinax + j/cos2x = p/ 4 .
926. 1/ —----2tgx = 1, i < x < $-.
r cos2 x b 2 2
927. sinx4-cosx =p<tgx4-ctgx .
928. P^14-sin2x =1^2 cos3x, л<х< —
929. sin2x4-sin3x = 2.
sin
sin4x= 1.
930.
931.
932.
4 (sin 3x sin x)2—sin 3x = 5.
cos120 x—sin120 x = 1.
933. cos®8 x 4- sin’’ x = 1.
934.
logi (1 4-sin2x) 4-
l°gj_(l —sin 2x)
з
3
935. sin (л Ig x) + cos (л Ig x) = 1.
936. tg(ntgx) = ctg(nctgx).
937. sin (л cosx) = cos (л sinx).
938. x2 + 4xcos(x#) + 4 = 0.
Применяя графический метод, определить число корней урав-
нения (задачи 939—942).
939. sinx=|x|. 940. sinx = x+L
941. tgx = — х. 942. sinx=lgx.
Решить уравнение с параметрами (задачи 943—954).
943, asinx + bcosx = asin2х—fccos2x.
944. sina4-+asin2x .
945. (3—a)tg2x—2tgx — (o4-3) = 0.
104
946. 4 cos2 x + 2 cos x + a — 1=0.
947. 2sin2x—2cosx + a—2 = 0, 0<a<4.
948. sin2fx——— 2asin f x—4^ + 2a—1 =0.
\ 4 / \ 4 J
949. sin4 x 4-cos4 x 4 sin2x = a.
950. sin (x + a) 4-sin x = cos-|-.
951. a (cosx4-sinx)2 = fesin 2x.
952. a sin x -hft flcosx+Ь . n l / л т Г-= E-’ T—, a¥=0, o^=0 OCOSX4fl 0 sinx 4- fl’ ’
953. a(cosx — sinx) = 6(l — sin2x).
954. / л Л xz + 2a —3 / i \*4 + a-i (COS 5 J =( И \cos 5/
$ 18. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Пример 78.
Решение.
Решить неравенство
(1) 2cos2x — 7sinx <5.
(1) ~ 2 —2 sin2 х —7 sinx < 5 ~ 2 sin2 х4-7 sin х 4-3 > 0~
~ 2 ( sinx + 4-) (sin х 4- 3) > 0 ~ sin х<— 3 V sin х> —~
\ 2 / 2 <*)
1 тс 7
~ sin х > —~ —тг + 2лп < х < л 4- 2ли.
2 (*») 6 6
(*): так как | sin х| 4^
(**). См. рис. 16.
при — оо < х < оо.
Пример 79. Решить неравенство
(1) tg3x4- tg2x—tg х— 1 <0.
Рис. 16
Решен ие.
(1) ~ tg2 х (tg х + 1) - (tg х + 1) < 0—(tg X + 1) (tg2 X-1) < 0~
~(tgx+l)2 (tgx-l)<0~
Jtgx#= — 1
(tgx< 1
Л
JT । jT * < . Л . _ - Л ।
-5- + ЛП < X <—-7-4- ЛП V —т+< x < t + nn.
Z 4 4
105
A
Рис. 1$
(*). См. рис. 17.
Ответ. <х|—4-яп <х<—Д-Ьяп, n€Z>{j\*
11" * I I
4- яп <х<-^-4-ял, /t€Z>.
Пример 80. Решить неравенство
л
7
(1) tg x-f-ctgx >—3.
Решение.
(1) ~ sinxcosх> sin 2x > S""'
~-Д>-4-3>0~?~^1п- > 0~ (3sin2x4-2)sin2x> 0~
sin2x sin2x v
2
~ sin 2x < —7- V sin 2x > 0
3 (*)
(2 \ / 2 \
л -f-arcsin пт ) 4~2nn < 2x < I 2л—arcsin ) 4~2л/г V
O / \ О /
V 2л/г < 2x < л + 2л/г ~
~ -о-+ -Н-arcsin -х-+лп < х < л — -^-arcsin — + ли V
Z Z о £ о
V яп < х + л/г.
(*). См. рис. 18.
2 ,
arcsin -5- 4-
. 1 • 2 I л-
4- л/г <х <л—5-arcsin-^4-л/г, n^Z
Пример 81. Решить неравенство cos х < а.
Решение. См. рис. 19, 20.
Ответ. Если —1, то 0; если —1 <а^1, то
{х|arccosа4~2л/г < х < (2л — arccosа) + 2л/г, п £ Z};
если а > 1, то /?.
106
Рис. 19
Пример 82. Решить неравенство ctgx^>a.
Решение. См. рис. 21.
Ответ. {х|пп <x^arcctga4-nn, ngZ}.
Пример 83. Решить неравенство
(1) (а 4- I)cos2x4~a(sinx + cosx)2 < 0.
Решение.
(1) ~ (2) (а+ 1) cos 2х-|-а (1 + sin 2л) < 0~
~ (°+ 0т£!е?+а f1 < ° v Iх=~2+пп
4 ' 14-tg»x * \. l + tgax> v| .g.
л.
X- 2 -t-ЛП ~
—1 <0
~(tgx+l)(tgx— 1— 2а) >0 Vx = 4 + nn.
—1>14-2а~а<—1; см. рис. 22.
— 1<1-|-2а~а>— 1; см. рис. 23.
— 1 = 1 4-2а~ а = —1; см. рис. 24.
Рис. 21
1+2а
Рис. 24
207
Рис. 25
Рис. 26
1) а^—1. См. рис. 25.
(1) ~—-у + < х < n-f-arctg (I 4-2а) + лЛ.
2) а>— 1. См. рис. 26.
з
(1) ~arctg(1 4- 2а)4-лЛ<х<ул + nk.
Ответ. Если а^—1, то
у-f*< л 4- arctg (1 2а)4-nk, k£Z
если а> — 1, то <х arctg (14-2а)4-nk
Пример 84. Решить неравенство
з
X < -у Л + л&, k^Z
(1) asin2x + (2a2 + a)cosx-—а3— a2-f-a > 0.
Решение.
(1) ~ а(1 —cos2x + (2a + l)cosx—а2—а + 1) > 0 ~
~a(cos2x—(2а + l)cosx + a2 + a—2) < 0~
~ (2) a(cosx—(а—l))(cosx—(а + 2))<0.
0. (2) - (со
я— 1 <cosx
—1 C^cosx^
COS X
COSX
а
0<а<2
—arccos(a— 1) + 2л& < х < arccos (а— 1) + 2л&.
103
2) а<0, (2) ~(cosx— (а—l))(cosx— (а + 2))>0~
( cos х < а — 1 ( cos х > а + 2
~ 1 V « ~
I — 1 COS X 1 I 1 cos X — 1
cosx<a—1<—1 (а+ 2^ — 1 |а4-2<— 1
cos х — 1 V 1 1 cos х > а + 2 1 1 cos х —
{ — 3 С а < I
ч V
( —arccos (а + 2) + 2л>? < х < arccos (а + 2) -|- 2лп
I а<—3
V . .
I —оо < X < оо.
3) а = 0. (2) ~ 0 < 0 ~ х £ 0.
Ответ. Если а <—3, то /?; если — 3^а<—1, то
]х | — arccos (а + 2) + 2пп < х < arccos (а + 2) + 2лп, п £ Z};
если 0 < а < 2, то
{х| — arccos(a— 1) + 2лп <х < arccos(а—1)4-2л/г, n^Z};
если —или а 2^2, то 0.
Решить неравенство (задачи
955. sinx >—у.
957. cos х > у.
959. tgx5>2.
961. ctg х > — 3.
ЛСО • х К'З
963. sin-х- <
965. cos 2х < ~~.
967. tg(2x—1) < 1.
969. ctg-£ < 1.
971. 2sin8x—7sinx + 3>0.
973. cos 4x + cos 2x < 0.
955—1012).
956. sinx >±.
О
958. cos x > —.
960. tg x > — /3.
962. ctg x > — /3.
964. sin(x —1)<—
966, cos (x + 2) < —,
968. tg3x< —1.
970. ctg(x—!)< — !.
972. 12 cos8 x + 7 sin x < 13.
974. sinx4-cosx>—]/'2.
975.
976.
cos 2x sin x < 0,
2 tg 2x 3 tg x.
—л < л.
977. ctg’x-f-ctg’x—ctgx— I <0.
978. cos x + cos 2x 4- cos 3x < 0.
979. 2 cos 2x4- sin 2x > tg x.
980. tg’ x 4- ctg’ x < 2.
981. tgx4-ctgx< — 3.
982. 1 —sinx < ctg x—cosx.
983. 2cosx(cosx—pA8tgx)<5.
984. ^^>3tgx.
cos2x
985, > 3 / 2 cos (x - л).
Ige X-f- 1
986. cos(sinx)<0.
987. sin (cos x) > 0.
988. -2+/F4.S1s2x->2.
sinx—cos 2x
non I-4sin**
* cos2x4'c°sx''"
990. 4sinxsin2xsin3x < sin4x.
991. 2cos’x—sinx4-sin3xC I-
992. ctg x—tg x—2 tg 2x—4 tg 4x < --ffi
993. sin x sin 2x—coax cos 2x > sin 6x.
994. tg 2x 4-ctg 2x 4-2 < 0.
995. 6 cos’4 tg® * 2 sin’x 4-3 tg® x.
996. 4008*4-4-31^2sinx^8 cos 4 .
997. cos x cos 3x < cos 5x cos 7x.
998. ctgxctg3x>—1, —л<х<л.
“»• 5Т1Н+‘8т>0'
1000. cos x -f- cos 3x > cos 2x 4- cos 4x, —л -
1001. cos (tg x 4- Зх) 4- (tg x—tg® x)® =C— 1.
1002. sin (7x—ctg x) — (ctg® x 4- ctg x)® 1.
1003. 1^5—2sinx^6sinx—1.
1004. 1^24-4 cosx>4 + 3 cosx.
1005, "Kcosx—sinxsinx—, O^x^
1006. 1^34- 2 tg X—tg® X > 4-4-4 tg X.
1007. Vsinx V cos x > 1.
1008, log 4 cos x log 4 4-, —2 < x < 3.
3 9
110
1009. log0>74 sin x log в 0,75, —1 < x < 4.
16
1010. 2 +log,
1
—cos X
4
— logj_ (1 + cos 3x).
1011. (4x—x2— 3) logB (cosa лх+1)^ 1.
1012. cos2 xsin(sinx) + sinxcos(sinx) > 0.
Решить неравенство с параметрами (задачи 1013—1027).
1013. sinx>a. 1014. cosx^a.
1015. cos х > а. 1016. tgx>a.
1017. tg x < a. 1018. ctgx>a.
1019. ctgx^a. 1020. cos (ax + b) < c, a=^0.
1021. ctg(ax—b)^c, a=^=0.
1022. acos2x-t-bsin2 xcosx^O, a>0, b > 0.
1023. asin2x—bcosx^b, a > 0, b > 0.
1024. a(sinx4-cosx)2 > (1—a)cos2x.
1025. (a4-3) tg2x—2 tg x4-a—3 CO.
1026. . 1 , a< a=/=0.
ctgx+2 ctgx + 2 a’
1027. a cos2 x—(2a2—a) sin x—a* 4- a2 4- a C 0.
§ 19. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВ
Пример 85. Решить систему уравнений:
(1)
cos2 х + sin2 у — 1.
Решение.
[ cos2x.4-sin2x = 0 (tg2x = —1
ан
Ответ. |(х, f/)|x = — , У = ^—
Если положить £ = п + 1, то получим ответ в другом виде:
{/ \ I Зя । ял Зя яп — п 1
(^> 1/)!-^ 1 2~ » У = 2~ 9 б Z J»
хотя последнее множество совпадает с множеством, указанным
в ответе.
Пример 86. Решить систему уравнений:
Решение.
(1)
3
SinxSint/ = -7-
tgxtg«/ = 3.
. з г
Sinx Sin « = -7-
и 4
« <
sin х sin у__д
i cos х cos у k
sin х sin у 4-cosx cos ^== 1
1
—sm x sin у + cos x cos у = — y
x—y — 2nk
. 2л . „ V (3)
x + t/ = —+ 2nn
x—у = 2nk
x 4- у = — + 2nn
3
х=-75-4-л(п + £)
sinxsin(/ = -r-
4
1
cosx cosy = -y
cos (x—y)= 1
1
cos (x + y) = — y
x = — 4 + «(» + ft)
(1) ~
Ответ. < (x, у) |x = 4-+л (n + А)» # = -т+я (n—k), n, k £ z\(J
1 О о I
uhx, £/)|x = —y + n(n + ^), y = — y + n(n—k), n, fcezl.
Следует обратить внимание на то, что в каждой из систем (2)
и (3) целочисленные переменные разных уравнений обозначены
разными буквами: иначе не будет получено множество всех
решений системы (1).
Пример 87. Решить систему уравнений:
(1) {
sinx + sinf/ = 2b
х + у= 2р.
112
Решение.
sin х +sin у = 26
2 sin —J
cos = 26
sin p cos
x—у b
cos =-^a
2 sinp
sin р = О
6 = 0
[ b
I sinp
Р = nk
-Л-Б4-2ЯП
sinp 1
x + y=^2nk
| b | | sinp[
к = P ± arccos + 2лл
</ = p T arccos—2лп
y sinp
Р = nk
6 = 0
y — 2nk—х.
Если 0=И= nA(£gZ), |6|^|sinP|, то <
b . л л b o
------>-7—77— 2лп, n
sm p ’
4-2лл, y=P-J-arccos
Olli p
4-2лп, y = &—arccos
b
sinp
= Р 4- arccos - „
r smfj
U \(х,//)|х=Р—arccos
если р = nk (k Z), 6 = 0, то {(х, у} £ R* | у
= 2пк—х, kgZ};
если р=/= nk (k С Z), |6|>|sinP| или
Р = л£ (k£Z), Ь^О, то 0.
Пример 88. Решить систему нер
венств:
U
2лп, п £ Z} ;
Кз
(1)
ctgx^. 3
. Гз
COS X < -Чт—.
о
Рис. 27
Я 1(1,0)
Решение. См. рис. 27.
(1) ~^ + 2л/г
•S- л -\-2nk.
113
Ответ.
х 4-2л£ < хл + 2л&,
О «5 I
U/х| л 4-2nfe < х^-|-л4-2л/г, k^Z
Решить систему уравнений (задачи 1028—1048).
1028.
1030.
1032.
Л
х—у= у
2 cos® х—3 cos® у = —~.
1
sin X sin у = — у
3
COS X COS у = -у .
tg х—tg 2у = 1
tg(x—2f/)=4-
1029.
2x—# = 2n
2 sin x 4- sin у = 0.
1034.
2x-i/ = -
• • У 1
sinx—Sin —=у .
1036.
л
х—У = Т
. tgx+3tg# = 0.
1038.
1040.
Л
Х-У = Т
1
sin® х -Ь sin* у = -у.
к
f tgx4-tg# = 2
| ctgx + 2ctg # = 3.
1031.
1033.
1035.
1037.
1039.
. 3
Sinx Sin #= r
3ctgx=—tgy.
{V з
sinx—sin2# = Aj—
cos x 4- cos 2y = -г-,
г 2
f 2sinx = — sin#
( 2 cos x = 1^3 cos#.
1042,
1044.
cos (х 4- у) = 2 cos (х—у)
3
cos X COS у = -у .
tg х 4- sin 2у = sin 2х
2 sin у cos (х—у) = sin х.
1046, [ cos х 4- cos у = 1
I х . у )^2 .
I cos -j 4- cos 4-1.
1041.
1043.
1045.
1047.
( , 5л
j X + ^ = T2
I * 2 Г * 2
sirrx + Sin2 Z/ ^-7 .
i 27 4
| ]/2 sinx —sin#
I pr2cosx = l/r5cos#.
' tgx—tg#=^l
/2
COS X cos у = .
{sinx = sin2#
cos x = sin у
O^x^Z л
0^#^ л.
IM
1048.
tgxtgz = 3
tg z/tg z = 6
x + у + г — л.
Решить систему уравнений с параметрами (задачи 1049—1056).
1049.
1051.
1053.
1055.
sinx cos y = b
х—i/ = p.
tg х—ctg y = a
ctgx—tgy = 2.
sin x cos у = a
cosxsini/ = a.
sin x cos 2y = a2 +1
cos x sin 2y = a.
1050.
1052.
1054.
1056.
tgx + tgz/ = 6
X—y = Л.
sinx + sint/ = sina
cos x + cos у = cos a.
cos x + cos y = 2b
x + t/ = 2p.
tgxtgz/ = a
x + y = 2b.
Решить систему неравенств (задачи 1057—1063).
1057,
1058.
I
Sinx^-s-
1
COS X > -к-.
1059.
1061.
1063.
1060
sinx
cosx
1062.
sinx
cosx
—2л < x < 2л.
/з
2
$ 20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ И НЕРАВЕНСТВ
НА МНОЖЕСТВЕ, СОДЕРЖАЩИХ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 89. Доказать, что если а, Р£[0, л] и cos a = cos р,
то a=p.
Решение. Пусть а=/=₽- Тогда либо а<Р, либо а>р.
а) а<р. Так как а, р£[0, л] и cos/—убывающая функция
на [0, л], то cosa>cosP, что противоречит условию: cosa=s
= cos р.
б) a > р. Проведя рассуждения, аналогичные случаю а), по-
лучим противоречие о условием: cos a = cos р.
115
пример уи. доказать, что
(1) arccos(—х) —л— arccosх при —l^x^I.
Решение. Обозначим: а = arccos(—х), Р = arccos х.
dl df
1) 0<сс<л (по определению arccos (—х));
О^Р^л (по определению arccos х)=Ф 0 —р^>— л=ф
л л—Р 0.
Таким образом, а и л — РС[О, л] — промежутку монотонности
для cos/.
2) cos а = cos arccos (—х) = — х 1
cos (л—Р) = — cos р — — cos arccos х =— х
=> cos а — cos (л — р).
Из 1) и 2) следует, что ос = л— р, т. е. arccos(—х) = л—arccosx
при —1 <х^ 1.
Пример 91. Доказать, что
4
(1) arcsin-^-4- arccos
£
11 ’
Решение. Обозначим:
2
>= arcctg п.
4 2
а = arcsinр== arccos—^, у =
df ° df г 5 df
Тогда 0<а + р<л, 0 < у < л, т. е. а + р, уСр, л[ —проме-
жутку монотонности для cos t и ctg /.
2) Докажем, что cos (ос + Р) = cos у.
cos (а + Р) = cos ос cos р—sin ос sin Р =
= У 1—sin2 а cos р—since]/1 —cos2P =
значит, cos (а + Р) = cos у.
Из 1) и 2) следует, что а + Р = У, т. е.
arcsin -z- + arccos
о
= arcctg тт
116
Пример 92. Доказать, что если а, 0 £ —у
tgp, то а < 0.
Решение, а) Пусть а > 0. Так как а, 0 £ —
л
л л
Т’ т
tg t — возрастающая функция на j—у, у , то tga>tg0, что
противоречит условию: tga<tg0.
б) Пусть а = 0. Тогда tga = tg0, а по условию tga< tg ₽.
Пример 93. Доказать, что
(1) arctg у > arctg -у + 2arctg у.
4 11
Решение. Обозначим: a=arctg^, 0==arctg-r, v=arctg-7.
df 6 df 4 df 3
a, 0 + 2y€ j 0, у ^ — промежутку возрастания для tg/, sin/
и промежутку убывания для ctg /, cos /.
2) Докажем, что tga > tg (0 + 2у). tga=y;
f су Ж -U — teE+te 2V —
tg(0 + 2y) — l—tgptg 2Y~-
2
1 i 3
2 tg y TH-----Г"
4 1-4 _16
2 tg y 2 13 ’
4 i—L
9
Так как T0 tg a > tg (0 + 2у).
О ю
Из 1) и 2) следует, что а>04-2у, т. е. выполняется нера-
венство (1).
1064. Найти значение а) arcsin х, б) arccosx при следующих
значениях х:
117
1065. Найти значение a) arctgx, б) arcctgx при следующих
значениях х:
— о
3 ’ ’
1066, Доказать, что если а,
л
2
и sin а = sin Р, то
1067,
1068,
1069,
Л л
2*9 *2
промежутка
и т. д., т. е. любой из
промежутков, в котором функция, заданная выражением
sin t, монотонна.
Доказать, что если а, р £
Доказать, что если а, Р€[0, л] и cos а = cos р, то а = р.
Доказать, что если а, Р€]0, л[ и ctg а = ctg р, то а = р.
Замечание. Вместо
Зл
можно
[взять
л Зл
~2 9 ~2~
и tga = tgP, то а=р.
л
2
л л
7 ’ “2
Доказать (задачи 1070—1075).
1070, arcsin (—х) =— arcsin х, |х|< 1.
1071. arctg(—х)=5 — arctgx.
1072, arccos (—х) = л — arccos х, | х | 1.
1073. arcctg (— х) = л — arcctg х.
1074, arcsinх +arccosх = -^-, |х[^1.
1075, arctgarcctgх=^.
Доказать (задачи 1076—1086).
1076, arcsin -г- 4- arcsin 75 = л—arcsin
о 1о Оо
1077t 2arctgy4-arctgy = arctgj|.
3 3 27
1078, arctg-F- + arcsin у = arctgуу .
1079, arctgу+arctg-i- 4- arctg-i- 4- arctgy =y.
1080, arccos-^ + arctg-X2-== arctgCK2 4- l)a.
, 1 /их
1081» arcsin—q—harccos-== arccos( —77 ).
* \ 1 * J
1082, arctg 2 4-arctg f—-b) ='T-
1083. arctg (—2) 4- arctg (—3) = —.
1084» 2.arctg у = arccosx, —1 <x^l.
118
1085. 2arccos j/ = arccos x, —
1/ ? Y _ Y% ft
1086. arcsin (x—1)4-2 arctg —— -= -^-, 0 < x < 2.
arccos x
1087. Найти значение г^пх- ПРИ следующих значениях х: 1,
f 2
2
2 ’ 2*
Не производя вычислений, определить, положительна или
отрицательна каждая из разностей (задачи 1088—1091).
1088. arccos 0,7 — arccos 0,5.
1089.
arccos
—arccos
1090. arcsin (jS 2— 1) — arcsin (]/~5 — 2).
1091.
arccos ( sin ~ ) — arccos
He производя вычислений, определить, положительна или
отрицательна каждая из дробей (задачи 1092—1094).
1092.
arcsin 0,85 — arcsin 0,8
arccos 0,85 — arccos0,8 ‘
Ю93 л — 2 arcsin 0,9
л—2 arccos (—0,1)
-^4“arcsin (—0,4)
1094. ------------
——arccos 0,6
1095. Найти значение arccos x—arctg 2x при следующих значе-
n 1 Кз
ниях x: 0, —-n,---------н—.
Указать, какие из функций, заданных указанными выраже-
ниями, являются четными, какие нечетными и какие не являются
ни четными, ни нечетными (задачи 1096—1102).
1096. arcsin х 4-2 arctg х. 1097. arccos х 4-arctg х.
arcsin х man arctg х
1098. -------. 1099. ----s----xarcsinx,
arccos x x
noo. 1101.
л-f-arcsinx arctg x
1102. arcsin x + sin x.
Доказать (задачи 1103—1118).
1103. sin (arcsin x) = x, |x|^l.
1104. cos (arcsin x) = К 1—xa, |x|^l.
1105. tg (arcsinx) = , |x| < 1.
V i —x2
119
1106. ctg (arcsin x) = , | x | С 1, x0.
1107. cos (arccos x) = x, |x|^l.
1108. sin(arccosx) = V 1—x2, |x|^l.
1109. tg(arccosx)= . klCl, x^O.
1110.
ctg(arccosx) = - .
|x| < 1.
1111. tg (arctg x) = x.
1112. sin (arctg x) = —7=^==-.
у 14~
1113. cos (arctg x) = ==-.
У 14-х2
1114. ctg(arctgx) =4» х=И=0.
ctg (arcctg x) = x.
sin (arcctg x) = —
cos (arcctg x) — -y=2
1118.
tg (arcctg x) =—
Доказать (задачи 1119—1122).
1119. arcsinx = arctg |x(<I.
у l—x2
1120. arccos x = arcctg—7=^=?, |x| < 1.
У 1 —x'2
1121. arctg x = arcsin—7 .
у 14-х2
1122. arcctg x=arccos - .
У 14-x2
Доказать (задачи 1123—1128).
arccos V 1 —x2, 0
1123.
arcsinx =
— arccos К1 —*2,
1124. arccos x = arcsin 1—x2, 0<х<1; _л —arcsin 1 —x2, — 1 C x 0. arccos —, x 0;
1125. arctg x = у 1H-X2 — arccos —- 1 — -, x 0. V i+*2
120
0.
1126.
arccosх =
arcctg X x > 0;
1127. arctg x = arcctg ——л, x < 0. arctg X x > 0;
1128. arcctg x — я + arctg —, x < 0.
Доказать (задачи 1129—1131).
1129. arcsin х + arcsin у —
'arcsin(xУ 1 —y2 + у V 1 —x2), xi/CO V x2 + i/2^l;
= л — arcsin (x Kl — y2 + У V 1 — x2), x>0, # > 0, x2 + y2>l;
_—л — arcsin (x |/ 1 —1/2 + // V 1—x2), x<0, {/<0, x2 + y2>l.
1130. arccos xH- arccos y =
arccos(xf/ — Kl—x2J/ 1 — z/2)» x + f/>0;
_2я—arccos (xy— К1—x2 V 1—y2), * + #<0.
1131. arctg x +arctg у =
' arctST~> ХУ<Х'
n + arctg-£±£, x > 0, xy>}-,
I
— n + arctgy^-, x<0, xy>\.
Построить график функции, заданной выражением (задачи
1132—1141).
1132. / (х) = sin (arcsin х).
df
1134. f (х) = tg (arctg x).
df
1136. f (x) = arcsin (sin x).
df
1138. f(x) = arctg (tgx).
df
1140. x—arctg (tgx).
Вычислить (задачи
1142. arcsin (sin-y-J .
1144. arcsin (cos 1 .
1133. f(x) = cos (arccos x).
df
1135. f (x) — ctg (arcctg x).
df
1137. f (x) = arccos (cos x).
df
1139. f (x) = arcctg (ctg x).
df
1141. x —arcsin (sin x).
1142—1156).
1143. arcsin f sin .
\ 4 J
1145. arcsin (cos 1).
121
1146.
arcsin
lUJI
1147.
arccos
1148.
1150.
arccos
1151.
arctg (tg 3).
1154. arctg (ctg (—v)).
1155. arcctg (ctg (— .
Вычислить (задачи 1157—1166).
_ f 5 . 3\
7. cos arccos — arcsin .
\ 13 5 J
arccos
1159,
tg (arctg 3 -J- arctg 2).
1160. tg (arctg--—arcctg5j .
1161. sin (arctg —arcsin .
cos (arctg V2-J- arcsin
' 3
2
1162.
1165.
tg (2 arcctg4). 1166. cos ^2 arctg —"з )) •
Найти наибольшее и наименьшее значение функции, задан-
ной выражением (задачи 1167—1173).
1167.
1168,
1169,
/ (х) = arccos х,
df
f (х) = arcsin х,
df
f (x) = arctg x,
df
если
если
если
3
1170.
1171.
если
если
1172.
1173.
f (x) — arcctg x,
df
/ (x) = x arcsin x,
df
f (x) = arcsin x 4- arctg 2x,
df
f (x) = arccos • arcctg x,
df z
< 3
3
если
если
122
1174.
Верно ли (истинно ли) неравенство (задачи 1174—1190)?
. 2 .3
arcsin < arcsin .
5 7
/ 2 \ 2
1175. arcsin! — “9 — arcsin-рр.
/ з \ з
1176. arcsin ( —- ) — arcsin -=-.
\ 5 / о
£
4
1177. arcsin
. 3
arcsin ру.
1178.
3 1
arccos-= < arccos — .
1179.
1180.
3 4
п—arccos — > arccos
а о
1181. arctg 4 < arctg 4 •
У о
1182. arctg < arctg 2— 2-.
1183. — arctg 3 > arctg (— л).
1184. arctg (-----+ arctg 1^3 >
\ о / z
1185. arctg (—К 3)4-arctg <—7
О t_
1186. arcctg (31^2) < arcctg 4.
1187. arcctg (—3) arcctg (—2).
1188. arcctg4-arcctg (—]^3)>-£
o z
1189.
1190.
1191.
1192.
1193.
1194.
arccos { — -=-)—arcsin
\ О j о
arctg (—3) + arcctg (—3)
1,57.
1,58.
Доказать,
a < |3.
Доказать,
a < p.
Доказать,
Доказать,
что если a, pg —
I z
что если a, 0 €
Л
и sin a < sin 0, to
и tga<tg0, то
что если a, 0 € [0,л] • и cosa < cos0, to a > 0.
что если a, 0 € ] 0, л [ и ctg a < ctg 0, to a > 0.
Доказать (задачи 1195—1202).
1195. arctg-г 4-arctg-5->-2
О О
1196, arcctg у 4- arcctg j <
123
0
1197, arccos -g- + arccos < arccos
6 1 з
<lnn . 3 , 2 y~2 . I
1198. arcsin т 4- arccos—— < arcctg -r-.
4 J ° о
1 1 4.1
1199. -7Г arccos > arccos -=— arcsin .
1200. 2 arcctg 4 > -j—arcctg 3.
3 1
1201. arcctg 2 4-arcctg у < arcctg у—arcctg 4.
1202. arccos-? 4- arccos || 4- arcsin 4- > •$• •
f 21. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 94. Решить уравнение
(1) arccos-^- = 2 arctg (х—1).
Решение. Первый способ. Возьмем косинус от обеих частей
данного уравнения:
(2) cos (arccos -£-) = cos (2 arctg (x — 1)).
Уравнение (2) является следствием уравнения (1), т. е.
<l)t=(2). ы»«
Воспользуемся формулой cos 2а = t t|a ” для преобразова-
ния правой части уравнения (2). (Заметим, что а = arctg (х— 1) £
\ df
g I —у, у поэтому tga существует.) Тогда уравнение (2)
равносильно уравнению
х _1— (х — I)2
2 — 1 + (х—I)2'
Решая последнее уравнение, найдем: х = 0; х = ±|/Л2.
Так как (1) |= (2), то следует проверить, какие из корней
уравнения (2) являются решениями уравнения (1).
Проверка.
1) х = 0. arccos 0 2 arctg (—1), так как arccos 0 = -^-,
£
2arctg(-l) = 2(—£)=-|.
2) х =—К2. arccosf-----^~) =7^=2 arctg(— 2—1), так как
124
arccos — 2 arctg (/2—1);
< 1=?> arctg (/2—1) 0,-J =>
и х = /2—корень уравнения (2),
Так как 0 < у 2-
=Ф 2 arctg (/2-1) € ] 0, у
т. е. cos у = cos (2 arctg (К2—1)), то “ = 2 arctg (]/2—!)•
Ответ. {К2}.
Второй способ. (1) arccos-^ =2 arctg (х—1).
(2) tg arccos
Так как tga =
2tgp
-£)=tg (2 arctg (х—1)).
__COS2 Ct X
——-----, где а = arccosv, и tg2fl =
Wa df Z
, где p = arctg (x—1), то уравнение (2) равносильно
df
уравнению
ха
V4 —х2 =
О
2___2Д____2
~ (2—х)2
*—2х2) + (6х2—12) — 4х3 + 8х = О
2
Подстановкой х = /2в обе части
что х = К2—решение уравнения (1).
Остается выяснить, не произошла
нения (1) при переходе к уравнению
решить систему:
/ х л
arccos-х-=-х
уравнения (1) убедимся,
ли потеря решений урав-
(2). Для этого достаточно
2 arctg (х-1) = у
4=о
arctg(—!)«=•£
х = 0
л
125
которая не имеет решении, значит, нет потери решений урав-
нения (1) при переходе к уравнению (2).
Ответ. {У~2}.
Пример 95. Решить уравнение
^2
(1) 2arcsinx = a4---:—.
' ' arcsin х
Решение. Положим t = arcsinх. Тогда:
dl
Ответ.
Если о € — у, 0 [ U ] 0, у] , то
- Г п г л п
если а € — я. — у [ U J у, л ,
если а£]—со, —л [и] л, оо[,
I . а . I
< — sin у, sina>;
то < — sin~>;
11 “ I
то 0.
Пример 96. Решить неравенство
(1) 3 arctg2 х—4л arctg х + л2 > 0.
Решение. Положим у = arctg х. Тогда:
df
(1) ~— -у < arctg х < 4 ~ —°° < х < КЗ.
2 о
126
Ответ. ]—оо, К3[.
Пример 97. Решить неравенство
(1) 2 arccos8 х—5а arccos х 4-2а2 < О, а 2^0.
Решение. Положим t = arccosх. Тогда:
<и
2/2 — 5а/4-2а2<0~ (2t—a)(t —2а) <0~
Решить уравнение (задачи 1203—1232).
1203. arcsin х= -у. 1204» arctg х =— .
2
1205. arcctgх = —у. 1206. arccos х = 3.
1207. arcsin х = л. 1208, 3 arcsin х — л.
1209. 3 arccos (х 4- 1) = 2л.
1210. 3 arctg (х8—2)4-л = 0.
1211. arccos2 х 4- arccos х = 0.
1212. arctg2 (Зх4- 2) 4- 2 arctg (Зх 4- 2) = 0.
1213. 2 arcsin* x—arcsin x—6 = 0.
1214. arctg* 4-—4 arctg 4—5=0.
1215. 2 arccosx 4- arcsin x =-y- •
1216. arctg 4x — arcctg 4x=Д.
О
1217. arcsin6x 4- arcsin 6 K3x =— у.
1218. arcsln(3x—1)4-2 arctg 4x = arccos(l—3x).
• 4x
1219* arccosx—л = arcsin-я-,
о
1220. arctg (x 4-y) 4- arctg •
221« 2 arccos (— т) " arccos (* + 3).
1222« 2 arcctg x=2л 4- arctgx.
1223, 2 arcsin x = arcsin x И2 .
1224, cos (4 arccos x) = — 4-.
1225, 2 arctg (2x4- 1) = arccosx.
1226, arcsin 4- 4- arcsin * \f- = arcsin x.
A 4»
1227, л4-arcsin V—x*—2x=2arccosx.
1228, arcsin x 4- arcsin x и 3 = y.
1229. arctg (x 4-1) —arctg (x— 1) = arctg 2.
1230. arctg 2x 4- arctg 3x = -y.
1231. arcsin x 4- arccos (x—1) = л.
1232, 2arccosx = arcsin (2xV 1 — x2).
Решить уравнение с параметрами (задачи 1233—1239)
1233. arcsin х — а. 1234. arccos х = а.
1235. arctg х — а. 1236. arcctg х = а.
1237. arccos (ах—Ь) = с, а=/=0.
1238. 2 arccos х 4- За = ———.
arccos х
1239. 3 arctg2 % + 2а arctg х = а®.
Решить неравенство (задачи
1240. arcsin х^З. 1241.
1242. arcsin х > — 1. 1243.
1244. arccos х^0. 1245.
1246, arccosx arccos^-. 1247.
1240—1270).
arcsin х <—2.
. . л
arcsin х < -7 .
О
arccos х
л
(Г*
arccos х > — L
128
7
1248. arccosx > -5-.
1249. arctg x> —
1250. arctg x^ 2.
1252. arctg x <—2.
1254. arcctg x < у.
1256. arcctg x<—4-.
«5
1251. arctg x < .
1253. arcctg x >
1255. arcctg л < v-
о
1257. arcctg x> 2.
1258.
1260.
1262.
1264.
arctg 4r> 1.
2 ____ л
arccos yy < у.
arcsin (log, x) 0.
arcsin (xa — 3) > у.
1259. arctg (—3x)> 1.
1261. arccos i , .
1^2
1263. arcsin (x* + 1) < 2.
1265. arctg8 x—4arctgx + 3>0.
1266. arcsin x < arcsin (1—x).
1267. arcsin x > arccos x.
1268. arccosx > arccosx’.
1269. arctg x > arcctg x.
1270. 2 arcsin x > arctg x.
Решить неравенство с
1271. arcsinx>a.
1273. arccos xi> a.
1275. arctg x > a.
1277. arcctg x^j a.
2л
1279. arccos ax < у.
параметрами (задачи 1271—1281).
1272. arcsin x^ a.
1274. arccos x < a.
1276. arctg x^ a.
1278. arcctg x< a.
1280. 4 arcsin8 x—3a arcsin x—a82>0, a2>0.
1281. 2 arcctg8 x+a arcctg x—a8<0, a^0.
б м 102
ЧАСТЬ II
ГЕОМЕТРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Все теоретические сведения, необходимые при решении задач
как I так и II глав, изложены в пособиях по геометрии [5] и[6].
В стереометрических задачах условились оригинал и его изо-
бражение обозначать одними и теми же буквами.
При решении задач на построение параграфа 5 пунктов 2 и 3
будем считать, что:
1) плоскость построена, если найдены элементы, ее опреде-
ляющие;
2) если построены две пересекающиеся плоскости, то постро-
ена и их линия пересечения;
3) во всякой плоскости пространства циркулем и линейкой
можно выполнять все построения, рассмотренные в планиметрии
([6], гл. III).
Задачу будем считать решенной, если ее удалось свести к
конечному числу указанных выше построений.
Будем считать, что сферическая, цилиндрическая, коническая
поверхности построены, если найдены элементы, их определяю-
щие: 1) центр и радиус; 2) ось и радиус; 3) вершина, ось и угол
в осевом сечении.
Схема решения та же, что и в планиметрии: I — анализ, II —
построение, 111 —доказательство, IV — исследование.
Решение задач на построение параграфа 5-го п. 4 основано
на знании методов изображения ([6], гл. IV).
Задачи № 79, 81, 160, 169, 254, 263, 269, 280,281,282,289,
441, 456, 457, 472, 474, 554 можно решать и с использованием
векторной алгебры.
Глава I
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Задача 1. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и А'В'.
Найти все перемещения, отображающие один отрезок на другой,
так, чтобы образом точки А была точка А*. Построить образ
данной точки М при каждом из этих перемещений.
Решение, а) Если отрезки АВ и А'В' параллельны и оди-
наково направлены, то А'В’ является образом АВ при параллель-
ном переносе, скользящей симметрии или осевой симметрии (рис. 1).
б) Если отрезки АВ и А'В1 параллельны, но противоположно
направлены, то А’В' является образом АВ при центральной,
осевой либо скользящей симметриях (рис. 2).
в) В случае, если отрезки АВ и А'В' не параллельны, то
А'В' является образом АВ при повороте вокруг точки О, осе-
вой симметрии или скользящей симметрии (рис. 3).
1. Даны две параллельные прямые I и V и прямая Ц. Су-
ществует ли параллельный перенос, при котором lt—инвариант-
ная прямая, а I и Г—соответствующие прямые? В случае, когда
такой параллельный перенос существует, построить образ дан-
ной окружности.
2. Даны параллельные прямые I, Г и отрезок АВ. Сущест-
вует ли параллельный перенос, при котором /' является обра-
5»
131
Рис. 3
зом I и расстояние между соответствующими точками равно | ДВ|?
В случае, когда такой параллельный перенос существует, по-
строить образ данной прямой Zr
3. Даны две непараллельные прямые I и Г и точка О, равно-
удаленная от них. Построить образ данного треугольника АВС
при повороте вокруг точки О, при котором Г является образом Z.
4. Даны три прямые Z, и /{. Существует ли поворот, центр
которого принадлежит прямой Z, а К является образом /,? В
случае, когда такой поворот существует, построить образ дан-
ной прямой Za.
5. Даны две прямые и /а. Построить образ треугольника
АВС при повороте, в котором и Z2— инвариантные прямые.
6. Какому условию должны удовлетворять три данные точки
Я, В, В', чтобы существовало два перемещения, при которых
точка А инвариантна, а точка В' является образом точки В?
7. Даны две конгруэнтные окружности. Построить образ пря-
мой / при осевой симметрии, в которой данные окружности
симметричны.
8. Даны две пересекающиеся прямые I и Г и точка A (A (£l,
А(£Г). Построить образ данного треугольника MNP при сколь-
зящей симметрии, в которой Г — образ Z, а точка А принадле-
жит инвариантной прямой.
9. Даны две пары параллельных прямых 11| Z', 11, и
прямая Z2. Построить образ прямой /2 при гомотетии с коэффи-
циентом 2, в котором прямые Г и 11 являются образами пря-
мых / и Zv
10. Даны два конгруэнтных треугольника АВС и А 'В'С'. По-
строить образ точки М при перемещении, в котором точки А',
В', С' являются образами точек А, В, С.
11. Даны два подобных треугольника АВС и А'В'С. По-
строить образ данной точки М при подобии, в котором точки
Л', В', Сг являются образами точек А, В, С.
12. Даны три прямые и некоторая точка. Через эту точку
провести прямую так, чтобы ее образ при композиции симметрий
относительно данных трех прямых был ей параллелен.
132
13. В окружность вписаны конгруэнтные противоположно
ориентированные треугольники АВС и A^Bfi^. Доказать, что
точки пересечения прямых АВ и АХВХ, ВС и ВХСХ, СА и СХАХ
принадлежат одной прямой.
14. Доказать, что композиция четырех симметрий относи-
тельно прямых, содержащих биссектрисы внутренних углов описан-
ного около окружности четырехугольника, есть тождественное
преобразование.
15. Доказать, что композиция четырех симметрий относительно
прямых, содержащих стороны вписанного в окружность четырех-
угольника, есть параллельный перенос.
I. Осевая симметрия
Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основа-
нием ВС, Е—точка пересечения биссектрис. Прямые СЕ и BE
пересекают окружность (О, /?), описанную около треугольника
в точках D и F. Доказать, что EDAF—ромб.
Решение. 1) AnF о FmC, так как на них опираются
конгруэнтные вписанные углы ABF и FBC (рис. 4).
2) / ADF /.FDE, как вписанные, опирающиеся на кон-
груэнтные дуги.
3) Фигура, являющаяся объединением окружности и вписан-
ного в нее равнобедренного треугольника, имеет осью симметрии
прямую О А.
(А-+ А, О —* О) => ((О, /?)— (О, /?)),
3(0Л)’. (В-+С, Е ->£)=> ([BE) — [С£)),
(F = (О, Я) R [BE) — (О, /?) П [СЕ) = D) (FD) 1 (ЛЕ).
Тогда Si0A)- AEF ^/AED, ^/EAF—»^/EADt и по опреде-
лению конгруэнтных фигур
£AEF^£AED, Z.EAF ^/EAD.
Получили, что в четырехугольнике DAFE диагонали взаимно
перпендикулярны и делят углы пополам, следовательно, он ромб.
16. На биссектрисе внешнего угла С
треугольника АВС взята точка М. Дока-
зать, что | ЛС| + |СВ| < \АМ | + |МВ|.
17. На одной стороне угла XOY отло-
жены отрезки О А и ОВ, а на другой сто-
^юне — отрезки О А' и ОВ', так, что
О А'] [ОЛ ], [OB'] [ОВ]. Доказать,
что точка Р = (Л'В) Л (ЛВ') принадлежит
биссектрисе угла XOY.
18. Точка М принадлежит основанию
ВС равнобедренного треугольника ЛВС.
133
Точки D и F —основания перпендикуляров, опущенных из М
на стороны АВ и АС. Доказать, что 1ОЛ4 | + |MF|~hb.
19. На боковых сторонах АС и ВС равнобедренного треу-
гольника АВС даны точки М и N, так, что |С7И|4~ CN |= | АС |.
Доказать, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон,
содержит середину отрезка MNf если |CAf | =/= \CN |.
20. Доказать, что если в четырехугольнике ABCD углы А
и В конгруэнтны, а угол D больше угла С, то | ВС | > | AD |.
21. Доказать, что из всех равновеликих треугольников с об-
щим основанием наименьший периметр имеет равнобедренный
треугольник.
22. На общем перпендикуляре АВ двух параллельных пря-
мых /j и /3 (Л € 11, В € /«) Даны точки М и N такие, что АМ = NB. На
прямой взята точка F, а на прямой /3—точка Q, так, что
отрезок PQ виден из точки М под прямым углом. Доказать,
что отрезок PQ виден из точки N под прямым углом.
23. Окружность пересекает две концентрические окружности:
одну — в точках А и В, другую—в точках С и D. Доказать,
что хорды АВ и CD параллельны и [ЛС]^[ВД], [ЛД]^[ВС].
24. Точки Ct и С2 являются образами вершины С треуголь-
ника АВС при симметрии относительно прямых, содержащих
биссектрисы углов ВАС и АВС, Доказать, что середина отрезка
CjCa есть точка касания вписанной в треугольник окружности
и стороны АВ.
25. Доказать, что если в треугольник вписаны три конгру-
энтных квадрата, то треугольник правильный.
26. Доказать, что точки, симметричные ортоцентру треуголь-
ника АВС относительно прямых ЛВ, Л С, ВС, принадлежат
описанной около треугольника ЛВС окружности.
27. Произведение длин отрезков, на которые высота Л Л, остро-
угольного треугольника ЛВС делит сторону ВС, равно произве-
дению длин этой высоты и ее отрезка ВЛ1 между ортоцентром
и основанием. Доказать.
28. Доказать, что три окружности, симметричные окружно-
сти, описанной около треугольника ЛВС, относительно прямых
С А, АВ и ВС, пересекаются в ортоцентре треугольника.
29. Пусть Н—ортоцентр треугольника ЛВС. Доказать, что
окружности (Ot, 7?!), (О2, /?2), (03, /?3), (О, /?), описанные около
треугольников ABH, АСН, ВСН, АВС конгруэнтны и что тре-
угольники ЛВС и ОХО2О3 конгруэнтны.
30. Через ортоцентр треугольника ЛВС проведена прямая.
Доказать, что прямые, симметричные ей относительно прямых
ЛВ, ВС, СЛ, пересекаются на описанной около треугольника
окружности.
31. Даны пересекающиеся прямые /2 и точка Л, A£lJt А $4*.
Построить треугольник ЛВС, биссектрисы BBt и ССХ которого
принадлежат прямым Ц и /2.
134
32. Дана окружность (О, г) и три прямые ?21 139 прохо-
дящие через точку О, Построить треугольник АВС, описанный
около окружности (О, г), биссектрисы которого принадлежат
данным прямым.
33. Даны две прямые lt и /2, пересекающиеся в точке О, и
точка Р. Построить ДЛВС, для которого прямые /п /2 и ОР—
серединные перпендикуляры сторон треугольника и точка Р при-
надлежит стороне АВ.
34. В данный угол АВС вписать треугольник наименьшего
периметра так, чтобы одна его вершина находилась в данной
внутри угла точке, а две другие на его сторонах.
35. В данный треугольник АВС вписать треугольник MNP
с наименьшим периметром так, чтоЛ4€[ЛВ], N g [ВС], Р^[ЛС].
36. Построить равнобедренный треугольник MNP с верши-
ной в точке М, лежащей внутри треугольника АВС, так, чтобы
(УР)||(ЛВ) и N £(АС), Р£(ВС).
37. На плоскости даны три прямые li9 12 и /3, lx П /2 = Р. По-
строить квадрат, диагональ которого принадлежит прямой 13 и
две другие противоположные вершины лежат соответственно на
прямых и Za.
38. Дан равнобедренный треугольник АВС [ДВ]^[ВС],
Лв£ = 30°. На стороне ВС взята точка D, так, что|ЛС|: \BD | =
=*=]Л2:1. Найти величину угла DAC.
39. В равнобедренном треугольнике АВС | АВ | = | АС | и ВАС =
= 80°. Точка О внутри треугольника выбрана так, что О ВС = 10°,
ОСВ = 30°. Найти величину угла АОВ.
40. В равнобедренном треугольнике АВС АСВ » 100°. Через
вершины А и В проведены лучи AL и В/С, так, что LAB = 30°,
КВА = 20°, (14L) Г1 (B/Q = М. Найти величины углов АСМ и ВСМ.
2. Поворот вокруг точки.
Задача 3. На отрезках АВ и ВС (|ЛВ| + |ВС| = |ЛС|) в
одной полуплоскости относительно прямой АВ построены пра-
вильные треугольники АВЕ и BCF. Точки М и N—середины
отрезков AF и СЕ. Доказать, что треугольник BMN правильный.
Решение. 1) Треугольники АВЕ и BCF одинаково ориен-
тированы, так как они расположены в одной полуплоскости и
точка В лежит между А и С (рис. 5).
2) EBA=CBF — 60° (углы правильных треугольников).
С__________________________________+F \
3) Из 1), 2) следует, что Вв°: £> t г =>([СЕ] —>[F4])=>
=> ([СВ] & [ВЛ]) => ([CAZ] ~ [ВЛ4]) =>(#-> /И). Получили:
135
Рис. 5
Рис. 6
Кв'- N~ZBM } => ([BAf] -* IBMD => (IBN I = IBMI и W£M = 60°).
Это означает, что треугольник BMN правильный.
Задача 4. Параллелограмм MNPQ вписан в параллело-
грамм ABCD (М С [ЛВ], JV С [ВС], Р € [DC], Q £ [РЛ]. Доказать,
что они имеют общий центр.
Решение. 1) Обозначим О = (МР) Л (NQ), 0! = (ЛС)П(ВО)
(рис. 6).
2) Zo: М-+Р. N-+Q.
3) Так как М € (ЛВ), Р Е (DC). (АВ) || (DC). то Zo: (Л В) -> (DC).
4) Так как N Е (ВС), Q Е (DA), (BC)\\(DA), то ZO:(BC) (DA).
5) Из 3) и 4) следует, что Z0:B—► £), и, значит, [B0]^[0D],
OE(BD) и потому O = OV
41. Даны два одинаково ориентированных равносторонних
треугольника ЛВС и AB£t (Л—общая вершина). Найти вели-
чину угла между прямыми BBt и ССг и доказать конгруэнтность
отрезков BBt и ССР
42. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и АХВХ. Mi — центр
поворота, при котором Л отображается на Вп В—на Лп а Мг —
центр поворота, при котором Л отображается на Лп В—на Bv
Доказать, что прямая МгМа делит пополам отрезок, соединяю-
щий середины данных отрезков.
43. На плоскости дана прямая и точка, не лежащая на ней.
Найти множество третьих вершин правильных треугольников,
одна вершина которых находится в данной точке, а другая на
данной прямой.
44. Даны равносторонний треугольник ЛВС и точка М. До-
казать, что длина большего из трех отрезков МА. МВ. МС не
больше суммы длин двух других.
45. В прямоугольном треугольнике ЛВС [СМ]—медиана. На
катетах АС и ВС вне треугольника построены квадраты ACFN
и BCDE. Доказать, что прямые СМ и DF перпендикулярны.
46. На сторонах АВ и АС треугольника ЛВС вне его по-
строены квадраты ABMN и ACPQ. Доказать, что медиана АЕ
треугольника ЛВС перпендикулярна (NQ) и | ЛВ| = у| NQ |,
а медиана AF треугольника ANQ перпендикулярна (ВС)
и \AF | = 4l
Г86
47. На сторонах произвольного треугольника АВС построены,
вне его, правильные треугольники ABCU BCAY, CABt. Доказать,
что отрезки AAit BBlt ССГ конгруэнтны и проходят через одну
точку.
48. На сторонах произвольного треугольника вне его построены
квадраты. Доказать: 1) отрезки, соединяющие середину одной
стороны с центрами квадратов, построенных на двух других сто-
ронах, конгруэнтны и перпендикулярны; 2) отрезок с концами
в центрах двух квадратов конгруэнтен и перпендикулярен от-
резку, соединяющему центр третьего квадрата с вершиной тре-
угольника, не принадлежащей этому квадрату.
49. На сторонах параллелограмма вне его построены квад-
раты. Доказать, что их центры образуют квадрат.
50. Две конгруэнтные окружности пересекаются в точках Л4
и /V. Через точку М проведены три прямые, пересекающие пер-
вую окружность в точках Лп Л2, Л3, а вторую — в точках Во
В2, В3. Доказать, что треугольник АгА2А3 является образом
треугольника ВХВ2В3 при повороте вокруг точки N.
51. Даны две окружности, каждая из которых проходит через
центр другой. Через точку А пересечения окружностей проведена
прямая, пересекающая окружности в точках М и Л/. Найти ве-
личину угла между касательными, проведенными к окружностям
в точках Л1 и N.
52. Две конгруэнтные окружности касаются в точке М. Три
прямые, проходящие через точку М9 пересекают первую окруж-
ность в точках Лп Вп С19 а вторую—в точках Л2, В2, С2. До-
казать, что точка М является серединой отрезка, соединяющего
центры окружностей, описанных около треугольников Л^С^
и Л2В2С2.
53. Три конгруэнтные окружности (Оп г), (02, г), (О3, г) по-
парно касаются друг друга: (Оп г) и (02, г) в точке Л, (О2, г)
и (О3, г) в точке В, (О3, г) и (Оп г) в точке С. Точка М € (С\, г);
Mt—симметрична М относительно Л, М2—симметрична Л'Ц от-
носительно В, А43 — симметрична М2 относительно С. Доказать,
что М3 симметрична М относительно Ot.
54. Дан параллелограмм ABCD. В треугольники ЛВС, ЛСО,
ABD9 BCD вписаны окружности. Доказать, что точки касания
этих окружностей с диагоналями параллелограмма являются вер-
шинами прямоугольника.
55. На сторонах правильного треугольника, вне его, построены
квадраты. Доказать, что их центры являются вершинами пра-
вильного треугольника.
56. На сторонах квадрата построены правильные треуголь-
ники. Доказать, что их центры являются вершинами квадрата.
57. На сторонах ЛВ и АС правильного треугольника ЛВС
отложены отрезки AD и ЛВ, так, что | AD14- Л£| = ]ЛВ|. До-
казать, что | OD | = | ОЕ | и DOE = 120°, где О — центр треугольника.
137
С\, такие» что | BAV |:| Afi | = |CB, |:| ВХА | == J АСХ |:|CtВ|.
58. На сторонах правильного треугольника АВС взятии точки
Лъ Ви С\, такие» что | BAt |:| АУС | = |СВ, |:| В^А | ==} АСХ |z(Cte|.
(CCJ П (ЛAt) ==: В2, (CCJ л (ВВГ) = А2, (ЛЛ/) Л (BBJ = Са. Доказать,
что треугольники Л^/^ и ЛаВ2С2— правильные и их центры
совпадают с центром треугольника АВС,
59. На катетах С А и СВ равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС выбраны точки D и Е, так, что | CD | = |СЕ |.
Прямые, проведенные через точки D и С и перпендикулярные
к (ЛЕ), пересекают гипотенузу АВ соответственно в точках К
и L. Доказать, что | KL | = | LB |.
60. Прямая, проведенная через центр параллелограмма ABCD,
пересекает его стороны DC, АВ в точках Р и Q. Доказать, что
точки пересечения прямых АР, BP, CQ, DQ с диагоналями па-
раллелограмма являются вершинами нового параллелограмма.
61. Образом квадрата ABCD при повороте вокруг его центра
на угол а является квадрат А&С^. Найти а, при котором
пересечение квадратов имеет наименьший периметр.
62. В данный треугольник АВС вписать прямоугольный рав-
нобедренный треугольник MNP, если М вершина прямого угла,
заданная на стороне АВ,
63. Построить квадрат ABCD, зная его центр, и две точки
М и принадлежащие прямым АВ и ВС.
64. Даны окружность (О, г), две точки Л и В и угол PQR.
Найти на окружности точки С и D, так, чтобы Z COD / PQR
и (ЛС)||(В£>).
65. Построить треугольник АВС, зная три точки, являющиеся
центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника
вне его.
3. Параллельный перенос
Задача 5. В четырехугольнике ABCD (ЛВ^бКз см,
|CD| = 12 см, Л — 60°, В =150°, 0 = 90°. Найти длины сторон
ВС и AD.
Решение. 1) Рассмотрим перенос Т: В—+С, А—+М (рис. 7),
д тогда АВСМ — параллелограмм и BCAf=30°.
К. 2) £сЪ = 360°—(60° 4-150°+ 90°) = 60°.
3) В Д CMD MCD = 30°, IMD 2 =
\ - | МС |2 +1CD|2—2 |МС| • |CD| -cos_30° =
\ = (б/3)а 4- 122— 2 • 6 • Из • 12 .-£1 = 36,
^7^ |МО| = 6, тогда |A1D| = y|CD|, следова*
D_________________С тельно, треугольник CMD — прямоугольный
Рис. 7 (по теореме синусов).
138
4) В &MAD MAD = ADM = 30° ^AMD = 120°,
| AD | = /21 AM P—21 ~AM |2 cos 120° = 6 /3.
Ответ. |ВС| = |ЛЛ1| = 6 см, |ЛР| = 6]/~3 см.
66. В трапеции ABCD диагонали имеют длины dt и da. Найти
длину основания АВ, если угол между диагоналями имеет вели-
чину а, а основание CD имеет длину Ь. _
67. В четырехугольнике ABCD |ДВ| = 1^3 см, | ВС | = 3 см,
|CD 1=21^3 см, BAD = СОЛ = 60°. Найти величины углов АВС
и BCD.
68. Доказать, что если у двух трапеций стороны попарно
конгруэнтны, то трапеции конгруэнтны.
69. Даны две конгруэнтные окружности (Оп г) и (О2, г), пе-
ресекающиеся в точках Л4 и ЛЛ Прямая I, параллельная прямой
ОгО2, пересекает окружность (Оп г) в точках А и В, а окруж-
ность (О2, г) в точках С и D. Доказать, что величина угла АМС
не зависит от положения прямой /, если лучи АВ и CD сона-
правлены и I П [Л4Л/]=И= 0.
70. Прямая, соединяющая середины М и N сторон АВ и CD
четырехугольника ABCD, не являющегося трапецией, образует
со сторонами AD и СВ конгруэнтные углы. Доказать, что
[AD]^[CB].
71. Две конгруэнтные окружности (Оп г) и (02, г) пересе-
каются в точках М и N, причем | TUTV | = т. Прямая I, парал-
лельная прямой Oftt, пересекает (Оп г) в точках А и В, (О2, г) —
в точках С и D. Найти длину отрезка АС, если лучи АВ и CD
сонаправлены.
72. Пусть Alf Bu Сг— середины сторон ВС, АС и ЛВ тре-
угольника АВС, Ои 02, О3 — центры окружностей, описанных
около треугольников АС^ВХ, ВСгАг и C/^Bj, Mlt М2, М3 — центры
окружностей, вписанных в эти же треугольники. Доказать, что
треугольники 0j0203 и конгруэнтны.
73. Пусть А19 6г, Сх— середины сторон треугольника АВС,
ОА, Оа, Оя — центры окружностей, вписанных в треугольники
ACXBU C'BAi, СВуАг. Вычислить величины углов треугольника
0j0203, если | ЛВ| = 4 см, |AC| = 4j/3 см', ВАС = 30°.
74. На данных прямой / и окружности (О, г) построить со-
ответственно точки А и В, так, чтобы отрезок АВ был конгру-
энтен и параллелен данному отрезку MN.
75. Даны три прямые 12, 13 и прямая I. Провести прямую,
параллельную I, так, чтобы разность отрезков с концами на
данных прямых Ц была конгруэнтна данному отрезку.
76. Построить четырехугольник ABCD, если две его проти-
воположные стороны конгруэнтны данным отрезкам, | AC |:| BD\ =
= 2:3 и углы между указанными сторонами и между диагоналями
конгруэнтны данным углам.
.139
. 4. Подобие
Задача 6. На основании ВС треугольника АВС от его вер-
шин В и С отложены конгруэнтные отрезки, через концы кото-
рых проведены прямые 1г и /2, параллельные боковым сторонам.
Доказать, что эти прямые пересекаются на прямой AM, про-
ходящей через середину [ВС].
Решение. Пусть [BBj^fCCJ и B^h, СА£12, /^(ЛВ),
М (АС) (рис. 8).
1) Если М—середина [ВС], то | МВ |:| МВг | = | МС |:| AfCt | = k.
—*B,lt—> (АВ), 1
2) Нм' Ci-^C, l^(AC) J =>£-*Л’
где B = Zjn/2 и, по определению гомотетии, M£(LA). Задача
решается аналогично, при /1||(ЛС) и 1*\\(АВ).
77. При переносе треугольник АВС отображается на тре-
угольник Д1В1С1. Доказать, что отрезки AMU BNi9 СРи где
Afn JVb Pj—середины сторон В1С1, CtAt, AtBu пересекаются
в одной точке.
78. Вершины треугольников, имеющих общее основание, рас-
положены на прямой /. Найти множество точек пересечения
медиан этих треугольников.
79. Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований
трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей
и точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны.
80. Точка D принадлежит медиане AAt треугольника ЛВС.
Прямые BD и CD пересекают стороны АС и ЛВ в точках Bt
и С,. Доказать, что (С1В1) параллельна (ВС).
81. Для того чтобы выпуклый четырехугольник A BCD был
трапецией, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
| МN| = у (| АВ 14-1 CD |), где М и N — середины сторон AD и ВС.
Доказать.
82. Доказать, что точки, симметричные с точкой М относи-
тельно середин сторон четырехугольника ABCD, являются вер-
шинами параллелограмма.
83. Средняя линия MN четырехугольника ABCD делит его
на два четырехугольника. Доказать, что середины диагоналей
* этих четырехугольников являются верши-
1 нами параллелограмма или лежат на од-
ной прямой.
уК/А 1 84. Через точку А пересечения двух
Xl \ окружностей проведены их диаметры АС
// \ \ и AD. Доказать, что прямая СО проходит
// / \ \ через вторую точку В пересечения окруж-
fУ J \ ; \ ностей.
В /В1 И~С/ С 85. Найти множество середин хорд
окружности, проходящих через точку, при-
Рис. 8 надлежащую окружности.
140
86. В круге с центром О проведена хорда АВ. На радиусе О А,
как на диаметре, построена окружность (Оп гх). Доказать, что
площади двух сегментов, отсекаемых хордой АВ от обоих кру-
гов, относятся как 4:1.
87. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ЛВС,
отсекает от него треугольник MCN. Доказать, что окружности,
описанные около треугольников АВС и MCN, касаются.
88. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали
пересекаются в точке О. Доказать, что окружности, описанные
около треугольников AOD и ВОС, касаются.
89. Прямая I пересекает стороны угла АВС в точках К и L,
а параллельная ей прямая Zt — в точках М и AL Доказать, что
перпендикуляры, проведенные к сторонам угла в точках К и L,
М н N, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой
с точкой В.
90. Стороны угла АВС пересечены прямыми 1(, параллельными
между собой. На отрезках, высекаемых сторонами угла на этих
прямых, как на сторонах построены квадраты в полуплоскостях
В). Доказать, что центры всех квадратов принадлежат одной
прямой, проходящей через точку В.
91. Доказать, что в треугольнике точка пересечения медиан,
центр окружности, описанной около треугольника, и ортоцентр
лежат на одной прямой.
92. Доказать, что в треугольнике середины сторон, основа-
ния высот и середины отрезков высот, заключенных между вер-
шинами треугольника и ортоцентром, принадлежат одной окруж-
ности.
93. Пусть Р—произвольная точка плоскости, Л2, В2, С2—
точки, симметричные с Р относительно середин Лп В19 С± сторон
ВС, СА, АВ треугольника АВС. Доказать, что отрезки АА2,
ВВ2, СС2 пересекаются в одной точке Q и делятся в ней пополам.
94. Через середины D, Е, F сторон треугольника АВС про-
ведены прямые, параллельные биссектрисам противолежащих
углов. Доказать, что: а) эти прямые пересекаются в одной точке Q;
б) точка Q лежит на одной прямой с точкой G пересечения
медиан и О—центром вписанной в треугольник окружности,
причем | QG|:|GO|= 1:2.
95. В сегмент вписаны две окружности. Одна из них касается
дуги и основания сегмента соответственно в точках А и В, дру-
гая— в точках С и D. Доказать, что положение точки пересе-
чения прямых АВ и CD не зависит от выбора окружностей,
вписанных в сегмент.
96. Доказать, что точки, симметричные ортоцентру треуголь-
ника относительно середин его сторон, принадлежат окружности,
описанной около треугольника, причем эти точки являются
вершинами треугольника, конгруэнтного данному.
97. В треугольнике АВС проведены высоты AAt и ВВ1. До-
казать, что треугольники Л^/? и АВС подобны.
in
98. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных
из любой точки окружности на три прямые, содержащие стороны
вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой.
99. Длина стороны правильного треугольника АВС равна т.
Образом этого треугольника при повороте вокруг его центра на
угол а является треугольник AtBfii- Доказать, что точки А„
Вг, Ct пересечения соответствующих сторон треугольников яв-
ляются вершинами правильного треугольника. Найти длину его
стороны.
100. Треугольник A^Bfix является образом треугольника АВС
при повороте на угол <р вокруг точки Р, принадлежащей окруж-
ности, описанной около треугольника АВС. Доказать, что точки
А, = (ВС) П (BjCJ, Вв = (СА) П (CtАх), Со — (АВ) Л (А^,) лежат на
одной прямой.
101. В данный треугольник 4ВС вписать треугольник MNP,
так, чтобы его стороны были соответственно параллельны бис-
сектрисам треугольника АВС.
102. В данный треугольник АВС вписать треугольник AtBiCt
(At€[BCJ, Bi€[CA], С^ [АВ]), так, чтобы его стороны были
параллельны сторонам другого данного треугольника.
103. В данной окружности провести хорду так, чтобы точками
пересечения ее с двумя данными радиусами она делилась на три
конгруэнтных отрезка.
104. Внутри угла АВС дана точка М. На луче ВС найти
точку N, одинаково удаленную от (ВА) и точки М.
105. В данный треугольник вписать прямоугольник с данным
отношением длин его сторон так, чтобы две вершины принадле-
жали одной стороне, а две другие—двум другим сторонам тре-
угольника.
106. В данный сегмент вписать квадрат так, чтобы две вер-
шины принадлежали дуге.
107. В данную окружность вписать равнобедренный треуголь-
ник с заданной вершиной на окружности и углом при вершине,
конгруэнтным данному.
108. На сторонах ВА и АС треугольника АВС построить
точки М и N, так, чтобы \ВМ | = | JVC | =-41Л4АГ |.
109. Даны две пересекающиеся прямые lt и Ц и на них по
точке А и В. Построить две конгруэнтные окружности, касаю-
щиеся друг друга, так, чтобы одна из них касалась прямой lt
в точке А, а другая—1г в точке В.
ПО. Через данную точку провести окружность, так, чтобы
она пересекала каждую из двух данных пересекающихся прямых
под углом, конгруэнтным данному.
111. Построить равносторонний треугольник АВС, такой, что
его вершины В и С лежат соответственно на двух конгруэнтных
касающихся окружностях и притом на одной прямой с их точ-
142
кой касания, а третья вершина А находится на внешней общей
касательной данных окружностей.
112. Две окружности (О, г) и (0n rt) касаются внутренним
образом в точке Д. В произвольной точке' D внутренней окруж-
ности (О1т rj проведена к ней касательная, пересекающая (О, г)
в точках С и В. Доказать, что отрезки CD и DB видны из
точки А под конгруэнтными углами.
§ 2. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ПЛОСКИХ ФИГУРАХ
Задача 7. Найти зависимость между длинами сторон тре-
угольника ЛВС, если его медиана AAlt высота BBt и биссект-
риса ССХ пересекаются в одной точке £>.
Решение. 1) Так как [ДДХ] медиана и точка О^ГДД,]
(рис. 9), то (CjBJ || (ВС) (см. № 80) и
I двх! _ |ACt|
|В,С| |*
2) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника
имеем: 44%т- = —- Из 1) и 2) следует, что
| С | (I
I 1 __ b | АС| 6+ а . д pi ob
| ВХС | а ’ |BiC| ”• а 9 1
3) Так как [BBJ—высота, то в треугольнике ВХСВ
A I В1СI
cos С = 1 1 .
а
4) По теореме косинусов имеем: с* = аа + Ь2—2abcosC. После
исключения cosd получим:
Ответ. с2 = а2 + Ь2—^h.
‘ а-\-Ь
113. В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90р) [ДДД—
биссектриса внутреннего угла, 1ВА11 = т,
|СД1|==п. Найти длины гипотенузы АВ и ка- С
тета ДС.
114. Длины сторон АС и АВ треугольника
АВС равны b и с, угол А вдвое больше угла | \
В. Найти длину стороны ВС.
115. В треугольнике АВС Д=30°, В== I /
=50°. Доказать, что длины сторон треугольни- '1
ка связаны соотношением
~с2—ь* А
а~~~ • Рис. 9
143
116. Найти величину угла А треугольника АВС, если даны
длины b и с сторон АС и АВ, т—длина биссектрисы внутрен-
него угла А.
117. В треугольнике АВС отрезок А^, соединяющий осно-
вания высот AAi и ВВ19 виден из середины М стороны АВ под
прямым углом. Найти величину угла С.
118. На стороне АВ треугольника АВС взяты точки Л4 и N,
так, что | ЛЛ4| = |Л1М | = |WB|. Точки Лх и Вг—середины сто-
рон ВС и АС соответственно,
P = (BBt)f}(CN). K = (AAJn(CM).
Найти |РК|:|ЛВ|.
119. Доказать, что сумма обратных величин длин высот тре-
угольника равна обратной величине радиуса вписанной окруж-
1 , 1 , 1 1
ности, т. е. г—Ьт- + г- = —•
ha 1 hb hc г
120. В треугольнике АВС биссектрисы внутренних углов
пересекают противолежащие стороны ВС, СА и АВ в точках
Ло Вх и Cv Доказать неравенство
। I -^> _3_
2 ’
где Ла, Хь, Кс— расстояния от точек Ct, А{, ВА соответственно
до прямых, содержащих стороны треугольника.
121. Через вершину Л параллелограмма ABCD проведен луч,
пересекающий диагональ BD в точке М, сторону CD в точке Р,
продолжение стороны ВС в точке Q. Доказать, что | МА |а =
Н МР |.| MQ |.
122. В четырехугольнике ABCD углы ADC и ЛВС прямые.
Из вершин Л и С опущены перпендикуляры AAt и CCj на диа-
гональ BD (Л1^[ВО], Cj £ [BD]). Доказать, что | Л1В|«=|С,В|.
123. В четырехугольнике, у которого две противоположные
стороны взаимно перпендикулярны, сумма квадратов длин диа-
гоналей равна сумме квадратов длин двух других противопо-
ложных сторон. Доказать.
124. Доказать, что для прямоугольного треугольника спра-
ведливо неравенство
где R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной
окружности, S — площадь треугольника.
125. Около треугольника ЛВС описана окружность и к ней
в точке Л проведена касательная, пересекающая луч ВС в точ-
ке Т. Найти длины отрезков СТ и АТ, если известны а, Ь, с
длины сторон треугольника.
126. Касательная к окружности, вписанной в треугольник
ЛВС, пересекает стороны ВС и АС в точках Л1 и ВР Найти
периметр треугольника A^Bfi, если | ВС| = а, | АС | = Ь, | АВ\=с.
127* В окружность вписан треугольник АВС. Зная, что
В = Р и С = у, определить величину угла между прямой ВС и
касательной к окружности в точке А.
128. Две конгруэнтные окружности (0и г) и (02, г) пересе-
каются и |OiOa| = r. В общую часть кругов вписан квадрат.
Найти длину его сторон.
129. Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС впи-
сан в окружность радиуса R. Другая окружность касается ка-
тетов треугольника АВС и первой окружности. Найти ее радиус.
130. Окружность, проходящая через вершину А треугольника
АВС и через середины сторон АВ и АС, касается третьей сто-
роны треугольника в точке’Л!. Доказать, что | АМ |3 — | ВМ | • | МС |.
131. Медиана CD треугольника АВС, в котором |АС|>|ВС|
касается окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD
соответственно в точках Е и F. Доказать, что
2|ЕВ| = | ЛС| — \ВС\.
132. Пусть О—центр окружности, вписанной в треугольник
АВС. На сторонах ВС и АС взяты соответственно точки К и
М так, что |ВК|-|АВ| = |В0|2, | AM |-| АВ| = | АО |а. Доказать,
что точки К, О и М лежат на одной прямой.
133. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD угла
A (DC[ВС]). О, Oj и О2— центры окружностей, описанных около
треугольников ABC, ABD и ADC. Доказать, что lOOJ^IOOJ^
— где а, Ь, с—длины сторон треугольника, a R— радиус
описанной окружности.
134. В треугольнике ABC [AAJ и [BBJ—высоты. Точки М
и Mr, N и Nx — основания перпендикуляров, опущенных соот-
ветственно из точек В и Вх, А и At на касательную в точке С
к окружности, описанной около треугольника АВС. Доказать,
что [/WMJ [AWJ.
135. В треугольник вписана окружность (О, г). Точки каса-
ния ее с двумя сторонами соединены отрезком. Во вновь обра-
зовавшийся треугольник вписана окружность (Оп rj. Доказать,
что центр этой окружности принадлежит окружности (О, г).
136. В полуокружность радиуса R вписан четырехугольник
ABCD, у которого |АВ| = 27?, | СВ | = RИ2, | AD | = R. Точки А1
И Bi—основания перпендикуляров, опущенных из А и В на
прямую CD. Найти длину отрезка AjBp
137. Если продолжения всех сторон четырехугольника каса-
ются одной окружности, то разности длин двух пар противопо-
ложных сторон его равны. Доказать.
138. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность,
|АВ|=у|AD|, |BC| = y|CD[. Зная, что |АВ| = а, |АС|=&,
найти длину [ВС].
145
139. В окружность (О, 7?) вписан равнобедренный прямо-
угольный треугольник ЛВС (с=-—) ; D—середина [ВС]» Е$
€ (AD) (](O9R),F£ [ВС] и (FE) ±(ВС). Доказать, что| CF | = 3 \EF |.
140. Доказать, что расстояние между основаниями перпенди-
куляров, опущенных из какой-либо вершины вписанного в ок-
ружность четырехугольника на две прямые, содержащие сторо-
ны, не проходящие через эту вершину, не зависит от выбора
вершины.
141. Дан треугольник ЛВС. Три, не совпадающие с верши-
нами, различные точки Л1э В19 С19 взятые на прямых ВС, СЛ и
Л В, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда
(ВС, Лх) • (СЛ, BJ • (ЛВ, Сх) = — 1. Доказать.
142. Доказать, что основания биссектрис двух внутренних и
одного внешнего углов неравнобедренного треугольника лежат
на одной прямой.
143. Доказать, что основания биссектрис трех внешних уг-
лов неравнобедренного треугольника принадлежат одной прямой.
144. Теорема Чевы. Если на сторонах ВС, СЛ, ЛВ тре-
угольника ЛВС или на их продолжениях взяты точки А19 В19
С19 не совпадающие с вершинами, то, для того чтобы прямые АА19
ВВТ, ССХ проходили через одну точку или были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы (ВС, ЛХ)-(СЛ, ВХ)-(ЛВ, Сх) = 1.
145. Пользуясь теоремой Чевы, доказать: 1) три медианы в
треугольнике проходят через одну точку; 2) три биссектрисы
углов треугольника пересекаются в одной точке; 3) высоты тре-
угольника проходят через одну точку.
146. Доказать, что точка пересечения биссектрис двух внеш-
них углов треугольника принадлежит прямой, содержащей бис-
сектрису внутреннего угла этого треугольника.
147. Окружность, вписанная в треугольник, касается его
сторон ВС, СЛ, ЛВ соответственно в точках А19 В3 и СР До-
казать, что прямые ЛЛП ВВХ, ССХ пересекаются в одной точке,
называемой точкой Жергона.
148. Вневписанные окружности касаются сторон ВС, СЛ, АВ
треугольника ЛВС соответственно в точках А19 В19 СР Дока-
зать, что прямые АА19 ВВ19 ССх пересекаются в одной точке,
называемой точкой Нагеля.
149. Доказать, что прямые, соединяющие середины сторон
треугольника е серединами соответствующих высот, пересекаются
в одной точке.
150. На сторонах ЛВ, ВС, С А треугольника ЛВС даны точ-
ки Сп Лп В19 такие, что |ЛС^|:|| = аа, |ВЛХ :^XC|=3
=c2:fe2, ICBJ-IB^ | = а2:с2. Доказать, что прямые АА19 ВВ19
ССХ пересекаются в одной точке, называемой точкой Лемуана
(а прямые ЛЛХ, ВВХ, ССХ называются симедианами).
151. В треугольник ЛВС вписана полуокружность так, что
ее диаметр принадлежит стороне ВС, а дуга касается сторон
146
АВ и AC соответственно в точках Ct л Bv Доказать, что пря-
мые BBi и СС± пересекаются на высоте AAt треугольника.
152. Теорема Ван Обеля. Если на сторонах ВС, СА,
АВ треугольника АВС взяты точки Др Br, Cit так, что прямые
AAit BBi9 CCf проходят через точку М, то выполняется равен-
ство (ЛЛц М) = (ДВ, Ci) + (4C, BJ.
153. Биссектрисы AAi9 BBi9 CCt треугольника АВС пересе-
каются в точке О. Найти (AAt, О).
154. На сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС выбраны
точки Др Bv Ci9 так, что прямые ДДХ, ВВи ССХ проходят
через точку О. Доказать, что
2X|iv Х|ы Xv -f- pv = 1,
где
X = 0M. О), р-(ад О), v = (C1C, О).
155. Теорема Птолемея. Во всяком четырехугольнике,
вписанном в окружность, сумма произведений длин противопо-
ложных сторон равна произведению длин его диагоналей.
156. Произвольная точка М окружности, описанной около
правильного треугольника АВС, соединена с его вершинами.
Доказать, что длина одного из отрезков AM, ВМ и СМ равна
сумме длин двух других.
157. В полуокружность вписан четырехугольник ABCD, у ко-
торого | АВ \ = 2 ]/"5 см, | ВС | = 2 ]/5 см, |СО | = 6 см. Найти | ДО],
если [ДО] — диаметр полуокружности.
158. В треугольнике АВС АВ | = 6 см, | АС ] = 4 см, | ВС |=5 см.
От точки А на сторонах АС и АВ отложены соответственно
отрезки | Д/С | = 3 см, | AM | = 2 см. Найти периметр четырех-
угольника ВМКС и площадь прямоугольника, построенного на
его диагоналях.
159. Треугольник АВС вписан в окружность радиуса /?. Найти
длину АВ, если |ВС| = а, |ДС| = &.
160. Теорема Стюарта. В треугольнике АВС точка
D£(BC), D=£B, D^C. Доказать, что
2_ I ЛВр+Х| АС |а К I ВС Р
1 + Х (1+А)2»
где X = (ВС, D).
161. Доказать, что если в треугольнике АВС [ДО]—бис-
сектриса внутреннего угла Д, то \AD 2 = |ДВ|-|ДС| — | BD -|ОС|.
162. Если в треугольнике АВС даны а, Ь, с—длины его сто-
рон и [ДО]—биссектриса внутреннего угла Д, то
| AD |* =
Ьс ((&+с)2—а2)
или
1ДО| =
2
Ь+с
УЬс(р—а)р.
147
163. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины b и
а. Найти длину биссектрисы прямого угла треугольника.
164. В треугольнике АВС найти длину биссектрисы [Л£>]
внутреннего угла Л, если известно, что | АС| +1С2Э| = /и, | ЛВ|—
165. В треугольнике АВС [Л£>]—биссектриса внутреннего
угла А. Точка Dt — основание перпендикуляра, опущенного из
точки D на (АВ). Доказать, что
166. Биссектриса внутреннего угла А в треугольнике АВС
пересекает противоположную сторону в точке D, а окружность,
описанную около треугольника,—в точке Е. Найдите отношение
|AD |:|ОЕ|.
167. В треугольнике АВС даны а, Ь, с—длины его сторон.
Доказать, что та = у J/2 (Ь2 + с2) —а2, где та —длина медианы,
проведенной из вершины А.
168. Найдите длину стороны АВ треугольника АВС. если даны
длины b и а двух других сторон и известно, что медианы, про-
веденные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны.
169. Найдите величину угла А треугольника ЛВС, если даны
длины b и с сторон треугольника АС и АВ и длина медианы AAt
равна j/ftc.
170. Окружность вписана в ромб ABCD. Доказать, что для
любой точки М окружности имеет место равенство
1Л4Л |2 + |Л1В|2 + |Л1С|2 + |Л4£)|2 = || ЛВ|2, если Л=45°.
171. Доказать, что если в треугольнике АВС для длин та.
ть. тс медиан выполняется условие
та:ть:тс = уг3 : /2 :1,
то треугольник прямоугольный.
172. Доказать, что для прямоугольного треугольника выпол-
няется неравенство
где та. ть — длины медиан, проведенных к катетам, г — радиус
окружности, вписанной в треугольник.
173. Доказать, что если в треугольнике АВС А—2В. то
~ » где/пс—длина медианы, проведенной из вершины С
и Ь = [АС\.
174. Сумма квадратов длин четырех сторон четырехугольника
равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учет-
148
веренным квадратом длины отрезка, соединяющего середины диа-
гоналей. Доказать.
175. Внутри угла ВАС на окружности, описанной около тре-
угольника ЛВС, взята точка М. Точки В, В, ЬнК—основания
перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на (ЛВ),
(ВС), (СЛ) и на касательную к окружности в точке Л. Доказать,
что
|Л1В|-|Л1В| = | Л4В|.| МК|.
§ 3. ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Задача 8. Точка D принадлежит стороне ВС треуголь-
ника ЛВС. На одной из двух других сторон построить точку М
так, чтобы отрезок DM делил треугольник на две равновеликие
фигуры.
Решение. I. Пусть точка М построена. Тогда (рис. 10)
S^MD _ 1 |BD|.|BM|_ 1 .вм,
5ДЛВС ~2 ИЛИ |S4|.|flC| -2 • 1^1 |fiD|
II. 1) КС [ВС] I ВК| = |КС|. 2) (AD). 3) (KAt,)0(4D).
4) (KMJ Г) (АВ) = М. 5) (DM).
III. М— искомая точка. Действительно,
_______________________| ВМ |>| BD |_ 1
“|ЙЛ|.|ВС| ~2 ’
1|ЛЙ|.|вС|
так как I ВМ I =----pwpn----.
IV. Задача всегда имеет решение.
Задача 9. На сторонах ЛВ и АС треугольника ЛВС выбра-
ны точки М и N, так, что | AM | = у | Л В |, | Л N | = у | АС |,
(BN)f}(CM) = D. Найти площадь четырехугольника AMDN, если
площадь треугольника ЛВС равна q.
Решение. 1) S^abn = S&amc=~^S/\abc = у q (площади тре-
угольников, имеющих общую высоту, относятся как длины осно-
ваний) (рис. 11).
149
2) (площади треугольников с общим основа-
6двос II
нием относятся как длины высот).
3) (из подобия ДШ’ и Д?7£С).
Из 2) и 3) следует, что S^abd = ^S&bdc-
Аналогично получим: S&acd —^Здвос, но S&bda 4*
4* S&BDC == S&abc, следовательно, S&bdc = ^S&abo
4) SaM£>N=SAABN-^-S&BDC-l-S&AMC—ЗдЛBC==
( 1 . 1 . 1 1
\ з + 2“^” з 1/7 ~ 6
Ответ. 5дл1о№-0"9-
3 а дач а 16. В треугольнике АВС каждая из сторон разде-
лена на три конгруэнтные между собой отрезка: [ЛС(] [С,С2]
[С2В], [ВЛ1]--[Л1А2] = И2С], [СВ,] ^[В,В2] ^[В2Л]. Найти
отношение площадей треугольников MNP и ЛВС, если М ==
- (ЛЛ4) П (СС2), Я = (Л Л 2) П (ВВ,), Р = (ВВ2) П (СС,).
Решение. 1) Аффинным преобразованием переведем тре-
угольник ЛВС в правильный треугольник Л'В'С' (рис. 12).
2) Через вершину А* проведем прямую /, содержащую внут-
реннюю биссектрису угла.
(Л'Л;)->(Л'Л;)1
(В'вэ—(С'с;> [
(В'в:) -> (С'с;) J
р'—*р'
Следовательно, (M'N') 11 и (ЛГАГ)Ц(В'С'), [М'Р'] ^[Р'АГ],
т. е. ДР'ЛГА/' — равнобедренный. Аналогично докажем, что
\M'N'\ = \M'P'\, т.е. ДМ'ЛГР' —пра-
А вильный.
q\ ^ДЛГЛГР' | Л/ /V 2 п
3) = .д/rz 12 • • В Треуголь-
'Э&А'В’С' ь I
нике Л'В'Л' [В'М'] — биссектриса, зна-
чит, 1Л-'51 3 ; |ЛГЛГ| = |;|Л;Л:,Н
|Л1'Д1| 1 1 1 4’ I 1 -I
' |В'С'|; .
4 ^ДД'В'С' 16
Так как при аффинных преобразова-
ниях сохраняется отношение площадей,
то S^mnp-S/\abc = 1:16.
Ответ. 1:16,
150
Задача 11. Вычислить площадь треугольника АВС, если
даны ha, hb, he—длины его высот.
Решение. 1) В треугольнике ABC aha = bhb=che, следова-
тельно, a:b:c=»ftb:fte:—Рассмотрим треугольник А'B’Cf, дли-
f h
ны сторон которого ha, hb,
2) Здл'В'в' = S' = |/д' (p'_/ie) —hb)(p', где р’ =
__h Л-h I \
3) ДА ВС oo ДА'В'С' с коэффициентом подобия k = । » где
[Л'/С']— высота ДЛ'В'С' и |Л'/С'| = —, поэтому S^abq —
«=з ( hghb V • ____________hghb_________
2S 4S 4]/p’(p'-ha)(pr-hb)^P'-^-^
гдер'=у(лв+Л»+-^).
Ответ.
—7==________h‘h* , Р' = ±(^ + Ьь + ^)>
176. Найти множество вершин треугольников с данной пло-
Хцадью, имеющих общее основание.
177. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и CD. Найти мно-
жество точек М, таких, чтобы треугольники АВМ и CDM имели
данную площадь.
178. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и CD. Найти мно-
жество точек М, таких, чтобы площади треугольников АВМ и
CDM относились как тлп (т^п).
179. Даны два неконгруэнтных отрезка АВ и CD. Найти мно-
жество точек М, таких, чтобы треугольники АВМ и CDM имели
данную площадь.
180. Дан пятиугольник ABCDE. Построить равновеликий ему
треугольник с вершиной D, так, чтобы две другие вершины тре-
угольника принадлежали прямой АВ.
181. Дан четырехугольник ABCD. Построить равновеликий
ему треугольник так, чтобы его основанием была диагональ АС,
а третья вершина принадлежала прямой BD.
182. На стороне ВС треугольника АВС построить точку М,
так, чтобы площади треугольников АВМ и АСВ относились как
1:И2.
183. На стороне ВС треугольника АВС построить точку М,
так, чтобы площади треугольников АВМ и АСМ относились как
К3:1.
151
184. Точка D принадлежит стороне ВС треугольника АВС.
На двух других сторонах треугольника найти точки /И2, М,,
так, чтобы треугольник АВС разделился отрезками DM; (1 = 1,2, 3)
на четыре конгруэнтные фигуры.
185. Построить правильный треугольник, равновеликий дан-
ному треугольнику.
186. В данный треугольник вписать прямоугольник с макси-
мальной площадью так, чтобы две его вершины лежали на сто-
роне треугольника, а две другие — на двух других сторонах.
187. В данный квадрат ABCD вписать прямоугольник MNPQ
с максимальной площадью так, что М Е [Л В], N € [ВС], Р £ [CD],
QeMD].
188. В данную окружность вписать прямоугольник наиболь-
шей площади.
189. В данную окружность вписать трапецию с данным ост-
рым углом, имеющую максимальную площадь.
190. Доказать, что из всех треугольников с данным перимет-
ром наибольшую площадь имеет правильный треугольник.
191. Доказать, что если с—длина гипотенузы прямоугольного
треугольника, а, b — длина катетов, то площадь
S^abc =Р(Р—с) = (р—а)(р — Ь), где р = у(a + b + c).
192. Доказать, что если площади двух прямоугольных тре-
угольников относятся как квадраты длин гипотенуз, то треуголь-
ники подобны.
193. Точка касания вписанной окружности разделяет гипоте-
нузу прямоугольного треугольника на два отрезка, длины кото-
рых т и п. Найти площадь треугольника.
194. Вычислить площадь треугольника, если известны длины
Ь и с его сторон и длина т медианы, проведенной к третьей
стороне,
195. Вычислить площадь треугольника АВС, если известны
длины та, ть, тс трех его медиан.
196. На медиане AAj треугольника АВС взята точка /И, так,
что | МА |:| МА11 = 1:2. Прямая ВМ пересекает сторону АС в
точке N. Найти отношение площадей треугольников ABN и NBC.
197. Дан треугольник АВС. На лучах В А, СВ, АС построе-
ны соответственно отрезки так, что | AAt | = п | АВ |, IBBJ —
= п | СВ I, I CCj | = n | AC |. Найти отношение площадей треуголь-
ников ALBlC1 и ABC.
198. В треугольнике ABC [CCJ, [ЛЛ^— высоты. Вычислить
площадь треугольника ВС1А1, если | ЛВ| = 13 см, | ВС | = 14 см,
|СЛ | = 15 см.
199. Треугольник А1В1С1 является образом равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС при повороте вокруг точки М
на угол 45°, где М—середина катета ВС. Найти отношение пло-
152
щади общей части этих треугольников к площади данного тре-
угольника.
200. Площади двух правильных треугольников АВС и MNP,
из которых один вписан в другой, относятся как 1:3. В каком
отношении вершины одного из них делят стороны другого?
201. Через точку М внутри треугольника АВС проведены
прямые, соответственно параллельные его сторонам. Эти прямые
делят треугольник на шесть фигур, три из которых треугольники
с площадями Sn S2, 53. Найти площадь треугольника АВС.
202. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты
соответственно точки Сп Лп Ви так, что | АСг | = 4-1 АВ |, | ВА} | =
= у|ВС|, =^-|СЛ |. Прямые ААГ, ВВг и ССг пересека-
ются попарно в точках М, N, Р. Вычислить площади треуголь-
ников А1В1С1 и MNP, если площадь треугольника АВС равна q.
203. Дан треугольник АВС. На лучах АВ, ВС, С А отточек
В, С, А отложены соответственно отрезки ВВг, СС± и ААи вне
треугольника, так, что
|BBj | = | ЛС|, ICCJHЛВ|, |ЛЛ1| = |,ВС|.
Доказать, что + + ^ЗВ&авс-
204. Биссектрисы внутренних углов треугольника АВС пере-
секают противоположные стороны в точках Лп В19 Сг. Вычис-
лить площадь треугольника Л^С^ зная длины а, Ь, с сторон
треугольника АВС.
205. В треугольнике АВС, длины сторон которого равны а,
Ь, с, биссектриса внутреннего угла А пересекает сторону ВС в
точке Лг Точка М — середина отрезка AAt,
Вг = (ВЛ1)П(ЛС), С1 = (СЛ1)П(ЛВ).
Найти отношение площадей фигур, на которые отрезки ВВУ и
СС1 делят треугольник АВС.
206. В треугольнике АВС ВАС = 60°, \BD\ = m, |DC| = n и
D—точка касания (ВС) с окружностью, вписанной в треуголь-
ник ЛВС. Вычислить площадь треугольника ЛВС.
207. В треугольнике ЛВС точка Н—ортоцентр, а М^(АН).
Вычислить площадь треугольника ВМС, если известно, что он
прямоугольный и площади треугольников ЛВС и В НС соответст-
венно равны р и q.
208. Окружность, вписанная в треугольник ЛВС, касается
его сторон ВС, СА, АВ соответственно в точках Ло В., Cv
р
Доказать, что fi,c, = jr •
209. Продолжения биссектрис внутренних углов треугольника
ЛВС пересекают описанную около него окружность в точках L,
М, N. Доказать, что SMlk где р = 4 (а+ & + £)•
ш
210. К окружности радиуса г, вписанной в треугольник, про-
ведены касательные, соответственно параллельные сторонам тре-
угольника. В полученные треугольники вписаны окружности с
радиусами ri9 rz, г9. Доказать, что + + =
211. В равносторонний треугольник АВС, длина стороны кото-
рого равна а, вписана окружность. С центром в точке А и
радиусом у построена еще окружность. Найти площадь общей
части двух полученных кругов.
212. Полукруги, построенные на трех сторонах правильного
треугольника АВС, в пересечении образуют криволинейный тре-
угольник. Вычислить его площадь, если сторона треугольника
АВС имеет длину а.
213. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пере-
секаются в точке О. Доказать, что треугольники A0D и ВОС
равновелики.
214. Дан четырехугольник ABCD. Построен параллелограмм
DBCM. Доказать, что Sacm = Sabcd-
215. В четырехугольнике ABCD на стороне АВ построена
точка М, такая, что | МВ | 1 АВ |, на стороне CD—точка /V,
такая, что | ND| = -£-|CD|. Какую часть площади данного четы-
рехугольника составляет площадь четырехугольника AMCNf
216. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпенди-
кулярны. Вычислить площадь этого четырехугольника, если
|ЛВ| = 9 см, |ВС| = 20 см, \CD |= 12 см, \DA | = 5 см.
217. Длины катетов прямоугольного треугольника АВС рав-
ны а и Ь. На его гипотенузе АВ в полуплоскости с границей
(ЛВ), не содержащей точку С, построен квадрат. Из центра О
квадрата на (СЛ) и (СВ) опущены перпендикуляры (ОК) и (ОМ),
кет М ё (СВ). Вычислите площадь четырехугольника СКОМ.
218. Каждая из диагоналей четырехугольника имеет длину а,
а сумма длин его средних линий равна Ь. Вычислить площадь
четырехугольника.
219. Доказать, что отношение площади четырехугольника, об-
разованного пересечением биссектрис углов параллелограмма, к
площади этого параллелограмма не зависит от величин его углов.
220. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
ABCDEF попарно параллельны и конгруэнтны. Какую часть
площади шестиугольника составляет площадь треугольника ЛСЕ?
221. Дан квадрат; точки Лх, В±, Ci9 Dx—-середины сторон
DC, DA, АВ, ВС. Доказать, что точки пересечения прямых AAlt
BBt, CCi9 DDi являются вершинами квадрата, площадь которого
составляет площади данного квадрата.
222. В параллелограмме ABCD точки М, N — середины сто-
рон CD и DA, P = (AM)(\(BN). Какую часть площади данного
параллелограмма составляет площадь треугольника ANP?
154
223. Вершины квадрата соединены с серединами противопо-
ложных сторон. Вычислить площадь получившегося восьмиуголь-
ника, если сторона квадрата имеет длину а.
224. В квадрат вписан правильный треугольник так, что одна
его вершина совпадает с вершиной квадрата. Найти отношение
площади треугольника к площади квадрата.
225. Найти отношение площади правильного треугольника
MNP, вписанного в квадрат ABCD, к площади этого квадрата,
если Л4С[ЛВ] и | AM |:| МВ |= 1:2.
226. В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD О = (Л С) n (BD).
Доказать, что если Злов = /Л Зоос=<Л то площадь трапеции
равна (p + q)2.
227. В трапеции ABCD ((4В) |] (CD)) точки М и N — середины
оснований, | ЛВ| = а, |CD|~b, F = (4N)f](DAf), K~(NB) л (ТИС).
Найти площадь четырехугольника MFNK, если площадь трапе-
ции X.
228. Через точку пересечения М прямых АВ и CD, содержа-
щих боковые стороны трапеции ABCD, проведена прямая Z,
пересекающая основания ВС и AD трапеции в точках Е и F,
(АЕ) П (BF) = N, (DE) п (CF) = /<. Доказать, что площадь четырех-
угольника ENFK не зависит от положения секущей L
229. Вычислить площадь трапеции, если даны длины qx и
ее диагоналей и т—длина отрезка, соединяющего середины осно-
ваний трапеции.
230. Дана прямоугольная трапеция ABCD (АВ) (ВС),
(ДВ) J_(4D). Из двух точек М и N, расположенных на сторо-
не АВ, противоположная сторона CD видна под прямыми углами.
Доказать, что Sabcd =Smcd-}-Shcd-
231. В трапеции ABCD параллельно ее основаниям АВ и CD
проведены два отрезка, концы которых принадлежат боковым
сторонам трапеции. Вычислить длины этих отрезков, если они
делят трапецию на три равновеликие фигуры и | АВ | = л, |CD| = 6.
232. В трапеции ABCD ((AB)\\(CD)), М — середина [ДО],
К = (ДС)П(ВМ). Площадь треугольника АКВ составляет — пло-
щади трапеции. Найти отношение длин оснований трапеции.
233. Прямая, параллельная диагон-али АС четырехугольника
ABCD и проходящая через середину диагонали BD, пересекает
сторону AD в точке Е, Доказать, что отрезок ЕС делит четы-
рехугольник ABCD на две равновеликие фигуры.
234. Середины М и N сторон АВ и CD выпуклого четырех-
угольника ABCD соединены с вершинами С, D и А, В, К =
~(AN)n(DM), Z = (BN)n(CM). Доказать, что SKmzn = Sakd +
+ Sbcz-
235. Через середину каждой диагонали выпуклого четырех-
угольника проведена прямая, параллельная другой диагонали.
Доказать, что отрезки, соединяющие точку пересечения этих пря-
155
мых с серединами сторон четырехугольника, делят его на четыре
равновеликие фигуры.
236. Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна q,
(АС) П (BD) = О. Доказать, что если площади qt и qa треуголь-
ников АО В и COD удовлетворяют условию
то четырехугольник—трапеция.
237. На сторонах треугольника АВС вне его построены квад-
раты ABEF, BCPQ, CAMN. Какую наибольшую площадь может
иметь шестиугольник EFMNPQ, если |ВС| = а, | АС | = д?
238. Длина стороны квадрата ABCD равна а, С центром
в точке А радиусом ~ описана окружность, а из вершины В
квадрата проведена к ней касательная (BJQ. Найти отношение
площадей фигур, на которые (ВК) делит квадрат.
239. В полуокружность с радиусом R = 1 дм вписана трапе-
ция (основание ее принадлежит диаметру), периметр которой
равен 5 дм. Найти длины ее сторон и площадь.
240. Доказать, что площадь прямоугольной трапеции, в кото-
рую можно вписать окружность, равна произведению длин ее
оснований.
241. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС вписана
окружность с центром О. Доказать, что
1 1 _ i 1
| ОА |2 + |ОВ |2 |ОС |2 + |OD |2 ’
242. В некоторый угол вписана окружность радиуса г. Длина
хорды, соединяющей точки касания, равна а. Параллельно этой
хорде проведены две касательные к (О, г). Найти площадь полу-
ченной трапеции.
243. В окружность радиуса R вписан квадрат ABCD и в точ-
ке С проведена касательная к окружности, пересекающая (АВ)
в точке £, М = (ВС) Л (DE). Найти площадь четырехуголь-
ника ABMD.
244. В квадрате ABCD О—точка пересечения диагоналей.
Центры окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, COD,
DOA, ABC, BCD, CDA, DAB, являются вершинами восьмиуголь-
ника. Найти его площадь, если сторона квадрата имеет длину а.
245. Доказать, что если около четырехугольника можно опи-
сать окружность и в него можно вписать окружность, то его
площадь равна корню квадратному из произведения длин его
сторон.
246. Доказать, что из всех четырехугольников с данными
длинами сторон вписанный в окружность имеет наибольшую
площадь.
156
247. На отрезке и двух его половинах построены полуокруж-
ности в одной полуплоскости. Найти площадь круга, касающе-
гося всех трех полуокружностей, если длина отрезка а,
248. Прямоугольный сектор АОВ радиуса R разделен на две
фигуры дугой того же радиуса с центром в точке А, Найти
площадь круга, вписанного в меньшую из этих фигур.
249. На касательной к окружности (О, R) в точке А отложен
отрезок АВ, так, что | ЛВ| = R. При повороте вокруг точки О
отрезок АВ перейдет в отрезок А'В' и опишет некоторую фи-
гуру. Найти ее площадь, если ЛОЛ'= 30°.
250. Две окружности (On rj и (О2, г2) касаются внешним
образом, (ЛВ) и (CD)— их общие внешние касательные, {Л,
а(01, rj, {С, В}с(02, г2). Вычислить площадь трапеции ABCD.
Глава II
СТЕРЕОМЕТРИЯ
$ 4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задача 12. В трехгранном угле О АВС АОВ = 45°, ВОС =
==45°, АОС = 60°. Через вершину О проведена прямая /, пер-
пендикулярная плоскости АОВ. Найти величину угла между
прямыми I и (ОС).
Решение. На лучах ОЛ, ОВ, ОС (рис. 13) выберем точки Лп
Вп Сп так, чтобы ОАг=е}, 0Ву = е2, ОСх = е3 были ортами. На-
правляющий вектор прямой / обозначим и. Его можно однозначно
разложить по трем некомпланарным ортам: л = а1е1Ч-а2е24-а3е3.
(ﱫ1) =» №1 = 0) =5>
(n J_e2) (пе, = 0) =5>
Ответ. 45°.
Задача 13. Через точки Л и В, принадлежащие пло-
скости П, проведены параллельные прямые /, и /2 под углом
величиной 30° к плоскости П. Прямая /, пересекающая lt и /,
157
о
Рис. 13
Рис. 14
под прямыми углами, образует с плоскостью П угол величиной 60°.
Найти величину угла между (АВ) и
Решение. 1) Проведем через А прямую ГIII (рис. 14),
тогда /,£/', /Я_[_Г. /'ГПЯ=С и ВСЯ =90°.
2) Так как lt II /я, то (lt, (AB)) = (lz, (АВ)) = СВА.
3) Проведем (СС,) I П, Сг € П. Так как (/, П) = (/', П) = 60°,
то СДС1 = 60°. |СС1| = |ЛС|з1п60° = |ЛС|--^.
4) (/а7п) = 30°, значит, СВС, = 30°, |ВС| = |ЛС|УЗ.
will uv
5) ctg СВА =-L^L = K3, СЕЛ = 30°.
Ответ. ((ЛВМ1) = 30°.
251. Даны прямая / и точка А $1. Доказать, что все прямые,
проходящие через точку А и пересекающие прямую /, лежат в
одной плоскости.
252. Доказать, что все прямые, параллельные данной пло-
скости и проходящие через данную точку, принадлежат одной
плоскости, параллельной данной.
253. Если в пространстве дано п прямых, из которых каждые
две пересекаются, то или все они проходят через одну точку,
или все лежат в одной плоскости. Доказать.
254. В пространстве даны два отрезка АВ и CD, не лежащие
в одной плоскости, точки MuN—соответственно середины этих
отрезков. Доказать, что ~ (|ДС| + |ВР1) > |Л4А/|.
255. В пространстве даны пять точек Л, В, С, D, Е, из ко-
торых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Пусть Р —
середина [ЛЕ]; Р'—середина [CD]; Q и Q'—точки пересечения
медиан в треугольниках BCD и АВЕ. Доказать, что отрезки PQ
и P'Q' пересекаются, и найти отношение длин отрезков, на ко-
торые точка пересечения делит каждый из них.
256. Найти расстояние от середины отрезка, пересекающего
плоскость П, до этой плоскости, если расстояния от его концов
до плоскости П равны а и Ь.
158
2Ы, Вершины треугольника АВС лежат в одном полупро-
странстве относительно плоскости П. Точки Л,, Bl9 С19 —
основания перпендикуляров, опущенных из вершин и точки М —
пересечения медиан треугольника АВС на П. Доказать, что
I =1 (I АА, I +1ВВ11+1 CCi I).
258. На трех лучах одного направления, исходящих из точек
Л1Э Л2, Л3, выбираются соответственно точки В2, В39 так,
что сумма | ДА | + |Л2В2| + |Л3В3| остается постоянной. Дока-
зать, что все плоскости, определяемые точками Вп В2, В3, про-
ходят через одну и ту же точку.
259. Длины отрезков двух прямых, заключенных между па-
раллельными плоскостями, относятся, как 2:3, а величины их
углов с одной из плоскостей соответственно как 2:1. Опреде-
лить величины этих углов.
260. Даны три попарно скрещивающиеся прямые 11У 12, 13,
параллельные одной плоскости. Прямая I перемещается в про-
странстве и пересекает при этом данные прямые. Доказать, что
отношение длин отрезков, отсекаемых прямыми /Д/=1, 2, 3)
на прямой /, постоянно.
261. Доказать, что три отрезка, соединяющие середины про-
тивоположных сторон пространственного четырехугольника и се-
редины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся
в ней пополам.
262. Доказать, что если противоположные стороны плоского
четырехугольника MNPQ, вписанного в пространственный четы-
рехугольник ABCD, не параллельны, то точки пересечения (PQ)
и (Л1А), (MQ) и (NP) принадлежат прямым АС и BD, если
мс[дв], л/с[вс], P€[cd], серл].
263. Плоскость П пересекает стороны ЛВ, ВС, CD, DA
пространственного четырехугольника ABCD в точках М, N, Р
и Q. Доказать, что (ЛВ, Af)-(BC, N)-(CD, P)-(DA, Q)=l.
264. В пространственном четырехугольнике ABCD все сто-
роны конгруэнтны. Доказать, что cos/l + cos В 4- cos (Л В, DC) ~ 1.
265. Доказать, что в пространственном шестиугольнике, в ко-
тором противоположные стороны конгруэнтны и параллельны,
середины всех сторон лежат в одной плоскости.
266. Плоскости П иТГ взаимно перпендикулярны и П ПП' = /.
Плоскости Пу и Щ пересекают П по перпендикулярным прямым
ЛВ и AC (B£l, С£1). ЩПП'^ (ВО), П;пП' = рС) и (ВО) JJ.
Доказать, что П{ | Щ.
267. Доказать, что прямые, проходящие через одну точку Л
и перпендикулярные к одной прямой /, принадлежат одной пло-
скости, перпендикулярной к прямой I.
268, Отрезки ЛВ и CD взаимно перпендикулярны, прямая
EF, соединяющая их середины £ и F, является общим перпен-
159
дикуляром к (ЛВ) и (CD). Зная, что |ДВ| = 2/п, |CD| = 2n,
|BF| = p, найти | ЕМ |, если сумма расстояний от М до концов
отрезков минимальна.
269. Прямая АВ является общим перпендикуляром к двум
скрещивающимся прямым 1Г и Z2 (Д € в € /2)- На прямых 1Х и
/я выбраны соответственно точки М и ZV, так, что | AM | = 2|BZV|
и величина угла между лучами AM и BN равна 60°. Доказать,
что (MN) и /а взаимно перпендикулярны.
270. Величина угла между плоскостями П и 1Г—45°. Вер-
шины А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС
принадлежат линии пересечения П и IT, а С € IL Найти рассто-
яние от С до ГГ, если |ДВ| = а, ВАС = 30°.
271. Точка А$1—линии пересечения плоскостей П и 1Г,
образующих угол величиной 30°, В£П, Н—основание перпен-
дикуляра, опущенного из В на П'. Найти величину угла между
(4В) и /, если известно, что
|ВЯ| = -^-| АВ1.
272. Из точки С(£П проведены две взаимно перпендикулярные
прямые, пересекающие плоскость П в точках А и В. Найти ве-
личины углов треугольника ДВС, если ((СД), П) = 15°, ((СВ), П) =
= 75°.
273. Точка С лежит на прямой I, параллельной плоскости П,
D^n, Н—основание перпендикуляра, опущенного из точки С
на плоскость П. Найти величину угла между плоскостью П и
плоскостью, проходящей через прямые I и CD, если | CD ] =
= I CH I. и 3 и (/f(CD)) = 60°.
274. Отрезок АВ параллелен плоскости П. Через его концы
А и В проведены прямые 1г и /2, перпендикулярные к (ДВ) и
пересекающие плоскость П в точках Д! и Bt. Найти расстояние
отрезка до плоскости, если |ДВ| = а, ^^^ = 6, (/lt П) = 45°,
(/,7П) = 30°.
275. В параллелограмме ABCD | АВ |:| AD | = 1:2. Сторона АВ
лежит в плоскости П, a (CD) удалена от нее на расстояние, рав-
ное длине высоты, опущенной из вершины А на (ВС). Найти
величину угла между плоскостью П и плоскостью параллело-
грамма.
276. Два отрезка АВ длины а и CD длины Ь лежат на скре-
щивающихся прямых, величина угла между которыми а. Осно-
вания М и N общего перпендикуляра к этим прямым делят
отрезки АВ и CD так, что | AM |:| 7ИВ| = 2:3, |CW |:| ND | = 3:2.
Найти длины отрезков BD и ВС, если |Л4ДГ| = ;и.
277. Доказать, что из всех прямых, проведенных на одной
грани двугранного угла через данную точку, наибольший угол
160
с другой гранью ооразует та, которая перпендикулярна к рео-
ру двугранного угла.
278, Из точки ребра двугранного угла, имеющего величину
а (о <а < У исходят два луча в различных его гранях. Один из
этих лучей перпендикулярен к ребру, а другой образует с ним
острый угол величиной 0. Найти величину угла между данными
лучами.
279. Даны две пересекающиеся плоскости. Доказать, что су-
ществуют две прямые, обладающие тем свойством, что все пло-
скости, одинаково наклоненные к двум данным плоскостям, парал-
лельны либо одной, либо другой прямой.
280. Дан трехгранный угол О Л ВС, у которого АОВ + А ОС =
а= 180°. Вычислить величину угла между ребром ОА и биссек-
трисой угла ВОС.
281. Проведены биссектрисы плоских углов трехгранного
угла. Доказать, что углы между биссектрисами, взятыми попар-
но, либо одновременно все острые, либо все тупые, либо все
прямые.
282. Три плоскости имеют одну общую точку М. В каждой
из плоскостей построена прямая, перпендикулярная к прямой
пересечения двух других плоскостей. Доказать, что построенные
три прямые параллельны одной плоскости. (Никакая из данных
плоскостей не перпендикулярна к прямой пересечения других.)
283» Величины плоских углов трехгранного угла 60, 60 и 90°.
На ребрах от вершины отложены конгруэнтные отрезки О А, О В,
ОС. Найти величину двугранного угла между плоскостью АВС
и плоскостью угла, величина которого 90°.
284. Доказать, что три биссекторные полуплоскости трехгран-
ного угла проходят через одну прямую.
285. Доказать, что три плоскости, каждая из которых про-
ходит через ребро трехгранного угла перпендикулярно к про-
тивоположной грани трехгранного угла, пересекаются по одной
прямой.
286. Доказать, что если два плоских угла трехгранного угла
конгруэнтны, то биссекторная плоскость, проходящая через их
общее ребро, перпендикулярна к противолежащей грани.
287. В трехгранном угле все плоские углы прямые. До-
казать, что ортоцентр треугольника, полученного в пересе-
чении этого трехгранного угла плоскостью, есть ортого-
нальная проекция вершины трехгранного угла на эту плоскость.
288. Плоскость наклонена к граням прямого трехгранного
угла под углами, имеющими соответственно величины а, 0, у.
Доказать, что cosa-f-cospЧ-cosy
289. Из точки N выходят три луча AM, NB, NC, причем
BNC — CNА = ANВ = а. Луч NM образует со всеми тремя лучами
конгруэнтные углы. Найти величину этого угла.
6 № 102
161
290. Все плоские углы трехгранного угла имеют величину а.
Точка М принадлежит внутренней области угла и удалена от
каждой его грани на расстояние а. Найти расстояние от точки М
до вершины угла.
291. У трехгранного угла О А ВС угол между гранями ОАВ
и ОВС—прямой, а величина каждого из остальных двугранных
углов равна у. Найти величину плоского угла АОС.
$ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Задачи на отыскание множеств точек в пространстве
Задача 14. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от двух различных точек А и В.
Решение. I. С—середина [ЛВ], т. е. |ЛС| = |СВ|.
C£{W|^W| = |WB|}.
W^c,^W| = |BW|=>3np €П, В€П,
(Л£П, В€П, С£П, \AN\ = \NB\)^Nei\Cei, 11 (ЛВ).
В силу задачи 267 /£П' |С£П',П' | (ЛВ).
II. Пусть М£П', тогда ДАМС^ДВМС (по двум катетам)
и, значит, | AM. | = |7ИВ|.
|лл<|=|мв|^л1еп'|С€П', n'j.(лв),
т. е. искомое множество есть плоскость, содержащая середину
отрезка ЛВ и перпендикулярная к нему.
Задача 15. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от трех данных неколлинеарных точек Л, В и С.
Решение. Пусть Л1? Вх, Сг— середины отрезков ВС, АС, АВ.
W£{M||AL4 | = |Л4В| = |7ИС|, С(£(ЛВ)}:
1) \NA I^IWBI^WeniC^n, nj_ (ЛВ);
2) IWBHIWCl^Wen'p^n', П'_L (ВС);
з) \na\=\nc\&n еп^в^и", п"клс),
значит, N £ (П Г|1Г ПП") = /. Действительно, ПпП' = /, так как
В^(АС), но всякая точка прямой / одинаково удалена от точек
Л и С, следовательно, /сП".
/€П =Ф/±(ЛВ), ]
|ЛМ| = |М9| = |2УС|ф>А/€/|Ое/, 1А-(АВС),
где О—пентр окружности, описанной около треугольника ЛВС.
При изображении надо помнить, что точку и можно выбирать
в указанной области (рис. 15).
Задача 16. Найти множество всех точек пространства, равно-
удаленных от двух пересекающихся прямых и /8.
162
Рис. 16
Решение. I. Пусть точка М равноудалена от lt
(рис. 16).
И Z2, П Za — О
1) 11и М. € к,
(мм2)1/2, мге/2
I м м, I=| ммл I.
I Л I 1 в I
2) (ЛШ3)±П, П = (/п Za), М36П.
Тогда, если М±=^М2, то Л ММ±М3 ~ Д ММ2М3 по гипотенузе
и катету, откуда следует, что | МгМ31 = | М2М31 и Л43 принадле-
жит биссектрисе угла между прямыми и Z2. Следовательно,
М € (0Л18Л1) = Щ—плоскости, содержащей биссектрису угла ме-
жду и Z2 и перпендикулярной к плоскости П, так как
(AlMJgllj. Если же М1 = Л42 = 7И3, то М. £ Пх>
II. Пусть Nу=О—любая точка плоскости, перпендикуляр-
ной П и содержащей биссектрису угла между и /2 (таких пло-
скостей две П± и П2).
1) AZ^Zf, (AW2)±Z2, д\е/2.
2) «ад±п, tf3en)^(tf3enn(n1un2)).
Это означает, что N3 принадлежит биссектрисе угла между lt и /2,
т. е. |Л/3^11 = |Л^2^з| и 12VW* | = |/УЛГя |. Получили, что ZV равно-
удалена от Z, и Za.
Итак, искомое множество есть объединение двух взаимно пер-
пендикулярных плоскостей, содержащих биссектрисы углов между
Zj и Za и перпендикулярных к их плоскости.
Задача 17. Найти множество всех точек пространства, рав-
ноудаленных от:
а) трех различных прямых Zb Z2, ZS(Z1||Z2, Z1nZ3#=0»^nZ3^
=^0);
б) трех попарно пересекающихся прямых, не проходящих
через одну точку.
Решение, а) Пусть М равноудалена от Zx, Z2,
ЦП13^09 Z2nZ3=/=0.
6*
163
в) пересечение плоскостей —точка.
298. Найти множество всех точек пространства, разность квад-
ратов расстояний от которых до двух различных точек А и В
постоянна.
299. Найти множество всех точек пространства, из которых
данный отрезок виден под прямым углом.
300. Найти множество ортогональных проекций данной точки
на все прямые, лежащие в данной плоскости и проходящие через
данную точку.
301. Найти множество ортогональных проекций данной точки А
на все плоскости, проходящие через данную прямую
302. Найти множество ортогональных проекций данной точки А
на все плоскости, проходящие через данную точку В.
303. Найти множество всех точек пространства, сумма квад-
ратов расстояний от которых до двух различных точек А и В
постоянна.
304. Даны плоскость П и две точки А и В (Л^П, В(£,Ц).
Найти множество всех точек М плоскости, таких, что прямые
МА и МВ образуют с этой плоскостью конгруэнтные углы.
305. Найти множество всех точек пространства, для которых
отношение расстояний до двух данных точек постоянно.
306. Найти множество точек пространства, отношение расстоя-
ний от которых до двух данных параллельных прямых и I*
равно отношению | PQ |:| MN |, где [PQJ, [МЛ/]— данные отрезки.
307. Найти множество точек, отношение расстояний от кото-
рых до двух данных плоскостей П* и П2 равно | PQ |: | MN |, где
[PQ], [Л1Л/]— данные неконгруэнтные отрезки.
308. В пространстве найти множество вершин треугольников
данной площади с общим основанием.
309. Найти множество центров сфер радиуса /?, касающихся
данной плоскости и пересекающих данную сферу S (Оп по
окружности радиуса г.
310. Найти множество точек, делящих в отношении |PQ |:|Л1Л/[
все хорды сферы S(O, 7?), проходящие через данную на ней
точку А, где [PQ], [МЛ/]—данные отрезки.
311. Найти множество центров сфер данного радиуса /?, пере-
секающих данную плоскость П по окружностям радиуса г.
312. Найти множество середин отрезков, концы которых на-
ходятся на двух данных скрещивающихся прямых и /2.
313. Найти множество точек, делящих в отношении |Р0|:|МЛ/|
отрезки, соединяющие точку Л^Пс точками плоскости П, где
[PQ], [МЛ/]—данные отрезки.
314. Даны две точки А и В. Найти множество точек про-
странства, симметричных с точкой А относительно всех прямых,
проходящих через точку В.
315. Найти множество точек, симметричных данной точке А
относительно всех точек данной плоскости П, не проходящей
через точку А.
166
316. Найти множество точек, симметричных данной точке
относительно всех плоскостей, проходящих через данную пря-
мую L
317. Найти множество точек, симметричных данной точке от-
носительно всех прямых, параллельных данной прямой Z.
318. Найти множество центров сфер радиуса R. касающихся
данной прямой.
319. Найти множество середин хорд данной длины в данной
сфере.
320. Найти множество точек, степени которых относительно
двух данных сфер равны.
321. В пространстве даны две скрещивающиеся взаимно пер-
пендикулярные прямые Zx и Z2, (ДВ) — их общий перпендикуляр
(XgZx, BgZa), М и N — произвольные точки прямых и Z2 соот-
ветственно. Доказать, что сфера с диаметром MN проходит че-
рез точки А и В. Найти множество центров этих сфер, если
[ДМ] [ВАГ].
322. Найти объединение осей цилиндрических поверхностей,
проходящих через две данные параллельные прямые.
323. Найти объединение всех прямых, перпендикулярных
к данной прямой и проходящих через данную точку.
324. Найти объединение всех прямых, пересекающих данную
прямую и параллельных другой данной прямой.
325. Найти объединение всех прямых, проходящих через дан-
ную точку А и образующих конгруэнтные углы с двумя данными
различными плоскостями Щ и П2.
326. Найти объединение осей всех конусов, касающихся двух
данных плоскостей П* и Па.
327. Найти объединение всех прямых, проходящих через дан-
ную точку А и образующих данный угол с данной прямой Z,
4(jtZ.
328. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и образующих данный угол ср с данной пло-
скостью П.
329. Найти объединение прямых, параллельных данной пря-
мой и отстоящих от точки А на расстоянии т.
330. Даны две различные параллельные прямые lt и Z2. Найти
объединение всех прямых, симметричных прямой относительно
всех плоскостей, проходящих через прямую /2.
331. Найти объединение ребер всех прямых двугранных углов,
грани которых касаются данной цилиндрической поверхно-
сти.
332. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и пересекающих сферу S (О, 7?) по хордам дан-
ной длины.
333. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и отстоящих от данной точки В на расстоя-
нии |PQ|, где [PQ]—данный отрезок.
167
2. Простейшие построения в пространстве
Задача 19. Через данную прямую провести плоскость,
параллельную другой данной прямой /г.
Решение. 1. Пусть плоскость П искомая:
1) /1Cn^(v4 елап,|Л,€П„ лещ, ппп,=/=0).
2) (/2цп, лсп„ п.пп^/э^лнл-
Из 1) и 2) следует, что Л€П, /«сП, /(сП, значит, П = (/х, Гг).
II. 1) А £/,; 2) П,|Л €П., /,€П«:
з) /^cnjzie/;, /;ц/2; 4) (/,. г2) = п.
III. Плоскость П искомая: из построения 4 следует, что
1эс:П, из построений 3, 4 следует, что Г2сП, Г21|/2, поэтому
4 И п.
IV. Построения 1, 2, 3, 4 всегда выполнимы:
а) 1'2 = 1} (это возможно, так как /-КЩЭЛ), следовательно,
/21| lt и П принадлежит пучку плоскостей с осью
б) /; = /2 (это возможно, так как 1'21| /а), значит, A = /1ГП1
и П — единственная;
в) Докажем, единственность решения, когда 1{ и 12 скре-
щиваются. Пусть П'=#П | /21| П', /jdT, следовательно, Л^П';
(П'^п, лещ, Л€П')=>(П'пщ=г2, a$i2\
ЩаЩ, l2 н П', П* л п1 = Il
(/;=ппщ, /;=п'пщ, it011 = /,=#/;, п'=#п) =>/;=#/;.
В плоскости ГЦ получили противоречие с аксиомой о парал-
лельных.
334. Построить две параллельные плоскости, каждая из ко-
торых проходит через одну из двух данных скрещивающихся
прямых.
335. Через данную точку провести плоскость, параллельную
данной плоскости.
336. Через данную точку провести плоскость, перпендику-
лярную данной прямой.
337. Через данную точку провести прямую, перпендикуляр-
ную данной плоскости.
338. Через данную прямую провести плоскость, перпендику-
лярную данной плоскости.
339. Провести прямую, перпендикулярную каждой из двух
данных скрещивающихся прямых и пересекающую каждую из них.
340. Построить линию пересечения данной сферической по-
верхности с данной плоскостью.
341. Построить точки пересечения данной сферической поверх-
ности с данной прямой /.
342. Построить линию пересечения данной конической по-
верхности * с данной плоскостью, проходящей через вершину
этой поверхности.
* Цилиндрические и конические поверхности — поверхности вращения.
168
343. Построить линию пересечения данной конической по-
верхности с данной плоскостью П, перпендикулярной к оси
конической поверхности.
344. Построить точки пересечения данной прямой с данной
конической поверхностью,
345. Построить линию пересечения данной цилиндрической
поверхности с данной плоскостью, перпендикулярной (параллель-
ной) оси данной поверхности.
346. Построить точки пересечения данной цилиндрической
поверхности с данной прямой.
< 347. Через данную прямую I провести плоскость, касающуюся
данной сферы.
348. Через данную^точку превести плоскость, касающуюся
данной конической (цилиндрической) поверхности.
3. Построения в пространстве с применением
некоторых множеств точек и прямых
Задача 20. Дана прямая I и две точки А и В, не при-
надлежащие I. Через точку В провести плоскость П, так, чтобы
ортогональная проекция точки А на плоскость П принадлежала
прямой /.
Решение. 1. Пусть плоскость П — искомая. Тогда она у до
влетворяет условиям:
I) 2) (ЛЛЯПН.СП; ЗМ^/.
Из условий 1) и 2) следует, что 44^ = 90°, а это означает,
что точка 4f принадлежит сфере с диаметром АВ. Но в усло-
вии 3) А € /, следовательно, 4^/115(0, -^-|4В|\гдеО—сере-
дина [ЛВ].
II. 1) 0б[4В], |[ЛО]^[ОВ]; 2) 5(0, |40|);
3) 4,65(0, |0Л |)Г)/; 4) (44,);
5) П|В£П, n_L(44,) (задача 334).
III. Плоскость П — искомая: в£П и 4,^/ (по-
строения 5,3). Докажем, что 4,СП. Пусть ПП(44,) = С, тогда
4СВ = 90°, но 44,В = 90°, так как 4, принадлежит сфере с диа-
метром АВ (построение 3). Следовательно, С = 4,.
IV. Построения 1, 2 всегда выполнимы; /Г)5(0, |О4|)^0
при условии, что р(0, I) 4-1 4В|. Следовательно, при р(0, /) <
<у|4В| —два решения, при р (0, /) = ^-|ДВ|—одно.
349. Для двух данных точек А и В построить ось симметрии,
которая пересекла бы данную прямую /.
350. На данной прямой / найти точку, симметричную данной
точке А относительно точки, лежащей в плоскости П.
169
351. Даны три попарно пересекающиеся, но не проходящие
через одну точку прямые и плоскость П. В плоскости П постро-
ить точку, равноудаленную от трех данных прямых.
352. Построить точку, равноудаленную от данных прямых
Ц, /3, /4, если прямые /2 и 13 попарно параллельны и не лежат
в одной плоскости, а прямая Ц пересекает /3.
353. Даны три прямые Ц, /2 и 13, проходящие через точку О
и не лежащие в одной плоскости, а также две пересекающиеся
плоскости ГЦ и П2. Найти точки, равноудаленные от прямых
/2, /3 и от плоскостей ГЦ и П2.
354. На данной конической поверхности построить точку,
равноудаленную от трех данных точек, не лежащих на одной
прямой.
355. Даны две скрещивающиеся прямые и /2. На прямой /а
построить точку В, так, чтобы [B//]^[PQ], где [PQ]—данный
отрезок, Н — проекция точки В на прямую
356. Дана прямая I и две точки А и В, не лежащие на дан-
ной прямой. На прямой Z построить такую точку М, чтобы
I AM |2—| ВМ |2 = | PQ |2, где [PQ] — данный отрезок.
357. Даны плоскость П и две точки А и В, не принадлежа-
щие П. В плоскости П построить такую точку М, чтобы отрезки
МА и МВ образовывали с плоскостью П конгруэнтные углы,
и ДЛ4В = 90°.
358. Даны две точки А, В и окружность. На данной окруж-
ности построить точку Л4, так, чтобы | АМ |а +1 ВМ |2 = | KL |а,
где [АХ] — данный отрезок.
359. Даны три различные плоскости Пх> П2, П3 (П1ПП2^0)
и точка А. В плоскости П3 построить точку М9 так, чтобы
[АМ] ~ [KL] и отношение расстояний от М до плоскостей Пх и
П2 было равно | PQ IJPjQi где [AX], [PQ], [P^J—данные
отрезки.
360. На данной окружности построить точку, разность квад-
ратов расстояний от которой до данных точек А и В равна | PQ |*,
где [PQ]— данный отрезок.
361. Через данную точку А провести прямую так, чтобы се-
редина М отрезка этой прямой, заключенного между данными
параллельными плоскостями и П2, принадлежала плоскости П3
(П1ПП3#=0), а [ЛУИ] ^[PQ], где [PQ]—данный отрезок.
362. На данной плоскости П построить прямую, каждая точка
которой равноудалена от двух данных точек, не лежащих в
плоскости II.
363. Даны две скрещивающиеся прямые. Через данную точку,
не принадлежащую ни одной из данных прямых, провести пря-
мую, пересекающую обе данные прямые.
364. Через данную точку провести прямую, перпендикуляр-
ную к двум скрещивающимся прямым.
170
365. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Провести
прямую, пересекающую данные прямые в трех точках Л4, N и
Р соответственно, причем N—середина отрезка МР.
366. Через данную точку провести прямую, параллельную
данной плоскости и пересекающую данную прямую.
367. Провести прямую, пересекающую две данные прямые и
параллельную третьей данной прямой.
368. Провести прямую, пересекающую каждую из двух дан-
ных скрещивающихся прямых, перпендикулярно к одной из них
и параллельно данной плоскости.
369. Провести прямую, пересекающую две данные прямые,
перпендикулярно третьей прямой и параллельно данной плос-
кости.
370. Даны плоскость П и пересекающая ее прямая /. В пло-
скости П провести прямую, пересекающую I и параллельную
другой данной плоскости.
371. Провести в данной плоскости П прямую, перпендикуляр-
ную данной прямой, не лежащей в П, и проходящую через дан-
ную точку.
372. Через данную точку А&П провести прямую /, парал-
лельную плоскости Щ (П^Щ), так, чтобы отрезок АВ был
конгруэнтен данному отрезку, где В = /пП.
373. Даны две скрещивающиеся прямые и /2 и точка А.
Через точку А прейти прямую, образующую с прямыми 1Х
и 12 углы, конгруэнтные данному углу ср.
374. Построить ось конической поверхности, если даны три
образующие этой поверхности.
375. Построить коническую поверхность, если известны две
образующие этой поверхности и угол, который составляют обра-
зующие с осью поверхности.
376. Даны три плоскости, пересекающиеся в одной точке.
Построить коническую поверхность, касающуюся данных плос-
костей.
377. Даны три различные плоскости Пп П2 и П:}, не пересе-
кающиеся в одной точке. Построить коническую поверхность,
касающуюся плоскостей Пх и П2, ось которой принадлежит пло-
скости !13.
378. Даны коническая поверхность и прямая Z, не проходя-
щая через вершину этой поверхности. Построить образующую
дайкой поверхности, перпендикулярную /.
379. Через точку Л1, принадлежащую плоскости П, провести
прямую, образующую с плоскостью II угол, конгруэнтный дан-
ному углу, и перпендикулярную к данной прямой, лежащей в
этой плоскости.
380. Через точку А, заданную в плоскости П, провести пря-
мую так, чтобы она была параллельна плоскости Пх и наклонена
к плоскости П под углом, конгруэнтным данному.
171
I
381, Через данную точку провести плоскость, параллельную
данной прямой и образующую с другой данной прямой Z2
угол, конгруэнтный данному.
382. Через данную точку А провести прямую, пересекающую
одну из данных прямых 12 и образующую с другой угол,
конгруэнтный данному углу.
383. Через данную точку провести касательную к данной
сфере перпендикулярно данной прямой.
384. Построить прямоугольный треугольник ЛВС, так, чтобы
его катеты были соответственно конгруэнтны данным отрезкам,
вершина С его прямого угла находилась в данной точке, вершина А
лежала на данной прямой, вершина В — на данной плоскости.
385. Построить сферическую поверхность, касающуюся дан-
ной плоскости в данной на ней точке и проходящую через дру-
гую данную точку.
386. Построить сферическую поверхность, касающуюся двух
данных плоскостей Пх и П2 и проходящую через две точки А
и В, не лежащие в данных плоскостях.
387. Построить сферическую поверхность, которая касается
четырех плоскостей, пересекающихся попарно по шести прямым.
388. Даны плоскость II и две точки А и В (Л£П, В(£П).
В плоскости П через точку А провести прямую так, чтобы от-
резок ВВх был конгруэнтен данному отрезку (Bt — проекция В
на искомую прямую).
389. Даны точка Л, сфера S (О, г) и плоскость П. На сфере
S(0, г} построить точку М, принадлежащую касательной, про-
веденной из точки Л r данной сфере так, чтобы [AlAf] [PQ]
—данный отрезок), (ALV)J_n (JVgll).
390. Построить сферу, касающуюся данной сферы S (О, /?)
в данной на ней точке и данной плоскости II.
391. Построить сферу данного радиуса, касающуюся данной
сферы и данной плоскости.
392. Даны две концентрические сферы и плоскость, их пере-
секающая. Построить сферу, касающуюся двух данных сфер и
данной плоскости.
393. Построить сферу, касающуюся двух данных сфер, при-
чем одной из них в заданной точке.
394. Построить сферу, касающуюся данной сферы и данной
плоскости в данной на ней точке.
395. Построить сферу данного радиуса с центром на дан-
ной плоскости, касающуюся одной из данных сфер и пересекаю-
щую другую сферу по окружности данного радиуса.
396. На данной плоскости найти центр сферы, проходящей
через две данные точки Л и В, так, чтобы третья данная точка С
была центром окружности данного радиуса, лежащей на сфере.
397. В двух различных плоскостях даны конгруэнтные тре-
угольники ЛВС и Л^/^. На прямой I построить точку D, так,
чтобы объемы тетраэдров DABC и DA1BlC1 относились как Г.З.
172
398. Построить тетраэдр DABC с данным основанием АВС,
так, чтобы он имел прямой плоский угол ADC, высоту, конгру-
энтную данному отрезку, и вершина D была равноудалена от
двух данных точек М и У.
399. Построить тетраэдр DABC с данным основанием ЛВС,
так, чтобы вершина D принадлежала данной плоскости, а ребра
AD и BD были конгруэнтными данным отрезкам.
400. Построить тетраэдр DABC с данным основанием ЛВС,
так, чтобы его высота и боковое ребро AD были конгруэнтны
данным отрезкам и | AD |а +1 BD |2 = | PQ |2, где [PQ]—данный от-
резок.
401. Построить тетраэдр DABC с данным основанием ЛВС,
так, чтобы вершина D принадлежала данной прямой I и |£>Л|а —
— |DC |2 — | PQ |2, где [PQ]—данный отрезок.
4. Построения на изображениях
Задача 20. DABC—изображение правильного тетраэдра.
Построить изображение точек поверхности тетраэдра, равноуда-
ленных от двух точек М^[ЛС] и N € [ВС].
Решение. 1) Множество точек, равноудаленных от точек М
и N (рис. 19), есть плоскость П, перпендикулярная (МУ) и про-
ходящая через середину Е отрезка MN, следовательно, П содер-
жит две прямые /1( /2, проходящие через Е и перпендикулярные
(MN). Пусть 1Х принадлежит плоскости ЛВС, а параллельна
высоте DO правильного тетраэдра DABC (О—центр треуголь-
ника ЛВС).
2) Построим изображение прямой для этого построим Ох —
изображение ортоцентра треугольника МУС, тогда Zl||(CO1):
(УУ^ЩВО), (ММ^ЦЛО), (ЛШ1)П(УУ1) = 01.
/JKCO.), Е^1Х\ /гП(ЛВ) = Р, /1П(ВС) = Т.
3) Построим изображение
прямой /а:
(О£)П(ВС) = /<, /JI(DO), ВС/2,
/2 п (О/<) =
4) Искомые точки принадле-
жат пересечению поверхности
тетраэдра и плоскости II.
(T/?)fl(DB)=S.
[PS] U [ST] U [ГР] — искомое
множество точек.
Рис. 19
173
Рис. 20
Задача 2L
ABCDAXB1CXD1 — изображение
куба. Построить изображение
сечения куба плоскостью, рав-
ноудаленной от середин М и
N ребер АВ и ССУ куба.
Решение. 1) Множество
точек, равноудаленных от двух
заданных точек М и N (рис .20),
есть плоскость П, проходящая
через середину К отрезка MN
и перпендикулярная (AIN). Для
построения плоскости П необ-
ходимо найти две ненараллель-
ные прямые, перпендикулярные
к (MN). Такие прямые выберем в плоскостях АВС и В^ВС.
2) Если в квадрате ABCD Е — середина стороны ВС, то
(DE) | (А4С), а по теореме о трех перпендикулярах (DE) | (A4N).
3) Аналогично докажем, что (ВХЕ) j (MN).
4) Из пунктов 2) и 3) и признака перпендикулярности пря-
мой и плоскости следует, что (DEB^ [ (MN).
5) /\МВЕ £\ECN по двум катетам, значит, |M£,| = |EW|.
6) Из пунктов 4) и 5) следует, что XY = (DEB^.
7) [B^j с: (XjBjCj) | (5^)11 (£)£), так как плоскость П пере-
секает параллельные грани куба по параллельным отрезкам.
Ромб DEBiF — искомое сечение.
Задача 22. Построить изображение правильной шестиуголь-
ной пирамиды, вписанной в сферу, если длины бокового ребра
и стороны основания относятся как 2:1.
Решение. Диагональное сечение пирамиды, содержащее
большую из диагоналей основания, является правильным тре-
угольником. (О, 7?)—очертание сферы.
1) {Do, CQ} = (0, R)(](S0, R), Y = (D.C.)0(N.Sq) (рис. 21).
2) (Щ) L(A'S), 10^1 = 10.51 = 1^1; {Л,
3) X = (NS)n(D0C0); 11 (NS), X^l, {P, Q} = Z П (0, Я).
4) (C0Q±(ON), (D„D)l(0N), {C, D} cz (ON). Л, В, C, D,
P, Q—принадлежат эллипсу.
5) Строим изображение EFHKLM правильного шестиуголь-
ника, вписанного в окружность.
6) Вершины шестиугольника соединяем отрезками с точкой N.
Задача 23. Построить изображение правильной четырех-
угольной пирамиды, описанной около шара, если Л:г = 4:1.
Решение. 1) Находим точку Or € [NS], через которую про-
ходит плоскость, параллельная экватору и содержащая точки
касания. Пусть Р—точка касания сферы с гранью, Р лежит
на апофеме, А4— вершина пирамиды.
Д МОР оо Д значит, -Ж1=и 1QO, | = г.
174
Рис. 21
2) Строим изображение параллели с центром в точке Ot (рис. 22).
3) Около параллели описываем изображение квадрата
4) Строим точку М g [S/V]J, |SM | = 4 |SO|.
и
Рис. 22
175
Рис. 23
5) Подвергаем A.B.C.D. гомотетии с центром в М и коэф-
фициентом k — | /VIS |: | МО. | и получаем ABCD, MABCD — изоб-
ражение искомой пирамиды.
Задача 24. Построить изображение равностороннего конуса,
описанного около сферы.
Решение. 1) В осевом сечении оригинала получается пра-
вильный треугольник, описанный около окружности. Поэтому
для нахождения вершины конуса M£{ON) отточки N отложим
[ММ]^[ОЛГ| (рис. 23).
2) Из точки М проведем касательные к очертанию (О, /?)
сферы. Получим точки Р. и Qlf в которых изображение линии
касания сферы и конуса касается очертания. [P.QJ П {ON) = X,
(AW0)±(CW), ^g(0, R).
3) Через точку X проведем прямую (Z>0C0) I (ОЛ^о), (L>0C0) П
O(CWo) = tfo, Со} (О, /?).
4) (лдцт
ИА) П (ON) = Н, [НА.] [НВ.] ~ [H.D.],
5) Строим эллипс по осям и точкам касания с очертанием.
6) Построенный эллипс гомотетией Нм с центром в точке М
переводим в эллипс в плоскости основания конуса, k = | A4S |: | МН |.
402. ABCD — изображение квадрата, М—середина [ЛВ], N =
== (ЛС) п {DM). Построить изображение: 1) перпендикуляра к {DM),
проходящего через вершину С; 2) ортоцентра треугольника ANМ.
176
403. Дано ABC — изображение правильного треугольника,
A4£[4fi], N € MCJ. Построить изображение центра окружности,
описанной около треугольника /4MAL
404. Построить изображение треугольника и его ортоцентра,
если длины его сторон относятся как 2: У3:К3.
405. Дано изображение равнобедренного треугольника, вы-
сота которого конгруэнтна основанию. Построить изображение
центра окружности, описанной около треугольника.
406. Дано изображение окружности. Построить изображение
треугольника, вписанного в окружность: 1) правильного; 2) пря-
моугольного с острым углом 30°; 3) равнобедренного с углом при
вершине величиной 30°.
407. Дано изображение окружности. Построить изображение
треугольника, описанного около окружности: 1) правильного;
2) равнобедренного прямоугольного; 3) прямоугольного, длины
катетов которого относятся как 3:4; 4) равнобедренного, длины
боковой стороны и основания которого относятся как 3:2; 5) пря-
моугольного с острым углом величиной 30°.
408. Дано изображение окружности. Построить изображение
прямоугольника, вписанного в окружность, длины сторон кото-
рого относятся как 1: ]/ 3.
409. Дано изображение окружности. Построить изображение
описанной около окружности равнобочной трапеции с острым
углом величиной 45°.
410. Дано изображение окружности. Построить изображение
описанного около окружности ромба с острым углом величиной 60°.
411. Дано изображение ABCDA,B,C,D, куба. Построить изо-
бражение перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым:
1) ВМ и ССП где М — середина ребра AD; 2) А А, и BD;
3) BD, и A,D; 4) DlB1 и ВС,; 5) А А, и MN, М £ [4lDl], N £\ВС\.
412. Дано изображение ABCDA,B,C,D, куба. Построить
изображения точек, принадлежащих поверхности куба и равно-
удаленных: 1) от двух точек М и N, взятых на ребрах АВ и CD;
2) от концов одной из диагоналей куба; 3) от центра грани AA,D,D
и середины ребра ВВ,; 4) от вершины В, и центра грани ABCD;
5) от вершины С, и середины ребра AD; 6) от точек М и /V,
взятых на ребрах DD, и ВС.
413. ЛВСД^Сд — изображение правильной треугольной
призмы, все ребра которой конгруэнтны между собой. Построить
изображение сечения призмы плоскостью, равноудаленной 1) от
вершины А и середины ребра ЛД;2) от вершины С, и середины
ребра А В; 3) от середин ребер и СС,; 4) от плоскостей
А,ВС и
414. На поверхности правильной пятиугольной пирамиды,
боковое ребро которой в два раза длиннее стороны основания,
найти множество точек, равноудаленных от концов бокового
ребра, и построить их изображения.
177
415. В пирамиде DABC pefipo DC перпендикулярно плоскости
ABC, ACB = W, BA& = 3QQ. Построить изображение сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через вершину С, параллель-
ной (ЛВ) и перпендикулярной к грани DAB, если она состав-
ляет с плоскостью АВС угол, величина которого равна 60°.
416, На поверхности правильной треугольной пирамиды, апо-
фема которой в два раза длиннее высоты основания, найти точки,
равноудаленные от концов апофемы, и изобразить их.
417. На поверхности правильной четырехугольной пирамиды,
сторона основания которой в два раза длиннее высоты пирамиды,
найти точки, равноудаленные от концов бокового ребра, и по
строить их изображения.
418. На поверхности правильной треугольной призмы, длина
бокового ребра которой относится к длине стороны основания
как 3:2, найти точки, равноудаленные от концов диагонали
грани, и изобразить их.
419. ЛВСОЛ1В1С1О1 — изображение прямоугольного паралле-
лепипеда, у которого | АВ |:| AD |:| | = 1:2:3. Построить изо-
бражения точек его поверхности, равноудаленных от Л1 и центра
грани ABCD.
420. В правильной треугольной пирамиде DABC высота кон-
груэнтна стороне основания. Построить изображение сечения
пирамиды плоскостью, перпендикулярной .боковому ребру DA
и содержащей сторону основания ВС.
421. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пи-
рамиды SABCD относится к длине стороны основания как |/~5:2.
Построить изображение пирамиды и сечения ее плоскостью, про-
ходящей через сторону основания ВС и перпендикулярной к бо-
ковой грани SAD.
422. ABCD — изображение правильного тетраэдра. Построить
изображение сечения тетраэдра плоскостью, равноудаленной от:
1) вершины В и середины М ребра АС; 2) вершины А и центра
грани АВС; 3) середин ребер АВ и DC.
423. Дано ABCD — изображение правильного тетраэдра. По-
строить изображение общего перпендикуляра к двум скрещиваю-
щимся прямым, содержащим высоты граней тетраэдра.
424. Дано ABCD — изображение правильной треугольной пи-
рамиды, боковое ребро которой в два раза длиннее стороны
основания. Построить изображение сечения, перпендикулярного
к боковому ребру DC и проходящего через середину ребра DB.
425. В прямой призме ABCA1BlCi основанием АВС является
прямоугольный треугольник, в котором С —90°, Д = 30с, а бо-
ковое ребро конгруэнтно гипотенузе основания. Построить изо-
бражение призмы и общего перпендикуляра к скрещивающимся
прямым CCj и ВАг.
426. Все ребра правильной шестиугольной призмы конгруэнтны
между собой. Построить изображение сечения призмы плоскостью,
178
равноудаленней от двух параллельных сторон оснований призмы,
не лежащих в одной грани.
427. Через точку М на ребре куба проведены пять плоско-
стей, пересекающих куб по квадрату. Построить изображения
куба и указанных сечений.
428. Дано изображение цилиндра, осевое сечение которого —
квадрат. Построить изображение правильной четырехугольной
пирамиды, описанной около цилиндра с прямым углом в диаго-
нальном сечении.
429, Дано изображение конуса. Построить изображение:
1) вписанной в конус правильной четырехугольной призмы, осе-
вым сечением которой является квадрат; 2) куба, вписанного
в конус; 3) описанной около конуса пирамиды, основанием ко-
торой является ромб с углом величиной 60°; 4) правильной
шестиугольной пирамиды, вписанной в конус; 5) вписанного
в конус прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого
относятся как 1:УЗ:2.
430. Дано изображение сферы. Построить изображение: 1) впи-
санного в сферу цилиндра, осевым сечением которого является
квадрат; 2) вписанного в сферу конуса, осевое сечение которого —
правильный треугольник.
431. Дано изображение сферы. Построить изображение: 1)куба,
описанного около сферы; 2) куба, вписанного в сферу; 3) пра-
вильного тетраэдра, вписанного в сферу; 4) правильного тетра-
эдра, описанного около сферы; 5) правильной треугольной призмы,
описанной около сферы; 6) вписанной в сферу правильной тре-
угольной призмы, все ребра которой конгруэнтны между собой;
7) описанной около сферы призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник с острым углом величиной 60°.
§ 6. МНОГОГРАННИКИ
Задача 25. В треугольной пирамиде DABC все плоские
углы при вершине D прямые, — высота пирамиды. Дока-
зать, что точка Н — ортоцентр треугольника АВС,
Решение. 1) Из (АД) | (BD) и (АД) | (CD) следует, что
(АД) _[_(BDC), а значит, (АД)_£(ВС).
2) Так как (Д Н) К А ВС) и (АД) (ВС), то (АН)_[_(ВС) по
теореме о трех перпендикулярах.
3) Аналогично докажем, что (СН) ] (АВ).
4) Из 2) и 3) следует, что точка И есть ортоцентр треуголь-
ника АВС.
Задача 26. В пирамиде ДАВС с конгруэнтными боковыми
ребрами основанием служит прямоугольный треугольник, катеты
С А и СВ которого имеют длины а и аУ 3. Вычислить площадь
сечения пирамиды плоскостью П, содержащей середины катетов
179
Рис. 24
оснований и параллельной ребру PC,
если длина высоты пирамиды равна Ь,
Решение. 1) Так как |РЛ| =
= | DB | = | DC |, то основание И вы-
соты DH пирамиды является центром
окружности, описанной около тре-
угольника АВС, АСВ =90°, значит,
Н —середина гипотенузы Д В (рис.24).
2) П|| (CD), поэтому П пересекает
грани ADC и BDC по прямым, па-
раллельным (CD). Следовательно,
(A1Q)||(/VP).
3) (QP)li(AlN) — по признаку параллельности прямой и плос-
кости, так как (M2V) с: П, (Л1А)||(ДВ).
4) Из 2) и 3) следует, что MNPQ— параллелограмм.
5) (СЛК'ЛВ). Так как | AF |:| FB | - |СД |2:| СВ |3= 1:3 и Q—
середина [ОД], то (FQ)\](DH), тогда (Q£) | (АВ) по теореме о трех
перпендикулярах, а значит, (MN) ^(QE), где Е — (MN) П (CF).
6) SMNPQ = I MN I • IQE |.
a) |M2V| = lMSl = a;6)|£F| = l|Cf|=-14iy^i = -^;
в) | FQ | = 4b- r) | QE | = KiW+iW = | /3a’+4b\ SMNPQ =
Ответ. SMNPQ = -^ /За2-I-46».
432. Доказать, что если у пирамиды двугранные углы при
основании конгруэнтны, то вершина пирамиды проектируется
в центр окружности, вписанной в основание.
433. Доказать, что если у пирамиды углы наклона боковых
ребер к плоскости основания конгруэнтны, то ее вершина про-
ектируется в центр окружности, описанной около основания.
434. Доказать, что в любом тетраэдре отрезки, соединяющие
середины противоположных ребер, проходят через одну точку,
которая является серединой каждого из указанных отрезков.
435. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины некоторой
треугольной пирамиды с точками пересечения медиан противо-
положных граней, пересекаются в одной точке.
436. В правильном тетраэдре DABC [D/у]— высота, точка /И —
середина [D//]. Доказать, что прямые AM, ВМ, СМ попарно
взаимно перпендикулярны.
437. Доказать, что если одна из вершин треугольной пира-
миды проектируется ортогонально в ортоцентр противоположной
грани, то и другие вершины этой пирамиды обладают тем же
свойством.
438. В треугольной пирамиде DABC при вершине D один
из плоских углов прямой и высота DH проходит через ортоцентр
180
основания, доказать» что и два других* плоских угла при вер-
шине D —прямые.
439. Доказать, что в треугольной пирамиде с прямым трех-
гранным углом при вершине квадрат площади основания равен
сумме квадратов площадей боковых граней.
440. Противоположные ребра тетраэдра попарно перпенди-
кулярны. Доказать, что у такого тетраэдра плоские углы каж-
дого трехгранного угла одноименные (все острые, тупые или
прямые).
441. Доказать, что в правильном тетраэдре сумма расстояний
от любой внутренней его точки до всех четырех граней имеет
постоянную величину, равную длине его высоты.
442. Если в тетраэдре два противоположных ребра перпенди-
кулярны, то тетраэдр можно пересечь плоскостью так, что в се-
чении получится прямоугольник.
443. Доказать, что если в тетраэдре ABCD сечение плос-
костью, параллельной (ЛС) и (ВО), есть прямоугольник и сече-
ние плоскостью, параллельной (AD) и (СВ), тоже прямоугольник,
то и сечение плоскостью, параллельной (ЛВ) и (СО), также
прямоугольник.
444. Дан тетраэдр ABCD, Доказать, что сечение тетраэдра
плоскостью П, параллельной ребрам ЛО и ВС, имеет макси-
мальную площадь, если плоскость П содержит середи-
ну [ЛВ].
445. Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех
ребер куба, выходящих из одной вершины, перпендикулярна
диагонали куба, выходящей из той же вершины, и отсекает от
нее третью часть.
446. Доказать, что сечение куба плоскостью, проходящей
через его центр и перпендикулярной к одной из диагоналей куба»
есть правильный шестиугольник.
447. На ребре куба дана точка. Можно ли (и сколько) через
нее провести плоскостей так, чтобы в сечении получился пра-
вильный 3-, 4-, 5-, 6-угольник?
448. Доказать, что четырехугольник, вершинами которого
являются середины двух пар противоположных ребер тетраэдра,
делит тетраэдр на равновеликие фигуры.
449. Доказать, что любое сечение тетраэдра плоскостью, про-
ходящей через середины его двух скрещивающихся ребер, делит
тетраэдр на две равновеликие фигуры.
450. Доказать, что любая плоскость, проходящая через точку О
пересечения диагоналей параллелепипеда, делит его на две рав-
новеликие фигуры.
451. Найти величину двугранного угла при ребре правиль-
ного тетраэдра.
452. В правильной четырехугольной пирамиде величина угла
между боковой гранью и плоскостью основания равна а. Найти
величину угла между смежными боковыми гранями.
181
453. Плоский угол при вершине правильной n-угольной пи-
рамиды имеет величину а. Определить величину двугранного
угла между двумя смежными боковыми гранями.
454. Все двугранные углы между боковыми гранями правиль-
ной треугольной пирамиды имеют величину а. Найти величину
двугранного угла, образуемого боковой гранью с основанием.
455. В треугольной пирамиде ABCD грани АС В и ADB —
прямоугольные равнобедренные треугольники общей гипотену-
зой АВ, составляют двугранный угол величиной а. Найти вели-
чину двугранного угла при ребре ВС.
456. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует
с двумя его ребрами, выходящими из конца диагонали, углы
с величинами а и (J. Определить косинус двугранного угла между
плоскостями, каждая из которых проходят через диагональ
и одно из указанных ребер параллелепипеда.
457. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых
граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости
его основания под углами, величины которых а н р. Найти ве-
личину угла между этими диагоналями.
458. Найти величину угла между скрещивающимися высотами
двух граней правильного тетраэдра.
459. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1CiDi
|ЛВ| = 8 см, [ЛР| = 6 см, | ААХ | = 10 см. Найти величину угла
между фЛ/j и (BDJ.
460. В правильном тетраэдре ABCD Вх и С}~ середины ребер
DB и DC. Найти величину угла между плоскостями АВС я AB£V
461. В треугольной пирамиде DABC с прямым плоским углом
ADB при вершине#, [#//]— высота, DAH — a, DBH~$, АНВ~у.
Доказать, что cos ср = — tgcz- tgp.
462. Ребро DA пирамиды DABC перпендикулярно к плоскости
ее основания. Через вершину А проведена плоскость II. пер-
пендикулярная (DBC) и параллельная (ВС}. Найти величину
угла между плоскостями П и (ЛВС), если |DA j = 1 дм, |ЛВ| =
= дм, |ЛС|~у2 дм, |BC|^-g- дм.
463. Дан куб ABCDAJB^C^D^. Найти величину угла между
плоскостью грани ВВХСХС куба и плоскостью, проходящей через
(BCJ и середину М ребра Л£) куба.
464. Дан куб ABCDAxBxCyDx. Найги величину угла между
плоскостями, одна из которых содержит грань CDD£X куба,
а другая проходит через (ЛС) и середину М ребра AyDx куба.
465. В кубе ЛВС£>Л1В|С1О1 через вершину В и середины М
и N ребер AD и ССУ проведена плоскость. Найти величину
угла, под которым эта плоскость наклонена к плоскости грани
ABCD.
466. Пусть DA, DB, DC—ребра куба с общей вершиной D.
Через вершину С и середины ребер DA и DB проведена пл ос-
182
кость. Найти расстояние от центра куба до этой плоскости,
если длина ребра равна а.
467. В тетраэдре A BCD | АВ |=| DC |= 13 см, | ВС|=|Лй|==14см,
|ЛС| = |ВО| —15 см. Найти величину двугранного угла при
ребре ВС.
468. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD,
в котором |ЛВ| = дКЗ, |ВС| = а, ребро перпендикулярно
плоскости основания и |ЗЛ| = 2а. Через вершину Л проведена
плоскость П, перпендикулярная (SC) и параллельная (BD).
Найти величину угла между плоскостями П и (ЛВС).
469. В прямоугольном параллелепипеде ЛВС£>Л1В1С1О1
|ЛВ| = 8 см, | ВС | = 6 см, | ЛЛ1| = 10 см. Через вершину А про-
ведена плоскость, перпендикулярная к диагонали DBX паралле-
лепипеда. Найти величину угла между плоскостями II и ABCD.
470. Ребро правильного тетраэдра имеет длину а. Найти
расстояния между скрещивающимися высотами граней тетраэдра.
471. Одна из двух треугольных пирамид с общим основанием
расположена внутри другой. Доказать, что сумма величин плос-
ких углов при вершине внутренней пирамиды больше, чем сумма
величин плоских углов при вершине внешней.
472. Боковые ребра DA, DB, DC треугольной пирамиды DABC
попарно взаимно перпендикулярны. Доказать, что
S.+S.+S^-h^,
где Si, S2, S3 — площади боковых граней, h—длина высоты пи-
рамиды, проходящей через вершину D.
473. Доказать, что если в треугольной пирамиде все грани
равновелики, то все они конгруэнтны между собой.
474. Из квадратного листа со стороной длины а вырезали
развертку правильной четырехугольной пирамиды так, что вер-
шины квадрата склеиваются в вершине пирамиды. Какой длины
должна быть сторона основания пирамиды, чтобы ее объем был
наибольшим?
475. Длины двух противоположных ребер тетраэдра х, а все
остальные ребра имеют длину, равную 1 дм. При каком х объем
тетраэдра имеет наибольшее значение?
476. Объем правильной треугольной пирамиды равен — Ь3,
где Ь—длина бокового ребра. Найти величину плоского угла
при вершине пирамиды.
477. Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды,
если длина ее бокового ребра равна Ь и оно наклонено к пло-
скости основания под углом величиной а.
478. В правильной треугольной пирамиде ABCD боковая грань
составляет с плоскостью основания угол величиной а. Вычислить
объем пирамиды, если известно, что высота пирамиды DH имеет
длину h.
183
479. Основанием прямоугольного параллелепипеда является
прямоугольник ABCD с меньшей стороной длины а и углом
между диагоналями величины 60°. Вычислить объем параллеле-
пипеда, если его боковое ребро конгруэнтно большей стороне
основания.
480. Вычислить объем прямой треугольной призмы, если ее
основание — прямоугольный треугольник с высотой длины Л и ост-
рым углом величины а, а длина бокового ребра равна а.
481. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боко-
вое ребро имеет длину b и составляет с плоскостью основания
угол величиной а. Найти объем пирамиды.
482. Доказать, что объем тетраэдра равен произведению пло-
щади параллелограмма со сторонами, конгруэнтными и парал-
лельными двум скрещивающимся ребрам тетраэдра, на одну ше-
стую кратчайшего расстояния между этими ребрами.
483. В правильной треугольной пирамиде величина плоского
угла при вершине равна а, а кратчайшее расстояние между
боковым ребром и противолежащей стороной основания равной.
Найти объем пирамиды.
484. На двух параллельных плоскостях расположены отрезки
АВ и CD, концы которых являются вершинами тетраэдра. До-
казать, что объем тетраэдра сохраняется, если отрезки в этих
плоскостях перемещать параллельно самим себе.
485. В параллелепипеде ABCDAlB1C1Di |ЛВ| = а, |Л£>|==&,
[Л/Ц! = с. Ребра АВ и AD взаимно перпендикулярны, а ребро
А А, образует с каждым из них углы величиной а; Определить
объем параллелепипеда.
486. Основанием пирамиды с конгруэнтными боковыми ребра-
ми служит прямоугольный треугольник, площадь которого равна 3.
Двугранные углы при катетах основания имеют величины аир.
Вычислить объем пирамиды.
487. В прямоугольном параллелепипеде три ребра, исходящие
из одной вершины, имеют длины а, Ь, с. Найти площадь сечения
параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины
шести его ребер.
488. Через вершину куба проведена плоскость так, что в се-
чении получился равнобедренный треугольник с углом при ос-
новании, имеющем величину а. Найти величины углов между
секущей плоскостью и гранями куба.
489. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы имеет
длину, равную 1 дм. Вычислить площадь сечения призмы пло-
скостью, проходящей через два параллельных ребра оснований,
не принадлежащих одной грани.
490. Основанием прямой призмы является равнобочная тра-
пеция ABCD, в которой |ДВ|= 18 см, |CD| = 8cm. Найти пло-
щадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону
основания и две диагонали призмы, зная, что в сечение можно
вписать окружность.
181
491. В пирамиде SABCD основанием является прямоуголь-
ник ABCD, длины сторон которого аУ 3 и а. Боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания. Вычислить площадь се-
чения пирамиды плоскостью, проходящей через (BD) и парал-
лельной (5Л), если (£Л) наклонена к плоскости основания под
углом величиной 30°.
492. Вычислить площадь сечения прямой призмы АВСА1В1С1
плоскостью, проходящей через середины М, N, Р рёбер АС,
CCi и если ЛСВ —90°, |СЛ | = |СВ| = |СС\ |=-а.
493. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пи-
рамиды равна q. Найти площадь сечения этой пирамиды плоско-
стью, параллельной боковой грани и проходящей через середину
высоты пирамиды.
494. В правильном тетраэдре ABCD построено сечение пло-
скостью, проходящей через вершину С и центр противолежащей
грани и параллельной (ЛВ). Найти отношение объемов фигур,
на которые сечение делит правильный тетраэдр.
495. Найти отношение объемов фигур, на которые делит пра-
вильную четырехугольную пирамиду плоскость, перпендикуляр-
ная к стороне основания и делящая эту сторону в отношении 1:3.
496. Найти площадь сечения прямоугольного параллелепи-
педа ЛВСРЛ1В1С1Р1 плоскостью, проходящей через вершину Л,
и середины ребер ВС и DC параллелепипеда, если три ребра,
выходящие из одной вершины, имеют длины 2,4 и 6 см (| А /Ц |=6 см).
497. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный
треугольник АВС: С = 90°, А =30°. Каждое из боковых ребер
имеет длину b и наклонено к плоскости основания под углом,
имеющим величину а. Вычислить площадь сечения пирамиды
плоскостью, содержащей вершину С и середины М и N ребер
DA и DB.
498. Куб ABCDAiBiCiD^ пересечен плоскостью, проходящей
через вершину А и середины М и N ребер ВС и DDr куба.
Вычислить площадь полученного сечения, если ребро куба имеет
длину 4 дм.
499. Основанием пирамиды SABCD с конгруэнтными боко-
выми ребрами служит прямоугольник ABCD, длины сторон
которого а и 2а. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через вершину А, середину ребра SC и параллельно
(BD), если высота пирамиды имеет длину За.
500. Параллелограмм, в котором |ЛВ|=а, |ВС]=2а, ЛВС—120°,
служит основанием прямого параллелепипеда ABCDA^Bfi^D^
Найти величину угла, под которым наклонена плоскость, про-
ходящая через (BD^) параллельно (ЛС), к плоскости основания,
если |ЛЛ1| = аКЗ.
501. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, острый
угол которого имеет величину а. Найти величину угла, под
185
которым плоскость, пересекающая параллелепипед до квадрату,
наклонена к плоскости его основания,
502. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF.
Через точки М и /V, выбранные на стороне Л В ее основания
1 з
так, что | AM 1= £-| ЛВ|, | Л/V | =-^-(/4231, проведены плоскости,
перпендикулярные к (ЛВ). Найти отношение площадей, фигур,
полученных в пересечении этих плоскостей с пирамидой.
503. Правильная треугольная пирамида ABCD сечением
параллельным основанию ЛВС, разделена на две фигуры,
имеющие равные площади боковых поверхностей. Найти отноше-
ние объемов этих фигур.
504. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через
одну из диагоналей куба так, чтобы сечение имело минимальную
площадь.
505. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна а.
Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через
середину ребра AD параллельно (ВС) и наклоненной к плоскости
(ЛВС) под углом, величина которого ср удовлетворяет условию:
tg<jp = K2.
506. В правильном тетраэдре ABCD точка М.—середина ре-
бра AD, точка N выбрана на ребре АВ так, что | ЛМ| =*j |ЛВ|.
Найти величину угла между плоскостями ЛВС и MNC.
507. Длина стороны основания правильной четырехугольной
пирамиды SABCD равна а, длина высоты пирамиды h. Через
сторону AD основания пирамиды и середину скрещивающегося
с ней бокового ребра проведена плоскость. Определить расстоя-
ние от вершины S до плоскости этого сечения.
508. В правильной треугольной пирамиде длины стороны
основания и бокового ребра равны соответственно а и 3. Вы-
числить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через середину бокового ребра и перпендикулярно к нему.
509. Через вершину В правильной треугольной призмы
АВСА1В1С1 проведена плоскость, перпендикулярная к диагонали
ЛВ2 грани. Вычислить объем пирамиды, отсеченной этой пло-
скостью от призмы, если | АВ\ = а, | AA1f = a]/r'3.
510. В правильной треугольной призме АВСА^С^ все ребра
которой конгруэнтны между собой, через вершину Л\, середину М
бокового ребра ССг и середину N стороны ВС основания АВС
проведено сечение. Найти отношение объемов фигур, на кото-
рые это сечение делит призму.
511. Тетраэдр ABCD пересечен плоскостями П и Пп каждая
из которых параллельна прямым АВ и CD. Доказать, что сече-
ния плоскостями П и Пх равновелики, если р((ЛВ), П) =
= р ((CD), Щ).
186
512. В основании пирамиды DABC лежит правильный тре-
угольник ЛВС, сторона которого имеет длину а. Боковая грань
ABD перпендикулярна плоскости основания и |РЛ ] = |£>В| = Ь
(Ь^=а). Найти площадь того сечения, которое является квадратом.
513. Длина ребра куба ABCDA1B1ClD1 равна а, точка Н—
центр грани ABCD. Найти площадь сечения куба плоскостью,
перпендикулярной (ВгН) и проходящей через середину отрезка
ВЛ-
514. Найти площадь сечения правильной четырехугольной
пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через вершину А
основания ABCD и середины ребер ВС и SD, если сторона
основания и высота пирамиды имеют соответственно длины а'и h.
515. Ребро правильного тетраэдра ABCD имеет длину а.
Через вершину А параллельно (ВС) проведена плоскость так,
что угол между (ДВ) и этой плоскостью имеет величину 30°.
Найти площадь сечения.
516. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через
вершину А параллельно диагонали основания пирамиды BD
проведена плоскость так, что угол между (ЛВ) и этой плоско-
стью имеет величину 30°. Найти площадь сечения, если | ДВ| = а,
|S/7|~2K2a, где [S/7]— высота пирамиды.
517. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм
ABCD, в котором |ДВ|=15см, |Д£>| —13 см, |В£)|=14см.
Ребро ВД перпендикулярно к плоскости основания и имеет
длину, равную 48 см. Через вершину А проведена плоскость,
параллельная (BD) и пересекающая ребро SC в точке Л1 так,
что |SM |:| МС |=^3:2. Найти площадь полученного сечения.
518. В пирамиде SABCD с конгруэнтными боковыми ребрами
основанием является. прямоугольник, длины сторон которого
равны а и аУ 3. Вычислить площадь сечения пирамиды плоско-
стью, проходящей через вершину А и перпендикулярной к ре-
бру SC, если высота пирамиды имеет длину аУ 3.
§ 7. ЦИЛИНДР, КОНУС, ШАР
Задача 27. Четыре сферы радиуса 7? и четыре сферы ра-
диуса г расположены так, что каждая касается трех сфер одного
радиуса и трех сфер другого радиуса. Найти отношение R:r (7?>г).
Решение. Пусть Д, В, С, D — центры сфер радиуса R и
Л3, Clt Dj —центры сфер радиуса г.
1) Каждая сфера радиуса R касается трех других того же
радиуса, значит, А\В | = | АС | = | AD | = | ВС | = | CD | — | BD | — 27?.
Следовательно, Д, В, С, D — вершины правильного тетраэдра
(рис. 25).
2) Каждая сфера радиуса г касается трех сфер того же ра-
диуса, значит, | 4^,1 = |BA 1 = 1^11 =
18Z
Рис. 25
= | bxl>x | = zr, следова-
тельно, Л1В1С1О1 — верши-
ны правильного тетраэдра.
3) Каждая сфера ра-
диуса г касается трех сфер
радиуса R; пусть S(Dn г)
касается S(Л, /?), 5(В, /?),
S(C, R), тогда 10^1 =
=] DXB\ = \ DXC\ = R-\~г и
Dx принадлежит высоте
DD2 тетраэдра ABCD, так
с как R > г. Аналогично
dj € МЛ8], Вх [ЯВ?],
Сх € [сС\],где [ЛЛ2],[ВВ2],
[ССг] — высоты тетраэдра
ABCD.
4) В Д BDA j DXD2 Н
=/|SD.|2-|ВСШВОг|=
|f,D,l- Z |«+г)'-(ф/;)!= V (R+O’-v^’-
Ясно, что
I £>г^>а | = j С*1С21 = I B1S2| = |z4142|, следовательно, точки Ait Bv
Cv Dx одинаково удалены от центра О тетраэдра ABCD, зна-
чит, О — общий центр двух правильных тетраэдров.
5) В правильном тетраэдре A BCD | DO | = y | DD2|, а | DD21 =
= уЛ(2Я)2—= IDD21 -1 DO 1 +1 OD, I +
+ ]/Z(/?-br)2—^/?2)^>(/?2-6/?r + ra = 0)^>y-=3+.2/2.
Ответ. 3 + 21/2.
519. Найти площадь поверхности и объем тела, полученного
при вращении параллелограмма около прямой, содержащей
большую сторону, если длины сторон 4 и 6 см, а острый угол
имеет вёличину 30°.
520. Найти отношение объемов, площадей поверхностей шара
и вписанного в него равностороннего конуса.
521. В шар вписан цилиндр, высота которого составляет
половину диаметра шара. Найти отношение объемов фигур, на
которые поверхность цилиндра делит шар.
522. В равносторонний конус вписаны лва шара: первый шар
касается боковой поверхности конуса и его основания, второй —
188
боковой поверхности конуса и первого шара. Найти отношение
объемов шаров.
523. Высота конуса имеет длину h. Две взаимно перпенди-
кулярные образующие делят боковую поверхность конуса на
две части, площади которых относятся как 1:2. Вычислить объем
конуса.
524. Длина высоты усеченного конуса есть среднее пропор-
циональное между длинами диаметров оснований. Доказать» что
в такой усеченный конус можно вписать шар.
525. При каком условии вокруг четырехгранного угла можно
описать коническую поверхность?
526. Отношение длины высоты конуса к радиусу описанного
около него шара равно 9. Найти отношение объемов этих тел.
527. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении
конуса» зная, что на его поверхности можно провести три по-
парно перпендикулярные образующие.
528. Плоскость П содержит основание равностороннего ко-
нуса, длина высоты которого 10 см. Каждый из трех конгруэнтных
шаров касается двух других, плоскости П и боковой поверх-
ности конуса. Найти радиус этих шаров.
529. Плоскость П содержит основание конуса, длина высоты
которого 4 см, а радиус основания 3 см. Каждый из 6 конгру-
энтных шаров касается двух соседних, плоскости П и боковой
поверхности конуса. Найти радиусы шаров.
530. Около шара описан усеченный конус. Отношение объема
усеченного конуса к объему шара равно 13:6. Найти величину
угла между образующей конуса и его основанием.
531. В конус вписан шар. Доказать, что отношение плошади
полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно
отношению их объемов.
532. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара отно-
сится к площади основания конуса как 4:3. Найти величину
угла в осевом сечении при вершине конуса.
533. Из полукруга радиуса г свернута боковая поверхность
конуса. Найти объем этого конуса.
534. Найти объем шара, вписанного в конус, у которо-
го высота и радиус основания имеют соответственно дли-
ны Л, г.
535. Длина высоты конуса равна ft, величина угла между
образующей и высотой равна а. Найти радиус сферы с центром
в вершине конуса, которая делит конус на две равновеликие
фигуры.
536. На плоскости лежат вокруг общей вершины п конгру-
энтных последовательно касающихся друг друга конусов. Опре-
делить величину угла при вершине в их осевом сечении.
537. Найти отношение объема конуса к объему вписанного
в него шара, если известно, что плоскость, касающаяся шара
и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отсекает
189
от этой образующей отрезок с концом в вершине, длина кото-
рого в k раз больше радиуса шара.
538. Площадь полной поверхности конуса в п раз больше
площади поверхности вписанного в него шара. Найти величину
угла наклона образующих конуса к плоскости его основания.
539. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса,
если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендику-
лярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины
конуса на расстоянии d.
540. Радиус основания конуса, описанного около цилиндра,
равен а высота имеет длину h. Какое наибольшее значение
может иметь площадь боковой поверхности цилиндра?
541. Высота конуса разделена на три конгруэнтных отрезка.
Точки деления служат вершинами двух конусов, подобных дан-
ному и имеющих общую плоскость оснований с данным конусом.
Найти отношение объемов фигур, на которые при этом разде-
лялся данный конус поверхностями двух других.
542. Длина высоты конуса в 4 раза больше радиуса сферы,
вписанной в этот конус. Длина образующей конуса равна 6.
Найти площадь боковой поверхности конуса и радиус сферы,
описанной около конуса.
543. В конус вписаны два шара радиусов R и г: первый
шар касается боковой поверхности конуса и его основания, вто-
рой—боковой поверхности конуса и первого шара. Найти пло-
щадь боковой поверхности усеченного конуса, основания кото-
рого содержат окружности касания шаров с поверхностью конуса.
544. Три шара радиуса R касаются одной и той же плоскости,
и каждый из них касается двух других. Найти радиус шара,
касающегося плоскости и трех других шаров.
545. Три сферы касаются между собой и плоскости в вер-
шинах треугольника, длины сторон которого равны соответственно
а9 Ь, с. Вычислить радиусы этих сфер.
546. Два шара радиуса и два шара радиуса г2 располо-
жены так, что каждый из них касается трех других и плоско-
сти П. Найти
547. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса 4 см и один
радиуса 5 см так, что каждый шар касается двух других и бо-
ковой поверхности цилиндра и плоскости одного основания.
Найти радиус основания цилиндра.
548. На сфере даны четыре конгруэнтные окружности, каж-
дая из которых касается трех остальных. Найти их радиусы,
если радиус сферы R.
§ 8. КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Задача 28. Найти величину плоского угла при вершине
правильной четырехугольной пирамиды, если центры сферы,
вписанной в пирамиду и описанной около нее, совпадают.
190
Рис. 26
Рис. 27
Решение. I) Пирамида правильная, следовательно, в ос-
новании квадрат ABCD (рис. 26) и высота проходит через центр Н
квадрата.
2) Центр О сферы, описанной около пирамиды, есть точка,
равноудаленная от вершин, значит, O£[/V//].
3) О—центр сферы, вписанной в пирамиду, пусть Е—точка
касания с гранью, тогда E£[NF] — апофеме грани, а основания
пирамиды сфера S (О, г) касается в центре Н.
4) Д NOE ДО АН по гипотенузе и катету, значит, |АЯ| =
= | NE | = а у2 , если |ЛВ| = а.
5) [HF] [F£], как отрезки касательных, проведенных к сфере
из одной точки, получаем, что |£Т| = -^-.
£
6) В &NBF = =----^=- = /2—1.
' |/vr I i_|_ у2
tg BNC == = 1 => BNC = 45°.
1—(K2— I)2
Ответ. 45°.
Задача 29. В правильную четырехугольную пирамиду
вписан куб так, что одно ребро куба лежит на средней линии
основания пирамиды, вершины куба, не принадлежащие этому
ребру, лежат на боковой поверхности пирамиды, центр куба
лежит на высоте пирамиды. Найти отношение объема пирамиды
к объему куба.
Решение. 1) Высота NH правильной четыре?:угольной
пирамиды (рис. 27) принадлежит ее оси вращения четвертого по-
рядка. Куб вписан в пирамиду так, что одно ребро—на средней
линии основания пирамиды, а высота NH проходит через центр
куба, следовательно, (NH) является осью вращения второго
порядка для объединения этих фигур, значит, перпендикулярна
191
диагональному сечению EFM1\ куба, 1. е. плоскость (EFM)
параллельна плоскости основания пирамиды.
2) Плоскость, содержащая грань MLKL± куба, перпендику-
лярна основанию пирамиды и пересекает ее по трапеции
значит, | RQ | = | ВС | = 2 | МК | — | ВХСХ |. Если обозначим | ML | = а,
то |ВС| = о(2/2-1).
3) А NHtLt ~ A NHRt , |Д'Я| =
1 г— 19 УТЬ.
= 1(3)/ 2 + 2); vn:t»fc = ^A-i.
£л
„ 191^2 .
Ответ. —-т,-----1.
6
549. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду, основанием
которой служит ромб; длины диагоналей ромба равны 6 и 8 см.
Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей
основания и имеет длину, равную 1 см.
550. Ребро куба ABCDAyBxCJ\ имеет длину а. Найти радиус
сферы, проходящей через концы ребра AAj и касающейся гра-
ней двугранного угла при ребре ССР
551. Ребро куба имеет длину я, [MJV]— его диагональ. Найти
радиус сферы, касающейся трех ребер куба, исходящих из вер-
шины М, и трех граней, содержащих точку JV.
552. Длина ребра куба равна а. Найти радиус сферы, ка-
сающейся прямых, соединяющих середины скрещивающихся ре-
бер куба.
553. Правильный тетраэдр вписан в куб. Найти отношение
радиусов сфер, одна из которых вписана в куб, а другая в тет-
раэдр.
554. В треугольной пирамиде DABC все плоские углы при
вершине D прямые. Доказать, что вершина D, точка пересече-
ния медиан основания АВС и центр сферы, описанной около
пирамиды, лежат на одной прямой.
555. В тетраэдре боковые ребра попарно перпендикулярны и
имеют длины соответственно а, Ь, с. Найти объем тетраэдра и
радиус описанной около него сферы.
556. Доказать, что если в тетраэдре боковые ребра попарно
перпендикулярны, то длина каждого из отрезков, соединяющих
середины двух его противоположных ребер, равна радиусу сферы,
описанной около тетраэдра.
557. В тетраэдр, плоские углы которого при одной вер-
шине— прямые, вписана сфера радиуса г и около него описана
сфера радиуса R. Доказать, что
2/?:г>3(1 +/3).
558, Около шара описана правильная четырехугольная усе-
ченная пирамида, длины сторон оснований которой относятся
192
как min (т>п). Найти величины угла наклона к плоскости
нижнего основания боковой грани и бокового ребра.
559. Сфера касается всех трех боковых граней треугольной
пирамиды в точках пересечения биссектрис. Доказать, что пи-
рамида правильная.
560. В пирамиде SABC |/4B| = |SC| и ребро SC наклонено
к плоскости основания АВС под углом, величина которого 60°.
Вершины Л, В, С и середины боковых ребер пирамиды принад-
лежат сфере радиуса 1 см. Найти длину высоты пира-
миды.
561. В сферу радиуса R вписана правильная n-угольная пи-
рамида. Найти длину ее высоты, если она имеет максимальный
объем.
562. В сферу радиуса R вписана правильная п-угольная
призма. Найти длину ее высоты, если она имеет максимальный
объем.
563. На ребрах АВ, AC, AD тетраэдра ABCD построены как
на диаметрах шары. Доказать, что тетраэдр принадлежит объеди-
нению этих шаров.
564. Основанием пирамиды служит равнобедренный треуголь-
ник, боковые стороны которого имеют длину Ь; соответствующие
им боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и
образуют между собой угол величиной а, который конгруэнтен
углу между третьей боковой гранью и плоскостью основания.
Найти радиус вписанной в пирамиду сферы.
565. Основанием прямой призмы служит прямоугольный тре-
угольник, высота которого, проведенная через вершину прямого
угла, имеет длину h и составляет с одним из катетов угол ве-
личиной а. Найти объем призмы, если известно, что в нее
вписана сфера.
566. В правильной четырехугольной пирамиде NABCD высота
конгруэнтна диагонали основания. Через вершину А парал-
лельно (BD) проведена плоскость, касающаяся вписанной в пи-
рамиду сферы. Найти отношение площади полученного сечения
к площади основания пирамиды.
567* Найти площадь части поверхности правильного тетра-
эдра, заключенной внутри шара, если центр правильного тетра-
<. - а 1^22
эдра с длиной ребра а служит центром шара радиуса —•
568. Ребро куба имеет длину а. Сфера касается всех ребер
куба. Найти площадь части сферы, заключенной внутри пира-
миды, вершинами которой являются вершина куба и точки ка-
сания ребер, исходящих из этой вершины, со сферой.
569. Ребро правильного тетраэдра имеет длину а. Сфера ка-
сается всех ребер правильного тетраэдра. Найти площадь той
части сферы, которая находится внутри тетраэдра.
570. Доказать, что если в треугольной пирамиде сумма длин
любой пары противоположных ребер одна и та же, то вершины
7 № 102
193
этой пирамиды являются центрами четырех сфер, попарно каса-
ющихся друг друга.
571. Внутри правильного тетраэдра с ребром длины а рас-
положены четыре конгруэнтных между собой шара так, что
каждый касается трех других и трех граней тетраэдра. Опреде-
лить радиус этих шаров.
572. Сфера, вписанная в правильную шестиугольную пира-
миду, проходит через центр сферы, описанной около этой пира-
миды. Найти отношение радиусов сфер, описанной около пира-
миды и вписанной в нее.
573. В правильную треугольную призму с высотой, имеющей
длину /г, вписана сфера. Найти радиус сферы, касающейся дан-
ной сферы, основания призмы и двух боковых граней.
574. В тетраэдр ABCD вписан шар радиуса г. Плоскости,
касательные к этому шару и параллельные граням тетраэдра,
отсекают от тетраэдра ABCD четыре тетраэдра. Пусть г2,
гя, г4 — радиусы шаров, вписанных в эти тетраэдры. Доказать, что
Г1 + г» + г8 + ^ = 2г.
575. Диагональ куба служит осью вписанной в куб правиль-
ной шестиугольной призмы. Найти объем призмы, если ее высота
втрое меньше диагонали куба, а ребро куба имеет длину а.
576. В куб вписан прямоугольный параллелепипед, основания
которого перпендикулярны одной из диагоналей куба и делят
ее на три конгруэнтных отрезка. Найти отношение объемов куба
и параллелепипеда.
577. Ребро куба имеет длину а. Диагональ куба РР± принад-
лежит оси вписанной в него правильной треугольной призмы.
Найти объем призмы, если плоскости ее оснований пересекают
[PPJ в точках О и О19 таких, что | РО | — \ОРА |, j РОХ |: 1 — 2:1.
578. Куб Ф' является образом куба Ф при повороте вокруг
оси, соединяющей центры двух его противоположных граней.
ФПФ' имеет минимальный объем. Изобразить ФпФ' и вычис-
лить его объем, если ребро имеет длину а.
579. Через середины двух противоположных ребер куба Ф
с длиной ребра а, не принадлежащих одной грани, проведена
прямая. Ф' является образом Ф при повороте вокруг этой пря-
мой на угол 90°. Построить изображение ФиФ' и найти объем
ФПФ'.
580. Куб Ф' является образом куба Ф при повороте вокруг
одной из своих диагоналей на угол 60°. Построить изображе-
ние ФиФ' и найти объем Ф Г1Ф', если ребро куба имеет длину а.
581. В пирамиде DABC все плоские углы при вершине D
прямые, а ребра, исходящие из этой вершины, имеют длины а,
Ь, с соответственно. Найти длину ребра куба, вписанного в пи-
рамиду так, что одна его вершина совпадает с О, а противопо-
ложная ей вершина принадлежит плоскости АВС.
194
582. В правильный тетраэдр вписана правильная треугольная
призма, имеющая максимальный объем, так, что одно ее основа-
ние принадлежит основанию тетраэдра, а вершины второго осно-
вания лежат на боковых ребрах тетраэдра. Найти отношение
объемов призмы и тетраэдра.
583. В правильный тетраэдр вписан куб так, что прямая,
соединяющая середины противоположных ребер тетраэдра, пер-
пендикулярна двум параллельным граням куба. Найти длину
ребра куба, если ребро тетраэдра имеет длину а.
584. Ребра АВ и CD тетраэдра ABCD перпендикулярны друг
другу и к прямой MN, соединяющей их середины; (MN) слу-
жит осью вписанной в тетраэдр правильной четырехугольной
призмы. Найти ее объем, если |ДВ| = |СР| = 8 см, |МЛ^| = 4см
и длина высоты призмы относится к длине стороны основания
как 3:1.
585. Правильный тетраэдр Ф' является образом правильного
тетраэдра Ф при повороте на прямой угол вокруг прямой, соеди-
няющей середины его противоположных ребер. Построить изобра-
жение ФиФ' и вычислить объем ФГ)Ф', если ребро тетраэдра
имеет длину а И2 .
586. Правильный тетраэдр Ф' является образом правильного
тетраэдра Ф при повороте на угол 30° вокруг прямой, содер-
жащей высоту. Изобразить тетраэдры и вычислить объем их общей
части, если длина ребра тетраэдра равна 1^2 см.
587. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб
так» что четыре его вершины принадлежат боковым ребрам пи-
рамиды, а остальные четыре — плоскости ее основания. Доказать,
что где Vt—объем куба, V—объем пирамиды.
588. Около сферы радиуса г=1 см описан куб и правиль-
,ная четырехугольная пирамида, объем которой в раза больше,
чем объем куба. Одна из граней куба принадлежит основанию
пирамиды и ее стороны параллельны сторонам основания пира-
миды. Вычислить объем пересечения куба и пирамиды.
589. В тетраэдре ABCD | ЛВ| = 10 см, \CD =18 см, каждое
из остальных ребер имеет длину 5)^10 см. Найти радиус ци-
линдрической поверхности, касающейся пяти ребер тетраэдра,
если ее ось параллельна (АВ).
590. В цилиндре высота конгруэнтна диаметру основания и
имеет длину h. На окружностях основания выбрано по точке
так, что прямая, их соединяющая, образует с плоскостью осно-
вания цилиндра угол величиной а. Определить кратчайшее рас-
стояние между этой прямой и осью цилиндра.
591. Все четыре стороны равнобочной трапеции касаются
цилиндра, ось которого перпендикулярна параллельным сторо-
нам трапеции. Найти величину угла, образованного плоскостью
19S
трапеции с осью цилиндра, если длины оснований и высоты тра-
пеции равны соответственно а, b и /г.
592. В каждый из трехгранных углов прямой призмы
ЛВС£>Д1В1С1Р1, в основании которой ABCD — ромб, |ЛС|~8см,
|BD| — 6 см, | АА± | — 1 см, вписан шар, касающийся конуса
с вершиной в точке О = (Д1С1)П(В1В>3) и основанием, вписанным
в ромб ABCD. Найти радиусы шаров.
593. Длины основания и высоты равнобедренного треуголь-
ника равны соответственно 6 и 8 см. Цилиндрическая поверх-
ность с образующими, перпендикулярными к основанию треуголь-
ника, касается всех его сторон. Ось цилиндрической поверхности
образует с плоскостью треугольника угол величиной 30°. Найти
радиус цилиндрической поверхности.
594. Ребро куба имеет длину а. Диагональ куба содержит
ось цилиндрической поверхности, касающейся шести ребер куба,
не проходящих через концы этой диагонали. Найти радиус ци-
линдрической поверхности.
595. В сферу радиуса R вписана правильная треугольная
призма, боковая грань которой—квадрат. Найти длину ребра
призмы.
596. В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр,
ось которого содержит высоту пирамиды, а его осевое сечение —
квадрат. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра,
если сторона основания и высота пирамиды имеют длины а и
2j/"3a.
597. Ребро куба имеет длину а. Диагональ куба служит осью
цилиндра, окружности оснований которого касаются граней куба
в их центрах. Найти объем цилиндра.
598. Прямая, соединяющая середины скрещивающихся ребер
правильного тетраэдра, служит осью цилиндра, окружности осно-
ваний которого касаются граней тетраэдра в их центрах. Найти
отношение объема цилиндра к объему тетраэдра.
599. В правильную четырехугольную пирамиду, диагональное
сечение которой — правильный треугольник, вписан цилиндр
с максимальным объемом так, что его ось параллельна диаго-
нали основания пирамиды. Найти отношение объемов цилиндра
и пирамиды.
600. В конусе даны радиус основания R и величина а угла
между образующей и плоскостью основания. В этот конус вписана
прямая треугольная призма с конгруэнтными ребрами так, что
ее основание лежит в плоскости основания конуса. Определить
длину ее ребра.
601. В конус вписан куб так, что четыре его вершины на-
ходятся в плоскости основания конуса, а четыре—на его боко-
вой поверхности. Радиус основания конуса относится к длине
диагонали грани куба как 1: (2—К2). Найти величину угла
наклона образующей конуса к плоскости его основания.
196
602- Каждое ребро правильной шестиугольной призмы, вписан-
ной в конус, имеет длину а. Найти объем конуса, если угол
в его осевом сечении имеет величину 60°.
603. Угол в осевом сечении конуса имеет величину а. Найти
длину ребра правильного тетраэдра, одна вершина которого ле-
жит в центре основания конуса, а остальные—на боковой по-
верхности конуса. Радиус основания конуса равен г.
604. В конус вписан куб так, что одно ребро куба лежит на
диаметре основания конуса, центр куба принадлежит высоте ко-
нуса. Найти отношение объемов конуса и куба.
605. Около конуса описана пирамида, основанием которой
служит ромб; длины диагоналей ромба 6 и 8 см. Найти радиусы
сфер, касающихся боковой поверхности конуса и вписанных
в трехгранные углы при основании пирамиды, если ее высота
имеет длину, равную 1 см.
606. Три равносторонних конуса, радиус основания каждого из
которых равен г, расположены так, что все они имеют общую
вершину и каждые два из них — по одной общей образующей.
Найти объем пирамиды, вершинами которой служит общая вер-
шина и центры оснований конусов.
607. Все стороны пространственного четырехугольника каса-
ются шара. Доказать, что все точки касания принадлежат одной
плоскости.
608. Доказать, что всегда существует сфера, касающаяся всех
четырех прямых, каждая из которых содержит сторону простран-
ственного четырехугольника,
609. Конгруэнтные между собой отрезки 5Л, SB, SC, SD
являются хордами сферы радиуса /?. Найти |5Л |, если ASB =
= Asb = BSC = dSD = а.
610. В правильную четырехугольную пирамиду ZABCD впи-
сана сфера S (О, г), касающаяся граней AZB, BZC, CZD и DZA
соответственно в точках Л1, /V, Pf Q. Найти объем пирамиды
0MNPQ, если угол между гранями AZB и BZC имеет вели-
чину а.
611. ZABCD— правильная четырехугольная пирамида. Сфера
S(O, г) касается ребра ZC и плоскости АВС в точке А. Найти
величину угла между плоскостями АВС и ОВС, если известно,
что плоскости ОВС и ZAD взаимно перпендикулярны.
612. Ребро правильного октаэдра имеет длину 1 дм. Прямая,
соединяющая центры двух противоположных граней, является
осью цилиндра, осевое сечение которого квадрат. Найти длину
высоты цилиндра, если окружности оснований пересекают ребра
октаэдра, не принадлежащие указанным граням.
ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ I
Указания даются к одному из возможных способов решения задачи.
Глава 1
1. (х—3) (3*4- 2)а. 2. (2х—/2—< УТ)(2х-г /2-Н УТ). 3. (х4-21) X
X (х-|-4— Уб ). У Казани е. Положить x-\-4 = t. 7. 8(3х—2)3. 8. (х—2у)Х
X (х4-^)2- 0- (х—у) (У—г)(г—х). Указание. Использовать тождество
у2— г2 = — ((г2—х2)4-(х2—у2)). 10. (^4-г)(х—у)(г+х). 11. (х4-у)(у+г) X
X (гЦ-х). 12,13. —(х—у) (у—г) (г—х). 14,15. (x4-t/) (у+г) (z-|-x).
16. 3(х4-у)(//Н-г)(г4-х). 17. 24х«/г. 18. 3 (2х4-^4-г) (х+2у+г)(х+у+2г).
19,20. (х—у) (у—г)(г—х)(х+у+г). 21. —2(х—у) (у—г) (г—х)(х+у+г).
22. (х—у)(у+г) (z-f-x) (х+у—г). 25. У к а э а н и е. Следует из тождества 24.
26. Указание. Следует из тождества 25, так как (х—у)-)-(у—г) 4-
4- (г—х)=0. 31. —(х—у)(у—г)(г—х)(ху+уг + гх). 32. 5ху (x4-jr) (х2 4-
4-*!Н-Уг)- 33. 5(х4-у)(у-Ьг)(г4-х)(х24-у24-г24-ху4-уг4-гх). 34. (х4-
+ у+г) (х2—ху+у2). 35. 3 (x4-y4"z) (х24-У-Ь г2)- 36. (х+у—1)(х2—ху +
+ И+ х+ «Н-0- 37. (х24-3) (х24-3х 4-3) (х2—3x4-3). 38. (х24-х4-2)(х2 —
— х4-2). 39. (х |-1) (х 4-6) (х2 4-7x4-16). 40. (Зх—1)(9х2—6x4-4). Указа-
ние. Положить Зх = 1. 41. 1) Неприводим; 2) (х2 + у2+ху j/~2) (х2+у2—
-ху У2); 3) (х4--^_(14-0«г) (х4—^.(1 -i)y) (х-------^(l-j-O^X
xfx----^(1— i)yj. 42. 1) и 2) (x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)i 3) (x-|-
+ y+yi)(x+y—yi)(x—y+yi)(x—y—yi). 43. (Х2+у2+г2+ху+уг+гх)2.
Указание. Положить x2+tf+z2=u, xy+yz+zx=v. 44. (х+у+г)2Х
X (х2+у*+г2—ху—уг—zx)2. 45. (2х+у+г) (х+2у+г). 46. а—1.Ь=—2.
47. в = 1, Ь = —3. 48. с=6. Ь= — 7. 50. а = —48, Ь—— 12. 51. (х— УТ) X
i Кз)}. 52. 2(х ;-1- К2)х
У 53. (х —1—1) (х- 14-0 X
х (х4- У2) (х4-1(14-/ Уз))(х4-1(1-
Х(х-Н4- У2’)^х4-1(1-о)(х4-1(14-О
198
X Из)). 54. Неверно. 56. f(x)~~.
57. / (3,07) =—3,07; /(-А)=А; / ( FT) =- )<2 ; /(-л)=л.
58. -Ьх> 59- ; к*, у-
ЛС ~ О I Л 2
^х-улг^-х—у}. 60. Xs+5; R\j0, —/3, -/2", /Т}. 61. |х
Х(х+^4-г); {(х, у, г)£Ц3\х & ууу уЬ zyг х}. 62. у * ; {(х, у)£Сг\х^
** У
|£0лу ^Олу 0 —-х}. 63. 4; {(х, у, z)£C3|x t^OAj// Oaz $£0}. 64.
{(х, у, 2)^С31 х у г xAx-f-y+ г 0}. 68 , 69 , 70. Указание. После
приведения левой части к общему знаменателю расположить числитель по
убывающим степеням х. 71. [—3, оо[. 72. ]—оо, —3]. 73. R. 74. {2, оо[.
75. }—оо — 1]. 76. ]—оо, — 1]U12, оо[. 77. [1, 3[. 82. Указание.
Положим ^/20+Н \f2 + р/20—14 р'ТГ =х. Тогда х3 = 40-|-6х
x(^Z20+14V^ +^20—14 /2”). х3 = 404-6х, х3—6х—40=0, (х—4)Х
Х(ха4-4х+10) =0. Единственным действительным корнем этого уравнения
является х=4. 84. 18. 85. 0,79. S6. 2,49. 87 . 2,36. 88 . 2,90. 89 . 9,8.
90 . 21,95. 91. 15,39. 92. —7,24 . 93 . 2. 94 . 2. 95.
3. 96. 1+ КЗ . 97. -Ь X
Х(ГЗ- К2)(Г7-К5). 98. ±(f3-yr)(2^/2+3 »/4 4-9).
09. -^-(-3+7j/2-j/T). 109. 1 (3/25 4-23/5 4-3). 101.J/27+
+ 3 K3+4J/3 + I). 102. 1 + 3/2+2 К2-4/8 . 103. (2 +2 ^2 +
113.
гх-1,
x₽j 1;
/(х) =
114.
— - 1. О < х < 1.
х
л>1.
т
X
116. f(x) = j/x*
I. 117. /(x) =
118.
119. 1. 120. 1, если a > b; —1, если a < b. 121. хг, если хЭ= 1; —если
ab
b
— Kx<l, X5*O. 126.
где |x|&2, т. e. ?/x при p/—x при x«S—2. 128.
• 127. $/\x\ ,
18. 129. 7-^-.
<7
- a*
130. 81 /2. 131. 9. 132. ab2. 133. -r=- . 134.
— . 135. JO, oof. 136. ]—oo, Of.
137. /?\{0}. 138. {(x, {/)|x>0, y>0}. 139. {(x, y)|x<0, у < 0}.
И0. {(x, у) | xy > 0}. 141. ]0, oof. 145. logad. 146. 0. 147. log*a. 148. 2,
13 1 1
если b^a>\\ 21oga b, если 1 < b < a. 149. —y— a\ —g—tz.
150. f. 151. $9, . 166. Указание. Использовать тождество за-
1— b l-|-d
дачи 24, положив х3 — а, {/3 = 5, z3=c. 167. Указание. (а+6-f-c-J-d) =
= — (( V* + К«Г)^= y/'abcd . 168. Указание.
Применить метод математической индукции. 1) л = 1; если хх=:1,то xx^l.
2) Пусть утверждение верно при л = £ (k£N). Докажем, что тогда утверждение
верно для n = &+ 1. Доказательство 2). Пусть хх^ 1 и х2«С 1. Тогда (хх— 1)Х
Х(х2—1)<0; откуда ххх24~ Кхх + х2. Тогда хх4-х2+х3+ ..-+хЛ+1^
1 + х1х2+х3+ .. . + хд+1= 1 + (*1*а+*з+ • • -+хА+1)^ 14-£ (так как по
индуктивному предположению: (ххх2)+х3+ ... ~Ьх*+1 /?, если хх х2, х3, ...,
x/c+i > 0 и (ххх2) х3.. .х*+1 = 1). Из 1) и 2) следует, что утверждение верно для
любого натурального п. 169. У Казани е. Использовать задачу 168. 1-й слу-
чай. Хотя бы одно из чисел лх, a2t ап равно нулю. Тогда — (ax+...
• + . 2-й случай. Пусть ни одно из чисел alt а2, ап
не равно нулю, т. е. каждое из чисел alt ап > 0. Положим х/ =
= п/——-------- (t = l> 2» ...» л). Тогда xlt х2, хл>0 их1х2...х„=1
у а&ъ.'.ап
и следовательно, Xi+x2-f-.. ,-|-хп^ л, т. е. -1 л, откуда
/aia2...a„
200
.„=ап, то (^ + <*2+ • + **«) ~ .>ап . 2) Пусть, например, Ф
£ а2. Тогда
Ьдз + • • •
V (У и1а2 )2 аз---On Oia2a3.. .ап
(»): так как а1 £ а2 =Ф V at V( ]/~ai — Уа2)2 > О =>
(дь а2>0)
> )/га1а2 | . 172. Указание. Наибольшее значение произведе-
НИЯ Х?«Х*»...ХА« и
12 П
Л1
xki
*0
те
*П ___ Xj *1 Xg
~~ ki А, ’ k3
n
достигается при тех же значениях xlt х2,
.xi+• •- + хд —т0 произведение х^х^* ••• будет
«л лг1
2
наибольшим при-^-=4^==... =4^- • 175. 2— при х = 2, у = 1 176. 2/б
К1 л? 2 Rfl О О
прих = ^^. 177. 108 при х=1. 178. (Кд + КЛ2 при х = УаЬ. 179. -4 при
*
х — ±У~2- 185. У к а з а н и е. ab2c3 = abbccc, fl+2Z>+3c = a+^+^+c+c+c*
»,.....t /я)У »
Уab^ =—ab (a-}-b)2. 196. Указание. (д4-^)(^+Ф“
=(ad-j-be)^~ (ac-^-bd)ad-j-bc-{-2yacbd = (yad-^ У be)2. 197. Указан и e.
(а Ь)2^0=> a2 ab-£-№^ab | аз_|_ь3^а£ (а-|-6). Аналогично: Z>34-c3^
^Ьс(^+с), с3-}-а3^са (с-р а). 199. Указа ние. Можно считать, например,
а^^^с>0и рассмотреть: 1-й случай, 2-й случай, а < Ь+с-
0Л. ТГ Г» 1111
201. Указание. Воспользоваться тем, что 73г < -т-—г—-— тг при
л- k (k—1) k—1 k r
kGNf k> 204. Указание. Обозначим: A =——... ——. Тогда
2 4 6 2n
p 32 — 1 52—1 (2rt_ 1)2—1 p 32 52 (2/i— Ip
22 ’ 42 ’ 62 *’* (2л)2 < 22— 1 ’ 42— 1 ' 62 — 1 •” (2л)2— 1 ’
откуда q-;1- •<Л2 < - T , —Л < * . . < rL_ . 207. Указа-
2 (2л) 2л+1 2 Уп У2п+\ У 2п
f \ \п 1*1 ( 1 \» 1
ние 1) 1+— ) =1+л—+Сл-а+ ... >2; 2) ( 1 + —J ==1+л-—+
\ n J п П2 \ П 1 1 л
201
nln — 1) I , n (n— I)(n~ 2) i , | n (n — I'-.. (n—k-\- 1) 1 t
+ 2 л2'1 6 rC*" ‘ k\ ' n^"*
i_______!—
1 /II 1 \ 2Л + 1 1
-.+i<J + (1+y+^+--+^) = l +--------------—=3-^<3‘ 210. У ка-
1 2
ванне. Рассмотреть f (х) =Лх2-2£х4~С, где А = а;4-а24- .. .-J-aL В =э
df i . п
^ахЬх + а2Ь2+ ..< + апЬп, C = ^ + ^-f- + /(х)^0 при — оо<х<оо,
так как /(x) = (aix—&i)2 + .*. + (а„х —6П)2. Тогда В2 —ЛС^О. В2—ЛС=0
тогда и только тогда, когда существует k (k£R)< такое, что / (Л) =0, т. е.
~ О 2^ ”' ^2 • * * ~~~ ank ***"’ 1** k(l-\, &2 — 2> • • », bfi •— kan.
211. Указание. Согласно неравенству Буняковского— Коши (см. задачу 210)
случается (^₽i •|/’₽ixl + ... + l^P^xn)2 C
Х(рГ₽И+ ••• + К^лхл)- 216‘ + (х*+угУ^Ь при x > 0, £>0.
221. Указание. Положив x~ p—a.y—y^p—z=Kp.—с, доказать,
что < х+у+г^ /'3 (х24-у2+г2) прих,^, z > 0. 225. log316>
> log16729.
Глава II
Для краткости вместо слов “Если а> 1 (а — параметр), то областью истинно-
сти (множеством всех решений) является множество {a-J-l, а—1}л в ответах
глав 11 и III будем писать: а> 1 =£{а4~1, а—I}. Элементы множества, кор-
тежа, промежутка отделяются запятыми во всех случаях, кроме тех, когда
может быть неоднозначное истолкование записи (тогда ставится точка с запя-
той). Поясним примерами:
1) {—5, 8} — множество, содержащее один элемент: —5,8.
2) {—5; 8} — множество, содержащее два элемента: —5 и 8.
3) {1, 2, —5} — множество, содержащее три элемента: 1, 2 и —5.
4) {1,2; —5}—множество, содержащее два элемента: 1,2 и —5.
5) [1. 2] — промежуток с “концами”: 1 и 2.
6) [1,2; 3] — промежуток с “концами”: 1, 2 и 3.
229, 230, 233, 234, 240, 241, 242, 244, 246, 249, 250, 252. Уравнения равно-
сильны. 227, 228, 231, 232, 235, 236, 237, 238, 239, 243, 245, 247, 248, 251,
253. Уравнения не равносильны. 254. Уравнение (1) является следствием урав-
нения (2). 255. Уравнение (2) является следствием уравнения (1). 256, 257.
Уравнения равносильны. 258. Уравнение (1) является следствием уравнения (2).
259, 260, 264, 266, 269, 271, 273, 276, 282. Неравенства равносильны. 261,
262, 263, 265, 267, 268, 270, 272, 274, 275, 277, 278, 279, 280, 281. Неравен-
(21
ства не равносильны. 283. а 0 л а 1 => \ -у ?; а= 1 =^> R; а =0 => о.
284. а /—2 а а 2 =ф а ——2=> С; а = 2 => 0. 285. а =£ — I а
; а = — {2}; а=0=>{0}. 286.а^0=^><
СА
I а'
202
a=b==O=>R-, o=0 л bjk 0 =>{!}. 287. с2 /62 =>{—!—, __L 1 аг=6М0=Ф
| a—о я-}- о J
=ф{1); a=6 = O=»0. 288. Л=-|- . 290. a2x24*a (6—c) x— 6c=0. 291. a = 2;
a= —1. 292. acx2+(2ac—b2) x+ac = 0. 293. 1) p = —2, <? = — !; 2) p = [.
q^C. 294. —2.108; 2,608. 295. —3,076; 3,576. 296. 1,682; 5,146. 297. 7 — ~ ,
I £
14-1/3, l-1/з). 298. {-1,1(1 -/б), 1 (14-/5)W-l-дву-
кратный корень! 299. (—2, 1, 3, —1, 1). 300. <—3,1,—114- /13),—1-(1 —
-/13)1. 301. {-/3, /2, -14-1/3,-1-1/3}. 302. {-1-/6;-14- /6,
—1 / 3,1 /3 303. {—4—//То—3, —44-/ /То—3, —4—1/ /104-3,
j~ — *• /а
—44. ,y Y10+3 У Казани е. Положить х4*4=Л 304. < —— (9+ Y17),
Г I
— 1 (9—/17), —1 (94-1/7), —х-ДЭ—1/7) ! Указание. ((х+3)х
£ £ ~ 9
X(x-j-6)) ((*+ 4) (х+5)) = 8 — (х2+9х+18) (х3 +9х~г 20)=8. Затем положить
/ I z • т
х24-9х4- 19=1. 305. 7 —21, 31, —— ( /|5 —1), =- ( /154- 0 7 • 306. {-2-
I £ I
-/З, —24- / з, —3—2/2, —34-2/ 2). 307. 7—2— /5, —2-|- /5.
‘.(14-/17), —1(1-/17)| . 308. {—1 (14-1/"з), -1 (1-1/3))
(корни трехкратные). 309.< — 1, —Z, Z, ~ (5— К2Т),
I “
1(54-/21) 310. { — 1,
-1(34-/Б), -1(3-/5), 1(1— 2/21), 1(14-2/21)1. 311. {а-1,
а4-1, —а + С —а—0- Указание. Прибавить к обеим частям данного урав-
нения 4а2х«. 312. {—a, —Ь, —1 (а 4-6) 1.315. {4}. 316. 0. 317. С\ {—2;2).
318. {—5}. 319.
. 320. (7). 321
4-1/3). 323. (—3; 3}. 324. {5}. 325. {3}. 326.
2
а=Ох=>0. 330. а 0=ф{а4*1> 1+1)1 а=О=ф0. 331.6 а Л b —а=ф
; 6=а=?>СХ{— a, a)j Ь=—а^Охф0. 332.62 # а1 Л ab £
I с=6=0=£/?\(0}} в остальных случаях 0. 333.
1 Л a+b > ;я4-&=1 V а+^=О=ф0.334. а2 Ф Ь2 ЛаЬ & 0=ф
I о-т-* I
{д2 f £21
; a = 6 = 0 =ф /?\ {0}; в остальных случаях 0. 335. 9v
203
V3«K31va>31=$ J_2.(o+1+/aa_b6fl_27)( -l(a+i-
— yra2+6a —27) 1; а = з1 =J> {— 1); —9<a<3=£>0. 336. aft # 0 д
д^/с2е><!0, —VT f ; a=0 A b #r 0=ф/?\ J j-l; а^0д&=0=Ф
a - j- и j i d i
=фЯ\/1^; a=ft=0=>/?;ft = a^0vft = —a^0=j>{0}. 337. a+�=>
=ф {a, b}\ c-H=0=J>/?\{0). 338. a # b л b с=Ф {2c—b}; a£bf\ b=c=&
=фя; a—b=$>C\{bt c}. 339. a0 A # 4a2 =ф {6—a, Ь+a}; a=0=£
=}C\{0}; b — 2a О =Ф {3a}; b = —2a 0 => {—3a}. 340. a^5=>
=^{-2(a+ft4-c)}; a=ft=^C\{-2a}. 341. a2 yt ft2 д a2 5* 9ft2 =U .
* [a—b
a=6 = 0=>/?\{0; 2}; a = 36 # О V a = —3ft #0=фНД ; a2=62#
,fe 0 =$> 0. 342. 1-2, 1 [U] 1. oo[. 343. ]-oo,-2]U{1). 344. i-00, 2[U
(J] 2, 4 [. 345. [-3, «0 f. 346.1-11,4
I
849. Л\ /у} • 350. 0. 351. [—1. 3].
. 347
352. ] - 00,-2 [ U
co . 348. R.
HU] !.«>[.
353. j 2 ’ 1 2 ['
U [2, oof. 357.Г0.
354. ]—1. 1]U[2, 3[. 355. ] 2, 3 [. 356. ]—oo.OJU
4]u [2-1,
©0
. 358. ] —2, 00 [. 359.
1
3
860. l-oo, ~2[U] 1, 00 [. 361.] 2, 3[. 362. ]-I, 0 [(J] 1, 2 [. 363. a < 2=»
] — oo, a-|-2 [; a > 2 => ] a-j-2, co [; a —2 =$> 0. 364. a < 1 =Ф I — co,
V a > 3 =$>
; — 1 < a < 3 =Ф
1 a2— 2a
365. a<0v0<a< 1
366. a <0v a> 1=>
a=2.=*>0. 367. a <—1 V
a
a
а'^2а^Зг
co
373. т<~ 11. 374. т < — 4 v m>0. 375. m<l. 378. —5 <т<1.
О
377. — 1 < т < 4. 378. т < —3 V т> 1. Указание. хг < 1 < х2 тогда и
только тогда, когда 2(т—1)/(1) < 0. 379. т <—3 V т > 0. 380. т <—35 v
2 3
V tn > 3. 381. < tn < ~ . Указание. л2>х1> 1 тогда и только тогда,
О
> О
когда
382. -1 <
О
U] 3, 4[.
тп2—(т — I)(m—2) > 0
(т—1)/(1) > 0
, т. е.
/ т2—(т— 1)(т — 2)
I (т-1)/(1) > о
4
tn < 0 V т > 1. 383. —
< т < 1. 384. J — оо, —2[ (J
U
385.
[-з, -1] U{0}U
380. ]-оо, -1]U(3, 4J.
387. ]—оо, —3[(J]-1. 2[. 388. J — оо, — 3 [ (J 1 -2, — 1 [ U ] О,
389. [-3, —2](J[2, 3]. 390. ]-4,-1 [(Ji -U 2 [ (J ] 3, оо [.391.
393. а < 0 —>
U] о, За[; cz=Or=> 0. 394. а < — 1 => ] — «>, а [ (J ] — а, — 2а [; — 1 < а <
а
~2'а и
<0=ф]а, —<z[(J]—2а, <»[; а > 0 —> ] — оо, —2c[[j]—а, а|; а=—1 у
Va=O=»0. 395. ] — оо. —3[ IJ I
u[-44[u12.“ 1-397-1 -«>.-11U
U{3}. 398.
. 396. {-3} и
Ш 2,
оо [. 399. ]-оо, — 5[[J|— 2,
HU11, 3[. 400. ] —оо, -3[ (j
иГ-21. 2^U12, оо [. 461. ]-о=, -4[Ul-3, -2[UJ—1, ![•
402. 1 -2, 1 [и] 21, оо . 403. J-со, -8JU ~ 4 ’ ° U ] Т > 00 •
404. I-oo, -2[U1-1, HU13, со [. 405. ]-оо, —2 [ (j ] — 1, 0 [ U J 2, оо [.
406.
408.
Гз* 4 [и] 5, «[• 407. 1 -со, -11 [и] - К 2, -1 [и] / 2, оо[.
1 1-ГЗ, -1[и]1, 1+/з[. 409. а < 0=> ] а, 01U1 — а, оо |;
а > 0=> ] — оо,
а = 0 0.
410. а<0=ф] —оо, G(g
— a[U
— й
— а, -^а
412. а^3=ф]-со, —3 [(J1 —3. 3Ш1 6—бг, оо [; 3 < а < 9=£] — оо, —3 [ и
□ J —i 6—a[(J]3, оо [; 9 =>] — оо, 6 —a[(J]3, оо [.
=>]3а, a(UJ — а, —а>0=>] —2а, — a [(J ] а,
413. а<С=ф
За[} а=О=^>0.
414. а < 0 =>
— 00
-тг а
и
2а,
4° [ui«.
оо [;
а > 0=ф>] оо,
°IU
205
и т а< 2а и
-7Га.
а=0=»Я\{0}.
415. а < 0=Ф] — оо,О [(J
(J] — а, — 2а [ (J ] — За, оо f; а > О =£►] — За, — 2а [ U1 — а, 0[. 416. а < 0 =Ф
=>] За,— 2а [; а > 0=ф] — 2а, За [; а=0=Фй. 417. ас£,Ь =ф] — оо, а [ [J] &, со [;
а > b =>]—оо, b [ U ] а, оо [. 418. а<0=ф]а—1, 0 [ (J ] 0, —а [; 0<а<
<1-=ф] —со, а—1(U1 —а, 0((J]0, оо [; -Ь < а < 1 =Ф] — оо, —a[(J
424.
435.
а=
437. {1,
442. (—3,1 ]. 443. ]—оо, —1](J [4, оо[.444. (2}. 445.
. 440. {О, 2, —2}. 441. {3,—3}.
421.
425.
Кз
2,3—. 446. [—3,5].
О
447.
. 00
. 448. ]—оо, 1 [(J1 7, 449. ]—оо, 1 [.
450. ]—оо, 2[(J
U Зт, оо
I “
. 451. ]—оо, 1 ]U[3, оо[. 452. ]—оо,-1 Ш]0, 1 [U1 !,«=[.
453. ] 2, 3 | U ] 3, оо[.
456.[о, 141иГ27Г
454. ]—оо,
. 457. J-оо,—2 [ U] -2,-1 [U] — 1,0]. 458. ] —оо, 2 [.
459. [-2+К?, 1[U1 1. 4].46О. ]-оо, 1]U[5, оо[._ 461. [—1, О [U] О, 1].
< 0 =£> ]—оо, а [; а^О=^>0 . 466. а<0=£]—а, оо [; оо [.
467. д<О=з>]—оо, аКз^и]—лКз, оо [; а>>0=ф] —оо, —а [ и
tl]a /3, оо[. 468. а<0=ф]2аКЗ, 2а[и]2а, -2а V~3 [; а > О =J>
206
=ф] —2оГ‘3,2о[и]2а.2с/з[;а = О=^0.469. а < 0=ф [6а, 2а [U}2a, —2а];
аг>0=?>Я\{2а}. 470. ] 0. оо[.
473. [-I,O[(J] О.Ц-474.1-1
471. ] —оо, 0[.
.475.]—оо,—1 [U -1, —
4
472. ]-оо. O[(J[1,
U [О,
5
оо[.
<ю(.
476.
{4}. 477. 0 . 478. {—5; 8}.
479. {— t; 4). 480.
2
. 481. [2.
oo[.
482.
[5, 8]. 483. {—3}. 484. 0.
. 487. {21}.
488.
0. 489. {3}. 490.
. 491. {2}. 492. {2, —5}. 493.
494.
У казаки e.
495. {2; 3).
496.
1
. Указание.
x —v.
16
499.
Тогда и+ t>=l и п6-|"У5= 1. 497. {О, —2}. 498.
2}. 501. {—4}. 502. {—1}. 503. {—2}. 504. {а, — £}. 505. а^Ь =>{□);
a>b=$>{b}. 506.
{I}. 500. {1;
b
2
521.
а =
9
525. ] —ос,—-3]U 4, 4-г-
13
— (a — 1 )2
; a = b = Q =£> |0, oo[; в остальных случаях 0.
510. —
Ь = —а
2
3
511. а>0~>{2С};
514.
520.
в остальных случаях
2
0. Указание. Положить —2=/.
207
628. ]— оо, — 6]U] Ю, oo[.
529. 1—1. 3]. 530.
1-00, —IJU |8~г
531.1 -00,—4]U
00
»[. 533.]—оо,—2[.534. [5,6[.
-1, -1(3+ /5)
2—2/3 .536.
[0, 5]. 537.
535.
9
541. ] -1,0 [Щ1. <o[. 542. [5, oo[.
.539. 1 —1, 4 [.540.
538.
568.
.566. {—2; 2}. Б67. {3}.
3
. 571. 0. 572. {25}- 573.
570.
<
575.
581. {7}.
580. {6}.
582. {3}. 583. {2}. 584. {3}. 585. {—3, — 1}. 586. /
556.
558.
563.
574.
587.
’ Ig 2,5
357. J 0, oo [.
—a— /2a2-^3, — a+/2a2—3 ; a^
562.
565.
589. {4|. 590. {7}. 591. {-4}.
208
592. { — 10!, -2}. 593. {8}. 594. {2}. 595. |-L,1,1V 596. {1; 2}. 597. {2}.
598. {I; 5}. 599. {2;3},600. {16}. 601. = 2; 1 < хг < 2.602. 0. 603. 1 < X1 < 2.
604. —2 <*!< — !. 605. {2}. 606.
-44 • 607. {e2,a~3}. 608.
О 9
a
10°. 10 2
609.
Указание. Положить logax=/. 611.
. 613. a 7
2
614.
< 3va > 3=> {a—2, a 4-2};
a2 |-b2—a-\-bt
4- Ka24-*2 —баб) I. 618.
a = 2=>0. 617. a24-*2—&ab < 0=^(0, a 4-6};
у (a+ b — У a24-Z>2 —баб), 2. (a 4-6 4-
l-oo.-2-1 Г 619. l-oo, -log35[(J
Ul-1,—!og32(. 620. 1-1, -log32(U10. 00 [. 621. [0. log22[(J] 12.. 00 [.
622. |2-logB6, loggSf. 623.
625.1 О.-ll U132, oo (.626.
I dw I
1 — 4, —3 [(J] 2, 00 [. 624.
- 4 .-HUI 4,5[.
I . 627. ] К 3. 9[ [J] 81, 00 [. 628. J— I, I f(J
U1 3, 5[. 629.1 2,3 [. 630.1 1, 2 (. 631. j 0,2- p
632. ]0, l(U]4, 8f(Jl 16, 64 (. 633.1 -2 2.
— К 2 1 Г 4 У 2 Г
2 .-5- U 1.2 2 .
i I
Ul 1. 3 [. 634. 1о,2-[и
(J1 1,2[. 635. 10, 1[Ш КЗ, 9J. 636. ] 2, 3[U15, со {. 637. ]-оо, -2[.
639.
641. ] — оо, 1]. 642.]—со,
ly. l[ul2,oo(. 640. 1о,2-Ги12,со[.
— 2JU12, оо [. 643.]—1, оо[. 644.1 0,2-1 (J [4, оо [.
645. ] — 2, 1 [(J] 1. 4[. 646. [ — 1,0(1)10,1]. 647.
0<а< 1 =>] 0, 1(U
3/~
V а
з/~
1/ а
(J ] 1, оо [. 648.
О < а < 1 =>] 4, оо [;
—. <ю
а
; а > I =>1 0, 2- [и
-I а -
и 1».
Уа3[. 650.0 < а < I =>]0,a2(Ul 1,я-3(;а > 1 =>]e-3. 1 [U]a2.«[-
651. О < а < 1 =?> ] 0, а4 [ (J( 1 о2. а~* [\ {1}); а > 1 =$> (]а“®, а2 [\ {1}) (J
(J]a4, 00 (. 652. О < а < 1 => (—со,— а-1 ((J ]—а2,0 (: а > 1 =>] —со, — a2[(J
U1 —а’1. 0[. 653. О < а < 1 =>] 0, а3 [ (JI а. 11U1 а~1, со [; а > 1 =>
=>]0,a-l(Ull. а(1)1а3. ® [-654. О < | а | < 1 =>]_0, 1. «-г [1
|а | > 1 =Ф>] а"2, ![{)] «> [• 655. О < а < 1 =»]</ 2. a~V 2 [; а > 1 =>
=>]0, а~^ 2 ([)] а^, со [ . 656.0 <а < 1 =>]а У а, а-2 [; а > 1=>
8 № 10-
209
а. а
о, 4 и
U
U —
J 2а
з/- ’ 2а*
iZ а
2а2 ’ 2а У'а
U
U14.«»
2
661.
662.
664.
За I; а < 0 => 0. 659. {2}. 669.
2, 3}. 663. {(х. x)|x£/?}U{(x.
*}l) {(х,х-2)]
667. ] —оо, С].
1—-*)!-*€ *}.
668. {—2; 2). 669. {—2, О, I).
676. {(—8, 3 — и,
665. {0; 3}. 666. {!}.
670. {—1, 1, 4}. 671 0.
— би, ?, и)|2, и g R}.
674. 0. 675. {(1,3, 2)}.
(—1, 1. 2)}. 682. {(0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2. О, 1), (2, 1, 0)}.
696.
к а з а н и е. Представить второе
3=>{(3f/+l, х/)|с/€С}; а=.
.У, 1—X—у) I хг = 2=ф0.
1, У, 0)Ь£Я}.
210
уравнение в виде (х2 — г/2)’Я 4лг-у2 ~4а2хр. 700- а £ 0 => {(0, а), (а, 0),
а=0=>{(х, -хЦх^С). 701. Д= 1/Л<Н~1Ис+ Ч, б== т/%+!)(<*+D,
" 1 ' df г а+1 df Г &-Н
С = l/(a+*j,(/+- • {(Л-1, в-1. С-1), (-4-1, -В-1, -С-1)},
df * с-р I
Указание Прибавить по единице к обеим частям каждого уравнения и
разложить левые части полученных уравнений на линейные множители.
с+с a-\-b X / Ь-\-с
а_|-6+с * Ка4"д + С / * \ у^а-ь-д + с ’
__, г________________= | > . Указание. Разложить левые части
/а+*+с /Н-Ж/)
каждого уравнения на линейные множители и положить x~\-y-\-z = t.
703» а3 —ЗяЬ —2с. 704 x#-’r y2-f-zx==0. Указание. Положить
4- =—==4-=—. 705. ^+^ + ^4-^ = 0.
t df а b с
{(п’т)}-7м-{(4'1>’ (4-4)}
с = х—у, сг=х+у—4. 709. {(3, I), (5,
706.
а2+*2 + ^2 —2л&с = 1.
Указание. Положить
-I), (4-/10,3+ /То
(4+ /То, 3- /То)}.
Указание.
Положить
Угх+^—3= п.
(4, 1)}. 711. {(216, 27)}. 712Л (-5,-3),
(3, I), ( /То—1,4 /То— 1V (— /То—1,
(4, 3), (-3, -4), (-4, -3)}. 714. {(2, 8),
(-4, -9),
(-9, -4)}.
716.
0).
/10-1Н. 713. {(3,4).
(8,2)}. 715. {(4, 9), (9, 4),
717. {(5, 4), (—5, -4), (15, —12). (-15, 12)}. 718. <] (0, 0). (5. 3),
(йЗ’ ~25з)}‘ 719- {(18. 8)}. 720. {(25,36), (36,25)}. 721. {(3, -2.6)}.
722. {(1,1,4), (1,4,1), (4,1,1)}. 723. /7-g-a«, а* j/^)} 724 о+г’>°=>
^{СН+г pfe)}:"+fc<0^ 0 ' 725, {(а|/Г‘з’
у=|в|Д. 726. о+6 + с^О=5>{(а(а + г»+с), 6(а+«Н-с),
c(e+H-c))}; a+b+c<O=i>0. 727. {(3, 5)}. 728‘ {(4 ’ I-) } ‘
729. /{2, 4). (64, 4)}. 730. {(®/8. f/Т) }. 731. {(4, 16)}. 732. {(I. I).
(4. 2)}. 733. {(1, 1), 4)}- 734. {(100, 100), (100, . 1Оо) .
8*
211
(та- та)}- <'2-2-'”- ’» {(т-т-т)} 737-
(4.2. 7« {(„Tlfer ,7^)}- ™- ’-(7)’- ”*’=»
1
=Ф{(1, I), (Л«. АР)}', р = 9 =>{(*• х)|т€/?, х > 0}. 740. Л = (^УЯ0“1егХ
Хр^ <7=ф{(Л,ев, Л,б₽)}; p = q=$> {(х, х) | х £ /?, х > 0}. 741. -/(л4, а, а1).
{(Л, В, С), (Л“\ В~\ С-»)}. 743. а< —1 А а & — 2 =J> {(— а— 1, (а-Н)2),
((а-}-I)2 — а— 1)}? а > 0 л а 1 =$> {(а, а2), (а2, а)}; — 1<а'<0=ф 0.
744. 0. 745. ] —со, —ЦЦ] 2,33(. 746. [1, 3(.
748
,3
. 749. ]4, 9(11)9, 28 [. 750. ]0, Ц. 751. —со,
747. {3} (J [4, 6].
оо [♦ 756. О < а <
752. R. 753
. 754. ]—2, оо [. 755. ] —2, 0 [ (J ] 1,
9
2
757. а<1=>
760 а< 0=$>]а, 0 (; а>0=$>]—а, 0 [(J| а, За[; а=0=->и. 761. а<0=»
=$> ] За, 2a[(J]0, —2а (; а>0=£]— 2а, 0 [(J] 2а, За[} а=0=фвг.
773. {(х, у)?Ла|х> I, 2-х < ч<х}. 774. {(х, у) g /?2 11 < х < 2,
2—х < J/< х) (J {(х, у)€№|2«х < 3, Зх—6<«/<х}. 775. {(х, ₽)^/?2 |х<— 4,
У > — Зх—4} (J {(х, у) £ Л2|— 4<х < 4. и > 4—х} U {(х, y)g/?2|x2s4.
jz > х—4}. 776. {(х, у)€Л2|0<х<-!^1, А<у<2х} U {(*. У)€
е № < х < К2, 777. Ах, !/)ё
Лк I 1 I
< х < 0. *2 < У < Х-Ь 11 и {(*> У) € Лг|0Сх < 1, хг<у<\\.
т. -[(х, у)е А212 < х < о, о<0<4+‘У и-((х, у)€Л2|х^0,
II. 1 1
212
779.
781.
10* 3
10
782.
Kg<S2x\ U
**
Глава Ш
784.
D (л. ч.)-^
5 *
Я
2
; D(np. ч.) = /?.
785.
Щпр. ч.)= /?Х
. 786. Р(л.ч.) = 2?\
= /г\Цу+лА!|/г€2^и {^+2лп|/1 £Z}J . 787. Я(л.ч.) = Я; Я(пр.ч.) =
=/?Х{л+2лл | ngZ}. 788. £>(л.ч.) = /?; D (пр. ч.)= /?\{л-|-2лл | n£Z}.
789. D(n. ч.) = /?Х{л + 2л^ | k£Z}; D (пр. ч.)=:Я\{лп | rzgZ}. 790. Р(л. ч.)=
=D(np. ч.) = Я\{л4-2ли| n£Z}. 809. 11. 810. 2-. 811. -J-. 812. -1-.
о л
з
sin*35°. 814. sin40°. 815. ctg6a. 816. -^-sin8x. 817. 7.
2, если 2л/е < х < (kGZ); 17
820. 821. 2xv4-x24-4=0.
—2» если л+2л£ < х < 2л-[-2л& (k£Z). 31
. 823. с—1. 824. sin3 аcos3 а—(3—b2)'t sin4 а+cos4 а =
813.
818. 1.
819.
822.
г-т-тъ • 826. 16 sin5 а. 874. -^-прих=
тг Д
4-2лл (ri£Z). 875. I при x = — (n£Z). 876.
877.
2
878. {—n + 879.
2л , 2nk
881.
яп
т
882. 0.
6
5л
т
885. {«4-2ji£|fcgZ}U ^2arctg . 886.
12
213
u{qy+2"«l«e*}-
889. {2лА|*€2}и(
887.
{^|А’€2}и< ±
888. 0.
. 894. ИО1]
893.
897.
899.
. 901.
лл
|12
896.
—-7Г п>
Л,
Я
. 904.
—г л,
—-г л,
л 3
-Г . -Г л
2л/г
т
± 1 arccos л* I k$z\ .
2 о J
-уЛ. 2 .
± arccos
(2л+Ш|*€£}и/4
I о
. 903.
л
, о, ~
. 906.
905.
-Z- Л
лт
0. 908.
ЯЛ
“2
909. {2л/г | /г£Z}U 14
I I
л/г
л/г
. 913
. 914.
пл.
916.
arccos
917.
10
± arccos
± — arcsin
± — arccos
919.
. 920. {2л/г | k £ Z) (J
921.
924.
{л, л-J-arctg 2}. 927. -?4+2лА: °28-
I * I
918.
922.
926.
930.
jtf. 931.
казание. Положить sin х-(- cos x — t. Тогда sin 2х= /2—1.
лЛ
( л
. 929. 0.
V
932. {л/?|££7}.
933. {nk |fe£Z)u{y +
214
936.
( 1 y . 4 .ли
jy(-l)'«aros1nT4-^+T
л | . ЗТ । It k
. 934. j ± тг+'у
n£Z,
*€*\{-2, -1, 0,
937. J i 4-
I 4
—l)*+*arcsin—4"+I —1)”arcsin --[-ля I n £ Z
f-nfc
k£Z\ U{(—2, nn)|rtgZ}.
xx=0. 940. Единственный корень хг£ —л, —
939. Единственный корень
. 941. Бесконечное множе-
ство корней. 942. Три корня: хх£]1, л[; х2, ха£]2л, Зл[. 943. а /:0=ф
а = 0л*^0=ф/у4-
± arccos * ~Ь ~Ь _|_
4а
|*2лл | п £Zj>;
944. а ;£0=><
945.
|а| с/1»Лв # 3 =>
. f . 1 ± К10—а2 ,
=ф < arctg-------F И 6 %
а =3 => {— arctg 3 | п 6*};
|а[> /1О=5>0. 946. —5<о<—1
/ . — 1 -j- 5—4а „ 11» z- •
£ arccos--!—--------J- 2 t/?lk g Z ? »
± arccos
947.
£arccos
948.
[_(—1)*arcsin (2а— 1)4-я£ | k£ Z> ;
3
а
+ J(-1)n+nn|n6Z
; а®я-[-2л6(k^Z) =Ф /?. 951. b ал| а | — а|^=>
(—1)л arcsin
а
b—а
пп
Т
; b = а = 0 =Ф>/?; в остальных случаях 0.
952. &2 чЬ 2аг=$>|-^-4-лп|п^2У; Ь=а/2 =» -^--|-2л61 k£Z ; Ь =
=—ar‘2=4>-|-|-n4-2n/n|mezl. 953. Ь ОЛ| а | < | * | ^2=> (-£• ±
£ arccos
а
ь ГТ
2лл | ngzVlK у+л* р £Z>;
6#0 z-V
| а | >|6|К2 V
5=0
а ?= 0
^-4-n*P£ZV;a=5=0 =ф R. 954. а= /2=£>{1— ^2}; а=~ /2 =$>
{14-К2}; а# ^2 Ла?*-К2=Ф0. 955. {х
215
x arcsin
957.
965.
x
6
968.
n
975.
— л,
x —arccos -г--|-2лп < x < arccos
0
12
Jin
970.
P2nn,
Л
2
978.
3
. 980. 0.
arcsin
л
. 2
— arcsin-^
О
л
8
5
6
г3 Г
——л U
л
3
x I arctg 2-(- nn
n£Z}. 962.
л
12
ЛП
. 967.
II
Л72
(-2лп < x < л — arcsin
Л
л
л I
—-f-лл, x
216
+2лл s£x < -£-л+2лл, n£Z> . 989. < х
л
3
л .
Тг + Лд» п
х
лл < X < |-ЛЛ,
|-2лл <х<
^-4-2лл»
о 1
~[-2лл,
2лл < х < л-[-2лл, n^Zf . 1000.
1002.
1003.
и
1001. {n+2.4n|rtgZ}.
л
6
2лл
|-2лл, ngZ
<х<— л+2лл, х Ф л4-2лл, n£Z> . 1011. {2}. 1012. {х | 2лл < х < л+2лл,
n^Z}, 1013. —1 < а < 1 =^> {х | arcsin а+2лл < х < л—arcsin а+2лл, rt£Z);
а <—1 =Ф/?; 1 =ф и. 1014. —1 < 1 => {х 1 arccos а4-2лл ^х<2л —
— агссоза+2лл> n^Z}; 1 =Ф R; а<—1=^>0. 1015 —1 < а < 1
=>{х |—arccosа + 2лл < х < arccos а4-2лп, n£Z}; а <—1 =Ф Я; 1 =ф и.
1016. «|х Jarctgа-|-лп<х < ~+пл» 1017. -|х
< arctgа+лл, ngZ>. 1018. {х | ли < х < arcctg а-[-пл,
л .
у4-ЛЛ < X <
n^Z}. 1019,
{х | arcctg а 4-л л <х < л+лл, nQZ}. 1020. А = arccos с. —1 < с< 1М > 0 =ф
217
a
n
n
31
3
nk
fcgzl. 1029. l(iik,—2n~\-2^k)\k£^. 1030. —
Я
1026. A = arcctg
df
£-+n (AH-rt),
1021. Д=агсс1£с.
df
— (*+Л+лл)>
1022. A — arccos Д- (a—
df
. a—b
A = arccos
dl
a
df
[-2лл,
1 + V10—a
1027. A = arcsin (14-a);
df df
я
*6
1031.
3
1032.
1033.
nn,
1025. Л=агсщ
df
Л
-x---ЯЛ
(-Л/1
n£Z};
л,
л
——nn
1034.
лсДи{(—%+2м,
218
1035.
1036.
л—Zltl
1045.
df
1038.
1042.
+ 2-Л
л
4л£,
df
df
df
2
3
т+яЛ
D
1039. 0. 1040.
л
—---ЛП
| 2b—sin
1051.
j-ЛЛ
1041.
Л + ЛЛ,
. A =arccos
df
k, n £Z\ и
(k-
1049. Д— (—!)* arcsin (26— sinfl).
b
arctg —
1052.
219
=И(4 (a +*(*+л»,
1054. А = arccos —•
df cos р
у(Л + л (k—n)) j k,
П € ; I a I > у => 0.
Р#у+ЛА(Л6^)Л|*|<|СО8Р| =» {(Р+Л+2ЯП,
p—A — 2nn)|n £ Z} U {(₽—Л4-2ЯЯ, Р4-Л—2nn)| n £ Z}; Р=4+ПН* €
£ Z) A b = 0 =^> {(x, л + 2л&— x) | x £ /?};
> | cos p I) V ( p=y+nft (k € Z) A b * 0) => 0. 1055.
\ <-»
p #4 + nk^k € V A l6l >
Zi
1056. Л =4^ cos 26;
df I—a
" € zj> и <j(-
В =4- arccos A.
df 2
]-2л£, —-{-nn
kt n Z
fl# 1 A]H |<1 =>{(Z> + B + nfc,
b—B—xk)\k € Z} U
IJ {(b—B+nk,
a= 1 V (a # 1 A | A | > 1) => 0.
1057. <jx 4+2nft
2л£, k £ Z ? .
b+B—nfe)| k £ Z}-,
k
1059.
1060.
< т л + 2 л/г, k £ Z > .
I
1063. /x|-£-<x<~ v
I I о 3
1087. 0; 2; —10; —2; —3.
л
1088, 1089, 1091, 1092,
1093. Отрицательна. 1090, 1094. Положительна.
<лл- л 11 7
,095‘ Т; 12 я: 'б’’1'
1096,
1101, 1102. Нечетная. 1097, 1098. Ни четная, ни нечетная. 1099, 1100. Четная.
1132, 1133. х\ -1<л< 1. 1134, 1135. х.
х—2лл, — у+2лп <х< у+2лл;
л 3
л — х+2лп, 4г+2лп^х^“5-л4-2лгг (n£Z).
x — 2лл, 2лп«^х«^ л+2л/г;
—х-|-2лм, —л+2лп<:х<;2лп (n g Z).
1136. arcsin (sin х) =
1137. arccos (cos x) =
1138. arctg (tg х) = х —ли,
——4~лл < х < -г^п (п Z). 1139. arcctg (ctg х) = х—ля, ля < х < л-|-
+ nn(nfZ). 1142. 1143. -2-- 1144. ±-л. 1145. Ь
1 v 7 7 4 5 2
П46. 1147. 4-л. 1148. 1149. 4. 1150. 4-л. 1151. 3—л.
6 7 3 5 8
4 4Т ТТ 10 3
1152. y-л. 1153. 1154. 77:. 1155. -^л. 1156. -^-л. 1157.
У 1U 1U 1о о Ьэ
1158. 4 (4 К2+ Кб)- П59. -1. 1160.
Д-. П61. о. пег. 4(1/з—з Кг)-
21 о
220
П63. -у. 1164. -у~- 1165. -у. 1166. у. 1171. Fm1n=i при
х=:“"-2» ftnax = —g— при Х =-------g- 1172. при X = yl
2 Р^з" л2 25
fjnax = 'g”J1‘ при х== - • 1173. fmin = “2’ при х =—1; fmax = —ла при
х=— /3. 1174, 1175, 1176, 1178, 1180—1184, 1186—1190. Верно (истинно).
fУ~2| I з 1
1177, 1179, 1185. Неверно (ложно). 1203. <-^}. 1204. 7 —fg-1}. 1205. о.
1 Ж I ^*1
1206. {cos3}. 1207. 0.
1209.
К2
-—Д=М. 1211. {1}. 1212. •!—44- 1213. <-sin 4г
1/9 J - I 3 I I 2
1214. {—3 tg 1}
{i 5 i
-г tg -Го Я к
4 12 }
1220. /у-1. 1221. {—2}.
,21’- {-ъ\
1222. {—КТ}.
Кз(
“Г
1225.
1218. J 4-1. 1219.
I ’ I
( 1<2
1223. <0,------
{0}. 1226. {0.
1. -I).
1227.
1232.
1228. 4-1-1. 1229. {—1; 1}. 1230. {1}. 1231. {0; I).
1 I
1233. — — —=> {sin а}; а <—- V а > — —>и.
1234. 0 < а л =ф {cos с}; а < О V а > л 0»
1235.
=£{tga); а<;—1236. О < а < л {ctg а}\ a^OVfl^s
л* &
fen =Ф 0.
1233. —тг<л < 0 =£> {cos 2с}; О
1237. 0<с<л
< 0 v с > л => 0.
а < —Vc — Ov
1240. 1|.
л
2
л
2
л
3
2
, /3"
1241.
1242. J —sin 1, 1]. 1243,
. 1244. {1}. 1245
1246.
1247. [-1, 1].
1248. 0. 1249.
1250. 0.
3 ’ “
1251.
]--оо, Ц. 1252. 0. 1253. ]—
— /3 [. 1254. R. 1255.
1256.
1257. J—оо, ctg2[. 1258. }2tgl, оо[.
1200. j—во, —I].
1261. 1—со, 0].
1262. [1, 2J. 1263. (С).
221
1264.
1266
1271.
1272
__9
°’ -2
*л
1267.
К2
9
L-
1265.
, 1 . 1268. [—1. 0{.
у =ф Jsina, 1]:
л . „ .
а<—у=$>0. 1273. 0 <а<
л=л =ф» {—1}; а > л =Ф 0. 1274. О
Л Л Л
а <0 =Ф 0. 1275. —— < д < ~ =*>
1269. |1,
[-1, 111 а
1270. ]О, 1].
л =Ф [—1, cosn]; д<0 => |—1» 11;
< а < л =Ф Icos а, 1 ]; а > л => [—1, 1 Ь
Jtg а, оо[; у=Ф>/?; 9^у=^>0.
и
2
л
л
л
а
л
2
л
а
л
“2
Jctga, ео[;
1279. а < О
а ’ 2а J
а
2а ’
и [sin а, 1]; Д
U
1
2
а
• а л
—Sin -г i ЙзО
1281
ЧАСТЬ II
16. Указание. Рассмотреть S<CM.y 18. Указание. Рассмотреть В(ДГ>.
19. Указание. Рассмотреть симметрию относительно прямой, содержащей
биссектрису угла С. 20. Указа н и е. Рассмотреть симметрию относительно
серединного перпендикуляра к [ЛВ]. 25. Указание. Рассмотреть симмет-
рии относительно прямых, содержащих биссектрисы углов треугольника.
27. Указание. Рассмотреть S{RCy 30. Указание. Рассмотреть компози-
цию симметрий относительно двух прямых, содержащих смежные стороны
треугольника. 32. У Казани е. Рассмотреть симметрию одной из данных
прямых относительно двух других прямых. 34. Указание. Рассмотреть
и *^(яс> для точки Л7. 35. У к аза ние. Воспользоваться решением
задачи 34 и утверждением: основание равнобедренного треугольника с данным
углом при вершине уменьшается при уменьшении боковой стороны. 36. У ка-
занке. Рассмотреть Sit где /^(ЛВ), 38. DAC = 60°. Указание.
Применить симметрию относительно серединного перпендикуляра к [ЛВ].
39. 70°. Указание. Рассмотреть симметрии относительно прямых, содер-
жащих биссектрисы углов ВАС, АВО> 40. 20 и 80°. Указан не. Применить St,
где I содержит биссектрису угла С, и Вслдп- 43. (J ^2- 44. Указание.
Выполнить где А является концом большего из отрезков. 45. Указа-
н и е. 47, Указание Кв** 49. Указание. Вначале рассмот-
222
реть два параллелограмма, у каждого из которых три вершины являются
центром квадрата, центром и серединой стороны данного параллелограмма
ABCD, и указать в них треугольники со взаимно перпендикулярными сторо-
нами, а затем выполнить /?о°°, где О =(AC)C\(BD). 50. Указание. Дока-
зать, что углы А;МВ; (г = 1, 2, 3) конгруэнтны между собой. 51. 60°. Ука-
зание. Применить Rb°, где В—точка пересечения окружностей. 54. Ука-
зание. Учесть, что точка О—центр параллелограмма принадлежит ради-
кальной оси двух окружностей. 59. Указание. Рассмотреть поворот
$Г(А)=В. 61. 45°. 64. Указание. Использовать Ro, a = PQR.
65.. Указание. См. № 48. 66. — 2d1d3cosa—b. 67. 90 и 150°.
69. Указание. Рассмотреть перенос Т:01->-02- 70. Указание. Рас-
смотреть T.D-+N, T:C-^N и Z^. 71. 4rz—tri*. Указание. См.
задачу № 69. 72. У к а з а н и е. Рассмотреть Т: А -► Clf Т:В -► Т:С Bt.
73. 30, 30, 120°. Указание. См. задачу № 72. 76. Указание.
Т:Л-*С. 78. /^1/. 80. Указание. Рассмотреть НА и использовать
задачу № 79. 8Т. Указание. Провести диагональ BD и рассмотреть гомо-
1 1 1 1
тетин и Яд .83. Указание. Рассмотреть две гомотетии И, Я,2 t
84. Указание. Рассмотреть Яд. 86. Указание. Рассмотреть гомотетию
1 1
. 91. Указание. Рассмотреть Hj 2 , J—точка пересечения медиан.
1 _______
92. Указание. Рассмотреть и Hj 2 , J — пересечение медиан, N—ор-
1
тоцентр. 93. Указание. Рассмотреть композицию Яр о Я j 2 , J—точка пе-
ресечения медиан. 96. Указание. См. № 92. 98. Указами е. Пусть
D£(O, r),M, N, Р—основания перпендикуляров, опущенных из D на (АВ),
(ВС) и (4С). Доказать подобие двух пар треугольников BMD и DCP, BDC и
MDP. 99. | A 2В2|==——-----. Указание. О—центр треугольника АВС,
2с°5-
рассмотреть Ro о Но, где
£==—!— . 100. Указание. Нро R г> , где
а и
С°3у
k=------- и см. № 98. 103. Указание. Рассмотреть гомотетию с центром
с°б|
в центре окружности. 108. Указание. Яд. 109. Указание. См. № 108.
111. Указание. Применить Rd? о Я^3 , где D—точка касания окружностей.
113. m
п
. 114. /б (Ь+с).
Указание. Провести
биссектрису угла А. 115. Указание. Провести биссектрису угла С и рас-
смотреть подобные треугольники. 116. 2 arccos — — . Указание. Выра-
223
знть площадь треугольника. 117. 45°. 118. 1:4. 120. Указание. Найти
площадь треугольника АВС как сумму площадей треугольников ЛВ/Ц и АА^С.
122. Указание. Найти точку пересе-чения (Л/Ц) с окружностью, описанной
ab2 abc
около четырехугольника. 125. g2 J_‘ga * с2~_^2 •
126. a+b—c. 127. (у—PI-
128. 'г (У 7—1).
129. 2R(V 2—1). 130. У к азание. Доказать сначала,
что [AM]— биссектриса угла А в треугольнике, а затем использовать подобие
треугольников. 132. Указание. Соединить Л и В с О и рассмотреть по-
добные треугольники. 133. Указание. Использовать свойство биссектрисы
внутреннего угла треугольника и подобие треугольников BAD и АОО2. 134.
Указание. Использовать № 97* 136
Л(/ 6-ь у^). 138. 1/1
Z Го
(5Ь2—8а2).
140. У к а з а н и е. Воспользоваться теоремами синусов и косинусов*
141. У к а з а н и е. Через А, В и С провести параллельные между собой
прямые* 144. Указание. К треугольникам АВАг и А^СА применить
(№141). 1Б2. Указание. Через точку А провести прямую Z || (ВС), найти
точки пересечения / с (ССХ) и (BBi) и рассмотреть подобные треугольники.
b 'Iп с
153. . 155. Указание. Пусть в четырехугольнике ABCD диагональ
BD не делит угол D пополам. Построить [DK) так, чтобы / ADK = В DC»
Рассмотреть две пары подобных треугольников: ADR и DBC, DKC и ABD.
157. 10 см. 158. 12,5 см; 16,5 см2. 159. i -|а У4Я2—ft2 ± b У4/?2—а2|.
Указание. Применить № 155. 160. Указание. Использовать векторную
алгебру. 163. --гт~ . 164. У тп. 165. Указание. Для нахождения
а-\-Ъ
А * (д+с)2—а1
cos — вычислить площадь треугольника двумя способами. 166. —1.
/1 Abe—Ь2 - с2
-=- (а2+Ь2) * 169. arccos-—---. 172. Указание. Сначала
5 2Ьс
доказать, что а-}-Ь^с У 2. 173. У к а з а и и е. Выразить длину медианы через
а, Ь. с и воспользоваться теоремой синусов 175. Указание. Доказать
подобие треугольников MEF и MKL. 176. Объединение двух параллельных
прямых. 178 ZiU/sUill/2 при (ЛВ)||(СР); (ZjUW\{0}, где O=GnG,
если (ЛВ) (CD). 180. Указание. Использовать задачу 177. 186. Одна
сторона прямоугольника—средняя линия треугольника. 189. Указание.
Найти величину угла между диагональю и основанием трапеции. 190. Ис-
пользовать формулу Герона. 193. тп. 194. Ур (р—а)(р—Ь) (р — 2т), где
4 ___________________________
2р = а4-& + 2/я. 195. у т (т — та) (т— ть) (пг — пгс), где 2tn ~ та~}~ тьтс.
о
2100
196. 1:4. 197. Зп (л-|-1) + 1. 198. см2. Указание. Использовать подо-
ЮУ
бие треугольников АВС и ZjCj#. 199.
4- (2 У 2— 1). 200. 1:2. Указание.
4
Сначала доказать, что все стороны А АВС делятся точками М, N, Р в одном
224
отношении. 201. ( К«$з)2 У к а з а н и е Использовать подобие
данного треугольника
и каждого из полученных. 202.
7 I
24 67' 10 Я'
У к а з а*
ние. Сначала найти отношение площадей треугольников АМВ, РВС и Л/VC
к площади треугольника АВС (задача 9). 203. У казан и е. Найти отношение
площади каждого из указанных треугольников к площади треугольника АВС.
а затем использовать теорему о среднем арифметическом и среднем геометри-
2abcS v
-——„ • ,—г . Указание. Сначала наити
ческом трех чисел. 204
отношение площади каждого из треугольников ACjBx, СЛ1В1 к пло-
с - „ 1 с b ЗЬс
щади 5 данного треугольника АВС. 205. 1:-кгп—:-т~. » »ткг~;—С/u . й ч •
J 2b-[-с b-\-2c (26 +с) (Ь~\-2с)
Указание. Сначала доказать, что :^вмс~С'(Ь4~с)> Samc-SrMC —
= 6:(6+с). 206. тп, У 3. 207. Указание. Использовать окруж-
ность, описанную около треугольника АВС. и задачу № 27. 209. Указа-
н и е. Если О—центр окружности, описанной около треугольника АВС. то
^LMN= 210. Указание. Из подобных треугольников
найти — (1 = 1, 2, 3). 211. i (5л—6 /1) а2. 212. (л— К 3) а2. 215. (Л— 1):Л
216. 90 см2. 217. -у(а+6)2. 218. i (62—а2). 220. -^-.Указание. Аффин-
"Т &
ным преобразованием данный шестиугольник перевести в правильный.
222. —г. Указание. Аффинным преобразованием перевести параллело-
। __ у 1^~3
грамм ABCD в квадрат. 223. -& а2. 224. 2 К 3—3. 225. —. У каза-
ние. Вписать треугольник в квадрат и использовать утверждение: если концы
каждого из двух взаимно перпендикулярных отрезков лежат на противопо-
ab „
ложных сторонах квадрата, то отрезки конгруэнтны. 227. о.
______________________f / 2а24-6а
229. Кр(Р—Qi)(₽ —?г)(Р—2/п).гдер=-5-(д1 + ?2+2т). 231. 1/ —~,
Z ТО
Г qI L 2^2
1/ —. 232. 1:2. 233. Указание. Соединить вершины Л и С четы-
рехугольника ABCD и рассмотреть трапецию АЕКС, где /< — середина диаго-
нали BD. 234. Указание. Доказать сначала, что 5^р.^ + 5д^я — $АМв-
235. Указание. Для одного из полученных четырехугольников указать
ему равновеликий, у которого одна вершина совпадает с серединой одной
диагонали. 237.2(а2 + &2+/fob) при 6 = 135°. 238. (14-2/3):11. 239. 1;
1; I ДМ; 3 \ 3 дм2. 242. — . 243. 4 fla- 244. (3 К 2—4) а2. 245. У к а-
4 а 2
за ние. Пусть ABCD—четырехугольник, вписанный в окружность,
М — (Лб)П(С£)). Сначала по формуле Герона вычислить площадь одного из
подобных треугольников МВС и MAD. 246. Указание. $авс&~$аос +
+ 5ддс. Выразить | АС [ по теореме косинусов двумя способами и доказать,
~ ~ л#2 I л/?2 8r/? Р г
что D4-B=180 . 247. . 243. ^л/?2. 249. . 259. —;> .
225
256. —— a [. 258. Указание. См. № 257. 259. arccos—-, arccos—.
*т
263. Указание. См. № 141. 268. - ffi- . Указание. Доказать, что
т-р п
W£(EF). 270. 271. 60е. 272. 15, 75е. 273. arcsin
О о
274. 1(/з± 1) а«. 275. 30е. 276. •- /25т24-9а2+4д2 —12ай cos а,
Z D
~ И25 т2 + 9 (а2 + 62+ 2ab cos а). 278. arccos (siri р-cos а). 279. Нормали к бис-
секторным плоскостям. 280. 90°. 283. 90°. 285. У Казани е. Пусть О At А2А3 —>
трехгранный угол и (0Л/)£Щ указанным плоскостям, = ГЦП(ОА2Лз),
/2 = П2П(ОЛХЛз)- Через Вз€(0Л8) провести в гранях | Ц. /2JL^*
288. Указание. Доказать, что cos2 «4- cos2 f + cos2 у= 1, и воспользоваться
неравенством — (х-Цу + г) <
О
v4 (х2+^г+г2)
289. arccos
290. а К 3ctg—. 291. arccos (ctg2а). 292. а) Одна точка; 6) точка, либо 0.
293. Плоскость. 294. а) Объединение четырех прямых, проходящих через одну
точку; б) прямая, параллельная данным. 295. Объединение двух плоскостей,
параллельных данной. 296. а) Плоскость, параллельная данным; б) объедине-
ние двух взаимно перпендикулярных плоскостей. 297.. а) Объединение двух
прямых, параллельных ГЦПЩ; б) объединение четырех прямых, параллель-
ных П1ПП2; в) объединение четырех прямых, проходящих через точку пере-
сечения данных плоскостей. 298. Плоскость, перпендикулярная к прямой АВ
в определенной ее точке. 300. Окружность. 301. Окружность. 302. Сфера.
303. Сфера с центром в середине отрезка АВ, точка или 0. 304. Окружность
Аполлония или прямая. 305. Сфера Аполлония или плоскость. 306. Цилинд-
рическая поверхность, или плоскость. 307. П1иЙ2 если Пг || П2; (ГЦиЙг)^
М1Ц Г) П2) при П1ПП25^0. 308. Цилиндрическая поверхность. 309.
(HiUn^nS (Oj, I К/?2 —г2 ± VrI— г* |). 310. Сфера с выколотой точкой А.
311. ГЦ (J П21 Пг || П2 и П2||Г1. 312. Плоскость. 313. Плоскость. 314. Сфера.
315. Плоскость 316. Окружность. 317. Плоскость, перпендикулярная к /.
318. Цилиндрическая поверхность. 319. Сфера, концентрическая с данной.
320. Радикальная плоскость. 321. Объединение пересекающихся прямых, ле-
жащих в плоскости, параллельной данным- прямым и равноудаленной от них.
322, 323, 324. Плоскость. 325. Два пучка с центром А,. лежащих в плоскос-
тях, параллельных биссекторам плоскостей ГЦ и П2, если плоскости пересе-
каются; связка прямых с центром А, если Hj || П2. 326. Объединение прямых,
принадлежащих биссекторам плоскостей ГЦ и П2 и не параллельных линии
/=ПгПП2. 327, 328. Коническая поверхность, плоскость или прямая.
329. Цилиндрическая поверхность. 330, 331. Цилиндрическая поверхность.
332. Коническая поверхность. 333. Коническая поверхность, плоскость или 0.
341. Решение. Дано / и S (О, Я); 1) П==(/, О); 2) в плоскости П (О, R) —
окружность. 3) /П(О, Я) = {А, В} — искомые точки. 343. Решение. Дано:
К(Л,Гс,<г0);П J_/0;l)nn/0=O;2) (ОЛ)£ГЦ, /£ГЦ, АС Л = W 3)/ПП=Л4?
226
4) (О, |ОМ |) в плоскости D. 347. Решение. Дано: S(О, г), /; 1) П J Е
С£П; 2) ПП/=В; 3) В плоскости Д2} = (0. г)П(Оъ (ОВ где О,—се-
редина [ОВ]; 4) Щв(/, /t), П2 = (/, Д2)—искомые плоскости. 386. Указа-
ние. Центр сферы О£ППП\ где П—биссектор П/ и П2, И* = {Д'! | р (Л4, Д)=
=р(Л/, В)}. Применить гомотетию или перенос. 387. Указание. См. зада-
чи 296 (б) и 297 (в). 393. Указание. Рассмотреть пересечение сфер с пло-
скостью, содержащей их центры и данную точку. 294. Указание. Прове-
сти плоскость через данную точку и диаметр данной сферы, перпендикулярной
к данной плоскости. 449. Указание. Если М и W—середины ребер АВ
и CD тетраэдра ABCD, то (ЖЛ7)СГП, П равноудалена от (4D) и (ВС).
451. arccos -я-.
О
452. arccos (— cos2 а).
453.
Я
cos —
2arosin ------. 454. tg ф —
а
cos —
457.
460.
465.
470.
455. arctg
2 а ___j
456. arccos (— ctg a *ctgfl).
/ 2
arccos (sin а sin р). 458. arccos ( —
. 462. arccos .
о
466. -тг а. 467.
463.
arccos
3
arccos —.
о
Указание. Рассмотреть
я
459. arccos-----7
464.
2
468. arctg —
arctg—т— .
469. 45е.
сначала случай, когда вершина
и использовать неравенства для
принадлежит ребру другой,
углов трехгранного угла. 472. Указание. Если высота DH
одной пирамиды
величин плоских
образует с боковыми ребрами DA, DBt DC углы, величины которых a, fl, у,
то cos2 а+со$2 p + cos2 у= 1. Рассмотреть среднее арифметическое и среднее
геометрическое площадей Sf, 53, S8, выразив их через длины ребер.
474. 4 а
□
2. 475.
дм.
477. 4- b3 sin 2а.
2
2
2
а
г= • 471.
3
478. КЗ Л3 ctg2 а. 479. Зе3. 480. „ . 48». -L d2 sin 2а cos а. 483. - . . .
& sin 2а 3 sin3 а
485. abc У— cos 2а. 486.tga-tg 0 . 487. /(W+(ac>2~H6c>2
/ I \ cP / -
488. arccos (ctg a), arcsin/ —7=-j . 489. 3 дм2. 490. 156 см2. 491.-1/39 .
\ v 2 sin а / <»
482. Л.О a2. 493. ~q. 494. 4- «95, 5'27. 496. 7/б см2,
o io о
497. &2 cos а + 2 cos2 а. 498. 3 V~2T дм2. 499.а2. 500. arotg .
501. arccosfg—. 502. 8:7. 503. %—^7$" *. 504, Если сечение в кубе
ABCDAiBiC^Di проводить через диагональ BD, то оно пройдет через сере-
227
дины ребер w СС< 505.
а2
6
506. t^<r = 2
Указание. Пусть
Hf — проекция точки М на плоскость ABC, (Н\Мj) | (CN) Mt € CN.
Для определения | //jAli | можно вычислить площадь треугольника ACN двумя
способами.
2аЛ з 1/~б а3
507 •508--ага2-509- т•
е.Л 23
510.
Указание.
Пусть (ЛтМ)П(ЛС)=К, (KN)(}(AB}=Р. Тогда объем одной части можно вы-
числить как разность объемов двух пирамид и MCNK.
С13 (2Ь2 [ - (7^) 7 6
Б12. -———-—— . 513. ——а2, У казание. Искомое сечение па-
(/2с+ 4-а«) >6
д 1/" 5 ____
раллельно диагонали BDf куба и диагонали АС его грани. 514. —4ft2-j~5aa.
Указание. Если М и Р середины ребер ВС и SD, K — (DC)[}(AM),
За2 1/"*2
|CQ |i| QS |= 1»2, то SAM()p—SAKp—SKMQ- 515. —~. У к а з а н и е. До-
казать, что сечение проходит через середину высоты тетраэдра DH.
3 V~2a2
516. —— . 517. 126 см2. Указание. Если О—точка пересечения диаго-
налей параллелограмма и Of = (£0)П(ЛЛ4), то | SOj |:| ОгО [ = 3:1 и
| МС\ |:|О|Л |=3г5. 518. Указание. Пусть С = (ЛС)П(В£)) и | AD] = a,
тогда каждый из треугольников DO А и СОВ —правильный, [DK], [ЕВ] — их
высоты. Плоскость сечения проходит через середину ребра SC и параллельна
каждой из прямых DK и ЕВ. 519. 40л см2, 520. тг • -У- - 521. 18:514 :5. 522. 27.
У У
523. 4-лЛ3. 525
Суммы величин противоположных двугранных углов четы-
рехгранного угла равны. 526. -7-(2— q) q2. 527. ——. 528. 2 см, 10 см.
3 лг31Гз 4лг3Л3
529. 2 см, 4 см. 530. 60°. 532. 60°. 533. —- - 534. —7—77===^ .
4 24 3(г+ у гг + й2)
535. 1й 1/*-^ • 536. sin|=J^———-. 537?1+ У^У***’ •
2 V sin»4 2 2tgi 4(fe±t)
538.
540.
2n—!±2/пл-2
cos a ------'----------. 539.
l-f-4/:
541. Ii7rI9. 542. 4~^2. —b.
£ < J о
3 (d ± r?
543. 4nRr. 544. Л R.
О
545. , тгг. 546. 2 ± у 3. Указание. Доказать, что точки касания
сфер с плоскостью П лежат в вершинах ромба, в котором сторона и диаго»
------------------------------------------ п г» ел-т 159 1^6 п
вали имеют соответственно длины 2у 2rj, 2г2. 547. — см. 548.-^5—л»
10 о
228
549. см. 550. -^(4 ± / 7) . 551. (2 — К 2) а. 552. 553. К 3:1.
25 2 4
554. -—abc, а2 + Ь2с2 . Указание. Дополнить тетраэдр до паралле-
С/ м
лепипеда. 557. Указание. Выразить г и R через длины боковых ребер
и воспользоваться неравенством х У + 2 3 xyz(x, у, z > 0).
т п V~2mn —
558. arccos —•— , arctg —--* 560. К Зсм. Указание. Доказать, что
m+п т—п
г _ 4 _ 2R £sina
середина [ А В ] является центром сферы. 561. -у R. 562. —== . 564. —-г- ,
6 V 3 2( l+cos-2.)
565. . „ ,2/*3------г. 566. 1:3. 567. (2л 4-3/1).
sin 2а (1 + cos а+ sin а) 9
568. -^-(2 V 3—3) а2. Указание. Сначала найти площадь части сферы,
отсеченной
гранью куба и расположенной вне куба. 571.
а(/~6—1)
ю
572.
573. А (3-/1).
574. Указание. Использовать тот
факт, что каждый из отсеченных тетраэдров подобен данному, найти .
Высоты тетраэдра выразить через объем и площадь соответствующего основа-
1 7а3
ния. 575. -^-а3. 576. 9:2. 577. -ттг • Указание. Плоскости оснований
3 48
призмы пересекают куб по треугольнику и шестиугольнику. Если треуголь-
ник спроектировать на шестиугольник в направлении (РР\) и точки их пересече-
ния соединить через одну, то получим основание призмы. 578, 2а3 ( р4 2—l) .
/ г— 2\ 3
579. a3 I у 2—) . 580. -т- а3. Указание. Сначала найти плоскость, пер-
пендикулярную оси вращения и проходящую через вершину куба, и выпол-
аЬс
нить в ней указанный в задаче поворот. См. задачу № 472. 581. — •
582. 4:9. 583. ~ (2— У 2) а, 584. 3 см2. 585. 4-fl3« Указание. Для
о
построения Ф'ПФ рассмотреть куб, описанный около правильного тетраэдра.
586. — (р^З—1) см3. Указание. При повороте тетраэдра ABCD вокруг
прямой, содержащей его высоту DH, треугольник АВС переходит в треуголь-
ник А'В’С, при этом высоты одного соответственно параллельны сторонам
другого, и стороны треугольников точками их пересечения делятся в отно-
шении 1: р4 3:2. 588. ~ (11 — 5 К 2) см3. 589. — см. 590. — р^ — cos 2а.
3 2 2 sin а
591. . 592. см, ~ см, ~ см, см. 593. см. 594. ° .
П 19 7 25 5 2 2
595. 2R1/2.. 596. -$£-• 597. . 598. л: 18. 599. 4 .
I/ / 4 У 1 о о 1
22У
600.
о р 1 _
—r-g . 601.45е. 602. ^-лаа(/3 + 1)3. 603.
604.
V 2
48
(53—7 К 3). Указание, Диагональное сечение куба парал-
лельно плоскости основания конуса, радиус этого сечения — а У 3, если
а—длина ребра куба^ В осевом сечении конуса рассмотреть трапецию, у ко-
торой длина верхнего основания а, а длина средней линии а
14
3.605. см,
16
см. 606.
4 V 6
43—*-____* 4 -г3. 607. Указа ние. Через три из указанных точек про-
вести плоскость и доказать, что четвертая точка принадлежит этой плоскости.
608. Указание. Доказать,
прямых, содержащих стороны четырехугольника. 609. 2J?Jz<cosa.
и и е.
которой Н — {AC) (BD). Тогда | AS | = К | | | SH |, где [SSJ — диа-
Ф сс
метр сферы, содержащий точку Н. 610. — r3cos2 —
о z
Использовать тот факт, что плоскость 0MN перпендикулярна боковому ребру
что существуют точки, равноудаленные от
Указа-
Доказать, что SABCD—правильная четырехугольная пирамида, у
Указание.
ZB. 611. arctg у —. Указание. Если х—величина искомого угла,
Н = (АС) П (BD), F — середина стороны ВС, тогда fiZF — х. Выразить
сначала | ZH | из двух треугольников ZHF и ZHC- 612. 1^2 дм. Указа-
ние. Выразить сначала сторону сечения октаэдра плоскостью основания
цилиндра через длину его высоты.
Теорема косинусов: ns = Z?2-|-r2 — 2bcc,osA.
Длина медианы: та=-±- pr2(fe24"^2) — а2.
Длина
Длина
УЬс ((Ь4-с)2 — а2)
биссектрисы: Ьд — ----" .
высоты: ha=— Vр(р — а) (р-—>Ь)(р—с).
а
Площадь треугольника: S = — aha=-^- ab sin С = рг
abc
4R
= Ир(р —о)(р—*) (р—с).
М ногоугольники
Сумма величин внутренних углов л-угольника равна 2d(n— 2). Длина сто-
роны правильного л-угольника:
оп . 180° о . 180°
an—2R sin-----=2r tg-----
n ti n
(R, r — радиусы описанной и вписанной окружностей).
Площадь параллелограмма: S—ah = abs\n A (at b, h~~длины сторон и вы-
Площадь трапеции: S=^(a-]-b) h = mh (a, b, т, h — длины оснований» сред-
ней линии и высоты).
Площадь правильного л-угольника:
с 1 n п 2 * 180° /D
S=—Pr = —o„ctg-------- (Р —периметр, г — радиус вписанном окружности).
* tv
Окружность. Круг
Площадь
Длина окружности: C—2nR.
л о r nRn
Длина дуги окружности в п :
круга: 5=nP2=-^d2.
jiR2a z
кругового сектора: о — (а—величина угла в градусах).
иии
о i П'1 ( Л ОС . \
кругового сегмента: S=—R \ 180~~ Sin ’
Площадь
Площадь
Многогранники
Площадь боковой поверхности:
I) призмы: S = P-i (Р — периметр перпендикулярного к ребру сечения,
1 — длина бокового ребра);
2) правильной призмы: S = P-A;
3) пирамиды: S = y Рй^ок’»
4) правильной усеченной пирамиды: <S=-^- (P-J- Pt)
Л/
233
Объем:
1) призмы: V = S0CH-ft:
2) пирамиды: V— S0CH• ft;
О
3) усеченной пирамиды: V = y (^+$2+KSt-Ss) C$i» S2—площади осно-
ваний);
4) прямоугольного параллелепипеда: V — abc (а, Ь, с —длины ребер).
Фигуры вращения
(цилиндр, конус, шар)
Площадь поверхности:
1) цилиндра: S =5бок + 25осн=2л/?Л+2л/?г;
2) конуса: £ = -$бок4-«$осн = л/?/-}-л/?2;
3) усеченного конуса: 5 = 5бок+51 + 52=хл (#1 + Я 2) /+я/?х+ л^2»
4) шара: S = 4n/?2;
5) шарового сегмента: 5 = 2л/?Л,
Объем:
I) цилиндра: У=л/?2Л;
2) конуса: У=-^-л#аЛ;
О
3) усеченного конуса: ^ = 4“ ^(^1+^2+
О
4) шара: У = 4-л/?3;
О
2
5) шарового сектора:
О
6) шарового сегмента (пояса): V—~rnh2(3R—ft).
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЧАСТЬ I
=>—’вели ...» то ... (из ... следует ...).
<=>—... тогда и только тогда, когда ...
(Ух£Л)... —для любого (всякого) элемента х Множества А .
(Зх£А)... —существует элемент х множества А, что ...
(Э’х£Я)...— существует единственный (существует и только один) эле-
мент х множества Я, такой, что ...
<=>(=)—... есть по определению ...
df df
а£А— а принадлежит множеству А (а — элемент множества Л).
а(£А—а не принадлежит множеству А.
ACZ.B—А есть подмножество (часть) множества В.
А~В—множество А равно множеству В,
(a, ft}—множество, состоящее из элементов а, ft.
{х|...} — множество, содержащее те и только те элементы х9 которые
обладают свойством ...
234
0 — пустое множество.
ДП#— пересечение множеств Д и В.
Ди В — объединение множеств А и В.
А\В— разность множеств А и В.
N—множество всех натуральных (положительных целых) чисел.
Z—множество всех целых чисел.
Q—множество всех рациональных чисел.
R—множество всех действительных чисел.
С—множество всех комплексных чисел.
Пусть аg Rt b £ R и а < Ь. [а, д[ = {* £ R | а <; х < Ь};
df
]—оо, 6[ = {х€Я]х < Ь}‘> [а, 00 [ = {х g R | х а); ]— со, оо[ = /?.
df df df
(ах, .ап) — кортеж (конечная последовательность, упорядоченная л-ка,
точка) с компонентами (координатами, элементами) а1г
...» ап (а/—t-я компонента).
ДхХ ...ХДП—декартово (прямое) произведение множеств Дх, А„.
Ап—декартова n-я степень множества А
f:A—* В—f есть функция (отображение из множества А в множество В).
Пусть /: А —>- В.
D(f)— область определения функции Д
Е (f)—область значений функции /;
ft А—— отображение множества А в множество В,
Пусть V'(x1, ...» хп)— предложение с переменными хх, ...
..., хп (ПСП) на множестве АгХ .. . ХДЛ-
ОИу—область истинности ПСП V (хх, .xrt), т. е.
ОИу = {(Я1, а„)£Д х X • • • Ап | (tJx • • • • * ““ исти н но) •
df
Пусть V и W — предложения с переменными ..., хи на
множестве Ar X •. X А„.
~] V —отрицание V;
VAW— конъюнкция V и W;
VvW—дизъюнкция У и W;
V =£> W (l/|z:W) — W является следствием V;
V W (V ~ W) — Vх равносильно W.
ЧАСТЬ II
Д, В, С, D, ...— точки.
/, Ц, ... — прямые.
п» п/, п; , ... — плоскости.
[46J — отрезок с концами Д и В.
(АВ) — прямая, проходящая через точки А и В.
[ДВ)—луч, исходящий из точки А.
[/, А) — полуплоскость с границей /, содержащая точку А.
(АВС)—плоскость, проходящая через точки Д, В, С.
(/» Д)—плоскость, содержащая прямую I и точку Д.
235
(ЛВ, С) — отношение трех точек.
/Л —угол А
А — величина угла А
Ф1~ Ф2 — Фх и Фа конгруэнтны.
ф1соф2 — ф^ и ф2 подобны.
Т:А—► —перенос, определенный точками А и В.
Si —симметрия относительно прямой I.
ф
— поворот вокруг точки А на угол <р.
— центральная симметрия с центром А.
Н*^ — гомотетия с центром в точке А и коэффициентом к.
(О/, Ri)—окружность с центром в точке и радиусом
S(O, R)— сфера с центром О и радиусом R.
К (А, I, <Р) — коническая поверхность с вершиной А, осью I и углом
величиной в осевом сечении.
h—длина высоты пирамиды, призмы, конуса, цилиндра»
шарового сегмента.
L—длина образующей конуса, цилиндра.
Р— периметр многоугольника.
В треугольнике АВС*
a, b, с—длины сторон ВС, С А, АВ.
й=а, В=р, С = у — величины углов ВАС, АВС, АСВ.
та, ть> тс — длины медиан, проведенных к сторонам а, Ь, о.
ha, hjj, hc—длины высот, проведенных к сторонам а, Ь, с,
Ьау bfh be—длины биссектрис внутренних углов А, В, С.
2р—периметр треугольника.
г—радиус окружности, вписанной в треугольник.
R— радиус окружности, описанной около треугольника.
^лвс — площадь треугольника.
ТАБЛИЦЫ
Значения тригонометрических функций для некоторых значений аргумента
\ * 0 л 6 л 4 л 3 л л Зл 2 2л
sin х 0 1 2 /2 2 Кз 2 1 0 — 1 0
cos X 1 Кз 2 /2 2 1 У 0 —1 0 1
tg* 0 /з 3 1 Из не суще- ствует 0 не суще- ствует 0
etgx не суще- ствует /3 1 Из 3 0 не суще- ствует 0 не суще- ствует
236
27. Новоселове И. Обратные тригонометрические ф} вкпии. М.» Учпел-
. гиз, 1956.
28. Позойский Р. И. Сборник задач по тригонометрии. М., Учпедгиз,
1950.
29. ПопруженкоН. Сборник геометрических задач. Планиметрия. М.,
Учпедгиз, 1939.
30. Скопец 3. А., Жаров В. А. Задачи и теоремы по геометрии. Пла-
ниметрия. М., Учпедгиз, 1962.
31. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., Просве-
щение, 1968.
32. Ф а д д е е в Д. К. и Соминский И. С. Алгебра для самообразования.
М., Физматгиз, 1960.
33. Фаддеев Д. К. и Соминский И. С. Сборник задач по высшей
алгебре. М., Наука, 1972.
34. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. М., Наука,
1965.
35. Я ст р еб и нецк и й Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие пара-
метры. М., Просвещение, 1972.
Вересова Елена Егоровна
Денисова Наталья Серафимовна
Полякова Тамара Николаевна
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Редактор Т. А. Бурмистрова. Переплет художника Б. Л. Ни-
колаева. Художественный редактор Е. Н. Карасик. Коррек-
торы Р. С. Збарская, Р. Б. Штутман.
ИБ № 4151
Сдано в набор 27.02.79. Подписано к печати 18.06.79.
СЛхОО'Лб- Бум. тип. № 2. Гари, литер. Печать высокая.
Усл. печ. л( 15. Уч.-изд. л. 14,51. Тираж 84 000 экз.
Заказ 102. Цена 55 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просве-
щение» Государственного комитета РСФСР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й про-
езд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Революции и
ордена Трудового Красного Знамени Первой Образцовой
типографии имени А. А. Жданова на Калининском ордена
Трудового Красного Знамени поляграфкомбинате детской
литературы им. 50-летия СССР Росглавполиграфпрома Гос-
комиздата РСФСР. Калинин, проспект 50-лстия Октября, 46,
БЕСПЛАТНЫЕ
УЧЕБНИКИ!
ВРЕМЕН СССР
БОЛЬШАЯ БИБЛИОТЕКА
НА САЙТЕ
«СОВЕТСКОЕ ВРЕМЯ»
sovietime.ru
СКАЧАТЬ