АКАДЕМИЯ
НАУК
СССР
СОБРАНИЕ ТРУДОВ
АКАДЕМИКА
А. Н. КРЫЛОВА
ДОПОЛНЕНИЕ
к тт. V и VI
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА — ЛЕНИНГРАД
1937
Апрель 1937 г.
Напечатано по распоряжению Академии Наук СССР
Непременный секретарь академик Н. Горбунов.
Редактор издания акад. А. II. Крылов
Технический редактор С. А. Шабупевич.— Ученый корректор Е. В. Ростовцева
Начато набором 27 июня 1936 г. — Подписано к печати 2 апреля 1937 г.
VIII 248 стр. (25 фиг.)
Формат бум. 72 X ИО см.— 16 печ. л.— 16.22 уч.-авт. л. — 40545 тип. зн. — Тираж 1500
Ленгорлит № 1336. — АНИ № G2. — Заказ № 1335
Типография Академии Наук СССР. Ленинград, В. О., 9 линия, 12
В виду того, что перевод математической части сочинения
Эйлера «Новая теория Луны», с прибавлением извлечений из лекций
Адамса, Дэю. Дарвина и из сочинений Хилла, может быть отнесен
одинаково как к математике, гпак и к астрономии, он выделен
в отдельный гпом, составляющий дополнение к томам V и VI собрания
моих трудов.
Академик А. Крылов.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
НОВАЯ ТЕОРИЯ
ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
ПЕРЕВОД С ЛАТИНСКОГО
ПЕРВОЙ ЧАСТИ КНИГИ ПЕРВОЙ И ИЗВЛЕЧЕНИЙ ИЗ ЧАСТЕЙ
ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ С ПРИМЕЧАНИЯМИ И ПОЯСНЕНИЯМИ
ПЕРЕВОДЧИКА
академика А. Н. КРЫЛОВА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие переводчика . . . . ............................................... 1
Предисловиеавтора .............................................................. 3
КНИГА ПЕРВАЯ
ЧАСТЬ 1-я
Исследование дифференциальных уравнений движения Луны
Глава	I — §§	1— 13. Предварительные сведения о движении Луны......11 —15
»	II — §§	14— 19. Основные Формулы для движения Луны...........15—18
»	щ — §§	20— 25. Более обстоятельное рассмотрение движения Земли или
тела 0.........................................19—22
»	IV — §§	26— 31. Общее преобразование найденных Формул........23—26
в	V — §§	32— 35. Приведение предыдущих координат к средней долготе
Луны...................................................26—29
»	VI —	36— 40. Развитие членов, заключающих делитель ъ<3....29—31
»	VII — §§	41— 46. Исключение величин и и ф из предыдущих уравнений . .	32—37
»	VIII — §§	47— 57. Приведение предыдущих Формул к синусам и косинусам
первой степени.................................38—40
>» IX — §§ 58— 66. Приведение трех наших уравнений к трем другим более
удобным координатам................................................40—43
» X — §§ 67— 72. Развитие членов, содержащих делитель w3, иначе чле-
нов, содержащих множитель	X....................4.3—46
» XI — §§ 73— 79. Определение значения буквы X, введенной в наши ура-
внения ............................................................46—52
»	XII — §§	80— 89.	Общие правила решения наших уравнений......52—56
»	XIII — §§	90—101.	Введение средней аномалии Луны и, сверх того, аргумента
широты.........................................56—59
»	XIV — §§	102—126.	О различных порядках лунных неравенств.....60—68
»	XV — §§	127—143.	Отдельные дифференциальные уравнения для	каждого
из членов установленных	выше порядков..........69—-83
ЧАСТЬ 2-я
Численное развитие уравнений, составленных в предыдущей части
для координат х и у
Глава I — §§ 144—153. Развитие уравнений для величин © и О, составляющих
первый порядок.......................................................83—87
» II — §§ 154—180. Развитие уравнений для величин ф) и Р, входящих
в члены второго порядка  .....................87—97
— VIII —
ЧАСТЬ 3-я
Численное развитие уравнения, коим определяется координата z
Стр.
Глава I — §§ 384—636. Развитие уравнения для величины р, входящей в член
первого порядка .................................................. 97—116
ПРИБАВЛЕНИЯ И ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
Глава	I — §§ 1—10. Элементарные сведения из астрономии .  .......117—152
»	II — §§ 1 —19. Понятия о теориях Луны Адамса и Хилл я...... 152—223
Примечания к главе XIII................................. 223—230
» III — §§ 1— 7. Извлечение из сочинения G. W. НШ’я— «Researchesin
the Lunar Theory»................................................ 230—248
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
На торжественном заседании Академии Наук, посвященном памяти
Эйлера по случаю исполнившейся 18 сентября 1933 г. 150-и годовщины со дня
его смерти, мне было поручено прочесть общее обозрение его жизни и трудов,
а затем охарактеризовать более подробно следующие его сочинения: 1) «Вве-
дение в анализ бесконечно малых», 2) «Дифференциальное исчисление»,
3) «Интегральное исчисление»», 4) «Механика», 5) «Теория движения Луны».
При изучении этого последнего сочинения, я невольно обратил внимание
на то, что Эйлер, рассматривая это движение в прямолинейных прямоугольных
координатах, получает для определения этих координат дифференциальные
уравнения, представляющие весьма общий случай уравнений колебательного
движения материальных систем. Эйлер, с полною подробностью и изумительною
простотою, развивает общий метод решения этих уравнений и доводит его до
конца, т. е. до численных результатов.
Колебательное движение приобретает все большее и большее значение
в технике благодаря введению самых разнообразных мощных и быстроходных
механизмов, и во многих случаях приходится иметь дело с дифференциальными
уравнениями нелинейными, а если и линейными, то с переменными коэффи-
циентами, т. е. как раз с уравнениями того вида, которые рассматривает Эйлер
в своей теории Луны.
Само собою разумеется, что едва ли какой-либо техник или инженер,
встретив в своем деле уравнения, подобные рассмотренным Эйлером, станет
искать их решение в сочинении, изданном в 1772 г. под заглавием «Theoria
Motuum Lunae nova methodo pertractata»; по большей части, он не будет иметь
к тому и возможности, ибо это сочинение можно найти в очень немногих
библиотеках.
Сочинение Эйлера представляет собою огромный том в 790 страниц
in-4° и состоит из предисловия и двух книг.
Предисловие автора служит вместе с тем и обстоятельным введением,
в котором автор излагает содержание своего сочинения и метод, применяемый
им для исследования движения Луны. Это предисловие занимает 15 страниц.
Книга первая подразделена, в свою очередь, на три части, в первой из
которых заключается составление уравнений движения Луны и изложение
общего метода их решения, в остальных двух — численное развитие этого
метода и получение решения в численном виде, причем со всею подробностью
приведены все вычисления со всеми их деталями, схемами и логарифмами. Эти
вычисления занимают 450 страниц.
Книга вторая содержит астрономические приложения развитой теории,
т. е. изложение способов вычисления обычных астрономических координат,
долготы и широты Луны помощью найденных прямоугольных прямолинейных,
сличение теории автора с теорией Клеро и составление и объяснение таблиц,
упрощающих производство этих вычислений.
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. к тт. V и VI.	1
Мой перевод предназначен не для астрономов, а для техников и инжене-
ров, его назначение — сделать для них доступными методы Эйлера в его соб-
ственном, столь полном и ясном, изложении, поэтому из первой книги первая
часть переведена целиком, из второй же части взяты лишь типичные численные
вычисления, а остальные, представляющие повторение этих типичных, отбро-
шены, чтобы сократить объем книги и не загромождать ее излишними по-
дробностями.
Книга вторая, как чисто астрономическая, опущена почти целиком, иба
для намеченной цели она интереса не представляет.
Эйлер предназначал свое сочинение для астрономов, поэтому предполагает
у читателя достаточное знакомство с этим предметом. Объем этих знаний может
превышать тот, которым обладают многие техники и инженеры, поэтому
к своему переводу я присоединил прибавление, в котором вкратце изложены
необходимые для ясного понимания текста Эйлера сведения из астрономии.
При применении методы разложения решений дифференциальных урав-
нений в ряды, расположенные по степеням малых параметров, которою поль-
зуется Эйлер, возникает то затруднение, что могут появиться так называемые
вековые члены, т. е. содержащие время вне знаков синуса и косинуса; чтобы
от них избавиться, Эйлер указывает, что есть возможность составить некоторое
уравнение, заменяющее собою обыкновенное характеристическое для уравнений
с постоянными коэффициентами; это уравнение и доставляет измененное при-
сутствием нелинейных членов значение частоты основных колебаний системы;
введение этой частоты избавляет от вековых членов в разложениях. Этого
уравнения по его сложности Эйлер, как он говорит, составлять «не отважи-
вается»» (non sumus ausi), а определяет нужную ему величину на основании
астрономических наблюдений или, как он выражается, берет ее «с неба»
(ex coelo).
Технику и инженеру в подобном случае пришлось бы прибегнуть к опыту,
когда такой опыт возможен, но иногда производство этого опыта неосуще-
ствимо, тогда надо применить другой путь.
Через 100 лет после Эйлера американский астроном Хилль (G. W. Hill}
дал метод составления и решения если не того уравнения, составлять которое
Эйлер не отваживался, то уравнения, ему равносильного, поэтому как естествен-
ное дополнение к сочинению Эйлера я присоединил краткое изложение методы
Хилля, следуя лекциям, читанным по теории Луны в Кэмбриджском универ-
ситете Адамсом и сэром Дж. Дарвином.
Наконец, если бы оказалось, что и метода Хилля не ведет к цели, то возник-
нет вопрос об устойчивости рассматриваемого движения, и тогда придется
прибегнуть к методам А. М. Ляпунова, излагаемым в его знаменитой доктор-
ской диссертации «Общая задача об устойчивости движения»», которая будет
переиздана Академией Наук; но изучение этого сочинения несравненно труднее,,
нежели изучение сочинения Эйлера, которое, однако, явится весьма существен-
ным подспорьем в этом деле.
Обыкновенно Академия Наук не издает переводных сочинений, но в дан-
ном случае Редакционно-издательский совет Академии Наук признал, что
издание сокращенного перевода сочинения Эйлера, изданного самой же Ака-
демией Наук более 150 лет тому назад, с указанными прибавлениями, чтобы
сделать его методы доступными техникам и инженерам, — вполне соответствует
потребностям нашего великого строительства и самой цели научно-технической,
серии изданий Академии, в которую это сочинение и включено.
Акад. А. Крылов.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Сколько раз в продолжение сорока лет я ни пытался развивать тео-
рию Луны и определять, на основании законов тяготения, ее движение,
всякий раз возникали такие трудности, что мне приходилось прерывать
работу и дальнейшее исследование.
На основании начал механики, весь вопрос немедленно приводится
к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, однако их не только
никаким способом не удается интегрировать, но даже нахождение прибли-
жений, которыми в этом случае можно довольствоваться, сопровождалось
такими препятствиями, что я никак не мог усмотреть, каким образом это
исследование не только могло бы быть закончено, но даже сколь-нибудь
приспособлено к использованию.
Вначале я, главным образом, трудился над тем, чтобы привести ска-
занные уравнения к интегрируемой Форме, однако в дальнейшем я все более
и более убеждался, что все подобного рода попытки не только для прило-
жений бесполезны, но что такое интегрирование и не особенно желательно,
ибо нетрудно видеть, что интегральные Формулы будут столь длинны и
сложны, что от них для астрономии никакой пользы ожидать нельзя.
Хотя лет тридцать тому назад я составил таблицы Луны, а затем даже
издал теорию Луны, но этот предмет не был полностью исчерпан, ибо весьма
многие неравенства остались совершенно неизвестными, хотя я и стремился
их обнаружить.
Впоследствии с тем же неудобством встретились знаменитые Майер
и Клеро, стяжавшие такую славу своими таблицами Луны,—многие не-
равенства, которые следовало бы вывести теоретически, получены ими из
наблюдений, как бы догадкою.
Эти трудности возникают по большей части от того, что Луне при-
писывалась движущаяся по плоскости эклиптики орбита, наклоненная к ней
под изменяющимся углом, так что для всякого момента времени надо сперва
определить пересечение этой орбиты с эклиптикою, т. е. линию узлов, затем
и
4
наклонность, — по нескольким уравнениям, после этого опять-таки по многим
уравнениям находится место Луны на ее орбите, и наконец, по этому месту
приходится определять широту и долготу Луны.
Недавно я вновь стал заниматься этим вопросом, и, по обстоятельном
обсуждении всех этих трудностей, я понял, что всю работу надо начать
заново на совершенно других основаниях, чтобы достигнуть цели с большим
успехом. Поэтому я рассматриваю в любой заданный момент времени сред-
нюю долготу Луны в плоскости эклиптики, пусть это будет прямая 5ЛГ,
«Туна же пусть находится в D (см. фиг. 4 § 556); из этой точки на плоскость
эклиптики опускается перпендикуляр 2)1, и из точки I проводится к пря-
мой 5JZ нормаль IL, тогда, по обычному для геометров способу, место Луны
определяется тремя координатами 6L, ZZ, Z2), по нахождении которых
истинное место Луны легко определяется, ибо по углу 2Ю, тангенс кото-
LI „	„
рого есть сейчас же становится известной долгота Луны, точно так же
угол тангенс которого есть доставит широту Луны.
Таким образом все дело сводится к определению для любого заданного
времени этих трех координат; с этою целью я привел те три дифферен-
циальных уравнения второго порядка, которые доставляются непосред-
ственно механикою, к сказанным трем координатам, причем, хотя я опять
пришел к сложным уравнениям, однако в них я достигаю явной выгоды,
состоящей в следующем: так как прямая 6М представляет среднюю долготу
Луны, то если на ней взять отрезок 60, равный среднему расстоянию от
Земли до Луны, все три прямые OL, LI, все время остаются настолько
малыми, что высшие их степени образуют весьма быстро сходящиеся ряды.
После этого общего замечания необходимо, наряду с теми тремя неизвест-
ными, которыми определяется место Луны, рассматривать известные вели-
чины, по коим эти неизвестные находятся. Этих известных величин два
рода: одни — постоянные, другие—переменные. Здесь входят четыре по-
стоянные, величины которых необходимо определять из наблюдений: во-
первых, та, которая обозначена буквою К и которая представляет эксцен-
триситет орбиты Луны. Величина его зависит от движения, сообщенного
Луне вначале, и значит, она могла бы быть больше или меньше теперь
имеющейся; значение этой постоянной, выведенное из многих наблюдений, есть
#=0.05445
т. е. настолько малое, что высшие его степени можно принимать исчезаю-
щими. Второе постоянное количество, обозначенное буквою i, охватывает
5
наклонение движения Луны к плоскости эклиптики, которого величина
была бы большею или меньшею, если бы наклонность (орбиты) была боль-
шей или меньшей; из многих наблюдений найдено значение
i = 0.08964
которого также высшие степени быстро приближаются к нулю. Третья
постоянная есть эксцентриситет орбиты Земли, обозначенный буквою х,
который, без сомнения, ничтожен, ибо
х = 0.01679
Четвертая постоянная, входящая в определение положения Луны, зависит
от параллакса Солнца, ибо заключает отношение среднего расстояния Земли
до Солнца к среднему расстоянию Луны до Земли; я его обозначаю через
а :1, и так как теперь это отношение можно считать известным с доста-
точною точностью, то можно положить
0 =2 390
так что можно пренебречь даже второю его степенью.
Кроме этих четырех постоянных, необходимо для того времени, для
которого требуется место Луны, еще знать четыре угла, пропорциональ-
ные времени, которые легко находятся по таблицам средних движений
Луны.
Из этих углов первый, который я обозначаю буквою р, представляет
элонгацию Луны от Солнца, т. е. разность, получаемую вычитая из средней
долготы Луны среднюю долготу Солнца; второй угол, обозначенный буквою q,
есть средняя аномалия Луны, которая для любого момента времени обыкно-
венно показывается в таблицах, но так как они между собою не вполне
согласуются, то легко может произойти, что эти углы cq окажутся или не-
много больше, или немного меньше, если их выбирать из той или другой
таблицы, третий угол, обозначенный буквою г, совпадает с тем, который
в таблицах именуется средним аргументом широты, и получается вычитая
среднюю долготу восходящего узла из средней долготы Луны, этот угол,
сообразно тому, как таблицы составлены, может требовать небольших
поправок. Четвертый угол, обозначенный буквою t, представляет сред-
нюю аномалию Солнца и, следовательно, ни в каких поправках не
нуждается.
6
Таким образом надо вести весь анализ так, чтобы для любого времени
определялись через указанные постоянные и переменные значения трех
вышеупомянутых координат, для которых я полагаю:
5L = 1 ч- х
LI = у
принимая 60 = 1, представляющую среднее расстояние от Земли до Лупы.
Все эти величины выбраны соответственно тем неравенствам, которыми
движение Луны возмущается и между которыми иначе едва ли было бы
возможно установить какой-либо порядок. Главную помощь в этом деле мне
оказало надлежащее распределение всех неравенств на определенные
классы. К первому классу я отношу все неравенства, которые зависят
только от угла р, т. е. от средней элонгации Луны от Солнца, и которые
в астрономии называются вариацией. Второй класс содержит те неравен-
ства, которые зависят только от эксцентриситета К лунной орбиты, их
следует подразделить на порядки соответственно тому, содержат ли они
или самое величину X, или ее квадрат К2, или куб К3, причем легко видеть,
что нет надобности брать степени К выше третьей; эти неравенства можно
просто назвать эксцентрическими. Третий класс относится к эксцентриси-
тету х Солнца; эти неравенства можно назвать солнечными. Четвертый
класс содержит букву а, поэтому относящиеся к нему неравенства назы-
ваются параллактическими. Наконец к пятому классу мы относим неравен-
ства, зависящие от постоянной /, т. е. от наклонности орбиты Луны, и по-
скольку они влияют на долготу Луны, их совокупность обыкновенно называют
редукцией-, очевидно, что широта Луны определяется, главным образом, по
этому классу. После того как эти классы установлены, они могут между
собою разным образом сочетаться, отчего происходят как бы смешанные
неравенства, которые я отношу к нескольким порядкам.
Эти порядки надо различать, поскольку они относятся к долготе Луны,
или, что то же, к координатам х и у, широта же, или третья координата
Zj) — z, содержит свои отдельные классы.
Для долготы, или для координат х и у, я установил следующие порядки:
а = С ч- ч- К2& ч- К3 ае ч- а& ч- аКХ ч- xU ч- хХФ ч- хК2Ж
ч— avXQ ч— ч— i2 КЗ) ч- i2 хЗ
У = о ч- КР-+- K2Q ч- K3R ч- aS ч- аКТ + xU-+- 7.KV+ кК2 W
ч— a-Aiv ч— i2X ч— i2 KY ч- г2 7.Z
— / —
для широты же, или третьей координаты я, порядки составляются так:
z = ip -н ijKq -t- IK2 г -+- гхЗ -+- i3 u -+- iat
Такое распределение по порядкам в весьма большой мере способствует
доведению вычисления до счастливого успеха, ибо общие Формулы для трех
координат настолько длинны и сложны, что они заполняли бы целую стра-
жницу и даже продолжались бы до бесконечности; после же того, как мы
их привели к различным порядкам, они почти, вопреки ожиданиям, приняли
•настолько сжатый вид, что для любого порядка можно было установить
отдельное исследование, тогда как такую работу для самих уравнений никто
не был бы в состоянии выполнить.
Причина такого сокращения заключается в том, что величины, обо-
значенные буквами О и С, едва превосходят одну сотую часть единицы,
поэтому кубы их приблизительно равны одной миллионной, так что ими,
и тем более высшими степенями этих величин, можно пренебречь, ибо одна
стотысячная в месте Луны составляет около 2 секунд. Отсюда видно,
что величины отдельных членов, входящих в выражения О и С, достаточно
вычислять до шестого десятичного знака.
Кроме того, для развития отдельных членов вышеприведенных поряд-
ков я нашел простое правило, которое содержит в себе общее основание
•интегрирований, так что при помощи его возможно достаточно быстро
определять все члены, тогда как такой прием для общих уравнений совер-
шенно не приложим.
Таким образом мы последовательно определяли члены различных поряд-
ков, и так как члены первого порядка вычислялись до шестого десятичного
знака, то члены второго порядка, содержащие множитель К. достаточно
вычислять до пятого десятичного знака, в виду того, что они умножаются
на К. В величинах же О и Q, умножаемых на К2, достаточно иметь че-
твертый знак, ибо от умножения на К2 погрешность'не достигает 1 се-
кунды; таким образом, чем выше порядок члена, тем с меньшим числом
знаков надо его вычислять; однако я добавляю, что попадаются такие члены,
в которых, вследствие особенной сложности, получается меньшая точность.
Вследствие этой причины, в членах, содержащих п В, погрешность может
достигать нескольких секунд. То же неудобство происходит п в членах, со-
держащих множители S3 и F, которые можно было бы иметь с точностью,
не большей 1 секунды, что само по себе малое имеет значение, но так как
эти величины входят затем в состав множителей Ж и РГ, то в них погреш-
ность накопляется до нескольких секунд, чего по простому развитию этих
8
величин предвидеть было невозможно. Затем мы заметили, что опущен член
с множителем ? К2, который следовало удержать.
Это опущение в нашем выводе несущественно, ибо неравенства этого
порядка сами по себе весьма малые и в крайнем случае не достигают одной
четверти минуты, поэтому мы не сочли нужным все наше длинное вычисле-
ние производить наново и доводить до большей степени точности, тем более,
что два или три неравенства, подверженные этой погрешности, легко могут
быть выведены из наблюдений.
Однако весьма желательно ради теории, чтобы впоследствии опытные
вычислители предприняли бы эту работу и определили бы все величины
с большею степенью точности. Для этого необходимо, чтобы в простей-
ших членах удерживались кубы величин £) и О и вычисление в них
доводилось бы до восьмого знака, таким же образом и при определении
всех дальнейших членов надо получать в 100 раз большую точность,
чтобы иметь полную уверенность, что все обнаруженные неравенства
определены точнейшим образом.
Такая работа, однако, будет, несомненно, тяжелой и трудной, так что
ее едва ли можно исполнить меньше, нежели в течение одного года, главным
образом потому, что при этом отдельные вычисления надо повторять 2
или 3 раза. Предприняв нашу работу, мы не подозревали, каких утоми-
тельных вычислений и какого громадного труда она потребует, если же кто,
хотя бы слегка, изучит изложенные здесь вычисления, тот легко убедится,
что едва ли существует какой-либо аналитический вопрос, доселе рассмо-
тренный, который потребовал бы столь сложных исследований и столь длин-
ных вычислений.
Однако многое из того, что требуется для самой теории и для прило-
жения найденных значений .т, у, z, определяется с большим трудом; во-
первых, из наблюдений необходимо вывести истинные значения постоянных,
обозначенных буквами К и г, т. е. средние места апогея и узлов Луны для
любого заданного времени, однако в этих элементах может заключаться
погрешность, достигающая 1 минуты. Но эти определения могли бы
быть без большого труда выполнены, если бы имелось достаточное число
точнейших наблюдений Луны. На самом же деле, как мне сообщено, обыкно-
венно производимые астрономические наблюдения доставляют результаты,
которые могут отличаться от истинных на целую минуту; это, главным
образом, относится до результатов, выводимых из наблюдений кульминаций
Луны, при которых определяется сперва высота верхнего или нижнего-
края, затем прохождение через меридиан левого или правого края лунного
9
диска. В высоте же как наблюденной, так и исправленной рефракцией,,
едва ли можно избежать погрешности, достигающей до 10", затем в моменте
прохождения через меридиан может, наверное, быть погрешность до 1 се-
кунды времени, отчего в месте Луны происходит погрешность в 15".
Кроме того, надо точнейшим образом знать видимый диаметр Луны, в ко-
тором также едва ли возможно избежать погрешностей, затем для опреде-
ления геоцентрического места Луны требуется точное значение ее парал-
лакса, зависящего от самой теории и в величине которого наверное может
заключаться погрешность в несколько секунд. Сопоставив все эти погреш-
ности, едва ли можно ожидать, чтобы наблюденные места Луны согласовались
с истинными до 1 минуты. Отсюда понятно, что эти погрешности пере-
ходят в упомянутые выше элементы, определяемые непосредственно или
по уравнениям, если только не взять весьма большое число наблюдений.
Поэтому те определения этих элементов, которые произведены на основании
различных наблюдений и которыми мы в этом сочинении пользуемся, мы
отнюдь не считаем вполне точными и не сомневаемся, что они требуют
значительных исправлений, ибо мы не слишком доверяем даже тем точным
наблюдениям, которыми мы пользовались. Может оказаться, что наши
таблицы несколько отличаются от других, что, однако, не должно быть от-
носимо к недостаткам теории, тем более, что места апогея и узлов.мы
брали те, которые показаны в таблицах Майера, требующих значительных
исправлений. Тем не менее, прилагаемые к этому сочинению таблицы в ред-
ких случаях дают результаты, отличающиеся от наблюдений более, чем на
1 минуту, так что астрономы могут ими пользоваться вместо таблиц
Майера или Клеро, тем более, что вычисление по нашим таблицам значи-
тельно проще, ибо все величины определяются по четырем углам, пропор-
циональным времени, и даже самая широта Луны находится непосредственно
по этим же углам, тогда как иначе нужно производить довольно утомитель-
ное вычисление поправок для узлов и места Луны на ее орбите. Но я до-
бавляю, что нетрудно видеть, что если бы кто пожелал сопоставить эти
таблицы с многочисленными наблюдениями, то, добавив к этим таблицам
некоторые малые поправки, он довел бы эти таблицы до гораздо большего
совершенства и тем принес бы весьма большую пользу астрономии.
КНИГА ПЕРВАЯ
ЧАСТЬ 1-я
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
ГЛАВА I
Предварительные сведения о движении Луны
§ 1.	Точное и совершенное познание движения Луны, на основании
которого можно было бы составить астрономические таблицы, точнейшим
образом согласующиеся с истиной, сопряжено с такими существенными
и величайшими трудностями, что представляется превосходящим силы чело-
веческого ума.
§ 2.	Без сомнения, наибольшая трудность сводится к решению знаме-
нитейшей задачи о движении трех взаимно притягивающихся тел; полное
решение ее оказывается превосходящим силы анализа, несмотря на вели-
чайшие усилия геометров. Все, что ими достигнуто, ограничивается разви-
тием весьма частных Случаев, причем их отнюдь не удалось разрешит ь
в общем виде, а лишь привести к приближениям, и до сих пор нет никого,
кто мог бы похвалиться, что обладает решением этого вопроса.
§ 3.	Поэтому, пока не удастся полностью справиться с этою задачею,
мы останемся далеко от полного познания движения Луны хотя бы потому,
что в этой задаче принимается, что силы, с которыми тела взаимно притя-
гиваются, обратно пропорциональны квадратам расстояний, что на самом
деле имеет лишь тогда место, когда тела вполне сферические. Теперь же,
вне всякого сомнения, определено, что небесные тела от этой Формы более
или менее отличаются; так, в частности, из явлений либрации Луны следует,
что ее Форма заметно отличается от сферической, поэтому силы, которыми
Луна притягивается как к Солнцу, так и к Земле, несколько отсту-
пают от указанного обратного отношения квадратов расстояний, и надо
12 —
присовокупить силы, обратно пропорциональные четвертой степени рас-
стояния. Правда, это отклонение весьма малое, но так как здесь дело идет
о совершеннейшем познании движений .Туны, то это обстоятельство отнюдь
нельзя опускать.
§ 4.	Кроме того, Луна подвержена действию не только притяжения
Солнца и Земли, но и других планет, в особенности Юпитера и Венеры, так
что сказанное исследование не содержится полностью в задаче трех тел.
Наконец, если бы случилось, что какая-либо комета прошла недалеко
от Луны, то от этого в движении .Туны могли бы произойти значительные
возмущения; такого рода влияния, однако, никоим образом в таблицах при-
вести нельзя.
§ 5.	Вследствие указанных причин нельзя ожидать такого полного
познания движений .Туны, в котором все упомянутые весьма малые откло-
нения были бы точно выражены в числах, поэтому мы удовольствуемся,
если нам удастся достигнуть достаточно близкого приближения.
Это, к счастию, удается потому, что все упомянутые отклонения на-
столько малы, что в месте Луны они едва достигают 1 минуты, все же
астрономы весьма охотно соглашаются с такою погрешностью. Поэтому
весьма высоко ставился бы тот, кто был бы в состоянии дать такие таблицы
Луны, которые нигде не отступали бы от истины более чем на 1 минуту,
тем более если бы эти погрешности удалось низвести до полуминуты.
§ 6.	Руководствуясь этими соображениями, мы рассматриваем лишь
три тела, т. е. Солнце, Землю и Луну, которые взаимно притягиваются
с силами, обратно пропорциональными квадратам расстояния, при этом даже
оказывается то весьма большое удобство, что не только масса Солнца
весьма велика по сравнению с массою Земли и Луны, но и расстояние
до Солнца как бы бесконечно больше расстояния от Земли до Луны; если бы
этих двух обстоятельств не было, то наверное все наши усилия в этом иссле-
довании оказались бы совершенно тщетными.
§ 7.	Масса Луны, которою нельзя пренебрегать по сравнению с мас-
сою Земли, вносила бы значительные затруднения в наше исследование,
если бы не было способа к устранению этого неудобства, именно при рас-
смотрении этого вопроса можно так распорядиться, что масса Луны совер-
шенно исчезает из вычислений.
§ 8.	Рассмотрим, как это может происходить. Если два тела, взаимно
притягивающихся, обращаются около общего центра тяжести каждое по
своей орбите, то их относительное движение получится, если масса их обоих,
сосредоточенная в центре одного из них, находится в покое, другое же,
13
лишенное всякой инерции, как бы простая точка около него обращается.
Итак, если имеются два тела в А и В (фиг. 1), массы коих обозначены
этими же буквами, которые как-то движутся около общего центра тя-
жести О, то мы легко определим это движение вычислением, если вообра-
зим, что в точке С соединены обе массы А -+- В, и будем исследовать дви-
жение материальной точки б, ибо ее движение относительно С вполне
соответствует движению, совершаемому точкою В вокруг точки А, если
расстояние СЪ буцет равно расстоянию АВ и в начале точке Ь будет при-
дано движение, одинаковое с тем, которым тело В обладает при своем дви-
жении вокруг А. Так, если в какой-либо момент место точки Ъ известно,
то, положив СЪ — z, проведем через
центр тяжести О прямую ЛОВ, парал-
лельную СВ, и возьмем на ней отрезки
A
C
Фиг. 1.
О A =
• z
к
OB = ~
• z
тогда точки А и В представят положения рассматриваемых двух тел в этот
момент.
§ 9.	Чтобы применить это рассуждение к нашему случаю, надо, прежде
всего, заметить, что движение Луны так связано с движением Земли, что
их общий центр тяжести движется по коническому сечению вокруг Солнца
по законам Кеплера. Хотя это и не соответствует истине с полною стро-
гостью, но так как расстояние до Солнца настолько превышает расстояние
от Луны до Земли и масса его весьма велика, то это предположение столь
мало отличается от истины, что происходящие от этого погрешности можно
считать равными нулю, тем более, что мы не стремимся к высшей степени
точности.
§ 10.	Поэтому повторим здесь наши рассуждения о движении Луны:
пусть кривая АО есть то коническое сечение (фиг. 2), которое описывается
общим центром тяжести Земли и Луны вокруг Солнца, находящегося в S.
Обозначим массу Солнца через S, массу 'Земли — через Т и массу Луны —
через L и вообразим в точке О тело, масса коего есть T-+-L и движение
которого вокруг Солнца совершается по законам Кеплера, после чего,
вместо Луны, поместим в А точку пли частицу, лишенную массы, ко-
торая притягивается как к Солнцу, так и к сказанной массе 0 обратно
14
пропорционально квадратам расстояний. Условившись в этом, если мы
сможем определить движение сказанной точки Л и указать ее место в любой
момент, то отсюда сможем определить и движение Луны, каковым оно
представляется из центра Земли. С этою целью достаточно продолжать
прямую Л0 до Т так, чтобы было
0Т=ч,4-7--0л
1 -4— L
Затем отложить по тому же направлению ZA = 0.7: иначе
Т
QL = у.--т • 0Л
Л. Н— 1j
\	д Таким образом Т представит
\	У истинное место центра Земли,
\	L — истинное место центра
._______________________\/	Луны, причем очевидно, что
$	"	/\‘	расстояние TL равно расстоя-
Т /	нпю 0Л и одинаково с ним
/	направлено.
§ 11. Таким образом мы
фиг 2	не только определим то дви-
жение, которое Луна совер-
шает вокруг Земли, но и движение самой Земли, поскольку она притя-
жением Луны отклоняется от Кеплеровой орбиты, ибо Земля не на-
ходится в точке 0, как то дается обыкновенными таблицами, а в точке Т;
в этом и состоит влияние возмущающей силы Луны. Отсюда также можно
заключить, что это возмущение движения Земли настолько мало, что им
можно смело пренебречь, в особенности когда вопрос относится к Луне.
Обыкновенно массу Луны считают в 70 раз меньше массы Земли, так что
будет L = ~T\ по значению параллакса Солнца найдено, что расстояние $0
в 400 раз превосходит среднее расстояние от Луны до Земли. Итак, рас-
стояние
07'=О-0А
наибольшее влияние это оказывает на долготу Земли, когда Луна находится
в квадратурах, ибо тогда угол SQT прямой и погрешность в долготе Солнца
будет равна углу, тангенс которого есть
07'	1	1
S0 71•400 '28400
15
каковой угол составляет 7^3; такою погрешностью но отношению к Луне
можно вполне пренебречь. Кроме того, очевидно, что от действия Луны
Земля может немного выходить из плоскости эклиптики, причем расстояние
ее от этой плоскости будет приблизительно в 70 раз меньше расстояния
Луны от той же плоскости. Таким образом, если широта Луны равна 5°-j,
т. е. ее расстояние от эклиптики равно у^0А, то Земля будет отстоять
на 0А, что, по разделении на $0, дает широту, под которою Земля
усматривается из Солнца. Эта широта, следовательно, будет	,
т. е. в 10 раз меньше сказанной величины 7„3 и, значит, не может даже
составить 1 секунды.
§ 12.	Прежде всего надо заметить, что таким образом определяется
геоцентрическое место Луны, т. е. та точка неба, в которой наблюдатель,
находящийся в центре Земли, усмотрел бы Луну, кроме того расстояние
Луны до центра Земли постоянно равно сказанной величине 0А. Следова-
тельно, если нам удастся определить движение точки А, притягиваемой точ-
ками S и 0, то мы вполне достигнем нашей цели, ибо в любой момент вре-
мени будет известно не только геоцентрическое место Луны, но и ее
истинное расстояние до центра Земли.
§ 13.	По должном рассмотрении всего вышеизложенного очевидно,
что все дело, которым мы занялись, сводится к решению следующей задачи.
Задача. Если тело 0, масса которого равна Т L, описывает вокруг
Солнца, находящегося в 8 и масса которого равна S, тот эллипс, по кото-
рому представляется, что Солнце движется вокруг Земли, и если ничтожно
малой частице А будет сообщено какое-либо движение и она непрестанно
I Т	g
притягивается точками 0 и 8 с известными силами - —-9- и , то тре-
0AJ AV
буется определить движение сказанной частицы А так, чтобы не только
можно было указать место точки А на небе, но и ее расстояние 0А.
К решению этой задачи мы и направим все наши силы, как то будет
видно из следующих глав.
ГЛАВА II
Основные формулы для движения Луны
§ 14.	Предполагая, что центр Солнца в точке 8 и что AQ есть элли-
птическая орбита, описываемая общим центром тяжести Земли и Луны, мы
16 —
примем плоскость чертежа (фиг. 3) за плоскость эклиптики. Пусть в какой-
либо точке Z вне ее находится центр Луны или, точнее говоря, та точка,
которой мы заменили Луну. Из этой точки Z опускаем на плоскость эклип-
тики перпендикуляр ZY и из точки Y на постоянную ось SA проводим
перпендикуляр YX, так что место Луны Z определяется координатами:
SX = x, XY=y, YZ=z
причем, само собою разумеется, прямая &4 направлена в точку весеннего
равноденствия.
§ 15.	Проводим прямые -SO; /ST; 0Z; 0Z и &Z, и из точки 0 — пря-
мую 0а, параллельную SA, которая, следовательно, также направлена
в начало счета долгот. Таким образом угол AS0 представляет гелиоцентри-
ческую долготу Земли или, точнее, долготу того общего центра тяжести,
который мы рассматриваем вместо Земли, так что долгота (геоцентрическая)
Солнца получится придав 180° к сказанному углу JLS0, вместе с тем
угол Y0Z представляет широту и угол a0Y—долготу Луны. Положим
затем:
80 = и, А80 = о; SZ = v, 0Z = w
и опустим на ось SA из точки 0 перпендикуляр 0Р, так что будет
0Р = и sin ср и SP= и cos у
и так как
РХ = х — и cos Ф
17
то будет:
0У2 = (х U COS !р)2 -4— (у U sin !?/
0Z2 = w2 = z- -+- (х — и cos ф)2 -+- (у — и sin ср)2
очевидно, что
SY2 = Ж2 -4- у*
и
SZ'2 — V2 = Z2 -4- X2 ч- у2
§ 16.	Чтобы теперь приложить начала механики, обозначим попреж-
нему через 5—массу Солнца, Т—массу Земли, L — массу Луны, а так
как мы рассматриваем в точке 0 тело, Составленное из массы Земли и Луны,
Т-ь-L, то обозначим для краткости 0 = Т -+- Z, ибо масса точки Z счи-
тается ничтожно малой. Как видно, на точку Z действуют две ускоритель-
ные силы; одна — направленная к Солнцу по прямой ZS и равная дру-
0
гая — направленная к точке 0 и равная —поэтому, разложив эти силы
параллельно нашим координатным осям, получим:
Sx
по направлению XS силу
»	»	YX »
V5
»	»	ZY » ~
V
Подобным же образом от второй силы получаем:
@ (х--и COS ф)
по направлению Ао силу —1
0 (у — и sin <р)
»	» YX »	---б----—
§ 17.	Хотя масса Солнца и весьма велика по сравнению с массою 0,
так что Солнце от силы, притягивающей его к точке 0, почти не полу-
чает движения, тем не менее, согласно правилам механики, переносим
Г»	/А	0	Г7
силу, с которою 5 притягивается к 0 и которая равна ’ в точку Z по
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. в и. V и VI.	2
— 18
обратному направлению, тогда к этой точке, сверх вышеприведенных сил.
прилагаются еще силы:
по PS сила	0COS О и2
» &Р »	0 sin <р м2
так что всего на точку Z действуют такие три силы:
I)	по направлению		Sx	0 (ж — и cos <р)	0 COS о
			• v3	н	..	—I	и2
И)	» »	VX	Sy	0 (у — и sin <р)	0 sin ср
			v°	1	ю»	'	9 и1
III)	» »	ZY. .	Sz v3 H	0^ Н W3	
§ 18.	Обозначим через т — время и примем его за переменную не-
зависимую, тогда, на основании известных правил, имеем следующие три
дифференциальных уравнения второго порядка:
1)	d2x	Sx	0 (ж — и cos	0 COS Ф 1—	*	= 0
		1	О 1	1	гр8	1	и2	
II)	d2?/	V3	0 (у — и sin ср) w3	1	0 sin© 1	5—I- uz	= 0
III)	d2z	Sz	0Х’ _	— л		
	d-v2		»»	1 V3	W3		
Этими тремя уравнениями движение Луны вполне определяется. Здесь
а есть некоторая постоянная, зависящая от тех единиц, в которых выра-
жается время т, как будет подробнее объяснено. Таким образом все дело
сведено к интегрированию этих трех уравнений, но мы не имеем ни малей-
шей надежды когда-либо выполнить это интегрирование, поэтому и не будем
пытаться интегрировать эти уравнения.
§ 19.	Если бы мы когда-либо достигли того, что могли бы определить
интегралы этих уравнений, или какой-либо добрый гений нам их открыл,
то от этого мы не извлекли бы ни малейшей пользы, ибо, без сомнения,
все три неизвестные ж, уу z в этих интегралах были бы так между собою
перемешаны, что нельзя было бы указать никакого способа, по которому
можно бы было выразить каждую из них в отдельности.
19 —
ГЛАВА III
Более обстоятельное рассмотрение движения Земли
или тела 0
§ 20.	Важно сперва рассмотреть движение Земли, а затем перейти
к движению Луны. Необходимо не только точно определить значения вели-
чин и и ф, но мы из них же выведем удобную и подходящую для нашей
цели меру времени, иначе определим значение постоянной а.
§ 21.	К этому случаю легко приложить вышенайденные Формулы,
устранив тело Z, так что взаимно притягиваются только тела 0 и S;
а чтобы точка $ оставалась в покое, надо вообразить, что в ней сосредо-
точена масса 8 -н 0. Приняв это, будем иметь для двух координат
SP=X - P0 = Y
следующие два уравнения:
п <РХ	X л
И) «^ + (8-ь0)^ = О;
так как
X = wcostp; y=usm^
то будет:
X cos ч~ Уsin ф = и
X sin ф — Y cos ф = О
Дифференцирование этих выражений дает
dX • cos ф —I— dY • sin ф — (X sin ф — Y cos ф) dy = du
т. e.
dX • со$фdY• вшф = du	(1)
Точно так же
dX • sin ф — dYcos ф -+- (Xcos ф Ysin ф) dz == 0
t. e.
</Х-8Шф—dY- созф-нмс/ф = 0	(2)
Дифференцируя Формулы (1) и (2), имеем
d2X • cos ф d2Y• sin ф -ь (dY• cos ф — dX • sin ф) dy — d2и
т. e.
d2X • cos ф -4- d?Y- sin ф U‘d^2 — d2u	(3)
2*
— 20
точно так же
d2X • sin ф — d2Y• cos <р	(dX • cos ф -4- dY • sin <p) dy -+-
-+- du • dy —t— и d2 ф = 0
t. e.
d2X • sin o — d2Y• cos -+~ 2du d® -+- и (72<p = 0	(4)
§ 22. Так как из наших дифференциальных уравнений следует:
 (S+®)X-d^.	_  (S + &)Ydr2
то, поставив эти величины в Формулы П>) и (4), получим
(7т2
— (£ -+- 0)(Xcos о -+- Ksin ф) —з -ь- и d®2 — d2u
Vi	i / yuo	,
r. e.
(S 4- 0) (7т- o 2
--------------t-udzr=du	(o
a?(“	‘	v -
-1-	0)
-----(X sin ? — Ircos ф) • (7<- -4- 2 du dq + ud^= 0
t. e.
2du dy и dzr = 0	(6)
Вследствие этого, уравнения нашей задачи будут:
I)
И)
б’-ь 0
и2
ud-ъ -4- 2dudv
а----------------
((т-
= 0
§ 23. Хотя эти уравнения и нетрудно интегрировать, но для нашей
пели нет надобности к этому прибегать, и мы поступим следующим образом.
Так как установлено, что орбита есть эллипс малого эксцентриситета, то
для нас достаточно взять лишь те члены, которые имеют множителем пер-
вую степень эксцентриситета, отбрасывая все члены, содержащие квадрат
и высшие его степени.
Так как до сих пор единица времени оставлена неопределенной, то
примем в дальнейшем за переменную независимую среднюю аномалию
Солнца, обозначив ее буквою 7, и так как она пропорциональна времени,
то будет
d2t = О
21
Затем полагаем: среднее расстояние от Земли до Солнца, равным 1 и эксцен-
триситет равным х = 0.01678, как то следует из наблюдений; приняв это,
по известным законам Кеплера имеем
и = 1 -Ь X cos t
затем, обозначая среднюю долготу Земли через £, также, как известно,
имеем
<р — и — 2х sin t
но приближенно будет tit, ~ dt, и следовательно:
du	. ,	d2 и
-^г = — х sm t и = — х cos t
dt	dt-
d<a	, d2a) .
~- = 1 — 2x cos t и = 2x sin t
dt	dt2
§ 24. Подставив эти значения в паши уравнения, не только убедимся,
что они удовлетворяются, но мы определим и постоянную а и ее отношение
к массе £ -+- 0, в чем и состоит сущность дела. Так, первое уравнение,
отбросив члены, содержащие вторую степень эксцентриситета, принимает
вид
к (2х cos t — 1) = —.	= (S -I- 0) (2х cos t — 1)
—j/C VUo £ I 1.
следовательно
a = .S’-b0
второе же уравнение обращается в тожество. Таким образом мы достигли
следующей выгоды: в дальнейшем время т мы выражаем через среднюю
аномалию Солнца, вместо постоянной а можем писать S 0, причем сред-
нее расстояние от Земли до Солнца полагается равным 1. Установив это,
получим для определения движения Земли уравнения:
,, d?u—ttd^2 _	1
dt2 ~~	и2
тт и d2 © -+- 2du dro
П) —	------=0
Эти уравнения имеют место при всяком значении х эксцентриситета.
Когда же эксцентриситет весьма малый, то будет:
U — 1 -4- X COS С,
— = 1 —xcos t:
и
du	. ,
— х sm Z
dt
и2 = 1 г 2х cos t
Д — 1 —2 xcos t
и2
d2u	,
= — X cos t
dt2
— 22
также
= £ — 2х sin Z; ^7=1 — х cos t
dt
2х sin t
Отсюда следует
<i2<p
и2^ — 1 — 4х2 cos21 — 1;
dt, '
вообще значение этой величины должно быть постоянное, как то следует
из уравнения II), которое, будучи умножено на и, по интегрировании,
дает
м2 __ const
dt
§ 25. Обратимся теперь опять к Луне и, воспользовавшись мерою
времени, выведенной из средней аномалии Солнца, положив среднее рас-
стояние от Земли до Солнца равным 1 и а = 8 О, как то получено выше,
разделим уравнения § 18 на 8-ь О и, для краткости положив
8 _	0
8ч-@ —
так что будет
получим:
I)
П)
III)
U. г- V = 1
d2x х х — и cos <р cos <р
о. -и V ----------------з---ь v------
аг ‘ v ’	id
у у — и sin <р sin ©
(jfi ~t“ И- 7з ~i~ v	v м2
d2s х г
и так как масса Солнца весьма велика по сравнению с 0, то очевидно, что
величина р. отличается весьма мало от 1, величина же v есть весьма малая
дробь.
23
ГЛАВА IV
Общее преобразование найденных формул
§ 26.	Так как в уравнениях § 25 координаты х и у изменяются на
протяжении всей орбиты Земли, то они мало пригодны для приближений,
поэтому необходимо ввести в наши уравнения новые координаты. Чтобы
это проще выполнить, проведем пз точки 0, к которой следует относить
движение Луны, в плоскости эклиптики какую-нибудь прямую 06, которая
•около точки 0 как угодно вращается, и обозначим угол а&1> через со
(фиг, 4 и 5) и примем эту прямую за
ось 0Х; опустив на эту ось из точки Y
перпендикуляр Yx, обозначим новые
координаты так:
®х==Х; xY==Y-, YZ=Z
так что будет z = Z, и очевидно,
0Z= W = VX'2 + I - + Z2
§ 27.	Рассмотрим теперь зави-
симость между новыми координатами
и предыдущими, на которую нужно
•обратить серьезное внимание; имеем:
х = и cos <р -+- X cos со — У sin to
у = и sin ср X sin м Y cos co
z = Z
Так как мы имели
SZ2 — v2 = х2 -+- у2 -+- z2
то в новых координатах будет
v2 — и2 -+- 2иХ (cos ср • cos со н- sin ф • sin со)
— 2uY(cos • sin ю — sin cp - cos co)
-+- X2 —f- Y2 —i— Z2
положим для краткости:
to — ср = ф
— 24 —
получим
/;2и2 2uX cos ф — 2uY sin ф	X2 н- Y2 н- Z2
§ 28.	Чтобы легче ввести новые координаты в наши дифференциаль-
ные уравнения, заметим, что
X cos со ч- у sin СО = М COS ф Ч- X
х sin со — у cos со = и sin ф — Y
дифференцируя первую из этих Формул, получаем
dx • COS СО Ч— dy • sin СО — (х sin СО — у COS со) б/бО Ч— du • СО8ф
— и б/ф • sin ф ч- dX
т. е.
dx • cos со ч- dy • sin со = (и sin ф — У) • d<x> ч- du • cos ф
— и б/ф • sin ф ч- dX
а так как
d’\j — б/со — б/ср
I	t
то будет
dx • cos со ч— dy • sin со = du • созф ч- и dy • зтф -+-dX— Y diu (1)
Совершенно так же из второй Формулы получим
dx • sin со — dy • cos со — — (х cos со ч- у sin со) dco ч- du • sin ф
ч- иб/ф • соэф — dY
т. е.
dx • sin со — dy • cos со = du - sin ф — и dy • cos ф — X dco — dY (2)
§ 29. Дифференцируя Формулы (1) и (2), получаем
d2x • cos со -+- d2y • sin со = d2u • cos ф ч- du • sin ф (dy — б/ф) -t- ud2 <p • sin ф
-и иdy б/ф • cos ф — (dy • cos co — dx • sin co -4- dY) do>
— Y • d2iu -I- d2X
Заменив б/ф его величиною
б/ф с/со — dy
— 25 —
имеем
d2x • cos co -4- d2y • sin co = (d2u— udy2)cos'\> (Ы2<р-ь-2^^<р)8П1ф
— (du • sin ф—udy • cos ф *4—
-4- dy • cos co — dx • sin co -4- dY) dw
-Y-dhi-M
из Формулы (2) следует
X dm -4- dY= du • sinф — udy  cos ф dy • cos co — dx ♦ sin co
в § 24 доказано, что
/7/2
d2 и — и dy2 —--
и d2y	2 du dy — 0
по подстановке этих значений получаем
d2x • cos со —f— d2y • sin co = — —-dt2-+-d2X—2dY-du—Yd2(D—Xdu)2
J	u2
Подобным же образом дифференцирование Формулы (2) дает
d2x • sin со — d2y • cos со = (d2u — и dy2) sin ф — (и d2 у -4- 2du dy) cos ф
_ d2Y— 2dX • dco — X d2 co -4- Ydu2
t. e.
d2x • sin co — d2y • cos co = — -П.^ dt2 — d2Y — 2dX cZco — X cCco -4- Ydie2
u2
§ 30. Составим теперь из дифференциальных уравнений § 25 подоб-
ные же комбинации, т. е.
I • cos со -н II • sin со
I • sin со — II • cos со
и мы получим:
d2 х • cosw-+-cZ2w • sin со	wcosi-ь-Х	X	cos<b
----------------------|_|Х—----------=
d2 x • sin w — d2 у • cos w	и sin Ф — Y	Y	sin ф	Л
---------	н и.---т.------v —п -+- v —~ = О
it2------------------------------------1 V3-ufl и2
26
Подставляя сюда выражения, полученные в § 29, мы будем иметь следую-
щие уравнения в новых координатах:
I)
П)

совф d2X ^dYdta yd2a> „ с/ы2
hT^'dt2 2~dt2	1~dt2~A~dt?
X cos ф
—f— V —„ -4- V-5-L = 0
w6
sin 4» d2Y ^dXdu vd2u . vdu2
~u2 di2 ~~2~dt2	A~^r"+‘ 1 "dt2
_vZW-^ = o
wA	гг

и sin <р — Y
+- р------£------
1	t?
Третье же уравнение, так как г — Z, остается без перемены:
III)
d2Z Z Z
dt2 -HfS3“|-V w3
о
§ 31. Переменим знаки во втором уравнении и расположим члены
иначе, так чтобы уравнения движения Луны в новых координатах X, К Z
приняли следующий вид:
сРХ dY du du2 d2u cos 4
dt2 2 dt2 A dt2 1 dt2 u2
и cos ф -+- X	X
-I-	p.-----------н V = 0
‘ v'	ur
II)
cP Y dX	du2 у d2u sin ф
~dt2~^2~dt2 ~di2
и sin ф — Y Y
---p. --------------1- v — = О
III)
d2Z	Z Z
dt2 ~+~ v3	V ws
при этом вместо 1 —v мы написали р., ибо, как указано,
р, -4- v = 1
ГЛАВА V
Приведение предыдущих координат
к средней долготе Луны
§	32. Возьмем теперь ось 0& так, чтобы она всегда была направлена
по средней долготе Луны, а так как прямая &а направлена в точку весен-
него равноденствия, то угол а®Ъ = w представит среднюю долготу Луны,
— 27
и так как она пропорциональна времени, то будет = 0, и уравнения
Vbv
для координат X, У, Z примут следующий вид:
Фиг. 5.
§3	3. Заметим, прежде всего, что
W;2 == X2 У2 -ь Z2
& = и3 2а(Хсо§ф— Узт|) + Х2ч- F + Z-
Затем, так как движение Земли известно и среднее расстояние ее
до Солнца положено равным 1, то обозначая через t — среднюю аномалию
Земли или Солнца и пренебрегая степенями х, высшими первой, имеем:
и — 1 I- z cos t
и3 — 1 -+- 2xcos t
-4=1 — 2zcos t
-4 = 1 — 3x cos t
— 28
Выше мы обозначили среднюю долготу Земли через С и истинную
через ср и получили
ф ='(— 2xsinZ
и значит, будет
ф = со — £ 2х sin t
а так как член 2xsin£ весьма малый и степенями х выше первой можно
пренебречь, то мы получим следующие Формулы:
sin ф = sin (со — ‘Q — 2х sin t • cos (со — О
cos ф = cos (со — Q — 2х sin t • sin (со —
34	. Но угол со — С представляет среднюю долготу Луны за вычетом
средней гелиоцентрической долготы Земли, в астрономических же вычисле-
ниях принято пользоваться геоцентрической долготой Солнца, обозначив
которую через $ будем иметь
zt 180°
следовательно
со —— £ = co — В1 zpz 180°
и значит,
sin (со — ‘Q = — sin (со — &); cos (со — Q = — cos (со — &)
и последние две Формулы § 33 примут вид:
sin ф = — sin (со — &) — 2х sin t • cos (со — й)
cos ф = — cos (со — й) 2х sin t • sin (со — d)
§ 35. Положим теперь
со — О — р
так что угол р получается вычитая из средней долготы Луны со среднюю
долготу Солнца так как этот угол пропорционален времени, то положим
и так как dti = dt. ибо чрезвычайно медленным движением апогея Солнца
можно пренебречь, то будет
dto	dn	d&
—j = — 7 -+- — — m -4- 1
at	at	at
29
Поэтому, исключая —т из наших уравнений, мы получим:
I)
П)
2 (т 1	— (m -4— i)2X — |л-+
и cos ф -+- X X	_
-4- ! J,------------Н V —х = О
i	1i;-i
, л\ dX	/	тг sin
2 (т -+-1) -~,7 — (т -4- 1 )2 Y -4- о. —rL
v ' at	'	1 и2
и sin ф — Y Y
— и.---------\--------ь v = О
III)
<V-Z	Z
dt-	v3 4
Z
иг
v
О
Из наблюдений установлено, что величина ж, которая представляет
отношение звездного года к синодическому месяцу, есть
т= 12.3689539;
вместе с тем, вводя угол р, имеем:
sin ф — — sinр — 2х sin t • cosj?
cos ф = — cost? -ь- 2x sin t • sinj?
таким образом в наши Формулы углы ft, w больше входить не будут,
и наши координаты будут выражаться через углы р и Z, пропорциональные
.времени.
ГЛАВА VI
Развитие членов, заключающих делитель v3
§ 36.	Так как ось 05 направлена по средней долготе Луны, то оче-
видно, что ордината Y теперь не может выходить из определенных доста-
точно тесных пределов, также и абсцисса X не выходит из определенных
границ, наконец и третья координата Z содержится также в достаточно
тесных границах. Из этих трех величин наибольшею всегда будет
абсцисса X, которая все-таки остается весьма малой по сравнению с рас-
стоянием S& — и. Так как мы имели
v2 = и2 -4- 2и (X cos ф — Ysin ср) -4- X2 -4- Y2 Z2
причем мы оставляем угол ф, ибо значения зшф и созф приведены выше,
то ясно, что в этом выражении первый член и2 во много раз больше вто-
рого члена 2ц(Хсоэф—Узшф), который, в свою очередь, во много раз
«больше члена
X2 -ь Y2 -ь Z2
30 —
§ 37.	На основании этого, выражение весьма удобно развить в ряд
весьма быстро сходящийся, и чтобы это было яснее, положим для сокращения:
v* = u2-t-2Pu-+-Q
так что будет:
Р=Хсовф—Уэшф; Q = X2-+-Y2 + Z*
и так как
^ = (u^2PU4-Q)-h
то, на основании хорошо известного правила, имеем
2 __ _1____3 2Pu-t-Q	3 • 5 (2Радч-())‘2
tF и3	2 и5 ' ~1~ 2 • 4 и7
ибо дальше итти незачем.
Отсюда следует
2 — 1 зр	15Р2 — 3Q
Vs и3 и*	2?л5
и, подставив вместо Р и Q их значения, получим
1  1 3(Хсовф—Узтф) З.Х2(5cos2ф — 1)
v3 и3	и4	2и&
15XYsin ф cos ф 3 Y2 (5 sin2 ф — 1)	3Z2
и3	2ub	2 и5
причем удержаны даже члены со вторыми степенями X, Y и Z.
§ 38.	Подставим теперь это выражение в каждое из наших уравнений,
и cos ф -I- X
и так как в первом уравнении содержится член |л-----------> состоящий
из двух слагаемых, то каждое из них разовьем в отдельности, тогда получим
исовф (ЛСОвф	Зи.Хсоз2ф	З^Увшфсовф
V3	и2	и3	и3
3[лХ2 cos ф (5 cos2 ф — 1)	15[лХУ sin ф cos2 ф
2и4	и4
3;л У2 cos ф (5 sin2 ф— 1)	3|л^2со8ф
2 г/4	2м4
подобно этому будет .
[лХ uiX ЗаХ2созф ЗиХУвтф
Ь-=£з-— ~ р—
и	с4	(Л/	vv
следовательно
[Л (и COS ф -ь X) [ЛСОвф ^Х(5соз2ф—1) З^УЗШ ф cos
Vs	и2	и3	и3
3[лХ2 cos ф (5 cos2 ф — 3)	3;лХУsin ф (5 cos2 ф — 1)
2Й4	ад4
2а У2 cos ф (5 sin2 ф — 1) 3[лУ2со8ф
2и4	2м4
— 31
по подстановке в уравнение I) § 35 получается
Первое уравнение
d!>X	ta+lW+Z	|лХ(Зсо82ф—1)	ЗцГаш^еовф.
Ж	w3	й3	и3
3<лХ2 cos ф (5 cos2 ф — 3)	3[лХУsin ф (5 cos2 ф — 1)
~+"	2w4	и*
З^.У2СО8ф(5 8Ш2ф— 1) Зо.У2СО8ф______
2 г/4	2г/4
§ 39- Подобным же образом выполним эту подстановку и во второе
/л (и sin ф — У)
уравнение, в которое входит член —> который также раз-
бивая по частям получим:
[л^втф  [лвтф З^Хзтфсовф З^Увп12ф	3 ;лХ2 sin ф (5 соз2ф — 1)
v3	и2 . w3	и3	2w4
15jxXysin2 ф cos ф 3[/.y2sin ф (5 sin2 ф — 3) З^У2 sin ф
~м4	2u4	2и4
;лУ аУ	З^ХУсозф	З^У^тф
v3	и3	и*	и4
так что весь член составит
р. (u sin ф—У)  ^.этф	Зи-Хвтфсоэф	^У(3зт2ф—1)
V3	и2	и3	и3
Зи.Х2 sin ф (5 cos2 ф — 1) в З^ХУсоэф (5 вт2ф—1)
— « _
3pi У2 sin ф (5 sin2 ф — 3) З^У2 sin ф
2и4	2м4
таким образом получится
dt2
Второе уравнение
ЛХ	3|лХзшфС08ф	[/.У(3зт2ф—1>
(m-f-L)	53------------------55-
З^Х281пф(бС082ф—1) . З^ХУС0вф(5 8П12ф— 1)
_ । __
3jx У2 sin ф (5 sin2 ф — 3) . З^У28тф_п
2и4	2и4
§ 40. Третье уравнение не представляет затруднений, ибо член, содер-
жащий , есть , поэтому будет
Третье уравнение
d2Z	vZ ^Z	3[лУ(Хсо8ф—Уэтф) 
dt2	w3 ~+~ и3	w4
32 —
ГЛАВА VII
Исключение величин и и ф из предыдущих уравнений
§ 41. Так как
Д = 1 — 3xcosi
1
—т = 1 — 4xcos t
sin ф — — sin р — 27.з\х\Л cqsp; cos ф = — cos р	2х sin t sinр
то подставим эти значения в те отдельные члены наших уравнений, где они
встречаются. Таким образом в первом уравнении для члена
— у.Х (3 cos2 ф — 1)
г«3
составляем
3 со82ф— 1 = 3 cos2 79— 12xsnUsin/>cosj9 — 1
так что будет
— [лХ(ЗС082ф—1)	1 П v • , •
————j—----------= — X (3 cos2 р — 1) -+-12 7.Х sm t sm jo cosp
3xXcos^(3 COS2J9 — 1)
3[7. Y sin ф cos ф
Для члена -----------* 1 имеем
sin ф cos ф = sinp cosp -+- 2 к sm t (cos2p — sin2^)
так что будет
c_os = 3Fsinpcosj>-r- 6xKsinZ(cos2p— sin2p)—
— 9 x Y cos t sin 72 cos p
подобным же образом для члена
Зу.Х2 cos ф (5 cos2 ф — 3)
2 и4
имеем:
5 cos2 ф — 3 = 5 cos2р — 3 — 2 Ox sin t cosp sin^
созф(5 cos2 ф — 3) = — cosp (5 cos2jp — 3)-t- 6xsin£sin2)(5 cos2 p— 1)
так что будет
3uX2 cos ф (5 cos2 ф— 3)	3 V2 /к 2
---1----L =  X2 cos p • (5 cos2p — 3)
-+- 9xX2 sin t sinp (5 cos2 p — 1)
-i- 6xX2cos£cos2?(5 cos2jp — 3)
Для члена
3kuXF sin (5 cos2 ф — 1)
г/4
имеем
(5 cos2 ф — 1) sin ф = — sin p (5 cos2/; — 1)
— 2x sin/cos/; (5 cos2/)— 10 sin2/; — 1)
и, по умножении на
__	_ЗА'Ун- 12z.Xrcos I
u4
получим
3;xXFsin<L(5cos2 ф — 1) ovv .	,,,	9
-----------—- = 3X1 sin/) (5 cos2/) — 1)
— 12xXFcos/sin/;(5cos2/;— 1)
-+- 6xXFsin/cos/) (5 cos2/; — 10 sin2/;— 1)
Затем для члена
3;л F2 cos ф (5 sin2 ф — 1)
имеем
5 (зш2ф—1)совф =—cos/; (5 sin2/;—1)
— 2х sin t sin/; (10 cos2 p—5 sin2/;-+-1)
3u.F2
что, по умножении па -4-,
дает
3[iF2cos ф (5 sin2 ф — 1)	3 T79	. 9	, x
J---------------1-----= — - T2 cos p (5 Sin-_p — 1)
— 3 x F2 sin t sin/; (10 cos2/; — 5 sin2/; -4- 1)
-H 6xF2cos tcos/;(5 sin2/;— 1)
наконец последний член будет
[лХ2СО8ф 3 г,9	Г7-У 	, -	р гх9 ,
— —2Й2~ ~ % C0S^ — 3xZ2 Sin sin-^ — oxZ- cos t cos/;
ибо
СОЙФ	Л • 4  Л 4
= — cos р -+- 2х sin t sin/) -+- 4х cos t cos/;
§ 42. Члены первого уравнения, таким образом развитые, подразделим
на четыре рода, из которых первый содержит те члены, в которых X и F
входят в первой степени и буквы х не содержат; совокупность членов этого
рода обозначим буквою 21. Второй род составляют члены второй степени
относительно X, F, Z, но не содержащие множителя х; сумму их обозна-
чим буквою 23. К третьему роду относим члены первой степени относи-
тельно X, F, X, содержащие множитель х, их сумму обозначаем буквою (5.
А. II. Крылов. Собр. тр., ДОП. Е 17. V и VI.	3
— 34 —
Наконец, четвертый род содержит члены второй степени относительно Хг
Y, Z, умноженные на х2, их сумму обозначим буквою 2). Таким образом
получаем:
21 = —Х(3 cos2/?— 1)ч- 3 У sin/? cos/?
® = _ _	(;0S7) (5 co^ - 3) + 3X Y s in (5 eo^ -1)
3	3
---- Y2cosp(5 sin2p— 1)~+-—Z2cosp
Л	xj
(£ —	3xX (4 sin t sin/? cos/? -4- 3 cos t cos2/? — cos t)
4- ЗхУ[2 sin Z (cos2/?— sin2p)—3 cos Z sin/? cos/?]
2) = -+- 3xX2 [3 sin t sinj?(5 cos2/» — 1) -+- 2 cos t cos/? (5 cos2/? — 3)]
6 xX Y [sin t cos p (5 cos2/?—10 sin2/?—1)—2 cos t sin/? (5 cos2/?—1)]
— 3xZ2[sinZsin/?(10cos2/?—5 sin2/?-+-l)—2 cosZcos/?(5 sin2/?—1)]
— 3xZ2 (sin t sin/? i 2 cos t cos/?)
Заметив эти значения, имеем
Первое уравнение
С? — 2 (т -I- 1) ~ — (т -+-1 у X -t- А -+ 21 -+- ® н- 6 -+- $ = О
dt2 v dt v 7 wd
§ 43. Подобным же образом поступим и со вторым уравнением, и так
как
—1 — sinр cos/? -4— 2х sin t (cos2/? — sm2/?) — 3x cos t sm/? cos/?
то первый член будет
3uX sin ф COS ф олг-	p v • ,/	9	• 9 \
-3----A----1 = За sm/? cos p -4— 6xX sm t (cos2/? — sin2 /?)
— 9xX cos t sin/? cos/?
Для второго члена
р.У(3 8ш2ф—1)
u3
имеем:
3 sin2 ф — 1 = 3 sin2р — 1 ч- 12х sin t sin/? cos/?
—	-4— ЗрсхУсоэ t
по перемножении и замене pi через 1 имеем второй член равным
— У(3 sin2/?— 1)— 12xFsin Zsin/? cos/? ч- 3xZcosZ(3 sin2/? — 1) (2)
35
Для третьего члена
3-л X2 sin ^(5 cos2 ф — 1)
2 ’	и4
имеем
8Й1ф(5 cos'-’ф— 1) = —sin (5 cos2#— 1)
— 2х sin/cos# (5 cos2#— 10sm2#— 1)
что, по умножении на
Зу.Х2	з v	ч
-------------— X2(1— 4xcosZ)
2гг	2 v	7
дает такое значение третьего члена:
3
—X2sin#(5 cos2#— 1)—i— ЗхХ2 sin/cos# (5 cos2#— 10 sin2#— 1)
(3)
— 6xX2 cos / sin# (5 cos2# — 1)
Для четвертого члена
SjjXFcos ф (5 sin2 ф — 1)
имеем
созф(5 зт2ф— 1) = — cos# (5 sin2# — 1)
— 2х sin/sin# (10 cos2#—5sin2#-i- 1)
и, по умножении на
ЗХУ(1—4zcos<)
получаем
— 3XFcos#(5 sin2#— 1) — 6xXFsin/sin#(10cos2# — 5 sin2#-i- 1)
-+-12xXycos/cos#(5sin2#—1)	(4)
Для пятого члена
3[л У2 sin ф (5 sin2 ф — 3)
имеем
sin ф (5 sin2 ф — 3) = — sin# (5 sin2# — 3) — 6х sin / cos # (5 sin2# — 1)
что, по умножении на
Зу-У2 3 v
-£r= — Г2(!~ 4xcos<)
дает
з
— У2 sin#(5 sin2# — 3) 9xy2sin/cos#(5 sin2#— 1)
2	(5)
— 6хУ2 cos / sin# (5 sin2# — 3)
— 36 —
Наконец, для шестого и последнего члена
3[?.Z2 sin ф
имеем
sin]) = —sin/)— 2xsintfcos/)
что, по умножении на
3y.Z2	3 z .	.
2«^ = lZ'a^4zC0S!!)
дает
3
— — Z2sin/?— 3xZ2 sin / cos/)-+- 6xZ2cos sin/)	(6)
§ 44. После того как эти члены развиты, распределяем их подобно
предыдущему на четыре рода, которые обозначим буквами Л, В, С, D,
так что будет:
А — ЗХ sin р cos/) — Y(3 sin2/) — 1)
3
В = —Х- sin/) (5 cos2/)— 1)— ЗХFeosр (5 sin2/)— 1)
3	3
• -- Y2 sin/) (5 sin2— 3)----- Z2 sin/?
C~ 3xX [2 sint (cos2/) — sin2/?) — 3 cos t sin/) cos/)]
-4- 3xF[cos/(3 sin2/) — 1) — 4sintsin?)cos/)]
7) — 3xX2 [sin tcos/)(5 cos2/) —10 sin2?)— 1) — 2 cos tsin/?(5 cos2/)— 1)]
— 6xXF[sin Zsin/)(10 cos2/) — 5 sin2/) -4-1)— 2 cos /cos/>(5 sin2/) — 1)]
-4- 3xF2 [3 sin tcos/) (5 sin2/) — 1) — 2 cos t sin/)(5 sin2/) — 3)]
-f- 3xZ2(2 cos tsin/) — sin t cos/))
Заметив эти выражения, имеем
Второе уравнение
>72 у	J у	у
в_Д4.2(»+1)^-(В + 1?Г+^+4 + В+С-ьР = 0
§ 45.	Для подобного же преобразования третьего уравнения, сразу
имеем, что первый член
^-~Z—3xZcosZ	(1)
37
Для второго члена
3[j.XZcos Ф
75	“
имеем:
созф — —cos 2? + 2xsinZsinj)
— 5^ = _ 3XZ(1 — 4z cos t)
К/
и, по перемножении, получаем
3XZcosp— 6xXZsin t sin2? — 12xXZcos tcosp	(2)
наконец третий член
3p.FZsin^
и4
получается перемножив выражения:
зшф = -—sin/) — 2xsin/cosj?
3ZZ(1 — 4xcos t)
что дает
— 3TZsin/>— GzFZsin Z cos/z-f- 12xTZcos/sinj?	(3)
§ 46.	Распределив эти члены па- четыре рода, обозначенные буквами
а, Ь, с, Ь, так что
а — Z
b = 3XZ cos р — 3 YZ sin р
с — — 3/.Z cos t
О — — 6 aXZ(sin t sin/? -+- 2 cos t cos/?) — 6x YZ(sin t cosp — 2 cos t sin/?)
и заметив эти выражения, имеем
Третье уравнение
d2Z
dt2 h
--ь н а + b -+- с -4- 0 = О
иг
38
ГЛАВА VIII
Приведение предыдущих формул
к синусам и косинусам первой степени
§ 47.	Чтобы привести предыдущие выражения к синусам и косинусам
первой степени, заметим следующие известные Формулы:
• 2 1	1
sm2^ — —-----—cos
2л	2
sinj? cosj? = -i- sin 2j>
2
,	1	1 n
cos2 p = —I— — cos 2p
2	2
• 3	3 .	1 . _
Sin3= — sinj? — — sin ?>p
• 2	1	io
Sin22? cosp — — COS^-— cos 3p
1	.	1-0
sinj? cos- p = — sm jp —t—sm 3p
2	3	io
cos3 = — COS J? -4— — COS 3j>
а кроме того, и следующие:
sin t sin P =	cos (P — t}-cos (P+ t)
sin t cos P ~--J- sin (P — t) -+- -i- sin (P -+-t)
cos t sin P — sin (P — t) -+- -1- sin (P+t)
COS t COS P = COS (P-QH--i-COs(P-+- t)
§§ 48—56. Пользуясь этими выражениями, последовательно преобра-
зуются величины 31, 33, ... с, D, причем эти преобразования приведены
у Эйлера с полною подробностью, но так как они никаких затруднений не
39 -
представляют, то для краткости мы помещаем лишь окончательные резуль-
таты, а именно:
21 =-----X (1 -ч- 3 cos 2р) т	У sin 2j>
23 =-----f-X2(3 cosj9 -t- 5 cos 3p) ч-ylTfsin/) ч- 5 sin 3p)
o	4
3	3
---— Y2 (cosp — 5 cos 3p) ч- —- Z- cos
o	2
<5 = xX | 2 cos t ч- 7 cos (2j> — t) — cos (2p -+- ^)]
Q
----— xY[7 sin(2p— f)— sin (2p -+-0J
3) = -|-xX2|~9 cosQ? — t) -+-25 cos (3p— t) -+- 3 cos(p -+-Q—5cos(3j?-<-£)]
О
----|-хХУ| 3 sinQ? — f) —i— 25 sin(3j> — t) ч- sin (p -4- t) — 5 sin(3p4-£)]
-4- -|-xF [3 cos (p — t) — 25 cos (3p — t) ч- cos (p ч-1) ч- 5 cos (3^ -+- £)]
----xZ2 [3 cos (p-t) 4— COS (p 4— Q]
A = ч——- Xsin 2p-----t-F(1 — 3cos2j?)
A	A
3	3
В — — X2 (sinp 4- 5' sin 3p)--- XF(cosp — 5 cos 3p)
o	4
3	3
ч— — Y2 (3 sin p — 5 sin 3p)-- Z2 sinp
C =------|-xX[7 sin (2p — t)— sin (2^4-/)]
4- -|-xF[2 cos t — 7 cos(2jp — t) ч- cos(2j> ч- tf)J
J)=------|-xX2[3 sinQ? — t)-i- 25sin(3j>—O-*-sin(j9-4-iQ—5sin(Зр-M)]
О
-4— -|- xXF[3 cos(jp—t)—25cos(3jo—£)ч-С08(/;ч-;()ч- 5cos(3^4-QJ
----x F2[9 sin(p—t)—2 5 sin (3p —t) ч- 3 sin (p -ч-1) ч- 5 sin (3 p ч-1)]
i — x.Z2 [3 sin (p — t) 4- sin (p -4-
a = Z
b= 3XZcosj9 — SFZsin^
< = — 3xZcos t
£ = — 3xXZ[3 cos(p —1)-+- cos(p H-^)'J-i-3xFZ[3sin(p—tf)-i-sin(p4-£)]
— 40 —
§ 57.	Три наши уравнения приведены выше в §§ 42, 44 и 46, надо
теперь в них под буквами 21, 23, ... с, 0 разуметь значения, показанные-
в этой главе.
ГЛАВА IX
Приведение трех наших уравнений
к трем другим более удобным координатам
§ 58.	Так как среднее расстояние от Земли до Солнца принято за
единицу, то положим среднее расстояние от Луны до Земли равным «,
тогда 1: а представит отношение параллакса Луны к параллаксу Солнца,,
откуда следует, что а приблизительно равно ——-• При таких условиях не-
390
трудно видеть, что все три координаты, которыми определяется место*
Лувы, выгодно выразить через а.
§ 59.	Что касается первой из этих координат = X, то среднее ее
значение приблизительно равно а, будучи то больше, то меньше этой вели-
чины; остальные же две координаты Y и Z принимают то положительные,
то отрицательные значения, поэтому полагаем:
X = а (1 ч- ж); Y = ay; Z= az\
таким образом мы в дальнейшем будем рассматривать отвлеченные числа
я, у, z как координаты Луны, причем они не только малы по сравнению-
с 1, представляющей расстояние от Земли до Солнца, но и по сравнению
с «, каковое обстоятельство весьма важно для последующих приближений.
Кроме того, обратим внимание, что введенные здесь величины ж, «/, z не
следует смешивать с теми, которые были обозначены этими же буквами,
в одной из предыдущих глав.
§ 60.	На основании указанной подстановки, будет:
dX = a dx\ d2X = a d2x
поэтому все те члены наших уравнений, в которые буквы X, У, Z входят
в первой степени, получат после подстановки множитель а; это относится,
также до выражений, обозначенных буквами 21. J, а и С, с, выраже-
ния же 23, В, Ь, 3), I) и b получат множитель а2.
§ 61.	После подстановки будет
«>2 X2 ч- X2 -ь Z2 — а2 [(1 ч- ж)2 -ч- у2 ч— z2]
значит
w8 — а3 [(1 ч- л;)2 ч— у2 ч- z- f/2
— 41
Так как v есть весьма малая дробь, то положим
оказывается, что приблизительно Л--- 180. Заметив это, имеем:
vX____	ла(1ч-.г)
w® ~~ [(1 ч- х/ ч- у2 ч- 22]*'3
v Y 	Уау
~ [(1 ч-^)2ч- z/24-^2]3/2
vZ _____	Уав
~ [(1 ч— X)2 ч— у2 Ч- £2f2
§ 62.	На основании этого, наши уравнения, по разделении на «, при-
мут следующий вид:
Первое уравнение
сОж n, п Л dy .	Л.л,.	.	X (1 ч— х)
-j- — 2 (т ч- 1)	— (т -+- 1У (1 ч- х) ч-----------------<----
’ dt	7	^-л-х)2-^-у2-^22р
Второе уравнение
<?У .
dt2
Л /	/	1 42	^У
2(m-t- 1)^7 — (ш ч—1)^/ ч-—-----—
(П	[(1 ч-х)-ч- у
^7^ о
а а а а
Третье уравнение
d2£	Ух	а	Ь	с	b____
dt?	[(1ч-ж)2 + у2+г2]3/2	«	«	«	«	”~
Это и суть те три основных уравнения, из которых надо определить дви-
жение Луны.
§§ 63—65. Выполним ту же подстановку в выражениях 51, 53, . . .
расположим их затем по степеням величин ж, т/, тогда, отделив для ясности
запятыми члены разных порядков, получим:
1	3 о	1	3	3	• о
— =--------------- cos 2р,----—х------— х cos 2р ч— — у sin 2р
42
53	3 z	г o x
~ = — — a (cost? -+- 5 cos 3p),
3	3
----—ax(3 cosp -4- 5 cos 3p) -л- —ay (sin^> 5 sin 3p\
3	3
------ ax2 (3 cosp -+- 5 cos 3p) 4 — axy (sinjp 4- 5 sin 3p)
o-----4
----1- ay2 (cosp — 5 cos Зр) -ч- az2 cosjp
(5	3
— = 4- x [2 cos t —i— 7 cos (2p — t) — cos (2p 4- £)],
3
-+- — v.x [2 cos t -+- 7 cos (2p — t) — cos (2p -+- £)]
3
----4* s*n &P — 0 — sin (?P	0]
=	-|-ax [9 cos(p — £)-+-25cos(3^—Q-4-3cos(p4-£)—5 cos (3p-»-£)},
3
4—	— av.x [9 cos (p — t) -+- 2 5 cos (3jp—t) 4- 3 cos (p • t) — 5 cos (3p -+- £)]
3
— — awy [3sin(p — £)-+- 25 sin(3^ — tf)4-sin(2? -+-1)—5sin(3^>-+-^)],
3
— ax£2[9cos(p—£)-4-25cos(3t>—Z)~+-3 cos (p-*-t)—5 cos(3p-+-£)]
О
3
---— анху [ 3 sin (p — t) -i- 2 5 sin(3p—t) -+- sin (/)-+-1)—5 sin (3p-+- £)]
3
-+- — av.y2 [3 cos (jp — t) — 25 cos(3jp—t) -4- cos(p -4- £)-+- 5 cos (3p -+- £)]
3
----— «x£2 [3 cos (p — t) -4- cos (p -i- £)]
-4	3 . o 3.n	1	3 n
~	sm -4- — x sm 2p--------—уч~~усо&2р
В	3	, . r • о ч
— ==	— a (smj? -+- 5 sin 3p),
а	о
3	3
-4-	— ax (sinj? -i- 5 sin 3p}-— ау{^чр — 5 cos 3p\
-4-	aa? (sinj? -4- 5 sin 3p)--1- axy (cos7) — 5 cos 3p)
-4-	ay2 (3 sin^ — 5 sin 3p)---az2 sinj>
C 3
-= —— x[7 sin (2^ — 0 —sin (2^-4-^,
3
----— хж [7 sin (2p — t) — sin (2p -4- £)]
3
-4-	— x?/ [2 cos t — 7 cos (2p — t) -4- cos (2p -4- £)]
— 43
D 3
— =-----g-«x[3 sinfjp — t) -+- 25 sin(3p— t) 4-sin(£>4-if)—5sin(3j?4-if)],
3
---— ay.x | 3 sin (p — ч- 2 5sin(3j) —t)ч-sin(7?t) — 5 sin (3p 4- 0]
3
-4- — awy [3 cos (p—0 — 2 5 cos(3j? —Q-4-cos(p	5 cos(3^-+- 0],
3
— — ay,x* [3 sin (p — t) -4- 2 5 sin(3p—t) ч- sin(y> ч-1) — 5 sin(3p ч- 0]
3
ч — ay.xy I 3 cos(p—0—2 5 cos (3p—t) -+- cos(p -t-1) ч- 5 cos(3p -+- 0]
3
---— any* [9 sin (p—t)—25 sin (Bp —t) -4- 3 sin(p 4-t) -4- 5 sin(3p ч- 0]
3
-4— — ax.z21 3 sin (p — 0 -4- sin (p ч-1) ]
a
— — z
a
b
— = Zaz cosp, 4- saxz cosy?— 3ayz sin p
c
— —-----3x£ COS t
a
~ = — 3ax£ [3 cos (p — 0 4- cos (p -4- 0],
— 3axxz [3 cos (p—t) 4- cos (p ч- 0] ч- 3 axyz [3 sin (p—t) 4- sin (p ч- 0]
§ 66.	Было весьма важно расположить в этих выражениях члены по
степеням букв ж, у, z, ибо значения этих букв весьма малы по сравнению
с единицею, поэтому здесь виднее, какие члены малы по сравнению с про-
'й A	a _
чими. Отсюда ясно, что первые члены —, — и — больше остальных, ибо
а а	а	7
величины а и х весьма малые; вместе с тем отсюда следует, что последние
.. © D	Ь	-
члены выражении —» — и — много меньше прочих и ими можно без всякой
а а	а,
погрешности пренебречь.
глава х
Развитие членов, содержащих делитель w".
иначе членов, содержащих множитель X
§ 67.	Так как числа ж, у, z весьма малые по сравнению с единицею,
то выгодно разложить иррациональное выражение
[(1ч-Ж)2ч-^^Г‘Л
— 44 —
в ряд, который будет весьма быстро сходящимся; чтобы это проще выпол-
нить, не будем сперва разлагать члена (1 -4- ж)2, по сравнению с которым
величина у2 -4- я2 малая, таким образом получим
3
3'	1
2(1-4- ж)5
3 - 5 (у2ч-^2)2	3-5-7 (у2 -I- г2)3-
2 • 4 (1-4- ж)7	2-4-6 (1-4-я)9
Более чем достаточно доводить этот ряд лишь до шестых степеней у и я,
ибо, как дальше окажется, даже шестые степени не нужны.
§ 68.	Выполнив это разложение, имеем затем для знаменателей сле-
дующие разложения:
1
(1 ! ж)2
1
(1 -4- х)3
1
(Т^р
1
(1 Ч-ж)5
1 — 2х -4- Зж2 — 4ж3 ч- бж4 — 6жБ -4— 7л6
1 — Зж ч- 6ж2 — Юж3 ч- 15ж4 — 21ж5
1 — 4жч- Юж2 — 20ж3 ч- Збж4
1 —бжч- 15ж2—Збж3
--------g =1 — 6ж ч- 21ж2
(1 ч-жу
1
------= 1------- /Ж
(1 ч- ж)7
(1Ч-Ж)9	1
§ 69.	В нашем первом уравнении содержится член
7(1 ч- ж)
[(1 ч- ж)2 ч- у2 ч- z2^
имеем
1 ч- ж _________	1	3«/2ч-г21
[(1 ч— ж)2 ч- у2 ч- £2]% "" (1 Ч-Ж)2	2 (1 ч-ж)4 +
3j5 0/2ч-^2)2	3-5-7 (г/2-ч-^2)5
+~ 2 • 4 (1ч-ж)6	2-4-6 (1ч-ж)&
— 45
развивая каждый из членов правой части в отдельности по степеням ж, у, z,
имеем:
т------т, = 1 — 2х -+- Зя2 — 4ж3 ч- эд4 — 6ж5 ч- 7ж6
(1ч-ж/
ч 4/2 -4- Я2	3
 Т' (l-i-xj* =	ч-г2)- 15aV + г2)
1 05
Ч— 3 ()Д3 (у2 Ч- Z2)----- X4 (у2 -+- Z2)
15 (y2-+-z2)2	I5/?	г\2	45 ,	9	315	.
----= -4- — \У2 -4- Z2¥----------------~Х(у2	Z2}2 -К---X2 (у2 Ч- Z2)2
8	(1ч-я?)ь 8V 7	4	7	8	7
35
16
0/2-4-£2)3
(1 ч-xf
45
~~ 0/2^2Р
'Следовательно этот член, располагая его по степеням букв ж, у^ z, будет1
X, — 2Хж, ч- ЗХд2-------X (?/2 ч— г2), — 4ад:3 ч- 6Хж {у2 ч- /),
ч- бХж4 — 15Хд2 (у2 ч- /) ч- X (?/ 4- z2)2,
— бХд'5 ч— 3ОХд3 (у2 ч— z2) — Хж (у2 ч—*2)2.
7 W —	Ь4 (/ -I- г21 -+- Ц- Ха%2 -+- г2)2 — X (у1 -н z2)3
2	о	1 о
§§ 70—72. Развив подобным же образом все члены, входящие во
второе и в третье уравнения, подстакляем полученные разложения в основ-
ные уравнения, которые тогда, при расположении членов по их порядкам,
получают следующий вид:
Первое уравнение
££_2(»гч-1Л - ш2	v	7 dt	/	3 \	3 4-1 X — т2 — 2т	— 1	— cos	2р, \	Л /	2i
— ^2Х ч- т1 ч— 2 ж -	3 \	3	3 ч-— ) х	^-жсоб 2р ч- — sin 2р,
ч— ЗХж2	1- X (у2 ч-	- z2), —4Хж3ч-бХя;(;у2ч-г2),
ч— 5Хж4 — 15Ха:2 (у2 -	Ч-22) ч-^Х(?/2ч-^2)2, —бХд5ч- ЗОлдг‘50/2 -4-£?)
-1-	-4- 7ЛЖ8 — -у / ж* (г/2 -4- Z2)	51- Хж2 (I/2 ч- Z2)2 а а а
?1
член же — вошел в состав написанных выше.
а
1 В последнем члене у Эйлера пропущен множитель X. Этот пропуск повторяется и
в дальнейшем в основном уравнении первом. На результаты это влияния не оказало, ибо за-
тем члены шестого порядка отброшены.
46
Второе уравнение
-^--»-2(m-i-l)^,	-+---sin2p, -Цл — ш2 — 2m — — }у
3	. л 3
-ь- — # sin 2р t — у cos 2р,
— 3\ху, -+-вАх2у--------^-Ay(y2-+-z2), —1()Ах3у -ь- ^~Аху(у2 -+- г2),
н - 15 Аж4 у — у Ах2 у (у2 -Ь Z2} -4— у \у (у* н- £2)2,
105	105
---2 iXiE5 у —1-— /.Ж3 у (у2 Н- Z2)	— "кху (у2 н- Z2)2,
2	о
В	С	В	л
а	а	а
Третье уравнение
5 -ь-(Хн-1)^, —3Axz,	-+-6ax2z-—~Az (у2 н- z2), —
I ~Axz(y2-i-za), -+-15ax4z----^-AX2z(y2-^-Z2)-t-
2	A
10,5	105
--2 1ЛЖ5 Z H——- M3 z (y2 -+- z2)	— \xz (p2 -4- z2)2 -4-
2	1-<5
a a a
причем члены разных порядков отделены запятыми.
ГЛАВА XI
Определение значения буквы X,
введенной в наши уравнения
§ 73.	Хотя в § 25 положено
и последняя дробь имеет некоторое вполне определенное значение, но это
значение не иначе может быть найдено, как на основании наблюдений, тем
более, что самое отношение массы 0 к $ определяется по значению v, на-
ходимому также на основании наблюдений. Необходимо заметить, что S
обозначает массу Солнца, 0 — сумму масс Земли и Луны.
— 47
§ 74.	Что касается величины а, которую мы принимаем за среднее
расстояние от Земли до Солнца, почему мы и положили Х = «(1 -t-x), то
легко видеть, что эта величина сама по себе определенного значения не
имеет, а зависит от нашего произвола, ибо нет необходимости приписывать
величине а значение, в точности равное средней арифметической между
наибольшим и наименьшим значениями X. Если значение а немного отли-
чается от сказанной средней, то это отнюдь не нарушает результата наших
вычислений, ибо соответственно приписанному букве а значению получа-
ются и значения величины х. Таким образом мы можем по желанию при-
нять для а значение или немногим большее, или немногим меньшее указан-
ной средней арифметической. Отсюда видно, что и величина X зависит от
нашего выбора, лишь бы она не выходила из некоторых определенных
границ.
§ 75.	Вскоре нам потребуется выразить величину х рядом косинусов
некоторых углов, причем вторая координата у представляется подобным же
рядом синусов, ибо синусы и косинусы принимают то положительные, то
отрицательные значения и через них значения величин х и у всего удобнее
выражаются. Если бы величина ж, помимо сказанных косинусов, содер-
жала бы еще какую-нибудь постоянную, то, как легко видеть, ее положи-
тельные значения были бы или больше, или меньше отрицательных, поэтому
надо всячески стараться, чтобы такая постоянная или совершенно исчезала,
или же была весьма малой.
§ 76-	Если мы примем, что величина х выражается рядом косинусов,
у — подобным же рядом синусов углов, пропорциональных времени, то оче-
видно, что в первом нашем уравнении член будет выражаться только
dy
через косинусы, так же выразится и член от других же членов, в ко-
торых х и у содержатся во второй и в высших степенях, при развитии их
могут произойти и постоянные количества, но они будут весьма малыми,
ибо самые те члены весьма малы. В первом нашем уравнении содержится
еще член
X— т2— 2 m------
А
ясно, что если он не будет весьма малым, то наше уравнение не может
иметь места, а так как величиною X мы можем распорядиться по желанию,
то следует положить
з
X — т2 — 2т-----— = О
— 48
откуда следует
з	1
Л = ш2 -ч- 2т -f- — = (m -4- I)2 -4- —
При таком выборе мы можем быть уверены, что в величине х или совер-
шенно не будет содержаться постоянного члена, или же он будет весьма
малый.
§ 77- Поэтому во всем дальнейшем мы полагаем, что
Х = (т-*-1)=
и прежде всего необходимо определить численное его значение. Выше мы
положили, что
поэтому величина 1: т представляет отношение средней аномалии Солнца
к среднему движению Луны от Солнца, совершаемому в течение того же
времени. Возьмем за это время обыкновенный год в 365 дней; по таблицам
движения Солнца находим, что изменение аномалии Солнца в течение этого
времени составляет 359°44'39"; придав к этому перемещение апогея, рав-
ное 1'1", получим среднее движение Солнца за указанное время равным
359°45'40"
Истинное же движение Луны за это время составляет
360?13-4-(129°23/3//)
следовательно движение ее, считаемое от Солнца, есть
360?12-4-(129°37'23">)
значит будет
160186437
1295079
12.368854
— 49
следовательно:
т-+- 1 = 13.36885
(т -+-1)2= 178.7263
X = О 1)3-+_±= 179.2263
§ 78. Однако относительно этого определения необходимо заметить,
что величина ж -+-1, от которой X, главным образом, зависит, здесь обозна-
(7(0	-г
чает -jt , где со есть средняя долгота Луны, а так как среднее годовое
движение Луны составляет
360.43 -+- (129°23'3")
то эта величина, по разделении на среднее годовое изменение аномалии
Солнца, равное
359°44'39"
доставляет для т 1 значение
m-t- 1 = 13.368903
которому соответствует
X — (шI)2-ь-= 179.228928
Этим значением мы и будем в дальнейшем пользоваться.
§ 79- Установив таким образом значение величины X, мы можем
написать три наши уравнения в совершенно развитом виде, причем в пер-
вом уравнении член, содержащий ж, мы отнесем к первым двум членам,
содержащим производные, что, как впоследствии окажется, делается ради
интегрирования или действий, ему равнозначных, прочие же члены мы
расположим по их порядкам, присовокупив к ним и члены, умножен-
ные на а, у. и «х. В дальнейшем мы увидим, что оказывается весьма
выгодным, что во втором уравнении члена с у/ в первой степени не содер-
жится.
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. и тт. V и Vi.	4-
— 50 —
Таким образом наши уравнения будут:
Первое уравнение
2(m-t-V)(ly	.	3	3 л 3
-------------------ЗЛд1,--------—cos 2р,--------— ;/ cos 2р У sm %Р-
1 ЗХж2-------- Л (у2 нн я2),	— 4м8 -н 6Лж (у2 н z2),
5лг‘ -15-	(/ И +15- л (f ч- г'-?,
4 Г)
— 6Л£5 нн 3 0 • л./8 (у2 нн я2)-— Ах (у2 —н я2)2,
I 7Л./е — W (у2 —Н Z2) -4- лж2 (у2 -н Z2)2 —Л (т/2	.2 Г2,
3/0	КО
-—— а (3 cos_p -+- 5 cos 3/»),
3	3
----— ах (3 cosp -н 5 cos Зр) -+- ~ ay (sinр -н 5 sin Зр),
3	3
— ах2 (3 cos р -+- 5 cos Зр) -+- — аху (sinр -н 5 sin 3j?)
---ay2 (cos_p — 5 cos Зр) -н az2 cosj?,
b *	2
3
-н — x [2 cos t н 7 cos (2p — t) — cos (2p -н 4
—н :~7.x [2 cos t-+- 7 cos (2p — t) — cos (2p -h t) \
3
----— v.y [7 sin (2p — t) — sin (2p -+- ^)]
3 — az [9 cos (p — t) -H	 3 cos (p -	н f) ~H 25cos(3t9—t)—5cos(3t9hh^) f
—н	av.x [9cos(2?—1)-+-	 3cos(j?-fr	-ZJ-+-25 cos(3jo — t)— 5 cos(3j9’-h ()]
3 -——ажу [3 sin(p —	- sinQ?-H	£)-+- 25 sin(3p — t)— 5 sin(3^> -h £)],
3 -0,7.x2 (9 cos(/)—t)- О	н 3 cos(p	-и ^)-h 2 5 cos(3j9—t)—5 cos(3j9-h f)]
3 	— axxy [3 sin (p — t)-	-H sin(p н	н ^)-h 25 sin(3_p — 0— 5sin(3p-H^)J
3 —H — O7.y2 [3 cos(p -— t) -	H COS (p HF	-1) — 25 cos(3jp—^)hh5cos(3^-h^J,
	07Z2 [3 cos (p — t)-	н cos (p -t	-4 = o
51
Второе уравнение
d2y 2(тч-1)<7#	3-n	3	. о 3
дГ4--------л------’	-+-^-sm2j),	-Ч-—.csin2p + —//cos2^,
3
— ЗАху, -+-6кх2у— -~ку (у2-t-z2),
1 5
— Юкх3у ч- — кху [у2 ч- ЭД,
Н- 1 §кх4у — кх2у (у2 Ч- ЭД Ч- ку {У2 Ч- ЭД2,
а	о
105	105
— 21 • Ь5 * * * * * у -н — ля3 у (у2 ч- ЭД-— кху {у2 I ЭД2,
9
-н a (sin р нн 5 sin ЗЭД,
3	3
-+- — ах (sinр нн 5 sin Зр)---— ay (cos j? — 5 cos Зр),
3	3
» — ах2 (sin 5 sin Зр)------— аху (cosj) — 5 cos 3р)
3	3
ч— — ау2 (3 sin_p — 5 sin 3j?)---- az2 sinj),
----1- x [7 sin (2p — k) — sin (2p -+- ЭД
3
----Г *x I-? s*11	— sin -+-
-+-	x// [2 cos t — 7 cos (2p — t) -H cos (2p ч- ЭД,
3
----— ax [3 sin(jp — t) ч— sin (p ч-t) -+- 25 sin(3p — t)— 5 sin(3j7 -+- ЭД,
3
----— axx[2 sin(p— t) -+- sin (p ч-1) ч- 25 sin (3p—t) — 5 sin(377 4- £)]
3
4- — аку [3 cos (p — t) 4- cos (p hh t) — 25 cos (3p — к)hh 5 cos(Зрч-Q]
----1- av.x2 [3 sin (p — t) -t- sin (p ч-1) ч- 2 5 sin (3p — t) — 5 sin(Зр ч- ЭД
3
ч- — (г/хху [3cos(/> — к) ч— cos (2? нн к) — 25 cos(32?—^нн5со8(Зрч-ЭД
— а-лу2[9sin(р — к)-+- 3 sin(j?4-£)—25sin(32>—£)4-5sin(32? ч-ЭД
3
ч- — av.z2 [3 sin (р — t) ч- sin (р ч- ЭД = О
4*
52
Третье уравнение
d2?
dt* v 7
3	15
---3~kXZ -4- 6X#2#-~~ 'KZ {f -4- Z~)  1 tfkx^z -4- -2- \XZ {f -4- Z2),
-4- 1 5W Z--P)'2Z (f -4- Z2) -4- \z (y2 -4- Z2f
105	105
— 21 7.x2z -I—— Wz(у2 -+- z2)---— 7.xz (y2 -4- z2)2,
2	о
-4-3oscosjp, -+-3aa^cos_p— Зш/язтр,
— 2хг cos t, — 3a/.z [3 cos {p — t) -4- cos (p -4- £)],
— 3axxz [3 cos {p — t) -4- cos (p -+- Q]
-4- 3avyz [3 sin (p — t) -t- sin ip -+- £)] = 0
ГЛАВА XII
Общие правила решения наших уравнений
§ 80.	Мы уже указали, что величина х выражается рядом косинусов
некоторых углов, величина же у — рядом синусов этих углов. Причина
этого заключается в том, что в первом уравнении члены, не содержащие
неизвестных, содержат лишь косинусы углов:
2р, р, Зр, t, 2р гррртрt, Зр ~р t
тогда как во втором уравнении содержатся синусы этих же углов. Отсюда
необходимо, чтобы х содержало только косинусы и у — только синусы
этих углов. Кроме того, видно, что от весьма сложных членов обоих урав-
нений, при перемножении синусов и косинусов, произойдут углы, соста-
вленные из предыдущих сложением или вычитанием, и притом в первом
уравнении их косинусы, во втором — синусы. Поэтому необходимо, чтобы
величина х содержала также и косинусы всех этих углов, величина у —
их синусы, откуда, при дальнейших комбинациях, произойдут новые углы,
которых косинусы должны входить в состав величины ж, синусы — в со-
став у, так что число этих углов может простираться до бесконечности.
§ 81.	Чтобы это яснее показать, надо сперва в обоих уравнениях,
т. е. в первом и во втором, выделить главные части, а именно для первого
уравнения:
Дтт-—2 (т 1)~ — 3\х
dr	' dt
53
и во втором уравнении:
Л2
все же остальные члены надо рассматривать как часть добавочную или
присоединенную. Главные части в наших уравнениях отделены от прочих
запятыми.
§ 82.	Как уже сказано, в присоединенных членах, в которых наши
координаты разнообразным образом между собою сочетаются, появляются
новые углы, которые надо вводить затем в выражения х и у. Пусть, при
указанном развитии, в первом уравнении появился член 3)2 cos со, причем
ЗЛ есть постоянное число, со — какой-либо угол, изменяющийся пропорцио-
нально времени, как это всегда будет, и пусть
тогда, при развитии второго уравнения, в нем появится член Л/sin со, у ко-
торого коэффициент М также постоянный. В этом случае очевидно, что
в выражениях х и у должны войти подобные же члены, ибо иначе сказан-
ные члены в добавочной части уравнений не будут уничтожаться первыми,
как того требует самая природа уравнений.
§ S3.	Таким образом положим, что в выражение х вводится член
3( cos со и в выражение у — член JVsinco, тогда возникает весьма важный
вопрос, каким способом по данным членам ЭЛ cos со и A7sin со. содержащимся
в добавочных частях уравнений, определить члены 31 cos со и N sin со, входя-
щие в самые выражения х и у. Этот вопрос легко разрешается следующим
образом: надо подставить величины Л cos со и JVsinco в главные части
обоих уравнений вместо х и у, получаемые члены и должны уничтожить
те, которые содержатся в добавочных частях.
Полагая
х = 31 cos со: у = У sin со: с/со — у. dt
имеем:
Ух	СП •	(12х	9 СП
-в- = — р.3с sm со; -гтг = — и2 Зс cos со
(It 1	1
AT	У~Ч	9 ЛТ •
— — cos со; = — о.2 Nsm со
dt 1	dt2
54 —
Отсюда следуют уравнения:
I) — р.2 3? cos со — 2 (т нн 1) pJV"cos со — 3MQ cos со -н Юс cos со = О
II) —p.2.№sinco— 2(m-+- 1) р.31 sinco2И sin oj> = О
§ 84. Эти два уравнения приводятся к следующим:
(рс2 зх) $	2 (т 1) р.дг= эд
2 (т -+- 1) р.31 -н р.2 N= М
Из последнего уравнения следует
Лт=
!'• з
по подстановке в первое уравнение имеем
Гр? —4(тн-1)2ч-3т= —
р
Но мы имели
А = (ш -+- I)2 Н
следовательно предыдущее уравнение будет
(/- — /-t-2)‘J! = — 2‘Ы ч-ЗД
откуда получаем
—ЭД
___ !х
и, после того как величина 31 найдена, имеем
Д’ =
[Л	у2
§ 85. Итак, всякий раз, когда при развитии первого и второго урав-
нений в их присоединенных частях встретится в первом член 3)? cos со, во
втором член Msinco, причем с/со = puZ/, то надо ввести подобные же члены
в состав х и у, именно: для х— член 31 cos со, причем должно быть
2(w	эд
О) _ Iх
и для у — член JVsinco, причем
М 2 (т -+-1) ш
Л = —-------------------- vl
Г !х
— 55 —
§ 86- Для первого уравнения может оказаться, что при развитии
присоединенной части появится постоянный член, скажем а; так как во
втором уравнении такого члена появиться не может, то в этом случае
будет:
=	р. = О
Если эти значения подставить в предыдущие Формулы, то мы ничего
не получим, ибо — обращается в ~ • Однако исходные уравнения § 84
тотчас же устраняют сомнение, ибо первое дает
— ЗлПс -+- а = О
значит
ЗХ
вместе с тем само собою очевидно, что
§ 87. Заметив это, необходимо тщательно рассмотреть, что произой-
дет, когда р. будет или близко к нулю, или же р.2 будет близко к X — 2;
в обоих случаях значение $ может весьма сильно возрастать и вместе
с тем и значение JV. Поэтому эти два случая, т. е. когда значение р. или
весьма малое, или приблизительно равно — 2, заслуживают особенного
внимания, ибо в оба количества х и у тогда могут войти громадные члены,
которые даже могут стать бесконечными, если будет в точности или р. = О,
или р. == \/Х — 2. Первый случай не представляет никаких затруднений,
ибо сводится к уже рассмотренному случаю, когда р. = 0. Второй же слу-
чай в гораздо большей мере заслуживает рассмотрения, ибо тогда уже не
косинус или синус со, а самый угол со будет входить в состав х и ?/, ибо
sin -
когда о исчезает, то значение —— обращается в ы.
§ 88- Однако подобного случая в движении Луны и других действи-
тельно совершающихся движениях никогда произойти не может, ибо в про-
тивном случае следовало бы заключить, что когда х и у содержат какой-
либо угол со вне знаков косинуса и синуса, то с течением времени эти члены
возрастали бы до бесконечности. Кроме того, в присоединенных частях
уравнений появились бы члены, пропорциональные квадрату, кубу и вообще
всем высшим степеням сказанного угла, и значит, подобные же члены
должны бы входить и в самые выражения х и у, что будет совершенно
нелепо.
56
§ 89	- После того как изложен этот изящный способ решения первых
двух уравнений, гораздо легче подобным же образом решить третье наше
уравнение.
Так как в нем главная часть есть
прочие же члены относятся к присоединенной части, то если сама вели-
чина z выражается рядом синусов некоторых углов, то при развитии при-
соединенной части также произойдут только члены с синусами, и если среди
них окажется, наир., член Jfsinco, причем = то надо в составе
величины z взять член JVsinw, и по подстановке будет
(— и.2 -+- л -+-1) TVsin со -ч- Мsin со = О
откуда следует
и по известной величине М легко находится и значение ТУ.
ГЛАВА ХШ
Введение средней аномалии Луны
и, сверх того, аргумента широты
§ 90.	Углы, синусы и косинусы которых до сих пор содержатся в на-
ших уравнениях, суть, во-первых, средняя элонгация Луны от Солнца, рав-
ная р, и во-вторых, средняя аномалия Солнца, равная С и различные соче-
тания этих углов. Но так как надо эти уравнения интегрировать, то легко
видеть, что при полном интегрировании необходимо будет ввести в выра-
жения х и у еще один угол, и хотя нет надобности предпринимать самого
интегрирования, однако мы обозначим этот угол буквою q и положим
dq = п dt
Этот угол мы без интегрирования определим, пользуясь следующим
рассуждением.
§ 91.	Положим, что в первую нашу неизвестную х входит член
JCcosg, и так как он происходит от интегрирования, то коэффициент К
обозначает произвольную постоянную, значение которой должно быть опре-
57
делено на основании наблюдений движения Луны. Если мы даже слегка
вникнем в эти обстоятельства, то легко придем к заключению, что этот по-
стоянный коэффициент К представляет то, что в астрономии обыкновенно
именуется эксцентриситетом, тогда как угол q, очевидно, представляет сред-
нюю аномалию Луны, ибо этот угол пропорционален времени, так как по-
ложено
dq = п dt
§ 92.	В виду того, что в ряду тех косинусов, через которые выра-
жается величина ж, содержится член Tfcos#, в ряду же синусов для вели-
чины у — соответствующий ему член jVsin#, то при развитии присоединен-
ной части первого уравнения может появиться несколько членов с cos#,—
совокупность их обозначим через cos q. Подобным же образом для второго
уравнения совокупность всех членов, содержащих sin#, обозначим через
Tlfsin#, после чего мы можем применить следующее рассуждение.
§ 93.	Так как по предположению величина х содержит член К cos#,
причем К должно оставаться неопределенным, то применим правило § 85
и положим затем 91 = К и и. = п; получим
п
Из этого уравнения подлежит определению не коэффициент К, а число п,
и легко заключить, что всегда число п может быть так определено, чтобы
оно этому уравнению удовлетворяло; после того как это число будет най-
дено, получим для N значение
_____- 0м 1) д
п~___II
§ 94.	Однако таким образом трудно найти истинное значение п. ибо
для 99? и Л надо брать совокупность всех членов указанного вида, происхо-
дящих при развитии уравнений, поэтому истинное значение величины w
узнать нельзя иначе, как выведя ее из наблюдений.
Так как средняя аномалия # получается вычитая из средней долготы
Луны долготу апогея, то, взяв из таблиц для промежутка времени в 365
дней эти значения, имеем:
среднее движение Луны: 360е • 13 -t- 129°23' 3"
движение апогея:	40°39'50"
Изменение средней аном. #== 360° • 13 -4- 88°43'13"
— 58 —
по разделении этой величины на 359°44'39", соответствующих значению t,
представляющему среднюю аномалию Солнца, получаем
_ 17167393 __
~ 1295079 ~
13.255865
95. Хотя значение это и взято с самого неба, но если мы желаем это
дело исследовать точнейшим образом, то указанным значением пользоваться
не следует, ибо на Луну действует не только притяжение Солнца и Земли,
но движение ее апогея возмущается еще и другими, весьма малыми, силами,
поэтому движение, выбранное из таблиц, заключает совокупное влияние
всех этих сил. От этого происходит, что значение величины п, определяе-
мое уравнением
--------------------------------------------
7 — 2 — я2
должно несколько отличаться от табличного—на столько именно, на сколько
указанные малые силы влияют на величину п, поэтому не следует уди-
вляться, если вышеуказанная величина я, полученная на основании наблю-
дений, не вполне удовлетворяет уравнениям.
§ 96.	Нам для нашего вычисления надо приписать п то значение, ко-
торое соответствует действию сил, происходящих только от Солнца и от
Земли, что может быть выполнено вычитая из годового движения лунного
апогея влияние сказанных посторонних сил. Известно, что от этих сил
аФелии всех планет весьма медленно перемещаются, тогда как если бы на
главные планеты действовало только притяжение Солнца, то апсиды их
оставались бы неподвижными по отношению к звездам. Поэтому нет ника-
кого сомнения, что эти малые возмущающие силы несколько перемещают
и лунный апогей.
§ 97.	Так как аФелпй Земли от действия сказанных сил перемещается
ежегодно по отношению к звездам приблизительно на 13", то влияние этих
сил на Луну надо считать кругло в 13 раз больше, ибо Луна в течение
года совершает около тринадцати оборотов, поэтому годовое переме-
щение апогея по отношению к звездам, происходящее от сказанных сил,
должно бы составлять около 170", следовательно относительно точек равно-
денствий на 221"= 3'41". Поэтому вычитаем это значение из показанного
в таблицах годового движения апогея, или, что то же, придадим 221"
к годовому изменению аномалии, тогда числитель указанной в § 94 дроби
будет 17167614" и значение п получится равным
п = 13.25604
59
§ 98.	Поскольку речь идет о неравенствах в движении Луны, то без-
различно, которым из двух значений п пользоваться, ибо вся разница в месте
Луны составила бы лишь несколько секунд, тогда как, как мы уже указали,
при нашем способе расчета отклонения в месте Луны могут составлять не
менее 20" или 30".
§ 99- Введение сказанного угла 7 относится лишь до двух первых
наших уравнений, в третье же уравнение надо ввести новый угол, который
обозначим буквою г, причем легко видеть, что этот угол соответствует
тому, который в астрономии называется средним аргументом широты и ко-
торый получается, если из средней долготы Луны вычтем долготу восхо-
дящего узла. Поэтому положим, что третья наша координата содержит
главный член i sin г, причем i есть наклонение орбиты Луны к эклиптике,
которое, подобно величине К, должно рассматривать как произвольную по-
стоянную.
§ 100. Для теоретического определения этого угла полагаем
dr = Idt
и после развития присоединенных членов третьего уравнения собираем все
члены с множителем sin г, пусть их сумма составляет М sin г, и так как
само количество z содержит член г sin г, то, применяя правило 89, пола-
гаем:
со = г\ и. = /;	К — /
тогда получится уравнение
. _ М
1	- X — 1
и из этого уравнения надо определить не /, а I.
§ 101. Значение, получаемое таким образом для величины Z, едва от-
личается от имеющего место в действительности, но будет лучше, учитывая
действие вышеуказанных весьма малых сил, принять значение, выводимое
из наблюдений, а именно:
среднее годовое движение Лупы: 360е • 13 н- 129°23' 3"
годовое движение узла (попятное):	19°19'43"
Годовое изменение аргум. широты: 360е • 13-ь-148 42'46"
отсюда заключаем
г=этаг = 13-42263
Этим значением и будем пользоваться в дальнейшем.
— 60 —
ГЛАВА XIV
О различных порядках лунных неравенств
£ 102. Нами уже указано, что три наши координаты х, т/, z выража-
ются через бесконечные ряды косинусов и синусов некоторых углов, те-
перь же мы покажем, что эти ряды можно с удобством подразделить на
определенные порядки или классы, а именно: для х и ?/, прежде всего, те
члены, которые не содержат ни букв а и х, ни выше введенных элементов
К и эти члены мы назовем абсолютными, они составят наш первый поря-
док; очевидно, они происходят от абсолютных членов самих дифференциаль-
ных уравнений, т. е.
3	3
----- cos 2р п г — sin
о----2
£ 103. Затем, после того как введен эксцентриситет К, в выраже-
ниях х и у будут заключаться члены, которые не только будут содержать
множитель К, но и множители К2 и К3 и все прочие высшие его степени.
Но, как ниже увидим, значение К есть приблизительно ? поэтому доста-
1 о
точно удержать только члены с К3. ибо всеми прочими можно пренебречь
по малости их, поэтому мы составим три порядка членов, сообразно входя-
щим в них множителям К, К2 или К3.
§ Ю4. Затем войдут такие члены, которые содержат множитель или
а, или х, или их произведение ах. ибо такие члены входят в самые диффе-
ренциальные уравнения. Кроме того, будут члены, в которых предыдущие
коэффициенты умножены на К или степени этой величины, но так как зна-
чение а есть приблизительно •> то достаточно взять лишь порядок аК,
390
для членов же, содержащих множитель х, надо присоединить и множитель К2;
таким образом получатся члены, характеризуемые множителями:
а, аК, л, /-К. /.К2 и ах
§ 105. Так как третья наша координата определяется, главным обра-
зом, третьим нашим дифференциальным уравнением, все члены которого
содержат множитель z, который, в свою очередь, так зависит от наклон-
ности i, что эта величина везде входит множителем, следовательно при
i' = О
61
и величина г должна обращаться в нуль, поэтому члены бесконечного ряда,
представляющего величину £, должны содержать множители или «, или «А,
или гА2, или ш, или «х, или Р. Но легко видеть, что по малости величины ia
соответствующий член может быть отброшен, таким образом получатся
члены, порядки которых определяются множителями:1
/, iK- iK\ i*, Р
§ 106. Составим таким образом для величины z члены указанных пяти
порядков, представим величину z так:
z = -+- /Aq -ч- /А2 г -+- /х'5 -+-?3 г
а так как в предыдущие два уравнения входит лишь вторая степень z, то
положим для краткости:
Z- = р р -+- Р К <2. -+- Р К2 -4- /7.5
отбрасывая прочие члены по их .малости, получим:
р = р2
= 2pq
3 = 2рг -+- q2
5 = 2Н
§ 107.	Но так как величина z~ входит в первые два уравнения, то от
третьего уравнения к величинам х и у добавляются члены новых порядков,
.поэтому мы примем для величин х и у следующий вид:
х — С Аф -ч- К2 О -4- К3 -+- а& -4- aKY -+- xll
-I-	х АШ	7. А2 ЗВ -4-	-4- i2 £ -I- Р Ag) -4— Р А2 3
У = о н-АР-4- К2 Q-+-K3R-+- aS-+-aKT-+- *U
XAF+ xA2 W -i- ш	P X -4- i- KY+ i‘2 K2 Z
Ниже будет показано, что значения величин С и О немногим больше
одной сотой, поэтому члены второй степени относительно этих букв на-
столько малы, что члены высших относительно этих букв порядков могут
1 Здесь у Эйлера вкралась та ошибка, о которой он говорит в предисловии, именно
пропущены члены с множителем ?-К, который, как показывает таблица § 637, равен
0.00043792, тогда как множитель iK- — 0.00026625, поэтому величину z следовало бы писать
так:
z — /р -+- iKq -+- г2 Кг -+- iK-i /х! /зр
но величина z^ сохраняет нижеуказанное значение, поэтому этот пропуск не оказывает влия-
ния на неизвестные ж и у.
62
быть отброшены, значения же прочих букв могут достигать единицы и
даже больше, поэтому их степени могут быть отбрасываемы лишь в том
случае, когда коэффициенты при них весьма малы.
§ 108.	Составив эти выражения для наших координат х, у, z и под-
ставив их в наши уравнения, мы отнесем происходящие от перемножений
члены к определенным порядкам, даже весьма сложным, однако из них мы
не введем в наши вычисления иных, кроме указанных выше. Заметив это,
мы развиваем произведения координат, входящие в наши уравнения, и рас-
пределяем их по выше установленным порядкам, отбрасывая члены, сте-
пень которых относительно букв С и О выше второй, таким образом мы
получаем следующие распределения:
§ 109.	Порядок первый, абсолютные члены.
ж = у —О\ х2 = О2: ху~£)О', у'-=О2
более сложные произведения отбрасываются. К этому же порядку должны
быть отнесены и абсолютные члены наших уравнений.
§ 110.	Второй порядок, множитель К.
х доставляет ф; у . . . В
х2 . . . 2£)ф; ху . . . £>В-ь- Оф: у- .. . 20В
х3 . . . ЗС2ф; х2 у . . . 2£)Оф-ь-С2Р
ху2 . . . 2&ОВ-+- О2ф; у3 . . . ЗО2Р
§111.	Третий порядок, множитель К2.
х доставляет С
у •  Q
х2 . . . 2СО -н ф
ху . . . ОО-ьфГ-т-С^
у2 . . . 2OQ-+-B2
х2 . . . 3©2О-+-ЗСф2
х2у . . . 2£)OQ-i-£)B2-i-2O'$B-i-O2£L
V2 . . . 3O2Q-+-3O-B2
а4. . . 6 -С2ф2
х3 у . . . 3 • С • О • ф2- к 3 • С2 • ф • В
х2у2 . . . О2ф2ы-4СОфР-+-С2Р2
ху3 . . . 3£>О7,2-+- ЗО2ф • В
у* . . . 6 • О2 В2
63
§ 112. Четвертый порядок, множитель К3.
х доставляет 91
у -. - R
X3 . . . 2Ш -+- 2ф • О
ху . . . О^-ьОРн-ф • Q~t~£R
у2... 2OR-+-2PQ
х* . . . ЗС29? -+- 6 • Сф • О -к ф3
х2у ... 20Ш -+- 20ф • О -+- 2СРО -4- Р • ф2
-4-2Сф Q-+-&R
ху2 . . . 2СОКн-2СР^н-2Оф^-<-ф-Р2
-4-2 -OP-Q-t-O2-^
у3 . . . ЗО2Рн-6 • ОР^-ьР3
Р . . . 12 • С2ф-С-+-4Сф3
х3 у . . . 6 . СО • ф • О -4- О • ф3-ь- ЗС2РС
-4-30 .Рфч-З -С2ф- Q
х2 у2 . . . 2 . О2 ф . О -4- 4£)0Р  С -+- 2 • О • ф2 • Р
-4- 2 • С2 • PQ + 400 . ф . Q -4- 2Сф • Р2
ху3 . . .6•СО• P^-t-CP3-4- ЗО2ф • Q
-ьЗО-ф-Р2-+-ЗО2Р-С
/ . . . 12O2PQ -4-4 • OP3
Р . . . 10 • О2 • ф3
хРу . .. 4- СО • ф3-+- 6 -С2ф2-Р
х3у2 . . . 02ф3-4- 6 • С0ф2Рн- 3  С2 • ф • Р2
х2у3 . . . С2Р3 н- 6 • СО • ф • Р2 -4- 3 • О2 ф2 • Р
хуР . . 4С0Р3 -4- 6 • О2 ф • Р2
v/5 . . . 10 • О2 • Р3
§ 113. Пятый порядок, множитель а.
х доставляет <5
y...S
х2 . . . 2CS; ху . . . CS-4- OS; у2 . . . 20Р
х2 . . . ЗС2®; х2у . . . 2COS-t-C2^
ху2 . . . 2С05-+- 023; у3. . .3O2S
64
3 114. Шестой порядок, множитель а К.
х доставляет у . . . Т: л- . . . 2О£ -ч- 24? •
ху . . . O^H-eF-t-4?- S-+-&T
у2 . . . 2ОТ+ 2PS; х5 . . . ЗО2£ н- 6 • 04? • S;
х2 у . . . 200£-<-204? •<£-+-20® •Р
+ 2£>ф- S+£)2T
ху2 . . . 2О0Т-<- 2SPS-+- 20^-S
-ч-20Р®-<-02-£
y3 . . . 3O2T-<-6 • OP-S
x^ ... 12 • O24? • 3;
x^y ... 6.00-4?-®-<-302ZJ-i-®-<-3024?-<S
x2у2 . . . 2O2Ф . S -ч- 400FS-ч- 4004? • S
-t- 2O2 PS
xy3 . . . §&OPS + 3 • O24? • S-<— 3O2P-3
?/ . . . 12O2P-S
§ 115. Седьмой порядок, множитель
x доставляет 11; у . . . Ip ,/2 . . . 2011;
ху . .,. СU-+- Oil; у2 . . . 201р
ж . . . 30-11; х2 у . . . 20011-<-О2 6/;
ху2 . . . 200 • г-f- О211; у3 . . . 3O2U
§ 116. Восьмой порядок, множитель /.К.
х доставляет 33: у . . . F; х2 . . . 2033 -ч- 24? • U
ху . . . O9S-bPU-i-s4?.r-i-©F
у2 . . . 2OV-+- 2PU- х3 . . . ЗО233 -<- 604? • И;
л2у . . . 20033 -+- 204? • U -+- 2OPU -+- 204? • U
-1-О233
ху2 . . . 2COF-t-2CZJF-i-2O4?llH-2O/7r
ч-О243
у2 . . . ЗО2- Fh-6 • OP - U
.т4 . . . 12- О 4?П
xhy . . .- 6 • £)04Ш -t- 3C2Pll -t- ЗО2 4г' • и
^у2 . . . 2О24? • U -к 4C0PU -4- 4004? • F
н-2О2РГ
ху3 . . . 6 • Q0PU-i- ЗО24?Г-+- ЗО2Р • И
у4^ ... 12- 02Р- и
л3 . . . ЗО2 • 33 н- 6 • 04? • и
65 —
117. Девятый порядок, множитель хК-.
х доставляет ®; у . . . W
х2. . . 2D® ч- 2$ • Ж ч- 2D11
ху . . . DTF+ О® ч- $ - 7 ч- 7® ч— О77ч- 01
у2... 2OW-+-2PV-+-2QU
х3 . .. 3D2®4-6 -Сф-Жч-З-^ич-бООи
х*у . . . 200® ч- 20$ -93 4-20011
ч— 2D7® ч— 2$ - Р • 11 ч— 2D01
ч-20077ч-ф2- 77 ч-2D$- 74-D2TF
xif- . . . 2O0TF-4- 2ОРГ4- 2DQZ7
4- 20$ • 7 ч- 2$ - Р- U-+- 20&U
4- 2001 4- РЧ14- 207® 4- О2 • ®
у3 . . . 302Т7ч- 6 - OPF-f- ЗР2 • 77-»- 6 • OQU
. . 12D2 • $ • Ж ч- 12 -0$2-114-12 -О2 ОН
х*у . . . 6- 00-$®4-30$2-U
-н 6 - О • О • OU 4- ЗО2 РЖ 4- 6 • 0$ - PU
4-	3 • О2 QIX -н ЗО2 О 77 ч- ЗО$2 • 77
4-	ЗО2 $ • V
•О2... 20*$ • Ж ч- 202О114- 2007®
4- 40 • $Р-114- 4DO01 4— 2ОР211
4- 20W4- 2О2 QO4- 200$ • V
4- 40$ • Р- 7^4- 4 - 0000'4- 2О$2 • 77
ху- . . . W0PV+ ЗОР2 U6 • S0QU
4- ЗО2$ • 7 ч- 6 - 0$  Р- 77ч- 3 • О2 СР
4- ЗО2 01 ч- 3 • О • 7>2U 4- 30-Р - Ж
. 12 • 02Р- 7 ч-12 • О - Р2 - 774- 12 - О2 - Q - U
Сюда надо было бы присовокупить члены пятой степени, но так как
все они умножаются на вторые степени букв О и О, то их можно здесь тем
более опустить, что и самые неравенства Луны, относящиеся к этому по-
рядку, весьма малы, и при их определении не требуется той точности, как
для предыдущих порядков, поэтому в дальнейших порядках мы можем эти
члены отбросить. Впрочем, в последующем легко эти недостающие члены
и добавить.
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. в тт. V и VI.	5
66
§ 118.	Порядок десятый. Множитель а/..
х доставляет нэ; у . . . w; х2 . . . 2©н? -+- 2® • П
ху . . . От -ч- (S U н- /SU -+- £)w
у2 . . . 2Oiv н- 2SU
л3 . . . 6 • © • <S • U
х2у . . . 2©(S-U-4-2©<5- Z7-I-2CS-U
ху2 . . . 20SU-+- 2OSW -4- 2O&U
у3 ...G'O-S- U
§ 119.	Одиннадцатый порядок, множитель I2.
х доставляет ЗЕ*; у ... X;
х2 . . . 2©33; ху . . . ©X ч- ОХ
у2 . . . 2 OX; z2 ... t)
xz2 . . . © • t); yz2 . . . О • I)
§ 120.	Двенадцатый порядок, множитель i2 К.
х доставляет g); у . . . Y; х? . . . 2©g) -4- 233 • ЭГ
ху ...
у2 ... 2OY-V- 2РХ; z2 . . .
х3 . . . 6 • ©932
Л-- у . . . 20-33 -Зе-1-2©/^н-2©ЦЬ X
ху2 . . . 2£)РХчг-2О^ -Х-4-2О-Р- 3£
у3. . . 6 • ОРХ
xz2 . . . © • 2/	33 • I)
yz2 ... 0% ч-Р-Ъ
x2z2 . . . 2©33 • Ь
xyz2 . . . ©1<1)Н- 033-1)
у2 z2 ... 2 ОР • 1)
67 —
§ 121.	Тринадцатый порядок, множитель PKY
л доставляет 3; У • • • Z\ х2 . . . 2СЗ~ь 2ф • gj -г-2СС
ху ... CZ-t-O3-+-g3- f+P-g)4-CX+^;
/у2 . . . 2OZ-+-2PY-t-2QX
... 3
р. .. 6• сф• g)6з• ф2.$
Yy . . . 2O$g)-+-2№3e-+-2C7,-g)-i~2^. P- Y
+wq- $ --и 2Сф • r-+- зссх -+- ф2х
xy2 . . . 2СРТ'-ь- 2C^X-j- 20$ • Y
-+-2ф- P-X-+-2O&X-+-2OP3
-i-2OQX-+-P2Y
yY. .6-O-P- Y-+- 6 • OQX -+- 3P2X
xzY . . С-<5-+-ф- h-CI)
yz2 ... O-$+P- <%-+ Q-I)
xY . . 12-С-ф2-£
Yy... зс-ф2-х-<-б -сф-р-т-ьз .о-ф2ае
YyY . . W$' P-X-+-2£)P'2&
+ W^’P-X-i-20'^-X
xy3 . . . 3№2£-+- 6 • Оф • P- X+ 3 • CP2X
yY.. 12- OP2 • X
§ 122.	Итак, вот те тринадцать порядков, на которые распределяются
все члены двух первых уравнений при развитии их; ими мы и будем поль-
зоваться при решении этих уравнений.
Третье уравнение надо решать отдельно от первых двух, и для него
достаточно рассматривать члены пяти порядков, показанных ниже.
Третье уравнение
Порядок первый, множитель г.
х доставляет р; xz . . . Ср; yz . . . Op
x2z . . . £?2р; xyz . . . СОр; y2z . . . О2р
5*
6<S
§123.	Порядок второй, множитель iK,
z доставляет q; xz . . . Cq ч- фр; У 2 . . . Oq -+- Pp
x2z . . . C2q ч- 2Сфр
xyz . . . CO • q ч- С/ф ч- 0 • ф • p
y-z . . . O2q -4- 2OP- £
.73 z . . . 3 • C2 ф • p
x2 yz . . . 2CO • ф • £ -+- C2Z?- p
xy- • z . . . 2£)0Pp -+- ф • p
y3 • z . . . 3 O-P • p
§ 124.	Порядок третий, множитель iK- (члены второй степени от-
носительно С и О отброшены).
z доставляет г; xz . . . Сг -+- ф • q ч- О • р
yz . . . Огч-Р- q4-^p
.г2 • z . . . 2Сф • q ч- 2ССр -+- ф2 • р
xyz . . . СР • q ч- Оф • q ч- ООр ч- ф • Р • р ч- С Qp
у2 • z . . . 2 • ОР • q ч— 2 • OQp ч- 7>2 • р
a-z . . . ЗС • ф2 • р
ху2 z ... С • Р2 • р ч— 2 • О • ф' • • р
§ 125.	Порядок четвертый, множитель iy..
z доставляет xz . . . Сё ч- U • р
yz . . . О§ ч- U • р
x2z . . . 2 • CU • р
xyz . . . С L р ч- OUp
y2z . . . 2 О Op
§ 126.	Порядок пятый, множитель ?3.
z доставляет t; xz ... Ct ч- 3t*p
yz . . . 01ч-Хр
x2z . . . 2C£p
xyz . . . CXp 4- O£p
y2z . . . 2OXp
z3. . . pl)
xz3... ерь
69
ГЛАВА XV
Отдельные дифференциальные уравнения
для каждого из членов установленных выше порядков
§ 127.	После того как установлены порядки членов для всех трех
координат .с, у, г, полагаем:
х = ч- К^~+- К2 Zl-t- К3^~+- а<В -t- aKX-t-vAl
ь /Р<Ш -+- хР Ж »- «хго -+- i2 X -+- I2 К$) -+- г2 К2 3
у = о ы- КГ-+- К2 Q -+-	-+- aS-*- аКТч- хU
-+- хАТы- аК2 W -4- av.w ы- i2X -ь- ? KY-+- i2 K2Z
z — /р -+- гК§ -+- ёК2 r -+- гхё -+- ? г
составляем выражение
причем
Ь = р2; f£ = 2pq; ;	2pr-i-a-; 5 = 2рЗ
подставляем все эти выражения в три наших дифференциальных уравнения
и располагаем все члены по их порядкам. После того как это сделано, ясно,
что в каждом уравнении члены каждого порядка в отдельности должны
равняться нулю; таким образом получается столько отдельных уравнений,
сколько членов различных порядков. Из этих уравнений и определяются
вновь введенные неизвестные:
С, ф, ... О, Р, ... р, а, ... t
§ 128. Прежде всего подставим указанные выражения в первые два
уравнения, и для каждого из тринадцати отдельных порядков, выше уста-
новленных, пишем свою пару отдельных уравнений, следующую из урав-
нений I) и II), таким образом получаем:
Для первого порядка абсолютного:
I) —2(«re-i-l)^—3X0, —-|eos2/>. —-|ccos2/>-+-~0sin2p,
-ьзхо-—-Ъо2 = о
~bvsm2P и-C sm ы--0cos
— 3X00 = 0
70
§ 129. Для второго порядка, с множителем К:
б?2ф 2(m-+-])dP	w
Т) ----------dt------ЗЖ
— 4cos2j?-^6XC-i- 12ХС2н-6лО2) ... 21)
-+-p(-fsin2^ — 3X0-+-12X00'j ... (S3)
\ Z	/
= 0
тп <?2Р	2 (т + 1) t/ф
11' ~М‘~' dP ’
-+-9p(4sin2p —ЗХ0-«-12Х©0) ... (4)
\ Z	/
/ Q	9	\
-t-P(4cos2p —3XO-F-6X©2 —4ХО2) . . . (В)
\ z	z	/
= 0
§ 130.	Для третьего порядка с множителем К2:
2 (m-t-l)dQ
dt2
dt
3X0
-ьо(—4cos2^h-6X© —12Х02-«-6Х02') . . . (?1)
-	I- Q 6|sin2p —3XO-i-12X£>o) ... (33)
-	+- ф2 (ЗХ — 12Х£> м- 3 0Х£)2 — 15ХО2 . .. (б)
-+-«D-P(12XO — 60ХСО). . . (©)
^-paf—ix-i-ex© —15Х02-1-^хо2')...(®)
\	2	4	/	'
= 0
cos 2p — 3X£) -h 6X£>-— —
z	z
d2Q 2(w-t-l)cZQ
dt2 ~+~ dt i
-	+- £1 ("I’Sm 2/) — 3X0 —i— 12X00^ . . . (Л)
X02^) . . . (B)
-	4-^2(6X0— 30XCO). . .(C)
—ЗХ Ч-12ХО —3OX£)2-I-~XO2] . . . (П)
-	+-P"- (_|x0-F-i|xO0') ...(£)
' z z /
= 0
— 71
131- Для четвертого порядка, с множителем К3:
d2$l 2(w+-l)f7P	- m
-----------------зх-ш,
-+-$( — -| cos 2j?-+-6X0 — 12ХО2-+- 6ХО2) . . . (91)
-ч-W4siu2^~-3X0-4-12X00^ . . . (93)
-ьДО(6Х — 24X0-4-60ХО2 — ЗОХО2) . . . (26)
-+-(ф.^-»-РП) (12X0 —60X00) ...(£>)
н-Р^( — ЗХ-+ 12X0 — 30ХО2-+-^Х02') . . . (26)
-+-ф3(—4Х-1-20X0 — 60ХО2-+-30Х02) ...($)
н-^Р(—30X0-н 180X00) . . . (®)
-4-!ЦЬР2(бХ — 30ХО-+-90ХО2 — -^Х02) ...(£)
-4-рз^Х0 — 45ХОо) ...□) = ()
/3	.9
Р ( — cos 2j? — 3X0 -+• 6ХО2-
\ 2	2
<РР 2(m-Fl)d!K
dt2	dt
-	+-0t(-|sin2^— ЗХ0-+-12О0) ... (А)
ХО2^ . . • (В)
-	+-030(12X0 — 60X00) . . . (20)
-	+ (03Q -+- РО) ( — ЗХ -+- 12X0 — ЗОХО2 -+- ~ ХО2). ..(D)
-	+- PQ (— 9X0 -+- 45X00) . . . (2Р)
-	4-qj3(- 10X0-+-6OX00)... (Р)
-ьЦ12-Р (бХ— 30ХО-+-90ХО2 — -У^ХО2') ... (О)
-	+-ЦРР2(^ХО — 135ХОо) ... (Я)
—	—	. (Z) = 0
\ л	Zi	А	**	/
— 72
§ 132.	Для пятого порядка, с множителем а:
тч	(Р Ф	2 (т ч- 1) dS ~
~ЛР ' dt
—	— -|-cos 2^ ч-6X0 — 12ХС2ч-бХО2) . . . (21)
ч	- S' sin 2р— 3\0 ч- 12X00^ . . . (23)
---1(3 cosp-ч- 5 cos 3^)(1 ч- 20 ч- С2)
ч	- ^-(sinj? ч- 5 • sin Зр) (О ч- СО)
3
—	— (cos р — 5 cos Зр) О2 = О
Т1Л d2S 2(шч-1)<7<5
Н) Иё---------С '
-	+- <S(4sin “ip—ЗлО-ч- 12ХСо) . . . (Л)
-	+- S (-| cos 2р — ЗлС н- 6ХС2— | лб>2) . . . (В)
з
ч— — (sin^J ч— 5 sin Зр) (1 ч- 2О2 ч- С2)
—	-|-(cos7) — 5 cos Зр)(р-+-СО)
3
ч	- — (3 sin^ — 5 sin Зр) О- = О
О
§ 133.	Для шестого порядка, с множителем аК:
n d2Z 2 (т ч— 1) dT .
dt2	dt
ч-$( — -|cos2^4- 6ХС— i2XC2 ч- б'лО2) . . . (21)
/ з	\
4-T(^-sin2^ —ЗлОч-12лСО) . . . (23)
ч-	23 • S (бл — 24ХС ч- 60ХГ2 — ЗОХО2) ... (2(5)
-	+-(236уч-Р@)(12ХОч-бОХГО) . . . (Ф)
ч-PSI—ЗХч-12лС— ЗОлГ2ч-^лОЧ . . .(2(5)
—	(3 cos р ч- 5 cos Зр) (ф ч- С23)
»	(sinр ч- 5 sin Зр) (Р-^~ CP-t- 023)
—	(cosр — 5 cos Зр) ОР = О
73
d2T 2(m-t-l')d'£,
dt2 dt 1
H- г (4^27) — зхо+ i2ieo)... (A)
-+- T (-j-cos 2p — 3X0 -+- 6X©2— 4 XO2) . . . (B)
-ьфе(12хо—60X00)... (2C)
ЗХн- 12X0 — 3OXC2-4-4X0'2) •••(£)•
-	+- PS(— 9X0 -+- 46X00). . . (21?)
-	+- | (sin 2? +- 5 sin Зр) (ф -i- ©SP)
—	(cosj? — 5 cos Зр) (P —t— CP -+- 0$)
-	+- ~ (3 sinp — 5 sin 3p) OP = 0
§ 134.	Для седьмого порядка, с множителем х;
1)
й2Ц	2 (т -+-1) dU	.
~dP-------di-------3Alt
-4	- U { — cos 2р ч- 6АС — 12лС2 ч- 6ХО2) . . . (21)
-+	-L^4sin2^ — ЗХОч-12ХСС>) ...(«)
ч-	А- [2 cos t ч- 7 cos (2р — t) — cos (2р -ь £)] (1 ч- С)
— 4 [7 sin (2р — t) — sin (2р ~ь £)] О — О
d2U 2(тч-1)йЦ
dt2	dt
ч-U (4 sin 27)—ЗлОч-12ХС0) . . . (А)
ч—	t44c°s2p— Зл. Сч-бХС2 —4ХО0 • • ’ (Д>
— -J [7 sin (22> — О — sin {2р -+- <)] (1 -ь О)
-+	- 4 [2 cos I — 7 cos (2р — t) -+- cos (2р н- <)] 0 = 0
74 —
§ 135.	Для восьмого порядка, с множителем /.К:
' at2	at	’
—-|cos2p-+-6X^ —12ХТ>2-+-6ХО2) ... (31)
-	4-F(-|-sin2p — ЗХО-ч-12ХФо) . . . (®)
-	t-33U(6X— 24ХО-ь60ХФ2 — BOW2) . . . (2G)
-t-($J7-+-PU)(i2kO — 60X00) ...($)
-	+-PU(~ 3X-t-12XO— 30ХФ2-+-у XO2) . . . (2(5)
з
—	i— — [2 cos t -i- 7 cos (2p — t) — cos (2p -+-t) ] ф
—	• sin • (2p — t) — sin (2p -+- 0] P = 0
d2V 2(m-f-l)^
dt2	dt ’
-	t-®(-?-sin2p — ЗХО-Ч- 12X©0) . . . (A)
-	ь V( 4 cos 2p — 3X0 -t- 6XO2 — 4 XO2) ...(#)
-	4-®U(12X0—60X00). . . (20)
-	4- (Ф U-ь- PU) ( — 3X	12X0—3 OXO2 -4- XO2)... (D)
-+- PU(— 9X0 -4- 45X00) . . . (2P)
— [7 sin (2p — t) —sin (2p -+- ф
—i— [2 cos t — 7 cos (2p — t) -+- cos (2p -+- £)] P — 0
— 75
§ 136. Для девятого порядка, с множителем кК2:
I)
2(m4-lW	_ лп
-------at-----л'ь’
-	+-2В (— 4cos2p-4-6X£) — 12ЛС>-	6ХОЛ ... (21)
\	£i	/
-	+- Tr(-|sin2p-— 3XO-t-12XOO) . . . (23)
-	b(W-+-OU)(6X — 24XO-+-60XO2 — 30X02) . . . (2(5)
^($F^OO-+-P®-+-()U) (12X0-—60X00). . . ($)
-+-(PF-i-QZ7)(— 3X-+-12XO — 30XO2-+-^XO2) . . . (2(5)
-4-ф2П(— 12X-+- 60X0 — 180XO290XO2) . . . (3g)
-+-(^r-t-2^PU)(— 30X0-+-180X00) . . . (®)
-ь(Р2и-ь2фРГ)(бЛ—ЗОХО-+-90XO2 — -^XO2) ...(£)
-	+- Р'2и(~ЪО — 135X00) . . . (33)
-	+- ~ [2 cos t -+— 7 cos (2p — t) — cos (2p -+- f)J О
—	[7 sin Др — t) — sin Др -+- 0] Q ~ 0
2
d2W 2(m-+-l)<Z2B
dt2 -1- dt
H-4B (4sin22’ — 3Xt>-F-12k©o) . . . (A)
-	+ - W ( ~ cos 2p — 3X0 -+- 6XO2 — XO2) . ..(B)
OF®-+-OU) (12X0 —60X00). . . (20)
-	+-(^Р-ьОХ^РФ-*-^и)(-ЗХ-ь12ХО-ЗОХ02^уXO2) ...(D)
~+-(PV-^QU)(— 9X0 -+-45XOO) . . . (2E)
-	+-ф2П(— 30X0 -+- 180X00) . . . (3F)
-	4-ДО Г-+-2^РП) (бХ—30XOH-90XO2 — ^XO2) ...(G)
-	4-деи-*-2^РГ)^Х0 — 135X00) . . .(Я)
—|x_+_f|xC_JL|2X02-+-^X02) . . . (31)
— [7 sin (2p — t) — sin (2p -+-1)] О
-+- [2 cos t — 7 cos Др — t) -4- cos Др -+-1)\ Q = 0
— 76 —
§ 137. Для десятою порядка, с множителем ак:
,ч (Р\й 2 (т 1) dw
J) -№-----------dt-----ЗЛТО’
---------ь- W (--I cos 2р -+- 6X0 — 12ХО2 -+- 6ХО2) . . . (21)
/ ч	\
-	+- w ( — sin 2р— 3X0-4- 12X00 \ . . . (23)
-	+-@U(6X — 24X0-4-60ХО2 — ЗОХО2) . . . (2(5)
-	+-(gr-+-SU)(12X0—60X00) . . . (Ф)
-	+-Su(-~ ЗХ-4-12ХО — 30ХО2-+-^Х02) . . . (2(5)
з
---- (3 cos2? -+- 5 cos Зр) (U OU)
*±
-	+- (sin_p -+- 5 sin 3p) (U-i- О U-ч- OU)
3
—	— (cos^ — 5 cos 3p) 0 U
3
f - — [2 cos t -+- 7 cos (2p — t) — cos (2p -+-1)(5
—	-|- [7 sin (2p — t)—sin (2p-+-£)] S
3
-	+- — [9cos(j?—/)-+-3cos(j7-f-Z)-+-25cos(37>—t)—5 cos (3p -+-/)}
(1 -+- 2Oh-O2)
3
— — [3 sin(p—/)-f-sinQ)-i-Z)-i-25 sin(3j?—t) — 5 sin(3^-+-^)]
(O-i-OO)
3
-	+- — [3 cos (p — t) -ь cos (j? —i— t) — 25 cos (3p — t)
-+- 5 cos (3p -4- tf)] О2 == 0
— 77 —
ттч d?w 2(w4-l)drr>
-	+- w (-)-siii2p—3XO-+-12XOO) . . . (A)
/ 3	9	\
4-w (4cos2p — 3XC4-6XC2 — ^XO2) . . . (5)
4-@U(12X0—60X00). . . (20)
+ (SC+ SU) ( — ЗХ -+- 12X0 — 30XO2-t- ~XO2) ...(D)
4-SU(— 9X0-4- 45X00). . . (2E)
3
-	4- — (sinjp -I- 5 sin 3p) (U -4- Cll)
3
—	-^(cos^?— 5 cos 3p)(U-+-£U-+- OU)
-	t- (3 sin^ — 5 sin 3p) OU
—	-|- [7 sin (2p:— t) — sin (2p -t-	@
-	4- -5- [2 cos t — 7 cos (2p — t) -+- cos (2jp 4- Q] S
3
----[3 sin(p — t) » sin(p-+-t)-t-25 sin(3^—i)—5 sin(3p-+-^)]
(1 -4-2C-I-C2)
3
-	4- — [3cos (p — t) -+- cos (p -+-1)—25 cos(32>—f)-4-5 cos(3^-i4)]
(0-1-CO)
3
— — [9 sin (2> — t) -4- 3 sin (p	1) — 25 sin (3p — t) -t-
-4- 5 sin (3p — Q] О2 — 0
§ 138. Для одиннадцатого порядка с множителем U
2 (гн -t- 1) dX
dt2
dt
ЗХ£,
— 4cos2^-4-6XC— 12XC2-4-бХО2^ ... (21)
-4-X(-|sin2^—3XO-+-12X£O) . . . (23)
4-1) f— 1X4-6XC— 15XC2 4-Xo4 == 0
\	2	J
78 —
Т1Л d2X 2 (т
п> <№' —
+-1)с7зе
dt ’
— sin 2р — 3X0 -4-12ХОО ) ’ ' ’ (^0
Ч	Q \
4cos2t?— ЗХО-+- 6ХО2 —^ХО2) . . . (В)
' — -^-ХО-ч-^ХОо) - о
§ 139. Для двенадцатою порядка с множителем i2K:
—-----dt------
-	+-$( — cos 2jp-+-6X0 — 12X02-+-6X02) . . . (21)
-	+- F^sin2^—3X0-+- 12X00 ) . . . (23)
-	4-23У (6X—24X0-+-60XO2 —ЗОХО2) . . . (2.(5)
-	+-(2?X-t-P£)(12XO —60X00) . . . (Ф)
-	4- PX (— 3X -4- 12X0 — ЗОХО2 -4- у XO2) . . . (2 . (5)
-	+-1) (б • X23 — 30X023 ~4— xop)
+-!£ (— -f-X-4-бХс') =0
\ Д	J
d2Y 2(m-bl)^
dt2	dt '
-	t-g)('|sin2^ — 3X0-»- 12XC0) . . . (Л)
-	K Y
-	+-23^(12X0—60X00) . . . (20)
-	4- (2?X -+- PX) (— 3X -+- 12X0 — ЗОХО2 -4--f XO2j	. (D)>
-	+- IX (—9X0 -+-45XOO) . . . (ДЕ)
-	+-b [— -|XP-+--^X£P-+-^XO23)
—	~ ^0 = 0
ч	ч	\
4cos2p— 3XO-4-6XO2 — 4XO2)   ДВ)
Ji	J	/
79 —
§ 140. Для тринадцатою порядка с множителем РК2:
б?23	2 (ш -t-1) (1Z	о.. о
“Ж dt
-	4-3 f— -|cos2p-4-6XO — 12Х02-4-6ХоА . . . (51)
-	+-z(^-sYn.‘2p — 3XO-t-12XOO) • • . (53)
-	4- (sW-+-O3f)(6X — 24ХО-4-60ХО2 — ЗОХО2) . . . (2(5)
-	4-(5?У-+- Р9)-4- СХ-4-030(12X0 — 60X00) ...($)
I (PY-+-QX) ( — ЗХ-4-12X0 — 30ХО2-*-^Х02) . . . (2(57
-	|-ф233(— 12Х-+-60ХС — 180ХО2-ь 90Х02) . . . (3®
-	4-(ф2Х-4-2Ц1РЗе)(— 30X0-4- 180X00). . . (®)
-	4- (F2 Эе -4- 2Щ/'Х) ( 6Х — 30X0 -4- 90ХО2 — ~ XО2) ...(§)
-	4- 1*Х (^ХО —135X00) . . . (35)
\ Zi	/
15	15
6X0 — 3 ОХОГ. -4- У MQ—15  Ж •+- 1Л ХР2 -ь 90к©ф2
- - ^Х©Рг — 45W-0
/	1 5	\
-	4- 2/ (6Х<Р— 30X053 -4- 33 ЪОР]
|Х-4-6Хо) = 0
/
80
И)
(FZ	2(m-bl)43
dt?	dt
-1-3 (-2-sin2/> —3X0-1- 12XOC>) . . . (4)
-b Z (4cos 2p — 3XD -+- 6XD2— ^O2} . . . (B)
-t-да-t-ox) (12X0—600XO)... (20
-ь(фУ-ьР$+ОХ-ь()Х)/'-ЗХ-<-12Х£>-ЗОХ©!-ь^Х02') ...(D)
\ /
-ь(РР-+-^Х)(—9XO-+-45XCO) . . . (2BV
+ ф2$(- 30X0—t— 180XDO) . . . (3F)
-»-дех-+-2^рэе) (ex—зохс-*-9охс2—^5xo2)... (О)
-Ы’р-Х-H 2Щ/’Х)	— 135X©o) ...(H)
-f-P!X (— 4x-k^X£>— ^XO-f-^pXO2') ... (37)
-	bb [— |x<2h-^X(0Q -b.©Q) 4-^w
— л (0ф2 -I- 2©фР) -b ХОР2
Zi.	4:
-	ь (— |xP-b^X(OP-b Оф))
-	ь<5-(— -|xo) = 0
81
§ 141. В виду того, что в предыдущих Формулах часто повторяются
некоторые множители, содержащие буквы О и О, мы их отметили в первых
уравнениях буквами 51, 53, G и пр., во вторых — буквами А, В, С; зна-
чения этих количеств приводятся ниже:
5( = —-|cos2^-4-6aD —12aD2-f- 6ХО2
53 = А = sin 2р — 310 -4- 12X00
3	.	. £	9 .
В~ — cos 2р — 3X0	6аО2---- АО2
(§ За— 12X0 -4- ЗОХО2— 15лО-
£> = 2С= 12X0 — 60X00
@ = 1б = — -Х-ь-бХО — 15Х02-4-^~-Х02
2	2	4
Ч	9	45
Е=--Ъ = — 4X0-+- ^ХОО
<5	2	2
% = — 4Х-4- 20X0 — 60ХО2 -4- ЗОХО2
@ = 3F= — 30X0-4-180X00
§ = о = 6X — 30X0 -4- 90ХО2 — ХО2
3 = —4® ==4я=^Х0—45X00
4	о
.	3.	15.,^	45. i 5
I-  --Ан-----ХО-----<7 А02-4- — Х02
2	2	2	4
§142. После того как для двух первых основных уравнений составлены
те дифференциальные уравнения, которыми определяются члены различных
порядков, остается выполнить подобное же развитие для третьего уравне-
ния, в котором содержатся лишь члены пяти порядков. Мы получим:
Для первого порядка (I); множитель I:
^-4-(Л~4-
-4-р( — 3X0-4- 6ХО2 — -|хо2) . . . а = 0
Множитель при букве р, содержащий О и О, обозначим через (а), подоб-
ное же обозначение будем делать и для других аналогичных множителей.
А. Н. Крылов. Собр. тр., дои. е тт. V и VI.	9
— 82
Для второго порядка (II); множитель iK:
-	4- q ( — ЗХ© -ч- 6ZP —	... (a)
-	4- ЭД? ( — ЗЛ -и 12X© — 30л©2 -4- у л О2) . . . (b)
-	4-Рр(— 3XO-4-15X©0) = 0 ... (с)
Для третьего порядка с множителем iK~:
d2T	.
t2d
-	ч- г ЗХ© -ь 6Х©2 — 4 ХО2) • • • (а)
-	+-(^q-*-©b)(— ЗХ-4-12X0 — 30Ю2-+-уХО2) . . . (Ь)
-	4- (Pq -4-	(— 3X0 -4- 15Х©0) . . . (с)
-	4-$2р(бХ— 30ХО-ь-90Х©2 — i>2) ... (о)
-	н фРр(15X0— 9ОХ©О) ...(e)
ТЮ (	*\	1 "ч ГЧ*. 4G	45 <s	/ /*\	Г\
-	+- р2 р (—-2х-*- -2-л~—vлС •+' т4 * * * * * 10)  • • = °
Для чегпвертого порядка с множителем ix:
-4- ё (— ЗХ© -4- 6Х©2 —4хо2) . . . (а)
-4-Цр(— ЗХ-Ч-12Х© — 30Х©2-4-^ХО2) • • -(b)
-4- Ср (— 3X0 -4- 1 5Х©0) ... (с)
— 3 р cos t = О
Для пятого порядка с множителем i2:
d21
-+-1 (— ЗХС -Ь 6кС'- - 4 ко2) . . . (а)
-4-зе>(— ЗХ-4-12Х© — зох©2-4-уХО2) ... (Ь)
-4- XV (— 3X0 -4- 15Х©0) ... (с)
(—Ьл-4-уХ©)-0
83 —
§ 143. Все эти отдельные уравнения надо теперь рассмотреть, начав
с последних пяти уравнений, как этого требуют уравнения трех последних
порядков для х и ?/, ибо с одиннадцатого порядка уже встречается вели-
чина I), значение которой не иначе может быть определено, как после реше-
ния общих уравнений для переменной я, так как 1) = р2; это же в еще
большей мере относится к уравнениям для двенадцатого и тринадцатого
порядков. Однако оказалось удобнее начать с первых уравнений и, дойдя
до десятого порядка включительно, обратиться к последним пяти уравне-
ниям, а затем вернуться к последним трем уравнениям первой группы.
ЧАСТЬ 2-я
ЧИСЛЕННОЕ РАЗВИТИЕ УРАВНЕНИЙ, СОСТАВЛЕННЫХ
В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЧАСТИ, ДЛЯ КООРДИНАТ х и у
ГЛАВА I
Развитие уравнений для величин С и О,
составляющих первый порядок
§ 144. Те два отдельных уравнения, которыми определяются вели-
чины С и О, суть следующие:
ТА	П /	, \	3
I) — 2 (ш г 1)	— лС, — cos 27),
--1- С cos 2р I О sin 2р,	» ЗХС2--уХ02 = 0
II) -^ + 2(»и-1)^5	H-~sin2^,	-+- С sin 2р -ь О cos 2р,
— 3“Л£?0 = 0
§ 145.	Легко предвидеть, что величины С и О будут весьма малые
по сравнению с единицею, поэтому сперва отбрасываем последние члены
(удержав в первом уравнении первые четыре и во втором — первые три
члена), чтобы получить приближенные значения D и О. Применим изло-
женное в § 85; имеем в нашем случае, для определения 51 cos со и jVsin со,
со = 2р, следовательно р. — 2т и
°.	в
2И=т-2-
6*
84
поэтому полагаем:
О = 91 cos 2р\ О = j\sm 2р
§ 146.	Формулы, по которым вычисляются 91 и N, суть (§ 85):
2 (»? -4-1) д ,_ лр
ЭД = и -=-------—:
Л — 2 — ч.-	и/
к	к	I
численные же значения, кроме вышеприведенных, суть (§ 79):
m-ч- 1 = 13.36892; л — 2 = 177.228928
р. = 2т — 24.73784
По подстановке этих значений получаем:
91 = —0.0071 797; Х=0.0102113
§ 147.	Таким образом первое приближение доставляет такие значе-
ния:
С = —0.0071797 cos 2р
О = ч- 0.0102113 sin2y;
По подстановке их в первоначально отброшенные члены, для получения
более близкого приближения, имеем:
С cos 2р = — 0.0035898 — 0.0035898 cos 4у;
С sin 2р = — 0.0035898 sin 4р
О cos 2р = -+- 0.0051056 sin 4р
О sin 2р = -г- 0.0051056 — 0.0051056 cos 4р
ЗХС2 = 0.0138583 — 0.0138583 cos 4^7
-ч- 0.0140162 — 0.0140162 cos 4р
3X00 = — 0.0197099 sin 4^
Подставляя эти последние выражения, получим для присоединенных
частей следующие значения:
для уравнения I)
— 1.5000000 cos 2р 4- 0.0128852 -ч- 0.0256008 cos 4р
для уравнения II)
-ч— 1.5000000 sin 2р -ч- 0.021 9836 sin 4р
85
и так как первые в них члены, содержащие угол 2j9, остались прежние, то
эти члены в .значениях £? и О остаются без изменения, так что будет для
С • . . — 0.0071797 cos 2j?
Кроме того, на основании § 86, сюда добавится постоянный член, равный
а = 0.01288э2 = 0 0000240
2л	2 л
в величине же О первый член останется без изменения:
0.0102113 sin 2р
§ 148.	К вышеприведенным членам надо добавить члены, содержа-
щие cos 4р и sin 4р. для которых, следовательно, будет со = 4р, значит
м. = 4ш и
да = 0.0256008; J/= 0.0219836
и, вычисляя по приведенным выше Формулам, получим соответственно:
$ = 0.0000060; W = 0.0000057
Таким образом более точные значения суть:
С = 0.0000240 — 0.0071797 cos 2р -ь 0.0000060 cos 4р
О = 0.0102113 sin 2р 0.0000057 sin 4р
$ 149. Посмотрим теперь, требуют ли эти значения дальнейших
поправок. С этот! целью положим для краткости письма:
С — а -и 3 cos 2р -+- у cos 4р
О = Ъ sin 2р -ь с sin 4р
по подстановке этих величин имеем для первого уравнения:
3	3	3	3	3
---— С cos 2р =------—	(3--- 3 cos 4р--—a cos 2р---— у cos 2р
J	4	4	J	4
з
---— у cos 6р
~ О sin 2р = Ъ-----1- Ъ cos 4р -ь- с cos 2р-cos 6р
3	3
ЗХС2 = 7ф2	-2- л82 cos 4р । блоф cos 2р 37.3у cos 2р -+-
Ji	1
—I— 3/фу cos §р
3	з	з	£>	з
---— *Л О2 =----- Х&2 с —- 7.6- cos 4р-лбе cos 2р -ч- — Лбе cos 6»
2	44	2	2 -г
86
для второго же уравнения получим:
3.3.3	3	3
। — С sin 2р — — р sin 4р н- -3- a sin 2р -4- ~ у sin (>р-— у sin 2р
3	3	3	3
О cos 2р = Ъ sin 4jp -4- -3- с sin Q>p < — с sin 2р
3
— 3XDO =-----— \$b sin 4/) — ЗЛа& sin 2р
3	3
---— Хуо sin 6jp -f-	Лу?) sin 2jp
3	3
---— ХЗс sin (ip-— 73с sin 2р
причем мы опускаем произведения из двух весьма малых величин а, у, с,
ибо они не оказывают влияния даже на седьмой десятичный знак.
§ 150. Таким образом коэффициенты ОК и М будут:
а» = — у—4«—тт-1--тс~ь3'Л‘3'1’ ~vХйс
Л£=	Д й — ^-7 4- —с -З/л/.-!- ;’-л--/, —4 л2г
-	2	4*4	2	*	2
и так как
а =-4-0.0000240
Р = —0.0071797 Ъ = 0.0102113
У = -4- 0.0000060 с = 0.0000057
то будет:
ч
9К = __А„о. 0002602 = — 1.5002602
з
м= -4-^- —0.0000684 = 4-1.4999316
соответственно чему будет:
$ = — 0.0071801; Х=-ь-0.0102117
§ 151. Остальные члены величин О и О не получают никаких попра-
вок, ибо постоянная часть величины ОК. равна а
совсем такая, как и раньше, так что коэффициенты при sin ^р и cos кр не
отличаются от прежних; добавляются еще члены с sin 6р и cos 6р, но
коэффициенты при пих настолько малые, что мы можем их отбросить; таким
— 87 —
образом мы можем утверждать, что истинные значения величин С и О
суть:
С = 0.0000240 — 0.0071801 cos 2р ч- 0.0000060 cos 4р
О — 0.0102117 sin2^-1-0.0000057 sin ±р
§§ 152—153. В этих двух параграфах Эйлер составляет сводку с чис-
леннными коэффициентами нужных ему в дальнейшем выражений:
зхо, зхо, зхо2, зхо2, зхоо
и выражений, обозначенных буквами:
31, Ф, . . . g, А, В • С ... J
но так как нам из этих выражений понадобятся весьма немногие, то мы
эту сводку опускаем.
ГЛАВА II
Развитие уравнений для величин ф и Р.
входящих в члены второго порядка
§ 154. В § 129 указано, что члены второго порядка, соответственно,
суть:
в координате х . . . Яф
»	»	» . . . РТР
причем величины ф и В определяются уравнениями:
2(ОТ 1)^_	'В/'= О
_ 2 (т 1) ® -ь В1>= О
причем (§ 141)
31	cos 2р ч- 6X0 — 12ХО2 ч- 6ХО2
Ф = ~ sin 2р — 3X0 ч- 12X00
А
А — ф sin 2р — 3X0 ч— 12 ХОО
В = -|- cos 2j» — 3X0 ч 6 ХО2--ХО2
А	А
— 88 —
или с численными коэффициентами:
51 = 4-0.0264388 — 9.2212908 cos 2р — 0.1050568 cos 4р
53 = 3.9906964 sin2jp — 0.0819104 sin 4р
А = — 3.9906964 sin 2^ — 0.0819104 sin 4р
В = — 0.0272367 ч— 5.3606454 cos 2р -4- 0.0665457 cos 4р
В присоединенных частях этих уравнений надо составить для отдель-
ных углов величины коэффициентов ЭЗс п М при их косинусах и синусах
и по ним найти величины коэффициентов 91 и Л7 при косинусах тех же
углов в выражениях $ и Р.
§ 155. Так как величины 53 и Р неизвестные, то их и надо при вычис-
лении считать таковыми, причем, как в §§ 91 и 92 указано, в состав их
выражений должны входить члены, содержащие угол (р представляю-
щий среднюю аномалию. Этот угол будет сочетаться с углами, входящими
в выражения 5(, 53, А и В, так что величины ф и Р будут вида:
53 = cos g ч- у cos (2р — д') ч- 3 cos (2р ч- q) ч- г cos (477 — q) ч-
ч— 'С cos (4р ч— q)
Р = Ъ sin q ч- с sin (2р — q)-+- d sin' 2р ч- q) ч- е sin (4р — q)-+-
ч-fsin (4рч-^)
§156.	Всего удобнее это изыскание производить последовательными
приближениями, удержав сперва в выражениях 51, 53, А и В лишь глав-
ные члены, отбросив второстепенные, в которые затем можно будет под-
ставить найденные значения 53 и Р; таким образом для первого уравнения
значения буквы для разных членов получатся на основании следующей
таблицы.
	Cos q	Cos (2р—q]	Cos (2р ч- q)
—9.2212908 cos 2р-^ . .	—4.6Ю6454 7	—4.6106454 6	—4.6106454 р
	—4.6106454 о	—4.6106454 £	—4.6106454 С
—3.9906964 sin 2р. Р . .	—1.9953482 с	—1.9953482 Ъ	н-1.9953482 Ъ
	—1.-9953482 (1	— 1.9953482 е	—1.9954482 /
Совершенно так же для углов \р— q и 4p-\-q получим:
	Cos (4/, — q)	Cos (4j) ч- j)
—9.2212908 сов		 —3.9906964 sin 2р-Р	•	.	—4.6106454 7 ч-I.9953482 с	—4.6106454 5 ч—1.9953482 d
— 89 —
§ 157.	Подобным же образом из второго уравнения составляются
коэффициенты 7И для синусов различных углов, а именно:
	Sin q	Sin (2р — q)	Sin 2р -+ q
—3.9906964 sin 2п-<Р . .	—1.99534S2 у	—1.9953482 3	—1.9953482 3
	-+1.9953482 о	-+1.9953482 6	-+1.9953482 £
-+5.36O64454 cos 2р-Р . .	—2.6803227 с	—2.6803227 Ъ	-+2.6803227 Ъ
	-+2.6803227 d	-+2.6803227 е	-+2.68O3227 f
подобным же образом для углов -\р — д и 4jo ч- д будет:
	Sin (4p — q)	Sin (4p -+ q)
1	—3.9906964 sin 2p-ty 		—1.9953482 у	—1.9953482 В
1	-+5.3606454 cos 2p-P 		-+2.6803227 c	-+2.6803227 d
§ 158.	Численные элементы для этих пяти углов следующие, причем
надо помнить, как указано в§ 97, что т— 12.36892 и	= п = 13.25604:
CO p-	1 — I P	— q 2m—n	2p -+ q 2m -+ n	4p — ? 4m—n	4p -+ q 4m-¥-n
И		13.25604	11.48180	37.99388	36.21964	62.73172
И2		175.722608	131.831730	1443.53466	1311.86121	3935.26809
X —2 ....	177.228928	177.228928	177.22893	177.22893	177.22893
Знаменатель	-+ 1.506320	-+ 45.397200	— 1266.30573	—1134.63228	—3758.03916
§ 159.	Для большей ясности даем сводку значений S1V и М для от-
дельных углов:
I.	Для угла д:
Ш? = — 4.6106454 (у ч- 8)— 1.9953482 (с ч- d)
М= —1.9953482(7 — 8) —2.6803227 (с —d)
II.	Для угла 2р— д:
Ш? = — 4.6106454 (3 ч- г)— 1.9953482 (Ь ч- е)
М= — 1.9953482(3 — г) — 2.6803227 (Ь — е)
90
III.	Для угла 2р ч- q:
Wl = — 4.6106454 (P-t-Q-i-1.9953482 (6—/)
М = — 1.9953482 ф — С) -+- 2.6803227 (Ъ ч- f)
IV.	Для угла Рр— q:
= — 4.6106454? ч- 1.9953482с
М= —1.9953482?-ь 2.6803227с
V.	Для угла 4=p-t-q:
Ш/= —4.61064548 ч-1.9953482(2
М == —1.99534828 ч-2.6803227(2
§ 160.	Вычисление коэффициентов р и 6, как требующих отдельных
пояснений, мы выполним под конец, сперва же выполним вычисление для
коэффициентов при косинусах и синусах остальных углов, т. е. величины
?, с; 8, d; е, е; f\ после чего выразим их через р и Ъ. При этом необхо-
димо заметить, что если и было необходимо вычислять величины С и О до
1
седьмого десятичного знака, хотя это и соответствует всего — секунды
1 о
в месте Луны, то здесь достаточно величины р, ?, 8, . . . вычислять лишь
до шестого знака, ибо величины и Р умножаются затем на К, значение
1
которого кругло равно — •
1О
§§ 161 —165. Упомянутые выше вычисления приведены в подлин-
нике со всею подробностью и исполнены по Формулам §85; мы их, как не
представляющие никаких затруднений, опускаем и приводим лишь сводку
полученных результатов:
Сводка
? = -0.000792р-ь 0.203916s— 0.0935386 ч-0.181444с (1)
с = —0.013292Р — 0.459727г ч- 0.1974916 — 0.402200с	(2)
8 = — 0.002532Р — 0.004750Г ч- 0.0000866 — 0.003065/*	(3)
d = -+- 0.000400р ч- 0.004725^ч- 0.0017966 ч- 0.004014/* (4)
г = — 0.002765? ч- 0.000015с
с = ч— 0.000520? ч- 0.002032с
— 0.0010008 ч-0.000217(/
/’= — 0.0000818 ч— 0.000584(2
(5)
(6)
(7)
(8)
91
Подставив значения (5) и (6), вместо г и с, в уравнения (1) и (2), полу-
чим по упрощении:
у =— 0.0007973 —0.0934616	(9)
с — — 0.013281^-4- 0.1972306	(10)
Подобным же образом, подставив величины и f, доставляемые уравне-
ниями (7) и (8), в уравнения (3) и (4), получим по упрощении:
о = — 0.002532(3 -4— 0.0000926	(11)
d = -4- 0.000400(3 -4- 0.0017966	(12)
§ 166. Обратимся теперь к первому углу у, для которого, как мы
видели:
3)? = — 4.6106454 (у -4-6)-1.9953482 (с -4- d)
1.9953482 (у — 8) — 2.6803227 (с — d\
а так как
у-ео =— 0.003329(3 — 0.0933696
у — 8 = -4- 0.0017353 — 0.0935536
c-*-d = —0.012881(3-*-0.1990266
c — d = — 0.0136813-ь- 0.1954346
то, по подстановке этих значений, получим:
9)? =	0.0410493 -ь 0.0333656
М=-4-O.O332O73 — O.3371516
§ 167. Выведя отсюда значения 'Л п Nn заметив, что 91 — 3 и N—b,
получаем следующие два уравнения:
эд
Последнее уравнение дает
6 = —2.0168323 —0.0019196
т. е.
1.0019196 = —2.0168323
откуда следует
6 = — 2.0129683
4
92
Очевидно, что если это значение подставить в выражения М и Ш?,.'
то в уравнении (1) все члены будут содержать множитель 3, так что по
разделении на 8 эта буква совершенно исчезает из вычисления и уравне-
ние должно бы обратиться в тожество, если букве п приписано правильное
ее значение, что мы и предполагаем. Однако не следует удивляться, если
это не имеет места, ибо при этом предполагается, что коэффициентам при-
писаны истинные их значения, затем надо иметь в виду, что и в членах
остальных порядков содержится тот же угол g и происходящие от этого
члены надо бы присовокупить к предыдущим, чтобы получилось истинное
значение буквы п. В самом деле, если в членах дальнейших порядков ока-
жутся величины ШУ, Jf', ШУ', 2И'' и т. д., то должно иметь место тожество
3 =-----------------------;--------;>-----------------—
‘	л — 2 — п-
§ 168. Посмотрим же теперь, насколько вышеуказанное равенство
отличается от тожества. Мы будем иметь:
Ш2 = — 0.0261143; 717= ч- 0.7118793
и так как должно быть тожественно
(X — 2 — п2) 3 =	. М— шг
7 ‘	II
то, после численного развития, получим
1.50640(3 = 1.46199(3
Здесь невязка не настолько велика, чтобы нельзя было .ожидать, что она
исчезнет после присоединения выше сказанных поправок. Кроме того,
очевидно, что если слегка изменить значение п, то все придет в полное
согласие.
§ 169.	Так как величина 3 остается неопределенной, как это и должно
быть по самой сущности дела, то всего удобнее положить (3=1, ибо
тогда, по умножении на К, войдет в состав координаты х член Кcos# и
буква К представит то, что в астрономии называют эксцентриситетом, ко-
торый иначе выражался бы через КВ. Положив 3 = 1, мы получим для»
коэффициентов значения, показанные в следующей таблице:
8 =	ч-1.000000	1) =	— 2.012968
7 =	-+-0.187336	с -----	— 0.410299
о =	— 0.002717	d =	— 0.003215
£ :~	— 0.000524	е =	— 0.000739
	— 0.000001	f=	— 0.000003
93
§ 170.	До сих пор мы определили приближенные значения величин ф
и Р, но они настолько мало отличаются от истинных, что ими можно поль-
зоваться без чувствительной погрешности, тем не менее надо исследовать
те поправки, которые возникают от отброшенных нами первоначально ма-
лых членов в 2(, Л; 33, Б, до тех же пор будем пользоваться следующими
приближенными Формулами:
Ф = cosg-ь- 0.187336 cos(2р— q)— 0.000524cos(4р— q)—
— 0.002717 cos (2p -ч- q)
— 0.000000 cos (4p q)
P = — 2.012960sin7— 0.41 0299 sin(2p— q)— 0.003215 sin (2p -+- q)
— 0.000739 sin <Лр-—q) — 0.000003 sin (4jo-+-(/)
§ 171.	Для первого уравнения § 154 значения ф и Р должны быть,
соответственно, помножены на отброшенные члены
-л- 0.026»4388 — 0.1050568 cos 4р
и
— 0.0819104 sin 4р
отчего произойдут прибавочные члены, коэффициенты которых мы обозна-
чим через ШУ. Вычисление этих членов располагаем так:
•4-0.02644 ф . —0.105 cos 4p-ty .	('о> q	Cos (2р — q) j ('os (2p -4- q)		Cos (4p — q)	I Cos (4p -4- q)
	-4-0.026438 -4-0.000027	-t-0.004953 -4-0.000142	—0.000072 —0.009840	—0.000014 —0.052528	—0.000000 , —0.052528
	-4-0.026465	-*-0.005095	—0.009912	—0 052542	—0.052528
—0.082 sin 4р-Р .	-+-0.000030	-4-0.000131	-*-0.016765	-4-0.082441	—0.082441
Ж' = . .	-4-0.026495	-4-0.005226	-4-0.006853	-4-0.029899	—0.134969
I
§ 172.	Подобным же образом для второго уравнения надо величины
ф и Р умножить, соответственно, на члены, отброшенные первоначально
в А и Б, а именно:
— 0.819104 sin 4т?
— 0.0272367 -+- 0.0665457 cos 4р
94 —
что доставит такую таблицу:
—0.0819 sin 4р-^) . —0.0272Р . . . .	Sin g	1 Sin (2/) — q) Sin (2p + q) ; Sin (4y) — g)			Sin (ip -+ q)
	-+0.000021 -+-0.054824	-+0.000111 -+0.011149	—0.007672 -+0.000088	—0.040955 -+0.000020	—0.040955
-+0.0665 cos ip-P .	-+0.054845 -+0.000024	-+0.011260 -+0.000107	—0.0075-4 -+0.013620	—0.040935 -+0.066977	—0.040955 —0.066977
М<= . .	-+0.054869	-+0.011367	-+0.006036	-+0.026042	—0.107932
§ 173. Попрежнему, отлагая на время вычисление коэффициентов
при cost? и sinкоторое рассмотрим особо, вычислим'по Формулам § 85
те поправки в значениях ЭД и N, которые в каждом члене соответствуют
приведенным выше значениям 9ЭД' и М'; обозначая эти поправки буквами
ЭД' и N', получим такую табличку их:
Аргумент	91'	
2p — 9		-+0.000467	—0.001004
I 2p -+ g		-+0.000002	-+0.000003
— 4 • •	-		-+0.000009	-+0.000013
ip -+ g		—0.000024	—0.000017
§ 174.	После того как эти поправки найдены, надо величины ЭД' при-
ложить, соответственно, к первым частям уравнений (1) — (8), и мы полу-
чим исправленные уравнения:
? =— 0.000792(3 ч-0.203916s —0.0935386ч-
ч— 0.181444с	0.000467	'
с— — 0.013292(3 — 0.459727sч- 0.1974916 —
— 0.402200с — 0.001004	’
3 =-_ —0.002532(3 — 0.004750*(ч- 0.0000866—	,
— 0.003065/*ч-0.000002
(I = -+- 0.000400(3 ч- 0.004725^4-0.0017966 ч-	,
ч— 0.004014/’ч— 0.000003	v 7
£ — 0.002765? ч— 0.000015с ч- 0.000009 •	(5')
е = ч— 0.000520? ч- 0.002032с ч- 0.000013	(6')
‘С = — О.ООЮОООо ч— 0.00021 Id — 0.000024	(7')
/ = _ O.OOOO813 ч- 0.000584г7 — 0.000017	(8')
95 —
§ 175.	С этими уравнениями поступим подобно предыдущему, а именно,
подставим значения е, е, и f, следующие из уравнений (5') — (8'), в урав-
нения (V) — (4'); тогда, по упрощении, получим:
у = — O.OOO7973— 0 0934226-4-0.000467
с =— 0.0132813-4-0.1972306— 0.001013
3 = — 0.002532(3	0.0000866 н 0.000002
d = О.ООО4ООЗ-ь 0.0017966 -4- 0.000003
§ 176.	Подставив эти значения в первые два уравнения § 159, кото-
рые доставляют величины 94? и >, относящиеся к углу (/, мы получим:
99? = -4- 0.0430463 -4- 0.0332136 — 0.000170
М = -+- 0.0358883 — 0.3372456 -ь- 0.001790
к этим значениям надо приложить величины 9J?' и М7, найденные в §$ 171
и 172, и мы получим:
Ш? -ь- 9)?' = 0.0430463 -4- 0.0332136 ч- 0.026325
>ч-> = 0.0358883 —0.3372456 ч-0.056659
§ 177.	По этим значениям, применяя Формулы § 85, надо определить
значения 9? -4-9?' и N-t-Nr, которые, по предположению, в силу сделанных
в § 155 обозначений, должны быть
%-<->' = 3 и N-t-N' — b
так что, на основании последней Формулы, должно быть
. J/ч-Ж 2(ш-Ы)о
’	2	~ г
II ‘
или, по развитии,
6 =— 2.0168243 - 0.0019196-4-0.000322
а так как принято
3 = 1
то получится
6 = — 2.012639
§ 178- Посмотрим теперь, во что обратится первое уравнение
(X — 2 — п-) 3 = 2TJ.2 (м н- М') - (Эй н- а»')
— 96 —
и которое при 3 = 1 должно обращаться в тожество, при этом будет:
211 ч-ЭР = 0.771199
9W-+->>' = 0.002525
и предыдущее уравнение обращается в такое равенство:
1.50640 = 1.55301
в котором погрешность относится к правой части, и эта погрешность на-
столько мала, что она пропадет, когда будут приняты во внимание члены
высших порядков, содержащие cos g.
§ 179. После того как истинное значение коэффициента Ъ найдено из
уравнений (V) — (8'), найдем и те значения всех прочих, которые пока-
заны в следующей таблице:
3 =1.000000
у = ч- 0.187695
8 = — 0.002703
s = — 0.000514
•( = — 0.000021
/> = — 2.012639
с = —0.411247
d = — 0.003212
е = —0.000724
f= — 0.000019
§ 180. Таким образом, на основании значений, найденных в этой и
в предыдущей главах, имеем:
С = ч~ 0.0000240 — 0.0071801 cos 2р ч- 0.0000060 cos 4р
О = ч- 0.0102117 sin 2р -+- 0.0000057 sin 4р
93 = ч- cosq ч- 0.187695 cos(2^ — q)— 0.002703 cos(2p ч- q)
— 0.000514 cos (4 — q)— 0.000021 cos(4p q)
R = — 2.012639 sing—0.411 247 sin(2j> — q)— 0.003212 sin (2p -*~q)
— 0.000724 sin (±p — q)— 0.000019 sin (4p ч- q)
ГЛАВЫ hi—x
В этих главах, заключающих	181—383, исчисляются, совершенно
подобно изложенному выше, величины:
С, 9i, е, £, U, 93, w
Q, JR, S, Т, U, F, W, w
причем Эйлер берет их в Форме:
О • cos q а ч— 3 cos (р — q)-+- у cos (/> ч- q) ч- . . .
a sin q ч- Ъ sin — q) ч- c sin (р ч- q) ч- . . .
97 —
соответственно виду присоединенной части в развитой ее Форме, причем
всякий раз в конце вычисления коэффициент при cos# полагается равным
нулю, ибо по предположению все члены, содержащие cos#, уже включены
в состав величины ф. Все вычисления приведены с полною подробностью
не только алгебраической, но и численной, и видимо взяты так, как они
на самом деле произведены, со всеми логарифмами и деталями их исполне-
ния. Это занимает 242 страницы in-4o, именно — от стр. 163 до стр. 405.
Мы все это опускаем, ибо применяемая метода вполне выяснена в §§ 127—
180, и прямо переходим к части третьей сочинения Эйлера.
ЧАСТЬ 3-я
ЧИСЛЕННОЕ РАЗВИТИЕ УРАВНЕНИЯ.
КОИМ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КООРДИНАТА z
В этой части, заключающей шесть глав, составляется полное выра-
жение для координаты z, определяемой третьим дифференциальным уравне-
нием в § 79, причем эта величина пишется под видом
z = гр -+- ihq ч- iK2г ч- гхё ч- г31 ч- iau
Величины, р, q, г, t определяются дифференциальными уравне-
ниями §§ 122—126, каждое—в своей главе. Член iau был первоначально
опущен и прибавлен в этой части.
Мы приведем первые две главы, в которых метода с полною подроб-
ностью выясняется на выводе р и q, для остальных же выражений выво-
дов приводить не будем, а дадим лишь окончательные результаты.
ГЛАВА I
Развитие уравнения для величины р,
входящей в член первого порядка
§ 384.	Уравнение, которым определяется величина р, как приведено
выше, есть следующее:
-+- (X 1) р •+- р ( — 3X0 6ХО2 — ~	= °’
dtr v 7 т \	2	)
причем, на основании § 152,
21 = — 3XD ч- 6XD2 — у АО2 =-	0.0007980 ч- 3.8606451 cos 2р
ч- 0.0385110cos4#>
Будем эту величину для краткости обозначать буквою а.
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. в тт. А’ и VI.	*
— 98 —
§ 385. В этом уравнении присоединенная часть не содержит членов,
свободных от множителя р, главный же член этой неизвестной, как ука-
зано в §§ 99—101, есть sin г, причем
^ = /= 13.42263
at
поэтому полагаем
р = sin г -+- с sin (2р — г) d sin (2р -+- г) -t- с sin (4р — r)-¥-f sin (4р -+- г)
Эту величину надо умножить на обозначенную выше через а и развить
подобно тому, как делалось в предыдущих главах, причем получатся члены
только с синусами выше показанных углов. Обозначая коэффициенты при
этих синусах вообще буквою М и самые члены через Мsin со, где == р.,
(Iv
получим в выражении р, соответственно, члены .У sin со, причем, как пока-
зано в § 89, коэффициенты N определяются по Формуле
N=-------—----
[Л2 — л— 1
§ 386- Выражение а имеет своим главным членом 3.8606451 cos 2р.
Умножив на него вышеприведенное выражение р, разовьем полученное
произведение и, обозначая через Jf' коэффициенты при синусах, вычислим
соответствующие им Nf и таким образом определим весьма близкое к истин-
ному значение р. Это вычисление располагаем так:
	Sin г	Sin (2р — г)	Sin (.'р ч- г)
ч- 3.8606р cos 2р ....	— 1.9303225с ч-- 1.9303225с?	— 1.9303225 -ь 1.9303225с	ч- 1.9303225 ч- 1.9303225/’
		Sin (4р — г)	Sin(4p4-r) |
ч- 3.8606р cos 2р ....			ч- 1.9303225 • с	1.9303225 - d J J
соответственно этим значениям аргументов получим следующие значения
величин:
р. и р.2 — л—1
99
	р-	Р-	р.2	р.2 — X — 1
V	1	13.42263	180.166958	— 0.061970
2р — г	2т — 1	11.31521	128.03403	— 52.19490
2р г	4т -г 1	38.16047	1456.22222	1275.99329
4р — г	4т — 1	36.05305	1299.82239	1119.59346
4р -1- г	4т -+-1	62.89831	3956.19818	3775.96925
§§ 388—389. Так как определение коэффициента, относящегося к ар-
гументу г, требует отдельного рассмотрения, которое производим в конце,
то здесь находим значения 2V лишь для остальных аргументов, и на осно-
вании выражения р уравниваем их, соответственно, с, d, с и /'и получаем:
с = -+- 0.036983 — 0.036983с
d = -+- 0.001512	0.001512/*
е==-ь 0.001724с
/=-ь 0.00051 hi
Отсюда находим:
с = -t- 0.036981;	с = -г- 0.000064
d = -ь 0.001512	/*= -г- 0.000001
На основании первой таблицы § 386 имеем для члена Tlf'sinr значение
М' = 1.9303225 (<i— с) = — 0.068341
эта величина должна бы быть равна знаменателю— 0.061970, и если это
не вполне верно, то разница происходит, с одной стороны, потому, что
коэффициенты имеют лишь приближенные значения, с другой — потому,
что член sin г происходит не только от членов первого порядка, но и всех
прочих порядков, ибо значение величины I определено таким образом.
§ 390. На основании этого, приближенное выражение р есть
р = sinr-+- 0.036981 sin(2р — г)-+-0.001512 sin (2^-ь г)
-+- 0.000064 sin (4jj— г) -+- 0.000001 sin(4p -г- г)
На это выражение надо умножить первоначально опущенные члены
выражения а, выполнив преобразование, определить коэффициенты ЛГ и,
7*
— 100 —
разделив их на выше приведенные значения Д-— /.— 1, определить Лт/,
таким образом получим такую таблицу:
Sin w	0.000798р	ч- 0.038511 • р cos 4р	М'	у - v Ц2 — л — 1
1 Sin г ....	ч- 0.000798	— 0.000002	ч- 0.000796	—
) Sin (2р — г)	ч- 0.000029	— 0.000029	0.000000	0.000000
Sin (2р -+- г) .	ч- 0.000001	— 0.000712	— 0.000711	0.000000
Sin(4p —г) .	—	— 0.019256	— 0.019256	— 0.000017
; Sin (4/> -+- г) .	—	ч- 0.019256	— 0.019256	ч- 0.000005
Коэффициент же при sin г будет вычислен ниже.
Придав найденные значения N1 к определенным выше с, d, е и /*, по-
лучим:
с —ч-0.036983 —0.036983с
d = -ч-0.001512 ч-0.001512/*
е = ч- 0.001724с —0.000017
f= -F- 0.000511(2 ч- 0.000005
отсюда следует:
d = ч- 0.036982	е = -4- 0.000047
d = ч- 0.001513	f= ч- 0.000006
так что будет
М-^М’ = — 0.067545
Это значение уже ближе к значению знаменателя — 0.061970, и следова-
тельно, члены высшего порядка оказывают меньшее влияние.
§ 391. Отсюда следует, что истинная величина р есть
р = sinт -4- 0.036982 sin(2^ — г) ч- 0.001513 sin(2p ч-г)
ч— 0.000047 sin(4jo —?’) ч- 0.000006 sin(4^ ч-г)
ГЛАВА II
Развитие членов второго порядка с коэффициентом iK
и множителем q
§ 392. Дифференциальное уравнение, служащее для определения ве-
личины q, как указано в § 142, есть
^ч-(А+ 1) q ч-aq ч-6Ц?р ч-сРр = О
u L
— 101 —
причем буквы а, Ь и с имеют следующие значения:
ц = -ь 0.0007980-ь 3.8606451 cos 2р ч- 0.0385110 cos 2р
6 = — ЗХ ч-12ХС — ЗОХС2 ч— у W2 =
= — 537.7036780 — 15.4425816 cos2р — 0.1957813 cos4р
с = — 3X0-1-15X00 =
=— 5.4906964 sin 2р — 0.1016218 sin 4р
§ 393. Прежде всего надо развить члены фр и Рр, не содержащие
множителя q, получается:
фр -- — 0.49653 sin ((/ — г) ч— 0.09461 sin (2р — q-t- г)
-4- 0.01985 sin(2р -t-q— г)
— 0.00011 sin (4р— Q-*-?)
— 0.00002 sin (4р ч- д — г)
-4- 0.50019 sin 0/-4- г) — 0.07536 sin(2р— q — г)
— 0.00059 sin (2р	д-+- г)
-4— 0.00377 sin (4р-—q — г)
— 0.00001 sin (4р -4— q ч- г)
Рр — — 1.01393 cos (q — г) ч- 0.20409 cos (2р — д ч- г)
ч-	0.03561 cos (2р -+-q— г)
ч-	0.00067cos(4р— д-+-т)
ч-	0.00010 cos (4/) ч- q — г)
ч— 1.00595 cos (<£ ч- -г)— 0.24284 cos(2j) — q — г)
ч- 0.00313 cos (2р -t-q-t- г)
ч— 0.00719 cos (4р — q — г)
ч— 0.00002 cos (4р ч- q ч- г)
Из этих выражений сразу видно, что их члены подразделяются на два
класса, из которых первый содержит угол (д— г), второй — угол (д-ь-г).
Эти классы уже потому надо один от другого различать, что они от после-
дующих действий один в другой не переходят, вследствие чего вычисление
получает не малое упрощение.
§§ 394—395. Подобно предыдущему, сперва вычисляются коэффи-
циенты TIP при синусах аргументов:
q — г; 2р — q-t-r: 2p-t-q — 4р — q-^-r: 4p-+-q— г
и соответствующие им делители
[X2 — X — 1
— 102 —
и получаются следующие две таблицы:
I) Значения М
	Sin (g — r)	Sin (2/>—q+r)	Sin (229 + 2 — r)	Sin(4p — q+r')	Sin(4^» + g—r)
$р (— 537.703) . . .	—+ 266.98594	— 50.87214	—10.67342	-+ 0.05915	-4- 0.01075
фр(— 15.442 cos 2р) .	—+	0.73051	— 3.83385	-4- 3.83385	— 0.73051	— 0.15327
	— 0.15327	-4- 0.00085	-4- 0.00015		
фр (— 0.19578 cos 4p)	— 0.00009	-4- 0.00194	-4- 0.00926	— 0.04861	-+0.04861
Pp (— 5.490 sin 2p) .	— 0.56030	-4- 2.78359	-+ 2.78359	— 0.56030	— 0.09776 '
	-+ 0.09776	-4- 0.00184	-+- 0.00027		
Pp (— 0.1016 sin 4/>) .	— 0.00029	— 0.00181	— 0.01037	-+ 0.05152	-+ 0.05152
M. . .	-+267.10026	— 51.91958	— 4.05667	— 1.22875	— 0.14015 '
II) Значения знаменателя D — р.2 — X — 1
0)			[Л-	1)	M N— — D
P— r	n — I	— 0.16659	0.02775	— 180.20118	—1.48223
2pq-+ r	2m — n -t-l	-+ 24.90443	620.23057	-+ 440.00164	— 0.11800
2p-t- q — r	2m —+ n — I	-+24.57125	603.74614	-+ 423.51721	— 0.00958
4p — q-+- r	4m — n -t-l	-+ 49.64227	2464.35543	-+ 2284.12650	— 0.00054
4p-t-q — r	4m -t-n — I	-+ 49.30909	2431.38667	-+2251.15774	— 0.00006
Значения величин т ц, I и л,
как указано выше, суть:
т = 12.3689539
п = 13.255865
(13.25604)
1= 13.42263
Л = 179.228928
396-399. Полагаем теперь неизвестную q равной
q = Ъ sin (q — r)-t-c sin (2p — q -+- r) d sin (2p -+-q — r)
-+- e sin (Xp — q-+-r)-+-f sin (Xp -t- q — r)
и сперва умножаем эту величину на главный член количества а, т. е. на
3.860645 cos 2/7, и получаем следующие значения коэффициентов М' и N",
оставив коэффициент при sin(^ — г) для определения под конец:
— 103 —
Sin io	М'	1)	N'
Sin (2р — g -+- г) ....	— 1.930322 (Ъ — е)	440.00164	— 0.00439 (b — e)
Sin (2р -+- q — г) ....	-ь 1.930322 (Ьч-f)	423.51721	—t— 0.00456 (b -i- f)
Sin (4р — q -4— г) ....	-ь 1.930322 с	2284.12650	0.00084 c
Sin (4р q — г; ....	-4- 1.930322 d	2251.15774	—f— 0.00086 d .
Sin (g — г)		— 1.930322 (c — d)	— 180.20118	—
Придав эти значения к определенным выше значениям N и сопоставив
с выражением для сие, получаем следующие равенства:
с = — 0.11800 — 0.00439 (Ъ — е)
е = — 0.00054	0.00084с
Откуда следует:
с = —0.11800 —0.004396	(1)
е = — 0.00064	(2)
и
d = — 0.00958	0.00456 (6 -+- /')
/*= — 0.00006	0.00086^
из которых следует:
d = — 0.00958 -ь- 0.004566	(3)
/ = — 0.00007	(4)
Перейдем теперь к члену с sin (q— г). Мы видели, что для этого члена
М' = — 1.930322 (с — d)-,
подставляя вместо с и d их значения (1) и (3), имеем
№ = -+- 0.20929 -+- 0.017286
и, по разделении на D = —180.20118, имеем
JV7 = — 0.00116 —0.000106
значит
Дт-1- N' = — 1.48339 — 0.000106
Уравнивая эту величину 6, имеем
6 = —1.48339 —0.000106
104 —
откуда следует
Ъ= 1.48324
и, по подстановке в Формулы (1) и (3), имеем:
с =——0.11149; d — — 0.01634
Таким образом приближенное значение первой части выражения q, содер-
жащей аргумент g — г, есть
= — 1.48324 sin (q— г) — 0.11149 sin (2/)— q -+- г)
— 0.01634 sin (2т? q — г)
— 0.00064 sin — q-+-r)
— 0.00007 sin (4j9-+-g — r)
§§ 400—401. Теперь следует вычислить те поправки, которые надо
к этой величине присовокупить, чтобы учесть влияние первоначально
отброшенных малых членов в выражении и, а именно:
-+- 0.000798	0.038511 cos
Получаем такую таблицу:
(0	Oi • (0.000798)	«1	(0.385 cos 4p)	№'	D	N'
Ч — г		— 0.00118		-+- 0.00001	— 0.00117	— 180.20	-+- 0.000007
2р — q г , .	— 0.00009		-t- 0 00031	-i- 0.00022	-+- 440.00	-4- 0.000000
2р q — г . .	— 0.00001		0.00215	-4—0.00214	-4- 423.52	-+- 0.000005
4р — q ~t- г . .	—		-4- 0.02856	-4- 0.02856	2284.1	-+- 0.00001
4р -4- q — r . .	—		— 0.02856	— 0.02856	-j-2251.2	— 0.00001
Прибавив найденные величины к вышеполученным (1)—(4), имеем:
с = — 0.11800 — 0.004396
d = — 0.00958 -в- 0.004566
с = — 0.00063
— 0.00008
Отсюда находим:
2И' = -г- 0.20929 -ь 0.017286
А' = — 0.00116 — 0.000106
— 105 —
и затем:
& = —1.48323; с = — 0.11141
d =— 0.01634; е = —0.00063
f= — 0.00008
§402. Таким образом исправленное значение первой части выраже-
ния q есть
qt — — 1.48323 sin^— г) — 0.11149 sin(2р— q-+-r)
— 0.01634 sin(2^ -+- q— г)
— 0.00063 sin(4j?— q -+- r)
— 0.00008 sin (4p -+-q— r)
Необходимо заметить, что поправки, найденные в предыдущем параграфе,
настолько ничтожны, что ими можно бы было пренебречь, и значит, в вели-
чинах а, Ь, с можно было бы малые члены отбросить, кроме того видно,
что в них члены, содержащие cos 4 р. сами по себе настолько малы, что
совершенно не влияют на прочие. Отсюда мы с полною строгостью заклю-
чаем, что в дальнейших главах, где вычисления иначе были бы громадны,
надо пользоваться этим замечанием.
§§ 403—409. В этих параграфах, совершенно подобно предыдущему,
вычисляется вторая часть выражения q, зависящая от аргумента q -+- г,
присовокупив которую к предыдущей получается следующее полное значе-
ние выражения q:
q = —1.48323 sin(q—г) — 0.11149 sin(2£) — g-ьг)
— 0.01634 sin (2p -+-q — r)
— 0.00063 sin (4p— q-t- r)
— 0.00008 sin (4p -t-q — r)
— 0.50497 sin(^-r- r) — 0.24129 sin (2p— q — r)
— 0.00296 sin (2p q -+- r)
— 0.00364 sin(4jp — q — r)
— 0.00002 sin (4/> -и q r)
— 106 —
В следующих главах III—VI, заключающих §§ 410—457, получаются
выражения г, 8, t, и, а именно:
Г = 0 • sinr-t- 0.0363 sin(2j9 — г) -+- 0.1589 sin(2T?-+-r)
-4- 0.3425 sin (2^— г)-г- 0.0498 sin (2р — 2g-+-r)
-4- 0.0125 sin (222	2q— г)
-+- 0.3799 sin(2g'-»-r)-+- 0.1701 sin(2^ — '2q— r)
-4- 0.0045 sin (2p -+-2q-t- r)
•g = — 0.02010 sin(r — t)	0.03994 sin(2^> — г-ь- t)
— 0.00686 sin(2p	r — t)
-к 0.01676 sin(r-4-/) —0.10960 sin(2^> — r — t)
-4- 0.00090 sin (2p -4- r -+~1)
= 0 • sinr-t- 0.0023 sin (2^ — r)— 0.0007 sin (2p r) -4- 0.0004 sin 3r
-г- 0.0175 sin (2p— 3r)
-4- 0.0018 sin (422 — 3r)
u = — 0.1583 sin (22 — r) — 0.0604 sin(22 -4- r)— 0.0037 sin (3p— r)
Получив, таким образом, величину z, Эйлер, как указано в § 143, возвра-
щается к величинам х и у, составляет продолжение глав части второй и
определяет величины последних членов этих выражений, что и представляет
содержание 458—548. Затем он составляет сводку выведенных для
координат ж, 2/, z выражений, после чего, сравнив развитую им теорию
с теорией Клеро (§§ 559—636), переходит к астрономическим приложе-
ниям своей теории и к составлению вспомогательных таблиц, упрощающих
вычисление места Луны, т. е. долготы и широты ее и параллакса.
Для этого он сперва развивает в §§ 550—554 выражения для х,у,я
в чисто численном виде, а именно:
§ 550.	Координаты ж, 2/, z Луны выражаются следующими Фор-
мулами:
-4- <rxn? -4- «2 Ж -г- г2 К2) -4- г2хЗ
— 107 —
причем величины £), ф, ... 3 выражаются следующим образом:
С = ч- 0.0000240 — 0.0071801 cos 2р ч- 0.0000060 cos 4^
ф — ч-1.000000 cosq-+- 0.187695 cos(2р— q) — 0.002703 cos(2^ -+-q)
-— 0.000514 cos(4p — q) — 0.000021 cos (4p ч- q^
C =— 0.53896 -4-0.21903 cos 2p-+- 0.00195 cos 4#э ч-0.50967 cos 2q
— 0.20179 cos (2p — 2q) ч- 0.00482 cos (2p -4- 2#)
0.02278 cos (4p — 2q) ч- 0.00004 cos (2p -4- 2q)
— -4- 0 • cos#— 0.1908 cos(2j? — q) — 0.2300cos(2p -+-q)
— 0.0482 cos (4p — #) — 0.0058 cos (4p ч- #)
— 0.3807 cos 3#ч- 0.2623 cos(2p — 3#)— 0.0068 cos(2j?4- 3#)
— 0.0239 cos (2p — 3q) ч- 0.0000 cos (4#? ч- 3#)
S — 4- 0.11419 cosp— 0.00289 cos 3p
X — — 0.0813 cos (p — q) 4- 0.1205 cos (p -+-q) — 0.0088 cos (3p — #)
4- 0.0015 cos(3p ч-,#)
Ц —— 0.006829 cos/ч- 0.029397 cos(2p — /) — 0.003452 cos(2рч-/)
ч— 0.000046 cos (4j? — f) — 0.000004 cos (4jo ч-1)
"$ = — 0.18182 cos (# — /) ч-0.03084 cos (2#? — q-t-t)
ч-0.01379 cos (2рч-# — t)
4- 0.08427 cos (q ч- t) — 0.40759 cosi 2p — q — t)
— 0.00093 cos (2p -ь-q-t-t)
43 = 4- 0.1278 cos t — 0.6509 cos (2p — t) ч- 0.1436 cos(2p-4- t)
— 0.4431 cos (2q — t) — 0.4322 cos (2p — 2# ч- /)
— 0.0253 cos (2рч- 2q — f)
4- 0.0642 cos (2# ч-/)ч— 0.2528 cos(2/) — 2q — t)
4- 0.0030 cos (2p 4- 2# ч- /)
W = -b- 0.1164 cos (p— f) 4- 0.6135 cos (p ч- /)
ч— 0.0162 cos (3p — t) — 0.0048 cos (Зр ч-1)
£ = — 0.25019 4— 0.01928 cos 2p ч- 0.00002 cos ч- 0.24728 cos 2r
— 0.01242 cos(2p — 2r) ч- 0.00038 cos(2^ ч- 2r)
4- 0.00025 cos (4/) — 2r) 4- 0.00000 cos (4#? ч- 2r)
= -4-0 • cos# — 0.0716cos(2p — #) — 0.0067cos(2#)4-#)
— 0.0610 cos (2# — r) — 0.0268 cos(2r — #ч- 2г)
— 0.1044 cos (2p -t-q— 2r)
— 0.1264 cos (#ч- 2г)ч- 0.0258 cos (2p — q—2r)
— 0.0009 cos (2p 4- # -4- 2r)
3 = ч- 0.0098cos/ — 0.0584cos(2#?—,/)ч- 0.0220cos(2p ч- t)
4- 0.0189 cos(/—2r) — 0.0017cos(2#) — /ч- 2r)
— 0.0096 cos(2p4-1 — 2r)
— 0.0108 cos(/ -4- 2г) 4- 0.0288 cos(2#> — t — 2r)
4— 0.0001 cos (2p 4- 14- 2r)
— 108 —
§ 551. Так как
_ 1 _ 1 /, 1 \
а 390	400 \	93/
_ _1_Л	1 \
Х 60 \	138/
то удобнее в тех члеаах, где эти величины содержатся, выполнить умно-
жение и написать их так:
= -ь- 0.0002928 cosp— 0.0000074 cos Зр
аХ = — 0.000208 cos (р — q) -ь- 0.000309 cos (р q)
— 0.000023 cos(3p — q)
0.000003 cos (Зр q)
xU = — 0.0001146 cos t -4- 0.0004933 cos (2p — t)
— 0.0000579 cos(2p-*-£)
-+- 0.0000007 cos (4j? — t)
— 0.0000001 cos (4p	1)
хф = — 0.003051 cos(</ — t) -+~ 0.000518 cos(2t? — q-+- f)
-+- 0.000231 cos (2p -+-q— t)
-4-	0.001414 cos (q -4- /) — 0.006839 cos(2t? — q — t)
— 0.000016 cos (2p -4- q -4- t)
x® =-4-0.00215 cos/ —0.01162 cos(2^2	0.00241 cos(272-4-
— 0.00744 cos (2q— t) — 0.00726 cos (2p— 2q-+-t)
— 0.00042 cos (2p 4- 2q — t)
-4-	0.00108 cos (2q -4- t) -4- 0.00424 cos(2;? — 2q — t)
-4- 0.00005 cos (2p -4- 2q 1 t)
axw= + 0.0000050 cos(j9— /)-+- 0.0000264 cos(2?-*- 0
— 0.0000007 cos (3p — t) — 0.0000002 cos (3p -4-t)
x8 = -4- 0.00016 cos t— 0.00098 cos (2p — £)-+- 0.00037 cos (2p-4- fy
-4- 0.00032 cos(/-4— 2r) — 0.00003 cos(2j2—t-+- 2r)
— 0.00016 cos (2j?—4—/ — 2r)
— 0.00018 cos (t -4- 2r) 4 0.00048 cos(2j2 — t — 2r)
-4-	0.00000 cos (2p-4-1-4- 2r)
§ 552.	Совершенно так же координата у выражается Формулой
у = О -4— КР-4- К2 Q t Ks R -4- aS-л- аКТ-л- kKV~+- kK2 W
-4- axw -4- i2 X -4- KY -1- i2 -aZ
— 109 —
причем величины О, Р, . . . Z выражаются следующим образом:
О = + 0.0102117 sin 2р । 0.0000057 sin4/>
р = __ 2.012639 sin# — 0.411247 sin(2p —#) — 0.003212 sin(2р -+-q)
— 0.000724 sin(4p — #) — 0.000019 sin (4p 4- #j
Q =	0.09800 sin 2p 0.00175 sin 4p 4- 0.25209 sin 2#
i - 0.31159 sin(2p—2#) 4- 0.00428 sin(2p4-2#)
4- 0.01183 sin(4p—2#)-+- 0.00005 sin(4p-b-2#)
P — 4— 1.3662 sin#-4- 0.4255 sin(2p— #)— 0.0353 sin(2p4-#J
— 0.0377 sin(4p— #)-+- 0.0010 sin(4#>4-#)
— 0.2955 sin3#—-0.2211 sin(2p— 3#)— 0.0061 sin(2p-4- 3q)
— 0.0071 sin (4p— 3#) — 0.0001 sin(4p-+- 3q)
S = — 0.24035 sinp -+- 0.00285 sin 3p
T = -t- 1.8056 sin(p— q) 4- 0.0720 sin(3p— q)
4—	0.0603 sin(p 4-#)— 0.0008 sin(3p + q)
U= 0.190587 sin/ — 0.043312 sin (2p — /) 4- 0.005525 sin(2/?-+-/)
— 0.000143 sin(4p— /)-ь- 0.000005 sin(4p-t- /)
V = -+- 0.68575 sin (#— t) — 0.13086 sin(2p— q 4- t)
-4— 0.01518 sin (2p -t- q — t)
— 0.44216 sin(#-+- /)-+- 1.00824 sin(2p— q — t)
— 0.00422 sin (2p 4- q 1)
-4-	2.6319 sin/ — 0.3130 sin(2p— /)-+- 0.0952 sin(2p-+-1)
— 0.1673 sin(2#—/) — 0.0000 sin (2p— 2#-4-1)
— 0.0233 sin(2p -4- 2g— /')
4- 0.3349 sin(2#-t- /')— 1.7240sin(2p — 2q— /)
-4- 0.0076 sin (2p 4- 2g 4-t)
w = — 0.1093 sin(p— /) — 1.2630 sin(p 4- /)— 0.0167 sin(3p— /)
i 0.0015 sin (3p -+-t)
X = — 0.02145 sin2p— 0.00003 sin 4p— 0.24645 sin2r
-Ч-0.03407 sin(2p— 2r)— 0.00037 sin(2p-f- 2r)
— 0.00014 sin (4p — 2r) » 0. sin (4p 4- 2/ )
Y= 4- 0.0014 sin# 4- 0.1917 sin(2p — #) 4- 0.0095 sin(2p-4-#)
— 0.4965 sin(#— 2r) 4- 0.0289 sin(2p — #4- 2r)
4- 0.1805 sin(2p 4-# — 2/)
4- 0.1251 sin(# 4- 2r) — 0.0597 sin(2#> — #— 2r)
4-0.0007 sin (2p 4-# 4-2r)
Z= — 0.2496 sin/4-0.0697sin(2p — /) — 0.0247sin(2p4-Z)
4- 0.0204 sin (/ — 2r) 4 0.0017 sin(2p — /4- 2r)
4- 0.1016 sin(2p 4- / — 2r)
4 0.0099 sin(/4- 2r) — 0.0755 sin(2p — / — 2r)
— 0.0004 sin (2p 4-14- 2r)
— 110 —
§ 553.	Выполнив умножение на а и х, имеем:
aS= — 0.0006163 sinр -+- 0.0000073 sin Зр
аТ= -ь- 0.004630 sin(j2 — д') -4- 0.000155 sin(jj -ь- д)
-ь- 0.000185 sin(3p— д) — 0.00002 sin (Зр -+- д)
kU= -t-0.0031981 sin/— 0.0007268 sin(2j? — /)-i-
-+- 0.0000928 sin (2p -+-t)
— 0.0000024 sin (4/2 — t) -+- 0.0000001 sin(4p -4-1)
kV = -t- 0.011507 sin (q— t) — 0.002196 sin (2p— g-+-1)
0.000255 sin(2j?-+- g — t)
— 0.007420 sin (</-4- /)-ь- 0.016918 sin(2^ — g — t)
— 0.000071 sin(2p -+- g 1)
xJF =	0.04418 sin/— 0.00526 sin(2j2— /)-4- 0.00160 sin(272 -+-t)
— 0.00281 sin(2g — Z)-t- 0.00000sin(2p— 2g-+-t)
— 0.00039 sin (2p -t-2g — t)
-1-	0.00562 sin (2g-4- t) — 0.02892 sin (2p — 2g — t)
-4— 0.00013 sin (2p ч- 2g-t-t)
av.w — — 0.0000047 sin (72— t)— 0.0000544 sin (p -4-1)
— 0.000000 sin (3p — t) -4- 0.0000001 sin (3p -4-1)
/.Z— — 0.00419 sin/-4— 0.00117 sin(2p — t) — 0.00041 sin(2p -4-1)
0.00034 sin(/— 2r) -4- 0.00003 sin (2p — /-4- 2r)
-4- 0.00171 sin(2j? -4-1— 2r)
-4- 0.00017 sin(Z -4- 2r) — 0.00127 sin (2p — t — 2f)
— 0.00001 sin(2j?-4- /-4- 2r)
§ 554. Третья координата з определяется Формулой
z = гр -4- iKc^ -4- 1КЧ -4- гхЗ -4- i3t -4- iau
причем значения величин р, . . . и таковы:
р = sin г -4- 0.036982 sin (2р — г)-н 0.001513 sin(27?-4-r)
-4- 0.000047 sin (4р — г) -4- 0.000006 sin (4^2 -4- г)
— Ill —
q = — 1.48323 sin(^— r)— 0.11149 sin(2p— q -+-f)
— 0.01634 sin(2j9-+-2 — r)
— 0.50497 sin(#4-4)— 0.24129 sin(2j? — q—4)
— 0.00296 sin(2p -+- q -4- r)
— 0.00063 sin(4p— 34-4)— 0.00364 sin(4p— q — 4)
— 0.00008 sin (4p -t-q — r) — 0.00002 sin (4j? -+- q -+- r)
x = 4- 0. sin / 4- 0.0363 sin(2j9 —4)4- 0.1589 sin (2p 4 4)
-4- 0.3425 sin (2^— г) 4 0.0498 sin(2p — 2q-+-r)
i 0.0125 sin(2j? 4 2q— r)
-4-0.3799 sin (2q 4-4) -4- 0.1701 sin(2p — 2q — r)
-4- 0.0045 sin (2j? 4- 2^4-4)
§ = — 0.02010 sin (r — t) -4- 0.03994 sin(2p — r -4-t)
— 0.00686 sin (2p r — t)
-4— 0.01676 sin (/ -4— /) — 0.10960 sin (2p — r — t)
чн 0.00090 sin (2p 4-44-/)
t =	0. sin r -4- 0.0023 sin (2p — r) — 0.0007 sin (2p -4- r)
-4- 0.0000 sin (4p— 4)4-0.0000 sin (4p -4- r)
-4- 0.0004 sin З44- 0.0175 sin(2j? — 34)4- 0.0000 sin(2j9 -+- З4)
4 0.0018 sin(4j? — 3r) 4- 0.0000 sin (4p 4- З4)
u = — 0.1583sin(j> — r)— 0.0604 sin (p 4- r) — 0.0037 sin(3j? — r)
— 0.0000 sin (3p 4- r)
Выполнив умножения на а и x, имеем:
a§ = — 0.000337 sin(t — r)4- 0.000670 sin(2p — r 4- t)
— 0.000115 sin (2p-4- r — t)
4- 0.000281 sin(4 4- /) — 0.001839 sin (2p — r — t)
4- 0.000015 sin (2p 4- 4 4-1)
au = — 0.000405 sin (p — 4) — 0.000155 sin (p 4- 4)
— 0.000009 sin (3p — 4) — 0.000000 sin (3p 4- 4)
Выше приведенные выражения надо, соответственно основным Форму-
лам, умножить на величины К. К'-, . . . гх, которых значения и логарифмы
показаны в следующей таблице:
К К2	—	0.0545000 0.0029703	log К = log .&? =	2.7363965 3.4727930
К3	—	0.0001619	log K3 =	4.2091895
i	—	0.0896400	logi =	2.9525018
i-	=	0.0080353	log/2 =	3.9050036
i3	—	0.0007220	log is =	4.8575054
а	—	0.0025641	log a =	3.4089353
X	—	0.0167800	logx =	2.2247920
iK	==	0.0048854	log iK=	3.6888983
iK2	—	0.00026625	logiK2 —	4.4252948
i2K		0.0004379	log i2 К=	4.6414001
aK	—	0.0001397	log aK —	4.1453318
(ГА	—	0.0000430	log ax =	5.6337273
aK	—	0.0009145	log aK=	4.9611885
i'A	—	0.0015004	log ix =	3.1772938
ai		0.0002298	log ai =	4.3614371
i2x.		0.0001348	10g^2X =	4.1297956
Мы представим окончательные выражения, полученные Эйлером, в сле-
дующем виде:
— 113 —
и соответственно каждому значению указателя i выпишем выражения
аргументов юг- и коэффициентов, таким образом получаются следующие
таблицы:
ю7ж == л0-+- 2 Acos %•; ю7,?/^ в.sin со.
i
i	«г		A-	i	w;		A-
0	0	— 35871	0	28	4p — t	-+-	7	—	23
1	Р	2928	—	6162	29	q-t-t	-+- 771	— 4455
2	2р	— 63746	-+- 103304	30	q—t	— 1663	-t- 6053
' 3	Зр	—	74	H-	73	31	2p-+- q-t-t	—	8	—	40
1 4	4р	4-	120	107	32	2p — q — t	— 3727	-t- 9883
i 5	Q	4-545000	— 1094678	33	2p -t- q — t	H- 126	-t-	125
 6	2g	-+- 15139	7488	34	2p — q -t-t	-t 282	— 1152
7	3g	—	616	—	478	35	2r	4- 19870	— 19830
: 8	p-t-q	168	-4-	84	36	2p -+- 2r	-+-	30	—	30
i 9	2р -+- 2g	143	H-	127	37	2p — 2r	— 1008	-f- 2738
10	Р — 2	—	114	-t 2523	38	4p — 2r	-+-	4	— 11
и	2р — 2g	— 5994	и- 9255	39	q 2r	— 553	-ь- 548
12	2p-i-g	— 1875	—	1766	40	q — 2r	— 267	— 2174
! 13	2р — g	-4- 101675	— 222601	41	2p-t- q-t-2r	—	4	।	g
14	4р — 2q	-4-	677	-i-	351	42	2p — q — 2r	-+- 113	— 261
15	4р -+- q	—	20	—	8	43	2p -t- q — 2r	— 457	-4-	790
16	4р — q	—	358	—	471	44	2p — q-t- 2r	—	118	-4-	126
17	2р -+- 3g	— 11	—	9	45	t -t- 2r	—	14	4—	13
18	2р — 8q	424	—	358	46	t — 2r	25	-ь-	28
19	4р — 3g	—	38	— 11	47	2p -t-t-i- 2r	-4-	1	— 1
\ 20	t	— 1133	-4-	31643	48	2p — t — 2r	H- 38	— 102
21	p -\ -t	264	—	543	49	2p -t-t — 2r	—	13	137
1 22	p — t	-t-	50	—	47	50	2p — t-t- 2r	—	2	-4-	2
23	2p-t-t	—	549	894	51	3p-t-q	0	— 1
24	2p — t	-4- 4854	—	7174	52	—2	0	101
1 25	3p -t-t	2	-t-	1	53	4p -4— 2g	0	-4-	1
26	3p — t	-+-	7	—	7	54	4p -F- 3g	0	— 1
27 1	4p -t-t	— 1	-4—	1				
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. к тт. V и VI.
8
_ 114 —
107 z — 6Л cos сог-
1	(о;		г		С.
1	Г	н- 896400	15	2р -t- д — г	— 798	।
2	Зг	3	16	2р — д -4- г	— 5447	1
3	Р -4- Г	—	139	17	2д -+- г	-4- 1012
4	р — Г	—	363	18	2д — г	-4- 912
5	2р -4 г	-4-	1774	19	2р -+- 2д -4- г	-4-	12
6	2р — г	-t- 33265	20	2р — 2д — г	-4- 453	1
7	Зр — г	— 1	21	2р -л-2д — г	-4-	33
8	4р -+- г	-4-	5	22	2р — 2q-t- г	-4- 132
9	4р — г	-4-	42	23	Гt	-4- 252	:
10	2р — Зг	-4-	127	24	г — 1	— 302	।
11	q-i-r	— 24669	25	2р -4- Г -4- /	-4-13	'
12	д — г	— 72460	26	2р — г — t	— 1649
13	2р д-+- г	—	145	27	2p-t- г — t	— 103	j
14	2р — д — т	— 11787	28	2р — г -t-t	-4- 601
По поводу этих выражений Эйлер замечает, что в них можно отбро-
сить все члены, коэффициенты которых меньше 250, ибо это отражается
меньше, нежели на 5", в месте Луны.
§ 555. Чтобы приведенные выше Формулы приспособить к более
удобному применению в астрономии, надо несколько видоизменить введенные
в начале элементы, где мы приняли за единицу среднее расстояние -Земли
до Солнца, так что координаты Луны выразились через а (1	ж), ay, az.
Теперь же, в виду того, что мы будем пользоваться лишь отношениями
этих величин, мы примем за единицу среднее расстояние от земли до Луны,
так что — будет представлять среднее расстояние от Земли до Солнца,
(I
координаты же Луны будут:
I-ь ж; у', z
§ 556. Чтобы представить это яснее, пусть для какого-либо момента
времени 5 есть центр Земли (фиг. 6) и прямая направлена по средней
долготе Луны в плоскости эклиптики, у — точка весеннего равноденствия,
3) —центр Луны.
115 —
Опустив из точки 2) на плоскость эклиптики перпендикуляр 21 и из
точки I в плоскости эклиптики — перпендикуляр IL па прямую бЛГ, получим:
I)	6Z = 1 -к х
II)	1Л = у
III)	12 = 2
причем ;у, 2 суть те количества, значения коих приведены выше. Про-
ведем приемы 6Z и 53, тогда угол уб/ представит истинную долготу Луны
и угол Z63— ее широту, длина же 65) —расстояние ее до Земли, которому
параллакс Луны обратно пропорционален.
§ 557. Обозначив угол МЫ через <р, имея
tang^=nZ7.	0)
X '' I 1 «А/
откуда по известным х и у непосредственно находится угол <р, придав кото-
рый к средней долготе получим истинную.
Положив 1Ъ2 =ф, видим, что угол ф представляет широту Луны
и так как расстояние
Ы=
1 НН X
cos <р
то будет
tang ф =
2 COS 9
1 -+- X
(2)
8*
—116 —
Отсюда очевидно, насколько просто по известным значениям гг, у, z
находится место Лупы, определяемое ее астрономическими координатами—
широтою и долготою, а именно, по Формулам (1) и (2) определяются углы ?
и ф, и если обозначить через £—среднюю долготу Луны, то истинная ее дол-
гота будет £н-ф, широта же есть ф.
§ 558. Наконец, так как расстояние от Земли до Луны есть
1 -+-х
COS COS
го обозначая через — горизонтальный экваториальный параллакс Луны,
соответствующий среднему расстоянию = 1, в данный момент истинный
экваториальный параллакс будет
COS фCOS ф
‘°'	1 -+- X
а так как отношение его к видимому полудиаметру Луны известно из на-
блюдений, то сейчас же определим и видимый полудиаметр Луны.
§§ 559—636. В этих параграфах Эйлер сравнивает результаты, по-
лучаемые по его теории, с Формулами и таблицами движения Луны, соста-
вленными Клеро, после чего объясняет составление и пользование табли-
цами, приложенными к своему сочинению. В этих таблицах для каждого
градуса значений аргументов даны произведения соответствующих коэффи-
циентов на синусы или косинусы аргументов, и на примере показывается
пользование этими таблицами. Сочинение заканчивается соображениями
о степени точности результатов, доставляемых этой теорией, и о дальней-
шем ее усовершенствовании на основании наблюдений Луны.
Произведенную работу по количеству затраченного на ее исполнение
труда Эйлер называет «incredibilis» — «неимоверной», и па основании при-
веденного ее обозрения, вероятно, всякий читатель с его оценкою согласится.
ПРИБАВЛЕНИЯ И ПРИМЕЧАНИЯ
ПЕРЕВОДЧИКА
ГЛАВА I
Элементарные сведения из астрономии
§ 1. Небесная сфера и определен >е положения светил. С глубокой
древности, т. е. за много столетий до нашей эры, для определения положе-
ния небесных светил установлен приводимый ниже способ, сохранившийся
в принципе и поныне. Вся разница состоит лишь в степени точности этих
определений. Древние производили свои наблюдения простым глазом при
помощи самых примитивных приборов, современные же наблюдения про-
изводятся весьма совершенными телескопами, снабженными точнейшим
образом разделенными кругами, отсчеты по которым делаются в сильные
микроскопы с микрометрами, и если наблюдения древних были точны при-
г	1
близительно до — градуса, то точность современных наблюдении достигает
1
до — секунды дуги.
Все светила обладают двоякого рода видимым движением: во-пер-
вых— суточным и, во-вторых — собственным.
Собственные движения звезд ничтожно малы; наибольшим, в 10" в год,
обладает одна звезда, другая — в 8", несколько — от 5" до 1" в год, многие
тысячи — от 0 "2 до ОИ в год, поэтому можно считать, что звезды в течение
значительных промежутков времени сохраняют неизменное друг относи-
тельно друга положение, и в этом смысле они называются ((неподвижными»,
хотя и обладают общим для всех их суточным движением, но это движение
есть лишь кажущееся или видимое и происходит от вращения Земли около
ее оси, а не от движения самих звезд.
Солнце, Луна и планеты, кроме суточного, обладают еще и значитель-
ным видимым собственным движением.
Начнем со звезд и будем рассматривать их видимое движение.
— 118 —
Всего сто лет тому назад знаменитым астрономам Бесселю в Кенигс-
берге и В. Я. Струве в Дерите удалось, при помощи точнейших наблюдений,
определить расстояние до некоторых ближайших к нам звезд. Наименьшее
из этих расстояний оказалось приблизительно в 200 000 раз больше рас-
стояния от Земли до Солнца, значить 5 миллиардов раз больше радиуса Земли.
Дальнейшие исследования показали, что расстояния до других звезд
нашей звездной системы в десятки, сотни и тысячи раз больше этого.
Наконец есть такие звездные системы и туманности, расстояния до которых
в миллионы и десятки миллионов раз больше вышеупомянутых.
Отсюда ясно, что направление луча зрения на любую звезду не за-
висит от положения наблюдателя при его перемещении по земной поверх-
ности, все эти направления между собой параллельны и параллельны лучу,
идущему из центра Земли к данной звезде.
Практически можно сказать, что простым наблюдениям доступно лишь
определение направления луча зрения, идущего из глаза наблюдателя на
звезду, иначе — луча света, идущего от звезды в глаз наблюдателя, или
параллельного ему луча, идущего в центр Земли.
Для определения этих направлений пользуются соответствующими
угломерными инструментами, описание которых не входит в нашу задачу.
Измеряя надлежащие углы, относят направление луча к определенным
координатным осям, причем берут различные системы полярных и соответ-
ствующих им сферических координат.
Таким образом в общем случае принимают некоторую заданную пря-
мую OZ, проходящую через глаз наблюдателя, за основную ось и прохо-
дящую через нее определенную плоскость Z0X— за основную плоскость,
тогда направление луча OS определяется углом ZOS, обозначенным на чер-
теже (фиг. 7) через 3, составляемым направлением OS с осью OZ, причем
этот угол считается от оси OZ до луча OS от 0 до 180°, оставаясь всегда
положительным. Этот угол и есть первая координата. Второю координатою
служит двугранный угол со при ребре OZ, образуемый плоскостью ZOS,
проведенной через ось OZ и луч OS, с основною плоскостью Z0X. Этот
угол или соответствующий ему плоский угол считается от основной пло-
скости Z0X от 0 до 360° или «по часовой стрелке», или «против часовой
стрелки», смотря дю надобности, как о том будет сказано ниже.
Расстояние OS=$> от глаза наблюдателя до звезды $ остается обыкно-
венно неизвестным и не вводится в вычисление.
Вообразим теперь, что из точки С, представляющей центр Земли,
произвольным радиусом, который, однако, принимают обыкновенно весьма
— 119 —
большим по сравнению с радиусом Земли, описана Сфера; на эту сферу
и относят положение светил следующим образом,
Очевидно, что проведя через точку С луч (7s, параллельный данному
OS', получим на сфере точку s, этому лучу соответствующую. Проведя
через точку С плоскости, соответственно параллельные ZOX и ZOS, полу-
чим на сфере соответствующие им большие круги zsa и zx, причем сфери-
ческий угол xza при вершине z будет равен углу ю между этими плоско-
стями; вместе с тем очевидно, что угол zCs равен углу ZOS, и значит,
дуга zs — р.
Таким образом полярным координатам [3 и ю, показанным на фиг. 7а,
соответствуют сферические координаты Зим, показанные на фиг. 76.
В астрономии описанная вспомогательная сфера называется не-
бесной.
Таким образом на этой сфере положение точки s, которое принимается
за место светила, определяется сферическими координатами [3 и ю, из кото-
рых первая представляет дугу большого круга, вторая — Сферический угол;
часто проводят, кроме основного круга zx, еще круг хау. плоскость кото-
рого перпендикулярна к основной оси Cz; на этом круге дуга ха служит
мерою сферического угла xza = со.
В астрономии за основную ось OZ и за основную плоскость ZOX при-
нимают или некоторые линии и плоскости, неизменно связанные с Землею
и, значит, представляющиеся наблюдателю, находящемуся наземной поверх-
ности, неподвижными, или же линии и плоскости, занимающие неизменные
положения по отношению к звездам. Соответственно этому получают раз-
личные системы координат.
— 120 —
Начнем с первых. Для каждой точки земной поверхности, с величай-
шею точностью, т. е. до сотых долей секунды дуги, может быть Фиксировано
направление отвесной линии, как нормали к уровню спокойно стоящей жид-
кости, напр. ртути, налитой в небольшую ванночку. Эту прямую прини-
мают за основную ось Cz (фиг. 8), направляя эту ось вверх; соответствующая
точка z сферы небесной называется зенит, ей диаметрально противопо-
ложная — надир. За основную плоскость zCx принимают плоскость мери-
диана места, которая также может быть Фиксирована с величайшею точ-
ностью способами, описание которых завлекло бы нас слишком далеко от
нашей прямой цели.
Я	п
Фиг. 8.	Фиг. 9.
В этой системе угол называется зенитным расстоянием светила,
угол w носит название азимут.
Ясно, что, вследствие видимого суточного движения небесной сферы,
как зенитное расстояние, так и азимут наблюдаемого светила с течением
времени непрерывно изменяются, но не равномерно, ибо видимое вращение
небесной сферы происходит не около отвесной линии Cz, а около оси Ср,
лежащей в плоскости меридиана и составляющей с отвесною линией
угол pCz, равный дополнению до 90г географической широты места наблю-
дения.
Направление прямой Ср (фиг. 9), называемой осью мира, может быть
для данного места наблюдения определено и Фиксировано также с весьма
большою точностью. Приняв его за основную ось и плоскость меридиана
места — за основную плоскость, мы получим вторую систему координат,
неизменно связанных с местом наблюдателя на земной поверхности, но по
— 121 —
отношению к этой системе, в отличие от первой, необходимо иметь в виду,
что направление оси Ср есть неизменное в пространстве, так что соответ-
ствующая точка р небесной сферы занимает постоянное положение отно-
сительно звезд или, точнее говоря, имеет по отношению к ним весьма
медленное движение, о котором будет сказано ниже. Пока же мы примем
эту точку р и ей диаметрально противоположную г за точки постоянные,
именуемые полюсами мира.
В этой системе координат угол 8 измеряется дугою большого круга ps
и называется полярным расстоянием светила, которое считается от север-
ного полюса мира от 0 до 180°.
Угол со = Qps называется часовым углом светила и считается от мери-
диана места в направлении видимого суточного движения светил (по часовой
стрелке) от 0 до 360°.
Полярные расстояния звезд, если пока пренебрегать вышеупомянутым
движением полюса мира, остаются постоянными, часовые же углы всех
звезд изменяются с течением времени равномерно и вполне одинаково.
Плоскости, перпендикулярной оси мира рг, соответствуют на небесной
сфере большой круг QxaQ, называемый небесным экватором, наземной же
поверхности — земной экватор.
Вместо полярного расстояния светил, по большей части дается их
дополнение до 90е, т. е. дуга as, именуемая склонением светила, считаемым
от экватора от 0 до 90е, со знаком плюс для светил, лежащих в северном
полушарии, и со знаком минус — в южном.
Прежде чем переши к описанию координатных систем, неизменно
связанных с небесною сферою, необходимо вкратце указать общий характер
видимого движения Солнца по Сфере небесной.
В своем годовом видимом движении Солнце описывает на сфере небес-
ной большой круг, наклоненный к небесному экватору под углом 23°27'
причем это наклонение уменьшается весьма медленно, приблизительно на 47'
в столетие, и значит, для довольно значительных промежутков времени
может считаться практически постоянным. Видимое движение Солнца по
сказанному кругу совершается в сторону, обратную его видимому суточному
движению, причем движение это неравномерное.
Сказанный большой круг, ЕуЕ (фиг. 10), по которому совершается
видимое годовое движение Солнца, называется эклиптикой. Понятно, что
эклиптика и экватор, как всякие два большие круга сферы, пересекаются
в двух диаметрально противоположных точках, через одну из которых
Солнце проходит 21 марта, причем его склонение, обращаясь в нуль,
— 122 —
изменяется из южного в северное, через другую — 21 сентября, причем
склонение Солнца из северного переходит в южное.
Первая из этих точек V, с которою мы постоянно будем иметь дело,
называется точкою весеннего равноденствгш. Точка, ей диаметрально про-
тивоположная, называется точкою осеннего равноденствия.
Отметим на сфере небесной точку е — полюс эклиптики, и р — полюс
экватора, или, что то же, полюс мира. Оказывается, что полюс эклиптики е
имеет весьма медленное движение, как уже сказано — около 50" в столетие,
полюс же мира р, оставаясь, в среднем, в постоянном расстоянии от полюса
эклиптики равным 23°27', имеет около него медленное движение по малому
кругу, описывая этот малый круг в 26 000 лет, совершая при этом в те-
чение 18.6 лет малые колебания около своего среднего места, предста-
вляющиеся на небесной сфере в виде малого эллипса с осями в 17" и 9".
Первое движение полюса мира р называется прецессией и открыто
Гиппархом за 130 лет до нашей эры, второе называется нутацией и от-
крыто Брадлеем в 1750-х годах.
Так как эти движения подчинены определенным закономерностям, то
<влияние их может быть учитываемо.
Ясно, что при перемещении полюса р экватор тоже перемещается,
и вместе с тем перемещаются и точки равноденствия.
Оказывается, что это перемещение совершается почти равномерно,
с угловою скоростью по 501'25 в год, навстречу видимому годовому движе-
нию Солнца по эклиптике.
Перейдем теперь к описанию тех двух координатных систем, которые
неизменно связаны с сферою небесной, иначе — с неподвижными звездами.
В первой из этих систем за основную ось принимается ось мира рг
(фиг. 10), и значит, координата [В будет попрежнему полярное расстояние,
за основную плоскость принимается большой круг, проходящий через
полюс р и точку весеннего равноденствия V, причем угол со, именуемый
в этом случае прямым восхождением, считается в сторону видимого годового
движения Солнца от 0 до 360е.
Ясно, что если бы полюс р своего места по отношению к звездам не
изменял, то и склонение и прямое восхождение каждой звезды оставались бы
неизменными.
Вследствие же прецессии и нутации, эти координаты претерпевают
с течением времени определенные весьма медленные закономерные изме-
нения, для учета которых задают склонение и прямое восхождение звезд
в определенный момент (наир, начало 1900 г.) и расчисляют влияние
— 123 —
прецессии и нутации на эти координаты за время, протекшее от этого
начального момента до момента наблюдений.
Наконец, во второй системе координат за основную ось принимается
ось Се эклиптики (фиг. 11), т. е. прямая, перпендикулярная ее плоскости;
этой прямой на сфере небесной соответствует полюс эклиптики е, сохра-
няющий, как указано выше, положение по отношению к неподвижным
звездам, гораздо более близкое к постоянному, нежели полюс мира^. Угол [3
представляет тогда расстояние от полюса эклиптики до светила, но обыкно-
венно вместо этого расстояния берут дополнение его до 90°, т. е. дугу
as ~ Ъ, представляющую расстояние светила от эклиптики, называемое
широтой светила.
Фиг. 10.	фиг. 11.
За основную координатную плоскость принимают плоскость, прохо-
дящую через ось эклиптики и через точку весеннего равноденствия. Ясно,
что эта плоскость перпендикулярна к плоскости эклиптики, и ей на сфере
небесной соответствует круг eV, угол ю считается от этой плоскости в сто-
рону видимого годового движения Солнца от 0 до 360° и называется долго-
той светила. Ясно, что этот угол измеряется дугою эклиптики Va, причем
эту дугу также зовут долготой светила.
Таким образом мы имеем следующие системы сферических координат:
1°. Зенитное расстояние и азимут.
2°. Полярное расстояние и часовой угол.
Вместо зенитного расстояния часто задают его дополнение — высоту
«светила над горизонтом, вместо полярного расстояния — склонение.
3°. Полярное расстояние или ы лонение и прямое восхождение.
4°. Широта и долгота светила.
— 124 —
§ 2. Понятие об измерении времени. Суточное видимое вращение не-
бесной сферы около оси мира происходит равномерно, так что промежуток
времени между двумя последовательными прохождениями одной и той же
звезды через полуденную часть меридиана для всех звезд один и тот же,
и значит, этот промежуток мог бы быть принят за единицу для измерения
времени, но в виду того, что за начало счета прямых восхождений прини-
мается точка весеннего равноденствия, то за единицу для измерения времени
принимают промежуток между двумя последовательными прохождениями
точки весеннего равноденствия через полуденную часть меридиана данного
места. Этот промежуток, вследствие прецессии, короче приблизительно
на — секунды, нежели время одного полного оборота Земли около своей
оси, и называется звездными сутками. Звездные сутки подразделяются на
24 часа, каждый час — на 60 минут, каждая минута—на 60 секунд, име-
нуемых звездным часом, звездною минутою, звездною секундою.
В гражданском обиходе принято не звездное время, а так называемое
среднее солнечное, которое считается по Фиктивному телу, именуемому
средним Солнцем, описывающим равномерным движением небесный экватор
в тот же самый промежуток времени, в течение которого истинное Солнце
между двумя последовательными прохождениями через точку весеннего
равноденствия описывает эклиптику. Этот промежуток времени называется
тропическим годом и равен 366.24220 звездным суткам.
Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями
среднего Солнца через меридиан данного места называется средними
сутками.
Ясно, что в тропическом году средних суток 365.24220, т. е. па
1 сутки меньше, нежели звездных.
Средние сутки подразделяются, подобно звездным, на 24 часа, каждый
час — на 60 минут, каждая минута — на 60 секунд, именуемых средними.
На основании продолжительности тропического года имеем соотно-
шение
365.24220 средних суток = 366.24220 звездных суток
откуда следует:
4^2^1 = 1.0027379
звездные сутки
звездные сутки = 0 9972696
средние сутки
— 125 —
иначе:
1 звездные сутки = 23!< 56,! 4.091е средних
1 средние сутки = 24ч 03лг 56.555е звездных
Эти соотношения служат для перевода промежутков, выраженных
в среднем времени, в звездные и обратно, для чего составлены соответ-
ствующие таблицы.
3. Соотношения между координатами светила. По непосредственным
наблюдениям на постоянных обсерваториях легко определяется прямое вос-
хождение светила и его полярное расстояние или склонение; для этого слу-
жат: пассажный инструмент с меридианным кругом и идущие по звездному
времени астрономические часы.
Пассажный инструмент представляет собою телескоп, труба которого
снабжена цапфами, ось коих в точности перпендикулярна оптической оси
телескопа. Этими цапфами труба накладывается на прочно укрепленные
на каменных столбах, не соприкасающихся к полу здания, подцапФенники,
выверенные так, чтобы ось покоящихся на них цапФ трубы была горизон-
тальна и в точности перпендикулярна к плоскости меридиана места. Ясно,
что при таком устройстве, при повороте трубы па ее цапфах, оптическая
ее ось описывает плоскость меридиана места. На одной из цапф насажен
разделенный на градусы и доли их (обыкновенно через 2') круг, плоскость
которого перпендикулярна оси цапФ. Для отсчета делений этого круга, на
одном из столбов укреплены микроскопы, помощью которых отсчеты по
кругу могут быть производимы с точностью до O'.'l, причем предварительно
весьма точно (автоколимацией в ртутную ванну) определяется отсчет по
кругу, соответствующий вертикальному положению оси трубы объекти-
вом вниз.
Отсюда ясно, что замечая по часам, идущим по звездному времени,
момент прохождения звезды через крест нитей, установленный в главном
Фокусе телескопа, и произведя отсчет по кругу, получим зенитное расстоя-
ние в момент прохождения (кульминации); звездное же время, т. е. показание
часов непосредственно, как нетрудно видеть, дает прямое восхождение све-
тила. По зенитному расстоянию z из соотношения
О -4-- £ = О
i
находим склонение светила о по известной широте места ф.
Если полярное расстояние светила меньше широты места, то та-
кое светило все время находится над горизонтом и, значит, может быть
— 126 —
наблюдаемо при обоих своих прохождениях через меридиан, пли, как го-
ворят, в верхней и нижней кульминации. Полусумма соответствующих зе-
нитных расстояний, очевидно, равна дуге pz, т. е. дополнению широты
места 90° — ф. Ясно, что отсюда найдется и широта места ф.
Упоминаем лишь, что при наблюдении зенитных расстояний, или, что
то же, высот звезд, надо считаться с так называемой астрономической
рефракцией, т. е. преломлением лучей света в земной атмосфере, и вводить
соответствующие поправки, показываемые в астрономических таблипах.
Мы предполагаем, что все зенитные расстояния этими поправками «испра-
влены».
Как легко видеть, во всякий момент времени можно для данного све-
тила и данного места земной поверхности вообразить на сфере небесной
сферический треугольник, имеющий своими вершинами: точку р — полюс
мира, точку z— зенит данного места и
2	точку s — место светила.
9°°^Элементы этого треугольника (фиг. 12)
\	суть:
\	\	р£ = 90° — ф,гдвФ — шпрота места;
'	_^$=90° — 8, где 8 — склонение
\	/	светила;
\ /	zs = 90° — Л, где h—высота светила;
5*	угол zps есть часовой угол светила;
Фиг. 12.	угол pzs есть азимут светила;
угол psz называется параллактическим
углом, с которым мы дела иметь не будем.
Ясно, что когда в этом сферическом треугольнике три элемента из-
вестны, то три остальные находятся по Формулам сферической тригоно-
метрии. Так, напр., по данной широте места <р, склонению о и часовому
углу р, по Формулам
sin h — sin ф sin о -г- cos cos 3 cos j?
cotg Zsinj? — tang 8 cos — cost? sin <p
находим координаты h и Z, т. e. высоту и азимут светила.
Все эти соотношения будут относиться к координатам, неизменно свя-
занным с местом наблюдателя на Земле, и рассмотрение треугольника pzs,
называемого полярным, исчерпывает все вопросы, относящиеся к видимому
суточному движению светил.
— 127 —
Перейдем теперь к рассмотрению третьей и четвертой систем коор-
динат, не зависящих от места наблюдателя на Земле. Мы видели, что скло-
нение и прямое восхождение светила определяются весьма точно непо-
средственными наблюдениями. В древности пользовались для определения
широты и долготы светила так называемыми армиллярными (кольцевыми)-
сферами, но устройство таких приборов, которые давали бы требуемую
современной астрономией точность, технически неисполнимо; между тем, для
всех вопросов, связанных не с видимым, а с истинным движением самой
Земли, Луны, планет, координаты, называемые широтой и долготой светила,
столь же важны, как склонение и прямое
восхождение при изучении видимого суточ-
ного движения; поэтому надо установить те
Формулы, помощью которых по заданным
склонению и прямому восхождению светила
определяются его широта и долгота и наобо-
рот. Для этого стоит только рассмотреть на
сфере небесной сферический треугольник,
коего вершины суть: точка р — полюс мира,
точка е — полюс эклиптики и точка s — место
светила.
В этом треугольнике (фиг. 13) имеем следующие элементы:
ре = е = 23°27' наклонность эклиптики к экватору;
ps — 90° — 8 полярное расстояние светила;
es — 90° — Ъ дополнение широты светила;
spe = 90° — а, где а — прямое восхождение светила;
pes — 90° Z, где I есть долгота светила; в рассмотрении угла не-
надобности нет.
Положим, что по данному склонению и прямому восхождению тре-
буется определить широту и долготу светила, тогда имеем Формулы:
cotg(90°-+- I) sin (90° — а) = cotg (90° — 8)sine — cosscos(9O°— а)
cos (90° — Ь) = cos (90° — 3) cose -+- sin (90 — 8) sine cos (90° — a)
иначе:
tang I cos а — tang 8 sin e — cos e sin а
sin & — sin 8 cos e -+- sin 8 sin s sin a
— 128 —
Наоборот, когда даны широта Ь и долгота I светила и требуется опре-
делить его склонение и прямое восхождение, то имеем Формулы:
cotg (90° — a) sin (90° -+-I) = cotg (90е — //) sin г — cos s cos (90° -+-1)
cos (90° — 3) = cos £ • cos(90° — Ъ) sins • sin(90е—-6) • cos(90° -+-Z)
иначе:
tang a cos I = tang sin s cos s sin I
sin о = cos £ • sin Ъ — sin t cos Ь sin I
(**)
Для практических вычислений эти Формулы преобразуются к гораздо
более удобным, которых мы не приводим, ибо изложение астрономической
вычислительной практики не может входить в нашу задачу.
§ 4. Законы Кеплера движения планет. Закон Ньютона. В 1609 г.
Кеплер, в знаменитом сочинении о движении планеты Марс, высказал
следующие два общих закона движения планет.
1°. Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из Фоку-
сов которых находится Солнце.
2°. Площади, описываемые радиусом-вектором, соединяющим планету
с Солнцем, пропорциональны времени их описания.
Через 10 лет он высказал третий закон:
3°. Квадраты времен обращения планет около Солнца относятся как
кубы больших осей их орбит.
Справедливость этих законов подтверждалась Кеплером полным согла-
сием между вычисленными и наблюденными местами планет, что потребовало
от него громадного количества вычислений, помимо тех, которые им были
произведены для установления, с необыкновенною гениальностью, истинного
вида орбит планет по имевшимся наблюдениям их.
Через 67 лет Ньютон, в изданном им сочинении «Philosophiae Natu-
ralis Principia Mathematical вывел из законов Кеплера свой закон все-
мирного тяготения, который сформулирован им в виде следующих предло-
жений:
1°. Силы, которыми спутники Юпитера постоянно отклоняются от
прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены
к центру Юпитера и обратно пропорциональны квадратам расстояний мест
до этого центра.
2°. Силы, которыми главные планеты постоянно отклоняются от
прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены
к Солнцу и обратно пропорциональны квадратам расстояний до центра его.
— 129 —
3°. Сила, которою Луна удерживается на своей орбите, направлена
к Земле и обратно пропорциональна квадратам расстояний мест до центра
Земли.
4°. Луна тяготеет к Земле и силою тяготения постоянно отклоняется
от прямолинейного движения и удерживается на своей орбите.
5°. Планеты, обращающиеся около Юпитера, тяготеют к Юпитеру,
обращающиеся около Сатурна—к Сатурну, обращающиеся около Солнца—
к Солнцу, и силою этого тяготения постоянно отклоняются от прямолиней-
ного пути и удерживаются на криволинейных орбитах.
6°. Все тела тяготеют к каждой отдельной планете, и веса тел на вся-
кой планете, при одинаковых расстояниях от ее центра, пропорциональны
массам этих планет.
7°. ‘ Тяготение суще-
ствует ко всем телам вообще
н пропорционально массе
каждого из них.
§ 5. Формулы эллипти-
ческою движения планет по
законам Кеплера. Выведем
теперь основные Формулы
движения планет, следующие
из законов Кеплера. Примем
плоскость орбиты за плоскость
чертежа, и пусть РВАВ Р
есть описываемый планетою
эллипс, С—его центр, АР~ 2а—-его
большая ось, $ — тот Фокус, в котором находится Солнце, F—второй
Фокус. Возьмем точку С за начало координат, примем оси координат, ука-
занные на чертеже (фиг. 14), и пусть N есть место планеты в рассматри-
ваемый момент.
Полагая
SN=r;	CH=jc- HN=y
CP = a- CS — c, - = s
a
имеем по определению эллипса:
г । r3 = 2a;	(*)
вместе с тем
r2 = (.r — c)2 -+- y-
r2 — (x —I— c)2 -+- y-
A. H. Крылов. Coop, тр., доп. к tt. V п VI.	9
— 130 —
Отсюда следует
гх2 — г2 _	__	— rj ।	('/^ — г)
т. е.
гу — г = 2гх	(жж)
Отсюда, на основании Формулы (ж), имеем:
г = а— гх	(***)
гА — а ч- еж
Примем теперь точку S за начало полярных координат, тогда, обозна-
чая через v угол PSN, так что
v — PSN
имеем
х — г cos v г с = г cos v ч- га
и на основании Формулы (ж*ж) будет
>= а(1~£2)	(I)
В астрономии приняты следующие термины: ближайшая к Солнцу
вершина Р эллипса называется перигелий, дальнейшая А — афелий, вели-
чина £ называется эксцентриситетом орбиты, угол и, считаемый от оси SP
в сторону движения планеты,—истинной аномалией, г — радиусом-векто-
ром. Формула (I) есть первая основная Формула эллиптического движения
планет.
Обратимся теперь ко второму закону Кеплера. Пусть Т есть полное
время обращения планеты около Солнца, выраженное в средних солнечных
сутках, положим
СВ = Ъ = a V1—е2
тогда площадь описываемого планетою эллипса будет
nab — ъа- \/1 — £2
значит площадь, описываемая радиусом-вектором в 1 сутки, будет
тга2\/1—е2 7
—т—
следовательно, если дуга PN описана в продолжение t суток, то будет
площ. PSN = о- = тш2 VI — £2 = М
— 131 —
С другой стороны, имеем
площ. PSN = площ. PCN—площ. SCN
Но по свойству эллипса, если описать из центра С круг PDA
радиусом, равным «, то будет
площ. PCN — — • площ. РСК
а
полагая
угол РСК — и
имеем
площ. РСК—а1 и
Очевидно,
площ. SCN = 4- CN • HN— 4 аг • — a sin и — 4 аЪг sin и
2	2 а	2
следовательно будет
сг = -5- аЪ (и — г sin и)
Л
подставляя вместо Ъ и сг их величины, имеем
тш2 V1 — г2 • a2 V1 — е2 (и — г sin и)
т. е.
2тг
~t~u — esinw
Величина представляет среднюю угловую скорость обращения пла-
неты вокруг Солнца; в астрономии она носит название среднее суточное
движение. Положив
2тг
~Т ~~П
получим предыдущее уравнение в виде
nt —и — г sin и
э*
— 132 —
Это есть второе основное уравнение эллиптического движения планет; оно
носит название уравнение Кеплера. Величина nt называется среднею а,но-
малией, вспомогательный угол и— эксцентрической аномалией.
Из равенств
г = а — гх\ х ~ a cos и
следует
г = а(\ — s cos w)	(*-)
из равенств же
х — г cos v га = a cos и
следует
г cos v = a (cos и — г)	(**-)
Затем из равенств (*) и (**) имеем:
г(1 —cos v) = <z(l -t- г)(1 —cos и)
г(1 -ь- cos г?) — а(1 —г)(1 -+- cos и)
Отсюда следует
tang = \/гЕ~tang ¥
Это уравнение служит для вычисления истинной аномалии v по экс-
центрической и и наоборот. Перед корнем надо брать знак -с~, ибо,
Т
очевидно, углы — и — всегда одной и той же четверти.
Л и
Это есть третье основное уравнение эллиптического движения планет.
§ 6. Элементы орбиты. Формулы (I), (II), (III) дают возможность
определить положение светила на его орбите в любой момент , когда
известны: эксцентриситет г, период обращения Т и момент прохождения
через перигелий tQ.
В самом деле, тогда будет:
M = nt
т. е. все эти величины будут известны. По уравнению (II) найдем вели-
чину м, решая это уравнение, напр., по способу последовательных при-
ближений, после чего по уравнению (III) найдем v.
— 133 —
Чтобы найти величину а, принимаем за единицу величину а0 полуоси
земной орбиты, тогда, обозначая через То—период обращения Земли вокруг
Солнца, т. е. звездный год, равный 365.25638 средних суток (этот год
длиннее тропического на тот промежуток времени, который Земле нужен,
чтобы пройти 50"25 по своей орбите, представляющие прецессию за один
год), по третьему закону Кеплера имеем пропорцию
А"
откуда следует
Т
а —
когда а найдено, по Формуле (1)
находим г, и положение планеты
на ее орбите будет определено.
Но этим еще не опреде-
ляется положение планеты в про-
странстве: надо знать положение
самой орбиты.
Для определения положе-
ния орбиты в пространстве
принимают за начало координат
центр Солнца 8, за ось Sx берут
прямую 8У\ за плоскость Sxy —
плоскость эклиптики, направляя
ось у в точку, долгота которой
равна 90°. Такие координаты
365.25638
= 1 •
называются гелиоцентриче-
скими. Опишем вместе с тем из точки S, как центра, вспомогательную
сФеру. Пусть NPG есть орбита планеты, которая в рассматриваемый
момент находится в точке G, пусть точка Р есть перигелий и прямая SN
есть линия пересечения плоскости орбиты с плоскостью xSy, т. е. с пло-
скостью эклиптики. На вспомогательной или небесной сфере плоскости
орбиты соответствует большой круг пру, линия SN — точка п, линия SP—
точка р, линия SG — точка у.
Точка п, в которой планета переходит из южного полушария в се-
верное, называется восходящим узлом ее орбиты, положение этой точки
определяется углом xSn = у, называемым долготою восходящего узла.
— 134 —
Положение большого круга прд или соответствующей ему плоскости
определяется углом i, называемым наклонностью орбиты.
Положение перигелия определяется углом nSp, или дугою пр = со,
представляющей аргумент широты точки р, тогда положение точки д опре-
деляется углом nSg, который равен gj -t-v и представляет аргумент широты
точки д.
Проведя большой круг Zggv видим, что дуга дгд представляет гелио-
центрическую широту р светила, дуга хдг = у -н пдг = X — его долготу;
тогда, воспользовавшись сферическим треугольником nggv имеем
sin р = sin(oj -н г) sin г	(1)
затем, полагая пд1 = v, имеем:
tang v — tang (оэ v) cos i
> (2)
X = Y -t- V
После того как широта и долгота светила найдены, по известному
радиусу-вектору SG = r находим гелиоцентрические координаты:
х = г cos р cos X; у — г cos [3 sin X; # = rsin[3
коими положение светила в пространстве и определяется.
Таким образом величины, которыми определяется вид и положение
орбиты светила, называемые элементами орбиты, суть следующие:
1°. Долгота восходящего узла.
2°. Наклонность.
3°. Большая полуось или период обращения.
4°. Эксцентриситет.
5°. Аргумент широты перигелия.
6°. Время прохождения через перигелий.
Вместо аргумента широты перигелия часто задают сумму этой вели-
чины и долготы узла и называют это «долготою перигелия в орбите».
Движение Земли вокруг Солнца в точности известно, и значения коор-
динат Земли относительно гелиоцентрических осей даются на каждый день
года в астрономических ежегодниках; пусть в момент t эти координаты суть:
— 135 —
тогда ясно, что координаты планеты относительно геоцентрических осей,
т. е. имеющих начало в центре Земли и, соответственно, параллельных
вышеуказанным гелиоцентрическим, суть:
%~х — X: rt—-y — Г; с, = z — Z
полагая
р =	-+- 7]2 -4— S~
причем р представляет расстояние от центра Земли до планеты, получим
ее геоцентрическую широту и геоцентрическую долготу X по Формулам:
р cos [В cos X = х — X
р cos р sin X = ,7 — Y
р sin [3 = z — Z
Зная же широту и долготу, найдем склонение о и прямое восхожде-
ние а планеты по Формулам § 3. Зная склонение и прямое восхождение
планеты из полярного треугольника, легко определить все обстоятельства
видимого суточного движения ее.
Для главных планет в астрономических ежегодниках показываются
величины а и 8.
Для главных планет периоды обращения, наклонность, долгота узла —
были известны с большою точностью еще древним, затем все остальные эле-
менты были установлены Кеплером и астрономами, следовавшими после
него, общая же метода определения орбиты вновь открываемых «малых
планет» по небольшому числу (трем) наблюдений их, следующих через не-
большие (3—5—10 дней) одно за другим, была развита Гауссом.
7. Понятие о движении Луны. Различные лунные месяцы. Движение
Луны непосредственно относится к геоцентрическим координатам при-
чем за начало берут центр Земли С, за ось С; — направление на точку
весеннего равноденствия, за плоскость —плоскость эклиптики, самое же
движение Луны воображают в каждый момент совершающимся по эллипти-
ческой орбите, элементы которой с течением времени изменяются и имеют
лишь определенное значение для данного момента. Эти изменения элементов
лунной орбиты следуют определенным закономерностям, которые мы вкратце
и укажем.
1°. Долгота восходящего узла у не остается постоянной, а линия
узлов вращается около центра Земли С в сторону уменьшающихся долгот
и совершает полный оборот в 6793 дня, имея, сверх этого среднего равно-
мерного, еще небольшое колебательное движение.
— 136 —
2°. Наклонность плоскости орбиты Луны, среднее значение которой
составляет около 5°10', подвержена многочисленным периодическим изме-
нениям, в отдельности не превышающим, однако, 1 градусной минуты.
3°. Большая полуось и эксцентриситет подвержены также периоди-
ческим изменениям около их средних значений.
4°. Угол (о, которым определяется положение перигея, не остается
постоянным, а изменяется пропорционально времени по Формуле
w W°"*” 323j^
причем t выражено в средних сутках.
Сверх этих изменений элементов орбиты, <амое движение Луны по ней
совершается с отступлениями от законов Кеплера, вызывающими множество-
так называемых «неравенств» в движении ее.
В виду изменяемости вида и положения лунной орбиты рассматривают
различные периоды ее обращения вокруг Земли, именуемые вообще лун-
ными месяцами, получившими различные названия в зависимости от того,
какой период рассматривается, а именно:
1°. Месяц звездный			27у	7‘‘	43”	11.5е
2°.	»	тропический ....	. . 27	7	43	4.7
3°.	»	аномалистический . .	. . 27	13	18	37.4
4°.	»	драконический . . .	. . 27	5	5	36.0
5°.	»	синодический ....	. . 29	12	44	2.9
Звездный месяц есть период обращения по отношению к неподвижным
звездам.
Тропический месяц есть период обращения по отношению к точке
весеннего равноденствия, т. е. промежуток времени, в течение которого-
долгота Луны изменяется на 360°.
Аномалистический месяц есть промежуток времени между двумя по-
следовательными прохождениями через перигей, или вообще тот промежуток
времени, в течение которого истинная аномалия изменяется на 360°.
Драконический месяц есть промежуток времени между двумя последо-
вательными прохождениями через восходящий узел.
Синодический есть период обращения по отношению к Солнцу, т. е.
промежуток времени, в течение которого разность долготы Луны и Солнца
изменяется на 360°.
— 137 —
Само собою разумеется, что все вышеуказанные значения предста-
вляют средние значения, выведенные, примерно, из ЗОООО обращений
Луны, протекших от наблюдений древних (главным образом полных солнеч-
ных затмений) и современных.
Эти числа приведены здесь, ибо они почти все встречаются в теории
Эйлера.
§ 8. Движение тела, притягиваемого к неггодвижному центру по за-
кону Ньютона. Чтобы выяснить связь между законами Кеплера и законом
Ньютона, рассмотрим аналитически вопрос о движении тела, притягиваемого
обратно пропорционально квадрату расстояния к неподвижному центру; мы
увидим, что к этому вопросу сво-
дится рассмотрение движения ка-
ждой отдельной планеты вокруг
Солнца.
Эйлер рассматривает это дви-
жение, сразу выводя приближенные
Формулы, не переходя через точ-
ные, мы же здесь выведем эти
последние, чтобы показать степень
точности Формул Эйлера и их связь
с общей теорией.
Возьмем попрежнему гелио-
центрические оси Sxyz, обозначим
через М—массу Солнца и че-
рез т — массу планеты, и примем, что отношение столь мало по сравне-
нию с 1, что им можно пренебречь при той степени точности, которая
имеется в виду. В таком случае Солнце можно считать неподвижным и
рассматривать только движение точки т под действием притягательной силы
j'mM
направленной к Солнцу. Косинусы углов, составляемых этим направлением:
к осям координат, суть:
— 138 —
уравнения движения точки ш, по сокращении множителя ш, будут:
		d2X	ГПЛ x dt2	r8 dt2	r1					(1)
Заметив, что	d2y х dt2	d2x ~yld2~~	d i dt '	< dy \ dt J	dx \ dt j	| = O	
	d2x S dt2	d2z X dt2	d i dt '	' dx Z 		X 4 dt	dz \ dt )	1=0	(2)
	cPz y~3p	dt2	d i dt\	’ dz *lt~z	dy\ dt /	= 0	
®меем следующие три интеграла уравнений (1):
<7// dx
"1й-УЦ1=е1
dz
’ — с->
dt dt
dy
(3)
Умножая уравнения (1), соответственно, на
. dt — dx; ~ • dt ~ dy:	• dt — dz
dt	dt J dt
и сложив полученные равенства, имеем
dx d2x
dt dt2
dy d2y
dt dt'2
ds
dt
d2s \
’ ~d?)
dt = —fM-
xdx-+- у dy-i-z dz

откуда, по интегрировании, получаем
dt) \dt) \dt) ~'	[_r 4
(4)
причем c1? c2, c3 и c4 суть постоянные произвольные.
— 139 —
Из уравнений (3) следует
(\х ч— с*у ч- с3 £ = О
(5)
которое показывает, что точка т все время находится в плоскости
с^ч- с2У]ч-с3^ = 0	(5')
проходящей через начало координат 8, т. е. через центр Солнца.
Нормаль к этой плоскости составляет с осями координат углы, коси-
нусы коих суть:
cos пх = •....... —— ; cos пн = ,   z --------------
V^2	у/С]2 ч- с22 -ь с*
(6)
-А.	Сд
COS nz —
усг2 Ч- Ср2 -4- С32
причем для определенности будем перед корнем брать знак ч-.
Очевидно, что левая часть уравнения (4) представляет квадрат ско-
рости точки т в момент времени t. Обозначим эту скорость через 7, так
что
dt '	\ dt /	\ dt /
Положим, что в начальный момент t = tQ:
7=7о и г = г0
тогда уравнение (4) можно написать так:
V-—VJ- = fM
(4')
Уравнения (3) имеют простой геометрический смысл. В самом деле,
•обозначим через 0х— угол ASB, очевидно будет
6. = arctg —
1	х
Отсюда, дифференцируя по переменной С имеем
и, полагая
имеем
dx du
d^____y~dt~X~dt
dt X2 4— 7/2
x2 4- if- = p,2
2^0]
dt
или
= cr dt
— 140 —
Ho px2de представляет удвоенную площадь бесконечно малого сектора ВАВ1
обозначая ее через 2dtr1, имеем
d<r1 — ^c1dt
и, по интегрировании,
= У
условившись считать площадь 7Х с момента t==t0.
Совершенно так же получим для координатных плоскостей zx и zy
при понятном обозначении равенства:
~2 сз У
Из этих равенств следует
— = i i = 1 (t _ у =	<*>
С1 С2 С3	VC1 “*-С2 -+-С3
полагая
Voy -4— 7./ -4— Оу = 7
имеем на основании Формулы (6):
СТ1 — о- COS (пх}; 7О = 7 COS (пу}\ 7g = a cos (nz)
откуда видно, что 7 есть площадь, описанная радиусом-вектором в плоскости
орбиты за время t — tQ, а величины 7П 7„, 73 — ее проекции на плоскости
координат.
Затем из Формулы (*) следует
’ = 4V'ci2-*-cs'2-'-O32-(l!—У = 4С(/“/о)	(7)
причем
С = Vy2 -4- С22 -4— <2
Это равенство выражает второй закон Кеплера.
Вообразим в плоскости орбиты начальное положение т точки ж
и обозначим через 0 — угол m^Sm между радиусами-векторами г и г, тогда
будет
Г2==/'^у_ь,.2/'^у	(8)
\ dt / \dt /	v 7
__ 141 —
вместе с тем по уравнению (7):
2d(r ~~= г2 dft — с dt
т. е.
dt = -r2db
(Т)
Подставляя величины (8) и (7') в уравнение (4'), имеем
r2 jy _ 2fM J_	J_
Г4 (ЭД2 с2 г	с2
р 2______
' (X
или иначе
(9)
причем для сокращения положено
/г - 1 I У 2 _)
- с2 к Г. J
Положим
1 = 8 и fM=~k
г
тогда предыдущее уравнение будет
/ ds\s	2к ,	, Л
(=- -*-S2=— S-t-h	(10)
\ dt /	r-	4
причем при t = t{} должно быть:
s = so=7-; e = e«
‘ 0
Дифференцируя по /, получим по сокращении:
d*s к
-+- s = -
Общий интеграл этого уравнения есть
S = 1 -т- С С08 (0 — w)
причем С и w суть постоянные произвольные, которые определяоггся по
условиям: при 6 = 90 должно быть
ds / ds \
s~so и =
— 142 —
причем последняя величина, на основании уравнения (10), есть
ds\2 .	9	27с	7	1	27с 1 Е2 1
— = h S - _f_ s —: й------------------ь — — = —I------------Г,
at / 0	0 с3 0	rQ с2 /0“
Таким образом получаем:
1	7г
— A^tfcos^ — w)
г0	с~	0
S------^ = C2sin2(O„ — <o)
C"	r0-	' о	/
откуда следует
p2 Fo2 27c 1	7c2
c2	c2 rQ	c4
Значит, будет
s = — =	-4- \ / -4-------H — COS (0 CO
Г (Г V C2 C“ r0 c	7
t. e.
C2
1 __________________T________________
z	—4т —b02)cos(o—w)
У к2 \Tq u / v 7
положив
r2
— = «(1 --------------------------------- £2)
7c v 7
напишем предыдущее уравнение так:
1 __ а (1 — е2)
Г 1 -4- S COS (6-w)
На основании § 5 видим, что кох^да
£< 1
то это уравнение представляет эллипс, большая полуось которого
и эксцентриситет есть е.
Отсюда следует первый закон Кеплера.
В том же случае, когда
£> 1
уравнение (14) представляет гиперболу, а когда
£=1
это уравнение представляет параболу.
(11)
(12)
(13)
(14)
есть а
— 143 —
С этими двумя последними случаями мы дела иметь не будем, почему
на них и не останавливаемся.
Обозначим через Т—полное время обращения точки m вокруг S; так
как площадь эллипса (14), ею описываемого, есть
тг • а • Ъ — V1 — е2
то, на основании Формулы (7), имеем
тш2 V1 — е2 = ~сТ
А
откуда
2т№ \/1 —£2
и, на основании Формулы (12), имеем
Т2 _ 4 7Г2
причем
k~fM
Формула (15) выражает третий закон Кеплера, связывая вместе
с тем для всех планет, массы коих ничтожно малы по сравнению с массою
Солнца, постоянное к с этою последнею и с Ньютоновой постоянной притя-
жения f.
Покажем теперь связь между введенными нами при интегрировании
постоянными, элементами орбиты и начальными обстоятельствами движения,
как они обыкновенно задаются в механике.
В механике обыкновенно задают для начального момента t = t0 поло-
жение точки тремя ее координатами:
%’ У0’
и ее скорость в этот момент тремя ее слагающими по осям координат:
Из этих заданий, на основании Формулы (3), непосредственно следует:
Vo'—%Жо' = С1
Vo'—Vo' = C2	(16)
V»'—V</=CS
и значит, «постоянные площадей» этими Формулами определяются.
(15)-
— 144 —
Затем имеем
с = у/с* -+- с/ -I- с*	(17)
Из равенств (12) и (13) легко получается
К0г==*7-—-)	(18)
причем
Т? = ж»'2-ь%'2-,-го'2	<19)
Из Формулы (18) находится большая полуось орбиты а, затем из Фор-
мулы
4 = «(1 —г2)	(20)
/|
находится эксцентриситет г.
Положив в уравнении (5') плоскости орбиты z = 0, получим уравнение
линии узлов, т. е. прямой пересечения плоскости орбиты с плоскостью эклип-
тики, а именно:
\ Ч— С2 7) = О
иначе
V] = —
С1 г,
С2 Ъ
с другой стороны, это же уравнение, обозначая через у (фиг. 18) — долготу
восходящего узла, есть
г) = £ tang у
следовательно
tangy =—
С2
Наклонность i орбиты к эклиптике, очевидно, измеряется углом между
нормалью к плоскости орбиты и осью z, т. е. углом nz, косинус которого,
на основании Формулы (6), есть
cos г = cos nz = —
Vq2 ч- с22 ч- с/
(22)
Остается найти долготу перигелия и время т прохождения через пери-
гелий.
Уравнение (14) дает
1-*-scos(0o—(23)
' о
— 145 —
с другой стороны, обозначая через Х(1— гелиоцентрическую долготу пла-
неты. находящейся в момент t — tQ в точке </0, имеем:
tangX0 = А
tang(X0 — v)
tang %
(24)
(25)
ибо дуга N(/() = fj() — у. и дуга = и.
Из уравнения (25) найдется б
и затем из уравнения (23) найдется р.
Чтобы найти время прохожде-
ния через перигелий т, надо восполь-
зоваться уравнением Кеплера
n(t0— 7) = и(1 — Esinw0 (26)
причем
tang~и0= уtangly (27)
^о = ео —w	(28)
суточное же движение п дается Фор-
мулою
Величина же к, на основании Формулы (15), применяя эту Формулу
к движению Земли и считая большую полуось ее орбиты равной 1, будет
365.25638
(29')
причем величина отношения массы Земли к массе Солнца принята ничтожно
малой. Чтобы избавиться от этого последнего допущения, необходимо рас-
смотреть совместное движение Солнца, массу которого обозначим через 2КГ,
и планеты, масса коей есть т.
Вообразим в пространстве какую угодно систему неподвижных прямо-
линейных, прямоугольных осей координат OXYZ. и пусть в момент t
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. к тт. V и VI.	10
— 146 —
координаты Солнца суть	координаты планеты суть x^y^z.,, тогда
имеем уравнения:
М уУ = fmHI
dt-
dt-	rd
dt-	rJ
причем
r = -b — -'J2-'
m	(T-х., dt-	= fmM	
m	dy2 dt-		(30)
m	dd;..y "di^		
(//•2	— .d		
Сократив в этих уравнениях общие множители М и т и вычитая
каждое из уравнений, написанных в первом столбце, пз соответствующего
уравнения второго столбца, получим:
d'(yif, Г'} = — CV-4- т) 
	(30')
<7г-	х	г6	'	7
rf" ---«Г-»)	z. л г
----— f • i т) •
полагая теперь
х2 — -'С =	у2 — у. = у; z2 — z^z
видим, что уравнения (30) совершенно того же вида, как уравнения (1)г
с тою лишь разницею, что в правых частях, вместо массы ЛГ, стоит сумма
масс М-+- т. Вместе с тем ясно, что величины ж, у, z представляют коор-
динаты планеты относительно осей SXYZ, параллельных первоначальным
и начало коих перенесено в точку S—центр Солнца, иными словами это-
суть координаты планеты по отношению к Солнцу, если бы его считать
неподвижным.
Таким образом все Формулы (1)—(29) сохраняют свой вид с заменою
величины М на М-л-m, а это равносильно тому, что в Формулах (15)
и (15';, выражающих третий закон Кеплера, величина А; будет заменена
через
К =	Ш) = Л 1 -ь -|) =•=	1	^)
так что будет
=	= ~---------—	(31)
а8	к ,	'
M
— 147 —
т
и эта величина не есть постоянная, а зависит от отношения массы пла-
 '	ж
неты к массе Солнца. Соответственно этому должна быть изменена и Фор-
мулировка третьего закона Кеплера, именно, обозначая через ж0, а0,	—
массу, большую полуось и время обращения одной планеты и через
Т,—другой, получим пропорцию
<Т02(Л4ч-т0)
a*
(31')
т. е. кубы больших осей орбит планет пропорциональны произведениям
квадратов их времен обращения около Солнца на суммы масс соответ-
ствующей планеты и Солнца.
Массы планет весьма малы по сравнению с массою Солнца, как то
видно из следующей таблицы:
Наименование планет	Отношение —-
М
Меркурий..............................==1.66G7	• 10~7
Венера .....................
Земля вместе с Луной........
Марс........................
Юпитер..................  .
Сатурн .....................
Уран........................
Нептун......................
^ = 2.4510-10-
» = 3-0359.10-«
<№00 = 3-2326-Ю”
й=9'5478-10-4
^=2.8558-10-
=4.3727- 10-
-4—- = 5.0761 • 10-
1Ь/0и
Обозначим большую полуось орбиты Земли через а0, время ее обра-
щения, т. е. звездный год, — через То, массу — через ш0, тогда Фор-
мула (31) дает
Л 9	9
Р = «о
^02 1-ь
д/
Гаусс, вместо постоянной к, ввел постоянную
К = \Jk = x/fM
так что
10’
— 148 —
и, приняв
То •— 365.2563835 средних солнечных суток
1
о. = 1  —- =---------
3	’ И 354 710
получим
К=-- 0.01720209895
Эта величина называется Гауссовой постоянной.
Мы имели для движения любого тела, притягиваемого Солнцем, урав-
нения (30); заменив в них /М через К- и разделив на эту величину, полу-
чим уравнения вида:
Если положить	
Kt = т	(32)
то эти уравнения примут следующий вид:	
, г d2 хЛ	х.-. — х. (Т- х.. х, — Хо М	= т - —1;	-—f — 1 -.г dx-	r° ’ dz-	г3	(33)
Но соотношение (32) равносильно тому, что за единицу для переменной т,
называемой астрономическим временем, принят промежуток, равный
-i = 58.1344 ср. солн. суток
При таком условии уравнения движения пишутся в Форме (33), в осо-
бенности удобной, когда Солнце можно считать неподвижным.
§ 9. Некоторые разложения в ряды. В § 5 мы имели основные Фор-
мулы (I), (II) и (III) движения планеты по законам Кеплера. При малых
значениях эксцентриситета, величины и. v и г разлагаются в быстро схо-
дящиеся ряды, а именно:
с2	„!?
и = nt -• г sin nt < sin 2н£ г (3 sin 3nt — sin nt) -i
2	8
-+- — (sin 4wif — sin 2nt)
5	=3
v = nt-i- 2г sin — г2 sin 2nt -•	(13 sin 3nt— 3 sin nt) -+-
-к	[103 sin Amt— 44 sin 2nt] -4- . . .
r	=2	г3
— = 1 —cos nt— -^-(cos	— 1) —-^-(3 cos 3nt— 3 cos wif)
-----(cos4n£— cos 2nt)m~ . . .
— 149 —
Все эти ряды выводятся исходя из уравнения Кеплера и применяя
методу последовательных приближений или же исходя из того же уравне-
ния и применяя следующие две общие Формулы, из которых первая назы-
вается рядом Лагранжа, вторая — рядом Лапласа.
Пусть неизвестная z определяется в Функции переменной независи-
мой -т уравнением
(£)
в котором £ есть заданная вообще малая постоянная, тогда ряд Лагранжа
представляет следующее разложение величины z по степеням г:
d
е
т
£" (I
л~. 3 ’ d-
п
d^-1
причем положено:
= \f (t)J-; f* (t) [f (t)J3; . . .
Во многих случаях надо разложить по степеням г не саму величину г,
а заданную ее Функцию ф(г): это разложение дается следующим рядом
Лапласа:
рЗ	Л 2	*	fl	ЛИ, 1
* тлн • з? о» ?" и -	[Г о) ?' О)] -ь...
§ 10. Параллакс Луны, Солнца и планет и его влияние на коорди-
наты светил. Годовой параллакс звезд. Для простоты рассуждений будем
считать Землю за шар. Пусть О есть место наблюдателя, С — центр Земли,
Oz— отвесная линия в месте наблюдения, СО — радиус Земли, видимое
зенитное расстояние светила 5* есть zoS = z, зенитное же расстояние,
которое усматривалось бы из центра Земли, есть zCS — г0 (фиг. 19), оче-
видно будет
3=-z^p
т. е.
z(~=2—p
где р есть угол OSC, под которым усматривается радиус ОС из центра
светила S.
— 150 —
Из треугольника OCS имеем
sin jo р
sin.?
следовательно
Sin^> = -jSin^	(!)
Очевидно, что при z — 90° будет
siD2>o = 7
причем
Р. С
п Формула (1) может быть написана так:
siiyi = sin pt sin.?
(2)
Угол p{> называется горизонтальным параллаксом светила для данного
места, угол р — параллаксом при зенитном расстоянии ?, когда же место
наблюдений — на экваторе, то угол называется горизонтальным эквато-
риальным параллаксом.
Все светила, кроме Луны, настолько удалены от Земли, что угол р^
меньше 1', поэтому в абсолютной мере будет:
sinjo^p: sin^0=jo0
— 151 —
Фиг. 20.
и Формула (2) напишется
7?=^osin^	(3)
или, умножив обе части этого равенства на 206264.8 — число секунд,
'В угле коего числовая мера есть 1, получим
р" -=р^' sin z
причем р" и р" суть параллаксы, выраженные в секундах дуги.
Для Луны угол р{, составляет около 1°, поэтому погрешность прибли-
женной Формулы (4) могла бы составить до 9", и в тех случаях, где такая
погрешность недопустима, надо
пользоваться Формулой (2), но
тогда надо считаться и с отсту-
плениями вида Земли от шаровой
Формы и вводить соответствую-
щие поправки. В самом деле,
параллаксу в 1° соответствует
расстояние <7=57.3р, т. е.
около 400 000 км. Значит, от-
ступлению от шаровой Формы
па 2 км будет соответствовать
погрешность в параллаксе в ]
а так как эти отступления со-
ставляют до 20 км, то при точ-
ных вычислениях их надо учиты-
вать, в подробности чего входить
не будем. Для упрощения этого
учета составлены соответствую-
щие таблицы.
Расстояния до звезд настолько велики и размеры Земли столь малы
по сравнению с расстоянием до звезд, что их экваториальные параллаксы
ничтожно малы и вне пределов наблюдений. Но для звезд имеет место
другое обстоятельство: Земля, при годовом своем движении вокруг Солнца,
описывает эллипс, близкий к кругу с радиусом около 150 млн. километров.
Вообразим, что через звезду 18 и центр Солнца 8 проведена плоскость,
перпендикулярная плоскости эклиптики, тогда широта звезды, когда Земля
находится в точке будет когда же Земля находится в J.,, то широта
звезды есть [32, широта же, которая усматривалась бы из центра Солнца,
<ecib 3 (фиг. 20), и очевидно, будет:
=	^ = 0 — р2
— 152 —
причем	а siny, = ^sin р sin р. — sin
Расстояния до звезд столь велики, что углы и р„ меньше 1", поэтому.
положив	^ = -^.206264"8
можно писать	рА” ~ Р>" = Р^ • Эп 3
Эти величины называются годовым параллаксом звезды.
глава и
Понятия о теориях Луны Адамса и Хилля
§ 1. Теория Лидера получила дальнейшее развитие в теориях Адамса
и Хилля, краткий очерк которых мы здесь и приведем, ибо и в этих теориях
излагаются методы интегрирования таких уравнений, которые, помимо
теории Луны, встречаются во множестве технических вопросов, в виду
чего, оставляя астрономическую часть почти в стороне, мы будем обращать
главное внимание на чисто математическую.
Адамс излагал свою теорию на лекциях, читанных им в Кэмбриджском
университете; эти лекции вошли в том Л полного собрания его сочинений
(«The Scientific Papers of John Couch Adams»). В этих лекциях он вкратце
излагает и теорию Хилля, которая первоначально была опубликована в «Ame-
rican Journal of Mathematics», а затем вошла в полное собрание сочинений
Хилля [«Collected Mathematical Works of George William Hill» (Washing-
ton, 1905)]. Мы будем придерживаться лекций Адамса.
§ 2. Пусть фиг. 21 представляет положения Солнца 5, Земли Т
и Луны Z, и пусть 0 есть центр тяжести Земли и Луны. Делаем следующие
обозначения:
Масса Солнца..........$
» Земли.............Т
» Луны..............L
— 153 —
Расстояние:
Ш =	8Т=^; SL=^; TL~r
тогда будет:
(1)
Z0 =	=
T-\L
Составим теперь выражения ускорений, которые эти тела сообщают
друг другу.
Солнце 8 сообщает ускорения:
Земле: f —? по направлению TS
?Г
Луне:	f • -Дг »	» LS
Рг“
вследствие чего точка 0 имеет ускорения:
Т 8
- -- • f • по направлению, параллельному TS
L ~ 8	т q
»	»	» LS
Ускорения Солнца, происходящие от притяжения Земли и Луны, соот-
ветственно, суть:
Т7
• -р- по направлению ST
f-T »	» SL
Р»
поэтому ускорения точки 0 относительно точки 8 будут:
w^ = t • -—=,——- • — по направлению параллельно 1S
1-^L Gf
, S+T-+-L	L	TCt
к^>—” LS
— 154 —
Разлагая эти ускорения, соответственно, по направлениям &S и QL, полу-
чим, как легко видеть из подобия показанных на фиг. 22 и 23 треуголь-
ников:
, о
W ' = w- —
1	1 Pl
по направлению ®S
II	' 1
w," = w- — »
1	1 Pl
QL
wJ = w„' — »	» &S
*	- fl.
получим для ускорений точки 0 слагающие:
ТЛТ /	/	S-+-T-+-L
= w’ -I- w.' = f- —
Т-^ч-L--^] no 0S
L ?i P33J
Ж = w/' — w.!l = f 	AT-’-X — L
no 0Z.
<1>пг. 23.
Заменив и r2 их выражениями (1), имеем:
LJ
1
по направлению &S
-T-L-r
J’
?23_.
по направлению &L
— 155 —
Но
Pi Р ~*~^Р'у । l
?2~ ~ Р2 р у, )
/ L	V
Г COS СО 1	-=----у • г I
\ J- ~i- -Lj	/
\ 2
Г )
следовательно:
Подставляя эти выражения, имеем:
3	15
— ч- — cos-СО
Zi л 
3	15	() \
---ю-cos-c^-f-
wi=f-s^T^L\ 1
1	Q-
Т • L г'1 ,
^(Тч-Z)2 ’ р‘4
3	15	9 \
— I — COS2 СО -+-
2	2	/
т„ . S-i-T + L о T L	г2
№<> = /• -, “ - — 3 • ту—у- • — cos со - S- . . .
Но отношения
L _ 1 .	г _ 1	(г V _	1
24^Z~80’ Т~ 400‘ \	' 160000
поэтому будет
Z • L г* _	1
(Z-+- Z)2 ’ Z ~ 12600000
и члены, содержащие этот множитель, могут быть отброшены, так что
будет:
8 । Т । Ij
W1==f--------5---- по направлению 0£
= 0 по направлению QL
О гею да следует, что точка 0 движется вокруг Солнца по эллиптической
орбите по законам Кеплера.
Рассмотрим теперь ускорение Луны по отношению к Земле, для чего
к ускорениям, сообщаемым Луне Солнцем и Землею, надо присовокупить
ускорение, равное и противоположное ускорению Земли, происходящему
от действия Солнца и Луны. Поступив подобно предыдущему, получим:
по направлению
LQ
параллельно &S
/ т
Г COS со -I- ( ---
положим:
=	8^-21
156 —
тогда предыдущие выражения будут:
fa 7 Mr
г2- ' о3
T—L
T-r-L
т
— • 3 COS СО -4—
0
. DO LT
Mr
T— L
T -+-L
3	15	., \
— -4- — COS- CO 1-4-
. . i параллельно 0$
3 cos co -+-
Вообразим, что из точки 0, как из центра, произвольным радиусом
описана сфера, на которую вынесены точки S и L (фиг. 24), соответствую-
щие направлениям 0$ на Солнце и 0L на Луну, проведен большой круг SM1,
соответствующей плоскости эклиптики, и на него проектирована точка L
в точке L'. Обозначим через — — проекцию длины TL на плоскость эклип-
тики, тогда сделаем следующие обозначения:
0 — геоцентрическая долгота Луны,
6' — долгота Солнца, видимая из точки 0,
s—	tang LIJ = тангенс широты Луны. Тогда будет:
SL == ы, SL' = Q — W
Г — (1 -4- S2')2 • W-1
cos W (1 -4— S2) 2 • COS (0--------0')
и предыдущие выражения ускорений будут
. [Ш-	.(l-4-s2/ Г T—L1 о	~1 тгг
f ---0-Г-/1---5---	1-+-Ж----• 3 COS 0-----0 )-4— . . . ПО LT
1-4-S-	c3W	T-4- L ОМ
k	L—	k	—I
и параллельно 08:
/•^.Гзсо8(6—L-l(— 4(14-s2)-4-^cos-(0 —	. I
p3w|_ v 7 T-t-L ou \	2'	2 v 7/ J
Обозначим эти величины, соответственно, через U и V и разложим их
на составляющие: параллельно L' 0, перпендикулярно L'Q в плоскости
эклиптики и перпендикулярно плоскости эклиптики, и обозначим эти слагаю-
щие, соответственно, через Р, Q. L, тогда получим:
Р= U(1 -t- s2)"y— Fcos(0 —0')
Q=— Fsin(0 —0')
P== P.S.(1-KS2)^2
— 157 —
так что будет
R — Ps= FscosfO —О')
и, на основании предыдущих выражений, получим:
n faM2	f211 1	3	. й,
P —	--3 — V- --*--cos2 0 —0' -+-
± о3 и [_ 2	2
d-t-s’-)2
T—L 1 //9 ЗА .	,,	15	„ ,	„.A
-KTZ^((8~2STO3|f,-0,^TCOSO^-')))^'"
<2= — sin 2(0 — 6W
p3 и [_ 2 v
- йгг ((i~ 4s'2)sin'° -	тsin 3 (0 - 9'0	• • •
„ T) fMs Г 3	3	_ ,Л ,Л
R—Ps — —- —-к — cos 2(0— 0')-»-
p3 и |_ 2	2	4
T—L 1 //33	3 ,\ f r,	15 O/A r,A
-4-Tp—f — -y — -s- )cos(0 — 0'	— cos 3(0 — O'))
T-t-L он \ \ 8	2 /	'	8 v /
следовательно, принимая время t за переменную независимую, мы имеем
следующие уравнения движения:
(Рг	/<1ъ\-	TJ
--------г I — 1 = — 1
<№	\dtj
(I)
d2(rs) _
dt2 Л
Приняв же за переменную независимую 0 и положив
<76
dt
так что
= tfu-
dt
•будем иметь:
d2r
di?
dH __Q
dB ~ u3
TT „ d2 и	„ du TT dH
— Hu- — — u2 ^~H^~
d^2 dft d$
(	\2	3
Г -y-	= H2U3
\ dt /
— 158 —
следовательно будет
TT9 9 / ^U
IFU-^+u
dH „ du
Затем
d2(rs)
dt2
d2s d2u\
dH o / ds du
wH и -у- — s-fi-
de \ de de ,
следовательно
d2s
\ de2
dH „ds	T)
-г- W’ -vr- = J.S---It
de de
так что уравнения движения могут быть написаны в таком виде:
u \de2
du
и de
dH_ Q
de m3
]J2U2 /	g
JL-L !Л I ,, o О
\ de1
ds
de
(II)
Сравнивая эти уравнения с уравнениями Эйлера, видно, в какую
сжатую Форму их привел Адамс и притом отнюдь не в ущерб точности,
а сохранив большую степень точности, нежели у Эйлера.
Получив эти уравнения, Адамс говорит: «...наша задача состоит
в исследовании этих уравнений и в получении из них выражений, опреде-
ляющих положение Луны в любой заданный момент времени. Интегрирова-
ние выполняется лучше всего рассмотрев сперва, какого рода члены будут
исчезать при подстановке в уравнения, и приняв затем для координат ряд
такого рода членов с неопределенными коэффициентами; таким образом мы
будем исследовать одно за другим все неравенства, каждое в отдельности».
Отсюда видно существенное различие метода Адамса от метода Эйлера.
Эйлер пишет общий вид разложения координат Луны по степеням некоторых
известных постоянных параметров и ищет вид той Функции времени t, на
которую данная постоянная или ее степень, или вообще произведение целых
степеней этих данных постоянных умножается, составляет дифференциаль-
ные уравнения для этих Функций и ищет их решения в виде разложений
по синусам и косинусам аргументов, линейно зависящих от времени.
Адамс поступает как раз наоборот: он выделяет в самых основных
уравнениях некоторую группу членов, зависящих от того же самого угло-
вого аргумента, и по виду этого аргумента в простейшем случае пишет
общий вид неизвестных членов в разложении координат Луны, зависящих
— 159
от этого аргумента, в виде тригонометрического ряда с неопределенными
коэффициентами, которые и определяет на основаниии этих дифференциаль-
ных уравнений, коим искомые координаты должны удовлетворять. Вот
почему после методы Эйлера мы и излагаем методу Адамса.
§ 3. В выражениях Р, Q, R содержатся координаты р и О' Солнца,
их надо прежде всего выразить в Функции времени, пользуясь тем, что
видимое движение Солнца, иными словами точки 0 около Солнца, происхо-
дит по законам Кеплера, поэтому будет:
а'__1 -+- е' cos (9' — со7)
р	1 — в'2
О1 — со' — п11— w'-ь- 2е' sin(n't — со')-f--2 <?'2 sin (2 w'if— w')--+- . . .
как указано в § 9 главы I.
Нужные нам величины суть:
f-V;	£22.2 (О—О');	(-У~(0 —О'); f—У-^3(0 — О')
\ р /	\ р / sin 4	\ р / smv 7	\ р / sm v
выполнив подстановку и разложения, получим:
у) = 1 -н $ е’2-+- Зе1 cos (п! t — со') г е'2 cos 2 (n't— со') -4- . . .
— 4 «'	!2 (0 — «) -+- (»' t—<•>')} -t-
• Ц е'222£	(0 — п’t)— 2 (n't— со')}	.
( fpsln	2e’2) S(°—n'0-f-3e'^^(O—n'O —(n'^—w')^
—п'С + ЙЭ — w')}-H-^e'2|^-n’t)—2 (n’t —
f 22 e'2 £22. oQ — ni f\ _|_ 2 M t — co')}
8 sm	7		7
/ £Z\4COS 3 0_Q/x
\ p / sm v 7
= (1 —	3 (0 — n’t) -H J3 (0 — n'Z) — (n11 — co')}
— e> Hu — n’t'j-t- (n11 — w')| г '1y7‘6,'2|jn~	—n'^ — 2
-»-1е'2^>3(0 — n’t) ^-2 (n't — w')}4-. . .
8 sm ’	7 v 7*
— 160 —
Зти разложения и надо подставить, вместо соответствующих количеств,
в выражения Р, Q, Р, при этом необходимо заметить, что все возмущаю-
щие силы содержат множитель	поэтому нет надобности знать вели-
чину а', или, что то же, параллакс Солнца, ибо, на основании третьего
закона Кеплера, fMa!~3 выражается через среднее суточное движение
Солнца, хорошо известное из наблюдений.
о	М
Заметим, однако, что есть члены, содержащие множитель ? в ко-
торые входит непосредственно параллакс Солнца; сличение величины теоре-
тических значений коэффициентов при неравенствах, этим членам соответ-
ствующих, с их значениями, полученными из обработки наблюдений, доста-
вляет один из наиболее надежных способов определения параллакса Солнца.
Заметим также, что члена с аргументом
2 (0 — п't) -+- 2 (п11 — о/)
не зависимым от Средней долготы п't Солнца, в разложении величины
(0 — 6',
\ р / sin
не содержится.
§ 4. Возьмем сперва уравнения (I), именно первые два из них:
Мы не будем пока рассматривать движение по широте и положим з = О
в выражениях Р и Q, кроме того удобно и возможно рассмотреть отдельно
члены, содержащие параллакс Солнца: отбрасывая и их, получим:
1 d2r	/ (70 \2	/;?. 
г dt-	\dt I	f-
d2()	2 dr (70_________
dt2	r dt dt
1	fM 3 fM
2p-+2 7“e2'’-^
— 4^sill2(0 —O')
2	pJ 4
если сперва принять
e' = O;
a!Z
6' = n' t-+- a1

— n
то будет:
1 d2r	/ d В \2 /p-
r dt2	\ dt /	r5
1	3
— n’2 -+- — n'2cos2 (0 — n't — a')
cPQ
dt2
2 dr ddj
r dt dt
3
-----nf2sin2 (0—n't — a!)
(A)
—161 —
Эти два уравнения и послужат нам для получения исходного приближения,
для которого примем
О — nt —ь- а -+- b2 sin {2 (nt -+- <р) — 2 (п11	а!)\ — nt а -+- 6., sin 2ф («)
обозначив для краткости
2 (nt -+- а) — 2 (п! t-+-a!) — 2ф
положим также
у —	[1 -4—cos 2ф]	(**)
причем п есть среднее суточное движение Луны и а — среднее расстояние
ее от Земли. Коэффициенты а2 и Ь2 мы предположим столь малыми, что их
квадраты будем пока отбрасывать. Подстановка выражений (*) и (**)
в уравнения (А) приводит к равенствам:
4 (п — п')2 а2 cos 2ф — {п2 -+- 4и (п — п') Ь2 cos 2ф|	& j 1 -+- За2 cos 2-^} —
~~п'2-+- -|-n'2cos2tp
3
— 4 (п — п1)2 b2 sin 2ф -+- 4 (п — п') па2 sin 2ф —-----п12 sin 2ф
Уравнивая коэффициенты подобных членов, получаем равенство
&- = п2-Ь- ±п’2	(1)
а6	2	'
которое в данном случае заменяет третий закон Кеплера, устанавливая
зависимость между средним расстоянием и средним суточным движением.
Кроме того, имеем
4 (п — п') »	а2 — 4п (п — п') Ь2 — ^п'2
3
— 4 (я — п')2 6., 4п (п — п') а2 ~----п'2
из последнего уравнения следует
4п (п — п')Ъ>—4п2	,
4	2	2	2 п—п
к. В. Крылов. Собр. тр., доп. е тт. V я VI.	11
— 162 —
придавая эту величину к первому уравнению и
/и
заменив Аг его значе-
а4
нием (1), получим:
э ,.,2п — я
— П----------:
2 я — я
3 ,9 21? — я'	1
_i • ________ • — —______________
2 п~п Зя2 — 8яя' н-^п'2
, я	3	я'2
=------- а -I-----—- ~
я—п -	8 (п—я’)1
3 ,0 м(2я — я')	1	3	я12
“ • —————— • , ,    .. . —— _ — | -— 
2	(«-«? Зя2_81т^ня,2	8(м-И'У
Положим
я'
— — т
я
тогда будет:
1
о Q И о
3 — 8т -+- — пя
,	3 „ 2 — т	1	3 т2
О = ----V))/- .------------------------1------------
2	2	(1-ж)2 3_81„_ьп)„2	8(1—ту
полагая теперь
я'	W
	- = -- = 7/?
я—я------------1—т	1
получим окончательно:
3 „	2 -+- w?i
ап — Я1,2--------------------
2	2	3 о n 1 о
3 — 2тТ -+- -у я?у
3	9 (l-f-w1)(2-f-m,)
9 ' 1 ’	1
Z 3---------2/1?! -+- — I??!2
(3)
(4)
Уже было указано, что звездный год равен 365.25638 средних суток
и звездный месяц равен 27й7Ч43Л1Г5 = 27.32166 средних суток:
2*ТГ
П'= Чй?9^ = 0-01720213’ П==^ТЙЙ = 0-2299708
Зо0.2оЬ38	27.о21оЬ
так что
п' _ 27.32166
п ~ 365.25638
0.0748013
— 163 —
Отсюда получаем:
а2 = 0.0071795
Ъ2 = 0.010212 = 210б"4
таким образом отношение наибольшего расстояния к наименьшему равно
(1 г а2): (1 — а2) = 1.0071795 : 0.9928205
и наибольшее отклонение долготы 0 от средней долготы nt, равное Ъ2,
составляет
2106"4 = 35'6"4
что весьма близко к действительности.
Мы имеем равенство (1)
=	= W 1 + ^И = и2 - 1.00280 = 0.0530346
а6	2	\	2	/
если бы возмущающей силы Солнца не было, то мы имели бы
в2=ет°-0528866
т. е. действительное среднее движение медленнее того, которое было бы
при отсутствии возмущающей силы.
Полученное неравенство в долготе
О — nt — Ъ2 sin [2 (п — n')t-+- 2 (а — а')]
было открыто из наблюдений Тахо Браге в конце XVI в. и называется
вариацией.
§ 5. Чтобы получить следующее приближение, надо найденные вели-
чины у и 6 подставить в дифференциальные уравнения и удержать члены
второго порядка относительно а2 и Ъ2 и т2 или т2.
Значения, которые надо подставлять, суть:
г=4(1‘i^cos2,w
О = nt а Ъ2 sin 2ф
ф = nt г а — (п! t г а')
3	2 -+- т1
а2 = -т2---------------
3 — 2шх ! — т-2
11*
— 164 —
Отсюда следует:
г = а 1 — а2 cos 2ф г
(?2Г
1 d2r
г dt2
dft
dt
у a22(l —f- cos 4’|)
— 4a (n — n')2 [a2 cos 2ф — 2a,2cos 4ф]
Г i .	з
= 4(n — n')2 — a2-+- a., cos 2ф-------a 2cos
J	“	Ji
= n-t- 2(n — n') b„ cos 2ф
= n2 f 4n(n — n')b,y cos 2ф i 2 (n — n')2 b2 (1 -+- cos 4ф)
Д Д l -н 3 a., cos 24
a6	2 t
•|a22(l-f-cos
следовательно:
1 dr	 г dt	2 (n—n')	1 a„ sin 2ф — — a2 sin 4ф	
1 dr dQ	 г dt dt	2 (n—n1)	na2 sin 2ф -+-	— n'} a2	b2
^2 = — 4 (n —n') b2 sin 2ф
1	2
-na22
кроме того:
cos 2 (0 — n't — a') = cos 2ф — b2 (1 — cos 4ф)
sin. 2 (G — n't — a') — sin 24 -+- b„ sin 44
Подстановка этих выражений в дифференциальные уравнения (А) § 4, если
все члены перенести в левую часть, дает: для первого уравнения:
4 (п—п1)2
1	3
— a2 -I- a2 cos 2ф--------------a2 cos 4ф
J ~	Ji
— [п2 -+- 2 (п — п')2 b2 —I— 4п (п — n') b.y cos 24 -+- 2 (п — п')2 b2 cos 4ф]
1 -ч- a.,3 f За., cos 2ф a2 cos 4ф
1 я
— — п'2-------п'21 — Ь2 -ь- cos 2ф » b2 cos 4ф] = О
и для второго уравнения:
— 4 (п — п1)2 b2 sin 2ф
ч-4(п — п1) па2 sin 2ф -+-	— п’)а2Ь,у
-+- — п'2 [sin 2ф -+- b2 sin 4ф] = О
J
— 365
Коэффициенты при cos 24 в первом выражении и при sin 2ф — во вто-
ром, соответственно, суть
3fu. 3
4 (п — п1') а2 — 4п (п — п') Ъ2 -+-	а2 — п/2
и
Эти коэффициенты обращаются в нуль на основании значений а2 и Ъ2, если
для принять его приближенное значение п2-+-^п12. Для получения
более точного значения величины надо уравнять нулю постоянный член
первого выражения, так что будет
2 (п — nf)2 а2 — п~ — *
fa / л	3 \,\	1 ,
ч-fa 1	а.,2 — — п1
(г \	2 - )	2
2
что дает
/	3
— I 1 —t---О '
,2.J_ и'2
4W'2&2
1
9 4
64 1
Отсюда видно, что величина отличается от п2-+-4^2 лишь на члены
а6	2
четвертого порядка, если рассматривать т1 как величину первого порядка
и, следовательно, а2 и Ъ2—как величины второго порядка малости, поэтому,
принимая
1
fa
а3
в множителе при а2 при уравнивании нулю коэффициента при cos 2ф, мы от-
брасываем лишь величину шестого порядка относительно w , значит и по-
грешность— в значениях а2 и Ъ2 этого же порядка.
Как видно при выполненной подстановке, в наших уравнениях оста-
ются члены четвертого порядка с множителями cos4tp и sin4^. Чтобы
,	1 л
от них избавиться, надо к выражениям — и 6 присовокупить, соответственно,
члены указанного вида, т. е. положить:
[ 1 -4- а2 cos 2ф а4 cos 4ф]
б = nt -+- а -4- Ъ2 sin 2ф fa sin 4ф
причем, как окажется, величины а4 и fa малые, четвертого порядка.
—166 —
Не производя подстановок наново, нетрудно видеть, что добавятся
следующие члены:
1
к —....................16	(п— п')2 a, c°s 44
г dt2	4
» —(4?^ • • . . —8n(n—п'} b, cos 44
X dt J	v ’ 4
f<J.	f'J' O . I
»	.....................—о • 3«, cos 44
(V>	4	I
(Pt)	-I Г» / Ь 1	' А I
»	...............—16 (n— n o. Sin 44
dt2	4	‘
2 dr d()	.
» —,-^7.................8n(n— n) a. sin 44
r dt dt	’ 4 T
члены же, которые добавляются к выражениям
Q	з
— n'2cos2(0— n't — а') и — n'2sin2(0— nt— а')
могут быть отброшены.
Добавив эти члены и уравнивая нулю полученные выражения, имеем
уравнения:
1 6 (п — п1)- ai — Sn(n — n')6 -t-	• 3a4 — 6 (n — n')2 a2 — 2 (n — n'")2b.2
(V
-+--\a2 — — n' - = О
(/' -	2
— 16 (n — n!)2 Z>4 -4- Sn (n — n'} a4 -+-
3
-+ 4 (n — n')2 a., b., — 2n (n — n') a2 -+- — n'2 b^ = 0
из которых надо определить а4 и Ь4, причем
= П2-1- — п'2
(С1	2
b2 ==(l+n4)a2^w2
Адамс решает эти уравнения в общем виде и затем подставляет
вместо а2 и w их численные значения и получает:
а4 = 0.00004580
=0.00004237 = 81'740
4
Очевидно, что мы получим эти же значения сделав указанную подстановку
в самые уравнения прежде их решения, как это делает Эйлер, но само
собою разумеется, что прием Адамса дает более общие результаты.
— 167 —
§ 6. Применим теперь к определению неравенства, именуемого вариа-
цией, уравнения движения в виде (II), т. е.		
	d2u	Р	О du	(1) (2)
	_। и —	х	
	<2	Я‘2«?	Я2м3б70	
	пан_ q и*	
причем	Р (	1 »'2	3 и'2 о /А Ы\	(3)
	sin 2 (0 — О') и6	2 гг	'	(4)
где	0' = п11 -ч- а'	(5)
Очевидно, что уравнение (2) может быть написано в таком виде:
1 (7 (Я2)	f / dt V .
- 4 ' —— зи'2 sin 2 (9 — О')
Я2 <76	\ (76 /
(2')
Уравнения эти имеют гораздо более привычный для техника и инженера
вид уравнений колебательного движения, нежели рассмотренные выше
уравнения вида (I). Наша задача состоит теперь в том, чтобы выразить t
и и в Функции переменной 9 и постоянных количеств.
Так как орбита Луны немногим отличается от круга, то мы можем
принять, что разность между nt-а- а и 0 и разность между аи и единицею
будут представляться в виде рядов, состоящих из малых периодических
членов, зависящих от 0. Самый вид уравнений показывает, что эти перио-
дические члены будут иметь аргументом 2 (0 — О') и кратные этой вели-
чины, так что будет nt -s а = 0 +- период, члены с аргументом 2 (0—О')...
Но, как указано,
w'7-ь- а' — 0'
следовательно
уО — О' = (1 — т) 0 — р « период, члены с аргументом 2 (1 —т) 0 — 23
и кратными этого аргумента; причем положено
= а' — №а
постоянная {3 связана с аргументом (1—т)0 и повсюду к нему приба-
вляется, поэтому, для простоты, этой постоянной можно не писать.
— 168 —
Таким образом мы можем принять за исходное приближение:
аи = 1 а2 cos (2 — 2 m) О
nt а = 0 -+- bs sin (2 — 2т) О
Отсюда следует:
2 (0 — 6') = (2 — 2т) 6 — 2mbs sin (2 — 2т) О
cos 2 (0 — 6') = mb2 —cos (2 — 2т) 0 — mb2 cos (4 — 4т) b
sin 2 (О — O') = sin (2 — 2m) 0 — mb2 sin (4 — 4m) 0
/7/
n = 1 -+- (2 — 2m)b2 cos (2 — 2m) 0
Подстановка в правую часть уравнения (2') дает
i	~ — 3 m2 [sin (2 — 2m) 0 -ь (2 — 3m) b2 sin (4 — 4m) 6]
и, по интегрировании, обозначая через Л2 — произвольную постоянную,
имеем
,	/Н2\ з т2	.	3 2 — 3m 97	...
log -гт I = -к г-— cos (2 — 2m) 0 -+- —  ---m- 69cos(4 — 4m) О
\ h~ J	21 — т	v 7	41 — m	2 v 7
что можно написать в таком виде:
log — 2/zscos (2 — 2т) 0 2/z4cos (4 — 4т) О
где h есть произвольная постоянная, 1г 2—известная величина, Л4 содер-
жит Ь2.
Если во втором приближении положить
аи — 1 -I- а2 cos (2 — 2т) 0 а4 cos (4 — 4m) 6
nt -I- a = 0 -t— b2 sin (2 — 2m) 0 b4 sin (4 — 4m) 0
то предыдущее значение log I\ не требует видоизменения и доставит
условные уравнения, служащие для определения коэффициентов a2, &2, а4, Ь4.
Мы имеем
dt п па2 h 1
п ~ ш2 ~	' ТГ
так что
1	( dt\ >	/ mt2\ 1 ,	/ Н2\	.
10g (” de) = М) —гl°g	— 2logаи
— 169 —
но
/ (It \
log (п ) = — (1 — m)2 622	(2 — 2m) 62 cos (2 — 2m.) 9
\ /
-+- [(4 — 4m) 64 — (1 — m)2 b2\ cos (4 — 4m) 0
log (au) =----+- a2 cos (2 — 2m) 6 -+- f a4-— \ cos (4 — 4m) 91
Таким образом мы получаем равенства:
— (1— m)26g2 = logа/
(2 — 2m) b2 = — /г9 — 2а9
(4 — 4m) b. — (1 — m)2b.2 = — h, — 2a. -+- ~а 2
Остальные нужные нам условные уравнения получаются из первого*
уравнения движения, которое может быть написано в таком виде:
d2(au) Г 1 / , dt\2 3 / f dt\2 , ~l
_)	cos2(0-9')J
-^Ч(»'^)г»п2<9-9')=^ W'
Но мы положили
аи — 1 -+- а2 cos (2 — 2m) 9 -+- а4 cos (4 — 4т) 9
следовательно будет:
= — (2 — 2т) а2 sin (2 — 2m) 0 — (4— 4m) а4 sin (4 — 4т) 9
(Л\}
d= — (2 — 2m)2 а2 cos (2 — 2т) 9 — (4 — 4m)2 а4 cos (4 — 4m) 9’
а также:
/ dt \ 2
(п' ) = m2 [1 -+- (4 — 4т) bt> cos (2 — 2 т) 9]
\ И0 /
/ (It \ 2
\п' (/9/ S^D	= w2 [sin	9 -к (2 — Зт)b2 sin (4 — 4т) 9]’
\ do) cos 2 — ^) = tn2 [(2 — 2т)b2-±- cos (2 — 2т)9
-4- (2 — Зт) b2 cos (4 — 4т) 9]
-^2 =	[1 -к Л22 — 2Л2 cos (2 — 2т) 9 -ь
-1- (Л22 — 2й4) cos (4 — 4т) 9]
— 170 —
Л2
Подставив эти значения в уравнение (*) и уравняв коэффициенты
подобных членов, получаем
13	3	3
1 -» — т2ч- — т2 (2 — т) Ь2 г — т2а2-+- — т2 (2 — 2 т) а2
/	1 \ з
—(2 — 2m)2a2-i- I 1 -+- — т21 а.у -+- — т2-+-(2— 2т)т2Ъ2—- 9
— (4 — 4я?)3 «4 -I- 1	я/2«4 -+- т2 (2 — 3m) Ъ2
2
2У
3	3 о /л _ ч 1и.а
-+- — т2 а„----- т2 (2 — 2т) а^ = ^~
4	4	/г
Отбросив сперва члены четвертого порядка, мы из первого из этих урав-
нений имеем
fiJM
Л2
1
Из предыдущей же системы уравнений мы имеем
(2 — 2т) Ь2 = — h2 — 2а2
Подставив эти значения во второе уравнение, имеем
— (2 — 2m)2 —н 1 । — т2 — 2т2J а2 — т2 h2 -+-	т2 ~
= 1 -+- -1 т2^ (— 2Л9)
или, по приведении,
/ о q П 2\	3	9 пт. 3	9	3 т2 3	„ 2 — т
3 — 8m-i-—т2 а.. = — т~ • 2Л = — • т2 -+- - • --= —т2------
\	2	/ -	2	2	2	2 1 — m2 1 — т
так что
7	1	1 L
-	1 — т 2	2 — 2т 2
____	1	3 т2
1—8(1—т)2
Численные значения этих величин те же, как и обозначенные этими бук-
вами в § 4, но Ъ2 имеет обратный знак. Затем мы находим:
( 15 — 32m-ч- —-m21 а. —
\	2	/ 4
3m — 2m2) а2-ч-(8 — 15тнн 6m2)Z;J
— х-а Ъ — ~ - ~ т- • [а -+- (6 — 8т) Ъ ]
2 — 2т 4	8 2 2	64(1 — т)2 L 2 v	22
— 171 —
или в числах:
а4 = 0.00002210
Ь= —0.00005414 = 11"17
4
Наконец установим соотношение между постоянными, введенными здесь,
и постоянными, которыми мы пользовались в 4 и 5; для отличия при-
пишем последним значки, так что будет:
О = nt » а • bj sin 2 у —i— bf sin 4ф
~ = 1 -s aj cos 2'4 « af cos 4ф
опуская, как и раньше, постоянную ji, имеем
(1 — т) О = ф -s (1 — т) Ъ' sin 2ф -+- (1 — т) bf sin 4ф
тогда будет:
2ф = (2 — 2m) О— (2 — 2m)62'sin (2 — 2т) О
sin 2ф = sin(2 — 2m) 0 — (1 —m) b' sin (4 — 4m) 0
cos 2ф = (1 — m) bj л cos (2 — 2m) 0 — (1 — m) bf cos (4 — 4m) 0
подставив в уравнение для 0, мы получаем
nt г а = 0 — 6./ sin (2 — 2m) 0 — \bf — (1 — m) b^2] sin f 4 — 4m) 6
подобно этому найдем
а и — 1 -+- (1 —m) a.,' b.’ -+- ajcos (2 — 2m) 0
-+-1 a/ — (1 — m) af bj\ cos (4 — 4m) 0
Отсюда видно, что а' отличается от а на величины четвертого порядка,
§ 7. Покажем теперь, каким образом уточнять приближенные реше-
ния, вводя в них поправки.
Мы можем упростить уравнения, с которыми мы имели дело, выбрав
соответственным образом единицы. Примем за единицу расстояний радиус
такой круговой орбиты, которая описывалась бы Луною, не подверженной
возмущениям, вокруг Земли в тот же период, как в действительности, т. е.
в звездный месяц, тогда будет
fu. — п~
Единицу времени выберем так, чтобы было
п — п' = 1
— 172 —
На основании наблюдений установлено, как уже сказано в § 4, что
nz: п = 0.0748013
откуда следует при таком выборе единиц:
причем тг есть та величина, которая этою буквою обозначена в § 4, тогда
будет
/ри = 1.168234
В последующем мы часто будем пользоваться этими упрощениями.
Положим теперь
Z = log-
а
так что будет:
1 dr  dl .
г dl	dt ’
l(Pr^__d4 /ddV
r dt2 dt2 ~*~\dt )
тогда уравнения, рассмотренные в § 4, будут:
cPl	(М\2__(<№\2	f\J- -31
dt2	\dt /	\ dt /	a3
-+- ~ cos 2w = 0
d2f)	Q dl dQ
dt2	~ dt dt
— sin 2w = 0
причем
w — 0 —
Но эти уравнения неполные, ибо они составлены отбросив некоторые члены
в уравнениях (1)§ 2, поэтому, если обозначить через Zo и Оо—значения I и
полученные в § 4, как решения этих неполных уравнений, то, по подста-
новке значений lQ и 0() в полные уравнения, мы не получим тожеств, а по-
лучим некоторые невязки, которые обозначим через X и Y. Если I и &
суть решения полных уравнений, то мы можем положить:
— 173 —
причем и yj суть малые величины, квадратами и произведением которых
можно вначале пренебречь; тогда, для определения поправок £ и у; к най-
денным приближенным значениям 10 и 0о, мы получим уравнения:
„	(72£	„ dL de. п df)n dn о fu. r o
JC-t-	-1-2• “77 — 2^7 * 777— 3 Ц-е 3/° • £-+-3n 2sin 2co • у; = О
dt2 dt dt dt dt cd
(1)
Y~' Ip-1-2 ST lt~^2lt a+Sn <'os2“-’i-0
Сделаем:
(Z(L ,	1 fu. fy.
~ — 1 • n1 —1— v:	— BL e — с ч w
dt	r03 cd
причем
C — (1 -f- n' )2 -t- nhi
Величина v содержит только периодические члены вида д-cos 2гф, с малыми
коэффициентами р--. величина w, кроме периодических, содержит еще весьма
малый постоянный член, от которого можно бы избавиться, оставив сперва
величину с неопределенной, а не приписывая ей заранее приведенного выше
значения.
Обозначим через и yjx— величины, определяемые уравнениями:
(1'
2(1 ^«^-3^ = 0
(2)
Y+^2^^ = "
тогда и у]х суть приближенные значения величин £ и у) и, по подстановке
в уравнения (1), дадут невязки, которые мы обозначим через Хг и Ylt
причем
xi=2<^-k—2v^— 3«£-+- Зп'2sin 2ш • tl
1 dt dt dt 1	а
К = 2 ДгР-4— 2г>Д^--1- 3n'2cos 2w • у).
1 dt dt dt	1
так что когда и известны, то и определяются.
Величины и у]х, определяемые уравнениями (2), могут быть найдены
как частные решения этих уравнений линейных и с постоянными коэффи-
циентами, находить же их общие интегралы с постоянными произвольными
нет надобности, ибо эти постоянные произвольные, удовлетворяющие на-
чальным условиям, уже включены в состав 10 и О0.
174 —
Итак, пусть будет:
Х = Л	2 Pi C°S	Г = Sin 4
тогда полагаем:
$! = «„-•-2 aiC0S4; ’ll = 2 sin 4	(3)
причем указатель I получает псе целые положительные значения,
а0, «15 • . •	?>2, • • •
суть неопределенные коэффициенты, для нахождения которых, по подста-
новке значений (3) в уравнения (2), имеем уравнения:
д—Зсао=-О
—i2a{—2(1 -4-п')йь—Зш-=0 (г -= 1,2, з,...)
а. — г2 Ъ. — 2(l-i- п1) ia- = О
из этих уравнений следует:
Pi — 2(l-i-n')^
п —_________________I__• л —______о (1 -I-	— -t- —
ai — р _ (1 ч- п')2 -+- 3/2н'2 ’	* “	1 i i2
Отсюда видно, что aibi будут вообще того же порядка малости, как pi и qi,
поэтому коэффициенты членов выражений и Yr будут более высоких
порядков, нежели коэффициенты членов Хи Y.
Продолжаем таким же образом определять следующие приближения
Н2, У)2 из уравнений:
х, 52 — 2 (1 -+•и') 557—з«13 = о
(л/I/	Cv и
1 dt2	7 dt
тогда, по подстановке в полное уравнение величин
। ^2 ’ "^1 * ^2
вместо $ и у;, получим невязки:
Х2 = 2 % • S —	— 34 -+- Зп'! sin 2<о • ъ
2” -+- З»'2 cos 2“ •
(II/ (л b	(A/v
При развитии в ряды по синусам и косинусам кратных аргументов ф полу-
чатся коэффициенты, порядки коих будут выше, нежели коэффициентов
— 175 —
соответствующих членов в разложениях и Y1. Продолжаем поступать
таким образом, пока невязки станут столь малыми, что ими можно будет
пренебречь, тогда достаточно точные значения величин I и 0 будут:
6 = 0o-t-1il = 9l)H-11l-«-7i.!H- •  
После этого можно принять во внимание квадраты и произведения
малых величин £ и поступая с приближенными решениями Z0-e-^ и О0-е-т]
совершенно так же, как мы поступали с 10 и 0О, т. е. путем подстановок
приближенных решений в предложенные уравнения, составления невязок
и по ним поправок к приближенным решениям.
Следует заметить, что в том случае, когда поправки £ и yj зависят
от какой-либо постоянной, наир, эксцентриситета орбиты Земли или
параллакса Солнца, то последовательные приближения доставят точно
и в отдельности члены, зависящие от первой, второй... степени этой
постоянной.
Обратим внимание на это замечание Адамса, ибо оно с ясностью уста-
навливает связь его методы с методою Эйлера.
§ 8. Мы приложим изложенный в предыдущем параграфе метод к на-
хождению в выражениях координат Луны членов, зависящих от параллакса
Солнца.
Найденные в § 4 приближенные значения величин I и 0 суть:
I = log — = — л cos
0 а 2
0о = nt -s а -I- Ъ2 sin 2ф
Они удовлетворяют уравнениям движения, когда в них отброшены члены,
зависящие от расстояния от Земли до Солнца. Иными словами, члены, зави-
сящие от параллакса Солнца, остающиеся вследствие невязки по подста-
новке этих приближенных значений в полные уравнения, суть:
х = -	г Г-1 cos (6„ — 0')	cos 3 (0„— О')
а о	о
(2)
Y = W2 — sin (О — О') sin (О — О')
а I 8	°	8	0	_
причем положено
Затем из предыдущего имеем
0о — 0' = ф -t- Ъ2 sin 2ф
176 —
-следовательно:
sin (60 — О') = sin ф -ь- у 62 (sin ф -» sin Зф)
cos (0о — О') = cos Ф — ~ b2 (cos ф — cos Зф)
sin 3 (0о — О') = sin Зф -t- -|&2 (sin ф -i- sin 5ф)
cos 3 (0о — О') = cos Зф — | b9 (cos ф — cos 5ф)
и на основании этих равенств имеем:								
г а	•|соз(0о —	6')+	^cos3(0o-	-9')	II 001 о 1	"8^"	_ 2 ~~2	а2) cos;
	/"И \ й	16 b‘2	9	\ 	«о COS lb “/	Зф-	/ 45 \ 16	_ 15 \ “ 16	cos	5ф
г а	_-sm(0o —		15	• О/Л -sin3(0o-	-9')	Jl^ 00 1 05	217	3 -Г	i2) sin ф
	/ 15	3 7	3	\ .	Зф-	/45 7	15 \	sin	
	-к	~Тб^2	— — а9 sin lb - /		- Тб*2-*	“Тб®2)		5ф
положим:
— ; ~ сг s ф -н la, cos Зф
у; — \bi sin ф -+- \b3 sin Зф
отбрасывая сперва члены с аргументом 5ф.
В данном случае оказывается, что проще непосредственно подставить
вместо и у; их значения (*) в полные уравнения (1) § 7 и таким образом
сразу получить второе приближение, не переходя через первое. По сокра-
щении множителя X, мы получим:
cos ф । 9п3 cos Зф -е- 4а2 sin 2ф [ах sin ф -н За3 sin Зф]
+-	[а} cos ф -I «3 cos Зф) г 3 & [За2 cos 2ф] • [^ cos ф • а?> cos Зф]
— [2 (1 -+- п') -J 4&2 cos 2ф] • cos ф -J ЗЬ3 cos Зф]
-4- 3m'2 [sin 2ф -с b9 sin 4ф] • [b^ sin ф -4- b3 sin Зф]
— п'2
27,	3
1Р2 2^
созф
19 / 15	0 у	9	\	~ 	f9	/ 4:0 7 1э \	I	хч
— п '2 (——I- — Ь9	— — а9] cos	Зф —	п 2	— Ь9 — — aj	cos 5ф =	О
\ о	Lb -	1b -/	1	\lb -lb -7
— bx sin ф — 9&3 sin Зф -4- 4а2 sin	2ф	[b1 cos ф -4- 3b3 cos Зф]
-I- 3м'2 [— b9 4 cos 2ф -H b2 cos 4ф] • | bx siu ф -4- b3 sin Зф]
-+-[2(1-4- n') • 469 cos 2ф] • [ах sin ф -i За3 sin Зф]
/ 3	217	3 \ . .	/15	3 7	3 \ . o ।
” ( 8 ~ T	8 S,n * - ” V8 -16 - 16 “4 Sia3'^
-ь и'2 (ItC — Т7аг)85п5| = 0
\lb 16 V ‘
Развив эти равенства, заменив произведения синусов и косинусов через
синусы и косинусы кратных дуг и уравняв нулю коэффициенты при совф
и cos Зф в первом уравнении и при sin^ и sin Зф—во втором, отбросив члены
с cos 5ф и sin 5ф, получим следующие уравнения:
а2 ] -+- (2at> » f 1 ।	\ h (1 ы п1) -ч- 269--------|-и/2
а \ ж /	л
-ч- а (6а i	— Ъ Г669 — 4 п'2 (1 г ЪЛ =
•! \	2	2 (г 2 /	2 |	2	2
= 4 п'2 (3 — 962 — 4а2)
а [2 (1 » п') — 2Ъ., \ — Ъ. [ 1 -ч— 4 и'2 — 2а9-+- 3^/269
6а9 --у п'2 -ч- 4 к’2 69
“2	2	2
-ч-а3 [66J— 63
= —— 762 — 2^
21 4—4п'2 м1 а* г,6 с1 +-
аг [26.J -+- 4 j 2а
— 63[9-t-3^2 62]	= _-£-^2(5-»-^-^ —-|-а2)
Решение этих уравнений в буквенной Форме привело бы к весьма
сложным Формулам, поэтому выгоднее воспользоваться приведенными в § 4
численными значениями:
а2 = 0.0071795
62 = 0.010212
принять указанные в начале § 7 единицы, так что
п’ = 0.080849; fy = 1.168234; а=1
вычислить численные значения коэффициентов, стоящих в скобках, и решить
полученные уравнения относительно ах, а3, у в численном виде.
Эти уравнения будут:
4.56672а — 2.172326.-I- 0.08093ао —0.051376, =-|п'2 2.87937
1	1	о	J О
2.14128^-0.995646,-+- 0.06127ап —0.033386, ==—|п'2 0.91416
1	J	о	’’О
0.02349а. — 0.030126, i 12.51451а„ — 6.485086, = -п’2 • 5.00455
1	1	о	О у
0.02042а, + 0.024066, -+- 6.48508а„ —9.000206. = -|w/2-5.00152
1	1	о	Ь
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. к тт. V и VI.
12
—- 178 —
Из них получаются следующие значения:
= — -|п'2 • 46.4814 = — 0.113928
з
= — -Л-  99.0336 = — 0.242734
(5)
а=-%'2.0.55042 = 0.001349
,5 о
Ъ.}	-п'2 • 0.58209 = 0.001427
Эти величины и надо подставить в Формулы (4), умножив их предва-
рительно на А, причем этот множитель есть
1-^
.	Т — La	та
Л “ T^L ’ 7? “ T~L '
Т
Отношение
^:=8i.5
по определениям, в подробности которого мы здесь входить не будем, отно-
шение
а расст. от Земли до Луны __параллакс Солнца
а' расст. от Земли до Солнца параллакс Луны
§ 9. Параллакс Луны по значительной его величине определяется
сравнительно легко с большою точностью, среднее его значение, соответ-
ствующее среднему расстоянию а, есть
34221'3
примем параллакс Солнца равным 81'8, тогда будет:
Х = 0.002509
= — 0.00060903 = — 1251'62
если же параллакс Солнца принять равным 81'9, то будет:
Х = 0.0025376
Lb1 = — 0.00061596 = —1271'05
но член с коэффициентом \Ь1 входит в выражение долготы Луны 0, имея
множитель
sin ф = sin (^г — n')t
— 179 —
долготы же Луны требуют лишь угловых измерений, т. е. определений ее
склонения и прямого восхождения, и на основании этих определений долгот
может быть в них с большою точностью обнаружено неравенство с аргу-
ментом ф. Положим, что коэффициент при этом неравенстве оказался бы
12б"50, ясно, что ему соответствует значение параллакса Солнца, равное
8?80 -к ОЛ О
126.50— 125.62
127.05 — 125.62
т. е.
8Cz80 ь О Л) 7	8 "8 7
Это неравенство в долготе Луны называется параллактическим. Опре-
деление, на основании его, параллакса Солнца, а значит, и расстояния
от Земли до Солнца, пользуясь лишь наблюдениями помощью меридианного
круга и часов прохождений Луны через меридиан данного места, напр.
Пулкова или Гранича, представляется весьма замечательным, почему мы
несколько и остановились на этом свойстве движения Луны, войдя в астро-
номические подробности.
§ 10. Положим, что мы приняли за приближенное решение, по кото-
рому составляются выражения 10 и 0о, члены, включающие только вариацию,
т. е. положили:
1 = — Г1 ы a cos 2ф1
r0 a L 2 T J
0о = [nt с а г Ъ2 sin 2ф j
причем значения а2, Ь2 и даны в § 4 и 5, а именно:
а
Q	О -4- 737	О
й2 = |'"12-;-------1Ъ.,=.(\+т^аг + ~т*
3 — 2т2 -+- —	°
tS=w2-^4’!'2
Uj	&
следовательно:
— log = log -----1 - - -cos 2ф
0	° а ° 1 -F6z2cos 2ф 2 т
0о = nt ь а ь Ъ2 sin 2ф
более же точные решения суть:
I —10 г % = — а2 cos 2ф -ч- £
6 = nt -г- а » L sin 2ф
2	।
причем
2ф = 2 (0 — n't)— (n't— ш')
12*
— 180 —
Приближенные решения 10 и 90 получены в предположении
е' — 0; р = af
т. е. что видимое движение Солнца происходит по кругу. Положим, что мы
хотим получить более точные решения, удерживая первую степень эксцен-
триситета е'.
На основании общих Формул § 7, мы видим, что в нашем случае по-
правки определяются уравнениями:
Хы г 4aQ sin 2ф ~ — 3	(1 г cos 2ф) £
dt2 2 т at а’	1 Т/
— 2 [(1 । n') 5 269 cos 2ф] с 3w'2 (sin 2ф i bk> sin 4ф) у; = О
d~r,
dt
А • П I
-+- 4«„ sm 2ф -ч—
2	1 dt

3w'2 (—Ъ2-+- cos 2ф -ч- b2 cos 4ф) у;
dt
г 2 [ (1 ь n') -I- 27>2 cos 2ф]~~ = О
Обращаясь к разложениям, приведенным в § 3, и к выражениям сил
Р и Q, ограничиваясь в них членами с первою степенью е', мы получим
по приведении:
X = — -|- п'2 е' cos (п1t — со') — ~ п'2 е' cos [2 (6 — п'I) — (п t — со')]
-+- X-п'2 с cos | 2 (9 — п't) с (n't — со')]
¥ = ~ п'2 е' sin [2 (0 — п'f) — (п't -— со') J
— -|-n'2e' sin [2 (0 — п' £)-+- (n't — со') |
Положим для сокращения:
а ~ п't — ы'
тогда будет:
cos [2 (6 — п't) — а] = cos (2ф — а) — 2 (b2 sin 2ф) sin (2ф — а) —
= — Ъ2 cos	а -ь cos (2ф — а) -с-	b2 cos (4ф — а)
sin [2 (0 — n't) —	а]	= -4- &2cos	а -+- sin (2ф — а)	с	b2 sin(4’]> — а)
cos [2 (9 — п't)	г	а]	= — Ъ2 cos	а г cos (2ф с а)	с	Ъ2 cos (4ф -4- а)
sin [2 (9 — п't)	»	а]	= — b2 sin	а -с- sin (2ф -+- а)	с	Ъ2 sin (4ф г- а)
— 181 —
и значит,
X = — -| n'2 (1 — 3&2) е' cos а — ~ п'2 е! cos (2ф — а) ч- п'2 е' cos (2ф ь а)'
21	3
---~ п'2 с' cos (4ф — а) -ч- -4 п'2 е' cos (4ф ч- а}
У = вп'2 Ъ2 е' sin а ч ^~п'2 e'sin (2Ф— а) — -5-w/2e'sin (2ф -+-а)
21	3
ч -j- п!2 Ъ., с! sin (4ф — а) — ~ п'2 Ъ2е' sin (4Ф -+- а)
За величину первого порядка малости мы приняли m] X 0.08, поэтому
п'\ Ь2 и е' принимаются за малые второго порядка, так что члены, содер-
жащие аргумент 4ф ± а, будут шестого порядка и их можно отбросить.
Величины и у) будем искать под видом:
— £ — е’ cos а ч а6 е' cos (2ф — а) ч- а7 е' cos (2ф ч а)
У] = е' sin а ч- Ь(. е' sin (2ф — а) ч- Ъ7 е' sin (2ф ч- а)
где а5, . . . &7 — неопределенные коэффициенты, для определения которых,
следуя обычной методе, подставляем величины £ и у; в те уравнения, кото-
рым они должны удовлетворять, заменяем произведения синусов и косину-
сов через синусы и косинусы кратных аргументов и, собрав члены с cos а,
соз(2ф — а), cos(2фч- а), sin а, sin (2Ф— а), sin (2^ ч-а), уравниваем
коэффициенты при них нулю, выполняя эту выкладку на буквах; получив^
таким образом, для определения наших шести неизвестных шесть урав-
нений первой степени с буквенными коэффициентами, подставляем вместо а2,
Ъ„, п' и их численные значения.
Уравнения станут с численными коэффициентами, решение этих урав-
нений доставит следующие значения коэффициентов:
аь = — 0.0069237; 65 =— 0.190463
цб= 0.030358; Ъ6 0.043967
а7 = — 0.004447; Ь7 = — 0.006236
Величина
0.016771 = 3459"28
так что будет:
а5е' = — 0.0001161; е’ = — 0.003194 = —658?9
0.000509; bGe'==	0.0007373 =	15c2"9
а7е'==~ 0.0000746; b7 е' = — 0.0001046 = — 21?57
— 182 —
Главный член
&5 е' sin я = — 6581'9 sin (п1 t — со')
имеет своим периодом год, поэтому это неравенство называется годовым.
§ 11. Мы видели, что уравнения движения
fdlV /db\2	,2Г1	3	n
~Ы + 'НТ2+1“2(’-Л» =°
(1)
d2Q dQ dl , Г 3 . m i
-ГГ2 1 2 ~й n тг sm 2 n 0 = О
dt2 dt dt [_ 2 v 7
имеют приближенное решение:
I = Log — = —an cos 2ф
a ~	(2)
0 = nt « я —I— sin 2ф
причем
ф — nt } a — (n' t-+- a')
7	11'
а., и o9 — малые величины, зависящие от отношения — •> и а—величина,
2 п	1
зависящая от п, так что
&- = П2-Ь ~п'2—- п , -+~2п'(2п— п')а 2
а6	2	32 (я — я'2) v 7 2
(первые два члена этого выражения получены в § 4, остальные получаются
доводя разложения до членов более высокого порядка).
Величина п' считается заданной, пня можно считать произвольными,
но подчиненными условию, что отношение м!: п есть величина малая.
Это решение представляет, таким образом, возможный случай движе-
ния, но это есть лишь частное решение, ибо опо содержит лишь две про-
извольные постоянные, тогда как общее решение должно содержать тако-
вых четыре, чтобы можно было удовлетворить любым начальным условиям,
т. е. чтобы начальные значения координат и начальные скорости могли
быть задаваемы по произволу.
Когда возмущающих сил нет, то четыре произвольные постоянные
суть пия, аналогичные величинам, обозначенным этими буквами выше,
и два эллиптические элемента с и со, причем через е обозначен эксцентри-
ситет и через со — долгота вершины орбиты.
Мы покажем, каким образом вышеприведенное решение может быть
дополнено, введя в log и в 0 дополнительные члены, аналогичные с е и со,
— 183 —
причем первая величина будет постоянная, вторая же—медленно и равно-
мерно изменяется с временем t\ для простоты мы примем сперва, что е на-
столько мало, что его второю и высшими степенями можно пренебречь,
в остальном же эта величина произвольная.
Итак, положим, что
log y = a, cos 2ф ь е cos (nt — <т)
(3)
О = nt ь а 4 b2 sin 2ф 4 2с (1 -+- Z>0) sin (nt — ст)
причем эллиптические члены, т. е. содержащие множитель е, — того же
самого вида, как в невозмущенном движении, величина же о- предполагается
медленно изменяющейся, так что
причем р — малая величина порядка возмущающих сил.
Подставим выражения (3) в уравнения (1). Мы имеем:
dl
= 2(п — п’) а9 sin 2ф (п —р) е sin (nt — <т)
(лЪ	“
d2l
— 4 (п — п1)2 at> cos 2ф	(п —р)2 е cos (nt — а)
dtj
— -n-t-2(n — n’)b2 cos 2ф i 2 (n —p) (1	cos (nt — <r)
__ — 4 (n — n') b2 sin 2ф — 2 (n — p)2 (1 s 60) e sin (nt — <r)
Следовательно, должно быть
4 (n — n')2 a2 cos 2ф (n —p)2 c cos (nt — <r)
2 (n — n') (n—p) a2 e [cos (2ф — nt co) — cos (2ф nt — cr)]
— {n2 4 4n(n — n') b2cos 2ф c 4n(n —p)(l-t-b0)ecos (nt — <r)
i 4(n — n')(n —p)(l 4 b^)b2e [cos(2'|»-4- nt + co) < cos(2^-л-nt — <r)]|
-t- ~ 1 i 3cz2 cos 2ф) [1-4- Зе cos (nt — cr i] J-
(14	I
—	-г- —cos 2ф— 3sin2c[[2(l	60) e sin (nt — <r)Js = 0
I 2»	J
и второе уравнение
— 4 (n — n')2 b^ sin 2ф — 2 (n —p)2 (1 -4 bQ) e sin (nt — <r)
4n(n — n') a2 sin 2ф 4 2n (n —p) e sin (nt — <r)
-4- 4 (n — n')(n—p)(l -4- bQ)ea2 [sin(2^ — nt i co) -h sin (2ф -4- nt — cr)]
-ь 2 (w — n') (n —p) eb2 [— sin (2ф — nt 4 co) -4- sin (2ф 4 nt -t- □)]
(ч	I
n'2 <— sin 2ф н 3 cos 2ф [2 (1 -+- &c) e sin (nt — cr)] > = 0
I	I
— 184 —
Само собою разумеется, что при значениях «2 и &2, данных в § 4Г
члены, не содержащие е, тожественно пропадают.
Уравнивая нулю коэффициент при cos(W — w) в первом уравнении
и коэффициент при sin (nt — to) во втором, мы получаем:
(п — р)2 — 4и (п — р) (1 -I- &0) !	= о
— 2 (п—р)2(1 < &0) 2п(п —р) = О
следовательно
(п -—р') (1 ч 60) = п
и
(п — р)2 = 4п2 —	~п2-----п'2
v	а3	2
так что приближенно будет
Р _ 3 9 7
п 4	0
Остаются еще члены с аргументами
2ф — nt-+-cr и 2ф-+- nt — ст
от них можно избавиться, положив:
log у = а2 cos ф ч е cos (nt — ст) г а91 с cos (2ф — nt г ст)
-+- tz22 е cos (2ф -к nt — ст)
0 = nt ч а г 62 sin 2ф < 2е (1 -+- &0) sin (nt — ст) г Ъ.п е sin (2ф — nt » ст)
г b22 е sin (2ф -н nt — а)
тогда, вместо предыдущих уравнений, мы получим следующие:
(п—р)2 — 4п(п—р)(1 -ч-Ь0)-+-^
— 2 (п — п!) (п — 2п'-+-р') -4-	1 а.^
(1)
2 (п — р)2(1 -ь &0)-4- 2п(п — р)— 6п,2Ь2(1 -*-Ьо)
— 2(п — п') (п — 2п' । р) Ъ2 tz21 -к 2 (п — п') (Зп •— 2п! —р) Ъ2 а22
3
— 2(п — п') (Зп —- 2п' —р) а2-+-^г п'2
&22 = О
— 185 —
Множим уравнение (*) на и придаем к первому, тогда уравне-
ние (*) можно заменить таким:
(п — р)2 — 4и2 » — ь 1 -ПП - Ъ (1 + Ъ )
к 2 (п — п') (п — 2 п' г р) [«., «21 — bt, -4—	[а2 а21 г а2а22]
3
-4- - п'2 [621 -4 Ъ22] -+-2(п — п') (Зп — 2п' —р) [а2 а22 — Ъ2 Ъ22\
(2)
4п
п—р
(п — п') (п — 2п' -4- р) [?>., «21 — а2 62]]
4п
п—р
(п — п’) (Зп — 2<п! —р) [Ь2 а22 — а2 Ъ22\
-*~з^^[&21-&22] = о
точно так же уравнения, получаемые от приравнивания нулю коэффициентов
при
есоз(2ф— n^-4-w) и rsin(2(p — nZ-t-w)
следующие:
2 (п — п') (п —р) ь	а2 — 4 (п — п!) (п —р) (1 ь 60) Ъ2

(3)
-4- (п—2п'-+-р)2
а6
«21 — 2п (п — 2п' « р) Ъп = О
4 (п---п')(п-----р)(1 ь ^о)°2------ (п-----'п')(п—р)Ь2-------Зп'2(1 -4- &0)
(**)
— (п — 2п' —t—py2 Ъ21 ь 2п (п — 2п' -4-J?) а21 = О
Умножив уравнение (**) на
исключим Ъ21 и получим
2 п
п — 2п! -+-р
и придав к уравнению
(3),
2 (я—и') (»—р) -ь	_ (и—я') (и—р) (1 -ь- &0) а2
Гзп’2
6пп/2
п---‘J.n' -
(п — 2п’ -+-р)2 —
п — п'
п — 2п' -+-р
а3
а21
О)
(я—J) 62
= 0
— 186 —
Наконец, уравнения, получаемые от приравнивания нулю коэффициен-
тов при
ecos(2^-t-n/— со) и esin(2'|»-+-n^ — со)
будут
— 2 (и — п') (п —р) н-
-^'"1 а2 — 4 (п — п') (п — р) (1 с &0) Ь2
— Зп'2 (] -+- Ъо)
(5)
-4- (Зп— 2п'—/>)2-+-	«22— 2п(3п — 2п'—р)Ъ^ ~ О
и
4 (п — п') (п —р) (1 -ч- Ьо) а., -4- 2 (п — п') (п—р) Ь2 ь Зп'2 (1 < 60)
(#-$К-э|г)
— (Зп— 2п'—2п(3п — 2п'—р)а22 = О
Умножив уравнение (***) на —	~^п' —р ' ПРилаем к ^22 исклю-
чается, и мы получим
1#
2а3
8п ,	.
----— (п—п'
Зп—2п'—р v
«2
г Зп'- —_______________|’>яи'г
I	Зп — 2п'—р_
----------(п — п') (п—2?)~j b
Зп — 2н—р	/v ^/	2
(6)
2п' —р)2 — 4п2 -4- -Л
«22 = О
Эти шесть уравнений (1), (2), ... (6) надо решить относительно не-
известных ?>0, а21, сг92, Ь21, Ь22, и так как эти уравнения относительно
первых двух неизвестных нелинейные, то для их решения надо применить
методу последовательных приближений: сперва надо воспользоваться выше
найденным грубым приближением для величин ~ и ?>0, после чего из урав-
нений (3), (4), (5), (6) найдутся приближенные значения d21, 621, а22, &22;
эти величины надо подставить в первые два уравнения, которые тогда до-
ставят более точные значения — и 60, и продолжать таким образом, пока
два последовательных приближения более не будут чувствительно разниться
между собою.
— 187 —
Необходимо заметить, что эта сложность вызывается тем, что при
определении а21 и 621 входит малый делитель
(п — 2п' + р)2 — 4n2 +
v	L 7	а6
§ 12. Перейдем теперь к самому численному решению уравнений пре-
дыдущего параграфа.
Мы примем следующие данные:
п — п1 = 1
п — 1.080849
п' = 0.080849
1.171503
а8
log а2 = 3.85609; log62 = 2.00911
Первое приближение.
(п — р}2 — 4п2 -+-	= О
4п2 = 4.672937
— J& = —3.514509
а8
(п—р)2= 1.158428
п — р= 1.076308
р = 0.004546
п — 2п'-+-22 = 0.923697
Зп— 2п’—р = 3.0766303
1 } Ъ = 1.004224 = —^—
°	п--«
Эти значения надо подставить в уравнение (4):
(р — 2п! -t-p)2 — 4w2 г a2t ’ (n — n') (n
2	2a8 2
8 й—5h;Z-;, («—“') (»—!’) (lH-i0)o2—4(»—и') (и —p) (l-t-6„) b2
(4)
4 «—— n') (K —/>) &2	3«'2 (! -»- b„)
lb	A fv —Г" //
n n'2
— 188
Отдельные его члены таковы:
2(п — пг)(п—р)а2................................ 0.0154545
9 fu.
.................................................0378483
2 а
— 87 А------(/г —п')(п—^)(1-ь6(1)«.................—	.0726410
— 4(w—	—4?)(1 -+-60)62 .......................—	.0441505
4 .771- 2п'-л-р ~~ П'^ (п ~Ь‘2.....................0514447
Зп/2(1	г 60)....................................  .0196925
6-—------(1-+Л)................................   .0460858
п —2 и рv 07	____________________
Числитель . . .	0.0537343
(п — 2n'-i-p)2 . .......................... 0.853216
— 4п2-ч--^................................ —1.158428
аА	_______________________________
Знаменатель . . . —0.305212
а21 = 0.176056
Уравнение, которым определяется 621, есть
7	2w	(п — м')	,	,	, .
21	п—2п-i-p 21 (и— 2п ч~р)2У J774	0/2
л п(п — п'}	.	.. 1 о п'2 z, , ч
--2 ~ -Цг-----~ (п р) Ъ  3 -------—------г2 (1-4-6-)
\Н — 2п -+-р)2 7	1 7 2 (п 2п' -4-р)2 v 07
и мы имеем:
.................0363795
, "7. > ”(w—........................  	— .0257642
(п — 2п' -л-ру	2
---З^2--- (!-*_£,)......................... .0230803
(п — 2 п' -ь р гv	0	_______________
62] = 0.399553
Уравнение, которым определяется я22, есть
(Зп — 2-п'—р)2 — 4п2 -ь | в — 2 (п — п') (п — р) аг н- ® & а2
— 83-И_2ЯИ'—рЬо)«2 — 4(п — п')(п—р)(1 -7-Ьо)Ъг
Зп^.2п'—р (-П~ «')(« — р) &2 — Зп'2 (1 н- 60)
бпп'2
Зп — 2п' —р
(1-^5о)=0
— 189 —
Отдельные члены этого уравнения суть:
.0378483
.0218113
.0441505
.0154469
.0196925
— 2 (п— п')(п—р)а2 ....................................—0.0154545
2 а3
— 8 Ч-----— п') (п —р) (1	Ъ ) а..............
Зп — 2п' —р	7 ' J 0 2
~ 4 (п — *0 — Р) (1	........................
— 4 -----------(п —п1) (п — р)1к.......................
Зп — 2п---р к ' ' .г / 2
--- Зп12 (1-4- У.......................................
___ впп'2 Z1 А А
Зп — 2п'—р	4~ <4..............................
Числитель ... — 0.0925452
(Зт? — 2ri—р)2 .................................. 9.463634
— 4п2-4--^..........................................—1.158428
а6	_________________________
Знаменатель . . .	8.305206
а22 = 0.0111430
Наконец, 622 определяется из уравнения
Ъ<,о=2 ---------ао„-4— 4 77,—п п ,W-го(п — р)(1 -4— Ъп)ап
22	— 2п' —р 22 (Зп — 2п —р)2 v	7	07 2
п — п'	п/2
2 (Зп—2и'—р)2Р)Ь2~^3 (Зп—2п'—j;)2^
Отдельные члены этого выражения суть следующие:
4.„	-----_(и_р)(1 -ь6)в............00327988
(Зп — 2п' —р)2 v	2 4	0/2
2.„- П~П----5(п—р)Ь,..................00232283
(Зп — 2п/ —р)2 v	/ 2
п'2
...............................00208086
(Зп — 2п' —ру v	07 
Z>22 — 0.0155137
— 190 —
Второе приближение. Полное уравнение, которым определяется п—р,
есть
(п—ру— 4»2	12 i,(l + у
2 (w — и') (п — 2п' +р) [а2 а21 — !>., Ья] -+- & [а, а21 н- а., аJ
1	п'2 [621 -4- 62J -t-2(n — п') (Зп -1- 2п' — р) [а2 а22 — b2 b2J
“Ь 4	(“ “	~ 2"' “ Р) [ Ъ1 аП — «2 У
77	мм 2
— 4---------— п/^ (— 2п'—р) [L а — а Ъ ] -ч- 3 ------------[6 — Ъ ] = О
у} _р\	7 •	-X./L2 22	2 22-*	. . р L 21	22-J
Во всех членах, кроме первого, берем значение р из первого прибли-
жения, тогда отдельные члены предыдущего уравнения имеют следующие
численные значения:
— 4п2-ч-^.........................................—1.158428
а6
12-?^-L(l-b^)..................................... 0.000808
п — р 2	0/
2(п— п')(п — 2п'-+-р)[а2а21— 6262/|	...........—0.005201
4^Иа2а21 -^«2 «22-1............................... 0.007084
-|«'2 [&я-4- 6J................................... 0.004069
2(п — п')(3п — 2п'—— ^*2^22]...................—0.000482
4 (п — п>) (п — ~*~р) [Ъ2 л21 — а-> ^21J.......— 0.003975
—	— w')(3n — 2п'—p)\b2al>i> — «2^2J .... —0.000030
—	.................................. 0.007561
м—ру 21	22'_______________________________________________
(п—.	1.148504
п— р= 1.071725
р = 0.009124
р: п — 0.008442
Обратим внимание на то, что все члены этой таблицы, содержащие
величину р, весьма малы по сравнению с первым членом, поэтому при вы-
числении этих малых членов погрешность в величине р, взятой из первого
— 191 —
приближения, оказывает малое влияние на значение (п—pf, этим уравне-
нием определяемое.
Найденные во втором приближении значения п—р, р подставляем
в уравнение, служащее для определения 1 -4— &0, а именно:
1	6 =	----3	(1 ъ )
0 п — р	(п—ру* 2	07
— 7^—^5	+ р) [6 а — ас, Ъ ]
+~ 7~-----^2 (Зп-	---Р) U}‘> а‘>0-а2 М ----Т 7~~---\2 IA1 ~	М
। /fy -	v\ 4	-*- / L 2	22	2	22-J	4 (Н —— /J L	^2-1
мы получим следующие значения:
п—р
-з^ЛО-А)..............................
— (И — 2и' Р) IA Я21 ~ «2 J...........
£=21 (Зи — 2»' — р)[Ь.,а.„ — aj:.a\...
__ 3	п'2 ГА _ъ
4 (п—у?)2 21	22.......... ‘	‘
1^Ъ0= . . .
1.0085133
— 0.0001751
0.0008655
0.0000064
— 0.0016392
1.007571
и здесь видно, что все члены таблицы, в которые входит 60, весьма малы
по сравнению с первым, поэтому погрешность в значении 60, взятом из пер-
вого приближения, оказывает весьма малое влияние на величину 1-+-60.
Для этого Адамс и не взял первые два уравнения в первоначальном виде,
а предварительно преобразовал их, ибо уравнения, помеченные (*), этим
свойством, дающим возможность вести последовательные приближения,
не обладали. При применении методы последовательных приближений не-
обходимо на этот прием обращать внимание.
Пользуясь найденными значениями р и 1 -+- 60 и приведенными выше
уравнениями, находят второе приближение для величин а21, 621, а22, &22У
и получаются следующие результаты:
а21 = 0.180820; Ь21 = 0.408736
а— 0.0111803; La = 0.0155685
22	J
— 192 —
По этим значениям находят:
третье приближение, а именно:
п—р= 1.071625
р = 0.009224
р : п = 0.008535
а21 = 0.180929;
= 0.011810;
1	&0 = 1.007639
= 0.408948
bi2 = 0.0155696
Затем совершенно так же получим:
четвертое приближение'.
п — р — 1.071603
р = 0.009246
р‘.п= 0.008554
1+/;0= 1.007660
величины же Ъ21, а22, Ь22, найденные в третьем приближении, остаются
без изменений.
Величина е(1 -+- &0), полученная на основании обработки наблюдений,
есть
е(1 г Ъ()) = 0.05491
следовательно:
е = 0.05449
2(1 । 60) е = 0.109820 = 22651"9
а21 е = 0.0098603
bsle = 0.0222844 = 459б'.'б
^6 = 0.0006093
Ъ22 е = 0.0008485 = 175'3
Полученное отношение
р : п = 0.008554
несмотря на то, что удержаны лишь члены с первою степенью е, оказы-
вается весьма близким к истинному его значению, вычисленному Хиллем
с весьма большою точностью и равному
0.008572573004864
Приняв среднее годовое движение Луны равным 17325593", мы
получим годовое перемещение перигея равным
17325593" • 0.008554 = 148202" = 41°10'2"
что отличается лишь на 5' от истинного.
— 193 —
§ 13. Перейдем теперь к исследованию третьего из основных уравне-
ний движения, содержащего координату z, которой определяется широта
Луны р, ибо z = г sin р. Сперва мы предположим, что широта настолько
мала, что можно пренебрегать второю и высшими степенями переменной
s = tang р
В этом предположении третье из уравнений (I) § 2 напишется так:
dt2 ~~ гр Р3 \
Т—L
T^L
— • 3 COS GJ
р
или, отбрасывая «параллактический» член, содержащий множители 3 cos со
г2
и — ? мы будем иметь в первом приближении:
dt* ~ Lz2 р3_
/и
Мы можем считать, что множитель Ц уже известен по изложенному в пре-
т
^идущих параграфах и принять

За2 cos 2ф — а22 За4) cos 4ф
"	\ 4	/
причем а определяется выведенными в §§ 4 и 5 равенствами. Переходя
к числам и выбрав единицы так, чтобы было
п — п1 = 1
мы будем иметь:
1.171503-4-0.025230 cos 2^-1-0.0002515 cos 4£
г3
= 0.006536
Р
и уравнение, которым определяется z, примет вид
-4-2(1.178039 -+- 0.025230 cos 2t -4- 0.0002515 cos 4П
dt* 4
Рассмотрим вообще уравнение вида
d*z
-4- (д0 -4- 2q± cos 2t -4- 2q^ cos 40 2 = 0
причем величины qr и q2— малые.
А. И. Крылов. Собр. тр., доп. б тт. V и VI.
13
— 194 —
Положим, что в состав величины z входит член
с cos (kt -+- у)
но подстановке в выражение Pz произойдут члены:
с cos [(А: — 2)/-+- у]; с cos [(&-+--2)7 -4- у]
с cos [(Л—4)/-f-y]; с cos [(к -+- 4) -+- у]
поэтому примем вообще:
Z = С {cos (kt -4- у) -4- Сх COS [(к 4- 2)^4- у] -4- Cg COS [(& -4- 4) £ -4- у] -4- . . .
•4— с_1 COS [(7г — 2) / -4- у] -4- с_а cos [(&— 4) 7 -+- у] -ь . . .}
сиу суть постоянные произвольные; надо определить величину к и коэф-
фициенты сх, с_1? . . . Подставив и уравнивая нулю множители при коси-
нусах одинаковых аргументов, получаем следующую систему уравнений,
которые условно напишем так:
• • • С-2	С-1		<Т	с2	...
... (к — 4)- +- q0	+ 71	+ 72			
-»~71	_(7г-2)2 + ?0	+ 71	+ 72		
+ 72	+ 51	- № + до	+ 51	+ 51	
		.	72	71	— <А;+2(2 + 5о	+ 51	
			?2	71	-(к+4)2 + 50	...
При таком условном начертании, первая строка представляет такое
уравнение:
• • • [— (к— 4)2-<-4o'Jc-2-,-«ic-i-,-22 = 0
Если величинами qlt q2 пренебречь, то мы имели бы просто:
_р_4-2о = О
как исходное приближение для к.
Сохраняя qT и отбрасывая q2, мы получим:
£о —(й —2)2
21
2о —(^-ь2)2
— 195 —
В нашем случае qQ близко к 1, поэтому и к близко к 1 и знаменатель
в выражении с_г—малый, вследствие чего коэффициент с_1 будет гораздо
больше сг
Если вышеприведенные значения и сх подставить в третье урав-
нение, то мы получим
F—q° ’’’ j ?0—(А-ь2)2	—2)2 |= 0
откуда следует
(**— г„)5 — 8(^н-20)2 - Jlfife—	— ?0) — 8Ь’=0;
это уравнение можно написать в таком виде:
(** _ Зо)2 + 2 (J,-1)(₽- <?„) =-«,’+!},> (fc2—qj	1 (& - qj
иначе
да - 1 у = (9о — I)2 — q* - -1(& - <?„) -ь | да — q,?
Пользуясь этим уравнением, мы весьма быстро будем приближаться к тре-
буемому значению величины к.
Возьмем как первое приближение
^2 — ?о = 0
и подставим это значение в малые члены правой части нашего уравнения,
получим как второе приближение
к = 1.085169
Отсюда следует, что попятное движение, в среднем, составляет в год:
-—1 =7—1 = 0.003997
п
к
где через д обозначено отношение — • Это значение весьма близко к истин-
ному, и при п— 17325593" дает для годового перемещения узла:
69252"= 19°14'12"
Определим затем коэффициенты с_1? сх, с_2, с2, мы имеем:
7^ = 0.012615
70 — (&—2)2 = 0.341123
70 -г- (к 2)2 = — 8.340228
13*
— 196 —
поэтому в первом приближении;
с_г = —0.0369819; ^ = 0.0015126
следовательно:
^^-+-^2 = — 0.0003402; q1c1 -+-qo = 0.0001449
qQ — (к — 4)2 = — 7.31821; qt) — (к 4 4)2 = — 24.6809
значит:
с_2 = — 0.00004650
с2 = 0.00000587
После этого находим как второе приближение для и q:
[— (к — 2)2 -4- q^ с_А = — (qY Ci с_2)
[— (к -+- 2)2 -4- gj су = — q2с_г -г- cg)
и, на основании найденных по первому приближению значений:
g-i -1- g-2Ci -4- с_2 = 0.0126147;	» q2с_г -ч- с2 = 0.0126103
так что будет:
= — 0.0369800
0.0015120
§ 14. В заключение своих лекций Адамс излагает вкратце теорию
Хилля, которая, как будет видно, составляет непосредственное развитие
теории Эйлера.
^Вообразим, для простоты рассуждений и дальнейших выкладок, что
Луна движется в плоскости эклиптики и что ее движение относится к пря-
молинейным прямоугольным осям, вращающимся так, что ось х постоянно
проходит через Солнце. Начало этих осей будем считать в центре Земли,
который будем считать неподвижным, относя к нему движение Солнца
и Луны. Чтобы не писать постоянно множитель /*, выберем единицы так,
чтобы притяжение между двумя массами »гх и т2, находящимися в рас-
стоянии d друг от друга, выражалось Формулой -^Р-1, а не Формулой f~!^ >
CL	CL
как мы писали раньше. Это равносильно тому, чтобы во всех этих Форму-
лах положить f = 1.
Движение Солнца будем считать происходящим по кругу равномерно,
так что наши оси вращаются равномерно со скоростью п', и координаты
Солнца будут:
х1 — а'; у = О
— 197 —
координаты Луны обозначим через х и у. Обозначая расстояние от Солнца
до Луны через р, так что
р2 = (х — а')2 ь у2
в остальном же, сохраняя прежние обозначения, видим, что действие Солнца
на Луну, сделав Землю неподвижной, выразится Формулами:
Мх—а! М .	Му
р2 р	а'2 ’	р^ р
притяжение же Земли при том же условии будет:
р. X

где
zj
Эти силы можно написать так:
дО..
дх ’
,2
дО
ду
причем
Q =
г
М Мх
а'2
Но
1	1	1	/ 9	1	А
— = —-4- — -4- -Уз Ж2-----	-+-	
р а! а2	а'2	\	2	/
так что
ГА Р М ( 2	1	2\	М
Q = — -Н —(х2----—	у2 -+-	-77
г а ° \	2	/	а4
1
~аГ4
•з_2
3
Если бы пожелали отнести движение не к центру Земли, а к центру
тяжести Земли и Луны, то вся разница была бы в том, что последний член
был бы умножен на
T—L
I-+-L
п'2
тогда уравнения движения, как показано ⧧38и39у Эйлера, будут:
сРх	_ , dy	до
dt1 dt	дх
У~-~ду
или, заметив, что —^=п'2 и положив
1	tj	Ц	2
7^ = 0-+- п'2 (х2	у2) = —— nl2x2~i—~(xz— Зху2) (1)
2i	а
— 198 —
мы напишем предыдущие уравнения так:
_____2ni^J =
dt2 dt dx
(2)
d2y t dx_______dR
dt2 " П dt dy
Эти уравнения имеют интеграл, подобный интегралу живых сил.
В самом деле, умножим их, соответственно, на
dx dy
dt И dt
и сложим, тогда получим
dx	d2x	dy d2 у___dR	dx	dR	dy___dR
dt	dt2	dt dt2	dx	dt	dy	dt	dt
так как R зависит только от ж и у, которые суть Функции от t, явно же
времени t не содержит, то, после интегрирования, имеем
= 2R + C
(3)
где С есть произвольная постоянная. Этот интеграл называется интегралом
Якоби.
Положим:
dx T.	dy T7 .
=7coso; ^=Fsin®
dt	~ dt	T
тогда будет
V2 = 2R -ь С
Из уравнений (*) имеем
dV d2x	d2y .
_ = —cos^-^sm?
и, на основании уравнений (2), будет
dV dR
dt
точно так же получим
dro d?x .
rdt = -w^-
т. e.
dR .
-Т-- COS ф Ч--7- S1D. ф
dx * * 7 dy •
dx
dt2
dR . dR	n t
-г- sm ф ч- -v- cos ф — 2n
dx	~ dy	7
(4)
dR . dR
-у- 81Пф 4- -г- COS ©
dx T dy ‘
(5)
— 199 —
dx dii
Дифференцируя равенства (4) и (5) и заменяя и их значе-
ниями (*), получим:
d2V	т, dtp (dat	_ ,\
dt2	У dt\dt )
Т7ГМ 9 n 02R	. d2R . 9 ~l
= V -7— cos2 © i 2 -—v- cos о sm о » -rv sm- ®
dx2 ‘ dx dy ‘	1 did *
(6)
у ±? . о If № .	—
dt2 dt\di ) ~
= F---------------sin ф cos o -+- —r- (cos2 ф — sin2 ф) ь -w sin ф cos
<7.7“	‘	‘	0.7,- du 	‘	‘ did •
Равенства эти нам понадобятся в дальнейшем.
§ 15. Положим, что для уравнений (2) получено решение, содержащее
две произвольные постоянные. Это может быть достигнуто отыскивая
решения вида
х = cos i (t -f- у) = ,r0
?/ = S bisinC y) = %
по методе неопределенных коэффициентов. Такое решение будет содержать
в себе члены, представляющие вариацию и параллактическое неравенство.
Требуется видоизменить и дополнить это решение так, чтобы вошло
еще две произвольные постоянные, как это должно быть в общем инте-
грале.
Обозначим эти добавочные члены, соответственно, через и т)г и пред-
положим, что они настолько малы, что можно пренебречь их вторыми
и высшими степенями, и будем в них рассматривать только те члены, ко-
торые заключают множителем одну из произвольных постоянных. Мы обо-
значим ее через и положим:
•причем есть малая величина, второй и высшими степенями которой пре-
небрегаем, решения ж0 и ?/0 примем соответствующими значению = 0.
В таком случае, как это видно из уравнений (2) предыдущего параграфа,
неизвестные £ и yj будут определяться уравнениями:
—	= е ।	.л+ X I
dt2 dt дх2 дхп	0 I
(1)
2п' ~. х. ।	у, , у
dt2 dt ~dxQdyQ '	п
— 200 —
которые не доставляются Функцией В;
сделана сказанная замена. Таким обра-
d2R
U Jt,0 у -у
dx (к ’	»
dx dy	. _
Уравнения (2)
(it dt
причем предположено, что в выражении производных Функции В вместо х
и у подставлены их выражения х0 и у0 в Функции времени I, что для ясности
и обозначено приписав этим буквам значок (0); Хо и F представляют извест-
ные Функции х, у и /, которые добавлены, чтобы учесть одновременно
и влияние тех возмущающих сил,
предполагается также, что и в них
зом надо считать, что
d2R0 d2RQ
dx2 ' dy2 ’
суть известные Функции времени.
Величины .т0 и у0 удовлетворяют уравнениям:
d"^ ___nni ^Уо___
dt2	dt2 dx0
(2>
^.Vo , 21»'	— dR
dt2 dt — dy0
Выяснив смысл уравнений (1) и (2), мы в дальнейшем, для простоты
письма, будем значок () опускать.
Умножим уравнения (1), соответственно, на
dE dr,
на -77 и сложим все вместе, тогда получим
(tv (tv
dx	сРЕ	d2x	dE,	dy	d2xi	d2y dx}___ fd2R dx
dt	dt	dt2	dt	di	dt2	dt2 dt	\ dx2 dt	' dxdy dt)
/ d2R dx d2R dy\ dJt dE dR dx „dx „ dy
\dx dy dt dy2 dt) dx dt~*~ dy di di"+' dt
d2R dy
Но
d2R dx	d2R	dy _	d	dR
dx2 at	dxdydt	dt	dx
d2R dx	d2R	ay__ d	dR
dxdy dt	dy2	dt	dt	dy
ибо, по предположению, время t входит в состав Функции В лишь поскольку
оно содержится в переменных хну, поэтому предыдущее уравнение инте-
грируется, и мы получаем
dx dE, dydn____ dR г OR „
di dt dt dt dx dy	7
причем
J \ dt dt /
и постоянную произвольную мы относим К функции Т.
— 201 —
Положим теперь:
£ — v cos ф — w sin ф
. 	(4)
У] = v sm <р -+- w cos ф
вместе с тем мы имели:
Feos®; -*-y=Fsino	(5)
dt	т’ dt	*	v 7
/rt4 dx dy	/мч	dfc, d-y
подставляя в уравнение (3) вместо их значения (5), а вместо •>
их значения, следующие из (4), получим
dv
dt
w-±
OR	dll .	\
cos © -4—— sm ® } v
dx 7 dy	~ J
dR . dR
—- sm® —1——
dx ~ dx
HO
dR
-—cos®
dx 1
dR .
>sm?=
dt
dR . uR	T7 / dtp _ , \
-3— sm ф -i—— cos ® — V -Д 1 2 n )
dx T dy 7	\ dt /
как указывают уравнения (4) и (5) § 15, поэтому будет
тт / dv	d®\	dv	тг/d^	Л	m
V (-57 —w I = v -t- F t 2n' \w T
\dt	dt /	dt \dt	)
иначе
a^v = 2wV('^:-t-n'} -Л-Т	(6)
dt dt	\dt /	v 7
откуда следует
v f 2 /<7ф Д ,, СТ т,
п } wdt dt	(6')
У J V \ dt /	J V"
Значит, когда w известно, то v найдется, причем в правую часть этого
равенства входит произвольная постоянная; после простого дифференциро-
вания мы имеем:
dE . dr> dv d(D
cos ® — -t- sm Ф -77 =	— w
T dt 7	dt	dt	dt
d2£,	d2r) (Rw n	dvdro
-Sln? d?-‘-cos'P-g? = -dP	-^2	Tt	Wl
(7}
<72<p
dt2
— 202 —
Умножив дифференциальные уравнения (1), соответственно, на—sintp,
cos <р и сложив, получаем
й2£ dty	d? . dri\
-sin ? № -cos ? № - 2n ? at -s,n ? at) =
(	&R . &R	\r
=(—
/	d2R . d2R	\	v .
-+- — 3-^- sm ® -+- -7— cos © r — A sm ф -4- Fcos ©
\ dxdy T dy2 T /	T	T
по подстановке выражений (7) имеем
ftw ndvdq> /cfo \2 d2tp , / dv dtp
^--1-2—^7—w Hr '+" v 7777’+~	757—w777
dt2 dt dt \dt / dt2 \ dt dt
— V
d2R	d2R	d2R
sin ? cos ?	(cos2 ? — sin2 ф) +• ^5- sin ? COS f
(8)
Г	d2R	d2R
—5-sin2® — 2 —- sin о cos ф-4--—„ cos2 ф —X sinф -4- Feos©
_dx2 • dxoy ‘ T dy2 TJ	T	*
Но из уравнения (6) следует
dv v dV /d® ,\ T
л = г^-2и^и)м’Т
(6")
zo\	dv
заменив в уравнении (8) величину ее значением, следующим из уравне-
ния (6"), получим
d2w
It2
'd2tp 2 dV /dtp
dt2 H V dt \dt
~v
d2R	d2R	d2R
-g^ sin ? cos ? -4- (cos2 Ф — sin2 <p) -t- -^5- sin ¥ cos
Г<?2В . .	„ dR .	<>4t	, -| v .
-rvsm2® — 2з—3-sm ф cos ф-+--3-5-cos2 ф —Asn^-i-cos©
_ dx2 ~ dxdy ” T dy2 ~ J	T T
но, на основании второго из равенств (6) § 15, члены, содержащие v, про-
падают и остается уравнение, содержащее только неизвестную w.
d2w
~d^
^-w
d2R . „
Sln?
d2R
dy2
cos2 tp
c^R .
3—7- sm ф cos ф
dxdy ’ T
— — 2	-t- n'\ ~—Xsin© Feos©
\dt / V	‘	T
— 203 —
но, так как
и
1 dx .	1 dy
dt
1 / dR . dR \
------SIH о -1—Г- cos ©
v \ dx 7 dy 7 /
то коэффициент при w есть
3 /	dR	dy	dR dx\-	„ п' / dR dy	dR dx\	.
Vi \	dx	dt	dy dt)	F2 \ dx dt	dy dt /
1 I d2R (dy'y	d~R dx dy	d2R /dx\2l   _ , .
F2 ( dx2 \ di / dx dy dt dt dy2 \ dt / )	'
т. e. известная Функция времени Z, и когда х и у будут заменены их выра-
жениями
х — ц. cos i (t -+- у)
= 2 ^smz(Z -+-у)
то Функция P(t) примет вид
причем коэффициенты Ai будут известные числа; поэтому, опуская члены X
и Y, происходящие от возмущающих сил, которые в основные уравнения
§ 14 не включены, мы, для определения w, будем иметь уравнение вида
-ч-	w [Ао cos (7 -+- у) А2 cos 2 it -+- у) -+-. . . ] = О (9)
т. е. уравнение того вида, который мы имели в § 13, в котором и показан
способ его решения, когда величины Alf Аа, . . . малы по сравнению с Ао.
После того как величина w будет найдена, величина v находится по урав-
нению (6').
Уравнение (9) имеет, как видно, весьма важное значение в теории
Луны. В § 13 изложен простейший способ его решения при малых значе-
ниях А±, А2,	; возвращаясь к этому способу, мы видим, что все дело
сводится к нахождению такого значения величины к, при котором система
уравнений для определения коэффициентов сь, имеет решение, отличное
от нуля, а это требует, чтобы определитель системы равнялся нулю. Опре-
делитель этот будет некоторой Функцией буквы к, но, как видно, этот опре-
делитель N(k) состоит из бесконечного числа строк и столбцов, и уравнение
д (&) — О
— 204 —
есть именно то, которое Эйлер «составить не отважился». Адамс и Хилль
его составили, дали способ его развития независимо один от другого и вы-
числили корень к с 15 десятичными знаками, но теория эта слишком сложна,
чтобы найти здесь место полностью, ее надо искать в сочинениях по небесной
механике и в собрании сочинений Адамса («The Scientific Papers of John
Couch Adams») или Хилля («The Collected Mathematical Works of George
William Hill»), здесь же мы ограничимся простейшими элементами этой
теории.
§ 16.	Уравнение
^-4- гс[^о-*-ЛСО8т-»- Л2 cos 2 (т-н у). .] = 0	(1)-
встречается не только в теории Луны, но и во многих других прикладных
вопросах, поэтому мы остановимся на этом уравнении несколько подробнее.
Очевидно, что без ущерба общности мы можем положить:
т -+- у — 2Z
4Л0 = 1г2; 4.^ = 2^; 4Л2 = 2&
тогда уравнение (1) примет вид
-I w (п2 t 2^ cos 21 » 2q2 cos 4/	= О	(2)
Начнем с простейшего случая, когда
$3 == * • •
так что наше уравнение будет вида
w(w2-i- 2scos2Z) = 0	(3)
причем мы предположим, что величина г малая, так что, разлагая w по сте-
пеням в, достаточно взять небольшое число членов.
За начальные условия примем:
,	, dw
при t — 0 должно быть w = 1;	= О
аъ
Эбычный способ разложения был бы такой: полагаем
^ = ?он-£?1-*-Е2(р2-ь£з?3-*- . . .
— 205 —
подставляем это выражение в уравнение (3), собираем члены с одинаковыми
степенями е и приравниваем каждый из них в отдельности нулю, тогда полу-
чаем для определения неизвестных Функций <р0, ф1? <р2, ... систему:

о/' -+- n2 -+- 2e^0 cos 2/	0
©./' 4- n? ф 4- 2бф. cos 2t = 0
T 2	i 2	i 1
(4)
Совершенно так же получаем начальные условия:
?„(o)=i; ?.'(о) = о
?1(0) = 0; ?1'(0) = 0
(5)
?2(0) = 0; ср2(0) —О
Первое уравнение (4) и первое из начальных условий (5) дает
®„ = cos<	(6)
после чего второе из уравнений (4) будет
<р1" -+- п-= — s [cos (п -4- 2) t -+- cos (п — 2)
общий интеграл этого уравнения, обозначая через Сг и 7)] произвольные
постоянные, есть
= Ст cos nt -4- Dx sin nt
-+-S 7----ЛТ2----5 COS (n 2) t-5—-!——-cosfn— 2)7
_(w-+-2)2 — w2 v '	n2— [n—2)2 v 7
и, на основании начальных условий, будет:
с „Г 1________________________1
1	° Sn	—(п — 2)2_
1^ = 0
и мы, при само собою понятном обозначении, получим
(?з == аг cos nt -+- ах cos (п -+- 2) t — cos {п — 2)t	(7)
— 206 —
Таким образом третье из уравнений (4) будет
<р2" п2 <р2 — —	cos nt аг cos (п	2) t — cos (п — 2) Z] cos 2Z =
= — [cos (п	2) t -+- cos (n — 2) 11 — аг [cos (n -4- 4) t cos nt]
—I— Pj [cos nt -4- cos (n-4) t]
t. e.
cp2" n2 <p2 = cos (n — 4) t — ax cos (A — 2) t
— aj cos nt — ay cos (n -4- 2) t — ax cos (% -t- 4) t
Так как не равно ax, то в составе общего интеграла этого последнего
уравнения будет член вида
ht sin nt
происходящий от члена фх— ajcosn/ правой части уравнения. От этого
члена произойдут члены подобного же вида, т. е. содержащие время t вне
знаков синуса и косинуса и в составе Функций <р3. . . Все эти члены неопре-
деленно возрастают с течением времени, и развитое таким образом решение
является совершенно непригодным.
В нашем случае, т. е. когда величина е весьма малая, можно приме-
нить способ разложения, указанный в моей статье «О применении способа
последовательных приближений к нахождению решения некоторых диффе-
ренциальных уравнений колебательного движения» (Изв. Акад. Наук, 1933),
развивая в ряд совместно как частоту колебаний, так и самый вид решения.
По этому способу полагаем:
П2 = X2 С- Сг Е -4- с2 е2 г С3 Е3 -I- . . .
(8)
причем с15 с2, с3, ...—неопределенные постоянные коэффициенты
?з’ • • • — неизвестные функции времени t.
Подставив выражения (8) в уравнение (3), имеем
(То" £?1" -+£2	£3 ?/-»-••• )
+-(Х2ч-с1г-»-с.1£2-ьс8е’-+- .. ,)(Tg + £fi4-E«^+ .. .)
» 2е (<р0 -4- Е<рх -+- £2 (р2 -+- . . . ) COS 2t = О
207 —
и мы получаем систему:
?о"-4-Х2?о=О
?/' -ь Х2^ ч-q + 2 cos 2/ • <р0 = 0
?2" 1 Х<2 <?2 с2 ?о q ?! -+- 2 cos 2/ • ?1 == 0	(9>
<?з" -+-	?3	-+- С3 <?0 С2 ?1 С1 ?2	2	C0S 2Z • ?2 = 0
и попрежнему начальные условия:
?о(О) = 1; фо'(О) = О
Т1(0) = 0; ?1'(0) = 0
?2(0) = 0; ?2'(0) = 0	(10}
Ts(0) = 0; 9з'(0) = 0
Первое уравнение дает на основании первого начального условия:
<po = cosk£	(11)
после чего второе уравнение принимает вид
ч к2 ср1 = — С] cos It — cos (X — 2)t — cos (X ч- 2) t
Очевидно, что взяв
с1 = 0	(12)
мы в выражении членов, содержащих время t вне знаков синуса и коси-
нуса, не получим и будем иметь, обозначая через и Вг— постоянные
произвольные:
<ра = Аг cos X/ ч— В{ sin XZ — ах cos (X — 2) t ч	cos (X ч- 2) t
причем положено:
—	1	ft _	1
aj —X2 —(7—2)2’ Pl (Хч-2)2—х2
Начальные условия дают:
Л А = о
так что будет
= (аг — fy cos X/ — cos (X — cos (X ч- 2) t
— 208 —
Третье уравнение системы (9) будет
<р2" X2 <р2 = — с2 cos It — (а} — pj cos (X — 2) t — (а. — pj cos (X 2) t
г ax cos X/ i ax cos (X — 4) t
— cos) t — Px cos (X < 4) t
Чтобы время t не выходило из-под знака синуса, надо величину с2 взять
так, чтобы член с cosX/ в правой части пропадал, т. е. чтобы было
— с., г а] — ^ == О
откуда
С2 = (Л1	(13)
тогда будет
<?2 = А2 cos X/ г- В2 sin XZ I -2-^ ~_^^2 cos (X — 2) t
“S О. ч- 2) t ч-	«’s С* - 4) t
и начальные условия дают:
А __ ai Pl	7"1 Pl	71	Pi
2 k2 —(X —2)2	(Х-ь2)2 — X2 х2 —(X —4)2	(Х-*-4)8 —X2
т?2=о
Таким образом будет
л	/ г. ч Г cos (X — 2) * cos+-”
<р3 — Л cos Л/ ч- (а, г 2 _ _	—	_х2
а '	(14)
C0S - 4) 1 - (Гч-lKv “S iX - 4)''
причем значение X определяется уравнением
w2 = X2 —(ах —^)£2
т. е., ограничиваясь второю степенью г,
X2 = п2 -+- (ах' — Р/) г2
или
причем и р/ определяются по замене в выражениях а2 и рх величины X
ее приближенным значением п, т. е.
a ' = —___________•	В ' —________L______
1 w2 — (»г — 2/ ’	‘ 1	(п -ь 2)2 — п2
— 209 —
Совершенно так же можем продолжать дальше, определяя коэффициенты
с3, с4, ... из условия, чтобы в уравнениях системы (9) члены с cosX^
пропадали. Для каждого приближения соответствующие значения X опре-
деляются уравнениями:
П" — X2 I С2 £2 г С3 £S
w2 = X2 i с2 а2 с3 а3 -+- с4 а4
Здесь надо заметить, что неизвестная X входит и в величины с2, с2,	...
и предыдущие уравнения надо решать разлагая X в ряд по степеням а,
ограничиваясь при разложении тою же степенью буквы а, как и в самих
уравнениях.
Совершенно подобным образом можно найти такое решение:
которое удовлетворяет следующим начальным условиям:
при t — 0 должно быть ф(0) = 0; ф'(0) = 1
Вся разница будет в том, что вместо косинусов войдут синусы тех же
аргументов.
В том случае, когда требуется найти общий интеграл, надо найти
оба решения <?р) и фр), указанные выше, — общий интеграл будет
w — А о р) I В ф р)
где А и В — произвольные постоянные.
§ 17. Из предыдущего параграфа видно, что при малых значениях е
существует такое число X, при котором предложенное уравнение имеет
решение вида
w = h0 cos "kt t hr cos (X — 2) £ -+- /г2 cos (X — 4) t » . . .
(*)
cos (X i 2у 1 Л2 cos (X -+- 4) t г . . .
поэтому естественно искать решение этого вида и для уравнения в общем
случае
(w2 --ь 2q cos 2/) w = 0	(1)
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. в тт. V и VI.	11
— 210 —
Не делая пока никаких предположений о величине <?, подставим выраже-
ние (*) в уравнение (1), получим для определения коэффициентов Ло, Л_р
Л_9, Л2, ... такую систему уравнений:
Аргу- менты	।	h_3	-	h—l	1 1	1	h.2	л3
								
(X — 6) t	ffi — (X — 6)2	<7					
(К-4)/		W2 — (л — 4)2	Ч				
(A — 2,1		Ч	— 2)2	<1			
It			7	п% — X2	Ч		
(Ан-2)7				Ч	n2 _ (X -fr- 2)2	ч	
(X -+-4) /					ч	п2 — (X -Ь 4 р	ч
(Х-ь6)<						ч	п2_(Хм-6)2
							
в которых выписаны лишь коэффициенты при неизвестных 7г_3, 7г_2, ... 7?_2,
а в левом столбце показаны аргументы косинусов, дающих соответствую-
щее уравнение; так, напр., cos(X— 4)7 дает уравнение
О = qh_s	[п2 — (X — 4)*] 7г_2 -+- qh_x
Таким образом получается бесконечная система уравнений с бесчисленным
множеством неизвестных.
Эги уравнения можно написать иначе: разделим последовательно эти
уравнения на:
. .	(X— 6)2; — (X—4)4; -(Х-2)2; —1; -(Хн-2)2; — (Х-+-42);. . .
тогда наша система будет при том же условном начертании (см. табл, на
стр. 211).
Левые части во всех этих уравнениях суть нули, поэтому, если бы
число этих уравнений было конечное, хотя бы и сколь угодно большое, то
чтобы эта система допускала решения, отличные от нуля, необходимо,
чтобы определитель системы был равен нулю.
Обозначим эют определитель через Д(Х, #), тогда для определения X
мы будем иметь уравнение
А(Х, 2) = 0
(2)
211 —
	Л-з	Л-2 1	Л-i	1 Ло	^+1	i	Л2		
								
0= .	(Л-6)2	g (X	6)2						
0= .	g (А — 4)2	%2 (Х-4)2	___д	 (X —4)3					
0= .		(А —2)2	П2 (Х-2)2	g (Л - 2)2				
0= •			g	Я2 — X2	g			
0— •				g (1+2)2	>—• 1 to	__ g (X+-2)2		
0= •					g (X +- 4)2	n2 (X-+4)2	g (X-+4)2	
0= •						g (X + 6)2	n2 (X +- 6)2	
								
Примем, что это свойство относится и до того случая, когда число уравне-
ний бесконечно большое, но всегда равно числу неизвестных. Весь вопрос
теперь сведен к составлению и развитию определителя Д(Х, q).
Заметим, во-первых, что когда
X = 0 и q = О
то будет
(з)
/	п2\ /	П2\/	п2\	~|2
П 1	22 / \	42 / \	б2 / * ' '
Но еще Эйлером дано следующее разложение:
14*
— 212 —
Очевидно, что при а = -^ мы получим
Л
.пт: пт: i -	w2\	п2\ /,	п2\	zx
sm-2- = T(1-^n1-p)(l-62)	(4)
следовательно будет
A(0,0) = ±sin!^	(4')
7ь	£
Положим, что X == Хо есть какой-либо корень уравнения
Д (X, q) = О
тогда и величины
. . . Хо — 2j- . . . Хо — 6; Хо —4; Хо — 2; Хо-+-2; Хо-+-4;
XQ "I  6, . . . Хо -1 2j, ...
суть корни этого уравнения, ибо, обращаясь к первоначальной системе
уравнений, мы видим, что замена, напр., величины X на X — 2 как бы
перемещает все уравнения на одну строку выше; ясно, что от этого опре-
делитель их не изменяется, вместе с тем очевидно, что и величина
Х = — Хо и величины
(Хо —ЗД; (Ло — 4); — (\-2); — (\-т-2);
-(Х„-+-4); ..._ро-н2Д ...
суть корни этого уравнения, так что полная система корней его есть
. . . ±(\—2,); . . . ±(\—4); ±(\ —2);
±(\-2); ±(Х0 — 4);
т. е. та же самая, как и корней уравнения
cos uX — cos uX0 = О
иначе уравнения
sin2-^2- — sin2 — = О
какова бы величина q ни была, следовательно должно быть
д Л) = В (~тг — sin2^) = O	(5)
\ л	л /
где В есть некоторая постоянная.
— 213 -
Но при q~ О мы имеем, как то следует из самого уравнения (1),
К = п
с другой стороны, тогда из уравнения (5) будет
Д (X, 0) = В ( sin2 — sin2
значит будет
Д (0, 0) = Б • sin2^
следовательно, на основании равенства (4'), будет
(в)
1Т2
Очевидно, что достаточно найти какой-либо один корень уравнения
д (X, q) = О
чтобы но нему получить все остальные, пусть этот корень есть Хо.
Положив в уравнении (5)
X = О
имеем равенство
Д (0, q) = В sin2	sin2	(7)
но определитель Д(0, q) есть
Л (0,2)==
1 —	п2	д б2 ?	б2’	0	0	0	0	0 .
—	Я . 42’	42’	я 42'	0	0	0	0 .
0	Я 22’	п2 1 i2’	я 22’	0	0	0
0	0	я,	и2,	я.	0	0	•
0	0	0	я 22’	п2 1 —О2’	я 22’	0
0	0	0	0	я 42’	п2 1"~42’	42 •
0	0	0	0	0	Я б2’	1—£ ’ б2 •
— 214 —
Выносим в этом определителе диагональные члены за черту, разделяя со-
ответствующую строку на этот член, получим

причем D(q) есть показанный ниже определитель. На основании равен-
ства (4), бесконечное произведение, стоящее множителем при D (<?), равно
4	. „ пт.
7v2 ' Sm 2
таким образом имеем
A(O^) = ;Vsin\'--W	(8)
71
Из этой Формулы и равенства (7) следует
sm2-—
причем определитель D (q) есть
	1,		0	О	0	О	0
		62 — п2 ’					
	9	1,	q	0	0	0	0
	42 — п2		^2 —— ^2				
	о	q	1,	q	0	0	0
		22 — п2		22 — п2'			
Л(?)=	0	0	п1	1,	q п2’	0	0
	0	о	0	q	1,	q	о
				2 2 — п2		22 — п2’	
	о	0	0	О	q	1	q
					42 — те2		42— п2
	О	о	0	0	0	q	1
						62 — п2 ’	
Это и есть знаменитое уравнение Хилля.
— 215 —
Нетрудно видеть, что все изложенные рассуждения без всяких изме-
нений приложимы и к дифференциальному уравнению
+-(п2 -1- 2q1cos2/-+- 2q2cos4t-+-2qscos6t . )w = O (10)
вся разница будет только в том, что вместо определителя D(q) будет стоять
определитель
72, 73, • • )
который равен
(71 ? 72 5 7з, • • •
1,	7,	72		7з				
	62	W2	62		п2	В2 —	w2			
71	1,	71		7->		7з		
	^2		42 —	П2 J	42 —	о Г	42 — п2 ’		
72	7Х	1,		71		7-2	73	
22 — п2 ’	22 — п2 ’			22 —	н-	22 — п2	22 — и2	
н2	72 — ^2'	п2		1,		п2’	__Я1 п2	
<h		72		7j		1	7т	
•	22 — г?2*	2 2— я2’	22 —	о	22 —	п2		22 — п2	
								
и уравнение Хилля будет
sin2 —
-у—
sm2-
(И)
После того как «характеристическое» значение Хо найдено, вычисление
коэффициентов fy, Л- ., из которых одному можно приписать произвольное
значение, не представляет никаких затруднений, и мы на нем останавли-
ваться не будем.
Таким образом вычисление величины Хо сведено к вычислению лишь
одного определителя D, в который буква X не входит, чем и достигнуто
громадное упрощение — можно сказать, самая возможность решения урав-
нения
Д (X, q) = О
(2)
— 216 —
и в общем случае уравнения
%, • • •) = О	(2')
В самом деле, представим себе, что мы бы не имели уравнения Хилля,
как бы тогда пришлось искать корень уравнения (2) или (2')?
Очевидно, прежде всего пришлось бы последовательно придавать ве-
личине X значения в возрастающем порядке
Х2, Х2. Х8, . • • Х^., Х^+1
и вычислять соответствующие значения
а(\); Д(\); О; • • • М\-); M\+i)
до тех пор, пока, напр., величины Д(ХА) и Д(Х^+1) получились бы разных
знаков и мы могли бы сказать, что
о < ^А:-» з
после чего подобным же процессом пришлось бы сближать пределы.
Ясно, что при этом пришлось бы вычислять множество значений опре-
делителей более сложных, нежели I), и длиннота вычисления сделала бы
его практически невыполнимым.
Благодаря же уравнению Хилля надо вычислить лишь один определи-
тель I).
Вот это-то уравнение Хилля и заменило то уравнение, равносильное
характеристическому, измененном}' присутствием членов с переменными
коэффициентами, а также членов не линейных, которое Эйлер составлять
«не отваживался». В нашем изложении мы не следовали мемуару самого
Хилля, а несколько видоизменили изложение, данное Дж. Дарвином в его
лекциях по теории Луны, вошедших в том V собрания его сочинений.
§ 18. В этих же лекциях Дж. Дарвин указывает и еще одну методу
вычисления определителя D, связанную с разысканием периодических ре-
шений уравнения
(и2 -ч- ^cos 2t g2cos 4Z )w = 0	(1)
Так как это уравнение от замены t на t -+• ~ остается без перемены, то
если
w = F(t)	(2)
есть его решение, то и
w = F(/-+-Tr)	(2')
есть также решение этого уравнения.
— 217 —
Положим, что <р(/) есть такое решение уравнения (1), что при t— О
<р(О)=1 и <р,(О) = О	(3)
положим также, что ф(/) есть такое решение уравнения (1), что при t — О
ф(О) = О; ф'(О)=1	(4)
Нетрудно видеть, что есть четная Функция ф(7) есть Функция нечет-
ная и их производные — наоборот, так что
?(—0 =	?'(0 = —?'(0
(5)
Таким образом общий интеграл уравнения (1) есть
w — Л <р (/)-+-В ф (7)	(6)
причем Л и В — произвольные постоянные. Так как <р (t -к) и ф (I -ь- -тс) —
также решения уравнения (1), то они должны получаться из общего инте-
грала, приписывая в нем постоянным производным А и Б некоторые част-
ные значения; таким образом должно быть:
Ф (t -н я) = у <р (7) -t- 3 ф (/)
причем а, [3, у, 3 имеют вполне определенные значения.
t Положим, что имеется возможность выбрать отношение А: Б, так что
F(l-t-n) = t>.F(t)	(8)
причем р. есть некоторое постоянное число.
Подставив вместо F (t -+- тс) и F (/) их выражения через ф и ф, получим
Л <р (£-»-тс) —I—В ф (£ —*—ТС) = р.[Лф(ф)-4-Вф(ф)]	(9)
Подставив вместо <?(£-*-тс) и ф(7-ь тс) их выражения (7), получим
А [а? (г) -ь рф (Z)] н- В [Т¥ (7) н- 2ф (/)] = и [Х? (/) н- Вф(7)]
Ы (« - (0 -ь Вт] ф (7) -ь [ХВ + В (S — |Л)] ф (0 = о
и так как это равенство должно иметь место при всяком значении t, то
должно быть:
А (а — р.) Бу ~ О
Л[3-+-В(о —р0 = О
218 —
откуда следует
(a — p.)(S — |л) — Ру = О
т. е.
pt.2 — (а ч-8) р, ч-а8— Р|Л — О	(10)
Этим уравнением величина р. определяется через постоянные а, р, у, 8.
Это уравнение может быть упрощено. Обозначим через 0(0— величину
п2 ч- 2^ cos 21 -4— 2q2 cos 4/ -4-	;
очевидно, что <р и ф удовлетворяют уравнениям:
£?-4-0(/).ф=О
tlv
отсюда следует
d2®
или, по интегрировании,
ср • ф' — фср' = С — постоянной
Но так как мы имеем
?(0) = 1; ф(0) = 0; <р'(0) = 0; <|/(0)= 1
то постоянная С — 1 и предыдущее уравнение будут
?И-ф'И-ф(«).?'(/)=1	(И)
Полагая t = 0 в уравнениях (7) и следующих из них, дифференциро-
ванием получаем:
Ф (тс) = а ср (0) -4- Р ф (0) = а
ф(тг) = уср(0)-ч-8ф(0) ==у
ср'(тс) = а5р'(0)-4-Рф'(0) = Р
ф' (тс) = у (0) -ч- 8 у1 (0) = 3
Отсюда, на основании (11), получаем
—ру = 1
и уравнение (10) принимает вид
(12)
иначе
(12,)
— 219 —
Полагая теперь в уравнениях (7) и следующих из них диФФеренцирова-
х 1
нием t =-----— it, имеем:
Отсюда следуют:
(13)
ио так как
то мы имеем
/1	\ t f f \	f / 1	\ I ( 1	\ / 1 о /
и уравнение (12') может быть написано в пяти различных Формах:
Остается установить зависимость между числом р и величиною л0, опреде-
ленной в предыдущем параграфе как корень некоторого бесконечного опре-
делителя.
Предыдущее решение может быть написано в виде
/=4-<Ю
W= У [J.yCOs(k0-4-2y)Z-bB?-sin(X0-4-2t7)^
j=—оо
— 220 —
причем
Aj ABj = — cos e: sin e
Решение ф (Z), как мы видели, представляет четную Функцию t, и притом
<р(0)= 1; с/(0)==0
следовательно, чтобы получить из равенства (10) решение фУ), надо по-
ложить
В-~ 0 при всяком целом j
—СО
Тогда будет
Ср (к) —- 2 J?COS (\-+- 2j) 7Г — cos Л(| 7Г • "У А- -- cos Хо 7Г (15)
Подобным же образом покажем, что
^(тг) — cos(t:Xo)	(16)
после этого из уравнения (11), на основании равенства
COS (к\) =-: ф (т:) = 'У (к)
получим:
2 1	1	/ 1	\ . / / 1	\	1 -ч	1	/ / 1	\ , / 1	\
C0S2 у 7гХ0 ср \УК) т ’ Silly-7гЛ() = —у? уутс / г
Но мы имели
•	1	1	• 2 1	7.
S1O-— 7СЛ() — Sin2 у Tin • J)
где I) есть указанный в § 17 определитель.
Отсюда следует
Таким образом значение определителя Р может быть получено через
частные решения ср (Z) и ф (Z) предложенного уравнения, удовлетворяющие
условиям:
<р(0)= 1, У(0)=0; ф(0) = 0, У(0) = 1
Когда величины q,, qa, ... небольшие и не требуется особенно боль-
шой точности, как это имеет место в технических вопросах, то решения ср (£)
и ф (0 могут быть найдены численным интегрированием.
— 221 —
§ 19. Мы развивали в предыдущих параграфах разного рода прибли-
женные решения дифференциальных уравнений, пользуясь рядами, не обра-
щая внимания на сходимость этих рядов, на условия возможности их диф-
ференцирования и пр. Спрашивается, каким образом убеждаться, что
получаемые таким образом решения удовлетворяют предложенным уравне-
ниям с тою степенью точности, которая в том вопросе, к которому диффе-
ренциальное уравнение относится, требуется.
Ответ на этот вопрос дается в статье Адамса — «Numerical Develop-
ments in the Lunar Theory».
Для уравнений, приведенных в § 4,
1 d2r
г dt2
dO \2 fix
dt /	r!
-1w'- i n'2cos2 (0 — n't — e.)
d2Q
dt2
2 dr dO
r dt dt
3
-----— n'2 sin 2 (0 — n11 — s')
Адамс, отбрасывая эпохи s и е/ и выбрав а так, чтобы было
/р. = п~
положив
т = -= 0.0748013
п
получает следующие решения:
0 = ^-4-0.01201 13629 5 sin 2(n — n')t
-+-0.00004 23732 7 sin 4(w — n')t
4 0.00000 02375 7 sin 6(n — n')t
-+-0.00000 00015 1 sin 8(n — n')t
-4— 0.00000 00000 1 sin 10(n — n')t
и
-1 = 1.00090 73880 5
r
-4-0.00718 64751 6 cos 2(n — n')t
-4-0.00004 58428 9 cos 4(n — n')t
-4- 0.00000 03268 6 cos 6(w — n')t
-4-0.00000 00024 3 cos 8(w— n')
— 0.00000 00000 3 cos 10 (n — n') t
я говорит: «... подстановка этих выражений в дифференциальные уравне-
ния показывает, что эти уравнения удовлетворяются до 10-го или 11-го
— 222 —
знака после запятой». Это значит, если все члены перенести в левую часть
уравнений, то в этой части получатся суммы вида
a-cos2y(w— n!')t
и b- sin 2) (и — п1) t
и коэффициенты будут порядка
а - 10~‘°
или а «10 11
причем
1 <а < 10
Адамс этою точностью не довольствуется, составляет указанные в § 6 урав-
нения для «поправок» и развивает эти поправки в подобные же ряды,
вычисляя коэффициенты с 16 десятичными знаками и определяя новые зна-
чения 0 и г, подставляет их в заданные уравнения, и лишь при одном из
членов получает невязку в 12 единиц 15-го знака, т. е.
1, 2•1(ГИ
Для практических целей такая поверка является наиболее надежной,
но, само собою разумеется, степень точности всего вычисления должна
соответствовать точности данных и той практической потребности, для
которой вычисление производится.
Здесь уместно дать наглядное представление о той точности, с кото-
рою Адамс произвел вычисление. Расстояние до Луны составляет кругло
400 000 км, т. е. 4-1014 микронов (микрон есть одна тысячная милли-
метра), поэтому погрешность в 1, 2 • 10 14 составляет кругло 5 микронов
в расстоянии от Земли до Луны. Очевидно, что такая величина ника-
кого реального Физического смысла не имеет — знаменитый астроном
просто дал здесь пример своего уменья производить громадные вычисления,
совершенно подобно тому, как в своем вычислении Эйлеровой постоянной
с 273 знаками после запятой.
Конечно, ни один техник не станет тратить время на подобные упраж-
нения.
Заметим в заключение этой главы, что в том случае, когда в урав-
нении
/72
-572 1 (^2 COS 2/) IV — О
(М/
— 223 —
величина п близка к 1 и величина q— малая, то определитель D(0, q}
выражается следующей приближенной Формулой
D(0, q) = 1 —i— — к 1з2(1 — w2)	2 J cotg —-rm
которая точна до малых величин шестого порядка.
Вывод этой Формулы можно найти в сочинении Е. Brown— «Ап Intro-
ductory Treatise on the Lunar Theory (Cambridge, Un. Press., 1896).
Примечание к главе XIII
Глава XIII сочинения Эйлера заключает самую существенную часть
его теории. Составив в § 72 общие уравнения движения Луны и приведя
их затем выбором надлежащего значения величины X к окончательному
виду, Эйлер в этой главе указывает, каким образом надо поступать, чтобы
получить решение, свободное от вековых членов.
Если взять первые два уравнения в том окончательном виде, который
им придан в § 79, и на время не рассматривать членов, содержащих букву я,
то эти два уравнения могут быть написаны для краткости в таком виде:
^_2(от1)= 2? (.г,//,«)-<-Ф,(0	(1)
^ч-2(т+1)^ = ^(а:, )М)ч-Ф2(0	(2)
где и F, суть заданные целые Функции букв х и у, коэффициенты при
различных степенях которых частью суть постоянные заданные числа,
частью периодические Функции составленные для первого уравнения из
сумм косинусов различной кратности аргумента р — n't, умноженных на
постоянные числа; для второго уравнения эти периодические Функции со-
ставлены из сумм синусов тех же аргументов. Ф1(^) и Ф2(£) представляют
подобные же заданные периодические Функции тех же аргументов.
Таким образом, говоря языком современной техники, уравнения (1)
представляют весьма общий случай уравнений нелинейных колебаний, при-
чем требуется найти не только вынужденные колебания, но и свободные,
п в нахождении этих последних, главным образом их частоты или периода,
и заключается вся трудность.
Тиссеран в §42 тома III своей «Небесной механики» (F. Ti sserand.
Traite de Mecanique Celeste, t. Ill) пишет по поводу уравнений (1):
— 224 —
«Эйлер не принимает в расчет общих интегралов уравнений (1), отбросив
в этих уравнениях правые части. Эти интегралы, как легко найти, суть:
_ m -+-1	or	.
х = — 2	— В ।	-----— (С sin nt — В cos <я
ЗХ 2 (ш 1)v
у — А -ч- Bt -ь- С cos at -+- В sin at
причем
xl'k — Z
и Л, Л, (7, В обозначают четыре произвольные постоянные. Так как х не
должен содержать постоянной части, то должно быть В — О.
«Отсюда видно, что предыдущие выражения х и у вводят аргумент
at = п1t \ (т 1)2---------^- = п’ —у/ = \/1	4" “V	пост.
это есть средняя аномалия Луны».
Тиссеран вместо буквы t пишет <7; чтобы сохранить единство сделан-
ных им в предыдущих томах обозначений, мы восстановили обозначения
Эйлера.
Совершенно так же по поводу третьего уравнения Эйлера, которое
мы напишем кратко так:
— -ь (А ч- 1)г	х, у, I)
(3)
где F3 есть Функция подобного же вида, как и Ft и F2. Тиссеран пишет:
«Уравнение (3) может, подобно первым двум, быть приведено к виду
^Цч-(Хч-Ш = — N 2Jf"sinQ
dt- v ’
(3')
(где £1 вида ct у), общий интеграл которого есть
тj. -гл к-------v . V1 ЛГ" sin £1
2 — Еш va ч— 1  t-t- Е! sin vT. ч- 1t ч-	;--
Y	’	/>2_1 _ 1
Аргумент
VA 4— 1 t -+- ПОСТ.
который, таким образом, сюда войдет, представляет аргумент и широты
Луны.
— 225 —
«Отсюда уже можно заключить, что перигей обладает „прямым" дви-
жением, равным
узел же— попятным" движением, равным
«Точное значение средних движений перигея и узла зависит от допол-
нительных членов в постоянной части общих уравнений движения Луны.
«Отсюда легко заключить, что кроме аргументов t и 79, непосредственно
входящих в дифференциальные уравнения, надо рассматривать еще два
аргумента: среднюю аномалию и аргумент широты».
Именно эти последние аргументы и введены Эйлером и обозначены,
соответственно, через # и >’• Затем, охарактеризовав в § 44 общий ход
развитий ж, у и z в ряды, выполненный Эйлером, Тиссеран, в заключение
обозрения теории Эйлера, пишет: «Эйлер заимствует из наблюдений чис-
dq
ленное значение величины что равносильно тому, что он не стремится
к нахождению теоретического значения среднего движения апогея, но он
принимает его численное значение, найденное астрономами. После этого
легко понять, что все уравнения интегрируются последовательными при-
ближениями, отбрасывая сперва наименее важные члены.
«Совершенно так же он поступает с аргументом широты: вели-
(7г ,	.
чина берется из наолюдении, а следовательно, и среднее движение узла.
Таким образом Эйлер приходит окончательно к выражениям вида
х
у = 'V АК11 к$ Г sin (aq -4- а'р -ч- a" t -4- а'" г)
z
О)
где а, 3? Y суть целые положительные числа и а, а1, а" — целые положи-
тельные или отрицательные числа, при этом величина 3 остается не
больше 1, иными словами он пренебрегает квадратом эксцентриситета
орбиты Солнца х». «Мы считаем полезным, — продолжает Тиссеран в за-
ключение своего обозрения теории Эйлера, — сделать здесь важное за-
мечание, из которого следует, что метода, принятая Эйлером, не может
А. Н. Крылов. Собр. тр., доп. в тт. V и VI.	15
— 226 —
доставить элементов строгой теории. Дальнейшие исследования показали,,
что если в выражениях (*) положить
Q = Ы j пост., г — Ъ! t -4- пост.
(при обозначениях Эйлера), то коэффициенты Ъ и V могут быть разложены
в сходящиеся ряды, расположенные по степеням т, К2, и г2, поэтому
нельзя, как то делает Эйлер, разложить величины у, z в сходящиеся
ряды, расположенные по степеням К. к, ибо по меньшей мере коэффи-
циенты Р, Q, В, ... С, 91, ... или некоторые из них перестанут
быть периодическими Функциями и будут содержать переменную t вне зна-
ков синусов и косинусов. Так, напр., член должен будет содержать
в своем составе выражение вида K-HK?F, поэтому вместо члена АГ3 91'
надо бы взять К3(9t -4-	Более того, приведенное выше вычисление
как будто само заботится о том, чтобы ввести эти мешающие делу члены,
так как мы получили в Формулах (I) член, содержащий множитель от
которого в дальнейших уравнениях произошли бы члены, содержащие Z2.
Эйлер не встретился с этим неудобством, потому что он не заботился о по-
лучении общих интегралов своих дифференциальных уравнений, а доволь-
ствовался лишь частными их решениями.
«Тем не менее, идея Эйлера о разделении неравенств на различные
порядки и, сперва вычислив полностью неравенства первого порядка, выво-
дить из них неравенства второго порядка и т. д., есть идея счастливая, даже
в последнее время она рекомендуется Адамсом и Хиллем».
Том III «Небесной механики» Тиссерана издан в 1894 г., а в 1896 г.,
едва закончив издание четвертого и последнего тома своего знаменитого
труда, Тиссеран умер.
В 1908 г. на математическом конгрессе в Риме знаменитый амери-
канский астроном Ньюкомб, основавший и долгое время руководивший
изданием Американского морского и астрономического месяцеслова, делал
обзорный доклад о теориях Л)ны— его мнение о теории Эйлера расхо-
дится с мнением Тиссерана. В самом деле, Ньюкомб, дав характеристику
теорий Лапласа, Дамуазо, Ганзена, Делоне и пр. и указав, что их откло-
нения от наблюдений далеко превышают современную точность наблюдений,
продолжает: «Я перехожу теперь к ряду исследований, которые, как мне
кажется, приводят к результатам, обладающим всею точностью, требуемой
теперешнею астрономией.
«Этот ряд начинается сочинением Эйлера—„Theoria Motuum Lunae
nova methodo pertractata“. Весьма замечателен тот Факт, что прошло целое
— 227 —
столетие и пи один математик не заметил превосходных достоинств теории,,
изложенной в этом сочинении Эйлера. Оно было издано в 1772 г., а знаме-
нитый мемуар Хилля о движении лунного перигея появился в 1878 г.
Затем Адамс и Коуэлль, подобно Хиллю, рассмотрели движение узлов,
и наконец, Э. Браун довел теорию Луны до полной точности. Подобно
Эйлеру, Хилль и Браун исследуют движение Луны в прямолинейных
прямоугольных координатах».
Стесненный временем, уделенным па конгрессе для его доклада, Нью-
комб не мог вдаваться в более подробную характеристику теории Эйлера
и того, в какой мере она могла служить исходным пунктом для теории
Хилля. Поэтому мы остановимся на этом подробнее и покажем вместе с тем,
в чем заключается некоторый недосмотр Тиссерана при суждении о теории
Эйлера.
В 87 и 88 Эйлер указывает, что в разложениях координат х и у
не должно содержаться членов, заключающих величину пропорциональ-
ную времени вне знаков синусов и косинусов. В § 90, в противность утвер-
ждению Тиссерана, он указывает, что в полном интеграле (так тогда назы-
вали общий интеграл) должен заключаться еще угол q такой, что = п.
(а V
При этом Эйлер не берет, как то делает Тиссеран, для определения вели-
чины п, обозначенной у Тиссерана через о-, характеристического уравнения,
соответствующего системе:
^_2(яг м-1)^ — 3^= О
в которых сохранены лишь линейные с постоянными коэффициентами члены,
а поступает совершенно иначе.
Поэтому у Эйлера величина п, обозначенная выше у Тиссерана че-
рез ст, не определяется характеристическим уравнением этой системы
а2 (а2 — ЗХ) -ь 4 (ш I)3 а2 О
имеющей корни:
<^=^ = 0
а = ± V'(т +1?-----V— 1
15*
— 228 —
которым соответствует общий интеграл:
х = — 2 В -+-	‘ fC'cos at -+~ I) sin at)
ЗУ	2 (ш-4-1)'	’
у = Ач- Bt-+- С соз at ч- Dsin at
а эта величина п определяется совсем другим уравнением, которого Эйлер
не составляет, но на существование которого указывает.
Эйлер так поступает не потому, что в общем интеграле вышеприве-
денной системы появляются члены
— 2 "'-—-/2 А + В>
эЛ
он имел бы простую возможность от них избавиться, положив
Л = 0; В = 0
а потому, что при указанном значении а, при развитии членов не линейных
и членов, содержащих х и г/, умноженных на периодические Функции, полу-
чились бы члены, где t вышло бы из-под знака синуса и косинуса.
Таким образом Тиссеран приписывает Эйлеру то, чего Эйлер не
только не делает, но против чего он именно предостерегает.
Поясним же теперь подробно, как поступает Эйлер, ибо у него это
сказано настолько кратко и как бы мимоходом, что, повидимому, Тиссеран
этого не заметил.
В £ 90 Эйлер говорит: «Но так как надо эти уравнения интегриро-
вать, то легко видеть, что при полном интегрировании необходимо будет
ввести в выражения х и у еще один угол», который он обозначает через
полагая
dq = v dt
следовательно
q — nt-i- а.
где а — произвольная постоянная, а п — неизвестное число, которое и надо
определить.
Обозначая через Kcosq— тот член, который с аргументом q войдет
в выражение ж, и через N sin</— тот, который войдет в выражение для «/,
Эйлер в § 90 указывает, что К должно представлять эксцентриситет
орбиты Луны, величина которого хотя и известна из наблюдений, но по
сути дела представляет произвольную постоянную. В 92 и 93 он пока-
— 229
зывает, каким образом неизвестная п могла бы быть определена: подставив
величины
.г =91 cos q и y = N sin q
в полны? дифференциальные уравнения, собрав в первом из них все члены
с cos q. во втором — все члены с sin q. он, как им в £ 84 указано, получает
уравнения:
—- и2 91 — 2 (т -+- 1) nN— 3X91	991	= 0	(1)
— и2 N — 2 (т —1) п91 -+- М = 0	(2)
здесь необходимо иметь в виду, что если бы на самом деле эту подстановку
выполнить, то величины 9J1 и 2И представились бы как известные Функции
букв 91, N и п, скажем:
9?1 = Я(91, N, и)	(3)
N=G($l, N, п)	(4)
К этим четырем уравнениям Эйлер присоединяет еще уравнение
91 = К = 0.05445	(5)
взятое на основании наблюдений и представляющее величину эксцентри-
ситета орбиты Луны.
Из этих пяти уравнений, по исключении 991 и N и 91, получаем:
(п2 -+- ЗХ) К-4- 2 (tn -t- 1) nN — Н(К, N, п)	(6)
п2 N 2 (т н- 1) пК — G (К, N, п)	(7)
Подставив затем в уравнения ( 6) и (7) вместо К его численное значение
и исключая из полученных двух уравнений величину N, мы будем иметь
одно уравнение вида
F(n) = 0	(8)
из которого требуемая величина п и найдется, и притом такая, что вековых
членов в выражениях х и у содержаться не будет.
Указав в § 93, правда слишком сжато и, может быть, не вполне ясно,
вышеуказанный процесс, Эйлер в § 94 говорит: «Однако таким образом
трудно найти истинное значение щ ибо для 991 и М надо брать совокупность
всех членов указанного вида, так как иначе истинное значение п не полу-
чится; поэтому мы полагаем, что значение п надо выводить из наблюдений»,
что он затем в § 94 и делает.
— 230 —
В §§167 и168 он вновь возвращается к этому вопросу и указывает,
что уравнение
(X — 2 — п*) (3 = м — 2W
должно было бы, если взять все члены в выражениях М и Я)?, представлять
тожество, а так как в рассматриваемом случае взяты лишь первые из них,
то получается
1.50640(3 = 1.46199(3
Отсюда видно, что Эйлер с полною ясностью сознавал, что характе-
ристическое уравнение, соответствующее линейной системе с постоянными
коэффициентами, получаемой отбрасывая в данных уравнениях все нелиней-
ные члены и члены с переменными коэффициентами при неизвестных, не
может доставить среднего движения перигея, а что оно определяется весьма
сложным уравнением, заменяющим характеристическое, и что это среднее
движение зависит от величины эксцентриситета орбиты.
Указав, таким образом, существование этого уравнения, Эйлер не
пытается его составлять, а <• истинною гениальностью обходит встретив-
шееся затруднение.
Лишь через 106 лет после издания книги Эйлера. Хилль, выполнив
свое мастерское преобразование уравнений движения Луны, составил свое
знаменитое уравнение, равносильное тому уравнению, составлять которое
Эйлер нс отваживался.
На языке техники дифференциальные уравнения движения Лупы пред-
ставляют весьма сложный пример нелинейных уравнений колебательного
движения. Сущность вывода Эйлера состоит в том, что «частота» этих коле-
баний не может быть получена взяв лишь линейные с постоянными коэффи-
циентами члены, надо поступать как пояснено выше и стараться составить
уравнение
F (и) = О
или, точнее говоря, уравнение
F (п, ЙЭ = О
где К есть амплитуда колебаний, ибо, вследствие присутствия нелинейных
членов и членов с переменными коэффициентами при неизвестных, частота
колебаний зависит от амплитуды их.
Отсюда видно, насколько прав Ньюкомб, справедливо оценивая зна-
чение теории Эйлера, и в чем неправ Тиссеран.
— 231 —
ГЛАВА III
Извлечение из сочинения G. W. НШ’я — «Researches
in the Lunar Theory»
Эйлер руководил созданием своего сочинения, будучи слепым на оба
глаза; ясно, что он не мог вдаваться в технику численных вычислений
и их подробности, поэтому эта часть его сочинения далеко не может слу-
жить образцом.
Знаменитый американский математик и астроном Хилль в возрасте
23 лет поступил ассистентом в вычислительное бюро Американского мор-
ского месяцеслова, в котором и проработал 31 год как на практических
чисто вычислительных работах, так п на теоретической подготовке осно-
ваний для этих работ, получивших са^тую высокую оценку от таких ученых,
как Адамс, Дарвин, Ньюкомб, Пуанкаре; это и послужило мне поводом
к тому, чтобы привести здесь небольшое извлечение из исследований Хилля,
относящихся к упрощенному виду тех уравнений, с которыми имел дело
Эйлер.
§ 1. Отбросив в правых частях уравнений § 14 главы II члены
высших порядков, Хилль, при сделанных им обозначениях, рассматри-
вает уравнения:
dt2 dt V3
Зп'2 ) х — О
(Т2у , dx
— -t- 2п-----------н
dt2 dt
(1)
в которых п' и р. — заданные постоянные и г2 = х2 -+- ?/2, и ищет такое
периодическое их решение, для которого при t = было бы
и
= О
т. е. чтобы траектория точки пересекала ось х под прямым углом. Это
решение он ищет под видом:
X = Ао cos V (t — /0) ч- Аг cos 3v (t------------4- A2 cos 5v ( t---------У -4- . . .
?/0 = BQ sin v (7 — у sin 3v (t —Q -+- B2 cos 5v (t — у -г- . . .
(2)
— 232 —
где — есть период обращения. Очевидно, что это решение будет содержать
лишь две произвольные постоянные, за которые можно было бы принять,,
напр., значение £ = .т0 при t = t0 и самую величину или другие две
величины, с этими значениями связанные. Хилль за произвольные постоян-
ные принимает /0 и v. тогда коэффициенты Ло, Л15 . . . Во, будут Фун-
кциями от р., п' и v. Для удобства дальнейших вычислений он полагает:
А' = а(	= о,. —
c = v(/ —/0)
тогда предыдущие ряды могут быть написаны в следующем виде:
х — X a. cos (27	1) т
‘	(2')
у = X a . sin (2г -+-1) т
t
причем суммирование распространяется на все положительные и отрица-
тельные значения указателя 7, включая и 7 = О.
Если рассматривать полярные координаты такие, что
х = г cos ф: у = г sin ф
то, положив
V — ф — т
так что и будет представлять разность истинной и средней долготы Луны,
мы будем иметь:
г cos v — X fl^.cos 27т
i
(3)
г sin v — X a sin 27т
t
Чтобы избежать перемножения рядов, содержащих сипусы и косинусы,
и иметь дело лишь с алгебраическими выражениями, полагаем:
и = х -+- у \/— 1; s — х — у \J— 1
— 233 —
тогда будет:
(2")'
Примем X. за переменную независимую вместо т и обозначим через I) —
оператор	d	,—- d • d? ~	1
так что. вообще, будет	I) (а -11) — ia. rJ г  7	t -
и будем дифференциальные уравнения писать символически: тогда, положив
п' п'	и.
т— — =------,; х = -^
V » --П	V
получим сперва в несимволической Форме при переменной независимой I:
d2u dt2	r\ i /	-t du -4— 2nf V	1	1 dt	u. 1	—3,- U — (usp	3	/2/ — n2(u -H 2	н s) = 0
d2s	t r~~~. d s	y.	3 /o	hs) = 0
	— 2n' у— 1		1	8		— n 2 (и —1 2	
dt2	dt	(да)'2		
(4}
Уравнения (1), как было показано, имеют интеграл живых сил (Якоби)
1 dx2-t-dy2
2 dt2
у*	*)
который примет вид
1 duds
2 dt2
Q
-ч----п'21 и s)2 — С
\[us 8
(6>
Вводя переменную независимую ‘С и написав уравнения (4) и (5) в символи-
ческой Форме, получим:
D2 -+- 2mD -	3	9 i	m2 — 2	(cs)3/2_	+ • to i oo Co II о		(4Q
D2-2n>D-	ь — m2 — о	("S)3/2_	s -	+- — и — 0 о	(5')
Du • Ds -»	3z	3	2/ — nr (u -+ 4		- s)2 = C	(6')'
— 234 —
Чтобы получить значения и и з, проще всего подставить выражения (2")
в уравнения (4') и (5') и, рассматривая коэффициенты как неопределен-
ные, определить их так, чтобы уравнения эти удовлетворялись тожественно,
что достигнется приравнивая нулю каждый член получаемой суммы в отдель-
ности. Это доставит достаточное число уравнений для определения всех
неизвестных а^. Уравнение (5') при этом будет служить контролем.
Очевидно, что нет необходимости пользоваться непременно уравне-
ниями (4х) для указанной цели, напротив выгоднее составить из трех урав-
нений (4') и (5') такие две им эквивалентные комбинации, при которых
вычисление неизвестных ai становилось бы возможно более простым.
§ 2. Нетрудно заметить, что наибольшие затруднения вызываются
присутствием члена —, поэтому надо стараться от него избавиться; для
О*)2
этого умножаем уравнение (4') на и, уравнение (5')—на з и составляем
сумму и разность получаемых выражений, тогда имеем:
2у з
и В 2s -+- sB2 и — 2m (ul)s — sBu} — —- r — m2 (и	з)2 == 0
A О	'
uB2 s — sB2 и — 2m (uBs +- sBu) i № — s’2) =
приложив затем к первому из этих уравнений уравнение (6) и оставив
второе без изменений, имеем окончательно:
о
I)2(ws)— Ви • Ds — 2т (uDs — sBu) -+- — т2 [и s)2 — С (7)
3
В (и!)и — sl)u — 2mus) -л — (и2 — s2) — 0	(8)
Необходимо, однако, заметить, что эти уравнения не являются полною за-
меною первоначальных, ибо в них не содержатся существенно важные для
рассматриваемого вопроса постоянные р. и х, интегрирование же введет
излишнюю постоянную. Эта последняя исключается по подстановке найден-
ных решений в первоначальные уравнения, содержащие у. и х, через
которые она тогда и выразится.
Левые части уравнений (7) и (8) однородные и второй степени отно-
сительно и и з, что представляет значительные выгоды при разыскании
решений их.
— 235 —
На основании значения, приданного символу I), имеем следующие
равенства:
причем суммирование по указателю j распространяется на те же значения,
как и по указателю i.
Подставив эти выражения в уравнения (7) и (8) и уравнивая нулю
коэффициенты при получаем:

У [2 i—j -+-1 н- m] a I	m2 [«<	— ai a-i-j-y ] = 0
Эти уравнения имеют место для всех целых положительных и отрица-
тельных значений у, кроме у = О, для которого в правой части надо,
вместо О, написать С, но так как при j = 0 второе уравнение обращается
в тожество, то можно сперва этого значения j не рассматривать.
— 236
Предыдущие уравнения несколько упрощаются, если умножить первое
на 2, второе — на 3 и составить разность и сумму полученных выражений:
тогда получим:
2 [8? — 8 (4J — 1)?: -+- 20/ — 16J-+- 2
-4-4(4/— 5j-t- 2 ')m-t-9m2]aiai 
-ь 9я/2 'V а а ... , = О
1
i
'V [8/2 -+- 8 (2j Г) — 4/ -г- 8j -+- 4 (4/ -+- j -+- 2) m -+- 9 m2] ai a-_v
' <10!
-+- 9 m2 а -	= 0
Эти два уравнения, если в них придавать указателю j как положитель-
ные так и отрицательные значения, не являются различными между собою,
ибо если под знаком первой суммы в первом уравнении мы подставим г — j
вместо i и вместо—j во всем уравнении / то первое уравнение будет
одинаково со вторым, указанная же замена, очевидно, дозволительна. Это
происходит потому, что все независимые уравнения могут быть получены
приписывая значку j лишь положительные значения, поэтому, когда вели-
чине j приписываются и положительные и отрицательные значения, то
достаточно одной из вышеприведенных Формул.
§ 3.	Хотя число уравнений и число неизвестных бесконечное, но прак-
тически можно ограничиваться для достижения весьма большой степени
точности лишь небольшим числом членов, тогда число неизвестных будет
единицею больше числа уравнений, и эти уравнения доставят отношения
всех неизвестных к одной из них, скажем а0, причем окажется, что будет
ai = aoFiW
причем если рассматривать т как малую величину первого порядка, то F^m)
будет порядка 2i относительно т.
Положив в членах под знаком первой суммы сперва i — 0, затем i —j..
мы увидим, что эти уравнения будут содержать члены вида:
[20/ — 12 — 4 (bj — 2) т	9m2]«0 a_j
ю [4/ — 8j 2 — 4 (j — 2) m	9m2] a0 a,j
[— 4/ -4— Sj -4- 2 —t— 4 (y -+- 2) m	9m2] aQ a_-
-4- [20/	167 -4- 2	4 (5j -+- 2) m -+- 9m2] a0
— 237 —
являющиеся главными при определении а_- и aj. Умножим поэтому первое
уравнение на
— 4/ i -+- 2	4 ( j н- 2) т	9 m2
и второе — на
— 20/ -4- 1 6; — 2 -+- 4 (5/ — 2) п/ — 9 т2
и, сложив произведения, разделим все на
48/1 2 (4/ — 1) — Яс « я/2]
Примем такое обозначение:
г; Я —	i 4(j—1)?-+-4/-+-4; — 2 — 4 (/—	н m2
\J-> я —	j	2 (4j2 — 1) — 4 т -4- т2	
г я —	Зт2 4/ — 8j — 2 — 4 (j -4- 2) m — 9m2	(11)
ш —	16/	2 (4j2 — 1) — 4 m -4- m2	’	
	3m2 20/— 16;-4-2 — 4(5; — 2)тч-9т2	
и? —	16/	2 (4j2 — 1) — 4m -4- m2	
система уравнений, служащих для определения представляется тогда
Формулою
>,	... 1 СЛ	= 0	(12)
причем суммирование распространено на все положительные и отрицатель-
ные целые значения, кроме 0.
Легко видеть, что
[/)] = 0; [// = —1
поэтому система (12) удобна для определения а-.
Количества [/г], [/, (/ могут быть представлены в более простом
виде, а именно:

j — 1 — т
2 (4/ — 1) — 4m -4- т2
3
— 238 —
так что
г • -п г • п -Л	8г(j—1)
[у, *]	[— 7, — 7 ]	-+-
г- •-] г • ч 8г (д—1)	1+ т
L’’’- L-л - *J = —у—
Затем
__ 27т2	3 1 9.72 — 3j—5 — (.7-4-11) m
'	1 б/2	4/2	2 (4J2 — 1) — 4 т -+- т2
,.._	27m2	3 13,72ч- 4j— 5-t-(5j—ll)m
16J2 * 4j2	2 (4J2—1) — 4m-4-m2
r,	..	3	3.7 -4- 1 -+- 2m
Ы	*"(	?)	2j	2 (4j2—I) — 4m ♦	m2 m
rn / л 27 ,	3	16f —3,7 —5 —(3j-bll)m
' - (-7) = у »*2 - у •	. ;	.	• »
В первом приближении, при разыскании величин один из членов
в уравнениях может быть отброшен, ибо при положительном j
есть величина, порядок которой не менее как на четыре единицы выше
порядка прочих членов, входящих в уравнение. Когда же j отрицательное,
тогда то же самое имеет место по отношению к члену
> l-Л
При таком ограничении уравнение (12) может быть написано в следующих
двух видах:
• -+- Г) I <х,а- - л = о
Л JL— А	ч-1! = 0
— 239 —
Из этих уравнений, ограничиваясь в них лишь членами самого низшего
порядка, мы получаем следующие уравнения для определения значений
коэффициентов в первом приближении:
= [l]<Vo
=(—!)
% а2 = И («О а1 а1 -*~[2 , 1 ]
а0 «_2 = (— 2) (а0	а0) -ь [— 2, — 1] а} а_х
ао аз ~ М («0	1 ai ai1 % а()	ai а-2 1 Г_3-> 2] а_г
aQ а_3 ~ (— 3) (а0 а2 » а} аг -+- а., cQ ! [—• 3, — 1] а_г а2
3, — 2]а_2а1
% = L4J («о аз ‘ аг а2 + % г а3 aQ) +-[4,1] аг а__3
+- [4, 2] а2 а_2 : [4, 3] а3 а_х
% «_4 = (— 4) (а0а„ -+- а. а2 а2 ау -ь а3 а0) i - [— 4, — 1] а_г as
+- [—4, — 2>_2а2-ь[— 4, — З]»^»,
Закон составления этих уравнений очевиден. Из первых двух уравне-
ний находятся аг и пользуясь найденными значениями и а 15 из двух
вторых уравнений найдем а2 и а_2 и т. д.; таким образом написанные урав-
нения заключают алгоритм или правило для последовательного вычисления
коэффициентов. Что касается степени приближения этих выражений, то
если разлагать коэффициенты в ряды, расположенные по степеням буквы ж,
то окажется, что для каждого коэффициента первые четыре члена верны,
таким образом для аг и а_х погрешность начинается с членов шестой сте-
пени относительно т, для а2 и а_2 — с членов восьмой степени, для as —
с членов десятой степени и т. д.
§ 4.	Затем Хилль, при помощи весьма искусного преобразования^
получает эти разложения до членов девятого порядка относительно т вклю-
чительно.
— 240 —
Эти разложения таковы:
__ 3
«о ~~2~4
_1
7
22 • 3
—— w5
22 . 32
30749 R 1010521	,
212*33??г	2u-34-5W/
18445871 й 2114557853 Q
2ю . 35 . 52 w 2i2 . 36 . 5з т
а
«о
19 „	5 „
-.;4 ш2— — W'
43	,	14 .	7381 R 3574153 7
92 . 32 т 	33 т 210.34 Ш ' 211 . 35 . 5
55218889 8	13620153029 Q
29~;36~:55 т -1" 771->-..7--:;--	.
912 .37.5З
«о
25 ,	803	.
28 т ’+~ 27 • 3 • 5 W
6109
О2
897599	.
28 • З3 • 53 W ‘
237203647 8	44461407673 Q
2i6. 32.54 т 2i5 . 34 . 55Т7ш • •
2
«О
299
А 4	5	«	56339
От 2^5 т 2^ГР -4- 28.-32.53
79400351
216 • З2 • 54
8085846833 Q
214-34-55.7Ш • *
__О — .	____
«о ~ 212 •
833 R 27943	,
Зт 211 • 5 • 7 W ^2г°.32.52-72^
12275527
27409853579 „
^2.-34.53.73^ • •
14086643
7_s	1 А 71	,	46951	„
ал ~ 26-3W H-27-3.5m H~ 28-32.52.7 m 27 • З4 • 53 • 72 ’ ™ ‘
^4 =
"о
3537 я 111809667 Q
----м I» _|-----------/}] i» .
216	217.32 . 5.72 ' '	’
-4
"о
23 й 1576553	„
^ТГГз т -+- 917 . 32 . 72 т •
Хилль вводит вместо т величину ш равенством
1+|ш
и разлагает по степеням параметра ш выражения
г cos v = ’V ai cos 2?т
и г sin v = sin 2й
— 241 —
н получает следующие разложения:
г cos v = а0
Г 2	1 S 2	1	1	.
— m2 — - т3ч- —m4— — m5
2	9	36
25239037	я	732931	q
---------щб	щ'
14929920-37324800-----'
“25 ,	311 ,	9349
_256m ^960™ ~+~ 28800™
11321875589 q
------------П19 . .
19353600000
Г 299 P 30193 _
|_4096	107520
181908179 q “1
1580544000 m
Г 11347 я 2350381 q
-------in8 ч----—— nr .
196608	9031680
106411 .	427339 ,
------in -4--------m7
331776	497664
cos 2 т
5831	„
------nr
216000
164645363 я
----------П18
552960000
cos 4т
379549 я
-------nr
1003520
г sin v — aQ
512239 ,
------m7
276480
sin 2 т
ГИ	9	5	„	5	11	101123	л
— nr +----1П' -4--Ш-------in---------m6
_ 8	4	72	36	331776
269023019 ,	151872119 q
---------nr	nr
74649600-93312000
Г 25 ,	121	. 5623	,	17149	„
-----nr -4	nr 4---------in	in'
_256-480-----28800	432000
43885512859 „	1 . .
58060800000m • • • Jsm T
Г 769	24481 .	4419347 (
-------щб -I	JIV i	in
_12288-107520-----15052800
398314169 q
----------nr .
4741632000
Г 9875 s 32608451 q
--------nr -I	Ш .
196608--144506880
3500287 я
--------nr
11520000
107520 UV
sin 6 т

sin 8 т .
На основании дифференциальных уравнений (7) и (8) получаются лишь
отношения коэффициентов к «и; чтобы выразить aQ через заданные вели-
чины п, п’, [л, надо обратиться к одному из первоначальных уравнений:
3	2
- w/
3
и подставить в него:

получится равенство
хм
(US')1*
>2
IL
A. H. Крылов. Собр. тр., дои. к тт. V и VI.
(ms )3,2 J
s — ' a
1	2'
— 4W *
2
: • -t- — ws
1	2
} £2W-1
16
— 242 —
Положив г = 0 и обозначив через J —коэффициент при 'С в разложе-
нии  а° и, ч мы имеем
(usy*
~ J= 1 -+- 2ш —s— Д т2-+- т2 ~=1-
«о	2	2 а0
Обозначив правую часть этого равенства через Н и заметив, что
(?/ — п'')2
(1-4- т,2
имеем
Значение величины Н непосредственно находится по значению ч данному
«О
выше, величина же J получается подставив значения
U = 2	’ S ~ S a-i-y
i	i
в выражение -ff° ~ и взяв коэффициенты при таким образом получается
(«О '
причем отброшенные члены по меныпей мере десятого порядка относи-
тельно т; таким образом получится:
т т	21	31 _	53
j = 1	-28- W4— 25 ж5— 24 т6
2707 _
4201213
216 • З3
т8
14374939
215 • З3 -~5
т9
+
1
/уЛ¥Гл 1 2	1 ч 407 4	67 к 45293 „	8761 7
= Ы L1 “ 6 т 3 т ★	~ 288т ~ 41472W - 6912 W
4967441 8	14829273 Q
__________—4— 	- 127 у
7962624	39813120
Составив первое условное уравнение для определения относящееся
к значению j = 0, мы получим выражение, из которого находится постоян-
ная (7, а именно:
— 243 —
что, на основании значений а-, ограничиваясь членами до седьмого порядка,
дает
С = «02
1 л 9 „	1147 .	1399 ,
1 -+- 4 м -+- — т2----пг---------—- т:-
2	2‘	25 • 3
2047
28
3737	„
24Гзз^
§ 5.	Чтобы привести предыдущие Формулы в числа, Хилль принимает,
на основании данных, получаемых из наблюдений, следующие значения:
п = 17325594:06085
п'~ 1295977:41516
из которых следует:
Vl'
т =	0.08084 89338 08312
тг = 0.00653 65500 97941
т3 = 0.00052 84731 06203
0.00004 27264 87183
ш = 0.08308 81293 65
На основании этих значений, получается:
1
а =0.99909 31419 62 (ЛТ
г cos v = а0 [1 — 0.00718 0Q394 55 cos 2т
0.00000 60424 59 cos 4т
-+- 0.00000 00325 76 cos 6т
-+- 0.00000 < 0001 80 cos 8т]
rsinv — aQ [0.01021 14543 96 sin 2т
0.00000 57148 79 sin 4т
0.00000 00274 99 sin 6т
н- 0.00000 00001 57 sin 8т]
§ 6.	Получив эти выражения, Хилль указывает, что введение числен-
ных значений в условные уравнения с самого начала, не производя разло-
жений величин ai по степеням буквы т, ведет к цели с гораздо меньшею
затратою труда. С этою целью он сперва вычисляет величины [у, г], [у]
и (J) по Формулам (11), не выполняя, однако, деления на количество
2 (4/2 — 1) — 4m -+- w2
16
— 244 —
до самого конца вычисления, и дает такую таблицу:
Коэффициенты ах и а_г
Делитель = 5.68314 08148 64695
[1] = 0.00861 47842 96261
(1) = — 0.00623 66553 18347
[1, — 2 | = 13.30665 60411
Г1, — 1] = 6.32993 22853
[1, 2] = — 10.71949 01593
{1, 3]= —15.10904 80332
[— 1] = — 0.01178 75756 56865
(—1) = —0.04941 95042 02516
[—1, 3J = —66.98979 68560
[—1, — 2] = —28.01307 31002
[—1, 1] = —10.96365 06556
[—1, 2] = —38.57409 27816
Коэффициенты а, и </_„
Делитель = 29.68314 08148 64695
2 [2] = 0.00205 43632 76229
2 (2) = — 0.02909 07097 39048
| 2. — 2] = 14.97672 37558
[2, — 1] = 9.3266640103
[2, 1]== —13.00326 82750 49
[2. 3] = — 50.03961 76194
[2, 4] = —74.07269 86888
2 [— 2] = — 0.01834 79966 76898
2 (— 2) — — 0.07227 35586 23216.
[—2, — 4] = —108.69586 45706
[—2, —3] = —63.00980 48251
[—2, —1] = —8.67987 25398
[—2, 1] = —3.64352 31954
[—2, 2 | = —19.61044 21261
— 245 —
Коэффициенты а3 и а_3
Делитель = 69.68314 08149
[3] = — 0.00113 35729 26473
(3) = — 0.01768 33677
[3, — 1]= 12.9922412519
[3, 1] = — 18.10997 74284
[3, 2] = —41.33769 10334
[3, 4] = —103.14632 67728
[— 3] = — 0.00793 43596
(— 3) = — 0.03207 76506 64434
| — 3, — 4]— — 114.67538 20668
[— 3, _ 2] = — 35.57316 33864
[—3, — 1J = —12.34544 97815
[—3, 1] = 1.46318 59580
Коэффициенты и а_4
Делитель — 125.68314 08
2 [4] = — 0.00428 9733	2 [— 4] = — 0.01449 091.3
2 (4) =—0.03864 29156	2 (— 4) = — 0.06023 435
[4, —1]= 16.82502 987	[—4,	— 5] = — 182.50817 060
[4, 1] = —22.66333	2	[—4,	— 3 ] = —79.01980 9
[4, 2] = — 51.16496	6	[—4,	— 2] = —42.51817 5
[4, 3] = — 85.50490	2	[—4,	— 1] = —16.17823 8
[4, 5] = —171.69968 135	[—4, 1] = 6.01654 053
Коэффициенты аг> и а_г>
Делитель = 197.68314
[5] =— 0.00272 9536	(5) = —0.02896 299
[5, 1] = — 26.995344	[—5, — 4]	= —138.68780 О
[5, 2] = —60.26133 2	[—5, — 3J	= — 89.42181 О
[5, 3] = —99.79795 8	[—5, —2]	= —49.88518 4
[5, 4] = —145.60523 2	[—5, — Г|	= — 20.07791 2
Коэффициенты ав и а_6
Делитель = 285.68314
2 [6] = —0.00622 021
[6, 1] = — 31.21669
[6, 2] = — 68.99124
[6, 3J = — 113.32666
[6, 4] = — 164.21995
[6, 5] = —221.67212
2 (—6) = —0.05640 548
[—6, —5] = — 214.46646
[—6, —4] = — 152.69091
[— 6, — 3] = — 100.35648
[—6, —2] = — 57.46319
[—6, —1] = — 24.01103
— 246 —
После того как значения выражений [J. fj, [J] и (j) составлены, вели-
чины коэффициентов вычисляются последовательными приближениями, найдя
сперва первое, затем присовокупляя к нему поправки, происходящие
от отброшенных членов, причем Хилль обращает внимание, что последова-
тельные члены не суть суммы бесконечных рядов, а значения рациональных
функций буквы т и, значит, могут быть вычислены с любою степенью
точности, которую он доводит до 15-го знака после запятой.
Результаты его вычислений таковы:
аг
1-е прибл. член 2-го пор.-*- 0.00151 58491 71593
2-е »	» 6-го » —0.00000 01416 98831
3-е »	» 10-го » -*-0.00000 00000 06801
— 0.00869 58084 99634
-1-0.00000 00615 51932
— 0.00000 00000 13838
= -*- 0.00151 57074 79563;	= —0.00869 57469 61540
«о	«о
а2
1-е прибл. член 4-го пор.-г- 0.00000 58793 35016
2-е »	» 8-го » —0.00000 00006 78490
3-е »	» 10-го » -4-0,00000 00000 00052
= -+- 0.00000 58786 56578;
«о
1-е прибл. член 6-го пор.-ь- 0.00000 00300 35759
2-е	»	»10-го » —0.00000 00000 04128
-4-0.00000 01636 69405
-1-0.00000 00001 21088
— 0.00000 00000 00007
= -1-0.00000 01637 90486
а-з
-+-0.00000 00024 60338
-4-0.00000 00000 00055
/У
= н- 0.00000 00300 31632;
«о
= —*- 0.00000 00024 60393
«о
1-е прибл. член 8-го пор.-*- 0.00000 00001 75296
2-е »	» 12-го » — 0.00000 00000 00028
= -+- 0.00000 00001 75268;
10-го порядка — = -+- 0.00000 00000 01107;
ао
12-го порядка — = -*- 0.00000 00000 00007;
а~4
-+- 0.00000 00000 12284
0.00000 00000 00000
= -4- 0.00000 00000 12284
-4-0.00000 00000 00064
«а
= -4-0.00000 00000 00000
«о
— 247 —
Подстановка этих численных значений дает следующие выражения для
координат:
г cos v — «0[1 — 0.00718 00394 81977 cos 2т
-	+- 0.00000 60424 47064 cos 4т
-	ь 0.00000 00324 92024 cos 6т
-	+- 0.00000 00001 87552 cos 8т
-	ч- 0.00000 00000 01171 cos Ют
-	+- 0.00000 00000 00008 cos 12т]
rsin^ = a0[	0.01021 14544 41102 sin 2т
-	+- 0.00000 57148 66093 sin 4т
-	ь- 0.00000 00275 71239 sin 6т
•	ч— 0.00000 00001 62985 sin 8т
-	+- 0.00000 00000 01042 sin Ют
0.00000 00000 00007 sin 12т]
Сличение этих величин с приведенными выше, в которых вычисление
доводилось лишь до членов девятого порядка, показывает, что они разнятся
от этих на несколько единиц в 11-м знаке после запятой.
Мы уже упоминали, что а() • Ю~14 составляет в расстоянии от центра
Земли до центра Луны величину в 4 микрона, т. е. в 0.004 мм, очевидно
никакого Физического смысла и значения не имеющую, и извлечение
из знаменитого мемуара Хилля приведено не для того, чтобы в прак-
тических вопросах инженерного дела, следуя его примеру, вычислять
до 15-го знака, а чтобы показать действительный образец необыкновен-
ного искусства в решении уравнений, в их подготовке к численным вычис-
лениям и в необычайном упорстве и настойчивости в их выполнении до наме-
ченной по каким бы то ни было соображениям степени точности.
§ 7. Само собою разумеется, что по самому способу определения
коэффициентов видно, что подстановка вместо х и у их разложений, огра-
ничиваясь приведенными выше членами, т. е. не бесконечных рядов, а ко-
нечных выражений, доставит в дифференциальных уравнениях, которыми
эти величины определяются, невязки в несколько единиц 15-го знака после
запятой, т. е. много меньше той точности, с которою известны входящие
в эти уравнения постоянные параметры; значит, в практическом смысле
вопрос решен даже с большею точностью, нежели нужно. Но не так смотрят
на это дело с точки зрения строгой математики. Вот что говорит по этому
поводу в своей статье «О рядах, предложенных Хиллем для представления
движения Луны» (Тр. Отд. физ. наук Общ. любит, ествзн., антрон, и этногр..
— 248 —
т. VIH, М. 1896) наш знаменитый математик покойный акад. А. М. Ляпу-
нов: «Применяя свои Формулы к теории Луны, Hill принимает
т = 0.08084 89338 08312
и при окончательных выводах пренебрегает лишь членами выше тринадца-
того порядка относительно т. Вычисляя при этом отношения —с пятна-
ло
дцатью десятичными знаками, он считает погрешности не превосходящими
двух единиц последней десятичной. Это заключение, впрочем, основано
только на сопоставлении вычисленных членов различных порядков и не
может считаться доказанным, так как на самом деле Hill не дает никаких
средств для определения высших пределов погрешностей при вычислении
.. ai
отношении — по предлагаемому им способу».
%
Изложив затем вкратце методу Хилля, А. М. Ляпунов дает свой
совершенно оригинальный способ решения основных дифференциальных
уравнений, рассмотренных Хиллем, причем анализом необыкновенной про-
ницательности и строгости доказывается сходимость процесса последова-
тельных приближений, примененного Хиллем, и равномерная сходимость
рядов, которыми он пользуется, если только
1
w <С
вместе с тем устанавливается и высший предел погрешности, которая имеет
место, если остановиться на члене с данным указателем.
Так как в случае Хилля
< Г2
то ряды Хилля сходящиеся.
Мы не будем здесь приводить изложения замечательной работы Ляпу-
нова, в которой с полною строгостью вопрос доведен до конца, т. е. до
численных результатов, а отошлем к подлиннику.