Серия «Высшее образование»
Ф.Д. Беркович, В.С. Федий , В.И. Шлыков
ЗАДАЧИ
СТУДЕНЧЕСКИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ОЛИМПИАД
с указаниями и решениями
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Допущено НМС по математике
Министерства образования и науки РФ
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по техническим направлениям и специальностям
Ростов-на-Дону
Феникс
2008
УДК 51(075.8)
ББК22.1я73
КТК 11
Б 48
Рецензенты:
зав. кафедрой алгебры и дискретной математики Ростовского госу-
ниверситета, доктор физ.-мат. наук, заслуженный деятель науки РФ,
проф. И. Б. Симоненко',
кафедра, завкафедрой прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, доктор техн, наук, проф. В. С. Зарубин
Беркович Ф.Д.
Б 48 Задачи студенческих математических олимпиад с указаниями и
решениями : учеб, пособие/Ф.Д. Беркович,|В.С. Федий|, В.И. Шлы-
ков. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 171, [1] с. — (Высшее образова-
ние).
ISBN 978-5-222-13122-0
В задачнике собрано 920 задач, многие из которых предла-
гались авторами на внутривузовских, региональных, всерос-
сийских и международных олимпиадах.
Ко всем задачам даны указания и ответы. Приведенные
решения около половины задач помогут студентам овладеть
различными математическими методами и приемами ло-
гических рассуждений, полезными не только при решении
олимпиадных задач, но и в серьезных научных исследовани-
ях, в которых используется математический аппарат.
Задачник адресован, главным образом, студентам инже-
нерных специальностей вузов. Однако ряд задач представляет
интерес и для студентов-математиков педвузов и университе-
тов; значительное число задач доступно и старшеклассникам,
увлекающимся математикой. Преподаватели математических
кафедр вузов, колледжей и гимназий смогут использовать по-
собие в индивидуальной и кружковой работе со студентами,
способствующей глубокому и творческому усвоению курса
высшей математики, подготовке их к математическим олим-
пиадам разных уровней.
ISBN 978-5-222-13122-0
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
© Беркович Ф.Д.,|Федий В.С.|, Шлыков В.И., 2008
© Оформление: ООО «Феникс», 2008
ВВЕДЕНИЕ
Студента надо учить думать и работать
так, чтобы он умел активно использовать
понятия и идеи, с которыми он познакомил-
ся в процессе обучения, а этому наиболее
эффективно можно научиться с помощью
самостоятельного решения задач.
Л.Д. Кудрявцев [21, с. 43]
Известно, что овладеть математическими методами можно лишь научившись решать
задачи. Наряду с упражнениями и задачами формального характера на простое примене-
ние теорем и формул, а также задач, решаемых по известным алгоритмам, глубокое и
творческое овладение математикой возможно лишь при решении нестандартных задач
(большинство таких задач составляют содержание олимпиад). Поэтому авторы считают,
что уже с 1-го семестра следует привлекать студентов и курсантов (особенно одаренных,
или имеющих солидную базу знаний по школьной математике) к учебно-исследовательской
работе. Формы ее разнообразны: это и индивидуальная работа со студентами на аудитор-
ных и внеаудиторных занятиях (кружки по решению нестандартных задач, рефераты,
подготовка студентов к участию во всех трех турах математической олимпиады «Студент
и научно-технический прогресс»: внутривузовским, региональным, Всероссийским).
Ф.Д. Беркович и В.С. Федий имеют богатый, более чем 30-летний опыт такой работы.
Все эти годы они возглавляют жюри ежегодных внутривузовских и 11 лет Северо-
Кавказских (СК) математических олимпиад студентов, составляют варианты конкурсных
заданий.
Многолетний опыт авторов и их коллег отражен в книгах [3-5] и пособиях [6-13]
Учебно-методический комплект (УМК) из книг [3-5] содержит около 1600 задач почти
по всем разделам курса высшей математики (в том числе по ТФКП и операционному ис-
числению, теории вероятностей), читаемого в инженерных вузах, и ориентирован, глав-
ным образом, на студентов таких вузов. В этом его основное отличие от широко извест-
ных задачников [1-2], к сожалению, ставших библиографической редкостью. Поэтому,
по мнению авторов, их УМК может служить дополнением к ним. Большинство задач
УМК было предложено на внутривузовских ЮРГТУ (НПИ) (1974-1999 гг.), региональ-
ных Северо-Кавказских (1987-1999 гг.) и Всероссийских олимпиадах (1976-1999 гг.),
остальные могут быть использованы при подготовке студентов к последующим олимпиа-
дам. Практически ко всем задачам сборника даны ответы и указания, отделенные от ус-
ловий и оставляющие простор для творческой работы. Приведены решения лишь тех за-
дач, которые могут быть источниками новых идей, формул и приемов, используемых при
решении других задач. Некоторые задачи решены несколькими способами или указаны
способы решения, отличные от приведенных. Много задач комплекта отобрано из раз-
личных отечественных и зарубежных источников и пособий других вузов. Укажем на не-
которые из них [14-17]. Некоторые задачи являются оригинальными и предложены авто-
рами.
УМК авторов получил широкое практическое использование в системе высшего об-
разования различных регионов России и стран СНГ.
УМК получил высокую оценку 7 математических кафедр вузов России, в том числе
технических университетов: МГТУ им. Н.Э. Баумана, Нижегородского, Донского, Таган-
рогского радиотехнического, а также кафедры алгебры и дискретного анализа РГУ, Си-
бирской аэрокосмической и Новочеркасской мелиоративной академий. Это послужило
-3-
основанием для Ученого совета нашего университета при выдвижении УМК-комплекта
из книг [3-5] и их авторов на соискание премии Правительства РФ в области образования
за 1999 г. Решение Совета университета поддержало Отделение механики и прикладной
математики СКНЦ ВШ (Председатель Отделения академик РАН И.И. Ворович).
Естественно, обучить студентов решению нестандартных задач нелегко, этого можно
достичь в кружковой, внеаудиторной и индивидуальной работе с ними. Большую помощь
здесь оказывает подготовка студентов к участию в математических олимпиадах: внутри-
вузовских, региональных и всероссийских. Более 30 лет Ф.Д. Беркович проводит эту ра-
боту.
Решение нестандартных задач требует не только прочных знаний по программе, но и
известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательно-
сти, умения логически рассуждать, перевести необычное условие на подходящий матема-
тический язык, наконец, предполагается наличие достаточного уровня математической
культуры у студента.
Решить непривычную интересную задачу, отрешившись от заученных шаблонов — это
уже маленькая творческая победа. Помочь студентам научиться одерживать такие побе-
ды — одна из благодарных и важных задач в преподавании математики. О воспитатель-
ной роли таких побед учащихся прекрасно сказал выдающийся математик и педагог
А.Я. Хинчин [20, с. 153]: «Именно этот творческий, исследовательский характер матема-
тических заданий более, чем что-либо другое, влечет к себе молодые силы растущего и
крепнущего интеллекта учащегося. Тот, кто раз изведал благородную радость творческо-
го достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы вновь ее испытать. Никакие
трудности его не остановят, сила его порыва и устремления, его усидчивость и выдержка
в преодолении препятствий будут крепнуть с каждым новым достижением, а неудачи,
ошибки, временные крушения и поражения он научится встречать, как подобает истин-
ному борцу — не опуская перед ними руки, а черпая в них источник и стимул для все но-
вых и новых напряжений мысли и воли».
Известно, что при чтении лекций по высшей математике нужно постоянно вызывать
у студентов положительные эмоции, которые так необходимы для возникновения и раз-
вития у них интереса к математике. Следует подчеркивать универсальность математиче-
ских методов, способность математики очаровывать своим внутренним содержанием, не-
ожиданными теоремами и результатами. Весьма полезным для этих целей является реше-
ние небольшого количества нестандартных задач на лекциях. Такие задачи способствуют
сознательному логическому осмыслению сообщаемых знаний и умению применить их на
практике, выработке привычек к самостоятельному критическому мышлению. Не менее
важно, что такие задачи воздействуют не только на ум, но и воображение и эмоции сту-
дента, активизируют познавательную деятельность и улучшают понимание предмета.
В статье [23] автор приводит набор нестандартных задач, которые он использует в
своей лекционной практике.
Тем же целям помимо трех книг УМК авторов, а также работ [6-9] служат и 4 части
задачника по высшей математике, издаваемого начиная с 1997 г. кафедрой «Высшая ма-
тематика» ЮРГТУ (НИИ) (см. работы [10-13]).
Одной из основных особенностей задачника является разделение всех его задач (для
самостоятельного решения) на три уровня сложности: А, Б, В. Уровень А содержит зада-
чи на непосредственное применение формул, определений, теорем. Задачи раздела Б обу-
чают студентов применению известных из теории алгоритмов, Подавляющее число задач
раздела В носит нестандартный характер; они взяты в основном из УМК авторов и слу-
жат обучению поиска решения уже всех студентов потока. При решении таких задач при-
ходится проявлять определенную долю фантазии, искусства в аналитических преобразо-
ваниях, т.е. проявлять черты, неотъемлемо входящие в понятие математической культу-
-4-
ры. Этому также надо учить, и научить этому, безусловно, гораздо труднее, чем научить
использованию готовых алгоритмов.
Участие студентов университета в работе кружков по решению нестандартных задач,
подготовка их к олимпиадам повышает творческую активность и заинтересованность
студентов в глубоком изучении математики, при этом выявляется творчески одаренная
часть молодежи, которая поступает в аспирантуру, широко использует математический
аппарат в своих научных исследованиях, пополняет коллективы кафедр университета.
Предлагаемый задачник является 2-м изданием книги [5], которая по широте охваты-
ваемого материала и объему занимает центральное место в УМК авторов. Новое издание
дополнено главой 10, содержащей 124 задачи трех туров математических олимпиад сту-
дентов, которые проходили в 1999-2000 гг., причем нумерация задач приведена в соот-
ветствие со сроками проведения олимпиад: СК, Всероссийская (Рос.), университетская
(НПИ). Чтобы читатель мог ознакомиться с содержанием и объемом олимпиадных зада-
ний, приведем таблицу, в которой введены обозначения: НПИ-&, СК-&, (к =1,2) , где к —
означает курс, для которого составлен вариант олимпиады (на 1-х двух турах олимпиад, в
отличие от 3-го, варианты заданий составлены отдельно для 1-го и 2-го курсов). Кроме
того, сделаны исправления замеченных ошибок.
Варианты олимпиад 1999-2000 гг.					
	СК-1	СК-2	РОС	НПИ-1	ППИ-2
1999	1-11	12-22	23-32	33-45	46-58
2000	59-69	70-80	81-90	91-102	103-116
-5-
СОВЕТЫ СТУДЕНТУ
Решение задач — практическое искусство, подобное
плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано,
научиться ему можно, только подражая хорошим об-
разцах! и постоянно практикуясь.
Д. Пойя, «Математическое открытие» [18, с. 13]
Процесс решения нестандартной задачи можно разделить на два этапа: поиск идеи
решения и се реализация. Наиболее трудным, но интересным и творческим, является пер-
вый этап. Что здесь может помочь? — Многое. Здесь уместно привести высказывание за-
мечательного английского педагога и популизатора математики У.У. Сойера [19, с. 24].
«По-настоящему зрудные задачи редко поддаются атаке в лоб. Можно часами ломать себе
голову и так и не придумать, с чего начать: зачастую даже и представить себе не можешь,
как выглядит решение. Воображение нуждается в пище, идеи не возникают из ничего».
Вот несколько советов. Прочитав условие нестандартной задачи, нужно стремить-
ся перейти от сложной, может быть запутанной формулировки, не подающей идеи реше-
ния, к более простой и ясной, стараясь сохранить при этом эквивалентность старого усло-
вия новому. Иногда задача является нестандартной только по форме. Переформулировав
ее, Вы обнаружите, что имеете дело с хорошо Вам знакомой. Если это не поможет, то по-
пробуйте рассмотреть частный случай. Вспомните, а не решали ли Вы аналогичную в ка-
ком-то смысле задачу раньше или часть задачи? Часто бывает полезным разбить задачу
на несколько простых, а иногда, наоборот, начать с обобщения формулировки, попытки
доказать или опровергнуть, построив контрпример, обратное утверждение. И вот, если
Вам повезло, а везение прямо пропорционально настойчивости в поисках, — есть идея!
Начинается новый этап — реализация идеи. Успешно завершить его можно, если довести
до автоматизма навыки действий над векторами, матрицами, умение составлять в разных
формах уравнения прямых, плоскостей, различать кривые, поверхности по их уравнени-
ям, навыки дифференцирования и интегрирования и т.п. Наконец, получен ответ. Прове-
рив его, не торопитесь решать следующую задачу. Многие задачи допускают несколько
способов решений. Часто бывает полезнее решить одну задачу несколькими различными
способами, чем несколько разных задач. Ибо это иногда помогает установить связь меж-
ду, казалось бы, совершенно разными разделами математики. Так вырабатывается опыт.
Желаем Вам успеха!
-6-
1.	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1.1.	ЗАДАЧИ
1.1.	Доказать, что если AM,BN,CP— медианы ДАВС, то АМ+ BN+CP = 0.
1.2.	Доказать, что если М — точка пересечения медиан ДЛВС, то
М4+л7в+л7с = О.
1.3.	Дан Д АВС. Доказать, что существует единственная точка М, для которой
Ш+МВ+МС=Ъ.
1.4.	На плоскости дано 1998 векторов, причем среди них есть неколлинеарные. Известно,
что сумма любых 1997 векторов коллинеарна с вектором, не включенным в эту сумму.
Найти сумму всех 1998 векторов.
1.5.	Определить вид &АВС, если:
1)	АВ-АС = АС2; 2) АВ- АС+ АС2 = 0; 3) AC- ВС+ АВ- ВС = 0.
1.6.	Известно, что |а| - |б| = |с| - 2 и а+ Ь+ с = 0 . Доказать, что:
1)	среди векторов нет ни одной пары коллинеарных;
2)	вычислить А = a- b+ b с+ с-а.
1.7.	Доказать, что для любых Я|, аг, Ь\, Ьг, с\, сг R
Ц -a2+bl-b2+cl-c2)2 < (а2 + b2 + с2 )(а$ + Ь2 + с2).
1.8.	Средствами векторной алгебры доказать неравенства:
1)	\та + пЬ + с\<у/2,если т2 +п2 = а2 +Ь2 +с2 = 1;
2)	ab + bc + ca <а2 +Ь2 + с2;
3)	|cos a sin у + cos /7sin а + cos р sin /?| < V2, где а, р и у — направляющие углы некоторо-
го вектора. Выяснить, когда выполняется знак равенства.
1.9.	Вычислить ab + cd, если а2 +Ь2 = с2 + d2 = 1 и ас + bd= 0.
1.10.	Числах,у, z таковы, что х2 + 4>>2 + z2 = 3.
Какие значения может принимать х + 2у + г?
1.11.	Найти х, у, z из:
1)	уравнения <j3(x + y + z) + yfy + Vs = Vx;
{Vxsina + Jycosa+dz =J2(x + y + z),
5(x + y) + 4y/z = 1, где a e (0,л72).
1.12.	Даны три попарно перпендикулярных вектора а,Ь,с и некоторый вектор х. Дока-
зать, что cos(<7, х) + cos(6 , х) + cos(c , х) > -2. Может ли выполняться знак равенства?
1.13.	Какой наименьший угол могут образовывать векторы:
1)	а(\-5х;1;3) и 6(-1;1 + 4х;3-Зх); 2) а(1;-х;2)и 6(х;1;1)?
1.14.	Какой наибольший угол могут образовывать векторы:
1)	я(-1;х;-2)и 6(х;1; 1); 2) ~*а(у;-х;2}и Ь(х;у;-\)1
1.15.	Найти угол между непересекающимися диагональю куба и диагональю грани.
-7-
1.16.	Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного па-
раллелепипеда наклонены к плоскости его основания под углами а и Р соответственно.
Найти угол между этими диагоналями.
1.17.	Найти отношение суммы квадратов длин медиан треугольника к сумме квадратов
длин его сторон.
1.18.	Сума длин диагоналей параллелограмма равна 8. Найти наименьшее значение сум-
мы квадратов длин всех сторон параллелограмма.
1.19.	В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, пер-
пендикулярны. Найти угол при основании этого треугольника.
1.20.	Дан правильный треугольник со стороной а = 1. Найти величину
т = АВ- ВС+ ВС- СА+ С А- АВ.
1.21.	В ЬАВС даны длины сторон: ВС = 5, СА = 6, АВ = 7. Найти АВ- ВС.
1.22.	Вектор a(x,y;z) имеет координаты:
х = cos^ cos(^/2); у - sin ^-cos(^/2); z = sin(^/2); <p eR.
Доказать, что длина вектора постоянна V (р е R и его изменения сводятся к одним пово-
ротам.
1.23.	К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и направленные по
диагоналям граней куба, выходящим из этой вершины. Найти величину равнодействую-
щей этих сил и углы образуемые с составляющими силами.
1.24.	Векторы ЛВ(4;2;-1) и ЛС(2;-2;0) совпадают со сторонами ДА ВС. Определить ко-
ординаты и длину вектора BD, совпадающего с высотой &АВС.
1.25.	Векторы АВ= с, АС = b совпадают со сторонами ДАВС. Найти разложение векто-
ров:
1)	BD (высоты); 2) AM (биссектрисы) по базису Ь, с .
1.26.	Даны катеты а и b прямоугольного треугольника. Найти косинус угла между биссек-
трисами острого и прямого углов.
1.27.	Даны две противоположные вершины квадрата Л(-3; 2) и С(5; -4). Найти две другие
его вершины ВмД.
1.28.	Даны две соседние вершины квадрата Л(-3; 2) и В(2; 4). Найти две другие вершины
СиД.
1.29.	В ДАВС длины сторон связаны соотношением ВС1 + АС2 = 5АВ2. Доказать, что ме-
дианы, проведенные к сторонам АС и ВС, перпендикулярны. Доказать и обратное утвер-
ждение.
1.30.	В ДАВС медианы AMwBN перпендикулярны. Доказать, что cos С > 4/5.
1.31.	В равнобедренном ДАВС (АВ = АС) отрезки АА\, ВВ\, СС\ совпадают с его высотами
и выполняется равенство: АА} + ВВХ + ССХ = 0. Найти угол при вершине А.
1.32.	Доказать, что ДАВС будет правильным тогда и только тогда, когда выполняется ра-
венство:
/Ц+ #/?| + СС, = 0, гдеЛЛь ВВ\, СС\ — биссектрисы ДАВС.
1.33.	Точка О — центр окружности, описанной около ДАВС. Доказать, что
ОА- sin 2 А + OB- sin 2 В+ ОС- sin 2 С = 0 .
-8-
1.34.	Пусть О — центр окружности, вписанной в ААВС. Доказать, что существуют числа
а, /Зи у такие, что а-ОА+ fl-OB+y ОС = 0 . Найти а, Ди у
1.35.	В единичный квадрат ABCD вписана окружность. Найти длину вектора
т = МА+ МВ+ МС+ MD,
где М— произвольная точка окружности.
1.36.	Равнобочная трапеция ABCD (АВ 11 CD) вписана в окружность радиуса 1. Известно,
что центр окружности лежит на средней линии зрапеции. Найти длину вектора
т = МА+ МВ+ МС+ MD, где М— произвольная точка окружности.
1.37.	Доказать, что в правильной треугольной пирамиде непересекающиеся ребра взаимно
перпендикулярны.
1.38.	Пусть D — вершина, а &АВС — основание пирамиды DABC.
Доказать, что АВ2 + CD1 - АС2 + BD2 тогда и только тогда, когда AD ± ВС.
1.39.	В пирамиде SABC AS = а, ВС = b, (AS, ВС) = <р. Найти расстояние между середина-
ми ребер АВ и CS.
1.40.	Найти такую тройку единичных векторов (аь Ь\), (аг, Ьг), (аз, Ьз), чтобы векторы (яь
аг, Дз), (Ъ\, Ъг, Ьз) были ортогональны и имели одинаковую длину.
1.41.	Имеет ли решение система неравенств: xtxk + ytyk < 0, /, к = 1,4, i' ф к 2
1.42.	Даны вершины А(-~4, -1, 2) и В(3, 5, -16) &АВС. Найти площадь 5 треугольника, если
известно, что середина стороны АС лежит на оси Оу, а середина ВС — на плоскости xOz.
1.43.	Доказать, что квадрат площади треугольника равен сумме квадратов площадей ее
проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости.
1.44.	Доказать, что для любых чисел Хк, у к &R, к = 1, 2, 3 справедливо неравенство:
(х,Уг - ул У+(w -	У+- у-х, У (xi + *1+xt Xrf + yi+л ) 
При каком условии выполняется знак равенства?
1.45.	Доказать, что сума площадей любых трех граней тетраэдра больше площади четвер-
той грани.
1.46.	Пусть tj, t2,иди1, Ш2, шз — направляющие косинусы двух лучей, а (р— угол меж-
ду лучами. Доказать, что
sin2 (р - (£рп2-т^2)2 +(£2т3-т2£3)2 +(2^ ~шз^|)2-
1.47.	Какова минимальная площадь невырожденного треугольника на плоскости, верши-
ны которого имеют целочисленные координаты? Указать хотя бы один треугольник, для
которого достигается минимум.
1.48.	Точки Л(1; -1; 2), В(5; -6; 2), D(l; 3; -1) — вершины параллелограмма ABCD. Найти
вектор, совпадающий с большей высотой, опущенной из вершины С.
1.49.	В ДАВС медианы AM и BN имеют длины 6 и 4 соответственно. Доказать, что если
площадь &АВС S= 16, то AM ± BN, а если 5 = 8, то угол между медианами равен л/6.
1.50.	Заданы длины п и т двух медиан треугольника. При каком угле между медианами
площадь треугольника будет наибольшей? Найти эту площадь.
-9-
1.51.	В параллелограмме ABCD точкиMnN— соответственно середины сторон ВС и CD,
причем AM - 6, AN = 8. При каком a- (AM , AN) площадь 5 параллелограмма будет
наибольшей? Найти стороны такого параллелограмма.
1.52.	При каком a eR существует вектор а, удовлетворяющий условиям:
a-(i + 2 j-k) = 3,a*(j- i + 2k)-a i + j+k .
Найти a.
1.53.	Доказать, что расстояние 8 между параллельными прямыми можно выразить форму-
лой 8 =| г х 7 | / 17 |, где г — вектор, соединяющий две известные точки данных
прямых, 7 — вектор, параллельный данным прямым. Показать, что этой формулой мож-
но также пользоваться для нахождения расстояния от точки Л/о до прямой.
1.54.	Найти на отрезке [АВ], А(0; 2; -1), В(2; 0; 3) точку, ближайшую к точке С в случаях:
1) С(1; -1; 1); 2) С(1;-1; 4).
1.55.	Вывести необходимое и достаточное условия компланарности векторов:
1)	а = i + t j+ к, b -т2 i +т j+ к, с =п2 i +п j+ к, I, m,n^R\
2)	а = а i + p j+y к,b-Pi + yj + ak,с-у i + aj+Pk, а, р, yeR.
1.56.	Пусть а, b и с— некомпланарные векторы. Как связаны между собой числа
a,p,yeR, если векторы т, п и р — компланарны:
1) пг = a+ab, п = Ь+Рс, р = с+усг,
2)т-а+аЬ + рс, п=аа+рь+с, р-Ра+Ь + ас‘,
3) т-а а+р b+y с, n-pa+yb+ac, p = ya+ab + Pcl
1.57.	Найти вектор х, если известно, что:
1)	х- а -1, Ь-х = 0, с-х = 0 и a b с = 1;
2)	х — компланарный с векторами а, b и а- х = 1, Ь-х - 0, | а |=| b |= 1, (а, Ь) = 2л:/3;
3)	х 1 а, (х, Ь) - я/4, где а(0; 1; 1), Л>(1; 1;0) и тройка векторов а, Ь, х — правая.
1.58.	Векторы а, b и с известны и служат ребрами параллелепипеда объема V. Найти
вектор т, если а- т - Ь- т = с-т - V.
1.59.	Векторы а и b известны, причем a*b = 2i-j+2k. Найти вектор т, если
(а*т) Ь = 3 и | w|= 1.
1.60.	Найти вектор а из системы уравнений
, если b=3i- J, | а |= V74 и
а к b -1.
(а, к)> п/2.
- 10-
1.61.	В тетраэдре О АВС известны длины боковых ребер О А - а, ОВ - Ь, ОС = с. Плоские
углы при вершине а. Найти вектор ОН — высоту, опущенную из вершины О на плос-
кость ДАВС. Рассмотреть случаи: I) а= л/2; 2) at л/2.
1.62.	В пирамиде ABCS боковое ребро SA = а, а сторона основания СВ = Ь, причем AS 1
1 СВ. Отрезок MN = т соединяет середины СВ и AS, объем пирамиды V = abtnlC
Доказать, что MN перпендикулярна AS и СВ.
1.63.	Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм. Плоскость а отсекает от
трех боковых ребер SA, SB, SC соответственно 1/3, 1/4, 1/5 (считая от вершины 5). Какую
часть отсекает она от ребра SD1
1.64.	Вершина пирамиды находится в начале координат, боковые ребра параллельны век-
торам £\, 1г, /з, а плоскость основания проходит через точку с радиусом — вектором
R. Найти объем такой пирамиды с наибольшей высотой.
1.65.	Боковые ребра тетраэдра а, Ь, с, плоские углы при вершине (р. Из вершины пирами-
ды проведены биссектрисы ее боковых граней. При каком (р биссектрисы будут попарно
перпендикулярны?
1.66.	В середине каждого ребра тетраэдра взято по точке. Найти отношение объема мно-
гогранника с вершинами в этих точках к объему тетраэдра.
1.67.	Доказать средствами векторной алгебры неравенство
ь,
Ь,
*3
Z>3
<(a2 + a2+a2)(b,2+b2
В каком случае имеет место знак равенства?
1.68.	Пусть а, Ь, с, d,e,f — длины ребер тетраэдра. Доказать, что его объем V удовлетво-
ряет неравенству V <—^abcdef.
6
cos а
sin а
0,5
1.69. Доказать, что Va eR
sin а
-з>/з
cos а
7
2
При каких а достигается знак равенства?
1.70.	Доказать, что координаты любой точки М(х, у) окружности х2 + у2 = 5/4 удовлетво-
X у 1
у X 1
ряют неравенству
<27/8. При каких х и у выполняется равенство?
1.71.	Доказать, что для тетраэдра со взаимно перпендикулярными боковыми ребрами а, Ь,
с и высотой h справедливо соотношение: а~2 + b~2 + с~2 = h~2.
1.72.	Пусть а(ах,а2,а3), b(bx,b2,by), c(q,c2,c3), х(х,,х2,х3), y(v,,y2,^),	—
заданные векторы.
	ах	а у	a- z
Доказать тождество (а b с)(ху z} =	Ьх	~Ь‘у	b'z
	сх	су	с-Z
-11-
a1 ab ас
Получить из тождества формулу V2 - Ь а
где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с.
1.73.	Найти объем треугольной пирамиды, если известны ее боковые ребра и плоские уг-
лы при вершине.
1.74.	Доказать, что векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда равен ну-
лю определитель из правой части формулы для V2 из № 1.72. Этот определитель называ-
ется определителем Грамма.
1.75.	Три вектора составляют между собой углы а, р, /. Доказать, что для их компла-
нарности необходимо и достаточно, чтобы
cos2 a + cos2 /?+cos2 у - l + 2cosacos/?cos/.
1.76. Найти вектор г из системы уравнений
(г х а)- b = х,
(г х Ь)- с = а, если объем параллелепипе-
(г х с)- а = р,
да, построенного на векторах а, b и с, равен 1, а «, р, у eR.
1.77.	Найти площадь основания тетраэдра, у которого боковые ребра £, а плоские углы
при вершине а, р, у.
1.78.	Ко всем граням тетраэдра проведены векторы, перпендикулярные к этим граням и
направленные во внешнюю сторону, с длинами, численно равными площадям соответст-
вующих граней. Найти сумму этих векторов.
1.79.	Пусть ах b = с, bx с = а, сха = b для ненулевых векторов а, b и с . Докажите,
что эти векторы единичные и попарно перпендикулярные.
1.80.	Произведения (axb)xc и ах(Ьхс) называются двойными векторными произве-
дениями (или векторно-векторными произведениями). Можно доказать, что
(ах Ь)х с = Ь\а- с)- а-(Ь- с\ ах(Ьх с) = Ь'(а- с) - с\а-Ь).
Пользуясь приведенными разложениями, доказать, что векторное уравнение
ах г+ Я г = b имеет единственное решение Х/Я * 0, я, b и с .
1.81.	При каких условиях справедливо равенство ax(bx с) = b, если а, b и с— неком-
планарные?
1.82.	Пусть | а|= 1. Сколько различных векторов содержит последовательность:
х0 = х, Xj=axx0, х2 = яхх,,...?
- 12-
1.83.	Пусть Хе Я, а, b и с известны, причем а 1 b и а ± с, тогда система уравнений
ах г = Ь,
•	имеет единственное решение.
с-г = Л
Найти г из этой системы.
1.84.	Пусть а, b и с —некомпланарные. Найти г из системы уравнений
а-г =а,
b-г - /3, где а,р, у eR.
—> —>
с • г = у,
1.85.	Доказать формулу (ox b)(cx d) =
1.86.	Боковые ребра тетраэдра совпадают с векторами а, b и с, плоские углы при вер-
шине а, р, у. Как должны быть связаны а, р, у, чтобы двугранный угол при ребре а
был равен л/2?
ас ad
b-c bd
1.2.	УКАЗАНИЯ
1.1.	Выразить медианы через векторы, совпадающие с двумя из сторон &АВС.
1.2.	Использовать свойство медиан треугольника в точке их пересечения и указания к 1.1.
1.3.	См. указания к 1.2. Единственность точки М доказать методом от противного.
1.4.	К каждому из 1998 равенств, соответствующих коллинеарности суммы 1997 векторов
оставшемуся вектору, прибавить этот вектор, и учесть, что среди всех векторов есть не-
коллинеарные.
1.5.	В 1), 2) вынести вектор АС за скобки; в 3) ВС записать как разность векторов.
1.6.	1) Утверждение доказать методом от противного; 2) использовать, что а, b и с сов-
падают со сторонами правильного треугольника, или найти (а+ 6+ с)2.
1.7.	Использовать неравенство | a b | < | а || b |.
1.8.	Ввести два вектора так, чтобы в левой части неравенства стояло их скалярное произ-
ведение, и использовать указание к 1.7.
1.9.	-1.11 См. указания к 1.7, 1.8. Например, в 1.11 п. 1 ввести векторы a(yfx>-y[)\-4=),
Hl,1,1).
1.12.	Можно считать а, Ь, с, х — единичными и использовать неравенство
(я+ Ь+ с+х)2 > 0 .
1.13.	-1.14. Учесть, что cos^ убывает на [0, л-].
1.15.	Одну из вершин куба принять за начало координат.
- 13-
1.16.	Выразить косинус угла между диагоналями сначала через длины ребер а, Ь, с па-
раллелепипеда.
1.17.	См. указания к 1.1.
1.18.	Найти минимум суммы квадратов длин диагоналей d2 + (8-d})2.
1.19.	См. указания к 1.1.
1.21.	Использовать формулу | АС | = Jac2 .
1.22.	Вычислить координаты а при <р} = <р +2л.
1.23.	Точку приложения сил принять за начало координат.
1.24.	Записать BD в виде BD - а АС- АВ и найти а.
1.25.	1) См. указания к 1.24; 2) использовать свойство биссектрисы угла треугольника о
делении противоположной стороны на части, пропорциональные сторонам угла.
1.26.	Вершину прямого угла принять за начало координат. Достаточно найти косинус угла
между векторами, направленными по биссектрисам. Так как диагональ ромба делит угол
пополам, то сумма единичных векторов (ортов), исходящих из вершины угла, дает век-
тор, направленный по биссектрисе.
1.27.	Использовать ортогональность векторов АВ и ВС, ВО и ОС, где О — центр квад-
рата.
1.28.	Для нахождения координат 3-й вершины квадрата использовать равенство и пер-
пендикулярность смежных сторон квадрата. Для нахождения координат 4-й вершины
можно использовать свойство диагоналей квадрата.
1.29,	1.30. Ввести базис из векторов, совпадающих с двумя из сторон треугольника.
1.31.	Принять за базис векторы, совпадающие с боковыми сторонами А АВС. Выразить
высоты через эти векторы и косинус угла между ними. При этом можно использовать
указание к 1.24.
1.32.	Необходимость теоремы следует из задачи 1.1, так как биссектрисы в правильном
треугольнике совпадают с медианами. Для доказательства достаточности ввести базис из
2-х векторов, совпадающих со сторонами А АВС, и выразить биссектрисы через базисные
векторы, используя свойства биссектрис из указания к 1.25 п. 2.
1.33.	Обозначим левую часть х . Убедиться, что х ортогонален любой паре из трех ком-
планарных векторов ОА,ОВ,ОС, два из которых принять за базис. Проверить, что в этом
базисе х = 0 .
1.34.	Найти сначала орты векторов АО, ВО,СО (см. указания к 1.26), а затем сами эти
векторы, выразив их через радиус вписанного круга и углы треугольника.
1.35,	1.36. Поместить начало координат в центр окружности. Выразить координаты век-
торов слагаемых и, следовательно, вектора т через координаты произвольной точки ок-
ружности М(х, у). Пользуясь уравнением окружности, найти | т |.
1.37.	Ввести базис из трех не компланарных векторов, совпадающих с ребрами пирамиды,
и убедиться, что соответствующее скалярное произведение равно нулю.
1.38.	См. указания к 1.37.
- 14-
1.39.	Пусть MN— вектор, модуль которого нужно найти (М е АВ, N е SC). Ввести вектор
с = SC и выразить MN через а - AS, b- BS и с .
1.40.	Положить nik(ak, 6t) = (cos^,sin^x), £ = 1,2,3. Из условия задачи вывести зависи-
мости между синусами и косинусами углов (рК, пользуясь которыми доказать, что векторы
Пк (cos 2(рк, sin 2(рк) попарно составляют углы 2л/3.
1.41.	Левую часть неравенства рассматривать как скалярное произведение соответствую-
щих векторов.
1.43.	За плоскости проекций взять координатные плоскости и использовать формулу
5() = 5 cos (р, где (р— угол между нормалями к площадкам ЗЬ и 3.
1.44.	Использовать неравенство |ах6|<|д||6|, знак равенства в котором имеет место,
если а ± b.
1.45.	Выразить площади граней через модули соответствующих векторных произведений
и использовать неравенство треугольника: |а+6|<|а| + |Ь|.
1.46.	Найти sincp, где <р— угол между векторами, используя модуль векторного произве-
дения.
1.48.	Найти длины сторон параллелограмма и выяснить, какая из его высот — большая.
Далее см. указания к 1.24.
1.49.	Векторы а и b, совпадающие с двумя сторонами NABC, выразить через т- AM и
~*n = BN.
1.50.	См. указания к 1.49.
—»	—>	—*	—»
1.51.	Векторы ABnAD выразить через AMhAN .
1.52.	Параметр «можно найти сразу, используя определение векторного произведения.
1.53.	Площадь параллелограмма, построенного на векторах г и t, вычислить двумя спо-
собами.
1.54.	Если оба угла при вершинах А и В NABC — острые, то можно использовать формулу
из 1.53. Если же один из углов больше л/2, то кратчайшим будет расстояние \АС\ и |£С|.
В 1-м случае найти CD ± АВ (см. указания к 1.24).
1.55.	Получить соотношения между параметрами (координатами векторов) из условия их
компланарности: аb с = 0. Вычисление определителей при нахождении abc упростит-
ся, если в случае (1) из элементов двух строк вычесть элементы какой-то одной; в случае
(2) — к элементам строки прибавить элементы двух других строк. Далее использовать ус-
ловие, при котором неравенство в 1.8. п. 2 обращается в равенство.
1.56.	1) Использовать условие компланарности векторов т, п и р. 2), 3) Выяснить, при
каких а, р, у возможно равенство: арп + flfi + ухр = 0, а* +$ + у* 0. При вычислении
определителей однородных систем линейных уравнений относительно «], Д и /] полезно
учесть указания к 1.55 п. 2.
1.57.	1) Убедиться, что х = Л(с* Ь) и найти 2. 2), 3) Разложить вектор х по базису а, b.
1.58.	Вывести из условия, что (a- b) ± т, (b- с) 1 w и использовать указания к 1.57 п. 1.
- 15-
1.59.	Вывести из условия, что векторы т и ах Ь коллинеарны. Координаты т можно
также найти из системы уравнений, привлекая методы аналитической геометрии.
1.61.	За ОН можно взять вектор Л(ВАхВС) и найти Л, используя геометрический смысл
смешанного произведения векторов. В случае 1) начало координат поместить в вершину
О; в 2) за базисные векторы принять боковые ребра тетраэдра.
1.62.	Выразить объем пирамиды V через модуль смешанного произведения векторов
MN = т, SA = а, ВС = b. Сравнивая полученное значение объема V с заданным, убедить-
ся, что векторы ах Ь и т коллинеарны.
1.63.	Пусть SA = a, SB = b, SC = с . Используя условие, выразить вектор d-SD через вве-
денные векторы. Пусть сечение пирамиды плоскостью — четырехугольник A\B\C\D\.
Используя компланарность векторов АХВХ, ВХСХ и CiDl (SD} = a}d), найти а\.
1.64.	Высота ОМ пирамиды будет наибольшей, если она совпадает с вектором R. По-
этому векторы МА, МВ и МС ортогональны вектору R. Из условий ортогональности на-
ходятся скаляры а, р, у у векторов О А = аЛх, ОВ = р(.г, ОС = у£3.
1.65.	Выразить векторы, совпадающие с биссектрисами боковых граней тетраэдра, через
базисные векторы а,Ь,с — боковые ребра тетраэдра, используя указания к 1.25 п. 2.
Найти выражение косинуса угла между биссектрисами через cos$?, из которого получить
ограничения на значения cos^?.
1.66.	Рассмотреть объем многогранника как разность между объемом данного тетраэдра и
объемами 4-х тетраэдров с вершинами в вершинах данного. Убедиться, что эти 4 тетраэд-
ра равновелики.
1.67.	Рассмотреть 3 вектора, у которых координаты совпадают с элементами строк опре-
делителя. Убедиться, что знак равенства возможен только в случае попарной ортогональ-
ности векторов.
1.68.	Вычислить объем тетраэдра двумя способам с помощью 2-х различных троек не-
компланарных векторов, в которых участвуют все 6 его ребер, и применить неравенство
из 1.67.
1.69-	1.70. См. 1.67. Нужно еще учесть, что знак равенства будет выполняться здесь, если
3 вектора образуют правую тройку, кроме попарной ортогональности.
1.71.	Вычислить объем тетраэдра двумя способами, поместив начало координат в его вер-
шину.
1.72.	Рассмотреть матрицы
а\
А= bi
Ъг
Ьз ,В = у} у2 у} , С = АВ'.
С3 J к-1 Z2 ~3,
(В7—транспонированная для В) и вычислить detC = (det4)(det В1).
1.73.	См. 1.72.
1.74.	Условие компланарности вытекает из формулы для V2 из 1.72. Но его можно также
получить, умножая равенство аа+ pb+ у с = 0 последовательно скалярно на а,Ь,с и
рассматривая получившуюся систему линейных уравнений относительно а,р,у .
1.75.	См. 1.74.
- 16-
1.76.	Разложить вектор г по базису а,Ь,с .
1.77.	Боковые ребра тетраэдра принять за базис. При нахождении площади основания ис-
пользовать тождество: (ях b)2 = a2 b2-(ab)2. Можно также применить формулу Герона
для площади треугольника.
1.78.	При нахождении 4-х векторов использовать геометрический смысл модуля вектор-
ного произведения векторов, выбирая их ориентацию в соответствии с условием задачи.
1.79.	Умножить каждое из векторных равенств соответственно на с, а и b .
1.80.	Умножить сначала обе части уравнения скалярно на а, а затем это уравнение умно-
жить векторно на а. Убедиться, что найденный вектор г удовлетворяет исходному урав-
нению.
1.81.	Использовать разложение из 1.80 для преобразования левой части равенства.
1.82.	Преобразовать члены последовательности, используя разложение из 1.80.
1.8.	Умножить обе части первого уравнения системы векторно на с .
1.84.	Разложить вектор г по базису а,Ь,с\ г = ха+ у b+z с и найти решение получен-
ной системы уравнений относительно х, у, z, убедившись в его единственности. Опреде-
литель системы сравнить с определителем Грамма (см. 1.72, 1.74).
Замечание. Если известно разложение г в некотором базисе, то, умножая равенство
г = ха+ у b+ z с последовательно на Ьх с, сха, ах Ь , можно сразу найтихуу, z.
1.85.	Записать левую часть в виде ((ах b)x c}d или a(bx (ex d) и использовать разло-
жение из 1.80.
1.86.	Применить формулу: cos <р -	, где пх и и2— векторы, перпендикулярные к
|и,|-|и2|
плоскостям, образующим двухгранный угол. При вычислении пх п2 использовать форму-
лу из 1.85.
1.3. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
1.2. Примем стороны А АВС СВ = а и СА- b за базис и выразим медианы через а и b .
Имеем: ВК = CK-CB = ^b -a; CD = ^(a+l); EA = b-CE=b-^ (см. рис. 1.1).
Известно, что медианы, пересекаясь, делятся в отношении 2:1 (считая от вершины), по-
этому получаем:
->	->	2->2-*2-*
МА+ МВ+ МС = - ЕА+ - КВ+-DC =
3	3	3
2.7 а. 2/* 12 1/-\
= (/,_)+ (0_/,)_	(а+ /,)= 0.
J	Zr	о	3 £
1.4. Запишем 1998 векторных равенств (см. указания)
1998	_»	_______
X,	г—1*1998 и обозначим сумму всех 1998 векто-
ров b . Тогда получим b = Xtat+al9 i = 1; 1998.
Следовательно, (Л} + 1)а, = (Я2 + 1)а2... = (2199g +1)а™ . Но среди векторов есть неколли-
неарные. Пусть, например, это ах и а2. Тогда равенство (Я, +1)Я| = (Я2 + 1)а2 возможно
только в случае Л, - -1, Л2 = -1 => 6 = 0.
1.5. 1)ДЛ£?С — прямоугольный, т.к. СВ Л АС.
2) В соответствии с указанием имеем АС(АВ+ АС) = 0 => — AC AM = 0, где AM — ме-
диана AJBC. Тогда получаем, что ( АС, AM ) =
л
2
причем этот угол — часть угла при
вершине А, т.е. А > у и кАВС — тупоугольный.
Замечание. Полученный результат вытекает так же из неравенства ABAC -АС2 < 0.
3) кА ВС — равнобедренный: АС = АВ.
1.6. 1) Пусть, например, b-Ла, тогда | b |=|Я|-| а | => 2 = |Л|2=>Л = ±1. Но при Л = 1
а-Ь и из условия a + b+c -0 => с--2 а => | с |= 21 а |, т.е. 2 = 4, что невозможно.
При Л = -1, получаем, что а-а+ с = 0, т. е. с = 0, но | с | = 2.
2) Следовательно, а, b и с компланарны и являются сторонами правильного кАВС\
АВ = а, ВС-b и СА= с. Углы между а и 6, а и с, бис, как внешние углы при
вершинах МВС, равны	и, следовательно, А = 3 • 4 • cos^ = -6.
Замечание. Значение А можно было также найти из равенства
0 = (а+Ь+с)2 =а2+Ь2+с2 + 2А.
Отметим, что 2А + 12 = 0 получится так же, если равенство а+ Ь+ с = 0 умножить после-
довательно скалярно на а, b и с и сложить полученные три равенства.
1.7. Введем векторы а(ах,Ьх,сх), Ь(а2,Ъ2,сг), тогда ab~ аха2 + 6,62 + схс2 =| а || b | cos(a, b).
Так как -1 <cos(a, b) < 1, то получаем требуемое. Отметим, что знак равенства в нера-
венстве будет иметь только в случае коллинеарности а и b .
1.8. 1) Знак равенства будет выполняться, если а = Лт, Ь- Лп, с- Л, где Л = ±>/2/2;
2) знак равенства будет только при а = b = с;
3) рассмотрим векторы 6?(cos tz, cos Д cos/), 6(sin/,sina,sin/7). Из свойства направляю-
щих косинусов углов вектора: cos2 а + cos2 /?+ cos2 у = 1 получаем, что | а |2= 1, | b |2= 2.
Поэтому (см. указания к 1.7) получаем требуемое неравенство. Докажем, что знак равен-
ства в нем возможен только в случае а = Р = у. Из условия коллинеарности а и Ь:
b = Л а находим >/2 =| а b |=| Л а |= |1|, т.е. Л = ±у/2 и, следовательно,
- 18-
sin у = ±V2 cos a,
sin a = ±>/2 cos Д (*) =>
sin fl - ±>/2 cos/.
1/2sin2 у - cos2 a = 1-sin2 a,
l/2sin2 a = 1 -sin2 /?,	=>
1/2sin2 fl - 1 -sin2 y.
sin2a+l/2sin2y = 1,
1/2 sin2 a + sin2 fl = 1,
l/2sin2/? + sin2y = l.
Преобразуем 1-е уравнение:
sin2 a +1/2sin2 / = 1^1/2(sin2 a + sin2 fl + sin2 y) => sin2 a - sin2 fl;
аналогично из 2-го уравнения получаем sin2 /?= sin2 у.
Итак, sin2 а - sin2 fl - sin2 у => sin a = sin fl = sin у (с учетом того, что синусы направляю-
щих углов неотрицательны). Покажем, что a = /? = у. Действительно, если бы fl = к- а,
то это противоречило бы 2-му уравнению системы (*).
1.9.	Если ввести векторы m(a,b) = (cos a, sin a), n(c,d) = (cos Д sin fl), то получаем с уче-
том m n = 0, что ab + cd = 0.
1.10.	-3 <x + 2y + z < 3. Знак равенства достигается в точках (1, 1/2, 1) и (-1, -1/2-1).
1.11.	1)х=у =г = 0;
2) Рассмотрим векторы t?(Vx,A/y,Vr),Z>(sin a, cos a, 1), тогда из 1-го уравнения системы
получаем a b =| а || b |=> а ТТ Ь, т.е.	- = — = Я > 0. Из второго уравнения
sin a cos a 1
системы имеем 5Я2 +4Я-1 = 0 => Д = -1 < 0,= 1/5.
Следовательно, х = 0,04sin2 a, у = 0,04 cos2 a, z - 0,04.
1.12.	Знак равенства невозможен: иначе 1 =| х |=| а+ Ь+ с |= л/з .
1.13.	1) arccos 0,9; 2) arccos^O^).
1.14.	1) д'-arccos(7o,4) ; 2) л.
1.15.	л/2.
1.16.	Пусть а, b и с —ребра прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 1.2).
Требуется найти ф = (АС\ у ОС}).
Имеем АС\ = d} = с-а, ОС{ =d2=b + c .
Так как а, b и с попарно перпендикулярны, то
с2	1	1
yjc2+ а2\1ь2 +с2	Ф +(а/с)2 ф + (Ь/с)~
1 1 • п
- ..---------- -===== = sin а • sin fl, т.е.
yj\ + dg2a y]} + ctg2fl
Ф - arccos(sin а • sin fl).
1.17.	0,75.
1.18.	32 (достигается, когда параллелограмм — прямоугольник).
1.19.	cos$?= 0,8.
1.20.	-1,5.
1.21.	-19.
1.22.	| а |= 1, ^ф ^R. а(ф+2л) - -а(ф).
- 19-
1.23.	/? = Г1 + ?2+?з =(1/>/2)(3/+4У + 5А:), | R|= 5; cos(R, ^) = 0,7; cos(R, F2) = 0,4;
COS(/?,F3) = 0,3.
1.24.	Запишем BD в виде BD= AD-AB = a AC-AB. Найдем а из условия BDLAC
-t (ABAC) 1 „	(BA+BC)
Имеем BDAC^V = aAC2-ABAC=$a = ±—-—- = -• Поэтому BD =----------.
7	2	2
AC2
1.25.	1) BD = а АС-АВ = ab-c, где а = —^- (см. 1.24). 2) Из свойства биссектрисы еле
Ь2
-» -> с
дует, что ВМ = Л МС, где Л = —.
b
—>	->	->	-»	-»-»	(Ь — с)с
Тогда ВМ = Л(ВС-ВМ)=$ ВМ-(1 + Л) = ЛВС = Л-(Ь- с) =» ВМ = ——-
(& + с)
(cb+bc)
Наконец, AM - АВ+ ВМ - —--------.
(Ь + с)
1.26.	Поместим начало координат в вершину прямого угла.
Пусть ОА = b, ОВ = а, АВ = с = >1а2 +Ь2 (см. рис. 1.3) и ОМ, АК, BN— биссектрисы.
Тогда OB-aj, ОА = Ы, ВА^Ы-aj. ОМ = а(/Ч у), а > 0 (см. указания),
-a j , (bi-aj)
п и J
= /3—-+
, /?>0.
с
BO BA
a
О N
Puc. 1.3
Поэтому cos(OM, BN) = cos(OM°, В№), где —
ОМ°, В№ —орты векторов ОМ, BN.
или coS(OM:a^)=ii±2X^2^=_^£,.
i-(a+c)j | 2>/Ф + ")
a	a-b-c
Аналогично находим cos(AK , ОМ) = —F-——
2^c{c + b).
Замечание. Используя свойство биссектрисы угла треугольника (см. 1.25 2)), биссектрисы
BN и ОМ можно найти иначе: BN = ВО+ ON = -a j+ i = —— (b i-(а + с) j);
с + а	а + с
ОМ =ОВ+ ВМ = а^+——М-а~/) = ——д + 1)-
b+а	а+Ь
1.27.	(4; 3) и (-2; -5) (с точностью до обозначений).
1.28.	Ci(0; 9), Z)|(-5; 7) или С2(4; -1), Р2(-1; -3).
1.30.	Пусть в &АВС С А = Ь, СВ = а. Тогда медианы AM и BN в базисе а, b имеют вид
AM	~ 2* ” а ‘ Так как М“Ь1 перпендикулярны, то
-20-
AM BN = 0 => 5 a b-2(a2+b2) = 0=>ab = 0,4(а2 + Ь2).
cosC^cos(a, 6) =	= 0,4 ♦ — ----- , cos С = 0,4^—+—0,8, т.к.х+х-1>2 для Vx>0.
(ab)	(ab)	\Ь а)
1.31.	Примем за базис АС = а, АВ - b (а = Ь) (см. рис. 1.4).
Тогда ААХ = (как высота и медиана ЛА ВС).
В
Ai
Рис. 1.4
СС, = АС; - АС = LdSi 6
ь
_6
а
- а = a cos А 
- а,
(ACi найдена из ЛСС1А с учетом, что а = Ь).
Итак, ССХ - b cos А - а. Аналогично находим
ВВ, = АВ,-АВ=\АВ,\ — - b = acosA-b .
а
Из условия имеем:
-> -»
О - ААХ + В В. + СС = — + + a cos А - b+ b cos А - а
1	1	*	2
a(cos А -1 / 2) + Z>(cos А -1 / 2) = 0 . Так как а и b — неколлинеарные, то это равенств воз-
можно только в случае cos А = у т.е. А = ~ и ЛАВС — правильный.
1.32.	Пусть в ЛАВС: АВ = с, ВС = а, СА = Ь, тогда а+ Ь+ с = 0 (1).
Используя свойство биссектрисы угла треугольника (см. решение 1.25 п. 2), находим
ВА, = а——, АС, = с—^—, СВ, = -?—Ь.
'	(6 + с)	' (а + Ь) 1 а + с
Тогда ААХ = с+ ВАХ, ВВХ = а+СВх, ССХ = b+ АСХ. Из условия задачи и (1) следует
0 = ААХ + ВВ} + СС] = а + b + с + ВАХ + СВ\ + АСХ = BAt + CBj + АСХ =>
ас а b с b
=>------+--------+-----= 0.
(Ь + с) (а + с) (а + Ь)
Используя снова (1), получаем a(c/(b + c)-bl(a + b))+ b(a/(а + с)-b(a + b)) = О.Так как
а и b неколлинеарны, то имеем с!(Ь + с) = Ы(а + Ь)\ а!(а + с) = Ь1(а + Ь)=>
[ас - Ь2
4	=> с(а-b)-(b-a)(b + а) => (а-b)(a + b + c) = Q=>a = b.
[be = а2
Тогда Ьс = Ь2 => с - Ь. Итак, а = b = с и ЛА ВС — правильный.
1.33. В соответствии с указанием находим:
х О А = О A2 sin 2 А + О А О В sin 2В + ОА ОС sin 2С.
-21 -
Так как ОА = ОВ = ОС = Я, {ОА, ОВ) = 2С, (ОВ, ОС) = 2А, (ОА, ОС) = 2В, то получим:
х О А = R2 (sin 2 А + sin 2 В • cos 2С + sin 2С • cos 2В) = R2 (sin 2 А + sin 2(В + С)) =
= R2(sin2A + sin(2.7r-2A)) = R2 0 = 0.
Аналогично находим, что хОВ — 0. Возьмем векторы ОА и ОВ за базисные, тогда
х = аОАл- рОВ. Используя доказанную ортогональность х векторам ОА и ОВ, для на-
хождения а и р получаем систему однородных уравнений:
х ОА = 0 = R2 (а + р cos 2С),
х (9В = 0 =/?2(acos2C + /7).
Определитель системы А = -cos22C = sin22C> 0, при С *	=^а = /?=0их = 0. При С =
=—, очевидно, ОА = -ОВ
2
и х = OA(sin2A-sin2B) = OA(sin2A-sin(n-2A)) = 0 . Итак,
х = 0 в любом случае.
1.34. Существование чисел а, Ри у вытекает из ком-
планарности векторов О А, О В и ОС. Пусть АВ = с,
ВС = а, АС = b (см. рис. 1.5). ОР = ОК = ОМ = г.
Найдем орты векторов АО, ВО и СО. Имеем (см. 1.26)
ААХ - Ь°+с°, | ЛЛ |= J1 + l + 2cos(Z>, с) = 2cos(J/2);
АО =\ АО | АА° = (b° + с°) I АО | /(2 cos(A / 2)).
Из t^AOK находим | АО| = r/sin(/l/2).
Поэтому АО =	Ь+ с/ c)r / sin А. Аналогично находим
чтоВО = (я/я-с/с)г/sin В; ОС - (а/а + Ь/Ь)г/sin С. Рассмотрим ветор а ОА+ /ЗОВ+
+уОС = N . Имеем:
N = ~аг(ЫЬ+ с/с)/sin А + /Зг(-а1 а + с/с)/sin В + уг(а/а + Ы b)/sin С =
= (г I а) а(у IsinC - р/sin 5) + (г//>)/>(//sin С-а/sin А) +
+(r/c)c(p/sinB-a/sin А).
В силу теоремы синусов: а : в : с = sirb4 : sinZ?: sinC равенство N = 0 верно в случае, когд;
а = а, р = в, у = с. Пусть, кроме равенства а ОА+ЬОВ+ с ОС = 0, справедливо и такое
а( О Ал- pi ОВл- ух ОС = 0, тогда из этих равенств легко получить, что а : b : с = а\ : Р\ : /ь
1.35,1.36. | ?и|= 4.
1.38.	Введем базис DA = a, DB = b , DC = с (см. рис. 1.6).
-22-
Рис. 1.6
Пусть имеет место равенство AB2 + CD2 = АС2+ BD2 (1).
Найдем разложения векторов АВ и АС.
Имеем АС = с -а, АВ ~ Ь-а . Тогда из (1) получаем
Ь2 + а2 -2а Ь+с1 = с2 + а2 -2 с а+b2 —» а b = а с =>
=> а(Ь- с) = О, т.е. DA-СВ = 0 => DA1.CB. Доказательство
обратной теоремы получим, если рассмотреть разность между
левой и правой частями равенства (1) и использовать разло-
жения векторов АС и АВ и ортогональность AD и ВС.
1.39.	Сделаем рисунок 1.7. Пусть AS = а, ВС = b, (а, Ь}-(р и SB= с .
По условию МВ = АВ!2 = (а+ с)/2.
Далее SC = SB+ ВС = c+b, NC = SCI2 = (с+ Ь)/2 (по усло-
вию). Тогда MN = МВ+ BN = МВ+ ВС+ CN = (а+ с)/2 + Ь-
~(с+Ь)/2 = (а+Ь)/2 и |Л7л7| = 0,5у]а2 +Ьг+ 2abcos</>.
1.40.	В соответствии с указанием m*(cos^,sin^) к = 1, 2, 3.
Рассмотрим векторы р (cos^i, cos^, cos^) и q (sin^>i, sin^,
sin^j?). Из условия имеем p2 =q2 и p l_q , t. e. p q = 0. T.e.
справедливы равенства cos2 (p\ + cos2 + cos2 (pi - sin2 (p\ +
+ sin2 (pi + sin2 (pi, (1) sin^i cos^i + sin^ cos^ + sin де созде = 0,
(2), которые равносильны таким cos2 (p\ + cos2 (pi + cos2 (pi = 0,
(Г) sin2 (p\ + sin2 (pi + sin2 (pi = 0, (2’).
Рассмотрим векторы (cos2^,sin 2^) ,k = 1, 2, 3. Из (Г) и (2’) => nx+n2+ny = 0 , причем
| nk | = 1, тогда = -(n2+Wj) =>| nx |2=| Иг + лз |2 => 1 = 1 + 1 + 2cos(n2 , Л3) => cos(n2, w?) ==>
-1/2=>(и2 , л3) = 2л73, так же и (л, , л2) = (л|,л3) = 2я'/3. Тогда с точностью до порядка
следования векторов 2де = 2а, 2(pi = 2а + 2л I3, 2(pi -2а- 2л/ 3, т.е. (р\ = a, (pi = а + л 13.
Поэтому искомая тройка векторов тк будет иметь вид п\ (cos a, sin а), m2(cos(a +л73),
sin(a + ;r/3)), m3(cos(a - л 13),sin(a - л / 3)). За искомую можно взять и тройку тх, ту, т2.
1.41. Нет, так как любая пара из 4-х плоских векторов	не может обра-
зовывать тупой угол.
1.42. С(4, -5, -2), S = 2>/192 + 292 + 242 = 2V1778 « 84,3.
1.45. Примем за базис боковые ребра тетраэдра SABC SA = a, SB- b, SC - с, тогда
-23-
$asc ~ 2 167 x c I’ $asb ~ 2 ।67 X I’ ~ 2 । ^X C '*
1 ]-»-> -> ->
SARC ~I ^Z?xВС|=“\(b- a)x(c- b)\= — \ ax b+ bx c+ ex a \ .
Используя неравенство треугольника получаем:
|axZ)+Z)XC+CXt7|<|tfxZ)| + |Z)Xc| + |cXtf|.
1.47	.5min = 0,5. Минимум площади достигается, например, для ЛАВС с координатами Л(1;
1), Я(2; 1), С(3;2).
1.48.	Большей будет высота ВР = СЛ/, опущенная на сторону AD, причем
/p = 5J-(4/5)ib = (4;9/5;12/5).
1.49.	Пусть в ЛАВС АВ = с, АС - b . Тогда
AM = т-(b+c^/l, BN = п = b/?.-с .
Из этих равенств выражаем b и с через т и п : b = 2(и+2?и)/з, с = 2(ш-и)/з.
Далее S^BC =^| Ьх с |= (2/9)| (т-п) х (п+2т)\= (2/3) | /их п |= (2/3)| т\\ п |sin^>, где
<р - (т, и).
Пусть S&abc= 16, тогда имеем 16 = (2/3)-6-4-sin=> sin$7 = 1, т.е. т 1 и .
Если же 5д = 8, то sin^= 1/2 и (р = л/6.
1.50.	Из 1.49 находим: Smax = (2/3)/ил/, (р= л/2.
1.51.	В соответствии с указание имеем ах Ь = (4/3)(ЛЛ/х AN), поэтому площадь 5 парал-
лелограмма будет максимальной, если:
a = (JM"jN) = ^/2;5ma.x = 64; |а|=|-(2/л+п)|/з = 2>/52/3; | i|= 2|5т+л|/з = 4л/141/з.
1.52.	а =3, а(0; 1; -1).
1.54.	1) Так как АВ АС > 0 и ВАВС> 0, то внутренние углы треугольника ЛАВС при вер-
шинах А и В — острые. Поэтому кратчайшее расстояние отточки С до [АВ] можно найти
по формуле (см. 1.53): £min =| АВх АС| / АВ = 2^5/6 . Для нахождения точки D е [АВ], за-
пишем CD в виде (см. указания к 1.24) CD = СА+ а АВ. а находим из условия: CD ±АВ.
Имеем сЬ=(-1; 3; -2) + (2/3)(2; -2; 4) = (1/3)(1; 5; 2) = (х-1; у +1; z-1), где D(x;y;z).
Отсюда находим D(4/3; 2/3; 5/3).
2) Так как ВА ВС = -4 < 0, то угол В > л/2, поэтому ближайшей к точке С (1; -1; 4) будет
точка В, = ВС = 7з .
1.55. 1) а, b и с компланарны только в случае, когда среди чисел £ ,т,п есть равные;
2) Вычислим смешанное произведение а b с . Имеем
-24-
a b c =
a + p + Y
p + y + a
Y + a + p
a fl Y
fl Y a
Y a fl
= (a + P + y} 0
P
a-p
a-p
a~Y
P-Y
P Y
Y a
a p
1
0
Y
= (a + P + y№P + pY + WY-a1 - P1 ~y2) = 0=> a + p + Y = ®
или aP+PY + ay - a1 + ft + Y1, н0 последнее равенство возможно только в случае а =
= Р= y (см. 1-8.2). Итак, условие компланарности будет таким: « + /?+/ = О или а = р =
= /€ R.
1.56. 1) c*Py - -1; 2) а = р = y~ 1 или <* + р = - 1; 3) Выясним, когда компланарны (т.е.
линейно зависимы) векторы т, п и р. Это возможно, если существуют скаляры «1, Д, Y\
е R, такие, что a2 + ft + /2 0 и at т+ рх п+ р = 0. Переходя в этом равенстве к базису
а, b и с и приводя подобные, получим
(«!« + РР+ YiY)«+ (<*iP+ P\Y +	*>+ («1/ + Р\<* + Y\P) с = 0.
В силу некомпланарности а, b и с получаем систему линейных однородных алгебраи-
ческих уравнений относительно сц, Р\, yi с определителем, рассмотренным в решении
1.55 п. 2. Поэтому эта система имеет ненулевое решение, только в случае, когда опреде-
литель равен нулю, т.е. а + /?+/= О или а = /? = /.
1.57. 1) х = 6х с ; 2) Имеем х = aa+pb . Из условия получаем систему уравнений
->2 -»-»
а а + р а b =1, fa-/0/2 = 1,	„	->	-> -» /
н ’=>)	=>а = 4/3, Р = 2/3=$ х=2(2а+Ь) 3.
->->	->2	1-а/2 + /0 = О.	н	"
a a b + р b =0.
3) Так как x(p,q,r} ± а, то х а = 0 = q + г, т.е. г = -q\
cos(x , Z>) = (1/>/2) =	t.ff----- =^ylp2 + 2q2 = p + q=>
I x II b I -J2^P2+2q2
q(q-2p) = 0=} q} =0, r, =0,p>0; q2 =2p, r2 =-2p,p>0.		
Получили векторы ji(p,0,0) и хг(р,2р,-^р) •		
Считая базис ортонормированным, найдем		
	0 1 1	
а Ьх{ -	1 1 0	= —р < 0, т.е. а, b и х, не образуют правую тройку. Находим, что
	р 0 0	
abx2=3p>0. Поэтому окончательно x = p(l, 2, -2), p > 0.
1.58.	m = ±(ox b+ bx. c+ ex a).
1.59.	от = (ах*)/з = -(2;-1;2)/3.
1.60.	a(-8;3;-l).
1.61.	1) OH - abc(bc i + ac j+abk)/(a2b2 +b2cz +a2c2);
-25 -
2)	OH =\ab с\\с*а+ b* с+ a* b) \a* с+ с* b+ b*a\~2.
A	D
Рис. 1.8
1.63.	Сделаем рис. 1.8. По условию ABCD — параллелограмм. Пусть SA = a, SB=b,
SC = с. По условиюSA\ = (1 /3)&4, SB\ = (1/4)SB, SCi = (U5)SC.
Требуется найти ап где SD[ = a\SD. Имеем BA = a~b~CD.
Обозначим SD = d, тогда d - SC+ CD = c+ a- b.
Далее, AXBX = ь/^ — а/з, BXCX - c/s-b/^,
CXDX - SDX -SDX - ax d- c/s - ax{c+a-b}-c/s.
Так как AXBX, BXCX и CXDX лежат в плоскости A\B\C\ D\ (a), to
AXBX BXCX CXDX = 0 => (1 /60)(4aj -\)a b c = 0 => = 1 /4, т.к.
ab c * 0.
1.64.	В соответствии с указанием, высота ОМ пирамиды сов-
падает с R. Поэтому векторы МА, МВ и МС, лежащие в основании АВС пирамиды, ор-
тогональны R. По условию ОА = atx, ОВ = pt2, ОС = поэтому получаем:
М4-= 0 => (ОЛ-Л) Л = 0 => а Л = Л2 => a =/?2/(^,Я);
аналогично находим р-R2 !(t2,R), y-R2 l(t3, R).
Найдем объем пирамиды V. V =| ОА ОВОС | /6 =| aPytx t2 | / 6 = —	^-77—77-.
e(txR№xR)(txR)
1.65.	Пусть в тетраэдре SABC SA = a ,SB = b, SC- с, m,, m2, пц — векторы, совпада-
ющие соответственно с биссектрисами углов (а, Ь), (Ь,с), (а, с) равных <р. Рассмот-
рим орты а°, Ь°, с° векторов а, b и с. Тогда n^cf+b0, п2=Ь°+с°, п3 = а°+с° —
коллинеарны соответственно тх, т2, т3. Поэтому	если 0 = л2 =
+(b°)2 +а°c°+b°с° = 1 + 3cos(р\ cos^ = -l/3=> ^ = я-агссоз(1/3).
1.66.	0,5.
1.69.	Пусть Д — определитель из условия задачи. Введем векторы a(cosa;sina;0,5),
b(sin а\cos а;->/з), с(-3\13;7,2), тогда | а || b || с |= >/1 + 1/4>/1 + 3 V27 + 49 + 4 = 20. Ис-
пользуя неравенство из 1.67 получаем Д < 20. Знак равенства будет иметь место, когда
векторы а, b, с попарно ортогональны и образуют правую тройку. Имеем, а b = 0 =>
-26-
=> -Зл/З sin а + 7 coscr - 2л/з = 0. Два последних равенства выполняется только при и - 4к,
к g Z, т.е. при а = — + 2лк . При этом AI — | = 20 > 0, т.е действительно указанные векто-
6	V 6 )
ры при а = — образуют правую тройку.
6
1.70.	Знак равенства достигается в точке (-0,5; I).
1.71.	Поместим вершину пирамиды в 0(0; 0; 0), тогда из равенства
Г2 = (1/36)(ОЛОВОС)2 = (1/36)Л2(ЯВх АС)2 получаем a2b2c2 = h2(b2c2 +Л2 + а2Ь2). Де-
ля обе части теперь на h2a2b2c2, получим требуемое.
1.73. V-—abc
6
1 coscr
cos а 1
cos у cos p
cosx
cos/7
1/2
, где а, Ь, с, — длины боковых ребер;
a, p,y — плоские углы при вершине.
1.75.	Результат получается, если приравнять нулю определитель из ответа 1.73.
1.76.	Так как а b с = ±Г = ±1 # 0, то векторы а, b , и с могут быгь приняты за базис.
Пусть в этом базисе г имеет координаты х,у, z, т.е. г =xa+yb+zc. Тогда из уравнений
системы находим у ~ (гха)Ь = ((х а+ у b+ z с)х a)b = z с a b = a b cz - +z, аналогично
получаем, что х = ± а,у - ± р. Поэтому г - +(а а+ pb+у с).
1.77.	0,5£2 ^4(1 - cos а)(1 - cos р) - (1 - cos а - cos р + cos у)2.
1.78.	Пусть боковые ребра тетраэдра SABC соответственно равны:
a = SA, b-SB, c = SC.
Тогда и = (1/2)(ях 6), /и = (1/2)(6х с), р = -(1/2)(ах с),
г - -(1/2)(6- с)х(с-а) = -(1/2)(/>х с-Ьх а+ сх а)
и сумма г+т+п+ р-0.
1.79.	Попарная ортогональность векторов а, b и с вытекает из определения векторного
произведения. Умножая скалярно каждое из векторных равенств соответственно на с, а
и b и учитывая, что ab с -b с а - с ab>0, получаем, что с2 - b2 = а2 => а = b = с. Так
как abc = abc = а\ ас другой стороны abc = а2, то а2 = а3 и а = b = с = 1.
1.80.	Умножим сначала уравнение ах г+ Лг = b скалярно на а, тогда получим Л г а =
= а b =$ г а = (а Ь)1 Л. Умножим теперь уравнение векторно на а : ах (ах г) + Лах г =
= axb . Так как ах (ах г) = а(а г) - г(а)2 ,то получим: а(г а)-г (а)2 + Л(Ь-Лг) = ах b
=> а(а Ь)//1 + Л b-ах b = г (а + Л2)=$ г =(а(а Ь)/л + Л Ь- ах Ь)/(а +Л2).
Подставляя это выражение для г в исходное уравнение, убеждаемся, что оно обращает
его в тождество.
-27-
1.81.	ab = 0, ас - 1.
1.82.	Рассмотрим несколько первых членов последовательности. Имеем:
Х2 = ахх\ = ах (ах хо) = а(а хо)- хо(а)2 - а(а х0)~ хо, т.к. (а)1 = 1.
Далее хз = ахх2 = ах(а(а х»)~ хо) = -ах хо = -xi; хд = ах хз = -ах xi = -хг,
xs = ах ха = -ах xi = -хз = Xi, х6 - xi... .
Итак, различных векторов в последовательности будет 5: хо, xi, хг, -xi, -xi.
Если хо ± я,то 4: xo, xi,-xo, -xi.
1.83.	г = (Ла+ Ьх с)/(а с).
1.84.	г = (a(bx с) + Р(сх а) + у(ах b))/(a b с).
1.85.	Положим ах b = т, тогда
(ах b\cxd) = m(cxd) = (mx c)d = ((ах b)xc)d = (b(ac)-a(bc))d =
= (b d)(a c)-(a d)(b c) =
a c ad
be bd
1.86.	Пусть (a, b) = a, (a, c) = y, (b, с) = Д = ax b, n2 = axc — векторы ортогональ-
ные соответственно граням, образованными векторами а, b и а, с . Тогда косинус угла
0? при ребре а найдется по формуле cos 07 = cos(w1, и2) = ("1^2)/(I п\ II п2 D-
Имеем | пх |=| а || b | sin а = ab sin а, | п21= ас sin у; используя формулу из 1.85, находим
Пу п2 = (ах Ь)(ах с) =
= a2bc cos р- a2bc cos у cos а.
Тогда cos 0?= (cos р~ cos у cos а) / (sin a sin При 07 = я!2 получаем, что cosy = 0 =
= cos/? -cos у cos а, т.е. cos /?= cos a cos у.
-28-
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2.1.	ЗАДАЧИ
2.1.	При каких к g R три прямые пересекаются в одной точке:
1)	кх-у - к = 0, 2кх-у - 2к = 0, 4кх-у - 4к = 0;
2)кх-у-к = Ъ, 2х + ку + Зк=Ъ,у-4кх + 4к = 0?
2.2.	Стороны четырехугольника лежат на прямых:
ах + by + с\ - 0, bx - ay + С2 = 0, ах + by + сз = 0, Ьх - ау + а - 0, причем С| Ф сз, сг Ф а.
Доказать, что его площадь 5* можно вычислить по формуле:
С _	~~Сз)(С2 ~с4)|
(*2+*2) ’
2.3.	Прямая, параллельная прямой Зх + 4у - 12 = 0, пересекает положительные полуоси
координат, образуя треугольник площадью 5 = 54. Написать уравнение этой прямой.
2.4.	Дана вершина (3; 5) равнобедренного треугольника, уравнение его основания х - 2у +
+ 12 = 0 и его площадь S = 15. Составить уравнения боковых сторон.
2.5.	Составить уравнения сторон квадрата, если две их них проходят через вершину (7(0; 0),
а на двух других сторонах лежат точки (3; 1) и (8; 6). Чему равна площадь S квадрата?
2.6.	Через точку /4(0; 1) провести прямую так, чтобы отрезок ее между прямыми х -Зу + 10 =
= 0и2х+у-8 = 0 делился в ней пополам.
2.7.	Дан треугольник с вершинами А(0; -4), 5(3; 0), С(0; 6). Найти расстояние вершины С
до биссектрисы угла А.
2.8.	Заданы уравнения двух сторон ромба 4х + Зу - 1 = 0, Зх + 4у + 1 = 0 и одна из его вер-
шин (-6; 6). Найти площадь 5 ромба.
2.9.	Задана прямая (A/7V) уравнением 2х + у - 1 = 0 и две точки А(4; 3), 5(-2; -1).
1.	Доказать, что А и В лежат по разные стороны от прямой
2.	Найти на (MN) такую точку С, чтобы были равны углы: MCA = МСВ.
2.10.	Точка Л(3; 5) — вершина равнобедренного треугольника А45С, х - 2у + 12 = 0 —
уравнение его основания и точка М(-1; 1) лежит на одной из боковых сторон. Составить
уравнение окружности, описанной около ДАВС.
2.11.	При каких значениях a g R:
1)	точка Л/0(а; -1) лежит вне круга х2 - 2х + 2у + у2 - а - 3 < 0;
2)	кратчайшее расстояние от Л/» до окружности равно четырем его радиусам?
Чему равны координаты точки окружности, ближайшей к Л4Ь?
2.12.	Гипотенуза прямоугольного ДАВС (С = л72) лежит на оси (2г, один из катетов за-
дан уравнением Зх - 4у + 6 = 0* а точка Л/(1; -1) лежит на другом катете. Составить урав-
нение описанной около ДАВС окружности.
2.13.	Пусть (2(1; -1) — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника
и Зх - 4у + 3 = 0 — уравнение одного из катетов, причем длина его равна 3. Записать урав-
нение окружности.
2.14.	Известны уравнения двух сторон ромба Зх - 4у + 7 = 0, 4у - Зх - 10 = 0 и уравнение
одной из его диагоналей х-у + 2 = 0. Составить уравнение вписанной в ромб окружности.
2.15.	Точка J(l; -1) — вершина равнобедренного треугольника ДАВС, прямая 2х + у = 0
служит его основанием ВС, а точка Л/(0; -3) лежит на сторона АВ. Составить уравнение
окружности, вписанной в ДАВС.
-29-
1Г п	\х +У <2,
2.16.	При каких значениях параметра а система неравенств <	не имеет реше-
[х +>> < а
ний? Дать геометрическую иллюстрацию.
2.17.	Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств:
1)	х2 + у1 < 4х - 4у - 6 и х > 1;
2)х2 + у2 < 4х - 4у - 6 и х + >> < 1.
2.18.	Под действием некоторой силы точка двигалась по окружности х2 + у2 - 10х + бу +
+ 9 = 0. Действие силы прекратилось в тот момент, когда точка занимала положение Л(2; 1).
Определить дальнейшую траекторию точки.
2.19.	Составить уравнение окружности, описанной около треугольника со сторонами:
Зх - 4у + 5 = 0, 4х + Зу + 5 = 0, х - 1 = 0.
2.20.	Составить уравнение окружности:
1)	с центром, лежащим на прямой х -у + 1 = 0, и касающейся прямых Зх - 4у + 8 = 0 и
Зх-4у + 18 = 0;
2)	касающейся прямых: у = 0,у = 4, Зх + 4у + 5 = 0.
2.21.	На плоскости заданы две точки А(-1; 1), В(\\ 2,5) и взята точка С(х;у) на кривой
х2 - 2х + у2 + 4у + 1 =0. Какое наибольшее значение может иметь площадь ЛАВС? Найти
координаты точки С.
2.22.	Окружность вписана: 1) в квадрат; 2) в правильный треугольник. Доказать, что сум-
ма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин фигуры постоянна. Най-
ти эти постоянные.
2.23.	Вершина треугольника, имеющего неподвижное основание, перемещается на плос-
кости так, что его периметр остается постоянным. Найти траекторию вершины, если ос-
нование равно 24, а периметр — 50.
2.24.	Отрезок [Л/3] длины 3 скользит своими концами по координатным осям (А — по Оу,
В — по Ох). Какую траекторию описывает точка С, находящаяся на отрезке на расстоя-
нии 1 от вершины Л?
2.25.	Доказать, что длина отрезка, соединяющего центр эллипса с любой его точкой, за-
ключена между большой и малой полуосями.
2.26.	Доказать, что для эллипса с полуосями а и b {а > Ь) расстояние между любыми его
двумя точками не превосходит 2а.
2.27.	Пусть Л/(х; у) — произвольная точка эллипса (х / а)2 + (у / Ь)2 = 1. Какие значения
может принимать произведение координат ху? В каких точках достигается наибольшее и
наименьшее значения произведения?
2.28.	Парабола у2 = 2рх пересекает окружность х2 + у2 + 4х - 72 = 0 в точках А и В. Найти
значение параметра р (р > 0), если АО А В (О — начало координат) — правильный.
2.29.	Зеркало автомобильного фонаря имеет в разрезе форму параболы. Диаметр зеркала
равен 20 см, а глубина — 10 см. Указать положение фокуса зеркала.
2.30.	Определить количество корней уравнения в зависимости от значений параметра а'.
1)	| х | -1 = ах2; 2) | х | -1 = а(х2 -1). Дать геометрическую иллюстрацию.
2.31.	Изобразить на плоскости хОу множество всех точек, координаты которых удовле-
творяют соотношениям:
1)	(х-1 х I)2 + (у-1 у I)2 < 4;	2) (х-1 х | / 2) + (у+1 у | / 2)2 < 4;
3)(x-V7)(3-x2-2/)>0; 4) 13-х|>у2 -1;
5)	0,5 sin nU + U = 1, в случаях:
a) U = х + у; б) И = х2 + 2у2; в) U = у - х2.
-30-
2.32.	Изобразить на плоскости кОЬ геометрическое место таких точек М(к, Ь), что прямая
у = кх + b: 1) не пересекает: а) параболу х2 = ~2у; б) эллипс 4х2 + у2 = 4; 2) пересекает ги-
перболу х2 -у2 + 4 = 0 и не пересекает параболу у2 + 4х = 0.
2.33.	Две вершины квадрата лежат на оси абсцисс, а две другие — на кривой:
1)	у = х — х2; 2) у = —у/а2 -х2 (а > Ь). Найти площадь квадрата.
а
2.34.	Найти наибольший радиус круга, лежащего внутри параболы у2 = 2рх и касающегося
вершины параболы.
2.35.	Найти координаты точки Л/о прямой (£), ближайшей к кривой (L), и кратчайшее
расстояние от Л/о до (L):
1)(<):Зх-4у+23 = 0,(£):х2-2х+/-24 = 0;
2)(£):х+у + 7 = 0, (£):/ = 12х;
3)(0:х+у = 5,(£):3х2+у2 = 3.
2.36.	На плоскости рассматриваются всевозможные правильные треугольники, две вер-
шины которых лежат на прямой у = х + 2, а координаты третьей вершины удовлетворяют
заданному неравенству. Найти наибольшее возможное значение площади рассматривае-
мых треугольников в случаях:
l)x2 iy ^х + 2; 2)х + 2 Sy S V12-3x2.
(х\2 (у}2
2.37.	Дан эллипс — + — = 1 и прямая Ах + By + С = 0. Найти необходимые и доста-
\а) \Ь)
точные условия того, чтобы прямая пересекала эллипс, касалась его, проходила вне эл-
липса.
2.38.	Написать уравнения касательных к эллипсу	=1, параллельных прямой
х + у = 1.
2.39.	Написать уравнения касательных к эллипсу Зх2 + 8у2 = 45, расстояние которых от
центра эллипса равно 3.
2.40.	Эллипс с фокусами в точках (-3, 0), (3, 0) касается прямой х + у - 5. Составить урав-
нение эллипса.
2.41.	Найти общие касательные к двум эллипсам
2.42.	Найти уравнения сторон квадрата, описанного около эллипса
z \2	/ \2
Г-1	=1.
2.43.	Дана парабола у2 = 2рх, (х2 = 2ру) и прямая у = кх +6. Вывести необходимые и доста-
точные условия того, чтобы прямая пересекала параболу, касалась ее, проходила вне ее.
2.44.	Найти общие касательные к кривым у2 = 4х и х2 + 4у2 = 8.
2.45.	Написать уравнение касательной к параболе у2 = 2рх:
1)	отсекающей на осях координат равные отрезки;
2)	перпендикулярной прямой у = кх + b (к * 0).
2.46.	Написать уравнение эллипса с вершинами (0, 6) и (0, -2), зная, что на оси Ох эллипс
высекает хорду длины 6.
2.47.	Вывести необходимое и достаточное условия того, что прямая у = кх + т касается
гиперболы: 1) [ — 1	=\;2)ху=р.
-31 -
2.48.	Написать уравнения касательных к гиперболе 4х2 - у2 - 4, проведенных из точки
/ \2 / \2
2.49.	Вывести необходимое и достаточное условие того, что к гиперболе — -I — I =1
\а) \Ь)
можно провести касательные, параллельные прямой у = кх.
2.50.	Прямые х = any = кх + b являются асимптотами гиперболы, проходящей через точ-
ку (хо, у«). Составить уравнение гиперболы.
2.51.	Доказать, что кривая 2х2 -ху + Зх-у - 1 =0 — гипербола. Найти ее асимптоты и по-
строить гиперболу.
2.52.	Найти уравнение линии второго порядка, для которой ось Ох является осью симмет-
рии, ось Оу — касательной в вершине, зная, что линия проходит через две точки:
1)(2, 3) и (6,-3); 2) (2, 3) и (-3, 3).
2.53.	Доказать, что хорды, соединяющие точки пересечения окружности
/ \2 z у
х2 + у2 = а2 + Ь2 с осями координат, касаются эллипса I — I + 1 — I =1.
\а) \Ь)
2.54.	Дан эллипс 4х2 + у2 = 5. Составить уравнение параболы, которая касается эллипса в
точках (1,-1) и (-1,-1).
2.55.	Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат и касающейся
прямыху=1±х.
2.56.	На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны,
а сами параболы пересекаются в 4-х точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на од-
ной окружности.
2.57.	Найти кратчайшее расстояние от точки Л/о(4, 0) до параболы у2 = 2х и координаты
ближайшей к Л/о точки параболы.
2.58.	Числах и у удовлетворяют неравенствам:
1)	х2 - 2х +у2 - 8 < 0 и х2 - 4х + у2 - бу - 3 < 0; 2) х2 <у < 4 + >?4-х2 . Какие значения мо-
жет принимать сумма U = Зх + 4у?
2.59	Найти все значения параметра а <= R, при которых система уравнений
{х2 + у = 2х + а,
имеет решения.
х2 + у2 = 2х
2.60.	Дан эллипс х2 + Зу2 = 4 и 2 точки J(l, 3), и В(-2, 2). Найти координаты такой точки С
эллипса, чтобы площадь 5 ААВС была минимальной, и £min.
2.61.	На параболе у = х2 найти точки, расстояние от которых до прямой 4х + Зу + 5 = 0
равно 8 =0,8. Каким должно быть это расстояние, чтобы точка была единственной?
2.62.	На кривой ху = 1 + х найти точку М, ближайшую к точке 1).
2.63.	Прямоугольный треугольник с катетами а и b скользит концами их по осям коорди-
нат. Найти геометрическое место вершин прямого угла.
2.64.	Из начала координат проведены всевозможные хорды окружности х2 + у2 - 2ах.
Найти геометрическое место середин этих хорд.
2.65.	Найти геометрическое место середин хорд:
1)	кругах2 +у2 < а2, проходящих через точку Р(с, 0), 0 < с < а;
2)	гиперболы х -у2 = а2, проходящих через ее правый фокус.
2.66.	Найти геометрическое место центров кругов, касающихся оси ординат и окружности
х2+у2=1.
2.67.	Найти геометрическое место центров кругов, отсекающих от двух перпендикуляр-
ных прямых отрезки 2а и 2Ь.
-32-
2.68.	Найти геометрическое место точек плоскости, из которых под прямым углом виден
х2 У1 1
эллипс — + — = 1.
а Ь“
2.69.	Дана окружность с центром в точке (ао, 6о) радиуса г и точка Л(хо,^о) вне круга. Най-
ти геометрическое место центров (а, Ь) окружностей, проходящих через точку А и ка-
сающихся данной окружности.
2.70.	Найти геометрическое место точек, из которых на ровной местности выстрел из вин-
товки и удар пули, попавший в цель, слышны в одно и то же мгновение. Скорость зву-
ка — И, пули — И, а расстояние между стрелявшим и мишенью а = const.
2.71.	Две вершины треугольника зафиксированы, а третья движется так, что один из углов
при основании остается вдвое больше другого. Какую линию описывает третья вершина ?
Построить ее.
2.72.	Отрезок длины 2а скользит своими концами по сторонам прямого угла. Найти урав-
нение геометрического места точек — оснований перпендикуляров, опущенных из вер-
шины угла на отрезок.
2.73.	Доказать, что уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от
которых до двух данных точек А\ и Л2 — есть величина постоянная, равная а2 имеет вид
(х2 + у2)2 = 2а\х2 - у2). Длина ~ 2а. Записать уравнение в полярных координатах и
построить эту кривую.
2.74.	Составить уравнение линии, по которой перемещается середина единичного отрез-
ка, концы которого находятся на параболе у = х2.
2.75.	Кривая задана уравнением г = 3 + cos$? (г и (р— полярные координаты точки). Пока-
зать, что любая хорда, проходящая через полюс, имеет одну и ту же длину.
2.76.	Уравнения кривых заданы в полярных координатах:
1)	r(5 + 3cos^) = 16; 2) r(4 + 5cos$?) = 9.
Записать эти уравнения в прямоугольных координатах и построить кривые.
2.77.	На эллипсе х2 + ху + у2 = 9 взяты две точки /4(0; 3) и 5(3; -3). Указать на нем такую
точку С, чтобы площадь S кА ВС была наибольшей. Найти эту площадь и эксцентриситет
эллипса.
2.78.	Найти эксцентриситет эллипса, полученного при пересечении прямого кругового
цилиндра плоскостью, проходящей под углом (р к его оси.
2.79.	Угол между осью прямого кругового конуса и его образующей равен 30 . Через не-
которую точку образующей проведена перпендикулярно ей плоскость. Найти эксцентри-
ситет полученного в сечении эллипса.
2.80.	Фокусы эллипса находятся в точках F|(l; 0), /^(О; 1), а большая ось равна 2. Соста-
вить уравнение эллипса.
2.81.	Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и проходящей через
точки (0; 1), (1; 0).
2.82.	Прямой круговой цилиндр пересечен плоскостью по эллипсу. Что будет представ-
лять линия пересечения, если цилиндр развернуть на плоскость?
2.83.	кА ВС, где Л(1; -1; 2), 5(0; 0; -2), С(4; -4; 2), проектируется на некоторую плоскость
в отрезок длины 4>/з . Записать уравнение этой плоскости, зная что она проходит через
точку м0(1; 1; 1).
2.84.	Точки А(-4; -1; 2), 5(2; 5; -16) — вершины к АВС; середина стороны АС лежит на
х у z — 1
прямой — = = ——, а середина ВС — на плоскости Зх - 4у + z = 2. Найти площадь 5
к АВС.
2.85.	Найти длину и уравнение высоты CD к АВС, если /4(4; 1; -2), 5(2; 0; 0), С(-2; 3; -5).
-33-
2.86.	Пусть Si и Si - направляющие векторы прямых (£0 и (Z2), причем 5|х52^0
(т.е. (Z0 и (^2) не параллельны), и известен вектор R- М}М2, где М\ е (Z,), Л/2 € (£2).
Доказать, что:
1)	прямые скрещиваются, если 5i Si R * 0;
2)	кратчайшее расстояние между (€j> и (£2) находится по формуле	Я|=| RNo\,
N
где	— орт вектора N = 5, х Si.
2.87.	Найти расстояние между диагональю куба и не пересекающей ее диагональю грани.
2.88.	Найти расстояние между прямыми: х =у = :их = 1, у = 2.
„ w	х-1 у-2 z-З х-1 у
2.89.	Наити расстояние между прямыми -у— =	- = —j—, —у- = -у-
и уравне-
ние общего перпендикуляра к ним.
2.90.	В кубе с ребром а - 1 найти:
1)	острый угол между непересекающимися диагоналями смежных боковых граней;
2)	расстояние между этими диагоналями;
3)	уравнение общего перпендикуляра к диагоналям.
2.91.	Точки Р(3, 5, 7) и 2(1, -1, -3) — противоположные вершины ромба, третья вершина
х у
лежит на прямой — = — - z. Найти четвертую вершину и площадь S ромба.
4 3
2.92.	Что изображает уравнение х + 4у + 8г = 9^/х2 + у2 + z2 ?
X У 4* 1 Z — 1
2.93.	Составить уравнение прямой, симметричной прямой у =	= -^у— относительно
плоскости 2х + у - z = 0.
2.94.	Дан куб ABCDA\B\C\D\. Доказать, что расстояние между плоскостями, одна из ко-
торых проходит через вершины Л, 2?i, D\y а другая — через В, Ci, D, равно у диагонали
куба.
2.95.	При каких Л еЯтри плоскости пересекаются по прямой:
1)х-у + z = 0, Зх-y-z +2 = 0,4х-у + 2z + Л- 0;
2)	х + Лу + z - 0, Зх-у + z + 4 = 0, 4х -у - 2z - ЗОЛ = 0.
2.96.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями
х2 + у2 + z2 - 2х + 2у + 4z -10 = 0, х + 2у + z + 3 = 0.
2.97.	На сферех2 +у2 4-г2 = 2х найти точку, ближайшую к плоскости 2x + 2y-z + 4 = 0t и
вычислить ее расстояние до плоскости.
2.98.	Найти координаты точки на прямой -у- =	, ближайшей к сфере х2 4- у2 4-
4-	z2 = 2у, и расстояние от этой точки до сферы.
2.99.	Указать координаты точки на сфере х2 4- у2 4- z2 - 2z, ближайшей к отрезку [ЯД],
А(1, 2, 3), В(2,3, 2). Чему равно расстояние от этой точки до отрезка [АВ]?
х2 + y2+z2 + 4у = 0,
x + a(y + z) = a
имеет решения? Найти значения а, при которых система имеет единственное решение, и
указать это решение.
2.100. При каких значениях параметра a g R система уравнений
-34-
2.101.	Площадь сечения шара радиуса R = 3 плоскостью z = х + у - 3 равна блг. Найти ко-
ординаты центра шара, если он лежит:
1)	на прямой х =у = z\
2)	на оси Ох.
2.102.	Найти центр и радиус окружности
x2 + y2+z2 = 10у,
х + 2у + 2г = 19.
2.103.	Составить уравнение сферы с центром в точке С(2, 3, -1), которая отсекает от пря-
мой
5х-4у + Зг + 20 = 0,
хорду длины 16.
Зх-4у + г-8 = 0
•	у Z +1
2.104.	Составить уравнение сферы с центром, лежащим на прямой х = ~ = —^—, касаю"
щейся плоскостейx + 2y-2z-2-0n2z-x-2y + 4 = 0.
2.105.	Составить уравнение сферы, которая касается прямой ~= -—- в точ-
4
2.107. Окружность
ке А(1, -4, 6) и прямой —	 = х + 3 = — —в точке В(4, -3, 2).
2.106.	Найти кратчайшее расстояние от точки Л/о(О; -1; 1) до окружности
х2 + у2 + z2 -12х + 4у - 6z + 24 = 0,
2х + 2у + г + 1 = 0
и координаты центра этой окружности.
(х-1)2+(у + 1)2+л2 =4,
проектируется на некоторую
2х + 2 у + z = 0
проходящую через (9(0, 0, 0), в отрезок прямой. Составить уравнение этой
зная, что она отстоит от центра окружности на расстоянии — ее радиуса.
плоскость,
плоскости,
2.108.	Точки А(3, -2, 5) и В(-1, 6, -3) — концы диаметра окружности, проходящей через
точку С(1, -4, 1). Составить уравнение этой окружности. Сколько решений имеет задача?
2.109.	Около А АВС, А(1, 1,3), В(-2, 1, -1), С(1, 1,-1) описана окружность. Составить ее
уравнение.
2.110.	Сфера х2 + у2 + z2 = 4z освещена пучком лучей, параллельных прямой х = 0, у - z.
Найти уравнение границы тени на плоскости хОу.
2.111.	Источник света, находящийся в точке Л/о(5, 0, 0), освещает сферу х2 + у2 + z2 = 9.
Найти уравнение границы тени на плоскости: 1) yOz\ Т)хОу.
2.112.	Найти геометрическое место точек, удаленных от прямой х = у = z на расстоя-
2.113.	Составить уравнение сферы, проходящей через окружность
саю щейся плоскости х + у + z - 5 = 0.
2.114.	Написать уравнения плоскостей, проходящих через прямую 13 -х ~у + 1 =— и ка-
4
сающихся сферы х2 + у2 + z2 - 2х - 4у - 6z - 67 = 0.
2.115.	Доказать, что плоскость 2х -2у - z - 10 = 0 имеет с поверхностью 4х2 + 9z2 = 72у
только одну общую точку и найти ее координаты.
-35-
2.116.	Найти геометрическое место центров шаров, касающихся прямых:
у = 0, г = а и х = 0, z = -а (а Ф 0).
2.117.	Прямая (Z?) скользит по прямым (€j): х = 0, у = 0 и (€2): х = 1, z = 0 и остается па-
раллельной плоскости (а): х + у + z = 0. Найти поверхность, образованной движением
прямой (^).
2.118.	Найти прямолинейные образующие заданной поверхности (т.е. прямые, лежащие
на поверхности), проходящие через точку Л/о( 1; 1; 1):
1)?+/-?=1;
2) 2ху +yz-xz - 2.
2.119.	Составить уравнение конуса с вершиной 5(5; 0; 0), образующие которого касаются
сферы х2 +у2 + z2 = 9.
2.120.	Через точку (1; 4; 1) провести плоскость, касающуюся парабол: у = 0, z2 = 8х и z = 0,
у1 = 32х
2.2.	УКАЗАНИЯ
2.1.	Найти К из условия, что система уравнений имеет единственное решение.
2.2.	Выяснить взаимное расположение прямых. Доказать, что расстояние между парал-
лельными прямыми может быть вычислено по формуле
о- = | с, -с2 \/\1а2 +Ь2 .
2.4.	Найти координаты точки пересечения высоты треугольника с основанием, затем кор-
динаты вершин основания, используя заданную площадь 5. Можно также найти длину
упомянутой высоты и по ней и площади 5 найти длину основания, а затем координаты
вершин основания.
2.5.	Расстояния от заданных точек до противоположных сторон квадрата равны.
2.6.	Выразить через угловой коэффициент искомой прямой абсциссы точек пересечения
ее с заданными прямыми.
2.7.	Найти направляющий вектор биссектрисы, используя указание к 1.26.
2.8.	Найти координаты двух других вершин ромба, используя свойства его диагоналей.
Проще найти острый угол ромба и длину его высоты.
2.9.	1) Вычислить левую часть уравнения (MN) в точках А и В и сравнить знаки получен-
ных чисел.
2)	Использовать свойства биссектрисы угла треугольника (см. указание к 1.25 п. 2) или
формулу тангенса угла между прямыми tg = (кх - к2}/(1 + кхк2).
Можно также найти косинус угла между векторами СА и СВ.
2.10.	Центр описанного круга лежит на пересечении перпендикуляров к серединам сторон
ЬАВС.
2.11.	Выяснить сначала, при каких a g R уравнение х2 - 2х + 2у + у2 - а - 3 = 0 изобража-
ет окружность.
2.12.	Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
2.13.	Найти расстояние отточки О до известного катета.
2.14.	Центр окружности совпадает с центром симметрии ромба, а ее диаметр — с высотой
ромба.
2.15.	Центр окружности равноудален от сторон ВС, АВ и лежит на высоте ААВС, опущен-
ный из вершины А.
2.16.	От неравенств перейти к равенствам и выяснить, при каком а прямая касается кри-
вой.
-36-
2.17.	Убедиться, что радиусы окружности, проведенные в точки пересечения ее с прямы-
ми х = 1 и х + у = 1 перпендикулярны. Площадь кругового сектора SceK = aR1/!, vrq а —
центральный угол (в радианах).
2.18.	Точка продолжает двигаться по касательной к окружности.
2.19.	Убедиться, что треугольник прямоугольный и использовать указания к 2.12.
2.20.	Расстояние от центра окружности до касательной к ней равно радиусу.
2.21.	Убедиться, что отрезок [АВ] лежит вне кривой и площадь треугольника будет мак-
симальной, если С — наиболее удаленная от [АВ] точка кривой.
2.22.	При вычислении указанной суммы использовать уравнение окружности.
2.23.	Использовать определение эллипса.
2.24.	Применить формулы для координат точки, делящей отрезок в данном отношении.
2.25.	Использовать каноническое уравнение эллипса.
2.26.	Весь эллипс помещается в круге радиуса а.
2.27.	Задачу можно решить без теории экстремума функции, если использовать неравен-
ство (а + Ь)/ 2 > Jab, а>0, b > 0 или параметрическое уравнение эллипса: х = acost, у -
= Z>sint, t g [0; 2л].
2.28.	Убедиться, что точки А и В симметричны относительно оси Ох.
2.30.	Построить графики левой и правой частей равенства.
2.31.	1), 2) Освободиться от модулей, т.е. рассмотреть различные возможные знаки ух и у;
3) множители слева имеют одинаковые знаки, причем у > 0; 4) рассмотреть случаи х < 3 и
х > 0; 5) решить графически уравнение sin пи - 2(1 - и).
2.32.	Рассмотреть дискриминант квадратного уравнения, полученного исключением у из
системы уравнений прямой и кривой.
2.33.	Пусть xi, х2 (х2 > *1) абсциссы вершин квадрата, тогда х2 - х, = |у(х, )| = |у(х2 )|. В слу-
чае (1) рассмотреть оба случая: Х|Х2 > 0 и xi < 0, х2 > 0.
2.35.	Убедиться, что прямая и кривая не имеют общих точек. Составить уравнение каса-
тельной прямой к (Л), параллельной (£) в (2), (3).
2.36.	Убедиться, что третья вершина должна лежать на кривой и касательная прямая к
кривой в этой вершине должна быть параллельна прямой у = х + 2.
2.37.	Исключить одну переменную, например, у из системы уравнений, задающих кривую
и прямую, и исследовать полученное квадратное уравнение.
2.38-	2.42. Использовать условие касания эллипса и прямой, выведенное в 2.37.
2.43.	См. указания к 2.37.
2.44	- 2.45. Использовать условия касания эллипса и прямой (см. 2.37), параболы и пря-
мой (см. 2.43).
2.46.	Найти координаты центра эллипса и записать уравнение эллипса с учетом этих ко-
ординат.
2.47.	См. указание к 2.37.
2.48.	Использовать условие касания прямой и гиперболы, выведенное в 2.47.
2.49.	См. указание к 2.37.
2.50.	Искать уравнение гиперболы в виде у - кх -Ь - т/(х - а).
2.51.	Разрешить уравнение относительно у и записать его в виде, указанном в 2.50.
2.52.	Уравнение искомой линии может быть записано в виде у2 = 2px + qx2.
2.53	См. указание к 2.44.
2.54.	Убедиться, что парабола симметрична относительно одной из осей координат.
2.55.	Прямые у = 1 ±х симметричны относительно оси Оу.
2.56.	Выбрать систему координат так, чтобы оси парабол совпадали с осями координат.
-37-
2.57.	Выразить квадрат расстояния произвольной точки Л/(х,у) параболы до точки Л/о че-
рез х, и найти его минимум.
2.58.	Проследить за движением прямой Зх + 4у = и, и g R, ее перемещением в области,
определяемой неравенствами, параллельно самой себе.
2.59.	Выяснить при каких а g R кривые, определяемые уравнениями системы, касаются и
пересекаются.
2.60.	См. указание к 2.21. Но здесь точка С должна быть ближайшей к отрезку [ЛЯ].
2.61.	Записать формулу расстояния произвольной точки параболы Л/(х, х2) до прямой.
2.62.	Выразить квадрат расстояния 5 =| МА} |2 через абсциссу точки М и найти его мини-
мум.
2.63.	Пусть С(хо,уо) — вершина прямого угла. Выразить координаты концов катетов А и В
через хо, уо, а, b и учесть, что длина гипотенузы АВ остается постоянной при движении
точек А и В по координатным осям.
2.64.	Пусть К — угловой коэффициент хорды. Выразить координаты середины хорды че-
рез а и К и исключить К.
2.65.	Абсцисса середины хорды равна полусумме абсцисс точек пересечения хорды с кри-
вой.
2.66	Расстояние между центрами кругов, касающихся внешним образом, равно сумме их
радиусов.
2.67.	Перпендикулярные прямые принять за оси координат. Пусть (х0, уо) — центр круга и
R — его радиус. Выразить координаты точек пересечения окружности с осями координат
через a, b, хо,уо, R и затем исключить R.
2.68.	Использовать условие касания эллипса и прямой (см. 2.37).
2.69.	См. указание к 2.66.
2.70.	Посчитать двумя способами время, через которое наблюдатель услышит звук.
2.71.	Вывести сначала уравнение кривой в полярных координатах г, (р. Две фиксирован-
ные вершины треугольника расположить на полярной оси, а координаты радиуса вектора
точки М кривой выразить через (р и длину основания треугольника.
2.72.	Для вывода уравнения использовать полярную систему координат.
2.73.	Ось Ох взять проходящей через точки A i, Аг, а начало координат — посредине.
2.74.	Выразить через угловой коэффициент К прямой, на которой лежит отрезок, коорди-
наты середины отрезка, а затем исключить К.
2.75.	Убедиться, что кривая симметрична относительно полярной оси. Учесть, что поляр-
ные углы концов хорды отличаются на /г.
2.77.	Касательная в точке С должна быть параллельна хорде АВ. Для нахождения эксцен-
триситета эллипса найти координаты вершин эллипса, убедившись, что осями симметрии
его являются прямые у = х и у - -х.
2.78,	2.79. Одна из осей эллипса совпадает с диаметром круга, лежащего в основании ци-
линдра, в 2.78, а в 2.79 в основании конуса.
2.80.	Прямая (F1F2) — одна из осей симметрии эллипса, 2-я ось его симметрии перпенди-
кулярна (F1F2) и проходит через середину отрезка [F1F2]. Вывести уравнение эллипса,
пользуясь его определением. Можно также использовать формулы преобразования коор-
динат.
2.81.	Осью параболы является прямая у = х, поэтому ее уравнение не должно меняться
при замене х на у и у на х. Вывести уравнение параболы, используя ее определение, пред-
варительно найдя координаты фокуса. По поводу 2-го способа решения см. указание к
2.80. Задачу можно решить и 3-м способом, учитывая, что уравнение параболы должно
иметь вид J(x2 + у2} + Вху + С(х + у) = 0, или проще: х2 + у2 + В\ ху + С\ (х + у) = 0, зная
-38-
координаты точки (1; 0) и то, что вершина параболы — единственная точка пересечения
параболы с ее осью.
-	\x2+y2 = R2
2.82.	Пусть	— эллипс, полученный в сечении кругового цилиндра плоско-
[г = Ах
стью. Для получения развертки выбрать систему координат I Oz, где £ — длина дуги ок-
ружности радиуса R:x = R cos <р,у = R sin (р, лежащей против центрального угла <р.
2.83.	Найти длины сторон ДАВС и убедиться, что большая сторона его параллельна иско-
мой плоскости, а плоскость ДЯВС ей перпендикулярна.
2.84.	Пусть вершина С имеет координаты С (а, в, с), точка М принадлежит прямой, a N —
плоскости. Записать уравнение прямой в параметрическом виде и выразить через пара-
метр координаты точки N.
2.85.	Найти вектор CD, совпадающий с высотой ЬАВС (см. указание к 1.24).
2.87,	2.88. См. 2.86. Убедиться, что в 2.88 прямые скрещиваются. Составить уравнения
прямой, проходящей через произвольные точки данных прямых, координаты которых
выражены через параметры. Для нахождения параметров, использовать условия перпен-
дикулярности прямых.
2.90.	См. указание к 2.89.
2.91.	Использовать свойства диагоналей ромба.
2.92.	Разделить обе части равенства на 9 и выяснить геометрический смысл левой и пра-
вой частей. Левую часть исходного равенства можно также рассматривать как скалярное
произведение 2-х векторов (см. 1.8-1.11).
2.93.	Убедиться, что прямая пересекает плоскость. Достаточно найти точку, симметрич-
ную фиксированной точке заданной прямой относительно плоскости.
2.94.	Сначала доказать параллельность этих плоскостей и поместить начало координат в
одну из вершин куба.
2.95.	Две произвольные точки прямой, определяемой двумя плоскостями, должны при-
надлежать 3-й плоскости.
2.96.	Найти расстояние от центра сферы до плоскости.
2.97.	Найти точки пересечения со сферой прямой, перпендикулярной к плоскости и про-
ходящей через центр сферы.
2.98.	Составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и перпендикуляр-
ной заданной прямой.
2.99.	Пусть точка С — центр сферы, тогда I CDl, где D е [АВ], — кратчайшее расстояние
от центра сферы до [АВ]. Если углы С АВ и СВА — острые, то I CD\— высота \АВС\ если
же один из углов тупой, то кратчайшим будет наименьший из отрезков IСАI и I СВ |.
Кратчайшее расстояние от С до [/Ш] можно также найти как min(7(/), / е[а,Д], где
(/) = |CD|2 , а и р— значения параметра t прямой (АВ), соответствующие точкам А и В.
2.100.	Выяснить взаимное расположение плоскости и сферы в зависимости от значений
параметра а.
2.101.	Найти расстояние от центра сферы до плоскости.
2.102	Центр окружности — проекция центра сферы на плоскость.
2.103.	Найти расстояние отточки С до прямой, например, используя формулу из 1.53.
2.104.	Выяснить расположение плоскостей друг относительно друга.
2.105.	Центр сферы находится на пересечении трех плоскостей: перпендикулярных к ка-
сательным прямым и плоскости, проходящей через середину хорды |яв| перпендикуляр-
но к ней.
-39-
2.106.	Выяснить, как расположена точка Л/о относительно окружности. См. также указа-
ние к 2.102.
2.107.	Найти центр и радиус окружности (см. 2.102). Уравнение искомой плоскости про-
ще искать в виде ах + ру + z = 0.
2.108.	Искомая окружность — линия пересечения плоскости АВС со сферой, центр кото-
рой лежит на прямой, перпендикулярной к этой плоскости, и проходит через середину
отрезка [АВ].
2.109.	Выяснить вид AJBC, найдя длины его сторон.
2.110.	Использовать условие касания прямой, на которой лежит произвольный луч, и
сферы.
2.111.	См. указание к 2.110.
2.112.	Использовать формулу расстояния от точки до прямой из 1.53.
2.113.	Убедиться, что центр сферы лежит на оси Oz.
2.114.	Записать уравнения пучка плоскостей, проходящих через прямую:
А\х + Biy + Сiz + Di + Л(А2Х + В2У + С 2" + D2 — 0, где Aix + В [у + Ciz + D\ = 0 и
/12* + В2У + Сгг + £>2 ~ 0 — общие уравнения прямой.
2.115.	Исключить у из заданных уравнений плоскости и поверхности. Можно также ис-
пользовать уравнение касательной плоскости к поверхности.
2.116.	Убедиться, что прямые скрещиваются и использовать формулу из 2.86.
2.117.	Убедиться, что прямые (£J и (£2) скрещиваются (см. 2.86). Взять произвольные
точки на (£() и (£2), составить уравнение (£), используя условие параллельности (£) и
плоскости (а).
2.118.	Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Л/о, и по-
добрать параметр так, чтобы координаты любой точки ее удовлетворяли уравнению по-
верхности.
2.119.	Уравнение конуса можно искать в виде у2 + z2 = «(х-5)2. Для нахождения а рас-
смотреть образующую конуса, лежащую в плоскости z = 0, как касательную к окружности
х2 + у2 = 9. Конус можно рассматривать также, как поверхность, полученную от вращения
упомянутой образующей вокруг оси Ох.
2.120.	Искомую плоскость можно записать в видех- 1 + а(у - 4) + P(z - 1) = 0. Числа а и
Рнайти из условия касания этой плоскости парабол.
В
D
Рис. 2.1
2.3.	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
2.1.	1) кФ 0; 2)Л = -2/3.
2.3.	Зх + 4у-36 = 0.
2.4.	Рассмотрим /±АВС, где АВ = АС, А(3, 5), уравнение (СВ): х - 2у + 12 = 0,	= 15 и AD —
высота (см. рис. 2.1). Составим уравнение (AD). Так как нормаль к
(СВ) и(1;-2) является направляющим вектором (АО), то получаем
— = ^^=>2х + _р-Н = 0.
1	-2 Л
Координаты точки D находим из системы уравнений
(2х+у-11 = 0
Л => D (2;7).
[х-2у + 12 = 0
Пусть х, у — координаты вершины В (х, у), тогда
SMBC = \5I2=\AD*AB\=\ /С(11-у-2х)|/2 => 2х +у- 11 =±15.
Найдем координаты точек В и С, решая систему уравнений:
-40-
( 2х + у = 26
2х + у - -4
х-2у = -12
=> В2(-4;4).
х — 3 у — 5
В\ примем за В, В2 — за С. Тогда (АВ):	= ----- =>х-^ + 2 = 0;
х — 3 v — 5
(АС):	= 2—р=>х-7>’ + 32 = 0.
2.5. Пусть ОАВС — квадрат (см. рис. 2.2), М(3\ 1) е (СВ), N(8; 6) е (АВ). Пусть уравнение
(ОА): у = кх, тогда (ОС): у = -х/к (к * 0). Если бы к = 0, то сторо-
ны имели бы уравнения: х = 0, у = 0;* = 3,у = 6 и полученный
прямоугольник не являлся бы квадратом. Расстояния и от
точек М и N до противоположных сторон равны:
4=1^^2=Ц^^1=_ЗД2=_7/9.
Vl + A2 V1 + A2
Но к = -7/9, иначе прямая (ОС): у = х/3 проходила бы через точку
М, что невозможно. Итак, (ОС): у = 9x11, (ОА): у = -1x19. При к -
/Л	с |3(-7/9)-1|	30
= -7/9 длина стороны квадрата J, = L-7=====L = -==-, поэтому
Рис. 2.3
его площадь 5 = £2 = 90/13 . Уравнения сторон (АВ) и (ВС) имеют вид: у - 6 = 9(х - 8)/7,
у - 1 = -1(х - 3)19 или 9х - 1у - 20 = 0 и 1х + 9у - 110 — 0.
2.6.	х + 4у - 4 = 0.
2.7.	Пусть АВ-а = 3 i + 4j : AC ~ b = 10 j , AD — биссектриса угла (см. рис. 2.3). На-
правляющий вектор / биссектрисы AD можно записать в виде:
7 = а° + Ь° = (з7+4;)/5 + 7 = (3/5,9/5).
Поэтому уравнение (AD): х 13 = (у+ 4)19 => у +4 - Зх = 0.
Тогда | CD|= 6 =	= Jliy
V10
2.8.	Пусть ABCD — ромб. Из уравнений 2-х его сторон 4х + Зу - 1 =
= 0 и Зх + 4у + 1 = 0 видно, что это пересекающиеся стороны и вер-
шина (-6, 6) не лежит на них. Пусть 1-е уравнение — это (АВ), а
2-е — (AD) и С (-6, 6). Решим задачу 2-м способом (см. указание).
Найдем cos?l, А = (г\ , п2), где (4; 3), п2 (3; 4). Имеем cos А = пх п21
/(I "i II "г |) = 24/25 => sin А = 7/25. Далее, 5 = a2siw А = ah, где а —
сторона, а Л — высота ромба. Так как h = 5— расстояние от точки С
до (ЯВ), то й = |4-(6) + Зх 6-1|/5 = 7/5.
Поэтому а = A/(sin А) = 7/5 : 7/25 = 5 и 5 = 5 х 7/5 = 7.
2.9.	С(1; -1).
2.10.	(х + 2)2 + (у- 15)2 = 125.
2.11.	1)-5 <а<-1; 2)а = -4;Л/(0;-1).
2.12.	(х + 7/8)2 +у2 = (9/8)2
2.13.	(х-I)2 + (у + I)2 = 6,25.
2.14.	(х - 0,5)2 + (у - 2,5)2 = 0,09.
-41 -
2.15.	Пусть ЛАВС — равнобедренный (АВ = АС), (ВС): у + 2х = 0 и А(11); Л/(0;-3) € (АВ)
(см. рис. 2.4).
j	Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис
/ К	углов ЛАВС. Но AD является высотой, медианой и биссектрисой,
/ \	поэтому точка О лежит на пересечении (AD) и (ОВ), причем
"/э\ v е (ЛО). Составим уравнения (AD) и (АВ). Имеем, (АВ) совпадает
/	х-1	v+1
A	с ПОЭТОМУ №): у =	=>2х-у-3 = 0; (AD) ± (ВС) =>
г	Я => (AD): ——- =	х-2у-3 = 0 (направляющим вектором
D	2	1
Рис. 2.4 (AD) можно взять вектор нормали (СВ) л (2,1)). Пусть N и D —
точки касания сторон АВ и CD к окружности, поэтому:
Г|ОД| = |СЖ|	Г|2хо +Х,|/V5 =|2х0-у0-3|/л/5
Р(хо,Уо) € (AD) [х0 -2^0 -3 = 0
a) f2x°~>'o“3 = 2xo+J'0
(хо-2уо-3 = О	хо = О
[2х0-у0-3 = -2х0-у0	х0=3/4
|х0-2>>0-3 = 0	==>^0=“ 9/8’
Итак, 01(0; 3/2), О2(3/4; -9/8).
Точки АиО должны лежать по одну сторону от (СВ), поэтому проверим знаки левой час-
ти уравнения (СВ) при О = 01, и О = О2. Имеем в точке А (1 ;-1): 2х +у = 0, 2 х 1 - 1 > 0; в
точке О\. -3/2 < 0; в -О2: 2x3/4- 9/8 > 0. Поэтому О2 (3/4; -9/8) — центр вписанной ок-
ружности, ее радиус г = |2 х (3/4) -9/8|/ VT Следовательно, (х - 3/4)2 + (у + 9/8)2 = 9/320 —
уравнение искомой окружности.
2.16.	При а < -2, т.е. когда точа М (х; у) будет лежать ниже касательной х + у = -2 к ок-
ружности х2 +)А - 2 точке (-1; -1).
2.17.	5= 1+Зл/2.
2.18.	Точка продолжает двигаться по касательной Зх - Ьу - 2 = 0 к окружности.
2.19.	x2+^2-2х+^-5 = 0.
2.20.	1) (х - 9)2 + (у - 10)2 = 1, 2) (х + 1 )2 + (у - 2)2 = 4 и (х + 23/3)2 + (у - 2)2 = 4.
2.21.	Запишем уравнение окружности в виде (х - I)2 + (у + 2)2 =
= 4, тогда 01(1 ;-2) — центр, a R = 2 — радиус окружности.
Точки А(-1, 1) и В(1; 2,5) лежат вне круга, так как, подставив
координаты их в левую часть уравнения окружности, получаем
(-2)2 + З2 > 4; О2 + (4,5)2 > 4 (см. рис. 2.5). Так как 5 =	.=
= у | АВ | h и | АВ |= ^4 + 2,25 = 2,5, то 5 = шах, если h = max.
Высота h будет максимальной, если касательная к окружности в
точке С будет параллельна хорде АВ, т.е. центр окружности бу-
дет наиболее удален от [АВ]. Поэтому Лтах =|О,О| + |О,С|=
-B+R = 3 + 2. Найдем J — расстояние отО| до (АВ): Зх-4у +
+ 7 = 0. Имеем Z>=|3xl-4(-2) + 7|/5 = 28/5.
-42-
Итак
= — х 2,5 х 28/5 = 7. Для нахождения координат точки С запишем уравнение
(DC), зная, что она проходит через Oi и ± [ЛЯ]. Имеем нормаль к (DC) п - ЛЯ (2; 1,5), по-
этому 2(х - 1) + 1,5(у + 2) = О, (DC)'. 4х + Зу + 2 = 0. Координаты точки С найдем из систе-
{(х-})2 +(v + 2)2 =4	x = -(3v + 2)/4
1	/	=> Ci(-l/5; -2/5), С2(11/5; -18/5).
4х + Зу + 2 = 0	0>+2) = 64/25
Сравнивая расстояния Ci и С2 до (ЛЯ): Зх - 4у + 7 - 0,	= 8/5; 8г- 28/5, заключаем, что
С2 — наиболее удаленная точка окружности.
2.22. 1) Пусть х2 +у2 = R2 — окружность, вписанная в квадрат ABCD (см. рис. 2.6), и
Л/(х; у) — произвольная точка окружности. Тогда вершины квадрата имеют координаты:
Л(-Я; -Я), Я(-Я; Я), С(Я; Я), D(R, -Я). Имеем:
МА2 + МВ2 + Л/С2 + MD2 = (х+ Я)2( у + R)2(x + Я)2 +
+(у - R)2 + (х - Я)2 + (у - Я)2 + (х - Я)2 + (у + Я)2 =
= 4(х2 + у2 + 2Я2) = 4(Я2 + 2Я2) = 12Я2 = За2,
где а — сторона квадрата;
2) 5а2 / 4, где а — сторона правильного треугольника.
2.23.(х/13)2 + 0’/5)2= 1.
2.24. Пусть точки Л и Я имеют координаты Л(0; у), В(х’, 0), то-
чка С(хс,ус) е [ЛЯ] и отстоит от Л на расстоянии 1 (см. рис. 2.7).
Точка С делит [ЛЯ] в отношении Л = IЛС1 /| СЯ| - 1/2, поэтому
х. + Л*хг 0 + х/2
хс - —-------- =-----= х / 3;
с 1 + Я 1 + 1/2
у.+Яуг	у + 0х1/2 _ ._
у =	Z-------= 2у / 3.
1 + Я 1 + 1/2 Л
По условию I ЛЯ| = 3, поэтому I ЛЯ| 2 =х2 +у2 = 9.
Подставляя в последнее равенство х - Зхс, у - Зус/2, получаем
9x2+9j>2/4 = 9.
Итак, точка С движется по эллипсу х2 +(у/2)2 = 1.
2.25. Пусть дан эллипс (х/a)2 + (y/b)2 = 1, причем а > Ь. Тогда
для любой точки М(х,у) эллипса (х,у): 1 = (х/а)2 + (у/Ь)2 < (х2 + у2)lb2 => х2 + у2 > />2;
\ = (х!а)2 +(у!Ь)2 >(х2 +у2)!а2 =>х2 л-у2 <а2, т.е. Ь<(х2 + у2)'12 <а.
2.27.	Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
двух положительных чисел и уравнение эллипса, можно записать, что
1 = (х/а)2 + (у/Ь')2 > 2^х2 у2/(а2Ь2) = 2\ху\/аЬ =»|ху\< аЫ2,
причем знак равенства имеет место только в случае | х11а =| у | lb.
Итак, |ху| < аЫ2, причем знак равенства достигается в точках эллипса:
' Л/,(а/72,6/72), Л/2(-а/72,-6/72), Л/,(-0/75,6/71), Л/4(я/72,-6/72).
2.28.	р = 1.
2.29.	F(5I2, 0), если начало координат совпадает с вершиной параболы, положительное
направление оси абсцисс — с осью симметрии.
230.	1) При а > 1/4 корней нет; при 0 < а < 1/4 четыре корня; при 1/4 два корня; 2) при а < О
и а > 1 два корня; при а - 1 три корня; при 0 < а < 1 четыре корня.
-43-
2.31.	1) Множество точек ограничено прямыми у = -1 (х > 0), х = -1 (у > 0) и дугой окруж-
ности х2 + у2 = Цх < 0, у < 0); 2) множество точек ограничено дугами кривых: эллипса
х2 + 9j'2 = 16 (х > 0, у > 0); эллипса 9х2 +у2 = 16 (х < 0, у < 0); окружности х2 +у2 = 16/9 (х < 0,
у < 0); окружности х2 +у2 = 16 (х > 0, у < 0); 3) множество точек лежит в первом квадранте
(х > 0, у > 0) между параболой ^у = х, эллипсом х2 + 2у2 = 3 и осью Ох, а также в полу-
плоскости у > 0 выше эллипса х2 + 2у2 = 3 и левее параболы Jy = х; 4) множество точек
заполняет внутренность параболы у2 = 4 - х и внутренность параболы у2 = х - 2 правее па-
раболы у2 = 4 - х (см. рис. 2.8); 5) уравнение 0,5sin пи = 1 - и имеет только три корня: щ = 1,
W2 = 0,5, мз = 1,5.
Поэтому множество точек заполняет линии: в случае а) прямые х + у = щ, б) эллипсы х2 +
+2у2 = ик, в) параболы у -х2 = щ, к = 1, 2, 3.
Рис. 2.8
2.32.	Координаты точек М(к, Ь) удовлетворяют неравенствам: 1) а) b > 0,5л2;
1) б) 62 - Л2 > 16; 2)
kb<-\
к2+Ь2/4>\
при \к\ Ф 1; при |£| = 1 точка М лежит на прямых к - 1
(b < 1) и к = - 1 (b> 1).
2.33.	В соответствии с указанием имеем (х2 > Х|) х2 - xi = ly(xi)| = 1у(хг)I, поэтому рас-
смотрим случаи: а)у(хк) > 0, к= 1, 2 и б)у(хк) <0,к = 1, 2 (см. рис 2.9).
В случае а)
X, - X. = X. - X] ,	j 2
=>х1-х2=х1 -х2 =(х1-х2)(х1+х2)=>х1+х2=1.
Х2-Х1 = х2-х2
Поэтому х2-Зх,+1 = 0=> Х| = (3± V5)/2, но толькох, = (3-V5)/2 < 1. Тогда:
х2 = 1-х, =(>/5-1)/2 и£, =(х2-х,)2 =9-4>/5.
В случае б) х2 - х, = -у(х,) = х2 - х, = х2 - х2 = -у(х2) и по преж-
нему Х| Ч- х2 = 1. Тогда х2 = х2 = 1 - Xj => х2 + Xj -1 = 0, и только
X, =-(l + V5)/2<0, х2 = 1 + (1+ V5)/2 = (3 + V5)/2 > 1. Поэтому
х2-х, =(3 + V5)/2 + (l + V5)/2 = 2 + V5;
5 = (х2-х,)2 = (2 + >/5)2 =9 + 4-75; 2) 5 = 4а262/(4а2+/>2).
2.34.	R = р.
2.35.	1) Мо(-2,12; 4,16); 0,2; 2) Л/о(1; -8); 4. 3) Убедимся, что у эл-
липсах2 + у2/3 - 1 нет общих точек с прямой х + у = 5. Это можно
сделать двумя способами: а) найти дискриминант квадратного уравнения, полученного
исключением, например, у из системы уравнений
(х + у = 5	_	_	_	,
J /	=> Зх2+(5-х)2-3 = 0 => 4х2 - 10х + 22 = 0, Д = 102-16-22 < 0.
|3х2+/=3
-44-
Отметим, что этот способ применим всегда; б) при данном условии проще найти расстоя-
ние от центра эллипса 0(0,0) до прямой, убедившись, что оно сг=5/>/2>>/з больше
большей полуоси — наибольшего расстояния от центра эллипса до любой его точки (см.
Для нахождения кратчайшего расстояния от эллипса до
прямой проведем касательную к эллипсу, параллельную
прямой, ее уравнение х + у = с. Для нахождения с найдем
дискриминант квадратного уравнения Зх2 + (с - х)2 = 3 и
приравняем его нулю. Имеем Д = 4(12 - Зс2) = 0 => с = ± 2.
Получим две касательные х+у = 2их+у = -2. Ближайшей
к прямой х + у = 5 будет точка касания Л/ь а Л/2 — наибо-
лее удаленная от этой прямой точка эллипса. Координаты
точек М\ и Мг получаем из рассмотренного квадратного
уравнения при с = ±2 (абсциссы) х = ±1/2, а ординаты из
уравнения эллипса у2 = 3-3-(1/4) = 3-3/4 => у = ±3/2.
Итак, Л/|(1/2, 3/2), Л/2(-1/2, 3/2) (см. рис. 2.10). Для нахождения точки прямой, бли-
жайшей к эллипсу, найдем уравнение (Л/i, Л/о) — прямой, перпендикулярной кх +у = 5 и
проходящей через точку М\. Имеем х - 1/2 = у - 3/2 => х - у + 1 = 0 и решаем систему
уравнений:
fx — у +1 = О,
4	=> х = 2; у = 3. Итак, Мц(2, 3).
[х + у-5 = О
236.	1) Smax =^/24;2)	= 2^/з.
237.	а1 А2 + ЬгВг > С\ а2А2 + Ь2В2 = С2; а2 А2 + Ь2В2 = < С2.
2.38.	Л+у+5 = 0.
2.39.	±3л ± 4у + 15 = 0.
2.40.	л2/17 + //8 = 1.	_______
2.41.	Четыре касательные прямые: у = ±х±>1аг + Ь2.
2.42.	Покажем сначала, что вершины описанного квадра-
та около эллипса (xla)2 + (ylb)2 = 1 лежат на окружности
х2 +у2 = а2 + Ь2. Сделаем рис. 2.11.
Пусть A(xi, уЦ — вершина квадрата, тогда стороны
квадрата АВ и AD, касающиеся эллипса, взаимно пер-
пендикулярны. Уравнения прямых (АВ) и (AD) можно
записать в виде^-yi = к(х-х\) или кх-у+у\ - кх\ = 0.
Используя условие касания прямой и эллипса из 2.37,
имеем Л2а2 + b2 = (yi - кх\)2 => Л2(а2 - х/) + 2xiyi^ + b2 -
-?>2=0.
Это уравнение определяет угловые коэффициенты к\ и кг
обеих касательных (АВ) и (AD). Тогда к\кг = -1 (условие перпендикулярности прямых).
По теореме Виета получаем k\k2 = -1 = (Ь2 -у\У(а -xj2) =>х/ + j>i2 = а2 + b2. Отметим,
что уравнению х2 + у2 - а2 + Ь2 удовлетворяют координаты вершины любого прямого уг-
ла, стороны которого касаются эллипса (как это следует из приведенного рассуждения).
Запишем теперь уравнение касательной в виде у = кх + т. Тогда условие касания ее эл-
липса имеет вид Л2а2 + Ь2 = т2.
Центр эллипса 0(0, 0) является и центром квадрата. Расстояние от 0(0, 0) до касательной
где d — длина стороны квадрата. Но d = 41R - ^2(а2 + b2). Тогда по-
-45-
лучим т2/(\+к2) = (а2 +Ъ2)11 или (к2а2 + />2)/(1 + к2)-(a2 + Z>2)/2 => £2 = 1 => Л = ±1,
и т = +\1а2 +Ь2 .
Следовательно, уравнения сторон квадрата можно записать в виде: у - ±^а2 +Ь2 +х.
2.43.	Для у2 = 2рх\ р > 2kb, р - 2kb, р < 2кЬ.
Для х2 - 2ру: рк2 + 2Ь > 0, рк2 + 2/> = О, рк2 + 2Ь < 0.
2.44.	х ± 2у + 4 = 0.
2.45.	1) х +у+р/2 = 0; 2) 2ку + 2х + рк2 = 0.
2.46.	х2/12 + (у-2)2/16 = 1.
2.47.	1) а¥ = Ь2 + т2; 2) т2 + 4кр = 0.
2.48.	х = 1,5х-2у + 3 = 0.
2.49.	\к\>Ь/а.
2.50.	у = кх + b + т/(х - а), где т = (х0 - а)(уо -kxQ- b).
2.51.	В соответствии с указанием имеем
у = (2хг + Зх-1)/(х + 1) = 2х + 1-2/(х + 1)=> у-2х-1 = -2/(х + 1).
Поэтому асимптотами гиперболы будут прямые у = 2х + 1 и х = -1, ее центр находится в
точке (-1; -1). Для построения гиперболы полезно найти несколько ее точек, например,
найти у(0), у(-2), у(-1/2), X1 )•
2.52.	I) (х-4)2/16 + //12 = 1; 2) 4(х + 0,5)2-8//3 = 1.
2.54.у = 2х2-3.
2.55.х2 = -4у.
2.56. Сделаем рис. 2.12 в соответствии с указанием.
Уравнения парабол можно записать в виде х2 - -2р(у -у0)
и у2 = 2q(x - хо), где х0 < 0, у0 > 0.
Координаты точек пересечения парабол Л4, к = 1,4 удов-
летворяют системе уравнений:
X2 = -2р(у-у0),
. У1 = 2q(x-x0).
Складывая уравнения системы, получим
х2 + у2 + 2ру - 2qx = 2ру0 - 2xoq =>
=> (x — q)2 + (у+р)2 =р2 + q2 + 2pyo-2xoqt
так как правая часть равенства положительная, то получим окружность радиуса
R = Jp2 + q2 + 2(ру0 ~ xoq) с центом в точке (q, -р).
2.57.	<т1П|П =V7,4(3,V6), M2(3,-V6).
2.58.	1) -2 < и < 18; 2) Неравенство х2 <у < 4 + >/4-х2 означает, что область изменения
(х, у) ограничена параболой у = х2 (снизу), а сверху — полуокружностью у - 4 + ^4-х2
(см. рис. 2.13). Отметим, что х2 < 4 + >/4-х2, т.к. х2 < 4, а правая час^ь > 4. Из рис. 2.13
видно, что при перемещении прямой Зх + 4у = U параллельно самой себе (изменении U)
Ui - k'min = U(xi, yi), где (xi, yi) — координаты точки Л/|, в которой прямая1 касаетсялара-
болы, aU2 = Umax достигается в точке Мг(^2, уг), в которой прямая касается окружности.
Значение Ui находим из условия касания окружности и прямой:
|ЗхО + 4х4-^ />/9 + 16 = R = 2 => I U2 - 1 б| = 10 =>	} = 26, (/<2) = 6. 1/тах = 26. Мож-
но доказать, что А/г(6/5; 28/5) и Цх2,уг) = 26. Для нахождения U\ используем условие ка-
сания параболы у = х2 и прямой из 2.43:
-46-
pk2 + 2b = 0, где x2 = 2py — парабола, ay = kx+b — прямая. В нашем случае р = 1/2, к - -3/4,
b = (ЛЯ т.е (1/2) х (9/16) + Щ2 = 0 => (Л = Umin = -9/16.
2.59.	-2 £ а < 0,25.
2.60.	C(-l;l),Smin = 2,
2.61.1	) A/i(-l; -1), Л/2(-1/3; 1/9); 2) при 6= 11/15 Л/«(-2/3; 4/9).
2.62.	Л/|(1; 1), AY2(-1;-1).
2.63.	Пусть СВ = а и СА = b — катеты ЛАВС и С(хо,уо) — вершина прямого угла
(см. рис. 2.14). Имеем:
В[У	| МА |= ф>г -	| О А1= х„-1Л/Л |= Лр - Jb2 - yl;
| BN |= Ja2-x2, I ОЛ| =y0.1 BO |= y„ + Va2-x2 .
у \ С(хогуо) Так как I I2 +1 I2	I2 = я2 + ’то получаем:
Уо У. /	O'. + V" -XO )2 + (*0 -7*2 ~yl )2 = a2 +1>2 =>
-----------—x . ♦	=> уАа2-^ = xAb2-y2 => y2a2 = x2b2 =>
0	M x	=> y = ±bx!a.
Замечание. Если считать, что точка С движется в 1-м
Рис. 2.14	квадранте (хо > 0, уо > 0), то у = bxla.
2.64.	x2 +у2 = ах.
2.65.	1)х2+^2 = сх; 2) (x-a/V2)2-у2 = а2/2.
2.66.	у2 ±2х-1 = 0.
2.67.	Пусть (х -х0)2 + (у ~уо)2 = R? — окружность, отсекающая на оси Ох отрезок 2а и на
Оу-2Ь. Тогда при у - 0 имеем (х-х0)2 = Л2- у}, априх = 0-(у -уо)2 = R2 - xj. По условию
R2 - yl = a2, R2 -х2=Ь2. Вычитая почленно последние равенства получаем х} - у} = а2 - Ь2.
Следовательно, при а* b точка С описывает равнобочную гиперболу х2 - у1 = а2 + 62, а
при а = р — пару прямых -у - ±х.
2.68.	х2 +у2 = а2 + Ь2 (см. начало решения 2.42).
2.69.	Одна из ветвей гиперболы с фокусами в точках Fi(a0, М, /*2(^0, уо) и действительной
ОСЬЮ г: yl(a-a„)2 +(b-b0)2 -^(а-хи)2+(b-yu)2 = г.
-47-
2.70.	Пусть М — точка на местности, в которой выстрел и удар пули в цель слышны од-
новременно (см. рис. 2.15), А — положение стрелявшего, В — цель. Посчитаем время /
aV
— = const,
г а
— +— (очевидно, Ki>K). Тогда разность t\ -г2 =
т.е. геометрическое место точек М — ветвь гиперболы.
Это уравнение можно записать в виде (l-w2)x2 -tn1 у1 =
= (tzw)2(l-w2), где tn = V/V\ < 1, причем рассматривается
ветвь гиперболы, расположенная ближе к цели.
2.71.	В соответствии с указанием сделаем рис. 2.16. Применяя
г	а
теорию синусов, получим--------=------------
sin 2<р sin(/r-3$9)
_tzsin2^_ 2asin^cos^
sin 3^9 sin2$9cos^+cos2^sin$9
__________2flsinff>cos$?____________2a cos <p
sin <p(2 cos2 <p + cos2 (p - sin2 ф) 3 cos2 (p - sin2 (p
Учитывая, что x = r costp, у = r sincp, запишем уравнение кри-
вой в прямоугольных координатах. Имеем
_ 2ах
г(3х2!г2 -у2 !г2}
=Я = —=> Зх2 - 2ах - у2 = 0.
Зх2-/
Выделяя полный квадрат, окончательно получим 3(х-а/3)2 - у1 = а1 /3, т.е. получим ги-
перболу с центром в точке (а/3; 0).
2.72.	Пусть стороны прямого угла совпадают с осями координат и М — основание пер-
Рис. 2.18
пендикуляра, опущенного из вершины О на отрезок [АВ] (см.
рис. 2.17).
Полярная ось совмещена с осью Ох. Из &ОМВ находим \ОМ\ =
= r = |O£|cos^, а из ААОВ — |(9£| = |/1В| sin$?= 2asin$9. Поэтому
г = 2asinpcos^> = as\rQ.(p, причем 0 < (р < л/2. Следовательно,
геометрическим местом оснований перпендикуляров будет
один лепесток «розы» г = asin2$?.
2.74.	у = 0,25 (16х4 + 4х2 + 1)/(1 +4х2).
2.75.	Кривая симметрична относительно полярной оси, так как
г = {-ф} = 3 + cos {-ф} = 3 + cos$?= г (ф}.
Пусть А(г(ф), фу В(гфр + л), (р + 71} концы хорды кривой, тогда
| АВ\ = г(ф) + г(<р + л} = 3 + cos <р+3 cos(^9 + л) = 6.
2.76.	1) (х - З)2/25 +У2/16 = 1; 2) (х-5)2/ 16-//9= 1.
2.77.	Так как уравнение эллипса х2 4- у2 4- ху = 9 не изменяется
при замене у на х и х на у, то он симметричен относительно
прямой у = х, у = -х — 2-я ось симметрии (уравнение не изме-
няется также при замене х на - у и у на -х). Поэтому центр эл-
липса <9(0; 0) — точка пересечения осей симметрии. Эллипс
изображен на рис. 2.18.	= S = шах, если высота |С£>| = max,
так как основание рв| = \/з2 + 62 = 3^5 — число.
-48-
5 = 1/2|С£>||Л£| =
h-зЛ , h = max, если касательная в точке С эллипса будет параллель-
2
ная хорде (АВ). Уравнение (АВ): у = 3 - 2х, поэтому уравнение касательной можно запи-
сать в виде у = т - 2х. Подберем т так, чтобы эта прямая имела с эллипсом только одну
общую точку. Имеем 9 = х2 + у(х + у) = х2 + (т - 2х)(х + т - 2х) => Зх2 -Зтх + т2 - 9 = 0.
Найдем дискриминант квадратного уравнения и приравняем его к нулю:
D = 9m2- 12(w2-9) = 0 => тг = 36, т = ±6.
При т = 6 получим х( = 3,yi = 6 - 2xi = 0, если т - -6, получим хг = -3,у2 - 0.
Получили две точки Ci(3, 0) и Сг(-3, 0). Наиболее удаленной от [АВ] будет Сг. hmaK =
= I Citi = I 3 - 2x2 ~yi /VS = 9 VS. Поэтому Smax = (1 /2)• (9VS) • 3VS = 13,5. Для нахожде-
ния эксцентриситета эллипса £ найдем полуоси эллипса: |О#| = а = V9 + 9 = 1Л. (В(3; -3)
— одна из вершин эллипса). Координаты вершины М найдем из системы уравнений (пе-
ресечение эллипса с осью симметрии у = +х):
|х2+ху + /=9^3х2=9х2=3^х = ±^
1у = х
Поэтому М (VS, VS) и b = I ОЛ/|=л/б . Имеем
2.78.	Полуоси а = г, b = г / sin ф, £ = cos ф.
2.79.	Полуоси а = г, b = гЛ / 2 ; £ = 0,5.
2.80.	Найдем уравнение эллипса, используя определение эллипса. Пусть М (х; у) — про-
извольная точка эллипса, тогда |Л7/Г1| + lA/^l = 2я; используя условия: F](l; 0), 7^2(0; 1),
2а- 2, имеем ^J(x-})2 +у2 + ^х2 +(у-1)2 = 2. Избавляясь от корней, получим, что урав-
нение эллипса имеет вид 3(х2 +у2) - 4(х +у) + 2ху = 0.
Приведем второй способ решения. Из условия следует, что осями симметрии эллипса бу-
дут прямые (Fi, F2): х + у= 1 иу = х, aOi — центр эллипса (см. рис. 2.19) будет иметь ко-
ординаты О\	. Найдем абсциссу х вершины Л1, ее ордината—у = 1 -х. Имеем:
|O14|2=1=f._ir+f1_x-if^2L_iY=1,.=i± >
111 I 2) I 2) V 2)	2 7г
т.е. 4(1/2 + 1/72; 1/2-1/72), тогда 4(1/2-1/72; 1/2 + 1/72). Так как эллипс симмет-
Так как для эллипса а2 - с2 = Ь2 и а = 1, с =
ричен относительно прямой у = х, то его уравнение не должно меняться при замене у на х
и х на у Поэтому будем искать уравнение эллипса в виде А(х2 +у2) + Вху + С(х + у) + D = 0
или х2 + у2 + В&у + Со(х + у) + Do = 0. Покажем, что Do = 0. Для чего найдем координаты
вершин Bi, В2, лежащих на прямой у = х. Найдем сначала малую полуось Ь.
U, то Ь2 =
= 1-- = -, т.е. Ь = 4=. Имеем В,(х; х), |В.О.| = -1. = .|2(х--) =Ф1 = 2х--=>
2 2	72	'	1 72 V I 2) I 2[
=> Х- —= ±—; Х| = 1; Х2 = 0, поэтому Bj(l; 1), #2(0; 0) = (0; 0) и Do - 0. Осталось опреде-
лить коэффициенты Во и Со. Подставляя в уравнение эллипса координаты точек B|(l; 1)
и 4 (0 + 72)/2; (1-72)/2), получим уравнения для нахождения Bi и Сь Во + 2Со = -2;
-49-
Bq - 4Co = 6 => BQ = 2/3; Co = -4/3. Следовательно, уравнение эллипса принимает тот же
вид, что и в решении, полученным 1-м способом.
Наконец, можно получить уравнение эллипса, используя формулы преобразования коор-
динат «поворот» и «перенос».
2.81.	х2 +у2 - 2ху-х-у = 0.
2.82.	z = К R cos (HR), t е [0; 2яЯ].
2.83.	В соответствии с указанием, находим AB(-V, 1; -4),
АС (3; -3; 0), ВС (4; -4; 4), | АВ |=| AC |= 3>/2 <| SC |= 4>/з .
Поэтому сторона ВС ДАВС проектируется на искомую
плоскость в натуральную величину, т.е. ВС параллельна
искомой плоскости, а плоскость Д АВС — ей перпендику-
лярна (см. рис. 2.19). Пусть п(Ао, Во, Со) — нормаль к ис-
комой плоскости, тогда ее уравнение Aq(x - 1) + Во(у - 1) +
+ С(: - 1) = 0 nl.BC и п ±	, где г\ — нормаль к плос-
кости ДАВС. Поэтому за п можно взять ВС хпх. Имеем ц-АВх АС = -12(i - j-2k),
п - ВС* = -12( / - у- 2 Л) и уравнение искомой плоскости будет иметь вид: х-у - 2г +
+ 2 = 0.
2.84.	С(8; l;6),S = 90V2.
2.85.	|СР| = 5>Л7/3,(СО): (х + 2)/46 = (у-3)/(-22) = (: + 5)/35.
2.86.	Сделаем рис. 2.20. Прямые (€,) и (€2) будут скрещи-
ваться тогда и только тогда, когда векторы S2 и R не-
компланарны, т.е. S, S2 R * 0. Как видно из рис. 2.20, крат-
чайшее расстояние между прямыми <т равно абсолютной ве-
личине проекции вектора R на вектор N = х S2, т.е.
сг=|пр^ Я|=| RN° |=| R^ S2\/\S^S21.
2.87.	1/л/б .
2.88.	1Д/2.
2.89.	Запишем уравнения прямых в параметрическом виде:
х = 1+8/^,	* = 1 + 2^2»
^ = 2 + 4Л, (€2):- ^ = -2^,
Z = 3 + /^,	Z= —1 + ^2-
(Л)
Возьмем Mt е (ZJ, к = 1,2, полагая Я* = 0.
Тогда Л/|(1, 2, 3), Л/г(1, 0, -1), R= Л/,Л/2(0,-2,-4). Направляющие векторы прямых
(/,), (^2): ^(МЛ), 52(2,-2,1). Вычислим RS, S2 = -108*0, т.е. (см. рис. 2.86) прямые
(Л)> (*г) скрещиваются. Расстояние сгмежду прямыми (см. рис. 2.86) найдем по формуле
<7=1 S21/| 5,х S21= 108/18-V2 = 3-Л.
-50-
Найдем уравнение общего перпендикуляра к (€,)и(€2). За направляющий вектор его
возьмем 5 = (51х52)/6 = (1;-1;4). С другой стороны, за направляющий вектор общего
перпендикуляра можно взять вектор = NiN2 > где М(1 + SXj; 2 + 4Х|; 3 + Xi), MU + 2X2;
-2Xi; -1 + X2), где параметры Xi, X2 нужно найти (М е (ZA), к = 1,2). Так как вектор SQ 11
|| 5, то координаты векторов пропорциональны и для нахождения Хь Хг получаем систе-
му уравнений:
|^-4Я1=Л + 1 + 2Я1
-8^-4Д ) = -А-4,	[9Л,-334 = 4, Л
Поэтому уравнение общего перпендикуляра (ММ) будет иметь вид:
х + 1/3 = -<у - 4/3) = —{z - 17/6)/4.
Замечание. Отметим, что точки Ni, Ni соответственно точки пересечения общего перпен-
дикуляра (NxNi) с прямыми (Z0 и (Z2).
2.90.1) а=л73; 2) <т=1/Л; 3)х—(у- 1/3) = :- 1/3.
2.91. М(0; 1;3), 5 = 4>/21.
2.93.х-2 = -(у + 1)= (с-3)/4.
2.95.1) Ни при каком X; 2) X = -0,4.
2.96	.32л/3.
2.97.	Л/( 1/3;-2/3; 1/3); а = 1.
2.98.	Л/(1; 0; -1), а=>/з-1.
2.99.	Л/|(1/3; 2/3; 5/3); amin = 2.
2.100.	При [а| < 2 имеет решение; при |я| = 2 единственное решение; {2/3;-2/3;4/3} при
о = 2и {—2/3;—2/3;4/3} при а = -2.
2.101.	1) СКО; 0; 0), С2(6; 6; 6); 2) С^О; 0; 0), С2(6; 0; 0); {
2.102.	<7(1; 7; 2), г = 4.
2.103.	(х - 2)2 + (у - З)2 + (г +1)2 = 289.
2.104.	(х + 1)2 + (у + 2)2 + (г + 4)2 = 1/9.
2.105.	(х + 5)2 + (у - З)2 + z1 = 121.
2.106.	Запишем уравнение сферы в виде: (х - 6)2 + (у + 2)2 + (- - З)2 = 25.
Так как 62 + 1 + 4 > 25, то точка Л/о(0; -1; 1) лежит вне сферы, а значит, и вне окружности,
ноМо е плоскости2х + 2у + z + 1 s0, ибо 2 • 0 + 2 • (-1) + 1 + 1 = 0 (см. рис. 2.21).
Тогда crmin = |ЛЛ/о| = |<S>!Л/о|-г, г = |О,л|. Найдем г, для чего
_______J	сначала определим ctj =|<Х91| = |2-6 + 2 (-2)+3 + 1|/3 = 4.
f	Так как гипотенуза прямоугольного треугольника О\ОА
|О4| = Я=5, то р, Л| = г = 3.
V О J	Далее |(9Л/01 = >/41, поэтому из A OO\Mq находим | O\Mq\ -
р 2 21	=	= 5. Итак, кратчайшее расстоя-
ние отЛ/Ь до окружности crmin = |<9jМо|- r = 5-3 = 2.
-51 -
Для нахождения координат центра О[ окружности, найдем точку пересечения прямой
(ОО\) с плоскостью 2x + 2y + z + 1=0, в которой лежит окружность.
(ОО\) 1 этой плоскости, поэтому уравнение (001) имеет вид: ~~~ -	= * или
в параметрическом виде х = 2t + 6, у = 2/ - 2, z = t +3.
Из уравнения 2(2/ + 6) + 2(2/ + 2) + / +3 + 1 = 0 находим / = - 4/3. Следовательно, <91(10/3;
-14/3; 5/3).
2.107.	Так как центр С(1; -1; 0) сферы принадлежит плоскости 2x + 2y + z = 0=>2-2 + 0 =
= 0, то заданная окружность — окружность большого круга сферы, т.е. С — центр окруж-
ности и ее радиус также равен R = 2. Уравнение искомой плоскости в соответствии с ука-
занием будем искать в виде ах + Ру + z = 0. Для нахождения а и р используем, что эта
плоскость перпендикулярна плоскости 2х + 2у + z = 0, т.е. пх(а,р, 1) 1 и2(2,2,1) и и, п2 = 0 =>
=> 2а + 2Р + \ = 0. Второе уравнение для нахождения а, р получаем, пользуясь тем, что
расстояние от С(1; -1; 0) до искомой плоскости равно 1/27? = 1:
|а-1-/?1 + О|/7а2 + /?2 + 1 =1.
(2а+2>3+1 = 0,	(2аг+2/?+1 = 0,
Из системы уравнений ,	_	,	-	=> <
1а2 + /?2 + 1 = а2+;32-2д0	(2а0 = -1
находим ai = -1, р\ - 1/2, аг - 1/2, рг = -1. Следовательно, искомая плоскость может
иметь уравнение х - 2у + 2z = 0 или 2х - у - 2z = 0. Не трудно проверить, что эти плоско-
сти взаимно перпендикулярны и перпендикулярны плоскости 2х + 2у + z = 0, в которой
лежит окружность.
2.108.	Задача имеет множество решений, т.е. уравнение такой окружности может быть за-
писано в виде:
\х - 2А -1)2 + (у - 2)2 + (z + А -1)2 = 36+5Я2,
2	.x-z-l = 0, ЛеЯ.
Например, при А = 0 получаем окружность большего круга сферы (т -у)2 + (у - 2)2 + (z -
- I)2 = 36, лежащую в плоскости 2х - z -1 = 0.
2J09 J(* + l/2)2+(y-l)2+(z-l)2=(5/2)2,
ly = l.
2.110.	Пусть Л/о(хо;уо; 0) — произвольная точка границы тени на плоскости хОу. Прове-
дем через М) прямую, параллельную прямой
х = 0,
X у
или — = —
0 1
г
Имеем * --g-=	= г Эта прямая касается сферы. Поэтому для нахождения коорди-
нат точки касания Л/(х, у, z) получаем систему уравнений:
х = х0,
• z = y-yOi
х2 + у1 + z2 = 4z,
сводящуюся к квадратному уравнению 2уг ~ 2у(у0 + 2) + х2 + у£ + 4у0 = 0. Это уравнение
должно иметь равные корни, т.е. дискриминант его D = ((у0 + 2)2 - 2(х2 + у} +4у0))4 = 0.
Отсюда находим зависимость между координатами любой точки Л/Ь(хо;уо) границы тени
-52-
на плоскости хОу, т.е. ее уравнение (х„ / 2)2 + (у„ + 2)2 / 8 = 1. Это эллипс с центром в точке
0(0; -2) и полуосями а = 2, b = 2-72.
2.111.	1)у2 + ? = (15/4)2;2)точкиЛ/|(0; 15/4) и М2(0;-15/4).
2.112.	(х -у)2 + (х - z)2 + (у - с)2 = 1.
2.113.	Пусть 0(0, 0, z0) — центр искомой сферы, R — ее радиус. Тогда расстояние от О до
01(0, 0, 0) — центра заданной окружности равно |OOj| = |z0| (как расстояние от О до плос-
кости z = 0). Тогда /?2 = 11 + z2, где г = VT1 — радиус данной окружности. С другой сто-
роны, R — это расстояние от центра сферы О до касательной плоскости x + y + z- 5 = 0,
т.е. R = |z0 - 5|/. Из системы уравнений
я2 = л+.-2,
<	, . г- находим Zo и R.
||.-0-5|/^ = А
z<° =-1; z((2) =-4; Я, = 11 + 1 = 12; R2 = 11 + 16 = 27.
Итак, получаем две сферы: х2 + у2 + (z +1)2 = 12 и х2 + у2 + (z + 4)2 = 27.
2.114.	8x-4y-z + 100 = 0 и 8x + 4y + z- 100 = 0.
2.115.	(9;-2; 5).
2.116.	у2 - х2 = 4az — гиперболический параболоид.
2.117.	Запишем уравнения прямых:	и (£2) в параметрическом виде
х = 1,
х у
у = ^2, и запишем уравнения прямой (£): — = —
Лк eR, к = \,2. По условию прямая (£) параллельна плоскости (а): х + у + z = 0, т.е.
1 + ^2	=0 (условие параллельности (£) и («)).
Выразим теперь х, у, z из уравнений (£) через Я,, \ и исключим эти параметры. Имеем
у = z = Д(1-х) = (1 + /12)(1-х). Заменяя на = ylx, получим z = (1 + у/х)(1 - х)
илиx2+xy + xz-x-y = b — это и есть искомое уравнение поверхности.
х — 1
2.118.	1) Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку Л/о(1, 1,1)-=
т
= ——- = -—- = t или в параметрическом виде: х = mt+ 1; у = pt+ 1; z = £/ + 1.По опре-
Р ?
делению прямолинейной образующей V/ е R должно выполняться тождество: (mt +1)2 +
+(pt +1)2 - (£t +1)2 s 1, полученное из уравнения поверхности х2 + у2 - z2 = 1. Из тождества
(т2 + р2-£2)t2+2t(m +р-£) = $=}]	+Р ° => т2 ~(р + £)т = 0, т(т-р-£) = 0
[ т+р-£=0
=>:а)т = 0, тогда р = £ и уравнения образующей будут:
х-1 у-1 z-1	х-1 у-1 z-1
-----= --=----или-----= ----=----;
0 р р	0	11
{т-р + £
=>2т = 2£, т = £, р = 0 и уравнения образующей будут
т-£-р
х-1 у-1 z-1
"’i--”--i-’
-53 -
х-1	у —1	J-1	х-1	у-1	г-1
’ О	О 1	-6	2	3
2.119.	9(х-5)2= 16(у2 + ?).
2.120.	Уравнение искомой плоскости запишем в виде х-1 + а(у-4) + Дг-1) = 0. Из ус-
ловий касания плоскости параболы у = 0, г2 - 8х получаем х = \ + Аа- р (z - z2 +
+ 8flz - 8^- 32а- 8 = 0. Приравнивая дискриминант квадратного уравнения нулю, полу-
чаем уравнение2/32 + /?+4а+1=0, из условий касания 2-й параболы аналогично получа-
ем 8а2 + 4а + р + 1 = 0. Находим: а\ = -0,5; Р\ - -1; аг = -0,25; pi - -0,5 и получаем урав-
нения 2-х касательных плоскостей2г -у - 2г + 4 = 0 и 4х -у - 2з + 2 = 0.
-54-
3	. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
3.1. ЗАДАЧИ
3.1. Вычислить определители, используя их свойства:
1)	sin а sin/? sin/ sin2 а	cos(a + J) cos(/?+ J) cos(/ + 3) sin a cos а	sin(a + £) sin(/?+ 8)		; 2)	а2 fp Y1 а	(а+1)2 (а+2)2 (Д+1)2 (Д+2)2		; а, р, у, 8 gR.
			sin(/ + cos2 a	8)			(г+ Д •	I)2 (Г + 2)2	
3) где	sin2/? sin2 / : а и p a P	sin /?cos p cos2 p sin/cos/ cos2/ — корни уравнени Y		Я	4) хг+рх	1 Р + с	и - » Р Я ta		
5)	P y Y a	a, где a, P	P- r —	корни уравнения				х3 + рх2 + дх	+ г = 0.
3.2. Доказать, что:
Ь+с с+а
1)
= 2
а	b	с
Ц A
ai	^2	С2
а2 + ^
X
2) Д(х) =
1-х
>0,Vxefl;
3) Д(х) =
< 0, Ухе Я;
X
1
2х
Зх2
при каких х имеет место знак равенства ?
а b с
4) b с а <0, а, Ь, с > 0; выяснить, когда имеет место знак равенства.
cab
33. Решить неравенство:
х
3.4.	Доказать, что для всех допустимых значений х справедливы неравенства:
при каких х выполняется знак равенства?
-55-
3.5.	Построить графики функций:
1)у =
X X1
а а1
b Ь2
, (а * 6); 2) у =
2	3	4
2	х + 3	4
х + 3 х + 4 х + 5
-3	-4	-5
1
1 а b
3.6.	Найти наибольшее и наименьшее значения определителя
с
1
где а,Ь,с — косинусы углов некоторого вектора с осями координат.
3.7. Решить уравнения:
	х3 а3	х2 а2	X 1 а 1		1	2 1 х + 1
1)	а6 а9 1 1	аА а6 X ах	а2 1 а 1 х2 «,2	= 0; 2) .. л”-1 ... а,"’1	1	2 1	2
4)	1	а2		... а""'	= 0; 5)
3	...	п
3	...	и
х + 1	...	п
11	1	...	1
1 1-х	1	...	1
1	1	2-х	...	1
1 ап-л <£-1
= 0; 3)
Ц а2
х а2
а2 а,
= 0
= 0;
х
1 1 1
(все ак, к = 1, л -1, различны);
1
1
1
1
1
3.8. Вычислить определители и-го порядка Д„,
элементы я,*, /, к = 1, п, которых имеют
вид:
1) а,к = 1 + х,у*; 2) atk - min(/,&); 3) а,к = тах(/,А).
3.9	. Вычислить определители: 1 а,	«г	а„				1	2	3	4 .	п
	1 at +	^2	ап		-1 0	3	4 .	.. п
1)	1 at	а2 + ^2	ап	; 2)	-1 -2	0	4 .	.. п
	1 ч	а2	...		-1 -2	-3	—4	.. 0
-56-
	а а а	а		а + р ар	0	. 0	0
	а 0 а	.. а		1 а + р	ар	. 0	0
3) Ди =	а а 0	.. а	;	4) Д/7 =	0	1	а + р ..	. 0	0
a a a ... 0
011	1	...	1
110	0	...	0
10 1/2	0	...	0
10	0	1/3	...	0
		0
1		0 1
0		1 1
0		1 0
	; 6)	
0		1 0
Мп		1 0
0	0
1 1
0	0
\!q	0
0 Мер
0	0
1 0	0	0 ... 0
3.10. Вычислить:
	а	b
	b	а
1) Определитель Д =	с	d
	d	с
c d
d c
a b
b a
, умножая его на Д, =
... 1 a + p
1
0
0
0
M qn~x
1 1 1
1 -1-1
-1 1 -1’
-1 -1 1
2) Квадрат At из 1);
	а	b	с	d
	-Ь	а	-d	с
3) Квадрат Д2, где Д2 =				
	-с	d	а	-Ь
	-d	-с	b	а
3.11.	Пусть А — вещественная матрица размера п * п, Ат— транспонированная к ней.
Доказать, что если АА7 = 0, то А = 0 (0 — нуль-матрица).
3.12.	Матрица А с элементами я(у,/, j = 1,/?, называется антисимметрической, если
ау - -а . Доказать, что определитель \А| такой матрицы нечетного порядка равен 0.
3.13.	Пусть А — квадратная матрица нечетного порядка, А1 —транспонированная к ней.
Доказать, что |л - Лг| = 0.
3.14.	Доказать, что если А — матрица размера п х и, удовлетворяющая условию А2 = А, то
матрица В = 2А - Е (Е — единичная) удовлетворяет условию В2 = Е. Найти |Л| и |В|.
3.15. Вычислить:
о?00
о
2J
1
1
о
Го iY999
П -! 0	; 2) °
4	7	0
f cos	-sin (р А
; 3)	, neN.
^sin^ cos<р j
3.16.	Найти наименьшее п е N, при котором выполняется равенство
-57-
3.17.	Учитывая, что предел матрицы равен матрице из пределов ее элементов, найти:
(а 1 0^1
J 2
1) lira 0 -3
2
3Y
-6 ; 2) lim 4, где А= О 1 0 , а е R, когда он существует;
0
4
4) lim
1 "	.	.	( COS (27
3) lim — У Г*($7/и), где Г(^) =
«-*“> и	gm (р
( 1
где4 =
l-jr/n
О 0 а)
sin <р А
, Ф е Я;
cos (р )
х/п\
1 J
5) lim I У det(4) |/det| У 4 I, где А = -f+ 1 **	я*-1;
6) с помощью матрицы Я = Р Чобразуется последовательность: xn+i=Axn, х0
Найти предел отношения координат вектора хп при п -»оо при условии, что он существует.
3.18.	Пусть А — целочисленная квадратная невырожденная матрица (|j|*0). Вывести
необходимое и достаточное условие целочисленности обратной к ней матрицы А~х.
3.19.	Матрица А размера п х п с действительными элементами называется ортогональной,
если транспонированная к ней Ат совпадает с ее обратной А~х.
Найти |4
3.20.	Пусть А, Е, О — матрицы размера п х п (Е — единичная, О — нулевая) и 4 = 0 при
некотором К > 1. Доказать, что Е-А обратима и выразить (Е-А)'1 через А.
3.21.	Пусть матрицы А, В, Е, О размера п х п связаны соотношением АВ + А + Е = О.
Доказать, что А — невырожденная и А~х = -(В + Е).
3.22.	Пусть А,В,Е — матрицы размера пкгцЕ — единичная и | Л| 0. Доказать :
1)	А~хВ = ВА~х, если АВ = ВА\ 2) А + В, Е + А~х В, Е+ В А'1 одновременно вырождены или
невырождены \/В.
3.23.	Дана матрица А с элементами alk - xtxk, z, к, = i,n. Доказать обратимость матрицы
Е + А и найти (£ + Я)-1.
3.24.	Найти х из уравнения X3 + 2X1 - 0, если X — невырожденная матрица размера п х и.
3.25.	Доказать, что матричные уравнения в классе действительных матриц не имеют
решений:
(Я
1)JT2= 2
<2
при Л < -2 и Я > 1;
1-Я
О
'5
2)Лг + 4А'+В = 0,где В= 0
,0
-1
-8Л
2 ;
0.
О
3)	АВСХ = Е, где А = (3 5 7)7, В = (213 510 128), С = (3 -1 -I)7, Е—единичная матрица 3-го
прядка.
3.26.	Решить матричные уравнения:
f-1 2 Л fl -П
1)	%(1 -1)= ;
I 1 -1J	’ 1-2 2 Г
-58-
f1
2)A¥B + A¥ = £,a)J = | ]
3)	ЛХ + ЛВ = С, где Л= 11
ЛеЛ;
-1
-1
(1-1)*
Л 3+ЛА
2 Я+1/
f-1 1 Л fl —1Л	fl
5)1 ,	-1Г 1	_2I = C,	где:а)С=|
'l	1	...	1)	fl	2	3	...	n '
,.	О	1	...	1 v	О	1	2	...	я-1
6)	X =
^0	0	...	1J	l^o	0	0	...	1 >
1
-1
6)C =
-1
0
0
-1
7)	X- AX = В, где А и В матрицы размера п х п, причем А2 - 0;
8)	X + SX + XS ~ А, где А и 5 — матрицы размера п х п, причем S2 = 0;
9)АХА + ЛХ=£,гдеА =
1 1 I-
1 -V’
. 2	( 1	1 "I Г 1 2>| । ,
10)Л% + УЛ2 = Я,гдеЛ = | j I, В= | j I, а|Х| = 1;
(1 2\ (2 -П fl -П
н)Н зги iH-i о}
3.27.	Найти действительную квадратную матрицу X из уравнения Л2%2 + 2АХ = О,
f О П
перестановочную с А = I I.
3.28.	Найти все значения параметра а, при которых матричное уравнение АХ + аХ = В,
fl 0^1 fl+a 0 S
где А = I , В = I	имеет решение, и найти эти решения.
1^-1 2)	1	1 + а)
(cos<p -sin^	„	„	„
3.29.	Найти все матрицы Xвида%=	, (р е /?, из уравнения {АХу + (АЛ) = А ,
cos$!> J
fl о А
и е N, где А = I
10 -1)
fl 0]	.
3.30.	Решить уравнение XX = А, где А = I I, X — квадратная матрица, X —
транспонированная к ней.
А Г"5	1 "I
3.31.	При каких A е R матричное уравнение X + 4Х = I	I имеет решение
среди действительных матриц? Найти это решение.
3.32.	Найти матрицы X, Y из системы матричных уравнений:
aX+pY=A
если а р ai р\ * 0, А и В матрицы размера и х п\
(Х}Х + P\Y = Bt
О
-59-
2)
AX+Y=B
, где А, В, С — матрицы размера п х и, в случаях:
X + AY — С
а)Л2 = О;
б)Л2 = Е.
(AX + YA = B	,
3)	<	. где А, В, С — такие же как в п. 2 и А - Е.
\XA-AY = C
3.33.	«Следом» квадратной матрицы А называется сумма ее элементов, стоящих на
главной диагонали. Доказать, что след АВ равен следу ВА. Пользуясь этим результатом,
объяснить, почему матричное уравнение АХ -ХА = Е(Е — единичная) не имеет решения
для V А размера п х п.
3.34.	Пусть А и В матрицы размера п х п. Доказать, что:
1)	уравнение АХ = В имеет единственное решение VB, если матрица А не имеет
собственного значения 2 = 0 и найти Х\
2)	А не имеет собственного значения 2 = 0, если уравнение АХ = В имеет решение V В.
3.35.	Найти все матрицы, для которых вектор
является собственным.
3.36.	Матрица А размера п*п с неотрицательными элементами называется стохастической,
если в каждой строке сумма ее элементов равна 1. Доказать, что стохастическая матрица
имеет собственное значение 2=1. Найти собственный вектор, соответствующий 2=1.
3.37.	Найти собственные значения и собственные векторы матрицы все элементы
которой равны 1.
3.38.	Пусть 2 = 0 не является собственным значением матрицы А. Доказать, что матрицы
АВ и ВА имеют один и тот же характеристический многочлен.
3.39.	Доказать, что хотя бы одно из значений 0 или 2 является собственным для матрицы
А, удовлетворяющей условию А1 = 2А.
<1999
3.40. Матрица А =
а
b
b Г
b 0 , a, be R, имеет собственное значение 2=1. Изобразить
а 1 J
на плоскости аОЬ множество точек (а, Ь), для которых это возможно.
3.41.	При каком т е R значение 2 = 1 является собственным для матрицы X, удовлетво-
(2 1^	<-2 П
ряющей уравнению АХ- тХ = В, где А = I I, B = l I?
Найти собственные векторы матрицы X, соответствующие 2=1.
3.42.	Докажите, что имеют одинаковые собственные векторы: 1) матрица Л и обратная к
ней А~' (если она существует); 2) матрица А и А - тЕ, \fmeR-.
3)	матрица A иАк (keN). Как связаны собственные значения матриц в 1)-3)?
3.43.	Пусть Лк, |2*|< 1, к-\,п, — собственные значения матрицы А размера п х п.
Докажите, что матрицы А ± Е невырождены.
3.44.	Пусть векторы %*, к = \,п, — линейно независимые собственные векторы каждой
из матриц А и В размера и х п. Докажите, что АВ = ВА.
3.45.	Доказать, что если матрица А размера п х п — невырожденная, то среди матриц А-Е,
А-2Е,..., А-пЕ найдется невырожденная.
3.46.	Доказать, что матрица А размера их/?, удовлетворяющая условию Ак = О, к > 1,
к е N, не имеет ненулевых собственных значений.
-60-
система
3.47.	Найти такие значения а, чтобы для каждого b нашлось значение с, при котором
Ьх-у = ас2,	„	, ,
имела хотя бы одно решение (a, Ь,се R).
(b - 6)х + 2Ьу = с +1
3.48.	Изобразить на плоскости аОЬ множество точек (а, Ь), для которых системы:
(а + 1)х + by + az = 0,
2x + (6 + l\y + z = 0,	2)
bx-ay + bz = 0,
имеют более одного решения и найти эти решения;
ах + (Ь —4)у = 2,
(а - 4)х + Ьу = 3, имеют единственное решение.
Ьх-(а + 6)^ = 3
ах + by + z = 0,
х + ау = О,
1)
3)
3.49. Найти все решения системы:
x + Cy + z)cosa = 0,
j> + (x + r)cosa = 0, в 2-х случаях:
(x + ^)cosa + ^ = 0
1) а— плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды;
2) a g R.
3.50. При каких а е R система
х2 + ay + z2 = 3а,
ах2 + 3az2 - 2, имеет решение?
2х2 + Зау = а
3.51. При каких a, b, т, п, р е R система
Найти ее решения при найденных значениях а.
ах + Ь(у + г) - т,
ay + b(x + z) = n, имеет множество решений?
b(x + y) + az = р
Найти эти решения.
3.52. Упорядоченная тройка чисел {1; -1; 1} — одно из решений системы:
х + ay + z = За,
ах + 3az - 2,
2x + 3qy -а.
Найти параметр а и определить, есть ли другие решения при найденном а. Если есть, то
найти их.
3.53. Решить системы уравнений (a, b, с g R — параметры):
3x + 4y + 5r = <7,	x2+y + 2z = a, 1) 4х + 5у + 6г = Ь, 2)  2х2 + y + z = b, 5x + 6y + 7z = c;	x2+2y + 5z = 2b; ax + y + z = l,	fx + y + az = 2, 4) x + ay + z = a, 5) • x + ay + z = -l, 6) • x + y + az = a2\	[ax + ^ + r = -l;	2xy + yz = 21, 3) 3jc-2xz = 25, xz - xy = 4; ^+^ = 1, x2 + *3 = 2, 	 n>2;
	x„-}+x„=n-\, x„+x} =n,
-61 -
х2+х3+... + х„ =1,
xt +х3 +... + х„ =2,
х, + х2 + х4 + ... + хп =3,
Xj +х2 + ...+хд_| = п;
Xj +2х2 +Зх3 +... + пхп = 1,
х2 + 2х3 + 3х4 +...+(п-\)х„ +пх} =2,
х3 + 2х4 + Зх5 +... + (п- 1)Х] + пх2 = 3,
*л-| + 2л„ + Здг, +... + пхп_2 = п -1,
хп + 2х} + 3х2 + ... + nrZI_1 = п.
3.54. Найти все целые решения системы:
x + y2+3z2 =8,
Зх-2/+?=-4,
-Зх + 7у2 + 7г2 = 32.
3.55.	Пусть а,Ь,с — стороны треугольника, ъа,р,у — противолежащие им углы.
x+j>sin Д + zsiny = я,
- xsin/?+j>+rcosaa = Z>,
xsin у+у cos a+z = с.
Доказать, что: 1) определитель системы равен нулю; 2) система совместна только в
случае, когда треугольник прямоугольный. Какой из углов — прямой? Сколько решений
имеет система в этом случае? Найти это решение.
Р
3.56.	Доказать, что система уравнений:
1
"*••• + аппХп ” хп,
р
где aiJ9 i, j = 1, w — целые, p eN,p> 1 имеет единственное решение xk = 0, к = 1,и.
3.57. Из системы уравнений:
2x-y + z = 0,
x + у + г - /	определить и как функцию I и найти ее
2x-2y2+z2 =и,
наибольшее значение.
3.58.	При каком условии проходят через одну точку:
1)три прямые цх + ^.у + с. = 0, / = 1, 2, 3;
2)	четыре плоскости Дх + Bty + С,г + Ц =0, i -1,4 ?
ax + by + cz + dt = 0,
bx-ay + dz-ct = 0,
cx-dy-az + bt = 0,
dx + cy-bz-at = 0
имеет единственное решение, если a, b, с, d е R и не все равны нулю.
3.59. Доказать, что система
3.2.	УКАЗАНИЯ
3.	1. 1) Разложить определитель на сумму, используя формулы синуса и косинуса суммы
аргументов.
-62-
2)	Сначала вычесть 1-ю строку из остальных строк и вынести общие множители за знак
определителя.
3)	Прибавить к 1-му столбу 3-й, а затем «сделать» нули в нем.
4), 5) К элементам 1-й строки (столбца) прибавить элементы остальных строк (столбцов)
и применить формулы Виета. Для приведенного кубического уравнения они имеют вид:
*1 + Х2 + Хз = ~р\ Х|Х2 + *2*3 + Х|Х3 =	*1X2*3 - -Г.
3.	2.1) Разложить определитель слева на сумму.
2)	2-й столбец прибавить к остальным столбцам.
3)	Вынести х за знак определителя из 2-го и 3-го столбцов и найти шах Д(х).
4)	Использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
3-х неотрицательных чисел х + у + z >3jjxyz, учитывая, что равенство имеет место
только при х = у = z.
3.3.	Вынести х из 3-го столбца за знак определителя.
3.4.	2) Убедиться, что определитель Д(х) — многочлен 4-й степени, его корни легко
подобрать так, чтобы 2 строки из 4-х стали равными. Для определения коэффициента при
х4 вычислить значение Д(0).
3.5.	1) Вычесть вторую строку из остальных строк; при построении графика рассмотреть
случаи а < b и а > Ь.
2)	Вычесть из 2-й и 3-й строк 1-ю.
3.6.	Использовать указание к 3.2.п. 4 к числам tz2, Ь2, с2.
3.7.1) См. указание к 3.4 п. 2.
2)-7) Определить степени многочленов и применить указание к 3.4 п. 2.
3.8.1) Вычесть 1-й столбец из остальных столбцов.
2) Доказать рекуррентную (возвратную) формулу Д„ = Д«_|, п > 2.
3) После упрощения получившийся определитель разложить по элементам и-й строки.
В (2), (3) матрицу А из элементов определителя можно также представить в виде
произведения 2-х матриц верхней и нижней треугольной, у которых по одну строну от
главной или побочной диагонали все элементы — нули, а по другую — единицы, и
применить свойство |ЛВ| - |Л| |В|.
3.9.1), 3) Вычесть 1-ю строку из остальных строк.
2) Прибавить 1-ю строку к остальным.
4)	Разложив Д, по элементам 1-й строки, получить рекуррентную формулу: Д„ = (а + 0)*
хД„_1 - а^Ди_2, п > 3; вычислить Дг, Дз и попытаться предугадать формулу для вычисления
Дл-i, а затем применить метод полной математической индукции, учитывая, что Д1 = а+ 0
можно записать в виде: Д1 = (<? - Д2) / (а-0у (а* 0).
5), 6) Вычесть из 1-го столбца остальные, умножая их соответственно: в (5) на 1, 2,..., и, а
в (6) 1.
3.10.	Правило умножения определителей приведено в указании к 3.8, при этом нужно
использовать, что определители данной и транспонированной матрицы равны I Al Чл7] .
3.11.	Рассмотреть элементы матрицы АА1, стоящие на главной диагонали.
3.12.	Вывести из условия, что А1 = -А, I Я7] = I А\ = -| А\.
3.13.	Убедиться, что матрица/! -Ат— антисимметрическая (см. 3.12).
3.14.	Использовать правило умножения определителей, приведенное в указании к 3.8.
3.15.	1) Убедиться, что А2 = -Е, где Е — единичная матрица размера 2x2;
2), 3) найти несколько первых степеней матриц: А2, А3 и применить метод полной
математической индукции.
3.16.	Записать левую часть в виде матрицы 3.15 п. 3.
3.17.	1), 2) Степень матрицы найти методом математической индукции; убедиться, что в
(2) элемент an(w) матрицы Ап имеет вид:
-63-
^12(w) — 1 + a + 672 + ... + cT \
3)	использовать ответ 3.15 п. 3 для нахождения 7*($У/7); при вычислении суммы матриц
можно использовать формулы:
л V» 1	w + 1	. па . . ,а. _ А . .	. и + 1	. па, . ( а\
Ап = у cos ка - cos ——а х sin—/sin(—); Вп = 2,sin ка = sin----а х sin—/sin I — I
k=\	2	2	2	k=\	2	2 V 2 J
или использовать, что при а = — lim Ап / п = f1 cos(x<p)dx; lim B„ I n = [sin(x(p)dx\
2 П-*°°	Л—>°°	J
0
4)	записать An в виде An = (1 + (х/w)2)1/2 T{(p\ vjiz T(tp) матрица из 3) и tg (p = x/n\
5)	см. указание к (1), (2);
6)	пусть (an,bn) — координаты вектора хп, а -	— вектора xw+i; пользуясь
условием, найти зависимость между координатами векторов xw+i и хп .
3.18,	3.19. Воспользоваться связью между определителями данной и обратной к ней
матриц.
3.20.	Использовать тождество E = E!l-Ak,keN.
3.21.	АВ + А записать в виде произведения матриц.
3.22.	Использовать определение/Г1.
3.23.	Пусть х - (xi, х2, ..., Хп)1 — матрица-столбец, а хг— матрица-строка. Убедиться,
что А = х хт и найти А1. Предполагая вырожденность матрицы А + Е, т.е., что Л = -1 —
собственное значение А, получить противоречие. Обратную к А + Е искать в виде Е + кА,
где к — скаляр.
3.24.	Записать левую часть в виде произведения.
3.25.	1) Перейти к определителям в уравнении;
2)	выделить полный квадрат из суммы X2 + 4Х = X2 + 4ЕХ, где Е — единичная матрица, и
использовать указание к (1);
3)	перемножить сначала В и С.
3.26.	1) Сначала определить размеры матрицы X;
2)	записать АХ = АХЕ\ в случае (б) перейти к определителям в преобразованном уравнении;
3)-5) получить систему уравнений относительно неизвестных элементов матрицы Х\ в (4)
после умножения матриц, стоящих перед X, и в (5, б) перейти к определителям в
уравнении;
6)	пусть А — матрица, стоящая перед X в уравнении; убедиться, что А — невырожденная
и справа в уравнении стоит А2\
7)	см. 3.20;
8)	умножить обе части уравнения на S слева и на Е - 5 справа, и найти SX, а затем из
исходного уравнения найти X. Проверить, что найденная матрица является решением
уравнения;
9)	см. указание к п. 2;
10)	найти сначала А2',
11)	см. указание к п. 3-5.
3.27.	Используя указание к 3.25 п. 2, свести исходное уравнение к виду Y2 = Е, найти У, а
затем и X. Можно также переписать левую часть уравнения в виде произведения и
рассмотреть два случая: X— вырожденная и X — невырожденная.
3.28.	Записать левую часть уравнения в виде ЯрУи рассмотреть два случая IJ J Ф 0 и IЯ J = 0.
3.29.	Рассмотреть случаи п четного и нечетного, убедившись, что (ЛЯ)2 = (ЯЛ)2 = Е —
единичная матрица.
-64-
3.30.	Перейти в уравнении к определителям и убедиться, что I А| = ±2. Тогда уравнение
сводится к А,? = ЛГ’Л. Можно исходное уравнение сразу свести к системе уравнений
относительно неизвестных элементов матрицы X с учетом | А| = ±2.
3.31.	Используя указание к 3.25 п. 2, убедиться, что уравнение может иметь решение
лишь при Л = -2.
3.32.	1) Решить систему методом исключения одной из матриц;
2): а) методом подстановки исключить одну из матриц в системе; б) умножая одно из
уравнений системы на А, убедиться, что для разрешимости системы необходимо, чтобы
АВ = С или АС = В. Показать, что это условие является и достаточным, и найти X и У;
3) умножая одно из уравнений слева на Л, а другое справа на А, найти X и У и сделать
проверку.
3.34.	1) Убедиться, что Л*0 равносильно невырожденности матрицы/!;
2)	предполагая Л = 0, т.е. (см. 1)), что |Л| = 0, получить противоречие с условием,
рассматривая В такую, что |В| = 0.
3.35.	Получить систему уравнений относительно неизвестных элементов матрицы.
3.36.	К 1-му столбцу определителя 1а~ЛЕ1 прибавить остальные столбцы.
3.37.	К 1-му столбцу определителя \ln - ЛЕ1 прибавить остальные столбцы и вынести
общий множитель полученного определителя за его знак, после чего вычесть 1-ю строку
из всех остальных.
3.38.	Из указания к 3.34 п. 1 следует, что 0, поэтому можно записать, что ВА - ЛЕ =
= А~\АВ-ЛЕ)А.
3.39.	Умножить обе части равенства А1 - 2А на собственный вектор матрицы А.
3.41.	Сначала найти значения т, при которых матричное уравнение имеет решения,
используя указание к 3.25 п. 1. Далее, умножая исходное уравнение на собственный
вектор у матрицы X, найти его. Можно сразу умножить исходное уравнение на
собственный вектор у матрицы X и найти значение т, при котором Л = 1 — собственное
значение для у.
3.42.	1) Умножить обе части равенства Ах = Л Ех слева на А~1 и учесть, что Л * 0
равносильно |Л| Ф 0 (см. 3.34 п. 1);
2)	вычесть из обеих частей равенства из п. 1 по т х\
3)	рассмотреть А.к х, где х — собственный вектор матрицы А.
3.43.	Предполагая, что \А ± Е| =0, получить противоречия с условием.
3.44.	Сравнить произведения АВх и ВАх, разложив вектор х по базису xhx2,..., хп.
3.45.	Предполагая противное, получить, что 0, 1, 2, ..., п — собственные значения
матрицы А размерам х п. Убедиться, что это невозможно.
3.46.	Предполагая противоположное, с учетом 3.42. п. 3 получить противоречие.
3.47.	Рассмотреть случаи, когда определитель системы А Ф 0 и А = 0.
3.48.	1), 2) Выяснить когда определитель системы А(я, Ъ) = 0;
3)	Рассмотреть сначала систему двух уравнений и выяснить, когда ее решение является
единственным решением 3-го уравнения.
3.49.	Вычислить определитель А(«) системы, прибавляя к первому столбцу остальные,
учесть, что в п. 1 0 < а< 2л/3.
3.50.	Рассмотреть систему, как линейную относительно неизвестных х2, у, z2.
3.51.	Исследовать систему при тех значениях а и Ь, для которых ее определитель А(а, Ь) = 0.
-65-
3.53.1) Применить метод исключения Гаусса и получить условие совместности.
2), 3) Рассмотреть системы, как линейные относительно соответствующих неизвестных;
учитывая, что в п. 2 выражение для х2 должно быть неотрицательным.
4), 5) Исследовать системы, рассматривая случаи, когда их определитель А * 0 и А = 0.
6)	Рассмотреть отдельно случаи п = 2k + 1 — нечетного и п = 2к — четного, к е N.
Сложить все уравнения системы с нечетными номерами и отдельно все уравнения с
четными номерами. Сравнивая правые и левые части полученных двух уравнений,
убедиться, что при п = 2к система несовместная, а при п - 2к + 1 является определенной, и
найти ее решение в этом случае.
7)	Сложить все уравнения системы и найти сумму всех п неизвестных. Последовательно
вычитая из найденной суммы уравнения исходной системы, найти ее решение.
8)	Сложить все уравнения системы, а затем вычесть из Л-го уравнения (к + 1) - е, к = 1, п -1;
в случае к = п из л-го уравнения вычесть 1 - е.
3.54.	Рассмотреть систему, как линейную относительно х, у1 -у\, z2 = j|, найти ее решения
и, с учетом yi > 0, п > 0, выделить из найденных решений — целые.
3.55.	При вычислении определителя системы использовать, что а + р + у = я; формулы
понижения степени sin2# = (1 - cos2#)/2 и др. тригонометрические формулы. Можно
также привлечь теоремы синусов и косинусов. Далее исследовать и решать систему
методом исключения (Гаусса), рассматривая различные случаи углов: Р~л12\
а + р = л!2\ р*л!21л а + р*л!2.
3.56.	Сравнить определитель системы с характеристическим многочленом матрицы А из
коэффициентов при неизвестных левой части уравнений системы: {А - Я£| = Р(А),
учитывая, что коэффициенты многочлена — целые.
3.57.	Выразить х,у, z через t из первых трех уравнений системы.
3.58.	Рассматривать: три равенства в п. 1 и четыре в п. 2 как системы трех и соответ-
ственно четырех однородных линейных уравнений, у которых есть ненулевое решение:
в 1) {^.л.фвг) {wo.-o.1} •
3.59.	Сравнить определитель системы с определителем Аг из 3.10. п. 3.
33. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
3.1.1)	0; 2) 4(а-Р)(у-Р)(у-а) ;3) sin(#-/?)sin(/-/?)sin(/-#);
4)\-p} + 3pq-3q-, 5)p(p2 — 3q).
3.2.2)	Д(х) = 2х2+х + 1>0\/хеЯ;3) Д(х) = -х2(х2-1)2 <0, Д(х) = 0 прих = 0их = ±1;
4) А = ЗаЬс-а3-Ь2-с3 <0; А = 0 при# = 6 = с.
3.3.	хе(-оо; -0,5) U (0;1).
3.4.	А(х) = —(х2 - 1)(х2 - 4) > 0, если 1 < |х| < 2, А(х) = 3>/з /2 при х = +у/2,5.
3.5.	Параболы: 1) у = (Ь - а)(х - а)(х - Ь)\ 2) у = 4х(х + 1).
3.6.	Обозначим определитель А. Имеем А = 2abc + 1 - О2 - Ь2 - с2 = 2аЬс, т.к. а2 + Ь2 + с2 = 1.
Согласно указанию из неравенства
1 = а1 + Ьг + сг > 3^a2b2c2 (1) =Ф Ца2Ь2с2 < 1 /3 => (abc)2 <1/27,
тогда | Д| = 2|#£>с| < 2«Уз /9, т.е. А = 2>/з/9, min А =-2>/з/9. Знак равенства в (1) имеет
место только при а2 = Ь2 = с2 = 1/27. Поэтому шах А достигается, когда все косинусы
положительны, или два из 3-х косинусов отрицательны; min А достигается, когда один из
косинусов отрицателен, а два других имеют одинаковые знаки.
-66-
3.7.	1) *i - a, X2 = я2, хз - a3; 2) Обозначим A(x) определитель слева. Очевидно, что A(l) = О,
т.к. получаем две одинаковые строчки; аналогично находим другие корни уравнения Х2 -
= 2, хп-\ - п-\. Так как А(х) — многочлен п - 1 степени (хотя сам определитель и-го
порядка), а такой многочлен не может иметь более п - 1 различных корней, то окон-
чательно получаем: Хк - к, к = 1,/?-1 — все корни уравнения; 3) A„+i(x) — многочлен
(и+1) степени; причем A»+i(<%) = 0, к = 1,л, т.е. Хк - ак, к = \,п — п корней многочлена.
Для нахождения последнего (п+1)-го корня, хл+1 прибавим к 1-му столбцу определителя
остальные столбцы, все элементы получившегося столбца будут одинаковы и равны
п
х+^ак» вынося этот общий множитель за знак определителя, получаем, что
к=\
Хи+1 ~ ~\}Lk=\ak '
4) Хк ~ ак, к = 1, п -1; 5) Хк - к - 1, к = 1, п -1; 6) Хк - вк, к = 1, п -1;
7) х = х^ к = \,п.
3.	8. l)Ai = 1 + *tVi, А2 = (у2~у\ )(х2 -Xi), А„ = 0 при /? > 2;
2)	определитель с элементами aik = min(/, к), i, к- i,n, имеет вид:
1	1	1	...	1	1
1	2	2	...	2	2
_	1	2	3	...	3	3
Л” “	I	2	3	...	4	4	'
1	2	3	...	(л-1)	л
Вычитая 1-й столбец из остальных столбцов, получим, что
Получили, что А, = Ал-ь где A,-i - определитель такого же вида, как и А„ , но (n-l)-ro
Так как Ul = IA j I U2|, причем |/$| = А„; |/$2| = |Л|| = 1,тоЛ„= 1.
3)	А„ = п.
3.9.1)	Д^! = м />2... *п; 2) Д„ = 1-2-...-л = л! 3) Д, = (-1)”ЛЛ
4)	согласно указанию имеем А„ = (а + P)A„_j - аРАл_2, п > 3.
Найдем А| = а + р; А2 = (а + Р)2 - ар = а2 + р2 + ар и перепишем их в виде:
Д1 = (а2 - р2)/(а - Р); Д2 = (а3 - р3)/(а - Р).
Допустим, что Д,_2 = (а- -р-1 )/(а - р); Д._, = (а” -Р”)/(а-р).
-67-
Тогда
Д„ = (а + Р)(а" - Р") /(а - р) - ap(a”4 - р"’1) /(а - Р) = а”+* - ар” + ра" - ри+' - а"р + аР") /
/(а-Р) = (а”+,-р”-,)/(а-р).
Отметим, что приведенный прием доказательства формулы для Д„ и составляет
содержание метода математической индукции.
_ч 4	,111 (п +1)
5)	Дя+1 =-(и+1)и/2х 1—...— =—------—;
23 и 2(и-1)!
6)A„,i = -(1 + 9 + 92 + ... + 9"-1)1-.-L..._L=-.
4 q q- q"-'	(1 - q)q*"-'vl
3.10.	1) Д =(a + b + c + d) (a + b -c-d)(a-b + c-d)(a-b-c + cfy
2)Д* = 256; 3) Д2 = (a2+b2+c2 + tZ2)4 => Д2 =±л/д^; но слагаемое а4 входит в Д2 со
знаком «плюс», как произведение элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому
&2 = (a2 + b2 + c2 + d2)2.
3.14.	UI = 0или |Л| =1; |в| = ±1.
3.15.	1) Согласно указанию А1999 = И(Л2)999 = А(-Е)999 = -АЕ = -А	;
р2
2)	имеем (см. указание) А2 = 0
2 + 1 0^1 Гг3
1	0 , А3 = 0
О 22) (о
22 + 2 + 1 О'
1	о
0	2\
Пусть А1
2”~
0
0
2п~2
2п
тогдаА" = Ап'1А = 0
^0
f2,0°
О
О
Поэтому А100 =
0
2”"1+2”"2 +
1
0
о
о
2ioo
2,0° -1
0
0
2п~
0
0
2п
т.к. 2”-'+2’
2-1-2-l_r
2-1
0
fcos® -БШйЛ	и (cosna> -sinntp
3)	Пусть Т(Ф)=	w , тогда Г = .
^sin^ cos$? J	\^smn<jp cosn(p
3.16. Согласно указанию
1 О
О 1
• пП л
sm— = О
6
пп ,
cos— = 1
6
=> п- 6к, к g N. Наименьшее п = 12.
-68-
3.17. 1) A2 = A => An = А. Поэтому lim A” = A; 2) An находим так же, как в 3.15 п. 2:
Л-+ЯО
(ап ап~1+ап~2+... + \ 0
	1°	0	a")
При	kl	< 1 существует r0 lim(1-a”)/(l-a) o') zft Я~»оо	v
lim An =		0	1	0 = 0 0	0	0 [о k	/
1/(1 —б?) (Г
1	О
0	°>
1 п	। ( а В А
2) В соответствии с указанием имеем Л/л = — £Г*(рМ) = - ""	"I, гдеЛ„,В„
п\~Вп Ап)
указаны в указании.
	f sinff	1-COSffA	--	”4>
Далее M = lim Mn = n—>°°	<P	<p	A cos	sm — TIf Al_	2n	2n
	1 - COS	sinff	n	wsin^/(2w)
	I <p	<P >	
. (и+1)<р . Иф
при/?—СОЗФ72 5»1?72 sin<P. fl. _Sln 2п Sln 2и } sin2(<p/2) l-cos<p
<р/2	<р ’ п „sin-5-	Ф/2 Ф
2п
А В
Тот же результат получается, если использовать, что —- и — — интегральные суммы,
и и
пределы которых при п -» оо равны соответственно интегралам:
f'cosCxipWr = —sin ср\ f * sin(x^)dfr = (1 - coso?)/^;
JO	(p Jo
4)	Согласно указанию имеем Д, = (1 + (х/л)2)1,2Г(ф), где fg ф -xln.
Поэтому А” = (l + (x/w)2)”,27’(wp). Предел 1-го множителя при п -» оо равен е°= 1;
Ф = arctg(xlri)~+O при и -»оо, поэтому limп(р = limп• arctg(x 1п)-х. Следовательно,
„	(cosx sinxA fl (A fcosx-1	sinx
lim(J”-E)= .	-	= I
л-x»	l-sinx cosx J 10 1J I -smx cosx-1
(lfcosx-1 sinx (О 1
и окончательно lim —	=
x-*o^x^ -smx cosx-lJJ ^-1 0
	a*+i			\а*+1) (о*-I)'			
5) имеем A2 =	2	2		2	2		,	1; det/1* = ak ’	
	a2-\	q2 + l		(^-1) («1+1)			
	< 2	2 .	/	I 2	2	)		
n	Л+1	n		1 n z*=l 1 n / jt=!	1 П	Л 1) т£(а*-1)			a-a a-a n +		n
k=\	1	l-a i	1		Z*=l i) |i(^+D z*=l	)	=	1 2	\-a	\-a a-<f+l	a-cF' I \-a	1-a )
-69-
j Ip j I an(\ — an)
det > A =-----------. Обозначим an выражение, стоящее под знаком искомого преде-
1м ) (>-«)
ла, тогда находим lim а„ = lim — = 0 при а 1;
л—И—><Х fj
при а = 1, А = Е, Ак; = Е, lim а„ = lim ал —-— = lim= 0;
det(«E) п
6) из условия находим	= ——— (1)
Ьп^ ап + 2Ьп
а0 = 1, Ьо = 0 => а\ = ао + b0 = 1, b\ = а() + 2bQ - 1, аг = 2, Ь2 = 3,т.е. ап * 0, Ьп * 0, V п g N
и ап / Ьп> 0 V и е N. Из (1) =>	=> (при п -> оо) £ = (1 + £) / (2 + £), т.к.
2 + а„/дЛ
lim(<7„ lbn) - I существует и £ >0. Из уравнения £^+£-1 = 0 находим, £ = (>/5 -1)/2 > 0.
Я—» 00
3.18,3.19. |л|=+1.
3.20. Из тождества Е = Е? - Ак,к g N (по условию Ак - 0), получаем
Е = (Е-А)(Е^[ + Л£*"2+...+ Ак’2Е + Ак~1) = (Е-А) (Е + А + А2 + ... + Ак'1) =>
1 = 1е-а11е + а + л2 + ...+лм| |Е-лко
и обратной для Е-А будет (Е-А)~1 = Е + А + А2 +...+ Ак~}.
Например, при к- 2(Е-А)~' = Е + А.
3.22.	1) Умножив равенство АВ = ВА слева и справа на Л’1, получим требуемое;
2)	доказательство вытекает из равенства |Л-1(Л + В)| = |(Л + В)Л-|| = \А + В| |л-11, т.к.
|Л-1 | = 1/| ЛI, IА \ ф 0 по условию.
3.23.	Из указания имеем А = X Хт. Отсюда находим, что
А2 = Х(ХТ X) X1 = х || х ||2 Хг = =|| X ||2 А,
_> я
где || х ||2= £х2. Докажем, что Е + А обратима. Предположим противное, что равно-
к=\
сильно существованию вектора у*0 такого, что А.у = -у (т.е. X = -1 собственное
значение матрицы А, а у — собственный вектор, ему соответствующий). Тогда А2 у =-Ау =
= у, но А2 у = || x||2Aj> => (1 +|| х||2)^ = 0 => у — 0, что невозможно, и обратимость Е +
+А доказана. Обратную матрицу (Е + Л)”1 будем искать в виде Е + кА.
Имеем (Е + А)(Е + кА) = Е + А + кА + кА2 = Е + А (\ + к+ к\\х\\2). Взяв к = 41 +||*|Г)Л
получим требуемое.
3.24.	X- - 2Е, где Е — единичная матрица.
3.25.	2) Согласно указанию имеем X2 + 4Х + В = X2 + 4ЕХ +Е2-Ё2 + В-(Х+ 2Е)2 + В- Е-
= 0 => (Х+ 2Е)2 = Е- В. Переходя к определителям, имеем \Х + 2Е|2 = IЕ- Z?l. Но левая
часть этого числового равенства неотрицательна, а правая — |Е - В| = -30 < 0, что
невозможно;
3)	в соответствии с указанием и того, что ВС = 1, получаем АХ = Е.
Так как Л размера 3 х 1, а Е — единичная размера 3 х 3, то искомая матрица X имеет
размеры 1 х 3, т.е. X = (xi х2 Хз). Перемножая Л и Хь получаем, что равенство АХ = £
невозможно ни при каких х^, к = 1, 2, 3.
3.26.	1)Х=(-3- 1)г;
-70-
1 / 2 1А
2)	а) X = А~1 (В + £)"’ = -|	; б) матрицы X не существует, т.к. (В + Е) — вырожден-
о I —2 3 J
ная матрица;
( 1 ОА
зи= -11;
(а b
4)	при X * 3 нет решений; при X = 3 Xs	, где a,b g R, т.е. множество матриц;
{а-1 Ь-2)
( а b А
5)	а) X =	, a, b е R; б) нет решений;
^а+3 Ь-2)
6)Х=А;
7) из 3.20 при к = 2 получаем, что Е-А обратима и (Е- А)~1 = Е + А, поэтому X- (Е + А)В =
= В + АВ;
8) согласно указанию имеем: S(X+ SX + XS)(E -S) - SA(E - 5) => S(SX + X(S + £))(£ - £)=
-SA- SAS => SX(E2 -S2) = SA- SAS =>SX = SA- SAS (здесь использовано равенство б2 = 0).
Исключим теперь из исходного уравнения SX: Х + XS = А - SA + SAS. Умножая обе части
полученного равенства справа на (£ - S), находим, что Х = A-SA-AS + 2SAS. Проверкой
убеждаемся, что найденная матрица X удовлетворяет исходному уравнению;
1	1 fl
9)Х=Л*1(Л + Е)'| = 0,11	! I;
( а 20-1^
10)%= 1 т э •а€Я;
^1-дг 3-2а)
11)Х = £.
3.27.	0 или	-2Л’1 = 2А.
}(2 + а	0
3.28.	Решение существует: при а * -2 — единственное X - {а + 2) I |+« Й
( а Ь\
множество решений при а = -1: X-	, где a, b е R.
3.29.	При и = 2к, к 6 /V уравнение не имеет решений; при п = 2к - 1, к е N матрица Д' имеет
if 1 л/Г|
или л = — I _
1Z if 1
видл = —I
। о
330. Х =
1-26
b A ( a b \	22
или X = I	, где a + b - 1.
2a J \2b -2a J
331. Среди действительных матриц Vie/? уравнение не имеет решений.
332. 1) Обозначим 8 = ар-ахр\ а) 8* 0, тогда X = (Р}А-рВ)18\ Y = (аВ-а}А)/8,
б) 8- 0 => а / «1 = pi Р\ = к, тогда решение существует только в случае В = кА, причем
Y = (А - аХ)1 р, где X — произвольная матрица размера п х и;
2)	а) согласно указанию, найдем X из 2-го уравнения системы и подставим в 1-е:
A(C-AY) + Y = В => У = В-ЛС, т.к. Аг = 0; иХ= С-А(В-АС) = С-АВ;
б) умножим первое уравнение системы на А и сравним полученное равенство со 2-м
уравнением системы: X + AY - АВ, X + AY = С, т.е. для разрешимости системы необ-
ходимо, чтобы С = АВ (аналогично получаем АС = В). Покажем, что приведенные
-71 -
условия являются и достаточными. Пусть С = АВ, тогда, подставляя X = С ~ AY в 1-е
уравнение системы, А(С -AY)+ Y= В V Y.
Итак, если С = АВ и В = АС система имеет множество решений: X = С - A Y, где Y —
произвольная матрица размера п х п\
3)	Х= | (АВ + СЛ), У = ± (ВА - АС).
3.35.	А =	, где 2, b, d, g R.
k° d)
3.36.	(11..1)’.
3.37.	В соответствии с указанием получаем -Я£,| = (л7-Л)(-1)"чЛ''~|, т.е. у матрицы /„
только 2 различных собственных значений 21 = п и Л2 = 0 — (п - 1)-й кратности. Л\ = п
соответствует собственный вектор (11...1)7; для координат собственного вектора (а\а2 ...an)1,
соответствующего собственному значению Л2 = 0, получаем уравнение а\ + а2 +...+ ап = О,
т.е. таких линейно независимых собственных векторов будет и - 1.
3.39.	Пусть х — собственный вектор матрицы А, т.е. Ах = Лх, х * 0. Тогда, применяя
указание, получаем А2 х ~2Ах => А(А х) = ЛАх = Л2 х =2Лх => 2 (2 - 2) х = 0 =>2 = 0
или 2 = 2.
3.40.	Гипербола а1 - (Ь- 0,5)2 = 0,25.
3.41.	При т = -1 у = (0 1)г.
3.42.	1) пусть А~1 существует, т.е. |л| Ф 0 и 2 = 0 не является собственным значением (см.
3.34)	. Поэтому имеем А х = Лх, Л*0, х *О=> А~1АХ = ЛА~1 X => A~l X = (1/2)2", т.е.
X собственный вектор и А~\ с собственным значением // = 1/2; 2) ц = 2 - т; 3) ц = Лк.
3.44.	Пусть х -	(*к Xк, Лк и соответственно собственные значения матриц А и В,
соответствующие собственному вектору хк, к-\,п. Тогда АВ х =	х ~ ВА х, V х.
Поэтому А В = ВА.
3.45.	Многочлен степени и |Л-2Е| не может иметь /т+-1 различных корней: 0, 1,2, ....и.
3.47.	1) V а, с, b (b *-2; b 1,5) — единственное решение;
2)	b = -2, а = 0, с = -1 — множество решений; при а > -1/16 (а *0),Ь = -2 существуют два
значения с, определяемых уравнением 4ас2 - с - 1 = 0, для которых — множество реше-
ний; при а < 1/12 {а Ф 0) существуют два значения с, определяемых уравнением Зас2 + с +
+ 1=0, при которых — множество решений.
3.48.	1) Парабола {а-1/2)2 = 6+ 1/4; х = -ка(а-1)2, у = к(а-1), z = к(а3-2а2+ 2а+\),
keR-
2)	Парабола (я-1/2)2 = 6-3/4; х = ак, у = -к, z = (\-a)k, к eR;
3)	Рассмотрим сначала систему из первых 2-х уравнений; ее определитель А = 4(а + 6-4).
а) Пусть А Ф 0, тогда х = (12 - Ь)/ А, у = {а + 8)/ А и из 3-го уравнения системы находим
(при А Ф 0) (а + 13)2 + 62 = 169 (1); б) Пусть А = 0=>а+6-4 = 0 — прямая пересекает
окружность (1) в 2-х точках, т.к. расстояние от центра окружности до прямой
£ = |-13-4|/V2 = 17/^2 < 13 — радиуса. При А = 0 решение исходной системы сущест-
вует (единственное) лишь при а = -8, 6 = 12, ибо при а = -1, 6 = 5 система несовместна,
-72-
т.к. равенства -х + у = 2 и -х + у = 3/5 — противоречивы. Поэтому искомое множество
точек заполняет окружность (I) без точки Л/о(-1; 5).
3.49.	1)х=у = г = 0 — единственное решение, т.к. определитель системы при
О < а < 2л / 3, Д(а) = (1 - cos а)2(1 + 2 cos а) > 0;
2)	а) При Д(а) Ф 0, т.е. cosa Ф 1, cosa Ф -1/2, х =у = г = 0 — единственное решение; б) если
cosa = 1, то множество решений г = -х - у, х, у g R;
в) при cosa = -1/2 также множество решений: x=y = : = keR.
3.50.	При а = 0,5 и -5 <у < 1/3, х - ±у)\-3у, z - ±0,5^/у + 5, т.е. множество решений.
3.51.	Определитель системы Д(а, b) - (а - b)\a + 2Ь). Случай а = b ~ 0 возможен лишь при
т = п =р = 0, он не интересен.
1)	При аФ 0, т - п-р множество решенийх = т/а-у-z,y, z g R\
2)	При а = -2b *0nm+n+p=0x=z+ 2(п - p)/(3b), y = z + (n- p)/(3Z>), z g R.
3.52.	При a = 1/2 множество решений: у = 4z - 5, x = 4 - 3z, zeR. Заданное решение одно
из этого множества при z = 1.
3.53.	1) Система совместна, если b = (а + с)/2, и является неопределенной: х = t - 5а + 4Ь,
у = 4a-3b-2t,z = t(t g. R)\
2)	система совместна при а - Ь, причем х2 = г, у = а - 3z, z g R, z > 0, т.е. x = ±Vs, у = a - 3r,
z > 0 — любые;
3)	xi = xy = 6, yi = yz = 15, zj = xz = 10 => {(2; 3; 5); (-2; -3; -5)} — решение исходной
системы;
4)	если Л(а) = (а - 1 )(а + 2) * 0: х = -{а +1 )/(а + 2), у = 1/(а + 2), z = (а +1 )2 / (а + 2); если а = 1,
система имеет множество решений, зависящих от двух параметров: z = 1 -х -у, х, у g R\
при а = -2 система несовместна;
5)	Д(а) = -{а - 1)2(а + 2); при at 1, а Ф -2: х = у = 1/(1 - а) = -z/2; при а = 1 нет решений;
при а — -2: x=y-\+z,zeR.
6)	сложим все уравнения системы с нечетными номерами и отдельно все уравнения с
четными номерами. При п = 2к, к g N получим
{Xj + х2 + х3 + х4 + ---- + х2А._1 + х2А. = 1 + 3 + ... + 2£-1 = £2,
х2 + х3 +х4 +х5 + .... + х2к +Х| = 2 + 4 + ... + 2Л = к(к + 1).
Левые части обоих равенств совпадают, а правых — различны. Следовательно, исходная
система несовместна при четном и = 2к, k^N.
При п = 2к +1 приходим к системе:
[xj + х2 + х3 + х4 + ....+ х2£+| +Х| = 1 + 3 +... + 2к +1 = (Л +1)2,
|х2 +х3 +х4 +х5 +.... + х2А. +х2*+1 = 2 + 4 + ... + 2Л = (£ + !)£.
Вычитая из 1-го уравнения системы 2-е, получим 2xi = (к +1) xi = (к +1 )/2 = (п + 1)/4.
По найденному xj их уравнений исходной системы последовательно находим хг, хз, ...х„:
Х2р=/?-(и+1)/4,
x2p+i =р + (и+1)/4, гдер = 0, 1, ..., (/?- 1)/2;
7)	Xk = 0,5(и + 1 )и /(и - 1) - к, к = 1, и;
8)Хк = 2/п, к = 1,и-1,хл = (2-п)1п.
3.54.	Обозначим у2 =у\ч z2 = z\. Применяя метод исключения Гаусса к линейной системе
относительно неизвестных x,yi, z\, получаем, что эта система является неопределенной:
Л = ? = (12 - 5х) / 7 > 0,у| =у2 = 4(2х + 5) / 7 > 0 => -2,5 <х < 12/5.
Единственное целое х= 1 g [ -2,5; 12/5] дает целые у их: у - ±2, z - ±1. Итак, получаем
все целые решения: {(1;2;1);(1;-2;1);(1;2;-1);(1;-2;-1)}.
-73-
3.55.	Найдем сначала определитель Д системы. Имеем:
Д = sin2g- sin2/?- sin2y+ 2sin/? x siny x cosg= sin2g- 8т2Д- sin2(g + p) + 2sin/?x
x sin(g + p) CQsa- (cos 2Д- cos2a) /2 + sin(a+ /?) (2cosasinp-sin(g+ Д)) =
= sin(g + /?) sin(a- /?) + sin(a + p) sin(/?- a ) s 0 Vo, Д
Замечание. Д s 0 можно доказать иначе, используя теоремы синусов и косинусов:
sing: 5шД: sin/= а: b : с; cosg = ( b2 + с2 - а1) / (2Ьс).
Действительно, Д = (g2/Z>2)sin2^- зш2Д- (c2/b2)sin2p+ 2sin2P(db)- (b2 + с2 - я2)/ (2cb) =
= (sin2£ I b2)( a2-c2-b2 + b2 + c2-a2)s0.
При Д = 0 система может быть неопределенной или несовместной. Применим метод
исключения (Гаусса):
sin р sin у
1 cosg
cosa 1
sin р
cos2 Д
cosa-sin Psiny
sin у
cos a-sin/?sin р
2
cos у
1
О
О
а
b
a
b-asinP ,
c-asiny
sin Д
,siny
где 0 < Д, у< л. Преобразуем разность cosg- sin/3siny= cosg- 5шД sin(g + /3) =
= cosp cos(a + p)u рассмотрим различные случаи: а) Д - тг/2 => у = тс/2 - а расширенная
с
1 1 cosа
матрица примет вид 0 0	0
ч0 0 sin2 а
невозможно, т.к. Ь — гипотенуза;
а
Ь-а
c-acosa
=> система разрешима, если а - Ь, что
б) a + p = я72, т.е. y = —=> 0
0
sin Д
cos2 р
О
a
b-asinP .
c-a
п
2
1
О
О
л
’	2
sin у
а
b-as\nP c-asiny
cosp	cos(a + P)
Снова с = а невозможно, т.к. с — гипотенуза;
\ /> ТС п ТС	7С
в) а + р	тогда:
1 sin Д
О cosp cos(a + p)	(b - asinp) I cos Р
0 cos/? cos(a + ^)\<(c-asiny)/cos(a + ^)
22?sin p(\ - sin a) 27?sin y(l - sin a)
cos P	cos(a + p)
(Здесь использована теорема синусов, R — радиус описанного около Д АВС круга.)
(1 - sing) sina/(cosg cos(g + Р)) = 0 => sing = 1 => а - л!2, т.е. а — гипотенуза. Исходная
{x + Xsin/? + zsiny = а,
_ Л Л Л =>
у cos Р + z cos(a + Д) = (b-a sm Д)/cos Д
(с учетом asin/?=/>, cos(a+/?) = -sin/?);y = r tg/?= bzlc\x-a-ys\np-zs\ny-
= a-zsxxfpi cosy?-zcosp- a( 1 -z/c). Итак,у = bzlc,x = (c-z)a/c, где z e R.
Проверка показывает, что это решение удовлетворяет исходной системе V z е R.
3.56.	Определитель системы Д совпадает со значением характеристического
многочлена \А - ЛЕ I матрицы А с элементами aik , i, к = 1, л при Я = 1 / р:Д = |Я-1/ рЕ\.
Покажем, что Д * 0.
Обозначим \А - ЛЕ1 = q(A), но коэффициенты q(A)—целые q(A) = (-1)ЛЯИ + ^Я"”1 +... + Ь„.
-74-
Если бы q(l/p) = 0, то (-!)”(!/р)п +^(1/р)и-1 + ... + £„ = 0, и, умножая нар\ получили бы
(-1)" + pb\ + р^Ь2 + ... + рпЬп = (~1)л + pN = 0, что невозможно, ибо N — целое и р > 1.
Поэтому Д * 0 и система имеет единственное решениеjq -Xi - ...-хп- 0.
3.57.	х=у = -з = /,м = 2/-Г2^ 1-(/-1)2=>(Утах=Ц1)= 1.
*1	*1	С1	А	R	Г	п
3.58.1) а2 Ь2 с2 = 0;2) ^2	2	2	2 =0.
2	?	2	А	В3	С3	D,
\а3	°3	Сз)	A	R	г	П
к А	С4	иА)
3.59. Определитель системы Д = -Дг, где Дг взят из 3.10 п. 3, т.е. Д = -(а2 + Ь1 + с2 + J2)2 < 0.
V а, Ь, с, d 6 R. Д = 0 только при a- b-c-d-G.
-75-
4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
И ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
4.1.	ЗАДАЧИ
4.1.	Пусть zi и ^2 — два комплексных числа. Какой геометрический смысл имеет
4.2.	Центр квадрата находится в точке zo = 1 - а одна из вершин в точке zi = 1 - /.
Найти координаты остальных вершин квадрата и его площадь.
4.3.	Пусть точки zi, z2, гз лежат на окружности с центром в точке z = 0. Доказать, что тре-
угольник с вершинами в точках zi, z2, Z3 является правильным в том и только в том слу-
чае, когда z\+z2 + z3 = 0.
4.4.	Студент неправильно записал формулу Муавра:
(sin а + / cos а)п = sin па + / cos па, neN. Когда справедлива это формула?
4.5.	Вычислить z = ((1 + cos а + i sin а) /(! - cos а - / sin а))", 0 < а < л, п е N.
При каком минимальном п Imz = 0?
4.6.	Какие значения может принимать: 1) |z|, arg z, если: a) |z - 2/ - 2>/з| = 1;
б)	|z - /| = 05 ? В случае б) найти также возможные значения |z -1|, arg(z - 1);
2)	| - — 1 — /| и arg(z - 1 - /), если |z - 2zj = 1 ?
4.7.	На окружности |z - 2/j = 1 найти точки z, для которых модуль |z -л/з - /|:
1)	минимален; 2) максимален.
4.8.	Точки A(z), B(z2), C(z3), (z-x + iy), — вершины Д ABC. Найти все числаz, такие, что
МВС—равнобедренный и изобразить их на комплексной плоскости.
4.9.	Пусть A(z), B(2z - 1), C(z2) — вершины Д АВС. При каком z, |z -1| = 2, площадь &АВС
будет наибольшей?
4.10.	Построить линии, заданные уравнениями:
1)	|z -/| = |z + 3/|; 2) \z -1| = |Rez|; 3) lm(z - l)/(z +1) = 0; 4) Re(l/z) = Ma (a>0);
1.	।
F2~z,l;
7)	||z-z1|-|z-z2|| = 2a; 8)|z-/| = k\z- /I, k> 0; при к* 1 тлк- 1.
4.11.	Изобразить множества точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравен-
ствам :
1)	|z-/| + |z + /1 <4; 2) Re{l/z} < 1/2; 3) |1 +z| < \i-z\-
4) 1/4 < Re (1/r) + /т(1/7) < ^; 5) - 2| - |з + 2| < 2; 6) Н > 1 - Re:;
5) Re
Ю)
7) |z| < 1 - Imz; 8)	.	; 9) | z2 +11< 21 z |;
[|argz-д-/4| < я74
Re(exp(z(l + /)) • Re(exp|z| 1 + /)) > 0,
|Rez| +|lm z|<3fl72.
4.12.	Доказать неравенства: |s/zy| < |cos z| < chy\ |j/zy| < |sin z| < chy.
4.13.	Доказать, что W= exp (sinz) * 0 V z e C.
4.14.	Доказать, что если |z| = 1, то | ez + e~}lz | = | ez | +1 ez |.
-76-
4.15.	Доказать, что уравнение exp(-/z2) = т не имеет корней при т = 0, а при т = (1 - i) 1^2 —
их бесконечно много. Найти эти корни.
4.16.	Найти наибольшее и наименьшее расстояния от начала координат до точек кривой
| z + z~' |= a, a gR. При каких z эти значения расстояний достигаются?
4.17.	Точкаz движется по линии (I). По какой линии (L) движется точка fF=/(z):
1)(€): |z-||+|z+|| = 4, W= 0,5fc;2)(€): |z| = 2, W= 1 -2i-3z;
3)(^):x+^=l,»K=?;4)(f): |z-i| = l, »T = z2-2b;
|z-r| = l, l/z;6)(O: |z| =Я, (r=z + z’*;
7)(€): |z| = 2, W,= z + z'l-2/; 8)(£): |z|=l, IK=(z2-iz-l)/(2fc).
4.18.	Решить уравнения и системы уравнений:
1)	z = zn~\n>2,neN) и найти сумму всех его корней,
2)(:+/)л + (:-0й = 0ле^
3)(1-/:)” = /(1 + /:)” = 0,леМ
4)	найти a g Я, если (1 - / ctga)" = /(1 + / ctga)”;
5)	z3 ± 21-|2 = ±1; (два случая: верхние и нижние знаки);
6)?-2z-k-l| = 1;
7)z3 + 3z2 + 3z + |z+ 11=1;
8)	найти общие корни уравнений z1999 + z1()1 + 1 = 0 и z3 + 2z2 + 2z + 1 = 0;
9)	3z3-2|z| = 1;
10)	z"-‘+z"'2 + ... + z + l = 0, ме^л>1);
11)	cos z = chz\ 12) sinz = ishz\ 13) cost = /s/*2z;
[3|z-12| = 5|z—8»j,
Ч l-’-4| = |--8|;
I |z-2,z-'|=2^
I5)t|z+4=l-->4
««I i?72:1=4> ,
||z + l +/| = |z-/-l|;
,,J k-i|=2.
19)z|z|-az + i- 0, a e R,
20) exp(c) + zexp(-c) = 0.
[k + 2/-l| = 3,
4.19.	Найти число решений системы Г .	. в зависимости от значений параметра
a g R. При каком значении а система имеет единственное решение? Найти его.
4.20.	При каких a g R существует только одно z, удовлетворяющее системе неравенств
|z-3a|<2a
-77-
4.21.	Найти все значения а е R, при которых существует хотя бы одно г, удовлетворяю-
щее условиям: I - — «/I = с7 + 4и|г-2|<1.
4.22.	Доказать, что если г + У1 = 2cos^>, <р е /?, то zn + z~" - loosntp.
4.23.	Найти все значенияneN, для которых z2n + г“2я =!, если z2 + z~2 = 1.
4.24.	Доказать, что: 1) I sinr 12 + I cost 12 ® ch2y\
2)	I cost |2 - I sinz |2 - cos2y, (z - x + iy).
4.25.	При каких а е R система неравенств
r9
не имеет решений?
4.26.	Доказать, что из равенства z2 + z + 1 = 0 вытекает такое равенство z3n + z3w+l + z3p+2 =
= О V л, т,р g Z.
4.27.	Пользуясь решением уравнения 4.18 п. 10 доказать, что
. л . 1л . (п-\)л п .
sm—sm------.... sin-----= —т (п > 1, п е N).
п п	п 2я"1
4.28.	Уравнение z3 - 4з2 + 8г - а - 0, а е Я, имеет корень, модуль которого равен 2. Найти
значение а и все корни уравнения.
4.29.	Доказать, что ряд	s*n сходится для х > 0 и найти его сумму.
4.30.	Найти z из уравнения ()(г/2)я(-1)я(я+1)/2 = 2-z.
.	.. „	_	v''°° sinnx
4.31.	Наити область сходимости и суму ряда У -------, хек.
^л-1
4.32.	Доказать, что	= J(r"xnsinw^)/(w!), где (г; ф) — полярные координаты
точки (а; Ь).
4.33.	Найти х из уравнения lim (1 + 2"1 -со8х + ... + 2“я cosnx) = 2/3, хеЛ.
п—
4.34.	Коэффициенты степенного ряда	заданы рекуррентным соотношением:
ап = аап_} + Рап_2(п>1), причем а0 = 0, сц = 1, а и Р— действительные числа Доказать,
что: 1) радиус R круга сходимости ряда отличен от нуля; 2) в круге сходимости сумма ря-
да равна г/( 1 - a z - Р z2\
4.35.	Найти суму ряда (|г| ф 1):
) Sn=i(1 + -"Xi+c'-1)’ 2) ^'(1-:"Х1-=и+1)’
_4я
4.36.	Доказать, что: 1) (ег + e~z + 2 cos z) 14 = V	•
<»	4л—3
2) (e---e--+2sin.-)/4 = 2-^—.
4.37. Найти все значения a e R, при которых сходится ряд с общим членом
с„ = п~а ехр(я7 / л), пе N.
4.38. Найти разложение в ряд Тейлора функций Дг) в окрестности точки zq.
1)	sin((2z-z>/2),ro=l;
2)	cos((3 - z2 + 2з)л/4), го = 1;
3)	ln( 1 + z + г2) в случаях: а) г0 = 0, б) zo - -1;
4)(?-5)/(?-4г + 3),с0 = 2;
5) ch2z + cos2z, zo = 0; 6) cos zch z, z0 = 0.
-78-
439. Числа а„, п = О, 1, 2,определяемые рекуррентным соотношением ао = Д| = 1, а„+2 =
=	+а„, образуют так называемый ряд Фибоначчи. Доказать, что:
1)	=
И=О
2) а, = (((75 +1) / 2)"' - ((1 - л/5) / 2)"*') /75, п = 0, 1,2.......
. ал х/г-	л.	у/ ч arcsiriz	, ,
4.40.	Убедиться, что функция Д ~) -	1удовлетворяет дифференциальному уравне-
нию: (1 -z2)/7 (z) -z/(z) = 1, ДО) - 0. Пользуясь этим, доказать, что
/(=) = : + У _2±zz±L_ ->♦«.
~1-3-5-....(2п + 1)
4.41.	Пусть fiz) удовлетворяет уравнению /’(z) = f(qz\ ДО) = 1, где q — некоторое число,
Ы < 1. Доказать, что f(z) = 1 + У -— qn{n 0/2
±1 п\
4.42.	Коэффициенты маклореновских разложений функций /(z) = q(z) = ^bnzn,
л=0	л=0
аналитических в некоторой окрестности точки zq = 0, связаны соотношением Ьо = я0,
bn^ - abn = я„+1(и - 0, 1, ...). Как связаны/(z) и ^(z)?
4.43.	Разложить в ряд Лорана функцииy(z):
1)	z2sin(l/(z - 1)) в окрестности точки z0 = 1;
2)	exp(z + z'1) в области 0 <( z |< со.
4.44.	Вычислить интегралы по границе dD области D. Граница обходится в положитель-
ном направлении:
1)	f-^-(D:|--|>4);
dD* -1
2)	JrSinf^^V(D:|=|<24);
V А- О )
3)	J sinz-sin(l/z)at (О:|г|<Я, Я>0);
aD
5)	J exp(-l/z)-(z-l/(2z))cfc(D:|z|<l);
6)	J exp(l/z)-(l+=r,ab(D:|z|<0,5);
3D
7)	J cosz-sin(l/z)<t)(D:|z|< 1);
dD
8)	TT f (s-l)exp((z + l)/(z-l))6fc(Z>:|z|<2).
dD
4.45.	Пусть R(U, V) — рациональная функция и пусть 7?(cos^, sin^>) не имеет полюсов на
действительной оси.
-79-
гл	г I - + -	- — Z
Доказать, что J * 7?(cos 07, sin cp)d(p = J RI —-—, ——
и вычислить интегралы:
I3 + I2cosp
2)	fn-; (a > b > 0);
•’° a + bcos<p
en COS0?
3)	---------~----d(p\ -lead
l-2flcos^ + a
г2ж d<p
4)	; a> 1.
Л +sin 0?
4.46.	Если функция J{z) — аналитическая в полуплоскости Ims > 0, за исключением полю-
сов а\, а2,..., ап, непрерывна вплоть до границы Ims = 0 ( за исключением тех же полюсов) и
при z -> оо (Jmz > 0)/z) = 0 (1/з), то справедлива формула: \_~f(x)dx = 2я7’2} Выч {f (J)’ ак }•
к=\
Пользуясь ею, вычислить интегралы:
dx
'	(x2+a2)(x2+b2)2
f00^2
2)	—:—dx.
’ Jo 4 . ]
4А7. Найти изображения Лапласа Ф(р) заданных оригиналов
1)е“' cos2/;
2)	sin/ cht\
3)	/e~2/sin2/;
4)	e-'sin 2/cos/;
5)	e at sin(a>/ + (p\ (a>,07>O);
6)	cos 2/ f sin 2re~2tdT - sin 2/ Г cos 2re~2tdr\
Jo	Jo
7)	e~‘ sin(^r / 4 - /)/;(/ - n 14);
8)	sin/ при 0 < / < тги e~' при / > тг,
9)	cos/ при 0 < / < л/2 и 0 при / > л/2;
10)	/ при 0 < / < 1 и sin(fl//2) при / > 1;
11)	/"*/'”, л, meN.
Пользуясь результатом, доказать, что <р(/) = ————/w+w+1.
(т + п +1)!
4.48.	Оригинал <p(t) удовлетворяет уравнению t<p(2t)e~2‘ + <p(t - V) = t. Какому уравнению
удовлетворяет его изображение Лапласа Ф(р)?
4.49.	//) — известный оригинал. Найти оригинал 0</), если изображения Лапласа этих
оригиналов связаны соотношением:
1)Ф(р)р(р2-1) = (/>2+ 1W);
2)Ф(р)(1 +р2) = Г(р)р2;
3)(р-2)2Ф(р) = (р2 + 4И(р).
4.50.	Найти оригиналы <р(/) по заданным изображениям Лапласа F(p):
1)	е'" (р + 4) / (р(р2 + 4));	2) (р + е'” f/(p(p - 1 )2);
-80-
З)р31 «рl 2 + 4)(р2 + 2р + 2));	4)р3(р2 + и2)“2;
5) (р- 1) е-Ч(2р2 + 4р + 1);	6) (р + е-1р )Цр2 + 2р + 5);
7)------------, л еМ
/Хр+*Хр+2)...(р+л)
4.51.	Пусть ф(/) — периодический оригинал периода 2<у, т.е. <р = (/ + 2аи) = (fa) V neN V/ > О
(кроме точек разрыва 1-го рода); 0?о(/) = <p{t) при 0 < t < 2а) и <pfa) = 0 при t > 2а). Дока-
зать, что Ф(р) = Фо(р)/( 1 - ехр(-2р<у)). Найти изображения Лапласа периодических ориги-
налов:
1)	£</)= I sind;
2)	(fa) = sign(cos2t), где sign а = 1, если а > 0 и sign а = -1, если а < 0;
3)	(fa) = sign (sin 0; 4) (fa) = arccos (cos t).
4.52.	Найти ^(/) из уравнений:
1)	^”(/) + ^V(0 = /(0* ^(0) = <p'(0) = 0; У(/) =-1 при 0< /< 1; 1 при 1</<2; 0 при/>2;
2)	^(0 - 4J (р{т) cos 2(/ - т)с1т - sin 2t;
3)	<p'(t)e2' +J'«>(r)e2rrfr = /, <Z>(O) = 1;
4)	<p'(t) + cos2/£^(r)cos2r<7r + sm2t^<p(T)sm2Tdr = t, #>(0) = 0,2;
5)	<p(t) = t + 2-2cost- ja<p(t-r)f (r)dT;
6)	^Xt)-<p(t)+f'a>(t-T)«>'TdT-('a>(T)dT = i, <p(0) = -l;
7)	^'(O = cos/-1 + £^(r)sin(/-T)dr, 0?(O) = 1.
4.53.	Какому условию должен удовлетворять непрерывный при t > 0 оригинал Д/), чтобы
имело решение уравнение: x"(t) + x(t) = х(л/2) +У(/), х(0) = х’ (0) = 0? Найти это решение.
4.54.	Найти x(t) из системы уравнений х* (/) = y(t) + <р(/); у' (/) = -x{t) + у</), х(0) = j(0)= 0, где
0</)> У'О) — заданные оригиналы.
4.55.	Найти решение системы уравнений х’0(/) = -ахfa), хк (t) + axfa)-axk_fa)t к = 1,и,
при начальных условиях х0 (0) = 1, Хк (0)= 0, к = 1, п, а > 0.
4.2.	УКАЗАНИЯ
4.3.	Использовать, что, например,
|z31=|-j +-2 |= R\ei9>l +е^ |= /?|е/(^+^)/2 |.|е'(^’^)/2+е-^-^)/2 |=
= 2Я| cos((0?!-0?2)/2)|= Я, т.е. cos(0?j -(р2)/2- 0,5.
4.4.	Записать левую и правую части в тригонометрической или показательной форме.
4.5.	Использовать формулы:
l + cosa = 2cos —; l-cosa = 2sin —; sina = 2sin—= cos—.
2	2	2	2
4.6. Для нахождения возможных значений модулей |r|, |- - 1|, |z - 1 - i\ сначала найти рас-
стояния от точек ri = 0, Г2 = 1, = 1 + / до центра соответствующей окружности. Возмож-
ные значения аргументов arg(r - ?к), к - 1, 2, 3, можно определить, если провести по две
касательных из точек Zk к соответствующим окружностям.
-81 -
4.7. Записать искомые точки в виде z « 2/ + е'* и найти значения де, при которых
\2i+el<p-у/з-Ц принимает экстремальные значения. Можно также найти точки пересе-
чения окружности |z - 2/| = I с прямой, соединяющей точки 2/ и >/з + /.
4.8. Рассмотреть различные пары равных сторон. При отборе значений z каждый раз сле-
дует проверять, образуют ли точки Л, В и С треугольник.
4.9. Для вычисления площади треугольника использовать формулу из 4.1. Можно также
использовать формулу S = ~| ах b | из векторной алгебры, выразив векторы а и b через
координаты вершин А АВС.
4.10.1) Точки z равноудалены от точек zi = i и zi = - 3 г;
2) - 5), 8) перейти к действительным переменным х,у\
6), 7) использовать определение эллипса и гиперболы.
4.11.	1), 5) См. указание к 4.10 п. 6; 2) - 4), 6), 7) см. указание к 4.10 п. 2; в 7) учесть, что
правая часть должна быть > 0;
8)	|z - z0| > R — внешность круга, arg(z - z0) — луч, идущий из точки zq в точку z;
9)	разложить 1 + z2 на множители (z + z)(z - i) и построить векторы z, z - i, z + i.
Использовать свойства диагоналей параллелограмма: сумма квадратов длин диагоналей
равна сумме квадратов длин его сторон, учитывая, что одна из диагоналей — это вектор,
соединяющий точки -Z и i, а половина другой — вектор z;
10)	убедиться, что 1-е неравенство системы равносильно такому: cos(x + y)cos(y - х) > 0, а
2-е задает внутренность квадрата со стороной Зя7 2.
4.12.	При нахождении модулей синуса и косинуса использовать формулы: cos iz = chz,
sin iz = ishz.
4.13.	Отделить у exp(sin z) действительную и мнимую часть, используя указание к 4.12.
4.14.	Записать z в виде z = е,<р и сравнить левую и правую части.
4.15.	По поводу случая т = 0 см. указания к 4.13; в случае m = (l-/)/V2 использовать,
что |ш| = 1 и, следовательно, | exp(-/z2) |= 1.
4.16.	Задачу можно решить несколькими способами: 1) полагая z = re,v, записать условие
в виде а2 =| z + z"1|2= (z + z~’ )(z + z"‘) = r2 + r~2 + 2 cos 2де и отсюда получить неравенство
я2-2<г2+г-2 <а2+2;
2)	можно использовать неравенство || Zj | -1 z21| <| Zj + z2 й Zj | +1 z21, взяв за z\ -z,Z2- z”1;
3)	рассмотреть задачу на условный экстремум: найти экстремум r = |z| при условии
г2 +г~2 +2со82де = а2.
4.17.	1) Подставить z = -2/JF в уравнение линии (I);
2)	рассмотреть |ГК -1 + 2/|;
3)	выразить U~ Re ГК, V- JmW через х и, исключив х, получить зависимость между U и И,
т.е. уравнение образа (€);
4)	прибавить к обеим частям W=z2 - 2iz по Z2;
5)	выразить z - 1 через IF;
6)-8) использовать, что |z| = R равносильно z = Re'^, де е [0,2тг]; выразить действительную
и мнимую часть 1F через де, исключив де, найти зависимость между U и И; в задаче (6) от-
дельно рассмотреть случаи R = 1 и R * 1.
4.18.	1) Записать z в показательной форме z = re'* и убедиться, что уравнение равносиль-
но такому: е1П* = 1;
-82-
2) свести уравнение к виду W” = -1, W= (z + /)/(- - /) и найти сначала И", а затем и г;
3), 4) использовать указание к 2); в 4) записать основание степени в показательной форме;
5)	записать z в показательной форме и отделить действительную и мнимую части; при
решении уравнений г3 +2г2 -1 = 0 и г3-2г2+1 = 0 (в 1-м случае) проверить, что одним
из целых корней уравнения является делитель свободного члена; аналогично рассматри-
вается и 2-й случай (нижние знаки);
6)	прибавить к обеим частям уравнения по 1 и положить z -1 = ге,<р. Можно также, пола-
гая z = х + iy и отделив действительную и мнимую части, получить систему уравнений от-
носительно х и у;
7)	прибавить к обеим частям уравнения по 1 и положить z +1 = rel<p, далее см. указание к (5);
8)	найти сначала корни второго уравнения:
9)	см. указание к (5);
10)	умножить обе части уравнения на (z - 1);
11)-13) использовать формулы, приведенные в указании к 4.12 и применить теоремы
сложения и формулы приведения для синуса и косинуса комплексного аргумента;
14>—16) решить сначала 2-е уравнение системы, используя указание к 4.10 п. 1;
17)	записав 2-е уравнение системы в виде 1 = z\z - 1), найти сначала |г|;
18)	рассмотреть положение окружностей, задаваемых уравнениями системы, друг относи-
тельно друга;
19)	см. указание к п. 5; можно также положить z =х + iy.
20)	переписать уравнение в виде exp(/r) = exp^-y/ + /z^ и использовать периодичность
показательной функции комплексного аргумента.
4.19-	4.21. Рассмотреть взаимное расположение окружностей, определяемых системой,
имея ввиду, что если расстояние между их центрами |О|(?2| удовлетворяет неравенству
|Я, - R2\ <| OjO21<| Я, + R21, то окружности пересекается; если |(?|(?2| > Ri + R2 или | О}О21<
<| Я, - R21 — у них нет общих точек; в случаях |О|О2| = Rt + R2 и | Ор21<| Rl - R21 окружно-
сти касаются соответственно внешним и внутренним образом (здесь Rk, к = 1, 2 — радиу-
сы окружностей).
4.22.	Найти z из уравнения z + z~l = 2 cos (р.
4.23.	Найти z2 из уравнения z2 + z~2 = 1 и записать г2 в показательной форме.
4.24.	См. указание к 4.18 п. 11-12.
4.25.	См. указание к 4.19.
4.26.	Найти z из уравнения z2 + z + 1 = 0.
4.27.	Найдя корни уравнения 4.18 п. 10, разложить левую часть этого уравнения на мно-
жители zn~x + znl +... + z +1 = (z - r,)(2 - z2)...(z - zn_t) и положить в этом равенстве z = 1.
4.28.	Искать решение в виде г0 = 2е,<р. Отделив действительную и мнимую части у левой
части уравнения, получить тригонометрическое уравнение для нахождения (р и выраже-
ние для а. При решении тригонометрического уравнения использовать формулу:
sin Зу = 3 sin у - 4 sin3 у.
4.29.	Использовать, что Ime,x = sinx и потому сумма ряда 5(х) = 1т^^=ое“”х-е,пх.
4.30.	Рассмотреть случаи п = 2к и п = 2к + 1, к = 0, 1,..., и затем найти сумму ряда в левой
части уравнения.
4.31,432. См. указание к 4.29.
4.33.	Использовать, что Reenx = cos пх и найти сумму ряда в левой части уравнения.
-83-
4.34.	Умножить рекуррентное соотношение на zn и просуммировать по л, п - 2, 3,....
4.35.	1) Записать общий член ряда в виде разности 1/(1 + г”) - 1/(1 + г”’1) и найти частич-
ную сумму 5„(г);
2)	умножить и разделить общий член ряда на 1 -z и применить указание к п. 1.
4.36.	Использовать разложения в ряд тригонометрических и гиперболических синуса и
косинуса.
4.37.	Ряд с комплексными членами Сп - ап + ibn сходится, если сходятся оба ряда с общи-
ми членами ап и Ьп.
4.38.	1), 2) Заменой переменной z - 1 = / свести разложения функций в ряд Тейлора в ок-
рестности точки го = 1 к разложению в ряд Маклорсна (/» = 0) и использовать ряд Макло-
рена для cost;
3)	а) записать 1 + z + z2 в виде (1 — -3)/( 1 - г); б) положить z + 1 = t (см. указание к п. 1);
4)	положить z - 2 = /;
5)	понизить степень косинусов и использовать ряды Маклорена для cos 2z и ch2z;
6)	преобразовать произведение cos z chz = cos z cos (jz) в сумму.
4.39.1)	Умножить обе части рекуррентной формулы наг”+2 и просуммировать по и;
2) сумму ряда разложить в ряд Маклорена.
4.40. Искать решение дифференциального уравнения в виде ряда ^Cnzn, получить ре-
и=0
куррентную формулу для коэффициентов Сп и найти их.
4.41,4.42. См. указание к 4.39. п. 1.
4.44.	1) Так как область: |-| > 2, то изменить знак перед интегралом и вычислить интеграл
по границе области |-| < 2, найдя особые точки подынтегральной функции в этой области;
2) z = 1 — единственная (существенно особая) точка из области D. Использовать ряд Ло-
рана подынтегральной функции flz) для нахождения вычета, для чего записать ее в виде
/(г) = (z -1) cos(л l(z -1)) - cos(я /(г -1));
3)	учесть, чтоу(г) четная функция;
4)	см. указания к 1), 2); записать J{z) в виде J\z) = z sin((л / 2) /(г +1 / 2));
5)	использовать ряд Лорана функцииу(г);
6)	z = 0 единственная существенно особая точкау(г).
Разложить fiz) в кольце 0 < |г| < 0,5 в ряд Лорана и убедиться, что коэффициент при z~l в
этом ряде равен 1- — + ....+ (-1)л-1 • — + ... = 1-е-1;
2!	п\
7)	см. указание к п. 6;
8)	записать (г + 1)/(- — 1) в виде 1 + 2/(г - 1).
4.45.	Выразить coscp и sinep через el<p = z.
1)	Числитель подынтегральной функции записать в виде (sin^ + cos^)/V2 . Можно упро-
стить вычисление, если отдельно вычислить табличный интеграл от функции
sin^/(13 + 12cos^).
2)	Используя четность подынтегральной функции, записать интеграл в виде:
и-?-
J а + о cos ср
3)	Рассмотреть отдельно случаи а = 0 и а * 0.
4.46.	Использовать четность подынтегральных функций. Полуплоскости Imz > 0 принад-
лежит лишь два полюса подынтегральной функции: в (1) Г| = ai — простой, Z2 = bi — дву-
кратный; в (2) zi = ехрЦл/4), Z2 = ехр(3 л! /4) — простые.
-84-
4Al, 1) Понизить степень косинуса;
2)	cht выразить через е';
3)	сначала найти изображение Лапласа произведения двух множителей: /sin2/ или e-2/sin2/;
4)	преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму;
5)	синус представить в виде суммы двух слагаемых;
6)	внося под знак интегралов cos2/ и sin2/, записать исходное выражение в виде свертки
оригиналов;
7)	е1 записать в виде ехр(-я / 4) • ехр(-(/ - л / 4));
8)	записать sin/ в виде:
sin / = (?;(/) - ^(/ - л}) sin / = ?;(/) sin t + rj(t - л} sin(/ - я);
exp(-/) = ехр(-я) ехр(-(/ - я))//(/ - я);
9)	записать cos/ в виде: (?;(/)	л/ 2)) cos t-	cos t +	л 12) sin(/ - я / 2).
4.4	8. В 1-м слагаемом последовательно использовать свойства подобия для нахождения
изображения Лапласа ^(2/), затем свойства смещения и дифференцирования изображе-
ния; во 2-м — свойство запаздывания оригинала.
4.4	9. Найти Ф(р), множитель перед F(p) разложить на сумму простейших правильных ра-
циональных дробей; в 2) и 3) предварительно выделив целую часть.
Например, в 2) р2/ (1 + р2) записать в виде: 1 - 1/(р2 + 1).
4.5	0. 1), 2), 5), 6) найти сначала оригиналы для изображений Лапласа, не содержащих по-
казательный множитель, а затем использовать свойства запаздывания оригинала; в 3), 4)
применить формулу Дюамеля: pFl(p)F2(p) /2<0)/i(/) + \	, предвари-
о
тельно выбрав Fj(p) и Fz(p)\ например, в 3) взяв за F2(p) = рЦр1 + 4), F\(p) = pl(p2 + 2р + 2);
7)	разложить рациональную функцию на сумму простейших правильных рациональных
дробей.
4.5	1. Записать <p(t) в виде: <p(t) = ^o(/) + ^(/-2/w), где cp(t - 2ty) — та же периодическая
функция, но с запаздыванием на один период, равная нулю при / < 2ty.
1)	|sin/| имеет период 2<w = я, для нахождения изображения Лапласа ^>(/), записать ^ь(/) в
виде, указанном в указании к 4.47 п. 8;
2)	у (f{t) период 2со = л,
3), 4) у <p(t) период 2ty= 2я, причем в 4) <^>(/) = / на [0, я] и <po(f) = 2л-1 на [я, 2л].
4.5	2. 1) Записать в виде 2т?(/ -1) - /;(/)	2); в 2)-7) использовать теорему умно-
жения (об изображении свертки оригиналов); в 3) сначала обе части уравнения разделить
на е2‘; в 4) использовать указание к 4.47 п. 6.
4.5	3. С помощью интеграла Дюамеля найти решение х(/), считая лг(тт/2) известной посто-
янной; затем, подставив в найденное решение / - (л/2), получить условие разрешимости
уравнения.
4.5	4. После нахождения изображений Лапласа искомых функций для нахождения ориги-
налов использовать теорему умножения.
4.5	5. Сначала найти изображение Лапласа функции х0(/). Затем из системы п дифференци-
альных уравнений получить рекуррентное соотношение между изображениями Лапласа
функций Xk-\(t), Xk(t), к= 1, п.
4.3.	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
4.1.	Площадь параллелограмма, построенного на векторах zi и г2, как сторонах.
4.2.	— 1 + 3/, — — 1 + /, = 3 + /, «S* = 8.
-85-
4.4.	п - 4к, к g N.
4.5.	z= i"ctgn(a/2); прим = 2.
4.6.	1) a) |s| — расстояние от начала координат до точек окружности |г-2/-2>/з| =
|-|min= ОМ] — кратчайшее расстояние (см. рис. 4.1), |z|max = ОМ2. |r|min ~ |ОО,| -|A/jC>| =
= 2
+12 -1 = 3; Hmax = 4 + 1 = 5; argr0 — центра 0\ ок-
ружности равен argz0 = arg(2>/3 + 2/) = л/6. Для нахождения
возможных значений argz, где z — точка окружности, прове-
дем касательные ОА и ОВ и радиусы О\А и О\В в точки ка-
сания. Найдем sina из прямоугольного треугольника ОАО\.
sina= О\А / ОО\ = 1/4. Следовательно, л/6-arcsin—< arg г <
4
< fl76 + arcsin(l/4); 1) б) 0,5 < Ы < 1,5; л/ 3 < argz < 2л/ 3;
а = arcsin(V2 -1); 2) V2 -1 <р-1 -/| < V2 +1; л/2 < arg(z- 1- /) < л.
4.7.	=2z + exp(-/W6) = (l + (>/3)7з/2; =г = 2z + ехр(5/л76) = (-л/з + 5/)/2.
В точке :, достигается минимум, а в --2 — максимум, причем | z - >/з - i 1^= 1,
Рис. 4.2
I " v Imax ’
4.8.	Сделаем рис. 4.2. Рассмотрим случаи:
|.-||1-.-|=Ы|1-?Ы--| 11 -'1(1-11+--|) = 0;
но | z | Ф 0, 11 - z | 0, ибо при z = 0 или z = 1 ДАВС вы-
рождается в точку. Поэтому множество точек z заполняет
окружность I z +11 = 1, без точки z = 0;
2)\АВ\ = \ВС\ =>|z | 11 —z|(l-|z|) = 0 => М = 1,г*±1,
т. е. множество точек r-окружность |s| = 1 без точек z = ±l;
3)	|лс| = \вс\ =>М |l-;|(|l+z|-|z|)=>
11 + r| = I-1, т.к. z Ф 0, z 1. Следовательно, искомое
множество — прямая, проходящая через точку z = (-1 + 0)/2 = -1/2, перпендикулярно дей-
ствительной оси: z = -1/2 + iy, у g /?, но у 0, т.к. при у = 0, т.е. z = 1/2, точки А, Ву С ле-
жат на Ох.
4.9.	Площадь Д АВС найдем по формуле из 4.1:
5 = 1/2-| 1ш{И7Р2}|, где И] = АВ = z-l = l + 2e/9>-1 = 2е'^,
W2 = ВС = z2 - (2z -1) = (z -1)2 = 4е2,<
Поэтому S = 1 / 2-11т(2еф )(4 • е'2нр) |= • 4 • 2-1 sin <р |= max при (р = л / 2.
Итак, 5тах = 4 и достигается при z = 1 + 2е,зт/2 = 1 + 2/.
4.10.	1) Прямая z = х - /, х g R, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки
ri = i и Z2 = -3/, перпендикулярно к этому отрезку;
2)	парабола, директрисой которой является мнимая ось, а фокусом — точка z = 1;
3)	действительная ось;
-86-
4)	окружность, построенная на отрезке [0, а], как на диаметре;
5)	окружность |~|=1;
6)	окружность | z | = а;
7)	эллипс с фокусами в точках zi и Z2 с большой полуосью, равной а\
8)	гипербола с фокусами в точках zi и Z2 и с действительной полуосью, равной а;
9)	при к * 1 окружность с центром в точке (г, - Л2г2)/(1 - к1) и радиуса к |zj - -2|/(1 - к2)\
при к - 1 прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точи zt = i и z2 = 1,
перпендикулярно к отрезку.
4.11.	1) Внутренность эллипса с фокусами в точках ±/ и большей полуосью 6 = 2/ / 3 +
+//4 = 1;
2)	внешность круга (х -1)2 + / ^ 1;
3)	полуплоскость х + у < 0, расположенная ниже прямой х + у = 0;
4)	область, заключенная между окружностями |- — 1 — /| = 2 и |з - 2 - 2/| - 8, за исключени-
ем точки г = 0;
5)	часть плоскости, лежащая слева от правой ветви гиперболы /-//5 = 1;
6)	часть плоскости, лежащая с той же стороны параболы / = 1 - 2х, что и точка z = 1 (и
ограниченная этой параболой);
7)	внутренность параболы / = -2(у - 1);
8)	часть внешности круга - /| < 1, лежащая в первом квадранте;
9)	перепишем неравенство в виде: |z +1||z -1| < 21-|.
На рис. 4.3 изображена половина параллелограмма, длины его
сторон - /| и |z + /|, одна из диагоналей, соединяет точки i и
-i и имеет длину |2/j = 2, а половина другой имеет длину |z|.
Запишем свойство параллелограмма, приведенное в указании:
(21-|)2 + 4 = 2|z -i\2 + 2|z + /|2, т.е. 4|z|2 = 2|г -/|2 + 2|z + /f -4.
Тогда из заданного неравенства получим:
|.- + ,f|--42 <4|.-|2=>|.- + lf|.-If<2|.-,f +2|.-+,f-4=*
=>|: + i|2|=-i|2-2|r -1|2 —2|- + /|2 + 4< 0=> (|r+z|2-2)(|r-/f-2)< 0.
Решая неравенство, получаем, что искомое множество точек z заполняет внутренность
окружностей |z - /| = 42 и |г + /| = 42 за исключением их общей части.
Приведем второй способ решения. Возведем обе части исходного неравенства в квадрат:
|/ +1|2 < 4|г|2. Используя свойство: zz = |г|2, полученное неравенство перепишем в виде
(z2 + l)(z 2 +1) - 4zz < 0 => (zz -1)2 + (z - z )2 < 0.
Разложим левую часть на множители:
(“-l + /(z-z)X=-l-z(=-z))<0=»(x2+/-2y-lXx2+/ + 2^-l)<0=>
10)	Так как Re (exp(r( 1 + /))) = Re (exp((x + iy)( 1 + /))) = exp(x -y)cos(x+y), Re(exp(z( 1 - /))) =
= extycos(y-x), то 1-е неравенство системы равносильно такому:
cos(x+y)cos(y - x) > 0 <=>
-fl72 + 2flt <x + y< л72 + 2я-£, f я/2 + 2яз<х + у<Зя/2 + 2яз,
-я/2 + 2яп< у-х<я/2 + 2яп * [я/2+2ят<у-х<Зя/2 + 2ят,
*У
Рис. 4.3
-87-
к, n,s,m &Z. С учетом 2-го неравенства исходной системы |х| +|у| < Зя 12, которое задает
внутренность квадрата со стороной Зя! 2 (см. рис. 4.4).
Получаем искомое множество точек, обозначен-
ное на рис. 4.4 штриховкой.
4.13.	Имеем
exp(sinz) = exp(sin(x + ty)) = exp(sinx chy + /siny c/zx) =
= exp(sin x chy)(cosa + /sin а), где a = chx siny, но
1-й множитель положителен Vx, у е R, а 2-й —
отличен от нуля, т.к. cosa и sin а не могут быть
равны нулю одновременно.
4.15.	Рассмотрим случай /и = (1 - /)/ у/2 .
Т.к. |/и| = 1, то из равенства
ехр(2х>>) • (cos(x2 - у2 ) - i sin((x2 - у2)) = т
получаем ехр(2ху) = 1 => ху = 0; sin(x2 - у2) =
= cos(x2-у2) = 1/^2 =>х2-у2 = я/4 + 2яп, neZ.
Рассматривая системы уравнений
у = 0.	|х = 0.
х2 = я/4 + 2яп, п — 0, 1,...; (-.у2 = я!4 + 2як, к = -1,-2,....,
получаем ответ:
z = ±Vn/4 + 2nw, w = 0, 1, ..., или z = ± а/-л/4-2я£, к = -1,-2,....
4.16.	Уравнение кривой | z + z'11= а запишем в виде (z + z"’)(z + z-1) = а2.
Полагая z = reltp, получим
г2 +г~2 + 2 cos 2(р = а2 => а2 - 2 < г2 + г-2 = а2 - 2 cos 2(р < а2 + 2,
причем слева равенство достигается, когда cos2^ = 1, а справа — при cos2^ = -1.
Из неравенства
г2 +r~2 >a2-2=> (r + r-1)2 >а2 =>r + r-1 >a=>r2-ar + l>0=> г > (a + Vtf2-4)/2
или 0 < г < (а-\1а2-4)/2(а > 2).
Аналогично из неравенства г2 + г-2 < а1 + 2 получаем:
(г-г-1)2 <а2 => |r-r-1|<a => -a<r-r~l < a => г2-ar-1 < О
и г2+яг-1>0=>г<(a + 7a2 +4)/2 и г > (>/а2 +4-а)/2.
Поэтому rm„=(a+Va2 + 4)/2, rmi„ = (Vn2 + 4-a)/2.
Отметим, что (a+>/a2 -4)/ 2 > rmin = 2 /(a +	+4).
Покажем, что rmax и rmin достигается в некоторых точках кривой |z + z-,| = a
Пусть z = гтахе'ф", тогда имеем:
|'тах^,^° +	| = |(л+Va2 + 4)e'v° + (у]а2 +4 -a)e~,tPo |/2 = |>/а2 +4 cos(pQ + iasin ^0| = a,
например, при (pQ = ±л 12, т.е. в точках z = ±i(a + 7"2 + 4)) / 2 достигается равенство max |z| =
-88-
= rmax. Аналогично показываем, что равенство min|z| = rmin достигается, например, в точ-
ках z = +/(V«2 + 4 - а) 12.
4.17.	1) По эллипсу |JF-/74| + |fF + z74| = 2 с фокусами в точках ± i / 4 и полуосями b =1,
а = Va2-c2 = Vl-1/16 = V15 / 4;
2)	по окружности \W -1 + 2/j = 6;
3)	по параболе U1 = -2(И -1/2);
4)	имеем (см. указание) W + /2 = (г - /)2 => |1F -1| = |г - /|2 => |1F -1| = 1 — окружность, про-
ходимая дважды;
5)	Relfs (У = 1/2;
6)	при/?* 1 эллипс (/2/(/?+/?‘l)2 + f2/(/?-/?'1)2 = 1; при R - 1, IV = 2cosp U = 2cosp,
f = О, ф 6 [-л, л], т. е. образом окружности |z| = 1 будет отрезок действительной оси от
W = 2 до If= -2, проходимый дважды;
7)	эллипс U1 /(5 / 2)2 + (V + 2)2 /(3 / 2)2 = 1;
8)	IV = simp-у, 0?е[-л;л] т.е. отрезок действительной оси (см. п. 7).
_______________________________________ л-1
4.18.	1) :к = e'v‘, <рк =2лк!п, Л = 0,(и-1); ^:к =0;
fc=0
2)	zk = (2к + 1) л /(2 л); к = 0, (n -1);
3)	=(4£ + 1)л/(4и); * = 0,(и-1);
4)	а = л/2 + (4£ + 1)л/(4и); £ = 0,(и-1);
5)	рассмотрим случай z3 - 2|г|2 +1 = 0. Положим z = ret<p, тогда получим:
Л3'*’-2г2++1 = 0^
г3 cos 307-2г2 + 1 = 0
=> sin3 ф~0, cos3p=±l;
г3 sin 307 = 0
cos3^= 1, г3-2r2 + l= 0; n = 1 — один из корней кубического уравнения. Разложив ле-
вую часть на множители, найдем другие корни этого уравнения: (г - 1)(г2 - г -1) = 0 =>
г = (1 ± V5 )/2. Но г > 0, т.е. r2 = (1 + V5)/2. Поэтому корнями уравнения будут в случае:
1)	z\ = 1, Z2 = ехр(2л7 / 3), Z3 = ехр(4л/ / 3), г4 = г2, -5 = г2ехр(2л /3), s6 = г2ехр(4л/ / 3);
2)	cos3$? = -1; тогда г удовлетворяет уравнению г3 + 2г2 -1 = 0 => r} = -1 < 0; г2 + г -1 = 0 =>
=»г = (-1±л/б)/2; только г3 = (л/б-1)/2 > 0; поэтому получаем еще три корня: z7 =
= гзехр(лг73), Z* - -z3, г9 = -гзехр(2л7 / 3). Итак, уравнение имеет 9 корней. Аналогично
находим корни уравнения г3 + 2 |г|2 -1 = 0:^ = ^, z2=rl ехр(2л/73), гз = nexp(4/n / 3), где
Г] = (л/б-1)/2; z4 = ехр(л? / 3), z$ = -1, zq = ехр(5л/ / 3): г7 = г2ехр(лг / 3),	= -г2, г9 =
= г2ехр(блг / 3), где г2 = (>/б +1)/ 2;
6)z, = 3;-2=-l;
7)	в соответствии с указанием запишем уравнение в виде (z +1)3 + |z +1| = 2 и положим
z +1 = ге1<р, тогда r3e3t<p + г = 2 <=>
г3 созЗф + г- 2,
Как и в примере (5) получаем два слу-
г3 sin 307 = 0.
чая: sin307 = 0, a cos30> = 1 или cos30> = -1. Если cos30> = 1, то уравнение г3 + г - 2 = 0 имеет
-89-
единственный действительный корень г « 1; при cos3<p - -1 уравнение г3 « г -2 имеет
единственный действительный корень п < 0 (это можно установить, построив графики
левой и правой частей уравнения). Итак, г = 1, z +1 = е^; Ъф = 2пк, к е Z, поэтому корнями
исходного уравнения будут. zt = 0 {к = 0), z2 = ехр(2ят/3) -1 (£ = 1), z3 = ехр(4л?73) -1 (к = 2);
8) из корней 2-го уравнения zj = -1, z2 = ехр(2л/ / 3), z3 = ехр(-2л7 / 3), только z2 и z3 будут
корнями 1-го уравнения;
9) Zk = ехр(2л&/ / 3), к = 0; 1; 2;
10)Zk = of, со = ехр(2л/ / л), к = 1,(и-1);
11)	z = br(l±0, keZ\
12)	z = х[2п + 1X1 - /)/2, п е Zи z = кл(\ + /), к € Z;
13)	следуя указанию, перепишем уравнение cost = ish2z в виде:
cosz = sin2/z=> cosz-cosl —-2/z | = 0=> 2 sin I z+—-2/z |/2-sin| —-2/z-z 1/2 = 0 =>
12 J	V 2	) V2 J
ft	7t
=> z+--2iz = 27rn 2iz + z-— = 2kK, n, keZ. Отсюда находим s = (4w-l)zr(l + 2f)/10 и
z = (4* + l>(l-2/)/10;
14)	zj = 6 + 8/;z2 = 6 + 17/;
15), 16)zi = 1-/,z2 = -l +/;
17), 18) нет решений. Покажем это для системы 17).
Из 2-го уравнения системы имеем: 1 = |z3 - z2| = |z|2 |z-1| = |z|2 2 => |z| = 1 ijl.
Но окружности |z| = 1 I>l2 и |z -1| = 2 не пересекаются, т.к. расстояние между их центрами
|OjO2| = 1 < 2 -1/V2 — разности радиусов окружностей.
19) z = -(a+-7a2+4)i/2 VaeR и : = i(a±Va2-4)/2 приа2>2;
20) : = (4к-1)я/4, keZ.
4.19.	При а> 5 и 0 < а < 1 нет решений; при 1 < а < 5 два решения; при а = 1 zo = 1 + / и
при а = 5 zo = 1 - 5/ — единственное решение (окружности касаются внутренним обра-
зом).
Замечание. Кроме приведенного в указании геометрического метода решения задач для
нахождения значений параметра, можно было применять аналитический метод: из урав-
нений окружностей, выраженных через х и у, исключить у и в полученном квадратном
уравнении рассмотреть его дискриминант.
4.20.	Только одно z будет удовлетворять системе неравенств, если окружности |z - /j = 3 и
|z-3a| = 2a будут касаться внешним образом или а - 0. Пользуясь условиями касания
(см. указание), получаем, что а = (2>/19 + 6)/5. Ответ: при а = 0 или я = (2>/19 + 6)/5.
4.21.	Так как точка z должна находиться в круге |z- 2| < 1 и на окружности
|z - ш| = а+4, а+4 > 0 (случай а = -4, т.е. z - -4i невозможен, т.к. z = -4/ не принадлежит
кругу |z -2| < 1). Это возможно (см. указание), если расстояние между центрами окружно-
стей |OjO2| = |2 -	= V4 + а1 будут удовлетворять условию: |/^ -	< |OjO2| < $ + Я2, т.е.
должно выполняться неравенство |л + 3|<^4 + а2 <я + 5=>-2,1 <а<-5/6. При най-
денных значениях а окружности будут пересекаться и решений (значений z) будет
множество.
4.23.и = 6*±1ДеЛ/.
-90-
4.25.	a = 0.
4.27.	В соответствии с указанием, подставим в тождество:
zn~' + z"’2 +... + z +1 = (z - <d)(z - a)2 )...(- - а>п~'),
где <у = ехр(2я77и), r= 1, тогда получим и = (1-<у)(1-ю2)...(1-<у"_1). Вычислим правую
часть равенства, для чего найдем сначала разность 1 -of. Имеем:
1 - (ок = 1 - ехр(2я7£ / п)-- ехр(	I n)(exp(nik tri)- Qxp(-7tik I n)) = -2i c,xp(nik I n) sin—.
n
Тогда произведение, стоящее в левой части тождества, можно записать в виде:
ПЙ(I -шк) =	ехр(—(I + 2 + ...+И-1)) Пй! sin(?rt /и).
и
Но (-l)"“l/"“lexp^^-(n-l)n/2)^ = (-l)"“l/"~lexp^-y-j(n-l)^ = (-l)"'l/''“lz"'1 =
= (-1)я’|(?)''"1 = (-1)"',(-1)"'1 =1.
Поэтому окончательно получаем njJsJ sin(/r£ / ri) =
4.28.	Следуя указанию, подставим в левую часть уравнения г0 = 2ехр(г» вместо z и отде-
лим действительную и мнимую части, тогда придем к системе уравнений
8sin3^-16sin2^ + 16sin^ = 0, (1)
a = 8cos3^-16cos2^ + 16cos^. (2)
Используя формулу для sin3^> из указания, преобразуем левую часть (1) после деления
обоих частей (1) на 8. 5sin^ - 4sin3^? - 4sin^cos^ = sin^(5 - 4(1 - cos2x) - 4cos$?) =
= sin^(4cos2^-4cos^ + 1) = = sin^(2cos^-l)2 =>
1) sin^= 0 => (p - nn-=>ZQ- 2ехр(/ли) = 2(-l)":
а)	пусть n = 0, тогда zQ = 2 и из (2) находим a = 8. Поделив z* - 4r2 + 8z - 8 иа (z - 2), полу-
чим z1 - 2z + 4 = 0 => z2 , = 1 ± /Л Следовательно, при a - 8 исходное уравнение имеет
3 корня: zi = z0, z2, -з, причем |rj=2, к - 1, 2, 3;
б)	при п = 1, <р - л, 20 = -2 и а = -40.
При делении z3 - 4s2 + 8r + 40 на (z + 2), получаем z2 - 6z + 20 = 0=> r23 = 3 ± м/Го.
V3
2) coscp = 1/2 => sincp = ±—, тогда из (2) находим, что
a = 8(4cos3^-3cos^)-16(2cos20?-l) + 16cos^=> а= 12.
Поэтому z} 2 = 2(cos^ + /sin^) = 1±м/з. Для нахождения г3 запишем левую часть уравне-
ния в виде z3-4z2+8s-12 = (z-23)(z-zj)(s-z2) = (r-53)(z2-2г+ 4) = 0. Подставляя в
обе части тождества z = 0, находим z3 = 3. Поэтому окончательно получаем: при а = 8 zi = 2,
z23 = 1±ь/3; при л = -40гг1 =-2, r23 = 3±/VTl; при а= 12 г3 - 3, з12 = 1±/ч/з.
4.29.	S(x) = 0,5 sin х l(chx - cos х) при х 0 и 5(0) = 0.
4.30.	Ряд сходится абсолютно в круге |-| < 2; на окружности |г| = 2 он расходится, т.к.
расходятся ряды, составленные из действительных и мнимых частей членов данного ряда.
В силу абсолютной сходимости члены ряда можно переставлять. Объединим слагаемые с
четными и нечетными степенями z (|г| < 2).
-91 -
Имеем S(r)= £(2/2)2*(-1)*(2*+0 + 2}(2/2)2*+,(-1)(2*+'х*+0 ;
*=0	*=0
так как (-1)‘<2‘+|> = (-1)2*’ (-1)* = (-1)*; (_i)<**IX2*+l> = (-l)*+l, то используя равенство
.-i v * I । ,	.	1	=/2	2(2-2)	„
(*“-) =X- ’ |-|<1, находим 5(z) =------------------------=— =-------Из уравнения
*=o	l + ~ /4 1 + r /4	4 + z
S(z) = 2-r получаем zi = 2, r23 - +vj2. Ho ~i не принадлежит области сходимости ряда.
Поэтому уравнению удовлетворяют z = ±ij2.
4.31.	Ряд сходится Vx е Я, его сумма S(x) равна
S(x) = Im У = Im(exp(exp(£x))) = exp(cosx)sin(sinx).
4.33.	Так как |cosnx|2"w < 2~и V х g R, то ряд из левой части уравнения сходится абсолют-
но и равномерно Vx g R.
Его сумма S(x) = Re 2"" exp(Znx) = Re {21(2 - exp(ix))} = 2(2 - cos x) /(5 - 4 cos x).
»=o
Из уравнения S(x) = 2/3 находим cosx = -1 => x = л (2k ± 1), к e Z.
4.34.	Обозначим S(z) = ^anzn. Следуя указанию, имеем:
л=1
Ev"	=»= a--S(.-) + /7.-2S(.-)=> S(-) = .-/(l-a.--/7.-2).
л=2	л=2	л=2
При р- 0 (а * 0) ряд будет сходится в круге |г| < а~х. Если р* 0 и R = min ||r3|,|j2|), где
Zk — корни знаменателя 5(z), то ряд сходится в круге |z| < R..
4.35.	1) Запишем zn~l -zn в виде z"-1 +1 - (z” +1), тогда общий член ряда Un(z) можно за-
писать так: Un(z)- 1/(1 + г")~1/(1 + г"“|). Поэтому и-я частичная сумма ряда Sn(z) будет
о, ч	1	1	1	1	1	1	11
И "	1 + г 2 1 + ? 1 + z 1 + r" l + z""1	2 1 + z"
Следовательно, S(z) = lim S(z) =	при k| > 1 S(z) = — при Ы < 1;
2	2
2) после умножения числителя и знаменателя общего члена ряда на (1-г) аналогично слу-
чаю (1) получаем, что =	+J73;); S"(=) = 7^7^“7Z7h) и
ад = (1-с)’2 при |:|> 1 иЭД = с(1 -z)'2npn |-| < 1.
4.37. а>1.
2)	—((2-1)я)4л;
'^,(2")!
3)а) Ё(.-"-Р")/И; б) Ё<11£1((: + 1)3я-(2 +1)");
л=0	л=0 П
4) полагая z - 2 = /, получим, что
-92-
/(=) = (t2 + 4t -1)Kt2 -1) = 1 - 4/ /(1 -12) = 1 - 4 £ (: - 2)2л+| , |= - 2| < 1 — круг сходимости;
л=О
5) 1 + £(2.-)4‘ /((4*)!), |=|<~; 6) 1 + £(-1)',(л/2=)4п /((4и)!),
л=О	л=()
4.43. 1) r2sin(l/(r-l)) = ((r-l)2 + 2(r-l) + l)sin((l/;-l)) =
= (=-1)+2+£
*=1
' (-D*-1 fl 1 Y 2(-l)*
(г-!)2*'11(2Л-1)! (2* + l)’J (2Л + 1)!(=-1)2‘
,при 0<|=-1|<оо;
2) Ёся.-’ + £С.я2-",где Cn=C_„ = f—l— (п-0,1,2,...).
л=О	л=О	1с=()К{" + К>’
4.44.1) В области D\\ |z| < 4 лежат простые полюсы: п = 0, з23 = ±>/2л7 , z4 5 = ±л/4я7,
/ = -блт;
2)7 = -;?/;
3)7=0;
4)I=i^/2;
5)7 = 0;
6)7 = 2л/7(1-е-1);
“	1
7) / = 2т У---!-------;
"(2П)!(2П + 1)!’
8)2е.
4.45.1) -2*72/15;
2) я/^а2-Ь2;
3) 0 при а = 0; при а* 0, |а|< 1, 0,5лп (1 + а2У(1 - а2); 4) 2x/-Ja2~\.
4.46. 1) I = 0,5я(а3 -3ab2 +2b3)a~lb~3(a2 -b2)"2.
Замечание. Ответ можно упростить, если убедиться, что а = b двукратный корень
многочлена а3-ЗаЬг+ 2Ь\ т.е. I = Q,5x(a+ 2b)a~]b~3(a + b)~2;
2) / = лч/2/2.
4.47.1) -f-i-+——1;
2\Р + 1 (p + l)2+4j
2)________	•
((р-1)2+1)((р + 1)2+1)’
3)	находим последовательно: sin 2/ <— 2/(р2+ 4); rsin2r <- -(2/(р2+ 4))' = 4р(р2+4)~2;
<р(г) = rsin2z e’V 4(р+ 2)((р + 2)2 + 4)"2;
4)	0,5(3/((р + I)2 + 9) + l/((p + I)2 + 1));
5)	((р + a)sin^>+ йкоз<р)!((р + а)2 + «7);
6)-2((р2 + 4Хр + 3))-';
7) -ехр(-ф + 1)д/ 4)/((р + I)2 + 1);
8) (1 + ехр(-ф)У(р2 + 1) + exp(-^(p + 1))/(р+ 1);
9)(р + ехр(-ф/2)У(р2+1);
10) (ехр(-(р-1))-1У(р- 1)-ехр(-л-(р + 1 ))/((р+ 1)2+ л2).
4.49.1) Ф(р)= f ^F(p) = --F(p)^-^-F(p)^
Р(Р -1) Р Р ->
-93-
<p(f) = -£ f(r )dr+2 £ f(T)ch(t - r)dr = £ (2ch(t - r) - l)/(r )dr;
2) «>(O = /W-J'/(T)sm(/-T)</r; 3) <p(t) = /(/)+4j('?('-r,(l+2(/-r))/(r)t/r.
4.	50.1) Найдем сначала оригинал соответствующий изображению Лапласа F\,
ч р + 4 А Вр+С х	_
Fx ~ “^2—= ~ + 2—; найдя коэффициенты А, В и С, получаем
F} (р) = ---~—+—5п-------> f\(0 = (1 ~ cos 2t + 0,5 sin 2/)?/(r).
р р2+4 р2+4
Так как F(p)- Fx(p)e~p, то /(/) = (l-cos2(/~l) + 0,5sin2(r-l))?;(/-l);
2)	f{t) = е' (/ +1)^(/) + 2(/ -	-1) + ((/ - 3)е'’2 +	- 2);
3)	перепишем F(p) в виде F(p) = р—~------= Р’Р\(р)ГЛр), тогда f\(t) - cos2/,
р2+4 (р + 1)2+1
/1(0)= 1, /,(/) = (cos/-sin/>"'.
Применяя формулу Дюамеля р • Fx (p)F2 (р) —» / (0)/2 (/) + /’ (/) ♦ /2(/), получаем
/(/) = cos 2/ - 2^ sin 2(/ - r)(cos т - sin т)ё~т dr,
4)	/ (/) = cos (ot - (о £ sin a)(t - т) sin сот dr,
5)	/(/) = в'3 4(0,5ch(t- 1)/л/2 - J2sh(t - 1)/>/ЗД(/-1);
6)	/(/) = е'1 ((cos 2t - 0,5 sin 2t)j](t) + 0,5 sin 2{t - 2)y(t - 2));
7)	разлагая правильную рациональную дробь F(p) на сумму простейших, можно доказать,
что	, где С* =	Поэтому /(/)=^С‘(-1)*ехр(-Л/).
Р + к	к\(п-к)\
л 1 + еХр(-7Гр) 1	..	2\
4-51.1)  ---—------------5- = «й(л-р/2)/(1 + р2);
1-ехр(-л-р) 1+р2
2) -(1 + 2ехр(-Зяр/4))(1-ехр(-р^))-1);
Р
3) — (l + exp^/rp))"1 =—exp(^”p/2)/cA(^p/2);
р	2тг
4) так как ^’(0 = sin/(l-cos2/)’,/2 =((sin/)/|sin/|) =
1, /6(0, я);
-1, /е(я,2я),
то <р(1) =
t + C}, te(0,n)
[-/ + С2, /е(я,2я).
Оригинал ^(/) непрерывен при t -	^(я-О^я + Cj =^(я + 0) = С2-я=>С2 = 2я+С15
но р(0) = С] = 0. Итак ^(/) -1, если t е [0, л], и <f(t} - 2я- / при / е (я, 2я). Запишем ^ь(/) в
виде ^)(/) = /(7(/)- 7(/-л)) + (2я-/)(^(/-^- ^(/-2л))=>^(/) = /^(/)-2(/-п)^(/-п) +
+ (/ - 2л)7 (/ - 2л). Поэтому Фо(р) = (1 - exp(-zp) + ехр(-2^?)) /р2 и Ф(р) = Фо(р)/( 1 - ехр(-2^)).
4.52. 1) Следуя указанию, найдем F(p) = -(1 -2е~р +е~2р)/ р. Изображение Лапласа Ф(р)
неизвестной функции имеет вид Ф(р) = F(p)/(p2 +я2).
-94-
Найдем сначала оригинал/1(0, соответствующий
г/-\_ --I /J . _2x-I _ J р2 + Л2 ~р2	1 (1_ Р •
л2 р(р +Я2)	Л2{р р2+л2) ’
/!(/) = (!-cos л() 1л2.
Поэтому
Ф(р) = -Fj (р)(1 - 2е~р + е~2р) => <p(t) = -л~2 {(1 - cos Я'О^СО ~ 2(1 - cos яг(/ -1) х
хт/(/ -1) + (1 - cos(/2)fl77(/ - 2)} => (p(t) = —л~2 (1 - cos лг\ 0 < t < 1;
я"2 (1+3 cos я7), 1^/^2; 4fl--2cosfl7, г>2;
2) Н0 = /е2'; 3) р(г) = (1+20ехр(-/);
4)^(/) = (1+2z2)/5;
5) ^(/) = (/ + l)sinr;
6) перейдем в уравнении к преобразованиям Лапласа. Используя свойства:
ОД = рВД-И0); 1[^1*^2] = А[^1] А[^2], ад = Ф(р),
имеем РФ(р) +1 - Ф(р) + (РФ(р) +1) • р~2 - Ф(р)р~х = р~2 => Ф(р) = (1 - р)~х => <p(t) = -е1;
7) ^(/) s 1, / > 0.
4.53.	Положим /|(0 = /(/)+^(лг/2), тогда используя интеграл Дюамеля (можно просто
t
перейти в уравнении к преобразованию Лапласа), получаем: ^(/) = J/ (т)яг(/ - r)dr, где
о
^(0 <-(р2 + О"1, т.е. л(() = sin /. Тогда:
I	t
^(0 = J (<Р( ! 2) + /(г)) sin(/ - T)dr = ф(л / 2X1 - cos /)+1 /(г)sin(r - т)dr.
о	о
я!2	я!2
Но 0>(я72) = ^(яг/2)-(1-О)+ J /(r)sin(ar/2-rX/r => J /(r)cosn/r = 0. (1)
о	о
Итак, если выполняется условие (1), то решение (p(t) имеет вид:
t
(p{t) = ф(л / 2)(1 - cos t) + J f(r) sin(/ - т)dr.
о
Замечание, Можно проверить, что найденное <p(t) удовлетворяет исходному уравнению.
/	t
4.54.	x(t) = J (<р(т) cos(r - т)+у(т) sin(r - т))dv, y(t) = J (^г(т) cos(/ - г) - <р{т) sin(/ - т))dr.
о	о
4.55.	Следуя указанию, находим Х0(р) = (р+а)"1, Хк(р) = (а 1(р + а))А^_1 (р), к = 1,п.
Из рекуррентной формулы получаем Xk(p)-ak{p^a)~k~xt к-\,п, поэтому xk(t) =
= (at)k expi-at) l(k!), к = 0, n.
-95-
5. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
5.1.	ЗАДАЧИ
5.1.	Найти пределы последовательностей:
1)	Пт(а2 + (а + 1/л)2 + .... + (а + (л-1)/л)2)/л;
л->®
2)	lim(exp(l / л2) + ехр(2 / п2) +... + ехр(л / л2)) /(ехр(1 / п)+ехр(1 / 2л) +... + ехр(1 / л2));
и-»«
3)	limл2 sin2(Wji/>/л +1);
л-»оо
4)	lima, если ап = (а„ , + 3)/4,а0 = 0, л g N;
л-><*
5)	litnx„, еслих„ = а,х, = b, xntl = (х„ + 2x„tl)/3,n = 0, 1.;
( 1п(3/2)	1п(4/3)	1п(л/(л-1)) "I Z
6)
5.2.	Найти пределы функций:
1)	lim(ln(x-sinx))/ln(x-cosx);
2)	Пт 1п((е* - е~х) 1(ех + е~х));
Г->-ИО
3)	lim(cos(ln(x + l))-cos(lnx));
4)	Jim (cos(ex - е~х ) - cos(ex + е~х ));
X—>±°°
5)	lim (sin(7c>/x2 + 2х + 2 / 2) - cos(7Uf 12));
6)	lim((cos x)C0SX -1) /(cos x -1));
x->0
7)	Нт(7з + е’х - л/з + cosx) I ln(l - x cos 2x);
*->0
cost sin.t _____
8)	lim(2 ’ -2* $x2+l;
9)	litn(2exp(x/(x + l)-l)<*'*l,/'.
t—>0
5.3.	Найти л из уравнения:
1} Ит(ЬхХЬЗх)...(И-(2л + 1)х)-1 = 7.
x—»o	tgx + tg2x + ...+tgnx	3*
fcosx + cos2x+...cosnrV2/x	fl-46xV/x
2)	lim I------------------- = lim ------------
x-»o^	n	J x-»o^ 1-x )
5.4.	При каких a,b e R lim((a* + bx)/2)x принимает наибольшее значение, если а > 0, b >0
*-♦0
и а + b= 1?
5.5.	Найти а и bt если:
1)	lim(e"-In(e + &x))/x2 = 1; 2) lim(e“ - Vl + Z>x)/x2 = 1;
х-»0	*-»0
Г Z ax Z? ч/ 2 Г ln(l-2xsinx)
3) lim(e -cos/7x)/x =lim—-——.
x->0	x->0 !_^1 + 5х2
-96-
5.6. При каких aeR существует отличный от нуля
lim(ln(e-v 4- cos х — 1) — 1п(е-' - cos х 4- 1))ха ?
5.7. Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
1) /(x) = lim(№"cos2nx + x2)/(x2" + l); 2) Дл) = lim
*->*(2cosx) 4-1
; 4) /(х) = lim sin(wn>/л2 4- 2и 4- 2х);
X + X
х г	ЛХ г, ч Г exp(Hx)sinnx + x
5) /(х) = lim—-А——; 6) /(х) = lim—;
1 + (y]3tgx)	п~^ ехр(лх) 4- х
7)	f (х) = lim иcos2((2n +1 + (х +1) / л/и)я / 2).
и—
5.8.	Числа a, b, с g R и различны. Имеет ли корни уравнение:
(In х - а)(1п х - b) + (In х - с)(1п х - а) + (In х - />)(1п х - с) = 0 ?
В случае положительного ответа указать количество корней и интервалы, в которых они
лежат.
5.9.	Доказать, что для различных а\, а2,..., ап е R многочлен:
Р(х) =(х - а2)(х - а3) ...(х -ап) + (х - ai)(x - а3) ...(х - ап) +...+ (х - Я|)(х - а2)...(х - а^)
имеет п - 1 различных действительных корней, и указать интервалы, в которых они лежат.
5.10. Вычислить/!(\999), еслиДх) = х(х - 1)(х - 2)...(х - 1999).
5.11.	Найти/(0), если: 1)/х) = (Зх + 2)fix2) + 2;
2)/х) = ((1 + exp(ajx))(l + ехр(а2х))...(1 + ехр(а^)))1/и.
5.12.	Доказать, что кривая у = х4 + Зх2 + 2х не пересекается с прямой у = 2х - 1 и найти
расстояние между их ближайшими точками.
5.13.	Найти кратчайшее расстояние между линиями:
1)3х2+у2 = 3 их +j> = 5;
2)	у = х2/2 - Зх и х2 + у2 - 18х - бу + 89 = 0;
3)	v = Inx- 1 их2 + у2 - 1.
5.14.	Доказать неравенство Зх / sinx > 4 - cosx, х g(0; л/2).
5.15.	Фигура ограничена линиями: у-х2 + 1,^ = 0, х = 0, х=1.В какой точке (xoiyo) гра-
фика функции = х2 + 1 нужно провести к нему касательную так, чтобы она отсекала от
фигуры трапецию наибольшей площади?
5.16.	На эллипсе х2 +у2 +ху = 9 взяты две точки /1(0; 3) и В(3\ -3). Указать на эллипсе та-
кую точку С, чтобы площадь А АВС была наибольшей.
5.17.	Числах и у удовлетворяют неравенству: —-4-1 < х < 9. Какие значения могут прини-
мать: 1) 2у/х; 2)х2 +у2; 3)х2 +у2 + 16у + 61?
5.18.	Числах и у удовлетворяют неравенству х2 < у < 4 + V4-X2. Какие значения может
принимать: 1) сумма Зх + 4у; 2) отношениеу!(х + 3)?
5.19.	При каких a g R функция fix) - (а + а2х + х2/2 + х3/6)е-х имеет экстремум при х = О?
Что это будет: максимум или минимум?
5.20.	На окружности радиуса R дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касатель-
ной в точке А так, чтобы площадь Д АВС была наибольшей. Чему равна эта площадь?
5.21.	При каких а е R функция fix) = -х3 + а х2 + а2х + 5 возрастает на отрезке [-6; 2]?
5.22.	Пловец плывет против течения из пункта А в пункт В. Во сколько раз его скорость
должна превосходить скорость течения, чтобы затрачиваемая работа была наименьшей?
(Мощность, развиваемая пловцом, пропорциональна квадрату его скорости относительно
воды.)
-97-
5.23.	Производные функций/*), g(*),/*)/g(*) в точке* = а равны и отличны от нуля.
Найти верхнюю границу для/а).
5.24.	Какова наименьшая скорость снаряда, при которой можно поразить неподвижную
цель, находящуюся на высоте Л и на расстоянии г от орудия? (Сопротивлением воздуха
пренебречь.)
5.25.	Пусть/*) непрерывна на [a; b],fix) > 0,/(*) < 0,/(*) < О V* е (а; Ь), {а > 0). Извест-
но, что касательная к кривой у =/*) в точке (*о ;/*о)) отсекает от осей координат тре-
угольник наименьшей площади. Доказать, что эта площадь = 2*0/(*0).
5.26.	Функция/*) дважды дифференцируема на [а; 6], причем/*) > 0, /(*) < 0 V * € [а; 6].
Через некоторую точку Л/о (*о ;/*о)), хо € (а; 6), кривой у -fix) проведена касательная,
которая вместе с прямыми * = a, x-b,y-Q образует трапецию минимальной площади.
Найти координаты точки Л/о и площадь трапеции.
5.27.	Уравнение имеет единственный корень *0:
1)	е-1г = а-2*-2*2;
2)	З*4 - 4*’ + а - 0. Найти а и *0.
5.28.	Доказать, что уравнение
sin а • 7* - sin2 р-sin2 у + sin р • 5/*-sin2p-sin2y + sin у • ^/*-sin2 а-sin2 р - 2,
где а, р, у — направляющие углы некоторого вектора, имеет единственный корень и най-
ти его.
5.29.	При каких а е R уравнение \/*2 -4* + 5+V*2 -4*+ 13 = а, (п е N, п> 1), имеет ре-
шение? Имеет единственное решение? Найти его.
5.30.	При каких а е R уравнение имеет 3 действительных корня:
1)	*1995 - 1995* + а = 0; 2) asin(7tx/2) = * + *-1 - 1; 3) а = * (* - !)(*- 2) различных и поло-
жительных.
5.31.	Найти число корней уравнения |1п*| - ах = 0 в зависимости от значений параметра
а е R.
5.32.	Решить уравнение с двумя неизвестными:
1)	(lnx)lx = exp(cosу); 2) >/3 -* + >/* + 1 = 1 + 2>/2 -sin(ny 12).
5.2.	УКАЗАНИЯ
5.1.	1) Преобразовать выражение в скобках, используя формулу 12 + 22+... + л2 =
= п(п+1)(2и +1) / 6. Выражение, стоящее под знаком предела, можно рассматривать также
как интегральную сумму для функции (а + *)2;
2)	использовать оценки сверху и снизу общих членов сумм, стоящих в числителе и зна-
менателе дроби, например, ехр(1/л2) < ехр(Л/л2) < ехр(п/л2), к - 1, п\
3)	пусть а„ = тъ/и/>/л+1. Использовать формулу приведения: sina„ =sin(n-a„) и убе-
диться, что п - Оп -> 0 при п -> оо;
4)	убедиться, что ап — сумма п членов геометрической прогрессии;
5)	записать рекуррентную формулу в виде *А+2 ~*i+l = -(*i+1 -*А)/3. Придавая к значения
0, 1,... п, сложить п + 1 полученных равенств;
6)	в каждом слагаемом числителя дроби избавиться от иррациональности в знаменателе.
5.2.	1) Преобразовать числитель и знаменатель дроби. Например,
ln(* - sin*) = Inx + In (1 - (sinx)/*);
2)-9) использовать таблицу эквивалентных пар бесконечно малых функций; при этом
в (3)-(5) свернуть разность тригонометрических функций в произведение;
6)	использовать логарифмическое тождество;
-98-
7)	избавиться от иррациональности в числителе;
8)	можно вынести 1-е слагаемое за скобку;
9)	использовать 2-й специальный предел.
5.3.	1) Применить правило Лопиталя; при нахождении производной 1-го слагаемого чис-
лителя можно использовать «логарифмическое» дифференцирование;
2)	применить 2-й специальный предел и использовать формулу, приведенную в указании
к 5.1 п. 1.
5.5.	1 >—3) Применить дважды правило Лопиталя при вычислении предела в правой части,
учитывая, что предел существует и конечен.
5.6.	См. указание к 5.2 п. 2.
5.7.	1), 2), 5) использовать четностьДх), учитывая, что qn —> 0 при п -> оо, если |g| < 1;
4)	вычесть из аргумента синуса л(п + 1)и, учитывая четность числа (п + 1)и;
6)	ехр(лх) -» 0 при п -> оо, если х < 0 и ехр(мх) -> + оо, если х > 0;
7)	применить формулу косинуса суммы, учитывая, что cos(2w + 1 )л/2 = 0.
5.8.	Расположить а, b и с в порядке возрастания и сравнить знаки непрерывной функции,
стоящей в левой части уравнения, в точках а, b и с.
5.9.	См. указание к 5.8.
5.11.	1) Применить правило дифференцирования сложной функции; значение ДО) найти
из условия;
2)	применить «логарифмическое» дифференцирование.
5.12.	Кратчайшее расстояние равно расстоянию между данной прямой и параллельной ей
касательной к кривой.
5.13.	1) См. указание к 5.12; можно также использовать параметрические уравнения элипса,
минимизируя расстояние (или его квадрат) от точки (х(/),у(0) эллипса до прямой х + у = 5;
2), 3) найти сначала кратчайшее расстояние от центра окружности до кривой.
5.14.	Умножить обе части неравенства на sinx > 0, затем перенести правую часть влево и
исследовать на монотонность функцию, стоящую в левой части неравенства.
5.15.	Составить уравнение касательной к параболе в точке А(х0,х2 +1), выразить площадь
трапеции 5 через хо и минимизировать функцию 5(хо).
5.16.	Касательная к эллипсу в точке С должна быть параллельной хорде АВ.
5.17.	1) Положить 2у/х = к и найти и Kma}L, при которых прямая 2у - кх = 0 касается
параболы;
2)	х2 + у2 — квадрат расстояния от начала координат до точек множества, задаваемого не-
равенством;
3)	пусть U = х2 + у2 + 16у + 61 = х2 + О> + 8)2-3, тогда с = х2 + Ск + 8)2 —квадрат расстоя-
ния от точки Л/(0; -8) до точек множества, задаваемого неравенством. Поэтому следует
найти Zmm и Zmax. При этом Zmax легко находится из геометрических соображений.
5.18.	Решение 1) без использования производной проводится в 2.58 (см. рис. 2.13);
2)	см. указание к 5.17 п. 1.
5.19.	Используя необходимое условие существования экстремума у функции, найти зна-
чения а.
5.20.	Выбрать расположение окружности, взяв, например, ее центр в точке 0(0; 0), и ис-
пользовать уравнение окружности при нахождении 5тах.
5.21.	Рассмотреть 2 случая: а < 0 и а > 0, при которых f (х) > 0 на отрезке [-6; 2], при этом
удобно использовать график у = f (х).
5.22.	Пусть V — скорость пловца относительно воды, Ко — скорость течения. Тогда за-
трачиваемая работа А = Nt = tKV1. Выразить / через S' = |А#|, Ии Ко и найти работу Jmin.
5.23.	Из равенства производных вывести, чтоу(я)= gfa) - g2(a), и найти шахДа).
-99-
5.24.	Пусть U и V — горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости
Ио (И)2 = U1 + И2), тогда траектория снаряда дается уравнениями: х - Ut, у - Vt - g?/2.
Пусть /о — момент достижения цели в точке	где г2 = £2 + h2. Выразить U и И че-
рез /о и минимизировать Ио2 = (72(/0) + И2(/о).
5.25.	Убедиться, чтоДх) убывает на (а, Ь) и ее график выпуклый. Выразить отрезки, отсе-
каемые касательной к кривой у -fix) в точке Л/О(*о, Л*о)), на осях координат через коор-
динаты точки Л/о, и найти минимум площади треугольника S(x0).
5.26.	См. указания к 5.15, 5.25.
5.27.	Задачу можно решить двумя способами:
1)	построить график функции у = а(х), а затем найти значение ао из условия, что прямая
у = ао касается графика;
2)	записать уравнение в виде7(х) = gW (например, в случае 2), так: f(x)s Заг4 = 4х* -а = g(x)
и использовать условие касания линий: f(x0) = g(x0) н/'(х0) = g'(x0) в точке с абсциссой х0.
5.28.	Учитывая свойство sin2 а + sin2 р +sin2 у = 2, кореньх0 нетрудно найти. Для доказа-
тельства его единственности убедиться, что функция, стоящая в левой части уравнения,
возрастает.
5.29.	Убедиться, что а > 1 + ^9, и использовать указание в п. 1 к 5.27.
5.30.	Задачи (1), (3) можно решать 1-м способом, приведенным в указании к 5.27; в (2)
лучше построить графики левой и правой частей уравнения.
5.31.	Убедиться, что уравнение имеет решения лишь при а > 0. Построить график у - |1пх|
и у = ах и выяснить, когда они касаются (см. указание в п. 2 к 5.27).
5.32.	Сравнить наибольшее и наименьшее значения левой и правой частей уравнений.
5.3.	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
5.1.	1) Предел А - а2 + а + 1/3;
2)	пусть Sn — дробь, стоящая под знаком предела, тогда в соответствии с указание полу-
чаем неравенство
иехр(1/и2)/(иехр(и/и2)) < Sn < яехр(и/и2)/(иехр(1/и2)),
из которого находим, что Sn ->1 при и-» оо;
3)	имеем (см. указание) п-ал = n(Vw+1 - V«)/Vw+1 = л /(Vn+T + >/Й)>/л+1.
Поэтому lim п2 sin2 а„ = lim п2п2!(п + 1)(>/л+1 + 4п)2 = л2 / 4;
л—»а>	л—
ЛЧ ЗЛ 1	1	1 Л 3	1
' " 4k 4 42 4n'lJ 4 1-1/4 Н
5)	согласно указанию находим: х2 - *i = - (1/3)(Z> - а),
хз-Xi = - (1/3)(*2 -xi) = (- 1/3)2(& - а),.... хп+2 -*л+1 = (- 1/3)”+,(6 -а). Складывая эти п+1
11	z .\Л+1	1	1
Л-* = (6-аХ-1/3)/(1 + 1/3) = (*-а)(-1/4)=>Л= lira х„ = (a + 3i)/4;
равенство, получаем: х^+2 -*1
6)	пусть А„ — числитель дроби, тогда А„ = У*, ак, где ак = (1п(£/(к -1))/(71п(£ -1) + Vln Л).
*=з
Согласно указанию имеем:
ак = (In к -ln(£ -l))(VlnT-71n(*-l))/(Inк - 1п(Л -1)) = VlnT- J\n(k-1).
-100-
Поэтому Л = >/1пи —л/ln 2 и lim Л/Vln 2п = 1.
5.2.	1) I;
2)	0;
3)	0;
4)	пусть А — искомый предел. Согласно указанию имеем А = 2 lim sin(e"x)sin(ex) = 0, т.к.
,t-»±OO
один из множителей стремится к нулю, а другой — ограничен.
5)	Пусть х -> +оо, тогда разность, стоящую под знаком предела, можно записать в виде:
sin(7v\/x2 + 2х + 2/2)- sin(l + х)п /2-
- 2 sin(n /(4(л/х2 + 2х +1 +1 + х)) cos((Vx2 + 2х + 2 + х +1)л / 4) -> 0,
т.к. 1-й множитель -> 0, а 2-й — ограничен.
При х -> -оо предел не существует, т.к. sin((Vx2 + 2х + 2 - х-1)л/4) не имеет предела, а
cos(rc /(4(Vx2 + 2х + 2 - (х +1))) -> 1;
6)1;
7) 1/4;
8) 0;
9)ехр(2).
5.3.	1) п = 6; 2) Предел правой части равен ехр(-45). Положим а„(х) = (соях + cos2x + ...+
+ cosnx)/« - 1, тогда предел левой части равенства А = lim((l + a_),/a"),2<x"‘x . Применяя
г->0
дважды правило Лопиталя, находим, что
lim 12аи • х~2 - -(6 / п) lim(cos х + 22 cos 2х +... + п2 cos их) =
-(1 / ri)n(n + 1)(2и +1) = -(и + 1)(2л +1).
Здесь использована формула из указания к 5.1 п. 1. Из уравнения ехр( - (п + 1 )(2п + 1)) =
= ехр (-45). Находим, что п - 4.
5.4.	Предел А = 4аЬ = у]а(1-а), поэтому Атах =1/2.
5.5.	1) Применим правило Лопиталя: lim(aeax - b/(e +bx))/(2x)= 1. Т.к. знаменатель 2х -> 0
х—>0
и предел слева существует, то и числитель должен -> 0, т.е. a-1 - by = 0. Применяя 2-й раз
правило Лопиталя, получим а2 = 1. Поэтому а = 1, b = е или а = -1, b = -е;
2)а= 1, /> = 2 илиа = -1, /> = -2;
3)a = 0,Z> = ±2.
5.6.	Предел А = -1 при а = - 2.
5.7.	1 )fix) = cos 2лх, если |х| > 1 и fix) = х2 при |х| < 1;
2)Дх) = -1, если х е [-л/2; -л/3] о (л/3; iti2)\fix) = 1, если |х| < л/3 и/(± л/3) = 0;
3)У(х) = - In х, если 0 < х < 1 ,fix) = 1 при |х| > 1;
4)Дх) = sin л(2х - 1 )/2 = - cos лх;
5)Дх) = 0, если 0 < х < л/6;Дх) =1, если л/6 < х < л/2 иу(л/6) = 1/2;
6)У(х) = sin лх при х > 0; иДх) = 1/х при х < 0;
7)/a) = 7?(x+1)2/4.
5.8.	Два корня: xi е (ехр(а); ехр(/>)) ихг е (exp(Z>); ехр(с)).
5.9.	Пусть ai < а^< ...< ак < а^\ ... < ап . Тогдаf (ak)f(ai&\) < 0, гдеу(х) — многочлен (и - 1)
степени, к = 1, (п -1). Поэтому все п - 1 корней fix) действительны, причем ак < Хк <
к= 1,(л-1).
- 101 -
5.10.	/(1999) = 1999!
5.11.	1)Д0) = -2;/(0) = -6; 2)Д0) = 2;/(0) = 1 £ак.
п к=\
5.12.	Ближайшей к прямой будсг точка О (0,0), расстояние 8min = 1/V5.
5.13.	1) Ближайшей к прямой х + у = 5 будет касательная х + у = 2 к эллипсу, 5mm - 3^2/2;
2) пусть А (х0, ) — точка параболы, ближайшая к центру О|(9,3) окружности радиуса I.
Тогда О\А2 = min U(x) = min {(х-9)2 = (у-3)2} = min|(x-9)2 + (x2/2-3x-3)2}=> (7min
= (7(7) = 17/4. Поэтому кратчайшее расстояние между кривыми равно V17 / 2-1.
Замечание. Кратчайшее расстояние от точки О\ до параболы находится также по нормали
к параболе у - (х2 - 6х0) / 2 = -(х - х0) /(х0 - 3). Учитывая, что нормаль проходит через точ-
ку (71(9, 3), получаем для нахождения х0 уравнение х0 (х0 - 2))(х0 - 7) = 0. Убеждаемся, что
точка А (7, 7/2) будет ближайшей к (7ь
3)	задача сводится к минимизации квадрата расстояния от точки (7(0, 0) до точки Л/(х, Inx - 1)
кривой: (7(х) = ОМ2 = х2 + (Inx - 1 )2 => U’(x) = 2(х + (Inx - 1 )/х) = 0 => 1 -х2 = 1пх. Построив
графики левой и правой частей, убеждаемся, что х = 1 — единственный корень уравне-
ния; (7'( 1) > 0, поэтому х = 1 — точка минимума.
(/min = (7( 1) = 2, поэтому 8tnin = 41 -1.
5.15.	(0,5; 1,25). Smax= 5/4.
5.16.	5max = 27/2, С (-3; 0).
5.17.	Изобразим множество точек, удовлетворяющих неравенству (см. рис. 5.1).
1)	Прямая 2у = кх (см. указание) касается парабо-
лы/ = 2(х - 1) в точках Р|(хо,Ххо)), Л>(хо, -М*о)).
Для нахождения АГтп1 и АГп1ах используем, что У (хо)=
= 1/ у(хо) = к!2 = Ухо)/ х0 => /(х0) = х0; кроме того
у2(хо) = 2(хо- 1).
Поэтому получаем х» = 2(хо - 1) => хо = 2, у2(хо) =
= 2 =>Ххо) = +42. Следовательно, A?min = - 42,
Ктзх = Л и -^2 < 2у/х 2 -J2;
2)	обозначим U = х2 + у2. Из рис. 5.1 видно, что
, гд S( 1,0) — вершина параболы, т.е
= 1; <Утах = СМ2 = 81 + 16 = 97.
Поэтому 1 < (/< 97;
3)	используем обозначения, приведенные в указа-
нии. Очевидно, г1пах = |М4|2 = 92 +122 = 225. Пусть
Af(xi, ^1) точка параболы, ближайшая к А/(0; -8); ее координаты найдем, минимизируя
z = x2+ (у + 8)2 = (у2/2+1)2+ (у+ 8)2. Имеем, z'y = 2у(//2 + 1) + 2(у + 8) = 0 => у3 + 4у +
+ 16 = 0. Легко видеть, что^1 = -2 является единственным действительным корнем урав-
нения (он является делителем свободного члена 16), т.к. / + 4у + 16 = {у + 2)(/ - 2у +8) и
у2-2у + 8 > 0 Vy е Я.
Поэтому -min = г(-2)= 45. Тогда U = z - 3 удовлетворяют неравенству 42 < U < 122.
5.18.	1) -9/16 < Зх + 4у < 26; 2) 0 <у / (х + 3) < 4.
5.19.	При а = 0 х = 0 — точка минимума; при а = 1 — точка максимума.
5.20.	Правильный треугольник со стороной r4$, Smax = 3R24^I4.
- 102-
5.21.	fix) возрастает на [-6; 2], если а е (-оо; -6]u[ 18; оо).
5.22.	/ = 57(И- Ио). Минимизируя работу Л(И), получаем, что И= 2И0.
5.23.	Да) < 1/4, максимум достигается при g(a) = 1/2.
5.24.	В момент /о (см. указание) траектория проходит через точку (£, Л), поэтому U- ^/ /о,
И = hl to + g to/2 и V2 = С/2(Г0) + И2(/о) = r2 Hq + hg + g2t214. Найдем минимум Ио. Имеем,
2ИЛ = -2r2/,’ + 2/og2/4 = 0 => Г2 = 2r/g и Vm„ = V(r + A)g.
Замечание, min Ио2 можно также найти, используя неравенство между средним арифмети-
ческим и средним геометрическим а+b > ijab, а > О, Ь>0:
К,2 = Ag +г2/12 + g2/2 / 4 >hg + 2^(r2/t2Xg2t2/4) = hg + rg.
5.25.	Так как fl(x) <0 на (a, b), то fix) убывает; из неравенства /"(х) < 0 следует, что график
У ~fix) — выпуклый (см. рис. 5.2).
У ( J	S&OAI3 = $(*о) = а\^\ !
#(0, bj)	Найдем отрезки а\ и Ь\ из уравнения касательной
К	к кривой в точке Л/Ь:
рк	Имеем а, = х0 -f(x„)l bt = /(x^-xj'ix^.
|\	Тогда 5(хо) = -|(/Т*оХ-/(*о))2//Ш
________I \ X	2
a xQ b A(ai,0)
Puc. 5.2
Найдем У(х0): УЩ = -(1/2)• WWW	+ ДХо)//(,„)) = 0.
Так как f\x) < 0, f'\x) < 0, f\x)x - f(x) < 0 Vx e(a,b), то получаем, что x0 = -f{xQ)l /'(^o) —
точка min 5(хо) и = S(xo) - Ixfixo).
5.26.	Используя уравнение касательной (см. решения 5.25), находим:
^=№о)= (*-аХ|оЛ| + 1*а|)/2, гдеМ^оН/'^оХа-Хо).
IM = f(x0)+/'(х0 X* - х<>) => S(x0) = (b - а)(/(х0) + /'(ль)	- х0 j.
Таккакхь—точка min, то S'(x0) = (6-a)/"(x0)^~|~_x0 j = O=>xo =(a + Z>)/2.
Искомая точка Мо имеет координаты Л/о(хо,Дх(|)) и	= 5((a + Z>)/2) = (6-a)/^—у-).
5.27.1)	Решим задачу 2-м способом (см. указание). Из условий касания в точке с абсцис-
сой хо получаем
Je x° ~-2x2 2x0+a0,	2
i r	=>2x0+4x0+l-a0 = 0.
[e Xn = 2x() + l
Так как дискриминант квадратного уравнения Д - 16 - 8(1 - ао) = 0, то получаем ао = -1;
х0=-1;
2)ао= 1;х0 = 1-
5.28.	х = sin2 а + sin2 Д + sin2 у в 2 — единственный корень уравнения.
- 103-
5.29.	Уравнение имеет решение при а> 1 + ^9, п eN, п> 1. При а> 1 + ^2 — два корня;
при а = 1 + V5 — единственный корень х = 2.
5.30.	1) Уравнение имеет 3 корня при |а| < 1994, причем 2 из корней будут равными, если
|а| = 1994.
2)	Значение а, при котором графики функций ip(x) = х + х-1 -1 и <р(х) = asin(^x/2) будут
иметь 3 общие точки, найдется из условий касания кривых в точке (-1; -3);	- ^(-1)
и = ^'(”1) => я = 3.
3)	При 0 < а < 2>/з /9 три различных положительных корня.
5.31.	При а < 0 нет корней; при а - 0 х - 1 — единственный корень; при а = ё~х — 3 кор-
ня, два из которых х2 = х3 = е; при 0 < а < е~] три различных корня; при а > е~1 — один ко-
рень.
5.32.	1) {е;я + 2Ъг}, keZ;
2) {1;4л + 1}, neZ.
- 104-
6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЫ
6.1.	ЗАДАЧИ
6.1. Найти — прих = -1, если z = х + у + 2у, гд&у(х) есть решение уравнения \+х + у -
ах
= ехр(х + у2).
6.2.	Найти кратчайшее расстояние между поверхностью 4s = х2 +у2 и плоскостью 2х-у +
+ 2г + 3 = 0.
6.3.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 - |х - у2| в области х2 +у2 < 2.
6.4.	Какие значения может принимать выражение ху ехр(-О,5(х2 +у2)), если 1 <х2 +у2 <4?
6.5.	Функция fix, у) непрерывна, периодична по обеим аргументам и удовлетворяет урав-
нению fiy, z)-fix + у, z) +fix, y + z) -fix, у) = 0. Доказать, что ее можно представить в виде
fix, у) = F{x) - F(x + у) + F(y).
6.6. Доказать, что если
ди 3<р
дх дх
ди д(р
ду ду
= 1, то <pdu - ydx — полный дифференциал.
Здесь и, ф — функции отх,у.
6.7.	Найти наименьший объем тетраэдра, образованного касательной плоскостью и плос-
костями симметрии эллипсоида с полуосями а, Ь, с.
6.8.	Найти минимум функции при ограничениях:
1)	z - х~1 + 2х2у~\ еслих>0, у>0, у/х<1,
2)	и=——+ху, еслих>0, у >0, (x + y)z < 1, г >0.
xyz
6.9.	В данный круг вписать треугольник так, чтобы сумма квадратов его сторон была наи-
большей.
6.10.	Найти кратчайшее расстояние от точки Л/(1, 0, 2) до поверхности z=x2 + 2у2.
6.11.	Доказать, что функция Дх, у) = х2 + sin у имеет бесконечное число минимумов и ни
одного максимума.
6.12.	Преобразовать к новым независимым переменным г и ф уравнение х—+ у— = 0,
дх ду
где х = г собф, у = г sintp, и решить его.
6.13.	Доказать, что при любых х, у > 0 выполняется неравенство	/ > 1.
6.14.	Найти полуоси а и b эллипса (xla)2 + (у/6)2 = 1 наименьшей площади, содержащего
внутри себя окружность (х - I)2 + у2 = 1.
6.15.	Доказать, что функция fix, у) = 2sin х siny - sin(x + у) является двояко периодиче-
ской, и найти ее наибольше и наименьшее значения в области 0 < х < Т, 0 <>у < Т, где Т — пе-
риод.
6.16.	Через точку М(а, b, с) (а, Ьи с положительны) провести плоскость, отсекающую от
первого октанта (х > 0, у > 0, z > 0) тетраэдр наименьшего объема.
6.17.	Даны три положительных числа х, у, z.
Найти: 1) min (x2lyz + y2lxz + -2/лу); 2) min (x + у + z), если xyz = 1.
6.18.	Найти функцию U(x,y) из уравнения:
1) — - sin(x + 2y) + 2xy, если (x, 2x) = 2x3;
dx
- 105-
2)	— = -4у+ху\ если (у, у) = у*/3-_у2;
ду
д2и
3)	= sin(x + у), если (7(0, у) = у2, U(x, 0) = -sinx.
дхду
6.19.	Исследовать на экстремум функцию:
1)	f(x,y)=(x2+ 4ху+у2)/(х2-ху +у2); 2) z = (х2 + у2)ехр(-х2 -у2\
6.20.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z - sin(y]x2 + у2) в области:
1)	х2 + у2 < л2/4; 2) х2 + у2 £ п2.
6.21.	Вычислить интегралы:
1/2	1/2	1 + х
4) f arcsinx-arccosx-(l-x2)~1/2tfr; 5) f (x + cosx)ln--------dfr;
J	J	1 — у
0	-1/2	Л
2<P
6)	j 2n+\/acost-bsintdt, гдеа>0, 6>0, neN, (p = arctg(aIb);
о
я	я/3	я
7)	j|sinx-cosx|dfr; 8) j \tgx - c(gx|cfr; 9) J arccos(sin x)dx\
О	я/6	0
I	я	я 12 _______________________
10)	j |ex 4- x - l|c&; 11) j (|cos x|+|cos 2x|)<&; 12) j Vx2 - 4x sin x+4 sin2 xdx\
-i	о	-я/2
2	я
13) j|x-l + cos(zrx/2)|6fr; 14) jsinI992xcos!994x<&;
о	о
nil	x-n
15) Г x'2(xsinx + cosx)<&; 16) f----dx, ne
J 1-x
я/3
17) fy2dfr, взятый по интервалу убыва-
ния функции у =у(х), заданной неявно уравнением ху - £ - 0, х >0.
е _______________________ I	1я
6.22. Доказать, что 1) j Vln xdx + j e*' dx = e\ 2) lim j |sin nx\bc = 4;
sin2 x	cos2 x
3)	| arcsinVtdt+ | arccosV/cfr = я74;
о	о
4)	0< j(siiw+?+2)£*/(f2 + 1)<2(l + fl74) Vxe[-1, 1];
-1
5)	Наименьшее значение функции J (sin Л7 + /3 -r)/(e' +e4)-dt отрицательно на [-1,1].
-i
л+1
6.23.	Найти п е N из уравнения ехр( j ln[z]<ft) = 1997!, где [х] — целая часть числах, т.е.
1
наибольшее целое число, не превосходящее х.
6.24.	Определить, при каких а е 7?, 1\ /г» где
- 106-
/j = J x exp(O,5x2 - x)dx, 12 = j exp(O,5x2 - x)dx.
о	о
6.25.	Найти площади фигур, ограниченных линиями:
О |jV -1| = х - х4; 2) г1 - 2г + ф2 = 0 (г и ф — полярные координаты);
3)	ограниченной фигуры, координаты точек границы которой удовлетворяют уравнению
х2у2 + х4у4 = хь + у*.
6.26.	Рассмотрим тело, ограниченное плоскостями х = а, х - b и поверхностью, получаю-
щейся при вращении графика функции у -fix) вокруг (лежащей в плоскости хОу) прямой
у = т. При каком т объем этого тела является наименьшим?
6.27.	Функция Дх) дважды дифференцируема на [a, Z>], причем Дх) >0,/"(х) < 0 Vx е [а, Ь].
Через некоторую точку Л/о(хо,Дхо)), х0 е (а, Ь), кривой)? =Дх) проведена касательная, ко-
торая вместе с прямыми х=а, х = />,у = 0 образует трапецию минимальной площади.
Найти координаты точки Л/о и площадь трапеции.
6.28.	Две вершины квадрата лежат на оси Ох, а две другие — на дуге кривой у = (4/3) sin их,
х е[0,1]. Найти отношение площадей квадрата и криволинейной трапеции: у = (4 /3)sin тис,
у = 0, х е[0,1].
6.29.	При каком т е R парабола)? = х2 + т делит фигуру, координаты точек которой удов-
летворяют неравенству |х + )?| + |х -)?| < 2, на две равновеликие части?
6.30.	Криволинейная трапеция ограничена кривой)? -fix) и отрезком [-а, а] оси Ох. Функ-
ция Дх) непрерывная и четная на [-а, а], причем Да) - 0,f” (х) < 0 Vx е (-а, а). Через точ-
ки (а, 0) и (-а, 0) проведены прямые, параллельные оси Оу. Найдите прямую, параллель-
ную оси Ох такую, чтобы была минимальной сумма площадей трех фигур: двух криволи-
нейных треугольников, образованных проведенными прямыми и кривой у =fix), и фигу-
рой, ограниченной искомой прямой и кривой)? -fix). Чему равна эта площадь?
п
6.31.	Доказать, что график функции f (х) = ^ак cosAx бесконечное число раз пересекает
Л=1
ось Ox V R, к = 1, м
6.32.	Вычислить интегралы: 1 )|| ((х + )?)/(х2 + y2))2dxdy, где D: х + у = а, х +у = Ь, х = 0,
D
е = 0, 0 <а<Ь;
2)	jjx)?ln((x2-y2)l(x2 + y2))dxdy, где D: х2+у2 = 1,у-х,у = 0 (у> 0);
D
3)	f<> х c°s(y
4)	jfarctg(y/x)dxdy, где D: х2+у2 = 1,_у = 0,у = 0 (у > 0), _у = -х>/3;
D
5)	f‘dxf^-lg2(xy3/4)dy;
6)	Jj|cosx-cos)?|dW>?, где D: 0<х<л/2; 0£у£л/2;
D
7)	Я(*2+/Г3/2^> гдеD.x2+y2- 1,х+)?= 1,х>0,)?> 0;
D
8)	JJ ехр(д/4х2 - 4ху + у2 )dxdy, где D: 0 < х < 1; 0 £ у < 1;
D
- 107-
10)	со52(лу2)ф + ^dx£cos2(ny2)dy;
rr x2
11)-------JJ—z---yln(x+y)dxdy, vj&D.x + y= l,x>0,y >0;
dx + У
12)	jj((cosx/(cosx + cosy))<irt7y, гдеD: x2 + y2<l.
D
6.33.	Найти объем тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям:
1)	0<х<1; 0 у < 1; 0 < г < 1; у < z Z х2 + у2; 2) $<x<y<z<a, z<x + y,
3)	((7^+/-l)/a)2 + (z/Z>)2 = l, (0<a< 1);
4)	(* +y)~ = ax + by, z = 0, 1 < x2 + y2 < 4, (x > 0, у > 0, a > 0, b > 0).
6.34.	На отрезке [0, b] оси Ox взяты произвольно две точки х и у. Найти среднее значение
расстояния между ними.
6.35.	Какой должна быть дифференцируемая на [0, оо) функция fix), чтобы V а > 0
+ /)<$'= *(/(<»)-l)?
6.36.	Доказать неравенство: я72< jj ехр(-х2/(х2 +y2))dxdy< л.
хг+уг<А
6.37.	Найти площадь фигуры, полярные координаты точек которой удовлетворяют нера-
венству acos (р < г < 2 - coscp, а > 0.
6.38.	Из однородной пластинки: х, у > 0, х2 + у2 < 1 вырезан квадрат 0 < х < 0,5, 0 < у < 0,5.
Где находится центр массы оставшейся части?
6.39.	Вычислить криволинейные интегралы:
1)	j(ex siny-y + l)dx + (ex cosy + x2)dy, где L — верхняя полуокружность х2 + у2 = 2х
L
(у > 0), обходимая против часовой стрелки;
2)ф/(у / x)(xdy - ydx) I х2, где f — непрерывно дифференцируемая функция, L — замк-
L
нутый гладкий контур, расположенный в полуплоскости х > 0;
3)	|(xdx+ydy + zdz) ехр(-^/х2 + у2 + z2), где L — произвольная простая, гладкая линия,
л
соединяющая точку А сферы х2+у2 + z2 = 1 с точкой В сферы х2+у2 + z2 = 4;
4)	ф х cos л(х2 + у2 )dx + у sin л(х2 + у2 )dy, где L — объединение дуги окружности х2+у2 = 1
L
(х > 0, у > 0) и отрезков осей координат 0 < х, у < 1;
5)	<£r-^-r—!. где L — контур ДОЛЯ, О (0,0), Л(л/2, л/2), й(-л/2, л/2).
* |cosx|+|siny|
6.40.	Материальная точка перемещается из точки О (0, 0) в А (1;1) под действием силы
F(ex2(l-y);x). Сравнить работы силы при движении точки: а) по отрезку прямой у = х;
б) по дуге параболы у = х3.
6.41.	Доказать, что ф/(у)с&-х/'(у)ф = 0, если L — контур, симметричный относитель-
L
но оси абсцисс, ау(х) — четная функция.
- 108-
6.42.	Криволинейный интеграл ^>(/(y)4-sinx)dx-(x/’(y) + cosy)tZv, где L — произволь-
L
нал простая, гладкая, замкнутая кривая, равен площади фигуры, ограниченной L. Найти
дифференцируемую функцию/(у), еслиДО) = 0.
6.43.	Пусть L — дуга произвольной плоской кусочно-гладкой кривой, лежащей в полпло-
скости у > 0, с концами в точках (-1, 0), (1, 0). Известно, что криволинейный интеграл
j (^(х) sin у+ x2)rZv +(у2-<^'(x)cos у )t/y = C = сол5/. Найти С, дважды дифференцируе-
L
мую функцию (р(х), если ^(0) = 0, ^/(0) = 1.
6.44.	Найти массу окружности х2 + у1 = ах (а > 0), если плотность распределения массы
равна расстоянию точки окружности от начала координат.
6.45.	Найти центр массы однородного куска логарифмической спирали г = е~9(р > 0.
6.2.	УКАЗАНИЯ
6.1.	Положив в уравнении х + у2 = /, убедиться, что уравнение е‘ = 1 + / имеет единствен-
ный корень, и найти явную зависимость х от у.
6.2.	Минимизировать расстояние произвольной точки поверхности до плоскости. Можно
также использовать, что направляющий вектор нормали к поверхности параллелен нор-
мальному вектору заданной плоскости.
6.3.	Используя четность функции г(х, у) по у, исследовать функцию z в каждой из 2-х об-
ластей, на которые параболах = у2 разбивает верхний полукруг*2 +у2 < 2 (у > 0).
6.4.	Использовать свойства функции Дх, у) = ху ехр(-О,5(х2 + у2)):Д-х, -у) -fix, у) -fiy, х),
Д-х, у) = fix, -у) = -fix, у). Можно, перейдя к полярным координатам, исследовать fir, ф)
на экстремум в прямоугольнике: ф = 0, ф - п / ф, re [1; 2].
6.5.	Если проинтегрировать уравнение по z в пределах от 0 до Т (Т — период), то будет
ясен вид F.
6.6.	Выразить du(x, у) через dx и dy.
6.7.	Пусть Мо (хо, уо, -0О) — точка касания касательной плоскости и эллипсоида. Выразить
объем V тетраэдра через хо, уо, £о и а, Ь, с. При минимизации V использовать неравенство
между средним арифметическим и средним геометрическим 3-х неотрицательных чисел.
Задачу можно также свести к исследованию функции на условный экстремум.
6.8.	Используя ограничения, свести исследование на минимум в 1) к исследованию функ-
ции одной переменной х, а в 2) — функции 2-х переменных х иу.
6.9.	Используя теорему синусов, свести задачу к исследованию на экстремум функции
U = U (а, р), где а и р — два угла треугольника.
6.10.	Кратчайшим является отрезок нормали к поверхности, проходящей через заданную
точку. Можно также исследовать на минимум U = 82, где 82 — квадрат расстояния от
точки М до поверхности.
6.13.	Использовать логарифмическое тождество и неравенство ех > 1 + х, х 0, для преоб-
разования левой части неравенства.
6.14.	Искомый эллипс касается окружности и площадь эллипса 5 = тшЪ.
6.16.	Найти зависимость между отрезками, отсекаемыми плоскостью на осях координат, и
координатами точки М.
6.17.	1), 2) См. указание к 6.7.
6.18.	Проинтегрировать обе части уравнения по х в 1) — по у; в 2) при фиксированной
другой переменной; в 3) дважды: сначала по одному переменному, затем по другому.
- 109-
6.19.	Полагая в 1) t -ylx, в 2) х2 + у2 = /, убедиться, что функция z(x, у) имеет нестрогий
экстремум, который достигается в точках некоторого множества.
6.21.	1)-4) Использовать метод интегрирования по частям, в 1), 2) предварительно инте-
грал записать в виде суммы;
5), 6) использовать свойство интеграла:
/ = f a/(x)dx = 0, если/х) нечетная, и / = 2j“f(x)dx, если/х) — четная;
7); 8), 10), II) используя свойства подынтегральной функции, освободиться от модуля;
9)	положить t = х - 7i/2, использовать свойство, приведенное в указании к п. 5, и свойства
arccos х;
12)	записать подкоренное выражение как квадрат разности;
13)	чтобы освободиться от модуля, решить графически уравнение 1 -х = cos (тгх/2);
14)	рассмотреть интеграл / =	sin"4 х cos(w + \)dx, который представить в вице разно-
сти / = Л - /2, применив формулу косинуса суммы;
15)	преобразовать подынтегральную функцию;
16)	вывести рекуррентную формулу для /л, записав числитель в виде 1 = (1 -х) + х и вы-
числив Ц. Подставляя в полученную формулу вместо п последовательно 2,..., п и склады-
вая почленно полученные п - 1 равенств, получить выражение для
17)	исследовать на монотонность функцию х = у ~ieyt у > 0, и в интеграле выразить dx че-
рез dy.
6.22.	1) Найти обратную для одной из подынтегральных функций и использовать геомет-
рический смысл интеграла; можно также, положив Vlnx = /, проинтегрировать интеграл
по частям; 2) вычислить In = J |sinnx|tfr, используя периодичность|sinnx| и геометриче-
ский смысл интеграла; 3) пусть F(x) левая часть тождества; убедиться, что Дх) — четная, пе-
риодическая с периодом Т = тс, F(x) = 0 Vx е (0, тс/2), т.е Дх) = С. Найти С, вычислив
( Ф(х)	Y
Дтс/4). При нахождении Г(х) применить формулу F'(x) = j f(t)dt = f{(p{x))(p\x).
x a	'X
Непосредственное вычисление интегралов приводит к более громоздким выкладкам;
4)	обозначим интеграл Дх). Найти наибольшее и наименьшее значения Дх) на [-1; 1].
При вычислении Д1) использовать свойство интеграла, приведенное в указании к 6.21 п. 5,
убедиться, что Дх) возрастает на (-1; 1);
5)	см. указание к п. 4; при исследовании производной интеграла решить графически урав-
нение sin nt -t-1\
6.23.	Записать интеграл в виде суммы п интегралов с длиной интервала интегрирования,
равной 1.
6.24.	Рассмотреть разность интегралов.
6.25.	1) Разложить правую часть уравнения линии на множители и определить границы
изменения х;
2)	для определения границ изменения ф выделить полный квадрат в уравнении линии;
3)	перенести все члены уравнения кривой в левую часть и записать ее как произведение.
6.26.	Выразить радиус R площади сечения тела плоскостью х = хо, хо е (а, Ь) через .Дх) и m
и минимизировать объем тела V(m).
6.27.	Пользуясь уравнением касательной к кривой в точке А/0(хо,У(хо)), выразить площадь
трапеции 5 как функцию хо и минимизировать Дхо).
-ПО-
6.28.	Пусть X|, x2 (*i <*1) — абсциссы вершин квадрата, лежащих на синусоиде. Показать,
что *1 удовлетворяет уравнению 1 ~2Х| = (4/3)sin лх,, которое решить графически.
6.29.	Убедиться, что неравенство задает внутренность квадрата с центром в точке 0(0; 0)
и —1 <т <0.
6.30.	Используя четность fix) и теорему Ролля для/х), х е [-а; а], убедиться, что х = 0 —
единственная точка максимума fix). Пусть ±х0 — абсциссы точек пересечения искомой
прямой у - fixo) с кривой. Выразить сумму площадей фигур S как функцию х0 и миними-
зировать 5(х0).
6.31.	Используя четность и периодичность fix), вычислить интеграл отДх) на отрезке,
длиной в половину периода.
6.32.1), 2), 4), 7) Перейти к полярным координатам;
3), 5), 9), 10) изменить порядок интегрирования;
6) освободиться от модуля, учитывая убывание косинуса на [0; л/2];
8) записать корень как |2х - у| и разбить область интегрирования на две прямойу = 2х;
11), 12) пустьу(х, у)— подынтегральная функция и 71 — искомый интеграл; использовать,
что fix, у) и fiy, х) принимают в области D одинаковые значения и потому интегралы от
них Л и /г совпадают и равны их полусумме, которая легко вычисляется.
6.33. Учесть, что в 1) 0 £ z < min{l; х2 +у2};
2)	0 < z £ min{a,x+у} и потому область интегрирования разбивается на две;
3)	перейти к цилиндрическим координатам и из уравнения поверхности получить грани-
цы изменения г; задачу можно также свести к вычислению объема тела, полученного от
вращения эллипса ((х - 1)/а)2 +(z/b)2 = 1, у = 0 вокруг оси Oz;
4)	простыми будут вычисления, если использовать указание к 6.32 п. 11; можно вычис-
лить объем и непосредственно, переходя к цилиндрическим координатам.
634.	Расстояние fix, у) между точками равно |х-у|, а его среднее значение равно
§f(x,y)dx<fylSD, где SD — площадь области D: 0 £ х, у £ Ь.
D
6.35.	Переходя к полярным координатам, свести двойной интеграл к однократному, и по-
лученное равенство продифференцировать по параметру а, определив сначала значение
Л0).
6.36.	Переходя к полярным координатам, свести двойной интеграл к однократному и ис-
ъ
пользовать для оценки сверху неравенство ^f(y)dy<(b-a)M, где М— наибольшее
а
значение функции на [а, 6]. Для оценки интеграла снизу использовать неравенство
ехр(х)>1+х УхеЯ.
6.37.	Рассмотреть случаи 0 < а £ 1 и а >1.
6.38.	В силу симметрии фигуры координаты центра С массы находятся на прямой у = х,
т.е. хс = ус. Для нахождения хс проще использовать формулу х, • /и, + хс • тг = х ♦ т, где Х| и
т\ — соответственно абсцисса центра квадрата и его масса, х и т — то же для четверти
круга, а тг = т - т\, при этом абсцисса центра х находится по формулам
х = || xy(x,y)dxdy! т,
D
т = || y(x,y)dxdy, где у — плотность распределения массы (в задаче у(х,у) const).
D
-111-
6.39.	1) Дополнить контур отрезком оси Ох до замкнутого и применить формулу Грина к
получившемуся интегралу; из полученного результата вычесть значение интеграла, взято-
го по отрезку оси Ох\
2)	положить у/х = и и убедиться, что под знаком интеграла стоит дифференциал функций
dF(u) = f(u)du\
3)	умножив и разделив подынтегральное выражение на и = у]х2 + у2 + z2, свести криволи-
нейный интеграл к определенному;
4)	вычисления проще, если криволинейный интеграл разбить на сумму 3-х; можно также
применить и формулу Грина;
5)	применить 1-й способ вычисления, приведенный в указании к п. 4.
6.40.	Найдя разность работ, получить криволинейный интеграл по замкнутому контуру, к
которому применить формулу Грина.
6.41.	Применить формулу Грина и учесть, что производная четной функции — нечетная
функция.
6.42.	Применив формулу Грина, учесть, что двойной интеграл численно равен площади
области интегрирования, если подынтегральная функция равна 1.
6.43.	Легко показать, что величина интеграла не зависит от линии, соединяющей произ-
вольные точки, лежащие в полуплоскости у > 0. Поэтому за контур интегрирования мож-
но взять отрезок оси Ох и вычислить С. Функция ф(х) находится из дифференциального
уравнения, которое получается из условия того, что подынтегральное выражение — пол-
ный дифференциал некоторой функции.
6.44.	Перейти к полярным координатам.
6.45.	В формулах для нахождения координат центра масс
xc = (\xdt)/L, yc=(fyd£)/L,L = \dt
L	L	L
перейти к полярным координатам.
6.3.	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
6.1.	Следуя указанию, находим, что / = 0 единственный корень уравнения е' = 1 + / (прямая
у = 1 +/касается у = е'при/ = 0). Поэтому х = -у2 =>~2уу' = 1; у' = -1/(2у); прих = -1у2 =
dz\
= 1 =>у = ±1 и получаем две точки A/i(- 1; 1), Л/2(-1; - 1), в которых находим —I = -4,
1л/,
- =-2-
^1л/2
6.2.	Пусть Л/о(хо, уо)—точка поверхности, 4s = х2 + у2, ближайшая к плоскости 2х -у + 2s + 3 = 0,
тогда расстояние <5 = (1 /3)|2х0 - у() + 2s0 + з| = (1 / 6)|(х0 + 2)2 + (у0 -1)2 +1| => 6 = min при
хо = -2, уо = 1, го = 5/4, причем Jmin =1/6.
6.3.	Пусть D\ та часть полукругах2 + у2 < 2, (у > 0), где у2 > х, a D2 — где у2 < х.
.	[2х + 1, D. .
-2у, D,
_	2у, D2 '
В Q находим точки Л/1(-1/2, 0), на границе х2 + у2 = 2, у > 0, х е[->/2, 1] (Л/з( 1, 1) — точ-
ка пересечения окружности и параболы), Л/г (->/2,0), Л/д (-1/4,-УзТ/ 4), (9(0, 0). Анало-
-112-
гично в Z>2 находим М$( 1/2, 0), Л/б(>/2,0). Вычисляя значения z(x,y) в точках Мк, к -1,6,
и 0(0, 0), получаем, что max Z(x,y) = Z(l, 1) = 1, min Z(x,y) - Z(-l/4,\/3174) = -17/8.
6.4.	В силу свойств и -fix, у) — ху ехр(-0,5(х2 + у1)) (см. указание) исследование достаточ-
но проводить в области D\: 1 < х2 + у2 < 4, 0< у < х, причем найти только наибольшее зна-
чение Л/, т.к. наименьшее т - -М.
Если перейти к полярным координатам, то область D\ переходит в Di — прямоугольник,
а и = и(г, ф) = 0,5г2 sin 2ф • ехр(-0,5г2). Из системы
=0,
иг =0
г2 cos2fij = 0,	г- п
=>г = л/2,<р = —
sin 2(р • (2г-г3) = 0
т.е. точкаЛ/1(Т2,л/4) и w(>/2, я/4) = е ’. На границе D2 находим м|ф=0 s 0, и| ж/4 = 0,5г2
ехр(-г2 / 2), г g [1; 2], причем м(1, я / 4) = 0,5е’1/2; м(2, я / 4) = 2е~2.
Поэтому М = max м(г,ф) = е~\ т = -е~\
т	т	т
6.5.	Следуя указанию, имеем: Т • /(х,у) = J/(у,z)dz -|/(х + у,z)dx + ff(x,y + z)dz.
оо	о
т	у+т	т
Полагая 5 = у + z, находим j/(х,у+ z)d5- j f(x,s)ds = j f(x,s)ds (в силу периодично-
0	у	О
Т
сти по переменной 5). Поэтому, если взять за F(x) = Т~] • j f(x,s)ds, получим требуемое.
о
6.7.	Запишем уравнение касательной плоскости к эллипсоиду в точке Л/о(хо, уо, -о), хо > О,
yoXUoX), (х-х0)2х0/а2 +(у-у0)2у0/Ь2 + (=-=0)2г‘ I:2 =0=> 22>+2Й>+3> =1. Пусть
а о с
ai, b\, с\ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, тогда объем тетраэдра V
т, 1 L а2ь2с2
равен И =—аде. ---------.
Н 6 * * * 6хоуого
Из неравенства (см. указание) 1 =	4~ > 3?|(X°'Vo~--У => —-—	поэтому
а2 Ь2 с2 N abc *оУо2о аЬс
V^°bc4il2, минимум достигается, если х0 la = у0 lb = z01 с.
6.8.	1) Из ограничения х-1у < 1 =>у-1 >х-1, поэтому:
z(x,y)>x~l +2хгх'1 ^42(42х + \/(42х))>242 и zrom = z(l/>/2; 1/>/2) = 2>/2.
Действительно, если у < 1/V2, то у "’> 42 и значение z увеличивается;
2)	аналогично из неравенства (х + y)z < 1 => z~l > х + у, поэтому U(х,у, z)>(x + y)l
/(ху) + ху = f(x,y). Исследуя fix, у) на минимум, получаем fmin -fi\', 1) = 2. Следовательно,
t/min = Ц1, 1, 1) = 2 (если 0 <z < 1, то U увеличивается прих=у = 1).
6.9.	Треугольник правильный.
X — X	V -• у Z — Z
6.10.	Так как нормаль к поверхности----- = -—— = —— проходит через точку М\, то
2*о	-1
получаем -—Покажем, что уо = 0. Если уо * 0, то получаем 1-х0 =
2х0	4у0	-1
= -х()/2 =>х0 = 2,	= 7/4, тогда 2yl = zo-Xq=7/4-4<0, что невозможно. Итак,у0 = О,
-113-
тогда r0 = 2+(1 -х0)/(2х0) и:0 = х02, т.е. хо находится из уравнения: 2х3 -Зх0 -1 = 0. Обо-
значим Хк, к = 1,2, 3, корни уравнения. Очевидно, xi = -1 — корень. Деля левую часть
уравнения нахо + 1, находим х2 - (1 + >/3)/2, х3 = -  Итак, получаем три точки Л/1(-1;0;1),
(Л/2(х2;0;х2),Л/3(х3;0;х2). Проверкой убеждаемся, что Smm = |ЛШ2| = 711 ~'б>/з 12.
6.11.	Zmin = Z(0;y„) = -l, гдеу„ = -л/2 + 2лл, neZ.
6.12.	= 0 => z = f((p) s f(arctg(ylx)).
dr
6.13.	Пусть U(x, у) = xy + y\
Тогда, используя указание, получаем U - ехр(у In х) + ехр(х In у) > 2 + у In х + х In у s К(х, у).
Найдем минимум К(х, у): У' = у / х + In у = 0, Уу = х/у + In х = 0. В силу симметрии систе-
ме удовлетворяют (хо, уо) и (уо, хо). Но можно доказать, что система имеет единственное
решение (это следует из свойств функции у = -х/1пх на (0; 1), где она возрастает и поло-
жительна). Поэтому х0 = у0 = е'1, Утт = У(х0,у0) = 2 - 2e~l > 1. Итак, Цх, у) > 1. При х = у = 1
Ц1,1) = 2.
6.14.	Из условия касания эллипса и окружности находим зависимость а2 + b2(b2 - а2) - 0
=> (т. к./>2^ 1)а2 = Z>4/(62-1).
Пусть 5 = nab — площадь эллипса, тогда находя min U(b) = min S2(b) - min n2b6 /(b1 -1),
получаем b = >/з/2, a = 3>/212.
6.15.	Так как /(x± л,у± л) = f(x,y)\f x,y, то период T- л (по каждому из переменных x
и у период Т\ - 2л), нужно найти наибольшее и наименьшее значения Дх, у) в квадрате 0 <
< х, у < л. Из системы уравнений <	_ находим sin(x - у) = 0 и sin2y = cos2y, т.е.
“°
х= ли + л/8 + лА72, у = л/8+ пк!2, к,п eZ. Внутри квадрата будут лишь две точки
М1(л/8, л/8) и Л/2(5 тг/8, 5л/8). Исследование на границе области дает еще 4 точки: Л/з(О, л/2),
Л/4(0, л), ДО, 0), Л/5(л/2, л) (не считая симметричных точек, ведьДх,у) = Ду, х)). Вычисляя
(х, у) в этих точках, получаем: max/(х, у) =/(5 л/8,5л/8) = 1 + V2, min/(x,y) =
=/(0,л/2) =-1.
6.16.	Пусть х/я, + у/^ + z/с, = 1 — уравнение искомой плоскости. Тогда объем тетраэдра
У= а\Ь\С\16 и требуется найти min И при условии а! а^+ЫЬ^+с! с{ = \.
Решая эту задачу, получаем х/я + у/b + zlс = 3.
6.17.	1) Пусть U(x,y, z)— функция, которую нужно минимизировать. Записывая ее в виде
U = (х3 + у3 + г3)l(xyz) и применяя указание, получаем U > 3, т.е. 47т>п = Цх, х, х) = 3 Vx > 0;
2) min(x + у + :) = 3 и достигается при х = у - z = 1.
6.18	.1) Согласно указанию имеем
Цх,у)= J (sin(x + 2у)+2xy)dx = - cos(x + 2у) + х2у + <р(у).
Из условия Цх, 2х) = 2х3 получаем: - cos5x + 2х3 + <р(2х) s 2х3 => Ф(2х) = cos5x => ф(х) =
= cos(5x/2). Поэтому Цх, у) - - cos(x + 2у) + х2у + cos(5x/2);
2)	U(x,у) = х2 - 2у2 + лу3 /3;
-114-
3)	интегрируя пох, находим ----- - cos(x + у) + А(у). Теперь, интегрируя по у, получаем
ду
U(х, у) = - sin(x + v) + j A(y)dy + В(х). Из условия ЦО, у)=$ => j A(y)dy = у2 + sin у + В(0)
=> А(у) = 2у2 + siny + £(0) => А(у) = 2у + cosy;
Из условия ЦО, х) = - sinx + С + В(х) - - sinx => В(х) s С.
Поэтому Цх, у) = - sin(x 4-у) + у2 + siny + С. Но С = 0, т.к. ЦО, 0) = 0.
Итак, Цх,у) = у2 + siny - sin(x +у).
6.19.	1) Следуя указанию, положим t=y/x, t?ovwZ = (х2 + 4ху +у2)/(х2 -ху + у2) = (1+4/4-
+ /2)/(1 -/+ ?), Z/= 5(1 —/2)/(1 — / ч-/2)2 = 0 => Г = ±1, причем /| =-1 —точка min, а/2 = 1 —
точка max функции Z(/), Zmin = Z(-l) = -2/3, Zmax = Z(l) = 6. Поэтому Z(x, у) имеет min в
точках прямой у = -х и max в точках прямой у = х. Такой экстремум называется нестро-
гим.
2)	так как Z(x,y) = (х2 + у2)ехр(= (х2 + у2)) > 0 = Z(0,0), причем знак равенства достигает-
ся только в точке ЦО, 0), то О — точка строгого минимума; для нахождения максимума
положим х2 + у2 = t.
Тогда имеем Z = te~‘, Z/ = (1	= 0 => t = 1 — точка max Z(/), причем Zmax = Z(l) = e~l.
Поэтому Z(x, у) имеет нестрогий max, который достигается в точках окружности
/ = х2 + у2 = 1.
6.20.	1), 2) Zmin = Z(0, 0) = 0, Zmax = 1 достигается в точках окружности х2 4- у2 = я2 /4; в 2)
Zmm = 0 достигается также в точках окружности х2 4-у2 = л2.
6.21.	1) л-1-1п2;
2) 1/3 +л/4-(1п2)/2;
3) I = х arcsin у]х/(\ + х)
^-—^(y[xl(\ + x}dx-nlA-\l2Ix. Заменяя в I\ 4x-t, получаем
- 2(t - arctgt)\ 1 = 2(1 - я7 4). Поэтому / = п / 2 -1;
4)7л3/1296;
5) запишем / = 1\ 4- /2; т.к. ср{х) = ln(( 1 4- х) (1 -х)) — нечетная функция, х^(х) — четная, а
cos х • <р(х) — нечетная, то /2 = 0, а 1Х - 2^/2х<р(х)с/х = 1 - (3 / 4) In 3 (проведено интегриро-
вание по частям);
6) преобразуем a cost - b sin/ - A sin(^- /), где А - \la2 + b2, sin (р- al A, sin (р = bl A, tg (р-
- а!Ьъ и положим в интеграле It - (p=S, тогда / = Р 2"\/-Zsin sds = 0, т.к. подынтеграль-
ная функция нечетная;
7)2(72-1);
8)	1п(4/3);
9)	следуя указанию, получаем
fitH	ел!2	ея/2	7
/ = J ^arccos(cos/)J/ = 2Jo arccos(cos/)J/ = 2jo tdt-л /4
(здесь использованы сначала четность подынтегральной функции, а затем тождество
arccos (cos /) = /,/ е [0, тт/2];
- 115-
10)	учитывая, что на [-1, 0] прямая у = 1 - х расположена выше кривой у = /, а на [0, 1]
ниже ее, получаем, что / = j (1—х—ex)dx + £ (ех + х - \)dx = г + е-1 -1;
11)4;
12)	следуя указанию, получаем Z = 2jo |*2 sin *|с& (здесь использована четность подын-
тегральной функции). Чтобы освободиться от модуля, исследуем fix) = х- 2sinx на [0, тс/2].
Имеем f'(x) =1 - 2cos* = 0 => *] =у — точка минимума, fiO) = 0, /(~^ = у~2<0,
/(я73) = я73->/з <0. Итак,/*) < 0 на [0, л/2]. Поэтому / = 2|*/2 (2 sin *-*)<& = 4-/г2/4;
13)	построим графики у = 1 -х и у = cos(nx/2) (см. рис. 6.1) на [0,2]. Из рис. 6.1 видно, что
*i - 0, *2 ~ 1, *з - 2 корни уравнения 1 -х - cos тис/2.
_	, fl . 7ГХ ,	. . f2	лх. .	.
v	Поэтому Z = J (cos-----1+x)dx + J (1-x-cos—)<ir = 4^-l;
y=«>s(7tx/2)	°	2	2
1	14) следуя указанию имеем 1 = sin xcosxcosnxdx-
—--------pST"----2---T "Io sin” x s’n	интегРиРУя h по частям, получаем
1------/ =—sin" x cos nxlП + /, = L, т.е. 1 - 0. Полагая n = 1993, no-
n	*0
Puc. 6.1	лучаем, что и исходный интеграл равен 0;
15)	записав подынтегральную функцию в виде (-(cos *)/*)', находим /= 3/(2л).
Замечание. Можно было записать 1 = 1\ + h и интегрированием по частям показать, что
f*/2 _2	cosxk/2 з
А = х cos*d* =-----------,	---/.
2 J*/3	х |я73	1 2л 1
16)	следуя указанию, имеем Zw =J*“"dEr + /„_1 =-*l“"/(^-l) + /„_j, п > 1, причем 1Х =
= [——— = 1п|——— + С. Далее, подставляя в полученную рекуррентную формулу после-
J*(l-*)	|1-*|
довательно 2,3,..., и, получаем п - 1 равенств:
/2-/, = -х-‘, /3-/2 = -х-2/2,..../и_,-у_2 = -х2-я/(л-2), /n-/w_1 = -x,-w/(w-l). Склады-
л-1
вая их, находим, что In = In|* /(1 - *| - У, хк~п /(п-к)+С’>
*=1
17)	из равенства еу=ху и х> 0 => у > 0. Рассмотрим функцию х - еу 1у. Она убывает, если
*J, = У ~2(У -1X^0 => 0 < у < 1. Следовательно, убывает и у = у(х) на [е, оо). Поэтому ис-
-	,	Г°° 2 I	Г1/ n v ,
ходныи интеграл / = I у dy(—) = -1 (у - \)eyscty = -2 + е.
Je dy JO
6.22. 1) Положим у = Vlnx, тогда* = ехр(у2). Из геометрического смысла интеграла (см.
Рис. 6.2
рис. 6.2) вытекает, что левая часть исходного равенства рав-
на сумме площадей + S2, т.е. площади прямоугольника
5= 1е.
2-й способ решения (см. указание); полагая >/1п* = у, полу-
чаем:
-116-
Л = J‘ Jinxdx =	• 2y еяр(.уг )dy = y exp( y2 )| q “ J„ exP</)dy = e-I2=>ll + /2 = e;
л2Я| I	ел/п
2)	следуя указанию, имеем Iп = Jo |sin nxpx = 2wJo sin nxdx = 4 (здесь использовано, что
Isin их| имеет период T= л In и что sin их > О на [0, л/и]). Тогда и lim 1п = 4;
1	1	и-»*
3)	имеем (с учетом того, что х g (0, л / 2))
F'(x) = 2 sin х cos х • arcsin(Vsin2 х) - 2 sin x cos x • arccos(Vcos2x) -
= sin 2x (arcsin (sin x) - arccos(cos x)) = (x - x) sin 2x = О V x g (0, л/2).
Очевидно, и F’ (0) - F' (л/2) = 0. Следовательно, F* (x) s С. Найдем С, вычисляя Г(л/4) =
= Jo72(arcsinЛ + arccosJt)dt = J^/2(я/ 2)dt = п14. (Здесь использовано тождество arcsin/ +
+ arccos/ = л/2 V / g [-1, 1].) Отметим, что можно было С найти иначе:
С = F(0) = Jo arccos <Jtdt -л!Ь\
4)	найдем F(± 1) (см. указание). Имеем:
Д-1) = О, F(l) = J'((sint)l(t2 + !)<* + /',(«2 + 2)/(Z2 + !))<* = /, +I2.
Но в /| подынтегральная функция нечетная, а в /2 — четная, поэтому /| = 0,
I
/2= 2j(l + 1/(/2 + 1))<* = 2(1 + Я/4).
о
Так как F\x) = (sin х + х2 + 2)/(х2 +1) > 0 V х G [-1,1], то F(x) возрастает на этом отрезке,
т.е. max F(x) = F(l), min F(x) = F(-1), получаем требуемую оценку интеграла;
5)	очевидно, F(-l) = 0 и F( 1) = 0 (под интегралом нечетная функция). Из равенства F(x) = 0 =>
simtx + x3-x = 0.
Построим графики левой и правой частей (см. рис.
6.3) sinux = х-х3.
Из выражения у = х - х3 = х( 1 - х)( 1 + х) следует, что
X] = 0, х2 - 1, хз = -1 — общие корни обеих функций.
Причем,т.к. у'= 1-Зх2 = 0прих = ±-yj, у{-\1Л} =
=-2V3/9> sin л(-1/\/3),то5тлх<х-х3 Vxg (-1,0)
(см. рис. 6.3), поэтому и /г(0)<0. Следовательно,
minF(x) = F(0) < 0, ибо maxF(x) = 0 =/Т±1) на [-1,1].
Рис. 6.3
л+1	2	3	И4-1
6.23.	Так как j ln[x]dfr = J In kfr + Jin2dx + ....+ J Innifr = 1п(и!), то получаем n\ = 1997!,
112	n
т.е. n= 1997.
6.24.	/j >I2 при a e(-oo,0]U[2,oo).
6.25.	1) Из равенства |у-1| = х(1-х)(1+х + х2)>0=>0<х<1, 1-x + x4 <>><l + x-x4.
В силу симметрии фигуры относительно прямой >> = 1, получаем
।
^,г=2/(1+х-х4-1)А = 3/5;
О
2)	записав уравнение кривой в виде (г - I)2 + ф2 = 1, получаем (г - I)2 < 1, ф2 < 1 =>
- 117-
Рис. 6.4
О < г < 2 и |<р| < 1. Очевидно, фигура симметрична относи-
тельно полярной оси, т.к. уравнение кривой не меняется при
замене ф на -ф. Примерный вид фигуры изображен на рис.
6.4. Используя формулу для площади криволинейного сек-
0
тора £ = 0,5jr2(^)J^, находим:
а
I ___________ I ___________________
silw = 2 • 0,5(|(1 + V1 - <р2 )2d<p-\ (1 - Vl^)2^) =
О	о
= 4|	= п
о
(на рис. 6.4 правый кусок кривой имеет уравнение
г = 1 + -^1-ф2 > 1; а левый — г = 1 -<^1-ф2 < 1, по-
этому из площади фигуры, ограниченной лучами ф =
- О и ф = 1 и кривой г = 1 + ^/1-ф2, нужно вычесть
площадь фигуры, ограниченной теми же лучами и
кривой г -1 - 5/1-ф2);
3)	запишем уравнение кривой в виде
(у2 -х4)(х2 -у*) = 0 =>у = ± х2, х = ±у2.
Ограниченная фигура изображена на рис. 6.5.
Используя симметрию фигуры, находим
1
S = 4j(>/x-x2)<& = 4/3.
О
6.26.	При произвольном расположении графика функции относительно прямой у = т ради-
ус R площади сечения тела плоскостью х = хо, хо е(я, Ь), обладает свойством R? - (Дх) - /и)2,
поэтому объем тела вращения
b	h	. ъ
V(m) = n^(f(x)-m)2dx\ Kz(m) = tf(-2|(/(x)dr + 2m(h-a)) = 0=> /и0 =-jf(x)dx —
а	а	& а
Ь	b
точка min, т.к. V"(m) - 2(b - а) > 0, и Ит1П = К(от0) = я|(/(х)-т0)2<& = я(|/2(х)<&-
а	а
b
-(1/(/>-а)х(|/(х)А)2).
6.27.	Пусть А и В — точки пересечения соответственно прямых х = анх-Ьс касатель-
ной к кривой у ~J(x) в точке Л/о, тогда
V =S(x0) = (6-a)(M4M)/2. M = /(*o)V'(*o)(«-*o).
W = /(-Ч) + /UX* - хо) => $(*о) = (*-а)[/(х«) + /U)(^-
S'(x{)) = (6 - a) f"(x{} )(х0 - (а + Ь) / 2) = 0 =» х() = (а + Ь) / 2 — точка min,
smin=s'((a+6)/2)=
-118-
6.28.	Пусть xj, х2, (xi < х2), — абсциссы вершин квадрата, лежащих на синусоиде
у - (4 /3)sin пх, х е[0,1], и а — сторона квадрата, тогда а = х2 - xi = (4/3)sin7rxi = (4/3)sinnx2
=> пх। = л - лх2 => Х2 = 1 -xi => 1 - 2xi - (4/3)siiMcri. Строя графики левой и правой частей
последнего уравнения, убеждаемся, что xi - 1/6 — единственный его корень.
1
Поэтому Ske. = 4/9, Srp. = (4/3) jsin nxdx = 8 l(3n)SKe I Smp = n 16.
о
6.29.	Линия |x + y|+|x - y| = 2 симметрична относительно осей
координат и биссектрис координатных углов у = ± х. Поэтому
достаточно построить ту ее часть, х > 0, у > 0, у < х. Получаем,
что фигура — квадрат с центром в 0(0, 0) и стороной 2 (см.
рис. 6.6). Из условия задачи следует, что вершина параболы у =
= х2 + т (0, т) должна лежать ниже 0(0, 0), т.е. т < 0 иу(1) ~
= 1 + т < 1 (см. рис. 6.6), ноХО > 0. Площади Si и S2 будут
равны, если равны площади заштрихованных криволинейных
треугольников, т.е.
Ао	I	*	|
-1 (х2 + m)dx - j (х2 + m)dx =» j(х2 + m)dx =0 => — + /и = 0, т.е. т = -1/3.
о	Хо	°	3
6.30.	Из условия и указания следует, что
кривая у = fix) симметрична относительно
Оу. Пусть ±х0 — абсциссы точек пересече-
ния искомой прямой у = уо, уо - fixe) (см.
рис. 6.7), и S — сумма площадей трех фи-
гур, тогда
Рис. 6.7
х0	а
S = 2(S/2) = 2(| (/(х)-/(Лв))А+ J (/(х„)-/(х))<&) =
О	х0
= 2( j /(х)А- j /(х)б6г + /(х())(а-2х0)) = S(x0).
о
Имеем S'(xu) = 2(f(xu)+f(xll)-2f(xa)+f'(xu)(a~2xn)) = 2f'(x„)(a-2x„) = 0 => х0 = а/2.
Очевидно, х0 - а/2 — точка минимума S(x0), т.к. /'(хо) < 0 и S'(x0) меняет знак с минуса
на плюс при переходе через точку х0 = а / 2.
all	а
— искомая прямая и min S(x0) = S(a/2) = 2( j f(x)dx- | f(x)dx).
О	all
6.31. Достаточно показать, что 3 хое(0, л), для которого Дхо) = 0. Но это следует из того,
я	п
что 1 = jf(x)dx = ^ak
О	*=1
Дх)<0 Vx 6 (0, л), то / > 0 или / < 0).
и Дх) непрерывна на [0, л] (если бы Дх) > 0 или
-119-
Замечание. Решение задачи можно получить, применяя теорему Ролля к функции
F(x) = $fWdt на [0, тс],
о
632. 1) (л/2) + 1)1п(/>/я); 2)-1/16; 3) -1/24; 4) переходя к полярным координатам, полу-
I 2Я-/3
чим / = |rdr | arctg(tg^)J^. Функция f(<p)- arctg(tg^) —нечетная, л — периодиче-
о о
ская, <р = л/2 — точка разрыва 1-го рода. На интервале (-л/2, л/2)/(ф) ~ Ф, на (л/2, Зл/2)
Дф) = ф-л.
j лг/2	я
Поэтому / =—( J (pd(p+ j {(p-n)d(p)- пг /36; 5) (4 - л)/(3л);
2 0	яИ
6) прямая у =х делит квадрат 0 < х,у < л/2 на 2 области (см. рис. 6.8) D\ и Di. Поэтому
/ = |||cos х - cos y\bcdy - jj (cos x - cos y)dxdy +
D	Dt
4jj(cosy-cosx)dta/v = 4-я (вD\.y>x =>cos>><cosx;
D2
в Dy. cosy > cosx). Можно было записать / в виде:
/ = 2 jj |cos х - cos y\ixdy,
Dk
учитывая, что f (х, у) = |cos х - cos у\- f {у, х);
7) 2-л/2; 8) (е2-3)/2; 9) 1/л; 10) 0,5; 11)- 1/8; 12) тт/2.
6.33. Построим проекцию тела на плоскость. 1) Из неравенства 0 < у < г < х2 + у2 (1), сле-
дует, что должно выполняться неравенство
у<х2 + у2=> х2+ (j>-1/2)2 > —; т.е. проекция те-
4
ла — заштрихованная область D - D\ u Di (см.
рис. 6.9). Из (1) с учетом z < 1 => 0 < у < z < min
(1, х2 + у2). Поэтому:
V = JJJ dxdydz = JJ dxdy J У dz +
т	M У
'•>! У
в /| перейдем к цилиндрическим координатам:
Ц = Jf rdrd<p(r2 -rsin^) = Jf2	-r2sin«0=g-l:
l^jjdxdy-fcydy i-dx^-l
D2	JI-у*
Следовательно, V = (1 - 7тс/32)/2;
2) 5a3/12;
3) 2i^ab.
634. i/3.
-120-
6.35.	Областью интегрирования является верхний полукруг х2 +у2< а\у> 0, поэтому по-
сле перехода к полярным координатам получаем
я	а	а
/(я) = J d(p\ rf (r)dr = я J rf (r}dr =	-1) =>/(0) = 1, а Да) =f(a).
0	0	0
Решая уравнение, находим, чтоДх) = ехр(х2/2).
я I	, я
6.36.	Следуя указанию, имеем 1 = J t/^Jexp(-cos2 (p)rdr = — -2
f exp(-cos2 q>)d(p (здесь
использована четность Дф) = ехр(-со$2ф)). Найдем наибольшее и наименьшее значения
Дф) на [0; я]. ИмеемУ(0) =У(л) = е-1;/(ф) = sin 2ф ехр(-соз2ф) = 0 => ф = л/2, ф(л/2) = 1. По
теореме об оценке интеграла получаем ide < / < я. Оценка сверху доказана. Для уточнения
оценки снизу применим неравенство из указания дляДф), тогда получим Дф) > 1 - cos2 ф =
- sin2 ф, I >—j (1 - cos 2(p)d(p = n /2. Очевидно, тс/2 > ide. Итак, id2< I <n.
о
6.37.	Обе кривые г = acos ф и г ~ 2 - созф симметричны относительно полярной оси.
При 0 < а < 1 выполняется и неравенство acos ф < 2 - созф, т.к. (а + 1)со5ф < 2 V ф е [0; л]
и кривые имеют не более одной (при а = 1) общих точек, т.к. уравнение созф = 2 / (а + 1)
при 0 < а < 1 не имеет решений. При а > 1 у кривых будут 2 общие точки с координатами
(г0, Фо) и (г0, -фо), где ф0 = arccos (2/(а + 1)). Расположение кривых для случаев а < 1 и а > 1
приведено на рис. 6.10 (а) и 6.10 (б).
Рис. 6.10. а)	Рис. 6.10. б)
При0<я<1 5 = 2(j^jo V rdr-^-7t-a2/4) = (18-л2)л74;
о	2
при а > 1 5 = 5,+52=2( j dq>^ rdr + j*/2d<P^™J’rdr =(18-я2)я74+(я2-9)<ро/2 +
я/2	°
+(а + 3\J(a + 3)(a-\) /(а +1).
6.38.	Используя указание и считая у (х, у) = 1, находим *i = 1/4, т\ = 1/4, т - л/4, х =
= 4/(Зтс), m2 - (п - 1 )/4, хс = (хт -xi/nj) / т2 =13/(12(71 - 1));^с = хс.
6.39.1) / = I\ - 12 = 3 тг/2 - 2 (см. указание);
2)	0;
3)	следуя указанию, получаем / = ^ ue~udu - (2е-3)/е2;
4)	1/2-1/тс;
5)	2(72 ln(ctg( я / 8)) -1).
6.40. А । - Аг = 3/4 - е/2 < 0, т.е. А, < Аг.
-121 -
6.42. Функция fly) находится из уравнения -f(y) - fly) - 1, /0) = 0, fly) - exp(-j/) - 1.
6.43. Покажем, что интеграл / не зависит от линии, соединяющей 2 произвольные точки,
лежащие в полуплоскости^ > 0. Пусть Мг и М\ такие точки, соединим их произвольными
кривыми М\ М4 Мг и Л/j Л/3 М2 ( см. рис. 6.11). Пусть М2 А2 — какая-то фиксированная
кривая и М\ Ai — произвольная кривая, тогда по условию интеграл 1 по контуру М\А\Мь
М2 А2 равен этому интегралу по контуру М\ А\ М3 М2А2. Рассматривая разность этих ин-
тегралов, получаем, что J = J Поэтому постоянную С можно найти, вычислив
интеграл / по отрезку А^оси ОХ.у-0,х е[-1; 1], т.е. 1 = ДЛ& = 2/3 = С.
Кроме того, подынтегральное выражение — полный дифференциал некоторой функции, т.е.
—(у2 - <р'(х) cos у) = — (<р9х) sin у + х2) => - (p'(x)cos у = <p(x)cos у V х е R и у >0.
ох	оу
Поэтому функция <р(х) определяется из уравнения: ф"(х) + ф(х) = 0, ф(0) = 0, ф'(0) = 1; т.е.
ф(х) = sinx и с = 2/3.
6.44.2а2.
6.45. Следуя указанию и принимая во внима-
ние, что ctt = <Jr2 + r2d<p =	получаем,
что нахождение координат центра С массы сво-
дится к вычислению интегралов Jo e~vd(p = 1,
J V2*<ty = 2/5, JV2* sin dtp = 1/5.
Поэтомуxc = 2/5; yc = 1/5.
- 122-
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
74. ЗАДАЧИ
7.1. Показать, что уравнение у* - a'(x)/(o(x) + by + с), где b, с е R, b * 0, а(х) nflx) — за-
данные функции, введением новой неизвестной функции приводится к дифференциаль-
ному уравнению с разделяющимися переменными, и решить уравнения:
1) у' - у/2х + 2у-}; 2) у = cos2(y -х), у(0) = я/4;;
3) у' = 2xcos(x2 + y), у(0) = я/2; 4)(х +у- \)dx=:(x +у + \)dy’,
5) у* - Зх1 /(х3 + у +1), ХО) = ~ 1 •
7.2.	Свести уравнение + /(у)р(х) - q(x), где fly), р(х), q(x) — заданные функции, за-
меной flx) =fly) к линейному и решить уравнения:
1)	y'tgy + 4х3 cos у = 2х; 2) ху' = (Зх2 cos у - sin у) cos у;
3)У = xe~v +1, ХО) = 0; 4) уу' sin х = (sin х - у1) cos х;
5)	у' = (xsiny - cosy)siny, ХО) - л/4.
7.3.	Некоторые уравнения 1-го порядка У-flx, у) сводятся к однородным заменой Xх) ~
~(z(x))m, если удается подобрать число т так, что полученное уравнение будет однород-
ным относительно хи:. Такие дифференциальные уравнения могут быть записаны в виде
у' - xw",/(y/xw) (обобщенное однородное, при т = 1 — однородное). Заменой U(x) =ух~т
такое уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Решить уравнения:
\)xdy - (x2cos2(y/x2) + 2y)ofr; 2) у' + 2у2 = х'2; у(1) = 0,5;
З)х3(у’ -х) = у2; 4)х2у + ху + х2у2 = 4.
7.4.	Дифференциальное уравнение вида У + а(х)у + Ь(х)у2 - с(х) называют уравнением
Риккати. (При Ь(х) = 0 — линейное, при с(х) = 0 — Бернулли). При произвольных а(х),
Ь(х), с(х) уравнение Риккати не решается в квадратах. В ряде случаев уравнение Риккати
сводится к обобщенному однородному (см. задачу 7.3 п. 2-4). Показать, что, если извест-
но частное решение уi(x) уравнения Риккати, то подстановкой у(х) = z(x) + yi(x) оно сво-
дится к уравнению Бернулли и, следовательно, разрешимо в квадратурах.
Решить уравнения Риккати, используя легко угадываемые их частные решения:
1)х2у(у-1/х)-х2у' - 1, ХО = 2) у +ху=у2 + 1,Х0)в 1;
3)	X +у(у -х2) = 2х; 4) у' cosx +у sinx-у2 + cos2x.
7.5.	Решить уравнения :
\)у' /4х = 24х -у]у -х2, у(1) = 1;
2)	у = -(у + cos(x + у)) / (х + cos(x + у));
3)	у' = (sin2y)/( 1 + х2 +у2),у(0) = 0.
7.6.	Показать, что график любого решения у (х) Ф 0 уравнения у' =у3 (х + у) не пересекает
оси абсцисс.
7.7.	Доказать, что решение задачи КошиХх) для уравнения удовлетворяет условию:
1)	|у(х)| < п / 2,, V х g R, если у'(х) = (2 + х2 + sin у)"‘, у(0) - 0;
2)	0 < у (х) < 1, |х| < 42, если у' - хд/2 -х2 - у2, у(0) = 0.
- 123-
7.8.	Пусть у(х) — решение уравнения у' -yfix, у) с гладкой функцией/х, у), причем Х^о) > 0.
Доказать, что Xх) > 0 всюду.
7.9.	Показать, что порядок уравнения у" = f (ах + by + с), где a, b, с е Я, Ь 0, а/ — за-
данная функция, можно понизить и решить уравнение у" = sin(2x + у +1), у(О) = л/2 - 1;
У(0) = Т2-2.
7.10.	Порядок дифференциального уравнения понижается, если удается его преобразовать
к такому виду, чтобы его левая и правая части являлись производными от каких-нибудь
функций (такое уравнение называют дифференциальным уравнением в точных производ-
ных).
Решить уравнения :
1)ху" = (sinу-1)У; 2) х2у” - (еу -2х)У; ХО = 0, У (1) = 1;
3)	ху,г + (1 + 1пх)У+—= —, yi) = L У (1) = 0;
X X
4)	у"+y'tgx + (1 + tg2x)y - sin х, ХО) = 1, У (0) = 0;
5)	ху"-У = х2^',ХО = 0, У (0 = 2.
7.11.	Если уравнение у" - f(x,y,y') (F(x,j\y,y') = 0) однородно относительно у,у\у'\
т.е. не меняется при одновременной замене у, у\у" на ку, ку', ку", то порядок уравнения
понижается подстановкой у-yz(x), где z — новая неизвестная функция.
Решить уравнения:
1)	уу" = (у)2+у2 cosx, Х0) ~ 1> У (0) - 0;
2)	х2уу" = (у-хУ)\
7.12.	Доказать, что уравнения y' + (x + cosx)y + у = 0 и У' + у cosx + лу = 1 не имеют
общих решений.
7.13.	Имеет ли нетривиальное решение уравнение у” = ху, график которого касается оси
Ох?
7.14.	Известно частное решение yt = 2cos2(x/2) уравнения у” + ру' + qy ~ sinx - cosx,
р, q е R. Найти его общее решение.
7.15.	Найти решение уравнения у"- ру' + qy - е х/(х + 1), если ух = (х-1)е*— частное
решение уравнения у"-р у' + qy = 0,(p,q е R).
7.16.	Известно частное решение ух = е” + х + 2 уравнения у" + ру' + qy - 4х + 8 + 5е х,
(р, q е R). Найти другое частное решение этого уравнения, имеющего экстремум при х = О,
равный 1. Что это будет: максимум или минимум?
7.17.	Известны два частных решения ух = е~х + sin х, у2 = хе~х + sinx уравнения у"+ру’ +
+ qy -fix), (p,q е R). Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям: Х0)=
=У(0) - 0 и функцию fix).
7.18.	При каких а е R решение уравнения у" + у - х, ^(ти/2) = ^2» У С7^2) = а будет не-
убывающей функцией V х е /? ?
7.19.	Решить уравнение у" (х) +Х0)Хх) =х.
7.20.	Доказать, что если 1-V2<^O<1, то для решения уравнения у" + y’sin2 х + 4у3-
-\2у2 + 8у = 0, Х0) ~Уо, У (0) = 0 справедливо неравенство 1 - V2 < у(х) <1, V х > 0.
7.21.	Найти ограниченные решения уравнения у" + \,5у2 -у, для которогоX00)= 0,Х0) = 1.
-124-
122,	Доказать, что уравнение Эйлера х2у"+ рху' + qy - fix), (р, q e R), подстановкой
x = e* (x > 0) или x = -e‘ (x < 0) сводится к дифференциальному уравнению с постоянны-
ми коэффициентами и решить уравнения:
1)х2у'-3х/ +Зу = О;
2)х2у'-х/ +>> = 1пх;
3) 2х2 у" - у = 2х + 1/л/х.
7.23.	Заменой независимого переменного I - ф(х) уничтожить член с первой производной
у\ в уравнениях:
1)У'-2/ +уе4х = е4х;
2)хХ'-/ -4х\ = 0;
3)	(1 -х2)у" + ху' + 4у - 0 (|х| < 1) и решить их.
7.24.	Решить уравнения:
1)х2у" + ху’ + (х2 - 1/4)у = 0;
2)	у" + 2ху' + (х2 + 5)у = 0; ХО) ~ 0, У (0) = 2; полагая у(х) - ф(х)г(х) и подбирая ф(х) так,
чтобы исчез член с первой производной ~'(х).
7.25.	Решить уравнения:
1)	У (х)у(-х) = х, у(0) = 1; 2) 0,5х( у1 (х) - у1 (-х)) + X*) = xsinx;
3)	(У (х) - У (-x))sin2x = 8Х*Х 4) 2у’ (х) + *Х 1 - *) = Х0) = U
5)X^)sin| jy(t)dt = У(х), Х0) = -1; 6)/ехр jy(t)dt = у , Х0) = 1;
ко 7	ко	J
7)2/ = /(l+jr2(/H), Л0) = 0,5; 8) 2y' = y()+]y2(t)dt), И0)= 1;
о	о
9)/(х) = е2х(1 - jе'2'у(/)Л) + 2У(х), Х0) = 0; 10) ху' = у - (ях)2 jГ'У^Л;
о	1
2	I
П) xjy(tx)dt = у'(2х) + ех‘,	12) xjy(tx)dt = 2у(х)~у\х) + е~х, Х0)= 1.
о	о
7.26.	Найти все дифференцируемые функции, удовлетворяющие V х, у е R уравнению
f^x2 + y2)=f(x)f(y).
127.	При каких а е R уравнение у' (х) =у(а -х),Х0) = 1, имеет решение? Найти его.
7.28.	Решить уравнение у' + у" + у"' +... = х, Х0) - 0.
7.29.	Материальная точка движется под действием постоянной силы, притягивающей ее к
точке О. Показать, что кинетическая энергия точки есть линейная функция расстояния до О.
7.30.	По винтовой линии х = Ясозф, у - Tfeiiup, z = Лф без трения под действием силы тяже-
сти спускается без начальной скорости материальная точка (ось Oz направлена «вверх»).
Найти время спуска за один виток.
7.31.	Систему дифференциальных уравнений иногда можно решить методом интегрируе-
мых комбинаций. Сущность метода состоит в том, что с помощью алгебраических опера-
ций из уравнений данной системы образуют так называемую интегрируемую комбина-
цию, т.е. легко интегрируемое выражение. После интегрирования мы находим зависи-
мость между неизвестными функциями (первые интегралы). Получив интегрируемые
комбинации, решить системы уравнений:
1)	xj =x/(ax + b), У = -y/(ax + b); a,b е R, а0, b* 0;
- 125-
2)	х; = х+у, ху! = х2 - у2 +1, х(0) = 1, у(0) = 1 /24;
3)	х[ = х2у, у! — y/t —ху2\
4)	х) = у-х2 + х, у] = Зх-х2-у; х(О) =у(О) = 1;
5)	х,’ = у+х(х2 + у2)/2, у' = —х + у(х2 + у2)/2 в двух случаях:
а) х(О) =у(О) = 0; б) х(О) = О, у(О) = 1.
7.2.	УКАЗАНИЯ
7.	1. Положить Цх) = а(х) + by + с: 1) правую часть обозначить t/(x); 2) положить у - х =
= Цх); 3) положить х2 +у = Цх); 4) положить х + у или х + у + 1 = Цх); 5) положить х3 +
+y+\ = U(x).
7.	2.1) Поделить обе части уравнения на cosy и положить Цх) = l/(cosy);
2)	поделить уравнение на cos2y и положить U(x) = tgy;
3)	умножить уравнение на
4)	положить U(x) -у2\
5)	поделить уравнение на* sin2y.
7.3.	1) Вынестих2 за скобки в правой части и положить у-х"2 = (7(х);
2)-4) найти т такое, что уравнение становится однородным относительно х и z(x), где у =
7.4.	Частным решением уравнения будет:
1)	у,= 1/х; 2)у = х; 3)у = х2; 4)у = sinx.
7.5.	1) Положить U(x) -у -х2;
2)	убедиться, что уравнение в полных дифференциалах;
3)	применить теорему существования и единственности решения задачи Коши для урав-
нения (теорема Коши).
7.6.	Предполагая противное, получить противоречие с теоремой Коши (см. указание к 7.5 п. 3).
7.7.	1) Доказать, что |у'(х)| <(х2 + 1) V х € Я, проинтегрировать это неравенство; 2) дока-
зать, что |у'|<|х|л/2-х2, и проинтегрировать это неравенство.
7.8.	Подставить решение у(х) в уравнение, разделить полученное тождество нау(х) и про-
интегрировать его.
7.9.	Положить Цх) = ах + by + с.
7.10.	1) Перенести слагаемое -у' в правую часть; 2) перенести в правую часть -2лУ; 3) рас-
крыть скобки в левой части и сгруппировать 1-е слагаемое со 2-м и 3-е с 4-м; 4) учесть,
что l+tg2x = (cosx)"2; 5) поделить обе части уравнения нах2.
7.12.	Предположить противное, подставить решение в левую часть уравнений и, исклю-
чив из полученных тождеств у", найти выражение для у(х). Убедиться, что найденная
функция у(х) не удовлетворяет одному из уравнений.
7.13.	Предположив противное, получить противоречие с теоремой Коши (единственно-
сти) для уравнения второго порядка.
7.15.	Найти р и q, а затем применить метод вариации произвольных постоянных для на-
хождения решения у(х).
7.16.	Из условия задачи получить начальные условия.
7.17.	Выяснить, решением какого уравнения является разность у i -уг.
7.18.	Применить признак монотонности к найденному решению у(х).
7.19.	Положить у(0) = а и рассмотреть случаи: а = 0,а>0иа<0.
7.20.	Умножить обе части уравнения нау'(х) и проинтегрировать от 0 до х.
-126-
7.21.	Понизить порядок уравнения. Убедиться, что при 1-м интегрировании постоянная
интегрирования С = 0.
7.25.	1)-3) Подставить -х вместо х в уравнение, убедившись в п. 2, 3 сразу, что решение
уравнения у(х) — четная функция; в 1) для этого исключитьх и найти зависимость между
у(х) и у(-х). Можно также искать решение у(х) уравнений п. 1-3 в виде суммы четной и
нечетной компонент, приравняв слева и справа четные и нечетные функции, т.е. сведя
уравнение к системе уравнений;
4)	продифференцировать обе части уравнения, а затем исключить у(1 ~х). Из исходного
уравнения найти у'(1) и решить получившееся уравнение 2-го порядка;
5}-10) заменить интеграл, содержащий неизвестную функцию у(х), новой функцией Цх),
получив для ее нахождения дифференциальное уравнение;
II), 12) сначала в интеграле положить tx = s, а затем продифференцировать обе части
уравнения.
7.26.	Продифференцировать обе части уравнения сначала по х, потом по у и, исключив из
полученных равенств f'(Jx2 + у2), разделить переменные.
7.27.	См. указание 7.25 п. 4.
7.28.	Продифференцировать обе части уравнения и исключить из полученных равенств
все производные, кроме первой.
7.29.	Использовать закон движения: х = at2 / 2 + Vj + х0, х = at + Ко.
7.30.	Пусть dt — дифференциал длины дуги кривой, тогда dt -dUV, где V— скорость
движения. Выразить V через координату г, исходя из равенства кинетической и потенци-
альной энергии точки в данный момент времени /, и проинтегрировать равенство
dt = dt/V.
7.31.	1) Получить 2 интегрируемые комбинации, деля 1-е уравнение системы на 2-е и на-
ходя разность ах -by, где х = х‘;
2)	преобразовать 2-е уравнение, используя значение х + у из 1-го;
3)	умножить 1-е уравнение на у, 2-е нах и сложить полученные равенства;
4)	вычесть из 1-го уравнения 2-е;
5)	а) используя теорему единственности (Коши), убедиться, что х = у = О — единственное
решение; б) умножить первое уравнение нах, 2-е — на у и, сложив их, из полученной ин-
тегрируемой комбинации найти х2 + у2. Вторую интегрируемую комбинацию можно по-
лучить, исключая из уравнений системы 2-е слагаемое. Полученную интегрируемую ком-
бинацию поделить на у2 и найти х/у.
7.3. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
7.1.1)	U + 1п|(/ +1| = х + с, где U = >/2x + 2y-l;
2)	у = х + arcctg(x + 1);
3)	у + х2 = 2arctg( 1 + х2);
4)	х + у = с ехр(х -у);
5)	у = -1 + 1п|х’ + у + 2|.
7.2.	1) cosy = (с ехр(х2) +	+ I))"1;
2)х tgy = с + х3;
3)у = ln(2ex-x-1);
4)	у2 = (2/3)sin х + c/sin2x;
5)	ctgy = 2ex-x- 1.
7.3.	1) x = c exp(tg(y/x2));
- 127-
2)	согласно указанию имеем у - z”\ у' -	и уравнение принимает вид: wz'"-,z1 +
+2г2да = х~2. Уравнение будет однородным, если т - 1 = 2т = -2 => т = -1. Полагая z =у\
получаем z‘ = -у[ Iу1', -zl + 2 = и2х~2. Далее, полагая и - z/x, получаем уравнение с разде-
ляющимися переменными и'х = 2 - и - и2 => (и - 1)/(« + 2) = (с/х)3 => 2ху{ 1 + 2х3) = 4х3 - 1;
3)	т = 2,у = х2(х + с - 1 )/(х + с);
4)	т = -1, |(2х - ху) /(2 + ху)| = (сх)2.
Замечание. Замена ху = и(х) становится очевидной, если уравнение записать в виде
х(ху)* + (ху)2 = 4.
7.4.	1) = х-’-2х/(1+х)2;
2)	подстановкой у = z + х уравнение приводится к виду z1 - xz = г2; далее заменяя u = z~\
получаем линейное уравнение и1 + хи = -1, решение которого находим по формуле
и = ехр(-| /d/)(u(0) -fdt- ехр( j sds)) = ехр(-х212)(1 - j ехр(/212)dt =>
ООО	о
=> у = X+ехр(х2 / 2) /(1 - j ехр(/2 / 2)Л);
О
3)	у = х2 + ехр(-х3 / 3) /(С + J ехр(-х3 / 3)с&);
4)	у = (С cosx - sinx)-1 + sinx.
7.5.1) = х2 + З’2 • (1 - х3/2)2;
2) ху + sin(x +у) = С;
3) Xх) = 0 — единственное решение.
7.6.	Пусть график у = ф(х) пересекает ось Ох, т.е. Х*о)= Ф(хо) = 0. Тогда единственное ре-
шение исходного уравнения в силу теоремы Коши у(х) = 0. Действительно, правая часть
уравнения и ее производная по у непрерывны в окрестности любой точки (хо, уо), в част-
ности, и точки (хо, 0).
7.7.	1) Интегрируя неравенство |у(х)| < (х2 +1)"1, Vx еЯ, получаем
2)	из уравнения следует, что Xх) 0 Vx e(-V2, V2). Пусть 0 < х < >/2, тогда имеем:
у(х) = J y'(x)dx = J х^2-х2 - у2 (x)dx < j* x^2-x2dx =
оо	о
= 1 (2,/2 - (2 - х2 )3/2) < Vs/з < 1.
Для ->/2 < х < 0 аналогично получаем
о ---------------------------- о ------------- .
у(х) = J(-хХ/2-х2-/dx < J(,-xyj2-x2dx = |(23/2 -(2-х2)3/2) < 1.
7.8.	Согласно указанию имееы
|dy/y = J f(x,y(x))dx => у(х) = С ехр(| f(x,y(x))dx = С<р(х).
Так как Х*о) = Q>(*o) > ° и Ф(х) > 0 Vx е /?, то С > 0 иХ*) > 0 Vx е R.
7.9.	у = 4arctg(ex/g(n / 8)) - 2х -1.
7.10.	1) Перепишем уравнение в виде
- 128-
ху"+у'= у'sin у => (ху') = (-cos у)' => ху' = -cosy + Cj.
Из начальных условий находим С\ = 0. Интегрируя, получаем у = 2(arctg(l/x)-л/4);
2)	у = lux;
3)	Х*) = 2 -exp(-0,5 In2 х);
4)	Д'= (l-x + ln|/g(n/4 + x/2)|)cosx;
5)^ = 2/g((x2-l)/2).
7.11.	1) у - ехр(1 - cos x); 2) у = xC2 exp(-C, I x).
7.13.	Если допустить, что такое решение д' = ф(х) = 0 есть, то из условий касания кривой
получаем: д<хо) = 0, У(хо) = 0- Но тогда задача Коши с полученными начальными усло-
виями в силу гладкости правой части уравнения будет иметь единственное решение Х^) s
= 0. Получили противоречие.
7.14.	д» = С(+С2ех+ 2cos2(x/2).
7.15.	у = е~х(С{ + С2х - х + (1 + х) In |1 + х|).
7.16.	у = e"x + x + 2-2cos2x, х = 0 — точка минимума.
7.17.	Разность у0 = ух - у2 - е'х(1-х) является решением однородного уравнения
у" + py' + qy — 0 и это возможно только в случае, если корни характеристического урав-
нения Л2 + рк + q = 0 равны к\ = кг = -1. Поэтому р = ~{к\ + кг) = 2, q = к\кг - 1 (р и q нахо-
дятся также, если подставить дХх) в левую часть уравнения), у^ =	+ С2х)е~х + е~х + sin х.
Используя начальные условия, получаем, что у(х) = sin х - хеДля нахождения fix) дос-
таточно подставить д'|(х) в левую часть исходного уравнения fix) = 2cosx.
7.18.	Решение у = х + (1 - a) cosx будет неубывающей функцией Vx g /?, если 0 < а < 2.
7.19. При а = 0 у = х’/6 + CjX; приа = /и2>0 у = /n2cosmx + C2sinmx + x/w72; при a = -w2<
< 0у = С^еГ -е~тх)-тге’мх -х!т\
7.20.	Пользуясь указанием, получаем:
( х
^y- + /(j'(x))2sin2jc<& + “W = C' О).
2 о
где U(y) = у4 - 4_у3 + 4у2 = у2(у - 2)2 > 0 V у е R.
Подставив в (1) х = 0, находим, что С = U(y0). Из (1) в силу неотрицательности левой и
правой (при С = U(yo)) частей и в том числе 2-х первых слагаемых левой части (1) вытека-
ет, что имеет место неравенство U(y) < U(yo) (2).
Проведем исследование функции U(y). Имеем U'(y) =
^00	= 4X2 - y)(l - у) = 0 => у1 = 0, у2 = 1, уз= 2. Тогда t/(0)=
I	I	= (7(2) = 0, (7(1) = 1, (7(±оо) = +оо. Поэтому получаем,
I 1	_____1	что (7(уо) < 1 V уо е [1 — причем знак равенства
I I I /	достигается на концах этого отрезка |(7(1 - >/21 = 1).
\	I	\	/	График функции U(y) = у^(2-у)2 имеет вид (см. рис. 7.1).
2 “ “J——Из рис. 7.1 видно, что Vy0 g(1 - >/2;1) и Vx > 0 неравен-
1-V2	0 1 2 У	Г
ство U(y) < U(yo) < 1 выполняется Vy(r), У e(l-V2;l),
Рис- 71	т.е. 1-V2 <у(х)< 1 Vx>0 и Vy0 е(1->^;1).
- 129-
7.21.	Полагая р(у)-у\ р— -у", получаем р—= у-—у2 ==> у'
dy	dy 2
Из условияХО)= 1 => ф-1 + С} = jc\ => С, > 0. Но при С] > 0 интеграл не будет несоб-
ственным, т.е. при у -> Ох -> оо. Следовательно, С\ = 0. Поэтому получаем
ууУ ~У уУ у/У -у 1
е'х = 2(у-1 -~ + ^у~2-у'1).
Если выразить е' через у, то нетрудно получить, что у = 4 е* (1 + е” )~г.
7.22.	После замены х = е1 уравнение принимает вид y”+(p-l)y'l + qy =
\)у=срг+с2х\
2)	у- x(ci + czlnx) + 1пх + 2;
3)	у = qx + c2/Vx + 2x/3-l/>/x.
7.23.	Имеем у' -у\ tx = у' ф'(х); у" = (у' • ф'(х))х = ф"(х)у' + у" (ф'(х))2. Поэтому ис-
ходное уравнение принимает вид уДф'(х))2 + Х(ф”(х) “ 2ф'(*))+е*х' У = е*х- (D * = ф(х)
находим из уравнения <р"(х)-2<р'(х) = 0 => <р(х) = схе2х +с2. Полагая q = 1, с2 = 0, имеем
ф(х) = е2*, и уравнение (1) приводится к виду 4у"+у = \=эу = Jcos(//2) + Bsin(f/2) + l,
где t = е1х.
2)	ф(х) = х2 находится из уравнения хф"(х) - ф'(х) = 0; ХО определяем из уравнения
у"(/) - ХО = 0- Поэтому Xх) = с\ ехр(х2) + с2 ехр(-х2);
3)	t = ф(х) arcsin х; у(х) - q cos2t + с2 sin2r.
7.24.	1) ф(х) = l/Vx находится из уравнения 2ф'(х) + ф(х)/х = 0, а :(х) — из уравнения
г" + z = 0. Поэтому у = (q cosx + с2 sinx) Vx;
2)	ф(х) - ехр(-х2 /2)—решение уравнения ф' + хф = 0; z = q cos2x + с2 sin2x z(0) = 0, z'(O) = 2.
Поэтому у - ехр(-0,5x2)sin 2х.
7.25.1) Следуя указанию, имеем: У(х)Х~х) = х => у\-х)у(х) = -х. Исключая х, получаем
у\х)1 у(-х) = -у'(-х)1 у(-х)^> \dy(x)ly(x)^d(y(-x))ly(-x) =>/х) = с учетом
ХО) = 1 получаем Xх) = Я~х) и исходное уравнение принимает вид у'(х)Хх) = х =»
=> у = л/1+х2 ;
2) Xх)= (sin x)lx - cos х;
3)y = ctg2x;
4)	следуя указанию, получаем 4у"(х) + л2у(х) = л2, у(0) =1, =>у(х) = 1;
5)	у = -2^/(1 + ^);
6)	у = 2е2х/(14-е2х);
- 130-
7)	полагая U(x) = ^y 2(t)dt, находим £7(0)= 0, U'(x)=y'2; U"(x) =-2у'(х)у~\х). Тогда ис-
о
ходное уравнение сводится к уравнению U" + U - -1, £7(0)= 0, £7(0) = ф => £7 = cos х +
+ Asin х - 1; у = (4 cos х - sin х)",/2;
8)	полагая U'(x) = £/(')<* => £/(*)= у\х) £7(0)= 0, £7(0) = 1, £7' = 2уу'. Тогда имеем
1 + U2 - 2у'!у = 2у'у!у2 = U”IU'. Решая уравнение £7" = £7'(1 + £/2), £7(0)= 0, £7(0) = 1,
находим у = (1- sin х)",/2;
9)	у = 2e2xsinx;
10)	записав уравнение в виде (ху* -у) lx2 = -л2£7, U = j t~xy(t)dt, tf = y(x)/x, получаем
Un + n2U = 0 =>у = сх cos та, с е Я;
11)	применяя указание, получаем:
y"-y = -l/2exf2, У (0)= 1, у[х) = с,е' + (с1 + 4/3)е’х + (2/3)e’x/2;
12)	из уравнения находим у* (0) = 3, а после замены tx = 5 в интеграле и дифференциро-
вания полученного уравнения получаем:
У' - 2у' + у = -е\ Х0) = 1, у (0) = 3, ^>у = ((5 + 6х)У - е х)/4.
7.2	6. Имеем (см. указание) х/у/х2 + у2/г(у[У + У') = f'(x)f(y) и ^/7*2+//'(а/^! + /) =
= f'W(x}^^ = ^- = c.
yf(y)
Решая уравнение f'(x) = cxf(x\ находим /(х) = с, ехр(сх2 /2). Из условия получаем flti) =
-/2(0) =>Д0)= 0 или ДО) = 1. Но в 1-м случае с\ = 0 иДх) s 0. ПоэтомуДх) = ехр (сх2/2).
7.2	7. Из условия Х0) ~ 1 и уравнения у (х) = у (а - х) (1) при х = а получаем у' (а) =у(0) = 1.
Продифференцируем (1) и подставим в (1) а-х вместох.
Тогда, исключая из равенств у"(х) - -у'(а - х) и у'(а-х) = у(х) у'(д-х\ получим крае-
вую задачу для уравнения у"(х) + X*) = 0, У (я)=Х0)= 1, (2).
Из (2) находим у(х) = A sin х + В cos х => у (х) = A cos х - В sin х. Из краевых условий по-
лучаем В - 1 и A cos а = 1 + sin а (3).
Выясним, когда (3) имеет решение. Если cos а = 0 и sin а = 1, то решений нет. При cos а =
=0, sin а = -1 получаем, что А — произвольное число и у - cos х + A sin х, А е R является
решением (2). Выясним, будет ли оно являться и решением (1) при а = -я / 2 + 2ял, п е Z.
Имеем -sinx+/lcosx = cost +2лп-х | + Jsinf + лп-х | = -sinx-Jcosx =>А = 0,
I 2	7 V 2 J
и решением (1) при указанных а будету = cos х. Пусть cos а 0, т. е. sin а ф ±1. Тогда для
А из (3) получаем единственное значение а. у- cos х + ((1 + sin а)!cos a)sin х будет являть-
ся решением (2). Проверкой подтверждается, что при cos а 0 найденное^ (х) является и
решением (1).
7.2	8. Следуя указанию, получаем у' + 1 = х,Х0) = 0 => у-х2/ 2-х.
7.2	9. W = тх2 !2-a(x-x^+V212.
7.3	0. Из равенства mV2 !2- mgH => И = yJlgH = ^2g|rj = y]2gh\(p\, d£ - ^]x2 + у2 + Y2 =
=>/я2+л2</|<р|.
-131 -
,.	j. de Уяг+*М<Р| f, X
Интегрируя уравнения dt-— =----j——= /(ф), получаем
г 72И<р|
2я	_____________
t = f f(4>)d\<p\ = 27я(Я2+й2)/(«А).
О
7.3	1. 1) Следуя указанию, имеем - = -—	ydx+xdy = d(xy) = 0 ==> ху = С{ — 1-й инте-
Ф' У
грал; далее ах - by = 1 => d(ax -by) = dt => ах-by = t + C2 — второй 1 -й интеграл. Тогда из
уравнения ах2 -x(t +Сг) - ЬС\ = 0 находим х = x(t), y(t) - C\lx(t)\
2)	следуя указанию, получаем: ху = 1 + (х-у)(х+у) = 1 + (х-у)х => d(xy-х2/2) = dt=>
=>ху-х2/2 = /+С|.
Отсюда и начальных условий находим С\ - 0, тогда у = (х2 + 2f)/(2x). Исключая ХО из 1-го
уравнения системы, получаем уравнение Бернулли х ~1э5х = /х"1. Решая его, находим
х(Г) = (1 / 3)(11е3/ - 6/ - 2)112, а у = х / 2 +t / х;
- —	fd(xy) fdt „
3)	следуя указанию получаем: yx+xy = xylt=s I —— = I — => ху = С«/.
J ху J t
Тогда из 1-го уравнения системы х = х2у = xy x = C\xt находим x = C2exp(Clt2/2\
у = С^/х;
4)	Имеем х-у = 2y-2x^fd(x-y)/(x-'y) = -j2dt=$x-y = Ciexp(-2t). Из начальных
условий находим, что С\ = 0 и х(0 Тогда из уравнения х = 2х-х2 получаем х(/) =
= Я0=2/(1+г);
5)	б) следуя указанию, имеем:
хх+уу = (х2 +/)2 /2 => J(x2 +y2)~2d(x2 +y2) = jdt=*x2+y2 = (I-/)’1
(здесь использованы начальные условия). Деля разность ух -лу = х2 + у2 на у2 и интегри-
руя	[dt, получаем x-ytgt. Из 2-х полученных первых интегралов находим
*(xly) Z+1 J
х = (sin/)/Vi-/; у = (cos/)/Vi-л
- 132-
8. РЯДЫ
8.1. ЗАДАЧИ
8.1. Ряды заданы общим членом ап. Исследовать их на абсолютную сходимость и, где ука-
зано, найти сумму ряда 5.
1)	( ------ neN\ 2) smfnjn2 Inw), neN', 3) ——-, neN и найти S;
VH2 + 2w + lnw	(и+1)!
п е N, и найти 5; 5) (In и)'*"”, п = 2, 3,
8.2. Вычислить: 1) З1'3 •9,/9-27,/27...,
2) 1ш1П„, гдеПи = ееш-г\...^
3) е~'
Г2=я2/Ъ;
4) S = ^(k(k + V))~\ зная, что ^k 2 = тг2/6;
*=i	*=i
5)	если/(х) = (х2 + 2х+5)"‘.
8.3. Найти область сходимости и сумму ряда 5(х), заданного общим членом Un(x):
хп
1) (-1)"—cos2(wn/4), и= 2, 3, ...; 2) х*"\ где ф(и) — число цифр в числе n,neN\
3) (1-х2)”/(и+1), л = 0, 1, 2,	4) ^-^-sin2(nn/2), п eN;
п
5) sin-2-r cos-^7,neN; 6) sin-^-r sin-^—-, neN\
'	2”+	2 *	'	2	2
7) w(l,5 + cosx)'”, neN; 8) (-l)”-,(2n+ 1)хл+1 /(w(w +1)) и доказать, что 5(x) £ 0 Vx из облас 9
ти сходимости;
9) х’л'2/(1-4-7-...-(Зи-2)), пеН.
8.4. Найти х из уравнения:
00	00	1пл V
1) 4 £(-1)л(х2я/3”+,)=£(-1)л^;
л=0	л=()	П'
л_
4’
3) 4 у	= у (-1)л1плх.
(2л + 1)!	я! *
у, х2к~'л2к(-\)к-' 4 Г_1________1_____1_
й (2*)!	ЗеХРЬ-1 22-2 + 23-3
8.5. При каком а e R из области сходимости ряда ” cos(n?r/3) его сумма S(a) прини-
л=0
мает наибольшее значение?
8.6. Найтиу(4), еслиу( 1) - 0 и х = 1 - 2у + З.у2 ~ 4у3 + ....
- 133-
о, г,	„ 22\пгу , 1Ч, ,2”ln”j	„
8.7.	При каких хну справедливо равенство х = 2 In у-—+ ... + (-1) ---—+... ?
2!	п\
Разложить X*) в ряд Маклорена и найти интервал сходимости полученного ряда.
8.8.	Найти Хх) из уравнения у1 - 4у + х2 = 0 в виде ряда Маклорена и определить интервал
сходимости этого ряда, еслиХО) = 0.
8.9.	Пусть Дх) дважды дифференцируемая функция на [0, 1], причем ДО) -f (0) = 0 и /”(х)
< < 1/4 Vx g (0, 1). Доказать, что /(1) + /(1/2) + /(1/22) + ... <1/6.
8.10.	Доказать тождество
3	5	х
f+Гз + Ь^5 +'''= еХр(*2 7 2)' | ехР(-'2 7 2)<*'
8.11.	Просуммировать ряд /(х) + /'(х) + /"(*)+...+ /(и)(х) + ...в предположении его рав-
номерной сходимости, если известно, что при х = 0 его сумма равна нулю.
8.12.	Пусть при х > 0 функция Дх) — монотонная и £ f(x)dx сходится. Доказать, что
Нт Л(/(Л) + /(2Л)+... + /(^)+...)= Г/(х)Л. (1)
Л-4+0	*0
£
Пользуясь равенством (1), доказать, что lim (1-/)2(/ + /4 +/9 +/16 +...)= f exp(-x2)afr.
/->+()
8.13.	Найти все функции Дх), представимые рядом Маклорена и удовлетворяющие урав-
нению Дх) = sin х + flax), ДО) = 1, {а е R, а Ф 0, а Ф 1).
8.14.	Найти решение уравнения /'(*) +Xх) =	= 1, у' (0) = 0, в виде ряда и вы-
яснить, при каких а е R этот ряд сходится.
8.15.	Пусть = У, апхп — разложение в степенной ряд. Доказать, что lima„ = In 2.
л=о
8.16.	Пусть /(х) = ^апхп. Написать ряд Маклорена для функции Г(х) =Дх)/(1-х).
л=0
8.17.	Разложить в ряд Фурье функции:
1)	Дх) = arcsin(sin х), с помощью полученного ряда Фурье найти сумму числового ряда
£(2„-1)-2;
л=()
2)	=
1 + (ctgx)
3)/(х) =Дх) sin х, если /(х) =	bn sin их.
п=0
8.18.	Сумма ряда 6, sin х + Z>2 sin 2х+ ... + />„ sin их + ... равна Дх). Чему равна сумма ряда
b} sin х + b2 sin Зх+... +	sin(2w - 1)х +... ?
8.2.	УКАЗАНИЯ
8.	1. 1) Сравнить ряд из модулей |аи| с рядом Ьп - \1п\
2)	записать ап в виде ап - sin(Vw2 - In w - п) • cos тот;
3)	записать числитель ап в виде 2(и + 1) - 3 и использовать ряд Маклорена для ех;
- 134-
4)	для нахождения суммы ряда 5 понизить степень sin2(jcw/4), затем рассмотреть случаи
п четного и нечетного и использовать ряды Маклорена для ех и cos х;
5)	использовать равенство (1пн)’пи = и,п(,""), получающееся из логарифмического тождест-
ва е1пв = а (а> 0);
6)	записать bn = (1 +1 / п)п в виде
,	( , (. 1Y|	( (1 1	1 л
b„ =ехр win 1+— =ехр и----------г +—- + 0
I I ”)) I И 2л2 Зп3
8.	2. 1) Записать множители произведения как степень числа 3 и просуммировать ряд, по-
лучившийся в показателе степени;
2)	записать П„ в виде Пи = ехр| 1—------------------— |и использовать ряд Макло-
V 2 3 4	2«-1 2п)
рена для 1п(1 + х);
3)	использовать ряд Маклорена для е*; подынтегральную функцию разложить в ряд Мак-
лорена;
4)	записать ак = (к(к +1))'2 так : ак = (1 / к -11(к +1))2;
5)	разложить/(х) в ряд Тейлора в окрестности точки хо = -1.
8.3.	1) См. указание к 8.1 п. 4; 2) вычислить несколько первых членов ряда; 3) записать
Un(x) в виде С/я(х) = (х2-1)-1 (х2-1)”+,(-!)"/(«+1) и использовать ряд Маклорена
функции ln( 1 +х);
4) см. указание к 8.1 п. 4; использовать ряд Маклорена для ln( 1 + х);
5>-6) записать Un(x) в виде разности и рассмотреть частичную сумму ряда 5и(х);
7)	положить /"* = 1,5 + cosx;
8)	использовать тождество (2п + 1) / (п(п + 1)) = 1/(и+1) + Мп и использовать ряд Макло-
рена для 1п(1 +х);
9)	производную суммы ряда S'(x) сравнить с S(x) и получить дифференциальное уравне-
ние для нахождения 5(х).
8.4.	Найти область сходимости и суммы рядов, входящих в уравнения. Из корней полу-
ченных уравнений отобрать лишь те, которые являются точками сходимости рядов. При
этом использовать ряды Маклорена функций 1/(1-х), ех, arctg х, sin х, cos х. В п. 4 полу-
ченное уравнение решить графически.
8.5.	Просуммировать ряд можно двумя способами:
1)	рассмотреть значения п = ЗА, п - Зк + 1, п = Зк + 2, к = 0, 1,... и записать ряд в виде суммы
3-х рядов;
2)	использовать, что sin(wn/3) = Imexp(wn/73) (см. указание к 4.29) и ряд Маклорена для
1/(1-*).
8.6.	Почленно проинтегрировать ряд и найти у =Х*)с учетом условия у(1) = 0.
8.7.	Просуммировать ряд, используя ряд Маклорена для ех.
8.8.	Решить сначала уравнение как квадратное относительно у(х) с учетом ХО) = 0.
8.9.	Дважды проинтегрировав неравенство, из условия задачи получить неравенство для
Л*)на(0, 1).
8.10.	Пусть 5(х) — сумма ряда слева. Умножить обе части тождества на ехр (-х2/2) и про-
дифференцировать его, получив дифференциальное уравнение для нахождения 5(х).
8.11.	Пусть 5(х) — сумма ряда. Продифференцировать ряд и сравнить ряд для У(х) с ря-
дом для 5(х).
-135-
8.12.	Равенство (1) можно получить из геометрических соображений, сравнивая площадь
«фигуры», выражаемую интегралом с бесконечной суммой площадей hfikh) прямоуголь-
ников. Для решения задачи положить t = ехр(-Л2).
8.13.	Решение Дх) можно найти методом неопределенных коэффициентов. Следует
различать случаи а = -1 (убедиться, что здесь c2n, neN, — произвольные) и а * -1.
Случай а = -1 можно рассмотреть и отдельно, без поиска решения в виде ряда, если
учесть, что уравнению fix) -fi-x) = 0 удовлетворяет любая четная функция, а частное ре-
шение /ф (х) уравнения fix) -fi-x) - sin х искать в виде fi (х) = A sin х.
8.14.	См. указание к 8.13. Получить рекуррентную формулу для коэффициентов ряда для
у(х) и найти их. Выяснить вид решения при а = ±1 и а 0.
8.15.	Умножив обе части равенства на (1 - х) и используя ряд Маклорена для ln( 1 + х),
получить рекуррентное соотношение между ак и ak_v Подставляя в него последователь-
но к = 1,2,..., п и складывая полученные п равенств, получить выражение для ап.
8.16.	Используя указание к 8.15, найти коэффициенты Ьп ряда Маклорена F(x).
8.17.	1) Использовать периодичность и нечетность fix) и получить ее аналитическое вы-
ражение на (0; л/2) и (л/2; тс);
2)Дх) — периодическая и четная; достаточно найти ее значения на (0, тс/2], выяснив, ко-
гда ctg х > 1 и 0 < ctg х £ 1;
3)	обе части разложения fix) в ряд Фурье умножить на sin х и произведение синусов пре-
образовать в разность косинусов. Можно также, используя четность/1(х), выразить ее ко-
эффициенты Фурье ак через Ьк.
8.18.	НайтиДл-х).
8.3.	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
8.	1.1), 2) Сх. условно;
3)S=4-e;
4)	пусть ая — коэффициенты ряда, тогда сходимость вытекает из неравенства 0 < аи < 1/ (л!).
Согласно указанию, имеем
^ = ^£(1-со5(лл-/2))/(И!) = 1(£|/(л!)-£(-|/(1/(2*)!)) = (е-со51)/2;
2л=1	2 л=0	*=0
5)	т.к. ан =1 /(wln(,nw)) и In (In п) > 1 + £ V п > е\ то ряд сх.;
I. (	( 1	1 лГ 1 Yl
6)	используя указание, имеем ам =bn-e- el expl +уу+01 — 11-1 1 = е =
(, 1	1	.( 1 А	1 (	1	1	.( 1 Y|2	,1	е	JП	е
= е 1——+—г+О -т	+—г+0 —г -1 =-—+0 -	ирядрасхо-
2л	Зл2	1л27	Д	2л	Зл2 1л2))	J	2л \п)	2п
дится.
8.2.	1) Пусть П — искомое произведение, тогда П = 3‘\ где S = ^n-3'n.
п=\
Дифференцируя тождество ^qn = (1 ~q)~l, |<?| < 1 и умножая затем обе части его на q, на-
л=0
ходим, что У nqn = q(]-q)~2. Поэтому S' = (1/3X1-l/З)2 = — и П = ^27 ;
4
-136-
2)	Пи —> exp(ln 2) = 2 при п —> оо;
3)	1-е слагаемое равно 1/2, т.к.Дх) = (ln( 1 + х) - ln( 1 -х))/х = 2(1 + х2/3 + х4/5 +...+ х2”'2 /
/(2w-1)+...), |х|< 1, то 5(х) = £/(x)t/r = 2(х + х3/З2+... + х2л~1/(2w-1)2 +...), причем ряд
сходится для |х| < 1.
Поэтому 5(1) = lim 5(x) = 2(1 + 1/32 + ...+ 1/(2w-1)2 + ...) = 2(tc2/8) = л2/4 и 2-е слагаемое
*->1-0
равно 1/2. Ответ I;
4)	следуя указанию имеем
5=	+(* + 1)'2-И(к(к + \))) = п1/Ь + л1/6-1-21= №/3-3,
*=|
т.к. Sj = ^1/(Щ + 1)) = 1 (чтобы убедиться, что 5> = 1, нужно записать общий член ряда
Л=1
как разность Мк - \!(к + 1) и найти w-ю частичную сумму ряда);
5)	/{,*>«)(_1) = -4",0(Х’(1998!).
. Используя указа-
8.3.	1) Сходимость ряда V х е R вытекает из неравенства | Un(x) |<
ние, находим , что S(x) - (е~х - 2 + х + cos х) / 2;
2)очевидно <p(w) = l, если п е{1,2,...,9}; <p(w) = 2, если we{10, 11, ..., 99} ит.д.
Поэтому S(x) = 9х + 90х2 + 900х3 + ... = (0,9)(1 Ох + (10х)2 + (10х)3 + ...) = 9х/( 1 - 10х)и ряд
сходится для |х| < 1/10;
3)	S(x) = (х2 -1)"11п(1 + (х2 -1)) = (х2 -1)“’ In х2 и сходится для 0 < |х| < V2, 5(±1) = 0, х = 0
— точка расходимости;
4)	S(x) = 0,51п((1 - х)/(1 + х)) сходится для |х| < 1;
5)	Сходимость ряда Vx eR следует из неравенства |<7„(х)| < [х^"*0.
5п(х) = (sin(x / 2) - sin(x • 24”+n)) / 2	sin х при w -> qo;
6)	согласно указанию Ц,(х) = (cos(x• 2"”) - cos(x• 21-"))/2, neN.
Отметим, что оба ряда из косинусов расходятся, хотя сам ряд сходится Vx е R.
Но 5w(x) = (cos(x • 2'") - cos х) / 2 -> S(x) - (1 - cos x) / 2 при w -> qo;
7)	ряд t + 2t2 + ...+ nt” + ... сходится для |/| < 1, причем S(t) - /(1+2/ +...+wfl) (см. решение
8.2 п. 1). Поэтому S(x) = (l,5 + cosx)(0,5 + cosx)“2 и ряд сходится при -2п/3 + 2кп<х<
< 2п/3 + 2кп, к eZ;
8)	S(x) = (х -1) 1п(1 + х) + х, сходится Vx е (-1; 1];S(x) > 0 т.к. х = 0 — единственная точка
минимума 5(х) и 5(х) > 5(0) = 0;
9)	ряд сходится Vx eR, при этом 5'(х) = 1 + х25(х)=>5'(х)-х25(х) = 1, 5(0) = 0; 5(х) =
= exp(J/2i//)(5(0) + J exp(-J :2dz)dt) => 5(х) = ехр(х3 / 3) J ехр(-/3 /3)dt.
оо	о
8.4.	1) Ряд слева сходится для |х| < л/з и его сумма 5,(х) = —-— = ——-т
11	3 1 + х2/3 3 + х2
- 137-
Ряд справа — Vx > 0, причем S2(x) = ехр(- In х) = х"1. Поэтому исходное уравнение имеет
смысл лишь для х е (0, л/3). Из уравнения 5i(x) = S2&) находим xj = 1, хг = 3; но хг £ (О, V3).
Итак, х = 1;
2)	/(2k -1) = arctgx = я/4 => х = 1;
*=i
3)	равенство имеет смысл для х > 0 и сводится к уравнению (2 /x)sin 2х = 1 / х => sin 2х =
= 1/2=»х = я72 + Ъг, k = 0, 1, или х = 5п/12+пи, п = 0, 1, ...;
4)	ряд слева V х е R и его сумма £(х) = (1 - costcx)/x; правая часть равна (4/3)ехр(1п(1 + 1/2)) =
= 2 и уравнение принимает вид 5(х) = 2 => cos лх = 1 - 2х.
Строя графики у - cosnx и у = 1 - 2х, убеждаемся, что xi = 0, хг = 1/2, хз = 1 — все корни
этого уравнения. Уравнению S(x) = 2 удовлетворяют х *= 1/2 и х = 1.
8.5.	S(a) = У, (а~3к cos кл+я~(3*+1) cos(for + л / 3) + а"(3*+2) cos(kл+2л /3)) =
= (1 + 0,5а~' - 0,5а'2) £ а* (-1/ = а(а -1 12) !(аг - а +1),
ряд сходится абсолютно при |а|> 1. Исследуя 5(a) на экстремум, получаем, что при
а0 = 2 + э/з, 5тк = 5(оо) = (12 + 7э/3)/(12 + 2я/з).
8.6.	Суммируя ряд, который сходится \fy е(-1, 1), находим х = (1 + у)~2 => у = х“,/2 -1 =>
=>у(4) = -0,5.
8.7.	Ряд сходится Vy > 0 и его сумма х = 1 - у~2 => у~2 = 1 -х > 0 => х < 1 и^>0. Т.к. у > О,
..	х-1/2	, ЯП 1 *3*5 •...*(2Л“1) п z 1
то у = (1-х) |/2 = 1 + 2,-----5--------хп, хе(-1; 1).
%	2"-я!
8.9.	Следуя указанию, получаем f(x) 2 хг /8, х е(0, 1).
Поэтому /(2'”)22'(2п+3) => £/(2'*)< 1/6.
8.10.	S(x) удовлетворяет уравнению S'(x)-xS(x) = 1, £(0) = 1 => 5(х) — равно правой час-
ти тождества.
8.11.	Следуя указанию, получаем 5'(х) = S(x) -f(x), S(0) = 0.
Решая уравнение, находим S(x) = ех j f(t)e ldt.
о
8.12.	Функция fix) убывает при х > 0, поэтому (см. рис. 8.1) выполняется неравенство
^hf(kh) < ^f(x)dx < /(О)Й+2А/(*А) =»
=> 0 < f(x)dx~^hf(kh) <
h 2h	(n^\)h x
Puc.8.1
Отсюда при h + 0 получаем требуемое.
Рассмотрим пример.
-138-
Имеем Iim(l-e"A2),/2y е (АЛ)’ = НтЛУ е (АЛ)2 = f e~x* dx.
л-^° й Лно й Jo
8.13.	Полагая /(х)= ^слх”, находим, что c2n = a2nc2tl (1); см = а2я+,сь+| + (-1)”/((2л + 1)!),
л=0
°О (—1)”л2л+1
п = 0,1,... Из (1) при а ф ± получаем, что = 0 и f(x) -1 +	; если а -
п=ъ(\-ап )(2л+1)!
= -1 , то из (1) получаем, что — произвольные числа и тогда /(х) = /0(x)+-^sinx + l,
где /0W = ^С2пх2" — произвольная четная функция, для которой сходится ряд и fQ(Oy= 0.
8.14.	у(х) -1 +	(а - 1)(а3 -1)...(а2к~1 - 1)х2* /((2£)!) сходится при |а| < 1. При а - 0,у(*) =
- cgs X'., при а - -1,у(х) = cos (х41); при а - 1,у(х)= 1-
8.15.	В соответствии с указанием имеем:
о° z iUr-l 1:	00	/
“ Л*-1 >х* + «о => ак - "t-i =	7—> teN, аа = 0;
Ь=1 К *=1	К
ап = 1~1/2 + 1/3-...+(-1)*ч1/л -> In2 при п -> оо.
8.16.	Г(х) = а0 + У (а, + аг +...+ак )хк.
к=\
8.17.1)/(х) = х, если хе [0, л/2] и f(x) = п-х, если хе [л/2, л];
/(х) = (4/^)У (,2k -1)'2 -(-I)*'1 sin(2jl - 1)х; ^(2к -1)'2 = лг /8;
к~\	к=\
2) /(х) = 1, 0£х< л/4 и /(х) = 0, тс/4<х^л/2; /(л/4) = 1/2;
fix)-l/2+-ytjtlcos2(2A-l)x;
Ям 2*~1
3) /i(x) = |(d| +Z>2cosx + £“ 2(i„+i - VJcosnx).
8.18. Искомая сумма 5г(х) = ^(/(х) + /(л-х)).
-139 -
9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
9.1.	ЗАДАЧИ
9.1.	Абонент забыл последние две цифры номера телефона. Какова вероятность набрать с
1-й’попытки верный номер, если абонент помнит, что среди этих цифр нет нуля, одно из
них больше 5, другое меньше 5?
9.2.	Наудачу взято пятизначное число, составленное из цифр 0, 1,2, 3, 5. Какова вероят-
ность, что оно делится на: 1) 4; 2) 5?
9.3.	Наудачу взято четырехзначное число, составленное из цифр 0, 1, 2, 3. Какова вероят-
ность, что оно делится на 3?
9.4.	В некоторый промежуток времени бактерия может погибнуть с вероятностью 1/4,
выжить — с вероятностью 1/4, разделиться на две — с вероятностью 1/2. В следующий
промежуток времени с каждой бактерией может произойти то же самое. Какова вероят-
ность, что к концу второго промежутка времени не окажется ни одной бактерии?
9.5.	В круг, куда вписан квадрат, наудачу бросаются: 1) 5 точек; какова вероятность, что 3
точки попадут в квадрат, а 2 — в круг (вне квадрата)?
2)	7 точек; какова вероятность, что 3 точки попадут в квадрат, а 4 — по одной в каждый
из образовавшихся круговых сегментов?
9.6.	В квадрат вписан другой квадрат так, что его вершины являются серединами сторон
данного квадрата. В большой квадрат бросают 6 точек. Найти вероятность случайных со-
бытий: 1) 3 точки попадут в малый квадрат и 3 — в большой (вне малого); 2) 2 точки — в
малый квадрат и 4 (по одной) в каждый из 4-х образовавшихся треугольников.
9.7.	На отрезке [~а\ а] ,а> 4, наудачу выбраны точки и и v. Что вероятнее: корни уравне-
ния z2 + uz + v = 0 лежат на вещественной оси или не лежат? К чему стремятся эти веро-
ятности при а -> оо.
9.8.	Непрерывная случайная величина (С.в.) £ имеет плотностьД(х) = 0, *£(0, 1) иД(х) =
= ~-sin(nx/2), х е(0,1). Найти математическое ожидание (м.о.) и плотность с.в. т] = 1 -
9.9.	Точка (х,у) равномерно распределена в квадрате: 0 < х < 2, 0<^<2. Найти вероят-
ность того, что х и у удовлетворяют неравенству ах2 < 4у < 4х, а е R.
При каком а полученная вероятность равна 1/3?
9.10.	С.в. £ имеет нормальное распределение с параметрами т = 25 и ст > 0.
Что больше: 1) Р{10 < < 15} или Р{35 < $< 40}? 2) Р{10 < $< 15} или Р{30<$<35}?
9.11.	Бросаются 2 игральных кубика. Пусть С.в. £ — число очков, выпавших на верхней
грани 1-го кубика, с.в. г| — на верхней грани второго. Найти распределение С.в. Q =
= min(£, г|) и м.о.
9.12.	Найти м.о. С.в. max(xi, хг), где Х|, Х2 — независимые измерения С.в., распределенной
равномерно на [0; 1].
9.13.	С.в. £ имеет плотность Д(х) = (л/2)sin Ах, если х е (0, 1) и Д(х) = 0, если х £ (0, 1).
Найти постоянную А, функцию распределения Ftfx) и
9.14.	С.в. £ распределена равномерно на [-1; 1]. Найти среднее значение и плотность С.в. т]:
1)п = й;2)п=|2^-1|.
9.15.	Точка z комплексной плоскости перемещается по окружности |z| = 1. Перемещение
происходит в моменты времени t = 0, 1, 2,....и на угол 2л/3 с вероятностью р и на 2л/3 с
вероятностью q. Найти м.о. z, если в момент t = 0, z = 1.
9.16.	В круг г < 1 наудачу бросается точка М. Затем она движется согласно уравнениям
- 140-
= sin(^/r),
а/
^ = 1
dt
Какова вероятность для этой точки пересечь при t > 0 отрезок луча <р = тг/2 с 0,49 < г < 0,51?
9.2.	УКАЗАНИЯ
9.2.	Число делится на 4, если последние две цифры — нули или образуют двухзначное
число, делящееся на 4; делится на 5, если оканчивается на 0 или 5.
9.3.	Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
9.4.	Пусть Пк, ВкиДк соответственно случайные события (с.с.): бактерия погибнет, выжи-
вет и разделится в к-й промежуток времени, к - 1, 2. Выразить требуемое с.с. через Пк, Вк
нД«-
9.5,	9.6. Применить понятие геометрической вероятности. В 1) использовать распределе-
ние Бернулли; в 2) занумеровать точки, рассмотреть один из вариантов их расположения
и подсчитать число таких независимых и несовместных вариантов.
9.7.	Применить понятие геометрической вероятности.
9.8.	Выразить функцию распределения Fn(x) через Ftfx).
9.9.	Применить понятие геометрической вероятности и рассмотреть случаи а < 0 и а > 0.
Учесть, что при а > 0, 0 < х < min{2; 4/а}.
9.10.	Сравнить площади фигур, равные соответствующим вероятностям.
9.11.	Пусть с.в. £ принимает значения х, = i и с.в. т| — значения^ = k, i,k = 1,6. Очевидно,
6
что Р{х, = 0 = 1/6; Р{ук = к} = 1/6. Тогда Р{£ = 1} = ]£(Р{х, = /|х, <ук} + P{yt = /|у, <xj).
*=i
9.12.	Пусть С.в. £ и т| распределены равномерно на [0; 1]. Тогда С.в. £ = тах(£,т|) равно-
мерно распределена в единичном квадрате и ее м.о. можно найти по формуле
1 ।
= j dx j max(x, y)dy. М, можно вычислить и иначе, найдя сначала 7^(х) s Р{С> <х} =
о о
= Р{^ < х|£ > г|} + Р{т| < х|£ < т]} используя понятие геометрической вероятности.
1
9.13.	Из свойства плотности j f^(x)dx = l получить уравнение: cosJ = 1 - 2А/п, которое
о
легко решается графически: А\ = тс/2, Аг = л (корень Аз = 0 не имеет вероятностного смысла).
9.14.	Найти функцию распределения Fq(y) = Р{т| < у}, учитывая, что Fn(y)=0 при у < 0.
1
М.о. Л/п можно найти по формуле Мл = j (p(x)f^(x)dx, где <р(х) — неслучайная функция,
-1
определяемая характером зависимости между т| и £ в случаях 1) и 2), а Д(х) — плотность
С.в.	__
9.15.	Пусть zk, к = 1,п — независимые С.в., принимающие одинаковые значения
ехр(2ш73) или ехр(-2ш/3). Тогда значение z после п шагов перемещения равно z = zi,... zn.
-141 -
9.16.	Из 2-го уравнения системы следует, что радиус-вектор г (г) точки вращается с по-
стоянной угловой скоростью о = dq/dt = 1. Характер изменения г(Г) =| Г(/) | определите из
1-го уравнения.
9.3.	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
9.1.	1/32.
9.2.	Пусть xyzab — пятизначное число. Число всех пятизначных чисел, составленных из
цифр О, 1, 2, 3, 5 будет равно п = 4- 54 (х может принимать лишь 4 значения: 1, 2, 3, 5, а у,
:,аиЬ — все 5 значений). Подсчитаем число т\ случаев, благоприятствующих делению
наудачу взятого числа на 4. Согласно указанию это числа вида: луг 12, лу^32, луг52, луз20 и
луз 00. Пятизначных чисел каждого из перечисленных видов можно составить 4-52, т.е.
т\ = 5-4 - 52 и вероятность Р = т\!п = 0,2. На 5 делятся числа видалугаО и ху=а5, поэтому
т, =2-4-5’ и Р;= —= 0,4.
п
9.3.	Всего четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, и 3, будет и = 3-43. Де-
литься на 3 будут числа вида 1) 1 abc; 2) 2 abc; 3) 3 abc и полученные из них перестанов-
кой а, b и с, но таких, что сумма всех 4-х цифр делится на 3. Подсчитаем число т указан-
ного вида, для чего обозначим через Ps — число перестановок из набора (а, 6, с), для ко-
торого 5=а + Л + с, и составим таблицу.
1-я цифра 1					1 -я цифра 2					1 -я цифра 3				
а	ь	с	5	Ps	а	ь	с	5	Ps	а	ь	с	5	Ps
1	1	0	2	3	1	0	0	1	3	0	0	0	0	1
2	6	0	2	3	2	2	0	4	3	1	1	1	3	1
3	2	0	5	6	2	1	1	4	3	2	2	2	6	1
3	1	1	5	3	3	1	0	4	6	3	3	3	9	1
2	2	1	5	3	3	3	1	7	3	3	0	0	3	3
3	3	2	8	3	3	2	2	7	3	2	1	0	3	6
										3	2	1	6	6
			ZPS	= 21				ZPs	= 21	3	3	0	6	3
													ZPs	= 22
Следовательно, т = 21 • 2 + 22 = 64 и вероятность р - — = -.
п 3
9.4.	Пусть А — с.с., вероятность которого нужно найти. Тогда (см. указание) А = П\ +
+ В\Пг + Di/72(1)/72(2), где С.с. /72(,), i - 1, 2 — погибает /-я бактерия в момент ti.
Тогда Р(Л) = />(П1) + />(в|)Р(П2)+Р(О1)/>(П(2'>)/’(П®) = ^+-^-+^-^- = ^ (здесь исполь-
зовано, что с.с. — попарно несовместные слагаемые, и с.с. /71, /72, В\, D\ — независимые в
совокупности).
9.5.	1) Пусть искомое с.с. А, тогда используя формулу Pn(k) - Cknpkqn~k (вероятность появ-
ления к «успехов» в п повторных независимых испытаниях Бернулли), находим Р(А} =
= Ps(3) = Clp'q1 = 10pV = 10(2/л)’(1 -2/л)2 = 0,34 (здесьр = Stb : Stp = 2ft2: лЯ2 = 2/л, q =
= i -р);
2)	следуя указанию, занумеруем точки. На рис. 9.1 изображен один из вариантов (с.с. В\)
расположения 7 точек. Пусть с.с. С — попадание точки в квадрат, a D — попадание точки
- 142-
в один из 4-х сегментов. Тогда Р(С) = 2/л, P(D) =
= 1 /4G - 2/л) и Р(В|) = (2/л)3((1/4)(1 - 2/л)). Пусть Вк,
к=\,п ', все и вариантов расположения точек. Число п
равно н = с’-4! (с’ — число способов, которыми
можно расположить 3 точки из 7 в квадрате, 4! = 24
способами могут быть расположены 4 точки по одной
в каждом сегменте). В силу несовместности с.с. В* и
их независимости
Р{В) = Р(£Вк) = '£Р(Вк') = пРЩ) - 0, 06.
fc=l fc=l
9.6. 1) Р(Л) = С’(1/2)6 = 5/16«0,3;
2) Р(В) = пР(Вк) = (С2 -4!)^ Q) - 0,0022.
9.7.	Пусть с.с. А — корни лежат на вещественной оси, т.е. дискриминант квадратного
а
уравнения £>=(72-4К>0, а А — противоположное с.с. Тогда Р(А) = 2 /(4а2) • J V4vt/v =
о
= 2/(3>/а)-»0 приа-»+оо; Р(Л) = 1 - 2/(Зл/а) —> 1 приа-»+оо.
9.8.	По определению функции распределения (ф. р.) имеем
Рп(х)=Р{п<х} = Р{1-^<х} = Р{^>Н} = 1-Р{^<1-х} = 1-Е(1-х)
/п(х) = (1 - F4(l-х))\ = Д(1 -х) = (n/2)sin((n/2)(l-х)) = (n/2)cos7u/2, х е(0,1)
и /п(х)=0,х ё (0; 1);	= ^xf^x)dx = ^xcos(nxl2)dx = \-2l я..
9.9.	Изобразим множество точек, задаваемых неравенством ах1 < 4у < 4х, а е Р,0<х,у<2
(см. рис. 9.2), где 1. (а > 2); 2. (а = 2); 3. (0 < а < 2).
Пусть а > 0, тогда из приведенного неравенства => ах1 £ 4х =>
=> х(ах -4)<0=>0^х< 4/а; с учетом 0 < х < 2 получаем, что
< у < х ^min(2, 4/tz). Пусть А — с.с., вероятность которо-
4
го ищем.
/>min(4/a,2)	0
Тогда Р(А) = SA: S, где 5 = 2, SA = £	(х-ах2/Щх и
Р(А) =
(1 - а 13), 0 < а < 2, ( если а < 0, то 5 = Sa - 2);
4 -2
—а ,а> 2;
очевидно, Р(А) = 1/3, если а = 1.
9.10.	Пусть Р\ и Pi — вероятности 1-го и 2-го с.с. Тогда в случае 1) Pi = Pi, в 2) Р2 > Р\.
9.11.	Следуя указанию, получаем = i} = (12 - (2/ - 1 ))/36, i - 1, 6; Af; = (1x11 + 2x9 +
+ 3x7 + 4x5 + 5x3 + 6х1)/36 = 91/36.
9.12.	Л/; =2/3 (см. указание).
- 143-
Л	Сх
9.13.	При J = л/2, /с(х) = ~sin(7cx / 2); F^(x) = £ f^t)dt =
0,x<0,
l-cos(^x/2), 0<х<1,
l,x> 1;
= 2/ л; при A = л F^(x) =
0,x<0,
(l-cosflrx)/2,0<x<l, Л/; = 1/2.
1.x >1;
9.14.	1) Согласно указанию, имеем F2(y) = p{r|<^} = P{(£( < .
При у < 0, Fn(y) = 0; если у > 0, то с учетом /^(х) =
О, х<-1,
(х + 1)/2, -1<х<1,
1, х> 1;
находим: 1) при -у > 1, т.е. О <у <1,
1\(.у) = р{-у <1>< у} = F-(y)-fy-y) = (у +1)/2 - (1 - у)/2 = у; 2) если -у <. -1, т.е. у > 1,
/гпО')=/’{->'<^<й=/’{->'<^<-,}+/>{-,<^^,}+/’{1<^<Я=о+1+о=1.
Итак, Р7(у) =
0,у<0,
у, 0 < у < 1, т.е. /п(у) = 1, у е (0, 1) и /п(у) = 0, если у ё (0,1).
1,у>1;
Следовательно, с.в. т] распределена равномерно на (0, 1);
Mt] = j |х|/\(х)<& = J1 |х|-(1/ 2)<& = £xdx = 1/2 (см. указание к 9.14).
можно найти и используя определение Л/О: ffj(y)dy = £ydy = 1/2.
2)	Л/7 = |^2х-1| *^ = “(|^2(1-2х)б& +|11/г(2х--1)б&) = 5/4(см. указание); изобразим
график неслучайной функции у = |2х-1| (см. рис. 9.3) и найдем плотность Так как
4« =
Г^(х) =
1/2,хе[-1,1]
, то
0,хё[-1,1]
О, х<-1,
(х + 1)/2, -1 <х < 1,
1. v > 1.
-1 О
1/2 1
Найдем сначала F^(y). Имеем Fn(y) = Р (|2£ -1| < у}; очевидно,
Fn(y) = 0 при у < 0. Пусть у > 0.
Рис. 9.3
Тогда Fn(y) =	< 1^} = F; F(
0<
1).уе[0,1]=Д<^£1,тогда	=
2	2
3-ь^ 3-у
4	4
= ^/2;
-144-
2)у е (1, 3) => 1 < ^<2 =>	1= 1; - 1 < —<0 => F„f—^1 = ^
л	2 Ч 2 )	2 Ч 2 ) 4
3-у \+у
4W = 1—7“ = “Т’;
'	4	4
3)	при у > 3 ~~ > 2 и < -1, т.е. Fe = 0,7^	= 1 И ~
Итак, F^(x) =
0,у<0,
у/2’0<^1’	/00
(1 + у)/4, 1<у<3,	"
1,у>3;
0, у < 0 и у > 3;
1 / 2, 0 < у < 1 т.е /п(у) — разрывна.
1/4, 1 < у <3,
9.15.	Из указания и свойства м.о. имеем:
Mz = Mzxz2...zn = Mz,Mz1..Mzn = (AfcjK = (p ехр(2ти/3) + q ехр(-2л/73))”.
9.16.	Движение точки (го, Фо) в полярных координатах можно задать выражением
(г(/,г0), фо + со/) = (г(/,го), ф0 + /),так как по условию со = <р =1. Здесь г(/,г0) — решение
уравнения г = sin(n/r), удовлетворяющее начальному условию г(0,го) = г0 (центр круга г0
= 0 из рассмотрения исключен, т.к. вероятность выбрать эту точку равна 0). Очевидно,
г(/, 1 /п) = 1 /л, neN, V/ > 0 является решением дифференциального уравнения
((г s 0 и sin пп - 0). В силу теоремы единственности решения задачи Коши для д.у., если
—— < г0 < —, то и r(/,r0) g I ——,— I V/ > 0. Значит, при г0 < 1/3 будет г(/,г0) < 1/3 и тра-
и + 1 п	\и + 1 п)
ектория (г(/,г0), Фо + 0 не пересечет исследуемый отрезок 0,49 < г < 0,51 луча ф = л / 2. Ха-
рактер изменения функции г - sin(n/r) изображен на рис. 9.4(a).
Рис. 9.4. а)
Если го е (1/3, 1/2), то, как видно из рис. 9.4(a), функция г(/, г0) возрастает (г(/)>0) и
lim г(/, г0) = 1/2 (по теореме Коши). Поэтому траектория (г(/, г0), фо+ /) пересечет иссле-
r->-wc
дуемый отрезок (и притом бесконечное число раз). При 1> го > 1/2 г(/, го) будет убывать и
lim г(/,г0) = 1/2, т.е. и в этом случае траектория пересечет указанный отрезок. Итак, тра-
ектория (г(/, го), фо + 0 пересечет отрезок тогда и только тогда, когда i < r0 < 1 (см. рис.
9.4(6)). Поэтому вероятность этого события Р =	= 8/9.
п1
-145-
10. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД 1999-2000 гг.
10.1. ЗАДАЧИ
10.1.	Числа mi, /иг, тз —длины медиан некоторого треугольника. Определить вид тре-
угольника, если т2 + т2 = 5m2.
10.2.	Решить уравнение с двумя неизвестными Зх + 4у - 3 + 4д/х2 + 4^2 + 3 = 0.
10.3. Найти целые решения системы уравнений
coszrx-2y 4-Зг2 = 0
2 cos2 (я х/2) - 2^’ + z2 = -3.
5cos^x-2^+3+9z2=-12
10.4. Найти матрицы А' и У из системы уравнений
ЛУ+У=В
X + YA = Cf
где А, В, С — матрицы
размера п х п, причём А2 = 0.
10.5.	Составить уравнения катетов прямоугольного &АВС (с = л/2), если заданы верши-
на А(\, -1), уравнение описанной около треугольника окружности х2 + у2 -4у-6 = 0 и
площадь SX[BC = 10.
10.6.	Эллипс касается параболы у - 2х2 - 3 в точках (1; -1), (-1; -1). Составить уравнение
эллипса, если одна из его полуосей равна 6р, где р — параметр параболы.
10.7.	Найти:
a)	lim (ln((lnox)/(ln(x/a)))jln(xlna), а>1;
б)	lim(1 - cos(2tc/h))^1 + 3/п + ^1 + 3 2/п + ... + ф + Зп/п} .
10.8.	Найти кратчайшее расстояние от точки Л/о (1; 0; 2) до поверхности z = х2 + 2у2.
10.9.	Доказать, что функция X*), определяемая уравнением
у(х) _______________________________ х
| Vcos / Jr 4- J sin (у (/)) dt = x2,
о	о
имеет экстремум при х = 0, равный нулю. Определить вид экстремума.
2л
10.10.	Найти lim [ |acosnx-5sinnr|dk, a.beR, neN, (ab>0).
П-^ао
0
10.11.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0 и у - lim Vs in2" х + cos2" х, на
л—>00
отрезке, длиной в период.
- 146-
10.12.	Найти непрерывно дифференцируемую при х > 0 функциюу(х), удовлетворяю-
щую уравнениям у' = у + х, у(0) = -1, 0<х<1; у" + л2у = 0, х>1.
10.13.	Найти у(х) из уравнения:
a)	xy'-y = y3sin2(x/y)y y(l) = 2/ify
б)	2у'(х) = у(1/х), у(1) = 1.
10.14.	Движение точки М(х(<),у(/)) определяется системой уравнений
*'(/) = Ху.
У' (1) = 71 У<А%П I - ху1.
В момент /0 = 1/2 точка Мнаходится в положении Л/о( 1,1). В какие моменты времени
точка М снова будет находиться в Л/о?
10.15.	Разложить f(x) =	sin (xg^ j, |g| < 1 в ряд Маклорена.
Аг=О
10.16.	Ряд /(х)-/'(х) + /"(х)-/"'(х) + ... сходится равномерно Vx е R. Выразить сум-
му ряда 5(х) черезу(х), если 5(0) ~ 0. Для какойу(х) 5 (х) = х2 ?
10.17.	Точкам движется по окружности |г - /| = 2. Какие значения может принимать мо-
дуль |г + г’’| ?
10.18.	Пусть точки zk, к-\,п являются вершинами правильного и-угольника, вписанного
в окружность |-| = 1, a z — произвольная точка этой окружности. Доказать, что
Е1-----*|2=2и.
*=1
1 i-V?
10.19.	Вычислить J ехр(2х-х2^dx.
о о
10.20.	Найти координаты центра масс однородной плоской пластинки, ограниченной ли-
I-	лх|	2
sin-—I и у = 2-х .
10.21.	а) Выяснить, при каком а > 1 последовательность pn - a~n, neN является распре-
делением некоторой дискретной случайной величины (с.в.)?
б) Пусть £ — с.в., причём Р {% = п} = а~п и а определено в пункте (а).
Найти распределение с.в. r| = cos(rc£/3) и её математическое ожидание (м.о.) A/q.
10.22.	Человек находится в начале системы координат. Он подбрасывает монету. При по-
явлении герба делает шаг направо, при появлении цифры — шаг налево. Пусть £ — абс-
цисса положения человека после п бросаний монеты. Найти:
а) распределение с.в. б) М, и дисперсию D*.
10.23.	Разложить вектор т = [5,£] +[/>,?] + [£,я] по тройке векторов а, 5, с единичных
векторов, составляющих друг с другом углы в 60°.
10.24.	Обратить матрицу, у которой на главной диагонали стоят 1,2,..., и, а остальные
элементы равны 1.
- 147-
10.25.	/(x) =xr . Вычислить/"(х).
10.26.	Найти наименьшую из площадей равносторонних треугольников с вершинами,
расположенными на скрещивающихся ребрах единичного куба.
10.27.	Вычислить [---------------
J sinx4-sin2x + sin3x
10.28.	Дуга кривой р =	I —<#?<— | вращается вокруг луча ф ® л/4. Найти
1 + sin 2ф	V 4	2 )
объем тела вращения.
10.29.	Найти частное решение уравнения хУ = (у-х/)г,Х1) = 0,У(1)=1.
1
где /(*) = —Ц-.
1 + х
10.30. Просуммировать ряд
*=1
1031. На поверхности
найти линию, которая в каждой своей точке Л/(х, у, z)
перпендикулярна к вектору {2х, Зу, г}. Линия проходит через точку (1; 1; 1).
X
10.32.	Найти какое-нибудь решение уравнения jsin(x-r)-/(/)d/ = 1 + f(x).
о
10.33.	Единичные векторы а, Ь, с составляют друг с другом углы в 60°.
1) Разложить вектор т=5х£+£хс+сх5 по тройке 5, 5, с; 2) доказать, что |/и| равен
удвоенной площади основания тетраэдра, для которого 5, Ь, с — боковые ребра.
1034. Решить уравнения с двумя неизвестными 4х - 4у + 3 = 4^4х2 + у2 + 3.
10.35.	Доказать, что кривая г = (зшф -cos ср)/(1 + соз2ф) (г, ф — полярные координаты
точки) — парабола, и найти координаты ее вершины и фокуса.
1036. Найти площадь прямоугольного ЛАВС,	если заданы: вершина Л(1, -1), точка
Л/(-3, 1) прямой, на которой лежит катет ВС, и уравнение окружности х2 + $ - 4у - 6 = 0,
х2+у2 -4у-6=0, описанной около ЛАВС.
10.37.	Под действием некоторой силы материальная точка движется по кривой х2 + 4у2 +
+ 2х - 7 = 0. Действие силы прекратилось в тот момент, когда точка занимала положение
Л/о(1, -1). Определить дальнейшую траекторию точки.
10.38.	Числа a, b, сeR, различны и отличны от нуля; А =
с b а , В = \ Ь Ъ . Доказать,
J 11 J с
что det( АВ) > 0. Когда достигается знак равенства?
10.39.	Указать множество точек (а, Ь, с) пространства, для которых система
- 148-
ax+6y+cr=0
• Z>x+cy + az=O
cx + qy + 6r = 0
имеет более одного решения, и привести эти решения.
10.40.	Найти матрицу X из уравнения Л' + А2Х=В, если А3 = Е (Е — единичная мат-
рица).
10.41.	Найти пределы:
1)	lim(^9+lnx-710+cos;rx)/| In| sin— ] 1;
х-я'	' к \	2 J)
2)	lim j Jx+yjx+Jx -Jx I;
х—>+«>^ ’	J
3)	lim (In sin x) • In (in (x + 2) / In (2 - x)).
10.42.	Построить эскиз графика функции у=|х +100|+|х + 99|+...+|х|+|х -1|+...+|х -100|.
Найти наибольшее и наименьшее ее значения на [-100, 100].
10.43.	Найти f если -*--Jsx.
л
Jsinxdr
—
cosx+2sinx-cos3x
10.45.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Vx +Jy = 2,x = 0,у = 0.
10.46.	Найти у(х), из уравнений:
1)	y'(x)+X0)X*) = sinx, (Х0)>0); 2) У(х)у(-х)= xsinx,X0)= 1;
3)	(у" + у) sin х - (У - yctgx) cos х = sin 2х, у(п / 2) = 1, у (л / 2) = 0.
10.47.	Найти решение уравнения y(x)sin 2х = 2( у(х) + cos х), ограниченное при х -> п/2.
10.48.	Вычислить	yjxdx.
10.49.	Найти объем тела, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам:
0<х<1, 0<у<1, 0<г<1, г<х2 + у.
10.50.	Вычислить криволинейный интеграл J (у2 +sin2 x}dx-(eyl -2xy)dx, если точки
АтВ
А иВ лежат на оси Ох, а АтВ — дуга плоской, простой, кусочно-гладкой кривой, лежа-
щей в верхней полуплоскости у > 0.
10.51.	Найти /(2ООО)(0), если /(х) = 1/((1 + х)(1 + х2)(1 + х4)(1 + х8)).
°°	( 1	1 V
10.52.	Решить неравенство У (2w+2lnwx)/(w!)< lim 2+—+...4---- .
„=о	"->-1	("‘DU
10.53.	Доказать, что уравнение ^3“" sin3wx = — не имеет действительных корней.
Л=1	2
10.54.	Найти х eR из уравнения е'х = cos лх.
- 149-
10.55.	Найти оригинал//) по заданному изображению Лапласа F(p) = ре~2р/(р4 -1б).
10.56.	fit) — известный оригинал. Найти оригинал ф(/), если изображения Лапласа этих
оригиналов связаны соотношением: (р - 2)2 Ф(р) = (р2 + 4jF(p).
10.57.	Точка бросается п раз в квадрат с вершинами <9(0, 0), Л(1, 0), В(\, I), С(0, 1). Какова
вероятность того, что хотя бы один раз точка попадет в область £>, определяемую нера-
венствами: 2х<у <sinjtx
10.58.	Совпадает с 10.22.
10.59.	Медианы ЬАВС пересекаются в точке О. Доказать, что АВ1 + ВС2 + СА1 = 3((9Л2 +
+ ОВ2 + ОС2).
10.60.	В ЬАВС заданы уравнения сторон (АВ): 2х -у - 3 = 0, (АС): 7х + 4у - 3 = 0 и точка
пересечения медиан А/(0; 2). Составить уравнение описанной около треугольника окруж-
ности.
( j 1 у
10.61.	Найти lim
\/п)
10.62.	Найти решение системы уравнений: Ах-2х = Ь, если b — заданный вектор, а
матрица А удовлетворяет условию А3 - 6А2 + SA - 2Е = О (Е — единичная, О — нулевая
матрицы).
и -	, г 1п(ох +1) + sinbx 4
10.63.	Наити а и Ь, если lim----------= —.
’-♦0 cosx + cos2x-2 5
10.64.	При каких аеВ уравнение 2^4-х + >/l + 2x =а имеет решение? Найти число кор-
ней уравнения в зависимости от значений параметра а.
10.65.	Найти минимальное расстояние между такими двумя точками А и В параболы у = х2,
что касательная к параболе в одной из точек перпендикулярна хорде А В.
10.66.	Какие значения может принимать х + у + г, если х2 + у2 < z < 1?
1А/7П	Г	COS2Xtfc
10.67.	Вычислить -----------------
J cosx-sin2x + cos3x
10.68.	Доказать, что интеграл |xcos(x4)dfr сходится абсолютно, хотя подынтегральная
о
функция нс ограничена на любом промежутке [а; оо), а > 0.
10.69.	При каких значениях к g R площадь фигуры 5, ограниченной линиями у = кх + Ь,
у2 + рх + q, будет наименьшей (p,q,b — заданные числа, причем b > q)? Найти S.
10.70.	Найти X*) из уравнения у(у" + у') - (у’)2(ху2 -1), у(0) = У(0) = 1 •
10.71.	Найти все положительные числа X и решения ф(х) Ф 0, xeR, дифференциального урав-
нения <р"(х) + Хф(х) = 0, удовлетворяющие условиям:
ф'(0) = 0, ^(0) = (1-Л) j^(/)sin/Jr.
о
10.72.	Точка Л/(х; у; z) движется по закону: х' = z - у, у' = х~ z, z\-y- х. Найти траекто-
рию движения точки Л/, если в начальный момент она имела координаты (1; -1; 1).
п ( оо -2 Ч
шип	f I V» Sm Ь
10.73.	Вычислить > ----;--- \ОХ.
10.74.	Найти сумму ряда S =	1 If (0) , где/х) - хехр(-х).
- 150-
10.75.	Найти х из уравнения УЧ-!)"'1 л" — — = 0, (aeR, | а |<1).
10.76.	Найти среднее значение квадрата расстояния точки круга х2 + у2 < 2(х +у) до начала
координат.
10.77.	Найти непрерывную функциюДх), если известно, что
'Т (y\ydx..x(fy fуо V
J J I ---------2---“ “ --- , (*0 * 0).
(Wo)	Х
10.78.	Изобразить на плоскости аОЬ множество точек (а; Ь), для которых имеет решение
уравнение((/cosх + sinx)/(cosx ч- /sinх))" -ал-Ы, (we/V), и найти это решение (a, beR).
10.79.	Точка (а; р) равномерно распределена в квадрате: -1 < а < 1,-1 < р < 1. Опреде-
лить плотность fp(x) распределения вероятностей коэффициента р квадратного трехчлена
х2 + рх + q = (х - а)(х - р).
10.80.	Случайная величина (с.в.) £ принимает значения из натурального ряда чисел, при-
чем вероятности= Р{^ = п} = 2"”, п е N. Найти распределение, м.о. и дисперсию с.в.г) =
= СО5(я£/2).
10.81.	Подсчитать определитель порядка п с элементами aij - i - j.
10.82.	В кубе ABCDA'B'C'D' с вершиной А( 1; 3; 5) ребро СС' лежит на прямой х -у - z.
Найти координаты вершины D.
10.83.	Найти lim-^—| Здесь f (х) — бесконечно дифференцируемая функция,
*->odx"k х )
/(0) = 0.
10.84.	Доказать, что 1+х/1 + х2/2 + х3/3 + ... + х!п Ф 0 при четном и.
10.85.	Вычислить интеграл / /Л2лх dx при целом п > 0 (thx = (ех - е~х)/(ех ч- е~х)).
10.86.	Исследовать на сходимость |(-1)|х,<Д, где [х] — целая часть х.
о
1
10.87.	Для каких X уравнение |min(x,/)/(/)<# = Х/(х), (0 < х < 1) имеет ненулевое реше-
о
ние, удовлетворяющее условию: я)/(0) =/( 1) = 0; б)/(0) = 0,/'(1) = 0?
10.88.	Найти область сходимости и просуммировать ряд —е"”*.
л=2Л
10.89.	Вычислить JJ(х2 - у2} dxdy, где D — область, ограниченная прямыми у = 0, у = х,
D
у = 2 -х.
10.90.	Доказать, что частное решение уравнения у’" +уУ - (у')2 = 1, у(0)“У(0) = 0,
У'(0) > 0 возрастает при х > 0.
10.91.	Известные векторы 5, Ь, с служат ребрами тетраэдра объема V и образуют левую
тройку. Найти вектор in, если ina = mb = тс = 1, и выяснить геометрический смысл его
модуля.
10.92	Средствами векторной алгебры доказать неравенство 2-75х +1 + 2 7бхч-1 +
+77-11х<9 для всех х, при которых определена левая часть. Достигается ли знак равен-
ства?
-151-
х + 1 у z — 2
10.93.	На прямой —— = । =~у~ найти такую точку С, чтобы &АВС, Л(1;-1;0), 5(2;0; 1),
имел наименьшую площадь S. Найти 5.
(х + у-2 = 0
10.94.	На прямой * +1 - о найти Т0ЧКУ’ из КОТОР°Й отрезок [АВ], Л(1;—1; 2), 5(3; 1; 1)
виден под прямым углом.
10.95.	Изобразите множество точек (х; у) плоскости хОу (в зависимости от параметра
т> 0), координаты которых удовлетворяют уравнению:
10.96.	Где на плоскости аОЬ должны быть расположены точки (а; Ь), чтобы система
bx + y-az = С]
уравнений  а(х + у) + bz = с2 имела единственное решение при любых с,, с2, с3 е5?
10.97.	Найти матрицу X из уравнения АХ -2Х = В, если А и В — известные квадратные
матрицы порядка и, причем А* - 2(А2 + Е), где Е — единичная матрица.
10.98.	Найти пределы:
1)	lim I -7=2—г —j==i—(а > 0, b > 0, а * Ь);
"-^{yjn+a->Jn yjn + b -Чп )
2)
i
(sin х V2
------ ;
х J
[2 - xl	x
---- sin — , ([a] — целая часть числа, т.е. наибольшее целое число не превосхо-
х I 3
дящее а).
10.99.	При каких aeR уравнение 2 V4 + x+>/l-2x = а имеет решение? Найти число
корней уравнения в зависимости от значений параметра а.
10.100.	Числах и у удовлетворяют уравнению _у2-4х2 + 16 = 0. Какие значения может
принимать сумма 4х + у?
10.101. Вычислить
Г fgxdx
О -Vcos2x
10.102.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у - 1 - 4х2, у = 1.
10.103.	Решить дифференциальные уравнения:
а) (у + е‘х)У = (у + е~х - 1)е-,с, у(0) = 1; б) у' - ху = у In у\ у(0) = 1.
10.104.	Известны 2 частных решения у, = е~2х + cosx, у2 = хе~2х + cosx дифференциально-
го уравнения y" + py' + qy = f(x), (р, q е5). Найти интегральную кривую этого уравне-
ния, имеющую экстремум в точке х = 0, равный нулю. Определить вид экстремума и
функцию /(х).
10.105.	Найти все действительные функции /(х), удовлетворяющие уравнению
2/’ + /'./2 + (/')’ = 0, если /(0) = 1.
- 152-
10.106.	Найти область сходимости ряда X 2"”х" и доказать, что в этой области его сум-
ма |$(х)| < 2.
10.107.	Пользуясь рядом Тейлора функции Дх) = (х - 2)21п(3х + 2), найти/(2000) (2).
(-1Г1
10.108. Найти сумму ряда X
10.109.	Вычислить jjmax(2x,x2 + y2)dxdy, D: х2 +у2 <4.
D
10.110.	Сравнить работы силы/{cos(ttx2), xSin(ny2)} при перемещении точки по:
1)	ломаной О АВ (0(0,0), Л(1,1), В(0,1)) и 2) — отрезку ОВ прямой.
10.111.	Найти наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках п = -4,
s2 = 2/, г3 = г, если z удовлетворяет условию: |г + 2/| = 2|г -1|.
10.112.	Вычислить с помощью теории вычетов:
Г ехрСкгХг-.-г'А.
2я7И=1
10.113.	В куб с ребром 2с и центром в начале координат бросаются п случайных точек. Како-
ва вероятность того, что хотя бы две точки попадут внутрь фигуры, координаты точек кото-
рой удовлетворяют неравенствам: х2 + у2 + z2 > a2, x2 + y2 + z2 <b\ х2 + у2<=2, z>0, ес-
ли 0 < а < Ъ < с.
10.114. При каком а > 0 функция /(х) =
0, х>-1;
х +1, -1 < х < 0; может служить плотностью
ехр(-ох), 0<х<«»
некоторой С.В. Найти при найденном а и вероятность > - ’Л}.
I
10.115.	Найти изображение Лапласа оригинала JsArsinrt/r.
о
10.116.	Оригинал /(/) известен. Найти оригинал <р(х), если изображения Лапласа этих
оригиналов связаны соотношением: (р2 + 4)Ф(р) = (р2 + 2р + 2)F(p).
10.2.	УКАЗАНИЯ
10.1.	Ввести базис из 2-х векторов, совпадающих со сторонами треугольника.
10.2.	См. указание к 10.34. и ее решение.
10.3.	Положить xi = COS7LX, .xi = 2У, ri = г2; решить линейную систему и использовать огра-
ничения на новые переменные.
10.4.	Исключить из системы уравнений одну из неизвестных матриц, а затем найти дру-
гую. Проверить, что найденные матрицы удовлетворяют исходной системе.
10.5.	См. указание к 2.12. Выразить площадь А АВС через координаты точки С(х,у\ и ис-
пользовать ее принадлежность к окружности.
10.6.	Убедиться, что искомый эллипс симметричен относительно оси Оу.
10.7.	Заменить 1-й множитель эквивалентной бесконечно малой, а затем в случае (б) ис-
пользовать понятие интегральной суммы.
10.8.	Кратчайшее расстояние от точки до поверхности измеряется длиной отрезка норма-
ли к ней. Можно также найти минимум квадрата расстояния от точки Л/о до произвольной
точки поверхности.
10.9.	Найти первые две производные функции, заданной неявно, при х = 0.
- 153-
10.10.	Преобразовать подынтегральную функцию в произведение и использовать указа-
ние к 6.22. п. 2.
10.11.	Использовать четность и периодичность функции у =у{х) = max(sin2x, cos2x),
х G [0,772], где Т — период.
10.12.	Найти ХД 0 < х <1 , из 1-го уравнения. Произвольные постоянные в общем реше-
нии 2-го уравнения подобрать так, чтобы решение задачи было непрерывно дифференци-
руемым для всех х > 0.
10.13.	а) Разделить обе части уравнения на у2 и положить х -уи', б) продифференцировать
обе части уравнения и исключить у'(1/х). По поводу получившегося уравнения Эйлера см.
7.22.
10.14.	Умножив 1-е уравнение системы нах, а 2-е — на у, получить интегрируемую ком-
бинацию (см. 7.31).
10.15.	Убедиться, что данный ряд и ряд, полученный из него многократным дифференци-
рованием, равномерно сходится на R.
10.16.	Используя возможность почленного дифференцирования ряда, получить диффе-
ренциальное уравнение (д.у.) для нахождения его суммы л(х).
10.17.	Записать z - i в показательной форме и найти наибольшее и наименьшее значения
квадрата неотрицательной функции и = | z + z .
10.18.	Использовать тождество |-|2 = z z и значения аргументов z к, к =1, 2..., п, — вер-
шин правильного и-угольника.
10.19.	Изменить порядок интегрирования.
10.20.	Учесть симметрию пластинки.
10.21.	Использовать свойство вероятностей дискретной С.В. Выяснить, какие различные
значения может принимать С.Вл], и найти соответствующие вероятности. Щ можно так-
же вычислить по формуле М = А/(ф(б)) =	ф(**) ?{% = **}, где ф(*) — неслучайная
функция.
10.22.	Пусть х — число шагов, сделанных направо после п бросаний монеты, а (и - х) —
налево. Представить С.В. С, в виде суммы п независимых С.В. Q, i = l,w, где Q — прини-
мает принимает значения +1 или -1.
10.23.	Пусть in = аа + $Ь + ус — искомое разложение. Последовательно умножая in
скалярно на а, b и с, найти а, р и у.
10.24.	Пусть А — заданная матрица. Вычитая 1-ю строку ее определителя из остальных
строк, убедиться, что он равен (л-1)! и потому матрица обратима. Для нахождения А'1 ре-
шить уравнение Ах = Ь, где х, b - п х 1 матрицы.
10.25.	Записать fix) в виде рекуррентного соотношения fix) =уп- ху”~' ,Уп(Д) - 1 и приме-
нить к fix) логарифмическое дифференцирование.
10.26.	Пусть одна из вершин куба лежит в начале, а еще три — на положительных полуосях
координат. За вершины искомого треугольника взять точки J(0, у, 1), В(х, 1, 0), С(1, 0, г) и
минимизировать квадрат его стороны.
10.27.	Преобразовать знаменатель подынтегральной функции в произведение и подста-
новкой cosx = t свести интеграл к интегрированию рациональной дроби.
10.28.	Перейдя к прямоугольным координатам, убедиться, что уравнение изображает дугу
параболы с вершиной в (7(0,0) и симметричной относительно прямой у = -х. Упростить ее
уравнения, сделав преобразование «поворот».
10.29.	Положить и =у-ху'.
10.30.	Используя ряд Маклорена для/(х), найти f(2k~ °(0).
10.31.	Учесть, что касательный вектор к искомой кривой в каждой ее точке ортогонален
вектору R(2x, Зу, z) и вектору нормали к поверхности.
- 154-
10.32.	См. решение 4.52 п. 6. Если считать, чтоу(х) е С2(0, оо), то дифференцируя дважды
интегральное уравнение, свести его к дифференциальному, попутно найдя/0) и/(0).
10.33.	1) См. указание к 10.23. 2) Выразить 2 вектора, совпадающие со сторонами основа-
ния тетраэдра, через заданные векторы, и найти площадь основания.
10.34.	Ввести 2 вектора, для которых левая часть уравнения — их скалярное произведе-
ние, а правая — произведение модулей. Можно также решить уравнение непосредствен
но, возведя обе части его в квадрат и решая полученное уравнение как квадратное отно-
сительно х.
10.35.	Перейти к прямоугольным координатам, и записать уравнение параболы в виде
(х - х»)2 - 2р(у ~ уо).
10.36.	Использовать указание к 2.12. Найдя точку В, можно определить и угол В, как угол
между прямыми, на которых лежат катет ВС и гипотенуза.
10.37.	Точка будет двигаться по касательной к кривой. См. также 2.18.
10.38.	Использовать свойство определителя произведения квадратных матриц.
10.39.	При вычислении определителя системы использовать указание к 1.55. п. 2.
10.40.	Умножить обе части уравнения на матрицу А слева. Найти матрицу %, и проверить,
что она удовлетворяет исходному уравнению.
10.41.	1) Освободиться от иррациональности в числителе, а затем применить правило Ло-
питаля; 3) заменить 2-й множитель под знаком предела эквивалентной бесконечно малой.
10.42.	Использовать четность и непрерывность функции.
10.43.	Положить и - х / (х + 2) и найти Дм). Можно также непосредственно дифференци-
ровать тождество.
10.44.	Преобразовать знаменатель подынтегральной функции в произведение.
10.45.	Изобразить эскиз графика функции, заданной неявно.
10.46.	1) Положить Х0) = а1 и рассмотреть 2 случая: а2 - 1 и а2 Ф 1;
2)	см. указание 7.25 п. 1. Укажем и 2-й способ. Продифференцировать обе части уравне-
ния, и исключить Х~х)> используя исходное уравнение. Полученное решение д.у.
2-го порядка следует подставить в исходное уравнение и получить значение произволь-
ной постоянной;
3)	разделить обе части уравнения на sinx, и понизить порядок уравнения, записав его ле-
вую часть в виде производной некоторого выражения.
10.47.	Найти общее решение линейного д.у., и подобрать произвольную постоянную так,
чтобы получить ограниченное при х -» к/2 частное решение.
10.48.	Изменить порядок интегрирования.
10.49.	Учесть, что 0< z < min(l, х2 +у), поэтому кривая 1 = х2 +у разбивает проекцию тела
на плоскость хОу — область интегрирования — на две.
10.50.	Дополнить линию интегрирования отрезком [ЛВ] оси Ох до замкнутой, и к полу-
ченному интегралу применить формулу Грина.
10.51.	Домножить числитель и знаменатель уДх) на 1 -х и разложить полученную функ-
цию в ряд Маклорена.
10.52.	Просуммировать ряды в левой и правой частях неравенства, используя ряд Макло-
рена ехр(х).
10.53.	Просуммировать ряд, используя равенство sinx = Im(ix).
10.54.	Использовать определение равенства комплексных чисел.
10.55.	Найти сначала f\{t) по его изображению Лапласа F\(p) = pl(p* - 16), используя тож-
дество 1 s ((р2 + 4) - (р2 - 4))/8.
10.56.	См. указание к 4.49.
10.58.	Совпадаете 10.22.
10.59.	См. указание к 1.1.
- 155-
10.60.	Найти координаты вершин треугольника, используя свойства его медиан, и точку
пересечения срединных перпендикуляров к 2-м его сторонам.
10.61.	Пусть Ап — заданная матрица. Убедиться, что (Ап)п - (1 + 1/и)" " 1Ап
10.62.	Из условия, которому удовлетворяет матрица Л, вывести, что матрица Л - 2Е обра-
тима, и выразить обратную для нее через матрицу А.
10.63.	Применить правило Лопиталя к левой части.
10.64.	См. 10.99.
10.65.	Минимизировать и - АВ1, учитывая, что точки А и В лежат на параболе, и прямая
(АВ) перпендикулярна к касательной в одной из точек А или В.
10.66.	Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции
u=x+y+zb замкнутой области. Но может быть решена и геометрически, для чего:
1)	найти точку Мо, в которой плоскость и = х + у + z касается параболоида, тогда м(А/о) = wmin;
2) при z = 1, т.е. w = x + у + 1,х2 +у2< 1, найти точки, в которых прямая и- 1 -х+у каса-
ется окружности х2 + у2 = 1; в одной из этих точек плоскости хОу и = х+у+ 1 будет дос-
тигать максимума.
10.67.	Знаменатель подынтегральной функции свернуть в произведение.
10.68.	Достаточно исследовать на сходимость лишь интеграл по промежутку (1, оо). Этот
интеграл проинтегрировать по частям, предварительно умножив и разделив подынте-
гральную функцию на х2.
10.69.	Показать, что прямая и парабола всегда пересекаются и произведение абсцисс то-
чек пересечения — отрицательно. Выразить площадь 5 фигуры как функцию параметра к
или р, и минимизировать эту функцию.
10.70.	Записать д.у. в виде + (/ )2 = х(уу* )2 -уу’ и понизить его порядок, вводя новую
неизвестную функцию.
10.71.	Положить А. = т2 и рассмотреть случаи А, = 1 и А, * 1.
10.72.	Получить две интегрируемые комбинации:
1)	сложить уравнения системы;
2)	умножить каждое из уравнений соответственно на х, у и z и сложить полученные ра-
венства.
10.73.	Обосновать возможность почленного интегрирования ряда, проинтегрировать его,
и просуммировать получившийся числовой ряд.
10.74.	Найти/2*' ° (0), использовав ряд Маклорена для ехр(-х).
10.75.	Использовать равенство Re(e'a) = cosa.
10.76.	Перейти к полярным координатам; для нахождения границ изменения полярного
угла в интеграле выяснить положение касательной в точке 0(0,0) к окружности, ограни-
чивающей заданный круг. Можно также сделать замену переменных в двойном интегра-
ле: Xi = х- \,у\ = у - 1, а затем перейти к полярным координатам.
10.77.	Положив и^у/х, записать левую часть в виде определенного интеграла с перемен-
ными пределами интегрирования. Продифференцировав полученное равенство, получить
функциональное уравнение для неизвестной функции, и решить его.
10.78.	Записать обе части равенства в показательной форме.
10.79.	Используя понятие геометрической вероятности, найти сначала функцию распре-
деления С.В. р = a - р.
10.80.	Смотри указание к 10.21.
10.81.	Пусть Ап — матрица, определитель jA„l которой нужно вычислить. Если п - 2к-\,
keN, то | Aik-1| = 0 (см. 3.12.). Убедиться, что и Иг*! = 0, (А>1), работая с 1-3-й строками
определителя, а | А2\ = 1.
10.82.	Найти координаты С — точки пересечения плоскости ABCD с ребром СС\, и вы-
числить скалярное произведение AC AD двумя способами.
- 156-
10.83.	Убедиться, что g(x) ~fix)!x также бесконечно дифференцируема, для чего записать
Дх) в виде:
1 1
fix) = \dlMfitx))dt = x\f'(tx)dt,
00
а затем (и + 1) раз продифференцировать тождество Дх) = g(x). Можно также применить
формулу Лейбница для нахождения и-й производной произведения х’1 Дх), а затем для
нахождения предела — правило Лопиталя.
10.84.	Обозначим многочлен Дх). Убедиться, что при п = 2АДх) имеет единственный экс-
тремум-минимум, и чтоДйп > 0.
10.	85. Используя тождество 1 - th1 х = (сЛх)-2, получить рекуррентную формулу, связы-
вающую/2л и/2л - 2.
10.86.	Учитывая, что изменение знака подынтегральной функции Дх) происходит при пе-
реходе через точки ^х - п, п € N, интеграл в виде ряда, общий член которого равен инте-
гралу отДх) на промежутке [>lk, ^к + 1], (Л = 0, 1,...), и исследовать ряд на сходимость.
10.87.	Из условия Д1) = 0 и уравнения, записанного в виде J* tf(t)dt+x^ f(t)dt = Af(x),
вытекает в случае (а) условие разрешимости | tf(t)dt = 0. Показать, что это условие не
выполняется для собственных функций краевой задачи для д.у., к которому сводится ин-
тегральное уравнение двукратным дифференцированием. Убедиться, что в случае (б) ин-
тегральное уравнение имеет ненулевое решение лишь при X > 0.
10.88.	Использовать тождество п/(п - 1) = (1/2)(1/(и - 1) + 1/(и + 1)) и ряд Маклорена для
1п( 1 -х).
10.89.	Интеграл можно вычислить несколькими способами, укажем на три из них: 1) пе-
рейти к полярным координатам; сделать замену переменных: х -у = и, х + у = v; 3) повер-
нуть оси координат на угол л/4.
10.90.	Предположив, что х = а > 0 — точка максимума частного решения, переписать д.у.
в виде (у" + уу У - 1 + 2(уУ, и, проинтегрировав обе его части в пределах от 0 до а, полу-
чить противоречие, используя начальные условия.
10.91.	См. указание к 1.58.
10.92.	См. указание к 1.7.-1.8.
10.93.	Записать уравнение прямой в параметрическом виде и минимизировать квадрат
площади треугольника как функцию параметра.
10.94.	Использовать условие перпендикулярности векторов AM и ВМ, М—произволь-
ная точка заданной прямой.
10.95.	Сравнить длину отрезка |ЛО|, А( 12; 5) с суммой длин |(9Л/| + \МА\, где М g [ОА], в
случае т = 0. При т > 0 использовать определение эллипса.
10.96.	Найти определитель системы.
10.97.	Доказать, что матрица А - 2Е обратима, и выразить обратную для нее через А.
10.99.	См. указание к 10.64.
10.100.	Определить вид кривой и выяснить, когда прямая 4х +у = и касается ее.
10.101.	Положить tgx = t.
10.102.	Использовать симметрию фигуры.
10.103.	Ввести новую неизвестную функцию (см. 7.1, 7.2).
10.104.	См. 7.17.
10.105.	Положить/'(х) I fix) = и.
10.106.	Для оценки суммы ряда сравнить члены функционального ряда с соответствую-
щими членами числового ряда.
10.107.	Положить х - 2 = t и использовать ряд Маклорена для ln( 1 + /).
- 157-
10.108.	Использовать ряд Маклорена для arctgx.
10.109.	Перейти к полярным координатам и учесть, что область интегрирования линией
2х = х2 + у2 разбивается на две .
10.110.	Рассмотреть разность работ, и применить к полученному криволинейному инте-
гралу по замкнутому контуру формулу Грина. Можно вычислить обе работы и непосред-
ственно.
10.111.	Убедиться, что уравнение, которому удовлетворяете — окружность. Далее задачу
можно решать несколькими способами:
1)	выяснить, при каком расположении вершины г высота треугольника, опущенная на из-
вестную сторону, будет наибольшей (см. 2.21);
2)	можно максимизировать площадь треугольника, как модуля векторного произведения
векторов, совпадающими с его сторонами, или применить формулу из 4.1.
10.112.	Убедиться, что коэффициент при z "1 в Лорановском разложении подынтеграль-
ной функции равен сумме ряда и найти ее (см. 4.44 п. 6).
10.113.	Найти сначала вероятность попадания одной точки в заданную фигуру, а затем,
используя формулу Бернулли, найти вероятность события, противоположного требуемо-
му (см. 9.5 п. 1).
10.114.	См. 9.13.
10.115.	Найти сначала изображение подынтегральной функции.
10.116.	См. 4.49.
10.3.	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
10.1.	Пусть b и с— базисные векторы, тогда из условия, где тк2 = in к2, in к — вектор,
совпадающий с медианой Шк, к = 1,2, 3, вытекает, что Ъс = 0, т.е. треугольник прямо-
угольный.
10.2.	х = -3;.у = -1.
10.3.	Решая систему относительно неизвестных х, у, z (см. указание), получаем, что она
имеет множество решений: yi = 4 - 2z|, xi =yi - 3zi,ri g R. Возвращаясь к старым перемен-
ным, получаем ограничения на них: z} = z2 - (4 -^i)/2 = (4 - 2^)/2	0 < 2х < 4; из соотноше-
ния xi = cosTtx = 2х- 3z2 => Зг2-1 <2У< 1 + Зг2. Тогда тах(0; Зг2 - 1) < 2^< min(4; 1 + Зг2) =>
возможные целые значения z: z = ±1; у = 1; costcx = -1 => тис = ±п + + 2пп. Следовательно,
х = 2п± 1, п g Z,y- 1,г = ±1.
10.4.	Пусть X, Y — искомое решение системы АХ + Y- В (\\X+YA = С (2). Тогда после ум-
ножения (1) на Я справа, а (2) — слева и справа получим AXA + YA-BA (3) AXA + AYA2 =
=АСА =>АХА=АСА (4). Из (2>-<4) =>Х=С-ВА + АСА, аиз (1) Y=B-AX= В-АС+АВА.
Проверкой убеждаемся, что найденные X и Y удовлетворяют системе (1), (2).
10.5.	Используя свойства окружности, описанной около прямоугольного треугольника,
находим координаты точки В(-1 ;5). Площадь треугольника S = (1/2)|я#хЯС| = 10 =>
[у + Зх - 2| = 10. Учитывая, что точка С(х; у) лежит на окружности х2 + (у - 2)2 = 10, и ре-
шая 2 системы уравнений, находим две точки С: Ci(3; 3) и Сг(-3; 1).
Уравнения катетов (С|В), (С\А) и (С2В), (С2А) имеют вид: x + 2j-9 = 0,j-2x + 3 = 0h
2х-у + 7 = 0, х + 2у + 1 = 0.
10.6.	Из симметрии точек касания Я1(1; -1), Яг(-1; -1) относительно оси Оу и вида уравне-
ния параболы следует, что искомый эллипс симметричен относительно оси Оу и его центр
лежит на ней, т е. di(0; у0). Тогда (х/а)2 + ((у-уо)/Ь)2 = 1 — уравнение эллипса, и остается
найти а, b иуо- Так как точки А к принадлежат эллипсу, то имеем (1/а)2 + ((у -уо) / Z>)2 - 1 (1).
Из условия касания эллипса и параболы находим у'п (1) = 4 =у3(1) = = (2 / а2): 2(\ + у 0)Ь2,
т.е. (Ь / 2а)2 = 1 +у0 (2). Исключая из (1) и (2) (1 + jo) приходим к уравнению 16а2 (а2 - 1) =
= а2 (3). Рассмотрим 2 случая: 1) А = 6р = 3/2; 2) b - 3/2. В случае (1) из (3) и (2) находим
- 158-
b2 - 45, уо = 4, т.е. уравнение одного из эллипсов: 20х2 + + (у - 4)2 = 45. В случае (2) урав-
нение эллипса: 8х2 + 4(у + 1/2)2 = 9.
10.7	. Обозначим А искомый предел. В случае (а) (см. Указание) у = (In(ax) / 1п(х/я)-»1 при
х-> + ос, поэтому In у ~ 2(1п а)/(1п(х/а)) при х—> +оо.
Тогда А - 21na lim (1п(х1пд)/(1п(х/д) = 21пя; в случае (б) имеем
I
А = lim 2 л2 ((1 / n)s„ )2 = 2л-2(J Vl + 3x dx)2 = 392л2/81.
10.8.	Составим уравнение нормали к поверхности в точке Л/(х0, Уо, -о): (х -хо)/(2хо) - (у-
~Уо) / (4уо) =	- -о). Нормаль проходит через точку Л/о( 1, 0, 2), т.е. (1 - х0) / (2х0) - (-уо) /
/(4>>о) = ~о - 2. Покажем, что у0 = 0. Если уо ф 0, то 1 - хо = -х0/2 => х0 = 2, z0 = 7/4 и тогда
2у02 = -о - хо2 < 0, что невозможно. Итак, уо = 0, тогда = х02, т.е. хо находится из уравне-
ния 2х3 - Зх - 1 = 0; Xi = -1 один из его корней. Деля левую часть уравнения нах + 1, на-
ходим еще 2 его корня х2 = (1 + ^3) / 2 и хз = (1 - а/3) / 2.
Итак, получили 3 точки: ЛЛ(-1, 0, 1), М2(х2, 0, х22), Л6(хз, 0, хз2). Проверкой убеждаемся,
что 8mi„ = |Л/0Л/2| = >/11- 6л/3 /2.
10.9.	После дифференцирования по х получим y'(x)y/cos(y(x)) + sin(^(x)) = 2х => У(0) = 0.
Так как у"(0) = 2 > 0, то х = 0 — точкам минимума.
10.10.	Следуя указанию, имеем 1п = \/я2 +62|sin(^ - их) | dx, где tg(p - alb, 0< ф <л/ 2.
Так как подынтегральная функция имеет период Г= Ttin, то:
In - 2пл/а2 +b2	(sin(^ - их) | dx=2^a2 + b2j **|sin t\dt (их - ф) = /, ndx = dt).
Наконец, 2>la2+b2 |sin /|сЛ = 4^2 +82.
10.11.	Так как функция уп(х), стоящая под знаком предела, периодическая с периодом
Т = 71 (при фиксированном п), то учитывая, что /g2"x->0 при и -> оо и 0<х-<л/4, а
c/g2”x->0 при п -> оо и л/4-<х<л/2, получаем ^ = cos2x; xg[0; л/4) и ^ = sin2x,
xg[tc/4, л/2]. Следовательно, площадь
/•лг/4	ллг/2	•у
S = 2(1 cos2xafx+| sin2x<&)=— + 1.
vJo	J^/4	7 2
10.12.	Следуя указанию, находим частное решение yi = -х - 1, 0 < х < 1 первого уравнения и
общее решение второго у2 - Cjcos тех + C2sin тех. Условия yi( 1 - 0) = -2 = р2( 1 + 0), у\(\ - 0)=
= -1 = р2'(1 + 0), позволяют найти постоянные Ci = 2, С2 = 1/л.
Итак,Я*)-~х- 1, 0 < х < 1 и tp(x) - 2cos лх + (1/л) sin лх, х> 1.
10.13.	а) Учитывая указание, запишем д.у. в виде (х /у)’ -у sin2(x Iу). Полагая х =yw(x), и,
используя условие >>(1) ~ находим In |sin(x/y)| - (х!у) <ty>(x!y) - (1 - х2)/2; б) в соответ-
ствии с указанием имеем 2у,,(х)--х~2у\х~}). Исключая с помощью исходного д.у. У(х-1),
приходим к дифференциальному уравнению Эйлера: х2у"(х) + (1/4)у(х) ~ 0, которое сво-
дится заменой х = е‘ к д.у. у"(1) -/(/) + (1/4)у(/) - 0 y(t) - (Ci +С2/)ег/2 или Xх) ~ (Ci +
+ C2lnx)Vx . Используя условие Я 0 ~ 1 и значение/(1)= 1/2, найденное из заданного д.у.,
окончательно получаем у=4х.
10.14.	Используя указание, получаем интегрируемую комбинацию d(xy}= nxydg(n t),
откуда с учетом начальных условий х(1/2) =у(\12) =1 находим ху = sinfa/). Из первого
уравнения системы x'(t) - х2у получаем х'(0 = х • зш(л/) => х = ехр(-соз(л/)/л), а потому
у - 8ш(л/) • ехр(со$(л/)/л). Так как найденные функции периодические с периодом Т = 2,
то точка M(x(t),y(t)) будет снова находиться в положении Л/о(1; 1) в моменты времени
tn = 2n^ 1/2, п 6 N.
- 159-
10.15.	Так как |sin(x/)|^|x||g|*, |g* cos(x?*)| < |g|*, (g2* sin(xg*)| £|x||?|3*, ... и |g|< 1, to
ряд/(х) = ]£sin(x?*) и полученные почленным дифференцированием из него ряды,
£=0
сходятся равномерно на каждом конечном отрезке [a, Z>] с R. Находим теперь /(л)(0),
леМ Имеем/(0) = 0,	~	= 0 и все производные/(21)(0) = 0,
t=o
«о v2£-l/ 1\£~1
/”(0)=-1/(1- А ...,/<“-1)(0) = (-1)‘-,/(1 ПоэтомуЛх)^^—
10.16.	Почленное дифференцирование ряда/(х) -/'(х) + f"(x) -f"(x) + ... = S(x) (1) при-
водит к тому же ряду (без нескольких первых членов), который поэтому тоже будет рав-
номерно сходится. Дифференцируя равенство (1), получим/'(х) -f"(x) + ... = У(х) (2). Из
(1) и (2) =>Дх) - 5(х) = ^(х) => У(х) + 5(x) =Дх), ^(0) = 0 (3).
Решение д.у. (3) можно записать в виде S(x) = e"xJ f(t)e*dt (4). Если S(x) = x2, то из (4)
о
находим (х2ехУ = /(х)ех => f(x) = х2 + 2х.
10.17.	Из условия |z- /| = 2 => z- i- 2e'v => |z| =.j5 + 4sin(p , w((p) = |z+z~!| ~ |z+zj|z-/j/
/|z| = 2|z+/j/|z| = 4^2^(\ + sin<p)/(5 + 4sin<p), м(ф) > 0 и периодична с периодом Т = 2л.
Поэтому экстремумы м(ф) достигаются в тех же точках ф е (-л , л), что и 5(ф) - м2(ф) =
= 32(1 + sin9) / (5 + 4sincp). Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на [-л, л]. Име-
ем м(±л) = 4>/io/5; из уравнения У(ф) = 32созф (5 + 4зтф)-2 = 0 => совф = 0 => ф = ±л/2;
5(-л/2) = 0 — минимум, т.е. min м(ф) = 0, фе[-л, л]; и(-л/2) - 8/3 > и(±л), поэтому max м(ф) =
= 8/3. Следовательно, 0 < |z + 2-,| < 8/3, причем слева равенство выполняется при -i = -/, а
справа — приз2= 3/.
10.18.	Пусть А — значение искомой суммы. Найдем |z-^|2= (е'ф-е'ф*) (е~'ф -е-<Фк) =
=2-Л“'Фк-е"'фе'фк, ф* - 2nkln, к = \,п, А - 2п- е,<р ^e~t<Pk - e~i<p^e,<Pk - 2л, т.к.
к=\	к=\
Xe^=0.
*=i
1	(l-x)’
10.19.	Изменив порядок интегрирования, находим I =|ехр(2х-х2)(& J dy- (e-2)/2.
о	о
10.20.	Пластина симметрична относительно оси Оу, поэтому хс- 0, а ус = (1/5р)||у<зМу.
D
7СХ	2
Так как кривые у= |sin—| и у = 2 - х пересекаются в точках (±1; 1), то имеем Sd -
I l-x	i z-x	—.
=2f<& f <fy = 2(5л - 6)/(3jc).Тогдаyc=(l/So) f<& f ^=—^—«1,15.
0 sin(ffx/2)	-1 sin(/rx/2)	' Я '
-160-
10.21.	Из условия 1 » У рп - М(а - 1) => а - 2. Мп найдем по формуле, приведенной в ука-
Л=1
зании, гдех*= kt <p(xj« cos(hr /3),	- к} - 2~к, к е N. Имеем Мп ~^2~к cos(£fl/3). Оче-
*=i
видно, ряд сходится абсолютно, поэтому сгруппируем слагаемые, в которых Л = 3л,
к = Зп - 1 и к ~ Зп - 2, neN, тогда Л/п =£(-1)л -2”3" + 2ч(-1)" -г1’3" - 2’1 (-1)" •22’3я = 0.
л=1
п
10.22.	В соответствии с указанием имеем £ = У, £ = к, где -л < к < л, 1 х + (-1 )(л-х) = к =>
/=|
х = (л 4- к)!2, т.е. пик должны быть одинаковой четности, т.к. вероятность с.с. после каж-
дого бросания монеты 1/2, то получаем распределение Бернулли = к] =	Лег-
ко проверить, что (л 4- к)/2 при -л £ к £ л принимает всего (л 4-1) целых значений от 0 до
п. Найдем МК и О?. Му = (-1) | + 1|= 0, Dy = MR,2] - М2]^] = MR,2] = 1, т.к. & приии-
мает единственное значение 1 с вероятностью 1. Используя независимость с.в. и свой-
ства и I 10.23. а = Р = 10.24. Л"' =	1ЭХОДИМ	= К/2, где К f а —1 -1/2	п О = 0,	л-1 = л. = |а£с|. -1	-1/2 1	0 0	1/2	-1/(л-1Г 0 0
л-1 гдеа= 1+£1 *=i	-l/O»-’) \!к.	0	0	
1035. /'(!) = 2.
10.26. Квадрат стороны треугольникам 2 = 1 +y2 + (z- 1)2= 1 4-(х- 1)24-г2=х24-(у- 1)24-
4-z2 =>3м2 = 3 4-х2 + (х- 1)2+у^4-(у — 1)24-z24-(z-1)2. Учитывая неравенствох24- (х-1)2£
£1/2 (знак равенства только при х = 1/2), находим а2 = 3/2. Поэтому 5mjn = 3^3 /8.
10.27.7 = (ln|/-1|-31п|/4-1| 4- 81п|2/4-1|-61п|/|)/12 4-С, где/ = cosx.
10.28. В соответствии с указанием получаем уравнение кривой х2 4- у1 + 2ху - х - у - 0,
симметричной относительно прямой у = -х. Повернув оси координат на угол л /4, т.е., по-
ложив х = (xi -уО Л/2, у - (xt 4- у0 /л/2, получаем уравнение параболы в виде у i - >/2 Х|2. Из
интервала изменения полярного угла ф следует, что вращается вокруг оси Ох\ дуга пара-
болы, заключенная между точками (0, 0) и (1/л/2, 1Л/2). Поэтому V = л Jo У|2(Л)Л| =
= 2xj^'^Xidxl = пу/2 /20.
10.29. Заменой, приведенной в указании, заданное уравнение приводится к виду -х2^ =
= л2, н(1) = -1. Интегрируя его, находим и = -х. Тогда для нахождения у(х) получаем линей-
ное д.у. х/ -у = х. Записывая его в виде (у /х)' = 1/х, получаем с учетом условия у(1) = 0, что
у(х) вх 1пх.
1030. Пусть S — сумма искомого ряда. Так как f{2k~ ° (0)s (-!)*"1 (2к - 1)!, то получаем,
4To5esinl.
-161-
10.31.	В соответствии с указанием, находим касательный вектор к искомой кривой в произ-
вольной ее точке Л/(х, у, г) по формуле s = Х(Я х и), где и (х, 2j//3, г/3) — нормаль к поверх-
ности, т.е. s = X(-jc/3, -xz/3, 5ху/3). С другой стороны, s (<&, dy, dz). Поэтому для нахожде-
ния уравнений искомой кривой получаем систему д.у.: (dx )/(yz) = (dy)/(xz) = (<±)/(-5лу). Ре-
шая ее, находим х2 -у2 - ci, 5у2 + z2 = q. Так как кривая проходит через точку Л/(1, 1, 1),
то окончательно имеем: х2 , Зу2 + ~2 = 6.
10.32.	Применяя преобразование Лапласа, находим изображение искомой функции F(p) =
- -Мр2 -l/pfix) - -1 -х2/2. Решим интегральное уравнение в классе С2 (0, оо), другим спо-
собом, сводя его к дифференциальному уравнению. Из условия следует, что ДО) = -1.
Дифференцируя обе части исходного уравнения, находим:
J cos(x - t)f(t)dt = f\x) => /'(0) = 0.
О
Дифференцируя полученное равенство вторично, получаем fix) - J sin(x -t)f(t)dt =
о
- f”(x). С учетом исходного уравнения имеем /’(х) = -1. Используя начальные условия,
окончательно находим Дх) = -1 -х2/2.
10.34.	Введем векторы а (2х, у, л/З) и b (2, -3, л/З), тогда уравнение принимает вид:
aib-ab=> cosq - а =Л b , X > 0 => 2х/2 = -уГЗ - 1 — X => х = 1,у = -3.
10.35.	(х + 1/4)2 = 1/2 (у + 1/8), 5*(-1/4, -1/8) — вершина параболы; Г(-1/4, 0) — фокус.
10.36.	Учитывая указание, находим координаты точки В(-1, 5). Используя уравнения
(АВ): Зх + у-2 = 0и (ВС): 2х - у + 7 = 0, находим угол В между нормалями к (АВ) и
(ВС): cosB - 1/>/2 , т.е. В - л/4. Поэтому радиус СО = >/10 и равен длине высоты, опущен-
ной на гипотенузу. Следовательно, площадь треугольника S’ = 10. Можно было найти
уравнение катета (АС), а затем и длины катетов АС и ВС, используя формулу расстояния
от точки до прямой; или найти координаты точки С, лежащей на окружности и прямой
(BQ.
10.37.	Кривая — эллипс 4)Г + (х 4- 1/ = 9. Для составления уравнения касательной нахо-
дим /(х) = -(х + 1 )/(4у) =>/(!) = 1/2, тогда х - 2у - 3 = 0 — траектория движения точки.
Угловой коэффициент касательной можно было также найти, используя условие касания
эллипса и прямой.
1038.	Используя указание, находим, что |Л#| = |Л|, |В| = (а - с)2(2Ь - а - с)2 > 0; знак ра-
венства для различных а, b и с достигается только в случае 2Ь = а + с.
10.39.	Однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель Д = 0. Ис-
пользуя указание, убеждаемся, что Д -(а + b + c)(ab + Ьс + ас-а- Ь2-с2) = 0 только в
2-х случаях: а + b + с = 0 (плоскость) или а - b-с (прямая). В 1-м случае х-у - z е R —
множество решений системы, во 2-м — z = -х -у, где х, у eR.
10.40.	Следуя указанию, умножим слева обе части уравнения X + Л2Х - В (1) на А, тогда
с учетом А3 = Е получаем АХ+ Х-АВ (2). Исключая из (1) и (2) X, имеем АХ - А2Х -АВ-В
(3). Умножив обе части уравнения (3) на А слева, получим А2Х- X- А2В - АВ (4). Наконец,
вычитая (4) из (1), найдем Х= (1/2) (Е + А -А2)В. Подставляя Хъ (1), получаем тождество.
10.41.	1) Обозначим искомый предел А. Так как In sin(7tx/2) ~ sin(rcx/2) - 1 при х->1, то,
следуя указанию, получаем А - (l/6)lim (Inx - 1 - cos(tcx))' /(sin(nx/2 - 1)' == qo.
2)	1/2.
3)	In ((ln(x + 2))/(In (2-x)) ~ (ln((2 -x)/(2 -x))/(ln(2 -x) ~ ((2x)/(2 - х))Лп(2 -x)) при x->
-> +0 поэтому A = (l/ln2) lim(ln sin x)7(l/x)' = 0 при x-+ +0.
10.42.	Имеем y(x) > 0, y(-x) = y(x), причем j(x) непрерывна на [-100, 100]. Достаточно ис-
следовать j<x) на [0, 100]. Находим _y(0) = 2(1 + 2 + ... + 100) = 10100 - min. Рассматривая
- 162-
у(х) на промежутке [к, к + 1), к = 1,99, убеждаемся, что график у(х) — ломаная, подни-
мающаяся вверх, поэтому ^тах=Х^0) = 20100.
10.43.	1-й способ. Положим и = х/(х + 2) => х = 2и/(1 - и) =$fiu) = 2w/(l -	= 2(1 - к)"2;
/(1/2) = 8.
2-й способ. Дифференцируя обе части тождества, находим f'(x!(x + 2))2(х + 2)'2 в 1. Пола-
гая х/(х + 2) = 1/2, находим х = 2 и/'(1/2) = 8.
f^r/2 sinxdfr ..... ели dx	,
10.44.	Имеем ------------------«(1/4);	—=------------= 1/2.
2sinx(l+sin2x) J() cos2 (л /4-х)
10.45.	J*(2-Vx)2o!r = 8/3.
10.46.	V)y = cosx + Cisinx-(1/2) x cosx при a2- 1; у - t/cos ax + Cisin ax + sin x I (a2 - 1),
Сг — произвольная постоянная, при а2 ф 1.
2)	Найдем решение вторым способом. Продифференцируем обе части уравнения
y(*)X“*) = *sinx (О- У'(х)Х-х)-У(х)У(-х)= sinx+xcosx (2); из (1) => Х“*) =
= (xsinx)/X(x), Х(-х) = (xsinx)/X*)- Тогда из (2) после деления на х sin х получаем:
^_^)=fctgx+lk
У(х) у(х) I х)
Интегрируя, находим X(x)/X*) = G xsinx. Интегрируя снова, получаем 1пХ*) =
= Cj(-xcosx + sinx)+C2. Из условия Х0) = 1 => G = 0. Из (1) =>/(0) = 0, поэтому С\ оп-
ределить нельзя из равенства 0 = С|0. Подставляя Xх) = ехр(С|(-хcosх + sinx)) в (1),
убеждаемся, что С| = 1. Следовательно, у(х) = exp(-xcosx + sinx).
3)	Используя указание, запишем уравнение в виде /' -Xctg х + (1 4- ctg^xjy = 2cosx => (/ -
-у ctg х)' - 2cosx =>у -у ctg х = 2sinx + G; из начальных условий находим, что С\ - -2. Ре-
шая линейное уравнение, окончательно получаем:
_у= e"*-^ + 2x-21nl/g—I exp(sinx).
10.47.	у(х) = (sin х - l)/cos x.
10.48.	Область интегрирования D задается неравенствами: х^ y<l + i]l-y2t 0£j<1,
|х| < 1. Первый способ: изменив порядок интегрирования, находим:
1 х 2	<Jx(2-x)
1 - jyfxdxjydy+ j^Jxdx J ydy =—(4*72-1).
ooi о 35
Второй способ: переходя к полярным координатам, находим
/= J sin <pyj cos <pd<p J r5/2d>= 4(4>/2-l)/35.
о	о
y+x2	1
10.49.	Следуя указанию, имеем y=jjdxdy J dz + jfdxdyjdb, где D\ — часть квадрата
Д	0	Dj О
х> 0,у< 1, гдех2 + .у< 1, ав£>2—х2 + у > 1. Произведя вычисления, находим К= 11/15.
10.50. Пусть АтВ — дуга плоской кривой, лежащая в полуплоскости^ > 0; A(xi, 0), Bfa, 0),
(х| < хг). Запишем искомый интеграл / в виде разности / =	. Применяя к первому
АтВА ВА
интегралу формулу Грина, убеждаемся, что он равен 0.
- 163-
Тогда/= J = | sin2xafr = l/2(x2 -x, -sin(x2 -Xj)cos(x, + x2)).
AB x,
10.51. /(x) =(l-x)/(l-x16); /<20<w)(0) = 2000!
1032. Следуя указанию, получаем неравенство: 4exp(21nx) = 4х2 £ е2, х> 0 => <х £ е/2.
10.53.	Согласно указанию, находим сумму ряда:
5(х)= 1т£(?7з)” = 1ш(1/(1-?7з)) =(3sin3x)/(10-6cos3x) = 1/2=>
и=0
=>sin Зх+cos3x = 5/3.
Полученное уравнение, равносильное V2sin(3x+л/4) = 5/3, не имеет решений,
5/(Зл/2)>1.
10.54.	х = 0 — единственное решение.
10.55.	(l/8)(ch 2(/ - 2) - cos 2(/ - 2))	- 2).
10.56.	<₽(/) = /(/) + 4j/(rXl+2(/-r))exp(2(r-r))rfr.
о
10.57.	Пусть Р — вероятность попадания одной точки в область, определенную неравен-
1/2	1 1
ствами 0<2х£у £ sin та, тогда Р® J (sin лх-2х)<& =------, а вероятность противопо-
о	я 4
ложного с.с. q = 1 -р = 5/4 - 1/я. Тогда вероятность Р = 1 - <£.
10.60.	(х+ 13/6)2 + (у- ll/6)2 = 325/18;J(l,-l),B(2, 1), С(-3,6).
[е е
А А *
0 0.
10.62.	Из равенства (1/2)Л(Я - 4Е)(Л - 2Е) = Е=>(А- 2ZT)"1 - (\!2)А(А - 4£) =>
=>х =(1/2)Л(И-4£)6.
10.63.	а « ±2, b =?2.
10.64.	Найдя наибольшее и наименьшее значения функции а = а(х) на [-1/2, 4], заключа-
ем, что уравнение имеет корни только при выполнении неравенства: >/3£e£34/3, при-
чем при >/72£а£34/з — два корня (при а = 3>/з равных 1); при-^з"£ а-<4/72 — один
корень.
10.65.	Пусть Л(Х|,х2), Я(х2, х2) — точки параболы и къ кг —угловые коэффициенты хор-
ды (АВ) и касательной (AM) соответственно. Имеем к\ = (xj - х2)/(х2 - xj) s х2 + xj. Из
условия перпендикулярности к\ к2 = -\ =>х2 = -xi - 1/(2Х|), х2 - xi = -(2xi + l/(2xi)). По-
этому остается минимизировать функцию и ~ АВ? = (х2 -xj)2 + (х2-х2)2 = (2xj +
+ 1/(2xi))2(1 + l/(2xi)2). Из уравнения w*(xi)« 0 => xj = ±1/V2 и Х| - -1/V2 — точка ми-
нимума, причем umin = 27/4. Итак, min|/4£|« 3>/3/2.
10.66.	Решим задачу 1-м способом. Из условия касания плоскости и = х + у + z параболои-
да => 2х0=2у0=-1 => хо =уо = -1/2, zo = 1/2, т.е. Mmin = и(М0) = -1/2.
При z » 1 прямая U — х + у + 1 касается окружности при и = 1 ± 72, т.е. umax = 1 + V2 и
-l/2£x+y + z£ 1 +V2, причем максимум достигается в точке (V2/2, у/212, 1).
х-r г	Г cosx , z lsinx-l/2|, _
10.67.	J = -(1/2) -z---------dx = (-116) In  ;	-7-I+C.
3 2sinzx+sinx-l	I sinx + 1 j
- 164-
10.68.	Имеем (см. указание)
7 = /| + Л; /j = Jo xcos(x4)dr £ Jo xdx = 1/2;
h ” J x3cos(x4)x'2 <fc«(sin(x4))/(4x2)| + (1/2)^ x“3sin(x4)dSr = (-l/4)sinl+(l/2)73,
так как J^ x"3|sin(x4)|dbr < J} x“3 dx = 1/2, то /3 абсолютно сходится.
10.69.	Из уравнения х2 +рх + = Ах + 6 и Z> > <? => D == (р - А)2 + 4(6 - (?) > 0.
Поэтому S(k) e J*2 (Ах+b-х2 - рх- q)dx = (х2 -х,)(b - q + (1/2)(х - р)2 - (1/3)((х। + Х2)2 -
-*№))= (1/6)((р - к)2 + 4(b - д))3/2. Из уравнения S'(A) - 0 => к - р — точка минимума и
5min = W = (4/3)(^tf/2
10.70.	Так как левую часть преобразованного уравнения (см. указание) можно записать в
виде (у/У, то полагая у у я г, получаем уравнение Бернулли У + z = хг2. Решая его и ис-
пользуя начальные условия, получаем у у's (х + 1)“’ => у = ^1 + 1п(х+1)2.
10.71.	При / = 1, Дх) з 0 в силу нулевых начальных условий. Пусть I = т2 # 1, тогдаДх) =
= A cos тх + В sin тх => В в 0, т.к. f(0) - 0. Из второго начального условия находим
я
/(0)=Л=(1 -m2)J Jcosm/sin tdt => A e А( 1 + cos тк) => cos /ил я 0, (А # 0), тогда т = п +
о
+ 1/2, т.е. при I = т2 = (п + 1/2)2,Д(х) = cos(n + 1/2)х — ненулевое решение (п в 0,1,...).
10.72.	Следуя указанию, получаем: (х + у + г) = 0; хх'+ уу'+ zz'~ 0 =>
х+у+г=1
х2 +y2 + z2 = 3
Траектория движения точки — окружность.
10.73.	Используя признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда и производя его
г 5^1	1	_ 1
почленное интегрирование, получаем 7 =	пРименяя тождество	—- =
= 2\2А—1 ~ 2A + 1J* находим частичнУю сумму ряда 5Я= —^1 --—-
Поэтому 7 = тс/2.
10.74.	Следуя указанию, находим /(2*‘,)(0)= 2к - 1, к е N, поэтому S ^(-1)А‘,/(2А-1) =
Л=1
= arctgl = р/4.
10.75.	Имеем S(x) - 7?е^(-1)л“,(аех,)^=~1п|1 + ае-йг|2= ln(l + a2 + 2acosx)s 0 =>
w=l	2
=> cosx = -а!2 => х - ± arccos (-а/2) + 2Ал.
- 165-
Зя 14 2(cosp+sin<o)
10.76.	^ = (1/2л) J dtp J Afr=3.
-я/4	0
10.77.	Используя указания, имеем /(xo,^o) ~ J f(fi)du - w*, (i/o=>Vxo, xo* 0). Дифференци-
«о/2
руя обе части, находим /(w0)-^/(w0/2) = 2w0. Будем искать решение этого уравнения в
виде /(w0) =	+ В, тогда получаем f(u0) = (8/3)w0. Т.е.у(х)=(8/3)г. Нетрудно показать, что
найдено единственное решение. Действительно, уравнение /(х) = (1/2)/(х/2) имеет только
нулевое решение в силу непрерывности fix). Это следует из равенства
=	ибо Дх)=Пт/(х)=/(нтх2'") lim2’"=0,
2 \2) 2 \2 )	2 \2 )	/'»-»*
ЛО).о.
-2»лх+1Л—
10.78. е 2=е,их
п	а + 2кп-п—
=> 2inx + in— =ia + 2kni; x =--2., где a = arg(a + bi), keZ.
2	2n
10.79. F/x) = P{-(a + P)<x) =
0, x<-2;
(2 + x)2/8, -2<x<0;
(4-(2-x)2/2)/4, 0<x<2;
1, x > 2
/p(x) = (2-|x|)/4, |x|$2 h/„(x) = 0, |x|>2.
10.80. C.b. rj- cos
0, £ = 2n-1; n e N, причем эти значения принимаются с ве-
1, £ = 4и;
-1, £ = 4и-2;
роятностями соответственно Р\ = 2/3, ?2= 1/15, Рз- 4/15, M = -1/5, Dh- 22/75.
10.82. Решая систему: x-y-z, 1(х-1)+ 1(у-3)+ l (z-5) = 0, находим координаты
точки С(3; 3; 3). Тогда \АС\=2у[2, | AD\ = 2. Вычислим S = AC AD двумя способами:
5 = 2^2 -2 cos(p/4) = 4; с другой стороны, т.к. JC(2; 0; 2), AD(x - 1; у - 3; z - 5), то
5=2(х-1)-2(:-5))т.е.х-: + 2 = 0. Из условия л52 = 4 => (х- 1)2 + (у-3)2 + (с-5)2 = 4.
Наконец, учитывая принадлежность точки D плоскости ABCD, получаем х +у + z - 9. Ре-
шая полученную систему из трех уравнений, находим координаты точки D (их будет две):
х = 2±л/173;у = 3т 2-Л73; г = 4±>/17з.
10.83. gw(0) = /^(ОУСп + 1).
- 166-
10.85.	Имеем Л„ = fah^x - th2”'2x)dx + 1^-2 = Ith2"’2xd(lhx) + ^.2 =>
,	(th2 *x th2 3x ,	_
/2»=- -----r+------ + ... + гЛх +C.
I 2л-1 2л -3	J
00 y/k+\
10.86.	Если VT £ x < VF+T, то Л<х2<£ + 1 и исходный интеграл I - У, J (~1)^<& =
Л=0 ft
00 у/к+\	оо /
= J (-!)*<& =	....-—-f=. Ряд справа сходится по признаку Лейбница, поэтому
л=о Jjt	л=07^ + 1+л/А
сходится и несобственный интеграл, хотя подынтегральная функция не стремится к 0 при
х -> 00.
10.87.	а) Следуя указанию, приходим к краевой задаче для дифференциального уравнения
/Д(х) +fix) = О, ДО) =Д 1) = 0. При /=0 Дх>0; если I = -1/(/л2) < 0, то fix) - A shnvc + В ch тх.
Из краевых условий следует, что А- В-0 иfix) s 0. При /=1/(т2) > 0, fix) = 4sm т + Zfcosmx,
ДО) = В = 0; Д1) - A sin т = 0 => т - пр, neN. Итак, /„ = U(pn)2, fn(x) - sin прх — собствен-
ные числа и соответственно собственные функции краевой задачи для дифференциально-
।
го уравнения. Но условия разрешимости (см. указания) Jtfn(t)dt = 0 не выполняется:
о
1
j/sin nntdt = (—1)"+1 /(ля) * О, V л е N, т.е. исходное интегральное уравнение имеет толь-
о
ко нулевое решение при любых /;
б)	в случае краевых условий ДО) =/(!) = О собственные функции краевой задачи
f„(x) = sin (р/2 + рп)х, 1п - (р/2 + рп)~\ (л = 0, 1, ...) дают и ненулевое решение интеграль-
ного уравнения.
10.88.	Ряд сходится только при х > 0. Следуя указанию, имеем
“+<w,x+Sr Н-
2\и=2Л 1	n=2W + 1	) Л\к=\К	к=3К J
оо [П
Используя ряд Маклорена ln(l -t) -	—, -1 < t < 1, получаем
л=1 п
S(x) =-(-е" 1п(1 - е-’) + е'(- ln(1 - е'") - е" - е’2*/!) = -1 (2 + e”) - chx • ln(l - е’*).
2	4
110.89.	Вычислим интеграл первым способом (см. указание):
я/4
/= J ((cos^-sin^)/(cos^ + sin^))”-(cos^+sin^)”2^.
о
- 167-
Заменяя (cos<p~sin<p)/(cos(p + sin(p) = /, (cos(p + sin<p)"2</<p =-Л/2, имеем
10.91.	т = -(а хб+бхс+сх a}l(bV); | т | = 1/Я, где Н — высота тетраэдра.
10.92.	Знак равенства невозможен.
10.93.	&(t) = (3? + 4/ +15)/2; Smin «
10.94.	Таких точек будет две: Л/|(3, -1, 1) и Л/г(8/3, -2/3, 1/3).
10.95.	При т = 0 — отрезок [СМ]; при т > 0 — эллипс с фокусами в точках Fj(O; 0), Fi( 12; 5),
центром 0(6; 2,5) и полуосями а = (13 + т)!2, b = (\/2)^т(26+т).
10.96.	Точки (а, Ь) заполняют всю плоскость, кроме точек параболы b = а2 и прямой 6=1.
10.97.	Так как Аг(А - 2£) = 2Е, то (1/2)Л2 — обрэтная для А - 2Е и %= (М2)А2В.
10.98.	1) избавляясь от иррациональности в знаменателях выражения, стоящего под зна-
ком предела, получим Jn + a - у/п + Ь -(a-b)l(yln+a + >/л + 6j-> 0 при и-> со.
2)	пусть А — искомый предел, тогда имеем
^=l™exp((^2)ln^)=J™exp[(|/^)ln(1+£!E7-i
(.. smx-х ) z 1/r.
=exp hm---------— = exp(-l/6).
^x->0 x )
3)	положим у = (2 - x)/x, тогда lim [y]sin—-— = lim sin——=7, где {у} —- дроб-
3(y + l)	3(у + 1)	3
ная часть числам, т.е. 0 < {у} < 1. Можно было также использовать неравенствоу-1 < [у] <у
и учесть, что [у]/(у + 1)-» 1,так как (у-1)/(у+1) -> 1 и у/(у+1)->1приу-»оо.
10.99.	Уравнение имеет корни только при -Тз £ а £ Зу/з. При у/12 << а < 3^3 — два корня;
при я =3</3 — один двукратный х = -1, при а=4з — один корень х = -4; при 4з <
< а «/72 — один корень.

10.100.	Прямая 4х+у= и касается гиперболы в точках М\
поэтому и € (-QO,	[4>/3,<»).
10.101.Л/4.
10.102.4(^2-1)/3.
- 168-
10.103.0) ^=-е"+>/2(е-' + 1); б)1пу=/-х-1.
10.104. /(x) = 3cosx-4sinr, у = cosx-(l + 2x)e“2jt; х = 0—точка минимума.
10.105. Разделив обе части уравнения на/3 и делая замену, приведенную в указании, по-
лучим и3 + и + 2 =0 => м(х) а -1 — единственный действительный корень, т.е.Дх)« еЛ
10.106. Область сходимости [-1; I].
10.107.	/<м<ю,(2)« ЧЗ/8)|99|2000!/1998.
10.108.	$«73 arctg(l / Л) = ял/з /6.
я/2	2 cos? Злг/2 2	я!2	2
10.109.	/ = /| +/2 = 2 J cos^fcty J r2dr + J d<p^r3dr+ J dip J r3dr =17я/2.
-я!2	0	я/2	0	-JT/2	2 cos?
10.110.	Л|«1/я;Л2«0.
10.111.	Возведем обе части уравнения, задающего г, в квадрат, тогда получим окружность
|г - 2 (2 + /)/3|= 2-V5/3 => г-2(2 +	Площадь S треугольника вычислим по
формуле5= (1/2)||т(И'|Й'2)|, где W\-:2-zu И2 - г + 4. Тогда получим:
5(ф) = 2^6+^5 (cosip + 2sin ф)]/з > 0 У/е[-я; я).
Из уравнения Sty) - 0 => tg j « 2 J = arctg 2 — точка максимума.
Поэтому шах 5(/)а 22/3,/ € [-я; я].
10.112.	Коэффициент при г*1 равен 7~+т^+- -+“-“+--=,Те-Iе/.
112 2!2	л!2
10.113.	Пусть V — объем куба с ребром 2с; И — объем указанной фигуры, для его вы-
числения используем сферические координаты:
2я </2	b
V^\d<p I wsOdO Jp2</p=e(6J-a’)ft(2-V2)/3.
О я/4	а
Поэтому вероятность попадания одной точки в фигуру р е К|:К= я(б’ -а’)(2 ”^2)/(24с’).
Пусть А — с.с., вероятность которого надо найти, тогда Р(А) =\-Р{А).
P(A)-<f+ С'НР(Г'* где^=1 -р. Поэтому P(J) =!-(!-р)"“'(1 +(л-1)р).
10.114.	а е 2; Мх е 1/12; Р{х > -1/2} е 7/8.
10.115.	2/(р4 +4).
10.116.	Лр) = Е(р) + (2(р -1У(Р2 + 4)УР(Р)	^fil) +/ f(t-r)(2cos2r-sin2r)rfr.
О
-169-
ЛИТЕРАТУРА
1.	Садовничий В.А., Подколзин А.С. Задачи студенческих олимпиад по
математике. — М.: Наука, 1978. — 208 с.
2.	Садовничий В.А., Григорьян А.А., Конягин С.В. Задачи студенческих
математических олимпиад. — М: МГУ, 1987. — 312 с.
3.	Беркович Ф.Д., Федий В.С. Задачи Всероссийских и Северо-Кавказс-
ких студенческих математических олимпиад / СКНЦ ВШ — Ростов
н/Д. РГУ, 1991. — 108 с.
4.	Беркович Ф.Д., Шлыков В.И. Сборник задач студенческих математи-
ческих олимпиад и методические указания к ним. — Новочеркасск:
НВВККУС, 1993.—147 с.
5.	Беркович Ф.Д., Фёдий В. С., Шлыков В. И. Сборник задач студенческих
математических олимпиад. — Новочеркасск: НВИС, 1999. — 165 с.
6.	Методические указания к решению нестандартных задач по высшей
математике. Векторная и линейная алгебра , аналитическая геомет-
рия /Сост.: Ф.Д. Беркович, В.И. Беляков, И.Л. Александрова. — Но-
вочеркасск: НПИ, 1988. — 32 с.
7.	Нестандартные задачи по высшей математике при рейтинговой сис-
теме контроля знаний студентов / Сост.: В.И. Беляков, Ф.Д. Берко-
вич и др. — Новочеркасск: НПИ, 1993. — 24 с.
8.	Беляков В.И., Федий В.С., Беркович Ф.Д., Конышкова Е.М. Элементы
теории вероятностей в примерах и задачах: Учеб, пособ. — Ново-
черкасск: НГТУ, 1995. — 49 с.
9.	Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. Случайные
величины: Учеб, пособ. / Беркович Ф.Д., Федий В.С., Беляков В.И.,
Конышкова Е.М. — Новочеркасск: НГТУ, 1996. — 72 с.
10.	Сборник задач по математике. Ч. 1. Алгебра. Геометрия. Анализ /
Сост.: Ф.Д. Беркович, В.И. Беляков, Г.В. Додохова и др. — Ново-
черкасск: Набла, 1998. — 200 с.
И.	Сборник задач по математике. Ч. 2 Интегральное исчисление. Эле-
менты векторного анализа: Учеб, пособ. / Беркович Ф.Д., Горбаен-
ко Т.Ю., Зяблин В.Н. и др. — 2-е изд., перераб. и доп. — Новочер-
касск: ЮРГТУ(НПИ), 2000. — 104 с.
12.	Сборник задач по высшей математике. Ч. 3. Дифференциальные
уравнения. Ряды: Учеб, пособ. / Беркович Ф.Д., Сальникова М.Г.,
Горбаенко Т.Ю., Кузнецова Г.Н. — Новочеркасск: Набла, 1999. —
80 с.
13.	Сборник задач по высшей математике. Ч. 4. Элементы ТФКП и опе-
рационного исчисления. Простейшие уравнения математической
физики: Учеб, пособ. / Беркович Ф.Д., Павленко Л.Н., Сорока М.В.,
Герасименко Ю.Я., Рощина Т.К. — Новочеркасск: ЮРГТУ(НПИ),
2000. —92 с.
-170-
14.	Сергеев В.Н. Сборник олимпиадных задач по высшей математи-
ке. — Омск: Изд-во ОмПИ, 1975. — 108 с.
15.	Беляков Л. М. и др. Методическое руководство для студенческих ма-
тематических кружков. — Челябинск: Изд-во ЧПИ, 1976. — 110 с.
16.	Захарцев В.Ф., Решетников Ю.А. Методические рекомендации к ре-
шению олимпиадных задач по математике. — Ульяновск: Изд-во
УПИ, 1981. — 100 с.
17.	Костычев В.М., Пылаев В.М. Математическое руководство по реше-
нию математических задач повышенной трудности. Ч. 1. — Горь-
кий: ГПИ, 1989. —39 с.
18.	ПойяД. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970. — 452 с.
19.	Сойер У. У. Прелюдия к математике. — М.: Просвещение, 1965. —
356 с.
20.	Хинчин А.Я. Педагогические статьи. — М.: АПН РСФСР, 1963. —
204 с.
21.	Кудрявцев АД. Мысли о современной математике и ее изучении. —
М.: Наука, 1977.— 112с.
22.	Беркович Ф.Д., Федий В.С. Первая командная математическая олим-
пиада вузов Северного Кавказа: Сб. научно-методических статей.
Вып. 7. — М.: Высшая школа, 1978. — С. 124-126.
23.	Беркович Ф.Д. Решение нестандартных задач по математике — один
из путей развития творческой активности и способностей студента
// Вопросы математики и математического моделирования перспек-
тивных технологий, материалов, процессов и систем: Сб. науч. тр.
— Новочеркасск: НГТУ, 1997. — С. 117-119.
24.	Беркович Ф.Д., Федий В.С. Углубленная математическая подготовка
студентов — основа фундаментализации технического образования
/ Материалы Всероссийской научно-методической конференции. —
Новочеркасск.
-171-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................3
Советы студенту.................................................6
1.	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА............................................7
1.1.	Задачи..................................................7
1.2.	Указания...............................................13
1.3.	Ответы и решения некоторых задач.......................17
2.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.....................................29
2.1.	Задачи.................................................29
2.2.	Указания...............................................36
2.3.	Ответы и решения некоторых задач.......................40
3.	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА............................................55
3.1.	Задачи.................................................55
3.2.	Указания...............................................63
3.3.	Ответы и решения некоторых задач.......................66
4.	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.........................76
4.1.	Задачи.................................................76
4.2.	Указания...............................................81
4.3.	Ответы и решения некоторых задач.......................85
5.	ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ.....................................................96
5.1.	Задачи.................................................96
5.2.	Указания...............................................98
5.3.	Ответы и решения некоторых задач......................100
6.	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЫ..................105
6.1.	Задачи................................................105
6.2.	Указания..............................................109
6.3.	Ответы и решения некоторых задач......................112
7.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ................123
7.1.	Задачи................................................123
7.2.	Указания..............................................126
7.3.	Ответы и решения некоторых задач......................127
8.	РЯДЫ.......................................................133
8.1.	Задачи................................................133
8.2.	Указания..............................................134
8.3.	Ответы и решения некоторых задач......................136
9.	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ...............................140
9.1.	Задачи................................................140
9.2.	Указания..............................................141
9.3.	Ответы и решения некоторых задач......................142
10.	ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД 1999-2000 гг...............146
10.1.	Задачи...............................................146
10.2.	Указания.............................................153
10.3.	Ответы и решения некоторых задач.....................158
Литература.................................................170